Ecole Supérieure des Travaux Publics
(ESTP) Cycle Ingénieurs (ENSI)
I2
MECANIQUE DES SOLS (1)
SUPPORT DE COURS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Généralités Identification et classification des sols - compactage Contraintes et résistance au cisaillement Hydraulique des sols Consolidation et tassements Poussée et butée des terres Stabilité des pentes
Enseignante Blanche PANGO-TATI
SOMMAIRE
1. Généralités……………………………………………………….03
2. Identification et classification des sols – Compactage…………..06
3. Contraintes dans un sol et résistance au cisaillement…………….15
4. Hydraulique des sols……………………………………………..23
5. Consolidation et tassements……………………………………...31
6. Poussée et butée des terres……………………………………….37
7. Stabilité des pentes……………………………………………….43
Informations bibliographiques………………………………………….47
CH 1 : GENERALITES 1. Importance de la Mécanique des sols Aucune infrastructure de Génie Civil ou Minier ne peut être conçue ou réalisée correctement sans que l’on ait procédé à l’étude des caractéristiques du sol ou de la roche de fondation. Le sol est alors étudié comme support de fondation ou comme matériau de construction. 1.1. Exemple Construction d’un bâtiment près d’une ligne de chemin de fer dans une petite vallée : Quelles sont les questions que le Mécanicien des Sols devra se poser?
1.2.
Place de la Mécanique des sols dans la formation de l’Ingénieur
Algèbre tensorielle et géométrie différentielle MMC Mécanique des fluides Hydraulique
Mécanique des solides RDM
Calcul des Structures
BA et BP
2. Objectifs et méthodes
La Géotechnique est l’étude des caractéristiques et propriétés des sols appliquée à la construction. Elle regroupe : - la Mécanique des sols : application au matériau sol des principes et lois de la Mécanique ; - les Techniques de Fondations ; - les Ouvrages en Terre. Le présent cours correspond à des objectifs précis. Au terme des 40 heures de cours, les élèves devraient être capables de : - définir les caractéristiques essentielles d’un sol, - décrire les phénomènes fondamentaux qui s’y produisent, - prédire le comportement d’un sol, - être familiarisés avec le langage géotechnique. Eu égard à la spécificité du matériau sol (hétérogène, anisotrope, non linéaire et irréversible, …) les outils indispensables à l’exercice de la Géotechnique proviennent de trois sources : - les connaissances théoriques (essentiellement la MMC), - les connaissances empiriques (propriétés propres aux sols mesurées par des essais), - les connaissances conceptuelles (caractéristiques de la structure à construire) et contextuelles (environnement du projet). La démarche en Mécanique des sols est celle utilisée dans toutes les sciences expérimentales : Observer Mesurer Intervenir Comprendre Modéliser Le plan du cours est le suivant : 1. Généralités 2. Identification et classification des sols – Compactage 3. Contraintes et résistance au cisaillement des sols 4. Hydraulique des sols 5. Consolidation et tassements 6. Poussée et butée des terres 7. Stabilité des pentes Nota : le cours fera l’objet de plusieurs modes d’évaluation (DS, DM, Exposés, Visites, …)
CH 2 : IDENTIFICATION ET CLASSIFICATION DES SOLS - COMPACTAGE 1. Identification des sols 1.1. Définition et constituants En matière d’étude du sol, il existe autant de définitions que d’approches du SOL : Géologie, pédologie, géomorphologie, … Pour le Géotechnicien, le sol est le résultat de la désagrégation physique et/ou chimique d’une roche-mère. On obtient alors des sols sédimentaires (ou allochtones ou de dépôt) par opposition aux sols d’altération (ou autochtones ou résiduels). Le sol est un milieu triphasique : Phase gazeuse : composée d’air, de vapeur d’eau et/ou gaz provenant de la décomposition des matières végétales. Phase liquide : En général, il s’agit d’eau (douce, salée, sulfureuse ou minérale, …) ou de pétrole. L’eau peut revêtir plusieurs formes : eau de constitution, eau adsorbée ou eau libre. En fonction de la température, elle peut être elle-même solide, liquide ou gazeuse. Remarque : lorsqu’un sol est humide mais non saturé ; l’eau libre est en général concentrée aux points de contact entre les grains. Elle est retenue à ces endroits par des forces de capillarité et forme des ménisques. Tandis que dans un sol saturé, tous les interstices entre les grains sont comblés d’eau. L’eau capillaire et l’eau libre constituent l’eau interstitielle Phase solide : Elle est constituée de matières minérales (fines ou grossières provenant de la désagrégation physique ou chimique de la roche) et organiques (provenant de la décomposition des racines ou autres êtres vivants). 1.2. Les paramètres d’état ou paramètres de définition des sols Représentation schématique des sols ou diagramme des phases
Paramètres dimensionnels : Poids volumiques : P Total : γ = V De l'eau : γ w =
Des grains : γ s =
Pw Vw
Du sol sec : γ =
Du sol saturé : γ sat =
P (Va = 0) V
Ps Vs
Ps V
Du sol déjaugé : γ ′ = γ sat − γ w
Paramètres sans dimension Phum − Psec Psec
- teneur en eau : w =
Vv Vs
e=
Indice des vides
et
Porosité n =
Vv Vt
En général dans les sables on a 0.4 < e < 1 ID =
On définit l’indice de densité (ID) (ou densité relative Dr)
emax − e emax − emin
On distingue les états de compacité suivants : ID
0-15
15-35
35-65
65-85
85-100
état
Très lâche
lâche
moyen
Dense ou
Très dense
serré
Sr =
- degré de saturation :
Vw Vv
Relation entre les paramètres : γ e = 1− d 1+ e γs
1.
n=
3.
γd =
5.
Sr =
γ 1+ w
=
w = wsat
γs
= γ s .(1 − n)
1+ e
w.γ s γ n = s −1 = n −1 γ d S r .γ w
2.
e=
4.
wsat = γ w (
w (
1
γd
6. γ ′ = γ d − γ w (1 − n) =
−
1
γs
)
γs −γw 1+ e
= (γ s − γ w ).(1 − n) = γ d (1 −
γw ) γs
1
γd
−
1
γs
)
2. Granulométrie et consistance 2.1. Analyse granulométrique Elle consiste à répartir les grains d’un sol en fonction de leur diamètre. Elle s’effectue par : - tamisage à sec ou sous eau Pour la fraction grossière (D > 80µ) Puis pesée après étuvage. - sédimentométrie : décantation dans un liquide de référence pour la fraction fine (D < 80µ ) En utilisant la loi de Stockes. Loi de Stockes : La vitesse de chute d’une particule sphérique de poids volumique γs et de diamètre D dans un liquide de poids volumique γw et de viscosité µ est :
V=(δs-δw)*D²grain│18µ
Notion de passant et de refus d’un tamis. En exprimant les poids de chaque passant en fonction des diamètres (en pourcentage du poids total) sur une feuille de papier semi-logarithmique, on trace la Courbe Granulométrique du sol étudié.
Soit Di le diamètre correspondant à i % de passant, on définit : - le coefficient d’uniformité de Hazen : Cu =
D60 D10
Si Cu < 2, la granulométrie est dite uniforme ; sinon elle est dite étalée. 2
- le coefficient de courbure : C c = - le diamètre efficace : D10 hydrodynamique. Remarques :
D30 D60 .D10
Son utilisation est fréquente en
1) Les dimensions des tamis standards dépendent des normes de chaque pays… 2) Soient deux sols (1) et (2) de courbes granulométriques d’équations successives : y = f1 (d) y = f2(d) mélangés dans des proportions respectives de m et 1-m (avec 0 < m < 1 ou exprimés en pourcentages), alors la courbe granulométrique du mélange aura pour équation : y = m f1 (d) + (1-m)f2(d) Ce résultat se généralise à un mélange de plusieurs sols :
y = ∑ mi. f i ( D) i
2.2. Limites d’Atterberg (L.A.) : La consistance d’un sol évolue avec sa teneur en eau : Lorsque celle-ci augmente, le sol passe de l’état solide à l’état plastique puis liquide.
SOLIDE Ws sans retrait
PLASTIQUE
LIQUIDE
Wp
Wl
avec retrait
Les teneurs en eau de passage d’un état de consistance à un autre sont conventionnelles et déterminées au laboratoire par des tests normalisés (voir TP de Mécanique des sols) sur le mortier (passant au tamis de 0,4 mm). Ce sont les Limites d’Atterberg. On en dénombre au total six mais les plus utilisées en géotechnique son Wl et Wp. Les autres sont utilisées en céramique et en agriculture… On définit : - l’indice de plasticité : Ip = Wl - Wp. C’est l’étendue du domaine de plasticité. - l’indice de consistance : Ic = (Wl - W)/Ip - l’indice de liquidité : Il = (W - Wp)/Ip - l’activité du sol : A = Ip/(%<2) appelé aussi coefficient de Skempton. Il met en évidence l’influence de la fraction argileuse sur la plasticité. Et on a : Ip<5 5
sol non plastique sol moyennement plastique sol plastique sol très plastique
A<0,75 0,75
sol inactif sol normal
A>1,25
sol actif
2.3. Essai au bleu de méthylène : Eu égard au caractère plus ou moins aléatoire des LA, la mesure de la surface spécifique des particules d’un sol (fin) par adsorption de bleu de méthylène permet une caractérisation plus sélective de l’argilosité d’un sol. 2.4 Autres caractéristiques a) l’Equivalent de sable (ES) : Il évalue la quantité d’éléments fins par rapport aux éléments grossiers. C’est un essai complémentaire de l’Analyse Granulométrique. Il s’effectue sur la fraction inférieure à 5mm.
b) Analyse minéralogique : il s’agit de déterminer la nature des ions en solution dans l’eau du sol. Leur présence influence le comportement du sol... c) Teneur en calcaire (chaux) : elle influence la résistance mécanique et la sensibilité à l’eau...On distingue progressivement l’argile de la marne et du calcaire. d) Teneur en Matières Organique : elle influence la compressibilité et la sensibilité à l’eau... On la détermine par calcination et double pesée (CPF) ou par oxydation avec un mélange sulfo-chromique (CMO). e) Propriétés thermiques des sols : il s’agit des applications au gel et dégel des sols, au stockage des produits très froids ou très chauds dans les sols, de la géothermie, des problèmes environnementaux, … f) etc.
