MATERI UN 2013 bahan UN 2014

Karyanto, S.Pd

RINGKASAN MATERI UJIAN NASIONAL 2013 (Cuplikan SIAP UN IPA)

MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

Copyright@ http://www.soalmatematik.com 2O12

Di ijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan dan tetap mencantumkan alamat penerbit http://www.soalmatematik.com

MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com

DAFTAR ISI 1. Pangkat, Akar dan Logaritma ..........................................................................................................2 2. Fungsi Kuadrat ................................................................................................................................5 3. Sistem Persamaan Linear...............................................................................................................10 4. Trigonometri I................................................................................................................................11 5. Trigonometri II ............ ......... ........................................................................................................13 6. Logika Matematika........................................................................................................................16 7. Dimensi Tiga .................................................................................................................................18 8. Statistika .......................................................................................................................................21 9. Peluang .........................................................................................................................................26 10. Lingkaran.......................................................................................................................................28 11. Suku Banyak..................................................................................................................................29 12. Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers............................................................................................30 13. Limit Fungsi...................................................................................................................................31 14. Turunan Fungsi (Derivatif)........................................................................................................... 34 15. Integral (Anti Turunan)..................................................................................................................36 16. Program Linear .............................................................................................................................42 17. Matriks...........................................................................................................................................45 18. Vektor ...........................................................................................................................................47 19. Transformasi .................................................................................................................................49 20. Barisan Dan Deret .........................................................................................................................51 21. Fungsi Eksponen dan Logaritma....................... .................... ..... ..................................................53

1

Pembahsan lengkapnya ada pada SIAP UN


1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A.

Pangkat Rasional 1) Pangkat negatif dan nol Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:

1

a-n =

a)

a

n

atau an =

1 a−n

a0 = 1

b)

2) Sifat-Sifat Pangkat Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku: a) ap × aq = ap+q b) ap : aq = ap-q c)

(a p )q = a

d)

(a × b )n = an×bn

e)

(ba )n = ba

pq

n n

SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Diketahui a = 4, b = 2, dan c =

( a −1 ) 2 x 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 8

1 . Nilai 2

( a −1 ) 2 x

b4 = ….. c −3

b4 b4 ⋅ c3 –2 4 3 = a ⋅ b ⋅ c = c −3 a2 =

1 D. 16 E.

=

1 32

=

24 ⋅

(12 )3

42 16 ⋅ 18 16 1 8

………..(C)

Jawab : C

2


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B. Bentuk Akar 1) Definisi bentuk Akar Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku: 1

a)

an = n a m

b) a n =

n

am

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c b) a c – b c = (a – b) c c)

a× b

=

a×b

d)

a+ b

=

(a + b) + 2 ab

e)

a− b

=

(a + b) − 2 ab

3) Merasionalkan penyebut Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah-kaidah sebagai berikut: a)

b)

a b

= a × b =a b b

b

b

c(a − b ) c = c × a− b = 2 a+ b a+ b a− b a −b

c)

c = a+ b

c × a+ b

c( a − b ) a− b = a −b a− b

SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Bentuk sederhana dari

A.

B. C. D. E.

2 +3 5 2− 5

2 +3 5

adalah…..

2− 5 1 (17 − 4 10 ) 3 2 − (15 − 4 10 ) 3 2 (15 − 4 10 ) 3 1 − (17 − 4 10 ) 3 1 − (17 + 4 10 ) 3

=

2 +3 5 2− 5

×

2+ 5 2+ 5

2 + 3 ⋅ 5 + 10 + 3 10 2−5 17 + 4 10 = −3 1 = − (17 + 4 10 ) 3 ………………...(E)

=

Jawab : E

3


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com C. Logaritma a) Pengertian logaritma Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: g

log a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis : (1) untuk glog a = x ⇒ a = gx ⇒ x = glog a

(2) untuk gx = a

b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut: (1) glog (a × b) = glog a + glog b

(b )

(2) glog a = glog a – glog b (3) glog an = n × glog a p

log a

p

log g

g

(4) log a =

1

(5) glog a = g

a

log g

a

(6) log a × log b = glog b n (7) g log a m = m glog a

n

(8) g

g

log a

=a

SOAL 1. UN 2012/C37 Diketahui 5 log 3 = a dan 3 log 4 = b, Nilai log 15 = .... 1+ a A. ab 1+ a B. 1+ b 1+ b C. 1− a

PENYELESAIAN 3 4

log15 =

log 15

3

3

=

log(3 ⋅ 5) 3

log 4

4

3

ab 1− a ab E. 1− b

=

Jawab : A

=

log 4

log 3 + 3 log 5 3

D.

=

4

log 4

1 + 1a b 1+ a a

b

=

1+ a ……….(A) ab



2. FUNGSI KUADRAT A.

Persamaan Kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

1) Bentuk umum persamaan kuadrat

2) Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x1, 2 =

−b± D , D = b2 – 4ac 2a

3) Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka: a)

: x1 + x 2 = − ba

Jumlah akar–akar persamaan kuadrat

c)

D , x1 > x2 a

: x1 − x 2 =

b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat

Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : x1 ⋅ x 2 = c a

d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat a. x12 + x 22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2( x1 ⋅ x2 ) b. x13 + x23 = ( x1 + x2 ) 3 − 3( x1 ⋅ x 2 )( x1 + x 2 )

Catatan: Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka 1. x1 + x2 = – b 2.

x1 − x 2 = D

3. x1 · x2 = c 4) Nilai determinan persamaan kuadrat

: D = b2 – 4ac

5) Pengaruh determinan terhadap sifat akar: a) Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda b) Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional c) Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

SOAL 1. UN 2012/E25 Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai

PENYELESAIAN Tentukan jumlah dan hasil kali akar–akar dari x2 + 4px + 4 = 0

akar–akar x1 dan x2. Jika x1 x 22 + x12 x 2 = 32, maka nilai p = ... A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8 Jawab : C

x1 x 22 + x12 x 2 = x1x2(x1+x2) = =

c  b × −  a  a 4⋅ 4p

12 32 = 16p 32 p= = 2 …………………..(C) 16

5


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B. Pertidaksamaan Kuadrat 1) Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0 Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya: No

Pertidaksamaan

a

>

Daerah HP penyelesaian

Keterangan

+++ – – – + + + x1 x2 Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

•

Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

•

x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

•

Daerah HP (tebal) ada tengah

•

x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

+++ – – – + + +

b

≥

c

<

x1 x2 Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} +++ – – – + + + x1 x2 Hp = {x | x1 < x < x2} +++ – – – + + +

d

≤

x1 x2 Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}

SOAL 1. UN 2012/C37 Persamaan kuadrat x 2 + (m − 2) x + 2m − 4 = 0 mempunyai akar–akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ – 10 atau m ≥ –2 C. m < 2 atau m > 10 D. 2 < m < 10 E. –10 < m ≤ –2 Jawab : A

PENYELESAIAN Persamaan kuadrat x 2 + ( m − 2) x + 2 m − 4 = 0 memiliki akar–akar real, sehingga D ≥ 0 D = b2 – 4ac = (m – 2)2 – 4(1)(2m – 4) = m2 – 4m + 4 – 8m + 16 = m2 – 12m + 20 sehingga: m2 – 10m + 20 ≥ 0 (m – 2)(m – 10) ≥ 0 karena tanda pertidaksamaan adalah ≥, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai m = {2, 10} yaitu ………………………………………(A)

6


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan cara sebagai berikut: 1. Menggunakan rumus, yaitu: x2 – (α + β)x + α β = 0 catatan : Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus : a.

x1 + x 2 = − b

b.

x1 ⋅ x 2 =

a

c a

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah: a ( β −1 ) 2 + b( β −1 ) + c = 0 , dengan β –1 invers dari β

catatan: Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 SOAL 1. UN 2011 PAKET 12 akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α + 2) dan (β + 2). adalah … a. 3x2 – 24x + 38 = 0 b. 3x2 + 24x + 38 = 0 c. 3x2 – 24x – 38 = 0 d. 3x2 – 24x + 24 = 0 e. 3x2 – 24x + 24 = 0

PENYELESAIAN Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 = α + 2 , x2 = β + 2 Karena x1 dan x2 simetri dan berbentuk penjumlahan, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah dicari dengan metode invers.

