Matemáticas 2

Matemáticas 2

Rocio Guadalupe Balderas Robledo Santiago Alonso Palmas Pérez

Nombre del alumno (a)

Escuela

Grupo

Querido alumno (a) de secundaria: Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia. Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRA GRATUIT TUITA, A, PROHIBIDA SU VENT VENTA A

Maestra (o): Consulta los Libros de Texto de Secundaria en línea, en la siguiente dirección electrónica http://libros.conaliteg.gob.mx/

Matemáticas 2

Rocío Guadalupe Balderas Robledo Santiago Alonso Palmas Pérez

1

COORDINACIÓN EDITORIAL

Roxana Martín-Lunas Rodríguez EDICIÓN

Isaura González Gottdiener AUTORÍA

Rocío Guadalupe Balderas Robledo y Santiago Alonso Palmas Pérez COLABORACIÓN ESPECIAL

Pedro Damián Dimas López y Antonio Rafael Ortiz Herrera “Gritón” REVISIÓN TÉCNICA Y PEDAGÓGICA

Muriel del Olmo

CORRECCIÓN DE ESTILO

Eduardo Mendoza Tello y Alógrafo/Rosa Trujano López DISEÑO DE INTERIORES

C&Newton Estudio, Alba Rojo, Maia Fernández Miret y Monocromo DISEÑO DE CUBIERTA

Monocromo y Alógrafo / Rosa Trujano López FORMACIÓN ELECTRÓNICA

Alógrafo/Rosa Trujano López COORDINACIÓN ICONOGRÁFICA

Elena Martín-Lunas Rodríguez ILUSTRACIONES

Carlos Alberto Orenda Trujano y Matías Echenique FOTOGRAFÍA

Carlos Hahn. Agencias: Shutterstock, Nasa y Pixabal CRÉDITOS ICONOGRÁFICOS

© Carlos Hahn: pp. 17 (izquierda y centro), 56, 58, 59, 61, 66, 73 (derecha), 82, 87, 98, 105, 122, 123, 126, 132, 140, 157, 172 (derecha), 173 (izquierda, centro y derecha), 182, 196, 203, 204, 207, 209, 215 (centro), 221, 223. . OBRA DE LA CUBIERTA

© Sin título (1999), (1999), Alba Rojo (1963), técnica: escultura en hierro: 40 x 30 x 30 cm, fotografía: Carlos Hahn GESTIÓN DE DERECHOS Y PERMISOS

Correo del Maestro

© 2014 Rocío Guadalupe Balderas Robledo y Santiago Alonso Palmas Pérez ISBN: DERECHOS RESERVADOS ©2013 CORREO MAESTRO S. A. DE C. V.

Av. Reforma No. 7, Int. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Estado de México, México, C. P. 53280 Tels. 53645670/53 53645670/53645695 645695 www.correodelmaestro.com [email protected] Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2817 Impreso en México La disposición y presentación en conjunto de Matemáticas 2 son son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida mediante ningún sistema o método electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de reproducción y almacenamiento de la información), sin consentimiento por escrito del editor.

2

Presentación Querido alumno: La matemática es una herramienta poderosa de razonamiento y una fuente de conocimiento, por medio de ella podemos resolver problemas abstractos, prácticos, sociales y culturales. CORREO DEL MAESTRO pone en tus manos el libro Matemáticas 2 que te ayudará a que este conocimiento forme parte de tu cultura científica durante toda la vida. A medida que realices las actividades y analices las situaciones planteadas en el texto irás adquiriendo diversas habilidades que conformarán tu proceso de aprendizaje, tales como indagar sobre lo que sabes, construir cadenas de razonamientos, relacionar conceptos, hacer cálculos, representar un problema mediante expresiones algebraicas, verificar tus resultados, aplicar técnicas cada vez más complejas, y, un aspecto muy importante, a comunicar tus ideas. A lo largo del curso trabajarás traba jarás de varias formas: formas : de manera autónoma, en conjunto con tus compañeros, y con el apoyo y guía de tu maestro. Todos aprendemos de diversas maneras, unas veces haciendo, otras pensando o bien, leyendo o jugando. Por ello, incluimos varios recursos de apoyo que te servirán para que tu aprendizaje sea más rico. También pretendemos mostrarte de forma clara y amena numerosos ejemplos relacionados con otras áreas del conocimiento, como la física, la biología, la geografía, la economía, la arquitectura, entre otras, encaminados a alentar aún más tu curiosidad y a motivar tus preguntas. La intención de este libro de texto es que por medio del proceso de aprendizaje de esta ciencia puedas tomar posturas fundamentadas ante situaciones que te afecten. Esto con el fin de que tengas elementos para tomar decisiones que te ayuden a ser mejor individuo, más responsable de ti y de tus acciones en sociedad. Podrás entonces convertirte en una persona activa, en un agente positivo de cambio.

