Bab 8 m
o c r .
e b
c y i a n d u d
w .
w : w
e r m b S u
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.
Pembahasan limit fungsi Pembahasan fungsi yang telah telah Anda pelajari pelajari di Bab 7 dapat dapat dikembangk dikembangkan an pada pem pem ahasa ahasan n turunan turunan fungsi fungsi karena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupan fungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan oleh suatu kend kendaraan araan yang berg bergerak erak denga dengan n kecep kecepatan atan m am meme me menu nuhi hi pers persam amaa n
v
2
4
x
liter. Dengan
A. B.
Konsep Turunan Menentukan Turunan Fungsi C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun E. Maksimum dan Minimum Fungsi F. Turunan Kedua G. Nilai Stasioner H. Menggambar Gra�k Fungsi Aljabar
memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.
193
Diagram Alur ntuk memper mempermudah mudah Anda dalam mempe mempela la ari bab ini, pela arila arilah h iagram alur yang disa ikan sebagai berikut. menghasilkan eori
Limit
Turunan
menyelesaikan
Aplikasi
masalah im
x
f ( )
0
)
0
a
menentukan
rumus
lim
x
a
lim
x
x
a
lim x
f ' x
a
lim x
' x
menentukan
La u erubahan Fungsi
menentukan
radien
Interval Fungsi Naik/ Turun
f '' x
a
menentukan
Titik Balik Maks./Min. dan Titik Belok
Tes Kompetensi Kompetensi Awal Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut. 1.
Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.
2.
sin (α ± β) = ....
3.
cos (α + β) = ....
4.
tan (α + β) = ....
5.
cos 2α = ....
194
6. f ( x) = 2 x3 + 3 x, tentukan f ( x + 1) dan (a + b). f ( 7. 8.
= .... Tentukan gradien garis singgung kurva di titik
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
A. Ko Konse nsep p Turu Turunan nan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
1. Garis Singgung Amati Gambar 8.1. Misalkan adalah suatu titik tetap pada grafik = x) da dan n dala da lah h se sebu buah ah ti titi tik k ber berde deka kata tan n ya yang ng dapat dipindah-pin dipindah-pindahkan dahkan sepan ang gra grafik y = . Misalkan, titik A berkoordinat ( a, a)) maka titik B berkoordinat + Δ , a Δ )). Garis yang melalui A dan mempunyai f a f a gradien kemiringan) . Garis ini memotong grafik di di dua tit titik ik A dan yang be berbeda. Jika Ji ka ti titi tik k be berg rger erak ak sep sepan anja jang ng ku kurv rvaa = ) me mend ndek ekat atii titik maka nilai Δ x semakin kecil. Jika nilai Δ x m meen e at nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgun singgung g (jika tidak tidak tegak lurus lurus pada sumbusumbu- ) adalah garis yang melalui a a)) dengan gradien m AB
lim
f a
x
f a
y
f(a +
)
y = f(x) B(a + f(a +
f(a)
, ))
A(a, f(a))
O
a
a+
x
Gambar 8.1
y
..(1) f (a +
ertany ert anyaan aan:: Mengap Mengapaa persama persamaan an gar garis is singg singgung ung tidak tidak boleh boleh tegak teg ak lur lurus us sum sumbubu- ?
Tentukan gradien garis singgung pada kurva a. x) = x2 di titik dengan absis 2 x) = x di titik dengan absis 3 b.
A(a, f(a))
f(a)
O
Contoh 8.1
y = f(x) B(a + , f(a + ))
)
a
a+
x
Gambar 8.2
Jawa : a.
m
m
m
x
m
2
x 0
2
Jadi, gradien garis singgung kurva x) = x2 di titik dengan bsis = 2 adalah m = 4.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
195
im
b.
f
x
3
x
m
3
x0
l
lim
27 x
27
Jadi Ja di,, gr grad adiien ga garris si sing nggu gung ng ku kurv rvaa sis x = a a a m = 7. Tabel 8.1 Selang Waktu 0–1 0,8 – 1 0,9 – 1 0,99 – 1 0,999 – 1 0,9999 – 1 – 1,0001 – 1,001 – 1,01 – 1,5 1–2
= x di titik dengan
2. Kec ecep epa ata tan n Sesaa Sesaatt 35,0000 35,0000 47,0000 47 ,0000 48,5 00 49,8500 49,85 00 49,9850 49,9985 50,0015 50,0150 50,015 0 50,1500 50,15 00 57,5 00 65,0000 65 ,0000
Misalkan, fungsi x) = 15 x2 + 20 20 me men nya yata tak kan ja jara rak k dalam dala m km) km) yang yang dite ditempu mpuh h sebua sebuah h mobil mobil sete setelah lah jam perjalanan selama selang waktu 0 ≤ ≤ . ecepatan ratarata mobil mobil itu selama per alana alanannya nnya adalah adalah
f
0
5
2
0
2
0 km/jam Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c ≤ x ≤ d . Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1. mati tabel tersebut. Nilai
f
mendekat ke bilangan 0 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil Δ x mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan sesaat pada x = 1. Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δ dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada = 1 ditulis f lim lim 1
lim
50
Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.
196
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di x = ? Coba Cobalah lah nya nyatak takan an den dengan gan kat kataakata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan de finisi kecepatan sesaat di = a, yaitu
rata-rat
x
f
a
im
x
... 2 .. Sumber: Dokumenta Dokumentasi si Penerbit
Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan.
Gambar 8.3 Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsi f ( x ) = 15 x 2 + 20 x . Berapakah kecepatan rata-ratanya?
Contoh 8.2 Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan f ( x x) = 6 x3 + x2 , dengan f ( x x) dinyatakan dalam meter. a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3. b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik? Jawab: Jawab: a.
f x x f x
x
6 3
3
32 6 2 3 2 3 3 2
119
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s. b.
lim
f 2 x f 2
x
x 0
6 2 x 2 x 6 2 lim 3
x0
lim
2
3
22
x 6 8 12 x 6x 2 x 3 4 4 x x 2 52 x
x0 2
lim 6 x 37x 76 76 x0
Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
197
=a
. Tur urun unan an Fun ungs gsii di
Jika fungsi = x) terdefinisi di sekitar f f y lim lim
= a maka
Jika lim
da maka nilainya disebut turunan fungsi ) i x = a. Tur urun unan an fu fung ngsi si a a su suat atu u un ungs gs ug uga, a, ya tu ungs turunan yang dilambangkan dengan f ( ). Unt Untuk uk men menyat yataka akan n turunan di = a dinyatakan dengan f (a). Jadi, 0
a l m
f a
f a x
x
tau f a l m
f x f a
a
Contoh 8.3 Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f ( ) = x2 – x , tentukan f' (5). Jawab
antangan untu A Coba Anda tunjukkan cos li .
a
'
m
f a
a
x 0
im
0
lim
0
m
0
Contoh 8.4 Tentukanlah f ( x x) fungsi-fungsi berikut ini. = + x) = cos x a. b. Jawab a. x x
x
m
x
x
x
0
im
0
198
0
x
1
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
x
cos m
x
cos
cos x
0
li
x
cos
x
x
os x
li
x 0
cos
cos im x0
lim
sn
x 0
si
s n im
0
sin
Tokoh Matematika
Contoh . anjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. entukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm. Jawa : Misalkan, lebar = l m maka maka pan ang = p = × l = l dan luas = L = × = 3l l = 3l . Jadi, = f l) = 3l2. Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk = 5 adalah ‘(5). '
im
m x0
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716)
,
0
2
m
x
3 3
2
x 0
4. Mengenal Notasi Leibnitz nda telah mempelajari bahwa turunan fungsi x) inotasikan dengan f '( x x). Nilai Δ menyatakan perubahan ilai x, yaitu Δ = x2 – 1 Adapun perubahan ) Δ x) – enyatakan perubahan nilai fungsi x) dinotasikan dengan Δ Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan enjadi lim
Gottfried Wilhelm Leibnitz adalah orang jenius. Ia ahli dalam bidang hukum, agama, politik, sejarah, �lsafat, dan matematika. Bersama Newton merumuskan pengertian dasar tentang kalkulus diferensial. Leibnitz pun dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung. Sumber Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, 1990
.
0
Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan ungsi, yaitu
f x
. Diketahui fungsi =
....(1)
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
199
sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi y dx
=
' = f = f '( )
Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz.
Contoh . Misalkan x) = x3, tentukanlah f
a.
b.
x
nilai x sehingga
f x
= 1
Jawa a.
f dx
lim
x x
x
lim
x
= x maka x = 1
Jadi Ja di,, nil nilai ai
3
x0
im f
3
2
=± .
yang ya ng mem memen enuhi uhi
f x
= 12 adalah x = ± .
Contoh .7 Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan persama an – 3 . Tentukanl entukanlah ah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu Tentukanlah nilai sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15. Jawa La u perubahan perubahan sesaat arak terhad terhadap ap waktu waktu adalah adalah s
f
t
t
im
0
t
m
t 2
t 0
lim
t
2
0
lim
t 0
200
t
m
0
t t
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
pabila la u perubahan perubahan arak terhada terhadap p waktu waktu sama dengan 16, 16, diperoleh f x
= 2 – 3 1 15 5= 2 –3
= = t = Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t =
se on.
Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1.
Jika 2.
a. b.
Gunaka Guna kan n kons konsep ep li limi mitt unt untuk uk men menye yele lesa saik ikan an soal-soal berikut. Jika = x + x, tentukan ' . a Jika = x – + , tentu an ' . ika = x , tentukan f ' . c =1
x
, tentukan '
.
Gunaka Guna kan n kons konsep ep li limi mitt unt untuk uk men menye yele lesa saik ikan an soal-soal berikut. a = 4 – x , te tent ntuk ukan an ' –3 . a Jika = – x tentuka kan n '2. c
Jika
=
J ka
=
x
1
= .
x
x
Dengan menggunakan konsep limit, hitung f x
dari fungsi berikut untuk x yang
x
di
= 3cos x i
=
.