Metode invers a. Invers dari x = α + 2 adalah α = x – 2 b. Persamaan kuadrat baru Substitusikan nilai α ke persamaan kuadrat awal: 3α 2 – 12α + 2 = 0 ⇔ 3(x – 2)2 – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3(x2 – 4x + 4) – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 12 – 12x + 24 + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 24x + 38 = 0 ………………..(a)

Jawab : a

7


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

Y (xe, ye) (x, y)

X

0 y = a(x – xe)2 + ye

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

Y (x, y)

(x2, 0)

(x1, 0)

X

0

SOAL 1. UN 2008 PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, – 6) adalah … a. y = 2x2 + 8x – 6 b. y = –2x2 + 8x – 6 c. y = 2x2 – 8x + 6 d. y = –2x2 – 8x – 6 e. y = –x2 + 4x – 6 Jawab : b

y = a(x – x1) (x – x2)

PENYELESAIAN Karena grafik memotong sumbu X di A(1, 0), B(3, 0), dan memotong sumbu Y di C(0, – 6), maka gunakan rumus: y = a(x – x1)(x – x2) (i) tentukan nilai a y = a(x – x1)(x – x2) – 6 = a(0 – 1)(0 – 3) – 6 = 3a a = –2 (ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1)(x – x2) y = –2 (x – 1)(x – 3) = –2 (x2 – 4x + 3) = –2x2 + 8x – 6…………………(b)

2. UAN 2004 Untuk memproduksi x unit barang per hari y = 2x2 – 8x + 15 diperlukan biaya (2x2 – 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya b −8 = minimum diperoleh bila per hari diproduksi xe = − 2 a − 2( 2) sebanyak … unit = 2 ……………………(b) a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : b

8


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini. Y

Y A(x1, y1)

g

Y A(x1, y1)

B(x2, y2)

g

X

0

X

0

h g memotong h di dua titik

g

X

0 h

h g menyinggung h

g tidak memotong dan tidak menyingggung h

TEOREMA Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c. Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu: yh = yg 2

ax + bx + c = mx + n ax2 + bx – mx+ c – n = 0 ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah: D = (b – m)2 – 4a(c – n) Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu: 1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h. SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2009, 2010 PAKET A/B Tentukan Persamaan kuadrat baru Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 f(x) = y menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang 2 x + bx + 4 = 3x + 4 memenuhi adalah … x2 + bx – 3x = 0 a. –4 x2 + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru b. –3 c. 0 Agar f(x) menyinggung y maka determinan d. 3 persamaan kuadrat baru sama dengan nol e. 4 Jawab : d D=0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0=b–3 b = 3 ……………………….…………….(d)

9



3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

a1x + b1 y = c1 a 2 x + b 2 y = c 2

1. Bentuk umum : 

2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan. 3. Metode determinan: D=

x=

B.

a1 a2

b1 = a1b2 – a2b2; b2

Dx ; D

Dx =

y=

c1 c2

b1 ; b2

a1 a2

Dy =

c1 ; c2

Dy D

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

a1x + b1 y + c1z = d1  1. Bentuk umum : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a x + b y + c z = d 3 3 3  3 2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan. 3. Metode determinan:

a1

b1

c1

D = a2

b2 b3

c2 = c3

a3 d1

b1

c1

Dx = d 2

b2 b3

c2 ; c3

d3 x=

Dx ; D

y=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

a1

d1

c1

Dy = a 2

d2 d3

c2 ; c3

a3

Dy D

;

z=

a1

b1

d1

Dz = a 2

b2 b3

d2 ; d3

a3

Dz D

SOAL 1. UN 2012/C37 Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. A. 86 tahun B. 74 tahun C. 68 tahun D. 64 tahun E. 58 tahun Jawab : C

PENYELESAIAN P = A + 28 ⇔ A = P – 28 B=P–6 + A + B = 2P – 34 ……………….(1) A + B + P = 119 …………………………...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh : (A + B) + P = 119 2P – 34 + P = 119 3P = 153 153 P= = 51 3 Jadi, A + B = 2P – 34 = 2(51) – 34 = 68 .............................(C)

10



4. TRIGONOMETRI I A.

Trigonometri Dasar

B.

y r cos α = x r y tan α = x

sin α =

Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º) Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2) sin cos tan αº 30

½

45 ½ 60

½ 3

2

½ 3

2

½ ½

1 3

3 1

3

gambar 1

gambar 2

C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3 1. Sudut berelasi (90º – α) a) sin(90º – α) = cos α b) cos(90º – α) = sin α c) tan(90º – α) = cot α 2. Sudut berelasi (180º – α) a) sin(180º – α) = sin α b) cos(180º – α) = – cos α c) tan(180º – α) = – tan α 3. Sudut berelasi (270º – α) a) sin(270º – α) = – cos α b) cos(270º – α) = – sin α c) tan(270º – α) = cot α 4. Sudut berelasi (– α) a) sin(– α) = – sin α b) cos(– α) = cos α c) tan(– α) = – tan α

gambar 3

11


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com D.

Rumus–Rumus dalam Segitiga a b c 1. Aturan sinus : sin A = sin B = sin C

= 2r

Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:

β

b

β

b

α c

a. 2 sudut dan satu sisi

b. 2 sisi dan satu sudut di depan sisi sisi

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

b

b

a

α c

c

a. sisi sisi sisi

b. sisi sudut sisi

3. Luas segitiga : ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi”

a) L = ½ a · b sin C

a ⋅ sin B ⋅ sin C 2 sin(B + C) 2

b) L =

: ∆ dengan kondisi “sudut sisi sudut”

c) L = s( s − a)( s − b)( s − c ) , s = ½(a + b + c) 4. Luas segi n beraturan  360  L = n × 12 r 2 sin   n 

: ∆ dengan kondisi “sisi sisi sisi”

o

SOAL 1. UN 2012/C37 Diketahui segi enam beraturan. Jika jari–jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, Maka luas segienam beraturan tersebut adalah … A. 150 satuan luas B. 150 2 satuan luas C. 150 3 satuan luas D. 300 satuan luas E. 300 2 satuan luas Jawab : C

PENYELESAIAN

Luas segi-6  360  L = n × 12 r 2 sin   n 

o

 360  = 6 × 12 × 10 2 sin    6 

o

= 300 × sin 60 o = 300 × 12 3 = 150 3 ………………………………..(C)

12



5. TRIGONOMETRI II A.

Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B 2) cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B 3) tan (A ± B) =

tan A ± tan B 1 m tan A ⋅ tan B SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2012/D49 Diketahui nilai sin α cos β =

1 dan sin (α – 5

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β 3 1 = – cos α sin β 5 5 1 3 2 cos α sin β = – = – 5 5 5 sehingga diperoleh : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 1 2 = + (– ) 5 5 1 = – ………………….(C) 5

3 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 5 90°. Nilai sin (α + β ) = …. 3 1 A. – D. 5 5 2 3 B. – E. 5 5 1 C. – Jawab : C 5

β)=

B.

Perkalian Sinus dan Kosinus 1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B) sin A cos B

= ½{sin(A + B) + sin(A – B)}

2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B) cos A sin B

= ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B) cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)} 4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B) sin A sin B

= –½{cos(A + B) – cos(A – B)} SOAL

PENYELESAIAN

1. UAN 2003 Nilai dari a. 3 b. 2 c. 1 d. 12 e.

1 4

cos 10 cos10 o

cos 40 o cos 50 o

adalah …

⇔

o

cos 40 o cos 50 o cos10 o 1 {cos(40 o 2

+ 50 o ) + cos(50 o − 40 o )}

2 cos10 o cos 90 + cos10 2 cos10 o ⇔ = 2 ……………………………..(b) 0 + cos10

⇔

Jawab : b

13


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com C.

Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen 1) sin A + sin B

= 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

2) sin A – sin B

= 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)

3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B) 4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B) 5) tan A + tan B

=

sin( A + B ) cos A cos B

6) tan A – tan B

=

sin( A − B ) cos A cos B

SOAL 1. UN 2012/C37 Nilai dari sin 75°– sin 165° adalah … 1 1 A. 2 2 D. 4 2 1 1 B. 3 E. 6 4 2 1 C. 6 Jawab : D 4

PENYELESAIAN sin 75°– sin 165°

=2cos½ (75 + 165)° · sin ½(75 –

165)° = 2 cos 120° sin (–45)° = 2 × (− 12 ) × (− 12 2 )

=

1 2 ………………………(D) 2

D. Sudut Rangkap 1) sin 2A = 2sinA·cosA 2) cos 2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1 – 2sin2A 3) tan 2A =

2 tan A 1 − tan 2 A

4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A SOAL

PENYELESAIAN cos 2A = 1 – 2sin2 A

1. UAN 2003 Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = 1 .

1 3

3

Nilai tan A = … a. b.

c. d. e.

