Akar-Akar Persamaan
Definisi akar : Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai nilai dari x yang bilamana bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x) X1 2
Sebagai contoh, penyelesaian analitik
=
untuk fungsi kuadratik f kuadratik f ( x) x) = x = x + x2 + c = 0 diberikan oleh
Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-akar tersebut memberikan nilai-nilai x nilai-nilai x yang menjadikan persamaan persamaan itu sama dengan nol. Namun untuk bentuk-bentuk bentuk-bentuk persamaan persamaan non-linear non-linear dengan derajat, derajat, terkadang terkadang akan ditemukan ditemukan kesulitan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya. Sehingga untuk persamaan non-linear menggunakan metode-metode lain yang bukan dengan menggunakan rumus ABC. Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f(x) = 0 adalah membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia memotong sumbu x. Titik ini yang mewakili nilai x di mana f(x) = 0, memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.
Metode grafis
Metode pertama untuk menyelesaikan persamaan non-linear adalah metode grafik. Meto Metode de graf grafik ik meru merupak pakan an metod metodee seder sederhan hanaa untuk untuk menda mendapa patka tkan n akar akar perkir perkiraa aan n dari dari persamaan persamaan f(x)=0 dengan dengan membuat membuat plot dari fungsi dan mengama mengamatin tinya ya di mana mana fungsi fungsi tersebut memotong sumbu x. x. Di titik ini, yang merepresentasikan nilai x yang membuat f(x)=0, f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar persamaan itu.
Misal : x4 – 3x – 2 = 0 f(x) = x4 x4 = 3x + 2
y(x) = 3x + 2
f(x) = y(x) x
f(x)
x
f(x)
2
16
-3
-7
0
0
0
2
-2
16
23 4
11
2 0 1 6 1
f(x) = x4
y(x) = 3x +2
2 8 -3 2
-2
4
-1 3 -4 4
1
-8 1 2
Gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang diperlukan oleh penerjun penerjun payung dengan dengan masa m = 68,1 kg agar mempunya mempunyaii kecepatan kecepatan 40 m/detik m/detik setelah setelah jatuh jatuh 2 bebas untuk untuk waktu t = 10 detik. detik. Catatan Catatan : percepata percepata yang disebabkan disebabkan gravitasi gravitasi adalah adalah 9,8 m/detik m/detik .
Penyelesaian :
Kita dapat menentukan akar persamaan dengan memakai parameter t = 10, g = 9,8 ; v = 40 dan m = 68,1 F(c) =
(1 – e-(c/68,1)10 ) -40
F(c) =
(1 – e -0,146943c ) – 40
atau
............. 40 (1)
Beragam nilai c dapat disubstitusikan ke ruas kanan persamaan ini untuk menghitung C 4
F(c) 34,115
8
17,653
12
6,067
16
-2,269
20
-8,401
20
ak ar
0
4 16
8 20
12
Titik-titik ini dirajah (diplot) pada gambar di atas. -Kurva yang dihasilkan memotong sumbu c 10 antara 12 dan 16. Pemeriksaan visual rajahan tersebut menyediakan taksiran akar kasar sebesar 14,75. Kesahihan taksiran grafis dapat diperiksa dengan mensubstitusikannya ke persamaan (1) untuk menghasilkan F(14,75)
=
(1 – e (-0,146943)(14,75) ) – 40
= 0,059 Yang dekat ke nol. Kesahihan ini dapat pula diperiksa dengan mensubstitusikannya ke persamaan persamaan ..... bersama bersama dengan dengan nilai-nilai nilai-nilai paramet parameter er dari contoh contoh ini untuk memberik memberikan an V=
–(14,75/68,1)10 (1 – e –(14,75/68,1)10 ) = 40,059
Yang sangat dekat ke kecepatan jatuh 40 m/detik yang dikehendaki. Kesulitan metode ini barangkali adalah usaha untuk membuat plot grafik fungsinya. Selain itu, metode ini juga tidak cukup akurat karena dapat saja tebakan akar satu orang dengan orang yang lainnya berbeda. Nilai praktis praktis dari dari teknik-teknik teknik-teknik grafis sangat ternbata ternbatass karena kurang kurang tepat. tepat. Namun, Namun, metode grafis ini dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran kasar dari akar. Taksiran-taksran ini dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk metode numerik. Misalnya, perangkat lunak komputer TOOLKIT elektronik yang menyertai naskah ini memboekan untuk menggambarkan fungsi pada suatu rentang tertentu. Gambaran Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan penggambaran akansangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak tersebut. Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, tafsiran grafis merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang tersembunyi dari metode-metode numerik.
