MCDI_U2_A2_

Abelardo Elizondo Contreras UNADM ES1410910847

Calculo Diferencial

Un i d a d2

Límites de funciones

lim ( 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x + 2 )  x →−

3 2

1. Resolver Sustituimos en la ecuación a  x :

( (  ) (  ) (  ) ) −3

lim 2  x → −

3 2

3 2

lim  x →−

3 2

lim  x → −

3 2

lim 3  x →− 2

lim  x → −

3 2

−3

2

−3 2

(( ) ( ) (

−54

)

(

−27

−3

8

8

4

−54 4

9 4

−3

−4

+

−27

−

27 + 6+2 4

−

27 +8 4

2

12 +2 2

+2

)

)

+8

(−

27 +8 2

lim ( 2 x  x →−

3

2

lim 2  x →−

.

3

(

−3 x 2− 4 x + 2 )= −5−

3 2

lim  x→3

2. Resolver

2 x

2

−

 x

2

3x − 9 −

9 .

1 2

)

Cuando  x  tiende a 3, al sustituir directamente nuestra función es indefinida por lo que realizaremos una factorización.

( x −3 ) (2 x + 3 )  x→ 3 ( x −3 ) ( x + 3 ) lim

Eliminamos

( x −3 ) (2 x + 3 )  x→ 3 ( x −3 ) ( x + 3 ) lim

( 2 x +3 )  x→ 3 ( x + 3 ) lim

Sustituimos

( 2 ( 3)+ 3 ) ( 3 +3 )  x→ 3 lim

( 6 +3 )  x→ 3 ( 3 + 3 ) lim

( 9)  x→ 3 ( 6) lim

lim  x→ 3

2 x

2

− 3 x − 9 3 = 2 2 − 9  x

lim  x→

3 − 7 x + 6 x

−

3 2

3. Resolver

3 − 5 x + 2 x

2

2

.

Factorizamos para evitar que nuestra función este indeterminada:

lim  x →

3 2

2

−7 x −3 2 x −5 x + 3

6 x

2

lim  x →

3 2

( 2 x −3 ) (3 x + 1) ( 2 x − 3 ) ( x −1 )

Eliminamos: lim  x →

3 2

( 2 x −3 ) (3 x + 1) ( 2 x − 3 ) ( x −1 )

( 3 x + 1 ) 3 ( x −1 )  x → lim

2

Sustituimos 3 )+ 1 2 3 −1 2

3( lim  x →

3 2

9 +1 2 lim 3 3  x → −1 2 2 Formando entero: 9 2 + 2 2 lim 3 3  x → −2 2 2 2

11 2 lim 3 1  x → 2 2

lim  x →

3 2

22 2

lim  x →

3 2

2

−7 x −3 =11 2 x − 5 x + 3

6 x

2

lim

 x→∞

6 + 5 x − 6 x 2 7 + 4 x + 3 x2

!. Resolver

.

−6 x 2 + 5 x + 6 lim 2  x → ∞ 3 x + 4 x + 7  Aquí utilizaremos las propiedades de los límites en funciones racionales cuando x tiende a infinito: =

a ¿ lim  x → ∞

1

 x

=0 lim ¿ x →∞ .

c =0  x → ∞  x

b ¿ lim

c ¿ lim  x →∞

d ¿ lim  x →∞

1

 x

n

c  x

n

=0

4

2

−6 + 0 + 0  x → ∞ 3 + 0 + 0

 x → ∞

−6 3

−6 x 2 + 5 x + 6 =−2 lim 2  x → ∞ 3 x + 4 x + 7

lim ( 3 x − 5 )

 x →2

5. Demostrar por medio de la definición que

=

1

.

Para una !" es necesario encontrar un #!"$ tales que siempre:

|f  ( x )− L|< ε Siempre que 0 <| x − x |<δ  0

6

7

 x ( 3 + + 2 )  x  x

lim

lim

=0

5

2

 x (−6 + + 2 )  x  x

En

lim ( 3 x −5 )=1  x→ 2

 x 0

( 3 x −5 )−1 < ε Siempreque 0 <| x −2|< δ  Por lo que:

|( 3 x −5 )−1|< ε |3 x −5− 1|<ε |3 x −6|< ε Sacamos factor com%n

¿ 3∨| x −2|<ε

| x −2|< ε

3

| x −2|< ε  y 0 <| x −2|< δ  3

Por lo tanto:

δ =

ε 3

lim  f ( x) = L

lim  f ( x ) = −∞  x →a

". #efinir

lim f  ( x ) =−∞  x→ a

 x →−∞

 $

.

(

L

&na función ne(ativo

f  ( x ) tiene por límite

k <0  se verifica que:

−∞

 cuando  x →a $ al fi'ar un n%mero real

f  ( x ) < k  para todos los valores próximos a

a .

