UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA FACULTAD DE CIENCIA, TECNOLOGÍA Y AMBIENTE DEPERTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
ASIGNATURA
ESTADÍSTICA
INGENIERÍA EN SISTEMAS Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN
Recopilado por Clara Pastora Téllez
Septiembre, 2015
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Índice de contenido Objetivos ….………………………………………………………………………………………………………………………… Introducción ………………………………………………………………………………………………………………………….. 1. Unidad I: Estadística Descriptiva ……………….………………………………………………….. Ramas de la estadística…………………………………………………………………. . Conceptos …………………………………………………………………………………. Escalas de medición …………………………………………………………………… Actividad de Autoaprendizaje N° 1 ………………………………………. Organización de datos …………………………………………………………………… Representación Gráfica …………………………………………………………….. Actividad Autoaprendizaje N° 2 ……………………………………… Medidas dedeposición central …………………………………………………….. Media …………………………………………………………………………………
2. Unidad II:
Mediana……………………………………………………………………………….. Moda …………………………………………………………………………………. Medidas de posición no central…………………………………………………. Cuartiles y Percentiles …………………………………………………….. Medidas de variación ………………………………………………………………….. Varianza, Desviación estándar …………………………………….. Coeficiente de variación………………………………………………….. Actividad de Autoaprendizaje N° 3 ……………………………………… Probabilidades ……………………………………………………………………………….. Enfoques de probabilidad y Conceptos………………………………………. Reglas de Probabilidad …………………………………………………….. Actividad de Autoaprendizaje N° 4 ………………………………………. Teorema de Bayes ……………………………………………………………………
Actividad de Auto aprendizaje N° 5 ……………………………………… 3. Unidad III: Distribuciones de Probabilidad y Pruebas Estadísticas …………… Distribución de probabilidad ……………………………………………………. Actividad de Autoaprendizaje N° 6 …………………………………….. Distribución Binomial ………………………………………………………………….. Actividad de Autoaprendizaje N° 7 ……………………………………… Distribución de Poisson…………………………………………………………………. Actividad de Autoaprendizaje N° 8 ……………………………………… Distribución Normal ………………………………………………………………….. Actividad de Autoaprendizaje N° 9 ……………………………………… Distribución muestral para la media ……………………………………… Teorema de Limite Central …………………………………………………… Actividad de Autoaprendizaje N° 10 …………………………………….. Estimación por intervalo y tamaño de muestra…………… …………. Actividad de Autoaprendizaje N° 11 …………………………………….. Prueba de Hipótesis ………………………………………………………………….
Actividad de Autoaprendizaje N° 12 …………………………………….. Prueba de independencia…..……………………………………………. Actividad de Autoaprendizaje N° 13 ……….…………………………….
4 4 4 6 7 9 11 13 17 19 21 21 23 25 25 26 26 27 27 30 31 31 33 37 43 45 47 47 49 50 52 53 55 56 62 63 65 66 67 73 76 86 87 89
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4. Unidad IV: Regresión y Correlación Lineal Simple………………………………………………… Diagrama de Dispersión……………………………………………………………………. Regresión Lineal …………………………………………………………………………. Estimación de la ecuación………. ……………........................................... Error estándar de estimación ……………………………………………………. Coeficiente de Correlación y Determinación ………………..……… Intervalo de Confianza de la media ……………………………………… Inferencia acerca de los parámetros ……………………………………… Actividad de Autoaprendizaje N° 14 ……………………………………… Guías de Laboratorio ……………………………………………………………………………………………..
Referencias
Introducción la encuesta …………………………………. Procesamientoresultados de datos de …………………………………………………………….. Procesamiento de variables cuantitativas ……………………………… Recodificación de variables ………………………………………………………. Procesamiento de variables con opción múltiple …………………. Ejercicio de aplicación ………………………………………………………………… Inferencia estadística …………………………………………………………….... Regresión y Correlación Lineal Simple …………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….
91 91 92 92 94 95 95 96 97 99 102 105 107 108 112 113 114 117 122
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Objetivos 1. Apropiarse de la terminología usada en el área estadística, con el fin de impulsar la adquisición de cultura estadística por parte de los estudiantes. 2. Identificar maneras adecuadas para la presentación de información y adquirir las destrezas para construir tablas y gráficos estadísticos. 3. Se pretende lograr un aprendizaje significativo con la construcción de objetos de aprendizaje en cada una de las unidades, además, del apoyo de herramientas de software estadístico. 4. Se espera que el curso sea ameno y provechoso para todos (as), logrando potenciar al estudiante en la aplicación de la estadística y fortaleciendo además, otros valores como: la honestidad, solidaridad y el trabajo en grupo. Introducción El presente material deestudio no pretende sustituir a ningún textode Estadística, por el contrario es un esfuerzo que trata de resumir los temas que se requieren para cursar la asignatura; los estudiante que deseen profundizar en el contenido del programa, deben realizar las consultas necesarias para completar el conocimiento de esta disciplina. El material cuenta con cuatro unidades donde se presenta una introducción, el desarrollo teórico, ejercicios resueltos paso a paso, ejercicios propuestos y un formulario creado para cada unidad. La temática se resume en: Estadística descriptiva, Probabilidades, Distribuciones de Probabilidad y Prueba estadísticas y Regresión y Correlación Lineal Simple.
UNIDAD I
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
En esta Unidad se hará un pequeño recorrido por la historia de la estadística, mencionando algunos de los personajes que la impulsaron, recalcando sus progresos y aportes a través del tiempo. El uso de herramientas cuantitativas para el tratamiento de datos, tiene srcen en épocas remotas. Se tiene información de hace más de 3000 años antes de Cristo, donde las antiguas civilizaciones, como la Egipcia, aplicaron continuamente censos que ayudaban a la organización del estado y la construcción de las pirámides. El antiguo testamento nos sugiere que Moisés ordenó un“Censo” a la población Israelita para identificar los miembros de las familias. En la antigua Grecia y el Imperio Romano, era común la aplicación de censos para la planificación de impuestos y la prestación del servicio militar. La primera persona que introdujo el término estadística en Inglaterra fue Sir John Sinclair (1754-1835) con su trabajo“Statistical Account of Scotland” (1791-1799) compilado en 21 volúmenes. El autor explica en su libro, que la palabra estadística la adoptó gracias al estudio de investigaciones realizadas en Alemania, como una palabra novedosa que llamaría la atención de los ingleses. A comienzos del siglo XIX, la palabra estadística adopta un significado más generalizado hacia la recolección y clasificación de cualquier tipo de datos cuantitativos. Herman fue unenestadístico estadounidense que desarrolló la primeraHollerith máquina (1860-1929) tabuladora basada t arjetas perforadas y mecanismos eléctricomecánicos para el tratamiento rápido de millones de datos. Su máquina fue usada en el censo de 1890 en Estados Unidos que redujo la tabulación de los datos de 7 años (censo
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de 1880) a 2,5 años. Creó la firma “Computing Tabulating Recording Corporation(CTR)”, que bajo la presidencia de Thomas J. Watson fue renombrada a “International Business Machines (IBM)” en 1924.
1. Definición 1.1 Estadística es una disciplina que apoya el proceso de toma de decisiones en diversas áreas del conocimiento, además, de entregar pautas para la presentación adecuada de información. 1.2 Estadística es la ciencia que utilizando las matemáticas y de modo particular el cálculo para estudiar las leyes de comportamiento de a quellos fenómenos que no 1.3
estando dos a Inglés ley es rígiWord das dep endendel aza r y bas en ella, se pre dicen esult r adedos. El famoso someti diccionario Reference define laándose estadística como un área la matemática aplicada orientada a la recolección e interpretación de datos cuantitativos y al uso de la teoría de la probabilidad para calcular los parámetros de una población.
2. Estudio de la Estadística Existen dos razones por las cuales el campo de acción de la estadística y la necesidad de un estudio han crecido enormemente en las últimas décadas. Una razón es que el enfoque cada vez más cuantitativo que se emplea en todas las ciencias, así como en las empresas y en otras actividades que afectan nuestras vidas. Esto incluye el uso de técnicas matemáticas para la evaluación de controles contra la contaminación, la planeación de inventarios, el estudio de la nutrición, la longevidad, la evaluación de técnicas de enseñanza, etc. La otra razón es que la cantidad de información estadística que se recolecta, procesa y disemina al público, por un motivo o por otro ha crecido casi más allá de nuestro entendimiento, y algo que todo mundo se pregunta es qué parte de ella es estadística “pura” y qué parte es “impura”. 3. Aplicaciones 3.1 Una compañía que fabrica equipos electrónicos complejos produce algunos equipos que funcionan adecuadamente, pero también algunos que, por razones desconocidas, no funcionan adecuadamente. ¿a que se debe que algunos sean buenos y otrosno? 3.2 El departamento de control de calidad de una compañía se encarga de vigilar la producción en forma continua, aplicando muestreo y otras técnicas estadísticas comunes. 3.3 El contralor y el departamento de contabilidad de una empresa se encargan de la exactitud en los cálculos financieros. Ya que resulta físicamente imposible verificar cada documento y determinar su exactitud, se realiza un muestreo de las facturas y se toman decisiones en base a los resultados de la muestra. 3.4 El departamento de mercadotecnia de una empresa realizará pruebas con los consumidores y proyectan las ganancias con base en los resultados de la muestra. 3.5 Los analistas de investigación evalúan muchos aspectos de una acción o valor antes de hacer una recomendación de compra o venta. Recopilan los datos de ventas anteriores de la empresa y estiman las ganancias futuras. 3.6 El gobierno realiza un gran número de encuestas para determinar la condición actual de la economía y la predicción de las tendencias económicas futuras. Se elaboran índices,
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como el índice de precios al consumidor con el objeto de evaluar la tendencia inflacionaria. 3.7 Los consumidores utilizan los precios unitarios para decidir la cantidad o calidad del producto a comprar. 3.8
Los resultados de sondeos de opinión pública se presentan en los medios de comunicación. Estos abarcan muchos temas, como evaluación del desempeño de las alcaldías, ministerios, asamblea nacional, incluso al presidente, el impacto de las medidas económicas, etc.
3.9
Dificultades que encuentran los estudiantes al momento de realizar lectura de textos, su nivel de comprensión, etc.
4. Ramas de ramas la estadística Una de las de la Estadística más accesible a la mayoría de la población es la Descriptiva. Esta parte se dedica única y exclusivamente al ordenamiento y tratamiento de la información para su presentación por medio de tablas y de representaciones gráficas, así como de la obtención de algunos parámetros útiles para la explicación de la información (la media y la desviación estándar). Es un primer acercamiento a la información.
Estadística Descriptiva 4.1
La estadística descriptiva es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables.
La investigación cuya finalidad es: el análisis o experimentación de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos, la revisión o establecimiento de teorías y las aplicaciones prácticas mismas,científico, se basa enellosanálisis principios de Observación y necesita endesulascarácter técnico de datos paray Razonamiento obtener de ellos información confiable y oportuna. Este análisis de datos requiere de la Estadística como una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de profesión y las personas que de una y otra forma la realizan. Cuando se realiza un estudio de investigación, se pretende generalmente inferir o generalizar resultados de una muestra a una población. Se estudia en particular a un reducido número de individuos a los que tenemos acceso con la idea de poder generalizar los hallazgos a la población de la cual esa muestra procede. Este proceso de inferencia se efectúa por medio de métodos estadísticos basados en la probabilidad.
Estadística Inferencial 4.2
Basándose en los resultados obtenidos de una muestra induce o estima las leyes reales del comportamiento de la población de la que proviene dicha muestra.
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5. Conceptos básicos 7
Población Son todos y cada uno de los elementos que se quieren analizar. Puede ser finita o infinita (en realidad las poblaciones infinitas no existen, pero cuando se trata de un número grande se supone como si lo fuera).
Ej. 1 Población (se simboliza por N) 1.1 Estudiantes de Ingeniería en Sistema de Nicaragua. 1.2 Trabajadores de una compañía industrial. 1.3 Producción textil en una zona franca. 1.4 Clientes de un banco.
Muestra Es un subconjunto de la población o parte de la población que se observa. (Característica de una población es la propiedade qu se estudia.
Ej. 2 Muestra (su símbolo es n) 2.1 Si se estudia el precio de la vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativo. Las razones para estudiar muestras en lugar de poblaciones son diversas y entre ellas podemos señalar: 1. tiempo. Estudiar a menos individuos es evidente 2. Ahorrar Como consecuencia del punto anterior ahorraremos costos.que lleva menos tiempo. 3. Estudiar la totalidad de las personas con una característica determinada en muchas ocasiones puede ser una tarea inaccesible o imposible de realizar. 4. Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de más tiempo y recursos, las observaciones y mediciones realizadas a un reducido número de individuos pueden ser más exactas y plurales que si las tuviésemos que realizar a una población. 5. La selección de muestras específicas nos permitirá reducir la heterogeneidad de una población al indicar los criterios de inclusión y/o exclusión.
Parámetro Característica numérica de una población.
Estadístico Característica numérica de una muestra.
Variable Es una forma de expresar una característica de un grupo de elementos de estudio, como el peso de una persona, su estatura, el color de sus ojos,… una oblación o de una muestra.
Ej. 3 Población: Estudiantes de la UCA. Variable: Edad, valor que puede asumir: 17, 18, 19,… (La característica se designa con letras mayúsculas X, Y, Z,…) Las variables pueden ser de dos tipos: 1. Variables c ualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo). 2. Variables cuantitativas o numéricas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales). Por su parte, las variables cuantitativasse pueden clasificar en discretas y continuas: 2.1 Discretas: Sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo, número de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45). 2.2 Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h, etc.
Categórica Variable Numérica
Continua Discreta
Ej. 4 Clasifique cada una de las siguientes variables en categórica o numéricas (discreta o continua).
1 2 3 4 5
Variable Nacionalidad Resistencia a la tensión Salario mensual (C$) N° de artículos defectuosos Temperatura (°F)
Tipo de variable
Las variables también se pueden clasificar en: 1. Variables unidimensionales:sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase). 2. Variables bidimensionales:recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
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3. Variables pluridimensionales:recogen información sobre tres o más características (por
ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase). Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir el siguiente concepto:
Individuo Cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.
6. Etapas del análisis estadístico Recogida de datos. Ordenación de los mismos en tablas. Resumen de la información recogida a través de las medidas (Descriptiva). Analizar los datos provenientes de una muestra para sacar conclusiones sobre la población de la queproviene lamuestra(Inferencial). 7. Niveles o Escalas de medición Medir en el campo de las ciencias exactas es comparar una magnitud con otra, tomada de manera arbitraria como referencia, denominada patrón y expresar cuántas veces la contiene. En el campo de las ciencias sociales medir es “el proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores empíricos”. Al resultado de medir lo se le llama medida. La medición de las variables puede realizarse por medio de cuatro escalas de medición: la nominal, ordinal, de intervalo y de razón. Se utilizan para ayudar en la clasificación de las variables, el diseño de las preguntas para medir variables, e incluso indican el tipo de análisis estadístico paraque el tratamiento de los datos. característica esencial de la medición es laapropiado dependencia tiene de la posibilidad deUna variación. La validez y la confiabilidad de la medición de una variable depende de las decisiones que se tomen para operarla y lograr una adecuada comprensión del concepto evitando imprecisiones y ambigüedades, en caso contrario, la variable corre el riesgo inherente de ser invalidada debido a que no produce información confiable. 7.1 Escala nominal
En este nivel de medición se establecen categorías distintivas que no implican un orden específico. Por ejemplo, si la unidad de análisis es un grupo de personas, para clasificarlas se puede establecer la categoría sexo con dos niveles, masculino (M) y femenino (F), los encuestados sólo tienen que señalar su género, no se requiere de un orden real. Así, se pueden asignar números a estas categorías para su identificación: 1=M, 2=F o bien, se pueden invertir los números sin que afecte la medición: 1=F y 2=M. En resumen en la escala nominal se asignan números a eventos con el propósito de identificarlos. Otros ejemplos: religión, color de ojos, etc. 7.2 Escala ordinal
Se establecen categorías con dos o más niveles que implican un orden inherente entre sí. La escala de medición ordinal es cuantitativa porque permite ordenar a los eventos en función de la mayor o menor posesión de un atributo o característica. Por ejemplo, en las
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instituciones escolares de nivel básico suelen formar por estatura a los estudiantes, se desarrolla un orden cuantitativo pero no suministra medidas de los sujetos. Estas escalas admiten la asignación de números en función de un orden prescrito. Las formas más comunes de variables ordinales son ítems (reactivos) actitudinales estableciendo una serie de niveles que expresan una actitud de acuerdo o desacuerdo con respecto a algún referente. Por ejemplo, ante el reactivo: ENACAL debe privatizarse, el respondiente puede marcar su respuesta de acuerdo a las siguientes alternativas: Totalmente de acuerdo En desacuerdo De acuerdo Totalmente en desacuerdo Indiferente Las anteriores alternativas respuesta pueden van del al cinco que sugieren un ordendepreestablecido perocodificarse no implicancon unanúmeros distanciaqueentre un uno número y otro. 7.3 Escala de intervalos
La medición de intervalo posee las características de la medición nominal y ordinal. Establece la distancia entre una medida y otra. La escala de intervalo se aplica a variables continuas pero carece de un punto cero absoluto. El ejemplo más representativo de este tipo de medición es un termómetro, cuando registra cero grados centígrados de temperatura indica el nivel de congelación del agua y cuando registra 100 grados centígrados indica el nivel de ebullición, el punto cero es arbitrario no real, lo que significa que en este punto no hay ausencia de temperatura. 7.4 Escala de Razón (Cociente)
Una escala de medición de razón incluye las características de los tres anteriores niveles de medición (nominal, ordinal e intervalo). Determina la distancia exacta entre los intervalos de una categoría. Adicionalmente tiene un punto cero absoluto, es decir, en el punto cero no existe la característica o atributo que se mide. Las variables de ingreso, edad, peso, estatura, número de hijos, etc. son ejemplos de este tipo de escala. El nivel de medición de razón se aplica tanto a variables continuas como discretas.
Ej. 5 Clasifique c/u de las siguientes variables en categóricas o numéricas, si es numérica Determine si es discreta o continua. Además proporcione el nivel de medición.
Variable Número de mensajes de correo electrónico enviados por un planificador Costo de los libros de texto usado por un estudiante Edad Marca de computadora personal Nivel académico
Tipo de variable
Nivel de medición
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ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 1 1. Origen y Evolución de la Estadística. Escriba un ensayo que trate del srcen y evolución de la estadística.
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2. Describa con sus palabras cada uno de los siguientes términos, proporcionando además tres ejemplos diferentes a los vistos en clase. 2.1 2.2 2.3
Población
Variable
2.4 2.5
Muestra Atributo
2.6 2.7
Dato Parámetro
Estadístico
3. Ilustración Un estudiante de estadística desea tener una idea acerca del valor (en unidades monetarias) del automóvil típico que poseen los profesores de su universidad. Para esto se aplica cada uno de los términos básicos que se han definido. 3.1 La población es el conjunto de todos los vehículos de los profesores de la universidad. 3.2 Una muestra es una porción o parte de una población. Por ejemplo el número de automóviles cuyos propietarios son los profesores del departamento de matemáticas, es una muestra. 3.3 La variable es el valor real de cada automóvil. 3.4 Un dato es el valor de un vehículo en particular. Porejemplo, el auto del profesor Miranda esta valuado en 12 mil dólares. 3.5 Los datos son el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida (8, 10, 12, … miles de $) 3.6 población. El parámetro acerca del cual se busca información es el valor “promedio” en la 3.7 El estadístico que se encontrará es el valor “promedio de la muestra”
4. Un fabricante de equipos electrónicos desea conocer la proporción de artículos defectuosos. Se realiza un estudio en 5000 artículos y se encontró que 8% están defectuosos. Suponiendo que esos 5000 artículos son representativas para el fabricante, conteste las siguientes preguntas. 4.1 ¿Cuál es la población? 4.2 ¿Cuál es la muestra? 4.3 Identifique el parámetro de interés. 4.4 Identifique el estadístico e indique cuales su valor. 4.5 Se conoce el valor del parámetro. 5. Encuentre un artículo o un anuncio de periódico, que ejemplifique el empleo de la
estadística. 5.1 5.2 5.3
Describa Describa ee identifique identifique launapoblación variable.de interés. Determine e identifique un estadístico.
6. Usted estudia los movimientos de precios de un grupo selecto de acciones enlistadas
en la Bolsa de Valores de Nicaragua. Consultó un diario local del día 12 de julio del 2012 y encontró. Movimiento accionario Número Aumentaron 69 Disminuyeron 32 Sin cambio 11 Total 6.1 ¿Se consideran las 112 acciones una muestra o una población? Explique. 6.2 6.3
¿Cuál las es el nivel de medición? Explique. ¿Son categorías mutuamente excluyentes? Explique.
7. Si dos estudiantes obtienen una calificación de 90 en el mismo examen, ¿qué
argumentos podrían usar para demostrar que la variable calificación en la prueba, es continua? 8. Indique si cada una de las siguientes variables es categórica o numérica. Si es
numérica determine si es discreta o continua. Además proporcione el nivel de medición. N°
Variable
8.1
Cotización de una acción en el mercado de valores Cociente de inteligencia. Tipos de accidentes que ocurren en una fábrica Temperatura Estado civil Precio de un producto Factura mensual en electricidad Categorías de los profesores Universitarios Número de páginas escritas en cada trabajo Tiempo que se necesita para auditar una cuenta en una empresa Especialidad académica Número de créditos registrados en el II cuatrimestre Formas de pago en una compañía Color del teléfono usado Cantidad de dinero gastado en ropa el mes pasado
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15
principal de transacción usada 8.16 Tipo al comprar la ropa Número de señales de tránsito en 8.17 poblados con menos de 50000 habitantes
Tipo de variable
Nivel de medición
12
Tiempo que se necesita para 8.18 contestar una llamada telefónica en una oficina de información 8.19 Lugar de residencia 8.20 Nº de bits transmitidos. 8.21 Satisfacción de un producto. 8.22 Tiempo de reparación de un componente electrónico. 8.23 Capacidad de almacenamiento de un disco duro. 9. En una facultad universitaria se ha repartido un cuestionario entre los estudiantes
para averiguar el grado de satisfacción en diversas actividades y servicios. Por ejemplo, por lo que se refiere al “método de matrícula para las clases del III cuatrimestre”, se pide
a los estudiantes que pongan una cruz en una de las casillas siguientes: Muy satisfecho Moderadamente insatisfecho Moderadamente satisfecho Muy insatisfecho Neutral ¿Es la respuesta de un estudiante a esta pregunta, numérica o categórica? Si es numérica, ¿es discreta o continua? Además indique el nivel de medición. 10. El gerente de una compañía ha formulado una serie de preguntas al responsable del
Departamento de Informática acerca de los trabajadores. Identifique el tipo de dato que se pide en cada pregunta. 10.1 ¿Cuántos trabajadores tiene el Departamento de Informática? 10.2 Nivel académico (secundaria, universitaria, técnico, otros). 10.3 ¿Cuántas veces al mes ha habido reclamo en el salario de los empleados? 10.4 Número de trabajadores ausentes al mes. 10.5 Salario de los trabajadores. 11. Suponga que el gerente de la división de servicios al cliente de Xenith está interesado
principalmente en determinar si los clientes que han comprado una computadora durante los últimos 12 meses quedaron satisfechos con el producto. Usando las tarjetas de garantía entregadas después de la compra, el gerente planea encuestar a 1425 de estos clientes. 11.1 Describa tanto la población como la muestra de interés para el gerente. 11.2 Describa el tipo de dato que el gerente desea recolectar principalmente. 11.3 Desarrolle un primer borrador del cuestionario escribiendo una serie de siete 11.4 preguntas categóricas y cinco numéricas que piensa serian apropiadas para esta encuesta.
8. Organización de datos Muchas veces uno se pregunta, ¿para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ganar? ¿Cómo La saber si una estación de radio escucha másdeque otra?Los , ¿Cuál puede respuesta se comienza con laserecaudación datos. datoscandidato son información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. Hay datos que pueden ser de mucha utilidad a diferentes
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profesionales en la toma de decisiones, para resolver problemas o para mostrar resultados de investigaciones. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla. Es importante recordar que nunca se colocan las tablas y las gráficas juntos, porque en realidad dicen lo mismo, corrientemente se utiliza o una tabla y su análisis, o una gráfica y su análisis. Por ejemplo, supóngase que se ha preguntado a un conjunto de n personas: ¿qué opinión tienen acerca de la instalación de playas en la Ciudad de Rivas o que ha hecho el Gobierno a partir del2010? Las n respuestas se encuentran en una escala quesignificar va de 1 aun5,acuerdo donde 1total. representa un total desacuerdo con la medida mientras que 5 quiere Una manera de obtener datos es a través de la observación directa. Un experimento estadístico es una forma de observación directa en la que se controlan algunos o todos los factores que pueden influir en la variable que se estudia.
