=: K-l ang sen -g - + K 2
(1 -c.6 )
en donde K t es una constante de integración. Considérese ahora la relación entre los planos z y w de la fig. I-c .l. Puede verse que entre ambas geometrías existe la siguiente correspondencia: En el punto C :
w —0
En el punto B :
w = — kh
;
z —b ;
z = —b
Si se llevan estos valores a la ec. l- c .6 se tiene: v — kh Ai — 7C
;
*, As —
kh 2
Con lo que la ec. l-c .6, resulta: kh
z
kh
-v
28
C A P ITU L O I
Lo cual puede escribirse también, teniendo en cuenta que z , z ang sen —-g- + ang eos —
«
como w ——
ang eos
Ti
1 "c-8)
b
I
de donde finalmente se obtiene z — b eos -¥ rkh
(1 -c .9 )
Ecuación que establece en definitiva la relación de transformación de tipo conforme entre los planos z y w de la fig. I-c .l. Para conocer las trayectorias del agua que fluye bajo el vertedor del problema considerado, conviene separar la ec. l-c.9 en sus partes real e imaginaria; esta separación no se detallará en este lugar y su justificación podrá encontrarse en las referencias especializadas que se mencionaron al comenzar este anexo. Se obtiene asi: x = b eos
(l-c .1 0 )
donde se han definido * ” kh
v Y
1!/ - ^ V ~ kh
Despejando en las (l-c .1 0 ) los términos sen
b2 senh2 4/
^
^
Así, las líneas de flujo en el problema propuesto resultan ser elipses con focos en los puntos ± b. Análogamente, si en la (l-c .1 0 ) se despeja senh 4/ y cos/i 4A se eleva al cuadrado y se restan las expresiones convenientemente, se ob tiene como ecuación de la familia de curvas equipotenciales la expresión: *2 b 2 eos2 4>r
£ = 1 b 2 sen2 '
( l-c .12)
Lo que indica que las curvas equipotenciales son hipérbolas cofocales con las elipses que resultaron líneas de flujo.
MECANICA D E SU ELO S (III)
29
Así. la red de flujo (conjunto de líneas de flujo y equipotencia les) resulta en definitiva como se muestra en la fig. I-c.l.a. Y a con este trazo realizado, el problema de flujo puede considerarse resuel to, tomando en cuenta las ideas que se exponen en el Capitulo II. Quizá con el ejemplo analizado, el lector haya adquirido claramen te la idea de lo difícil y engorroso que podría llegar a ser para la mayor parte de los ingenieros la solución analítica rigurosa de los problemas de flujo; para confirmar lo anterior debe tenerse en cuenta que el caso presentado es de los más sendllos. Sin embargo, el lector podría tomar la idea también de que la aplicación de los métodos matemáticos es fundamentalmente cuestión de ingenio y dependiente de la feliz idea del proyectista. En efecto, en la resolución del proble ma anterior hubo mucho de aparente artificio. Es conveniente aclarar, sin embargo, que esa sensación de relativo desamparo ante este tipo de problemas no sería, en general, del todo justa. Existen métodos generales, de carácter mucho más determinista, para resolver muchos problemas de flujo; por ejemplo, el lector podrá consultar la ref. 10 para encontrar un modo de resolver el problema anterior en forma mucho menos dependiente de una ocurrencia feliz, a base de una aplicación sencilla de la transformación de Schwarz-Christoffel. una de las más utilizadas para encontrar soluciones analíticas rigu rosas a problemas de flujo.
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C A P IT U L O I
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C A P IT U L O II
TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO II-l. La red de flujo En el párrafo 1-4 se demostró que la ecuación de Laplace queda resuelta por dos familias de curvas ortogonales entre sí, que son las líneas de flujo y las líneas equipotenciales que allí se estudiaron; se mencionó también que dos familias de líneas que cumplan la condi ción de ortogonalidad y las condiciones de frontera de la región de flujo constituyen una solución única de la ecuación de Laplace y, por ende, del problema de flujo descrito por aquella ecuación. E l método de las redes de flujo utiliza esas afirmaciones para re solver el problema de un modo sencillo y puramente gráfico. Se trata de definir en cada caso particular las condiciones de frontera especí ficas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfi ca del problema. Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respe tando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema; esta aproximación, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieríles y da soluciones del problema ventajosas respecto a las que se obtienen por los métodos matemáticos rigurosos, algo más precisos quizá, pero mucho más complicados. E l trazo de una red de flujo comprende en la práctica los si guientes pasos: 1. Delimitación de la zona de flujo que se desea estudiar, anali zando sus condiciones específicas de frontera 2, Trazo de dos familias de curvas ortogonales entre sí que sa tisfagan las condiciones de frontera y que constituyen la solu ción única de la ecuación de Laplace. No se pueden dar muchas reglas generales para definir qué fronteras pueda tener en un caso dado una zona de flujo en estudio, pero a continuación se mencionan algunos casos muy frecuentes respecto a los que si es posible decir algo como guia de criterio o de aprendizaje. 31
32
CAPITULO II
Considérese en primer lugar el caso ilustrado por la línea 1-2 de la fig. II-1, que es evidentemente una frontera de la •zona por la que se infiltra el agua a través de la presa.
ZONA IM P E R M E A B L E
FIG. II-1. Análisis d e algunos condiciones d e frontera en redes d e flujo
Puede notarse al analizar lo que sucede en los puntos A y A' que a lo largo de esa línea, las cargas de presión (representadas por las alturas de agua medidas del punto a la superficie) son diferentes; las cargas de posición, si se toma el plano 1-3 como plano de com paración por ejemplo, también lo son, pero la suma de ambas, o sea la carga hidráulica total,* es la misma en todos los puntos y está representada por la distancia comprendida entre la horizontal 1-3 y el nivel de agua. Así, la línea 1-2 es una línea equipotencial. En ge neral la situación ilustrada por el ejemplo anterior prevalece y el contacto entre el agua libre y un medio permeable a través del cual se infiltra el agua es siempre una línea equipotencial. Considérese ahora el caso de la frontera 1-3. El agua que llegue a hacer contacto con esa línea deberá de seguirla en su recorrido, pues la roca impermeable no le permite atravesarla. Así, la línea 1-3 es una línea de flujo. También puede establecerse como regla general que el contacto entre un medio impermeable y otro permeable a través del que se infiltra el agua, es una línea de flujo. Siguiendo lincamientos similares a los expresados arriba puede entonces definirse a qué tipo de línea corresponde cada una de las fronteras de la región de flujo; por el momento se supone que todas esas fronteras son conocidas a priori, es decir, que la región de flu jo está claramente delimitada; más adelante se estudiarán algunos casos importantes en los que las fronteras de la región de flujo no son conocidas de antemano y, por lo tanto, han de ser estudiadas como primer paso para el trazo de la red de flujo. * En realidad la carga hidráulica total es la suma de las cargas de posición de presión y de velocidad, que no se ha considerado en el razonamiento anterior. La razón es que, dadas las bajas velocidades con que el agua circula a través del suelo, esta carga de velocidad es despreciable y no se toma en cuenta en los problemas de flujo de agua en suelos.
MECANICA D E SU ELO S (III)
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Una vez conocidas las fronteras, el trazo de la red de flujo con siste, como ya se dijo, en dibujar las dos familias de curvas orto gonales entre si y que cumplan dichas condiciones de frontera. El hacer cumplir las condiciones de frontera consiste simplemente en satisfacer en éstas los requerimientos teóricos de la red; así por ejem plo si la frontera es una línea de flujo, la familia de líneas equipo tenciales la deberá cortar ortogonalmente, etc.
II-2. Trazo de la red de flujo. Cálculo del gasto Al intentar el trazo de las familias de líneas equipotenciales y de flujo surge el problema de que por cada punto de la región de flujo deberá de pasar en principio precisamente una línea de flujo y una equipotencial, pues en cada punto de la región de flujo el agua tiene una velocidad y una carga hidráulica. Esto llevaría, de trazar todas las líneas posibles, a una solución que formaría una mancha uniforme en todas las regiones de flujo; a este modo de proceder le faltaría todo valor práctico, pues las soluciones obtenidas en los diferentes problemas serán uniformemente inútiles. Para aspirar a una solución discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flu jo de otro, será preciso no trazar todas las líneas de flujo y equipo tenciales posibles; en cambio se trazarán sólo unas cuantas selec cionadas con un cierto ritmo útil y conveniente. El problema no es nuevo y los lectores familiarizados con la representación gráfica de otros campos vectoriales de variable escalar, como el campo eléctrico por ejemplo, o la representación de una topografía con curvas de nivel, lo reconocerán de inmediato. La solución que conviene dar en el caso de problemas de flujo es análoga a la dada en esos otros casos; fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente al gunas de las infinitas lineas posibles. La convención más conveniente es la siguiente: a) Dibujar las líneas de flujo de manera que el gasto que pase por el canal formado entre cada dos de ellas sea el mismo (Aq ) . b ) Dibujar las líneas equi potenciales de manera que la caída de carga hidráulica en tre cada dos de ellas sea la misma (Ah). FIS. 11-2. Una porcün de una red de flujo. Obtención de la fórmula para el cálculo del gasto Mecánica de Suelos III
Supóngase que se ha tra zado la red de flujo cumplien-
34
CA PITU LO II
do los dos requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, el limitado por las líneas de flujo y i];;- y por los equipotenciales
( 2- 1 )
pues el área media del rectángulo curvilíneo normal al flujo es a (se considera un espesor unitario normal al plano del papel), Ah es la caída constante de potencial hidráulico entre <¿>¡ y y b es la dis tancia media recorrida por el agua. Si n¡ es el número total de canales de flujo que tiene la red y ne el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podrá escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han segui do para construir la red de flujo:
Ah = —
fie
(2-2)
Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en toda la zona de flujo. Asi, la ec. 2-1 podrá escribirse: * =
(2-3)
En la expresión 2-3 puede notarse que puesto que q, k, h, n¡ y ne son constantes para una red .de flujo dada, la relación a / b debe serlo también. Así, si han de satisfacerse las dos condiciones que se ha decidido cumplir, la relación entre el ancho y el largo de todos los rectángulos curvilíneos de una red de flujo debe de ser la misma; es decir todos los rectángulos curvilíneos deben ser semejantes y, recíprocamente, el hecho de que se cumpla esta condición de seme janza implica que se están satisfaciendo automáticamente las dos condiciones impuestas a la red al comienzo de esta sección. Nótese también que el único requisito que ha de cumplirse respecto a la re lación a / b , para satisfacer las dos condiciones que fijan el ritmo de las líneas de flujo y equipotenciales es que sea constante; por lo de más, la relación a / b podrá ser cualquier constante. Se antoja así, en aras de lasencillez y la elegancia, fijar el valor de a / b precisa mentecomo la unidad,que es incuestionablemente laconstante más sencilla. Si esto se hace, los rectángulos curvilíneos se transforman en cuadrados curvilíneos, de manera que la red dibujada cumplirá la
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
35
condición de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre cada dos líneas equipotenciales haya la misma caída de potencial, simplemente si las figuras definidas por esas líneas son cuadrados. Evidentemente el cuadrado es la figura más sencilla y conveniente, con la ventaja adicional de que permite verificar lo bien dibujada que una red esté al golpe de vista, lo que no sucedería con los rectángulos, pues al variar el tamaño de ellos no se puede decir sin tomar medidas si se conservan sus proporciones o se han dibujado diferentes, con el correspondiente error. Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo serán de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ec. 2-3 podrá escribirse: q = kh^ ~ He
(2 -4 )
El término n ¡/n e depende solamente de la forma de la región de flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa: F f = J±
•le
(2 -5 )
Así, en definitiva, la expresión 2-3 puede ponerse como: q —khF f
(2 -6 )
que es la fórmula sencilla que permite calcular el gasto por uni dad de longitud normal a la sección estudiada, que ocurre a través de una región de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente. Antes de detallar otros conceptos importantes que pueden calcu larse por medio de la red de flujo, conviene insistir un poco más en las normas para el trazo de éstas. Casagrande en la ref. 1 de este capítulo proporciona los siguientes consejos a los ingenieros no ex pertos en este campo y a los jóvenes estudiantes: 1. Usense todas las oportunidades posibles para estudiar la apa riencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de cana les de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. E l uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la aten ción de los aspectos esenciales. 3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto, sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproxi madamente bien trazada.
36
CA PITU LO II
4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso los can'ales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronte ras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipo tenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 6. Un error común en los principiantes es el de dibujar transicio nes muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica: el tamaño de los diferentes cuadrados debe ir cambiando tam bién gradualmente. 7. En general el primer intento no conduce a una red de cua drados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondien te a un cierto número de canales con el que se intentó la solu ción, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos lineas equipoten ciales en la que la caída de carga es una fracción de la Ah que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de ne. estimando que fracción de caída ha re sultado. Sí, por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo Ah, podrá corre girse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe inten tarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red que se discutirán con más detalle en los párrafos siguientes. 9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. Sin embargo, como más adelante se demostrará,, estas superficies deben cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales. Además de las normas anteriores, es conveniente que las líneas de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas. Los princi-
I
MECANICA D E SU ELO S (III)
37
piantes cometen numerosos errores de concepto en la red por dejar trazos incompletos que, de ser terminados, les hubieren revelado di chos errores en forma muy clara. En las figs. II-3 aparecen algunas redes de flujo dibujadas a modo de ilustración.
n-3. Superficies libres a la presión atmosférica Una frontera muy común en las redes de flujo la constituye una superficie abierta al aire o, en general, una superficie en la cual todos los puntos estén a la presión atmosférica. Respecto a tales superficies existe una condición teórica que ha de cumplirse, que se traduce en una condición gráfica que debe satisfacerse y que es sencilla de verificar.
FIG. 11-4. Superficie abierta al aire
Sea la superficie A B una superficie abierta al aire, en la cual todos los puntos tienen la misma carga de presión, que corresponde a la presión atmosférica (fig. II-4 ). Entonces dos puntos de esa super ficie cortados por dos equipotenciales sucesivas estarán separados ver ticalmente por una distancia Ah que tiene que ser igual a la caída de carga hidráulica entre esas dos equipotenciales, puesto que por ser igual la carga de presión, la diferencia de carga tiene que traducirse sólo en pérdida de posición. Como quiera que entre todas las equipo tenciales que cortan a la superficie libre hay la misma pérdida de carga, se sigue que entre todos los puntos en que dichas equipoten ciales cortan a la superficie libre debe de haber la misma diferencia de posiciones o caída de alturas, precisamente igual a Ah. Ese hecho está gráficamente expresado en la fig. II-4.
II-4. Cuadrados singulares Hay ocasiones en que dentro de las redes de flujo las circuns tancias geométricas de la región de flujo fuerzan las cosas de manera
38
CA PITU LO II
que se produce una singularidad, dando así lugar a cuadrados en la red que quedan aparentemente fuera de la regla común. La parte'a^l de la fig. II-5 presenta un caso muy común que, por otra parte, ya se presentó en las redes de la fig. ÍI-3,
IMPERMEABLE
c FIG. 11-5. Cuadrados singulares
La frontera superior del fragmento que se reproduce de la región de flujo es una línea equipotencial, en tanto que la inferior lo es de flujo. Ambas líneas son paralelas, por lo que el cuadrado extremo, de a¡ bj a la izquierda, es un cuadrado abierto de forma singular. E s de notar que de la línea de flujo que parte de a¡ a la izquierda pasa el gasto Aq, mismo que pasa por los restantes canales de flujo de la red; si se subdivide en mitades el cuadrado singular (líneas por los puntos a* y b¡, de la figura), por cada subdivisión pasará el gasto A q/2 . Si se siguen las subdivisiones hacia la izquierda podrán obte nerse los canales por los que pasa la cuarte parte, la octava parte, etc., del gasto; puede verse que esos canales tienden a ser similares hacia la izquierda, en tanto que el gasto que pasa por ellos disminuye
MECANICA D E SU ELO S (III)
39
rápidamente. De lo anterior se deduce que la velocidad de filtración del agua en la zona permeable disminuye hacia la izquierda monó tonamente, de manera que se acerca asimptóticamente a cero. Lo an terior puede elevarse al grado de regla general, de modo que puede decirse que cuando una línea de flujo y una equipotencial son para lelas por una singularidad de una red, en su intersección (punto oo ) la velocidad con la que el agua se infiltra se reduce a cero. En la parte b) de la fig. II-5 se presenta otra singularidad bas tante común en muchas redes. En el punto A concurren una línea de flujo y una equipotencial, que son colineales; es decir, forman entre sí un ángulo de 180°, en lugar del usual de 90°. También ahora si se subdivide el canal original, en el que pasa el gasto Aq, se obtienen dos canales por cada uno de los que pasa A q/2. La subdivisión pos terior permite obtener canales por los que irá pasando la cuarta parte, la octava parte, etc., del gasto. Pero ahora la situación es dife rente a la que se tuvo en el caso a ). Si ahora se observa la fig. II-5.b se verá que la sección de cada canal va siendo bastante menor que la mitad de la anterior, en tanto que el gasto que pasa por ella es pre cisamente la mitad del que pasaba por el canal antes de la subdi visión; en consecuencia, al acercarse al punto A , la velocidad de infiltración del agua en el suelo debe ir aumentando. De hecho, esa velocidad aumenta monótonamente hacia A , de manera que en ese punto es, teóricamente, infinita. Lo anterior también es regla general y puede decirse ahora que si una línea de flujo y una equipotencial se unen a un ángulo mayor que 90° (y 180° no es más que un caso particular), en el punto de unión el agua tiene una velocidad de infiltración infinita. Al considerar el hecho teórico de que la velocidad en el punto A es infinita, deben de tenerse en cuenta los siguientes puntos de vista: La teoría con la que se ha llegado a la conclusión que se estudia, que se ha venido exponiendo en éste y en el precedente capítulo, ha sido elaborada bajo la hipótesis de régimen laminar en el agua y de validez de la ley de Darcy. Estas hipótesis exigen a su vez, según se ha venido insistiendo, bajas velocidades en el agua que fluye; así, esa teoría no es aplicable a un punto en el que las velocidades crecen en forma importante, por lo que la conclusión de que la velocidad se hace infinita no ha de ser aceptada literalmente. La conclusión que si puede extraerse es que en las vecindades de A las velocidades del agua aumentan mucho y el flujo se concentra, razón por la que zonas de este tipo serán zonas críticas desde el punto de vista de erosiones, arrastres, etc., cuando estén a la salida de la red y el material no tenga confinamiento. En la fig. II-5.C se presenta otra singularidad frecuente en las redes de flujo. Ahora una línea equipotencial y una de flujo se cortan a un ángulo a que es menor de 90°. Puede verse que al hacer las
CA PITU LO II
40
subdivisiones en este caso se tiene cada vez un gasto mitad del an terior pasando a través de una sección que es mayor que la mitad de la anterior; así la velocidad de filtración va disminuyendo monó tonamente cuanto más cerca se esté de A , de manera que en dicho punto se llega a la velocidad cero. Lo anterior también es regla ge neral; es decir, cuando una equipotencial y una línea de flujo se cortan por singularidad en la red de flujo a un ángulo a < 90°, en el punto de intersección la velocidad de filtración del agua vale cero. El valor a < 90° incluye a cero, como se vio al discutir el caso de la fig. II-5.a, que es entonces un caso particular del que ahora se discute.
n-5. Cálculo de las presiones hidrodinámicas en una red de flujo
Ahora se verá una de las más útiles aplicaciones de una red de flujo: aquella que permite calcular las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo. Este cálculo es aplicable de inmediato al diseño de estructuras sujetas a flujo, tales como taludes, muros de retención, cimentaciones, etc. En los párrafos siguientes y a modo de ilustración se analiza el cálculo de las presiones en el agua en dos casos de interés práctico. En el primero de ellos se considera un talud cuya red de flujo aparece parcialmente dibujada (ver fig. II-6 ); se trata de calcular las pre siones en el agua en el interior del talud.
FIG. 11-6. Cálculo de las presiones en el agua, en el interior de un talud
Supóngase que se desea calcular la presión hidrodinámica en un punto como el A. Si por ese punto se dibuja la equipotencial que le corresponde, esta línea sale al aire libre en B. Los puntos A y B deben tener la misma carga hidráulica, puesto que pertenecen a la misma equipotencial; el A , si por él se hace pasar un plano horizon tal de referencia ( h = 0) tiene carga de posición nula y toda su carga es de presión y corresponde precisamente a la presión del agua en el punto; el punto B tiene carga de presión nula, pues está en contacto con la atmósfera y por ello toda su carga hidráulica es de posición. Debe cumplirse que:
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(Carga de posición) b = (Carga de presión)a
Luego la presión en A puede calcularse como se ve en la fig. II-6 trazando una horizontal por el punto de salida B y midiendo la dis tancia entre A y dicha referencia, que es la carga de presión deseada. Considérese ahora el caso ilustrado en la fig. IÍ-7 en el que el agua se infiltra en una región permeable, bajo una estructura im permeable. Se trata ahora de calcular tanto las presiones que el agua tiene en los puntos precisamente abajo de la estructura (que reciben el nombre de subpresiones y juegan un importante papel en el dise ño de la estabilidad de la estructura como un conjunto). como en cual quier otro lugar de la zona permeable.
FIG. 11-7. Cálculo de las presiones en el agua ba¡o una estructura impermeable
Considérese en primer lugar el caso del punto 1, en la cimenta ción de la estructura. Puesto que la carga original del agua es h , en el punto 1 la carga valdrá h — A h . pues dicho punto está en la si guiente equipotencial, con una caída de carga A h respecto al valor inicial; pero además el punto 1 tiene una carga de posición que sería la distancia que hay del punto al plano A B, que se considera como el plano de comparación ( h — 0 ). Si la carga h se divide en n c partes iguales (11 en el caso de la fig 11-7, pues hay 11 caídas de potencial en la red) y se trazan referencias horizontales por esas divisiones, la distancia del plano A B a la división correspondiente da la car ga hidrostática de cualquier punto. En el caso del punto 1 esta carga gráficamente es la distancia vertical entre el plano A B y el nivel de la primera división; a esta carga se le resta la de posición represen tada por la distancia vertical del punto 1 al plano A B, que en este
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CA PITU LO II
caso es negativa. Así la carga de presión (/ipre = h — hpoa) en 1 (o sea el valor de la subpresión) es la distancia u¡, tal como se marca en la fig. II-7. En el caso del punto 2, que está en una posición cualquiera dentro de la masa de suelo permeable, la carga de presión puede calcular se de un modo análogo. Obsérvese que el punto 2 está a una y media caídas de potencial Ah respecto a la carga original. Así su carga hidráulica será la distancia vertical entre el plano A B y una horizon tal trazada una división y media abajo del nivel h; además la distan cia entre 2 y el plano A B proporciona la carga de posición de aquel punto, también negativa, de manera que la carga de presión en 2 es el segmento u>, tal como se le ve en la fig. II-7, obtenido restando de la carga hidráulica, la carga de posición (negativa). En la fig. II-7 aparecen gráficamente calculadas las cargas en los puntos 3 y A y se deja al lector como ejercicio la explicación del procedimiento. Una vez calculada la presión del agua en todos los puntos bajo la estructura (subpresiónes) podrá trazarse a una escala conveniente un diagrama que las represente. El área de esa figura será la subpresión total, que pasará por el centroide de la misma.
II-6. Cálcalo de velocidades y gradientes hidráulicos en los puntos de una red de flujo En los puntos de una región de flujo en la que se haya trazado una red de flujo es posible encontrar el gradiente hidráulico, así como la velocidad del agua. Para ello bastará trazar por el punto en cues tión el segmento de la línea de flujo que pase por él y que quede contenido dentro del cuadrado en que haya caído el punto. Entonces la caída entre equipotenciales de la red, Ah, dividida entre la longitud de línea de flujo en la que ocurre dicha caída proporciona el gra diente hidráulico medio en ese tramo que incluye el punto en cuestión. Mayor aproximación al gradiente específico en el punto se puede tener subdividiendo el cuadrado en otros menores, cada vez más en torno al punto. Una vez que se tiene el gradiente en el punto, bastará multipli carlo por el coeficiente de permeabilidad del suelo, para tener la velocidad del agua en magnitud, según la ley de Darcy; dicha velo cidad será tangente en el punto a la línea de flujo que pase por él y estará dirigida en el sentido del flujo.
II-7. Fuerzas de filtración. Gradiente crítico de ebullición Cuando el agua fluye a través de una masa de suelo su efecto no se limita a la presión hidrostática que tiene lugar en el agua en
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equilibrio, sino que ejerce una presión hidrodinámica sobre las par tículas del suelo, en la dirección del flujo, efecto que puede repre sentarse por empujes hidrodinámicos, en la dirección del flujo y tan gentes a las respectivas lí neas de flujo. La magnitud de esas presiones o de esos empujes h id ro d in ám ico s depende sobre todo del gra diente hidráulico prevale cienteConsidérese un cuadrado de una red de flujo, tal co mo el que se muestra en la figura II-8. La presión hidrodinámica que ejerce el agua sobre las partículas del suelo en la sección AA del cuadrado (considerando a éste un es pesor unitario en la direc ción normal al papel), vale Po = A / ir*
Pues la pérdida de carga Ah ha sido trasmitida por viscosidad a las partículas de suelo. Esta presión produce un empuje hidrodinámico que es: J — Ah- y«>AA
(2-7)
Es común expresar esta fuerza por unidad de volumen, tenién dose entonces para el cuadrado considerado: } =
/ _ Ah y«> AA AA-AL ~ AA-AL
o sea í = Y» «
( 2- 8 )
Con la fórmula 2-8 puede calcularse cualquier fuerza de filtra ción ligada a un cuadrado de una red de flujo; conocido el volumen de éste, que es su área multiplicada por un espesor unitario normal al papel, puede calcularse la fuerza total, que actuará en la dirección del flujo, en el centroide del volumen del cuadrado y tangente a la línea de flujo que pase por ese punto.
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CA PITU LO II
Nótese que la fuerza de filtración depende del peso específico del agua y del gradiente hidráulico prevaleciente en el cuadrado en cuestión, pero es independiente de la velocidad del flujo y del coefi ciente de permeabilidad del suelo, de modo que es la misma en suelos cohesivos y en suelos friccionantes, aunque las velocidades del flujo en ambos tipos de suelos difieran mucho. La fuerza de filtración es debida a la resistencia viscosa que la estructura sólida del suelo ge nera en el fluido; por ella el agua consume energía en forma de presión hidrodinámica capaz de vencerla, según se ve en la ec. 2-7, en que se aprecia que el empuje hidrodinámico es debido a la pérdida de carga Ah que el agua pierde en el recorrido AL a través del cuadrado. Otro fenómeno ligado de un modo muy directo con el flujo del agua a través del suelo es la ebullición de las arenas, que en última instancia es una manifestación del fenómeno de la tubificación. Al respecto, Terzaghi2 ha presentado un análisis de interés que se des cribe a continuación.
FIG. 11-9. Gradiente crifico de ebullición
Considérese la red de flujo correspondiente a la tablestaca que aparece en la fig. 11-19. En esa red se estudiará el equilibrio de la zona de salida aguas abajo de la tablestaca. De pruebas en modelos y de experiencias acumuladas en obras construidas se sabe que la arena de la zona en estudio permanece en equilibrio en tanto que la carga h permanezca menor que un
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
45
cierto valor límite hp. Tan pronto como ese valor crítico es sobrepa sado, la descarga a la salida aumenta fuertemente, como si la per meabilidad de la arena hubiese aumentado con brusquedad y el agua comienza además a arrastrar a la arena, produciéndose tras la ebulli ción de este material un proceso de tubificación. La experiencia ha demostrado que la máxima concentración de flujo de agua ocu rre dentro de una distancia D /2 de la tablestaca, tal como se muestra en la fig. II-9. La tubificación se inicia cuando la presión hidrodinámica del agua ascendente vence el peso sumergido de la arena colocada en la zona en que comienza a producirse el fenómeno. Con suficiente precisión puede afirmarse que la arena movida por el agita tiene la forma de un prisma de ancho D /2 y de altura D¿; la tendencia al arrastre en este prisma está contrarrestada por su propio peso (en el instante mismo en que el arrastre se inicia, la presión efectiva en los lados del prisma de arena y por lo tanto la resistencia friccionante, es prácti camente nula). Así, el prisma se mueve hacia arriba cuando la pre sión hidrodinámica ascendente provocada por el agua vence a la presión descendente producida por el peso sumergido del material. La carga de agua, hp, que produce esta situación inestable es la carga crítica. El nivel de la base del prisma por analizar quedará de terminado por la condición de que hp sea mínimo, a causa de que el arrastre ocurrirá naturalmente con la mínima carga de agua capaz de producirlo. Se supone en la figura que ese nivel está representado por la dimensión D 3. Para conocer la presión hidrodinámica a ese nivel deberá cono cerse la presión del agua en esa profundidad; para ello se estudia en primer lugar cuál será ésta en un punto de la red cualquiera, tal como el P de la fig. II-9. La presión en P está dada por el valor h,c. altura a que sube el agua dentro de un piezómetro instalado en P. multiplicada por el peso específico y K. La altura h w está compuesta de dos sumandos, z y s, de manera que el esfuerzo neutral en P es Up = z y v> + s y»
(2-9)
E l primer sumando de la ec. 2-9 representa la presión hidrostática a la profundidad de P ; su efecto es el de reducir el peso específico de la arena del valor y m al y'm, correspondiente a la condición sumer gida. El segundo sumando sy w es la presión que hay en el agua en P arriba de la hidrostática (presión hidrodinámica). Así la condición de arrastre para el prisma bajo estudio es que la presión arriba de la hidrostática en su base no supere a su peso sumergido, que vale (1/2) DD¿y'm. El exceso de presión sobre la hidrostática en P puede calcularse de la red de flujo y vale, según se vio: s y „ = nd Ah y a
( 2- 10)
46
CAPITULO II
donde n¿ es el número de caídas de potencial o su fracción que hay desde P hasta la salida de la red. Con base en lo anterior puede dibujarse la distribución de presiones hidrodinámicas en la base del prisma. La presión promedio en dicha base se denominará ha y así el empuje hidrodinámico ascendente en lamismazona será: U = ~ D h a yw
'
(2-11)
El valor de s puede expresarse como: s = — nd = h x (constante) (2-12) ne ne = número total de caídas de potencial en la red. Donde la constante indicada tiene un valor que depende sólo de la posición de P dentro de la red. Las cargas hidrodinámicas en la base del prisma en estudio pue den en definitiva, pues, expresarse como: ha = mh (2-13) donde m es una constante. Los valores de ha y h se conocen del planteamiento del problema o de la red de flujo, de donde el valor de m en la (2-13) puede ser calculado (en realidad para ello será preciso conocer D 3). El prisma de arena en estudio será levantado por el agua cuando la presión hidrodinámica exceda el valor que satisfaga la igualdad. y D ha Yw = y D D 3 y'm de donde (2-14) lw Es el valor de la carga hidrodinámica en la base del prisma en el instante en que éste entra en suspensión. En ese mismo instante, por definición, la carga h tiene el valor crítico h„ y, de acuerdo con la (2 -1 3 ): ha — m hv (2-15) ha = D 3
Substituyendo este valor en la ec. 2-14, se tiene: m hp — D 3 —— yw
(2-16)
y
hp = — L & (2-17) m y» La fórmula 2-17 puede aplicarse para diferentes valores de la profundidad D¡, siempre que se haya dibujado la red de flujo, que
MECANICA DE SU ELO S (III)
47
permite calcular m, ec. 2-13. Así se tienen distintos valores de hp co rrespondientes a diferentes D 3. El mínimo hv es obviamente el valor más crítico de la carga y es el que gobierna el problema y el nivel D 3 correspondiente es la sección crítica, en donde puede comenzar el fenómeno de la tubificación; ésta podrá presentarse en esa sección si la carga que se tenga supera el valor de hp encontrado. En el caso de una tablestaca sencilla, como la que se ve en la fig. II-9, los cálculos anteriores conducen a que prácticamente en la sección crítica: D3 = D Este resultado, para el caso de la tablestaca mostrada, hubiera podido deducirse directamente de la observación de la red de flujo, pues debe notarse que según D 3 aumenta, el valor de las presiones hidrodinámicas crece más aprisa que el peso sumergido de la arena. Nótese que, de acuerdo con la ec. 2-17, el valor de la altura crítica no depende del ángulo de fricción interna de la arena y es propor cional al peso sumergido de la misma. Conviene también señalar que la concordancia entre la predicción teórica basada en los cálculos an teriores y los resultados de experimentos ha sido reportada como muy satisfactoria.2 Para una carga de agua real actuante, h, el factor de seguridad contra tubificación puede calcularse sencillamente con la expresión: F«= x
(2-18)
Suelen considerarse convenientes valores de F s del orden de 3 ó 4. Si se observa la ec. 2-14 podrá obtenerse el valor promedio del gradiente hidráulicocrítico, o sea el valor degradientehidráulico medio que actúaen el nivel crítico en el instante en quela tubifica ción comienza. Dicho valor es: i ~
- a- —Y m D3 ~ ya
O io\ <2' 19)
Teniendo en cuenta el valor de y'm en la práctica, se deduce que para que haya tubificación al nivel D 3, supuesto el crítico, es preciso ¡c = 1 (2-20) Como el gradiente a ese nivel puede calcularse fácilmente de la red de flujo, su comparación con el valor crítico igual a 1 proporciona otro enfoque, equivalente al anterior obviamente, para conocer del nesgo de tubificación en un problema dado.
II-8. Efecto del flujo sobre muros de retención Cuando el relleno de un muro de retención queda expuesto a la acción de la infiltración del agua, se forma en él una red de flujo
•18
CAPITULO II
FIG. 11-10. Influencia del flujo del agua en el análisis de la estabilidad de un muro de retención
del tipo de la mostrada en la fig. 11-10. En dicha figura se ha su puesto que en el respaldo del muro existe un filtro que permite la salida libre del agua que alcanza esa zona. La intensidad de la presión de tierras ejercida por el relleno du rante la infiltración del agua puede ser estimada por los métodos basados en la Teoría de Coulomb,3 tal como fue analizada en el Capítulo IV del Volumen II. Si y m es el peso específico de la masa del suelo y si se estima la resistencia al esfuerzo cortante del relleno con la ecuación del propio Coulomb, según la cual: s =(
M ECANICA D E SU E L O S (III)
49
dinámico de las fuerzas debe ser cerrado. Esta condición determina el valor de E a para una cuña de deslizamiento dada. E l E a máximo, para el que ha de ser diseñado el muro, resulta de un procedimiento de cálculo por tanteos, usando el número necesario de cuñas de des lizamiento. En la fig. II-l 1 puede verse gráficamente cual es la influencia de un filtro en el relleno, desde el punto de vista de evitar la presión hidrostática que, sin él, ac tuaría contra el respaldo del muro al saturarse el relleno. El filtro hace que las lí neas equipotenciales den tro de cualquier cuña des lizante que se considere sean horizontales; así se FIG. 11-11. £/empfe de la Influencia de un fil eliminan las presiones del tro en los efectos del flujo de agua sobre un muro de retención agua y el empuje de tie rras será simplemente el que corresponde a la presión activa causada por la masa de suelo saturado.
Ef-9. Efecto del flujo sobre taludes Las presiones hidrodinámicas y las fuerzas de filtración que exis ten en la zona de flujo de agua ejercen una poderosa influencia sobre la estabilidad de los taludes; esta influencia es generalmente de carácter negativo; es decir que cuando un talud está sujeto a flujo, su estabilidad se ve normalmente disminuida, respecto al caso en que se considere seco al talud. En esta sección se analizará de un modo general el efecto de un régimen establecido en el interior de un talud cualquiera sobre la estabilidad de la masa del mismo; en el Anexo Il-a se tratarán con algún detalle dos casos especiales de interés práctico; finalmente, en el Capítulo se mencionará otro caso especial, que corresponde al vaciado rápido, que posee un gran interés especialmente en lo que se refiere al diseño de presas de tierra. E l efecto que un régimen establecido en el interior de un talud produzca sobre la estabilidad general del mismo puede estudiarse siguiendo una secuela de cálculo ligeramente distinta de la mencio nada en el Capítulo V del Volumen La diferencia estriba esen cialmente en el efecto que las fuerzas de filtración y las presiones hidrodinámicas en los elementos de la superficie hipotética de falla producen en la estabilidad del talud, las cuales en muchos casos, cuando se toman en cuenta conjuntamente, conducen a factores de
III
II.
M ecánica de Suelos 111
50
CAPITULO II
FIG. 11-12. Análisis de estabilidad de un talud sujeto al flujo establecido
seguridad menores que los obtenidos cuando sólo se consideran las presiones hidrodinámicas y se desprecian las fuerzas de filtración, lo que por otra parte constituye el método de análisis más popular, aunque inconveniente. Para ilustrar el análisis que sigue considérese el caso de la presa de tierra de la fig. 11-12. Esta figura muestra una sección de un talud de tierra que se supone sujeto a un flujo establecido. Como ya se ha indicado, las fuerzas de filtración son debidas a un cambio de la carga hidráulica (carga de presión más carga de posición) causado por la fricción viscosa del flujo del agua. En un medio poroso uniforme esta fricción obra en los granos del suelo, constituyendo una fuerza de volumen. El valor de esta fuerza por unidad de volumen es igual al producto del peso especifico del agua yw, por el gradiente hidráulico i y su dirección es la de la velocidad de la corriente en el punto considerado. Se tiene así que al considerar una superficie hipotética de falla, la zona comprendida arriba de ella está sujeta además de la fuerza de gravedad a la fuerza de filtración. El efecto de esta fuerza de filtración es aumentar el momento motor que tiende a hacer girar a la masa deslizante alre dedor del centro del círculo de falla. Se ha argumentado en el pasado que este efecto es pequeño comparado con el de la fuerza de grave dad, pero cálculos efectuados en algunas presas de tierra han re velado una importante influencia en el factor de seguridad resultante6
51
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
E l cálculo del incremento en el momento motor debido a estas fuerzas de filtración puede ejecutarse como sigue: considérese un cuadrado de la red de flujo. Si L es el lado medio de este cuadrado, la fuerza de filtración que obra en el cuadrado por unidad de longi tud de la presa vale / = /. X L- — y wi L" — y tc
L"
y,., Ah L
E s decir, la fuerza de filtración en el cuadrado considerado de la red de flujo es igual al peso específico del agua multiplicado por la caída de potencial Ah y por el lado medio L de dicho cuadrado. La dirección será la de la línea de flujo que pase por el centroide del cuadrado, con lo que estará definido el brazo de palanca con respecto al centro del círculo y por lo tanto, el producto de / por dicho brazo será el incremento de momento motor correspondiente a dicho cua drado. La suma de todos estos momentos correspondientes a todos los cuadrados dará el incremento total en el momento motor debido a las fuerzas de filtración. Cuando se tengan fracciones de cuadrado podrá estimarse a ojo la fracción correspondiente del momento motor correspondiente a dicha fracción del cuadrado. E l momento de las fuerzas de filtración deberá sumarse al mo mento del peso del suelo, calculado con el peso específico sumergido bajo la línea de corriente superior y en la condición que corresponda, arriba de ella. Para el cálculo del momento resistente puede procederse en forma análoga a la del procedimiento de dovelas del Método Sueco. A este respecto es oportuno hacer los siguientes comentarios: si la región de flujo estuviese constituida en su totalidad por un flujo rectilíneo paralelo, es decir que las líneas de flujo y equipotenciales estuvieran constituidas por una cuadrícula, la combinación de las fuerzas de gra vedad y de filtración determinarían una región en donde cada ele mento de volumen estaría solicitado por fuerzas tales que el campo resultante de los vectores fuerza sería paralelo y en este caso el pro cedimiento de dovelas lógico a considerar seria tal que las dovelas tuviesen sus lados paralelos a dichos vectores. E sto sería equivalente a considerar la sección de la presa con cierta inclinación con respec to a la horizontal, dando por resultado un talud del lado de aguas abajo más alzado. Como en la práctica difícilmente se tiene este caso, el resultado es que con respecto a la fig. 11-12 las presiones en la parte superior del arco de deslizamiento tienden a disminuir y estas presiones tienden a aumentar en la parte inferior de dicha superficie. En la práctica se considera adecuado seguir considerando las dovelas verticales y se estima que es conservador aplicar el procedimiento ya detallado en el Volumen II, es decir, determinar pará cada dovela la fuerza normal actuando en su base debida únicamente al peso total (calculado con ym) de la dovela. Esta fuerza dividida entre la longi
52
C A P IT U L O II
tud del arco base da el esfuerzo total actuante, al cual deberá res társele la presión neutral para obtener así el esfuerzo efectivo en el elemento de arco. La presión neutral puede determinarse multipli cando el peso específico del agua por la carga de presión en el punto considerado, obtenida ésta en la red de flujo por los métodos atrás señalados. Esta carga es sencillamente la distancia vertical de dicho punto al nivel donde la equipotencial que pasa por él intercepta a la superficie de salida, a la presión atmosférica. Una vez determinado el esfuerzo efectivo podrá encontrarse la resistencia del suelo en el elemento de arco, haciendo uso de la en volvente de resistencia del material obtenido en una prueba rápida consolidada. Para ello, se llevará sobre el eje cr de la gráfica de re sistencia el valor de la presión efectiva, obtenido restando de la pre sión causada en el arco base de la dovela por el peso total de la misma; el válor de la presión media u en dicho arco, obtenida de la red de flujo. E ste procedimiento es conservador, pues la resistencia que se desarrolla en la superficie de falla en caso de presentarse ésta, es mayor que la que se tiene en la prueba rápida consolidada, por la razón de que en el elemento de arco considerado hay esfuerzos cor tantes debido al estado de esfuerzos general del talud antes de la falla, que han producido excesos de presión de poro que se conside ran disipados por el tiempo transcurrido en el caso de tener un flujo establecido en el talud, que es el caso que se ha hipotetizado; en con secuencia, si ha pasado el tiempo suficiente como para que el flujo se establezca, ello implica que el material se habrá adaptado a las con diciones de esfuerzo que tal caso representa; así se habrán disipado las presiones de poro debidas al estado de esfuerzos cortantes previo a la falla en el talud, o lo que es lo mismo, el suelo habrá incremen tado su resistencia al consolidarse bajo esos esfuerzos. Este proceso no está tomado en cuenta en la prueba rápida consolidada, pues allí no se permitió consolidación bajo los esfuerzos cortantes correspondien tes a la segunda etapa de prueba. En consecuencia, la resistencia del suelo corresponde en el talud a un valor intermedio entre las pruebas rápida-consolidada y lenta y el uso de la primera es conservador. Lo que sucede podría razonarse también como sigue; el estado de esfuerzos en el talud es el que corresponde al flujo establecido, es decir que la presión de poro vale u, tal como este valor se obtiene de la red de flujo. Antes de establecerse el flujo existían en la superficie de falla esfuerzos cortantes que producían la presión de poro A«; si se tienen los esfuerzos correspondientes al flujo establecido es por que el esfuerzo Au ya se disipó o, lo que es lo mismo, el suelo se consolidó en esa magnitud, aumentando correspondientemente su re sistencia al corte; ahora bien, es evidente que la disipación de las presiones de poro Au no está tomada en cuenta en la prueba R c, pues en ésta no se permite ninguna consolidación en la etapa de falla; así.
MECANICA D E SU ELO S (III)
53
la resistencia en el talud bajo régimen establecido, será algo mayor que aquella con que falla el espécimen en prueba R c. Por otra parte, en el instante de falla se producen en el talud presiones de poro adicionales, bajo las que aquel ya no alcanza a consolidarse por falta de tiempo en el caso de que la falla llegue a tener lugar; pero si se hiciera una prueba lenta al suelo del talud, esas presiones adicionales, al darles tiempo para su disipación sí in fluirían en la resistencia del espécimen, aumentándola, pues en la prueba lenta todas las presiones de poro se disipan, con consolida ción en el espécimen; así, la resistencia del suelo en prueba lenta sería mayor que la del talud y su uso para proyecto estaría del lado de la inseguridad. En resumen, la resistencia de un talud sujeto a flujo establecido está, según los razonamientos anteriores, comprendida entre la de la prueba R c y la L, siendo conservador y conveniente, por lo tanto, el uso de los resultados de la prueba R c. La discusión anterior es válida para un material en el talud nor malmente consolidado o poco preconsolidado, pues si está fuertemente preconsolidado en lugar de producirse presiones de poro en la super ficie de falla, cerca de ésta se producirán presiones negativas, es decir tensiones en el agua y en ese caso las resistencias en prueba lenta resultan menores que en prueba rápida-consolidada, por lo que en este caso un razonamiento similar al hecho arriba, conduce a la necesidad de usar la envolvente de resistencia de prueba lenta, para analizar el talud conservadoramente. El Ing. Guerrero Torres6 reporta que en un caso particular los factores de seguridad obtenidos considerando las fuerzas de filtra ción con respecto al caso de despreciarlas fueron 1.24 y 1.49, respec tivamente. De estos valores se deduce la importancia que estas fuerzas de filtración tienen en el análisis de la estabilidad del talud de aguas abajo de presas de tierra, donde los respaldos de material permeable son pequeños con respecto al corazón impermeable de la misma.
J.
11.10. Efecto del flujo sobre una tablestaca anclada En el Anexo Il-b se trata el efecto que el flujo provocado por la infiltración de una lluvia intensa produce sobre una tablestaca ancla da (ver Capítulo del Volumen E l enfoque con el que se trata el problema es similar al utilizado para casos análogos en rela ción a un muro de retención (sección II-9) o a taludes (Anexo Il-a ).
IX
II).
11-11. Flujo de agua a través de formaciones heterogéneas Al estudiar el problema del flujo de agua a través de medios hete rogéneos, un caso aparece como el más importante en vista de su abundancia en las aplicaciones prácticas; es el que se refiere a las formaciones estratificadas, en que cada estrato está constituido por
CAPITULO II
54
un material homogéneo e isótropo en sí mismo; la heterogeneidad nace al considerar en conjunto a los diversos estratos cuyas propiedades si difieren de unos a otros. A continuación se mencionan algunos casos de flujo en forma ciones estratificadas en los que es posible llegar a soluciones más o menos sencillas. Considérese, en primer lugar, la formación estratificada que apa rece en la fig. II-I3.a, en la que se han dibujado por comodidad solo dos estratos, si bien lo que se dice vale para cualquier número de ellos, n. Se considerará en este primer caso analizado que la forma ción está sólo sujeta a un flujo que ocurre en dirección paralela a la de la estratificación.
1
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^ 2
it\@ I
----------
b).
a).
FIG. 11-13. Flujo de agua paralelo y normal a la; formaciones estratificadas de suelo
Si q x y q 2 son los gastos que fluyen por los estratos 1 y 2 y t , y k2 las respectivas permeabilidades de ambos, se tendrá evidente mente: qh = qi +
MECANICA D E SU ELO S (III)
55
la estratificación, el mismo gasto que por el sistema real. Si en lugar de dos estratos son n, número entero cualquiera, la (2-21) se genera liza fácilmente: i =n
2 k ,d t *„ = £ (2-22) 2 di i=l Considérese ahora como un segundo caso susceptible de análisis el mismo sistema, pero sujeto a un flujo con dirección normal al plano de estratificación. Si el suelo fuese homogéneo, la variación de la carga perdida en los dos estratos (fig. II-13.b) sería lineal en todo el espesor; si el sistema es estratificado, la ley de variación será diferente en cada estrato, según su permeabilidad, lo cual da lugar a la línea quebrada de la figura que se comenta. Evidentemen te la pérdida total de carga en el espesor d x + d¿ tiene que ser igual a la suma de las cargas perdidas en cada estrato; así: h — h x + h. Por otra parte puede escribirse: q = k ,^ A dx y también:
,
h, , d2 Pites ahora el gasto que cruza el primer estrato tiene que ser el mismo que cruza el segundo. A. es un área cualquiera, igual en el primero y en el segundo estratos, a través de la cual se estudia el flujo, que se considera normal a ella. De lo anterior se deduce: i d. ¿2 h i ~ q - — - y h 2 = qk, A ' k~A Defínase ahora una permeabilidad hipotética, kr, tal que si el suelo, supuesto homogéneo en todo el espesor d x + d>, la tuviese, en tonces pasaría el mismo gasto en la dirección normal a la estratifi cación que el que realmente pasa por el sistema estratificado. Con ese valor ficticio k r debe cumplirse que: g — k ; -r- A
q= k-T T 3 :A de donde
,
dx + d 2
CAPITULO II
56
teniendo en cuenta que: h = hx + h2 puede escribirse:
y por lo tanto: di + d 2 ki
(2-23)
k2
La ec. 2-23 permite calcular el valor de kv que, se insiste, corres ponde a una permeabilidad tal que si el suelo la tuviese en todo el espesor d i + d 2, en la dirección normal a los estratos pasaría el mis mo gasto que fluye a través del sistema estratificado real. Si en lugar de dos, existen n estratos, la (2-23) se generaliza a:
(2-24)
En la práctica siempre ocurre que k H > k v, pues a ello contribu yen tanto los procesos naturales de estratificación, como las técnicas de compactación por capas horizontales. De hecho esta afirmación puede también ser demostrada teóricamente para cualquier número de estratos. En efecto, sean, a modo de ilustración fácilmente generalizable, dos estratos 1 y 2, cada uno de espesor D f2. De las ecs. 2-21 y 2-23 se deduce: k H = y (k i + k 2)
y
2 ki k2 k i + k2
de donde: kv _ 4 ki k2 _ ki2 + k 22 + 2 ki k2 — k x2 — k 22 + 2 ki k 2 _ kH ~ ( k i + k ¡ ) 2 ~ ( ki + k 2)2 _ (ki + k 2) * - ( k i - k 2y (* ! + *.)•
(k i - k t y (ki + k 2y-
de donde se ve que siempre kv < kH La demostración anterior es en realidad particular, pues se consi deraron los mismos valores para d x y d 2, pero se cree que cumple su cometido de ilustrar el hecho de que teóricamente kH > kt. Por otra parte la generalización de la demostración a valores cualesquiera de
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57
c?i y d 2 es relativamente sencilla y el lector podrá hacerla como ejer cicio. Los dos casos anteriores sólo son aplicables a problemas prácticos en que el agua fluya únicamente en dirección paralela o normal a los planos de estratificación. De ahí, el valor práctico de esos casos re sulta en general muy limitado. Sin embargo, los resultados anteriores permiten resolver un caso real que se presenta con cierta frecuencia en los problemas y es el que corresponde a un flujo que cruce en una dirección cualquiera en un medio finamente estratificado, en tal for ma que el espesor de cada estrato sea muy pequeño y que una suce sión de n de esos estratos diferentes se repita sucesivamente en todo el espesor de la región de flujo. Si este es el caso, el suelo heterogéneo puede substituirse por un suelo homogéneo ficticio anisótropo, con permeabilidad k Hy k v en las direcciones paralela y normal a la estrati ficación. A dicho suelo ficticio anisótropo se le deberá aplicar la téc nica de la Sección Transformada, descrita en el Capítulo I, para llegar a un suelo homogéneo e isótropo en el que pueda trazarse la red de flujo por los métodos usuales. En el Anexo II-c se trata el caso general de flujo con cualquier dirección a través de una región heterogénea estratificada con estra tos de cualquier espesor.
ANEXO H-a Casos especiales de flujo a través de un talud Se considerará en este anexo, en primer lugar, un caso que sin ser propiamente de flujo conviene sea estudiado para referencia pos terior; es el caso de un talud sumergido bajo el agua y consolidado bajo todas las fuerzas que actúan sobre él en tal condición4. Estas fuerzas aparecen en la fig. II-a .l, en la que se muestra un análisis de la estabilidad del talud por medio del círculo de fricción, mé todo descrito en el Capítulo V del Voumen II. E l método propor ciona un factor de seguridad relativo únicamente a la cohesión del suelo, lo cual hace que sea principalmente aplicable a suelos preponderantemente cohesivos, lo que, por otra parte, cubre muchos de los casos en que interesa aplicar este análisis en la práctica (bordos bajos que almacenan agua permanente). Sea W ' el peso de la masa hipotéticamente deslizante, conside rando la condición sumergida en la que se halla el talud. E l peso del agua contenida en el talud, que se supone saturado, naturalmente existe, pero es soportado por las fuerzas de agua U x y U-., que actúan en las fronteras de la masa deslizante, según se ve en la parte b ) de la misma fig. II-a .l.
CA PITU LO II
58
FIG. Il-a.l. Análisis de lo esfabilidad de un falud sumergido
En la parte c) de la figura se muestran los polígonos dinámicos correspondientes. La ecuación de equilibrio de momentos en torno a O, centro del círculo en análisis, para las fuerzas mostradas en la parte a) de la figura es: W 'd = F - R sen
b)
( 2-a. 1)
en torno a O, permite
W Kd = U ,J
(2-3.2)
O sea que el momento del peso del agua en el talud se equilibra exactamente con el momento de las presiones ejercidas por el agua sobre la superficie del talud en estudio. Si C es la fuerza de cohesión de que realmente se dispone en el suelo, el factor de seguridad (respecto a la cohesión) del talud será: F: =
Ca C„ a
C a W 'd — F R sen <¡>
(2-a.3)
Con esta fórmula puede calcularse la estabilidad del talud, inves tigando por tanteos los diversos círculos de deslizamiento probables. En segundo lugar5 se presentará en este anexo el caso de un talud, que se supone de arena fina sin cohesión, expuesto a un perío do de lluvias violento, que llegue a establecer un flujo interno tras saturar el material constitutivo. Sea el talud mostrado por la fig. II-a.2. Después de un período de lluvia intensa, el agua entra en el te rraplén por su corona y por la parte alta del talud y sale del mismo por la parte baja (se supone, como se ve en la parte a) de la figu ra. que el terraplén descansa sobre un estrato impermeable). El agua que no alcanza a penetrar en el terraplén resbala por los taludes hacia
MECANICA DE SUELOS (III)
59
FIG. Il-a.2. Análisis de la estabilidad de un terraplén de arena fina sujeto a flujo establecido por lluvia prolongada
la parte horizontal impermeable. Las condiciones de frontera de la red de flujo son, por consiguiente: — la línea horizontal que limita al estrato impermeable es una línea de flujo. .— la línea central, eje de simetría vertical de toda la figura, también lo es. — la corona es una linea equipotencial. .— las superficies de los taludes son líneas equipresión. Para mantener un flujo establecido, la intensidad de la lluvia vr (precipitación por unidad de tiempo y unidad de área sobre una su perficie horizontal) debe de mantenerse sobre un cierto valor mínimo necesario. Como quiera que por cada canal de flujo pasa el mismo gasto, la cantidad de agua que debe infiltrarse en los canales por unidad de tiempo debe ser máxima en el canal de menor área; éste
60
CAPITULO II
está situado en la zona de la corona del terraplén. A la entrada del canal de mínimo ancho (am[n), al gradiente hidráulico vale: i= — ^mí n
(2-a.4)
La velocidad de entrada en ese canal será: v = ki = k — = — — ^mín ^inín fie
(2-a.5)
Así, la condición para que haya el flujo establecido de que aquí se habla es: vT ^ v = — - a,nín nc
(2-a.6)
En la práctica y en zonas lluviosas, esta condición se cumple en cualquier terraplén en que k sea igual o menor que el correspondiente a una arena muy fina. La influencia del flujo en el factor de seguridad del terraplén puede determinarsecon un análisis basado en elmétododel círculo de fricción. Antes de la lluvia se supone que en toda la masa del terraplén u — 0 y por ello el factor de seguridad de la estructura (ver Capítulo V del Volumen II) está dado por: F -1 3 A tg 3
Siendo 3 el ángulo de inclinación del talud. Después de la lluvia, el radio del círculo crítico se hace finito y su posición debe determi narse por tanteos; para ello, supóngase un círculo cualquiera, tal como el que aparece en la fig. II-a.2.a. La presión neutral en cada una de las zonas numeradas de 1 a 10 en la parte a ) de la fig. II-a.2 puede encontrarse con los métodos ya descritos varias veces en este capítulo y con esos valores pueden calcularse las fuerzas parciales que se ejercen por el efecto de la presión dinámica del flujo en cada uno de los arcos (numerados del 1 al 10) en que queda dividido el círculo en estudio por los cuadra dos de la red de flujo. En la parte b) de la fig. II-a.2 aparece el dinámico de tales fuerzas parciales, en el que se puede obtener la re sultante [/„ que representa la fuerza resultante de los empujes hidro dinámicos en toda la superficie de falla; esta fuerza pasa, natural mente por el centro del círculo de falla. Otra fuerza que puede conocerse de inmediato es W , peso de la masa de tierra y agua des lizante, que será vertical por el centro de gravedad de dicha masa. Así, en el dinámico 'que se muestra en c) de la fig. II-a.2 puede
MECANICA DE SUELO S (III)
61
calcularse la tercera fuerza F , resultante de los efectos normales y de la fricción a lo largo de la superficie de falla. También puede co nocerse ahora la distancia d, puesto que la fuerza F debe de pasar por la intersección de W y II La tendencia del talud a fallar es mayor cuanto mayor sea la distancia d, por lo que la relación r /d puede ser vista como una medida de la seguridad del talud contra el deslizamiento. Si r = d, la reacción F es tangente al círculo de fricción y r /d — 1. Si d — 0, el factor de seguridad definido arriba es infinito. El circulo más cri tico es aquel en el que: f — j — mínimo (2-a.7) « Y dicho círculo debe ser encontrado por tanteos. El valor de la relación r /d no debe ser menor que 1 para ningún círculo posible para que el terraplén sea considerado estable. Nótese que en el análisis an terior no se han tomado en cuenta las fuerzas de filtración cuyo efecto puede ser importante y que pueden considerarse como se describió en el cuerpo de este capítulo. Si se coloca un filtro en la superficie de contacto entre el terra plén y el terreno de cimentación impermeable, todas las lineas de flujo se hacen verticales y las equipotenciales horizontales, como se ve en la parte d ) de la fig. II-a.2. Así, las presiones neutrales son cero en cualquier punto de la masa del talud, con lo que la presencia del filtro evita que el flujo tras la lluvia reduzca la estabilidad del terra plén, siendo ésta, sin duda, la más sencilla, eficaz y económica ma nera de lograr tal fin. El método arriba descrito puede también usarse en forma idéntica para calcular la estabilidad de una presa de material arenoso, o con muy baja cohesión, cuando está sujeta a un flujo proveniente de la infiltración del agua almacenada. Sin embargo, el método impone im plícitamente que el contenido de agua se adapta instantáneamente a cualquier cambio en el estado de esfuerzos en el terraplén, por lo que no puede usarse en terraplenes o presas construidos con materiales relativamente impermeables o arcillosos.
ANEXO Il-b Efectos del flojo en la estabilidad de una tablestaca anclada En el Anexo IV -k del Volumen II se dieron los lincamientos ge nerales para tomar en cuenta el efecto de las fuerzas de filtración debidas al flujo de agua en las tablestacas ancladas. La red de flujo en ese caso se construye con los métodos dados en el cuerpo de este capítulo (de hecho será, en general, similar a la del caso a ) de la fig.
62
C A PITU LO II
II-3 en él presentada) y las fuerzas de filtración, presiones hidrodi námicas, etc., se calcularán como ya también quedó dicho. Sin embargo, en este anexo se desea tratar dos casos especiales de importancia práctica, el primero de los cuales es el que se tiene cuando el relleno tras la tablestaca se satura rápidamente, por ejem plo a causa de una lluvia intensa. Si la tablestaca es relativamente permeable y posee juntas abier tas, agujeros u otras particularidades que faciliten la salida del agua a su través, la saturación rápida del relleno provocará, en general, un incremento del empuje activo en la parte superior, pero no contri buirá a reducir la resistencia pasiva en el suelo que queda en la parte exterior de la estructura. Si, por el contrario, la tablestaca es franca mente impermeable, con juntas selladas, el efecto de la saturación rápida es un flujo bajo la tablestaca procedente del relleno y hacia el suelo que detiene a la estructura en su frente. Un caso como este es el que ilustra la fig. II-b .l.
FIG. II-b.l. Efecto del flujo debido a una lluvia Intensa sobre una tablestaca anclada
Antes de la rápida saturación por lluvia, se supondrá que el nivel freático estaba situado en la línea de. La red de flujo de la figura in dica las condiciones de flujo producidas por una lluvia intensa caída en el relleno de la tablestaca; la red está construida bajo la hipótesis de que la permeabilidad del terreno de cimentación es la del relleno y que la tablestaca es totalmente impermeable. La resistencia al esfuerzo cortante del suelo es: s = (
MECANICA D E SU ELO S (III)
63
cía de la arena contra la presión producida por la parte baja de la misma. En la fig. II-b.l se ilustra gráficamente el cálculo de u en dos puntos del relleno; la presión neutral en esos dos puntos vale respec tivamente Ui y u2Si ne es el número de caídas de potencial en la red, la pérdida de carga entre dos equipotenciales sucesivas es:
Así, el punto d , tiene una carga de presión igual a z, — 2 Ah. El esfuerzo neutral en d, es entonces: u, = YwUt — 2 Ah)
En <¿2 el esfuerzo neutral es entonces: «2 =
— 2 Ah)
Así, pueden determinarse las presiones neutrales a lo largo de cualquier línea en la región de flujo plana; concretamente pueden de terminarse a lo largo de la traza de la superficie de deslizamiento hipotética dbc. En definitiva, la reducción del factor de seguridad de la tablestaca puede obtenerse haciendo uso de los métodos expues tos en el Capítulo IV del Volumen II (Anexo IV -k ), combinándose con los métodos que aparecen en el párrafo II-8. En la fig. II-b.2 se presenta el otro caso de interés práctico. Se trata ahora de una tablestaca construida en un frente costero, en un mar en que ocurren fuertes desniveles por marea.
FIG. Il-b.2. Tablestaca expuesta a la acción de las mareas
64
C A PITU LO II
Cuando la marca sube, el agua fluye del mar hada el relleno, pasando bajo la tablestaca; este flujo aumenta la resistencia pasiva de la arena delante de la tablestaca e incrementa el factor de segu ridad de ésta. Cuando la marea baja tiene lugar el fenómeno inverso y a este último se refiere la fig. II-b.2; éste aumenta la presión activa en la parte superior de la tablestaca y disminuye la resistencia pa siva en la parte inferior y exterior de la misma. Ninguna tablestaca deberá construirse sin analizar el efecto de estos flujos de agua debidos a fenómenos transitorios; como quiera que el efecto de estos fenómenos depende de la estratificación y de los coeficientes de permeabilidad del relleno y del terreno natural, además de otros factores ninguno de los cuales puede determinarse con absoluta seguridad, lo más conveniente es efectuar los análisis para las condiciones más desfavorables compatibles con los resultados de una buena exploración. En otros muchos casos el efecto nocivo de la saturación del relleno por lluvia fuerte o del desnivel de mareas pueden eliminarse con buenas precauciones de drenaje, análogas a ias presentadas en la fig. 11-11 del cuerpo de este capítulo para un muro de retención.
ANEXO II-c Flujo de agua a través de suelos estratificados Se trata de resolver el problema del flujo de agua a través de formaciones estratificadas constituidas por estratos de espesor im portante. El análisis se hará para un sistema de dos estratos, si bien lo que en él se dice es aplicable a un mayor número de ellos.
FIG. Il-e. I . Red de flujo en un sistema de dos estrafos de diferentes permeabilidades
MECANICA D E SU ELO S (III)
65
Considérese el caso de la fig. II-c.l en el que se han supuesto dos estratos de permeabilidades k-¡ y k 2, relacionadas de modo que Atí = 3k2 y de espesores iguales a D J 4, siendo D el ancho de una estructura cualquiera a la que subyacen ambos estratos. El problema ha de resolverse trazando la red de flujo en ambos es tratos. Puesto que fci = 3/c2, si se dibuja una red de cuadrados en el estrato II, se tendrá correspondientemente una red de rectángu los en el estrato I, con relación largo a ancho precisamente igual a 3 ( el largo deberá medirse en la dirección del flujo); ello es debido al hecho de que a todos los demás elementos que inter vienen en el flujo constan te, si ha de conservarse el mismo gasto por canal, éste deberá reducirse en área en la relación en que aumen te la permeabilidad, pues el aumento de ésta trae con sigo el crecimiento de la ve locidad en la misma propor ción. La red de flujo debe cum plir una serie de condicio nes especiales cuand o las líneas de flujo y las equipo tenciales cruzan la frontera entre los estratos ( condicio nes de transferencia). Estas condiciones son en todo si milares a las leyes de la re fracción del rayo luminoso y deberán ser e stu d iad as antes de proseguir con el FIG. Il-c.2. Condiciones de transferencia de li neas de flujo y equipotenciales trazo de la red de flujo co rrespondiente a la fig. II-c .l. En la fig. II-c.2 aparece detallado el caso de transferencia de una red en la vecindad de la frontera separadora entre dos estratos di ferentes. Si se llama a al ángulo agudo con que llegan las líneas de flujo a la frontera en el estrato 1 y 3 al ángulo agudo con que salen al estrato II, podrá escribirse observando el segmento Im lm Mecánica de Suelos III
—
eos a
eos 3
( 2 - c .l)
66
CA PITU LO II
y observando el segmento m n : m n = —:
sena
~ sen p
(2-c.2)
dividiendo la expresión 2 -c .l entre la 2-C.2, se obtiene:
sen g _ £_ sen ¡} eos a ~ b eos P es decir que b
— =
c
tg P tg a
( 2 -c .3 )
Por otra parte, por continuidad de gasto en los canales de ambos lados de la red, podrá escribirse: * _ / AA , Ah , A q = «i — a = k 2— ¿
de donde
£ =7
<2'c «>
Expresión que justifica algebráicamente el razonamiento anterior sobre la proporción de los lados de los rectángulos en el estrato II. en relación a las respectivas permeabilidades de losestratos. Si se pasa de un medio a otro más permeable, loscuadrados de la red del primer medio sealargan en el segundo medio en la direccióndel flujo, de manera que su relación largo a ancho es igual a larelación permeabilidad del segundo medio a la del primero. Substituyendo la expresión 2-C.4 en la (2 -C .3 ), se obtiene que:
<2- 5> que es la ley de transferencia que deben cumplir las líneas de flujo al cruzar la frontera y por extensión las equipotenciales, normales a las anteriores a ambos lados de dicha frontera, cumplen una ley recíproca de la (2-c.5), según puede demostrarse con facilidad. Para trazar la red de flujo de la fig. II-c .l, puede en definitiva procederse como sigue: como quiera que es más conveniente tener los rectángulos con el lado largo en la dirección del flujo, se debe escoger el estrato II como zona en que la red sea de cuadrados: automáticamente, en este caso en el estrato I la red es de rectángulos 3 :1 ; la red puede comenzar a trazarse en el estrato I y quizá se simplifica el dibujo si se procede del centro hacia las orillas, ya que al centro las líneas de flujo son casi rectas horizontales: en esas con diciones un cierto número de líneas cortarán a la frontera, donde deben cumplir las condiciones de transferencia: debe trazarse ahora la red de cuadrados en el estrato II, de modo que se corresponda
MECANICA D E SU E L O S (III)
67
con la del estrato I. Un punto es importante al seguir este procedi miento: la red en el estrato I se debe trazar simultáneamente con la red en el estrato II, de manera de ir tomando en cuenta desde el prin cipio que la existencia de dicho estrato II influye en la forma de la red en el estrato I y viceversa; especial cuidado debe tenerse cuando un cuadrado de la red caiga parte en el estrato I y parte en el II, pues en este caso las dos partes deben complementarse siguiendo las reglas generales expuestas; por ejemplo, si medio canal cae en el estrato II, su complemento en el estrato I será un rectángulo del mismo largo, pero de ancho igual a la sexta parte de ese largo. En general, el trazo de este tipo de redes requiere experiencia y afinamientos sucesivos cuidadosos, hasta llegar a una solución razonable. En la fig. II-c.3 se presenta otro caso, similar al ya visto en la primera figura de este anexo, pero con los estratos I y II en posición in vertida.
FIG. Il-c.3.
O tra red d e flu
¡o
en suelos estratificados
En este segundo caso puede buscarse una primera aproximación considerando en el estrato II un espesor igual al triple del que tiene realmente; la red trazada en esa zona de flujo distorsionada constituye un buen arranque; después de trazada, deberá reducirse en tres tantos toda la escala vertical en el estrato II y la parte de la red que cae en el; así se obtiene una red susceptible de resolver el problema, previas todas las afinaciones necesarias para cumplir con todas las condiciones expuestas.
REFERENCIAS 1.
Cnsagrande, A. — S e c p a q e throuqh D am s — Contributions to Soil Mechanics — Boston Society of Civil Engineers — 1925-1940 — Boston, Mass.
68
CA PITU LO II
2. Terzaghi, K. — T h eo cetical S o il M ech am os ■ — Art. 94 — John W iley and Sons Inc. - 1956. 3. Terzaghi, K. — E ffe c t o f th e T y p e o f D rain ag e o f R etaining W a lls on the E arth P ressu re — Memorias del Primer Congreso Internacional de M ecánica de Suelos y Cimentaciones — V ol. 1 — Cambridge, Mass. — 1936. 4. Taylor, D. W . — Fu ndam entáis o { S o il M ech am os — Sección 16-28 — John W iley and Sons, Inc. — 1956. 5. Terzaghi, K. — T h eo retica l S o il M echam os — Artículo 93 — John W ile y and Sons, Inc. — 1956. 6. Guerrero T „ J — Fu erzas d e filtración en presas d e tierra — Primer Congreso Panamericano de M ecánica de Suelos y Cimentaciones V ol. II — M éxico D . F . - 1959.
BIBLIOGRAFIA S e e p a g e through D am s — A. Casagrande — Contributions to Soil Mechanics — Boston Society of Civil Engineers — 1925-1940 — Boston, Mass. T h eo retica l S o il M echan ics — K. Terzaghi — John W ile y and Sons, Inc. — 1956, Fundam entáis o f S o il M echan ics — D. W . T aylo r — John W iley and Sons, Inc. — 1956. P rincipies o f S oil M ech an ics — R. F . Scott — Addison W esley — 1963. C rou n dw ater and S e e p a g e — M . S . Harr — Me Graw Hill Co. — 1962.
CA PITU LO III
FLUJO DE AGUA A TRAVES DE PRESAS DE TIERRA III-l. Introducción El flujo de agua a través de presas de tierra constituye uno de los casos de mayor importancia en la aplicación de la teoría del flujo de agua a los problemas prácticos; ello se debe tanto a la importancia que la presa tiene en sí, como estructura, como al hecho de que en este caso el problema del flujo presenta características especiales a las que ha de dedicarse estudio también especial para poder llegar a soluciones apropiadas. Desde luego, la presa de tierra es en muchos sentidos una región de flujo como otra cualquiera; trazando su red de flujo para las con diciones de frontera que se tengan se podrá calcular el gasto de filtra ción, los gradientes hidráulicos, las velocidades del agua en cualquier punto, las presiones hidrodinámicas, las fuerzas de filtración, etc., siguiendo los métodos establecidos en el Capítulo La particularidad del problema del flujo a través de presas radica no en todo lo ante rior, sino en el hecho de que son necesarios métodos especiales precisamente para lograr trazar la red de flujo. La razón de esto es sencilla: en la región de flujo que es la presa de tierra no se conoce a priori una de las fronteras, de modo que no se satisface el prerequisito básico para resolver sencillamente el problema, que es, como ya se dijo, el conocimiento de todas las fronteras de la región, para el trazo de la red de flujo. En efecto, sea la presa de tierra de la fig. supuesta de material homogéneo e isótropo. La línea 1-2 es una línea equipotencial, contacto entre suelo permeable y agua; la línea 1-3, contacto entre una frontera impermea ble y el material permeable de la cortina, es una línea de flujo. Estas dos fronteras pueden definirse sencillamente, pero no las restantes de la región; intuitivamente puede razonarse que debe existir una línea de flujo como la 2-4, abajo de la cual la cortina se satura por el agua que fluye a su través y arriba de la cual, descontando una estrecha franja saturada por capilaridad, el suelo permanece seco. Sin embargo, la forma de esa línea de flujo 2-4 no se conoce a priori y la posición del punto 4, tampoco. La línea de flujo 2-4, que limita la zona de flujo dentro de la presa, recibe el nombre de línea de corriente superior y ha de ser, por lo menos, aproximadamente determinada 69
II.
III-l,
70
CAPITULO III
para poder trazar la red de flujo, cuyas características, a su vez. in fluyen en su compleja determinación. Algo similar puede decirse de la línea 4-3, abierta al aire, que está definida por la posición del punto 4.
IM P E R M E A B L E
FIG. Ill-I
Condiciones de frontero en el problema del flujo de agua a través de una presa de tierra
La línea de corriente superior no sólo es linea de flujo, sino que también es línea equipresión, en la que todos los puntos tienen la presión cero (o atmosférica, en la escala absoluta de presiones); este hecho se ve de inmediato simplemente reflexionando que si el agua estuviese a mayor presión en un punto dado de la línea en cuestión, subiría más, de modo que el punto no sería ya de la línea de corrien te superior, contra la hipótesis de partida. Entonces en la línea de corriente superior se cumplirán no sólo las propiedades de las líneas de flujo, sino también las de las líneas equipresión, es decir, por ejemplo, las líneas equipotenciales cortarán a la línea de corriente superior a intervalos verticales iguales entre sí, e iguales al intervalo h de la red, tal como se demostró en el Capítulo La misma propiedad ha de cumplirse a lo largo de la línea 4-3, que también es obviamente equipresión, por estar abierta al aire. Ahora, se atacará en primer lugar el problema de la determina ción aproximada de la línea de corriente superior, paso previo nece sario para el trazo de la red de flujo.
A
II.
m-2. Condiciones generales de entrada y salida de la línea de corriente superior La forma en que la línea de corriente superior debe de entrar en el material permeable de la presa de tierra en estudio, puede determi narse fácilmente a partir del hecho de que la superficie de entrada 1-2 es una línea equipotencial (fig. I I I - l ) , en tanto que la línea de corriente superior lo es de flujo; por lo tanto, la línea en cuestión debe de entrar en la presa formando precisamente el ángulo de 90° con la superficie 1-2. La entrada de la línea de corriente superior puede, sin embargo, ocurrir en la presa de un modo diferente cuando el talud aguas arriba de la presa está invertido (a > 9 0 °), según se muestra en la parte c) de la fig.
III-2.
MECANICA D E SU ELO S (III)
FIG. 111-2 Condiciones
71
de entrada de la linea de corriente su perior en la presa de tierra
Para deducir la condición de entrada en este último caso, consi dérese la velocidad del agua en un punto cualquiera de la línea de corriente superior; dicha velocidad vale, con referencia a la parte d ) de la fig. III-2: v ~ k i —i
As
= k sen a
(3-1)
Incidentalmente cabe hacer notar que de acuerdo con esta expre sión, la velocidad'del agua en la línea de corriente superior está siempre comprendida entre 0 y A:. De acuerdo con la expresión 3-1, la velocidad de entrada del agua en el caso a) de la figura vale: v — k sen (90 — a ) = k eos a
(3-2)
y en el caso b) u = 0 (punto singular). En el caso c) la velocidad de entrada del agua será; v — 0, si la línea de corriente superior entra horizontalmente (
72
CAPITULO in
de que esta línea de corriente superior entre normalmente al para mento está descartada, pues ello indicaría un flujo de agua en la linea de corriente superior hacia arriba, contra la gravedad, cosa que es imposible. Cabe recalcar que la velocidad del agua de que se ha venido hablando es la velocidad de descarga; la velocidad de filtración con la que avanza una gota determinada estaría dada, según se explicó en el Capítulo IX del Volumen I, por:
.
Vi 1+ e vf = T = ~ ^ ~ Vi
(3 -3 >
En la fig. III-2 aparecen gráficamente expuestas todas las condi ciones de entrada de que se ha venido hablando. Las condiciones de salida de la línea de corriente superior, o sea el ángulo con que dicha línea intercepta al talud aguas abajo de la presa en el punto 4 (fig. III-l ), dependen del ángulo que dicho talud forma con la horizontal. Es fácil demostrar y ello se hará a continuación, que cuando ese ángulo es menor o igual que 90°, como sucede con el a de la fig. III— 1, la línea de corriente superior debe salir tangente al talud aguas abajo, siendo el punto de tan gencia el 4. En efecto, considérese la zona de salida de la linea de corriente superior, tal como aparece en la fig. III-3.
FIG. 111-3 Estudia
de la condición de salida de la linea de corriente superior para
a < 90°
Se admitirá en principio que la línea de corriente superior no es tangente al talud aguas abajo de la presa, sino que sale formando un ángulo 0 con él. Entonces puede calcularse el valor de Ahí, que resulta ser: Aha — a sen (a — 0)
MECANICA D E SU ELO S (III)
73
Y él de AA2, que podrá calcularse (véase el segmento a = mn de la fig. III-2) como sigue: m4 = y por lo tanto
m n
eos 3
eos 3
Ah2 — m 4 ■cos(90-a) —
eos 3
sen a
Según ya se demostró debe tenerse que Ahí = Ah2
por lo tanto
sen (a — 3) =
COS 3
sen a
Para cualquier valor de 3 > 0 se tiene evidentemente que sen ( a — 3) < sen a sen a > sen a eos 3 Luego la igualdad anterior no es posible para ningún valor de 3 > 0 y sólo puede cumplirse, y junto con ella la condición de igual dad de las caídas Ah, para 3 = 0. con lo que la línea de corriente superior debe salir tangente al talud aguas abajo, como se quería demostrar. Si el talud aguas abajo de la presa de tierra es vertical ( a = 9 0 °), la condición de salida estudiada arriba se sique cumpliendo (fig. III-4 ).
«< 90
a).
FIG. 111—4 Condiciones
de salida de ¡a linea de corriente superior en presas de tierra
Si el talud aguas abajo es invertido (
74
CAPITULO III
mente el que la red de flujo sea de cuadrados y que se cumpla la condición de igualdad de las caídas de potencial Ah en las líneas equipotenciales sucesivas, arriba y abajo del punto de salida. La afir mación anterior no se demostrará y esta labor se deja como ejercicio al lector. En la fig. se ilustran las condiciones de salida para los diferentes casos que se han venido discutiendo. Las condiciones anteriores han sido frecuentemente mal interpre tadas por los ingenieros de campo y por los que realizan experiencias de laboratorio, quienes muchas veces han reportado que no se cum plen debidamente. La mayor parte de las veces ello es debido al efecto capilar que hace que se confunda la línea de corriente superior con la línea de saturación del suelo, que comprende la zona capilar y que no está sujeta a las reglas anteriores.
III-4,
III-3. La Teoría de Dupuit El problema de determinar la posición de la línea de corriente superior dentro de una presa de tierra, cuya solución ahora se inicia, es de los que caen en el grupo denominado de flujo no confinado, por estar la región de flujo no completamente determinada a priori; la frontera faltante es precisamente la línea de corriente superior, que es la traza de una superficie a la presión atmosférica (superficie libre). El otro tipo de problemas de flujo, en que todas las fronteras de la región son conocidas a priori, se llama de flujo confinado. En 1863, Dupuit1 estableció las bases para una solución aproxi mada que es históricamente la primera de que se dispuso para tratar problemas de flujo no confinado y de la que hoy se sigue haciendo uso, razón por la cual se expondrá brevemente, haciendo hincapié en sus hipótesis. Las hipótesis básicas de la Teoría de Dupuit son dos: 1.
2.
Que para pequeñas inclinaciones de la línea de corriente superior las líneas de flujo pueden considerarse horizontales y, consecuentemente, las líneas equipotenciales como verti cales. Que el gradiente hidráulico es igual a la pendiente de la línea de corriente superior en el punto de que se trate y es constante en cualquier punto de la vertical que se trace por aquél.
Aunque la naturaleza de estas hipótesis aparece hasta cierto punto contradictoria, la Teoría de Dupuit proporciona soluciones muy satisfactorias para algunos problemas de flujo no confinado.
