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Matemáticas Financieras

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE ORIZABA MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1. INTRODUCCION 1.1 Concepto de matemáticas financieras y aplicaciones Las matemáticas financieras son una parte de las matemáticas aplicadas que estudia los modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en suma de dinero, llamadas capitales. Las matemáticas financieras constituyen una de las áreas más útiles e interesantes, principalmente en los tiempos actuales, en los que es indispensable el manejo eficiente del dinero, en el que todas las personas buscan lograr el máximo beneficio como comprador, y los más atractivos rendimientos como inversionista. La realidad financiera y comercial de nuestros tiempos demanda cada vez más un mayor número de profesionales y personas capacitadas para dar asesoría y orientación apropiada a quienes se ven en la necesidad de obtener dinero en préstamo, ya sea en efectivo, en bienes o en servicios, y a los que disponen de un capital para prestarlo, es decir para invertirlo y ponerlo a generar intereses y otros beneficios. La importancia de las matemáticas financieras radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que permiten al administrador financiero tomar decisiones en forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre en necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. 2. INTERÉS SIMPLE 2.1 Concepto y cálculo de capital, monto, tiempo, tasa de interés Cuando una persona utiliza un bien que no le pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien. Las cosas que se pueden rentar son innumerables: casas, automóviles, salones para eventos sociales, ropa, computadoras, etc. El dinero no es la excepción, ya que se trata de un bien que se puede comprar, vender y por supuesto, prestar. Cuando se pide dinero prestado, por lo general, se debe pagar una renta por su uso. En este caso la renta recibe el nombre de interés, intereses o rédito. El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. También se puede decir que el interés es el rendimiento que se obtiene al invertir en forma productiva el dinero. El interés se simboliza mediante la letra I. La cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida se llama capital o principal, y se simboliza mediante la letra C. El monto o valor futuro se define como la suma del capital más el interés ganado, y se simboliza mediante la letra M. Por tanto:

M =C+I

Ejemplo 1. Una persona obtiene un préstamo de $5,000 y se compromete a pagarlo al cabo de un mes, pagando $138 de intereses, ¿Qué monto deberá pagar? C = $5,000

M.I.I Vicente Raúl Pulido Barrera


I = $138 M=?

M = 5,000 + 138 M = $5,138

Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C, se incrementa hasta otra M, entonces el interés es I = M –C. Ejemplo 2. Carlos pidió prestado $8,500 y deberá pagar un total de $8,925 al cabo de 2 meses con el fin de saldar la deuda, ¿Cuánto pagará de intereses? C = $8,500 M = $8,925 I=?

I = 8,925 − 8,500 I = $425

La tasa de interés indica el costo que representa obtener dinero en préstamo y se expresa como un porcentaje del capital por unidad de tiempo.

i=

I C

La unidad de tiempo normalmente utilizada para expresar las tasas de interés es de un año, sin embargo, también pueden utilizarse unidades de tiempo menores de un año. Si la tasa de interés se da como un porcentaje, sin especificar la unidad de tiempo, se sobreentiende que se trata de una tasa anual. Ejemplo 3. ¿Qué significa una tasa de interés de, a) 31%? b) 2.4% mensual? Solución: a) 31%, quiere decir 31% anual y significa que por cada $100 prestados, el deudor deberá pagar $31 de interés en un año. b) 2.4% mensual significa que por cada $100 prestados, el deudor pagará $2.40 de interés en un mes. Debido a la evolución del mercado financiero del país, las tasas de interés, por lo general, no permanecen constantes, sino que son revisadas con frecuencia. Las tasas de interés aplicables a operaciones financieras y comerciales se fijan, en la mayoría de los casos, con base en una tasa de referencia. Las tasas de referencia comúnmente utilizadas en México son: TIIE(Tasa de Interés Interbancario de Equilibrio), CPP(Costo Porcentual Promedio de Captación), CCP(Costo de Captación a Plazo), y CETES(Certificados de Tesorería de la Federación). Ejemplo 4. Una persona invierte $4,000 y al término de 1 año recibe $5,000 por su inversión. Identificar las variables que intervienen en este ejemplo. C = $4,000 M = $5,000 I = M – C = 5,000 – 4, 000 = $1, 000 I = 1,000/4,000 = 0.25 = 25% El plazo es de 1 año