Distribución de frecuencia Es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Variable (Valor) X1 X2
...
Frecuencias absolutas Simple (f) Acumulada (fa)
f1 f2 ... fn-1
f1 f1 + f2 ... f1 + f2 +..+ fn-1
Frecuencias relativas Simple (fr) Acumulada (fra) fr1 = f1 / n fr1 fr2 = f2 / n fr1 + fr2
...
...
Xn-1 frn-1 = fn-1 / n fr1 + fr2 +..+frn-1 fn Xn ∑fa = n frn = fn / n ∑fra = 1 Siendo X los distintos valores que puede tomar la variable. Siendo f el número de veces que se repite cada valor. Siendo fr el porcentaje que la repetición de cada valor supone sobre el total
Frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un determinado valor. Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones, por tanto la frecuencia relativa está siempre entre cero y uno. Frecuencia absoluta acumulada es decir se suman las frecuencias anteriores a un valor dado, por tanto la acumulada al final coincide con el tamaño de la muestra o la población (n ó N). Frecuencia relativa acumulada se suman las frecuencias relativas anteriores a un valor dado, al final la suma es 1.
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Ej. 6 Se utiliza un contador Geiger electrónico para contar el número de emisiones radiactivas en un periodo de 10 segundos, obteniendo al s cuentas siguientes:8, 12, 13, 15, 8, 12, 15, 23, 16, 12, 13, 16, 30, 23, 15. Presente esta información en una distribución de frecuencias (Comente los resultados) Emisiones radiactivas. 8 12 13 15 16
N° de emisiones (f) 2 3 2 3 2
(fa) 2 5 7 10 12
% de emisiones (fr) 0,1333 0,2000 0,1333 0,2000 0,1333
(fra) 0,1333 0,3333 0,4666 0,6666 0,8000
23 30
2 1
14 15
0,1333 0,0666
0,9333 1,0000
…
Tabla de frecuencias Una distribución de frecuencias es una tabla en la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que describen una característica de los datos y muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.
1. Distribución de frecuencias agrupadas 1.1 La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si la variable toman un número grande de valores o la variable es continua. 1.2 Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. 1.3 Rango, es la diferencia entre el límite superior y el inferior. (R = XM - Xm) 1.4 Intervalo de clase, conocido también como Amplitud o Ancho de clase, Si se decide que el ancho de cada clase sea uniforme, deberá calcularse por medio de la expresión,
1.5
Marca de clase: La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el
1.6
valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. Límites de clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. En todos los casos debe comprobarse que la diferencia entre el límite superior e inferior de cada clase sea igual al ancho de la clase menos una unidad de variación.
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2. Pasos para la elaboración de tablas de distribución de frecuencias. 2.1 Recopilación de datos. 2.2 Clasificación de los datos de menor a mayor (optativo). 2.3 Cálculo del ancho de la clase. 2.4 Identificación de los límites de clase. 2.5 Conteo de los datos.
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Ej. 7 Treinta solicitantes interesados en trabajar para un programa de asistencia social, rindieron un examen diseñado para medir su aptitud para el trabajo social. Los resultados fueron los siguientes: 79 81 73
97 91 78
86 86 98
76 87 88
93 71 96
87 94 72
98 77 79
78 92 97
84 76 83
88 85 79
76 84 93
76 85 94
77 86 96
78 86 97
78 87 97
79 87 98
79 88 98
Clasificación ordenada.
71 79 88
72 81 91
73 83 92
Calculo del ancho de clase. c
(Máx. valor observado Mín. valor observado) 1 3,322lo n
c
Calificación 70 75 80 85 90 95
-
74 79 84 89 94 99
N° de solicitantes (f) 3 8 3 7 4 5
(98 71) 4,570850616 5 1 3,322log30
(fa) 3 11 14 21 25 30
% de solicitantes (fr) 0,1000 0,2666 0,1000 0,2333 0,1333 0,1666
(fra) 0,1000 0,3666 0,4666 0,7000 0,8333 1,0000
Marca de clase 72 77 82 87 92 97
Limites reales 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 94,5
-
Con los resultados obtenidos en la tabla, responda las siguientes preguntas: 7.1 ¿Cuántos solicitantes obtuvieron calificación entre 84,5 y 89,5?
7.2
¿Qué porcentaje de solicitantes obtuvo a lo sumo 89,5 como calificación?
7.3
¿Cuántos solicitantes obtuvieron cuando mucho 94,5 puntos?
74,5 79,5 84,5 89,5 94,5 99,5
7.4
¿Cuánto es la calificación media representativa ubicada entre 74,5 y 79,5?
7.5
¿Cuánto es la calificación máxima del 83,33% de los solicitantes?
7.6
¿Qué porcentaje de solicitantes obtuvieron calificación entre 94,5 y 99,5?
17
Si los datos se agrupan en categorías numéricas, la tabla resultante se denomina distribución categórica o cualitativa. Este tipo de distribución se ilustra por medio de la tabla siguiente que pertenece a los planes de estudios superiores de un grupo de 548 estudiantes del último año de secundaria.
Ej: 8 Planes de estudio superior
N° de estudiantes del último año de secundaria Planea ir a la universidad. 240 Quizá vaya a la universidad. 146 Planea ir o quizá vaya a una escuela técnica. 57 No irá a ninguna universidad. 105 Total 548
9. Representación gráfica Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. Sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. 9.1
Histograma
Los histogramas no muestran frecuencias acumuladas, son preferibles para el tratamiento de datos cuantitativos y la barra con mayor altura representa la mayor frecuencia. La sumatoria de las alturas de las columnas equivale al 100% de los datos. Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las f. y en el eje horizontal los valores de las variables (límites reales de clase).
9.2
Polígono de frecuencias Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto medio asociado a un valor de la variable es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
9.3
Ojiva
La diferencia fundamental entre las ojivas y los polígonos de frecuencias es que en el eje horizontal (x) en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor y para la ojiva menor que, la mayor. Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene al aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayores que y las ojivas menores que.
9.4
Gráficas de barras
Se emplea cuando la variable independiente es categórica. Cada barra sólida, ya sea vertical u horizontal representa un tipo de dato. Cuando es necesario representar divisiones de datos se utiliza un gráfica de barras subdivididas.
18
9.5
Gráfica de líneas
Son ideales para representar tendencias de ventas, importaciones y otra serie de valores durante un cierto período. Esta ilustra mediante segmento de líneas los cambios en cantidades con respecto al tiem o.
9.6
Gráfica circular
Los gráficos circulares, denominados también gráficos de pastel, se utilizan para mostrar porcentajes y proporciones.
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 2 1. Los siguientes datos representan el tiempo (en horas) que dedican 50 estudiantes de una universidad a actividades de horas libres, durante una semana común de asistencia a clase. 23 17 22 16 22 20 18 12 24 21 16 21 28 18 15 28 20 29 14 25 29 38 17 19 23 18 20 25 32 19 16 24 12 07 18 22 17 27 24 29 30 15 20 19 14 24 34 23 18 13 1.1 1.2 1.3 1.4
Clasifique la variable involucrada. Desarrolle la clasificación ordenada. Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencia. Presente estos datos mediante: Un Histograma. Un Polígono de frecuencia. Una Ojiva y una Ojiva porcentual.
2 Los tiempos de reparación (medidos en horas) de 40 instrumentos electrónicos se muestran enseguida: 21 12 08 10
15 18 17 22
25 19 13 12
13 16 23 24
12 16 18 19
11 14 24 09 20 12 10 11 15 12 16 13 09 15 23 18
20 24 18 15
19
2.1 2.2 2.3 2.4
Clasifique la variable involucrada. Desarrolle la clasificación ordenada. Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencia. Presente estos datos mediante: Un Histograma. Un Polígono de frecuencia. Una Ojiva y una Ojiva porcentual.
3. La prueba KSW de aptitud en ciencias de la computación fue aplicada a 50 estudiantes, obteniendo la siguiente distribución de frecuencia de sus calificaciones o puntajes. Puntaje de la
N° de
prueba estudiantes 1 - KSW 4 4 5 - 8 8 9 - 12 10 13 - 16 20 17 - 20 8 Total 3.1 Complete la tabla. ¿Cuál es el ancho de cada clase? 3.2 ¿Cuántos estudiantes obtuvieron entre 12,5 y 16,5 puntos en la prueba KSW? 3.3 ¿Que % de estudiantes obtuvieron entre 4,5 y 8,5 puntos en la prueba? 3.4 ¿Cuál es la puntuación máxima del 84% de los estudiantes? 3.5 ¿Que % de estudiantes obtuvo cuando mucho 12,5 puntos? 4. Los siguientes datos representan las acciones de mercado (en porcentaje) propiedad de un fabricante de software de aplicaciones de negocios de Windows durante el año 2014. Acciones del5,5mercado (%) AldusFabricante Lotus 15,3 Microsoft 60,0 Software Publishing 12,7 Otros 6,5 4.1 Construya una gráfica de barras y uno de pastel. 4.2 Escriba un informe describiendo los datos anteriores y ofrezca sugerencias sobre como Lotus podría incrementar su posición de acciones del mercado. 5. La conservación ambiental es un asunto nacional de principal importancia. Los siguientes datos representan las acciones de mercado (en porcentaje) propiedad de fabricantes de teléfonos celulares portátiles,
Fabricante Motorola Sony Ericsson Nokia Samsung transportables y móviles vendidos en el año 2014. Presente los datos mediante una gráfica Otros de barras.
Acciones del mercado (%) 16 20 18 25 21
20
6. Los países industrializados tiraron 227,1 millones de toneladas de basura en un año reciente. Por lo general el desecho de basura se hace mediante rellenos sanitarios (87%), incineración (7%) y reciclamiento (5%). Suponga que la compañía consultora donde Ud. trabaja proporciona la siguiente tabla que muestra el desglose de porcentajes de las fuentes de desecho: Construya la gráfica apropiada para representar estos datos.
Fuente Papel Basura de jardín Desechos sólidos Vidrio Metales Plástico Madera Otros
% 20 10 26 6 9 10 5 14
10. Medidas de posición central Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posición son de dos tipos: Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos. Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie. Las principales medidas de posición central son las siguientes: Media ( x ): Es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas. Media aritmética: La suma de todos los datos se divide por el total de datos de la muestra. Su fórmula es: Ej: 9 La gerente de una tienda de equipos electrónicos, desea estudiar el “tránsito” en su tienda, descubre que 295, 300, 520, 350, 400, 520, 495, 680, 520, 700 personas entraron a la tienda durante los pasados diez días. Determine el número medio de personas que entraron a la tienda durante esos días.
x
x n
i
295 300 ... 520 700 10
478
En conjunto, el número de personas que entraron al almacén durante los pasados 10 días es 478, éste es el número medio (o promedio) de personas que visitaron la tienda por día. Con su calculadora científica verifique esta respuesta. (Entre a MODE , SD , digite los datos 295 M+ , 300 M+, … 700 M+ , luego SHIFT 2 , 1 , = y obtendrá el resultado)
21
Media geométrica: Algunas veces manejamos cantidades que cambian a lo largo de un periodo, entonces se necesita conocer una tasa promedio de cambio. En tal caso la media aritmética no es apropiada, porque no proporciona la respuesta correcta.
Usos principales de la media geométrica. Para pronosticar porcentajes, índices y cifras relativas.
Ej: 10 últimos Una fábrica deen telas elevado porcentajes. el costo del algodón periodo porcentual que abarca los 5 años los ha siguientes ¿Cuál esenelunaumento promedio del costo del algodón en ese periodo? 2010 6%
2011 8%
2012 10,5%
2013 12,3%
2014 13,1%
MG 5 (6)(8)(10,5)(12,3)(13,1) 5 81209,52 9,592269869 9,59%
Es decir el incremento porcentual promedio del costo del algodón fue de 9,59%
aproximadamente, durante ese periodo.
Para determinar el incremento porcentual promedio de ventas, exportaciones, producción u otras actividades económicas o series económicas de un periodo a otro.
Ej: 11 La producción de una fábrica se incrementó de 25600 unidades en el 2003 a 132520 en el 2014. Obtenga el incremento porcentual anual. MG 11
132520 25600
1 11 5,1765625 1 1,161215596 1 0,161215596 16,12%
El incremento porcentual anual de la fábrica fue de 16,12% aproximadamente durante
ese periodo.
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. Esta se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada. Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información. Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
22
Media ponderada: Nos permite obtener un promedio que tiene en cuenta la importancia de cada valor para el total global. Se denota por,
23
Donde wi : es el peso asignado a cada observación, xi : es el valor de cada observación.
Ej: 12 En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes: Precio de venta (cientos de $) Número de pasajes. xw
w x w
i i
60(12) 100(14) 40(16) 60 100 40
i
xi wi
2760 200
12 60
14 100
16 40
13,8 cientos de $
El precio promedio de venta de los 200 pasajes es de $1380
Media armónica: De una serie de n números x1, x2
, … xn es la reciproca de la media aritmética de los datos, donde ninguno toma el valor “cero”.Este promedio se valores utiliza para que los valores “extremos” no afecten al valor del promedio. Los
extremos sí afectan cuando se usa el promedio aritmético o el promedio geométrico.
Ej: 13 Calcular el rendimiento promedio parael caso de tres automóviles que recorrieron 500 kilómetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente: Auto Rendimiento (Km/galón) H
n
1
x
i
A 50
B 62,4
C 77,6
3 3 61,33434215 1 1 1 0,048912238 50 62,4 77,6
El resultado muestra que el rendimiento promedio de los autos es de 61,3 Km/galón.
Mediana (Me); Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). No presentan el problema de estar influida por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido). Para su cálculo los datos deben estar ordenados. Posición:
Ej: 14 La gerente de una tienda de equipos electrónicos, desea estudiar el“tránsito” en su tienda, descubre que 295, 300, 520, 350, 400, 520, 495, 680, 520, 700 personas entraron a la tienda durante los pasados diez días. Determine el número mediano de personas que entraron a la tienda durante esos días. Ordenar datos, X1 295
X2 300
X3 350
X4 400
X5 495
X6 520
X7 520
X8 520
X9 680
X10 700
n = 10 (par) Posición:
M e X 10 1 X 5,5 2
Se ubica entre la posición 5 y 6.
M e X 5, 5
495 520 2
507,5 508
El número mediano de personas que visitan la tienda es de 508.
En este ejemplo, la mediana se sitúa exactamente entre el quinto y sexto dato de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior. Ej: 15 Los tiempos en minutos que necesitan varias empresas deseguro para revisar solicitudes de servicios de cobertura médica son: 230 50 180 63 120 Determine el tiempo mediano de servicio de cobertura de las empresas de seguro. Ordenar datos, X1 50
X2 63
X3 120
X4 180
X5 230
n = 5 (impar) Posición: M e X 51 X 3 2
Se ubica entre la posición 3.
Me X3 120 minutos
El tiempo mediano de servicio para revisar las solicitudes de seguro médico es de 120 minutos.
24
Moda (M0 ): Es el valor que más se repite en la muestra. Ej: 16 La gerente de una tienda deequipos electrónicos, desea estudiar el “tránsito” ensu tienda, descubre que 295, 300, 520, 350, 400, 520, 495, 680, 520, 700 personas entraron a la tienda durante los pasados diez días. Determine el número modal de personas que entraron a la tienda durante esos días. 295, 300, 520, 350, 400, 520, 495, 680, 520, 700 Observamos que el valor 520 se repite tres veces. El número modal de personas que visitan la tienda es de 520.
11. Medidas de posición no central Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:
Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Se determinan mediante las posiciones:
: sonen9 diez valores que iguales, distribuyen la serie de datos, ordenada de forma o Deciles decreciente, tramos en los que cada uno de ellos concentra elcreciente 10% de los resultados. Los
deciles y percentiles se calculan de igual manera.
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. La posición para determinar los percentiles es:
Ej: 17 Los siguientes datos se refieren a las ganancias por acción de 10 compañías de la industria de las comunicaciones. 4,62 1,34 1,62 2,11 1,29 6,04 9,56 4,90 0,84 7,25 17.1 ¿Cuál es la ganancia máxima por acción del 25% de las compañías? Ordenar los datos. X1 X2 X3 0,84 1,29 1,34
X4 1,62
X5 2,11
X6 4,62
X7 4,90
X8 6,04
X9 7,25
X10 9,56
25
n = 10 26
Q1 : X 101 X 2, 75
Posición: Q1 : X n1 4
4
Es decir el 25% de las compañías tienen como ganancia máxima 1,33 por acción.
17.2
¿Cuál es la ganancia máxima por acción del 60% de las compañías?
Ordenar los datos, X1 X2 X3 0,84 1,29 1,34
Posición: Pp : X ( n1)
17.3
X4 1,62 p 100
X5 2,11
X6 4,62
P60 : X
(101)
X7 4,90 60
X8 6,04
X9 7,25
X10 9,56
X 6, 6
100
Lo que nos muestra es, el 60% de las compañías tienen como ganancia máxima 4,79 por acción. ¿Cuál es la ganancia máxima por acción del 75% de las compañías?
…
17.4
¿Cuál es la ganancia máxima por acción del 90% de las compañías?
…
12. Medidas de variación o dispersión Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos. Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes: Rango: Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo.
Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, dividida por el tamaño de la muestra menos uno. La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Desviación estándar: También llamada desviación típica, es una medida dedispersión usada en estadística que nos dice que tan dispersos se encuentran en promedio, los datos con respecto a la media aritmética o cuánto tienden a alejarse los valores del promedio en una distribución. De hecho, el cuadrado de la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por unaS (desviación estándar muestral) o con la letra sigma (desviación estándar poblacional). Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato. Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
Interpretación La desviación estándar es una medida del grado de dispersiónde los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a lamedia aritmética. Por ejemplo, las tres muestras 0 0 14 14
Muestras 0 6 8 14
6 6 8 8
Cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar muestrales son8,0829, 5,7735 y 1,1547 respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.
Coeficiente de variación: se calcula como el cociente entre la desviación típica (estándar) y la media. El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.
27
Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión de una serie de datos, como la altura de los alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no se puede utilizar las desviaciones típicas (una se expresa en cm y la otra en kg). En cambio, sus coeficientes de variación son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden comparar.
Coeficiente de asimetría: Karl Pearson desarrolló una medida para calcular el sesgo de una distribución, Coeficiente de Asimetría. concepto de asimetría refiere, si la curvallamado que forman los valores de la serieElpresenta la misma forma asela izquierda y la derecha de un valor central (media aritmética).
Para medir el nivel de asimetría se utiliza la fórmula que viene definida por:
Características. Varía de – 3.0 a + 3.0 Un valor cero indica una distribución simétrica. Si el extremo largo de la distribución esta a la derecha, se dice que tiene sesgo positivo. Si el extremo largo de la distribución esta a la izquierda, el sesgo es negativo. Ej: 18 Tomando el Ej. 9. La gerente de una tienda de equipos electrónicos, desea estudiar el “tránsito” en su
tienda, descubre que 295, 300, 520, 350, 400, 520, 495, 680, 520, 700 personas entraron a la tienda durante los pasados diez días. 18.1
Determine e interprete la desviación estándar. Para calcularla debemos conocer la media.
28
x
x
i
n
295 300 ... 520 700 10
478
29
(x x)
(x x)
295 300 520 350 400
295 478 – = -183 300 478 – = -178 520478 – = 42 350 478 – = -128 400 478 – = -78
(-183) 2 = 33489 (-178) 2 = 31684 (42) 2 = 1764 (-128) 2 = 16384 (-78) 2 = 6084
520 495 680 520 700 Total
– = 42 520478 495478 – = 17 680 478 – = 202 520478 – = 42 700 478 – = 222 0
(42) 2 = 1764 (17) = 289 (202) 2 = 40804 (42) 2 = 1764 (222) 2 = 49284 183310
x
2
2
Sustituimos en la fórmula,
( x x)
s
i
n 1
2
183310 10 1
20367,77778 142,7157237 143
La cantidad promedio de personas que visitan la tienda es de 478, con una
dispersión de 143 personas aproximadamente, con respecto a la media.
Con su calculadora científica verifique esta respuesta.
(Entre a MODE , SD , digite los datos 295 M+ , 300 M+, … 700 M+ , luego SHIFT 2 , 3 , = y obtendrá el resultado)
18.2
Calcule e interprete el coeficiente de variación. Conocemos x 478
y s 142,7157237
Sustituimos en la fórmula. CV
s x
(100%)
Es decir…
142,7157237 (100%) 0,298368459(100%) 29,86% 478
¿Cuál es el coeficiente de asimetría? Sustituir en la fórmula.
18.3
CA
3( x M e )
s
3(478 507,5) 142,7157237
30
0,620113872 0,62
Este valor indica un grado menor de asimetría negativa, provocando que el número
promedio de personas que visitan la tienda sea menor que el número mediano.
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 3 1. Un experto en computadoras, tratando de optimizar la operación de un sistema, reunió datos sobre el tiempo, en minutos, entre la solicitud de servicio de un proceso especial. 2 800 4 900 4 500
5 913 3 420 4 900
3 750 9 530 5 010
5 520 8 735 7 012
5 000 8 900 5 400
1.1 Determine e interprete el tiempo medio, mediano y modal de este conjunto de 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
datos. Calcule la desviación estándar e interprete el resultado. Determine el porcentaje de variación de este conjunto de datos. Calcule e interprete el coeficiente de asimetría. ¿Cuál es el tiempo máximo del 70% de operaciones? ¿Cuál es el tiempo máximo del 90% de operaciones?
2. Por Un fabricante a varios especialistas hacer reparaciones de urgencia en horas. lo general, emplea los especialistas deben viajarpara distancias cortas. Se tomo una muestra de 8 comprobantes de gastos de viaje de los técnicos, con el propósito de estimar los gastos que deberán hacerse el próximo año por este concepto. La información resultante fue la siguiente. C$230 635 525 240 252 258 420 260 2.1 Determine el gasto medio y mediano de los técnicos. 2.2 ¿Qué características en este conjunto de datos es la responsable de la diferencia sustancial entre estas dos medidas (media y mediana)? 2.3 Determine la varianza y la desviación estándar. 2.4 ¿Cuál es el porcentaje de variación de estos datos? 3.
Se toma una muestra de seis resistores y se mide su resistencia (en ohm). Los resultados son los siguientes: 45 38 47 41 35 43 Calcule: 3.1 La varianza y la desviación estándar muestral. 3.2 Reste 35 a cada una de las mediciones de resistencia srcinales y calcule2 sy s.
Compare sus resultados con los obtenidos en el inciso (a). 2 3.3 Reste 30 de cada valor y luego multiplique las diferencias por 10. Ahora calcule para s
el nuevo conjunto de datos. ¿Qué relación existe entre esta s 2 y la de los datos srcinales ? Explique. 4.
Considere el siguiente par de muestras. Muestra 1:
10
9
8
7
8
6
Muestra 2:
10
6
10
6
8
10
10
6
8
6
4.1 Calcule el rango de ambas muestras. ¿Es posible concluir que las dos muestras exhiben
la mismalavariabilidad? 4.2 Calcule desviación estándar de cada una de las muestras. ¿Estas cantidades indican que las dos muestras tienen la misma variabilidad? 4.3 Calcule el coeficiente de variación de cada una de las muestra y diga cuál de las
muestras presenta menor variabilidad relativa.
UNIDAD II
PROBABILIDADES
Introducción Para la mayoría de las personas, “probabilidad” es un término vago utilizado en el lenguaje
cotidiano para indicar la posibilidad de la ocurrencia de un evento futuro. Esta interpretación práctica del término puede considerarse aceptable, pero se pretende lograr una comprensión más precisa del contexto de su aplicación, como se mide y de que manera se utiliza la probabilidad para hacer inferencias. El concepto de probabilidad es necesario cuando se opera con procesos físicos, biológicos y sociales que generan observaciones que no es factible predecir con exactitud. Además, la probabilidad y la estadística se relacionan en una forma muy curiosa. En esencia la probabilidad es el vehículo que le permite al estadístico usar la información contenida en una muestra para hacer inferencias o para describir la población de la cual se ha obtenido la muestra. 1. Enfoques de Probabilidad
Probabilidad clásica a priori En este caso la probabilidad de éxito se basa en el conocimiento anterior al involucrado. Probabilidad de éxito
N de resultados favorables N total de resultados
Ej: 1. La probabilidad de sacar una carta con figura negra de una baraja. 2. La probabilidad que la suma de las caras de dos dados sea siete.
