Mecánica de Suelos Aplicada

SEP Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica Instituto Tecnológico de Tehuacán

Libro: Mecánica de Suelos II

Rodolfo Crescenciano Medrano Castillo

Reporte final del año sabático Dictamen No. AS-1-152/2007 29/enero/2007 a 28/enero/2008

PRÓLOGO

El presente texto tiene la finalidad de brindar un apoyo a los alumnos que estudian la materia de Mecánica de Suelos II de la carrera de Ingeniería Civil en el Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica, en forma particular a los alumnos del Instituto Tecnológico de Tehuacán. Este trabajo se encuentra estructurado de acuerdo al programa vigente de la materia de Mecánica de Suelos II, sin embargo no se pretende que sea el libro de texto de la materia, sino un libro que sirva como hilo conductor en el proceso de aprendizaje de la materia y que complementado con la investigación de otras fuentes, contribuya a la formación de nuestros futuros profesionistas. Expreso un agradecimiento a la Dirección Nacional de Educación Superior Tecnológica y al Instituto Tecnológico de Tehuacán, por el apoyo que me ha brindado para la elaboración de este libro, a través de la autorización de un año sabático. También deseo expresar mi amplio reconocimiento por su apoyo a la Academia de Ingeniería Civil y al Departamento de Ciencias de la Tierra, y muy especialmente al Ing. Eduardo López Sánchez, docente de esta Institución y reconocido profesionista en la región en el área de la Mecánica de Suelos, quien fue asignado a la revisión de este trabajo. Por último quiero darle las gracias a toda mi familia que fueron testigos del esfuerzo realizado, que se veía reflejado en las horas que a ellos les quitaba para invertirlas en este trabajo y que sin embargo siempre me apoyaron, con cariño a mi esposa Lulú y a mi pequeña Fátima.

Tehuacán, Puebla a 14 de Enero de 2008

Rodolfo C. Medrano Castillo

2

CONTENIDO CAPITULO 1. TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 1.1. Conceptos fundamentales matemáticos 1.2. Solución matemática de Forchheimer y solución gráfica de Casagrande 1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad y gradiente crítico

CAPITULO 2. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 2.1 Esfuerzos en la masa de suelo 2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner 2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum 2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita 2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita 2.5 Otras teorías: 2.5.1 Método 2:1 2.5.2 Westergaard 2.5.3 Burmister 2.5.4 Fröhlich

CAPITULO 3. ASENTAMIENTOS. 3.1 Tipo elástico 3.2 Asentamientos por consolidación 3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 3.2.1.1 Determinación de asentamientos 3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de consolidación 3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria 3.3 Expansiones

6 6 7 10

24 24 28 32 36 36 38 39 39 40 41 42 44 44 46 49 49 55 60 62

CAPITULO 4. CAPACIDAD DE CARGA.

67

4.1 Introducción 4.2 Teorías de capacidad de carga 4.2.1 Terzaghi 4.2.2 Prandtl 4.2.3 Hill 4.2.4 Skempton

67 67 68 75 75 77

3

4.2.5 Meyerhof 4.2.6 Zeevaert

CAPITULO 5. CIMENTACIONES E INTERACCIÓN CON EL SUELO. 5.1 Superficiales 5.1.1 Clasificación 5.1.2 Factores que determinan el tipo de cimentación 5.1.3 Aplicación de las teorías en los diferentes tipos de suelos 5.1.3.1 Forma generalizada de la capacidad de carga última 5.1.3.2 Criterios para la aplicación de la formula de la capacidad de carga última, según el nivel de aguas freáticas 5.1.3.3 Factor de seguridad 5.2 Profundas 5.2.1 Clasificación 5.2.1.1 Según la forma como transmiten las cargas al subsuelo 5.2.1.2 Según su proceso constructivo 5.2.1.2.1 Con desplazamiento 5.2.1.2.2 Con poco desplazamiento 5.2.1.2.3 Sin desplazamiento 5.2.2 Capacidad de carga en los diferentes tipos de cimentaciones profundas 5.2.2.1 Capacidad de carga de un pilote de punta Qp 5.2.2.2 Capacidad de carga de un pilote por la resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote) de la superficie del fuste Qs 5.2.2.3 Capacidad de carga de una pila perforada

CAPITULO 6. EMPUJE DE TIERRAS. 6.1 Clasificación de los elementos de retención 6.2 Estado de reposo 6.3 Estados plásticos de equilibrio 6.4 Teoría de Rankine 6.4.1 Estado activo 6.4.2 Estado pasivo 6.4.3 Estado activo y pasivo en rellenos de superficie inclinada 6.4.4 Estado activo. Sobrecarga uniformemente distribuida 6.4.5 Estado activo. Profundidad de la zona de tensión y altura crítica, en suelos cohesivos 6.5 Teoría de Coulomb 6.5.1 Método de Culmann

79 83

85 85 85 87 87 87 89 91 97 97 97 99 99 100 100 100 101 102 106 107 107 108 112 113 113 115 120 121 121 123 123 4

6.6 Método semi-empírico de Terzaghi 6.7 Ademes 6.8 Dimensionamiento de muros

127 132 134

CAPITULO 7. ESTABILIDAD DE TALUDES.

138

7.1 Tipos y causas de fallas en taludes 7.2 Métodos de análisis 7.2.1 Método sueco – Casagrande 7.2.2 Método de las dovelas – Fellenius 7.2.3 Método del Círculo de fricción 7.2.4 Método Taylor 7.2.5 Fallas por traslación 7.3 Análisis de círculos críticos 7.3.1 Taylor 7.3.1.1 Suelos cohesivos 7.3.1.2 Suelos con cohesión y fricción 7.3.2 Fellenius 7.3.3 Jambu 7.4 Prevención y corrección de fallas en taludes

138 139 140 142 146 148 149 150 153 153 155 156 159 160

ANEXO 1. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS SUELOS.

162

ANEXO 2. CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL (TERZAGHI)

167

BIBLIOGRAFÍA

171

5

CAPITULO 1

TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 1.1. Conceptos fundamentales matemáticos La presión intersticial o de poro o tensiones neutras o subpresiones, que existe en un suelo, puede corresponder a condiciones hidrostáticas o las creadas por el flujo de agua a través de los vacíos del mismo. En este capitulo analizaremos las condiciones que se establecen producto de la filtración del agua en un suelo dentro de un flujo establecido o también denominado flujo estacionario, que se vuelve independiente del tiempo, tanto el flujo como la presión intersticial dentro de la masa del suelo. La filtración en el suelo se produce cuando existe una carga hidráulica, como producto de las diferencias de presiones de poro en diferentes puntos del suelo según la trayectoria del agua, estudiado por Henry Darcy (1856) y estableciendo que el gasto de agua que pasa por un suelo es directamente proporcional a la sección transversal A y a la carga hidráulica ∆h, e inversamente proporcional a la longitud del recorrido en el suelo l, expresándose matemáticamente:

h

F l uj o del agua

l

Fig. 1.1 Diferencia de carga en piezómetros

Q = kA

∆h l

(1.1)

En donde k es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de permeabilidad y ∆h/l es la relación de perdida de carga a través del suelo y se le denomina gradiente hidráulico i:

i=

∆h l

(1.2)

6

Por la ecuación de la continuidad en hidráulica sabemos que:

Q = vA

(1.3)

Igualando las ecuaciones (1.1) y (1.3), podemos escribir la siguiente ecuación que se conoce como la Ley de Darcy:

v = ki

(1.4)

Por lo que podemos decir que la velocidad del flujo es proporcional al gradiente hidráulico. Reynolds observó que esto es una característica del flujo laminar. Por lo que podemos considerar que prácticamente es aplicable al flujo en suelos.

1.2. Solución matemática de Forchheimer y solución gráfica de Casagrande Para calcular el gasto de filtración de agua a través del suelo es necesario determinar la intensidad y la distribución de las presiones intersticiales, conocidas también como presiones de poro o subpresiones. Estas presiones de poro pueden determinarse construyendo una red de flujo con las líneas de flujo y las líneas equipotenciales, que representan la filtración del agua en un suelo incompresible como lo estableció Forchheimer (1917) Las líneas de flujo representan los caminos que toman las partículas de agua dentro del flujo establecido.

Fig. 1.2 Líneas de flujo Las líneas equipotenciales son líneas en las cuales todos los puntos tienen igual carga hidráulica, o sea que si colocáramos piezómetros sobre alguna de estas líneas, el nivel del agua en todos seria el mismo.

7

Fig. 1.3 Líneas equipotenciales Las líneas de flujo y las equipotenciales, representan una red de flujo dentro de un suelo.

Fig. 1.4 Red de flujo Para analizar matemáticamente el flujo bidimensional dentro de un suelo, consideremos un prisma de dimensiones dx, dy y dz

8

Fig. 1.5 Partícula diferencial de suelo Dentro del cual fluya el agua producto de una carga hidráulica h, y los gradientes hidráulicos parciales están dados por:

ix = iz =

δh

(1.5)

∂x

δh

(1.6)

∂z

El gasto de entrada esta dado por:

q x = k x i x Ax = k x

∂h dydz ∂x

(1.7)

q z = k z i z Az = k z

∂h dxdy ∂z

(1.8)

∂h ∂ 2 h + dx)dydz ∂x ∂x 2

(1.9)

∂h ∂ 2 h + dz )dxdy ∂z ∂z 2

(1.10)

El gasto de salida esta dado por:

q x + dq x = k x (i x + di x ) Ax = k x ( q z + dq z = k z (i z + di z ) Az = k z (

Considerando un flujo establecido y la partícula indeformable, el gasto de entrada es igual al de salida:

9

q x + q z = (q x + dq x ) + (q z + dq z )

(1.11)

Substituyendo:

kx

∂h ∂h ∂h ∂ 2 h ∂h ∂ 2 h dxdy = k x ( + 2 dx)dydz + k z ( + 2 dz )dxdy dydz + k z ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z ∂z

(1.12)

Reduciendo:

kx

∂2h ∂ 2h + =0 k z ∂x 2 ∂z 2

(1.13)

Siendo el suelo isótropo, la permeabilidad es igual en los sentidos x y z, por lo que tenemos:

∂2h ∂2h =0 + ∂x 2 ∂z 2

(1.14)

Esta ecuación diferencial conocida como ecuación de Laplace, describe matemáticamente muchos fenómenos físicos en la práctica, en este caso describe el fenómeno del flujo de agua bidimensional en un suelo isótropo. La solución de esta ecuación está constituida por dos grupos de funciones que geométricamente pueden interpretarse como dos familias de curvas ortogonales entre si. El dibujo de la red de flujo fue sugerido por primera vez por Forchheimer como ya se comento y desarrollado posteriormente por Arthur Casagrande (1937). Éste método ofrece una visión directa del flujo de agua Arthur Casagrande aporta las ideas para la construcción grafica de las redes de flujo. El método consiste en definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar las dos familias de curvas respetando la ortogonaliadad, con lo cual se obtendrán soluciones aplicables a la práctica de la Ingeniería.

1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad y gradiente crítico Trazo de la Red de Flujo. En primer lugar se establece la región de flujo, que es común que se encuentre delimitada por el conocimiento a priori de las fronteras constituidas por dos líneas de flujo y dos líneas equipotenciales, como en el caso de tablestacados y presas de mampostería o concreto, en los cuales las líneas de corriente en las fronteras están definidas por su geometría y podemos considerarlas de flujo confinado. Sin embargo en los casos de filtración en presas de tierra o en taludes, la frontera superior de flujo o superficie de agua libre, no está bien definida (flujo inconfinado). Proponiéndose para ello trazos de parábolas que se “ajustan” para que en la entrada se cumpla con la condición de perpendicularidad entre la primera línea equipotencial que corresponde al talud de aguas arriba de la presa y la primera línea de flujo, así como también las diferentes condiciones

10

de salida que pueden existir según el proyecto, en el cual la línea superior de filtraciones es tangencial al talud de aguas abajo o de acuerdo a las obras de drenaje que se proyecten para hacer “caer” esta línea hacia algún filtro, con lo que se pretenda dar mayor estabilidad a la estructura.

Fig. 1.6 Flujo inconfinado En el interior de la región, se dibujan las líneas de flujo imaginando el recorrido de la trayectoria de una gota de agua dentro del suelo, procurando que el gasto que pase en el canal de flujo formado entre dos de estas líneas sea el mismo en todos los canales. Posteriormente se dibujan las líneas equipotenciales procurando que sean ortogonales (que sus tangentes en ese punto de intersección sean perpendiculares) a las de flujo y la caída de carga hidráulica se mantenga constante. Situación que se cumple cuando el rectángulo curvilíneo que se forma con las líneas de flujo y equipotenciales tiene en promedio las mismas dimensiones, en donde l debe ser aproximadamente igual a b

Fig. 1.7 Rectángulo curvilíneo de redes de flujo

11

Arthur Casagrande proporciona los siguientes consejos para ingenieros sin experiencia en estos campos a los estudiantes: 1. Usénse todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de canales de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la atención de los aspectos esenciales. 3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproximadamente bien trazada4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser aproximadamente rectas y paralelas; en este caso los canales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronteras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 6. Un error común en los principiantes es el dibujar transiciones muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica; el tamaño de los diferentes cuadros debe ir cambiando también gradualmente. 7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondiente a un cierto número de canales con el que se intentó la solución, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos líneas equiponteciales en la que la caída de carga es una fracción de ∆h que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de ne, estimando que fracción de caída ha resultado. Si por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo ∆h, podrá corregirse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red. 9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie n pueden ser completos. Sin embargo estas superficies deben cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales.

Calculo del gasto El espacio entre dos líneas de flujo es un canal de flujo, procurando que el gasto a través de los canales de flujo sea el mismo y el número de canales de flujo lo determinamos como Nf, en el siguiente ejemplo podemos contar cuatro canales de flujo.

12

Fig. 1.8 Canales de flujo La perdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales es la una caída de carga o caída equipotencial la que denominaremos Ne, en el siguiente ejemplo podemos contar siete líneas equipotenciales y seis caídas de carga

Fig. 1.9 Caídas de carga De donde se considera que la carga hidráulica que se pierde entre dos líneas equipotenciales y corresponde a una caída de carga, será la diferencia entre el nivel de agua de entrada y de salida, lo que se conoce como carga hidráulica ∆h, dividida entre el numero de caídas de carga.

∆h´=

∆h Ne

(1.15)

13

Es importante mencionar que en algunas redes de flujo, existen casos particulares en que la distancia promedio entre líneas equipotenciales y la distancia promedio entre líneas de flujo, es menor, por lo que en ese caso se debe considerar como una fracción proporcional de una caída de carga. El gasto para un canal de flujo, por unidad de ancho de estructura (este caso corresponde a un tablestacado), se puede determinar de la siguiente forma:

q j = ki j A j

(1.16)

Donde k es el coeficiente de permeabilidad y es constante para un suelo isótropo. El gradiente hidráulico es la pérdida de carga dividida entre la longitud del recorrido del agua entre las dos líneas equipotenciales:

∆h N ij = e l

(1.17)

El área corresponde a la dimensión b, multiplicada por una unidad de longitud por ser un gasto unitario:

A j = (b)(1) = b

(1.18)

 ∆h     ∆h  b  Ne     (b) = k  qj = k  l   N e  l     

(1.19)

Substituyendo:

Como en una red de flujo l debe ser igual a b, entonces el último término se convierte en 1, quedando la formula:

qj = k

∆h Ne

(1.20)

Considerando que en todos los canales de flujo se filtra la misma cantidad de agua el gasto unitario total, será: Nf

Q = ∑qj = k j =1

∆h Nf Ne

(1.21)

Por lo que el gasto por unidad de ancho, lo podemos determinar por la siguiente formula:

14

Q = k∆h

Nf Ne

(1.22)

En donde: k es la permeabilidad del suelo, ∆h es la carga hidráulica determinada por la diferencia del nivel del agua a la entrada y a la salida, y Nf/Ne se conoce como el factor de forma. Fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad, gradiente, gradiente crítico. El flujo de agua a través de un suelo provoca presión en el agua intersticial que produce levantamiento del suelo o las estructuras sobre él, pérdida de resistencia del suelo o falla del mismo. El esfuerzo del agua en el suelo llamado también esfuerzo neutro, en condiciones de aguas freáticas sin movimiento lo podemos determinar con las leyes de la hidrostática: µ=γwz

(1.23)

Pero cuando el agua esta en movimiento la formula anterior no aplica y la presión del agua debe determinarse con la red de flujo. La carga hidráulica h esta dada por la línea equipotencial respectiva descontando la elevación z del punto, de acuerdo al plano de referencia (cota cero). Por lo tanto la presión intersticial o de poro, la determinamos multiplicando el peso específico del agua por su carga hidráulica: µ=γw(h - z)

(1.24)

Si se desea determinar la presión de poro en un punto que se encuentre sobre la “n” línea equipotencial.



µ = γ w  h1 − n 

∆h    − z ne  

(1.25)

En donde h1 es el nivel del agua de entrada. En este caso aunque la presión es igual en todas direcciones (Ley de Pascal), puede ser distinta en diferentes puntos que tengan la misma altura, por la perdida de carga por el flujo. Las estructuras que se encuentran en contacto en suelos con un flujo establecido de agua, sufre un empuje producto de las presiones intersticiales que se conoce como subpresiones, debido a que una parte de la estructura está en contacto con partículas de suelo y otra con los vacíos que en este caso están ocupados por el agua. Para fines prácticos se considera que la fuerza ascendente de supresión U sobre una estructura, es la presión de poro multiplicada por el área de contacto A. U=µA

(1.26)

15

Es importante mencionar que el valor de µ varia a lo largo de la base de la estructura. Algunos textos de obras hidráulicas consideran una variación lineal de las presiones de poro, determinando U como la resultante del diagrama de esfuerzos y su punto de aplicación con los criterios de los centros de gravedad. Si la fuerza de supresión U es igual o mayor que la carga P de la estructura, se crea una zona de inestabilidad, por lo que en estructuras que trabajan por gravedad (peso propio) es importantísimo determinar correctamente la supresión, para aplicarse en los análisis de estabilidad. Otro problema que se presenta en las obras hidráulicas como son las presas o tablestacados, es el fenómeno de “tubificación” o sifonamiento que se da en la zona de salida del agua próxima a la estructura, debido a si el suelo es arrastrado por el agua en su salida se forma un socavón y aumenta el gradiente hidráulico debido a que se acorta el camino del flujo en esa zona, por lo que se va abriendo conducto en dirección hacia aguas arriba. Para determinar el gradiente hidráulico en un punto de la red, bastará dividir la caída de carga de las dos líneas equipotenciales entre la longitud del segmento de línea de flujo contenido en el cuadrado de referencia. En las zonas donde predomina el flujo ascendente, estas fuerzas de filtración disminuyen el esfuerzo efectivo entre las partículas del suelo, con lo que se reduce la resistencia al esfuerzo cortante del mismo, provocando en la superficie que las partículas especialmente de arenas se separen unas de otras y se presenten como una suspensión en el agua intersticial quedando en condiciones de para que se presente el fenómeno de licuación, con lo que el suelo queda inestable; así como también en la superficie el suelo es arrastrado por el flujo del agua provocando el problema de turificaciónPara entender el fenómeno anterior se puede comprender mejor con el siguiente modelo. Considérese un sistema que mantiene una diferencia de carga hidráulica ∆h, que provoca un flujo ascendente sobre una arena.

Fig. 1.10 Efecto de fuerzas de filtración

16

La presión intersticial µ en la base de la arena, la podemos escribir como µ=γw(∆h+l)

(1.27)

El esfuerzo vertical σv en la base de la arena es σv=γsl

(1.28)

El estado crítico se da cuando la presión intersticial es igual al esfuerzo vertical. µ=σv

(1.29)

γw(∆h+l)=γsl

(1.30)

Substituyendo

Realizando operaciones γw∆h+γwl=γsl

(1.31)

γw∆h=γsl-γwl

(1.32)

γw∆h=(γs-γw)l

(1.33)

∆l (γ s − γ w ) = l γw

(1.34)

Factorizando l

Donde

Como el gradiente hidráulico es la carga hidráulica entre la longitud de recorrido, podemos considerar como el gradiente hidráulico crítico ic:

ic =

(γ s − γ w ) γw

(1.35)

El gradiente hidráulico que produce movimiento cerca de la superficie de suelo que no esté impedida de moverse, se llama gradiente crítico ic, dándose este cuando se aproxima a 1, debido a que el peso especifico saturado γs de arena, es aproximadamente el doble del peso especifico del agua γw. Cuando la superficie se encuentra inclinada el valor del gradiente crítico es menor, hasta hacerse 0 cuando el la inclinación del terreno es igual al ángulo de fricción interna del suelo.

17

Ejemplo Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos donde las líneas equipotenciales se interceptan con el tablestacado y el gradiente de salida mayor. Se considera un suelo isótropo con una permeabilidad k=5x10-5 m/s Las cotas están en metros,

Se traza la red de flujo.

18

Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado Gasto por metro de ancho de tablestacado:

Nf Q = k∆h Ne L Donde: k=5x10-5 m/s ∆h= 8.5-2 =6.5m Nf= 4 Ne= 8

(

)

Q 4 = (5) 10 −5 (6.5)  L 8 En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado

(

)

3 Q = 16.25 10 −5 m s L

Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, establezcamos una tabla de cálculo.



µ = γ w  h1 − n 

∆h    − z ne  

19

Donde ∆h=19-12.5=6.5m. ne=8 ∆h/ne=0.8125 Punto

A B C D E F G H I

Número de caídas n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Altura de agua en el piezómetro (h1-n(∆h/ne)) 19.00 18.19 17.38 16.56 15.75 14.94 14.13 13.31 12.50

Altura del punto (cota) Z

10.50 8.50 7.00 5.98 5.50 5.98 7.00 8.50 10.50

Carga piezométrica [(h1n(∆h/ne))-z] en m. 8.50 9.69 10.38 10.58 10.25 8.96 7.13 4.81 2.00

Presión de poro en T/m2 8.50 9.69 10.38 10.58 10.25 8.96 7.13 4.81 2.00

Determinación del gradiente hidráulico de salida.