Querido maestro: El afán de saber y la capacidad de asombro de los estudiantes y los docentes son precisamente la razón de ser de este libro, y el motivo principal de su labor diaria. Es por ello que este texto fue elaborado teniendo presentes no sólo a los alumnos, sino a los maestros que conforman con ellos el núcleo primordial del hecho pedagógico: el proceso de enseñanzaaprendizaje. Le invitamos a recorrer la siguiente sección “Conoce tu libro” que presenta cómo se estructuran los contenidos del libro en los cinco bloques y las distintas formas de trabajo que éste propone. Enseñar matemáticas es indudablemente un reto, pero al mismo tiempo es una oportunidad para fomentar el desarrollo del pensamiento científico y el gusto por esta ciencia. Un curso atractivo puede ser el detonante de esta vocación en sus estudiantes. Con gran admiración por su trabajo, en CORREO DEL MAESTRO deseamos que este texto sea un referente sólido para usted. Los autores

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E J E : F O R M A , E S P A C I O Y M E D I D A

L3

Para tu apunte

• Las mamparas de la obra de teatro

Sitenemosdoso másrectasparalelas cortadasporuna transversalhayalgunos ángulosqueson iguales. Observala siguienteimagen.

Unos carpinteros tienen que construir una mampara para la escenografía de una obra de teatro con la siguiente forma:

B1

De vuelta al Explora Utiliza todo lo que aprendiste a lo largo de la lección para calcular los ángulos de apertura que deben tener los semáforos. • ¿Cuántos tipos de semáforos tiene que comprar el municipio?

Bisagra

L1

Bisagra 2

L’

3

6

L’’

1 4

L 1 a r a m p M a

5

7

8

Practica 2 L a r a m p M a

U n a f o r ma d e e n co n tr a r l o s ángulos alternos iguale sesdibujarunalíneaen zigzagen eldiagrama.Enlosdiagramas siguientes,D y E sonángulosalternosinternos.Del mismomodo, C y F también sonángulosalternosi nternos.

a

b c

f g

m

B

A

demadera u otro material, generalmentemóviles , que sirvenparadividiroaislarun espacio.En lasescenografías teatra lessonpartedel conjuntode decoradosde las representaciones escénicas. •

e

Calcula los ángulos de las siguientes figuras:

D

G

E

H

t Lasmamparasson paneles

l

d

1.

•

¿A qué ángulo tienen que abrir las bisagras para que las mamparas paralelas? ¿Puedes encontrar otra solución?

L1 y L2 sean

h

C

I

F

110°

45°

60°

2.

Prueba con ejemplos que el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

3.

Demuestra, mediante el uso de ángulos alternos e internos, que los ángulos internos de un triángulo suman 180º.

4.

Obtén todos los ángulos de la siguiente figura: Para tu apuante

Pongámonos de acuerdo a

b c

l

d

e

f g

1.

Dosángulosson adyacentessitienen un vérticeyun ladoencomún.

Con lo que has aprendido en esta lección, prueba que el ángulo rojo de la siguiente figura es igual a la suma de los ángulos azules. 50°

m h

5.

Para tu apuante Dosángulosson suplementarios s i l a sumadesus gradoses180º.Dos ángulos son complementariossilasumadesus gradoses90º.

2.

Prueba con regla, compás y transportador que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es igual a 360º. • ¿Cómo explicarías tu procedimiento a otro compañero? ⇒ Compártelo con algunos miembros de tu grupo y verifiquen con su maestro sus resultados.

GeoGebra ( www.geogebra.org/cms/es/) es un programa de computación en el que puedes hacer trazos geométricos para analizar distintas situaciones y obtener algunos resultados. Entra al programa y sigue las siguientes instrucciones: ⇒ Traza un paralelogramo cualquiera. Haz una hipótesis sobre cómo podrías conocer el valor de la suma de los ángulos interiores sin usar el transportador. ⇒ Traza una de sus diagonales y observa que se forman dos triángulos.