1 3 1 2 1 3 2 5 2 3

3

2

(2sin2 A = 1 – 1 = 23 ) × 12 3 sin2 A = 13 sin A =

6 5

= 1 – 2sin2 A

1

=

3

maka tan A =

6

Jawab : b

14

y ⇒x= r

( 3)

2

− 12 =

2

y 1 = x 2 1 = 2 2 ……………..…….(b)


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com E. Persamaan Trigonometri 1.

sin xº = sin p x1 = p + 360k x2 = (180 – p) + 360k

2.

cos xº = cos p x1 = p + 360k x2 = – p + 360k

3.

tan xº = tan p x1 = p + 180k x2 = (180 + p) + 180k

4.

Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat

SOAL 1. UN 2012/A13 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah…. 3π A. {0, π , ,2π } 2 4 B. {0, π , π ,2π } 2 2 C. {0, π , π , π ,2π } 3 D. {0, π ,2π } 3π E. {0, π , } 2 Jawab : A

PENYELESAIAN cos 2x – 2sin x = 1 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 0 sin2 x + sin x = 1 sin x (sin x + 1) = 0 i) sin x = 0 x = {0, π, 2π} ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1 3 x={ π } 2 Jadi,

HP

=

{0, π ,

3π ,2π } 2

………..…….(A)

15



6. LOGIKA MATEMATIKA A.

Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p B S

B.

~p S B

Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”. p ∧ q : p dan q 2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨ q : p atau q 3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒ q : Jika p maka q 4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔ q : p jika dan hanya jika q

C.

Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q P∧q p∨q p⇒q p⇔q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S B S B Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal 1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar

D.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Invers Konvers Kontraposisi p⇒q ~p⇒~q q⇒p ~q⇒~p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen implikasi ≡ kontraposisi :p⇒q≡~q⇒~p konvers ≡ invers :q⇒p≡~p⇒~q ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi p⇒q ≡~p∨q ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi

16


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca “untuk semua nilai x”

G.

•

Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”

•

Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x) Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens (MP) p ⇒ q : premis 1 p : premis 2 ∴q : kesimpulan

2) Modus Tollens (MT)

3) Silogisme

p ⇒ q : premis 1 ~q : premis 2 : kesimpulan ∴~p

SOAL 1. UN 2012/A13 Negasi dari dari pernyataan : “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan.”,adalah… A. Semua siswa SMA Mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan E. Jika Siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan Jawab : A

p ⇒ q : premis 1 : premis 2 q⇒r ∴p ⇒ r : kesimpulan PENYELESAIAN misal : p : siswa SMA mematuhi disiplin sekolah q : Roy siswa teladan sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(A) Semua siswa SMA Mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan

2. EBTANAS 2002 Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme berikut adalah … P⇒q P⇒q q⇒r q⇒r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r ……………………(e) ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r Jawab : e

17



7. DIMENSI TIGA A. JARAK 1) Garis Tegak Lurus Bidang Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu. 2) Jarak Titik dan Garis Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’, dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g. 3) Jarak titik dan bidang Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang. 4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut. 5) Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

6) Jarak Antar titik sudut pada kubus diagonal sisi AC = a 2 diagonal ruang CE = a 3 a ruas garis EO = 6 2

Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini

C D a b+c a b A

a c AD =

B

CA× AB BC

CATATAN PENTING Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari.

18



SOAL 1. UN 2012/A13 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah…. 2 A. 3 3 cm 4 B. 3 3 cm 11 3 C. 3 cm 8 D. 3 3 cm 13 E. 3 3 cm Jawab : D

PENYELESAIAN H

G

O

R E

F

P

P

D

C F

O

A

R

H

B

4cm

OR = a = 4 FH = a 2 = 4 2 OF = OH =

a 4 6= 6= 2 6 2 2

Sehingga PH =

FH × OR 4 2 × 4 = OF 2 6 =

8 3

=

8 3 ……………(D) 3

B. SUDUT

1) Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang. 2) B. Sudut Antara Dua Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang α dan β

CATATAN PENTING Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga.

19


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/B25 Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. E Nilai sin α = ... 1 A. 2 B.

R

D. E.

R

F

α

α

P

D

C

1 2

A

O

A

C.

PENYELESAIAN G E

H

B

4cm

1 3

AE = a = 4 = 2 4 ER = ½ EG = ½ × 4 2 = 2 2 2 3 Diperoleh panjang AR = 2 6 3 4

Sehingga sin α =

ER 2 2 1 = = AR 2 6 3 = 13 3 .............(C)

Jawab : C

C. VOLUM BANGUN RUANG SOAL 2. UN 2011 PAKET 46 Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm, BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas T.ABC tersebut adalah … a. 53 30 cm3

PENYELESAIAN T

5 cm

C

b. 43 30 cm3

4 cm

c. 23 30 cm3

A 5 cm

d. 23 15 cm3

7 cm

e. 13 15 cm3

B

Jawab: b

•

•

Tentukan luas alas ABC s = ½(4 + 7 + 5) = 8 L = 8(8 − 4)(8 − 7)(8 − 5) =

8 ⋅ 4 ⋅1 ⋅ 3

=

2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅1 ⋅ 3 = 4 6

Volum = 13 L · t = 13 · 4 6 · 5 = 43 30 ………………………..(b)

20



8. STATISTIKA Ukuran Pemusatan Data A. Rata-rata 1. Data tunggal:

x + x 2 + x 3 + ... + x n X= 1 n

2. Data terkelompok: Cara konvensional

X=

∑ fi ⋅ x i ∑ fi

Cara sandi

 ∑f ⋅u X = Xs +  i i  ∑ fi

 c 

Keterangan: fi = frekuensi kelas ke-i xi = Nilai tengah data kelas ke-i

Xs = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi terbesar ui c

= …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk Xs = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2005 Untuk menyelesaikannya, terlebih dahulu dibuat tabel Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat distribusi frekuensinya pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah … data xi fi ui fi·ui Berat 35 – 39 4 -2 -8 fi (kg) 40 – 44 11 -1 -11 35 – 39 4 45 – 49 47 12 0 0 40 – 44 11 50 – 54 7 1 7 45 – 49 12 55 – 59 4 2 8 50 – 54 7 60 – 64 2 3 6 55 – 59 4 2 40 Σ 60 – 64 2 c = 49,5 – 44,5 = 5 a. 46,20  f i ⋅ ui  c b. 47 X = Xs +    f c. 47,25 i   d. 47,50  2  e. 49,50 = 47 +  5

∑ ∑

 40  10 = 47 + 4 × 10

Jawab : c

= 47 + 0,25 = 47,25 …..……………………………..…(c)

21


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com 2) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)

Xg =

n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x 2 + n3 ⋅ x 3 + ... n1 + n 2 + n3 + ...

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

x1 , x 1 , x 1 ... : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst SOAL 1. UAN 2003 Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah … a. 1 : 6 b. 1 : 3 c. 2 : 3 d. 3 : 2 e. 3 : 4 Jawab : b

PENYELESAIAN Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua kelompok data

n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x 2 n1 + n2 a ⋅ 64 + b ⋅ 56 58 = a+b Xg =

58(a + b) = 64a + 56b 58a + 58b = 64a + 56b 58b – 56b = 64a – 58a {2b = 6a}×

1 6b

2b 6a = 6b 6b 1 a = 3 b Jadi, a: b = 1 : 3 …………………………….(b) Smart

L

P

64

56

6

22

58

L:P=2:6 =1:3

2


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com 2) Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan. a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = X 1 ( n +1) 2

b. Data terkelompok: Me = Q2



Q2 = LQ 2 + 



1N− 2

∑ fk  c 

fQ 2

SOAL 1. UN 2010 PAKET B Perhatikan tabel berikut! Data Frekuensi 10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 7 50 – 59 3 Median dari data pada tabel adalah … a. 34,5 + b. 34,5 + c. 29,5 + d. 29,5 + e. 38,5 +