∆h N i = e l

∆h/ne=0.8125 l=2.06

20

i=0.8123/2.06 i=0.39 Ejemplo Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos A, B, C y el gradiente de salida mayor. Se considera un suelo isótropo con una permeabilidad k=1x10-6 m/s Las cotas están en metros,

Se traza la red de flujo.

Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado

21

Gasto por metro de ancho de tablestacado:

Nf Q = k∆h L Ne Donde: k=1x10-6 m/s ∆h= 30-20 =10 m Nf= 5 Ne= 12

(

)

Q 5 = (1) 10 −6 (10)  L  12  En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado

(

)

3 Q = 4.17 10 −6 m s L

Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, establezcamos una tabla de cálculo.



µ = γ w  h1 − n 

∆h    − z ne  

22

Donde ∆h=30-20=10m. ne=12 ∆h/ne=10/12=0.83 Punto

A B C

Número de caídas n 4 6 8

Altura de agua en el piezómetro (h1-n(∆h/ne)) 26.67 25.00 23.33

Altura del punto (cota) Z

18.00 18.00 18.00

Carga piezométrica [(h1n(∆h/ne))-z] en m. 8.67 7.00 5.33

Presión de poro (subpresión) en T/m2 8.67 7.00 5.33

Determinación del gradiente hidráulico de salida.

∆h N i = e l

∆h/ne=10/12=0.833 l=2.22 i=0.833/2.22 i=0.375

23

CAPITULO 2

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 2.1 Esfuerzos en la masa de suelo Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales. En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ constante, tendrá un esfuerzo vertical:

σz=zγ

(2.1)

Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos: n

σ z = ∑ γ i ∆zi

(2.2)

i =1

Ejemplo Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores:

Suelo 1 Suelo 2 Suelo 3

γ1=1.6 t/m3 γ2=1.8 t/m3 γ3=2.0 t/m3

∆z1=2 m ∆z2=3 m ∆z3=3 m

24

Las cotas están en metros.

²

²

²

Profundidad Z=2 m Z=5 m Z=8 m

zγ (1.6*2.00)=3.20 (1.8*3.00)=5.40 (2.0*3.00)=6.00

Esfuerzo vertical

σz=3.20 t/m2 σz=8.60 t/m2 σz=14.60 t/m2

En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de

25

dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta,

Fig. 2.2 Partícula de suelo a una profundidad z W=Ws+Ww

(2.3)

El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el Peso Efectivo: W´s=Ws-U

(2.4)

Dividiendo los pesos entre el área de la superficie de la partícula (A), obtenemos los esfuerzos verticales

σ´z= σz -µ

(2.5)

En donde nos queda que el Esfuerzo Total (σz) es igual al Esfuerzo Efectivo (σ´z) más el Esfuerzo Neutro o Presión Intersticial (µ).

σz=σ´z+µ

(2.6)

Esta ecuación es valida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier dirección, como lo enunció el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial que es la misma en cualquier dirección.

26

Ejemplo Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores: Suelo 1: ARENA SECA Suelo 2: ARCILLA

γ1=1.7 t/m3 γ2=1.9 t/m3

∆z1=4 m ∆z2=6 m

El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y γ2 es el peso específico saturado de la arcilla. Las cotas están en metros-

Esfuerzos verticales:

´

²

²

²

²

²

27

Profundidad Z=0 m. Z=4 m. Z=10 m

Esfuerzo efectivo σ´z 0 (1.7*4.00)=6.80 t/m2 6.80+(1.9-1.0)(6.00) =12.20 t/m2

Esfuerzo neutro µ 0 0 (1.0*6.00)=6.00 t/m2

Esfuerzo total σz 0 t/m2 6.80 t/m2 18.20 t/m2

2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semi-infinito. El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual esta dado por la ecuación:

∆σ z =

z3 3P z 3 3P = 2π R 5 2π r 2 + z 2

(

)

5

(2.7) 2

Fig. 2.3 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

28

r = 1.0 2 + 1.4 2 = 1.72m 3(25) z3 ∆σ z = 2π 1.72 2 + z 2

(

)

5

2

Diagrama de esfuerzos (Bulbo de presiones)

²

Profundidad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo vertical ∆σz=0.00 t/m2 ∆σz=0.38 t/m2 ∆σz=0.75 t/m2 ∆σz=0.65 t/m2 ∆σz=0.49 t/m2 ∆σz=0.36 t/m2 ∆σz=0.27 t/m2 ∆σz=0.21 t/m2 ∆σz=0.17 t/m2 ∆σz=0.13 t/m2 ∆σz=0.11 t/m2

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita esta dado por la ecuación:

29

∆σ z =

p yz 3 2π ( x 2 + z 2 )

 1 2   2  + 2 2 2 x + z 2  x2 + y2 + z2  x + y + z 1

(2.8)

Fig. 2.4 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

∆σ z =

20 4 z 3 1 2 2 2 2π (1 + z ) 1 + 4 2 + z 2 Profundidad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

1 2   + 2  2 2 2 2  1 + 4 + z 1 + z  Incremento de esfuerzo vertical ∆σz=0.00 t/m2 ∆σz= 1.58 t/m2 ∆σz=1.99 t/m2 ∆σz=1.61 t/m2 ∆σz=1.23 t/m2 ∆σz=0.95 t/m2 ∆σz=0.75 t/m2 ∆σz=0.59 t/m2 ∆σz=0.48 t/m2 ∆σz=0.40 t/m2 ∆σz=0.33 t/m2

30

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un área flexible rectangular cargada, esta dado por la ecuación:

w ∆σ z = 4π

 2 xyz x 2 + y 2 + z 2  x 2 + y 2 + 2 z 2  2 xyz x 2 + y 2 + z 2  −1    + tan 2 2  z 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 y 2  x 2 + y 2 + z 2  z x + y 2 + z 2 − x 2 y 2  

(

)

(

)

(2.9)

Fig. 2.5 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga rectangular uniformemente distribuida Steinbrenner. En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuación (homologando la nomenclatura con el método anterior):

∆σ z =

Q 2π

(

)

(

)

 −1  y x x 2 + y 2 − 2 xz (R − z )  yz x R 2 + z 2  +  tan   2 2 2 2 2 2 2   z x + y (R − z ) − z (R − z )  y + z x + z R 

(

)

(

)

(2.10)

Donde:

R = x2 + y2 + z2

(2.11)

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2, con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

R = 22 + 42 + z 2

31

∆σ z =

(

)

(

)

20  −1  4 2 2 2 + 4 2 − 2(2) z (R − z )  4 z 2 R 2 + z 2  + tan   2 2 2 2 2 2 2 2π   z 2 + 4 (R − z ) − z (R − z )  4 + z 2 + z R 

(

)

Profundidad z=0.01m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

(

)

Incremento de esfuerzo vertical ∆σz= 5.00 t/m2 ∆σz= 4.78 t/m2 ∆σz= 4.00 t/m2 ∆σz= 3.12 t/m2 ∆σz= 2.40 t/m2 ∆σz= 1.86 t/m2 ∆σz= 1.46 t/m2 ∆σz= 1.17 t/m2 ∆σz= 0.95 t/m2 ∆σz= 0.78 t/m2 ∆σz= 0.65 t/m2

2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación: 3

2    ∆σ z 1   = 1−  2  w  1 +  r      z 

(2.12)

32

Fig. 2.6 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga circular uniformemente distribuida Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.

∆σ z w

r

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.269752 0.400496 0.518106 0.636962 0.766421 0.917614 1.1097 1.38709 1.90829 ∞

Tabla 2.1 Radios de la carta de Newmark, en función del porcentaje de esfuerzo Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia.

33

Fig. 2.7 Carta de Newmark Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

34

Nivel

Sectores

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9 10º

5 5 5 5 5 5 4.5 2.9 2.2 0.2

Valor de influencia 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 Σ=

Influencia por nivel 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.0225 0.0145 0.011 0.001 0.199

El incremento de esfuerzo vertical es:

∆σ z = (20)(0.199)

∆σ z = 3.98t / m 2 Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros

m=

x z

n=

y z

(2.13)

Expresándose la formula para una carga lineal:

z 1 n 1 2   + 2  ∆σ z   =  2 2 2 2 2  p  2π (m + 1) m + n + 1  m + n + 1 m + 1 

(2.14)

Abreviando

z ∆σ z   = po  p

∆σ z =

p po z

(2.15)

Expresándose la formula para una carga rectangular:

∆σ z 1  2mn m 2 + n 2 + 1 = w 4π  m 2 + n 2 + 1 + m 2 n 2

(

)

2 2   m2 + n2 + 2  −1 2mn m + n + 1   2  tan + 2  m 2 + n 2 + 1 − m 2 n 2   m + n +1 

(

)

(2.16)

35

Abreviando

∆σ z = wo w

∆σ z = wo ⋅ w

(2.17)

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2. con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

m=

2 =1 2

n=

4 =2 2

Según gráficas

0.2

0.15 wo ( m , n) 0.1

0.05

0 0.01

0.1

1

10

n

Gáfica tipo Fadum para m=1

Wo=0.20

Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente:

∆σ z = (0.20) ⋅ (20) = 4.0

∆σ z = 4.00t / m 2 2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita, esta dado por la ecuación: 2 pz 3 ∆σ z = π (x2 + z 2 )2

(2.18)

36

Fig. 2.8 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal de longitud infinita Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

2(20) z 3 ∆σ z = π (12 + z 2 ) 2 Profundidad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo vertical ∆σz=0.00 t/m2 ∆σz= 3.18 t/m2 ∆σz=4.07 t/m2 ∆σz=3.43 t/m2 ∆σz=2.82 t/m2 ∆σz=2.35 t/m2 ∆σz=2.00 t/m2 ∆σz=1.75 t/m2 ∆σz=1.54 t/m2 ∆σz=1.38 t/m2 ∆σz=1.24 t/m2

37

2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita

∆σ z =

q

π

(β + senβ cos(β + 2δ ))

(2.19)

Fig. 2.9 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga de franja de ancho finito y longitud infinita Donde

∂ = tan −1

x−

B 2

y

z

β = tan −1

x+ z

B 2 −∂

(2.20)

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de carga q=10 t/m2, con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 a 10m a cada metro.

∆σ z =

∂ = tan −1

3− z

2 2

10

π

(β + senβ cos(β + 2δ ))

y

β = tan −1

3+ z

2 2 −∂

38

Profundidad z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo vertical ∆σz= 0.17 t/m2 ∆σz=0.70 t/m2 ∆σz=1.14 t/m2 ∆σz=1.34 t/m2 ∆σz=1.39 t/m2 ∆σz=1.36 t/m2 ∆σz=1.30 t/m2 ∆σz=1.22 t/m2 ∆σz=1.14 t/m2 ∆σz=1.07 t/m2

2.5 Otras teorías: 2.5.1 Método 2:1 Es un método aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo vertical a una profundidad z debajo de una cimentación de dimensiones B por L. Este método propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con la profundidad la carga se reparte en una mayor área, formándose una pirámide truncada de pendiente 2:1, por lo que la formula quedaría de la siguiente forma:

Fig. 2.10 Incremento de esfuerzo vertical en el suelo de acuerdo al criterio del método 2:1

∆σ z =

w( BL) ( B + z )( L + z )

(2.21)

39

Este método proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y cuando se encuentre dentro de la pirámide, y fuera de esta no indica incrementos. Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2. con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m.

∆σ z =

20(2)(4) (2 + 2)(4 + 2) ∆σ z = 6.67t / m 2

2.5.2 Westergaard Westergaar publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta mas a las condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente formula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo

∆σ z =

P 

r 





2

πz 2 1 +     z 

3

(2.22) 2

Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzo que se toma con Boussinesq.

Fig. 2.11 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual 40

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

r = 1.0 2 + 1.4 2 = 1.72m

∆σ z =

25   1.72  2  2  πz 1 +    z    

Profundidad z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

3

2

Incremento de esfuerzo vertical ∆σz=1.01 t/m2 ∆σz=0.87 t/m2 ∆σz=0.58 t/m2 ∆σz=0.39 t/m2 ∆σz=0.26 t/m2 ∆σz=0.20 t/m2 ∆σz=0.15 t/m2 ∆σz=0.12 t/m2 ∆σz=0.09 t/m2 ∆σz=0.08 t/m2

2.5.3 Burmister Burmister estudió la distribución de esfuerzos en un sistema formado por dos capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, de contacto continuo y rugoso. Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en los cuales el módulo de elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa subyacente (E2), considerándose que si E1=E2, E1/E2=1, el incremento de esfuerzo vertical corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq. Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y µ=0.5 (relación de Poisson), según Burmister, tenemos.

41

Fig. 2.12 Incremento de esfuerzo vertical en un suelo estratificado de acuerdo al criterio de Burmister

E1/E2 1 2 5 10 20 100

∆σz 70% 55% 40% 30% 22% 10%

Tabla 2.2 Porcentaje de incremento de esfuerzo vertical, en función de la relación de módulos de elasticidad

2.5.4 Fröhlich Fröhlich en 1942 investiga la distribución de esfuerzos en la masa de suelo semi infinita elástica pero no isotrópica, proponiendo para calcular el incremento de una carga concentrada en la superficie la expresión:

42

Fig. 2.13 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual de acuerdo al criterio de Fröhlich

∆σ z =

χP cos χ + 2 Ψ 2 2πz

(2.23)

En donde χ es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich, χ 1.5 2 3 4

Características Incremento de esfuerzo vertical aproximadamente igual a la solución de Westergaard para una masa de suelo semi infinita y estratificada. Incremento de esfuerzo vertical en un estrato semi infinito intermedio entre un suelo isotrópico y un suelo “altamente” estratificado. Incremento de esfuerzo vertical igual a la solución de Boussinesq para una masa de suelo semi infinita e isotrópica. Incremento de esfuerzo vertical equivalente a la solución de Frölich para una masa de suelo semi infinita y un con módulos de esfuerzo que decrecen con la profundidad. Tabla 2.3 Valores del factor de distribución de esfuerzos

43

CAPITULO 3

ASENTAMIENTOS. 3.1 Tipo elástico Se pueden establecer tres tipos básicos de comportamiento mecánico en su relación esfuerzo-deformación, el elástico, el plástico y el viscoso. El comportamiento elástico (Ley de Hoock) establece que al aplicarle un sistema de cargas a un material, existe una deformación, pero al retirarle las cargas el material regresa a su estado geométrico inicial. El comportamiento plástico se caracteriza porque el material permanece deformado aún cuado se le retiren todas las cargas. En el comportamiento viscoso la deformación depende de la magnitud y del tiempo transcurrido En los suelos finos saturados se pueden encontrar los tres tipos de comportamiento, elástico, plástico y viscoplástico En la teoría elástica se establecen las relaciones lineales de los esfuerzos aplicados y sus correspondientes deformaciones. Considerando una partícula de suelo que se deforma.

L

T

Fig. 3.1 Criterio de deformación de una partícula de suelo, producto de un esfuerzo normal Donde: ∆σ ∆εL ∆εT

Esfuerzo normal Deformación lineal longitudinal Deformación lineal Transversal

44

Módulo de elasticidad E

Relación de Poisson

E=

∆σ ∆ε L

(3.1)

ν=

∆ε T ∆ε L

(3.2)

ν

Debido a que los suelos no tienen un comportamiento elástico, ni lineal, este modelo no se aplica comúnmente a suelos, sin embargo bajo ciertas consideraciones es posible aplicarlo para determinar deformaciones que resulten de un suelo cuando se aplica una carga. El asentamiento (deformación vertical) que se produce en un suelo cuando se aplica una carga, como indicamos la teoría de la elasticidad utiliza básicamente el módulo de elasticidad E y la relación de Poisson ν, existiendo una gran dificultad para determinar estos parámetros, por lo que se limita la aplicación práctica de esta teoría. En arenas el módulo de elasticidad E varía con la profundidad y con el ancho del área cargada, y la relación de Poisson varía con la deformación. Por lo tanto en este tipo de suelos prácticamente no se usa la teoría elástica para predecir asentamientos. En arcillas saturadas, durante la construcción de obras, los asentamientos que se producen sin drenaje del agua intersticial del suelo, se pueden considerar de tipo elástico en el cual el modulo de elasticidad no drenado es constante y la relación de Poisson se considera ν=0.5; con lo que se pueden predecir asentamientos inmediatos (asentamientos elásticos) en estas condiciones. El asentamiento elástico en la superficie de una masa de suelo semiinfinita que acontece en una esquina de un área rectangular flexible, con una carga uniforme w, con un ancho B y una longitud L; se puede determinar por la siguiente formula

∆h =

wB (1 −ν 2 ) Is E

(3.3)

Donde Is es un factor de influencia del asentamiento que depende de la relación Largo/Ancho, que Terzaghi estableció en 1943. Por lo que se propone una función cuadrática para obtener los valores del factor de influencia del asentamiento con gran aproximación a los valores de las gráficas de Terzaghi, con un dominio 1 ≤ ( L / B ) ≤ 5 . Is=-0.03(L/B)2+0.29(L/B)+0.30

(3.4)

45

Ejemplo Determinar el asentamiento diferencial inmediato entre el centro y una esquina de un área rectangular flexible de L= 8m de longitud y B= 4m de ancho, a la cual se le aplica una carga w= 4t/m2 en una arcilla saturada con un módulo de elasticidad E=350t/m2 Esquina:

∆h =

wB (1 −ν 2 ) Is E Is=0.76

L/B=2

(4)(4)(1 − 0.5 2 ) (0.76) ∆h = 350 ∆h = 2.6cm Centro: 4 veces el área, L=4m, B=2m

wB (1 −ν 2 ) Is ∆h = E Is=0.76

L/B=2

∆h = (4)

(4)(2)(1 − 0.5 2 ) (0.76) 350 ∆h = 5.2cm

Con lo que se tiene un asentamiento diferencial de 5.2-2.6=2.6cm

3.2 Asentamientos por consolidación En los asentamientos por consolidación es común que se tenga que predecir: • •

El asentamiento total de la estructura El tiempo en el cual se produce el asentamiento

46

En suelos granulares como la arena, la permeabilidad es relativamente alta y por ello el exceso de presión intersticial suele disiparse prácticamente al instante, por lo que el asentamiento del suelo no lo consideramos por consolidación. En suelos finos como las arcillas la permeabilidad es baja y por ello la disipación del exceso de presión intersticial es muy lenta, con lo cual este asentamiento puede durar años, como es el caso de la zona lacustre de la Ciudad de México. Cuando un suelo saturado se somete a un incremento de esfuerzos por la aplicación de una carga en la superficie del mismo, se produce un incremento en la presión intersticial (presión en exceso de la hidrostática), y debido a que el agua no resiste esfuerzos cortantes, este incremento de presión intersticial se disipa mediante el flujo del agua hacia un estrato permeable. La disipación del exceso de presión intersticial producto de la permeabilidad del suelo produce una reducción en el volumen de vacíos y por consecuencia una reducción en el volumen total, lo cual se manifiesta con un asentamiento conocido como Asentamiento por Consolidación. El asentamiento por consolidación depende del tiempo como a continuación se indica. Consideremos que tenemos un estrato de arcilla saturado de espesor H, que se encuentra entre dos estratos de arena que le permiten drenar el agua por ambos lados, y en la superficie se coloca una carga que provoca un incremento en la presión del agua intersticial y que se disipará de acuerdo a la permeabilidad de la arcilla, transfiriendo los esfuerzos a la estructura del suelo, considerando teóricamente que el exceso de presión intersticial se disipará en tiempo infinito. Para comprender mejor el proceso de consolidación a continuación se tienen tres esquemas que indican tres etapas del proceso de consolidación, el primer esquema se considera un tiempo t=0, en el segundo esquema un tiempo mayor que cero pero menor que infinito 0 < t < ∞ , y en el tercer esquema, un tiempo infinito t = ∞

´

Fig. 3.2 Esfuerzos verticales en el tiempo t=0

47

´

Fig. 3.3 Esfuerzos verticales en el tiempo t>0

´

Fig. 3.4 Esfuerzos verticales en el tiempo t = ∞ El proceso de consolidación se puede dar en varias dimensiones, para el caso de asentamientos, el enfoque es solamente en sentido vertical con lo que solo se considera el fenómeno de consolidación unidimensional. En el laboratorio la prueba de consolidación, nos da información que se ocupa para poder predecir el comportamiento de un suelo. En la gráfica de la curva de consolidación, se puede observar las dos etapas que tiene un suelo fino sujeto al proceso de consolidación.

48

Fig. 3.5 Curva de consolidación

3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 3.2.1.1 Determinación de asentamientos Consideremos un estrato de arcilla saturada de espesor H, bajo una presión producto de una sobrecarga en la superficie que provoca un incremento de esfuerzo vertical (promedio) ∆σ, que inducirá un asentamiento ∆H, cuando ∆σ= ∆σ´.

Fig. 3.6 Asentamiento producto de un incremento de esfuerzo vertical

∆H ∆e = H 1 + e0

(3.5)

Despejando obtenemos la formula general para calcular asentamientos por consolidación

∆H =

∆e H 1 + eo

(3.6)

49

Las arcillas tienen “memoria”, como lo demuestran las típicas curvas de compresibilidad, en las cuales, el Tramo de Recomprensión nos indica los esfuerzos geológicos a los cuales ha estado sometido el suelo. Terzaghi descubrió que en las curvas de compresibilidad de suelos laminares dibujadas en escalas semilogarítmicas el tramo virgen es prácticamente recto, con lo que se pueden separar del tramo de recompresión, determinando el esfuerzo de preconsolidación σ´c, (método de Casagrande).