Existen dos tipos de interés: simple y compuesto El interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital original varíe. Lo anterior significa que el interés no forma parte del capital originalmente prestado o invertido en ningún momento, esto es, los intereses no ganan intereses. El interés simple se usa principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras palabras, el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo. El interés simple puede calcularse multiplicando el Capital por la tasa de interés:

I = Ci Pero si el plazo no es la unidad de tiempo, sino cualquier otro valor, digamos n años, entonces los intereses serán:

I = Cin Si se utiliza un periodo de tiempo inferior a un año, usaremos t en lugar de n

I = Cit Al utilizar esta ecuación se deben tener en cuenta dos aspectos básicos: a) La tasa de interés se debe utilizar en forma decimal b) La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Si en un problema determinado no coinciden, la tasa de interés o el plazo, tiene que convertirse para que su unidad de tiempo coincida con el otro. Ejemplo 5. Rigoberto pidió prestados $12,000 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 36% anual simple, ¿Qué cantidad deberá pagar por concepto de interés?, ¿Cuál es el monto? Solución: P = $12,000 I = 36% anual = 0.36 por año t = 4 meses En este caso, la unidad de tiempo de i y de n no coinciden; se pueden tomar dos acciones: a) Convertir la tasa anual a tasa mensual

i = 36% anual =

36 = 3% mensual 12

Sustituyendo en la ecuación de interés simple

I = (12,000)(0.03)(4) = $1,440

b) Expresar el tiempo en años

n = ( 4 meses )

(

1 año 12 meses

)=

1 3

año

Sustituyendo nuevamente en la ecuación para el interés simple



I = (12,000)(0.36)( 13 ) = $1,440 Lo anterior significa que al termino de los 4 meses, Rigoberto deberá reembolsar el capital ($12,000) más los intereses correspondientes ($1,440), esto es, deberá pagar un monto de:

M = 12,000 + 1,440 = $13,440 Ejemplo 6. Marcela posee un capital de $60,000. Invierte 70% de su capital a 3.6% trimestral y el resto a 5.1% semestral, ¿Cuánto recibe cada mes de interés total? Solución: Como el tiempo se da en meses, es necesario convertir las tasas de interés a forma mensual:

3 .6 = 1.2% mensual 3 5.1 i = 5.1% trimestral = = 0.85% mensual 6 i = 3.6% trimestral =

Los intereses serán:

I 1 = (60,000)(0.7)(0.012)(1) = $504 I 2 = (60,000)(0.3)(0.012)(1) = $153 El interés total al cabo de un mes será de 504 + 153 = $657

Si la tomamos la ecuación del monto

M =C+I y sustituimos I = Ci

M = C + Cin = C (1 + in) M = C (1 + in)



Ejemplo 7. Ramón tiene una deuda de $20,000 que debe pagar dentro de 12 quincenas. Si la operación fue pactada a una tasa de interés simple igual a la TIIE vigente al inicio del préstamo más 16 puntos porcentuales, ¿Cuánto deberá pagar para saldas su deuda, sabiendo que la TIIE es igual a 11.2%? Solución: C = $20,000 i = 11.2 + 16 = (27.2%/año)(1 año/24 quincenas) t = 24 quincenas Al sustituir en la ecuación del monto

  0.272   M = 20,0001 +  (12) = $22,270   24   Otra forma de resolver el problema sería cambiando el plazo y la tasa de interés a meses. Sabiendo que 12 quincenas son 6 meses, entonces:

  0.272   M = 20,0001 +  (6) = $22,270   12   Ejemplo 8. ¿En cuanto tiempo se duplicará una cierta cantidad de dinero, si se invierte a 20% de interés simple? Solución: Despejando n de

