Matematika2 Dio2 Za Gimnazije i Tehnicke Skole

Branimir Dakić Neven Elezović

OG LE DN IP RIM JE RA K

MATEMATIKA 2 udˇzbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola 2. dio

OG LE DN IP RIM JE RA K Intelektualno je vlasniˇstvo, poput svakog drugog vlasniˇstva, neotudivo, zakonom zaˇstićeno i mora se poˇstivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika.

ISBN 978-953-197-848-4 (cjelina) ISBN 978-953-197-850-7 (Dio 2)


Branimir Dakić Neven Elezović

MATEMATIKA 2 udˇzbenik i zbirka zadataka

za 2. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola

2. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.

c

Branimir Dakić, prof. prof. dr. sc. Neven Elezović, 2013.


Urednica Sandra Graˇcan, dipl. ing.

Recenzenti ˇ Zeljka Frković, prof. prof. dr. sc. Ljubo Marangunić Lektorica Dunja Apostolovski, prof. Crteˇzi, slog i prijelom Element d.o.o., Zagreb Dizajn Edo Kadić

Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Menˇcetićeva 2 tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701 faks 01/ 6008-799 www.element.hr [email protected]

Tisak Element d.o.o., Zagreb


Predgovor Uz ovaj udˇzbenik stjecat céte nova matematiˇcka znanja. Knjiga se sastoji od dva sveska s ukupno sedam poglavlja, a u svakom je poglavlju obradena jedna tematska cjelina. Pojedino poglavlje zapoˇcinje zanimljivim i poticajnim problemom koji cé se razrijeˇsiti nakon usvajanja novog gradiva. Uvjerit céte se u vaˇznost matematike te njezinu sˇ iroku primjenu u raznim podruˇcjima zˇ ivota.

Gradivo se izlaˇze na vama primjeren i pristupaˇcan naˇcin. Potkrepljuju ga pomno odabrani i potpuno rijeˇseni raznovrsni primjeri. Nastojte ih pozorno i temeljito prouˇciti. Neposredno iza primjera slijedi njemu blizak zadatak cˇije cé samostalno rjeˇsavanje pridonijeti boljem razumijevanju i usvajanju gradiva. Velik broj ilustracija i slika podiˇze zornost sadrˇzaja.

U ovoj knjizi je i opseˇzna zbirka zadataka za vjeˇzbu. Zadatci su razvrstani po manjim tematskim cjelinama unutar poglavlja. Na kraju knjige su rezultati, a uz sloˇzenije zadatke nalaze se i postupci rjeˇsavanja. I svakako ne zaboravite: uspjeˇsno uˇcenje matematike zahtijeva upornost i marljivost, ono mora biti redovito, nikako “kampanjsko”. Nastojte uˇciti sˇ to samostalnije, uz pomoć udˇzbenika. Samo tako cé vaˇse znanje biti temeljito i trajno. Ukaˇzimo joˇs i na male, raznovrsne i zanimljive umetke (kutke) kojima je svrha unijeti zˇ ivost u proces uˇcenja. Ti su umetci naznaˇceni posebnim simbolima. Evo njihova tumaˇcenja:

Za radoznale

U ovim kutcima dane su neke napomene i kraće dopune neposredno povezane s gradivom koje se upravo obraduje. Poklonite im trenutak pozornosti, neće to zahtijevati poseban dodatni napor, a moˇze pridonijeti proˇsirivanju vaˇsih matematiˇckih vidika.

Kutak plus

Kutak plus sadrˇzava dodatne napomene uz tekuće gradivo. Tim malim dodatcima moˇzete upotpuniti i produbiti svoje znanje. Savjetujemo i vama, koji moˇzda mislite kako ti dodatci nisu za vas: ne odustajte olako. Barem pokuˇsajte razumjeti o cˇemu se radi jer ovdje nije rijeˇc ni o cˇemu nedostupnom.

Istraˇzite


U ovim kutcima naići céte na otvorene probleme koje valja istraˇziti. “Otvoreno” znaˇci da vam nije unaprijed propisan put k rjeˇsenju, niti je samo rjeˇsenje predvidivo. Neki od problema pod ovim naslovom mogu se obraditi i kao projektni zadatci ili kao matematiˇcki eseji.

Bez rijeˇci

Dokaze nekih matematiˇckih cˇinjenica moˇzemo izraziti zorno i bez rijeˇci kao svojevrsne matematiˇcke rebuse. Kad kaˇzemo “bez rijeˇci”, podrazumijevamo da je dokaz neke matematiˇcke cˇinjenice predoˇcen bez ikakva pisanog obrazloˇzenja. Dokazu vodi analiza same slike, a na vama je da ga opiˇsete rijeˇcima.

Iz zabavne matematike

Zabavna (ili rekreacijska) matematika priznata je grana matematike. Zabavna je zbog “zabavnih” problema, sˇ to ne znaˇci da su ti problemi sasvim matematiˇcki bezazleni. Uz zadatke u ovim kutcima, u udˇzbeniku céte naći joˇs cˇitav niz zadataka, ugradenih u samo izlaganje gradiva, koji bi - mogli svrstati u zabavnu matematiku. se takoder

Povijesni kutak

Matematiˇcka znanost ima bogatu i zanimljivu povijest. U svakom pojedinom poglavlju ovog udˇzbenika povijesni kutak ukratko govori o povijesti podruˇcja matematike koje se u tom poglavlju obraduje. Ponekad su to samo male napomene.

Toˇcno-netoˇcno pitalice

Toˇcno-netoˇcno pitalice namijenjene su prije svega za vaˇs samostalan rad. One su pozorno i sustavno osmiˇsljene te sadrˇzajno pokrivaju pojedine cjeline. Nije dovoljno reći je li vaˇs odgovor na pojedinu pitalicu toˇcan - “da” i “ne” je ili netoˇcan. Upravo podrobno obrazloˇzenje izbora izmedu ono sˇ to se traˇzi. Zbog toga budite uporni u traganju za rjeˇsenjima. Autori


Sadrˇzaj

5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf i svojstva eksponencijalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svojstva logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponencijalne i logaritamske jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponencijalne i logaritamske nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . Raˇcunanje logaritama i općih potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 8 20 30 38 48 51 62

6. Geometrija prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

67 Toˇcke, pravci i ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Paralelnost i okomitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ortogonalna projekcija i udaljenost toˇcke do ravnine . . . . . . . . . . . . . . 92 Preslikavanja prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Kut pravca i ravnine. Kut dviju ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Konveksni skupovi, poluprostori i poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7. Poliedri i rotacijska tijela

.......................................... Obujam tijela. Cavalierijev princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prizme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valjak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stoˇzac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotacijska tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 126 131 143 153 161 171 183 188

Rjeˇsenja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Geometrija prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Poliedri i rotacijska tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 194 200 207

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8.

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215



5

EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE

Dosad smo u matematici upoznali viˇse funkcija. Nekima od njih, a takve su primjerice polinomi prvog i drugog stupnja, vrijednosti moˇzemo izraˇcunati s pomoću cˇ etiri osnovne raˇcunske operacije te operacija potenciranja i korjenovanja. Takve se funkcije zovu algebarske.


U ovom poglavlju srest c´ emo se s dvjema novim funkcijama, eksponencijalnom i logaritamskom koje prelaze te okvire jer se njihove vrijednosti ne mogu izraˇcunati na opisani naˇcin. Takve se funkcije zovu transcedentne.

Eksponencijalna i logaritamska funkcija znaˇcajne su pri analizi i opisivanju nekih vaˇznih prirodnih i druˇstvenih pojava i fenomena. Za uvod odabrali smo jedan sasvim jednostavan primjer.

5.1. Eksponencijalna funkcija

Cijena rabljenog automobila ovisi o viˇse cˇimbenika od kojih je vrlo bitna godina proizvodnje, odnosno starost automobila. Svake se godine vrijednost nekog automobila umanjuje za 25 % u odnosu na prethodnu. Ako je kao nov automobil stajao 15 000 eura, kolika mu je vrijednost nakon n godina? Oznaˇcimo s C0 = 15 000 cijenu novog automobila. Nakon godinu dana ( n = 1 ) vrijednost automobila umanji se za 25 % i iznosi C1 = C0 − C0 · 0.25 = C0 (1 − 0.25) = C0 · 0.75 = 11 250 eura.

Nakon joˇs jedne godine automobilu cijena ponovno padne za 25 % i iznosi C2 = C1 − C1 · 0.25 = C1 (1 − 0.25) = C1 · 0.75 = C0 · 0.752 = 8437.5 eura. Analogno raˇcunamo dalje te je C3 = C0 · 0.753 = 6328 eura itd.

Cijena automobila funkcija je vremena i moˇzemo je zapisati u sljedećem obliku: Cn = 15 000 · (0.75)n . Prikaˇzimo raˇcun tablicom u kojoj je s n oznaˇcen broj godina, a s Cn vrijednost automobila nakon n godina izraˇzena u tisućama eura. Primijetite da pri ispisivanju tablice rabimo sljedeću cˇinjenicu: ako je Cn cijena automobila nakon n godina, tada je cijena sljedeće godine Cn · 0.75 .

2

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA

n

0

1

2

3

4

5

6

Cn

15

11.250

8.438

6.328

4.746

3.560

2.7

5.1


Podatke iz tablice uz joˇs nekoliko dodanih moˇzemo zapisati u obliku uredenih parova (n, Cn ) te pridruˇzene im ˇ primjećujete? Opitoˇcke ucrtati u koordinatni sustav. Sto sˇ ite taj graf. Naravno da ima smisla pitati i za cijenu automobila starog 3.5 godina ili 75 mjeseci i sl. Jer ipak je razdoblje od primjerice pola godine znaˇcajno u zˇ ivotu automobila. No doći cémo do odgovora i na ovakva pitanja. Opisani primjer uvodi nas u obradu jedne vrlo vaˇzne funkcije, eksponencijalne funkcije.

Kakva su oˇcekivanja o duljini zˇ ivotnog vijeka neke osobe? Kojom se brzinom sˇ iri neka zarazna bolest? Koliko se komaraca moˇze oˇcekivati u nekom moˇcvarnom podruˇcju tijekom ljeta? Koliko vremena treba proći kako bi alkoholizirani ˇ znaˇci da je neki potres jaˇcine 5 stupnjeva vozaˇc bio spreman za voˇznju? Sto po Richterovoj ljestvici? Eksponencijalna funkcija daje odgovore na ova, ali i mnoga druga pitanja.

Ponovimo: Potencije i njihova svojstva

U prvom smo razredu upoznali potencije cˇiji su eksponenti cijeli ili racionalni brojevi. Ako je a > 0 realan, a n prirodan broj, onda je a2 = a · a,

a3 = a · a · a = a2 · a · . . . · an = a · a ·. . . · a = an−1 · a. n puta

n

Broj a je baza, a broj n eksponent potencije a .

Iz definicije neposredno slijede osnovna svojstva potencija. Svojstva potencija

(E1 )

ax · ay = ax+y

(E2 )

(ax )y = ax·y

(E3 )

(a · b)x = ax · bx .

Potom smo uveli potencije cˇiji je eksponent negativan cijeli broj 1 a−n = n , a pri cˇemu je a > 0 i n ∈ N .

3

5


Nadalje, uz primjenu svojstva (E1 ) vrijedi: 1 = 1. an - posebno istaknuti: Ovo cémo vaˇzno svojstvo potencija takoder a0 = an−n = an · a−n = an ·


Potenciranje nulom

(E4 )

a0 = 1 .

Potenciranje pozitivnog broja a reciproˇcnim brojem prirodnog broja n povezali smo s korijenom broja a : √ 1 a n = n a. Zatim smo uveli pojam potencije cˇija je baza a pozitivan broj, a eksponent bilo m koji racionalan broj. Ako je x = , m ∈ Z , n ∈ N , tada stavljamo: n √ m ax = a n = n am . Raˇcunanje s ovakvim potencijama posjeduje sva svojstva (E1 ) – (E4 ) .

Tako smo definirali potenciju ax za sve pozitivne brojeve a te racionalne brojeve x.

Eksponencijalna funkcija

Ako je a zadana baza, a > 0 i a = 1 , a x bilo koji racionalan broj, onda vrijednost potencije ax ovisi o x . Moˇzemo govoriti o funkciji koja racionalnom broju x pridruˇzuje vrijednost potencije ax , x → ax . Definicija te funkcije moˇze se proˇsiriti i na realne brojeve te je za svaki realni broj x definirana funkcija f (x) = ax , koju zovemo eksponencijalna funkcija.

Primjer 1.

Funkcija f (x) = 3x primjer je eksponencijalne funkcije. Za realni broj x vrijednost funkcije je 3x . Tako je

f (3) = 33 = 27,

f (−2) = 3−2 =

1 , 9

f

1 2

1

= 32 =

√

3.

U svakom od triju primjera umjesto x uvrˇstavali smo samo probrane brojeve. Jer općenito, bez pomoći dˇzepnog raˇcunala ili tablica nije moguće izraˇcunavati vrijednosti potencije 3x .

4


Koliko je, primjerice, f

5.1

3 3 ? Odnosno, koliko je 3 5 ? 5 √ √ 3 5 5 3 5 = 33 = 27.


Vrijednosti funkcije f (x) = 3x (i ne samo - dˇzepnim raˇcunalom. nje) u pravilu se odreduju Kako, o tome cé joˇs biti rijeˇci. No primijetite kako je na slici dˇzepnim raˇcunalom dobiveno 3 3 5 ≈ 1.933182045 .

Eksponencijalna funkcija

Neka je a > 0 i a = 1 realan broj. Funkcija f (x) = ax definirana za svaki realni broj x zove se eksponencijalna funkcija.

Zaˇsto se zahtijeva da baza potencije bude pozitivan broj? Ako bismo dopustili da 1 3 je baza negativan broj, tada potencije kao sˇ to su (−2)− 4 , (−3) 8 i sliˇcne ne bi bile realni brojevi. Ako bi pak baza bila jednaka nuli, tada bi vrijedilo 0x = 0 za svaki realni broj x osim za x = 0 , kada ta potencija nije definirana. Jednako tako je 1x = 1 za svaki realni broj x . Dakle, funkcija f (x) = 1x = 1 je konstanta pa je zbog toga uvedeno i ograniˇcenje a = 1 .

Zadatak 1.

1 Ako je dana eksponencijalna funkcija f (x) = 4x , koliko je: f (2) , f , 2 3 f − , f (0) , f (0.25) ? 2

Neka je baza eksponencijalne funkcije a > 1 .

m

Tada za svaki√pozitivan racionalni eksponent x√> 0 vrijedi ax = a n > 1 . Naime, ax = n am , a kako je am > 1 , onda je i n am > 1 . Uzmimo da je x1 < x2 . Uz primjenu svojstva (E1 ) imamo: ax2 = a(x2 −x1 )+x1 = ax2 −x1 · ax1 > ax1 , jer je x2 − x1 > 0 i ax2 −x1 > 1 .

Time smo dokazali i sljedeće svojstvo monotonosti eksponencijalne funkcije. Monotonost eksponencijalne funkcije

(E 5 )

Ako je a > 1 , onda za racionalne brojeve x1 < x2 vrijedi ax1 < ax2 .

5

5


Zadatci 5.1. Obrazloˇzi svojstva potencija (E1 ) – (E3 ) za slucˇ aj kada su x i y prirodni brojevi.

2.

Zapiˇsi u obliku potencije: 1) 10 · 1002 · 10003 ; 2) (93 · 3 · 272 )3 ; 4) 37 + 6 · 36 ; 3) (16 · 43 · 82 )5 ; 5) 9 · 273 + 2 · 311 ;

3.

7.

1) (−125)−3 · (−25)−4 ; 2) (−4)−4 · (−8)−3 ; −3 1 ; 3) (−9)−3 : − 27 4) (−0.1)−4 : (−100)−3 ; 5) −10−3 ·(−0.1−2 )3 ·(−0.01−3)−2 ; 1 10−2 1 · · . 6) − 100−2 0.013 0.0012

6) 26 · 54 + 6 · 104 .

Zapiˇsi u obliku potencija s osnovicom a : 1) (an+1 )2 · (a2n+1 )2 · (a3n+1 )2 ; 2) (a3n−1 )2 · (a3n−1 )3 · (a3n−1 )4 ;

4.

3) (a3 )2n+1 · (a4 )2n+1 · (a5 )2n+1 ; 4) (an+2 )3 · (an+1 )3 · (an )3 ; 5) an+1 · (an+1 )2 · (an+1 )3 .

8.

Otisak ovog udˇzbenika ima rezoluciju od 2400 toˇcaka po inˇcu. Koliko toˇcaka ima na stranici dimenzije 20 × 24 cm ? Izrazi rezultat u znanstvenom zapisu.

Izraˇcunaj:

9.

Za koliko c´ e vremena svemirski brod koji putuje brzinom od 1.5 · 105 km/h prijeći put od 4.5 · 1012 km ?

1) 43n+2 : 82n+1 ;

3) 93n+2 : 272n+2 ; 5)

5.

6.

28

22n+4

n+2

·

7n−1

;

2) 36n+3 : 62n+5 ; 32n−4 · 7n−1 4) ; 63n−1 2n+1 36 6) . 16n · 34n

Izraˇcunaj: 8a−3 2 b 3 1) · ; b−2 8a−2 25 3 5a3 −2 2) · ; a−2 b b2 −2 1 3) (4x2 y−3 )3 : ; 3 −1 16x y 0.25x3 y−2 −2 9x−2 −3 · ; 4) 27z−2 4y2 z3 9a−2 −3 8a3 c−2 2 : . 5) 16b3 c−1 27b−5

Provedi naznaˇcene raˇcunske operacije i rezultat izrazi u znanstvenom zapisu: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

6

Izraˇcunaj:


1.

9.1 · 10−5 + 5.2 · 10−5 ; 6.9 · 108 + 7.8 · 109 ; 3.5 · 10−4 · 7.6 · 10−4 ; 5.5 · 10−4 · 9.2 · 10−5 ; 7.4 · 108 : 1.2 · 1011 ; 6.6 · 10−10 : 4.4 · 10−15 .

10. Brzina svjetlosti je 3·108 metara u sekundi. Ako

je udaljenost Sunca od Zemlje 93 milijuna milja (1 milja = 1.6 km), za koliko cé vremena svjetlost sa Sunca stići do Zemlje?

11. Ako je masa atoma vodika 1.7 · 10−24 grama,

koliko je atoma vodika u masi od jednog kilograma?

12. Izraˇcunaj:

√ √ 3 · 12 ; √ √ 3 3 · 6 3; 3) √ √ 5) 3 9 : 3 ;

√ 5 · 5; 7)

1)

√ √ 3 2 · 3 4; √ √ √ 4) 3 · 3 4 · 4 9 ; √ √ 6) 4 8 : 3 4 ;

√ 8) 4 · 3 4. 2)

13. Izraˇcunaj:

√

√ 3 √ 9 5 3 3 √ 5 3 x · x ; 2) x · x6 ;

√ √ √ 4 3 8 5 3 10 4 √ 9 3 4 x : x3 ; 4) x : x . 3)

1)

14. Pojednostavni:

√ √ √ 3 1) ( 3 x2 · x : x · x) · x2 ;

√

√ √ 3 2) ( x· x2 : x· x)· 3 x· 4 x ;

√

√ 3 n 3) ( x · x5 )3 : ( n x2 · x)2 ;

√ √ n 4) ( n x · 3 x)3 : ( x · x4 )2 .


15. Zapiˇsi u obliku potencije: √ 1) 3 4 ;

2)

√ 4

21. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 2 ; 3) √ 5 8 1 6) 4 5 ; 2

27 ;

1 1 4) √ ; 5) √ ; 4 3 125 8

√ 8) 4 a2 − b2 . 7) 3 (a−2)2 ;

;

2) 3

;

5) (a2 −

2 1) 3

;

−1.5

4)

1 (a 2

6)

1 a4

;

−

·b

1 1) 2

3 −4

;

.

17. Izraˇcunaj: 1

1

2) 81− 4 ;

1) 81 2 ;

1

1

18. Izraˇcunaj:

1 −0.5 ; 16 1 2 3 0.04−1.5 · ; 125 1 −0.75 ; 160.5 + 16 1 − 2 3 −0.5 (0.81) + ; 8 3 16 − 2 2 − (0.064)− 3 ; 25 1 − 3 2 4 27− 3 − 5 . 16 3

1) 0.25− 2 ·

3) 4) 5) 6)

4 . 25

19. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza

1 1 2 1 3 − 3 (a− 3 b)−1.5 : (a 3 b 3 )− 4 ,

za a = 16 , b =

8 . 27

20. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza

2 1 1 −3 (a 3 · b−2 )0.75 : (a− 2 · b3 )− 2 ,

za a =

16 , b = 0.01 . 81

m i n , ako je 1 m 1 n 1) > ; 3 3 m n 3) 0.2 < 0.2 ; 4 m 3 n 5) < ; 3 4  m  n 7) < ; 2 2

2) 2m > 2n ;

4) 4m = 4n ; 1 m 1 n 6) √ > √ ; 2 2 √3 m √3 n 8) > ? 3 3

23. Formulom v = 6.5p1/7 izraˇzava se ovisnost br-

1

4) 32 5 + (−8) 3 ;

6) 3 (−2)3 .

3) 0.0625 4 ; √ 10 322 ; 5)

2)

ako je a = 0.64 , b =


3)

1 −2

2 53

3 2 1 − 4 1 (a 3 · b−2 )− 2 : (ab−3 ) 3

22. U kojem su medusobnom odnosu realni brojevi

16. Zapiˇsi s pomoću korijena sljedeće potencije: 1) 2

5.1

zine broda u cˇvorovima o snazi p brodskog motora u konjskim snagama (1 cˇ vor = 1.15 mi/h = 1.85 km/h ). 1) Kako se brzo kreće brod cˇiji motor ima snagu od 600 KS? 2) Ako se snaga motora udvostruˇci, kojom cé se brzinom kretati brod?

3) Brzina Titanika pri udaru o santu bila je 18.5 cˇ v. Kolikom su snagom u tom trenutku radili motori?

24. D. Dubois i E. F. Dubois objavili su u cˇasopisu

Archives of Internal Medicine 1916. godine rad u kojem navode formulu za izraˇcunavanje povrˇsine ljudskog tijela. Ta formula glasi:

P = 0.007184m0.425 · h0.725 , pri cˇemu je P u kvadratnim metrima povrˇsina tijela, m masa tijela u kilogramima, h visina osobe u centimetrima. Ako je masa neke osobe 70 kg, a visina 175 cm, kolika je povrˇsina njezina tijela? Izraˇcunaj povrsˇ inu svojega tijela.

7

5


5.2. Graf i svojstva eksponencijalne funkcije


Naˇcin na koji zapisujemo brojeve daje naslutiti kako cé baza a = 10 imati posebnu ulogu u raˇcunanju potencija. Naime, dekadski zapis brojeva upravo se zasniva na raˇcunanju s potencijom broja 10 . Promotrimo zato potencije oblika 10x .

Graf funkcije x → 10x

Skicirajmo graf funkcije f (x) = 10x . U tu cémo svrhu izraˇcunati njezine vrijednosti za nekoliko odabranih vrijednosti x . y x −3 −2 −1 0 0.5 1 1.5 2

10

10x 10−3 = 0.001 10−2 = 0.01 10−1 = 0.1 100 = 1 √ 100.5 = 10 = 3.16 101 = 10√ 101.5 = 1000 = 31.6 102 = 100

Primijetimo da su vrijednosti funkcije u toˇckama 0.5 √ i 1.5 √ odredene pribliˇzno, jer su 10 i 1000 iracionalni brojevi.

1

-2

-3

-1

0

1

x

x

graf potencije 10

Vidimo da ova eksponencijalna funkcija raste vrlo brzo za pozitivne brojeve x . Crtano u mjerilu 1 : 1 , za x = 10 cm koordinata y iznosi 1010 cm = 105 km . - vrlo brzo. Njezin Za negativne argumente x funkcija pada prema nuli, takoder se graf priljubljuje uz negativni dio x -osi. Kaˇzemo da je x -os asimptota grafa eksponencijalne funkcije.

Graf funkcije 10x u razlicitim ˇ mjerilima

Grafove funkcija koje rastu vrlo brzo moˇzemo lakˇse predoˇciti tako da upotrijebimo razliˇcita mjerila na koordinatnim osima. Nacrtajmo sad graf eksponencijalne funkcije 10x na intervalu [−1, 1] izabravˇsi jedinice na koordinatnim osima tako da jednoj jedinici na x -osi odgovara deset jedinica na y -osi. Pritom cémo s pomoću dˇzepnog raˇcunala izraˇcunati vrijednosti eksponencijalne funkcije u racionalnim toˇckama. Broj 10x raˇcuna se na dˇzepnom raˇcunalu na sljedeći naˇcin:

8

GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE

5.2

• unese se vrijednost broja x • pritisne se tipka 10x . Dobivene cémo vrijednosti zapisati dvjema znamenkama. y

OG LE DN IP RIM JE RA K x −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10x 0.1 0.16 0.25 0.40 0.63 1 1.6 2.5 4.0 6.3 10

10

0

-1

1

x

x

Graf funkcije 10 nacrtan je u mjerilu 10 : 1 .

Nacrtan je graf funkcije koja je definirana za svaki realni broj x , dakle i za svaki iracionalni broj. Provjerit cémo je li ovaj postupak ispravan. √ Izaberimo neki iracionalni broj, recimo 2 . Zapisati ga moˇzemo samo s odredenom toˇcnoˇscú, jer je njegov decimalni zapis beskonaˇcan. Ako raˇcunamo na dvije decimale, tada cémo zapisati: √ 1.41 < 2 < 1.42 . ˇ Zelimo da svojstva eksponencijalne funkcije ostanu saˇcuvana. Zato po svojstvu (E4 ) mora vrijediti: √ 101.41 < 10 2 < 101.42 , odnosno:

√

25.70 < 10

2

< 26.30 .

Ocjena je neprecizna√jer funkcija x → 10x raste jako brzo, a uzeli smo grubu aproksimaciju broja 2 . Popravimo je! Iz ocjene √ 1.41421 < 2 < 1.41422 slijedi: √ 25.95434 < 10 2 < 25.95493. √

Vidimo da smo dobili broj 10

2

√

s pet toˇcnih znamenki 10

2

= 25.954 . . .

√

Kad se broj 10 2 raˇcuna na dˇzepnom raˇcunalu koje zapisuje brojeve s 10 znamenki, tada raˇcunalo koristi aproksimaciju √ 1.41421356237 < 2 < 1.41421356238 (Prebrojite broj znamenki!), a na zaslonu se pokaˇze vrijednost √ 2 10x = 25.95455352,

9

5


s deset toˇcnih znamenki. Naravno, i ovo je samo pribliˇzna vrijednost broja √ 10 2 jer je to iracionalan broj. Pri zapisivanju brojeva izraˇcunanih na dˇzepnom raˇcunalu, rezultate cémo zaokruˇzivati na 2–5 toˇcnih znamenki.


Na ovakav naˇcin, koristeći racionalne eksponente, vrijednost potencije 10x mozˇ emo s dovoljnom toˇcnoˇscú izraˇcunati za svaki iracionalni broj x . Za to je dovoljno uzeti bliske decimalne brojeve x1 i x2 takve da vrijedi x1 < x < x2 . Onda cé biti: 10x1 < 10x < 10x2 .

Graf eksponencijalne funkcije x → ax

Baˇs kao za a = 10 , moˇzemo nacrtati graf funkcije ax za druge vrijednosti baze a . Nacrtajmo graf funkcije f (x) = 2x . y

2x

x

−1

1 8 1 4 1 2

0

1

1

2

2

4

3

8

−3 −2

y=2

x

8

4

2 1

-3 -2 -1 0

1

2

x

3

graf funkcije 2x

Vidimo da i ova funkcija ima graf sliˇcan grafu funkcije x → 10x , samo sˇ to ona za pozitivne realne brojeve x > 0 raste sporije, jer je 2x < 10x za x > 0 . Za negativne brojeve x vrijedi suprotna nejednakost: 2x > 10x . y

10x

2

y

x

bx

ax

a
1

1

x

x

usporedba grafova eksponencijalnih funkcija za razne vrijednosti baza a > 1 , b > 1

Zadatak 1. 10

Nacrtaj graf funkcije f (x) = 3x . Usporedi ga s grafovima funkcija (x) = 10x i ˇ moˇzeˇs zakljuˇciti? f (x) = 2x . Sto


5.2

Uz bazu 10, koja je vaˇzna zbog toga sˇ to raˇcunamo u dekadskom sustavu, te bazu 2, jer raˇcunala raˇcunaju u binarnom sustavu (sustavu s bazom 2), vaˇzna je i eksponencijalna funkcija cˇija je baza broj e . To je iracionalan broj s pribliˇznom vrijednoˇscú


e = 2.718281828 . . .

Funkcija f (x) = ex ugradena je u svako dˇzepno raˇcunalo koje sadrˇzi i ostale standardne funkcije. Njezina je tipka oznaˇcena s ex . Vrijednost broja e moˇzemo dobiti s pomoću 1 ex .

Zadatak 2.

Provjeri: e1.5 ≈ 4.4817,

e3 ≈ 20.0855,

e−0.25 ≈ 0.7788,

e−1 ≈ 0.3679 .

Kutak plus

BROJ

e

Jednadˇzbe kao sˇ to su linearna ax + b = 0 , kvadratna ax2 + bx + c = 0 ili jednadˇzba 3. stupnja (kubna), gdje su koeficijenti racionalni brojevi zovu se algebarske jednadˇzbe. Realni brojevi koji su rjeˇsenja takvih jednadˇzbi zovu se algebarski brojevi.

No postoje realni brojevi koji nisu rjeˇsenja niti koje algebarske jednadˇzbe. To su transcedentni brojevi. Broj  je transcedentan broj. On nije rjeˇsenje nijedne algebarske jednadˇzbe. Duˇzinu cˇija je duljina transcedentan broj nije moguće konstruirati. Tako ne moˇzemo konstruirati niti duˇzinu duljine  i to je razlog zbog kojeg nije rjeˇsiv zadatak kvadrature kruga spomenut u 1. razredu. Uz broj  joˇs se istiˇce jedan transcedentan broj, broj e .

Taj broj, cˇija je pribliˇzna vrijednost 2.7182818284590 , kao baza eksponencijalne funkcije pojavljuje se u vrlo raznolikim prirodnim zakonima, kao sˇ to su razne vrste prirodnog prirasta. Nezaobilazne su takve funkcije i u optici, akustici, elektronici, dinamici itd. „ «n 1 Promatramo li niz brojeva koji dobijemo uvrˇstavanjem za n redom prirodnih brojeva u izraz 1 + , sve smo bliˇzi n broju e sˇ to dalje u tom nizu odmiˇcemo. «n „ 1 → 2.7182818284590 . . . 1+ n Oznaku e uveo je sˇ vicarski matematiˇcar Leonhard Euler 1727. godine, vjerojatno inspiriran rjeˇcju eksponent. On je 1737. dokazao da je e iracionalan, a da je transcedentan dokazao je 1873. Charles Hermite.

11

5


Graf eksponencijalne funkcije s bazom 0 < a < 1 Sada cémo promotriti eksponencijalnu funkciju s bazom 0 < a < 1 . Vidjet cémo da se njezin graf moˇze izvesti iz grafa eksponencijalne funkcije s bazom većom od 1, koju znamo nacrtati.


1 Zapoˇcnimo s jednim primjerom. Uzmimo bazu a = . Primijetimo da vrijedi: 2 x 1 = 2−x . 2 Nacrtajmo na istom koordinatnom sustavu grafove funkcija f (x)=2x i g(x)=2−x . x

2x

0

1 8 1 4 1 2 1

1

2

2

4

3

8

−3

−2 −1

2−x 8 4 2 1

1 2 1 4 1 8

Grafovi funkcija f (x) = 2x i g(x) = 2−x simetriˇcni su s obzirom na y -os.

Primjećujemo da funkcije f i g poprimaju iste vrijednosti za brojeve suprotnih predznaka, jer vrijedi: f (−x) = 2−x = g(x) . Zato su grafovi ovih funkcija simetriˇcni s obzirom na y -os.

Objasnimo u kakvoj su vezi funkcije cˇ iji su grafovi simetriˇcni s obzirom na y -os. y

f(x)

g(x)=f(-x)

(-x,f(-x))

-x

(x,y)

x

x

Zrcaljenjem oko y -osi dobiva se graf funkcije g(x) = f (−x) .

Zrcalimo graf po volji odabrane funkcije f oko y -osi. Time dobivamo graf neke funkcije; oznaˇcimo je s g . Ako toˇcka (x, y) leˇzi na njezinom grafu, tada je y = g(x) , ali isto je tako y = f (−x) , jer je graf dobiven zrcaljenjem (vidi sliku).

12


5.2

Zrcaljenje grafa oko y -osi

Zrcaljenjem grafa funkcije f oko y -osi dobiva se graf funkcije g(x) = f (−x) .


Zrcalimo li graf eksponencijalne funkcije f (x) = ax oko y -osi, dobit cémo graf eksponencijalne funkcije g(x) = a−x : x 1 −x g(x) = f (−x) = a = . a

x

-x

g(x)=b =a

Graf funkcije g(x) = bx , 0 < b < 1 simetriˇcan je grafu funkcije f (x) = ax , 1 a= s obzirom na y -os. b Funkcija g(x) = bx padajuća je funkcija. Pozitivan dio x -osi njezina je asimptota.

Zadatak 3.

y

x

f(x)=a

-x

x

x

Graf funkcije f (x) = 2x zrcalimo prema koordinatnim osima. Koje funkcije pripadaju zrcalnim slikama? Proˇsiri zakljuˇcivanje na graf bilo koje eksponencijalne funkcije i njezine zrcalne slike prema koordinatnim osima.

Moˇzeˇs li provesti sliˇcno zakljuˇcivanje za translaciju grafa eksponencijalne funkcije u smjeru koordinatnih osi?

Zadatak 4.

Poveˇzi svaku od sˇ est eksponencijalnih funkcija s bojom u kojoj je nacrtan njezin graf: 1) f (x) = 4x

−x

2) f (x) = e 3) f (x) =

3 x 2

4) f (x) = (0.75)x 5) f (x) =

1 x 8

6) f (x) = ex

y

a)

8

b)

7

6

c)

5 4

d)

3

e) f)

2 1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

13

5


Navedimo sada svojstva eksponencijalne funkcije: Svojstva eksponencijalne funkcije


Eksponencijalna funkcija x → ax ima sljedeća svojstva: 1. Funkcija je definirana za svaki realni broj x .

2. Sve su vrijednosti funkcije pozitivni brojevi i svaki je pozitivan realni broj vrijednost funkcije za neki realni broj x . 3.

(E 1 ) ax · ay = ax+y ,

(E 2 ) (ax )y = ax·y ,

(E 3 ) (a · b)x = ax · bx . (E 4 ) a0 = 1 .

(E 5 ) 1) Ako je a > 1 , onda za x1 < x2 vrijedi ax1 < ax2 ; funkcija je rastuća. 2) Ako je 0 < a < 1 , onda za x1 < x2 vrijedi ax1 > ax2 ; funkcija je padajuća.

4. Grafovi eksponencijalnih funkcija, cˇije su baze reciproˇcni brojevi, simetriˇcni su s obzirom na os y . Za svaki a > 0, a = 1 je a0 = 1 , a to znaˇci da graf svake eksponencijalne funkcije prelazi os y u toˇcki (0, 1) .

Injektivnost eksponencijalne funkcije

Iz svojstva (E5 ) slijedi sljedeći vaˇzan zakljuˇcak. Injektivnost eksponencijalne funkcije

(E6 ) Ako je ax1 = ax2 , onda vrijedi x1 = x2 .

Zaista, kad bi bilo x1 = x2 , pa je, recimo, x1 < x2 , onda se po svojstvu (E5 ) 1) - razlikuju. Vrijedi, dakle: ili (E5 ) 2) vrijednosti ax1 i ax2 takoder x1 = x2 =⇒ ax1 = ax2 . Ova je tvrdnja ekvivalentna tvrdnji (E5 ) . (Razmislite zaˇsto!) Primjerice, iz 2x = 8 , tj. 2x = 23 nuˇzno slijedi x = 3 .

14


5.2

Kriterij injektivnosti


Funkcija f je injektivna ako pravac paralelan s x -osi sijeˇce njezin graf najviˇse u jednoj toˇcki.

Od cˇ etiriju funkcija cˇ iji su grafovi skicirani, samo druga zadovoljava kriterij injektivnosti.

Dosad smo obradili viˇse realnih funkcija: linearnu funkciju, funkciju apsolutne vrijednosti i kvadratnu funkciju. Jesu li te funkcije injektivne? Odgovor obrazloˇzite.

Kutak plus

ˇ LANCANICA

Kad smo govorili o zˇ eljezniˇckom mostu preko Save u Zagrebu, pretpostavili smo da njegov veliki luk ima oblik parabole. I opcénito, skloni smo lukove na raznim mostovima gledati kao parabole. No je li to baˇs tako? Naime, lukovi većine mostova kruˇznog su oblika, neki su mostovi paraboliˇcni, a mnogi imaju oblik lanˇcanice.

pjeˇsaˇcki most u Osijeku

Lanˇcanica je krivulja cˇiji oblik poprima lanac kada ga prihvatimo za njegove krajeve i pustimo da slobodno visi. Na slici vidimo jednu lanˇcanicu na pjeˇsaˇckom mostu preko Drave u Osijeku. Jednadˇzba lanˇcanice je

y=

« „ x a x e a + e− a . 2

U toj je jednadˇzbi broj e = 2.71828 . . . poznata matematiˇcka konstanta, a je koeficijent koji utjeˇce na oblik lanˇcanice. Na slici su 1 prikazane krivulje za a = 2 , a = 1 i a = . 2

15

5


Istraˇzite


NEWTONOV ZAKON HLA-DENJA Uzmite posudu, ulijte u nju uzavrelu vodu. Zatim posudu stavite u okolinu bitno niˇze temperature, te u vodu uronite termometar. Svakih pet minuta oˇcitajte i pribiljeˇzite temperaturu. Neka pokus traje jedan sat. Podatke ˇ primjećujete? dobivene mjerenjem ucrtavajte u koordinatni sustav. Sto Pretpostavite da se temperatura umanjuje po eksponencijalnom zakonu Tt = T0 · ekt , gdje je Tt temperatura vode nakon t minuta. Odredite tu funkciju.

Uz ovaj eksperimentalni zadatak valja spomenuti kako se u praksi rabi fizikalni zakon poznat kao Newtonov zakon hladenja. Stavimo li tijelo temperature T0 u okolinu niˇze temperature Te , tada cé temperatura tijela padati i nakon vremena t iznosit cé

T(t) = Te + (T0 − Te ) · e−kt . - eksperimentalno. Nakon sˇ to provedete eksperiment, Konstanta k ovisi o nekim posebnim svojstvima tvari te se odreduje moˇzete usporediti vaˇs rezultat s rezultatom dobivenim primjenom Newtonova zakona.


Koje su od sljedećih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1. Funkcija f (x) = x−3 primjer je eksponencijalne funkcije. 1 = −2 . 3

2. Ako je f (x) = 8x , onda je f −

3. Ako je 10m = 10n , onda je m = n .

4. Ako je f (x) = 4x , tada je f (−x) = (−4)x .

5. Funkcija f (x) = 2−x prima pozitivne vrijednosti za svaki realni broj x . √

6. Funkcija f (x) = ( 2)x nije definirana za negativne realne brojeve. 7. Ako je f (x) = (0.1)x , onda je f (−1) < f (−2) . 8.

1 x 2

<

1 x 3

za sve x < 0 .

9. Grafovi funkcija f (x) = 10x i g(x) = (0.1)x simetriˇcni su prema osi ordinata.

10. Graf eksponencijalne funkcije f (x) = ax , a > 0 , a = 1 , presijeca os x u toˇcki (0, 1) .

16


5.2

Zadatci 5.2. 1.

Koristeći se dˇzepnim raˇcunalom, odredi:

2. 3. 4.

5.

3) 100.112 ; 6) 103.915 ; 9) 10−0.4157 ;

Dana je eksponencijalna funkcija:√ f (x) = 5x . Poredaj po veliˇcini brojeve: f ( 2) , f (−3) , f (0.01) , f (−0.5) , f (0) .


1) 100.512 ; 2) 100.8 ; 1.55 4) 10 ; 5) 102.3174 ; 8) 10−1.152 ; 7) 10−0.25 ; −2.245 10) 10 .

8.

Izraˇcunaj raˇcunalom vrijednosti funkcije y = 10x za 0.51 , 0.52 , . . . , 0.60 . Je li razlika funkcijskih vrijednosti konstantna? x1

x2

x1 +x2

Uvjeri se u toˇcnost formule 10 · 10 = 10 raˇcunajući lijevu i desnu stranu za neke brojeve x1 i x2 . Za funkciju f (x) = 10x vrijedi: f (0) = 1 i f (1) = 10 . Za koji cé x biti f (x) = 2 ? Potraˇzi taj x na raˇcunalu raˇcunajući vrijednosti funkcije 10x za razliˇcite brojeve x . Odredi x s toˇcnosti od triju decimala. (Uputa: usporedi f (0.3) i f (0.4) . Zatim izraˇcunaj f (0.31) itd.) Dane su eksponencijalne funkcije:

x 1 x x f 1 (x) = 2 , f 2 (x) = 3 , f 3 (x) = , 2 √ x x 3 5 , f 5 (x) = . f 4 (x) = 2 2

9.

Koliko c´ e godina doˇzivjeti neka osoba? Moˇzda je neobiˇcno, ali je istinito: oˇcekivanje raste s godinama. Za zˇ ene je ono dano s formulom f (n) = 78.5 · (1.001)n ,

a za muˇskarce

f (n) = 72.2 · (1.002)n ,

gdje je n trenutaˇcni broj godina neke osobe. 1) Koliki zˇ ivotni vijek moˇze oˇcekivati zˇ ena kojoj je sada 25 godina?

2) Koliki zˇ ivotni vijek moˇze oˇcekivati muˇskarac kojem je 60 godina?

10. Kojoj od funkcija f 1 (x) = 5x , f 2 (x) = (0.4)−x , f 3 (x) = x3 , f 4 (x) =

2 x 3

pripada sljedeći graf:

Poredaj po veliˇcini brojeve:

1) f 1 (−1) , f 2 (−1) , f 3 (−1) , f 4 (−1) , f 5 (−1) ; 2) f 1 (3) , f 2 (3) , f 3 (3) , f 4 (3) , f 5 (3) .

6.

7.

Za koje realne brojeve x vrijedi: 1 x 2) < 4; 1) 2x < 4 ; 2 1 x 1 1 4) ; 3) 2x ; 2 2 2 1 x 1 x 5) 4 > ; 6) > 2; 8 4 1 2 7) > 3−x ? 3

11. Kojoj od funkcija f 1 (x) = 2−x , f 2 (x) = x2 −x+1 , 1 f 3 (x) = 2.5x , f 4 (x) = , f 5 (x) = 2x + 1 pripax da graf na slici:

x 2 Dana je eksponencijalna funkcija: f (x) = . 3 √ Poredaj po veliˇcini brojeve: f (− 5) , f (11) , f (0.5) , f (−1) , f (0) .

17

5


12. Koji od cˇetiriju grafova prikazuje funkciju f (x) = 4 · 1)

1 x 2

? 2)

1) Opiˇsi eksponencijalnom funkcijom prirast broja lopoˇca nakon t tjedana. 2) Koliko c´ e lopoˇca biti na jezeru nakon 9 tjedana?


3) Nakon koliko vikenda bi jezero moglo biti potpuno prekriveno lopoˇcima?

15. Balon

3)

4)

Ako djeˇcji, elastiˇcni, gumeni balon probuˇsimo, s protokom vremena njegov c´ e se obujam umanjivati eksponencijalno po zakonu V = V0 at . Ako je u balonu 6 litara zraka, a nakon 5 sekundi 1 litra, odredi eksponencijalnu funkciju koja opisuje smanjivanje obujma zraka u balonu tijekom vremena t . Nakon koliko vremena cé u balonu ostati svega 0.1 litra zraka?

16. Lijek

13. Komarci

U Kopaˇckom ritu u proljeće broj komaraca naglo raste i njihov broj po jednom hektaru iznosi

Bolesniku je kao terapija propisan antibiotik cˇija je pojedinaˇcna masa 250 mg. Nakon uzimanja se koliˇcina lijeka u krvotoku tijekom vremena umanjuje pa nakon svakog sata u krvotoku ostaje 60 % prethodne koliˇcine.

n(t)=2.5·100.1t+2 ,

gdje je t broj dana nakon posljednjeg mraza. Koliko c´ e komaraca biti u ritu nakon 15; 20; 25 dana?

14. Lopoˇci

Broj lopoˇca na jezeru udvostruˇcuje se svakoga tjedna. S 5000 lopoˇca prekrilo bi se cijelo jezero. Neka su na jezeru dva lopoˇca.

Odredite Q(t) , koliˇcinu antibiotika izraˇzenu u miligramima (mg) t sati nakon uzimanja.

ˇ 17. Caj

Uroni termometar u vreli cˇ aj i nakon toga u hladnu vodu (oko 5 ◦ C ). Oˇcitavaj temperaturu svakih 5 sekundi i podatak unosi u tablicu. Pretpostavi da se smanjivanje temperature odvija po eksponencijalnom zakonu. Odredi taj zakon.

18. Kolera

Kolera je teˇska akutna bolest cˇiji je uzroˇcnik bakterija vibrio cholerae. Ta bakterija proizvodi toksin koji napada crijeva. Bolest je tijekom povijesti uzrokovala razorne epidemije zahvaljujući prije svega vrtoglavom povećanju broja bakte-

18


22. Koristeći se raˇcunalom nacrtaj graf funkcije f (x) = 3x−1 − 1. Promatraj graf i odgovori koje su od sljedećih tvrdnji toˇcne: 1) Nul-toˇcka ove funkcije je x = 1 . 2) f (0) = −2 . 3) Za svaka dva realna broja x1 i x2 , x1 < x2 , vrijedi f (x1 ) < f (x2 ) . 4) Nejednakost f (x) > 0 ispunjena je za svaki x > 1.


rija sˇ to se odvija po eksponencijalnom zakonu N = N0 · e1.385t . Ako imamo samo jednu bakteriju, koliko cé ih biti nakon 12 sati?