31
Probabilidad clásica empírica Aunque la probabilidad se sigue definiendo como la proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados, estos resultados se basan en datos observados, no en el conocimiento anterior a un proceso. Ej: 1. La probabilidad que un estudiante tenga un promedio inferior a80 puntos. 2. La probabilidad que un individuo seleccionado aleatoriamente de una encuesta sobre la satisfacción de los empleados, este satisfecho con su trabajo.
Probabilidad subjetiva Se refiere a la probabilidad de ocurrencia asignada a un evento por un individuo particular. Ej: 1. La probabilidad que tenga éxito un nuevo producto en el mercado. 2. La probabilidad que un conservador gane la próxima elección presidencial. La asignación de probabilidades a diversos eventos suele estar basada en la
experiencia previa, opinión personal yel análisis de una situación en particular. La probabilidad subjetiva es de uso especial en la toma de decisiones en situaciones en las cuales no se puede hacer determinaciones empíricas de la probabilidad de diferentes eventos.
2. Conceptos básicos de probabilida Experimento Es un proceso por medio del cual se obtiene una observación (o una medición). Su símbolo es E . Ej: 2.1 E1 : Registrar la capacidad productiva de un obrero textil. E 2 : Entrevistar
a un votante para que nos diga su preferencia antes de una elección. E3 : Registrar la puntuación obtenida en una prueba de Estadística. Espacio muestra o muestral Es la colección de todos los eventos posibles. Su símbolo esS . Ej: 2.2 Con referencia a E1 : Suponga que la capacidad productiva del obrero se encuentra entre 50 y 60 unidades diarias inclusive. EntoncesS 50, 51, ...., 60 Evento (o Suceso) Un evento simple es el que se puede describir con una característica. Se simboliza por A, B, C... Ej: 2.3 Para
E2
existen 3 eventos simples.
A : Votante simpatizante PLC C : Votante simpatizante FSLN
B : Votante simpatizante PLI
32
El complemento de un evento A , incluye todos los eventos que no son parte del evento A . Su símbolo es A . Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características. Ej: 2.4 Para E 3 podemos determinar eventos conjuntos como, F y S : Estudiante mujer y con alta puntuación. M y B : Estudiante varón y con baja calificación. 3. Axiomas de Probabilidad Suponga que un espacio muestral S , está asociado a un experimento. A cada evento A definido en S A S , se le asigna un número P( A) , llamado probabilidad de A , de tal manera que cumpla lo siguiente. 3.1 3.2 3.3
P( A) 0 0 P( A) 1 P( A) 1 P( A)
3.4 3.5
P( S ) 1 P( ) 0
3.1.1 Probabilidad Simple (o Marginal) Significa la probabilidad de ocurrencia de un evento simpleP( A). Ej: 3.1 La probabilidad que un estudiante obtenga una puntuación alta en la asignatura de Estadística. 3.2 La probabilidad que un votante sea simpatizante liberal. 3.3 Suponga que una encuesta a 200 trabajadores de una industria, se desarrolla usando un paquete de computación para hacer una clasificación cruzada de los eventos de interés: la satisfacción en el trabajo y el progreso en la organización, de los cuales 166 trabajadores están satisfechos en el trabajo, 116 han avanzado en la organización y 96 participan en ambos eventos, los resultados son. Satisfacción en el trabajo Si [A] No [A´] Total
Avance en la organización Si [B] No [B´] 96 70 20 14 116 84
Presente estos datos en un diagrama de Venn.
B A 70
96 20
Total 166 34 200
33
Definimos los sucesos involucrados. A : Estar satisfecho en el trabajo. A : No estar satisfecho en el trabajo. Haber avanzado en la organización. B: B : No haber avanzado en la organización.
3.3.1
Calcule la probabilidad que un empleado seleccionado aleatoriamente este satisfecho con su trabajo. P( A)
N de empleadossatisfechos con su trabajo N total de empleados P( A) 166 0,83 200
El resultado 0,83 nos indica la probabilidad que un empleado escogido al azar este
satisfecho con su trabajo.
3.3.2 Calcule la probabilidad que un empleado seleccionado al azar haya avanzado en la organización. N de empleados que han avanzado en la organización N total deempleados 116 P( B) 0,58 200
P( B )
…..
4. Probabilidad Conjunta
Se refiere a fenómenos que contienen dos o más eventos. Ej: 4.1 Refiriéndose al ejemplo 3.3 4.1.1
Calcule la probabilidad que un empleado escogido al azar esté satisfecho con su trabajo y no haya avanzado en la organización. P( A y B )
N de empleados satisfecho s y no han avanzadoen la organización N total de empleados
70 0,35 P( A y B) 200
…
4.1.2
Calcule la probabilidad que un empleado escogido al azar no esté satisfecho con su trabajo, ni haya progresado en la organización. P( A y B )
N de empleadosno satifechos y no han avanzadoen la organización N total deempleados
P( A y B)
…
14 0,07 200
34
5. Regla de la Adición
Ya se ha desarrollado una forma para encontrar la probabilidad del evento“A” y la probabilidad del evento “A y B” ( A B) . Ahora examinaremos una regla para encontrar la probabilidad del evento “A o B” (A B) . Esta regla se llamaunión, se refiere a la ocurrencia, ya sea, del evento A, del evento B o de A y B. Se expresa, P( A B) P( A o B) P( A) P( B) P( A B)
Y se le llama regla general de la adición. Ej:5.1.15.1Calcule Refiriéndonos al ejemplo 3.3empleado seleccionado al azar este satisfecho la probabilidad que un con su trabajo o no haya avanzado en la organización. P( A B)
166 200
84 200
70 200
180 200
0,90
…
5.1.2
Calcule la probabilidad que un empleado escogido aleatoriamente no esté satisfecho con su trabajo o no haya avanzado en la organización. P( A B)
34 200
84 200
14 200
104 200
0,52
…
Siempre que la probabilidad conjunta no tenga resultado, los eventos involucrados se consideran mutuamente excluyentes (es decir, si ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo), en tal caso la regla de la adición se reduce a. P( A B) P( A o B) P( A) P( B)
Ej: 5.2 Un estudio de 200 tiendas de abarrotes reveló los siguientes ingresos, después del pago de impuestos. Ingresos después de los impuestos Sucesos N° de empresas Menos de 10 millones de C$ A 102 C$10 millones - C$20 millones B 61 Mas de C$20 millones C 37 Total ¿Cuál es la probabilidad de que una tienda de abarrotes seleccionada al azar tenga un 61 millones 37 98 C$ o un ingreso de más de 20 millones de C$? ingreso Pentre 10 y 20 (B C) de 0,49 200
…
200
200
35
6. Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional de un evento es la probabilidad del evento, dado el hecho de que ya ocurrieron uno o más eventos. Se denota de la siguiente manera: P( A / B)
P( A B) P( B)
,
P( B) 0
Ej: 6.1 Refiriéndonos al ejemplo 3.3 6.1.1 Suponga que un empleado ha progresado en la organización. ¿Cuál es la probabilidad que esté satisfecho con el trabajo? A: Empleado Empleado satisfecho con su B: ha progresado en trabajo. la organización.
…
6.1.2
Si un empleado está satisfecho con su trabajo. ¿Cuál es la probabilidad que haya avanzado en la organización? P ( B / A)
96 P ( B A) 200 96 0,5783 166 P ( A) 166 200
…
7. Independencia estadística
El conocimiento previo de un evento no afecta la probabilidad de otro evento. Esta característica se llama independencia estadística. P( A / B) P( A)
Ej: 7.1 Refiriéndonos al ejemplo 3.3 7.1.1 ¿El evento estar satisfecho en el trabajo es independiente si el trabajador ha progresado en la organización? A: Empleado satisfecho con su trabajo. B: Empleado ha progresado en la organización. P( A / B )
96 200 116 200
96 116
0,8276
P ( A) 166 0,83 200
Puesto que 0,8276 0,83, indica que estar satisfecho en el trabajo y haber
progresado en la organización no son estadísticamente independiente.
36
8. Regla de la Multiplicación La fórmula para la probabilidad condicional se puede manejar algebraicamente, con lo que la probabilidad conjunta (A y B) se puede determinar la probabilidad condicional de un evento. Se le llama regla general de la Multiplicación. P( A B) P( A) P( B / A) Ej: 8
De 20 cuentas que se tienen en un archivo, 5 tienen error de procedimiento en la elaboración de los saldos. Si un auditor elige al azar 2 de las 20 cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cuentas contenga error de procedimiento? C error de procedimiento. Cuentacontiene no contiene error de procedimiento. C : : Cuenta P(C1 C2 ) P(C1 ) P(C2 / C1 ) 15 14 210 0,5526 20 19 380
P (C1 C 2 )
…
Regla de la Multiplicación para eventos independientes.
P( A B) P( A) P( B)
Por lo tanto hay dos formas de determinar la independencia estadística. Los eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si,
P( A / B) P( A)
Los evento A y B son estadísticamente independientes si y sólo si, P( A B) P( A) P( B)
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 4 1. Presente una descripción del espacio muestral para cada uno de los experimentos aleatorios. 1.1 Cada una de tres piezas maquinadas se clasifica como arriba o abajo de las especificaciones. 1.2 Cada uno de cuatro bits transmitidos se clasifica como error o sin error. 1.3 En la inspección final de fuentes de poder electrónicas podrían ocurrir tres tipos de disconformidades: funcionales, secundarias y de acabado. Las fuentes de poder defectuosas se clasifican además según sea el tipo de disconformidad. 1.4 En la fabricación de cinta para grabación digital, cada una de 24 pistas se clasifica de acuerdo a si contiene o no uno o más bits con error. 1.5 En un proceso de fabricación pueden producirse algunas piezas que no son aceptables. Cada una de tres partes se clasifica como aceptable o no aceptable. 1.6 En el pedidodedealmacenamiento una computadora puededuro especificarse de 4, 8 ómegabytes y capacidad de disco de 200, 300memoria ó 400 megabytes . 12
37
2. El director general de una empresa expresará mañana a los accionistas su consideración de que la compañía debe fusionarse con otra empresa. Ha recibido diez cartas acerca d esa cuestión, y está interesado en el número de personas que estén de acuerdo con él. 2.1 ¿Cuál es el experimento? 2.2 ¿Cuáles son algunos de los eventos posibles? Exprese dos posibles resultados. 3. Se ha desarrollado un nuevo juego de computadora. Su potencial de mercado lo van a probar 80 jugadores veteranos de este equipo de diversión. 3.1 ¿Cuál es el experimento? 3.2 ¿Cuáles son algunos de los eventos posibles? Exprese dos posibles resultados. 3.3
Suponga queprobabilidad? 65 jugadores probaron el nuevo juego y afirmaron que les gustó. ¿65 es una
4. Antes de efectuar una encuesta a nivel nacional se seleccionaron 50 personas para probar el cuestionario. Una pregunta acerca de si debe o no legalizarse el aborto terapéutico, requiere una encuesta de sí o no. 4.1 ¿Cuál es el experimento? 4.2 ¿Cuáles son algunos de los eventos posibles? Exprese dos posibles resultados. 5. Una empresa adquiere una nueva máquina que debe instalarse y probarse antes de que esté lista para su uso. La empresa está segura de que no tardara más de 7 días en instalarla y probarla. Sea A el suceso “se necesitaran más de 4 días para que la máquina esté lista” y B el suceso “se necesitarían menos de 6días para que la máquina esté lista”.
Describa lo siguiente: 5.1 El suceso que es el complemento del suceso A. 5.2 El suceso que es la intersección de los sucesos A y B. 5.3 suceso que es laA unión de los sucesos A y B. 5.4 El ¿Son los sucesos y B mutuamente excluyentes?
6. En el diagrama de Venn de la figura se muestran tres eventos. Copie la figura y sombree la región que corresponda a cada uno de los eventos siguientes.
B A
C 6.1 6.2 6.3
A A B ( A B) C
6.4 6.5 6.6
( B C ) ( A B) C
( A B)
38
7. Muestras de una pieza de aluminio forjado se clasifica con base en el acabado de la superficie (en micro-pulgadas) y en las mediciones de la longitud. Los resultados de 100 piezas se 39 resumen a continuación. Acabado de la Longitud superficie Total Excelente Bueno Excelente 75 7 Bueno 10 8 Total Sea A denote el evento que una muestra tiene un acabado de la superficie excelente y sea B el evento que unamuestra tiene una longitud excelente. Determine el número de muestras en A B,
B y A B .
8. El análisis de las flechas para un compresor se resumen por su cumplimiento con las especificaciones. El acabado de la La redondez cumple superficie cumple Total Si No Si 345 57 No 12 8 Total 8.1 Si se sabe que una flecha cumple con los requerimientos de redondez. ¿Cuál es la
probabilidad que cumpla con los requerimientos del acabado de la superficie? 8.2 Si se sabe que una flecha no cumple con los requerimientos de redondez. ¿Cuál es
la probabilidad que cumpla con los requerimientos del acabado de la superficie? 9. Un lote de 100 chips semiconductores contiene 20 que están defectuosos. Se seleccionan dos chips del lote, al azar, sin reemplazo. 9.1 ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que se seleccione este defectuoso? 9.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo que se seleccione este defectuoso, dado que el primero estuvo defectuoso? 9.3 ¿Cómo cambia la respuesta del inciso (b) si los chips seleccionados se reemplazaron antes de la siguiente selección? 10. Se clasifican muestras de hule espuma de tres proveedores de acuerdo a si cumplen o no con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se resumen a continuación. Cumple Proveedor Total Si No 1 18 2 2 17 3 3 50 10 Total Sea que A denote el evento de una muestra delproveedor 1y sea que B denote el evento de una muestra cumpla con lasespecificaciones. Si seselecciona una muestra de hule espuma al azar, determine las siguientes probabilidades. 10.1 P( A)
10.4 P( B)
10.2 P( A) 10.3 P( A B)
10.5 P( A B) 10.6 P( A B)
11. Durante un período determinado, aumentó el valor de mercado de las acciones comunes en circulación en una industria, que incluye solamente 12 acciones. Si un inversionista escoge dos de esas acciones al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan experimentado un aumento en su valor de mercado durante ese período, si se sabe que 8 aumentaron su valor? 12. Se selecciona una muestra de tres calculadoras de una lista de fabricación y cada una de ellas se clasifica como defectuosa o aceptable. Sean A, B y C los eventos de la primera, la segunda y la12.1 tercera calculadora esta defectuosa, respectivamente. Describa el espacio muestral para este experimento
12.2 Describa cada uno de los eventos siguientes: A, B , A B , B C
13. De 600 empleados de una compañía, 300 participan en un plan de reparto de utilidades, 400 tienen unacobertura de gastos médicosy 200 empleadosparticipan en ambos programas. 13.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente estos datos en una tabla de contingencia. 13.2 De un ejemplo de un evento simple. 13.3 De un ejemplo de un evento conjunto. 13.4 ¿Cuál es el complemento del suceso “Empleado participa en cobertura de gastos médicos”?
13.5 ¿Cuál es la probabilidad que unempleado elegido alazar: 13.5.1 Participe por lo menos en uno de los programas? 13.5.2 No participe en ninguno de los programas? 13.5.3 Participe en elplan de reparto de utilidades considerando que tiene
seguro de gastos médicos?
13.6 Determine si los eventos empleado participa en el programa de reparto de
utilidades es independiente a tener cobertura de gastos médicos. 14. De 100 personas que solicitan empleo de operador de computadoras en una firma, 40 tenían experiencia profesional, 30 maestría y 20 tenían experiencia y maestría. 14.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente estos datos en una tabla de contingencia. 14.2 ¿Cuál es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o maestría? 14.3 Tenga maestría dado que tiene alguna experiencia profesional. 14.4 Determine si la experiencia y poseer maestría son sucesos independientes. 15. Quinientos clientes de crédito de Credicom. S.A.están categorizados según el número de años que han tenido cuenta de crédito y por su promedio de saldo. De estos clientes 210 han tenido saldos menores a $100, otros 260 han tenido cuenta de crédito cuando menos 5 años, 80 han tenido saldos mayores de $100 y cuentas de crédito por menos de 5 años. Presente estos datos en una tabla de contingencia. 15.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente estos datos en una tabla de contingencia.
40
15.2 Si se selecciona al azar un cliente. 15.2.1 ¿Cuál es la probabilidad que tenga un saldo de crédito mayor de $100? 15.2.2 ¿Cuál es la probabilidad que tenga un saldo de crédito menor de $100 o ha
tenido cuenta de crédito cuando menos 5 años? 15.2.3 ¿Cuál es la probabilidad que tenga un saldo de crédito menor de $100 y han
tenido cuentas de crédito por menos de 5 años? 15.2.4 Suponga que uncliente ha tenido cuentas de crédito cuando menos 5 años.
¿Cuál es la probabilidad de que tenga un saldo inferior a $100? 15.3 Muestre si tener unsaldo de crédito superior a 1$00 y poseer cuenta decrédito
cuando menos 5 años, son estadísticamente independiente. 16. Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de un proveedor del estado contiguo. Se seleccionan dos piezas fundidas al azar, sin reemplazo del lote de 40. Sea A: el evento de que la primera pieza fundida seleccionada es del proveedor local y sea B: el evento de que la segunda pieza fundida seleccionada es del proveedor del estado contiguo. Determine: 16.1 P( A) 16.2 P( A B)
16.3 P( A / B) 16.4 P( A B)
17. Durante una semana determinada se estima que la probabilidad de que el precio de una acción específica aumente (A), permanezca sin cambio (C) o se reduzca (R) es de 0,35, 0,20 y 0,45 respectivamente. 17.1 ¿Cómo son los sucesos A, C y R? 17.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción aumente o permanezca sin cambio? 17.3 ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción cambie durante la semana? 18. Si P( A / B) 0,4 ; independientes?
P( A) 0,6
y
P( B) 0,8
¿Los eventos A y B son
19. Se estima quela probabilidad de que aumenten lasventas de automóviles en elsiguiente mes es de 0,40. Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de refacciones es de 0,50. Se estima que la probabilidad de que ambas industrias experimenten un aumento en ventas es de 0,10. ¿Cuál es laprobabilidad de que: 19.1 Hayan aumentado las ventas de automóviles durante el mes, dado que existe información de que han aumentado las ventas de refacciones. 19.2 Hayan aumentado las ventas de refacciones, dado que existe información de que aumentaron las ventas de automóviles durante ese mes. 20. La proporción general deartículos defectuosos en unproceso continuo de producción es0,08. ¿Cuál es la probabilidad de que: 20.1 Dos artículos elegidos al azar ninguno tenga defecto? 20.2 Dos artículos escogidos al azar tengan defecto?
41
21. La siguiente tabla de contingencia representa la clasificación de 150 compañías muestreadas de acuerdo con cuatro grupos industriales, y respecto a si su rendimiento sobre la inversión 42 está por encima o por debajo del rendimiento promedio. Categoría Industrial A B C D Total
Rendimiento sobre el capital Superior al promedio (S) 20 10 20 25
Total
Inferior al promedio (I) 40 10 10 15
21.1 Construya una tabla de probabilidad conjunta en base a estos datos muestrales. 21.2 Determine las siguientes probabilidades:
P(A y S) P(S) P(B/S)
P(I) P(D) P(B o I)
P(C/I) P(I/S) P(D y S)
22. La probabilidad de que haya escasez de cemento es 0,28 y la probabilidad de que no habrá escasez y que una obra de construcción se termine a tiempo es 0,64. ¿Cuál es la probabilidad de que la obra se termine a tiempo dado que no habrá escasez de cemento? 23. Un estudiante está tomando dos cursos, historia y matemáticas. La probabilidad de que apruebe el curso de historia es 0,60 y matemáticas es 0,70. La probabilidad que apruebe ambas es 0,50. ¿Cuál es la probabilidad que pase por lo menos una? ¿Qué regla de probabilidad aplicó? 24. Las probabilidades de dos eventos A y B son 0,20 y 0,30, respectivamente. Los sucesos no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de que ambos A y B ocurran es 0,15 ¿Cuál es la probabilidad de que sucedan A o bien B? 25. Un estudio de las opiniones de los diseñadores en lo referente al color primario más conveniente para aplicar en oficinas ejecutivas indicó:
25.1 25.2 25.3 25.4
Color primario N° de opiniones Blanco 92 Amarillo 86 Violeta 70 Verde 14 Total ¿Cuál es el experimento? ¿Cuál es un posible evento? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una respuesta especifica y descubrir que el diseñador prefiere rojo o verde? ¿Cuál es la probabilidad de que un diseñador no prefiera amarillo?
26. Cada vendedor de una empresa se califica como por debajo del promedio. Promedio o Arriba del promedio, con respecto a su habilidad para las ventas. Además, cada vendedor también se califica con respecto a su posibilidad de promoción en: regular, buena o excelente. En la tabla que sigue se presentan las clasificaciones de estos rasgos para 500 vendedores. Posibilidades de promoción Habilidades en ventas Total Regular Buen Excelente Por debajo del promedio 16 12 22 Promedio 45 60 45 Arriba del promedio 93 72 135 Total 26.1 ¿Cómo se llama esta tabla? 26.2 ¿Cuál es la probabilidad que un vendedor seleccionado al azar tenga habilidad de ventas por encima del promedio y excelente posibilidad de promoción? 27. Suponga que P(A) = 0,40, P(B/A) = 0,30 ¿Cuál esla probabilidad conjunta de A y B? 28. Una encuesta a ejecutivos de alto nivel reveló que 45% leen con regularidad el diario La Prensa, 35% El Nuevo Diario y 25% ambos diarios. 28.1 ¿Qué porcentaje de ejecutivos no lee ninguno de los diarios? 28.2 ¿Cómo se le llama a la probabilidad 0,25? 28.3 ¿Los eventos son mutuamente excluyentes?Explique su respuesta.
9. Teorema de Bayes La probabilidad condicional toma en cuenta la información en cuanto a la ocurrencia de un evento para predecir la probabilidad de otro evento. Este concepto se puede ampliar para la “revisión” de las probabilidadesbasadas en nueva información y para determinar la probabilidad de que un evento particular se debió a una causa específica. El procedimiento para la revisión de estas probabilidades se conoce como Teorema de Bayes y la composición de los eventos para resolver los problemas de la probabilidad se facilita algunas veces al considerar el espacio muestral S como una unión de subconjuntos que son mutuamente excluyentes. Es decir, S B1 B2 .... Bk con Bi B j , i j luego cualquier subconjunto A de S se puede escribir como, Usando ley distributiva entre conjuntos, A A ( B1 B2 .... Bk ) A ( A B1 ) ( A B2 ) .... ( A Bk ) Observemos que, P( A) P( A B1 ) P( A B2 ) ... P( A Bk ) P( A) P( B1 ) P( A / B1 ) P( B2 ) P( A / B2 ) ... P( Bk ) P( A / Bk )
P( A)
k
P(B ) P( A / B ) i
i 1
i
Se le llama probabilidad total.
43
Una probabilidad condicional se puede calcular como, P ( B i / A)
44
P ( Bi ) P ( A / Bi ) k
P( B ) P( A / B ) i
i 1
i
9.1 Árbol de decisión, diagrama de árbol o arbsrcrama. Una forma alternativa de ver la descomposición de las probabilidades es, a través del de un arbsrcrama. Ej: 9.11 El gerente de marketing de una firma fabricante de juguetes planea evaluar la introducción de un nuevo juguete al mercado. En el pasado 40% de los juguetes introducidos por esta firma han tenido éxito y 60% no lo han tenido. Antes de lanzar el juguete al mercado, se lleva a cabo una investigación y se elabora un informe, favorable o desfavorable. En el pasado 80% de los juguetes con éxito recibieron informes favorables y 30% de los juguetes sin éxito también recibieron informes favorables. El gerente de marketing desea conocer la probabilidad de que el nuevo juguete tenga éxito si recibe un informe favorable. Sean, S : Producción de juguetes de esa firma. B1 : Juguete con éxito en el mercado. B2 : Juguete sin éxito en el mercado. A : Informe favorable. A : Informa desfavorable. 0,8
A (0,4) (0,8) = 0,32
0,2
A (0,4) (0,2) = 0,08
B1
0,4 S
0,3 0,6
A (0,6) (0,3) = 0,18
B2
A (0,6) (0,7) = 0,42
0,7 Probabilidades a priori. P( B1 / A)
P( B1 / A)
…
Probabilidades condicionales.
Probabilidades conjuntas.