MECANICA DE SU ELO S (III)
75
Se recuerda que, por definición, el potencial de velocidad <¡>{x, y ) vale en el flujo bidimensional: tl>(x, y) = — kh + c de donde puede escribirse, tomando un plano de referencia apro piado: y ) = ~ k ( y + -2- ) (3-4) \ y» / teniendo las letras de la ec. 3-4 los sentidos usuales. Considerando a laatmosférica como origen de la escala de pre siones (p — 0 ), en lalínea de corriente superior h (x, y ) = y. y: 4>(x, y) — — k y
(3-5)
Si la línea de corriente superior tiene pequeña inclinación, la altura de todos sus puntos variará poco de un valor medio y y desarrollando h = f { x , y ) en serie de Taylor, se tendrá: h [ x ,y ) =
h ( x ,y ) + í ~ ) _ ( y - y ) +■■■ \0y Jy = lj
(3-6)
En virtud de que se admite que la linea de corriente superior es poco inclinada, el segundo término del segundo miembro de la expresión 3-6 es despreciable, pues contiene como factores al gradien te hidráulico en la dirección vertical y la diferencia y — ~y, cantidades ambas que son chicas bajo la hipótesis en consideración. Por lo tanto: h (x , y ) — h (x , y)
(3-7)
Por ser constante y, la función h (x, u) depende sólo de la varia ble *. Por ello: h (x , y) — h (x ) =■ h
(3-8)
Se ve entonces que la carga hidráulica h es sólo función de x y, por lotanto, tiene que ser la misma e igual a la elevación de la línea decorriente superior en puntos de unamismavertical, de mane ra que las verticales son líneas equipotenciales, con lo que se ve que es matemáticamente admisible la primera hipótesis de Dupuit. Al mismo tiempo la ec. 3-8 indica que el gradiente hidráulico es el mismo en todos los puntos de cualquier vertical (para visualizar esto último basta considerar dos verticales próximas entre las que la caída de carga es constante en la misma distancia horizontal), con lo que queda visto que también es matemáticamente admisible la segunda hipótesis de Dupuit. Así se ve que las hipótesis de Dupuit, en lo que se refiere a la posibilidad de su aplicación práctica, dependen en su grado de vali
76
CAMTULO m
dez en gran manera de la inclinación de la línea de corriente superior. Con base en las hipótesis de Dupuit se obtendrá ahora una importante relación útil para el estudio de varios problemas de flujo no confinado. Considérese el elemento de la fig. III-5, sujeto a un flujo bidimensional. La base de ese elemento es d x y su altura es h, carga hidráulica total en los puntos de la línea de corriente superior, que limita superiormente al elemento. La velocidad del agua que cruza el elemento va le, según las hipótesis de Dupuit: , dh v’ = - k T , Y el gasto a través de la cara izquierda del elemento será, por unidad de ancho
FIG. 111-5 Aplicación
de la teoría de Dupuit a un flujo bidimensional
qr =
d x jt
En la cara de la derecha, el gasto será:
=-
k (h
f x+dx
Por continuidad debe tenerse: Qx
—
tyx+dx
*
tyx+dx
tyr
—
0
o sea
de donde dx)
(3-8)
Lo anterior puede también escribirse como:
í b {h') - <>
(3-9)
según puede verificarse simplemente derivando la ec, 3-8 y la (3-9) para obtener el mismo resultado. La (3-9) es la importante relación
MECANICA DE SUELOS (III)
77
que se deseaba obtener y demuestra que, bajo todas hipótesis consi deradas en los análisis teóricos de los problemas de flujo, más las de Dupuit, la función h- es armónica. En flujo tridimensional puede demostrarse en forma similar que la función h 2 satisface la relación: c 2(h 2
02(/i2)
= v-/r = 0 (3-10) dx2 La (3-10) fue en primer lugar obtenida por Forchheimer2, si bien el trata miento aquí seguido corres ponde más bien a uno extraído de la ref. 3, con base en un trabajo de Polibarinova-Kochina4. Con base en la fórmula 3-9 de flujo bidimensional es factible encontrar el gas to que pasa bajo una línea de corriente superior, que en su recorrido de proyec ción horizontal L, varía des FIG. 111-6 Gasto de flujo bidimensional bajo una linea de corriente superior de una altura h, hasta otra h2 (fig. III-6). La integración de la fórmula 3-9 da, para este caso: +
y
h2 — A x + B
donde A y B son constantes. Las condiciones de frontera del problema son (fig. III-6 ): Para x = 0 h = h, Para x — L
h ~ h2
Tomando esto en cuenta, la ec. 3-11 conduce a:
B = h,2 Llevando estos valores a la ec. 3-11, se obtiene: h2 =
J x + h\
13- 11)
78
CAPITULO in
de donde
El gasto q, por unidad de ancho bajo la línea de corriente supe rior, será, según se obtuvo más arriba: (3-13) Resolviendo la anterior ecuación, se obtiene: qx = — k - y + C Con la primera condición de frontera del caso analizado, se deduce:
de donde
Y con la segunda condición de frontera se obtiene finalmente: (3-14) La ec. 3-M tiene gran aplicación práctica en los problemas para cuya solución se utiliza la Teoría de Dupuit. Recibe el nombre de Fórmula de Dupuit. Finalmente, es interesante investigar las magnitudes de las veloci dades verticales que se han supuesto despreciables en la Teoría de Dupuit. Para ello puede partirse de la ecuación de continuidad en flujo bidimensional: fox dx
8ty _ q dy
Integrando con respecto a y y considerando que en la Teoría de Dupuit para flujo bidimensional vx es función sólo de x e igual a:
se obtiene: y d-h
79
MECANICA D E SU ELO S (III)
Como drh /d x - no es función de y, la integral anterior conduce a: =
(3-15)
I
De la ec. 3-13 se deduce que: dh _ dx '
kh
entonces d-h _ q dh dx" ~ kh- dx
= ~ 2 _ (_ S .)
kh- V
kh)
= k2Ir
Substituyendo este valor en la expresión 3-15 se obtiene: (3-16) de donde puede verse que la velocidad vertical vv está dirigida hacia abajo y es proporcional a la ordenada y del punto considerado. Para el caso de la línea de corriente superior, en que y — h se obtiene: 3L kh-
—
fe )'
(3-17)
Una aplicación práctica de la (3-14) que es bastante popular por los buenos resultados que se obtienen de ella, cuando se LINEA DE CORRIENTE SUPERIOR SEGUN DUPUITL le compara con otras solu ciones más exactas, es la que se expone a continua ción. Considérese un dique de paramentos verticales que almacena una masa de agua, tal como se ilustra en la fig. III-7. Para este caso particular Dupuit consideró la hipóte sis de que h2 — 0, es decir que el punto de salida de la FIG. |l|-7 Aplicación de la fórmula de Dupuit al coso mostrado línea de corriente superior ocurre en la base del para mento exterior. Con esta hipótesis (3-14) se reduce a
80
CAPITULO III
Debe hacerse notar que este caso particular no satisface las con diciones de que la línea de corriente superior sea de pequeña pendiente en toda su longitud y que la hipótesis de que h 2 — 0 es hasta cierto punto inadmisible, pues h-¿ debe ser diferente de cero para permitir la salida del gasto q. Sin embargo, a pesar de estas graves objeciones, se ha encontrado en la experiencia que para el caso particular seña lado, la fórmula 3-18 da sorprendentemente muy buenas estimaciones del gasto real en diques cuya sección es rectangular, como la mos trada en la ya citada fig. III-7. En el Anexo Ill-a se incluyen algunas otras aplicaciones de interés de la Teoría de Dupuit.
III-4. Solución de Schaffemak y Van Iterson para la línea de corriente superior en una presa de tierra El primer método aproximado para conocer la forma de la línea de corriente superior y el gasto en una presa de sección homogénea o en el corazón impermeable de otra de sección diferente, fue pre sentado simultáneamente por Schaffernak7 y Van Iterson8. El método descansa en las recién analizadas hipótesis de Dupuit, pero toma en consideración hasta cierto punto las condiciones de entrada y salida de la línea de corriente superior que se discutieron en un lugar ante rior de este capítulo. Considérese la presa de la fig. III-8.
FIG. 111-8 Solución de Schaffernak y Van Iterson, para CL
Se supondrá, en primer lugar, que se conoce un punto de la linea de corriente superior; este punto será el M , de coordenadas (d, h) consideradas conocidas. La posición de este punto podrá parecer rara al lector, en vista de lo lógico que a primera vista sería pensar que el punto conocido fuera precisamente el 2 de la fig. III-8; sin embargo, se justificará posteriormente que, de hecho, el escoger el punto M en vez del 2 conduce a la obtención final de una línea de corriente superior más real.
MECANICA DE SUELOS (III)
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La posición de M puede fijarse siguiendo una regla propuesta por A. Casagrande9, según la cual el punto M está en el nivel del agua tras la presa y a una distancia de la proyección horizontal del punto 2 igual a 0.3 m, donde m es la dimensión que se señala en la fig. 111-8. Tomando como base las hipótesis de Dupuit, el gasto en cualquier sección vertical bajo la línea de corriente superior, de altura y y posición x, será: q = kyg
(3-19)
integrando esta ecuación se obtiene: qx — k ~ + C
(3-20)
que proporciona la ecuación de la línea de corriente superior e indi ca que ésta es una parábola. La constante C de integración puede obtenerse manejando las coordenadas del punto conocido, por el que pasa la parábola. Si jc = d,
y = h.
de donde C — qd
khz
(3-21)
Substituyendo el valor de C en la (3-20) se obtiene como ecua ción de la línea de corriente superior: q (d -x )= k ^ £ -
(3-22)
La línea de corriente superior debe salir tangente al talud aguas abajo en el punto 4. Se denominará a a la distancia 3-4, medida sobre dicho talud. Entonces, para la sección vertical por 4 se tiene: x — a eos a y — a sen a Además, en 4 el gradiente hidráulico vale, según Dupuit: i = tg a El gasto en la sección vertical que pasa por 4 estará dado por la expresión: q — k a sen a tg a Mecánica de Suelos III
(3-23)
82
CA PITU LO III
La ec. 3-23 permitiría calcular el gasto a través de la presa a condición de conocer el valor de a; esta ecuación es denominada la fórmula de la tangente. Llevada a la (3-22) permite escribir: y-
k a sen a tg
(3-24)
Para obtener el valor de a basta ahora substituir en la (3-24) la condición de que la línea de corriente superior pasa por el punto 4. Entonces: a sen a tg a (d — a eos a ) =
Ir —- a 2 sen2 a
(3-25)
Operando, se llega a: "> o a- — 2
fr d . a + = 0 sen- a eos a
(3-26)
Resolviendo la ec. 3-26 para a y eliminando la solución con radi cando positivo, por ser obviamente absurda desde el punto de vista físico, se obtiene para a: = — eos a
d2 \/ieos- a
h2 sen- a
(3-27)
La ec. 3-27 permite calcular el valor de a y situar, por lo tanto, al punto 4 de salida de la línea de corriente superior. Este valor sustituido en la (3-23) permite calcular el gasto de filtración a través de la presa de tierra sin necesidad de trazar su red de flujo. La fórmula de la tangente, basada en las hipótesis de Dupuit, solo da buenos resultados cuando la línea de corriente superior es
FIG. 111-9 Construcción gráfica para obtener el valor de a en el método de Sehaffernak-Van Iterson
83
MECANICA DE SU ELO S (III)
bastante tendida, lo cual en la práctica sólo se cumple para valores del ángulo a no muy grandes. A. Casagrande recomienda que sola mente se utilice en aquellos casos en que a < 30°. La (3-27) tiene una solución gráfica sencilla que conviene men cionar a título ilustrativo; dicha solución puede desarrollarse con base en la fig. III-9. En relación al talud de aguas abajo de la presa debe situarse al punto de coordenadas conocidas M , cuyas proyecciones sobre dicho talud son los puntos A y C. Con diámetro C-3 se traza el semicírculo mostrado: eos a Con radio A-3 y centro en 3 se traza el arco AD , que sitúa al punto D sobre el semicírculo; debe notarse que: D^3 = ~AA = — — sen a Con centro en C y radio C D debe trazarse el arco D-4, que sitúa al punto 4 sobre el talud de la presa; en efecto:
C-4 = CD = V(C-3)- - ( D - 3 ) - = V - 4 1
1 cos~ a
K-
sen- a
por lo tanto: a = 5 3 = (C -3) — (C -4) = — ----- V - í ----------- —^— eos a eos- a sen- a que es la fórmula 3-27 Conocidos los puntos M y 4 puede trazarse la parábola dada por la ec. 3-23, para tener así dibujada la línea de corriente superior (véase fig. III-8 ), lo cual presenta interés práctico si se desea trazar la red de flujo en la región en que se infiltra el agua, todas cuyas fronteras quedan así bien definidas; este trazo tiene interés si se de sean calcular subpresiones, velocidades, fuerzas de filtración, etc., en cualquier punto de la región de flujo. Nótese que la parábola así trazada pasa bajo el punto 2, que in discutiblemente tiene que ser el punto de entrada de la línea de corriente superior. A. Casagrande recomienda hacer a ojo una correc ción en esta zona, de manera de cumplir con la condición de entrada de la línea de corriente superior, que debe ser normal !en 2 al talud de aguas arriba de la presa. Esta corrección se ha hecho en la fiq. III-8.
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CAPITULO DI
ÜI-5. Solución de L. Casagrande para la linea de corriente supe rior en una presa de tierra, a < 60° Leo Casagrande10 propuso un método que mejora al presentado en la sección III-4, en el que además de tomarse en cuenta las con diciones de entrada y de salida de la línea de corriente superior, se substituye el gradiente supuesto por las hipótesis de Dupuit, numé ricamente igual a la pendiente de la linea de corriente superior (ver fig. 111-10):
por el valor real de dicho concepto: d„
FIG. 111-10 El gradiente hidráulico en la linea de corriente superior
(3-28) Sin embargo, L. Casagrande sigue conservando la hipótesis de que este gra diente es constante a lo lar go de todos los puntos de una vertical. De acuerdo con esta su posición ( fig. III-8 ), el gas to en una sección vertical y vale: q = ky&
(3-29)
integrando, se obtiene: qs = k ^ - + C
(3-30)
Suponiendo conocido el punto M (d, h ), lo cual también es un prerequisito indispensable para aplicar esta solución y suponiendo también que se dispone de la distancia s0 sobre la línea de corriente superior correspondiente a ese punto, puede calcularse la constante C de la (3 -30); en efecto:
MECANICA DE SUELOS (III)
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de donde C = q s0- k ~
(3-31)
Substituyendo este valor en la (3-30) se obtiene: 2~ ~
q {s 0 — s) = k
(3-32)
que es la ecuación que se encuentra en este caso para la línea de corriente superior. Considerando ahora la sección vertical que pasa por 4 y calcu lando el gasto a través de ella, se tiene: q = k a sen2 a
(3-33)
Pues el gradiente en 4 es ahora i = sen a. La fórmula 3-33, denominada la fórmula del seno, permite calcular el gasto a través de la presa sin necesidad del trazo de la red de flujo, a condición de conocer el valor de a. Para obtener este valor se tiene en cuenta una vez más el hecho de que la linea de corriente superior pasa por el punto 4, de coordenadas: y — a sen a. Entonces la ec. 3-32 podrá escribirse: , „ , , , h- — a2 sen2 a k a sen- a (s 0 — a) = k ^--------operando puede llegarse a:
a’ - 2 s"a + 3 ¿ ; = 0
(3 - 3 4 >
de donde es posible obtener para a: a = s0 — yjs0T
sen2 a
(3-35)
La (3-35) permite calcular el valor de a, que sitúa al punto 4 sobre el talud aguas abajo de la presa y permite utilizar la fórmula del seno. Parapoder calcular a se requiere, sinembargo,conocer s0, como se desprende de la (3-35) y este valor no puede calcularse a priori, pues no se conoce la línea de corriente superior para poderlo medir directamente. Casagrande recomienda calcular s0 como primera aproximación con la fórmula: s0 = y d 2 + hP
(3-36)
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CAPITULO III
Lo que es igual a decir que, en longitud, s0 es equivalente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados d y h, coordenadas del punto conocido. Para los casos prácticos en que el método estu diado es aplicable, los cuales se distinguirán más abajo, la fórmula 3-36 es una buena aproximación al valor de s0 que no requiere pos terior afinamiento; sin embargo, si se deseara trabajar con mayor precisión podría recurrirse a un procedimiento de aproximaciones su cesivas, dibujando la línea de corriente superior con base en el s0 obtenido de la fórmula 3-36 y midiendo allí el s0 resultante, con el que se procederá a una nueva determinación de la línea y obtención del nuevo s0. hasta que éste resulte igual al supuesto al comienzo de esa etapa del cálculo. L. Casagrande propuso en este caso una solución gráfica de la ec. 3-35, que se describe brevemente a continuación con base en la fig. I I I - l l, dejando su demostración como un ejercicio al lector.
FIG. MUI I Construcción gráfica de L. Casagrande para la de terminación de a
A partir del punto conocido M puede trazarse una horizontal que define al punto B. Con centro en B y radio M B puede obtenerse el punto C. Es obvio que, de un modo aproximado, la distancia 3C es una buena aproximación al valor de s0. Con diámetro 3C, trácese el semicírculo indicado en la figura. Con centro en 3 y radio 3B se debe trazar ahora el arco que define al punto D sobre el semi círculo mencionado; finalmente, un arco de centro en C y radio C D corta al talud de la presa precisamente en el punto 4, proporcionando así la distancia a. Se mencionó que el adoptar la pendiente de la línea de corriente superior como el gradiente hidráulico conduce a resultados poco sa
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
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tisfactorios para a > 30°. En cambio, la hipótesis de que el gradiente es constante en una vertical e igual a d y /d s que realizó L, C asagrande es satisfactoria para valores de a hasta 60° e inclusive arriba de 60°; de hecho, si se aceptan errores de 25 % , la hipótesis es apli cable hasta para valores de a de 90°. Ahora bien, el hecho de acep tar la fórmula 3-36 como valor de s0 es fuente de errores considera bles para valores de a mayores de 60°. Así, en resumen, para a < 30° la solución de L. Casagrande y la de Schaffernak-Van Iterson pueden usarse indistintamente con resultados muy parecidos; para 30° < a < 60° es aplicable la solución de L. Casagrande, que falla para mayores inclinaciones del talud si el valor de s0 se calcula con el método sencillo, sin recurrir a aproximaciones laboriosas. En realidad puede decirse que es recomendable no utilizar la so lución de L. Casagrande para a > 60°, calculando s0 con la expre sión 3-36 y más adelante se estudiarán otras soluciones sencillas para o > 60°. Si la solución de L. Casagrande se utiliza para a = 90° (con errores del orden del 25% , según se indicó), el valor de a, de acuer do con la fórmula 3-35, queda simplemente: a = y d 2 + h2 - cí
(3-37)
En la solución de L. Casagrande es preciso hacer la misma co rrección gráfica para satisfacer la condición de entrada de la línea de corriente superior que se hizo en el caso de la solución de Schaf fernak-Van Iterson.
III-6. Solución de Kozeny para la línea de corriente superior en una presa de tierra, a = 180° Alrededor de 1931, Kozeny11 propuso una solución rigurosa para el caso ilustrado en la fig. 111-12, común relativamente en presas de tierra y en el que el ángulo a tiene el valor de 180°. En este lugar sólo se darán las conclusiones finales a las que llegó Kozeny en su solución, según la que las familias de líneas de flujo y equipotenciales son dos familias de parábolas de mismo foco (pun to A ) ; la ecuación de la línea de corriente superior, referida a un sistema de ejes rectangulares con origen en el foco A es:
x = y__z_M± 2y o
(3_38)
donde y 0 es la ordenada en el origen de coordenadas de la línea de corriente superior. En la solución se supone otra vez un punto conocido M de coordenadas d y h, con lo cual se pueden encontrar las distancias a„ y y 0, con los sentidos anotados en la figura (nótese
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CAPITULO ra
E c u a c ió n d e l a
lin e a
DE CORRIENTE S I S E A R *
•
x=
2
^
*
r±
_______
{
ítt-i)
q =2K0rlf¥i FIG. 111-12 Solución de Kozeny para O. — 180°
que a 0 es la distancia a la que hasta este momento se vino llamando a: así* Bo = -^- = ~ ( V d 2 + h ? - d )
(3-39)
La relación entre a„ y y 0 que se anotó en la expresión 3-39 corres ponde a una conocida propiedad de la parábola; también es propie dad de esta cónica en este caso que su inclinación sobre el origen (x = 0, y = y o) es a 45° En esta solución, el gasto a través de la presa, por unidad de ancho de la sección dibujada en el papel, está dado por: q — 2 k ait = k ya
(3-40)
En la solución de Kozeny, por lo tanto, la línea de corriente su perior es una parábola que pasa por M y tiene su foco en A . La línea puede trazarse siguiendo alguno de los procedimientos gráficos simples que existen al efecto, por ejemplo, como el que se describe en el siguiente párrafo de este capítulo. La parábola de Kozeny ha sido denominada frecuentemente la Parábola Básica.
MECANICA D E SU ELO S (III)
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III-7. Solución de A. Casagrande para la línea de corriente superior en una presa de tierra. 60° < a < 180° A. Casagrande9 extendió la solución rigurosa de Kozeny de ma nera de llegar a soluciones aproximadas, pero de alto valor práctico, útiles para todos los casos en que el ángulo a tiene valores compren didos entre 60° y 180°. Su solución consiste, en esencia, en adoptar como primera aproximación para la forma de la línea de corriente superior la parábola básica de Kozeny, para corregir, como siguiente etapa, tanto la entrada como la salida de la tangente al talud aguas abajo, a fin de lograr que la línea que se traza satisfaga ambas con diciones. A fin de estar en condiciones de aplicar la solución de A. Casagrande se explicará, en primer lugar, una de las formas de trazar gráficamente, de manera sencilla, pero suficientemente aproximada, la parábola básica de Kozeny. Este método puede aplicarse también al trazo de cualquiera de las lineas de corriente superior de forma para bólica que se han venido obteniendo en las diferentes soluciones estudiadas hasta este momento. En la fig. III-I3 se plantea el problema de trazar una parábola que pase por el punto M y que tenga su foco en el punto A. La distancia a 0 puede cal cularse con la fórmula 3-39, con lo que se tiene el punto O. Por O puede trazarse una vertical hasta cortar a una horizontal trazada por el punto M . El segmento O B se divide en un cierto número de partes iguales y el segmento M B se divide también en el mismo núme ro de partes iguales (cuatro en la figura). Ahora de FIG. 111-13 Procedimiento gráfico para dibujar la berán trazarse por O rectas parábola básica de Kozeny que unan este punto con las divisiones realizadas en el segmento M B. Por las divisiones traza das sobre el segmento O B deben trazarse horizontales que intercepten al abanico de rectas que salen de 0, precisamente con la correspon dencia que se deduce de la fig. III-13. Dichas intersecciones son puntos de la parábola básica correspondiente al punto M y al foco A utilizados. La demostráción del método anterior sale fuera de los límites de esta obra y deberá verse en los textos especializados. La recomendación de A. Casagrande se aplicará con referencia a la fig. 111-14 y consiste en la extensión del uso de la parábola básica de Kozeny.
90
CAPITULO III
FIG. III-f4 Solución de A . Casagrande para la linea de corriente superior con 60°
Dada la sección con el ángulo a comprendido entre 60° y 180°, en este método se traza la parábola básica, colocando el foco de la curva en el punto A. La posición de O, punto de la parábola, se determina calculando la distancia a„ por medio de la fórmula 3-39. El siguiente paso consiste en trazar la parábola haciendo uso del procedimiento descrito en párrafos anteriores; ello requiere la deter minación previa del punto M . siguiendo la regla ya conocida. Una vez que se ha dibujado la parábola básica, el paso siguiente del método es establecer la posición del punto 4, por medio de la distan cia a. A. Casagrande, después de dibujar las redes de flujo para diferentes ángulos a comprendidos entre 60° y 180° y comparada la distancia a ' r a + Aa entre el pie del talud de aguas abajo y la intersección de la parábola básica y dicho talud con la correspondien te distancia a entre el pie del talud y el punto 4, encontró que existe una relación entre a y a', lo que permite obtener a conociendo a'. Esta relación expresada en la forma a/(a 4- A a) es la que aparece en la fig. III-15.
A N 6U L0
DEL
TA LU D
FIG. 111-15 Corrección de A. Casagrande para la obtención del punto de salida de la linea de corriente superior
M ECANICA DE SU ELO S (III)
91
Los puntos denotados por círculos pequeños en esta gráfica fue ron determinados por A. Casagrande trazando la red de flujo para los casos correspondientes. Debe notarse, como era de esperar, que el valor de a/(a + A a) decrece cuando el ángulo a crece y su valor es nulo cuando a = 180°. Una vez obtenido el punto 4, se traza a mano la corrección a la parábola básica para obtener la linea de corriente superior. Esta co rrección debe cumplir con la condición ya anotada en el Capítulo II, o sea ser tangente a la superficie del talud para a ^ 90° y tangente a la vertical pasando por eí punto 4, cuando a esté comprendido entre 90 y 180° . Además la línea de corriente superior debe cumplir la condición de entrada, para lo que debe aplicarse la corrección a mano que ya se describió en un lugar precedente de este capitulo. El punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo puede, si se desea, obtenerse sin necesidad de trazar la pará bola básica. Este punto que define a' = a + A a puede obtenerse ana líticamente a partir de las ecuaciones de la parábola básica y del
FIG. 111-16 Procedimiento gráfico para la obtención del punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo de una presa de tierra
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CAPITULO III
talud. Un procedimiento gráfico para obtener este punto, que es quizá más práctico que el trazo de la parábola básica es el que se describe en seguida. Considérese el caso mostrado en la fig. 111-16. En la parte a) d t esta figura se trata el caso a < 90° y en la parte b) el caso correspondiente a a > 90°. En esencia el procedi miento seguido es el mismo en ambos casos y consiste en los siguien tes pasos: Conocido el punto M y con centro en A se traza un arco de radio AM , hasta cortar a la superficie impermeable horizontal: así se ob tiene el valor 2a0, según la fórmula 3-39. Ese valor de 2a0 debe lle varse a la derecha del punto A, para obtener O', por el que se traza una vertical. A partir del punto A se traza ahora una normal al talud, que al interceptar a la línea vertical trazada anteriormente define el punto C. Con centro en C y radio A C trácese el arco AB' para defi nir el punto B' sobre la misma línea vertical. Llevando ahora una
DE CORRIENTE SUPERIOR
t.J
o í » 90”
FIG. 111-17 Redes de //u/o en presas de tierra
MECANICA D E SU ELO S (III)
93
horizontal por B' quedará definido el punto B sobre el talud, que es el punto buscado de intersección entre la parábola básica y dicho talud. Además, se tiene que la recta B C es tangente a la parábola básica en el punto B. En la fig. III-l 6 se ha trazado parcialmente la parábola básica para mayor claridad. La justificación de los procedimientos gráficos anteriores se basa en las propiedades geométricas de la parábola y sale, por lo tanto, de los alcances de esta obra, por lo que deberá de verse en textos espe cializados. Utilizando la solución de A. Casagrande de que aquí se ha habla do es costumbre obtener el gasto directamente de la red de flujo trazada a partir de la línea de corriente superior. En la fig. I I I - l7 se presentan ejemplos de este tipo de redes. Para calcular este gasto la fórmula a aplicar es la (2 -6 ): q —k h F f
(2-6)
Sin embargo al tratar de valuar el factor de forma, dado por la relación n¡/n e, pudiera surgir la duda de que dicho factor está apa rentemente indeterminado; en efecto, el valor de ne es diferente si las caídas de potencial se cuentan sobre la línea de corriente superior o sobre la superficie impermeable horizontal, frontera inferior de la región de flujo (ver, por ejemplo, la fig. III-l7 .a ). La aparente ambigüedad en realidad no existe si se considera el verdadero sentido de la fórmula 2-6; ésta puede escribirse también como: r q = k — n¡ = k n¡ Ah ne
(2-6) bis
O sea que el gasto puede calcularse en cualquier franja parcial de la región de flujo comprendida entre dos equipotenciales sucesi vas, la línea de corriente superior y la frontera impermeable; los números que figuran en la expresión 2-6 bis son los mismos en cual quiera de esas franjas. Por otra parte, si de la ec. 2-6 bis, considerada buena para calcu lar el gasto en la red, se quiere obtener una ecuación general que permita calcular el gasto usando toda la red, puede llegarse a la expresión 2-6, en que h es la pérdida total de carga y el n. a usarse será precisamente el número de veces que cabe Ah en h, o sea el número de caídas de potencial de la red contadas sobre la superficie impermeable horizontal y no sobre la línea de corriente superior. Así, en definitiva, la fórmula 2-6 puede usarse para calcular el gasto en una red como la de la fig. III-l7.a, a condición de contar ne sobre la superficie impermeable, frontera inferior de la red.
94
CA PITU LO III
in-8. Influencia de un tirante de agua en el talud aguas abajo de la presa en la solución de A. Casagrande para
60° < a < 180°
En el caso en que exista un tirante de agua en el talud aguas abajo de la presa, como se ilustra en la fig. III-18, debe tenerse en cuenta que la parte sumergida del talud es una línea equipotencial y que, por lo tanto, las líneas de flujo de la red han de salir nor males a ella. La línea de corriente superior saldrá tangente al talud, como ya se ha demostrado en otro lugar; el punto de salida estará desde luego sobre el nivel del agua existente y entre los puntos A y B las líneas de flujo saldrán con inclinaciones variables de 0 o a 90°, respecto al talud aguas abajo. La superficie entre A y B no es línea de flujo ni equipotencial; es una superficie equipresión, abierta al aire y en la que todos los puntos están a la presión atmosférica; así, habrá de cumplirse en ella la condición de la igualdad de las Ah entre las equipotenciales sucesivas que la cortan.
FIG. 111-18 Salida del flujo del talud aguas abajo de una presa d e tierra existiendo tirante d e agua
En este caso, el gasto puede valuarse utilizando la fórmula 2-6 ya analizada. q= kh F f (2-6) Cabe comentar que el valor de ne, necesario para valuar el factor de forma, debe obtenerse contando las caídas de potencial a lo lar go de la frontera impermeable que limita inferiormente la región de flujo y no sobre la línea de corriente superior.
95
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
III-9. Condiciones de transferencia de la línea de corriente superior Todas las ideas expuestas hasta este momento sobre la forma de la línea de corriente superior han supuesto más o menos implícita mente que la región de flujo (el interior de la presa de tierra) es homogénea e isótropa. Si la región es anisótropa, el problema podrá resolverse haciendo uso de la Teoría de la Sección Transformada (Capítulo I ) , por lo que no se considera necesario aquí insistir ma yormente en el tema. Pero si la región es heterogénea, sí se plantean problemas especiales que se hace preciso dilucidar. E l tipo de hetero geneidad que se considerará aquí es el que se tiene cuando la región de flujo está formada por dos materiales diferentes, homogéneos e isótropos individualmente considerados y separados por una frontera plana de cualquier inclinación. La línea de corriente superior, por ser una línea de flujo, deberá de cumplir las condiciones generales de transferencia de tales líneas, tal como han sido estudiadas en el Anexo II-c, es decir, que si a es el ángulo agudo con que la línea llega a la frontera plana y 3 el ángulo agudo con que sale de la misma, después de ser desviada al modo de un rayo de luz que pasa de un medio a otro de diferente refrin gencia, o lo que es lo mismo, de diferente velocidad de propagación, deberá de cumplirse la igualdad: tg a = Tk..
(2-c.5)
Donde k¡ es la permeabilidad del medio a través del que el agua llega a la frontera y k . es la permeabilidad del medio al que el agua pasa tras cruzar dicha frontera. Pero además, la línea de corriente superior ha de cumplir adicio nalmente la condición de igualdad de las Ah, por ser línea equipresión, a diferencia de una línea de flujo común, y la superposición de este hecho produce unas condiciones especiales de transferencia que han de analizarse en forma también especial. Las condiciones de transferencia de la línea de corriente superior se estudian detalladamente en el Anexo Ill-b y el resumen de resul tados a que se llega en dicho estudio aparece en la fig. I II-19. en donde se consideran tanto las diferentes inclinaciones posibles de la frontera plana, como los distintos casos que se plantean según que k¡ sea mayor o menor que k 2.
111-10. Flujo no establecido Hasta este momento se han tratado únicamente casos de flujo establecido; es decir casos en los que el vector velocidad en cada
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CAPITULO m
K| » K2 C o n d ic ió n :
b).
I V E R T IC A L i
K|
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K2
C o n d ic ió n : S A L ID A V E R T I C A L
K, > K2 C O N D IC IO N :
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(C A S O COMUN)
d). FIG. 111-19 Condiciones de transferencia de la linea de corriente superior
punto de la región de flujo no cambia con el tiempo. Sin embargo, en la ingeniería práctica existen casos de mucho interés en que los regímenes de flujo prevalecientes son no establecidos: es decir, en los que el vector velocidad varía con el tiempo en magnitud, en di rección o en ambos conceptos a la vez. De estos casos prácticos, uno de los más interesantes es el que corresponde al vaciado rápido de una presa de tierra, ya mencionado en el capítulo alusivo del Volumen II; este caso se trata con algún
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
97
detalle en párrafos subsiguientes de este capítulo. E l problema de la consolidación, tratado en el Volumen I se identifica también clara mente en este grupo, si bien en ese caso se consideran al suelo cam bios volumétricos, lo que no se hace en los problemas de flujo usual mente. Otros problemas de interés y de flujo no establecido son los que se refieren al llenado d e una presa d e tierra, denominando así el problema correspondiente al inicio de las filtraciones de agua en el cuerpo de la presa, suponiendo que pasa de estar totalmente vacía a llena en un lapso relativamente corto y el drenaje de bases y subases de pavimentos, por ejemplo tras una lluvia intensa que haya producido la saturación completa. Estos casos se tratan también en párrafos posteriores de este capitulo y del Capitulo V I.
ni-11. Influencia del vaciado rápido en la estabilidad de nn» presa de tierra La estabilidad de los taludes de una presa de tierra ha sido bási camente tratada en el Capítulo II; sin embargo, ya allí y en otras partes de esta obra se ha hecho referencia a una situación especial de flujo que impone condiciones especiales de esfuerzos a la masa que constituye la presa de tierra (en lo que sigue se supondrá que ésta es básicamente de sección homogénea) y por ende a su estabi lidad y que consecuentemente merece atención especial. La situación de referencia es el llamado vaciado rápido, que ya ha sido conceptual mente descrito en el capítulo alusivo a presas de tierra en el V o lumen II. El análisis detallado de la variación del factor de seguridad del talud aguas arriba de una presa de tierra cuando ocurre un vaciado rápido se hace en el Anexo III-c. Aquí se expondrán en los párrafos que siguen algunas ideas sobre los mecanismos a través de los que el fenómeno influye cualitativamente en la estabilidad del talud. Cuando el vaciado rápido tiene lugar, ocurre dentro de la presa un flujo no establecido del agua hacia la superficie del talud aguas arriba; en el primer instante del vaciado, que se supone completo, el factor de seguridad disminuye al desaparecer el efecto estabilizador que producía el peso de la masa de agua, que ahora ha descendido; naturalmente que de inmediato comienza el flujo de agua del interior del bordo y, desde que éste comienza, el factor de seguridad va creciendo de manera que cuando el agua cesa de salir al exterior, llega a ser inclusive mayor de lo que era antes del vaciado, a causa de que la tensión superficial del agua que aun impregna las partícu las de suelo aumenta los esfuerzos efectivos y disminuye la posibili dad de falla. Asi, el momento de peligro corresponde al instante en que se produce el vaciado y todos los momentos subsecuentes carecen de interés práctico. Mecánica de Suelos III
98
CA PITU LO III
Otro problema de relativo interés que está gobernado por un flujo no establecido es el que corresponde a la progresiva saturación de un bordo (llenado rápido). El problema es particularmente importante en bordos de protección contra inundaciones en las márgenes de los ríos y es, en cambio, menos interesante en presas, en donde rara vez impone una condición crítica. Si el bordo es de material bastante impermeable (limos plásticos o arcillas), el tiempo durante el que el tirante se eleva por una avenida del río es menor que el requerido para la saturación completa del bordo y, en consecuencia, no llf ia a establecerse, por lo general, un flujo a su través. En bordos hechos con arenas permeables, por el contrario, el flujo se establece en forma relativamente rápida y las fuerzas de filtración y la pérdida de resis tencia del material pueden afectar la estabilidad del mismo, si no se han tomado las debidas medidas de protección en su diseño. En el instante inicial de un llenado supuesto instantáneo, el frente de satu ración es el talud aguas arriba y cuando haya pasado el tiempo suficiente, la zona saturada está limitada por la línea de corriente superior. En tiempos intermedios, el frente de saturación avanza ocupando posiciones intermedias.
m-12. Control de flujo en la cimentación de presas El flujo que ocurre a tráves de los terrenos en que se apoya una presa de tierra o de concreto ha sido probablemente mal interpretado por muchos ingenieros en el pasado. Existe, muy frecuentemente, la idea de que lo importante es que escape bajo la cortina la menor cantidad posible de agua y que a esto han de dirigirse los esfuerzos de los proyectistas; este criterio se extiende también frecuentemente a las filtraciones que tienen lugar a través de la cortina propiamen te dicha. Así, el control del gasto de filtración resulta el problema principal a superar. Sin restar su debida importancia al control del gasto (toda filtra ción a través de la cortina o de su cimentación representa indudable mente una pérdida indeseable), conviene, sin embargo, enfatizar que de todos los malos efectos del flujo a través de las cortinas de tierra y sus cimentaciones, probablemente el gasto perdido representa el de menor significación para el ingeniero. En efecto, esta pérdida, como tal, será probablemente insignificante en comparación a otras de ca rácter inevitable, como la evaporación en la superficie del vaso o filtraciones de consideración en diversas zonas del mismo. Lo que en cambio es fundamental es que el agua que fluye a tráves del suelo no haga daño al mismo, produciendo subpresiones perjudiciales en la estructura, erosiones, tubificación, etc. En realidad, este es el proble ma realmente importante y el que debe de preocupar al proyectista en relación con las infiltraciones bajo la cortina de una presa o, in clusive, a tráves de la cortina de la misma.
M ECANICA D E SU E L O S (III)
99
De hecho puede decirse que todas las estructuras mencionadas por la práctica para controlar el flujo bajo una presa y aún dentro de la misma, cuando es de tierra, caen en uno de dos grandes grupos. En primer lugar se tiene el tipo de estructuras auxiliares que tratan de controlar los malos efectos del agua que se infiltra, disminuyen do su gasto. Estas son estructuras im perm eables e históricamente re presentan los primeros esfuerzos para resolver el problema. De este estilo son los dentellones, las pantallas de inyección, los delantales impermeables, etc. E l segundo tipo de estructuras auxiliares para con trolar los efectos nocivos del flujo está constituido por obras permea bles que explícitamente tratan de recoger el agua que fluye, elimi nándola de modo que resulte inofensiva desde el punto de vista de generar subpresiones o fuerzas de filtración peligrosas o de producir arrastres y tubificación. Los filtros, los pozos de alivio, las galerías filtrantes, etc., son obras de esta clase. Estas estructuras del segundo tipo nunca tienen como misión el disminuir el gasto de filtración, el cual lógicamente se ve inclusive incrementado por su presencia. El modo de trabajar las estructuras del primer tipo es, en general, de acuerdo con la idea elemental de que el gasto de filtración dismi nuye si se opone al paso del agua un obstáculo impermeable que cierre su paso o que, por lo menos, la obligue a aumentar la longitud de su trayectoria. Los dentellones o los delantales impermeables logran ese efecto, aumentando el número de líneas equipotenciales en la red de flujo bajo la presa, para un mismo número de canales de flujo, con lo que el gasto disminuye correspondientemente; tam bién se logra en este caso que disminuya la Ah, caída de carga hidráulica entre dos equipotenciales sucesivas, signo de la disminu ción de los gradientes hidráulicos en general en todos los puntos de la región de flujo y, en particular, en las zonas de salida del agua aguas abajo de la presa, que es donde sus efectos pueden ser más peligrosos. De esta manera, aun las estructuras del primer tipo men cionado, fundamentalmente reductoras del gasto, cumplen también una función de eliminar la peligrosidad de las aguas que todavía alcanzan a infiltrarse, pese a la presencia de la estructura. Las estructuras protectoras auxiliares del segundo grupo traba jan con base en un criterio diferente y, en general, facilitan inclusive la salida del agua, para evitar que su presión en el suelo bajo la presa produzca efectos indeseables. Los primeros estudios sobre la eficiencia y modo de trabajar de dentellones y delantales impermeables son debidos a Bligh y a Lañe11' 22. Bligh hizo descansar la seguridad de la presa esencialmente en el logro de una suficiente longitud en la trayectoria del agua de infil tración. Para lograr aumentar ésta, consideró la posibilidad de im poner al agua obstáculos verticales u horizontales, denominando a la
100
CAPITULO III
Im p e r m e a b l e
FIG. 111-20 Criterios
de Bligh y Lañe fiara reducir e l gasto de filtración y la peligro sidad del agua bajo presas
longitud recorrida sobre uno de los primeros H » y a la recorrida sobre uno de los segundos B t (fig. 111-20). Con esta base se define para una presa particular la longitud: L = Z H i + Z B¡ (línea
de
Bligh)
(3-41 )
La línea de Bligh es la línea de flujo extrema superior bajo la presa. Bligh postuló que para que una presa fuese segura contra tubificación de su terreno de cimentación y, en general, contra los efectos nocivos del agua de infiltración, debía de tener un valor mínimo la relación:
CB = - j
(3-42)
donde h es la carga total de la presa y L está definida por la fórmula 3 -41. La relación CB se denomina Relación de Bligh y aún juega un cierto papel en la moderna tecnología de presas. Los valores mínimos recomendados para CB por el propio Bligh aparecen en la tabla 3-1, de acuerdo con el tipo de material constituyente del terreno de cimentación de la presa. TA BLA 3-1 M A T E R IA L
Arena fina y limo Arena gruesa Grava y arena Cantos rodados y arena
V alor mínimo recom en d ad o para C b
V alor mínimo recom en dado p a ra C l
18 12 9 4
8.5 6 3 2.5
MECANICA D E SU ELO S (III)
101
E. W . Lañe partió de las recomendaciones de Bligh, pero de sus estudios sobre numerosas presas dedujo que la eficiencia como reduc tores del gasto y controladores de la tubificación de los obstáculos verticales era mayor que la de los horizontales. Así, propuso medir, para efectos de cálculo, la distancia L como: L = LH i + ± L B i
(3-43)
Y propuso una nueva relación (C l. Relación de Lañe) idéntica a la dada por la expresión 3-42, pero en la que L está dada por la expresión 3-43. Los valores mínimos para C¿ propuestos por Lañe para poder considerar segura a una presa aparecen en la segunda columna de la tabla 3-1. Cabe notar que la técnica moderna se inclina más bien al punto de vista contrario al de Lance y considera frecuentemente más efi cientes los delantales que los dentellones (ver por ej., la ref. 18). Tanto la relación de Bligh como la de Lañe (quizá algo más re presentativa) están hoy anticuadas y han sido superadas por las ideas expuestas al principio de este párrafo, según las que puede ofrecerse seguridad a la presa sin poner obstáculos al agua de infil tración, pero sin embargo, frecuentemente se calculan todavia por parte de los diseñadores de presas en muchos lugares, aunque solo sea a título complementario. También debe notarse que una serie de circunstancias muy frecuentes en la realidad, tales como la influencia de la estratificación u otros muchos factores concentradores del flujo, no se toman en cuenta, en principio, en las relaciones que se comen tan y, sin embargo, es obvio que juegan un papel trascendental en los peligros del agua de infiltración. Otro factor no considerado por las relaciones anteriores, ni por muchos estudios análogos que existen, es el efecto de embovedamiento o cedencia de suelos friccio nantes bajo la presa y en especial de los vertedores, causada por la compactación inducida por la vibración de la estructura: este fenó meno aumenta el riesgo de tubificaciones y su influencia no es toma da en cuenta en este tipo de investigaciones. En el Anexo Ill-d se dan algunas ideas más recientes sobre la eficiencia de dentellones, pantallas de inyección y estructuras auxilia res afines, que en general hoy tienden a valorarse menos que en el pasado. Desde el punto de vista de proyecto y construcción se consi dera que este tipo de estructuras ya ha sido suficientemente comen tado en el Capítulo X I del Volumen II, por lo menos en lo que se refiere a dentellones y pantallas. En relación a los delantales im permeables, construidos siempre aguas arriba y en general al tipo de obras que se comentan, cabe decir que quizá la mejor manera de cal
102
CA PITU LO n i
cularlos sea por tanteos, trazando redes de flujo con diferentes longi tudes y viendo la necesaria para producir las condiciones que se con sideren adecuadas. Existen también métodos teóricos para el cálculo de la longitud de delantales.19 En general, la reducción de gasto y subpresión que un delantal realmente impermeable produce es aproxi madamente proporcional a su longitud. Los delantales se hacen ge neralmente de suelo bien compactado, con los mismos cuidados y técnicas que un corazón impermeable y su espesor varía normalmente de 1 a 3 m. Finalmente, en la ref. 20 se proporcionan varios análisis teóricos de gran interés referentes a la influencia y eficiencia de dentellones y delantales impermeables. En general se deduce de esos estudios que un dentellón es más eficiente, desde el punto de vista de reducir gasto y sobre todo las subpresiones en la salida de aguas abajo, cuanto más largo sea y cuanto más aguas arriba esté situado a partir del centro de la presa (de hecho cuando el dentellón está situado entre el centro de la presa y el talud aguas abajo sus efectos son contraproducentes ya que aumentan las subpresiones). Para dente llones situados al centro de la presa, como es usual verlos, la reduc ción en la subpresión total es independiente prácticamente de su lon gitud. Un dentellón corto en el extremo de aguas abajo reduce el gradiente de salida del agua sin aumentar excesivamente la subpre sión, por lo que suele ponerse. En lo referente a las estructuras de protección del segundo tipo, es decir a las que se proponen como criterio fundamental concentrar y eliminar el agua antes de que produzca efectos nocivos bajo la presa, abatiendo las subpresiones e impidiendo erosiones o tubificación, se considera que han sido suficientemente descritas en el Ca pítulo X I del Volumen II; sin embargo, en el Anexo Ill-d se insistirá algo en lo relativo al funcionamiento de esta clase de obras auxiliares.
ANEXO m -a Algunas aplicaciones de la Teoría de Dupuit La primera aplicación de la Teoría de Dupuit que se mencionará, está tratada en la ref. 5, si bien la fuente utilizada por los autores de este trabajo fue la ref. 3. Supóngase una masa de tierra de longitud infinita que tiene a ambos lados dos corrientes de agua de tirante h, y ht respecto a una superficie impermeable horizontal; las corrientes son también de lon gitud infinita, (fig. I I I - a .l). Además se considera que en la superficie libre se infiltra un gasto e por unidad de área, proveniente de lluvia u otra razón similar.
MECANICA D E SU ELO S (III)
FIG. Ill-a.l
103
cojo
A plicación de la teoria de Dupuit, al d e una su p erficie libre su¡eta a infiltración
De acuerdo con la ec. 3-8, para el elemento mostrado en la figura podrá escribirse:
<3- »
ké [ h£ ) + ‘ = °
Donde e es el gasto uniforme por unidad de área que se infiltra a través de la línea de corriente superior (e negativo indicaría una eventual evaporación). La ec. 3-a.l establece simplemente el hecho de que el caudal total a través del elemento se ha incrementado por la nueva aportación e. Integrando dos veces la (3 - a .l) se obtiene: kh2 + ex 2 = A x + B
(3-a,2)
donde A y B son constantes. La (3-a.2) indica que la línea de corriente superior es una elipse para e > 0 y una hipérbola para e < 0. Si se substituyen en la (3 -a .2 ), las condiciones de frontera: Para x = 0
;
h = ht
Para x — L
;
h — h2
se obtiene: B = kh\
y
A = eL ~ k~ hlL
^
(3-a.3)
Valores que llevados a la (3-a.2) conducen a la siguiente expre sión para la altura h de la línea de corriente superior en cualquier punto entre x = 0 y x = L. h = ^ ¡h\ ~ ^
L
x +
(L - x ) x
(3-a .4)
104
CAPITULO III
El gasto de infiltración que pasa verticalmente en la cara supe rior del elemento de la fig. III-a.l se obtendrá multiplicando la infil tración por unidad de área por dicha área, considerando una longitud unitaria en la dirección normal al papel, es decir será igual a edx. Dicho gasto tiene que ser igual, por continuidad, al gasto neto que haya a través de las dos caras verticales del elemento mostrado, al cual se le denominará d q x; en consecuencia: dq„ = e d x
(3-a.5)
qx = ex + C
(3-a.6)
integrando, se obtiene: Si se llama q 1 al gasto que pasa por la sección h u en que x = 0 se obtiene para la constante C el valor: C — q1 el cual, llevado a la (3-a.6), permite escribir: qx = ex + q t
(3-a .7)
gasto que pasa a través de la sección recta vertical de altura h y posición x. Dicho gasto puede valuarse precisamente en la sección /, en que x = 0, haciendo uso de la ec. 3-13, la cual substituida en la (3-a.7) permite tras la integración correspondiente despejar el valor de q,. En efecto, la (3-13) establece que q* = = -- k h f dx substituyendo en (3-a.7), se tiene k h ^ = ex + q!
(3-a.8)
lo que integrado da: — k~ Y =
+ q ix + C
aplicando la condición de frontera según la que: Para se tiene:
x = 0
h — h1
(3-a.9)
105
M ECANICA D E SUELOS (III) substituyendo este valor en la (3 -a .9 ), resulta: + ql X = y ( A * - A * )
(3-a.lO )
Debe ahora substituirse en (3-a.lO ) el valor de h dado por la (3 -a .4 ), con lo que se llega finalmente, después de operar algebraica mente, a: <7
k
i u?
U2 \_
Ecuación que permite conocer el gasto a través de la sección vertical en que x = 0 en la región de flujo indicada en la fig. III-a .l. Por otra parte, el valor anterior de q,. substituido en la (3-a,7), permite escribir:
=
< 3 ' a
l
2
)
Una sección de especial interés es aquella en que qx — 0, que re presenta al punto de máxima elevación de la línea de corriente supe rior y que equivale a su verdadero parteaguas, en el sentido de que el agua que entra verticalmente a la izquierda de esa sección fluye hacia la izquierda, en tanto que la que entra a la derecha lo hace en esa dirección; esa sección es pues teóricamente impermeable, pues ningún gasto la cruza. La sección puede obtenerse a partir de la (3 -a .l2 ), despejando x, tras hacer qx — 0; si a este valor especial de x se le denomina a, se obtiene:
T k h2 — h l a - T ~ 7 2L
(3 -a .l3 )
En la fig. III-a.l la superficie impermeable es horizontal. En la ref. 3 se tratan también los casos en que esa superficie pueda ser inclinada en uno u otro sentido respecto a aquel en que ocurre el flujo del agua. Las soluciones prácticas presentadas son debidas a Pavlovsky.6 Se considera que si p es la pendiente de la superficie impermeable plana, definida como la tangente del ángulo que dicha superficie forma con la horizontal, ésta es positiva cuando el flujo ocurre pen diente abajo y negativa cuando el agua la remonta. Las soluciones para estos casos se obtienen con base en las hipótesis de Dupuit, de manera que ha de considerarse que la superficie impermeable es de muy pequeña pendiente. Considérese primero el caso en que p > 0. Pueden entonces pre sentarse tres posibilidades, según se muestra en la fig. III-a.2.
106
CAPITULO III
FIS. 11l-a.2 Forma de la linea de corriente superior, cuando p
0
En la primera posibilidad h¡ < h 2, o sea el tirante de entrada es menor que el de salida; en la segunda, h , = h t y en la tercera, h , > A*. En el análisis matemático correspondiente se demuestra que en el caso de b ) de la figura, las cosas ocurren como por otra parte resultaría fácil de intuir; la línea de corriente superior es una recta paralela a la frontera impermeable y el gasto estaría dado simple mente por la expresión: q = k h 0p (3 -a .l4 ) donde h 0 es la distancia vertical entre las dos líneas paralelas que se manejan, igual, en este caso, a Ai y A=. Para discutir brevemente los casos a ) y c) de la fig. III-a.2, se hace necesario considerar antes a las llamadas líneas de corriente superior ascendentes y des cendentes. En la fig III-a.3 se dibujan esos dos casos. La recta paralela a la su perficie B representa a la línea de corriente superior en un flujo en el que el ti rante de agua se mantiene constantemente igual a A». Si h 2 > Ai, el tirante tien de a crecer en la dirección FIG. -a.3 Líneas de corriente superior ascenden del flujo y el análisis mate te y descendente mático demuestra que la lí nea de corriente superior adopta una forma similar a la curva A de la fig. III-a.3, asimptótica a la curva B. Esta es una línea de corriente
107
MECANICA D E SU ELO S (III)
superior ascendente. Si h 2 < h 1 se tiene por el contrario una línea descendente, en la que el tirante tiende a disminuir y que también resulta asimptótica a la recta de tirante h0. Como quiera que por continuidad el gasto debe ser el mismo bajo las tres curvas de la fig. III-a.3, la fórmula 3 -a .l4 sirve para los tres casos y su cálculo es posible con tal de poder determinar el valor de h0, a la que se llama profundidad normal. En el caso a) de la fig. III-a.2 obviamente h0 será menor que h, y en el c) se tendrá h„ > ht. En el caso b ) , desde luego h0 — h\. Para visualizar lo anterior basta ver que en el caso a ) se tiene una línea ascendente, mientras que en el c) será descendente. Por otra parte estas afirmaciones están sancionadas por el análisis matemático. Para el caso p < 0, en que el flujo remonta la pendiente de la frontera impermeable, puede demostrarse, lo que por otra parte es intuitivo, que la única posibilidad es que h t > h 2 en magnitud sufi ciente para que el nivel de agua a la entrada sea más alto que el de salida; en estas condiciones se tiene siempre una línea de corriente superior descendente (fig. III-a.4). La fórmula 3 -a .l4 resul ta ser también aplicable a este caso, previo el cálculo de h0, concepto que ahora ya no tiene una interpreta ción física tan fácil como en los anteriores. En todos los casos arri ba mencionados, el análisis permite encontrar la ecua ción de la línea de corrien te superior. Pavlovsky pro FIG. Ill-a.4 Forma de la linea da corriente supe rior cuando p < 0 puso un método simplificado para lograr el mismo fin, cuyas conclusiones se indican a continuación y cuya justificación aparece en las referencias dadas al comienzo de este estudio. Si h es el tirante de un punto cualquiera de la línea de corriente superior, medido respecto a la superficie plana impermeable y si se definen las relaciones: h
r) = T 0
y
=
K_ K
(3-a,15)
Pueden entonces definirse las funciones:
71 + M r ) — 1)
Para 1f) > 1
+ ln ( 1 — n )
para T) < 1
(3 -a .l6 )
108
CAPITULO III
La línea de corriente superior puede obtenerse a partir de la ecuación: 4 r = *(il.)-* (T U )
(3-a.l7)
Donde L es la proyección horizontal de la base de la región de flujo bidimensional. La ec. 3-a.l 7 es aplicable para el caso p > 0. Para el caso p < 0, Pavlovsky define análogamente la función: = — "n + ln(Tf] -f- 1)
(3-a.l8)
Y en este caso la línea de corriente superior puede obtenerse a partir de la relación: no
- ^(Tb) —
(3-a. 19)
El propio Pavlovsky proporciona gráficas que dan los valores de las funciones <¿>(t]) y 'J'('n) en términos de tj. Estas gráficas apare cen en la fig. III-a.5.
I FIG. Ill-a.5 Gráficas para determinar los valores3 de ^ (q ) y
Como un ejemplo ilustrativo del manejo de estas gráficas y de su utilidad para la resolución de algunos problemas de interés práctico, se propone el siguiente ejercicio: Un canal muy largo fluye paralelamente a un río situado a 450 m de él. El tirante de agua en el canal es h x — 3 m y la profundidad del río es hr. = 6 m. La superficie impermeable tiene una pendiente p — 0.025. El coeficiente de permeabilidad del suelo entre las dos corrientes de agua es k — 1 0 -3 cm/seg. Se desea conocer la forma de
MECANICA DE SUELOS (III)
109
la línea de corriente superior y el gasto que fluye desde el canal hacia el río. (fig. III-a.6).
FIG. Ill-a.6 Un ejemplo ilustrativo de la soluciónde Pavlovsky al problema de la infil tración entre dos corrientes de agua paralelas
Puesto que p > 0 y h2 > hlt según los análisis comentados más arriba, se concluye que la linea de corriente superior es del tipo as cendente. Substituyendo valores en la (3-a.l7) se tiene: —r-~ X 450 —
f(M
(3-a.20)
Se supondrán ahora valores de h0 ligeramente menores que h,, como debe suceder para una superficie ascendente, e iguales a 2.78, 2.85 y 2.92. Con estos pueden encontrarse los valores correspon dientes de f ( h 0) en la fórmula 3-a.20, una vez calculados los valo res de 4>(r¡i) y <£(%) en las gráficas de la fig. III-a.5. Se puede generar así la siguiente tabla: ha (m)
hi/h,
♦(*01
2.78 2.85 2.92
2.16 2.10 2.05
2.31 2.20 2.10
h, ha 1.08 1.05 1.025
♦(*) - 1 .4 5 - 1 .9 5 - 2 .6 6
(TI/) f (h,) (m) 10.43 11.82 13.93
Se está ahora en disposición de dibujar los valores de /( h0) contra los correspondientes de h„ (fig. III-a.7) y de calcular, por lo tanto, este último valor. h„ resulta igual a 2.82 m. El gasto podrá calcularse haciendo uso de la fórmula 3-a.l4, por la que: q = 1(H — x 0.025 X 282(cm )X 100 — = 0 . 7 0 5 - ^ n seg m seg m
110
CAPITULO III
FIG. Ill-a.7 Valores de
f(h0), contra los correspon dientes de h»
La altura de la línea de corriente superior puede conocerse mejor dando valores a h sobre el nivel de la superficie impermeable y calculando las distancias a que esas h tienen lugar a partir de la orilla del canal. Para ello puede usarse la fórmula 3 -a .l7, pero escrita: l
= -j
[* (u .)-+ ( m )]
que para el caso aquí analizado puede escribirse:
L = m [♦ & )-♦ (& )] Nótese que h s representa los diferentes valores de h que se pueden considerar como salida entre los valores de 3.0 y 6.0 m.
ANEXO Ill-b Análisis de las condiciones de transferencia de la linea de corriente superior A continuación se analizan detalladamente los diferentes casos de transferencia de la linea de corriente superior, cuando pasa de un medio de permeabilidad k i a otro de permeabilidad k 2, siendo plana la frontera que divide a ambos medios. Se supone que la línea satisface las condiciones a que se llegó en el Anexo II-c propias de toda línea de flujo: o sea, se cumple:
MECANICA DE SU ELO S (III)
111
tg 3 _ A tg a k2 k2
c
donde a y 8 tienen los sentidos ya conocidos y b y c son respec tivamente el ancho y la longitud de los rectángulos que se producen en la red cuando pasa al segundo medio, supuesto que era de cua drados en el primero. CASO I. w < 90° y k t < k ¡ (fig. III-b .l)
En este caso se considera una frontera que forma con la horizon tal un ángulo menor que 90° y que la permeabilidad del medio a la izquierda de dicha frontera es menor que la del medio situado a la de recha, suponiendo que el flujo ocurre en la dirección de izquierda a derecha.
FIG. III-b.l Condición de transferencia de la linea de corriente superior para el caso w < 90° y fe < fe
De las condiciones normales de transferencia de cualquier línea de flujo se sigue que en este caso 3 < a y c > a (Anexo II-c ); por lo tanto no será posible lograr nunca que se cumpla la condición Ahí = Ah2, a no ser que a 3= P = 0 . En efecto: Ahí =: a sen(w — a ) (3 -b .l)
Ah- = csen(w — (3)
112
CAPITULO III
pero eos a — eos ¡5
(ver Anexo II-c)
por lo tanto, si Ahí = Ah2, debe cumplirse que: sen(co — a)cos a = sen(w — 3)cos 3
(3-b.2)
Pero como a > 3- entonces sen(co — 3) > sen(w — a ), y, por otra parte: eos a < eos 3- Por lo tanto no puede lograrse para valores de a y 3 diferentes que Afii = A ^, como debe de ser. La única manera de que se cumpla la (3-b.2) es que a = 3Ahora bien, también debe de cumplirse que (ver Anexo II-c)
tg 3 Como quiera que precisamente:
k , =/=kt
por hipótesis, se sigue que debe tenerse o = 3 = 0
(3-b.3)
Y esa es la única forma posible para que la línea de corriente superior pase del medio 1 al medio 2. Una solución especial para este caso se tiene cuando la línea de corriente superior llega horizontal a la frontera (a = w). Este caso sólo es posible si en el medio 2 existe un nivel de agua precisamente hasta el punto de salida, de manera que también se tenga 3 — wObsérvese que en el punto en que la línea de corriente superior cruza la frontera no hay flujo, pues allí v — 0. CASO II.
< 90°;
kx
>
k.
En este caso resulta 3 > a y c < a, al tomar en cuenta las con diciones de transferencia de una línea de flujo cualquiera. Con un tratamiento similar al usado para el caso I, que el lector puede desarrollar como un ejercicio, se obtienen resultados análogos y las únicas soluciones posibles para la transferencia son también:
Al considerar ahora las condiciones de transferencia de cualquier línea de flujo se obtiene que P > a y a > c, El estudio en este caso debe ser dividido en dos partes. Considé rese en primer lugar la posibilidad de que la línea de corriente supe-
MECANICA D E SU ELO S (III)
113
rior llegue a la frontera por la zona que se denominará cuadrante 1 (fig. III-b .2 ); es decir, que la pendiente de la línea sea mayor que la de la normal a la frontera por el punto de corte. De las condiciones de la figura se deduce que siempre Ah± > Ah2, debiendo notar se que en este caso no cabe la posibilidad de que a = 0 = 0 ni la de que a = 0 = to, pues la primera es obviamen te imposible y la segunda no es compatible con la hipótesis de que la línea de corriente superior llegue a la frontera por el cuadrante 1. Se estudiará ahora la otra posibilidad, es decir que la línea de corriente superior FIG. Ill-b.2 Condición de transferencia de la llegue a la frontera por el linea de corriente superior para el cuadrante 2 (fig. III-b.3) caso w > 90° y fe >
FIG. Ill-b.3 Condición de transferencia de la linea de corriente superior para el caso de w > 90° y fc > ki, la linea llega por el segundo cuadrante
De la simple observación de la figura se concluye que ahora existe la posibilidad de que A K — Ah2 para valores de a y de 0 diferentes de cero o de u>. En efecto, ahora: Ahí = a sen(a — cu') (3-b.4) Aht = c sen(0 — o/)
Mecánica de Suelos III
114
CAPITULO III
debe cumplirse (Anexo II-c ) : a c eos a — eos 3 por lo tanto, si Ah, = Ah¡, ha de cumplirse que: sen (a — ti/) eos a = sen (3 — t*/) eos 3
(3-b.5)
de donde sen(g — u/) _ sen(3 — o /) sen(90° — 3) _ sen(90° — a ) luego la única posibilidad es que: a —
= 90° — 3
3 - w' = 90° - a cualquiera de las ecuaciones anteriores conduce a la condición: a + 3 = 90° + w'
(3-b.6)
Que debe cumplirse si es que Ah, — Aht y que proporciona la condición de transferencia para el caso planteado. Naturalmente que adicionalmente debe tenerse: tg a tg 3
k2
CASO IV. w > 90°: k¡ < k t
Se deja como un ejercicio al lector el demostrar que en este caso la condición de transferencia de la linea de corriente superior es la misma (3-b.6) y que la línea puede entrar únicamente por el cua drante 2. En los casos III y IV se tienen dos ecuaciones que deben satis facer los ángulos a y 3> de entrada y salida de la línea de corriente superior al cruzar la frontera de los dos medios de diferente per meabilidad. Dichas ecuaciones, como ha quedado demostrado, son: a + 3 = 90 + w' tan g _ k^ tan 3 — k t
(3-b.7)
La mejor manera de resolver este sistema de ecuaciones simul táneas es recurriendo a procedimientos gráficos. Existen varios de estos procedimientos, pero el que los autores consideran más elegan-
MECANICA D E SU ELO S (III)
115
te es uno ideado por A. Petit, en la Universidad de Harvard, y que es el que se describe a continuación ( fig. III-b.4).
Sobre una línea horizontal y a partir de su intersección con la frontera entre los dos medios permeables A y de inclinación o /, trá cense dos segmentos de longitud tal que sean proporcionales a los valores de los coeficientes de permeabilidad k¡ y kt. Quedan así de terminados los puntos G y H . Puede entonces determinarse el punto C, en la frontera de los dos medios, trazando una vertical por el pun to medio del segmento G H . Con centro en C y radio A C trácese el semicírculo marcado con línea llena en la figura. Por G y H levánten se sendas verticales hasta cortar el semicírculo en los puntos D y E. Trácense las rectas D B y EB, prolongando esta última, como se muestra en la figura que se comenta. Se demostrará a continuación que la recta D B y la prolongación de la E B son precisamente las in clinaciones con que la línea de corriente superior llega y sale de la frontera para las condiciones de la figura.
C A P ITU L O m
116
En efecto, por construcción G D = H E . Se llamará a y 3 a los ángulos con vértice en B señalados en la fig. III-b.4. Se demostrará que estos ángulos cumplen las condiciones de transferencia para el caso cu > 90° (ecs. 3-b .7 ). a — -j- arco A D = — arco E B F 0 = -i- A D E —
arco D E B F
por lo tanto a + 0 = -j- [arco A D 4- arco D E B F ] =
[arco A D E B F ] =
= 90° + cu' con lo que quedó cumplida la primera de las condiciones 3-b.7. Por otra parte EH
tg « = - r -
Y
0
tg 3 =
DG
EH
— = - r -
por lo tanto tg g _ k-, tg 3 ~ Con lo que quedó cumplida la segunda de las condiciones 3-b.7; así, los ángulos a y 3 son l° s buscados, de inclinación de la línea de corriente superior a ambos lados de la frontera que divide a ambos medios. Conviene ahora comentar un caso de interés que se refiere al esquema presentado en la fig. III-l 9.d. Cuando k r < k? y el ángulo cu es mayor de 90°, la condición transferencia de la línea de corriente superior presentada en este anexo (caso IV ) es de ocurrencia relati vamente excepcional en la práctica, pues lo más común es precisa mente que el agua entre desde el cuadrante 1. Se vio que en este caso no hay teóricamente transferencia posible y así ocurre efectiva mente en la práctica, en donde sucede lo que ilustra el esquema alu dido: la línea de corriente superior se termina en la frontera, que así trabaja como una superficie de salida, de manera que la línea de corriente superior llega a ella con tangente vertical, como se comentó al exponer las condiciones de salida.
MECANICA D E SU ELO S (III)
117
ANEXO IH-c Vaciado rápido Se tratará en primer lugar la mecánica del drenaje de un terra plén en suelo arenoso y de otro en suelo arcilloso, a fin de com prender los mecanismos del vaciado. Si el terraplén en estudio está constituido por una arena fina relativamente permeable, lo cual, si se quiere, no es una condición común en presas de tierra, pero si en terraplenes para carreteras, por ejemplo, las cosas ocurrirán de acuerdo con lo que se muestra en la fig. III-c.l. En el instante inicial se supone que el agua estaba SU PE R FIO E JIEL a g u a J en la corona del terraplén (y a ambos lados de él se gún se ha dibujado la figu ra ). Después y en forma I instantánea se supone que ocurre un vaciado total has FIG. III-c.l Red de flujo para vaciado rápido de un talud formado por arena12 ta el nivel de la base im permeable. Si G a es el grado de saturación de aire del suelo G„ = V a /V v ), después de que el agua se haya drenado, suponiendo que el suelo conserva algo de hu medad por capilaridad, la cantidad de agua que se podrá drenar del terraplén por unidad de volumen será N G a donde n es la porosidad del suelo. Como quiera que el agua próxima a los taludes sale más rápidamente que la del centro del terraplén, la frontera superior de la región de flujo tendrá la forma mostrada en la-fig. III-c.l en un instante intermedio del proceso de drenaje; su cresta irá descen diendo con el tiempo a la velocidad — d z /d t, tendiendo a la altura cero. En la cresta, la velocidad de descarga será: m p e r m e a b l e
v ——^ n G a
( 3 - c .l)
En efecto: La velocidad de descenso de la cresta es — (d z /d t). Si toda el agua de los vacíos se hubiera drenado, la cantidad de agua drenada a través de un área unitaria en la unidad de tiempo sería:
Pero, se supone que no toda el agua de los vacíos se drena, sino que algo de ella permanece en los vacíos por capilaridad. Ga es pre
CAPITULO in
118
cisamente el número que mide la cantidad de agua que salió de los vacíos y que ha sido substituida por aire, por lo que la ecuación anterior ha de modificarse para tomar en cuenta este hecho, de modo que queda la (3 -c.l) arriba escrita. En la fig. III-c.l se muestra también la red de flujo que se pro duce en este caso en un tiempo t, durante el proceso de vaciado; las condiciones de estabilidad inmediatamente después del vaciado son idénticas a las descritas para el caso de la saturación completa del terraplén, en el Anexo Il-a, por lo que realizando aquel tipo de aná lisis se hace innecesario el que ahora se estudia desde el punto de vista de la investigación cuantitativa de las condiciones de estabilidad del terraplén. Las condiciones de estabilidad durante el drenaje van siendo cada vez más favorables, por lo que no requieren en la prác tica análisis específico. Considérese ahora el terraplén de la fig. III-c.2, constituido por una arcilla de peso específico yOT.13 El peso específico sumergido An t e s
1 H-I
o el vaciado
DESPUES DEL VACIADO
Arcilla; \ IMPERMEABLE
* l J 1
0
IOO,HE_tU«
FIG. Ill-c.2 Distribución de esfuerzos en las diferentes etapas del vaciado rápido en un terraplén de arcilla13
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
119
del material será y'm y se supone que la altura H es menor que la altura de ascensión capilar del agua en el material. Originalmente, el terraplén está sumergido totalmente en agua y la arcilla está en un estado de equilibrio hidrostático siendo la altura piezométrica en todo punto el nivel de agua. Si se supone que dicho nivel desciende bruscamente hasta la superficie impermeable en que descansa el terraplén, los taludes de éste quedarán bruscamente a la presión atmosférica; esto representa una nueva condición de frontera a la que habrá que adaptarse el estado de esfuerzos de la arcilla con el paso del tiempo, porque en el momento del vaciado, naturalmen te, el contenido de agua de la arcilla sigue siendo el mismo que se tenía antes de bajar el agua. Se investigará cuál es el estado de esfuerzos en una sección hori zontal a la altura z dentro del terraplén antes y después del vaciado rápido ( supuesto, de hecho, instantáneo). E l lado izquierdo de la parte a ) de la fig. III-c-2 muestra esque máticamente el estado de esfuerzos en la sección considerada antes del vaciado. E l esfuerzo normal total, a + u, está representado apro ximadamente por la línea quebrada rr1t101 y el efectivo,
(3-c.2)
Siendo (z, — z) la carga de presión en m. En la parte derecha de la fig. III-c.2.b se muestran líneas de la misma presión neutral y en la izquierda líneas de misma carga hi dráulica, en ambos casos inmediatamente después del vaciado. Pero en realidad la arcilla que compone el terraplén no está confinada lateralmente, por lo que el vaciado cambia no sólo los es fuerzos normales totales, sino también los cortantes, generando este cambio el de los esfuerzos principales efectivos a contenido de agua constante, lo que, a su vez, produce una variación en las presiones neutrales que puede ser en más o menos, dependiendo de la relación entre esfuerzo y cambio de volumen en la arcilla, la cual no puede ser teóricamente medida o predicha hasta este momento, por lo que
120
CAPITULO III
los estados de esfuerzos dibujados en la parte b) de la figura deben verse como aproximados desde el punto de vista teórico. Durante un tiempo subsecuente al vaciado la arcilla, que ha per manecido saturada, pierde agua al mismo tiempo que volumen según un proceso de consolidación, de manera que sigue saturada durante dicho proceso. Puesto que la carga hidráulica disminuye del centro de la masa hacia los taludes, el agua se drena hacia la parte infe rior de éstos, como se representa en la fig. III-c.2.c. En la parte su perior y central del terraplén la presión neutral y la carga hidráulica van disminuyendo con el tiempo, si bien la ley cuantitativa y precisa del fenómeno se desconoce todavía. El final del fenómeno de drenaje se produce cuando la altura piezométrica en todo punto se reduce al nivel de la base del terraplén y las cargas se reducen en todo punto a cero, con lo que en todo punto de la masa de arcilla se tiene una presión neutral negativa (tensión) al fin del drenaje del agua tras el vaciado; esto ocurre porque el nivel piezométrico es la base del terraplén, pero la arcilla sigue saturada por capilaridad. Si ahora el terraplén vuelve a ser sumergido, el agua de la arcilla verá disipadas esas tensiones a la larga y tenderá a expanderse, con pérdida en su resistencia al esfuerzo cortante. La misma condición existe en una presa de tierra, sobre todo si se ha compactado del lado seco y ésta es una situación que hay que tener en cuenta en los análisis, por la reducción que significa en el factor de seguridad. Durante el drenaje, el factor de seguridad del terraplén crece continuamente, pues la presión neutral disminuye y, por lo tanto, aumenta el esfuerzo efectivo y la resistencia al esfuerzo cortante de la arcilla; al terminar el drenaje, el factor de seguridad es máximo y mayor de lo que era antes del vaciado, pues el agua está ahora a ten sión en la arcilla (lo que significa compresión sobre la estructura del suelo, con aumento correspondiente en el esfuerzo efectivo), en tanto que antes del vaciado prevalecía el estado hidrostático. Así desde el punto de vista de la estabilidad, el momento de mayor peligro para el terraplén es el que sigue inmediatamente al vaciado, tal como se había afirmado con anterioridad. Se vio que si un terraplén de arena fina estaba en un principio to talmente sumergido, la distribución de esfuerzos neutrales inmediata mente después de un vaciado rápido es, por lo más, igual de desfa vorable que la que corresponde al caso de una fuerte infiltración por lluvia a través de su corona con saturación completa del terra plén, que fue analizado en el Capítulo II (Anexo Il-a ). Así, pues, si los taludes pasan airosamente aquel análisis, no es de preocupar la condición de vaciado rápido. En el caso de un terraplén constituido por material cohesivo, la arcilla, por su impermeabilidad, no es capaz, como se vio, de adap tarse instantáneamente al cambio en el estado de esfuerzos que re
MECANICA D E SUELO S (III)
121
presenta un vaciado rápido y ese es el hecho principal que hay que tener presente para llegar a un método que permita tomar en cuenta la influencia del fenómeno en la estabilidad de los terraplenes. Para la exposición de dicho método se utilizará la presa de tierra que apa rece dibujada en la fig. III-c.314.
FIG. Ill-c.3 Influencia del rociado rápido en la estabilidad de los taludes de una presa de tierra14
Se supone que el material en el espesor D bajo la presa es homo géneo con el que forma la cortina propiamente dicha y que el estado de esfuerzos antes del vaciado es en toda la sección el que corres ponde al flujo establecido. A fin de determinar las condiciones de estabilidad del talud aguas arriba respecto a la posibilidad de deslizamiento en torno a un círculo cualquiera, tal como el bdc, mostrado en la f¿g. III-c.3.a, se utilizará el método sueco con dovelas, una de las cuales aparece marcada en la figura. El peso de la dovela es AWi, considerando suelo y agua. Se despreciarán las interacciones laterales entre las dovelas, como es normal en el método sueco. Sean AP ni y AP ti las componentes nor mal y tangencial al círculo hipotético de falla de la reacción A en la base de la dovela. De la figura se deduce que en la base de la dovela se tiene un esfuerzo normal total que vale: AP ■ * = - ¿ r cos a¡ =
AW
cos2 «i
(3-C.3)
122
C A PITU LO m
E l esfuerzo neutral en la base de la dovela u puede estimarse a partir de la red de flujo correspondiente al caso de flujo establecido, en la forma ya conocida y, por lo tanto, antes del vaciado rápido el esruerzo efectivo en la base de la dovela puede calcularse y es: á — ct — u Asi pueden determinarse los esfuerzos normales efectivos en cual quier punto del círculo hipotético de deslizamiento bdc. Al ocurrir el vaciado rápido, el contenido de agua dentro de la cortina permanece en un principio inalterado y por ello, en una pri mera aproximación, puede considerarse que también conserva su valor la resistencia al esfuerzo cortante del suelo a lo largo de la superficie de falla. Los esfuerzos cortantes actuantes en la superficie de falla, por el contrario, crecen. La relación entre esfuerzos efectivos y re sistencia al esfuerzo cortante, a contenido de agua constante, puede obtenerse de pruebas de laboratorio; una envolvente típica aparece en la parte b) de la fig. III-c.3. Disponiendo de esa gráfica es posible calcular el valor Si, resistencia que se tiene en la base de la dovela de la que se ha venido hablando. E l criterio anterior, de obtener s* en una gráfica que relacione esfuerzos efectivos con la resistencia del suelo (esta gráfica se ob tendría, por ejemplo, haciendo pruebas lentas o rápidas-consolidadas con medición de presión de poro), es recomendado por muchos auto res, entre ellos Terzaghi14. Muchos otros, sin embargo, conside ran que el enfoque anterior puede quedar del lado de la insegu ridad, sobre todo en terraplenes deficientemente compactados y creen que una mejor manera de llegar al valor de s¡ es calcularla a partir del valor de c , obtenido como arriba se indicó, llevado a la envol vente de esfuerzos de pruebas rápidas consolidadas; aunque reco nocen que este procedimiento tampoco es exacto, juzgan que siempre estará del lado de la seguridad. La justificación de este razonamiento es la ya explicada en el párrafo alusivo al análisis de estabilidad de taludes sujetos a flujo en el Capítulo II. E l momento resistente, para el círculo considerado, puede enton ces expresarse como: M b = AL.r Z — i=i eos a¡
( 3- C. 4)
y el momento motor, como: Mm-
WL
(3-c.5)
donde W es el peso total del suelo más el agua que llena sus vacios. Con las ecs. 3-C.5 y 3-c.4 es posible calcular un factor de segu ridad en la forma usual y cuantificar así el efecto del vaciado rápido.
123
MECANICA D E SU ELO S (III)
Si el talud está originalmente sumergido totalmente por el agua, como se ve en la parte c) de la fig. III-c.3, puede estimarse el efecto del vaciado rápido sin calcular las presiones neutrales a lo largo de la superficie de deslizamiento15. Para analizar esta variante del método de cálculo, supóngase que la resistencia al deslizamiento de la masa de tierra sobre una super ficie plana está dada por la ecuación: S = C + W tg *
(3-c.6)
donde W es el peso efectivo de la masa y C la fuerza total de adherencia entre masa y superficie. Si la masa está sumergida, su peso efectivo será: W' = W - W 9 Así, tras la inmersión, la resistencia contra el deslizamiento será: S' = c + ( W -
W w) t g * = C + W
tg *
o lo que es equivalente donde
S' = C + W t g * 1 t g ,i = p
- ^
) tg ,
(3-c.7) (3-c.8)
define a un ángulo ficticio,
(3-c.9)
124
CAPITULO III
Así, la única fuerza que produce momento motor, antes del va ciado, es W'. Después del vaciado, la fuerza P w desaparece y el momento motor aumenta entonces al valor: Mm = (W ' + W „ )lw
(3-c.lO)
Por otra parte, como se ha supuesto un vaciado instantáneo o, por lo menos, lo suficientemente rápido para que no haya cambios de volumen en el suelo, las presiones efectivas en la superficie de deslizamiento permanecen en una primera aproximación las mismas, por lo que la resistencia a lo largo de la superficie de falla tras el vaciado es esencialmente la misma que antes de ocurrir éste; si se admite que esa resistencia está dada por la ecuación de Coulomb: s = c + ff tg <¿> el momento resistente puede determinarse después del vaciado utili zando el ángulo de resistencia ficticio
M ECANICA D E SU ELO S (III)
125
las mismas por no darse tiempo al material im perm eable para amol darse a las nuevas condiciones de esfuerzo. Lo anterior conduce, en consecuencia, a una reducción del factor de seguridad y el factor de seguridad tras el vaciado resulta prácticamente la mitad del fac tor de seguridad que se tenía antes de efectuarse el vaciado rápido. Todo lo que se ha tratado con anterioridad en relación al vaciado rápido es aplicable cuando el talud aguas arriba de la presa es ma terial cohesivo, compresible y prácticamente impermeable o por lo menos de permeabilidad muy baja. En materiales friccionantes in compresibles y permeables, como son enrocamientos con cantidad suficiente de grava y arena o mezclas de estos dos últimos materia les, la situación del vaciado instantáneo requiere un análisis de la estabilidad un tanto diferente, pues además de tener que estudiarse los efectos de la condición en los cambios de esfuerzos actuantes y de resistencia de los suelos, habrá que añadir el efecto de las fuer zas de filtración. La diferencia esencial estriba en que si el material del respaldo es compresible y muy poco permeable, al bajar el agua no se produce un verdadero drenaje, sino que el suelo permanece saturado y con el tiempo la masa de suelo va cambiando de volumen, adaptándose a las nuevas condiciones de esfuerzo. Si la permeabili dad del material es relativamente alta y éste es incompresible, sí ocurre, al descender el agua rápidamente, un verdadero drenaje del suelo inicialmente saturado; ello comporta un flujo en condiciones especiales hacia el pie del talud de aguas arriba. Él análisis de este flujo puede hacerse con base en la red de flujo correspondiente al instante inmediatamente posterior al vaciado, que, como se recordará, se está suponiendo total. La red de flujo de vaciado rápido se dibuja suponiendo que en cada instante se cumplen todas las condiciones de flujo establecido (obviamente, el proceso en estudio no lo es); así se tendrá una red diferente para cada instante. Como ya se ha visto, la condición más crítica del vaciado rápido es la inicial, por lo que bastará, en estos casos, hacer un análisis basado en la red correspondiente al comienzo del proceso. Así, en casos en que se trabaje con materiales incompresibles y permeables, el análisis de es tabilidad deberá tener, como se dijo, dos etapas. En la primera se estudiará el efecto del flujo en los esfuerzos actuantes y en la resis tencia del material a lo largo de la superficie potencial de falla circu lar; el análisis deberá hacerse tal como se describió para los materia les cohesivos, compresibles poco permeables, sólo que en este caso el valor de la presión neutral u habrá de buscarse en la red de flujo correspondiente al instante inicial del drenaje causado por el vaciado rápido. E l esfuerzo efectivo se obtendrá restando en cada dovela u de la presión normal total; con este valor del esfuerzo efectivo, podrá conocerse la resistencia del suelo a considerar disponiendo de una envolvente de prueba lenta para el material que constituye el talud.
