FACULDADE PITÁGORAS – CAMPUS BETIM ENGENHARIA MECÂNICA
DINÂMICA
PROF.: CARLOS NETO Adaptado do material de ROGÉRIO GONDIM COSTA
SUMÁRIO 1- Introdução.................................. Introdução..................................................... ......................................... .......................................... ..................................3 ..............3 2- Vetores................................. Vetores...................................................... ........................................ ......................................................... .........................................5 ...5 3- Cinemática do movimento plano dos corpos rígidos................... rí gidos..........................................12 .......................12 3.1- Movimento de Translação...................................... Translação...................................................................... ......................................12 ......12 3.2- Movimento de Rotação em torno de um eixo.............................................13 eixo.............................................13 Exercícios........................................ Exercícios............................................................ ......................................................... .................................................14 ............14 3.3- Movimento Plano Geral.......................................... Geral.......................................................................... .....................................16 .....16 Exercícios........................................ Exercícios............................................................ ......................................................... .................................................17 ............17 4- Vibrações Mecânicas................................... Mecânicas........................................................ .......................................... ...................................20 ..............20 4.1- Introdução....................................... Introdução.......................................................... ...................................... ..........................................20 .......................20 4.2- Conceitos Básicos....................................... Básicos............................................................. ......................................... ............................22 .........22 4.3- Movimento Harmônico......................................... Harmônico............................................................ .......................................25 ....................25 4.4- Vibração Livre não Amortecida................................... Amortecida........................................................ .................................28 ............28 4.5- Elemento Mola................................................ Mola..................................................................... .......................................... ........................31 ...31 4.6- Pêndulo Simples.............................................. Simples................................................................... .............................................36 ........................36
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SUMÁRIO 1- Introdução.................................. Introdução..................................................... ......................................... .......................................... ..................................3 ..............3 2- Vetores................................. Vetores...................................................... ........................................ ......................................................... .........................................5 ...5 3- Cinemática do movimento plano dos corpos rígidos................... rí gidos..........................................12 .......................12 3.1- Movimento de Translação...................................... Translação...................................................................... ......................................12 ......12 3.2- Movimento de Rotação em torno de um eixo.............................................13 eixo.............................................13 Exercícios........................................ Exercícios............................................................ ......................................................... .................................................14 ............14 3.3- Movimento Plano Geral.......................................... Geral.......................................................................... .....................................16 .....16 Exercícios........................................ Exercícios............................................................ ......................................................... .................................................17 ............17 4- Vibrações Mecânicas................................... Mecânicas........................................................ .......................................... ...................................20 ..............20 4.1- Introdução....................................... Introdução.......................................................... ...................................... ..........................................20 .......................20 4.2- Conceitos Básicos....................................... Básicos............................................................. ......................................... ............................22 .........22 4.3- Movimento Harmônico......................................... Harmônico............................................................ .......................................25 ....................25 4.4- Vibração Livre não Amortecida................................... Amortecida........................................................ .................................28 ............28 4.5- Elemento Mola................................................ Mola..................................................................... .......................................... ........................31 ...31 4.6- Pêndulo Simples.............................................. Simples................................................................... .............................................36 ........................36
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1- INTRODUÇÃO
MECÂNICA
Ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças.
Estática
Dinâmica
Corpo em equilíbrio: Repouso ou movendo em velocidade constante.
Trata do movimento acelerado
Cinemática
Trata somente dos movimentos dos corpos, independentemente independentemente
de um corpo.
Cinética
Análise das forças que causam o movimento.
das forças que os produzem.
Partícula: um corpo de dimensões desprezíveis. Uma partícula representa um elemento infinitesimal de um corpo.
Corpo rígido: rígido: aquele que não se deforma. As deformações que realmente ocorrem são pequenas e não alteram sensivelmente as condições de equilíbrio ou de movimento do sistema.
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Sistema Internacional de unidades:
Prefixos:
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2- VETORES
Grandezas escalares: possui apenas intensidade. Ex: massa, potência, temperatura, tempo, volume, trabalho.
Grandeza Vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ex: velocidade, aceleração, força, movimento cinético, quantidade de movimento, torque.