Sebuah Sebua h ben benda da be berg rger erak, ak, ke kedud duduka ukanny nnyaa setelah setel ah sekon memen memenuhi uhi persam persamaan aan t 3t + t . Bera rapa pa ke kece cepa pata tan n rata rata-r -rat ataa pad padaa a. Be selang waktu = se on an an t = se on erapa kecepatan se sesaat pa pada wa waktu b. = 2 sekon?
6.
S eb e b ua u a h pe p e ru r u sa s a ha h a an a n m en e n da d a pa p a tk t k an an keuntungan setelah t tahun sebesar .500 .5 00.0 .000 00 –5 –5.0 .000 00t. Berapa besar keuntungan antara = tahun dan t = 4 tahun? Bera rapa pa la laju ju ke keun untu tung ngan an se sesa saat at pa pada da t b. Be 2 tahun?
.
Gunaka Guna kan n rum rumus us tu turu runa nan n unt untuk uk me menc ncar arii urunan fungsi-fungsi berikut. = 6 x + . = sin x a. = x + = cos x . ) = 3 x 2 ) = tan x
di titik dengan absis x = – di titik dengan absis
) = 2 x +
unakan konsep limit untuk soal-soal berikut
, tentu an ' 1 .
=
nilai
.
, tentukan '(5).
Dengan menggunakan konsep limit, tent te ntuk ukan an grad gradie ien n ar aris is sing singgu gung ng pada pada kurva berikut ini. ) = 5 x di titik dengan absis x = a . + – 5 di ti titi tik k de deng ngan an ab absi siss x = =– c
.
) = 2 x2 di x = –1 ) = – 5 di = –
diberikan.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
201
B. Menen Menentukan tukan Turuna urunan n Fungsi Fungsi Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung yang ya ng me meng ng un unak akan an definisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih
f x
dan menghitung limitnya,
memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Tentunya, Anda perlu mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan Anda untuk memperpen memperpendek dek proses yang yang berkepan berkepan angan itu. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.
1. Men Menen entuk tukan an Turu Turuna nan n Fung Fungsi si f ( x ) = ax Misalkan, fu fungsi ntu n = 1, diperoleh dalah m
x
) = ax dengan n = 1, 2, dan 3. = ax dan turunan fungsi tersebut
x
x0
im
x
a
x0
m
x
a
ax
m
0
= ...(1) Untuk n = 2, diperoleh f ) = ax dan turunan fungsi tersebut dalah
f '
= lim 0
a
= lim
2
0
= lim
ax 2
2
a
0
= lim
=
x
Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi ) = x3 x) = ax4 dan x) = ax5. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi fungsi-fungs i berikut. = ax6 f = x
) = ax15, f ( ) = 15ax14
) = ax f ‘( ) = ax –
202
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. ) = x , dengan n dengan n bilangan bilangan asli maka f maka f '( ) = na nax x
Misalkan,
–1
.
Untuk = 0, x) = x menjadi ) = ax0 = a. Fungsi x = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi konstan adalah x lim
f x
lim
a
a
lim
0
antangan untu A
ehingga rumus tersebut berlaku untuk bilangan bulat sebagai berikut. Misalkan, f = ax n den Misalkan, f enga gan n anga an gan n u at ma a = anx untuk f untuk f ) = a, f '( ) = 0 den denga gan n a sebarang bilangan real.
Contoh .
–1
Rumus ini juga berlaku untuk n=– a x x
a
Tunjukkanlah dengan cara limit.
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini. ) = – x3 x) = x4 a. b awa : = x4–1 = x x = x4 ma a ' a. ma a ' = –8 3 x =
Conto Tentukan .
x
f x
–1
=–
.
untuk fungsi-fungsi berikut. x
g x
.
x
Jawa : a. b.
f x
x
g x
1
1
x
x
1
x ma a
x
5
g x
81
9
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
203
Contoh .1 Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai 12 tahun adalah tetap, yaitu t ) = 120 cm. Tentukan Tentukanlah lah la u pertumbuhan pertumb uhan (la u pertumbuhan sesaat) sesaat) tinggi badan anak tersebut. elaskan. Jawab Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahun tetap. Oleh karena itu, ) = 120 adalah fungsi konstan sehingga ) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.
2. Menentukan Turunan Fungsi f ( x ) = ax dengan n Bilangan Rasional Misalkan, x m
)=
turunan fungsi
f x
) adalah
0
x
x lim
0
lim
x x
x
x
x
x
x
lim
x
x
0
1
lim
x
x
Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan fungsi ) = x –1/3 dan ) = –2/5 Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungs i ) = ax ? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi ) = x yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, f ) = ax n, dengan bilangan rasional maka turunannya adalah f adalah f '( ) = nax n – 1.
Contoh .11 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a
204
x
4
x
3
x
2
x
2
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawa : 3
x x
a.
' x
x
1
1
1
4
1
x
b.
2
3
3
x
1
x
maka
x
3
x
x 5
x
c.
.
2
5
x 3 3
3
2
3
2
x
' x
x
3
2
urunan Fungsi Berbentuk =
Diketahui, fungsi = ) dengan ) = x) + v ), dalam hal ini x) dan v x) fungsi yang dapat diturunkan di = a untu un tuk k bi bila lang ngan an rea real. l. Den Denga gan n dem demik ikia ian, n, a
a lim
a
a
x 0
m
a
v
u a
v a
x 0
u
m
v
0
m
a
0
m
0
a Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi = ± ? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan ungsi y = ± v ang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, a adalah Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku = f ' a = ' a + ' a ; untu ma a ' = ' +
Dengan cara yang sama, sama, coba Anda An da tunjukkan bahwa bahwa untuk = – maka y' = ' – ' .
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
205
Contoh .12 Tentukan turunan fungsi berikut. x = x – a.
m a asan Soa Diketahui )=3 – + ( )= + – Jika h( ) = ) – 2 ( ) maka h’ ( ) ad adal alah ah........ Jawab h( )= )= ) – 2g( ) = – + – 2 ( + – 3) = – + h’( ) = 2 – Soal UMPTN 1997
Jawa a.
=
+
=
–3
=
+
x = sin
+ cos
x
maka f '( ) = 3 x – 6 x 1
x
' ) = cos
= x + x –
= 3 – x – =
a a '
–sn
y = 4. Tur urun unan an Fun ungs gsii y =c u Diketahui, fungsi = ) dengan ) = c . x), dalam hal ini c konstanta dan ) fungsi yang dapat diturunkan di x = untu a bilangan real sehingga m
a
f a
lim
u a
u
u
0
Misalkan, adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = = . a) berlaku f '(a = c '(a). Akibatnya, dari y = berlaku y' = c . '.
Contoh 8.13 Tentukan turunan fungsi berikut. x) = 3 x2 a. f ( x 8 x) = b. f ( x x
c.
f ( x x) = 3 cos x
x) = d. f ( x
3
5 x
Jawab: Jawab: x) = 3 x2 maka f '( x x) = 6 x a. f ( x 8 8 x) = = –8 x –1 maka f '( x x) = 8 x –2 = 2 b. f ( x x
c.
206
x
f ( x x) = 3 cos x maka f ‘( x x) = –3 sin x
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
x) = d. f ( x
3
1
3
1
5 x = 5 x 5 x maka f ' x 3
2
6
1
5 3
6 3
=
5x6
5
6 6 x 5
1
6
25
6 x 5
urunan Fungsi = uv
.
iketah iket ahui ui,, fu fung ngsi si = x) dengan x) = u x) · v x), dengan x) dan v ) adalah fungsi yang dapat diturunkan i = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu a a a u a v a a im
a
im
0
v a
u a
u l 0
a
0
0
a
a
v a
u a v
v a
u
a
v a
v a
a v '
v
a
lim v a
u a
u a
0
' a
Oleh karena itu, jika = = · v ) dengan a bilangan real sebarang berlaku f '(a) = a) · v'(a) + a) · '(a). ntuk y = · v v,, aka ' = v' + u'.
m a a s a n Soal
Contoh .14
Turunan Turun an dar darii = (1 – ) (2 + 3) adalah ....
Tentukan turunan fungsi berikut. x) = (5 – 1) (3 x – 2) a. x) = cos sin x b. Jawa : x) = (5 – 1 3 x – a. Misalkan, = – 1 maka ' = an – ma a ' = sehingga ' ( x f '( = ( . v' ( + v ( x = (5 – 1) . 3 + (3 – 2) . 10 30 2 – 20 x + 15 – 3 = 45 x2 – 20 – 3 x) = sin x cos x b. Misalkan, x sin u ' x dan v x os x
sehingga f '( x x
v ' x
Jawab Misalkan, = (1 – ) maka ‘ = 2(1 – )(–1) = –2(1 – ). Misalkan, = (2 (2 + 3) 3) ‘=2 = ‘= ’ ’ = –2 –2(1 (1 – )( )(2 2 + 3) + (1 – ) (2 (2)) = 2(1 – )[( )[(–2 –2 – 3) + (1 – )] = 2( 2(1 1 – )( )(–3 –3 – 2) = 2(1 – )(– )(–1)( 1)(3 3 + 2) = 2( – 1)(3 + 2). Soal UMPTN 1999
x
. v' ( x u x) + v ( x x) . u' ( = sin x (– sin x + cos x . cos = cos – s n = cos x – – cos x = cos – = cos
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
207
n
6. Tu Turu runa nan n Fu Fung ngsi si =
Diketahui y = u) dengan )= dan u = g x). Jika fungsi = g ) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real maka g g '( ) = lim Oleh karena a bilangan real sebarang maka g g g' ) = m g' ) = lim Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh y
' ) = lim 0
Untuk Δ mendekati nol maka Δ mendekati nol sehingga y a g ' x lim lim
lim
0
lim
0
f 0 f
lim y
lim
' ' x x
f
y ' x
'
f '( n – 1 ehingga '( = – x . Untuk y = maka y' = '( x
Conto
=n
– 1
'( .