126
CAPITULO IH
El uso de la prueba lenta en esta ocasión está indicado por tratarse de un material incompresible que se adapta instantáneamente y sin cambio volumétrico a las nuevas condiciones de esfuerzo impuestas por el vaciado, de manera que todo cambio de esfuerzos es ahora teóricamente tomado por la estructura sólida del suelo; es decir, es, instantáneamente, esfuerzo efectivo. En la segunda etapa se consi derará el efecto de las fuerzas de filtración, calculadas como ya se mencionó (II-9 ) en la misma red de flujo de drenaje por vaciado; el momento de estas fuerzas deberá sumarse al del peso sumergido del suelo para integrar el momento motor que debe considerarse. Además, el estudio de las fuerzas de filtración en la zona baja del talud aguas arriba, permitirá estimar el riesgo de arrastre y ero sión que puedan tener lugar después del vaciado. En los respaldos formados por grandes bloques de roca, los aná lisis anteriores carecen de sentido, pues en este caso, al producirse el vaciado, el drenaje es simultáneo y el único cambio que ocurre en el talud es el de condición sumergida a no sumergida, sin cambio importante en el factor de seguridad del talud. Cabe aclarar que los casos extremos idealizados de materiales cohesivos, compresibles y poco permeables y materiales friccionantes, incompresibles y permeables, se han considerado para llegar a una visión sencilla de los límites extremos del efecto de un vaciado rápi do. En realidad, ocurrirán más bien situaciones intermedias, con ma teriales que no son incompresibles ni muy poco permeables. Los estudios modernos han mostrado que en grandes presas los respal dos de enrocamientos, gravas y arenas tienen una compresibilidad nada despreciable coexistente con una importante permeabilidad. En estos casos los esfuerzos y presiones neutrales poseen valores dife-
FIG. Ill-c.4 Red de flujo por vaciado rápido en un respaldo anisótropo. yar¡ación de la fuerza de filtración por uni dad de volumen a te largo de la frontera impermea ble A B
MECANICA D E SU ELO S (III)
127
FIG. Ill-e.5 Sección transformada deI respaldo de la fig. Ill-c.4, usada para el traio de la red de flujo por rociado rápido
rentes que dependen en gran parte de la situación del punto consi derado dentro del respaldo y sobre todo de si en dicho punto existe por el vaciado tendencia a aumento o disminución de volumen. Aun que en últimas fechas ha aumentado bastante la información sobre el comportamiento de grandes presas (ver, por ejemplo, la ref. 16) es mucho lo que falta por dilucidar en este terreno. En las figs. III-c.4 y III-c.5 se presenta un ejemplo interesante de trazado de redes de flujo por vaciado rápido. Se trata de una presa con material anisótropo, con k h = 4 k v. En la fig. III-c.4 apa rece la sección real con la red dibujada por el método de la sección transformada, la cual se muestra en la fig. III-c.5. En la sección real se ha dibujado también la variación de la fuerza de filtración por unidad de volumen a lo largo de la frontera A B. A. Casagrande17 propuso un método aproximado para poder es timar la velocidad de drenaje del respaldo de aguas arriba de una presa sujeta a vaciado rápido; básicamente, la aproximación consiste en considerar que la línea de corriente superior en los diferentes tiem pos posteriores al vaciado puede representarse con un haz de rectas inclinadas diferentes ángu los y pasando todas ellas por el pie del talud (fig IIIc.6). Él método puede ser vir para obtener una idea de la velocidad de drenaje, sin tomar en cuenta los efec tos de la capilaridad, que en general hacen que el volu men del agua qué sale y de A . Casagrande para esti las velocidades reales sean FIG. Ill-e.6 Método mar la velocidad del drenaje en un menores que las estimadas. vaciado rápido
128
CAPITULO III
En el tiempo t — 0, o sea inmediatamente después del vaciado, la línea de corriente superior coincide con el talud aguas arriba; a medida que el tiempo pasa se supone que esa línea gira en torno al pie del talud tendiéndose cada vez más, como se ve en la figura para los tiempos t y t + dt. En el tiempo dt, la cantidad de agua que sale del respaldo será: ¿ Q = - y (L + /ct gp) ne
(3-c.l 1)
donde ne es la porosidad efectiva desde el punto de vista del drenaje, o sea el volumen de agua que se drena por unidad de volu men de suelo. Considerando que en cada instante t es válida la ley de Darcy, el gasto drenado será:
= ^
( 3 ~c l 2 )
=
En la ec. 3-c.l 2 se han aproximado el gradiente y el área drena da a los valores medios en el intervalo dt. Combinando las ecs. 3-c.l 1 y 3 -c .l2 y llamando: / =
¿
ctg 3
Y
T
=
~£j
j
í
(3-C. 13)
puede plantearse una ecuación diferencial cuya solución tiene la forma: T =
+ J log
+ T -U
(3 -c.H )
En donde U es la relación del área ya drenada hasta el instante t y el área total del respaldo. En la ecuación anterior, dando valores de U, puede establecerse la relación teórica U —T. Con ella y con ayuda de la definición del factor tiempo T puede relacionarse a fin de cuentas el concepto U con el tiempo t y de esta manera conocer la evolución del proceso de dre naje con el tiempo. Un procedimiento práctico para disminuir las presiones neutrales producidas por un vaciado rápido consiste en intercalar drenes en la zona aguas arriba de la presa; éstos se construyen o con capas ho rizontales de material permeable y filtros o con capas inclinadas a un ángulo parecido al talud aguas arriba, con comunicación al exterior. Estos drenes facilitan la salida del agua tras el vaciado e impiden la generación de grandes presiones neutrales.
M ECANICA DE SUELOS (III)
129
A N EXO Hl-d C o n tro l de flu jo en la c im e n ta ció n de p re sa s
En este anexo se glosará en primer lugar y someramente la pu blicación que la Sociedad Británica de Mecánica de Suelos y Cimen taciones hizo de la Primera Conferencia Rankine, pronunciada en enero de 1961 por el Dr. A. Casagrande.23 Con referencia al control de flujo de agua bajo presas y vertedo res de concreto cimentados sobre roca, la tecnología moderna ha ido asentando criterios cada vez más racionales, con base en medidas de las subpresiones actuantes al nivel de la cimentación y en justifica ciones teóricas cada vez más apegadas a la realidad observada. Hace unos 35 años, las hipótesis de diseño en lo que a la subpresión se refiere eran bastante más conservadoras que las actua les. Actualmente se considera que en el tipo de estructuras de que se habla las fuerzas de subpresión se disminuyen grandemente usando u n a combinación de una pantalla de inyección, cerca del pie del paramento de aguas arriba de la cortina y de una hile ra de pozos de drenaje colo cados muy cerca de la citada pantalla. Esta es la combina ción de sistemas protectores que utilizan en este momento tanto el US Bureau of Reclamation como el US Corps of Engineers, dos de las institu ciones norteamericanas con mayor experiencia en la cons trucción de presas. Según tal criterio constructivo, las hipó tesis de diseño en boga con sideran como distribución de Efectos del flujo a frayes del cuerpo de una subpresiones una lineal com presa de tierra. Presa Guadalupe. México puesta, con una caída hasta (Cortesía del Dr. Raúl Marsal) un cierto valor desde el nivel del agua en el pie del talud aguas arriba hasta un punto situa do en la hilera de pozos y otra, también en línea recta, desde ese punto hasta la presión que haya en el pie del talud aguas abajo
Mecánica de Suelos III
130
CAPITULO III
(fig. III-d .l). La fracció de la h total de la presa (diferencia total de nivel de agua a uno y otro lado de la cortina) que se considera existe en la zona de los pozos de drenaje para fines de diseño va ría entre h/3 y ñ/4 en las prácticas y especificaciones más usadas. Las mediciones de subpresiones en las bases de cortinas y verte dores de concreto confirman que las hipótesis de diseño anteriores son conservadoras, como puede observarse en el caso de la presa Hiawassee de la fig. III-d .l. En la combinación de pantalla impermeable e hilera de drenes, que se ha mencionado como el medio hoy usado para abatir las sub presiones, se considera fuera de toda duda que la influencia de los pozos de drenaje es decisiva. Respecto a la pantalla impermeable se duda mucho de su eficiencia, siendo este tema uno de los de mayores polémicas del presente y, en especial, muchas mediciones como las que se muestran en la ya citada fig. III-d .l apuntan a que la pantalla impermeable no funciona como tal y que, por lo tanto, su eficiencia es muy baja. Lo anterior es cuando menos la opinión del Dr. A. Casagrande, sobre todo en el caso en que la pantalla impermeable esté constituida por una sola hilera de po zos de inyección. Como claramente lo indica el Dr. Casagrande, de ser la pantalla impermeable eficiente, en el caso de la presa citada, la magni tud de las subpresiones a uno y otro lado de dicha pantalla sería bien di ferente del resultado de las medicio nes incluido en la figura. Existe un análisis teórico debido a Brahtz24 que proporciona los dia gramas de reducción de la subpre sión bajo presas de concreto, cuando se coloca una galería de drenaje al nivel de la cimentación, para dife rentes posiciones de dicha galería; el análisis supone que el terreno de ci mentación es una masa semi-infinita de roca isótropa respecto a su permeabilidad y que se cumple la ley de Darcy (fig. III-d .2). Como se desprende de la figura, FIS. III-d.l. Subpresiones medidas en la mayor reducción teórica de la sub la base de la presa presión, con respecto al caso en que Hiawassee23 no existe ninguna galería de drenaje, corresponde a la posición más hacia aguas arriba de la misma. Sin embargo, las mediciones realizadas en presas indican que la reduc-
M ECANICA D E SUELOS (III)
131
FIG. III d.2 Reducciones teóricas de la subpresión bajo una presa de concreto, para diferentes posiciones de una galería filtrante-6
ción en subpresiones que se obtiene con las técnicas constructivas en uso es mucho mayor que la que indica el estudio teórico de que se viene hablando. Una causa para esta discordancia es que en la práctica no se instalan solamente galerías, sino que éstas se com plementan con pozos de drenaje que penetran dentro de la roca una longitud muy apreciable; otro efecto real, no tomado en cuenta por el análisis teórico, es la disminución de la permeabilidad de la roca con la profundidad, que ocurre muy frecuentemente en las presas objeto de medición; finalmente, existe el hecho, causante de otra importante desviación, de que por efecto del empuje hidrostático so bre la cortina aparecen grietas profundas en la roca de cimentación bajo el paramento de aguas arriba lo que conduce a la existencia de presión hidrostática en la profundidad junteada bajo dicho paramento. Con base en estas ideas, A. Casagrande realizó un análisis más realista, basado en soluciones originalmente desarrolladas por Muskat-r'. Casagrande supone un espesor finito de roca permeable bajo el cual sigue una masa de roca impermeable; supone también que los pozos de drenaje, colocados en una hilera, se extienden cubriendo todo el espesor permeable y, además, admite que existe presión hi drostática a lo largo de la vertical por el pie del paramento aguas arriba de la cortina y hasta la roca impermeable. De este análisis se obtienen las subpresiones en función del espaciamiento y diáme tro de los pozos, de la distancia a que se desarrolla la hilera del pie del paramento aguas arriba, del espesor de la roca permeable, de la diferencia de niveles del agua a ambos lados de la cortina y del coeficiente de permeabilidad de la roca, supuesta isótropa. Los deta lles analíticos están contenidos en la ref. 23 y serán mejor compren didos por el lector que asimile el material tratado en el Capítulo V II, relativo a pozos de bombeo. Las conclusiones del análisis de Casa-
CAPITULO III
132
grande pueden resumirse como sigue: para el conjunto de datos que arriba se enlistó, existe un nivel de agua definido en los pozos de drenaje, que, de mantenerse fijo, asegura que todo el gasto que entra en el estrato de roca, es eliminado por la hilera de pozos de drenaje, con el resultado impor tante de que la superfi cie piezométrica desde la hilera de pozos hacia aguas abajo se mantie ne ya prácticamente ho rizontal y, por supuesto, a la altura del tirante de aguas aba jo. El nivel del agua en los pozos, debe mantenerse, desde luego, algo más abajo (en la magnitud h,,) que el de la superficie del a gua del lado aguas abajo de la presa. Otro aspecto de los efectos del agua de filtración a En el punto medio en través de formaciones de roca caliza. Presa Presidente Alemán tre dos pozos el nivel (Cortesía del Dr. Raúl Marsal) de la superficie piezo métrica queda por el contrario, ligeramente arriba (en magnitud hm) del nivel del agua en el talud aguas abajo. El punto de interés en el análisis estriba
DISTANCIA ENTRE POZOS
a m
RELACION DE AREAS
2r. /O
%__
2 5
5 10
FIG. Ill-d.3
Resultados d el análisis de A . Casagrande para control de subpresiones bajo una presa utilizando una hilera de pozos de drenaje
23
MECANICA DE SUELOS (III)
133
precisamente en calcular el nivel de los pozos que satisfagan las condiciones deseables, pues un nivel demasiado bajo haría que se drenase a los pozos no sólo el agua de la zona aguas arriba, sino también de la zona aguas abajo, lo que seria antieconómico y no produciría beneficio apreciable; por otro lado, si el nivel del agua en los pozos es más alto del adecuado, de manera que el gasto extraído sea me nor que el que entra desde el estrato permeable de roca, habrá un gasto remanente que se infiltrará hacia la zona aguas abajo produciendo las subpresiones que se desean evitar. En la fig. III-d.3 aparece un croquis indicativo de los resultados más im portantes a que llega el análisis de A. Casagrande. En los ejemplos numéricos de cálculo que se incluyen en la tabla anexa a la figura se ha supuesto que a = d, es decir que el espaciamiento a entre los pozos es igual a la distan cia d, entre la hilera de pozos y el pie del paramento de aguas arriba de la cortina. En la práctica es común que a sea bastante menor que d y en tonces las relaciones h¡c/ h c y hm/ h c son aún menores que las de la tabla. FIG. Ill-d.4 Solución de A . CasaEl estudio teórico de Casagrande grande para una hilera se realizó con ciertas simplificacio de pozos de drenaje sin flujo aguas abajo nes matemáticas que hacen que sus de los mismos23 conclusiones sean aplicables única mente cuando a .< 3cf y el radio de los pozos de drenaje, r„-, sea menor que el 10^c del espaciamiento a. lo cual generalmente se cumple en las obras reales. Para el caso en que se fuerce en los pozos de drenaje el nivel apropiado para que todo el gasto del flujo en la roca permeable se capte en los pozos y se elimine por la galería, las fórmulas a las que se puede llegar en el estudio de Casagrande son las que se expo nen en seguida con base en la fig. III-d.4:
134
CAPITULO III
£ = - 0 .366 - ^ 0 3 ^
(3 -6 .2 )
£= 0110-1
(3 -J.3 )
q = khc~
(3-d .4)
q ic = k h c a ^ -
(3-d.5)
En las fórmulas anteriores se suponen conocidas las magnitudes: hc, a, d. rK, D y k. Los gastos q y q w son el que entra a la roca per meable, por unidad de longitud de la presa y el que debe extraerse de cada pozo de drenaje para satisfacer las condiciones de nivel de agua supuestas, respectivamente. Como es obvio, debe tenerse: qw- q a
(3-d.6)
En la fórmula3-d.5 la relación D / d es elfactor deforma de la región de flujoentre la vertical que pasapor el pie del paramento de aguas arriba y la hilera de pozos de drenaje.
Formación calcárea mostrando cavernas y canales de di solución a causa del flujo de agua. Presa Presidente Alemán
(Cortesía del Dr. Raúl Marsal) A. Casagrande extendió su estudio teórico a casos más compa tibles con las condiciones de la mayor parte de las obras reales, como son el que el nivel del agua en los pozos de drenaje coincida con el de aguas abajo de la cortina y el que dicho nivel sea más alto que aquel. Las soluciones para estos dos casos son obtenidas por A. Casagrande superponiendo a la solución vista arriba un flujo unifor me con gradiente constante (;¡ ) en el manto de roca permeable; la superposición es válida, pues ambos casos corresponden a soluciones matemáticas de la ecuación de Laplace.
MECANICA DE SUELO S (III)
135
La solución del primero de los casos se obtiene recurriendo al siguiente artificio: se supone, en primer lugar, que el nivel del agua en los pozos coincide con el de aguas abajo y se denomina en este caso h t a la verdadera dife rencia de niveles de agua a ambos lados de la cortina: en segundo lugar, se calcula a qué nivel debería de estar el agua aguas abajo para que todo el gasto filtrado en la roca fuera captado por los pozos y no hubiera ni gasto ni subpresión atrás de estos, es decir, se calcula un hc fic ticio que resulta naturalmen te menor que ht (ver fig. I*— i— +------- »--------H III-d.5). Como realmente el nivel FIG. III-d.5 Solución teórica por A . Casagrande para el caso en que el nivel del del agua está en una posición agua en los potos de drenaje coin más baja (correspondiente a cida con el de aguas abajo de la cortina =3 ht), existirá una pérdida de carga adicional en el flujo igual a h t—hc, por lo tanto, habrá un gradiente en la roca permeable, i,, constante igual a: U-
ht — hc b + d
(3-d.7)
donde b + d es el ancho total en la base de la presa, tal como se ilustra en la fig. III-d.5. Lo anterior puede resumirse con lo siguiente: entre la hilera de pozos y aguas abajo de la cortina existe un flujo con gradiente it y entre aguas arriba y la hilera de pozos existe un flujo con gradiente: -
_ h i - hr + ( h t — hc) = -T + h d
(3-d.8)
La subpresión atrás de la hilera de pozos se deberá únicamente al flujo con gradiente it y, por lo tanto, estará dada por una línea recta que partiendo del nivel del agua del lado aguas abajo de la presa tendría una ordenada en la hilera de pozos igual a bit. llaman do a esta carga de agua uw se tiene entonces: uw = b i t
(3-d.9)
Lo anterior permite conocer la subpresión bajo la cortina, excepto en la zona vecina a la hilera de pozos y en los pozos mismos, pues
CAPITULO
136
in
en esas zonas hay desviaciones causadas por los pozos mismos res pecto a la ley lineal. Esto se ilustra en la ya citada fig. III-d.5. Para este' caso la hc ficticia se determina con la fórmula: h, = 1+
a 1 b + d ln 2tt d b 2it rw
(3-d.lO)
y los gastos están dados, como es fácil prever por: Gasto total: q — k Diw
( 3 - d. ll )
Gasto que no captan los pozos: q t - k Di t
(3-d.l 2)
qj __ h q *10
( 3-d. 13)
Relación de gastos:
Las anteriores ecuaciones también están sujetas a las limitaciones de que — < 3 y < 0.1, ya citadas anteriormente. d a El resultado importante para este caso, cuando el diámetro y separación de los pozos es adecuado, es que la subpresión total de trás de la hilera de pozos resulta prácticamente des preciable. En los Estados Unidos se ha encontrado que diámetros de 15 cm y espaciamientos de 1.5 m son las magnitudes más adecua das para esos conceptos. El segundo caso citado cuando el nivel de agua en FIG. Ill-d.6 Solución teórica por A . Casagrande los pozos es superior al de para el caso en que el nivel de agua aguas abajo de la presa en los pozos de drenaje sea superior al de aguas abajo de la cortina -3 es completamente similar al anterior y se considera superfluo insistir en detalle en ello y basta incluir las fórmulas res pectivas, que con respecto a la fig III-d.6, son las siguientes:
MECANICA DE SUELOS (III) Para la /?,. ficticia,
hr = 1+
h, — Ah, b + d 1 a b + d ln 2ñ d
2
137
(3-d. 14) tz
r
Los gradientes hidráulicos son los mismos dados por las expre siones 3-d.7 y 3-d.8. Los gastos también son los mismos obtenidos p'ara la solución anterior por medio de las ecs. 3-d.11, 3-d.12 y 3-d.13 y la subpre sión tiene también ley lineal similar a la del caso anterior, con un quiebre a la altura de la hilera de los pozos cuya ordenada vale:
u,„ — b i, + Ahw
(3-d,15)
que es el mismo valor dado por la (3-d.9), pero incrementado en la magnitud A que es la diferencia de niveles entre el espejo de agua en los pozos de drenaje y el de aguas abajo de la presa. Ahora, el valor de la subpresión depende, por lo tanto, del que se permita para De todo lo anterior se deduce que la posición de la galería fil trante a la que drenan los pozos constituye un punto delicado que debe estudiarse cuidadosa mente en el proyecto de toda cortina de concreto. Otro punto de interés que discute A. Casagrande en la ref. 23 es el relativo a la efi ciencia de las pantallas im permeables. Con base en las mediciones por él realizadas y en algunos estudios y com paraciones teóricas. Casagrande llega a la conclusión de que una pantalla consti tuida por una sola hilera de Caverna producto de la tubiiicación y arrastre pozos de inyección es de un en el cuerpo de la presa Guadalupe, México valor dudoso y que sus efec (Cortesía de! Dr. Raúl Marsal) tos, en todo caso, pueden al canzarse por métodos más sencillos o más económicos, como son la oportuna modificación de la posición de la galería filtrante y la línea de pozos de drenaje o la colocación de un delantal impermeable. Considera que en el mejor de los casos una pantalla de una sola hilera reduce el gasto en un 3 0 'r, valor escaso si se considera el alto costo de estas obras auxiliares.
hK,
Ah,,,.
CAPITULO III
138
Con el objeto de dar algo de indicación sobre el criterio con que convenga afrontar un caso real, en la fig. III-d.7 se presentan algunos esquemas correspondientes a los diagramas de subpresiones que sería de esperar encontrar en varios casos en que se utilizan pantallas de inyección de una sola hilera de puntos de inyectado y pozos de dre naje, así como el efecto que en la subpresión pueden tener algunas condiciones geológicas especiales. ID
D R E N A JE
EF E C T IV O
N IVEL EN L O S D R E N E S B A JO E L T IR A N T E AGUAS A B A JO .
i f ) S U B P R E SIO N EX C ESIV A PNOTUNCHDA DE POZOS INSU FICIEN TE -
U ) D REN A JE E F E C T IV O \
NIVEL EN LO S \ D R E N E S SO BRE \ E L TIRA N TE \ A t U A S ABAJO
•rrrr.T .
( k ) P R E S IO N E S DE PONÍ' P E L IS R O S A S EN L t S O C A , POR CONDICIO N E S SEO LO S IC A S \ IN A PR O PIA D A S.
( f) D R E N A JE NO E F EC T IV O \ ( p o z o s p o c o p^a. \ FUN DO S.)
FIG. III-d.7 Diagramas hipotéticos de subpresiones bajo uno cortina de concreto
a)
En el caso de la figura se ilustra el efecto de una pantalla impermeable perfecta; como es obvio, la subpresión tras la pantalla co rresponde al nivel de aguas abajo de la presa, en 'tanto que en la pantalla hay una violenta caída de presión a partir de la correspon diente al nivel del embalse. En la parte de la misma figura se muestra el efecto de una pantalla razonablemente eficiente, pero ya no teóricamente perfecta (de hecho, el dibujo supone que la pantalla alcanza a detener un gasto del orden de la mitad del total). Nótese que ahora existe una subpresión considerable aguas abajo de la pantalla. En la parte se esquematiza el efecto de una pantalla razona blemente eficiente, como la que se vio en la parte más una hilera de pozos de drenaje (líneas punteadas) que se extienden cubriendo todo el espesor permeable de la roca. Debe observarse que con los pozos de drenaje se logra un excelente control de las subpresiones que se comentaron en el caso
b)
c)
b),
b).
M ECANICA D E SUELO S (III)
139
E l caso d ) corresponde al efecto de una hilera de pozos de drenaje cubriendo todo el espesor permeable de la roca, pero sin que estén complementados por ninguna pantalla de inyección; el lector reconocerá que el caso ilustrado se refiere a un nivel de agua en el pozo inferior al de aguas abajo existente en la presa. Es de interés notar que la hilera de pozos de drenaje produce prácticamente el mismo efecto que la pantalla teóricamente perfecta, eliminando, des de luego, el peligro de la subpresión. En la sección e) de la multicitada figura se tiene el mismo caso d ) , pero ahora el nivel del agua en los pozos se supone por encima del nivel aguas abajo en la presa. Como ya se comentó, ésto produce un cierto monto de subpresión. El esquema [) corresponde al caso en que la profundidad de los pozos de drenaje es insuficiente y, por así decirlo, algo de agua pasa bajo ellos; por tal efecto, se genera una subpresión que puede llegar a ser de consideración. El caso g ) corresponde a una situación geológicamente interesante en el terreno de cimentación de una presa. Hay un estrato permeable,
o ..
Kellen
o de,
. ,
,
,
,
una grieta causada por arrastre de-
bid o a flujo. Presa Guadalupe, M éxico
(Cortesía dei Dr. Raúl Marsai)
inclinado, que aflo ra b a jo la cortina. S e supone en el es quema que los pozos de d re n a je no llegan al estrato perm eable y que la pantalla de inyección no es te ó rica m ente perfecta. N ó tese que en estas condiciones se g en e ran subpresiones muy peli g rosas para la presa que podrían dism inuirse g ran d e m ente sin más que profundi zar los pozos de d ren a je h as ta cubrir todo el estrato perm eable. F inalm en te, en la p arte h) de la fig. III-d .7 se m uestra un caso en que un estrato perm eable entei ho. , prácticam 11 j •
rizontdi
S0
\ C SCÍÍclcio F13C13
aguas a b a jo por una falla geológica; tam bién ahora se consid era que los pozos de d ren aje no alcanzan a lleg ar al estrato perm eable y que la pantalla de inyección no es teóricam ente perfecta. N ó tese que en este caso la subpresión puede ser prácticam ente nula al nivel de la base de la cortina, dando una idea falsa este valor de la seguridad de la cortina, pues en cam bio puede existir en el nivel
140
CAPITULO III
superior del estrato permeable una subpresión prácticamente igual a toda la carga de la presa. Este punto ilustra muy claramente la nece sidad de medir la presión en el agua por medio de piezómetros que se instalen a diferentes profundidades bajo la cortina, cubriendo am pliamente la zona en que el desarrollo de altas presiones pudiera ser peligroso. También ahora es evidente que una mayor profundidad en los pozos de drenaje sería suficiente para resolver el problema esquematizado. Como conclusión de las ideas anteriores, A. Casagrande llega a las siguientes recomendaciones prácticas importantes: a) Considerando que los pozos de drenaje cuestan relativamente poco no es buen criterio nunca regatear su longitud. La mitad de la altura de la presa es un límite inferior práctico razonable pero frecuentemente tendrán que ser aun más profundos. b) Cuando exista Ja menor duda en el estado de presiones en el agua bajo una cortina o en sus apoyos, las mediciones piezométricas deberán llevarse sin ahorrar esfuerzo, para cubrir zonas sobradamente amplias. En la ref. 23, Casagrande presenta algunos ejemplos reales de las subpresiones observadas en presas del Tennessee Valley Authority y del Bureau of Reclamation, de los EU A , que respaldan las ideas y conclusiones expuestas. Para terminar. Casagrande pone sobre aviso a los ingenieros de presas sobre el hecho de que las investigaciones geológicas comunes y las pruebas normales de observación de la pérdida de agua en
F a lla d e
la P re sa S a n ta A n a A c a x o c h it lá n m ie n to d e b id o a l //u/o
p a r d e s liz a
sondeos, con fines de determinar la capacidad de absorber lechada de cemento de una formación rocosa, pueden ser desorientadoras si no se hacen conjuntamente con pruebas complementarias y muy
M ECANICA DE SUELOS (III)
MI
completas y detalladas de la permeabilidad en gran escala, incluyen do el empleo de pozos de bombeo e inyección y un gran número de pozos de observación. Para cortinas de concreto estima que este tipo de estudios debe hacerse, por lo menos, en el tercio aguas arriba del área de cimentación y, como mínimo, a una profundidad igual a la mitad de la altura de la presa. Para cimentaciones en terrenos muy permeables, en que se piense en que las pantallas de inyección sean deseables, éstas deberán consistir de varias hileras de pozos de in yección muy próximos los unos a los otros; un número de hileras ya de cierta eficiencia será tres. En cuanto a la localización de la hilera de pozos de drenaje, es costumbre que esté a un 10% del ancho de la base de la cortina a partir del pie del paramento aguas arriba de la misma, pero esta dis tancia puede llegar a duplicarse cuando se desee reducir el gasto de filtración a través de la cimentación. Con referencia a las presas de tierra, no tratadas ya por el Dr. A. Casagrande, en la Conferencia Rankine que hasta aquí se ha venido glosando, cabe decir que muchas de las ideas atrás expuestas son totalmente válidas; en especial lo que se ha dicho sobre eficiencias de pantallas de inyección y de pozos de drenaje puede extenderse al caso de presas de tierra, aparte de que en éstas, como ya se trató, es frecuente utilizar también delantales impermeables. Independientemente de que en presas de tierra se usan con fre cuencia los dentellones completos, hasta alcanzar mantos impermea bles, sean de material de corazón (cuando son poco profundos), de tablestaca metálica o de concreto, debe construirse siempre en ellas una trinchera de suficiente profundidad, rellena de material del corazón impermeable debidamente compactado; con esta trinchera se logra una mejor liga entre corazón y terreno de cimentación, ade más de que alarga las trayectorias de flujo, disminuyendo gastos y presiones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
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■
142 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
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CA PITU LO IV
ANALOGIAS Y OTROS METODOS APROXIMADOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FLUJO IV-1. Introducción La ecuación de Laplace no sólo gobierna el flujo establecido del agua a través de un medio poroso, sino que es una resolvente de va rios problemas importantes de la física aplicada; entre ellos se cuentan el flujo eléctrico a través de un conductor, el flujo calorífico, el campo magnético en torno a un conductor, el desplazamiento de una mem brana elástica en dirección normal a su plano original y varios pro blemas importantes de la elasticidad, como la teoría de la torsión y de la flexión en ciertas circunstancias. La causa de estas corres pondencias se ve clara cuando se considera que las leyes físicas que gobiernan esos fenómenos son en el fondo de la misma naturaleza; así, la ley de Darcy es análoga a la ley de Fourier en calor, a la ley de Ohm en el movimiento de corrientes eléctricas, a la ley de Hooke en el problema elástico, etc. Ante esta situación se ocurre recurrir a la analogía de uno de los problemas con otros para resolver una situación concreta que se refiere a uno de ellos, estudiando otra análoga planteada en el fe nómeno análogo, pero posiblemente más fácil de resolver. La idea básica es entonces plantear un modelo en el que se estudie un cierto fenómeno análogo al flujo de agua, reproduciendo en ese modelo las circunstancias equivalentes al problema de flujo, de manera que mi diendo los conceptos correspondientes en el modelo, se conozca el valor de los conceptos que interesen en el problema de flujo. El flujo calorífico es quizá la analogía que primero se ocurre plantear para resolver problemas de flujo de agua, construyendo una región geométricamente análoga a la región de flujo y sometiéndola a condiciones térmicas de frontera también análogas a las que se , tengan en el problema de flujo de agua. Sin embargo, la construc ción de esta región es difícil por las dificultades de aislamiento ne cesario para reproducir fronteras impermeables y de mantener tem peraturas constantes en las fronteras equipotenciales; también puede ser muy difícil en la práctica la medición correcta de las temperaturas en los diferentes puntos de la región calorífica. Por estas razones no ha sido frecuente en la práctica el uso de modelos caloríficos y, de 143
144
CAPITULO IV
hecho, los problemas de flujo calorífico son tan difíciles de resolver como lo puedan ser los de flujo de agua. El campo magnético y la membrana elástica tampoco han permi tido desarrollar, independientemente de la analogía matemática, mo delos prácticos sencillos en los que se puedan realizar mediciones precisas correlacionables con los conceptos similares en la región de flujo de agua y, por ello, estos modelos tampoco presentan interés que trascienda a ía mera curiosidad académica. El campo eléctrico, por el contrario, ha permitido desarrollar técnicas de modelos que sirven para representar de un modo relati vamente sencillo y expedito muchas regiones de flujo en condicio nes variadas de circulación del agua. En este capítulo se describen dos técnicas para cubrir tal fin; son éstas las que permiten construir modelos a base de papel conductor y a base de circuitos de resisten cias eléctricas. En el capítulo se describen también otros métodos aproximados para llegar a soluciones del problema de flujo de agua dentro de la precisión ingenieril.
IV-2. El método de analogía eléctrica con papel conductor En lo que sigue se harán algunas referencias a conceptos simples correspondientes al campo eléctrico y, en general, a los circuitos eléc tricos más sencillos. Desde luego el lector estará familiarizado con tales conceptos básicos, pero aquél que lo considere necesario podrá encontrar todos los términos que se usan en este capítulo en cualquier obra elemental de electricidad aplicada, tal como, por ejemplo, la ref. 1. La correspondencia directa que hay entre un flujo establecido de agua a través de un medio poroso y el flujo establecido de una corriente eléctrica a través de un conductor queda claramente plan teada en la Tabla 4-1. TA BLA 4-1 C o r r e sp o n d e n c ia e n t r e
F l u jo
de
A gua y
C o r r ie n t e E l é c t r ic a
F lu jo d e agua
C orriente eléctrica
Carga hidráulica total, h Coeficiente de permeabilidad, k Velocidad de descarga, v Ley de Darcy, v — ki — — k grad h Ecuación de Laplace, = 0
Diferencia de Potencial, V Conductividad, a Intensidad de la corriente, / Ley de Ohm, / = — a grad V Ecuación de Laplace, V2V = 0 Líneas de corriente Lineas equipotenciales, V = cte. Frontera aislante
Líneas de flujo Líneas equipotenciales, h — etc. Frontera impermeable
MECANICA D E SU ELO S (III)
145
En el método que se comenta, la solución de un problema de flujo bidimensional exige la construcción de una región de flujo eléctrico geométricamente similar, formada con una lámina delgada de un ma terial conductor apropiado. El campo eléctrico y la región de flujo deben ser enteramente similares geométricamente hablando, ya que la analogía entre ambas situaciones físicas es perfecta, según se des prende de la Tabla 4-1. En la fig. IV-1 puede verse esquemática mente la similitud de ambas regiones para un caso específico.
FIG. IV-1.
Correspondencia geométrico entre una región de flujo y su modelo eléctrico
Entre las fronteras equipotenciales del modelo debe aplicarse una diferencia de potencial que representará a la diferencia de carga hidráulica existente entre las fronteras equipotenciales del prototipo. El problema se resuelve entonces, para un caso de flujo en una región homogénea e isótropa, midiendo el potencial en voltios exis tente en cada punto de la superficie del material que constituye el modelo, supuesto que éste es homogéneo e isótropo en lo que se re fiere a su conductividad. La medida se hace con una interruptor Batería aguja fina conductora liga | r E05 W 0 RESWTBWA da a un voltímetro. En la fig. IV -2 se representa es - e VOLTIMETRO quemáticamente un modelo Y tz h i/x : a original de Pavlovsky que, M j I r , incidentalmente, parece ser L P u n ta £ el primer modelo construido con las técnicas que aquí se describen, en una época tan lejana como 1918'-’. Una vez FIO. IV-2. Modelo original de Pavlovsky para representar el flujo bajo una presa8 conocido el potencial en un número suficiente de puntos de la superficie conductora es posible trazar líneas de igual potencial eléctrico que representarán directamente a equipotenciales de la re gión de flujo; si las equipotenciales eléctricas se han trazado con
Mecánica de Suelos III
146
CAPITULO IV
un ritmo de caída constante, se habrán obtenido directamente las equipotenciales que interesan en la región de flujo. El procedimiento más sencillo para trazar la red de flujo, una vez obtenidas las equipotenciales, es simplemente dibujar la familia de líneas de flujo ortogonales, constituyendo una red de cuadrados. Otra posibilidad de redondear el problema es invertir el modelo eléctrico, convirtiendo las fronteras equipotenciales en fronteras ais lantes y recíprocamente (modelo conjugado); las líneas equipoten ciales obtenidas en este segundo modelo son las líneas de flujo del primero, como podrá entender fácilmente el lector familiarizado Con el planteamiento matemático del problema de flujo. Este segundo procedimiento es más complicado que el primero y tiene el inconve niente adicional de no proporcionar una red de cuadrados, excepto en el caso de pna casualidad con la que no es conveniente contar. En este caso se obtiene una red de rectángulos de misma proporción largo-ancho, de la que adicionalmente será fácil obtener la red de cuadrados. Para obtener las lecturas sobre el papel conductor usando la aguja conductora, caben varias posibilidades, una de las cuales, ya men cionada, es simplemente hacer lecturas al azar hasta tener suficiente número de puntos como para trazar las equipotenciales; las lecturás se hacen con un voltímetro colocado en paralelo respecto al circuito principal. Generalmente un voltímetro de tubo al vacío, de alta resis tencia, es el que debe usarse ya que es esencial que no se extraiga corriente eléctrica de la región de flujo eléctrico al colocar sobre ella la aguja conductora para efectuar la medición. Otra alternativa, más usada, es utilizar una aguja conductora conectada a un puente de Wheatstone. En este caso es ventajoso fijar el puente de W heatstone a un potencial fijo y mover la aguja conductora sobre la lámina conductora, hasta que la lectura en un galvanómetro indique que el potencial en el punto de la zona conductora y el del puente es el mis mo, lo cual sucede cuando el galvanómetro indica que no está pasan do ninguna corriente a su través. De esta manera pueden obtenerse sencillamente las líneas equipotenciales. Por lo general, en estos modelos se usan diferencias de potencial entre las fronteras equipo tenciales del modelo que varían entre 6 a 10 voltios y es frecuente usar un ritmo entre las equipotenciales de 1/10 de la caída de poten cial total, con lo cual se obtendrán 9 equipotenciales en el modelo. La región conductora del modelo suele hacerse de hojas de papel con ductor en todo su espesor o bien papel aislante sobre el cual se ha aplicado una capa de pintura conductora, una de las cuales es una solución de gel bentonítico y grafito coloidal. Las fronteras equipo tenciales del modelo suelen ser líneas conductoras obtenidas a base, por ejemplo, de plata coloidal.
M ECANICA D E SU E L O S (III)
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Cuando la región de flujo es anisótropa, el problema puede resol verse construyendo el modelo de la sección transformada y una vez obtenida la red de flujo en esta sección puede llegarse a la red de flujo de la región anisótropa siguiendo un procedimiento ya discutido. En medios heterogéneos, donde la permeabilidad varía, pueden construirse los modelos eléctricos usando láminas de papel de distin ta conductividad, en tal forma que la relación de las conductividades sea la misma que la relación de los coeficientes de permeabilidad en las distintas zonas del prototipo. Sin embargo, esta solución tiene la limitación de que la disponibilidad de láminas conductoras de diver sa conductividad es limitada en el mercado y no es fácil encontrar las conductividades que guarden la requerida relación entre ellas para la construcción del modelo. Además, en estos casos se tiene la difi cultad práctica de lograr una buena liga entre las distintas láminas para construir el modelo deseado. Cuando los coeficientes de permea bilidad de los medios que constituyen el sistema heterogéneo no varían mucho entre sí (de hecho, como se verá más adelante, la rela ción deberá estar en la práctica comprendida entre 1 y 8) hay un procedimiento sencillo e ingenioso para reducir la conductividad de un medio al valor conveniente respecto a la del otro, más conductor, sin necesidad de recurrir a papeles conductores distintos. E l proce dimiento consiste en reducir la conductividad del medio reduciendo el área conductora del papel que lo representa, haciéndole agujeros generalmente circulares; una perforadora corriente de oficina cumple el cometido en forma satisfactoria. Como es fácil ver, el límite a que puede reducirse la conductividad por disminución del área conductora es lá condición en que los círculos sean tangentes y se dispongan en su máxima com pacidad; matemáticamente, considerando tres círculos iguales de radio unitario que tengan sus centros en los vértices de un triángulo equilátero y que sean tangentes entre sí, se ve fácilmente ^
Area sólida Area total
V3
Tt/2 V^"
1 1 0 .8
Se ve así que el área inicial de papel conductor puede reducirse teóricamente hasta 1/10.8 haciéndole agujeros circulares tangentes entre sí. Evidentemente en la práctica deberá quedar algo de espa cio sólido entre los agujeros, por lo que se ha recomendado al princi pio una reducción que no exceda 1:8. El tamaño del círculo obvia mente no interviene en la relación, si todos son iguales; con círculos diferentes pueden lograrse reducciones de área más grandes, pero ello es incómodo. Todo lo anterior vale para modelos de flujo confinado, en que las fronteras de la región de flujo son conocidas a priori, pero en el caso en que una frontera sea libre, como una línea de corriente superior en una presa, por ejemplo, el problema se complica algo,
148
CAPITULO IV
ya que no hay ningún concepto en el flujo eléctrico análogo a ese del flujo de agua gravitacional. Lo anterior, en principio, exige el cono cimiento previo de la línea de corriente superior. En la práctica lo que se hace es suponerla de acuerdo con el criterio y experiencia del proyectista (la determinación aproximada por el método de A. Casagrande, ya vista, es de gran ayuda como una base de tanteos). Para la línea de corriente superior correcta debe cumplirse en el prototipo que las diferencias de altura entre puntos de igual caída de potencial hidráulico sean iguales y en el modelo que las diferencias de poten cial eléctrico entre los puntos correspondientes sean también iguales; en otras palabras, en un modelo que tenga una línea de corriente superior correcta debe exis tir una ley lineal entre las elevaciones de los puntos en que las equipotenciales cor tan a la línea y los poten ciales eléctricos de esos pun tos; esta ley puede dibujarse como se ve en la fig. IV -3. En la figura se ha ejem plificado un caso en que la caída de carga hidráulica en el prototipo se ha represen tado por un metro en el mo delo y en que se usó una FIG. IY-3.
Tonteo, poro determino, la posición C aíd a ‘ 0 t a l d e P o te n c ia l e lé c correcto de una lineo de corriente trico de 20 voltios. Por una superior línea llena se representa la
ley lineal que debe cum plirse enel modelo con la línea de corriente superior con que se haya recortado el papel, si el trazo que se supuso para esa línea fue el correcto; sin embargo, lo lógico será que el primer tanteo no conduzca a la posición exacta de la línea, por lo que se obtendrán sobre la gráfica los puntos aislados que se muestran en la fig. IV -3. Con base en la comparación entre la posición de esos puntos y la ley lineal deberá modificarse eltrazo dela línea de corriente superior supuesta, acercándola másasuposicióncorrecta. Como es natural conviene que el primer tanteo de la línea de corriente superior sea conserva dor, es decir con un trazo que quede por arriba del correcto, para poder llegar a una mejor solución a base de recortes del papel con ductor; en caso contrario, cada tanteo exigirá un nuevo modelo ya que no es conveniente en la práctica hacer añadidos al papel con ductor. Si la línea de corriente superior ha sido trazada con la in exactitud del lado que se recomienda, las lecturas en el modelo pro ducirán puntos en la gráfica situados por encima de la ley lineal.
M ECANICA D E SU ELO S (III)
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Un problema especial y de importancia en modelos de presas es el que se plantea para representar la zona que hay entre el punto de salida de la línea de corriente superior (punto de tangencia) y el pie del talud aguas abajo o el punto a donde llegue el tirante aguas abajo, si lo hubiere, pues esa superficie libre no es línea equipotencial ni de flujo y, por lo tanto, no puede simplemente recortarse el modelo por esa línea dejándola aislada, pues eso equivaldría a con siderarla linea de flujo; tampoco puede recubrirse la superficie libre con la solución de plata conductora, pues eso seria lo mismo que suponerla equipotencial. Desde luego, en la superficie libre de descarga debe cumplirse la ley lineal entre elevaciones y voltajes que se ha discutido arriba para la linea de corriente superior. Con base en este hecho y con referen cia a la fig. IV -4, el problema planteado puede resolverse con sufi ciente aproximación como sigue:
F1S. IV-4.
Represenfación de ¡a superficie de descarga en una presa
En el punto de tangencia hay un potencial hidráulico h 0 (cono cido haciendo, por ejemplo, la construcción de A. Casagrande para determinar ese punto), al cual debe corresponder un potencial eléc trico E , en el modelo, de acuerdo con la equivalencia de escalas de ambos potenciales con que el modelo se haya construido. Se sabe también que en el pie del talud de aguas abajo hay un potencial cero (se supone que no hay tirante aguas abajo). Éntre y 0 debe haber una distribución lineal del potencial según la elevación, lo que sugiere hacer un añadido triangular al modelo con papel conductor (rayado en la fig. IV -4 ) con un ancho en su parte superior tal que al establecerse el flujo de corriente eléctrica en el modelo se produzca en el punto de tangencia el potencial E l requerido. Para lograr todo esto será necesario proceder por tanteos probando triángulos de di ferentes anchos. Estos tanteos deberán combinarse con los necesarios para obtener una buena línea de corriente superior que, al fin y al cabo, fijará la posición del punto de tangencia que limita la superficie libre.
150
CAPITULO IV
IV-3. El método de analogía eléctrica con mallas La perforación de agujeros en el papel conductor de que se habló en la seccióií anterior, produce en definitiva una zona conductora formada por canales de conducción de corriente bordeados por áreas aislantes (aire); esto sugiere un paso adelante que permite plantear un modelo eléctrico de la región de flujo sobre bases aparentemente diferentes aunque en esencia son las mismas que en el modelo de papel conductor. Se trata ahora de representar la región de flujo por una malla de alambres conductores, cuyas resistencias están relacionadas con las capacidades hidráulicas de las partes de la región de flujo re presentadas por los alambres conductores en cuestión. Los alambres suelen disponerse en cuadrícula y se pierde ahora la similitud geomé trica entre modelo y prototipo; la resistencia de cada alambre debe quedar definida por' las condiciones hidráulicas del fragmento de la región de flujo que el alambre representa. En la fig. IV -5 se muestra esquemáticamente la idea básica que define ahora la relación entre modelo y prototipo.
,iT
a)
T
•------II------ * F .
R
1
i^ J f
J
1 1 IÉ
¡■
"
m 1 1
b) FIG. IV-5.
c)
Ideas básicas que fundamentan el modelo eléctrico del flu¡o a base de mallas
En la parte a) de la figura aparece un fragmento de la región de flujo real(rectángulo A B C D ). Si se considera que el flujo del agua ocurre sólo en la dirección horizontal, el gasto en el canal de flujo definido por el rectángulo de ancho n y longitud m está dado por: Aq = k iA = k — n = — Ah
m
m
(4-1) '
MECANICA DE SUELOS (III)
151
Considérese el alambre entre los puntos 1 y 2 con resistencia R. Si entre 1 y 2 existe la diferencia de potencial V, se establecerá entre los dos puntos una corriente de intensidad / = -j£ V
(Ley de Ohm)
(4-2)
Si se comparan las ecs. 4-1 y 4-2 se observa que conceptualmente el potencial hidráulico representado por Ah corresponde al poten cial eléctrico V y que la conductancia eléctrica (1 /R ) tiene su tér mino similar en el caso del flujo en la expresión kn/ m a la que se ha llamado conductancia hidráulica. Se ve entonces que el alambre conductor con su resistencia R puede representar al fragmento de la región de flujo hidráulico con base en una similitud física que puede plantearse experimentalmente con sencillez. En realidad, en una región de flujo cualquiera existe componente vertical y horizontal de la velocidad del agua, por lo que la repre sentación en el modelo exigirá alambres conductores en esas dos direcciones; se llega así a la malla cuadriculada como forma conve niente para el modelo. En la parte b) de la fig. IV-5 se ve una parte de una región de flujo real sobre la que se ha señalado arbitraria mente la cuadrícula de puntos A , B, C, D , etc. Con el criterio que se desprende de la figura puede asignarse a cada tramo A B, BD, etc., considerados como canales de flujo, áreas tributarias, en el sen tido de que se supone que pasa por el canal el gasto que realmente pasa por el área tributaria. Así, al segmento A B le toca como área tributaria el rectángulo E F H G y al segmento BD (en dirección ver tical) el rectángulo IJLK . El Aq que pasa por el canal A B será: A
AhAB
(4-1) ' '
A
(4-3)
m
y el gasto que pasa por el canal BD :
y son las permeabilidades del medio poroso en la dirección horizontal y vertical, respectivamente. En la parte c) de la fig. IV -5 aparece la malla eléctrica que se supone representa al fragmento de la región de flujo que se dibujó en la parte b) de la misma figura. Los puntos a, b, c, d, etc., repre sentan a los A, B, C, D, etc., respectivamente. En cada tramo de la cuadricula de la región de flujo puede calcularse la conductancia hidráulica ( C ) ; por ejemplo, en los tramos A B y BD, éstas valen;
152
CAPITULO IV
C bd —
( 4 -4 )
m
En los tramos de la malla eléctrica que constituye el modelo de berán usarse resistencias tales que las conductancias eléctricas entre cada dos nodos representen las conductancias hidráulicas entre puntos correspondientes del prototipo; esto conduce a que entre conductancia eléctrica e hidráulica existe siempre la misma relación de escala en todas las zonas de modelo y prototipo y esta resulta ser la ley básica que debe regir la construcción del modelo, si se desea que leyendo los potenciales eléctricos en los nodos de la malla se obtengan los potenciales hidráulicos en los puntos correspondientes del prototipo. Nótese que con tal de que se cumpla la anterior relación entre conductancias, no interesa ya la distancia entre los nodos del modelo, por lo que, como ya se señaló, no se requiere ninguna relación geo métrica específica entre modelo y prototipo, aunque muchas veces, por conveniencia práctica, la silueta del modelo pudiera reproducir la región prototipo. Como antes se dijo, la intensidad de corriente entre dos nodos sigue la ley de Ohm (obviamente los modelos se construyen siempre con conductores lineales) y puede expresarse como: (4-2)
I = ± V
1/ R es la conductancia eléctrica, siendo R la resistencia. Si K es la relación de escala entre conductancias eléctricas e hidráulicas, se cumplirá: (4-5)
C = K -L En particular para el tramo ab : C k n — aK D^ i^.is — «q ^
de donde
=
*\.ab <«>
•La ecuación anterior define la resistencia que debe colocarse entre los nodos a y b si se conoce K.
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
153
Análogamente, la resistencia que debe colocarse entre los nodos b y d puede obtenerse similarmente
de donde (4-7) En la práctica inclusive no se hace necesario conocer o fijar K para calcular las diversas resistencias. En efecto, como quiera que se trabaja con resistencias obtenibles comercialmente, basta fijar una de ellas, denominada resistencia base y calcular todas las demás a partir de ella; si la resistencia base arbitrariamente elegida es R ub, se tendrá que: K = k 1 — R nb m Valor que llevado a la expresión 4-7, permite calcular R hd en términos de la resistencia base y sin necesidad de conocer K : (4-8) La (4-8) proporciona la ley general para obtener la resistencia entre dos nodos cualesquiera a partir de la resistencia base y es la regla fundamental para la construcción de un modelo de malla. Y a a esta altura, el lector habrá tenido ocasión de constatar que en los modelos de malla no presenta ninguna dificultad especial el trabajar con suelos anisótropos o heterogéneos con tal de conocer las permeabilidades en todos los puntos del medio y en todas direc ciones; de hecho, en los razonamientos anteriores ha venido trabaján dose con dos permeabilidades diferentes según la dirección de flujo: k¡ en la dirección horizontal y k~ en la vertical. La resistencia básica se escoge de tal manera que haga que las resistencias del modelo resulten del orden comercial y que este últi mo resulte sencillo y manejable; en la práctica muy frecuentemente conviene que esté comprendida entre 100 y 500 ohmios. Una vez construido el modelo debe aplicarse una diferencia de potencial apropiada entre las fronteras equipotenciales del modelo eléctrico que representan las fronteras de mismo potencial hidráulico en la región prototipo. Usando un voltímetro de gran resistencia (el tipo de tubo al vacío es apropiado para el caso) podrán leerse los potenciales eléctricos en los nodos del modelo, que representarán los potenciales hidráulicos en los puntos correspondientes del prototipo; hecho ésto, podrán trazarse las líneas equipotenciales en el prototipo interpolando entre los valores obtenidos. La red de flujo podrá com-
154
CAPITULO IV
pletarsc trazando las líneas de flujo ortogonales a las equipotenciales, de manera que se formen los consabidos cuadrados. Aunque las fórmulas 4-6 y 4-8 proporcionan la forma de obtener cualquier resistencia en términos de la básica, en todo modelo prác tico se presentan zonas en que la aplicación de la ley es hasta cierto punto especial y que es conveniente analizar, siquiera someramente, por separado. Los principales casos se ilustran a continuación. 1. Frontera im perm eable en la dirección d e la cuadrícula En este caso es común que los nodos de una hilera de la cua drícula caigan sobre la superficie impermeable, tal como se ve en la fig. IV -6. En este caso, las conduc tancias hidráulicas en los seg mentos A B y BD son las *— m ---- * mismas dadas en las expre lB Al siones 4-4 y, por lo tanto, las in ■ resistencias se calcularán tal como ha quedado establecido; sin embargo, la conductancia vs.\y/AV/s~v/w//?/n rn m . hidráulica que se atribuye al segmento C D deberá ser la IMPERMEABLE mitad de la del segmento A B, FIG. IV-6. Cálculo de resistencias en elemen pues al segmento C D única tos que caen sobre una frontera mente le es tributario medio Impermeable paralela a la cua canal, por lo que la conduc dricula tancia hidráulica a considerar en el segmento C D será:
c CD = k ^
= K
de donde
x -‘ = 2 K %
1 R cd (4-9)
Es decir, la resistencia del elemento eléctrico cd será doble que la del ab, reflejando menor conductancia hidráulica. 2.
F rontera entre dos suelos d e diferen te perm eabilidad en la di rección d e la cuadrícula
Este caso se ilustra en la fig. IV-7, La resistencia del segmento A B puede obtenerse en la forma normal, pero las de los segmentos BD y CD han de calcularse de
MECANICA DE SUELOS (III) un modo especial. En primer lugar, la resistencia en el segmento BD estará ahora dada por la suma de dos re sistencias en serie (resisten cia equivalente) que cubran los tramos de longitudes ni y «2, en los medios 1 y 2, respectivamente. Así:
Rbd = K
155
• FAOATEAA
FIG. IV-7.
+ K
Cálculo de resistencias en elementos próximos a una frontera entre dos suelos de diferente permeabilidad
= K \m Í - njkx r + -mnÍk2 - ))
(4-10)
La resistencia R CI¡ resulta en cambio de dos resistencias en para lelo, representativas de los canales de ancho [ (n/2) — n2] en el ma terial l y [( n / 2 ) + n 2] en el material 2; así se obtiene: 1
Red
"2
n~ Km
J _ (n_ K
+ n2 kx +
K m
k2 —
2n2)kx + (n + 2 n2)k 2 2m
(4-11)
En este caso se ha supuesto que los medios 1 y 2 son homogéneos e isótropos en sí mismos. Si fueren anisótropos, la forma de proceder se estima obvia. 3. Frontera entre dos suelos d e diferente perm eabilidad sesgada res pecto a la cuadrícula E l caso se discute en relación con la fig. IV-8. En este caso y a fin de evitar cálculos laboriosos puede procederse con suficiente exactitud transformando el trazo real de la frontera, que se muestra en la parte a) de la figura, en el trazo escalonado que
FIG. IV-8.
Cálculo de resistencias en una frontera entre dos suelos de diferente permeabilidad sesgada a lo cuadricula
CAPITULO IV
156
aparece en la parte b) de la misma, lin a vez hecha esta transforma ción, las resistencias pueden calcularse con las ideas expresadas en el caso 2, analizado más arriba. Si la frontera es del tipo entre suelo y zona impermeable puede precederse de idéntica manera, recurriendo ahora a las fórmulas del caso 1, después de obtener el trazo escalonado. 4. Frontera constituida por una línea d e corriente superior Este caso es muy frecuente, sobre todo en el importante y común análisis de flujo en presas de tierra y presenta particularidades que
1
—
% B' A
B
\ \
C
\ D\
1
D
\
FIG. IV-9.
Frontera constituida por una linea de corriente superior
M ECANICA D E SU ELO S
(III)
157
ameritan un estudio con mayor detalle, el cual se efectúa en conexión con la fig. IV -9. En principio, este caso puede resolverse con un escalonamiento análogo al visto en el caso 3, considerando a la línea de corriente superior como una frontera entre una zona de flujo de agua y otra en el cual no existe el flujo. Este criterio producirá un escalonamien to tal como se muestra en la parte b) de la fig. IV -9, reproduciendo en forma aproximada el contorno de la línea de corriente superior real. Sin embargo, las peculiaridades de la línea de corriente supe rior, así como su importancia hacen aconsejable y ventajoso trabajar un poco más en esta zona del modelo, realizando una corrección en los cálculos que, en esencia, equivale a haber realizado un trazo es calonado más apegado al trazo real. En efecto, según se ve en la fig. IV -9.a, la línea de corriente superior supuesta pasa realmente por los puntos B' y D', por lo que los puntos b y d, que en la aproximación anterior representaban a los B y D, deberán obtenerse mejor con base en los B' y D'. Lo mismo puede decirse de los demás puntos del mode lo en que ocurra la misma situación. Asi, por ejemplo, la resistencia del elemento ab se deberá calcular en base a la longitud AB' y con siderando al área tributaria del elemento citado un ancho adecuado que debe estimarse según como queden las cosas en la cuadricula sobrepuesta a la sección que representa a la zona de flujo; en el caso del elemento AB' de la figura, podría estimarse un ancho tributario de la zona de flujo igual a (2/3) n; análogamente la resistencia cd se calculará con la longitud CD' y un ancho n (en la fig. IV -9.a se ve que esto equivale a despreciar la influencia de un pequeño triángulo sobrante); para el caso del elemento bd, lo más aproximado podría ser calcular la resistencia en base a la longitud B'D' y considerando un ancho tributario promedio a lo largo de dicha longitud de área igual a la que no hubiese ya sido tomada en cuenta al distribuir las zonas tributarias correspondientes al elemento vertical AC. En el caso de la fig. IV -9.a, esta área puede, estimarse como la del triángulo 2 3 D' o, si se quiere aún mayor rigor, aquella menos la del pequeño trián gulo B'12. Como quiera que se trabaja con la línea de corriente superior, una vez que se hayan obtenido los potenciales en el modelo y que éstos hayan sido convertidos a potenciales hidráulicos en la sección repre sentativa del prototipo, debe obtenerse una ley lineal entre dichos potenciales hidráulicos y las alturas de los puntos correspondientes respecto a un plano horizontal de referencia. Si esta ley no se obtiene con suficiente precisión, será necesario corregir la posición de la línea de corriente superior que sirvió de partida a los cálculos, volver a calcular todas las resistencias y verificar de nuevo la ley lineal que debe satisfacerse; como guía de estos tanteos son apropiadas las ideas expuestas en torno a la fig. IV -3.
158
CAPITULO IV
En la literatura relativa al tema podrán verse algunas soluciones especiales y simplificatorias, así como mayores detalles en torno a la técnica aquí tratada; al efecto podrán ser útiles las reís. 4 y 5.
IV-4. Modelos de laboratorio *
En problemas de flujo bidimensional se han usado frecuentemente modelos de laboratorio que reproducen a escala la sección de la re gión de flujo que constituye el prototipo. Los dispositivos para alojar el modelo suelen ser tanques con paredes de vidrio, de poco ancho, dentro de los que se construye la sección por estudiar a rigurosa escala geométrica; el material más usado para reproducir físicamente las diversas regiones de flujo es la arena más o menos fina. Una vez construido el modelo y establecido un flujo análogo al que tendrá lugar en el prototipo, la forma de las líneas de flujo puede definirse fácilmente observando la trayectoria de tinturas convenientemente in yectadas en zonas próximas a las paredes del tanque; las líneas equi potenciales se trazan posteriormente de modo que sean ortogonales con las de flujo, formando red de cuadrados, si bien puede obtenerse una excelente guía de su forma en el propio modelo, sin más que instalar piezómetros en forma conveniente. El uso de arena para formar la región de flujo, sin mayor preo cupación para guardar ninguna relación específica de escala con los materiales que constituirán el prototipo, especialmente en lo referente a las propiedades hidráulicas, es permisible en tanto no se desee ob tener del modelo otra cosa que no sea la forma de la red de flujo, pues, como se recordará, ésta no depende más que de la geometría de la región de flujo en suelos homogéneos e isótropos. En el ca so de querer construir un modelo que proporcione gastos, efectos de tubificación, etc., por el contrario, los problemas de similitud física entre modelo y prototipo son tan grandes, que deben considerarse como prácticamente insuperables. Además, en los casos en que se tenga línea de corriente superior, otro efecto importante e indeseable de la falta de similitud hidráulica entre modelo y prototipo es el que tiene su origen en los fenómenos de capilaridad, pues en tanto que és tos son, en general, despreciables en el prototipo, pueden ser de enorme magnitud y consecuencias en el modelo. Las fronteras del tan que imponen también muy frecuentemente condiciones al flujo bien diferentes de las que prevalecerán en el prototipo, aunque este incon veniente es mucho más fácil de superar que los anteriores en la prác tica, por ejemplo alejando suficientemente esas fronteras de la zona que interesa estudiar con mayor precisión. Otro fenómeno que queda representado por ecuaciones similares a la del flujo de agua a través de medios porosos y que, por lo tanto, puede utilizarse para plantear una analogía es el flujo de un líquido
MECANICA DE SUELOS (III)
159
viscoso entre dos placas paralelas a escasa separación una de la otra. Con esta base Helle-Shawa>778 desarrolló un modelo, que lleva su nombre, y que se usa aún frecuentemente en los laboratorios. El modelo consiste en dos placas de vidrio grueso, paralelas y próximas, entre las que se coloca, formada con plástico, la sección completa de la estructura bajo la que se desea estudiar el flujo; esta sección está en contacto con las paredes de manera que el fluido viscoso no se puede filtrar lateralmente. Un líquido de viscosidad elevada ( frecuen temente glicerina) se coloca en el modelo, de manera que reproduzca a escala el tirante que genera el flujo en el prototipo y se permite que se establezca la circulación correspondiente; con colorantes puede seguirse la forma de las líneas de flujo que se producen. El modelo debe guardar completa similitud geométrica con la sección prototi po en estudio. En la ref. 3 puede verse con detalle el fundamento teórico de estas ideas, así como algo más de información sobre la técnica experimental.
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CAPITULO V
EL METODO DE RELAJACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FLUJO V - l.
Introducción
El método de las relajaciones introducido por R. V . Southwell1' 2 y 3, hace aproximadamente 25 años es uno de los más pode rosos, difundidos y prometedores para muchos problemas de la ingeniería que pueden expresarse por medio de ecuaciones diferen ciales y cuyo cálculo directo resultaría dificultoso y tardado, sino imposible. El método ha recibido todavía un más fuerte impulso con el advenimiento de las computadoras electrónicas, que han hecho sumamente fácil y rápido el cálculo numérico susceptible de sistema tización. El método está basado esencialmente en el cálculo de dife rencias finitas y consiste en la reducción de una ecuación diferencial parcial a una ecuación algebraica de diferencias finitas; esta última debe satisfacerse en la vecindad de todo punto de la región en que se satisfaga la ecuación original. El método tiene la ventaja de ser muy flexible para su adaptación a condiciones de frontera muy diversas, así como a variaciones de los diferentes parámetros que rijan el problema; en particular, en el caso de flujo, permite analizar la región con diferentes valores del coeficiente de permeabilidad, tanto en medios homogéneos e isó tropos, como en medios heterogéneos y anisótropós. Otra ventaja im portante estriba en que envuelve principios de fácil comprensión y puede aplicarse para obtener resultados con cualquier grado de apro ximación deseado. Deben, sin embargo, anotarse dos desventajas del método: la primera es que no proporciona una solución general, sino que debe aplicarse a cada caso particular; la segunda es que el tra bajo que involucra para obtener soluciones muy aproximadas es te dioso, cuando no ha sido programado para su solución con computa doras electrónicas. V -2 .
La ecuación de Laplace expresada en diferencias finitas
Considérese una región de flujo bidimensional referida a un sis tema coordenado ortogonal (x, y ) y sea h = f (x, y ) una función en la región, representada por una superficie en el espacio ortogonal ( h, x, y ) ; considérese que el plano (x, y ) está cuadriculado vertical 161
Mecánica de Suelos III
162
CAPITULO V
y horizontalmente por líneas rectas que formen cuadrados de lado Ax = Ay = a. En cada nodo de tal cuadrícula h tiene un cierto valor que puede imaginarse repre sentado por un segmento orto gonal a escala dirigido hacia arriba o hacia abajo según el signo de h; los extremos de es tos segmentos estarán alojados en la superficie h = / (x, y ). Se considerará para fines de la exposición que sigue4 que la región de flujo es Homogénea e isótropa. Con referencia a la fig. V -l puede observarse que se ha to mado al nodo 0 y a sus vecinos 1, 2, 3 y 4 como punto de par tida para el análisis. En la parte a) de la figura aparece la traza de la superfi cie h = f (x, y) según el plano vertical que pasa por los nodos 3, 0, 1 de la cuadrícula de la región [parte b) de la misma figura}, línea en la que y — cte, por lo que la curva 3' 0' 1 es una relación entre h y x, para un valor particular de y [h = f ( x ) ] Si el valor de h en el nodo 0 se supone cono FIG. V-l. Obtención de la ecuación de La- cido (ho), los valores de h en place expresada en diferencias los nodos 1 y 3 (ht y h 3, res finitas pectivamente) pueden calcularse por medio de la serie de Taylor, obteniéndose:
b)
+ (5-1) + En la segunda ecuación figura —a, por estar el nodo 3 a la izquier da del 0; de ahí que las potencias impares de a produzcan términos negativos.
MECANICA D E SUELOS (III)
163
Restando las dos expresiones 5-1 y despejando {d h /d x )0. se tiene: <5-2 > Si el intervalo a es lo suficientemente pequeño, el segundo término del segundo miembro de la expresión 5-2 y los términos subsiguientes son despreciables respecto al primer término; así, la ec. 5-2 puede escribirse como;
( § ) .= = < * • - * ■ >
(5 -3)
Análogamente, si se suman las dos series 5-1 y se despeja (d2h /d x -)0, se obtiene: ( * h \ = i _ ( h r + h a - 2 h 0) \ d x -Jo a-
(5-4)
donde se han despreciado también términos de orden superior. D e un modo totalmente análogo, pero trabajando sobre un eje de la cuadrícula trazada sobre la región de flujo, en el que x — cte (vertical, tal como el 402 de la fig. V - l ) , pueden obtenerse expre siones similares para (3h /d y ) 0 y {d2h /d y - ) 0, resultando:
( f ) .=
¿ <*■-*•>
(p )„ = í r
<5-5» 2W
<5-6>
Sumando las (5 -4 ) y (5 -6 ) se llega finalmente a:
(0 ). +
( 0 ) . = ' =
i r <*■+
+ *• + *• - 4W
(5-7)
Si en el punto 0 se ha de cumplir la ecuación de Laplace por ser de la región de flujo, en dicho punto debe tenerse: (V?h)„ = 0 = - 4 (h , + h 2 + ha + h> - 4Ao) cl~
(5-8)
La (5 -8 ) expresa que si en el punto 0 se ha de cumplir la ecua ción de Laplace, el valor de h (potencial) en dicho punto debe rela cionarse con los valores de h en los cuatro puntos vecinos a 0 con la ley expresada. La ecuación representa también a la ecuación de Laplace en el punto 0 en términos de diferencias finitas entre el valor de h en 0 y el valor de h en los puntos vecinos. De la ec. 5-8, viendo la segunda igualdad, se deduce de inmediato, puesto que a ^ O , que:
164
CAPITULO V hi + h2 + hz + hi — 4h0 — 0
(5-9)
Expresión que proporciona la relación final que debe cumplirse entre el potencial en 0 y sus puntos vecinos, si es que en la región de flujo ha de cumplirse la ecuación de Laplace. Para obtener una comprensión más clara de la ec. 5-9, al mismo tiempo que poder obtener expresiones similares a ella, pero que son aplicables ya no a nodos interiores de la malla sino a puntos de frontera, es conveniente deducir la citada ec. 5-9 de una manera aparentemente más sencilla, pero que en esencia equivale a la deduc ción ya presentada. Para ello, considérense los canales tributarios a cada segmento entre dos nodos, tal como se ilustra en la fig. V -l.b y se calcularán los gastos que fluyen hacia, y del nodo 0. Aplican do la ley de Darcy se puede escribir:
qB1 = k ^ ^ a = k ( h 1- h 0) qM= k - 0 ~ - 2 a - k { h a - h í ) (5-10) q 30 = k h o ~ h3 a = k ( h 0 - h 3) di
q 0i = k ^ — h-^a = k ( h i - h o ) ¿2 en donde el flujo de agua se ha considerado de izquierda a derecha y de arriba abajo. Como, por continuidad del flujo, el gasto que llega al nodo 0 debe ser igual al que sale, se debe tener que: es decir o sea
qo i
(J20
^30 + ?04 = 0
k(hx + h2 + h 3 + ht — 4/i0) = 0 h\ + h 2 + h3
+ ht — 4 h0. = 0
(5-9)
que es la misma ec. 5-9 obtenida anteriormente. La (5-9) puede escribirse en la forma: r. __ hj + h2 + h3 + h0 = ---------------
ht
, (5-11)
es decir que la carga hidráulica (potencial) enun nodo interior debe ser igual al promedio de la de los 4 nodos vecinos.
M ECANICA D E SUELO S (III)
165
1
— i—
E l nodo 0 no siempre será interior y rodeado por cuatro vecinos, sino que a veces tiene situación especial; de entre estas situaciones especiales conviene destacar dos casos que son frecuentes y re presentativos de muchos otros. 1 En primer lugar se considera 7 ! ! 1 1 rá la posibilidad de que el nodo 1 1 0 quede ubicado sobre una fron _____ i 1___ tera impermeable (fig. V -2 .a ). En este caso en el sentido ho rizontal sólo existe medio canal y en el vertical, no hay flujo del punto 0 hacia abajo; por lo tanto se tiene que: /. a
~ g20 = k — _
i
cL —
1 \
ho a__k „ 2 —2 ^
^
b)
— a = k ( h a ~ h2) h3 a 2
—
k 2
' 0—
.
(5-12) Considerando la continuidad del flujo en forma similar a co mo se hizo en el nodo interior, se tiene ahora: ~
+ K + \
FIG. V-2.
Cosos especio/es de la expre sión de la ecuación de Laplace en diferencias finitas
- 2ho = 0
(5-13)
En este caso la relación entre el potencial de 0 y sus puntos ve cinos queda dada por la expresión 5-13, si es que en esa parte de la región de flujo se ha de cumplir la ecuación de Laplace. Físicamente puede visualizarse que h3 y h 3 entran solamente en su mitad por corresponder a medios canales, en tanto que h 2 sigue entrando com pleto; además el coeficiente de h0 es ahora 2 en lugar de 4, ya que la suma de los canales que llegan a 0 es también 2, suma de un canal entero y dos medios canales. En la parte b ) de la misma fig. V -2 se presenta el otro caso es pecial típico. Ahora el punto 0 queda localizado en la esquina for mada por dos fronteras impermeables ortogonales. Pqr medio de un sencillo ejercicio mental el lector encontrará que ahora la relación de potenciales en los nodos 0, 2 y 3 es:
CAPITULO V
166
^
+ ^ - h o= 0
(5-14)
La expresión 5-14 proporciona la condición que debe cumplirse para que se sostenga en la zona de esquina la validez de la ecua ción de Laplace.
V-3. Planteamiento del método de las relajaciones. Relajación nodal De todas las ideas anteriores se desprende un método para obte ner el potencial hidráulico, h, en todos los nodos de la cuadrícula de lado a, que se ha trazado cubriendo toda la región de flujo. Para la presentación de este método se admitirá, por lo pronto, que se trabaja con una región de forma geométrica simple, en la que sólo se presentan los tipos de nodo hasta ahora tratados. El método de que se habla parte del hecho de que las condiciones de frontera de la región son conocidas, en particular las fronteras equipotenciales a lo largo de las cuales se conoce además el valor del potencial hidráulico, por lo que los nodos que caigan en esas fronteras tendrán un valor de h fijo y conocido. Todos los nodos interiores de la región poseerán valores de h comprendidos entre las dos fronteras equipotenciales extremas. Se ocurre ahora dar valores de h seleccionados arbitrariamente, dentro de las reglas arriba señaladas, a todos los nodos interiores de la región, incluyendo los localizados en las fronteras impermeables. Como estos valores han sido escogidos arbitrariamente, no se cum plirán las expresiones 5-9, 5-13 y 5-14, lo que equivale a decir que estos valores seleccionados no están cumpliendo la ecuación de con tinuidad del flujo; en la región no se está cumpliendo la ecuación de Laplace. Los valores elegidos han de ser, así, modificados ( con ex cepción de los de potencial conocido, en las fronteras equipotencia les). Para lograr tal corrección se ocurriría en primer lugar proceder a ojo, variando tal o cual valor de h, con la esperanza de llegar a una distribución tal que se cumpliesen finalmente las ecs. 5-9, 5-13 y 5-14. Es obvio que este sistema conduciría a unos tanteos laboriosos e ineficientes, que difícilmente garantizarían el poder llegar a alguna solución satisfactoria. El procedimiento de corrección de valores de h puede afortuna damente sistematizarse en forma mucho más eficiente, utilizando como guía para corregir, las propias ecuaciones ya repetidamente mencionadas. Este procedimiento de sistematización tiene la carac terística de ser iterativo, con la ventaja esencial de que, por ser convergente, cada etapa produce una solución más precisa que la anterior.
MECANICA D E SU ELO S (III)
167
Se parte efectivamente de una distribución hasta cierto punto arbitraria de valores de h en todos los nodos de la cuadrícula que cubre la región de flujo; con el objeto de trabajar lo menos posible en etapas subsecuentes, conviene que la distribución inicial sea lo más cercana a la real que pueda lograrse, para lo que es recomendable dibujar una red de flujo aproximada, aunque sea relativamente tosca, para obtener de ella los valores de h de partida. Como es natural, esta distribución no satisfará las ecs. 5-9, 5-13 y 5-14 en forma satisfactoria y será necesario un ajuste. Se describirá la forma de hacer éste en los nodos que correspondan al caso que produjo la ec. 5-9 y después se extenderá el sistema a los dos casos que corresponden a las ecs. 5-13 y 5-14. Al no cumplirse la ec. 5-9 se tendrá que: hi + h2 + h3 + ht — 4/i0 ^ 0 Por lo que podrá escribirse para el nodo 0 que; hi + h 2 + h3 + h4 — 4h0 = R„
(5-15)
Donde R 0 representa al residuo en el punto 0 y sirve para cuantificar la magnitud del error cometido en ese nodo. Supóngase, en primer lugar, que R 0 es positivo; ello indicaría que en el nodo 0 hay asignado un potencial hidráulico, h0, que es menor que el promedio de los cuatro nodos circundantes. Así, h0 necesitará ser modificado a un valor más alto. Supóngase que h0 se eleva en un valor unitario; esto produce una reducción en R 0 de cuatro unidades, pues en la ec. 5-15, h0 está multiplicada por cuatro; pero al elevar hg en una unidad se modificarán los residuos en los nodos vecinos, pues el nodo 0 producirá un cierto /ij para cada uno de esos nodos vecinos. Así al variar h0 en una unidad, R 0 se redujo en cuatro uni dades, en tanto que R u R 2, R 3 y R t variaron eft una unidad ( + 1) cada uno; este hecho puede esquematizarse como se ve en la parte a) de la fig. V -3. Nótese que en la figura se han escrito a la izquierda de los nodos, su potencial de partida y, a la derecha, su residuo; arriba de h0 se muestra el incremento unitario a que se ha hecho referencia; este incremento produjo un efecto en todos los residuos que se anotó en cima de los residuos respectivos. Si h0 se hubiese incrementado en n unidades, los cambios en los residuos serían — 4n en R 0 y + n en los residuos R u Rn, R s y /?, Si Ro hubiese sido negativo, sería indicio de que h0 está más alto de lo debido, por lo que deberá bajarse. Si —n es lo que se suma a hn, el residuo en 0 se modificará en + 4n y los residuos R lt R~, R ?J y R , se modificarán en —n. En resumen, el procedimiento para disminuir o reducir a cero el residuo en un cierto nodo, R 0, podría enfocarse pensando que al su
CAPITULO V
168
"a t i ti ", *1 ha R,
+1 ho R0
tl/2 ti -2 hj Rj ho Ro
tl/2 ht Ri
i)
ti hj Ri
ti ■uR4
tl/2 '
o)
-1
t|/2 ti h. R» hj R» :) > del residuo de un nodo
mar la magnitud —R 0 (con lo que el residuo se anula) se ha modi ficado el valor de h0 en + ( l/4)/?0; esto equivale a decir que en el caso a ) de la fig. V -3, la reducción a cero del residuo se logra su mando a este en el nodo el inverso del residuo y repartiendo este valor a los residuos vecinos con un factor de distribución de 1/4. El valor de h0 resulta también modificado en la magnitud (1/4) R 0. Obsérvese que en las manipulaciones anteriores hu h2, h3 y ht se han mantenido constantes y será en el paso siguiente, en que se traten de anular los residuos en los puntos 1, 2, 3 y 4, tal como antes se hizo en el 0, cuando variarán correspondientemente. Para el caso de nodos situados sobre una frontera impermeable, que condujo al planteamiento de la ec. 5-13, el ajuste que se viene tratando habrá de hacerse de un modo algo diferente en su forma, aunque esencialmente similar en el fondo al arriba tratado. Ahora al no cumplirse la ec. 5-13 en 0 se tendrá que el residuo en ese punto será: ~Y + ht +
— 2 h0 = R„
(5-16)
AI aumentar h0 en + 1, el residuo R 0 variará en —2 unidades. En el punto 2 el residuo variará en + 1 , pero en los puntos 1 y 3 lo hará únicamente en + 1/2; la razón de esta variación mitad se ve cla ra si se sitúa el lector en el nodo 1 ó 3, viendo a 0 como nodo vecino, pues entonces se verá que la carga de 0, h0, interviene sólo en su mitad para formar el residuo en el punto, análogamente a las cargas hx y h¡, que entran en su mitad para formar el residuo en 0. En la parte b) de la fig. V -3 se esquematiza esta distribución en forma similar a la utilizada para el caso del nodo interior.
MECANICA D E SU ELO S (III)
169
Para el caso de nodo en esquina, correspondiente a la ec. 5-14, el residuo será dado por la expresión. •y + - y — /¡o = /?<>
(5-17)
de manera que un cambio unitario de + 1 en h0 produce un cambio de —1 en R 0 y de +1/2 en los residuos de los puntos 2 y 3. En la parte c) de la fig. V -3 se esquematiza la repartición que tiene lugar en este caso. Se considera obvio para el lector el manejo de las distribuciones en los dos últimos casos cuando el residuo en 0 sea negativo. Lo mismo puede decirse de aquellos casos en que la modificación de h0 no sea unitaria, sino que valga n. La aplicación sistemática de todas las reglas anteriores constituye lo que se llama el procedimiento de la relajación nodal dentro del método general de relajación. Recibe ese nombre porque se aplica nodo por nodo, relajando los residuos en uno solo cada vez. Para su aplicación conviene un orden sistemático en los nodos, por ejemplo, procediendo de la parte superior izquierda a la inferior derecha de la zona de flujo, si bien una persona familiarizada con estos cálculos puede encontrar direcciones de trabajo más cómodas; así, es fre cuente empezar por el nodo de mayor residuo. Una vez que se hayan recorrido todos los nodos de la región, se encontrará que los residuos aún no son nulos, pues aunque el residuo en cada nodo se nulificó en un momento dado, al relajar los residuos de los nodos vecinos volvió a formarse un residuo en el nodo en cuestión; sin embargo, los residuos serán menores en cada pasada completa de la región de flujo. Con un número suficiente de pasadas, se llegará a residuos en todos los nodos tan pequeños como sea de desear.
V-4. Sobre-relajación y sub-relajación Y a se vio que cuando se aplica el método de la relajación nodal, si bien en cada etapa se reduce a cero el residuo en un nodo en un momento dado, este valor vuelve a hacerse diferente de cero cuando se anulan los residuos de nodos vecinos, pues esta operación influye en el nodo en cuestión y por ella se manda algo al nodo. Con referencia a un nodo interior, la ec. 5-11 expresó que para que el residuo sea nulo su carga h0 ha de ser el promedio aritmético de las cuatro vecinas: K = * I ± A + A -+- h
(5-11)
CA P IT U L O V
170
Si h 0 no es exactamente el promedio de las otras cuatro cargas, el residuo en el punto 0 no será ya cero, sino que estará dado por la expresión.
/i i +
h2
+
/13
+
hi
— 4Ao — R 0
(5-15)
Un residuo positivo en el punto 0 indicará que h 0 es menor que el promedio de las otras cuatro, por lo que, por así decirlo y recurriendo a una similitud imaginaria entre cargas hidráulicas y alturas, el punto 0 deberá de ser elev a d o para que R 0 llegue a anularse; recíproca mente, si el residuo R 0 es negativo será porque h0 es mayor que el promedio de las cuatro cargas de los nodos vecinos a 0 y así, para corregir la situación, el punto 0 deberá de ser b ajad o. Supóngase que los residuos R¡ son positivos en un nodo interior 0 y en sus cuatro vecinos. Ello indicará que el nodo 0 está bajo respecto a sus vecinos, pero que éstos, a su vez, están también bajos respecto a otros vecinos de ellos más alejados de 0. Así. para arreglar esa situación será preciso aumentar la carga no sólo en 0, sino también en los nodos vecinos a 0. Al elevar 0, si se hace únicamente anulando su residuo (que se calcula tomando sólo en cuenta a 0 y a sus cuatro vecinos), se logrará que su altura suba sólo al promedio de los otros cuatro (por así decirlo, al nivel m edio de los otros cua tro ); pero como los otros cuatro nodos están, a su vez. bajos en relación a sus respectivos vecinos, deberán también de ser levantados y esto producirá la necesidad de volver a levantar una cierta canti dad adicional al nodo 0. La operación total puede entonces acelerarse si, desde el primer levantam iento del nodo 0, se eleva a éste un poco más de lo que se haya visto necesario para anular su residuo, es decir, para simplemente em parejarlo con sus vecinos. A este artificio en 0 se le denomina sobre-relajación. Dentro del método general de trabajo, la sobre-relajación de un nodo particular consistirá en dar al nodo un nuevo valor de h que no sólo anula su residuo, sino que produzca un nuevo residuo en el nodo de signo contrario al original; la sobre-relajación se aplicará cuando al residuo de un nodo y los de sus vecinos sean todos del mismo signo. Cuando los residuos en el nodo 0 y sus vecinos son todos negativos, igual razonamiento puede aplicarse, bajando ahora el nodo 0 una magnitud ligeramente mayor de la que es necesaria de acuerdo con el valor de su residuo. Por supuesto que, en ambos casos, el nuevo residuo de signo contrario deberá ser, en valor absoluto, bastante menor que el residuo original. Supóngase ahora, por sencillez de exposición, que se tienen dos nodos interiores vecinos, cuyos residuos sean del mismo orden de magnitud absoluta, pero de signo contrario. Supóngase también que los residuos de los nodos alrededor de éstos dos son de magnitud bastante menor que los de los nodos bajo consideración. El nodo con residuo positivo habrá que levan tarlo y al nodo con residuo negativo
M E C A N IC A D E S U E L O S (III)
171
habrá que bajarlo. Si se levanta al primer rodo hasta anular su residuo ocurrirá que al bajar el segundo nodo se requerirá bajar algo también al primero, si se sigue un razonamiento similar al hasta aquí expuesto. Esto quiere decir, que al primer nodo no era necesario levantarlo todo lo que su residuo indicaba, sino algo menos. Este artificio de acelerar el proceso podría llamarse, en contraposición con el anterior, sub-relajación. Estas técnicas de sobre-relajación y sub-relajación son por lo tanto, para acelerar el procedimiento de relajación y la persona que recurra a ellas pronto adquirirá experiencia sobre las magnitudes es pecíficas en que deberá modificar la carga de los nodos, con respecto a las modificaciones indicadas por sus residuos, para acelerar el proceso de relajación. Aunque estos razonamientos se han expuesto para nodos interio res, el lector podrá extenderlos sencillamente a nodos en frontera o en esquina.
V-5. Relajación en grupo Cuando en un grupo de nodos vecinos se tienen residuos del mismo signo, por ejemplo positivos, ello indica, como se vio en la sección anterior, que los nodos están bajos. Ello sugiere, que en lugar de ir elevando nodo por nodo, la elevación se efectúe en bloque, es decir, elevando todos los nodos del grupo una misma magnitud. Se analizará la forma como los residuos de los nodos del grupo y de los nodos fuera del grupo, pero vecinos de ellos, se ven modificados al levan tar el grupo en conjunto.5 Para ello, la ec. 5-15 se escribirá en la forma: ( h 1 - h 0) + ( h - h 0) + ( h i - h o ) + { h l - h o ) = R < ,
(5 -1 8 )
Se admitirá nuevamente que R 0 es positivo: entonces el nodo h 0 está más b a jo que lo debido. Si los nodos 0, 1, 2, 3 y 4 pertenecen al grupo que se levan ta puede verse que ningún término de los de la ec. 5-18 se ha modificado y, por lo tanto, R 0 no cambia, al no cambiar las p osicion es relativas de 0 respecto a los cuatro nodos vecinos. El proceso de relajación se describirá ahora en relación a la fig. V -4 . Siguiendo la convención ya establecida, en cada nodo se pone a la izquierda el cambio de carga hidráulica. Ah y a la derecha el cambio en el residuo AR. Los puntos elev a d o s en una unidad son los que quedan dentro del contorno punteado. Aparecen dos nodos en que el cambio de residuo es cero, por estar rodeados totalmente por otros nodos que han sido igualmente levantados. Si se considera un nodo interior cualquiera 0, puede verse en la ec. 5-18 que como h„ se ha elevado en una unidad, a menos que h u h-., h¿ y h., correspondan a
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CAPITULO V »i
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__ 4 1
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41
4 1
fJ
C F I W T ERA OCL M U P 0 tL EM W 90" UNA UNIDAD
! FIG. V-4.