34

Pongámonos de acuerdo. Esta sección aparece en el cierre de la secuencia de cada lección. Se conoce también como formalización y conviene revisarla en pares y grupalmente con la supervisión del maestro. Te servirá, junto con Para tu apunte como “acordeón” para estudiar. De vuelta al Explora. Breve solución de la situación problemática planteada en el Explora para que la confrontes con tus resultados iniciales, como retroalimentación, y reconozcas lo que has aprendido.

35

Utiliza las TIC. Sugerencias de cómo puedes aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en diversos problemas matemáticos. Las encontrarás incluidas en la sección Practica. Te será útil contar con una calculadora y acceso a internet pues a veces requerirás realizar investigación documental y, en muchas ocasiones, reconocer su utilidad en diferentes contextos. En todos los casos es indispensable el auxilio de tu maestro. Las páginas fueron consultadas en septiembre de 2014.

Practica. Es una sección con varios problemas para que pongas en práctica lo que has aprendido y domines las técnicas.

E va lúa t u av ance 1.

Secciones para evaluación Evalúa tu avance. Es el cierre formal de cada lección. Contiene dos preguntas tipo examen Enlace que te ayudarán a evaluar tu avance y a que conozcas el formato de dicho examen.

En un par alelog r amo cual quier a, dos áng ulos opuest os pued en ser : a. Complement ar ios b. Suplementar ios

2.

c. Cong r uent es

¿Cuánto mide el áng ulo X , si las r ect as m y n son par alelas ? a. 40º

b. 100º

c. 140º

d. 60º

d. Dif er ent

Encontrarás las soluciones en el Apéndice del libro.

Evaluemos lo aprendido. En esta sección, que cierra cada bloque, se retoma el contenido del Engánchate. Contiene preguntas y actividades tipo examen Enlace y situaciones problemáticas semejantes a las pruebas internacionales PISA. Prepárate para enfrentar, con la guía de tu maestro y colaborativamente, esas evaluaciones y asegurar que has alcanzado los aprendizajes en cada bimestre.

Apéndice Glosario. Incluye los términos matemáticos que aparecen resaltados en Para tu apunte . Están organizados por bloque para que puedas encontrarlos fácilmente en el libro, consúltalo, pues es importante para que aprendas a manejar el lenguaje propio de las matemáticas.

Evaluemos lo aprendido 3

Evaluación tipo Enlace

6. El

Subraya la opción que consideres correcta y, al terminar, con la guía del maestro, revisa en grupo tus respuestas. 1. Realiza las operaciones necesa36 X = 72 rias con números enteros para ÷ ÷ ÷ llenar la tabla siguiente y en-2 cuentra el número que ocupa X = la esquina inferior derecha. = = = a. 12 b. 6 -6 X =

7.

transporte público de la ciudad de Monterrey tiene un costo preferencial para los estudiantes de $5.75 por viaje. Si hace 15 años, la tarifa era de $1.20. • ¿Cuál ha sido el porcentaje de incremento en la tarifa de transporte en el periodo especificado? a. 479.16% b. 379.16% c. 20.87% d. 26.37% En un laboratorio de muestras biológicas se cuantificaque la población de una colonia de bacterias au ta 40% cada 2 horas.

c.

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Bibliografía. Son recomendaciones para ti y para tu maestro con el fin de que puedan consultar distintas publicaciones y referencias utilizadas y citadas. ,

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Referencias de internet. Son direcciones de páginas electrónicas que cubren parte de los contenidos. Además se incluyen Recomendaciones para navegar en la red. Todas las páginas fueron consultadas en septiembre de 2014. .

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Respuestas de las evaluaciones. Para poder evaluar tu avance contrasta tus respuestas de la sección Evalúa tu avance con las planteadas aquí.

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Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conoce tu libro

3

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .4.