5.2

23. Koristeći se raˇcunalom nacrtaj graf funkcije


f (x) = 2x i usporedi ga s grafovima funkcija:

1) f 1 (x) = 2x + 1 ; 3) f 3 (x) = 2x−1 ;

2) f 2 (x) = 2x − 1 ; 4) f 4 (x) = 2x+1 .


f (x) = 2x i usporedi ga s grafovima funkcija: 1) f 1 (x) = 2−x ; 3) f 3 (x) = 2−x−1 ;

2) f 2 (x) = 2−x − 1 ; 4) f 4 (x) = 2−x+1 .

21. Koristeći se raˇcunalom nacrtaj grafove funkcija: 1) f (x) = 2|x| ;

2) f (x) = 2|x+1| ;

3) f (x) = 2−|x| ;

4) f (x) = 2|1−x| .

f (x) = 2 − 2−x . Promatraj graf i odgovori koje su od sljedećih tvrdnji toˇcne: 1) Nul-toˇcka ove funkcije je x = 1 . 2) f (0) = −1 . 3) Za svaka dva realna broja x1 i x2 , x1 < x2 , vrijedi f (x1 ) < f (x2 ) . 4) Nejednakost f (x) < 0 ispunjena je za svaki x > 0.

24. Koliko rjeˇsenja ima jednadˇzba:

1) 10x−1 = 2x + 3 ; 2) 8x+1 = x2 − 3x ; 3) (0.2)x = |x − x2 | ; 4) (0.75)x = |x| − 1 ? Zadatak rijeˇsi crtanjem grafova funkcija, a rjesˇ enje provjeri dˇzepnim raˇcunalom.

Za radoznale

CIJENA RABLJENOG AUTOMOBILA...

Vratimo se pocˇ etnom primjeru u kojemu smo racˇ unali cijenu rabljenog automobila.

Moˇzemo zakljucˇ iti kako ona opada eksponencijalno ovisno o starosti automobila. Postavili smo pitanje o cijeni automobila nakon 3.5 godine. Nakon 3.5 godine automobil je vrijedio C3.5 = 15 000 · (0.75)3.5 = 5480 eura. A kolika je cijena nakon 75 mjeseci? Tada je n = 6.25 i izracˇ unamo C6.25 = 2484 eura. Zapravo, vrijednost automobila svakim je trenutkom sve manja pa premda se to u praksi ne izraˇcunava, ima smisla postaviti pitanje kolika je u bilo kojem trenutku.

19

5


5.3. Logaritamska funkcija


U primjeru s cijenom rabljenih automobila pratili smo cijenu automobila u ovisnosti o njegovoj starosti. Odgovor smo dali u obliku eksponencijalne funkcije. No moˇzemo postaviti i obrnuto pitanje: ako je poznata cijena rabljenog automobila, kolika mu je starost? Primjerice, neka je cijena 4500 eura. Tada je pitanje za koji n je 4500 = 15 000 · (0.75)n ? Do pribliˇznog rjeˇsenja moˇzemo jednostavno i brzo doći s pomoću raˇcunala. Najprije pojednostavnimo jednadˇzbu: 4.5 = 15 · (0.75)n . Nacrtamo zatim graf funkcije f (n) = 15 · (0.75)n te potom i pravac y = 4.5 . Pravac sijeˇce graf u toˇcki A(4.19, 4.5) pa zakljuˇcujemo da je starost automobila oko 4.19 godina.

I tako smo problem rijeˇsili grafiˇcki. Za precizniji odgovor morali bismo naći naˇcina kako rijeˇsiti jednadˇzbu koja nakon sredivanja prima oblik (0.75)n = 0.3 . Taj nas problem uvodi u pojam logaritma.

Pojam logaritma

Izraˇcunati vrijednost eksponencijalne funkcije f (x) = ax za neki realni broj x znaˇci odrediti vrijednost potencije ax za taj broj x . Kako se zahtijeva a > 0 , sve su vrijednosti eksponencijalne funkcije pozitivni brojevi. Obrnuto, ako je zadana vrijednost y potencije ax , pitanje je koliki je eksponent. Odgovor je logaritam broja y po bazi a. Piˇsemo x = loga y. Logaritam pozitivnog broja

Neka je f (x) = ax eksponencijalna funkcija i neka je y pozitivan broj. Broj x za koji je ax = y zove se logaritam broja y . ax = y ⇐⇒ x = loga y. Logaritam pozitivnog broja y jest eksponent kojim treba potencirati bazu a da bi se dobilo y : aloga y = y.

20

LOGARITAMSKA FUNKCIJA

Primjer 1.

5.3

Ilustrirajmo na nekoliko jednostavnih primjera pojam logaritma: 23 = 8 ⇐⇒ 3 = log2 8 ; 32 = 9 ⇐⇒ 2 = log3 9 ;


103 = 1000 ⇐⇒ 3 = log10 1000 ; 5−1 = 0.2 ⇐⇒ −1 = log5 0.2 .

Primjer 2.

Izraˇcunajmo:

1) log2 8 ;

2) log5 25 ;

3) log3

1 ; 9

4) log4 2 .

1) Koliko je log2 8 ? To pitanje jednako je pitanju: kojim brojem trebamo potencirati broj 2 da bismo dobili 8? Ili, za koji x je 2x = 8 ? Rjeˇsenje je x = 3 , odnosno log2 8 = 3 . 2) Kojim brojem trebamo potencirati broj 5 da bismo dobili 25? Ili, za koji x je 5x = 25 ? Rjeˇsenje je x = 2 , odnosno log5 25 = 2 .

3) Kojim brojem trebamo potencirati broj 3 da bismo dobili koji x je 3x =

1 ? Ili, za 9

1 1 ? Rjeˇsenje je x = −2 , odnosno log3 = −2 , jer 9 9

1 . 9 4) Kojim brojem trebamo potencirati broj 4 da bismo dobili 2 ? Ili, za 1 1 koji x je 4x = 2 ? Rjeˇsenje je x = . Odnosno, log4 2 = , jer je 2 2 1 2 4 = 2. je 3−2 =

Zadatak 1.

Izraˇcunaj:

1) log2 16 ;

2) log5 0.04 ;

3) log3 27 ;

4) log9

1 . 3

Svi prethodni primjeri zbog boljeg razumijevanja pojma logaritma vrlo su jednostavni. Kako izraˇcunati loga b za bilo koju bazu a i za bilo koji pozitivan broj b ? To je zadatak koji općenito ne moˇzemo rijeˇsiti napamet. Za njegovo rjeˇsavanje potrebno je dodatno znanje, ali i dˇzepno raˇcunalo.

21


loga y=x loga y=a x x y=a


5

mnemotehniˇcko pravilo za pamćenje osnovne veze ekponencijalne i logaritamske funkcije

Primjer 3.

Odredimo nepoznati broj x u svakom od sljedećih zadataka: 1) log3

1 = x; 9

2) logx

9 = 2; 4

3) log8 x =

5 . 3

1) Prema definiciji logaritma jednakost je ekvivalentna jednakosti 3x = 1 . Odatle je 3x = 3−2 te je x = −2 . 9 9 9 = 2 slijedi x2 = , a kako je baza logaritma pozitivan broj, 4 4 3 onda je x = . 2

2) Iz logx

3) Ako je log8 x =

Primjer 4.

5 5 5 , onda je 8 3 = x , odnosno x = (23 ) 3 = 25 = 32 . 3

Koliko je: 1) 2log2 3 ;

2) 32+log3 7 ;

3) 25log5 11 ?

U ovim zadatcima primjenjuju se svojstva potencija i definicija logaritma pozitivnog realnog broja aloga y = y . 1) Izravno iz definicije logaritma slijedi: 2log2 3 = 3 . Naime, logaritam broja 3 po bazi 2 je eksponent kojim trebamo potencirati bazu 2 da bismo dobili broj 3. 2) U eksponentu potencije imamo zbroj pa je onda:

32+log3 7 = 32 · 3log3 7 = 9 · 3log3 7 = 9 · 7 = 63.

3) Baza potencije i baza logaritma prema definiciji moraju biti jednake: 25log5 11 = 52 log5 11 = (5log5 11 )2 = 112 = 121.

22


Zadatak 2.

5.3

Koliko je 2) 21+log2 3 ;

3) 32−log3 4 ;

4) (0.1)2+log10 5 ?


1) 5log5 3 ;

Primjer 5.

U prethodnim je primjerima eksponent (logaritam) uvijek bio cijeli broj. To medutim nije uvijek tako, logaritam nije uvijek cijeli broj. Naprotiv. Evo nekoliko primjera s bazom a = 10 : 101.4 = 25.119 ⇐⇒ 1.4 = log10 25.119;

100.1 = 1.2589 ⇐⇒ 0.1 = log10 1.2589;

10−2.31 = 0.04898 ⇐⇒ −2.31 = log10 0.004898.

Logaritamsku funkciju po bazi 10 izdvajamo iz skupa svih ostalih logaritamskih funkcija jer dekadski je sustav standardni sustav u kojem i inaˇce raˇcunamo. Logaritam po bazi 10 zapisujemo bez naznake baze. log10 x = log x

Dekadski logaritam

Logaritam po bazi 10 zovemo dekadski logaritam ili jednostavno logaritam. 10x = y ⇐⇒ x = log y

Prema prethodnom primjeru slijedi:

log 25.119 = 1.4, log 1.2589 = 0.1, log 0.004898 = −2.31.

Ove vrijednosti dobivamo na dˇzepnom raˇcunalu pritiskom na tipku log . Provjerite sve navedene rezultate i obratite pozornost na zaokruˇzivanje brojeva. Logaritmi su, kao i opće potencije, gotovo uvijek iracionalni brojevi pa se pri racˇunanju uzimaju njihove pribliˇzne vrijednosti. Broj decimala s kojima uzimamo te vrijednosti ovise o zahtijevanoj toˇcnosti raˇcuna.

23

5


Logaritamska funkcija i njezin graf Skup svih vrijednosti eksponencijalne funkcije je skup pozitivnih realnih brojeva. To onda znaˇci da ima smisla traˇziti logaritme samo pozitivnih brojeva.


Pridruˇzivanje pozitivnim realnim brojevima njihovih logaritama je funkcija, logaritamska funkcija. Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija po bazi a je pridruˇzivanje x → loga x , kojim se pozitivnom realnom broju x pridruˇzuje njegov logaritam. Piˇsemo: f (x) = loga x.

Nacrtajmo graf logaritamske funkcije. Uˇcinimo to na primjeru funkcije f (x) = log2 x . Uzet cémo za x viˇse pogodnih vrijednosti te u koordinatnom sustavu ucrtati toˇcke (x, loga x) . Zatim cémo te toˇcke povezati krivuljom. y

x

log2 x

2

1

4

2

2

8

3

1

1 2 1 4 1

−1

4

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1

−2

-2

0

-3

Imamo, dakle, ove toˇcke: (2, 1) , (4, 2) , (8, 3) ,

1

1 , −1 , , −2 , (1, 0) . 2 4

Već tih sˇ est toˇcaka bit cé dovoljno kako bi se uoˇcila krivulja koja ih povezuje, graf funkcije f (x) = log2 x .

Vratimo se cˇaskom natrag (str. 10) i usporedimo ovaj graf s grafom funkcije ˇ primjećujemo? Ova su dva grafa sukladna, samo su razliˇcito f (x) = 2x . Sto poloˇzena u koordinatnom sustavu. Je li to sluˇcajno? Dakako da nije. U cˇemu se razlikuje njihov poloˇzaj?

24


5.3

Graf eksponencijalne funkcije smjeˇsten je iznad osi x , a graf logaritamske desno od osi y . Jedan iz drugog moˇze se dobiti zrcaljenjem prema simetrali I. i III. kvadranta, odnosno pravcu y = x . Kako to objasniti?


Uzme li se bilo koja toˇcka (x, y) ravnine, onda je njoj simetriˇcna toˇcka prema pravcu y = x toˇcka (y, x) .

Pri simetriji ravnine s obzirom na pravac y = x toˇcka (x, y) preslika se u toˇcku (y, x) .

- parovi realnih brojeva. Dakle, simetriˇcnim toˇckama pripadaju i simetriˇcni uredeni Ova cˇinjenica objaˇsnjava sukladnost grafova. Naime, eksponencijalna i logaritamska obrnute su ili inverzne funkcije. ax = y ⇐⇒ x = loga y

Tako iz grafa jedne od tih funkcija moˇzemo dobiti graf druge zrcaljenjem prema pravcu y = x . f (x) = a x

f (x) = a x

a >1

0< a <1

y=x

y

y

g (x) = loga x

1

x

x

1

x

1

y

x

1

y

g (x) = loga x

Prikazan je graf logaritamske funkcije, za a > 1 (lijevo) i za 0 < a < 1 (desno). - x = 1 je Primjećujemo da je u oba sluˇcaja y -os vertikalna asimptota funkcije. Takoder, njezina nul-toˇcka.

25

5


Nadalje iz ovih grafova zakljuˇcujemo: — podruˇcje definicije eksponencijalne funkcije je skup realnih brojeva. Skup vrijednosti ove funkcije jest skup pozitivnih realnih brojeva. Zbog toga se graf eksponencijalne funkcije proteˇze iznad cijele osi x , u I. i II. kvadrantu;


— skup vrijednosti eksponencijalne funkcije je podruˇcje definicije logaritamske funkcije pa je graf logaritamske funkcije smjeˇsten desno od osi y , u I. i IV. kvadrantu;

— ako je baza a eksponencijalne funkcije broj veći od 1, ta funkcija je rastuća pa je rastuća i odgovarajuća logaritamska funkcija: x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 < loga x2 , x1 , x2 > 0; — ako je baza eksponencijalne funkcije broj a , 0 < a < 1 , ta je funkcija padajuća, pa je padajuća i odgovarajuća logaritamska funkcija: x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 > loga x2 , x1 , x2 > 0. a>1

y

1

0
y

1

x

x

Zadatak 3.

Nacrtaj graf funkcije f (x) = log 1 x . Usporedi ga s grafom funkcije 3 x 1 f (x) = . Izvedi zakljuˇcak. 3

Zadatak 4.

Na slici su grafovi pet logaritamskih funkcija s razliˇcitim bazama. Poveˇzi pojedinu funkciju s bojom kojom je nacrtan njezin graf. y

1) f (x) = log 1 x

a)

2) f (x) = log0.1 x

b)

3) f (x) = ln x

c)

4) f (x) = log8 x

d)

5) f (x) = log 1 x

e)

6) f (x) = log2 x

f)

2

3

26

4

3

2 1

-1

0

-1 -2 -3

1

2

3

4

5

6

7

x


5.3

Zadatci 5.3. Sljedeće jednakosti zapiˇsi koristeći se logaritmima: 1) 33 = 27 ; 3)

1 83

= 2;

√ 3 5) 5 2 = 5 5 ; 7) 16

2.

3.

3 −4

1 = ; 8

1.114

1) 10 = 13 ; 3) 10−0.301 = 0.5 ; 5) 103.14 = 1380.4 ;

√ 2 3) log3 3 9 = ; 3 √ 3 5) log5 5 5 = ; 2 3 7) log4 8 = ; 2 √ 9) log√3 3 = 1 ;

8) 10−3 = 0.001 .

2) log3 81 ;

5) log 1 81 ;

4) log 1 8 ; 2 √ 6) log9 3 ;

7) log2 64 ;

8) log0.4 6.25 ?

3

8.

2) 10 = 55 ; 4) 102.369 = 234 ; 6) 100 = 1 .

2) log10 100 = 2 ; 4) log6 36 = 2 ; 6) logm k = n .

2) log2

1 = −3 ; 8

4) log 1 16 = −4 ; 2

6) log√3 1 = 0 ;

4 8) log8 16 = ; 3 10) log0.2 1 = 0 .

2) log 0.0001 ; 4) log16 2 ; 6) log8 0.25 .

Napiˇsi sljedeće veze u logaritamskom obliku i izraˇcunaj vrijednosti nepoznanice koristeći dˇzepno raˇcunalo: 1) 10x = 1 ; 2) 10x = 2 ; 4) 10x = 12 ; 3) 10x = 20 ; x 5) 10 = −2 ; 6) 10x = 2.3178 .

Odredi realni broj x ako je: 1) log 1 x = −2 ;

2) log4 x = −2 ;

3) log x = 5 ; 1 5) log3 x = ; 3 7) log0.1 x = −1 ;

4) log√2 x = −6 ;

3

1.74

Izraˇcunaj:

1) log6 36 ; 3) log7 7 ; 5) log0.2 25 ;

6.

1 4) 4 = ; 8 1 −2 6) = 9; 3 3 −2

Obrazloˇzi sljedeće jednakosti: 1) log 0.01 = −2 ;

5.

2

Koliko je: 1) log2 16 ; 1 3) log3 ; 9

= 16 ;

Sljedeće jednakosti zapiˇsi koristeći se eksponencijalnom funkcijom: 1) log2 8 = 3 ; 3) log6 6 = 1 ; 5) log√3 81 = 8 ;

4.

2)

7.


1.

1 −4

9.

6) log 1 x = 0 ; 5

8) log 1 x = −5 . 2

Odredi x u svakoj od sljedećih jednakosti:

3 1) logx 8 = − ; 4 3) logx 64 = −3 ; 1 = −4 ; 5) logx 16 3 7) logx 27 = − ; 4 7 9) logx = 1 ; 3

3 1 =− ; 8 2 4) logx 8 = 1.5 ; √ 1 6) logx 2 = ; 4

2) logx

8) logx 0.125 = −2 ;

10) logx

10. Koliko je:

8 = −3 . 27

1 log5 10

1) 5log5 10 ;

2)

3) 3log3 3 ;

4)

5) 32 log9 12 ; 7) 4log2 3 ;

6) 22 log4 7 ; 8) 3−2 log9 20 ?

5 1 log3 11 3

; ;

11. Izraˇcunaj:

5

1) 100− log 2 ; 3) 8− log4 9 ; 1 2 log2 1 2 5) ; 2

1

2) 81 2 log3 7 ; 4) 9− log3 8 ; 1 −2 log8 125 6) . 4

12. Ako je f (x) = log5 x , izraˇcunaj f (1) , f (−2) , f (0.2) , f (125) , f (0.04) .

27

5


13. Ako je f (x) = log 41 x , izraˇcunaj f (2) , f (−4) , f (0.25) , f (0) , f (0.5) .

14. Ako je f (x) = log x , izraˇcunaj f (0.1) , f (100) , f (0.001) , f (10−5 ) , f (0.01−4 ) .

15. Neka je za realni broj x sa x najveći cijeli


broj koji nije veći od x . Odredi: log 123 ,

log 5.5 , log 0.989 , log 0.01 .

16. Izraˇcunaj: log2 77 , log3 0.1 , log8 11111 ,

log 1 25 , log 1 0.01 . 4

5

17. Rijeˇsi jednadˇzbe: 1) 2) 3) 4)

2) log√2 (0.125 · 3log27 8 ) ; √ 3) log8 (4 · 3 32 · 25− log5 4 ) ; log 1 12 √ 3 √ 4) log 3 4 · 9 · 3 3 ; √ 5) log3 log2√2 (2 · 3 4 · 5− log25 8 ) ; √ 6) log√3 log0.2 (20 · 3 25 · 4log0.5 5−1 ) .

log x = −2 ;

log x = 0 ;

log x = 3 .

log x = −1 .

21. Nacrtaj grafove funkcija: 1) f (x) = log2 x ;

2) f (x) = log 1 x ;

3) f (x) = log3 x ;

4) f (x) = log 1 x ;

5) f (x) = log5 x ;

6) f (x) = log 1 x .

1) f 1 (x) = log2 x ; 3) f 3 (x) = log4 x ; 5) f 5 (x) = log x

√ 1) ( 10)− log 25+2 log 55 ; 1

2) (0.01)log 6− 2 log 24 ; log√3 7−2 log 1 7

3 ; 4) 3 √ 5) ( 0.1)log 0.04−2 log 5 ;

7) 8)

y

3

2

;

1

log 1 4+log√5 4 ; 25 5

1 −2−log9 25 3

-1 0

5

4

6

x

-2

.

√ 5 + 3 log2 8 ; √ 1 2) 5 log 1 8 − 2 log3 ; 9 2 √ √ 3 3) 3 log3 3 − 2 log2 2 ; √ √ 4) 2 log3 3 + 3 log 1 3 2 ;

1) 2 log5

23. Kojoj od funkcija

1) f 1 (x) = log2 x ; 2) f 2 (x) = | log2 x| ; 3) f 3 (x) = log2 |x|

pripada sljedeći graf?

2 √ 5) log 1 log√5 25− log8 log5 5 ; 2 √ 6) log8 log4 2 + log8 log√2 4 .

20. Izraˇcunaj:

y

3

2

1 -1

1) log 1 (0.04 · 4− log

√ 2

28

3

1 2

-1

19. Izraˇcunaj:

5

5

2) f 2 (x) = log0.2 x ; 4) f 4 (x) = log0.5 x ;


3) 0.041+log5 0.5 ;

6) 2

3


18. Izraˇcunaj:

log√2 5+2 log0.5 5

2

0.2

);

0 -1

x 1

2

3

4

5

6

7


24. Svakoj od navedenih funkcija pridruˇzi njezin graf.

5.3

26. Koji od cˇetiriju grafova pripada funkciji f (x) = log4 (−x)?

1) l(x) = −2x + 3 ; 2) a(x) = |x + 1| ; 2 3) k(x) = −x + 3x ; 4) f (x) = 3x ; 5) g(x) = log 1 x .

1)

2)

4

y

3


2

y

4

3

2

2

1

1

-1 0 -1

3

1 2

5

4

-1 0

x

3

1 2

4

5

x

-1

-2

3)

4)

-2

y 2 1 -1 0

y

5

4

1 -1

2

3

4

3

x

2

-2

1

-3

-3 -2 -1 0

-4

-1

1 2

x

y

4

2 1

0

1

2

3

- interval realnih brojeva u kojem je rjeˇsenje reden jednadˇzbe:

1 1) log3 x = 1 − x ; 2 2) 3x + 2x = 2 ; 3) log 1 x − x + 3 = 0 ;

3

-3 -2 -1

27. Odredi dva uzastopna cijela broja kojima je od-

x

2

-1

25. Na priloˇzenoj slici prikazani su grafovi cˇetiriju funkcija:

4) log2 x = 2−x ; 5) 2 log 1 |x| + x = 0 . 2

Provjeri rjeˇsenje uz pomoć raˇcunala.

1) l(x) = 0.5x + 2.7 ; 2) k(x) = −x2 + 3x ; 1 x 4) g(x) = . 3) f (x) = log2 x ; 3 Pridruˇzi svakoj od tih funkcija njezin graf: y

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

1 2

3

4

x

-2

29

5


5.4. Svojstva logaritamske funkcije


Logaritamska funkcija ima viˇse vaˇznih svojstava. Ona su posljedica svojstava eksponencijalne funkcije, koja smo već ranije obradili. Prisjetimo ih se: (E1 )

ax · ay = ax+y

(E2 )

(ax )y = ax·y

(E3 )

(a · b)x = ax · bx

(E4 )

a0 = 1

(E5 )

1) Za svaki a > 1 i x1 < x2 vrijedi ax1 < ax2 .

2) Za svaki 0 < a < 1 i x1 < x2 vrijedi ax1 > ax2 .

(E6 )

Iz ax1 = ax2 slijedi x1 = x2 .

Navedimo sada i svojstva logaritamske funkcije koja odgovaraju gornjim svojstvima eksponencijalne funkcije. Svojstva logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija x → loga x definirana je za sve pozitivne realne brojeve. Skup svih njezinih vrijednosti je skup realnih brojeva. Ta funkcija ima sljedeća svojstva: (L1 ) (L2 )

loga (x · y) = loga x + loga y x loga = loga x − loga y y

(L3 )

loga (xr ) = r · loga x

(L4 )

Za svaki broj a > 0 i a = 1 , vrijedi loga 1 = 0 .

(L5 )

1) Ako je a > 1 i x1 < x2 , onda je loga x1 < loga x2 . 2) Ako je 0 < a < 1 i x1 < x2 , onda je loga x1 > loga x2 .

(L6 )

30

Ako je loga x1 = loga x2 , onda vrijedi x1 = x2 .

SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE

Primjer 1.

5.4

Kad smo u prvom razredu navodili primjere za potencije, spomenuli smo i Legendu o sˇ ahu. Tada smo rekli da je ukupan broj zrnaca koji je trebalo isplatiti izumitelju jednak 264 − 1 . Koliki je taj broj? Taj nam odgovor ni sada nije lako dati u potpunosti, ali koristeći se logaritmima moˇzemo ga barem dobro procijeniti.


Neka je n = 264 . Tada je log n = 64 · log 2 ≈ 64 · 0.30103 = 19.26592. No to onda znaˇci da je 1019 < n < 1020 , pa broj n ima 20 znamenki. To je broj 18 446 744 073 709 551 615.

Primjer 2.

Ako je log 2 = 0.30103, log 3 = 0.4771 , koliko znamenki ima broj 1212 ? Neka je n = 1212 . Tada je

log n = 12 · log 12 = 12 · log(3 · 22 ) = 12 · (log 3 + 2 · log 2) ≈ 12.95. Zakljuˇcujemo da je 1012 < n < 1013 , a to znaˇci da broj 1212 ima 13 znamenki.

Zadatak 1.

Ako je log 2 = 0.30103 , log 3 = 0.4771 , izraˇcunaj:

1) log 6 ;

Primjer 3.

2) log 60 ;

3) log 15 ;

4) log 3.6 ;

5) log 18 000 .

Izraˇcunajmo bez uporabe dˇzepnog raˇcunala vrijednost brojevnog izraza: √ log2 36 log3 3 16 1) ; 2) . 1 + log2 3 log3 2 − log3 8 U rjeˇsavanju zadataka primijenit cémo svojstva (L1 ) – (L3 ) logaritamske funkcije:

log2 36 log2 62 2 · log2 6 2 · log2 6 = = = = 2. 1 + log2 3 log2 2 + log2 3 log2 (2 · 3) log2 6 √ 4 4 4 log3 2 3 2 log3 3 16 3 · log3 2 3 · log3 2 = = = =− . 2) 2 − 2 log3 2 − log3 8 log3 2 −2 · log3 2 3 log3 8 1)

31

5


Pokaˇzimo valjanost svojstava (L1 ) – (L5 ) logaritamske funkcije. (L1 )

x i y napiˇsimo u obliku x = au , y = av . Tada je u = loga x , v = loga y i dobivamo xy = au · av = au+v ,


odakle cˇitamo:

loga (xy) = u + v = loga x + loga y.

(L2 )

Ovo svojstvo provjerava se sliˇcno provjeri prethodnog.

(L3 )

Iz osnovne veze

x = aloga x

izvodimo, koriˇstenjem svojstva (E2 ) :

xr = ar loga x .

(1)

Djelovanjem logaritamske funkcije (popularno kaˇzemo: “logaritmiranjem jednakosti”) dobivamo ponovno iz osnovne veze: loga (xr ) = loga (ar loga x ) = r loga x. (L4 )

Slijedi iz osnovne veze: a0 = 1 ⇐⇒ 0 = loga 1 .

(L5 )

Vidljivo je iz grafa funkcije. Strogi dokaz koristi monotonost eksponencijalne funkcije: y1

Stavljajući y1 = loga x1 , x1 = a

y1 < y2 ⇐⇒ ay1 < ay2 . i sliˇcno za x2 , ova se relacija piˇse u obliku loga x1 < loga x2 ⇐⇒ x1 < x2 ,

sˇ to je i trebalo pokazati. (L6 )

Ako je loga x1 = loga x2 , onda vrijedi x1 = aloga x1 = aloga x2 = x2 .

Primjer 4.

Keplerovi zakoni govore o gibanju planeta oko Sunca. Treći od tih zakona kaˇze da je omjer kuba srednje udaljenosti r planeta od Sunca i kvadrata vremena ophodnje T stalan i jednak k . Zakon se moˇze zapisati u sljedećem obliku 3 log r − log k log T = . 2 Prepoznajete li u tom zapisu gornji izriˇcaj Keplerova zakona? Zapiˇsimo zakon bez logaritama. Iz ovog zapisa ne razaznajemo spomenuti Keplerov zakon. Zbog toga ga zapiˇsimo bez logaritama na ovaj naˇcin: log T 2 = log a odatle

32

r3 = k. T2

r3 k


5.4

Promjena baze logaritamske funkcije


S pomoću dˇzepnog raˇcunala moˇzemo odrediti dekadske i prirodne logaritme poˇ su prirodni logaritmi – vidjet c´ emo na sljedećoj zitivnih realnih brojeva. Sto stranici. A kako odrediti logaritam po nekoj drugoj bazi? Kako izraˇcunati, primjerice, log3 44 ? Oznaˇcimo m = log3 44 . Prema definiciji logaritma to znaˇci da je 3m = 44 . Oˇcito, 3 < m < 4 .

Primjenom pravila (L3 ) moˇzemo zapisati: m · log 3 = log 44 . log 44 m= . log 3

Odatle je

Tako smo promjenom baze raˇcunanje sveli na dekadski logaritam pa jednostavno nalazimo: m ≈ 3.4445 .

Zadatak 2.

Izraˇcunaj:

1) log2 7 ;

2) log4 0.543 ;

3) log8 1281 .

Na opisani naˇcin uvijek moˇzemo raˇcunati vrijednost logaritma bilo kojeg broja po bilo kojoj bazi. Neka je m = loga x . To onda znaˇci da je x = am . Odatle slijedi logb x = m · logb a , odnosno logb x m= . logb a Veza logaritama po razliˇcitim bazama

Ako je a > 0 i a = 1 te x bilo koji pozitivan broj, tada vrijedi sljedeći identitet logb x loga x = . logb a

Zadatak 3.

- logaritmima razliˇcitih baza slijedi: Iz prethodne veze medu 1 loga b = . logb a Obrazloˇzi ovaj identitet.

33

5


Primjer 5.

Bez uporabe dˇzepnog raˇcunala izraˇcunajmo vrijednost brojevnog izraza log2 18 − 2 log4 12 . 3 log8 4 + log0.5 9


Svaki pojedini cˇlan izraza moˇzemo zapisati u obliku logaritma po bazi 2: log2 12 log2 12 log4 12 = = ; log2 4 2 log2 4 2 = ; log8 4 = log2 8 3 log2 9 = − log2 9 = −2 log2 3. log0.5 9 = log2 0.5 I sada dani izraz moˇzemo dalje zapisivati: 18 log2 12 log2 23 log2 18 − log2 12 = = 2 − 2 · log2 3 2(1 − log2 3) 2 · (log2 2 − log2 3)

=

Zadatak 4.

Koliko je

log2 23 log2 23 1 =− . = 2 2 · log2 32 2 · (− log2 23 )

log3 4 ? Izraˇcunaj bez uporabe dˇzepnog raˇcunala. log9 8 − log 1 2 3

Prirodni logaritam

U primjeni logaritamskih funkcija najvaˇznija je ona cˇija je baza broj e . Ta funkcija ima i posebno ime, prirodni logaritam, i posebnu oznaku ln x : loge x = ln x.

Oznaka ln potjeˇce od prvih slova latinskog naziva ove funkcije, lat. logaritmus naturalis (prirodni logaritam). Dekadski i prirodni logaritam povezani su sljedećom jednakoˇscú: log x 1 ln x = ≈ · log x ≈ 2.3 · log x. log e 0.4343

- se dˇzepnim raˇcunalom. Nakon unosa Vrijednosti funkcije f (x) = ln x odreduju pozitivnog broja pritisnemo tipku ln . Primjerice: ln 3 ≈ 1.0986,

34

ln 0.55 ≈ −0.5978,

ln 1000 ≈ 9.9078 .


Primjer 6.

5.4

Prost broj n je prirodni broj koji osim broja 1 i samoga n nema drugih djelitelja. Prosti su brojevi redom: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .


Da je ovaj niz beskonaˇcan, odnosno da je skup prostih brojeva beskonaˇcan, dokazao je joˇs Euklid. Na pitanje koliko prostih brojeva ima u nekom intervalu prirodnih brojeva, nema potpunog odgovora. Od prvih deset prirodnih brojeva 4 su prosta. - prvih 100 prostih je 25, medu - prvih 1000 prostih je 168, medu - prvih Medu 10 000 ih je 1229 itd. No, sˇ to uzimamo veće intervale, sve je teˇze odgovoriti na pitanje. Formula

n ln n - prvih n prirodnih brojeva. daje pribliˇzan broj prostih brojeva medu Np ≈

Zadatak 5.

Koliko je pribliˇzno prostih brojeva u skupu prirodnih brojeva koji su manji od:

1) 106 ;

2) 109 ;

3) 1012 ?

Povijesni kutak

KAKO SU OTKRIVENI LOGARITMI

Otkriće logaritama potaknuto je razvitkom astronomije, navigacije, geodezije i drugih praktiˇcnih znanosti u 16. stoljeću. Ono se veˇze uz ime sˇ vicarskog urara Joosta Bürgija, premda se logaritmi prvi put pojavljuju 1614. godine u knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio sˇ kotskog matematiˇcara Johna Napiera (1550.–1618.) Od Napiera potjeˇce i naziv, logos = odnos, arithmos = broj. Logaritmi su se razvili iz potrebe pojednostavnjivanja sloˇzenih raˇcuna. Oni, naime, snizuju stupanj algebarske operacije; logaritmiranjem se mnoˇzenje svodi na zbrajanje, dijeljenje na oduzimanje, a potenciranje i korjenovanje na mnoˇzenje.

John Napier

Prve logaritamske tablice koje su sadrˇzavale logaritme cijelih brojeva od 1 do 1000 na osam decimalnih mjesta dao je 1617. g. Briggs i po njemu se danas cˇesto dekadski logaritmi zovu Briggsovi logaritmi. S vremenom su uslijedile nove, preciznije tablice, a valja biti svjestan kako je njihovo sastavljanje bilo naporan i dugotrajan posao, jer je provodeno pjeˇsice. I u naˇsim su sˇ kolama sve donedavna bile su u uporabi tablice Briggsovih logaritama koje su prilagodene na 5 decimala. Zanimljivo je da je u svrhu raˇcunanja, pa i izraˇcunavanja logaritama, dugo vremena sluˇzilo logaritamsko ili pomiˇcno raˇcunalo. Ta je napravica, popularno zvana sˇ iber, bila statusni simbol inˇzenjera elektrotehnike, strojarstva, gradevinarstva itd., otprilike onako kao sˇ to su to danas suvremena elektroniˇcka raˇcunala.

35

5


Zadatci 5.4. 1.

Primjenom svojstava logaritamske funkcije raspiˇsi sljedeće izraze:

ab3 5) log √ ; c

10 √ ; b a ; 9) log 10b 7) log

2.

2) log(ab)2 ; a 4) log 3 ; b 1 6) log 3 3 ; a b √ ab ; 8) log (a − b)2

a2 3

10) log(a3 + b3 )3 .

Koliki je x , ako je

1) log x = log a + 2 log b ; 1 2) log x = 2 log a + log b − log c ; 3 3) log x = 1 − log a ; 1 2 4) log x = log a − log b ; 3 3 5) log x = −2 − log a − 2 log b − 3 log c ; 6) log x = − log(a + b) − log(a − b) .

3.

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4)

4.

5.

6.

log5 2 + log5 2.5 ; 2 log2 10 + 2 log2 0.8 ; log 1.5 − log 45 + log 0.3 ; log 11 − log 110 + log 1100 − log 11 000 .

1) Ako je log 2 = a , koliko je log 800 ? √ 2) Ako je log 3 = b , koliko je log 2700 ? 3) Ako je log 5 = c , koliko je log 0.02 ?

1) Uzmi da je log 2 = 0.30103 pa izraˇcunaj 1 log ; log 4 ; log 5 ; log 0.125 ; log 160 . 2 2) Uzmi da je log 2 = 0.301 , log 3 = 0.477 pa izraˇcunaj log 6 ; log 18 ; log 2.4 ; log 120 ; log 108 . Skrati razlomke:

1 − log2 x log2 x ; ; 2) log x2 log(10x) log(a2 b) − log(ab2 ) 3) . log a2 − log b2

1)

36

Ako je log 2 = 0.301 , koliko je √ log 4 + log 12 − log 2 ?


1) log(10a2 b3 ) ; √ 3) log 0.1a ;

7. 8.

Ako je log 3 = 0.477 , koliko je √ 1 + log 3 3 ? log 9 + log 27

9.

Ako je logx z = 0.2 , logy z = 0.1 , koliko je √ x y logz 2 ? z

10. Ako je log4 a = x , log8 b = y , koliko je log2

1 ? ab

11. Ako je log2 log3 log4 a = log3 log4 log2 b = log4 log2 log3 c = 0 , koliko je a + b + c ?

12. Dokaˇzi da za pozitivne realne brojeve a i b , (a > b) vrijedi a2 + b2 = 6ab ako i samo ako je 1 log(a + b) − log(a − b) = log 2. 2

13. Izraˇcunaj:

1) log3 10 ; 3) log2 5 ; 5) log 1 0.157 ;

2) log9 10 ; 4) log4 17 ; 6) log5 313 ;

7) log 1 41.2 ;

8) log8 1000 ;

9) log0.1 100 ;

10) log 1 15.88 .

2 3

14. Koliko je:

1 · log3 16 ; 27 √ 1 log2 3 · log 1 ; 3 8 √ 1 log2 3 9 · log 1 ; 3 8 √ log 1 27 · log3 16 ; 2 1 log5 3 · log√2 125 ; 4 √ √ log 1 (5 5) · log√5 (3 3) ?

1) log 1 2

2)

3)

4)

5) 6)

3

4


15. Izraˇcunaj:


12 − log4 36 ; 2 + 3 log8 6 2 log0.2 12 + log√5 16 ; 2) log25 36 − 3 log5 2 1 log√3 − 2 log 1 6 8 3 ; 3) 3 log9 16 − 3 √ 2 log8 36 + log√2 3 6 . 4) 3 + log 1 48 log√2

2 ; x 3) f 3 (x)= log 1 (1−x) ; 4) f 4 (x) = log 1 (4x)

1) f 1 (x)= log 1 x ; 2

2) f 2 (x) = log 1

2

2

2



1)

5.4

2

16. Izraˇcunaj:

√ 1) log0.2 log√3 3− log5 log3 9 3 ; √ 1 2) log√3 log0.2 √ − log 1 log√2 3 4 ; 5 3 √ √ 3) log 5 log4 2− log 1 log√2 256 ; 5

√ 1 . 4) 4 log 1 log√3 3 9− log√2 log 1 27 4 9

17. Izrazi: 1) 2) 3) 4) 5)

log3 6 s pomoću log6 2 ; log36 9 s pomoću log36 8 ; log6 16 s pomoću log12 27 ; log12 64 s pomoću log12 3 ; log49 28 s pomoću log7 2 .

18. Ako je log6 2 = m , koliko je log6 9 ?

√ 19. Ako je log 64 = p , koliko je log 3 25 ?

20. Ako je log 5 = a, log 3 = b , koliko je log30 8 ? 21. Kojoj od funkcija

3

1) f 1 (x) = log2 (x ) ;

3) f 3 (x) = log2 (8x) ; pripada sljedeći graf?

x 2) f 2 (x) = log2 ; 2 1 4) f 4 (x) = log2 x



1. Jednakost 23 = 8 ekvivalentna je jednakosti log2 8 = 3 .

2. Ako je log2 x = −1 , onda je 0.5 x < 1.

3.

4− log2 5 = 0.04 .

4. Ako je b pozitivan broj, onda je 4log2 b = b2 .

5. Za svaki pozitivan broj a , a = 1 , vrijedi loga 1 = 0 .

6. Ako je log 2 = a , log 3 = b , onda je log 36 = a2 + b2 .

7. Funkcija f (x) = log(x + 1)2 definirana je za svaki realni broj x .

8. Ako je log m = n , onda je log 10m3 = 1 + 3n .

9.

log 5 · log 2 = log 5 + log 2 .

10. Funkcija f (x) = log0.5 (x − 1) definirana je za svaki x > 1 .

37

5



5.5. Eksponencijalne i logaritamske jednadˇzbe

Ako je f (x) neka realna funkcija, tada je problem odredivanja broja x0 takvog da je f (x0) = 0 , problem rjeˇsavanja jednadˇzbe. Broj x0 je rjeˇsenje jednadˇzbe. Ako jednadˇzba ima viˇse rjeˇsenja, onda govorimo o skupu rjeˇsenja jednadˇzbe. Rjeˇsavajući jednadˇzbu moramo odrediti sva njezina rjeˇsenja. Ovisno o tome o kojoj se funkciji radi, na prikladan naˇcin imenujemo i odgovarajuće jednadˇzbe. Tako smo uz linearnu funkciju f (x) = ax + b imali linearnu jednadˇzbu, jednadˇzbu oblika ax + b = 0 .

Rjeˇsavali smo i kvadratne jednadˇzbe, jednadˇzbe oblika ax2 + bx + c = 0 , koje su vezane uz kvadratnu funkciju f (x) = ax2 + bx + c .

Analogno ovom, uz eksponencijalnu i logaritamsku funkciju rjeˇsavamo eksponencijalne, odnosno logaritamske jednadˇzbe.

Eksponencijalna jednadˇzba

Neka je dana eksponencijalna funkcija f (x) = ax . Jednadˇzbu oblika ax = b zovemo eksponencijalna jednadˇzba. Vrijednosti eksponencijalne funkcije pozitivni su realni brojevi pa ova jednadˇzba ima smisla ako i samo ako je b > 0 .

Eksponencijalne se jednadˇzbe pojavljuju u raznim, pa i vrlo sloˇzenim oblicima, ali se svaka jednadˇzba nizom algebarskih postupaka nastoji svesti na ekvivalentan osnovni oblik ax = b . Eksponencijalna jednadˇzba

Jednadˇzbu koju moˇzemo svesti na oblik ax = b, b > 0 zovemo eksponencijalna jednadˇzba.

Pokaˇzimo kroz primjere kako se rjeˇsavaju neke standardne eksponencijalne jednadˇzbe.

38

ˇ EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE JEDNADZBE

Primjer 1.

Rijeˇsimo jednadˇzbe: 1) 16x =

5.5

1 −3x 1 = 6. , 2) 32 2


1) Obje strane jednadˇzbe prikazat cémo u obliku potencije s istom bazom: (24 )x =

1 25

24x = 2−5 5 pa je 4x = −5 , odnosno x = − . 4

2) Lijeva strana ima jednostavniji oblik 23x . Medutim desna se strana mozˇ e napisati kao potencija baze 2 samo koriˇstenjem logaritama: 6 = 2log2 6 . Odavde slijedi 3x = log2 6 .

Jednostavnije je do rjeˇsenja doći postupkom logaritmiranja po bazi 10, na ovaj naˇcin: 23x = 6, 3x log 2 = log 6, log 6 x= 3 log 2 Pribliˇzna vrijednost ovog rjeˇsenja je x = 0.8617 .

Zadatak 1. Primjer 2.

2 −x

Rijeˇsi jednadˇzbu: 27

·

√ 3

92x+1

x−4 1 = . 3

Rijeˇsimo jednadˇzbu: 3x−1 + 5x−1 = 5x − 3x+1 .

Najprije razvrstajmo cˇlanove jednadˇzbe tako da se s njezine iste strane - potencije iste baze: 3x−1 + 3x+1 = 5x − 5x−1 . nadu Primjenom svojstava potencija jednadˇzbu zapiˇsimo u obliku: 3x−1 + 9 · 3x−1 = 5 · 5x−1 − 5x−1 .

Ove potencije sada imaju jednake eksponente pa one s jednakim bazama moˇzemo zbrojiti. Tako dobijemo 10 · 3x−1 = 4 · 5x−1 . Iz ove jednadˇzbe x−1 2 3 = . slijedi 5 5

3 2 Primjenom logaritama jednadˇzba prima oblik (x − 1) · log = log , 5 5 log 0.4 odakle izraˇcunamo x = 1 + ≈ 2.79 . log 0.6

39

5


Zadatak 2.

Rijeˇsi jednadˇzbe: 1) 5x−1 + 5x + 5x+1 = 155

2) 2x−1 + 3x+1 = 2x+1 + 3x−1 .


1 −x 4 1 Rijeˇsimo jednadˇzbu: · 3− x = 9 . 3

Primjer 3.

I u ovoj su jednadˇzbi cˇlanovi potencije iste baze, baze 3. Zato je zapiˇsemo 4 u obliku 3x−1 · 3− x = 32 .

Izjednaˇcivanjem eksponenata dobijemo jednadˇzbu x−1− ekvivalentnu jednadˇzbu x2 − 3x − 4 = 0 , x = 0 .

4 = 2 , odnosno x

Rjeˇsenja su x1 = −1 i x2 = 4 .

Zadatak 3.

Primjer 4.

x+1 2x 2 3 4 Rijeˇsi jednadˇzbu: · = . 3 2 9

Rijeˇsimo jednadˇzbu: 0.4x − 2.5x+1 = 1.5 .

x x 2 5 5 3 Jednadˇzbu moˇzemo zapisati u obliku − · = . Zamjenom 5 2 2 2 x 2 2 = u jednadˇzbu svodimo na kvadratnu 2u − 3u − 5 = 0 . 5

Imamo rjeˇsenja: u = −1 (prvo) i u =

5 (drugo). 2

x 2 = −1 nije Vratimo se sada na izvornu nepoznanicu. Najprije, 5 ispunjeno niti za koji realan broj x , jer su vrijednosti eksponencijalne funkcije pozitivni brojevi. x 2 5 Iz = slijedi x = −1 i to je jedino rjeˇsenje zadane jednadˇzbe. 5 2

Zadatak 4.

Rijeˇsi jednadˇzbu: 5 · 4x − 3 · 10x − 2 · 52x = 0 . Uputa: Podijeli jednadˇzbu sa 52x = 25x .

40


5.5

Logaritamska jednadˇzba


Uz logaritamsku je funkciju f (x) = loga x vezana logaritamska jednadˇzba, jednadˇzba oblika loga x = b . Skup vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva pa zato ta jednadˇzba ima rjeˇsenja za svaki realni broj b . Logaritamska jednadˇzba

Jednadˇzbu koja se moˇze svesti na oblik loga x = b, b ∈ R zovemo logaritamska jednadˇzba.