.15
Tentukan turunan fungsi berikut. a.
= (2 + 3 x )
b.
= (5 + 2 x +
Jawab = (2 + 3 x ) a. Misalkan, = 2 + x ma maka ka . = = 9 2 + 3 x .
= (5 + 2 x + f '(
c.
= 3(5 + 2 x
x
208
sn
x = s n 3
.
2
= ·2+
x
sn
os
cos2
) = 6 sehi sehing ngga ga . = 2 + 3 x
2
1 2 x x
c s s x x
x
.
=u 1
3
x
2
= 6(5 + 2
2
+
1
cos c s
x
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
7. Atu tura ran n Ra Rant ntai ai Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y = . Da Dari ur uraian te terrsebut, diperoleh bahwa un untuk = )= – dengan u = g x) maka turunannya y' = nu u'( ). Ha Hasi sill tersebut menggambarkan aturan rantai. Misalkan, = f = f ) dan = g g(( ). )( ) = ( x)} x)} = f = f ) = y = y Jika fungsi g mempunyai turunan di x x dan fungsi f mempu mem punya nyaii tur turun unan an di , tur turuna unan n fun fungsi gsi kom kompos posisi isi = ( x)} x)} = f = f o ( ) ditent ditentukan ukan sebag sebagai ai berik berikut. ut. . x)) g g'( '( ) o )'( ) = f '( ( x)) dy dy du atau . dx du dx
Contoh 8.16 Tentukan turunan fungsi y =
6
x 3 .
Jawab: Jawab: Misalkan, u = x 3 maka y = u6. 1 1 2 1 du x 2 dx 2 x dy du dy dx
6u 5
dy du
du dx 1 6u 5 2 x 5
6 x 3
1 2 x
5
3 x 3 x
u y = . Turunan Fungsi Fungsi y = v Diketahui, fungsi y =
) dengan
=
x x
, dalam hal
ini x) dan x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
209
f '(a) = lim
f
f
v
lim
= lim
u v v
= m
v v
u
u
0
u
= lim
a
lim
lim
0
Anda dapat mengetahui informasi lain tentang ungsi dan Turunann Turunannya ya melalui internet dengan mengunjungi situs berikut.
=
im
0
' a
a a
x
)=
x
Untuk
=
v
, berlaku
lim
0
a
v ' a
a
' a
v a ' x
.
x
'
'
dengan sebarang bilangan
'
u'
' a v a
real sehingga berlaku f '( ) = x = maka f '( x
Oleh karena itu, jika =
a
lim
'
S tus Matematika
v a
v a v a
u
u
=
v
v
'
.
Contoh 8.17 Tentukan turunan fungsi berikut. = cosec x a. = tan b. Jawa a.
= cosec x =
sin x
Misalkan = 1 ma a ' = 0 dan v = sin x ma a ' = cos cos x u' ' sehingga ' x = v x
0
210
2
i
1 i x i x
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b.
) = tan x =
si
cos Misalkan = sin x maka ' = cos dan = cos x maka ' = – sin . sin cos s n x os s n x 1 f ' 2 2 cos x x os x
sec2 x.
Conto
.18
Tentukan turunan fungsi berikut. .
=
x
.
=
x
m a a s a n Soal
2
Jawab dan = x + 2 maka v' = 1. a. Misalkan, = x – 2 maka ' = 1 dan x )= sehingga x '
u x v x x
=
Jika
Jawab 3 )= x
v x
=
2
, maka
( ) ada adala lah h ... ..... 2
x
maka x = maka x =
x
–
2
= ( – 1) 2 + 3) maka = 3( – 1) (2 + 3) + ( –1)3 2) = 2 x maka v’ = –4 –4 . u ' x x u x x x sehi hing ngg ga '( = 2 x v x
Misalkan,
)
3 x
–
urunan
x
)=
3
2
d
3 x
4
dx
x Soal UMPTN 1997
2
3
( )=
x
x
x
4
x x
x
x
x
x
x
x
3
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
211
Contoh .19 Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10 m/det m/ detik. ik. Ke Kedud duduka ukan n pel peluru uru set setela elah h et mem memenu enu per persam samaan aan t = 3 t – – t engan t a a a t ngg pe pe uru yang u ur a am meter. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik. Kapa pan n pe pellur uru u be berrhe hent nti? i? b. Ka Jawab Diketah Dik etahui ui Kecepatan awal peluru = 10 m/detik. e u u an pe uru pa a t et = = t – – t . Ditanya Dit anyakan kan Kece cepa pata tan n pelu peluru ru pad padaa saat saat 1,5 1,5 det detik ik.. a. Ke Kapa pan n pe pellur uru u be berrhe hent nti. i. b. Ka Pengerjaan a. Dalam fisika, kecepatan erupakan turunan dari kedudukan terha te rhada dap p wa wakt ktu u seh sehin ingg ggaa = ' t = – . adi, kecepatan peluru pada saat t = , a a a 1,5 5 = 30 30 –12 –12 1, 1,5 5 = 12 12 m/d m/det etik ik.. v 1, Peluru uru akan berh berhenti enti keti ketika ka kece kecepata patannya nnya nol seh sehingg inggaa t = 0 b. Pel 30 – 12 12 = 0 = 2,5. Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.
Tes Kompetensi Kompe tensi Subbab B erjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1
=
2
)=
–
)=
+1
= 4 5
)= )=
8
–
212
+3
– 5) –
+ 5 3 x – 11 11
1
10
13. 13.
) = sin
14. 14.
) = 5 si sin(3 – x
15. 15.
=
16. 16.
=
19. 19.
= =
) = x
x
0.
+ 2)
sin x cos –
) = tan (5 + = tan
)= =
12. 12.
7.
x
x
– x
) = cot(5 – 3) uas per uas perm muk ukaa aan n kub kubus us be berrus usuk uk x cm ditu di tunj njuk ukka kan n ol oleh eh fu fung ngsi si ( = 6 . Ten entu tuka kan n aju per perubah ubahan an luas luas ( ) terhad terhadap ap x untuk x = cm denga dengan n cara cara mengh menghit itun ung g ’ (7 (7). ).
1
)=
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
an ang dan lebar lebar sebua sebuah h persegi persegipan pan ang adalah ada lah 3 + 2 dan 2 . Caril Carilah ah laju laju per peruba ubahan han luas terhadap x untuk lebar 6 cm. 22 Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang bar ang ( ) dengan dengan bia biaya ya p x = 3 – x + 5. Jika biaya total marginal didefinisikan sebagai
p x
b. 4. a.
, tentukan biaya total marginal
untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya total untuk memproduksi 20 barang?
Misalk Misa lkan an per pertu tumb mbuh uhan an bak bakte teri ri pad padaa wakt wa ktu u me meme menu nu pe pers rsam amaa aan n ) =3 t . Tentukan laju pertumbuhan bakteri terse ut. opulasi penduduk pada suatu daerah memenuhi persamaan
23 Pendapatan koperasi "Maju" dalam x tahun, mulai 1 anuari 2004 adalah =
entukan entuka n la u per perub ubaha ahan n se sesa saat at pa a Januari 2006. Tent entuka ukan n la laju ju per perub ubaha ahan n se sesa saat at pada pada Januari 2009.
=
2
x
dengan
a am utaan r p a .
.
Tentukan
–
0 t
t
2
t
C. Pers ersama amaan an Gari Gariss Sing Singgun gung g pada Kurva Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) (gradien) garis singgung kurva y x) di titik a, a)) adalah f ' a
lim
f
f
ersamaan garis lurus yang yang melalui titik x1, 1) dengan gradien adalah – y1 =
( –
)
1
Dengan demikian, demikian, persamaan persamaan garis singgung singgung g di titik A a, a)) pada kurva adalah – a a)) = '(
Conto
( – a
.2
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a.
x) = x di titik (–2, 4)
. y =
di titik ya yan ng memiliki abs bsiis
= 1 da dan n
= .
awa : ersamaan aris singgung pada kurva x = adalah y – = ' –2 – –2 . )=
di titik –2, 4
maka f '( ) = 2 x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4
Jadi,, pe Jadi pers rsam amaa aan n ar aris is si sing nggu gung ng pa pada da ku kurv rvaa ) = (–2, 4) adalah y – 4 = –4 ( x x + 2) y = –4 x – .
di ti titi tik k
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
213
ntuk absis x = 1. Persamaan garis singgung pada kurva x) = x adalah 1) y – f 1) = f '(1) ( – 1) 1) dan f '( '(1) 1) di dite tent ntuka ukan n se seba baga gaii be beri riku kut: t: = ma maka ka 1 =1 = . ' = 3 sehingga ' 1 = 3 . =
adi, persamaan garis singgung pada kurva 1, 1 ad adal alah ah y – 1 = 3 x – – . y =
=
i titik
Untuk absis x = 2. ersamaan ersama an garis singgung singgung pada pada kurva x = x adalah 2) y – 2) = f '(2) x – 2)
m a asan
oa
Kurva y = Kurva y = ( x ( x + 2) me memo moto tong ng A.. Persamaan sumb su mbuu- di ti titi tikk A garis singgung pada kurva tersebut di A di A adalah .... Jawab: Jawab: A adalah titik potong kurva y = y x + 2) = ( x 2) te terha rhada dap p sum sumbu bu-- . x = 0 absis x absis = 0+2 = dy m= = 2(2 x 2(2 x )( x )( x + 2) dx m = 2(0)(0 +2) = 0 Persamaan garis singgung – = m ( ) y = y y–4=0 = Soal UMPTN 2001
2) dan f ' ( 2 ) d i te te nt nt u ka ka n s eb eb a ga ga i b er er ik ik ut ut : 2 = = . ' x = x sehingga f ' 2 =
= x m maa a
=
adi, pe adi, pers rsam amaa aan n ga gari riss si sing nggu gung ng pa pada da ku kurv rvaa = 2,8) adalah y – 8 = 12( x x – 2) y = 2 x – 16.