M = C (1 + in) M = C + Cin M − C = Cin M −C n= Ci

Sea x la cantidad de dinero que se invierte, como el dinero se va a duplicar, entonces el monto será 2x, sustituyendo en la ecuación despejada:

n=

2x − x x 1 = = = 5 años ( x )(0.20) 0.20 x 0.20

Ejemplo 9. Sofía compra un televisor 1ue cuesta $3,750 de contado. Da un anticipo de 10% del precio de contado y acuerda pagar $3,712.50 tres meses después, ¿Qué tasa de interés simple anual paga? Solución: Enganche = ($3,750)(0.10) = $375 Saldo a pagar = 3,750 – 375 = $3,375 Intereses = $3,712.50 – 3,375 = $337.50 Partiendo de la ecuación I = Cin despejamos i:



i=

I 337.50 = = 0.033333333 por mes = 3.33333333% mensual Cn (3,375)(3)

Para convertir la tasa de interés mensual en tasa de interés anual, se multiplica por 12

i = (3.33333333)(12) = 40% anual

2.2 Interés comercial e interés real. 2.2.1 Tiempo real y tiempo comercial. Cuando el tiempo de un préstamo esta dado en días es necesario convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 o 366 días si el año es bisiesto), el interés obtenido se llama interés real o exacto. Cuando se lleva a cabo la conversión utilizando el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso se llama interés comercial o interés ordinario. Ejemplo 1. Calcule el interés comercial y exacto de un préstamo por $18,300 a 35% a 48 días de plazo. Solución: C = $18,300 I = 35% anual t = 48 días Interés comercial:

Interés real o exacto:

.35 ) (48) = $854 I = (18,300)( 0360

.35 ) (48) = $842.30 I = (18,300)( 0365

Como se observa, el interés comercial resulta más elevado que el interés real o exacto, para el mismo capital, tasa de interés y plazo. Esta ganancia extra hace que el año comercial sea muy utilizado en los bancos, casas de bolsa y en comercios que venden a crédito. Al utilizar el año comercial, suponemos que se tienen 12 meses de 30 días cada uno, de esta manera, los intereses calculados en meses resultan idénticos a los calculados usando días.

Ejemplo 2. Suponga que se desea calcular los intereses de $15,000 prestados a 24% de interés simple por 3 meses Solución: C = $15,000 i = 24% anual t = 3 meses = 90 días

I = (15,000)( 012.24 ) (3) = $5,900 .24 ) (90) = $5,900 I = (15,000)( 0360

En muchas ocasiones, el periodo entre el momento en que se toma un préstamo o se invierte un determinado capital y su vencimiento, se indica mediante fechas. Para calcular el tiempo transcurrido entre dos fechas se cuentan los días efectivos calendario. Al hacer este calculo, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último.



Ejemplo 3. Calcule el interés comercial y real de un préstamo por $6,850 a 27%, del 13 de septiembre al 12 de diciembre de un determinado año no bisiesto. Solución: C = $6,850 i = 27% anual Cálculo de los días transcurridos: Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

13 – 30 = 17 días 31 días 30 días 12 días 90 días

Interés comercial: .27 ) (90) = $462.38 I = (6,850)( .0360

Interés real: .27 ) (90) = $456.04 I = (6,850)( .0365

2.3 Pagarés Un pagaré es un documento mediante el cual una persona se obliga a pagar una cantidad determinada de dinero, con interés o sin él, en una fecha dada. La persona que hace la promesa de pagar es el deudor u otorgante y la persona que cobra el pagaré es el beneficiario o tenedor. En todo pagaré intervienen los siguientes conceptos: a) Fecha. Es la fecha en la que se extiende el pagaré b) Fecha de Vencimiento. Es la fecha en la cual se debe pagar la deuda c) Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha que se extiende el pagaré y la fecha de vencimiento d) Valor Nominal. Es la cantidad marcada en el pagaré. Si en el pagaré se indica que el valor nominal causará intereses a determinada tasa, entonces el valor nominal es el capital obtenido en préstamo; en cambio, si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a determinada tasa, el valor nominal es el monto a pagar en la fecha de vencimiento. e) Valor de Vencimiento. Es la cantidad que se debe pagar en la fecha de vencimiento. Esto es, el capital obtenido en préstamo más los intereses, si los hubiera. En algunos pagarés no se especifica la tasa de interés, esto da lugar a una de dos situaciones: o bien el pagaré no produce intereses o los intereses ya han sido añadidos al capital, de tal manera que el documento muestra la cantidad total (monto) a pagar en la fecha de vencimiento. Ejemplo 1. El señor Antonio Solís firmó un pagaré a la orden del señor Armando Ibarra por $12,700 el día 14 de febrero de 2003, obligándose a liquidar este pagaré el día 26 de diciembre de 2003. Se especifica que la suma tomada en préstamo causará intereses a una tasa de 30% anual hasta su vencimiento y una tasa de interés moratorio de 45% anual Obtenga el valor de vencimiento de este pagaré. Solución:



