Fakultät für Mathematik und Informatik Preprint 2012-03 Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva Mathematische Grundlagen zur Vorbereit Vorbereitung ung des Studiums an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg
ISSN 1433-9307
Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva
Mathematische Grundlagen zur Vorbereitung des Studiums an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg
TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Prüferstraße 9 09596 FREIBERG http://www.mathe.tu-freiberg.de
ISSN 1433 – 9307 Herausgeber:
Dekan der Fakultät für Mathematik und Informatik
Herstellung:
Medienzentrum der TU Bergakademie Freiberg
Mathematische Grundlagen zur Vorbereitung des Studiums an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva 6. August 2012
Bemerkungen Das folgende Heft dient der selbständigen Wiederholung des mathematischen Schulstoffes anhand von praktischen Aufgaben. Der Inhalt ist durch farbige Boxen kodiert: wichtige theoretische Sachverhalte in blau blau,, mögliche Fehlerquellen in rot in rot und und die Beispielaufgaben in grün in grün.. Dies ermöglicht eine selektive Bearbeitung des Heftes. Wer nur die Theorie wiederholen möchte, kann sich auf die blauen Boxen beschränken. Wer sich stattdessen zum Einstieg an einer Aufgabe probieren möchte, richtet seine Aufmerksamkeit auf die grünen Boxen. Mit orange Mit orange markierten markierten Zahlen sind Links markiert, die bei Klick auf entsprechende Zahl zur zugehörigen Referenz führen. Die vorgestellten Aufgaben wurden teilweise aus den folgenden Büchern entlehnt:
• Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele , Lothar Papula, 5. Auflage, 2004, Vieweg Verlag
• Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Basiswissen mit Praxisbezug, Knut Sydsaeter, Peter Hammond, 2. Auflage, 2006, Pearson Studium
• Mathematik in der Biologie, Annika Eickhoff–Schachtebeck, Anita Schöbel, 2009, http://optimierung.math.uni-goettingen.de/skripte/bioskript.pdf
1
1 Arithmetik 1.1 Propo Proportio rtion n (Dreis (Dreisatz atz)) Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer Variablen (vgl. Abschnitt 3.1.1 Abschnitt 3.1.1)) nehmen a : b b = = c c : : d d bzw. in Bruchschreibweise die Proportionen ein. Eine Proportion ist eine Verhältnisgleichung Verhältnisgleichung a : a/b = c/d (gesprochen: a verhält sich zu b wie c zu d, vgl. Abschnitt C.4 Abschnitt C.4)). Diese Proportion lässt sich verschieden umformen. Äquivalente Formen sind: d b = c a
a b = c d
⇔
⇔
d c = b a
⇔
b d = a c
⇔
·
·
a d = b = b c,
dabei muss der Nenner stets ungleich 0 sein. Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann lässt sich das vierte Glied berechnen. Sind a, b, c bekannt und d gesucht, so gilt d = d = bc zum Beispiel a, a . Beispiel 1.1.
4 x = (x ( x = 5 x+1
4(x + 1) = 5x 5x ⇔ 4x + 4 = 5x 5x ⇔ x = 4. −1) ⇔ 4(x
Aus der Proportion a/b = c/d lassen sich weitere Proportionen ableiten, etwa durch Addition oder Subtraktion von 1 auf beiden Seiten. Solche Umformungen der Proportion werden korrespondierende Addition oder korrespondierende korrespondierende Subtraktion genannt: a+b c+d = b d a b c d = b d
−
a c = a+b c+d a c = a b c d
−
−
−
Beispiel 1.2. geometrische Anwendung: Strahlensatz
Er ermöglicht Aussagen über Streckenverhältnisse und die Bestimmung fehlender Seitenlängen. Bei Kenntnis von drei Seitenlängen können die fehlenden mit Hilfe folgender Gleichungen bestimmt werden.
AB ZA ZB = = A′ B ′ ZA ′ ZB ′
B′ B
ZA ZB = ′ AA BB ′
A′ A Z
2
1.2 1.2 Poten otenze zen n Eine Zahl der Form a n (gesprochen: “a hoch n“) wird Potenz genannt. Dabei wird a als Basis und n als 0) und n ∈ N gilt: Exponent bezeichnet. Für a a ∈ R\{0} (gleichbedeutend mit a ∈ R, a = an = a a
a.
· · · · n Faktoren
Potenzgesetze Potenzgesetze mit m, n ∈ Z und a, b ∈ R \ {0}: am an = a m+n an bn = (ab ( ab))n (am )n = a m·n
am = a m−n n a an a n = bn b
(1.2.1) (1.2.2) (1.2.3)
· ·
Konventionen ( a ∈ R \ {0}, n ∈ Z, m ∈ N\{0}): a0 := 1
1
a := a := a
(1.2.4)
(1.2.6) (1.2.7)
(1.2.5)
1 an := 0
a−n := 0m
(1.2.8)
(1.2.9) − n n ∈ N nicht definiert. Die Ausdrücke 0 und 0 sind für n n ∈ Q \ Z ist von Wurzeln Allgemein sind Potenzen Potenzen auch für Exponenten n ∈ R definiert. Speziell für n die Rede, vgl. Abschnitt 1.3 Abschnitt 1.3.. Diese sind jedoch nur für a ≥ 0 definiert. 0
Fehlerwarnung: Summe und Produkt von Potenzen Sind Basis und Exponent verschieden, so kann das Produkt zweier Potenzen nicht zusammengefasst werden, im Allgemeinen gilt also: am bn = (ab) ab)mn
an
± bn = (a ± b)n an + an = 2an = a 2n
· am±n am ± an =
Eine wichtige Hilfe beim Berechnen von Potenzen von Summen sind die Binomischen Formeln: (a + b)2 = a 2 + 2ab 2ab + b2
(1.2.10) (1.2.11) (1.2.12)
− b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a )(a − b) = a 2 − b2 (a
Eine weitere wichtige Hilfe ist das Pascal’sche Dreieck n
0 1 2 3 4 5 6
1 1
1
1 1 1 1 1
1 3
4 5
6
2 3 6 10
15
1 4
10 20
1 5
15
1 6
1
( a ± b)n schnell berechnet werden. Aus Zeile n = n = 4 Mit ihm kann eine beliebige Potenz n eines Binoms (a resultiert beispielsweise (a
± b)4 = 1 · a4 ± 4 · a3 · b1 + 6 · a2 · b2 ± 4 · a1 · b3 + 1 · b4. 3
Beispiel 1.3. Rechnen mit Potenzen
1. 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 1 1 = 2. 3−5 = 35
2a2 + 3b 3b2 = 3a2 + 3b 3b2 = 3(a 3( a2 + b2 ) 4. a2 + 2a ( ab))2 + b6 − 1 5. a2 · b2 + b2 · b4 − a2 · a−2 = (ab 6. an · an = a n+n = a 2n = (an )2 = (a2 )n
243
3. 3 = 1 0
Potenzrechnung Potenzrechnung vor Punktrechnung Punktrechnung vor Strichrechnung! abn = a (bn ),
−an = −(an)
·
( −2)4 , denn es Häufig treten Fehler beim Potenzieren von negativen Zahlen auf. Beachte daher −24 = ( −2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16. gilt −24 = −(24 ) = −16 aber ( Potenzen (mit negativer Basis und) geradem Exponenten sind immer positiv! Beispiel: ( −2)4 = +16 Potenzen mit negativer Basis und ungeradem Exponenten sind immer negativ! Beispiel: ( −2)3 = −8
1.3 1.3 Wurze urzeln ln Die Umkehroperation des Potenzierens ist das Radizieren (Wurzelziehen ). Der Ausdruck
√ a = a = a n
b = wird n–te Wurzel aus a genannt. Es gilt b = n ist der Wurzelexponent Wurzelexponent.
Konventionen:
1 n
,
a
≥ 0, n = 0
√ a ⇔ bn = a. Die Zahl a heißt hierbei Radikand, die Zahl n
√
√ a := √ a
n
2
0= 0
m, n ∈ N\{0, 1} und a, b ∈ R, a ≥ 0, b > 0 gilt: Wurzelgesetze Wurzelgesetze für m,
√ a · √ a = √ am+n √ b √ √ b = bn−m √ a = √ a
m
√ a · √ b = √ ab √ a √ b = ab
mn
n
m
n
mn
n
m
n
n
n
n
n
n
mn
Jede Wurzel lässt sich auch als Potenz schreiben:
√ a = a = a n
√ am = ( √ a)m = a
1
n
n
n
m n
0. Eine Wurzel ist daher nichts anderes als eine Potenz mit rationalem Exponenten. Die a ≥ 0, n = für a Wurzelgesetze Wurzelgesetze sind aus den Potenzgesetzen herleitbar. herleitbar.
4
Fehlerwarnung: Summe und Produkt von Wurzeln Sind Wurzelexponent und Radikand verschieden, so lässt sich der Ausdruck nicht zusammenfassen. Summen und Differenzen lassen sich auch bei Wurzeln nur zusammenfassen, wenn Radikand und Wurzelexponent beide übereinstimmen (a,b,c,d ≥ 0). Im Allgemeinen gilt:
√ a + √ b = √ a + b √ a · √ b = √ ab n
m
n
n
n
mn
√ a + √ a = √ a √ √ √ c · a + d · a = (c + d) · a n
m
n
Zahlen unter die Wurzel bringen oder herausziehen: a,b > 0 > 0 : Allgemein gilt für a,b √ √ n
n
an b =
an
·
n
√ n
n+m
b = a = a
n
√ n
b
Beispiel 1.4. Rechnen mit Wurzeln
√ 4x = √ 4 · √ x = 2√ x, x ≥ 0 √ 2. 27 = 3 √ √ b, c ∈ R 3. a5 + b5 · c = (a5 + b5 ) · c, a, b, √ 125yy2 , y ∈ R 4. 5 y 2 = 53 · y 2 = 53 y 2 = 125 √ √ √ √ √ √ √ √ 5. 2 3 + 5 3 − 23 − 5 = (2 + 5) 3 − 8 − 5 = 7 3 − 3 = 6 3 √ 13 √ 3 0,5 · 0,8 + · ≥ 1.
3
5
5
3
3
4
6. a
5
3
3
4
4
a
3
1
4
4
1
= a 2 a 5 = a 2
4 5
13
= a 10 =
4
4
10
a
= a
10
4
a ,
a
4
0
Beim Rechnen mit Wurzeln empfiehlt es sich aus Gründen der Genauigkeit und Übersichtlichkeit, diese nicht in Dezimalbrüche umzuwandeln, sondern möglichst lange als Wurzeln zu schreiben.
1.4 1.4 Log ogar arith ithme men n Will man den Exponenten c einer Potenz b = ac über die Basis a ausdrücken, so geschieht dies über den Logarithmus c = loga b
⇔ ac = b
(1.4.1)
(gesprochen: “ c ist der Logarithmus von b zur Basis a“). Die Variable c ist also die Zahl, mit der a potenziert werden muss, um b zu erhalten. Logarithmen sind nur definiert für a, b ∈ R+ , a = 1. x, y > 0 > 0 : Logarithmengesetze Logarithmengesetze mit a ∈ R, a > 0 , a = 1, r ∈ R und x,
·
loga (x y ) = loga x + loga y loga (x/y) = loga x loga y loga (xr ) = r loga x
·
−
(1.4.2) (1.4.3) (1.4.4)
Folgerungen aus den Potenzgesetzen: Potenzgesetzen: loga a := 1, loga 1 := 0, 0, alog
a
b
= b.
5
denn a 1 = a denn a 0 = 1
(1.4.5) (1.4.6) (1.4.7)
0 mit keinem c zu erreichen und für a = a = a = 0 Der Ausdruck log a 0 ist nicht definiert, denn ac = 0 ist für a kann c beliebig gewählt werden, ist also nicht eindeutig bestimmt. Spezielle Logarithmen: Ihrer Häufigkeit und Wichtigkeit entsprechend gibt es für Logarithmen zu den Basen 2, 10 und e (Euler ’sche ’sche Zahl) spezielle Namen (vgl. Abschnitt 2.3.6 2.3.6,, Abb. 2.14 Abb. 2.14)).
ldx ldx := log2 x lg x := log10 x ln x := loge x
a = 2, binärer Logarithmus Basis a = a = 10 10,, dekadischer Logarithmus Basis a = a = e, natürlicher Logarithmus Basis a =
Die Euler’sche Euler’sche Zahl Zahl e ist eine mathem mathematisch atischee Konstant Konstantee mit dem Wert Wert 2,718 2,718 281 828 459 045 235.. 235. . . Um den Logarithmus einer Zahl zu einer beliebigen Basis auszurechnen, kann die folgende Formel genutzt werden: loga b loga c
logc b =
(1.4.8)
Der Quotient zweier Logarithmen zur gleichen Basis a ist unabhängig von der gewählten Basis a . loga b ln b lg b = = loga c ln c lg c
(1.4.9)
Weil die Logarithmen für die Basis a = 10 und a = e bekannt sind (aus Logarithmentabellen bzw. Taschenrechner), aschenrechner), werden vorwiegend diese genutzt. Beispiel 1.5. Logarithmieren einer Gleichung
12x = 100 x = log12 100 ln 10 1000 = ln12
=
4, 60517 . . . 2, 48490 . . .
| Gl. ( Gl. (1.4.1 1.4.1)) | Gl. ( Gl. (1.4.8 1.4.8)) ≈ 1, 8532
Wird stattdessen der dekadische Logarithmus verwendet, so entsteht natürlich das gleiche Ergebnis x =
lg 10 1000 2 = lg12 1, 07918 . . .
≈ 1, 8532 8532..
Fehlerwarnung: Fehler durch falsches Kürzen beim Logarithmen: ln x x = ln y y
oder gar
Weitere Weitere Fehlerquellen: Fehlerquellen: (3a) = 3 log loga a = 3 falsch: loga (3a
(1.4.2 ( 1.4.2))
(1.4.5 ( 1.4.5))
(3a) = loga 3 + loga a = loga 3 + 1 richtig: loga (3a ln(x2 ) falsch: (ln x)2 = 2ln x, denn (ln x)2 = ln(x
richtig: (ln x)2 kann nicht weiter vereinfacht werden falsch:
ln 4 = ln ln 4 ln 2
− ln2 = ln(4/2) = lnln 2 6
ln x = lx n
richtig:
ln 4 = log2 4 = 2 (siehe Basiswechsel ( Basiswechsel (1.4.8 1.4.8)))) ln 2
richtig:
ln 4 log2 4 2 = = /1 = 2 (siehe Basiswechsel ( Basiswechsel (1.4.9 1.4.9)))) ln 2 log2 2
Beispiel 1.6. Rechnen mit Logarithmen (1.4.4 1.4.4))
−· ·
1. log5 1/5 = log5 5−1
=
(1.4.5 ( 1.4.5))
1 log5 5 =
−1 · 1 = −1 (1.2.1 1.2.1)) (1.4.4 ( 1.4.4)) (1.4.5 ( 1.4.5)) 2. log6 362 = log6 (64 ) = 4 log6 6 = 4 · 1 = 4 (1.2.8 1.2.8)) (1.4.5 ( 1.4.5)) 3. log2 1/8 = log2 8−1 = log2 2−3 = −3 · log2 2 = −3 · 1 = −3 (1.4.4 ( 1.4.4))
loga x + loga x = 3 log loga x 4. loga x2 + loga x = 2 lo (1.4.2 ( 1.4.2) ) oder: log a x2 + loga x = loga (x2 · x) = loga (x3 ) = 3 log loga x (1.4.4 1.4.4))
(1.4.5 ( 1.4.5))
= x · loge e = x · 1 = x 5. ln ex = x lne = x
6. loga
n+1 n2
(1.4.3 1.4.3))
= loga (n + 1)
1.4.4)) − loga n2 (1.4.4 = loga (n + 1) − 2loga n
ln x 1 = ln x 1 + 7. ln x + lg x = ln x + ln10 ln10 (1.4.8 ( 1.4.8))
1.5 Trigonometr rigonometrische ische Funktione Funktionen n Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c und den Winkeln α und β = 90◦ − α. Über die trigonometrischen Funktionen lassen sich die Zusammenhänge der Seitenverhältnisse mit den Winkeln darstellen, vgl. Abb. 1.1 1.1.. B β c
a
α
C
A
b
Abbildung 1.1: Katheten und Hypothenuse am rechtwinkligen Dreieck
a Gegenkathete = c Hypothenuse b Ankathete cos(α cos(α) := = c Hypothenuse sin(α sin(α) :=
b sin(β sin(β ) = , c
(1.5.1)
tan(α tan(α) :=
(1.5.2)
=
cos(β cos(β ) =
a , c
7
a sin(α sin(α) = b cos(α cos(α)
Gegenkathete Ankathete
tan(β tan(β ) =
b sin(β sin(β ) = a cos(β cos(β )
(1.5.3)
Ein weiterer wichtiger Zusammenhang wird durch den Satz des Pythagoras beschrieben. Satz des Pythagoras: Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat Hypothenuse. Am Dreieck aus Abb. 1.1 Abb. 1.1 bedeutet bedeutet das a2 + b2 = c2 .
(1.5.4)
Die trigonometrischen Funktionen sind 2π –periodisch, –periodisch, was leicht zu erkennen ist, wenn der Einheitskreis zu Hilfe genommen wird, vgl. Abb. 1.2 Abb. 1.2.. Das bedeutet, dass ein Winkel von 0 gleichbedeutend ist mit einem Winkel von 2 π , 4π , . . . oder 1 1/2π gleichbedeutend gleichbedeutend mit 5/2π , 9/2π , . . .. π
y
y
2
π
1 x
α
x
0
−π
−π
π 2
arc(α arc(α)
2
π
−1
3π 2
Abbildung 1.2: Verdeutlichung Verdeutlichung von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. Die Beschriftungen in der linken Abbildung bezieht sich auf den zugehörigen Winkel, nicht auf die x, y–Koordinaten. Die Hypothenuse des eingezeichneten Dreiecks in Abb. 1.2 Abb. 1.2 beträgt beträgt c = 1, damit ergibt sich die Kreisgleichung a2 + b2 = 1 x2 + y2 = 1. bzw Außerdem folgt mit Gl. (1.5.1 1.5.1)) und (1.5.2 (1.5.2)) a = a = sin α und b = b = cos α, also sin2 (α) + cos2 (α) = 1.
Tabelle 1.1: Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen ( k ∈ Z) Merkmal
Definitionsbereich Wertebereich Nullstellen Minima Maxima
sin(x sin(x)
cos(x)
tan(x)
R
R
x = /2 + k π
x = k π
R
R
−
[ 1, 1] k π 3 /2 + 2k 2 kπ /2 + 2k 2k π π
π
−
[ 1, 1] /2 + k π 2k π π + 2k 2k π
π
π
k π
Additionstheoreme: sin(x sin(x cos(x cos(x
± y) = sin(x sin(x)cos(y )cos(y) ± cos(x cos(x)sin(y )sin(y ) cos(x)cos(y )cos(y ) ∓ sin(x sin(x)sin(y )sin(y ) ± y) = cos(x
8
cot(x)
/2 + k π
π
2 Funktionen 2.1 Definit Definition ionen en und Darste Darstellun llungen gen 2.1.1 2.1.1 Definit Definition ion Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element x einer gegebenen Menge X (oft (oft Zahlenmenge ⊆ R) ein eindeutiges Element y einer Menge Y (oft Zahlenmenge Y ⊆ R) zuordnet. X ⊆ f (x) oder f f : X → Y oder manchmal auch x → f ( f (x). Man nennt f ( f (x) das Bild Schreibweise: y = f ( Urbild f (x). von x und umgekehrt x das von f ( Beispiel 2.1.
1. X = {−1, 1, 2}, Y = {0, 1}, f ( f (−1) = 1, f (1) f (1) = 0, f (2) f (2) = 0 Dies ist eine Funktion (vgl. Abb. 2.1a Abb. 2.1a)). B = {2, 5}, g(0) g (0) = 5, g(100) g (100) = 2, g(100) g (100) = 5 2. A = {0, 100}, B = x = 100 nicht eindeutig ein y zugewiesen wird. Dies ist keine Funktion (vgl. Abb. 2.1b Abb. 2.1b)), da x =
2
100 0
2
−1 1
1 X
(a) Funktion f
0 Y
A
(b) Abbildung g , keine Funktion
5 B
→ Y ist eine Funktion und g : g : A → B ist keine Funktion Abbildung 2.1: f : X → Die Menge X heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich Definitionsbereich. Die Menge Y , aus der Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y–Werte zuBilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich f (X ). sammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f ( Beispiel 2.2. Für die quadratische Funktion y = x x 2 (siehe Abb. 2.2 Funktion y = Abb. 2.2)) ist der maximale Definitionsbereich X = R und die Wertemenge ist Y = R+ .
f (X ) ist eine Teilmenge des Wertebereichs Y , und Y ist eine Teilmenge der Menge R Die Bildmenge f ( f (X ) ⊆ Y ⊆ R (vgl. Abschnitt A.1 der reellen reellen Zahlen, d. h. f ( Abschnitt A.1)).
Eine Funktionsbeschreibung besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f , dem Definitionsbereich X und und dem Wertebereich Y . Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften, die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche übereinstimmen. Allgemeiner können Funktionen auch als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also nicht eingeschränkt auf Zahlenmengen) definiert werden.
9
y 4 3 2 1 x
−2 −1
1
2
f (x) = x 2 Abbildung 2.2: quadratische Funktion f (
Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die sogenannte Funktions das Argument der f (x) („ y gleich f von x “). Dabei heißt x unabhängige Variable oder das gleichung y = f ( Funktion f und y abhängige Variable oder Funktionswert Funktionswert der Funktion f an der Stelle x . = f ((x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Die Schreibweise y = f = f ((x) oder Die Form y = f → Y für eine Funktion bedeutet, dass f eine Funktion ist, die von ihrem Definitionsbereich X in f : X → i n = f ((x) abbildet. den Wertebereich Wertebereich Y gemäß der Funktionsgleichung y = f
2.1.2 2.1.2 Darste Darstellu llung ng Funktionen können durch Schaubilder (Graphen) oder Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Dabei stellt die Wertetabelle keine eindeutige oder vollständige Umschreibung dar. Der Graph einer Funktion f mit dem Definitionsbereich X ist die Menge der geordneten Zahlenpaare Γf = (x, y) y = f = f ((x), x
{
|
∈ X und y ∈ Y }.
f (x)) die Reihenfolge von x und y wichtig ist: (x, y ) ist im Geordnet bedeutet, dass in (x, y) = (x, f ( ( y, x). Allgemeinen nicht gleich gl eich (y,
In einem kartesischen, 2–dimensionalen Koordinatensystem ist die waagerechte Achse die x–Achse Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die y–Achse oder Ordinatenachse Ordinatenachse. Die Zahl x ist die oder Abszissenachse ( x, y ). Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x, Wertetabelle werden Auch mittels einer Wertetabelle Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle f (x) für einige ausgewählte Argumente x die geordneten Zahlenpaare (x, y) für eine Funktion y = f ( eingetragen. Dabei müssen die ausgewählten Werte für x Elemente des Definitionsbereichs X der Funktion sein (in Zeichen: x ∈ X ).). Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele mathematische Operationen mit der unabhängigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Beispiel 2.3. lineare Funktionen (vgl. Abschnitt 2.3.1 Abschnitt 2.3.1)):
1. y = −2x + 3, X = Y = R (vgl. Abb. 2.3b Abb. 2.3b))
2. v = 2u, X = Y = R (vgl. Abb. 2.3a Abb. 2.3a))
Wertetabellen: x y
3/2
0
0 3
u v
10
0 0
1 2
3
y
3
2
2
1
1
v
x 1
2
u
−2 −1
3
−1
1
−1
−2
−2
−3
−3
(a) monoton fallende Funktion y = − 2x + 3
2
(b) monoton wachsende Funktion v = 2u
Abbildung 2.3: Graphen der linearen Funktion Zum Zeichnen linearer Funktionen genügt es, die Funktionswerte von zwei Stellen zu berechnen. Beispiel 2.4. y =
Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5)) Wertetabelle:
−2/x, X = (−∞; 0) ∪ (0;+∞), Y = ( −∞; 0) ∪ (0;+∞) (siehe Abb. 2.4 Abb. 2.4 – – blau und x y
Beispiel 2.5. y =
−4 −2 −1 1/2
1
1 2
2 1
4 1/2
− − −
2
√ x, X = X = [0; [0; +∞), Y = Y = [0;+∞) – Quadratwurzel
(siehe Abb. 2.4 Abb. 2.4 – – rot und Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5)) Wertetabelle:
x y
0 0
1 1
4 2
Beispiel 2.6. y = x2 , X = R, Y Y = [0;+
∞) – Quadratische Funktion (siehe Abb. 2.5a 2.5a und und Ab-
schnitt 2.3.3 schnitt 2.3.3)) Wertetabelle:
x y
0 0
±1 ±2 1
4
Abb. 2.5b und und Abschnitt 2.3.4 Abschnitt 2.3.4)) Beispiel 2.7. y = 2/3 x3 , X = R, Y = R – Kubische Funktion (siehe Abb. 2.5b Wertetabelle:
·
x y
−2 −1 −8 −1
0 0
1 1
2 8
2.2 Eigens Eigenscha chafte ften n von von Funkt Funktion ionen en Eine ausführlichere Behandlung folgt im Abschnitt 6.3 6.3.. Hier sollen nur ein paar grundlegende Begriffe erklärt werden, die im nächsten Abschnitt von Bedeutung sind. y = f f ((x). Die Stelle x 0 heißt die Nullstelle der Funktion f ( f (x), wenn f ( f (x0 ) = 0 gilt. Es kann mehr Es sei y = als eine Nullstelle geben. 11
y 5 4 3 2 1 x
−5 −4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
−1 −2 −3 −4
−5 √ Abbildung 2.4: Hyperbelfunktion −2/x (blau) und Wurzelfunktion x (rot) f (x) = 0 . Die Nullstellen von f sind Lösungen der Gleichung f ( f (x) die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen mit der x– Anschaulich sind die Nullstellen von f ( Achse.