Dosificación de contenidos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . 12 BLOQUE 1 EJE:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Problemas multiplicativos LECCIÓN 1 • Resolverás multiplicaciones y divisiones con números enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

LECCIÓN 2 • Calcularás productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma

base y potencias de una potencia. Comprenderás el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 EJE:

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Figuras y cuerpos LECCIÓN 3 • Identificarás de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas

paralelas cortadas por una transversal Justificarás las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos paralelogramos... . . . . . . . 31 LECCIÓN 4 • Construirás triángulos con base en ciertos datos. Analizarás las condiciones

de posibilidad y unicidad en las construcciones. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 37

Medida

LECCIÓN 5 • Resolverás problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras

compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.. . . . . . . 43

EJE:

MANEJO DE LA INFORMACIÓN Proporcionalidad y funciones LECCIÓN 6 • Resolverás problemas diversos relacionados con el porcentaje, cómo aplicar

el porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49 LECCIÓN 7 • Resolverás problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto,

crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos. . . . . . 54

Nociones de probabilidad LECCIÓN 8 • Comparará dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando

relaciones como “es más probable que”, “es menos probable que”.. . . . . . . . . . . . . 61

Análisis de representación de datos LECCIÓN 9 • Resolverás cálculos numéricos que implican usar la jerarquía

de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

EVALUEMOS LO APRENDIDO 8

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .70

Índice de contenido

BLOQUE 2 EJE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

: S ENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Problemas aditivos 76 LECCIÓN 11 • Resolverás problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. . . . . 82 LECCIÓN 10 • Resolverás de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios . .

Problemas multiplicativos LECCIÓN 12 • Identificarás y buscarás expresiones algebraicas equivalentes a partir

del empleo de modelos geométricos. ................ ........................... 87

: F ORMA, ESPACIO Y MEDIDA Medida EJE

LECCIÓN 13 • Justificarás las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas

y pirámides rectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 LECCIÓN 14 • Estimarás y calcularás el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Analizarás las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. . . . . . . . . . . . . . . . . 97 EJE

: M ANEJO DE LA INFORMACIÓN Proporcionalidad y funciones LECCIÓN 15 • Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad inversa mediante

d i v e r s o s p r o c e d i m i e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Nociones de probabilidad LECCIÓN 16 • Realizarás experimentos aleatorios y registro de resultados

para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relacionarás ésta con la probabilidad teórica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

EVALUEMOS LO APRENDIDO BLOQUE 3 EJE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 118

: S ENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Problemas multiplicativos LECCIÓN 17 • Resolverás cálculos numéricos que implican usar la jerarquía

de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 LECCIÓN 18 • Resolverás problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 EJE

: F ORMA, ESPACIO Y MEDIDA Figuras y cuerpos LECCIÓN 19 • Formularás una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores

de cualquier polígono... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 LECCIÓN 20 • Analizarás y explicitarás las características de los polígonos que permiten

cubrir el plano.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9

10

BLOQUE 5 EJE

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 214

: S ENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Patrones y ecuaciones LECCIÓN 31 • Resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución

de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma, resta, igualación o sustitución). ............ 218 LECCIÓN 32 • Representarás gráficamente un sistemas de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocerás el punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema figuras y cuerpos. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 224 EJE

: F ORMA, ESPACIO Y MEDIDA Figuras y cuerpos LECCIÓN 33 • Construirás figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación

de las propiedades que se conservan en figuras como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Medida LECCIÓN 34 • Calcularás la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,

el área de sectores circulares y de la corona. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 236 EJE

: M ANEJO DE LA INFORMACIÓN Proporcionalidad y funciones LECCIÓN 35 • Leerás y construirás gráficas de funciones lineales asociadas

a diversos fenómenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 LECCIÓN 36 • Analizarás los efectos al cambiar los parámetros de la función y = m x + b, en la gráfica correspondiente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Nociones de probabilidad LECCIÓN 37 • Compararás las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica)

al realizar muchas veces un experimento aleatorio... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

EVALUEMOS LO APRENDIDO APÉNDICE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 2 . 63

Glosario . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 2. 64 Respuestas de las evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Referencias de internet . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . 2. 69 Recomendaciones para navegar en la red .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 269 Recomendaciones generales y consultadas por bloque . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 269 Ligas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Créditos iconográficos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .271

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Dosificación de contenidos SEMANA 1

1 E U Q O L B

2 E U Q O L B

s o d i n e t n o C

s r o a a n i l c l m n o r l u e t r a e a s p e l e d m o a n C e

s o d i n e t n o C

3 E U Q O L B

12

s r o a a n i c l l m n o r u e l t r a e s a p e l e d m o a n C e

SEMANA 3

SEMANA 4

Lección 1:

Lección 2:

Lección 3:

Lección 4:

• Multiplicaciones y divisiones con números enteros

• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos

• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones

Resolución de problemas de manera autónoma



• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de las figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides Validación de procedimientos y resultados

Manejo de técnicas eficientemente




Validación de procedimientos y resultados



TIC

s o d i n e t n o C

s r o a i a n c l l m n o r u e l t r a e a l p s e e d n m o a e C

SEMANA 2

Lección 5:

TIC


Lección 10:

Lección 11:

Lección 12:

Lección 13:

• Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios

• Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

• Identificación y generación de expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos

• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos







Comunicación de información matemática






TIC

Validación de procedimientos y resultados Lección 19:

Comunicación de información matemática Lección 20:

Lección 17:

Lección 18:

• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios

• Formulación de una regla • Análisis y explicitación de que permita calcular la suma las características de los de los ángulos interiores de polígonos que permiten cualquier polígono cubrir el plano

TIC

Resolución de problemas de manera autónoma Validación de procedimientos y resultados Manejo de técnicas eficientemente Comunicación de información matemática

Manejo de técnicas eficientemente Resolución de problemas de manera autónoma


TIC

Manejo de técnicas eficientemente Resolución de problemas de manera autónoma Comunicación de información matemática

SEMANA 5

SEMANA 6

SEMANA 7

SEMANA 8

Lección 6:

Lección 7:

Lección 8:

Lección 9:

• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, cómo aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos

• Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que...”, “es menos probable que...”

• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos

Evaluemos lo aprendido: Evaluación tipo Enlace Evaluación tipo PISA









Manejo de técnicas eficientemente Manejo de técnicas eficientemente Manejo de técnicas eficientemente Manejo de técnicas eficientemente Lección 14:

Lección 15:

Lección 16:

Evaluemos lo aprendido:

• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos

• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica






Manejo de técnicas eficientemente Manejo de técnicas eficientemente

TIC

TIC

Lección 21:

Lección 22:

Lección 23:

Lección 24:

• Relación del decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Unidades y otras socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera Resolución de problemas de manera autónoma

• Representación algebraica y análisis de relaciones de proporcionalidad y = kx , asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

• Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan

• Análisis de las propiedades de la media y la mediana

Validación de procedimientos Manejo de técnicas eficientemente y resultados

Resolución de problemas de manera autónoma TIC Validación de procedimientos y resultados Comunicación de información matemática Comunicación de información Manejo de técnicas eficientemente matemática Manejo de técnicas eficientemente

Evaluación tipo PISA


Evaluemos lo aprendido: Evaluación tipo Enlace Evaluación tipo PISA

Resolución de problemas de manera autónoma Manejo de técnicas eficientemente TIC Comunicación de información matemática

Resolución de problemas de manera autónoma Validación de procedimientos y resultados Comunicación de información matemática

13

Dosificación de contenidos

SEMANA 1 Lección 25:

s o d i n e t n o C

4 E U Q O L B

r a l l o r r a o s e n d m a u s l a a i l c e n n e t e e p m o C

s o d i n e t n o C

5 E U Q O L B

r a l l o r r a o s e n d m a u s l a a l i c e n n e t e e p m o C


Lección 27:


• Construcción de sucesiones • Resolución de problemas que • Características de ángulos de números enteros a partir impliquen el planteamiento inscritos y centrales en un de las reglas algebraicas que y la resolución de ecuaciones círculo, y análisis de sus las definen. Obtención de la de primer grado de la relaciones regla general (en lenguaje forma: ax + b = cx + d y con algebraico) de una sucesión paréntesis en uno o en ambos con progresión aritmética de miembros de la ecuación, números enteros utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

• Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano



TIC

Validación de procedimientos y resultados Comunicación de información matemática Manejo de técnicas eficientemente


Manejo de técnicas eficientemente Resolución de problemas de manera autónoma Comunicación de información matemática TIC

TIC

Lección 31:

Lección 32:

Lección 33:

Lección 34:

• Solución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2×2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

• Representación de la gráfica de un sistema de ecuaciones 2×2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema

• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje. Análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

• Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

Resolución de problemas de manera autónoma Validación de procedimientos y resultados Comunicación de información matemática Manejo de técnicas eficientemente