Vetor  2.1- Operações Vetoriais - Multiplicação e divisão escalares:
- Adição de vetores – Lei do paralelogramo:
- Adição de vetores colineares:
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- Subtração de vetores: A – B = R’
2.2 – Trigonometria: - Triângulo retângulo: a2 = b2 + c2 sen α = c/a cos α = b/a tg α = c/b
- Triângulos não retângulos:
Lei dos cossenos: Lei dos senos:
√
2.3- Decomposição de vetores: Considere o vetor Â:
A X = A cos α
AY = A sen α
O módulo de  em função de suas componentes é (Pitágoras):
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O ângulo α que o vetor faz com o eixo x é:
( ) ( ) ( ) Seja o vetor A em espaço tridimensional, pode ser decomposto em suas componentes A X , AY e A Z ao longo dos três eixos espaciais.
Vetor A:
Módulo do vetor A:
A = A x + Ay + A z
2.4- Vetores Unitários: Um vetor é unitário quando seu módulo é igual a um. Os vetores cartesianos unitários i, j e k, são usados para designar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente. O vetor unitário é representado por λ.
̂̂ [[]] [̂ ̂ ] 7
Um vetor pode ser representado a partir dos vetores unitários. Seja o vetor A = A x + Ay + Az, pode-se escrever A na forma de um vetor cartesiano como: A = A. λ A = A x i + Ay j + Azk
| | O vetor representado desta maneira, separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial.
2.5- Vetor distância ou posição:
O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação ao outro.
2.5.1 – Vetor posição de um ponto em relação à origem:
r = xi + y j + zk
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2.5.2 – Vetor posição entre dois pontos fora da origem:
r AB = r B - r A
r AB = ( x B – x A ) i + (y B – y A ) j + (zB – z A ) k
- Exemplo 1 - A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B; determine seu comprimento. y
x
z
2.6- Vetor definido por sua intensidade e por dois pontos em sua linha de ação:
M (x1, y1, z1) Seja o vetor MN ligando M e N e mesmo sentido de F.
N (x2, y2, z2) MN = dxi + dy j + dzk 9
O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F e de MN, pode ser obtido dividindo-se o vetor MN por sua intensidade MN. A intensidade MN (módulo de MN) será a distância entre M e N (d).
Como F = F. ,
Exemplo 2 - Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é 2500N. Determine o vetor Força.
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2.7- Produto Vetorial
A x B = (Axi + Ay j + Azk) x (Bxi + By j + Bzk)
A X B =
- Produto de vetores unitários:
ixi=0
jxi=-k
kxi=j
ixj=k
jxj=0
kxj=-i
ixk=-j
jxk=i
kxk=0
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3- CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS O movimento plano de um corpo ocorre quando todas as partículas de um corpo rígido se deslocam ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo. Há três tipos de movimento plano de um corpo rígido: o de translação, o de rotação em torno de um eixo fixo e o movimento plano geral. 3.1- Movimento de Translação: Este tipo de movimento ocorre quando uma linha sobre o corpo permanece paralela à sua orientação original durante o movimento. Quando as trajetórias do movimento para quaisquer dois pontos sobre o corpo são linhas paralelas, o movimento é chamado de translação retilínea (fig. 3.1a). Se as trajetórias do movimento são ao longo de linhas curvas equidistantes, o movimento é chamado de translação curvilínea (fig. 3.1b).
Figura 3.1 Considere um corpo rígido que é submetido a uma translação retilínea ou curvilínea no plano x-y (fig. 3.2). A e B são dois pontos quaisquer do corpo rígido, definidos em relação a um sistema de referência fixo x ,y . Os vetores rA e rB são os vetores posição de A e B, e rB/A é o vetor que une A e B, chamado de vetor posição relativa (r de B em relação a A).
Figura 3.2 12
- Posição: rB = rA + rB/A - Velocidade: vB = vA - Aceleração: aB = aA
3.2- Movimento de Rotação em torno de um eixo:
Vetor velocidade angular:
ω = ω . λ
[rad/s]
- Direção: eixo de rotação; - Sentido: regra da mão direita.
Vetor aceleração angular:
α = α . λ
[rad/s2]
Vetor velocidade de um ponto:
v = ω . r
[m/s]
onde r é o vetor distância do ponto (P) ao eixo de rotação. - sentido de r : eixo de rotação ao ponto (P).