Eine Funktion f heißt in einem bestimmten Bereich B ⊆ X monoton wachsend, falls
x1 < x2
f (x1 ) ≤ f ( f (x2 ) ⇒ f (
∀x ∈ B
⇒ f ( f (x1 ) ≥ f ( f (x2 )
∀x ∈ B
monoton fallend, falls
x1 < x2
fallend, falls f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ) ausgeschlossen wird (vgl. Eine Funktion heißt streng monoton wachsend/ fallend Abschnitt 5.1.5 Abschnitt 5.1.5)). Beispiel 2.8. Im vorhergehenden Beispiel (siehe Abschnitt 2.1.2 2.1.2)) wurden elementare Funktionen dis-
kutiert. Jetzt kann bestimmt werden, welche Funktionen monoton fallend oder wachsend sind. f (u) = 2u 2 u ist streng monoton wachsend in R (vgl. Bsp. 2 1. f ( Bsp. 2))
2. f ( Bsp. 1)) f (x) = −2x + 3 ist streng monoton fallend in R (vgl. Bsp. 1 3. f ( f (x) = −2/x ist streng monoton wachsend im Bereich (−∞; 0) und auch im Bereich (0;+∞) (vgl. Bsp. 2.4 Bsp. 2.4))
√
f (x) = x ist streng monoton wachsend im Definitionsbereich X = X = [0; [0; +∞) (vgl. Bsp. 2.5 4. f ( Bsp. 2.5))
12
y
y 2
4
1
3
x 2
−2 −1
1 x
1
2
−1 −2
−2 −1
1 2 (a) quadratische Funktion y = x 2
(b) kubische Funktion y = 2/3 · x3
Abbildung 2.5: Normalparabel und Parabel Parabel 3. Ordnung f (x) = x 2 ist streng monoton fallend in ( −∞; 0] und streng monoton wachsend in [0;+∞) (vgl. 5. f ( Bsp. 2.6 Bsp. 2.6)) f (x) = 2/3 · x3 streng monoton wachsend in R (vgl. Bsp. 2.7 6. f ( Bsp. 2.7))
2.3 Spezie Spezielle lle Funkt Funktion ionsty stypen pen 2.3.1 2.3.1 Lineare Lineare Funktione Funktionen n Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung f ( f (x) = a + bx,
a, b
∈ R, b = 0
f (x) = a, ist die ist eine affin lineare Funktion (ganzrationale Funktion 1. Grades). Wenn b = 0, d.h. f ( f (x) unabhängig von x , f ( f (x) wird in diesem Fall eine konstante Funktion genannt (Abb. 2.6 Funktion f ( (Abb. 2.6,, blau).
Die konstante Funktion ist monoton wachsend und monoton fallend zugleich. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der Name „lineare Funktion“), und zwar die Gerade mit dem Anstieg (auch Höhenzuwachs oder Steigung) b und dem Achsenabschnitt a auf der Ordinatenachse. a = 0, so wird die lineare Funktion y = bx = bx auch lineare Funktion genannt. Der Graph einer linearen Ist a = Funktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung mit der Steigung b (Abb. 2.6 2.6 – – rot). Der b wird auch Proportionalitätsfaktor der Gleichung genannt, denn es gilt y = y = bx bx , b = b = y/x (vgl. Parameter b Anstieg einer Funktion Abschnitt 6.2 Abschnitt 6.2).). b > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend (Abb. 2.6 b < 0 ist sie streng monoton Für b (Abb. 2.6 – – rot), für b fallend (Abb. 2.6 (Abb. 2.6 – – grün). Den Schnittpunkt des Graphen der linearen Funktion mit der x–Achse (die Nullstelle) kann leicht ge + bx0 = 0 nach x0 aufgelöst. Addition von −a auf und funden werden: Dazu wird die Gleichung a + bx = 0 auf beiden Seiten führt zu x0 = −a/b. So konnte die Lösung x0 dieser linearen Division durch b Gleichung gefunden werden. y –Achse ist a, vgl. Abb. 2.6 Der Schnittpunkt des Graphen der linearen Funktion mit der y Abb. 2.6.. Bei dem roten Graph der Abbildung ist a gleich Null, im grünen Graph ist a negativ und im blauen ist a positiv.
13
y
3 2 1
x
−3 −2 −1
1
2
3
−1 −2 −3
Abbildung 2.6: Monotonie linearer Funktionen: konstante Funktion (blau), monoton wachsende Funktion (rot), monoton fallende Funktion (grün)
2.3.2 2.3.2 Betragsfun Betragsfunktion ktionen en In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser so genannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird mit |x| bezeichnet. Für eine reelle Zahl x gilt:
≥
|x| = −xx,,
x 0, x < 0. 0 .
(2.3.1)
Beispiel 2.9.
1. |5| = 5
2.
| − 4| = 4
Der Graph der Betragsfunktion y = |x| ist in Abb. 2.7 Abb. 2.7 dargestellt. dargestellt. y
3 2 1
x
−3 −2 −1
1
2
3
Abbildung 2.7: Betragsfunktion y = |x| f (x) = x Beispiel 2.10. Die Funktion f (
| − 3| gibt den Abstand von x zu 3 an.
2.3.3 2.3.3 Quadratisc Quadratische he Funktion Funktionen en Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung in der Form f ( f (x) = a + bx + cx2 ,
14
a, b, c
∈ R, c = 0
heißt quadratische Funktion (ganzrationale Funktion 2. Grades). f (0) = a (vgl. Abb. 2.8 f (0) = Der Schnittpunkt mit der y –Achse kann direkt abgelesen werden, da f (0) Abb. 2.8,, f (0) 6 a = /5). y 4 3 2 1 x
−2 −1
1
2
3
Abbildung 2.8: Quadratische Funktion y = 1/2 · x2 − x + 6/5 f (x) sind Lösungen der quadratischen Gleichung f ( f (x) = 0 (siehe Abschnitt 3.2 Die Nullstellen von f ( Abschnitt 3.2)). Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (Abb. 2.8 (Abb. 2.8)). Parabeln besitzen einen tiefsten bzw. bzw. höchsten Punkt, den Scheitel (u, v ) =
− − − b , f 2c
b 2c
=
b ,a 2c
−
b2 4c
.
Jede Funktion 2. Grades lässt sich mit Hilfe des Prinzips der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umschreiben: f ( f (x) = c( c (x
− u)2 + v.
(2.3.2)
(u, v ) direkt ablesen. In dieser Darstellung kann man den Scheitel (u, Durch die quadratische Ergänzung soll ein Ausdruck so erweitert werden, dass er einen Binom enthält. c bzgl. quadratischen und linearen Gliedes ausgeklammert. Dafür wird zuerst der Faktor c
a + bx + cx2 = c x2 + b/c x + a
·
Anschließend wird zum Ausdruck innerhalb der Klammer ein Absolutglied (rot in Gl. (2.3.3 2.3.3))) addiert, addiert, sodass auf die Klammer eine binomische Formel angewandt werden kann (grün in Gl. ( Gl. (2.3.4 2.3.4))). Um den Wert des Gesamtausdrucks nicht zu verändern, muss dieses Absolutglied gleichzeitig wieder subtrahiert werden (blau in Gl. (2.3.3 (2.3.3))). Insgesamt wird eine Null addiert.
− − − −
b b c x2 + x + a = c = c x2 + x + c c = c
2
b x+ 2c
= c x +
b 2c
2
b 2c
2
c
b 2c
b 2c
2
b 2c
2
2
+a
+a
+a
(2.3.3) (2.3.4) (2.3.5)
2
= c
b 2c
x+
x u
−
15
b2 4c
+ a
v
(2.3.6)
Beispiel 2.11. Für die Funktion y = 1/2 x2
· − x + 6/5, vgl. Abb. 2.8 Abb. 2.8,, ist der Scheitel:
u =
− 2bc = − 2 ·11/2 = −1
v = f = f ((u)
= 1/2 ( 1)2
· − − (−1) + 6/5 = 27/10
c steuert den Öffnungswinkel und die Öffnungsrichtung der Parabel. Durch Division durch Der Faktor c 0 (weil wir sonst eine lineare Funktion haben), erhält man die sogenannte Normalform der quadrac= 2 f (x) = x + px + q (mit p = b/c und q = = a/c). tischen Funktionsgleichung Funktionsgleichung f ( (mit p =
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform lassen sich mit Hilfe der Diskriminanten D bestimmen x1,2 = =
Für die Zahl der Lösunge gilt
− ± − − ± √ p2 4
p 2
1 2
• D > 0: zwei
p
q D = p = p 2
D ,
− 4q
• D = 0: genau eine
• D < 0: keine
Mit Hilfe des Satzes von Vieta lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer quadratischen Funktion und den Parametern der Normalform herstellen. Satz von Vieta: f (x), dann resultieren die Parameter der Sind x 1 und x 2 die Nullstellen einer quadratischen Funktion f ( Normalform aus p = p =
−(x1 + x2),
q = x = x 1 x2 .
·
p = Beispiel 2.12. x1 = 2, x 2 = 3 p = 2 f ( f (x) = x 5x + 6 = (x (x 2)(x 2)(x 3)
−
q = 2 · 3 = 6 ⇒ −(2 + 3) = −5, q = − −
f (x) = x2 Abb. 2.5a Mit den Koeffizienten p = q = 0 resultiert die Gleichung der Normalparabel ( f ( Abb. 2.5a)). (0 , 0), also der Koordinatenursprung, ist der Scheitelpunkt der Normalparabel. Die NormalDer Punkt (0, y –Achse und nach oben geöffnet. parabel ist symmetrisch zur y
2.3.4 2.3.4 Kubis Kubische che Funkt Funktion ion Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung f ( f (x) = a + bx + cx2 + dx3 ,
a, b, c, d
∈ R, d = 0
heißt kubische Funktion (ganzrationale Funktion 3. Grades). Der Graph jeder kubischen Funktion ist eine kubische Parabel. Die kubische Normalparabel y = x3 = c = 0, d = ergibt sich mit den Koeffizienten a = (Abb. 2.9)). a = b b = c = d = 1 (Abb. 2.9 a, b, c, d gibt es einen, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Berührungs Abhängig von den Koeffizienten a, x –Achse. Der Schnittpunkt mit der y –Achse ist (0, (0 , a). punkt) oder drei Schnittpunkte mit der x Die kubische Normalparabel schneidet sowohl die x–Achse als auch die y –Achse im Ursprung.
16
y
4 3 2 1
x
−2 −1
1
2
−1 −2 −3 −4
y = x x 3 Abbildung 2.9: Kubische Normalparabel y =
2.3.5 2.3.5 Potenzotenz- und Wurzelf Wurzelfunkti unktionen onen Potenzfunktionen
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f ( f (x) = x n ,
n
∈Q
heißen Potenzfunktionen. Dabei ist n der Exponent oder auch Grad der Potenzfunktion. Meist wird für n ∈ Z von Potenzfunktionen und speziell für n ∈ Q \ Z von Wurzelfunktionen (siehe dazu Abschnitt 2.3.5 schnitt 2.3.5)) gesprochen. Bei Wurzelfunktionen ist jedoch zusätzlich x ≥ 0 zu beachten. Potenzfunktion mit natürlichem natürlichem Exponenten Fall 1: Ganzzahlig positiver Exponent Der Graph einer Potenzfunktion n N 0 wird Parabel n –ten Grades genannt.
∈ \{ }
In Abb. 2.10 Abb. 2.10 ist ist erkennbar, dass der Graph einer Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten y –Achse ist, die Funktion ist gerade. Außerdem sind ale Funktionswerte (n = 2, 4, 6, . . .) symmetrisch zur y nicht negativ. negativ. Bei ungeradem, positivem Exponenten ( n = 1, 3, 5, . . .) ist der zugehörige Funktionsgraph ungerade (vgl. punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (vgl. Abb. 2.11 2.11), ), die Funktion ist daher ungerade Abschnitt 6.3.4 Abschnitt 6.3.4)). Definitionsbereich: Df = R
nach Grad n der Potenzfunktion ist es eine n –fache Nullstelle Nullstellen: x0 = 0 je nach Monotonie:
• gerader Exponent: monoton fallend für x x ≤ 0, monoton wachsend für x x ≥ 0 • ungerader Exponent: monoton wachsend
17
y
y
3
3
2
2
1
1 x
−2
−1
1
2
x
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
2
Abbildung 2.10: Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten n (blau – n = 2, cyan – n = 4, rot – n = n = 3, orange – n = n = 5) Werden solche Potenzfunktionen durch Skalierung, Verschiebung entlang der Koordinatenachsen oder Verkettung Verkettung untereinander transformiert, so entstehen beispielsweise quadratische und kubsiche FunkFunktionen (siehe dazu Abschnitt 2.3.3 Abschnitt 2.3.3 und und 2.3.4) 2.3.4). Fall 2: Ganzzahlig negativer Exponent
n
∈ Z und n ≤ −1
Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem, ganzem Exponenten n wird Hyperbel genannt. Er besteht immer aus zwei Teilen, den sogenannten Hyperbelästen. Anhand von Abb. 2.11 2.11 ist ist erkennbar, dass der Graph einer Potenzfunktion mit negativem geradem Exponent ( n = −2, −4, −6, . . .) symmetrisch bezüglich der y –Achse ist, die Funktion ist gerade. Bei negativem ungeradem Exponent (n = −1, −3, −5, . . .) ist der zugehörige Funktionsgraph symmetrisch bezüglich der Geraden y = −x. Definitionsbereich: Df = R
\ {0}
Nullstellen: keine Monotonie:
• gerader Exponent: monoton wachsend für x x ≤ 0, monoton fallend für x x ≥ 0 • ungerader Exponent: monoton fallend auf x x < 0 und x > 0
18
10
y
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2 x
−3 −2 −1 −2 −4 −6 −8 −10
1
2
x
3
−3 −2 −1 −2 −4 −6 −8 −10
1
2
3
Abbildung 2.11: Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten n (blau – n = −1, cyan – n = −3, grün – n = n = −5, rot – n = n = −2, orange – n = n = −4) Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen
∈ N \ {0} teilerfremd sind, werden n = p/q, wobei p, q ∈ Potenzfuntkionen Potenzfuntkionen mit gebrochenem Exponenten n = Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen genannt. Die einfachste Wurzelfunktion ist dabei f ( f (x) = x /2 = 1
√ x,
x
≥ 0,
vgl. Abschnitt 1.3 Abschnitt 1.3 und und Abb. 2.12 Abb. 2.12.. y 2
1 x 1
2
3
4
5
Abbildung 2.12: Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen (blau – zweite Wurzel, Wurzel, rot – dritte Wurzel, Wurzel, grüen – fünfte Wurzel f (x) = Eigenschaften der Wurzelfunktion Wurzelfunktion f (
√ x: n
[0, + ) Definitionsbereich: Df = [0,
∞
Nullstellen: x0 = 0 Monotonie: monoton wachsend
19
Krümmung: konkav
2.3.6 2.3.6 Exponentia Exponentiall- und und Logarith Logarithmusfu musfunktio nktion n Exponentialfunktion
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f ( f (x) = a x ,
a
∈ R, a > 0, 1 0 , a =
heißen Exponentialfunktionen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen befindet sich die Variable x im Exponenten und nicht in der Basis. Definitionsbereich: Df = R Nullstellen: keine Monotonie: für 0 < 0 < a < 1 monoton fallend, für a a > 1 monoton wachsend Krümmung: konvex,
∀ a ∈ R, a = 0
Schnittpunkt mit y–Achse: immer (0;1) (0;1), denn a 0 = 1,
∀ a ∈ R, a = 0
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 x
−3
−2
−1
1
x
−2
2
(a) Exponentialfunktion, positiver Exponent n
−1
1
2
3
(b) Exponentialfunktion, negativer Exponent − n
n = 1, cyan – n = n = 2, grün – n = n = 3) Abbildung 2.13: Beispiele für Exponentialfunktionen (blau – n =
Euler’schen Zahl e Spezialfall der Exponentialfunktionen ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Euler’schen (vgl. Abschnitt 1.4 Abschnitt 1.4): ): f ( f (x) = e x .
Häufig bezeichnet man diese Funktion auch schlichtweg als Exponentialfunktion oder kurz e–Funktion. Fehlerwarnung: Am PC oder Taschenrechner wird das Symbol e manchmal für die Exponentialdarstellung von Zehnerpotenzen genutzt. Dies kann zu Missverständnissen führen. 20
Logarithmusfunktionen
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f ( f (x) = loga x,
a
∈ R, a > 0, 1 0 , a =
Basis a (vgl. Abschnitt 1.4 heißen Logarithmusfunktionen mit der Basis Abschnitt 1.4)). Definitionsbereich: Df = (0;+ )
∞
a Nullstellen: x0 = 1 für a
∈ R, a > 0, 1 0, a =
0 < a < 1 monoton fallend, für a a > 1 monoton wachsend Monotonie: für 0 < a > 1 konkav, für 0 < 0 < a < 1 konvex Krümmung: für a
In Abb. 2.14 ist die asymptotische Annäherung an die y–Achse für x gegen Null erkennbar (vgl. Grenzwerte, Abschnitt 6.1.1 Abschnitt 6.1.1)). y 2
1 x 1
2
3
4
5
−1 −2 −3 b = e, cyan – b = b = 10, grün Abbildung 2.14: Logarithmusfunktionen mit verschiedenen Basen b (blau – b = b = 2) – b =
2.4 Graphe Graphentr ntrans ansfor format mation ion f (x) zu modifizieren. Betrachten wir jetzt verschiedene Möglichkeiten eine Funktion f (
2.4.1 2.4.1 Verschi erschiebu ebung ng Horizontalverschiebung
f ( f ˜(x) = f ( f (x + a) ˜ = X + x –Achse um a , Änderung des Definitionsbereichs: X + a, keine Ände Verschiebung Verschiebung entlang der x rung des Wertebereichs. Wertebereichs.
21
• nach rechts, falls a < 0
• nach links, falls a > 0 Beispiel 2.13. Die Funktion f ( f (x) = 2x2 wird in f ( f ˜(x) = f ( f (x − 3) = 2(x 2(x − 3)2 transformiert. Der a = −3 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach rechts (Abb. 2.15 Parameter a = 2.15,, blau). Vertikalverschiebung Vertikalverschiebung
f ( f ˜(x) = f ( f (x) + b ˜ = Y + b. Verschiebung Verschiebung entlang der y –Achse um b , Änderung des Wertebereichs: Y
• nach oben, falls b > 0
• nach unten, falls b < 0 f (x) = 2 · x2 wird in die Funktion f ( f ˜(x) = f ( f (x) − 2 = 2 · x2 − 2 transformiert. Beispiel 2.14. Die Funktion f ( b = −2 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach unten (Abb. 2.15 Der Parameter Parameter b = 2.15,, rot). ˜ f (x) = 2x2 wird in die Funktion f ( f ˜(x) = f ( f (x + 1) − 3 = 2(x 2(x + 1)2 − 3 Beispiel 2.15. Die Funktion f (
transformiert.
Schritt 1: f ( f ˜(x) = f ( f (x + 1) = 2(x 2(x + 1)2 : a = a = 1 ist positiv, Verschiebung des Graphen nach links
˜ f ˜(x) = f ( f ˜(x) Schritt 2: f (
− 3 = 2(x 2(x + 1)2 − 3: b = b = −3 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach oben
(Abb. 2.15 (Abb. 2.15,, grün).
y
4 3 2 1
x
−3 −2 −1
1
2
3
4
−1 −2 −3
Abbildung 2.15: verschiedene Verschiebungen Verschiebungen der Funktion y = 2x2 (schwarz – Ausgangsfunktion, blau – Horizontalverschiebung um a = 3, rot – Vertikalverschiebung um b = −2, grün – Horizontal a = −1 und b = b = −3) und Vertikalverschiebung um a =
2.4.2 2.4.2 Multiplika Multiplikation tion mit einer Zahl Dehnen entlang der y –Achse
f ( f ˜(x) = c f ( f (x)
·
22
• Strecken um den Faktor c c, falls c > 1
• Stauchen um den Faktor c c, falls 0 < 0 < c < 1 ˜ = c · Y . y –Achse, Änderung des Wertebereichs: Y Dehnen des Graphen entlang der y x–Achse, falls c = c = −1. Der Graph wird nach unten geklappt. Spezialfall: Spiegelung an der x Beispiel 2.16.
f (x) = x 2 : 1. f ( f (x) = 1/2 · x2 . Wegen c 1 = 1/2 ∈ (0, (0, 1) Stauchen des Graphen Transformation in f ˜1 (x) = 1/2 · f ( (Abb. 2.16a (Abb. 2.16a – – rot). f (x) = 2x2 . Wegen c2 = 2 > 1 > 1 Strecken des Graphen (Abb. 2.16a Transformation in f ˜2 (x) = 2 · f ( (Abb. 2.16a – blau). f (x) = x 2 : Transformation in f ( f ˜(x) = −f ( f (x) = −x2 (Abb. 2.16b 2. f ( (Abb. 2.16b).). 4
y
y 2
3
1 x
2
−2 −1
1
1
2
−1
x
−2 −1
1 2 (a) Stauchen (rot) und Strecken (blau) von f ( f (x) = x 2 (schwarz)
−2 (b) Spiegelung (blau) von f ( f (x) = 1/2 · x2 (schwarz)
Abbildung 2.16: Stauchen, Strecken, Spiegeln von Funktionen Dehnen entlang der x –Achse
f ( f ˜(x) = f ( f (dx) dx)
• Stauchen um den Faktor d d, falls d > 1
• Strecken um den Faktor d d, falls 0 < 0 < d < 1 ˜ = 1/d · X . x –Achse, Änderung des Definitionsbereichs: X Dehnen entlang der x d = −1 (Symmetrie bzgl. x –Achse). Spezialfall: Spiegelung, falls d = Beispiel 2.17.
f (x) = x 2 : 1. f ( f (2x x) = (2x (2x)2 = 4x2 . Wegen d 1 > 1 Stauchen des Graphen. Transformation in f ˜1 (x) = f (2 f (1/2 · x) = (1/2 · x)2 = 1/4 · x2 . Wegen 0 < d2 < 1 Strecken des Transformation in f ˜2 (x) = f ( Graphen.
2. f ( (Abb. 2.16b)). f (x) = x 2 : Transformation in f ( f ˜(x) = f ( f (−x) = x 2 , Spiegelung (Abb. 2.16b ˜ f (x) = f ( f (x)! Es gilt: f ( Um den Unterschied zwischen Vervielfachung Vervielfachung des Argumentes und Vervielfachung der Funktionen deutlicher zu erkennen, werden folgende Beispiele betrachtet. f (x) = sin(x sin(x) die Ausgangsfunktion. Beispiel 2.18. Sei f (
23
1. Transformation in f 1(x) = 2f ( f (x) = 2sin(x 2sin(x). Wegen c > 1 Strecken des Graphen entlang y – Achse (siehe Abb. Abb.2.17 2.17 – – rot). f (x) = 1/2 · sin(x sin(x). Wegen 0 < c < 1 Stauchen des Graphen 2. Transformation in f 2 (x) = 1/2 · f ( entlang y –Achse (siehe Abb. 2.17 Abb. 2.17 – – orange). f (2x x) = sin(2x sin(2x). Wegen d > 1 Stauchen des Graphen entlang 3. Transformation in f 3 (x) = f (2 x–Achse. (siehe Abb. 2.17 Abb. 2.17 – – blau). f (1/2 · x) = sin(1/2 · x). Wegen 0 < d < 1 Strecken des Graphen 4. Transformation in f 4 (x) = f ( entlang x–Achse. (siehe Abb. 2.17 Abb. 2.17 – – grün). y 2
1 x
−π
π 2
−π 2
π
−1 −2 f (x) = sin sin (x), rot – f 1 (x) = 2 sin (x), Abbildung 2.17: Stauchen und Strecken am Sinus (schwarz – f ( sin(x), blau – f 3 (x) = sin(2x sin(2x), grün – f 4 (x) = sin sin (1/2 · x)) orange – f 2 (x) = 1/2 · sin(x
2.4. 2.4.3 3 Betr Betrag ag Funktion eines Betrages
f ( f ˜(x) = f ( f ( x ) =
||
≥
f ( f (x), x 0 f ( f ( x), x < 0. 0 .