16−10 × 10 12 16−10 × 9 12 16−10 × 9 12 16−10 × 10 12 16−10 × 10 12

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval

PENYELESAIAN Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) fk Nilai fi 10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 12 22 ⇐ Kelas Me 40 – 49 7 29 50 – 59 3 32 i) menentukan letak kuartil Median XQ2 = 12 N = 12 × 32 = 16 Data ke-30 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke3 memuat data ke-11 s.d data ke-22 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ2 = 30 – 0,5 = 29,5 1N = XQ2 = 16, 2

Jawab: c

∑ fk

= 10

fQ2 c

= 12, = 39,5 – 30,5 = 9

 12 N −∑ f k  c fQ 2    16 − 10  Q2 = 29,5 +  9 ………………….(c)  12 

ii) Me = LQ 2 + 

23


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com 3) Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

1 c Data terkelompok: Mo = L mo +   d + d  1 2 Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya d2

d

SOAL

PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13 kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki Data yang diberikan dalam tabel frekuensi frekuensi tertinggi yaitu 12 sebagai berikut: • Dari kelas ke-4 diperoleh data Kelas Frekuensi Lmo = 50 – 0,5 = 49,5 c = 59,5 – 49,5 = 10 20 – 29 3 d1 = 12 – 8 = 4 30 – 39 7 d2 = 12 – 9 = 3 40 – 49 8 50 – 59 12 d1  60 – 69 9 Mo = L mo +  c 70 – 79 6  d1 + d 2  80 – 89 5  4  = 49,5 +  10 3 + 4   Nilai modus dari data pada tabel adalah ... D. 49,5 + 40 A. 49,5 − 40 = 49,5 + 40 …………………………….(D) 7 7 B. 49,5 − 36 7

E. 49,5 +

C. 49,5 +

Jawab : D

36 7

7

48 7

24


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com 4) Kuartil Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan statistika 5 serangkai: a. Data tunggal: (i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan b. Data terkelompok

 4i N − ∑ f k  c  f Qi  

Qi = L Qi +  

i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil c = panjang kelas interval

SOAL 1. UN 2009 PAKET A/B Perhatikan table berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek 40 – 49 7 50 – 59 6 60 – 69 10 70 – 79 8 80 – 89 9 Jumlah 40 a. b. c. d. e.

54,50 60,50 78,25 78,50 78,75

PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 40 – 49 7 7 50 – 59 6 13 60 – 69 10 23 70 – 79 8 31 ⇐ Kelas Q3 80 – 89 9 40 40 Σ i) menentukan letak kuartil atas 3 3 XQ3 = × N = × 40 = 30 4 4 Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke4 memuat data ke-24 s.d data ke-31 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 70 – 0,5 = 69,5

i n = XQ3 = 30 4 ∑ f k = 23

Jawab : c

fQ3 =8 c = 79,5 – 69,5 = 10

 4i N − ∑ f k  c  f Qi  

ii) Qi = L Qi +  

 30 − 23  Q3 = 69,5 +  10  8  70 35 = 69,5 + = 69,5 + 8 4 3 = 69,5 + 8 4 = 69,5 + 8,75 = 78,25 ………………………………..(c)

25



9. PELUANG A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda, maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 ×a2 ×a3 × ... ×an. SOAL 1. UN 2012/C37 Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Jawab : E

PENYELESAIAN

S = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⇒ n(s) = 6 I 6

Nilai tempat II III IV 5 4 3

: 6×5×4×3 = 360…….(E)

Keterangan I. tempat ribuan ada 6 pilihan bilangan II. tempat ratusan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan IV. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan

2. Permutasi Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu: n! a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; n Pr = (n − k)! n! b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; n Pn1 , n2 , n3 = ,n1 + n2 + n3 + … ≤ n n1! n1 ! n1 ! c) Permutasi siklis (lingkaran); n Psiklis = (n − 1)! SOAL 1. UN 2012/E52 Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah…. A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata Jawab : A

PENYELESAIAN Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi berulang karena dari kata ”WIYATA” ada unsur yang sama yaitu: huruf A ada 2 S = {W, I, Y, A, T, A} ⇒ n(S) = 6 6! Sehingga P = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………….(A) 2!

3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA). n! Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah n C r = (n − r )!⋅r! SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12 Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 Karena soal no. 1 s.d no. 4 harus dikerjakan maka siswa dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib tinggal memilih 4 soal lagi dari 6 soal yang belum di dikerjakan. Banyak pilihan yang harus tentukan, sehingga banyaknya cara memilih adalah: diambil siswa tersebut adalah … 6! 6 × 5 × 4! = = 3 × 5 = 15 ………….(b) 4C6 = a. 10 2!×4! 2 × 4! b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 Jawab : b

26


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1 n( A ) , n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel b) P(A) = n(S) c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B) P ( A ∩ B) g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = P(B) CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam table berikut 2 3 4 5 6 7 Jumlah ke-2 mata dadu 12 11 10 9 8 Banyaknya kejadian

1

SOAL 1. UN 2012/A13 Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah… 1 A. 9 1 B. 6 5 C. 18 2 D. 3 5 E. 9 Jawab : C

27

2

3

4 5 6

PENYELESAIAN S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 misal kejadian A = muncul mata dadu berjumlah 5 ⇒ n(A) = 4 B = muncul mata dadu berjumlah 7 ⇒ n(B) = 6 (lihat catatan untuk melihat jumlah n(A) atau n(B))

P(A ∪B) = P(A) + P(B) n( A) n( B) 4 6 = + = + n( s ) n( s ) 36 36 10 = = 36 5 …………(C) 18



10. LINGKARAN A.

Persamaan Lingkaran 1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r =

( 1 A) 2 + ( 1 B) 2 − C 2

2

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

r=

B.

ax1 + by1 + c a 2 + b2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2 x x1 + y y1 = r2 b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–langkahnya: 1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh. 3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui 2 2 2 Garis singgung lingkaran (x – a) + (y – b) = r dengan gradien m y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 SOAL

1. UN 2012/E25 Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Jawab : A

PENYELESAIAN Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memiliki: Pusat (–1, 3) dan jari–jari r =

9=3

Dipotong garis y = 3, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah: x = a – r = –1 – 3 = –4 dan x = a + r = –1 + 3 = 2 jadi garis singgungnya adalah x = 2 dan x = –4………………………..(A)

28



11. SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F( b ) a

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2 Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian B. Teorema Faktor (x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0 C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn. 1) x1 + x2 + …+ xn = − b a

2) x1 · x2 · …· xn =

d a

(bila berderajat genap)

3) x1 · x2 · …· xn = − da (bila berderajat ganjil) 4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = c a

SOAL 1. UN 2012/C37 Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah … A. x3 – 2x2 + x + 4 B. x3 – 2x2 – x + 4 C. x3 – 2x2 – x – 4 D. x3 – 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 – 4 Jawab : D

PENYELESAIAN i) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2) f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (5x – 2) = (x + 2)(x – 3)H(x) + (5x – 2) f(3) = 5(3) – 2 = 13 ii) f(x) jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4) f(x) = (x2 – 2x – 3)H(x) + (3x + 4) = (x + 1)(x – 3)H(x) + (3x + 4) f(3) = 3(3) + 4 = 13 cek poin: jawaban akan benar jika f(3) = 13 D. f(x) = x3 – 2x2 + 4 f(3) = 33 – 2⋅32 + 4 = 13 ................benar

29



12. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A.

Domain Fungsi (DF) 1. F(x) = f ( x ) , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0 2. F(x) =

B.

f (x) , DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0 g(x)

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 1. (f o g)(x)

= f(g(x))

2. (f o g o h)(x) = f(g(h(x)))

3. (f o g)– 1 (x) = (g– 1 o f– 1)(x) ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = 4. f(x) = cx + d cx − a 5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax 6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x SOAL 1. UN 2012/A13 Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1, dan g(x) = 2x2 – 3. Komposisi fungsi (gοf)(x) = … A. 9x2 – 3x + 1 B. 9x2 – 6x + 3 C. 9x2 – 6x + 6 D. 18x2 – 12x – 2 E. 18x2 – 12x – 1 Jawab : E

PENYELESAIAN f(x) = 3x – 1 g(x) = 2x2 – 3. (gοf)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x – 1 …………….(E)

2. EBTANAS 2002 Jika f(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = 2 x − 1 , maka fungsi g adalah g(x) = … a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x – 3 e. 5x – 4 Jawab : c

30

(fοg)(x) = f(g(x)) 2 x −1 = 4(x – 1)

g ( x) + 1 ….. kuadratkan kedua ruas = g(x) + 1

4x – 4 – 1 = g(x) 4x – 5

= g(x) …………………………….(c)



13. LIMIT FUNGSI A.

Limit fungsi aljabar

f ( a) 0 f ( x) = , maka lim diselesaikan dengan cara sebagai berikut: x → a g ( x) g (a ) 0

Jika

1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan 2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar 3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan

f ( x ) f ' (a ) = x → a g ( x ) g ' (a ) lim

Cara Cepat  b  2⋅c . .=  × x → a c − dx + e −d  1

1) lim

bx

b − cx + d 1 −c . .=  × x→a ex − f  e  2⋅b

2) lim

SOAL 1. UN 2012/C37 Nilai lim

x →0 3 −

F. –30 G. –27 H. 15 I. 30 J. 36 Jawab : A

PENYELESAIAN Cara biasa:

5x 9+ x

= ....