3. Classification des sols Un système de classification est avant tout un véhicule de communication pour les ingénieurs. Classer, c’est ranger dans une catégorie selon certains critères ou propriétés. On procédera selon les familles de sols et en fonction des résultats fournis par la procédure d’identification du sol. Les systèmes de classification répondent chacun à un objectif spécifique d’étude du sol. Les grandes familles de sols : La nature de la phase solide permet d’en distinguer trois : - Les sols minéraux grenus: diamètre des grains supérieur à 20µ ; - Les sols minéraux fins : diamètre des grains inférieur à 20 µ ; - les sols organiques. Ces différences de nature, de taille et d’origine induisent des différences de comportement mécanique. En pratique, les sols naturels sont des mélanges de ces trois types de sols avec des proportions diverses... 3.1. Quelques exemples de classification Exemple 1 : Classification d’Atterberg (1911) Cailloux 20 mm
Graviers 2 mm
Sables Grossiers
Sables fins 0,2 mm
Limons argiles 0,02 mm
0,002 mm
Exemple 2 : Représentation triangulaire Un sol composé de X% de sables, Y% de limons et Z% d’argiles peut être représenté par un point M dans le triangle équilatéral ci-contre.
Exemple 3 : Classification de Casagrande (sols fins)
SILTS INORGANIQUES DE FAIBLE COMPRESSIBILITE
SILTS INORGANIQUES DE COMPRESSIBILITE MOYENNE ET SILTS ORGANIQUES
Abaque de Casagrande(1948)
Exemples 4 : selon les pays : • HRB-AASHO (USA) • USCS (France et Royaume Uni) • LCPC (France) • GTR (pour les terrassements routiers) • LBTP (Côte d’Ivoire) 3.2. La classification géotechnique des sols ivoiriens (LBTP) D’origine routière, cette classification a été mise au point par Y. ATLAN en 1974 et actualisée en 1977. Elle a été plus tard modifiée. La dernière version date de 1981 et résulte des travaux de G. COUGNY en collaboration avec une équipe d’ingénieurs ivoiriens du LBTP. Elle est basée sur trois critères : - l’origine géologique, - la granulométrie, - la plasticité.
4. Le compactage Définition : le compactage est la réduction instantanée du volume d’un sol sans modification de sa teneur en eau. Il occasionne des déformations irréversibles. Il augmente la résistance mécanique et diminue la compressibilité du sol ainsi que sa perméabilité. Essai : Proctor (1933) mit le premier en évidence le lien (w, γ) au cours du compactage d’un sol sous une énergie constante. C’est l’essai Proctor (voir TP de Mécanique des sols). Cet essai comporte deux variantes : l’essai normal pour les digues et remblais et l’essai modifié pour les chaussées. Ils diffèrent par le type de moule et l’énergie de compactage. On obtient, à la fin de l’essai, la courbe Proctor.
(1) coté sec : l’eau joue le rôle de lubrifiant (structure floculée des argiles - couches de chaussées) Perméabilité forte (2) coté humide : l’eau est en excès. (structure orientée des argiles - barrages et remblais) Perméabilité faible Remarques : • Les paramètres influençant le compactage sont : la teneur en eau, l’énergie de compactage, la granulométrie du sol testé, … • Les courbes obtenues au laboratoire diffèrent de celles obtenues sur le chantier. • La courbe de saturation du sol est toujours asymptote à la courbe Proctor. Engins de compactage : l’énergie unitaire d’un passage augmente du rouleau lisse à la dame à explosion en passant par le rouleau à pneumatiques et le rouleau à pieds de mouton. On introduit la notion de limite d’efficacité d’un engin.
Contrôle du compactage : il s’effectue par : - mesure de w (entre wopm – 2 et wopm + 2) - mesure de γ (par gammadensimétrie, par pesée hydrostatique ou par densité in situ) ; on doit vérifier que γ 95% de l’OPM. - l’essai de plaque ; - la mesure de l’épaisseur des couches ; - l’essai de portance CBR (voir TP de mécanique des sols). La valeur du CBR est en outre un paramètre de dimensionnement des couches de chaussées. Portance et comportement - caractéristiques mécaniques L’un des objectifs de la géotechnique est de prévoir le comportement du sol sous les sollicitations du trafic. Ainsi un certain nombre d’essai permettent une approche pratique de la loi rhéologique. L’essai CBR Dans les travaux routiers où l’on ne peut admettre que de faible déformations du sol, on détermine la portance du sol, c'est-à-dire sa résistance à la rupture, par un essai particulier appelé l’essai CBR (Californian Bearing Ratio) ou essai de portance Californien. Le matériau à étudier est placé dans un moule dans un état donné de densité et de teneur en eau. Il est ensuite poinçonné par un piston de 19,3 cm2 de section, et enfoncé à la vitesse constante de 1,27 mm/min. L’indice de portance ou CBR exprimé en pourcentage est le rapport entre les pressions produisant dans le même temps un enfoncement dans le sol étudié d’une part et dans un matériau type d’autre part. Part définition cet indice est égale à la plus grande des deux valeurs suivantes :
Pr ession à 2,5 mm d ' enfoncement (en MPa ) 0,70
Pr ession à 5 mm d ' enfoncement (en MPa ) 1,05
Le pouvoir portant du sol est d’autant meilleur que le CBR est plus grand. Relation CBR – Module de Young (E) E = 65CBR0,65 (Jeuffroy –Bachel) E = 100CBR (Heukelon) E = 50CBR (Méthode Russe) Essai de plaque C’est un essai qui permet de connaître les caractéristiques mécaniques. Il consiste à appliquer au sol des sollicitations du même ordre de grandeur que celles du trafic. On applique au sol en place la force P par l’intermédiaire d’une plaque rigide de diamètre 2a. On mesure l’enfoncement de la plaque et on détermine un module de déformation.
T.D. SUR LE CHAPITRE 2 Exercice 1 : Etablir les relations entre les paramètres d’état. Exercice 2 : Un échantillon d’argile pesait 14,97 N à l’état naturel et 10,33 N après séchage à l’étuve. On a mesuré d’autre part γs = 26.5 kN/m3. Calculer sa teneur en eau naturelle,. En déduire son poids volumique, son poids volumique déjaugé, son indice des vides et sa porosité. Exercice 3 : On dispose d’une grave alluvionnaire (sol A) et d’un gravier sableux (sol B) dont les résultats de passants sont respectivement : Diamètre tamis (mm) 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 sol A 10 25 29 30 34 38 45 75 sol B 28 37 45 59 81 100 100 100 1. Tracer les courbes granulométriques de ces deux sols. Déduire si possible les valeurs des différents coefficients. 2. Dessiner la courbe granulométrique moyenne du sol composé de 60% de A et 40% de B. Quelles sont les valeurs des coefficients de ce sol ? 3. Combien ce sol contient-il (en pourcentages) de cailloux, de graviers et de sables ? Sachant que la masse totale du sol composé est de 5000g, calculer les masses des refus aux différents diamètres. Exercice 4 : On considère les arrangements de sphères d’égale dimension. Montrer, en calculant les indices des vides correspondants, que l’arrangement le plus lâche est celui où chaque sphère est en contact avec six autres sphères et que l’arrangement le plus serré est celui où chaque sphère est en contact avec douze autres sphères. Exercice 5 : Les résultats d’un essai Proctor sont donnés dans le tableau cidessous. Trouver une estimation de la teneur en eau optimum. Teneur en eau (%) 17,2 Densité apparente 2,06 (t/m3)
15,2 2,10
12,2 2,16
10,0 2,13
8,8 2,04
7,4 1,89
Exercice 6 : Mener des travaux de recherche bibliographique sur les systèmes de classification HRB-AASHO, USCS, LCPC et GTR.