−
f (x) (Ignorieren des Betrages) für x x ≥ 0 1. Auftragen der Funktion f (
2. Spiegeln Spiegeln des Graphen Graphen an y –Achse
Beispiel 2.19. Die Funktion f ( f (x) = x + x + 1 wird in die Funktion f ( f ˜(x) = f ( f ( x ) = x + 1 transformiert
| | | |
(siehe Abb. 2.18 Abb. 2.18 – – blau). Betrag einer Funktion
f ( f ˜(x) = f ( f (x) =
|
|
−
≥
f ( f (x), f ( f (x) 0 f ( f (x), f ( f (x) < 0 < 0..
• Auftragen der Funktion f ( f (x) (Ignorieren des Betrages) für f ( f (x) ≥ 0 • Spiegeln des Graphen an x–Achse f (x) = x + x + 1 wird in die Funktion |f ( f (x)| = |x + 1 | bzw. f ( f (|x|) = |x + 1 Beispiel 2.20. Die Funktion f (
transformiert (siehe Abb. 2.18 Abb. 2.18 – – rot bzw. blau). 2x − 1, 5 wird in die Funktion |f ( 2x − 1, 5| bzw. Beispiel 2.21. Die Funktion f ( f (x) = x 2 + 2x f (x)| = |x2 + 2x 2 f ( f (|x|) = |x| + 2|x| − 1, 5 transformiert (siehe Abb. 2.19 Abb. 2.19 – – rot bzw. blau). 24
y 4
|x | + 1
3 2
|x + 1 |
1 x
−4 −3 −2 −1 x+1
1
2
3
−1 −2
f (x) = x+1 x +1 (schwarz), sowie f ( ( |x|) = |x|+1 Abbildung 2.18: Beträge und und Funktionen: Funktionen: dargestellt sind f ( f (x)| = |x + 1| (rot) (blau) und |f (
4
||
y
f (( x ) f 3
|f f ((x)|
2 1 x
−3 −2 −1 f ( f (x)
1
2
−1 −2
f (x) = x + 1 (schwarz), sowie f ( ( |x|) = Abbildung 2.19: Beträge und Funktionen: Funktionen: dargestellt sind f ( 2 2 |x| + 2|x| − 1, 5 (blau) und |f ( f (x)| = |x + 2x 2x − 1, 5| (rot)
25
3 Gleichungen, Ungleichungen und Systeme 3.1 Lineare Lineare Gleichunge Gleichungen, n, Ungleichun Ungleichungen gen und Systeme Systeme 3.1.1 3.1.1 Lineare Lineare Gleich Gleichungen ungen mit einer einer Variablen ariablen Eine lineare Gleichung oder Gleichung Gleichung 1. Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner höheren als der ersten Potenz verkommt. Die Gleichung a + bx = bx = 0,
a=0
heißt allgemeine Form der linearen Gleichung. Lösungsschritte: Schritt 1: Subtraktion von a
Schritt 2: Division durch b = 0
L = {−b/a}. Für die Lösungsmenge gilt: L = Beispiel 3.1.
9 x + 10 = 1: 1. Lösen von 9x
( x + 4) · 2 = 2(3x 2(3x + 1): 2. Lösen von (x 2 x + 8 = 6x 6x + 2 (a) Auflösen der Klammern: 2x (b) Zusammenfassen: 6 = 4x (c) Dividieren beider Seiten durch 4 :
(a) Addieren −10 auf beiden Seiten: 9x =
−9
(b) Dividieren beider Seiten durch 9 : x =
−1
x = 6/4 = 3/2
L = {−1}. (c) Lösungsmenge: L =
L = {3/2}. (d) Lösungsmenge: L =
Grundsätzlich sollte eine Probe durchgeführt werden. Dabei ist jede Seite der Gleichung einzeln auszurechnen. Der berechnete Wert für x sollte stets in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Nach Einsetzen der Lösung sollen nicht die gleichen Umformungen wie bei der Hauptrechnung vorgenommen werden, da sonst leicht ein möglicher Fehler wiederholt werden kann. 2 x = x = x : Fehlerwarnung: Fehlerwarnung: Lösen von 2x 0 zulässig, Null ist aber hier gerde die Lösung. Richtig ist den Ausdruck x = Dividieren durch x ist nur für x 2 x − x = 0 zusammenzufassen und x = x = 0 als Lösung zu erhalten. zu 2x
3.1.2 3.1.2 Lineare Lineare Unglei Ungleichun chungen gen mit mit einer einer Variab Variablen len Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich zu bestimmen, für die die Ungleichung erfüllt ist. Alle diese Werte heißen Lösungen der Ungleichung und alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge L der Ungleichung. Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen lässt sich durch äquivalente Umformungen stets in eine der folgenden vier Ungleichungen überführen. Zusätzlich sind die zugehörige Lösungsmenge angegeben (Subtraktion von a, Division durch b > 0 ): a + bx < 0, 0 , a + bx > 0, 0 ,
L = ( L = (
26
−∞, −a/b) −a/b, ∞)
Durch die Wahl von ≥ bzw. ≤ wird der Punkt −a/b teil der Lösungsmenge. Beispiel 3.2. Lösen von
−(2x (2x + 1) < 1) < 5 5 : < 5 1. Auflösung Auflösung der Klammer: Klammer: −2x − 1 < 5
0 < 2 2x x+6 2. Zusammenfassen: 0 <
3. Auflösen nach x : −3 < x L = {x | x > −3} = (−∞, −3). 4. Lösungsmenge: L = Beispiel 3.3. Lösen von 3x 3 x + 4
≤ 5x:
1. Zusammenfassen: 4 ≤ 2x 2. Auflösen nach x : 2 ≤ x L = {x | x ≥ 2} = [2, [2 , ∞). 3. Lösungsmenge: L =
Alternative Rechnung: 1. Zusammenfassen: −2x ≤ −4 2. Auflösen nach x (Division durch negativ Zahl −2, dadurch Wechsel des Relationszeichens): Relationszeichens): x ≥ 2 L = {x | x ≥ 2} = [2, [2 , ∞). 3. Lösungsmenge: L =
3.1.3 3.1.3 Lineare Lineare Gleichung Gleichungssyst ssysteme eme Die Schwierigkeiten beim Bestimmen der Lösungen von Gleichungen werden noch größer, wenn nicht nur eine Variable aus einer Bestimmungsgleichung errechnet werden soll, sondern wenn mehrere Variable mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllen sollen. Im Folgenden wird nur der Fall eines Systems von 2 Variablen und 2 Gleichungen betrachtet.
a11 x + a12 y = b = b 1 a21 x + a22 y = b = b 2
(3.1.1)
Die Lösung eines solchen Gleichungssystems umfasst alle Werte, die für alle Gleichungen gleichzeitig eine Lösung darstellen. Sie besteht im Fall von zwei Gleichungen und zwei Variablen aus einer Menge von Wertepaaren. Wertepaaren. Ein Gleichungssystem heißt linear , wenn alle Gleichungen des Systems lineare Gleichungen sind. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist durch die Koeffizienten der Variablen und durch die Absolutglieder (die Terme, die die Variablen nicht enthalten) bestimmt. Für die Lösbarkeit eines LGS können drei Fälle auftreten (vgl. Abb. 3.1 3.1): ):
• das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, • das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung, • das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Es gibt verschiedene Methoden, solche LGS zu lösen. Die einfachsten Verfahren sind das Einsetzungsverfahren (Substitutionverfahren), das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren . Beispiel 3.4. Gleichung I: x
2 x + y = −2, vgl. Abb. 3.2 − y = 0 und Gleichung II: 2x Abb. 3.2
27
y
y
y
I
I
y0
I=II x
x
x
x0
II
II
(a) eindeutige Lösung (x ( x0 , y0 )
(b) unendlich viele Lösungen
(c) keine Lösung
Abbildung 3.1: Graphen des Systems zweier linearer Funktionen y 2
II
I 1 x0
−2
x
−1
1 y0
−1 −2 2 x + y = −2 Abbildung 3.2: Lösungsskizze für das System I: x − y = 0, II: 2x Einsetzungsverfahren
Eine der Gleichungen Gleichungen wird umgestellt, umgestellt, so dass eine der Variablen ariablen (z. B. y ) einzeln auf einer Seite steht und durch die ander Variable beschrieben wird. Nun wird die manipulierte Gleichung in die zweite eingesetzt. Gleichung zwei ist nun nur noch von einer Variablen abhängig und kann nach Umstellen wie gewohnt gelöst werden. Die erhaltene Lösung für die zweite Variable wird nun in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt. Es resultiert die zugehörige Lösung der ersten Variablen. Bsp. 3.4 Beispiel 3.5. System aus Bsp. 3.4
• Umstellen von II nach y : y = −2 − 2x (II’) 2x = 3x + 2 (I’) • Einsetzen von II’ in I: 0 = x − (−2 − 2x) = x + 2 + 2x • Lösen von I’: x = x = −2/3 • Einsetzen von x in I: −2/3 − y = 0 (I”) • Lösen von I”: y = y = −2/3 • L = {−2/3, −2/3} 28
Additionsverfahren
Das Vielfache einer Gleichung wird auf die zweite Gleichung so aufaddiert, dass eine der Variablen eliminiert werden kann. Die resultierende Gleichung hängt also nur noch von einer Variablen ab und kann wie gewohnt gelöst werden. Die erhaltene Lösung wird in eine der Ursprungsgleichungen eingesetzt, es folgt die zugehörige Lösung für die zweite Variable. Bsp. 3.4 Beispiel 3.6. System aus Bsp. 3.4
• II’= II + (−2) · I: (2x (2 x + y ) + ( −2) · (x − y ) = −2 + ( −2) · 0 • Berechnen von II’: 2x 2 x + y − 2x + 2y 2y = 3y = −2 • Lösung: y = −2/3 • Einsetzen in I: x + 2/3 = 0 • Lösung: x = x = −2/3 • L = {−2/3, −2/3} Gleichsetzungsverfahren
Die Gleichungen werden so umgestellt, dass die rechten Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten. Das bedeutet, dass auch die linken Seiten identisch sein müssen. Diese werden gleich gesetzt und die resultierende Gleichung gelöst. Die Lösung wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt und diese gelöst. Bsp. 3.4 Beispiel 3.7. System aus Bsp. 3.4 y = x x (I’) • Gleichung I+y: y = • Gleichung I−2x: y = y = −2 − 2x (II’) • Gleichsetzen von I’ und II’: x = x = −2x − 2 • Umstellen: 3x 3 x = −2 x = −2/3 • Lösen: x = • Einsetzen von x in II: 2 · (−2/3) + y = −2 • Lösen: y = −2/3 • L = {−2/3, −2/3}
3.1.4 3.1.4 Lineare Lineare Ungleichu Ungleichungssy ngssystem steme e Als Erweiterung zu den linearen Ungleichungen mit einer Variable (Abschnitt 3.1.2 (Abschnitt 3.1.2)) gibt es Systeme von linearen Ungleichungen mit mehreren Variablen, ähnlilch den LGS (Abschnitt 3.1.3 3.1.3). ). Diese Art von Systemen wird z. B. benötigt, um Definitionsbereiche zu bestimmen. Auch bei Optimierugnsproblemen Optimierugnsproblemen spielen Ungleichungen eine wichtige Rolle. Im folgenden werden nur die Systeme betrachtet, die aus zwei Ungleichungen bestehen und von zwei Variablen abhängen
a11 x + a12 y a21 x + a22 y
≤ ≤
b1 b2
(3.1.2)
Anstelle von ≤ können natürlich auch die Symbole ≥, < bzw. > platziert werden. Eine graphische Lösung ist möglich, wenn statt der Ungleichungen die Gleichungen betrachtet und als lineare Funktionen aufgetragen werden. Jede solche Funktion teilt die Ebene in zwei Hälften, in der einen ist die Ungleichung erfüllt, in der anderen nicht. Zür Prüfung wird ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, in die Ungleichung eingesetzt und der Wahrheitswert geprüft. Zum Schluss wird der gültige Bereich markiert und vermerkt, ob die Geraden mit zur Lösungsmenge gehören, oder nicht. 29
Beispiel 3.8.
y
5
−
5x + 4y 4y x 2y
≤
−
>
0 4
4
−
System umgestellt nach y :
y y
y y
y = 0, 5x + 2
3
≤
1, 25 25x x < 0, 50 50x x+2
2
Zugehöriges LGS, umgestellt nach y :
y = 1, 25 25x x
1 x
= 1, 25 25x x = 0, 50 50x x+2
1
2
3
4
5
(0 , 1): Ein möglicher Punkt, der in beide Ungleichungen eingesetzt werden kann, ist (0,
−5 · 0 + 4 · 1
0
?
4 < 0 falsche Aussage (0, (0, 1) / Lösungsmenge
∈
− 2 · 1 >? −4 −2 >? −4 wahre Aussage (0, (0, 1) ∈ Lösungsmenge
Die orange Fläche und der rote Rand bilden die Lösungsmenge.
3.2 Quadratisc Quadratische he Gleichunge Gleichungen n und Ungleichu Ungleichungen ngen 3.2.1 3.2.1 Quadratisc Quadratische he Gleichun Gleichungen gen mit einer Variablen ariablen vgl. Abschnitt 2.3.3 Abschnitt 2.3.3..
3.2.2 3.2.2 Quadratisc Quadratische he Ungleich Ungleichunge ungen n mit einer einer Variab Variablen len Im folgenden Abschnitt sollen Quadratische Ungleichungen der Form f ( f (x) = x 2 + px + q > 0
(3.2.1)
gelöst werden. Dazu gehören natürlich auch alle Ungleichungen mit < , ≥ oder ≤ statt > . f (x) bestimmt, vgl. Abschnitt 2.3.3 Zunächst werden die Nullstellen x1 , x2 von f ( Abschnitt 2.3.3.. Anschließend wird eine von den Nullstellen unabhängige Stelle gewählt, diese wird in f eingesetzt und der Wahrheitswert der Ungleichung ( Ungleichung (3.2.1 3.2.1)) geprüft. Die entstehende Lösungsmenge L ist ist abhängig vom Ungleichheitszeichen und der Wahl von p und q : D < 0 (keine Lösung): • für D
D = 0 (genau eine Lösung x 1 ): • für D =
– ganz R oder
– die Stelle x 1 oder
– die leere Menge,
– R
\{x1},
D > 0 (zwei Lösungen x 1 , x 2 ): • für D ( x1 , x2 ) oder – das Intervall zwischen den beiden Nullstellen (x – der Bereich außerhalb der beiden Nullstellen R (x1 , x2 ) = (
\
30
−∞, x1] ∩ [x2, ∞).
Ähnliches gilt für Ungleichungen mit ≤ bzw. ≥ statt < bzw. > . Bei Betrachtung der Lösung müssen hier offene und abgeschlossene Intervallgrenzen vertauscht werden. Sollen die Schnittpunkte von zwei quadratischen Gleichungen bzw. von einer quadratischen Gleichung mit einer linearen bestimmt werden, werden diese gleich gesetzt. Durch Umformung wird eine neue (quadratische) Gleichung in Nullstellenform erzeugt und diese wie bisher gelöst. f (x) = 0, 75 75x x 0, 5 und g( g (x) = x 2 Beispiel 3.9. Seien f ( g (x) f ( f (x) gilt (also auch h( h (x) := g := g((x) werden, in dem g(
−
≤
25x x − 2, 5. Es soll der Bereich bestimmt − 0, 25 − f ( f (x) ≤ 0).
Nullstellen bestimmen: 3
0 = h( h(x) = g( g (x)
f (x) − f ( 0 = x 2 − 0, 25 25x x − 2, 5 − (0, (0, 75 75x x − 0, 5) 0 = x 2 − x − 2 D = (−1)2 − 4 · (−2) = 9 > 9 > 0 0 √ 1 x1,2 = (−1) ± 9 − 2 1 = (1 ± 3) 2 x1 = −1, x2 = 2 h (x0 = 0) ≥ 0? Test: h(
02
− 0 − 2 ≤? 0 L = [−1, 2]
y g (x)
2 1 x
−3 −2 −1 −1 f ( f (x) −2 −3
1
2
3
wahre Aussage
3.3 Gleichunge Gleichungen n und Ungleichun Ungleichungen gen mit Beträgen Beträgen 3.3.1 3.3.1 Gleichung Gleichungen en mit Beträgen Beträgen mit mit einer einer Varia Variablen blen Taucht in einer Gleichung ein oder mehr Beträge auf, ist es sinnvoll zunächst den Betrag allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. Es ergibt sich die Form
|f ( f (x)| = g( g (x).
(3.3.1)
Nun wird die Definition der Beträge Gl. ( Gl. (2.3.1 2.3.1)) (Abschnitt 2.3.2 (Abschnitt 2.3.2)) beansprucht. Es folgt
|
|
g (x) = f ( f (x) =
−
f ( f (x), falls f ( f (x) 0 f ( f (x), falls f ( f (x) < 0 < 0..
≥
Es resultieren zwei Gleichungen mit einer Variablen und Nebenbedingungen. Diese sind unabhängig voneinander zu lösen. Falls die Nebenbedingungen erfüllt sind, ergibt die Vereinigung der Einzellösungen die Gesamtlösungsmenge L . Beispiel 3.10. Es sei x + 2
| − 3 = 4x gegeben und die Lösungemenge für x x gesucht. Nach Addition von 3 folgt die Normalform ( Normalform (3.3.1 3.3.1)) |x + 2| = 4x + 3 4x + 3 = x + 2, 2, falls x + 2 ≥ 0 3x = −1, falls x ≥ −2 4x + 3 = −x − 2, falls x + 2 < 2 < 0 0 5x = −5, falls x < −2 x = −1/3, falls x ≥ −2 L = {−1/3} x = −1, falls x < −2 |
31
| − 100| = −5 ist unlösbar, da der Betrag stets nicht negativ ist. Es kann jedoch auch
Beispiel 3.11. x
nachgerechnet nachgerechnet werden.
−5 = |x − 100| = −
x 100 100,, falls x x + 100, 100, falls x
−
x = 95 95,, falls x 100 105, falls x < 100 x = 105,
≥
− 100 ≥ 0 − 100 100 < < 0 0
− −
5 = x 100, 100, falls x 100 5 = 100 x, falls x < 100
−
−
≥
3.3.2 3.3.2 Ungleichu Ungleichungen ngen mit mit Beträge Beträgen n mit einer einer Variab Variablen len Natürlich gibt es auch Ungleichungen mit Beträgen. Hier wird, wie bei den Gleichungen zuerst eine Normalform f (x)| < g (x) |f (
g (x) ≥ 0. Diese wird ebenfalls mit Hilfe der Definition des Betrages erzeugt. Dabei muss natürlich gelten g( aufgesplittet, dieses mal jedoch in zwei Ungleichungen. Diese werden wie in Abschnitt 3.1.2 Abschnitt 3.1.2 gelöst gelöst und die Resultate mit den Nebenbedingungen abgeglichen.
32
4 Vektorrechnung Vektorrechnung Das in Abbildung 4.1 Abbildung 4.1 dargestellte dargestellte Fachwerk wird durch die Kräfte F 1 , F 2 und F 3 in der angegebenen Weise belastet. Im Punkt A befindet sich das Festlager und in Punkt B das Gleitlager. Beim Aufbau des x –Achse, bis Fachwerks kommt es zu einer Ausgleichsbewegung, der Punkt B bewegt sich entlang der x B y sich ein Gleichgewicht einstellt. Daher wirkt im Punkt lediglich eine Kraft in –Richtung. Wie groß sind die Auflagerkräfte F A und F B und deren Beträge |F A | und |F B | im statischen Gleichgewichtszustand? a = 5 m b = 4 m α = 30◦
|F 1| = 20kN |F 2| = 30kN |F 3| = 10kN y
F 2 α a
a
F 1
a F A
2c
a
c
F 3 a
a
c
x
Fest A lager A
F B
b
b
b
Gleit B lager B
b
Abbildung 4.1: Kräfte am Fachwerk
4.1 4.1 Defin Definit itio ion n Ein Vektor
x1
x =
.. .
oder
x = (x1 , . . . , xn )
xn
ist mathematisch gesehen ein Tupel von n reellen Zahlen xi ∈ Rn (i = 1, . . . , n). In der Physik ist er eine Größe mit Betrag und Richtung. Der physikalische Vektor ist ein Spezialfall des mathematischen: n = 2 oder n = n = 3 gewählt. es wird n = Wird eine Kraft ausgeübt, besitzt diese immer eine Richtung und einen Betrag. Damit kann sie als Vektor dargestellt werden. Als Koordinatensystem wird meist das kartesische gewählt, bei dem alle Basisvektor Basisvektoren en die Länge Länge Eins besitzen und im rechten Winkel zueinander stehen
|x| = |y| = |z| = 1,
x
⊥ y,
33
x
⊥ z,
y
⊥z
Allgemein ist der Betrag eines Vektors x ∈ Rn definiert als
|x| :=
x21 + . . . + x2n .
(4.1.1)
Unteschied zwischen Punkt und Vektor: Obwohl die Schreibweisen von Punkt und Vektor identisch sind, haben sie unterschiedliche Bedeutungen. Ein Punkt markiert eine bestimmte Stelle im Raum. Ein Vektor hingegen gibt Richtung und Länge an. Wird die Differenz von zwei Punkten gebildet, so ist das Resultat ein Vektor.
Rechenregeln Das Fachwerk soll sich im Gleichgewicht befinden. Das bedeutet, dass sowohl die Summe der Kräfte als auch die Summe der Momente verschwinden müssen. Um dies rechnerisch umsetzen zu können, muss die Summe von Vektoren definiert werden. Mit Hilfe des Kreuzproduktes x × y (Gl. (4.1.5 (4.1.5)) )) lässt sich ein Vektor z bestimmen, der senkrecht auf der Ebene steht, die von den Vektoren x und y aufgespannt wird. Der Betrag von z entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten x, y
|x × y| = |x| · |y| · sin(∠ (x, y)) .
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren x, y ist Null, wenn diese Senkrecht aufeinander stehen. x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn bzs. y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn und dem Skalar c c ∈ R: Rechnen mit Vekoren Vekoren x =
Addition:
· · · · · · · · · · x1
x + y =
.. .
y1
+
xn
Multiplikation mit Skalar:
x1 + y1
.. .
yn
.. .
c x = c = c
·
x y =
.. .
xn
(4.1.2)
c x1
.. .
=
xn
x1
xn + yn
x1
Skalarprodukt:
.. .
=
(4.1.3)
c xn
y1
.. .
= x 1 y1 +
+ xn yn
yn
| | · |y| · cos(∠ (x, y))
= x
(4.1.4)
(4.1.5)
Kreuzprodukt
x
× y =
Cauchy–Schwarz–Ungleichung:
× x1 x2 x3
y1 y2 y3
=
x2 y3 x3 y1 x1 y2
|x · y| ≤ |x| · |y| 34
· − x3 · y2 · − x1 · y3 · − x2 · y1
(4.1.6)
Bestimmung der Kraftvektoren: Die Vektoren F i wurden in Kilonewton (kN) gemessen. Die Maßeinheiten werden jedoch bei den folgenden Rechnungen nicht mit angegeben. x, y,z des kartesischen Die Vektoren Vektoren F 1 und F 3 weisen entlang einer der ausgezeichneten Richtungen x, Koordinatensystems, vgl. Abb. 4.1 Abb. 4.1.. Die Länge, also der Betrag, wird durch eine einzige Komponente realisiert. Zu beachten ist noch der Richtungssinn, der bei diesen Vektoren entgegen dem Koordinatensystem verläuft, daher das negative Vorzeichen. F 1 =
−| | − 0 F 1 0
0 20 0
=
,
−| | − F 3 0 0
F 3 =
10 0 0
=
.
F 2 besitzt Komponenten in die Richtungen x und y , um hier die Zahlenwerte bestimmen zu Der Vektor F können, werden die trigonometrischen Funktionen (vgl. Abschnitt 1.5 1.5)) benötigt F 2 =
| −|
|· |·
F 2 cos α F 2 sin α 0
−
≈ −
30 cos(30◦ ) 30 sin (30◦ ) 0
=
· ·
26 15 0
.