´

´

Fig. 3.7 Curva de compresibilidad Por lo anterior se tendrán dos formas diferentes de asentamientos en la consolidación primaria: Preconsolidada: Debida a esfuerzos menores del esfuerzo de preconsolidación σ´c, lo que provocará pequeños asentamientos. Normalmente consolidada: Debida a esfuerzos mayores al esfuerzo de preconsolidación σ´c, con lo que se tendrán asentamientos significativos. Una formula común también para determinar el asentamiento es en función de las pendientes de la curva de compresibilidad. Coeficiente de compresibilidad

av =

∆e ∆σ ´

(3.7)

Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría

∆H =

av ∆σ ´H 1 + eo

(3.8)

50

Coeficiente de variación volumétrica

mv =

av 1+ e

(3.9)

Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría

∆H = mv ∆σ ´H

(3.10)

Índice de compresibilidad (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo virgen)

Cc =

∆e σ ´+ ∆σ ´ log o σ o´

(3.11)

Con lo que la formula para calcular el asentamiento (normalmente consolidada), quedaría

∆H =

σ ´+ ∆σ ´ Cc H log o σo' 1 + eo

(3.12)

Índice de expansión (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo de descarga o expansión, usado también como equivalente en el tramo de recarga)

Cs =

∆e σ ´+ ∆σ ´ log o σ o´

(3.13)

Con lo que la formula para calcular el asentamiento (preconsolidada), quedaría

∆H =

σ ´+ ∆σ ´ Cs H log o σo' 1 + eo

(3.14)

Índice de compresión (Cc). Terzaghi con la finalidad de de realizar cálculos aproximados de consolidación primaria propuso las siguientes formulas empíricas del el Índice de compresión: Para arcillas inalteradas Cc=0.009(LL-10)

(3.15)

Para arcillas remodeladas Cc=0.007(LL-10)

(3.16)

51

En donde LL es el límite líquido en porciento Índice de expansión.(Cs). Se determina por pruebas de laboratorio y se encuentra entre el siguiente rango:

1 1 Cs = a Cc 5 10

(3.17)

Ejemplo Determinar el asentamiento por consolidación primaria en el estrato de arcilla, de la siguiente figura (cotas en metros):

Datos: Carga en la superficie: ∆σ=6t/m2 Arena (Suprayacente): γseco=1.6t/m3 γsat.=1.8t/m3 Arcilla: γsat.=1.9t/m3 σ´c=10t/m2

52

eo=0.9 LL=50 Cs=0.2Cc Esfuerzo efectivo (promedio) a la mitad del estrato de arcilla σ´o=2.0(1.6)+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.9-1) σ´o=7.50t/m2 σ´c=10t/m2>σ´o=7.50t/m2 σ´o+∆σ´=7.5+6.0=13.5t/m2 Índice de compresión (Cc). Cc=0.009(LL-10)=0.009(50-10)=0.36 Índice de expansión.(Cs). (Se considera semejante a la recompresión) Cs=0.2Cc=0.2(0.36)=0.07 Asentamiento en la zona preconsolidada

∆H =

σ ´+ ∆σ ´ Cs log o H 1 + eo σo'

∆H =

0.07 10 (6.0) log 1 + 0.9 7.5 ∆Hp=0.03m.

Asentamiento en la zona normalmente consolidada

∆H =

σ ´+ ∆σ ´ Cc log o H 1 + eo σo'

∆H =

13.5 0.36 (6.0) log 10 1 + 0.9 ∆Hn=0.15m.

Por lo que el asentamiento total será:

53

∆H=0.18m. Ejemplo Considerando el estrato de arcilla calcular el asentamiento por consolidación primaria, que se produce por colocar una zapata cuadrada (cotas en metros)

Datos: Zapata: Cuadrada de 1.6 X1.6 mts. Suelos: Arena suprayacente

Arcilla normalmente consolidada

γseco =1.6t/m3

γsat =1.7t/m3

γsat =1.8t/m3

eo = 1.0 LL=40

Asentamiento: Asentamiento en la zona normalmente consolidada

∆H =

σ ´+ ∆σ ´ Cc log o H 1 + eo σo'

Cc=0.009(LL-10)=0.009(40-10)=0.27

54

eo = 1.0 H=6m

σo´=2.0x1.6+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.7-1.0)=6.9t/m2 Determinando el incremento de esfuerzo (a la mitad del estrato), por el método de Fadum: Considerando

q= z 5.5

80t = 31.25t / m 2 2 (1.6 x1.6)m

x 1.6/2

Y 1.6/2

m=x/z 0.107

n=y/z 0.107

wo 0.009757

∆σ´=4qwo=1.22t/m2 Substituyendo

∆H =

0.27 6.90 + 1.22 log 6.0 1+1 6.90 ∆H = 0.057 m

3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de consolidación La consolidación es un fenómeno en el cual el tiempo es un factor importante, como ejemplo tenemos que la consolidación regional de la Ciudad de México lleva más de cien años y a mediados del siglo pasado se realizaron obras como el drenaje profundo para dar solución a la eliminación de aguas residuales del Valle de México. Así también se establecieron políticas de prohibición a la extracción de aguas subterráneas que acelera el proceso de consolidación y el acondicionamiento de nuevos lagos sobre el exlago de Texcoco para establecer recargas a los acuíferos. Como la consolidación aumenta con la disipación de la presión en exceso de la hidrostática, una forma de determinar el porcentaje de asentamiento U, es comparando la presión en exceso de la hidrostática ∆µ en un tiempo t, con la presión en exceso de la hidrostática ∆µo al inició.

U = 1−

∆µ ∆µ o

(3.18)

Entre los factores que influyen en el tiempo del asentamiento, se encuentran la relación de vacíos e, el coeficiente de permeabilidad k, el espesor del estrato H, el número de fronteras permeables (sobreyacente y/o subyacente) N, el coeficiente de compresibilidad (razón de cambio de relación de vacíos con cambios de esfuerzos) av, y el

55

peso especifico del agua γω. De acuerdo a la Teoría de la Consolidación primaria, estos factores podemos agruparlos en una razón adimensional llamada factor tiempo T, que se define con la siguiente expresión.

T=

t (1 + e )k H 2 av γ ω

(3.19)

H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la consolidación Este análisis teórico esta basado en un suelo homogeneo, saturado y que es constante la siguiente relación

k (1 + e ) av

(3.20)

El porcentaje de consolidación U, se expresa como una expresión matemática en función del factor tiempo.

 10000 2 2  2 2  − ( 2⋅ n+ 1) ⋅ π ⋅ T ÷4     U( T) := 100⋅ 1 −  8 ÷ ( 2⋅ n + 1) ⋅ π   ⋅ e   n =0  

∑

(3.21)

En donde el límite superior de la sumatoria es infinito, pero para fines de establecer la gráfica se consideró 10,000, quedando la gráfica de la siguiente forma:

0 10 20 30 40 U( T)

50 60 70 80 90 100

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2

T

Fig. 3.8 Curva hipotética (asintótica) del porcentaje de consolidación en función del factor tiempo

56

Tabla de la función teórica de consolidación U% 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

T 0.000 0.008 0.018 0.031 0.049 0.071 0.096 0.126 0.159 0.197 0.238 0.287 0.342 0.405 0.477 0.565 0.684 0.848 1.127 •

Tabla 3.1 Valores del Factor Tiempo T, en función del porcentaje de consolidación El coeficiente de coeficiente de consolidación Cv

Cv =

(1 + e )k

(3.22)

av γ ω

Se obtiene en el laboratorio a través de la gráfica de la Curva de Consolidación (tiempo – deformación), por el método del logaritmo del tiempo (Casagrande y Fadum) o por método de la raíz cuadrada del tiempo (Taylor). Método del logaritmo del tiempo

T50 H 2 Cv = t 50

Método de la raíz cuadrada del tiempo

Cv =

T90 H 2 t90

T50=0.197 T90=0.848 H = Es la trayectoria de drenaje promedio más larga durante la prueba de consolidación

Tabla 3.2 Formulas más comunes para obtener el coeficiente de consolidación Por lo que se puede aplicar en para predecir el tiempo del asentamiento en campo con la formula:

57

t=

TH 2 Cv

(3.23)

H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la consolidación Ejemplo Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro inmediatamente después de aplicar la carga, y que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A se tiene una altura h (arriba del N.A.F.) de 4 m

²

Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro (arriba del N.A.F.) inmediatamente después de aplicar la carga La presión del agua en exceso de la hidrostática, la determinamos dividiendo entre el peso especifico del agua

µ o = ∆σ = 10t / m 2 =

10t / m 2 = 10m 1t / m 3

µ o = 10m Que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A se tiene una altura h (arriba del N.A.F.) de 4 m

 µ U = 1 − a  µo

 4 100 = 1 − 100 = 60%  10   U = 60% 58

Ejemplo Considerando el estrato de arcilla del ejemplo anterior, determinar el tiempo para que se produzca el 50% y 90% de consolidación primaria (cotas en metros). Considerando que el coeficiente de consolidación se determina por los siguientes datos de laboratorio: Espesor del espécimen Drenado: Tiempo requerido 50% de consolidación

2.54 cms 3 min

0.0254 m. ambas caras 180 seg

2   0.197⋅  0.0254    2   Cv :=

180

Cv = 1.765 ×10 −7 m / s

Tiempo para que se produzca el 50% de asentamiento 2   0.192⋅  6     2  t := 50

Cv

t 50 = 9.789 × 10 6 seg

t50=113dias

Tiempo para que se produzca el 90% de asentamiento

59

2   0.848⋅  6     2  t := 90

Cv

t90 = 4.324 × 10 7 seg

t90=500dias

Se debe tener en cuenta que la función teórica tiempo – asentamiento es de tipo asintótica, y el 100% de asentamiento se alcanza en un tiempo infinito, es por esto que comúnmente se determina el tiempo para un asentamiento al 90% que da un pronóstico próximo al del 100%.

3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria Como se ha indicado, la consolidación primaria es considerada el asentamiento producto de la transferencia del incremento de esfuerzo en exceso de la hidrostática, al esfuerzo efectivo del suelo. Se considera que en los suelos orgánicos o inorgánicos altamente compresibles, el asentamiento conocido como flujo plástico, debido al ajuste plástico de la estructura del suelo, es conocido con el nombre de Consolidación Secundaria, y teóricamente se sucede después de la consolidación primaria (aunque algunos investigadores indican que una parte de la consolidación secundarias, se da al mismo tiempo de la consolidación primaria)En algunos suelos inorgánicos (arcillas y/o limos) el asentamiento por consolidación secundaria es muy pequeño y no tiene importancia, sin embargo en suelos orgánicos como turbas o en suelos inorgánicos altamente compresibles estos asentamientos pueden ser relativamente considerables. En la gráfica de relación de vacíos – tiempo (en escala logarítmica), se puede ver que el tramo de consolidación secundaria es prácticamente una línea recta con una pendiente (negativa) poco inclinada.

Fig. 3.9 Curva de consolidación 60

Fig. 3.10 Tramo de consolidación secundaria El índice de compresión secundaria Cα, es la pendiente de la línea (prácticamente recta) de tramo de consolidación secundaria, y se puede definir como:

Cα =

∆e = log t 2 − log t1

∆e t  log 2   t1 

(3.24)

Como el asentamiento se puede determinar con la siguiente formula

∆H =

∆e H 1 + eo

(3.25)

Substituimos ∆e para determinar la formula del asentamiento por consolidación secundaria.

∆H =

t  Cα log 2  H 1+ ep  t1 

(3.26)

En donde ep, la relación de vacíos final de la consolidación primaria y la inicial de la consolidación secundaria.

61

Ejemplo En un estrato de arcilla de 5 metros de espesor, el asentamiento por consolidación primaria tendrá una variación en su relación de vacíos de eo=0.90 inicial, a ep=0.82 final, producto de la colocación de una carga en la superficie, y se sucederá en un lapso de 4 años. Estimar el asentamiento por consolidación secundaria que ocurrirá a los 8 años de haber colocado la sobre carga, considerando que el índice de compresión secundaria es Cα=0.020 Cα=0.020 ep=0.82 t2=8 años t1=4 años H=5 m.

∆H =

t  Cα log 2  H 1+ ep  t1 

∆H =

0.02 8 log 5 1 + 0.82  4  ∆H = 0.033m

3.3 Expansiones En excavaciones profundas se presenta el fenómeno de expansiones causadas por la descarga del suelo que se encuentra en el fondo, sin embargo en suelos no plásticos la magnitud de la expansión es prácticamente despreciable, pero en arcillas altamente compresibles el fenómeno es importante sobre todo cuando se realizan trabajos de cimentaciones compensadas en las cuales observan asentamientos importantes, causados por la recuperación de las expansiones generadas durante el proceso de excavación y construcción de la estructura. El abatimiento del nivel de aguas freáticas por el proceso constructivo, produce también fuerzas de filtración del flujo del agua ascendentes en forma de subpresiones que contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla

62

Fig. 3.11 Subpresiones que contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla Las expansiones en las arcillas altamente expansivas, son producto de excavaciones que reducen la presión vertical, se pueden dividir en dos etapas: la primera es producto de las distorsiones en la masa de arcilla que subyace la base de la excavación y se le llama expansión inmediata; la segunda que se desarrolla gradualmente con un aumento en el volumen de la arcilla (tramo de descarga en la grafica de consolidación) y que se le llama expansión lenta. La suma de las expansiones, la expansión inmediata ∆Ei y la expansión lenta ∆El se puede considerar como la expansión total ∆Et

∆Et = ∆Ei + ∆El

(3.27)

EXPANSIÓN INMEDIATA. ∆Ei La expansión inmediata se asemeja a la expansión que sufre una probeta de arcilla inalterada en una prueba de compresión triaxial no drenada, en el momento en que se le descarga axialmente. En la prueba mencionada se puede determinar su módulo de elasticidad en la compresión considerado como la relación entre el esfuerzo axial promedio (50%) σc, entre su deformación unitaria axial correspondiente εc.

Ec =

σc εc

(3.28)

El módulo de elasticidad de expansión se considera un 20% mayor que el de compresión, por lo que puede expresar como:

Ee = 1.2 Ec

(3.29)

63

El cálculo de la expansión se considera de tipo elástico y se puede determinar en forma semejante al cálculo del asentamiento elástico. Calculo del asentamiento elástico

wB (1 −ν 2 ) ∆h = Is E B= ancho de la cimentación w= sobrecarga ν= 0.5 Módulo de Poisson E= Módulo de elasticidad (compresión) Is= Factor de influencia (Terzaghi)

Calculo de la expansión inmediata (elástico)

∆Ei =

wDf B(1 −ν 2 ) Ee

Ff

B= ancho de la cimentación WDf= Descarga ν= 0.5 Módulo de Poisson Es= Módulo de elasticidad de expansión Ff= Factor de forma (Egorov)

Tabla 2.3 Comparación de las formulas de asentamiento y expansión elasticos El factor de forma Ff de Egorov para cimentaciones cuadradas, establece valores que van de 0.7 a 1.05, para relaciones de profundidad del estrato Z/B de 1 a 10, siendo aproximadamente 1 con una relación Z/B=4; para cimentaciones rectangulares con una relación de 1:2 (ancho largo), los valores varían de 0.8 a 1.45, para relación de profundidad del estrato 1 a 10, siendo aproximadamente 1.1 con una relación Z/B=2. Ejemplo En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 10 metros de espesor, subyacente en el fondo de una excavación para una cimentación cuadrada de 10 x 10 mts., tiene las siguientes caracteristicas. Es= 40kg/cm2 ν= 0.5 wDf= 1.5kg/cm2 B= 1000 cm Z= 500 cm. Factor de forma Ff, es L/B=1 Cuadrada Z/B=1000/1000=1 Ff= 0.7

64

∆Ei =

∆Ei =

wDf B(1 −ν 2 ) Ee

Ff

(1.5)(1000)(1 − 0.52 ) (0.7 ) 40

∆Ei = 19.7cm EXPANSIÓN LENTA. ∆El La expansión lenta inicia en el momento que se realiza la excavación y puede durar mucho tiempo (años incluso), dependiendo de los procesos constructivos y tipos de cimentaciones. Para medir los parámetros de expansión lenta, se realiza una prueba de expansión volumétrica, en un consolidómetro de anillo fijo, en la primera parte se comprime el espécimen inalterado de arcilla hasta su presión de preconsolidación y en la segunda parte se descomprime el espécimen para medir las expansiones a través del tiempo, producidas de acuerdo a los decrementos de carga. En los resultados de la prueba de expansión volumétrica expansión – tiempo se determinan dos etapas de expansión, la primaria y la secundaria, la primera está en función de la velocidad con que el agua es succionada por la parte superior del espécimen y la segunda esta en función del fenómeno de adsorción del agua en el espacio Intercoloidal de la arcilla. La expansión lenta primaria representa más del 85% de la expansión lenta y se puede ocupar en la práctica para determinar este tipo de expansión. El cálculo de la expansión lenta se puede determinar en forma semejante al cálculo del asentamiento por consolidación. Calculo del asentamiento por consolidación

Calculo de la expansión lenta

∆H = mv ∆σ ´H

∆El = meWDf ´H

mv= Coeficiente de variación volumétrica ∆σ´= Incremento de esfuerzo efectivo H= Espesor del estrato

me= Modulo de expansibilidad volumétrica WDf´= Decremento de presión en campo H= Espesor del estrato

Tabla 3.4 Comparación de las formulas de asentamiento por consolidación y expansión lenta

65

El módulo de expansibilidad volumétrica me, se obtiene en el laboratorio a través de la siguiente fórmula

me100 =

∆E p100 H iWD

(3.30)

Donde tenemos me100= Módulo de expansibilidad primaria (100%)

∆Ep100= Expansión primaria máxima del espécimen Hi= Espesor inicial del espécimen recomprimido a la presión de preconsolidación WD= Decremento de presión en la prueba Ejemplo En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 5 metros de espesor, se realizan pruebas de laboratorio para determinar sus características de expansión, obteniéndose un módulo de expansibilidad primaria me100=0.08cm2/kg, el decremento de presión sobre el estrato de arcilla es de WDf´=0.6kg/cm2. Determinar la expansión lenta (considerando que se desprecia la etapa de expansión secundaria). H= 500cm

∆El = meWDf ´H ∆El = (0.08)(0.6)(500 ) ∆El = 24cm

66

CAPITULO 4

CAPACIDAD DE CARGA. 4.1 Introducción La capacidad de carga de un suelo, se puede definir como el estado límite de falla de un suelo en una cimentación. De acuerdo a los reglamentos de construcción el estado límite de falla se entiende, por la situación que corresponde al agotamiento de la capacidad de carga del terreno de cimentación o al hecho de que ocurran daños irreversibles que afecten significativamente la resistencia del suelo ante nuevas aplicaciones de carga. El Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (Publicado en la Gaceta Oficial del Distrito Federal el 29 de enero de 2004) en su Capitulo III DE LOS CRITERIOS DE DISEÑO ESTRUCTURAL, en el Articulo 146, establece Toda edificación debe contar con un sistema estructural que permita el flujo adecuado de las fuerzas que generan las distintas acciones de diseño, para que dichas fuerzas puedan ser transmitidas de manera continua y eficiente hasta la cimentación. Debe contar además con una cimentación que garantice la correcta transmisión de dichas fuerzas al subsuelo. Así mismo en el Artículo 147, dice, Toda estructura y cada una de sus partes deben diseñarse para cumplir con los requisitos básicos siguientes: I. Tener seguridad adecuada contra la aparición de todo estado límite de falla posible ante las combinaciones de acciones más desfavorables que puedan presentarse durante su vida esperada En Mecánica de Suelos se define este estado límite de falla del suelo, como la capacidad de carga última de un suelo.

4.2 Teorías de capacidad de carga En el Capitulo IV del RCDF. DEL DISEÑO DE CIMENTACIONES, en el artículo 169, establece: Toda edificación se soportará por medio de una cimentación que cumpla con los requisitos relativos al diseño y construcción que se establecen en las Normas. Las edificaciones no podrán en ningún caso desplantarse sobre tierra vegetal, suelos o rellenos sueltos o desechos. Sólo será aceptable cimentar sobre terreno natural firme o rellenos artificiales que no incluyan materiales degradables y hayan sido adecuadamente compactados. Las teorías para la determinación de la capacidad carga establecen modelos para el diseño de cimientos sobre suelos en estado natural, y aplicables a rellenos artificiales con un correcto control de calidad.

67

Existen diferentes Teorías para determinar la capacidad de carga de un suelo, Prandtl, Hill, Terzaghi, Skempton, Meyerhof, etc., todas en función de las propiedades y características del suelo; así como también en función de las características de la cimentación.

4.2.1 Terzaghi La Teoría de Terzaghi para determinar la capacidad de carga de un suelo cubre el caso más general, pues se aplica a suelos con cohesión y/o fricción, y se considera la teoría más usada para determinar la capacidad de carga en cimientos poco profundos (aquellos en que el ancho del cimiento B, es igual o mayor a la distancia vertical entre el nivel del terreno y la base del cimiento, Df).

Fig. 4.1 Modelo de cimentación poco profunda de ancho b Terzaghi en su teoría desprecia la resistencia al esfuerzo cortante arriba del nivel de desplante del cimiento. Esta Teoría establece que una zapata continua descansa sobre una superficie de suelo, el terreno falla a través de tres zonas. Debido a la fricción y cohesión entre el suelo y la base de la cimentación, la zona I actúa como una cuña que se introduce en el suelo como si fuera parte de la zapata formando el los lados del triangulo ángulos de (45o+ϕ/2); las zonas II son de deformación tangencial radial y las curvas de falla son espirales logarítmicas, cuyos centros se localizan en las aristas de la base de la cimentación; Las zonas III son zonas de estado plástico pasivo de Ranking y sus fronteras forman un ángulo de (45o-ϕ/2) con la horizontal. El mecanismo de falla se indica en la siguiente figura par un cimiento poco profundo.

68

Fig 4.2 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda de ancho b, de Terzaghi Por lo anterior se deduce que la capacidad de carga de un suelo, depende de: • • • •

Resistencia al esfuerzo cortante (cohesión y/o fricción) Ancho de la cimentación Peso volumétrico del suelo y del relleno arriba del nivel de desplante Profundidad del cimiento.

