MODUL INTEGRAL
Coba kalian perhatikan gambar kubah di bawah ini! Tahukah kalian bagaimana cara menentukan luas dan volume dari kubah tersebut ? Ternyata konsep-konsep integral yang akan kita pelajari dapat menolong untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Integral merupakan salah satu bahasan dalam kalkulus yang merupakan cabang matematika.
A. Integral Tak Tentu 1. Pengertian integral
Untuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi turunan yang telah dipelajari sebelumnya.
Definisi : Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu pada interval [a, [a, b] b] diperoleh
d ( F ( x )) dx
= F’( x) x) = f = f ( x). x). Antiturunan
dari f dari f ( x) x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f adalah f ( ( x), x), ditulis f ( x) x) d x Secara umum dapat kita tuliskan :
∫ f ( x) x) dx = ∫F’( x) x) dx = dx = F( x) x) + C
C atat atatan: an:
17
f(x) f(x) dx
: disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f( x) terhadap x” x”
f(x)
: disebut integran (yang diitegralkan)
F(x)
: disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok)
C
: disebut konstanta / tetapan integrasi
Perhatikan tabel dibawah ini !
Pendiferensialan
F(x)
F′(x) = f(x)
x2 + 3x
2x + 3
x2 + 3x + 2
2x + 3
x2 + 3x - 6
2x + 3
x2 + 3x +
2x + 3
3
2x + 3
x2 + 3x +C, dengan C = konstanta R
Pengintegralan
Berdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh F′(x) yang yang
sama, sehingga dapat kita katakan bahwa
jika F′(x) = f(x)
diketahui sama, maka fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x)
dari F′(x) yang diketahui disebut operasi invers
pendiferensialan ( anti anti turunan) dan lebih dikenal dengan nama operasi integral. Jadi, secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut:
18
Integral fungsi aljabar
1.
k d x
2.
x
3.
ax
4.
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
5.
a. f ( x)dx a f ( x)dx, dimana a konstanta sebarang.
n
= k x + x + C
dx
n
dx
n 1
x
n 1
C , bila n ≠ -1
a n 1`
x
n 1`
c, dengan n
1
Integral fungsi trigonometri
1.
sin x dx cos x C sin
2.
3.
sin x C cos x dx sin
4.
sin( ax b)dx
1 a
cos( ax b) C
1
cos(ax b)dx a sin( ax b) C
Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan sebagai berikut berikut ini: 1. sin2 x +cos x +cos2 x = 1 2
2. sin x = x =
1
2
3. cos x = x =
2
4. sin x sin x.. cos x cos x = =
1.
x
dx =
2
sin 2 x 1
x
(1- cos 2 x) x)
5. 1 – cos x cos x = 2 sin
(1 + cos 2 x )
6. 1 + cos x cos x = = 2 cos 2 x
1 2
x
6
6
2
2
Contoh soal :
5
1
C
19
2
1
4 1
2.
3
dx =
x
x
3
x 3
dx =
4
3
4
x 3
4
C
3
3.
(2 x
4.
5.
x + C 4dx 4 x +
2
5 x 3)dx
sin sin xdx 2
1
2
2 x 3 3
5 x 2 2
(1` cos 2 x )dx
3 x C
1 2
x
1 4
sin sin 2 x C
Latihan soal :
1.
2.
3.
4.
5.
2
1
6.
x
sin xdx 2sin
7.
sin 2 x) dx. (cos x sin
(1
8.
cos
2 ( 2 3x ) dx.
2 x
x
x
3
x ) dx.
1 2
x
3
2
x
x
2
dx.
dx.
9. 3 x( x 1) dx.
dx.
dx
10.
3
dx x
5
dx.
2. Kegunaan integral tak tentu
Kegunaan
integral
tak
tentu
cukup
banyak,
diantaranya
adalah
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu. Perhatikan contoh berikut : 20
untuk
Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut ! Penyelesaian: Percepatan molekul a(t ) = -12t -12t +24 +24 Sehingga : v = v =
a
dt
(12
t
24) dt
v = -6t -6t 2 + 24t 24t + + C
pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20
Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t -6t 2 + 24t 24t + + 20
Latihan soal :
1. Kecepatan suatu benda bergerak adalah v(t ) = 5 + 2t 2t . Jika s Jika s’(t ) = v(t v(t ), ), dengan s(t s(t ) adalah jarak benda pada saat t detik. Tentukan rumus umum jarak benda tersebut! 2. Diketahui rumus percepatan a(t ) = t 2 + 1 dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan, v( t), t), jika a(t) = v’(t )! )!