5x

lim

x →0 3 −

9+ x 5x

⇔ lim

x →0 3 −

9+ x

×

3+ 9+ x 3+ 9+ x

5 x(3 + 9 + x ) x →0 9 − (9 + x )

⇔ lim

5 x(3 + 9 + x ) −x ⇔ lim − 5(3 + 9 + x ) = − 5(3 + 9 + 0 )

⇔ lim

x →0

x →0

= –5(3 + 3) = –30 …………………..(A) Cara cepat lim

x →0 3 −

5x 9+ x

 5  2×3 × 1  − 1

=

= –30

31


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B.

Limit fungsi trigonometri 1.

ax a sin ax = lim = x→0 bx x→0 sin bx b

2.

ax a tan ax = lim = x→0 bx x→0 tan bx b

lim

lim

Catatan Identitas trigonometri yang biasa digunakan a. 1 – cos A = 2 sin 2 ( 12 A)

1 = csc x sin x 1 c. = secan x cos x b.

d. cos A – cos B = – 2 sin 12 (A + B) ⋅ sin 12 (A – B) e.

cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

SOAL 1. UN 2012/C37

PENYELESAIAN Cara Biasa

1 − cos 2 x = .... x →0 x tan 2 x

1 − cos 2 x 2 sin x ⋅ sin x = lim x →0 x tan 2 x x →0 x tan 2 x 2 ⋅1 ⋅1 = 1⋅ 2

Nilai lim A. –2 B. –1 C. 0

lim

D. 1 E. 2 Jawab : D

= 1 ………………………..(D)

Cara Cepat 1 − cos 2 x = x →0 x tan 2 x lim

32

1 2

⋅2⋅2 1⋅ 2

=1


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com C.

Limit Mendekati Tak Berhingga

1.

lim

ax n + bx n −1 + ...

x → ∞ cx m + dx m −1 + ...

a. p =

= p , dimana:

a , jika m = n c

b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m 2.

lim

x →∞

(

)

ax + b ± cx + d = q, dimana:

a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c

3.

b−q lim  ax 2 + bx + c − ax 2 + qx + r  = x →∞   2 a

SOAL 1. UN 2009 PAKET A/B Nilai lim

x →∞

5x + 4 − 3x + 9 ) =… 4x

a. 0 b. 12

PENYELESAIAN Soal ini bisa langsung dijawab tanpa perlu dihitung terlebih dahulu. Gunakan rumus C.2) Karena derajat pembilang < derajat penyebut, maka:

c. 1 d. 2 e. 4 Jawab : a

lim

x →∞

2. EBTANAS 2002

2 lim ( x − x − 5x )

2

Nilai lim ( x − x − 5x ) = … x →∞

a. 0 b. 0,5 c. 2 d. 2,5 e. 5 Jawab : d

5x + 4 − 3x + 9 ) = 0 …………….(a) 4x

x →∞

⇔ lim ( x 2 − x →∞

x 2 − 5x ) =

0 − (−5)

2 1 5 = 2

= 2,5 …………(d) …………lihat rumus C.3 …………………….

33



14. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka: 1. y = u + v,

⇒ y’ = u’+ v’

2. y = c·u,

⇒ y’= c· u’

3. y = u·v,

⇒ y’= v· u’ + u· v’

4. y =

u , ⇒ y’= (v· u’ – u· v’) : v2 v

5. y = un, ⇒ y’= n·un – 1 · u’ 6. y = sin u, ⇒ y’= cos u· u’ 7. y = cos u,

⇒ y’= – sin u·u’

8. y = tan u,

⇒ y’= sec2 u·u’

9. y = cotan u,

⇒ y’ = – cosec2 u·u’

10. y = sec u, ⇒ y’ = sec u· tan u·u’

11. y = cosec, u

⇒ y’ = –cosec u· cotan u·u’

Keterangan: y' : turunan pertama dari y u’ : turunan pertama dari u v’ : turunan pertama dari v Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u ⋅ cos u = sin 2u SOAL 1. UN 2008 PAKET A/B Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = … a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125 Jawab : a

PENYELESAIAN f(x) = 3x3 + 4x + 8 f’(x) = 9x2 + 4 f’(3) = 9(3)2 + 4 = 81 + 4 = 85 ……………………………………..(a)

34


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com B. Aplikasi turunan suatu fungsi Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya: 1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a) Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah: y – b = m(x – a) 2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0 3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0 4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0 SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/C37 Fungsi berikut dalam satuan ribuan Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, • biaya per unit : 4x2 – 8x + 24 sehingga biaya 2 dengan biaya (4x – 8x + 24) dalam ribu rupiah total untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual b(x) = (4x2 – 8x + 24)x = 4x3 – 8x2 + 24x habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, • pendapatan total p(x) = 40x maka keuntungan maksimum yang diperoleh • Keuntungan total perusahaan tersebut adalah … u(x) = p(x) – b(x) K. Rp16.000,00 = 40x – (4x3 – 8x2 + 24x) L. Rp32.000,00 = – 4x3 + 8x2 + 16x M. Rp48.000,00 • u(x) maksimal saat u’(x) = 0 N. Rp52.000,00 u(x) = – 4x3 + 8x2 + 16x O. Rp64.000,00 u’(x) = –12x2 + 16x + 16 Jawab : B 0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2) 2 x = { − , 2} 3 pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)}ribu = 32.000 ..........................................(B) 2. EBTANAS 2002 • nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 Koordinat titik maksimum dan minimum dari f(x) = x3 + 3x2 + 4 3 2 grafik y = x + 3x + 4 berturut–turut adalah … f’(x) = 3x2 + 6x a. (–2,4) dan (0,3) 0 = 3x(x + 2) b. (0,3) dan (–2,4) x = {0, – 2} c. (–2,6) dan (0,5) d. (0,4) dan (–2,8) • Nilai fungsi pada saat stasioner x = {0, – 2} e. (–2,8) dan (0,4) f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(0) = (0)3 + 3(0)2 + 4 = 4 ………minimum Jawab : e ………………….titik (0,4) f(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 4 = –8 + 12 + 4 = 8 ………maksimum ……………….titik (–2,8) …………………………………………….(e)

35



15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL) A. Integral Tak Tentu 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri 1. ∫ dx = x + c 2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c 3. ∫ xn dx = n1+1 x n +1 + c 4. ∫ sin ax dx = – 1a cos ax + c 5. ∫ cos ax dx = 1a sin ax + c 6. ∫ sec2 ax dx = 1a tan ax + c 7. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Catatan 1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan a. 2sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B) b. –2sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B) c. sin2A = 12 {1 − cos 2 A} d. cos2A = 12 {1 + cos 2 A} e. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A 2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran Jika bentuk integran : ∫ u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel x Teknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah: a.

Metode substitusi jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du

b.

Metode Parsial dengan TANZALIN Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du

36


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/A13 Hasil dari A. B. C. D. E.

3x − 1

∫ (3x 2 − 2 x + 7) 7 dx =….. 1

3(3 x − 2 x + 7) 7 1 2

4(3 x 2 − 2 x + 7) 6 1 6(3 x − 2 x + 7) −1 2

6

+C

+C

12(3 x 2 − 2 x + 7) 6 −1

+C +C

2. UAN 2003 Hasil ∫ x x + 1dx = …

b. c. d. e.

2 ( x + 1) 5

3x − 1

+C

12(3 x 2 − 2 x + 7) 7 Jawab : D

a.