3
i titik
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurvaa apabila gradien kurv gradien garis singgung singgung diketahui, diketahui, pelajari pelajari beberapa contoh berikut.
Contoh . 1 entu an persama persamaan an aris singgun singgung g pada kurva berikut berikut.. . y = ) di titik (1, 4) ika f ' x = x + b. y =
den enga gan n
= 2 ya yang ng teg egak ak luru russ ter erha hada dap p ga gari riss y = –
.
Jawab ersa er sama maan an ga gari riss si sing nggu gung ng pa pada da ku kurv rvaa y = f ) di titik (1, 4), a. menurut rumus adalah y – f 1) = f '(1) ( – 1). Dik Diketa etahui hui 1) = 4 dan f ' x = x + 6 maka f ' 1 = . + . 1 = . adi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – = x – y = x – . b. Jika g: y mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2 3 dan tegak te gak lu lurus rus te terh rhad adap ap gar garis is : y = –
ma a m –
x = –1
m = 4. Persamaan aris singgung pada kurva y = 2 adalah y – 1) = deng ngan an ab absi siss ti titi tik k si sing nggu gung ng pa pada da ku kurv rvaa y = 2 3. f '( x x ) ( – ) de Selanjutnya, nilai x ditentukan sebagai berikut. f ' x = 6 maka f ' ) = 6
214
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui ' 1 = se ngga 1 = = ± . x = 1 Untu Un tuk k = 2, di dipe pero role leh h ( = 2 . 2 = 16. 16. Pers Persama amaan an gar garis is singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – a alah = – y – y = – Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk = –2.
Tes Kompetensi Komp etensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihanmu. 1.
Tentukan persamaan aris singgung kurvakurva berikut. x) = x2 di titik (2,4) a. x = 1 –
c. d. 2.
3.
2
i titik 2,–
x) = x3 + 1 di titik (–1, 0) x) = x2 – 3 x – 7 di = 4
Ten entu tuka kan n pers persam amaa aan n gari gariss sing singgu gung ng kurva y = ) pa pada titik yang diketahui ika gradien garis singgungnya diberikan oleh persamaan berikut. a. f '( = 4 – 4 di (1,–2) b f '( = 2 – 6 x di (0,0) c f '( ) = 3 2 – 2 di (–1,1) d f '( ) = 3 – 3 di (2,–2) a
b.
Tentukan pe persamaan aris si singgung kurva y = – 4 + 5 yang tegak lurus – 2 + 3. y = –2
.
Tentukan koordinat pada kurva agarr aris sin singgu ggung ng kur a y = x + – aga di titik itu mempunyai gradien 7. entu an pers persamaa amaan n aris singgung kurva y = –
di titik potong kurva
itu dengan sumbu- x x. .
entu an per entu persa sama maan an gar gar s s ng nggu gung ng urva y = x – yang se a ar ar s y = x
Garis y = + 1 me memo moto tong ng pa para rabo bola la y = x + + tt an Ten enttu an persamaa aan n ar s s nggung para o a tu t t an aris singgung kurva y =
2
i tit k
2,1) mem memoton otong g sumb sumbuu- x x di titik A dan memotong sumbu- y memotong y di titik . Tunjukkan bahw ba hwaa ko koor ordi dina natt ti titi tik k dan da n adal ad alah ah (1,0) dan 0,–1).
. Fu Fungsi ngsi Naik Naik dan dan Fungs Fungsii Turun Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan intasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = , seperti pada Gambar 8.5. eluru bergerak naik dari titik e titik B, kemudian bergerak turun dari titik ke titik C . Dikatakan disebut naik dalam daerah = x a x sebab semakin besar nilai menyebabkan menyeba bkan n lai fungsi semakin bertamb bertambah ah besar besar.. Fungsi Fungsi se ut turun dalam daerah = x sebab semakin besar nilai x me meny nyeb ebab abka kan n ni ni ai fu fung ngsi si se sema maki kin n kec kecil il.. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu fungsi disebu disebutt monoto monoton n naik dan suatu fungs fungsii disebu disebutt monoton turun Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.
y
B A
O
C
a
b
c
Gambar 8.5
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
215
y
De�nisi 8. Misalkan terdefinisi pada selang . Kita katakan bahwa: • monoton naik pada jika untuk setiap pasangan bilangan a an alam al am , < me meng ngak akib ibat atka kan n a < ; • monoton turun pa a a untu set set ap pasangan angan > b). a dan dalam , a < b menyebabkan
k i a n
t u r u n
x
Gambar 8.6 y
B P2 P1
A
O
C
a
P3
b
D
c
x
Gambar 8.7 y
B A
g2 P2
P1
C
g1 O
P3
D
g3 a
b
c
x
Gambar 8.8
Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P1 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik 2 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang ( a, b) an ti titi tik k adal ad alah ah ti titi tik k seb sebar aran ang g pad padaa gra grafik yang terletak pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung di 1 dan 3 yang diberi nama g1 g2, dan g seperti pada Gambar Gamb ar 8.8 maka garis garis singgung singgung g1 memiliki gradien positif condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradien negatif negat if (condong (condong ke kiri), dan garis singgung singgung 3 memiliki gradien positif (condong ke kanan). Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradien negatif, dan 3 memiliki gradien positif. Gradien garis singgung di suatu titik pada gra fik dapat ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan ungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi dapat diturunkan pada selang terbuka ( a, b). • Jika f '( x untuk uk se seti tiap ap da dala lam m sel selan ang g (a, b) maka x) > 0 unt ungsi naik pada selang a, b). • Jika f '( x untuk uk se seti tiap ap da dala lam m sel selan ang g (a, b) maka x) < 0 unt ungsi turun pada selang (a, b).
Contoh 8.22 Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut. x) = –x2 pada selang (0,1) 1. f ( x x) = 10 x – x2 pada selang (0,10) 2. f ( x Jawab: Jawab: x) = – x2 maka f '( x x) = –2 x. 1. f ( x Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1. f '( p p) = –2 p < 0 untuk p > 0 sehingga f ( x x) = x2 pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun. x) = 10 x – x2 maka f '( x x) = 10 – 2 x. 2. f ( x Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10. f '( p p) = 10 – 2 p > 0 untuk p < 5 dan f '( p p) = 10 – 2 p < 0 untuk p > 5. Dengan demikian, f ( x x) = 10 x – x2 pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.
216
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Contoh 8.23 Periksa naik atau turunnya fungsi f ( x x) = cos x pada selang-selang berikut. 3 a. 0, b. , 2 2 Jawab: Jawab: f ( x x) = cos x maka f '( x x) = –sin x. a. f ( x x) = cos x pada selang 0, 2
Misalkan, p adalah anggota 0, sehingga 0 < p < . 2 2 f '( p p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <
2
sehingga f ( x x) = cos x
pada selang 0, merupakan fungsi turun. 2 3 x) = cos x pada selang , . b. f ( x 2 3 3 Misalkan, p anggota , sehingga π < < p < π . 2 2 3 < p < sehingga f ( x f '( p p) = –sin p > 0 untuk π < x) = cos x 2 3 pada selang , merupakan fungsi naik. 2
Contoh 8.24 Tentukan pada interval (0, 2 π di mana tempat fungsi x + π ) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
) = cos
Jawab: Jawab: –sin in ( + π . f x = cos x + π , maka f ' x) = –s • gar ungsi x = cos + π merupa an ungs na ma a ' sehingga –sin + π > . ntu menye esa an pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan beri be riku kut: t: –s –sin in ( + π ) = 0 –sin + π ) = sin 0 x + = 0 ± k 2 π , k bilangan bulat x = – ± k 2 π Oleh karena 0, π mak makaa nila nilaii ya yang ng mem memen enuh uhii adal adalah ah ngga ga pe pero ro e ia iagr gram am tan anda da be beri riku kut. t. x = π se ng
π ari iagram tanda terse tersebut but inter interval val yang mengha menghasilka silkan n –sin + > a aa < x <
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
217
y
π
ad i, = cos + merupa an un un g s n a p a a n t e r v a 0 < < π , seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. Fungsi x) = cos( x x + π merupakan fungsi turun, jika f '( x x) < 0 sehingga f '( x x) = –sin ( + π ) < 0. engan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilmenghasilan –sin < . π < a a a π adi, = cos + π merupa an ungs turun pa a nterva π < x < 2 π , seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
•
π
–1
Gambar 8.9
Tes Kompetensi Subbab D Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1.
2.
Periks Peri ksal alah ah,, apaka apakah h fungs fungsii-fu fung ngsi si beri beriku kutt pada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakan fungsi naik atau fungsi turun. = 3 x – + a = – + = + = 1 + x ) = – 6 + 9 x + 1 e ) = 3 – 3 – 24 + f Periksalah, ap apakah fu fungsi-fungsi selang [0,
], [
, π , π ,
], [
) pa pada
, 2 π
merupakan fungsi naik atau fungsi turun. ) = sin x a b
) = cos( –
c
) = sin ( x x +
)
. .
) = sin ( – π ) = cos ( + π ) ) = cos 2 x
unjukka unj ukkan n bahw bahwaa untuk untuk set setiap iap real, fungsi
=
3
bilang bil angan an
selalu turun.
ika f ) merupakan fungsi naik pada suatu interv int erval al , tunj tunjukka ukkan n bahw bahwaa ) + c dengan konstanta juga naik; a. b. x) merupakan fungsi turun. Konsentrasi , su suatu ob obat da dalam da darah pasien memenuhi persamaan K t
t t
,
dengan t menunjukkan waktu (dalam jam) setelah pemberian obat. Tentukan interval di mana konsentrasi obat naik, dan interval di mana konsentrasi obat turun.
. Mak Maksim simum um dan Min Minimu imum m Fung ungsi si Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsifungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu. Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.