’’( x) 3. Diketahui turunan fungsi f fungsi f dinyatakan dinyatakan dengan f dengan f ’’( x) = 6 x2 – 2 2 x + 6, dan f dan f (2) (2) = -7. maka rumus fungsi tersebut adalah .... 4. Gradien garis singgung di tiap titik ( x,y) x,y) suatu kurva ditentukan oleh rumus f rumus f ‘( x) x) = 3 x(2 x(2 – x). x). Jika kurva tersebut melalui titik (-1,0), tentukan persamaannya! 5. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Jika persamaan gradiennya adalah adalah f f ‘( x) x) = 2 x – 4, 4, tentukan persamaan kurva tersebut!
21
B. Integral Tertentu
Integral tertentu dinotasikan dengan
b
F(a) f ( x) dx = F ( x) = F(b) – F(a) b
a
a
Keterangan: f ( x) x) adalah integran, yaitu f yaitu f ( x x) = F’( x) x) a, b adalah batas-batas pengintegralan [a, b] adalah interval pengintegralan Contoh soal : 2
2
1.
x
3
2
1 1 1 dx = x = ( 2) 4 (2) 4 = ( 4 – 4 ) = 0 4 4 4 4
2
2
2
2.
( x
1 4 x) dx = x 3 2 x 2 = 3 0
2
0
1 3 1 3 2 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 3 3 (0) 2(0)
= (8/3 + 8 ) – ( ( 0 + 0 ) = 10
2
2
3.
cos
2
x
dx=
0
0
1
1
(1 cos 2 x) dx = x 2 2
2 3
1 4
sin sin 2 x
2 0
1 1 1 1 sin 2( ) = ( 0) (0 0) = . sin 2 2 2 4 4 2 2 4
Latihan soal : 1
(1
1.
x
2
) d x = x = ....
1 4
2
0
(
x
1
) d x = x = ....
x
0
3 ( 2 x ) dx = .... 2
22
p
4. Carilah nilai p bila,
x(1 x) dx
= 0, p>0 !
0 3
5. Selidiki apakah 4 x
4
3
dx
1 4
6.
1
x
0
dx =
4
4 x dx 4 x dx 3
3
1
3
....
7.
sin xdx = .... sin 0
1 / 2
sin 2 xdx = .... sin
8.
1 / 4
2
9.
( x
2
6 x 8)dx ... .
0 0
10.
cos xdx = ....
C. Teknik Pengintegralan 1. Integral Substitusi
Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.
du
[ f (u) dx ]dx f (u)du Contoh soal :
a. Tentukan
2 x( x
b. Tentukan
sin sin
2
3) 4 dx !
3
x.cos x dx !
23
Penyelesaian:
a. Misalkan u =
x
2
3 , maka
Sehingga diperoleh,
2 x( x
du dx
2
3) 4 dx = = = =
b. Misalkan u = sin x sin x,, maka
Sehingga diperoleh,
sin sin
du dx
du
2 x atau dx
2 x u
u 1
x.cos x dx =
= = =
u
5
2 x
du
4
2x
du
5
C
3) 5
( x 2
cos x atau
3
4
5
1
dx
C
du cos x
3
u cos x
du cos x
u du 3
1 4 1 4
u
4
C
4
sin sin x C
2. Integral Parsial
Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut. y = u .v
dy = du.v + u.dv
dy = v du + u dv y = v du + u dv u.v = v du + u dv
u dv = u.v - v du 24
pengintegralan parsial integral tak tentu
pengintegralan parsial integral tertentu
b
u v′ = uv -
b
u′v
u v′ = uv b
a
a
u dv = uv -
v du
u′v
a
b
b
u dv =
uv
b a
-
a
v du
a
Contoh soal :
Tentukan
x
2
sin sin
x
d x !
Penyelesaian: Cara 1: dengan menggunakan rumus
Misal : u = x = x2,
du
u dv = uv -
v du
2 xdx
dv = sin x sin x d d x v sin sin sehingga diperoleh,
x
2
sin sin x
xdx =
- cos x cos x
d x = x2. (-cos x (-cos x)) = x2. (-cos x (-cos x)) +
( cos x)2 x dx
cos x. 2 xdx
= - x - x2.cos x .cos x + 2 ( x.sin x.sin x x -
sin xdx ) sin
= - x2. cos x cos x + 2 x. x. sin x sin x +2 cos x cos x + + C
Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk
udv yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan integral ,
ke- k dari v selalu ada.