CH 3 : CONTRAINTES DANS UN SOL ET RESISTANCE AU CISAILLEMENT Dans la plupart des ouvrages en terre ou des fondations de génie civil, la rupture se produit suite à l’apparition de contraintes de cisaillement excessives au sein du massif de sol ; 1. Rappels de MMC Définition d’un milieu continu… Notion de contraintes : ce concept fondamental en Mécanique peut être abordé de différentes façons. Mathématiquement : On définit le vecteur contrainte en un point M(x, y, z) d’un df solide chargé et suivant une facette de vecteur normal n par : T = dS df : résultante des forces extérieures en M
dS : aire de la surface élémentaire. On montre alors que σ xx σ = σ yx σ zx
T = nσ
avec
σ xy σ xz σ yy σ yz σ zy σ zz
σ est symétrique donc diagonalisable. Il existe donc un repère où ce tenseur est
diagonal. Dans ce repère principal toutes les contraintes sont normales. Dans les sols, les directions principales correspondent à la direction verticale et aux deux directions horizontales. Physiquement : la contrainte est la pression que l’on ressentirait si l’on se couchait au point M suivant la facette ou suivant la normale à la facette. La contrainte a la dimension d’une pression (N/m2). Représentation de Mohr : En décomposantT suivant la normale et la tangente à la facette considérée on a : T = σ .n + τ .t Avec t : vecteur tangent à la facette n : Vecteur normal à la facette On appelle : σ : contrainte normale τ : contrainte tangentielle ou de cisaillement.
Cercles de Mohr : Les équations de compatibilité exprimées en contraintes montrent que le point représentatif de l’extrémité du vecteur contrainte en un point évolue un triangle curviligne. σ1 , σ2 et σ3 sont les contraintes principales. Dans un espace bidimensionnel, cette aire se réduit à un cercle appelé cercle de Mohr (car σ2 = σ3). Ce cercle a pour centre le point d’abscisses (σ1+ σ3 )/2 et pour rayon (σ1 -σ3 )/2. Le cercle est donc le lieu de tous les points représentatifs de l’état des contraintes en un point du solide suivant plusieurs plans. Théorie de l’angle double : lorsque le plan d’une facette passant par une direction principale tourne dans le plan physique d’un angle α autour de cette direction, le point représentatif du vecteur contrainte sur le cercle de Mohr tourne de –2α . On peut donc en déduire que les points représentatifs des vecteurs suivant les directions principales sont diamétralement opposés sur le cercle de Mohr. Cheminement de contraintes : il illustre l’histoire du chargement du sol. Il s’agit d’une autre représentation de l’état de contraintes dans un sol. Le cercle de Mohr est totalement décrit par les valeurs de σ1 et σ3 correspondant dans le sol à σV et σH . On peut donc représenter l’évolution des contraintes au cours d’un essai ou dans le sol par le cheminement d’un point dans un système d’axes défini par : p = (σ1+ σ3 )/2 et q = (σ1 -σ3 )/2 Détermination des contraintes a) Par la théorie du pôle : Connaissant l’inclinaison d’un plan dans le solide, comment trouver les valeurs des contraintes normales et tangentielles qui y agissent ? Et inversement ? La résolution analytique de ce problème est possible mais fastidieuse. On lui préfère une résolution graphique basée sur la notion de pôle. Définition : sur le cercle de Mohr, il existe un point P et un seul appelé pôle, pour lequel toute droite passant par P coupe le cercle de Mohr en un point dont les coordonnées définissent l’état de contraintes sur un plan dont l’inclinaison par rapport à l’horizontales est la même que la droite.
On adopte la convention de signes ci-contre. Exemple : soit l’élément ci-contre. Calculer σ et τ sur un plan incliné de α = 35° par rapport à l’horizontale. b) Par les équations d’équilibre : on a : divσ + f = ργ On peut tenter de résoudre analytiquement. Mais cela est fastidieux. Et le système est incomplet. Pour le résoudre intégralement (connaître les σij en tout point) on a besoin des conditions aux limites et des lois de comportement du matériau sol.
Déformations et lois de comportement L’existence des contraintes en un point d’un solide entraîne la manifestation de déformations et inversement. Contraintes et déformations sont liées mathématiquement par la loi de comportement… On distingue trois lois de comportement de base : l élasticité, la plasticité et la viscosité. Pour certains matériaux on considère des lois mixtes… Dans certains milieux, il se produit des phénomènes d’écrouissage et de fluage… 2. Spécificité des sols Le sol peut-il être considéré comme un milieu continu ? Les limites de la Mécanique des Sols incitent à n’envisager la géotechnique qu’avec la prise en compte de l’empirisme… Convention de signes : En mécanique des sols on adopte : σ > 0 : c’est une compression σ < 0 : c’est une traction Principe de Terzaghi (1927) Dans un sol saturé on a σ = σ’ + u σ est la contrainte totale (régnant sur le sol) σ’ est la contrainte effective (régnant sur les grains) u est la pression interstitielle (due à l’eau) En cisaillement on a τ = τ’ car l’eau ne cisaille pas… 2.4. Calcul des contraintes dans un sol : On détermine σ'v et on en déduit σ'h grâce à la loi de comportement du sol ; En effet l’expérience montre que dans les sols on a σ'h = K0 σ'v ;
K0 est le coefficient de pression des terres au repos (ou encore le coefficient de pression latérale). Il est déterminé au laboratoire ou peut être estimé par des formules empiriques (ex : formule de Jaky). Il importe donc de calculer σv selon les cas. a) Sol indéfini à surface horizontale non chargée : σv est due au poids des couches sus-jacentes : σv = γ z (à démontrer) b) Sol à surface chargée par q : On adopte le principe de superposition des contraintes ; On a alors : σv = γ z + ∆q ∆q est déterminé par des abaques en fonction du type de charge ou par la méthode de diffusion simplifiée des contraintes. c)Calcul des contraintes effectives : on applique le principe de Terzaghi… 3. Comportement des sols à la rupture Critère de rupture Hypothèse de Mohr : Des essais menés jusqu’à la rupture sur des éprouvettes de sol lui ont permis d’énoncer cette hypothèse en trois termes : 1. τr = f(σr) 2. Il existe un plan de rupture. 3. A la rupture, tous les cercles sont tangentés par une même enveloppe. Le point de tangence détermine l’inclinaison du plan de rupture. Critère de Coulomb : Ses travaux sur des ouvrages militaires et sur le concept de résistance par frottement interne lui ont permis d’énoncer vers 1776 le critère suivant (en contraintes) : τ = c + σ tan φ
C’est désormais le critère de rupture de Mohr-Coulomb. Adapté aux sols, il est simple à utiliser et permet de nombreuses applications au calcul de stabilité des pentes et des fondations… La droite de rupture appelée courbe intrinsèque du sol ou droite de Coulomb fait apparaître dans le plan de Mohr trois domaines selon la position du cercle : (I) : matériau non rompu ; (II) : matériau rompu ; (D) : matériau à la limite de rupture.
Son équation dans le plan de Mohr est déterminée par la connaissance de deux paramètres : - la pente φ appelée angle de frottement interne du sol ; - l’ordonnée à l’origine c appelée cohésion du sol. Interprétation physique de c et φ a) Mouvement sur un plan incliné : Soit un corps A posé sur un plan B mobile incliné de α. Il existe une valeur φ de α à partir de laquelle le corps A glisse sur B. Donc : Si α<φ état d’équilibre fixe Si α=φ état d’équilibre limite Si α>φ glissement de A sur B. Si A et B sont constitués du même matériau alors, φ est l’angle de frottement interne du matériau. b) Déversement d’un sol Un sable déversé d’une certaine hauteur forme un tas dont la pente α ne peut dépasser φ. En effet, si α atteint la valeur φ alors toute quantité supplémentaire de sable roule vers le bas. φ est donc (approximativement) l’angle maximal du tas de sable. c) Cohésion : c c est la capacité des grains du sol à être “ collés ” les uns aux autres. c est la résistance du sol au cisaillement en l’absence d’effort normal. c mesure donc l’influence des éléments fins (pâte argileuse). Vocabulaire : On distingue les matériaux (purement) frottants ou encore non cohérents ou pulvérulents ; non frottants ou encore purement cohérents ; frottants et cohérents. La résistance au cisaillement d’un sol résulte donc du cumul des effets de c et φ.
3.3. Essais (pour une description détaillée : voir TP) L’essai triaxial : mis au point par Casagrande dans les années 1930 au MIT, c’est l’essai le plus utilisé aujourd’hui. Trois essais menés jusqu’à la rupture fournissent trois cercles de Mohr dont la tangente commune est la courbe intrinsèque du matériau.
ESSAI TRIAXIAL
Les valeurs de c et φ sont déterminées graphiquement ou par calcul. Essai de cisaillement rectiligne (à la boite de Casagrande) L’échantillon à tester est soumis à : une contrainte normale : σ = N/S et une contrainte de cisaillement : τ = F/S Chacun des trois couples (σ , τ ) de rupture correspond à un point de la droite de Coulomb. On la trace et on en déduit les valeurs de c et φ.
