Fizički fakultet Univerzitet u Beogradu
Merenje ubrzanja Zemljine teže matematičkim klatnom Izveštaj
Student: Jelena Grčić Grčić 1166
Oktoar !"1#$% Beograd
&eorij'ki uvod Matematičko klatno je o'(ilatorni 'i'te) koji 'e 'a'toji iz nei'tegljive niti zane)arljive )a'e% a značajne du*ine% na koju je oešena kugli(a zane)arljivo )ali+ di)enzija u odno'u na du*inu niti i znatno veće )a'e od )a'e niti i koji )o*e da o'(iluje ,od uti(aje) -e)ljine te*e$ .avnote*ni ,olo*aj kugli(e je i',od tačke vešanja$ /akon što 'e kugli(a izvede iz ravnote*nog ,olo*aja 0za )ali ugao " ϕ#2 i ,u'ti ez ,očetne rzine% klatno ,očne da o'(iluje u vertikalnoj ravni$ 3retanje )ate)atičkog klatna 'e vrši ,o krugu ,olu,rečnika l 0'lika 1$2% odno'no 'a)o u dve di)enzije% gde je l du*ina klatna$ 4olo*aj klatna ,rati 'e ,reko ,o)enutog ugla ϕ koji nit zakla,a 'a vertikalo) i koji 'e )eri u ')eru 'u,rotno) od kazaljke na 'atu$
Slika 1. Shematski prikaz matematičkog klatna
!
/a 'a)o klatno% i njegovo kretanje% direktno utiče gravita(iona 'ila mg 0odno'no njena tangen(ionalna ko),onenta F5)g'in ϕ2 kao i 'ila zatezanja niti & 0u')erena od kugli(e ka tački vešanja2$ Ot,or vazdu+a 'e zane)aruje$ akle kretanje kugli(e o,i'ano je jednačino) ma=mg + T $
4rojek(ijo) ove jednačine na ,rava( tangente doija)o jednačinu kretanja: ml φ´ =−mgsinφ ,
're7ivanje) doija 'e g φ ´ + sinφ =0 $ l
-a )ali ugao ϕ va*i a,rok'i)a(ija 'inϕ≈ϕ% te 'e jednačina 'vodi na jednačinu linearnog +ar)onij'kog o'(ilovanja 2
´ + w φ= 0 φ %
,ri če)u je kru*na uče'tano't ω=
√
g l %
odno'no ,erioda T =
2 π
ω
=2 π
√
l g $
8ate)ačiko klatno )o*e 'e kori'titi za odre7ivanje urzanja -e)ljine te*e% ,o)oću for)ule za izračunavanje ,eriode% ali 'a)o za dovoljno )ale a),litude o'(ilovanja$ akle% )erenje) ,erioda T u funk(iji du*ine l )ate)atičkog klatna% doijaju 'e ek',eri)entalni ,oda(i u 'kladu 'a funk(ionalno) zavi'nošću T =
2 π
√ g
√ l %
,o kojoj je ,eriod linearna funk(ija kvadratnog korena du*ine )ate)atičkog klatna% odno'no T =k √ l %
9
odakle 'ledi da je nagi ove linearne zavi'no'ti k =
2 π
√ g $
Iz nagia ove linearne zavi'no'ti% odno'no ,rave 0koja najolje tuje za doijene ek',eri)entalne ,odatke2% izračunava 'e g ,o 'ledećoj for)uli: 2
g=
4 π 2
k
$
;,aratura ;,aratura 0'lika !$2 'e 'a'toji od 'talka na čije) vr+u 'e n alazi kotur K % koji 'lu*i za )enjanje du*ine 'a)og klatna% kroz koji ,rolazi nei'tegljivi 'avitljivi kona( 0nit2 o čije) donje) kraju je okačena olovna kugli(a$ /a 'talku 'e nalazi )etar'ka traka za )erenje du*ine klatna$ 3ako i 'e izegla greška ,ri očitavanju du*ine klatna% odno'no ,aralak'a% na 'talku je )ontiran ,r'ten$
Slika 2. Matematičko klatno sa koturom za menjanje dužine