218
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Gambar 8.10 memperlihatkan grafik y = x) = x2 – 2. Anda mu mungkin me memahami ba bahwa fu fungsi = ) = x2 – 2 mempunyai nilai minimum pada x = se se a = 0 = 2 0 – 2 = –2. Turuna Turunan n fungsi ) = – 2 adalah f '( x . x) Anda dapat mem memeri eriksa ksa bah bahwa wa '( ) < 0 untuk < 0 dan f '( x x) > 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, ) turrun unt tu ntu u < dan nai aik k untu tuk k x 0. Bagaimana dengan fungsii di = 0, apakah naik atau turun? Fungsi x) di = 0 fungs tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.
y y = x2 – 2 x1
x
x2 O
f '( x x1) < 0
f '( x x2) > 0
–2
f '(0) = 0
De�nisi . Gambar 8.10
Jika fungsi encapai titik ekstrim pada ( , a ) dan terdiferensialkan pada titik itu maka titik ( , a) mer merupa upakan kan tit titik ik stas stasion ioner er atau atau ' x) = 0.
Jika Anda amati grafik y = ) = – 2, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari turun menjadi naik. Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik x = ungs ern a m n mum, ya tu ) = 0) = –2. Sekarang, selidiki grafik y = ) = 2 – 2 pada Gambar 8.11. Mudah diselidiki bahwa fungsi = x) = 2 – x2 mempunyai nila laii maksimum pada = 0 se seb bab 0) = 2 – 0 = . urunan fungsi = 2 – x2 a alah ' = – . Anda dapat menyelidiki bahwa f '( x x) > 0 untuk < 0 dan f '( x x) < 0 untuk 0. Oleh karena itu, x) naik x > 0 serta f '(0) = 0 pada untuk < , x) turun untuk > 0, 0, da dan x = 0 adala adalah h titik titik stasioner. Jika Anda amati grafik = x = 2 – x , tampa adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari naik menjadi turun. Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat t empat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik fungsi gsi ber bernil nilai ai mak maksim simum, um, yai yaitu tu ) = 0) = 2. x = 0 fun Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum dengan memeriksa fungsi ) = x3 dan x) = | |. Ke Kedu duaa grafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12. Turunan pertama fungsi x) = adalah f '( x x) = 3 x2. Anda apat memeriksa bahwa ' > 0 untu dan ' = pada x = 0. Oleh karena itu, x) naik untuk < 0 atau adalah titik titik stasio stasioner ner.. Akib Akibatn atnya, ya, titik titik x > 0 dan = 0 adalah
y
2 f '(0) = 0 f '( x x2) > 0
O f '( x x1) < 0
x1
x2
x
y = 2 – x2
Gambar 8.11
y
y = x3
x1
f'( x x2) > 0 x2
x
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
219
f '( x x2) > 0
(a)
y f '( x x) = x |x|
f '( x x2) > 0
f '( x x2) < 0
x
0
(b)
Gambar 8.12
y
a
f (x)
0 b p c
d
x
Gambar 8.13
220
stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar 8.12(a) bahwa grafik y = selalu naik di sekitar = . x x • Pada gambar 8.12(b), ) = x |x| = x 0 sehingga ' ) = –1 < 0 untu x < 0 dan ' x) = 1 > 0 untuk > 0. Adapun untuk menentukan f '(0) digunakan konsep limit, yaitu sebagai berikut. f x f m m f '(0) = m 0 Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan bahwa limit fungsi tersebut tidak ada. Jadi, ' 0 tidak ada atau t a ter erens a an. e karena itu, x) turun untuk x < 0, ) naik untuk > 0, dan = u an merupa an t t stas oner se ngga pa a = fungsi bernilai minimum. ekarang amati Gambar 8.13. Diketahui, Diketa hui, fungsi x) terdefinisi pada interval x serta f '(b) = f '(c) = 0 . Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut. . Untuk D = [a, p] atau D = { | a < p}, • nilai maksimum fungsi x) adalah b) sehingga = b menyebabkan f '(b) = 0; • nilai minimum fungsi x) adalah a) dan = merupakan titik ujung kiri interval D . Nilai b) > ) untuk anggota f = a p sehingga b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh karena a) < ) untuk nggota D = [ , maka a) disebut nilai minimum mutlak tau nilai minimum global. b. Untuk D = p, d ] atau D = { | p ≤ x ≤ d , • nil ilai ai ma mak ksi sim mum fu fung ngsi si ) ad adal alah ah d ) dan x = merupakan titik ujung kanan interval D f ; • nilai mi minimum fu fungsi x) sama dengan c) dan = c menyebabkan f '( ) = 0. Untuk = , d ] nilai maksimum dan minimum ungsi x) merupakan nilai maksimum dan inimum global. c. Untuk D = [a, d ] atau D = { | a ≤ x ≤ d }, }, nilai balik maksimum b) bukan merupakan nilai maksimum fungsi x), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relatif; • nilai balik minimum c) bukan merupakan nilai mini mi nimu mum m fung fungsi si ) akan akan tet tetap apii dina dinama maka kan n nila nilaii minimum lokal atau minimum relatif
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai untuk nilai sebag sebagai ai titik titik ujung ujung interv interval al domain domain fung fungsi si x) untuk ) dan nilai x yan yang g me me ye yeba babk bkan an f ' ) = 0. Ke Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut.
Conto
.
Tentukan nilai maksimum dan minimum = | –1 ≤ x ≤ , a. . = – ≤ x ≤ – . awa = x –
x
=
x =
'
x =
=
) = 2 2 – , untuk untuk::
–
.
anggota
≤ x ≤
= x
Soal Ter uka
2
4
....(1)
–1
= 2 –1 – = 1 ....(2) 2 2) = 2 (2) – 2 = 6 ....(3) Dari (1), (2), dan (3), diperoleh 2) = 6 adalah nilai maksimum
me meru rupa paka kan n ni nila laii mi mini nimu mum m fu fung ngsi si engan = – ≤ x ≤ .
dan
. x =
bukan anggota
=
| –6
Arif memiliki memiliki kawat yang panjangnya 28 cm kawat. Ia akan membuat bingkai berbentuk persegipanjang. Tentukan Tentuk an ukuran ukuran bingkai bingkai yang mungkin. Tentukan pula ukuran bingkai yang akan memberikan luas maksimum.
= 2 – x
≤ –
– = –6 – –6 = 78 78 –4 = –4 – –4 = 36 36 Jadi, Ja di, fun fungsi gsi = 2 – den dengan gan = { x | –6 ≤ ≤ –4} mempunyai nilai maksimum –6) = 78 dan nilai minimum –4) = 36.
Contoh 8.26 elembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan olume 8.000 π cm . Tentukan Tentukan tinggi dan jari-jari jari-jari alas silinder silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin. Jawab: Jawab: Volume olume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000 π m . Diketahui V itany nya a an: Tinggi dan ari- ari alas silinder agar luas aluminium minimal.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
221
(a)
Pengerjaan Misalkan, volume silinder = r), tinggi silinder = , jari-jari alas silinder = r, dan dan luas luas per permu muka kaan an sil silin inde derr = (r). luas alas × tinggi = π r × = . π 0 sehingga = .. . ... 1 r2 r2 (r = lua luass alas alas + lua luass selub selubung ung = π r r² + 2 π rt rt ....(2) Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh 00 r= t 2
r diperoleh ika nilai '
Nilai stasioner '(
(a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat.
2
r . 0
(b)
Gambar 8.14
. 0
r
=
) = 0 sehingga
r
2
1
0 r
2
. 0 r 20 .... .. .. 3 Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh 00
t =
40
Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas = 20 cm.
Contoh . umlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q v =
2.500 li lite terr v + 2 + 2.500
Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun. Jawab v =
2.50 500 0 li litter v2 + 2 + 2.
Nilai stasioner
diperol eroleh eh jik jikaa v) dip
=
v+
=0
'( ) = 0 sehi sehingga ngga =
= 65
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah 65) =
65
(65) + 2(65) 2(65) + 2.50 2.500 0 = 2.56 2.565 5 lite literr
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 4 × 2.5 2.565 65 = 10.2 10.260 60 lite literr.
222
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab E Kerjakanlah pada buku latihan Anda. a.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi-fungsi berikut untuk domain yang diberikan. 1.
2.
3.
+ x engan x = x – = x – ≤ x ≤ 0 . = x . ≤ ≤ f = { x | 3 ≤ 5} c. f = { x | 5 ≤ x ≤ 7} d. x) = 4 – dengan = x | –1 ≤ x ≤ 0 a. ≤ x ≤ 1 = x . = x . ≤ x 2 = x . ≤ x ≤ f
. .
a un ungs gs = x + px 3 dengan daerah asal D = { x | –1 ≤ ≤ 1} mencapai nilai minimum rela re lati tiff di = 1, tent tentuka ukan n nila nilaii f 1) dan .
5.
Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.
.
Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi x un t ar aran ang g jenis A sebesar 2 x – 4.000 + 6.000.000 rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum.
.
Dari selembar seng berbentuk persegipan pa n an ang, g, akan akan dibu dibuat at tal talang ang air air.. Ke ua tepinya dilipat selebar x, seperti pada gambar di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm,
uas sebuah uring lingkaran yang ber ariari r a a a cm a.
.
Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah = r r) cm dengan entukan nilai minimum K
9.
Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume . Upah buruh (c) berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu umlah tinggi kaleng dengan dua kali eliling alas kaleng. . Ji Jika ka ti ting nggi gi ka kale leng ng da dan n jar jarii-ja jari ri al alas as r, ukttik uk ikan an ah ahwa wa = 4 r r 2 dengan k = konstanta. b. B uk uk ti ti ka ka n ba ba hw hw a u pa pa h b ur ur uh uh paling murah ika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.
10.
ata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah setel ah menit diberi diberikan kan oleh oleh persam persamaan aan 3 t ) = 1000 + 30t – t , 0 t entukan kapan pertumbuhan bakteri ersebut . menurun, b. meningkat, dan . mencapai maksimum.
x) = ( x x –2) x – 5) dengan = { x | 0 ≤ x ≤ 2} a. = { x | 2 ≤ x 4} b. = x | 3 ≤ x ≤ 5} c. = x . ≤ x ≤
.
tunjukkan bahwa luas penampang talang adalah ) = 40 x – 2 x2; tentukan ukuran penampang x = 4 x – x .