P( B1 ) P( A / B1 ) P( B1 ) P( A / B1 ) P( B2 ) P( A / B2 ) (0,4)(0,8) (0,4)(0,8) (0,6)(0,3)
0,32 0,32 0,18
0,32 0,50
0,64
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 5 1.
El software para detectar fraudes con tarjetas telefónicas personales rastrea el número de áreas donde se srcinan las llamadas cada día. Se ha encontrado que 1% de los usuarios legítimos hacen llamadas de dos o más áreas en un solo días. Sin embargo, 30% de los usuarios fraudulentos hacen llamadas de dos o más áreas en un solo día. La proporción de usuarios fraudulentos es 0,01%. 1.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 1.2 Si el mismo usuario hace llamadas de dos o más áreas en un solo día. ¿Cuál es la
probabilidad de que el usuario sea fraudulento? 2. En una fábrica de zapatos, se sabe por experiencia que la probabilidad es 0,82 de que un trabajador que ha asistido a un programa de capacitación de la fábrica cumplirá con la cuota de producción y que la probabilidad correspondiente es 0,53 para un trabajador que no asistió al programa de capacitación. Si el 60% de los trabajadores asisten al programa de capacitación de la fábrica. 2.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 2.2 Suponga que el trabajador cumplió con la cuota de producción. ¿Cuál es la probabilidad deque haya asistidoal curso? 3. Suponga que 2% de los orllos de tela de algodón y 3% delos rollos de tela de nylon contienen defectos. De los rollos usados por un fabricante, 70% son de algodón y 30% son de nylon. 3.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente estos datos en un diagrama árbol. 3.2 de ¿Cuál es la probabilidad que uno de los rollosde tela de nylon usados por el fabricante seleccionado al azar contenga defectos? 4. Los clientes acostumbran evaluar en forma preliminar el diseño de los productos. En el pasado, 95% de los productos de gran éxito recibieron críticas favorables, 60% de los productos con éxito moderado recibieron críticas favorables y 10% de los productos sin mucho éxito también recibieron críticas favorables. Además 40% de los productos han sido de gran éxito, 35% de éxito moderado y 25% han sido productos sin mucho éxito. 4.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 4.2 Si un diseño nuevo obtiene una crítica favorable. ¿Cuál es la probabilidad que sea un producto de gran éxito? 4.3 ¿Cuál es la probabilidad que sea un producto de gran éxito, si no consigue una crítica favorable? 5. El dueño de una tienda de discos divide a los clientes que entran a su tienda en clientes en edad escolar, clientes en edaduniversitaria y clientes mayores y observa que el 30, 50 y 20 por ciento de todos los clientes, respectivamente, pertenecen a estas categorías. También observa que compran discos el 20 por ciento de los clientes en
45
edad escolar, el 60 por ciento de los clientes en edad universitaria y el 80 por ciento de los clientes mayores. 5.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 5.2 Si un cliente seleccionado aleatoriamente compra un disco. ¿Cuál es la probabilidad que esté en edad escolar? 6. El departamento de crédito de una casa comercial, informó que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheque en elmomento de la adquisición y 40% se pagan con tarjetas de crédito. Se tiene que 29% de las compras en efectivo, 90% en cheques y 60% de las 6.1 compras con tarjeta de crédito son porinvolucrados más de $100.y presente esta información en un Describa cada uno de los sucesos diagrama de árbol. 6.2 Alba Marín acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $150. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? 7. Tres máquinas M1, M2, M3 producen respectivamente 50%, 30%, 20% del total de artículos de una fábrica. Las máquinas producen artículos defectuosos en un porcentaje de 7%, 6%, 4% respectivamente. Al colocar la producción de las tresmáquinas en fila y escoger un artículo. 7.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 7.2 Si el artículo escogido es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido encualesquiera de las tresmáquinas? Tome como decisiónel elemento mayor probabilidad de producir artículos defectuosos. 8. En ciertamayores EmpresadeelC$ 6%12de000. los empleados 4% de los son empleados mujeres tienen salarios Además el varones 60% de yloselempleados hombres. 8.1 Describa cada uno de los sucesos involucrados y presente esta información en un diagrama de árbol. 8.2 Se despide a un empleado al azar que gana más de C$12 000. 8.2.1 ¿Cuál es la probabilidad que sea varón? 8.2.2 ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer? 9. Un comerciante de parte para automóviles tiene 4 empleados K, L, M y N, que cometen errores al llenar un pedido una vez en cien, cuatro veces en cien, dos veces en cien y seis veces en cienrespectivamente. De todos los pedidos llenados,K, L, M y N llenan respectivamente el 20, 40, 30 y 10%. 9.1 Presente esta información en un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades. 9.2 Si se encuentra un error en un pedido. ¿Cuál es la probabilidad que fue llenado por K, L, M o N.
46
UNIDAD III
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y PRUEBAS ESTADÍSTICAS
Introducción La preparación de un proyecto de investigación es una tarea compleja, ya que se han de tener en cuenta multitud de aspectos para que el documento final contemple todos los apartados que cualquier estructura estándar considera y para que todos los investigadores sepan con qué y cómo deben proceder en todas las etapas de ejecución del estudio planteado. Uno de los dilemas que se presenta cuando se inicia la elaboración del proyecto es decidir sobre los individuos o elementos que se incluirán en el estudio: qué características tendrán «criterios de inclusión y exclusión», a cuántos individuos se estudio estudiará «tamañodedemuestreo». la muestra» y cómo asetoda la elegirán para que entren a formar parte del «técnica Estudiar población, que sería la manera más exacta de conocer lo que se pretende estudiar, es casi imposible en la práctica. Entre los motivos que lo impiden se encuentran la falta de tiempo, la escasez de recursos humanos y económicos, la dificultad para acceder a todos los sujetos, etc., por lo que se estudia sólo a una parte de ellos, para, posteriormente, generalizar o inferir los resultados obtenidos a toda la población. Por tanto, cuando se habla de sujetos de estudio, se ha de diferenciar claramente entre población, muestra e individuo.
1. Distribución de probabilidad Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro yconstituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerandolas tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.Recordemos inicialmente que existen las variables aleatorias, siendo aquellas que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, y puede ser de dos tipos: 2. Variable aleatoria discreta (x) Porque solo puede tomar valoresenteros y un número finito de ellos. Ej: 2.1 x Variable que nos defineel número de alumnos aprobados en la asignatura de Estadística en un grupo de 40 estudiantes (1, 2 ,3…ó los 40).Consideraremos primero las distribuciones de probabilidad para variables discretas. Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos, y que posteriormente, al hablar de las distribuciones de variables continuas, se repetirán de manera muy similar: 0 ≤ P(X = x) ≤ 1. →
∑P(X = x) = 1, o que es lo mismo: la suma de todas las probabilidades delos
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad.
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Hay que hacer notar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad, pero en la realidad esto no ocurre, es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones. Precisamente esto nos lleva a modelos teóricos que estiman los resultados, los principales son los que a continuación se presentan.
3. Valor esperado de una variable aleatoria (v.a) Para tener una medida del punto central de una distribución de probabilidad, introducimos el concepto de esperanza de una variable aleatoria, el valor esperado es la medida correspondiente del punto central de una variable aleatoria. Su fórmula es: E ( x)
xP( x)
4. Varianza y Desviación Estándar de una variable aleatoria En la unidad I observamos que la varianza muestral es una medida útil de la dispersión de un conjunto de observaciones numéricas. Y es el promedio de los cuadrados delas diferencias entre las observaciones y la media. Nos basamos en esta misma idea para medir la dispersión de la distribución de probabilidad de una v.a. La varianza de una v.a. es el promedio ponderado de los cuadrados de sus diferencias posibles con respecto a la media. Su fórmula es:
Y la desviación estándar está dada: Ej: 4.1 Un contratista está interesado en saber cuál es el costo total de un proyecto para el que pretende presentar una oferta. Estima que los materiales costarán $25000 y su trabajo $900 al día. Si el proyecto tarda en realizarse X días, el costo laboral total será 900X $ y el costo total del proyecto (en $) será C ( x) 25000 900x El contratista estima unas probabilidades subjetivas de la duración probable del proyecto. Duración X (días) Probabilidad 4.1.1
10 0,1
11 0,3
12 0,3
13 0,2
14 0,1
Determine la media, la varianza y la desviación estándar de la duración X del proyecto. E ( x)
xP( x)
E( x) 10(0,1) 11(0,3) 12(0,3) 13(0,2) 14(0,1) 11,9 días
valorpromedio indica que gran de días, el contratista espera que la Este duración desobre la obraunsea denúmero 11,9 días.
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V ( x) 2
(x )
2
P( x)
(10 11,9) (0,1) (11 11,9) (0,3) (12 11,9) (0,3) (13 11,9) (0,2) 2
2
2
2
2
(14 11,9) 2 (0,1) 1,29
1,29 1,135781669 1,1 día.
…
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 6 1. El número de computadoras vendidas al día en una tienda viene definida por la siguiente distribución de probabilidad: X 0 1 2 3 4 5 6 P(X) 0,05 0,10 0,20 0,20 0,20 0,15 0,10 1.1 ¿En promedio cuántas computadoras vende al día la tienda? 1.2 ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución? 1.3 Grafique esta función de probabilidad. 1.4 ¿Cuál es la probabilidad que la tienda venda a lo sumo 3 computadoras en un día? 2. Las muestras de cierta materia prima se clasifican de acuerdo con su contenido de humedad e impurezas, redondeado este al porcentaje más cercano. A continuación se presentan los resultados obtenidos con 80 muestras. Impurezas
2.1 2.2
Contenido de humedad. 3% 4% 1% 5 14 2% 57 4 Determine la media y la varianza del contenido de humedad de esas muestras. Calcule la media y la varianza del contenido de impurezas de estas muestras.
3. Una pastelería ofrece bocadillos con 12 13 14 15 decoración especial para cumpleaños, N° de bocadillos vendidos Probabilidad 0,25 0,40 0,25 0,10 bodas y otras ocasiones. En la tabla que sigue se proporciona el número total de bocadillos vendidos al día y las probabilidades correspondientes. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para el número promedio de bocadillos vendidos por día. 4. El gerente de personal de una empresa está
N° de accidentes 0 1 2 3 4 estudiando el número de accidentes en el Probabilidad 0,4 0,2 0,2 0,1 0,1 trabajo durante un periodo de un mes. Elaboró la distribución probabilística que se muestra enseguida. Calcule e interprete la media, la varianza y la desviación estándar del número de accidentes en un mes.
49
5. Una compañía inmobiliaria tiene un N° de vacantes 0 1 2 3 4 gran número de apartamentos Probabilidad 0,40 0,30 0,20 0,08 0,02 disponibles cada mes para rentar. Un interés de la administración es el # de apartamentos vacantes mensualmente. Un estudio reciente reveló el porcentaje del tiempo que está vacante un número dado de apartamentos. Calcule la media y la desviación estándar del número de unidades desocupadas.
5. Distribucion Binomial Consideremos los llamados ensayos de Bernoulli, éstos son aquellos experimentos cuyo resultado es uno de dos y mutuamente decirdosaquel modelo éxito que sigue un experimento queposibles se realiza una sola vezexcluyentes. y que puedeEs tener soluciones: (acierto) o fracaso: Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0 Ej: 5.1 Los siguientes son ensayos Bernoulli. El saldo de una cuenta por cobrar esta correcta o incorrecta. Un tornillo, puede estar defectuoso o no defectuoso. El sexo de un bebé al nacer: niño o niña. La respuesta correcta o incorrecta en un examen. Si consideramos una serie de ensayos Bernoulli que tiene como características: La probabilidad de éxito permanece constante, ensayo tras ensayo; y Los ensayos son independientes entre sí. La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces el experimento de Bernoulli, entre 0 y nsiendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial, donde el número de ensayos se denota con n, la probabilidad de éxito conp y la de fracaso con q. Hay que notar que las probabilidades de éxito y de fracaso están relacionadas de la siguiente manera: p + q = 1. Ej: 5.2 Consideremos un examen con tres preguntas de opción múltiple, con cuatro pciones, y que será contestado al azar. Al examinar los registros de facturación mensual de una editora con ventas por internet, el auditor tomó una muestra de 8 de las facturas no pagadas. La cantidad adeudada a la compañía es, $ 260 340 300 320 300 280 240 220 La deuda promedio es: a. 305 b. La mediana es: a. 280 La varianza es: a. 1650
282,5
c.
300
d.
290,5
b.
290
c.
320
d.
240
b.
1560
c.
1565
d.
1625
50
Con esto contamos con un experimento binomial, ya que la probabilidad de éxito permanece constante en las tres preguntas (p =¼) y las respuestas de una a otra pregunta son independientes entre sí. Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q = 1 - p = 3/4. Hay que decir que n y p son los llamados parámetros de la distribución. Tenemos ahora la variable aleatoria X que representará el número de respuestas correctas, siendo sus posibles valores: 0, 1, 2, y 3. En general, si se tienenn ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxitop y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es: para x = 0, 1,2,…, n. La media y la desviación estándar de la distribución binomial con parámetros n y p es: Nota: La elección de éxito o fracaso es subjetiva y quedaa opción de la persona que resuelve el problema, pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. Ej: 5.3 Suponga que Susana Fermín es agente de seguros y contacta a 5 personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es de 0,4. 5.3.1 Halle la probabilidad de que novenda seguro. Es decir, P( X 0) X: # de seguros a vender. n=5 p = 0,4 q = 0,6 Sustituyendo en la fórmula. P ( X x) n C x p x q n x P( X 0) 5 C0 (0,4) 0 (0,6) 50
(1)(1)(0,07776) 0,07776
Es decir, hay un 7,8 % de probabilidad aproximadamente, de que Susana Fermín no
venda seguro.
5.3.2 ¿Cuál es la probabilidad que venda a lo máximo un seguro? En forma simbólica P(X ≤ 1)
Sustituyendo en la fórmula. P( X 1) P( X 0) P( X 1) 5 C0 (0,4) 0 (0,6) 50 5 C1 (0,4)1 (0,6)5-1
P( X
1)
0,07776 0,2592 0.33696
Lo que indica que hay una probabilidad de 0,337 ≈ de que venda cuando mucho un
seguro.
5.3.3 Halle la probabilidad de que venda entre dos y cuatro seguros (inclusive). …
51
5.3.4 ¿Cuál es la probabilidad que venda por lo menos un seguro? …
52
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 7 1. Un director de producción sabe que el 5% de los componentes producidos en un determinado proceso tiene algún defecto. Se examinan seis de estos componentes, cuyas características suponerse que soneste independientes 1.1 ¿Cuál es la probabilidad que pueden ningún componente tenga defecto? entre sí. 1.2 ¿Cuál es la probabilidad que uno de estos componentes tenga un defecto? 1.3 ¿Cuál es la probabilidad que al menos dos de estos componentes tenga un defecto? 2. Una máquina de cierta marca está produciendo 10% de piezas defectuosas. El ingeniero de control de calidad ha estado verificando la producción por medio de muestreo casi continuo desde que empezó la condición anormal. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 10 piezas: 2.1 Exactamente 5 estén defectuosas? 2.2 5 o más estén defectuosas? 2.3 A lo sumo una esta defectuosa? 3. Un inspector encargado del control de calidad de los camiones de juguete producidos por una fábrica, ha observado que cierto defecto en las llantas se presenta en el 5% de los vehículos. En cada uno se colocan seis llantas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un conjunto de seis llantas seleccionadas aleatoriamente no se presente el defecto? 4. Un circuito electrónico contiene 10 circuitos integrados. La probabilidad de que cualquier circuito integrado este defectuoso es 0.05, y los circuitos integrados son independientes. El artículo trabaja sólo si no contiene circuitos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad que el artículo trabaje? 5. En un proceso de producción se examinan lotes de 50 resortes helicoidales para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El número promedio de resortes helicoidales que no cumplen con los requerimientos es de 5 por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, denotado por X, es una v.a. binomial. 5.1 ¿Que valor tiene n y p? 5.2 Calcule P(X ≤ 2) y P(X ≥ 49) 6. Las observaciones durante un largo período muestran que un vendedor determinado puede concluir una venta en una sola entrevista con una probabilidad de 0,30 Suponga que el vendedor entrevista a 6 prospectos (o compradores prospectivos). 6.1 ¿Cuál es la probabilidad que exactamente dos prospectos compren el producto? 6.2 ¿Cuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren el producto? 6.3 ¿Cuál es la probabilidad que al menos dos prospectos compren el producto?
6. Distribución de Poisson La distribución de Poisson es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el nombre se debe a Simeón Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir delos estudios que realizó durante la última etapa de su vida,como una forma límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número grande de repeticiones. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación PoissonBinomial es “buena” sin ≥ 20 y p ≤ 0,05 y “muy buena” si n ≥ 100 y p ≤ 0,01. La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el
espacio o oelespacio tiempo.continuo, La variable número aleatoria de ocurrencias delque evento un intervalo por asociada tanto, es es unaelvariable discreta tomaen valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2, ...). Así, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. Características: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área o tiempo. Ej: 6.1 # de clientes que llegana una caja de un supermercado en la hora pico. # de defectos de una tela por m2. # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc. # de bacterias por cm2 de cultivo. # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc. # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc. Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo o área, la fórmula a utilizar sería:
Donde,
P( X x)
Es la probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es t t : Media o promedio de éxitos por unidad de tiempo o área. e = 2,718… (Base de logaritmo neperiano o natural) X : Variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurran. Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo o área es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro, así como cada área es independiente de otra área. Para que una variable siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones: En un intervalo muy pequeño (por ej. un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo.
53
La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otro intervalo pequeño que no se solape con aquél. El parámetro de la distribución, es, t (lambda), representa el número promedio de eventos esperados por unidad de tiempo o de espacio, por lo que también se suele hablar de lambda como “la tasa de ocurrencia” del fenómeno que se observa. La distribución de Poisson tiene iguales la media y la varianza. Si la variación de los casos observados en una población excede a la variación esperada por la Poisson, se está ante la presencia de un problema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial negativa es más adecuada. Ej: 6.2 El número de fallas de un instrumento de prueba debido alas partículas contaminantes de un producto, tiene una media de 0,02 fallas por hora. 6.2.1 ¿Cuál es la probabilidad que elinstrumento no falle en una jornada de 8 horas? Determinar P(X = 0) 0,02 , t 8 horas Calculamos t 0,02(8) 0,16
Sustituimos en la fórmula: P( X x) e P( X 0)
e 0.,16 (0,16) 0 0!
t
(t ) x
x!
0,852143789
Es decir la probabilidad es de 0,8521 ≈ de que no falleel instrumento en una jornada
de 8 horas.
6.2.2 ¿Cuál es la probabilidad que se presente almenos una falla en unperiodo de 24 horas? Es decir P(X ≥ 1), donde 0,02 t 24 horas Calculamos λt 0,02(24) 0,48
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
;
Sustituimos en la fórmula: P( X x) P( X 1) 1
e 0, 48 (0,48) 0
0!
e t (t ) x x!
1 0,618783391 0,381216608 0,3812
Por consiguiente la probabilidad que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas es de 0,3812 ≈.
6.2.3 ¿Cuál es la probabilidad que se presente a losumo una falla en un periodo de 12 horas? Es decir P(X ≤ 1), donde
Calculamos λt 0,02(12) 0,24
0,02
;
t
12
horas
P( X 1) P( X 0) P( X 1)
54
Sustituimos en la fórmula: P( X x) e P( X
1)
e0, 24 (0,24)0
0!
e0, 24 (0,24)1
1!
t
(t )
x
x!
0,786627861 0,188790686 0,975418547 0,9754
…
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 8 1. Una todas a la misma un crucero dondeunelensayo semáforo está persona en verdepasa el 20% delas lasmañanas veces. Suponga quehora cadapor mañana representa independiente. 1.1 En cinco mañanas consecutivas, ¿Cuál es la probabilidad que el semáforo este en verde exactamente un día? 1.2 En 20 mañanas, ¿Cuál es la probabilidad que el semáforo este en verde exactamente cuatro días? 1.3 En 20 mañanas, ¿Cuál es la probabilidad que el semáforo este en verde más de cuatro días? 2. Se supone que el número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una v.a de Poisson con una media de 0.10 defectos por metro cuadrado. 2.1 ¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de tela? 2.2 ¿Cuál es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela? 2.3 ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en 20 metros cuadrados de tela? 2.4 ¿Cuál es la probabilidad que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados de tela? 3. El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico tiene una media de cinco mensajes por hora. 3.1 ¿Cuál es la probabilidad que el boletín reciba cinco mensajes en una hora? 3.2 ¿Cuál es la probabilidad que el boletín reciba 10 mensajes en una hora y media? 3.3 ¿Cuál es la probabilidad que el boletín reciba menos de dos mensajes en media hora? 3.4 ¿Cuál es la probabilidad que el boletín reciba por lo menos tres mensajes en una hora? 4. Un profesor recibe, por término medio, 4,2 llamadas telefónicas de los estudiantes el día antes de realizarse alguna prueba sistemática. Sí las llamadas siguen una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad que: 4.1 Reciba al menos tres llamadas ese día? 4.2 El profesor no reciba llamadas ese día? 4.3 Reciba a lo sumo tres llamadas ese día? 5. Un estudio de las filas en las cajas registradoras de salida en un supermercado reveló que durante un cierto periodo en la hora más concurrida, el número de clientes en espera era en promedio cuatro. ¿Cuál es la probabilidad que durante ese periodo: 5.1 No haya cliente esperando? 5.2 Cuatro o menos clientes estén en espera? 5.3 A lo sumo un cliente este en espera?
55
5.4 Por lo menos un cliente este en espera?
6. Un banco en promedio recibe 6 cheques sin fondos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado?
7. Variable aleatoria Continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango. Los conceptos y las ideas sobre las variables aleatorias discretas también se aplican a las variables aleatorias continuas. Muchos indicadores económicos y empresariales como las ventas, la inversión, el consumo, los costos y los ingresos pueden representarse por medio de variables aleatorias continuas. Además, las medidas del tiempo, la distancia, la temperatura y el peso encajan en esta categoría. 8. Distribución normal Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. Esta distribución se caracteriza porque los valores se distribuyen formando unacampana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución. La curva de la distribución normal puede ser modelada utilizando la función de densidad,
Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda. Esta distribución viene definida por dos parámetros: : es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss). 2 : es la varianza e indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos. Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada o estandarizada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución. Además, para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación típica(que es la raíz cuadrada de la varianza)
56
Toda distribución normal se puede transformar en una normal tipificada: La distribución normal tipificada tiene la ventaja, como ya hemos indicado, de que las probabilidades para cada valor de la curva se encuentran recogidas en una tabla. Propiedades de la curva de distribución normal. Los valores de la curva son positivos. La curva es simétrica con respecto al valor de la media. La curva tiene un valor máximo en el valor de la media. La curva tiene puntos de inflexión en aquellos valores de X para los cuales a la media se le suma o se le resta una desviación estándar. La curva, en sus extremos izquierdo y derecho, tiende a acercarse infinitamente al valor cero, es decir, el eje de las abscisas es asíntota horizontal. El área bajo la curva es la unidad.
Manejo de la tabla La tabla nos da la probabilidad P(Z ≤ z)
s iendo z la variable tipificada.
Búsqueda en la tabla el valor Z En la primera columna buscamos el valor de las unidades y las décimas. En la primera fila el valor de las centésimas. Su intersección nos da la probabilidad buscada. 1. P(a ≤ Z ≤ b) = Z(b) - Z(a)
2. P(Z ≥ a) = 1– P(Z < a) = 1 - Z(a)
3. P(Z ≤ a) = Z(a)
57
Ej. 8.1
Un cliente tiene una cartera de inversión cuyo valor medio es de 78 mil dólares y desviación estándar de 36 mil dólares. Se le ha pedido que calcule:
8.1.1 La probabilidad que el valor de la cartera sea inferior a 132 000 $. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
x
132 78
P( X 132) P Z
PZ 1,50 Z (1,50) 0,9332
36
Es decir el 93,32% del valor de la cartera de inversión es inferior a $132 000.
8.1.2 La probabilidad que el valor de la cartera de inversión sea por lo menos de 96 000 $. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
x
96 78 P Z 0,50 36 1 P ( Z 0,50) 1 Z (0,50) 1 0,6915 0,3085
P ( X 96) P Z
Este resultado muestra que el 30,85% del valor de la cartera de inversión es por
lo menos de $ 96 000.
8.1.3 La probabilidad que el valor de la cartera de inversión sea cuando mucho 25 000 dólares. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
P(X 25) P Z
x
25 78 36
PZ -1,47
Z (1,47) 0,0708
Lo que indica que el 7,08% del valor de la cartera de inversión es cuanto mucho
de 25 mil dólares.