PENYELESAIAN Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 2x + 7) • misal u = 3x2 – 2x + 7 maka du = 6x – 2 = 2(3x – 1) dx

x + 1 − 2 ( x + 1) 2 x + 1 + c 3

2 (3x 2 + x − 2) x + 1 + c 15 2 (3x 2 + x + 4) x + 1 + c 15 2 (3x 2 − x − 2) x + 1 + c 15 2 ( x 2 + x − 2) x + 1 + c 5

∫ 3x 2 − 2 x + 7 dx ⇔ ∫ (3x – 1) (3x2 – 2x + 7)– 7 dx........ (–7 + 1 = –6) (3x − 1) ⇔ × (3 x 2 − 2 x + 7) −6 + C 2(3 x − 1) ⋅ (−6) (3 x 2 − 2 x + 7) −6 +C − 12 −1 ⇔ + C …………………..(D) 2 12(3 x − 2 x + 7) 6

⇔

Selesaikan dengan metode parsial karena x dx dan (x + 1) tidak memiliki hubungan

∫ x x + 1dx =

∫ x( x + 1)

1 2

dx

U

dv

x

(x + 1) 2

1

0 Turunkan sampai nol

Jawab : b

1

11 2 ( x + 1) 2 3 21 2 2 × ( x + 1) 2 3 5 integralkan

Jadi:

∫x

x + 1dx

4 ( x + 1) 2 x + 1 + c ⇔ 23 x( x + 1) x + 1 − 15 2 x +1 + c ⇔ {5 x( x + 1) − 2( x + 1) 2 } 15 2 ⇔ {5 x 2 + 5 x − 2( x 2 + 2 x + 1)} 15 x +1 + c 2 x +1 + c ⇔ (5 x 2 + 5 x − 2 x 2 − 4 x − 2) 15 2 (3 x 2 + x − 2) x + 1 + c …………….……(b) ⇔ 15

37


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com 2) Penggunaan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau: dy dy y = ∫ dx dx , dengan dx adalah turunan pertama y SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2004 Gradien garis singgung suatu kurva adalah m=

•

dy = 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2). dx

dy = 2x – 3 dx

dy = (2x – 3)dx y = ∫ (2x – 3)dx

Persamaan kurva tersebut adalah … a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2 c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2 e. y = x2 + 3x – 1

= 22 x 2 − 3 x + c = x 2 − 3x + c • Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (3, 2), maka f(3) = 2 f(x) = x 2 − 3 x + c f(3) = (3)2 – 3(3) + c 2 =9–9+c c =2

Jawab : b

Jadi, y = f(x) = x 2 − 3 x + 2 …………………(b)

B. INTEGRAL TENTU Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus: b

L = ∫ f ( x)dx = [ F ( x)]ba = F (b) − F (a) , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x) a

1) Integral Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri SOAL 1. UN 2012/A13 2

Nilai dari

∫ (4 x − x + 5)dx = .... 2

1

33 6 44 B. 6 55 C. 6 65 D. 6 77 E. 6 Jawab : D

A.

2

PENYELESAIAN 2

1 4  (4 x 2 − x + 5)dx =  x 3 − x 2 + 5 x  2 3 1 1

∫

maka 4 3 1 32 50 100 (2) − (2) 2 + 5(2) = +6= = 3 2 3 3 6 4 3 1 2 4 9 35 F(1) = (1) − (1) + 5(1) = + = 3 2 3 2 6

F(2) =

65 6 ………………………………………………….(D) =

38


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL

PENYELESAIAN 1π 3

2. UN 2012/B25 Nilai dari A.

B. C. D. E.

1

 1 3 (sin 2 x + 3 cos x)dx = − cos 2 x + 3 sin x   2 0 0

1π 3

∫

∫ (sin 2 x + 3 cos x)dx = ...

π

maka

0 3 +2 3 4 3 +3 3 4 1 (1 + 2 3 ) 4 2 (1 + 2 3 ) 4 3 (1 + 2 3 ) 4

1 cos 2( 13 π ) + 3 sin( 13 π ) 2 1 1 1 1 3 = − ⋅ (− ) + 3 ⋅ 3= + 3 2 2 2 4 2 1 1 F(0) = − cos 2(0) + 3 sin(0) = − 2 2 F( 13 π ) = −

3 3 + 3 4 2 = 34 (1 + 2 3 ) ...........(E)

Jawab : E

=

2) Penggunan Integral Tentu a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1 b

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = ∫ f ( x )dx ,

L = ∫ { f ( x) − g ( x)}dx ,

L = – ∫ f ( x )dx , atau

a

a

a

untuk f(x) ≥ 0

c. Luas daerah L pada gb. 3 b

b

b

L = ∫ f ( x)dx

untuk f(x) ≤ 0

dengan f(x) ≥ g(x)

a

CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus: L=

D D

6a 2

, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))

39


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/A13 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah… 41 A. satuan luas 6 19 B. satuan luas 3 9 C. satuan luas 2 8 D. satuan luas 3 11 E. satuan luas 6 Jawab : C

PENYELESAIAN Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat y1 = x2 – 4x + 3 y2 = – x + 3 _ y1 – y2 = x2 – 3x D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(0) = 9 Maka : D D 9 9

L=

=

6(1) 2 3⋅3 = 2 9 = …………………………(C) 2

6a 2

Sb) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

b

b

a

a

V = π ∫ ( f ( x)) 2 dx atau V = π ∫ y 2 dx

b

b

a

a

d

d

c

c

V = π ∫ ( g ( y )) 2 dy atau V = π ∫ x 2 dy

V = π ∫ {( f 2 ( x) − g 2 ( x)}dx atau V = π ∫ ( y12 − y 22 )dx

d

d

c

c

V = π ∫ { f 2 ( y ) − g 2 ( y )}dy atau V = π ∫ ( x12 − x 22 )dy

40


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/A13 Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 4x – 3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah 11 A. 13 π satuan volume 15 4 B. 13 π satuan volume 15 11 C. 12 π satuan volume 15 7 D. 12 π satuan volume 15 4 E. 12 π satuan volume 15 Jawab : E

•

PENYELESAIAN Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2 y2 = 4x – 3 _ y1 – y1 = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0 x = {1 , 3} Jadi, batas integralnya , bb = 1 dan ba = 3 y1 = x2

⇒ y12 = x4

y2 = 4x – 3

⇒ y 22 = 16x2 – 24x + 9 y12 – y 22 = x4 – 16x2 + 24x – 9

•

Volume benda putar mengelilingi sumbu X 3

V = π ∫ ( x 4 − 16 x 2 + 24 x − 9)dx 1

=π

F(3) = F(1) = =

[

1 5

x 5 − 16 x 3 + 12 x 2 − 9 x 3

]

3 1

1 (3) 5 − 16 (3) 3 + 12(3) 2 − 9(3) = 5 3 1 (1) 5 − 16 (1) 3 + 12(1) 2 − 9(1) = 5 3 242 + 16 – 66 = 726+80−990 = − 5 3 15

243 5

– 63

1 − 16 + 3 5 3 184 4 = − 12 15 15

4 π 15 Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka: (i) Batas Integral y1 = y2 x2 = 8 x x4 = 8x 4 x – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena y = x2, maka y = {0, 4} Jadi, V = 12

2. UN 2005 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah …. a. 2 4 π satuan volum b. c. d. e.

5 34 5 44 5 54 5 94 5

π satuan volum π satuan volum π satuan volum π satuan volum

Jawab : c

Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y y = x2 1 y4 2 2 2 2 (y = 8x) ⇒ x = = 3 y4 x =y 64 4 b

∫

V = π ( x12 − x 22 )dy a 4

∫

= π {y − 0

1 43

= { 12 (4) 2 − = {8 −

16 }π 5

y }dy = π 4

1

1 2

y − 2

1 43 ⋅ 5

4

y

5 0

(4) 5 − (0)}π

4 ⋅5 = {8 − 3 15}π 3

= 4 4 π………………..…..(c) 5

41



16. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus Y

Y

Y

y2 (x1, y1)

y1 0

x1

(x2, y2)

y1

(x1, y1)

X

x1

0

a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:

a (0, a)

x2

0

b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

y – y1 = m(x – x1)

y − y1 =

(b, 0) X b

X

y 2 − y1 (x − x1 ) x 2 − x1

c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di (0, a) adalah: ax + by = ab

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Gambarkan garis ax + by = c Y titik uji (0, a) a (x, y)

(b, 0) O

b

X

ax + by = c 2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c 3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c 4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