Por lo que Terzaghi propone la siguiente formula para determinar la capacidad de caga última de un cimiento continuo, poco profundo:

qu =

1 BγN γ + cN c + γ q D f N q 2

(4.1)

En donde se suma la capacidad de carga con la que contribuyen, la parte friccionante, la parte cohesiva y la parte relativa a la profundidad de desplante. B= Ancho de la cimentación γ= Peso volumétrico del suelo debajo de la cimentación ϕ= Ángulo de fricción interna del suelo debajo de la cimentación c= Cohesión γq = Peso volumétrico del suelo arriba del nivel de desplante de la Cimentación Df = Profundidad de desplante Nγ , Nc y Nq = Factores de carga en función del ángulo de fricción interna del suelo debajo del desplante de la cimentación 69

Los factores de carga los determinan los diferentes códigos de construcción, según los tipos de suelos. Se pueden determinar a través de las siguientes formulas.

ϕ

N q = eπ tan ϕ tan 2 (450 + ) 2

(4.2)

N γ = 2( N q + 1) tan ϕ

(4.3)

N c = ( N q − 1) / tan ϕ

(4.4)

A continuación se en listan los valores de los factores de carga

ϕ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Nγ

Nc

Nq

0 0.07 0.15 0.24 0.34 0.45 0.57 0.71 0.86 1.03 1.22 1.44 1.69 1.97 2.29 2.65 3.06 3.53 4.07 4.68 5.39 6.20 7.13 8.20 9.44 10.88 12.54 14.47 16.72 19.34 22.40 25.99

5.14 5.38 5.63 5.90 6.19 6.49 6.81 7.16 7.53 7.92 8.34 8.80 9.28 9.81 10.37 10.98 11.63 12.34 13.10 13.93 14.83 15.81 16.88 18.05 19.32 20.72 22.25 23.94 25.80 27.86 30.14 32.67

1 1.09 1.20 1.31 1.43 1.57 1.72 1.88 2.06 2.25 2.47 2.71 2.97 3.26 3.59 3.94 4.34 4.77 5.26 5.80 6.40 7.07 7.82 8.66 9.60 10.66 11.85 13.20 14.72 16.44 18.40 20.63 70

32 33 34 35 36 37 38 39 40

30.21 35.19 41.06 48.03 56.31 66.19 78.02 92.25 109.41

35.49 38.64 42.16 46.12 50.59 55.63 61.35 67.87 75.31

23.18 26.09 29.44 33.30 37.75 42.92 48.93 55.96 64.19

Tabla 4.1 valores de los factores de carga, de acuerdo al criterio de Terzaghi Estos factores de carga, aplicados en la formula de Terzaghi, representan el comportamiento de un suelo incompresible, hipótesis que se cumple en suelos compactos considerando este caso como falla general (Dr>70%), para suelos sueltos, como falla local (Dr<20%) y una interpolación para casos intermedios:

tan ϕ = 1.0 tan ϕ *

Falla General

(Dr>70%)

tan ϕ = α tan ϕ 2 tan ϕ = tan ϕ * 3

Falla Intermedia

(70%
Falla local

(Dr<20%)

*

Tabla 4.2 Criterios de falla para ajustar las formulas en cimentaciones

ϕ * es el ángulo de fricción interna del suelo determinado por pruebas de laboratorio o de campo, α es el coeficiente de la interpolación. En suelos friccionantes, con cohesión c=0, la formula se reduce a:

qu =

1 BγN γ + γ q D f N q 2

(4.5)

En suelos cohesivos, con ϕ=0 la formula se reduce a:

qu = cN c + γ q D f

(4.6)

Si se aplican los valores de los factores de carga en la formula de suelos cohesivos para ϕ=0 (Nc=5.14, Nq=1.0 y Nγ =0), se tiene:

qu = 5.14c + γ q D f

(4.7)

En el texto de Mecánica de Suelos II de Juárez Badillo y Rico Rodríguez, el coeficiente Nc=5.7

71

El valor de la cohesión c, se determina en el laboratorio a través de la prueba triaxial. Sin embargo se puede tener una aproximación considerando los resultados de la prueba de resistencia a la compresión simple, en donde se considera que la resistencia al esfuerzo cortante se encuentra dada por la cohesión s=c, en donde la presión de confinamiento es la atmosférica que para fines de ingeniería se considera cero σ3=0, con lo que se determina que qu= σ1 en el momento en que el espécimen falla, por lo que qu es igual a 2c. Lo anterior se puede observar en el siguiente Círculo de Mohr:

Fig. 4.3 Circulo de Mohr La teoría expuesta fue desarrollada para cimentaciones corridas, proponiendo Terzaghi en base a su experiencia las siguientes formulas para zapatas cuadradas y circulares: Zapata cuadrada

qu = 0.4 BγN γ + 1.3cN c + γ q D f N q

(4.8)

qu = 0.6 RγN γ + cN c + γ q D f N q

(4.9)

Zapata circular

En donde R es el radio del cimiento.

72

Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de una cimentación lineal colocada sobre un suelo cohesivo – friccionante con las siguientes características:

Cotas en mts. Datos: Suelo: Arena limosa (compacta) γ=1.8t/m3 ϕ=20o c=2t/m2 Df=1.0m B=2.0m Factores de carga Nγ=5.39 Nc=14.83 Nq=6.40

qu =

1 BγN γ + cN c + γ q D f N q 2

73

qu =

1 (2.0)(1.8)(5.39) + (2)(14.83) + (1.8)(1.0)(6.40) 2 qu=50.88t/m2

Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de una cimentación lineal colocada sobre un suelo cohesivo con las siguientes características:

Cotas en mts. Datos: Suelo: Arcilla γ=1.6t/m3 ϕ=0o c=3t/m2 Df=1.0m B=1.8m Factores de carga Nγ=0 Nc=5.14

74

Nq=1

qu = 5.14c + γ q D f qu = (5.14)(3) + (1.6)(1.0) qu=17.02t/m2

4.2.2 Prandtl Prandtl estudió en 1920 como determinar la máxima presión (carga límite) que un elemento rígido de longitud infinita y de base plana, puede ejercer sobre un medio semi infinito, homogéneo, isótropo y rígido – plástico. Prandtl propuso el siguiente mecanismo de falla (aplicable a suelos cohesivos).

Fig. 4.4 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda, de Prandtl Prandtl consideró que la región ACE es una región de esfuerzos constantes, de la misma forma la región AGH es también una región de esfuerzos constantes, y que la transición entre ambas regiones es la zona AEH, es una región de esfuerzos cortantes radiales. Calculando Prandtl que la presión límite (para lograr el flujo plástico incipiente) que puede colocarse sobre la superficie AB está determinada por la formula:

qu = (π + 2)c

(4.10)

4.2.3 Hill Hill propone un mecanismo de falla en el que considera la forma en que la cimentación penetra en el suelo es a través de la formación de dos triangulos, y en forma semejante a la solución de Prandtl, las regiones AGC y ADF, son de esfuerzos constantes y la región AFG es de esfuerzos radiales.

75

Fig. 4.5 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda, de Hill Hill con el análisis de este mecanismo de falla, obtuvo la misma expresión para determinar la presión límite.

qu = (π + 2)c

(4.11)

Una variante que tienen los estudios de Hill, es el caso en que la superficie del terreno tuviera una inclinación.

Fig. 4.6 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda, de Hill en terreno inclinado Donde la presión límite esta en función de la inclinación del ángulo α, de acuerdo a la expresión:

76

qu = 2(1 + α )c

(4.12)

En donde sus límites son:

qu = 2(1 + α )c Si α = 0 o

Si α = 90 o

qu = 2c

qu = (2 + π )c

Semejante a una prueba de compresión simple

Superficie horizontal

Tabla 4.3 Limites de qu en función de la inclinación del suelo

4.2.4 Skempton Skempton comprueba que la profundidad de desplante del cimiento en un estrato firme de apoyo D, influye para incrementar la presión límite que el suelo soporta, por lo que determina usar una expresión totalmente análoga a la de Terzaghi, con la diferencia que el valor de Nc, varía de acuerdo a la relación D/B.

qu = cN c + γ q D f

(4.13)

Fig. 4.7 Nomenclatura para la aplicación del criterio de Skempton

77

Valores de Skempton para suelos puramente cohesivos Nc D/B 0 0.25 0.60 0.75 1.0 1.6 2.0 2.5 3.0 4.0 >4.0

CIMIENTO CORRIDO 5.14 5.6 5.9 6.2 6.4 6.8 7.0 7.2 7.4 7.5 7.5

CIMIENTO CIRCULAR 6.2 6.7 7.1 7.4 7.7 8.1 8.4 8.6 8.8 9.0 9.0

Tabla 4.3 Valores del factor de carga Nc, de acuerdo al criterio de Skempton Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de una cimentación circular (pila) colocada sobre un suelo cohesivo con las siguientes características:

Cotas en mts. Datos: Suelo: Arcilla γ=1.6t/m3 ϕ=0o

78

c=3t/m2 Df=1.0m B=1.5m (Diámetro) D=0.4m D/B=0.26 Según tablas Nc=6.7

para D/B=0.25

qu = cN c + γ q D f qu = (3)(6.7 ) + (1.6)(1) 20.1+1.6=21.7 qu=21.7t/m2

4.2.5 Meyerhof Meyerhof en su teoría de capacidad de carga toma en cuenta los esfuerzos cortantes desarrollados en el suelo arriba del nivel de desplante del cimiento, considerando un mecanismo de falla de la siguiente forma:

´

fig. 4.8 Primer modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda, de Meyerhof El mecanismo de falla de una cimentación a poca profundidad esta dividido en tres cuñas, la primera ABB´ es una cuña de esfuerzos uniformes que se puede considerar en estado activo (Rankine); la segunda ABC es una cuña limitada por una curva de espiral logarítmica y es una zona de esfuerzo cortante radial; la tercera BCDE es una cuña que se considera en estado pasivo (Rankine). La línea BD es llamada Línea de Meyerhof y se 79

considera que en esta superficie actuan los esfuerzos normales Po y los tangenciales So producto de la cuña BDE. Llegando Meyerhof a la siguiente fórmula para determinar la capacidad de carga del suelo en un cimiento largo (corrido):

qu =

1 BγN γ + cN c + po N q 2

(4.14)

Meyerhof replantea posteriormente su fórmula para determinar la capacidad de carga del suelo y la deja semejante a la ecuación de Terzaghi..

qu =

1 BγN γ + cN c + γ q D f N q 2

(4.15)

Considerando los mismos factores de carga indicados en la teoría de Terzaghi y propuestos por Prandtl Nc y Nq

N c = ( N q − 1) / tan ϕ

(4.16)

ϕ

N q = eπ tan ϕ tan 2 (450 + ) 2 ,

(4.17)

A excepción de Nγ que ahora se determina por:

N γ = ( N q − 1) tan(1.4ϕ )

(4.18)

A continuación se en listan los valores de los factores de carga de Meyerhof para cimientos superfiales (poco profundos, D
ϕ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nγ

Nc

Nq

0 0 0.01 0.02 0.04 0.07 0.11 0.15 0.21 0.28 0.37 0.47

5.14 5.38 5.63 5.90 6.19 6.49 6.81 7.16 7.53 7.92 8.34 8.80

1 1.09 1.20 1.31 1.43 1.57 1.72 1.88 2.06 2.25 2.47 2.71

80

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0.60 0.74 0.92 1.13 1.37 1.66 2.00 2.40 2.87 3.42 4.07 4.82 5.72 6.77 8.00 9.46 11.19 13.24 15.67 18.56 22.02 26.17 31.15 37.15 44.43 53.27 64.07 77.33 93.69

9.28 9.81 10.37 10.98 11.63 12.34 13.10 13.93 14.83 15.81 16.88 18.05 19.32 20.72 22.25 23.94 25.80 27.86 30.14 32.67 35.49 38.64 42.16 46.12 50.59 55.63 61.35 67.87 75.31

2.97 3.26 3.59 3.94 4.34 4.77 5.26 5.80 6.40 7.07 7.82 8.66 9.60 10.66 11.85 13.20 14.72 16.44 18.40 20.63 23.18 26.09 29.44 33.30 37.75 42.92 48.93 55.96 64.19

Tabla 4.4 Valores de los factores de carga, de acuerdo al criterio de Meyerhof Para determinar la capacidad de carga para cimientos rectangulares se puede interpolar los resultados de cimientos corridos y cuadrados, pero una alternativa se tiene a través de los factores de forma, que aunque empíricos son lo suficientemente prácticos para su aplicación cotidiana. Los factores de forma, deben ser multiplicados por los factores de capacidad de carga correspondientes a cimientos superficiales corridos. A continuación se presentan dos criterios de factores de forma: Factores de forma (S):

Sγ = S q = 1 ,

B Sγ = S q = 1 + 0.1N ϕ   , L

para ϕ = 0 o

(4.19)

para ϕ = 10 o

(4.20)

81

B S c = 1 + 0.2 N ϕ   L  

En donde N ϕ = tan 45o +

(4.21)

ϕ

 y el valor el ángulo de fricción interna ϕ debe ser 2 B  corregido para cimentaciones rectangulares a través de la formula ϕ r = 1.1 − 0.1 ϕ L  Factores de forma (f):

B f γ = 1 − 0.4  L

(4.22)

B f c = 1 + 0.25  L

(4.23)

B f q = 1 +   tan ϕ L

(4.24)

En todos los casos

B ≤ 1 , y en cimientos circulares B = L = D L

Para considerarla resistencia del suelo al esfuerzo cortante, arriba del nivel de desplante (que no considera la Teoría de Terzaghi) en cimentaciones poco profundas (D
dγ = d q = 1 ,

para ϕ = 0 o

(4.25)

D d γ = d q = 1 + 0.1 N ϕ   , B

para ϕ = 10 o

(4.26)

En donde:

D d c = 1 + 0.2 N ϕ   B

(4.27)

ϕ  N ϕ = tan 45o +  2 

(4.28)

82

Para considerar los efectos de cargas inclinadas sobre los cimientos superficiales en las cimentaciones superficiales, que tienden a disminuir la capacidad de carga de la cimentación, los factores de inclinación sirven para estimar la componente vertical de la capacidad de carga, considerando el ángulo α con la vertical. El ajuste de capacidad de carga lo obtenemos multiplicando los factores de inclinación con los respectivos factores de carga. Factores de inclinación:

 α iγ = 1 −   ϕ

2

α   ic = i q =  1 − o   90 

(4.29) 2

(4.30)

Otro factor común en la práctica que afecta la capacidad de carga de una cimentación es la excentricidad, para considerar este efecto en la determinación de la capacidad de carga se usan las formulas para cargas axiales, modificando el ancho de la cimentación para considerar el efecto de la carga excéntrica, a través de la siguiente formula: Formula de excentricidad:

B´= B − 2e

(4.31)

Con la formula anterior se considera que en ancho de 2e no contribuye a la capacidad de la carga. Si la cimentación es cuadrada o rectangular y se tiene doble excentricidad, la anterior fórmula se aplica en los dos sentidos. Por lo anterior para considerar los diferentes efectos aquí descritos la formula de capacidad de carga se puede escribir:

qu =

Q 1 = B´γN γ d γ iγ + cN c d c ic + γ q D f N q d q iq B´L´ 2

(4.32)

4.2.6 Zeevaert Se considera el mismo criterio de la formula de la capacidad de carga última de Terzaghi:

′ qu = α 2γBN γ + α1cN c + α1 σ z N q

(4.33)

Los valores de los factores de carga Nγ, Nc y Nq , dependen del ángulo de fricción interna, c es también la cohesión del suelo y los otros coeficientes serían los siguientes:

83

Zapata Continua Cuadrada

Ancho

α1

α1′

α2

2B 2B

1 1.3 – 1.2

1 1.2

1 0.8 – 0.6

Tabla 4.5 coeficientes para la aplicación formula de la capacidad de carga, según el método de Zeevaert

Fig. 4.9 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda, de Zeevaert Zeevaert establece que el valor de la capacidad de carga última qu de la formula, esta en función de que en la falla, suceda la movilización de la masa de suelo a través de toda la superficie de falla y esto sucede si el suelo es incompresible, ya que de otra forma el suelo puede fallar sin que se de toda la movilización. Por lo tanto es importante aplicar un factor de corrección que tome en cuenta la compresibilidad del material, para lo cual el parámetro de laboratorio que más aplica, es la densidad relativa Dr

Dr =

emáx − e emáx − emín

(4.34)

Por lo anterior, la corrección establece una función directa entre la densidad relativa Dr y la capacidad de carga, como se establece en la siguiente formula: _

qu = qu (Dr + 0.1)

(4.35)

Con lo que se puede establecer que la capacidad de carga de una arena suelta de una densidad relativa del 20% tiene según este criterio aproximadamente solo 1/3 parte del resultado obtenido por la formula de capacidad de carga y no las 2/3 partes del criterio de Falla local visto anteriormente.

84

CAPITULO 5

CIMENTACIONES E INTERACCIÓN CON EL SUELO. 5.1 Superficiales Las cimentaciones superficiales son conocidas también como poco profundas o someras. Debido a que en la práctica y de acuerdo los reglamentos, los cimientos deben tener una determinada profundidad de desplante, por razones de fuerzas laterales (viento, sismo, etc.), debiéndose evitar también, desplantarse sobre tierra vegetal, rellenos sueltos o desechos. Generalmente en edificios la profundidad de las cimentaciones superficiales varía aproximadamente entre una y dos veces el ancho del cimiento; sin embargo en puentes, las cimentaciones superficiales se consideran todas las que se construyen en una excavación a cielo abierto, aunque el nivel de desplante se encuentre a gran profundidad, determinado éste último comúnmente, por la prevención de erosiones ocasionadas por el flujo de agua en máximas avenidas. La utilización de cimentaciones superficiales esta en función de las características del terreno en cuanto a capacidad de carga y asentamientos, así como a sus costos de construcción. Es relevante señalar la importancia de los estudios de campo que nos indique las características del suelo que estará en contacto con la cimentación, pero también los que nos indiquen la existencia de cavernas, ductos, colectores, minas de arena, etc., que puedan afectar nuestra edificación. En algunas poblaciones en sus reglamentos de construcción establece una regionalización de sus suelos de acuerdo a estudios generales realizados, sin embargo esta información no es suficiente para definir una cimentación, por lo que se debe realizar un estudio específico de mecánica de suelos en los sitios donde se pretenda construir una estructura.

5.1.1 Clasificación Los tipos más frecuentes de cimentaciones superficiales son las zapatas aisladas, las zapatas corridas y las losas de cimentación; y los materiales más comúnmente usados en nuestro país es el concreto armado y la mampostería de piedra. Las zapatas aisladas son elementos de la subestructura comúnmente cuadradas o rectangulares, que tienen por función transmitir la carga de las columnas al terreno en una mayor área, para transmitir la presión adecuada a la capacidad de carga del suelo y tomando en cuenta su efecto en los posibles asentamientos; se construyen comúnmente de concreto armado

85

Fig. 5.1 Zapatas aisladas Las zapatas corridas son también elementos de la subestructura, que tienen por función transmitir la carga de muros o varias columnas al terreno en una mayor área, para transmitir la presión adecuada a la capacidad de carga del suelo y tomando en cuenta su efecto en los posibles asentamientos; se construyen comúnmente de mampostería o concreto armado

Fig. 5.2 Zapatas corridas Cuando la capacidad de carga del suelo es baja y el tamaño de las zapatas requeridas es grande y poco prácticas, puede ser una mejor solución construir toda la estructura sobre una losa de concreto armado, llamadas éstas “losas de cimentación”.

86

Fig. 5.3 Losa de cimentación

5.1.2 Factores que determinan el tipo de cimentación Existen varios factores que influyen para determinar el tipo de cimentación de una estructura, como puede ser el económico, el proceso constructivo, los materiales de la región, etc.; sin embargo desde el punto de vista de la mecánica de suelos se puede enfocar a dos básicamente; el primero es la capacidad de carga del suelo, debido a que no debe ocurrir una falla por cortante del suelo que soporta a la cimentación (estado límite de falla) y el segundo es que el asentamiento de suelo causado por la carga se encuentre dentro de los limites admisibles (estado límite de servicio) El Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, publicado en la Gaceta Oficial del Distrito Federal el 29 de enero de 2004, establece la definición del estado límite de falla en su Articulo 148 como: “Se considerará como estado límite de falla cualquier situación que corresponda al agotamiento de la capacidad de carga de la estructura o de cualquiera de sus componentes, incluyendo la cimentación, o al hecho de que ocurran daños irreversibles que afecten significativamente su resistencia ante nuevas aplicaciones de carga”. El mismo Reglamento establece la definición del estado límite de servicio en su Articulo 149 como: “Se considerará como estado límite de servicio la ocurrencia de desplazamientos, agrietamientos, vibraciones o daños que afecten el correcto funcionamiento de la edificación, pero que no perjudiquen su capacidad para soportar cargas. Los valores específicos de estos estados límite se definen en las Normas”.

5.1.3 Aplicación de las teorías en los diferentes tipos de suelos 5.1.3.1 Forma generalizada de la capacidad de carga última Como se ve en el capitulo anterior la capacidad de carga última para una cimentación superficial, se puede expresar en forma generalizada como:

87

qu =

1 B´γN γ ( f γ )(d γ )(iγ ) + cN c ( f c )(d c )(ic ) + γ q D f (N q )( f q )(d q )(iq ) 2

(5.1)

Factores de carga: Nγ , Nc y Nq Están en función del ángulo de fricción interna del suelo debajo del desplante de la cimentación (ver tablas) Factores de forma (f):

B f γ = 1 − 0.4  L

(5.2)

B f c = 1 + 0.25  L

(5.3)

B f q = 1 +   tan ϕ L

(5.4)

B ≤1 En todos los casos L , y en cimientos circulares B = L = D Factores de profundidad:

dγ = d q = 1

En donde:

o , (para ϕ = 0 )

(5.5)

D d γ = d q = 1 + 0.1 N ϕ   o  B  , (para ϕ = 10 )

(5.6)

D d c = 1 + 0.2 N ϕ   B

(5.7)

ϕ  N ϕ = tan 45o +  2 

(5.8)

88

Factores de inclinación:

 α iγ = 1 −   ϕ

2

α   ic = i q =  1 − o   90 

(5.9) 2

(5.10)

5.1.3.2 Criterios para la aplicación de la formula de la capacidad de carga última, según el nivel de aguas freáticas Para la aplicación de la formula de la capacidad de carga última, deben aplicarse los siguientes criterios según sea el caso: Caso 1: El nivel de agua freático se localiza entre la superficie y el nivel de desplante.