Setelah ah satu satu ja jam m mi milig ligram ram oba obatt terter11. Setel entu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan x , 0 ≤ ≤ 6 x) = x ata-rata perubahan x ) bersesuaian e ng ng an an u ku ku ra ra n d os os is is . x ) disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
223
. b. c.
Kapan sensitivitas tubuh meningkat Kapan sensitivitas tubuh menurun? Berapakah nilai maksimum sensitivitas ubuh?
dalah konstanta. Tentukan umlah zat ersebut agar kecepatan reaksi minimum. 13.
ika impedansi suatu rangkaian listrik memenuhi persamaan =
12. Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada umlahnya memenuhi persamaan v = – x ), dengan
entu an
C
agar
1.500
R
x x
m n mum.
dan
= 1.000
2
,
eta u : )
F. Tur urun unan an Ked edua ua Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan dy x
df
atau y' atau
dx
atau f '( x x)
Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan
y
x dx
d y dx
atau ditulis "
f d f atau ditulis f " x dx dx urunan kedua fungsi x d y dx
atau " atau
d f dx
atau "( )
Contoh .28 Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut. = – 5 x . sin x x = a. Jawab: x4 – x
8 x3 – 5
f ‘( x x
24 x2 f “( x x Tur urun unan an ke kedu duaa fu fung ngsi si b.
= f '(
224
=2
– 5 x adalah f''
= 24 x².
sin
1 2
sin
+ x c co os
=
x
sin x +
x cos x
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
f "(
x
3
1
sin x + sin
+
1
2
cos
cos
=
2
cos
–
sin
x sin x
urunan kedua dari x = x s n x a a a 1 sin x + cos – x sin x. f "( = x x
x
Contoh 8.29 Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s memenuhi persamaan t – 6 + 30 . Dalam ha hal in ini, s dalam meter dan dalam detik. Hitun tungl glah ah pa panj njang ang li lint ntas asan an pa pada da sa saat at 3 da dan n t = 5. a. Hi . entuk en tukan an kec kecep epat atan an dan pe perc rcepa epata tan n be benda nda se sete tela lah h = 4 det detik. ik. Hitunglah Hitung lah la u pada waktu percepatanny percepatannyaa nol. Jawab: a. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalah 30 3 = 63 me mete terr s(3) = 33 – 6 2 + 30 Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah =125 meter s(5) 5³ – 6 ² + . s = t + t Kecepatan v =
s t
=
–1
+
Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v 4) ecepatan a =
s t 2
v = 6t – – 12 t
Percepatan pada t = 4 sekon adalah a 4 .
a = 0 maka – v t = t ² – t +
3 – 4 + 30 30 m/detik
6 – = 12 m/detik
= t , untu = ma a 2 = – + = 18 m/detik
Teorema L’ Hopita Jika x = a disubstitusikan ke bentuk lim b en tu k t ak t e nt u
a au
∞
f x g x
diperoleh
, Anda dapat menggunakan
eorema L' Hopital. Teorema Teorema ini dikemukakan dikemukakan kali pertama oleh Marq Marquis uis L' Hopital seorang matematikawan Prancis 1661–1704 M).
Turunan Fungsi dan Aplikasinya Aplikasinya
225
De�nisi 8. Jika im x
x
m x
, serta im
a
tau tak hingga maka lim x
x
f x
a
lim x
a
' x
a
da, baik terhingga
' x g ' x
Perluasan teorema L'Hopital adalah f x f ' x f '' x f lim lim lim lim ' '' '''
(Prose (Pr osess berak berakhir hir jik jikaa hasil hasil akhi akhirr tidak tidak berb berbent entuk uk
Conto
).
.
Tentukan limit fungsi berikut. a.
m
b.
x
cos x
im
x s n x
x0
Jawab: a.
Jikaa denga Jik dengan n menggu menggunak nakan an subs substit titusi usi lan langsu gsung, ng, dip dipero eroleh leh 2
lim
x x
x2
(bentuk tak tentu)
engan teorema L' Hopital, diperoleh 2
lim
b.
x
lim
x
x
= 2(2) – 4 = 0.
1
2
Jikaa meng Jik menggun gunakan akan sub substi stitus tusii langs langsung ung dip dipero eroleh leh m
cos s x
x0
m
x0
os
cos s x
bentuk tak tentu)
.s n sn x cos
im
x0
sn
os
os sn
cos cos
226
os x 1 .
c s
=–
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab F Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1.
d. f ( x x) = e. f .
x) = h. f ( x
3.
x
2 4
x 4
4.
Kerjakan soal-soal berikut.
10
f ( x x) = (3 x – 4) f ( x x) = ( x x2 + 5)(2 x³ – 3 x + 9)
x) = g. f ( x
2.
x) = (1 – x)(1+ x)3 c. f ( x 2 x) = sin2 x, 0 ≤ x ≤ π d. f ( x 2 x) = sin x , 0 ≤ x ≤ π e. f ( x 2 2 f . f ( x x) = tan2 x, 0 ≤ x ≤ π 2 x) = x cos x, 0 ≤ x ≤ π g. f ( x 2 x) = x tan x, 0 ≤ x ≤ π h. f ( x
Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabar berikut. x) = x5 + 7 x3 + 2 x2 + 12 x + 8 a. f ( x b. f ( x x) = 2 x + 5 x2 – 3 x 2 x) = 6 x4 + 12 x 3 c. f ( x
5
a.
Jika f ( x x) =
b.
Jika f ( x x) =
c.
Jika f ( x x) =
d.
Jika f ( x x) = ( x x2 + 1)3, hitunglah f ''(4)
e.
Jika f ( x x) = x
f .
Jika f ( x x) = 64
g.
Jika f ( x x) = cos x – sin x , hitunglah f ''
h.
Jika f ( x x) = x cos x, hitunglah f ''
, hitunglah f ''(3) 3
, hitunglah f ''(1) , hitunglah f ''(2)
x x
Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. x) = tan x a. f ( x x) = sin 3 x b. f ( x x) = cos x c. f ( x d. f ( x x) = x – cos x x) = sin x – cos x e. f ( x x) = tan x2 f . f ( x x) = sin x cos x g. f ( x h. f ( x x) = sin2 2 x Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. x) = x3 – 3 x + 2 a. f ( x b. f ( x x) = x3 (1+ x)
5.
x ,hitunglah f ''(1)
hitunglah f ''(1)
Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah bergerak t sekon, sekon, perpindahannya dinyatakan dengan rumus s(t ) = 25t + 10t 2, s(t ) dalam meter. Berapa m 2 percepatan s mobil itu?
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
227
G. Nila Nilaii Stas Stasion ioner er 1. Pe Penge ngertian rtian Nila Nilaii Stasio Stasioner ner Fung Fungsi si 4
(1,4) f ( x x) = – ( x – 1)2 + 4
y
3 2 1 0
x
1
2
3
x
Gambar 8.16
Gambar 8.16 merupakan grafik fungsi x) = –( – 1) + 4. Turuna Tu runan n pertama pertama dari dari fung fungsi si x) = –( x – 1)2 + 4 adalah '( x pero ro e '( '(1) 1) = –2 –2(1 (1 – 1) = 0. x) = –2( x x – . ntu x = , pe Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi ) –( – 1)2 + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan dengan nil nilai ai stasio stasioner ner 1) = –(1 – 1) + 4 = 4. Selanjutnya, Selanjutnya, titik (1, 4) disebut disebut titik stasioner. Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner ungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut. Amati f "( ) > 0 untuk < 0, dikataka dikatakan n cekung ke atas pada untuk uk 0 < x < 2, dikatakan cekung ke bawah x < 0, f "( ) < 0 unt pad adaa 0 < < 2, da dan n " x) > 0 pad padaa > 2, dik dikata atakan kan ce ung e tas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik 0, 0) mer merupa upa an titik titik belo belok k gra grafik fungsi pa a t t , merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
De�nisi .4 i k e t a h u i u n g s i y = ) k on on ti ti n u d a n d a pa pa t d i t u ru ru n ka ka n Fungsi y = x) memiliki nilai stasioner diferentiable di x jika '( ) = 0 dan titik ( , c)) disebut titik stasioner stasioner..
Contoh .31 entu en tu an ni nila laii st stas asio ione nerr un ungs gsii 2.
=3
– x + .
Tent entuka ukan n nilai nilai sta stasio sioner ner dan jen jenisn isnya ya untu untuk k fungs fungsii 2 ) = + 4 x – 3 x + 2.
Jawab: 1.
)=3
– 6 x + 5
'( x x) =6 – 6
Nilai stasioner diperoleh jika ' ) = 0 sehingga ' x) = – = = 1.
228
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1 = 3.1 – 6. 6. 1 + 5 = 2 Jadi Ja di,, il ilai ai stas stasio ione nerr x = 3 x – 6 + 5 adal adalah ah 1) = 2 2.
+ 4 2 – 3 + 2
) = f '(
=3
+ 8 x – 3
untuk f '
=
+ x – = – x =
+
1
=
atau x = –
= 0 dan f '(–3) = 0 sehingga untuk x = diperoleh f '
1 f
3
1
2
untuk x = –3 diperoleh –3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 3.3 + 2 = 2 Jadi, nilai stasioner dan –3 = .