Vetor aceleração de um ponto:
a = at + an a = α . r + ω . v
[m/s2]
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EXERCÍCIOS 1- O conjunto mostrado na figura 1 consiste em duas barras e uma placa retangular BCDE soldadas entre si. O conjunto gira em torno do eixo AB com uma velocidade constante de 10 rad/s. Sabendo que a rotação é no sentido anti-horário quando vista de B, determine a velocidade e aceleração do ponto E. Figura 1
a = 0,225 m b = 0,500 m
c = 0,300 m
a
b
c
2- Determine a velocidade e aceleração do ponto C da figura 1 admitindo que a velocidade angular seja 10 rad/s e decrescendo a uma taxa de 20 rad/s 2. 3- A barra dobrada ABCDE da figura 2 gira em torno de uma linha que liga os pontos A e E com velocidade angular constante de 12 rad/s. Sabendo que a rotação é no sentido horário a partir de E, determine a velocidade e aceleração do ponto C. Figura 2
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4- A barra da figura 2 continua girando com velocidade angular de 12 rad/s e crescendo a uma taxa de 60 rad/s2. Determine a velocidade e aceleração do ponto B. 5- A peça da figura 3 gira em torno de AB a uma velocidade angular constante de 5 rad/s. Sabendo que a velocidade do vértice E é para baixo, determinar a velocidade e a aceleração do vértice D.
Figura 3
a = 0,203m
b = 0,152m c = 0,178m a
b
c
6- Determinar a velocidade e aceleração do vértice C da figura 3 quando a velocidade angular é de 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s 2.
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3.3- Movimento Plano Geral: Um corpo submetido ao movimento plano geral sofre translação e rotação simultâneas.
-
Análise do movimento relativo: velocidade
Posição: rB = rA+ rB/A Velocidade: vB = vA + vB/A vB = vA + ω.rB/A onde: vB: velocidade de B vA: velocidade do ponto base A ω: velocidade angular do corpo rB/A: vetor posição direcionado de A para B
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EXERCÍCIOS 7- A barra de ligação mostrada na figura abaixo é guiada por dois blocos em A e B, que se deslocam nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é 2 m/s para baixo, determine a velocidade 0 de B no instante θ = 45 .
8- O anel C na figura abaixo está se deslocando para baixo com uma velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular de CB neste instante.
9- Se o rolete A se desloca para a direita com uma velocidade constante v A = 3 m/s, determine a 0
velocidade angular da barra de ligação e a velocidade do rolete B no instante θ = 30 .
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10- No instante mostrado na figura, o eixo e a placa giram com velocidade angular constante de 14 rad/s, em torno do eixo OA no sentido anti-horário visto de A. a. Determine a velocidade e aceleração do ponto C. b. Agora o sistema é acelerado com aceleração angular de 7 rad/s 2. Determine a velocidade de aceleração do ponto D. y
z
x
11- A barra AB de ligação mostrada na figura tem uma velocidade angular no sentido horário de 30 rad/s quando θ = 60o. Determine as velocidades angulares da barra BC e da roda nesse instante.
12- Se a barra AB tem uma velocidade angular de 4 rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no instante mostrado na figura.
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13- Se a manivela OA gira com uma velocidade angular de 12 rad/s, determine a velocidade do pistão B e a velocidade angular da barra AB no instante mostrado.
14- Se a barra AB desliza ao longo da ranhura horizontal com uma velocidade de 18 m/s, determine a velocidade angular da barra de ligação BC no instante mostrado na figura.
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4- VIBRAÇÕES MECÂNICAS 4.1- Introdução O interesse sobre vibrações surgiu quando os primeiros instrumentos musicais foram descobertos, provavelmente de sopro ou tambores. Pitágoras (582-507 AC) foi considerado a primeira pessoa a estudar a música com princípios básicos do som. O primeiro sismógrafo foi inventado pelo astrônomo e matemático chinês Zhang Heng em 132 DC, utilizando princípios elementares de vibrações nos mecanismos para detecção e registro de tremores, dentro de certa precisão. Principalmente a partir da revolução industrial, onde o homem começou a construir e a utilizar as máquinas de maneira mais intensa para a geração de trabalho útil, começou também, por parte dos técnicos, a busca do entendimento do fenômeno da vibração bem como das formas de controle. O efeito devastador em máquinas e estruturas causado pela ressonância obrigou o homem a melhorar cada vez mais o entendimento do assunto em vibrações. Exemplo curioso ocorreu mais recentemente, na área civil, em Abril de 1940 nos Estados Unidos. A Ponte de Takoma Narrows foi excitada por ventos de 40 milhas/hora (64 km/h). Inicialmente, a ponte começou a vibrar no modo transversal e, mais tarde, no modo torcional culminando, finalmente, com o seu colapso (Figura 3.1).
