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Author:
Abelardo Elizondo
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Abelardo Elizondo Contreras UNADM ES1410910847
Calculo Diferencial
Un i d a d2
Límites de funciones
lim ( 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x + 2 ) x →−
3 2
1. Resolver Sustituimos en la ecuación a x :
( ( ) ( ) ( ) ) −3
lim 2 x → −
3 2
3 2
lim x →−
3 2
lim x → −
3 2
lim 3 x →− 2
lim x → −
3 2
−3
2
−3 2
(( ) ( ) (
−54
)
(
−27
−3
8
8
4
−54 4
9 4
−3
−4
+
−27
−
27 + 6+2 4
−
27 +8 4
2
12 +2 2
+2
)
)
+8
(−
27 +8 2
lim ( 2 x x →−
3
2
lim 2 x →−
.
3
(
−3 x 2− 4 x + 2 )= −5−
3 2
lim x→3
2. Resolver
2 x
2
−
x
2
3x − 9 −
9 .
1 2
)
Cuando x tiende a 3, al sustituir directamente nuestra función es indefinida por lo que realizaremos una factorización.
( x −3 ) (2 x + 3 ) x→ 3 ( x −3 ) ( x + 3 ) lim
Eliminamos
( x −3 ) (2 x + 3 ) x→ 3 ( x −3 ) ( x + 3 ) lim
( 2 x +3 ) x→ 3 ( x + 3 ) lim
Sustituimos
( 2 ( 3)+ 3 ) ( 3 +3 ) x→ 3 lim
( 6 +3 ) x→ 3 ( 3 + 3 ) lim
( 9) x→ 3 ( 6) lim
lim x→ 3
2 x
2
− 3 x − 9 3 = 2 2 − 9 x
lim x→
3 − 7 x + 6 x
−
3 2
3. Resolver
3 − 5 x + 2 x
2
2
.
Factorizamos para evitar que nuestra función este indeterminada:
lim x →
3 2
2
−7 x −3 2 x −5 x + 3
6 x
2
lim x →
3 2
( 2 x −3 ) (3 x + 1) ( 2 x − 3 ) ( x −1 )
Eliminamos: lim x →
3 2
( 2 x −3 ) (3 x + 1) ( 2 x − 3 ) ( x −1 )
( 3 x + 1 ) 3 ( x −1 ) x → lim
2
Sustituimos 3 )+ 1 2 3 −1 2
3( lim x →
3 2
9 +1 2 lim 3 3 x → −1 2 2 Formando entero: 9 2 + 2 2 lim 3 3 x → −2 2 2 2
11 2 lim 3 1 x → 2 2
lim x →
3 2
22 2
lim x →
3 2
2
−7 x −3 =11 2 x − 5 x + 3
6 x
2
lim
x→∞
6 + 5 x − 6 x 2 7 + 4 x + 3 x2
!. Resolver
.
−6 x 2 + 5 x + 6 lim 2 x → ∞ 3 x + 4 x + 7 Aquí utilizaremos las propiedades de los límites en funciones racionales cuando x tiende a infinito: =
a ¿ lim x → ∞
1
x
=0 lim ¿ x →∞ .
c =0 x → ∞ x
b ¿ lim
c ¿ lim x →∞
d ¿ lim x →∞
1
x
n
c x
n
=0
4
2
−6 + 0 + 0 x → ∞ 3 + 0 + 0
x → ∞
−6 3
−6 x 2 + 5 x + 6 =−2 lim 2 x → ∞ 3 x + 4 x + 7
lim ( 3 x − 5 )
x →2
5. Demostrar por medio de la definición que
=
1
.
Para una !" es necesario encontrar un #!"$ tales que siempre:
|f ( x )− L|< ε Siempre que 0 <| x − x |<δ 0
6
7
x ( 3 + + 2 ) x x
lim
lim
=0
5
2
x (−6 + + 2 ) x x
En
lim ( 3 x −5 )=1 x→ 2
x 0
( 3 x −5 )−1 < ε Siempreque 0 <| x −2|< δ Por lo que:
|( 3 x −5 )−1|< ε |3 x −5− 1|<ε |3 x −6|< ε Sacamos factor com%n
¿ 3∨| x −2|<ε
| x −2|< ε
3
| x −2|< ε y 0 <| x −2|< δ 3
Por lo tanto:
δ =
ε 3
lim f ( x) = L
lim f ( x ) = −∞ x →a
". #efinir
lim f ( x ) =−∞ x→ a
x →−∞
$
.
(
L
&na función ne(ativo
f ( x ) tiene por límite
k <0 se verifica que:
−∞
cuando x →a $ al fi'ar un n%mero real
f ( x ) < k para todos los valores próximos a
a .