Wie in Abb. 4.1 Abb. 4.1 angedeutet, angedeutet, weist F A in eine gemischt Richtung und F B entlang einer ausgewiesenen Richtung F A =
F Ax Ax F Ay Ay 0
,
F B =
0 F By By 0
.
Gleichgewichtsbedingung (Kräfte): Die Summe über alle wirkenden Kräfte muss Null ergeben. F A + F B + F 1 + F 2 + F 3 = 0
− − − − F Ax Ax F Ay Ay 0
+
0 F By By 0
+
0 20 0
26 15 0
+
+
10 0 0
F Ax Ax + 16 F Ay 35 Ay + F By By 0
=0 (4.1 4.1))
=
0 0 0
(4.1.7)
Bestimmung der Drehomente: Wirkt eine Kraft F auf einen Hebelarm der Länge r , dann ist das resuliterende Drehmoment M i = F = F i
× ri,
mit dem Kreuzprodukt „ ד (vgl. Gl. (4.1.5 4.1.5)). )). Die Maßeinheit der hier gemachten Angaben ist für r Meter (m) und für das Drehmoment Kilonewtonmeter (kNm). Die Hebelarme ri sind die Richtungsvektoren zwischen dem Drehzentrum A und den Ansatzpunkten der Kräfte F B , F 1 , F 2 bzw. F 3 . Um diese zu bestimmen, wird die Länge c benötigt. Sie kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden (vgl. Abschnitt 1.5 1.5)), beachte die unterschiedliche Beschriftung) a2 = b 2 + c2
⇒
c =
− a2
b2 =
√ 25 − 16 = √ 9 = ±3
In diesem Fall wird nur die positive Lösung genutzt, da es sich bei c um einen Abstand handelt. 35
Die Vektoren Vektoren r i können durch Abgleich mit der Skizze (vgl. Abb. 4.1 Abb. 4.1)) erhalten werden.
· × − · −· × × − − × − × × × · ×
r1 =
b c 0
r3 =
3b c 0
4 3 0
=
=
,
12 3 0
r2 =
,
rB =
Die zugehörigen Momente lauten also: M 1 = r 1
M 2 = r 2
M 3 = r 3
M B = r B
F 1 =
4 3 0
0 20 0
F 2 =
8 6 0
26 15 0
F 3 =
12 3 0
F B =
=
0 0 276
=
10 0 0
16 0 0
3 0 0 0 4 ( 20)
0 0 30
=
0 F By By 0
=
2b 2c 0 4b 0 0
=
=
− 8 6 0
,
16 0 0
− 0 · (−20) − 4·0 − 3·0
=
,
0 0 80
,
,
,
0 0 16 F By By
Gleichgewichtsbedingung (Momente): Die Summe über alle wirkenden Momente muss Null ergeben. M 1 + M 2 + M 3 + M B = 0
− − − 0 0 80
+
0 0 276
0 0 30
+
+
0 0 16 F By By
·
0 0 326 + 16 F By By
·
=
=
0 0 0 0 0 0
Aus Gl. ( Gl. (4.1.7 4.1.7)) und ( und (4.1.8 4.1.8)) resultieren die drei skalaren Bedingungen F Ax Ax + 16 = 0 F Ay 35 = 0 Ay + F By By 16 F By 326 = 0 By F Ay Ay = 35
·
− −
⇒
F Ax Ax =
⇒
F By 20 , 375 By = 20, = 14, 14 , 625
− F By By
−16
Die Beträge der Auflagekräfte sind mit Gl. ( Gl. (4.1.1 4.1.1)) bestimmbar F A = F B =
2 + F 2 + 0 2 = F Ax Ay
−
( 16)2 + 14, 14, 6252 = 21, 21 , 68
2 + 0 2 = F 02 + F By 20,, 375 375.. By By = 20
36
(4.1.8)
4.2 Gerade Geradengl ngleic eichun hungen gen In Abb. 4.2 4.2 ist ist zu sehen, wie auf dem Dach eine Antenne am Punkt Q angebracht ist. Die Antenne weist 2,5 m senkrecht nach oben. Paralleles Paralleles Licht (gelb) fällt in Richtung v auf die Antenne, sodass ein Schatten auf dem Dach erscheint. Welche Koordinaten hat die Spitze des Antennenschattens S ? Q =
− 10 4, 5 5
,
v =
−− 2 3, 5 2
P y Q H
S x
B z
Abbildung 4.2: 3D–Ansicht des Hauses
Ziel ist es eine Geradengleichung g für den Lichstrahl Li chstrahl zu finden, der die Antennenspitze streift. Außerdem muss eine Gleichung für die Dachebene E bestimmt und beide zum Schnitt miteinander gebracht werden.
Punktrichtungsform einer Geraden p und ein Richtungsvektor v v benötigt. Für die Punktrichtungsform einer Geraden g wird ein Ortsvektor p Ein Ortsvektor entsteht bei Subtraktion von Null von einem festen Punkt P
− − 0.
p = p = P P
p wird eine Richtung v verfolgt und beim Durchlaufen des Parameters t ∈ R Ausgehend vom Ortsvektor p eine Gerade erzeugt.
·
g : x : x = = p p + t v,
t
∈R
Paramterform Paramterform der Geraden: Der Ortsvektor bezieht sich in dieser Aufgabe auf die Spitze der Antenne P : P = Q +
− − 0 2, 5 0
=
10 4, 5 5
37
+
0 2, 5 0
=
10 7 5
(4.2.1)
Der Ortsvektor lauter daher
− − − − · −−
p = p = P P
Es resultiert die Paramterform g : x : x = =
10 7 5
0=
10 7 5
.
2 3, 5 2
+t
(4.2.2)
4.2.1 4.2.1 Zwei–Punkt Zwei–Punkt–F –Form orm einer Geraden Geraden P , Q gegeben, durch die die Gerde verlaufen soll, dann werden die beiden OrtsvekSind zwei Punkte P, toren
− − 0,
p = p = P P
benötigt
q = Q = Q
−0
· −
g : x = x = p p + t (q p) p) ,
t
∈R
4.2.2 4.2.2 Normalform Normalform einer Geraden Geraden Die Normalform einer Geraden bzw. Ebene kann nur aufgestellt werden, wenn das Bezugssystem eine Dimension größer ist. Für Geraden bedeutet das ein 2–dimensionales und für Ebenen ein 3– dimensionales Koordinatensystem. n benötigt, dieser steht senkrecht auf g g Für die Normalform einer Geraden g wird ein Normalenvektor n und hat eine beliebige Länge. n zum Vektor x x : Im zweidimensionale Raum ist ein Normalenvektor n x =
x1 x2
− x2 x1
n =
⇒
· − p) p) = 0,
g : n : n (x
∈ ∈ g
P
(4.2.3)
p ist dabei ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Der Vektor p
4.2.3 4.2.3 Hesse’sch Hesse’sche eN Normal ormalform form einer einer Gerade Geraden n Die Hesse’sche Normalform (HNF) ist ein Spezialfall der Normalform, bei der der Normalenvektor die Länge 1 besitzt (|n| = 1 ). Schreibweise: n0 n bestimmt, dann gilt für den Normaleneinheitsvektor Wurde bereits ein Normalenvektor n n0 =
n . n
||
38
4.3 Ebenen Ebenengle gleich ichung ungen en 4.3.1 4.3.1 Punktricht Punktrichtungs ungsform form einer einer Ebene Ebene p und zwei linear unabhängige Vektoren v 1 , v2 , die Richtungs- oder SpannBenötigt wird ein Ortsvektor p vektoren. E : : x = x = p p + s v1 + t v2 ,
·
s, t
·
∈R
Für die Ebenengleichung werden drei Punkte der Ebene benötigt. Einer davon ist Q, der Verankerungspunkt der Antenne auf dem Dach. Ein zweiter ist Punkt B aus dem ersten Teil der Aufgabe. Ein dritter möglicher Punkt ist der Giebel H , ebenfalls in Abb. 4.1 Abb. 4.1 ablesbar. ablesbar. Q =
− 10 4, 5 5
∧
= q, q ,
B =
16 0 0
∧
= b,
− − − − − · − · 6 4, 5 5
q = =
v2 = h = h
q = =
Dann ist die Parameterform der Ebene E : : x = x =
10 4, 5 5
6 4, 5 5
+s
+t
8 6 0
H =
Eine Möglichkeit, die Richtungsvektoren zu bestimmen, ist folgende v1 = b = b
−
2 1, 5 5
,
∧
= h
2 1, 5 5
s, t
∈ R.
4.3.2 4.3.2 Drei–Punkt Drei–Punkt–F –Form orm einer einer Ebene Ebene Liegen drei Punkte P , Q und R einer Ebene vor, mit den zugehörigen Ortsvektoren p , q und r , dann gilt
· −
· − p) p)
E : : x = x = p p + s (q p) p) + t (r
Normalform einer Ebene Zentrales Element ist auch hier wieder der Normalenvektor n , vgl. Abschnitt 4.2.2 Abschnitt 4.2.2.. Nur im dreidimensionalen Fall wird mit Hilfe der Gleichung E : : n (x
p) = 0, 0, · − p)
p
∈ E
eine Ebenengleichung angegeben. Die Bestimmung des Normalenvektors erfolgt mit Hilfe der drei Punkte P , Q, R und damit der zugehörigen Ortsvektoren p , q , r . Eine Möglichkeit ist das Kreuzprodukt zu Hilfe zu ziehen n = (q p) p)
− × (r − p) p) .
(4.3.1)
Eine andere Möglichkeit ist die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems. Hieraus resultiert sogar
39
schon der Normaleneinheitsvektor n n0 .
− · − ·
(q p) p) n = 0 (r p) p) n = 0
|n| =
n21 + n22 + n23 = 1
n21 + n22 + n23 = 1
⇒
Mit Gl. ( Gl. (4.3.1 4.3.1)) folgt
− × − − − × − − − − × − − − − − · ≡ · −
n = (b
p) p)
=
16 0 0
=
=
(h
p) p)
10 4, 5 5
6 4, 5 5
8 6 0
10 4, 5 5
2 1, 5 5
30 40 0
Bei Normalenvektoren geht es nicht um deren Länge, sondern nur um die Richtung, daher darf der Vektor Vektor skaliert werden: 30 40 0
=
10
3 4 0
3 4 0
x
16 0 0
= 0.
Die Normalform lautet also zum Beispiel:
3 4 0
E : :
4.3.3 4.3.3 Hesse’sch Hesse’sche e Normal Normalform form einer einer Ebene Ebene Analog zu Abschnitt 4.2.3 Abschnitt 4.2.3 ist ist die Hesse’sche Normalform der Ebene ein Spezialfall der Normalform mit n0 und |n0 | = 1. dem Normalenvektor n n noch normiert werden Für die Hesse’sche Normalform muss der Normalenvektor n n n0 = = n
||
√ · · − 3 4 0
1 32 + 4 2 + 0 2
1 = 5
3 4 0
.
Dann gilt für die Hesse’sche Normalform E : :
1 5
3 4 0
x
40
16 0 0
=0
(4.3.2)
Der Schnittpunkt S der der Geraden g (Gl. ( (Gl. (4.2.2 4.2.2)))) mit der Ebene E (Gl. ( (Gl. (4.3.2 4.3.2)))) wird durch Einsetzen von in bestimmt: g E 1 E (g ) : 5
− · −− − − · − −− 3 4 0
10 7 5
2 3, 5 2
+t
3 4 0
1 5
6 7 5
+
16 0 0
=0
2t 3, 5t 2t
=0
1 ( 18 + 6t 6t + 28 14 14tt) = 0 5 10 8t = 0 8t = 10 t = 1, 25
−
−
|·5 | + 8t 8t |:8
−
Der erhaltene Paramteter Paramteter t t wird wiederum in g eingesetzt, um den Schnittpunkt S zu zu erhalten S = = g( g (t = 1, 25) =
=
=
− · −− − −− − 10 7 5
+ 1, 1, 25
10 7 5
+
2 3, 5 2
2, 5 4, 375 2, 5
12 12,, 5 2, 625 7.5
4.4 Weitere eitere Aufgab Aufgaben en 1. Ein Unternehmen hat zwei Fabriken, die als Output drei verschiedene Güter produzieren. Die gesamte Arbeitskraft ist fest. Wenn ein Anteil λ der Arbeitskraft der ersten Fabrik und der Anteil 1 − λ (mit 0 ≤ λ ≤ 1) der zweiten Fabrik zugewiesen wird, so ist der gesamte Output der drei Güter gegeben durch den Vektor λ
· 8 4 4
+ (1
− λ)
−− 2 6 10
=
6λ + 2 2λ + 6 6λ + 10
.
(5, 5, 7)T und b = (a) Ist es dem Unternhmen möglich, einen der zwei Outputvektoren a = (5, (7, (7, 5, 5)T zu produzieren, wenn kein Output vernichtet werden darf? (b) Wie ändern sich Ihre Antworten, wenn Output vernichtet werden darf? ( p1 , p2 , p3 ) (c) Wie wird die den Erlös maximierende Wahl des Anteils λ von dem Verkaufspreis ( p dieser drei Güter abhängen? Welche Bedingung müssen die Preise erfüllen, damit beide Fabriken in Betrieb bleiben sollen?
2. In dem in Abb. 4.3 Abb. 4.3 dargestellten Dreibein, dessen Stäbe gelenkig gelagert sind, greift im Gelenk S eine Gewichtskraft G vom Betrag |G| = 18kN an. Welche Reaktionskräfte (Zug- bzw. Druckkräfte) F A , F B und F C C treten in den drei Stäben auf? A =
2 1 0
,
B =
− 1 1 0
,
41
C =
− 1 2 0
,
S = =
0 0 2
Lösungshinweis: Setzen Sie die Reaktionskräfte in der aus Abb. 4.3 Abb. 4.3 ersichtlichen ersichtlichen Weise zunächst als Zugkräfte an. Das Eigengewicht der Stäbe bleibt unberücksichtigt. z
S F C C G
F B
F A
C
O
x
B y
A
Abbildung 4.3: Dreibein 3. Ein Bauunternehmen hat einen Auftrag für mehrere Häuser von drei verschiedenen Typen: 5 vom Typ A , 7 vom Typ B und 12 vom Typ C . Schreiben Sie einen 3–dimensionalen Vektor x , dessen Koordinaten die Anzahl der Häuser von jedem Typ angeben. Nehmen Sie an, dass für Häuser vom Typ A je 20 Einheiten Holz gebraucht werden, für Typ B je 18 Einheiten und für Typ C je 25 Einheiten. Schreiben Sie einen Vektor u auf, der die verschiedenen Holzmengen angibt, die für je ein Haus von jedem der drei Typen A, B und C benötigt werden. Bestimmen Sie die Gesamtmenge an Holz, die benötigt wird, indem Sie das innere Produkt u · x berechnen. 4. Ein Unternehmen produziert nichtnegative Outputmengen z1 , z2 , . . . , zn von n verschiedenen Gütern und benutzt als Input die nichtnegativen Mengen x 1 , x2 , . . . , xn derselben n Güter. Konkret produziert das Unternehmen zwei Güter: dabei wird das zweite Gut als Input genutzt und (2, −1). Der Preisvektor p ist das erste ist der Output. Sein Netto–Outputvektor y = z − x ist (2, (1, (1, 3). Bestimmen Sie z und den Inputvektor x x (a) den Outputvektor z
(d) den Wert des Netto–Outputs n
(b) dei Kosten k
(e) den Gewinn oder Verlust Verlust des Unternehmens. Unternehmens.
(c) die Einnahmen e
Lösungen a mit λ = 1/2 produziert 1. (a) Wenn kein kein Output Output vernich vernichtet tet werden werden darf, darf, kann kann der Output Outputvekt vektor or a b ist nicht produzierbar. werden. Der Outputvektor b (b) Wenn Output vernichtet werden darf, ist b trotzdem nicht produzierbar. f (λ) = λ (6 p1 − 2 p2 − 6 p3 ) + 2 p 2 p1 + 6 p 6 p2 + 10 p 10 p3 → max (c) f ( Die Funktion f ( f (λ) = λ · m + n ist linear. Damit beide Fabriken bestehen bleiben, muss m = 6 p1
− 2 p2 − 6 p3 = 0
gelten. Für m > 0 läge das Maximum bei λ = 1 und für m < 0 läge das Maximum bei λ = 0. 42
2. Die Stabkräfte sind Druckkräfte mit (Angaben in kN) F A
=
|F A|
=
− −
2 1 , 2 3,
F B
=
|F B |
=
−
5 5 , 10 12 12,, 25,
F C C
=
|F C C |
=
−
3 6 , 6 9.
(5, 7, 12), u = u = (20, (20, 18 18,, 25), u · x = 526 3. x = (5,
4. (a) Da das erste Gut nur nur als Output Output dient und das das zweite zweite nur nur als Input Input gilt gilt z = s = s (1, (1, 0), 0),
x = t = t (0, (0, 1), 1),
·
·
s, t
∈ R.
(2, −1) gilt x = x = (0, (0, 1) und y = y = (2, (2, 0). Wegen y = (2, (1, 3) · (b) Die Kosten ergeben sich als Produkt von Preis der Güter und Anzahl des Inputs ( k = (1, (0, (0, 1) = 3). (c) Die Einnahmen Einnahmen ergeben ergeben sich als Produkt Produkt von Preis der Güter und Anzahl des Output ( e = (1, (1, 3) · (2, (2, 0) = 2). (d) Der Wert des Netto–Ouputs
43
5 Folgen und Reihen 125 000 e ausgereicht. Beginnend mit Ende des gleichen Zu Jahresbeginn wird ein Kredit in Höhe von 125 Jahres soll durch Zahlung von jährlich nachschüssigen Raten jeweils gleicher Höhe die Tilgung des Kredits nach 25 Jahren abgeschlossen sein. Wie hoch müssen die Raten sein, wenn jährliche Verzinsung mit Zinseszins bei einem Zinssatz von 4 % vereinbart wird?
Um die Aufgabe zu bearbeiten werden die beiden Zahlungsströme 1. Einmalzahlung K 0 = 125 125 000 e zur Zeit k = k = 0 k = 1, . . . , 25 der noch zu bestimmenden Höhe r 2. 25 Raten jeweils zu den Zeiten k =
getrennt betrachet. Das Äquivalenzprinzip verlangt die Gleichheit der Endwerte beider Zahlungsreihen nach 25 Jahren im entsprechenden Zinsmodell, das ist hier die Verzinsung mit Zinseszins mit Zinssatz i = 4% = 0, 0, 04, d.h. mit Aufzinsungsfaktor p = p = i i + 1 = 1, 04. Der Endwert der 2. Zahlungsreihe ergibt sich als Summe der Endwerte von 25 Einmalzahlungen der Höhe r mit einer Laufzeit von 25 − k Jahren, k = 1, . . . , 25. Mit n = n = 25 resultiert allgemein: K 0 pn = r pn−1 + r pn−2 +
·
·
· · · + r · p1 + r.
(5.0.1)
5.1 Folg olgen 5.1.1 5.1.1 Definit Definition ion Folg olge e Sei eine beliebige Menge M und eine Zuordnungsvorschrift gegeben, dann wird die entstehende Menge {a0 , a1 , a2 , . . . , ai , . . .} eine Folge genannt. Zahlenfolge gesprochen. a 0 , a1 , a2 . . . , ai , . . . Zahlen, also M = R, so wird von einer Zahlenfolge Sind die Glieder a n M = {A , B , . . . , Z } eine Folge von Andere Beispiele sind: M = R eine Folge von Vektoren oder für M Großbuchstaben. Alle hier folgenden Aussagen beziehen sich auf Zahlenfolgen. Die Folgen
{ak }ki =0 = {a0, a1, . . . , ai }, i < ∞
bzw.
{ak }∞k=0 = {ak }k∈
N
{
}
= a1 , a2 , . . .
heißen endliche bzw. unendliche Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlungen des zweiten Zahlungsstroms können als endliche Folge betrachtet werden. Sinnvoll ist es hierbei die Summe rückwärts zu betrachten Z 0 = r Z 1 = r p1
.. .
·
Z n−1 = r pn−1 .
·
Z k = r pk ,
⇒
·
k = 0, . . . , n
−1
(5.1.1)
nachfolgendes Das Symbol k heißt Index , ak heißt k –tes Glied der Folge und ak+1 heißt Folgeglied oder nachfolgendes Glied von a k .
44
Es kann aber auch jeder andere Startindex gewählt werden. Statt einer Aufzählung aller (bei endlich vielen) oder der ersten Glieder der Folge ist es oft vorteilhafter und präziser eine Folge durch ein Bildungsgesetz oder eine Bildungsvorschrift zu charakterisieren. Man unterscheidet dabei: implizite Bildungsvorschrift: sie gibt an, wie das Glied a k+1 aus a k erzeugt werden kann, bei einem Startwert a 0 , Beispiel 5.1. ak+1 = 2ak + 3 , a 0 = 0 0, 3, 9, 21 21,, 45 45,, . . .
{
}
explizite Bildungsvorschrift: sie gibt an, wie jedes beliebige Glied der Folge direkt berechnet werden kann, bei einem Startwert a 0 , Beispiel 5.2. ak = k 2 , a 0 = 0 0, 1, 4, 9, . . . Beispiel 5.3. Darstellungsformen unendlicher Zahlenfolgen durch
• Aufzählung: Folge der Quadratzahlen {ak }k∈ = {0, 1, 4, 9, 16 16,, 25 25,, . . . } • Wertetabelle: Zuordnung von Kapital auf einem verzinsten Konto jeweils am Ende des n–ten N
Jahres.
0 1 2 3 4 5 100,00 e 105,00 e 110,25 e 115,76 e 121,55 e 127,62 e
• explizite Bildungsvorschrift: Folge der geraden Zahlen: ak = 2k , k 0, 2, 4, 6, . . .
{
}
{
}
{
}
∈N
Folge der ungeraden Zahlen: ak = 2k + 1 , k 1, 3, 5, 7, . . . Folge der Zweierpotenzen: ak = 2 k , k 1, 2, 4, 8, . . . weitere Folge: an =
3k 2 4 , k k
√ −
∈N
∈N
∈ N \ { 0}
5.1.2 5.1.2 Vergleich ergleich von von Folgen, Folgen, Funktion Funktionen en und und Mengen Mengen Zusammenhang zwischen Folgen und Funktionen
Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist, also X = N. Die explizite Bildungsvorschrift einer Zahlenfolge ist dabei der Funktionsgleichung einer Funktion gleichzusetzen. f (x) = 1/2 x 2 hat gewöhnlich den Definitionsbereich X = R (siehe Funktion f ( Beispiel 5.4. Die lineare Funktion Abb. 5.1a Abb. 5.1a)). Wird nun der Definitionsbereich auf die natürlichen Zahlen X = N eingeschränkt und f ( f (k ) := a := a k definiert, so folgt die Zahlenfolge a0 , a1 , . . . mit der Zuordnungsvorschrift a k = 1/2 k 2
(siehe Abb.5.1b Abb.5.1b)).
·− {
}
· −
Abbildung 5.1b Abbildung 5.1b zeigt, zeigt, dass der Graph einer Zahlenfolge stets aus einzelnen Punkten besteht und keine durchgezogenen Linie darstellt!
45
2
y
2
1
y
1 x
−2 −1 −1 −2 −3
1
2
3
4
x
−2 −1 −1 −2 −3
5
(a) Graph der Funktion
1
2
3
4
5
(b) Graph der Folge
Abbildung 5.1: Vergleich Vergleich Funktion und Folge Unterschiede zwischen Folgen und Mengen
Auch wenn die Schreibweise einer Zahlenfolge ähnlich zu der einer Menge ist, so gibt es doch zwei entscheidende Unterschiede zwischen Mengen (vgl. Kapitel A Kapitel A ) und Folgen:
• Bei Mengen spielt die Reihenfolge der Aufzählung der Elemente keine Rolle. Für Folgen ist die Reihenfolge jedoch maßgeblich.
• In einer Menge kann tritt jedes Element genau einmal auf. Eine Folge hingegen kann ein Element beliebig oft enthalten.
Beispiel 5.5. Gegeben seien zwei Mengen und zwei Folgen mit den Elementen 1 und 3. A = 1, 3 und B = 3, 1 sind identische Mengen. Die Mengen A = k N und bk ∞ Die Folgen ak ∞ k=0 = 3, 1, 3, 1, 3, . . . mit a k = 2 + ( 1) , k k=0 = 1, 3, 1, 3, 1, . . . k−1 mit bk = 2 + ( 1) , k N sind hingegen verschiedene Folgen.