C = $12,700 i = 30% anual t = 315 días

315 M = 12,700[1 + ( 0.30) ( 360 )] = $16,033.75

Cuando una deuda no se liquida en la fecha de vencimiento, empieza a ganar intereses llamados moratorios, los cuales se deben calcular sobre el capital originalmente prestado y no sobre el monto, ya que los intereses moratorios son interés simple. Es usual que la tasa de interés moratorio sea 50% más de la tasa normal aplicada, aunque esta no sea una regla general. Ejemplo 2. Suponga que el pagaré anterior se liquidó 12 días después de la fecha de vencimiento. Calcule el interés moratorio y la cantidad a pagar. Solución: 12 Interés Moratorio = (12,700)( 0.45) ( 360 ) = $190.50

Cantidad total a pagar = capital + intereses ordinarios + intereses moratorios Cantidad total a pagar = monto + intereses moratorios Cantidad total a pagar = 16,033.75 + 190.50 = $16,224.25

Ejemplo 3. Alejandro Chávez firmó el 15 de octubre de 2002 un pagaré a favor de la señorita Susana Gómez, comprometiéndose a pagarlo el día 15 de enero de 2003. En el documento se especifica que la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento será de $34,979.38, suma que incluirá intereses a la tasa de 26% anual e intereses moratorios de 52% anual. Calcule: a) La cantidad que pidió prestada el señor Chávez b) El valor presente del documento el 20 de diciembre de 2002 Solución: Este pagaré, a diferencia del anterior, muestra un valor nominal igual al monto o valor al vencimiento, ya que la cantidad mostrada incluye los intereses a) Del 15 de octubre de 2002 al 15 de enero de 2003, hay 92 días. Por tanto, podemos despejar C de la formula de monto

M = C (1 + in) M (34,979.38) C= = = $32,800 (1 + in)   92  1 + ( 0.26 )  360    

A este valor, podemos llamar valor presente y representarlo por las letras VP o simplemente P

VP = P =

M (1 + in)

b) Del 20 de diciembre del 2002 al 15 de enero de 2003, hay 26 días. Por tanto:



VP = P =

M 34,979.38 = = $34,334.65 (1 + in)   26  1 + ( 0.26)  360    

Ejemplo 4. ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $9,000 para producir $450 de interés simple, si la tasa de interés es de 40%? Solución: Despejando n de

I = Cin = Pin I 450 n= = = 0.125 años Pi (9,000)(0.40) Para convertir la fracción de año a días, se multiplica por 360

t = (0.125)(360) = 45 días Ejemplo 5. ¿Cuál es el precio de contado de un teléfono celular que se paga dando un enganche de 10% del precio de contado y se firma un pagaré a 2 meses por $1754.47 que incluye intereses a una tasa de 39.15% anual? Solución: En primer lugar se obtiene el valor presente del pagaré, el cual representa la cantidad que se queda a deber después de pagar el enganche, esto es, el saldo a pagar