42


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum

I. Metode titik Uji 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) 2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum 3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya. Y

Y

(0,p) Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan (x, y)

p a

(0,a) (x,y) HP

0

(q,0) q b

p

HP

a

(x,y)

Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan (x, y) (b,0)

X q

0

g

h

b

X

g

h

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut: 1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan 2. Titik potong antara kedua garis (x, y) II. Metode garis selidik Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, ⇒ mz = Garis g: ax + by = ab, ⇒ mg = Garis h: px + qy = pq, ⇒ mh = •

r s a b p q

Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini

Y

Y (0,p)

Y (0,p)

(0,p)

p

HP

p

HP

p

HP

a

(x,y)

a

(x,y)

a

(x,y)

(b,0) 0

q

b

g

h

mz ≤ mg ≤ mh X Z Y

(b,0)

X 0

q

b

h mg ≤ mz ≤ mh X Z Y

(b,0)

X

g

0

q

b

X

g

h mg ≤ mh ≤ mz X Z Y

KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mh di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h

43


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com •

Fungsi tujuan maksimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini Y

Y

p a

p (0,a)

a

(x,y) HP

0

Y

(q,0) q b

p (0,a) HP

X g

a

(x,y)

0

(q,0) q b

(0,a) (x,y) HP

X g

0

(q,0) q b

X g

h h h mg ≤ mz ≤ mh mg ≤ mh ≤ mz mz ≤ mg ≤ mh X Z Y X Z Y X Z Y KESIMPULAN: Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mh di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h

SOAL 1. UN 2012/A13 Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhab anak balita tersebut adalah… A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 D. Rp24.000,00 E. Rp36.000,00 Jawab : B

PENYELESAIAN Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini kapsul tablet kebutuhan (x) (y) Kalsium 5 2 60 Zat Besi 2 2 30 Harga 1.000 800 •

•

Sistem pertidaksamaannya adalah: 5x + 2y ≥ 60 ……………. ………Kalsium 2x + 2y ≥ 30……………...............Zat besi x ≥ 0, y ≥ 0 ………….jumlah barang tidak mungkin negative, Titik kritis daerah HP Karena fungsi tujuannya minimum maka titik kritis pilih koordinat yang terbesar 1) Titik potong kurva dengan sumbu X dan sumbu Y Titik Titik Persamaan potong dg potong sb Y dg sb X 5x + 2y = 60 (0,30) (12, 0) 2x + 2y = 30 (0, 15) (15,0) Titik kritis (0, 30) (15,0)

2) titik potong antara 2 kurva 5x + 2y = 60 2x + 2y = 30 _ 3x = 30 x = 10 maka y = 5 jadi titik potongnya di (10,5) • Nilai fungsi tujuan f(x, y) = 1.000 x + 800y f (0,30) = 0 + 800(30) = 24.000 f (15,0) = 1.000(15) + 0 = 15.000 f (10,5) = 1.000(10) + 800(5) = 14.000 Jadi, pengeluaran minimum = 14.000 ………...(B)

44



17. MATRIKS A. Transpose Matriks a b  , maka transpose matriks A adalah AT = Jika A =  c d

a c   b d

B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak a b k l a b  k l   a + k b + l   , dan B =   , maka A + B =   +   =   Jika A =  c d m n c + m d + n c d  m n

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n a b  a b   an bn   , maka nA = n   =   Jika A =  c d  c d   cn dn 

D. Perkalian Dua Buah Matriks

Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

a b  , dan B = c d  

Jika A = 

 k l m   , maka n o p  

 a b   k l m  ak + bn al + bo am + bp   ×   =   c d  n o p  ck + dn cl + do cm + dp 

A × B = 

E. Matriks Identitas (I)

1 0  I =  0 1

Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A F. Determinan Matriks berordo 2×2 a b a b  , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = Jika A =  = ad – bc c d c d Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar 1. det (A ± B) = det(A) ± det(B) 2. det(AB) = det(A) × det(B) 3. det(AT) = det(A) 4. det (A–1) =

1 det( A)

45


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com G. Invers Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah invers matriks B atau B adalah invers matriks A. a b  , maka invers A adalah: Bila matriks A =  c d A −1 =

1 1  d − b  , ad – bc ≠ 0  Adj(A ) = Det (A ) ad − bc  − c a 

Sifat–sifat invers dan determinan matriks 1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1 2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1

H. Matriks Singular matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol

I. Persamaan Matriks Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 1) A × X = B ⇔ X = A–1 × B 2) X × A = B ⇔ X = B × A–1 SOAL 1. UN 2012/B25 3 y   , Diketahui matriks A =   5 − 1  x 5  − 3 − 1  , dan C =  . B =  9   − 3 6  y  8 5x   , Jika A + B – C =   − x − 4 maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E 2. UN 2011 PAKET 46 1 2  dan Diketahui matriks A =  3 5

PENYELESAIAN  3 y   x 5   − 3 − 1  +   –   A + B – C =  9   5 − 1  − 3 6   y 3 + x + 3 y + 5 +1   =  5 − 3 − y − 1 + 6 − 9  8 5x   6 + x y + 6    =    − x − 4  2 − y − 4  dari kesamaan di atas diperoleh: • 6+x=8⇒x=2 • 5x = y + 6 5(2) = y + 6 y=4 jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 ……………………….(E)

•

C = B + At  3 − 2   1 3  4 1   +   =   =  1 4 2 5 3 9       3 − 2    . Jika At adalah transpose dari • det(C) = 4(9) – (3)(1) = 33 B =  1 4  • det(A) = 1(5) – 3(2) = –1 matriks A dan AX = B + At, maka • AX=C determinan matriks X = … X = A–1C a. 46 1 b. 33 det(X) = det(C) det( A) c. 27 d. –33 det(C ) 33 = = = –33 …………..(b) e. –46 det( A) − 1 Jawab : b

46



18. VEKTOR A.

Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah AB = b – a B.

2. Sudut antara dua vektor adalah θ

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

Vektor Secara Aljabar  a1    1. Komponen dan panjang vektor: a =  a 2  = a1i + a2j + a3k; a   3 |a| =

a 12 + a 22 + a 32

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:  a 1   b1   a 1 ± b1        a ± b = a 2  ±  b2  = a 2 ± b2  ; a  b  a ± b  3  3  3  3

C.

 a 1   ka 1      ka = k  a 2  =  ka 2   a   ka   3  3

Dot Product  a1   b1      Apabila diketahui a =  a 2  dan b =  b 2  , maka: a  b   3  3

1. a · b = |a| |b| cos θ = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 + 2 a · b 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 – 2 a · b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D.

Proyeksi Vektor 1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a |p| =

a ⋅b |a|

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p=

47

a ⋅b

| a |2

⋅a


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/A13 p  4  r   r   Diketahui vektor a =  2 ; b =  − 3 ;  − 1 6      2  r r r   dan c =  − 1 . Jika a tegak lurus b , 3    r r r maka hasil dari (a − 2b ) (3c ) adalah… A. 171 B. 63 C. –63 D. –111 E. –171 Jawab : E 2. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

PENYELESAIAN

r r r r Karena a tegak lurus b , maka a b = 0 r r • a b = (p 2 –1)(4 –3 6)

= 4p – 6 – 6 = 4p – 12 = 0 4p = 12 p=3 r sehingga a = (p 2 –1) = (3 2 –1) r r • a − 2b = (3 2 –1) – 2(4 –3 6) = (3 2 –1) – (8 –6 12) = (–5 8 –13) r • 3c = 3(2 –1 3) = (6 –3 9) r r r • (a − 2b ) (3c ) = (–5 8 –13) (6 –3 9) = –30–24–107 = –171 ……………………….(E) |3a + 2b|2 = |3a|2 + |2b|2 + 2|3a||2b| cos θ = (3⋅2)2 + (2⋅3)2 + 2(3⋅2)(2⋅3)cos 120° = 36 +36 + 2 ⋅ 36 ⋅ (− 12 ) = 36 + 36 – 36 = 36

Jawab : b

|3a + 2b| =

48

36 = 6 ……………………….(b)



19. TRANSFORMASI

A.