25
Cara 2:
Diturunkan
Diintegralkan
+
x2
sin x
-
2x
- cos x
+
2
- sin x
- 0
cos x
Deferensialkan sampai nol Sehingga diperoleh,
x
2
sin sin
xdx =
- x - x2. cos x cos x + 2 x. x. sin x sin x +2 cos x cos x + + C
Latihan soal :
Selesaikan integral berikut dengan teknik substitusi atau integral parsial!
1.
x
2.
2 x
3.
4.
3 x( x 7)
5.
2 x. cos ( x 3)dx
2
3 sin x dx sin
x
2
4dx
x 7 dx 5
dx
6.
3 x( x
7.
sin ( x 2 x. sin
8.
x
9.
x
10.
26
2
2
sin sin
5) 5 dx 2
3)dx
xdx
x 7 dx
sin 6 xdx 3 x sin
D. Penggunaan Integral Tertentu. 1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung menghitung Luas Daerah. Luas daerah antara kurva dengan sumbu sumbu X atau sumbu sumbu Y y
y
y = f(x)
x=a
x=b
0
0
x=a
x=b
x
x
y =f(x)
(a)
( b)
y
y1 = f(x)
y
y= sin x
y2 = g(x)
0
a
b
x
0
(c)
a
b
(d)
Keterangan: (a)
Luas daerah di atas sumbu x
(b)
Luas daerah di bawah sumbu x
(c)
Luas daerah dibatasi oleh dua kurva
(d)
Luas daerah dibatasi oleh y = sinx 27
x
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir : b
b
a
a
b
LB = f ( x)dx f ( x)dx
LA = f ( x) dx a
b
b
LC = ( y1 y 2 )dx
LD =
a
sin xdx sin a
Contoh soal :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: 1. y =2x - 2, untuk 0
x
2
2. y1= x2 dan y2 = 2x +3
3. y = cos x, untuk
2
x
3 2
Penyelesaian: 1. y =2x - 2 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2 y= 2x-2 L = L1 + y
0
1
2 x
-1 -2
28
L2
2
L1= (2 x 2) dx
x
2
2 x
2
1
( 22-12)-(2.2 – 2.1)= 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1
1
1
L2= (2 x 2)dx
x
2
2x
1 0
2
1 2.1 1
0
Jadi luas L=1+ 1 = 2 satuan luas 2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan y2 = 2x + 3 y=2x+3 y y=x2
9
menentukan batas-batasnya y1 - y2 = 0
jadi diperoleh
x2 - 2x-3=0
x1= -1 dan x2= 3
(x +1)(x – 3 )=0
(-1) sebagai batas bawah dan (3) sebagai batas atas.
-1
0
3
3
L=
(2 x 3) x
2
dx
1
3
1 1 1 = x 2 3 x x 3 = 3 2 3.3 .33 12 3.(1) .(13 ) 3 3 3 1 1 = 9 (1 3 ) 3
= 10
2 3
satuan luas 29
atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya).
L=
D D
6a
2
Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2,
L=
16 16 6.( 12 )
64
6
10
2 3
D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16
satuan luas
3. y = cos x 3 3
2
y
L=-
cos xdx =
- sin sin x 2 = -(sin
2
3 2
– sin sin
2
)
2
= - (-1 - 1) = 2 satuan luas 1
0
y = cos x
3
2
2
x
Latihan soal :
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva yang terdapat pada tiap soal berikut : a. y = 3x + 4, sumbu x, dan garis x = 2 dan x = 6. b. y= 3x + 4, dan sumbu x c. y = 6x dan y2 = x2 – 2x. 2x. d. x = 8 + 2y – y y2 , sumbu y , dan garis y = -1 dan y = 3 e. y = x3, sumbu x, dan garis x = 0 dan x = 1. 30
2. Dengan menggunakan pengintegralan, hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini.
y
y y=(x+1)2
Y=3
y 1
0
5 x
-1 0 1
(a)
x
(b)
y=
x
y
y
0 y = x3- 1
4
x
(e)
-1
0
1
x
-
2
-1
0
2
-1
x y=cos x
-2 (c)
(d)
2. Penggunaan integral tertentu, untuk menghitung menghitung volume benda putar.
Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 360o, terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan gambar berikut: 31
BENTUK BIDANG DATAR 1.