Relajación en grupo
nodos dentro del contorno, el residuo R 0 se hará diferente de cero. Si alguno de los nodos vecinos a 0 queda fuera del contorno, su carga no variará con el movimiento del grupo de nodos y por lo tanto, la diferencia entre su carga y h 0 contribuirá con una unidad (negativa) a la variación de R 0 (fórmula 5-18). De acuerdo con este modo de razonar, se ve en la fig. V -4 que hay nodos interiores cuyo residuo cambia en —1, — 2 y —3. Si se considera ahora como nodo 0 a un nodo exterior al grupo, pero vecino a él, nuevamente la ec. 5-18 hace ver que el residuo de dicho nodo variará en + 1 , + 2 ó + 3. según que uno, dos o tres de sus nodos vecinos se encuentren for mando parte del grupo elevado en una unidad. En la fig. V -4 aparecen nodos exteriores cuyos residuos han variado en estas cantidades. Como regla a recordar puede decirse que los residuos modificados, al elevar o bajar un grupo de nodos, son los de los nodos en que el segmento que los une se ve cortado por el contorno (indicado con línea discontinua), que encierra el grupo cuyas cargas h se han modificado. En la práctica, las cantidades elevadas o bajadas podrán ser de varias unidades cada vez y en tal caso las variaciones en los residuos serán proporcionales a las ejemplificadas en la fig. V-4. V-6.
Relajación en nodos de frontera. Ejes de simetría
Los procedimientos de relajación, sea nodal o en grupo, que han sido estudiados hasta ahora, no eliminan el error total que se tenga en
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
173
la cuadrícula que cubre la región de flujo en el momento de iniciar los procesos: simplemente lo distribuyen tendiendo a mayor homogenei dad. Así, por ejemplo, se nulifica el residuo en un nodo 0 bajando su residuo en cuatro unidades: ello sólo se logra a costa de elevar el residuo de los cuatro nodos vecinos en otra unidad cada uno; el error total ha permanecido el mismo. Existen, sin embargo, zonas que constituyen una excepción notable y en las que los errores si se disipan: éstas son las fronteras equipotenciales de la región de flujo en análisis. En efecto, las cargas en los nodos que caigan sobre las fronteras equipotenciales son fijas y, por lo tanto, en estos nodos carece de sentido hablar de residuo. De manera que en un nodo vecino a una frontera equipotencial (pero no sobre ella) al relajarse su residuo, se modifican los residuos de los tres nodos vecinos que no están sobre la frontera equipotencial, pero el residuo de su cuarto vecino, sobre la frontera, seguirá sin existir después de la relajación: dicho en otras palabras, el nodo cuyo residuo se relaja no manda residuo a su vecino sobre la frontera equipotencial. Entonces ahora sí hubo una disminución del error total en la región de flujo, pues un error de + 4 (si hubo relajación unitaria en el nodo que se manipu la), se ve sólo substituido por un error + 3 en los tres nodos vecinos. De hecho éste es el único sistema por el cual el error total en la región de flujo se va disipando en las sucesivas etapas de un proceso de relajación y ésta es también la razón por la que puede afirmarse que en cada etapa del proceso el error total, distribuido en toda la región de flujo, es menor. En las regiones de flujo prácticas hay casos en que existen ejes de simetría geométrica; uno muy típico es el tablestacado hincado parcialmente en un estrato permeable limitado interiormente por una superficie impermeable horizontal. En este caso las fronteras equi potenciales de la región, con potenciales h r y /¡2, forman la horizontal superior que limita la región de flujo, a uno y otro lado de la tables taca. E s obvio ahora que la vertical que contiene a la tablestaca es un eje de simetría geométrica de la red de flujo (aunque evidente mente no hay simetría de cargas a ambos lados de esa línea); por otra parte esa línea puede considerarse como una frontera equipo tencial, entre el fin de la tablestaca y el límite impermeable inferior de la región de flujo, en la que todos los nodos tienen el valor fijo de carga:
En este caso basta resolver la mitad de la región de flujo, si guiendo los procedimientos normales. Otro caso frecuente es que la región tenga como frontera inferior una impermeable, recta que, naturalmente, será linea de flujo; el
174
CAPITULO V
ejemplo antes citado tiene esta situación. Desde el punto de vista matemático estas fronteras pueden también considerarse ejes de sime tría, visualizando una región de flujo vertical, imagen invertida de la anterior a partir de la línea; en este caso la simetría es tanto geométrica como de cargas hidráulicas. Este hecho permite hacer uso de un artificio en la aplicación del proceso de relajación, que sirve también para lograr más rápida convergencia, acelerando así la consecución de un resultado satisfactorio. En efecto, esta línea de flujo frontera tiene en todos sus puntos gradiente hidráulico nulo en la dirección normal a sí misma y este hecho puede tomarse en cuenta en la distribución de los residuos al modificar la carga en un nodo situado sobre ella o vecino a ella. Con referencia a la fig. V -5.a, la consideración anterior conduce a los siguientes razonamientos. En los segmentos que unen ♦1 dos nodos sobre la frontera pueden considerarse en lugar fi de medios canales, como se f1 1 -4 +1 dijo en la exposición general fl f -4 +1 del método de relajaciones, 4-2 fig. V -2, canales completos 0 utilizando la región virtual como zona de flujo; esto con ! ! -+------h-vierte a un nodo situado en la a) frontera impermeable en un b) nodo interior, por lo que si este nodo se eleva una uni FIG. V-5. Distribución de residuos en la ve cindad de una frontera impermeable dad, su residuo se modificará que es el eje de simetría en —4 y el de los tres nodos reales vecinos, en + 1 en cada uno. Con respecto a la parte b) de la misma fig V -5, puede decirse que por el hecho de existir simetría de cargas hidráulicas en tre las regiones real y virtual a ambos lados de la frontera, al elevar en una unidad a un nodo vecino se habrá elevado implícitamente en otra unidad su nodo imagen; esto conduce a que el residuo en el nodo intermedio colocado sobre la frontera impermeable de simetría varió en definitiva en + 2, correspondiendo una unidad al movimiento en cada nodo que se elevó (real e imagen); en este caso, el resto de la distribución es el usual. Nótese que este procedimiento que ahora se describe como acele rador del proceso de relajación, al considerar el punto imagen, coloca al punto en la frontera impermeable en calidad de punto interior y, así, su residuo ha de calcularse con la ec. 5-15 (con h , = h 2 ) y no con la (5-16) que se usaría si se aplicase el método de relajación sin tener en cuenta el método acelerador.
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
175
E l artificio acelerador anterior tiene como base matemática el hecho de que la derivada de la carga hidráulica ( h ) en la dirección normal a la frontera impermeable inferior es nula (por eso la carga a ambos lados de la frontera es la misma), por lo que en rigor el artificio podrá aplicarse a todas las líneas en que se cumpla la mismisma p ro p ie d a d , como son todas las fronteras impermeables que son líneas de flujo, aún cuando no puedan considerarse como ejes de simetría. En particular cuando dos fronteras impermeables forman un ángulo recto, los nodos vecinos a la intersección pueden tratarse con distribuciones del residuo tales como las mostradas en la fig. V -6.
b)
a) FIG. V-6.
V -7.
Distribución de residuos en la vecindad de un ángulo recto formado por dos fronteras impermeables
Influencia del tamaño de la cuadrícula
En la obtención de la ec. 5-4 se han despreciado, como se dijo, términos de orden superior, que, según es fácil ver considerando los términos en c*h/dx* que no se escribieron en las series (5 -1 ), tienen un orden de magnitud. p _ a- d'h 12 ex* + E s decir, el error que se tiene en la ec. 5-4 es proporcional a a 2, en donde a es el lado de la cuadrícula con que se ha cubierto la región de flujo originalmente. De aquí se deduce que si se escoge una cuadrícula de lado muy chico será posible aspirar a una solución más precisa que si el espaciamiento es más grande; por otra parte, la cuadrícula chica exigirá proporcionalmente más trabajo, al au mentar el número de nodos de la malla. Lo anterior sugiere que si se desea una solución muy precisa, un método para lograrla po dría ser como sigue: partiendo de una cuadrícula grande se podría encontrar rápidamente una solución no muy precisa y, partiendo de
176
CAPITULO V
ésta, se podría subdividir la primera cuadrícula, formando otra más pequeña en la que sólo se estimasen las cargas en los nodos interme dios. Se procedería ahora a la relajación de la nueva malla. Este mismo criterio puede seguirse cuando en una región de flujo se desee una aproximación mayor en una zona particular, pues allí puede subdividirse tanto como se quiera la cuadrícula original, obteniendo solu ciones finales de cualquier precisión deseada.
V-8. Aplicación del método de la relajación en suelos anisótropos y en suelos heterogéneos En suelos anisótropos homogéneos, el método de la relajación se puede aplicar directamente y tal cual se ha expuesto en párrafos anteriores, si se recurre a la Teoría de la Sección Transformada; en este caso la malla a utilizar sería la normal de cuadrados que hasta aquí se ha venido usando; esta malla se aplicaría sobre la Sección Transformada de la región de flujo original. Es obvio que el mismo resultado puede obtenerse colocando so bre la región original anisótropa una malla de rectángulos cuya relación lado a ancho sea la conveniente, según el razonamiento que a continuación se realiza. Si kz > ky, por ejemplo, la Sección Trans formada se podrá obtener variando las dimensiones horizontales de la región según el factor:
Por lo tanto, si en esta nueva sección se dibuja cuadrícula (con cuadrados), al volver a la sección original, el lado horizontal de los rectángulos de la nueva malla se obtendrá multiplicando el lado del cuadrado por
Así, en definitiva podrá trabajarse también con la sección original anisótropa y con una de rectángulos de lado vertical a y horizontal a y /k x /k y . Sin embargo, este segundo método no es muy recomendable por trabajoso, pues en la sección original anisótropa las líneas de flujo y las equipotenciales no son ortogonales y, por lo tanto, al obtener las equipotenciales de la solución del método de relajaciones, el trazo de las líneas de flujo aún es complicado y sujeto a serios errores. E l problema de los suelos heterogéneos también puede atacarse con sencillez por medio del método de las relajaciones; en lo que sigue se hará una explicación correspondiente al caso de dos estratos de
177
MECANICA D E SU E L O S (III)
permeabilidades k x y separados por una frontera rectilínea. Para ello considérese una parte de la malla en la zona de frontera entre los dos estratos (fig. V -7 ) . Para considerar el flujo a través de la frontera, la ec. 5-9 ha de ser modificada. Por la diferente permeabilidad en los dos estratos, las velocida des del agua en ellos también serán diferentes, estando en el estrato 1 relacionada a k t y a k 2 en el 2. Para encontrar la ecuación de diferencias finitas que de be satisfacer la carga en el punto 0 de la citada fig. V -7 puede procederse razonando con base en la continuidad del flujo en esa zona, como FIG. V-7. Aplicación del método de la rela se hizo para obtener la ec. jación a suelos heterogéneos 5-9. Considerando el flujo por los canales señalados en la figura con línea discontinua y tenien do en cuenta el medio por el que se desarrolla cada canal, podría escribirse que: 1 hi h0 1 , h'¡ a + ks —— i ° a + ki k i ----------
— hn o 1
a + (5-19)
h3 — h 0 1 /14 a + k2 a 2
+ kj
ho
a + k2
fti — ha 1
a = 0
Operando se obtiene: - ^ { k i + k 2) h l + k i h - +
( k-i + k 2) h 3 + k 2 ht — 2 (A:, + k 2)h 0 = 0
de donde, finalmente, se obtiene: l
, 2k, , , , , 1 + i r n r h* + hs +
2 io
, h*
4ho = 0
(5-20)
La ec. 5-20 debe ser cumplida por la carga de un nodo 0 que esté ubicado precisamente en la frontera entre los dos medios. El método de la relajación se aplica entonces calculando el residuo en los nodos interiores en ambos medios en la misma forma que hasta
Mecánica de Suelos III
CAPITULO V
178
ahora se ha venido usando y por medio de las ecuaciones ya conoci das; en los nodos sobre la frontera entre ambos medios el residuo deberá calcularse, en cambio, con la ecuación: hl + ~kT +T2 h ° + K +
h i ~ 4h° =
R o
( 5 ' 2 1 )
Por lo demás el método de relajación se aplica en los suelos heterogéneos igual que en los homogéneos; es decir, si se levanta una unidad el nodo 0, aunque caiga en la frontera entre los medios, el cambio de residuo en los nodos 1, 2, 3 y 4 será de + 1 y en el nodo 0 de —4. V-9.
Superficies libres
El problema de las superficies libres tiene especial importancia, pues dentro de él queda el tratamiento que haya de darse a la línea de corriente superior, de gran interés en el estudio de flujo a través de presas de tierra. A lo largo de una superficie libre deben cumplirse las dos propie dades ya analizadas; la derivada de la carga hidráulica en la direc ción normal a la línea que la represente en el papel debe ser nula (por ser línea de flujo) y la diferencia de cargas hidráulicas entre dos puntos de ella debe ser igual a la diferencia de alturas sobre un plano de comparación. También ahora se tiene la dificultad de partida de que la verdadera posición de la superficie libre no es conocida a prior/ ( concretamente, no lo es la de la línea de corriente superior) y hay que hacer una suposición razonable respecto a su forma y posi ción antes de resolver el problema (para el caso de la línea de co rriente superior, de nuevo puede decirse, como en el caso de la ana logía eléctrica, que el método de'A. Casagrande, ya discutido, puede presentar una magnífica solución de partida). Una vez dibujada la línea de corriente superior (o la superficie libre de que se trate) y de quedar definidas las fronteras de la red, a la región de flujo así definida se le puede dar el tratamiento des crito en este capítulo para la aplicación del método de las relajaciones. Una vez que se haya llegado a la aproximación deseada, tras el número suficiente de repeticiones del método descrito cubriendo toda la región de flujo, deberán de verificarse los valores de la carga obtenidos para los puntos de la superficie libre, comparándolos con las respectivas alturas sobre un plano de comparación, de los puntos reales del prototipo correspondientes a los nodos de la malla, a fin de constatar el cumplimiento de la segunda de las propiedades arriba mencionadas. Puede aplicarse ahora el mismo sistema propuesto para la misma situación en el caso de la analogía eléctrica (fig. IV -3 del
M ECA NIC A D E SU ELO S (III)
179
Capítulo I V ) y así podrá obtenerse una orientación justa en cualquier corrección que haya de hacerse en la posición de la superficie libre; una vez hecha ésta, podrá realizarse un nuevo cálculo por el método de relajación, hasta llegar a una solución aceptable.
V-10. Otras aplicaciones del método de relajaciones E l método de relajaciones puede servir para resolver otros pro blemas de interés en Mecánica de Suelos, regidos por ecuaciones diferenciales que puedan expresarse en forma conveniente en ecuacio nes de diferencias finitas. Entre estos problemas merecen mencionarse el de la consolidación unidimensional con flujo vertical y el de con solidación por flujo radial. En las refs. 5 y 6 podrá el lector consultar estos procedimientos. También se ha aplicado con éxito el método de relajaciones a problemas fuera del campo del flujo de agua, como, por ejemplo, a problemas de capacidad de carga.4 Finalmente, en las figs. V -8, a V -1 6 se presenta un ejemplo numérico para guía del lector.
FIG. V-8.
Región de t/u/'o a resolver por el método de relaiación
CAPITULO V
180
•00
•00
700
•00
900
800
700
•00
450
900
>50
900
•00
700
«O O
480
100
150
•00
•00
700
•00
450
500
150
i
FIG. V-9.
O
-- -
£
0
Hipótesis de cargas para iniciar el proceso de relajación
looo
eoo o
«oo o
roo o
«oo so
1000
•00
0
•00
0
700
0
•00
1000
900
0
•oo
0
700
9
•00 25
450 ©
500 0
1500
0
1000
900 0
•00
0
700
0
•oo - 5 0
450 0
500 0
J5 0 0
0
1000
•00
•00 0
700
0
•00
450 0
300 0
tso
0
FIG. V-IO.
0
100
-2 5
0
Cálculo de los residuos pora iniciar la primera etapa del proceso. No se hace uso de e/es de simetría
M ECANICA D E SU E L O S (III)
131
*so *100-100
j ‘° °
« 8 g
♦ 9 0 0
*9 0 9 0 0
- 190 ♦ 90 29
* 2 9 0
♦9 0 -9 0
0
-2 9
FIG. V- t i .
Resultado de elevar los tres nodos superiores de la vertical central en -f- 100, -+- 100 y + 50 respectivamente
l! *2 0
FIG. V -l2.
*20 -4 0 - 29
I2
fio *90
*9 0
-1 0 0 *90
I' *29
* I OO
*100 -200
Primera efapa de relajación. Nótese que no se relajaron algunos nodos
CAPITULO V
182
49
♦9 -9
*5
t i O t ío 9 9 0 t lO
-20 *10 *9
t 9
-10
fio
-20
-40 420 t 90
tío
45 410 420 410 -1 0 -1 0
-5 10 440 4 20 -1 0 4 5 0 800 -1 0 0
410 -4 0
410 820
-5 410 -4 0 -5 -1 0 440
410 900
410 -4 0 -5 410 420
410 4 10 -4 0 4 iO 410 4 20 800 420
3 8 10 420 4 2 0 7Ó C 4 5 0
420 600
420 0
410 900
-2 0 410 45 0
45 -2 0 410 4 1 0 410 800 0
48 -4 0 420 420 410 700 0
420 600
45 410 -4 0 420 -2 9
920
-9 -2 0 410 820
410
4 10 -9 920
íl °
-
-1 0 790
-
i* -9 860
*5 O
4 10 4 20 440 -1 0 420 - 90
450 700
-1 9 410 -1 0 0 450 478
420 650
. . -1 0 420 -6 0 428 -1 0
4 10
FIG. V-13.
i'
4 29 4100 -100
410 150
410 -2 0 45 0
0
410 4 9 9
4 10 410 -4 0 -1 0 420 430
410 300
410 410 -4 0 410 410 0
410 150
410 -4 0 410 410 0
0
410 490
45 -2 0 410 410 0
*1 0 300
45 -2 0 410 4 5 0
-2 0 4 10 410 4 5 150 o
44 1100 -10 49
i4 tg t ío - IO - 9 8 0 0 -1 9
-9 410 790
-2 0
-9 429
15 410 49 49 4 10 - 4 0 ' - 10_______ 7 4 0
49 490
-9 49 -9
45 810
45 720
45 45
FIG. V-14.
!7
45 410 -2 0 4 1 0 -5 3 0 0 419
Segunda etapa de relajación
“ 9 -1 0 4 20 820 -2 0
849
I6
45 410 420 - 10 410 480 -3 5
410 420 420
i3
49
I5
20 410 45
10
-5 -5
45
-9 490 49 410 -4 0
470
49 -9 410
49 460
20 -5 420
i6
i7
45
-4 2100 -IO
«2014- 510 420
-10 - 5
620 - 3 0
-9 I±£_ .. ?i9
Tercera etapa de relajación
45 O
.m i s
.
.
o
MECANICA D E SU ELO S (III)
1000 _____ 930 ~5
183
860 0____ 810 - 5__790 -5
925 -5
850 ♦10
790 ♦10
760 -5
915 fiO
835 -5
750 ♦10
660 0
470 ♦lO
310 ♦5
160 -5
0
820 ♦10
725 ♦5
615 -10
465 -5
510 ♦5
160 -10
0
820 -5
720 -5
600 ♦5
460 0
310 0
160 -5
0
160 - 9
0
+5
910 0
FIG. V-15.
930 - g
960
O__________ g i o
925
-5
650
♦5 ♦5
919
♦5 ♦S
830
+ -5
;i °
♦ 10
Cuarta etapa de relajación
-g
7»0
-a
790 ♦10
760 - 5
78C i ?
8 60 0
♦9 725 0
615
-5 ♦8 720 - 5
- IO ♦20 610 -1 5
4 7 0 ♦iO
3 )0 ♦S
465
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310
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0
- 5 4 60 ♦ 5
310
0
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0
2
910
♦8 0
t5 619
♦ 10 ♦i -2 0 ♦15
-1 0 O
1
♦ 5
910
-5
+10 810
;i °
♦ IO
J
FIG. Y-16.
4
Resultado final, tolerancia — — 10 en el residuo
184
CAPITULO V R E F E R E N C IA S
1. Southwell, R. V . — R elaxation M eth od s in E ngineering S cien ce — Oxford University Press. — 1940. 2. Southwell, R. V . — R elaxation M eth od s in T h eo retica l P rysics — Oxford University Press. — 1946. 3. Southwell, R. V . — R elaxation M eth od s: A n E ngineering A p p ro a ch to C om putation — Journal of the Institution of O v il Engineering — No. 8 — 1948. 4. W u . H. T . — S oil M echan ics — Cap. 11. — Allyn and Bacon, I n c .— 1966. 5. Scott, R. F . — P rincipies o l S oil M echan ics — Cap. 4 — Addison — W esley Publ. Co. - 1963. 6. Scott, R. F . — P rincipies o f S o il M echan ics — Cap. 5 — Addison W esley Publ. Co. - 1963.
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CAPITULO VI
DRENAJE Y SUBDRENAJE EN CARRETERAS Y AEROPISTAS VI-1. Introducción Y a en otras partes de esta obra se ha insistido sobre la importan cia de las técnicas destinadas a recoger, canalizar y eliminar las aguas susceptibles de perjudicar de cualquier modo a una carretera o a una pista de un aeropuerto. Las aguas amenazan a estas estructuras de muy diversas maneras; procedentes de las lluvias, se infiltran o dis curren por la superficie del terreno. Las aguas que fluyen superficial mente provocan erosiones en cortes y terraplenes y tienden a correr hacia las cañadas y bajos topográficos; allí se almacenan a causa del obstáculo que representa el bordo de tierra, a no ser que sean oportunamente eliminadas por una alcantarilla construida a través de la estructura; al almacenarse, se infiltran a través del bordo produciendo en él saturación que abate su resistencia al esfuerzo cortante y propicia asentamientos, fuerzas de filtración que amenazan su estabilidad y peligro de tubificación. Las aguas que se infiltran en el terreno tienden a brotar en los cortes practicados para alojar las carreteras o en las coronas de las mismas, amenazando la esta bilidad de los primeros y el buen comportamiento de los pavimentos que cubren las segundas. Los problemas de drenaje superficial o subterráneo (subdrenaje) son de la mayor importancia en la construcción de carreteras y aeropistas y se reflejan quizá más que cualesquiera otros en la duración y buen funcionamiento de estas estructuras, así como en los costos de su conservación. Para muchos ingenieros con experiencia camine ra, las precauciones de drenaje y subdrenaje son el capítulo funda mental a cuidar en el proyecto y construcción de las vias terrestres; los autores de esta obra comparten probablemente este criterio, pues una carretera o aeropista mal drenadas están, independientemente del cui dado puesto en las demás etapas de su diseño y construcción, inexo rablemente condenadas a una rápida destrucción si han de estar bajo la acción de las aguas, aunque ésta no sea particularmente intensa y ello sin que importen consideraciones adicionales, tales como inten sidad del tránsito u otras que, en cambio, palian a veces las conse-
185
186
CAPITULO VI
cuencias de deficiencias en otros aspectos de la construcción, tales como el buen comportamiento de terraplenes por ejemplo. En este capítulo se tratarán los aspectos básicos relativos a dre naje de vías terrestres en general, haciendo énfasis en las carreteras y aeropistas, por considerar que el caso de las vias férreas queda comprendido dentro de las primeras, por lo menos en una aproxima ción no muy detallada, como será la que aquí se intente; desde luego únicamente se tratarán aquellos aspectos del tema que en forma más o menos directa caigan dentro de la jurisdicción de la Mecánica de Suelos. Así, el fundamental problema de determinación de cuencas de captación y gastos de escurrimiento superficial no será tratado; tampoco se describirán los problemas puramente estructurales refe rentes a las diversas obras que habrán de mencionarse. V I-2.
D renaje superficial
En las carreteras y aeropistas el drenaje superficial es el destinado a captar y eliminar las aguas que corren sobre el terreno natural o sobre la estructura; principalmente, estas aguas proceden directa mente de las lluvias, aunque a veces tienen su origen en inundaciones de corrientes fluviales o en manantiales. Por sus diferencias en cuanto a las obras de defensa recomendables conviene distinguir el caso de los cortes del de los terraplenes. En los cortes para carreteras las dos estructuras fundamentales del drenaje superficial son la cuneta y la contracuneta. Las cunetas son pequeñas zanjas paralelas al eje del camino, que se construyen en los bordes de la corona, al pie del talud del corte. Su función es recoger y eliminar por gravedad las aguas pluviales que le llegan desde el talud del corte y desde la zona pavimentada del camino; para lograr esta recolección de las aguas, la superficie pavimentada deberá tener una ligera pendiente transversal (bombeo) precisamente hacia la cuneta. Generalmente la cuneta cubre toda la longitud del corte, manteniendo pendiente longitudinal en el sentido del eje del camino y hacia alguna cañada o bajo en el que pueda eliminarse el agua sin peligro de erosión; como quiera que el tramo final de bajada a la cañada tendrá una pendiente excesiva, que dará al agua alto poder erosivo, será conveniente proteger esa zona con una estructura de descarga de mampostería o concreto, denominada lavadero. La cuneta debe ir revestida de algún material impermeable y resistente a la acción del agua corriente, para evitar filtraciones hacia los materiales que formen el pavimento o el terreno de cimentación; los materia les más utilizados para este fin han sido el concreto (de uso general mente costoso), la mampostería, el suelo-cemento, etc. La sección conveniente para una cuneta depende de la pluviosidad de la zona, de la longitud del corte y de la pendiente que pueda proyectarse; este punto debe verificarse cuidadosamente en cada caso, llegando
M ECANICA D E SUELO S (III)
187
cuando sea necesario a la construcción de cunetas de sección variable a lo largo de la longitud cubierta. Sólo en el caso de cortes practicados en roca sana podrá pensarse en dejar sin revestimiento a una cuneta. Es a veces frecuente en países de recursos limitados que trans curra un lapso considerable entre la construcción de las terracerías para una carretera y su pavimentación definitiva. En este caso, la cuneta plantea un problema especial, pues no puede construirse en definitiva antes de la pavimentación, por hacer cambiar ésta los niveles de la corona del camino. Frecuentemente la solución dada por los técnicos a este problema es no construir cuneta alguna durante este lapso, con la consecuencia de que la sección del corte sufre deterioro por la acción del agua, requiriendo muy frecuentemente una verdadera reconstrucción en el momento de construir el pavimento. En estos casos la experien cia ha demostrado que es más económico construir cunetas provisionales (revestidas de suelo-cemento, por ejemplo) para proteger la terracería de la carretera en el tramo de corte durante el tiempo que esté sin pavimento. Las contracunetas son tam bién pequeñas zanjas cons truidas paralelamente al bor de superior del corte, con el objeto de captar el agua que escurre superficialmente del terreno superior y evitar así que llegue al talud y lo ero sione. Estas contracunetas no deben ser muy profundas y a veces se hacen con sección de zanja y bordillo para minimi zar la excavación. Ha sido práctica usual construir las contracunetas sin impermea bilizar por falsa economía y a veces la pendiente longitudiCuneta revestida de concreto nal de ellas no ha sido la suficiente para propor cionar una rápida salida del agua que captan; ambas cosas propician la filtración del agua en el cuerpo del talud, disminuyendo su estabi lidad. Si la contracuneta es profunda, la superficie potencial de falla
188
CAPITULO VI
del talud se origina precisamente en su fondo y como además en estas zonas superiores del talud son frecuentes los esfuerzos de tensión, se facilita la creación de grietas. Lo anterior ha conducido a fallas de talud con superficies de deslizamientos que tienen su parte superior localizada precisamente en el fondo de las contracunetas; esto ha ocurrido sobre todo cuando el talud es relativamente escarpado y está constituido por material arcilloso. Es por ello recomendable que las contracunetas se construyan impermeabilizadas y con la suficiente pendiente para garantizar un rápido drenaje del agua que captan. Una precaución complementaria al correcto funcionamiento de las contracunetas es el sellado completo de cualesquiera grietas que pue dan formarse en la zona del coronamiento del corte como consecuen cia de la aparición de esfuerzos de tensión. Los materiales más usados
Contracuneta
para recubrimiento de contracunetas son el concreto, convencional o de tipo especial, la manipostería, el suelo-cemento, el suelo-asfalto, etc. Los remates de las contracunetas a ambos lados de los cortes deben ir también provistos de lavaderos para neutralizar el mayor poder erosivo del agua provocado por el aumento de la pendiente. Una zona crítica en estas estructuras suele ser la de unión entre una cuneta o una contracuneta y el correspondiente lavadero, pues en ella existe el riesgo de que el agua se introduzca bajo el último, erosio nando y disminuyendo su sustentación, con riesgo de falla; para evitar este peligro es recomendable que esa zona de unión sea amplia y sin quiebres y que el lavadero tenga un dentellón de entrada para protegerlo del efecto de filtración; dicho dentellón podría tener tan pequeña profundidad como 50 cm. El lavadero en sí debe ser de sección holgada, que evite derrames y deberá tener una descarga apropiada que anule los efectos de erosión regresiva en su pie, que han causado tantas fallas a estas valiosas obras auxiliares.
189
M ECANICA DE SUELOS (III)
En los terraplenes, las principales estructuras de drenaje superfi cial y auxiliares son las alcantarillas, sean de concreto, manipostería o lámina de acero corrugada, los lavaderos y los bordillos. Las alcantarillas caen fuera del objeto de esta obra en todo lo que se refiere a su diseño hidráulico y estructural; sin embargo, existen algunas normas geotécnicas que es conveniente seguir y que se tratarán con algún detalle en los Anexos V l-a y V l-b . En general, las alcan tarillas se construyen en ma teriales rígidos o flexibles y su funcionamiento, en lo que a su relación con el suelo que las cubre y rodea se refiere, queda definido por esta con dición. Las alcantarillas de lámina corrugada de acero son flexi bles y su bóveda cede bajo las cargas de tierra, propiciando fenómenos favorables de ar queo. Las alcantarillas rígidas de mampostería o concreto no tienen esta ventaja y en ellas la determinación de ¡as pre siones producidas por los ma teriales que las cubren es más delicada. En los anexos cita dos se tratan algo estos pro blemas. Una alcantarilla insuficien te hidráulicamente hablando producirá el almacenamiento . , . . . , del aqua, aguas arriba del Conirocuneta ognetoda^por m o v ie n te s en el
t e r r a p ]é n .
aun
cuando
e sta
agua no llegue a desbordar sobre la corona de dicho te rraplén (en cuyo caso sus efectos serán seguramente destructivos), el almacenamiento tiende a producir filtraciones al cuerpo del terraplén, con peligro detubificación si elmaterial que lo constituye es suscepti ble o no ha sido biencompactado; a este respecto una zona crítica es la próxima a la estructura de la alcantarilla, pues en ella se dificulta la compactación del material de abrigo, siendo éste un punto impor tante a cuidar en la construcción. La infiltración del agua satura también al terraplén, disminuyendo su resistencia al esfuerzo cortante.
190
CAPITULO VI
M E C A N IC A D E SU EL O S (III)
191
propiciando así fallas por deslizamiento y asentamientos en el propio cuerpo de la estructura de tierra- La colocación de las alcantari llas respecto a la dirección del agua que reciben es importante para evitar erosiones que, en ocasiones, han llegado a destruir obra y terra-
Alcanfarilla de bóveda
píen; a este respecto han de evitarse los bruscos cambios de dirección, la llegada del agua con velocidad excesiva, etc. También es importante que la alcantarilla quede convenientemente ubicada en el fondo de la barranca o bajo por el que fluyen las aguas; es práctica frecuente y muchas veces desdichada, colocarlas en la ladera de la barranca a nivel superior al del fondo, con lo que se favorece el embalse perju dicial de las aguas. Cuando los terraplenes se colocan sobre terrenos muy blandos y compresibles, sus asentamientos resultan muy perjudiciales para las obras de drenaje que haya de hacerse en ellos; estos asentamientos destruyen las obras cuando son rígidas o las deforman más allá de lo tolerable, cuando son flexibles. El problema de cimentación propio de la estructura suele poder resolverse a veces colocándola sobre el material de terraplén, más resistente que el terreno de cimentación; la solución está circunscrita al hecho de que elevar la obra de esa manera no perjudique su comportamiento hidráulico; generalmente el método anterior es bueno en terraplenes en terrenos pantanosos e inundados o en lugares en que, por lo blando del terreno natural, parte del terraplén se incrusta en él desde un principio. El cajón rí gido de concreto es la estructura para alcantarilla grande (conside rando casos en que los tubos ya no resuelvan el problema hidráulico) que trasmite los menores niveles de esfuerzos al terreno natural; ade más, la experiencia ha demostrado que este tipo de estructuras es el que aguanta mejor los movimientos de un terraplén sobre suelos com presibles, pues aunque sufra grietas que hayan de ser calafateadas, su
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CAPITULO VI
función no se ve esencialmente comprometida por el asentamiento y al comunicar pequeños esfuerzos al terreno de cimentación, del orden de los del propio terraplén, elimina prácticamente el problema de los asentamientos diferenciales. Los bordillos son pequeños parapetos que se construyen en los bordos de las coronas de los terraplenes para impedir que el agua desborde por los taludes erosionándo los; son particularmen te útiles en terraplenes construidos con mate riales arenosos c arenolimosos. Se construyen gene ralmente de suelo-as falto (en proporciones que producen práctica mente una mezcla as fáltica), suelo-cemento aun concreto hidráuli c a carretera terminada. Nótense cuneta y bordillos CO. En los extremos de los terraplenes se interrumpen y las aguas se canalizan hacia lavaderos que las elimi nan sin peligro. Los bordillos tienen una utilidad que suelen justificar ampliamente su costo y deben también reco mendarse en caminos aún no pavimentados, como estructuras de drenaje provisional. Los lavaderos elimi nan el agua canaliza da por los bordillos y suelen construirse de sección de medio tubo de lámina de acero co rrugada o de concreto. En terraplenes muy altos puede convenir colocarlos longitudinal Otra vista de una carretera terminada, mostrando cu netas y bordillos y transversalmente pa ra captar y eliminar las aguas que caen directamente sobre los taludes, formando así una verdadera retícula canalizadora en la superficie de los mismos.
M ECANICA DE SUELOS (III)
193
Por lo demás, en estas estructuras es aplicable todo lo que se dijo para el caso de los lavaderos en cortes. En el área de un aeropuerto, uno de los factores principales para obtener un buen drenaje de las aguas superficiales es el relativo a las pendientes que se de a las secciones transversales de las pistas y calles de rodaje y a los taludes de los cortes y terraplenes de estas estructuras. Estas pendientes dependerán del tipo de suelo predomi nante y deberán estar diseñadas para alejar de las zonas de pistas al agua superficial y canalizar dichas aguas hacia las zonas de cap tación. Para este diseño es esencial un conocimiento de los diferentes suelos que forman la estratigrafía del lugar, así como del tipo de materiales disponibles de bancos de préstamo. Si el sitio en que se localizará el aeropuerto está compuesto de suelos de alta permeabi lidad, el factor a cuidar es el de la erosión del suelo por los escurrimientos del agua, por lo que las pendientes deberán ser cuidadosa mente controladas en tal forma de impedir concentraciones del agua y velocidades fuertes de la misma. Esto es especialmente crítico cuando los suelos están constituidos por arenas finas y limos no plásticos. Por lo demás, en estos tipos de suelo, por ser auto-dre nantes, no se requiere, por lo general, un sistema extenso de drenaje superficial o de sub-drenaje. Si el sitio para el aeropuerto está constituido, por el contrario, por suelo impermeable, las filtraciones del agua pluvial serán des preciables, requiriéndose en este caso todo un sistema de drenaje superficial que drene satisfactoriamente la cantidad de agua que se haya estimado sea la máxima del lugar. El sistema de drenaje superficial consta por lo general de resu mideros con rejillas, localizadas en las partes bajas del área del aeropuerto, conectados por tubería a zonas de desagüe. Este diseño está íntimamente relacionado con las pendientes y magnitud del área tributaria a cada sumidero. Las pendientes, en estos casos, pueden ser más fuertes que cuando existen suelos granulares finos, excepto en el caso de que los suelos impermeables también sean susceptibles a ser erosionados. En el caso de un suelo estratificado, el problema del drenaje ya no es tan simple y requiere un conocimiento más detallado de la estratigrafía del lugar y de las condiciones hidráulicas predominantes. Si un suelo impermeable subyace a una capa de suelo permeable de poco espesor, se requerirá un drenaje superficial además de un sistema de sub-drenaje que desaloje el agua que escurre sobre el manto impermeable. Los sistemas de sub-drenaje se discutirán más adelante. Los casos más complejos ocurren cuando la estratigrafía es uniforme y se encuentran estratos impermeables alternados con estra tos permeables con agua fluyendo a su través. En estos casos el factor a cuidar es el de los pequeños almacenamientos de agua
Mecánica de Suelos III
194
CA PITU LO V I
que puedan presentarse en zonas aisladas, los cuales deberán dre narse por algún procedimiento de sub-drenaje.
VT-3. Necesidad del subdrenaje La estabilidad de los cortes, terraplenes y pavimentos de una vía terrestre se ve fuertemente influida por los flujos de agua existen tes en el interior de las masas de suelo, por lo que la técnica moderna ha desarrollado métodos para controlarlos en forma de reducir a un mínimo sus efectos perjudiciales. Como es natural, se presentarán condiciones críticas en aquellas zonas en que se aúnen una alta preci pitación pluvial con características pobres en cuanto a resistencia y deformabilidad de los suelos que constituyen las terracerías de la obra vial, su terreno de cimentación y aún su inmediato contorno geológico. Cuando se construye un corte en una vía terrestre se crea una frontera de esfuerzos exteriores nulos, lo que equivale a haber efec tuado una descarga en el terreno natural; esta descarga produce disminución de los esfuerzos normales y aumento de los cortantes en el terreno localizado detrás del talud del corte. La disminución de los esfuerzos normales causa, a su vez, disminución de la resistencia del suelo al esfuerzo cortante, por lo que, en definitiva, todo contri buye a comprometer la estabilidad de la masa de suelo en que se ubica el talud. Además, el talud del corte representa también una frontera a la presión atmosférica, por lo que cualquier flujo previa mente existente dentro de la masa de suelo tenderá a salir preci samente por esa superficie y por la cama del corte efectuado. Como se ha dicho repetidamente en otros lugares de este volumen, el agua que tiende a salir por el corte produce dos efectos nocivos: genera fuerzas de filtración en el sentido desfavorable y propicia las expan siones volumétricas de la masa de suelo causadas en última instancia por la descarga efectuada; todo esto conduce también a que la esta bilidad del corte se vea disminuida. Como es obvio a partir de lo arriba escrito, las etapas más críticas para la estabilidad del talud suelen ser las épocas de alta precipitación pluvial o inmediatamente posteriores a ellas. El efecto de los flujos internos del agua no afecta sólo a los talu des de los cortes practicados en suelos, sino que también es muy perceptible e importante en los efectuados en rocas fracturadas, es tratificadas o, en general, en todas las formaciones rocosas que ofrez can una cierta permeabilidad, aunque sea localizada. Las juntas, grie tas y planos de discontinuidad suelen estar rellenos de arcilla, por lo que el agua en estas formaciones, además del obvio efecto de las fuerzas de filtración, produce disminución de resistencia al esfuerzo cortante en los materiales arcillosos de relleno, lo que sirve de punto de arranque para movimientos de grandes masas de roca. El efecto es
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
195
particularmente perjudicial cuando el echado de los planos de estra tificación o agrietamiento está dirigido hacia la corona de la obra vial. Aun en terraplenes, los efectos del flujo de agua son nocivos e indeseables. En secciones en terraplén completo interesa el flujo in terno en el suelo de cimentación, en especial si éste tiene pendiente natural; en secciones de terraplén en balcón interesa el flujo en la ladera natural y el que se infiltra al propio cuerpo del terraplén. La colocación del terraplén modifica en cualquier caso el estado de esfuerzos en el suelo que forma la ladera en que se apoya, en forma tal que van a aumentar los esfuerzos cortantes actuantes en él, así como los esfuerzos normales (por efecto de la sobrecarga que el propio terraplén representa), pero por ser la pendiente del talud del terraplén mayor que la del terreno natural el aumento en los es fuerzos cortantes no se ve debidamente compensado por el aumento de la resistencia del subsuelo, consecuencia del incremento de los esfuerzos normales. Así, la estabilidad del lugar en que se coloca el terraplén se ve disminuida. La presencia del flujo de agua agrava aún más esta situación. Los métodos de subdrenaje en el caso de cortes tienden a con trolar el flujo del agua que trata de brotar en el talud o en la cama de la obra vial, reorientando el flujo de tal forma que la dirección de las fuerzas de filtración cambie y se haga menos desfavorable o dis minuyendo las presiones neutrales en zonas convenientes, aumentan do así en ellas la resistencia de los suelos al esfuerzo cortante y restringiendo la posibilidad de cambios volumétricos. En el caso de los terraplenes, el subdrenaje puede aumentar la resistencia al esfuerzo cortante de la ladera de cimentación al abatir las presiones neutrales en el suelo, con lo cual aumentan correspon dientemente los esfuerzos efectivos; también ahora puede buscarse una reorientación de las fuerzas de filtración, a fin de lograr que actúen en forma menos perjudicial. E l agua que se infiltra en el contorno geológico por el que se desarrolla la obra vial, puede perjudicar también muy seriamente a los pavimentos y parte superior de las terracerías que hayan de cons truirse para aquella. E l agua puede llegar a estas capas por varios otros caminos, como por ejemplo elevación del nivel freático, por fil traciones de agua de lluvia a través de la carpeta, etc., pero en cual quier caso su presencia es siempre indeseable. En efecto, siguiendo un principio bien conocido en la técnica de diseño de pavimentos, puede decirse que en estas estructuras se requiere cohesión en su superficie y fricción en las capas colocadas a mayor profundidad; esto es así porque en la carpeta es preciso contar con resistencia a la tensión y a los esfuerzos cortantes bajo presión normal nula (no hay suelo suprayacente); en las capas inferiores, en que se cuenta ya con confinamiento suficiente, podrán usarse en cambio materiales
196
C APITU LO VI
friccionantes, que ofrecen buena resistencia en estado natural, sin posteriores y costosos tratamientos con substancias cementantes tales como asfaltos o cementos, obligados para lograr la necesaria cohe sión de las capas superiores. Cuando una carga obra sobre el pavi mento transmite esfuerzos normales y cortantes a la base y la subbase. Si la base está seca y su humedad es baja, estos esfuerzos normales serán tomados directamente por la estructura granular del material y aumentará la resistencia al esfuerzo cortante a la vez que se generan los esfuerzos cortantes debidos a la carga; si, por el con trario, la base está húmeda en exceso (y aún peor si fuese de mate rial poco permeable), los esfuerzos normales debidos a la carga serían tomados por el agua, no produciendo esfuerzos efectivos y no con tribuyendo, por lo tanto, a la generación de resistencia al esfuerzo cortante durante la aplicación de la carga y así los esfuerzos cortantes actuantes tendrán que ser tomados sólo por la resistencia debida al peso propio de los suelos suprayacentes en el pavimento; esta es evi dentemente una forma muy ineficiente de aprovechar las propiedades mecánicas de los materiales, que conduciría a la falla en muchos casos. Es así incuestionable la necesidad de mantener relativamente poco húmedas las capas granulares inferiores de los pavimentos, por lo que ahora las obras de subdrenaje deberán estar encaminadas a ga rantizar esta finalidad. El humedecimiento de la parte superior de las terracerías disminu ye su resistencia, propicia la deformación del pavimento sobre ella y causa la incrustación de los materiales granulares que suelen formar la sub-base. Asi, el suelo de apoyo del pavimento tampoco deberá de ser olvidado por el proyectista de subdrenaje. La necesidad del subdrenaje es independiente del tipo de ca rretera o aeropista que se considere en un caso particular cualquiera; no colocarlo allí donde sea necesario puede ser de efectos destructi vos, tanto en - una gran autopista de peaje como en un modesto camino de tránsito escaso. Probablemente no se justifica nunca dejar de invertir lo necesario en este concepto bajo pretexto de la menor importancia de una obra dada. Como la adecuada compactación, el subdrenaje forma parte del tipo de trabajos que significan el ser o no ser de una obra vial y como tal no deben regatearse, so pena de causar la destrucción de la estructura a corto plazo. Lo que indudablemente si ocurre es que en una carretera modesta, por sus menores exigencias de alineamiento, pendiente, etc., resultan cortes y terraplenes de menor dimensión que en carreteras de trazo más ambicioso y, por lo tanto, los problemas de subdrenaje tenderán,, en general, a ser cuantitativamente menores, aunque cualitativamente sean similares en los dos tipos de estructura. Naturalmente que el subdrenaje no se necesita en todos los casos. En una carretera, sólo zonas localizadas, en que se concentran las
M ECANICA DE SUELOS (III)
197
aguas subterráneas requerirán de él; en una aeropista, el buscar una zona libre de este tipo de problemas es uno de los requisitos que se desean en una buena localización y sólo cuando tal zona no exista entre las ubicaciones posibles y económicas quedará justificado cons truir la estructura en un lugar con problemas específicos que hagan necesario un subdrenaje de importancia; la razón, obviamente, es el elevado costo de estas obras.
VI-4. Subdrenaje en aeropistas El subdrenaje en aeropistas consiste en general en la construcción de drenes interceptores para captar el flujo subterráneo, para drenar capas saturadas y para controlar el contenido de agua de la sub-base y base del pavimento, así como en las terracerías y aún en la parte superior del terreno de cimentación. El agua por drenar proviene de filtraciones directas del agua de lluvia, de flujos a través de la masa de suelo, de flujo ascendente por capilaridad y, en menor grado, de condensación de la humedad ambiente. La experiencia recomienda diseñar el sistema de subdrenaje en forma independiente del sistema general de drenaje superficial. Siempre que se vaya a construir una aeropista deberá hacerse una exploración para determinar la presencia, origen y causa de las aguas subterráneas: una de las manifestaciones más frecuentes de tal problema es un nivel freático alto en toda el área de la estructura por construir o en parte de ella. El estudio a que se ha hecho referen cia permitirá dilucidar si el agua del subsuelo se encuentra: a ) Confinada en estratos permeables sobre estratos impermea bles b ) En zonas bajas de un estrato permeable con ondulaciones c) Confinada en un estrato permeable subyaciente a otros im permeables d ) En zonas de inundación de un lago, río o mar. Los casos a) y b) arriba mencionados pueden resolverse general mente usando subdrenaje dentro de las áreas con alto nivel freáti co; este subdrenaje podrá ser del tipo de zanja de material filtrante con tubo perforado según se describe más adelante. Los casos c) y d) probablemente requerirán de subdrenes de zanja, interceptores, que desvíen el flujo del agua. Como ilustración del criterio a emplear en el diseño del subdre naje en aeropistas, se analizarán a continuación cinco casos típicos de perfiles de suelos frecuentes en algunos de los cuales la presen cia de agua subterránea suele hacer necesaria la adopción de medidas drenantes.
CAPITULO VI
198 1.
S u e l o u n if o r m e p e r m e a b l e
En este caso probablemente no se requiere ninguna instalación especial de subdrenaje ya que estos suelos son autodrenantes. El problema con estos suelos es más bien el de su alta erosionabilidad bajo el escurrimiento del agua superficial, lo cual deberá cuidarse con pendientes adecuadamente reducidas y con recubrimiento de cunetas y canalizaciones con suelo-cemento o aún con copcreto hidráulico. 2.
S uelo
u n if o r m e
im p e r m e a b l e
Tampoco estos suelos suelen requerir subdrenaje, pues por su impermeabilidad no suelen contener flujos subterráneos de impor tancia. Se exceptúan aquellos casos en que sea necesario abatir las presiones hidrostáticas bajo pavimentos. Lo que sí se requiere es un buen sistema de drenaje superficial. 3.
E stra to d e su el o p e r m e a b l e su pr a y a c en te a otro im p e r m e a b l e
En este caso, las aguas que se filtran a través del estrato superior quedan detenidas en la frontera con el estrato impermeable y fluyen sobre ésta, siguiendo su pendiente natural. Ahora serán necesarios subdrenes de zanja que lleguen hasta dicha frontera, a no ser que ésta sea muy profunda, en cuyo caso las zanjas podrán profundi zarse únicamente hasta lo necesario para que el flujo que se filtre más abajo ya no sea perjudicial. 4.
E st r a t o im p e r m e a b l e s o b r e
un
estra to
perm ea ble
Este caso puede asimilarse al 2 y generalmente no requiere sub drenaje. 5.
E s t r a t o s e r r á t ic a m e n t e d is p u e s t o s c o n a l t e r n a n c ia c a pa s
perm ea bles
e
de
im p e r m e a b l e s
Este caso generalmente requiere subdrenaje si bien no es posible dar reglas generales sobre el mismo, que dependerá de cada dispo sición particular. En este caso es frecuente que un drenaje superficial muy completo ahorre erogaciones de mucha cuantía en las obras requeridas de subdrenaje. Un tipo de subdrenaje que ha rendido excelentes resultados pro tegiendo las bases y sub-bases de las aeropistas de las aguas que fluyen por el subsuelo es el de subdrenes interceptores. í>on reco mendables cuando exista un estrato acuífero a relativamente poca profundidad que se prolongue bajo las áreas cubiertas por las pistas. El subdrén es una zanja que se construye transversalmente a la di
M ECANICA D E SUELOS (III)
199
rección del flujo, a veces relativamente lejos de las pistas propiamente dichas y que impide que el agua penetre a las zonas por proteger; la zanja se rellena de material filtrante cuyos requisitos se comentan más adelante y en su parte inferior lleva un tubo perforado, tal como permite ver el croquis de la fig. V I - 1.
FIG. VI-1. Sub-dren interceptor
Cuando un subdren de zanja se coloca paralelamente a la pista siguiendo prácticamente la orilla de la carpeta, recibe el nombre de subdrén longitudinal. Su misión es captar y dar fácil salida a las aguas que se infiltran al pavimento a través de la superficie de roda miento y los acotamientos o la que llegaría a las capas de base y subbase desde el terreno inmediatamente vecino. También desaloja el agua proveniente de una elevación del nivel freático en época de lluvias. Se construye con una zanja rellena de material filtrante y provista de un tubo perforado (fig. V I-2 ). En el Anexo V I-c se presenta un análisis teórico propuesto por A. Casagrande para el es-
200
C A PITU LO V I
tudio del proceso de drenaje de una base permeable comunicada con subdrenes de zanja. Tanto en el dren interceptor como en el longitudinal, el agua que sale a través del tubo perforado, o bien va directamente a un arroyo o bajo topográfico o bien a algún sistema colector que la descargue donde sea inofensiva. La construcción de los drenes longitudinales deberá de hacerse de modo que conecten directamente con las ca pas de base y de sub-base. E l tubo perforado que se coloca en el fondo de la zanja y sobre una plantilla compactada ( a veces de concreto pobre) suele te ner un diámetro comprendido 2» 1/2* 22 !/*• entre 10 y 20 cm; las perfo raciones deberán colocarse en la mitad inferior y entre los ángulos de 22.5° y 45° con I P E R F O R A C I O N E S D E I C M . ( > / • * ) E S P A C I A D A # 10 c* respecto a la horizontal, tal C E N T R O A C E N T R O E N T R E S B O L IL L O ) como se muestra en la fig. . V I-3. FIG. VI-3. Tuba perforado para sub-dren Las perforaciones en la parte superior propician la fuga del ma terial fino que forma parte del filtro, perjudicando a éste; perforacio nes en la parte más baja del tubo permitirían la salida del agua ya captada, con perjuicio del suelo alrededor de la zanja. No es alterna tiva de la perforación del tubo el dejar entre secciones de tuberia sin perforar uniones abiertas, como se ha hecho en ocasiones, pues con esa práctica se producen los dos inconvenientes arriba apuntados. E l material filtrante que rellena la zanja deberá cumplir dos con diciones: ser de una permeabilidad mayor que la del suelo circun dante para facilitar el flujo del agua hacia el tubo perforado y ser de una granulometría tal que impida que partículas del suelo circun dante sean transportadas por el agua hacia los vacíos y huecos del material filtrante, impermeabilizándolo. Por esta última razón es to talmente inadecuada la práctica de rellenar la zanja con piedras, que dejan entre sí grandes huecos que permiten ser rellenados por ma teriales más finos, lo que conduce al sellado de la zanja y a la inuti lización del dren. Debe existir una correlación entre el material que constituye el filtro y las perforaciones que se le hagan al tubo, de manera que las partículas finas no puedan pasar a través de aquéllas tapándolas, causando azolves en el tubo o disminuyendo su área hidráulica y de manera también de que el material filtrante no pierda su frac ción fina, lo que rebaja su calidad de filtro por facilitar la invasión de finos del material natural circundante, que podrían sellar al propio filtro.
M ECANICA D E SUELO S (III)
201
Las condiciones que debe de llenar en general el material filtrante suelen expresarse por medio de unos cuantos requisitos de índole granulométrica, cuyo cumplimiento garantizará un buen comporta miento del material de filtro y del subdrén como un conjunto; estos requisitos son los siguientes: 1.
P a r a f a c il it a r e l f l u j o
del
agua
h a c ia
el
tu bo
perfo ra d o
(6-1)
D ' » > 5 D fs
En la expresión anterior los símbolos sobre las letras indican respectivamente F al material del filtro y S al suelo circundante al subdren. D 15 tiene el sentido ya familiar a los lectores de esta obra y que se explicó detalladamente en el tomo I. 2.
P a r a e v it a r po r
la
pro teg er
m ig r a c ió n
h a c ia
los
de
p a r t íc u l a s
h u eco s
d el
f in a s
m a t e r ia l
del
m a t e r ia l
f il t r a n t e
D J0 < 2 5 D « , 3.
P ara
e v it a r
t u b e r ía
y
la
la
o b s t r u c c ió n
fu g a
de
los
de
f in o s
las d el
(6-2) p e r f o r a c io n e s m a t e r ia l
de
la
f il t r a n t e
a
SU T R A V É S
D f. > 1.5 d
(6-3)
donde d representa el diámetro de las perforaciones practicadas en la tubería. 4.
T e n ie n d o e n c u e n t a q u e l o s m a t e r ia l e s f il t r a n t e s t ie n d e n a
seg reg a rse
G R U ESA S EN
, sepa rá n d o se po r ta m a ñ o s con
las
p a r t íc u l a s
LA P A R T E IN F E R IO R , C U A N D O S E C O LO C A N E N T R IN
C H E R A S S E R E C O M IE N D A Q U E :
£ > '< 2 0 D ? o
(6-4)
Adicionalmente y con el mismo fin, la curva granulométrica del materia] filtrante deberá de ser suave, sin discontinuidades que dela ten escasez de algún tamaño intermedio. También se recomienda, con el mismo objeto, que el material filtrante se coloque con cierta hu medad, cuidando de no adoptar una que perjudique la facilidad de lograr una buena compactación. Las normas anteriores conducen a un solo tipo de material fil trante, eliminando el filtro de varias capas, incómodo en la tecnología de las vías terrestres y es común que un material que satisfaga Tos
202
CA PITU LO V I
requisitos para ser usado como base de pavimento o como arena para la fabricación de concretos cumpla convenientemente con las condiciones para ser un buen filtro, susceptible de ser usado como relleno de un subdren de zanja. La técnica de las vías terrestres ha descuidado seriamente en el pasado el subdrenaje en general con graves y frecuentemente desas trosas consecuencias, pero de entre todos los puntos quizá el que más ha sufrido de la desidia o de la falta de atención de los constructores y proyectistas es el que se refiere a la construcción de subdrenes de zanja, tan fundamentales por otra parte para la protección de pistas y carreteras. E l primer defecto que al respecto se ha notado ha sido simplemente el omitirlos allí donde hubieran sido necesarios, si bien esta omisión ha sido más frecuente en carreteras que en aeropistas. Y a se ha comentado suficientemente que esta omisión es siempre una política desacertada y ello independientemente de la categoría de la aeropista o carretera de que se trate; la razón económica, que frecuentemente se ha invocado para cubrir omisiones en el subdre naje, no debe de verse como tal, pues este es un renglón en el que no hay cicatería permisible por tratarse de un aspecto del que depende básicamente el futuro comportamiento conjunto de la obra; si no hay posibilidad económica para construir un aeropuerto o una carretera con el debido subdrenaje debe pensarse que tal obra no deberá ejecu tarse en tanto no se resuelva aquel fundamental requisito, pues proce der a la construcción descuidando los efectos del agua subterránea conducirá, si éstos son de importancia, a malgastar totalmente la in versión erigiendo una obra condenada a una defectuosa operación y a una muy pronta destrucción. E l segundo defecto que puede observarse en la construcción de las obras de subdrenaje, cuando se llevan a cabo, es una defectuosa ejecución. La localización es un aspecto en que frecuentemente se han registrado fallas de importan cia, pero estriba quizá en la elección del material filtrante la más frecuente causa de fracasos. Y a se ha dicho que muchas veces se ha rellenado la zanja simplemente con piedras grandes, con el resultado de su inmediata contaminación con el material circundante y se llado del dren, que resulta así totalmente inútil a los pocos meses; la falta de tubería de desagüe perforada ha sido otro error frecuente; un subdren sin tubo no desaloja el agua con lá expeditividad requerida y a veces causa efectos contraproducentes al servir como depósito de aguas que invaden zonas de suelo vecinas con efectos muy des favorables. Sin embargo, el más generalizado defecto en la construc ción de los subdrenes de zanja es uno en que la principal responsabi lidad recae sobre el proyectista que desde un escritorio elabora un proyecto ambicioso, quizá bien concebido a primera vista, pero que no toma en cuenta la realidad de las posibilidades de ejecución en el campo; este proyectista adopta algún criterio, generalmente granulo-
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
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métrico y partiendo de las características del material existente en la zona, fija los requisitos granulométricos que ha de cumplir el ma terial del filtro de un modo estrictamente impersonal y teorizante; este modo de proceder, generalmente conduce a la adopción de un filtro formado por dos o tres capas de materiales granulares filtrantes diferentes, pues si se adopta un criterio de proyecto rígido para con seguir un ideal abstracto, no suele encontrarse un solo material que al mismo tiempo sirva para impedir la penetración del material vecino por proteger, para proporcionar un filtro correcto y para funcionar bien respecto al tubo perforado. Se produce así un proyecto que resulta irrealizable en su ejecución en el campo, pues los materiales para formar las diversas capas del filtro o no existen en el lugar o son de obtención costosa por exigir laboriosas operaciones de mez clados, trituración o cribado; como consecuencia, el hombre del campo al ver que no puede satisfacer los requisitos del proyecto, lo abandona y da alguna solución a la ligera y frecuentemente poco satisfactoria. Un filtro jamás debe de diseñarse con la actitud mental de ver qué material resulta para él en un cierto caso particular adoptando un cierto criterio granulométrico, sino con la más positiva de ver qué tipo de filtro adecuado puede elaborarse con los materiales disponi bles en el lugar, aprovechándolos tal y como existen o sometiéndolos a alguna manipulación sencilla y económica. Las reglas atrás vistas tienen la ventaja de que conducen a un sólo material (y no a un filtro de capas) que queda bien representado por un material de sub-base o una arena para concreto, ambos siempre disponibles en las obras reales. V I-5.
Subdrenaje en carreteras
Como ya se dijo, cuando existe flujo de agua interno a través de una ladera natural en la que habrá de practicarse un corte carretero, el agua tenderá siempre a aflorar por el talud del corte, una vez que éste se realice- E l talud formado representará una frontera de es fuerzos exteriores nulos en la masa de suelo; se ha efectuado una descarga en el terreno natural y ésta produce la disminución de los esfuerzos normales y el aumento de los tangenciales en el terreno si tuado tras el talud del corte. La disminución de los esfuerzos norma les produce disminución en la resistencia del medio, por lo que ambas variaciones comprometen la estabilidad del talud. Si ahora, en añadi dura, aparece el agua fluyendo hacia el talud por ser éste un frente a la presión atmosférica, se añadirá el efecto de las fuerzas de filtra ción, en sentido desfavorable dada la dirección del flujo y se propi ciarán expansiones volumétricas en la masa del suelo con pérdida adicional de resistencia al esfuerzo cortante; como ya se dijo estos efectos son particularmente críticos en talwegs internos en que se
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CA PITU LO VI
concentre el flujo o en taludes en roca fragmentada con echado des favorable. Para el diseño de un sistema de subdrenaje para una carretera en un caso dado será preciso realizar una correcta exploración geo lógica y aún de suelos en las zonas en que este tipo de problemas sean de sospechar. Estas zonas, a su vez, deberán ser reveladas por especialistas geólogos y en estudios geotécnicos que realicen minu ciosos recorridos de la futura obra vial durante la etapa de proyecto y trazo y aún durante las de construcción y funcionamiento, a fin de revisar y corregir deficiencias que pudieran haberse manifestado. Rara vez el subdrenaje en carreteras, a diferencia de las aeropis tas que se construyen en zonas mucho más restringidas, permite una exploración de gran detalle en lo que se refiere a número, tipo y profundidad de sondeos por realizar y frecuentemente ha de procederse con datos escasos de esta clase, pues la longitud de las carrete ras suele ser enemiga de la concentración en los estudios que es posible realizar en ellas. Por eso es importante el contar con personal altamente especializado y de experiencia, que pueda detectar las zonas que requieren subdrenaje a partir de investigaciones someras. La fotogeología y armas afines deben de verse como auxiliar de incalculable valor. La geología superficial y su extrapolación a cuen cas subterráneas, el estudio del escurrimiento regional, la naturaleza del terreno, en lo que se refiere a su capacidad de absorción, etc., son factores que han de ser tomados en cuenta en todo momento, sin contar las evidencias obvias de la existencia de agua subterránea, tales como afloraciones, manantiales, manchas de humedad y otros signos. Para fines de planeación de un subdrenaje, las pruebas de labora torio por realizar suelen circunscribirse a pruebas de clasificación y raramente de permeabilidad. Las pruebas de campo para detectar el flujo interno son frecuentemente muy útiles, pero muchas veces es preciso proceder sin contar con sus valiosos datos, por razones de costo y tiempo. El diseño de un sistema adecuado de subdrenaje en carreteras no puede seguir normas fijas predeterminadas y se apoya más en la práctica, experiencia y aun en instinto, que en estudios amplios y detallados; naturalmente que lo anterior no excluye la conveniencia de realizar tales estudios cuando se vean realmente necesarios y haya posibilidad de practicarlos. De todo lo anterior se deduce la necesidad, ya indicada, de no considerar como definitivo ningún proyecto de subdrenaje efectuado, por completo que pueda parecer a primera vista. La construcción de la carretera y su funcionamiento posterior deberán observarse al de talle. a fin de completar el sistema en todos aquellos lugares en que se manifieste la necesidad de ello.
M ECANICA DE SUELOS (III)
205
Los diferentes métodos que hasta la fecha se han usado para controlár las condiciones de flujo del agua en terracerías y para me jorar las condiciones de estabilidad en cortes, terraplenes y pavi mentos, pueden agruparse en los siguientes tipos principales: 1. 2. 3. -i. 5. 6.
Subdrenes de zanja y capas permeables Construcción de una capa permeable con remoción de material Trincheras estabilizadores Drenes transversales de penetración Pozos de alivio Galerías filtrantes.
Estos diferentes tipos de soluciones se describirán brevemente a continuación.
1. S ubdrenes de z a n ja y capas permeables Este tipo de subdren es esencialmente análogo al descrito para el subdreijaje de aeropistas y consiste en una zanja de profundidad ade cuada ( se ha llegado frecuen temente a tres o cuatro me tros) provista de un tubo per forado en su fondo y rellena de material filtrante; el agua colectada se desaloja por el tubo de gravedad a algún ba jo o cañada en que su des carga sea ya inofensiva. Él diámetro del tubo per forado es del orden de 15 cm y se coloca sobre una planti lla de material permeable del orden de los 15 cm de espesor. Las perforaciones deberán realizarse con el mismo crite rio descrito para el caso de las aeropistas. Estos subdrenes se cons truyen longitudinalmente al camino, en sus acotamientos y al pie de los cortes; es fre cuente su ubicación bajo las cunetas impermeabilizadas. En cortes en cajón pudiera requerirse su construcción en Construcción de un sub-drdn de zan/o
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C / ir i a uLvy
los dos hombros de la carretera. Su efecto es desviar las aguas que aflorarían por el talud del corte o en la corona del camino, bajo el pavimento, captándolas, con lo que se modifica favorablemente la dirección de las fuerzas de filtración, se alivian las presiones internas
FIG. VI-4. Sub-dren y sub-base permeable
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en el agua, al proporcionar a ésta una salida más expedita y se protege debidamente la estructura del pavimento. En la fig. v i -4 se muestra un croquis del subdrén de zanja, así como de sus efectos en la sección del camino. Cuando el flujo es importante y la carretera ancha, no puede interceptarse el flujo que aflora por la corona del camino, por lo menos utilizando zanjas de una profundidad razonable. En estos casos es necesario combinar la acción de los subdrenes de zanja con subdrenes análogos, pero construidos en sentido transversal al cami no o bien con una verdadera capa permeable construida bajo el pavimento, como sub-base del mismo, que es el caso que se ilustra en la fig. V I-4.b. Esta capa no requiere de tubos perforados, pues se ha comprobado en la práctica que el agua captada es conducida al subdren longitudinal y eliminada por el tubo de éste; para ello será conveniente cuidar las pendientes transversales, de manera que per mitan que ese drenaje ocurra rápidamente. En el caso de carreteras varían mucho los suelos que van apa reciendo de unos puntos a otros situados a corta distancia, por lo que la adopción del criterio recomendado para aeropistas en cuanto a la selección del material filtrante de relle no de subdrenes resulta impo sible por engorrosa y antieco nómica. Lo ideal sería contar con una norma para seleccio nar el material filtrante que fuera independiente de las características del suelo por proteger. Aunque teórica mente esto es imposible, en la práctica sí ha resultado satis factorio el uso de un material único, con tal de que sus ca racterísticas granulométricas sean susceptibles de cubrir la más amplia gama posible de casos reales. La Tabla 6-1 presenta unos límites granulométricos que se han consi derado satisfactorios en la experiencia mexicana para Colocación del tubo para un sub-dren de zanja material filtrante Único.
CAPITULO VI
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TA BLA 6-1
M alla
N? N* N9 N9 N9 N9
1.5" 0.5" 4 10 20 40 100 200
A bertura, en mm
P orcen ta je qu e p asa, en p es o
38.1 12.7 4.76 2.00 0.840 0.420 0.149 0.074
55 30 15 5 0 0 0
100 - 100 55 35 - 2 0 — 12.5 5 — 2
Naturalmente que las normas proporcionadas para seleccionar material filtrante para subdrenaje en aeropistas puede también apli carse en carreteras, aunque se repite que frecuentemente resultan poco prácticas en este caso. 2.
C o n s t r u c c ió n M A T E R IA L
de
un a
ca pa
per m ea ble
con
r e m o c ió n
del
Cuando existe una capa saturada de suelo de mala calidad y de un espesor relativamente pequeño (por ejemplo, no mayor de 4 ó 5 m) y abajo de ella hay materiales de mucha mejor calidad, puede pensarse en remover totalmente el suelo malo en una faja bajo el camino por construir y en un ancho conveniente. La excavación para la remoción podrá entonces recubrirse con una capa de 50 cm a 1.0 m de material permeable que actúe como subdren de la zona; esta capa deberá estar provista de tubería perforada de captación y de tubería de desfogue. Posteriormente la excavación se rellenará con material de buenas características debidamente compactado; sobre éste podrá construirse el terraplén proyectado. En la fig. V I-5 apa rece un esquema según las ideas arriba expresadas. La capa drenante evita que el nuevo material colocado y el terra plén del camino sufran los efectos adversos del agua. Adicionalmente el sistema permite que el terraplén se apoye a fin de cuentas en terreno firme, por lo que la solución cubre los fines de mejoramiento del terreno de cimentación y de la estabilidad general del propio terraplén. El límite de la solución es obviamente el espesor del material removido, circunscrito a los valores señalados por razones económicas.
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i
FIG. VI-5. Remoción de material blando y colocación de una capa permeable bajo terraplenes 3.
T r in c h e r a s
estabilizadoras
Cuando en una ladera existe flujo de agua y está formada por grandes espesores de materiales cuya estabilidad se ve amenazada por él y sobre esa ladera ha de construirse un terraplén, la remoción de los materiales malos y su substitución por otros mejores resulta i
Mecánica de Suelos III
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CAPITULO VI
ya difícil y, desde luego, antieconómica. En estos casos puede pen sarse que basta captar el flujo y eliminar el agua en una zona bajo el terraplén de profundidad y ancho suficiente para garantizar la estabilidad local del terraplén; en la práctica esto se logra eliminando las aguas de una zona que abarque aquella por la que podría desarro llarse el circulo de deslizamiento del conjunto formado por el terra plén y su terreno de cimentación. La captación se logra construyendo una trinchera excavada bajo el lugar en que se construirá el terraplén (fig. V I-6 ). El talud aguas arriba de la trinchera y su fondo deberá de recu brirse con una capa de material filtrante de 50 cm a 1.0 m de espesor, provista de tubería perforada para captación y otra, colocada transversal mente, para desfogue. Poste riormente la trinchera deberá rellenarse con material com pactado debidamente, pu diéndose emplear para ello el mismo producto de la exca vación. La inclinación de los taludes de la trinchera debe ser suficiente para garantizar su estabilidad durante la construcción; en la fig. V I-6 se muestran valores frecuen tes. El fondo debe tener un ancho suficiente para permi tir las maniobras mínimas del equipo de construcción, esti mándose que 4 m satisface este requisito. La profundi dad con que se construyen las trincheras suele oscilar entre tres y quince metros, pero en ocasiones han de construirse bastante más pro fundas. 4.
D r e n e s t r a n s v e r s a l e s d e p e n e t r a c ió n
Los drenes transversales de penetración, denominados drenes ho rizontales en la literatura sajona, son tuberías perforadas que pene tran en el terreno natural en dirección transversal a la de la carretera para captar las aguas internas y para abatir las presiones neutrales. Son especialmente indicados tanto para mejorar la estabilidad de
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Otro aspecto de la construcción de una trinchera estabiliiadora
Una gran trinchera estabiliiadora nivel triple
Dren transversal en operación
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CAPITULO VI
cortes como la del terreno de cimentación de terraplenes. Se constru yen efectuando primeramente una perforación de 7.5 a 10 cm de diámetro, para lo cual existe comercialmente la maquinaria apropiada, automática y provista de movimiento propio de avance y retroceso, a fin de facilitar las maniobras; una vez hecha esta perforación, se co loca en ella tubo de acero perforado de 5 cm de diámetro, general mente recubierto de as falto, para protección contra corrosión, o gal vanizado. Las longitu des de los drenes de penetración son muy variables, pero pueden llegar a 100 m o más; su inclinación con la horizontal suele variar desde 3 a 2 0 r/ e. Los drenes se conectan a un colector exterior que es otro tubo de unos 20 cm de diáme Sistema para captar las aguas de un conjunto de drenes transversales de penetración tro y que se encarga de eliminar las aguas a donde sean ya inofensivas. La parte del tubo próxima a la superficie del terreno natural o del talud debe de dejarse sin perforar en uno o dos metros para impedir la invasión de vegetación a través de las perforaciones, que obstruya la salida del tubo. Los drenes transversales de penetración tienen la ventaja de drenar el agua y/o abatir las presiones neutrales a grandes profun didades, mayores de las que puede llegar cualquier otro elemento de subdrenaje. Se requiere un número elevado de drenes para lograr buenas eficiencias y en terrenos im perm eables o en masas de roca agrietada sin fácil intercomunicación interna su zona de influencia puede ser relativamente pequeña, de manera que se requieran espaciamientos cortos entre ellos; es frecuente verlos hasta a 5 m uno del otro y en dos o más hileras separadas una distancia similar; 10 m es un espaciamiento muy común. En la fig. V I-7 se muestra un cro quis con su colocación y efectos para el caso de una sección en balcón. Un punto que ha sido mal interpretado muchas veces en el pasado y sobre el que conviene insistir es el de que la efectividad de uno de estos drenes no depende del gasto que logren extraer; un dren pu diera no sacar nada de agua y a pesar de ello estar cumpliendo sus fines de mejoramiento de la estabilidad del terreno al abatir la presión neutral interna dentro de su zona de influencia. El gasto
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depende de la permeabilidad de las formaciones atravesadas y, hasta cierto punto, del hecho fortuito de que se capten venas acuiferas, manantiales, etc.
FIG. VI-7. Esquema de la Influencia de los drenes transversales de penetración en un corte en balcón 5.
P O Z O S D E A LIV IO
Aunque son relativamente escasos en la tecnología del subdrenaje en carreteras, los pozos de alivio constituyen un útil modo de resolver algunos problemas específicos. Los pozos son perforaciones verticales del orden de 60 cm de diámetro, dentro de las cuales se coloca un tubo perforado de 15 cm de diámetro o algo similar; el espacio entre el tubo y las paredes de la perforación se rellena con material fil trante. Las profundidades han llegado a ser hasta de 20 m y se colocan en la zona en que se capte el flujo perjudicial o sea ladera arriba de la zona en que se colocará el terraplén y próximo a éste Los pozos de alivio deberán de tener un sistema colector que elimine las aguas que se capten. La recolección obvia es una galería que los comunique en su base, construida como un pequeño túnel; también pueden desaguarse con drenes transversales de penetración o por bombeo directo. En el caso de los drenes transversales de pene tración suele ser difícil lograr una buena conexión física con los pozos, sobre todo si estos se construyen primero. Algunos especia listas reportan que esa conexión no es necesaria en la totalidad de los pozos y que basta atravesar con los drenes la zona en que se hayan construido los pozos con conexión física de algunos de ellos (es recomendable conectar quizá la mitad) para que aquellos capten conveniente el agua retenida por éstos y que se infiltra al subsuelo ladera abajo.
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CAPITULO V I
El espaciamiento entre pozos de alivio es muy variable, depen diendo de las circunstancias del caso de que se trate y lo mismo puede decirse ,del número de hileras en que se dispongan; es fre cuente un espaciamiento entre 5 y 10 m y una disposición en dos hileras traslapadas. En la fig. V I-8 se muestra una instalación típica de pozos de alivio combinados con drenes transversales de penetración.
En la figura se muestran también dos hileras de pozos colocados en la zona del pie del terraplén del lado ladera abajo. Estas dos hileras de pozos se han conectado en su parte superior con una capa de material permeable para drenar el agua en el caso de que los pozos lleguen a rebasar; asimismo, aparece la correspondiente hilera de drenes transversales de penetración que podrá construirse como una de las maneras de eliminar más eficientemente el agua captada por las dos hileras de pozos mencionadas. 6.
G a l e r ía s f il t r a n t e s
Aunque la técnica de las galerías filtrantes para fines de subdre naje es más ampliamente usada con relación a presas, se ha utilizado también en problemas de subdrenaje en las vías terrestres. Su uso es particularmente justificado cuando la zona inestable es de grandes proporciones. En tales condiciones esta solución puede competir, eco nómicamente hablando, con alguna otra alternativa que se consi dere aplicable, de las que ya se han mencionado anteriormente. La, galería filtrante, en esencia, no es más que un túnel de sección adecuada para permitir su propia excavación y localizado en la parte
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Entrada a una galería filtrante para una carretera
que se considere más eficiente para captar los flujos de agua perju diciales para la estabilidad del talud o del suelo de cimentación del terraplén considerado. Las técnicas para su construcción son las mismas usadas para túneles y no se expondrán en esta obra, por considerar que este aspecto cae fuera de sus finalidades. El reves timiento de la galería debe ser permeable al grado de permitir su trabajo como dren; frecuentemente, la excavación realizada, re-
Inferior de una galería filtran fe. Nótese el tubo metá lico empleado
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CAPITULO VI
quiere ademe provisional o no, se rellena simplemente con material filtrante en el que se aloja un tubo perforado de las dimensiones adecuadas, de manera que el material rellene el espacio entre el suelo y las paredes de la excavación; también es frecuente disponer drenes de tubo perforado saliendo radialmente de la galería, a fin de captar más eficientemente las aguas y aumentar la zona de influencia para el abatimiento de las presiones neutrales. VI-6.
Agua capilar en carreteras y aeropistas
En esta sección se ha considerado conveniente discutir con un poco de mayor detalle el agua capilar en el suelo que queda tras el talud de un corte o en el que constituye un terraplén, así como el agua capilar en la estructura de un pavimento, sea éste de una carretera o de una aeropista. Es obvio que los diferentes sistemas de subdrenaje que se han discutido en este capítulo darán salida al agua contenida en el suelo en donde dichas obras se localizan siempre y cuando las presiones en el agua sean iguales o superiores a la presión atmosférica y que no drenarán agua alguna de las zonas en que ésta se encuentre a presiones menores que la atmosférica, es decir donde el agua se encuentre trabajado a esfuerzos de tensión. Las zonas donde el agua se encuentra trabajando a tensión comúnmente son referidas como zonas con agua capilar. La potencialidad capilar de un suelo depende de varias de sus características tal como se ana lizó en el Capítulo V III del Volumen I, pero la granulometría, es la que generalmente sirve mejor para describirla. En las gravas limpias, la altura potencial de capilaridad es prácticamente nula, llegando al orden de los decímetros en las arenas finas. En los limos típicos no plásticos suele quedar dentro del orden del metro y en las arcillas la altura potencial de capilaridad puede alcanzar el orden de mag nitud de las decenas y aún de las centenas de metros. Específica mente, como ejemplo, puede citarse la arcilla del valle de México cuya altura potencial de capilaridad es superior a los 100 m. Cuando se construye una obra de drenaje, por ejemplo una hilera de drenes transversales de penetración, lo que se está haciendo en el terreno es introducir una frontera cuya presión será la atmosférica, por lo que la hilera de drenes introduce en la zona de flujo una frontera de presión nula. Si la presión en el agua en donde está colo cada esta hilera de drenes es superior a la atmosférica se crea un gradiente hidráulico entre dicha hilera y su zona vecina, fluyendo el agua a los drenes y de éstos al exterior simplemente por gravedad. Lo anterior produce una modificación del flujo en la zona en que
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ellos se localizan. La modificación de la zona de flujo consiste tanto en la dirección y magnitud de las fuerzas de filtración como en las presiones neutrales del agua en la zona afectada. En la fig. V I-9 se ilustran esquemáticamente los anteriores efectos.
FIS. VI-9.
Esquema de la influenciade un sub-dren transversal de penetración en el talud de un corte sujeto a flujo de agua
En la figura se supone que se ha practicado un corte en un terreno arcilloso cuyo nivel freático ocupaba la posición señalada por la línea /; el sólo hecho de practicar el corte ha introducido un cam bio en la posición del nivel freático, que pasará a ocupar la posición marcada con II en la fig. V I-9. Independientemente, el corte produ cirá los efectos de atracción del flujo del agua de los que se ha hablado. Si se supone ahoraque se coloca una hilera de drenes de penetración transversal, el nivel freático adoptará un perfil similar al III; en toda la zona rayada de la figura se han substituido presiones neutrales de un valor superior a la presión atmosférica por tensio nes en el agua que, al producir por reacción compresión en la estruc tura sólida del suelo, habrán aumentado los esfuerzos efectivos en la zona y, correspondientemente, la resistencia al esfuerzo cortante de trás del talud del corte. Este efecto benéfico es debido a que en toda la zona rayada el agua trabaja a la tensión después de colocar el subdrén y es independiente del cambio favorable en la dirección de las fuerzas de filtración que el subdrén también produce. Por otra parte, estudios realizados en muchos lugares han demos trado que existe una inter-relación entre la humedad relativa ambien
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CA PITU LO V I
te y la presión del agua en el suelo, cuando éstas dos fases están en equilibrio. Así, si en un cierto lugar la humedad relativa fuese siempre de 100% y se tuviese un suelo arcilloso, el nivel freático necesariamente se encontraría cerca de la superficie del terreno y, recíprocamente, un nivel freático próximo a la superficie o en ella indicará, en un suelo arcilloso, que la humedad relativa en el lugar es cercana al 100% , suponiendo condiciones tales que las fases lí quida y gaseosa estén en equilibrio; por otra parte, una humedad relativa constantemente muy baja en un cierto lugar implica un nivel freático profundo. Las ideas anteriores tienen repercusión en la técnica ingenieril, concretamente en lo que se refiere a protección de pavimentos contra invasión de agua capilar. Supóngase un lugar en que el subsuelo sea arcilloso y en el que el nivel freático esté próximo a la superficie (humedad relativa alta en el ambiente); en este caso, a no ser que la base y la sub-base de un pavimento tengan potencialidad capilar nula, llegarán a saturarse por capilaridad, aún cuando se hayan cons truido con un contenido de agua relativamente bajo. Ahora será conveniente aislar, desde el punto de vista de ascensión del agua capilar, las distintas capas del pavimento, para evitar la ascensión del agua. E l aislamiento deberá realizarse a base de un material con potencialidad capilar nula (por ejemplo, grava limpia), pues otro material, por im perm eable que sea, terminará por saturar al pavimento al cabo del tiempo necesario. En este caso, una capa altamente per meable entre la sub-base y el terraplén, con sus correspondientes prolongaciones a los lados del pavimento, cumplirá con la finalidad perseguida. Siguiendo el criterio de Terzaghi, expuesto en el Capítulo I del Volumen II, lo anterior equivale a convertir un sistema abierto en cerrado, en donde el contenido de agua medio no varía en la zona aislada por migración del agua de los suelos vecinos. El construir la base y la sub-base de un pavimento con materiales de potencialidad capilar muy baja es indispensable también en luga res con alta humedad ambiente, pues de otro modo, los materiales tomarán agua del exterior y acabarán por saturarseEn lugares con humedad ambiente muy baja, en que existe una fuerte evaporación superficial, al colocar una terracería y un pavi mento sobre un subsuelo arcilloso, se interrumpe la evaporación en esa faja y esa ruptura del equilibrio hidráulico preexistente propicia la acumulación del agua y la expansión del subsuelo arcilloso bajo la estructura de tierra. Lo anterior produce un levantamiento de la parte central de la sección del terraplén pudiendo aparecer grietas longi tudinales en los acotamientos de la carretera, causados por los es fuerzos de tensión debidos a la flexión en las zonas extremas del terraplén. Una solución práctica para estos problemas ha sido el ampliar lateralmente la sección del terraplén (que será usualmente
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de pequeña altura), a fin de que las grietas resulten inofensivas. Adicionalmente, conviene también que la base y sub-base tengan baja potencialidad capilar.