=
+
– x + 2 adalah
1 , dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner. Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '( samping. Titik
di
f '( x
–3 3
Untuk mengetahui nilai f '( ) pada pada se sela lang ng x < –3, –3 < < x
dan
, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada
' x) sehingga diperoleh • ntu = – , f '(–4) = 13 > 0 sehingga aik untuk <– ; • ntuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingg sehinggaa ) turun untuk interva intervall –3 < x <
f '( x x) > 0
;
f '( x x) < 0
–3
•
untu x = , '(1) = 8 > 0 sehingga
•
itik
1
aik untuk >
Jadi, nilai f '( ) dapat dapat digamb digambark arkan an pada pada selang selang inter interval val di samping. Dari gambar untuk selang interval tersebut • titi ti tik k (–3 (–3,, 2) 2) ada adala lah h tit titik ik ma maks ksim imum um,,
f '( x x) > 0
3 (3, 2) ( )
1 13 1 27
adalah titik minimum. 7
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
229
. Menen Menentuk tukan an Nila Nilaii Stasio Stasioner ner Sua Suatu tu Fungsi Anda telah mempelajari cara menentukan ilai stasi stasione onerr deng de ngan an uji uji tan tanda da tur turun unan an per perta tama ma.. Misal Misalka kan, n, fun fungs gsii ) = x – 3 x dengan f '( ) = 3 2 – x. Untuk f '( ) = 0 dip dipero eroleh leh titi titikktitik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua. engan enga n meng mengguna guna an turu turunan nan kedu keduaa enis titik stasi stasioner oner dapat ditentukan sebagai berikut. • Jika f "(c) < 0, c) ada adala lah h nil nilai ai ma maks ksim imum um lo loka kall fun fungs gsii ) dan titik (c c)) dalah titik balik maksimum lokal grafik ungsi . • Jika f "(c) > 0, c) ada adala lah h nil nilai ai mi mini nimu mum m lok lokal al fu fung ngsi si ) dan titik (c, c)) dalah titik balik minimum lokal grafik fungsi . • Jika " ) = 0 atau atau tid tidak ak mem mempun punyai yai tur turuna unan n kedu kedua, a, eni eniss nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertam per tama a.
Contoh . Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f ( x x) = x3 – 6 x2 + 9 x + 1 dan f ( x x) = x4 – 4 x3 dengan menggunakan uji turunan kedua. Jawab: • Untuk fungsi f ( x x) = x3 – 6 x2 + 9 x + 1 3) f '( x x) = 3 x2 – 12 x + 9 = 3( x x – 1) ( x x – 3) 12 f "( x x) = 6 x – 12 Nilai stasioner diperoleh untuk f '( x x) = 0, yaitu 3( x x – 1) ( x x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga (1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f ( x (1) = 5 f (1) x), yaitu f (1) (3) adalah nilai minimum lokal fungsi f ( x (3) = 1 f (3) x), yaitu f (3) • Untuk fungsi f ( x x) = x4 – 4 x3 f '( x x) = 4 x3 – 12 x2 = 4 x2 ( x x – 3) f "( x x) = 12 x2 – 24 x Nilai stasioner diperoleh untuk f '( x x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga
230
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f ( x (3) = –27. f (3) x), yaitu f (3) Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama.
Sekarang, amati diag Sekarang, diagram ram di samping. samping. Amati f "( > 0 untuk < 0, di dikatakan cekung ke atas pada x < 0, f "( ) < 0 untu untuk k 0 < < 2, dikat dikatakan akan ceku cekung ng ke bawah pada 0 < < 2, dan f "( ) > 0 pad padaa > 2, dik dikata atakan kan f ceku ce kun ng ke ke ata atass pad padaa > 2. 2. Di sekitar x = t t , ter a pe peru a an ece ungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupaka merupakan n titik belok belok grafik fungsi Apakah titik (2, 0) merupakan itik belok? Bagaimana Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara menent men entuka ukan n ila ilaii sta stasio sioner ner sua suatu tu ung ungsi? si? Cob Cobala alah h nya nyatak takan an dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.
f '( ) < 0
f '(
<0
f '( ) > 0
0
f ( x x
De�nisi . ce ung e atas pa a a ] ika "( x x) > 0 dan ce ung e awa jika f "( ) 0. Per Perub ubaha ahan n kece keceku kung ngan an dis disebu ebutt titi titik k belo belok. k.
Tes Kompetensi Komp etensi Subbab G Ker aka akanla nlah h pada buku buku lat lat han And Anda. a.
.
ent ntu u an ni nillai sta tasi sion oner er,, titi tik k stas asio ione nerr, dan enisnya untuk ungsi- ungsi beriku berikut. t. 1 = x + a. f . f
= x +
.
f x = px – x + , x = – f x = px – x = – = px – 4 x + 2, = 1 g. f x 2 . = , = 2
x
. . e. f . 2.
f f f
=
+
x +
= 1– ) = 3 x + 4 x ) = ( ² – 3 x – 4) 4)2
Tentukan nilai p jika ungsi ungsi-- ungsi beri berikut kut mencapai stasioner untuk nilai x yang diberikan. . = – p x + , x = = x + x – , = c. f ) = ( – 2) –1, x = 2 d. f ) = – x, x = 1
entu an f ' x serta nilai stasioner dan enis en isny nyaa un untu tuk k ung ungsi si-- un ungs gsii be beri riku kutt ik ikaa ≤ x ≤ π. a. f x = 2sin – x = f x = sin – cos x . f x = cos x . f = 2 sin 2 f x = – cos
entukan nilai maksimum dan minimum okall ung oka ungsisi- ung ungsi si beri berikut kut,, mengg mengguna unakan kan u i turuna turunan n kedua. kedua.
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
231
b. f c. f d. f e. .
= – x + + ) = – 9 x + 24 – 10 ) = 3 x – ) = 2 x – x = – x + 5 = x –
ebuah perusahaan komputer mengadakan penelitian pasar untuk produk barunya. Mereka memperoleh suatu kesimpulan bahwa hubungan antara harga h (juta per unit) dan permintaan x (unit per minggu) memenuhi persamaan = . – , , 0 < x < .
1.29 296 6 – , R x = 1.
x
entukan nilai maksimum dan minimum okal fungsi tersebut. .
Misalk Misa lkan an,, pers persam amaa aan n biay biayaa prod produk uksi si perusahaan pada soal nomor 6 adalah x = 830 + 306 x. . entu en tuka kan n pe pers rsam amaa aan n ya yang ng me meny nyat atak akan an euntungan perusahaan tersebut. b. Ten entu tuka kan n nil nilai ai ma maks ksim imum um da dan n min miniimum lokal dari ungsi keuntungan tadi. etunjuk: euntungan diperoleh dari penapat n i urangi iaya pro u si.
Dengan demikian, penghasilan pada akhir minggu dapat ditentukan dengan pendekatan rumus
H. Me Meng ngga gamb mba ar Gr Gra a k Fun ungs gsii Aljabar Di Kelas X, Anda telah mempela mempela ari bagaimana menggambar grafik fungsi = x2 + bx +c dengan langkahlangkah sebagai berikut. 1. Me Mene nent ntuk ukan an ti titi tik k pot poton ong g gra grafik y = x + bx +c dengan sum u- x x. . Me Mene nent ntuk ukan an ti titi tik k pot poton ong g gra grafik y = x + bx +c dengan sum u- y y. 3. Me Mene nent ntuk ukan an ko koor ordi dina natt tit titik ik ba bali lik k fu fung ngsi. si. 4. Me Mene nent ntuk ukan an pe pers rsam amaa aan n sum sumbu bu si sime metr trii un ungs gsi. i. Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untuk menggambar ungsi parabola = x + x +c. kan tetapi untuk ungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakan cara tersebut. Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untuk menggamb meng gambar ar grafik grafik ungs ungsi, i, yaitu yaitu deng dengan an mengg menggunaka unakan n turunan. Titik stasioner dan jenisnya dan jenisnya adalah alat yang ampuh untuk menggambar grafik ung ungsi si terse tersebut but khu khusus susnya nya unt untuk uk mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Untuk memudahkan penge aan, er ut n a a a langkah-langkah yang harus dilakukan. angkah : en enga gana na is isis is x . Me Mene nent ntuk ukan an da daer erah ah as asal al un ungs gsii ). b. Me Mene nent ntuk ukan an da daer erah ah ni nila laii un ungs gsii pa pada da u un ung g in inte terv rval al daerah asal.
232
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
c.
a. b. c. d. a. b.
Menentuka Menent ukan n titik titik pot potong ong den dengan gan sum sumbu bu koor koordin dinat. at. Tit itik ik po on ong g den eng gan su sum m u- (d (dip iper erol oleh eh un untu tuk k y = tau x) = 0). Ti T itik o ong engan su s um u- y (diperoleh untuk x = tau f 0)). angkah : Menganalisis f ' Mene Me nent ntuk ukan an tit titik ik sta stasi sion oner er.. Mene Me nent ntuk ukan an in inte terv rval al di ma mana na un ungs gsii na naik ik at atau au ur urun un.. Menent Men entuka ukan n titik titik bal balik ik maks maksimu imum m dan dan mini minimum mum lok lokal al ( ik ikaa ada ada). ). Menentukan titik bel belok ungsi. angkah 3: Membuat sketsa gra fik Meny Me nyaj ajik ikan an ti titi tikk-ti titi tik k ya yang ng ip iper erol oleh eh pa pada da la lang ngka kah h 1 da dan n pada bidang Cartesius. Membuat sketsa grafik de deng ngan an en engh ghub ubun ungk gkan an ti titi tikk-ti titi tik k tersebut.
Ha
ent ng
Contoh .3 Buatlah sketsa grafik fungsi
)=
3
+ 3 x .
Jawab: Langka Lan gkah h : Men Mengan ganali alisis sis Fungsi = x + Jad Ja di, da daer erah ah asa sall b
Daerah nilai
2
terdefinisi untuk semua bilangan real. ) ad adaala lah h { x | R . )= ) | x) }.
Titik potong dengan sumbu koordinat. t potong engan sum uitik potong dengan sumbu- y y diperoleh untuk = 0 3 2 ) = + 3 0 = ungsi ) memotong sumbu- y 0. y di y = 0. • itik potong dengan sumbu- x x itik potong dengan sumbu- x x diperoleh untuk = 0. ) = 3 + 2 = ) + 3 x = 0 2 ( x x + 3) = 0 = atau = – ungsi ) memotong sumbu- x x di x = 0 atau x = –3. Langka Lan gkah h : Men Mengan ganali alisis sis f '( ) ) = x + 3 x f ' = 3 x +
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
233
a.