58
8.1.4 La probabilidad que el valor de la cartera sea superior a $72 000. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
P ( X 72) P Z
x
72 78 P Z 0,17 1 P ( Z 0,17) 36
1 Z ( 0,17) 1 0,4335 0,5675
El 56,75% del valor de la cartera de inversión es superior a $72 000.
8.1.5 La probabilidad que el valor de la cartera de inversión este entre 80 y 90 mil dólares. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
x
80 78 90 78 P(80 X 92) P Z P 0,06 Z 0,33 36 36 Z (0,33) Z (0,06) 0,6293 0,5239 0,1054 Lo que indica que esta probabilidad de ocurrencia es apenas de un 0,1054, que la cartera de
inversión se ubique entre esos valores.
8.1.6 La probabilidad que el valor de la cartera de inversión este entre 20 mil y29 mil dólares. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
Fórmula para estandarizar: Z
x
29 78 20 78 P (20 X 29) P Z 36 36 P 1,61 Z - 1,36 Z (1,36) Z (1,61) 0,0537 0,0869 0,0332
El resultado muestra que la probabilidad de ocurrencia es de un3,32% de que la cartera
de inversión se encuentre entre esos valores.
8.1.7 La probabilidad que el valor dela cartera se encuentre entre 65 mily 172 mil dolares. X: Valor de la cartera de inversión (en miles de $)
78 mil $ y
36 mil $
59
Fórmula para estandarizar: Z
x
172 78 65 78 Z P 0,36 Z 2,61 36 36 Z (2,61) Z (0,36) 0,9955 0,3594 0,6361
P(65 X 172) P
Este resultado nos muestra que 0,6361 es la probabilidad que la cartera de inversión se encuentre entre 65 y 172 mil dólares.
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en latabla el valor que más se aproxime a éste. Ej: 8.2 Suponga que la cantidad de tiempoque lleva a al superintendencia de contribuciones enviar reembolsos se distribuye normal con una media de 12 semanas y una varianza de 9. 8.2.1 ¿Cuántas semanastendrá queesperar el95% de los contribuyentesdistribuidos simétricamente para obtener el reembolso? μ = 12 , σ2 = 9 σ = 3 P( z1 Z z 2 ) Por la simetría 95% divida endos partes iguales. P(Z z 2 ) 0,975 z2 1,96 z1 1,96 Sustituyendo en x z x1 12 (1,96)(3) 7,12 semanas x1 7 semanas. x2 12 (1,96)(3) 17,88 semanas x1 18 semanas.
El contribuyente que solicite reembolso tendrá que esperar entre 7 y 18 semanas, con estas características.
8.2.2 ¿Cuánto tiempo tienen que esperar el90% de los contribuyentes? P(Z z1 ) 0,90
Sustituyendo en x z
z1 1,28
x1 12 (1,28)(3) 15,84 semanas x1 16 semanas.
Es decir que el 90% de los contribuyentes que soliciten reembolso tendrá que esperar apróximamente 16 semanas.
Ej. 8.3 Se aplica un test de cultura general y seobserva que las puntuaciones obtenidas siguen unaadistribución normal 65(de y desviación estándar 18.de Secultura desea general clasificar los examinados en con tresmedia grupos baja cultura general, aceptable y de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% de la
60
población, un 65% en el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuál ha de ser la puntuación que marca el paso de un grupo a otro?
8.3.1 Baja cultura general. X: Puntuación en el examen.
65 y
18
Para calcular la variableX usamos la fórmula estandarizada (ó tipificada) x x z Z P( Z z1 ) 0,20
Este valor lo ubicamos en el cuerpo de la tabla. Sustituyendo en x z x1 65 (0,84)(18)
z1
0,84
x1 49,88 50
Hasta 50 puntos para cultura baja.
8.3.2 Cultura aceptable. P(Z
z2 ) 0,85 z 2
1,04
Sustituyendo en x z x2 65 (1,04)(18)
x2 83,72 84
De 51 a 84 para cultura general aceptable.
8.2.3 Excelente cultura. A partir de 85 puntos.
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 9 1. Periódicamente se suspende el servicio de una computadora para darle mantenimiento, instalar nuevo equipo, etc. El tiempo que permanece inactiva una computadora en particular, está distribuida normalmente con media igual a 1,5 horas y desviación estándar de 0,4 horas. ¿Cuál es el porcentaje de período de inactividad, 1.1 Entre 1 y 2 horas? 1.2 Menos de 1 hora? 1.3 A lo sumo 1,8 horas? 1.4 ¿Cuánto es el tiempo de inactividad del 75 % de las computadoras? 1.5 ¿Cuánto es el tiempo de inactividad del 25% de las computadoras?
61
2. Una compañía de transporte premia con un bono especial a aquellos empleados que venden 300 o más boletos durante una jornada de 8 horas. El número de boletos vendidos por empleado en dicha jornada está distribuido de manera aproximadamente normal, con μ = 270 y σ = 16. ¿Cuál es la probabilidad que un vendedor seleccionado aleatoriamente no reciba el premio? 3. La distribución de los salarios anuales de 10 000 trabajadores de una empresa es normal y tiene una media de C$ 110 y varianza de C$ 64 (en miles). ¿Cuántos trabajadores tienen salarios: 3.1 Iguales o inferiores a C$ 110? 3.2 Entre C$ 88 y C$ 115? 3.3 Entre que valores se encuentra simétricamente distribuidos el 95% de los salarios anuales de esos trabajadores? ¿Y del 90%? 3.4 ¿Cuánto es el salario máximo del 95% delos trabajadores? ¿Y del 80%? 4. El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica. 5. El tiempo de espera en cierto banco está distribuido en forma normal, aproximadamente, con media y desviación estándar iguales a 3,7 y 1,4 minutos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un cliente seleccionado aleatoriamente tenga que esperar, 5.1 menos de 2 minutos. 5.2 entre 3 y 3,5 minutos. 5.3 por lo menos 2,3 minutos. 5.4 ¿cuánto tiempo tiene queesperar el 90% de los clientes? y ¿el 10%? 6. Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de texto en un año en una universidad sigue una distribución normal que tiene una media de $380 y una desviación estándar de $50. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante elegido al azar: 6.1 gaste menos de $360 en libros de texto en un año? 6.2 gaste más de $400 en libros de texto en un año? 6.3 gaste entre $300 y $400 en libros de textoen un año? 6.4 gaste entre $250 y $280 en libros de texto en un año? 6.5 Quiero hallar un intervalo de gastos en libros de texto que incluya el 80% de todos los estudiantes de esa universidad.
9. Distribución muestral de la media 9.1 Distribución muestral para la media de tamaño“n”, con reemplazo una población constituida por un número “N” de elementos, cuyamedia aritmética es μ y donde la desviación típica viene dada σ, pueden formarse N2 muestras posibles. Para cada una de estas muestras es posible una MEDIA MUESTRAL, que denotaremos con el símbolo xi En una distribución muestral de las medias, la VARIABLE ALEATORIA MEDIA MUESTRAL sigue una ley normal descrita como N μ( , σ/√n).
62
Resumen de fórmulas para la distribución de muestreo para la media. Extracción Con reemplazo x Infinita
x
Población
x
Finita (N)
x
63
Sin reemplazo x x
n
n
x
x
n
n
N n N 1
Ej: 9 Dado los elementos de la población {1, 3, 5}, encuentre todas las medias muestrales posibles de tamaño 2, con reemplazo. Las medias aritméticas reflejadas, serían: Medias muestrales de todas las muestras posibles de tamaño 2, con reemplazo. Muestra Media
1,1 1
1,3 2
1, 5 3
3,1 2
3,3 3
3,5 4
5,1 3
5,3 4
5,5 5
A partir de la variable estadística srcinal de la población se puede construir una nueva variable estadística xi , que tendría como valores las medias de las muestras tomadas de la población. La media aritmética de esta DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIASse denota por x , y su desviación típica por x . PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS DE TAMAÑO 2 Distribución de muestreo para la media de todas la muestras de tamaño dos. Media muestral 1
Frecuencia 1
Probabilidad 1/9
23 4 5 Total
23 2 1
2/9 3/9 2/9 1/9
∑=9
∑=1
Gráfica de distribución de muestreo de tamaño 2. 0.33
d a d i l i b 0.22 a b o r p
0.11
12345
X
Establecida una adopta distribución muestral de las medias de tamaño 2, su ESPERANZA MATEMÁTICA el valor siguiente,
Siendo la media aritmética de la población, la media aritmética de cada muestra xi , la media aritmética de todas las medias x , E( x) la esperanza matemática de la variable aleatoria X (para la población) y E ( x ) la esperanza matemática de la variable aleatoria (para la distribución muestral de las medias). Por su parte, los valores de la varianza y la desviación típica de esta distribución muestral de tamaño 2 son: V ( x) 2 , V ( x) , x
x
2
donde es la desviación típica de la población, la desviación típica de la distribución muestral, V ( x) la varianza de la variable x (población) y V ( x ) la varianza de la variable x (distribución muestral de las medias). Basado en el ejemplo 9, obtenemos: Media muestral x E( x )
1 2 3 2 ... 5 9
27 9
Media Poblacional 3
Desviación estándar muestral
(1 3) (2 3) (3 3) ... (5 3) 9
12 1,333333333 9
2
x
x
2
2
x 1,15154700538
ó
x
n
1 3 5 3
9 3
3
Desviación estándar poblacional 2 2
2
(1 3)2 (3 3)2 (5 3) 2
3
8 3
2,666666667 1,63993162
1,632993162 2
x 1,154700538
Análisis de la distribución de muestreo para la media: x Se tiene que la media muestral y la poblacional son iguales a 3 La desviación estándar poblacional es 1,6399 y la muestral es 1.1547. Es decir, que la desviación muestral es menor a la poblacional. Las medias muestrales varían entre 1 y 5, mientras que los datos srcinales de la población van de 1, 3, y 5. Se tiene que la distribución de muestreo de los valores de las medias tiende a una distribución Normal.
NOTA: La diferencia de la DESVIACIÓN ESTÁNDAR describe la variabilidad de los valores de una variable, en cambio el ERROR ESTÁNDAR describe la precisión del estadístico. Además, se cumple que x .
64
9.2 Distribución muestral de las medias de tamaño “n”, sin reemplazo Dada una población constituida por un número n de elementos, cuyamedia aritmética es μ y donde la desviación típica viene dada σ, pueden formarseNCn , se lee “N” combinaciones de “n” para encontrar todas las muestras posibles. Ej: 10 Auxiliándonos del ejemplo 9. Dado los elementos dela población {1, 3, 5}, encuentre todas las medias muestrales posibles detamaño 2, sin reemplazo. N = 3 ; n = 2, entonces, 3C2 = 3, se refiere al número total de muestras posibles y sería; Medias muestrales de todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo. Muestra Media xi
1, 3 2
1,5 3
3,5 4
Distribución muestral para la media de todas la muestras de tamaño 2 sin reemplazo. Medias muestral 2 3 4 Total
Frecuencia 1 1 1
Probabilidad 1/3 1/3 1/3
∑=3
∑=1
Análisis de la distribución de muestreo para la media: Se tiene que la media muestral y la poblacional son iguales a 3. La desviación estándar poblacional es 1,632993162 y la muestral se calcula de la siguiente manera; x
n
N n N 1
1.632993162 2
32
0,816496581
3 1
Es decir, que la desviación muestral es menor a la poblacional. Las medias muéstrales varían entre 2 y 4, mientras que los datos srcinales de la población van de 1, 3 y 5. Se tiene que la distribución de muestreo de los valores de las medias tiende a una distribución Normal.
10. Teorema de Límite Central El Teorema del Límite Central consiste en un conjunto de resultados acerca del comportamiento de las distribuciones muestrales, en él se afirma, bajo ciertas hipótesis, que la distribución de las medias de un número muy grande de muestras se aproxima a una distribución normal. El término Central, debido a Polyá (1920), describe el rol que cumple este teorema en la teoría de la probabilidad. Grandes matemáticos colaboraron para desarrollar el teorema del límite central, sin embargo Laplace ocupa un lugar fundamental: a pesar de que nunca enunció formalmente este resultado, ni lo demostró rigurosamente, a él le debemos este importante descubrimiento. "Para una población con una media µ y una varianza σ2, la distribución de las medias de todas las muestras posibles de tamaño “n”
generadas de la población estarán distribuidas de forma aproximadamente normal asumiendo que el tamaño de la muestra es suficientemente grande."
65
Con relación al teorema del límite central debemos enfatizar en: Si el tamaño de la muestra “n”, es suficientemente grande (n > 30) la distribución muestral
de las medias será aproximadamente normal. No importa si la población es normal, sesgada o uniforme, si la muestra es grande el teorema se aplicará. La media de la población y la media de todas las posibles muestras son iguales. Si la población es grande y un gran número de muestras son seleccionadas de esa población entonces la media de las medias muestrales se aproximará a la media poblacional. La desviación estándar de la distribución muestral de las medias, a la que llamaremos error estándar, es determinado por: x
n
N n N 1
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 10 1. Una empresa industrial tiene 5 trabajadores de producción (considerados como la población) La retribución (salario enhoras) de cada empleado se presenta en seguida. Trabajador Nelson María Kevin Sofía Marcelo
Salario ($) 8 96 10 5
1.1 ¿Cuál es la media de la población? 1.2 ¿Cuál es la distribución muestral de medias para una muestra de tamaño 2, sin
remplazo? 1.3 ¿Cuál es la media de la distribución muestral y el error estándar de estimación?
2. Hay cuatro representantes deventas en Mid-Motors Ford. Acontinuación se enlistan los cuatro representantes y el número de automóviles que vendieron la semana pasada. Representante de ventas Ileana
Autos vendidos 6
Luis 4 Ramiro 10 César 8 2.1 ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño dos son posibles, con reemplazo?
66
2.2 Enliste todas las muestras posibles de tamaño dos y calcule la media de cada
muestra. 2.3 Compare la media de las medias muestrales con la de la población. 2.4 Calcule y x .
11. Estimaciones 11.1 Estimación puntual Estimar un parámetro es proponer un valor para el mismo a partir de la muestra; un estimador del porcentaje poblacional sería la proporción de dispositivos electrónicos que presentan falla a este tipo de estimación se le llama «estimación puntual». Es bastante probable que el valor que se obtiene no sea realmente el valor del parámetro en la población. Parámetro
Estimador
Media (μ) Desviación Estándar (σ)
Proporción (P)
x
S p
Ej: 11 Suponga que un ingeniero se interesa en probar el sesgamiento de un medidor de pH. Se reúnen datos de una sustancia neutra (pH =7,0), se toma una muestra de las mediciones y los resultados son: 7,07 7,00 7,10 6,97 6,98 7,08 7,08 7,04 11.1 Determine e interprete
x
y S.
…
11.2
¿Cuál es la proporción de mediciones con pH superior a 7,0?
…
11.2 Estimación por intervalos Una mejor alternativa es la estimación por intervalos; se da con ella un rango de valores que contendrá el valor del parámetro con una cierta confianza o seguridad, que habitualmente es del 95%. La afirmación hecha mediante un «intervalo de confianza», es preferible a la hecha por estimación puntual, ya que permite cuantificar la magnitud del error asociado a la estimación. Un concepto importante al realizar estimaciones es el «error estándar», que está relacionado con la calidad de la estimación. Se ha estudiado una muestra de 100 neonatos que tienen una media de peso de 3200 g y una desviación estándar 80; si se estándar estudia otra muestra demuestra 100 se puede encontrar una media de 3400 y unadedesviación de 97; en otra se pueden encontrar valores de 3100 y 92, respectivamente, etc., y así se podrían estudiar muestras diferentes hallando valores similares pero no iguales.
67
El error estándar mide la variabilidad entre las diferentes medias de las muestras; es decir, mide la dispersión imaginaria que presentarían las distintas medias obtenidas en las muestras estudiadas. Se utilizarán fórmulas diferentes según se pretenda calcular el «error estándar de una media» o el «error estándar de una proporción».
11.2.1 Intervalo de confianza para una media De una población de media μ y desviación estándar o típica (σ) se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( x ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional: Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:
Esto se representa como sigue:
Si estandarizamos:
En una distribución Z ~ N (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caiga un determinado porcentaje de las observaciones, esto es sencillo hallarz1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1- α)·100% es el porcentaje deseado. Se desea obtener una expresión tal que En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral x( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará 1 −α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto). Para ello se necesita calcular el punto X o, mejor dicho, su versión estandarizada Z o, <> junto con su "opuesto en la distribución" X Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:
2
2
Dicho punto es el número tal que: Y en la versión estandarizada se cumple que:
z
z Así:
2
2
Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo: De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:
2
68
Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral (x ) ± el producto del valor crítico por el error estándar n .
Si se conoce N debe verificar la fracción
muestral n N
, luego aplique
Si se conoce σ y n es grande (habitualmente se toman ≥ 30). Aproximaciones para el valor z 2 los niveles de confianza estándar son 1,96 para 1– α = 95% y 2,575 para 1 − α = 99%.
En la siguiente tabla se detallan algunos niveles de confianza más comunes: Nivel de confianza (1 – α) 90% 95% 99%
Zα/2 1,645 1,96 2,575
α
0,10 0,05 0,01
NOTA: Para un nivel de confianza del 90%, el valor se ubica en el cuerpo de la tabla y se encuentra un valor aproximado o exacto del percentil de la distribución Normal. Luego, = 1.645. Z
2
donde s es la
Si no se conoce σ y n es grande n( ≥ 30)
desviación típica de una muestra. Ej: 12
Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se extrae del agua a partir de una muestra aleatoria en 36 sitios diferentes es de 2,6 gr por mililitro. Encuentre e interprete un intervalo de confianza de 95% para la concentración media de zinc. Suponga que la desviación estándar es 0,3. x 2,6 gr 0,3 1 95 % 0,05 2 0,025 Uso de la ~ Normal z 1,96
2
Sustituyendo en la fórmula
( x z x ) la información brindada, 2
Obtenemos:
0,3 2,6 1,96 36
2,502
μ
2,6 0,098
2,698 gr
Es decir si se extraen muestras repetidas de tamaño 36 del agua, se esperara que
aproximadamente el 95% de las veces la media estaría contenida entre 2,502 μ 2,698 gr y el 5% restante estará fuera de dicho intervalo.
69
Si no se conoce σ y n es pequeña (habitualmente se toman < 30) 70
Ej: 13 El contenido de 7 envases similares de ácido sulfúrico son: 10,8 11,2 11,4 10,8 11,0 11,2 10,6 litros. Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los envases, si se supone una distribución aproximadamente normal. Usar calculadora Buscar en la ~ t de Student. Sustituimos en la fórmula:
0,282842712 11 2,45 7
11 0,261916017 10,74 μ 11,26 litros
Es decir si se extraen muestras repetidas de tamaño 7 de los envases conteniendo
ácido sulfúrico, se esperara que aproximadamente el 95% de las veces la media estaría contenida 10,74 μ 11,26 litros y el 5% restante estará fuera de dicho intervalo.
11.2.2 Tamaño de muestra para estimarμ Con frecuencia deseamos saber que tan grande necesita ser una muestra para asegurar que el error al estimar μ sea menor queuna cantidad específica e, esto significa que
deseamos conocer n de modo que siguiente fórmula para n.
Procedimiento para calcularn
. Al resolver esta ecuación se obtiene la
Ej: 14 ¿Qué tan grande se requiere una muestra del Ejemplo 12, si queremos tener 95% de confianza que nuestra estimación de μ difiere por más o menos 0.05.
Uso de la ~ Normal
1 95% 0,05
2
0,025
z 2 1,96 e 0,05
0,3
Como no se conoce N, sustituimos en la fórmula, z e
n
2
2
2 1,960,3 138,2976 0,05
n = 139
Con estas características se deben muestrear 139 sitios para el estudio. Cuando se resuelve para el tamaño de muestra, todos los valores fraccionarios se redondean al siguiente número entero.
11.2.3 Intervalo de confianza para una proporción El intervalo de confianza para estimar una proporción P, conocida una proporción muestral p de una muestra de tamañon, a un nivel de confianza del (1-α)100% es: P ( p z ˆ
2
p
) donde
p
p(1 p) ˆ
ˆ
ˆ
y p
ˆ
ˆ
n
x n
En la demostración de estas fórmulas está involucrado el Teorema Central de Límite como una aproximación de una binomial por una normal.l Ej: 15 Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores deben pasar las pruebas antes de venderse. Una muestra de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre e interprete un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que pasan todas las pruebas.
Uso de la ~ Normal Sustituyendo en la fórmula:
P (p z ˆ
2
0,97(0,03) P 0,97 1,645 500
p ˆ
) donde
p ˆ
p(1 p) ˆ
ˆ
n
y p ˆ
x n
P 0,97 1,645(0,007628892)
P 0,97 0,012549528 P (0,957450471 ; 0,982549528) Si se extraen muestras repetidas de tamaño 500 de los reproductores DC, se espera
que aproximadamente el 90% de las veces la proporción de reproductores de discos
71
compactos de la población que pasan todas las pruebas está contenida entre el 95,75% y el 98,25% y el 10% restante se ubica fuera de ese intervalo.
11.2.4 Tamaño de muestra para estimar p Determinemos que tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el error al estimar P sea menor que una cantidad e, esto significa que debemos elegir n de modo que: z
p(1 p)
2
e . Al resolver esta ecuación para n, obtenemos:
n 2
n 0
Procedimiento para calcularn
z 2 p(1 p) e2
NOTA: Si la proporción de la población no se conoce o bien no se cuenta con un valor estimado de éste, se debe usar el valor de 0,5 Ej: 16 Se lleva a cabo un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de una comunidad que están a favor de tener agua fluorada. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra, si se desea tener una confianza de 95% y que nuestra estimación este dentro del 1% del porcentaje real? Uso de la ~ Normal
No se conoce N, sustituimos en la fórmula
La muestra debe ser de 9604 ciudadanos para llevar a cabo el estudio.