Sa)a du*ina klatna doija 'e kao arit)etička 'redina vredno'ti du*ine klatna ez tela i du*ine klatna 'a telo)$ 8erenje vre)ena o'(ila(ija% nakon što je telo izvedeno iz ravnote*e% vrši 'e +rono)etro) koji )o*e iti )e+anički ili digitalni$
4o'tu,ak rada i )erenja
<
4re ,očetka rada ,otreno je ,roveriti da li je 'talak% i (ela a,aratura% u ravni 'a ,odlogo)$ Ukoliko nije% ,ode'iti zavrtnje 'a donje 'trane i i',raviti$ -ati) ,o)oću kotura 3% na vr+u a,arature% odarati du*inu )ate)atičkog klatna$ 3ako i iz)erili odaranu du*inu klatna% odno'no r a'tojanje (entra kugli(e od tačke vešanja% ,otreno je iz)eriti ra'tojanje gornjeg kraja kugli(e lg od tačke vešanja i ra'tojanje donjeg kraja kugli(e ld od tačke vešanja$ u*ina klatna doija 'e arit)etičko) 'redino) vredno'ti ova dva ra'tojanja$ -a )erenje ,erioda% za ,ret+odnu odaranu du*inu )ate)atičkog klatna% izve'ti kugli(u iz ravnote*nog ,olo*aja za ugao )anji od # o i ,u'titi je ez ,očetne rzine$ &o) ,riliko) kona( ne ')e iti laav$ -ati) 'e )eri o'(ilovanje većeg roja o'(ila(ija n% u naše) 'lučaju !"% i to k=9 ,uta$ &i)e 'e doija rezultat 'erije )erenja >t1% t!%?%tk@% gde je t i trajanje n o'(ila(ija iz)ereno u iAto) )erenju$ 8erenje ,erioda izvršiti za više du*ina )ate)atičkog klatna 0u naše) 'lučaju 62$ .ezultate )erenja u,i'ati u taelu čije zaglavlje 'adr*i 'ledeće: /o
lg 0()2
ld 0()2
l 0()2
√l
∆l
0√()2
0()2
1
ti 0'2
t' 0'2
∆t 0'2
& 0'2
∆ & 0'2
"$1
Orada rezultata )erenja 3ao što je već u delu o ,o'tu,ku ,o)enuto% du*ina klatna 'e izračunava kao arit)etiška 'redina za l g i ld: l=
odakle 'ledi da je
∆ l=
∆ l g+ ∆ l d 2
=1
l g + ld 2
%
))$
/akon 'vi+ )erenja trajanja o'(ila(ija 0za jednu du*inu klatna2 izračunava 'e 'rednje trajanje n o'(ila(ija: t =
t 1 + t 2+ … + t k k
$
#
S ti) da 'e greški 'vakog ,ojedinačnog )erenja dodaje greška 0ljud'kog2 reek'a ∆tr% koja 'e )eri digitalni) +rono)etro) 0)eri 'e vre)e ,otreno da 'e +rono)etar 'to,ira2$ S oziro) da 'e u naše) ,ri)eru kori'ti digitalni +rono)etar ')atraće)o da je greška izgradnje ≈"% odno'no da uku,na greška ,ojedinačnog )erenja izno'i: ∆ t s= √ ∆ t r + ∆ t g =√ ∆ t r =∆ t r % 2
2
2
i ona 'e uzi)a da je i'ta za 'va )erenja$ Greška trajanja n o'(ila(ija 'e odre7uje tako što 'e na7e )ak'i)alna a,'olutna devija(ija od t :
∆t)aC5 )aC>It1AtI% It!AtI%?% ItkAtI@$ -a konačnu grešku za t 'e uzi)a ∆t5 )aC>∆t)aC% ∆t'@$ 4eriod o'(ilovanja i njegova greška 'e izračunavaju ,o 'ledeći) for)ula)a: T =
t n % odno'no greška
T =
t n $