Na nekoliko primjera pokazat cémo rjeˇsavanje standardnih logaritamskih jednadˇzbi.

Primjer 5.

Rijeˇsimo jednadˇzbu log x + log(x − 3) = 1

Primjenom svojstava logaritamske funkcije moˇzemo napisati log x + log(x − 3) = 1, log[x(x − 3)] = log 10, x(x − 3) = 10.

Dobili smo kvadratnu jednadˇzbu x2 − 3x − 10 kojoj su rjeˇsenja x1 = 5 , x2 = −2 . Medutim, samo prvo zadovoljava poˇcetnu jednadˇzbu, jer za x = −2 logaritamska funkcija nije definirana. Zato je x = 5 jedino rjeˇsenje ove jednadˇzbe.

Primjer 6.

Rijeˇsimo jednadˇzbu: log(0.1x2 ) · log(10x) = 2 .

Primjenom svojstava logaritama jednadˇzbu moˇzemo zapisati u obliku (log 0.1 + log x2 )(log 10 + log x) = 2.

Zatim imamo

(−1 + 2 log x)(1 + log x) = 2.

Nakon sredivanja dobijemo kvadratnu jednadˇzbu

2(log x)2 + log x − 3 = 0. 3 Njezina su rjeˇsenja log x = 1 ili log x = − . 2 √ Rjeˇsenja zadane jednadˇzbe su x1 = 10 i x2 =

Zadatak 5.

10 . 100

Rijeˇsi jednadˇzbu: log(x + 1)2 − log(x2 − 1) = 1 − 2 log 2 .

41

5


Primjer 7.

Rijeˇsimo jednadˇzbu: log2 {4 log5 [2 + log2 (4 + log3 x)]} = 2 .


Jednadˇzbu “ˇcitamo” kao jednadˇzbu oblika log2 t = 2 , gdje je t = 4 log5 [2 + log2 (4 + log3 x)]. Dakle, t = 4 pa je log5 [2 + log2 (4 + log3 x)] = 1 .

Oznaˇcimo li sada u = 2 + log2 (4 + log3 x) , onda iz log5 u = 1 slijedi u = 2 + log2 (4 + log3 x) = 5 , odnosno log2 (4 + log3 x) = 3 . Nastavljamo na jednak naˇcin i dolazimo do rjeˇsenja x = 81 .


Rijeˇsi jednadˇzbu: log3 [1 + log2 (1 + 3 log2 x)] = 1 .

Rijeˇsimo jednadˇzbu: log3 x · log9 x · log27 x = 36 .

U jednadˇzbi su logaritmi po razliˇcitim bazama. No oni se primjenom logb x identiteta loga x = (prema str. 33) mogu svesti na jednu, istu bazu. logb a Tako dobivamo ekvivalentnu jednadˇzbu log3 x log3 x · = 36, log3 x · log3 9 log3 27 odnosno log3 x log3 x · = 36. log3 x · 2 3 Sada imamo (log3 x)3 = 36 · 6 = 63 . Dakle, log3 x = 6 i konaˇcno x = 36 = 729 .

Zadatak 7.

Rijeˇsi jednadˇzbu: log2 x − log4 x − log8 x =

Primjer 9.

Rijeˇsimo sustav jednadˇzbi:

1 . 2

3x−2 · 2y−4 = 144, 1 + log2 x = log2 y.

y Iz druge jednadˇzbe sustava slijedi log2 y − log2 x = 1 , ili log2 = 1 . x Odatle je y = 2x . Uvrstimo to u prvu jednadˇzbu pa imamo:

3x−2 · 22x−4 = 3x−2 · 4x−2 = 12x−2 = 144. Dakle je x = 4 . Zatim iz y = 2x dobijemo y = 8 .

Zadatak 8.

42

Rijeˇsi sustav jednadˇzbi:

3x−2 · 2y = 54, log2 (x − y) = 2.


5.5

Iz zabavne matematike


SUDOKU Tablicu za sudoku precrtaj u biljeˇznicu. Na odgovarajuća mjesta u tablici upiˇsite odgovore na pitanja od a. do n. Zatim prazna polja popunite tako da u svakom retku i u svakom stupcu te u svakom pravokutniku 3 × 2 budu upisani svi brojevi od 1 do 6. a. e0 ; b.

„ «− log3 4 1 ; c. log4 163 ; 3

d. (0.01)x−2 = 100 · (0.1)x , x = ? x

x

−12

f. 0.1 · 0.01 = 10

, x =?

a

e. 1 − ln e−5 ;

ln 32 ; g. ln 2

b

c

d

e

f

g

h

h. log 15 + log 2 − log 3 ;

j

i. log2 (3x + 4) = 2 + log2 (2x − 4) , x = ? „ « j. log 41+log2 5 ; k. log2 (log2 256) ;

k

l. log2 2 · log3 3 · log4 4 · . . . · log9 9 ; x+4

m. (0.5)

x

i

l

m

−1

= 4 · (0.25) , x = ? n. (log32 2)

n

.

Kutak plus

ZADATAK

Rijeˇsi jednadˇzbu 4x + 9x = 2 · 6x .

Rjeˇsenje. Najprije zapiˇsimo jednadˇzbu u obliku 4x + 9x = 12x . Zatim slijedi

log(4x + 9x ) = log 12x pa log 36x = log 12x .

I dalje redom: log 36x − log 12x = 0 , a odatle je log

36x = 0 . Dakle log 3x = 0 , odnosno 3x = 1 . 12x

I konaˇcno, x = 0 .

Provjerimo rezultat i uvjerimo se da je x = 0 rjeˇsenje jednadˇzbe. Da, rjeˇsenje je toˇcno premda je pri rjeˇsavanju naˇcinjeno nekoliko grubih pogreˇsaka. Moˇzeˇs li ih pronaći?

43

5


Zadatci 5.5. 5) 2x · 5x−1 = 0.2 · 102−x ; 6) 32x−3 · 24x−10 = 0.75 · 12x .

Rijeˇsi jednadˇzbe: 1) 0.1x = 100 ;

3) 0.22x−3 = 5 ; 5) 0.25x = 16 ; 1 7) 2x−1 = ; 8

9) 0.4x = 6.25 ; 11) 73−5x = 1 ;

2.

1 x

= 2; 4 1 x 4) = 64 ; 8 6) 10x−4 = 0.01 ; 2)

1) 32x =

3.

4.

5.

1 ; 128

44

3x+1 − 4 · 3x−1 = 45 ; 5x + 3 · 5x−2 = 140 ; 5x+1 − 5x−1 = 24 ; 3 · 2x − 2x−1 = 20 ; 5x−1 + 5x + 5x+1 = 155 ; 2x−1 + 3 · 2x−2 + 5 · 2x−3 = 15 ; 32x−1 + 32x−2 − 32x−4 = 315 ; 5 · 32x−1 + 9x = 8 .

10) 0.1252−3x = 1

7.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

3x + 3x+1 + 3x+2 = 25 ; 5x−1 + 5x + 5x+1 = 50 ; 5x + 5x+1 = 6x+2 ; 7x−1 + 7x+2 = 8x−1 + 8x−2 ; 32x−1 + 9x+1 = 22x−1 + 4x+1 ; 52x−1 + 361−x = 25x+1 + 61−2x .

8.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

4x − 2x+3 + 15 = 0 ; 4x − 2x+1 = 3 ; 9x − 3x+1 = 4 ; 9x−3 − 3x−2 + 2 = 0 ; 52x+1 + 6 = 31 · 5x ; 32x − 3x = 3 ; 72x − 7x−2 = 1 ; 36x = 3x+2 · 2x − 18 .

9.

1) 9x − 4 · 3x + 3 = 0 ;

1 ; 32 1

12) 4− 2 x+2 = 8− 2 x+2 . 3

2) 6− x = 36 ;

1 x 2 = 8; 16

1) 10x = 110 ; 3) 2x = 20 ; 5) 112x = 220 ;

2) 100x = 200 ; 4) 5x = 32 ; 6) 44x = 44 .

√2 −x 1) 0.125 · 42x−3 = ; 8 √ 5 2−x = 251−x ; 2) 0.04 · 125 √5 −x √ 3−x 3) 0.04 · 125 = ; 5

4) 0.01−0.5x · 10 · (0.1)1−2x = 100 ; 1 √ 5) · 0.125x+3 = 2 · 0.5x−3 ; 8 1 1 √ 3 6) · 0.22−3x = 25− 3 . 125 1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

8) 0.52−x = 0.125 ;

1 4) 82x−5 = ( )3−x ; 4 1 3x−2 x x−1 5) 9 = 27 ; 6) = 814x+1 ; 3 1 5−2x 16 . 7) 43x−1 = ; 8) (0.75)2x = 8 9

3)

6.


1.

9x−2 · 22x−1 = 8 ; 25x−1 · 22x+1 = 8 ; 23x · 52x = 64 · 1012 ; 2x · 5x = 0.1 · (10x−1 )5 ;

2) 4x−1 − 2x−1 = 12 ;

3) 9x+1 + 3x+2 = 810 ; 1 x−2 4) = 25−x − 12 ; 4 5) 2x + 21−x = 3 ; 3 x−1 3 1−x + = 2. 6) 5 5 3

10. 1) 2x · 0.5 x = 4 ; 1

2) 2x · 8 x − 16 = 0 ; 1 1−x 4 · 5− x = 25 ; 3) 5


3 x−2 4 2 x · = 4 3 3 x−1 4 2 x 5) · = 4 3 1 x+ 1 · 2 x = 81−x . 6) 4

4 ; 3 16 ; 9

11. 1) 4x + 6x = 2 · 9x ;

2) 4 · 25x + 5 · 16x = 9 · 20x ; 2

1

1 9x

1 4x

1

3) 5 · 5 x + 2 · 4 x − 7 · 10 x = 0 ; 4) 2 ·

+3·

1 4x

=5·

1 6x

1 6x

;

1 9x

+5· =4· ; √ 6) 2x + 2x+2 · 5x = 3 · 5x . 5) 9 ·

3) 3

1+|x+1|

=9

4) 2

3+|x−1|

= 16 · 4−0.5x ;

1.5

10 = −3 ; x 3) log2 x − 2 log(10x) = 6 ; 1 + log(x − 1) = log 100 . 4) log2 x−1 2) log(0.1x2 ) · log

2) log5 [2 + log3 (x + 3)] = 0 ;

2) 2

|x−1|

= 16 · 4

17. 1) log2 x + 2 · log(0.1x) = 1 ;

18. 1) log3 log8 log2 x = log3 2 − 1 ;

12. 1) 71−|x| = 49 ;

0.5

;

;

5) 3|3x−4| = 92x−3 ;

6) 52|2x−2| = 253x−4 .

13. 1) log(x − 1) + log 5 = log(3x + 1) ; 2) 3) 4) 5) 6)

3 = 1 + log x ; log x − 1 2 log x 2 2) − log x = ; log x − 1 log x − 1 1 2 3) + = 1; 5 − log x 1 + log x 1 4 4) + = 3. 5 − 4 log x 1 + log x

16. 1)


4)

5.5

log(x + 1) − log(x − 1) = log 2 ; log x + log x2 = 3 ; log x− log(3x+2)= log(x+1)− log(3x+1) ; log x + log x2 + log x3 = 12 ; log x − log(x − 1) = log 3 .

14. 1) log(x−1) + log(x−2) = 2 log(x−3) ;

2) log x + log(x − 3) = 1 ; 3) log(x−2) + log(x+2) = 2 log(x−1) ; 4) log(2x−1) − log(x+2) = log(x−2) ; 1 5) log(3x−5) − log(x+1) = 1 − log 5 ; 2 1 6) log(3x−2) − 2 = log(x+2) − log 50 . 2

15. 1) log(100x) − log(10x ) = 2 ; 3

2) log2 (4x2 ) + log2 (8x) = 8 ; 3) log3 (27x) − log3 x3 = 3 ; 4) 2 log5 (0.2x) − log 1 (125x) = 13 . 5

3) log[3 + 2 log(x + 1)] = 0 ; 1 1 4) log25 [ log3 (2 − log 1 x)] = − ; 5 2 2 1 5) log4 [4 − 2 log5 (4 − x)] = ; 2 6) log3 {1 + log2 [1 + log4 (1 + log 1 x)]} = 0 . 2

19. 1) log4 x + log8 x = 5 ;

2) log3 x + log27 x + 4 = 0 ;

3) log2 x − log 1 x = 8 ; 2

4) log4 x − log0.25 x = 4 ;

5) log5 x + log0.2 x = 0 ;

6) log16 x + log8 x + log2 x =

19 . 36

4 ; 3 2) log 1 x · log2 x · log4 x = 4 ;

20. 1) log3 x · log9 x · log27 x = 2

3) log25 x · log 1 x · log5 x = 4 ; 5

4) log3 x · log9 x · log27 x · log81 x =

2 . 3

21. 1) log3 (3x − 8) = 2 − x ; 2) log2 (2x − 7) = 3 − x ; 3) log5 (5x − 4) = 1 − x ; 4) log2 (2x − 3) = 2 − x .

45

5


2

22. 1) x1+log x = 0.001− 3 ; 2) x2 log x−5 = 0.01 ; √ 3) 24x1−log2 x = ( 3)2+log9 16 ; √ 4) 9 · x2−log3 x = ( 3)2 log3 x−8 . 2) 4 = 4x + 5 ; log9 (x+2) 3) 3 = x + 2; 4) 2log8 (x−1) = x − 1 .

7)

8)

100 = 0.5 ; 1 + e−x 2 3ex = . 2) 1 + 2e2x 3

9)

25. Ako je log 5 = m izrazi preko m rjeˇsenje jednadˇzbe 0.2x−1 = 2.5 · 0.04x .

26. Izrazi x iz formule y = c(1 − e2x ) . 27. Izrazi x iz formule y =

ex − e−x . ex + e−x

28. Izrazi k iz formule C = C0 · ekx . 29. Koliko rjeˇsenja ima jednadˇzba:

2) x = ln x ; 1) x2 = ex ; 3) |x − 10| = log2 x ; 4) x2 − x = 2x−1 ?

30. U kojim toˇckama graf funkcije f sijeˇce koordinatne osi: 1) f (x) = ln(x + 1) + 3 ; 2) f (x) = 2ex−1 − 1 ; 3) f (x) = log2 x2 − 1 ;

4) f (x) = log2 (x − 1)2 ; 5) f (x) = e−x − 1 ; 6) f (x) = log |x − 0.1| − 1 ?

31. Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: 1) 2)

3)

5x · 2y = 3200,

log√5 (y − x) = 2;

52x−1 · 3y+1 = 135,

1 + log x = log2 y; ⎧ x−2 2y+1 ⎨2 ·5 = 200, ⎩ log 1 (x − y) = −2; 2

46

24. Koliki je x ako je:

5) 6)

log2 (x+2)

1)

3x · 2y = 576, log√2 (y − x) = 4; 22x−3 · 5y+2 = 1000, log√2 (x − 2y) = 0; log2 (x − y) = 2,


23. 1) 0.1log x−2 = 100 ;

4)

10)

3x−2 · 2y = 324;

log3 x − log3 y = 2, x(y − 2);

2 + log2 (x + y) = log2 8, x2 − y2 = 16;

2 log x − log y = 2 log 2 + log 3, 2x2 + y = 75;

x − y = 90, log x + log y = 3.

32. Rijeˇsi sustave jednadˇzbi:

⎧ log2 x + 2 log2 y = 2, ⎪ ⎪ ⎨ 1) log2 y + 2 log2 z = 5, ⎪ ⎪ ⎩ log2 z + 2 log2 x = 2; ⎧ 1 ⎪ ⎪ log x = 1 + log y, ⎪ ⎨ 2 2) log y = 1 + log z, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ log z = 1 − 2 log x; ⎧ log2 x + log4 y + log4 z = 2, ⎪ ⎪ ⎨ 3) log3 y + log9 z + log9 x = 2, ⎪ ⎪ ⎩ log4 z + log16 x + log16 y = 2; ⎧ log2 x + log3 y + log5 z = 6, ⎪ ⎪ ⎨ 4) log4 x − log9 y + log25 z = 2, ⎪ ⎪ ⎩ 2 log8 x + 3 log27 y + log125 z = 4.

ˇ EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE NEJEDNADZBE

5.6

5.6. Eksponencijalne i logaritamske nejednadˇzbe


Pri rjeˇsavanju eksponencijalnih i logaritamskih nejednadˇzbi, sliˇcno kao i pri rjesˇ avanju jednadˇzbi, koristimo se svojstvima odgovarajućih funkcija. No za razliku od jednadˇzbi, rjeˇsavajući nejednadˇzbe moramo prije svega voditi raˇcuna o svojstvima monotonosti tih funkcija. Naime, ako je a > 1 , tada su funkcije x → ax i x → loga x rastuće, pa su nejednadˇzbe oblika af (x) > ag(x) ,

loga f (x) > loga g(x)

ekvivalentne s f (x) > g(x) .

Pritom moramo uvaˇziti da je logaritamska funkcija definirana samo tamo gdje je f (x) > 0 i g(x) > 0 .

Ako je 0 < a < 1 , tada su funkcije x → ax i x → loga x padajuće, pa su nejednadˇzbe oblika af (x) > ag(x) ,

loga f (x) > loga g(x)

ekvivalentne s f (x) < g(x) .

Dakako, i u ovom sluˇcaju valja uvaˇziti da se kod logaritamske nejednadˇzbe zahtijeva f (x) > 0 i g(x) > 0 .

Primjer 1.

Rijeˇsimo nejednadˇzbu:

0.25 ·

x−1 1 < 16 . 8

1 U nejednadˇzbi su potencije baze pa je moˇzemo zapisati u obliku 2 3x−1 −4 1 1 < . 2 2

Kako je rijeˇc o eksponencijalnoj funkciji cˇija je baza manja od 1, ta je funkcija padajuća, pa je nejednadˇzba ekvivalentna s 3x − 1 > −4 . Konaˇcno je x > −1 .

Primijetimo kako smo nejednadˇzbu mogli zapisati i u obliku 2−2 · 2−3x+3 < 24 , odakle slijedi −3x + 1 < 4 , zatim −3x < 3 i konaˇcno x > −1 .

Zadatak 1.

Rijeˇsi nejednadˇzbu (0.2)x−1 <

1 · 5x+1 . 25

47

5


Primjer 2.

Rijeˇsimo nejednadˇzbu 9x−1 + 3x < 18 .


Valja prepoznati da je rijeˇc o eksponencijalnoj nejednadˇzbi koja se zamjenom u = 3x−1 svodi na kvadratnu. Najprije je zapiˇsimo u obliku (3x−1 )2 + 3 · 3x−1 − 18 < 0 . Uz navedenu zamjenu ona prima oblik u2 + 3u − 18 < 0 .

Rjeˇsenje ove posljednje nejednadˇzbe je −6 < u < 3 pa je −6 < 3x−1 < 3 .

Eksponencijalna funkcija prima samo pozitivne vrijednosti pa je rjeˇsenje svaki realni broj x za koji je 3x−1 < 3 , odnosno svaki x < 2 .


Rijeˇsi nejednadˇzbu: 4x+1 − 41−x − 10 0. Rijeˇsimo nejednadˇzbu:

log 1 (x − 1) > 1 . 3

Baza logaritamske funkcije je broj manji od 1, zato je funkcija monotono 1 4 padajuća pa slijedi x − 1 < , odnosno x < . 3 3 No, oprez! Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne brojeve, pa mora vrijediti x − 1 > 0 . Tako je konaˇcno rjeˇsenje ove nejednadˇzbe 4 1
Pogledajmo i grafiˇcko rjeˇsenje zadatka.

y

Nacrtajmo graf funkcije f (x) = log 1 (x − 1) . Radi se o grafu 3 funkcije log 31 x koji je translatiran u smjeru osi x udesno za 1.

1

Nacrtajmo zatim i pravac y = 1 te istaknimo dio grafa koji je iznad tog pravca. Projicirajmo ga na os x i dobit cémo rjeˇsenje za 4 . datka, interval 1, 3

Zadatak 3.

48

1

Rijeˇsi nejednadˇzbu: log 1 (x − 2) > log 1 (2x + 3). 2

2

4 3

2

x

ˇ EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE NEJEDNADZBE

Primjer 4.

Rijeˇsimo nejednadˇzbu:

5.6

log22 x − 3 log2 x + 1 > 1. 1 − log2 x u2 − 2u > 0. 1−u


Uvedimo zamjenu u = log2 x te imamo nejednadˇzbu Nacrtajmo apscisnu os i skicirajmo grafove dviju funkcija, kvadratne f (u)=u2 −2u f (x) i linearne g(u)=1−u . Omjer vrijedg(x) nosti ovih dviju funkcija bit cé pozitivan nad intervalima unutar kojih ove funkcije imaju isti predznak.

Sa slike oˇcitamo: u < 0 ili 1 < u < 2 . 1 < log2 x < 2 , odnosno x < 1 ili 2 < x < 4 .

0

1

2

u

Dakle, log2 x < 0 ili

No i opet moramo imati na umu da je logaritamska funkcija definirana samo za pozitivne brojeve, pa je konaˇcno rjeˇsenje x ∈ 0, 1 ∪ 2, 4 .

Zadatak 4.

Rijeˇsi nejednadˇzbu:

log2 (x2 + 1) < 0. log2 (x2 − x)



1. Rjeˇsenje jednadˇzbe 2x + 2x+1 = 3 je x = 1 .

2. Rjeˇsenje jednadˇzbe 4x−1 = 5x+1 je broj x = log0.8 20 . 3.

2x > 3x za sve x < 0 .

4. Ako je log2 (log3 x) = −1 , onda je x =

√ 3.

5. Vrijednost funkcije f (x) = 10x−1 + 1 jednaka je 1 za x = 1 .

6. Jednadˇzba x2 = ax za svaki a > 0 ima dva pozitivna rjeˇsenja. 7. Jednadˇzba 4log2 x = 2 − x ima dva realna rjeˇsenja.

8. Ako je x cijeli broj te 3 < log x < 4 , onda x ima cˇetiri znamenke. 9. Ako je y =

1 1−y . , onda je x = ln 1 + e−x y

10. Rjeˇsenje nejednadˇzbe log3 (x−3) + log3 (x−1) 1 jest interval 3, 4] .

49

5


Zadatci 5.6. Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) 2) 3) 4)

1

3)

7.

2

6) 22− x − 21− x < 1 .

3.

4.

5.

6.

50

1) 2) 3) 4)

32x+3 − 4 · 3x+1 + 1 > 0 ; 22x+5 − 3 · 2x+2 + 1 0 ; 3x+1 + 32−x < 2 · 271−x ; 0.4x − 2.5x+1 > 1.5 .

8.

1) 8 · 0.5x(x+1) > 2) 0.25 · 2x(x+3) < 16x ; 1 1− 1 x 3) < 16 · 22x−3 ; 4 √ 41 1 3 x x−2 ; · (0.75) < 4) 3 2 4 1 5 x+ 1 x−1 2 5) 0.8 · < . 5 4 x+1

9 −3 +2 √ 0; 1) 2−x 8x − 4x − 2x+1 √ 2) 0; 9 − x2 32x+1 − 4 · 3x + 1 √ 3) 0. 1 − x2

32x+1 − 4 · 3x + 1 1) 0; 3x − 9x 22x+3 − 3 · 2x+1 + 1 2) > 0. 21−x − 1 1 3x − 0; 3x − 1 3x + 1 x x 2 5 2) x−1 + 3 < x−1 ; 5 2 1)

1 10 · log(10x) log ; x 10x 2) log x2 + log2 x 3 ;

1) log

3) log(0.1x) · log(10x3 ) log2 x2 − 4 ; 1 10 log 3 . 4) log(10x)2 · log x x

3 0.25 2 x ;

x

log2 x + 2 log x − 6 < 1; log x

log2 x − 3 log x + 3 < 1; log x − 1 1 1 3) − < 1; log x log x − 1 3 2 4) − < 1. 2 log x − 1 log x

1

2

1)

2)

5) 3 x + 33+ x > 84 ;

2.

1 1 > x . 2x − 4 2 −1


1.

√ 3 x−1 ; 0.75 > √2 5 0.8x−1.5 > ; 2 2.51−3x < 0.4x−2 ; 62x−3 < 2x+7 · 33x−1 ;

9.

1)

1 − 2x + x2 0; log 1 (x2 − 1) 

log (x2 − 1) 2) 0. x2 − x + 1

10. 1)

log 1 (x2 + x − 1) 2

log2 (x2 + 1)

0;

2)

log0.1 (2x + 14 ) 0 ; log8 (x2 + 2)

3)

x2 + x + 3 <0 . log 1 (x2 − 3) 2

11. 1) log 1 (3x − 1) > 0 ; 2

2) log5 (x + 3) > 1 ; 1 − 2x 0; 3) log 1 4 4 x−2 < 2; 4) log3 x 3x − 1 5) log2 > 1. 3x + 1

PRIMJENE EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE

5.7

5.7. Primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije


Brojne su primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije u najrazliˇcitijim podruˇcjima znanosti. Osobito su pogodne za matematiˇcki opis mnogih prirodnih pojava. U ovoj nastavnoj cjelini udˇzbenika potkrijepit cémo to nizom zornih i probranih primjera pri cˇemu cé naglasak biti na idejama. Prvi primjeri odnose se na primjene u kojima je “matematiˇcki model” funkcija oblika

f (t) = f 0 · ekt . U tome je zapisu f 0 poˇcetno stanje, stanje na poˇcetku mjerenja ( t = 0 ), dok je f (t) stanje nakon vremena t . Broj k je konstanta koja se uglavnom odreduje eksperimentalno. Ako je k > 0 , funkcija f opisuje (prirodni) rast, a ako je k < 0 , (prirodni) pad u nekom procesu.

Prirast stanovnistva ˇ

Hrvatska je prema popisu stanovniˇstva 2011. godine imala 4.29 · 106 stanovnika. Prema nekim crnim prognozama taj bi broj do 2031. mogao pasti na 3.68 · 106 . Kad bi to bilo tako, koje bi godine broj stanovnika bio upola manji nego li je bio 2011. godine? Prirast stanovniˇstva u nekoj zajednici lijep je primjer primjene spomenutog eksponencijalnog zakona nt = n0 · ekt .

Iz podataka za n0 = 4.29 · 106 i nt = 3.68 · 106 , gdje je t = 20 godina, nakon uvrˇstavanja imamo: 3.68 · 106 = 4.29 · 106 · e20k .

Odatle je e20k = 0.8578 te je 20k = ln 0.8578 = −0.15337. Konaˇcno imamo k = −0.0076685 . Tako smo doˇsli do zakonitosti po kojoj se tijekom vremena mijenja broj stanovnika u naˇsoj zemlji: nt = 4.43 · 106 · e−0.0076685t. Primijetimo da je konstanta k negativan broj, sˇ to je karakteristika funkcije koja opisuje pad vrijednosti. Naravno, rijeˇc je o tome da se broj stanovnika Republike Hrvatske neprestance umanjuje.

I sada odgovorimo na pitanje kada bi se taj broj iz posljednjeg popisa prepolovio. 1 Iz n0 = n0 · e−0.0076685t slijedi ln 0.5 = −0.0076685t , odakle se dobije t ≈ 90 2 godina. Zakljuˇcimo: prihvatimo li pretpostavku da se broj stanovnika u Republici Hrvatskoj mijenja po eksponencijalnom zakonu, onda bi (uz spomenute crne prognoze) 2101. u Republici Hrvatskoj zˇ ivjelo upola manje stanovnika nego 2011. godine.

51

5


Godine 1800. na Zemlji je zˇ ivjela 1 milijarda ( 109 ) ljudi. Jeste li znali da je - u Zagrebu 11. srpnja 1987. u vrijeme odrpetmilijarditi stanovnik Zemlje roden - je u Sarajevu 12. listopada ˇ zˇ avanja Univerzijade? Sestmilijarditi Zemljanin roden 1999., a na Filipinima je 31. listopada 2011. rodena djevojˇcica, sedammilijarditi stanovnik naˇseg planeta. Moˇzeˇs li procijeniti koliko cé stanovnika imati Zemlja 2050. godine? Koliko je tvoj rezultat u skladu s onim sˇ to moˇzemo iˇscˇitati s donjega grafa? Napomenimo kako na slici uoˇcavamo zapis 6.1 billion. To je engleski naziv za broj koji mi nazivamo milijarda. U svakom sluˇcaju rijeˇc je o broju 109 .


Zadatak 1.

Na grafikonu koji potjeˇce iz Ujedinjenih naroda prikazan je brojˇcani rast stanovniˇstva Zemlje (u milijardama) od 1750. godine te predvidanje rasta do 2150. godine. Svjetlijom bojom obuhvaćene su manje razvijene, a tamnijom razvijene zemlje.

Vidljivost

Intenzitet svjetlosti u moru smanjuje se s dubinom. To smanjenje je razliˇcito i ovisi o brojnim cˇimbenicima. Jadransko more zbog svoje iznimne cˇistoće ima vrlo dobru prozirnost. Ona se za vedrog i sunˇcanog dana umanjuje svega oko 2 % po metru dubine. Ako je na povrˇsini intenzitet I0 , onda je na dubini h metara intenzitet jednak I(h) = I0 · 0.98h .

1) Koliki je postotak intenziteta svjetlosti na dubini od 20 m u odnosu prema onom na povrˇsini? 2) Na kojoj je dubini postotak intenziteta 50 % onoga na povrˇsini?

52


5.7

Kamate Benjamin Franklin je bio vrlo mudar cˇovjek. Pripisuju mu se brojne - penny zaraden - je penny. pouˇcne izreke od kojih je jedna: Uˇsteden Franklin je 5. srpnja 1776. godine postavio sljedeći problem:


Ako bih danas u banci stavio na sˇ tednju 1 penny i zahtijevao da se na kraju svakog sljedećeg mjeseca pripiˇse 12 % kamata koliki bi iznos (u dolarima) bio nakon 100 godina? Ovakva pitanja nisu ni danas izgubila na vaˇznosti. Odgovor je dan formulom p nt C(t) = C0 1 + n gdje je C0 poˇcetni iznos (ulog), p je kamatna stopa, n broj ukamaćivanja godiˇsnje i t broj godina.

Primjerice, uloˇzi li netko iznos od 10 000 kn uz kamatu od 8 %, kolika cé biti svota nakon tri godine ako se pripisivanje kamata provodi 1) godiˇsnje;

2) polugodiˇsnje;

3) mjeseˇcno;

4) dnevno?

Potraˇzimo odogovore:

1) U ovom sluˇcaju je C0 = 10 000 = 105 , p = 0.08 , n = 1 te je 0.08 3 = 105 · 1.083 ≈ 12 597.11 kn. C = 105 · 1 + 1

2) Sada su podatci za C0 i p isti kao u prethodnom sluˇcaju, samo je n = 2 : 0.08 C = 105 · 1 + = 105 · 1.046 ≈ 12 653.2 kn. 2 0.08 36 ≈ 12 702.37 kn. 3) Sada stavljamo n = 12 i imamo: C = 105 · 1 + 12 4) I konaˇcno, uzmemo li da godina ima 365 dana, tada je 0.08 3·365 C = 105 · 1 + ≈ 12 712.16 kn. 365

No ukamaćivanje moˇze biti i kontinuirano, neprekinuto, sˇ to znaˇci da se provodi u svakom trenutku trajanja ugovora. Tada se raˇcun provodi po formuli C = C0 · ept ,

gdje je C0 poˇcetni iznos (glavnica), t vrijeme u godinama, p postotak (kamatnjak). Ako bismo po ovoj formuli raˇcunali koliki je iznos na raˇcunu uz glavnicu 10 000 kn, nakon tri godine i uz kamatnu stopu od 12 %, dobili bismo: C = 105 · e0.08·3 = 105 · e0.24 ≈ 12 712.5 kn.

53

5



No nismo odgovorili na Franklinovo pitanje. U njegovom bi sluˇcaju bilo: C0 = 0.01 , p = 0.12 , n = 12 , t = 100 pa bismo imali: 0.12 12·100 C(100) = 0.01 1 + = 0.01 · 1.011200 ≈ 1533.38 dolara. 12

Zadatak 2.

Neka svota uz godiˇsnje pripisivanje kamata te uz kamatnu stopu od 5 % naraste za 5 godina na iznos 19 144 kn. Kolika je bila uloˇzena svota?

Zadatak 3.

Ako netko uloˇzi 5000 kuna uz kamatu od 2.5 % i uz kontinuirano ukamaćivanje, koliko cé nakon 6 godina iznositi kamate?

Radioaktivnost

Maria Curie je dvostruka dobitnica Nobelove nagrade, 1903. za fiziku i 1911. za kemiju. Godine 1898. otkrila je radij, vrlo radioaktivan kemijski element. Ako je m0 masa neke radioaktivne tvari, tada je koliˇcina te tvari nakon vremena t jednaka m(t) = m0 · e−kt . Vrijeme potrebno da se radioaktivnim raspadanjem koliˇcina te tvari prepolovi zove se vrijeme poluraspada i oznaˇcava se s T . Dakle je 1 m(T) = m0 , gdje je m(T) masa tvari preostale nakon vremena T . 2 1 1 1 Dalje imamo m0 e−kT = m0 . Odatle je e−kT = , zatim −kT = ln i 2 2 2 ln 2 konaˇcno k = . T

Tako primjerice, vrijeme poluraspada radija-226 iznosi 1620 godina. Konstantu ln 2 = 4.27868·10−4 i masa radija koja preostane od poˇcetne k raˇcunamo iz k = T mase m0 nakon t godina jednaka je m(t) = m0 · e−0.000427868t . Vremena poluraspada za neke radioaktivne elemente vidimo u sljedećoj tablici: Element

Uran U-238

Plutonij PU-239

4.5 · 109 god. 24 360 god.

Ugljik C-14

5730 god.

Einsteinij Es-254

270 dana

Nobelij No-257

54

T

23 sekunde


5.7


Torinsko platno

U torinskoj katedrali (Duomo di San Giovanni) u proljeće 2010. g. posjetitelji su mogli vidjeti restauriranu Sindonu, platno u koje je po vjerovanju nekih, nakon smrti bilo umotano Isusovo tijelo. Na tom komadu platna duljine 4.4 m i sˇ irine 1.1 m uoˇcljivi su obrisi ljudskog lika koji neodoljivo podsjeća na Isusa. Je li u taj komad tkanine uistinu bilo umotano Isusovo mrtvo tijelo? Nedoumica traje stoljećima pa je 1988. g. torinski nadbiskup potraˇzio pomoć znanstvenika te su u laboratorijima sveuˇciliˇsta u Oxfordu, Zürichu te sveuˇciliˇsta u ameriˇckoj Arizoni provedene tri nezavisne provjere. Provjera je provodena jednom vrlo preciznom metodom koja se temelji na radioaktivnom ugljiku C-14. Ustanovljeno je kako je platno nastalo negdje izmedu 1260. i 1390. godine pa bi prema tome to platno bila krivotvorina. No i dalje se javljaju osporavatelji ovog nalaza. Njihovi se argumenti svode na upitnost cˇistoće - materijala uzorka. Tvrde kako se tijekom vremena u platno uvuklo neˇsto mladeg sˇ to je utjecalo na rezultate mjerenja, a neki govore kako je za analizu uzet dio - od samoga platna. Na neki naˇcin priˇca ostaje otvorena. zakrpe koja je mlada

A kako je provedena provjera starosti platna?

Sve zˇ ivo, ukljuˇcujući ljude, biljke i zˇ ivotinje, tijekom zˇ ivota iz ugljikova dioksida u atmosferi apsorbira izotop ugljika C-14. Nakon smrti ili ugibanja C-14 se poˇcinje smanjivati u sada neˇzivom organizmu po eksponencijalnom zakonu m(t) = m0 · e−kt pa se mjerenjem preostale koliˇcine C-14 moˇze procijeniti njegova starost. Iz vremena poluraspada, koje za izotop ugljika C-14 iznosi 5730 godina odredit cémo konstantu k . Iz k =

ln 2 za T = 5730 dobijemo k = 1.2 · 10−4 . T

Provjera je pokazala je da se u lanenim nitima Torinskog platna zadrˇzala koliˇcina od 91.6 % izvorne koliˇcine C-14. I sada iz jednadˇzbe 0.916 = e−0.00012t slijedi da je pribliˇzna starost platna t ≈ 730 godina pa je zakljuˇcak da ono nije moglo biti Isusova posmrtna odora.

Zadatak 4.

Na podruˇcju Kumrana na Bliskom istoku sredinom proˇslog stoljeća pronadeno je mnoˇstvo ispisanih svitaka (Kumranski svitci). Neki od njih sadrˇzavali su 77 % izotopa ugljika C-14. Procijeni njihovu starost.

55

5


Zadatak 5.

ˇ Cernobil


ˇ U mjesecu travnju 1986. godine u gradu Cernobilu u Ukrajini dogodila se jedna od dosad najvećih katastrofa nuklearnih elektrana. Eksplozija je razorila jedan od cˇetiriju reaktora i pritom su u atmosferu dospjele velike koliˇcine visokoradioaktivnih tvari od kojih cé neke biti joˇs desetljećima velika prijetnja po ljudsko zdravlje. Poznato je kako je u krugu promjera od nekoliko stotina kilometara oko ove nuklearke porasla pojava raka sˇ titnjaˇce za viˇse od 500 %, a zabiljeˇzen je znaˇcajan porast oboljenja od svih vrsta karcinoma, osobito kostiju. Dvije trećine oslobodenih radioaktivnih tvari cˇinili su cezij-137 i stroncij-90, a oko 12 % jod-131.

1) Ako vrijeme poluraspada joda-131 iznosi 8 dana, nakon koliko vremena je zagadenost tim elementom iznosila desetinu zagadenosti neposredno nakon incidenta?

2) Odgovorite na isto pitanje za cezij-137, cˇije je vrijeme poluraspada 30 godina.

Jaje

Jeste li uoˇcili neke oznake na svjezˇ im jajima koja se prodaju u samoˇ te poslugama i na trˇznicama? Sto oznake znaˇce? One izraˇzavaju kakvoću proteina u jajetu, a mjera se zove Haughova jedinica (H) po Raymondu Haughu koji je 1937. godine dao formulu za njezin izraˇcun:

H = 100 · log(h − 1.7m0.37 + 7.6).

U formuli je m masa jajeta u gramima, a h visina bjelanjka u milimetrima nakon sˇ to se jaje razbije i izlije na ravnu povrˇsinu. Haughova jedinica razvrstava jaja u granicama od 0 – 130 te imamo ove oznake: • H 72 , oznaka AA;

• 60 H 71 , oznaka A;

• 31 H 59 , oznaka B;

• H 30 , oznaka C.

Ovaj primjer tek je jedan od brojnih u kojima se pri opisu nekih procesa ili pojava primjenjuju eksponencijalna i logaritamska funkcija.

Uzmite jaje, razbijte ga i izlijte na vodoravnu povrˇsinu. Izmjerite njegovu masu i visinu bjelanjka te izraˇcunajte Haughovu jedinicu. Koja oznaka pripada vaˇsem jajetu?

56


Zadatak 6.

5.7

Tamne naoˇcale


Tamne naoˇcale vaˇzan su modni detalj, ali su i neophodno sredstvo zdravstvene zaˇstite. Tako primjerice, zavarivaˇci moraju nositi zaˇstitne zatamnjene naoˇcale stupnja 10. Promatraˇci pomrˇcine Sunca trebaju oˇci zaˇstititi naoˇcalama najvećeg stupnja zasjenjenosti, 14. Stupanj zatamnjenosti S stakala s prozirnoˇscú P , dijelom vidljive svjetlosti koje ta stakla propuˇstaju, vezan je jednadˇzbom 7 · log P S=− + 1. 3 Koliki dio vidljive svjetlosti propuˇstaju te naoˇcale, a koliki naoˇcale zavarivaˇca?

Logaritamska skala

Ponekad se odredeni podatci grafiˇcki prikazuju tako da im se pridruˇze toˇcke pravca. Pritom je skala najˇceˇscé linearna. No takva je skala ponekad nepraktiˇcna pa se primjenjuju neke druge, kakva je primjerice logaritamska. Linearnu skalu moˇzemo pretvoriti u logaritamsku tako da svakom broju b linearne skale pridruˇzimo broj 10b logaritamske. linearna skala

logaritamska skala

Jedna od prirodnih nepogoda od kojih ljudi najviˇse strepe jest potres. U novije ˇ se doba iznimno jak potres dogodio u Cileu 1960. g., a njegova je jaˇcina bila 9.5 stupnjeva po Richteru.

Hrvatska je seizmiˇcki vrlo aktivno podruˇcje i kod nas se prosjeˇcno svakih deset godina dogodi jaˇci potres. Osobito su kritiˇcni krajevi na krajnjem jugu. Najjaˇci potres zabiljeˇzen u Republici Hrvatskoj pogodio je Dubrovnik 1667. godine, a iznosio je 7.6 stupnjeva po Richteru. A 1880. godine i Zagreb je zahvatio jak potres (6.3 stupnjeva po Richteru) s epicentrom u Medvednici.

Richterova skala je ime dobila po ameriˇckom seizmologu Charlesu Richteru koji ju je uveo 1935. godine. Ta je skala logaritamska, povećanje za jedan stupanj znaˇci deset puta jaˇci potres. Primjerice, potres u Podgori 1962. je bio za dva stupnja jaˇci negoli potres u Splitu 2013. To znaˇci da je potres u Podgori bio 100 puta jaˇci nego splitski. Najjaˇci potres novijeg doba u Hrvatskoj, onaj koji se dogodio 1667. godine u Dubrovniku iznosio je 7.6 stupnjeva i u usporedbi s potresom u Splitu (4.1) on je bio pribliˇzno 3162 puta jaˇci.

Naime, 7.6 − 4.1 = 3.5 , a 103.5 ≈ 3162 .

57

5


Zadatak 7.

U posljednjih 50 godina dva iznimno jaka potresa u Hrvatskoj pogodila su Podgoru 1962. i Ston 1996. godine. Magnituda prvoga bila je 6.9, a drugoga 6.1 stupnjeva po Richterovoj skali.


Usporedi ta dva potresa po koliˇcini oslobodene energije.

Zadatak 8.

Pri raznim oblicima osiguranja vaˇzan je faktor vjerojatnost nepovoljnog dogadaja (rizik) kakvo je, primjerice, smrtno stradavanje. Stupanj rizika prikazuje se na logaritamskoj skali. Prouˇci i komentiraj tablicu. Tablicu prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni prazne kućice: Smrtno stradavanje usljed. . .

Rizik (1 : n)

log n

1 : 2 milijuna

6.3

voˇznje na motociklu

1 : 8000

3.9

puˇsenja

1:

2.9

skoka s padobranom

1:

4.1

udara groma

ubojstva

leta zrakoplovom utapanja

Zadatak 9.

1 : 12 000

1 : 2.2 milijuna 1 : 30 000

Već po okusu za neke tvari cémo zakljuˇciti da su kisele, za neke da su neutral- koncentracija vodikovih iona ne, a neke luˇznate. Razinu kiselosti tvari odreduje u njoj, a izraˇzava se pH-vrijednoˇscú. Ta vrijednost za vodu iznosi 7. Ako je pH-vrijednost neke tvari manja od 7 tada je smatramo kiselom, a ako je veća od 7 tada je luˇznata. Na slici vidimo skalu kiselosti uz navodenje nekih posebnih primjera. Primijetimo kako je rijeˇc o logaritamskoj skali.

Ako je H + koncentracija vodikovih iona, tada se pH-vrijednost neke tvari izrazˇ ava funkcijom pH = − log(H + ).

58


5.7


Primjerice, u ruralnim podruˇcjima Hrvatske koncentracija vodikovih iona u kiˇsnici pribliˇzno je jednaka 2.5 · 10−6 . Dakle je pH-vrijednost kiˇsnice u tim krajevima jednaka − log(2.5 · 10−6 ) = 5.6 . Ako je pH-vrijednost kiˇsnice ispod 5.6, to je pokazatelj povećane kiselosti, a - 4 i 4.5 tada govorimo o kiselim kiˇsama. Ta “kiselost” ako je izmedu posljedica je procesa sagorijevanja pri kojima se u atmosferu emitiraju sˇ tetni plinovi. Kisele kiˇse oˇstećuju tkivo biljaka, a u tlu otapaju hranjive tvari potrebne za njihov zˇ ivot. One rijeˇcnim tokom zagaduju jezera i mora.

1) Koncentracija vodikovih iona u kiˇsnici iznosi 2.5 · 10−6 . Morska voda ima pH 8.2. Usporedi kiselost kiˇsnice i morske vode. 2) U soku od rajˇcice koncentracija vodikovih iona iznosi H + = 6.3 · 10−5 . Kolika je njegova pH-vrijednost? Je li taj sok kiseo? 3) Mlijeko s magnezijem ima koncentraciju vodikovih iona H + = 3.2 · 10−11 . Odredi njegovu pH-vrijednost.

Logisticka ˇ funkcija

Pozorno pogledajte graf uz zadatak 1. o brojˇcanom rastu stanovniˇstva Zemlje. ˇ uoˇcavate? Oˇcigledno je da eksponencijalnoj funkciji ne pripada krivulja koja Sto je granica podruˇcja svjetlije boje. Premda smo rastu stanovniˇstva pripisali tu funkciju, ona tek djelomice odgovara tom procesu. Za pojave pri kojima nakon naglog rasta (ili pada) dolazi do relativnog smirivanja, znatno bolje je rjeˇsenje logistiˇcka funkcija. Primjer je epidemija gripe pri kojoj se zaraza u poˇcetku brzo sˇ iri da bi nakon nekog vremena jenjavala. Opća formula logistiˇcke funkcije glasi

c . 1 + ae−bx U ovom zapisu a , b i c su konstante, realni brojevi koji su svojstveni pojedinoj konkretnoj pojavi i za koje vrijedi a > 0 , b = 0 , c > 0 . f (x) =

Na dvjema slikama prikazani su grafovi dviju logistiˇckih funkcija: b>0

b<0

y

y

y =a

y =a

a 2

a 2

x

x

59

5


Gripa


U jednom je gradu broj osoba zaraˇzenih gripom nakon t dana trajanja epidemije pribliˇzno jednak 5000 Q(t) = . 1 + 1250e−kt Ako je nakon sedam dana bilo zaraˇzeno 40 osoba, koliko cé osoba biti bolesno nakon petnaest dana? Iz jednadˇzbe Q(7) =

5000 124 slijedi e−7k = , odnosno −7k = − 7k 1 + 1250e 1250

124 . Tako dobivamo k = 0.33 pa imamo funkciju 1250 5000 . Q(t) = 1 + 1250e−0.33t 5000 ≈ 507 . I sada raˇcunamo: Q(15) = 1 + 1250e−4.95

ln

Nakon 15 dana gripom cé biti zaraˇzeno pribliˇzno 507 osoba.