72
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 11 1. La asociación de exalumnos de una universidad quiere estimar los salarios mensuales promedios de los graduados en 2010. Una muestra aleatoria de 100 personas reveló un salario promedio de $850 con una desviación estándar de $145. Establezca e interprete una estimación por intervalo con una confiabilidad del 90%, del salario promedio mensual de los graduados en 2010. 2. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente normal, y que tiene una desviación estándar de 0,1 mm. Una muestra aleatoria de 45 anillos tiene un diámetro promedio de 74,6mm. Construya e interprete un intervalo de confianza del 95% para el diámetro promedio del anillo. 3. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 40 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1 014 horas. Construya e interprete un intervalo de confianza del 99% para la duración promedio. 4. En el ejercicio # 3, Suponga que se desea una confianza del 95% en que el error en la estimación de la duración sea de 5 horas. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 5. Un ingeniero analiza la resistencia a la compresión del concreto. La resistencia está distribuida aproximadamente normal, con varianza 2 1 000( psi) 2 . Al tomar una muestra aleatoria de 36 especímenes, se tiene quex 3 250 psi . Construya e interprete un intervalo de confianza del 95% para la resistencia a la compresión promedio. 6. Suponga que en el ejercicio # 5, se desea estimar la resistencia a la compresión con un error menor de 15 psi para un nivel de confianza de 95% ¿Qué tamaño de muestra debe emplearse para este fin? 7. En los resultados del censo de población y vivienda 2005, acerca de la cantidad total de viviendas que conforman el distrito IV en Managua es de 29 920 y haciendo un supuesto de que el 60% de las familias de ese distrito tiene casa propia con unmargen de error del 4% y nivel de confianza del 90%. ¿Cuál es el tamaño de muestra para la proporción de personas que tienen casa propia? 8. El gerente de control de calidad de una fábrica de lámparas eléctricas desea estimar la duración promedio deun embarque delámparas (focos). Los resultados indican que la desviación estándar del proceso es de100 horas yel gerente desea estimar la duración promedio con aproximación de ±20 horas del promedio real con una confiabilidad del 95%. ¿Qué tamaño de muestra senecesita? 9. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno y sepone a prueba de mercado durante unmes en las tiendasde una cadena de autoservicio, se desea estimar la suma promedio de venta
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con aproximación de ± $100 con un 95% de confianza y se supone que la desviación estándar es de $200. ¿Quétamaño de muestrase necesita? 10. Un grupo de estudio quería estimar la facturaciónmensual promedio por luz eléctrica en el mes de julioen casas unifamiliares en una ciudad. Con base enestudios efectuados en otras ciudades, se supone que la desviación estándar es de $20. El grupo quiere estimar la facturación promedio de julio con aproximación de$5 ± del promedio real con un 95% de confianza. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 11. El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad quiere determinar la proporción de su cuentasehabiente los cuales se prefieren les pagaeleste sueldo por semana, por experiencia previa en de otras áreas sabe quea sólo el 30% sistema, si el gerente quiere tener 95% confianza de que esta en lo correcto con aproximación de ± 0.05 de la proporción de sus clientes a quienes se les paga por semana. ¿Quétamaño de muestra senecesita? 12. Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0,35. Se requiere de una confianza del 95% con un error de estimación de 0,05. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra? 13. Determine el tamaño de muestra que se requiere para estimar la proporción verdadera de los estudiantes de una universidad que tienen ojos azules, si se desea que la estimación tenga un error máximo de 0,02 y una confianza del 95%. Suponga que la población estudiantil es de 4 350. 14. Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la de proporción de jóvenes a favor deeluna nuevadezona de ocio. El número de jóvenes dicha población es Nque = 2estarían 000. Determinar tamaño muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0,05 y un nivel de confianza del 95%. 15. En un proceso químico se fabrica cierto polímero. Normalmente, se hacen mediciones de viscosidad después de cada corrida, y la experiencia acumulada indica que la variabilidad en el proceso es muy estable. Las siguientes son 15 mediciones de viscosidad por corrida: 724 718 776 745 759 795 756 760 742 740 761 749 739 747 742 Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 95% para la viscosidad media del polímetro. 16. Una máquina produce las varillas de metal usadas en el sistema de suspensión de un automóvil. Se toma una muestra aleatoria de 12 varillas y se mide el diámetro (mm). Los datos obtenidos aparecen abajo.e Suponga queunelintervalo diámetrodedeconfianza la varilla del tiene unapara el distribución normal. Construya interprete 95% diámetro promedio de la varilla. 8,24 8,23 8,20 8,21 8,20 8,28 8,23 8,25 8,19 8,25 8,26 8,23
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17. Una línea de autobuses piensa establecer una ruta desde un suburbio hasta el centro de la ciudad. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 posibles usuarios y 18 indicaron que utilizarían esa ruta de autobuses. Establezca e interprete una estimación del intervalo con 95% de confianza de la proporción real de usuarios para esta nueva ruta de autobuses. 18. Un ingeniero hace pruebas con resistencia a la compresión del concreto. Para ello examina 12 especímenes y obtiene los siguientes datos. 2 212 2 237 2 249 2 204 2 225 2 301 2 281 2 263 2 318 2 255 2 275 2 295 Construya e interprete un intervalo de confianza del 99% para la resistencia promedio. 19. Un artículo publicado enNuclear Ingineering Internacionaldescribe va rias características de las varillas de combustibles utilizadas en un reactor propiedad de una empresa noruega de electricidad. Las mediciones notificadas sobre el porcentaje de enriquecimiento de 12 varillas son las siguientes. 2,94 2,75 2,75 2,81 2,90 2,90 2,82 2,95 3,00 2,95 3,00 3,05 Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 95% para el porcentaje promedio de enriquecimiento. 20. Un artículo publicado en elJournal of Composite Materials describe el efecto de la pérdida de láminas sobre la frecuencia natural, de vigas formadas por varias láminas. Se sujetaron cinco vigas con pérdida de laminas a varias cargas, y las frecuencias resultantes fueron las siguientes (en Hz) 230,66 233,05 232,58 229,48 232,58 Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 95% para la frecuencia natural. 21. Los ingresos delimpuesto sobre ventas enuna comunidad particular se recaudancada trimestre. Los siguientes datos representan los ingresos (en miles de dólares) cobrados durante el primer trimestre de una muestra de nueve establecimientos de menudeo de la comunidad: 16 19 11 17 13 10 22 15 16 21.1 Establezca e interprete unaestimación por intervalo con un99% de confianza, de
los ingresos trimestrales del impuesto sobre ventas en los establecimientos de menudeo. 21.2 Si hay un total de 300 establecimientos de menudeo en esa comunidad, estime e interprete un intervalo con un95% de confianza delos ingresos trimestrales del impuesto sobre ventas en los establecimientos de menudeo. 22. Se realizó una investigación de mercadotecnia para estimar la proporción de amas de casa que pueden reconocer la marca de un producto de limpieza con base en la forma y color del recipiente. De las 1 400 amas de casa consultadas, 420 fueron capaces de identificar la marca del producto. Use un grado de confianza del 95% para determinar e interpretar en que intervalo se encuentra la proporción poblacional.
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23. Un estudio muestral de 256 compañías industriales, determinó que el 23% habían señalado a sus empleados como la decaída económica a principios de 2008 afectaría la organización. Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de todas las compañías que explicarían a sus empleados los efectos de la decaída. Suponiendo que hay un total de 2 000 compañías. 24. El número de autos vendidos en “Casa Pellas” durante el primer semestre del 201 2 fue de 800 automóviles de diversas marcas, en una muestra de 400 automóviles se observó que de estos 47 eran de color Rojo. 24.1 Estime la proporción de compradores que prefirieron automóvil color Rojo. 24.2 Establezca el intervalo de confianza del 90% para la proporción de compradores que prefirieron el color Rojo e interprete los resultados. 25. Un auditor de una dependencia gubernamental de protección al consumidor quiere determinar la proporción de reclamos sobre pólizas de enfermedades que paga la compañía de seguros en un plazo de dos meses de haber recibido el reclamo. Se selecciona una muestra de 200 reclamos y se determina que 80 fueron pagadas en un plazo de dos meses después de recibidos. Establezca e interprete una estimación del intervalo con 99% de confianza de la proporción real de reclamos pagadas dentro de ese plazo de dos meses.
12. Prueba de hipótesis La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la información de una muestra para probar un reclamo oconjetura sobre la población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El proceso que corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se llama prueba de hipótesis. Hipótesis: Afirmación acerca de los parámetros de la población. Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional, después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadistica muestral ( Rechaza o No ), con el parámetro hipotético, de una supuesta media poblacional (μ). Luego se se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera. Por tanto, la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y lateoría de probabilidad; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso:
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Siguiendo este procedimiento sistemático, al llegar al paso cinco se puede o no rechazar la hipótesis, pero debemos de tener cuidado con esta determinación. Analizaremos cada paso en detalle.
Objetivo de la prueba de hipótesis El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre el estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro. Procedimiento sistemático para una prueba de hipótesis de una muestra PASO 1: Plantear la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1 Cualquier investigación estadística la existencia o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian. Laimplica hipótesis nula (Ho) de se hipótesis refiere siempre a un valor específico del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o no Ho, además la hipótesis nula (H 0) es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo deigualdad con respecto al valor especificado del parámetro. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que no se rechaza si los datos muestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. Si queremos decidir entre dos hipótesis que afectan a un cierto parámetro de la población, a partir de la información de la muestra usaremos el contraste de hipótesis, cuando optemos por una de estas dos hipótesis, hemos de conocer una medida del error cometido, es decir, cuantas veces de cada cien nos equivocamos. En resumen: Veremoscómo se escribirían las hipótesis que queremos contrastar, H0 se llama hipótesis nula y es lo contrario de lo que sospechamos que va a ocurrir (suele llevar los signos igual, mayor o igual o menor o igual)
H1 se llama hipótesis alternativa y es lo que sospechamos que va a ser cierto (suele llevar los signos distinto, mayor o menor) Los contrastes de hipótesis pueden ser de dos tipos: Bilateral: En la hipótesis alternativa aparece el signo distinto. Ej: 17 H0 : µ = 200 H1 : µ ≠ 200 /2
/2
Unilateral: En la hipótesis alternativa aparece el signo> o el signo <. Ej: 18 H0 : µ ≥ 200 H0 : µ ≤ 200 :H1µ < 200
H
1
: µ > 200
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PASO 2: Seleccionar el nivel de significancia Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α( ), también es denominada como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el control de la persona que realiza la prueba. Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de rechazar, es decir, esté fuera del área de No rechazo. El nivel de confianza (1 - α), indica la probabilidad de No rechazar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población. La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo. Si la estadística de prueba cae dentro de la región de No rechazo, no se puede rechazar la hipótesis nula. La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presentarse si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de rechazo con la de no rechazo. Tipos de errores Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de No rechazo de Ho, puede incurrirse en error. Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía No rechazarse. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa (α). Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula No se rechaza cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada. En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tablaposibles. se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y las consecuencias
Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno, debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. En la práctica un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y se tiene que poner una limitación al error de mayor importancia. La única forma de reducir ambos tipos de errores es incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no posible. La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta β, depende
de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de la población. Como es más fácil encontrar diferencias si la diferencia la estadística de muestra el de correspondiente parámetrograndes, de población es grande,entre la probabilidad de cometer un yerror tipo II, probablemente sea pequeña.
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De los dos, el más importante es alfa que llamaremosnivel de significación y nos informa de la probabilidad que tenemos de estar equivocados si aceptamos la hipótesis alternativa. Debido a que los dos errores anteriores a la vez son imposibles de controlar, vamos a fijarnos solamente en el nivel de significación, este es el que nos interesa ya que la hipótesis alternativa que estamos interesados en probar y no queremos aceptarla si en realidad no es cierta, es decir, si aceptamos la hipótesis alternativa queremos equivocarnos con un margen de error muy pequeño. El nivel de significación lo marcamos nosotros. Si es grande es más fácil No rechazar la hipótesis alternativa cuando en realidad es falsa. El valor del nivel de significación suele ser un 5%, lo que significa que 5 de cada 100 veces No rechazamos la hipótesis alternativa cuando la verdadera es la nula. El estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera, secon habrán exclusivamente en el análisis de una parte de ésta.porDeejemplo, la probabilidad la queapoyado estemos dispuestos a asumir estos errores, dependerá, el tamaño de la muestra requerida. Las contrastaciones se apoyan en que los datos de partida siguen una distribución normal, existe una relación inversa entre la magnitud de los errores α α para y β: conforme α aumenta, β disminuye. Esto obliga a establecer con cuidado el valor de las pruebas estadísticas. Lo ideal sería establecerα y β. En la práctica se establece el nivel α y para disminuir el error β se incrementa el número de observaciones en la muestra, pues así se
acortan los limites de confianza respecto a la hipótesis planteada. La meta de las pruebas estadísticas es rechazar la hipótesis planteada. En otras palabras, es deseable aumentar cuando ésta es verdadera, o sea, incrementar lo que se llamapoder de la prueba (1- β). La aceptación de la hipótesis planteada debe interpretarse como que la información aleatoria de la muestra disponible no permite detectar la falsedad de esta hipótesis.
PASO 3: Cálculo del estadístico de prueba Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula, existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z o t. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son iguales a 30 o más se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el estadístico t. En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación estándar (σ)
poblacional, o cuando el valorde la muestra es grande (30 o más), el valor del estadístico de prueba es z y se determina a partir de:
El valor del estadístico z, para muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida se determina por la ecuación:
En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña y desviación estándar poblacional desconocida se utiliza el valor del estadístico t.
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Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular. En tal caso el estadístico de prueba es.
PASO 4: Formular la regla de decisión Se establecen las condiciones específicas en la que se rechaza la hipótesis nula y las condiciones en queque Noson se tan rechaza la hipótesis nula. La que región de rechazo define de todos los valores grandes o tan pequeños, la probabilidad de quelaseubicación presenten bajo la suposición de que la hipótesis nula es verdadera, es muy remota.
Valor critico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que No se rechaza. Dado que ya se tiene la distribución normal, los valores críticos se pueden expresar en unidades de desviación. Una región de rechazo de 0.025 en cada cola de la distribución normal, da por resultado un área de .475 entre la media hipotética y el valor crítico. Si se busca está área en la distribución normal, se encuentra que los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y no rechazo son + 1,96 y– 1,96 PASO 5: Tomar una decisión En este último paso de la prueba de hipótesis, el estadístico de prueba se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula. Tenga presente que en una prueba de hipótesis sólo se puede tomar una de dos decisiones: Rechazar o No rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería haberse rechazado (error tipo I). También existe la posibilidad de que la hipótesis nula No se rechace cuando debería haberse Rechazado (error tipo II) Valor p: Es un planteamiento alternativo para la toma de una decisión de prueba de hipótesis. Es la probabilidad de obtener una estadística de prueba igual o más exacta que el resultado obtenido a partir de los datos de la muestra dado que la hipótesis nula, Ho, es realmente verdadera. A menudo el Valor p se conoce como nivel de significación observado, que es el mínimo nivel al cual Ho puede ser rechazado para un conjunto de datos. El procedimiento compara el Valor p con elnivel de significación α. Si el Valor p ≤ α
Ho se Rechaza
Si el Valor > α
Ho no se Rechaza
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Ej 19 Establezca las hipótesis nula y alterna. 19.1 En promedio, los estudiantes de una universidad viven a no más de 15 km de la misma. H 0 : 15 km. H 1 : 15 km.
19.2 El consumo promedio de combustible de un nuevo modelo deauto es de 25km/litro. …
19.3 Más del 65% de los empleados de uncolegio aportan a Fondos Sociales. H 0 : p 0,65 H 1 : p 0,65
19.4 Al menos un 60% de la población adulta de una comunidad votará enlas próximas elecciones municipales. …
19.5 Se reclama que al menos el 60% de las compras realizadas en cierta tienda por departamentos son artículos especiales. …
19.6 Una nueva marca de computadora dura en promedio más de 3 años. …
19.7 Se observa que el 20% de los graduados decierto colegio privado solicitan admisión a escuelas de medicina. …
19.8 El balance promedio de una cuenta decheques en el First State Bank es deal menos $150 …
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Ej: 20 Determine si la prueba es de cola derecha, izquierda oambas, con el nivel de significancia α = 0,05 encuentre el valor critico y dibuje la región de rechazo.
20.1
Uso de la ~ Normal
0,05
z 1,645
H 0 : 5,8
20.2
H 1 : 5,8
…
20.3
H 0 : 110 H 1 : 110
…
20.4
H 0 : p 0,3 H 1 : p 0,3
…
Ej: 21 Determine el valor crítico con las características indicadas. 21.1 Para = 0,01 y n = 40 Si = 0,01 z
z = 2,33
21.2 …
21.3
/2
…
/2
Para
= 0,05
y n = 16
Para
= 0,01
y n = 10
82
21.4
Para
…
/2
= 0,05
y n = 36
/2
Ej: 22 Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de grasa saturada no excede de 1,5 gramos, con una desviación estándar de 0,3 gramos. Se toma una muestra de 40 bolsas de cereal y se encuentra que el contenido medio de grasa saturada es de 1,6 gramos. Pruebe la afirmación del
fabricante con un nivel de significación de 0,05. Determine el Valor p. μo = 1,5 gramos. σ = 0,3 gramos x = 1,6 gramos n = 40 bolsas α = 0,05
1. Formulación de las Hipótesis (El contenido promedio de grasa saturada no excede de 1,5 gr en la marca de cereal) H 0 : 1,5 gr H 1 : 1,5 gr (El contenido promedio de grasa saturada es superior a 1,5 gr en la marca de cereal) 2. Nivel de Significación. α = 0,05
3. Calcular el Estadístico de Prueba
4. Regla de Decisión Observe que este valor Por lo tanto Ho se Rechaza.
se ubica en la Región de Rechazo, es decir,
5. Toma de Decisión Existe suficiente evidencia a un nivel de significación de 0,05 que el contenido promedio de grasa saturada en la marca de cereal de arroz es superior a 1,5 gramos.
Valor p p P(z 2,11) 1 - P(z 2,11) p 1 - 0,9826 p 0,0174 Como p 0,0174
zCal 2,11 α
0,05 Ho se Rechaza
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Ej: 23 En el departamento de personal de una compañía de telecomunicaciones se quiere estimar los gastos familiares en odontología de sus empleados. Para determinar la factibilidad de proporcionarles un plan de seguro dental, el gerente del departamento toma una muestra de 10 empleados y obtuvo la siguiente información de los gastos (en dólares) durante el año anterior. 110 362 246 85 510 208 173 425 179 316 Con un nivel de significación de 0,01 ¿Existe evidencia que le permita al gerente de personal llegar a la conclusión de que los gastos dentales familiares de los empleados sean diferente de $320? Determine el Valor p. n = 10 empleados α = 0,01 μo = $320 x $261,4 s $138,8045789
Con la calculadora determine: 1. Formulación de las Hipótesis H0 :
$320
H1 :
$320
(Los gastos dentales familiares de los empleados son de $320) (Los gastos dentales familiares de los empleados son diferentes de $320)
2. Nivel de Significación. α = 0,01
gl = n - 1 = 10– 1 = 9
2
0,005 t(
2
, 9)
3,25
t ( 2 , 9) 3,25
t ( 2 , 9) 3,25
3. Calcular el Estadístico de Prueba t
t Cal
x s n
261, 4 320 138,8045789
1,335038601 10
1,34
4. Regla de Decisión Observe que este valor t
3,25 t Cal
se ubica en la Región de No Rechazo, es decir, . Por lo tanto Ho No se Rechaza.
1,34
Cal
1,34 3,25
5. Toma de Decisión No Existe suficiente evidencia a un nivel de significación de 0,01 que el gasto promedio durante el año pasado en odontología sea diferente a $320.
Valor p tCal 1,34
El valor calculado de la estadística de prueba es tCal 1,34 . En la tabla de la distribución t de Student observamos que debido a la simetría, sólo se muestran los valores críticos del extremo si omitimos el signo conyel9 propósito de usar la tabla, notamos que el V.C. para superior. un área dePero extremo superior de0,25 gl. es 0,7029 y para un área de extremo t 1 , 34 superior de 0,10 es 1,380; como Cal se ubica entre estos dos valores y podemos establecer que el Valor p para esta prueba está entre 0,25 y 0,10 cada uno de estos valores
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son mayores ( > ) que 0,01 el nivel escogido de significación. Por lo tanto, la hipótesis nula, Ho, No se Rechaza. Ej: 24 El director de personal de una compañía de seguros está interesado enreducir la tasa de movimientos de los oficinistas encargados en procesar datos durante su primer año de empleo. Registros anteriores indican que 25% del total de las nuevas contrataciones de esta área ya no se encuentran en la compañía al final del primer año. Se están aplicando programas de entrenamiento extensivos a una muestra de 150 nuevos oficinistas encargados del procesamiento de datos. Al final de un periodo de un año, de los 150 individuos, 30 ya no se encuentran en la compañía. Al nivel de significancia de 0,01 ¿Existe evidencia de que la proporción de oficinistas encargados del procesamiento de datos que estuvieron en el nuevo programa de entrenamiento y que ya no trabajan para la compañía es menor de 0,25? Calcule el Valor p. po = 25%. n = 150 oficinistas x = 30 α = 0,01 1. Formulación de las Hipótesis H 0 : p 25% H 1 : p 25%
(La proporción de oficinistas encargados del procesamiento de datos y que ya no trabajan para la compañía es por lo menos del 25%) (La proporción de oficinistas encargados del procesamiento de datos y que ya no trabajan para la compañía es inferior al 25%)
2. Nivel de Significación α = 0,01
3. Calcular el Estadístico de Prueba
4. Regla de Decisión Observe que este valor
se ubica en la Región de No Rechazo, es decir, Por lo tanto Ho No se Rechaza.
5. Toma de Decisión No existe suficiente evidencia a unnivel de significación de 0,01 que la proporción de oficinistas encargados del procesamiento de datos y que ya no trabajan para la compañía sea inferior al 25%.
Valor p zCal 1,41
p P(z 1,41) z(1,41) p 0,0793 Como p 0,0793
α
0,01 Ho No se Rechaza
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ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 12 1. Se requiere que la tensión de ruptura de un hilo utilizado en la fabricación de material de tapicería sea al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es 6 psi. Se prueba una muestra aleatoria de 36 especímenes, y la tensión de ruptura promedio observada es de 98 psi. Pruebe la hipótesis a un nivel de significación de 0,05. Determine el valor p. 2. Se sabe que el diámetro de los agujeros para una montura de cable tiene una desviación estándar de 0,01mm. Se obtiene una muestra aleatoria de 40 monturas, donde el diámetro promedio resulta ser 1,5045mm. Pruebe la hipótesis que el diámetro promedio verdadero del agujero es de 1,50mm, usando una significancia de 0.05. ¿Cuál es el valor de p en esta prueba? 3. El Gerente de producción de una Compañía manufacturera estima que la edad media de sus empleados es 22,8 años. El tesorero de la firma necesita una cifra de la edad media de los empleados más exacta, a fin de estimar el costo de una prestación por antigüedad que se considera para los empleados. El tesorero toma una muestra aleatoria de 70 trabajadores y observa que la edad media de los empleados muestreados es de 26,2 años con una desviación estándar de 4,6 años. Con un nivel de significación del 1%. ¿Qué puede concluir acerca de la exactitud de la estimación del Gerente de producción? 4. La producción diaria deuna planta industrial química reg istrada durante 50 días, tieneuna media muestral de 871toneladas y una desviación estándar de 21kg.Pruebe la hipótesis de que el promedio de la producción diaria del producto químico es de 880kg por día, contra la alternativa de que es mayor o menor que 880 toneladas por día, usando una significación del 5%. 5. Una muestra aleatoria de6 observaciones de unapoblación normal, generó lossiguientes datos: 3,7 8,1 8,8 4,9 5,0 6,4 Proporcionan los datos suficiente evidencia que señale que < 7, a un nivel del 5%. 6. Tina Dennis es la jefa de contabilidad de Meck Industries (MI). Ella cree que los problemas de flujo de efectivo en MI se deben a la cobranza lenta de cuentas pendientes. Estima que más de 60% de las cuentas están en atraso más de tres meses. Una muestra de 200 cuentas señaló que 140 tenían más de tres meses de antigüedad. Al nivel de significación de 0,01. ¿se puede concluir que más de 60% de las cuentas están en atraso por más de tres meses? 7. Experiencias en la Wills Travel Agency indica que 44% de las personas desean que esa agencia planee unas vacaciones para viajar a Europa. Durante la temporada más reciente, una muestra de 1 000 seleccionada al azar de los archivos y se hacia encontró queen480 querían ir a Europa de fue vacaciones. ¿Ha sido un cambio significativo arriba el porcentaje de personas que desean ir a Europa? Pruebe a un nivel del 5%.
86
8. Se analiza una marca particular de margarina dietética para determinar el nivel de ácido graso poliinsaturado (en porcentaje). Se toma una muestra de seis paquetes y se obtienen los siguientes datos: 16,8 17,2 17,4 16,9 16,5 17,1 Pruebe la hipótesis H 0 : 17,0 contra H1 : 17,0 Utilice 0,05 ¿Cuáles son sus conclusiones? ¿Cuál es el valor de p en esta prueba? 9. Un ingeniero que trabaja para un fabricante de llantas investiga la duración promedio de un compuesto nuevo de caucho. Para ello, construye 16 llantas y las prueba en una carretera hasta alcanzar el fin de la vida útil de estas. Los datos, en Km., obtenidos son los siguientes: 60 623 59 784 60 545 69 947 59 836 60 221 60 257 60 135 59 554 60 311 60 000 60 220 60 252 50 040 59 997 60 523 Al ingeniero le gustaría demostrar que la vida útil promedio de la nueva llanta excede los 60 mil km. Proponga y pruebe hipótesis apropiadas. Obtenga una conclusión con 0,05 Determine el valor p. 10. Se efectúa una prueba de impacto Izod sobre 20 muestras de tubería PVC. El estándar ASTM para este material requiere que la resistencia al impacto Izod sea mayor que 1.0 ftlbs/in. El promedio y la desviación estándar muestrales sonx 1,25 y s 0,25 respectivamente. Realice la prueba a un nivel de significación de 0,01. Obtenga conclusiones. Determine el valor p.
13. Prueba de Independencia La estadística 2 desempeña una función importante en muchos problemas en los que se obtiene información a través del conteo o la enumeración y no por medio de la medición. En tal caso la prueba que se aplica se llama prueba de independencia de una tabla de contingencia. Es decir, las clasificaciones entre dos caracteres (A y B) de los mismos individuos en estudio, en la cual las “r” filas representan los niveles de caracter “A” y las “c” columnas los niveles de caracter “B”.
El procedimiento para el desarrollo de una prueba es similar al abordado anteriormente, las hipótesis se planteara de la siguiente manera: H0: La categoría A y la categoría B son independientes (es decir, No hay relación entre ellas). H1: La categoría A y la categoría B son dependientes (Hay relación entre ellas).
El estadístico de prueba es, Donde,
f0
representa las frecuencias observadas y
con (r - 1)(c - 1) grados de libertad. fe
las frecuencias esperadas.