Tit itik ik sta stasi sion oner er di dipe pero role leh h unt untuk uk f '( ) = 0. f '( ) = 0
3 2 + 6 x = 0 x
+
=
x =
atau x = –
Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan = 0 dan = –2 pada fungsi ) = 3 + 3 2 sehingga diperoleh 0) = 0 dan –2) = 4 Jadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner. b
positif
negatif
–2
positif 0
f )
Interv Inte rval al un ungs gsii na naik ik diper diperol oleh eh jika jika f '( ) > 0 dan dan int inter erva vall fungsi fung si turu turun n diperol diperoleh eh jika jika f '( ) < 0. Inter Interval val-in -inter terval val tersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yang disubstitusikan pada fungsi . u st tus an = – unt untu x < –2, = –1 untuk –2 < < 0 dan x = 1 untuk x > 0 pada pa da fu fung ngsi si sehing ingga ga dipe diperol roleh eh f '( ) = 3 2 + 6 seh ' –3 = 9 > 0, ' –1 = –3 f '(1) = 9 > 0 yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping. f '( ) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9 ari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut. • Interval Inter val fung fungsi si naik pada x < –2 dan > 0. • Interval Inter val fung fungsi si turu turun n pada –2 < x < 0.
.
titik balik maksimum lokal
y
t u r u n
a n
–3 –2 –1
titik balik minimum lokal
0 –1
1
3
x
–2
Gambar 8.17
234
Titik bal Titik balik ik maks maksimu imum m dan dan mini minimum mum lok lokal al dapa dapatt diten ditentuk tukan an dari da ri ia iag gra ram m tan tanda da.. • Pada x = –2 –2,, ) be beru ruba bah h da dari ri fu fung ngsi si ai aik k me menj njad adii fungsi turun sehingga x = –2 adalah adalah titik titik balik balik maksimum lokal. = + x –2 = Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal. • Pada x = 0, ) ber berub ubah ah da dari ri fu fung ngsi si tu turu run n men menja jadi di fungsii naik sehingga fungs sehingga x = 0 adalah titik balik minimum lokal ) = + 3 x 0) = 0 Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal. Langk La ngkah ah 3: Mem Membua buatt sket sketsa sa gra fik Hasil s etsa grafi tampa pada Gambar .17.
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab H Kerjakanlah pada buku latihan Anda. ) = x3 – 6 2 9 + 1
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut. 1.
x) = x3 – x2 – 14 + 11
f
) = 5 – x + 14 14 3 + 6 2 – 45 – 3
Rangkuman •
Beberapa turunan fungsi aljabar a.
( x adalah konstanta f ( x) = k ; k adalah
b. f ( ( x x) = x c. •
f ' ( x x) = 0
f ' ( x x) = 1
( x f ( x) = xn; n R
f ' ( x x) = n · xn – 1
Beberapa turunan fungsi trigonometri a.
( x f ( x) = sin x
f ' ( x x) = cos x
b. f ( ( x x) = cos x
f ' ( x x) = –sin x
c.
f ' ( x x) = sec2 x
( x f ( x) = tan x
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas.
Re�eksi Setelah Anda mempelajari Bab 8, 8, 1.
coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah dipahamai,
2.
tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku latihan Anda.
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
235
es Kompetensi Bab Kompetensi Bab 8 A.
1.
Pilihl Pil ihlah ah salah salah satu satu jawab jawaban an dan dan berika berikan n alasan alasannya nya..
ika
=
ma a ' 2 = ....
.
Ditentukan x =
1 x
tur urun unan an ke kedu duaa da dari ri adalah .... b.
e.
c. 2.
s x
eta u x =
sin
cos x
. Nilai
adalah ....
x
. b. c.
4.
x 2
x +
3 x – x +
x
e.
3
x
x
1
2
x
x
2
2
2
Pad adaa da daer erah ah as asal al 0 < < 2, gr graafik ungsi 3 2 y = – 2 x + 1 bersifat .... a. selalu naik . selalu turun aik, lalu turun c. urun, lalu naik urun naik berulang-ulang e.
9.
Luas se Luas semu muaa sis sisii bal balok ok 96 cm . Jik Jikaa ala alasn snya ya berbentuk persegi, paling besar balok itu dapat dibuat dibuat dengan dengan volume volume ... cm . a. 0 . 4
2
Tit itik ik ba bali lik k maks maksim imum um ku kurv rvaa y = x3 – 2 + x adalah .... a. (–3 , –36) d. (3 , –18)
c.
(1 ,
3 , 0) )
e.
8.
2
1 2
.
Tur urun unan an pe pert rtam amaa fun fungs gsii f( f( x x) = cos 4 – 2) adalah .... a. 5 cos4 4 – 2) sin (4 – 2) . –5 cos x – 2) sin (4 – – sn – c. – 0 cos . 0 cos x – sn – –10 cos ( x – s n x –
1
d.
7.
2
a.
Turunan pertama ) = (2 – 1) cos (3 x + 1) adalah .... 2 x – 1) sin (3 x + 1) + 2cos (3 x + 1) a. 2 x – 1) 1) cos cos (3 + 1) 1) – 2 si sin (3 (3 + 1) 1) b. sin 3 x + 1) + 2( 2(6 6 – cos x + c. . cos 3 x + + – sn + cos 3 + – – sn +
–1 , –
236
= ....
. Ni Nillai da dari ri " –2
6.
. 3.
adalah
c.
e.
.
an f
e.
0
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui luas lingka Diketahui lingkaran ran merupak merupakan an ungsi darii kelilin dar keliling g ya. Jika Jika kelilin keliling g sebuah sebuah lingk li ngkara aran n adalah adalah , laju laju perub perubaha ahan n luas luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah .... .
x
.
π
c.
. e.
x
x
17.. 17
urunan pertama ungsi x) = cos (5 – 4 ) adalah .... a. –12 cos (5 – 4 ) sin (5 – 4 x) 2 cos (5 – 4 x) sin (5 – 4 x b. 2 sin2 (5 – 4 ) sin sin (5 – 4 c. d. –6 sin (5 – 4 x) sin (10 – 8 e. 6 cos (5 – 4 x) sin (10 – x . Nila Nilaii mak maksi simu mum m dar darii f x + x = x – pada interval –1 ≤ 3 adalah .... 6 a. d. b. e. c. 13. 13.
= x – a.
. e. .
+
+ 6 naik pada interval ....
<
x =
x –
+ 5 –
+
a a a ....
urun dalam
interval .... a. –5 < < – 1 . <– . < . < < < atau > pada da 18. Kurva y = x – 6 x + 9 + 1 turun pa 18. interval .... a. ≤ atau x ≤ 3 . – ≤ ≤ atau ≤ ≤ 6 . < < . ≤ x ≤ – ≤ x ≤ Nila laii mini minimu mum m rela relati tiff 19.. Ni 19 x) =
– < x < –
. c.
urunan ari y = – x 1 – (3 + 2) a. – 1) (3 + 2) b. . 2(1 + ) (3 x + 2) . x – x + . 2 1– 3 x +
a.
–5
b.
–2
adal alah ah .. .... .. x3 – x2 – 3 + 4 ad
<
< – atau x > < <–
atau x > .
atau x >
ilai maksimum dari = x – –4 dala da lam m in inte terv rval al –3 < < a a a .. .... .. a. –160 d. –99 b. –155 e. –11 c. –131 3
urun unan an pe pert rtam amaa da dari ri f( x , x) = 15.. Tur 15 2 untu = –3 ad adalah ...... . ,0000 4 . ,000 4 ,0024 c.
0,0 , 4
. .
a x = '
a. .
si
cos x si x
an sin x
ma a
....
– –
. .
Turunan Fungsi Fungsi dan Aplikasinya
237
.
awab aw abla lah h den denga gan n sin singk gkat at,, tepa tepat, t, dan dan je jela las. s.
1.
Gunaka Guna kan n kon konse sep p lim limit it unt untuk uk me mene nent ntuk ukan an turunan turuna n ungsi- ungsi beriku berikut. t. x = s n x = cos 1– x x) = tan x c. x) = 2 x4 – d. x) = 5 x3 – 5 e. x) = 2 x – 2 x f .
2.
Sebuah Sebu ah pel pelur uru u dite ditemb mbak akka kan n vert vertik ikal al ke ke atas dengan kecepatan awal 10 m/detik. Kedudukan peluru setela t et memenuhi persamaan t ) = 6 – t engan t ) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter. entu en tuka kan n kec kecep epat atan an pe pelu lurru pad padaa saa saatt a. 3,5 detik. . Ka Kapa pan n pel pelur uru u ber berhe hent ntii?
3.
Diketahui f = x x Buktikan bahwa f ‘( ) =
238
x
x
.
entuka entu kan n int inter erva vall yan yang g mem membu buat at fu fung ngsi si-ungsi berikut berikut merupakan ungsi naik atau atau ungsii tur ungs turun. un. x = 5 + x – x) = 2 x – 8 x + 9 b. . x) = 9 + 3 x – 4 2 . x) = 3 – 1 x + 1 x – . – x + 6 x – x3 x = x = – x + 1 x – ebuah kotak tanpa tutup, alasnya berbentuk persegi dengan sisi x cm, olumenya 32 cm3. Jika kotak tersebut erbuat dari karton, tunj njuk ukka kan n bahw bahwaa lua luass kar karto ton n yang yang a. tu diperlukan untuk membuat kotak itu 1 ( x ; x) = x + .
tentuk tent ukan an uku ukura ran n kota kotak k agar agar kar karto ton n yang yang iguna ig una an sesed sesediki ikitt mungki mungkin. n.
x
.
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