Ebola

Na temelju praćenja tijeka sˇ irenja ebole, teˇske zarazne bolesti, u jednom dijelu Ugande postavljen je matematiˇcki model koji opisuje povećanje oboljelih u t dana nakon poˇcetka promatranja: 396 n(t) = . 1 + 2.75 · 1.1−t Koliko se oboljelih moˇze oˇcekivati nakon 60 dana? Iz dane formule izraˇcunamo 396 n(60) = ≈ 392. 1 + 2.7 · 1.1−60 Moˇze se, dakle, oˇcekivati da cé nakon 60 dana virusom ebole biti zaraˇzeno pribliˇzno 392 osoba.

virus ebole

Zadatak 10. Afriˇcki je slon najveći zˇ ivući sisavac na kopnu. Dug je 5.5 – 7 metara, visok ˇ 50 – 60 godina. Masa zˇ enke starosti t godina moˇze se u tonama 3 – 4 metra. Zivi pribliˇzno izraˇcunati iz formule m(t) = 2.6 · (1 − 0.51 · e−0.75t )3 .

1) Kolika je oˇcekivana masa mladunˇceta afriˇckog slona? 2) Kolika je oˇcekivana masa slonice stare 10 godina? 3) Kolika je oˇcekivana masa slonice stare 50 godina?

60


5.7

Zadatci 5.7. Godiˇsnji je prirast stanovniˇstva u Zagrebu 2 % . Prema popisu stanovniˇstva iz 2001. godine grad je imao 760 000 stanovnika. Kada cé Zagreb imati 1 000 000 stanovnika?

2.

Procijenjeno je da u nekoj sˇ umi ima 45 000 m3 drva. Godiˇsnji je priraˇstaj 2 % . Koliko cé drva biti u toj sˇ umi nakon 10 godina ako se na kraju svake godine posijeˇce 1500 m3 ?

3.

Izraˇcunaj poloviˇcno vrijeme raspada a, ako je k = 1.382 · 10−11 s−1 .

4.

Koliko atoma radioaktivnog izotopa kobalta (k = 4.2 · 10−9 · s−1 ) ostane nakon 10 godina ako je poˇcetni broj N0 = 106 atoma?

5.

Poˇcetni broj bakterija na nekoj kulturi bio je 1000. Nakon cˇetiri sata taj se broj utrostruˇcio. Koliko c´ e bakterija biti nakon dva dana?

6.

Ako je nakon dva sata od poˇcetka promatranja broj bakterija narastao od 2 000 na 18 000, koliki c´ e broj bakterija biti nakon joˇs dva sata?

7.

Ako su p0 i ph tlakovi zraka u dva mjesta s visinskom nadmorskom razlikom h , tada vrijedi: ph = p0 · e−kh ,

pri cˇemu je k konstanta i ona pribliˇzno iznosi 1.25 · 10−4 m−1 . Odredi tlak zraka na vrhu 80 m visoke zgrade ako je u njezinu podnoˇzju izmjeren tlak od 1000 hPa.

8.

9.

11. Hladenje tijela koje se nalazi u okolini niˇze temperature teˇce prema zakonu

T = T0 + (T1 − T0 )e−kt , gdje je T temperatura tijela nakon vremena t , T0 temperatura okoline, T1 temperatura tijela na poˇcetku, te k realna konstanta. Pri vanjskoj temperaturi od 6 ◦ C za 4 sata temperatura sadrˇzaja u termos-boci spustila se s 90 ◦ C na 75 ◦ C . Koliko cé se spustiti za idućih 12 sati? - u 12. Ako se posuda s ledom temperature 0 ◦ C nade ◦ prirodi pri temperaturi 30 C , nakon koliko vremena cé temperatura u posudi porasti na 5 ◦ C ? Uzmimo k = 0.0037 1/min.


1.

Barometar na Zrinjevcu u Zagrebu pokazuje tlak zraka 996 hPa. Istodobno je na Griˇcu izmjeren tlak od 991 hPa. Ako je nadmorska visina Zrinjevca 120 m, kolika je nadmorska visina Griˇca?

Nedugo nakon uzimanja aspirina u krvi bolesnika bilo je 300 miligrama tog lijeka. Ako se koliˇcina lijeka u krvi smanjuje tako da je svaka dva sata upola manja, koliko cé aspirina biti u krvi bolesnika nakon 5 sati?

10. Nakon sˇ to je ispio nekoliko cˇaˇsica, u krvi vozaˇca

bilo je 0.2 mg/ dLalkohola. Ako se koliˇcina alkohola u krvi smanjuje eksponencijalno tako da se 1 svakog sata smanji za , za koje cé vrijeme u 4 krvi vozaˇca biti 0.08 mg/dlitra alkohola?

13. Kad je pripremljena sˇ alica cˇaja, temperatura tekuˇ cíne u sˇ alici iznosila je 98 ◦ C . Salica je stavljena na stol u prostoriji u kojoj je temperatura bila 20 ◦ C . Nakon pet minuta temperatura cˇaja bila je 38 ◦ C . Nakon koliko c´ e vremena temperatura pasti na 22 ◦ C ?

14. Otapanje neke topljive tvari u vodi odvija se po zakonu

S = S0 (1 − e−kt ),

pri cˇemu je S koliˇcina tvari sˇ to se otopi u vremenu t , S0 koliˇcina potrebna za zasićenost otopine, a k > 0 konstanta koja ovisi o vrsti tvari sˇ to se otapa. Ako se 20 g sˇ ećera otopi za 1 minutu, a 30 g za 2 minute, izraˇcunaj koliˇcinu S0 potrebnu da se postigne zasićenje otopine.

15. Broj rijeˇci sˇ to ih nakon t tjedana provedenih na teˇcaju unosi tipkaˇcica jednak je

r(t) = 100 · (1 − e−0.3t ).

1) Odredi r(1) i r(8) .

2) Nakon koliko tjedana tipkaˇcica postigne brzinu unosa od 95 rijeˇci u minuti?

16. Stupanj glasnoće izraˇzen u decibelima dan je formulom

L = 10 · log(I · 1012 ). Pritom je I jaˇcina zvuka. Ako je jaˇcina zvuka na rock-koncertu na udaljenosti 75 m od pozornice jednaka 0.001 W/m 2 , koliki je stupanj zvuka u toj toˇcki?

61

5


5.8. Racunanje ˇ logaritama i općih potencija


Znanstveni zapis broja Svaki se pozitivni realni broj x moˇze napisati u obliku x = x · 10n , pri cˇemu je 1 x < 10 , a n cijeli broj. Primjerice: x = 236

(1)

= 2.36 · 102 ,

x = 12.636 = 1.2636 · 101 ,

x = 0.03172 = 3.172 · 10−2 ,

x = 2.347 = 2.347 · 100 . Ovaj se zapis broja naziva znanstveni zapis.

Pri raˇcunanju na dˇzepnom raˇcunalu znanstveni je zapis nuˇzan ukoliko broj znamenaka broja lijevo od decimalne toˇcke prelazi broj mjesta na zaslonu raˇcunala. - za brojeve manje od 1 koji imaju desno od decimalne toˇcke velik Isto se dogada broj nula. Raˇcunalo cé u tom sluˇcaju automatski prijeći na znanstveni zapis.

Primjer 1.

Izraˇcunajte dˇzepnim raˇcunalom sljedeće umnoˇske: 8 123 402.3 · 773 621.2 =

0.000000213 · 0.000000624 = (Provjerite rezultat na zaslonu.)

6.2844362 · 1012 , 1.32912 · 10−13

Raˇcunalo, jasno, neće napisati potenciju u obliku 1012 , već cé znanstveni zapis naznaˇciti u obliku 6.2844362 E 12 ili u nekom obliku sliˇcnom tome.

Ako su naˇsi podatci već dani u znanstvenom zapisu, tad raˇcunamo na sljedeći naˇcin: 2.136 · 108 : 3.127 · 10−7

2.136 E 8 : 3.127 E 7 ± =

(6.8308 E 14).

Ovdje je E tipka kojom se nakon unoˇsenja znamenki broja zapoˇcinje s unoˇsenjem znamenki eksponenta. Na raznim raˇcunalima ona cé moˇzda biti oznaˇcena drugim znakom, poput EEX ili EXP . Ako je eksponent negativna predznaka, taj se predznak unosi nakon znamenki eksponenta tipkom ± za promjenu predznaka. Ne smijete koristiti umjesto toga tipku − za operaciju oduzimanja!

62

ˇ ´ POTENCIJA RACUNANJE LOGARITAMA I OPCIH

5.8

Logaritam broja i logaritamske tablice Logaritam broja x zapisanog u znanstvenom obliku: x = x · 10n — iznosi log x = log x + log(10n ) = log x + n.


Kako vrijedi 1 x < 10 , logaritam tog broja nalazi se u granicama 0 log x < 1.

Zato se logaritam broja x nalazi u granicama

n log x < n + 1.

Racˇ unanje broja iz zadanog logaritma

Neka je n cijeli broj za koji vrijedi n log x < n + 1. Ako je n 0 , tad x ima toˇcno n + 1 znamenku prije decimalne toˇcke, a ako je n < 0 , tad x ima n − 1 nula neposredno poslije decimalne toˇcke. Broj x ima znanstveni zapis: x = 10log x−n · 10n .

Primjer 2.

Odredimo broj x iz zadanog logaritma. 1) log x = 5.126 . Sada je

x = 105.126 = 100.126 · 105 = 1.3366 · 105 . (Ovaj se broj mogao na dˇzepnom raˇcunalu raˇcunati i ovako 105.126 .)

2) log x = 136.2081 . Sad je

x = 10136.2081 = 100.2081 · 10136 = 1.6147 · 10136 . Ovaj broj ima 137 znamenki prije decimalne toˇcke.

3) log x = −2.367 . Moˇzemo raˇcunati direktno:

x = 10−2.367 = 0.004295,

ili na sljedeći naˇcin

x = 103−2.367−3 = 100.633 · 10−3 = 4.295 · 10−3 .

63

5



4) log x = −237.45 . Sada moramo raˇcunati na jedan od ovih dvaju naˇcina: x = 10238−237.45−238 = 100.55 · 10−238 = 3.5481 · 10−238 , ili x = 10−0.45−237 = 10−0.45 · 10−237 = 0.35481 · 10−237 = 3.5481 · 10−238 . Ovaj broj ima u svom decimalnom zapisu 237 nula neposredno iza decimalne toˇcke.

Racunanje ˇ opće potencije i opće eksponencijalne funkcije

Kad raˇcunamo vrijednosti eksponencijalne funkcije f (x) = ax i vrijednost opće - njima nepotencije f (x) = xr za zadane vrijednosti brojeva a , x i r , medu ma razlike. U oba sluˇcaja moramo izraˇcunati brojeve nalik ovakvima: 2.36.12 , 0.0126−3.632 , 1728 itd. Najlakˇse se ti brojevi raˇcunaju na dˇzepnom raˇcunalu koje posjeduje tipku yx . Raˇcunamo na raˇcunalu, zapisujući brojeve s cˇetirima decimalama: 2.3 yx 6.12 =

(163.5966),

0.0126 yx 3.632 ± = 17 yx 28 =

(7 933 305.5270),

(2.8351 · 1034 ).

Medutim, na većini dˇzepnih raˇcunala neće biti moguće izraˇcunati broj poput 79 45 , jer je prevelik. Njega moramo raˇcunati koristeći svojstva logaritamskih i eksponencijalnih funkcija. Istim se metodama sluˇzimo i ako dˇzepno raˇcunalo kojim raˇcunamo nema ugradenu funkciju yx .

Opća potencija xr i opća eksponencijalna funkcija ax mogu se raˇcunati formulama: xr = 10r log x , ax = 10x log a .

Funkcija 10x ugradena je u sva raˇcunala (osim onih sa samo cˇetirima osnovnim operacijama).

64

ˇ ´ POTENCIJA RACUNANJE LOGARITAMA I OPCIH

Primjer 3.

5.8

Izraˇcunajmo 3.2461.28 koristeći samo funkcije log x i 10x . Raˇcunamo po formuli


3.2461.28 = 101.28 log 3.246. Najprije raˇcunamo eksponent 1.28·log 3.246 , a zatim vrijednost potencije 10x : 1.28 × 3.246 LOG = (0.6545) 10x

Primjer 4.

(4.5136).

Izraˇcunajmo sljedeće potencije, koristeći samo funkcije log x i 10x : 1) 1.232.347 ;

2) 0.00124−16.27 ;

3) (−2.347)2.34 .

1) 1.232.347 = 102.347 log 1.23,

1.23 LOG × 2.347 = 10x −16.27

2) 0.00124

−16.27 log 0.00124

= 10

(1.6256),

,

0.00124 LOG × 16.27 = ± 10x

(1.9500 × 1047 ),

3) (−2.347)2.34 = 102.34 log(−2.347), 2.347 ±

LOG

(ERROR).

Baza eksponencijalne funkcije ne smije biti negativan broj. Ipak, ako je eksponent prirodan broj, većina dˇzepnih raˇcunala izraˇcunat cé i tada vrijednost potencije.

Sliˇ cno raˇcunamo i n -ti korijen ako raˇcunalo ne posjeduje programiranu funkciju √ n x: √ 1 5 16 = 16 5 = 160.2 = 100.2 log 16 = 100.2408 = 1.7411 .

Racunanje ˇ velikih potencija

Dˇzepno raˇcunalo moˇze raˇcunati samo s brojevima unutar nekog omedenog intervala. Obiˇcno je najveći broj koji se moˇze zapisati: 9.999999999 · 1099 .

Ako se tijekom raˇcunanja dobije broj veći od ovog, doći cé do prekoracˇenja memorije i na zaslonu c´ e se ispisati formula o pogreˇsci u raˇcunu. Najmanji je broj obiˇcno 1.00 · 10−99 .

65

5


To ne znaˇci da ne moˇzemo raˇcunati operacije u kojima rezultati premaˇsuju ove vrijednosti. Treba se prisjetiti da se svaki broj moˇze zapisati u eksponencijalnom zapisu, a raˇcunanje s potencijama broja 10 iznimno je jednostavno.

Izraˇcunajmo potenciju 23665 .


Primjer 5.

Raˇcun provodimo ovako. Najprije izvrˇsimo (na papiru) pripremni raˇcun: x = 23665 = (2.36 · 102 )65 = 2.3665 · 102·65 = 2.3665 · 10130 .

Ako dˇzepno raˇcunalo posjeduje tipku yx , raˇcunamo ovako: 2.36 yx 65 =

te je

(1.7349 E 24),

x = 1.7349 · 10154 .

Ako dˇzepno raˇcunalo ne posjeduje tipku yx , broj 2.3665 raˇcunamo koristeći svojstva logaritama, kako je objaˇsnjeno prije. Moguće je ta svojstva koristiti i bez prethodne pripreme:

23665 = 1065 log 236 = 1065·2.3729 = 10154.2393 = 100.2393 · 10154 = 1.7349 · 10154 .

Zadatak 1.

Zapiˇsi u znanstvenom prikazu brojeve:

1) 855 ;

Primjer 6.

2) 8555 ;

5

3) 85 .

5

Koliko znamenki ima broj x = 55 ? Logaritam je ovog broja: 5

log x = log 55 = 55 log 5 = 3125 log 5 = 3125 · 0.69897 = 2184.28. Zato broj x ima 2185 znamenki. Njegova je pribliˇzna vrijednost: x = 102184.28 = 100.28 · 102184 = 1.911 · 102184 .

Zadatak 2.

66

Koliko znamenki imaju brojevi

9

(99 )9 i 99 ?




7

POLIEDRI I ROTACIJSKA TIJELA

U naˇsoj okolini uoˇcavamo predmete najrazliˇcitijih oblika. Mnogi od njih nastali su ljudskom rukom i prije svega trebalo je znanja da bi ih se izradilo. Pritom je valjalo crtati, planirati, mjeriti.


Kako oblikovati neki predmet? Kako mu izraˇcunati povrˇsinu (oploˇsje), kako mu odrediti obujam? To su praktiˇcna pitanja koja su se uvijek postavljala pred cˇ ovjeka i na koja je on traˇzio odgovore u geometriji. Tijekom vremena rjeˇsenja su dobivala opći smisao i sustavno su matematiˇcki obradena.

7.1. Obujam tijela. Cavalierijev princip - ostalog smo Uˇceći geometriju, izmedu nauˇcili kako izmjeriti povrˇsinu nekih likova u ravnini. Krenuli smo od povrˇsine pravokutnika jer je njegovu povrˇsinu najjednostavnije izraˇcunati. Ako su a i b duljine stranica pravokutnika, onda je njegova povrˇsina jednaka

b

a

P = a · b.

Povrˇsina paralelograma jednaka je umnoˇsku duljina njegove stranice i visine na tu stranicu: P = a · va = b · vb .

Kako smo doˇsli do ove formule?

Iz vrha D paraleleograma ABCD poloˇzimo visinu va na njegovu stranicu AB . Od paralelograma je time odsjeˇcen pravokutni trokut AED . Nadomjestimo taj trokut sukladnim trokutom BFC onako kako je to prikazano na slici.

D

b

A

C

va

E a

B

F

Povrˇsina paralelograma ABCD jednaka je povrˇsini pravokutnika EFCD, cˇija je stranica EF sukladna stranici AB paralelograma, a druga je jednaka visini va . Analogno se pokazuje da je povrˇsina paralelograma jednaka P = b · vb . Zato kaˇzemo da je povrˇsina paralelograma jednaka umnoˇsku duljina njegove stranice i visine na tu stranicu.

126

OBUJAM TIJELA. CAVALIERIJEV PRINCIP

C

Svaki se trokut moˇze dopuniti do paralelograma. To je moguće uˇciniti na tri naˇcina, a jedan je prikazan na slici. U svakom je sluˇcaju povrˇsina trokuta jednaka polovini povrˇsine paralelograma. Tako dolazimo do poznatih formula za povrˇsinu trokuta: 1 1 1 P = ava = bvb = cvc . 2 2 2


va

A

a

B

Bilo koji mnogokut moˇzemo podijeliti na trokute pa je njegova povrsˇ ina zbroj povrˇsina tih trokuta. Ta podjela moˇze se provesti na razne naˇcine, primjerice, povlaˇcenjem dijagonala iz jednog vrha mnogokuta. Prisjetite se kako smo raˇcunali povrsˇ inu pravilnih mnogokuta.

Raˇcunajući povrˇsinu kruga, koristili smo se povrˇsinama krugu opisanih i opisanih mnogokuta s dovoljno velikim brojem stranica.

7.1

E

D

F

C

B

A

No dakako, matematiˇcari su naˇsli vrlo uˇcinkovit naˇcin za izraˇcunavanje povrˇsina i sloˇzenijih likova u ravnini, ali za opisivanje tih postupaka joˇs je malo prerano i valja se strpjeti do cˇetvrtog razreda.

Ova priˇca o raˇcunanju povrˇsine nekih likova u ravnini trebala bi vas potaknuti na analogiju kad je rijeˇc o raˇcunanju obujmu geometrijskih tijela. Krenut cémo od obujma kvadra, prostornog lika koji je analogan pravokutniku. Obujam kvadra jednak je umnoˇsku duljina triju njegovih bridova: V = a · b · c.

Raˇcunanje obujma nekih sloˇzenijih tijela oslanjat cé se na raˇcunanje obujma kvadra, sliˇcno kao sˇ to je to bio sluˇcaj s raˇcunanjem povrˇsina koje je zapoˇceto s povrˇsinom pravokutnika.

c

b

a

127

7


Cavalierijev princip


Pri raˇcunanju povrˇsina i obujama likova u ravnini, odnosno prostoru, cˇesto se primjenjuje jedno jednostavno naˇcelo, poznato kao Cavalierijev princip. To naˇcelo ne moˇzemo dokazati dosadaˇsnjom razinom znanja, no ono samo dovoljno je jasno i uvjerljivo pa ga stoga prihvatimo.

Rijeˇc je o uvjetima uz koje dva naizgled potpuno razliˇcita lika imaju jednaku povrˇsinu, odnosno jednak obujam. Cavalierijev princip

Cavalierijev princip za povrˇsine: ako se dva lika mogu postaviti tako da njihovi presjeci s pravcima paralelnima jednom zadanom pravcu imaju istu duljinu, tad oni imaju jednake povrˇsine.

Cavalierijev princip za obujme: ako se dva tijela mogu postaviti tako da njihovi presjeci s ravninama paralelnima jednoj zadanoj ravnini imaju jednake povrˇsine, onda ta dva tijela imaju jednake obujme.

Primjer 1.

Ilustrirajmo prvi Cavalierijev princip.

Uzmimo dva trokuta jednakih osnovica i visina. Postavimo ih tako da im osnovice leˇze na zadanom pravcu. Presijecimo ih bilo kojim pravcem koji je paralelan sa zadanim. Neka je a osnovica trokuta, v njihova visina i x udaljenost pravca do vrhova C1 , odnosno C2 .

Trokuti A1 B1 C1 i A1 B1 C1 su sliˇcni. Isto su tako sliˇcni i trokuti A2 B2 C2 i A2 B2 C2 . Zato vrijedi: a1 : a = x : v = a2 : a, pa je a1 = a2 . Dakle, presjeci obaju trokuta imaju jednaku duljinu za svaki x . Zato po Cavalierijevu principu trokuti imaju jednaku povrˇsinu.

128

OBUJAM TIJELA. CAVALIERIJEV PRINCIP

7.1

Povijesni kutak


BONAVENTURA CAVALIERI

Bonaventura Cavalieri (1598. – 1647.) bio je talijanski jezuit. Na njegov interes za matematiku presudno je utjecao Galileo Galilei, kojeg je upoznao za vrijeme svojeg boravka u samostanu u Pisi. Cavalieri se bavio raznim podruˇcjima matematike, fizike i astronomije. Objavio je i nekoliko vrlo zapaˇzenih radova iz astrologije, a priredio je i tablice logaritama te tablice logaritama trigonometrijskih funkcija za uporabu u astronomiji. Cavalierijevi principi u danaˇsnjem su izriˇcaju suvremen zapis njegovih stavaka o nedjeljivim veliˇcinama, koje je izloˇzio u radu Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635.), inspiriranom Arhimedovim radovima.

Bio je predavaˇc matematike na Sveuˇciliˇstu u Bologni i putem pisama odrˇzavao je stalne veze s najuglednijim matematiˇcarima svojeg vremena.

Prema Cavalierijevu principu jednaku povrˇsinu imaju i ova dva lika.

Moˇzemo zamisliti da je drugi nastao deformacijom trokuta pri kojem su se pomaknuli horizontalni slojevi. Pritom su veliˇcina i broj slojeva nepromijenjeni pa se nije promijenila ni povrˇsina. Koju ideju iskazuje Cavalierijev princip?

Zamislimo da je lik podijeljen u vrlo tanke slojeve oblika pravokutnika. Pomicaˇ su slojevi tanji, ti pravokutnici njem tih slojeva povrˇsina lika se ne mijenja. Sto bolje cé opisivati dani lik. Ako debljina sloja teˇzi nuli, dobit cémo tvrdnju Cavalierijeva principa.

129

7



Na analogan se naˇcin moˇze opisati i Cavalierijev princip u prostoru. Tijelo mozˇ emo paralelnim ravninama podijeliti u tanke slojeve. Pomicanjem tih slojeva ˇ mijenja se oblik tijela, ali ne i njegov obujam. Stoviˇ se, niti oblik sloja ne mora biti jednak. Vaˇzno je samo da odgovarajući slojevi u raznim tijelima budu jednakog obujma. Kako je njihova debljina uvijek ista, taj se zahtjev svodi na to da presjeci tijela budu jednake povrˇsine. (Ovdje u razmiˇsljanju prihvaćamo kao istinu da je obujam sloja jednak povrˇsini sloja pomnoˇzenoj s visinom.)

Cavalierijev princip moˇzemo zorno predoˇciti na razne naˇcine.

Na prvoj slici lijevo je stup papira u obliku prizme. Desno do njega je taj isti stup malo iskrenut. Je li se pritom promijenila koliˇcina papira?

A na drugoj slici su dvije cˇaˇse jednake visine. Jedna ima oblik uspravnog valjka, a druga je ista takva, ali “iskrivljena.” Zamiˇsljeni presjeci obiju cˇaˇsa ravninom koja je paralelna ravnini njihove osnovke na bilo kojoj visini, sukladni su krugovi.

Razina tekućine u objema cˇaˇsama na jednakoj je visini. U kojoj je cˇaˇsi veća koliˇcina tekućine?

Odgovor je: U objema je cˇaˇsama koliˇcina tekućine jednaka.

130

PRIZME

7.2

7.2. Prizme


Neka je B zadani konveksan mnogokut A1 A2 . . . An u ravnini  . Nacrtajmo i duˇzinu MN koja ne leˇzi u toj ravnini. Nazivamo je izvodnica. Promotrimo skup svih toˇcaka dobivenih na sljedeći naˇcin: one leˇze na duˇzinama PP koje su paralelne i sukladne duˇzini MN , a poˇcetna im toˇcka leˇzi u bilo kojoj toˇcki P lika B .

Dobiveni skup toˇcaka u prostoru nazivamo prizmom. Prizma

Mnogokut B je osnovka ili baza prizme. Prizma ima dvije baze, donju i gornju. Stranice na osnovkama prizme zovu se osnovni bridovi. Spojnice odgovarajućih vrhova donje i gornje osnovke su boˇcni bridovi prizme. Paralelogrami A1 A2 A2 A1 , A2 A3 A3 A2 . . . su boˇcne strane ili poboˇcke prizme. Skup svih poboˇcki prizme cˇini njezino poboˇcje. Visina prizme je medusobna udaljenost ravnina u kojima leˇze osnovke prizme. Za prizmu kaˇzemo da je n -terostrana ako je njezina osnovka n -terokut. Prizma je uspravna ako je izvodnica okomita na ravninu osnovke.

Prizma je pravilna ako je uspravna i ako je njezina osnovka pravilan mnogokut.

Primjer 1.

Koliko vrhova, koliko bridova i koliko strana ima n -terostrana prizma? Naziv n -terostrana prizma proistjeˇce od njezine osnovke ili baze koja je n -terokut, bilo pravilan, bilo nepravilan. Takva prizma ima 2n vrhova, n na donjoj osnovci i jednako toliko na gornjoj. Svaka od dviju osnovaka n -terostrane prizme ima n bridova, a joˇs je tu i n boˇcnih bridova. Dakle ih je ukupno 3n . I konaˇcno, n -terostrana prizma ima dvije osnovke i n poboˇcaka, dakle ima n + 2 strane. Uoˇcimo joˇs:

Broj vrhova bilo koje prizme paran je broj jednak ili veći od 6. Broj bridova bilo koje prizme djeljiv je s 3, a najmanje ih je 9. Broj strana je - njima je 5. bilo koji broj, najmanji medu

131

7


Zadatak 1.

1) Postoji li prizma koja ima 16 vrhova? 2) Postoji li prizma koja ima 16 bridova?


3) Postoji li prizma koja ima 16 strana?

Zadatak 2.

ˇ Trostrana prizma nema prostornih dijagonala. Cetverostrana ih ima cˇetiri, peterostrana 10. Koliko dijagonala ima n -terostrana prizma?

Prizma je konveksan poliedar. Ravnine koje prolaze donjom i gornjom bazom su paralelne. Ravnine koje prolaze poboˇckama paralelne su s izvodnicom MN .

Radi jednostavnosti istim cémo slovom B oznaˇcavati bazu prizme i povrˇsinu tog lika. To neće izazvati zabunu jer cé iz konteksta uvijek biti jasno radi li se o geometrijskom liku ili pak o broju — njegovoj povrˇsini. Isti naˇcin oznaˇcavanja rabimo i kad s a oznacˇavamo stranicu trokuta (duˇzinu) i duljinu te duˇzine.

Kutak plus

KOSA PRIZMA

Uz uspravne postoje i kose prizme. To su prizme kod kojih boˇcni bridovi nisu okomiti na ravninu osnovke već su prema njoj nagnuti pod nekim kutom. Takvim se prizmama općenito nećemo baviti. Njihovo oploˇsje je zbroj povrˇsina svih strana, a obujam se raˇcuna po istoj formuli ( V = B · v ) koja vrijedi za uspravne prizme.

Posebice se u skupu kosih prizmi istiˇcu one cˇije su sve strane paralelogrami. Takve se prizme po analogiji s paralelogramima u ravnini nazivaju paralelepipedi.

Na slici vidimo jedno zanimljivo zdanje, novu zgradu Knjiˇznice Filozofskog fakulteta u Zagrebu. Promotrite pozorno sliku te opiˇsite o kakvom se tijelu radi.

132

PRIZME

7.2

Oploˇsje prizme Baze prizme cˇine n -terokut ABC . . . i njemu sukladan n -terokut A1 B1 C1 . . . Oploˇsje prizme sastoji se od dviju baza i poboˇcja koji cˇini n paralelograma: O = 2B + P.


B raˇcunamo po formulama za povrˇsinu mnogokuta.

Obujam prizme

Prizmu moˇzemo opisati na joˇs jedan naˇcin. Mozˇ emo zamisliti duˇzinu MN s poˇcetnom toˇckom u jednom vrhu baze i zatim translatirati bazu tako da taj vrh putuje duˇzinom. Skup svih tako dobivenih toˇcaka ponovno je ta prizma. Zato je presjek prizme ravninom paralelnom s njegovom bazom mnogokut sukladan bazi. Po Cavalierijevu principu sve prizme koje imaju jednake povrˇsine osnovki i jednake visine imaju jednak obujam.

N

M

I kvadar je prizma. Njegov je obujam

V = B · v,

gdje je B povrˇsina baze, a v visina. Ova formula vrijedi za svaku prizmu, bilo koje baze i bez obzira na to je li uspravna ili ne. Oploˇsje i obujam prizme

Ako je B povrˇsina osnovke prizme, v njezina visina, a P povrˇsina poboˇcja, tada je O = 2B + P; V = B · v.

Primjer 2.

Bridovi baze uspravne trostrane prizme imaju duljine a = 13 cm , b = 4 cm i c = 15 cm , a njezina visina je v = 8 cm . Koliki su obujam i oploˇsje prizme? Povrˇsinu baze raˇcunamo Heronovom formulom

a+b+c s= B = s(s − a)(s − b)(s − c), , 2 pa su obujam i oploˇsje dani s: V = B · v, O = 2B + v(a + b + c).

133

7



Dobivamo: V = 192 cm3 , O = 304 cm2 .

- je Na slici lijevo je uspravna trostrana prizma. Tijelo na slici desno takoder uspravna trostrana prizma.

Zadatak 3.

Akvarij ima oblik kvadra s bridovima duljina 60 cm, 45 cm, 40 cm. Osnovka akvarija je najveća njegova strana i on leˇzi na horizontalnoj ravnini. Ako je u akvariju voda do 3/ 4 visine, koliko je u njemu litara vode?

Zadatak 4.

Kupaonica ima pod veliˇcine 3 × 2 metra i visinu stropa 2.5 metra. Valja je poploˇciti jednakim kvadratiˇcnim ploˇcicama 12 × 12 cm do visine zida 1.5 metar. Ako se raˇcuna s otpadom od 10 %, koliko ploˇcica valja nabaviti?

Kocka

Neke se prizme posebno izdvajaju po svojoj cˇestoj pojavi u raznim praktiˇcnim primjenama i drugim situacijama. Takva je prije svega kocka, jedan od sˇ est pravilnih poliedara. D1 C1 Kocka je omedena sa sˇ est sukladnih kvadrata. Ona ima 8 vrhova i 12 bridova.

A1

B1

D

Ako je duljina brida kocke a, njezino je oploˇsje O = 6a2 .

A

3

C

a

B

D1

B1

a

a

D

a2

B

Obujam kocke je V = a . (Zaˇsto? Obrazloˇzi!)

√ Sve su prostorne dijagonale kocke sukladne i duljina svake iznosi D = a 3 . Duljinu dijagonale moˇzemo izraˇcunati iz pravokutnog trokuta BD1 D . Na slici desno je taj presjek dan u pravoj veliˇcini.

134

PRIZME

7.2

Po Pitagorinu pouˇcku slijedi: √

√ D = (a 2)2 + a2 = 2a2 + a2 = 3a2 . √ Dakle, D = a 3 .


Kocka

Oploˇsje kocke

O = 6a2

Obujam kocke

V = a3

Duljina prostorne dijagonale kocke

√ D=a 3

Zamislimo li da su strane kocke od papira, tada kocku moˇzemo razrezati po njezinim bridovima, a strane razviti u ravninu. Kaˇzemo da smo dobili mreˇzu kocke. Kako ona izgleda moˇzemo vidjeti na str. 124. gdje su dane mreˇze svih pet pravilnih poliedara. Tu smo mreˇzu dobili rezanjem i razvijanjem prikazanim na slici.

No mogli smo do mreˇze doći i rezanjem po nekim drugim bridovima.

Zadatak 5.

ˇ li sˇ est povezanih kvadrata mreˇzu kocke, to nije uvijek jednostavno ustanoCini viti. Pokuˇsaj odrediti koje od ovih sliˇcica predstavljaju mreˇzu kocke. Ovakve su vjeˇzbe pogodne za razvijanje geometrijskog zora. Provjeri svoja razmiˇsljanja na papirnatom modelu koristeći se sˇ karama.

Kocka ima ukupno 11 razliˇcitih mreˇza. Na slici su samo neke od njih. Moˇzeˇs li nacrtati barem joˇs tri?

135

7


Kvadar Nakon kocke, najˇceˇscá prizma jest kvadar. Kvadar je prizma cˇ ije su sve strane pravokutnici. Po dvije suprotne strane kvadra su paralelne i sukladne.


Na slici su prikazani kvadar i njegova mreˇza.

c

D

b

a

Kvadar

Ako su a , b i c duljine bridova kvadra, tada je: oploˇsje kvadra

O = 2(ab + ac + bc);

obujam kvadra

V = abc;

duljina prostorne dijagonale kocke

D = a2 + b2 + c2 .

ˇ Cesto se u zadatcima o kvadru spominje njegov dijagonalni presjek. Dijagonalni presjek kvadra je presjek kvadra ravninom koja prolazi dijagonalom neke njegove strane okomito na tu stranu. Tri su razliˇcite strane pa su i tri razliˇcita dijagonalna presjeka.

136

PRIZME

Primjer 3.

7.2

Opseg osnovke kvadra je 56 cm. Dijagonalni presjek kvadra, koji je okomit na osnovku, kvadrat je povrˇsine 400 cm2 . Kolika je duljina prostorne dijagonale kvadra? Koliki su oploˇsje i obujam kvadra?


Kako je dijagonalni presjek kvadrat, zakljuˇcujemo da je c = 20 cm . Prostorna dijagonala kvadra jest dijagonala kvadrata sa stranicom duljine 20 cm. √ Dakle, D = 20 2 cm . Duljina dijagonale osnovke je

a2 + b2 = 20. Opseg baze kvadra je 56 cm, sˇ to znaˇci da je a + b = 28 cm .

Tako smo dobili sustav dviju jednadˇzbi s dvjema nepoznanicama: a + b = 28

i a2 + b2 = 400.

Konaˇcno rjeˇsenje je O = 1504 cm2 , V = 3840 cm3 .

Zadatak 6.

Primjer 4.

Duljine bridova kvadra u omjeru su 2 : 3 : 6 , a duljina njegove dijagonale iznosi 42 cm. Koliki su obujam i oploˇsje kvadra? Povrˇsine strana kvadra su u omjeru 2 : 3 : 5 . Njegovo je oploˇsje jednako 300 cm2 . Koliki je obujam ovog kvadra? Iz prvog podatka zakljuˇcujemo kako je ab = 2k , ac = 3k , bc = 5k , pri cˇemu je k > 0 .

Zatim iz O = 2(ab + ac + bc) = 2(2k + 3k + 5k) = 20k = 300 slijedi k = 15 .

Dakle, povrˇsine strana kvadra su ab = 30,

ac = 45,

bc = 75 cm2 .

Kako bismo izraˇcunali obujam kvadra, u ovom zadatku ne moramo raˇcunati duljine bridova. Naime, pomnoˇzimo li povrˇsine strana, dobit cémo ab · bc · ac = (abc)2 = V 2 .

Tako je V√2 = 30 · 45 · 75 = 2 · 15 · 3 · 15 · 5 · 15 = 2 · 154 , odakle slijedi V = 225 2 cm2 .

137

7


Prizma


Oploˇsje i obujam prizme nije uvijek jednostavno izraˇcunati. Stoga smo se u naˇsim zadatcima većim dijelom ograniˇcili na pravilne prizme ili jednostavnije uspravne prizme. Takvi se oblici najˇceˇscé i javljaju u primjenama i praktiˇcnim problemima.

Primjer 5.

Osnovka uspravne prizme je romb povrˇsine 216 cm2 . Povrˇsine dijagonalnih presjeka nad osnovkom iznose 198 cm2 i 264 cm2 . Izraˇcunajmo obujam te prizme. Oznaˇcimo s e i f dijagonale baze prizme, a s v njezinu visinu. Iz podataka moˇzemo zapisati sustav jednadˇzbi: ef = 432 , ev = 198 , f v = 264 .

Pomnoˇzimo li posljednje dvije jednadˇzbe, dobit cémo ef · v2 = 198 · 264 .

Uvrstimo sada ef = 432 , te je v = 11 cm . Obujam prizme je V = B · v . Tako je V = 216 · 11 = 2376 cm3 .

Primjer 6.

√ Povrˇsina osnovke pravilne sˇ esterostrane prizme je 96 3 cm2 . Povrˇsina poboˇcja prizme iznosi 240 cm2 . Koliki je obujam prizme?

Osnovka prizme je pravilan sˇ esterokut. Njegova je povrˇsina jednaka √ √ a2 3 B=6· = 96 3. 4 Slijedi a2 = 64 te je duljina osnovnog brida prizme a = 8 cm .

a

Povrˇsina poboˇcja je P = 6 · av√= 240 . Odatle √je v = 5 cm . Obujam ove prizme iznosi V = B · v = 96 3 · 5 = 480 · 3 ≈ 831 cm2 .

Zadatak 7.

Kolika je masa zraka u plasteniku u obliku sˇ atora (vidi sliku) ako je gustoća zraka jednaka 1.29 kg/m3 ?

4

4

6 6

138

20 m

PRIZME

Iz metalne pravilne cˇetverostrane prizma treba istokariti pravilnu osmerostranu prizmu jednake visine kojoj je osnovka u osnovci cˇetverostrane prizme (slika). Koliki dio obujma veće prizme zauzima manja?


Zadatak 8.

7.2

Kutak plus

Za kvadriranje binoma vrijedi identitet:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Tom identitetu moˇze se pridruˇziti jednostavno geometrijsko tumaˇcenje. Promotrite sliku!

a+b

a .b

b2

a .b

=

Analogno, identitetu

a2

a .b

a

b

a2

+

+

b2

a .b

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

- moˇzemo pridijeliti lijepu geometrijsku predodˇzbu. Kako ona izgleda, moˇze se vidjeti na slici. takoder

139

7


Zadatci 7.2. Zamislimo da drvenu kocku s bridom duljine n cm obojimo nekom bojom pa je potom ravninama paralelno njezinim stranama izreˇzemo na n3 manjih kockica. Koliko je pritom kockica koje su: 1) s trima obojenim stranama 2) s dvjema obojenim stranama 3) s jednom obojenom stranom 4) bez ijedne obojene strane?

2.

Postoji li prizma kod koje je moguće provesti sˇ etnju njezinim bridovima kakva je opisana na strani 103?

3.

Koliko je najmanje boja potrebno kako bismo obojili kocku tako da svake dvije njezine susjedne strane, strane koje imaju zajedniˇcki brid, budu obojene razliˇcitim bojama?

4.

Koliko je najmanje boja potrebno za bojenje strana prizme zˇ elimo li da svake dvije susjedne strane, one koje imaju zajedniˇcki brid, budu obojene razliˇcitim bojama?

5.

Postoji li prizma cˇ ije su sve strane sukladni pravokutnici?

6.

Koliko prostornih dijagonala ima prizma cˇija je osnovka pravilni mnogokut s n stranica?

7.

Dokaˇzite da je u svakoj prizmi broj bridova djeljiv s 3. Uvjerite se na primjeru cˇetverostrane, peterostrane i sˇ esterostrane prizme u valjanost Eulerove formule.

8.

Koji su uvjeti dovoljni da bi prizma bila uspravna? 1) Ako postoji njezina poboˇcka koja je pravokutnik; 2) Ako postoje dvije njezine poboˇcke koje su pravokutnici; 3) Ako postoje dvije njezine susjedne poboˇcke koje su pravokutnici?

9.

11. Povrˇsine poboˇcaka uspravne trostrane prizme iz-

nose 425 cm2 , 700 cm2 i 975 cm2 , a njezina je visina 25 cm . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam prizme.


1.

Pokaˇzite da se tri prostorne dijagonale paralelepipeda sijeku u istoj toˇcki.

12. Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane pri-

zme u omjeru su 9 : 10 : 17 . Duljina boˇcnog brida je 16 cm , a povrˇsina poboˇcja 1152 cm2 . Koliki je obujam prizme?

13. Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane pri-

zme u omjeru su 9 : 10 : 17 , njezina je visina dugaˇcka 10 cm , a oploˇsje prizme iznosi 2592 cm2 . Izraˇcunaj obujam prizme.

14. Udaljenosti boˇcnih bridova kose trostrane prizme jesu 2 , 3 i 4 cm . Povrˇsina poboˇcja iznosi 45 cm2 . Kolika je duljina boˇcnog brida ove prizme?

15. Osnovka uspravne prizme je trokut sa stranicama duljina 8 , 9 i 11 cm . Visina prizme jednaka je najvećoj visini osnovke. Koliki je obujam prizme?

16. Osnovka uspravne prizme je trokut sa stranicama duljina 10 , 17 i 21 cm . Povrˇsina najveće poboˇcke jednaka je povrˇsini osnovke. Koliki su oploˇsje i obujam prizme?

17. Osnovka uspravne trostrane prizme je trokut sa

stranicama duljina 4 cm , 13 cm i 15 cm . Obujam prizme jednak je 240 cm3 . Izraˇcunaj njezino oploˇsje.

18. Osnovni brid pravilne trostrane prizme dugaˇcak je 6 cm . Ravnina poloˇzena bridom AB osnovke i vrhom C1 dijeli prizmu na dva dijela cˇije su povrˇsine u omjeru 2 : 3 , ne raˇcunajući pritom povrˇsinu samog presjeka. Koliko je oploˇsje te prizme?

19. Osnovka uspravne trostrane prizme pravokutni je

trokut s katetama duljina 9 cm i 12 cm . Hipotenuzom jedne osnovke i vrhom pravog kuta druge poloˇzena je ravnina koja prizmu sijeˇce u liku povrˇsine 90 cm2 . Koliki je obujam te prizme?

20. Osnovka prizme je pravokutni trokut s katetama

10. Ako se poboˇcje pravilne trostrane prizme razvije u ravninu, dobije se kvadrat cˇija je povrˇsina jednaka a2 . Koliki su oploˇsje i obujam ove prizme?

140

duljina 6 cm i 8 cm . Poboˇcka nad hipotenuzom okomita je na ravninu osnovke i ima povrˇsinu 200 cm2 . Koliki je obujam prizme?

21. Osnovka prizme je jednakostraniˇcan trokut sa

stranicom duljine 8 cm . Obujam prizme izno-

PRIZME

√ si 160 3 cm3 . Kolika je duljina boˇcnog brida prizme ako je taj prema osnovci priklonjen pod kutom od 45◦ ?

22. Osnovka prizme je jednakostraniˇcan trokut stra-

32. Opseg osnovke kvadra iznosi 42 cm . Dijagonalni presjek kvadra, okomit na osnovku, jest kvadrat povrˇsine 225 cm2 . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam kvadra.

33. Povrˇsina osnovke kvadra iznosi 48 cm2 , visina

kvadra je 15 cm . Dijagonalni presjek kvadra kraćim osnovnim bridom ima povrˇsinu 102 cm2 . Koliko je oploˇsje tog kvadra?


nice a . Boˇcni bridovi s ravninom osnovke zatvaraju kutove od 60◦ . Ortogonalna projekcija jednog od vrhova gornje osnovke u srediˇstu je kruˇznice opisane donjoj osnovci. Koliki je obujam prizme?

7.2

34. Povrˇsine strana kvadra su 20 cm2 , 28 cm2 i 35 cm2 . Koliki je obujam kvadra?

23. Vrhovima B i D osnovke i poloviˇstem P boˇcnog brida CC1 kocke poloˇzena je ravnina. Ako √ je povrˇsina presjeka kocke tom ravninom 9 6 cm2 , koliki je obujam kocke?

24. Dijagonalom AC osnovke kocke i njezinim vr-

hom D1 poloˇzena je ravnina. Ako je √ povrˇsina presjeka kocke tom ravninom jednaka 8 3 cm2 , koliki je obujam kocke?

25. Osnovnim bridom kocke poloˇzena je ravnina koja kocku dijeli na dijelove cˇ iji su obujmi u omjeru 1 : 2 . Kolika je povrˇsina presjeka kocke tom ravninom ako je a duljina brida kocke?

26. Osnovnim bridom kocke poloˇzena je ravnina ko1 √ ja kocku sijeˇce u liku povrˇsine a2 5 . U kojem 2 omjeru ta ravnina dijeli obujam kocke?

35. Povrˇsine strana kvadra u medusobnom su omjeru 3 : 6 : 10 ; obujam kvadra je 150 cm3 . Kolike su duljine bridova kvadra?