87
Las f e se obtienen multiplicando eltotal de la fila a la cual pertenece por el total de la columna al que pertenece dividiendo entre el gran total de la tabla.
La regla de decisión es Rechazar Ho si, suficiente evidencia para rechazar Ho
en caso contrario No existe
Ej: 25 En un experimento para estudiarla dependencia de la hipertensión con elhábito de fumar, se tomaron los siguientes datos de 180 individuos. ¿Padece de hipertensión?
No fumador
Si No Total
21 [33,35] 48 [35,65] 69
Tipo de fumador Fumador moderado 35 [29,48] 26 [31,52] 61
Fumador empedernido 31 [24,17] 19 [25,83] 50
Total 87 93 180
Pruebe la hipótesis que la presencia o ausencia de hipertensión es independiente a los hábitos de fumar. Use un nivel de significancia de 0,01. Determine el Valor p 1. Formulación de las Hipótesis Ho: No existe relaciónentre la presencia o ausencia de hipertensión y los hábitos de fumar. H1: Existe relación entre la presencia o ausencia de hipertensión y los hábitos de fumar. 2. Nivel de Significación
3. Calcular el Estadístico de Prueba
2
i 1 k
( f 0 f e ) 2 (21 33,35) 2 (35 24,48) 2 (19 25,83) 2 ..... 14,59... 33,35 24,48 25,85 fe
88
4. Regla de decisión 2 Como Cal se ubica en la región de Rechazo, por consiguiente Ho se rechaza. Es decir, 2 2 (14,59 > 9,21) Cal Tab 5. Toma de decisión Existe suficiente evidencia al nivel de significación de 0,01 que nos muestre que hay relación entre la presencia o ausencia de hipertensión y los hábitos de fumar.
Valor p P(χ2 14,59) con 2 gl.
p 0,005 α 0,01 Ho se Rechaza.
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 13 1. Se efectúa un estudio sobre las fallas de un componente electrónico. Existen cuatro tipos de fallas posibles y dos posiciones de montaje para el dispositivo. Se toman los datos siguientes: Posición de montaje 1 2 Total
A 22 4
Tipo de falla B C 46 18 17 6
D 9 12
Total
¿Puede concluir que el tipo de falla es independiente de la posición de montaje. Use Determine el valor p.
0,05
2. Se realiza un análisis de datos sobre el tipo de accidente, para determinar la distribución del número de accidentes automovilísticos según el tamaño del auto. Los datos para 346 accidentes son los siguientes, Tipo de accidente Mortal No mortal Total
Pequeño 67 128
Tamaño del auto Mediano 26 63
Grande 16 46
Total
¿Indican los datos que el tipo de accidentes depende del tamaño del automóvil?α = 0,10
89
3. Se entrevistó a un grupo de 306 personas para determinar su opinión respecto a un tema específico de política exterior. Al mismo tiempo, se registró su afiliación política. Los datos son los siguientes: De acuerdo con En desacuerdo con No opinaron Total la política la política Partido de gobierno 114 53 17 Oposición 87 27 8 Total
Presentan los datos suficiente evidencia que indique que hay relación entre la afiliación política y la opinión expresada. Use un nivel de 0,05. 4. De un grupo de estudiantes se toman al mismo tiempo las calificaciones que estos obtienen en un curso de Estadística y en otro de Cálculo. Los resultados son los siguientes: Calificaciones de estadística A B C D Total
A 25 17 18 10
Calificaciones de Cálculo B C D 6 17 13 16 15 6 4 18 10 8 11 20
Total
¿Existe alguna relación entre las calificaciones de los cursos de estadística y Cálculo? 0,05 Determine el valor p. 5. La directiva de una compañía está interesada en determinar si existe una asociación entre el tiempo de cambio de turno de sus empleados y el nivel de estrés relacionado con problemas observados en el trabajo. En un estudio de 116 trabajadores de línea de ensamblaje se reveló lo siguiente. Tiempo de cambio Menos de 15 min. 15 a 45 min. Más de 15 min. Total
Alto 9 17 18
Estrés Moderado 5 8 6
Bajo 18 28 7
Total
A un nivel de significancia de 0,01 ¿Existe evidencia de que haya alguna relación entre el tiempo de cambio de turno y el estrés?
90
UNIDAD IV
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE
Introducción En la práctica es frecuente que se requiera resolver problemas que implican conjuntos de variables de las cuales se sabe que tienen alguna relación inherente entre sí. Podría ser de interés desarrollar un método de pronóstico, es decir, un procedimiento de entrada a partir de información experimental. 1. Diagrama de dispersión Diagrama que refleja la relación entre dos variables. Si X y Y denotan dos variables, entonces de dispersión muestra la localización de loslas puntos (x, y) en un sistemaundediagrama coordenadas rectangulares.
Definición de las variables Variable dependiente (Y) Variable independiente (X)
Variable que se va a predecir o estimar. Variable que proporciona la base para el cálculo.
Ej: 1 Se dispone de una muestra de observaciones formadas por pares de variables: (x1, y1), (x2, y2), .., (xn, yn) A través de esta muestra, se desea estudiar la relación existente entre las variables X e Y. Es posible representar estas observaciones mediante un gráfico de dispersión, como el siguiente:
Ej: 2 El gerente de una tienda de artículos informáticos está considerando contratar a una compañía de publicidad para estimular el negocio. Para lo cual investigó el campo de la publicidad y recolectó los siguientes datos de la Cantidad de ganancia (Y) que logra la compañía y la Cantidad gastada en publicidad (X). Los datos se muestran a continuación. Cantidad en publicidad (cientos de $) Ganancia (en cientos de $)
3,6
4,8
9,7
12,6
10,8
18,2
10,0
16,6
12,2
14,4
22,6
28,4
27,6
40,2
25,8
34,5
Presente estos datos en un diagrama de dispersión.
91
2. Regresión Lineal En primer lugar debemos realizar un gráfico de dispersión como el del Ej. 2 y estudiar visualmente si la relación entre nuestra variable dependiente (Ganancia) y nuestra variable independiente (Cantidad en publicidad) puede considerarse lineal. Por convenio, se coloca la variable dependiente en el eje Y de las ordenadas y la variable independiente en el eje X de las abscisas. Si no observamos un comportamiento lineal, debemos transformar la variable dependiente o incluso replantearnos el tipo de análisis, ya que es posible que la relación entre ambas variables en caso de existir, pueda no ser lineal. En nuestro ejemplo 2, si parece cumplirse una relación lineal entre la Ganancia y la Cantidad en publicidad.
El objetivo de la regresión lineal simple esencontrar la mejor recta deajuste entre todas las posibles, dentro de la nube de puntos. La mejor recta de ajuste será aquella que minimice las distancias verticales entre cada punto y la recta, calculándose normalmente por el método de “mínimos cuadrados”. De este modo conseguiremos una
ecuación para la recta de regresión de Y (variable dependiente) en función de X (variable independiente) de la forma Y a bX En nuestro ejemplo, el problema radica en estimar a (constante de la recta) y b (pendiente de la recta) de modo que podamos ˆ
construir la ecuación o recta de regresión que minimice esas distancias. Ganancia a b(Cantidad en publicidad)
Estimación de la ecuación de regresión muestral Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene: b
n
X Y X Y n X X i
i
i
2 i
i
2
y
a Y bX
i
Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es: Y a bX , que se interpreta: a es una constante y es el valor estimado de la variableY cuando la variable X = 0 , b es el coeficiente de regresión. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión). Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X. ˆ
92
Ej: 3 En el supuesto de una relación lineal, use el método de los mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de regresión del ejemplo 2. Realice los cálculos necesarios o (use la calculadora Mode – REG – Lin) X 3,6 4,8 9,7 12,.6 10,8 18,2 10,0 16,6
Y 12,2 14,4 22,6 28,4 27,6 40,2 25,8 34,5
XY
X2
Y2
∑x = 86,3
∑y = 205, 7
∑xy = 2550,52
∑x2 = 1112,29
∑y2 = 5907,21
Sustituyendo en las fórmulas correspondientes, n X i Yi Xi Yi 86,3 205,7 82550,52 b 2 86,3 2 81112,29 n X i2 X i b
20404,16 17751,91 2652,25 1,828343547 8898,32 7447,69 1450,63
b 1,83 a Y bX
205,7 8
86,3 1,828343547 8
a 25,7125 19,72325602 5,989243984
a
5,99
Por lo tanto la ecuación ajustada de regresión es: Y 5,99 1,83 X ˆ
El coeficiente estimado de regresión b se calculó en 1.83, lo que indica que por cada incremento de una unidad en la Cantidad de publicidad (es decir por cada cien $), en promedio la Ganancia del negocio aumenta en 1.83 cientos de dólares es decir en $183 aproximadamente. El valor de a se interpretaría como el valor obtenido, en promedio, para la Ganancia, cuando la Cantidad en publicidad es cero.
Estimación de un valor esperado de Y para un valor de X. Se utiliza la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de Y, dado algún valor de X. Ej: 4 ¿Cuánto se espera que sea la Ganancia del negocio (enpromedio), si se invirtieron 20.5 (cientos de $) en publicidad? Sustituyendo el valor de interés en la ecuación: Y 5,99 1,83X (cientos de $) Es decir la Ganancia esperada Y 5,99 1,83(20,5) 43,505 ˆ
ˆ
en el negocio es de $4350,5
93
1. Error estándar de la estimación Representa una medida de la variación en torno a la recta ajustada de regresión y se mide en unidades de la variable dependiente. Fórmula. SYX
Y
i
2
a Yi b X iYi n2
Ej: 5 Calcule e interprete el error estándar de estimación del Ejemplo 2. SYX
5907,21 5,989243984(205,7) 1,828343547(2550,52) 6
S YX
11,995728347.6154 1,999288057 1,41396183 6
SYX 1,41396 (cientos de $)
Es decir si la Ganancia esperada en el negocio fue de $4350.5 cuando se invirtieron
$2050 con un error estándar de $141,40 aproximadamente.
2. Coeficiente de Correlación Es la herramienta estadística que podemos usar para describir el grado en el que una variable esta linealmente relacionada con otra. Al trabajar con dos variables cuantitativas podemos estudiar la relación que existe entre ellas mediante la correlación y la regresión. Aunque los cálculos de ambas técnicas pueden ser similares en algunos aspectos e incluso dar resultados parecidos, no deben confundirse. En la correlación tan solo medimos la dirección y la fuerza de la asociación de una variable frente a la otra, pero nunca una relación de causalidad. Sólo cuando tenemos una variable que es causa o depende de otra, podremos realizar una regresión. En esta unidad estudiaremos el coeficiente de correlación más utilizado, como es el Coeficiente de Pearson. Abordamos un ejemplo de regresión lineal simple y cómo se interpretan sus resultados. El coeficiente de correlación de Pearson (r) puede tomar valores entre-1 y +1, de modo que un valor de “r” positivo nos indica que al aumentar el valor de una variable también aumenta el valor de la otra (Figura 1A), y por el contrario, “r” será negativo si al aumen tar
el valor de una variable disminuye la otra (Figura 1B). La correlación será perfecta si r = ±1, en este caso los puntos formarán todos una recta. Es importante a priori determinar qué valor de “r” vamos a considerar como relevante, puesto que una corre lación tan baja como r = 0,07 sería significativa con un tamaño muestral de unas 1000 personas. Además es una medida adimensional por lo que no posee unidades.
A
B
94
Fórmula, X Y i
r
i
X X i2 i n
X Y i
95
i
n 2
Yi 2
Y
i
n
2
Ej: 6 Determine e interprete el Coeficiente de Correlación del Ejemplo 2. Sustituimos en la fórmula, los cálculos correspondientes.
X Y Xn Y X Y X Y i
r
2
r
2 i
i
i
2550,52 2218,98875
181,32875
i
2
n
2550 ,52 86,3 205,7 8
i
i i
618,14875
n
2
86 ,3 2 205,7 2 1112 ,29 5907 ,21 8 8
331,53125 112088,1402
331,53125 0,990249517 334,7956693
La cercanía a +1 implica una asociación fuerte entre la Ganancia (en cientos de $) y la Cantidad en publicidad (en cientos de $) del negocio. El cálculo del coeficiente de correlación de Pearson dio como resultado 0,9902,
indicando que la asociación es positiva y por tanto valores altos en la Ganancia se corresponden a su vez con valores altos en la Cantidad en publicidad. Sin embargo sólo con la correlación no tendríamos la suficiente información si quisiéramos hacer predicciones de los valores de la Ganancia en función de la Cantidad en publicidad del negocio.
Coeficiente de Determinación ( r 2 ) y No Determinación (1 - r 2 ) Mide la proporción de variación que se explica con la variable independiente en el modelo. En este ejemplo r (0,990249517) 0,980594107 0,9806 Significa que el 98.06% de la variación en la Ganancia (en cientos de $) del negocio se explica por la variabilidad en la Cantidad en publicidad (en cientos de $). Sólo el 1.94% de la variación en la Ganancia se puede explicar por otros factores 2
2
ajenos a la Cantidad en publicidad tales como…
3. Estimación del Intervalo de Confianza de la media de Y (YX ) para un valor de X
Un examen de la ecuación indica que el ancho del intervalo de confianza depende de varios factores. Para un nivel dado de confianza, el aumento en la variación alrededor de la recta de regresión, medida con el error estándar de la estimación, da por resultado un intervalo más ancho. Pero, como sería de esperar, el tamaño aumentado de la muestra reduce el ancho del intervalo. Así, mismo, el ancho del intervalo varía también con diferentes valores
de X. Cuando se predice Y para los valores de X cercanos a , el intervalo es mucho más estrecho que para las predicciones de valores de X más distantes de la media. Yi t ˆ
2
,n2
S YX
1
n
X i
X
2
X
2
X
2 i
i
n
Ej: 7 Encuentre una estimación de intervalo con 95% de confianza, para la ganancia promedio si se tuvo una inversión de $800 en publicidad. 8 (cientosde $)
Calculamos primero el valor de Yi para X Yi 5,99 1,83(8) 20,54 ˆ
ˆ
Con la tabla de la distribución t de Student determinamos. 1 0,95 0,05
2
gl n 2 8 2 6
0,025 t 0,025;6 2,45
Sustituimos en la formula, los valores encontrados anteriormente.
Por lo tanto se estima que la ganancia promedio estará entre $1956 y $2170
aproximadamente, si se invirtieron $800 en publicidad, con una confianza de 95%.
4. Inferencia acerca de los parámetros de Regresión y Correlación. Se puede determinar si existe o no relación significativa entre las variables X y Y al probar si 1 (la pendiente real) es o no igual a cero. Método 1: Estadístico de prueba
Para la Pendiente 1 t b1 S b1
donde
S YX
S b1
2 Xi
X i
n
2
96
Método 2: Estimación del intervalo de confianza para:b1 t
2
, n 2
97
S b1
Método 3: Para la Correlación Estadístico de prueba
t
r
1 r
2
n2
Ej: 8 Con un nivel de significación de 0,05. ¿Hay relación lineal entre las variables en estudio? (Aplique los tres métodos) …
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 14 1. El gerente de marketing de una cadena de tiendas de autoservicio quiere determinar el efecto del espacio en las estanterías, sobre las ventas de alimentos para animales domésticos. Se seleccionó una muestra aleatoria de 9 tiendas de igual tamaño cuyos resultados se muestran en seguida. Espacio en estantería (m 2) Ventas semanales (miles de $)
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
5 1,6
6 2,2
8 1,4
4 1,9
9 2,4
8 2,8
10 2,6
12 3,1
15 4,5
Identifique las variables. Presente estos datos en un diagrama de dispersión. En el supuesto de una relación lineal, use el método de los mínimos cuadrados para estimar los coeficientes de regresión e interprételos. Prediga las ventas semanales (en miles de $) de alimentos para animales domésticos para una tienda con 7m2 de estantería para esos alimentos. Calcule e interprete el coeficiente de correlación, determinación y no determinación. Calcule e interprete el error estándar de la estimación. Encuentre una estimación de intervalo con 95% de confianza en las ventas semanales promedio de una tienda que tiene 8m 2 de estantería. Con un nivel de significación de 0,05. ¿Hay una relación lineal entre el espacio en estantería y las ventas?
2. El gerente de personal de una empresa considera que puede haber una relación entre el ausentismo y la edad, y desea usar la edad de un empleado para predecir el número de días de ausencia durante un año calendario. Para lo cual seleccionó una muestra aleatoria de 10 empleados, con los resultados que se muestran a continuación. Edad Días ausentes
27 15
61 6
37 10
23 18
46 9
29 14
36 11
64 5
40 8
50 9
2.1 Identifique las variables. 2.2 Presente estos datos en un diagrama de dispersión. 2.3 En el supuesto de una relación lineal, use el método de los mínimos cuadrados para
estimar los coeficientes de regresión e interprételos. 2.4 ¿Cuántos días en promedio predeciría usted que va a estar ausente un empleado de
45 años de edad? 2.5 Calcule e interprete el coeficiente de correlación, determinación y no
determinación. 2.6 Calcule e interprete el error estándar de la estimación. 2.7 Encuentre una estimación de intervalo con 95% de confianza del promedio de días
de ausencia de un empleado de 40 años de edad. 2.8 Con un nivel de significación de 0,05. ¿Hay una relación lineal entre la edad y el
ausentismo? 3. El contralor de una cadena de tiendas de departamentos quiere predecir el saldo de las cuentas al final del período de facturación con base en el número de transacciones efectuadas durante el período de facturación. Se seleccionó una muestra aleatoria de 12 cuentas, con los resultados dados a continuación. N° de transacciones Saldo de la cuenta ($)
1 15
2 36
3 40
4 69
5 78
6 84
5 75
7 100
8 175
9 120
11 150
12 198
3.1 Identifique las variables. 3.2 Presente estos datos en un diagrama de dispersión. 3.3 En el supuesto de una relación lineal, use el método de los mínimos cuadrados para
estimar los coeficientes de regresión e interprételos. 3.4 Prediga el saldo de la cuenta, para una cuenta que ha tenido 5 transacciones en el
último periodo de facturación. 3.5 Calcule e interprete el coeficiente de correlación, determinación y no
determinación. 3.6 Calcule e interprete el error estándar de la estimación. 3.7 Encuentre una estimación de intervalo con 95% de confianza del saldo promedio de
una cuenta en la cual hubo cinco transacciones en el último periodo de facturación. 3.8 Con un nivel de significación de 0,05. ¿Hay una relación lineal entre el número de
transacciones y el saldo de la cuenta?
98
4. Una mujer desea abrir una pequeña tienda de ropa. Antes de seleccionar un local, le gustaría poder pronosticar la utilidad (en dólares) que se puede esperar que logre la tienda por metro cuadrado de exhibición y venta. Ella recolecta la siguiente información de otros propietarios de tiendas comparables. Tamaño de la tienda (cientos de m 2) Utilidad (miles de $)
35 20
22 15
27 17
16 9
28 16
12 7
40 22
32 23
Identifique las variables. Presente estos datos en un diagrama de dispersión. En el supuesto de una regresión lineal, utilice el método de mínimos cuadrados para encontrar e interprete los coeficientes de regresión a y b . ¿Cuál es la ecuación de regresión estimada? 4.4 Dibuje en el diagrama de dispersión la ecuación de la recta estimada. 4.5 Calcule e interprete el coeficiente de correlación, determinación y no determinación. 2 4.6 ¿Qué utilidad espera percibir de una tienda de tamaño 1 500m ? 4.7 ¿Qué porcentaje de la variación total en las utilidades se atribuye a diferencias en el tamaño variable de las tiendas? 4.8 Calcule e interprete el error estándar de la estimación. 4.9 Encuentre una estimación de intervalo con 95% de confianza para la utilidad promedio si se tiene una tienda de 1 500m2. 4.10 Con un nivel de significación de 0,05. ¿Hay una relación lineal entre el tamaño de la tienda y la utilidad? 4.1 4.2 4.3
Guías de laboratorio Introducción El software PASW Statistics 18 es un programa que posee las herramientas necesarias para realizar los análisis estadísticos más frecuentes, tanto en un salón de clase como en el ámbito profesional. A través de este programa es posible la descripción y tabulación de datos, la realización de pruebas de hipótesis, el análisis de correlación y regresión entre otros. Para realizar la práctica de laboratorio supongamos que se aplicaron las siguientes encuestas a una muestra aleatoria simple de 16 trabajadores de una pequeña empresa.
ENCUESTAS. I
EDAD: 37 1. M 2. F SEXO: SALARIO EN C$ 3 250 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas 4. Servicios Generales QUE LUGARES VISTAS LOS FINES DE SEMANA: Cines 1. 2. Restaurantes 3. 4. Parques 5. Centros Comerciales
Bares
99
II
III
IV
V
VI
VII
EDAD: 30 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 4 600 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas 4. Servicios Generales QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Bares Cines 1. 2. Restaurantes 3. Centros Comerciales 4.Parques 5. EDAD: 27 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 5 205 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Recursos Humanos Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: 1. Cines 2. Restaurantes 3. Bares Centros Comerciales 4. Parques 5. EDAD: 21 F SEXO: 1. M 2. SALARIO EN C$ 3 000 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas 4. Servicios Generales QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: 1. Cines 2. Restaurantes 3. Bares 4. Parques 5. Centros Comerciales EDAD: 25 1. M 2. F SEXO: SALARIO EN C$ 4 650 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Recursos Humanos Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Bares 1. Cines 2.Restaurantes 3. 4. Parques 5. Centros Comerciales EDAD: 42 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 6 800 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas 4. Servicios Generales QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: 1.Cines 2. Restaurantes 3. Bares Centros Comerciales 4.Parques 5. EDAD: 31 F 1. M 2. SEXO: SALARIO EN C$ 4 350 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Recursos Humanos Servicios Generales 3. Finanzas 4.
100
QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: 1.Cines 2. Restaurantes 3. Bares Centros Comerciales 4. Parques 5. VIII EDAD: 26 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 3 250 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Bares 1.Cines 2. Restaurantes 3. IX
X
4. Parques 5. Centros Comerciales EDAD: 30 F SEXO: 1. M 2. SALARIO EN C$ 5 100 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Recursos Humanos Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Cines 1. 2. Restaurantes 3. 4. Parques 5. Centros Comerciales EDAD: 22 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 3 650 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Cines 1. 2. Restaurantes 3.
4. Parques 5. EDAD: 37 F SEXO: 1. M 2. SALARIO EN C$ 6 300 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE Cines 1. 2. 4. Parques 5. XII EDAD: 51 F SEXO: 1. M 2. SALARIO EN C$ 4 850 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE 1.Cines 2. 4. Parques XIII EDAD: 47 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 3 250 XI
Bares
Bares
Bares
Centros Comerciales Recursos Humanos 4. Servicios Generales SEMANA Restaurantes 3. Centros Comerciales
2.
Recursos Humanos Servicios Generales SEMANA: Restaurantes 3. 5. Centros Comerciales
Bares
101
ÁREA DE TRABAJO: 1.
XIV
XV
XVI
Recursos Humanos Producción 2. Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: 1. Cines 2. Restaurantes 3. Bares 4. Parques 5. Centros Comerciales EDAD: 23 2. F SEXO: 1.M SALARIO EN C$ 2 500 Recursos Humanos ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. Servicios Generales 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE SEMANA: Bares 1. Cines 2.Restaurantes 3. 4. Parques 5. Centros Comerciales
EDAD: 31 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 5 400 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 2. 3. Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE 1. Cines 4. Parques 5. EDAD: 29 SEXO: 1.M 2. F SALARIO EN C$ 4 600 ÁREA DE TRABAJO: 1. Producción 3.Finanzas 4. QUE LUGARES VISITAS LOS FINES DE 1Cines . 2. 4. Parques
Recursos Humanos Servicios Generales SEMANA: 2. Restaurantes 3. Centros Comerciales
2.
Recursos Humanos Servicios Generales SEMANA: Restaurantes 3. 5. Centros Comerciales
Bares
Bares
INTRODUCCIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA ENCUESTA Para entrar en el programa:Inicio, Programas PASW Statistics 18.Use el Icono o mire si en el escritorio está el acceso directo. Al entrar en el programa obtendrá la siguiente vista. Observe que abajo hay dos pestañas
Para definir las variables entre en la segunda pestaña:. Vista de variables Ubíquese en la primera línea, donde va a definir la información de la primera variable Edad.