/akon doijanja 'vi+ rezultata% na(rtati grak ,erioda u funk(iji kvadratnog korena du*ine )ate)atičkog klatna 0 √ l2$ -ati) 'e gračko) )etodo) ,ovuče najolja ,rava i odredi njen koe(ijent ,rav(a k$ -a odre7ivanje ovog koe(ijenta na najoljoj ,ravoj izarati tačku ;% iz)e7u ,rve i druge u(rtane ek',eri)entalne tačke% i tačku B iz)e7u ,o'lednje dve ek',eri)entalne tačke$ I)ati na u)u da ,ri odairu ovi+ tačaka 'e uz)u one 'a što )anjo) greško) očitavanja$ 3oordinate ovi+ tačaka C ;%B i D;%B za,ravo ,red'tavljaju odgovarajuće vredno'ti √ l i T $ Stoga for)ula za koe(ijent ,rav(a 0nagia2 gla'i: k =
y B− y A x B− x A
%
a greška i'tog 'e računa ,o for)uli:
|
∆ k ∆ y B− ∆ y A = k y B− y A
|| +
∆ x B− ∆ x A x B− x A
|
$
Greška ∆C;% odno'no ∆D;% 'e ,ro(enjuje tako što 'e uz)e veća greška od dvaju ek',eri)entalni+ tačaka i 'aere 'a greško) očitavanja vredno'ti C ;% odno'no D ; 0za ∆D;2$ ;nalogno 'e nalaze i greške za tačku B$ oijeni koe(ijent ,rav(a% i grešku i'tog% ,ri)eniti u for)uli za izračunavanje g: 6
2
g=
4 π 2
k
%
kao i u for)uli za njegovu relativnu grešku ∆ g=
g∗2∗∆ k % k
zati) iz doijene relativne greške izračunati a,'olutnu grešku za g% )ajorirati je i zaokru*iti rezultat )erenja u 'kladu 'a na7eno) a,'olutno) greško)$ 8etodo) naj)anji+ kvadrata 08/32 'računati nagi i od'ečak najolje ,rave i u(rtati je i',rekidano) linijo) na grak$ 4onoviti ,o'tu,ak izračunavanja g 'a ovako odre7eni) nagio) i u,orediti rezultate gračkog )etoda i )etoda naj)anji+ kvadrata$
E
.ezultati -a 'vaku ,ojedinačnu du*inu klatna l )eri 'e ,o tri ,uta ,eriod od !" o'(ila(ija 0izuzev za du*ine l !59$ () i l #5E"%"# ()% gde 'e )eri ,o < ,uta2$ O'novni ,eriod o'(ila(ija T 'e doija deljenje) arit)etičke 'redine iz)ereni+ vre)ena trajanja o'(ila(ija 'a roje) o'(ila(ija 0!"2$
/o
lg 0()2
ld 0()2
l 0()2
√l 0√() 2
∆l 0()2
/ 1H
1
!$"
9"$E
!$
#$#
"$1
!"
!
9$"
<"$
9$
6$9
"$1
!"
9
<$
#1$"
<$
E$1
"$1
!"
<
#$<
61$<
6"$<
E$
"$1
!"
#
6$1
E1$"
E"$1
$<
"$1
!"
6
E$E
"$
E$
$
"$1
!"
ti 0'2 !1$ !1$ !1$ !<$9 !<$6 !#$< !#$< !$< !$9 !$9 91$1 91$" 91$" 99$# 99$< 99$" 99$" 9#$ 9#$ 9#$
t' 0'2
∆t 0'2 & 0'2
∆ & 0'2
&! 0'!2
!1$
"$!
1$"
"$"1
1$1
!<$
"$6
1$!#
"$"9
1$#6
!$9
"$!
1$
"$"1
!$"!
91$"
"$!
1$##
"$"!
!$<"
99$!
"$9
1$66
"$"!
!$E6
9#$
"$!
1$E"
"$"1
!$
Tabela 1. Zavisnost perioda od korena dužine klatna
-a grešku 'vakog ,ojedinačnog )erenja uzeta je vredno't ,ro(enjene greške ∆tr koja izno'i "$! 'ekunde 0iz)erena digitalni) +rono)etro)2$
grak
Obrada rezultata /a o'novu koordinata izarani+ tačaka ;0#$% 1$1#2 i B0$#% 1$E2% koe(ijent ,rav(a 0nagi2 izno'i: k =
y B− y A x B− x A
=
1.7 −1.15 8.5 −5.8
=0.2
%
a relativna greška nagia
|
∆ k ∆ y B− ∆ y A = k y B− y A
|| +
∆ x B− ∆ x A x B− x A
|
= 0.01
$
4ri)eno)% ovako doijenog% koe(ijenta ,rav(a ,ri izračunavanju urzanja g doija)o da ono izno'i 2
g=
4 π 2
k
−2
= 987∗10
cm 2
s
= 9.87
m 2
s
%
a njegova relativna greška ∆ g=
g∗2∗∆ k m = 9.87∗2∗0.01=0.20 2 k s %
odno'no% konačno g=( 9.87 ± 0.20 )
m s
2
(
= 9.9 ± 0.2
)
m s
2
$
1"