HASIL PENGAMATAN
1. ▲ABC diputar dengan AB
A
sebagai pusat sumbu putar. A
B
C B
C′
2.
C
2. ▲BCD, diputar dengan BD
C
Sebagai pusat sumbu putar. C
B
D
D
B
C′ 3.
K
L
3.Persegi panjang ABCD diputar dengan KM sebagai pusat sumbu putar.
K M
N
L
32
M
N
1. Volume benda putar ,mengelilingi sumbu x y
y= f(x)
b
V=
( f ( x)
2
dx
x
a
D
C
A
f(x)
B
x1
V=
y
2
dx
0
a
x 2
2. Volume benda putar , mengelilingin sumbu y 33
b
x
y d
d
V=
( f ( y))
2
dy
c
y 2
V=
x
2
dy
x = f(y)
y1
x 0 3. Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva. b
V=
( f ( x)
2
1
( f 2 ( x) 2 } dx dengan f 1(x) > f 2 (x), yang mana a < x < b
a x2
V=
( y
2
1
y 2 2 ) dx
x1
Contoh soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o. y Penyelesaian :
y=x+1
1
0
2 x
-1
34
2
V=
2
f ( x) dx = ( x) 2
0
dx =
0 2
3
2
0
26
3
( x
2
2 x 1)dx
0
1 = x x x = 3 =
2
2
1 3 26 1 3 2 2 ( . 2 2 2 ) ( 0 0 0 ) = ) ( 3 3. 3
satuan volume
2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = (x - 2)2, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o.
Penyelesaian: dimana (x - 2)2 = y menjadi x =
3
3
V=
x dy = ( 2
0
8 1 = y 2 y 3 2
y
+2
3
y 2) dy ( y 4 y 4)dy 2
0
0 3
1 2 8 y 4 y 2 .3 3 .3 0
3
9 4.3 8 2
3
12
y
y = (x - 2)2 3
2
35
x
Latihan soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o.
a. y = 3x - 2 dan y = x2 b. y = x - 1 dan y = 3 - x c. y = sin x ,
0
x
1
2
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o.
a. y =
x
dan y = 1
b. y = x + 1 untuk 1< y < 4 c. y =
9
x
2
, garis y = -9 dan y = 9
UJI KOMPETENSI 2
A. Bubuhkan tanda silang (x) pada alternatif jawaban yang paling tepat!
1. Anti derivatif dari f(x)=
2.
1
x
3
3
a. x2 – 12x + 8 + C
c.
b. x3 - 6x2 + x + C
d.
6 x 2 8 x adalah ... 1
x
4
9 1 3
x
2
3
3 x
6 x
8 x
2
C
e.
1
x
12
4
2 x
3
4 x
2
C
8 C
Diketahui f′(x)=2x-3 merupakan turunan dari f(x), f(1)=-6, fungsi f(x) adalah ... a. x2 - 3x - 4
b. x2 - 3x + 4
c. x2 - 3x - 8
36
d. 2x2 - 3x - 4
e. 2x2 - 3x + 4
2
(4
3. Jika
x
a ) dx=12, maka nilai a adalah ...
2
a. 6
b. 3
c. 2
d. 1
e. 0
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 16, 16, sumbu X, sumbu Y dan x = 4 adalah ... a. 85 5.
satuan luas
1
b. 42
3
1
(1 x
a. x -
1
x
2
2
c. 48
3
d. 43
e. 21
) dx = ...
C
b. x-
1 x
3
C
c. x+
1
x
C
d. -2x-3 +C
e. x-
1
x
C
6. Volume benda putar yang terjadi, bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 8 - 2x, garis x = 1 dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu x adalah ... 2
a. 34 3
b. 34
2
c. 35
d. 81
3
1 3
e. 133
7. Luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah adalah.........satuan luas
y
a.20
y = x +3
d.6
5
b. 13
6
5
e. 5
6
x y = -x2 + 9
1
8. Nilai
5 x(1 x) 6 dx = ….
0
37
5 6
1 2
c.7
1 6
1 3
75
a.
b.
56
10
5
c.
56
d.
56
7
e.
56
10 56
3 x. cos 2 x dx = ...
9.
a. 3x sin 2x + 3 cos 2x +C
c.
b. 3x sin 2x + cos 2x +C
d.