CISIALLEMENT RECTILIGNE
Remarque : φmesuré à la boite < φ mesuré au triaxial (influence des déformations latérales)
Autres essais (sur sols fins) : Essai de compression simple (en laboratoire) Essai au scissomètre (in situ) Pour plus de détails, consulter la bibliographie existante… 4. Remarques 4.1. Comportement des sables et des argiles : Cas des sols grenus : Le comportement des sables saturés est quasi identique à celui des sables secs ; . Le comportement est identique à court et long terme. Par contre, il convient de noter l’influence de la compacité, mise en évidence grâce à des essais triaxiaux…. On définit la densité critique ec pour laquelle : - si e = ec alors il ne se produit pas de variation volumique lors du cisaillement ∆V/V = 0 (courbe 2) - si e < ec (sol compact) alors il se produit un phénomène de dilatance lors du cisaillement (courbe 1) - si e > ec (sol lâche) alors il se produit un phénomène de contractance lors du cisaillement (courbe 3);
Dilatance et contractance des sables Cela occasionne une augmentation des pressions interstitielles et une diminution des contraintes effectives. Il se produit dans ses sables lâches le phénomène de liquéfaction ; Il peut être généré de façon statique ou dynamique et est fréquent dans les sables fins et propres à grains arrondis et uniformes ;
Par ailleurs, on observe que l’angle de frottement des sables est influencé par de nombreux facteurs tels que la compacité mais aussi la forme et la rugosité des grains, la grosseur des particules, la granulométrie, la présence d’eau, le degré de surconsolidation, … Enfin, dans un essai triaxial sur un sable, l’éprouvette de sol à la rupture se déforme en barillet ou se brise le long d’un plan de rupture incliné à π/4 + φ/2. Cas des sols fins : Eu égard à leur faible perméabilité, leur comportement dépendra de la vitesse d’application des contraintes à l’ensemble eau+grains et des possibilités de drainage. - pour étudier le comportement à court terme on effectue un essai rapide non drainé (U) ; En contraintes totales τ = c + σ tan φ et σ’ = σ - u Le comportement est celui des grains et de l’eau. - pour étudier le comportement à long terme, on effectue un essai lent drainé (D). En contraintes effectives τ = c’ + σ’.tg φ’ On distingue aussi les essais consolidés ou non consolidés (C ou U) : selon que le sol est remis ou non dans son état initial de contraintes. A quelles situations in situ et au laboratoire correspondent les conditions Cd, CU et UU ? Par ailleurs, on a remarqué que les argiles peuvent avoir aussi des comportements similaires aux sables : une argile surconsolidée s’apparenterait parfois a un sable dense alors qu’une argile normalement consolidée s’apparenterait à un sable lâche (contractance et dilatance). Notion de sensibilité : On définit la sensibilité d’une argile par le fait que son comportement à l’état intact soit différent de celui à l’état remanié ; on peut le lier empiriquement à la limite de liquidité du sol… la présence d’argiles sensibles dans les sols a souvent été à l’origine de catastrophes… Les facteurs pouvant affecter la cohésion non drainée des argiles sont : la pression de consolidation, l’anisotropie, l’effet de vitesse (fluage), … 4.2. Plasticité et état limite dans les sols la plasticité est la théorie mathématique des déformations irréversibles indépendantes du temps. Dans le cas d’un matériau isotrope, le critère de plasticité est de la forme : f(σ) = 0 ; f est la fonction de charge. Et f(σ) <0 correspond au domine d’élasticité du matériau. L’équilibre limite est l’état qui caractérise le passage de l’état élastique à l’état plastique. Il existe plusieurs critères de plasticité mis au points par divers auteurs : Tresca, Von Misès, Coulomb… Le critère de Coulomb est celui qui semble le plus
convenir au comportement des sols. Cependant sa validité est limitée par le fait que : - le principe du travail maximal suppose que la déformation s’effectue sans variation de volume. Cette hypothèse ne peut être vérifiée pour les sols qu’en laboratoire… - le critère de Coulomb dans le plan de Mohr correspond à deux droites qui tendent à s’incurver au voisinage de l’origine. Autrement dit, φ augmente pour les petites contraintes… Ainsi, les méthodes de calcul à la rupture appliquées aux sols connaissent quelques limitations quant à la validité des hypothèses mais demeurent une des voies d’approche dont dispose le mécanicien des sols pour l’étude du comportement réel des sols en place. 4.3. Calcul des ∆u au cours d’un essai triaxial Il importe de connaître ou de prédire les surpressions interstitielles dans le sol ; L’excès de surpressions peut entraîner la rupture du sol et/ou de l’ouvrage. Cela permet de prévoir des aménagement ou des dispositions constructives. Pour cela, on dispose de deux approches : celle de Skempton et celle de Henkel. Pour plus de détails, voir la bibliographie existante…
TD SUR LE CHAPITRE 3 Exercice 1 : Soit le système de contraintes agissant sur l’élément ci-contre. 1. Evaluer σ1 et σ3 et l’orientation des plans principaux; 2. Evaluer σ et τ pour α = 30°. 3. Trouver la contrainte de cisaillement maximale et l’orientation du plan sur lequel elle agit. Exercice 2 : Un sol est soumis à deux essais : * un essai de rupture à l’appareil triaxial mené rapidement, sans possibilité de drainage. Les résultats sont les suivants : pression latérale 100 170 240 (kN/m²) Contrainte axiale 236 312 374 (kN/m²) * Un essai de rupture à la boite de cisaillement, lent, avec possibilité de drainage et de consolidation du sol sous l’effet des contraintes appliquées. Les résultats sont les suivants : Contrainte normale (kN/m²) Contrainte de cisaillement (kN/m²)
62 73
123 99
185 128
1. Calculer l’angle de frottement et la cohésion du sol ainsi testé dans les deux cas. 2. De quel type de sol s’agit-il ? 3. Expliquer les différences de résultats. Exercice 3 : Soit le profil de sol ci-contre, calculer les contraintes totales et effectives au niveau de chaque couche. Envisager, à la base de l’argile plastique, le cas où le niveau de la nappe baisse de 2 m ou encore remonte de 2 m, les poids volumiques des sols restant constants ; Commenter. (γs = 26.5 kN/m3)
CH 4 : HYDRAULIQUE DES SOLS Introduction L’objet de ce chapitre est d’étudier les écoulements de l’eau libre et ses effets dans un sol complètement saturé. Pour cela, nous adopterons les hypothèses de la Mécanique des Fluides appliquée aux fluides newtoniens : 1. L’eau interstitielle est incompressible. Elle présente de la viscosité qui décroît avec la température. 2. La masse d’eau interstitielle se conserve. 3. La relation de Terzaghi est vérifiée. 4. Les mouvements de l’eau sont permanents (indépendants du temps). 1. Charge hydraulique – Gradient hydraulique 1.1 Notion de charge hydraulique Dans l’eau en mouvement, on appelle la charge hydraulique en un point M la quantité h = z1 +
u1
γw
+
v2 2g
u : pression de l’eau au point M v : vitesse de l’eau au point M
z : cote du point M à partir d’un plan horizontal de référence
En mécanique des sols le terme v2/2g est toujours très faible comparé aux autres (car la vitesse d’écoulement de l’eau entre les grains est faible). On le néglige… Lorsqu’un fluide est « parfait », il n’y a pas de perte de charge (Théorème Bernouilli). Mais ici, la viscosité de l’eau et les frottements eau/grains lors l’écoulement occasionnent une perte d’énergie, une perte de charge notée ∆h. Le Théorème de Bernouilli exprime le bilan de l’Energie mécanique lors déplacement d’un fluide (intégration de la conservation de la quantité mouvement). La charge hydraulique décroît dans le sens de l’écoulement. Si fluide est immobile, sa charge hydraulique est constante dans l’espace.
de de du de un
1.2 Notion de gradient hydraulique On appelle gradient hydraulique le vecteur i défini par : i = gradh i correspond donc à la perte de charge par unité de longueur traversée lors d’un écoulement. Ce vecteur est tangent à la ligne de courant et orienté dans le même sens que l’écoulement.