VP = P =

M 1,754.47 = = $1,647 (1 + in)   2  1 + ( 0.3915)  12    

Si PC es el precio de contado, entonces se puede escribir: PC – enganche = saldo a pagar PC – 0.10PC = 1,647 0.90PC = 1,647 PC = 1,647/0.90 = $1,830 2.3.1 Descuentos ordinario y comercial Cuando se consigue un préstamo por un capital P, el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagaré cuyo valor nominal generalmente es mayor P, puesto que incluye los intereses. Es práctica común que el acreedor, es decir el propietario del documento, lo negocie antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero –a una empresa de factoraje, por ejemplo – a un precio menor que el estipulado en el documento, o sea con un descuento que puede evaluarse de dos formas a) Descuento ordinario o real b) Descuento comercial



El primer tipo se calcula con la fórmula

M = P (1 + in)

Ejemplo 1. Jaime firmó el 8 de enero del 2003 un pagaré a la orden de la mueblería El Roble, S.A., por $10,680.00, comprometiéndose a pagarlo el día 8 de abril de 2003. Se indica que dicha cantidad incluye intereses a una tasa de 33.5% e intereses moratorios de 50.25%. Si decide saldar su deuda 20 días antes de su vencimiento (el 19 de marzo). Calcule la cantidad que deberá pagar. Utilice año natural Solución: Si pagara en la fecha de vencimiento, tendría que pagar $10,680, pero como decide liquidar su deuda de manera anticipada, tiene derecho a una reducción de intereses, por lo que la cantidad a pagar es, simplemente, el valor presente del documento 20 días antes de su vencimiento

P=

M 10,680 = = $10,487.49 (1 + in)   20  1 + ( 0.335)  365    

Este procedimiento de pagar anticipadamente un pagaré, se conoce como descuento ordinario o real, y recibe este nombre porque se lleva a cabo el descuento de los intereses correspondientes a los días que faltan para que venza el documento

En cambio, el descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen de sus artículos cuando los venden al precio de lista menos determinado porcentaje, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisición de CETES es un claro ejemplo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir:

D = Mnd Donde: D = Descuento d = tasa de descuento simple anual n = plazo en años Ejemplo 2. El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses antes de su vencimiento, con un tipo de descuento de 2.4% simple anual es:

D = Mnd = (6,500)(1 / 4)(0.224) D = $364 Si al valor nominal del pagaré se le resta este descuento, entonces se obtendrá su valor comercial o valor descontado P, por lo que el precio será

P = 6,500 − 364 P = $6,136 El resultado anterior se puede generalizar de la siguiente manera:

P = M − Mnd P = M (1 − nd ) M.I.I Vicente Raúl Pulido Barrera


Ejemplo 3. ¿Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6,500 recibido el 25 de enero pasado con intereses del 24% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 25% Solución: Primero es necesario hallar el monto de $6,500 del préstamo mediante la fórmula del monto

M = P (1 + in) = 6,500[1 + (186 / 360)(0.24)] = $7,306 Con este valor del monto o valor futuro, el plazo de adelanto 79/360 años y la tasa de descuento d = 0.25 se obtiene el valor descontado

P = M (1 − nd ) = 7,306[1 + (186 / 360)(0.25)] P = $6,905.18 En algunas operaciones de crédito bancarias se acostumbra cobrar el interés en el momento mismo que se efectúa el préstamo. Cobrar el interés por adelantado en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento se llama descuento bancario. Al interés cobrado por anticipado se le llama descuento y la cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, una vez descontados los intereses se llama valor efectivo. La practica del descuento, además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero correspondiente a los intereses, hace que la tasa de interés que se esta pagando por el préstamo sea mayor que la indicada. Esta tasa de interés recibe el nombre de tasa de rendimiento y se representa por la letra r. Ejemplo 4. Sandra solicita un préstamo por $118,000 a un plazo de 60 días, si la tasa de descuento es del 27% y recibe un capital en efectivo de $112,690, calcule la tasa de rendimiento. Solución: Despejando i de la fórmula de monto simple

M = P (1 + ni ) = P + Pni M − P = Pni M − P (118,000 − 112,690) i=r= = = 0.00078534 por día Pn (112,690)(60) r = 0.078534% diario = 28.27225% anual

2.4 Ecuaciones de Valor y equivalente Es un caso muy común, que en las operaciones financieras haya dos o más transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única. Este concepto de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los más importantes en matemáticas financieras, por lo que es necesario asegurarse de que se comprende cabalmente.