{ } { } { − ∈
{ } }
−
∈
{ }
{
}
5.1.3 5.1.3 Grenzw Grenzwert ert einer einer Folge Folge Eine Zahl a heißt Grenzwert der Zahlenfolge {ak }∞ k =0 , wenn für jede reelle Zahl ε > 0 ein Index k0 a n der Folge mit einem Index k > k0 einen Abstand kleiner als ε von a existiert, existiert, so dass alle Glieder Glieder a haben:
∀ ε > 0 ∃ k0 ∈ N :
a
− ε ≤ ak ≤ a + ε, ∀ k ≥ k0, k ∈ N.
Der Abstand ε kann beliebig klein sein, sein, d. h., dass die Folgeglieder Folgeglieder ab dem Index k 0 beliebig nah am Grenzwert a liegen müssen. Da der Index vom gewählten ε abhängt, wird auch k0 (ε) geschrieben. Besitzt eine Zahlenfolge einen Grenzwert, so heißt sie konvergent. Schreibweise: lim ak = a
k
→∞ „Die Folge a k konvergiert für k k gegen unendlich gegen a .“ Der Grenzwert einer Zahlenfolge ist eindeutig. Eine Zahlenfolge kann nicht mehrere Grenzwerte besitzen. Eine Zahlenfolge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Eine Zahlenfolge {ak }∞ k =0 heißt be stimmt divergent gegen ∞, wenn für jede noch so große Zahl C > 0 ein Index k 0 := k0 (C ) existiert, sodass
∀ k ≥ k0
ak > C,
46
gilt. Das heißt, die Glieder der Folge wachsen über jede Schranke C hinaus. Entsprechend heißt eine ∈ R bestimmt divergent gegen −∞. Zahlenfolge mit a k < −C, ∀ k ≥ k0 , ∀ C ∈ n gegen unendlich betrachtet. Eine Folge kann Anders als bei Funktionen wird immer das Verhalten für n daher nicht „zwischendurch gegen unendlich streben“ und „später“ gegen einen Grenzwert.
5.1.4 5.1.4 Rechnen Rechnen mit Grenzwert Grenzwerten en Seien zwei konvergente Zahlenfolgen {ak }k∈N und {bk }k∈N mit den Grenzwerten lim ak = a und k →∞ lim bk = b gegeben. Dann gelten folgende Grenzwertsätze: k→∞
• klim (a ± b ) = a ± b →∞ k k (a · b ) = ab • klim →∞ k k a /b = a/b falls b = • klim 0 und bk = 0, ∀k ∈ N →∞ k
k
Einige wichtige Grenzwerte, die bekannt sein sollten (für eine Konstante c ∈ R, b ∈ R, b ≥ 0): 1 • klim =0 →∞ k √ c = 1 • klim →∞ • lim √ k = 1 k
• klim c = c = c →∞
k
• klim →∞
k
• klim →∞
→∞
1+
1 k k
=e
1+
c k k
Abschnitt 2.3.6 = e c , vgl. Abschnitt 2.3.6
Beispiel 5.6. Ausgehend von obigen Rechenregeln und der Kenntnis einiger Grenzwerte lassen sich
Grenzwerte für weitere Folgen berechnen, beispielsweise so: 1 lim 2 = lim lim k →∞ k k→∞
· 1 1 k k
1 k →∞ k
= lim
1 = 0·0 = 0 · klim →∞ k
lim 4 4k 4k k →∞ = lim lim = k→∞ k + 1 k→∞ k (1 + 1 ) lim 1 + lim lim k lim
k
→∞
k
1
→∞ k
=
4 =4 1+0
5.1.5 5.1.5 Eigenschaf Eigenschaften ten von von Folgen Folgen — Beschrän Beschränkthe ktheit it und Monoton Monotonie ie Eine Zahlenfolge {ak }k∈N heißt
• nach oben beschränkt, wenn es ein Konstante C o ∈ R gibt, für die gilt ak ≤ C o , ∀ k ∈ N • nach unten beschränkt, wenn es ein Konstante C u ∈ R gibt, für die gilt ak ≥ C u , ∀ k ∈ N • beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Anders formuliert: wenn eine ≤ ak ≤ C, ∀ k ∈ N gilt. Zahl C > 0 existiert für die −C ≤ Anschaulich bedeutet dies, dass die Folge den rot markierten Bereich in Abb. 5.3 Abb. 5.3 nicht nicht verlässt, weder nach oben noch nach unten. Eine Zahlenfolge {ak }k∈N heißt
• monoton wachsend, wenn ak < a k+1, ∀ k ∈ N 47
y
y
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 x
x
1 2 3 4 5 6 7 (a) konvergente Folge, lim ak = 1
1
k→∞
2 3 4 5 (c) divergente Folge
6
7
y
y 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 (b) bestimmt divergente Folge gegen + ∞
x 1
−1 −2 −3 −4 −5 −6
2
3
4
5
6
7
(d) bestimmt divergente Folge gegen −∞
Abbildung 5.2: Konvergenz und Divergenz an Beispielfolgen
• monoton fallend, wenn ak > a k+1, ∀ k ∈ N • monoton nicht wachsend, wenn ak ≥ ak+1, ∀ k ∈ N • monoton nicht fallend, wenn ak ≤ ak+1, ∀ k ∈ N Zum Teil Teil werden werden auch die Begriffe Begriffe streng monoton wachsend/ wachsend/ fallend fallend verwende verwendet,t, falls die Gleichheit Gleichheit ausgeschlossen wird, und monoton wachsend/ wachsend/ fallend falls die Gleichheit gilt (vgl. Abschnitt 2.2 Abschnitt 2.2)). Es ist also zu beachten, welche Formulierung im konkreten Fall genutzt wird. Zum Test auf Monotonie wird die Ungleichung ak > ak+1 bzw. ak < ak+1 so lange umgeformt, bis eine wahre oder falsche Aussage entsteht. Beispiel 5.7. Beispielfolgen mit unterschiedlichen Eigenschaften:
Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. Die Umkehrung der vorigen Aussage gilt nicht! Nicht jede beschränkte Folge ist automatisch konvergent! Siehe dazu Abb. 5.4a Abb. 5.4a – – blau.
48
y 3 2 1 x 1
2
3
4
5
6
7
Abbildung 5.3: Beschränktheit einer Zahlenfolge y
y
3
3
2
2
1
1 x 1
2 3 4 5 (a) beschränkte Folgen
6
x
7
1
2 3 4 5 6 (b) nicht beschränkte Folgen
7
Abbildung 5.4: Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz; monotone Folgen in rot und nicht monotone in blau; die einzige konvergente Folge ist die rote in Abb. 5.4a Abb. 5.4a Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge ist konvergent. Betrachte zu einer Folge { ak } die zugehörige Folge {|ak |}. Ist diese neue Folge monoton und beschränkt, dann ist auch die ursprüngliche Folge konvergent.
5.1.6 5.1.6 Spezielle Spezielle Zahlenfol Zahlenfolgen gen Einige Zahlenfolgen haben aufgrund ihrer speziellen Form bzw. ihrer besonderen Bedeutung in der Anwendung eigene Namen. Konstante Folgen sind Folgen {ak }k∈N , deren Glieder alle gleich sind. Solche Folgen sind stets monoton nicht wachsend und nicht fallend zugleich, beschränkt und daher konvergent. Es gilt ( c ∈ R): ak = c,
∀k ∈ N
⇒
lim ak = c.
k
→∞
Alternierende Folgen sind Zahlenfolgen, deren Glieder abwechselnd das Vorzeichen wechseln. Eine typische alternierende Folge ist die Folge mit der Bildungsvorschrift a k = ( −1)k .
Die Folgen {ak }k∈N mit ak = (−1)2k oder ak = (−1)k + 4 hingegen sehen zwar ähnlich aus, sind jedoch keine alternierenden Folgen, da sich die Vorzeichen nicht ändern. Nullfolgen sind Zahlenfolgen {ak }k∈N mit dem Grenzwert Grenzwert Null, d. h. lim ak = 0. Da sie einen Grenzk→∞ wert besitzen, sind Nullfolgen stets konvergent. Für die Berechnung von Grenzwerten und Reihen sind Nullfolgen von besonderer Bedeutung. Beispiel 5.8. Beispiele für Nullfolgen:
49
1. ak =
1 = k! k (k
1 1)
2. ak =
· − ···2 · 1
3. ak =
1 = 0, 5k 2k
√ 4 − 1 k
y 3
2
1 x 1
2
3
Abbildung 5.5: verschiedene Nullfolgen: blau –
4
5
1 1 , rot – k , grün – k! 2
√ 4 − 1 k
Harmonische Folge nennt man die Folge der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, {ak }k∈N mit a k = 1/k. Die harmonische Folge ist eine Nullfolge. Arithmetische Zahlenfolgen
Arithmetische Zahlenfolgen sind Folgen, bei denen die Differenz d zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer konstant ist. Es gilt also: ak+1
− ak = d,
ak+1 = a k + d
∀k ∈ N
(rekursive Bildungsvorschrift).
Nach Zusammenfassen dieser Eigenschaft lässt sich für arithmetische Folgen die explizite Bildungsvorschrift formulieren: ak = a 0 + kd ak = a 1 + (k (k
− 1)d 1)d
k = 0 startet, falls die Folge mit dem Index k = k = 1 startet. falls die Folge mit dem Index k =
Mit dieser expliziten expliziten Bildungsvorsch Bildungsvorschrift rift lässt sich jedes Glied der Folge Folge sofort aus der Differenz d und dem Startglied a 0 berechnen. Eigenschaften:
• d = 0: konstante Folge, beschränkt (durch das Startglied) ⇒ konvergent. • d > 0: monoton wachsend, nicht beschränkt ⇒ bestimmt divergent gegen +∞. • d < 0: monoton fallend, nicht beschränkt ⇒ bestimmt divergent gegen −∞. 50
Beispiel 5.9. Arithmetische Folgen sind vergleichbar mit linearen Funktionen.
k = 0; d = d = 1/2; a 0 = 1/2 (vgl. Abb. 5.6 1. ak = 1/2 + 1/2 · k; Startindex: k = Abb. 5.6 – – blau) 3 , 5 − 0, 6k; Startindex: k = k = 0; d = d = −0, 6; a 0 = 3, 5 (vgl. Abb. 5.6 2. ak = 3, Abb. 5.6 – – rot) y 4 3 2 1 x 1
2
3
4
5
6
7
Abbildung 5.6: verschiedene arithmetische Folgen: blau – d > 0 , rot – d < 0
Geometrische Zahlenfolgen
zweier aufeinanderfolgender Glieder Geometrische Zahlenfolgen sind Folgen, bei denen der Quotient q zweier konstant ist. Es gilt also: ak+1 , ak ak+1 = a = a k q q = =
∀k ∈ N
(rekursive Bildungsvorschrift).
·
(5.1.2)
(5.1.3)
−1 des zweiten Zahlungsstroms unterscheiden sich Die aufeinander folgenden Glieder der Folge {Z k }kn=0 p . Es gilt um den Faktor p (5.1.2 5.1.2))
q :=
Z k+1 Z k
(5.1.1 5.1.1))
=
r pk+1 = p. r pk
−1 ist also eine geometrische Folge mit Die Folge {Z k }kn=0
·
·
a0 = Z = Z 0 = r.
Ein Glied der Folge lässt sich folglich aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit q ermitteln. ermitteln. Die explizite Bildungsvorschrift lautet: ak = a 0 q k
· ak = a 1 · q k−1 = 0 und a1 = 0 bzw. a0 = 0 . Konvention: q
falls die Folge mit dem Index k = k = 0 startet k = 1 startet falls die Folge mit dem Index k =
Häufig treten solche Folgen bei Wachstumsprozessen auf, beispielsweise bei Bakterienkulturten, Sparguthaben durch Verzinsung oder auch beim radioaktiven Zerfall.
51
Eigenschaften:
• q = ⇒ konvergent = 1: konstante Folge ⇒ monoton nicht wachsend und fallend, beschränkt • q > 1: nicht beschränkt ⇒ bestimmt divergent gegen +∞ – a0 > 0: monoton wachsend ⇒ bestimmt divergent gegen −∞ – a0 < 0 : monoton fallend • 0 < q < 1: beschränkt ⇒ Nullfolge – a0 > 0 : monoton fallend ⇒ Nullfolge – a0 < 0: monoton wachsend • −1 < q < 0: beschränkt, alternierend ⇒ Nullfolge • q < −1: alternierend, nicht beschränkt ⇒ divergent • q = ⇒ divergent = −1: alternierend, beschränkt Konvergente geometrische Folgen sind also entweder konstant oder Nullfolgen. Mit q = p = p = = 1, 04 04 > > 1 1
−1 also monoton wachsend. und a 0 = r > 0 ist die Folge {Z k }kn=0 lim q k = 0,
k
→∞
|q | < 1
Beispiel 5.10. Beispiele für geometrische Folgen:
k = 0, q = = 2, a0 = 1 1. ak = 2 k , Startindex: k = k = 0, q = = 1/3, a0 = −2 2. ak = −2/3 , Startindex: k = k = 1, q = = 3/5, a1 = 4 3. ak = 4( 3/5)k−1 , Startindex: k = k
5.2 Reihe eihen n 5.2.1 5.2.1 Definition Definition Partialsum artialsumme me und Reihe Reihe Sei {ak }∞ k=0 eine Zahlenfolge. Dann heißt die Aufsummierung aller Glieder einer Folge bis zum Index n, geschrieben n
sn =
ak = a 1 + a2 +
k=0
· · · + an,
n –te Partialsumme der Zahlenfolge ak ∞ k =0 . Die Partialsumme ist eine reelle Zahl.
{ }
Die rechte Seite aus Gl. (5.0.1 ( 5.0.1)) stellt die Summe über den Folgenwerten aus ( aus (5.1.1 5.1.1)) dar. Diese Summe ist also eine Reihe n−1 1 1 n−1 n−2 n−2 n−1 r · p + r · p + · · · + r · p + r = r = r + + r · p + · · · + r · p + r · p = r · pk .
k =0
52
y 1
y x 1
2
3
4
5
5
6
−1
4
(a) Geometrische Folgen mit 0 < q < 1 (blau) und −1 < q < 0 (rot)
y
3 2
1
1
x 1
2
3
4
5
x
6
−1
1
2
3
4
5
6
(c) Geometrische Folge mit q > 1
(b) Geometrische Folge mit q = q = − 1
Abbildung 5.7: verschiedene Geometrische Folgen Wird aus den n–ten Partialsummen eine Folge {sn }∞ n=0 gebildet, so heißt die Folge der Partialsummen Reihe. Konvergiert diese Folge gegen eine Zahl s, so heißt s Summe der Folge {ak }∞ Grenzwert k=0 oder Grenzwert der Reihe. Schreibweise:
n
s = lim lim sn = lim n
n
→∞
→∞
∞
ak =:
k =0
ak
k=0
Dementsprechend heißt eine Reihe mit einem Grenzwert konvergent, andernfalls divergent. Für Reihen gelten ebenso die Begriffe bestimmt divergent gegen ±∞. Damit eine Reihe konvergiert, müssen ihre Glieder eine Nullfolge bilden. ∞ ak ist zum Einen der Wert bzw. Grenzwert einer Reihe, zum Anderen wird er aber Der Ausdruck
k=0
auch verwendet, um die Reihe als Partialsummenfolge zu benennen. Index–Verschiebung: Manchmal ist es zweckmäßig den Laufindex k der Summe zu verschieben. Wichtig ist, bei Verschiebung der Indizes den Wert der Summe nicht zu verändern.
• Verschieben des Startindex’: n+l
n
ak =
k=m
k =m+l
ak−l
• Erweitern der Reihe um Glieder, die danach wieder abgezogen werden müssen: ∞
∞
4
− k=5
ak =
k=1
53
ak
k =1
ak
(5.2.1)
Indexverschiebung: n 1
−
n 1
−
· k
r p =
k=0
(5.2.1 5.2.1))
Z k =
k =0
n
n
k=1
Z k−1 =
·
r pk−1
k=1
(wird bei den weiteren Rechnungen nicht benötigt)
5.2.2 5.2.2 Spezie Spezielle lle Reihen Reihen Analog zu den speziellen Folgen gibt es auch spezielle Reihen mit eigenen Namen. Alternierende Reihen
Ist die Folge ak eine alternierende Folge, so wird
∞
ak eine alternierende Reihe genannt, vgl. Ab-
k =0
schnitt 5.1.6 schnitt 5.1.6.. Eine solche Reihe konvergiert, wenn
{|ak |}k∈
N
eine Nullfolge ist.
Harmonische Reihe
∞
Die Harmonische Reihe ist die Reihe basierend auf der Harmonischen Folge: obwohl die zugehörige Folge eine Nullfolge ist. ∞ (−1) Die alternierende Harmonische Reihe hingegen ist konvergent. k
k =1
1 k
. Sie ist divergent,
k
k=1
Arithmetische Reihen
Für eine arithmetische Folge {ak }k∈N = {a0 , a1 , a2 , . . .} lautet die n–te Partialsumme n
sn =
(a0 + (k (k
k=0
Die zugehörige arithmetische Reihe
∞
n( n (n − 1)d 1)d 1)d) = na 0 + . − 1)d 2
− 1)d 1)d) ist stets bestimmt divergent (außer für den = d = = 0). Für d d > 0 ist sie bestimmt divergent gegen + ∞, für d d < 0 bestimmt divergent trivialen Fall a 0 = d ∞ d = 0 resultiert eine konstante Folge und somit die Reihe a0 , die abhängig vom gegen −∞. Für d k =0 Vorzeichen Vorzeichen von a 0 bestimmt divergent gegen + ∞ oder −∞ ist. (a0 + (k (k
k =0
Geometrische Reihen
Für eine geometrische Folge {ak }k∈N = {a0 , a1 , a2 , . . .} lautet die n –te Partialsumme n
sn =
· · · a0 q k = a 0
k=0
Die zugehörige geometrische Reihe
∞
q n+1 1 , q 1
− −
q = 1.
a0 q k−1 konvergiert für q < 1 . Ihr Wert ist
k =0
54
||
(5.2.2)
∞
·
a0 q k = a 0
k =0
· 1 −1 q ,
q = 1.
Für q ≥ 1 ist die Reihe bestimmt divergent gegen + ∞. Für q q ≤ ≤ −1 divergiert die Reihe unbestimmt. q ≥
−1 eine geometrische. Daher ist Wie in Abschnitt 5.1.6 Abschnitt 5.1.6 festgestellt, festgestellt, ist die Folge {Z k }kn=0 n 1
−
n 1
−
· Z k =
k =0
r pk
k=0
= 1. Daher gilt für die Partialsumme s n−1 (beachte den eine endliche geometrische Reihe, mit p = q abweichenden Endwert der Summe) sn−1
p n 1 = r . p 1
(5.2.2 5.2.2))
· −−
(5.2.3)
Gleichung ( Gleichung (5.0.1 5.0.1),), die aus dem Äquivalenzprinzip folgte K 0 pn = r pn−1 + r pn−2 + p n 1 (5.2.3 5.2.3)) = r p 1
·
· −−
·
· · · + r · p1 + r
muss nach r umgestellt werden, weil dies die gesucht Größe ist
· · ppn−−11 .
r = K = K 0 pn
n = 25, p = p = 1, 04, K 0 = 125 125 000 e ergibt sich Mit den konkreten Daten n = r = 125 000 00011, 0425 = 8 00 0011, 50
· 1, 040,2504− 1
Es sind also jährlich nachschüssig 25 Raten in Höhe von 8001, 8001, 50 e zu zahlen, um die Schuld von 125000 e zu tilgen.
5.3 Weitere eitere Aufgab Aufgaben en 1. Über eine Bakterienkultur ist bekannt, dass die tägliche Wachstumsrate 6 % beträgt, jedoch sterben auch täglich 150 Bakterien durch Umwelteinflüsse. Zu Beginn bestand die Kultur aus 2000 Bakterien. Wieviele Bakterien leben am n –ten Tag nach Start der Beobachtungen? 2. (a) Als Mr Mr. Barnes Barnes starb, starb, erhielt erhielt seine Witwe Witwe 2/3 seines Vermögens, 1/4 teilten sich seine Kinder 100 000 e ging an eine wohltätige Organisation. Wie groß war das Vermögen und der Rest, 100 von Mr.Barnes? (b) Wenn die Witwe ihren Anteil zu 3 % Zinsen mit Zinseszins anlegt, wieviel Geld hat sie dann nach 10 Jahren? (c) Wann erfolgt eine Verdreifachung des eingezahlten Geldes?
55
3. Eine bestimmte Menge m0 einer organische Substanz sei in Wasser gelöst und soll mit Benzen extrahiert werden. Nach Zugabe des Benzens ergibt sich im Gleichgewichtszustand der Verteilungskoeffizient k = c /c = 0, 653 ( c1 Konzentration des Stoffes in Wasser, c2 Konzentration in Benzen). 1
2
(a) Wie oft muss man 200 ml der wässrigen wässrigen Lösung mit jeweils jeweils 200 ml Benzen extrahieren, um 97 % der Substanz aus der wässrigen Lösung zu entfernen? (b) Wie oft müsste man mit jeweils 100 ml Benzen extrahieren, um dieselbe Abreicherung zu erhalten?
Lösungen 1.
· − 150 150,, a0 = 2 00 0000 1, 06 + · · · + 1, 1, 06n ) an+1 = 1, 06n+1 · 2000 − 150 · (1 + 1, 1, 06n+1 − 1 = 1, 06n+1 · 2000 − 150 · 1, 06 − 1 an+1 = 1, 06 an
2000 00 0000 e. Der Anteil der Witwe beträgt 800000 e und der der 2. (a) Mr. Mr. Barnes Barnes hatte hatte insgesamt insgesamt 1 20 300 000 e. Kinder 300 0755 13 1333, 10 e. (b) Die Witwe erhält nach angegebenem Modell nach 10 Jahren 1 07 (c) Die Verdreifachung erfolgt nach 38 Jahren.
3. (a) (a) Es müss müssen en n = n = 4 Extraktionen durchgeführt werden, weil n
0, 03 = 3, 775 483 483.. ≥ lnln0,α03 = ln 0ln, 395039
n = 7 Extraktionen durchgeführt werden, weil (b) Es müssen n = n
0, 03 ≥ lnln0,α03 = ln 0ln, 566348 = 6, 209 910 910..
56
6 Differentialrechnung Abbildung 6.1 Abbildung 6.1 zeigt zeigt einen veränderlichen Verbraucherwiderstand R a , der von einer Spannungsquelle mit der Quellenspannung U 0 und dem Innenwiderstand Ri gespeist wird. Bei Kurzschluss (Ra = 0) und Leerlauf (Ra → ∞) erfolgt keine Leistungsaufnahme. Dazwischen gibt es für den Verbraucherwiderstand Ra einen Wert, bei dem er die größtmögliche Energie aufnimmt, die sogenannte Leistungsanpassung. Bestimmen Sie diesen Extremwert. Lösungshinweis: Stellen Sie zunächst die vom Verbraucherwiderstand Ra aufgenommene Leistung P als eine Funktion von R a dar und bestimmen Sie dann das Maximum dieser Funktion. Ri
I
U 0
Ra
U
Abbildung 6.1: Verbraucherwiderstand Verbraucherwiderstand Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist die Summe der Teilwiderstände RG = R = R a + Ri .
Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetz ( RG = U /I ) folgt 0
I =
U 0 . Ra + Ri
(6.0.1)
Die Maschenregel besagt, dass die Gesamtspannung U 0 einer Reihenschaltung der Summe der Teilspannungen entspricht
·
U 0 = U = U + + Ri I
⇒
U = U 0
− Ri · I .
(6.0.2)
Somit folgt für die aufgenommene Leistung P am Verbraucherwiderstand Ra
· ·
P = U I
U 0 = U 0 Ri Ra + Ri Ri U 0 (C.4.2 C.4.2)) Ra U 0 + Ri U 0 = Ra + Ri U 02 Ra (C.4.3 C.4.3)) = (Ra + Ri )2 (6.0.1 6.0.1)),(6.0.2 6.0.2))
− ·
−
U 0 Ra + Ri U 0 Ra + Ri
(6.0.3)
Die Quellspannung U 0, sowie der Innenwiders Innenwiderstand tandss sind feste Größen. Damit hängt die Leistung Leistung nur P (Ra )). noch vom Außenwiderstand Ra ab (P = P ( 57
6.1 Grenzw Grenzwert ert und und Steti Stetigke gkeit it von von Funkt Funktion ionen en 6.1.1 6.1.1 Grenzw Grenzwert ert Grenzwert an einer endlichen Stelle x 0
Sei f : R → R eine Funktion. Die Zahl a ∈ R heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0 ∈ R, = x0 , ∀ n ∈ N+ mit dem Grenzwert x 0 die Folge der wenn für jede Folge {xn }∞ n=1 mit xn ∈ R, xn f (xn )}∞ zugehörigen Funktionswerte Funktionswerte {f ( n=1 gegen den Wert a konvergiert.