Remarque : Lors de l’écoulement de l’eau dans un sol, la vitesse moyenne apparente de l’eau dans le sol est v = q/S. En considérant que l’eau ne circule que dans les vides, on définit une vitesse moyenne vraie par le rapport v’ = q/nS, n étant la porosité du sol. 2. Loi de Darcy - Perméabilité 2.1. Loi de Darcy (1856) : C’est une loi fondamentale de l’hydraulique des sols. Cette loi expérimentale exprime que la vitesse d’écoulement de l’eau et le gradient hydraulique sont proportionnels : v = Ki K est le tenseur de perméabilités du sol. Il s’agit d’une matrice (3x3) diagonalisable. Dans le cas unidimensionnel, K est appelé coefficient de perméabilité du sol ou conductivité hydraulique. Il varie dans des proportions assez larges suivant la nature du sol (supposé homogène). K(m/s)
sol
10-2
gravier
10-4
10-6
sable
limon
10-8
10-10
argile
roche apparemment non fissurée Nota : La loi de Darcy a été établie pour un écoulement vertical d’eau dans un sable propre saturé ; elle a été ensuite généralisée aux écoulements dans les autres types de sols saturés et sert aussi pour les écoulements d’autres fluides (pétrole, gaz, air, … seuls ou en mélanges. C’est donc une des lois les plus importantes de l’hydraulique en milieu poreux. On peut déterminer la perméabilité d’un sol : * in situ par des essais de pompage (essai Dupuit, essai Lefranc, essai Lugeon, Mtéhode Muntz, méthode Porchet, ...) * à l’aide de formules empiriques telles que (exemples) : La formule de Hazen (pour les sables) : K = 100 (D10)² D : en cm et K en cm/s La formule de Casagrande : K=1,4 K0,85 .e2
où K0,85 est le coefficient de perméabilité pour un indice des vides e=0,85. La formule de Kozeny-Carman
La formule de Terzaghi …
* au laboratoire : par un essai à charge constante pour des matériaux perméables (sableux) et un essai à charge variable pour des matériaux moins perméables (argileux). 2.2 Cas des sols perméables (sols sableux) On détermine K au laboratoire grâce au perméamètre à charge constante
la quantité d’eau recueillie à la sortie est égale à celle qui a traversé le sol Après démonstration, on aboutit à la formule : K =
V .l h.S .t
2.3. Cas des sols relativement imperméables (sols argileux) On détermine K au laboratoire grâce au perméamètre à charge variable
La quantité d’eau qui traversé l’échantillon pendant t est égale à la diminution de l’eau dans le tube fin de h1 à h2. Après démonstration, on aboutit à la formule : K =
s.l . ln(h1 ) h2 S .∆t
2.4 Perméabilité moyenne fictive des sols stratifiés :
Kv =
∑l
i
Kh
li
∑K i
∑ l .K = ∑l i
i
i
i
i
i
i
Ecoulement perpendiculaire au plan de stratification
Ecoulement parallèle au plan de stratification
Remarques : 1) Limites d’utilisation de la loi de Darcy : Cette loi n’est plus vérifiée lors des écoulements très lents (à travers des argiles très compactes par exemple) ou très rapides (gros sables et graviers). Sinon il se produit des phénomènes de turbulence ou bien il apparaît entre les grains des forces moléculaires et la viscosité du fluide augmente. 2) Anisotropie : généralisation de la loi de Darcy (voir exercices) 3.Remarques Etude des réseaux d’écoulement Cas d’un écoulement sous un barrage ou un mur de soutènement. On fait abstraction du sol.La loi de Darcy associée à l’équation de continuité fournit l’équation de Laplace. ∆h = 0 h est la fonction potentiel dont dérive v (à K près). On définit les lignes de courant, les tubes de courant et les équipotentielles. Elles forment un réseau orthogonal. Dans le cas d’un écoulement plan (cas le plus fréquent) le problème consiste à résoudre l’équation de Laplace connaissant les conditions aux limites ; ce qui permettra de tracer ce réseau. Connaissant h, on pourra en déduire la vitesse et la pression en tout point. On calculera aussi le débit…
Réseau d’écoulement sous un mur ou un barrage : Dispositifs
Les méthodes de résolution sont multiples : - méthode analytique ; - méthode par analogie électrique ; - méthode graphique ; - méthode numérique. 3.2. Boulance et renard dans les sols Les équations d’équilibre associées à la relation de Terzaghi montrent que le squelette d’un sol où a lieu un écoulement d’eau vertical et ascendant est soumis à deux types de forces qui s’affrontent : les forces d’écoulement : dues à la poussée de l’eau les forces de pesanteur : dues au poids des grains Le gradient critique est le gradient hydraulique pour lequel la résultante de ces deux types de forces est nulle. Sa valeur est donc : ic = γ’/γw Ainsi, si i << ic pas de troubles si i = ic apparition de la boulance (l’eau et le sol forment une émulsion) si i >> ic phénomène de renard (création d’une voie privilégiée de circulation d’eau) Dans le cas des sables et graves, le gradient critique est proche de 1. Dans tout problème d’hydraulique des sols, il importe de vérifier que les gradients hydrauliques ascendants sont suffisamment inférieurs à ic.
d) Remèdes au renard * Rallonger le chemin de l’eau en augmentant la fiche de l’ouvrage * Bien compacter le sol à l’arrière de l’ouvrage. * Installer une surcharge à l’arrière de l’ouvrage. * Installer un drain à l’arrière de l’ouvrage. Celui-ci doit respecter la règle des filtres ci-dessous. (f) : filtre (sàp) : sol à protéger
(1)
D15 ( f ) ≥5 D15 ( sàp)
(3)
D50 ( f ) ≤ 25 D50 ( sàp)
(2)
D15 ( f ) ≤5 D85 ( sàp )
(4) D85 (f) > φ des trous du drain (5) D50 (f) > 1.2 x Largeur de la fente du drain On peut aussi vérifier la règle de Lane : Lv : longueur de cheminement vertical ε : coefficient dépendant du sol
Lv + 1/3Lh ≥ ε.H Lh : longueur de cheminement horizontal H : hauteur d’eau à l’amont
Remarques : Lorsque les conditions artésiennes sont réunies (les charges hydrauliques sont plus élevées que les conditions hydrostatiques), certains sables sont naturellement boulants. On ne peut s’y noyer… Boulance et liquéfaction des sables sont souvent liés. Des recherches à ce sujet sont en cours… 4.Capillarité – Retrait et gonflement du sol – Action du gel 4.1. Capillarité : Ce phénomène est dû à la tension superficielle T qui se développe à l’interface des matériaux différents (air, eau, grains. T varie avec la température. On définit la hauteur d’ascension capillaire dans un tube :
Dans la réalité cette hauteur varie selon la nature du sol, sa granulométrie et sa compacité…
4.2. Retrait – Gonflement - Gel Le retrait occasionne dans la frange argileuse du sol des tensions capillaires élevées. Les fissures se produisent lorsque la tension capillaire est supérieure à la résistance à la traction du sol ou sa cohésion. Le gonflement dépend de la nature minéralogique de l’argile contenue dans le sol. Son importance croît de la kaolinite à l’illite et à la montmorollonite.
L’effet du gel est désastreux sur certains édifices. Il est influencé par la température, la présence de source d’eau ou la granulométrie du sol. L’ingénieur doit porter une attention particulière à ces phénomènes car ils menacent les ouvrages et leurs fondations. Leurs effets sont désastreux ; Pour de plus amples informations, se référer à la bibliographie existante… Les applications de l’Hydraulique des sols En génie civil : elle intervient dans toute conception d’ouvrage qui est ou peut être en contact avec l’eau : barrages et canaux, soutènements, fouilles, rabattements de nappes, ouvrages dans une nappe, drainage routier, étanchéité des fondations, … Dans les autres disciplines : le drainage agricole, la gestion des ressources en eau, le contact eau douce/eau salée, l’exploitation minière, le confinement hydraulique, …
Etude de cas : Exemple du système de drainage de la pelouse du stade FHB.
TD SUR LE CHAPITRE 4 Exercice 1 : Démontrer la formule du perméamètre à charge constante, du perméamètre à charge variable, des sols lités et du gradient critique. Exercice 2 : Montrer que grâce au changement de variable l’équation de l’écoulement permanent dans le cas d’un sol anisotrope peut se ramener à celle d’un sol isotrope. Exercice 3 : Un échantillon de sable grossier est placé dans un perméamètre à niveau constant de 15 cm de hauteur et 5.5 cm de diamètre. L’eau percole à travers l’échantillon sous une charge de 40 cm. En 6s, on recueille 40g d’eau. Quelle est la perméabilité de ce sable ? Exercice 4 : Un matériau argileux est installé dans un moule oedométrique (h = 3,5 cm ; D = 6,5 cm) fonctionnant en perméamètre à charge variable. On observe l’écoulement dans un tube de 2 cm de diamètre, gradué en cm de haut en bas, avec un zéro de la graduation situé à 40 cm au dessus de la base de l’oedomètre. Le tropplein de l’oedomètre est à 4 cm au dessus de sa base. Au cours de l’expérience, le niveau d’eau dans le tube gradué passe de la division 0 à la division 3 en 7 minutes et 15 secondes. Faire un schéma clair. Quelle est la perméabilité du sol B ? Exercice 5 : Calculer les perméabilités équivalentes horizontale et verticale du sol dont le profil est donné ci-contre. Commenter.
CH 5 : CONSOLIDATION ET TASSEMENTS L’objet de ce chapitre est d’étudier le comportement des sols fins saturés soumis à des charges très inférieures aux charges de ruptures. 1. Comportement des sols saturés 1.1 Description : * Dans un sol sec chargé, les contraintes s’exercent instantanément et entièrement sur le solide (squelette). On a ∆σ = ∆σ’ Le tassement s’effectue alors rapidement et son amplitude ne dépend que de la loi de comportement du squelette solide. * Dans un sol saturé on a : σ = σ‘ + u donc : ∆σ = ∆σ‘ + ∆u
∆u = 0
Au cours de l’application de la charge, l’eau interstitielle se met en surpression au voisinage du point d’application de la charge. En fonction de la perméabilité du sol, il se produit un écoulement de l’eau vers les zones de basses pressions, suite au gradient de pressions ainsi crée. Si le sol est très perméable alors les surpressions interstitielles se dissipent rapidement. Si le sol est imperméable, les surpressions interstitielles se dissipent lentement. Au cours du drainage, l’eau reporte progressivement sa charge sur les grains solides qui se réarrangent. La réduction de volume ainsi créée s’exprime en diminution de la hauteur de sol appelée tassement. Le tassement total ne sera atteint qu’après une longue période (pouvant aller jusqu’à plusieurs années). C’est le phénomène de consolidation des sols fins saturés. Définition : la consolidation est la diminution de volume d’un sol fin saturé soumis à l’action d’une charge verticale, le sol ayant des possibilités de drainage. Il est donc nécessaire de prendre en compte le facteur-temps. Plusieurs autres facteurs peuvent l’influencer...