B.

a  Translasi (Pergeseran) ; T =   b   x'  x   a   x   x'  a    =   +   atau   =   −    y'   y   b   y   y'   b 

Refleksi (Pencerminan) 1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:  x' x x  x'   = M  atau   = M −1    y'   y  y  y'  2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb: Msb x

Msb y

My = x

My = – x

1 0     0 − 1

 −1 0    0 1

0 1   1 0

 0 − 1   −1 0 

Y

Y (x, y)

0

(–x, y)

(y, x)

(x, y)

X (x, – y)

Y

Y

(x, y) X

0 X

0 depan tetap belakang negasi

y = –x

(x, y)

X

0

y=x

belakang tetap depan negasi

(–y, –x)

dibalik

dibalik dinegasi

3. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k a. A(x,y)

M

=n y →

A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)

ordinat di negasi + 2n

b. A(x,y)

M

=k → x

A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y)

absis di negasi + 2k

C.

Rotasi (Perputaran) R[O, θ]  x '   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x    cos θ  y 

R[O, 90°]

R[O, –90°]

 x'   0 − 1 x    =     y '   1 0  y  Y (–y, x)

90°

 x'   0 1  x    =     y '   − 1 0  y  Y

(x, y)

(x, y) X

0

D.

0

–90°

X

(y, –x)

dibalik depan dinegasi dibalik belakang dinegasi D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O

 x'   x  x  1  x'    = k   ⇒   =    y'  y  y  k  y' 

49


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com E.

Komposisi Transformasi

P(x, y) F.

a b  p q     c d  r s      →   → P’(x’,

 x '   p q  a b  x     y’); maka   =   y'   r s  c d  y 

Luas Hasil Transformasi 1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap. a b a b  adalah: L’ = L × 2. Luas bangun hasil transformasi  c d c d SOAL

1. UN 2012/A13 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2  − 3 dilanjutkan dengan translasi   adalah… 4  2 2 A. x + y – 2x – 8y + 13 = 0 B. x2 + y2 + 2x – 8y + 13 = 0 C. x2 + y2 – 2x + 8y + 13 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 2y + 13 = 0 Jawab : A

PENYELESAIAN Misal titik (x,y) ada pada l, maka: M x=2 T1 = (x, y) (–x + 4, y) absis negasi + 2 x

 − 3 T =   T2 = (–x + 4, y)  4  (–x + 4 – 3 , y + 4) = (–x +1 , y + 4) = (x’, y’) jadi: x’ = –x + 1 ⇒ x =1 – x’ y’ = y + 4 ⇒ y = y’ – 4 diperoleh: l : x2 + y2 = 4 l’ : (1 – x’)2 + (y’ – 4)2 = 4 x2 + y2 – 2x – 8y + 1 + 16 – 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 …………………(A)

2. EBTANAS 2002 Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … a. y = x + 1 b. y = x – 1 c. y = ½x – 1 d. y = ½x + 1 e. y = ½x – ½

T = My = x : dibalik M

=x y = 2x + 2 y → x = 2y + 2 2y = x – 2 y = 12 x – 1 ……………(c)

Jawab : c

50



20. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan

Ciri utama

Rumus suku ke-n

Suku tengah

Sisipan k bilangan

Ut = 12 (a + U2k – 1) , Aritmetika Beda b = Un – Un – 1

Un = a + (n – 1)b

k letak suku tengah,

bbaru =

y−x k +1

rbaru =

k +1 y x

banyaknya suku 2k–1 Geometri

Un U n −1

Rasio r =

Ut =

Un = arn–1

a ⋅ Un ,

dengan t = ½(n + 1)

Catatan : 1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan 2. U1 = a = suku pertama suatu barisan 3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b

B. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb Deret

Jumlah n suku pertama Sn = 12 n(a + Un)

Aritmetika

……………jika a dan Un

diketahui = 12 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui Sn =

Geometri =

a (r n − 1) ………………… jika r > 1 r −1 a (1 − r n ) …………………jika r < 1 1− r

Catatan: 1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :

• Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S 1 2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu: a • S∞ = 1− r

51


MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2012/A13 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah… A. 44 D. 38 B. 42 E. 36 C. 40 Jawab : A

PENYELESAIAN Cara Biasa Sn = n2 + 5n S2 = 22 + 5(2) = 14 U1 = S1 = 12 + 5(1) = 6 _ S2 – S1 = U2 = 8 b = U2 – U1 = 8 – 6 = 2 U20 = a + 19b = 6 + 19(2) = 44 ………………………(A) Cara Cepat : Sn = n2 + 5n ⇒ Un = 2n + (5 – 1) = 2n + 4 U20 = 2(20) + 4 = 44 • a = log 2

2. UAN 2003 Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + log • 6 + log 18 + log 54 + … adalah … • a. 5 log(4·310) b. 5 log(2·39) c. log(4·310) d. log(4·345) e. log(45·345) Jawab : e

52

b = log 6 – log 2 = log( 62 ) = log 3 Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) S10 = 12 · 10(2·log 2 + 9 log 3) = 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e)



21. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA A. Persamaan Eksponen Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, maka berlaku 1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p 2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x) 3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0 4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka a) f(x) = g(x) b) h(x) = 1 c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0 d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

{ } + B{a }+ C = 0 , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.

5. Jika A a f ( x )

2

f (x)

SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2012/B25 Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik berikut adalah ... A. f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 x+1 E. f(x) = 3x B. f(x) = 2 x C. f(x) = 2 + 1 Jawab : C

3 2 1

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0,2), (1, 3), maka f(0) = 2, dan f(1) = 3

Y

Jawaban yang benar adalah (C)

(0,2

f(x) = 2x + 1 i) f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ f(1) = 3

(1,3)

X –2

–1 0

1

2

3

2. EBTANAS 2002 Nilai x yang memenuhi adalah … a. 2 b. 2½ c. 3 d. 4 e. 4½

3

2 x +1

3 2 x +1 = 9x – 2 x–2

=9

1 ( 2 x +1)

⇔ 32 = 32(x – 2) ⇔ { 12 ( 2 x + 1) = 2(x – 2)} × 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2x + 1 = 4(x – 2) 2x + 1 = 4x – 8 4x – 2x = 1 + 8 2x = 9 x = 4 12 …………………………..(e)

Jawab : e

53



B. Pertidaksamaan Eksponen

Untuk a > 1 1.

Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)

2.

Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)

Tanda Pertidaksamaan tetap

Jika 0 < a < 1 1.

Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)

2.

Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)

Tanda Pertidaksamaan berubah

SOAL 1. UN 2012/A13 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0, x ∈ R adalah… A. x > –1 atau x > 2 B. x < –1 atau x < 2 C. x < 1 atau x > 2 D. x < –1 atau x > 2 E. x > –1 atau x < –2 Jawab : D

PENYELESAIAN 32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0 ⇔ 3(3x)2 – 28⋅3x + 9 > 0 ⇔ 13 {(3⋅3x – 1) (3⋅3x – 27)} > 0 ⇔ (3⋅3x – 1)(3x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 3⋅3x – 1 = 0 3x = 13 = 3– 1

ii)

x=–1

3x – 9 = 0 3x = 9= 32 x=2

Jadi, pembentuk nol x = {–1, 2} karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(D)

A. Persamaan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0 1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p 2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) SOAL 1. UN 2011 PAKET 12 Nilai x yang memenuhi persamaan 1 2

1 2 log

log( x 2 − 3) − x = −1 adalah … a. x = –1 atau x = 3 b. x = 1 atau x = –3 c. x = 1 atau x = 3 d. x = 1 saja e. x = 3 saja Jawab : a

PENYELESAIAN 1 2

1

log( x 2 − 3) − 2 log x = −1

1 2 2 log( x

−3 2 ) = log 2 −1 x x2 − 3 ⇔ − 2 log( ) = − 2 log 2 x x2 − 3 ⇔ =2 x ⇔ x2 – 3 = 2x ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 x = {–1, 3} ……………………………..(a)

⇔

54



B. Pertidaksamaan Logaritma

Untuk a > 1 1. 2.

Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x) Tanda Pertidaksamaan tetap Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)

Jika 0 < a < 1 1. 2.

Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x) Tanda Pertidaksamaan berubah Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)

SOAL 1. EBTANAS 2002 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x log9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3} b. {x | 0 < x < 3} c. {x | 1 < x < 3} d. {x | x > 3} e. {x | 1 < x ≤ 3} Jawab : D

PENYELESAIAN x

log9 < xlog x2

(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1 (ii) pertidaksamaan 9 < x2 ⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0 Pembentuk nol x = {–3, 3} berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3}………………………..(d)

55


MATERI UN 2013 bahan UN 2014

Recommend Documents