En su forma más simple, podría considerarse, por ejemplo, que la fórmula del monto a interés simple es una ecuación de valores equivalentes, ya que el monto M. es equivalente a un capital C, colocado a un tiempo n y a una tasa i. Es decir que si se invierten $10,000 hoy a una tasa de 3% anual durante 10 años, tendremos:

M = 10,000[1 + (0.3)(10)] = $40,000 Es decir que dentro de 10 años se recibirán $40,000, por lo que decimos que $40,000 son el monto o valor futuro de $10,000. Recíprocamente, decimos que $10,000 de hoy son equivalentes a $40,000 dentro de 10 años, si se invierten al 3% de interés anual. Esto significa que $10,000 son el valor presente o actual de $40,000 Una cantidad de dinero que se tiene disponible hoy, vale más que esa misma cantidad dentro de cierto tiempo en el futuro, esto es debido a que el dinero de hoy puede invertirse y ganar dinero mediante intereses. Esto es lo que se llama valor del dinero en el tiempo. De acuerdo a esto, modificaremos la fórmula del monto a interés simple:

M = C (1 + ni ) F = P (1 + ni ) Ejemplo 1. Encuentre el valor presente de $2,000 que vencen dentro de 9 meses, si la tasa es de 38.25% anual. Solución: F = $2,000 t = 9 meses i = 38.25% P=?

F = P (1 + ni) F 2,000 P= = = $1,554.15 (1 + ni) [1 + (0.3825)(9 / 12)]

Ejemplo 2. en cierta fecha una persona firmó un pagaré por $120,000 a 90 días a una tasa de 25%. Treinta días después contrajo una deuda por $100,000 para pagarla 2 meses después sin intereses. Dos meses después de la primera fecha, acordó con un acreedor pagar $150,000 en ese momento, y para saldar el resto de su deuda, hacer un pago final 3 meses después de la última fecha con una tasa de interés de 30%. Determínese el pago convenido.



238,875 227,500 120,000

100,000

i = 25%

i = 30%

i = 0%

0

2

3

4

5

1 i = 30%

150,000

161,250 + X$

120,000[1 + (0.25)(3 / 12)] + 100,000 = $227,500 227,500[1 + (0.30)(2 / 12)] = $238,875.00 150,000[1 + (0.30)(3 / 12)] = $161,250 Valor de las deudas = Valor de los pagos

$238,875 = $161,250 + X X = 77,675

Ejemplo 3.

120,000

i = 25%

100,000 i = 30% i = 0%

0

2

3

4

5

X

X

1 i = 30%

150,000

120,000[1+(0.25)(3/12)][1+(0.30)(1/12)]+100,000[1+(0.30)(1/12)] = 150,000[1+(0.30)(2/12)]+X/[1+(0.30)(1/12)] 120,000(1.0625)(1.025) + 100,000(1.025) = 150,000(1.05) + X/1.025 130,687.50 +102,500 = 157,500 + X/1.025 X = $77,579.69



Ejemplo 4. Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200,000 con 40% de interés simple y que vence dentro de 4 meses. Además debe pagar otra deuda de $150,000 contraída hace 2 meses, con 35% de interés simple y que vence dentro de 2 meses. Considerando una tasa de interés de 42%, ¿Qué pago deberá hacer hoy para saldar su deuda si se compromete a pagar $100,000 dentro de 6 meses? 200,000

150,000

i = 40% i = 42%

i = 35%

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

200,000[1+ (0.40)(12/12)] = $280,000 280,000 / [1 + (0.42)(4/12)] = $245,614 150,000[1+ (0.35)(4/12)] = $167,500 167,500 / [1 + (0.42)(2/12)] = $156,245.05 100,000 / [1 + (0.42)(6/12)] = $82,644.63 Deudas = Pagos 245,614 + 156,245.05 = 82,644.63 + X X = $319,511.42


-1

0

X

1

2

3

4

5

6

100,000

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