1.2 Modèle rhéologique : analogie mécanique
on représente le sol (eau + solide) par un modèle analogique (eau + ressort) Puis l’on observe le comportement du modèle lors d’un chargement. étape 1 : t = 0 le robinet est fermé La charge est appliquée et reprise par l’eau qui se met en surpression : ∆σ = ∆u étape 2 : t = ∆t (très court) le robinet est ouvert Il s’établit une distribution de charge entre l’eau et le squelette solide. L’eau s’évacue progressivement : ∆σ = ∆σ‘ + ∆u étape 3 : t = ∞ il n’y a plus d’évacuation d’eau : ∆σ = ∆σ’ Seul le ressort reprend la charge. Remarque : Ce phénomène est visible sur certains ouvrages de Génie civil et peut être reproduit en laboratoire grâce à l’essai oedométrique. 1.3. Modélisation mathématique : Le tassement du sol (variation de volume) est dû à l’évacuation de l’eau du sol, elle-même provoquée par une modification des pressions interstitielles au sein du massif de sol. Il importe donc de connaître la distribution de ces pressions dans le sol chargé au cours du temps : u = u(x, t). ce problème a été étudié en 1925 par Karl Von Terzaghi : c’est la théorie de la consolidation unidimensionnelle des sols saturés. La démonstration de cette théorie a été depuis généralisée au cas d’un écoulement tridimensionnel. L’équation à résoudre est alors, pour un sol homogène et isotrope : On peut l’écrire en coordonnées cylindriques : ∂u ∂ 2 u 1 ∂u ∂ 2u = Cv r ( 2 + . ) + Cv z 2 ∂t r ∂t ∂r ∂z Consolidation radiale Nombreuses solutions
consolidation verticale solution de Terzaghi et Frölich
1 ∂u . = ∆u Cv ∂t
1.4. L’essai oedométrique (Norme NFP 94-090)
Schéma d’un oedomètre
Mode opératoire : - on applique à l’échantillon complètement saturé une contrainte σ1; - on mesure le tassement au cours du temps pendant 24 h ; - on double la charge σ2 = 2σ1 et on recommence la procédure par paliers de chargement Remarque : Pour les sols à granulométrie fine le moule a une hauteur Hi = 12mm ; Pour les sols à granulométrie plus grossière Hi=24mm. Résultats Lors de la compression, l’épaisseur H de l’échantillon varie (donc aussi son volume). Pour chaque palier de chargement on trace la courbe de consolidation ∆H = f (log t). Elle met en évidence le coefficient de consolidation Cv. Il caractérise la vitesse de consolidation du sol.
Courbe de consolidation
Courbe oedométrique
H0 est déterminé par approximation en √x. Cv est calculé par la formule : Cv =
0,197 H 2 t 50
A la fin de chacun des paliers de chargement on mesure e = f (log σ‘). On trace alors la courbe oedométrique. Cette courbe met en évidence 3 autres paramètres caractérisant le sol : Cs : pente de la tangente à la 1ère partie de la courbe appelé indice de gonflement. Cc : pente de la tangente à la 2ème partie de la courbe appelé indice de compression. Il rend compte de la compressibilité du sol testé. Des expressions empiriques (établies par Skempton et Sanglerat) permettent de l’évaluer à partir des Limites d’Atterberg. σ’p : valeur de σ‘correspondant au coude de la courbe appelée pression de préconsolidation. Elle est déterminée par la construction de Casagrande ou approximativement par la valeur de σ‘ au point d’intersection des 2 tangentes de pentes Cs et Cc. Diverses recherches ont montré que σ’p correspond au maximum de contrainte subi par le sol au cours de son histoire. En la comparant à la contrainte actuelle régnant au point de prélèvement in situ (due au poids des couches sus-jacentes) σ’0 alors on a les définitions suivantes : si σ’p > σ’0 sol sur consolidé (sol anciens érodés) si σ’p = σ’0 sol normalement consolidé si σ’p < σ’0 sol sous-consolidé (cas rare ; dépôts récents) 2.2 Calcul de l’amplitude du tassement On montre que :
∆h ∆e = h0 1 + e0
(par la méthode oedométrique)
Il faut donc connaître ∆e. On exploite alors la courbe oedométrique. Dans chacun des cas suivants donner l’expression ∆h : • Sol normalement consolidé • Sol surconsolidé (Selon le cas de chargement, deux cas peuvent se présenter) • Sol sousconsolidé Remarque : On définit les modules suivants - module oedométrique Eoed = Contrairement au module d’Young, ce n’est pas une constante… - module de compressibilité volumétrique mv = 1/ Eoed Il est utilisé dans la littérature anglo-saxonne… 2.3 Calcul du temps de tassement a) Au cours du temps le sol se consolide, on définit le degré de consolidation U : U=
∆h(t ) ∆h(∞)
et on montre que àt=0 ∆u = ∆u0 et U=0 àt=∞ ∆u = 0 et U=1 b) Plus le sol sera perméable, plus il se consolidera vite. On définit le coefficient de consolidation Cv peut être déterminé par les formules Cv =
K .E oed
ou graphiquement.
γw
c) Le temps de consolidation est donné pour un U donné. Les travaux de Terzaghi sur la consolidation ont permis d’aboutir à la formule suivante : t =
T v .H 2 Cv
Tv est appelé facteur temps. Il est fonction de U et est fourni par l’abaque ou le tableau de Terzaghi . Remarque : Dans la formule de t, H est le chemin de drainage : plus long parcours de l’eau au cours du drainage de la couche compressible. Autrement dit, si la couche est drainée sur ces deux faces alors il faut entrer H/2 au lieu de H dans la formule de t.
Notion de chemin de drainage
Tableau de Terzaghi : U = f(Tv) U Tv
0.05 0.002
0.1 0.008
0.15 0.013
0.2 0.031
0.25 0.06
0.3 0.071
0.4 0.126
0.5 0.196
0.55 0.238
0.6 0.236
0.7 0.403
Abaque de Terzaghi
0.75 0.477
0.8 0.567
0.85 0.684
0.9 0.842
0.95 1.13
0.96 1.5
0.998 2.06
1
TD SUR LE CHAPITRE V Exercice 1 : Une couche d’argile de 10 m d’épaisseur est drainée sur ses deux faces. Le coefficient de perméabilité du matériau est 5.10-11 m/s et son module oedométrique de 4 kN/cm2. En combien de temps obtiendra t- elle un degré de consolidation de 40 % ? de 80 % ? Exercice 2 : L’indice des vides d’une argile A décroît de 0.581 à 0.512 lorsque la contrainte passe de 1.1 à 1.7daN/cm2. L’indice des vides d’une argile B décroît de 0.609 à 0.596 sous l’action de la même variation de contrainte. L’échantillon A a une épaisseur de 50% supérieure à celle de l’échantillon B. Néanmoins, l’échantillon B met trois fois plus de temps que l’échantillon A pour atteindre un degré de consolidation de 50% dans les mêmes conditions de drainage. Quel est le rapport des coefficients de perméabilité de A et B ?
Exercice 3 : Un constructeur envisage d’évaluer les tassements susceptibles de se produire sous un remblai (γ= 20kN/m3 ) de 6.5m de hauteur. Le sol est constitué de 4.8m de sable légèrement propre (γ = 18.5 kN/m3 ; γ ‘= 10.5 kN/m3) surmontant une couche de vase normalement consolidée de 5m d’épaisseur (γ sat = 18 kN/m3, e0 = 1.825, Cv = 2.10-7m2/s), elle-même reposant sur un banc de sable. Initialement la nappe phréatique est affleurante au sable situé sous le remblai projeté. Les résultats de l’essai oedométrique sont les suivants : 10 20 40 80 160 320 σ kPa 5 e 1.82 1.81 1.80 1.74 1.40 0.80 0.16 a) On demande de calculer les tassements occasionnés dans la couche de vase pour chacun des cas suivants : 1. Nappe phréatique baissant de 3m dans le sable sous le remblai, avant la construction de celui-ci. 2. Construction du remblai, la nappe étant au niveau initial. 3. Construction du remblai après baisse de la nappe Commenter. c)Quel est le temps approximatif de réalisation de ces tassements ? Comment pourrait-on le réduire au quart ? 1.
CH 6 : POUSSEE ET BUTEE DES TERRES Dans ce chapitre, nous nous consacrerons à l’étude des forces et contraintes développées dans des ouvrages de soutènement soumis à la pression latérale des terres. La connaissance de ces forces et contraintes permettra ultérieurement de dimensionner les ouvrages de soutènement. 1. Définitions 1.1. Coefficient de pression des terres au repos : K0 Voir chapitre 3.
Dans un sol indéfini à surface horizontale non chargée, on a : σV = Σγi hi En général K0 < 1 sauf dans les sols très consolidés. K0 Et σ’h = K0 σ’v dépend de la nature du sol et de son état de consolidation. On peut l’estimer par des formules empiriques (ex : formule de Jaky).
1.2. Poussée et butée Ces phénomènes sont mis en évidence lorsqu’on imagine le déplacement d’un mur vertical à l’arrière d’un massif. Il s’agit de la force régnant dans le massif et provoquant la rupture du sol (ou encore de la force du sol sur le mur). A partir de la situation de repos (F0), celui-ci peut être mis en équilibre limite de deux manières : * En cas de déplacement du mur vers la droite : F0 croît jusqu’à un maximum dite force passive Fp . C’est la butée Fp. * En cas de déplacement vers la gauche : F0 diminue jusqu’à un minimum dite force active. C’est la poussée Fa .
Elles provoquent des déformations d’ordres différents et sont d’intensités différentes. Par extension, les termes de poussée et butée désignent donc les contraintes horizontales régnant dans le sol au moment de la rupture.
2. Coefficients de poussée et de butée 2.1. Cas d’un sol pulvérulent Les hypothèses sont les suivantes : - sol pesant pulvérulent, - surface du sol horizontale et non chargée, - écran lisse et vertical. On cherche alors une relation entre σv et σh lorsque le sol, partant d’une situation de repos, est amené en équilibre limite de poussée ou de butée.