f(x)
f(x)
xl
Xu
(a)
x
f(x)
f(x)
xl
Xu
(b)
x
xl
Xu
(c)
x
xl
Xu
x
(d)
Gambar di atas memperlihatkan sejumlah cara di mana akar dapat muncul dalam suatu selang yang ditentukan oleh batas bawah xl dan batas atas xu. Gambar (b) melikiskan kasus di mana satu akar tunggal dikurung oleh nilai-nilai f(x) yang positif dan negatif. Gambar (d), di mana f(xl) dan f(xu) juga berseberangan dengan sumbu x, memperlihatkan tiga akar muncul dalam selang (interval) itu. Umumnya jika f(xl) dan f(xu) mempunyai tanda yang berlawanan, maka dalam
selang itu terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. Seperti ditunjukkan pada gambar (a) dan gambar (c), jika f(xl) dan f(xu) bertanda sama, maka antara nilai-nilai tersebut tidak terdapat akar atau terdapat akar sebanyak bilangan genap. Walaupun perampatan (generalisasi) ini biasanya benar, tetapi terdapat kasusu di mana hal tersebut tidak berlaku. Misalnya, akar ganda, ganda, yakni fungsi yang bersinggungan terhadap sumbu x (gambar a) dan fungsi terkontinu (gambar b) dapat melanggar prinsip-prinsip ini. Contoh dari fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan derajat tiga (cubic equation) f equation) f (x) (x) = (x – 2)(x – 2)(x – 4). 4). Perkatikan Perkatikan bahwa x = 2 membuat membuat dua faktor polinom polinom ini ini sama dengan nol. nol. Oleh karena karena itu, x = 2 dinamakan akar ganda. ganda. METODE PENCARIAN AKAR a. Metod Metodee bag bagii dua dua
Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut : [a,b ]] bagi dua di
[a,c ]]
Ya
Selang baru: [a,b] [a,c]
[c,b ]] f(a)f(c) < 0 tidak ?
Selang baru: [a,b] [c,b] ←
←
Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai selang yang baru sudah sudah sangat kecil. kecil. Kondisi Kondisi berhenti berhenti dapat dipilih salah salah satu satu dari tiga tiga kriteria kriteria berikut berikut : Lebar selang selang baru : 1. Lebar mengukur akar.
, dalam dalam hal ini
adalah adalah nilai nilai tolera toleransi nsi lebar lebar selang selang yang
2. Nilai fungsi fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa Beberapa bahasa pemrograman pemrograman membolehkan membolehkan pem bandingan bandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. dibenarkan. Tetapi, dapat pula kita kita uji f(c) f(c) = 0 dengan dengan menghampiri menghampiri nilai f(c) f(c) < epsilon epsilon mesin. mesin. Galat relati relatiff hampira hampiran n akar : 3. Galat
, dalam dalam hal ini
adalah adalah galat galat relati relatif f
yang diinginkan. Teorema 3.1
Jika
menerus di dalam selang dan
dan
sehingga sehingga
, maka selalu berlaku dua ketidaksamaan berikut: dan
(i) (ii)
dengan
,
Bukti:
Misalka Misalkan n pada iteras iterasii ke – r kita kita mendapat mendapatkan kan selang selang panjang selang selang sebelumnya, sebelumnya,
yang panjangn panjangnya ya seteng setengah ah
.