36. Povrˇsine dviju strana kvadra su 72 cm2 i 96 cm2 .

Duljina prostorne dijagonale iznosi 17 cm . Koliki je obujam kvadra?

37. Duljine osnovnih bridova kvadra u omjeru su

1 : 2 . Poboˇcje razvijeno u ravninu je kvadrat povrˇsine 144 cm2 . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam tog kvadra.

38. Duljine bridova jednog kvadra u omjeru su 3 : 5 : 6 , a drugog 3 : 6 : 7 . Ako im se oploˇsja odnose kao 7 : 9 , koliki je omjer obujama tih dvaju kvadara?

39. Povrˇ √ sine dijagonalnih presjeka kvadra iznose

24 29 cm2 , 102 cm2 i 150 cm2 . Koliki su oploˇsje i obujam kvadra?

40. Osnovni bridovi kvadra dugaˇcki su 15 cm i 17 cm ,

27. Duljina dijagonale kvadra veća je od duljine nje-

govih bridova za 1 , 2 , odnosno 3 cm . Kolika je duljina te dijagonale?

28. Duljine dijagonala strana kvadra su 11 cm , 19 cm i 20 cm . Kolika je duljina prostorne dijagonale kvadra?

29. Opseg osnovke kvadra je 14 cm , duljina boˇc-

nog brida iznosi 12 cm , a prostorne dijagonale 13 cm . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam kvadra.

30. Duljine bridova kvadra u omjeru su 1 : 2 : 3 .

Dokaˇzi da je povrˇsina njegovog poboˇcja devet puta veća od povrˇsine njegove osnovke.

31. Osnovni bridovi kvadra dugaˇcki su 3 cm i 4 cm .

Kolika je duljina boˇcnog brida ako je dijagonalni presjek tim bridom kvadrat?

boˇcni je brid dugaˇcak 20 cm . Jednim osnovnim bridom poloˇzena je ravnina i ona sijeˇce kvadar tako da je presjek kvadrat. U kojem su omjeru obujmi dijelova kvadra dobiveni takvim presjekom?

41. Ravnina sˇ to prolazi vrhovima A , C i D1 kvadra

priklonjena je prema osnovici pod kutom od 30◦ . Koliki je obujam kvadra ako su duljine njihovih osnovnih bridova 6 cm i 8 cm ? √ 42. Prostorna dijagonala kvadra dugaˇcka je 10 2 cm , a prema ravnini osnovke priklonjena je pod kutom od 45◦ . Jedan je osnovni brid za 2 cm dulji od drugog. Koliki je obujam kvadra?

43. Duljina dijagonale kvadra je D . S jednom po-

boˇckom dijagonala zatvara kut od 30◦ , s drugom 45◦ . Koliki je obujam kvadra?

141

7


55. Ako je duljina brida kocke jednaka a , izraˇcunaj oploˇsje i obujam svakog od danih poliedara.

44. Osnovka uspravne prizme je romb. Duljine pros-

1)

tornih dijagonala su 8 cm i 5 cm , visina prizme je 2 cm . Kolika je povrˇsina poboˇcja ove prizme?

2)

45. Osnovka uspravne prizme je romb povrˇsine B .

a 2

a


Povrˇsine dijagonalnih presjeka nad osnovkom su Q1 i Q2 . Koliki je obujam prizme?

2

46. Osnovka uspravnog paralelepipeda je paralelogram s jednim kutom od 30◦ . Povrˇsina osnovke je 4 cm2 , a povrˇsine poboˇcaka 6 cm2 i 12 cm2 . Izraˇcunaj obujam ove prizme!

30

3)

4)

a 2

47. Osnovka uspravnog paralelepipeda je paralelogram sa stranicama duljina 3 cm i 5 cm , te kutom od 60◦ . Veći dijagonalni presjek okomit na osnovku ima povrˇsinu 63 cm2 . Koliki je obujam ove prizme?

48. Osnovka uspravne prizme je romb sa stranicama ◦

duljine 6 cm i jednim kutom od 120 . Manja prostorna dijagonala prizme s osnovkom zatvara kut od 45◦ . Koliki je obujam prizme?

49. Osnovka uspravne prizme je romb povrˇsine 18 cm2 .

a

a

2

2

a 2

5)

6)

a 2

Dulja prostorna dijagonala ima 12 cm i s osnovkom zatvara kut od 30◦ . Kolika je duljina kraće prostorne dijagonale?

a 2

50. Manji dijagonalni presjek pravilne sˇ esterostra-

ne √prizme, okomit na osnovku, ima povrˇsinu 40 3 cm2 . Visina prizme je 8 cm . Koliki je obujam prizme?

7)

a 3

8)

a 3

51. Koliki su oploˇsje i obujam pravilne sˇ esterostra-

ne prizme ako je njezin veći dijagonalni presjek kvadrat povrˇsine 36 cm2 ?

a 2

a 2

52. Dijagonale dviju susjednih poboˇcaka povuˇcenih iz istog vrha pravilne sˇ esterostrane prizme medusobno su okomite. Kolika je povrˇsina poboˇcja te prizme ako je v duljina njezine visine?

9)

53. Duljine prostornih dijagonala pravilne sˇ estero-

a

strane prizme su 24 cm i 25 cm . Koliki je obujam prizme?

54. Povrˇsina poboˇcja pravilne sˇ esterostrane prizme je 648 cm2 . Duljina dijagonale poboˇcke iznosi 15 cm . Kolike su duljine bridova ove prizme?

142

2

10)

a 2

PIRAMIDE

7.3

7.3. Piramide Piramidu moˇzemo opisati sliˇcno kao sˇ to smo opisali prizme.


V

Neka je zadan konveksan mnogokut B s vrhovima A1 A2 . . . An u ravnini  i toˇcka V koja ne pripada toj ravnini. Promotrimo skup svih toˇcaka koje leˇze na duˇzinama PV , gdje je P po volji uzeta toˇcka lika B . Dobiveni skup toˇcaka u prostoru nazivamo piramidom.

Ako toˇcka P pripada samo rubu mnogokuta, onda duˇzine PV opisuju poboˇcje piramide.

An

A1

P

A2

A3

Elementi piramide

Osnovka ili baza piramide je mnogokut B . Toˇcku V nazivamo vrhom piramide. Visina piramide udaljenost je vrha V od ravnine baze. Istim imenom nazivamo i samu duˇzinu VV , gdje je V ortogonalna projekcija vrha V na ravninu baze. Trokuti A1 A2 V , A2 A3 V . . . zovu se strane (poboˇcke); one cˇine pobocˇje piramide.

Poboˇcni i osnovni bridovi definiraju se kao i za prizme. Piramida je n -terostrana ako je njezina baza n -terokut.

P

S

Posebno je vaˇzan sluˇcaj kad je baza piramide pravilan mnogokut. Neka je S srediˇste tog mnogokuta. Ako je spojnica SV srediˇsta baze i vrha piramide okomita na ravninu baze, kaˇzemo da je piramida pravilna. Drugim rijeˇcima, piramida je pravilna ako joj je baza pravilan n -terokut, a ortogonalna projekcija vrha piramide na ravninu baze pada u srediˇste n -terokuta.

Primijetimo da su svi poboˇcni bridovi pravilne piramide jednake duljine. Njihova je duljina po Pitagorinu pouˇcku jednaka √ R2 + v2 , gdje je R polumjer opisane kruˇznice.

143

7


Povijesni kutak


EGIPATSKE PIRAMIDE

“Vrijeme je jaˇce od svega, ali piramide su jaˇce od vremena.” (Stara arapska izreka)

Svakom osnovnoˇskolcu već pri samom spominjanju rijeˇci “piramida” misao odleti u Egipat. Tamoˇsnje piramide najstarije su od sedam svjetskih cˇuda koje je popisao grˇcki pjesnik Antipatros u 2. st. pr. Kr. Po cˇemu su one cˇudo? Prije svega to je graditeljski poduhvat koji je zahtijevao odliˇcno poznavanje geometrije. Uz to, ni dandanas nije savim razjaˇsnjeno kojim su se tehnikama sluˇzili graditelji. Na visoravni Gize, svega 4 kilometra jugozapadno od Kaira tri su cˇudesne piramide: Keopsova, Kefrenova i Mi- njima je Keopsova ili Velika kerinova. Najveća medu piramida. U nju je prema nekim izvorima ugradeno najmanje 3 milijuna kamenih blokova mase od 2 do 30 tona, a nekoliko ih je imalo i 70 tona. Gradena je dulje od 20 - 2650. i 2550. g. prije Krista. godina, izmedu

Sve piramide su cˇ etverostrane i pravilne. Tablica prikazuje neke od podataka o ovim trima piramidama. Pritom je a duljina osnovnog brida, b duljina boˇcnog brida, v visina piramide, v1 visina poboˇcke,  prikloni kut boˇcnog - poboˇcke brida prema osnovci piramide te  kut izmedu i osnovke. Prepiˇsite u biljeˇznicu i popunite prazna polja ove tablice.

Faraon

a

Keops

230

Kefren

Mikerin

b

v1





246

209

105

I Napoleon je prouˇcavao egipatske piramide te je nacrtao ovaj crteˇz uz koji je ispisao i neke opaske. Crteˇz potjeˇce iz 1799. godine. Dodajmo joˇs jednu malu zanimljivost:

Napoleon je uˇzivao u matematici i bio je u njoj vrlo uspjeˇsan. U geometriji je poznat jedan pouˇcak nazvan njegovim imenom. U njemu se kaˇze:

Ako se nad stranicama trokuta konstruiraju prema van (ili pak prema unutra) jednakostraniˇcni trokuti, tada su srediˇsta tih trokuta vrhovi jednakostraniˇcnog trokuta.

144

v

179

51◦ 11

PIRAMIDE

7.3

Obujam piramide


Pokaˇzimo najprije da obujam piramide ovisi samo o njezinoj visini i povrˇsini osnovke. Neka su zadane dvije piramide istih visina s bazama B1 i B2 koje imaju jednaku povrˇsinu. Postavimo ih tako da im baze leˇze u istoj ravnini  . V1

V2

x

v

L1

B1

L2

B2

Povucimo ravninu paralelnu s bazom na udaljenosti x od vrha prizme (odnosno v − x od ravnine  ). Oznaˇcimo s L1 i L2 presjeke ravnine s prizmama kao i povrˇsine tih presjeka. Tvrdimo da je L1 = L2

Likovi L1 i B1 su homotetiˇcni, sa srediˇstem homotetije V . Koeficijent je homox tetije . Isto vrijedi i za likove L2 i B2 . Zato vrijedi: v 2 L1 x L2 = = . B1 v B2 Kako je B1 = B2 , mora biti i L1 = L2 . Dakle, pokazali smo da presjeci ovih dviju piramida s ravninama paralelnim zadanoj ravnini imaju jednake povrˇsine. Po Cavalierijevu principu takve piramide imaju jednake obujme. Jednakost obujama piramida

Dvije piramide koje imaju baze jednakih povrˇsina i jednake visine imaju jednak obujam.

Primijetimo da pritom nije vaˇzno kojeg su oblika baze ovih piramida.

145

7


Formula za obujam piramide


Pokazali smo da formula za obujam piramide ne ovisi o vrsti mnogokuta — baze piramide, već samo o njegovoj povrˇsini. Uzmimo zato jednostavnu piramidu i izraˇcunajmo njezin obujam.

Izdvojimo trostranu piramidu s bazom B i visinom v i usporedimo je s trostranom prizmom iste baze i visine. Nacrtajmo trostranu prizmu s osnovkama ABC i A1 B1 C1 . Ravninama A1 BC i A1 BC1 presjeći cémo je na tri dijela, tri trostrane piramide ABCA1 , BCC1 A1 , A1 B1 C1 B . Pokaˇzimo da su njihovi obujmi jednaki. Piramide ABCA1 i A1 B1 C1 B imaju jednake obujme jer imaju sukladne osnovke ABC i A1 B1 C1 i jednake visine (zapravo, ove su piramide sukladne). C1

A1

C1

A1

A1

B1

C

A

B

A1

B

B1

C

C

A

C1

B

B

Usporedimo sad piramide BCC1 A1 i A1 B1 C1 B . Zamislimo da je toˇcka A1 vrh obiju piramida. Njihove su baze BCC1 i BB1 C1 jednakih povrˇsina (jer su obje polovica paralelograma BCC1 B1 ), a njihove se visine podudaraju (to je udaljenost vrha A1 do ravnine paralelograma BCC1 B1 ). Zato i te dvije piramide imaju jednake obujme. Ovime smo pokazali da je obujam svih triju piramida jednak i iznosi trećinu obujma prizme. Obujam piramide

Piramida s bazom B i visinom v ima obujam B·v V= . 3

146

PIRAMIDE

Primjer 1.

7.3

Boˇcni bridovi pravilne trostrane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 64◦ . Ako je duljina brida osnovke jednaka 12 cm , koliki je obujam ove piramide? Neka je toˇcka S noˇziˇste visine piramide. Trokuti ASV , BSV i CSV su medusobno sukladni. Oni su pravokutni. Jedan kut u svakom od njih je  , a VS je zajedniˇcka stranica.


V

To onda povlaˇci

AS ∼ = BS ∼ = CS.

Dakle, vrhovi baze ABC su jednako udaljeni od toˇcke S , pa je S srediˇste kruˇznice opisane bazi.

S

A

C

B

√ a 3 Osnovka piramide je jednakostraniˇcan trokut pa slijedi 4r = = 3 √ 2 √ √ a 3 4 3 cm . Povrˇsina osnovke iznosi B = = 36 3 cm2 . Dalje je 4 v = |SV| = r · tg 64◦ . I konaˇcno imamo: √ √ 1 1 V = Bv = · 36 3 · 4 3 tg 64◦ = 144 · tg 64◦ ≈ 295.2 cm3 . 3 3

Zadatak 1.

Duljine osnovnih bridova piramide su 6 cm, 8 cm i 10 cm. Svi boˇcni bridovi jednake su duljine koja iznosi 13 cm. Koliki je obujam ove piramide?

Primijetimo kako vrijedi sasvim općenito:

Ako su svi boˇcni bridovi piramide prema ravnini njezine osnovke priklonjeni pod jednakim kutovima, tada se osnovki piramide moˇze opisati kruˇznica, a srediˇste te kruˇznice jest noˇziˇste visine. Ako je osnovka piramide pravokutan trokut, dokaˇzi da je jedna poboˇcka piramide koja zadovoljava navedene uvjete okomita na ravninu osnovke.

Zadatak 2.

Osnovni bridovi trostrane piramide dugaˇcki su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Svi boˇcni bridovi piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 58◦ . Izraˇcunaj obujam ove piramide.

147

7


Primjer 2.

Sve poboˇcke trostrane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut  = 58◦ . Osnovka je jednakokraˇcan trokut s osnovicom duljine 12 cm i krakom od 10 cm. Koliki je obujam piramide?


Neka je toˇcka S noˇziˇste osnovke ove piramide. Poloˇzimo pravcem VS tri ravnine okomite na osnovne bridove piramide. Tada je po pretpostavci < )SA1V ∼ )SB1V ∼ =< = SC1 V .

Trokuti VSA1 , VSB1 i VSC1 medusobno su sukladni. Oni su pravokutni, jedan kut u svakom od njih je  , a VS je zajedniˇcka stranica.

V

To onda povlaˇci A1 S ∼ = B1 S ∼ = C1 S . Zakljuˇcujemo:

Toˇcka S jednako je udaljena od osnovnih bridova piramide pa je srediˇste kruzˇ nice upisane osnovci.

Duljinu polumjera osnovci upisane kruzˇ nice izraˇcunat cémo koristeći se povrsˇ inom trokuta.

B1

A

S

C1

C

A1

B

1 Najprije, P = a · va = 48 cm2 . Izjednaˇcimo P = r · s = 48 pa odatle 2 slijedi r = 3 cm . I dalje, v = r · tg 58◦ te je konaˇcno: 1 V = · 48 · 3 · tg 58◦ = 48 · tg 58◦ ≈ 76.8 cm3 . 3

Istaknimo da općenito vrijedi:

ako sve boˇcne strane neke piramide s ravninom osnovke zatvaraju jednak kut, tada se osnovci moˇze upisati kruˇznica. Srediˇste te kruˇznice noˇziˇste je visine piramide.

148

Zadatak 3.

Boˇcne strane pravilne trostrane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 30◦ . Ako je duljina visine piramide 10 cm, koliki joj je obujam?

Zadatak 4.

Osnovka piramide je pravilan sˇ esterokut sa stranicom duljine 10 cm. Boˇcne strane ove piramide zatvaraju s njezinom osnovkom kut od 60◦ . Koliki je obujam ove piramide?

PIRAMIDE

7.3

Krnja piramida


Ako piramidu presijeˇcemo ravninom paralelno njezinoj osnovci, ona cé se raspasti na dva dijela od kojih je jedan manja piramida koju zovemo dopunjak. Drugi je dio krnja piramida.

Odredimo obujam krnje piramide. Oznaˇcimo s v visinu krnje piramide (udaljenost ravnina u kojima leˇze baze B i b ). Neka je h visina manje, odrezane piramide. To znaˇci da je visina prvobitne piramide v + h .

Baze B i b sliˇcni su likovi, s koeficijentom sliˇcv+h nosti . Zato vrijedi: B : b = (v + h)2 : h2 , h√ √ odnosno: B : b = (v + h) : h. Odavde slijedi √ √ h B = (v + h) b, √ √ √ √ v b v b( B + b) √ = h= √ . B−b B− b

h

b

v

B

Obujam krnje piramide V razlika je obujama dviju piramida s bazama B odnosno b i visinama v + h odnosno h . Zato je B(v + h) bh Bv Bh bh Bv h V= − = + − = + (B − b). 3 3 3 3 3 3 3 Uvrstimo ovdje izraˇcunanu vrijednost za h : √ √ √ Bv v b( B + b) + (B − b) V= 3 3(B − b) √ Bv v √ v = + ( Bb + b) = (B + Bb + b). 3 3 3 Obujam krnje piramide

Obujam krnje piramide s bazama B i b i visinom v iznosi √ v V = (B + Bb + b). 3

149

7


Zadatci 7.3. Koliko vrhova, koliko bridova i koliko strana ima n -terostrana piramida? Postoji li piramida koja ima 15 vrhova? Postoji li piramida koja ima 15 bridova? Postoji li piramida koja ima 15 strana?

2.

Koliko je najmanje boja potrebno za bojenje strana piramide ako svake dvije susjedne strane, one koje imaju zajedniˇcki brid, valja obojiti razliˇcitim bojama?

3.

Dokaˇzite da je u svakoj piramidi povrˇsina poboˇcja veća od povrˇsine baze.

4.

Koliko najviˇse bridova moˇze imati piramida ako su svi bridovi jednake duljine?

5.

Postoji li piramida kojoj su sve strane sukladni trokuti?

6.

Moˇze li se od komada papira oblika kvadrata bez rezanja i preklapanja savijanjem sloˇziti piramida? Moˇze li se isto uˇciniti s papirom oblika pravilnog peterokuta?

7.

Dokaˇzi: ako sve boˇcne strane piramide s ravninom osnovke zatvaraju jednake kutove, tada vrijede i sljedeća medusobno ekvivalentna svojstva: 1) visine svih boˇcnih strana imaju jednake duljine 2) visina piramide sa svim poboˇckama zatvara jednake kutove 3) osnovci piramide moˇze se upisati kruˇznica, a njezino je srediˇste noˇziˇste visine piramide.

8.

Prizma i piramida imaju osnovke jednakih povrˇsina, a visine su im jednakih duljina. Ako je obujam prizme 63 cm3 , koliki je obujam piramide?

9.

Tri strane trostrane piramide sˇ to se sastaju u vrhu piramide medusobno su okomite, a njihove su povrˇsine 3 cm2 , 4 cm2 i 6 cm2 . Kolike su duljine osnovnih bridova ove piramide?

10. Prizma i piramida imaju osnovke jednakih povrˇsina, a visine su im jednakih duljina. Ako je obujam piramide 63 cm3 , koliki je obujam prizme?

11. Ako prizma i piramida imaju osnovke jednakih povrˇsina i ako su im visine jednakih duljina, tada

150

je obujam piramide jednak trećini obujma prizme. Koristeći se ovom cˇ injenicom odredi obujam tijela na svakoj od sljedećih slika. Pritom je a duljina brida kocke.


1.

1)

2)

3)

4)

a 2

12. Ako je a duljina brida pravilnog tetraedra, (ko-

risteći se lijevom slikom dolje) odredi obujam tetraedra.

13. Ako je a duljina brida pravilnog oktaedra, (ko-

risteći se slikom desno gore) odredi obujam oktaedra.

14. Povrˇsina osnovke pravilne cˇetverostrane pirami-

de je 484 cm2 , a oploˇsje piramide iznosi 2684 cm2 . Koliki je obujam piramide?

15. Povrˇsina poboˇcja pravilne cˇetverostrane piramide iznosi 544 cm2 , a povrˇsina osnovke 256 cm2 . Izraˇcunaj obujam piramide.

16. Boˇcni bridovi x , y i z trostrane piramide me-

dusobno su okomiti. Dokaˇzi da je njezin obujam 1 x · y · z. 6

PIRAMIDE

17. Osnovka piramide jednakostraniˇcan je trokut sa

stranicom duljine 12 cm . Duljina svakog boˇcnog brida je 13 cm . Koliki je prikloni kut boˇcnog brida prema ravnini osnovke? Koliki su prikloni kutovi boˇcnih strana prema osnovci?

18. Osnovka piramide je trokut sa stranicama duljina

√ povrˇsine 2 3 cm2 . Koliki je obujam te piramide?

29. Ravnina prolazi noˇziˇstem visine pravilne cˇetverostrane piramide paralelno jednoj poboˇcki. Povrˇsina dobivenog presjeka iznosi 27 cm2 . Ako su poboˇcke priklonjene k osnovci pod 60◦ , koliki je obujam piramide?


15 cm , 16 cm i 17 cm . Boˇcni bridovi piramide s osnovkom zatvaraju kut od 45◦ . Koliki je obujam piramide?

7.3

30. Boˇcni bridovi pravilne cˇetverostrane piramide s

novka trokut sa stranicama duljina 13, 14, 15 cm, a svi su boˇcni bridovi prema osnovci priklonjeni pod 70◦ ?

osnovkom zatvaraju kutove od 60◦ . Presjek piramide ravninom koja prolazi dijagonalom √ osnovke okomito na boˇcni brid ima povrˇsinu 3 cm2 . Koliki je obujam te piramide?

20. Osnovka piramide je trokut cˇije su stranice du-

31. Osnovnim bridom uspravne trostrane prizme po-

19. Koliki je obujam trostrane piramide kojoj je os-

gaˇcke 13 , 20 i 21 cm . Poboˇcke zatvaraju s ravninom osnovke kutove od 30◦ . Koliki je obujam piramide?

21. Koliki je obujam trostrane piramide kojoj su os-

novni bridovi dugaˇcki 4 cm , 5 cm i 7 cm , a poboˇcke s osnovkom piramide zatvaraju kut od 48◦ 30 ?

22. Na kojoj visini od ravnine baze treba presjeći pi-

ramidu ravninom paralelnom s bazom da bi dva dobivena tijela imala jednak obujam?

23. Izraˇcunaj obujam pravilne cˇetverostrane pirami-

de kojoj je duljina brida osnovke 10 cm , a duljina boˇcnog brida 15 cm .

24. Izraˇcunaj obujam pravilne cˇetverostrane piramide kojoj je duljina visine 18 cm , a povrˇsina dijagonalnog presjeka 378 cm2 .

25. Omjer duljina osnovnog brida i visine pravilne

cˇ etverostrane piramide jednak je 3 : 2 , povrˇsina njezina poboˇcja iznosi 1500 cm2 . Koliki je obujam piramide?

26. Oploˇsje pravilne cˇetverostrane piramide jednako - poboˇcke i osnovke je je 108 cm2 , a kut izmedu 60◦ . Koliki je obujam piramide?

27. Osnovni brid pravilne cˇetverostrane piramide du-

gaˇcak je 4 cm . Dvije susjedne poboˇcke piramide zatvaraju kut od 120◦ . Kolika je povrˇsina pobocˇja te piramide?

28. Presjek pravilne cˇetverostrane piramide ravni-

nom koja prolazi dijagonalom osnovke i poloviˇstem boˇcnog brida jednakostraniˇcan je trokut

loˇzena je ravnina koja s osnovkom zatvara kut od 30√◦ . Presjek je jednakostraniˇcan trokut povrˇsine 9 3 cm2 i njime je prizma podijeljena na dijelove kojima su obujmi u omjeru 1 : 3 . Koliki je obujam te prizme?

32. Presijeˇce li se kocka ravninom koja prolazi kraj-

njim toˇckama triju bridova sˇ to se sastaju u jednom vrhu, presjek cé biti lik povrˇsine 1 m2 . Koliko je oploˇsje kocke?

33. Osnovke krnje piramide imaju povrˇsine 98 cm2

i 2 cm2 . Kolika je povrˇsina presjeka piramide ravninom koja prolazi poloviˇstem visine paralelno osnovkama?

34. Osnovni bridovi pravilne trostrane krnje piramide dugaˇcki su 6 cm i 2 cm . Poboˇcke piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 60◦ . Kolika je visina krnje piramide?

35. Povrˇsine osnovaka krnje piramide iznose 98 cm2

i 32 cm2 . Visina odgovarajuće “cijele” piramide je 14 cm . Koliki je obujam krnje piramide?

36. Duljina visine trostrane krnje piramide je 10 cm ,

duljine stranica jedne osnovke su 27 cm , 29 cm i 52 cm , a opseg druge 72 cm . Koliki je obujam piramide?

37. Ako od piramide cˇija osnovka ima povrˇsinu 36 cm2 odsijeˇcemo piramidu ravninom paralelnom osnovci, dobit cémo krnju piramidu obujma 76 cm3 i visine 3 cm . Koliki je obujam odsjeˇcene piramide?

151

7


38. Od piramide obujma 54 cm3 odsijeˇcemo ravni-

de 720 cm2 , kolike su duljine osnovnih bridova piramide?

3

nom paralelnom osnovci piramidu obujma 2 cm i visine 1 cm . Kolika je visina “cijele” piramide?

43. Krnja piramida s bazama B = 16 cm2 , b =

sijeˇcemo ravninom paralelno osnovci,dobit cémo krnju piramidu s osnovkama povrˇsina 245 cm2 i 80 cm2 . Koliki je obujam te krnje piramide?

9 cm2 i visinom v = 4 cm presjeˇcena je ravninom paralelnom s bazama, na jednakoj udaljenosti od baza. Kolika je povrˇsina dobivenog presjeka? Kako se odnose obujmovi dobivenih dijelova?

40. Visina krnje piramide je 15 cm , njezin obujam



39. Visina piramide je 35 cm . Ako tu piramidu pre-

iznosi 475 cm3 , a povrˇsine njezinih osnovaka u omjeru su 4 : 9 . Kolike su te povrˇsine?

9 cm2 i visinom v = 4 cm presjeˇcena je ravninom paralelnom s bazama tako da povrˇsina presjeka bude jednaka aritmetiˇckoj sredini povrˇsina baza. Na kojoj udaljenosti od veće baze trebamo postaviti tu ravninu?

41. Koliki je obujam pravilne krnje cˇetverostrane pi-

ramide ako su duljine njezinih osnovnih bridova jednake a i b (a > b) , a duljina visine piramide v ? (Zadatak iz “Moskovskog papirusa”)


9 cm2 i visinom v = 4 cm presjeˇcena je ravninom paralelnom s bazama tako da obujmi dobivenih dijelova budu jednaki. Na kojoj udaljenosti od veće baze trebamo postaviti tu ravninu?

42. Duljina boˇcnog brida pravilne cˇetverostrane krnje piramide iznosi 13 cm , duljina visine poboˇcke je 12 cm . Ako je povrˇsina poboˇcja ove pirami-

Bez rijeˇci

OBUJAM KRNJE PIRAMIDE

Obujam krnje piramide kojoj su povrˇsine osnovaka B i B1 , a visina h , raˇcunamo po formuli

V=

√ h (B + BB1 + B1 ). 3

Posebice, ako je piramida uspravna s kvadratnom osnovkom, tada je njezin obujam jednak

h 2 (a + aa1 + a21 ). 3

V=

Do ove formule mozˇ emo doći i na nacˇ in opisan sljedećim sliˇcicama. Protumaˇcite ih!

b

h

=

a

b

=

+

h a volumen = abh

152

a-b 2 volumen = 1/3(a - b) h

VALJAK

7.4

7.4. Valjak


Valjak je tijelo sliˇcno prizmi i moˇze se opisati na istovjetan naˇcin. Jedina bitna razlika je u osnovkama: osnovka prizme je mnogokut, a osnovka valjka je krug. Sliˇcno kao sˇ to se krug po volji malo moˇze razlikovati od pravilnog mnogokuta upisanog (ili opisanog) krugu, analogno se mogu usporediti valjak i prizma. Na predmete u obliku valjka svakodnevno nailazimo u naˇsoj okolini. Na slici vidimo jedan lijep primjer, rijeˇcku katedralu sv. Vida.

Prikazani du naˇcini dobivanja valjka. Moˇzemo zamisliti da duˇzine paralelne s MN putuju tako da im jedna krajnja toˇcka bude u donjoj bazi. Isto tako moˇzemo zamisliti da se baza translatira duˇz jedne svoje izvodnice.

Valjak

Osnovke valjka su krugovi. Udaljenost ravnina u kojima leˇze osnovke valjka je visina valjka.

Pravac koji spaja srediˇsta tih krugova zove se os valjka.

Duˇzina koja spaja dvije toˇcke na rubu osnovki i koja je paralelna s osi valjka je izvodnica valjka.

v

r

- valjak Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovim osnovkama omeduje zove se plaˇst valjka.

Valjak je uspravan ako mu je izvodnica okomita na ravninu baze. Ako to nije sluˇcaj, valjak je kos.

153

7


Mreˇza uspravnog valjka


Mreˇza valjka sastoji se od dvaju krugova (osnovke valjka) i pravokutnika koji nastaje rezanjem plaˇsta valjka duˇz jedne njegove izvodnice i razgrtanjem u ravninu. Pritom je jedna stranica tog pravokutnika jednaka visini valjka, a druga opsegu osnovke. r

A

A

r 2p

A'

2r pv

v

2rp

A'

B

B' B

B'

r

Mreˇza valjka je vaˇzna jer je cˇesto potrebno raditi razne predmete koji imaju oblik valjka, kao sˇ to su limenke, razne kutije, cijevi i sl.

Osni presjek

Presijeˇcemo li valjak ravninom koja prolazi srediˇstem njegove baze i paralelna je s izvodnicom, dobiveni se lik naziva osni presjek. D1

A1

r

C1 s

B1

v

r

D

A a

B

C

Ako je valjak uspravan, onda su svi osni presjeci sukladni pravokutnici sa stranicama duljina 2r i v .

Osni presjeci kosog valjka su paralelelogrami; medutim, oni nisu sukladni. Medu njima se istiˇce jedan koji cémo opisati. Valjak presijeˇcemo ravninom  koja prolazi izvodnicom i okomita je na ravninu baze. Taj je presjek paralelogram ABB1 A1 . Njegov kut  je najmanji kut koji izvodnice zatvaraju s bazom. Ovaj presjek nazivamo karakteristiˇcni presjek valjka.

154

VALJAK

7.4

Istraˇzite

´ PUT PO PLASTU ˇ NAJKRACI VALJKA


Neke lijepe zadatke koje smo rjeˇsavali uz prizme mogli bismo ponoviti i uz valjak. Vrlo zanimljiv je onaj koji traˇzi najkraći put sˇ to spaja dvije toˇcke na plaˇstu uspravnog valjka, a vodi po samom plaˇstu. Za neke sluˇcaje taj zadatak je lako rjeˇsiv. Ako su, primjerice, toˇcke na istoj izvodnici, onda je njihova najkraća spojnica duˇzina koja pripada toj izvodnici. Ili, ako su dvije toˇcke jednako visoko iznad osnovke, onda je njihova najkraća spojnica manji od dvaju kruˇznih lukova kruˇznice koja prolazi kroz te dvije toˇcke, ima srediˇste na osi valjka i leˇzi u ravnini okomitoj na os valjka. Odaberimo dvije toˇcke tako da budu krajnje toˇcke jedne izvodnice. Opiˇsimo najkraći put koji vodi iz donje u gornju toˇcku, ali tako da presijeca sve izvodnice valjka. Rijeˇsimo zadatak analogno rjeˇsenju sliˇcnog zadatka koji smo postavili za kvadar.

Razreˇzimo plaˇst valjka duˇz odabrane izvodnice i razvijemo ga u ravninu. Tada spojimo dvije toˇcke duˇzinom, koja je njihova najkraća spojnica, pa vratimo plaˇst u ranije stanje. Tako smo dobili krivulju koja je najkraća spojnica danih dviju toˇcaka prema opisanim uvjetima. Na slici je prikazano rjeˇsenje zadatka izvedeno na prozirnoj foliji.

Spojnica je dio krivulje koja se zove cilindriˇcna spirala ili zavojnica. Tu krivulju moˇzemo uoˇciti kod raznih vijaka, kod zavojitih stuba itd. Moˇzeˇs li i ti navesti neki primjer?

Zadatci

1. Uzmi valjkastu voˇstanicu i omotaj je viˇsestruko papirom. Oˇstrim noˇzem presijeci voˇstanicu okomito na njezinu os. ˇ primjećujeˇs? Zatim razmotaj papir. Sto

2. Projektiraj zavojito protupoˇzarno stubiˇste uz neku zamiˇsljenu cˇetverokatnicu. Uzmi pravokutnu foliju i postupi sliˇcno kao u rijeˇsenom primjeru. Kad foliju smotaˇs u plaˇst valjka, na njoj se trebaju vidjeti cˇetiri zavoja.

3. Rijeˇsi Zadatak o mravu i kapi meda koji glasi: s vanjske strane staklene cˇaˇse u obliku uspravnog valjka nalazi se mrav, a s unutarnje je na plaˇstu kap meda. Ako mrav zˇ eli najkraćim putem doći do kapi meda, kojim cé se putem kretati?

155

7


Primjer 1.

Ako je plaˇst uspravnog valjka razgrnut u ravninu pravokutnik cˇije su stranice dugaˇcke 6 cm i 11 cm, kolika je povrˇsina osnog presjeka valjka? Zadatak ima dva rjeˇsenja: 6 ≈ 1.9 cm . Povrˇsina  2 osnog presjeka valjka tada je P = 2rv = 21 cm .


1) Ako je 2r = 6 i v = 11 , onda je 2r =

11 ≈ 3.5 cm . U ovom je 2) Ako je 2r = 11 i v = 6 , onda je 2r =  sluˇcaju povrˇsina osnog presjeka takoder jednaka P = 2rv = 21 cm2 .

Je li sluˇcajno sˇ to su obje mogućnosti dale isti rezultat? Zaˇsto? Obrazloˇzi!

Zadatak 1.

Ako je osni presjek uspravnog valjka pravokutnik sa stranicama duljina 12 cm i 9 cm, kolika je povrˇsina plaˇsta valjka?

Oploˇsje valjka

Vidjeli smo da se mreˇza valjka sastoji od dvaju krugova i plaˇsta koji ima oblik pravokutnika. Jedna je stranica tog pravokutnika jednaka opsegu osnovke valjka, a druga visini valjka. Povrˇsina jedne osnovke je r2  , a povrˇsina plaˇsta iznosi 2r v . Oploˇsje je: O = 2 · r2  + 2r v = 2r (r + v).

Oploˇsje uspravnog valjka

Oploˇsje uspravnog valjka polumjera osnovke r i visine duljine v jednako je: O = 2r (r + v).

Primjer 2.

Oko krova kuće koji u svojem donjem dijelu ima oblik pravokutnika velicˇine 8 × 10 metara treba postaviti limeni oluk otvora 15 cm. Koliko lima valja nabaviti?

Oduzmimo pri svakom kutu po 0.15 m oluka (kao na slici) pa izraˇcunajmo duljinu oluka bez odsijeˇcenih dijelova. On je 2 · (8 + 10) m . No kako je oluk pola valjka, moˇzemo uzeti pola ove duljine zamiˇsljajući da od dviju polovina poklapanjem dobijemo cijev.

156

0.15

0.15

VALJAK

7.4

Ta cijev ima duljinu 8 + 10 = 18 m i promjer 0.15 m. Njezina vanjska povrˇsina je P = 2 · r v = 0.15 ·  · 18 ≈ 8.48 m2 . Dodajmo sada joˇs odbaˇcene dijelove. Zamislimo da od njih sloˇzimo dvije cijevi, svaka duljine 0.15 m i promjera 0.15 m. Povrˇsina plaˇsta tih dviju cijevi je 2 · 0.15 ·  · 0.15 ≈ 0.14 m 2 .


Zbrojimo sada dvije povrˇsine: 8.48 + 0.14 = 8.62 . Za izradu oluka potrebno je nabaviti 8.62 m 2 lima.

Po volji odaberimo kosi valjak polumjera baze r i visine r te uspravni valjak jednake baze i visine. Postavimo ih tako da im baze leˇze u istoj ravnini. Svi presjeci ovih dvaju valjaka s ravninama paralelnima s ravninom baze sukladni su krugovi istog polumjera r . Zato su ti presjeci jednake povrˇsine. Primjenjujući Cavalierijev princip zakljuˇcujemo da su oba valjka istog obujma.

v

v

r

r

Zamislimo sad uz valjak prizmu iste visine v , s bazom povrˇsine B = r2  . Presjeci valjka i prizme imaju jednake povrˇsine pa su im po Cavalierijevu principu jednaki i obujmi.

Valjak i prizma s bazama jednakih povrˇsina i jednakim visinama imaju jednake obujme. Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine v imaju jednake obujme. Taj obujam iznosi V = r2 v .

157

7


Primjer 3.

Osni presjek uspravnog valjka je kvadrat povrˇsine 400 cm2 . Koliki su oploˇsje i obujam ovog valjka?


Ako je osni presjek valjka kvadrat, onda je visina jednaka promjeru osnovke, v = 2r = 20 cm . Izraˇcunajmo oploˇsje valjka:

O = 2r (r + v) = 20 ·  · 30 = 600 ≈ 1885 cm2 .

Obujam ovog valjka je

V = r2  v = 100 ·  · 20 = 2000 ≈ 6283 cm2 .

Primjer 4.

Uspravnu cˇaˇsu u obliku valjka promjera 6 cm i visine 1.5 dm napunimo vodom. Zatim je nagnemo pod kutom od 45◦ prema osi. Koja se koliˇcina vode pritom izlije iz cˇaˇse? Zamislimo da smo cˇaˇsu stavili na stol pa zatim stol nagnuli za 45◦ . Na slici vidimo sˇ to se dogodilo. Kako izraˇcunati koliko se vode izlilo iz cˇaˇse?

Promotrimo dio cˇaˇse iz kojeg se izlila voda. Zamislimo da ga dopunimo joˇs jednim takvim sukladnim dijelom tako da dobijemo valjak.

45

Taj valjak ima obujam V = r2  v = 9 ·  · 6 = 54 cm3 .

Iz cˇaˇse se izlila polovina tog obujma, 27 ≈ 85 cm3 vode.

Zadatak 2.

Spremnik za loˇzivo ulje ima oblik valjka promjera osnovke 1.2 m i visine 3 m, a poloˇzen je tako da leˇzi na horizontalnoj ravnini na jednoj izvodnici.

1) Koliki je kapacitet spremnika?

2) Kolika je masa ulja u punom spremniku ako je specifiˇcna teˇzina ulja 900 kg/m3 . 3) Ako je razina loˇzivog ulja u spremniku 75 cm, koliko je ulja u spremniku?

158

VALJAK

Primjer 5.

7.4

Iz drvenog trupca u obliku valjka duljine v metara i promjera r cm treba ispiliti drvenu gredu kojoj je presjek kvadrat. Koliki je postotak otpada?


Oduzmemo li od obujma trupca Vt obujam grede Vg , dobit cémo dio koji je otpao piljenjem. Iz Vt − Vg = r2  v − a2 v 2

r

2

= r  v − 2r v

a

= r2 v( − 2)

≈ 114.16r2 v cm3 .

Obujam trupca je Vt = r2  v ≈ 314.16r2 v cm3 . Vt − Vg I sada izraˇcunamo omjer: ≈ 0.3634 . Nakon piljenja je od trupca Vt otpalo oko 36 % drvne mase.

Primijetimo da je ovaj rezultat neovisan o duljini trupca i o promjeru njegovog presjeka. Od svakog trupca koji ima oblik valjka, nakon sˇ to se od njega ispili greda kvadratnog presjeka, otpad izraˇzen u postotcima uvijek cé biti jednak.

Primjer 6.

Kolika je duljina aluminijske zˇ ice promjera 2r = 1 mm koja se moˇze dobiti od aluminija mase 1 kg? Gustoća aluminija je 2.7 g/cm3 . m Najprije iz gustoće  = izraˇcunajmo obujam aluminijske mase od V 1 kg: 1000 m = ≈ 370.4 cm3 . V=  2.7 I sada je 370.4 = r2  v = 0.52 · 10−2  v , odakle je v ≈ 471.6 m. Zanimljivo: aluminij mase 1 kg ima obujam 370.4 cm2 (ˇsto je otprilike kocka s duljinom brida 7.2 cm), a od te se mase dobije zˇ ica promjera 1 mm duljine 471.6 metara.

Zadatak 3.

Izraˇcunaj oploˇsje i obujam tijela prikazanog na slici. 1)

2)

10 1

10

1

1

1

1 1

1

159

7


Zadatci 7.4.

2.

Oploˇsje valjka je 112 cm2 . Duljine polumjera osnovke i visine valjka u omjeru su 2 : 5 . Koliki je obujam valjka? Visina valjka je za 10 cm veća od polumjera osnovke, a oploˇsje valjka iznosi 144 cm2 . Odredite duljine polumjera osnovke i visine valjka.

3.

Ako je oploˇsje valjka 8 cm2 , a polumjer osnovke jednak visini, izraˇcunajte obujam tog valjka.

4.

Plaˇst valjka naˇcinjen je od kvadrata duljine stranice a . Koliki je polumjer cijevi u koju se savije taj kvadrat? Kolika je duljina te cijevi?

5.

Plaˇst valjka ima povrˇsinu 72 cm2 , a opseg osnovke je 12 cm . Odredite oploˇsje i obujam tog valjka.

6.

Opseg osnog presjeka uspravnog valjka je 20 cm , a povrˇsina tog presjeka 16 cm2 . Izraˇcunajte oploˇsje i obujam valjka.

7.

13. Uspravni valjak ( r = 10 cm , v = 16 cm ) presjeˇcen je ravninom okomito na osnovku. Na kojoj udaljenosti od osi treba postaviti ravninu kako bi se za presjek dobio kvadrat?


1.

Koji od valjaka s opsegom osnog presjeka 2p ima najveće oploˇsje? A koji od takvih valjaka ima najveću povrˇsinu plaˇsta?

8.

Koliko se metara bakrene zˇ ice promjera 1 mm moˇze dobiti od jednog kilograma bakra (gustoća bakra je 8.9 g/cm−3 )?

9.

Iz mjedene kocke brida 10 cm valja istokariti valjak s osnovkama upisanima stranama kocke. Kolika cé masa mjedi pritom otpasti ako je gustoća mjedi 8500 kg/m3 ?

14. Visina uspravnog valjka jednaka je 16 cm , a po-

lumjer osnovke 10 cm . Duˇzini duljine 20 cm jedan je kraj na rubu donje, a drugi na rubu gornje osnovke. Kolika je najkraća udaljenost te duˇzine od osi valjka?

15. Krajnje toˇcke duˇzine AB pripadaju kruˇznicama na rubovima donje i gornje osnovke uspravnog valjka. Projekcija duˇzine AB na osni presjek koji joj je paralelan dijeli promjer osnovke u omjeru 1 : 5 . Kolika je duljina duˇzine AB ako je polumjer osnovke 18 cm , a visina valjka 32 cm ?

16. Koliki je omjer obujama valjka i pravilne sˇ esterostrane prizme upisane u taj valjak?

17. Koliki je omjer oploˇsja valjka i pravilne osmerostrane prizme upisane u taj valjak?

18. Izraˇcunaj oploˇsje i obujam tijela prikazanih na slikama: 1)

2)

3

3

3

1

3

2

ˇ su oblika valjka s promjerom osnovke 6 cm , 10. Caˇ

2

◦

punu vode, stavimo na kosinu s kutom 30 . Kolika je koliˇcina vode sˇ to se pritom izlije iz cˇaˇse?

3)

11. Uspravni valjak polumjera osnovke 6 cm i visine

9 cm presjeˇcen je ravninom koja prolazi paralelr no osi valjka na udaljenosti od nje. Izraˇcunaj2 te povrˇsinu manjeg dijela valjka koji je dobiven ovim presjekom.

12. Uspravni valjak polumjera osnovke 10 cm i vi-

sine 15 cm presjeˇcen je ravninom paralelno osi valjka tako da krajnje toˇcke tetive zatvaraju sa srediˇstem osnovke pravi kut. Izraˇcunajte povrsˇ inu većeg dijela valjka koji je nastao pri tom presjeku.

160

4)

3

3

2

1.5

2 1

ˇ STOZAC

7.5

7.5. Stoˇzac


Usporedba sliˇcna usporedbi prizme s valjkom moˇze se provesti i za piramidu i stoˇzac. Na neki se naˇcin stoˇzac moˇze promatrati kao piramida cˇija je osnovka mnogokut s beskonaˇcno mnogo vrhova.

I predmeti u obliku stoˇsca cˇesti su u naˇsoj svakodnevici. Na slici vidimo jedan lijep primjer, kulu na Kaptolu u Zagrebu.

Stoˇzac

Osnovka stoˇsca je krug. Udaljenost vrha stoˇsca od ravnine njegove osnovke jest visina stoˇsca.

V

Pravac koji spaja vrh stoˇsca i srediˇste osnovke zove se os stoˇsca.

v

Duˇzina koja spaja vrh i neku toˇcku na rubu osnovke je izvodnica stoˇsca. Oznaˇcava se sa s .

s

S r

Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovom osnov- stoˇzac zove se plaˇst stoˇsca. kom omeduje

Stoˇzac je uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze. Ovdje je S srediˇste kruga.