−¿ existe δ =δ ( k )> 0 ¿ lim f ( x ) =−∞ Si paratodok pertenece a R x→ a
Tal que 0 <| x − x 0|<δ porlo que secumple f ( x ) < k
lim f ( x )= L
x →−∞
Paratodoε >0. existe a perteneciente enR tal que f ( x ) perteneceen ( L −ℇ , L+ ℇ ) . Paratodo x pertenece (−∞ , a )
f ( x ) cuando x →− ∞ es L que pertenece a R $
Si el límite de la función
entonces la (r)fica de la función
f ( x ) tiene una asíntota %orizontal
lim
n ∈ ¥ \ { 0} &. Sea
n
, demostrar que si lim x→ 0
impar entonces Si
n es par n=2 k con Dada
1 ,!
Se tiene
=∞ x
n
es par, entonces
1 x
n
no e'iste.
k =0 , 1 , 2,
a ∈ R
Sea * ≔
x→0
1
→ ∀ x > k
parax pertenece ( 0 , ∞ )
n
$ que si
es
x
2
¿ ¿ n x =¿ Puesto que
a ∈ R es un valor cualesquiera
a =∞ a razón que x < a
Se dice que ! es un valor cualesquiera + adem)s + por tanto
lim x→ 0
Si
n esimpar n =2 k +1 con
x
n
=∞
k =0 , 1 ,
a ∈ R
Dada
k ≔inf a,−1
Sea
1
x + como
(¿¿ 2 )k " 1 ¿
para cualquier
x < k
Se tiene
x
2
¿ ¿ n x =¿ Puesto que
x < !
a ∈ R es un valor ar,itrario por lo que
en razón
# ≔inf ! ,−1
lim x→ 0
entra contradicción por tanto:
1
x
n
=∄
no existe
lim f ( x ) = L
δ > 0
x→ x0
(. Supón)ase que
f ( x)
<
, demostrar que e'isten
x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )
M , si
.
M > 0 $
tales que
Sea
lim f ( x )= L x → x 0
para toda
para todo
ε > 0 consideremos
x $ x 0 que satisface la condición
ε =1 existe
| x − x |<δ
δ > 0 tales que
que verifica la desi(ualdad
0
|f ( x )− L|% 1 Por lo que
|f ( x )|−| L|%|f ( x )− L| Se deduce
f ( x ) <| L|+ 1 Sea
& =max | L|+ 1 ,|f ( x 0 )|
-mplica para todo punto
x del intervalo
por definición si(nifica que
f ( x )
( x 0−δ , x 0 +δ )
est) acotada en el entorno del punto
lim f ( x ) = L
lim f ( x + h) = L
x → x0
h →0
*. #emostrar que
si $ sólo si
Supon(amos que
lim f ( x )= L y lim f ( x + ' ) = L x → x 0
'→ 0
a+ que demostrar que
L= #
Por la definición de límite
lim f ( x )= L x → x 0
/ así para toda
0 < x − x0 < δ
ε > 0 existe un
δ > 0 tales que si
f ( x ) < &
lo que nos da
.
x 0
Sí
|f ( x )− L|< ε 0,servamos que un punto
x =a + ' satisface la desi(ualdad
0 < x − x0 < δ
implica:
0 <|( x 0+ ' )− x 0|=|'|<δ
|f ( x )− L|< ε
/ por
tenemos que:
f ( x 0 + ' )− L =|f ( x )− L|< ε Pero
lim f ( x 0+ ' = # ( ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 '→0
1ales que Si
|'|< δ
es:
|f ( x +' )− # |< ε 0
Al sumar + por la desi(ualdad del tri)n(ulo tenemos que
|f ( x +' )− L + # − f ( x +' )|%|f ( x +' )− L|+| # − f ( x +' )|<2 ε 0
0
0
0
-mplica que
| # − L|< 2 ε ∀ ε >0 Esto si(nifica que podemos 2acer la distancia entre queramos + por tanto
# = L lim x
x → x0
1+. #emostrar por definición que Por definición
=
x0 .
# y L tan peque3a como
lo que
ε > 0 ,uscamos
Sea
δ > 0 tales que si
0 < x − x0 < δ → √ x − √ x 0 < ε
4on el truco de multiplicar por notamos que
|
|√ x −√ x |=|√ x −√ x | 0
0
|
|√ x + √ x | | x − x | % | x − x | . = (1) |√ x + √ x | ||√ x −√ x || |√ x | 0 0
0
0
0
0
6a desi(ualdad se de,e a que
√ x % √ x +√ x 0
/ como todos los n%meros son ma+ores o i(uales que cero se dice que:
√ x % √ x + √ x 0
6o que implica: 1
%
1
|√ x + √ x | √ x 0
Se cumple
| x − x | < ε (| x − x |<|√ x |ε √ x 0
0
0
0
Por lo que
δ = √ x 0 ε
4omo por la desi(ualdad
| x − x |% 0
| x − x | |√ x | 0
0
( 1)
tenemos que
0
δ Si esto es menor que
|√ x | 0
entonces:
|√ x −√ x |< ε 0
Por lo tanto:
| x − x |< √ x 0
0
ε → √ x − √ x 0 < ε
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