Fig. 3.1 – Colapso da ponte de Takoma Narrows. Com o passar do tempo, a atividade de isolamento da vibração bem como o desenvolvimento de técnicas de redução da vibração começaram a fazer parte do projeto das máquinas nos mais variados tipos de atividades. Consequentemente cresceu também a necessidade de se realizar medições precisas, além de analisá-las de forma correta. Se no passado apenas o ouvido e o tato experientes e bem treinados dos engenheiros eram suficientes para diagnosticar os problemas, atualmente são necessários instrumentos, sensores e pessoal altamente qualificado para se obter a real dimensão da questão das vibrações mecânicas. 20
A análise vibracional apresenta um lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de vibração excessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em projetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo. Atualmente, nas atividades cotidianas, seja no trabalho ou no lazer, o ser humano convive com fontes geradoras de vibração. Os efeitos produzidos pelas vibrações, que podem ser tanto positivo quanto negativo, estão exemplificados na figura abaixo:
Fig. 3.2 – Exemplos de vibrações
O papel do Engenheiro é criar, controlar e/ou eliminar as fontes de vibração.
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4.2- Conceitos Básicos Vibração é definida por movimento oscilatório de um objeto em relação à sua posição de equilíbrio. É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. Ex.: Pêndulo, Corda de Violão, Diapasão, etc. Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações dinâmicas.
(a) Sistema massa-mola
(b) Barra engastada
(c) Pêndulo
Figura 3.3 – Exemplos de vibração em sistemas mecânicos simples.
As vibrações podem ser classificadas como oscilações periódicas (figura 3.4), que se repetem uniformemente e oscilações não periódicas que não se repetem uniformemente, que também são chamadas de randômicas (figura 3.4).
Figura 3.4 – Oscilações periódicas.
Figura 3.5 – Oscilações randômicas (não periódicas).
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Uma divisão mais detalhada dos tipos de vibração pode ser observada na figura 3.6.
Senoidal
Multi senoidal
Transiente
Choque
Estacionário Randômico
Não- Estacionário Randômico
Figura 3.6 – Tipos de Vibração. As vibrações podem ser: Vibração Livre: vibração natural do sistema após um distúrbio inicial. Vibração Forçada: o sistema é colocado em vibração através de forças externas. Vibração Não-amortecida: não existe dissipação de energia no sistema (figura 3.7). Vibração Amortecida: é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente (figura 3.7).
Figura 3.6 – Gráficos de vibrações de sistema amortecido e não amortecido. 23
Terminologia:
Figura 3.7 – Representação de ciclos de uma senóide.
Ciclo: Movimento completo do corpo vibrante a partir de sua posição de equilíbrio, de um extremo até o outro, de volta à posição de equilíbrio (1 revolução = 2 π rad). A: Ampitude – é o máximo valor atingido por x. A unidade utilizada é a mesma da variável x.
T: Período – é o tempo de um ciclo completo.
f: Frequência – número de ciclos por unidade de tempo. É o inverso do período. f = 1/T .
Quantificação dos níveis de vibração:
A
Valor de Pico Valor Médio
Valor Média Quadrada Valor Raiz Média Quadrada
Figura 3.8 – Quantificação dos níveis de vibração. 24
4.3- Movimento Harmônico Movimento harmônico: é a forma mais simples com que uma vibração se apresenta. Se repete com intervalos iguais de tempo (figura 3.9).
Figura 3.7 – Movimento Harmônico.
Figura 3.9 - Mecanismo de Scotch Yoke gerando um Movimento Harmônico.
ω: Frequência Angular – é velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira, de forma que
suas projeções horizontal e vertical são movimentos harmônicos. ω = 2.π.f
Figura 3.10 – Vetor girante e frequência angular.
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Pode ser representado pela equação:
x = A sen (ωt) O movimento harmônico também pode ser representado pelas equações de velocidade e aceleração:
v = ẋ = ωA cos (ωt) a = ẍ = – ω2 A sen (ωt)
Figura 3.11 – Gráficos de movimentos harmônicos representados em deslocamento (x), velocidade (v) e aceleração (a).