Fig. 5.4 Zapata con presencia de nivel de agua freático por encima del nivel de desplante Para determinar la capacidad de carga última de una cimentación superficial, cuando el nivel de aguas freáticas se encuentra entre la superficie y el nivel de desplante, podemos ocupar nuestra formula con las siguientes variantes:

qu =

1 B´[γ sat − γ w ]N γ ( f γ )(d γ )(iγ ) + cN c ( f c )(d c )(ic ) + [Z wγ + Z (γ sat − γ w )](N q )( f q )(d q )(iq ) 2 (5.11) Donde:

γ = peso especifico del suelo

89

γ sat = peso especifico del suelo saturado γ w = peso especifico del agua Caso 2: El nivel de agua freático se localiza entre el nivel de desplante y debajo de éste hasta una profundidad B (más abajo se considera que ya no afecta la capacidad de carga).

Fig. 5.5 Zapata con presencia de nivel de agua freático por debajo del nivel de desplante Para determinar la capacidad de carga última de una cimentación superficial, cuando el nivel de aguas freáticas se encuentra entre el nivel de desplante y debajo de éste hasta una profundidad B, podemos ocupar nuestra formula con las siguientes variantes:

qu =

1 B´γN γ ( f γ )(d γ )(iγ ) + cN c ( f c )(d c )(ic ) + γ q D f (N q )( f q )(d q )(iq ) 2 (5.12)

El valor de γ varia de γ = (γ sat − γ w ) cuando Z w − D f = 0 , hasta γ = γ cuando

Z w − D f = B , en las situaciones intermedias en valor de γ se puede interpolar su valor, una forma de interpolación lineal es a través de la siguiente formula:

γ = (γ sat − γ w ) +

(Z

w

− Df B

) (γ − (γ

sat

− γ w ))

(5.13)

En los casos en que el nivel de las aguas freáticas se considere dinámico, es recomendable considerar la formula con el valor más desfavorable.

90

5.1.3.3 Factor de seguridad El cálculo de la capacidad de carga admisible o de trabajo, en una cimentación superficial requiere de la aplicación de un factor de seguridad (FS), para dar los márgenes de seguridad necesarios, para considerar las incertidumbres de las propiedades de los suelos que son un material “natural”. En la forma más simple se puede escribir.

qadm =

qu FS

(5.14)

Considerándose el Factor de seguridad comúnmente igual o mayor de 3, en algunos casos dependiendo del tipo de obra y de si se toman cargas permanentes vivas y accidentales, el valor puede reducirse a 2 o 2.5. Para suelos puramente cohesivos la formula anterior se considera que no es la más conveniente, por lo que el modelo de balanza de Khristianovich nos da un mejor criterio para obtener la capacidad de carga admisible. A continuación se representa un modelo gráfico de una balanza, en el cual se puede observar que un estado seguro para una cimentación es cuando la carga de la cimentación es igual al peso del material desalojado (cimentación compensada),

qu = γ q D f

Fig. 5.6 Modelo gráfico de una balanza semejante a la de Khristianovich Si se considera que la formula para determinar la capacidad de carga última es:

qu = cN c + γ q D f

(5.15)

De acuerdo al modelo gráfico de la balanza: qu representa el peso en el platillo izquierdo, γqDf representa el peso en el platillo derecho y cNc representa una resistencia al movimiento en los mecanismos de la balanza, que puede actuar en ambos sentidos, como resistencia en el sentido de la capacidad de carga o como resistencia en el sentido contrario cuando en el proceso de construcción se realiza la excavación y puede darse

91

una falla de fondo, que es el caso en el cual, el suelo de los lados fluye hacia el fondo de la excavación. Por lo anterior el factor de seguridad solo debe actuar sobre cNc:

qu =

cN c + γ qDf FS

(5.16)

En algunos reglamentos de construcción, la seguridad se considera a través de la aplicación de factores de carga FC que incrementan las acciones en la cimentación, y factores de reducción FR que disminuyen la capacidad de carga admisible, para considerar la incertidumbre en ambos casos. Ejemplo Revisar la seguridad del suelo de acuerdo a su capacidad de carga, de una zapata rectangular de concreto reforzado, de 2.0 metros de ancho y 2.5 metros de largo en planta, desplantada en un suelo friccionante con las siguientes características:

Cotas en mts. a) Considerar el suelo seco sin N. A. F. b) Considerar el N. A. F. en la superficie Datos: Suelo: Arena γ=1.6 t/m3 γsat=1.9 t/m3 92

ϕ=30o Dr=75% Df=1.0m P=30 t Carga puntual (incluye el peso propio de la zapata) FC=1.4 (Factor de carga según reglamento) FR=0.45 (Factor de reducción según reglamento) a) Considerando el suelo seco sin N. A. F. Forma generalizada de la capacidad de carga última.

qu =

1 B´γN γ ( f γ )(d γ )(iγ ) + cN c ( f c )(d c )(ic ) + γ q D f (N q )( f q )(d q )(iq ) 2

Considerando que el suelo es friccionante y que la carga es vertical, la formula se reduce a:

qu =

1 BγN γ ( f γ ) + γ q D f (N q )( f q ) 2

En donde la capacidad de carga resistente qr es la capacidad de carga afectada por el factor de reducción FR.

1  qr =  BγN γ ( f γ ) + γ q D f (N q )( f q ) FR 2  ϕ=30o

Como

Nγ=22.4,

Nq=18.4

Para considerar que el cimiento es rectangular se aplican lo factores de forma

B f γ = 1 − 0.4  L  2.0  f γ = 1 − 0.4  = 0.68  2.5 

B f q = 1 +   tan ϕ L  2.0  0 fq = 1+   tan 30 = 1.46  2.5 

Substituyendo

93

1  qr =  (2)(1.6)(22.4)(0.68) + (1.6)(1.0)(18.4 )(1.46) (0.45) 2  qr = [24.37 + 42.98](0.45)

qr = 30.31t / m 2 Carga aplicada P=30t. En donde la carga última Pu es la carga afectada por el factor de carga FC. P=30(1.4)=42t El esfuerzo “último” aplicado será:

pu =

42 (2)(2.5)

pu = 8.4t / m 2 Comparando el esfuerzo último aplicado y la capacidad de carga resistente podemos ver que se cumple con la seguridad establecida

pu = 8.4t / m 2 < qr = 30.31t / m 2 b) Considerando el N. A. F. en la superficie Considerando que el esfuerzo “último” aplicado no varia, la capacidad de carga resistente quedaría:

1  qr =  (2)(1.9 − 1)(22.4)(0.68) + (1.9 − 1)(1.0)(18.4 )(1.46) (0.45) 2  qr = [13.71 + 24.18](0.45)

qr = 17.05t / m 2 Comparando el esfuerzo último aplicado y la capacidad de carga resistente con el N. A. F. en la superficie, podemos ver que se cumple con la seguridad establecida

pu = 8.4t / m 2 < qr = 17.05t / m 2

94

Ejemplo Revisar la seguridad del suelo de acuerdo a su capacidad de carga, de una zapata corrida de concreto reforzado, de 1.5 metros de ancho, desplantada en un suelo cohesivo friccionante con las siguientes características:

Cotas en mts. Datos: Suelo: Arena limosa γ=1.8 t/m3 ϕ=24o c=1t/m2 Dr=75% Df=1.0m P=12 t/m Carga vertical (incluye el peso propio de la zapata) FC=1.4 (Factor de carga según reglamento) FR=0.45 (Factor de reducción según reglamento) Forma generalizada de la capacidad de carga última.

qu =

1 B´γN γ ( f γ )(d γ )(iγ ) + cN c ( f c )(d c )(ic ) + γ q D f (N q )( f q )(d q )(iq ) 2

95

Considerando que el suelo es cohesivo friccionante y que la carga es vertical, la formula se reduce a:

qu =

1 B´γN γ + cN c + γ q D f N q 2

En donde la capacidad de carga resistente qr es la capacidad de carga afectada por el factor de reducción FR.

1  qr =  BγN γ + cN c + γ q D f (N q ) FR 2  ϕ=24o

Como

Nγ=9.44,

Nc=19.32

Nq=9.6

Para considerar que el cimiento es rectangular se aplican lo factores de Substituyendo

1  qr =  (1.5)(1.8)(9.44) + (1)(19.32) + (1.8)(1)(9.6) (0.45) 2  q r = [12.74 + 19.32 + 17.28](0.45)

qr = 22.2t / m 2 Carga aplicada P=12t/m. En donde la carga última Pu es la carga afectada por el factor de carga FC. P=12(1.4)=16.8t/m El esfuerzo “último” aplicado será:

pu =

16.8 (1.5)(1)

pu = 11.2t / m 2 Comparando el esfuerzo último aplicado y la capacidad de carga resistente podemos ver que se cumple con la seguridad establecida

pu = 11.2t / m 2 < qr = 22.2t / m 2

96

5.2 Profundas Las cimentaciones profundas son elementos estructurales conocidos como pilotes y pilas, construidos comúnmente de concreto, acero o madera, y tienen básicamente la función de transmitir el peso de la estructura a estratos a una mayor profundidad en los cuales se garantice que se cumplan con los estados limites de falla y de servicio, en cuanto a la capacidad de carga y asentamientos; cuando con las cimentaciones poco profundas no se puedan cubrir estos requisitos.

5.2.1 Clasificación Las cimentaciones profundas se clasifican comúnmente en pilotes y pilas, de acuerdo a las dimensiones de su sección transversal cuando el diámetro o lado mayor es de 60 cm. (SMMS) o menor se definen como pilotes y cuando es mayor de este se definen como pilas. Dos criterios importantes de clasificación de las pilas y los pilotes, son: Según la forma como trasmiten sus cargas al suelo y según su procedimiento constructivo.

5.2.1.1 Según la forma como transmiten las cargas al subsuelo De acuerdo a como transmiten las cargas al subsuelo las pilas y los pilotes, se pueden dividir en de punta, pilotes de fricción, pilotes de anclaje y pilas y pilotes con carga horizontal. Las pilas y pilotes de punta se usan cuando hay necesidad de transmitir las cargas de la superestructura un estrato profundo de suelo resistente o de roca y puede apoyarse sobre la superficie o empotrarse en estos estratos.

Fig. 5.7 Pilote y pila, de punta

97

Los pilotes de fricción se usan, cuando hay necesidad de transmitir las cargas de la superestructura y no hay un estrato de suelo resistente o de roca para colocar un pilote o pila de punta, o cuando la zona sufre de asentamientos de consolidación regional y hay necesidad que la estructura se asiente a la misma velocidad de las estructuras vecinas.

Fig. 5.8 Pilote de fricción Los pilotes de anclaje se usan, cuando hay necesidad de transmitir las cargas de la superestructura y existe un estrato de suelo expansivo que pueda provocar esfuerzos indeseables del suelo hacia la estructura.

Fig. 5.9 Pilote de anclaje

98

Las cargas horizontales en los pilotes y pilas, pueden ser producto de las reacciones de la estructura o por cargas accidentales como un sismo, y pueden ser verticales o inclinados,

Fig. 5.10 Pilotes con carga horizontal

5.2.1.2 Según su proceso constructivo De acuerdo a su proceso constructivo se pueden clasificar: con desplazamiento, con poco desplazamiento y sin desplazamiento. El desplazamiento en el hincado de pilotes es importante, porque en suelos cohesivos pueden producir remoldeo que provoca una disminución en su resistencia al cortante y en suelos granulares el efecto contrario por aumentar la densidad relativa.

5.2.1.2.1 Con desplazamiento Los pilotes con desplazamiento son aquellos que en el momento de ser hincado desplazan una cantidad de suelo igual al volumen del tramo de pilote hincado. El hincado prácticamente es propio de los pilotes debido a su forma esbelta, y se tienen los siguientes casos: •

Pilotes hincados a percusión. Este tipo de pilotes es el más conocido y que consiste en hincar los pilotes a percusión con un martillo de impacto y una torre guía para darle dirección, vertical o inclinada.

•

Pilotes hincados a presión. Estos pilotes se hincan en tramos de poca altura, a través de un sistema de un marco de carga con un gato hidráulico que aplica la presión al pilote. Este sistema tiene la ventaja de que se puede trabajar en lugares con problemas de altura, como es el caso de trabajar dentro de una construcción, y como desventaja se tiene, el establecer la forma en que los diferentes tramos del pilote queden debidamente unidos para trabajar como un solo elemento.

99

•

Pilotes hincados con vibración. Este tipo de pilotes se emplean en suelos granulares, y el método consisten en colocar sobre el pilote un sistema de carga vertical más uno o dos motores rotatorios con elementos excéntricos que genera la vibración.

5.2.1.2.2 Con poco desplazamiento Los pilotes con poco desplazamiento son aquellos que en el momento de ser hincado desplazan solo una cantidad de suelo menor al volumen del tramo de pilote hincado. Igual que el caso anterior el hincado prácticamente es propio de los pilotes debido a su forma esbelta, y se tienen los siguientes casos: •

Pilotes hincados con una perforación previa. Como su nombre lo indica en este caso se realiza una perforación de diámetro menor al del pilote, con la intención de evitar el desplazamiento excesivo de suelo, sin perder la propiedad de tener una resistencia al esfuerzo cortante entre el suelo y el pilote, a través de su fricción o adherencia.

•

Pilotes hincados con chiflón de agua. Son pilotes hincados en suelos granulares, los cuales durante el procedimiento de hincado a través de un sistema hidráulico en la punta del pilote se inyecta agua a presión, con la finalidad de que erosione la zona del frente de penetración y se extraiga parte del suelo por arrastre junto con el agua que asciende a la superficie.

•

Pilotes de área transversal pequeña. Se incluyen en esta clasificación los pilotes de perfiles de acero.

5.2.1.2.3 Sin desplazamiento Los pilotes y pilas sin desplazamiento son aquellos en los que se realiza la perforación respectiva y se arman y cuelan en sitio, ya que comúnmente son de concreto reforzado.

5.2.2 Capacidad de carga en los diferentes tipos de cimentaciones profundas En las cimentaciones profundas existe también los criterios de capacidad de carga última y capacidad de carga admisible, en el caso de la capacidad de carga última existe una mayor incertidumbre en los modelos para su determinación, por lo que es importante realizar de ser posible pruebas de carga sobre prototipos en sitio y los factores de seguridad deben fluctuar entre 4 y 5. Determinar la capacidad de carga última de un pilote, Qu es complejo, sin embargo, se puede representar en forma práctica como la suma de la capacidad de carga tomada por la punta del pilote Qp, más la capacidad de carga tomada por la resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote) por la superficie del fuste del pilote Qs. Qu= Qp+ Qs

(5.17)

100

5.2.2.1 Capacidad de carga de un pilote de punta Qp La capacidad de carga de un pilote de punta, tiene una forma semejante a la formula de cimentaciones poco profundas, expresada como esfuerzo se puede representar:

q p = γDN γ∗ + cN c∗ + q´N q∗

(5.18)

Considerando que el diámetro del pilote D, es relativamente pequeño, el primer término de la ecuación se puede eliminar sin una afectación considerable de la determinación de la capacidad de carga, quedando la ecuación:

q p = cN c∗ + q´N q∗

(5.19)

Donde: c= cohesión del suelo que soporta la punta del pilote q´=esfuerzo vertical efectivo a nivel de la punta del pilote

N c∗ , N q∗ =factores de capacidad de carga para cimentaciones profundas La capacidad de carga de un pilote de punta, expresada como fuerza, se determina multiplicando el esfuerzo por el área transversal del pilote Ap, y se puede representar como:

(

Q p = Ap q p = Ap cN c∗ + q´N q∗

)

(5.20)

Ejemplo Determinar la capacidad de carga por punta de un pilote de 10 metros de largo y una sección transversal circular de 30 centímetros de diametro, hincado en un estrato de arena (c=0) con las siguientes características:

101

Datos: Suelo: Arena homogenea γ= 1.7 t/m3 ϕ= 31o

N q∗ =60 (Meyerhof) De acuerdo a la formula para capacidad de carga por punta:

(

Q p = Ap q p = Ap cN c∗ + q´N q∗

)

Por ser un suelo puramente friccionante c=0, la formula se reduce:

(

Q p = Ap q p = Ap q´N q∗

)

Ap = π 0.15 2 = 0.071 q´= (10 )(1.7 ) = 17

Q p = (0.071)(17 )(60) = 72.1t. Considerando que existe una la resistencia límite por punta definida por la formula:

ql = 5.1N q∗ tan ϕ (t/m2) Aplicando los valores para hacer la comparación.

ql = 5.1(60) tan 31o = 183.86t / m 2 Q p = (0.071)(183.86 ) = 12.997t. Por lo tanto la capacidad de carga última por punta del pilote es la menor:

Q p = 13t. 5.2.2.2 Capacidad de carga de un pilote por la resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote) de la superficie del fuste Qs La capacidad de carga de un pilote tomada por la resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote), se puede determinar.

Qs = pLf

(5.21) 102

Donde: p= perímetro de la sección transversal del pilote L= longitud del pilote f= resistencia al esfuerzo cortante suelo – pilote En caso que existan diferentes estratos con características diferentes en la cimentación, se deben sumar la contribución a la capacidad de carga de cada estrato.

Ejemplo Determinar la capacidad de carga por fricción de un pilote de 12 metros de largo y una sección transversal circular de 30 centímetros de diametro, hincado en un estrato de arena (c=0) con las siguientes características:

Datos: Suelo: Arena homogenea γ= 1.7 t/m3 ϕ= 28o

103

De acuerdo a la formula para capacidad de carga por la resistencia al esfuerzo cortante (fricción):

Qs = pLf p = π 0.30 = 0.942

L = 12 En arenas el valor de f se puede determinar considerando el la fricción suelo pilote como un porcentaje de la fricción interna del suelo y el efecto del empuje de tierra sobre el pilote en función del esfuerzo efectivo vertical (a 15 veces el diámetro o lado), expresada con la siguiente formula:

f = Kσ ´tanδ El valor de K varía entre los coeficientes de Rankine de los estados de reposo Ko y del estado activo Kp, para fines del ejemplo se toma K=1 El esfuerzo efectivo vertical, en el ejemplo se considera el de la profundidad Z=15d por lo tanto:

σ ´= 1.7[(15)(0.30)] = 7.65 La fricción suelo – pilote, en este caso se considera como un 60% de la fricción interna del suelo.

δ = 0.60(28o ) = 0.293o Por lo tanto el valor de f en este ejemplo es:

(

)

f = (1.4)(7.65) tan 0.293o = 3.234 Substituyendo los valores en la ecuación carga última por fricción:

Qs = (0.942)(12 )(3.234 ) Qs = 36.5t Ejemplo Determinar la capacidad de carga por adherencia de un pilote de 14 metros de largo y una sección transversal cuadrada de 40 centímetros de lado, hincado en un estrato de arcilla saturada (ϕ=0) con las siguientes características:

104

Datos: Suelo: Arcilla saturada γ= 1.8 t/m3 cu= 5 t/m2 De acuerdo a la formula para capacidad de carga por la resistencia al esfuerzo cortante (adherencia):

Qs = pLf p = 4(0.40 ) = 1.60

L = 14 En arcillas el valor de f de adherencia, se puede determinar considerando como un porcentaje α de la cohesión del suelo

f = αcu En donde α varia del 25% al 100%, para cohesiones no drenadas de 30 a 4 t/m2, por lo que para este ejemplo donde cu=5t/m2 consideramos α = 0.8, por lo tanto:

f = 0.8(5) = 4 Substituyendo los valores en la ecuación carga última por adherencia:

Qs = pLf 105

Qs = (1.6)(14)(4 ) Qs = 89.6t 5.2.2.3 Capacidad de carga de una pila perforada La capacidad de carga de una pila perforada, se puede determinar en forma semejante a la de los pilotes: Qu= Qp+ Qs

(5.21)

La capacidad de carga de punta de una pila, tiene una forma semejante a la formula de cimentaciones poco profundas, y se puede representar como:

(

Q p = Ap q p = Ap 0.3γDN γ∗ + cN c∗ + q´N q∗

)

(5.22)

Considerando que el diámetro de la base de la pila es D Donde: Ap= Área de la base de la pila (con o sin campana) γ = Peso especifico del suelo de la base D = Diámetro de la base de la pila c= cohesión del suelo que soporta la punta de la pila q´=esfuerzo vertical efectivo a nivel de la punta de la pila

N γ∗ , N c∗ , N q∗ =factores de capacidad de carga para cimentaciones profundas La capacidad de carga por la adherencia o fricción del fuste de la pila, en algún caso se puede considerar despreciable, de no ser así, tiene una forma semejante a la formula pilotes, y se puede representar:

Qs = pLf

(5.23)

Donde: p = perímetro de la pila L = longitud de la pila f = resistencia unitaria por fricción o adherencia

106

CAPITULO 6

EMPUJE DE TIERRAS. 6.1 Clasificación de los elementos de retención En la práctica de la Ingeniería Civil, es común el tener que realizar obras en las cuales se tengan diferencias de niveles en suelos; como es el caso de sótanos, andenes, rampas de acceso, plataformas industriales, etc.; así como también realizar cortes en caminos, ferrocarriles, etc.; debido esto, es necesario construir elementos de retención que nos proporcionen estabilidad y seguridad. Un elemento de retención proporciona un soporte lateral a un talud o a un suelo vertical, pueden ser de mampostería, concreto simple, concreto armado, de acero, de madera, etc., sin embargo con la finalidad de establecer un criterio de clasificación de éstos elementos, se considerarán como rígidos y flexibles. Los elementos de retención rígidos, son básicamente los muros que proporcionan la estabilidad por gravedad, o como comúnmente se dice: por peso propio; pueden ser de mampostería de piedra, concreto simple, etc.

Fig. 6.1 Elemento de retención rígido Los elementos de retención flexibles, son elementos de poco espesor (como los tablestacados) sometidos a momentos flexionantes y que estructuralmente se diseñan de concreto armado, acero, etc.