Poussée et butée sur un soutènement
On montre, par des considérations dans le plan de Mohr, que
1 − sin φ π φ = tg 2 ( − ) 1 + sin φ 4 2
• En poussée
σha = Ka σv
avec
Ka =
• En butée :
σhp = Kp σv
avec
Kp = 1/Ka 1 2
Et les forces de poussée et de butée correspondantes sont : Fi = .K i .γ .H 2 avec i = a,p.
Elles s’appliquent au 2/3 de la hauteur de la paroi à partir du sommet de l’écran. On montre aussi, par des considérations sur les cercles de Mohr que les plans de rupture sont inclinés de (π/4 +φ/2) en poussée et (π/4 -φ/2) en butée.
Inclinaison des plans de rupture
2.2. Cas d’un sol fin a) Calcul en contraintes totales (comportement non drainé) : (c = cu et φu = 0) Avec σv = γ h, le critère de Mohr-Coulomb donne : σha = γ h - 2 cu σhp = γ h + 2 cu La profondeur critique d‘une fouille verticale dans un sol fin est : Hc = 4c/γ (à démontrer) b) Calcul en contraintes effectives (comportement drainé) : (c’ et φ’) En appliquant le théorème des états correspondants dans les calculs du 2.1. , on constate que la contrainte hydrostatique supplémentaire (c/tg φ) occasionne un
effet dont la résultante par rapport à celle du milieu pulvérulent se déduit de la contrainte de poussée et se rajoute à celle de butée. Soit en poussée : σ’Ha = Ka σ’V - 2c’√Ka en butée :
σ’Hp = Kp σ’V + 2c’√Kp
La profondeur critique d‘une fouille verticale dans un sol est : Hc =
4c
γ
.tg (
π
φ
+ ) 4 2
Dans le cas d’une fouille verticale soutenue provisoirement par une boue à la bentonite, on montre que le coefficient de sécurité vis-à-vis de la stabilité des parois est dans un sable : F =
2 γ .γ b
γ −γb
dans un sol fin saturé : F =
.tg φ
γ : poids volumique du sol
4.Cu γb : poids volumique de la bentonite H .(γ − γ b )
2.3. Cas d’un sol à surface inclinée de β par rapport à l’horizontale : Les autres hypothèses étant les mêmes que précédemment, on montre que : σHi = KiσV
avec
K aβ =
cos β − cos 2 β − cos 2 φ 1 = K pβ cos β + cos 2 β − cos 2 φ
3. Influence du frottement mur/sol Notion de rugosité : Soit δ l’angle de frottement mur/sol on a : δ > 0 si le remblai tasse (plus courant) δ < 0 si le mur tasse. En général, on adopte φ/3 < δ < φ/2 selon que l’écran est plus ou moins rugueux. 3.1. Théorie de Rankine : Elle est basée sur une hypothèse simplificatrice : Les discontinuités provoquées par la présence de murs ou d’écrans ne modifient pas la répartition des contraintes sur le mur. Autrement dit, dans le cas d’un écran vertical supportant un sol à surface horizontale, cela revient à supposer que le frottement sol/ mur est nul. Les résultats sont ceux démontrés au paragraphe 2. 3.2. Théorie de Coulomb : (1773) Hypothèses : - la surface arrière du mur est une surface de glissement ; - la surface de rupture est plane ; (valable en poussée mais pas en butée ) - le prisme de rupture est un solide rigide se déplaçant vers le haut en butée et vers le bas en poussée ; - le système est en équilibre limite ; - le sol est pulvérulent.
Les calculs et constructions géométriques ( de Poncelet) donnent : En poussée :
En butée :
cos 2 (φ − λ ) 1 Ka = . 2 2 cos λ . cos(λ + δ ) sin(φ + δ ). sin(φ − β ) 1 + cos(λ + δ ). cos( β − λ ) cos 2 (φ + λ ) 1 . Kp = 2 2 cos λ . cos(λ − δ ) sin(φ − δ ). sin(φ + β ) 1 − cos(λ − δ ). cos( β + λ )
β : inclinaison de la surface du sol par rapport à l’horizontale δ : rugosité mur/sol λ : inclinaison du mur par rapport à la verticale
Des tables numériques donnant les différentes valeurs des Ki ont été élaborées par certains auteurs ; Leurs résultats sont donnés sous forme d’abaques (abaques de Sokolovsky et de Caquot et Kérisel). Faire attention aux conventions de signes pour les angles. 3.3. Autres effets Cas d’une surcharge : Une charge q exercée à la surface du sol provoque sur un écran de longueur L une force de poussée (Faq = Kaq L.q) ou de butée (Fpq = Kpq L.q) Les coefficients Ki sont fournis par les tables de E. Absi et L’Herminier . On peut aussi adopter la théorie de Boussinesq et ses applications selon la forme de la surcharge régnant en surface pour estimer la contrainte de poussée (ou de butée) ;
Charge concentrée : σ h =
3Q 2 z .x . 2 2π R
Charge linéique parallèle à l’écran : Si m > 0.4
σ h = 1.27.
q m 2 .n . 2 H (m + n 2 )
m < 0.4
Bande linéaire uniformément chargée : σh =
2q
π
σ h = 0.203.
[(β + sin β ) sin
2
q m . H (0.16 + n 2 ) 2
α + ( β − sin β ) cos 2 α ]
Influence de la cohésion : voir 2.2. Influence d’une nappe : La présence d’eau dans le sol occasionne deux effets : - la poussée hydrostatique de l’eau (normale à l’écran) ; - l’action des terres en prenant en compte le poids volumique déjaugé en dessous de la nappe. Nota : Dans le cas d’un massif drainé ou bien d’un sol qui est le lieu d’un écoulement, il faut aussi tenir compte de la poussée due à l’écoulement… Effet du compactage - Effet silo : voir bibliographie existante…
Cas général : Pour un milieu cohérent, surchargé et baignant dans la nappe, on superpose l’action des terres déjaugées en milieu pulvérulent, de l’eau, de la surcharge et de la cohésion. C’est une approximation satisfaisante malgré le fait que le principe de superposition n’est valable qu’en élasticité linéaire alors qu’on travaille ici dans les conditions de l’équilibre limite…
Remarques 1. L’hypothèse d’écran lisse va dans le sens de la sécurité (valeurs pessimistes). 2. Il importe de bien choisir la valeur de δ car sa valeur et son signe influencent celles de Ka et Kp. 3. Des cas particuliers font l’objet d’études spécifiques : - sols multicouches : attention aux discontinuités intercouches, - forme de la surcharge régnant en surface, - tranchées blindées, - stabilité d’un fond de fouille, - sollicitations dynamiques sur un écran - etc. pour tous ces cas particuliers, il faut se référer à la bibliographie spécialisée. Exercice d’application : On veut retenir par un ouvrage de 5 m de haut un terrain en pente faisant un angle de 12° avec l’horizontale constitué d’un sable légèrement argileux dont l’angle de frottement interne est de 24° et le poids volumique de 19.4 kN/m3. Calculer la contrainte de poussée à la base du mur dans les trois cas suivants : - sol non cohérent et mur non frottant ; - sol non cohérent et mur frottant ; on prendra δ = 2/3 φ; - sol légèrement cohérent (on prendra c = 10 kPa) et mur non frottant ; Commenter.
Différents types de murs de soutènement selon le matériau utilisé
Géométrie
Mur en béton armé Mur en T Mur à bêches Mur à contreforts Mur poids (semelle + voile) etc.
Palplanches en acier ou en fonte Rideaux ancrés Rideaux sans ancrage (pièces longues et plates enfoncées dans le sol par battage les unes à côte des autres)
Soutènement des parois en remblai et déblai Soutènement en milieu rocheux
Domaines d’utilisation
Ouvrabilité ou mise en œuvre
Coût
Déformations admissibles
Qualité des matériaux
Soutènements provisoire en présence d’eau (batardeaux, blindages) Ecrans d’étanchéité et ouvrages de protection (soutènements de rives, murs de quais) Soutènements définitifs (culées) Soutènements en terrains rocheux Techniques Importants classiques de mise dispositifs en œuvre du béton techniques pour le armé transport et le battage Onéreux Très cher (acier) (armatures)
Mur en terre armée Massif de couches horizontales de remblais (épaisseur 25 cm) entre lesquelles sont disposés des lits d’armatures (bandes plates en acier ou en plastique Constructions sur sols compressibles Soutènements de remblais et déblais de grande hauteur
Mur en bois
Mise en œuvre simple
Battage et liaison des différentes pièces aux pieux
Peu onéreux
Adapté aux régions riches en bois N’admet pas de déformation (risque de rupture par effort tranchant) Qualité de bois se fissurant très peu (azobé)
Ne tolère pas de grandes déformations
Admet des déformations et déplacements importants
Admet des tassements et déformations de grande amplitude
Granulats de bonne qualité pour le béton Eviter les aciers corrodés
Aciers de module adapté aux efforts de battage (flambement)
Matériau exempt de débris organiques Eviter les gros éléments et les sols purement cohérents
Pieux en bois enfoncés dans le sol par battage
Soutènements en terrains meubles Soutènements en terrain ébouleux
CH 7 : STABILITE DES PENTES 1. Généralités L’instabilité des pentes concerne aussi bien les pentes naturelles qu’artificielles. En cas de rupture, les pertes en vies humaines et les dégâts matériels sont considérables. Il s’agit de phénomènes complexes et variés dont les causes sont diverses mais dues essentiellement à une modification du moment moteur, des conditions hydrauliques ou des caractéristiques géotechniques. Elles font aussi intervenir le site géomorphologique, les conditions climatiques, la teneur en éléments fins (argiles, matières organiques, …) Les types de rupture : Les glissements circulaires
Les glissements plans
Les ruptures de remblai avec
et les écoulements
poinçonnement du sol de fondation
Autres : Les glissements rotationnels complexes (emboîtés, suivants une spirale logarithmique, Les coulées boueuses, Les écroulements ou rupture au sommet Les phénomènes de fluage (falaises) et de solifluxion des sols (variations saisonnières), Etc.