Mreˇza stosca ˇ

Mreˇza stoˇsca sastoji se od jednog kruga i kruˇznog isjeˇcka. Krug je osnovka stoˇsca. Ako zamislimo da plaˇst stoˇsca razreˇzemo duˇz jedne izvodnice i razvijemo u ravninu, dobit cémo kruˇzni isjeˇcak.

s

s

s

A

A'

A'

A

Plaˇst stoˇsca moˇze se rezanjem po izvodnici razviti u ravninu. Dobiva se kruˇzni isjeˇcak polumjera s i duljine luka 2r .

161

7


Osni presjek stosca ˇ Presjek stoˇsca ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek.


Ako je stoˇzac uspravan, onda su osni presjeci sukladni jednakokraˇcni trokuti s osnovicom duljine 2r i krakovima duljine s .

Iz osnog presjeka uspravnog stoˇsca primjenom Pitagorina pouˇcka nalazimo vaˇznu relaciju koja povezuje duljine izvodnice ( s ), polumjera osnovke ( r ) i visine ( v ) stoˇsca: s2 = r2 + v2 .

s

v

r

Ako je stoˇzac kosi, njegovi osni presjeci nisu sukladni trokuti. Kod kosog stoˇsca izdvaja se presjek ravninom koja prolazi kroz visinu i os stoˇsca. Taj se presjek naziva karakteristiˇcni presjek kosog stoˇsca. Na slikama je to trokut ABV .

Prikazan je karakteristiˇcan presjek kosog stoˇsca. Pogled odozgo (lijevo). Presjeˇcna ravnina ABV okomita je na ravninu baze.

- svim izvodnicama stoˇsca, AV je najdulja, a BV najkraća. Takoder, - pravac Medu AV zatvara najmanji kut s ravninom baze stoˇsca, a BV zatvara najveći kut. Karakteristiˇcan presjek kosog stosˇ ca

Osni presjek kosog stoˇsca s ravninom okomitom na ravninu baze naziva se karakteristiˇcni presjek. Stranice tog trokuta promjer su kruga te najkraća i najdulja izvodnica stoˇsca.

Zadatak 1.

162

Duljina najkraće izvodnice stoˇsca jednaka je 13 cm, duljina najdulje 20 cm, a duljina visine iznosi 12 cm. Koliki je polumjer osnovke ovog stoˇsca?

ˇ STOZAC

Primjer 1.

7.5

Ako uzmemo polukrug polumjera 12 cm i spojimo ga u plaˇst stoˇsca, kolika je visina tako dobivenog stoˇsca? s

V

s


Polumjer polukruga jest izvodnica stoˇsca, dakle s = 12 cm . Polukruˇznica se savije u bazu stoˇsca pa je njezina duljina 2r ·  = 12 . Tako je r = 6 cm . Zakljuˇcujemo:

2rp

Osni presjek stoˇsca cˇiji plaˇst razvijen u ravninu cˇini polukrug jest jednakostraniˇcan trokut. Takav se stoˇzac zbog toga ponekad i zove jednakostraniˇcan stoˇzac. √ Visina tog trokuta v = 6 3 cm ujedno je i visina stoˇsca.

Zadatak 2.

Ako je osni presjek stoˇsca jednakokraˇcan trokut s osnovicom duljine 18 cm i krakom 15 cm, koliki je srediˇsnji kut u mreˇzi tog stoˇsca?

Zadatak 3.

Ako je kut kruˇznog isjeˇcka u mreˇzi uspravnog stoˇsca pravi, onda je izvodnica stoˇsca cˇetiri puta kraća od njegova polumjera. Dokaˇzi!

Kutak plus

ˇ STOSCA ˇ PLAST

Kad govorimo o mreˇzi uspravnog stoˇsca, ponekome se moˇzda cˇini neuvjerljivim da je plaˇst stoˇsca kruˇzni isjeˇcak. Pomislit cé da je to jednakokraˇcan trokut. Sumnjiˇcavost se moˇze vrlo lako otkloniti. Konstruirat cémo kruˇzni isjeˇcak s vrhom V i lukom AB pa spojiti duˇzinom krajnje toˇcke A i B luka. Spojimo zatim duˇzine AV i BV . Oˇcekivanje da cé se od trokuta dobiti plaˇst stoˇsca nisu se ispunila, već je plaˇst nastao od isjeˇcka. No ovaj eksperiment pokazao nam je ipak i joˇs neˇsto.

Naime, na slici se vidi najkraći put kojim se iz toˇcke na rubu osnovke stoˇsca obilazi po plaˇstu i vraća u polaznu toˇcku. To je oˇcito neka cˇudna petlja.

163

7


Oploˇsje stosca ˇ Oploˇsje stoˇsca zbroj je povrˇsina njegove baze i njegovog plaˇsta.


Povrˇsina baze iznosi B = r2  . Povrˇsina kruˇznog isjeˇcka kruga s polumjerom r i duljinom luka l raˇcuna se r·l . Primijenit cémo tu formulu uzimajući oznake vezane uz po formuli P = 2 stoˇzac. Tako je polumjer kruˇznog isjeˇcka koji je plaˇst stoˇsca jednak izvodnici stoˇsca, a duljina luka tog isjeˇcka opseg je baze stoˇsca. Tako onda imamo: P=

s

s · 2r = r s . 2

Povrˇsina plaˇsta stoˇsca je P = r s .

s

rps

2rp

Izraˇcunajmo oploˇsje stoˇsca:

O = B + P = r2  + r s = r (r + s).

Oploˇsje stosˇ ca

Oploˇsje uspravnog stoˇsca kojem je polumjer osnovke r , a duljina izvodnice s je O = r (r + s).

Zadatak 4.

Koliko je oploˇsje jednakostraniˇcnog stoˇ √ sca — uspravnog stoˇsca cˇiji je osni presjek jednakostraniˇcan trokut povrˇsine 36 3 cm2 ?

Obujam stoˇsca

Presijeˇcemo li stoˇzac ravninom paralelnom s bazom na udaljenosti x od vrha, kao presjek dobit cémo krug. Povrˇsina tog kruga odnosi se prema povrˇsini baze kao x2 : v2 . Potpuno isti odnos vrijedio je i za presjek piramide takvom ravninom.

Ako stoˇzac i piramida imaju baze istih povrˇsina B , onda i njihovi presjeci ravninama paralelnima bazi imaju opet jednake povrˇsine, pa su im po Cavalierijevu principu i obujmi jednaki.

164

ˇ STOZAC

7.5

Obujam stoˇsca


Obujam uspravnog ili kosog stoˇsca s polumjerom baze r i visinom v iznosi: r2  v V= . 3

Primjer 2.

U uspravan stoˇzac polumjera baze R i visine v upisan je valjak kojem je visina jednaka promjeru baze. Koliki je omjer njihovih obujama?

Neka je r polumjer baze valjka. Iz karakteristiˇcnog presjeka moˇzemo postaviti omjer r v − 2r = , R v vR odakle je: r = . Omjer je obujama 2R + v Vv r2  · 2r 6v2 R = 1 2 . = Vs (2R + v)3 3 R v

Stoˇzac i piramida koji imaju jednake povrˇsine baza i jednake visine imaju i jednake obujme.

165

7


Primjer 3.

Osni presjek uspravnog stoˇsca je pravokutni trokut povrˇsine 36 cm2 . Koliki je obujam ovog stoˇsca?

s

s


Stoˇzac je uspravan pa pravokutni trokut mora biti jednakokraˇcan. Njegova je povrˇsina P = r2 = 36 cm2 odakle je onda r = v = 6 cm .

r

Obujam stoˇsca je:

r

r

1 1 V = r2  v = r3  = 72 cm3 . 3 3

Zadatak 5.

Povrˇsina plaˇsta uspravnog stoˇsca tri puta je veća od povrˇsine osnovke. Koliki je kut u mreˇzi ovog stoˇsca?

Krnji stoˇzac

Presijecanjem stoˇsca ravninom paralelnom s ravninom baze dobivamo manji stozˇ ac sliˇcan poˇcetnom i dio koji nazivamo krnji stoˇzac.

Oznaˇcimo s R polumjer donje baze, s r polumjer gornje baze, a s v visinu krnjeg stoˇsca.

Prikazan je krnji stoˇzac. Dobiva se presijecanjem stoˇsca ravninom paralelnom s ravninom baze.

Oploˇsje krnjeg stosca ˇ

Promotrimo uspravni krnji stoˇzac. On ima sve izvodnice jednake duljine, koja iznosi s = v2 + (R − r)2 . Rezanjem po jednoj izvodnici plaˇst krnjeg stoˇsca moˇze se prostrijeti u ravninu.

166

ˇ STOZAC

7.5

p


p

plaˇst krnjeg stoˇsca

Taj je plaˇst isjeˇcak kruˇznog vijenca. Duljina većeg luka je 2R , duljina manjeg luka 2r . Zato je povrˇsina plaˇsta P razlika povrˇsina P1 i P2 kruˇznih isjeˇcaka. Oznaˇcimo privremeno s x duljinu nepostojećeg dijela polumjera kruˇznog isjeˇcka. Iz sliˇcnosti trokuta imamo x : r = (x + s) : R. Odavde cémo izraˇcunati potrebne veliˇcine: sr sR x= , x+s= . R−r R−r Zato je sr sR − r P = P1 − P2 = R (x + s) − r x = R · R−r R−r R2 − r 2 =  s(R + r). = s · R−r Oploˇsje uspravnog krnjeg stoˇsca

Oploˇsje uspravnog krnjeg stoˇsca s polumjerima baza R i r i izvodnicom s dano je formulom O = R2  + r2  + s (R + r).

Karakteristiˇcni presjek krnjeg stoˇsca dobiva se presijecanjem ravninom koja je okomita na ravninu baze, a prolazi srediˇstima baza. Taj je presjek trapez.

Obujam krnjeg stoˇsca

Formulu za obujam krnjeg stoˇsca dobivamo na potpuno istovjetan naˇcin kao i formulu za obujam krnje piramide. (Izvedite za vjeˇzbu tu formulu!) Druga je mogućnost da se odmah pozovemo na Cavalierijev princip. Ako krnji stoˇzac ima povrˇsinu donje i gornje baze istu kao i krnja piramida, i ako su im visine jednake, onda su jednaki i njihovi obujmi.

167

7


Uvrˇstavajući B = R2  i b = r2  u formulu √ v V = (B + Bb + b), 3 dobivamo formulu za obujam krnjeg stoˇsca.


Obujam krnjeg stoˇsca

Krnji stoˇzac kojem baze imaju polumjere R i r , a visina iznosi v , ima obujam v 2 V= (R + Rr + r2 ). 3

Primijetimo kako nije nuˇzno da bude r < R . Krnji stoˇzac moˇze biti postavljen i tako da mu ‘donja’ baza bude manja. Stavimo li r = R , dobit cémo obujam valjka, jer je krnji stoˇzac jednakih baza upravo valjak.

Primjer 4.

Uspravnom stoˇscu cˇija je visina v = 16 cm , a polumjer osnovke 12 cm upisana je sfera. Stoˇzac je presjeˇcen ravninom koja prolazi paralelno osnovci stoˇsca i dira upisanu sferu. 1) Kolika je povrˇsina presjeka stoˇsca tom ravninom?

2) U kojem omjeru ta ravnina dijeli obujam stoˇsca?

3) Koliki je obujam krnjeg stoˇsca koji je dobiven pri ovom presjeku? 1) Uvedimo oznake kao na slici. Tada je R = 12 cm , |VS| = 16 cm , s = |AV| = |BV| = 20 cm . Iz VSB ∼ VDS slijedi: R :  = s : (v − ), a odatle  = 6 cm . Onda je v1 = |VS1 | = v − 2 = 4 cm . Iz VSB ∼ VS1 E imamo R : r = v : v1 te je r = 3 cm . Presjek stoˇsca ravninom je krug povrˇsine Pp = r2  = 9 cm2 .

V

E

F r S1 S

A

S

D

r

R

B

2) Oznaˇcimo s V obujam stoˇsca, a s V1 obujam dopunjka. Tada je V : V1 = (R : r)3 , a odatle V : V1 = 64 . Ravnina dijeli stoˇzac na dva dijela cˇiji su obujmi u omjeru 1 : 63 .

3) Sada je lako izraˇcunati obujam krnjeg stoˇsca jer imamo sve potrebne elemente. No primijeti kako moˇzemo postupiti i neˇsto jednostavnije. Obujam dopunjka je V1 = 13 r2  v1 = 12 cm3 . A obujam krnje piramide je 63 puta veći (rezultat pod 2)), Vk = 12·63 = 756 cm3 .

168

ˇ STOZAC

7.5

Zadatci 7.5. Ako se plaˇst uspravnog stoˇsca prostre u ravninu, dobije se polukrug polumjera 3 cm . Kolika je visina tog stoˇsca?

2.

Kad se plaˇst uspravnog stoˇsca razvije u ravninu, 3 kruga polumjera 6 cm . Kolika je dobije se 4 duljina visine ovog stoˇsca?

14. Plaˇst stoˇsca je kruˇzni isjeˇcak polumjera 8 cm i

srediˇsnjeg kuta 135◦ . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam stoˇsca.


1.

3.

Izvodnica uspravnog stoˇsca s ravninom osnovke zatvara kut od 60◦ . Koliki je srediˇsnji kut kruˇznog isjeˇcka u mreˇzi stoˇsca?

4.

Duljina polumjera osnovke uspravnog stoˇsca je 12 , a duljina izvodnice stoˇsca je 40 cm . Koliki je kut pri vrhu kruˇznog isjeˇcka u mreˇzi tog stoˇsca?

5.

Povrˇsina plaˇsta stoˇsca je 136 cm2 , a povrˇsina osnovke 64 cm2 . Koliki je obujam stoˇsca?

6.

Oploˇsje stoˇsca je 12 cm , a duljina promjera njegove osnovke iznosi 4.8 cm. Koliki je obujam stoˇsca? 2

7.

Ako je obujam stoˇsca 324 cm3 , a duljina visine v = 12 cm , koliko je njegovo oploˇsje?

8.

Valjak i stoˇzac imaju jednaku bazu i jednaku visinu. Ako je obujam valjka 39 cm3 , koliki je obujam stoˇsca?

9.

ˇ sa za sˇ ampanjac ima oblik stoˇsca s promjerom Caˇ osnovke 6 cm i visinom stoˇzastog dijela 3 cm. Ako je cˇaˇsa puna do polovine visine, kolika je koliˇcina sˇ ampanjca u njoj?

10. Zamislimo da imamo zatvorenu staklenu posudu u kojoj je voda. Kad posuda leˇzi na bazi, razina vode u njoj dopire do polovine visine. Ako posudu okrenemo naopaˇcke, do koje cé razine tada biti voda u njoj?

11. Povrˇsina plaˇsta uspravnog stoˇsca iznosi 20 cm2 ,

a nakon razvijanja plaˇsta u ravninu dobije se kruzˇ ni isjeˇcak sa srediˇsnjim kutom 72◦ . Koliko je oploˇsje tog stoˇsca?

15. Krug povrˇsine 100 cm2 rasijeˇce se u dva polukruga koji se zatim saviju u plaˇsteve stoˇzaca i spoje u “bovu”. Kolika je povrˇsina i koliki je obujam te “bove”?

16. Ravnina paralelna s bazom presijeca stoˇzac na

polovici njegove visine. Kako se odnose povrsˇ ina presjeka i povrˇsina baze? Kako se odnose obujmi dobivenih dijelova?

17. Visina stoˇsca dugaˇcka je 4 cm , duljina izvodnice je 10 cm . Kolika je povrˇsina presjeka stoˇsca ravninom koja prolazi vrhom stoˇsca pod 60◦ u odnosu prema ravnini osnovke?

18. Povrˇsina plaˇsta uspravnog stoˇsca je 60 cm2 , a

duljine polumjera osnovke i visine stoˇsca u omjeru su 3 : 4 . Koliki je obujam stoˇsca?

19. Visina uspravnog stoˇsca je 12 cm , a obujam stoˇs-

ca iznosi 324 cm3 . Koliko mu je oploˇsje? Koliki je srediˇsnji kut kruˇznog isjeˇcka u mreˇzi stoˇsca?

20. Opseg osnog presjeka uspravnog stoˇsca iznosi 48 cm , a povrˇsina plaˇsta je 128 cm2 . Koliko je oploˇsje stoˇsca?

21. Oploˇsje stoˇsca iznosi 384 cm2 , a duljina njegove izvodnice 20 cm . Koliki je obujam stoˇsca?

22. Odredite oploˇsje i obujam uspravnog stoˇsca ako

je njegov osni presjek: 1) pravokutni trokut s hipotenuzom duljine √ 6 2 cm 2) jednakostraniˇcan trokut opsega 12 cm √ 3) jednakokraˇcan trokut povrˇsine 6 3 cm2 i kuta 120◦ .

12. Iz kruga polumjera 15 cm izrezan je kruˇzni isje-

cˇak sa srediˇsnjim kutom 120◦ . Izraˇcunajte obujam i oploˇsje stoˇsca kojemu je taj isjeˇcak plaˇst.

13. Kad se kruˇzni isjeˇcak sa srediˇsnjim kutom 216◦

savije u plaˇst stoˇsca, taj stoˇzac ima visinu duljine 20 cm . Kolika je povrˇsina tog plaˇsta?

23. U kocku s bridom duljine a upisan je stoˇzac tako

da mu je osnovka upisana jednoj strani kocke, a vrh je u srediˇstu nasuprotne strane. Koliki je omjer obujama kocke i stoˇsca?

169

7


24. U jednakostraniˇcan stoˇzac ( s = 2r ) polumjera osnovke r upisana je kocka tako da joj jedna osnovka pripada osnovci stoˇsca, a vrhovi gornje osnovke na plaˇstu su stoˇsca. Kolika je duljina brida te kocke?

25. U uspravni stoˇzac upisana je pravilna trostrana

ljina izvodnice stoˇsca je 8 cm . Kolike su duljine polumjera osnovaka ovog stoˇsca ako je omjer tih duljina 2 : 5 ?

34. Polumjeri osnovaka krnjeg stoˇsca su 4 cm i 20 cm , duljina visine iznosi 30 cm . Kolika je povrˇsina plaˇsta ovog stoˇsca?


piramida kojoj su svi bridovi jednake duljine a , tako da je jedna strana piramide upisana osnovci stoˇsca, a vrh nasuprotan toj stranici u vrhu je stoˇsca. Izrazi obujam stoˇsca kao funkciju duljine brida piramide.

33. Povrˇsina plaˇsta krnjeg stoˇsca je 128 cm2 , du-

26. Polumjer osnovke stoˇsca dugaˇcak je 6 cm , a vi-

sina stoˇsca iznosi 12 cm . Stranice trokuta cˇija je ravnina paralelna s ravninom osnovke stoˇsca, diraju plaˇst stoˇsca. Na kojoj su udaljenosti ravnina trokuta i ravnina osnovke stoˇsca ako su duljine stranica trokuta 5 cm , 7 cm i 8 cm ?

27. U uspravni stoˇzac polumjera baze r = 3 cm i

visine v = 4 cm upisana je pravilna osmerostrana piramida. Koliki je omjer njihovih obujama i oploˇsja?

28. Oko uspravnog stoˇsca polumjera baze r = 3 cm

i visine v = 4 cm opisana je pravilna dvanaesterostrana piramida. Koliki je omjer njihovih obujama i oploˇsja?

29. Visina stoˇsca podijeljena je na tri jednaka dijela

pa su djeliˇsnim toˇckama poloˇzene ravnine paralelne s osnovicom stoˇsca. U kojem su omjeru povrˇsine presjeka? Ako je V obujam stoˇsca, koliki je obujam srednjeg dijela dobivenog ovim presjecima?

30. Polumjeri osnovaka krnjeg stoˇsca su 3 cm i 10 cm , a njegov je obujam 1112 cm3 . Kolika je duljina visine i duljina izvodnice krnjeg stoˇsca?

31. Obujam krnjeg stoˇsca je 416 cm3 . Polumjeri donje i gornje osnovke te izvodnice u omjeru su 5 : 2 : 5 . Koliko je oploˇsje tog stoˇsca?

32. Polumjeri osnovaka krnjeg stoˇsca su 4 cm i 10 cm . Ravnine paralelne s osnovkama dijele visinu stoˇsca na tri jednaka dijela. U kojem omjeru te ravnine dijele obujam stoˇsca?

170

35. Duljina izvodnice krnjeg stoˇsca je 17 cm . Povr-

sˇ ina osnog presjeka stoˇsca je 420 cm2 , a povrˇsina presjeka stoˇsca ravninom paralelnom osnovki koja prolazi kroz poloviˇste njegove visine iznosi 196 cm2 . Koliko je oploˇsje stoˇsca?

36. Duljine polumjera osnovaka i izvodnice krnjeg stoˇsca u omjeru su 4 : 11 : 25 . Obujam tog stoˇsca iznosi 181 cm3 . Koliko mu je oploˇsje?

37. Kolika je duljina visine krnjeg stoˇsca ako je njegov obujam 584 cm3 , a duljine polumjera osnovaka iznose 7 cm i 10 cm ?

38. Povrˇsina presjeka krnjeg stoˇsca ravninom koja

prolazi poloviˇstem njegove visine paralelno osnovci jednaka je 225 cm3 . Obujam stoˇsca iznosi 2800 cm3 , a duljina visine je 12 cm . Koliki su polumjeri osnovaka ovog stoˇsca?

39. Stoˇzac je upisan krnjem stoˇscu tako da je njegov

vrh u srediˇstu gornje, manje osnovke krnjeg stoˇsca, a osnovka mu je druga osnovka krnjeg stoˇsca. Koja relacija povezuje polumjere osnovki krnjeg stoˇsca ako je obujam upisanog stoˇsca polovina obujma krnjeg stoˇsca?

40. Karakteristiˇcni presjek kosog krnjeg stoˇsca je tra-

pez s osnovicama a = 10 cm , c = 8 cm i krakovima b = 6 cm , d = 4 cm . Koliki je njegov obujam?

41. U uspravnom krnjem stoˇscu polumjeri su baza R

i r , R > r i visina v . Na koju udaljenost od veće baze treba postaviti ravninu paralelnu s bazom da bi povrˇsina presjeka bila: 1) aritmetiˇcka sredina povrˇsina baza; 2) geometrijska sredina povrˇsina baza; 3) harmonijska sredina povrˇsina baza?

KUGLA

7.6

7.6. Kugla


Krug smo definirali kao skup svih tocˇaka neke ravnine cˇija je udaljenost od cˇ vrste toˇcke — srediˇsta kruga — manja ili jednaka njegovom polumjeru R .

Prikazana je kugla. Udaljenost svake toˇcke kugle od srediˇsta S manja je ili jednaka polumjeru R . Rub kugle nazivamo sferom.

Definicija kugle potpuno je ista, s jedinom iznimkom sˇ to promatramo sve toˇcke u prostoru.

Definicija kugle

Kugla sa srediˇstem S i polumjerom R skup je svih toˇcaka T prostora za koje vrijedi |TS| R . Toˇcke na rubu kugle cˇine sferu. Za svaku toˇcku sfere vrijedi |TS| = R .

Kugla je uistinu poseban geometrijski lik. Zemlja je kugla; za to da je elipsoid malo tko mari. Kuglanje i bacanje kugle popularne su sportske discipline. Bilijarskim se kuglama mnogi dobro zabavljaju. U kristalnoj kugli proroˇcica gleda u budućnost. Kad nam je neˇsto smijeˇsno, kuglamo se od smijeha.

Mogli bismo tako nastaviti unedogled.

Kugle se mogu zateći na svakom koraku. Na slikama vidimo dvije koje ukraˇsavaju ulice naˇsih gradova. Lijeva, Dˇzamonjina, nalazi se u fontani ispred rijeˇckog HNK-a Ivana pl. Zajca, a Koˇzarićevo Prizemljeno Sunce smjeˇsteno je u pjeˇsaˇckoj zoni Bogovićeve ulice u Zagrebu.

171

7


Presjek ravnine i kugle


Promotrimo sˇ to se dobije presijecanjem kugle nekom ravninom  . Prvo je pitanje koje se nameće: kada cé ravnina sjeći kuglu? I ovdje je situacija analogna onoj koju smo imali u ravnini, promatrajući presjek pravca i kruga. Da bi ravnina  sjekla kuglu, njezina udaljenost od srediˇsta kugle mora biti manja od R . Ako je udaljenost veća od R , tada ravnina ne sadrˇzi niti jednu toˇcku kugle pa je ne sijeˇce, a ako je udaljenost jednaka R , tada ravnina dodiruje kuglu samo u jednoj toˇcki.

Neka ravnina  sijeˇce kuglu i neka je S toˇcka ravnine najbliˇza srediˇstu S kugle. Toˇcka S ortogonalna je projekcija toˇcke S na ravninu  . Oznaˇcimo s d udaljenost toˇcaka S i S , d = |SS | . Neka je T bilo koja toˇcka s presjeka sfere i ravnine. Trokut SS T je pravokutan, pa je:

|S T| = R2 − d2 . Vidimo da ova udaljenost ne ovisi o izboru toˇcke T . Zato ona vrijedi za svaku toˇcku presjeka ravnine i sfere.

Presjek ravnine i kugle je krug. Presjek ravnine i sfere je kruˇznica.

Presjek ravnine i kugle

√ Ravnina i sfera sijeku se u kruˇznici polumjera R2 − d2 , gdje je d udaljenost ravnine od srediˇsta kugle. Ravnina i kugla sijeku se u krugu s tom obodnom kruˇznicom.

√ Kako je polumjer presjeˇcne kruˇznice jednak R2 − d2 , vidimo da je to veći sˇ to je udaljenost d ravnine od srediˇsta kruˇznice manja. Najveća se kruˇznica, polumjera R , dobiva kad je d = 0 . U tom sluˇcaju ravnina prolazi srediˇstem S sfere, a presjeˇcnu kruˇznicu nazivamo glavnom kruˇznicom.

172

KUGLA

Primjer 1.

7.6

Kugla polumjera 26 cm presjeˇcena je dvjema paralelnim ravninama, a udapovrˇsine presjeka su 100 cm2 i 576 cm2 . Kolika je medusobna ljenost tih ravnina? 10


Promotrimo presjek kugle ravninom koja prolazi srediˇstem kugle okomito na dvije ravnine (slika desno). Polumjer većeg presjeka je 24 cm, a manjeg 10 cm. Iz istaknutih pravokutnih trokuta nalazimo udaljenosti dviju ravnina od srediˇsta kugle, one iznose 24 cm, odnosno 10 cm. Zakljuˇcujemo da su ravnine medusobno udaljene 24+10 = 34 cm.

26

26

S

24

No oprez! Zadatak ima joˇs jedno rjeˇsenje. Valja joˇs razmotriti drugu mogućnost, kada su ravnine s iste strane srediˇsta kugle. Tada je udaljenost 24 − 10 = 14 cm.

Zadatak 1.

Na kuglu polumjera 12 cm nataknut je trokut naˇcinjen od tanke zˇ ice tako da stranice trokuta diraju kuglu. Ako su duljine stranica trokuta 6 cm, 8 cm i 10 cm, koliko je ravnina trokuta udaljena od srediˇsta kugle?

Obujam kugle

Obujam kugle izraˇcunat cémo primjenom Cavalierijeva principa. Promotrimo polovicu kugle. Oznaˇcimo sa S njezino srediˇste, s R polumjer. Nacrtajmo i valjak polumjera baze i visine R kojem baza leˇzi u istoj ravnini kao i glavna kruˇznica polukugle.

- stoˇzasti dio. Obujam polukugle jednak je obujmu dijela valjka iz kojeg je izvaden

Iz valjka izvadimo dio koji odreduje stoˇzac cˇija se baza podudara s gornjom bazom valjka, a vrh mu je u srediˇstu donje baze. Sada cémo usporediti polukuglu s tijelom koje cˇini dio valjka s izvadenim stoˇscem. Postavimo ih u istu horizontalnu ravninu i presijecimo ravninom paralelnom s ravninom baze, na udaljenosti x od nje.

173

7


Presjek ravnine i kugle je krug polumjera r = presjeˇcnog kruga (R2 − x2 ) .

√

R2 − x2 i zato je povrˇsina


Presjek ravnine i drugog tijela je kruˇzni prsten. Njegov je veći polumjer R , a manji x (objasnite zaˇsto!). Zato je povrˇsina presjeka jednaka R2  − x2  , i jednaka je prethodnoj povrˇsini. Ovim smo pokazali da su povrˇsine presjeka obaju tijela jednake. Po Cavalierijevu principu, i njihovi su obujmi jednaki. Obujam drugog tijela lako moˇzemo odrediti kao razliku obujma valjka i stoˇsca: R2  · R 2 = R3  . 3 3 Taj je obujam polovica obujma kugle. R2  · R −

Obujam kugle

Obujam (volumen) kugle polumjera R iznosi: 4 V = R3  . 3

Primjer 2.

Koliki je polumjer zˇ eljezne kugle cˇ ija je masa 1 kg ako je gustoća zˇ eljeza 7.9 g/cm3 ? Gustoća homogenog tijela je omjer njegove mase i njegovog obujma. Tako 1000 cémo iz jednakosti 7.9 = dobiti V = 126.58 cm3 . V I sada iz

Primjer 3.

4 3 R  = 126.58 izraˇcunamo polumjer kugle, R = 3.1 cm . 3

Kuglu obujma 65.45 cm3 uronimo u vodu koja se nalazi u valjkastoj cˇaˇsi i stoji na horizontalnoj ravnini. Promjer otvora cˇaˇse iznosi 6 cm, a njezina je visina 8 cm. 1) Kolika se koliˇcina vode izlije iz cˇaˇse ako je prije uranjanja bila na visini 7 cm?

2) Koliki bi trebao biti polumjer kugle ako bi se uz iste uvjete nakon uranjanja razina vode podigla toˇcno do ruba cˇaˇse?

174

KUGLA

7.6


1) “Pretvorimo” obujam kugle u obujam valjka. Stavimo li r = 3 cm u jednakost 65.45 = r2  v , dobit cémo v = 2.3 cm . Dakle, razina vode u cˇaˇsi podigne se za 2.3 cm. Kako je visina cˇaˇse 8 cm, a razina vode u njoj 7 cm, to znaˇci da cé se izliti obujam vode koji stane u valjak visine 1.3 cm i polumjera 3 cm. Dakle, V = r2  v = 9 ·  · 1.3 ≈ 37 cm3 .

2) Obujam kugle jednak je obujmu sloja vode visine 1 cm, a on iznosi r2  v = 9 . Zatim iz 43 R3  = 9 nalazimo R = 1.89 cm .

Zadatak 2.

ˇ sa ima oblik valjka promjera baze 3 cm i visine 7 cm. Do koje najmanje visine Caˇ mora biti voda u cˇaˇsi zˇ elimo li da nakon uranjanja metalne kuglice promjera 1 cm ta kuglica bude cijela pod vodom?

Dijelovi kugle

Primjer 4.

Odredimo obujam Vk kuglinog odsjeˇcka, tijela koje od kugle odsijeca ravnina.

Neka je v njegova visina. (To znaˇci da je udaljenost presjeˇcne ravnine od srediˇsta sfere jednaka R − v ). Formulu cémo odrediti na potpuno isti naˇcin kao i obujam polukugle. Usporedit cémo obujam odsjeˇcka s odgovarajućim tijelom koje dobivamo ako iz valjka visine v izvadimo krnji stoˇzac polumjera gornje baze R , a donje baze R − v . R

v

r

v

R

R-v

R

R

Obujam kuglinog odsjeˇcka jednak je obujmu dijela valjka - krnji stoˇzac. iz kojeg je izvaden

Po poznatim formulama za obujam valjka i krnjeg stoˇsca, vrijedi: Vk = R2  v −

v 2 (3R − v)v2  [R + R(R − v) + (R − v)2 ] = . 3 3

(1)

175

7


Primjer 5.

Dana je kocka s bridom duljine 10 cm. U srediˇstu kocke je srediˇste kugle koja dira sve bridove kocke. Izraˇcunajmo obujam dijela kugle koji nije u kocki.


Nad svakom stranom kocke kugla izbija iz nje. Svaka strana kocke odsijeca od kugle jednak odsjeˇcak. Promjer kugle jednak√je duljini dijagonale strane kocke, 2R = √ 10 2 cm . Visina kuglina odsjeˇcka iznosi 5 2 − 5 ≈ 2.07 cm . I sada moˇzemo izraˇcunati obujam odsjeˇcka:

√ (15 2 − 2.07) · 2.072 ·  (3R − v)v2  = ≈ 27.34 cm3 . V= 3 3

No iz kugle “viri” sˇ est takvih odsjeˇcaka, nad svakom stranom po jedan, pa je njihov ukupan obujam 6 · 27.34 = 164.04 cm3 . √ 4 Kako je obujam kugle · (5 2)3  ≈ 471.4 cm3 , onda je izvan kocke 3 oko 35 % njezinog obujma.

Kutak plus

ˇ STO JE NA SLICI?

ˇ ste pomislili kad ste vidjeli ovu sliˇcicu? Sto ˇ ona prikazuje? Sto

Rijeˇc je o fotografiji prstenaste pomrˇcine Sunca koja je snimljena 3. ˇ listopada 2005. godine na Ibizi u Spanjolskoj.

- Zemlje i Sunca, doKad se Mjesec pri svojem putu isprijeˇci izmedu lazi do pomrˇcine Sunca. Kako Mjesec nije uvijek jednako udaljen od Zemlje, pomrˇcina moˇze biti djelomiˇcna, potpuna ili prstenasta. Prstenasta pomrˇcina nastupa kada je Mjesec najudaljeniji od Zemlje pa je on “premali” da bi pokrio cijelo Sunce. Za vrijeme djelomiˇcne pomrˇcine Sunˇceva korona nije vidljiva.

Pomrˇcina Sunca vidljiva je iz malog podruˇcja Zemlje. Ona se medutim pomiˇce velikom brzinom kao koridor sˇ irine stotinjak kilometara.

176

KUGLA

Primjer 6.

7.6

Odredimo obujam kuglinog sloja, dijela kugle koji odsijecaju dvije paralelne ravnine.


Njegov je obujam jednak razlici obujama dvaju kuglinih odsjeˇcaka; ali raˇcun je sloˇzeniji krenemo li na taj naˇcin. Obujam cémo odrediti s pomoću triju veliˇcina: polumjera prvog presjeˇcnog kruga r1 , drugog presjeˇcnog kruga r2 i visine kuglinog sloja v . Pretpostavit cémo, radi jednostavnijeg zapisa, da je r1 > r2 i da kuglin sloj leˇzi u istoj polukugli. Te tri veliˇcine nisu medusobno neovisne; znajući dvije uvijek moˇzemo odrediti treću, po formuli: v = v1 − v2 = R2 − r12 − R2 − r22 .

Znaˇcenje veliˇcina vidimo na slici na kojoj je naznaˇcen glavni presjek polukugle i pomoćnih tijela.

Obujam kuglinog sloja jednak je obujmu valjka visine v iz kojeg je izrezan krnji stoˇzac iste visine s polumjerima v1 i v2 .

Izvedimo pomoćne relacije. Iz veze v = v1 − v2 izraˇcunat cémo umnoˇzak v1 v2 : v2 = v21 + v22 − 2v1 v2 =⇒ 2v1 v2 = v21 + v22 − v2 . (2) Takoder vrijedi: r12 = R2 − v21 ,

r22 = R2 − v22 .

(3)

Obujam kuglinog sloja jednak je obujmu pomoćnog tijela: v 2 V = R2 v − [v + v1 v2 + v22 ] 3 1 v 2 = po (2) [6R − 2v21 − 2v22 − 2v1 v2 ] = 6 v 2 = po (3) [6R − 3v21 − 3v22 + v2 ] = 6 v 2 = (3r1 + 3r22 + v2 ). 6

Ako je r2 = 0 , tada sloj prelazi u odsjeˇcak. Oznaˇcimo li (jedini) polumjer presjeˇcnog kruga s r umjesto s r1 , dobit cémo formulu: v 2 V= (4) (3r + v2 ), 6 sˇ to je drugi oblik za formulu obujma kuglinog odsjeˇcka.

177

7


Zadatak 3.

Odredimo formulu za obujam kuglinog isjeˇcka. To je tijelo koje od kugle odsijeca ploha stoˇsca koja ima vrh u srediˇstu kugle.


Primjer 7.

Pokaˇzi da se formule (1) i (4) za obujam kuglinog odsjeˇcka podudaraju.

Formula se moˇze iskazati s pomoću polumjera kugle R i visine pripadnog odsjeˇcka v .

Kuglin isjeˇcak dobivamo tako da kuglinom odsjeˇcku dodamo stoˇzac polumjera r i visine R − v .

Neka je r pomoćna veliˇcina: polumjer baze stoˇsca. Iz karakteristiˇcnog pravokutnog trokuta cˇitamo: R2 = (R − v)2 + r2 =⇒ r2 + v2 = 2Rv.

Sada raˇcunamo obujam V kuglinog isjeˇcka zbrajajući obujam odsjeˇcv 2 ka Vo = (3r + v2 ) (formula (5) na prethodnoj strani) i stoˇsca 6 r2  (R − v) : Vs = 3 v 2 r2  (3r + v2 ) + (R − v) V= 6 3 v 2 v r2  = (r + v2 ) + · 2r2 + (R − v) 6 6 3 v 2 r2  = (r + v2 ) + ·R 6 3 v r2  = · 2Rv + ·R 6 3 2 1 =  R(v2 + r2 ) = R2  v. 3 3

Zadatak 4.

178

Kuglin isjeˇcak je rotacijsko tijelo koje nastane vrtnjom kruˇznog isjeˇcka oko njegove osi simetrije. Ako je polumjer kruˇznice 12 cm, a kut kruˇznog isjeˇcka 60◦ , koliki je obujam tijela koje nastane opisanom rotacijom kruˇznog isjeˇcka?

KUGLA

7.6

Ponovimo formule za obujme karakteristiˇcnih dijelova kugle. Obujmi dijelova kugle


Obujam kuglinog odsjeˇcka: 1 1 V =  v2 (3R − v) =  v(3r2 + v2 ) 3 6

(5)

Obujam kuglinog sloja:

V=

1  v(3r12 + 3r22 + v2 ) 6

(6)

2 2 R v 3

(7)

Obujam kuglinog isjeˇcka:

V=

Upisane kugle

U svaki stoˇzac moˇze se upisati kugla. Ako je stoˇzac uspravan, ona cé dirati ravninu baze u srediˇstu i sve izvodnice u toˇckama koje leˇze u ravnini paralelnoj s bazom (te toˇcke leˇze na jednoj kruˇznici). Uzmemo li bilo koji osni presjek, dobit cémo jednakokraˇcan trokut kojem je osnovica promjer baze stoˇsca, a krakovi su izvodnice. Presjek kugle ravninom tog osnog presjeka je krug upisan u trokut.

1

2

2

Na slici je prikazana kugla upisana u stoˇzac (lijevo), karakteristiˇcni trokut za uspravni stoˇzac (u sredini) i za kosi stoˇzac (desno).

Ako je stoˇzac kos, onda uzimamo njegov karakteristiˇcni presjek. Tako dobivamo trokut koji cˇine promjer baze stoˇsca te najkraća i najdulja izvodnica. Presjek kugle je krug upisan u trokut. Kugla se moˇze upisati i u svaku pravilnu piramidu. Ona cé dirati ravninu osnovke u srediˇstu pravilnog mnogokuta, a poboˇcke u toˇckama koje leˇze u ravnini - osnovnih veliˇcina odredujemo paralelnoj s osnovkom. Odnose izmedu iz karakteristiˇcnog presjeka. Napravimo tipiˇcni primjer.

179



7

Na slici je kugla upisana u pravilnu trostranu piramidu. Poloˇzaj toˇcaka u kojima ona dira poboˇcke odredujemo iz simetrije tijela: te toˇcke leˇze na visinama poboˇcaka spuˇstenim iz vrha V (lijevo). Karakteristiˇcni trokut (desno).

Primjer 8.

Duljina brida osnovke pravilne trostrane piramide je a , a njezina visina v . Koliki je polumjer kugle upisane u piramidu?

Toˇcka T u kojoj kugla dira osnovku srediˇste je√ jednakostraniˇcnog trokuta; a 3 zato je MT trećina njegove visine, |MT| = . Trokuti SNV i MTV 6 su sliˇcni. Iz omjera odgovarajućih stranica dobivamo: √ √ a 3 a 3 r 6 . = 6 = a√3 2 v−r h v2 + 6 Odavde slijedi (provjerite!): av √ . r= a + 12v2 + a2

Sliˇcna se situacija javlja za svaku pravilnu piramidu.

Karakteristiˇcni trokut je pravokutan, a spaja poloviˇste M brida osnovke, srediˇste T mnogokuta i vrh V piramide. Iz sliˇcnosti pravokutnih trokuta SNV i MTV postavljamo omr d jer = , gdje je d kateta v−r h pravokutnog trokuta. Odavde je: vd . r= Prikazana je kugla upisana u pravilnu n -terostranu d+h piramidu.

180

KUGLA

7.6

Zadatci 7.6. Kugla polumjera R = 41 cm presjeˇcena je ravninom koja je od srediˇsta kugle udaljena 9 cm . Kolika je povrˇsina presjeka?

2.

Na kojoj udaljenosti od srediˇsta kugle polumjera R valja presjeći kuglu ravninom kako bi povrˇsina presjeka bila upola manja od povrˇsine najvećeg presjeka kugle ravninom?

3.

11. U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm i

visine 72 cm nalazi se voda do pola visine. Za koliko c´ e se podignuti razina vode u posudi ako u vodu uronimo kuglu polumjera 10 cm ?


1.

Dvije paralelne ravnine sijeku kuglu polumjera 12 cm u krugovima povrˇsina 140 i 135 cm2 . Kolika je medusobna udaljenost tih ravnina?

4.

Kugla je presjeˇcena ravninom koja je od njezinog srediˇsta udaljena 24 cm . Koliki je polumjer 3 kugle ako je opseg presjeka opsega najvećeg 5 presjeka kugle ravninom?

5.

Dva medusobno okomita presjeka kugle ravninama imaju zajedniˇcku tetivu duljine 16 cm . Koliki je polumjer kugle ako su povrˇsine tih presjeka 185 cm2 i 320 cm2 ?

6.

Najveći presjek kugle ravninom ima povrˇsinu 16 cm2 . Koliki je obujam te kugle?

7.

Promjeri triju kugli u omjeru su 1 : 2 : 3 . 1) Dokaˇzi da je obujam najveće kugle tri puta veći od zbroja obujama dviju manjih. 2) Koliki je obujam svake od triju kugli ako je obujam najveće za 192 cm3 veći od zbroja obujama manjih kugli?

8.

Stotinu metalnih kuglica polumjera 1 cm pretopimo u jednu kuglu. Koliki je polumjer tako dobivene kugle?

9.

Kugla K1 dotiˇce kuglu K2 iznutra, pri cˇemu je srediˇste kugle K2 na povrˇsini kugle K1 . Ako je obujam kugle K1 36 cm3 , koliki je obujam kugle K2 ?

10. Promjer Marsa je 0.53 promjera Zemlje. Koliki je omjer obujama Marsa i Zemlje?

12. U valjkastu posudu polumjera osnovke 6 cm i vi-

sine 10 cm spustimo metalnu kuglicu promjera 6 cm . Do koje bi najmanje visine morala biti voda u posudi kako bi se cijela kuglica nakon uranjanja naˇsla pod vodom?

13. Na dnu valjkaste posude promjera osnovke 15 cm nalazi se metalna kugla promjera 12 cm . Razina vode u posudi toˇcno je na najviˇsoj toˇcki kugle. Na koju c´ e razinu pasti voda kada izvadimo kuglu?

14. Kugla polumjera 7 cm osvijetljena je svjetloˇscú

cˇiji je izvor u toˇcki P udaljenoj od srediˇsta kugle 25 cm . Izraˇcunaj duljinu graniˇcne crte izmedu osvijetljenog i neosvijetljenog podruˇcja na kugli.

15. Srediˇste osnovke valjka je srediˇste kugle. Koji je

obujam zajedniˇckog dijela ovih dvaju tijela ako je polumjer kugle 15 cm , a polumjer osnovke valjka 9 cm ? Visina valjka veća je od polumjera kugle.

16. Kugla je presjeˇcena ravninom. Presjek je krug

polumjera 8 cm . Koliki je obujam kuglinog odsjeˇcka ako je njegova visina 4 cm ?

17. Dokaˇzite da za obujam kuglinog odsjeˇcka vrijev di formula V =  v2 R − , gdje je v visina 3 odsjeˇcka, a R polumjer kugle.

18. Srediˇsta dviju kugli jednakog polumjera leˇze na

povrˇsinama tih kugli. Koliki dio obujma jedne kugle cˇ ini obujam zajedniˇckog dijela?

19. Polumjeri osnovki kuglinog sloja jednaki su 3 cm

i 4 cm , polumjer kugle je 5 cm . Koliki je obujam sloja ako su ravnine presjeka s iste strane srediˇsta kugle?

20. Kugla polumjera R presjeˇcena je dvjema paralelnim ravninama cˇija je udaljenost d , d < 2R . U kojem je poloˇzaju tih ravnina dio kugle izmedu ravnina najvećeg obujma? Koliki je taj obujam?

21. Na kojoj udaljenosti od srediˇsta treba ravninom presjeći kuglu da se obujmi dobivenih tijela odnose kao 3 : 1 ?

181

7


22. Koliki je obujam kuglinog isjeˇcka ako je polu-

28. Osnovka uspravne prizme pravokutni je trokut s

23. Kuglin odsjeˇcak i stoˇzac na koji je kuglin isje-

29. U pravilnu cˇetverostranu piramidu s osnovnim

mjer pripadnog kruga 12 cm , a polumjer kugle 15 cm ?

- dvaju bridova bridom duljine a i kutom izmedu na jednoj poboˇcki 60◦ upisana je kugla. Koliki je obujam te kugle?


cˇak podijeljen osnovkom odsjeˇcka, imaju jednake obujme. U kojem su omjeru visine odsjeˇcka i stoˇsca?

katetama duljina 5 cm i 12 cm . Koliki je obujam kugle koja se moˇze upisati toj prizmi?