102
En la primera opción Nombre tiene que dar nombre a su variable, tomando en cuenta lo siguiente: No se puede usar espacio vacío, ni los símbolos siguientes: , . - : ;? ¿ ¡ ! Puede usar letras mayúsculas o minúsculas, no habrá error, pero el programa al final siempre dejará el nombre en minúsculas. Al entrar en la opciónTipo aparece en la parte derecha un cuadrito gris con tres puntos , De clic en este cuadro y aparece lo siguiente: Vamos a usar el tipo de variable numérica. Aunque la variable sea valores cualitativa, usaremos porque los que también ella puede tomarnumérica vamos a codificar con 1, 2,…, si los valores de variable no tienen decimales en el lugar de decimal escriba 0. Si es una variable cuyos valores quiere denotar con letras, use (Cadena).
Coma: Se usa como separador de miles y como separador de decimales punto. Punto: Se usa como separador de miles y como separador de decimales coma. Las siguientes celdas son indica la cantidad de caracteres que se necesitarán para definir los valores de la variable y números decimales que ya lo habíamos escrito en el cuadro anterior. (Vea cuadro anterior en la parte derecha.) Etiqueta: en esta casilla se indica la etiqueta de variable, a diferencia del nombre, se puede poner cualquier carácter y la cantidad de los caracteres no es restringida. En el caso de la variable edad etiqueta y nombre serán iguales. La siguiente columna es Valores. Si das clic en el cuadrito gris aparecerá el siguiente cuadro de diálogo, la variable edad es cuantitativa no vamos a poner nada en éste, lo usaremos en el caso de las variables cualitativas. Para introducir la segunda variable Sexo usamos las mismas opciones, obtenemos lo siguiente:
En el caso de variables cualitativas, en opción Valores debemos definir los valores de la variable. Observe en el siguiente cuadro, que en Valor escribimos 1 (es el código que asignaremos al sexo masculino) y en la parte Etiqueta de valor
103
escribimos Masculino. Posteriormente dar Añadir. De igual manera se digita el valor 2 con la etiqueta de Femenino. Si desea corregir algo en los valores introducidos, seleccione el valor, corrija y seleccione opción Cambiar. Cuando termine de introducir todos los valores darAceptar. De la misma manera introduzca las variables: Salario y Área de Trabajo.
Insertar nueva variable Es recomendable tener como variable: Número de la encuesta Ubíquese en la primera columna y Seleccione en el Menú: Edición, Insertar variable. Se agregará una nueva columna. Posteriormente demos como nombre de la variable número y en etiqueta Número de encuesta. Así antes de introducir los resultados de la encuesta ponemos número a la misma. La pregunta ¿Qué lugares visitas los fines de semana? tiene múltiples opciones de selección. En este caso en la base de datos se introduce tantas variables cuantas opciones hay: Cines Restaurantes Bares Parques Centros Comerciales. En valores 0 representa No y 1 representa Si Al final obtenemos.
En seguida seleccionamos la pestaña Vista de datos y empezamos a introducir los resultados de la encuesta. En la primera línea escribimos los resultados de la primera encuesta para cada una de las variables
104
Observe lo siguiente: cuando el icono Etiqueta de valor está desactivado aparecen valores de las variables y si está activado aparecen las etiquetas.
105
Al terminar de introducir los resultados de las encuestas obtenemos la siguiente vista:
PROCESAMIENTO DE DATOS: CUADROS Y GRÁFICOS Para obtener cuadros de frecuencia de una variable y los gráficos realizamos los siguientes pasos: Analizar, Estadísticos
descriptivos, Frecuencias. Aparece el cuadro de diálogo: Seleccione en la parte izquierda la variable Sexo y dar clic en la flecha del centro, arrastre esta variable a la derecha. Después entre en la opción Gráficos… seleccione Gráfico de barra, Porcentajes y dar clic en Continuar,
Aceptar. Obtenemos la tabla de frecuencia y el gráfico de la variable. Puede modificar los resultados dando doble clic derecho sobre ésta. La tabla puede copiar como objeto y pasar a WORD. Sexo de los trabajadores. Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido Válidos
Masculino Femenino Total
7 9 16
43.8 56.3 100.0
43.8 56.3 100.0
Porcentaje acumulado 43.8 100.0
El gráfico que resulta es el siguiente: 106
Para modificar el gráfico dar doble clic sobre éste, se abre la ventana Editor de gráficos. Si desea cambiar las barras (su color, dimensión,…) tiene que dar doble clic sobre las barras y se abre siguiente cuadro: En opción Relleno y borde puede cambiar colores. En Profundidad y Ángulo puede elegir gráfico en tres dimensiones. Si desea solamente cambiar los colores de las barras, tiene que seleccionar las barras una por una y elegir el color en la parte señalada con flecha:
Al seleccionar todas las barras juntas y dar clic derecho aparece el cuadro, donde pueden seleccionar Mostrar etiquetas de datos. También puede Transponer el Gráfico. Al terminar el uso de Editor de gráficos debe cerrar esta ventana. Después de haber modificado el gráfico el resultado es:
Para procesar la variableÁrea de trabajo, realice los siguientes pasos, solo que en opción
Gráficos seleccione Gráfico de sectores con Porcentajes. 107
La modificación de este gráfico es similar al anterior. Antes de modificar Después de modificar
PROCESAMIENTO DE VARIABLE CUANTITATIVA Vamos a procesar la variable Edad. Los pasos son los mismos
Analizar, Estadísticos descriptivos, Frecuencias. Pero, además, entramos en la opción Estadísticos… y activamos todas las opciones que aparecen en la figura siguiente. Después dar Continuar y en la opción Gráficos… activamos el diagrama de barras de porcentaje. Aceptar. Como resultado se obtiene la tabla de distribución de frecuencia, gráficos (los cuales ya sabe como modificar), además aparece el cuadro Estadísticos. En este cuadro están todas las medidas que usted solicitó. Si observa la tabla de frecuencia y el gráfico, puede ver que presentar de esta manera en el informe no es muy adecuado, lo mejor es agrupar estos datos.
Estadísticos Edad de los trabajadores.
Edades
Válidos
Porcentaje acumulado 6,3
Frecuencia 1
22
1
6,3
6,3
12,5
23
1
6,3
6,3
18,8
25
1
6,3
6,3
25,0
26
1
6,3
6,3
31,3
27
1
6,3
6,3
37,5
29
1
6,3
6,3
43,8
30
2
12,5
12,5
31
2
12,5
12,5
37
2
12,5
12,5
42
1
6,3
6,3
87,5
47
1
6,3
6,3
93,8
6,3
100,0
51
Porcentaje 6,3
Porcentaje válido 6,3
21
1
Total
6,3
16
100,0
100,0
Edades
12
56,3 68,8 81,3
N
Válidos Perdidos
Media Mediana Moda Desv. típ. Varianza Rango Mínimo Máximo Percentiles 70
16 0 31.81 30.00 30a 8.818 77.763 30 21 51 36.40
a. Existen varias modas. Se mostrará
10
el menor de los valores.
8
je a t n e c r 6 o P
4
2
0 21
22
23
25
26
27
29
Edades
30
31
37
42
47
51
Para esto primero diseñamos los intervalos de clase manualmente en una hoja de 20-24 papel. Realizamos los siguientes cálculos: 25-29 R= 30 (vea la tabla Estadísticos); 30-34 El ancho calculado nos dio 6, pero podemos variar un poco, dejemos el ancho 5 y 35-39 empezamos con el dato 20 (dato mínimo es 21) para que los intervalos de clase 40-44 quede bonitos. 45-49 50-54 Vamos a recodificar los datos de las edades con estos intervalos de clase. Realice los siguientes pasos: Transformar, Recodificar en distintas Seleccione la variable que se desea recodificarvariables… y pase a la derecha, en el
cuadro de Nombre escribe el nuevo nombre de la variable por ejemplo edad_ag (edades agrupadas), en Etiqueta escriba Edades de los trabajadores, pulse Cambiar.
Posteriormente entre en opciónValores antiguos y nuevos… Obtiene nuevo cuadro de diálogo. En la parte izquierda active la posición estosderecha espaciosenlosopción límites delubique primer1 Valor intervaloRango 20 -24ubique y en laenparte (es el primer intervalo de clase), después deAñadir. Así sucesivamente se van introduciendo todos los intervalos de clase. Continuar y Aceptar. En la base de datos se agregará una nueva variable, tiene que dar etiquetas a los valores para esta variable. Al final la base de datos quedará así: Después de esto puede, crear la tabla de frecuencia y el gráfico de los datos agrupados de la edad. Edades de los alumnos
Valid
Frequency 3
25-29
4
2 5.0
25.0
43.8
30-34
4
2 5.0
25.0
68.8
35-39
2
1 2.5
12.5
40-44
1
6.3
6.3
45-49
1
Percent 1 8.8
6.3
Valid Percent 18.8
Cumulative Percent 18.8
20-24
81.3 87.5
6.3
93.8
50-54
1
6.3
6.3
100.0
Total
16
100.0
100.0
108
OTRA OPCIÓN PARA RECODIFICAR VARIABLES NUMÉRICAS Vamos a recodificar la variable Edad Entrar en Opción: Transformar, Agrupación visual.
En el cuadro de diálogo que aparece, seleccione la variable Edad y dando clic en la flecha, pase esta variable a la parte derecha. Posteriormente dar clic enContinuar. En el nuevo cuadro de diálogo, en la parte de Nombre de Variable agrupada se puede repetir el mismo nombre de la variable que se desea a recodificar, agregando una letra A, de Agrupada (EdadA). Recuerde que no se puede tener dos variables con el mismo nombre. En el cuadro se muestra información de mínimo y máximo valores que toma la variable. (21 y 51). Podemos agrupar la variable edad por décadas, de 20 a 29, de 30 a 39,….
A continuación pulse opción Crear puntos de corte. En esta opción aparecen tres espacios: Posición del primer punto de corte, Número de puntos de corte, Anchura.
109
En el espacio de Posición del primer punto de corte escribe el valor anterior al límite inferior de su primera clase. La primera clase empieza en 20, entoncesescribe 19. En el espacio de Anchura escribe 10, ya que decidimos que las clases van a tener el ancho 10. A continuación solamente dé clic en espacio de Número de puntos de corte, el sistema automáticamente ubica el valor correspondiente. Después pulseAplicar.
En el siguiente cuadro pulseCrear etiquetas y Aceptar. El sistema muestra un cuadro, anunciando que se creará una nueva variable en la base de datos, pulsa Aceptar.
Pueden revisar que en su base de datos aparece una variable más, la edad recodificada, observan que esta variable tiene medida Ordinal y todas sus etiquetas. Pueden hacer una tabla de frecuencia y un gráfico con esta variable agrupada, recuerde que los estadísticos deben ser calculados con la variable srcinal.
110
PROCESAMIENTO DE VARIABLES CON OPCIÓN MÚLTIPLE La variable, ¿Qué lugares visitas los fines de semana? Tiene varias opciones de selección. Para determinar el gráfico de esta variable realizamos los siguientes pasos: Gráficos Cuadros de diálogos antiguos
111
Barras…
Seleccione Gráfico de barras, Simple y en la opción Los datos del .
gráfico son Resúmenes para distintas variables. Pulsar. Definir En el cuadro de diálogo que se presentaseleccionar las variables: cine, restaurante, bares, parques, centros comerciales, y pasar a la derecha. Después entrar en opciónCambiar estadístico. En esta ventana active la opción Porcentaje por encima y en Valor ubique el valor mínimo que tenía estas variables (“0“ que corresponde a la respuesta “No”). Pulse Continuar.
Entre la opción y escribe la pregunta que se planteó en la encuesta:¿Qué lugares visitasenlos fines Títulos de semana? Después de Continuar y Aceptar. Al modificar el gráfico se obtiene lo siguiente:
TABLAS DE CONTINGENCIA Para ver las opciones de este procedimiento seleccione del menú: Analizar, Estadísticos, Descriptivos, Tablas de Contingencia. Cuando se lleva a cabo tal acción, se abre una ventana como la de la figura siguiente. Aparece el cuadro de diálogo. Como se ve, a la izquierda aparece la típica caja con elconjunto de las variables presentes en el fichero activo. De entre ellas se elegirán las que van por filas (se colocarán en la caja Filas), las que irán por columnas (se colocarán en contingencia la caja Columnas El procedimiento obtendrá una tabla de para),cada combinación de dos variables, una de filas y otra de columnas Si escogemos las variables sexo (fila) y lugar de trabajo (columna).
Pinchamos casillas y seleccionamos Porcentajes, Totales. Dar Continuar. Aceptar.
Esperamos el resultado, Tabla de contingencia Sexo de los trabajadores. * Área de trabajo.
Sexo de los Masculino trabajadores. Femenino Total
Recuento % del total Recuento % del total Recuento % del total
Área de trabajo. Recursos Servicios Producción Humanos Finanzas generales Total 3 1 1 2 7 18.8% 6.3% 6.3% 12.5% 43.8% 5 1 2 1 9 31.3% 6.3% 12.5% 6.3% 56.3% 8 2 3 3 16 50.0% 12.5% 18.8% 18.8% 100.0%
112
Ejercicio de aplicación Se obtuvieron los siguientes datos a partir de una encuesta que se realizó en una Empresa en la ciudad de Managua. (30 casos) 1. Defina las Variables V1: Edad ________ 2. Masculino. V2: Sexo: 1. Femenino V3: Estado Civil: 1 Casado (a) 2 Divorciado(a) 3 Soltero(a) 4 Otros
V4:
2. 3. 4. 5. 6.
Nivel Académico: 1 Licenciado(a) 2 Ingeniero(a) 3 Contador(a) 4 Mecánico 5 Conductor 6 Otros. V5: Salario devengado: _______ (en C$) V6: Años de trabajar en la Empresa: _______ V7: Está de acuerdo que se implante la dolarización en nuestro país. 1 Sí 2 No. Recodifique la variable V1: Edad. (Presente un histograma) 1. 0 - 20 años 2. 21 - 30 años 3. 31 - 40 años 4. 41 - 60 años. Aplique estadísticos a V1, V5, V6. Gráficos de Histograma, Aplique frecuencias a V2, V3, V4, V7. Gráficos de Barras y Diagrama circular. Aplique tabla de contingencia a las variables V2 y V4. Recuerda que los resultados obtenidos deben ser analizados e interpretados.
Matriz de Datos
Casos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
V1 21 50 22 40 28 29 25 20 31 25 -5 42 51 26 38 36 43
V2 2 2 1 1 -5 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
V3 3 2 1 1 3 3 3 3 1 -5 1 4 4 1 2 1 1
V4 1 -5 2 1 6 3 5 6 5 4 6 1 -5 2 6 2 3
V5 12 000 15 500 13 500 18 000 15 000 20 000 17 000 22 000 32 000 28 500 -5 27 500 10 500 36 000 34 500 35 000 23 800
V6 1 20 1 15 4 -5 2 1 2 1 10 20 27 4 8 10 24
V7 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
113
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
48 33 38 53 44 49 30 29 37 -5
1 2 2 2 1 2 1 1 2 2
2 -5 4 4 1 2 4 1 1 2
6 1 5 4 3 5 6 1 2 3
44 200 36 200 27 000 41 500 32 500 43 000 25 000 15 700 18 000 16 800
19 7 15 30 15 -5 8 5 12 10
-5 1 1 2 2 1 2 2 2 1
28 29 30
43 50 23
2 2 1
4 4 3
4 3 6
15 000 30 000 32 000
12 18 6
-5 1 2
114
Inferencia Estadística
Crear base de datos con la siguiente matriz Defina las variables Sexo 1: Masculino Tiene teléfono 1: Si 2: Femenino 2: No Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
V1 Sexo
V2 Edad
2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1
28 21 40 22 24 41 25 30 19 30 21 25 26 28 21 22 20 30 35 25 20 24 22 30 22
V3 Pago en energía (C$) 1250 920 680 450 360 589 1270 1590 1260 490 -5 950 620 700 552 468 1220 580 450 1256 1128 -5 830 -5 525
V4 Pago de agua (C$) 450 320 350 -5 350 430 500 290 550 360 130 220 351 456 452 -5 554 350 260 -5 620 260 230 190 520
Tiene casa propia 1: Si 2: No Teléfono
V5
V6 Casa propia
1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 -5 1 1 2 1 2 2
2 2 1 1 1 -5 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1
Con el uso de PASW Statistics 18 podemos obtener Intervalos de Confianza que por defecto establece una confiabilidad del 95%, puede ser modificado por el usuario. Aplique el siguiente procedimiento. Analizar, Estadísticos descriptivos, Explorar…, Clic Arrastre la variable cuantitativa de interés a Lista de Dependientes... Por ejemplo: Pago de Energía. Pinche Estadísticos… Descriptivos, Continuar, Aceptar. Espere resultados.
Interprete este intervalo de confianza Descriptivos
Estadístico Energía (en C$)
Media Intervalo de confianza para la media al 95% Media recortada al 5%
Límite inferior Límite superior
76.552
983.65 808.89 690.00
Varianza
128925.593
Desv. típ.
359.062
Mínimo
360
Máximo
1590
Rango
1230
Asimetría Curtosis
Error típ.
665.26
Mediana
Amplitud interc uartil
…
824.45
711 .559 -.976
.491 .953
115
Prueba de hipótesis para una muestra Suponga que se desea probar la hipótesis con un nivel de significación de 0,05 que el pago promedio en energía (en C$) en el mes de junio C$1 000. Las hipótesis nula y alternativa son: respectivamente. Siga el procedimiento. Analizar, Compara medias, Prueba T para una m uestra… , Dar clic.
Arrastre la variable Energía a Variables para contrastar. Digite 1 000 en Valor de prueba. (Prueba T para una muestra)
Aceptar. Espere los resultados. ¿A qué conclusión llega?
Estadísticos para una muestra
N Energía (en C$)
22
Media 824.45
Desviación típ. 359.062
Error típ. de la media 76.552
Prueba para una muestra
Valor de prueba = 1000
Energía (en C$)
t -2.293
gl 21
Sig. (bilateral) .032
,032
Diferencia de medias -175.545
95% Intervalo de confianza para la diferencia Inferior Superior -334.74 -16.35
El valor del estadístico es -2,293 y la significancia es 0,032, este valor es menor o igual a α = 0,05, por lo tanto se rechazar , es decir existe suficiente evidencia a un nivel de significación de 0,05 que el pago promedio en energía es diferente de C$1 000 en el mes de junio.
Prueba de independencia
Procedimiento. Analizar, Estadísticos descriptivos, Tablas de contingencia…, Dar clic.
116
Arrastre la variable Sexo a Filas y Teléfono a Columnas. (Tablas de contingencia).
Pinche Estadísticos y marque Chi-cuadrado. (Tablas de contingencia: Estadísticos).
Continuar. Aceptar. Espere resultados.
117
Pruebas de chi-cuadrado
Valor .235a1
Chi-cuadrado de Pearson
Sig. asintótica (bilateral) .628
gl
Corrección por continuidad
.005
1
.945
Razón de verosimilitudes
.236
1
.627
.225
1
.635
Sig. exacta (bilateral)
Estadístico exacto de Fisher Asociación lineal por lineal N de casos válidos
.697
Sig. exacta (unilateral)
.473
24
a. 1 casillas (25.0%) tienen una frecuencia esperada inferior a 5. La frecuencia mínima esperada es 4.58. b. Calculado sólo para una tabla de 2x2.
Realice el correspondiente análisis …
Regresión y Correlación Lineal Simple En este laboratorio trabajamos con dos variables, como medio para observar la relación existente entre ellas. Se discutirán dos técnicas: REGRESIÓN y CORRELACION. ¿Cuál es la relación entre la cantidad gastada por semana en alimentos y el tamaño de una familia? ¿Las familias grandes gastan más mensualmente? Una muestra de 10 familias en el área de una ciudad reveló los siguientes tamaños de familia e importes en dinero gastados en alimentos, en cierto periodo.
Tamaño de la familia Cantidad gastada en alimentos ($)
3 99
6 5 6 6 3 104 151 129 142 111
Entre al programa PASW Statistics 18. Definir las variables en estudio y crear el archivo.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Entre a Gráficos, Cuadros de
diálogo antiguos, Dispersión/Puntos… Haga clic en Dispersión/Puntos…
Aparece el cuadro.
Dar clic en Dispersión Simple. Pulse Define. Espere.
Nos aparece el nuevo cuadro de diálogo Diagrama de Dispersión Simple en el que entramos en el Eje Y:Cantidad gastada en el Eje X: Tamaño En Títulos escriba alimentos ($) y en de familia. algún comentario relacionado con las variables en estudio. Pulse Aceptar. Deje el resto de opciones por defecto, espere y obtiene el gráfico deseado.
4 74
4 91
5 119
3 91
118
CURVA ESTIMADA DE REGRESIÓN
Entre a Analizar, Regresión, Estimación Curvilínea…
Haga en Estimación En el clic cuadro de diálogo curvilínea Estimación Curvilínea, ingrese las variables, en Dependientes: Cantidad gastada en alimentos ($)y en Independiente:Tamaño de familia.(Seleccione Modelo Lineal).
Aceptar.
El resultado es,
ECUACIÓN DE REGRESIÓN Entre a Analizar, Regresión, Lineales…
Hacer clic en Lineales…
119
Obtiene el cuadro de diálogo Regresión Lineal.
120
En Dependiente Introduzca la variable:Cantidad gastada en alimentos ($) y en Independientes la variable: Tamaño de familia. (Seleccione Estadísticos y en el nuevo cuadro de diálogo: Regresión Lineal (Estadísticos) escoja Estimaciones. (Deje el resto de opciones por defecto y ejecute el procedimiento para obtener el resultado deseado).
Continuar. Aceptar.
Con este resultado se obtienen los coeficientes de regresión, Coeficientesa Modelo 1
Coeficientes no estandarizados B Error típ. 60.359 25.468 11.276 5.467
(Constante) x: Tamaño de la familia
Coeficientes tipificados Beta .589
t 2.370 2.062
Sig. .045 .073
a. Variable dependiente: y: Cantidad gastada en alimentos ($)
Escriba la ecuación de regresión e interprete el coeficiente de regresión1.b …
También se obtiene la tabla. Resumen del modelo Modelo dimensión
R a .589 .347
R cuadrado .266
R cuadrado corregida
Error típ. de la estimación 20.81855
a. Variables predictoras: (Constante), x: Tamaño de la familia Interprete los coeficientes de determinación, no determinación y correlación para este modelo. Además el error estándar de estimación. …
CORRELACION BIVARIADA Entre a Analizar, Correlaciones, Bivariadas… y obtiene el cuadro de diálogo: Correlaciones Bivariadas.
121
Hacer clic en Bivariadas… y obtenemos.
Arrastramos a la lista de variables destinos Cantidad gastada en alimentosy Tamaño de familia) del archivo y dejamos todas las opciones defecto. el procedimiento para Aceptar por y ejecutamos obtenemos lo buscado. Correlaciones x: Tamaño de la familia
y: Cantidad gastada en alimentos ($)
Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N
x: Tamaño de y: Cantidad gastada la familia en alimentos ($) 1 .589 10 .589
.073 10 1
.073 10
10
INTERVALO DE CONFIANZA PARA β1 Entre a Analizar, Regresión, Lineales… Haga clic en Lineales…
Aparece el cuadro de diálogo Regresión Lineal
Traslade las variables en estudio a sus respectivas celdas.
Pinche estadísticos
Seleccione Intervalos de Confianza. 122
Continuar. Aceptar. El resultado es, Coeficientesa Modelo 1
(Constante) x: Tamaño de la familia
Intervalo de confianza de 95.0% para B Límite inferior Límite superior 1.629 119.088 -1.332 23.883
a. Variable dependiente: y: Cantidad gastada en alimentos ($) Interprete este intervalo de confianza. …
Referencias
Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H., y Myers, Sharon L. (1998). Probabilidad y estadística para Ingenieros. (6ª. ed.). México: PrenticeHall. Johnson, R. (1988). Estadística Elemental. (4ª. ed.). México: Iberoamérica. Mason, R., y Lind, D. (1998).Estadística para Administración y Economía. (8ª. ed.). México: Alfaomega. Newbold, P., Carlson, W., y Thorne, B. (2008).Estadística para Administración y Economía. (6ª. ed.). Madrid: Pearson Educación. Conde, Carlos. (2010).Estadística Descriptiva. Recuperado el 24 de junio de 2012 de http://www.es.crribd.ci/descriptiva/.pdf. Navarro, Alfredo. (2010).Probabilidades. Recuperado el 2 de julio de 2012 de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm Arroyo Cervantes, G. (2008).Inferencia Estadística. Recuperado el 12 de agosto de 2012 de http://es.scribd.com/doc/43058695/PRUEBA-DE-HIPOTESIS . Becerra Espinoza, J.M. (2009).Regresión y Correlación Lineal simple. Recuperado el 18 de agosto de 2012, de http://www.eumed.net/cursecon/medir/index.htm