3 2 3 2
sin 2 x x sin
3
e.
x sin sin 2 x
2
x sin sin 2 x
3 4 3 4 3 4
cos 2 x C
cos 2 x C
cos 2 x C
10. Jika daerah yang diarsir pada gambar di bawah, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o, maka volum benda putar yang terjadi adalah ...
y
y=x
0
2
a. 39 b. 11.
133 2
( x a.
3
1 4
5
x
satuan volume
c. 6 satuan volume
satuan volume
1 x
2
4 x
d.
29 2
e.
21 2
satuan
satuan volume
)dx = ....
1 x
C
c.
1 4
x
4
1
x
C
38
e.
1 4
x
4
1
x
2
C
volume
b.-
1
x
4
4
1
x
d.
C
1
x
4
4
1
x
C
1
3
12.
(3 cos
1
x
5 sin sin x) dx = ...
6
a. 4 – 4 4 b. 1-
c. 1+
3
d. -1 +
3
e. .- 4 +
3
3
3
13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 4, y = x2, garis x = 0 dan garis x = 2 adalah...satuan luas a. 18
2 3
b.14
2 3
c.13
1
d.8
3
2 3
14. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... y = x2 – 6x 6x + 9
y
0
3
a. 9 satuan luas b. 7
1 2
satuan luas
x
c. 6 satuan luas d. 4
1 2
e. 3 satuan luas
satuan luas
15. Jika F ( x) x) = 8 x – 2 dan F(5) F(5) = 36 maka F( x x) = …
a. 8 x2 – 2 2 x – 159
c. 4 x2 – 2 2 x – 74
b. 8 x2 – 2 2 x – 154
d. 4 x2 – 2 2 x – 54 54
e. 4 x2 – 2 2 x x - 59
39
e.2
2 3
a
16.
2 x 3dx 18 , dengan
a > 1 , maka nilai a ....
o
a. 2
3
17.
b. 3
2
x
3
c. 4
d. 5
e. 6
.....
dx
1
a. 1
8
b.
c.
9
1
d.
9
10
e. .
9
12 9
18. sin5 x cos x cos x x dx = dx = ...
a.
1
b.
1
6
sin6 x + C
c. – 6 sin6 x + C
cos6 x + C
d. – 6 cos6 x + x + C
6
x(
19. Hasil
a. b .
1
2
x
1
3 2 x
2
3
x
4
sin4 x + x + C
1
3
3
c
1 x
1
x)dx ...
1 x
x
e.
x
3
3
c
c. d.
2
1 x
3 2 x
x
2 x
3
x
2
3 1
x
3
c
3
e.
2
1 x
3
x
x
3
2
c
c
20. Tuliskan rumus integral yang menyatakan daerah yang di arsir pada gambar di bawah!
y
y = x2 – 1 1
3
0
2
x 40
2
a.
( x
2
1)dx
2
c.
1)dx
e.
1
1
2
b.
( x
0
2
( x
( x
2
1) dx
1
1
1)dx
2
d.
0
( x
2
1)dx
0
B. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar ! 2
1.
x dx .... 3
2
2.
(3
1
x
x
6)dx …
3. Luas daerah yang di arsir pada gambar adalah…. y
5
-1 0
1
5
x
-1 3 4
4.
sin sin 1 2
x
dx =....
5. Diketahui
dy dx
4 x 5 dan y = 12 untuk x = -2, persamaan kurvanya adalah....
6. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva y
1
x
2
4
, sumbu X, sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu X adalah...
41
7. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva x = y2 + 1, sumbu X, garis y = 1, diputar mengelilingi sumbu Y adalah... 8. Kecepatan suatu benda yang bergerak didefinisikan sebagai v = 2t + 4 . Apabila jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak 2 detik adalah 10 meter, maka jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak 5 detik adalah ... 1
9.
x
2
( x 6) dx ...
1 3
10. Hasil dari
2
x
x
2
2 dx = ....
6
42
KUNCI JAWABAN LATIHAN ULANGAN
1. E
11. C
2. A
12. B
3. B
13. C
4. B
14. A
5. A
15. D
6. A
16. B
7. A
17. B
8. C
18. A
9. D
19. A
10. A
20. A
URAIAN
1. 0 2.
2 x x
3.
5
4. 5. 6. 7.
5
6 x 2 x
C
satuan luas
6 2 2 y
16 15
2 x
5x 14
satuan volume
28
15
2
satuan volume
8. 43 meter 9. -4 10.
56 3
43
