Mathematik

Inhaltsverzeichnis

23. Math Mathemati ematisc sche he Grun Grundlage dlagen n der Analy Analysis sis

23.1 Die Axiome 23.1 Axiome der reel reellen len Zahlen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 23.2 Die Konv Konvergenz ergenz von Folgen Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 23.3 Die Anwendung Anwendung des Vollstandigkeitsaxioms andigkeitsaxioms . . . . . . . . . 11 ¨ 24. Funkti unktionenf onenfolge olgen n und Reihe Reihen n

24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6

Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen Punktweise Funktionenfolgen . . . . . . . 23 Eine Grundausstattun Grundausstattung g an Konvergenzs Konvergenzsatzen a ¨tzen . . . . . . . 28 Reelle und komplexe komplexe Zahlenreihen Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Potenzrei Po tenzreihen hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Schul Sc huldenr denruckzahlung u ¨ckzahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ubungsaufgaben

25. Taylorent aylorentwicklung wicklung

25.1 25.2 25.3 25. 3 25.4 25.5 25.6 25. 6 25.7

Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tay aylorpolynome lorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Das Restgli Restglied ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tayloren aylorentwic twicklung klung in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . 66 Hesse-Matri HesseMatrix x und kritis kritisch chee Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Wie untersu untersuccht man die Defin Definith itheit eit der Hes Hessef seform? orm?. . 75 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

x

Inhaltsverzeichnis 

26. Das lokale Verhalten nichtlinearer Abbildungen an regul¨ aren Stellen

26.1 Der Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 26.2 Abbildungen zwischen verschieden-dimensionalen R¨ aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 26.3 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ¨ 26.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 27. Die k -dimensionalen Fl¨ achen im

27.1 27.2 27.3 27.4 27.5

R

n

Der Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Regularit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Differenzierbare Abbildungen von Fla ¨chen im R . . . 113 Koordinatensysteme auf  k -dimensionalen Fl¨ achen . . 119 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 n

28. Analysis unter Nebenbedingungen

28.1 28.2 28.3 28.4 28.5

Tangentialraum und Normalraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Differential und Kettenregel auf Fl¨ achen . . . . . . . . . . . 135 Kritische Punkte von Funktionen auf Fl ¨ achen . . . . . . 140 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

29. Klassische Vektoranalysis I: Gradient, Rotation und Divergenz

29.1 Gradient, Rotation und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 29.2 Exkurs u ¨ber Potentiale, Vektorpotentiale und Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 ¨ 29.3 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 30. Klassische Vektoranalysis II: Integration auf Fl¨ achen

30.1 Integration auf Fl ¨ achen in lokalen Koordinaten . . . . . 171 30.2 Koordinatenunabha ¨ngige Integration u ¨ber die ganze Fla ¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ¨ 30.3 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Inhaltsverzeichnis 

xi

31. Klassische Vektoranalysis III: Berandete Fl¨ achen und Integrals¨ atze

31.1 31.2 31.3 31.4

Berandete k -dimensionale Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Analysis auf berandeten Fl ¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Die Integrals¨ atze von Gauß und Stokes . . . . . . . . . . . . 207 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

32. Der Cartan-Kalku ¨ l I: Integration von Differentialformen

32.1 Erinnerung an die alternierenden Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 32.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 32.3 Orientierte k -dimensionale Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . 221 32.4 Integration von k -Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 ¨ 32.5 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

33. Cartan-Kalku ¨ l II: Cartan-Ableitung und Satz von Stokes

33.1 33.2 33.3 33.4

Die Idee der Cartanschen Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . 234 Das Dachprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Cartan-Ableitung und Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . 244 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

34. Cartan-Kalku ¨ l III: ¨ Ubersetzung in die Vektoranalysis

¨ 34.1 Die Ubersetzungs-Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 ¨ 34.2 Ubersetzung von Cartan-Ableitung und Dachprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 ¨ 34.3 Ubersetzung der Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 34.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 ¨ 34.5 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

xii

Inhaltsverzeichnis 

35. Mathematik und Mechanik

35.1 Grundgedanken der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . 270 35.2 Physikalischer Konfigurationsraum und mathematisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 35.3 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 36. Die Euler-Lagrange-Gleichungen

36.1 Zeitabh¨ angiger Konfigurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 295 36.2 1-Jetbu ¨ndel und Fasertangentialbu ¨ndel . . . . . . . . . . . . 299 36.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen einer Lagrangefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 36.4 Der Beweis des Satzes u ¨ ber die Eulerform . . . . . . . . . . 310 ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 36.5 Ubungsaufgaben 37. Der Satz von Emmy Noether

37.1 37.2 37.3 37.4 37.5 37.6

Die Variationsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Exkurs u ¨ ber die Legendre-Transformation . . . . . . . . . . 320 Das Theorem von Emmy Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Konfigurationsraum-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Zeitunabh¨ angigkeit als Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Impuls und Drehimpuls als Noethersche Erhaltungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Fußnoten und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

http://www.springer.com/978-3-642-16149-0