−¿ existe δ =δ ( k )> 0 ¿ lim f  ( x ) =−∞ Si paratodok pertenece a R  x→ a

Tal que 0 <| x − x 0|<δ porlo que secumple f  ( x ) < k 

lim f  ( x )= L

 x →−∞

 Paratodoε >0. existe a perteneciente enR tal que f  ( x ) perteneceen ( L −ℇ  , L+ ℇ ) .  Paratodo x pertenece (−∞ , a )

f  ( x )  cuando  x →− ∞  es  L que pertenece a  R $

Si el límite de la función

entonces la (r)fica de la función

f  ( x )  tiene una asíntota %orizontal

lim

n ∈ ¥ \ { 0} &. Sea

n

, demostrar que si lim  x→ 0

impar entonces Si

n es par n=2 k   con Dada

1 ,! 

Se tiene

=∞  x

n

 es par, entonces

1  x

n

 no e'iste.

k =0 , 1 , 2, 

a ∈ R

Sea * ≔

 x→0

1

→ ∀ x > k 

 parax pertenece ( 0 , ∞ )

n

$ que si

 es

 x

2

¿ ¿ n  x =¿ Puesto que

a ∈ R  es un valor cualesquiera

a =∞  a razón que  x < a

Se dice que !   es un valor cualesquiera + adem)s + por tanto

lim  x→ 0

Si

n esimpar n =2 k +1  con

 x

n

=∞

k =0 , 1 , 

a ∈ R

Dada

k ≔inf a,−1

Sea

1

 x  + como

(¿¿ 2 )k " 1 ¿

 para cualquier

 x < k 

Se tiene

 x

2

¿ ¿ n  x =¿ Puesto que

 x < ! 

a ∈ R  es un valor ar,itrario por lo que

en razón

 # ≔inf ! ,−1

lim  x→ 0

 entra contradicción por tanto:

1

 x

n

=∄

 no existe

lim  f ( x ) = L

δ  > 0

 x→ x0

(. Supón)ase que

 f ( x)

<

, demostrar que e'isten

 x ∈ (  x0 − δ , x0 + δ  )

M  , si

.

 M  > 0  $

 tales que

Sea

lim f  ( x )= L  x → x 0

para toda

para todo

ε > 0 consideremos

 x $ x 0 que satisface la condición

ε =1 existe

| x − x |<δ 

δ > 0 tales que

que verifica la desi(ualdad

0

|f  ( x )− L|% 1 Por lo que

|f ( x )|−| L|%|f  ( x )− L| Se deduce

f ( x ) <| L|+ 1 Sea

 & =max | L|+ 1 ,|f ( x 0 )|

-mplica para todo punto

 x  del intervalo

por definición si(nifica que

f  ( x )

( x 0−δ , x 0 +δ )

est) acotada en el entorno del punto

lim  f ( x ) = L

lim  f ( x + h) = L

 x → x0

h →0

*. #emostrar que

si $ sólo si

Supon(amos que

lim f  ( x )= L y lim f  ( x + ' ) = L  x → x 0

'→ 0

a+ que demostrar que

 L= # 

Por la definición de límite

lim f  ( x )= L  x → x 0

/ así para toda

0 <  x − x0 < δ 

ε > 0  existe un

δ > 0 tales que si

f ( x ) < & 

lo que nos da

.

 x 0

Sí

|f  ( x )− L|< ε 0,servamos que un punto

 x =a + '  satisface la desi(ualdad

0 <  x − x0 < δ 

implica:

0 <|( x 0+ ' )− x 0|=|'|<δ 

|f  ( x )− L|< ε

/ por

tenemos que:

f  ( x 0 + ' )− L =|f  ( x )− L|< ε Pero

lim f  ( x 0+ ' = # ( ∀ ε > 0 ∃  δ > 0 '→0

1ales que Si

|'|< δ 

 es:

|f  ( x +' )− # |< ε 0

 Al sumar + por la desi(ualdad del tri)n(ulo tenemos que

|f  ( x +' )− L + # − f  ( x +' )|%|f ( x +' )− L|+| # − f ( x +' )|<2 ε 0

0

0

0

-mplica que

| # − L|< 2 ε ∀ ε >0 Esto si(nifica que podemos 2acer la distancia entre queramos + por tanto

 # = L lim  x

 x → x0

1+. #emostrar por definición que Por definición

=

x0 .

 # y L  tan peque3a como

lo que

ε > 0  ,uscamos

Sea

δ > 0  tales que si

0 <  x − x0 < δ → √  x − √  x 0 < ε

4on el truco de multiplicar por  notamos que

|

|√  x −√  x |=|√  x −√  x | 0

0

|

|√  x + √  x | | x − x | % | x − x |  . = (1) |√  x + √  x | ||√  x −√  x || |√  x | 0 0

0

0

0

0

6a desi(ualdad se de,e a que

√  x % √  x +√  x 0

/ como todos los n%meros son ma+ores o i(uales que cero se dice que:

√  x  %  √  x + √  x 0

6o que implica: 1

%

1

|√  x + √  x | √  x 0

Se cumple

| x − x | < ε (| x − x |<|√  x |ε √  x 0

0

0

0

Por lo que

δ = √  x 0  ε

4omo por la desi(ualdad

| x − x |% 0

| x − x | |√  x | 0

0

( 1)

 tenemos que

0

δ  Si esto es menor que

|√  x | 0

 entonces:

|√  x −√  x |< ε 0

Por lo tanto:

| x − x |< √  x 0

0

ε → √  x − √  x 0 < ε