ANEXO Vi a Consideraciones geotécnicas para el diseño y construcción de alcantarillas flexibles1 Para los fines de este anexo se entenderá por estructura metálica flexible aquella construida con tubos o arcos de lámina de acero corrugada, con recubrimiento adicional o sin él, colocados en el terreno, bajo,el terraplén, en una o más líneas (batería). Para fines de proyecto es preciso considerar en estas estructuras la influencia de las cargas muertas y la de las cargas vivas. Las primeras son debidas al peso propio (total o parcial) de la tierra colocada sobre la estructura (colchón); las cargas vivas son debidas al peso del equipo que transita sobre la estructura, antes o después de que ésta haya sido debidamente protegida por su colchón de tie rra. Los impactos producidos por las cargas móviles y, en ciertos casos, las vibraciones transmitidas por las mismas se consideran tam bién como cargas vivas. En general, el efecto de la carga viva dis minuye al aumentar el espesor del colchón y al aumentar la velocidad del tránsito. Además de los efectos verticales de las cargas consideradas, existen también presiones laterales y longitudinales a lo largo del eje de la estructura inducidas por las cargas verticales. En general puede decirse que la pequeña cedencia inherente a una estructura metálica flexible alivia considerablemente los estados de esfuerzos actuantes en la propia estructura en comparación a una idealmente rigida. Ello es debido al fenómeno de arqueo, estudiado en el Capítulo IV del Volumen II; el efecto hace que la presión vertical de tierra actuante en la bóveda de la alcantarilla sea menor que la que corresponde al espesor de colchón sobré ella; el efecto puede cuantificarse aproximadamente recurriendo a la teoría que se incluyó en el antecedente arriba mencionado. Usualmente y desde el punto de vista estructural suele especificarse que la bóveda de una alcantarilla flexible no pueda ceder más de un 5% de la máxima dimensión vertical; este límite cubre ampliamente las deformaciones necesarias para el desarrollo del efecto de arqueo, por lo que puede garantizarse que éste tendrá lugar siempre sobre obras metálicas flexibles del tipo utilizado por la práctica. E l efecto de arqueo es más notorio en arenas que en arcillas y se ve influenciado por las vibra ciones, que tienden a disminuirlo sobre todo en el caso de las arenas. Sin embargo, debe recordarse que existe un espesor mínimo de
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CAPITULO VI
colchón para que se desarrollen efectos de arqueo de importancia práctica; los limites respectivos se discuten también someramente en el Capítulo IV del Volumen II. Si se supone que los efectos de arqueo son inexistentes, los efec tos de la combinación de carga muerta y carga viva sobre una alcan tarilla son como los que se muestran para dos casos particulares en las figs. V I-a. 1 y V-a.2, en referencia al caso de carreteras y ferro carriles, respectivamente.
FIS. Vl-a.l. Combinación de cargas muerta y yira sobre alcantarillas flexibles en carre teras para las condiciones que se citan
En ambos casos se ha considerado que la carga muerta, debida al colchón de tierra, aumenta linealmente con la profundidad; el efec to de la carga viva (en el caso de las figs, H-20 para carreteras y Cooper E-72, más 50% de impacto, para ferrocarril) sigue una ley de variación de tipo hiperbólico con la profundidad. La carga total, suma de ambas, se muestra en las dos figuras. Considerando el efecto de arqueo, las gráficas anteriores dan todavía resultados representativos para colchones de pequeño espe sor, en los que el efecto casi no se desarrolla; en espesores mayores, la carga muerta ya no es ahora función lineal de la profundidad, sino
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que crece hasta un limite, prácticamente independiente del espesor del colchón, aunque éste se haga crecer. De las gráficas se desprende que en cada caso existe un colchón para el que la combinación de cargas produce un efecto mínimo.
FIG. Vl-a.2. Combinación de cargas muerta y viva para alcantarillas flexibles en fe rrocarriles para las condiciones que se citan
Para resistir correctamente a las cargas, la alcantarilla deberá estar apoyada en un suelo homogéneo en toda su longitud; si el terreno natural no lo es, deberá hacerse una substitución de los materiales débiles o compresibles por material compactado. Bajo la obra deberá colocarse una plantilla preferentemente de arena com pacta. En terraplenes construidos sobre terrenos compresibles, el efecto diferencial de mayor asentamiento en el centro respecto a las orillas puede hacer conveniente el dar a la obra una adecuada contra flecha.
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CA PITU LO V I
La resistencia y el funcionamiento de cualquier tipo de estructura flexible para drenaje depende en gran parte de la calidad y fas normas de colocación del material de relleno lateral y de colchón adyacentes a ella. Este relleno debe ser en lo posible inerte al agua, es decir, no susceptible a expansiones, agrietamientos, etc., fácilmente compactable y no susceptible tampoco a la tubificación. En el Capítulo X I del Volumen II se ha dado, en relación a presas de tierra, nor mas para estimar la susceptibilidad de los suelos a esos fenóme nos; dichas normas son aplicables al caso aho ra tratado. Con el objeto de evitar distorsiones de la estructura metálica, el relleno lateral debe rá colocarse por capas y alternativamente, de modo que vaya creciendo simultáneamente en los dos lados. El colchón debe comenzar a colocarse en el centro de la bóveda, extendiéndose en sentido transversal simultáneamente hacia los lados, con el mismo fin; es conveniente comenzar el cubrimiento en sentido longitudinal procediendo del centro hacia los dos extremos del tubo. Lo fundamental a cuidar en la colocación del relleno es la correcta compactación de las capas en que se vaya colocando; la des preocupación de este concepto, es, sin duda, fuente de un gran nú mero de fallas en obras flexibles de drenaje. La compactación hace aumentar la estabilidad del suelo y, al aumentar su resistencia al es fuerzo cortante, disminuye los empujes de tierras que el relleno ejerce lateralmente contra la estructura; la compactación del colchón hace aumentar grandemente los efectos benéficos del arqueo, reduciendo mucho las cargas verticales en la estructura. Como regla práctica, no debe haber en un contorno a la estructura, con ancho de dos diáme tros de la misma, material que no haya sido cuidadosamente compac tado; estas operaciones pueden hacerse con equipo manual o de cual quier forma que garantice la buena ejecución del trabajo sin daño para la alcantarilla; en la compactación del colchón especialmente se comete con frecuencia el error de hacer circular sobre la obra equipo pesado de compactación antes de que se haya alcanzado un espesor de cubrimiento protector suficiente; ésta ha sido frecuente causa de fallas.
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Si el colchón vertical es reducido, los empujes laterales pudieran predominar y tender a aperaltar a la alcantarilla; en este caso con viene recurrir a secciones tipo bóveda, más anchas y menos altas, que aumentan el colchón y contrarrestan el mal efecto anterior. Es frecuente que las alcantarillas flexibles muestren defectos estructurales (deformaciones, cedencias, etc.) durante su funciona miento; estos efectos suelen tener siempre como origen la mala compactación de los rellenos que produce empujes de tierras su periores a los conside rados en el proyecto que, lógicamente, toma en cuenta los espesores de colchón y terraplén bien compactos. La so lución de estos defec tos no puede ser otra que la radical, que Compactaclón del relleno a los lados de una alcanta rilla metálica flexible consiste en retirar el relleno suelto y en substituirlo por otro bien compactado. 0 Cuando el terreno que sirve de base a una alcantarilla flexible es compresible y ésta se hunde longitudinalmente, el mayor hundimiento bajo el centro del terraplén respecto al de sus hombros, hace que se abran las juntas entre las placas metálicas ensambladas que cons tituyen la alcantarilla; para resolver este problema e impedir la filtración de agua por las juntas abiertas puede colocarse por dentro un anillo expansor de acero corrugado, cuyas corrugaciones coincidan con las de las placas que forman la alcantarilla; este anillo puede expanderse desde dentro y actúa así como sellador. En algunos casos y siempre que se logre de un modo efectivo que el anillo trabaje solidariamente con la pared de la estructura, podrá considerársele como un refuerzo estructural. En caso en que el anillo anterior ac túe como sellador es conveniente colocar entre él y la estructura una capa de asfalto, neopreno u otro material flexible similar. A menudo se ha observado que la conservación de las alcantari llas, tanto flexibles como zígidas, se descuida lamentablemente, así como la de sus obras auxiliares (muros de cabeza, rompedores de energía del agua, obras de encauzamiento, lavaderos de descarga, etc.); naturalmente esto se traduce en daños posibles para los terra plenes y en menor vida útil para el camino en general y para las alcantarillas en particular. El azolvamiento es un efecto particular
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CAPITULO V I
mente nocivo. Una buena conservación comprende la realización de obras de encauzamiento y de todas las necesarias para corregir, a la luz del funcionamiento, todos los defectos u omisiones de la cons trucción. Un terraplén tubificado se reconoce por la presencia de irregula ridades, oquedades, afloramientos de agua o manchas de humedad y otros signos de escurrimiento interno, especialmente en el talud de aguas abajo del terraplén. Si el proceso de tubificación ha avan zado poco, nada ofrece mejor garantía que la instalación de un filtro en el talud del terraplén aguas abajo y en tomo a la alcantarilla; si el proceso está avanzado, además del filtro será preciso reponer el material tubificado, llegando incluso a construir galerías a través del terraplén para lograr que esa reposición se efectúe en forma completa. Una fuente común de problemas de tubificación son los agujeros que se dejan sin sellar dentro de la alcantarilla; estos agujeros pueden haber sido necesarios para facilitar las maniobras de transportación e izado de las piezas que la constituyen; estos agujeros son especial mente peligrosos cuando el relleno que rodea la alcantarilla es sus ceptible a la tubificación (arenas finas y limos no plásticos con Ip < 1 0 ); en los agujeros se produce succión del material de relleno por la corriente de agua, lo cual inicia un proceso de erosión progre siva que conduce a la falla de la obra por falta de soporte; se han llegado a ver casos en que el agua puede cruzar el terraplén por un verdadero túnel formado en torno a la obra, ignorando a ésta. Los agujeros en cuestión deben ser sellados durante la construcción de la alcantarilla. En terraplenes muy arcillosos la sequía prolongada puede produ cir agrietamientos en torno a la alcantarilla y esas grietas constituyen una entrada natural para las aguas. Cuando este sea el caso, deberán sellarse todas las grietas en torno a la alcantarilla, tundeando el material de manera que se siga la grieta y colocando nuevo material debidamente compactado. Una buena protección de los taludes del terraplén con vegetación contribuye mucho a diminar el problema de las grietas. De los varios tipos de estructuras para drenaje que actualmente se usan en la tecnología de las vías terrestres, ninguno se debe considerar como la solución óptima de todos los problemas; todos tienen sus ventajas y sus inconvenientes. A continuación se hace un balance de las ventajas y desventajas que más comúnmente se atribu yen a las alcantarillas flexibles de tubo metálico. Las principales ventajas radican en el hecho de trabajar con un producto fabricado con normas estrictas, lo que prácticamente elimina defectos graves de elaboración; también se tiene alta resistencia en comparación al peso. Las ventajas inherentes a la flexibilidad ya han
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sido suficientemente mencionadas. Los tubos metálicos funcionan convenientemente aún en suelos de muy baja capacidad de carga, pues comunican al terreno de cimentación presiones muy bajas. Son también fáciles de instalar y manejar y están disponibles en gran variedad de secciones tamaños y calibres de lámina, lo que permite mucha libertad para llegar al diseño óptimo correspondiente a cada caso particular. La principal desventaja de las alcantarillas metálicas es proba blemente su costo alto en relación a obras de manipostería y aún de concreto, que resultan siempre más baratas en lugares en que el terreno de cimentación no plantea problemas -especiales de capacidad de carga. También hacen inconvenientes a las estructuras metálicas todas las aguas de naturaleza corrosiva, so pena de usar proteccio nes sumamente costosas sobre la lámina de acero; el concreto y la mampostería resisten asimismo mucho mejor el efecto erosivo de aguas a alta velocidad.
ANEXO Vl-b Consideraciones geotécnicas para el diseño y construcción de alcantarillas rígidas El estudio de las alcantarillas construidas con materiales rígidos, tales como el concreto reforzado, debe comenzar con un análisis de las cargas a que estará sujeta la estructura, pues éstas juegan un papel especialmente importante en el comportamiento de aquélla. V I - b .l.
Estudio de cargas muertas
Para fines de proyecto deben considerarse los dos tipos de cargas tradicionales; las muertas y las vivas. Las cargas muertas son causa das por la tierra que abriga al tubo rígido. A primera vista se diría que dicho efecto es igual al peso propio del material colocado sobre el tubo; de hecho la afirmación anterior se consideró correcta durante muchos años en la práctica ingenieril. Hoy se sabe, sin embargo, que el efecto del suelo suprayacente puede ser mayor o menor que el peso propio, y, en rigor, sólo por una rara casualidad será igual a éste. Lo anterior es debido que entre un prisma de suelo de ancho igual al diámetro del tubo, situado sobre éste y prolongado hasta la superficie del terreno o terraplén y las masas de suelo a ambos lados de este prisma, se ejercen fuerzas cortantes cuando hay alguna tendencia al movimiento relativo. Si las fuerzas cortantes producidas son hacia arriba, porque el prisma considerado trate de bajar respecto a las masas vecinas, el efecto del prisma sobre el tubo es menor que su propio peso, siendo la diferencia igual al monto de las fuerzas cortantes desarrolladas; por el contrario, si, por alguna razón, las
Mecánica de Suelos III
de alcantarillado
según
i
FIG. Vl-b.l. Clases
su co/ococión
BASANTE
226 C A P ITU L O V I
M ECANICA DE SUELOS (III)
227
masas vecinas tratan de bajar respecto al prisma, las fuerzas cortan tes de frontera se producen hacia abajo, sumándose al peso propio del prisma, por lo que el efecto de éste sobre el tubo es mayor que su peso propio. Para el propósito de calcular cargas muertas, las alcantarillas de tubo rígido se clasifican en cuatro clases principales de acuerdo con las condiciones de instalación, que influyen en la magnitud y direc ción de las fuerzas cortantes a que arriba se hizo referencia. Estas clases se muestran en la fig. V I-b .l. Los tubos sin terraplén [parte a) de la figura] se instalan en zanjas estrechas bajo el nivel del terreno natural; sobre ellas se coloca solamente el relleno de la zanja posterior a la excavación. Los tubos con terraplén [partes b) y c) de la figura] están colocados bajo el mismo y pueden quedar o no en una zanja dentro del terreno natural, siendo favorecidos por ésta, pues al alojarse dentro de ella la carga vertical se reduce tanto más cuanto más suelto sea el relleno que se coloca sobre el tubo; dicho relleno suelto no necesita ocupar toda la zanja, bastando una faja de 30 o 40 cm de espesor sobre el tubo para lograr un arqueo beneficioso. En la parte d ) de la figura se muestra un tipo bastante usado de colocación muy favorable para reducir la carga actuante sobre un tubo instalado en un terraplén. En este sistema, llamado de trinchera im perfecta, primero se coloca el tubo sobre el terreno natural, sin utilizar ninguna zanja; después se coloca el terraplén perfectamente bien compactado alre dedor del tubo hasta una distancia de dos veces el diámetro del tubo, a cada lado del mismo y hasta una altura de unos 40 cm sobre su clave. En se guida se excava una zanja a lo largo del tubo, con ancho igual al diámetro del mismo y hasta una profundi dad ligeramente menor que la parte superior Construcción de una alcantarilla rígida del tubo (del orden de 10 cm arriba de la cla ve); esta zanja se rellena ahora de material suelto y compresible tras lo cual se prosigue la construcción del terraplén, compactándolo con vencionalmente. Cuanto más compresible sea el material de relleno colocado cerca de la clave del tubo en el sistema anterior, mayor será la reducción de la carga muerta actuante sobre el tubo; Marston2 y J-
228
CAPITULO VI
ha sugerido añadir paja u hojarasca seca al relleno de la zanja para aumentar su compresibilidad. El mismo autor arriba mencionado ha desarrollado una teoría que permite valuar la carga muerta que actúa sobre el tubo de concreto en las diferentes condiciones de instalación que se muestran en la fig. V l-b. 1. En primer lugar analiza el caso de los tubos en zanja fig. V I-b .l a. Se aceptará la siguiente nomenclatura, con referencia a la fig. V I-b .2: W,„ = carga muerta actuante sobre un plano horizontal tan gente al tubo rígido en su clave ym= peso específico del suelo en el estado en que se encuentra F = carga vertical en el plano horizontal al nivel h D — cu, metro exterior del tubo rígido B t = ancho de la trinchera al nivel de la clave del tubo H = profundidad de la trinchera hasta el plano horizontal tangente al tubo por su clave h — distancia de la superficie del terreno natural a un plano horizontal en el relleno = coeficiente de carga 4> — ángulo de fricción interna del material de relleno <}>' = ángulo de fricción entre el material de relleno y la pared de la zanja (<¡>'
Colocación de una alcantarilla de tubo de concreto
dh
( 6 - b .l)
Nótese que como el relleno siempre se co loca en estado suelto, por lo menos parcial mente, tenderá siempre a bajar, con lo que las fuerzas cortantes de reacción en las pare des de la zanja resul tarán siempre hacia arriba, lo que es favo rable para la situación del tubo. En la ec. 6-b.l Marston consi dera que K es el coefi-
M ECANICA DE SUELOS (III)
229
FIG. Vl‘b.2. Deducción de la fórmula que da la carga muerta sobre tubos en ian}a
ciente de presión activa de tierras, lo que es discutible puesto que las paredes de la zanja probablemente no ceden bajo el empuje; desde este punto de vista, tal parece que el coeficiente de presión de tierra en reposo (K<,) pudiera ser más razonable. Al valuar las fuerzas cor tantes en las paredes de la zanja, considera que se desarrollan al unísono la resistencia al esfuerzo cortante última en todos los pun tos de la pared y esto tampoco resulta muy realista. Sin embargo, una consideración tiende a compensarse con la otra y el hecho es que los ingenieros especialistas que suelen aplicar las fórmulas de Marston reportan generalmente buenos resultados, cuando se satis facen plenamente los requisitos de colocación del tubo. La ec. 6-b.l conduce a una ecuación diferencial lineal, cuya solu ción con la condición de frontera F = 0 para h — 0 es: _
F —y B2
2 K t g
____—__ (6-b.2)
Lo cual, en la profundidad h — H , puede escribirse: W m = C l¡rfmB 2t
(6-b.3)
donde C d es un factor de carga adimensional e igual a: 2 J T t g $ 'H
C ‘ = '- V j t ¡ ¡ 7 ~
(6 -b -4 )
230
CAPITULO VI
En las fórmulas anteriores e es la base de los logaritmos neperianos. La (6-b.3) permite calcular la carga muerta sobre una unidad de longitud de tubo y en ella puede utilizarse cualquier sistema homo géneo de unidades.
Valores
de h/ b(
k -A N
*
&
?* £ a V
1
I il¡¡ Jg»r J 9 24 M INI M O pARA AREN/ c RA VA c * j¿jQ* J 1 4 Í£i líD « n W » ;f T ~i i ■ 1 1 n rr*u$££BA r H iv i i f ITU & n a *. 5: ■■l- 4 - i —1—!— & LAt Mol ATURADA! £ 'i
«ÓS7XT'y=p ■fi. r k h 1
1 =a■ i
FIMOS
Ai! IR|°/ 5
r ^ * # C iL
r 1
!
L
FIG. Vl-b. 3. Valores del coeficiente de carga Crt
Cd es función del producto Ktg
M ECANICA DE SUELOS (III)
23Í
hacerse intervenir en la (6-b.3) el ancho medido sobre el plano horizontal tangente al tubo en su clave. Naturalmente, este criterio sólo será válido si los taludes de la trinchera no son muy tendidos, pues si lo son, la carga sobre el tubo deberá analizarse con la con dición de tubo en terraplén (fig. V l-b .lb ). El caso de tubos en terraplén corresponde al croquis mostrado en la parte b) de la fig. V I-b .l, como ya se dijo. Ahora pueden ima ginarse dos planos verticales tangentes al tubo y llevados hasta la superficie del terraplén; las fuerzas cortantes que se desarrollen en esos planos como consecuencia del movimiento relativo del prisma interior respecto a las masas de suelo vecinas jugarán un importante papel en la carga que actúe a fin de cuentas sobre el tubo. Si el prisma interior tiende a bajar respecto a las masas vecinas se pro ducirá arqueo favorable y la carga sobre el tubo será menor que el peso del citado prisma interior; por el contrario, si las masas ve cinas tienden a bajar con respecto al prisma, la carga sobre el tubo será mayor que la correspondiente al peso de la columna de suelo sobre él. Para cuantificar la carga muerta que haya de obrar en un caso concreto, se considera el plano horizontal tangente al tubo en su clave, al que se llama plano crítico y se analiza el movimiento relativo de puntos de ese plano colocados precisamente en la clave del tubo y a los lados de éste. El asentamiento del plano crítico a los lados del tubo es igual (fig. V I-b .4) al desplazamiento que sufre la superficie del terreno natural por el peso del terraplén (S , ), sumado al acortamiento que sufra la parte del terraplén localizada entre el terreno natural y el plano crítico (S m). Así, en resumen, el asenta miento del plano crítico a los lados del tubo será S m + Ss. Por su parte, el asentamiento que sufre el punto del plano crítico sobre la clave del tubo, está también formado por dos sumandos; el primero expresa lo que baja la base del tubo, Sf ( generalmente S f > S„. pues el primero comprende lo que bajo el terreno natural, más la incrus tación que el tubo pueda tener dentro de él) y el segundo, la defor mación estructural propia del tubo en la dirección vertical por efecto de la carga actuante, d c. Así, lo que baja el plano crítico sobre la clave del tubo es S f + d c. El movimiento relativo en el plano crítico es igual a (S,„ + 5„) — (S , + d c) : Se define como relación de asentamiento, ra a: _ ( Sm + S s ) — (Sf + d c)
( 6-b,5)
que expresa la relación entre el movimiento relativo en el plano crítico y el acortamiento del terraplén a los lados del tubo. > Una relación de asentamiento positiva indica que las masas ve cinas se mueven más que el prisma interior y que, por lo tanto, la
CAPITULO VI
232
carga sobre el tubo excede al peso del prisma sobre el tubo; inversa mente, la relación de asentamientos negativa es signo de arqueo favorable. , , Conviene definir también la relación de proyección, p, como el cociente entre el espesor del terraplén entre el terreno natural y el plano crítico y el ancho del tubo de concreto, D . Así el espesor del terraplén a los lados del tubo queda expresado por pD.
ELEVACION INICIAL, H»0 ELEVACION FINAL
FIG. Vl-b.4. Tubos en terraplén
En terraplenes altos el efecto de arqueo sobre el tubo no abarca toda la altura, sino que tiende a disiparse según la elevación crece respecto al tubo, pudiendo definirse una altura, H t, en que estos efectos ya no son perceptibles. E l plano horizontal que está a una altura H« sobre el tubo se llama de igual asentam iento, pues se mue ve ya lo mismo sobre la clave del tubo y a los lados del mismo; sobre el plano de igual asentamiento no hay los esfuerzos cortantes en los planos verticales imaginarios tangentes a los lados del tubo que se mencionaron atrás. La fórmula a que llega la teoría de carga de Marston para tubos rígidos alojados en terraplén (fig. V l-b .l.b ) es: W m = C cymD'1
(6-b.6)
donde las letras tienen el sentido ya definido en una lista prece dente de este mismo anexo y C c es un Coeficiente de Carga, dado por las expresiones:
M EC A N IC A D E S U E L O S (III)
¿>± 2 K t g ó H / D
1
C‘ =
_
Pa' ,
/H
c ,=
233
H .j
pata
H>Hi
2Ktg
(6-b.8)
Los signos más deberán de usarse cuando la relación de asenta miento sea positiva y los menos cuando sea negativa. En las fórmulas anteriores H e indica la posición del plano de igual asentamiento (fig! V I-b.4) y en principio puede valuarse con la expresión: r _ l_ , (H j_2 /Ctg «#> \D
HA D)
3 J
± 2 K tg
1 [H eV ^ 2 \D )
e ± 2 K t s 4 > H t / D _________ 1_____ H l .
3 \D
= =c
DJ
2 K tg
r.p¡L
~
D2 (6-b.9)
Ahora los signos superiores deben usarse con relación de asen tamiento positiva y los inferiores con negativa. En la fig- Vl-b.5 se proporciona una gráfica que da directamente el valor de Cc en función de los de la relación H /D y del producto r„ p. Con la gráfica se hace innecesario aplicar las fórmulas 6-b. 7 a 6-b.9, lo que por otro lado sería engorroso, ya que proporciona direc tamente los valores de C c que se requieren para aplicar la expresión 6-b. 6. Cuando ra p — 0 pueden suceder dos cosas: rtt = 0, es decir que el asentamiento del plano crítico es el mismo a los lados del tubo y en su clave o bien p — 0, es decir que el tubo esté alojado en una zanja de profundidad igual a un diámetro. En ambos casos, la cons tante C e resulta igual a H /D y la carga sobre el tubo es idéntica al peso del terraplén sobre él; en efecto: W m = ^ y , n D'- = ymH D Para valores negativos del producto ra p, ra es el negativo, puesto que p es siempre positivo, si existe y la carga sobre el tubo es me-
234
CAPITULO VI
ñor que el peso de la tierra suprayacente, pues el plano crítico se hun de más en la clave del tubo que a los lados de él. En este caso el valor de C c depende del de Ktg
VALORES DEL COEFICIENTE
Cc
FIG. Vl-b.5. Valores de C c.
cularlo con un valor mínimo, aunque realista de K tg <£; en la gráfica, las curvas con ra negativa se refieren a K tg
M ECANICA D E SUELOS (III)
235
ra positiva; nuevamente puede estimarse H e a partir de las ordenadas de los puntos de partida. En la práctica se tiene el inconveniente de que para aplicar las ideas y gráficas anteriores no se puede valuar a priori la relación de asentamiento ra con que vaya a trabajar el tubo en proyecto. El inconveniente se supera partiendo de un valor de ra supuesto con base en el comportamiento de alcantarillas construidas. La Tabla 6-b.l da valores recomendados por la experiencia para la relación en estudio.4 TA BLA 6-b.l
V alores de r„ para proyecto Condiciones prevalecientes Tubo rígido sobre roca o suelo no cedente Tubo rígido sobre suelo común Tubo rígido sobre suelo compresible
|
r0 + LO + 0.5 a + 0.8 0 a + 0.5
En el caso de alcantarillas en zanja, pero con terraplén suprayacente (fig. V l-b .l.c ), la carga muerta por metro de tubo puede esti marse con la expresión 6-b.l0, que se muestra a continuación referida a la fig. VI-b.6.
RASANTE
FIG. Vl-b.6. Trinchera en ian¡a baja un terraplén
236
CAPITULO VI W ,n — C„ ymB2t
(6-b.IO)
donde B t es el ancho de la zanja y CB es un coeficiente de carga que se obtiene de las gráficas de la fig. V I-b .7. En estas gráficas se usan respectivamente valores de la relación de proyección p' (ver fig. V I-b .6) de 0.5, 1.0 y 2.0. Para valores intermedios de p' puede hacerse una interpolación lineal de los va lores de C„ obtenidos. E l significado de las distintas curvas que se muestran en las gráficas es similar al discutido para alcantarillas bajo terraplén antes vistas. Se usó para cálculo un valor K tg
W m = C „ f mD 2
( 6 - b .ll)
donde C„ se obtiene también de las gráficas de la fig. V I-b.7, pero usando la relación H / D en lugar de H / B t. El valor de p' es igual a la profundidad de la trinchera excavada, entre D.
VT-b.2. Estudio de cargas vivas Como ya se ha indicado al comienzo de este anexo, las alcantari llas soportan también cargas vivas que provienen del tráfico carretero, ferrocarrilero o aéreo que circula sobre ellas según sea el caso. Los efectos de la carga viva dependen mucho del espesor del colchón de tierra que haya sobre el tubo, siendo naturalmente menores cuan to mayor sea aquél. Todas las experiencias realizadas al presente, tanto en tubos en zanja como colocados sobre el terreno natural bajo un terraplén, indi can que una carga superficial estática, tal como la producida por una rueda inmóvil, transmite efectos al interior del terraplén que se pueden valuar con una aproximación aceptable si se utiliza la teoría de Boussinesq, para un medio linealmente elástico, semi-infinito, ho mogéneo e isótropo (Capítulo II del Volumen II ). Las cargas que se aplican a las alcantarillas son, sin embargo, debidas a vehículos en movimiento; este importante hecho se suele tomar en cuenta en las fórmulas que se usan para calcular carga viva, introduciendo en ellas un factor mayor que la unidad, denominado factor de impacto, con
237
H / B d o'H/B
MECANICA DE SUELOS (III)
C O E F IC IE N T E DE CARGA Cn
C O E F IC IE N T E DE CARGA Cn
(a)
(b )
COEFICIENTE DE CARGA Cn
( c) FIG. Vl-b.7. Valores del coeficiente de carga C*
238
CAPITULO VI
el que se trata de representar el efecto del movimiento. Para alcan tarillas bajó terraplenes de carreteras y aeropistas, Holl4 propone la siguiente expresión para el cálculo de cargas vivas sobre tubos rígidos. W v — ~ -w aF iP
(6 -b .l2 )
donde W v = carga viva promedio actuante sobre el tubo por unidad de longitud del mismo L — longitud de una sección longitudinal de tubo, si éste se construye en tramos de un metro o menores. Si el tubo se construye en secciones de longitud mayor o es un tubo continuo deberá tomarse L precisamente igual a 1 m (lon gitud efectiva) Wo = factor de influencia de la carga superficial F i — factor de impacto, usualmente comprendido entre 1.5 y 2 P = carga de rueda, considerada como una carga concentrada. E l factor de influencia de la carga superficial, w0, depende de la longitud efectiva, L, del diámetro D (o ancho en el caso de una alcantarilla de losa o de un cajón) de la estructura, de la profun didad a que se encuentre la clave del tubo bajo la superficie del terraplén, H , y de la posición de la carga de la rueda con respecto al área en planta, del tubo proyectado sobre un plano horizontal tangente por la clave. Si se introducen los parámetros: L m ~ U
y
D n ~ U
donde m y n son intercambiables, el factor de influencia. w„, puede calcularse con la gráfica de Fadum correspondiente a carga uniformemente distribuida en un área rectangular, presentada en el Capítulo II del Volumen II. Se recordará que aquella gráfica da el factor de influencia para un punto localizado en la vertical trazada por una esquina del área rectangular. Similarmente para este caso la gráfica se aplica cuando la carga de rueda, P , se encuentra sobre una esquina del área del tubo en que se quiere calcular la carga por unidad de longitud (esta área es, como se dijo, la proyección del tubo en el plano horizontal tangente a su clave). Es curioso hacer notar que aunque ahora la aplicación de la curva de Fadum se hace aparentemente a un caso muy diferente, los valores de los factores de influencia conservan su validez, según hizo notar Holl4; por lo
M ECANICA D E SUELO S (III)
239
demás la situación es ahora la misma anali zada para el caso pre sentado en el Capítu lo II del Volumen II y también cabe la mis ma versatilidad para el uso de la gráfica cuando la carga no quede precisam ente sobre la esquina del área rectangular; por Colocación
defectuosa de tubos de concreto. expuesta a erosiones
Salida
e je m p lo , SÍ la
C arg a d e
ru ed a
so b re
qu ed a
el
centro del área rectan gular (posición en que, por ciento, la influencia de la carga es má xima), el factor w0 se obtendrá multiplicando por cuatro el valor ob tenido considerando una de las cuatro partes iguales en que puede dividirse el área rectángular, para la cual la carga de rueda quedará ya en esquina. Para el caso de una al cantarilla rígida colocada bajo el terraplén de una vía férrea, deberá procederse de un modo diferente para cal cular la carga viva sobre la estructura. Ahora se supone que la carga de los ejes motrices de la locomotora se reparte uniformemente un área rectangular de lon gitud igual a la distancia entre los ejes motrices ex tremos y de ancho igual al largo de los durmientes de la vía; esta forma de razo nar se justifica hasta cierto punto pensando en el efec to repartidor de los rieles y de los durmientes. El efecto de la carga así obte nida sobre la alcantarilla puede valuarse aplicando la misma gráfica r ... erosionada . , de, un tubo , . de. concreto por , 1 1 de1 1 Fadum n-» de ¿alida cjue se 113 hablado, i amfalta de protección
240
CAPITULO VI
bíén en este caso debe multiplicarse la carga de la locomotora por un factor de impacto, generalmente estimado en 1.75 cuando el relleno sobre la alcantarilla es menor de dos metros y que se reduce en 0.10 por cada metro adicional del relleno, con límite en la unidad. El efecto de las cargas, sean vivas o muerta, sobre las alcantari llas consiste en esfuerzos y en deformaciones sobre la propia estruc tura, pero estos aspectos no son naturalmente objeto de estudio en este anexo. Una cuestión de considerable repercusión sobre los crite rios estructurales y que sí merece citarse es el aumento en longitud y el cambio de forma que padece un tubo cuando se coloca sobre terreno compresible y bajo terraplenes altos que se asientan en él. En esos casos la práctica aconseja tratar de llegar a un tubo con juntas flexibles y quizá provisto de una adecuada contraflecha, en lugar de proyectar uno continuamente rígido, en que la deformación del terreno desarrollaría esfuerzos prohibitivos.
ANEXO VI-c Análisis del proceso de drenaje en bases de aeropistas En este anexo se presenta un análisis teórico aproximado, debido a A. Casagrande y W . L. Shannon5, para estudiar el proceso de drenaje de una base saturada perteneciente a una aeropista. Esta base puede llegar a saturarse de muchas maneras, como por ejemplo infiltración del agua superficial a través de juntas y grietas en la carpeta asfáltica o en las losas de concreto, inundación de la zona donde la aeropista se localiza o elevación del nivel freático sobre la base. Además, en zonas con fuertes efectos de heladas y congela miento, éstas son fuentes comunes de saturación, al sobrevenir el des hielo de los lentes que se hayan formado en el suelo de apoyo del pavimento; durante esta época los lentes de hielo se licúan y tienden a invadir las capas superiores del pavimento, saturándolas. El proceso de drenaje de una base saturada es esencialmente un problema de flujo no establecido con superficie libre. El análisis que en seguida se presenta está basado en algunas hipótesis simplificatorias que hacen posible llegar a una solución con relativa facilidad.
VI-c.l. Bases horizontales En la fig. V I-c.l se ilustran las hipótesis en que se basará el estudio del mecanismo de drenaje en una base de espesor H y hori zontal, con espesor constante. Como el plano horizontal que pasa por
M ECANICA D E SUELOS (III)
241
el centro de línea de la aeropista es de simetría, bastará considerar en el análisis la mitad de la pista, suponiendo ese plano como una frontera impermeable; además, el suelo sobre el que descansa la base también se considera impermeable. L representa el ancho de la mitad de la pista. Como puede observarse, se supone que la superficie libre del agua que satura la base es siempre una línea recta que pasa por el punto 1, inferior de la superficie de descarga de la base (caso 1-4). En el tiempo cero, la base está saturada y éste es el momento inicial del proceso de drenaje. El análisis requiere considerar el proceso de drenaje en dos etapas; en la primera [parte a) de la fig. V I-c .l], la superficie libre varía de la posición 1-4 a la 1-3 y en la segunda [parte b ) de la misma figura], lo hace de la posición intermedia 1-3 a la final, 1-2. Para la primera etapa, puede establecerse una ecuación diferencial que describa el proceso, considerando la superficie libre en el tiempo t y en el tiempo t + dt. En el lapso dt, el volumen drenado por uni dad de longitud de la base dV , será el área rayada 1-5-6 multiplicada por la porosidad efectiva, ne, definida como la relación entre el volu men de vacíos cuya agua puede ser drenada y el volumen de la masa del suelo; por supuesto que ne resulta ser menor que la porosidad del suelo, n, pues ésta también toma en cuenta al volumen de vacios capaz de retener agua por efectos capilares. Entonces: dV = H l ± dx
( 6 _c l )
Por otra parte, el gasto que pasa a través del volumen 1-5-7 puede calcularse usando la ley de Darcy; para ello es preciso hacer algunas hipótesis, como suponer que H /2 es el área media de la base a través de la que tiene lugar el flujo de agua y suponer un gradiente hidráulico medio igual a H /x . Así, el gasto, resulta: dV , H H H* q ~ W = k T T = k 2¿
., (6 ' c-2 >
Con el objeto de obtener una mejor expresión, más apegada a la realidad, los autores del análisis que aquí se glosa proponen modificar la fórmula anterior considerando un gradiente hidráulico efectivo.
if Mecánica de Suelos III
=
<6'c 3 >
FIG. Vl-c.l. Drenaje
de una base
boriionfal
242 CAPITULO V I
M ECANICA D E SU ELO S (III)
243
y un área promedio, por unidad de longitud de la base, igual a : = ~
(6-C.4)
Se supone que Ci y c2 se mantienen constantes durante el proceso de drenaje. Considerando: C
=
Ci
•c.¿
se obtiene finalmente: dV 1 H2 q = -d T = k - ^
cv (6 ' c 5 >
En esta ecuación, c representa un parámetro que deberá deter minarse experimentalmente, por ejemplo realizando pruebas sobre modelos. Sí ahora se combinan las ecs. 6-c.l y 6-c.5 puede obtenerse la siguiente ecuación diferencial sencilla: x d x -k H d t
(6-c.6)
Resolviendo esta ecuación entre los límites 0 y i y 0 y f, para ambas variables, se puede fácilmente llegar a: * - Cn' ~ 4 kH
i c n\ (6' c,7)
Para definir la evolución del proceso de drenaje es conveniente definir la relación entre el área ya drenada (triángulo 1-4-5 de la parte a) de la fig. V I-c .l) y el área total por drenar (rectángulo 1-2-3-4 de la misma figura). Se llega así a unconcepto denominado Grado de Drenaje, análogo al de Grado deConsolidación que se usó en la Teoría del mismo nombre, en el Capítulo X del Volu men I y que también se maneja como un porcentaje.
u t%)= =m¿
(6-c.s)
También conviene ahora introducir un Factor Tiempo adimensional, análogo al manejado en la Teoría de la Consolidación: T _ 2kH T ~ V ^ U t
<6' c-9 >
Si se introducen las definiciones (ó-c.8) y (6-c.9) en la ec. 6-c.7 se llega a una fórmula sencilla para expresar el progreso del drenaje con el tiempo:
CA PITU LO V I
T — 2U'i
(6-c.lO )
Nótese q^e para 11 — 50% , resulta T = 0.5. La ec. 6-c.lO se ha obtenido considerando que el triángulo 1-4-5 llega cuando mucho al límite representado por el triángulo 1-4-3 (ver fig. V I-c. 1 .a ) o, lo que es lo mismo, es válida sólo para U < 5 0 % . Sin embargo, siguiendo un procedimiento similar es posible plantear una ecuación T ~ f ( U ) que describa la evolución en el tiempo del proceso de drenaje para U > 50% . Para ello deberá considerarse el triángulo 1-2-6 de la fig. V l-c.l.b , de base constante L y altura variable h. La ecuación de partida es ahora: dV = - ^ d h
( 6 - c .l l)
y en este caso el gasto puede expresarse por: ( 6-C.12)
Haciendo las mismas consideraciones con respecto a la constante c = Ci •c2, se obtiene:
Considerando nuevamente las definiciones de U y T, resulta en este caso: T I — 1 0 0 A rea drenada Area total
Pues el factor tiempo no cambia. Combinando las ecs. 6 - c . l l y 6-C.13 se obtiene: L n e dh _
k
,
(6-C.15)
M ECA NIC A DE SUELO S (III)
245
de la cu al fácilm ente puede lleg arse a
j , _ H_ + cte
( 6 - c .l ó )
h
y de ahí T = ñ_^2[J + cte
(6 -C .1 7 )
donde se han usado las ecs. 6-C.14. P a ra determ inar la co n stan te se tiene la condición de fron tera de que para U — 50% resulta T = 1/2, según se vio anteriorm ente, por lo tanto, de ( 6 - c .l 7 ) se puede escribir qu e: cte = 0 .5 ~ j z T Y = sustituyendo en la ec. 6-C.17 se obtien e:
r _
1 2 -2 U
o, lo que es lo mismo, para U
1 _ 1- 1+ U 2 “ 2 — 2U 5 0 % la relación bu scad a es:
VI-c.2. Bases con pendiente transversal E l an álisis an terio r puede ex ten d erse al caso de b ases con pen diente tran sversal su jetas a un proceso de d ren aje por gravedad, aunque ahora las cosas no son tan sen cillas com o anteriorm ente. L as hipótesis del nuevo cálculo son esencialm ente las m ism as y se ilustran en la fig. V I - c .2 . P a ra la prim era m itad del proceso de d ren a je ( U 50%) las ecuaciones de partid a, que pueden ju stifica rse con b ase en la fig. V I- c .2 .a , so n : (6 -C .1 9 )
d V - ^ ^ d x
y tam bién: dV =
g >
x t g a dt = k
d V = k ^ 2 + H x t S a dt
* dt
(6 -C .2 0 )
( 6 - C .2 1 )
FIG. Vl-c.2. Dreno/e de bases con pendiente transversal
246 C A P IT U L O V I
M ECANICA D E SUELO S (III)
247
Para resolver el problema del modo más sencillo, A. Casagrande y W . Shannon introducen una tercera cantidad adimensional (en añadidura a U y T ) denominada el factor de pendiente, definido por: S = - jZ — L tg a
(6-C.22)
donde a es el ángulo de inclinación del estrato supuesto impermea ble en que se apoya la base drenante. La relación final a que puede llegarse describe la evolución del drenaje en términos de U, T y S y es: T = 2 U S - S 2 ln S +s ~U-
(6-C.23)
la cual es válida para U < 50% . La solución para la segunda mitad del proceso de drenaje puede obtenerse por un procedimiento también semejante a los que hasta aquí se han venido usando: las ecuaciones de partida, que se justi fican con base en la fig. V I-c.2.b. son: d
d V
=
|
V
*-+ ^
=
- ^
- d
” dt =
(6 -C .2 4 )
h
k h' + ^
tg - d t
(6 - C .2 5 )
o bien dV- k
h*jJ}L tga
(6_c.26 )
cL
y la solución final a que se llega es 2S — 2 U S + 1 1 ~ Ü + Üln( 2 - 2 U ) ( S + l )
c, , 5 + 1 á S
(6-C.27)
Para efectos de drenaje es muy grande la influencia de una cierta inclinación en la base; por ejemplo una base con un factor de pendiente de 0.5 requiere la mitad del tiempo que una horizontal para drenarse en un 50% y la cuarta parte para llegar al 90% . Casagrande y Shannon presentan en la citada ref. 5 resultados comparativos de la teoría aquí tratada con pruebas en modelos a escala natural y con observaciones de campo; las coincidencias re portadas son excelentes y los errores quedan dentro del orden de magnitud de las observaciones experimentales. Un punto en que naturalmente no hay concordancia entre teoría y experiencia es en la forma de la línea de corriente superior dentro de la base y durante
248
C A PITU LO V I
el drenaje, la cual es supuesta recta en la teoría; los mismos autores del trabajo que aquí se comenta afirman que esa forma puede ser mucho más aproximadamente representada por un arco de elipse; de hecho mencionan que Pipes resolvió el problema con base en tal línea de corriente superior, encontrando fórmulas esencialmente idénticas a las obtenidas a partir de una línea de corriente superior recta: ocurre así en este caso lo mismo que ya se comentó con la fórmula de Dupuit para el cálculo del gasto de un flujo a través de una presa de tierra, en que, a pesar de que la fórmula está basada en una simplificación radical de la línea de corriente superior, permite llegar a resultados satisfactorios. En general, pues estos dos casos no son una excepción rara, puede decirse que las determinaciones de un gasto son poco dependientes de la aproximación con que se haya supuesto la forma de la línea de corriente superior, la que, por otra parte, influye mucho en el cálculo de otros conceptos, según se ha establecido repetidas veces. Los autores de la referencia mencionada recomiendan la cons trucción de un sistema de drenaje completo para la base de una aeropista en los siguientes casos. 1. Lugares en que puede presentarse congelamiento intenso del agua del subsuelo con formación de lentes de hielo y ascensión de esa agua a la base con el deshielo de primavera. 2. Lugares en donde sean de temer infiltraciones de agua a tra vés de la carpeta que puedan llegar a saturar la base. 3. Lugares en que toda la pista pueda llegar a inundarse ocasio nalmente o en donde el nivel freático pueda subir hasta saturar la base. 4. En los'bajos de pistas cuya pendiente longitudinal sea mayor que 2% . Si se instala el sistema de drenaje longitudinal a los lados de la base, se recomienda que el conjunto se drene de manera que el 50% de drenaje de la base se alcance en un lapso máximo de 10 días; lo anterior constituye una regla de proyecto que debe de cumplirse. Para poder aplicar los procedimientos teóricos que hasta aquí se han estudiado y poder verificar la regla anterior, el procedimiento a seguir puede resumirse como sigue; Aplicando la ec. ó-c.23 para U — 50% y el valor de S del caso particular tratado, se obtiene el valor de T 50. De la ec. 6-c.9 puede despejarse: „ _ crie L 2 ^ 50 “ 2 kH 50 El parámetro c que aparece en esta ecuación varia en los casos comunes entre 1.5 y 2.4 y, con base en pruebas en modelos, para
M ECANICA D E SUELO S (III)
249
L /H > 10 puede determinarse con una ecuación empírica debida a Helge Lundgren: c = 2 -4 - ?
r
(6 -c-28)
El valor de f60 así encontrado deberá compararse con la regla. Un procedimiento alternativo aún más sencillo y que da valores con un grado de aproximación de ± 10% en relación al anterior, con la ventaja de no requerir el cálculo de c ni de T 50, consiste en la aplicación de la siguiente fórmula, también extraída de la ref. 5. t — ne L 2 S ruL* f5 0 _ 2 k H ( S + 1) “ 2 k ( H + L t g a )
(6~c29) 1 '
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CAPITULO VII
POZOS DE BOMBEO
Vn-1. Generalidades y definiciones E l agua subterránea puede aparecer en dos zonas diferentes: la de aereación y la de saturación. En la zona de aereación, los poros del suelo están parcialmente rellenos de agua y parcialmente rellenos de aire. En la zona de saturación, el agua llena totalmente, por lo menos para efectos prácticos, los vacíos del suelo. Por lo general, la primera zona está situada arriba de la segunda. Al lugar geomé trico de los puntos en la zona de saturación en que la presión del agua es igual a la presión atmosférica se le llama nivel de aguas freáticas o, más brevemente, nivel freático. La zona de saturación está situada sobre un manto impermeable o semi-impermeable y por su parte superior puede estar limitada también por capas impermeables, semipermeables o permeables; cuando la frontera superior de la zona de saturación es permeable es cuando se define un nivel freático. En este último caso, el nivel hasta el que el suelo está totalmente saturado sobrepasa algo al nivel freático; ello es por efectos de ascensión capi lar del agua y la altura de invasión de agua capilar depende sobre todo, como se explicó en el Volumen I, de la naturaleza del propio suelo, en particular de su granulometría y estructuración. Es sabido que la masa de agua que se encuentra en el subsuelo constituye una fuente de aprovechamiento impresionante. Los manan tiales, en que esa agua brota expontáneamente, constituyen el apro vechamiento más obvio y seguramente más antiguo, pero muy sobra do de recursos hidráulicos tendría que estar un país a cuyos técnicos no se les ocurriera ir a buscar agua subterránea en forma artificial; esto se logra por medio de estructuras que genéricamente reciben el nombre de pozos de bombeo. Muchas naciones reciben por este medio la mayor parte de sus recursos de agua y México, concretamente, obtiene de fuentes subterráneas una parte muy substancial del agua que utiliza, parte que se Ija llegado a valuar hasta en un 45% de sus disponibilidades totales. Basta ver estas cifras o conocer la his toria del desarrollo económico de muchos países y regiones antaño áridos y aún desérticos, para comprender la importancia del tema que aborda este Capítulo. Los pozos de bombeo no sólo se utilizan para la obtención de agua para fines agrícolas, industriales o de consumo doméstico, sino 251
252
CA PITU LO V II
que sirven para otros muchos usos, tales como drenaje y control de subpresiones bajo presas y bordos (como se mencionó en el Capítulo III), lucha contra la invasión de masas de agua salada (por ejemplo procedente del mar) en cuencas subterráneas en explo tación, drenaje de tierras para fines agrícolas, recargue de cuencas subterráneas, etc. El estudio de la técnica de los pozos de bombeo ha ocupado la atención de muchos investigadores muy competentes en el pasado y en el presente y, sin duda, lo hará aún más intensamente en el futuro. El conjunto de estos esfuerzos ha producido una tecnología al prin cipio esencialmente empírica, que ha sido dotada de más y más teoría de respaldo en los años recientes; hoy puede hablarse de una auténti ca hidráulica de pozos, especialidad que cuenta con sus propias hi pótesis de trabajo, sus propias teorías y, en muchos casos, sus propias soluciones a muchos problemas importantes. Evidentemente, la teo ría, afectada por hipótesis sobre la naturaleza del suelo y sobre sus condiciones de frontera, trabaja sobre esquemas que no corresponden del todo a las realidades de campo; a pesar de todo, en combinación con las normas de una ya vieja experiencia, ha puesto las bases para una técnica cuya contribución al progreso social ha sido enorme y que no puede ser ignorada. Se denomina un acuífero a toda formación o grupo de formacio nes geológicas de las que pueden ser extraídas cantidades significati vas de agua. Un acuífugo es una formación impermeable que o no contiene agua o que la contiene en poros no intercomunicados, de manera que no es capaz de proporcionar agua por ningún método práctico; la roca sana es un ejemplo típico. Un acuicludo es una formación impermeable que, aunque porosa y con sus poros inter comunicados, no es capaz de proporcionar cantidades aprovechables de agua por ningún procedimiento práctico y económico; la arcilla masiva de baja permeabilidad constituye un buen ejemplo de estas formaciones. Desde el punto de vista del aprovechamiento del agua subterránea interesan directamente, como es natural, los acuíferos. Puede haber diferentes tipos de acuíferos y a continuación se discuten algunos de los más importantes en relación con la fig. V II-1. El acuífero artesiano o confinado es aquel en que el agua del subsuelo está confinada a presión, entre estratos impermeables o semi permeables, de tal manera que el nivel piezométrico correspondiente al estrato está a nivel superior que la frontera más alta del mismo, por lo que si se abre un pozo, el agua subirá por encima de esa fron tera; puede o no alcanzar el nivel del terreno y según ello suceda se tendrá un pozo artesiano brotante o no brotante. El agua en un pozo artesiano marca el nivel de las presiones hidrostáticas en el acuí fero en el sitio en que se abrió el pozo; la superficie imaginaría
M ECANICA D E SUELOS (III) POZO A RTESIA N O BROTANTE
253
■POZO ARTESIAN O NO B R O TA N T E POZO EN ACUIFERO L IB R E
SUPERFICIE_DEL TERRENO NIVEL PIEZOMF.TRICO
NIVEL FREATICO
ídcm i iiiiiiiiiiiiimiim
^
FRONTERA IMPERMEABLE F IG . V ll-I Tipos de aceiteros
definida por esos niveles es la superficie piezométrica del acuífero ar tesiano. Las elevaciones o descensos del nivel del agua dentro de un pozo artesiano se deben más a cambios de presión en el acuífero que a cambios en el volumen del almacenamiento. Un acuífero libre o no con finado es aquel en que la su perficie superior de la zona de saturación está a la pre sión atmosférica; esta super ficie es el nivel freático, como ya se dijo. El agua en un po zo realizado en un acuífero li bre se eleva, como es natural, sólo hasta el nivel freático precisamente. Un caso espe cial de estos acuíferos son los denominados colgados, en los que la masa de agua subterrá nea es soportada por un es trato impermeable o semiper meable situado sobre el nivel freático medio de la zona. En el caso de acuíferos libres, las elevaciones o descensos del nivel freático corresponden a cambios en el volumen de alArtesianismo manifestado durante una exploramacenamiento y no a camción del subsuelo bios de presión en el agua.
254
CAPITULO VII
Los estratos que sirven de frontera a los acuíferos, sean artesianos o libres, son rara mente impermeables por com pleto; es común que a través de ellos se establezca algún tipo de flujo. Los acuíferos se llaman filtrantes si el agua que se pierde o gana a través de sus fronteras representa un volumen apreciable; en caso contrario se llaman no filtrantes. El flujo del agua hacia un pozo puede idealizarse como un flujo tridimensional con simetría axial (siendo el eje del pozo el eje de simetría) de un flujo homogéneo a tra vés de un medio poroso. Al construir un pozo y co menzar a bombear agua de él con un gasto constante, el nivel del agua se empieza a abatir y se produce un flujo Otro caso do artesiamsmo de la masa de agua que rodea al pozo hacia éste; conforme el tiempo pasa el nivel sigue bajando y el flujo hacia el pozo se mo difica. Eventualmente puede llegarse a una estabilización del nivel de! agua en el pozo y del flujo del agua hacia el mismo en la zona
Un poco en perforación mostrando también un efecto de artesianismo
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
255
circunvecina; cuando esto se ha logrado se ha establecido el flujo, que hasta ese momento era no-establecido o transitorio, como suele llamársele quizá con mayor frecuencia en la literatura especializada en pozos de bombeo. El estudio de los pozos de bombeo se inició, como es lógico en una ordenación por sencillez, con el análisis de la situación con flujo establecido y solamente en las últimas tres o cuatro décadas se investigaron los casos de flujo establecido, que hoy se consideran probablemente ios de mayor porvenir.
VII-2. Reseña histórica La utilización de pozos de bombeo con fines de abastecimiento de agua era ya familiar en las civilizaciones pre-clásicas de China y Egipto; sin embargo, como ya se dijo, todos los avances técnicos serios en la materia datan de hace aproximadamente un siglo: antes existía sólo empirismo. Son los trabajos de Darcy y Dupuit1’ 2 3 los que sirvieron de base a los desarrollos cientificos posteriores. E s tos trabajos han sido mencionados en su esencia en otros capítulos. En tanto que los trabajos de Darcy fueron eminentemente experi mentales y basados en observación y trabajo de laboratorio, los de Dupuit fueron esencialmente teóricos, permitiéndole llegar a resulta dos que siguen considerándose satisfactorios para el cálculo del gasto extraído de pozos en algunas condiciones particulares de flujo establecido. Adolph Thiem duplicó en Alemania mucho del trabajo experimen tal y teórico de Darcy y Dupuit4, pero acompañándolo con muchas observaciones de campo, que publicó en numerosa bibliografía. Philipp Forchheimer1 viene inmediatamente después de los pio neros y es una de las figuras más importantes en el desarrollo del campo de la hidráulica de los pozos de bombeo; introdujo el concepto de superficie equipotencial, el método de las redes de flujo y estable ció las bases matemáticas del campo, haciendo posible la aplicación de los métodos de la teoría de variable compleja, mapeo conforme, etc., que tanto han contribuido al desenvolvimiento teórico del tema. Muchos de los trabajos básicos de Forchheimer ya han sido glosados en páginas anteriores de esta obra, en la forma necesariamente breve que ella impone. En el campo más restringido de la hidráulica de pozos, se debe a Forchheimer una ecuación que proporciona el nivel de abatimiento que producen en el nivel del agua un conjunto de pozos de bombeo, así como la idea del pozo virtual equivalente que, para efectos de análisis, pueda substituir al conjunto; introdujo tam bién el m étodo d e las im ágenes, que aún se usa hoy para resolver algunos problemas de flujo establecido. Günther Thiem es la figura más importante entre los que siguie ron inmediatamente a Forchheimer en los primeros años de este siglo.
256
C A PITU LO VII
Sus trabajos son tanto teóricos como experimentales, pero estos últi mos son los más importantes. En 1906, G. Thiem6 presentó un modo de medir en el campo la velocidad del agua que se infiltra y la per meabilidad del suelo. Los nombres de J. Boussinesq, Schaffem ak, A. y L. Casagrande, y Dachler destacan entre los que adoptaron desde un principio en sus trabajos la línea teórica de investigación que había partido de Forchheimer; Slichter realizó por ese tiempo una importante labor pio nera en los Estados Unidos. 1925 es un año de especial relieve en la tecnología de pozos de bombeo, pues en él puede situarse para fines históricos, el nacimiento de la Mecánica de Suelos moderna y el comienzo de la trascendental labor de Terzaghi y A. Casagrande, la cual se ha reflejado en forma importante en la actitud general de todos los ingenieros en relación a los problemas de geohidrología y aprovechamiento de aguas sub terráneas. Después de esta fecha, los nombres de Kozeny, Ehrenberg, Jaeger, etc., destacan como impulsores teóricos del campo, si bien algu nas de sus teorías adolecían de defectos debido a hipótesis que no describen bien los casos prácticos reales. Y a en épocas más recientes (1 9 3 7 ) M uskat7 publicó un libro fundamental en el que se recoge prácticamente toda la información contemporánea sobre los problemas de flujo establecido; en ese libro se recogen también los importantes trabajos personales del autor y de su activo grupo de colaboradores. En los años actuales, la contribución más importante al tratamien to teórico de problemas de flujo establecido hacia pozos es la intro ducción de los métodos de relajación, que han sido ya mencionados en otro capítulo; los nombres de Southwell, Shaw y Yang destacan en estos esfuerzos. También recientemente se ha desarrollado mucho el estudio de este campo en modelos experimentales a escala o eléctricos, así como también es cada día mayor el número de observaciones de campo de que se va disponiendo. Sin embargo, el tema que quizá ocupa más la atención de los investigadores actuales de la materia es el del flujo no establecido en torno a los pozos de bombeo. E l tratamiento analítico de los problemas de flujo no establecido o transitorio hacia pozos de bombeo fue iniciado por C. V . Theis8 en 1935, en un artículo que presenta una solución para el problema de un pozo que penetre totalmente en un acuífero confinado de ex tensión infinita; la solución se obtuvo por analogía con un problema de flujo calorífico. Posteriormente (1 9 4 0 ), Jacob
M ECA NIC A D E SUELO S (III)
257
Entre los años 1940 y 1950 se hizo intensa aplicación de la ecua ción de Theis a diferentes situaciones, utilizando en algunos casos el m étodo d e las im ágenes. Así se resolvieron problemas con fronteras impermeables y de alimentación a carga constante, problemas con operación simultánea de varios pozos, etc. En esta misma época, Jacob 10 introdujo en la teoría de pozos la idea de los acuíferos filtrantes; en realidad esta idea habia ya sido propuesta por de Glee11 en un trabajo sobre tierras bajas ganadas al mar. En la década de 1950 a 1960 se publicaron numerosos artículos referentes a problemas de acuíferos filtrantes, en su mayoría elabora dos por Hantush, Jacob y de W iest; la mayor parte de la investi gación respectiva es de carácter teórico e incluye aplicaciones de herramientas matemáticas bastante elaboradas, como son la teoría de funciones de Green y otras. También se han resuelto problemas relativos a pozos con penetración parcial en acuíferos artesianos, a la determinación de características de acuíferos a partir de sus respues tas a variaciones cíclicas en sus fuentes alimentadoras ( como ríos, etc.) y se han hecho abundantes aplicaciones de métodos numéricos a todos estos problemas. De 1960 a la fecha (1 9 6 8 ), Hantush12 ha publicado los resultados de una extensa e importante labor sobre modificaciones a las teo rías de acuíferos filtrantes, sobre pruebas de bombeo, sobre pozos en acuíferos inclinados y de espesor variable y algunos otros temas de mucho interés. Otro autor que ha publicado trabajos importan tes en estos días ha sido de W iest, quien investigó también problemas de flujo transitorio en secciones de presas de tierra. El tema dista mucho de estar agotado pudiendo afirmarse que se encuentra apenas en plena etapa de desarrollo; afortunadamente hoy se realiza extensa investigación sobre él, lo que permite afrontar al futuro con fundado optimismo.
Pozo en operación
Mecánica de Suelos ÍII
CA PITU LO VII
258
V1I-3.
Flujo establecido unidireccional en acuíferos artesianos
Considérese un acuífero artesiano de espesor constante, homogé neo, isótropo y de extensión infinita por un lado y limitada por el otro por una superficie de agua libre, confinado entre dos estratos im permeables (fig. V II-2 ).
SUPERFICIE DEL TERRENO TrrT7^yT7TTT777777TT77TrrTT77TrrrrrTi
-fESQoc «uotitr», LAGO IMPERMEABLE ACUIFERO 7777777777 7>?7>77?>7/7777??77777777? IMPERMEABLE
%
ORIGEN DE COORDENADAS rrr
FIG. VII-2 Flujo establecido unidireccional en un acuifero artesiano
Se supone que existe un flujo dentro del acuifero hacia la masa de agua libre. Por tratarse de un flujo unidireccional, la ecuación de Laplace se reduce, en este caso, a la expresión:
A -h
= -51*= 0
(7-1)
d x2
La solución de esta ecuación es de la forma: h = Ci x + C2
(7-2)
donde C x y C 2 son constantes. La ec. 7-2 indica que la superficie piezómétrica en el caso plan teado es plana y su trazo es una línea recta o, lo que es lo mismo, que h varía linealmente con la distancia x. Las condiciones de frontera para el caso mostrado en la figura son: h = H
de donde resulta: C x — H
para
x = 0
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
259
Si q es el gasto que sale del acuífero por unidad de ancho en el sentido normal al plano del papel, se tendrá, aplicando la ley de Darcy, que: q = k iD
{7-3)
en donde i = gradiente hidráulico, igual en cualquier sección vertical del acuífero, ya que la superficie piezométrica es plana. En rea lidad desde un principio pudieron haberse visto estos hechos, pues por continuidad del flujo, siendo el espesor del acuí fero constante, debe serlo la velocidad del agua y, por ello, el gradiente, de modo que la superficie piezométrica tiene que resultar plana k = coeficiente de permeabilidad del acuífero D = espesor del acuífero D e la ec. 7-2 puede escribirse:
Por lo que la ec. 7-3 queda q = kCiD
y
C» = - ¿
(7-4)
Los valores de C t y C2 llevados a la ec. 7-2 conducen a:
hz=m
x + H
(7-5)
ecuación de la superficie piezométrica
VII-4.
Flujo establecido radial en pozos con penetración total en aeríferos artesianos
Considérese el caso de una isla circular en la cual existe un estrato acuífero artesiano de espesor, D, constante, según se ilustra en la fig. V II-3 ,
CAPITULO VII
260
.SUPERFICIE PlEZOMETRICA ANTES DE INICIAR EL BOMBEO SUPERFICIE DEL TERRENO ',
SUPERFICIE PlEZOMETRICA FINAL------
7777 77 777 7 7 7 7 7 7 7 7 7 /
7 7 7 7 7 7 7 7 . ' 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7,
S IMPERMEABLE C¿¿U¿UL¿U¿U¿ÜU ACUIFERO
7777777777777777 77777777777777777777777 7 .
'7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 .'7 7 7777777777777777'
IMPERMEABLE FIG. VI1-3 Flujo radial establecido hacia un poio de bombeo con penetración total en un estrato acuífero artesiano
Considérese que se construye un pozo en el centro de la isla, de manera que penetre totalmente en el acuífero artesiano; en el pozo se efectúa un bombeo, extrayendo un gasto constante, q. Cuando el flujo del agua hacia el pozo se ha establecido, el nivel del agua en el pozo permanece ya constante, y la superficie piezométrica original se abate en la forma mostrada en la figura. Se ha for mado así el llamado cono de depresión de la superficie piezométrica. Interesa encontrar una relación que ligue el gasto que se bombea del pozo con el abatimiento que se produce en la superficie piezomé trica. Para ello son aplicables sin error las hipótesis de Dupuit ya tratadas, pues el flujo hacia el pozo es horizontal en todo punto del acuífero; el gradiente hidráulico en todo punto del acuífero está dado por la tangente de la superficie piezométrica en la sección vertical que se considere y vale i = d h/dr. Usando coordenadas polares, con el eje del pozo como origen, el gasto extraido a través de un cilindro de radio r vale: q = k iA = k ^ 2 n r D de donde _ <7 dr H ~ 2 tz k D r
(7-6)
M ECA NIC A D E SU ELO S (III)
261
integrando h = W * D ln r + C donde C es la constante de integración que puedevaluarse con siderando la condición de frontera, según la que: Para r = R
:
h — H.
así H = _ q, n ln /? + C 2 r .k D
C = H ~ T ñ ln * 2 t-zVk U
(7 ' 8)
Llevando este valor de C a la ec. 7-7 se obtiene:
<7 - 9 > La ec. 7-9 permite calcular la depresión de la superficie piezométrica en cualquier punto en torno al pozo y, en especial, el nivel del agua en el pozo mismo, h0 (para r = r0). D e la ec. 7-9, particularizada para el nivel del pozo, puede des pejarse el valor de q : - 1 r\ k í hn q — 2 r .k D — ^
(7 ]())
r0 La expresión 7-10, debida a G. Thiem, es conocida con el nom bre de ecuación de equilibrio y permite calcular el gasto que puede extraerse de un pozo para un abatimiento dado ( H — h0) , siempre y cuando se conozcan D, R, r0 y k. En un caso como el mostrado en la fig. V II-3 la única incógnita es k, coeficiente de permeabilidad del acuífero, valor que puede obtenerse por aplicación de la misma expre sión de Thiem. extrayendo del pozo un gasto conocido. En efecto, para ello basta despejar k de la ec. 7-10, obteniéndose:
262
CA PITU LO V II
En realidad el caso presentado en la fig. V II-3 , al cual se han » venido refiriendo todas las fórmulas anteriores, es esquemático y poco frecuente en los problemas reales, pero la herramienta matemática que permite introducir es susceptible de extensión a casos de mayor interés práctico. Los casos reales más frecuentes son aquellos en los que el estrato artesiano es lo suficientemente extenso en todas las di recciones horizontales a partir del eje del pozo, como para que la zona de depresión pueda considerarse como una de flujo radial hacia el pozo. Si se tienen dos pozos de observación llevados hasta el acuífero artesiano, a las distancias r, y r¡ a partir del eje del pozo de bombeo y el nivel del agua en esos pozos es h 1 y h 2, respectivamente, la aplicación de la ec. 7-9 produce: (7-12)
y (7-13) restando (7-14) La expresión 7-14, no contiene a los términos R y H , lo cual la hace aplicable a casos con simetría radial más allá del caso particular de la isla, al cual se refirió la fig. V II-3 . Matemáticamente hablando la ec. 7-14 es equivalente a la (7 -9 ), suponiendo una isla imaginaria de radio rx rodeada por agua con tirante h 2. En todo lo anterior se ha supuesto ri > r2. De la expresión se puede despejar el valor de k y entonces pro porciona un método de campo para obtener dicho valor en casos de flujo establecido en acuíferos artesianos. Conocido el valor de k, la propia ec. 7-14 permite fácilmente el cálculo del gasto que es posible extraer de un acuífero artesiano, en condiciones de flujo establecido, utilizando dos pozos de observación. El nivel del agua en el pozo puede obtenerse también con la ec. 7-14, haciendo en ella r2 ~ r0 y usando un solo pozo de observación. Respecto a las distancias que deben dejarse entre los pozos de observación y el bombeo (rj y r2), conviene indicar que cuanto mayores sean será necesario una prueba más larga, para dar tiempo a que se establezca el flujo, al menos en forma práctica, en la zona cubierta por los pozos; por otra parte, si r, y r2 se seleccionan muy pequeñas pueden jugar un papel importante anomalías de carácter
M EC A N IC A D E SU ELO S (III)
263
local en torno al pozo que distorsionen los resultados, dificultando su interpretación. En el Anexo V il-a , dedicado a pruebas de bombeo en el campo, se detallan más éste y otros varios aspectos prácticos de estas pruebas. De las fórmulas que se han venido manejando en esta sección pueden concluirse algunos hechos importantes, cuya demostración se deja al lector como ejercicio. 1. E l abatimiento del nivel del agua en el pozo y el de la superfi cie piezométrica a una distancia r del pozo son directamente proporcionales al gasto de extracción del pozo de bombeo. 2. Para un gasto de extracción dado, el abatimiento de la super ficie piezométrica tiene variación lineal con el logaritmo de la distancia al eje del pozo. Debe notarse que las ecuaciones anteriores se han desarrollado suponiendo que la carga en el pozo, h0, corresponde exactamente al nivel del agua en el mismo; esto es cierto solamente cuando no se toman en cuenta por pequeñas las pérdidas de carga hidráulica que el agua sufre al pasar a través del filtro y la malla que protege la base del pozo para entrar a éste. Si estas pérdidas se quieren tomar en cuenta, el valor de h0 para los cálculos será el nivel del agua en el pozo, más el valor de las pérdidas, estimadas como más adelante se indicará. La ec. 7-10 de Thiem se refiere a un pozo en posición central dentro de su zona de influencia; Muskat7 extendió su campo de aplicación a pozos que tienen una excentricidad, e, dentro de la zona influenciada por su presencia~(p. ej., con referencia a la isla ideal usada en esta sección, a un pozo que no estuviera en el centro de la misma, sino a una distancia e de él) o cuando la carga en la peri feria de un círculo que tenga en su centro al pozo no tenga un valor constante H . Para el primer caso Muskat obtuvo la expresión si guiente para el flujo radial hacia un pozo artesiano: q = 2T,kD H ~ £ ° _ e,
(7 -1 5 )
lü r ~ De la ecuación anterior se deduce que para valores de e z: 0 se llega a la ec. 7-10, como debía de suceder y que para e < 0 .7 R el valor del gasto q difiere en menos de 10% del dado por la ec. 7-10; por lo tanto, la excentricidad del pozo respecto a su zona de influen cia puede despreciarse, a no ser que sea muy importante. Muskat también encontró, para el segundo caso, que la ec. 7-10 es válida cuando la carga H varía en la periferia de un circulo con el pozo al
264
CAPITULO V II
centro, siempre y cuando se use en ella el valor medio de H en todo el contorno.
VÜ-5. Flujo establecido radial en pozos coa penetración parcial en acuíferos artesianos Cuando la rejilla del pozo, por la cual el agua entra, no cubre todo el espesor del estrato artesiano se tiene un pozo denominado de penetración parcial. La íig. V II-4 ilustra esquemáticamente el caso.
W fC «flC E PCL TERRENO S U P E R F IC IE
P I E Z O flt C T R I C A
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20
t! . ! * t o ’ 'S S / / / / Z ' S / S / S f S / ^ S S / / S S S S S / / / / S s / / / / / / / ✓ /
. f e s
1 FIG. VII-4 Flujo radial establecido hacia un pozo de bombeo con penetración parcial en un estrato acuifero artesiano
Ahora el flujo radial ya no es horizontal, como se supuso en el caso de pozos con penetración total, sino que la trayectoria del agua en la vecindad del pozo es como se ilustra esquemáticamente en la fig. V II-4 . Si el abatimiento del agua en el pozo es el mismo, obvia mente se tendrá un menor gasto en el pozo de penetración parcial que en el de penetración total. Asimismo, si el gasto que se extrae es el mismo en ambos pozos, el abatimiento del agua en el pozo de penetración parcial será mayor que el abatimiento que ocurriría en el mismo pozo si su penetración fuera total. Si se llama qp al gasto que se extrae del pozo de penetración parcial y q sigue siendo el gasto que proporciona el pozo de penetra ción total, por la discusión anterior se tiene que q p/ q 1 para un abatimiento dado en el agua del pozo igual en ambos casos. Tanto teórica como experimentalmente se ha encontrado que a una distancia r ) 2 D a partir del eje del pozo, el efecto de la penetración parcial
265
MECAN ICA D E SU E L O S (III)
es despreciable, tanto en las condiciones de flujo en el estrato acuí fero como en el abatimiento de la superficie piezométrica. E l problema de los pozos parcialmente penetrantes ha sido estu diado por diversos investigadores, entre ellos, Forchheimer,13 Kozeny,14 de Glee11 y Muskat.15 Las soluciones más generales las han obtenido los dos últimos haciendo uso de las funciones de Green, técnica matemática que permite resolver las ecuaciones diferenciales del flujo del agua cumpliendo con las condiciones de frontera del problema. Estas técnicas no se discutirán en esta obra. La solución que se presenta es la debida a G. J. de Glee13. Para un pozo que penetra únicamente una longitud d en la parte superior de un acuífero artesiano, la diferencia de niveles piezométricos en tre el pozo y un punto situado a la distancia 2D de su eje, es una vez establecido el flujo;
*“ -*- = & [ i b,f s + T r ]
,7-16>
fel sentido de las letras puede verse en la fig. V II-4 . Como todas las fórmulas sobre el tema incluidas en este capítulo, la expresión 7-16 puede manejarse con cualquier sistema de unidades homogéneo, ya que las constantes que en ella figuran son adimensionales. La (7 -16) es válida cuando se cumplen las condiciones de que d /D < 0.75 y d /2 r„ > 5. De la distancia 2D hacia la lejanía del pozo, el nivel piezométrico se abate ya lo mismo que si el pozo fuera de penetración total, como ya se dijo; lo anterior es válido, desde luego para un mismo gasto de extracción, qv, en ambos casos. De lo anterior, puede calcularse el abatimiento total que sufre el agua en el pozo respecto al nivel piezo métrico original H . En efecto, este abatimiento total será el dado por la expresión 7-16, más el abatimiento que se tenga a la dis tancia 2D del pozo, calculado ya este último con las fórmulas del pozo de penetración total. Puede escribirse: H - h 0 = ( H - h 2D) + {h 2D- h 0)
(7-17)
De la ec. 7-9:
H ~ h2D~ UkD
l n
W
( 7
'
1 8 )
Substituyendo las ecs. 7-18 y 7-16 en la (7 -1 7 ) se obtiene: u
l
r 1 i
— H~
R
, 1 i . 0 10 ") K -2Í t L d ln 2D +
1 >" 2 7 ; +
266
CAPITULO VII
donde H es el nivel piezométrico a la distancia R del eje del pozo, siendo R el radio de influencia del mismo. Despejando qp de la ec. 7-19 y q de la (7-10) es posible encon trar la relación que existe entre los gastos de dos pozos, uno de penetración parcial y otro de total, suponiendo que ambos producen el mismo abatimiento piezométrico. Dicha relación es: ln h é
+ °
R r<¡
(7-20)
h i í + 0' 10
La fórmula 7-20 tiene valor práctico, pues permite calcular^ el gasto que se obtiene de un pozo parcialmente penetrante en función del que se puede extraer del pozo de penetración total que tiene el mismo nivel de agua. En la fig. V II-5 se presenta una gráfica de los resultados de la ec- 7-20 en función de la relación d /D y para d /2 r0 igual a 5, 20 y 100, considerando siempre que la relación R/r„ = 1,000, que es un orden de magnitud frecuente en la práctica. Es importante notar que la ec. 7-20 es también aplicable al caso en que la rejilla del pozo esté abierta en la parte inferior del acuífero y ciega en la superior, en vez del caso inverso, que es el que se ha dibujado en la fig. V II-4.
FIG. VII-5 Relación de los gastos de pozos de penetración parcial y total para un mismo abatimiento del agua en su interior
M ECANICA D E SU ELO S (III)
267
En la ref. 16 aparece un tratamiento diferente de este problema, debido a Kozeny y a Muskat; los resultados de las dos soluciones son lo suficientemente parecidos como para que no se haga necesario duplicar los cálculos. En la misma referencia se presenta un método gráfico aproximado para estimar la forma de la superficie piezomé trica abatida en torno al pozo, de la cual no se dice nada en el método aquí presentado y para lo que no hay por el momento solu ción analítica rigurosa.
VH-6. Flujo establecido radial en pozos con penetración total en acuíferos libres Se trata el caso de un pozo de bombeo que penetra totalmente un acuífero libre o no confinado, dentro del cual se define un nivel freático. Nuevamente se considera al suelo que forma el acuífero homogéneo, isótropo y con una frontera inferior impermeable y hori zontal. Considérese una vez más una isla de radio R, en cuyo centro está el pozo de bombeo en estudio (fig. V II-6 ).
SUPERFICIE DEL TERRENO
Q
NIVEL FREATICO 0RI61NAL-^—
• ------------ —------- ------ ------- - > ¿ 2r0 NIVEL DEL AGUA
'• ■v
:
NIVEL FREATICO FINAL t t i ;* :
ACUIFERO;
\
cSj .V ’
j . SUPERFICIE PIE20h. METRICA FIMAL
H
k
IMPERMEABLE
FIG. VI1-6 Flujo radial establecido hacia un pozo con penetración total en un acuífero libre
Si se bombea un gasto q constante del pozo hasta llegar a una condición de equilibrio ( flujo establecido), puede obtenerse una ecua ción que relacione el gasto extraído con el abatimiento del agua en el pozo con base en las hipótesis de Dupuit, ya discutidas con anterio ridad. Aplicando la ley de Darcy a un cilindro de radio r y altura h, puede escribirse:
268
CA PITU LO V II
de donde se obtiene la ecuación diferencial — = ^-k~ hdh r q
(7-21)
integrando esta ecuación y teniendo en cuenta (ver fig. V II-6 ) que y que se tiene:
h —H
para
r = /?
h —
para
r = r0
(7-22)
ln r de donde ‘
q -T z k
(7-23)
ln — r<>
La ec 7-23 proporciona el gasto de bombeo en función de la permeabilidad del acuifero, el radio del pozo, el radio de influencia del pozo (para el caso en que materialmente ya no se tenga una isla, sino un pozo al centro de una cierta zona circular de influencia), la altura ( H ) del nivel freático respecto al plano de frontera im permeable y la altura del agua en el pozo en relación al mismo plano de referencia. A la ec. 7-23 suele llamársele en la literatura ecua ción de Dupuit-Thiem. También en este caso es frecuente aprovechar las fórmulas para cuantificar el coeficiente de permeabilidad, k, del acuifero; para ello es preciso contar cuando menos con un pozo de observación a una distancia razonable del pozo de bombeo. Deberá resolverse la ec. 7-21 con la segunda de las condiciones de frontera 7-22, obte niéndose:
=
<7-24>
La (7-24) aplicada a una prueba de bombeo en que se pueda medir h y r en un pozo de observación y h0 y r„ en el pozo de bombeo, permitirá valuar k. La prueba deberá interpretarse a partir de datos obtenidos con flujo ya establecido. Es también frecuente valuar k de los resultados obtenidos de dos pozos de observación durante una prueba de bombeo cuando el flujo prácticamente se ha establecido. En este caso si h2 y h 2 son los niveles del agua en dos pozos de observación situados a distancias rj y r2 (fi < r2) del eje del pozo de bombeo, la ecuación diferencial 7-21 conduce a la ecuación:
M ECA NIC A D E SUELO S (III) h * - h* = r í ln l t
269 (7 ' 25)
similar a la (7 -14) obtenida para el caso de un pozo en un acuífero artesiano. La solución que se ha presentado en esta sección para el caso de flujo establecido radial con penetración total en aculferos libres no es rigurosa y su grado de validez en la práctica será tanto más apro ximado cuanto menos se aparte el flujo de las hipótesis de Dupuit; es decir cuando la superficie piezométrica sea más horizontal, lo cual ocurre cuando el abatimiento del agua en el pozo de bombeo es pe queño. Rigurosamente hablando debe observarse que en este caso de flujo no puede hablarse de una superficie piezométrica sin ligarla a un plano horizontal; en otras palabras, la carga piezométrica en los puntos de una vertical situada a una distancia r del eje del pozo depende de la posición del punto que se considere en dicha vertical. La experiencia permite afirmar que la ecuación de Dupuit-Thiem proporciona una buena aproximación para la superficie piezométrica correspondiente a la frontera inferior impermeable del acuífero libre. En el nivel freático o línea de corriente superior, la aproximación es también aceptable para puntos no muy cerca del pozo de bombeo, pues alrededor de éste se tiene una superficie libre de descarga, como se ¡lustra esquemáticamente en la fig. V II-7. La presencia de esta SUPERFICIE LIBRE
POZO
ACUIFERO
Ir
SUPERFICIE PIEZOMETRICA PARA LA FRONTERA IMPERMEABLE
/
///////////////////;/;;///;///? / IMPERMEABLE FIG. VI1-7 Superficie libre y superficie piezométrica para la frontera impermeable en un pozo de bombeo con penetración total en un acuifero libre
superficie libre de descarga y la condición de que la superficie libre del agua debe ser tangente al paramento vertical del pozo (condición de salida discutida al tratar sobre las líneas de corriente superior
270
CAPITULO VII
en el Capítulo III) hace que en la vecindad del pozo de bombeo, el nivel freático sea superior al dado por las ecuaciones de esta sección. Esta diferencia será tanto mayor cuanto mayor sea el abatimiento del agua en el pozo y en el caso extremo en que el abatimiento del pozo llegue a ser igual a H , el nivel freático inmediato al pozo difícil mente baja del valor H J2 . Resumiendo, puede decirse que la solución dada en esta sección da buenos resultados para el nivel del agua en el pozo y en puntos que no estén localizados en su inmediata vecindad. Por otra parte la solución presentada da muy buenos resultados para estimar el gasto de extracción del pozo para un abatimiento dado del agua en el mismo. En las reís. 17 y 18 podrá verse algo de la investigación que se ha hecho en torno a la superficie libre dé descarga formada en la pared del pozo y al correspondiente nivel del agua en la vecindad del pozo.
VTI-7.
Flujo establecido radial en pozos con penetración parcial en acuíferos libres
Para el caso de penetración parcial en acuíferos libres el mismo de Glee11 da una expresión que permite calcular el abatimiento del agua en el pozo, cuando es pequeño con respecto a la altura H , correspondiente al nivel freático original: *■ "-*• = 4 Í T
[
4
<7- 2 6 >
En donde h2H es ahora la altura del nivel freático en un punto que dista 2H del eje del pozo y las demás letras tienen el sentido señalado en la fig. V II-8. La similitud de la ec. 7-26 con la (7 -1 6 ), relativa a pozos par cialmente penetrantes en acuíferos artesianos, permite determinar la relación q j q usando la ec. 7-20 y la gráfica de la fig. V II-5, subs tituyendo únicamente el espesor D del acuífero artesiano por H , altu ra del nivel freático en el acuífero libre. Suficientemente lejos del pozo ( r > 2 H ) el efecto de la penetra ción parcial se hace ya despreciable y los abatimientos en el nivel freático pueden estimarse con las fórmulas de penetración total, uti lizando en ellas el gasto de bombeo que se tenga realmente en el pozo.