{xn}∞n=1, xn ∈ R, xn = x0, ∀n ∈ N+ = N\{0}: ⇒ lim xn = x 0 n→∞
lim f ( f (xn ) = a
n
→∞
Desweiteren werden auch sogenannte einseitige Grenzwerte betrachtet. Die Funktion f besitzt an der Stelle x0 den linksseitigen Grenzwert al , wenn für jede Folge {xn }∞ n=1 , die sich von links an x0 an+ nähert nähert (d. h. xn < x0 , ∀ n ∈ N ), die Folge der zugehörigen Funktionswerte den Grenzwert al hat: lim f ( f (xn ) = a l . n→∞ Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 den rechtsseitigen Grenzwert a r , wenn für jede Folge {xn }∞ n=1 , die sich von rechts an x 0 annähert annähert (d. h. x n > x0 , ∀ n), die Folge der zugehörigen Funktionswerte den f (xn ) = a r . Grenzwert a r hat: lim f ( n→∞ Alternativ wird auch statt lim xn → x0 kurz x → x0 geschrieben. n→∞ Schreibweise: linksseitiger Grenzwert
al = lim f ( f (x) x
→x − 0
rechtsseitiger Grenzwert
ar = lim f ( f (x) x
→x
0
+
Es existieren alternative Schreibweisen:
→ x0− x → x0 + x
∧
=
∧
=
∧
↑ x0 x ↓ x0 x
=
∧
=
ր x0 x ց x0 x
Abb. 6.2)): Beispiel 6.1. Signumfunktion (vgl. Abb. 6.2
sgn(x sgn(x) =
−
lim sgn(x sgn(x)
=
−1
lim sgn(x sgn(x)
=
+1
→0−
x
+1, +1, x > 0 0, x = 0 1, x < 0
→0+
x
lim sgn(x sgn(x) = sgn(0) =
→0−
x
lim sgn(x sgn(x)
→0+
x
Grenzwert im Unendlichen
Die Funktion f konvergiert für unbeschränkt wachsende bzw. fallende Argumente x gegen einen Grenzwert a, wenn für jede Folge {xn }∞ n=1 , die bestimmt gegen +∞ bzw. −∞ divergiert, die zugehörige f (xn ) = a . Folge der Funktionswerte gegen a konvergiert, lim f ( n→∞
58
y 1 x
−3 −2 −1
1
2
3
−1
Abbildung 6.2: Einseitiger Grenzwert am Beispiel der Signumsfunktion (rot) Schreibweise: x
lim f ( f (x) = a
→±∞
Abschnitt 5.1.3 Beispiel 6.2. vgl. Abschnitt 5.1.3 f (x) = a und lim g(x) = b. Dann gelten folgende GrenzFür zwei Funktionen f und g gelte lim f ( x→x x→x wertsätze für Funktionen: 0
0
· · xlim f ( f (x) →x lim (f ( f (x) ± g (x)) = lim lim f ( f (x) ± lim g (x) x→x x→x x→x lim (f ( f (x) · g (x)) = lim lim f ( f (x) · lim g (x) x→x x→x x→x lim (c f ( f (x)) = c
x
→x
0
0
0
0
0
0
0
lim
x
→x
0
0
lim f ( f (x) f ( f (x) x→x0 = , g(x) lim g (x) x
g (x) = g (x) = b = falls g( 0,0 , ∀x, xlim 0 →x 0
→x
0
Analoge Aussagen gelten auch für einseitige Grenzwerte und das Verhalten im Unendlichen. Dazu setzt man x 0 = ±∞. Besondere Bedeutung haben solche Betrachtungen für Polstellen und Lücken, also an Stellen an denen die Funktion nicht definiert ist. Beispiel 6.3. Berechnung von Grenzwerten bei Funktionen.
1.5) = 1, vgl. Abb. 6.3 1. lim (−0.5x + 1. Abb. 6.3 – – blau x→1 x2
− 4x + 4
f (x) = +1 2. f ( x−2 Diese Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht definiert, der Grenzwert ist jedoch berechenbar. 2 gilt. Betrachtet wird dazu eine Folge { xn }∞ n=1 , die gegen 2 konvergiert und für die xn = x −4x +4 ∞ f (xn )}n=1 heißt dann f ( f (xn ) = +1 = Die zugehörige Folge der Funktionswerte { f ( x −2 (x −2) − 2) + 1 = x = x n − 1, ihr Grenzwert ist lim f ( f (xn ) = lim lim (xn − 1) = 2 − 1 = 1 x −2 + 1 = (xn n→∞ n→∞ (vgl. Abb. 6.3 Abb. 6.3 – – rot). 2
n
n
n
n
2
n
6.1.2 6.1.2 Stetig Stetigkei keitt Eine Funktion heißt im Punkt x 0 stetig, wenn die Funktion f im Punkt x 0 definiert ist und der Grenzwert f (x0 ) übereinstimmt: in diesem Punkt mit dem Funktionswert f ( lim f ( f (x) = f ( f (x0 )
x
→x
0
59
y 2 1 x
−1
1
2
3
4
5
−1 −2
Abbildung 6.3: Beispiele für Grenzwerte bei Funktionen Ist die Funktion f in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig, so heißt sie stetig. Sind zwei Funktionen f und g im Punkt x 0 stetig, dann sind auch die folgenden Funktionen in x 0 stetig (c ∈ R): f − g, 0. c · f, f + + g, f − f g, , falls g( g (x0 ) = g
Anschaulich gesprochen: Funktionen Funktionen die gezeichnet werden können, ohne den Stift abzusetzen, werden als stetig bezeichnet. Beispiel 6.4. Die Funktion
f ( f (x) =
x sin(1/x) , 0,
x=0 x = 0
ist stetig. Allerdings kann diese Funktion wegen der Oszillationen und der unendlich langen Kurve nahe Null nicht durchgezeichnet werden. Im Intervall [ −1, 1] wird unendlich viel Tinte benötigt. Beispiel 6.5. Stetige Funktionen:
• Potenzfunktionen (vgl. Abschnitt 2.3.5 f (x) = x n , n ∈ N, stetig auf R, folglich auch Polynome Abschnitt 2.3.5)): f ( stetig
• Exponentialfunktionen (vgl. Abschnitt 2.3.6 f (x) = a x , a > 0 stetig auf R+ Abschnitt 2.3.6)): f ( • Logarithmusfunktionen (vgl. Abschnitt 2.3.6 f (x) = loga x,a > 0 > 0 stetig auf R Abschnitt 2.3.6): ): f ( • Betragsfunktion (vgl. Abschnitt 2.4.3 Abschnitt 2.4.3)): f ( f (x) = |x| stetig auf ganz R Funktionen, die nicht in allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig sind, heißen unstetig. Die entsprechenden Punkte Unstetigkeitsstellen. Abschnitt 6.1.1,, Abb. 6.2 Abb. 6.2 Beispiel 6.6. Signumfunktion aus Abschnitt 6.1.1
6.2 6.2 Able Ableitu itung ngen en ( x0 , y0 ) und (x ( x1 , y1 ) zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion f . Der Differenzenquotient Seien (x Differenzenquotient
− f ( f (x0 ) f ( f (x0 + ∆x ∆ x) − f ( f (x0 ) = (6.2.1) − x0 ∆x ist der Quotient aus der Differenz der y–Werte ∆y = y1 − y0 zu der Differenz der x–Werte ∆x = x1 − x0 . Er gibt den Anstieg der Sekanten zwischen den beiden Punktpaaren (x ( x0 , y0 ) = (x ( x0 , f ( f (x0 )) und ∆y f ( f (x1 ) = ∆x x1
(x1 , y1 ) = (x1 , f ( f (x1 )) an (Vergleiche dazu Abb. 6.4 Abb. 6.4)).
60
y
Tangente Sekante y0 + ∆y ∆y
Funktion ∆y
y0 ∆x x x0
x0 + ∆x ∆x
Abbildung 6.4: Zusammenhang von Tangente (rot), Sekante (grün) und Funktion f (blau). Durch Ver ∆ x → 0 wird aus der Sekante eine Tangente, die den Anstieg der Funktion f im kleinern des Abstands ∆x Punkt x 0 beschreibt. ( x0 , y0 ) betrachtet werden, dann wird geometrisch Soll der Anstieg von f in einem bestimmten Punkt (x die Tangente in diesem Punkt an den Graphen der Funktion benötigt. Anschaulich wird der Abstand ( x1 , y1 ) so nah zusammengeführt, bis sie fast miteinander verschmelder beiden Punkte (x0 , y0 ) und (x zen. Mathematisch wird also der Grenzwert ∆x → 0 des Differenzenquotienten (6.2.1 ( 6.2.1)) gebildet (vgl. Abb. 6.4 Abb. 6.4)) f ( f (x0 + ∆x ∆ x) ∆x→0 ∆x lim
− f ( f (x0 )
(6.2.2)
gebildet werden. Existiert der Grenzwert, so heißt Gleichung (6.2.2 ( 6.2.2)) Differentialquotient oder auch erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0 . Die Funktion f heißt dann differenzierbar an der Stelle x 0 . Schreibweise: f ′ (x0 ) =
df f ( f (x0 + ∆x ∆ x) (x0 ) = lim ∆x→0 dx ∆x
− f ( f (x0 )
Für lineare Funktionen (vgl. Abschnitt 2.3.1 Abschnitt 2.3.1)) sind Sekante und Tangente in jedem Punkt identisch und ∆y es gilt ∆x = b . Ist die Funktion f an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar, differenzierbar, so heißt die Funktion differen′ zierbar . Es entsteht eine Ableitungsfunktion f . Ist diese Funktion wiederum differenzierbar, resultiert die zweiten Ableitung von f . Fortführend können so bei vorliegender Differenzierbarkeit höhere Ableitungen vom Grad n gebildet werden. Schreibweise: d2 y ′′ f (x) =
.. . f (n) (x) =
zweite Ableitung
dx2
...
dn y dxn
n-te Ableitung
61
Beispiel 6.7. Differenzierbare Funktionen
• konstante Funktionen: Für jede konstante Funktion f ( f (x) = c mit c ∈ R gilt: f ( f (x) − f ( f (x0 ) c−c f ′ (x) = lim lim = lim lim = lim lim 0 = 0 x→x x→x x − x0 x→x x − x0 • lineare Funktionen: Für jede lineare Funktion (vgl. Abschnitt 2.3.1 f (x) = a + a + bx bx mit a, b ∈ R , Abschnitt 2.3.1)) f ( b= 0 gilt: f ( f (x) − f ( f (x0 ) a + bx − a − bx0 b(x − x0 ) f ′ (x) = lim lim = lim lim = lim lim = b x→x x→x x→x x − x0 x − x0 x − x0 • Exponentialfunktionen: f (x) = a x und a ∈ R, für jede Exponentialfunktion (vgl. Abschnitt 2.3.6 2.3.6)) f ( a= ln(a), 0, gilt f ′ (x) = axx ln(a x ′ 0
0
0
0
0
0
f (x) = e , f (x) = e Spezialfall: f (
Eine Funktion heißt an einer Stelle x0 nicht differenzierbar , wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existiert. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind. Beispiel 6.8. Nicht–differenzierbare Funktionen (visuell erkennbar am „Knick“):
f (x) = | x| (vgl. Abschnitt 2.3.2 1. Die Betragsfunktion f ( 2.3.2 und und Abb. 2.7 2.7)) ist auf ganz R stetig und überall differenzierbar, außer im Nullpunkt x 0 = 0.
2. Die Funktion f ( f (x) =
x ≤ 0 für x x > 0 für x
0, 2x + 1, 1,
ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar. Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar (siehe dazu die Betragsfunktion).
Ableitungsregeln Für viele Funktionstypen vereinfacht sich die Bildung der ersten Ableitung durch die Formeln aus Tab. 6.1 Tab. 6.1.. Zusammenhänge:
• Jede konstante Funktion f (x) = c = c = c c · x0 aufgefasst werden. Jede lineare Funktion als kann als f ( 0 1 f ( f (x) = a + bx = bx = ax ax + bx . Zum Ableiten kann dann die Formel für Potenzfunktionen verwendet
werden.
• Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Es empfiehlt sich für die Übersichtlichkeit vor dem Ableiten Wurzelfunktionen als Potenz zu schreiben und dann abzuleiten, vgl. Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5..
f (x) und g = g = g((x) differenzierbar, so gelten folgende Differentiationsregeln: Sind die Funktionen f = f ( Faktorregel:
(c f ( f (x))′ = c f ′ (x)
·
·
62
(6.2.3)
Tabelle 6.1: Ableitungsregeln ( a ∈ R, n ∈ Z) Funktionstyp Konstante Funktionen Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Sinusfunktion Kosinusfunktion Tangensfunktion
Kotangensfunktion
f ( f (x)
f ′ (x)
k xa ax
0 axa−1 x ln(a) a ln(a 1 x ln(a ln(a) cos(x) sin(x sin(x)
tan(x tan(x)
Bedingungen k ∈ R, fest 0 , a = 1 a > 0,
· ·
loga (x) sin(x sin(x) cos(x cos(x)
a > 0, 0 , a = 1
−
−
cot(x cot(x) arcsin(x arcsin(x) arccos(x arccos(x) arctan(x arctan(x) arccot(x arccot(x)
1 = 1 + tan2 (x) 2 cos (x) 1 = 1 + cot2 (x) 2 sin (x) 1 1 x2 1 1 x2 1 1 + x2 1 1 + x2
x = (2n (2n + 1) /2 π
− √ − − √ −
|x| < 1 |x| < 1
x = n π
−
Summenregel:
(f ( f (x)
= f ′ (x) ± g ′ (x) ± g(x))′ = f
(6.2.4)
Produktregel:
(f ( f (x) g (x))′ = f ′ (x) g (x) + f ( f (x) g ′ (x)
·
·
·
(6.2.5)
Quotientenregel: g (x) = 0 ,
∀x ∈ R
f ( f (x) g (x)
′
=
f ′ (x) g(x) f ( f (x) g ′ (x) g 2 (x)
·
−
·
(6.2.6)
h (x) = g( g (f ( f (x)), dann gilt Kettenregel: Sei h( h′ (x) = g ′ (f ( f (x)) f ′ (x)
·
(„äußere Ableitung mal innere Ableitung“) Beispiel 6.9. Ableitungen von Funktionen
5, f 1′ (x) = 3 1. f 1 (x) = 3x + 5, (Potenzfunktion (Potenzfunktion Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5,, Faktor- und Summenregel) 12x2 − 2 2. f 2 (x) = 4x3 − 2x, f 2′ (x) = 12x (Potenzfunktion (Potenzfunktion Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5,, Faktor- und Summenregel) 3. f 3 (x) = (2 + x)ex − e, f 3′ (x) = ex + (2 + x)ex (Potenz- und Exponentialfunktion Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5 und und 2.3.6, 2.3.6, Produkt- und Summenregel) 4. f 4 (x) = x 2k , f 4′ (x) = 2kx2k−1 , k ∈ N (Potenzfunktion (Potenzfunktion Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5))
63
(6.2.7)
1 6x 5. f 5 (x) = (x +3) , f 5′ (x) = (x−+3) (Potenzfunktion 2.3.6 (Potenzfunktion 2.3.6,, Kettenregel oder Quotientenregel) 2
6. f 6 (x) =
3
2
4
√ 4x + 1,1, f ′ (x) = 1/3 · (4x (4x + 1)− / · 4 = 6 3 2 3
3
4 (4x (4x + 1)2
3
(Wurzel- bzw. Potenzfunktion Abschnitt 2.3.5 Abschnitt 2.3.5,, Summen- und Kettenregel) 2 log4 x, f 7′ (x) = x ln(4) 7. f 7 (x) = log4 x2 = 2 log (Logarithmusfunktion Abschnitt 2.3.6 Abschnitt 2.3.6 und und Faktorregel) Oftmals sind Kombinationen mehrerer Regeln nötig. Teils lassen sich auch verschiedene Regeln verwenden. f (x) = x ist die erste Ableitung f ′ (x) = 1 und nicht f ′ (x) = 0. Fehlerwarnung: Fehlerwarnung: Für f (
Viele Fehler beim Ableiten entstehen nur durch falsches Umstellen, Weglassen von Klammern, Kürzen oder Zusammenfassen (vgl. Anhang C Anhang C))! Fehlerwarnung: Beachte, wonach abgeleitet wird! Es gibt auch Funktionen mit mehr als einer Variablen oder mit freien Paramtern. f (x) = 3y + 4z 4 z + 6 ist die Ableitung f ′ (x) = 0 und nicht 3 oder 4! Die Symbole y und z sind hier Für f ( als Konstanten zu betrachten.
6.3 Kurve Kurvendi ndisk skuss ussion ion 6.3.1 6.3.1 Definition Definitionsbere sbereich, ich, Werte Werteberei bereich ch und Nullste Nullstellen llen Die Definitionen für Definitions- und Wertebereich finden sich in Abschnitt 2.1.1 2.1.1.. Definitionsbereich: Widerstände haben stets einen nichtnegativen Wert, dies gilt auch für Ra. Der Widerstand ist nicht ( Ra + Ri )2 verschwindet. Daher muss gelten definiert, falls der Nenner (R (Ra + Ri )2 = 0
⇒
(Ra + Ri ) = 0
⇒
Ra =
−Ri,
Da aber alle Widerstände nicht kleiner als Null sein sollen, ist diese Bedingung stets erfüllt. P ) = R0+ = {Ra : Ra ∈ R, Ra ≥ 0} = [0, [0 , ∞). DB(P ) P auf [0, [0 , ∞) gilt Für P
≥0
· ≥
P ( P (Ra ) = U 02
≥0
Also gilt gil t für den Wertebereich
Ra (Ra + Ri )2
0.
≥0
P ) = R0+ , WB(P )
dieser Bereich ist nach oben nicht scharf. f (x) sind jene Stellen x , für die gilt f ( f (x) = 0 . Die Nullstellen einer Funktion f = f (
64
Nullstellen: P ( P (Ra ) = 0 = U = U 02
Ra 2
(Ra + Ri )
= U 02 Ra U 0 = 0 oder
⇒
·
Ra = 0
6.3.2 6.3.2 Minima, Minima, Maxima und Monotonie Monotonie Eine typische Anwendung der Differentialrechnung findet sich in sogenannten Extremwertaufgaben. Minima (Punkte mit kleinstem Funktionswert) und Maxima (Punkte mit Dabei werden Funktionen auf Minima größtem Funktionswert) untersucht. Ein Sammelbegriff für Minima und Maxima ist Extremum oder Ex Extremalstelle. Diese Extrema können lokal oder global sein. Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich Df ⊂ R besitzt an der Stelle x0 ∈ Df ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung von x0 gibt, in der kein Funktionswert kleiner ist als der Funktionswert im Punkt x0 :
∃ ε > 0 :
≤ f ( ∀ x ∈ Df ∩ [x0 − ε, x0 + ε]. f (x), Eine Funktion f besitzt an der Stelle x 0 ∈ D f ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung von x 0 f ( f (x0 )
gibt, in der kein Funktionswert größer ist als der im Punkt x 0 :
∃ ε > 0 :
f ( f (x0 )
f (x), ≥ f ( ∀ x ∈ Df ∩ [x0 − ε, x0 + ε]. ε = ∞ gewählt werden, dann ist Gilt diese Bedingung für den gesamten Definitionsbereich, kann also ε =
von einem globalen Minimum bzw. Maximum die Rede.
Notwendiges Kriterium für Extrema Ist die Stelle x0 ein lokales Extremum der differenzierbaren Funktion f , dann verschwindet die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle x0 ist Extremum
f ′ (x0 ) = 0. 0.
⇒
Die Umkehrung der vorhergehenden Aussage ist falsch f ′ (x0 ) = 0
x0 ist Extremum.
Bestimmung der ersten Ableitung: (6.2.3 ( 6.2.3)) P ′ (Ra ) = U 2 · 0
Ra (Ra + Ri )2
′
2 · 1 · (Ra + Ri()Ra− +RRa i·)24 · (Ra + Ri) (Ra + Ri ) ((R ((Ra + Ri ) − 2 · Ra ) = U 2 ·
(6.2.6 6.2.6))
= U 02 0
(Ra + Ri )4
· (RRaa +−RRii)3
= U 02
65
(6.3.1)
Nullsetzen (notwendiges Kriterium): 0 = P ′ (Ra ) Ra R i = U 02 (Ra + Ri )3
· − = U 02 · (Ri − Ra ) ⇒ U 0 = 0 oder
Ra = Ri
(6.3.2)
Da es in dieser Aufgabe um die Anhängigkeit der Leistung P vom Außenwiderstand geht, ist nur Ra = R = R i von Interesse. Allerdings ist nicht jede Stelle x mit der Eigenschaft f ′ (x) = 0 ein Minimum oder Maximum (vgl. Abschnitt 6.3.3 Abschnitt 6.3.3)). Die Bedingung ist daher notwendig, aber nicht hinreichend. Abhängig von der zweiten Ableitung der Funktion (falls die entstandene Ableitungsfunktion ebenfalls differenzierbar ist) lässt sich bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Hinreichendes Kriterium Es sei f ′ (x0 ) = 0 .
• f hat < 0 hat an der Stelle x 0 ein lokales Maximum, falls f ′′ (x0 ) < 0 • f hat > 0 hat an der Stelle x 0 ein lokales Minimum, falls f ′′ (x0 ) > 0 Bestimmung der zweiten Ableitung: (6.2.3 ( 6.2.3)) P ′′ (Ra ) = U 2 · 0
′
−
Ri Ra (Ra + Ri )3 ( 1) (Ra + Ri )3
· − ·
(6.2.6 6.2.6))
= U 02
− (Ri − Ra) · 3 · (Ra + Ri)2
(Ra + Ri )6 (R ( Ra + Ri )2 ( (Ra + Ri ) 3 (Ri = U 02 (Ra + Ri )6 Ra Ri 3Ri + 3R 3 Ra = U 02 (Ra + Ri )4 Ra 2Ri = 2U 02 (Ra + Ri )4
·−
·
− ·
− Ra ))
· − − − · −
Einsetzten der kritischen Stelle aus ( aus (6.3.2 6.3.2)):
· (RRii +− 2RRi)i4 −Ri = 2U 2 ·
P ′′ (Ra = Ri ) = 2U 02 0
=
−
=
−
(2R (2Ri )4 Ri 2U 02 16 16R Ri4 1 U 02 3 < 0 8Ri
Wegen P ′′ (Ri ) < 0 < 0 besitzt P an der Stelle R i ein lokales Maximum. Minima und Maxima einer Funktion Funktion sind manchmal nicht eindeutig bestimmt, d. h. eine Funktion kann beliebig viele lokale aber auch globale Minima und Maxima besitzen. Beispielsweise besitzt die Sinus– Funktion unendlich viele globale Minima und Maxima. 66
Beispiel 6.10. Es sei die Funktion f ( f (x) = 2/3 x3
· − 4x auf Extremalstellen zu untersuchen.
Schritt 1: Bestimmung möglicher Extrema mittels erster Ableitung: Bestimmung von f ′ (x) und Nullsetzen (Nullstellenberechnung der ersten Ableitung).
0 = f ′ (x) = 2x2 4 = 2x2
−4
|+4 |√ :2 |
2 = x 2 x1,2 =
±
√
2
Schritt 2: Untersuchung der zweiten Ableitung möglichen Extremalstellen: f ′′ (x) = 4x
· √ 2 > 0 √ f ′′ (x2 ) = f ′′ 2 = −4 · 2 < 0 √ √ Die Funktion f hat hat somit an der Stelle x = 2 ein lokales Minimum und an der Stelle x = − 2 f ′′ (x1 ) = f ′′
√ −√
2 =4
1
2
ein lokales Maximum. In Abb. 6.5 Abb. 6.5 ist ist erkennbar, erkennbar, dass es sich tatsächlich nur um lokale, nicht aber um globale Extrema handelt. Globale Extrema existieren in diesem Falle nicht. y f ′′ (x) f ′ (x) f f ((x)
4 3 2 1
x
−3 −2 −1
1
2
3
−1 −2 −3
−4 f (x) = 2/3 · x3 − 4x (blau) mit der zugehörigen ersten (rot) und zweiten Abbildung 6.5: Die Funktion f ( (grün) Ableitung
Monotonie der Funktion (vgl. Abschnitt 5.1.5 Extremstellen markieren die Änderung der Monotonie Abschnitt 5.1.5). ). Mit Hilfe der ersten Ableitung können ebenfalls Aussagen über die Monotonie getroffen werden.