107

Fig. 6.2 Elemento de retención flexible Existen elementos de retención que pueden quedar en “medio” de estas dos clasificaciones, como son las losas con contrafuertes, que son una combinación de ambos.

6.2 Estado de reposo Considerando un elemento de suelo (imaginando un cubo), localizado a una profundidad z, de una masa de suelo, éste se encuentra sometido a esfuerzos en función de la profundidad.

Fig. 6.3 Esfuerzos verticales y horizontales en una partícula de suelo Considerando los planos horizontales y verticales, los esfuerzos a los que está sometida la partícula serán los esfuerzos efectivos verticales y esfuerzos efectivos

108

horizontales, que en caso de estar seco el suelo, éstos serán los esfuerzos verticales totales y los esfuerzos horizontales totales, respectivamente. Esfuerzos efectivos Verticales Horizontales

σ ´v σ ´h

Esfuerzos totales

σv σh

Suelos seco:

σ ´v = σ v

(6.1)

σ ´h = σ h

(6.2)

Si en forma “instantánea”, se colocara un elemento de retención, sin ninguna deformación horizontal, este elemento quedaría sujeto a una presión horizontal igual a la presión de confinamiento σ h

Fig. 6.4 Esfuerzo en la partícula por confinamiento Por su comportamiento plástico el esfuerzo vertical es prácticamente mayor que el esfuerzo horizontal.

σ v 〉σ h

(6.3)

Por lo que lo que la relación entre el los esfuerzos: horizontal y vertical, lo conocemos como Ko, coeficiente estado de reposo.

Ko =

σh σv

(6.4)

109

Como se puede observar el esfuerzo horizontal σh está en función del esfuerzo vertical σv. Como el esfuerzo vertical se determina considerando el peso que tiene la partícula encima:

σ v = γz

(6.5)

El esfuerzo horizontal se puede determinar como:

σ h = K o (γz )

(6.6)

Los valores de Ko generalmente varían de 0.5 a 1.0, con lo que se puede hacer una estimación del empuje al cual estaría sujeto un elemento de retención que estuviera en esta condición de estado de reposo. Ejemplo Determinar el empuje en estado de reposo sobre un elemento de retención de paramento vertical de 4 m. de altura, que contiene una arena seca con un peso especifico γ=1.8 t/m3 y un coeficiente de estado de reposo Ko=0.6. a) Suelo seco b) Con N.A.F. a 1m. de profundidad a partir de la superficie a) Suelo seco

Como se puede ver la resultante del área de esfuerzos horizontales Eo, determina el empuje en estado de reposo:

Eo =

1 K oγH 2 2

110

Eo =

1 (0.6)(1.8)(4)2 = 8.64 2 Eo = 8.64t / m

b) Con N.A.F. a 1m. de profundidad a partir de la superficie

´

²

²

²

Profundidad

z

Esfuerzo total horizontal

²

²

Esfuerzo efectivo horizontal σ´h

σh

Z = 0m Z = 1m Z = 4m

σh = 0 t

m2 σ h = 1.08 + 0 σ h = 1.08 t 2 m σ h = 2.52 + 3 σ h = 5.52 t 2 m

σ ´h = 0 t

m2 σ ´h = (1.8)(1)(0.6) σ ´h = 1.08 t 2 m σ ´h = (1.08) + (1.8 − 1)(3)(0.6) σ ´h = 2.52 t 2 m

Esfuerzo neutro µ

µ =0 t µ =0 t

m2 m2

µ = (1)(3) µ =3 t 2 m

Determinando la resultante de los empujes horizontales totales y su punto de aplicación. Figura A,B,E B,D,F,E E,F,G SUMAS=

Area 0.54 3.24 6.66 10.44

Brazo 3.333 1.5 1.0

Momento 1.8 4.86 6.66 13.32

Empuje en estado de reposo Eo=10.44t/m

111

Punto de aplicación respecto a la base:

13.32 = 1.28 m 10.44

²

²

² ²

6.3 Estados plásticos de equilibrio Los Estados plásticos de equilibrio o de equilibrio plástico, son las condiciones en las cuales una masa de suelo que se encuentra detrás de un elemento de retención se encuentra en un estado falla incipiente. Como se puede ver en el diagrama de esfuerzos, existen tres círculos de Mohr, el número 1 corresponde a un suelo que se encuentra en estado de reposo en el cual el esfuerzo principal mayor corresponde al esfuerzo vertical σv y el esfuerzo principal menor corresponde al esfuerzo horizontal en estado de reposo σho; el circulo número 2 corresponde al mismo suelo, en el cual el esfuerzo principal mayor es el mismo esfuerzo vertical σv que corresponde al peso del suelo que tiene arriba la partícula, sin embargo ahora el elemento de soporte se ha retirado una distancia diferencial del suelo, de tal forma que el esfuerzo horizontal o principal menor disminuye hasta en estado de falla incipiente conocido como estado activo σha, el cual se observa en la gráfica como el instante en el cual el circulo se hace tangente a su línea envolvente de falla por cortante; el circulo número 3 el mismo suelo conserva el esfuerzo vertical σv que se convierte en un esfuerzo menor debido a que el elemento de retención se desplaza hacia al relleno comprimiendo al suelo hasta llegar a un estado incipiente de falla conocido como estado pasivo en el que el esfuerzo horizontal crece σhp y en la gráfica se puede observar que el circulo se hace tangente a su línea envolvente de falla por cortante,

112

´

´

a

Fig. 6.5 Círculos de Mohr para un suelo con cohesión y fricción, en estados de equilibrio plástico

6.4 Teoría de Rankine Rankine investigo en 1857 las condiciones de esfuerzos en el suelo en sus estados límites plásticos, a continuación se plantean los estados activo y pasivo.

6.4.1 Estado activo El estado plástico activo, como ya se explicó, se sucederá cuando el elemento de retención se aleja del suelo y éste queda en una falla incipiente, este caso puede darse con una pequeña rotación del elemento de retención, es por eso que comúnmente se utiliza como criterio para el diseño de muros y tablestacados. Considerando un suelo con cohesión y fricción el esfuerzo efectivo horizontal se puede determinar de la siguiente forma: En la gráfica de esfuerzos, analizando el circulo de Mohr que se forma en el momento que éste se hace tangente a la envolvente de falla por cortante (estado activo), trazamos un radio del centro al punto de tangencia, con lo que se forma el triangulo rectángulo ABD.

113

´

o

´

´

a

´

´

Fig. 6.6 Círculos de Mohr para un suelo con cohesión y fricción, en estado activo

senϕ = BD =

σ ´v −σ ´ha

BD BD = AB AO + OB AO = (c )cot ϕ

2

(6.7)

OB =

σ ´v +σ ´ha 2

σ ´v −σ ´ha 2

senϕ = c cot ϕ +

σ ´v +σ ´ha

(6.8)

2

σ ´ −σ ´ha  σ ´ −σ ´ha   c cot ϕ + v  senϕ = v 2 2  

(6.9)

2c cos ϕ + σ ´v senϕ + σ ´ha senϕ = σ ´v −σ ´ha

(6.10)

σ ´ha +σ ´ha senϕ = σ ´v −σ ´v senϕ − 2c cos ϕ

(6.11)

σ ´ha (1 + senϕ ) = σ ´v (1 − senϕ ) − 2c cos ϕ

(6.12)

1 − senϕ cos ϕ − 2c 1 + senϕ 1 + sen

(6.13)

ϕ 1 − senϕ  = tan 2  45o −  1 + senϕ 2 

(6.14)

ϕ cos ϕ  = tan 45o −  1 + sen 2 

(6.15)

σ ´ha = σ ´v

114

ϕ ϕ   σ ´ha = σ ´v tan 2  45o −  − 2c tan 45o −  

2



2

(6.16)

Considerando K a como el coeficiente de estado activo:

Ka =

σ ´v ϕ  = tan 2  45 o −  σ ´ha 2 

(6.17)

Se puede escribir la formula para determinar el esfuerzo horizontal efectivo en un suelo con cohesión y fricción como:

σ ´ha = σ ´v K a − 2c K a

σ ´ha = γzK a − 2c K a

(6.18)

En un suelo granular, puramente friccionante la envolvente de falla por cortante pasa por el origen con lo que c=0, y la formula queda:

σ ´ha = σ ´v K a

σ ´ha = γzK a

(6.19)

En un suelo cohesivo la envolvente de falla por cortante es horizontal por lo que ϕ=0 y K a = 1 , y la formula queda: o

σ ´ha = σ ´v −2c

σ ´ ha = γz − 2c

(6.20)

6.4.2 Estado pasivo El estado plástico pasivo, se sucederá cuando el elemento de retención presiona al suelo y éste queda en una falla incipiente. Considerando un suelo con cohesión y fricción el esfuerzo efectivo horizontal se puede determinar de la siguiente forma: En la gráfica de esfuerzos, analizando el círculo de Mohr que se forma en el momento que éste se hace tangente a la envolvente de falla por cortante con la circunferencia del estado pasivo.

115

´

´

Fig. 6.7 Círculos de Mohr para un suelo con cohesión y fricción, en estado pasivo

senϕ =

BD =

σ ´hp −σ ´v

BD BD = AB AO + OB AO = (c )cot ϕ

2

(6.21)

OB =

σ ´hp +σ ´v 2

σ ´hp −σ ´v 2

senϕ = c cot ϕ +

σ ´hp +σ ´v

(6.22)

2

σ ´ −σ ´v  σ ´ −σ ´v   c cot ϕ + hp  senϕ = hp 2 2  

(6.23)

2c cos ϕ + σ ´hp senϕ + σ ´v senϕ = σ ´hp −σ ´v

(6.24)

− σ ´hp +σ ´hp senϕ = −σ ´v −σ ´v senϕ − 2c cos ϕ

(6.25)

σ ´hp −σ ´hp senϕ = σ ´v +σ ´v senϕ + 2c cos ϕ

(6.26)

σ ´hp (1 − senϕ ) = σ ´v (1 + senϕ ) + 2c cosϕ

(6.27)

1 + senϕ cos ϕ + 2c 1 − senϕ 1 − sen

(6.28)

σ ´hp = σ ´v Como:

116

1 + senϕ ϕ  = tan 2  45o +  1 − senϕ 2 

(6.29)

cos ϕ ϕ  = tan 45o +  1 + sen 2 

(6.30)

ϕ ϕ   σ ´hp = σ ´v tan 2  45o +  + 2c tan 45o +  

2



2

(6.31)

Considerando K p como el coeficiente de estado pasivo:

Kp =

σ ´v ϕ  = tan 2  45o +  2 σ ´hp 

(6.32)

Se puede escribir la formula para determinar el esfuerzo horizontal efectivo en un suelo con cohesión y fricción como:

σ ´hp = σ ´v K p + 2c K p

σ ´hp = γzK p + 2c K p

(6.33)

En un suelo granular, puramente friccionante la envolvente de falla por cortante pasa por el origen con lo que c=0, y la formula queda:

σ ´hp = σ ´v K p

σ ´hp = γzK p

(6.34)

En un suelo cohesivo la envolvente de falla por cortante es horizontal por lo que ϕ=0 y K a = 1 , y la formula queda: o

σ ´hp = σ ´v +2c

σ ´hp = γz + 2c

(6.35)

Ejemplo Determinar el empuje en estado de activo sobre un elemento de retención de paramento vertical de 4 m. de altura, que contiene una arena seca con un peso especifico γ=1.8 t/m3 y ángulo de fricción interna ϕ=31o. b) Suelo seco b) Con N.A.F. a 1m. de profundidad a partir de la superficie a) Suelo seco

117

a

a

a

Como se puede ver la resultante del área de esfuerzos horizontales E a , determina el empuje en estado activo:

Ea =

1 K a γH 2 2

Esta fórmula es muy conocida y utilizada por diferentes reglamentos de construcción para determinar empujes en elementos de retención.

ϕ  K a = tan 2  45o −  2   o 31o K a = tan  45 − 2  2

Ea =

  = 0.32 

1 (0.32)(1.8)(4)2 = 4.61 2 Ea = 4.61t / m

b) Con N.A.F. a 1m. de profundidad a partir de la superficie

118

´

²

²

²

Profundidad

z

Esfuerzo total horizontal

²

Esfuerzo efectivo horizontal σ´h

σh

Z = 0m Z = 1m Z = 4m

σh = 0 t

m2 σ h = 0.58 + 0 σ h = 0.58 t 2 m σ h = 1.35 + 3 σ h = 4.35 t 2 m

σ ´h = 0 t

m2 σ ´h = (1.8)(1)(0.32) σ ´h = 0.58 t 2 m σ ´h = (0.58) + (1.8 − 1)(3)(0.32) σ ´h = 1.35 t 2 m

²

Esfuerzo neutro µ

µ =0 t µ =0 t

m2 m2

µ = (1)(3)

µ =3 t

m2

Determinando la resultante de los empujes horizontales totales y su punto de aplicación. Figura A,B,E B,D,F,E E,F,G SUMAS=

Area 0.29 1.68 5.65 7.62

Brazo 3.333 1.5 1.0

Momento 0.97 2.52 5.65 9.14

Empuje en estado activo

E a = 7.62t / m Punto de aplicación respecto a la base:

9.14 = 1.2 m 7.62

119

²

a

²

² ²

En este ejemplo se observa que el empuje activo se incrementa en más del 50% con la presencia del agua a una altura de tres metros en el respaldo a partir de la base, por lo que es de suma importancia la colocación de filtros que drenen el agua para evitar este efecto.

6.4.3 Estado activo y pasivo en rellenos de superficie inclinada Si la superficie del relleno que contiene el elemento de retención es inclinada en un ángulo β con la horizontal, las formulas correspondientes para conocer los empujes en estados activo y pasivo son:

Fig. 6.8 Elemento de retención con relleno de superficie inclinada

 cos β − cos 2 β − cos 2 ϕ 1 E a = γH 2  cos β  2 cos β + cos 2 β − cos 2 ϕ 

   

(6.36)

120

 cos β + cos 2 β − cos 2 ϕ 1 E p = γH 2  cos β  2 cos β − cos 2 β − cos 2 ϕ 

   

(6.37)

Los empujes son paralelos a la superficie del terreno y se aplican a un tercio de la altura del muro a partir de la base

6.4.4 Estado activo. Sobrecarga uniformemente distribuida El efecto de una sobrecarga uniformemente distribuida en un relleno horizontal, puede considerarse incrementando uniformemente la presión actuante contra el elemento de retención tomando en cuenta el efecto del coeficiente de estado activo.

a a

a

q

a a

a

Fig. 6.9 Elemento de retención con sobrecarga q uniformemente distribuida

∆σ h = qK a

∆Ea = qK a H

(6.38)

6.4.5 Estado activo. Profundidad de la zona de tensión y altura crítica, en suelos cohesivos Los suelos “puramente” cohesivos (ϕ =0) no son recomendables como relleno en elementos de retención, debido a los cambios de sus propiedades físicas con la presencia o ausencia de agua, o por procesos de consolidación, sin embargo es importante observar el comportamiento del suelo debido a que existe una zona de tensión que contribuye a que el suelo pueda excavarse en forma vertical sin necesidad de un soporte de retención.

121

Fig. 6.10 Círculos de Mohr para un suelo cohesivo en estados de reposo y activo

σ ha = σ v − 2c

σ ha = γz − 2c

(6.39)

La zona de tensión Zo se puede determinar cuando el esfuerzo horizontal es igual a cero.

0 = γz − 2c

Zo = 2c / γ

(6.40)

Fig. 6.10 Diagrama de esfuerzos horizontales en un suelo cohesivo Altura crítica a la cual “teóricamente” se mantiene vertical un suelo cohesivo sin soporte, cuando la el área de la zona de tensión es igual al área de la zona de compresión:

Hc = 4c / γ

(6.41)

Al ocupar esta formula es recomendable considerar un buen criterio para la aplicación de un factor de seguridad.

122

6.5 Teoría de Coulomb Coulomb publicó en 1776 su teoría racional para calcular empujes en soportes de retención. Coulomb observó que si se retiraba el soporte de un suelo friccionante, en el relleno se formaba una cuña de falla delimitada por la superficie del suelo, el límite con el soporte y una superficie curva de falla desarrollada en el relleno y que para fines prácticos consideró plana, como se muestra en la figura en donde W es el peso propio de la cuña crítica, F es la resultante de la reacción del suelo, E es la resultante de la reacción del soporte (es igual al empuje sobre el muro), α es el ángulo de la inclinación del respaldo soporte con la vertical, β es el ángulo de inclinación de la superficie del relleno con la horizontal, ϕ es el ángulo de fricción interna y δ es el ángulo de fricción suelo - soporte. El empuje que ejerce el suelo contra el soporte se puede determinar conociendo la cuña crítica y resolviendo gráficamente a través de una suma vectorial, debido a que conocemos la magnitud, dirección y sentido del vector W, y las magnitudes y direcciones de los vectores F y E.

Fig. 6.11 Modelo de la solución gráfica de Coulomb, de un suelo friccionante El ángulo δ de fricción suelo – soporte, está en función de la textura del soporte (de muy lisa a muy rugosa) con lo que teóricamente puede variar de 0 a ϕ, recomendando Terzaghi tomar valores entre:

1 2 ϕ ≤δ ≤ ϕ 2 3

(6.42)

La solución matemática a la teoría de Coulomb para un suelo friccionante está dada con la siguiente formula:

123

1 E a = γH 2 2

cos 2 (ϕ − α )  sen(δ + ϕ )sen(ϕ − β )  cos 2 α cos(δ − α )1 +  cos(δ + α )cos(α − β )  

2

(6.43)

En el caso en que el paramento del soporte sea vertical (α=0), el relleno sea horizontal (β=0) y la fricción suelo – soporte no exista (δ=0); las teorías de Coulomb y Rankine para estado activo, coinciden:

1 ϕ  E a = γH 2 tan 2  45o −  2 2 

(6.44)

En suelos cohesivos – friccionantes hay que considerar en la cuña de falla, la zona de tensión que se presenta por la cohesión del suelo, así como dos vectores adicionales: el C que representa la resultante de la cohesión en la superficie de falla y el C´ que representa la adherencia suelo – soporte. De estos dos vectores se puede conocer su magnitud, dirección y sentido, según datos de cohesión y adherencia unitaria, multiplicado por la superficie de contacto suelo – suelo y suelo – soporte, no incluyendo la correspondiente a la zona de tensión. El empuje del suelo sobre el soporte se puede determinar conociendo la cuña crítica y resolviéndolo a través de sumar el polígono de vectores, debido a que conocemos las magnitudes, direcciones y sentidos de los vectores W, C y C´, y las magnitudes y direcciones de los vectores F y E.

´

´

Fig. 6.12 Modelo de la solución gráfica de Coulomb, de un suelo con cohesión y fricción

6.5.1 Método de Culmann El método de Culmann es un método gráfico que sirve para determinar el mayor empuje sobre el soporte, provocado por la cuña crítica de suelo. El método en suelos friccionantes, consiste en proponer varias cuñas hipotéticas de falla y dibujar los 124

polígonos de fuerzas sobre un mismo eje, de tal forma que se pueda trazar una línea curva (línea de Culmann) que una los vectores que representan los empujes de las diferentes cuñas con la finalidad de determinar la el vector de mayor magnitud que representa el mayor empuje sobre el soporte (empuje activo). Con la finalidad didáctica se dibujan los vectores del peso propio en forma vertical, notándose que el máximo empuje E a corresponde al de la cuña 4 (cuña crítica), que es donde la línea de Culmann es tangente a una línea vertical.

Fig. 6.13 Modelo de la solución gráfica de Culmann a la teoría de Coulomb, de un suelo friccionante El punto de aplicación del empuje activo se obtiene encontrando el centroide G de la cuña critica y pasando sobre éste una paralela a la superficie de crítica de falla hasta interceptarse con el soporte de retención,

Fig. 6.14 Punto de aplicación del empuje activo

125

En caso de existir una carga lineal uniforme, ésta debe coincidir con una cuña hipotética de falla y en el polígono de fuerzas a partir de esta cuña la carga vertical W debe incrementarse W+P y determinar una nueva línea de Culmann, en donde se encuentra el empuje incrementado Es.

Fig. 6.15 Modelo de la solución gráfica de Culmann a la teoría de Coulomb, de un suelo friccionante con una carga lineal uniforme El empuje producto de la carga lineal uniforme se determina como la diferencia entre el empuje con sobrecarga Es menos el empuje activo:

∆E = Es − Ea

(6.45)

El punto de aplicación de ∆E, es en el tercio superior del tramo del respaldo del soporte limitado por la intercepción de una línea paralela a la línea ϕ (línea a ϕ grados con la horizontal al pie del soporte) y otra línea paralela a la superficie de falla de la cuña crítica, ambas trazadas a partir del punto de aplicación de la carga lineal uniforme.

Fig. 6.16 Punto de aplicación del empuje de la sobre carga lineal uniforme 126

6.6 Método semi-empírico de Terzaghi El Dr. Terzaghi observa que existen varios métodos empíricos para determinar el dimensionamiento de soportes de retensión, en especial muros de gravedad en vías terrestres, por lo que propone con base a su gran experiencia un método de rápida y práctica aplicación, para determinar el empuje activo en muros de poca altura (hasta 7 metros). El método inicia con clasificar el material del relleno en uno de los cinco siguientes tipos: I. Suelo granular grueso, sin finos. II. Suelo granular grueso, con finos limosos, III. Suelo residual, con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos en cantidad apreciable. IV. Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas limosas. V. Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos de modo que el agua proveniente de cualquier fuente no penetre entre los fragmentos. Como se puede observar la clasificación va de suelos puramente friccionantes (I) a suelos cohesivos de baja y alta plasticidad (IV y V), pasado por suelos con cohesión y fricción (II y III). Por lo anterior los suelos de tipo IV y V no son deseables como suelo de relleno (por ser de tipo expansivos) y se deben descartarse. El método propone cuatro tipos de geometría del relleno y condiciones de carga, que son frecuentes en la práctica: 1. La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin sobrecarga alguna. 2. La superficie del relleno es inclinada, a partir de la corona del muro, hasta un cierto nivel, en que se torna horizontal. 3. La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente repartida. 4. La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga lineal, paralela a la corona del muro y uniformemente distribuida. Para el primer caso el problema se puede resolver aplicando las formulas

Eh =

1 KhH 2 2

(6.46)

Ev =

1 Kv H 2 2

(6.47)

En la figura se muestran graficas que permiten obtener los valores de Kh y Kv, necesarios para la aplicación de las formulas anteriores, en función de la inclinación de la superficie del relleno y del tipo de material con que se haya de trabajar.