Vn-8.
Abatimiento defl nivel freático en la inmediata vecindad de un pozo en un acuífero libre con flujo establecido
E l problema de calcular el abatimiento del nivel freático en la inmediata vecindad de un pozo de bombeo instalado en un acuífero
M ECANICA D E SUELOS (III)
271
libre, sea de penetración pardal o total, no está resuelto matemáti camente; sin embargo, algunos autores han propuesto expresiones re lativamente empíricas, alguna de las cuales se cita en lo que sigue. El gasto de extracción en un pozo sujeto a flujo establecido radial en un acuífero libre puede calcularse según Boreli con la ecua ción16" 18: a - TT tr ( # - * ) “ — < T i
«o
L
I L n
V
, 10 M
1.8 1
~~Ü~) sen TT SJ
(7 ' 27)
Donde las letras tienen los significados que se ilustran en la fig. V II -8. Nótese que para s — 0, la ec. 7-27 reproduce la fórmula dada para un pozo totalmente penetrante.
FIG. VI1-8 Flujo radial establecido hacia un poto con penefraciin parcial en un acuífero libre
Una vez obtenido el gasto con la fórmula 7-27, la línea de aba timiento del nivel freático puede calcularse con las expresiones si guientes: a ) Para r /h > 1.5 izk
r
(7-23)
que es la vista en la sección V II-6. b) Para r /h < 1 .5 H -h ~
q P In 10 R /H n k H [\ — 0.8 (s///)1-5]
(7-28)
272
CAPITULO VII
El valor de P que aparece en la ec. 7-28 puede calcularse con las siguientes relaciones, según el mismo Boreli16 618: Para 0.3 < r /h < 1.5 P = 0-13 ln — r
(7-29)
P — C* + AC
(7-30)
Para r /h < 0.3 donde C . = 0.13 l n ^ - 0.0123 ( i n f ^ ) *
í C = [ í ( ¿ i"
ts
) ( ' - 2¿
- H
+
+ 0 .1 1 3 h ^ ]„ A ] Nótese que para el cálculo de la altura del nivel freático muy cerca del pozo (r /h < 0.3) se necesitan ya expresiones bastante complicadas; es afortunado el hecho de que tal dato en esa zona se necesita muy rara vez en la práctica. También debe verse que las expresiones de esta sección no inclu yen pérdidas de carga hidráulica debidas al flujo a través del ademe del pozo ni las debidas al flujo en el mismo hasta la entrada de la bomba. Los acuíferos anisótropos en lo referente a la permeabilidad han sido tratados por Muskat15.
VII-9. Pérdidas de carga en los pozos de bombeo El abatimiento del agua dentro de un pozo comprende, además del debido al cono de depresión teórico inducido por el bombeo, que se ha venido estudiando hasta ahora, otra componente por efecto de las pérdidas de carga hidráulica al fluir el agua a través del ade me ranurado o malla que exista en el pozo y de las pérdidas que se tienen al fluir el agua dentro del pozo mismo, hasta la entrada de la tubería de bombeo propiamente dicha. Como quiera que el flujo del agua hasta llegar a la entrada de la tubería de bombeo es turbulento, cabe pensar que las pérdidas pro ducidas serán proporcionales a una potencia rz-sima del gasto de extracción, q, siendo n un número mayor que 1. Jacob19 ha sugerido el valor n = 2 como apropiado; sin embargo Rorabaugh20 ha encon
MECANICA D E SUELO S (III)
273
trado que el valor de n puede variar apreciablemente del 2 propuesto, debiendo hacerse pruebas de bombeo con gastos diferentes, para determinarlo en los casos prácticos. Tomando en cuenta las pérdi das de carga hidráulica y suponiendo que son proporcionales a q”, la ec. 7-10, para un pozo totalmente penetrante en un acuífero arte siano, por ejemplo, podrá escribirse: H - l" = 2 Í m b T , + c “'
<7-3 1 >
Donde C es una constante que depende del radio del pozo y dé la forma en que éste haya sido construido y acondicionado. En la ec. 7-31 se observa que las pérdidas crecen al crecer el gasto de extracción, q; sin embargo, las pérdidas aumentan más rápida mente de lo que lo hace el gasto. En la práctica se ha visto que para gastos de extracción relativamente pequeños, las pérdidas son des preciables, pero que para gastos fuertes pueden representar una frac ción importante del abatimiento total del agua en el pozo. Para un mismo abatimiento en el pozo, la ec. 7-10 indica que si las otras variables permanecen las mismas, el gasto varía con propor cionalidad inversa al ln R / r„; en estas condiciones el gasto de ex tracción varía muy poco con el radio del pozo; así, si el radio del pozo varía de 15 a 30 cm, el gasto extraído cambia apenas en un 10%. Sin embargo, la variación del radio del pozo influye mucho sobre las pérdidas de carga hidráulica; en efecto, cuando se duplica el ra dio del pozo, se duplica el área de entrada del agua a él y como el gasto cambia poco, las velocidades de entrada al pozo han bajado casi a la mitad y si se admite n — 2, las pérdidas por fricción en el ademe y la malla del pozo se reducen a menos de un tercio. El flujo del agua dentro del pozo hacia la tubería de bombeo también tiene pér didas menores al cuadruplicarse el área de la sección del pozo y disminuir, por ello, la velocidad del flujo a la cuarta parte prácti camente. Dentro de la nomenclatura de pozos de bombeo, se denomina capacidad específica de un pozo a la relación entre el gasto extraído del mismo y el abatimiento del agua en su interior. De la ec. 7-31, si no se tomaran en cuenta las pérdidas, se deduce que la capacidad específica sería constante; al tomar en cuenta las pérdidas, por el contrario, la capacidad específica resulta depender del gasto de ex tracción, disminuyendo cuando éste aumenta. Todos los conceptos tratados en esta sección particularizando para un pozo de penetración total en un acuífero artesiano, pueden extenderse en forma obvia a cualquier otro tipo de pozo de los hasta aquí tratados.
Mecánica de Suelos ÍII
274 VII-10.
CAPITULO VII
Acuíferos limitados por una frontera infinita con agua permanente. Método del pozo imagen
Se tratará ahora el caso de un pozo de bombeo situado cerca de una frontera lineal, de extensión infinita normal al plano del pa pel, que limita a una masa de agua permanente (fig. V II- 9 )40’ 41 y 42. Se tratará primeramente el problema con relación a un acuífero artesiano. La solución puede simplificarse mucho recurriendo al lla mado método del pozo imagen. Un pozo imagen es un pozo imagi nario introducido para crear un sistema de flujo hidráulico que sea equivalente a los efectos de las condiciones de frontera del problema real, pero que haga a éste más sencillo. Con un pozo imagen de inyección, el problema propuesto en la fig. V II-9.a se transforma en otro más sencillo y fácilmente resoluble. En efecto, supóngase (fig. V II-9.b) que se coloca, prolongando ima ginariamente las condiciones estratigráficas e hidráulicas del problema hacia la derecha, un pozo simétricamente respecto a la frontera lineal; este pozo será de inyección y recibirá el mismo gasto q que se extrae del pozo real. La frontera está ahora simétricamente colocada respecto a ambos pozos y el abatimiento en la superficie piezométrica que en cualquier punto produzca el pozo de bombeo se compensará con la ele vación que produce el pozo de inyección; a fin de cuentas la frontera resulta una línea equipotencial (de carga constante, H ), lo cual reproduce exactamente la condición de frontera del problema real (fig. V II~9.a). Si únicamente existiese flujo radial hacia el pozo real (conside rando que no existe la frontera de agua), la altura piezométrica en un punto P (fig. V II-9.c) a la distancia r del pozo estarla dada por la expresión 7-13, ya vista: * = " - 2 í l D ln 7
<7- 13>
Por otra parte, si sólo existiese el pozo imagen de inyección, en las mismas condiciones hipotetizadas, la altura piezométrica (que ahora sería una sobreelevación, h > H ) podría calcularse con la misma fórmula, pues un pozo de inyección es teóricamente equiva lente a uno de bombeo en donde el gasto extraído es negativo ( —q ) . Así: ^
H + 2 Í T D '” 7
<7-3 2 >
En ambos casos, la constante H es la constante de integración de la ecuación diferencial que deben satisfacer los dos flujos estable cidos supuestos para cumplir con la condición de frontera h — H,
M ECANICA D E SU ELO S (III)
MASA OE AGUA
oo
C FIG. VI1-9 Aplicación
pozo
del método d el imagen a la solución de^ flujo hacia un pozo en un acuifero artesiano próximo a una frontera infinita con agua perma nente
276
CAPITULO VII
para r = R, en el pozo de extracción y h = H , para r' = jR, en el de inyección. Se recordará que las ecs. 7-13 y 7-32 representan soluciones de la ecuación de Laplace. Haciendo ahora uso de la propiedad de que si dos funciones son solución de la ecuación de Laplace su suma también lo es, puede escribirse: ft = - 2 í f e ln T + s f e 1" 7
+ c
<7' 3 3 >
Y la (7-33) representa también una solución de fe ecuación de Laplace. Simplificando: * = C ~ 2Ífc D ,n 7
<7- M >
Si ahora se hace C = H se obtiene que h — H cuando r = r', es decir a lo largo de la frontera mostrada en la fig. VII-9.C. Entonces: h = H ~ 2 ÍT D k 7
<7' 35)
representa la solución de un problema de flujo de agua con la con dición de frontera h —H , para c — r1 o sea las condiciones del pro blema real considerado y es, por lo tanto, la solución buscada. O b sérvese que en la ec. 7-35 no aparece R, la cual se supuso para el caso del pozo de inyección igual a la del pozo de bombeo, si en aquél se inyecta un gasto igual al extraído del primero. La (7-35) proporciona, por lo tanto, la altura piezométrica en cualquier punto P debida a la influencia simultánea de los pozos real e imagen en el planteamiento imaginario; sin embargo, en el problema original se tiene un pozo de extracción y una frontera con tinua de agua, cuyo efecto fue exactamente reproducido por el pozo imagen; por ello la ec. 7-35 representa la altura piezométrica en cual quier punto P debida al bombeo en un pozo influenciado por una frontera continua de agua, de longitud infinita. De la (7-35) puede calcularse el nivel h0 que el agua tiene en el pozo influenciado por la frontera de agua. Para este caso, r = ra y ? — 2d (ver fig. V II-9 .c ); se obtiene así, que el abatimiento en el pozo vale: H ~ b* = 52n- Tk.D ñ ln — r0
<7' 3 6 >
De la expresión 7-36 puede obtenerse el gasto del pozo de bombeo para un abatimiento dado:
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
q = 2it kD
H — h» , 2d ln— r0
277 (7-37)
La superposición de las soluciones matemáticas utilizada antes constituye toda una técnica que permite resolver una cierta variedad de problemas de flujo. Como un primer ejemplo, susceptible de apli cación práctica, se mencionará el caso de un pozo de bombeo que trabaja próximo a una frontera impermeable vertical (fig. V II-1 0 ):
FIG. VII-10 Pozo totalmente penetrante en un acuífero artesiano con influencia de una pantalla impermeable vertical
La condición de frontera real es que no hay flujo hacia el pozo a través de la pantalla: esta condición se reproduce por el método del pozo imagen suponiendo uno de éstos simétricamente colocado respecto de la pantalla impermeable, imagen del real; este pozo debe ser de extracción con un gasto q idéntico al del pozo real. Se deja como ejercicio al lector comprobar que la suma de dos expresiones del tipo de la (7 -1 3 ), que proporciona la solución del caso, es: h —H —
2 tz
q i R2 k D m rr'
(7-38)
En donde las letras tienen los significados del caso tratado in mediatamente antes en esta sección. Como un segundo ejemplo de la técnica de superposición que se comenta se tratará ahora el caso de un pozo totalmente penetrante en un acuífero artesiano, influenciado por una frontera infinita en el sentido normal al papel, en la que existe una carga constante de agua y existiendo además un flujo hacia esa masa de agua en el interior del acuífero artesiano. Este caso que se plantea es la superposición del primero analizado en esta sección con el ya visto en la sección V II-3. En la fig. V I I - 1 1 se muestra esquemáticamente el caso descrito.
278
CAPITULO v n
EJE X IMPERMEABLE
FIG. Vil-II Pozo artesiano influenciado por un flujo hacia una masa de agua
La solución para el flujo unidimensional fue: (7-5)
k ~ H * W X
donde se ha usado el símbolo q para representar el gasto que pasa por el estrato acuífero por unidad de longitud normal al plano del papel, el cual es naturalmente distinto de q, gasto de extracción en el pozo de bombeo. La solución para el caso del pozo si no existiera flujo en el acuí fero hacia la masa de agua, sería: hzzH -
9
1 r
(7-35)
2it kD m r
Según se vio al comienzo de esta sección. La solución para el caso propuesto es la combinación de ambas soluciones, adaptando la constante de integración a las condiciones de frontera, lo que vuelve a dar C — H . Resulta: h = H + m x ~
q 2n kD
£_ r
(7-39)
En particular la altura piezométrica en un plano normal a la frontera líquida que pase por el pozo será: x + d h = H + - q^ x ln kD 2n kD |d — x|
(7-40)
Nótese que la distancia de un punto en ese plano normal por el pozo a un pozo imagen del real será d + x. que representa al d de la
279
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
fórmula 7-39. E l valor de r será x — d a la izquierda del pozo real y d — x si se calcula h en un punto situado entre el pozo y la fron tera; esto se expresa simplemente diciendo que r = \d — x |. Cuando se tiene un flujo unidimensional en el acuifero artesiano hacia la masa de agua, es obvio que para gastos de extracción pe queños en el pozo de bombeo no habrá flujo de la masa de agua hacia el pozo y todo el valor de q se integra con agua del acuifero; por el contrario, para valores de q suficientemente grandes se indu cirá una aportación de la masa de agua hacia el pozo, produciéndose una invasión de agua de más allá de la frontera hacia el acuifero. Por lo tanto, tiene interés calcular el gasto crítico q c, más allá del cual comenzará la invasión. Este valor corresponde a la condición dh/dx = 0, para x = 0, pues en ese caso no hay flujo a través de la frontera como límite (un instante más tarde, por así decirlo, se inver tirá el flujo, pasando a ser de derecha a izquierda en la fig. V II-1 1 ). Obsérvese que la intersección con la frontera del plano normal a ella que pasa por el pozo es el punto en que comienza a ocurrir la inversión del gasto. Si se deriva respecto a la expresión 7-39, se obtiene:
x
9 —— 0 *!?}. — JL______ 2% k D d ~
0x ~ kD
nara p3ra
x —0
de donde q — Ttd q
(7-41)
La expresión 7-41 proporciona el máximo gasto que se puede bombear sin producir invasión. Es de notar que la fórmula 7-41 es aplicable también al caso de acuíferos libres, si bien esto no se demostrará en este lugar.
FIG. VII-12 Aplicación del método del pozo imagen a la solución del flujo hacia un pozo en un acuifero libre próximo a una frontera infinita con agua per manente
280
CA PITU LO VII
Considérese ahora el caso de un pozo situado en un acuífero libre y sujeto también a la influencia de una frontera con agua del tipo de las que se han venido tratando en esta sección, (fig. V I I - 1 2 ) : Con un tratamiento similar al usado con acuíferos artesianos pueden obtenerse soluciones para casos análogos a los allí tratados. Sin embargo, debe notarse que un acuífero libre (no confinado) constituye un caso que cae dentro del campo de aplicación de la teo ría de Dupuit y que en el Capítulo III se demostró que en tal situa ción la función armónica, que satisface la ecuación de Laplace es b!1 y no h como sucede usualmente, cuando sólo prevalecen las condi ciones que representan la ecuación de continuidad y la ley de Darcy, sin que se hagan intervenir las hipótesis de Dupuit. Así, ahora será preciso combinar soluciones en h~ y no en h, pero por lo demás, tra bajando en forma análoga a como se ha venido haciendo en acuífe ros artesianos., La solución para un pozo totalmente penetrante en un acuífero libre fue: H - — hq = Tzk— ñ — ln — r
(7-23)
despejando h2 h- - H - - \
T zK
ln -
f
(7-42)
La solución para un pozo imagen de inyección, actuando solo con el mismo gasto, q, sería: A2 = t f 2 + ¿
ln 7
(7-43)
Combinando ambas soluciones, se obtiene: tí* = H* - \ ln “Klc r
(7-44)
La (7-44) proporciona el nivel freático en el pozoy en puntos relativamente lejos de él; en la inmediata vecindad del pozo (ver sección V II-6 ) lo que dala fórmula 7-44 es el nivel piezométrico referido a lasuperficie impermeable inferior. De la ec. 7-44 puede obtenerse que para calcular el nivel del agua en el pozo se tiene:
MECANICA D E SU ELO S (III)
281
De donde puede obtenerse el gasto que se puede extraer del pozo para un abatimiento dado en éste: q = Tzk
VII-11.
W -h l 2d ln — r„
(7-46)
Conjuntos de pozos de bombeo
El problema de un conjunto de pozos de bombeo se resuelve de un modo totalmente similar a como se han resuelto los casos con un sólo pozo. Como ya se ha repetido, la función h satisface la ecuación de Laplace en acuíferos artesianos y la h2 en acuíferos libres, de manera que la solución de un caso con varios pozos puede obtenerse como superposición, calculando la h total como la suma de las h de cada pozo, en acuíferos artesianos o la h2 total como la suma de las h2 de cada pozo, en acuíferos libres. La constante de integración C, de la que también ya se habló, resulta siempre igual a H en acuíferos artesianos o a H 2 en libres, de manera que en uno u otro caso podrán calcularse las diferencias H — h ó H 2 — h2 como las sumas de tales términos producidas por cada pozo del conjunto supuesto aislado; para ello podrán usarse las ecuaciones deducidas previamente en este capítulo. Con estos criterios se obtienen las siguientes fórmulas para los diferentes casos; su justificación se considera como un ejercicio para el lector:
A . A cuífero artesiano Un sólo pozo (penetración total):
h = H ~ 2Á D k 7 Conjunto de n pozos:
O sea. el abatimiento en un punto P, resulta:
<7' 9 >
CAPITULO VII
282
Donde R { es el radio de influencia del pozo i-ésimo y es la distancia del punto P a dicho pozo; las demás letras tienen los signi ficados usuales. En los problemas prácticos es común suponer que las diferentes R¡ son iguales a un valor R. Este valor de R puede fácilmente obte nerse para cada caso real haciendo en el lugar en que se instalará el conjunto de pozos una prueba de bombeo con un solo pozo de donde se extraiga un gasto q representativo de los pozos del con junto; allí, con pozos de observación, podrá definirse la distancia máxima afectada por el pozo de prueba. Lo anterior es válido en tanto no existan condiciones especiales de frontera que hagan pensar que no sea aceptable tomar R { igual a R para toda i; en esta situación deberá asignarse a cada pozo su propia R¡. Si se supone R ¿ = R, para toda i, la expresión 7-48 queda:
H - h
= 2¿kD % q‘ lnT t
(7 ' 4 9 >
Para el caso de un conjunto de pozos de penetración total en un acuífero artesiano, próximo a una frontera de agua, la conside ración de la teoría respectiva permite escribir directamente la si guiente fórmula:
H - h
=wm%i'b ^
<7 ' 5 0 >
donde r'¿ es la distancia del punto en que se calcula el abatimiento' al pozo imagen del pozo i-ésimo. Las expresiones 7-49 y 7-50 se pueden aplicar al cálculo del aba timiento del agua dentro de cada pozo; para ello basta situar al punto P dentro del pozo en cuestión y el valor de r¡ de ese pozo deberá tomarse igual al r0 correspondiente. B.
A cuífero libre Un solo pozo (penetración total) ¿ I „ ?
,7.23>
Conjunto de n pozos: =
izk
O sea, la cantidad H 2 — h2 resulta:
-
n
(7-51}
283.
M EC A N IC A D E S U E L O S (III)
Usando, como en el caso precedente una misma R se obtiene:
Para el caso de un conjunto de pozos de penetración total en un acuífero libre, próximo a una frontera de agua, puede similarmente escribirse:
(7-54) donde los símbolos tienen el significado ya varias veces mencionado con anterioridad. Aplicando ahora la fórmula 7-54 puede también calcularse el abatimiento del agua H 2 — h 2 en cada pozo de bombeo, usando para el pozo considerado su r< igual a r0 de dicho pozo. Las fórmulas precedentes, cuando el número de pozos es grande, resultan de aplicación laboriosa. Por ello, algunos autores han pre sentado fórmulas simplificadas o gráficas que permiten simplificar el trabajo, cuando se tienen arreglos específicos de pozos para algu nas condiciones de frontera frecuentes en la práctica. Algunas de estas soluciones pueden consultarse en la ref. 16.
VII-12. Pozos de recarga Un pozo de recarga es el que se utiliza para inyectar agua a los acuíferos del subsuelo. Se denomina también de inyección, de difusión o pozo invertido. Como medio para regenerar un acuífero explotado, los pozos de recarga son caros, pero útiles en lugares eñ que se requiera economía de espacio en lo relativo a los métodos de rege neración.38 Cuando el agua se inyecta por medio del pozo en un acuífero confinado, se forma en torno a aquel un cono de recarga, análogo al cono de depresión de un pozo normal, pero invertido. La ecuación de la superficie piezométrica puede encontrarse también usando las mismas ideas expuestas para pozos de extracción. Para un acuífero artesiano (fig. V II-1 3 .a ) en el que se inyecta agua con un pozo total mente penetrante introduciendo un gasto q, se tiene:
(7-55) Lo que proporciona una expresión totalmente análoga a la ec. 7-9 válida para el pozo de extracción.
284
CAPITULO VII
IMPERMEABLE
FIG. VI1-13 Pozos de recargue a) Acuífero artesiano fe) Acuífero libre
Si el pozo de recarga penetra totalmente en un acuífero libre ( fig. V II-13.b ), la expresión a utilizar es: h- — H~ — --L- In — te k
r
(7-56)
análoga a la ec. 7-23. Si se comparan los gastos en recarga y extracción puede con cluirse que serán iguales si lo son los respectivos conos de recargue y de depresión: la experiencia, sin embargo, rara vez ratifica esta afir mación teórica y los pozos de recarga rara vez alcanzan gastos aná logos a los de extracción para las mismas condiciones y es que en realidad entre recarga y extracción hay más diferencias que una simple inversión del flujo. Cuando se extrae agua de un pozo, las partículas más finas del acuífero son arrastradas hacia dentro del pozo, por lo que la formación en torno al pozo mismo tiende a ser más permeable con el tiempo: en la recarga, por el contrario, esas partículas más finas tienden a formar en torno al pozo una capa más impermeable. Además, el agua de recarga suele llevar gran cantidad de aire en suspensión lo que también tiende a reducir la permeabilidad del acuífero durante el proceso de inyección de agua. Existen también otros factores ajenos a la teoría, todos los cuales se concitan para disminuir la permeabilidad del acuífero en torno al pozo cuando se inyecta agua en éste; entre ellos pueden citarse el contenido de bacterias que forman aglomeraciones de regular tamaño y constituyen obstáculos alrededor del pozo, diferencias químicas del agua inyectada respecto a la existente en el subsuelo, que pueden producir cambios iónicos, etc.
M EC A N ICA D E SU E L O S (III)
285
Grandes gastos de recarga ocurren en terrenos muy porosos como son los de origen cársico y algunos volcánicos. Es posible que un pozo de extracción funcione periódica o even tualmente como de recarga, para regenerar la potencialidad de los acuíferos explotados utilizando agua de otra fuente, la cual puede inclusive ser el agua de lluvia39, si lo permeable del terreno permite este aprovechamiento sin que el acuífero se haga impermeable por los muchos arrastres e impurezas de que se va cargando el agua de lluvia en el proceso de su almacenamiento y conducción; a este respecto se han llegado a usar sistemas de filtración cuando los volúmenes dis ponibles los hacen costeables.
VII-13. Flujo no establecido hacia pozos de bombeo Los problemas de flujo no establecido, también llamado transi torio, son de más difícil solución por la herramienta matemática invo lucrada. Por otra parte, son de fundamental interés, ya que son los que realmente se presentan en las aplicaciones prácticas reales. Puede decirse que las soluciones con la hipótesis de flujo establecido representan únicamente aproximaciones muy burdas. Los problemas con flujo no establecido han comenzado a desarro llarse seriamente desde hace muy poco tiempo. En el Anexo V ll-b se trata este tema importante en forma breve.
Inlroducción del tramo perforado para un pozo profundo
286
vn-14.
CAPITULO VII
Construcción de pozos de bombeo y exploraciones para la detección de agua subterránea
Estas fundamentales cuestiones se tratan en forma escueta en los Anexos V II-c y VH-d. En realidad ambas se refieren a técnicas complejas que han dado lugar hoy a verdaderas especialidades inde pendientes dentro del panorama general de la ingeniería.
ANEXO VH-a Pruebas de bombeo VU-a.l. Descripción de la prueba Una prueba de bombeo tiene por objeto la determinación de los parámetros que definen el comportamiento de un acuifero ante la acción de un pozo y dentro del marco de una teoría determinada. De acuerdo con lo anterior, posiblemente sería más lógico exponer en primer lugar las teorías existentes de flujo de agua hacia pozos y posteriormente especificar el tipo de prueba que resulte conveniente para cada una de ellas. Sin embargo, en la práctica, antes de ejecutar una prueba de bombeo se tiene tan solo una idea (derivada del examen de los cortes geológicos y detalles de instalación de los po zos) sobre las teorías que pueden resultar aplicables al caso en cuestión. La última palabra puede decirse solamente después de exa minar los resultados de la prueba. Por esta razón, el procedimiento que se siga durante la ejecución de una prueba debe ser, en lo posi ble, suficientemente general para permitir la determinación de los parámetros de un buen número de casos. El tipo de prueba que se adapta mejor a la anterior finalidad es la prueba de bombeo a gasto constante. Para ello, es necesario contar con un pozo de bombeo y uno o más pozos de observación y tener conocimiento de cortes geológicos, características de perforación y detalles de instalación de ademes (zonas ranuradas y zonas ciegas). Los brocales de los pozos deben estar nivelados de manera que los niveles piezométricos en los mismos puedan referirse a un mismo plano. Respecto a la distancia que deben guardar los pozos de observa ción del pozo de bombeo conviene indicar que a mayor distancia es necesaria una mayor duración de la prueba. Por otra parte, si la distancia es muy pequeña pueden detectarse anomalías de carácter local que distorsionen los resultados haciendo difícil su interpre tación.
MECANICA DE SU ELO S (III)
287
Teniendo en cuenta lo anterior y como un compromiso entre los dos extremos se recomienda que los pozos de observación se ubiquen a distancias iguales a múltiplos enteros de la mitad de la profundidad del pozo de bombeo. Es conveniente además que los pozos de obser vación, en caso de existir varios, se ubiquen a distancias diferentes y en direcciones distintas. No se efectuarán pruebas de bombeo si el pozo de bombeo no ha sido previamente limpiado y desarrollado hasta que el agua que se extrae del mismo salga perfectamente limpia, sin presentar turbiedad al efectuar cambios bruscos de gasto. Además, el desarrollo del pozo debe efectuarse a un gasto igual o mayor que el que se empleará durante la prueba de bombeo. Los pozos de observación deben recibir también una limpieza esmerada, ya que de no ser así no reflejarán fielmente las variaciones piezométricas que ocurran en el acuífero que los rodea. La prueba de bombeo consiste esencialmente en la ejecución de un bombeo a gasto constante a partir de un tiempo dado, con ob servación simultánea de las variaciones de nivel tanto en el pozo de bombeo como en los de observación. El gasto se selecciona de manera que los abatimientos en el pozo de bombeo no sean mayores que la cuarta parte de la columna inicial de agua en el pozo de bom beo medida desde el fondo. Para lograr lo anterior, habrá que auxi liarse con los datos del desarrollo. Para efectuar las mediciones en el pozo de bombeo es recomenda ble instalar entre la columna de succión del equipo de bombeo y el
Realización de lecturas de niveles en un pozo de bombeo
288
CAPITULO VII
ademe del pozo un. tubo de pequeño diámetro, de material plástico semirígido, que permita introducir la sonda eléctrica sin riesgo de que ésta quede atrapada entre el equipo de succión y el ademe del pozo. Eventualmente puede utilizarse el mismo tubo para hacer las medi ciones con un manómetro neumático, previa aplicación de aire com primido. En el'caso de los pozos de observación, las mediciones pueden efectuarse con sonda eléctrica o con dispositivos automáticos de medición (limnígrafos). Siempre que sea posible se recomienda el uso de limnígrafos, ya que éstos eliminan el factor personal que es causa de la mayor parte de los errores de medición en pruebas de este tipo. VH-a.2.
Observaciones especiales
Antes de proceder a la ejecución de una prueba deberá hacerse un croquis de la zona comprendida en un radio de un kilómetro alre dedor del pozo de bombeo, en el cual se anoten los siguientes datos: 1. Ubicación aproximada de ríos, arroyos, manantiales, lagunas y zonas pantanosas. 2. Ubicación de pozos o norias existentes en el área. Se formará un catálogo con los datos generales de los pozos indicados anteriormente, incluyendo diámetro y profundidad de los mis mos, profundidad del nivel estático y dinámico del agua, gasto y régimen de bombeo (esto último deberá seguirse observando durante todo el tiempo que dure la prueba). Durante un plazo del orden de la duración prevista para la prueba y antes de la ejecución de la misma se harán observaciones de los niveles estáticos o piezométricos en los pozos de bombeo y observación, con objeto de poder determinar si hay alguna tendencia en los niveles regionales que deba ser tenida en cuenta en la inter pretación. Dichas observaciones pueden efectuarse una o dos veces diarias en caso de emplear sondas o continuamente, en caso de em plear limnígrafos, y de ser posible, deberán complementarse con lecturas barométricas y de temperatura a la sombra. Se estudiará la forma de desaguar fácilmente el caudal por bom bear hasta una distancia mayor de 100 m del pozo de bombeo y no cerca de alguno de los pozos de observación. En caso de peligro de fácil infiltración, debe procederse a retirar el agua lo más posible.
VII-a.3. Ejecución de la prueba Una vez ejecutados los preparativos y observaciones previas des critos en los incisos anteriores se procederá a la ejecución propiamente
M EC A N ICA D E SU E L O S (III)
289
dicha de la prueba de bombeo. Para ello se seleccionará la duración de la misma que de ser posible debe ser de 3 o más días. Se reco mienda, para las distancias propuestas entre pozos de observación y pozo de bombeo, la duración de 192 horas, de las cuales 96 horas serán de bombeo y 96 de recuperación. La prueba de bombeo no será efectuada inmediatamente después de algún otro bombeo. En caso de haber ocurrido éste, deberá dejarse descansar el pozo de bombeo y los de observación por un tiempo no menor de 48 horas. El bombeo se efectuará a partir de un tiempo dado a gasto cons tante, debiendo tomarse las medidas necesarias para la determinación de dicho gasto. E l equipo que se utilice para la prueba debe ser tal que permita ajustar en cualquier momento el gasto de extracción al previamente especificado. Debido a que el nivel dentro del pozo de bombeo desciende durante la prueba, el gasto de extracción tam bién disminuye, por lo que hay que estar haciendo ajustes periódica mente de tal manera que la hipótesis de gasto constante resulte sufi cientemente aproximada. Si se dispone de limnígrafos en los pozos de observación, éstos deberán ponerse a funcionar antes de iniciar la prueba, según se indicó en el inciso anterior. Cuando no se dis ponga de limnígrafos, una vez efectuadas las mediciones recomen dadas en el inciso anterior, debe hacerse una lectura inicial inmedia tamente antes de iniciar el bombeo y, una vez iniciado éste, deberán hacerse lecturas en todos los pozos de observación, así como en el de bombeo, desde los primeros segundos y de tal manera que los intervalos entre lectura y lectura sigan una progresión geométrica. Se sugiere como conveniente el siguiente ritmo: a los 15 y 30 segundos, 1, 2, 4, 8, 15, 30 y 60 minutos, continuando con una razón en la progresión geométrica igual a dos, hasta completar las 96 horas de bombeo. Todos los períodos de tiempo mencionados son medidos a partir de la iniciación del bombeo. Al llegar a Jas 96 horas se sus pende el bombeo iniciando a partir de ese momento, para el período de recuperación, un nuevo ritmo de lecturas similar al adoptado du rante el bombeo. Siempre que sea posible se efectuarán simultánea mente lecturas barométricas y de temperatura a la sombra. Cuando se procede a efectuar las mediciones con sonda eléc trica hay que tomar algunas precauciones especiales; la sonda eléctrica consiste esencialmente en un cable que detecta la posición del nivel de agua dentro del pozo al cerrarse un circuito eléctrico a través del agua del mismo. T al tipo de sondas generalmente sufren alarga mientos durante el uso, razón por la que hay que revisar con fre cuencia si las marcas indican la longitud correcta o hay necesidad de cambiarlas de lugar. Siempre que se efectúe una prueba de bombeo haciendo las mediciones con sonda eléctrica, debe procu rarse asignar una sonda a cada pozo, ya que por mucho cuidado que se tenga, diferentes sondas pueden acusar diferencias capaces
Mecánica de Suelos III
290
CA PITU LO V II
de distorsionar los resultados de la prueba. Finalmente, debe cuidarse que todos los que utilicen una misma sonda lo hagan efectuando la medición en la misma lectura del amperímetro, ya que de otra manera puede introducirse, de un operador a otro, un error de varios cen tímetros.
VTT-a.4 Presentación de datos Toda la información reunida durante una prueba de bombeo debe ordenarse cuidadosamente. En ella deben incluirse amplias explica ciones sobre todos y cada uno de los aspectos de la prueba. Se for marán tablas de abatimiento contra el tiempo transcurrido desde la iniciación del bombeo, así como de recuperación contra el tiempo transcurrido desde la suspensión del mismo. Se dibujarán los abati mientos y las recuperaciones contra el tiempo, en papel semilogarítmico y logarítmico, debiendo aparecer el tiempo, en el primer caso, en la escala logarítmica. Para la presentación gráfica de abatimientos y recuperaciones en pruebas de bombeo, así como de cortes geológicos, detalles de instalación, registros de perforación y otros datos, se recomienda usar una forma como la que se muestra al fin de este anexo, empleada por la Comisión Hidrológica de la Cuenca del Valle de México (S R H ), u otra similar. V II-a.5.
Posibles aplicaciones
Las pruebas de bombeo y lógicamente las teorías que las origi nan, tienen posibilidad de aplicación dentro de la Mecánica de Suelos y de la Geohidrología. En Mecánica de Suelos hay dos aplicaciones importantes; a saber: a ) Estimación del bombeo necesario para el control del agua del subsuelo, durante el proceso constructivo en presas, edificios, puentes, etc. , .b ) Predicción de asentamientos ocasionados por bombeo. En Geohidrología, la aplicación es más directa ya que teorías y pruebas tuvieron su origen en su seno. En general, puede decirse que, una condición necesaria para el análisis directo de cualquier problema regional o local, es el correcto conocimiento de las propie dades hidrodinámicas de los acuíferos en estudio. Sin dicho conoci miento sólo puede aspirarse a estudios indirectos, en perjuicio de los resultados.
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
291
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LECTURAS
DE
LA
SONDA,
EN
METROS.
Tomado»
dood»
O B S E R V A C IO N E S ; _
10
T IE M P O
100
TRANSCURRIDO.
EN
MINUTOS
292
CAPITULO VII
Vü-a.6. Casos de flujo establecido y no establecido La prueba que se describió en este anexo es aplicable tanto el uso de teorías de flujo establecido como no establecido. Como se dijo, esto es más bien cuestión de la teoría que se utilizará como marco para situar e interpretar los d^tos de la prueba. Si la teoría que se va a usar para los cálculos posteriores es de flujo establecido, lo que sí será necesario será obtener datos de la prueba en tal condición. En general se estima que el flujo se estableció en la zona en que se efectúa la prueba cuando las últimas 4 o 5 lecturas de niveles no acusan variación en ninguno de los pozos que intervienen en ella. Sin embargo, aún este dato habrá de tomarse con reserva antes de aplicar los resultados de la prueba con la fórmula de Thiem, por ejemplo, pues el flujo puede establecerse por contribuciones de agua de los estratos que confinan al acuífero bajo estudio, al funcionar como semipermeables y no haberse establecido un flujo dentro de las hipótesis de Thiem, que exigen que el equilibrio en el R O Z Q de bom beo se logre con flujo horizontal. Más adelante, al hablar del flujo no establecido habrá oportunidad de insistir en este importante tema.
ANEXO VH-b Problemas de flujo no establecido hacia pozos de bombeo (Escrito con la colaboración del Ing■Germán Figueroa Vega, de la Comisión H idrológica d e la Cuenca d el Valle d e M éxico)
Vn-b.l.
Planteamiento del problema
El problema del flujo no establecido hacia pozos de bombeo es mucho más complicado que el de flujo establecido; sus intentos de solución son mucho más recientes y han seguido los lineamientos que proporciona la Mecánica del Medio Continuo, con la que puede llegarse a planteamientos matemáticos a base de ecuaciones diferen ciales o integrodiferenciales, con condiciones iniciales (f = 0) y de frontera propias de cada caso. La formulación matemática se apoya en esencia en los siguientes puntos: 1. 2. 3. 4.
El principio de la conservación de la materia. La ley de Darcy Las leyes de variación volumétrica del agua y el suelo Simplificaciones relativamente arbitrarias de las ecuaciones re sultantes y de sus condiciones de frontera, para llegar a solu ciones más manejables.
MECANICA D E SU ELO S (III)
293
Como se vio ya en diversas ocasiones dentro de esta obra, la ley de Darcy es una formulación empírica que establece que: (7 -b .l) Donde, como se recordará, v es la velocidad de descarga referida a la sección total normal a la dirección del flujo, k el coeficiente de permeabilidad del medio poroso, h la carga hidráulica total y l es una medida sobre la trayectoria macroscópica del flujo. El signo menos indica que el flujo ocurre en el sentido decreciente de la carga hidráulica. Cuando el medio es anisótropo, el valor del coe ficiente de permeabilidad es función de la dirección y cuando es heterógeneo, es función de punto. Una cantidad importante, que aparece frecuentemente en las expresiones de flujo no establecido en pozos instalados en acuíferos confinados de espesor constante, d, es el llamado coeficiente de transmisibilidad, T, definido como: (7-b.2)
T = kd
Recordando que el coeficiente de permeabilidad es la velocidad del agua bajo gradiente unitario, se ve que el coeficiente de trans misibilidad es un gasto (piénsese en un espesor unitario normal al plano del papel, con lo que d adquiere el sentido de un área) por unidad de ancho del acuífero, que corresponde al del agua que fluye bajo un gradiente hidráulico unitario. Con relación a las leyes de variación volumétrica de la estructura del suelo y del agua, en las soluciones de los problemas aquí tratados suelen admitirse las leyes lineales de variación más usuales, a saber: a) P ara la estructura d el suelo de
av _
de
1
de donde dn = — mv — cte dp
(7-b.3)
Siendo n la porosidad del suelo, p la presión efectiva y mc, el coeficiente de variación volumétrica de la Teoría de la Consolidación Unidimensional, que es constante para el intervalo de presiones con-
294
C A P ITU L O V II
siderado, si se supone ley lineal en la curva de compresibilidad. Lo anterior implica que se desprecian las deformaciones horizontales del acuífero. También debe observarse que en la ec. 7-b.3 se admite que las partículas de suelo son incompresibles, hipótesis normal en las teorías de este tipo. b) P ara el agua Si p es el coeficiente de compresibilidad del agua, puede escribirse: -d V
donde V es el volumen y u la presión en el agua D e la ecuación anterior: dV oJ ~ y = ~ $du
y V 4- d V — y - = l-$ d u
(7-b.4)
Considérese ahora un volumen unitario de suelo saturado. E l volumen de agua de este elemento está dado numéricamente por n y el volumen de sólidos por 1 — n. Si ahora se varía la presión efectiva de este elemento de p0 a p0 +. d p y la presión del agua de u0 a u0 + du, se tendrá por la ec. 7-b.4 que el volumen original n del agua cambiará a n (1 — $ d u ). Por otra parte el volumen de sólidos 1 — n ha permanecido invariable, pero la variación de presión efectiva ha cambiado la porosidad del suelo de n a n — mvdp, se gún la ec. 7-b.3. Por lo tanto, el volumen de agua liberada por el elemento de suelo será: n (1 — $ d u ) — (n — mv d p ) = — n 3du + mv d p
( 7-b .5 )
S i la presión total no cambia d p — — du y la expresión 7-b.5 se reduce a: — n 3du — mv du = — n $du(^ 1 +
(7-b.6)
295
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
En problemas de flujo transitorio es útil el concepto de Alma cenaje Específico, S „ que se define como el peso de agua liberado (o absorbido) por unidad de volumen del suelo al disminuir la presión del agua, u, en una unidad. Así el almacenaje específico puede obte nerse a partir de la ec. 7-b.6, multiplicando por y dividiendo por — da, obteniéndose: S, = Y „ n f } ( l + ^ )
( 7-b.7)
En el caso de acuíferos confinados de espesor constante d, en que la variación de presiones es la misma sobre toda vertical, es conve niente el conceptode Coeficiente de Almacenaje, S, definido por S = S s d. Por lotanto, puede escribirse tomando en cuenta la ec. 7-b.7 que: S =
d Ywn
p
(
l
(
7
-
b
.
8
)
En los casos en que pueda despreciarse la compresibilidad del agua, es decir, considerar que 3 = 0, la ec. 7-b.8 se reduce a: S ~ d j w mv
(7~b.9)
En las soluciones de pozos es frecuente encontrar la razón S / T . En los casos en que se pueda considerar 3 = 0, combinando las expresiones 7-b.9 y 7~b.2 se obtiene: (7-b.lO ) en donde C„ es el coeficiente de consolidación unidimensional. Si el flujo fuera establecido se vio que: dvr dv„ dvz + — + ~ = div. v = 0 ex cy dz
, . ( 7-b.l 1 )
Ecuación de continuidad que expresa que no hay ningún cambio volumétrico asociado al flujo; la cantidad de agua que entra a un elemento es idéntica a la que sale. Pero en el flujo no establecido, en el que la densidad del agua y la porosidad n del suelo pueden variar, la condición anterior ya no se cumple y si podrá haber variaciones volumétricas en el agua que fluye y en la estructura del suelo al variar u al transcurrir el tiempo; estas variaciones en un volumen unitario serán iguales al almacena je específico, que da la variación en peso para una disminución unita-
296
CAPITULO VII
ría de presión, multiplicada por la disminución de carga h que ocurra en la unidad de tiempo; lo anterior puede expresarse escribiendo: div. v — div. grad. (k h) — V 2{ k h ) = S a ~ j
(7 -b .l2 )
La justificación detallada en cuanto a unidades y signos de la ec. 7 -b .l2 se deja como ejercicio al lector. Si la velocidad v es independiente de la altura z dentro de un acuífero confinado de espesor constante d, resulta conveniente adop tar elementos diferenciales prismáticos de altura d. El resultado se reduce a multiplicar la ec. 7-b .l2 por esta cantidad constante d obte niéndose: V H kd h )= S sd %
ct
de donde V *( T h ) = S ~
ót
( 7-b.l 3)
Si T = k d es constante, la expresión anterior puede escribirse finalmente V 2¿ = f |
(7 -b .l4 )
La ec. 7 -b .l4 en combinación con la ec. 7-b.lO hace ver que el flujo transitorio hacia pozos y la consolidación de los suelos, son solamente casos distintos de un mismo problema matemático. Esta analogía ha sido aprovechada para visualizar físicamente las solu ciones matemáticas de flujo transitorio. Cuando se tiene simetría radial, lo cual es frecuente en pozos de bombeo, es muy conveniente expresar el Laplaciano en coordenadas cilindricas, aún y cuando la velocidad v sea función de z. En este caso el operador Laplaciano es:
V 2 = 8r| ^ + -r | dr- + 4r- S80-: + Hdz‘
(7-b.l5)
En este operador se cancela el penúltimo término en los casos en que hay independencia respecto a 0 y el último en aquellos en que existe independencia de z. Un concepto importante para tratar problemas de flujo transitorio es el de fuentes y sumideros en una región de flujo. Una fuente F es el volumen de agua que se origina dentro de un volumen unitario
M EC A N ICA D E SU E L O S (III)
297
de suelo en la unidad de tiempo; un sumidero 5 es una fuente de gastó negativo. Si F es función de punto y del tiempo en una región de flujo, las expresiones 7 -b .l2 y 7 -b .l3 deberán modificarse; es decir, el término V2{ k h ) deberá substituirse por V2( A: h) + F y el V ¡ ( T h ) por V 2( T h ) + F d. Las fuentes o sumideros que acaban de definirse se utilizan más que para representar un hecho real, por otra parte no muy frecuente, como artificio de simulación matemática de condiciones de frontera especiales como las que corresponden a alimentaciones o fugas verti cales, desde O hacia los estratos que confinan al acuífero. En flujo transitorio sin variación apreciable de la densidad del agua y de la porosidad, n, del suelo, como es el caso en problemas en acuíferos no confinados con superficie libre del agua a presión at mosférica y posición variable, el planteamiento del problema puede ser más sencillo, pues se reduce a la ec. 7 - b .ll, aunque la resolución práctica pueda ser muy complicada, por desconocerse la posición de dicha superficie libre; cuando ésta no reciba aportaciones de agua, debe coincidir con una línea de flujo y su carga hidráulica debe ser simplemente su carga de posición, como se vio en los Capítulos II y III; cuando hay alimentación, por filtraciones verticales de agua por lluvia u otra causa, el vector velocidad de esta alimentación se com pone con el del primer caso, en que no existía alimentación, quedando la velocidad resultante dirigida hacia el interior de la región de flujoEstos casos pueden tratarse en forma aproximada con el artificio de las fuentes y los sumideros, ya mencionado atrás, frecuentemente utilizado por Hantush,12 o bien haciendo uso de las hipótesis de Dupuit, siempre que el flujo pueda considerarse como sensiblemente horizontal. Si el acuífero tiene fondo horizontal y el abatimiento en el pozo de bombeo es pequeño, puede recurrirse, con buena aproxi mación a la Teoría de Acuíferos Confinados. D e aquí la importancia de no provocar en las pruebas de bombeo que se hagan en acuíferos libres abatimientos mayores que el 25% de la columna original de agua en el pozo de bombeo. En lo que respecta a las condiciones de frontera, pueden usarse varias y de diferentes tipos. Las más comunes relativas a las paredes de los estratos confinantes de un acuífero son las que se exponen a continuación: 1.
(7 -b .l6 )
donde N es la normal a la pared. Esta condición indica que no hay flujo normal a la pared, o sea que esa superficie es impermeable (superficie de flujo).
2.
q* = A {h 0 — h)
( 7-b. 17)
298
CAPITULO VII
donde A es una constante positiva. La condición indica que el gasto de filtración en la dirección normal a las paredes de los estratos confinantes es proporcional al descenso de h dentro del acuífero. Este caso se presenta cuando existe un estrato semiconfinante de pe queño espesor y el gasto qx procede de estratos permeables vecinos al semiconfinante. 3.
( 7~b. 18)
qx = ~ k c
Este caso representa al gasto de filtración que se origina por la consolidación de un estrato semiconfinante y la ec. 7-b. 18 se refiere a dicho estrato; así, k c es la permeabilidad del estrato semiconfinante y dhc/d N está referida a puntos del contacto entre el estrato semicon finante y el acuífero, pero considerados dentro del estrato semi confinante. En el infinito, la condición más común es: h0 — h = 0,
para r = oo,
en todo t
(7-b.19)
en todo t.
(7-b.20)
o bien, si se usan las hipótesis de Dupuit: h2 — h 2 = 0,
para r = oo,
En lo anterior r, es, como de costumbre, la distancia del punto considerado al eje del pozo y h0 y h tienen también los sentidos usuales. La condición inicial más frecuente en las soluciones es: h0 — h — 0,
para t = 0,
en todo r
(7-b.21)
en todo r.
(7-b.22)
o bien, si se usan las hipótesis de Dupuit: h"0 — h2 = 0,
para f —0,
En el pozo de bombeo suele especificarse obien el gasto o bien el abatimiento (con H2 si se usan las hipótesis de Dupuit), como funciones del tiempo, conjuntamente con alguna de las condiciones siguientes: rw —> 0
(7-b.23)
En que rm es el radio del pozo, pues conviene suponer a éste lineal por facilidad en las ecuaciones. q v = ~ = cte 'f
(7-b.24)
M ECANICA D E SU ELO S (III)
299
en donde q v es el gasto por unidad de la longitud ranurada, lr, del pozo. Esto significa que se supone que el gasto está entrando al pozo uniformemente distribuido en la longitud ranurada del pozo dentro del acuífero. — k.2
ti
rw hw — ~ q
(7-b.25)
En que rw y h w son el radio y la carga de agua en un pozo total mente penetrante en un acuífero libre. Esta condición (7-b.25) es similar a la (7-b .24), que es aplicable a pozos en acuíferos confinados. Conviene indicar que la mayor discrepancia entre las condiciones de frontera supuestas y las reales ocurre precisamente en el pozo de bombeo (y en los de observación cuando el flujo depende de z ). Las razones de ello, como ya se ha indicado en otra parte de este capítulo, estriban en las pérdidas de carga no consideradas debidas a zonas de filtro artificial o desarrolladas por el bombeo (arrastre de partículas, etc.), por efecto de entrada al pozo propiamente dicho, por cambios de dirección del flujo y turbulencias fuera y dentro del ademe, radio de pozo no despreciable, distribución no uniforme del gasto de entrada al pozo, efectos posibles, pero no previstos, de tridimensionalidad, etc. Por todo esto, la posibilidad de interpretar los abatimientos dentro del pozo de bombeo son limitadas, lo que justifica la necesidad de contar con pozos de observación.
VII-b.2. Forma general de las soluciones. Análisis dimensional La forma general de las soluciones de los problemas de flujo transitorio hacia pozos de bombeo puede deducirse por el sólo examen de las variables y constantes que intervienen y la aplicación de los métodos del análisis dimensional. Para ilustrar lo anterior se analizará el caso de un pozo totalmente penetrante, extrayendo un gasto constante, q, de un acuífero confi nado, homogéneo e isótropo, de extensión horizontal infinita y de espesor constante d. Se pretende calcular los abatimientos piezométricos, a, inducidos a cualquier radio r en cualquier tiempo t. Este problema fue estudiado por C. V . Theis3. Los abatimientos, a, serán función, además de r y de t, del gasto extraído, q, así como del .coeficiente de transmisibilidad, T = k d, y del coeficiente de almacenaje, S = S s d. Por lo tanto, existirá una función de estas cantidades tal que: /(a, q, r, t, T ,S ) = 0
(7 -b.26)
CAPITULO VII
300
Las dimensiones básicas son longitud (L ) y tiempo ( t). Por lo tanto la matriz de dimensiones de las cantidades que intervienen es: a,r L t
1 0
<7 t
T
S
0 1
2 - 1
0 0
3 - 1
Las dimensiones de T = k d son: ( L / t ) ' L = L 3 1'1 y las de S, según la expresión 7-b.8: L' ( F /L 3) ' (L-./F) = 1. El intervalo de esta matriz es 2. Ahora, desde un punto de vista dimensional el número de variables es sólo 4, pues a y r tienen las mismas dimensiones y S es adimensional. Por lo tanto el número de productos adimensionales in dependientes que será necesario buscar es de 4 — 2 = 2. El análisis dimensional proporciona la forma de efectuar el cálculo sistemático de los productos adimensionales. Sin embargo, en el caso que se trata, la observación práctica de que el abatimiento inducido es proporcional al gasto, proporciona un camino intuitivo para de terminar uno de los productos adimensionales. Así, si la relación a / q tiene dimensiones L t/L 3 — L 2 t, es fácil ver, en la matriz de dimen siones, que el factor complementario es precisamente T. Por lo tanto, el primer producto adimensional es:
<7
( 7-b.27)
En forma similar puede encontrarse el segundo producto adimen sional. En efecto, como a es la magnitud buscada y q es la variable que es posible controlar en la práctica, es conveniente que ni a ni q, que ya entran en el primer producto adimensional, vuelvan a apa recer en el segundo producto. Por lo tanto, este segundo producto ha de formarse solamente con r, t. T y S. Siendo S adimensional y siendo necesario un solo producto, dicho producto adimensional debe ser una combinación de r, t y T y de S misma. Observando la matriz de dimensiones se ve que la única combinación de r, t y T que pro porciona una cantidad adimensional es r2/T t . Por otra parte, obser vando la ecuación diferencial 7-b.l4 se ve que S aparece en ella combinada con T, en la forma S /T . Por lo tanto, el segundo pro ducto adimensional buscado es:
301
M E C A N IC A D E S U E L O S (III)
Por lo tanto la solución buscada será de la forma:
/ ( f ' T T ) =0
( 7b29>
o si se prefiere, de la forma:
T = ;F( t t )
(7~b-301
Con fines comparativos, se incluye la solución para este problema obtenida por C. V- Theis*: ~
= ^ W (u)f 7-b 31)
en donde W (u)=f
T,g e~ d x
J “= ITt *
(7-b.32)
A la función W (u) se le llama en la literatura Función de Pozo y aparece tabulada en muchos manuales de matemáticas. A la fun ción (1/4ti W ( u )puede llamársele FunciónCompleta de Pozo. Puede observarse de la expresión 7-b.32 y de la(7-b.28) que:
4Yt ,= ~4~
(7-b.33)
con lo cual queda justificado el razonamiento hecho y que condujo a la obtención de la expresión 7-b.30. En forma similar a la descrita pueden encontrarse las formas generales de las soluciones a otros problemas de flujo transitorio.
VEE-b.3. Clasificación de problemas Tomando en consideración la similitud en el planteamiento mate mático de los diferentes problemas de flujo transitorio hacia pozos puede hacerse la siguiente clasificación simplista:
CAPITULO V II
302
Flujo confinado y semiconfinado Problemas de pozos de bombeo en flu jo transitorio Flujo no confinado o libre
Acuíferos horizonta les de e s p e s o r constante. Acuíferos inclinados y/o de espesor va riable. Acuíferos con fondo horizontal. Acuíferos con fondo inclinado.
A continuación se presentarán las soluciones de algunos casos de interés práctico. VII-b.4.
Flujo confinado y semiconfinado. Generalidades
E l concepto de confinamiento es en realidad de los que se prestan a que diversos autores mantengan ideas diferentes, de manera que es frecuente en la literatura especializada encontrar distintas definicio nes ai flujo confinado, semiconfinado y no confinado. Muchos autores coinciden en definir al flujo confinado como aquel en que la región de flujo posee todas sus fronteras conocidas. Sin embargo, en pro blemas de flujo no confinado puede razonarse que el que no sea fácil determinar las fronteras a la presión atmosférica no implica nece sariamente que no estén bien definidas. Aparentemente en la defi nición buscada para el flujo confinado y no confinado influye, ade más de la naturaleza del problema en sí, la facilidad de traducirlo en términos matemáticos manejables, resultando la definición de las fronteras algo que se logra en unos casos a priori, en tanto que en otros há de hacerse a posteriori. En los casos de flujo confinado y semiconfinado, dentro de este orden de ideas, las fronteras se cono cen al plantear el problema; en los casos de flujo no confinado o libre, en cambio, las fronteras no se conocen en el planteamiento y de hecho, forman parte de la solución matemática buscada. Los problemas de flujo confinado se caracterizan por fronteras de material impermeable o que pueden considerarse prácticamente como tales. Junto a ellas el flujo es predominantemente tangencial. Los problemas de flujo semiconfinado se caracterizan por fronteras bastante menos permeables que el acuífero, lo que permite que haya alimentaciones o fugas. Estas ocurren en el estrato semiconfinante en dirección sensiblemente normal a la frontera y cuando son alimen
303
M ECAN ICA D E SU ELO S (III)
taciones se supone que una vez que entra el agua al acuífero cambia bruscamente de dirección, marchando ahora en dirección paralela a la frontera; las alimentaciones se asimilan generalmente a una de las dos causas siguientes; a) Filtraciones provenientes de otro estrato b) Consolidación de un estrato semiconfinante En el primer caso es aplicable la condición de frontera 7-b. 17 y en el segundo la (7 -b .l8 ). E l flujo no confinado se caracteriza por fronteras abiertas al aire y, por ello, a la presión atmosférica; su posición forma parte de la solución buscada.
V n-b.5.
Flujo confinado y semiconfinado. Acuíferos horizontales de espesor constante
Los problemas de flujo no establecido en acuíferos horizontales de espesor constante son los que suelen ocupar mayor espacio en la literatura especializada. En lo que sigue se mencionan las soluciones que se han obtenido para algunos casos de importancia práctica es pecial, sin entrar a deducciones matemáticas, que resultarían largas y complicadas para una obra como la presente, pero que, por otra parte, podrán estudiarse en publicaciones más especializadas. A ) POZO CON PENETRACIÓN TOTAL. A cuífero con confina
miento p erfecto y gasto de bom beo constante. La solución de este caso se debe a C. V . Theis8 y ya ha sido mencionada en el pá rrafo V II-b.2 (ecs. 7-b.31 y 7-b.32). En esas expresio nes W ( u ) puede desarrollar se en serie, como sigue;
777777777777777
~777 7 7 7 / 7 7 7 7 / 7
¿¿/¿//// / / / / / / ACUIFERO
IMPERMEABLE
FIG. Vll-b.l Pozo totalmente penetrante en un acuífero con confinamiento per fecto
W ( u ) = - 0.577216 - ln u + u — ^
------(7-b.34)
304
CAPITULO VII
Como quiera que u es inversamente proporcional al tiempo (ec. 7-b.32) al crecer éste los valores de u decrecen y los términos siguientes a ln u de la serie XV ( a ) tienden a cero. Nótese que al ser negativo el ln u es igual al logaritmo del recíproco, por lo que al disminuir u ese término crece tanto como se quiera. En consecuencia, para tiempos suficientemente grandes pueden usarse solamente los dos primeros términos de la serie: W ( u ) - - 0.577216 - ln u = - ln 1.78 u = ln —
1.78 u
por lo que
2 25
Tt
W ( u ) — 2.3 l o g ^ " ^ -
Valor que substituido en la (7~b.26) conduce a: 2.30 . 2.25 Tt 3 = 4tTT 9 9 ” 7 ^ 5 "
/vut-x {7 'h 3 0 )
En la práctica, para interpretar los resultados de esa prueba de bombeo, se procede como sigue. Se obtiene, en primer lugar, la lla mada curva patrón, que es la gráfica, en doble escala logarítmica, 1/u contra W ( u ) ; para ello ha de usarse la expresión 7-b.32 dando valores a u y calculando los correspondientes de XV(u ). La prueba de bombeo proporciona valores de los abatimientos en un pozo de observación, a, a una distancia r del de bombeo, para diferentes tiempos, f. Esto permite hacer una gráfica de t contra a, también en escalas logarítmicas. Las dos curvas obtenidas son semejantes, según se desprende de ver simplemente las ecs. 7-b.31 y 7-b.32, pues a es proporcional a W ( u ) y f lo es a 1/u. Se escoge ahora un par de puntos homólogos, uno en cada curva, lo que permite obtener un juego de cuatro valores a, t, W (u) y 1/u. Estos valores, llevados a la (7-b.31), permiten calcular T y este último hace posible el cálculo de S en la ec. 7-b.33, Con S y T se han llegado a conocer las características de interés práctico del acuífero. B ) Pozo CON PENETRACIÓN TOTAL. A cuífero con sem iconfinam iento por filtración. G asto d e bom beo constante La solución que se presenta se debe a Hantush y Jacob43. Como en el caso anterior, se supone al acuífero de extensión horizontal infinita, homogéneo e isótropo. Se considera una filtración vertical
MECANICA D E SU ELO S (III)
—
305
___
^ -4 t-f-
V /7 7 //7 /7 7 . T r i i T
'
/ / / / / / / / / i (
k
semipermeable
ACUIFERO
’r77r>77,*r»/V7?7?77??77f//7> 7>7>/7?7>b/f7rS?77/>W7/7?7?777?rr7??/77 IMPERMEABLE
FIG. Vll-b.2 Pozo con penetración total en acuifero con temíconfinamiento por filtración
en la frontera del estrato semíconfinante, proporcional a la pérdida de carga en dicha frontera; esta filtración se describe matemática mente con la ec. 7-b.l7. Para este caso, la solución está dada por: (7-b.36)
‘ = Ú r w donde W (u , ~ ) = f - ^
- e
dx
(7-b.37)
Td' k' Siendo d' y k' el espesor y la permeabilidad del estrato semiconfinante. La función W ( u , r /B ) se encuentra tabulada en la ref. 12. La aplicación de estas fórmulas a la interpretación de los resultados de pruebas de bombeo puede hacerse en forma similar al caso presen tado en el párrafo A ), previa la elaboración de las curvas patrón. Debe notarse que en este caso no se tiene una curva tipo única, sino toda una familia de ellas; una curva tipo para cada valor de r /B que se escoja. La curva experimental deberá de asimilarse a una de las diferentes curvas tipo que se tenga. C) Pozo con penetración total . A cuifero con sem iconfinam iento por consolidación d e estratos. Gasto d e bom beo constante Para resolver problemas de flujo no establecido con acuíferos semiconfinados por consolidación de estratos supra o subyacentes,
Mecánica de Suelos III
306
CAPITULO VII
Hantush12 ha desarrollado soluciones para seis casos de interés prác tico, que se presentan brevemente a continuación; en todos se supone al acuífero de extensión infinita, homogéneo e isótropo. La comple jidad de las soluciones obligó a Hantush a buscarlas en forma asimptótica, es decir, una para tiempos pequeños y otra para tiempos grandes en cada caso. C - l ) A cuífero confinado en la frontera superior, apoyado sobre un estrato com presible muy potente
IM PERM EAB LE
ACUIFERO ■" FILTRACION OCASIONADA ..P O R CONSOLIDACION DEL ~7 ESTRATO SUBYACENTE SEMICONFINANTE
k" FIO. Vll-b.3 Pozo con penetración total en acuífero con estrato semiconfinante ilimitado, compresible, infe rior
En este caso la solución para tiempos pequeños es la misma que para tiempos grandes y puede escribirse como: (7- b.38) en donde
Siendo erfc la función de error complementaria,
MECANICA D E SU E L O S (III)
307
S " corresponde al estrato semiconfinante y, como de costumbre, las letras sin índice superior se refieren al acuífero. En la ref. 12 se encuentra tabulada la función H { u, $ ). C -2 ) A cuífero confinado en la fron tera superior, ap oy ad o sobre un estrato com presible d e espesor limitado 777777777777777777"
IMPERMEABLE
'/,//////
SEMICONFINANTE
IMPERMEABLE
FIG. Vll-b.4 Pozo con penetración total en acuifero con es trato semiconfinante limitado, compresible, inferior
La solución de este caso para tiempos pequeños es la dada para el caso C- l , con las expresiones 7-b.38 a 7-b,41, aunque ahora es más conveniente expresar X como: k" S"
= V :d " T S
(7-b.42)
Nótese que las expresiones para X dadas por las ecs. 7-b.41 y 7-b.42 son en realidad equivalentes para el caso de un estrato semi confinante finito, pues S" — S"d", según ya se definió. Para tiempos grandes, la solución propuesta por Hantush es: a - - 24% T
W
[ ° ( l + f - ) ]
(7-bA3)
con la limitación d ” S"
( 7-b.44)
E l procedimiento de aplicación práctica de estas ecuaciones a una prueba de bombeo es similar al descrito para los casos anteriores.
CA PITU LO V II
308
C -3) A cuífero confinado inferiorm ente y sem iconfinado superior m ente p or un estrato com presible, el cual, a su vez, subyace a otro acuífero con presión constante y uniform e en la frontera común
_____NAF_ PERM EA BLE
'V
'Z 'Z'7
V X
.f t
/ V
'"/ ■ / V
X
/ . / . / „
/ e
SEMICOMFINANTE COMPRESIBLE
t ■ACUIFERO
-y//V/VV
77/// Tr/r IM PERM EABLE
FIG. Vll-b.5 Pozo con penetración total en un acuifero confi nado inferiormente y semiconfinado superiormente
La solución para tiempos pequeños está dada nuevamente por la escrita en el caso C - l ; en este caso X se expresa con letras con un sólo índice superior, indicando que el estrato semicon finante está sobre el acuífero en explotación (el doble índice se ha venido usando para estratos semicon finan tes abajo del estrato acuífero en explo tación ). x “
'd 'T S
(7-b.45)
Para tiempos grandes la solución es: a = 43 r W T
“( i+S )sl
( 7-b.46)
con la limitación 0
5
d'Sf
(7-b.47)
B es la misma que aparece en la expresión 7-b.37 y las demás letras tienen los significados usuales. Lá aplicación práctica puede manejarse en forma similar a la presentada en los casos anteriores.
309
M ECANICA DE SUELOS (III)
C -4) A cuífero sem iconfinado en am bos casos por estratos compre sibles, ubicados a su vez entre acuíferos con presión constante y uniforme en los contactos
n.vf
JüLF
•
j v y v
v
4 / s jy í
' y'
v
r
perm eable
V V V ’Z' SEU1C0NFINANTE
' /
COMPRESIBLE
’} . ' / • / / ’) / - h b
.1
S E M IC O N FIN A N TE COMPRESIBLE
PERM EABLE
FIG. vn-b.6 Pozo con penetración total en un acuífero semicon
finado por estratos compresibles
Una vez más la solución para tiempos pequeños es la dada para el caso C-l , escribiendo ahora X como: ■v _ J V S' , J k" S" ^ ~ * d 'T S + V d"T S
/ 7 U fi> 7-b.48)
Para tiempos grandes la solución de Hantush resulta: a =
Si, a)
(7-b.49)
f ^ - d " 5" t> 5 A"
(7~b.50)
con la limitación f ^-d'S' t > 5 r# A:'
y
En la expresión 7-b.49: Oí — 1 +
5' + 5" 35
_/c "_
(7-b.51)
(7-b.52)
310
CA PITU LO V II
Una vez más puede hacerse el mismo comentario sobre la forma de aplicar la solución en la práctica. C - 5 ) A cu ífero sem iconfinado en am bos casos por estratos com presi bles, lim itados a su vez por estratos im perm eables La figura necesaria para visualizar este caso es la misma V II'b .6, imaginando impermeables los dos estratos extremos. La solución para tiempos pequeños es una vez más la del caso C- l , escribiendo X como en la ec. 7~b.48. Para tiempos grandes se tiene:
con la limitación: J/C/ <>10^- y
J// O// t> 1 0 ^ ~
(7-b.54)
En la fórmula 7-b.53: C/
,
c /r
S2 = 1 +
(7-b.55)
La aplicación práctica puede hacerse como siempre C -6 ) A cu ífero con la condición descrita en e l caso C -4 por arriba y con la d el caso C -5 por abajo La figura correspondiente a este caso se deja como un sencillo ejercicio al lector. La solución para tiempos pequeños es idéntica a la del caso C-5. Para tiempos grandes, la solución es: 3 = con la limitación:
V ^ )
(7-b.56)
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
311
Para la interpretación de pruebas de bombeo, puede recurrirse, como en los casos anteriores, al empleo de gráficas de las curvas patrón. D ) Pozo
CON penetración parcial . G asto
d e bom beo constante
Para este caso existen dos soluciones debidas a Hantush. En la primera44, se cubre el caso de un pozo parcialmente penetrante en un acuífero con semiconfinamiento por filtraciones (sin consolidación). En la segunda45 se trata un pozo parcialmente penetrante en un acuífero con confinamiento perfecto.
VII-b.6.
Acuíferos inclinados y/o de espesor variable
Para estos casos existen hoy algunos estudios teóricos de impor tancia, que no se incluirán en esta obra. El lector podrá referirse en general a la ref. 12 para un tratamiento general del tema y a las refs. 46, 47, 48 y 49, para consultar diversos casos específicos.
Vn-b.7.
Flujo no confinado. Acuíferos libres
Para acuíferos libres, si se limita el abatimiento dentro del pozo en el que se efectúe una prueba de bombeo, la interpretación de los resultados puede hacerse aplicando las teorías de flujo confinado; además es muy conveniente proceder así, pues en ese caso se dispone de más soluciones que las que se tienen para el caso específico de acuíferos libres. Algunas soluciones para el caso de flujo no establecido o transi torio en acuíferos libres pueden verse en las refs. 50, 51 y 52.
V II-c .l.
ANEXO VH- c Construcción de pozos de bombeo Generalidades
Hablando desde un punto de vista eminentemente descriptivo, un pozo de bombeo es una perforación generalmente vertical que alcanza profundidades mayores que el nivel de aguas freáticas y cuyo objeto es extraer aguas subterráneas a la superficie. Existen muchos métodos para construir pozos de bombeo y la selección de uno particular depende del propósito del pozo, de la cantidad de agua requerida, de la profundidad del niVel freático, de las condiciones geológicas del sitio y de toda una serie de factores de costo. En general los pozos pueden dividirse en relativamente
312
C A PirU L O VII
superficiales o poco profundos y profundos. Los pozos poco profun dos pueden construirse de brocal, tal como tradicionalmente pueden verse en todas partes del mundo, o bien con perforación previa, hin cados o por avance con inyección. Los pozos profundos se construyen con perforación previa hecha con una herramienta de percusión o con una máquina rotatoria. Una vez perforado el pozo, deberá ser acabado como se describirá en párrafos subsecuentes de este anexo y probado antes de proceder a la instalación definitiva de su bomba; también deberán sellarse y mantenerse correctamente. Evidentemente, antes de construir un pozo se requiere la suficiente exploración del sitio, para lo cual se recurre generalmente a sondeos realizados como se describe en el Apéndice del Tomo I y a métodos especiales de exploración de acuíferos, de los que se trata en otro anexo de este mismo capítulo.
Vn-c.2. Pozos poco profundos Existen, como ya se indicó, varios tipos de pozos poco profundos: a continuación se les describe someramente: A.
P ozos d e b r o c a l
Es el pozo típico que es posible ver en granjas o viviendas exis tentes en lugares que no gozan de los servicios de una traída general de aguas. Su gasto rara vez excede los 10 lt/seg, lo que los cir cunscribe a usos domésticos, si bien hay casos de pozos de brocal instalados en acuíferos muy abundantes, en los que se llegan a extraer hasta 100 lt/seg. La profundidad a que se instalan los pozos de brocal no suele exceder de 15 o 20 m, con un diámetro cercano al metro y, en cual quier caso, conviene que penetren unos 5 ó 6 m bajo el nivel freático. Los pozos que han extraído mayores y más constantes gastos estu vieron instalados en depósitos aluviales o glaciales no consolidados. Generalmente estos pozos se excavan a mano o con equipo de excavación ligero y casi siempre se ademan con madera o tablestaca metálica, como ademe provisional y con manipostería, concreto o aún simple piedra acomodada, como revestimiento definitivo. Suelen estar provistos de una bomba de mano. B.
P ozos perforados21
Son quizá los más económicos cuando el terreno es blando y el nivel freático no está muy profundo. Se construyen realizando una perforación con una herramienta rebanadora accionada a mano o mecánicamente; si es a mano, no pueden llevarse a más de 20 m de
M ECANICA DE SUELO S (III)
313
profundidad, con diámetros de 15 o 20 cm; si se hacen mecánicamen te, puede llegarse a profundidades de 30 a 40 m, con diámetros de hasta 1 m. Todas las herramientas de ataque son variantes, más o menos elaboradas, de la posteadora descrita en el Apéndice del Tomo I. Las perforaciones deben hacerse preferentemente sin ademe interior por ahorro, pero éste ha de colocarse sistemáticamente al atravesar arenas o gravas sueltas o al trabajar bajo el nivel freático. C.
Pocos hincados en el terren o-1
Están formados por tramos de tubería hincados a golpes en el te rreno hasta sobrepasar la profundidad del nivel freático. En el extre mo inferior existe una sección perforada, para captación de las aguas. Estos pozos suelen tener un diámetro de 10 cm y suelen llevarse hasta 30 m de profundidad como máximo. Los mejores re sultados con estos pozos se obtienen cuando el nivel freático está a 4 o 5 m de profundidad, pues asi se logran los mejores conos de depresión, sin sobrepasar la altura de succión, al usar este tipo de bombas. Pueden proporcionar gastos del orden de 3 It/seg. Los pozos punta para abatir el nivel freático en zonas localizadas del terreno suelen ser de este tipo; en ese caso se colocan baterías de pozos unidos a la misma bomba de succión. Los pozos hincados sólo pueden instalarse en terrenos relativa mente blandos, sin grava, boleos o fragmentos de roca; de otro modo se destruye su punta con los impactos. D.
P ozos construidos con avance por inyección
Se construyen aprovechando la acción de un chiflonaje suficien temente intenso. Su diámetro suele ser de 6 a 8 cm, aunque se ha llegado a 30 cm en algunas ocasiones. La profundidad alcanzada con sencillez es del orden de 20 a 30 m, en terrenos apropiados en los que la inyección puede ser un sistema rápido y eficiente de construcción. Según la herramienta inyectora va bajando se debe ir colocando un ademe exterior en el pozo para evitar derrumbes; una vez alcan zada la profundidad debida se coloca dentro de la perforación la tubería del pozo, con su punta porosa y se extrae el ademe exterior. E n épocas más recientes se han desarrollado procedimientos de cons trucción en los que la tubería definitiva del pozo se introduce directa mente con un inyector en su extremo inferior.
vn-c.3.
Pozos profundos
La mayor parte de los pozos profundos para gasto grande se construyen con perforación previa, sea con avance por herramientas pesadas de percusión o con ayuda de máquinas perforadoras de tipo
CAPITULO VII
314
rotatorio; en lo que sigue sé describen someramente ambos proce dimientos. A.
P ozos construidos con percusión22
Las herramientas utilizadas para la construcción de estos pozos son las convencionales de percusión, generalmente consistentes en una masa pesada, con punta de ataque, que se manipula y deja caer al extremo de un cable. El material desprendido se remueve del pozo con una cuchara grande. Algunas de estas herramientas han sido someramente descritas en el Apéndice del Volumen I. Las perfora ciones que pueden lograrse con estos equipos oscilan entre 8 y 60 cm de diámetro. La efectividad del método se hace menor en terrenos friccionantes muy sueltos, en que ocurren derrumbes frecuentemente o en los muy duros (roca más o menos sana), en que se dificulta en exceso el avance de la herramienta de penetración. Generalmente se requiere ademar los pozos que se construyen a través de formaciones no muy firmes; el ademe suele hincarse
también a golpes, para lo cual deberá estar también provisto de una punta de ata que en su tramo inferior. Generalmente es de tubería metálica y cuando se prevén grandes maniobras de hinca do a profundidades poco comúnes (y estos pozos de bombeo se han construido hasta algunos cientos de me tros) no es raro utilizar ade me de doble pared para mejor protección.
Aspecfo exterior de un
pozo
profundo
Un punto importante en la construcción de pozos pro fundos de bombeo es el cui dar su verticalidad, pues des viaciones de ésta interfieren con las operaciones de bom beo y dificultan la operación del pozo; no suelen admitir se desviaciones de más de 4 cm en 10 m de longitud del pozo; este problema es par ticularmente grave en perforaciones a través de terrenos
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
315
muy duros y a veces se ha corregido haciendo detonar explosivos en el extremo inferior del pozo, para aflojar el material y permitir el avance vertical. B.
P ozos construidos con máquina rotatoria21
Este es seguramente el método más rápido para construir un pozo profundo. Con él es posible llegar a diámetros de 50 cm y aún mayores. Es frecuente el avance con lubricación con lodos y en tal caso el mismo lodo proporciona un excelente ademe provisional;, en otros casos se requiere, sin embargo, ademe de tubería de acero. En últimas fechas se está haciendo cada vez más popular el retirar el material atacado del fondo del pozo con succión desde la su perficie. V II-c.4.
Acabado del pozo
Una vez que el pozo ha terminado de perforarse y se ha probado su gasto y el cono de abatimiento que produ ce, debe dársele su acabado definitivo; esta obra ha de hacerse con el criterio de pro porcionar fácil entrada al agua, cuidando a la vez la contaminación del pozo por arrastres3. Cuando el terreno en que se hizo la perforación sea firme, el pozo carecerá de ademe y el agua entrará directamente a la tubería de succión; en terrenos blandos o sueltos habrá, por el con trario, un ademe sosteniendo la perforación. En todos los casos deberán disponerse per foraciones en los tubos de ademe en todos los tramos que estén en contacto con es tratos acuíferos, sellando los que no lo estén; en el extre mo inferior del tubo de suc ción o del ademe que forme la pared del pozo se coloca
Detalle de la tubería de captación de un pazo de bombeo
316
CAPITULO VII
frecuentemente una verdadera malla para permitir el paso expedito del agua. Las perforaciones de las tuberías se hacen generalmente con máquina y deben seguir, en cuanto a diámetro, las reglas dadas en tubo de drenaje para aeropistas, tal como se han expresado en el Capítulo V I. Una vez terminadas estas operaciones el pozo ha de ser desin fectado25 y protegido contra polución, aunque quizá el único medio realmente efectivo para lograr lo último estriba más bien en la apropiada localización del pozo, lejos de fuentes de contaminación naturales o humanas. El grado de contaminación aceptable depen de, naturalmente, de los fines que se deseen dar al agua extraída del pozo. La causa más frecuente de falla de un pozo de bombeo es el abatimiento del nivel freático, que muchas veces no se debe a ninguna falla del pozo propiamente dicho; los remedios más comunes para este problema suelen ser disminuir el bombeo y profundizar más el pozo24. Otras fallas se deben a defectos de construcción del pozo, tales como malas conexiones, mala colocación de filtros, etc. La corrosión es un gran enemigo del pozo de bombeo; por efecto químico del agua o por acción electrolítica causado por potenciales generados por metales diferentes, el ataque corrosivo es común y siempre de desastrosas consecuencias. E l uso de metales protegidos o de protección catódica ha dado excelentes resultados.
ANEXO Vll-d Exploraciones para detección de agua subterránea V II-d .l. Exploración superficial La investigación superficial permite en ocasiones estimar los luga res en que podrá obtenerse agua subterránea e inclusive en ciertos casos juzgar de su calidad. Los métodos geofísicos,20’27 y 2S de los que se mencionó algo en el Apéndice del Volumen I, han producido buenos resultados para localizar y analizar con cierto grado de apro ximación aguas subterráneas; entre ellos se han revelado como más útiles el de resistividad eléctrica y el geosísmico. Los resultados de estos métodos se hacen óptimos cuando se combinan con una buena geología superficial y amplios reconocimientos, basados o ayudados por la interpretación de fotografías aéreas a escala apropiada29. En la actualidad, la mayoría de las organizaciones responsables de en contrar abastecimientos de agua subterránea emplean los métodos geofísicos y ven en ellos quizá el más económico medio de llegar a obtener una información concreta realmente valiosa.
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Los datos geológicos publicados en forma de carta, complemen tados con reconocimiento sobre el terreno,307 31 permiten a menudo también llegar a conclusiones muy útiles, aunque no tan fundamenta das cualitativa y cuantitativamente como las que se obtienen de los métodos geofísicos. El estudio de los depósitos y zonas de erosión en una cierta área puede indicar la ubicación y regularidad de mantos acuíferos. El tipo de las formaciones rocosas de superficie puede sugerir algo respecto a la cantidad de agua disponible; la estratigrafía y la historia geológica son importantes para imaginar la continuidad e interconexión entre los acuíferos, así como su importancia. La geología superficial también permite estimar el tipo de perforación que debe hacerse para construir los pozos.
Vn-d.2. Exploración profunda Los estudios profundos son el único medio para obtener informa ción realista y comprobada sobre la existencia y cantidad disponible de agua subterránea. La exploración profunda dispone de dos métodos eficaces: la perforación y la prospección geofísica. La perforación32 proporciona información a lo largo de la línea según la que se haga el sondeo y es no sólo un excelente método de exploración, sino también una poderosa arma para comprobar los resultados de otros métodos. La perforación debe ir acompañada de un muestreo adecuado que permita conocer la naturaleza de las for maciones que componen el subsuelo; este muestreo debe comprender al agua encontrada. Los métodos de perforación exploratoria son los convencionales, brevemente descritos en el Apéndice del Volumen I. En formaciones no muy duras es común el uso de herramientas de percusión, presión y aún rotatorias; en las formaciones duras deberán usarse exclusiva mente los métodos de avance por rotación. Los métodos geofísicos vuelven a ser los más económicos y rápi dos para exploración profunda con fines de búsqueda de agua subterránea; para estos fines se usan los geoeléctricos, con investiga ción de cambio de resistividad eléctrica en el subsuelo (véase Apén dice del Volumen I) en forma casi exclusiva33. Entre los otros mé todos de cierto uso destaca el de los potenciales eléctricos en el cual se miden los diferentes potenciales naturales que tienen los materiales que componen la corteza terrestre; generalmente un electrodo se in troduce en una perforación y el otro está en la superficie del terreno; un potenciómetro permite realizar las lecturas necesarias 34 7 35. A lo largo de una perforación, la temperatura tiende a crecer con el gradiente geotérmico ( cada 30 m de profundidad). Cuan do las condiciones medidas se apartan de esta ley general, puede hacerse una interpretación que proporciona información sobre la
1°C
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CAPITULO VII
circulación de agua subterránea y las condiciones geológicas del te rreno30. Temperaturas anormalmente bajas indican la presencia de gases o de aguas procedentes de la superficie; temperaturas más altas de lo debido suelen ser debidas a aguas de origen muy profundo. Las velocidades del flujo en los pozos pueden medirse con diver sos dispositivos eléctricos37 que detectan también las direcciones del flujo. Modernamente, las substancias radioactivas se han incorporado también con mucho éxito a estos programas de medición.