Valores máximos:
Xmax = A vmax = A.ω amax = A.ω2
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Exercícios: 1. Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,01 mm e freqüência de 50 Hz. Escrever as equações do movimento harmônico (x, v e a) e determinar a máxima velocidade e a aceleração máxima. 2. Um movimento harmônico tem uma amplitude de 0,05 m e uma frequência de 10 Hz. Achar o seu período, velocidade máxima e aceleração máxima. 3. Um movimento harmônico é expresso pela equação x (t ) = 0,3 sen(227t ) mm. Determinar a freqüência angular, a velocidade máxima e a máxima aceleração. 4. Um movimento harmônico possui velocidade máxima igual a 1,5 mm/s e freqüência de 50 Hz. Escrever a equação do movimento harmônico e determinar sua amplitude e máxima aceleração. 5. Um movimento harmônico possui amplitude de 0,02 mm e velocidade máxima de 2 mm/s. Determinar a freqüência angular, a aceleração máxima e escrever a equação do movimento harmônico. 6. Em um teste de vibração, um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 14,5 m/s2 e um osciloscópio mediu o período da vibração em 16,6 ms. Determinar a amplitude da vibração, assumindo movimento harmônico. 7. Durante um teste, a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas iguais a v máx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g. Assumindo que ocorre um movimento harmônico, determinar a freqüência da vibração. 8. Um acelerômetro montado na estrutura de um edifício indica que a mesma está vibrando harmonicamente com 15 cps, com uma aceleração máxima de 0,5 g. Determinar a amplitude do deslocamento e a máxima velocidade da estrutura. 9. A máxima amplitude e a máxima aceleração da base de uma bomba centrífuga são x max= 0,25 mm e amax= 0,4g. Achar a velocidade de operação da bomba. 10. Para localizar a fonte da vibração a bordo de um navio, foram medidas suas amplitude e velocidade máxima, sendo iguais a x máx = 0,002 m e v máx = 0,75 m/s. Existem duas máquinas operando no mesmo setor: uma a 3580rpm e outra a 1720 rpm. A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas? Justifique.
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4.4- Vibração Livre não Amortecida - Modelo Massa-Mola em vibração livre:
Figura 3.12- Modelo massa-mola.
Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a esquerda.
A equação dinâmica do sistema é:
A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem:
m ẍ + kx = 0
(1)
A equação (1) é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem, linear, de coeficientes constantes e homogênea; sua solução é dada por:
x(t) = A sen ( ωnt) + B cos ( ωnt)
(2)
Derivando duas vezes (2) e substitundo em (1) encontra-se:
(k - mωn2 )(A sen ( ωnt) + B cos ( ωnt)
(3)
Para que a equação (3) seja satisfeita, é necessário que: 28
(k - mωn2 ) = 0
ou
ωn2 = k/m
(4)
ωn é a Frequência Natural de oscilação. Esta é a frequência na qual o sistema oscila quando está livre e sem amortecimento – unidade [rad/s].
As constantes A e B da equação (2) são obtidas a partir das condições de contorno. Se os valores iniciais do deslocamento e da velocidade são conhecidos e dados por x 0 e v 0, tem-se:
x (t = 0) = x 0 = B ẋ (t = 0) = v 0 = ωn A
→
A = v 0 / ωn
A amplitude máxima de deslocamento será:
()
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Exercícios: 11-
Dado o sistema mecânico abaixo, sem atrito, com massa m = 12 kg, rigidez da mola k = 1200 N/m e com condições iniciais de deslocamento e velocidade de x 0 = 0,02m e v0 = 0, calcule: a) a frequência natural do sistema em Hz; b) a equação de resposta de oscilação e c) a amplitude máxima de deslocamento. Resp.:a) ωn = 10 rad/s ou 1,59 Hz b) x(t) = 0,02cos (10t) c) x max = 0,02m
12-
O vagão da figura abaixo com massa m = 15000kg se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade v0. A mola é deformada em 200mm e tem rigidez de 130000 N/m. a) Com que velocidade o vagão bateu na mola? b) Determine a equação de resposta da oscilação. Resp.: a) v 0 = 0,59 m/s b) x(t) = 0,2 sen (2,94t)
13-
O sistema da figura se desloca para a direita com atrito. O momento de inércia da massa é I = ½ Mr2. Determine: a) A equação do movimento do sistema e b) A frequência natural.
Resp.: a) (3M/2) ẍ + k x = 0 b) ωn = √ (2K/3M)
OBS.: ∑ MG = I.Ӫ , onde:
∑ MG: Somatório de Momentos no Centro de Gravidade G; I : Momento de Inércia de Massa; Ӫ : Aceleração Angular (x = r Ө e ẍ = r Ӫ) 30
4.5- Elemento Mola: O elemento responsável por relacionar forças com deslocamentos é representado, nos sistemas vibratórios, pela mola. Existe uma proporcionalidade entre a força e a deformação, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), são newton por metro (N/m) .
Associação de Molas: Molas em paralelo: O sistema da figura (3.13) tem molas em paralelo que são fixadas a um bloco com massa m. A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas visando modelar o sistema com uma única mola.
