Mec Galerkin Simple - Viga

MRP METODO METODO DE GA GA LER K IN

En el Método de los Residuos Ponderados (MRP) existe un operador  A(u )   f  , definido en un dominio

 , en el que se supone la solución aproximada de

u

 u n   j 1 c j   j , siendo la n

formulación del MRP, la siguiente:

        A (   ) d   i   c  j   i   f   d    j 1  j     n

El método de Galerkin, es un Método de Residuos Ponderados (MRP). Si recordamos que en este método se da la condición  ( x)   ( x ) . Entonces, la formulación del método de Galerkin se describiría de la siguiente forma: n





      A(  )  d   c       f   d   j 1

i



 j

 j

i



Determine de forma aproximada, mediante el método de Galerkin, la flexión de una viga simplemente apoyada, sujeta a momentos concentrados en los extremos. Recordemos que la ecuación diferencial que gobierna este fenómeno es:  EI 

d 2 u dx

2

( 0)

u

 M  x   0 (1)

u

0

 EI   4 1010  M ( x )  10 6 Momento de inercia sección transversal

Use las funciones  i

  x i  (1  x )  , utilizando 3 constantes constantes ( n=3 )

Construya un gráfico de la solución aproximada obtenida. ¿Cual es el valor de la flexión de la viga a la longitud x=0.51 ?

El problema podia ser abordado desde mas de un enfoque en mathcad. ORIGIN  1

ϕ( i  x )  x

ϕ( 1  x)

i

10

 ( 1  x)

2

d 

 x  ( x  1)

d x

  1    ϕ( 1  x)    0  1      A   ϕ( 2  x)    0    1   ϕ( 3  x)    0

2

ϕ( 1  x )

M  10

 1 2  d  d  ϕ( 1  x ) d x  ϕ( 1  x )  ϕ( 2  x ) d x 2 2  d x d x 0

   1 2   ϕ( 1  x )  d  2 ϕ( 3  x) d x    d x 0 

 1 2 2  d  d  ϕ( 1  x ) d x  ϕ( 2  x )  ϕ( 2  x ) d x 2 2  d x d x 0

 1  2   ϕ( 2  x )  d  2 ϕ( 3  x) d x    d x 0 

d  d x

1

   2 d  d  ϕ( 1  x ) d x  ϕ( 3  x )  ϕ( 2  x ) d x 2 2  d x d x 0

     0

2

  2  d  ϕ( 3  x )  ϕ( 3  x) d x 2  d x  

 0

 

1



 2x

  2  x  ( x  1 )  x

2

  3  2 x  3  x  ( x  1)

  d x  EI    M d x  EI    M d x  M

EI

 

 4.1667  10 6     b  2.0833  10 6   6   1.25  10  

 

0.1667 0.1333  0.1 0.0857 

   0.1

ϕ( x )

  1    ϕ( 1  x)   0  1     ϕ( 2  x )   b     0    1   ϕ( 3  x) 



1

0.1 0.1



 2

2

 0.3333 0.1667 A

6

EI  4  10

x1  ( 1  x) ϕ( x)  x 2  ( 1  x)    3 x  ( 1  x)

Entonces se resuelve el sistema lineal:

 0.0000125  c  lsolve( A b)



  

0 0

  

que corresponde a las constantes c1, c2 y c3

Finalmente la solucion aproximada es: 3

ϕ3( x ) 

  j

1

c j  ϕ( j  x) 

ϕ3( x ) float  5

2

3

 8.8091e-19  x  ( x  1.0)  5.9292e-19  x  ( x  1.0)  0.0000125  x  ( x  1.0)

 Alternativa : sol_aprox ( x)

 c1  ϕ( 1  x )  c2  ϕ( 2  x)  c3  ϕ( 3  x )

collect sol_aprox( x)

2

3

 0.0000125  x  0.0000125  x  1.474e-18  x  5.929e-19  x

float  4

4

x  0  0.01  1

0

0.2

0.4

0.6

6

 110

ϕ3( x)

6

 210

 310 6

6

 410

x

ϕ3( 0.51)

 0.00000312

sol_aprox ( 0.51)

 0.00000312

0.8

1