REFERENCIAS 1. D arcy, H. — L e s fon tain es pu bliqu es d e la ville d e D ijan — París — 1856. 2. Dupuit, J. — E tu des théo riqu es et p ratiqu es sur le m ouvem ent d es ea u x — París — 1863. 3. Dupuit, J. — T ra íté th éoriqu e et pratiqu e d e la con d u ite et d e la distribution d es ea u x — París — 1854. 4. Thiem, A. — D ie E rg ieb ig k eit artesischer B o h r ló ch er , S hachtbrun nen , und F iltergallerien — Journal für Gasbeleuchtung and W asserversorgung — M u nich. V ol. 1 4 - 1870. 5. Forchheimer, Ph. — líb e r d ie E rg ieb ig k eit von B runnen — Anlagen und — Sickerschlitzen — Zeitschrift — D er Architekten und Ingenieur V erein — V ol. 32 N o. 7 — Hannover — 1886. 6. Thiem, G. — H g d ro lo g isch e M eth od en — Gebhardt -— Leipzig — 1906. 7. Muskat, M . — F lo w o f H o m o g en eou s F lu ids throu gh P orou s M ed ia — Me. Graw Hill Book Co. — 1937. 8. Theis, C. V . — T h e R elation b etw een th e L o w erin g o f th e P iezom etric — S u rfa c e a n d th e R a te a n d D uration o f D isch arg e o f a W ell U sing G round W a ter S to ra g e — Trans. o f the American Geophysical Union — 1935. 9. Jacob, C. E . • — O n th e F lo w o f W a ter in an E la stic A rtesian A q u ifer — Trans. American Geophysical Union — 1940. 10. Jacob, C. E . — R a d ia l F lo w in a L e a k g A rtesian A q u ifer — Trans. American Geophysical Union — 1946. 11. De Glee G. J. — O v er gron d w aters troom ingen b ij w ateron ftrekkin g d o o r m iddel van putten — Hogeschool Thesis — D elft — Holanda — 1930. 12. Hantush, M . S . — H ydrau lics o f W ells — Capitulo V del libro Advances in Hydroscience — Editado por V en T e Chow ,— V o l. I — Academic Press — Londres y N ueva Y o r k — 1964. 13. Forchheimer, Ph. — C ru n d w asserbew eg u n g — Hydraulik Teubner Ed. — Leip zig — 1930. 14. Kozeny, J. — T h eo rie und B erechn u n g d er Brunnen — W asser — Kraft und W asserw irtschaft — V o l. 28 — 1933. 15. Muskat, M . — P h y sica l P rin cipies o f O il P rodu ction — M cG raw Hill Book Co. - 1949. 16. Mansur, Ch. I. y Kaufman, R. I. — D ew aterin g — Capítulo III del libro Foun dation Engineering — Ed. por G . A. Leonards — M cG raw Hill Book Co. — 1962. 17. Babbit, H. E . y Caldwell, D. H. — T h e F r e e S u rfa c e A rou n d an d In terferen ce b etw een G rav ity W ells — Engineering Experimental Station — Bulletin — S e ries N o. 3 7 4 .— Universidad de Illin o is— 1948. 18. Boreli, M . — Free S u rfa c e F lo w T o w a rd P artially P en etratin g W ells — Trans. American Geophysical Union — V ol. 36 N o. 4 — 1955.
M ECANICA D E SUELOS (III)
319
19. Jacob, C. E . — D raw dow n T est to D eterm in e E ffe c t iv e R adiu s o/ A rtesian W e ll — Trans. A S C E — V ol. 112 — 1947. 20. Rorabaugh, M . I. .— G rap h ica l and T h eo retica l A n alysis o f S te p D raw dow n T ests o f A rtesian W ell. — Proc. A S C E — V ol. 79 — 1953. 21. Johnston, C. N . — Ircigation W ells and W ell D rillinq — Agrie. E xp. — Sta. Circ. 404 — Universidad de California en B erk e le y — 1951. 22. Gordon, R . W . — W a ter W ell D rillinq w ith C a b le T o o ls — Bucyrus — Erie, Co. — Milwaukee — 1951. 23. Petersen, J. S„ Rohwer, C. y Albertson, M. L. — E ffe c t o f W e ll S crcen s on F lo w into W ells — Proc. A S C E — V ol. 79 — 1953. 24- Blakeley, L. E . — T h e R eh abilitation , C lean in g a n d SteriH zation o f W ater W ells — Jour. Am. W a te r W ork s Assoc. — V o l. 37 ~ 1945. 25. Ongerth, H. J. — S an itary C onstruction and P rotection o f W ells — Jour. Am. W ater W o rk s Assoc. — V ol. 34 — 1942. 26. Dobrim M . B. — Introdu ction to G e o p h y s ica l P ro sp ectin g — M cGraw Hill Book Co. — 1952. 27. Heiland,C. A . — G e o p h y s ica l E xploration ..— Prentice H all — 1940. 28. Jakosky, J J. — E x p loration G eo p h y s ics — Times M irror Press. — Los An geles — 1950. 29. Howe, R . H. L., W ilke, H . R . y Bloodgood, D. E . — A p p lication o f A ir P h o to In terpretation in th e L o ca tio n o f G rou nd W a te r — Journal Amer. W a te r W orks Assoc. — V ol. 48 —■ 1956. 30. Fent, O . S .- -'[/ s e o f G e o lo g ic M eth od s in G rou nd W a ter P rosp ectin g — Jour. Amer. W a te r W orks Assoc. — V ol. 41 — 1949. 31. Leggette, R. M. — P rospectin g fo r G round W a ter —Geologic Methods — Jour. Amer. W a te r W orks Assoc. — V ol. 42 — 1950. 32- Thorpe, T . W . — P rosp ectin g fo r G rou nd W a ter: T est D rilling — Jour. Amer. W a te r W orks Assoc. — V ol. 42 — 1950. 33. Bryan, F . L. — A pplication o f E lectric L o g g in g to W a ter W ells P roblem s — W a te r W e ll Jour. — V ol. 4 No. 1 — 1950. 34- Stratton, E . F . y Ford, R. D . — E lectric L o g g in g — Subsurface Geologic Methods — Ed. L. W . Le R oy — 1951. 35. McCardell, W . M „ W insaner, W . O . y W illiam s, M . — O rigin o f the E lectric P oten cial O b serv ed in W ells —■'Trans. Amer. Inst. of Mines and M et. Engineers. — V ol. 198 — 1953. 36. Bays, C. A . —- P rosp ectin g o f G rou nd W a ter — GeophysicalMethods — Journal Amer. W ater W o rk s A ssoc.— V ol. 42 — 1950. 37. Erickson, C. R. — V ertical W a ter V elocity in D eep W ells — Jour. Amer. W a te r W o rk s Assoc. — V ol. 38 — 1946. 38. Steinbruegge, G . W „ Heiple, L. R., Rogers, N . y Sniegocki, R. T . _ G round W a ter R ec h a rg e b y M ean s o f W ells — Agrie. E xp. Sta. — Universidad de Arkansas — Fayetteville — 1954. 39. Hallsten, J. — W ells fo r D rain s — T h e Highway Magazine — V ol. 46 — 1955. 40. Ferris, J. G. — G round W a ter — Capítulo del libro Hydroloqy por C. O W isler y E . F . Brater — John W iley and Sons — 1949. 41 • Gloyer R. E . y Balmer, G. G. — R iv er D epletion R esulting ¡rom P um ping a W e U N e a r a R iv er — Trans. Amer. Geophysical Union — V ol. 3 5 — 1954. 42. Jacob, C. E . F lo w o f G rou nd W a t e r — Capítulo del libro Enaineerinq Hydraulics por H . Rouse — John W ile y and Sons — 1950. 43. Hantush, M . S. y Jacob. C. E . — N o n S te a d y R a d ia l F lo w in an Infinite L e a k y A q u ifer — Trans. Am. Geophys. Union — V ol. 36 — N o. 2 — 3955. 44. Hantush, M. S. ■ - N on S te a d y F lo w to a W e ll P artially P en etratin g an In fin ite L e a k y A q u ifer — Procs. Iraq. Se. Soc. — V o l. I — 1957. 43. Hantush, M. S. < — D raw dow n A rou nd a P artially P enetratin g W e ll —- Proc. A S C E — V ol. 87 — 1961. 46. Hantush, M . S. — F lo w o f G rou n dw ater in S a n d s o f non U niform T h ick ness — Parte 2 Journal of Geophysics — V ol. 67 — 1962.
320
CAPITULO VII
47. Hantush, M . S. — H ydrau lics o f G rav ity W e lls in S lo p in q S an d s ■ — Proc. A S C E - V ol. 88 - 1962. ' . 48. Hantush, M . S . ■ — F lo w of G rou n dw ater in S a n d s o { non lln i{o rm T h ick n ess — Parte 1 — Journal of Geophysics — V o l. 67 — 1962. 49. Hantush, M . S . — F lo w o f G rou n dw ater in S a n d s o f non U niform T h ick n ess — Parte 3 (Flow to wells) — Jo u r n a lo f Geophysics — V o l 67 — 1962. 50. Glober, R. E . y Bittinger, M . W . <— D ra w d o w n D u e to P um ping [rom an lln c o n fin ed A q u ifer — jour. of Irrigation and Drainage D iv. — Proc. A S C E — V ol. 86 - 1960. 51. Boulton, N . S. — T h e D raw d ow n o f th e W a t e r T a b le under N on S te a d q C on dition N e a r a P u m ped W e ll in an lln c o n fin e d F orm ation — Proc. Inst. of Civil Engineers — V o l. 3 — Parte 3 — No. 2. 52. Hantush. M . S . .— D ta in a q e W ells in L e a k y W a te r T a b le A q u ifers — Trans. A S C E - V ol. 128 - 1963.
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CAPITULO v n i
ABATIMIENTO DEL NIVEL FREATICO EN EXCAVACIONES VIII-1. Introducción Las excavaciones que requieren las obras de ingeniería alcanzan frecuentemente profundidades superiores a la del nivel freático. En el caso de que el material excavado sea una arena, limpia y permea ble, la presencia del agua dificulta extraordinariamente o imposibi lita el progreso de la excavación bajo el nivel freático; según se va removiendo el material, el agua de las masas vecinas fluye hacia la excavación y las fuerzas de filtración que este flujo produce arras tran arena, de manera que el fondo de la excavación se va rellenando en forma continua; asi. al tratar de profundizar la excavación bajo el nivel freático sólo se logra ensancharla, pero sin avance práctico en la dirección vertical. Aparte de estas dificultades, la presencia del agua anegando la excavación dificulta y encarece extraordina riamente todos los trabajos del ingeniero, tales como preparación de cimbras, colados de concreto, etc. Resulta así muy deseable el lograr dejar la excavación en seco para profundizarla o trabajar en ella en forma cómoda y eficiente; esto se logra bajando el nivel freático en toda el área de la excavación a una profundidad mayor que la de la excavación misma. Si el material en que se ha de excavar es una arcilla compresible e impermeable, ha sido frecuente extender a él las mismas ideas que se expusieron para las arenas; sin embargo, el problema es, por lo menos en ciertos aspectos, diferente. En una arcilla, si se pudiese hacer la excavación y construcción posterior de la estructura, con una rapidez ideal, no existiría problema alguno; ahora el material se está extrayendo con su contenido natural de agua y su impermea bilidad hará que, si el tiempo de exposición es suficientemente corto, el material no sufra expansiones volumétricas ni cambie su resistencia. En la realidad, no obstante, los tiempos de excavación no satisfacen esas condiciones ideales y la excavación produce cambios en las propiedades de la arcilla a su alrededor, disminuyendo su resistencia, con las previsibles consecuencias sobre sus taludes y propiciando expansiones, según se ha discutido ya en diversas ocasiones en esta misma obra. Ahora, el problema ya no es bajar el nivel freático, que baja por sí solo simultáneamente con el fondo de la excavación, según
321 Mecánica de Suelos III
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sé explicó en el Volumen II, sino el controlar el flujo del agua hacia la excavación, que aunque no llegue a inundarla, por su escaso asto, producirá todos los efectos maléficos de que se ha hablado, 'ambién este efecto puede conjurarse con un adecuado control del flujo hacia la excavación, utilizando los métodos de que se tratará en este capítulo. En la realidad de las obras se presentan casos que combinan los dos anteriormente mencionados. Uno frecuente es una excavación en arcilla cuyo fondo queda próximo a un manto acuífero arenoso; como el agua en la arena está a la presión hidrostática, pudiera ser que ésta fuera igual o superior a la presión debida al peso de la capa de arcilla sobre el manto de arena, en cuyo caso se rompería el fondo de la excavación, con las consecuencias imaginables. Problemas como éste pueden evitarse controlando la presión del agua en el manto de arena, siguiendo también métodos que se expondrán dentro de este capítulo. En suelos estratificados, con estratos permeables y arcillosos alternados, pueden lograrse muy buenos resultados abatiendo las pre siones del agua en las capas permeables, en tal forma que el nivel freático quede por abajo del fondo de la excavación.
Í
Vm-2.
Métodos sencillos para control de flujo hacia excavaciones poco profundas
É l método más simple que puede imaginarse para controlar los efectos del agua en excavaciones poco profundas consiste en colocar en lugares apropiados zanjas a las que el agua llegue por sí sola y de las que sea eliminada por bombeo, fig. V IÍI-1 .
E l procedimiento es aceptable en materiales permeables, siempre y cuando tengan por lo- menos una ligera cementación y en suelos arcillosos de suficiente resistencia y baja expansibilidad. Otro método que ha dado buenos resultados se ilustra en la fig. Y IÍI-2 .
M ECANICA D E SUELOS (III)
323
En este caso la excavación se efectúa hincando previamente un tablestacado de madera o metálico. El agua que fluye hacia el fondo de la excavación es bombeada al exterior. E s conveniente tener una zanja longitudinal de material más permeable que el suelo para drenar a ella fácilmente el agua. A veces es también conveniente cubrir todo el fondo de la excavación con capas de material de filtro con el objeto de facilitar el drenaje y disminuir el riesgo de tubificación. Este método fue muy usado antes del advenimiento de los modernos métodos de abatimiento del nivel freático y todavía es ocasionalmente usado cuando el suelo es relativamente permeable y la excavación no es muy profunda. Cuando se use este procedimiento deberá reali zarse un análisis cuidadoso de la estabilidad del tablestacado, consi derando el efecto del flujo del agua hacia el fondo de la excavación.
VIII-3.
Métodos modernos comunes para control del finjo de agua hacia excavaciones
Los métodos modernos comunes para el abatimiento del nivel freático y/o el control del flujo de agua en excavaciones consisten en esencia en pozos de bombeo, de diversos tipos y diseños, en el número suficiente y en el arreglo y la profundidad adecuados, para lograr el abatimiento del nivel freático a la profundidad deseada en la zona de la excavación o para el debido control del agua en la zona vecina a la excavación. Los principios teóricos de estos pozos de bombeo son los que se han descrito en el Capítulo V IL Uno de los métodos más populares hoy en día es el de los llamados pozos punta d e captación. Un pozo punta de captación es esencialmente un tubo perforado o un tubo de malla de acero inoxidable 0 de latón, de 5 a 7.5 cm de diámetro y de 0.30 a 1 m de longitud. Estos tubos se conectan a la FIG. VI11-2 Control de flujo hacia una excavación parte inferior de un tubo poco profunda con tablestacas usando vertical no perforado a zanja colectora la profundidad deseada. La parte inferior del tubo perforado tiene una cabeza especial para hincarla, con chiflones. Una instalación de pozos punta consiste en la colocación de estos pozos alrededor de la excavación proyectada, a una profundidad que garantice el abatimiento deseado del nivel freático. Las separacio
324
CAPITULO VIII
nes de esos pozos suelen variar entre 1 y 4 m y sus extremos supe riores están conectados a una tubería de descarga de 15 a 30 cm de diámetro. La tubería de descarga va conectada a una bomba que ex trae y envía a otro tubo conectado a ella el agua extraída. Como es natural, un sistema de pozos punta instalado en la forma brevemente descrita en lo anterior es sólo adecuado cuando el abatimiento reque rido del nivel freático no es muy grande. Por lo general es apropiado cuando la profundidad por abatir no es mayor de 5 m. En aquellos casos en que la profundidad es mayor ha dado muy buen resultado la instalación de varias hileras de estos pozos de captación a distintos niveles. Estas hileras suelen colocarse en bermas dejadas exprofeso en el talud de la excavación a cada 5 m de desnivel. En esta forma se han logrado abatimien tos del nivel freático del orden de 20 a 30 m. Sin embargo, en estos casos pu diera resultar más eficiente el uso de pozos profundos con bombas de turbina ins taladas en su parte inferior. IMPERMEABLE Estos pozos profundos es FIG. VIII-3 Pozos punta de captación dispuestos frecuente combinarlos con en varias hileras pozos punta en muchos ca sos prácticos. En la fig. V III-3 se ilustra la instalación de varias hileras, a nive les diferentes, de sistemas de pozos de punta y en la fig. V III-4 se ilustra el caso de la instalación de pozos profundos combinados con pozos punta. Los pozos profundos son de mayor diámetro que los pozos punta de captación y son también ampliamente usados para abatir el nivel freático. Son particularmen TU SO DE DESCARGA, te adecuados cuando la ex ¿ V -N . V E L _ F R E A T IC O J D R IG IN A L _ cavación es profunda, los suelos son muy permeables (arenas y gravas arenosas) y siempre que exista una profundidad suficiente bajo el nivel a que se desea ba IM P E R M E A B L E jar el nivel freático, en la cual se mantenga la presen FIG. VI11-4 Combinación de pozos profundos y cia del material permeable, pozos punta de captación para poder alojar en ella la parte perforada o de captación del pozo, pues debe recordarse que el abatimiento que un pozo logra, siempre queda algo más alto que
M ECANICA DE SUELOS (III)
325
el nivel al que debe colocarse el elemento captador de dicho pozo. El sistema tiene la ventaja de poderse instalar fuera de la excavación, de modo que no interfiere con las operaciones de excavación propia mente dichas. Es frecuente, como se dijo, usar los pozos profundos en combinación con pozos punta más superficiales, fig. V III-4. También este proce dimiento es particular mente útil cuando en el fondo de la excavación queda un estrato relati vamente delgado, for mado por material per meable y subyacido por un estrato delgado de material impermeable, bajo el que haya una formación permeable sa turada fig. V III-5. En Instalación de pozos punta este caso existe el peli gro de que la presión idel agua en la frontera inferior del estrato impermeable iguale a la producida por el peso total de los suelos sobre dicha frontera, pues entonces estará a punto de producirse un levantamiento del fondo de la excavación. En la parte a) de la figura se muestra una excavación en las condiciones reseñadas; en ella se ha hecho uso de un sistema de pozos punta para abatir el nivel freático bajo el fondo de la excava ción, pero además se ha usado un sistema de pozos profundos para reducir la presión del agua que actúa en la frontera inferior del es trato impermeable en la zona del fondo de la excavación; este abati miento de la superficie piezométrica bajo la excavación debe ser tal que la presión neutral actuante en la frontera en estudio sea me nor que la presión total producida por el peso de los suelos suprayacentes a dicho nivel. Si h , es la profundidad a que se ha abatido el nivel freático por medio de los pozos punta de captación, hx + h2 es el espesor de material permeable bajo el fondo de la excavación y d el espesor del estrato impermeable, la presión del agua en la fron tera inferior del estrato de arcilla deberá ser menor que el valor ht y a + (h¿ + d ) y m [parte b) de la fig. V III-5 ], donde y¿ es el peso específico seco del suelo en el espesor h t y y*> el peso específico total del material (por facilidad se consideró que este valor es el mismo para los suelos permeable e impermeable); de lograr tal abati miento de la presión deberán de encargarse los pozos 'profundos. La teoría de pozos de bombeo, que se estudió en el Capítulo V II indica las características de los pozos profundos para lograr el abatimiento;
326
CA PITU LO VIH
el verificar en el campo si tal abatimiento se ha logrado quedará al cuidado de píezómetros instalados inmediatamente abajo del estrato impermeable.
0 F o ndo d e l a e x c a v a c ió n
FIO. VI11-5 Posibilidad da falla dc fondo por subpresión bajo el fondo de la excavación
Los espaciamientos entre pozos profundos varían tanto como entre 5 y 50 m, dependiendo, como se vio al analizar su teoría, de la permeabilidad del material en que están instalados, de su pro fundidad y del abatimiento que se desee para el nivel freático (o de la superficie piezométrica en el caso de acuíferos confinados). El diámetro de los pozos suele oscilar entre 15 y 50 cm y la longitud de su extremo perforado suele estar entre 5 y 20 m. En suelos de baja permeabilidad (con k = IO-4 cm/seg) puede incrementarse la eficiencia de los pozos punta de captación colocando en su parte superior un sello de bentonita entre el tubo y el sueio, lo que permite aplicar un vacío en el interior del pozo, que aumenta el gradiente hidráulico hacia el mismo. La electrósmosis es uno de los mejores métodos modernos para, lograr el control del flujo hacia una excavación en el caso de suelos
326
CAPITULO VIII
el verificar en el campo si tal abatimiento se ha logrado quedará al cuidado de píezómetros instalados inmediatamente abajo del estrato impermeable. N.A.F INICIAL EN LA ARENA LIMOSA.
DC
LA EXCAVACION
FOHPO OE LA EXCAVACION j J . L : • j k Á É _ ’ Á t ó T if io .c ’. . ; perm eable
.IMPERMEABLE,.^..^ -
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b FIG. VIII-5 Posibilidad de falla de fondo por subpresión bajo el fondo de la excavación
Los espaciamientos entre pozos profundos varían tanto como entre 5 y 50 m, dependiendo, como se vio al analizar su teoría, de la permeabilidad del material en que están instalados, de su pro fundidad y del abatimiento que se desee para el nivel freático (o de la superficie piezométrica en el caso de acuíferos confinados). El diámetro de los pozos suele oscilar entre 15 y 50 cm y la longitud de su extremo perforado suele estar entre 5 y 20 m. En suelos de baja permeabilidad (con k — 10~* cm/seg) puede incrementarse la eficiencia de los pozos punta de captación colocando en su parte superior un sello de bentonita entre el tubo y el suelo, lo que permite aplicar un vacío en el interior del pozo, que aumenta el gradiente hidráulico hacia el mismo. La electrósmosis es uno de los mejores métodos modernos para. lograr el control del flujo hacia una excavación en el caso de suelos
M ECANICA D E SUELO S (III)
327
de muy baja permeabilidad (limos plásticos y arcillas). Una des cripción detallada de este fenómeno y de sus aplicaciones ingenieriles aparece en el Apéndice II.
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BIBLIOGRAFIA E l trabajo que aparece como ref. 1 constituye una excelente fuente bibliográfica del tema y las referencias que allí se incluyen forman un resumen completo del ma terial disponible a la fecha sobre el tema de A batim ien to d e l n ivel [reático en ex ca v a cio n es.
330
APENDICE I
pidan tales agrietamientos, que afectan construcciones, edificadonales aisladas fuera de la zona propiamente urbanizada y también a muchas obras de ingeniería que se realizan con diversos fines en terrenos fuera de la ciudad. Se ha observado sistemáticamente que las grietas aparecen cuan do las lluvias comienzan a formar una delgada lámina de agua sobre la superficie del terreno, tras los intensivos períodos de evaporación correspon dientes a la temporada seca. También se ha observado que el fenómeno no ocurre anualmente con la misma in tensidad, sino que tiende a ocurrir con mayor fuerza de acuerdo con una ley cíclica que abarca varios años; en el caso específico del Valle de México este lapso entre máximos períodos de agrie tamiento parece ser del orden de los cuatro años. En el pasado, un cierto número de ingenieros han atribuido la formación de las grietas a supuestas ten siones generadas en el sue lo por los procesos de seca do causados por la evapo ración. Según esta línea de pensamiento, el suelo al se carse pierde volumen, se contrae y se agrieta. Esta explicación exige que las grietas ocurran precisamen te durante la época de eva Una g rieta en la zona deseca da d e l lago de poración y además que su Tex coco profundidad no exceda la afectada por el secado; en especial se diría que el agrietamiento no debería ir más abajo del nivel freático. Las observaciones en el Valle de México indican, por el contrario, que las grietas aparecen al inicio de la época de lluvias, independientemente de la duración de la temporada seca y también que la profundidad de las grie tas llega mucho más abajo que el nivel freático. A este respecto las observaciones de N. Carrillo. R. Marsal y M. Mazari son con-
M EC A N IC A D E SU ELO S (III)
331
cluyentes. En este apéndice se presenta una teoría que da una explicación de la formación de esas grietas diferente de la tradicional y acorde con las observaciones mencionadas. La primera explicación racional sobre la formación y el desarrollo de las grietas es debida a N. Carrillo1. Este autor asocia la forma ción de las grietas a un flujo que debe tener lugar horizontalmente a través de un estrato permeable que subyace la masa de arcilla; como consecuencia de ese flujo, las presiones hidrostáticas en la ma sa de arcilla se abaten y aparecen en el agua de la parte superior V CvVV: ... del estrato arcilloso 1É W ' 4 esfuerzos de tensión que. correspondiente mente, generan com presiones en sentido ¡iígtJWS?-.» vertical y horizontal en la estructura sólida del suelo. Cuando la Una g rie ta en la zona d e se ca d a d e l lago de T e x coco lluvia forma una del gada lámina de agua sobre este suelo, las tensiones en el agua tienden a disiparse y, por tanto, las correspondientes compresiones en la fase sólida se rebajan y, de hecho, pueden llegar a convertirse en tensiones bajo circunstancias especiales previas de esfuerzo; estas tensiones produci rían las grietas. Estas ideas fueron trasmitidas por N. Carrillo a E . Juárez Badillo para su posterior planteamiento matemático, si bien al realizar éste se vio necesario establecer algunas modificaciones substanciales, por lo menos para expresar un mecanismo más apro piado a los agrietamientos del Valle de México. Este trabajo fue realizado por E . Juárez Badillo en las refs. 2 y 3 y ya no exige la hipótesis de un flujo horizontal en el estrato permeable, sino que el estado de tensiones en el agua de la parte superior del estrato arci lloso se explica en términos de un flujo vertical, resultado de una fuerte y prolongada evaporación superficial. En primer lugar se planteará un estudio de los esfuerzos neutra les y efectivos generados en una masa de arcilla saturada por evapo ración superficial; en segundo lugar, se analizará como se modifican estos esfuerzos al aparecer la lámina superficial, que anula las tensio nes en el agua en la zona próxima a la superficie del estrato arcilloso.
332
APENDICE I
A-I.2.
Esfuerzos generados en una masa de arcilla saturada por evaporación superficial
Considérese el problema de consolidación unidimensional en una masa semiinfinita de arcilla saturada cuando existe en la superficie una evaporación de intensidad constante (/e). Se supone nula la presión inicial en el agua en exceso de la hidrostática (u = 0) en todo el medio. Para este caso se requiere una solución de la ecuación diferencial de la consolidación: da
/a i i v
C’ 8 ? = 37
(A' U >
n
02u
que satisfaga las condiciones de frontera t
o
— ~h y JOCeí-
para
z = 0
para
z>0
y t> 0
(A -1.2)
y la condición inicial u
= 0
yf =
0
(A -1.3)
«frótese Jjue (l/y») {du/dz) = i„ es el gradiente hidráulico en la superficie,'d e la arcilla (pues z — 0 ), con lo que queda explicado el sentido.-de la condición (A -1 .2 ), pues k i, sería la velocidad o gasto por unidad de área que se pierde por evaporación. Lá solución de la ec. A -l.l para este caso puede obtenerse fácil mente haciendo uso de la transformación de Laplace. En efecto, multiplicando la ec- A -l.l por e~pt, donde p es una constante, se tiene: C„ e~pt
dz2
— e~pt — dt
Integrando respecto a t, entre los límites ( = 0 y f = » o sea desde el instante inicial al final de la consolida¿ión, se obtiene:
C- J > ' ! ? " = ! > ■ " ! *
<*->•:•>
La primera integral vale:
r ° * = c- g donde ü es la función transformada de la u, según la teoría de la transformación de Laplace.
M EC A N IC A D E S U E L O S (III)
333
La segunda integral puede resolverse integrando por partes:
|
e~pt
dt —
|^a e-pt J + p j
u e~ptd t — p u
ya que el primertérmino entre paréntesisse anulapara t = 0 por la condición (A -1.3) y para t — oo a causa del factor exponencial. En conclusión, la integral (A -1.4) vale: C ,g
= pü
(A -1.5)
que es la transformada de la ecuación diferencial ( A - l . l ). La condición de frontera (A -1.2) puede transformarse siguiendo un procedimiento similar: Y»
cz
integrando respecto a t, entre Oe co, se obtiene t r «¡o — e_pi-r—dt — I e \ e~pt dt (paraz = 0) YioJ o cz Jo pero 00 1 e~pt dt = — o p
f
!
de donde
± ^ L = l±-(PaTaz = 0) Y»
p
(A-1.6)
que es la transformada de la condición de frontera. La solución de (A -1.5) que satisface la condición A-1.6 y para la que ü es finita cuando z - * oo es, utilizando la técnica de los opera dores: (C VD - — p )u = 0 La ecuación complementaria será: C v m- — p = 0
:.m = ± Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial A -l .5
334
APENDICE I
Donde A y B son constantes de integración. Debe notarse que para que u sea finita cuando z —> oo, la constante A debe ser cero, por lo que la solución general A -1.7 se reduce a: ü = B
e
V c‘
(A-1.8)
para z — 0, du/dz = I e y w/ k p, (ec. A -l-6 ), de donde resulta de la ec. A -1.8|§ = - B Para z — 0: §
= - W
V
c„
, sC-v =
■e y io
k p
de donde O— ~
le Tío ■% C v kp V p
Substituyendo el valor de B en la ec. A-1.8, se obtiene: Q—
le Yw I Cu e kp y p
a/Ü--
C«
( A -1.9)
Si se llama:
V^i; se tiene, finalmente ú - _ íili£ !L k pq
( A -1.10)
De una tabla de transformadas,4 se encuentra que la función antitransformada de A -1.10 es:
k
L
2 í ^ i l \ 1/2 e -Tc7t — , E rf V n J
en donde Erfc. z = 1 — Erf. z
^ -l(A -l.H ) 2 v^Tí J
MECANICA D E SU ELO S
(III)
335
Siendo n una variable de integración. Es fácil verificar que la ec. A - l .l l satisface la ecuación diferen cial A -l.l y las condiciones de frontera e inicial A-1.2 y A-1.3 y es, por lo tanto, la solución requerida del problema propuesto. La ec. A - l .l l puede escribirse en función de un parámetro x adimensional; en efecto, si se llama: x-
■
4 C vt
(A -1.13)
entonces puede definirse la función / (*) como: f ( x ) = —= — e *' — Erfc. x V tí x
(A -1 1 4 )
y resulta que la ec. A - l .l l puede escribirse u -^ h fL zf(x )
(A -1.15)
Cuando z -> 0 para t > 0, la expresión A - l .l l tiene por límite a la expresión: 11 — —
2 I e Y» =r k Vis
, A -U 6 )
Lo cual puede verificarse como ejercicio en la ec. A - l .l l . La ec. A -1.16 da la variación de u en la frontera expuesta a la evaporación de intensidad Ie. Es interesante encontrar la variación del nivel freático durante el proceso de evaporación superficial. Supóngase, por sencillez, que inicialmente dicho nivel coincidía con la superficie del terreno. La variación del nivel freático puede encontrarse considerando la ecua ción: u + Y »2 = 0 (A -1.17) es decir, está donde la presión en exceso de la hidrostática, a (ten sión ), equilibra la presión hidrostática z. Substituyendo en (A -1.17) el valor de u dado por (A -1.15) se obtiene: - is J C - , / ( , ) + Ylpz = 0 de donde puede despejarse
/(*)= y -
(A-1.15)
336
A PEND ICE I
F IG . A-f.1 Gráfica que da la f ( x ) respecto a x
M ECANICA DE SOELOS (III)
337
Supóngase que x„ es la raíz de la ec. A -1.18; entonces, substituyendo este valor en la ( A -1.13) se obtiene: 4 C tf
( A -1 1 9 )
Donde zn es precisamente la profundidad a que está el nivel freático, donde se cumple la ec. A-1.17. De la expresión A-1.19 resulta: = 2 Xo V C ,í (A -1.20) Nótese que la profundidad del nivel freático aumenta durante el proceso de evaporación con la raíz cuadrada del tiempo. En la fig. A -I.l aparece una gráfica que proporciona el valor de la / (* ), en términos de a-. El paso siguiente en el análisis propuesto es el cálculo de los esfuerzos efectivos (
0V +
Un
0\, = ffj, + Un dz — cr z + Un
E l caso de la arcilla saturada expuesta a evaporación superficial que se ha venido considerando es un problema de deformación uni dimensional, sólo en la dirección del eje Z, pues las deformaciones horizontales bajo carga infinita en extensión son nulas. Además, en todo momento, la presión vertical total, tr,f en un punto dado debe ser constante e igual a y mz. Si se considera unelemento de arcilla, tal como elque semuestra en la fig. A -I.2. a laprofundidad z se deben cumplir en él las siguientes ecuaciones: Cr = f f [ + u „ = y m z
(A-l 22) Zx
Mecánica de Suelos III
=
ty
—
O
338
APENDICE I
FIG . A-1.2 Volumen cúbico elemental en la profundidad Z, en una maso de arcilla saturada
Las anteriores condiciones (A -1.22) determinan los esfuerzos efectivos en la estructura sólida de la arcilla, como sigue: * 2 = Y m Z — U n — Ym 2 — («A + t i )
Como se supuso el nivel freático en la superficie del suelo, « a — Y»2'' Por 1° tanto la expresión anterior, será:
— K oc ( y mz
u)
(A -1.23)
Donde K oc es el coeficiente de presión de tierra en reposo co rrespondiente a la arcilla durante el proceso de evaporación (carga). Sustituyendo en la ec. A-1.23 el valor de u dado por la (A -1.15). se llega a: ¡r * =
~i'mZ
=
+
z[{x)
zf(x)~\^
(A -1.24)
Las expresiones A-1.24 dan los esfuerzos efectivos en un punto a profundidad z dentro de la masa de arcilla, después de que la evaporación superficial ha actuado un tiempo t.
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
A-I.3
339
Esfuerzos inducidos en la masa de arcilla al ser anulada la tensión natural producida por evaporación superficial
Considérese una vez más el elemento de volumen de la fig. A -I.2 pero ahora situado en la superficie de la masa de arcilla ( z .— 0 ). Considérese también que se anula la tensión capilar en el agua intersticial, u, al for marse una lámina de agua sobre la superficie de la arcilla, a causa de lluvias o de un evento similar cual quiera. El elemento de volu men está sujeto, antes de la formación de la lámina de agua, a los esfuerzos efecti vos (ver ec. A -1.23, para z — 0 ): ff, i
=
—
u
ffj.! — ff¡,i —
K oc u ( A -1.25)
En efecto, por estar el ele mento en la superficie, la presión total <7- debe ser nula. Ello implica que si u es el esfuerzo en el agua (tensión) que está actuando por la evaporación en el elemento, el esfuerzo efecti vo en dicho elemento debe ser: 0^ = 0 — u — — u
D e ta lle d e una g rie ta
Al formarse la lámina delgada de agua sobre el elemento, el esfuerzo total en el mismo sigue siendo cero (despreciando obvia mente el pequeño peso de la lámina); sin embargo, la lámina ha destruido los meniscos del agua intersticial en la superficie del suelo, por lo que en esa superficie se ha anulado también la tensión neutral en el momento en que la lámina apareció. Así, el esfuerzo efectivo vertical, que era una tensión en el agua intersticial de valor u, o lo
340
APENDICE I
que es lo mismo, una compresión (por reacción) entre las partículas del suelo igual a la misma u, ha desaparecido; esto es equivalente a decir que la lámina de agua ha producido en la estructura sólida del suelo una tensión vertical igual al multicitado valor u. La aplicación de esta tensión que apa rece en la superficie, anulando el esfuerzo efectivo, es realmente una descarga del suelo en esa cantidad. Nuevamente, al ser éste un fenómeno uni dimensional, debe tener se: e, = £, = 0 Panorámica de la zona desecada mostrando agrietamiento
si es que el medio sigue siendo continuo. Así, los esfuerzos efectivos horizontales pueden encontrarse a partir de los verticales, considerando un valor K', ligado a la rela ción entre esfuerzos verticales y horizontales, en un proceso de des carga instantáneo a volumen constante, que es lo que realmente ha tenido lugar en la superficie del suelo, tal como ha quedado expli cado más atrás. Entonces: (Tea — u = K' u
(A -1.26)
En las ecs. A -l .25 y A -l .26 se usaron los subíndices 1 y 2 para in dicar las situaciones de esfuerzos que había antes de la formación de la lámina de agua y las que se originaron precisamente por la presen cia de dicha lámina. Evidentemente los esfuerzos efectivos que existi rán en la superficie del suelo finalmente, después de formada la lámina, serán el resultado de superponer, sumando sencillamente, los estados 1 y 2. Este estado será distinguido por el subíndice 3 y a él corresponden los siguientes esfuerzos: 0*3 =
(T -t +
<7r= =
—
ti +
U =
= 5 ^ = ( - K oc + K ')u
0
( A - l .27)
Asi, pues, la situación final es la siguiente: los esfuerzos efecti vos verticales son, naturalmente, nulos y en la dirección horizontal aparecen esfuerzos efectivos que serán de tensión si el coeficiente de u es positivo (nótese que en las (A - l.27) los esfuerzos u son de ten
M ECANICA D E SU ELO S (III)
341
sión en el agua y darán lugar a tensiones en el suelo si el coeficiente — K oc + K' es positivo); es decir, que habrá tensiones efectivas en la superficie del suelo en la dirección horizontal si: K' > K oc
( A -1.28)
Parece razonable pensar que en todas las arcillas el K' debe ser mayor que el K oc; baste para intuirlo el recordar que el K' se refie re a unadescargainstantánea avolumen constante, porlo que su valor debe sercercano a launidad; elK oc vale, como se sabe, algo comprendido entre 0-5 y 0.9. En estas condiciones, las (A -1.27) explican la aparición de una grieta en el terreno tras la formación de la lámina de agua, cuando la tensión horizontal sobrepasa a la resistencia del suelo a la tensión, que es muy baja generalmente. Una vez iniciada la grieta en la superficie, progresará en longitud y profundidad, pues los elementos situados en el extremo inferior de la grieta van que dando en situación si milar al de la superfi cie al fluir el aqua al interior de ella. Esta profundidad puede lle gar a ser mayor que ia del nivel freático. Además existirá pro bablemente una con centración de esfuer zos en ese punto ex tremo, la cual no ha sido tomada en cuenta O tro a sp e cto de la lona d eseca da d e l lago d e Texcoco g j- j los presentes aná lisis. Para valuar la profundidad hasta la que es de esperar que llegue la grieta deberá de volver a considerarse el elemento de la fig. A-1.2, supuesto a la profundidad z. El estado de esfuerzos efectivos en él estará dado, antes de formarse la lámina de agua, por las ecs. A-1.24. Al entrar el agua al fondo de la grieta y anular el esfuerzo de ten sión en el agua producido por la evaporación, los esfuerzos efec tivos generados a esa profundidad serán, siguiendo un razonamiento similar al expuesto atrás:
= ^ 7 = K' a =
-
K!
zt(x)
( A -l .29)
342
APENDICE I
Superponiendo estas expresiones a las (A -1.24), que prevalecían antes de formarse la grieta, se llegará al estado final de esfuerzos efectivos: Cz3 — 0 z i 4 " 0 z 2 — Y jii 2
^
= ^ 3 = K7c Y mz - ( K ' - K oc) z f ( x )
( A -1.30)
La grieta estará abierta en tanto que el segundo término del se gundo miembro de la segunda de las (A -1.30) sea mayor que el primer término.
A-I.4. Aplicación de la teoría de grietas de tensión al caso del Valle de México La teoría expuesta en las secciones anteriores puede ilustrarse con una aplicación al caso de los agrietamientos que periódicamente se presentan en distintas regiones del Valle de México con subsuelo arcilloso, en especial en el lecho del Lago de Texcoco parcialmente desecado. Las características físicas medias de la parte superior de la for mación arcillosa del lago son5: j>s = 2.60 e = 9.0 k - 10-* — = 3.16 011 seg ano C - KH « 5 1 = 3.16 m2 seg ano La intensidad de evaporación media anual en el lugar es de6:
l e=
200
ano
Según la (A -1.15), u vale entonces: vl — —
k
z f ( x ) = — 6.342 z f ( x ) [~ kQ ~| ( z en metros L cmí J ( A -1.31)
E l parámetro adimensional x que aparece en la anterior ecuación y que está definido por la expresión A-1.13 vale:
M ECANICA D E SU ELO S (III)
z ",— ; Vi
z en metros, t en años ( A -1.32)
Sustituyendo este valor de * en la expresión A-1.31 se obtiener z en metros, t en años (A -1.33) expresión que da el valor de u en función de la profundidad z y el tiempo t. La expresión A-1.33 es fácilmente calculable haciendo uso de la gráfica de la fig. A -I.l, que da directamente el valor de la función f ( x ) al conocer x, que depende de z y t. En la fig. A -I.3 aparecen gráficas que proporcionan los valores de u obtenidos aplicando la fórmula Á -133, en función de la profundidad z y para diferentes tiempos, t. Para encontrar la variación del nivel freático con el tiempo du rante el proceso de evaporación puede usarse la ec. A -I.I8, obte niéndose: f(x)=
'C
= 0.0016
(A -1.34)
El valor de x que satisface la (A -1.34), x„ puede obtenerse de la gráfica de la fig. A -I.l, entrando con el valor de f ( x ) dado por la propia ec. A-1.34. Así se obtiene: x 0 — 1.30 Llevando los valores ya conocidos de Cv y x 0 a la expresión A -1.20: Zo = 2xr0 V C vt = 4.6 V t . z en m, t en años
(A -1.35)
La expresión anterior indica cómo desciende el nivel freático a partir de la superficie, a través del tiempo que dura el proceso de evaporación; explícitamente indica que en un año el nivel freático desciende hasta 4.6 m y en cuatro años a 9.2 m, supuestos procesos ininterrumpidos de evaporación. Para valuar los esfuerzos horizontales que finalmente se tienen cuando se forma la lámina de agua sobre el lecho de la parte desecada del lago, puede aplicarse la segunda de las ecs. A -1.30, con los valo res numéricos que se discuten más abajo. a*3 -
= K 0CVmz — (K' - K oe) - ^ - z f ( x )
(A-1.30)
344
APENDICE I
El valor de y'm que se desprende de las propiedades físicas de la arcilla del lago es 0.16 ton/m3 = 0.00016 kg/cm3. El valor de K' se considera de 1, de acuerdo con las discusiones previamente anotadas- El valor de K„, para el caso se estima en 0.5. Así K' - K oc ~ 0.5. E sfu e rz o
d e t e n s ió n e n
Kg/cm*
FIG, A'1.3 Gráfica de las tensiones neutrales, inducidas por evaporación superficial en función de la profundidad y el tiempo en la arcilla del lago de Texcoco
Visto aérea de una zona de grietas cerca de Ciudad Ju á re z , en el norte de M éxico
M EC A N ICA D E S U E L O S (III)
345
acuerdo con todo esto, la (A -1.30) puede ponerse como: = ovT= 0.008 z - 3.171 z f ( 0.2816 - 4 = ) (A-1.36) Esfuerzos en Kg/cm2. 0-1
o
\\
0 .2
0 .3
0 .4
0 .9
0 .6
2 \ 4 6
a
I 3
^
/ ----
—-
»
o
10 J . iS t-
I 12 C
u 14 “O -S » TJ C 3 ie
V . . 1
o
w 0- 20 22 24 26
26 30
\
\ / /
vi
a
"
\\
rasión n orinxilo e le c t o 0 l a i t i a
i
FIG. y .4 Gráfica de tensiones horiiontales efectivas en función de la profundidad y el tiempo en la arcilla del lago de Texcoco
346
APENDICE I
Con los esfuerzos en kg/cmF, cuando z se expresa en metros y t en años. En la fig. A -I.4 se han trazado las gráficas del primer y segundo términos de la expresión A -1.36 independientemente, ya que el pri mer término representa la presión horizontal efectiva inicial antes de iniciarse el proceso de evaporación y el segundo término representa los valores de las tensiones horizontales inducidas en la estructura sólida de la arcilla al formarse la lámina superficial en un suelo que estuvo sujeto a un proceso de evaporación prolongado. En dichas gráficas puede observarse que para t — 1 año pueden existir tensiones hasta 6 m de profundidad y para t — 4 años, el efecto puede llegar teóricamente hasta 12 m, por lo que las grietas se abrirían hasta dichas profundidades. Es de interés hacer notar que la profundidad de agrietamiento es superior a la del nivel freático. L. Casagrande7 ha indicado que la teoría expuesta en este apén dice probablemente servirá también para explicar la formación de agrietamientos en torno al cátodo, reportados por él en sus expe riencias sobre electrósmosis. Se presentan algunas fotografías que ilustran objetivamente las grietas que se forman en el lago de Texcoco.
REFERENCIAS 1. Carrillo, N. — Conferencia no publicada impartida en la Universidad de Har vard, Mass. — 1951. 2. Juárez Badillo, E . — T eoría d e grietas en tensión — Primer Congreso Panameri cano de Mecánica de Suelos y Cimentaciones — México, D. F. — 1959. 3. Juárez Badillo, E . — M ecanism o d e grietas d e tensión en el V alle d e M éxico — Tesis Doctoral — Universidad Nacional Autónoma — México, D. F . — 1962. 4. Crank, J. — T h e M athem atics o f D iffusion — Oxford Clarendon Press — 1956. 5. Marsal, R. J. y Mazari, M. — E l subsuelo d e la C iudad d e M éx ico — Parte A — Publicación del Instituto de Ingeniería — UNA M — México, D. F. — 1959. 6. Comisión Hidrológica de la Cuenca del V alle de México — Boletín Hidrológico No. 1 — Secretaría de Recursos Hidráulicos — México. Casagrande, L. — L a E lectrósm osis g fenóm en os co n ex o s — Suplemento al No. 2 del Volumen X X X I I de la Revista Ingeniería — Abril, 1962 — Publicación 54 riel Instituto de Ingeniería de la UNA M — México, D. F.
APENDICE n
ELECTROSMOSIS A-II.1.
Generalidades1
El fenómeno de la electrósmosis fue descubierto por Reuss hace algo más de 150 años; Reuss observó que si se aplica una corriente eléctrica a una membrana rígida y porosa sumergida en agua, esta última emigra dentro de la membrana desde el ánodo (polo positivo) hacia el cátodo (polo negativo). Helmholtz puso por primera vez las bases matemáticas para una explicación racional de este efecto de migración del agua, que constituye la esencia última de las aplicacio nes ingenieriles del fenómeno electrosmótico; las explicaciones de Helmholtz fueron más tarde modificadas por Gouy y otros. Hoy se admite que cuando el agua ocupa un tubo capilar, sus iones positivos están distribuidos de un modo no uniforme, de manera que las ma yores concentraciones de ellos se disponen a lo largo de las paredes del capilar, en donde existe carga eléctrica negativa; la concentra ción de iones con carga positiva en el agua disminuye hacia las partes interiores del tubo, siendo mínima a la máxima distancia de las paredes. La zona de fuerte concentración de iones positivos es la que clásicamente recibió el nombre de d ob le capa. Naturalmente que, si por alguna razón, este recubrimiento circunferencial de agua, liga do por fuerzas eléctricas a las paredes del capilar y situado en torno al agua libre del interior del tubo se moviese, este movimiento arras traría a toda el agua que ocupa la sección transversal del propio tubo. Una diferencia de potencial aplicada externamente y suficientemente fuerte puede ser esa razón; si tal diferencia de potencial se aplica, los iones positivos del agua se moverán hacia el cátodo que se haya colocado y con su movimiento arrastrarán a las moléculas de agua. Si no se estuviere de acuerdo con el sistema de la doble capa y se supusiera una distribución uniforme de los iones positivos dentro de toda la masa del agua en el capilar, el flujo hacia el cátodo como consecuencia de la colocación de una diferencia de potencial sufi ciente y exterior sería también obvio, pues de cualquier forma el catión migraría, arrastrando con él a la molécula de agua con que se relacione. El gasto que fluye a través de un tubo capilar en las condiciones arriba expuestas es directamente proporcional al gradiente del poten cial eléctrico exterior que haya sido aplicado.
347
348
APEN DICE II
Si el capilar de referencia aún sujeto al campo eléctrico exterior se extrae del agua, pero conservándose lleno, el flujo de iones seguirá produciéndose. En el extremo catódico del capilar se forma un me nisco suficientemente fuerte para resistir el flujo del agua en la forma antes expuesta, pero las moléculas de agua circularán dentro del capilar, hacia el cátodo en la zona circunferencial y retornarán al ánodo por la zona central de la sección del capilar. Si ahora se su pone que por algún medio este menisco es eliminado, el flujo osmótico se interrumpirá de inmediato. Por esta razón, en los cuerpos rígidos porosos, la electrósmosis sólo producirá una descarga de agua en el cátodo si están sumergidos y si, además, se permite una continua aportación de agua en el ánodo. Por esto, los muros húmedos de edificaciones no pueden secarse por medio de electrósmosis, por más que diversas patentes así lo proclamen. Es muy interesante comparar el flujo electrosmótico en un capilar y el flujo hidráulico común provocado por una carga de agua en el mismo conductor. Esa comparación se hace con base en la fig. A -II.l. , Par *
4-
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Distribución A f na
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FíG. A -II.l
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Comparación de! flujo electrosmótico y del flujo hidráulico normal
En el flujo electrosmótico la sección transversal del agua [ver parte a) de la figura] se mueve a velocidad prácticamente uniforme, pues la corona que la doble capa representa se está moviendo hacia el cátodo bajo el influjo de las fuerzas eléctricas y está arrastrando al agua libre. Él efecto retentivo de las paredes del capilar se manifiesta, en este caso sólo en la frontera exterior de la doble capa, que está fuertemente ligada a las paredes por atracciones eléctricas intensas. En flujo hidráulico, por el contrario [ver parte b ) de la figura], si se admite un régimen del tipo postulado por Hagen y Poiseuille, des crito en el Volumen I, la distribución de la velocidad en la sección transversal del capilar es mucho menos eficiente; la doble capa no se mueve ahora en absoluto, pues ninguna fuerza eléctrica exterior contrarresta las atracciones entre cargas opuestas, de manera que el flujo abarca a masas de agua menores, siendo esta diferencia muy
M ECANICA DE SUELOS (III)
349
apreciable en capilares muy delgados como suelen serlo los de los suelos finos; de esta manera, la doble capa funciona como pared para efectos de resistencia viscosa y éste es el hecho que rebaja sobre todo la eficiencia del conducto para efectos de velocidad y gasto. En la práctica se ha visto que, dependiendo del voltaje aplicado y de la separación entre los electrodos, la velocidad del flujo electrosmótico puede oscilar entre 100 y 10,000 veces la del flujo hidráulico con vencional. El flujo electrosmótico puede describirse por medio de una ecua ción del tipo: Q — K c ic A
( A -2.1)
en donde K e — es el coeficiente de permeabilidad electrosmótico del suelo, definido como la velocidad con que ocurre el flujo electros mótico bajo un gradiente de potencial unitario. ie — gradiente de potencial eléctrico aplicado al suelo. y A tiene el sentido usual de la ley de Darcy convencional, tal como ha sido tratada en el Volumen I. El valor de K e, definido como arriba se expresó resulta depender únicamente de la porosidad del material, pero no de las áreas de las secciones transversales de los capilares, a diferencia del coeficiente de permeabilidad convencional que sí depende de este último con cepto. Debido a que la porosidad de la mayoría de los suelos varía entre límites estrechos, no es entonces sorprendente encontrar que el coeficiente de permeabilidad electrosmótico varía poco aun entre suelos muy diferentes. L. Casagrande en la ref. 1 presenta resultados estadísticos que permiten concluir que un valor de 0.5 X 10~4 cm/seg para un gradiente unitario de 1 volt/cm es un promedio aceptable, pa ra una primera aproximación del coeficiente de permeabilidad elec trosmótico de un suelo. Es de notar que el valor anterior corresponde a una velocidad 10 veces menor que la que ocurre en un flujo no controlado entre electrodos para el caso de los cationes más fre cuentes en los suelos; la diferencia se atribuye a que las moléculas de agua asociadas a los cationes en el suelo y arrastradas por éstos son de mayor tamaño y se ven detenidas en los estrechamientos de los canalículos y poros del suelo; en los capilares rectos naturalmente no hay este efecto y los cationes empujan libremente a las moléculas de agua en su movimiento. Un efecto adicional de retardamiento que contribuye naturalmente también a explicar la mencionada dife rencia de velocidad de circulación, lo constituyen los aniones o par tículas con carga negativa, que se mueven hacia el ánodo, contra el sentido general del flujo electrosmótico; estos aniones existen en
350
APENDICE II
mucho menor número que los cationes de carga positiva y suelen ser de mucho mayor tamaño. Las partículas sólidas del suelo suelen también tener carga super ficial predominantemente negativa y por ello, al establecerse el campo eléctrico exterior, tienden a dirigirse al ánodo, contra el sentido ge neral del flujo electrosmótico de agua. Naturalmente que, por su tamaño, el número de partículas que realmente emigra es reducido, pero al cabo de un tiempo de funcionar el campo eléctrico exterior es común ver que el polo positivo (el mismo ánodo) se recubre de una costra de partículas coloidales de suelo fuertemente adheridas.
FIG. A-I 1.2 Comportamiento de los superficies libres de un suelo cerco de los electrodos
El efecto de un campo exterior sobre un suelo es descrito objeti vamente por Leo Casagrande en la referencia mencionada, con figu ras análogas a las que se reproducen en la fig. A-II.2. El suelo al que se refieren las figuras es un limo no cohesivo, análogo a un polvo de roca, sumergido y colocado en estado saturado
M ECAN ICA D E SU ELO S (III)
351
en el cilindro abierto que se muestra. En la parte a) de la figura no actúa dentro del depósito ningún campo eléctrico exterior; el limo saturado, que no se sostiene en taludes verticales, empieza a fluir fuera del cilindro, hasta que se llega en él a los taludes de reposo ya estables, en los que se estaciona el fenómeno. En la parte b ) de la figura se supone que se ha colocado un campo eléctrico exterior. Su efecto es perceptible en el comportamiento de las dos superficies libres del suelo dentro del cilindro abierto; la cara que está próxima al ánodo se derrumba parcialmente por efecto del movimiento de las partículas con carga negativa del suelo, que tienden a moverse hacia aquel electrodo; dentro del suelo se ha establecido el flujo electrosmótico del agua hacia el cátodo o polo negativo, por efecto del movimiento de los iones positivos contenidos en el agua, que arras tran y empujan las moléculas de esa substancia: las fuerzas de filtra ción que este flujo origina explican el que el talud de la cara que ve al ánodo se mantenga vertical o casi vertical; en la cara que mira hacia el cátodo, a pesar de que está saliendo el agua, el talud se mantiene vertical porque las partículas minerales del suelo, con carga negativa, tienden a moverse hacia el ánodo, contrarrestándose así el efecto de las fuerzas de filtración y de gravedad. En la parte c) de la fig. A -II.2 se ha colocado dentro del cilin dro limo no cohesivo parcialmente saturado, en vez de totalmente. Ahora, las cosas suceden como antes en la cara próxima al ánodo, pero en la cercana al cátodo, las burbujas de aire son arrastradas por el flujo electrosmótico hacia fuera del cilindro y en su recorrido arrastran algunas partículas de suelo, produciendo un derrumbe parcial de la cara, a pesar de la influencia estabilizadora de las cargas negativas de los granos minerales. A fin de comparar los gastos correspondientes a un flujo electros mótico y a uno hidráulico común, Leo Casagrande aplicó un gra diente eléctrico a una arcilla sujeta simultáneamente a un gradiente hidráulico que generase un flujo opuesto; para obtener gastos iguales, o sea una situación de equilibrio en el flujo, es preciso que el qradiente hidráulico sea de 1000, para un gradiente eléctrico unitario. ( Se supone en la relación anterior que el coeficiente de permeabilidad electrosmótica del suelo es del orden de 0.5 X IO”4 cm/seg y que el coeficiente de permeabilidad es de 5 X 10"s cm/seg). Lo anterior permite concluir que se precisarán en un caso práctico real gradientes eléctricos bajos y. por lo tanto, fáciles de lograr, para neutralizar flujos hidráulicos generados por gradientes hidráulicos importantes; en este hecho reside la posibilidad de las aplicaciones de la electrósmosis a la ingeniería civil.
352
APEN DICE II
A-II.2. Cambios en el contenido de agua del suelo durante el fenómeno electrosmótico Cuando el flujo electrosmótico se genera en un suelo, el agua corre hacia el cátodo del campo eléctrico exterior, en tanto que en la zona del ánodo tenderán a formarse, correspondientemente, me niscos generadores de un estado de tensiones, que produce una con tracción de los materiales compresibles en dicha zona anódica; este efecto explica el agrietamiento que es común observar en torno al ánodo en un caso real. Naturalmente que los meniscos se desarro llarán mucho menos si en el ánodo hay aporte constante de agua que alimenta el flujo y, por esta razón, en este caso el agrietamiento es mucho menos intenso (aunque expqrimentalmente se ha observado que existe en cualquier caso, en menor o mayor grado); así, un flujo electrosmótico siempre produce consolidación de los suelos situados cerca del ánodo. Leo Casagrande1 ha comparado el proceso de con solidación común, bajo cargas externas, con el proceso de consoli dación por flujo electrosmótico, con o sin carga exterior, en el mismo suelo; para ello sujetó a un suelo a los dos efectos en el consolidómetro estándar. Los experimentos de Casagrande están detallada mente descritos en la referencia mencionada, pero para los fines de la explicación que aquí se incluye baste decir que encontró que un gradiente eléctrico aplicado entre las caras del espécimen en el consolidómetro produce, con el tiempo, la consolidación del suelo, de manera que, toscamente, el efecto de un gradiente exterior de 1.14 voltios/cm equivale a la aplicación de una carga exterior de 5 kg/cm2 en un suelo arcilloso. Entonces pueden fácilmente compararse los efectos de los diferentes métodos de consolidación en un caso prác tico dado. Supóngase (fig. A -II.3), un estrato de arcilla de 10 m de espesor, con el nivel freático en su superficie superior. En este caso, los esfuerzos neutrales en la cara inferior del es trato serán de 1kg/cm2 y, suponiendo a la arcilla y m = 1.8 ton/m'. los efectivtis en el mismo punto valdrán 0.8 kg/cm2 [parte a) de la fig. A -II.3], Si se abate el nivel freático en el manto de arcilla en 10 m precisamente, los esfuerzos efectivos en el fondo del estrato aumentarán a 1.8 kg/cm2 y la arcilla se consolidará bajo el peso de las capas suprayacentes saturadas. En la parte b) de la fig. A-II.3 se ve cómo podría aumentarse el esfuerzo efectivo en la arcilla si se utilizase para el bombeo pozos de captación (pozos punta) que apli casen un vacío máximo de 1 kg/cm2. Sin embargo, en la parte c) de la fig. A -II.3 se ilustra el poderoso efecto de la electrósmosis como factor de consolidación; si se aplicase un gradiente eléctrico de 1.14 voltios/cm al suelo, el esfuerzo efectivo aumentaría en 5 kg/cm2, adicionalmente a lo que se hubiese logrado por los procedimientos más convencionales, arriba mencionados.
MECANICA DE SUELOS (III)
353
Naturalmente que si la electrósmosis provoca la consolidación de los suelos compresibles sin carga exterior, el agua en los poros debe estar trabajando a la tensión durante la duración del fenómeno; sien do así, la medición de los esfuerzos de tensión se convierte en uno de los puntos de investigación de mayor interés. L. Casagrande, en
m
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FIG..A-II.3 Comparación entre la consolidación común y la producida por electrósmosis
la multicitada ref. 1, que sirve de base bibliográfica para esta expo sición, menciona sus estudios al respecto y las dificultades más im importantes con que tropezó para efectuarlos; éstas emanaron de la necesidad de contar con piezómetros suficientemente sensibles como para captar cambios de presión en el agua de muy escasa magnitud, del hecho de que aun para tensiones bastante menores que 1 atmós fera el aire empieza a separarse del agua y, finalmente, del desarrollo de fisuras y grietas en el suelo durante el proceso de contracción, cerca de las que la presión del agua se abate rápidamente hasta cero, dando lugar a lecturas falseadas. L. Casagrande describe algo el equipo utilizado en las mediciones, que corresponde a un tipo bas tante elaborado, de manejo delicado y preciso. En primer lugar describe L. Casagrande los resultados de sus mediciones en una arcilla caolinítica pura, en la que no se daba aporte de agua en la zona anódica durante el flujo electrosmótico (sistema cerrado). Como se partió de una muestra muy uniforme mente mezclada, la distribución del gradiente eléctrico a lo largo de
354
A PEN D ICE II
ella fue lineal al principio de la prueba; después, por aparición de sales en el suelo durante el flujo electrosmótico, el gradiente tiende a aumentar en la zona anódica; esto trae consigo la correspondiente variación del gasto electrosmótico, que depende del gradiente eléc trico en forma muy sensible. En áreas en que el gradiente aumenta, lo hace la tensión en el agua y en zonas de menor gradiente eléctri co, la tensión disminuye, habiéndose observado casos en que se transformó en presión de poro. E l segundo caso reportado por L. Casagrande corresponde a una arcilla (azul de Boston), dispuesta como sistema abierto, es decir con aporte ilimitado de agua a la región anódica durante el proceso electrosmótico. En este caso, si se proporciona agua continuamente en el ánodo y si los electrolitos del agua son los mismos que tenga el suelo, alcanzan a desarrollarse presiones de poro. De los cambios tan pronunciados que se observan en el gradiente de potencial y en las presiones de poro durante el flujo electros mótico puede concluirse que las diferencias de conductividad naturales entre el ánodo y el cátodo, tales como estratificación y otras, afectan gradualmente al estado de esfuerzos durante el lapso de aplicación de campo eléctrico exterior. En la reí. 1, Leo Casagrande presenta gráficas que ilustran la influencia de la homogeneidad del suelo en la variación del gradiente de potencial y las presiones de poro durante el proceso electrosmótico. Al comienzo del tratamiento eléctrico el gradiente de potencial varía linealmente entre los dos polos y las pre siones de poro se suponen uniformes- En suelos homogéneos y dependiendo de condiciones particulares en torno al ánodo y al cáto do, la variación del gradiente se va haciendo curva según el tiempo pasa, sea con desarrollo por arriba o por abajo de la ley recta original (conservando la curva naturalmente el mismo origen y el mismo punto final, pues se supone que las condiciones eléctricas exteriores no varían durante el proceso). En suelos homogéneos también, las tensiones en los poros tienden a aumentar con el tiempo, si bien las leyes del aumento puede variar mucho según varíe el gradiente eléctrico. Si el suelo no es homogéneo, las cosas varían bastante. L. Casagrande presenta un caso en que existe una zona vertical de mayor o de menor conductividad eléctrica que el resto del suelo, situada entre los electrodos de campo; el gradiente eléctrico ya no -varía ahora linealmente en un principio, sino que forma una línea quebrada de mayor o menor pendiente dentro de la zona diferente; ahora con el paso del tiempo el gradiente eléctrico varía menos que en el caso de suelos homogéneos. Las tensiones de poro tienden tam bién a aumentar con el tiempo a partir del valor inicial uniforme mente nulo del que se partió en el experimento, si bien esta tensión puede disminuir localmente en la zona de conductividad diferente, si ésta es menor que la del conjunto.
MECANICA D E SU ELO S (III)
A -II.3.
355
Formación de grietas y fisuras
Durante el tratamiento electrosmótico es frecuente la formación de grietas y fisuras en torno al ánodo, las cuales progresan gradual mente hada el cátodo, a medida que el fenómeno continúa. Al analizar el fenómeno es necesario considerar la diferencia fun damental entre el flu jo debido a una consolidación por carga exterior y el flujo electrosmótico; durante la consolidadón el agua sale por las superficies de drenaje más libre con un gasto que depende del monto de la carga exterior y de la permeabilidad del suelo; en la electrósmosis, toda el agua se mueve instantáneamente al comenzar a actuar el gradiente eléctrico, produdendo un gasto constante. En la tantas veces citada ref. 1, L. Casagrande presenta el caso de un proceso electrosmótico inducido en el seno de un gel bentonítico diluido dentro del que se aplicó un gradiente eléctrico bastante menor que 1 volt/cm. Al comenzar el flujo hacia el cátodo, el suelo se empieza a con traer cerca del ánodo; en zonas más alejadas de este polo, el suelo aún no se ve afectado por el fenómeno, si se exceptúa el flujo a gasto constante al que está sometido, durante el cual el agua perdida se repone con otra que aportan zonas más próximas al áno do. Desde el principio, entonces, comienzan a formarse cerca del ánodo grietas perpendiculares al flujo; estas grietas tienden original mente a una forma circular en tomo al ánodo, pero con el tiempo se van desarrollando agrietamientos de otros tipos, que también progre san paulatinamente del ánodo hacia el cátodo. Todos estos sistemas de agrietamiento producen diversos grados de fisuramiento en las arcillas sujetas al fenómeno electrosmótico; estas fisuras servirán como canales para que fluya el agua. En las cercanías del cátodo se han observado dos fenómenos independientes que también producen grietas. En primer lugar, en las inmediaciones del cátodo tiende a acumularse agua y ésta, si no se drena, produce aumento de los esfuerzos neutrales que originan grietas normales a la dirección del flujo. Este agrietamiento tiende a evolucionar hacia el ánodo. Además de estas grietas, se producen cerca del cátodo otras cuya formación recuerda, según L. Casagrande, las grietas que periódicamente se forman en los llanos que formaban parte del lago de Texcoco, cerca de la Ciudad de México, cuyo mecanismo se estudió en el Apéndice I. Tan pronto como comienza a circular la corriente se desarrollan en tomo al cátodo presiones de poro, debido al flujo de agua en esa dirección y se rompen los meniscos que originalmente se desarrollaron, propiciándose el agrie tamiento.
356 A -II.4.
APENDICE II
Aplicaciones de la electrósmosis a la ingeniería
Uno de los más interesantes fenómenos ligados al flujo electrosmático es el intercambio de iones monovalentes, como el sodio, por otros con mayor valencia, como el hierro o el aluminio; este intercam bio disminuye muy apreciablemente la compresibilidad de la arcilla pero ocurre muy lentamente, lo que le resta valor práctico. En la Ciudad de México y en otras partes se ha empleado con éxito el drenaje electrosmótico para controlar las expansiones que sufre el fondo de las excavaciones (Capítulo III) y para evitar la falla de sus taludes perimetrales. Las instalaciones para un drenaje electrosmótico consisten en series de pozos de bombeo generalmente dispuestos en hilera, a modo de crear una pantalla de captación de flujo. La separación entre pozos es variable, pero magnitudes entre 3 y 5 m han trabajado satisfactoriamente; el diámetro de los pozos es del orden de los 20 cm y en la Ciudad de México, con un espesor del primer estrato de arcilla algo superior a los 30 m, se han llevado hasta 15 o 20 m de profundidad. Dentro de cada pozo se instala un tubo de hierro, ranurado, de unos 10 cm de diámetro, rellenándose con arena y gravilla el espacio entre el tubo y la perforación, tratando de formar un filtro. En el extremo inferior del tubo metálico se dispone una barra de hierro de 2 o 3 m de longitud y 2 o 3 cm de diámetro, para formar el cátodo o polo negativo. El ánodo o polo positivo se forma simplemente con barras de hierro de menor longitud que el cátodo (alrededor de 12 m) dispuestas en hileras paralelas a los pozoscátodos. El agua que se acu mula en los pozos cá todo, como consecuen cia del flujo electros mótico, es eliminada por bombeo. En el caso de tratar de proteger los talu des, como se dijo uno de los usos más comu nes de la electrósmo sis y también de los más exitosos, el cáto do se dispone en la Tratamiento electrosmótico de una excavación en la corona del talud y el Ciudad de México ánodo en el pie y algo
M ECANICA DE SUELOS (III)
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Tratamiento electrosmótico de una cimentación piloteada
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A PEN D IC E II
alejado de la estructura; de esta manera se logra la orientación de las fuerzas de filtración más favorable a la estabilidad, pues éstas dejan de ser un peligro, para trabajar, hasta cierto punto, contra el deslizamiento. E l verdadero objeto de una instalación electrosmótica para im pedir la expansión del fondo de la excavación, no es abatir el nivel freático bajo esa profundidad, como ha sido dicho con frecuencia. De hecho, como se explicó en el Capítulo III del Volumen II, el nivel freático se abate por sí solo en una excavación practicada en arcilla, algo más abajo del fondo de la excavación realizada. De lo que se trata más bien, es de impedir el flujo del agua de zonas aledañas a la propia excavación, causado por el hecho de que, en esas zonas, el nivel freático se mantiene a su altura original, mayor que el fondo de la excavación realizada. Este flujo hacia la excavación causa la expansión de su fondo y la inestabilidad probable de sus taludes; se neutraliza con la pantalla captadora que representa la línea de cátodos y la de ánodos. Los fenómenos electrosmóticos que se han utilizado últimamente con mucho éxito para incrementar la resistencia del suelo en torno a pilotes metálicos, con lo que se aumenta su capacidad de carga; en este caso el pilote trabaja como ánodo, debiendo colocarse pozos cátodos a su alrededor. La electrósmosis se ha usado también para disminuir la adherencia entre un suelo arcilloso y un elemento de concreto; esta aplicación ha resultado útil para hincar cilindros en arcilla, pues una adherencia de importancia obliga a lastrar fuertemente al cilindro para permitir su penetración. Tamez y Flamand2 describen unas sencillas pruebas de extracción de barras de acero en la arcilla del Valle de México antes y después de un tratamiento electrosmótico, a fin de verificar estas variaciones. En este caso, naturalmente, el objeto hincado fun ciona como cátodo. En las pruebas que se mencionan en la ref. 2 se habla de un caso en que el fenómeno electrosmótico produjo reduc ciones de la adherencia a una tercera parte del valor inicial, como consecuencia de la acumulación de agua en torno al cátodo. Al hincar cilindros con el procedimiento electrosmótico suele surgir el problema contrario al retirar el agua del interior del elemento para colar su tapa (si ello se considera necesario); debido a la baja adherencia mantenida entre el cilindro y la excavación, el cilindro puede tender a flotar; en este momento, si se invierte la polaridad de la operación y el cilindro se hace funcionar como ánodo, la elec trósmosis puede volver a ayudar, incrementando ahora la adherencia entre concreto y suelo.
MECANICA D E SU ELO S (III)
359
REFERENCIAS 1. 2
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APENDICE n i
SOCAVACION En el Capítulo V III del Volumen II se trató algo el tema relativo a Socavación; los autores de este libro, sin embargo, en vista de la importancia práctica del asunto, consideran conveniente volver sobre él al tratar los problemas generales de flujo de agua, en vista de lo poco que se expresó en el tratamiento anterior; especialmente, ciertas teorías y estudios de la ingeniería soviética se consideran de interés suficiente como para justificar esta regresión a un punto ya estudiado, si bien someramente; la mayoría de estos estudios ha sido realizada en los últimos años y, aún cuando distan de estar comprobados por la práctica, especialmente por la local, han adquirido un predica mento que amerita su conocimiento y aplicación debidamente com plementada con mediciones de campo que permitan ir desarrollando un criterio ajustado a las condiciones de ríos propios, diferentes a aquellas que sirvieron de base para su desarrollo.
A-III.1. Tipos de socavación La socavación que una corriente de agua produce en el cauce por el que circula, puede presentar diversas formas, de las cuales las más interesantes para el ingeniero son las que brevemente se describen a continuación. A. Socavación normal o general. Se entiende por socavación normal el descenso del fondo de un río que se produce al presentarse una creciente y es debida al aumento de la capacidad de arrastre de material sólido que en ese momento adquiere la corriente, en virtud de su mayor velocidad. La erosión del fondo de un cauce definido por el cual discurre una corriente es una cuestión de equilibrio entre el aporte sólido que pueda traer el agua a una cierta sección y el material que sea remo vido por el agua de esa sección; en avenida, aumenta la velocidad del agua y, por lo tanto, la capacidad de arrastre. La posibilidad de arrastre de los materiales de fohdo en cada punto se considera, a su vez, dependiente de la relación que existe entre la velocidad media 361
362
A PEN D ICE III
del agua y la velocidad media requerida para arrastrar las partículas que constituyen el fondo en cuestión. Para suelos sueltos, esta última no es la velocidad que inicia el movimiento de algunas partículas de fondo, sino la velocidad, mayor, que mantiene un movimiento gene ralizado; en suelos cohesivos, será aquella velocidad capaz de poner los en suspensión. La primera velocidad mencionada depende de las características hidráulicas del río: pendiente, rugosidad y tirante; la segunda de pende de las características del material del fondo y del tirante. Como característica del material se toma el diámetro medio, en el caso de suelos no cohesivos y el peso específico seco, en el caso de los suelos cohesivos (en suelos friccionantes se suele considerar en la literatura del tema el mismo peso específico a todas las arenas y gravas, por lo que esta propiedad no puede usarse para diferenciar las). El peso específico seco al que se ha hecho referencia corresponde al Yd definido en el Volumen I y se obtiene dividiendo el peso de los sólidos de la muestra ( W s) entre el volumen original de la masa de suelo ( V m) . Naturalmente que un criterio tan simplista para de finir las características de los materiales impone las correspondientes limitaciones en los resultados y conclusiones de las teorías elaboradas con tales ideas. La erosión general puede llegar a producirse inclusive cuando el lecho del río es rocoso, con tal de que la velocidad de la corriente sea superior a la necesaria para producir el desgaste de la roca. Un hecho curioso observado es que la socavación general dismi nuye para una misma velocidad media de la corriente, en fondos no cohesivos, cuando el agua arrastra en suspensión gran cantidad de partículas finas, del tamaño de limos y arcillas; el hecho se atribuye a la disminución en este caso del grado de turbulencia del agua, por aumento de su peso específico y de su viscosidad. B. Socavación en estrecham ientos Se entiende por socavación en estrechamientos la que se produce por el aumento en la capacidad de arrastre de sólidos que adquiere una corriente cuando su velocidad aumenta por efecto de una reduc ción de área hidráulica en su cauce. El efecto es muy importante en puentes, donde por lo común y por razones de economía suelen ocu rrir las mencionadas reducciones, si bien puede presentarse en otros lugares del curso del río, en que un estrechamiento más o menos brusco tenga lugar. Los cambios que la presencia de un puente impone a la corriente son principalmente los siguientes: 1. Cambio de la velocidad del flujo del agua en el cauce principal y en el de las avenidas. .
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
363
2, Cambio en la pendiente de la superficie libre del agua, hacia arriba y hacia abajo del puente. Cuando ocurre una avenida, aumenta la velocidad y, como consecuencia, la capacidad de transportar sedimentos. Esto origina un mayor arrastre del material del fondo en la sección del cruce y, cuando éllo es posible, un ensanchamiento del cauce, hasta que éste aumento en el área hidráulica asemeje otra vez la sección del cruce con cualquier otra del río y restablezca el equilibrio de la corriente. Como quiera que por la presencia de los terraplenes de acceso, a veces protegidos, no suele ser posible que la sección del cruce gane área hidráulica por ensanchamiento, se sigue que la pre sencia del puente es de por sí un incentivo a la socavación de fondo, por lo menos hasta que la corriente restablezca el equilibrio de áreas hidráulicas entre la sección del cruce y las demás del río. Hablando en términos generales, todas las ideas relativas a soca vación normal, ya expuestas, son aplicables al tipo de socavación de que ahora se trata, siendo innecesario repetirlas.. C. S ocavación en curvas Cuando un río describe una curva existe una tendencia en los filetes líquidos situados más lejos del centro de curvatura a caminar más aprisa que los situados más hacia el interior; como consecuencia, la capacidad de arrastre de sólidos de los primeros es mayor que la de los segundos y la profundidad de erosión es mayor en la parte del cauce exterior a la curva que en la interior. El efecto es importante y ha de ser tenido en cuenta en la construcción de puentes en curvas de rio o en el diseño de enrocamientos de protección en los mismos lugares y tiene gran influencia en la divagación de corrientes, pues al disminuir la velocidad en el intradós de la curva aumenta el depó sito en esta zona y, por ello, disminuye la zona útil para el flujo del agua, en tanto que en el extrados, al aumentar la profundidad y el área hidráulica, aumenta el gasto. La socavación bajo un puente construido en una curva estable puede cuantificarse con los métodos para el cálculo de la profundidad de socavación general que más adelante se exponen, una vez conocido el perfil actual del río. Pero en el caso de que el puente esté en un tramo recto y exista la posibilidad de que una curva o un meandro avance y lo cruce, o bien si se desea rectificar un cauce en un tramo que comprenda al cruce de un puente y éste, tras la rectificación, queda sobre curva, será preciso calcular las nuevas profundidades de socavación que se puedan presentar en ese caso; con los datos del perfil del río en las nuevas condiciones, la nueva profundidad de socavación esperada podrá calcularse con los mismos métodos empleados para el cálculo de la socavación general.
364
APEND ICE III
D. Erosión en m árgenes Es la erosión que las aguas de una corriente producen en los materiales térreos deleznables o solubles que formen sus orillas; el efecto es especialmente peligroso en crecientes, por el aumento de poder erosivo de la corriente a causa de su mayor velocidad. La erosión de márgenes es causa de divagación y si el ataque se produce en estratos susceptibles situados bajo otros que no lo son, producirá embovedamientos causantes de inestabilidades en los taludes de la propia margen. E l fenómeno se presenta en ríos encañonados y tam bién en las corrientes marinas que bordean zonas costeras altas. E. Socavación local en pilas Cuando se coloca una pila de puente en la corriente de un río se produce un cambio en las condiciones hidráulicas de ésta, y, por lo tanto, en su capacidad para producir arrastre sólido. Si la capacidad de arrastre supera localmente el aporte del gasto sólido del río, ocurrirá en la pila una socavación local. Es evidente que el conocimiento de la profundidad a que puede llegar este efecto erosivo es de fundamental importancia en el diseño de cimentaciones poco profundas para puentes, pues una falla se ria de juicio en esta cuestión conlleva la destrucción total de la estructura o la adopción de profundidades antieconómicas y exce sivas, que complican seriamente los procedimientos de construcción. Los estudios realizados hasta la fecha permiten decidir que los parámetros que, en mayor o menor grado, influyen en la socavación local al pie de pilas de puente son los que se enlistan a continuación. 1.
P arám etro s
h id r á u l ic o s
Velocidad media de la corriente Tirante frente a la pila Distribución de velocidades Dirección de la corriente respecto al eje de la pila 2.
P a rá m etro s del
fo n d o
Diámetro de los granos Distribución granulométrica del material del fondo Forma de los granos Grado de cohesión o cementación Peso especifico sumergido Estratificación del subsuelo 3.
P a r á m e t r o s g e o m é t r ic o s d e l a p il a
Ancho Relación largo-ancho Perfil de la sección horizontal
'Cuando la velocidad es fuerte este vd rllce es mds grande q u i el que se presenta en la esquina delantera
Espeja utilizado para el avance d t
En la roño O se juntan las partículas que vie nen de direcciones o -
en que se produce la soeovocidn monuna
— * Lín e a s de corriente — ♦ Posibles trayectorias
l \ ) V ó rtices de eje v ertical
puestos. Los granos ahí
de las p an ícu lo s del londo
depositados ptrld d icamente resbalan hasta C
— » Line as de corriente —
► Pasibleslrayecloritts d éla s p an ícu las del lando E l talud tn F corresponde al de reposo del m ateriol de eje horuonlol
E sto jo inicial de socovacíon. En uno pilo rectonguiar se Inicio en los esquinas debido o dos vórtices de eje verticol que ahí se presentan
a l Líne as de corrienle Trayectorias de las partículas
b] Trayectorias posibles de las partículas
365
MECANICA D E SU ELO S (III)
FORM A DE IN ICIARSE L A SOCAVACION
CONOICION
IN TE R M E D IA
C ONDICION CER C AN A A L MAXIMO
Contrición mínimo Lo tocovoción *• inicio •n los ••quino» Zono do depósito
m■■ +áWX'MT
Lo profundidad N lo erosión \ puodo « t f iguol on loa dos cosos
Pora ¡guales condiciona», lo aroaión aa inicio primero an lo pilo oünaodo Lo profundidad puada aor mañor gwa poro lo pilo ollnaodo
LO mótimo tocovoción sa praaanto an 10 atguino C y as bostonfs mover gwa an al franta da lo pilo olínaodo
Zono da V f - ^ i
dtposiioi^a^^T.*
^■Arrpiíí........ —' Aquí sa praaanto uno zono, con corriantaa aaeandantaa corgodos da motariol —* an suspensión
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Eia da lo pilo
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A rrm frt <•»<*"•
Lo socavación sa inicio an des zonas o *65® a cedo lodo dal aja longitudinal Zonada
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Zono da depósito
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Zono do depdsito
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' n s ^' S- > N
Sa cumpla lo anotodo paro lo pila rectengulor
A rrostre
Lo mo'ximo soco roción sa presenta en lo esquino Cy es Postante mayor que en af frente de lo pilo alineada
Tono de depósito
Arroslre
FIG. A-III.3.. Etapas del proceso erosivo
366
A PEN D ICE III
4. P arámetros de ubicación del pu e n te Contracción en la sección Forma del río en planta Obras de control de gasto que se haya construido aguas arriba o aguas abajo En las figs. A -III.l, A -III.2 y A -III.3,14 se muestran esquemáti camente las trayectorias del agua y de las partículas de suelo alre dedor del obstáculo, la forma de iniciarse el proceso erosivo y los avances sucesivos de la socavación. Es interesante notar que para una misma pila, colocada en el mismo lugar, la socavación máxima producida no siempre se presenta en el mismo punto de la pila; depende de la velocidad del agua y del esviajamiento de la pila. Todo esto puede verse detalladamente en las figuras incluidas. F . Socavación local en estribos Desde el punto de vista de definición, la socavación local en estribos es análoga a la que se presenta en las pilas de los puentes, que ya ha sido tratada en el inciso anterior. Se la distingue, sin embargo, por existir algunas diferencias en los métodos teóricos y aun experimentales para su evaluación.
A-III.2. Socavación general del cauce Para la determinación de la socavación general se presenta en este Apéndice el criterio propuesto por L. L. Lischtvan-Lebediev1 Para aplicar este método, es preciso hacer una serie de clasificaciones de los cauces de los ríos, según se indica en la Tabla A-3.1 T A BLA A-3.1 Cauce
M aterial d e fon d o
Cohesivo
Homogénea Heterogénea
No cohesivo
Homogénea Heterogénea
Cohesivo
Homogénea Heterogénea
No cohesivo
Homogénea Heterogénea
Definido Socavación General
D istribución de m atetriales en el fo n d o
Indefinido
M ECANICA DE SUELOS (III)
367
Se describirán a continuación los criterios de cálculo para cada condición. A. Socavación general en cauces definidos La erosión del fondo del cauce en una sección transversal cual quiera se realiza con la constante aportación de material de arrastre sólido y es provocada por la perturbación local del equilibrio entre el material que sale aguas abajo y el aportado. La determinación de la erosión se hace con el criterio que se expone en lo que sigue. Al presentarse una avenida aumenta la velocidad en el cauce; el aumento de velocidad trae consigo un aumento de la capacidad de arrastre de la corriente, con lo que se empieza a degradar el fondo. Al aumentar el gasto aumenta la socavación, incrementándose el área hidráulica y la velocidad del agua, hasta que se llega a la socavación máxi ma de equilibrio al ocurrir el gasto máximo; al disminuir la avenida se reduce paulatinamente el valor medio de la velocidad de la corriente y por ende la capacidad de arrastre, iniciándose la etapa de depósito. La condición para que haya arrastre en las partículas en un punto del fondo es que la velocidad media de la corriente sobre ese punto, denominada velocidad real, vr, sea más que la velocidad media que se requiere para que el material existente en tal punto sea arrastrado, denominada velocidad erosiva ve. Para suelos sueltos, esta última no es la velocidad de inicio del movimiento de algunas partículas, sino la mínima que mantiene un movimiento generalizado del material del fondo. De tratarse de un suelo cohesivo, es aquella velocidad capaz de levantar y poner en suspensión a las partículas. Según lo explicado la erosión cesa cuando ve — vr. La velocidad real está dada principalmente en función de las características hidráulicas del rio: pendiente, rugosidad y tirante. La erosiva, en función de las características del material del fondo y del tirante de la corriente. En la determinación de la profundidad de la erosión, tanto en cauces definidos como indefinidos, se distinguirán dos casos diferen tes además de los ya enunciados, según que la rugosidad sea o no la misma en toda la sección transversal del cruce. La presentación de las fórmulas se hará suponiendo al cruce con la rugosidad uniforme y sólo al final se presentarán las modificaciones que hay que hacer para el caso en que la rugosidad varié entre una zona de la sección transversal y otra; o bien, si la sección analizada cae bajo un puente, al variar la rugosidad de un claro del puente a otro.