Eine Funktion f heißt in einem Intervall I • monoton wachsend, falls f ′(x) ≥ 0, ∀ x ∈ I ,
• monoton fallend, falls f ′(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I . 67
6.3.3 6.3.3 Konvexit Konvexität, ät, Konkav Konkavität ität und und Wende Wendepunkt punkte e Ein Punkt (xw , yw ) wird Wendepunkt (WP) genannt, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen ihr Vorzeichen Vorzeichen wechselt. Notwenidges Kriterium ( xw , yw ) ein Wendepunkt Ist der Punkt (x Wendepunkt der zweimal differenzierbaren Funktion f , dann gilt für die zweite Ableitung f ′′ (xw ) = 0.
Nullsetzen der zweiten Ableitung:
· (RRaa +− 2RRi )i4
0 = P ( P (Ra ) = 2U 02 = R a 2Ri Ra = 2Ri
−
(6.3.3)
Hinreichendes Kriterium Sei f ′′ (xw ) = 0.
• f hat < 0 hat an der Stelle x 0 einen Links–rechts–Wendepunkt, falls f ′′′ (xw ) < 0 • f hat > 0 hat an der Stelle x 0 einen Rechts–links–Wendepunkt, falls f ′′′ (xw ) > 0 Bestimmung der dritten Ableitung: 4
1 · (Ra + Ri ) P ′′′ (Ra ) = 2U 2 U 2 · 0
− (Ra − 2Ri) · 4 · (Ra + Ri)3
(Ra + Ri )8 ( Ra + Ri )3 (Ra + Ri 4 (Ra 2 (R = 2U 2 U 0 (Ra + Ri )8 9Ri 3Ra = 2U 2 U 02 (Ra + Ri )5 3Ri Ra = 6U 6 U 02 (Ra + Ri )5
− ·
· ·
−
·
−
− 2Ri ))
Einsetzen Einsetzen von (6.3.3 6.3.3)) in ( in (6.3.4 6.3.4)) 3Ri − 2Ri · (2R (2Ri + Ri )5
P ′′′ (Ra = 2Ri ) = 6U 02
Ri · (3R (3Ri )5
= 6U 02
2 · 81 > 0 81R R4
= U 02
i
0 liegt an der Stelle 2R (2Ri ) = 2 Ri ein Rechts–links–Wendepunkt Wegen P ′′′ (2R Rechts–links–Wendepunkt vor. Eine zweimal differenzierbare Funktion f heißt in einem Bereich konkav, falls f ′′ (x)
≤ 0.
68
(6.3.4)
Gilt jedoch f ′′ (x)
dann ist sie konvex .
≥ 0,
Prüfen von P auf Konvexität
≤ P ′′ (Ra ) = 2U 02 · (RRaa +− 2RRi)i4 0 ≤ Ra − 2Ri Ra ≥ 2Ri 0
6.3.4 6.3.4 Gerade Gerade und ungerade ungerade Funktion Funktionen en Eine Funktion f mit Definitionsbereich X heißt gerade genau dann, wenn f ( f (x) = f ( f ( x), x
− ∀ ∈ X
⇒ Achssymmetrie
f ( x) = ungerade genau dann, wenn f (
⇒ Punktsymmetrie
−
−f ( f (x), ∀x ∈ X
Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen:
• Die Summe zweier gerader (ungerader) Funktionen ist wieder gerade. • Das Produkt zweier gerader (ungerader) Funktionen ist wieder gerade. • Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade. • Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade (vgl. Abschnitt 6.2 Abschnitt 6.2).).
• Jede Funktion g einer geraden Funktion f ist gerade, denn es gilt g (f ( f (−x)) = g (f ( f (x)). Nicht alle Funktionen sind gerade oder ungerade. Es gibt auch viele, die keines von beiden sind. Beispiel 6.11. Gerade Funktionen:
cos(x) 3. f 3 (x) = cos(x 4. f 4 (x) = |x|
1. f 1 (x) = x 2n , n ∈ N 2. f 2 (x) = x 4 + x2 Beispiel 6.12. Ungerade Funktionen:
sin(x) 3. f 3 (x) = sin(x tan(x) 4. f 4 (x) = x 5 + tan(x
1. g1 (x) = x 2n−1 , n ∈ N 2. g2 (x) = x 3 + x
6.4 Weitere eitere Aufgab Aufgaben en 1. Beim Elektronenstrahl–Oszilloskop werden die von einer Glühkathode ausgesandten Elektronen zunächst auf eine konstante Geschwindigkeit v 0 beschleunigt und treten dann senkrecht zu den elektrischen Feldlinien in einen auf die Spannung U aufgeladenen aufgeladenen Plattendetektor ein, wo sie aus ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt werden (vgl. Abb. 6.6 6.6)). Die Kondensatorplatten stehen im Abstand d zueinander und besitzen die Länge l . Die Elektronen besitzen die Elementarladung e und eine Ruhemasse m 0 . 69
(a) Unter welchem Ablenkwinkel α (gegenüber der Eintrittsrichtung gemessen) verlassen die Elektronen den Kondensator? (b) Im Abstand s hinter dem Kondensator befindet sich ein Auffangschirm für die Elektronen. Wie groß ist die seitliche Ablenkung b der Elektronen auf diesem Schirm, gemessen gegenüber der ursprünglichen Flugbahn? Lösungshinweis: Bestimmen Sie zunächst die Bahnkurve der Elektronen im Plattenkondensator. y
v0 m0
d 2
+
+
+
C
+ B
b
α
A x
d 2
E
-
-
-
s
l
Abbildung 6.6: Elektronenstrahl–Oszilloskop 2. Abbildung 6.7 Abbildung 6.7 zeigt zeigt einen bis zur Höhe H mit Wasser gefüllten Zylinder. In der Tiefe h (von der als unveränderlich angenommenen Wasseroberfläche aus gerechnet) befindet sich eine seitliche Öffnung, aus der das Wasser in waagerechter Richtung mit der nach der Formel v0 =
2gh
berechneten Geschwindigkeit austritt. An welcher Stelle A des Gefäßes muss man dies Öffnung anbringen, damit der seitlich austretende Wasserstrahl den Boden an einer möglichst weit entfernten Stelle B (in horizontaler Richtung gemessen) trifft? Lösungshinweis: Die Bewegung des Wasserstrahls kann in guter Näherung als ein waagerecher Wurf im luftleeren Raum betrachtet werden.
h v0
A
xW
x
x
y H
Zylinder mit Wasser
H
B xW
y
Abbildung 6.7: Parabel eines Wasserstrahls 70
−h
3. Ein Unternehmen Unternehmen produziert produziert in einer Zeitperiode Zeitperiode x Einheiten einer Ware. Der Gewinn der Pro π (x) ist die Differenz aus dem Ertrag R( R (x) und den Produktionskosten C ( C (x). duktion π( Die Grenzkosten sind definiert als die Ableitung der Kosten C (x). Sie geben die Kosten an, die durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit eines Produktes entstehen. Analog ist der Grenzertrag ist die Ableitung des Ertrags R(x), er beschreibt den Ertragszuwachs bei Verkauf π (x). einer weiteren Produktionseinehit. Der Grenzgewinn Grenzgewinn ist natürlich die Ableitung des Gewinns π( Er gibt den erwarteten Gewinn für eine (infinitesimal kleine) weitere produzierte Einheit eines Produktes an und kann Aufschluss darüber geben, wieviele Einheiten produziert werden müssen, um Gewinnschwelle zu erreichen. Bestimmen Sie den Grenzertrag, die Grenzkosten und den Grenzgewinn sowie einen Wert x , so dass der Grenzgewinn Null ist, für C (x) = a 1 x2 + b1 x + c1 , (a) R(x) = ax, C ( C (x) = a 1 x + b1 . (b) R(x) = ax − bx2 , C (
Lösungen 1. (a) Die Koordinat Koordinaten en eines Elektrons Elektrons zu Zeit t lautet x = v = v 0 t,
y =
1 2 at , 2
a = (eU ) eU )/(m0 d), es folgt mit der Beschleunigung a = y =
1 2 eU 2 at = t . 2 2m0 d
Nach Eliminierung von t eU f ( f (x) = 2m0 d
x v0
2
.
Im Punkt B verlassen die Elektronen den Kondensator und bewegen sich geradlinig auf der Bahntangenten weiter auf den Schirm zu. Es gilt: f ′ (x) = tan α
⇒
α = arctan
eU l . m0 dv02
C = (l + s, b) beträgt die Auslenkung (b) Im Auftreffpunkt C = eU l(l + 2s 2 s) . 2m0 dv02
b =
2. Die Wasserbewegung Wasserbewegung besteht aus zwei unabhängigen Teilen: Teilen: Die Bewegung in x–Richtung besitzt die konstante Geschwindigkeit x = v0 t. In y –Richtung geschieht eine Beschleunigung aufgrund der Gravitation mit der Beschleunigung g , es folgt y =
1 2 gt . 2
Durch Substitution von t folgt
x2 y = . 4h B = (xW , H h) und Auflösen nach x W Einsetzten des Auftreffpunktes B =
−
xW = 2
71
Hh
− h2 .
Diese Größe soll maximiert werden, es genügt hierfür z (h) = H h
− h2
h = H /2 liegen, dann ist x W,max = H = H . zu maximieren. Der Austrittspunkt A sollte in der Höhe h =
3. Der Grenzertrag, die Grenzkosten und den Grenzgewinn für die gegebenen Werte lauten (a − b1 )x − c1 , (a) π(x) = −a1x2 + (a ′ R (x) = a , C ′ (x) = 2a1 x + b1 , π′ (x) = −2a1 x + a − b1 , a − b1 π′ (x) = 0 ⇒ x =
(a − a1 )x − b1 , (b) π (x) = −bx2 + (a ′ R (x) = a − 2bx, C ′ (x) = a 1 , π ′ (x) = −2bx + a − a1 , a − a1 π ′ (x) = 0 ⇒ x = 2b
2a1
72
7 Integralrechnung K (t) der Kapitalbestand einer Volkswirtschaft zur Zeit t . Dann ist die mit I (t) bezeichnete Netto– Sei K ( Investition zur Zeit t gegeben durch die Zuwachsrate K ′ (t) von K (t). Es sei I (t) = 3t2 + 2t + 5, t ≥ 0. [0 , 5]? 1. Wie hoch ist der gesamte Zuwachs im Kapitalbestand im Intervall [0, K (t0 ) = K 0 . Finden Sie einen Ausdruck für den gesamten Zuwachs im Kapitalbestand im 2. Es sei K ( [ t0 , T ] T ]. Zeitintervall [t
7.1 Unbest Unbestimm immtes tes Integr Integral al Im vorhergegangenen Kapitel haben wir uns mit dem Differenzieren beschäftigt. Hier betrachten wir nun den umgekehrten Vorgang. Sei eine Funktion f gegeben. Sollen nun zu f alle Funktionen F bestimmt werden, so dass F ′ = f gilt, Integralrechnung die Rede. Die Funktion f heißt dann ist von der Integralrechnung heißt Integrand und eine Funktion F , die die Voraussetzung Voraussetzung erfüllt, heißt Stammfunktion. Die Menge aller Stammfunktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und wird als f ( f (x)dx )dx geschrieben.
I (t) = K ′ (t) bei gegebener Funktion I . Damit ist ein Integral In der vorliegenden Aufgabe soll gelten I ( von I gesucht.
Regeln (Konstanten c, c1 , . . . , c n ): Linearität:
(c1 f 1 (x) +
Differentiation:
· · · cnf n(x))dx ))dx = c = c 1
df ( f (x) dx = f = f ((x) + c, dx
f 1 (x)dx )dx +
d dx
· · · + cn
f n (x)dx )dx
(7.1.1)
f ( f (x)dx )dx = f = f ((x)
Allgemein gelten die Regeln aus Tab. Tab. 7.1 7.1 ( (c, k ∈ R konstant):
I (t)dt )dt =
3t2 + 2t 2t + 5dt 5dt
(7.1.1 7.1.1))
= 3
Potenzfkt.
=
·
2
t dt + 2
3
·
tdt + 5
·
1dt 1dt
· 2 +1 1 · t2+1 + 2 · 1 +1 1 · t1+1 + 5 · 0 +1 1 · t0+1 + c
= t 3 + t2 + 5t 5t + c
73
(7.1.2)
Tabelle 7.1: Regeln der Integralrechnung ( a ∈ R, n ∈ Z, beliebige Konstanten c 1 , c2 ) Funktionstyp Konstante Funktion Potenzfunktionen
F ( F (x)
k
kx + c1 1 xa+1 + c1 a+1 1 x a + c1 ln(a ln(a) cos(x cos(x) + c1 sin(x) + c1
xa
Exponentialfunktionen Sinusfunktion Kosinusfunktion
f ( f (x)
ax
Bedingungen k ∈ R, fest x > 0, 0 , a = 1
1 a > 0, 0 , a =
sin(x sin(x) cos(x cos(x) 1 cot(x cot(x) + c1 sin2 (x) 1 tan(x tan(x) + c1 cos2 (x) 1 arctan(x arctan(x) + c1 = arccot(x arccot(x) + c2 a + x2 1 arcsin(x arcsin(x) + c1 = arccos(x arccos(x) + c2 1 x2
−
−
x = n π
x = /2 + nπ
− −
√ −
π
|x| < 1
7.2 Bestim Bestimmte mtess Integr Integral al [a, b] inteNeben dem unbestimmten gibt es auch das bestimmte Integral, bei dem nur über ein Intervall [a, griert wird, dieses Intervall kann auch offen oder halboffen sein, vgl. Abb. 7.1 Abb. 7.1.. Es wird, wie gewohnt, die Stammfunktion F bestimmt, dann werden die Integrationsgrenzen eingesetzt und die Differenz gebildet:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: b
f ( f (x)dx )dx = [F ( F (x)]ba = F ( F (b)
a
− F ( F (a).
y f ( f (x)
F ((b) F
− F F ((a) x
a
b
f (x) im Intervall [a, [ a, b] Abbildung 7.1: Bestimmtes Integral von f (
74
(7.2.1)
In der vorliegenden Aufgabe soll der Zuwachs des Kapitalbestands in einem Zeitinvervall bestimmt werden. Das bedeutet, dass das bestimmte Integral von I gesucht wird.
[0, 5] 1. Intervall I = [0, 5
I (t)
(7.2.1 ( 7.2.1)),(7.1.2 7.1.2))
t3 + t2 + 5t 5t + + c c
=
0
(7.2.1 7.2.1))
5 0
−
= 53 + 52 + 5 5 + + c c = 125 + 25 + 25 + 25 + c c c = 175
·
−
03 + 02 + 5 0 + + c c
·
Der gesamte Zuwachs beträgt 175 Einheiten. Mit rot markiert ist die Konstante, die beim unbestimmten Integral vermekrt werden musste. Bei der Berechnung des bestimmten Integrals wird diese Konstante jedoch stets gekürzt und muss daher nicht angegeben werden.
2. Die Berechnung erfolgt analog zum ersten Teil, Teil, die Randbedingungen sind nur etwas allgemeiner T ]). gefasst (Intervall I = [t0 , T ] T
(7.2.1 ( 7.2.1))
I (t) =
t0
T 3 + T 2 + 5 T
= (T ( T 3
· −
t30 + t20 + 5 t0
·
− t30) + (T − t0) ( T 2 − t20 ) + 5(T 5(T −
f (x) und der x x –Achse auf einem Intervall [a, [ a, b] kann Das bestimmte Integral zwischen einer Funktion f ( mit dem Riemann–Integral anschaulich beschrieben werden. Dafür wird das Intervall in n Bereiche der Breite unterteilt. Es ergibt sich eine Zerlegung Z von [a, [ a, b] x 0 = a < x1 < .. . < xn = b . Anschließend f (x), werden n Rechtecke gezeichnet, mit einer Breite dk = x k − xk−1 und einer Höhe hk = max f ( x∈[x ,x ] k = 1, . . . , n. Die Obersumme (vgl. Ab. 7.2 Ab. 7.2)) ergibt sich als k−1
k
n
Of (Z ) :=
k=1 n
=
max
x [xk
∈
1
−
,xk ]
·
f ( f (x) (xk
− xk−1)
·
hk dk
k=1
Analog dazu kann die Untersumme (vgl. Ab. 7.2 Ab. 7.2)) definiert werden n
U f f (Z ) :=
k=1
min
x [xk
∈
1
−
,xk ]
f ( f (x) (xk
− xk−1).
·
n gewählt wird, umso besser passen sich die Rechtecke an die Funktion an, das Resultat wird Je größer n n → ∞ gilt genauer. Für n lim U f lim Of (Z ) = f (Z ) = lim
n
→∞
n
→∞
75
f ( f (x)dx. )dx.
y f ( f (x)
x a = x = x 0
x1
x2
x3
b = x = x 4
f (x) Abbildung 7.2: Veranschaulichung Veranschaulichung der Ober- (cyan) und Untersummen (blau) einer Funktion f (
Anschaulich: die Intervalle b k ziehen sich mit wachsendem n auf einen Punkt x k zusammen mit einer f (xk ). Über infinitesemalen (unendlich kleinen) Breite dk . An dieser Stelle hat die Funktion den Wert f ( alle Punkte x k wird aufsummiert. Das Symbol für das Integral kann als stilisierte S für Summe betrachtet werden. Es ergeben sich ein paar neue Regeln und die oben genannten Regeln gelten auch für diese Form des Integrals, nur die Schreibweise wird etwas abgewandelt: Addition:
b
b
(c1 f 1 (x) +
a
Differentiation:
b
a
· · · cnf n(x))dx ))dx = c = c 1
b
f 1 (x)dx )dx +
a
df ( f (x) dx = f = f ((x) + c, dx
d dx
· · · + cn
f n (x)dx )dx
a
b
f ( f (x)dx )dx = f = f ((x)
a
Aufspaltung: b
d
)dx = f ( f (x)dx
a
b
)dx + f ( f (x)dx
a
)dx, f ( f (x)dx,
d
∈ (a, b)
d
partielle Integration: b
b
f ′ (x)g (x)dx )dx = [f ( f (x)g (x)]ba
a
Substitution:
−
f ( f (x)g ′ (x)dx )dx
a
ϕ(b)
ϕ(a)
b
f ( f (x)dx )dx =
f (ϕ ( ϕ(s)) ϕ′ (s)ds )ds
a
76
7.3 Flächenbere Flächenberechnun chnung g mit Integralen Integralen f (x) und g( g (x) auf einem Intervall [a, [ a, b] kann mit Hilfe der Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen f ( Integralrechnung bestimmt werden. f (x), g (x) zwei Funktionen mit f ( f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [a, b], dann kann der Flächeninhalt A zwischen Seien f ( [ a, b] bestimmt werden durch beiden Funktionen auf [a, b
A =
b
(f ( f (x)
a
f (x) = Beispiel 7.1. Sei f (
b
− g(x)) dx =
f ( f (x)dx )dx
a
−
g (x)dx. )dx.
(7.3.1)
a
−x2 + 5x − 2 und g( g (x) = 2x2 − 7x + 7. Berechne den Flächeninhalt, der von
beiden Kurven eingeschlossen wird, vgl. Abb. 7.3 Abb. 7.3.. Zunächst müssen die beiden Schnittpunkte der Funktionen bestimmt werden f ( f (x) = g( g (x) 2
−x
+ 5x 5x
− 2 = 2x 2 x2 − 7x + 7 0 = 3x 3 x2 − 12 12x x+9 0 = x 2 − 4x + 3 = (x (x − 1)(x 1)(x − 3) x1 = 1,
x2 = 3
f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [x1 , x2 ] gilt. Nun kann Gl. 7.3.1 Gl. 7.3.1 genutzt genutzt werden. Dafür muss geprüft werden, ob f ( Dies ist tatsächlich der Fall. Sonst müsste umdefiniert werden. 5
y g (x)
x2
A =
− − − · −
f ( f (x)
x1
4
− g(x)dx )dx
3
3
=
x2 + 5x 5x
1
−2−
3
=
3x2 + 12x 12x
1
=
3
3
1/3
3
·x
2
2x2
− 7x + 7
dx
2 1
− 9dx 9dx
x 2
+ 12
· 1/2 · x − 9x
3 1
3 1
1
− 9x = − 33 + 6 · 32 − 9 · 3 − − 13 + 6 · 12 − 9 · 1 =
=4
x + 6x 6x
f ( f (x)
2
3
4
5
−1 Abbildung 7.3: Fläche zwischen den f (x) = −x2 + 5x − 2 und Funktionen f ( g (x) = 2x 2 x2
− 7x + 7
7.4 Volumenber olumenberechnu echnung ng von Rotationsk Rotationskörper örpern n Rotationskörper entstehen entstehen durch Rotation einer Kurve um die x- bzw. y –Achse. Im Weiteren soll die [ a, b] erzeugt werden. Kurve durch eine Funktion f über einem Intervall [a,
77
x = a a und x = x = b b : Rotation der Funktion f um die x –Achse, begrenzt von x = b
V = π
f 2 (x)dx )dx
a
= f ((a) und y = f = f ((b): Rotation der Funktion f um die y –Achse, begrenzt von y = f max(f (a),f (b))
f −1 (y )
V = π
2
dy
(7.4.1)
min(f (a),f (b)) b
= π
x2
a
· |f ′(x)| dx
Voraussetzung Voraussetzung ist die Existenz der Umkehrfunktion f −1, dies ist der Fall, wenn f stetig und streng monoton ist (vgl. Abschnitt 6.1.2 Abschnitt 6.1.2 und und Abschnitt 2.2 Abschnitt 2.2)). x = a a und x = x = b b, sowie der x x–Achse: Rotation der Funktion f um die y –Achse, begrenzt von x = b
V = 2 π
· ·
x f ( f (x)dx )dx
a
7.5 Weitere eitere Aufgab Aufgaben en y
1. Abbildung 7.4 7.4 zeigt zeigt einen homogenen Rotationskörper mit elliptischem Querschnitt. Er entsteht durch Drehung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b um die y –Achse. (a) Berechnen Berechnen Sie das Massenträ Massenträgheit gheitsmosmoment J y dieses Körpers bezüglich der Rotationsachse in Abhängigkeit vom Parameter h (2h ist die Höhe des Rotationskörpers; 0 ≤ h ≤ b). Wie groß ist das Volumen Volumen dieses Körpers? (b) Welche Werte ergeben sich aus dem ersten Teil für die Massenträgheitsmomente eines Rotationsellipsoids und einer Kugel vom Radius R? Wie groß sind die Volumina dieser Körper?
b h x
a
Abbildung 7.4: Rotationsellipsoid f (Q) beschreibt den Zusammenhang von nachgefragter Menge Q 2. Eine Nachfragefunktion P = f ( und Preis P . Eine Angebotsfunktion P = g(Q) stellt die Beziehung von angebotener Menge Q
78
und Preis P dar. Wenn Angebot und Nachfrage gleich sind, wird von einem Gleichgewichtspreis P ∗ gesprochen. Er tritt bei einer Menge Q∗ ein. Mit Konsumentenrente CS wird der Betrag bezeichnet, der insgesamt von allen Konsumenten eingespart wird, wenn sie das Gut zu einem Preis kaufen, der unter dem Preis liegt, den sie maximal zu zahlen bereit sind ∗
Q
CS =
f ( f (Q)
0
− P ∗dQ.
Die Produzentenrente PS ist der Gesamtbetrag aller Produzenten, die einen höheren Preis erzielen, als der minimale Preis, zu dem sie ihr Gut verkaufen würden Q
PS =
∗
P ∗
0
− g(Q)dQ. )dQ.
f (Q) = 200 − 0, 0 , 2 · Q sowie eine Angebotsfunktion Gegeben seien eine Nachfragefunktion f ( g (Q) = 20+0, 20+0, 1·Q. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und berechnen Sie die Konsumentenund Produzentenrente. Produzentenrente.
Lösungen 1. (a) Das Massenträ Massenträgheit gheitsmome smoment nt ist definiert definiert als J =
V
2 r⊥ ρ(r)dV. )dV.
Dieses Integral ist in diesem Rahmen zu schwer zu lösen. In Tafelwerken ist jedoch die einfache Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders mit Radius R und Masse m , bzw. Volumen Volumen V 1 2 ρ≡ 1 1 2 J Zylinder Zylinder =
2
mR
=
2
VR
zu finden. Diese Formel kann genutzt werden, wenn der Rotationskörper in Zylinderscheiben zerteilt wird, die senkrecht zur y –Achse stehen. Der Radius der Scheiben ist die x–Auslenkung der begrenzenden Funktion R = x = g(y ). Die Zahl der Scheiben wird vergrößert, sodass sich deren Höhe H = y und damit auch das Volumen V auf infinitesemale Größe verringert d V ) (dy bzw. dV V = π R2 y
dV = π R2 dy.