127

² ² ²

²

² ²

Fig. 6.17 Valores de Kh y Kv en el primer caso El empuje deberá aplicarse a la altura H/3, medida del paño inferior del muro. En el caso de que trabaje con relleno del tipo V, el valor de H considerado en los cálculos se debe reducir en 1.20 m, respecto al usual y el empuje que se obtenga debe considerarse aplicado a la altura. d´= 1/3 (H-1.20)

(6.48)

Medida a partir del nivel inferior del muro Para el segundo caso la superficie del relleno es inclinada, a partir de la corona del muro, hasta un cierto nivel, en que se torna horizontal

² ²

² ²

² ²

Fig. 6.18 Criterios para la utilización de las gráficas

128

²

²

Fig. 6.19 Valores de Kh y Kv en el segundo caso Para materiales tipo V, el valor de H considerado en los cálculos se debe reducir en 1.20 m. Para el tercer caso En el que la superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente repartida el problema se puede resolver aplicando la formula

p = Cq

(6.49)

Siendo p la presión horizontal producto de la sobrecarga, por lo que la resultante del empuje se puede expresar como.

E p = CqH

(6.50)

Aplicada a la mitad de la altura del soporte. Donde q es el valor de la sobrecarga uniformemente repartida, H la altura del soporte y C se determina de cuerdo a la siguiente tabla:

129

Tipo de relleno I II III IV V

C 0.27 0.30 0.39 1.00 1.00

Tabla 6.1 Valores de C, en función del tipo de relleno Para el cuarto caso En el que la superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga lineal, paralela a la corona del muro y uniformemente distribuida, el problema se puede resolver aplicando la formula

P = Cq´

(6.51)

Donde P es el empuje producto de la sobrecarga lineal, q´ es el valor de la sobrecarga lineal paralela a la corona del muro y C se determina de cuerdo a la tabla anteriormente indicada. El criterio del punto de aplicación de P es el siguiente: ´

´

´

´

Fig. 6.20 Punto de aplicación del empuje de la sobrecarga lineal Para fines de revisar la estabilidad del soporte se considera que la sobrecarga q´ contribuye considerando que la influencia de la carga va disminuyendo con la profundidad en un ángulo de 60o, en este caso, provocando una sobrecarga en la losa de la cimentación de q´/ab. Los métodos arriba descritos se refieren a muros bien drenados y con cimentación firme, en cuyo caso la fricción y la adherencia entresuelo y muro están dirigidas hacia abajo, ejerciendo un efecto estabilizante que tiende a reducir el empuje. Si el muro descansa en terreno blando su asentamiento puede hacer que la componente vertical de empuje llegue a invertirse. Esto aumenta el empuje en forma considerable, por lo que Terzaghi recomienda que, en este caso, los valores del empuje que se obtengan en las graficas anteriores se incrementen sistemáticamente en un 50%.

130

Ejemplo Determinar por el método semiempírico de Terzaghi el empuje en estado de activo, sobre un elemento de retención de paramento vertical de H=4 m. de altura, que contiene una arena seca con un peso especifico γ=1.8 t/m3 y ángulo de fricción interna ϕ=31o y una sobrecarga unifomemente distribuida q=2t/m2. ²

Ep

C qH

Eh

K hH

Para determinar el empuje activo, se considera: Caso 1. (La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin sobrecarga alguna) y suelo tipo I (Suelo granular grueso, sin finos), por lo que Kh= 470 Kg/m2/m y Kv= 0 (según tablas) Por lo que el empuje vertical es cero y el empuje horizontal es:

Eh =

1 KhH 2 2

Eh =

1 (470)(4)2 = 3760 Kg / m 2

Convirtiendo a toneladas y considerando el incremento del 50% recomendado.

Eh = (3.76)(1.5) Eh = 5.64t / m Para determinar el empuje de la sobrecarga, se considera: Relleno tipo I Tipo de relleno I

C 0.27

Por lo que el empuje de la sobrecarga es:

E p = CqH

E p = (0.27 )(2)(4)

131

E p = 2.16t / m 6.7 Ademes En obras donde se realizan excavaciones temporales, es necesario mantener la estabilidad de las paredes verticales de suelo, por la que se recurre a colocar ademes, que son elementos de madera o acero detenidos por puntales colocados transversalmente a la excavación. Para determinar el empuje del suelo sobre los ademes y puntales, las teorías clásicas de Rankine y Coulomb no son aplicables, por lo que se debe recurrir a otros métodos, debido a que se ha observado que la distribución de esfuerzos verticales sobre el ademe es aproximadamente parabólica y no lineal como lo consideran la teorías clásicas en los soportes de retención. Considerando las mediciones reales con celdas de presión en obras de ademado, Terzaghi establece un criterio práctico para la determinación de los esfuerzos sobre los ademes, a través de envolventes de esfuerzos horizontales.

Fig. 6.20 Envolventes de presión, criterio de Terzaghi en arenas

132

Fig. 6.21 Envolventes de presión, criterios de Terzaghi y Peck en arcillas En las arenas Terzaghi propone en su envolvente de presiones un esfuerzo máximo, igual al 80% del esfuerzo activo y en las arcillas en esfuerzo de γH-2qu, siendo qu la resistencia a la compresión simple de la arcilla; en el criterio de Peck el esfuerzo máximo es γHka, en donde ka=1-m(4c/γH), en donde m=1 si N£ 4 y m<1 si N>4, en donde N=(γH+q)/c Ejemplo Determinar el diagrama de esfuerzos horizontales en un ademe, por el criterio de la envolvente de presiones de acuerdo al criterio de Terzaghi, de una excavación de 8 m. de profundidad con puntales a cada 2m. de profundidad, en un suelo arenoso con un peso volumétrico =1.8 t/m3y un ángulo de fricción interna de 33º, sin cohesión y sin N.A.F.

³

²

133

Resultantes del diagrama de esfuerzos horizontales sobre el ademe por metro de ancho.

²

6.8 Dimensionamiento de muros Durante el proceso de diseño estructural, en el inicio debe proponerse una sección transversal de los muros de retención (muros de gravedad), y partiendo del análisis de acciones que intervienen en el mismo, se acepta o se modifica la mencionada sección, a esto se le conoce como dimensionamiento del muro de retención, es por eso que existen criterios que nos aproximan a proponer secciones más coherentes como el que se presenta a continuación:

Fig. 6.22 “Criterio” para el Dimensionamiento de muros

134

El dimensionamiento de un muro de retención básicamente se realiza para resistir las acciones que pueden provocar: volteo, desplazamiento y esfuerzos excesivos en la base. Ejemplo Determinar los factores de seguridad por volteo y deslizamiento del siguiente muro de retención de concreto (2.2t/m3) que se encuentra conteniendo un relleno de arena con un peso volumétrico de 1.8t/m3 y un ángulo de fricción interna de 30o.

Revisión por volteo: Empuje activo

1 Ea = γH 2 K a 2

Ea =

1 (1.8)(6.26)2 (0.35) = 12.327t / m 2

Componentes del empuje activo

E ah = Ea ∗ cos10 o = 12.14t / m E av = Ea ∗ sen10 o = 2.141t / m Empuje pasivo

Ep =

1 γH 2 K p 2

Ep =

1 (1.8)(1.4)2 (3) = 5.292t / m 2

Momento resistente (momentos con respecto al punto A)

135

W1 W2 W3 W4 W5 W6 Eav Ep

Fuerza 3.432 6.864 8.58 6.16 7.371 0.902 2.141 5.292

Brazo 1.2 1.7 2.5 1.75 3.0 0.4 3.11 0.47

Momento 4.118 11.669 21.45 10.78 22.113 0.361 6.657 2.487

Momento resistente (suma de momentos)

MR = 79.635 Momento actuante

MA = Eah (2.13) = 25.858 Factor de seguridad

FS =

MR 79.635 = MA 25.858 FS = 3

Revisión por deslizamiento: Suma de fuerzas verticales SFV=35.449 Fuerza resistente por fricción:

2   FRF = (SFV ) tan ϕ  3   2   FRF = (35.449) tan 30 o  = 12.903 3   Fuerza resistente por empuje pásivo

E p = 5.292 Fuerzas resistentes FR=12.903+5.292=18.195 Fuerzas actuantes (componente horizontal del empuje activo) 136

FA=12.14 Factor de seguridad

FS =

FR FA

FS =

18.195 12.14 FS = 1.5

137

CAPITULO 7

ESTABILIDAD DE TALUDES. 7.1 Tipos y causas de fallas en taludes A una superficie de terreno inclinado se le llama talud, pueden ser producto de cortes o terraplenes para diferentes obras, como pueden ser, presas de tierra, vías terrestres, plataformas industriales, puertos, etc.; también pueden tener un origen natural, y en este caso se les conoce como laderas. En los taludes por ser inclinados, la fuerza de gravedad juega un factor importante en su estabilidad, porque existe una componente sobre la masa del suelo que induce a que éste se deslice sobre una superficie de falla cuando se supera la resistencia al corte. Los tipos de fallas en taludes son muy variados, en laderas se encuentran: fallas por deslizamiento superficial, que se deben a fenómenos cerca de la superficie por la falta de presión normal confinante con desplazamientos muy lentos semejantes a un flujo viscoso; fallas por erosión provocadas por agentes erosivos como lo son el viento y el agua; Fallas por licuación cuando la presencia de agua y un movimiento vibratorio reducen la resistencia al esfuerzo cortante del suelo, prácticamente a cero. Sin embargo una de las fallas más preocupantes en los diferentes tipos de taludes es la falla por movimiento del cuerpo del talud o deslizamiento de tierras, dividiéndose en: fallas por rotación y fallas por traslación, las primeras se suceden a través de una superficie de falla curva y la segundas a través de un plano débil ligeramente inclinado en el cuerpo del talud o en la cimentación. Las fallas de talud de deslizamiento de tierras por rotación se consideran prácticamente circularmente cilíndrica y se pueden clasificar como: falla de pie de talud, falla superficial y falla de base o profunda.

Fig. 7.1 Falla de pie de talud

138

Fig. 7.2 Falla local

Fig. 7.3Falla de base o profunda

7.2 Métodos de análisis Los métodos de análisis para las fallas de talud de deslizamiento de tierras, básicamente consisten en determinar una superficie de falla en la cual puede ocurrir un desplazamiento de la masa del suelo (como un cuerpo rígido), y se comparan la acciones actuantes sobre esta superficie contra la resistencia cortante del suelo en la misma, al coeficiente de las acciones actuantes y la resistencia al cortante se le conoce como factor de seguridad, el cual debe ser mayor de la unidad, en la práctica se considera un talud estable con factores de seguridad mayores o iguales a 1.5, sin embargo esto dependerá de cada caso especifico en función de la importancia de la obra y el grado de incertidumbre del diseño. Seguridad contra rotación

FS =

momento ⋅ resistente momento ⋅ actuante

(7.1)

fuerzas ⋅ resistentes fuerzas ⋅ actuantes

(7.2)

Seguridad contra traslación

FS =

139

En los taludes de arenas (puramente friccionante), la estabilidad se logra con que el ángulo de talud (α) sea menor que el ángulo de fricción interna (ϕ), considerando un “factor de seguridad”.

FS =

ϕ ≥ 1.2 α

(7.3)

Con la finalidad que la superficie del talud no tenga erosión excesiva.

7.2.1 Método sueco – Casagrande Este método recibe su nombre por los primeros estudios que hizo el Ingeniero Sueco Petterson sobre los análisis de estabilidad de taludes en los deslizamientos del puerto de Gotemburgo al suroeste de Suecia, en el cual se considera que la superficie de falla es de tipo cilíndrica, aplicado a suelos de tipo puramente cohesivo, A. Casgrande propone el siguiente procedimiento: Suelos puramente cohesivos

c ≠ 0 y ϕ = 0o Por lo que la formula de resistencia al esfuerzo cortante queda:

s = c + σ tan ϕ

⇒

s=c

(7.4)

Se considera un arco de circunferencia con centro en O y de radio R, como la superficie hipotética de falla, la masa de suelo del talud delimitada por esta circunferencia se moviliza rotando con respecto al punto O.

Fig. 7.4 Método Sueco

140

El momento actuante con respecto al origen de la circunferencia, es el producto del peso de la masa de suelo del talud delimitada por el segmento de circunferencia, multiplicado por la distancia entre su centro de gravedad y la vertical del origen del círculo.

MA = W ∗ d

(7.5)

También contribuyen en el momento actuante, todas las estructuras que se encuentre sobre el talud en el área de influencia de la masa de suelo delimitada, por lo que la formula queda: n

MA = ∑ (Wi ∗ d i )

(7.6)

i =1

El momento resistente con respecto al origen de la circunferencia, es el producto de las fuerzas que se oponen al deslizamiento de la masa de suelo y que en este caso son los efectos de la cohesión a lo largo de la superficie de falla supuesta.

MR = c ∗ L ∗ R

(7.7)

Por lo que el factor de seguridad de la circunferencia propuesta se define como:

FS =

c∗L∗R n

∑ (W ∗ d ) i =1

i

(7.8)

i

En este método es necesario realizar tanteos para determinar el círculo crítico (el de menor factor de seguridad), Ejemplo Determinar el factor de seguridad de la superficie de falla propuesta en un talud de 4 metros de altura, con una inclinación de 45º, utilizando el método sueco para un suelo puramente cohesivo con un peso volumétrico de 1.6 t/m2 y una cohesión de 2 t/m2. Descomponiendo el segmento circular en cuatro figuras en que se determinen prácticamente sus áreas y sus centros de gravedad, BCD, ABD, ADF y FDE; se tiene:

141

Momento actuante FIGURA 1 2 3 4

PESO W 1.76t. 12.80t. 5.89t. 2.39t

DISTANCIA d 0.0m0.67m. 2.61m. 3.13m.

MOMENTO M 0.0t-m. 8.58t-m. 15.37t-m. 7.49t-m. MA=31.44t-m

Momento resistente

MR = LCR MR = (8.88)(2 )(3.9 ) MR=69.26t-m Factor de seguridad

FS =

MR 69.26 = MA 31.44 FS=2.2

7.2.2 Método de las dovelas – Fellenius Este método es una variante del método sueco, en el cual se consideran con cohesión y fricción, así como suelos estratificados o estructuras como presas de tierra de sección compuesta.

142

En este método también se considera una superficie de falla de tipo cilíndrica, la cual Fellenius dividió en dovelas (rebanadas), el número de dovelas se determina a criterio del problema, procurando que nunca coincida la base de una dovela en dos tipos de suelo. Suelos con cohesión y fricción

c ≠ 0 y ϕ ≠ 0o Por lo que la formula de resistencia al esfuerzo cortante queda:

s = c + σ tan ϕ s = c + σ ′ tan ϕ

Análisis con esfuerzos totales

(7.9)

Análisis con esfuerzos efectivos ante la presencia de flujo de agua en el talud.

(7.10)

Se considera también un arco de circunferencia con centro en O y de radio R, como la superficie hipotética de falla, la masa de suelo del talud delimitada por esta circunferencia se divide en dovelas y se analiza el deslizamiento con el desplazamiento de las dovelas en su base rotando con respecto al punto O.

Fig. 7.5 Método de la dovelas Analizando las acciones en una dovela, se considera que se pueden despreciar las fuerzas normales y tangenciales, de confinamiento de las dovelas próximas, debido a que el mecanismo de falla de rotación de todas las dovelas se da al mismo tiempo.

143

Fig. 7.6 Análisis de una dovela El peso de la dovela (Wi) se puede descomponer en sus componentes normal y tangencial, que en el caso del análisis se consideran igual a sus reacciones sobre la superficie hipotética de falla,

N i = Wi cos Θ i

(7.11)

Ti = Wi senΘ i

(7.12)

El momento actuante con respecto al origen de la circunferencia es el producto de la suma de todas las componentes tangenciales de las dovelas multiplicadas por el radio. n

MA = (R )∑ (Ti )

(7.13)

i =1

El momento resistente con respecto al origen de la circunferencia es el producto de la suma de las resistencias al corte de las dovelas multiplicado por el radio. n

MR = (R )∑ (si ∆li )

(7.14)

i =1

Por lo anterior el factor de seguridad queda: n

FS =

∑ (s ∆l ) i

i =1

i

n

∑ (T ) i =1

(7.15)

i

144

Ejemplo Determinar el factor de seguridad de la superficie de falla propuesta en un talud de 4 metros de altura, con una inclinación de 41º, utilizando el método de las dovelas. Suelo: Arena arcillosa γ = 1.6 t/m3 c =2 t/m2 ϕ = 20º

Dovela 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Alturas m 0.63 0.63 1.37 1.37 2.04 2.04 2.79 2.79 3.39 3.39 3.84 3.84 3.21 3.21 2.32 2.32

Ancho m 1.86 0.83 0.77 1 1 1 1 1 1.46

Área m2 0.576 0.83 1.313 2.415 3.09 3.615 3.525 2.765 1.694

Peso t/m 0.922 1.328 2.101 3.864 4.944 5.784 5.64 4.424 2.71

145

Dovela

Peso t/m

Angulo θi

Cos θ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.922 1.328 2.101 3.864 4.944 5.784 5.64 4.424 2.71

-17º -6º 0º 7º 15º 23º 32º 42º 58º

0.956 0.995 1 0.993 0.966 0.921 0.848 0.743 0.530

∆Li m

Sen θ -0.292 -0.105 0 0.122 0.259 0.391 0.53 0.669 0.848 Sumatoria Σ

1.95 0.83 0.77 1.01 1.04 1.09 1.18 1.34 2.74 11.95

n

9

9

i =1

1

1

Ni

Ti

Wi cos Θ i

Wi senΘ i

t/m 0.882 1.321 2.101 3.835 4.776 5.324 4.783 3.288 1.436 27.745

t/m -0.27 -0.139 0 0.471 1.28 2.26 2.989 2.96 2.298 11.849

∑ (si ∆li ) = c∑ ∆Li + tan ϕ ∑ N i n

∑ (s ∆l ) = (2)(11.95) + tan 20 (27.745) = 33.998 i =1

i

o

i

9

∑ (T ) = 11.849 i

1

n

FS =

∑ (s ∆l ) i

i =1

i

n

∑ (T ) i =1

=

33.998 11.849

i

FS = 2.869

7.2.3 Método del Círculo de fricción Los doctores Gilboy y A. Casagrande, desarrollaron un método para el análisis de la estabilidad de taludes en fallas de rotación de suelos homogeneos con cohesión y fricción, conocido como método del Círculo de fricción o Círculo ϕ, este método consiste en determinar el estado de equilibrio de un polígono de fuerzas en donde los vectores representan: el peso propio de la masa de suelo contenida en el circulo de falla, la reacción del suelo considerando la fricción y la cohesión del suelo.

146

´

Fig. 7.7 Método del Circulo de Fricción El vector W, corresponde al peso de la masa de suelo delimitada por la superficie, el talud y el plano de falla circular. Este peso se calcula determinando el área de influencia y multiplicándola por el peso especifico del suelo. La línea de acción del vector W es vertical por los efectos de la gravedad. El vector C, corresponde a la fuerza cohesiva y es la cohesión necesaria cn para lograr el equilibrio estático, multiplicada por la cuerda L´ de la circunferencia.

C = (cn )(L´)

(7.16)

La línea de acción del vector C, es paralela a la cuerda L´ y su distancia al origen del círculo (brazo de momento), es:

X=

L R L´

(7.17)

El vector F, corresponde a la fuerza de fricción (suelo – suelo) necesaria para lograr el equilibrio estático. La línea de acción del vector F pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de W y de C, forma un ángulo ϕ con respecto a la normal del arco y es tangente al círculo de fricción. Resolviendo el polígono de fuerzas, se puede determinar la magnitud de C, con lo que se puede determinar el valor de la cohesión necesaria cn para lograr el equilibrio estático y compararla con la cohesión real del suelo c, para poder conocer el factor de seguridad de la superficie de falla propuesta, en función de la cohesión:

147

FS c =

c cn

(7.18)

De la misma forma puede aplicarse a la fricción si el valor propuesto del ángulo de fricción interna es menor que el real:

FSϕ =

tan ϕ tan ϕ n

(7.19)

7.2.4 Método Taylor Considerando que el en método del circulo de fricción los tres vectores que forman el polígono de fuerzas W, C y F, deben ser concurrentes (interceptarse en un punto), y la dirección de la fuerza F debe ser tangente al círculo ϕ. Taylor observa que existe un pequeño error (Terzaghi lo considera del lado de la seguridad) en cuanto al calculo del radio del círculo ϕ, y propone un factores de ajuste K: Radio método circulo Radio con el ajuste de de fricción Taylor

d = Rsenϕ

d = KRsenϕ

Tabla 7.1 Criterio de ajuste de Taylor en el Método del Circulo de Fricción El valor de K está en función del ángulo central AOB de la superficie de falla circular.