Glissements emboîtés
Fluage
Notion de coefficient de sécurité : F La sécurité est assurée lorsque la stabilité l’emporte sur les risques de rupture. Donc selon les auteurs et les commodités de calcul on adopte diverses définitions. Exemples Sites naturels urbains : Attécoubé – Plateau – Abobo - Bonoumin Talus routiers : Cote 120 sur l’axe Man-Touba Ouvrages : Soutènements Barrages Digues 2. Glissement plan
∑ f F= ∑f
La surface de rupture est parallèle au plan de rupture. On adopte
résis tan tes motrices
On étudie la stabilité du massif susceptible de glisser : Il est soumis à : • PA et PB : réactions latérales (supposées égales) • W : poids du massif de composantes WN et WT • R : la réaction du sol sur la base de composantes N et T • Eventuellement la poussée due à un écoulement D’après l’équation de Coulomb, on montre que : γ w .H w c ′ + [γ ( H − H w ) + γ sat .H w ]cos 2 β − .tgφ ′ 1 + tg . tg β α F= [γ ( H − Hw) + γ sat .H w ]. cos β . sin β
Talus complètement immergé F=
γ ′ tgφ ′ . γ sat tgβ
Talus sec sans écoulement F=
tgφ ′ tgβ
On constate alors que : F est directement proportionnel aux caractéristiques mécaniques du sol . φ est l’angle limite (F = 1) naturel du talus. L’écoulement diminue F de moitié…
3. Glissement circulaire 3.1. Méthode globale : Cas d’un sol homogène On adopte : F = ∑
Μ /O ( f résis tan tes ) ∑ Μ /O ( f motrices )
Hypothèses : - Talus de grande longueur : calcul bidimensionnel, - Pas de déformation avant rupture, - Sol isotrope et homogène, - Plasticité le long du cercle, - Cercle de rupture centré en 0 passant par le pied de talus (cas général). Bilan des forces : - poids : W - force d’écoulement U - Réaction du sol due au frottement et à la cohésion : il faut connaître la loi de répartition des contraintes sur la surface de glissement. Les calculs s’effectuent à l’aide d’abaques élaborés par différents auteurs ; Ex : Méthode de Taylor-Biarez.
Remarques a) Il existe différents types de cercles : Cercle de pied de talus, cercle de flanc, cercle de rupture profonde, etc.
b) L’étude de stabilité diffère selon : - qu’on étudie un remblai ou un déblai : - que le sol soit fin ou grenu (calcul à court-terme et/ou à long terme). En général, la valeur limite du coefficient de sécurité est 1,5.
c) Cas des talus verticaux (fouilles de fondation) Hc =
L’abaque de Biarez montre que :
4c
γ
.tg (
π
φ q + )−2 4 2 γ
q : surcharge homogène régnant en surface à proximité du talus. 3.2. Méthodes des tranches : Cas d’un sol hétérogène On divise la masse comprise entre le cercle de glissement et le parement du talus en tranches verticales d’égale épaisseur dont on étudie individuellement l’équilibre ; On adopte F = τmax/τ Bilan des forces : - poids W, - Pression de l’eau U, - Effort normal et tangentiel sur le cercle de rupture.
Méthode des tranches
On écrit les équations d’équilibre (forces et moments) en les projetant sur les 2 directions normales et tangentielles. Il faut donc connaître la distribution des contraintes le long de l’arc. Pour cela, il faut faire des hypothèses. Hypothèse de Fellenius (1927) : ∆V = ∆H = 0
∑ [c′b + (W cos α − Ub)tgφ ′] cos α F= ∑W sin α 1
2
Ainsi, on obtient l’expression de F :
i
i
i
i
Hypothèse de Bishop : ∆V ≠ 0
∑ [c′b + (W − Ub)tgφ ′]. i
Dans ce cas on a : F =
1 cos α (1 + tgα .
∑W sin α i
i
i
tgφ ) F
Le calcul s’effectue par itérations successives en prenant comme valeur initiale de F celle fournie par l’hypothèse de Fellenius. Le résultat est rapidement convergent. Il permet des applications informatiques. A titre d’exemple, on peut citer le logiciel BISHOP, résultat d’une collaboration entre l’ENSTP et le LBTP, actualisé par M. DEME Moussa.
TD SUR LE CHAPITRE VII Exercice 1 : Il est prévu de creuser une fouille de 6 m de profondeur dans un sol limoneux (φ = 20° ; c = 20 kN/m2 γ = 20 kN/m3 ) avec en surface une surcharge q = 15 kN/ m2. Peut-on tailler verticalement ? Sinon quelle pente doit-on adopter pour que F = 1.5 à court terme ? Exercice 2 : On exécute une tranchée de 6 m de profondeur dans un sable (φ = 30° ; γ = 18 kN/m3) à l’aide d’une boue bentonitique. Quel doit être le poids volumique de cette boue pour assurer un coefficient de sécurité de l’ordre de 2.5. Envisager le cas où le sol est constitué d’argile (Cu = 0.4 daN/cm2 ). Commenter.
Abaque de Taylor-Biarez
QUELQUES REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES (1) 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
ABSI, E., 1993, Pathologie des fondations et ouvrages en terre, Annales de l’ITBTP N° 516 Série sols et fondations 220 CASSAN, M., 1986 Aide-mémoire d’hydraulique souterraine, Presses de l’ENPC COSTET, J., et SANGLERAT, G., 1975 Cours pratique de Mécanique des sols, 1. Plasticité et calcul des tassements 2. Calcul des ouvrages DARVE, F., 1987 Manuel de rhéologie des géomatériaux, Presses de l’ENPC DEPARTEMENT STBGC, ENSTP, Fascicule de TP de mécanique des sols ENPC/PFE, Conception géotechnique des ouvrages et des routes, Formation continue, Mars 2000 FILLIAT G., et al., 1981, La pratique des sols et fondations, Editions du Moniteur, 1392p. GUEI, A., Notes de cours, ENSTP/STBGC HABIB, P., Précis de géotechnique HURTADO, J., 1988, Introduction à la géomécanique, E. Sols et structures HOLTZ, R.D., KOVACS, W.D., 1991, Introduction à la géotechnique, Editions de l’Ecole Polytechnique de Montréal Les risques dans le génie civil, Tunis/Hammamet 2004, Actes du Colloque international, 469p. MAGNAN, J.P., 1999/2002 , Cours de mécanique des sols et des roches, Volumes 1 et 2, Presses de l’ENPC PANGO-TATI, B., Cours de Mécanique des sols, ESTP/ESMG, 2003 PHILIPPONAT G., HUBERT, B., Fondations et ouvrages en terre, 1997, 548p ., Ed. Eyrolles RECORDON, E., Technologie des sols, EPFL, DGC, LEGEP SALENCON, J., Théorie de la plasticité pour les applications à la mécanique des sols SANGLERAT, G., OLIVARI, G., CAMBOU, B., 1980, Problèmes pratiques de mécaniques des sols : Tomes 1 et 2 SCHLOSSER, 1988, Eléments de mécanique des sols, Presses de l’ENPC, 276p. SCHLOSSER, 1989, Exercices de mécanique des sols, Presses de l’ENPC, 146p. SOCIETE CANADIENNE DE GEOTECHNIQUE, 1994, Manuel canadien d’ingénierie des fondations, 2ème édition VERDEYEN, J., la mécanique des sols VLAMI Bi Dou, Exercices et problèmes de mécanique des sols
Revues : JAG 88, 1988, LBTP Bulletins du LBTP, Volumes 1 à 9.
QUELQUES SITES INTERNET A VISITER (francophones) NOM Société internationale de Mécanique des sols et de la Géotechnique (SIMSG) Comité français de mécanique des sols (CFMS) XVIème congrès international de la SIMSG 57éme congrès canadien de géotechnique Presse de l’Ecole des Ponts Editions Lavoisier Laboratoire Central des Ponts et Chaussées Annales du BTP Bureau d’Etudes – Conception de logiciels Bureau d’Etudes – Conception de logiciels
Adresse www.issmge.org www.geotechnique.org www.icsmge2005 www. geoquebec 2004.org www.pressesponts.enpc.fr www.lavoisier.fr www.lcpc.fr www.eska.fr www.terrasol.com www.plaxis.nl
Ecole Supérieure des Mines et Géologie
(ESMG) Cycle Ingénieurs de Conception
IC2
MECANIQUE DES SOLS (1)
SUPPORT DE COURS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Généralités Identification et classification des sols - compactage Contraintes et résistance au cisaillement Hydraulique des sols Consolidation et tassements Poussée et butée des terres Stabilité des pentes
Enseignante Blanche PANGO-TATI