Jadi, Jelaslah bahwa
....
Pada iterasi ke – r, posisi cr (akar hampiran) dan s dan s (akar sejati) adalah seperti diagram berikut:
Berdasarkan diagram di atas jelaslah bahwa
Selanjutnya,
Jadi, selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah lebih dari setengah epsilon. Denga Dengan n mengi menginga ngatt krit kriter eria ia berhe berhenti nti adala adalah h
, maka maka dari dari (i) (i) terl terliha ihatt bahwa bahwa
Sehingga
Yang dalam hal ini R adalah jumlah iterasi (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari . Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) =
di dalam selang [0,1] dan
!
Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua. Jumlah iterasi yang dibutuhkan :
Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar hampiran kurang dari I 0 1 2 3 4 5
A 0,000000 0,500000 0,500000 0,500000 0,562500 0,593750
c 0,500000 0,750000 0,625000 0,562500 0,593750 0,609375
b 1,000000 1,000000 0,750000 0,625000 0,625000 0,625000
f(a) 1,000000 0,398721 0,398721 0,398721 0,173023 0,048071
f(c) 0,398721 -0,695500 -0,084879 0,173023 0,048071 -0,017408
f(b) selang baru -2,281718 [c,b] -2,281718 [a,c] -0,695500 [a,c] -0,084879 [c,b] -0,084879 [c,b] -0,084879 [a,c]
lebarnya 0,500000 0,250000 0,125000 0,062500 0,031250 0,015625
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0,593750 0,601563 0,601563 0,603516 0,604492 0,604980 0,605225 0,605225 0,605225 0,605255 0,605255
0,601563 0,605469 0,603516 0,604492 0,604980 0,605225 0,605347 0,605286 0,605255 0,605270 0,605263
0,609375 0,609375 0,605469 0,605469 0,605469 0,605469 0,605469 0,605347 0,605286 0,605286 0,605270
0,048071 0,015581 0,015581 0,007380 0,003268 0,001210 0,000179 0,000179 0,000179 0,000051 0,000051
0,015581 -0,000851 0,007380 0,003268 0,001210 0,000179 -0,000336 -0,000078 0,000051 -0,000014 0,000018
-0,017408 -0,017408 -0,000851 -0,000851 -0,000851 -0,000851 -0,000851 -0,000336 -0,000078 -0,000078 -0,000014
[c,b] [a,c] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [a,c] [a,c] [c,b] [a,c] [c,b]
0,007813 0,003906 0,001953 0,000977 0,000488 0,000244 0,000122 0,000061 0,000031 0,000015 0,000008
Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,605263
b. Metode Metode NewtonNewton-Rha Rhapson pson
Diantara Diantara semua metode pencarian pencarian akar, metode Newton-Rhapsonl Newton-Rhapsonlah ah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu: 1. Penurunan Penurunan rumus Newton-Raphso Newton-Raphson n secara geometr geometrii
Dari gambar di atas, gradien garis singgung di
adalah
Atau
Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah
2. Penurunan Penurunan rumus Newton-R Newton-Raphson aphson dengan dengan bantuan deret deret Taylor Taylor Uraikan
di sekitar
ke dalam deret Taylor:
Yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi
Dan karena persoalan mencari akar, maka
, sehingga
atau
Kondisi iterasi berhenti bila
Atau bila menggunakan galat relatif hampiran
Dengan
dan
adalah toleransi galat yang diinginkan.
Contoh : Tentu Tentukan kan akar akar persa persama maan an f(x) f(x) = x2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson, dan tebakan awal x0 = 2! Penyelesaian : f(x) = x2 – 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Prosedur iterasi Newton-Rhapson :
Tabel Iterasinya : R 0
2,000000
0,000000
1 2 3 4 5
3,500000 3,050000 3,000610 3,000000 3,000000
Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000
1,500000 0,450000 0,049390 0,000610 0,000000