A PEND ICE
368
A -l.
III
Análisis d e la socavación general para suelos cohesivos en cauces definidos con rugosidad uniforme
El problema consiste en calcular la erosión máxima general que se puede presentar en una sección al pasar una avenida con un gasto de diseño Q¿, el cual tendrá una cierta frecuencia de retorno. Para los cálculos subsecuentes se requiere conocer el gasto Q i y la elevación que alcanza la superficie del líquido para ese gasto en la sección en estudio. En esta teoría, la magnitud de la erosión en suelos limosos plásti cos y arcillosos depende principalmente del peso volumétrico del suelo seco. En este caso, el valor de la velocidad erosiva que es la velocidad media que se requiere para degradar el fondo, está dado por la expresión: = 0.60 Y jis P H xs
; -ü ± seg
( A -3.1)
en donde Yd — peso volumétrico del material seco que se encuentra a la profundidad H s, en ton/m3. ¡3 = un coeficiente que depende de la frecuencia con que se repite la avenida que se estudia y cuyo valor está consig nado en la Tabla A -3.2. H , — tirante considerado, a cuya profundidad se desea conocer qué valor de ve se requiere para arrastrar y levantar al material, en m. x — es un exponente variable que está en función del peso volumétrico y i del material seco en ton/m3, el cual se en cuentra consignado en la Tabla A-3.3. En ese mismo cuadro se indica el valor de la expresión 1/1 + x que será necesaria más adelante, así como el valor del exponente x cuando el material del fondo no es cohesivo. En este últi mo caso x es función del diámetro medio de los granos. La variación de la velocidad media real de la corriente vr, en función de la profundidad y para cada punto de la sección puede ser obtenida analizando una franja vertical de la sección transversal, como la mostrada en la fig. A -III.4. La hipótesis que se formula para realizar el cálculo es que el gasto en cada franja permanece constante mientras dura el proceso erosivo. Tómese la franja de espesor AB, y en forma hipotética considé rese que el fondo se encuentra en su nivel inicial antes de que se
M ECANICA D E SUELO S (III)
369
TABLA A-3.2 P ro b a b ilid a d anual (en % ) de qu e se p resen te e l g a sto de diseño
C o eficien te 0
100 50 20 10 ■ 5 2 1 0.3 0.2 0.1
0.77 0.82 0.86 0.90 0.94 0.97 1.00 1.03 1.05 1.07 TA B L A A-3.3
V alores
d e * y 1/1 +
x
para suelos cohesivos y no cohesivos
SUELOS COHESIVOS I
y* mm
0.80 0.83 0.86 0.88 0.90 0.93 0.96 0.98 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16
l + .v
0.52 0.51 0.50 0.49 0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 0.43 0.42 0.41 0.40
0.66 0.66 0.67 0.67 0.67 0.68 0.68 0.69 0.69 0.70 0.70 0.71 0.71
mm
1.20 1.20 1.28 1.34 1.40 1.46 1.52 1.58 1.64 1.71 1.80 1.89 2.00
0.39 0.38 0.37 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30 0.29 0.28 0.27
SUELOS NO COHESIVOS 1 I+ x
0.72 0.72 0.73 0.74 0.74 0.75 0.75 0.76 0.76 0.77 0.78 0.78 0.79
d mm
0.05 0.15 0.50 1.00 1.50 2.50 4.00 6.00 8.00 10.00 15.00 20.00 25.00
0.43 0.42 0.41 0.40 0.39 0.38 0.37 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31
I
d
I+ *
mm
0.70 40.00 0.70 60.00 0.71 90.00 0.71 140.00 0.72 190.00 0.72 250.00 0.73 310.00 0.74 370.00 0.74 450.00 0.75 570.00 0.75 750.00 0.76 1000.00 0.76
1 1+ *
0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19
0.77 0.78 0.78 0.79 0.79 0.80 0.81 0.81 0.83 0.83 0.83 0.84
produzca la erosión. El gasto que pasa por esa sección se puede expresar según Manning por: Q = V AA = — s1' 2 H™ AB n
0
370
APENDICE III
(2).—
P e r f i l de e q u i l i b r i o tro s
Ig e r o s i ó n .
FIG. A-III.4. Variación de la velocidad media real de la corriente con la profundidad
Pues en este caso, por ser AB pequeño, el radío hidráulico es igual al tirante. En la expresión anterior: s — pendiente hidráulica H 0, — profundidad antes de la erosión n, — coeficiente de rugosidad de Manning. Como se ha considerado una rugosidad constante en toda la sección el valor de l/n(s1/2) es constante para cualquier punto de la sección y se denominará a. Entonces: Q - aH T
Afí
(A -3.2)
El valor de a puede también ser expresado en forma general como una función' del tirante medio H m de toda la sección trans versal antes de la erosión y del gasto de diseño Q¡¡, ya que:
donde B e = ancho efectivo de la superficie del líquido en la sec ción transversal; es decir, del ancho total se descuenta el ancho de las pilas cuando el ángulo de incidencia de la corriente con respecto al eje de la pila es 0o. Más adelante se indicará como encontrar el valor de B e que debe ser tomado en cuenta, cuando la corriente forma un ángulo cualquiera con el eje de las pilas. Las demás letras tienen los sentidos ya indicados.
M ECANICA D E SUELO S (III)
371
En las expresiones anteriores H m es tirante medio de la sección, el cual se obtiene dividiendo el área hidráulica efectiva entre el ancho B e. Cuando la sección en estudio corresponde al cruce de un puente la corriente del agua forma vórtices cerca de las pilas y estribos del mismo, por lo que se hace necesario afectar el valor de Q<¡ de un coeficiente p llamado de contracción, el cual se encuentra tabulado en la Tabla A-3.4. Q d = — s1'2 H%3 B e n m Qd = a » H % * B e
( A -3.3)
De la ec. A-3.3 puede despejarse: a = Ahora bien, en la franja en canzar un valor cualquiera H s. t ’ r- En función de la velocidad y expresado por: AQ =
Igualando esta última expresión con la (A -3.2) se tiene:
vr H s tsB = aHf = A B de donde la velocidad real de la corriente vale: vr —
H.
( A -3.5)
La erosión se detendrá cuando a una profundidad cualquiera alcanzada, el valor de vr velocidad de la corriente capaz de produ cir arrastre y ve velocidad que se necesita para que el fondo se de grade, lleguen a ser iguales. ve = v, es la condición de equilibrio A-2.
A nálisis d e la. socavación gen eral p ara su elos no cohesivos, en cauces d efin idos con rugosidad uniform e
En el estudio de la profundidad de la erosión en suelos formados por granos gruesos (arenas, gravas finas, etc.), v T tiene el mismo valor que en el caso anterior:
372
A PEN D IC E III o p
o
p
o
o
o
p
p
p
— .
O p
1t
o
p
r O
o o
o
p
o
de contracción.
C oeficiente
ON ON
On ON
On p
ON p
d
d
d
d
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ON On
ON p
On p
ON On
On On
d
d
d
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OO
oo
oo
p
p
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d
On ON
ON ON
ON
00
00
On
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p
d
d
d
d
d
d
ON ON
00
00
0N
On
ON
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d
d
On ON
ON ON
00
N.
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vO On
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in
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O O
o in
en
en
ON
ON
00 d
00
d
o o
MECANICA DE SUELOS (III)
373
aHf> v' = -
En cambio
h
T
ve está expresada en la teoría que se analiza por: «,, = 0.68
en donde H s — tirante para el que se desea conocer vc en metros x — exponente variable que depende del diámetro del ma terial y que se encuentra en la Tabla A-3.3 d m = es el diámetro medio (en mm) de los granos del fondo obtenido según la expresión. d m = 0.01 I di Pi
(A -3.7)
en la cual di =
diámetro medio, en mm, de una fracción en la curva granulométrica de la muestra total que se analiza p. = peso como porcentaje de esa misma porción, comparada respecto al peso total de la muestra. Las fracciones esco gidas no deben necesariamente ser iguales entre sí.
La condición de equilibrio para la socavación será también: Vr =
A-3.
Ve
Cálculo d e la profundidad de la socavación en suelos homogéneos
En secciones homo géneas puede calcularse fácilmente la profundi dad esperada de soca vación dentro de la Teoría de LischtvanLebediev a partir del análisis hecho en los dos párrafos anteriores. Al final del párrafo A-l se anotó que la condición de equilibrio se presenta cuando la velocidad de arrastre de
Socavación de pilas de un puente. Nótese las huellas de la creciente
374
APENDICE III
la corriente v, es igual a la velocidad que se necesita tener para arras trar al material, ve. Dentro de los suelos homogéneos únicamente se distinguen dos condiciones diferentes según sea el material cohesivo o no. a)
Suelos cohesivos. La condición de equilibrio es ve — v„ en que v, está dada por la fórmula A-3.1 y vr por la (A -3.5). a H l* 0.60 y1:18 0 H x - —jz~
d
8
ti,
de donde CL
0-60 y ¿ 18 0 y, por lo tanto / a H*?3 \ i+* Hs ~ ( 0.60 y J 18 0")
(A -3.8)
que es el urante total que se produce; al restarle el tirante inicial, Ha, proporciona la socavación esperada. b)
Suelos form ados por materiales no cohesivos. En este caso v, está dada por la fórmula A-3.6. Aplicando la condición de equilibrio: Vr — V ,
se tiene a H ** ~H 7~ de donde (
a H 5J 3
\ i+*
* _ ( 0.68 0 y0/ 8 )
(A "3'9 )
de donde puede deducirse la profundidad de socavación. Conocido el perfil transversal de la sección bajo el puente antes del paso de la avenida, se escogen en él algunos puntos en cuyas verticales se desea conocer a cuánto alcanza la profundidad ero sionada. Uniendo éstos se tiene el perfil de socavación. Se ha dicho que la hipótesis principal de esta teoría es que el asto en cada franja permanece constante durante todo el proceso, lomo el gasto en la orilla es cero, este método no permite estimar ninguna erosión lateral en las márgenes.
?
M ECAN ICA D E SU ELO S (III)
375
A-4. Cálculo d e la profundidad d e la socavación en suelos no hom ogéneos Por suelos no homogéneos se designan aquellos que se encuen tran en estratos o capas diferentes. En este caso, cualquiera que sea la estratificación que se tenga, la profundidad de equilibrio, arriba de la cual los granos son arras trados físicamente por el agua, se puede obtener analíticamente a base de tanteos. Escogido un punto P* para el cual se desea calcular la posible socavación y conocida la estratigrafía bajo la sección, se procede por estratos a aplicar las fórmulas A-3.8 ó A -3.9 según sea el material de que estén formados. El cálculo se inicia para el manto superior y se continúa hacia capas más profundas. En el primer estrato en donde se cumpla que la profundidad H , calculada cae dentro de él, esa "H ," es la buscada y se suspenden los tanteos. Esto mismo se repite para varios puntos de la sección, que al unirlos darán el perfil teórico del fondo una vez que se ha producido la socavación.
B.
Socavación
general en cauces indefinidos
En el caso de un río carente de un cauce bien formado, por ejem plo aquellos en que se tienen varias corrientes pequeñas que se entre cruzan y en donde esas corrientes cambian de posición con relativa facilidad, se tiene una cavidad erosiva más reducida. En estos ríos se cumplen por definición las siguientes condiciones:
en que
Q z — < 0 .2 5 Qa
( A -3.10)
Q„ =
gasto que pasa por el mayor cauce formado en estiaje que se denomina cauce principal Q„ = gasto suma de los que pasan por los otros cauces. Otra condición es que = 0 .8 0
(A -3.11)
£> r
donde B0 = Br =
anchura del cauce para un nivel normal del agua ancho total del nivel de agua máximo comprendido en tre los bordos del cauce de avenidas.
En los cauces indefinidos la socavación se puede calcular dentro de la teoría de L. L. Lischtvan-Lebediev con una secuela igual a la
376
A PEN D IC E
III
que se usó en los definidos; sin embargo, la velocidad real, vr, se compara ahora no con ve, sino con una velocidad que los autores llaman no erosionante, vc. La velocidad vc depende dela naturaleza del material del fondo y del tirante de la corriente. En general vc - vclH°s (A -3.12) donde vc — velocidad no erosionante para el tirante H s Hs — tirante, en m, existente en el punto de estudio en el mo mento para el que se calcula la socavación vc — velocidad no erosionante correspondiente a un tirante de un metro. Con estas ideas, la profundidad de la socavación puede calcu larse para suelos cohesivos y no cohesivos, con tal de conocer vcl; el valor de ésta puede obtenerse de las Tablas A-3.5 y A-3.6 para suelos cohesivos y no cohesivos, respectivamente. TA BLA A-3.5
V alores
de vcl para suelos cohesivos, en m/seg
H= 1 m T ip o d e suelo
1.20 < y , < 1.66 to n /m 3
1.66 < < 2.04 to n /m 3
2.04 < y d < 2.14 to n /m 3
0.85
1.20
1.70
0.80 0.70
1.20 1.00
1.70 1.30
Arcillas francas Suelos arcillosos y limos plásticos Arcillas margosas
TA BLA A-3.6
V alo res de v„ para suelos no cohesivos, en m/seg H - 1 m T ip o d e su elo
Limos no plásticos Arena fina Arena media Arena gruesa Grava fina y media Grava gruesa Fragmentos chicos Fragmentos medianos
D m (m m )
0.005 0.05 0.25 1.0 5.0 25.0 75.0 200.0
-
0.05 0.25 1.0 5.0 25.0 75.0 200.0 400.0
V alores de
0.20 0 .3 0
0.45 0.60 0.85 1.45 2.40 3.80
O (m /s e g )
- 0.30 0.45 -- 0.60 -- 0.85 - 1.45 - - 2.40 - - 3.80 - - 4.75 --
MECANICA D E SU ELO S (III)
C.
C omentarios
a la
T eoría
de
3 77
Lischtvan-L ebediev
Como ha podido notarse, la teoría expuesta requiere para su aplicación de datos que son relativamente fáciles de obtener en la naturaleza. a) El gasto Q¿ de diseño escogido con una frecuencia determi nada y que puede ser obtenido mediante algún método es tadístico b) El perfil de la sección durante el estiaje, que es cuando más cómodo resulta obtenerlo c) Características del material del fondo ( ó d„,), así como su distribución en el subsuelo, para lo cual se requiere hacer sondeos. La hipótesis de partida y fundamental es que el gasto permanece constante durante todo el proceso erosivo en cada franja escogida de la sección. Como el gasto en las orillas es igual a cero, después de la erosión deberá permanecer así, por lo que se excluye la posi bilidad de cualquier corrimiento lateral. En la mayoría de las oca siones esto se cumple excepto en la parte exterior de las curvas. Al tratarse del cálculo bajo la sección de un puente, los estribos impiden cualquier avance lateral. Al considerar la hipótesis de partida de la conservación del gas to, se puede presentar un inconveniente cuando en el fondo del cauce existe una zona con un material más resistente a la erosión que en el resto de la sección. Se presentará en la zona menos resis tente un descenso del fondo más rápido. Esto hará que después de un cierto tiempo sea mayor el gasto sobre esa zona y disminuya sobre la zona con material más resistente. En el caso del material menos resistente a la erosión, las profundidades que se alcanzan serán mayores que las calculadas, mientras que en el material más resis tente serán más pequeñas que las dadas por la teoría. La teoría no toma en cuenta el tiempo necesario para que cada material pueda ser erosionado. Las erosiones teóricas calculadas se pueden presentar con fácilidad si el material es granular y no cohesivo; sin embargo, para ma teriales cohesivos se requiere un cierto tiempo para que la corriente realice todo su trabajo, tiempo que puede ser mayor que el de dura ción de la avenida. Debido a esto, se pueden presentar erosiones menores que las calculadas en esos materiales, aunque la corriente haya tenido, en un momento dado, una capacidad de erosión mayor. No se puede precisar el grado de exactitud de todas las fórmulas y criterios propuestos, ya que han sido aplicados en contados casos en el medio local y sobre todo no se ha realizado ninguna observa
378
’
A PEN D ICE III
ción en algún puente recién construido, de la que estén enterados los autores de esta obra. Para realizar esas observaciones, la forma más sencilla podría consistir en una serie de perforaciones efectuadas durante el estiaje, que después se rellenarían de un material distinto al del suelo, polvo de ladrillo por ejemplo. En la siguiente época de secas se harían unos pozos en el sitio de las perforaciones hasta alcanzar la profundidad en la que ese material no haya sido arrastrado, profundidad que indicaría el nivel hasta donde el fondo descendió durante la máxima avenida anterior. Para localizar fácilmente esos pozos se podría hincar un tubo o varilla metálica de unos 2 cm de diámetro en toda la profundidad del pozo, dejándola sobresalir 1 ó 2 metros del nivel actual del fondo. Estos pozos permitirían realizar observaciones en años posteriores, siempre y cuando los nuevos gastos máximos sean mayores que todos los pasados desde que se construyó el pozo. El método anterior sólo es uno entre una variedad muy grande que a cada ingeniero se le puede ocurrir. Cuando para determinar el gasto de diseño se recurra a un mé todo del tipo de sección y pendiente, surge el inconveniente de que en rigor debería de entrarse con el gasto máximo correspondiente al área hidráulica socavada, la cual no se conoce a priori. En este caso puede procederse por tanteos como sigue: Se supone un tirante y un área incrementados por socavación y con ellos se calcula un gasto máximo; con este gasto se aplica el método de Lebediev y se verifica si el H supuesto fue el correcto o no.
A-III.3.
Socavación local en las pilas de los puentes
Cuando un puente cruza un río en una zona donde no es fac tible alcanzar un manto rocoso en el que apoyar las pilas y estribos, el principal problema que se presenta tanto en proyecto como en mantenimiento, es el conocimiento de las erosiones locales que sufre el fondo del cauce, que pueden ser de tal magnitud que lleguen a alcanzar la base de las pilas y provocar la falla total de la estructura. Los parámetros que intervienen en general en el valor de la pro fundidad de la socavación al pie de la pila de un puente se han mencionado ya en párrafos anteriores de este apéndice. A continuación se presentarán los diferentes criterios que existen para determinar la profundidad de la socavación al pie de pilas de puente, así como un análisis relativo a su validez y campo de aplicabiüdad realizado por la División de Investigaciones de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. El primero de esos criterios es el propuesto por Laursen y Toch2y3 de acuerdo a los estudios que realizaron en la Universidad de Iowa y que después ha sido ampliado por Maggiolo4y5 Romitta6 y Souza Pinto7y8 entre otros. El segundo criterio que se debe a
M EC A N ICA D E SU E L O S (III)
379
Yaroslavtzicv es el resultado de mediciones hechas en varios puentes de la Unión Soviética y ha sido corroborado por las investigaciones de Bata,9 Andreiev10 y otros investigadores. Para Laursen, Toch y su escuela, la socavación depende fundamentalmente del tirante y ancho de la pila y en segundo término de la forma de ésta, si bien este pa rámetro no es significativo cuando la corriente ataca la pila en forma oblicua; en cambio la velocidad media de la corriente y el tamaño de los granos del fondo no son factores que sean tomados en cuenta para determinar la profundidad de la socavación con este criterio. Por el contrario, para Yaroslavtziev, la socavación depende del cua drado de la velocidad media de la corriente en primer término y tanto el tamaño de los granos del fondo, como la geometría de la pila, aun en el caso de ataque oblicuo de la corriente, son parámetros sig nificativos en la valuación de la profundidad de la socavación. Ahora bien, según los resultados experimentales, ha podido ob servarse que para un tirante y pila dados, la profundidad de la so cavación concuerda bastante bien con la variación que indica Yaros lavtziev, al variar la velocidad, con tal que la relación h /b (h, tiran te aguas arriba de la pila y b, ancho de la pila) sea rnayor de 1.5 y en tanto no se haya pasado la curva de Laursen-Toch; esto es, existe un valor límite para la velocidad, más allá del cual la soca vación no progresa mientras no varié el tirante. Todo hace suponer entonces que con el criterio de Laursen-Toch se determina el inter valo de aplicabilidad del criterio de Yaroslavtziev, de suerte que los criterios antagónicos en apariencia, resultan ser complementarios. Las afirmaciones anteriores se explicarán en detalle posteriormente. E l desconocimiento de este hecho puede conducir, sin embargo, a resultados absurdos; en efecto, en un río de montaña con veloci dad muy grande, el criterio de Yaroslavtziev puede conducir a la predicción de socavaciones muy fuertes que no ocurrirán en la na turaleza, en tanto que en un río de planicie, el criterio de LaursenToch, que es útil sólo en condiciones extremas, conducirá también a socavaciones muy grandes que nunca llegarán a presentarse. H asta este momento se han mencionado únicamente los métodos de Laursen-Toch y Yaroslavtziev, ya que los estudios efectuados en la Facultad de Ingeniería de la U N A M se realizaron para com parar un método con otro y ver sus diferencias fundamentales. Sin embargo no son los únicos que han llegado a alguna solución. Tanto Muromov como Boldakov16- 17 y 18 proponen cada uno una forma para determinar la socavación. Asimismo, una serie de investigadores del laboratorio de Poona, en la India, encontraron una expresión para un caso particular que estudiaron en un modelo. A continuación se presentan en forma sucinta algunos de los criterios de que se ha hablado, incluyendo el que se desprende de las experiencias reali zadas en la Facultad de Ingeniería (M éxico).
380
A PEN D ICE III
TA BLA A TII-7
C oeficiente
de corrección que depende de la forma de la pila.
E s sólo aplicable a las pilas orientadas según la corriente FORMA
COEFICIENTE K 2
DE L A N A R I Z
DE S C H N E I 8 L E RECTANGULAR a/ b= 4
1 1
1 í
^
SEMICIRCULAR
0.90
P _ _ _2_ F L 1P T 1C A
r
0.81
(m
*
P _ 3 r ' K
1. 0 0
* 1- " '
------------ - - - - - -
P . 2 r ‘ 1
0.75
0.81
LENTICULAR P . 3 r * ♦
FORMA
BISELADA ° / b = 4 PERFIL HIDRODINAMICO o / b = 4
~
DE L A
NARIZ
f <
°
0.6-9
S EGUN TISON
t > [ „
0.78
í +--------- o 7 -------------— - I b [ lV -------- >
0. 7 5
|
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
A.
381
M étod o d e Laursen y T och
Basado principalmente en las experiencias realizadas por esos investigadores en el Instituto de Investigación Hidráulica de Iowa, fue confirmado con mediciones realizadas en un puente sobre el río Skunk por P. G. Hubbard11 del mismo laboratorio. Este método fue presentado resumidamente en el Volumen II. Los autores de estos trabajos distinguen dos casos generales; uno cuando la corriente incide paralelamente al eje de las pilas y otro cuando forma un cierto ángulo con el mismo.
H = Tirante *
i.o
2.0
50
4.0
5.0 -g—
de
ta corriente.
b= Ancho d éla pila. S.= Profundidad delaaroeión.
FIG. A-II 1.5. Relación entre la erosión relativa y la proiundida relativa
Cuando la mayor dimensión transversal de la pila está alineada con el flujo, la socavación puede expresarse por (ver fig. A -III.5 ). S j = K 1K 2 b
(A -3.13)
en donde S 0 = profundidad de la socavación, a partir del fondo K i = coeficiente que depende de la relación tirante entre ancho de la pila y que se encuentra en la gráfica de la fig. A -III.5 K * = coeficiente que depende de la forma de la nariz de la pila y que se encuentra en la Tabla A-3.7 b — ancho de la pila. Como puede observarse, para Laursen y Toch la socavación de pende únicamente del tirante, ancho de la pila y de la forma de ésta, sin tomar en cuenta la velocidad, ni el diámetro del material del fondo. Este se considera únicamente arenoso, por lo que el método no es aplicable si existen boleos en el cauce.
382
APENDICE III
En el caso de incidir oblicuamente la corriente y formar un án gulo <¿ con el eje de la pila, la socavación puede determinarse con la expresión: S 0 = K 1K 3 b (A -3.14) en donde K;t = coeficiente que depende del ángula ^ y de la relación a/b, el cual se determina con ayuda de la fig. A-III.6.
FIG. A-III.6. Coeficiente de corrección cuando existe un ángulo de incidencia entre el eje de la pila y la corriente
En este caso la socavación no depende de la forma de la nariz de la pila. Laursen y Toch realizaron sus observaciones fijándose en la socavación máxima que se puede presentar para un tirante dado de la corriente. Observaron que sin variar el tirante y a pesar de aumentar considerablemente la velocidad de la corriente, la socava ción no progresaba. Según parece la mayor socavación es lo que les preocupaba y no dan ningún criterio para el caso en que no exista arrastre en el fondo o en que el arrastre sea menor con un fondo con rizos o dunas pequeñas. El valor de esa máxima socavación obtenida no se ve afectada por el diámetro del material del fondo, mientras se trate de arenas. Para gravas no aclaran si su gráfica puede usarse o no. pero en boleos definitivamente no es válida. B.
M étodo d e Yaroslavtziev10
Este investigador distingue dos casos, uno cuando el fondo del cauce está formado por materiales no cohesivos y otro cuando está formado por materiales cohesivos.
M ETODO DE YA R O SLA VTZIEV E X P R E S IO N G E N E R A L S„= Kf K * ( e + K H ) * ? - 3 0
I
p iL A
JIPO
PILA TIPO m
jj
0° 10" 20” 30° 40° 10.3 11.3 Kf 8.5 8.7 *
<¡>
O
K f = 1 0 .0 b, - D
O)
K f = lz -4 b, =a sen ^>+bcos
bf = (a - b I sen ^ + b
t P IL A T IP O IV C O E F IC I E N T E C /H * 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 8.5 9.9 11.5 12. 1 10 8.7 10.1 11.6 12. 1 20 9.0 10.3 11.7 12.4 30 10.3 t i .3 12.1 12.4 40 I I . 3 12.0 12.4 12.4
Kf 0 .8 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4
1.0 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4
P IL A T IP O V C o e ficie n te
b , » l o - b j s e n
K j= 1 2 .4
0.3
b , = o s e n
b , = a s e n ^> + b . c o s <¡¡
e n d o n d e b.= b + l b , - b ) C / H
en donde b . = b + lbt - b ) C /H
c y//<< -----
t
C O E F IC IE N T E K f
* P IL A T IP O V I
Kf
120 90 60 12.2 10.0 7.3 01 = 1 0 - 0 ) s e n ^> + b
0 10 20 30 40
t/b 0 2 4 8.5 7.5 6.76 8.7 7.7 6.80 9.0 7.8 7.10 10.3 8 6 7.50 11.2 9.2 7.90
8 5.98 6. 10 6.20 6.30 6.70
12 5.4 5.5 5.6 5.7 5.9
|
P I L A T I P O IV
* 0
10 20 30 40
C O E F IC IE N T E C /H 0 0 .2 0 .4 0 .6 8.5 9.9 11.5 12.1 1 8.7 10.1 11.6 12. 1 9.0 10.3 11.7 12.4 10.3 11.3 12.1 12.4 113 12.0 12.4 12.4
Kf 0 .8 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4
1.0 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4
PILA TIPO V Coeficiente
Kf = t 2 .4
b, = (o - b „ l sen + b . poro C / H S 0 .3 b, = o sen
b ,- a s e n
en donde b.= b + (b r-b l C/H
en donde b . =b + ( b ,- b ) C /H
4> 0
P I L A T I P O VI
120 90 Kf ^12.2 10.0 P°
b, =(o - b )
60 7.3
10 20 30 40
b .c o s
COEFICIENTE K f t/b 0 2 4 8 12 0.5 7.5 6 76 5.98 5.4 8.7 7.7 6.80 6.1 G 5.5 9.0 7.8 7.10 6.20 5.6 10.3 8 6 7.50 6.30 5.7 11.2 9.2 7.90 6.70 5.9
sen
Fig. Aj-7 Valores de Kf
y b,
$ +b
M ECANICA D E SUELO S (III) M étodo
B -l.
383
para suelos granulares sin cohesión
La expresión propuesta por Yaroslavtziev fue obtenida al parecer de la observación directa en varios puentes de la Unión Soviética y es So = K f K v (e + K „ ) — - 3 0 d
ff
en que
(A -3.15)
S 0 = profundidad de socavación, en m K f — coeficiente que depende, en general, de la forma de la nariz de la pila y del ángulo de incidencia entre la corriente y el eje de la misma. Se encuentra en la fig. A -III.7 (a, b y c) K v — coeficiente definido por la expresión: log K v — '— 0.28 i/v ^ /g b í el cual puede encontrarse tam bién en la gráfica de la fig. A -III.8 v — velocidad media de la corriente aguas arriba de la pila, después de producirse la erosión general, en m/s g = 9.81 m/s2 = proyección de un plano perpendicular a la corriente, de la sección de la pila, uando el ángulo de incidencia vale 0 o, bi es igual al ancho b de la pila e = coeficiente de corrección, cuyo valor depende del sitio en donde están colocadas las pilas; vale 0.6 si se encuentran en el cauce principal y 1.0 para las construidas en el cauce de avenidas K h — coeficiente que toma en cuenta la profundidad de la co rriente, definido por la expresión: log K h = 0 .1 7 — 0.35/í/6i y que puede encontrarse ade más con ayuda de la curva de la fig. A -III.9 H — tirante de la corriente frente a la pila. Este valor es el obtenido al presentarse una avenida después de aplicar lo expuesto en los párrafos alusivos a la estimación de la soca vación general d = diámetro en m de las partículas más gruesas que forman el fondo y está representado aproximadamente por el dg5 de la curva granulométrica. Esto es porque al formarse el embudo producido por la erosión se realiza una selección
384
A PEN D ICE III
de los materiales y quedan únicamente los más grandes. En el caso de que la distribución del material' no sea uni forme en las capas más profundas, al conocer las curvas granulométricas de los estratos a los cuales se supone puede llegar la erosión, se tomará como diámetro representativo al c/S5 mayor de todos ellos. Cuando el material del fondo tiene un diámetro menor de 0.5 cm Yaroslavtziev recomien da no considerar el segundo término de la fórmula. Si un estrato con boleos sobreyace a uno de arena fina, por ejemplo, y la profundidad de socavación llega a esta última, al calcular el d ss de el1'* deberá tomarse en cuenta que el boleo no arrastrado s-, mezcla con la arena, produciendo un nuevo material. Kv
385
MECANICA D E SU ELO S (III)
El valor del ángulo de incidencia 0 entre la corriente y las pilas es tomado en cuenta en el valor de b lt tal y como puede observarse en la fig. A -III.7, el cual, a su vez, interviene en la valuación de K h y Ky. Además 0 afecta directamente al valor del coeficiente K t, como se observa en esas mismas figtiras, excepto en las pilas rec tangulares y circulares. Yaroslavtziev hace hincapié en que, en vista de que el esviajamiento de la corriente influye considerablemente en la erosión, puede resultar que para un caudal de agua menor, pero que incida con el ángulo 0 máximo, la erosión local llegue a ser mayor que para las condiciones de gasto máximo con el ángulo 0 menor. Yaroslavtziev advierte además que su fórmula puede conducir a errores en los casos en que la relación H / b i sea menor de 2 y la pila esté inclinada respecto a la corriente y añade también que los va lores con ella obtenidos en esas condiciones son menores que los que realmente se presentan. Previene asimismo, sobre la posibilidad de que ocurran depósitos frente a las pilas o erosiones negativas, en el caso de que las velocidades sean muy bajas. B-2.
M é to d o
d e Y a r o s la v tz ie v
p ara
s u e lo s
c o h e s iv o s
La expresión utilizada es la misma que para suelos granulares y permite dar un resultado aproximado mediante la apreciación de la resistencia a la erosión del suelo cohesivo en comparación con la resistencia a la erosión del suelo granular. Este es tomado en cuenta en el segundo término (30 d) de la expresión A-3.15 en donde se considera un diámetro “d ”, equivalente para los suelos cohesivos tal y como se muestra en la Tabla A-3.8. T A B L A A-3.8 D
iá m e t r o s e q u iv a l e n t e s a s u e l o s g r a n u l a r e s , p a r a s u e l o s c o h e s iv o s
P e s o volumétrico del material seco, en ton/m 3
< 1.2 1.2-1.6
1. 6 - 2.0 2 . 0 - 2.5
Dimensiones del diámetro equivalente en suelos granulares cm Arcillas g suelos altamente plásticos
1 4
8
10
Suelos medianamente plásticos
0.5 2
8 10
Suelos d e alu vión y arcillas margosas
0.5 2 3
6
386
APENDICE III
Cabe aclarar que el tiempo es otro factor importante que debe ser tomado en cuenta, ya que la degradación del fondo en un suelo cohesivo tarda más que en un suelo arenoso. Así, es probable que durante el tiempo que tarda la avenida no se alcance la profundidad obtenida mediante el cálculo. Por este motivo conviene tomar como gasto de diseño el que se presenta durante una avenida con un pe riodo de retomo más corto. Como puede observarse, para Yaroslavtziev la profundidad de pende principalmente de la velocidad media del tirante, de las ca racterísticas de la pila y del material de que está formado el fondo, pero para él no existe un límite en la socavación. Los estudios realizados por Yaroslavtziev presentan dos ventajas notables que son que permiten valuar aproximadamente la profundi dad de la socavación cuando el material del fondo es cohesivo y que incluyen el estudio de pilas no tratadas por otros investigadores como los tipos IV , V y V II de la fig. A-III.7. Las geometrías estudiadas por él se ven complementadas con las pilas de forma lenticular e hidrodinámica estudiadas por Schneible y Tisón. Su método permite también considerar estratos con boleos en el cauce. C.
Comparación entre los m étodos d e Laursen-Toch y Yaroslavtziev En la fig. A-III.10 se muestra gráficamente una comparación entre los campos de aplicabilidad de los métodos propuestos por
FIG. A-III.IO. Gráfica que muestra las zonas de aplicabilidad de los métodos de Laursen - Toch y Yaroslavtziev
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
387
Laurscn y Toch y por Yaroslavtziev, que se trataron en los párrafos anteriores. La comparación se refiere tanto a lo que indican los autores respectivos, como a los resultados a que condujeron las experiencias realizadas en la División de Investigaciones de la Facultad de Inge niería de la Universidad Nacional Autónoma de México. Se dibuja la gráfica correspondiente al criterio de Laursen-Toch, obtenida aplicando la expresión (A -3.13) para diferentes valores de H / b . También se muestran tres curvas obtenidas aplicando la expre sión A -3 .15 de Yaroslavtziev, para w lores de e iguales a 1, lo que corresponde al cauce de avenidas y v2/ g b igual a 0.05, 0.1 y 0.2, respectivamente. Con línea punteada se muestra la línea de soca vación máxima observada en las experiencias realizadas en Méxi co, de que antes se habló. Como se ve en la figura, pueden delimitarse diversas zonas de interés. Arriba de la curva de Laursen-Toch no se presentan soca vaciones reales, según se desprende de la curva experimental pre sentada para las máximas socavaciones observadas en los experi mentos mexicanos. Abajo de la curva de Laursen-Toch, el método de estos autores no da información, pues S 0 sólo depende de H y de b, en tanto que Yaroslavtziev proporciona valores de socavación que pueden caer en toda la zona bajo dicha frontera, dependiendo de las características del caso; los experimentos mexicanos tienden a con firmar estos valores de Yaroslavtziev para todos los casos en que este criterio da valores de S 0 menores que el de Laursen-Toch. En cam bio. el método del autor ruso no impone límites a la socavación posible, lo cual no fue corroborado por las experiencias, que indica ron una curva correspondiente a la socavación máxima posible en cada caso. Así, el criterio de Laursen-Toch resulta ser un límite superior del de Yaroslavtziev, en el sentido de que si con esta última teoría se calcula una socavación y resulta sobre la curva de LaursenToch. el valor de este último criterio anota la máxima socavación posible en la realidad para ese caso; si el cálculo con el criterio de Yaroslavtziev arroja un punto bajo la curva de Laursen-Toch, la experiencia parece confirmar que el valor obtenido es correcto esencialmente y en ese caso el criterio de Laursen-Toch hubie se sido excesivamente conservador. Nótese que se presenta una zona en blanco, para pequeñas velocidades del agua, en la cual el método de Yaroslavtziev ya no concuerda con la experiencia. También se indica la zona en que el mismo Yaroslavtziev previene posibles errores si la pila está esviajada. D.
Experim entos en el laboratorio d e P oona, In dia3
En la Estación Central de Investigaciones de Agua y Fuerza en Poona, India, se realizaron una serie de ensayos con el fin de encon
388
A PE N D IC E III
trar la profundidad de socavación para una sola pila colocada en el centro de la corriente, en donde el material del fondo estaba for mado por arena uniforme de un diámetro medio de 0.29 mm. Al concluir el estudio se encontró la siguiente expresión |p = 2.30 ( 4 £ - )
( A -3.16)
donde Sr = nuevo valor del tirante después de la socavación b — ancho de la pila, en metros q — gasto unitario en m3/s.m E l ángulo de incidencia es tomado en cuenta al considerar en lugar de b, la proyección de la pila según un plano normal a la dirección del flujo, es decir, el b x de Yaroslavtziev. Según esta fórmula, la socavación no depende de la forma del tajamar. Esto impone una limitación ya que está demostrado que este parámetro tiene influencia en la socavación. Nótese que la fórmula
Socavación general del cauce, des cubriendo los pilotes metálicos de un puente. Socavación de 3.60 m
MECANICA D E SU ELO S (III)
389
no puede ser adoptada para una aplicación general puesto que proviene de una sola experiencia particular, sin una variación sufi ciente de los parámetros que influyen en el fenómeno.
E.
M étod o d e la División d e Investigación d e la F acu ltad d e Ingeniería d e la U N A M '2' 13 y 14
Los estudios experimentales se llevaron a cabo en tres canales y en una instalación para estudios aerodinámicos. En el primer canal se estudió la forma como se inicia y prosigue la socavación, líneas de corriente, etc., y principalmente se realizó la comparación entre los métodos de Yaroslavtziev y Laursen-Toch. En el segundo canal se trató de verificar para otras condiciones, las modificaciones propuestas para la determinación de la socavación obtenida del pri mer modelo. En el tercero se estudió someramente la socavación en gravas y protecciones formadas con pedraplenes y por último, en la
390
A PEN D ICE III
instalaciones para estudios aerodinámicos, se probaron distintos tipos de protección. En las figs. A -III.l, A -III.2 y A -III.3 se encuentran condensadas las observaciones realizadas respecto a las trayectorias de las partículas tanto líquidas como sólidas alrededor del obstáculo, forma de iniciarse el proceso erosivo y los avances sucesivos de la soca vación. Es importante aclarar que todos los valores de la socavación registrados con los que se trabajó, corresponden a los máximos observados, los cuales no siempre se presentan en el mismo sitio de la pila. Esa ubicación depende de la velocidad de la corriente y de si la pila está o no esviajada. Así la magnitud de la socavación cuan do la velocidad es pequeña y apenas se inicia la erosión, es medida en la esquina de las pilas rectangulares y en las zonas laterales a los 65° respecto al eje en las circulares. Para velocidades mayores y siempre que el ángulo de incidencia sea de cero grados, la mag nitud máxima de la erosión es medida en el frente de la pila cual quiera que sea su forma. Si la piL está esviajada, el valor de la socavación (ver fig. A -III.3) podrá ser medido en alguna parte del frente cuando la ve locidad es menor que la crítica de arrastre. Si la velocidad es tal que ya se tiene un arrastre continuo de partículas, la máxima ero sión se mide en el frente de la pila y si la velocidad es mucho mayor, en la esquina no protegida de aguas abajo (esquina c ). En un principio todos los datos obtenidos de cada ensayo para la condición de máxima socavación fueron resumidos en tablas. Con ellos y por medio del análisis dimensional se obtuvieron varios pará metros adimensionales que revelaban al graficarlos alguna depen dencia con la socavación. De entre ellos se obtuvo al final una gráfica para las pilas rectangulares, redondeadas y circulares que concordaba con la mayoría de los valores observados (fias. A -III. 11, A -III.12 y A -III.13). Los parámetros adimensionales que en ellas intervienen son H + So/bi y F 2 = v 2/ g H en los ejes de las ordenadas y abscisas respectivamente y con H /b i como parámetro interior, con lo que se tiene una curva para cada valor fijo de H / b x que se haya selec cionado. Las variables anteriores significan: H — tirante medio aguas arriba de la pila, antes de la erosión So = socavación medida desde el nivel del fondo ¿>i = proyección de la sección de la pila en dirección normal a la corriente v — velocidad media de la corriente frente a la pila.
391
M EC A N ICA D E S U E L O S (III) o ) S> io p>iQ e s t á a f in c a d o c o n e l f t u |0
b ! S i Iq p i t o f o r m a u n á n g u l o $ c u a lq u i e r a s o n l o c o m e n t e , lo s p a r á m e t r o s s o n
e n que b , e s lo p r o y e c c ió n d e l a p ü o s o b r o u n p la n o p e r p e o d ic u k i f a l f l u j o E l c o e f i c i e n t e f e es v a r ia b le y depende d e i á n g u lo d e i n c id e n c ia
451.45
IV
125 S IM B O A re n a A re n e A re n a A n g u lo
FIG. A-lII. II.
P ila recta n g u la r
LO S n e g r o , d iá m . p a r d a , d lá « . r o e a , d iá m . a # in c id e n c ia
* 0 .1 T m m » 0 .5 4 " i" * t.S O « e < ^>15*
392
A P E N D IC E III o ) S i la p i l a a s ió a lin e a d a c o r
•iflgjó:
b ) S i to p i l a fo r m a u n á n g u lo + c u o tq u le r o c o n lo c o r r i e n t e , lo s p a rá m e tro s s o n
-T-,
»e •n que: b , e s l o p r o y e c c ió n d o l o p ilo s o b r e g n p lo n o p e r p e n d ic u la r a l t lu |o E l c o e fic ie n te f e o s v a r ia b le y d e p e n d a d « l á n g u lo d t i n c id e n c ia
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4
Angulo t a ¡A cidan do * ' 1 J * A ngula da
FIG. A-I11.12.
P ila red o n d ea d a
* \
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
FIG. A-III.I3.
P ila c irc u la r
393
394
A P E N D IC E III
En general para pilas esviajadas, el parámetro F 2 se debe corre gir y se puede expresar como: p2 = f c j f f
( A -3.17)
en que f c es un coeficiente de corrección que depende del ángulo de esviajamiento, según se indica en las figs. A -III.ll y A -III.12. Un hecho importante que se destaca de las curvas presentadas, las cuales fueron trazadas para materiales cuyos diámetros medios eran 0.17 y 0.56 mm, es que cuando se desea obtener la socavación en un fondo cuyo diámetro medio es 1.30 mm, por ejemplo, la gráfica siempre da valores mayores que los obtenidos; esa diferencia es tanto mayor cuanto menor es el parámetro F-. Cuando este pará metro es mayor de 0.1 ya no se nota la influencia del diámetro. En otras palabras, el diámetro del material claramente influye en el valor de la socavación y su influencia es menor a medida que aumen ta el valor de F 2. Dos son las limitaciones principales con que puede tropezar quien desee utilizar las gráficas propuestas. La primera es que han sido construidas únicamente para tres diferentes formas de pila, una de las cuales sólo tiene interés teórico; esta es la rectangular. Esta forma de pila fue escogida porque es mencionada por la mayoría de los investigadores que han estudiado este problema y los resultados por ellos obtenidos eran muy fáciles de relacionar con los experimentos. También es útil porque con ella se obtienen las máximas socavacio nes, es decir, se tienen las condiciones extremas. La otra limitación es que no se ha hecho intervenir el diámetro del material. Este problema que no es muy grande dentro del inter valo de las arenas en pilas estudiadas en modelos, y que será aun menor en prototipos, sí puede llegar a ser de importancia al tratarse de materiales mucho más gruesos; de todas maneras esta no es una limitación muy seria, debido a que en la mayoría de los casos, los problemas de socavación se presentan en pilas que están en cauces formados por arenas y limos.
A-III.4.
Socavación al pie de estribos
El método que será expuesto se debe a K. F. Artamonov15 y permite estimar no sólo la profundidad de socavación al pie de estri bos, sino además al pie de espigones. Esta erosión depende del gasto que teóricamente es interceptado por el espigón, relacionado con el gasto total que escurre por el río, del talud que tienen los lados del estribo y del ángulo que el eje longitudinal de la obra forma con la corriente. El tirante incrementado al pie de un estribo medido desde la superficie libre de la corriente, está dada por:
S T = P aPriPRH 0
( A-3.18)
395
M EC A N IC A D E S U E L O S (III)
en que P a = coeficiente que depende del ángulo a que forma el eje del espigón con la corriente, como se indica en la fig. su valor se puede encontrar en la Tabla A -3.9 P q = coeficiente que depende de la relación Q í /Q, en que Q i es el gasto que teóricamente pasaría por el lugar ocupado por el estribo si éste no existiera y Q , el gasto total que escurre por el río. E l valor de P q puede encontrarse en la Tabla A -3.10 P R — coeficiente que depende del talud que tienen los lados del estribo, su valor puede obtenerse en la Tabla A-3.11 H 0 — tirante que se tiene en la zona cercana al espigón antes de la erosión. En la fig. A -III.14 se muestra un croquis con una distribución frecuente de estribos.
T A B L A A -3.9 V a lo r e s d e l c o e fic ie n te c o r r e c tiv o
20° 0.84
a
Pa
V
a lo r es del
Q , /Q P<,
0.10 2.00
60° 0.94
Pa
90° 1.00
en
120° 1.07
T A B L A A -3.10 Pq EN FUNCIÓN
c o e f ic ie n t e '
0.20 2.65
0.30 3.22
0.40 3.45
fu n c ió n
0.50 3.67
0.60 3.87
DE
de
150° 1.188
Q j/Q 0.70 4.06
0.80 4.20
a
396
A PEN D IC E III
T A B L A A-3.11 V a lo r e s d e l c o e fic ie n te c o r r e c tiv o P r en
Talud R Pr
0 1.0
0.5 0.91
1.0 0.85
1.5 0.83
fu n c ió n de R
2.0 0.61
3.0 0.50
Como puede observarse en caso de que el cruce del puente se efectúe en forma recta ( a = 90°) y el talud del estribo sea vertical la expresión de Artamonov queda reducida a: S t = P,i H Ij
(A -3.19)
Todo lo anterior se aplica en forma semejante en el caso de espi gones. Unicamente es necesario añadir que en el caso de tener espigo nes construidos en ambas orillas y unos frente a otros, S t se puede reducir a un 75% . Es decir, la expresión A -3.18 puede escribirse como: S t ~ 0.75 P a P r¡ P r H u
( A -3.20)
No se dispone de ningún criterio que permita valuar la erosión cuando el espigón está cubierto por el agua. Sin embargo como el que se ha expuesto da el valor máximo que se puede llegar a pre sentar. conviene considerar en un caso de esos, a Q x como el gasto máximo que puede ser interceptado teóricamente por el espigón hasta la corona deí mismo y sí tomar en la fórmula el tirante H 0 hasta la superficie. Cuando el agua pasa por arriba del espigón es conveniente pro teger todo el lado de agua abajo del mismo, porque es una zona que tiende a ser erosionada. A -III.5.
Métodos para reducir la socavación
A continuación se presentan algunos métodos con base experi mental para reducir la socavación local al pie de pilas y estribos de puente. A.
P rotección contra la socavación local al pie d e pila
Se pueden distinguir dos formas principales para reducir o evitar la socavación. La primera consiste en impedir que el cambio de direc ción de las líneas de corriente se produzca frente a la pila, con lo que se reducen o suprimen los vórtices que se generan en las es quinas. La segunda consiste en hacer que el fondo del cauce alrededor de la pila resista la acción erosiva. Enceste lugar se mencionará una protección de cada tipo.
M EC A N ICA D E SU E L O S (III)
397
Una solución del primer tipo es la propuesta por Levy y Luna, la cual ha sido detalladamente expuesta en los párrafos dedicados a socavación en el Capítulo V III del Volumen II. Una protección del segundo tipo estudiada por Maza y Sánchez Bribiesca'4 consiste en substituir al material del fondo del cauce por Otro más resistente a la erosión. Guijarros, boleo y cantos rodados podrían encontrarse entre los materiales más convenientes. Uno de los resultados más útiles que se encontró al experimentar con fondos formados con material grueso fue que la velocidad reque rida para que la socavación se iniciara era la misma que iniciaba el arrastre de las mismas partículas en cualquier zona del canal. De esta observación fue posible fijar un criterio para dar el tamaño del enrocamiento protector, va que se pudieron aprovechar los estudios que se han realizado sobre el inicio del arrastre de partículas. A continuación se presenta en forma resumida una serie de reco mendaciones obtenidas durante las pruebas efectuadas para esta clase de protección, tanto con aire como con agua. a ) De preferencia el boleo debe ser todo de un diámetro uni forme y si eso no es posible, el diámetro mínimo debe ser mayor que el especificado en cada caso (T ab la A -3 .1 2 ). b ) La protección tendrá que estar formada por un mínimo de tres capas, ya que de lo contrario el material del fondo es extraído entre los huecos y el cono erosionado se produce de la misma manera. E l espesor de la protección no debe ser menor que el ancho de la pila. c) Con el fin de no reducir el área hidráulica útil de la sección transversal bajo el puente se recomienda colocar el boleo bajo el nivel inferior que puede alcanzarse durante la socavación general. d ) Esta protección sirve cualquiera que sea el ángulo de inci dencia de la corriente. Cuando se tiene la certeza que el ángulo de incidencia es de 0 o se puede colocar la protección únicamente en el frente de la pila. Cuando la corriente incide con cualquier ángulo y por cualquier lado, hay que rodear a la pila con el pedraplén. A los lados de la pila en su parte central se ha visto que se puede disminuir la profundidad de protección a la mitad del ancho de la pila. Se realizaron además varias pruebas en las que las piedras eran co locadas directamente sobre el fondo actual, formando un amontona miento alrededor de la pila y se observó que no se producía una ero sión frente al talud de piedras. Unicamente cuando la erosión general ha producido un descenso del fondo adyacente se presentan derrum bes y reacomodos. Si la erosión general es muy grande, al derrum barse el cono del pedraplén puede quedar una o dos capas de piedra
398
A PE N D IC E III
T A B L A A-3.12 D
m ín im o , e n c m , d e l o s f r a g m e n t o s d e l e n r o c a m ie n t o DE PROTECCIÓN, EN FUNCIÓN DE SU PESO ESPECÍFICO Y DE LA VELOCIDAD DE LA CORRIENTE
iá m e t r o
V elo cid a d d e la corrien te m /s
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 40 4.5
P eso es p ec ífic o d el en rocam ien to (k g /m ') 1600
1S00
2000
2200
8 15 18 27 38 53 68 86
8 13 16 24 34 46 60 77
7 12 15 21 31 42 54 69
6 11 13 19 28 38 50 63
2400
6 10 12 18 26 35 46 58
en la parte cercana a la pila, hecho que permite que el material del fondo sea absorbido por los vórtices del frente de la pila y se inicie la erosión local. Por este motivo sólo podrá ser útil la colocación de este tipo de protección en aquellos casos en que la socavación general sea mínima y siempre colocando una cantidad extra de piedras que ocupen la parte inmediata a la protección al descender el fondo. La ventaja de colocar la protección directamente sobre el fondo actual es que generalmente este procedimiento resulta más económi co; sin embargo, no se recomienda. B.
P rotección contra la socavación al p ie d e estribos
Para el caso de los estribos se puede utilizar un pedraplén en forma análoga a la descrita para las pilas, aunque existe una mejor solución, que consiste en construir espigones que orienten el flujo del agua, en cauzándola de manera que no produzca erosión. Este tema cae fuera del objeto de este libro, por lo cual no será tratado en él. N o t a . Este anexo se ha elaborado con base en el trabajo que bajo la dirección del
Prof- José L. Sánchez Bribiesca ha realizado el M. en I. José A. M aza A lvarez como Tesis para la obtención del grado de M aestro en Ingeniería. E l trabajo fue realizado en la División de Investigaciones de la Facultad de Ingeniería de la U N A M .
M E C A N IC A D E SU ELO S (III)
399
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A PEN D IC E III
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APENDICE IV ARCILLAS EXPANSIVAS A -IV .l
Generalidades
Modernamente ha cobrado importancia el estudio del comporta miento de las arcillas expansivas en vista del creciente número de obras en las que es necesario trabajar con ellas. Como su nombre lo implica, arcillas expansivas son aquellas que son susceptibles de sufrir un apreciable aumento de volumen durante la construcción o la operación de una estructura. En el Volumen I se estudió la compre sibilidad de las arcillas en general y en el Volumen II se hizo aplicación de esos estudios al cálculo de asentamientos y aún, dentro de lo que hoy es posible, de las expansiones. Se mencionó que una arcilla tiende siempre a la expansión volumétrica al ser aliviada de cargas preactuantes; las características de expansividad guardan es trecha relación con las de compresibilidad, pudiéndose hacer la afir mación de que las .arcillas más expansivas en descarga son también fuertemente compresibles en proceso de carga en la rama virgen de su curva de compresibilidad. La disminución de los esfuerzos efectivos, como quiera que se produzca, es el factor que más coadyuva a pro voca expansión, siempre que exista la posibilidad de que el suelo tome agua y transcurra el tiempo necesario para que el fenómeno se desarrolle; existen, sin embargo otros factores que influyen en la ex pansividad de las arcillas, aún cuando no varíen las cargas superfi ciales o aún que aumenten; estos factores se describirán brevemente en este apéndice. Tanto la compresibilidad como la expansividad de los suelos se han estudiado hasta la fecha prácticamente con la sola ayuda de la prueba de consolidación estándar (Capítulo X del Volumen I ) , es de cir, atendiendo únicamente a su proceso de deformación unidimensio nal; poco trabajo se ha hecho en relación a los cambios volumétricos que ocurren en las arcillas bajo esfuerzos cortantes actuando adicio nalmente a esfuerzos normales, como sería el caso de estudios efectua dos en pruebas triaxiales bajo diferentes trayectorias de esfuerzos. Al considerar esfuerzos normales y cortantes combinados resulta conve niente referir los estados de esfuerzos a los llamados esfuerzos octaé dricos (el esfuerzo normal octaédrico es simplemente el promedio aritmético de los esfuerzos principales (Ti, a 2 y ff3), el esfuerzo cor tante octaédrico está dado por la expresión 401
A PEN D ICE IV
402
Toct -
-j-y
( c i — cr2 ) 2 + ( f f 2 — cr3 ) 2 + (
:
estos esfuerzos pueden interpretarse como un promedio de los esfuer zos normales y tangenciales, respectivamente y son los esfuerzos normal y tangencial que obran en un plano igualmente inclinado con respecto a las tres direcciones principales, es decir, un plano cuya normal tiene cosenos directores 1/V3 con respecto a un sistema co ordenado alineado con las direcciones principales. El hecho de que al considerar el espacio
M ECAN ICA D E SU E L O S (III)
403
valeccn sobre el comportamiento de arcillas expansivas, adolecen de esta limitación. La expansión de arcillas sujetas a estados tridimensionales de es fuerzos en cámara triaxial fue estudiada principalmente por Henkel1 y2 en el Colegio Imperial de la Universidad de Londres. Una interpretación teórica de sus resultados ha sido presentada por Juárez-Badillo3. El análisis teórico consiste en dar forma matemática a las ideas apenas esbozadas arriba.
A-VI.2
Identificación de las arcillas expansivas
Como se indicó en el párrafo anterior, la prueba de consolidación estándar es prácticamente la única que se ha usado extensamente has ta el presente para estudiar la compresibilidad y expansibilidad de las arcillas. En un trazo semilogarítmico de e - p, la curva virgen de compresión se aproxima mucho a una línea recta y la compresibilidad del suelo está adecuadamente descrita por el índice de compresibili dad, C c definido por la ecuación. e = e a — C c log ~
Po
la cual se estudió en el Capítulo X del Volumen I. La curva de ex pansión se asemeja menos a una línea recta, pero aún puede conside rarse como tal, al menos para grados de preconsolidación no muy altos. Esta curva de expansión también puede representarse, por lo tanto, por una expresión de la forma. e = e 0 — C s log - ~
Po
en donde C* es el llamado índice de expansibilidad. Este es el índice que se ha usado para cuantificar el grado de expansibilidad de una arcilla. En la práctica puede afirmarse que a un mayor C c, correspon de un mayor C s. Como en el caso de la compresibilidad, se ha encontrado que la expansibilidad depende del tipo de mineral d e arcilla que la componga y que esa expansibilidad aumenta en el orden caolinita, ilita, montmorilonita. Los cationes de absorción juegan un papel muy importante en la expansibilidad (como en la compresibilidad). El Li+ y el Na+ son los cationes que producen la expansibilidad mayor, mientras que el Fe+^ es de los que producen la expansibilidad menor. En la práctica se ha adoptado como una medida relativa de la ex pansibilidad de úna arcilla el incremento de volumen, expresado en porcentaje, del volumen total inicial de una muestra secada al aire y puesta a saturar en un consolidómetro estándar bajo una presión de 0.7 ton/m2 (1 lb/pulg2). El criterio cuantitativo anterior se ha corre
404
APENDICE IV
lacionado con el contenido coloidal (porcentaje de partículas menores que 0.001 m;n), el índice de plasticidad y el límite de contracción. Estos tres conceptos proporcionan una identificación adecuada para fines prácticos. La Tabla A-4.1 es la que propone W . G. Holtz4, para la identificación de las arcillas expansivas. TA BLA A-4.1 D a t o s p a r a e s t i m a r e l c a m b io v o l u m é t r i c o EN MATERIALES EXPANSIVOS
p r o b a b le
D atos d e pru ebas d e identificación C onten ido co lo i d a l (% < 0.001 mm)
> 28 20-31 13-23 < 15
A-IV.3.
In dice d e plasti cidad
>35 25-41 15-28 < 18
E xpan sión p ro b a b le. C am bio volum étrico en Lím ite d e con % (se co a sa tracción turado) < 11 7-12 1 0 - 16 > 15
> 30 20-30 10-20 < 10
G rado de expansión
Muy alto Alto Medio Bajo
Efecto de las construcciones sobre arcillas expansivas
Un caso frecuente en la práctica en donde se tienen problemas involucrados a arcillas expansivas es el de las construcciones en man tos superficiales de arcilla que han estado sujetos a períodos largos de evaporación. Debido al efecto de la evaporación, el agua cerca de la superficie trabaja a tensión, induciéndose un flujo ascendente. Su poniendo que de no existir la evaporación el nivel freático coinci diera con la superficie del terreno, el efecto de la evaporación hace que en una cierta profundidad, la distribución de presiones no sea la hidrostática sino la correspondiente a un flujo ascendente y que la magnitud de los esfuerzos en el agua sea de tensión. Lo anterior hace que el punto de presión nula (nivel freático) se abata. Si la evapora ción es de suficiente intensidad, la costra superficial puede aun llegar a estar solo parcialmente saturada (arcilla desecada). Si con las condiciones anteriores, se construye una estructura, el efecto sobre la arcilla localizada bajo la obra, en el área ocupada por la misma, es el de suprimir prácticamente la evaporación. Esto hace que, con el tiempo, el flujo ascendente tiende a restituir las presiones normales correspondientes al caso de no tener evaporación; es decir, la distribución de presiones neutrales tenderá a la hidrostática con nivel freático en la superficie del terreno. Lo anterior causa que las presiones efectivas disminuyan fuertemente con la consiguiente expan
MECANICA DE SU ELO S (III)
405
sión del material bajo el área cargada (excepto en el caso de que el peso de la edificación compense la disminución de los esfuerzos efecti vos, caso que por otra parte no es el más común). Esta expansión producirá levantamientos en la edificación, que serán mayores en la zona central del área cargada y menores en las zonas de la periferia En la discusión anterior se ha supuesto que la altura potencial de as censión capilar del suelo es mayor que la profundidad del nivel freá tico bajo la superficie del área cargada. Esta expansión de la arcilla ocurrirá aun en época de sequía, ya que es motivada sólo por la cons trucción de la edificación. Los cambios climáticos así como el aprovi sionamiento superficial de agua (como por riego o fuga de agua de una tubería) pueden dar lugar a expansiones y a compresiones perió dicas de la arcilla bajo cimientos poco profundos.
A-IV.4
Levantamientos y asentamientos de estructuras
Las expansiones y compresiones del suelo en los ciclos de humedecimiento y secado antes mencionados pueden causar daños apreciables en las estructuras que se construyan sobre aquél; en especial las za patas y las losas poco profundas son susceptibles a esos cambios. La magnitud de las expansiones depende de las cargas actuantes sobre el suelo y es obvio que aquéllas serán mayores cuanto menores sean éstas. Por lo general, los levantamientos debidos a expansiones son causa de problemas más serios que los asentamientos convencionales, debido a que son más difíciles de corregir una vez que han ocurrido. En la práctica cuando se sospecha un problema de arcillas expan sivas lo primero que debe hacerse es utilizar la Tabla A-4.1, que dará idea de la magnitud del fenómeno que se enfrenta. Una vez que se sabe que existirá un problema importante de expansibilidad, deberán hacerse pruebas de laboratorio más serias; la prueba de consolida ción estándar es la más común. Las muestras a obtener deberán ser realmente representativas, usándose muestras lo más inalteradas que sea posible, cuando se trabaje con suelos naturales y muestras compactadas guardando todas las similitudes con el prototipo, cuando se quiera medir expansiones de estructuras hechas con suelos que habrán de compactarse en el prototipo; en estas últimas pruebas po drán usarse muestras inalteradas, en las que se conserve, sin embargo, el contenido de agua original, pues el secado puede producir cambios irreversibles en la estructura del material. Al preparar los consolidómetros con los especímenes debe de cui darse de no modificar la estructura de la arcilla ni su contenido de humedad, por las mismas razones. Un factor muy importante es la secuencia de humedecimiento y carga a que se someta la muestra durante la prueba, pues ésta deberá representar fielmente a la que tendrá lugar en el prototipo. Se obtie nen diferencias fuertes en las características de expansibilidad de una
406
APENDICE IV
arcilla según que, durante la prueba, la carga preceda al humedecímiento o que éste tenga lugar antes que el proceso de carga. Por ejemplo, si la cimentación de una estructura va a quedar cargada antes de que ocurra el humedecimiento de su suelo de cimentación, los es pecímenes deben cargarse antes de permitir su humedecimiento; reci procamente, si el terreno de cimentación tiene un nivel freático alto, de manera que la arcilla se expanda antes de que la carga de la estructu ra actúe, las muestras deberán saturarse por completo antes de ser cargadas. Como ilustración ‘de las diferencias anteriores, se presenta la grá fica de la fig. A -IV .l4, en la que se muestran curvas típicas de la re lación cambio de volumen-carga de una misma arcilla expansiva.
FIG. A-IV.l. Efecto de la secuencia humedecimiento ■carga en uno arcilla etpansiva
La curva A muestra el efecto de humedecer primero el suelo bajo una carga de 0.7 ton/m2 (1 lb/pulg2), dejándole que absorba teda el agua que desee, para cargarlo posteriormente en incrementos, de modo que se consolide la muestra bajo cada incremento, obteniéndose volúmenes decrecientes a medida que aumenta la carga aplicada en cada incremento. La curva B, por el contrario, se ha obtenido cargan do primero el espécimen a una carga inicial tal que contrarreste la tendencia dé la expansión de la muestra, de manera que al ponerla en condiciones de absorber agua, no lo haga bajo esa carga; si ahora esa carga se reduce (en decrementos) se obtiene la curva B, expandién dose el suelo según va absorbiendo agua bajo cargas decrecientes.
M ECANICA D E SU ELO S (III)
La curva C muestra las expansiones que se obtienen para ja arcilla sujeta a prueba cuando el espécimen se carga primeramente a una cierta presión intermedia cualquiera y posteriormente se per mite que tome agua, hasta llegar a una condición de equilibrio; esta curva permite conocer que expansión llegará a tener la arcilla pro bada cuando absorba agua sujeta a diferentes cargas. Nótese que, como se había anticipado, la expansión final es menor cuanto mayor sea la carga a que está sujeta la arcilla. La curva C , contiene el primer punto de la A , puesto que este indica la expansión de la arci lla cuando se satura bajo carga de 0.7 ton/m2, condición común para ambas curvas; también contiene el primer punto de la curva B, pues en éste la arcilla se dejó expander bajo la presión d e expansión en ambos casos. En una obra pueden distinguirse, como es sabido, las etapas de construcción y de vida útil de la estructura. En la primera, depen diendo sobre todo del clima, puede producirse secado o humedecimiento del suelo sobre el que se apoyará la estructura. Durante la vida útil el contenido de agua del suelo bajo la obra suele, por lo general, aumentar. Para precisar mejor la magnitud de las expansio nes que puedan llegar a producirse será preciso anticipar estas condi ciones reales de secado o humedecimiento, a fin de reproducirlas en los especímenes de prueba, antes de cargarlos y de permitir su expan sión. Resulta obvio que los mayores problemas de expansión ocurren cuando durante la construcción tiene lugar un secado del suelo de apoyo, en tanto que si éste se satura antes de terminar la obra, las expansiones serán menores y aún podrán llegar a convertirse en com presiones que dan lugar a asentamientos. Los problemas más graves de expansión se producen en estructuras extensas que comunican cargas pequeñas al suelo y en las que éste esté sujeto a condiciones que impliquen su saturación con el tiempo; por ejemplo, las zapatas ligeras, recubrimientos de concreto para canales, paredes o pisos de piscinas, etc. Entre los métodos más populares y exitosos que se han empleado para reducir a un mínimo los problemas de expansión en estructuras ligeras, pueden mencionarse los siguientes: 1. Puede sobreexcavarse la sección por excavar y rellenar el espacio generado con material granular en una cantidad sufi ciente como para impedir la expansión por el peso del relleno. El tratamiento es especialmente eficiente si el relleno se coloca después de que se haya producido por lo menos parcialmente la expansión esperada; en este caso habrá que cuidar el asen-, tamiento que pudiera presentarse en el material expandido', bajo cargas relativamente importantes. 2. Pueden tomarse precauciones para impedir el aumento del! contenido de agua en el terreno de soporte. Para ello se haxu
408
A P E N D IC E IV
usado, especialmente en canales y estructuras similares, recu brimientos plásticos y asfálticos entre las losas de concreto y el terreno, juntas flexibles impermeables, etc., pero en ge neral es difícil poder confiar en que por mucha que sea la protección que se adopte para el suelo vaya éste a permanecer realmente protegido. 3. Puede tratarse al suelo con algún procedimiento que lo haga menos expansivo. E l método más elemental consiste en remoldear el suelo hasta una cierta profundidad y volverlo a colocar compactado a humedad mayor que la anterior ori ginal y con un peso volumétrico menor que el que tenía antes en el lugar; el suelo resulta así ser menos expansivo. E l pro cedimiento anterior requiere un estudio cuidadoso de las pro piedades mecánicas del suelo así obtenido para verificar que la estructura no sufra asentamientos o que el propio suelo no pierda capacidad de carga o características de buen soporte, antes de que empiece a operar el mecanismo de la expansión. Otros procedimientos comunes para restar expansividad al suelo consisten en la adición de cal o cemento en la propor ción conveniente; el buen mezclado de suelo y aditivo suele ser el aspecto básico a cuidar en estos tratamientos, hoy faci litados por la puesta en uso de mezcladores mecánicos de excelente rendimiento. 4. Pueden disminuirse mucho los malos efectos de la expansión de los suelos con el uso de elementos estructurales apropiados y flexibles que se adapten a los movimientos impuestos sin sufrir daños. Estos diseños constituyen un problema estruc tural y, por ello, no serán detallados en este lugar. Si las cargas que transmite la estructura son de magnitud mo deradamente importante, además de los cuatro procedimientos arriba vistos se ha hecho uso de los dos siguientes: 1. Concentrar las cargas que envía la estructura al subsuelo en zapatas, que transmitan una presión tal, que impida su levan tamiento por expansión 2. Usar pilotes, pilas y cajones de cimentación apoyados en es tratos no sujetos a fenómenos de expansión. En este caso deberá cuidarse la tensión que se producirá a lo largo del fuste de los elementos de cimentación cuando se expanda el manto arcilloso superior; para ello se ha recurrido a en sanchar la base de los pilotes o pilas y a reforzar conve nientemente sus conexiones con el resto de los elementos de cimentación
M ECANICA DE SUELOS (III)
409
En estructuras pesadas a veces no es necesario tomar medidas especiales para evitar expansiones, ya que la carga que se trans mite al terreno pone a la estructura a cubierto de movimientos ver ticales ascendentes; sin embargo, deben siempre efectuarse pruebas de expansión bajo las cargas reales, para verificar que la cimenta ción diseñada no estará sujeta a levantamientos perjudiciales. Una solución que se ha usado frecuentemente en muchos pro blemas conectados con la expansión en estructuras relativamente ligeras de naturaleza no hidráulica (edificaciones, por ejemplo), con siste en hacer la cimentación a base de algún elemento que quede libre de los movimientos de expansión superficial, bien sea por apo yarse en un manto no expansivo o bien por transmitir suficiente presión como para contrarrestar el levantamiento, en la forma ya citada en otras soluciones antes mencionadas; los restantes elemen tos estructurales deberán construirse en forma tal que no se apoyen directamente en el suelo, sino que dejen entre ellos y el suelo un colchón de aire por el que éste circule libremente. El efecto de este aire es permitir la evaporación normal del suelo, tal como existía antes de colocar la estructura; así el suelo pierde la más común causa de saturación y ya no sufrirá expansiones por conservarse en la frontera con el aire los meniscos en los canalículos del suelo, garan tizándose así la permanencia del estado de tensiones en el agua, producto de la evaporación y, correspondientemente, de los esfuer zos efectivos actuantes en la estructura de la arcilla, que garantizan la inexistencia de expansiones apreciables.
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INDICE Página P rólogo P
de
lo s
au to res
.
ix xi
rólogo
Capítulo I.
P
r in c ip io s t e ó r ic o s f u n d a m e n t a l e s
I-I. Intro d u cció n .......................................................................................... 1- 2 . Límites de validez de la ley de D a r c y ..........................................
1-3. Ecuaciones hidrodinámicas que rigen el flujo a través de los suelos ................................................................................................... 1-4. Solución de la ecuación de L a p la c e .......................................... 1-5. Soluciones matemáticas a los problemas de flujo . - . La T eo ría de la Sección T ran sfo rm ad a ................................... A nexo I-a. Ecuaciones hidrodinámicas que gobiernan el flujo. Potencial de v e l o c i d a d ...................................................................... ...... A nexo I-b. La función flujo ( * = c t e ) ........................................................ Anexo I-c. Soluciones rigurosas a los problemas de flujo . .
16
Capítulo II.
III-1. III-2. III-3. III-4. III-5.
5 9
12 13 16 23 25
T e o r ía de la s re d e s de f l u j o
I I-1. La red de f l u j o .................................................................................... II-2. T razo de la red de flujo. Cálculo del g a s t o ............................ II-3. Superficies libres a la presión atm o sférica ................................... II-4. Cuadrados s i n g u l a r e s .......................................................................IL 5. Cálculo de las presiones hidrodinámicas en una red de flujo II-6. Cálculo de velocidades y gradientes hidráulicos.en....los pun tos de una red de f l u jo II-7. Fuerzas de filtración. Gradiente crítico de ebullición II-8. E fecto del flujo sobre muros de retención . II-9. E fecto del flujo sobre ta lu d e s ........................................... II-10. E fecto del flujo sobre una tablestaca anclada . II-11. Flu jo de agua a través de formaciones heterogéneas A nexo Il-a. Casos especiales de flujo a través de un talud . . . . Anexo Il-b. E fectos del flujo en la estabilidad de una tablestaca anclada A nexo II-c. Flujo de agua a través de suelos estratificados . . . .
Capítulo III.
1
4
F lu jo
de ag u a a
tra v é s
de p resas de tie r r a
In tro d u c c ió n .................................................................................... Condiciones generales de entrada y salida de la línea de corriente s u p 'e r i o r ............................................................................. La T eo ría de D u p u i t ...................................................................... Solución de Schaffernak y V a n Iterson para la linea de corriente superior en una presa de t i e r r a .............................. Solución de L. Casagrande para la línea decorriente su perior en una presa de tierra, a = < 6 0 .
411
31 33 37 37 40 4? 42 47 49 53 53 57 61 64
III-6. III-7. III-8. III-9. 111-10. III-11. III-12. Anexo Ill-a. Anexo IH-b. Anexo III-c. Anexo Ill-d.
C a p ítu lo I V .
Solución de Kozeny para la línea de corriente superior en una presa de tierra a = 1 8 0 ° ...............................................87 Solución de A. Casagrande para la linea de corriente su perior en una presa de tierra. 60° < a < 180° . . . 89 Influencia de un tirante de agua en el talud aguas abajo de la presa en la solución de A. Casagrande para 60° <" a < 180°. ' . . . . . ......................................................94 Condiciones de transferencia de la linea de corriente su perior ................................................................................................................ 95 Flujo no e sta b le cid o ...................................................................................95 Influencia del vaciado rápido en la estabilidad de una pre sa de t i e r r a .................................................................................................. 97 Control de flujo en la cimentación de presas . . . . 98 Algunas aplicaciones de la T eoría de Dupuit . . . . 102 Análisis de las condiciones de transferencia de la linea de corriente s u p e r i o r ...................................................................................110 V aciado r á p i d o ......................................................................................... 117 Control de flujo en la cimentación de presas . . . . 129
A n a l o g ía s y o t r o s m é t o d o s a p r o x im a d o s PARA RESOLVER PROBLEMAS DE F L U JO
IV -1. IV -2 . IV -3 . IV -4.
C a p ítu lo V .
In tro d u c ció n ................................................................................................ 143 E l método de analogía eléctrica con papel conductor . . 144 E l método de analogía eléctrica con m a lla s ..................................150 Modelos de la b o ra to rio .......................................................................... 158
E l m ét o d o d e r e l a ja c io n e s pa r a r e s o l v e r PROBLEMAS DE F L U JO
V -l. V -2 . V -3.
I n t r o d u c c i ó n ........................................................................................ 161 L a ecuación de L ap b ce expresada en diferencias finitas . . 161 Planteamiento del método de las relajaciones. Relajación n o d a l ......................................................................................................166 V -4 . Sobre-relajación y su b -re la ja c ió n ...............................................169 V -5 . Relajación en g r u p o ...................................................................................171 V -6 . Relajación en nodos de frontera. E je s de simetría . . .172 V -7. Influencia del tamaño de la c u a d r íc u l a .........................................175 V -8. Aplicación.del método de la relajación en suelos anisótropos y en suelos heterogén eos...................................................................176 V -9 . Superficies l ib r e s ..........................................................................................178 V -10. O tras aplicaciones del método de relajaciones . . .179
C a p ítu lo V I . V I - 1. V I-2. V I-3. V I-4 . V I-5 . V I-6 . Anexo V l-a . Anexo V l-b .
D r e n a je y s u b d r e n a je e n c a r r e t e r a s
Y AEROPISTAS
In tro d u cció n .................................................................................................185 D renaje s u p e rfic ia l...................................................................................186 Necesidad del su b d re n a je .....................................................................194 Subdrenaje en a e ro p is ta s .................................................................... 197 Subdrenaje en c a r r e t e r a s .................................................................... 203 Agua capilar en carreteras y a e r o p i s t a s ................................. 216 Consideraciones geotécnicas para el diseño y construcción de alcantarillas fle x ib le s .........................................................................219 Consideraciones geotécnicas para el diseño y construcción de alcantarillas r í g i d a s ...................................................................... 225
M ECANICA D E SUELO S (III)
413
V I-b .l Estudio de cargas m u e rta s ........................................... 225 V I-b .2 Estudio de cargas v i v a s ............................................. 236 Anexo V I-c. Análisis del proceso de drenaje en bases de aeropistas . V I-c .l Bases h o r iz o n t a le s ................................................................................ 240 V I-c.2 Bases con pendiente t r a n s v e r s a l .....................................................245
Capítulo V II. V I I-1. V II-2. V II-3. V II-4. V II-5. V II-6. V II-7. V II-8. V II-9. V II-10. V I I - 11. V I I - 12. V II-13. V I I - 14. A nexo V il-a . V II-a .l V II-a.2 V II-a.3 V II-a.4 V II-a.5 V II-a.6 Anexo V lI-b. V II-b .l V II-b.2 V II-b.3 V II-b.4 V II-b.5 V II-b.6 V II-b.7 Anexo V II-c. V I I-c .l V II-c.2 V II-c.3 V II-c.4 Anexo V ll-d . V II-d .l VII-d.2
P o z o s DE BOMBEO Generalidades y d e fin ic io n e s ............................................................. 251 Reseña h i s t ó r i c a ........................................................................... >255 Flujo establecido unidireccional en acuíferos artesianos 258 Flujo establecido radial en pozos con penetración total en acuíferos a rte sia n o s......................................................................... 259 Flujo establecido radial en pozos con penetración parcial en acuíferos a rte sia n o s..........................................................................264 Flu jo establecido radial en pozos con penetración total en acuíferos l ib r e s ................................................................................. 267 Flujo establecido radial en pozos con penetración parcial en acuíferos l i b r e s ..................................................................................270 Abatimiento del nivel freático en la inmediata vecindad de un pozo en un acuífero libre con flujo establecido . . 270 Pérdidas de carga en los pozos de bombeo . . . . 272 Acuíferos limitados por una frontera infinita con agua permanente. Método del pozo i m a g e n ........................................ 274 Conjuntos de pozos de b o m b e o ...................................................... 281 Pozos de r e c a r g a ..................................................................................283 Flujo no establecido hacia pozos de bombeo . . . . 285 Construcción de pozos de bombeo y exploraciones para detección de agua s u b t e r r á n e a ...................................................... 286 Pruebas de b o m b e o ........................................................................... 286 Descripción de la p r u e b a .............................................................286 Observaciones e sp e c ia le s.................................................................... 288 Ejecución de la p r u e b a ....................................................................288 Presentación de d a t o s ...........................................................................290 Posibles a p lic a c io n e s ...........................................................................290 Casos de flujo establecido y no establecido . . . . 292 Problemas de flujo no establecido hacia pozos de bombeo 292 Planteamiento del p r o b le m a .............................................................292 Forma general de las soluciones. Análisis dimensional . 299 Clasificación de p r o b l e m a s ............................................................. 301 Flujo confinado y semiconfinado. Generalidades . . . 302 Flujo confinado y semiconfinado. Acuíferos horizontales de espesor c o n s t a n t e ...........................................................................303 Acuíferos inclinados y lo de espesor variable . . . .311 Flujo no confinado. Acuiferos l i b r e s ........................................ 311 Construcción de pozos de b o m b e o ............................................... 311 G e n e r a lid a d e s .................................. 311 Pozos poco p r o f u n d o s .................................................................... 312 Pozos p r o f u n d o s ..................................................................................313 Acabado del p o z o ..................................................................................315 Exploraciones para detección de agua subterránea . 316 Exploración s u p e r f i c i a l .................................................................... 316 Exploración p ro fu n d a ...........................................................................317
.
240
414
INDICE
C a p ítu lo V I I I .
A b a tim ie n to d e l n iv e l f r e á t i c o
EN EXCAVACIONES
V III-1. VIII-2. VIII-3. A p é n d ic e I . A -I.l A-I.2 A-I.3 A-I.4
T e o r ía de g r ie ta s d e te n s ió n Introducción............................................................................................... 329 Esfuerzos generados en una masa de arcilla saturada por evaporación s u p e r f ic ia l.............................................. 332 Esfuerzos inducidos en la masa de arcilla al ser anulada la tensión natural producida por evaporación superficial . . 339 Aplicación de la teoría de grietas de tensión al caso del Valle de M é x i c o ......................................................................................342
A p é n d ic e I I . A -II.l A-II.2 A-II.3 A -II.4 A p é n d ic e I I I . A -III.l A -III.2 A -III.3 A -III.4 A -III.5 A p é n d ic e I V . A -IV .l A -IV .2 A -IV .3 A -IV .4
I n d ic e
In tr o d u c c ió n ..................................................................................... 321 Métodos sencillos para control de flujo hacia excavacio nes poco p ro fu n d a s ........................................... .... 322 Métodos modernos comunes para control del flujo de agua hacia e x c a v a c io n e s ...........................................................323
E le c tr ó s m o s is G e n e r a lid a d e s .....................................................................................347 Cambios en el contenido de aguadel suelodurante el fenó meno electrosm ótico 352 Formación de grietas y f i s u r a s ................................................... 355 Aplicaciones de la electrósmosis a laingeniería . . 356 S o c a v a c ió n Tipos de so c a v a ció n ...............................................................361 Socavación general del cauce ............................................. 366 Socavación local en las pilas de los puentes. . . . 378 Socavación al pie de e s t r ib o s .......................................... 394 Métodos para reducir la s o c a v a c ió n ............................. 396 A r c i l l a s e x p a n s iv a s Generalidades ................................................................ 401 Identificación de las arcillas e x p a n s iv a s .......................403 Efecto de las construcciones sobre arcillas expansivas . 404 Levantamientos y asentamientos de estructuras . . . 405
...................................................................................................................................... 411
ESTA O B R A SE TER M IN O DE IM PRIM IR EL D IA 15 DE E N E R O DE 1974, EN L O S TA LLER ES DE L IT O G R A F IC A IN G R A M E X , S. A ., C E N T E N O 162,
M E X IC O 13, D . f .
LA E D IC IO N C O N S T A DE 1,000 EJEM PLA R ES Y SO B R A N T E S PARA R E P O S IC IO N . K E-75