24. U kugli polumjera 30 cm probuˇsena je valjkasta

rupa cˇ ija je os promjer kugle. Koliki je obujam kuglinog prstena ako je otvor rupe polumjera 18 cm ?

25. U kuglin isjeˇcak sa srediˇsnjim kutom od 90◦ upi-

sana je kugla. Koliki je omjer njihovih obujama?

30. Kugla je upisana i opisana oko pravilne sˇ estero-

strane piramide s osnovnim bridom a i poboˇcnim bridom b . Koliki je omjer obujama tih kugli?

31. U kocku brida a upisana je kugla. U prostor

prema jednom vrhu upisana je manja kugla koja dira prvu. Koliki je polumjer te manje kugle?

32. Odredite obujam kugle upisane krnjem stoˇscu cˇiji su polumjeri osnovke 9 cm i 25 cm .

26. Pravilnoj cˇetverostranoj piramidi s osnovnim bridom duljine 14 cm i visinom duljine 24 cm upisana je kugla. Koliki je obujam te kugle?

27. Kugla je upisana u pravilnu cˇetverostranu pirami-

33. Ako se krnjem stoˇscu cˇija izvodnica s ravninom osnovke zatvara kut od 45◦ moˇze upisati kugla, tada je povrˇsina plaˇsta stoˇsca dvostruko veća od povrˇsine kugle. Dokaˇzite ovu tvrdnju.

du s osnovnim bridom a i poboˇcnim bridovima b . Koliki je njezin polumjer?

Za radoznale

KAMENE KUGLE

Sloˇzimo cˇ etiri kamene kugle kao na slici. Kolika je visina ovako slozˇ ene hrpe ako je promjer pojedine kugle 20 cm? A ako hrpu povećamo (slika desno) kolika je sada njezina visina?

182

SFERA

7.7

7.7. Sfera


Odredenost sfere ¯ Sfera je skup svih toˇcaka T koje su jednako udaljene od zadane toˇcke S , srediˇsta sfere. Udaljenost |ST| oznaˇcavamo s R i nazivamo polumjer sfere.

Sfera je odredena cˇetirima nekomplanarnim toˇckama, toˇckama koje ne leˇze u jednoj ravnini.

Primjer 1.

Pokaˇzimo da se oko svakog stoˇsca moˇze opisati sfera. Izraˇcunajmo njezin polumjer R ako je stoˇzac uspravan.

Na slici je sfera opisana oko stoˇsca (lijevo) te karakteristiˇcni trokut za uspravni stoˇzac (desno).

Neka su A , B , C po volji uzete toˇcke s oboda baze stoˇsca. Tim toˇckama i toˇckom V odredena je sfera. Presjek sfere s ravninom baze stoˇsca je kruˇznica. Kako toˇcke A , B i C pripadaju sferi i toj ravnini, presjeˇcna je kruˇznica upravo obodna kruˇznica (odredena toˇckama A , B i C ). Zato je sfera opisana oko stoˇsca. Odredimo joj polumjer.

- zadanih i traˇzenih veliˇcina odredujemo Vezu izmedu iz karakteristiˇcnog presjeka stoˇsca. Kako karakteristiˇcni presjek prolazi srediˇstem baze i vrhom V , on sadrˇzi i srediˇste opisane sfere. Zato je kruˇznica opisana karakteristiˇcnom trokutu presjek sfere ravninom koja prolazi njezinim srediˇstem, pa je njezin polumjer R . Za uspravni stoˇzac polumjer nalazimo iz karakteristiˇcnog trokuta na slici: r2 + v2 , 2v pri cˇemu je s2 = r2 + v2 , pa iz zadanog polumjera i jedne od tih veliˇcina moˇzemo lako odrediti drugu. R2 = (v − R)2 + r2 =⇒ R =

183

7


Povrˇsina sfere


Sfera je zakrivljena ploha, kao sˇ to su i plaˇst valjka ili plaˇst stoˇsca. Medutim, - tim plohama postoji bitna razlika. Pokazali smo da se plaˇst valjka i plaˇst medu stoˇsca nakon rezanja po jednoj izvodnici, mogu razviti u ravnini. To sa sferom nije sluˇcaj. Reˇzemo li sferu na bilo koji naˇcin, uzimajući bilo koji njezin dio, on uvijek ostaje zakrivljen i ne moˇze se razviti u ravninu!

Taj se problem najjasnije vidi u predoˇcavanju globusa ravninskom kartom; to nije moguće uˇciniti, a da se ne deformira odnos pojedinih dijelova globusa. Zemljovid na karti nikad ne daje toˇcne odnose udaljenosti poput onoga na globusu.

Kutak plus

SFERNI TROKUT

Problem zakrivljenosti sfere mora se osjetiti i pri raˇcunanju povrˇsine sfere. U nekom trenutku morat cémo zakrivljenu plohu zamijeniti ravninskom, kojoj znamo odrediti povrˇsinu. Tri toˇcke A , B i C na sferi moˇzemo spojiti dijelovima kruˇznih lukova kojima je srediˇste u srediˇstu sfere. Takav se trokut naziva sferni trokut. Svi trokuti nacrtani na povrˇsini Zemljine kugle zapravo su sferni trokuti. Ako su njihove stranice relativno velike, oni se ne mogu zamijeniti ravninskim trokutima. To je bio razlog zbog cˇega se trigonometrija sfernog trokuta, koja je bila nuˇzna za orijentaciju pri putovanjima oceanima, razvila prije trigonometrije ravninskih trokuta.

Prikazan je sferni trokut (lijevo). Njegove su stranice dijelovi kruˇznih lukova sa srediˇstem u srediˇstu sfere. - tetive, ali se razlika smanjuje Povrˇsina sfernog trokuta veća je od povrˇsine trokuta sˇ to ga odreduju smanjivanjem stranica (sferni trokut postaje ravan). Sfera se moˇze podijeliti sfernim trokutima. Odgovarajuće piramide ispunjavaju cijelu kuglu. Zamijenimo lukove tetivama. Time sferni trokut zamjenjujemo ravninskim. Povrˇsina ravninskog trokuta manja je od povrˇsine sfernog. Uzmemo li dovoljno malene njihove stranice, povrˇsine su im praktiˇcno jednake (poput povrˇsine malog trokuta nacrtanog na Zemlji). Zamislimo da smo sferu podijelili na velik broj trokutastih podruˇcja P1 , P2 . . . Pn . Svako takvo podruˇcje odreduje pripadnu piramidu cˇija je baza ravninski trokut, a srediˇste u srediˇstu kugle. Povrˇsinu baze piramide moˇzemo zamijeniti povrˇsinom dijela sfere. Kako su stranice baze vrlo male, visina piramide moˇze se zamijeniti polumjerom kruga. Zbroj svih njihovih obujama jednak je obujmu kugle, a zbroj povrˇsina njihovih baza daje oploˇsje O kugle. Zato vrijedi: 4 P R R·O P R Pn R R V = R3  = 1 + 2 + . . . + = (P1 + P2 + . . . + Pn ) = . 3 3 3 3 3 3 Odavde slijedi formula za oploˇsje kugle: O = 4R2  .

184

SFERA

7.7

Oploˇsje kugle (povrˇsina sfere)

Oploˇsje kugle polumjera R iznosi: (1)


O = 4R2  .

Primjer 2.

Odredimo povrˇsinu Pk kugline kapice. Kapica je dio sfere koji pripada kuglinu odsjeˇcku.

kuglina kapica (lijevo) i kuglin pojas (desno)

Moˇzemo ga odrediti na potpuno isti naˇcin kao i povrˇsinu cˇitave sfere ako krenemo od obujma Vi kuglinog isjeˇcka. Istom analizom kao i pri raˇcunanju povrˇsine sfere, obujam isjeˇcka dobivamo zbrajanjem obujama prizmi cˇije baze pokrivaju kapicu. Dobivamo jednakost: 2 1 Vi = R2  v = R · Pk . 3 3 Odavde je: Pk = 2R v.

U ovoj se formuli pojavljuju samo polumjer kugle i visina kapice. Razlika povrˇsina dviju kapica, s visinama v1 i v2 , daje povrˇsinu kuglinog pojasa, dijela - kuglinim slojem. Njegova je povrˇsina: sfere koji je odreden Ps = 2R v1 − 2R v2 = 2R v, gdje smo s v oznaˇcili visinu kuglinog pojasa. Povrˇsina kugline kapice i pojasa

Neka je R polumjer kugle. Povrˇsina kugline kapice i kuglinog pojasa iznosi P = 2R v, (2) gdje je v visina odgovarajućeg kuglinog odsjeˇcka, odnosno pojasa.

Primijetimo da za v = 2R kapica i pojas prelaze u cˇitavu sferu.

185

7


Primjer 3.

Ako zamislimo da je Zemlja idealna kugla polumjera R = 6400 km , kolika se povrˇsina vidi s visine od h = 2000 m ? A h v D

B


Povrˇsina podruˇcja koje je vidljivo iz toˇcke A je kuglina kapica. Nacrtajmo karakteristiˇcni presjek: presjek sfere ravninom koja prolazi toˇckom A i srediˇstem S . Neka je B diraliˇste tangente povuˇcene iz A . Trokut ABS pravokutan je i sliˇcan je trokutu BDS . Zato je:

R

a

R

S

|DS| R R2 = =⇒ |DS| = . R R+h R+h Zato je visina odsjeˇcka: v = R − |DS| = R −

a njegova povrˇsina:

R2 Rh = , R+h R+h

2R2  h . R+h U konkretnom primjeru ona iznosi P = 80 400 km2 . S vrha Velebita, visokog 1758 m , vidjela bi se povrˇsina od preko 70 000 km2 , sˇ to je viˇse od povrˇsine Hrvatske. P = 2R v =

Primjer 4.

ˇ Na ravnini leˇze tri jednake kugle i medusobno se diraju. Cetvrta, manja - leˇzi u ravnini. Koliki je omjer obujama veće i kugla dira sve tri i takoder manje kugle?

Srediˇsta S1 , S2 i S3 triju većih kugli i srediˇste S cˇetvrte, manje kugle vrhovi su pravilne trostrane piramide. Oznaˇcimo s R duljinu polumjera veće, a s r manje kugle. Osnovni bridovi te piramide, S1 S2 , S2 S3 i S1 S3 , su onda duljina 2R , duljine boˇcnih bridova, SS1 , SS2 i SS3 jednake su R + r , a duljina visine piramide SS iznosi R − r . Iz trokuta S1 SS , primjenom Pitagorina pouˇcka, slijedi: 2 2R√3 2 2 2 . (R + r) = (R − r) + · 3 2

Iz ove jednakosti slijedi R = 3r. Dakle je polumjer veće kugle tri puta veći od polumjera male. Onda je obujam veće kugle 27 puta veći od obujma manje. Rjeˇsenje ovog zadatka pomoći cé ti u rjeˇsavanju zadatka “Kamene kugle” na str. 182.

186

SFERA

7.7

Zadatci 7.7. Unutar kugle zadana je toˇcka T . Koja je toˇcka na sferi najbliˇza, a koja najudaljenija od te toˇcke?

2.

Pokaˇzite da kroz tri toˇcke na sferi prolazi toˇcno jedna kruˇznica koja leˇzi na njoj.

3.

Dokaˇzite: ako se osnovici piramide moˇze opisati kruˇznica, onda se piramidi moˇze opisati sfera. Vrijedi li ista tvrdnja i za svaku prizmu?

4.

Pokaˇzite da postoji toˇcno jedna sfera koja prolazi kroz zadani krug i zadanu toˇcku izvan ravnine tog kruga.

12. Sfera je presjeˇcena valjkastom cijevi cˇija os prolazi srediˇstem sfere, a polumjer je polovica njezina polumjera. Koliki je dio povrˇsine sfere ostao unutar te cijevi?


1.

13. Odredi duljinu presjeˇcne krivulje jednakostraniˇcnog stoˇsca i polusfere koja je konstruirana nad osnovkom stoˇsca s jednakim polumjerom r kao i ta osnovka.

14. Visina jednakostraniˇcnog stoˇsca je promjer sfere.

Ako je duljina polumjera osnovke stoˇsca 16 cm , odredite duljinu presjeˇcne krivulje stoˇsca i sfere.

15. Na kuglu polumjera 26 cm nataknut je plaˇst stoˇsca s polumjerom osnovke 10 cm . Koliki je dio povrˇsine kugle natkriven tim plaˇstom?

5. 6.

7. 8.

Stranice trokuta dugaˇcke su 13 , 14 i 15 cm i diraju sferu polumjera 5 cm . Kolika je udaljenost srediˇsta sfere od ravnine trokuta? Na sferi su dane tri toˇcke cˇije su najkraće medusobne udaljenosti 6 cm , 8 cm i 10 cm . Polumjer sfere dugaˇcak je 13 cm . Kolika je udaljenost srediˇsta sfere od ravnine odredene trima danim toˇckama? Srediˇsta dviju sfera udaljena su 25 cm . Odredi duljinu krivulje njihovog presjeka ako su im polumjeri dugaˇcki 15 cm i 20 cm .

Duljine polumjera dviju sfera su 17 cm i 25 cm , a duljina krivulje njihovog presjeka iznosi 3 cm . Koliko su udaljena srediˇsta tih dviju sfera?

16. Povrˇsina sfere opisane jednakostraniˇcnom stoˇscu iznosi 12 cm2 . Koliki je obujam stoˇsca?

17. Koliki su polumjeri sfere opisane i upisane pravilnom tetraedru ako je duljina brida tetraedra a ?

18. Koliki su polumjeri sfere opisane i upisane pravilnom oktaedru ako je duljina brida oktaedra a ?

19. Kolika je duljina polumjera sfere koja dira sve bridove kocke ako je duljina brida kocke a ?

20. Koliki je polumjer sfere koja dira sve bridove pravilnog tetraedra ako je duljina brida tetraedra a ?

21. Oko sfere polumjera 6 cm opisana je piramida

9.

Povrˇsina kugle je 225 cm2 . Koliki je obujam kugle?

10. Hipotenuza i katete pravokutnog trokuta promje- povrˇsinama ri su triju sfera. Kakva je veza medu tih sfera?

11. Sfera je presjeˇcena ravninom, a povrˇsine dobivenih dijelova su 16 cm2 i 48 cm2 . Koliki je opseg presjeka?

kojoj je oploˇsje 1.2 dm2 . Koliki je obujam te piramide? 22. Na ravnini  leˇze i medusobno se diraju tri sfere polumjera 1 cm , 1 cm i 2 cm . Koliki je kut iz- ravnine  i ravnine sˇ to prolazi srediˇstima medu tih triju sfera? ˇ kugle polumjera po 6 cm smjeˇstene su ta23. Cetiri

ko da svaka dira sve tri ostale. Koliki je polumjer sfere koja dira sve cˇ etiri kugle?

187

7


7.8. Rotacijska tijela U ovom smo poglavlju usvojili dva naˇcina nastajanja geometrijskih tijela.


Prvu skupinu cˇine prizme i valjak koje moˇzemo dobiti translatiranjem izvodnice preko toˇcaka ravninskog lika — osnovke tijela. U primjerima koje smo obradili osnovka je za prizme bila mnogokut, a za valjak krug. Jednako tako ona moˇze biti po volji odabran lik u ravnini. Dobiveno cémo tijelo nazivati valjkastim (ili cilindriˇcnim) tijelom.

Prikazano je valjkasto tijelo (lijevo). Njegov je obujam jednak umnoˇsku povrˇsine baze i visine tijela. Obujam stoˇzastog tijela (desno) jednak je trećini umnoˇska povrˇsine baze i visine tijela.

Drugu skupinu cˇine piramide i stoˇzac, kod kojih se svaka toˇcka osnovke spaja s jednom toˇckom prostora: vrhom. Piramide za osnovke imaju mnogokute, a za stoˇsce je osnovka krug. Ali, jasno je da osnovka moˇze biti i bilo koji drugi lik.

Kuglu ne moˇzemo dobiti niti na jedan od ovih dvaju opisanih naˇcina. Medutim, postoji joˇs jedan vrlo prirodan nacˇin nastajanja geometrijskih tijela koje susrećemo u svakodnevnom zˇ ivoru. To su tijela koja su nastala vrtnjom nekog ravninskog lika oko istaknute osi. Nazivamo ih rotacijska tijela.

Mnogobrojni su primjeri rotacijskih tijela. Tehnika izrade predmeta od razliˇcitih materijala (metala, stakla, gline, drveta) koji se obraduju vrtnjom na razliˇcitim tipovima alatnih strojeva poznata je od davnina.

188

ROTACIJSKA TIJELA

7.8

Navedimo neke primjere s tijelima koje smo dosad susreli.


Valjak je rotacijsko tijelo nastalo vrtnjom pravokutnika oko jedne njegove stranice. Ako se pravokutnik vrti oko osi koja je paralelna njegovoj stranici, a ne sijeˇce ga, dobivamo sˇ uplji valjak.

Stoˇzac je rotacijsko tijelo nastalo vrtnjom pravokutnog trokuta oko jedne njegove katete. Vrtnjom bilo kojeg trokuta oko neke njegove stranice dobivamo tijelo - drugi. koje je stoˇzac, ili unija dvaju stoˇzaca, ili jedan stoˇzac iz kojeg je izvaden

Stoˇzac je rotacijsko tijelo. Vrtnjom tupokutnog trokuta oko neke od kraćih stranica nastaje tijelo s obujmom koji je razlika obujama dvaju stoˇzaca.

I kugla je rotacijsko tijelo. Vrtimo li polukrug oko njegovog promjera, dobit cémo kuglu.

Zadatak 1.

Svaki od iscrtanih likova pri vrtnji oko danog pravca opiˇse neko tijelo. Poveˇzi pojedini lik s tijelom koje nastaje njegovom vrtnjom.

189

7


Primjer 1.

Trokut sa stranicom a i visinom v na tu stranicu rotira oko stranice a . Koliki je obujam dobivenog tijela?


Visina spuˇstena na stranicu a dijeli tu stranicu na dijelove a1 i a2 . Vrijedi a = a1 + a2 . (Ako je kut  tup, onda je a = a2 − a1 . Nacrtaj sliku!). Rotacijsko tijelo je unija dvaju stoˇzaca, kojima je v polumjer baze, a a1 , odnosno a2 visine. Zato je obujam rotacijskog tijela jednak 1 1 1 V = V1 + V2 =  v2 a1 +  v2 a2 =  v2 a. 3 3 3 - MePrimijetimo da stranicom i visinom trokut nije jednoznaˇcno odreden. dutim, obujam rotacijskog tijela uvijek cé biti isti. Uvjeri se da se isti izraz dobiva i ako je jedan od kutova uz stranicu a tup.

Primjer 2.

Jednakokraˇcni trokut s osnovicom a = 6 cm i visinom na osnovicu v = 4 cm rotira oko kraka. Koliki su oploˇsje i obujam rotacijskog tijela?

Oznaˇcimo s b krak, a s h visinu na krak. Oploˇsje je jednako zbroju plaˇsteva dvaju stozˇ aca cˇiji su polumjeri osnovaka jednaki ( h ), a izvodnice su a , odnosno b : O = h (a + b). Obujam rotacijskog tijela (prema prethodnom primjeru) jednak je 1 V =  h2 b. 3

Potrebno je izraˇcunati h i b . Iz pravokutnog je trokuta a2 b= + v2 = 5 cm. 4 Iz jednakosti povrˇsina (ili sliˇcnosti) cˇitamo

1 1 av 24 av = bh =⇒ h = = cm. 2 2 b 5

Sada je O =

190

192 264 cm2 , V = cm3 . 5 5

ROTACIJSKA TIJELA

U svakom retku neko od tijela dobiveno je rotacijom lika nacrtanog na poˇcetku retka. Koje je to tijelo?


Zadatak 2.

7.8

Zadatak 3.

Jednakokraˇcan trapez ABCD kojem je krak AB okomit na osnovice, vrti se oko pravca koji prolazi vrhom B sˇ iljastog kuta trapeza okomito na AB . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam nastalog rotacijskog tijela ako je |AB| = 7 cm , |CD| = 5 cm , < )ABC = 60◦ . Koliki su oploˇsje i obujam tijela koje nastane rotacijom istog trapeza oko kraka AD ?



1. Dvije prizme jednakih povrˇsina osnovaka i jednakih visina imaju jednaka oploˇsja.

2. Povrˇsina poboˇcja uspravne prizme jednaka je umnoˇsku opsega osnovke i visine prizme.

3. Sve piramide sa zajedniˇckom osnovkom i vrhom u ravnini paralelnoj ravnini osnovke piramide imaju jednak obujam.

4. Toˇcke A , B , C1 i D vrhovi su kocke. Obujam tetraedra ABC1 D jednak je

1 obujma kocke. 3

5. Ako je plaˇst valjka razvijen u ravninu kvadrat, onda je promjer baze valjka jednak visini valjka.

6. Ako je srediˇsnji kut u mreˇzi stoˇsca 270◦ , omjer duljina njegova promjera i izvodnice iznosi 4 : 5 .

7. Povrˇsina kugle cˇetiri je puta veća od povrˇsine njezinog najvećeg presjeka ravninom.

8. Tisuću malih metalnih kuglica pretopljeno je u jednu veću kuglu. Omjer polumjera jedne male i velike kugle jednak je 10.

9. Osni presjek rotacijskog tijela osnosimetriˇcan je lik. 191

7


Zadatci 7.8. 2. 3.

Odredite oploˇsje i obujam tijela koje nastane rotacijom pravokutnika s duljinama stranica a i b oko njegove osi simetrije. Pravokutnik sa stranicama a i b vrti se oko stranice a pa zatim oko stranice b . Koliki je omjer obujama nastalih rotacijskih tijela?

Duljine stranica pravokutnika razlikuju se za 4 cm . Vrtnjom tog pravokutnika oko veće stranice nastane valjak oploˇsja 192 cm2 . Koliki je obujam tijela koje nastaje vrtnjom pravokutnika oko manje stranice?

c . Dokaˇzi da su obujmi rotacijskih tijela koja pritom nastanu obrnuto proporcionalni duljinama stranica trokuta. Primijeni tvrdnju dokazanu u prethodnom zadatku.

12. Koliki su oploˇsje i obujam tijela sˇ to nastane vrtnjom kvadrata stranice a oko dijagonale?

13. Romb stranice a i sˇ iljastog kuta od 30◦ vrti se

oko jedne pa oko druge dijagonale. Koliki je omjer obujama nastalih rotacijskih tijela?

14. Romb stranice a i sˇ iljastog kuta od 60◦ rotira

4.

Pravokutnik povrˇsine 120 cm vrti se oko jedne pa zatim oko druge svoje osi simetrije. Razlika obujama dobivenih rotacijskih tijela iznosi 255 cm3 . Kolika je razlika njihovih oploˇsja?

5.

Pravokutnik stranica 3 cm i 5 cm zakrene se oko duˇze stranice za 120◦ . Koliko je oploˇsje i koliki je obujam tijela sˇ to ga takvim zakretanjem opiˇse pravokutnik?

6.

Izraˇcunajte oploˇsje i obujam tijela koje nastane rotacijom pravokutnog trokuta s katetama duljina a i b oko: 1) katete a ; 2) katete b ; 3) hipotenuze.

7.

Izraˇcunajte oploˇsje i obujam tijela koje nastane vrtnjom jednakostraniˇcnog trokuta sa stranicom duljine a oko: 1) jedne stranice; 2) osi simetrije trokuta; 3) pravca koji prolazi vrhom trokuta okomito na os simetrije sˇ to prolazi tim vrhom.

17. Pravokutni trapez vrti se oko osi koja je okomita

8.

Trokut sa stranicama duljine a = 15 cm , b = 13 cm i c = 14 cm rotira oko stranice c . Izracˇ unaj oploˇsje i obujam nastalog rotacijskog tijela.

osnovica duljine a , a kut  = 60◦ , vrti se oko manje osnovice. Izraˇcunaj povrˇsinu nastalog rotacijskog tijela.

9.

Trokut sa stranicama duljina 6 , 25 i 29 cm rotira po duljini srednje stranice. Koliki su oploˇsje i obujam rotacijskog tijela?

2

10. Obujam rotacijskog tijela sˇ to nastane rotacijom 4Q2 trokuta oko stranice a je V =  , gdje je Q 3a povrˇsina trokuta. Dokaˇzi tu tvrdnju.

192

11. Trokut ABC vrti se redom oko stranica a , b i


1.

oko osi koja prolazi vrhom istog kuta okomito na veću dijagonalu. Izraˇcunaj povrˇsinu nastalog rotacijskog tijela.

15. Stranice trokuta dugaˇcke su 29 , 25 i 6 cm . Ko-

liki je obujam tijela sˇ to nastane vrtnjom tog trokuta oko pravca koji prolazi vrhom trokuta paralelno njegovoj najduˇzoj stranici?

16. Pravokutni trapez ima osnovice duljina 3 cm i

6 cm , a dulji je krak dugaˇcak 5 cm . Koliko je oploˇsje i koliki obujam tijela sˇ to nastane vrtnjom tog trapeza oko: 1) veće osnovice;

2) manje osnovice?

na osnovicu i prolazi vrhom sˇ iljastog kuta. Duljine osnovica trapeza su 4 cm i 7 cm , a duljina kraka 5 cm . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam nastalog rotacijskog tijela.

18. Jednakokraˇcan trapez kojem su krakovi i manja

19. Trapez s osnovicama duljina 5 cm i 12 cm , te

kracima 24 cm i 25 cm vrti se oko pravca koji prolazi vrhom najmanjeg kuta trapeza okomito na osnovicu. Koliki je obujam tijela sˇ to nastane pri opisanoj vrtnji?


5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije Rjeˇsenja 5.1

3. 4.

5.

1) 1014 ; 6) 105 .

2) 339 ;

3) 280 ;

4) 38 ;

5)

19.

1 b7 ; 2) 625b ; 3) 7 ; 4) 1024y10 z5 ; 8 4y 64c . b 1.43 ·10−4 ; 2) 8.49 ·109 ; 3) 2.66 ·10−7 ; 5.06 · 10−8 ; 5) 6.17 · 10−3 ; 6) 1.5 · 105 .

6.

1) 4)

7.

1) −5−17 ; 2) −2−17 ; 5) 10−9 ; 6) −1014 .

3) 3−15 ;

20.

21. 22.

23.

1.

8.

4.285 · 108 .

9.

t = 3 · 107 h = 1.25 · 106 dana = 3424.66 godina.

5.

11. n = 5.88 · 1026 .

√ √ 12. 1) 6√ ; 2) 2 ; √3) 3 ; 4) 3√· 3 4 ; 6) 12 2 ; 7) 4 125 ; 8) 2 · 3 2 ; √ √ √ 13. 1) x ; 2) x3 ; 3) x ; 4) 3 x . √ √ 1 4 14. 1) x3 ; 2) x ; 3) x ; 4) . x 2

2) 3 4 ;

9

5) 2− 4 ; 8) (a −

2

3

15. 1) 2 3 ; 2

5 . 27

3) 12 ;

4)

46 ; 9

1 b2 ) 4

5

2)

3;

3

2

7) (a − 2) 3 ;

.

√ 1 1 16. 1) √ ; 2) √ ; 3) 3 25 ; 3 3 2

a 3 5) (a2 − 1)2 ; 6) 4 3 . b 17. 1) 9 ; 6) −2 .

√ 6

4) 5− 2 ;

3) 2 5 ;

6) 2− 4 ;

5)

1 ; 3

3) 0.5 ;

4)

√

4) 0 ;

a − 1;

5) 2 ;

5) −

275 ; 64

1 . 3 27 . 8 25 . 2 1) m < n ; 2) m > n ; 3) m > n ; 4) m = n ; 5) m < n ; 6) m < n ; 7) m < n ; 8) m < n . 1) 16.21 cˇv. 2) 17.9 cˇv. 3) 1513 ks.

Rjeˇsenja 5.2

4) −1010 ;

10. t = 4.96 · 102 s = 8.267 minuta.

194

6) −

5) 312 ;

1) a12n+6 ; 2) a27n−9 ; 3) a24n+12 ; 9n+9 6n+6 4) a ; 5) a . 1 1 4) ; 5) 343 ; 1) 2 ; 2) 6 ; 3) ; 9 9 6) 36 . 1)

2) 5 ;


2.

18. 1) 32 ;

1) 3.251 ; 2) 6.310 ; 3) 1.294 ; 4) 35.481 ; 5) 207.683 ; 6) 8222.426 ; 7) 0.562 ; 8) 0.0705 ; 9) 0.384 ; 10) 5.689 · 10−3 .

Brojevi su poredani od najvećeg do najmanjeg: 1) f 3 (−1) , f 5 (−1) , f 1 (−1) , f 4 (−1) , f 2 (−1) ; 2) f 2 (3) , f 4 (3) , f 1 (3) , f 5 (3) , f 3 (3) . 6. 1) x < 2 ; 2) x > −2 ; 3) x −1 ; 1 3 6) x < − ; 4) x 1 ; 5) x > − ; 2 2 7) x > 2 . √ 7. f (− 5) , f (−1) , f (0) , f (0.5) , f (11) . √ 8. f ( 2) , f (0.001) , f (0) , f (−0.5) , f (−3) . 9. 1) f (25) = 80.48 ; 2) f (60) = 81.4 . 10. f 2 (x) . 11. f 2 (x) . 13. n(15) = 7906 ; n(20) = 25 000 ; n(25) = 79 057 . 14. 1) f (t) = 2 · 2t ; 2) 1024; 3) 11.3. 1 0.2 pa 15. Iz jednadˇzbe 1 = 6 · a5 slijedi a = 6 eksponencijalni zakon po kojem se mijenja obujam balona glasi V = 61−0.2t . U balonu cé ostati 0.1 l zraka nakon 11.5 sekundi. 16. Q(t) = 250 · (0.6)t . 18. 16 700 000.


2) vidi sliku desno;

12. f (1) = 0 , f (−2) nije definirano, f (0.2) = −1 , f (125) = 3 , f (0.04) = −2 . 1 13. f (2) = − , f (−4) nije definirano, f (0.25) = 2 1 1 , f (0) nije definirano, f (0.5) = . 2 14. f (0.1) = −1 , f (100) = 2 , f (0.001) = −3 , f (10−5 ) = −5 ; f (0.01−4 ) = f (108 ) = 8 . 15. log 123 = 2 ; log 5.5 = 0 ; log 0.989 = −1 ; log 0.01 = −2 . 16. log2 77 = 6 ; log3 0.1 = −3 ; log8 11111 = 4 ; log 1 25 = −3 ; log 1 0.01 = 2 .


21. 1) Vidi sliku lijevo;

3) vidi sliku lijevo;

4) vidi sliku desno.

4

22. Toˇcne su tvrdnje pod 1), 3) i 4). 23. Nije toˇcna ni jedna tvrdnja.

Rjeˇsenja 5.3

1 5) −2 ; 1) 2 ; 2) −4 ; 3) 1 ; 4) ; 4 2 6) − . 3 6. 1) x = 0 ; 2) x = 0.30103 ; 3) x = 1.30103 ; 4) x = −0.30103 ; 5) ne postoji; 6) 0.36508 . 7. 1) 4 ; 2) 4 ; 3) −2 ; 4) −3 ; 5) −4 ; 1 6) ; 7) 6 ; 8) −2 . 4 1 8. 1) x = 9 ; 2) x = ; 3) x = 105 ; 16 √ 1 6) x = 1 ; 5) x = 3 3 ; 4) x = ; 8 7) x = 10 ; 8) x = 32 . 1 1 ; 2) x = 4 ; 3) x = ; 9. 1) x = 16 4 4) x = 4 ; 5) x = 2 ; 6) x = 4 ; √ 7 1 ; 8) x = 2 2 ; 9) x = ; 7) x = 81 3 3 10) x = . 2 1 1 10. 1) 10 ; 2) ; 3) 3 ; 4) ; 5) 12 ; 10 11 1 . 6) 7 ; 7) 9 ; 8) 20 4 1 1 11. 1) ; 2) 49 ; 3) ; 4) ; 5) 4 ; 25 27 64 6) 625 . 5.

5

5

17. 1) 0.01 x < 0.1 ; 2) 1 x < 10 ; 3) 1000 x < 10 000 ; 4) 0.1 x < 1 . 2 4 18. 1) 11 ; 2) ; 5) 25 ; 3) ; 4) 74 ; 3 25 6) 1 ; 7) 16 ; 8) 45 ; 5 7 19. 1) 10 ; 2) − ; 3) 0 ; 4) 0 ; 5) − ; 2 3 6) 0 ; 1 2 20. 1) −2 ; 2) −4 ; 3) − ; 4) − ; 9 3 5) −2 ; 6) −2 ; 21. 1) Vidi sliku lijevo; 2) vidi sliku desno.

22. 23. 24. 25. 26. 27.

Graf pripada funkciji f 2 . Graf pripada funkciji f 2 . Redom su to grafovi funkcija g , l , k , f , a . l (plavo), k (crveno), f (zeleno), g (crno). 3).

1) 1 < x < 2 ;

2) 0 < x < 1 ;

195

5


3) x = 2 ;

4) 1 < x < 2 ;

3)

√ 1 log 4 + log − log 2 = 2 log 2 − log 2 − 2 1 1 log 2 = log 2 = 0.301 : 2 = 0.1505 . 2 2 2 − · log 3 . 3 8.


7.

1 . 2

8.

9.

5) Jedno je rjeˇsenje u intervalu −1, 0 . Jednadˇzba ima joˇs dva rjeˇsenja, x = 2 i x = 4 .

10. −2x − 3y .

11. Iz log2 log3 log4 a = 0 slijedi log3 log4 a = 1 , zatim log4 a = 3 i konaˇcno a = 64 . Analogno je b = 16 , c = 9 te je konaˇcno a + b + c = 89 . 12. Jednakost a2 + b2 = 6ab ekvivalentna je dvjema jednakostima: (a + b)2 = 8ab i (a − b)2 = 4ab . a + b 2 Podijelimo li ih, dobit cémo = 2, a a−b odatle izravno slijedi druga jednakost.

Rjeˇsenja 5.4 1.

2.

3. 4. 6.

196

1) 1 + 2 log a + 3 log b ; 2) 2 log a + 2 log b ; 1 1 1 1 4) log a − log b ; 3) − + log a ; 2 2 3 3 1 5) log a + 3 log b − log c ; 2 1 6) −3 log a−3 log b ; 7) 1−2 log a− −log b ; 3 1 1 8) log a + log b − 2 log(a − b) ; 2 2 1 1 1 9) log a − log b − ; 10) 3 log(a3 − b3 ) . 2 2 2 √ 10 a2 3 b 2 ; 3) x = ; 2) x = 1) x = ab ; c a a 1 4) x = 3 2 ; 5) x = ; b 100ab2c3 1 . 6) x = 2 a − b2 1) 1; 2) 6; 3) −2 ; 4) −2 . 1 1) 3a + 2 ; 2) (3a + 2) ; 3) −c − 1 . 2

log2 x log x log2 x = . Primijeti kako ovaj = log x2 2 log x 2 izraz ima smisla za x > 0 , x = 1 ; 2) 1−log x ;

1)

13. 1) 2.096 ; 2) 1.048 ; 3) 2.322 ; 4) 2.044 ; 5) 2.671 ; 6) 3.570 ; 7) −3.385 ; 8) 3.322 ; 9) −2 ; 10) −1.995 ;

1 1 ·log3 16 = −3 log 1 3·(−4)·log3 = 27 2 2 2 3 1 12 · log 1 3 · log3 = 12 ; 2) ; 3) 2 ; 2 2 2 9 4) −6 ; 5) −4 ; 6) − . 2 2 15. 1) 1 ; 2) −2 ; 3) − ; 4) −2 ; 3 16. 1) −1 ; 2) −1 ; 3) 0 ; 4) −2 ;

14. 1) log 1

1 1 1 = ; = log6 3 1 − log6 2 log6 62 36 2) log36 9 = log36 = 1 − log36 4 4 2 2 = 1 − log36 8 3 = 1 − log36 8 ; 3 3 3 = . 3) log12 27 = 3 log12 3 = log3 12 1 + 2 log3 2 4 Dalje je log6 16 = 4 log6 2 = . 1 + log2 3 Iz tih dviju jednakosti dobivamo 4(3 − log12 27) log6 16 = ; 3 + log12 27 12 4) log12 64 = 3 log12 4 = 3 log12 3 = 3(1 − log12 3) ;

17. 1) log3 6 =


19.

20.

21. 22.

Rjeˇsenja 5.5 1.

2.

3.

4.

1) x = 6 ; 2) x = 2 ; 3) x = 3 ; 5) x = −23 ; 6) x = 3 .

4) x = 1 ;

5.

1) x = 2 ; 5) x = 1 ; 1) x = 3 ;

4) x =

6.

2) x = 1 ; 6) x = 4 . 2) x = 3 ;

3) x = 6 ;

3 ; 2

3) x = 1 ;

4) x = 3 ; 1 5) x = 2 ; 6) x = 3 ; 7) x = 3 ; 8) x = . 2 1) x = 0.595 ; 2) x = 1.297 ; 3) x = −9.83 ; 4) x = 1.118 ; 5) x = −0.141 ; 6) x = 0.02798 . 1) x1 = 1.585, x2 = 2.322 ; 2) x = log2 3 = 1.585 ; 3) x = log3 4 = 1.262 ; 4) x1 = 3, x2 = 3.361 ; 5) x1 = −1 , x2 = 1.113 ; 6) x = 0.759 ; 7) x = 5.244 · 10−3 ; 8) x = 0.613 , x2 = 1 . 1) x1 = 0 , x2 = 1 ; 2) x = 3 ; 3) x = 2 ; 4) x1 = −0.585 , x2 = 1 ; 5) x1 = 0 , x2 = 1 ; 6) x = 1 . 1) x1 = −1 , x2 = 3 ; 2) x1 = 1 , x2 = 3 ; 3) x1 = −1 , x2 = 4 ; 4) x1 = −1 , x2 = 2 ; 1 5) x1 = −2 , x2 = 1 ; 6) x1 = , x2 = 1 ; 4 1) x = 0 ; 2) x1 = 0 , x2 = 1 ; 3) x = −1 ; 1 4) x = 1 ; 5) x = ; 2 log 9 6) x1 = 0 , x2 = . log 2 − log 5 1) Jednadˇzba nema rjeˇsenja; 2) x1 = −4 , x2 = 6 ; 3) x1 = −3 , x2 = 1 ; 4) Rjeˇsenje jednadˇzbe je svaki x , x ∈ −∞, 1] ; 5) x = 2 ; 6) x = 2 . 1) x = 3 ; 2) x = 3 ; 3) x = 10 ; 3 4) x = 1 ; 5) x = 100 ; 6) x = . 2 1) Jednadˇzba nema rjeˇsenja; 2) x = 5 ; 5 3) x = ; 4) x = 3 ; 5) x = 3 ; 6) x = 2 ; 2 1 1) x = √ ; 2) x = 2 ; 3) x = 1 ; 10 4) x = 625 . 2) x = 100 ; 1) x1 = 100 , x2 = 0.01 ; 3) x1 = 100 , x2 = 1000 ; √ 4) x1 = 10 , x2 = 10 . 1) x1 = 0.001 , x2 = 1 ; 1 2) x1 = √ , x2 = 100 ; 10


18.

1 1 5) log49 28 = log7 28 = (log7 4 + 1) 2 2 1 = (1 + 2 log7 2) . 2 36 = 2 − log6 4 = 2 − 2 log6 2 = log6 9 = log6 4 2 − 2m . Najprije zapiˇsimo: log 64 = 6 log 2 = p , pa √ p 3 . Dalje imamo: log 25 = je log 2 = 6 1 100 1 1 1 log 25 = log = (2−2 log 2) = (2− 3 3 4 3 3 √ p 6−p 3 2 · ) . Konaˇcno je log 25 = . 6 9 3 log 10 3 log 2 log 8 5 = = log30 8 = log 30 1 + log 3 1 + log 3 3 − 3a 3 − 3 log 5 = . = 1 + log 3 1+b Graf pripada funkciji f 3 . Graf pripada funkciji f 2 .

5

1 3) x = 1 ; 1) x = −2 ; 2) x = − ; 2 4) x = −2 ; 5) x = −2 ; 6) x = 2 ; 7) x = −2 ; 8) x = −1 ; 9) x = −2 ; 1 3 10) x = ; 11) x = ; 12) x = 4 . 9 5 7 3 3 1) x = − ; 2) x = − ; 3) x = − ; 5 2 2 9 2 4) x = ; 5) x = 3 ; 6) x = − ; 4 19 7) Jednadˇzba nema rjeˇsenja; 8) x = −1 .

1) x = 2.0414 ; 2) x = 1.1505 ; 3) x = 4.3219 ; 4) x = 2.1534 ; 5) x = 1.1246 ; 6) x = 0.6824 . Sudoku – rjeˇsenje zadatka sa stranice 43.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

197


18. 19.

20.

21. 22.

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

31.

3) x1 = 0.01 , x2 = 10 000 ; 4) x1 = 1.01 , x2 = 11 . 8 9 1) x = 16 ; 2) x = − ; 3) x = − ; 3 10 4) x = 2 ; 5) x = −1 ; 6) x = 1 . 1 1) x = 64 ; 2) x = ; 3) x = 16 ; 27 4) x = √16 ; 5) Rjeˇsenje je svaki x ∈ R+ ; 3 6) x = 2 . 1 1 1) x = 9 ; 2) x = ; 3) x = ; 4 25 1 4) x1 = 9 , x2 = . 9 1) x = 2 ; 2) x = 3 ; 3) x = 1 ; 4) x = 2 . 1) x1 = 0.01 , x2 = 10 ; √ 2) x1 = 10 , x2 = 100 ; 1 3) x1 = , x2 = 4 ; 2 1 4) x1 = , x2 = 27 . 9 1) x = 1 ; 2) x1 = 1 , x2 = −1 3) x = −1 ; 4) x = 2 ; 1) x = − ln 199 ; 2) x = ln 2 ili x = −2 ln 2 . m−1 x= . m 1 c−y . x = ln 2 c 1 1+y . x = ln 2 1−y ln C − ln C0 k= . x 1) 1; 2) jednadˇzba nema rjeˇsenja; 3) 2; 4) 2. 1) (e−3 − 1, 0) = (0.95, 0) , (0, 3) ; e 2 2) ln , 0 =(0.307, 0) , 0, −1 =(0, −0.264) ; e √2 3) (± 2, 0) , graf ne sijeˇce os y ; 4) (0, 0) , (2, 0) ; 5) (0, 0) ; 6) (0, −2) , (−0.99, 0) , (10.01, 0) . 1) x = 2 , y = 7 ; 2) x = 1 , y = 2 ; 3) x = 5 , y = 1 ; 4) x = 2 , y = 6 ; 5) x = 3 , y = 1 ; 6) x = 6 , y = 2 ; 8) x = 5 , y = −3 ; 7) x = 27 , y = 3 ; 9) x = 6 , y = 3 ; 10) x = 100 , y = 10 .

32. 1) x = 1 , y = 2 , z = 4 ; 1 ; 2) x = 10 , y = 1 , z = 10

198

27 32 2 , y= , z= ; 3 8 3 4) x = 16 , y = 3 , z = 5 .

3) x =

Rjeˇsenja 5.6 1 3 2) x < 1 ; 3) x > − ; 1) x < ; 2 2 4) x > 4 ; 5) 0 < x < 1 ; 6) 0 < x < 2 ; 2. 1) x < 2 ili x > −1 ; 2) −3 x −2 ; 1 3) x < ; 4) x < −1 . 2 3. 1) −1 < x < 3 ; 2) −1 < x < 2 ; 1 3) −2 < x < 0 ili x > ; 2 √ √ 4) 1 − 5, 0 ∪ 2, 1 + 5 ; 5) x ∈ −1, 12 ∪ 1, +∞ . 4. 1) −∞, 0] ∪ [log3 2, 2 ; 2) −3, 1] ; 3) −1, 0] . 5. 1) x −1 , x = 0 ; 2) x < −2 ili −1 < x < 1 . 6. 1) x < 0 ; 2) x > 1 ; 3) x < 0 ili x > 2 . 7. 1) 0 < x < 0.001 i 1 < x < 100 ; 2) x < 10 ; 3) 0 < x < 1 i x > 10 ; √ 4) 0 < x < 0.1 i 1 < x < 10 i x > 10 . 8. 1) 0.1 x 100 ; 2) 0.001 x 10 ; 3) 0 < x 0.001 ili x 10 ; √ 10 x 100 . 4) 10 √ √ 9. 1) x ∈ − 2, −1 ∪ 1, 2 ; √ √ 2) x ∈ [− 2, −1 ∪ 1, 2] . 10. 1) Kako je x2 + 1 > 1 (x = 0) , to je log2 (x2 + 1) > 0 . Stoga mora biti i log 1 (x2 + x − 1) 0 .


5

1.

2

Posljednja je nejednakost ekvivalentna sa susta1 . Kovom nejednadˇzbi 0 < √ x2 + x − 1 √ −1 − 5 −1 + 5 ∪ ,1 . naˇcno: x ∈ −2, 2 2 1 3 ; 3) x < −2 ili x > 2 . 2) x ∈ − , 8 8 1 2 11. 1) x ∈ , ; 2) x ∈ 2, +∞ ; 3 3 3 1 ; 3) x ∈ − , 2 2 1 4) x ∈ −∞, − ∪ 2, +∞ ; 4 1 5) x ∈ −1, − . 3


Rjeˇsenja 5.7

2.

3− log 760 pt nalazimo t = 100 0.02 · log e = 13.72 godine. Zagreb bi prema tome imao 1 000 000 stanovnika 2015. godine. Iz Z = Z0 ·en , n =

Koliˇ nakon prve godine iznosi: G cina drva 1 = p − P , nakon druge G2 = G0 1 + G0 1 − 100 p 2 p − P , nakon treće G3 = −P 1+ 100 100 3 p p 2 p −P G0 1+ −P 1+ −P 1+ 100 100 100 itd. Nakon deset godina koliˇcina drva u sˇ umi je: p 9 p 10 G10 = G0 1 + −P 1+ 100 100 8 p p +1 . + 1+ + ...+ 1 + 100 100 Iz njezinim proˇsirivanjem s ove jednakosti p 1+ − 1 imamo 100 p 10 p p = G0 1+ · G10 · 100 100 100 p 10 − P 1+ −1 . 100

Uvrstimo li G0 = 45 000 m3 , p = 2 % , P = 1500 m3 , dobit cémo G10 = 38 430 m3 . 3.