Figura 3.13 – Sistema mecânico com molas em paralelo.
Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrário x , todas as molas sofrem este deslocamento, assim x = x1 = x2 = . . . = xn. Assim a força exercida é
Analisando a equação acima observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por:
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Molas em série: Já o sistema da figura (2.6) tem molas em série que são fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas.
Figura 3.14 – Sistema mecânico com molas em série. Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na extremidade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. Assim a força em cada mola é:
Sendo assim, o deslocamento total será descrito por:
A partir da equação acima pode-se concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por:
Exercício: 14- Dado o sistema da figura abaixo, encontre um modelo equivalente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m.
Resp.: keq = 7k/6
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I LISTA DE EXERCÍCIOS – VIBRAÇÕES MECÂNICAS 1- Calcule a rigidez equivalente das molas dos sistemas abaixo: a) K1 = 35000 N/m e K2 = 20000 N/m
b) As 3 molas do sistema de rodas de um trem possuem k = 5,0 x 10 5 N/m.
c) K = 3000 N/m
Resp.: Keq = 3500 N/m 2- Calcule a frequência natural em Hz do sistema abaixo para k1 e k2 = 605 N/m e massa 10 kg.
Resp.: fn = 1,75Hz
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3- O sistema da figura se desloca para a direita com atrito. O momento de inércia da massa é I = ½ Mr2. Determine: a) A equação do movimento do sistema e b) A frequência natural em Hz. M = 400 kg K = 65000 N/m r=5m
Resp.: a) 600 ẍ + 65000 x = 0 b) ωn = 1,66 Hz
4- Para o sistema da questão acima determine a) A equação do movimento do sistema e b) A frequência natural em Hz; para: M = 1000 kg K = 90000 N/m r = 12 m Resp.: a) 1500 ẍ + 90000 x = 0
b) ωn = 1,23 Hz
5- Dado o sistema mecânico abaixo com massa m = 30 kg, rigidez da mola k = 1500 N/m e com condições iniciais de deslocamento e velocidade de x 0 = 0.12m e v0 = 0, calcule: a) a frequência natural do sistema em Hz; b) a equação de resposta de oscilação e c) a amplitude máxima de deslocamento. Resp.:a) ωn = 1,13 Hz b) x(t) = 0,12cos(7,07t) c) x max = 0,12m
6- Calcule os mesmos parâmetros do exercício 5 com m = 1000 kg, k = 20000 N/m, x 0 = 1.7m e v0 = 2,5 m/s. Resp.:a) ωn = 0,71 Hz b) x(t) = 0,56sen(4,47t) + 1,7cos(4,47t) c) x max = 1,79m
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7- O vagão da figura abaixo com massa m = 50000 kg se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade v0. A mola é deformada em 1,2 m e tem rigidez de 120000 N/m. a) Com que velocidade o vagão bateu na mola? b) Determine a equação de resposta da oscilação. Resp.: a) v 0 = 1,86m/s b) x(t) = 1,2 sen (1,55t)
8- Calcule os mesmos parâmetros do exercício 7 para m = 200 kg, mola deforma em 0,2m e k = 4000 N/m. Resp.: a) v 0 = 0,89m/s b) x(t) = 0,2 sen (4,47t)
9- Calcule os mesmos parâmetros do exercício 7 para m = 200000 kg, mola deforma em 4m e k = 110000 N/m. Resp.: a) v 0 = 2,96m/s b) x(t) = 4 sen (0,74t)
10- Determine a frequência de vibração do bloco de m = 40 kg se as molas estão deformadas com k = 5000 n/m.
11- O carrinho tem massa 5 kg e está fixado a 2 molas sendo k1 = 5 kN/m e k2 = 4 kN/m. Se ambas as molas estão deformadas quando o carrinho está na posição da figura, determine a frequência natural em Hz.
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12- O alvo de 3 kg desliza livremente ao longo das guias horizontais lisas BC e DE, as quais estão encaixadas em molas que tem, cada uma, rigidez de 9 kN/m. Se uma bala de 60g é atirada com uma velocidade de 900 m/s e se embute no alvo, determine a amplitude e a frequência de oscilação do alvo.
4.6 – Pêndulo Simples
Diagrama de Corpo Livre:
Σ F = ma
̈ ̈ ̈ ̈ ̈
- mg senθ = ma
(1)
A equação 1 reduz-se a :
Para deslocamentos pequenos, senθ ≈ θ, portanto:
36