Fig. 7.8 Ángulo central AOB Los valores de K varían de 1 a 1.12 para ángulos de 20º a 120º. Así también Taylor propone un método para determinar el factor de seguridad de este análisis respecto a la resistencia al esfuerzo cortante del suelo en donde, el factor de seguridad del talud, sea igual al factor de seguridad en función de la cohesión y el factor de seguridad en función de la fricción, o sea:

FS = FS C = FSϕ

(7.20)

148

El método consiste en determinar varias veces el factor de seguridad de una misma superficie de falla por el método del circulo ϕ, proponiendo diferentes valores del ángulo de fricción ϕn , graficándose los valores de FS c y FSϕ

Fig. 7.10 Criterio de Taylor para determinar el factor de seguridad en función de la friccion y la cohesión

7.2.5 Fallas por traslación Las fallar por traslación de una masa de tierra que forma parte de un talud ocurre cuando a poca profundidad existe un estrato de baja resistencia, prácticamente paralelo a la superficie del terreno. Este tipo de fallas se puede analizar dividiendo la masa de suelo:

Fig. 7.11 Modelo de análisis de un talud por deslizamiento La fuerza actuante FA, puede ser determinada como el empuje activo E a

149

Las fuerzas resistentes FR pueden ser determinadas como el empuje pasivo E p más la fuerza F que representa la resistencia al esfuerzo cortante de estrato de baja resistencia. Los empujes activo y pasivo, se determinan por alguno de los métodos mencionados en el capitulo anterior (Rankine o Coulomb), y la fuerza F, multiplicando el esfuerzo cortante s = c + σ ′ tan ϕ , por la longitud L. Por lo anterior podemos determinar el factor de seguridad de un talud por traslación.

FS =

FR F + E P = FA Ea

(7.21)

7.3 Análisis de círculos críticos Uno de los problemas que se presentan en los métodos anteriormente descritos, es el conocer en un talud, cual es la superficie de falla con el menor factor de seguridad, con lo que se conocería el grado de estabilidad. En taludes de material cohesivo homogéneo en el cuerpo y en su cimentación, se han realizado estudios para determinar sus círculos críticos, un estudio establece que el ángulo de inclinación del talud con la horizontal, marca una frontera en los 53º, que establece: Angulo del talud con la horizontal β

Tipo de falla de talud

β ≥ 53o β < 53o

Pie de talud De base o profunda

Tabla 7.2 Frontera del ángulo de inclinación del talud y el tipo de falla Para encontrar un círculo crítico es preciso buscar la superficie de falla que dé el factor de seguridad mínimo. Considérense los siguientes análisis: Primero, si el centro de la circunferencia se mueve sobre una trayectoria horizontal: El arco de las superficies de falla desplazándose horizontal el centro de la circunferencia no cambia, por lo tanto el momento resistente MR no cambia, por lo que el factor de seguridad FS será mínimo, cuando el momento actuante MA sea máximo. MA=M1+M2+M3+M4

(7.22)

150

Fig. 7.11 Modelo para determinar el círculo crítico, moviendo el centro en forma horizontal

MA = W1d1 + W2 d 2 + W3 d 3 + W4 d 4

(7.23)

M 1 = W1d1 = W1 (0 ) = 0

(7.24)

b 1  M 2 = W2 d 2 =  bHγ  x −  3 2 

(7.25)

 Rsenα + x  Hγ 2 2 M 3 = W3 d 3 = [(Rsenα − x )Hγ ] R sen α − x 2 = 2 2  

(

)

(7.26)

M 4 = W4 d 4 = K (cte)

(7.27)

b   Hγ  2 2 1  2 MA =  bHγ  x −  +  (R sen α − x ) + K 2 3 2     

(7.28)

Derivando con respecto a x e igualando a cero

1   Hγ   bHγ  +  (− 2 x ) = 0 2   2 

(7.29)

b − 2x = 0

(7.30)

b 2

(7.31)

x=

151

Por lo anterior el círculo crítico que se tiene producto del mover en forma horizontal el centro de un circulo de falla, está ubicado cuando el centro O, se encuentra en la vertical del centro del talud. Segundo, si se coloca el centro de la circunferencia que representa la superficie de falla en el centro del talud, el factor de seguridad mínimo se presenta cuando el radio tiende a infinito, pero es preciso encontrar el ángulo central de este factor de seguridad mínimo.

Fig. 7.12 Modelo para determinar el circulo crítico en función del ángulo central Momento resistente MR

MR = cLR

(7.32)

W = (HRsenθ )γ

(7.33)

Rsenθ 2

(7.34)

Momento actuante MA

d=

 Rsenθ  MA = Wd = [(HRsenθ )γ ]  2  MA =

γHR 2 sen 2θ 2

(7.35)

(7.36)

Falla incipiente (FS=1)

MR = MA

(7.37)

152

cLR =

γHR 2 sen 2θ 2

(7.38)

La cohesión teórica el equilibrio (falla incipiente)

c=

γHR 2 sen 2θ 2 LR

L = 2θR

c=

(7.40)

γHR 2 sen 2θ 4θR 2

 sen 2θ c = γH   4θ

N=

sen 2θ 4θ

(7.39)

  

(7.41)

(7.42)

(7.43)

El máximo valor de N es 0.181, cuando el ángulo θ vale 1.165 radianes (66º 45´), en el intervalo (0,2π), por lo tanto, la cohesión teórica de equilibrio es:

c = 0.181γH

(7.44)

2θ = 133o 30´

(7.45)

Para el ángulo central

7.3.1 Taylor 7.3.1.1 Suelos cohesivos Taylor explica que en el análisis de taludes en suelos cohesivos homogéneos, la cohesión necesaria para garantizar la estabilidad del talud es proporcional a su peso volumétrico y a su altura. c ~γH

(7.46)

Esta expresión se convierte en una igualdad la colocarle una constante de proporcionalidad Ne, que se le conoce como: número de estabilidad.

c = N eγH

(7.47)

De donde el factor de seguridad es: 153

FS =

c N eγH

(7.48)

Taylor relaciono los valores del ángulo del talud β con los números de estabilidad Ne

Fig. 7.13 Numero de estabilidad Ne en función ángulo del talud β, en un suelo cohesivo Como puede verse los círculos críticos en taludes con ángulo entre 0º y 53º, son de falla de base o profunda (Ne=0.181) y los mayores de 53º corresponden a fallas de pie de talud, En el caso que existan estratos resistentes en la cimentación, se puede considerar el número de estabilidad Ne=0.181, si el estrato resistente se encuentra a una profundidad de 3 o más veces la altura H, de lo contrario se considera que el círculo crítico es tangente al estrato resistente. Ejemplo Determinar el factor de seguridad en un talud de 4 metros de altura, con una inclinación de 45º, en un material puramente cohesivo y homogéneo con la cimentación, utilizando el método de Taylor. Suelo: Arcilla γ = 1.6 t/m3 c =4 t/m2

N e = 0.181

154

FS =

FS =

c N eγH

4 = 3.4 (0.181)(1.6)(4) FS = 3.4

7.3.1.2 Suelos con cohesión y fricción En suelos con cohesión y fricción, Taylor desarrollo un método para determinar el factor de seguridad FS de superficies de falla en taludes en función de su cohesión:

FS c =

N ec γH

(7.49)

Este factor de seguridad está analizado en función de la cohesión. En esta formula Ne, es diferente al usado por Taylor en suelos cohesivos (corresponde a su reciproco). Taylor propone una gráfica para obtener el número de estabilidad Ne, en función del ángulo del talud β y el ángulo de fricción del suelo ϕ, en superficies de falla de pie de talud.

Fig. 7.14 Numero de estabilidad Ne en función ángulo del talud β y el ángulo de fricción del suelo ϕ, en un suelo cohesivo friccionante Este método representa una primera aproximación para conocer la estabilidad de un talud en suelo cohesivo friccionante y será preciso analizar también la estabilidad por falla de base o profunda.

155

7.3.2 Fellenius Fellenius realizó investigaciones en suelos puramente cohesivos, para la determinación de los círculos críticos en fallas de pie de talud. El método consiste en determinar el origen la circunferencia que representa la superficie de falla crítica que pasa por el pie del talud, trazando dos líneas rectas, una que forma un ángulo α1 con el talud en el pie y la otra que forma un ángulo α2 con la horizontal en la superficie.

Fig. 7.15 Criterio de Fellenius para la determinación de círculos críticos en fallas de pie de talud en suelos cohesivos Talud 1:0.58 1:1 1:1.5 1:2

β 60º 45º 33.8º 26.6º

(o mayor)

(o menor)

α1 29º 28º 26º 25º

α2 40º 37º 35º 35º

Tabla 7.3 Valores para obtener el círculo critico de falla, de acuerdo al criterio de Fellenius Ejemplo Determinar el factor de seguridad de la superficie de falla propuesta en un talud de 4 metros de altura, con una inclinación de 33.7º, considerando los esfuerzos de la presión intersticial producto del flujo de agua en el suelo, utilizando el método de las dovelas. Suelo: Arena arcillosa

γ = 1.6t / m3

_

c = 0.5t / m 2

_

ϕ = 30o

156

Aplicando el método de la dovelas

Dovela 1 2 3 4 5 6 7 8

Alturas m 1.40 1.40 2.18 2.18 2.79 2.79 3.22 3.22 3.31 3.31 2.61 2.61 1.48 1.48

Ancho m 1.39 1 1 1 1 1 1 0.72

Área m2 0.97 1.79 2.48 3.00 3.26 2.96 2.04 0.53

Peso t/m 1.55 2.86 3.97 4.80 5.22 4.74 3.26 0.85

157

1 2 3 4 5 6 7 8

1.55 2.86 3.97 4.80 5.22 4.74 3.26 0.85

Angulo θi

Dovela

Peso t/m

-19º -7º 0º 13º 24º 35º 48º 64º

Cos θ

∆ Li

Sen θ

u t/m2

m

0.9455 -0.3255 0.9925 -0.1219 1 0 0.9744 0.2249 0.9135 0.4067 0.8191 0.5736 0.6691 0.7431 0.4384 0.8988 Sumatoria Σ

1.47 1.01 1 1.03 1.09 1.22 1.51 1.65 9.98

U t/m

0 0.63 1.25 1.54 1.81 1.63 1.01 0

_ 8

n

Ni

Wi cos Θ i t/m

0 0.64 1.25 1.59 1.97 1.99 1.52 0

_

8

1.46 2.84 3.97 4.68 4.77 3.88 2.18 0.37

_

Ni (Ni-U) t/m 1.46 2.20 2.72 3.09 2.80 1.89 0.66 0.37 15.19

Ti

Wi senΘ i t/m -0.50 -0.35 0 1.08 2.12 2.72 2.42 0.76 8.25

_

∑ (si ∆li ) = c ∑ ∆Li + tan ϕ ∑ N i i =1

1

1

n

∑ (s ∆l ) = (0.5)(9.98) + tan 30 (15.19) = 13.76 i =1

i

o

i

n

∑ (T ) = 8.25 i

1

n

FS =

∑ (s ∆l ) i =1 n

i

i

∑ (T ) i =1

=

13.76 8.25

i

FS = 1.67

158

7.3.3 Jambu Jambu estudia también la forma de determinar el factor de seguridad de circulos de falla críticos por el pie del talud, aplicando la formula ocupada en el método de Taylor.

FS =

Nec γH

(7.50)

Con la diferencia de que en sus gráficas el número de estabilidad Ne está en función de la inclinación del talud β y del parámetro λcϕ que a continuación se expresa.

λcϕ =

γH c

tan ϕ

(7.51)

¶

Fig. 7.16 Número de estabilidad Ne, en función de la inclinación del talud β y del parámetro λcϕ Ejemplo Determinar el factor de seguridad por una falla de pie, en un talud de 4 metros de altura, con una inclinación de 41º, utilizando el método de Jambu. Suelo: Arena arcillosa γ = 1.6 t/m3 c =2 t/m2 ϕ = 20º

b = cot β

λcϕ =

γH c

tan ϕ

159

λcϕ =

b = cot 41o = 1.15

(1.6)(4) tan 20o = 1.16 (2)

N e = 8.2 FS =

Nec γH

FS =

(8.2)(2) = 2.56 (1.6)(4) FS = 2.56

7.4 Prevención y corrección de fallas en taludes Con la finalidad de mejorar la estabilidad de los taludes desde el punto de vista de prevención y corrección de fallas de taludes, se pueden establecer las siguientes recomendaciones. Disminuir la pendiente del talud. Esta solución como prevención o corrección de fallas de taludes, es efectiva en suelos friccionantes y cohesivo friccionantes, si las condiciones físicas y económicas lo permiten, sin embargo en suelos cohesivos la ventaja de disminuir la pendiente, no garantiza un incremento significativo en la seguridad en cuanto a la estabilidad del talud. Construcción de bermas o banquetas. Esta solución se emplea también lo mismo para prevenir como para corregir, y consiste en colocar una berma o banqueta de suelo en la parte baja del talud, con la intención de reducir el momento actuante con el peso de la berma, y de ser posible incrementar el momento resistente.

Fig. 7.17 Berma o banqueta

160

Estabilización de suelos. Esta solución se emplea para prevenir fallas de taludes, consiste en adicionar substancias cementantes al suelo, para mejorar las características físicas del talud (aumentar su resistencia al cortante), este procedimiento tiene las desventajas de ser caro y su proceso constructivo es complejo. Muros de retenimiento. Esta solución se emplea cuando el desarrollo del talud es limitado por las necesidades de los proyectos, y se debe de tener cuidado para que el nivel de desplante del muro quede por debajo de la superficie de falla. Drenaje. La principal causa de fallas de taludes, está relacionada con la presencia del agua fluyendo dentro del suelo, es común escuchar y ver en las noticias que en la temporada de lluvias existen fallas en taludes (en especial en laderas), a excepción de las presas de tierra, en los taludes deben de proyectarse obras de drenaje como cunetas, contracunetas, drenajes, etc., que elimine filtraciones y flujo de aguas,

161

ANEXO 1

PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS SUELOS. Introducción Un suelo es un material constituido por partículas sólidas rodeadas por espacios llenos de agua y/o aire. El siguiente esquema representa las proporciones de volúmenes y masa de las tres fases de un suelo.

Gravedad especifica Gs= densidad del suelo / densidad del agua

Gs =

Ms Vs

ρw

En el sistema métrico la densidad del agua ρw=1 t/m3. Los valores de las densidades en suelos comúnmente varían de 1.5 a 2.4, según el tipo de suelo.

162

Relación de vacíos

e=

Vv Vs

e=

n 1− n

En suelos granulares, los valores de e comúnmente varían de 0.90 (suelos sueltos) a 0.35 (suelos densos) En suelos cohesivos, los valores de e comúnmente varían de 5 (suelos muy compresibles) a 0.55 (suelos densos) Porosidad

n=

Vv V

n=

e 1+ e

En suelos granulares, los valores de n comúnmente expresados en porcentaje varían de 47% (suelos sueltos) a 26% (suelos densos) En suelos cohesivos, los valores de n comúnmente expresados en porcentaje varían de 83% (suelos muy compresibles) a 35% (suelos densos)

Densidad relativa

Dr =

emáx − e emáx − emín

Los valores varían de 0 a 1, de un estado suelto a un estado denso respectivamente.

163

Contenido de humedad

w=

Mw Ms

w=

Sr e Gs

Es la relación adimensional de agua y suelo Grado de saturación

Vw Vv

Sr =

Es el porcentaje de agua que puede contener el suelo Contenido de aire

Ar =

Va V

Es el porcentaje de aire que contiene un suelo Densidad aparente

ρ=

M V

ρ=

Gs (1 + w) ρw (1 + e)  Gs + S r e  ρw  1 + e 

ρ=

Es la masa por la unidad de volumen

164

Densidad saturada Si el suelo esta saturado Sr=1 (100%)

G + e 

ρs =  s ρw  1 + e  Densidad seca Si Mw=0

ρd =

Ms V

Si el suelo esta saturado Sr=0 (0%)

G 

ρd =  s  ρw 1 + e 

Suelo bajo el N. A. F. En esta condición los vacíos, se encuentran ocupados por el agua (no hay aire) Vv=Vw Por lo que el volumen total V V=Vw+Vs Peso efectivo El suelo situado bajo el nivel de aguas freáticas experimenta un empuje U tal que su peso se reduce (principio de Pascal) W´s=Ws-U W´s=(W-Ww)-(ρwgVs) Como Ww=ρwgVw Substituyendo

165

W´s=W-ρwgVw -ρwgVs=W-ρwg(Vw+Vs) W´s=W-ρwgV

Ws´ W = − ρw gV gV Como

W =M g

y

M =ρ V

Tenemos Densidad efectiva La Densidad efectiva la podemos considerar como la Densidad saturada menos la Densidad del agua ρ´=ρs-ρw

 Gs − 1  ρw  1 + e 

ρ′ =  Peso especifico o Peso unitario

Es el peso por unidad de volumen, y lo obtenemos multiplicando la densidad por la aceleración de la gravedad

γ = ρg De aquí que tenemos también los conceptos de Peso especifico seco γd, Peso especifico saturado γs y Peso especifico efectivo γ´ Teniéndose la ventaja de que el peso especifico del agua γw, en el Sistema Métrico es de 1 T/m3

166

ANEXO 2

CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL (TERZAGHI) . Se considera un estrato suelo fino homogéneo, saturado, y sometido a una carga q aplicada en la superficie. El suelo se encuentra sobre un estrato impermeable y sobre de éste se tiene un estrato permeable que permite drenar libremente el flujo de agua intersticial en sentido vertical ascendente. Considerando una partícula de suelo de altura ∆z considerando que la velocidad de entrada en la base y la de salida en la cara superior se tiene Vz = es la velocidad vertical de entrada V(z+∆z) = es la velocidad vertical de salida Aplicando el teorema de Taylor

v( z +∆z ) = vz +

1 ∂ 2 v z 2 1 ∂ 3v z 3 ∂v z ∆z + ∆z + ∆ z + ... ∂z 2! ∂z 2 3! ∂z 3

Debido a que la partícula de suelo es de dimensiones diferenciales, sus derivadas de orden superior se pueden despreciar, quedando

v( z +∆z ) = v z +

∂v z ∆z ∂z

Por el principio de la continuidad

∂vz  ∂V  v z + ∂z ∆ z  A − vz A = − ∂t Reduciendo

∂vz ∂V ∆z A = − ∂z ∂t Como V = A∆ z Substituyendo en la ecuación

167

V

∂v z ∂V =− ∂z ∂t

Como el agua intersticial es incompresible y de acuerdo a la Teoría de Terzaghi las partículas del suelo también se consideran incompresibles, entonces la velocidad del cambio de volumen se reduce a la velocidad del cambio de volumen de vacíos.

∂V ∂Vv = ∂t ∂t De aquí se puede escribir

V

∂v z ∂V =− v ∂z ∂t

Como

Vs ⋅ e = Vv Substituyendo

V

∂v z ∂e = −Vs ∂z ∂t

De donde

e Vv Vs 1 n = e = = 1+ e = e 1+ e V Vv e n Substituyendo

1 ∂e ∂v z =− ∂z 1 + e ∂t Considerando que el flujo es laminar y de acuerdo a la ecuación de Darcy, tenemos

vz = −k z

∂h ∂z

Considerando que la permeabilidad vertical es constante y substituyendo en la ecuación anterior

168

kz

1 ∂e ∂ 2h =− 2 ∂z 1 + e ∂t

Considerando que la carga hidráulica es: la cota, más la carga hidrostática, más la carga en exceso de la hidrostática, se puede escribir

h = z + hw + he Como las dos primeras son constantes podemos escribir

kz

∂ 2 he 1 ∂e =− 2 ∂z 1 + e ∂t

Escribiendo la carga en exceso de la hidrostática como presión en exceso de la hidrostática, se tiene

he =

µe

ρw ⋅ g

k z (1 + e ) ∂ 2ue ∂e = ρ w ⋅ g ∂z 2 ∂t Por otra parte si se consideran los esfuerzos verticales en el suelo, tenemos

σ z = σ z ´+ µ Donde

µ = µ w + µe Substituyendo en la ecuación anterior

σ z = σ z ´+ µ w + µ e Como esfuerzo total y la presión hidrostática se consideran constantes, al derivar con respecto al tiempo, tenemos

∂σ z ' ∂µ e + =0 ∂t ∂t Que se puede escribir también

∂σ z ' ∂µ =− e ∂t ∂t

169

Como la relación de vacíos está vinculada directamente al esfuerzo efectivo, tenemos

∂e ∂σ z ' ∂e = ∂t ∂σ z ´ ∂t En la teoría de Terzaghi se considera que la relación esfuerzo – deformación es lineal

∂e = av ∂σ z ´

y

mv =

av 1+ e

Se conoce a av como el coeficiente de compresibilidad y mv como el coeficiente de compresibilidad volumétrica. Substituyendo av en la formula anterior se tiene

∂e ∂σ z ' = av ∂t ∂t Como se vio anteriormente que

∂e k z (1 + e ) ∂ 2ue = ∂t ρ w ⋅ g ∂z 2 Substituyendo en la ecuación anterior y ordenando

k z (1 + e ) ∂ 2ue ∂σ z ' = ∂t ρ w ⋅ g ⋅ av ∂z 2 Definiendo

k z (1 + e ) = cv ρ w ⋅ g ⋅ av Se conoce a cv como el coeficiente de consolidación y substituyéndolo en la formula anterior se tiene

cv

∂ 2ue ∂σ z ' = ∂z 2 ∂t

Conocida como la Ecuación de comportamiento de la consolidación unidimensional de Terzaghi.

170

BIBLIOGRAFÍA Braja M. Das Fundamentos de Ingeniería Geotecnia Thomson Learning, Mx 2001 T. William Lambe y Robert V. Whitman Mecánica de Suelos Limusa, Mx 6a reimpresión 1989 Juárez Badillo y Rico Rodriguez Mecánica de Suelos Limusa, Mx 7a reimpresión 1984 Braja M. Das Advanced Soil Mechanics Mc. Graw Hill, USA 1a impresión 1985 Enrique Tamez González Ingeniería de Cimentaciones TGC Geotecnia, Mx.2001 Peter I. Berry y David Reid Mecánica de Suelos Mc. Graw Hill, Mx. 1999 Karl Terzaghi y Ralfh B Peck Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica El Ateneo s.a., Esp. 2ª edición 4ª reimpresión 1980 George B Sowers y George F. Sowers Introducción a la Mecánica de Suelos y Cimentaciones Limusa, Mx. 1a edición 4a reimpresión 1978 Joseph E. Bowles Foundation Analysis and Design Mc. Graw Hill, Usa 1988 4ª edición Zaevaert, W. L.. Engineering for Difficult Subsoil Conditions Van Nostran, Usa 1983 Crespo-Villalaz, C Mecánica de Suelos y Cimentaciones Limusa., Mx 1991 4ª edición

171