T 1 = 1.59 · 103 godina. 2

Smanjivanje koliˇcine aspirina u krvi jest ekspo 2t 1 , gdje je nencijalna funkcija f (t) = m0 · 2 m0 masa aspirina u krvi na poˇcetku, a f (t) kolicˇina lijeka nakon vremena t . 52 1 miligraI sada raˇcunamo: f (5) = 300 · 2 ma. Nakon 5 sati u krvi bolesnika bit cé oko 53 mg aspirina.


1.

9.

5

4.

N = 265 900 .

5.

Neka je n0 broj bakterija na poˇcetku promatranja. Tada cé broj bakterija nakon t sati biti nt = n0 · ekt . Odredimo najprije konstantu k . Iz e4k = 3 dobijemo k = 0.27465 . Dva dana su 48 sati te je n48 = 1000 · e48k ≈ 531 441 000 . Zakljuˇcujemo da cé nakon dva dana na kulturi biti 5.3 · 108 bakterija.

6.

162 000.

7.

p80 = 990 hPa.

8.

Najprije je h =

log p0 − log ph . Nakon uvrˇstak · log e vanja podataka dobivamo h = 40 m . Stoga je nadmorska visina Griˇca 160 m .

10. Oznaˇcimo s x0 = 0.2 . Nakon jednog sata u 1 3 krvi vozaˇca bit cé x1 = x0 − x0 = x0 al4 4 kohola. Nakon drugog sata u njegovoj c´ e kr1 3 9 x0 . I vi biti x2 = x1 − x1 = x1 = 4 4 16 dalje, nakon trećeg sata u krvi vozaˇca cé biti 1 3 27 x3 = x2 − x2 = x2 = mg/dL alkohola. 4 4 64 Nastavljamo na jednak naˇcin i zakljuˇcujemo: na t 3 kon t sati u krvi vozaˇca bit cé f (t) = x0 · 4 miligrama alkohola u jednom decilitru krvi. t 3 = I sada postavljamo jednakost: 0.2 · 4 t 3 = 0.4 . Primjenom svojsta0.08 . Slijedi 4 va logaritamske funkcije odatle je t · log 0.75 = log 0.75 ≈ 3.185 sati. log 0.4 , odnosno t = log 0.4 U krvi vozaˇca koliˇcina alkohola cé se smanjiti od 0.2 mg/dL na 0.08 mg/dL za 3 sata i 11 minuta. 11. Najprije izraˇcunamo k iz jednadˇzbe 75 = 6 + (90 − 6) · e−4k . Dobije se k = 0.05 . Zatim je T = 6 + (75 − 6)e−0.05 · 12 = 43.87 ◦ C . 12. Iz jednadˇzbe 5 = 30 + (0 − 30) · e−0.0037t dobije se t = 50 minuta. 14. Iz sustava jednadˇzbi 20 = S0 (1 − e−k ) , 30 = S0 (1 − e−2k ) dobivamo 1 + e−k = 1.5 , odnosno e−k = 0.5 . Odatle je k = 0.69 min−1 = 20 20 = = 0.01155 s−1 . Potom je S0 = 1 − e−k 0.498 40 g . 15. 1) r(1) ≈ 26; r(8) ≈ 91 . 2) Iz 95 = 100 · (1 − e−0.3t) slijedi e−0.3t = 0.05 0.05 pa je −0.3t = ln 0.05 , odnosno t = ≈ −0.3 9.98 .

199

6


6. Geometrija prostora

4.

1) Da;


Rjeˇsenja 6.1 2) da;

6.

3) ne. Tri ravnine odreduju dijagonalne presjeke kvadra.

7.

1)

2)

12. Vidi sliku.

R

3)

D1

P

A1

B1

C

D

A

9.

Pravci mogu biti paralelni ili mimoilazni.

11. Ne. Promotri na modelu kocke.

13. Vidi sliku. Probodiˇste pravca PQ i ravnine ABC je toˇcka R . D

12. Ravnini BCD1 pripadaju pravci A1 C i A1 B .

13. Pravci A1 B1 i CD paralelni su s ravninom, pravac BD1 leˇzi u ravnini, a pravac A1 C probada ravninu, ima s njom jednu zajedniˇcku toˇcku.

P

15. 1) Ravnine se sijeku;

C

B

2) ravnine su paralelne.

Rjeˇsenja 6.2 8.

Trokut i cˇ etverokut.

9.

Uputa: ravninu moˇzemo odabrati po volji, ali tako da bude paralelna s dvama mimoilaznim bridovima tetraedra (i da sijeˇce tetraedar!).

10. Trokut, cˇ etverokut, peterokut i sˇ esterokut. 11. Pravcem PQ poloˇzimo ravninu okomito na ravninu ABC . Presjeˇcnica ovih dviju ravnina je pravac AQ1 . Pravac PQ probada ravninu ABC u toˇcki R .

200

Q

A

14. Pravac A1 B1 probada ravninu, ima s njom jednu zajedniˇcku toˇcku, pravci A1 C1 i BC1 paralelni su s ravninom.

R

14. Vidi sliku.


19. Ravninu paralelnu sa zadanom ravninom. 21. Vidi √ slike. Povrˇsina presjeka u oba sluˇcaja je a2 2 .


15. Ravnina poloˇzena okomicom iz toˇcke D na ravninu ABC i ravninu ABM sijeku se u pravcu MN . Sjeciˇste okomice i pravca MN jest toˇcka S , probodiˇste okomice iz toˇcke D na ravninu ABC .

6

16. Pravcem A1 C poloˇzimo ravninu ACC1 i ona ravninu BB1 D sijeˇce u pravcu S1 S2 , gdje su S1 i S2 sjeciˇsta dijagonala donje i gornje osnovice kocke. Pravci S1 S2 i A1 C sijeku se u traˇzenoj toˇcki P .

22. Vidi slike. 1) P =

3 2 a ; 8

2) P =

9a2 . 8

24. Vidi slike.

17. Pravcem B1 D poloˇzimo ravninu DBB1 . Ta ravnina i ravnina A1 BC1 sijeku se u pravcu BS , gdje je S sjeciˇste dijagonala kvadrata A1 B1 C1 D1 . Sjeciˇste P pravaca B1 D i BS probodiˇste je pravca B1 D s ravninom A1 BC1 .

28. Presjeˇcni lik je jednakokraˇcni trapez s osnovica√ 1 √ ma duljine a 2 i a 2 te krakom b duljine 2 √ 9a2 a 5 . P= . 2 8

18. Ravnine PQD1 i BB1 D sijeku se u pravcu D1 R , a sjeciˇste S pravaca D1 R i B1 D probodiˇste je pravca B1 D i ravnine PQD1 .

29. Presjek tetraedra ravninom BMN je jednakokraa cˇan trokut s osnovicom duljine i kracima du2 √ √ a2 11 a 3 (slika). Povrˇsina presjeka je . ljina 2 16

201

6


34. Ravnine su medusobno okomite. Q A1


B1

A

1 30. P = ab ako je presjek pravokutnik, te P = 4 a√ 2 4b − a2 ako je presjek trokut. 16 √ 31. P = 132 2 cm2 .

B

P

35. Ravnine su medusobno okomite. One se sijeku u pravcu SD1 . D1

B1

C

A

S

B

36. Ravnine su medusobno okomite. Njihov je presjek visina piramide.

32. P = 45 cm2 .

√ 33. Vidi slike. 1) P = 24 2 cm2 ; √ 2) P = 18 cm2 ; 3) P = 12 2 cm2 .

202

Rjeˇsenja 6.3 1.

Samo u sluˇcaju kada je barem jedan pravac paralelan s ravninom.

2.

Paralelogram.

3.

Teˇziˇsnice se projiciraju u teˇziˇsnice jer se projiciranjem cˇ uva omjer duˇzina, pa se poloviˇste stranice projicira u poloviˇste projekcije te stranice. Projekcije visina ne moraju biti visine.

4.

Paralelne su.

5.

Udaljenost poloviˇsta od ravnine je 5 cm ako su toˇcke A i B s iste, a 3 cm ako su s razliˇcite strane ravnine  .

6.

d = 6 cm√(ako su A i B s raznih strana ravnine) ili d = 4 6 (ako su A i B s iste strane ravnine).

7.

1 cm .

8.

a = 96 cm , d =

9.

Oznaˇcimo s d traˇzenu udaljenost (vidi sliku). Iz sustava jednadˇzbi 512 − d 2 = |A B|2 , 532 − d2 = |C D|2 , dijeljenjem jednadˇzbi dobivamo: 512 − d 2 36 , a odatle d = 45 cm . = 532 − d 2 49

√ 4804 ≈ 69.3 cm .

6



10. |BT| = √ |FT| = 5 cm , |CT| = |ET| = |DT| = 73 cm .

√ 57 cm ,

11. 1) a√ ; 2) Toˇcka D1 pripada ravnini ABC1 ; a 3 . 3) 3 √ √ √ a 3 a 6 2 12. 1) a 2 ; 2) ; 3) ; 4) a . 2 2 3 √ √ a 6 a 3 2 13. 1) ; 2) ; 3) a . 2 2 11

14. Udaljenost toˇcke S od ravnine BQD jednaka je udaljenosti toˇcaka S i P gdje je P probodiˇste okomice poloˇzene iz S na tu ravninu.

Tu c´ emo udaljenost u pravoj veliˇcini vidjeti u dijagonalnom presjeku gdje je ona visina jednakokraˇcnog trokuta OQS , te je moˇzemo odrediti koristeći se izrazima za izraˇcunavanje povrˇsine. a√ Dobit cémo |SP| = 6. 3

16. 1.2 cm .

17. PABC = 84 cm2 , zatim je |BC|·|AN| = 2·84 te je |AN| = 12 cm . Iz pravokutnog trokuta AND nalazimo d = 13 cm .

18. Iz√pravokutnog trokuta AC C nalazimo√ |AC| = 4 5 , a iz trokuta BDD je |BD| = 2 5 . Duljina stranice romba ABCD je 5 cm. Stoga je |A B | = |AB| = |CD| = |C D | = 5 cm , |B C | = |A D | = 3 cm .

19. Iz |AC|2 −|CA |2 = 100 nalazimo |AC|2 = 109 , a iz |BC|2 − |CB | = 100 dobijemo |BC|2 = 125 . No hipotenuza je paralelna s√ ravninom te je √ stoga |A B | = |AB| = 234 = 3 26 cm .

20. Oznaˇcimo |MM | = d . Zbog sliˇcnosti trokuta ABM i CDM te trokuta AM M i AC C imamo: 7 : 3 = |AM| : |MC| = |MM | : (|CC | − |MM |) , odnosno 7 : 3 = d : (5 − d) . Odatle je d = 3.5 cm .

15. Promotri dijagonalni presjek kocke ravninom BB1 D1 . 2 √ Traˇzena je udaljenost |DP| = a 3 , |B1 P| = 3 1 √ a 3. 3

203

6


D1

Rjeˇsenja 6.4

B1

7. 8.

9.

d = 12.5 cm . √ v = 3 15 cm . Likovi u kojima ravnine sijeku piramidu medu1 1 i sobno su sliˇcni, koeficijenti sliˇcnosti su , 4 2 3 . Stoga su povrˇsine presjeka 25 cm2 , 100 cm2 4 i 225 cm2 . d = 10 cm .

2

10. B1 = 81 cm .

Rjeˇsenja 6.5 1.

1) 43◦ 50 21 ;

2.

1) 27◦ 30 2 ;

2) 51◦ 20 25 .

3.

3 cm i 9 cm;

36◦ 52 12 .

4. 6.

8.4 cm i 12.6 cm; √ d = 5 2 cm . √ d = 10 3 cm .

7.

35◦ 15 52 .

5.

2) 39◦ 48 20 .

11. 124◦ 13 44 . 12. 97◦ 10 51 . 13. Da, doseˇzu. 14. 60◦ .

17. 30◦ ; 26◦ 34 . √ 18. 4 3 cm . √ 19. b = 10 2 , v = 10 cm .

20. Neka je toˇcka S ortogonalna projekcija vrha V na ravninu osnovke. Uoˇcimo da su trokuti ASV , BSV i CSV medusobno sukladni: pravokutni su, VS im je zajedniˇcka stranica, a |AV| = |BV| = |CV| . Stoga je |AS| = |BS| = |CS| , te je toˇcka S srediˇste kruˇznice opisane osnovci. Iz jedna

abc , nalazikosti s(s − a)(s − b)(s − c) = 4R v mo R = 22.5 cm , tg  = i  = 54◦ 53 . R

46◦ 23 50 .

54◦ 44 8 . 1 √ 9. 1) P = a2 6 ; 2) 54◦ 44 8 ; 3) 65◦ 54 19 . 4 √ a2 6 ; 2) 90◦ ; 3) 65◦ 54 19 . 10. 1) P = 4

8.

C A


6.

√ 2 3 2 a ; 21. 1) 3

√ 2) a 2 ; 2

√ 22. 1) P = 100 3 cm2 ;

√ 2 3 2 a . 3) 3

2) P = 300 cm2 .

23. 1) 45◦ ;

2) 35◦ 16 ;

3) 41◦ 49 .

24. 1) 45◦ ;

2) 54◦ 44 ;

3) 54◦ 44 .

25. Prikloni kut dviju ravnina je kut < )DSD1 .

15. 1 = 45◦ , 2 = 40◦ 45 , 3 = 15◦ 47 .

16. Promotrimo tri dijagonale povuˇcene iz vrha A . Kako je |AC| = |B1 D1 | , |B1 C| = |AD1 | , |AB1 | = |CD1 | , zato su trokuti ACB1 , ACD1 i AB1 D1 medusobno sukladni. Stoga je zbroj kutova sˇ to ih medusobno zatvaraju dijagonale kvadra povuˇcene iz jednog vrha jednak zbroju kutova u trokutu tj. 180◦ .

204

1 √ Kako je |DS| = a 2 , |DD1 | = a , stoga je 2 √ tg  = 2 , odnosno  = 54◦ 44 .


26. 1) 54◦ 44 ; 4) 29◦ 30 . √ 3 2 a . 27. P = 3

2) 28◦ 8 ;

6

3) 54◦ 44 ;

28.  = 48◦ 11 .


29.  = 70◦ 32 .

30. Pretpostavimo da je trokut ACE opisani presjek (slika). Taj je trokut jednakokraˇcan i njegov je kut < )AEC kut od 75◦ . Naime, ako toˇcka E mijenja poloˇzaj na duˇzini DD1 , kut < )AEC se mijenja, ali u granicama od 60◦ do 90◦ . Stoga ne moˇze vrijediti < )EAC = < )ACE = 75◦ jer ◦ bi tada bilo < )AEC = 30 . Dalje je: cos  = |DS| cos(< )DSE) = = tg 37◦ 30 , te |AS| · ctg 37◦ 30 je  = 39◦ 53 .

31. Oznaˇcimo s  kut < )ANC sˇ to ga zatvaraju poboˇcke ABV i BCV , a s  kut < )ABV . Tada je 1 v1 = |AN| = |AB| · sin  (cos  = ) , i zatim 6 |AB|  1 sin = = , te je  = 60◦ 56 . 2 2v1 2 sin 

32. Ako je duljina osnovnog brida a , onda je |A1 C1 | = a - je i |DC1 | = |DA1 | = a , jer , no takoder 2 2 je trokut C1 A1 D jednakostraniˇcan. Stoga je |A1 B| = |A1 C| = |A1 D| i trokut BCD je pravokutan po Talesovu pouˇcku. Jednako se dokazuje da su i ostale dvije poboˇcke pravokutni trokuti.

33. Ako je duljina osnovnog brida piramide a , on√ a 3 (polumjer osnovci opisane da je |AS| = 3 √ a 3 kruˇznice), |A1 S| = (polumjer osnovci upi6 sane kruˇznice). √ Zatim raˇcunamo: |VS| = |AS| · 3 a |VS| tg 42◦ , te tg  = . Tako tg 42◦ = 3 |A1 S| dobijemo tg  = 2 tg  i konaˇcno  = 60◦ 57 .

34.  = 57◦ 48 ,  = 72◦ 31 . 35. Dokaˇzimo iskazanu tvrdnju najprije za trokut. Tvrdnju je lako dokazati ako jedna stranica trokuta, primjerice, AB leˇzi u ravnini  . Povrˇsina 1 trokuta ABC je P = |AB| · |CC1 | . 2

Povrˇsina njegove ortogonalne projekcije, trokuta 1 1 ABC je P = |AB| · |C1 C | = |AB| · |C1 C| · 2 2 cos  = P·cos  . Ako pak imamo bilo koji mnogokut, moˇzemo ga razrezati na trokute kojima je jedna stranica paralelna ravnini pa cé povrˇsina ortogonalne projekcije biti zbroj povrˇsina ortogonalnih projekcija takvih trokuta. A povrˇsinu pojedinog trokuta nalazimo na jednak naˇcin kao i ovoga gore, s poˇcetka rjeˇsenja zadatka.

205

6


Rjeˇsenja 6.6 7.

Neka su A1 i B1 teˇziˇsta strana ABV i BCV . Ta2 1 1 2 da je |A1 B1 | = |PQ| = · a = a . Kako su 3 3 2 3 sve strane sukladni jednakostraniˇcni trokuti, jednako vrijedi i za ostale spojnice teˇziˇsta po dviju strana.


36. Najprije nalazimo P(ABC) = 84 cm2 . Iz sustava jednadˇzbi x2 + y2 = 225 , y2 + z2 = 169 z2 +x2 = 196 izraˇcunamo duljine boˇcnih bridova x , y , z . Koristeći se rezultatom prethodnog zadatka dobit cémo: 1 = 60◦ 18 , 2 = 48◦ 20 , 3 = 56◦ .

37.  = 51◦ 19 . 38.  = 43◦ 48 .

39. Presjek ravnine i kvadra je trokut PQR povrˇsine 16.44 cm2 . Povrˇsine trokuta PQV , QRV i PVR jednake su redom: P1 = 13.5 cm2 , P2 = 5.625 cm2 i P3 = 7.5 cm2 . Sada lako nalazimo kutove: 1 = 34◦ 47 , 2 = 69◦ 59 , 3 = 62◦ 51 .

206


7

7. Poliedri i rotacijska tijela

4.

Osnovke prizme obojit cémo istom bojom. Ako je osnovka mnogokut s parnim brojem stranica, bit cé dovoljne joˇs dvije boje kojima cémo naizmjeniˇcno bojiti poboˇcke. No ako je taj broj neparan (kao sˇ to je sluˇcaj s trostranom prizmom), bit cé nam potrebna joˇs jedna boja.

5.

Da, to je kocka.

6.

Iz svakog od n vrhova osnovke mogu se povući n − 3 prostorne dijagonale, dakle ukupno ih je n(n − 3) .

7.

U prizmi cˇ ija je osnovka n -terokut ima 2n vrhova i n + 2 stranice. Po Eulerovoj formuli, broj bridova je toˇcno 3n . Do tog zakljuˇcka moˇzemo doći i direktno: iz svakog vrha prizme izlaze tri brida. Svaki brid je pritom brojen dvaput, jer se na krajevima brida nalaze dva vrha prizme. Zato je ukupan broj bridova (3 · 2n)/2 .

8.

1) Ne;

9.

√ a2 3 +2av . Potom iz P1 : P2 = 2 : 3 naP2 = 4 √ √ 5a2 3 a 3 , te je konaˇcno O = = lazimo v = 4 4 √ 2 45 3 cm .


Rjeˇsenja 7.2

2) ne;

19. V = 518.4 cm3 .

20. V = 480 cm3 . √ 21. b = 10 2 cm . 1 √ 22. V = a3 3 . 4 23. Presjek je jednakokraˇcan trokut s osnovicom du√ a√ 5 . Iz podatka o povrˇsini ljine a 2 i krakom 2 nalazimo a = 6 cm , te je V = 216 cm3 .

3) da.

Paralelepiped je centralnosimetriˇcan s obzirom na presjek svojih dijagonala. √ √ a2 3 3 10. O = (18 + 3) , V = a . 18 36 11. O = 2520 cm2 , V = 5250 cm3 . 12. Iz jednadˇzbe (9k+10k+17k)·16 = 1152 dobije se k = 2 . Zatim izraˇcunamo B = 144 cm2 te konaˇcno V = 2304 cm3 .

24. Presjek je jednakostraniˇcan trokut sa stranicom √ √ √ 1 √ duljine a 2 . Dakle je (a 2)2 · 3 = 8 3 , 4 a odatle slijedi a = 4 cm . Obujam kocke je 64 cm3 . D1

13. a = 36 cm , b = 40 cm , c = 68 cm , V = 5760 cm3 . 14. Iz jednadˇzbe 2b + 3b + 4b = 45 dobije se b = 5 cm . B 15. Iz B = 4v dobivamo v = te je V = B · v = 4 B 1 B · = B2 = 315 cm3 . 4 4 16. B = 84 cm2 , v = 4 cm , O = 360 cm2 , V = 336 cm3 . 17. O = 368 cm2 .

18. Najprije raˇcunamo povrˇsine dvaju dijelova √ na koa2 3 + av , je ravnina dijeli prizmu: P1 = 4

C

A

√ 13 2 a . 25. P = 3 26. V1 : V2 = 1 : 3 .

27. Zapiˇsimo: a = D− 1 , b = D− 2 , c = D− 3 , te iz jednadˇzbe D2 = (D−1)2 +(D−2)2 +(D−3)2 , 2 odnosno √ D − 6D + 7 = 0 dobivamo D = (3 + 2) cm .

207

7


28. Iz sustava jednadˇzbi a2 + b2 = 112 , b2 + c2 = 192 , c2 + a2 = 202 , zbrajanjem svih triju jednadˇzbi dobivamo 2(a2 + b2 + c2 ) = 112 +√192 + 202 . Odatle se izravno izraˇcuna D = a2 + b2 + c2 = 21 cm .


29. Iz sustava jednadˇzbi a + b = 7 , a2 + b2 + c2 = 169 , c = 12 slijedi a = 4 , b = 3 te je O = 192 cm2 , V = 144 cm3 . 31. c = 5 cm .

32. a = 9 cm , b = 12 cm , c = 15 cm , O = 846 cm2 , V = 1620 cm3 . 33. a = 6 cm , b = 8 cm , O = 516 cm2 .

34. Pomnoˇzimo li jednadˇzbe ab = 20 , bc = 35 , ac = 28 , dobit cémo (abc)2 = V 2 = 20 · 28 · 35 , te je V = 140 cm3 . 35. a = 5 cm , b = 3 cm , c = 10 cm .

36. Zadatak ima dva rjeˇsenja: 1) a = 9 , b = 8 , c = 12 cm , V = 864 cm3 ; 2) a = 4.8 , b = 15 , c = 6.4 cm , V = 460.8 cm3 . 37. O = 160 cm2 , V = 96 cm3 .

38. Najprije zapiˇsimo: a1 = 3p , b1 = 5p , c1 = 6p , te je O1 = 126p2 . Isto tako iz a2 = 3q , b2 = 6q , c2 = 7q dobivamo O2 = 162q2 . No O1 : O2 = (126p2) : (162q2) = 7 : 9 , te je odatle p : q = 1 . I sada imamo: V1 = 90p3 , V2 = 126q3 , te je V1 : V2 = 5 : 7 . 39. Postavimo sustav √jednadˇzbi: (a2 + c2 )b2 = a2 b2 + b2 c2 = (24 28)2 , (b2 + c2 )a2 = a2 b2 + a2 c2 = 1022 , (a2 +b2 )c2 = a2 c2 +b2 c2 = 1502 . Primjećujemo kako je rijeˇc o simetriˇcnom sustavu jednadˇzbi s nepoznanicama (ab)2 , (ac)2 i (bc)2 . Rjeˇsenje zadatka je: O = 516 cm2 , V = 720 cm3 .

40. Dovoljno je naći omjer u kojem su osnovke dviju uspravnih prizmi, jer one imaju jednaku visinu. Taj je omjer 1 : 4 . 41. Toˇcka N noˇziˇste je okomice spuˇstene iz vrha D na dijagonalu AC osnovke. U trokutu DND1 24 slijedi je < )DND1 = 30◦ te jer je |DN| = 5 8√ |DD1 | = 3 cm . 5

208

42. V = 480 cm3 . √ 2 3 D . 43. V = 8 44. Oznaˇcimo dijagonale osnovke prizme s e = BD , f = AC . Dijagonala iznad BD krac´ a je, te iz pravokutnog trokuta DBD1 imamo e2 + 4 = 25 . Analogno, iz trokuta ACC1 dobit cémo f 2 + 4 = 64 . Iz tih je dviju jednadˇzbi e2 + f 2 = 81 . Posljednju jednakost zapi e 2 f 2 9 2 sˇ imo u obliku + = te je 2 2 2 9 odatle a = . Povrˇsina poboˇcja prizme izno2 si P = 4av = 36 cm2 . 1 45. Iz B = ef , Q1 = ev , Q2 = f v nalazimo 2 1√ Q1 · Q2 te je V = v= 2BQ1 Q2 . 2B 2 46. V = 12 cm3 . 135 √ 3 cm3 . 47. V = 2 √ 48. V = 108 3 cm3 . √ 49. 4 3 cm . √ 50. V = 300 3 cm3 . √ √ 51. O = 27(4 + 3) ≈ 154.77 cm2 , V = 81 3 ≈ 140.3 cm3 . 52. Oznaˇcimo s d duljinu dijagonale √ √poboˇcke. Tada je d2 = a2 + v2 , ali i d 2 = a 3 . Iz tog sustava jednadˇzbi dobit cé se √ a2 = 2v2 , a povrˇsina 2 poboˇcja je P = 6av = 6v 2 . 53. Iz sustava jednadˇzbi 3a2 + v2 = √ 576 , 4a2 + v2 = 625 dobivamo a = 7 , v = 429 cm , te je V ≈ 2638.8 cm3 .

54. Povrˇsina jedne poboˇcke je av = 108 cm2 , duljina dijagonale poboˇcke je 15 cm , tj. a2 + v2 = 225 . Imamo dva rjeˇsenja: (1) a = 12 , b = 9 cm ; (2) a = 9 , b = 12 cm .


V

Rjeˇsenja 7.3

4.

5.

Projiciramo vrh piramide okomito na ravninu baze. Povrˇsina poboˇcja veća je od povrˇsine projiciranog lika, a ovaj je jednak povrˇsini baze (ako projekcija vrha pada unutar baze) ili cˇak veći od povrˇsine baze (ako projekcija vrha pada van baze).

Ako su svi bridovi piramide jednake duljine, sve poboˇcke piramide jednakostraniˇcni su trokuti i njih moˇze biti najviˇse 5 . Viˇse ne, jer bi tada zbroj kutova na poboˇckama pri vrhu piramide bio veći od 360◦ . Tako piramida kojoj su svi bridovi jednake duljine moˇze imati najviˇse 10 bridova. Postoji! Takva je piramida primjerice pravilni tetraedar. No nije i jedina. Nacrtajmo neki raznostraniˇcan trokut ABC te mu povucimo srednjice, spojnice poloviˇsta njegovih stranica. Dobili smo tako mreˇzu piramide cˇ ije su sve strane sukladni (raznostraniˇcni) trokuti. Jedini je uvjet da su svi kutovi trokuta ABC sˇ iljasti. Ako bi trokut bio tupokutan, iz njega se opisanom konstrukcijom ne bi mogla dobiti piramida. Kad bi primjerice kut  bio tup, bio bi veći od kutova  i  zajedno te se nad  ne bi mogao zatvoriti prostorni kut. Uvjeri se u to pokuˇsajem. C g

S

E1

C

A

a

b ga C1

B1

A

8.

9.

A1

B

V = 21 cm3 . √ √ 2 5 cm , 5 cm , 13 cm .

10. V = 189 cm3 . 1 1 11. 1) a3 ; 2) a3 ; 6 6 √ 2 3 12. V = a . 12 1 3 a . 13. 6

3)

1 3 a ; 6

4)

1 3 a . 6

14. V ≈ 7869 cm3 . 15. V = 1280 cm3 .

17. Prikloni kut boˇcnog brida prema ravnini osnov- boˇcnih strana i ke iznosi 57◦ 48 , a kut izmedu ◦ osnovke je 72 31 . 18. V = 340 cm3 .

A1

B1

6.

E


3.

7

b

abc = 8.125 cm , v = R tg  4P ( = 70◦ ) , V ≈ 625.05 cm3 . √ 196 3 cm3 . 20. V = 3 √ √ 6 2 21. B = 4 6 cm , r = cm , v = r tg  ( = 2 ◦ 3 48 30 ) , V ≈ 4.52 cm . 19. B = 84 cm2 , R =

B

To se moˇze postići i na slikama su dane mreˇze takvih piramida.

22. Iz uvjeta V1 : V2 = h3 : (h − x)3 = 2 izraˇcuna se x . 500 √ 7 cm . 23. V = 3

7.

Pretpostavka je da je < )VA1 S = < )VB1 S = . . . gdje su A1 , B1 . . . noˇziˇsta visina boˇcnih strana na bridovima osnovke. Uoˇci sukladnost trokuta VA1 S , VB1 S . . . Iz te sukladnosti proistjeˇcu dokazi svih iskazanih tvrdnji.

24. V = 5292 cm3 .

25. a = 30 cm , v = 20 cm , V = 6000 cm3 . √ 26. V = 36 3 cm3 . √ 27. P = 16 2 cm2 .

209

7


√ √ √ d2 3 = 2 3 dobijemo d = 2 2 cm te 4 √ je a = 2 cm . Dalje nalazimo b = 2 6 cm , √ 4√ v = 22 te je V = 22 cm3 . 3

28. Iz

√ 32. O = 4 3 m2 33. P = 32 cm2 . 34. v = 2 cm . 35. V = 372 cm3 .


36. V = 1900 cm3 .

37. V = 32 cm3 .

1 1 Bv , 2 = B1 v1 do3 3 bivamo B1 = 6 cm2 , Bv = 162 cm3 . Dalje je B = 6v2 te konaˇcno v = 3 cm , B = 54 cm2 .

38. Iz sustava jednadˇzbi 54 =

29. Presjek piramide je trapez s osnovicama duljina a 3 a a i , te visinom . Stoga iz P = a2 = 27 2 2 8 √ slijedi a2 = 72 te je V = 72 6 cm3 .

39. V = 2325 cm3

40. Povrˇsine su jednake 20 cm2 , odnosno 45 cm2 . v 41. V = (a2 + ab + b2 ) 3 42. 20 cm i 10 cm .

Rjeˇsenja 7.4

30. Presjek je trokut BND . Iz podatka za njegovu povrˇsinu nalazimo a = |AB| = 2 cm . Obujam 4√ piramide je V = 6 cm3 . 3

1.

V = 160 cm3 .

2.

r = 4 cm , v = 14 cm .

3.

2 O =  = 8 , odatle je √ 2r (r + v) = 4r √ r = 2 cm , pa je V = 2 2 cm3 . a r= , d = v = a. 2 O = 144 cm2 , V = 216 cm3 .

4.

5.

√ 3 3 cm , 31. Naći cémo |AB| = 6 cm , |CD| = 2 27 B = cm2 . Manji dio prizme sˇ to je do2 biven opisanim presjekom ima obujam V1 = 27 √ 81 √ 3 cm3 , a veći V2 = 3 cm3 , te je obu4 √ 4 3 jam V = V1 + V2 = 27 3 cm .

6.

Iz sustava jednadˇzbi 2r + v = 10 , rv = 8 dobivamo kvadratnu jednadˇzbu x2 − 10x + 16 = 0 cˇija su rjeˇsenja v i r . 1) r = 4 cm , v = 2 cm , O = 48 cm2 , V = 32 cm3 ; 2) r = 1 cm , v = 8 cm , O = 18 cm2 , V = 8 cm3 .

7.

Najprije je 2r + v = p pa potom imamo: 1) O = 2r (r + v) = 2r p − 2r2  . Najveća p je vrijednost ove funkcije za r = . No tada je 2 v = 0 i takav valjak ne postoji. 2) P = 2r v − 2r p − 4r2  , te je plaˇst najveći p ako je r = . 4 m 1000 g Kako je = 8.9 g/cm3 = , dobije V V 1 se V = m3 (primijetimo da je 1 m3 = 8900 106 cm3 ). Iz V = r2  v nalazimo v = 143 m .

8.

210


Obujam valjka je 250 cm3 = 785.4 cm3 . Kako je obujam kocke 1000 cm3 , razlika obujama je 214.6 cm3 = 214.6 · 10−6 m3 . Sada iz 106 x jednadˇzbe 8500 kg/m3 = nalazimo 214.6 m3 x = 1.824 kg . √ 10. 9 3 cm3 . r 11. Kako je |ST| = , slijedi da je  = < )ASB = 2 ◦ 120 . Tada je duljina kruˇznog luka sˇ to odgovara tom luku 4 . Tijelo, cˇ iju povrˇsinu traˇzimo, omedeno je dvama kruˇznim odsjeˇccima, pravokutnikom (lik u kojem ravnina sijeˇce valjak) te dijelom valjkaste plohe. Ta je povrˇsina pribliˇzno jednaka 250.85 cm2 . A

3.

 = 180◦ .

4.

 = 108◦ .

11. O = 24 cm2 .

√ 12. r = 5 cm , s = 15 cm , v = √ 10 2 cm , 250 2 O = 100 cm2 , V =  cm3 . 3 13. Najprije, iz podatka za kut, nalazimo 5r = 3s , a a odatle se dobije r = 15 cm , s = 25 cm , te je P = 375 cm2 . √ 14. O = 33 cm2 , V = 3 55 cm3 . √ 1 15. P = 100 cm2 , V = · 250 3 cm3 . 3 16 √ 17. P = 59 cm2 . 3


9.

7

S

B

18. V = 96 cm3 .

19. r = 9 cm , s = 15 cm , O = 216 cm2 ,  = 216◦ .

20. O = 192 cm2 .

12. P ≈ 1490.23 cm2 . 13. d = 6 cm .

14. Duˇzinom AB poloˇzit c´ emo ravninu paralelnu osi valjka. Ta ravnina sijeˇce valjak u pravokutniku A1 BB1 A . Iz |AA1 | = 16 i |AB| = 20 nalazimo |A1 B| = |AB1 | = 12 cm . Udaljenost koju traˇzimo jednaka je 8 cm . A

A1

S

B1

21. r = 12 cm , v = 16 cm , V = 768 cm3 . √ √ √ 22. 1) O = 9 2(2 + 2) cm2 , V = 18 2 cm3 ; 8 √ 2) O = 12 cm2 , V =  3 cm3 ; 3 √ √ 3) O = 6 (3 + 2 3) cm2 , V = 6 6 cm3 . 23. Vs : Vk =  : 12 .

24. U dijagonalnom presjeku uoˇcavamo sliˇcne trokute ASV i A1 PV . Odatle√je |AS| : |A1 P| = x 2 |VS| : |PV| , odnosno r : = v : (v − x) , 2 gdje je s x oznaˇcena duljina brida kocke. Dobije 2rv √ . Kako je stoˇzac jednakosse x = 2r + v 2 √ traniˇ√ can,√tj. s = 2r , onda je v = r 3 , pa je x = 3( 6 − 2)r .

B

15. |AB| = 40 cm .

Rjeˇsenja 7.5 1. 2.

√ 3 3 cm . v= 2 3√ v= 7 cm . 2

√ a3 6 25. V = . 27

211

7


26. d = 2(6 −

√ 3) cm .

7 V. 27 30. v = 24 cm , s = 25 cm . 29. 9 : 4 : 1 , V1 =


31. R = 10 cm , r = 4 cm , s = 10 cm , v = 8 cm , O = 256 cm2 .

10. Obujam Zemlje 6.7 puta je veći od obujma Marsa, tj. omjer obujama Zemlje i Marsa je 1000 : 149 . 250 ≈ 9.26 cm . 11. 27 12. 5 cm .

32. 19 : 37 : 61 . 32 80 cm , r = cm . 33. R = 7 7 34. 1816 cm . 2

13. 6.88 cm .

14. l = 13.44 cm .

15. 1098 ( 24.4 % obujma kugle nalazi se u valjku).

35. v = 15 cm , R = 22 cm , r = 6 cm , O = 996 cm2 .

16. V =

36. r = 2 cm , R = 5.5 cm , s = 12.5 cm .

18.

37. v = 8 cm .

38. R = 20 cm , r = 10 cm . √ 1+ 5 R = . 39. r 2

Rjeˇsenja 7.6

416  cm3 . 3

5 . 16

2 19. V = 12  cm3 . 3 22. V = 900 cm3 . √ 5−1 23. . 2

24. V = 18 432 cm3 .

3.

P = 1600 cm . √ R 2 d= . 2 Dva su rjeˇsenja, d1 = 5 cm , d2 = 1 cm .

4.

R = 30 cm .

5.

Iz podataka danih u zadatku nalazimo: |PS1 |2 + |PS2 |2 = 377 . I zatim dalje: R2 = |AS|2 = |PS|2 + |AP|2 = 441 , te je R = 21 cm .

1. 2.

8.

256  cm3 . 3 256 32 ,  , 288 . 2) 3 3 √ R = 3 100 ≈ 4.64 cm .

9.

V = 288 cm3 .

6. 7.

212

2

V=

26. V =

3087  cm3 . 16

32  cm3 . 28. R = 2 cm , V = 3 √ a3 2 √ (3 3 − 5) . 29. V = 12

31. Rjeˇsavaj √ kao prethodni zadatak. Rezultat je 2− 3 a. r= 2 32. U osnom presjeku imamo krug upisan jednakokraˇcnom trapezu. Prema teoremu o tangencijalnom cˇ etverokutu moˇzemo zapisati 2b = 68 , a odatle je b = 34 cm . Potom iz Pitagorina pouˇcka dobijemo v = 2R = 30 cm te je polumjer kugle jednak 15 cm i V = 4500 cm3 .


7

Rjeˇsenja 7.7

2. 3.

Traˇzene se toˇcke nalaze na krajevima promjera koji prolazi toˇckom T . Ta je kruˇznica presjek sfere i ravnine odredene sa zadane tri toˇcke.


1.

Bilo koje tri toˇcke opisane kruˇznice osnovci i vrh - sferu koja je opisana piramidi. piramide odreduju Ista tvrdnja općenito vrijedi i za svaku uspravnu prizmu.

4.

Usporedi s proˇslim zadatkom.

5.

Heronovom formulom nalazimo povrˇsinu trokuta, P = 84 cm2 . Polumjer kruˇznice upisane tom trokutu dugaˇcak je 4 cm . Traˇzena je udaljenost 3 cm .

6.

d = 12 cm .

7.

Presjeˇcna krivulja je kruˇznica polumjera r = 12 cm . Njezina je duljina 24 cm .

8.

d = 41.88 cm .

9.

V=

1125  cm2 . 2

10. Pa + Pb = Pc . √ 11. O = 4 3 cm2 .

13. Promotrimo osni presjek. Trokut ABC je jednakostraniˇcan, trokut ABD pravokutan (upisan je polukruˇznici), pa je toˇcka D poloviˇste stranice AC . Duˇzina DE srednjica je trokuta ABC . Stoga je l = r .

14. U osnom presjeku uoˇcavamo sliˇcne trokute √ POS i PSV , te je stoga |PS|2 = 2 = d(16 3 − d) , gdje je d = |OS| . Iz √ sliˇcnosti√trokuta AOV i PSV imamo d = 16 3 −  3 . Tako je  = 12 cm , l = 24 cm .

15.

1 . 26

√ 9 3  cm3 . 16. V = 8 √ √ a 6 a 6 , r= . 17. R = 4 12 √ √ a 2 a 6 , R= . 18. r = 6 2

19. U presjeku kocke ravninom simetrije paralelnom jednoj strani kocke dobit cé se kruˇznici upisan kvadrat. Kruˇznica je najveći presjek sfere, a kva√ drat je sukladan√strani kocke. Tako je 2R = a 2 , 2 a. odnosno R = 2

20. Smjestit c´ emo tetraedar u kocku tako da bridovi tetraedra budu dijagonale suprotnih strana kocke. Kugla koja dira sve bridove tetraedra zapravo je kugla upisana ovoj kocki. Oznaˇ √ cimo li brid x a 2 kocke s x , onda je R = = . 2 4

21. Ako dana piramida ima n strana, svaka je njezina strana osnovka piramide s vrhom u srediˇstu sfere. Time smo danu piramidu podijelili na n manjih piramida od kojih svaka ima visinu jednaku polumjeru upisane sfere velikoj piramidi. Sada joˇs valja zbrojiti obujme tih n piramida, te cé se do1 1 biti: V = V1 + V2 + . . . + Vn = B1 r + B2 r + 3 3 1 1 1 . . .+ Bn r = (B1 + B2 + . . .+ Bn )r = O·r = 3 3 3 1 3 120 · 6 = 240 cm . 3

213

7


2. 3.

4.

5. 6.

214

8.

√ 1 1) O = a2 3 , V = a3  ; √4 3 3 3 2 a ; 2) O = a  , V = 4 24 √ 1 3) O = 2a2 3 , V = a3  . 2 Oploˇsje se sastoji od povrˇsina plaˇsteva dvaju stozˇ aca i iznosi O = r a + r b = 336 gdje je r = 12 cm , duljina visine na stranicu c trokuta. Obujam je jednak zbroju obujama dvaju stoˇzaca i iznosi 672 cm3 .

a 1) r = , v = b , O = 2 1 V = a2 b ; 4 b 2) r = , v = a , O = 2 1 V = ab2  . 4 V(a) : V(b) = b : a .

O = 168 cm2 , V = 192 cm3 . √ 1 √ 12. O = a2  2 , V = a3 2 . 6

9.

Rjeˇsenja 7.8 1.

7.


√ 2 dobivamo  = 20◦ 42 . 22. Iz sin  = 4 23. Srediˇsta svih cˇetiriju sfera odreduju pravilni tetraedar s bridom duljine 12 cm . Polumjer sfere √ opisane tom tetraedru je 3 6 cm . Ima dvije sfere koje diraju dane cˇ etiri i one su koncentriˇcne sferi sˇ to je opisana spomenutom pravilnom tetraedru. Jednoj je polumjer za 6 cm manji, a drugoj za 6 cm veći od polumjera √ te sfere. Tako za manju sferu imamo r = 3 6 − 6 , a za veću √ R = (3 6 + 6) cm .

1 a (a + 2b) , 2 1 b (2a + b) , 2

Iz sustava jednadˇzbi a−b = 4 , 192 = 2b (a+ b) , dobiva se a = 10 cm , b = 6 cm te je V = 600 cm3 . 15 cm , O1 = 248 , a = 16 cm , b = 2 1185 799  , O1 −O2 =  = 99.875 cm2 . O2 = 8 8 O = 2(15 + 8 ) cm2 , V = 15 cm3 . √ 1 1) O = b (b + a2 + b2 ) , V = a b2 ; 3 √ 1 2) O = a (a + a2 + b2 ) , V = a2  b ; 3 ab ab r , r = l √ 3) O = r (a + b) , V = . 2 3 a + b2

13. V(e) : V(f ) = f : e = ctg 15◦ = 2 + √ 14. P = 4a2  3 . 9600  cm3 . 15. V = 29 16. 1) O = 60 cm2 , V = 64 cm3 ; 2) O = 84 cm2 , V = 80 cm3 . 17. O = 160 cm2 , V = 184 cm3 . √ 18. P = 3 3a2  .

19. V = 3064 cm3 .

√ 3.


Kazalo pojmova asimptota, 8 baza potencije, 5 —, prirodnog logaritma, 34 Cavalierijev princip, 126, 128 centralna simetrija, 99 centralna sliˇcnost, 100 cilindriˇcno tijelo, 188 dekadski logaritam, 23 dodekaedar, 119, 120 eksponencijalna funkcija, 3, 4, 5 eksponent, 3 Eulerova formula, 119 heksaedar, 119, 120 homotetija, 100 ikosaedar, 119, 121 izometrija, 98 izvodnica, 131 inverzna funkcija, 25 injektivnost eksponencijalne funkcije, 14 karakteristiˇcni presjek valjka, 154 — —, stoˇsca, 162, 167 koeficijent homotetije, 102 koeficijent sliˇcnosti, 102 konveksan poliedar, 118 kuglin isjeˇcak, 178 kuglin odsjeˇcak, 175 kuglin pojas, 185 kuglin sloj, 177 kuglina kapica, 185 logaritam, 20 —, po bazi a , 20 mreˇza kocke, 135 oktaedar, 120 ortogonalna projekcija, 92 osna simetrija, 99 osni presjek valjka, 154 — —, stoˇsca, 162 opća logaritamska funkcija, 19 paralelepiped, 132 piramida, 143 —, krnja, 149 —, pravilna, 143

plaˇst stoˇsca, 161 —, valjka, 153 poboˇcje prizme, 131 poboˇcje piramide, 143 poluravnina, 116 poluprostor, 117 pravci, mimoilazni, 72 —, paralelni, 71 —, ukrˇsteni, 71 pravilni poliedri, 119 prirodni logaritam, 34 prizma, 131 ravnine, okomite, 84, 85, 87 —, paralelne, 84, 85 rotacijska tijela, 188 simetralna ravnina, 97 sfera, 183 sferni trokut, 184 srediˇste homotetije, 100 srediˇste simetrije, 99 stoˇzac, 155 —, uspravan, 155 —, krnji, 160 strane tetraedra, 110 svojstva logaritamske funcije, 30 tetraedar, 78, 120 —, pravilan, 119, 120 teˇziˇsnica tetraedra, 79 teˇziˇste tetraedra, 79 toˇcke, kolinearne, 69 —, komplanarne, 69 —, nekomplanarne, 69, 78 tranzitivna relacija, 86 valjak, 153 valjkasto tijelo, 188 visina prizme, 131 —, piramide, 143 —, tetraedra, 88 —, stoˇsca, 161 —, valjka, 153 znanstveni zapis broja, 62 zrcalna simetrija, 97

215

OG LE DN IP RIM JE RA K Zagreb, prosinac 2013.

Matematika2 Dio2 Za Gimnazije i Tehnicke Skole

Recommend Documents