⇒
Es folgt für einen einzelnen Zylinder J Zylinder Zylinder =
1 4 π R dy. 2
Für den gesamten Rotationskörper wird nun über alle unendlich dünnen Zylinder summiert, es findet eine Integration im Intervall [ −h, h] statt h
J y :=
h
J Zylinder Zylinder =
−h
1 4 π π R dy = 2 2
−h
h
R4 dy.
−h
x , z –Ebene, Der Körper ist symmetrisch zur x, –Ebene, d. h. es genügt eine Hälfte des Körpers Körpers zu berechnen (0 ≤ y ≤ h statt −h ≤ y ≤ h) und den errechneten Wert dann zu verdoppeln h
J y = π ρ
·
x4 dy.
0
79
Die Formel für x = x = g g((y ) resultiert aus der Ellipsengleichung x2 y2 + a2 b2 a2 x 2 = 2 b2 y 2 b
2
| − yb2 , ·a2
1=
−
(7.5.1)
Es folgt für das Massenträgheitsmoment h
J y = π ρ
· x
2 2
dy =
0
ρ a4 b4
π
· ·
4
b h
−
2 2 3 1 5 b h + h 3 5
Das Volumen wird mit Hilfe von Gl. (7.4.1 (7.4.1)) gelöst, die Funktion x = g (y ) wird dabei von y = −h und y = h = h begrenzt h
V = π
a2 = π 2 b
x2 dy
−h
2b2 h
−
2 3 h 3
= b ): (b) Rotationsellipsoids (h = b J Ellipse Ellipse =
8 π ρa ρa4 b 15
V Ellipse Ellipse =
4 2 π a b 3
V Kugel Kugel =
4 3 π R 3
= b = = R R ): Kugel mit Radius R ( a = b J Kugel Kugel =
8 π ρR ρR5 15
2. Gleichgewichtspreis: 200
−
f ( f (Q) = g( g (Q) 0, 2 Q = 20 + 0, 0, 1 Q ∗ Q = 600
·
·
f (600) f (600) = P = P ∗ = 80
Konsumentenrente
Produzentenrente
600
CS =
200
0
600
− 0, 2 − 80 · QdQ
PS =
0
= 36 00 0000
80
− 20 − 0, 1 · QdQ
= 18 00 0000
80
A Mengen A.1
Definition
In der Mathematik wird jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten zu einer Gesamtheit eine Menge, genannt. genannt. Die Bezeichnu Bezeichnung ng erfolgt mit Großbuchsta Großbuchstaben, ben, z. B. A. Eine Menge ist definiert, wenn feststeht, welche Objekte zu dieser Menge gehören ( a ∈ A) und welche nicht (b ∈/ A). Die zur Menge gehörenden Objekte heißen ihre Elemente. Nur die leere Menge ∅ enthält kein Element. Mengen werden meistens mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet und die Elemente mit kleinen Buchstaben. Es gibt zwei Möglichkeiten, Mengen zu definieren:
• Durch Aufzählen ihrer Elemente, die in beliebiger Reihenfolge zwischen geschweiften Klammern (Mengenklammern) gesetzt sind und durch Kommata getrennt werden. Schreibweis Schreibweise: e: {Element {Element 1, 1, . . . , Element Element n }
Beispiel A.1. – A = a , b , c , . . . , z – lateinisches Alphabet
{ } – B = {1, 2, 3} – die ersten drei natürlichen Zahlen • Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft Schreibweise: {x | x erfüllt Eigenschaft}, n2 + 1 | n ∈ N = {1, 5/6, 10/12, . . .} Beispiel A.2. L = n2 + n
Einige der Zahlenbereiche werden häufig in Mengenschreibweise dargestellt: natürliche Zahlen: N = 0, 1, 2, 3, . . .
{
Beispiel A.3. 7
}
∈ N, 10 00 0000 ∈ N, 0 ∈ N, −10 ∈ / N, 3. 3 .15 ∈ /N
Die natürlichen Zahlen dienen oft zum Abzählen oder Nummerieren. ganze Zahlen: Z = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .
{ − − − } 15..9 ∈ / Z, 10. 10 .34 ∈ /Z Beispiel A.4. −17 ∈ Z, 7 ∈ Z, −15 Mit den ganzen Zahlen können Differenzen angegeben werden,
rationale Zahlen: Q =
{m/n | m, n ∈ Z, n = 0 } Beispiel A.5. −2 = −2/1 ∈ Q, 17/10 ∈ Q, −17/10 ∈ Q, 0 ∈ Q (weil 0/1 ∈ Q) Mit den rationalen Zahlen können Anteile einer Menge von einer Obermenge angegeben werden.
reelle Zahlen: R Beispiel A.6.
−4 ∈ R, 7/10 ∈ R, π ∈ R, √ 3 ∈ R 95
Wenn jedes Element einer Menge N auch Element einer Menge M ist, so wird N Teilmenge von M genannt und es wird geschrieben N ⊆ M (siehe Abb. A.1 A.1). ). Nach dieser Definition ist jede Menge Teilmenge von sich selbst. Die Menge M ist in diesem Fall eine Obermenge von N . Wenn M zudem weitere Elemente enthält, die nicht in N enthalten sind, so heißt N eine echte Teilmenge von M und ⊂ M ). M eine eine echte Obermenge von N (N ⊂
M N
Abbildung A.1: N ist Teilmenge von M Beispiel A.7. N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Q = I I bedeutet nicht, dass I ⊂ Notation Q = I bedeutet nicht, dass I ⊂ ⊂ Q. Q = ⊂ Q und Q ⊂ I . Beispiel A.8.
1. A = {x | x ∈ N, x ≤ 5}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Dann A = A = B B . 2. C = {1, 2, 4, 3}, D = D = {3, 2, 1, 4}. Dann C = D . 3. C = {1, 2, 4}, D = = D . D = {3, 2, 1}. Dann C Bezeichnungen:
∀ – „für alle“, „für jedes“. Existenzquantor: ∃ – „es gibt ein“, "für mindestens ein".
Allquantor:
Beispiel A.9.
1. Jeder Mensch hat einen Kopf. (∀ Menschen ∃ Kopf) 2. Falls M ⊆ ⊆ N gilt: gilt: ∀x ∈ M gilt gilt x ∈ N 3. ∀x ∈ N gilt x ∈ Z
A.2
4. 5. 6.
∀ x ∈ Z gilt x ∈ Q ∀ x ∈ Q gilt x ∈ R [0, 1] gilt x ∈ R. ∀ x ∈ [0, [0, 1] gilt nicht x ∈ N, ∀ x ∈ [0, [0, 1] : x ∈ N aber ∃ x ∈ [0,
Mengenoperationen
C = A ∪ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die in A oder Die Vereinigung C = B , also in mindestens einer der beiden Mengen A, B enthalten sind (Abb. A.2 (Abb. A.2)):
Für die Menge C = A ∪ B = {x | x ∈ A oder x x ∈ B } gilt: ∀x ∈ C ist x ∈ B . Damit ist A ⊆ C und i st x ∈ A oder x und B ⊆ C . Durchschnitt D = A ∩ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die sowohl Der Durchschnitt in A als auch in B , also gleichzeitig in beiden Mengen A, B enthalten sind (Abb. A.2 (Abb. A.2)):
96
D = A A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B } gilt: Für die Menge D = ∀x ∈ D ist x ∈ A und x ∈ B. Damit ist D ⊆ A und D ⊆ B.
Die Differenz E = E = A\B besteht aus allen Elementen x ∈ A, die nicht in B liegen (x ∈ / B ). E = A \B = {x | x ∈ A und x ∈ / B } gilt: Für die Differenzmenge E = ∀x ∈ E ist ist x ∈ A und x ∈/ B (Abb. A.2 (Abb. A.2)).
A
A
∪B
A
B
A
(a) Vereinigung A ∪ B
\
A B
∩B B
(b) Durchschnitt A ∩ B
A
B
(c) Differenzmenge A \B
Abbildung A.2: Mengenoperationen, Mengenoperationen, die zugehörigen Mengen sind blau hervorgehoben Beispiel A.10. Seien A = 1, 2, 3, 4, 5 (die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 5) und B = 1, 3, 5, 7, 9 (die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen von 1 bis 9 ).
{
}
{
}
1. Dann ist die Vereinigung C = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, D = A A ∩ B = {1, 3, 5}, 2. Dann ist der Durchschnitt D = E = A \B = {2, 4}. 3. Dann ist die Differenzmenge E =
97
B Intervalle Es seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Menge aller reeller Zahlen x , die die Ungleichun Ungleichungg Zahlenintervall) mit den Endpunkten ( Randpunkten) a a < x < b ( a ≤ x ≤ b) erfüllen, erfüllen, heißt Intervall ( Zahlenintervall und b . Gehört ein Randpunkt selbst nicht zum Intervall, so ist von einem offenen Intervallende die Rede, im entgegengesetzten Fall von einem abgeschlossenen Intervallende . Die Angabe eines Intervalls erfolgt durch seine Randpunkte a und b , indem diese in Klammern gesetzt werden. Eine eckige Klammer steht für ein abgeschlossenes Intervallende, eine runde für ein offenes Intervallende. Gehören beide Randpunkte zu dem Intervall, so heißt es abgeschlossen: [a, b]. b) zum Intervall, so heißt es halboffen: Gehört nur einer der Randpunkte (also entweder a oder b [a, b) oder (a, (a, b]. (a, b). Gehört keiner der Randpunkte zum Intervall, so heißt es offen: Intervalle dienen der Beschreibung von Zahlenmengen. Man unterscheidet beschränkte und nicht beschränkte Intervalle. Bei einem beschränkten Intervall sind die Intervallgrenzen a und b reelle Zahlen. Das Symbol mit der Schreibweise ∞ heißt unendlich und steht für "beliebig groß". Das Symbol −∞ heißt entsprechend minus unendlich und steht für "beliebig klein". Die Symbole ∞ und −∞ sind keine reellen Zahlen; −∞ ist kleiner als jede reelle Zahl, ∞ ist größer als jede reelle Zahl. Bei einem unbeschränkten ∞. Solche Intervalle können durch eine Intervall ist mindestens eine der Intervallgrenzen −∞ oder ∞ Ungleichung beschrieben werden:
• halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt: • offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt: • halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt:] • offenes Intervall, nach links unbeschränkt: • offenes Intervall, nach links und rechts unbeschränkt:
∞) = {x | x ∈ R, a ≤ x} (a, ∞) = {x | x ∈ R, a < x} (−∞, b] = {x | x ∈ R, x ≤ b} (−∞, b) = {x | x ∈ R, x < b} (−∞, ∞) = {x | x ∈ R} [a,
Beispiel B.1.
• I 1 = [0, [0, 10], 10], I 2 = (−5, 2), 2), I 1 beschränkt, abgeschlossen und I 2 beschränkt, offen – I 1 ∩ I 2 = [0, [0, 2) ist ein beschränktes halboffenes Intervall, – I 1 ∪ I 2 = (−5, 10] ist ein beschränktes halboffenes Intervall, [2, 10] ist ein beschränktes abgeschlossenes Intervall. – I 1 \I 2 = [2, [0, 1), I 1 halboffen, nach links unbeschränkt, I 2 beschränkt halboffen • I 1 = (−∞, 2/5], I 2 = [0, [0, 2/5] ist ein beschränktes abgeschlossenes Intervall, – I 1 ∩ I 2 = [0, – I 1 ∪ I 2 = (−∞, 1) ist ein offenes Intervall, nach links unbeschränkt, – I 1 \I 2 = (−∞, 0) ist ein offenes Intervall, nach links unbeschränkt.
98
C Grundlegende Rechenregeln Wird eine mathematische Aussage formuliert, die nicht nur für eine bestimmte Zahl, sondern für einen ganzen Zahlenbereich oder sogar für alle Zahlen gilt, dann wird statt einer Zahl ein Buchstabe benutzt. Der Buchstabe heißt unbestimmte Zahl oder Variable Variable. Beispiel C.1.
+ b))2 = a 2 + 2ab 2 ab + + b b 2 (Binomische Formel, gilt für alle reellen Zahlen a, b, vgl. Gl. ( 1. (a + b Gl. (1.2.10 1.2.10)) bis ( bis (1.2.12 1.2.12))))
Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation, gilt für alle reellen Zahlen ab)c = a(bc) bc) = abc ( Assoziativgesetz 2. (ab) a, b und c). Beachten Sie, dass wir hier eine Vereinbarung machen. Der Multiplikationspunkt (Malpunkt) kann zwischen zwei Variablen, zwischen einer Zahl und einer Variablen, zwischen einer Zahl und einer Klammer, zwischen einer Variablen und einer Klammer sowie zwischen zwei Klammern weggelassen werden (vgl. Abschnitt C.2.2 Abschnitt C.2.2)).
3.
√ ab = √ √ ab = a b, a, b ≥ 0
C.1 Teilbarkeits eilbarkeitsregel regeln n Der Kehrwert 0 ist die Zahl 1/a. Kehrwert oder reziproker reziproker Wert einer Zahl a = Beispiel C.2. Der Kehrwert von 5 ist 1/5, der Kehrwert von Kehrwert von 1/3 ist 1 : 1/3 = 3.
−10 ist −1/10, der Kehrwert von 1/4 ist 4, der
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel C.3. Die Quersumme der Zahl 357129 ist 3 + 5 + 7 + 1 + 2 + 9 = 27 . Dies lässt sich weiter zusammenfassen zu 2 + 7 = 9.
Die einzelnen Zeichen einer Zahl sind ihre Ziffern. Aus Eigenschaften der Ziffern lassen l assen sich TeilbarkeitsTeilbarkeitseigenschaften der Zahlen ableiten. Eine ganze Zahl ist teilbar durch
• 2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. • 3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. • 5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist). • 6(= 2 · 3), wenn die letzte Ziffer durch 2 und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. • 11, wenn die alternierende Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziffern, die abwechselnd positives und negatives Vorzeichen erhalten) durch 11 teilbar ist.
C.2 Grundgeset Grundgesetze ze der Addition Addition und Multiplikat Multiplikation ion C.2.1 C.2.1 Kommutat Kommutativges ivgesetz etz (V (Vertauschu ertauschungsg ngsgesetz esetz)) Für reelle Zahlen gilt bezüglich der Addition und bezüglich der Multiplikation das 99
Kommutativgesetz: = b + a a + b = b
ab = ab = ba, ba,
dabei können a, b und c positiv oder negativ sein!
C.2.2 C.2.2 Assoziativg Assoziativgeset esetzz (Verkn (Verknüpfun üpfungsges gsgesetz) etz) Für reelle Zahlen gilt bezüglich der Addition und bezüglich der Multiplikation das Assoziativgesetz: (a + b) + c = a = a + (b (b + c) = a + b + c
(ab) ab)c = a = a((bc) bc) = abc
ac · bc. ( ab))c = Fehlerwarnung: (ab C.2.3 C.2.3 Distributi Distributivgese vgesetze tze (Zerlegun (Zerlegungsges gsgesetze) etze) a, b, c gelten die Für reelle Zahlen a,
Distributivgesetze: (a + b)c = ac = ac + bc,
a(b + c) = ab + ac
Beispiel C.4.
1. 2 + 3 = 3 + 2 = 5 und 2 − 3 = 3+2 2. (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12 3. (2 + 3) · 7 = 2 · 7 + 3 · 7 = 35
4. 2 · 3 = 3 · 2 = 6 und 2 : 3 = 3:2 5. (−1 · 3) · 2 = −(3 · 2) = −6 6. −(2 + 3) = −1 · (2 + 3) = −2 − 3 = −5
C.3 C.3 Konv Konven enti tion onen en Um eine übersichtliche Schreibweise ohne allzu viele Klammern ermöglichen zu können, werden einige Konventionen hinsichtlich der Reihenfolge der Rechenoperationen verwendet: K1 Klammern haben absoluten Vorrang (werden also stets zuerst berechnet). K2 Danach werden alle Potenzen ( ax bzw. xn ) berechnet und zwar bei fehlenden Klammern von oben nach unten. Dasselbe gilt für die Auswertung von anderen Funktionstermen wie z. B. log a . K3 Danach werden alle Punktoperationen Punktoperationen (Multiplikation „·“ und Division „:“) durchgeführt, und zwar von links nach rechts, falls keine Klammern stehen. K4 Danach werden alle Strichoperationen (Addition „ +“ und Subtraktion „ −“) durchgeführt (bei fehlenden Klammern ebenfalls von links nach rechts). Das heißt, die Rechenzeichen „ ·“ und „:“ binden stärker als „ +“ und „−“, d. h. Multiplikation Multiplikation und Division müssen vor Addition und Substraktion ausgeführt werden. Potenzieren bindet stärker als Multiplizieren und Dividieren,.
100
a + bc = bc = a a + (bc (bc)),
a
: c = = a a − (b : c : c)), − b : c
ab2 = a( a (b2 )
Fehlerwarnung: Es gilt im Allgemeinen: ab2 = (ab ( ab))2 ,
−ab = ab = −(ab) ab).
Merkregel: Klammern vor Potenz vor Punkt vor Strich. Beispiel C.5. 2
2
1. 43 = 4 (3 ) = 4 9 = 262144 (K2 (K2:: von oben nach unten), 3 2 2 aber: (4 ) = 64 = 4096 (K1 (K1:: Klammern zuerst) 2. 48 : 3 : 4 · 2 = 16 : 4 · 2 = 4 · 2 = 8 (K3 (K3:: von links nach rechts), aber: 48 : 3 : (4 · 2) = 48 : 3 : 8 = 16 : 8 = 2 (K1 (K1:: Klammern zuerst) 3. 120 − 50 − 20 = 70 − 20 = 50 (K3 (K3:: von links nach rechts), aber: 120 − (50 − 20) = 120 − 30 = 90 (K1 (K1:: Klammern zuerst). Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert:
(a + b)(c )(c + d) = ac + ad + bc + bd
Fehlerwarnung: im Allgemeinen gilt: (a + b)2 = ( a + b)2 = a 2 + 2ab 2ab + b2 (das erste Binom). a2 + b2, sondern (a
C.4 C.4 Bruch Bruchre rech chnu nung ng Ein Bruch ist eine Zahl, die durch einen Ausdruck m/n ( m : n , d.h. m geteilt durch n ) dargestellt wird. Es gilt dabei n = 0 , denn die Division durch Null ist nicht definiert. Die Division von Null durch eine von Null verschiedenen Zahl ergibt Null: 0/n = 0. Die Division einer von Null verschiedenen Zahl durch Null m/0, sowie Null durch Null 0/0 ist nicht definiert. m heißt Dividend und der Nenner n n Divisor . Brüche, deren Zähler Ein Bruch ist ein Quotient, der Zähler m kleiner ist als der Nenner ( m < n), heißen echte Brüche . Beispiel C.6. 7/9, 1/2, 10/13
Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner ( m > n), heißen unechte Brüche . Beispiel C.7. 9/7, 2/1, 13/10
Ganzzahlige Anteile von Brüchen können vorgezogen werden. Beispiel C.8. 9/7 = 12/7, 13/10 = 13/10
101
1 · 2/7, sondern 12/7 = 1 + 2/7 = 9/7. Fehlerwarnung: 1 2/7 = Kehrwert eines Bruches p/q ist der Bruch q/ p, also der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht Der Kehrwert sind, denn 1 : p/q = q/ p.
Es ist wichtig zu wissen (a, b ∈ R, b = 0):
− ab = −ba = −ab ,
a = a, 1
−a = a −b b
C.4.1 C.4.1 Erweit Erweitern ern und Kürze Kürzen n Die Ausdrücke 1/2, 3/6, − 4/−8 sind verschiedene Schreibweisen desselben Bruchs. Der Übergang von einer Schreibweise zur anderen erfolgt durch Erweitern und Kürzen. Erweitern heißt, Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben, von Null verschiedenen Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt durch Erweitern unverändert: a ad = , b bd
b, d = 0.
Die Erweiterung von Brüchen ist fast immer dann notwendig, wenn zwei Brüche addiert werden sollen. Beim Lösen von Bruchgleichungen ist meist ebenfalls eine Erweiterung (und zwar mit Termen) Termen) notwendig. Es ist darauf zu achten, dass nur mit solchen Termen erweitert wird, die nicht Null werden dürfen. Wird dies nicht beachtet, können Lösungen erreicht werden, die die Ausgangsgleichung nicht erfüllen! Kürzen heißt, Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl zu dividieren. Dabei bleibt der Wert des Bruches unverändert. a·c a b c
·
=
b
,
b, c = 0. 0.
Wird die Kürzungsregel nur schematisch durchgeführt, kann es zu unsinnigen Ausdrücken kommen a a = =?, =?, 3a 3 a
a = 0.
Es ist ratsam das korrekte Divisionsergebnis (häufig „1“) zu vermerken a a1 1 1 = = = , 3a 3 a1 3 1 3
·
a = 0.
Beispiel C.9.
1.
x2 49 (x 7)(x 7)(x + 7) 1 = = (x 2x + 14 2(x 2(x + 7) 2
−
ab2 2. 2 a b
−
− 7), dabei x + 7 = 0, d.h. x = −7
− b2 = b2(a − 1) = b , dabei ab( ab (a − 1) = 0 , d.h. a, b = 0 und a = 1. − ab ab( ab(a − 1) a
Fehlerwarnung: Unterschiede Kürzen und Dividieren, im Allgemeinen gilt: a+1 a+c a = = b+1 b+c b
102
C.4.2 C.4.2 Addieren Addieren und Subtrahie Subtrahieren ren Gleichnamige Brüche (Brüche mit dem gleichen Nenner) werden addiert oder subtrahiert, indem man die Zähler addiert oder subtrahiert und den Nenner beibehält: a b a+b + = , c c c
c=0
(C.4.1)
Beispiel C.10.
1. 1/9 + 7/9 = 8/9 2.
3.
2x + 3y 3y 2x 3y 3 y x y = + = + 6 6 6 3 2
x2 6x x2 = 2x2 2x2
−
− 26xx2 = 21 − x3 , x = 0.
Ungleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, also durch Erweitern gleichnamig macht. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Hauptnenner ist Nenner:
± db = adcd± bc ,
a c
c, d = 0
c = Eine ganze Zahl a und ein Bruch b/c werden addiert, indem die Zahl a mit dem Nenner c 0 erweitert wird (vgl. Abschnitt C.4.1 Abschnitt C.4.1)) und die beiden Brüche nach Gl. ( Gl. (C.4.1 C.4.1)) addiert werden
a+
b ac b ac + b = + = . c c c c
(C.4.2)
Beispiel C.11.
1.
3 1 3 9 1 7 27 7 27 + 7 34 + = + = + = = 7 9 7 9 9 7 63 63 63 63
2.
1 x
·
·
− 1 −y y = xyy − (1 −xyy)x = y − xxy(1 − y) = y − xxy+ xy
Fehlerwarnung: Der häufigste Fehler beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen besteht darin, sowohl Zähler als auch Nenner separat zu addieren (subtrahieren): a a a 2a + = = b c b+c b+c
sondern
a a ab + ac + = b c bc
C.4.3 C.4.3 Multiplizie Multiplizieren ren und Dividieren Dividieren Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert
103
· ·
a c a c = b d b d
·
(C.4.3)
Beispiel C.12.
1.
1
·
a b
1 1 a b
=
2.
·
a c ac = b d bd
3.
·
a a c ac c = = b b 1 b
·
Vor dem Multiplizieren sollte gekürzt werden: a ck ack ac = = . bk d bkd bd
Ein Bruchstrich ersetzt die separate Klammerung von Zähler und Nenner: a+b = (a ( a + b) : (c + d). c+d
Zwar ist die separate Klammerung von Zähler und Nenner prinzipiell erlaubt, führt aber (insbesondere bei Mehrfachbrüchen) zu unübersichtlicher Darstellung. Beispiel C.13.
1. 2.
2+8 2+8 = 2 + 8 : 2 + 3 = 9, aber: = (2 + 8) 8) : (2 + 3) = 10 : 5 = 2 2+3 2+3
x
−8 2
=
entfällt).
1 (x 2
· − 8) (d. h. die Klammern müssen geschrieben geschrieben werden, wenn der Bruchstrich Bruchstrich
Durch Brüche wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird a b a d ad : = = . c d c b bc
·
Im Doppelbruch D aus obiger Box deutet die Länge der Bruchstriche an, in welcher Weise die vorkommenden Brüche berechnet werden sollen, ohne dass eine Klammersetzung notwendig ist. Wären nämlich die vorkommenden Bruchstriche gleich lang, so muss eine (häufig unübersichtliche) Klammerung die Hierarchie der Berechnung verdeutlichen. Fehlerwarnung: Unterschiede Erweitern und Multiplizieren: a ad = , (b, d = 0), b bd 3 3 2 6 = z.B. = 4 4 2 8
Erweitern:
· ·
Multiplizieren:
z.B. 3/4 ·
104
a ad d = , b b 2 = 6/4
·
(b = 0),