Resolución de problemas de manera autónoma Validación de procedimientos y resultados Manejo de técnicas eficientemente


Eje: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Eje: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Eje: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

14

SEMANA 3

SEMANA 5

SEMANA 6

SEMANA 7

SEMANA 8

Lección 29:

Lección 30:


• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = a x + b

• Resolución de situaciones de medias ponderadas



Resolución de problemas de manera autónoma Validación de procedimientos y resultados Manejo de técnicas eficientemente

Lección 35:

Lección 36:

Lección 37:


• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos

• Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente

• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio





TIC

TIC



Manejo de técnicas eficientemente Comunicación de información matemática

15

E J E : S E N T I D O N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R A I C O

BLOQUE 1

a

c

b

A P R E N D I Z A J E S

S E J E

Problemas multiplicativos

problemas que • Resolverás implican el uso de las leyes a. Por medio de las matemáticas los astrónomos pueden expresar las enormes distancias que hay entre los cuerpos celestes. b. Con el microscopios los científicos pueden ver objetos muy pequeños a simple vista gracias a que los lentes los aumentan n cantidad de veces. c. En la arquitectura existen reglas que indican cuál debe ser la altura máxima que debe tener el peralte de un escalón en relación con la huella. d. Para que la luz de los semáforos sea visible para conductores y transeúntes, éstos deben de colocarse a una altura y con un ángulo determinado. e. Los dados han sido utilizados desde la antigua Grecia y Roma para echar la suerte. f. Aprender a calcular porcentajes es muy útil para saber de cuánto es el ahorro cuándo hay ofertas. 16

• •

•

de los exponentes y de la notación científica. Resolverás problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. Resolverás problemas que el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base x tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos. Compararás cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

S E N T I D O N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R A I C O

L1 Resolverás multiplicaciones y divisiones

con números enteros.

S E N O I C C E L Y S A M E T

L2 Calcularás productos y cocientes de

potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Comprenderás el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

B1

L1

B1 COMPETENCIAS

• Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente.

d

F O R M A ,

e

E S P A C I O

Y

M E D I D A

f

M A N E J O

D E

L A

I N F O R M A C I Ó N

Figuras y cuerpos

Proporcionalidad y funcionalidad

L3 Identificarás relaciones entre los ángulos

L6 Resolverás problemas diversos relacionados con el

que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal Justificarás las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos paralelogramos. L4 Construirás triángulos con base en ciertos datos.

Analizarás las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

porcentaje, cómo aplicar el porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. L7 Resolverás problemas que impliquen el cálculo de

interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

Medida

Nociones de probabilidad

L5 Resolverás problemas que impliquen el cálculo

L8 Comparará dos o más eventos a partir de sus resultados

de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

posibles, usando relaciones como “es más probable que”, “es menos probable que”.

Análisis y representación de datos L9 Analizarás casos en los que la media aritmética o

mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos. 17


Engánchate

De distancias y tamaños gigantes ¿Has notado las múltiples lucecillas que iluminan el cielo por las noches? ¿Te sorprendería saber que, aunque lucen pequeñísimas, son increíblemente grandes? Sí, son enormes, pero, ¿por qué parecen puntos tan chicos? Veamos. Durante un eclipse solar, la Luna cubre por completo al Sol (al menos así nos parece) y podrías pensar que son del mismo tamaño; sin embargo, el Sol tiene un diámetro 400 veces mayor que el de la Luna, pero parece de igual tamaño porque en ese momento está también 400 veces más alejado que ella. Ahora bien, ¿qué tan lejos están las estrellas y galaxias de la Tierra? Para obtener la información de los astros más cercanos o alejados del Universo el hombre ha inventado telescopios, radiotelescopios y sondas espaciales, aunado a ingeniosas técnicas de observación. Para medir las gigantescas distancias astronómicas se utiliza el año luz ( AL), como unidad básica, la unidad astronómica ( UA) y el pársec. Estas unidades, tratándose de números inimaginables, suelen escribirse en notación científica para facilitar su manejo y operatividad. Algunos datos interesantes sobre la Tierra y el Universo cercano son:

De la Tierra

18

LL1 1

p

B1 B1 B 1

En el año 150 a.C. los griegos calcularon con bastante exactitud la forma y dimensiones de la Tierra y la distancia a la Luna.

Del Universo cercano Se necesitaría agrupar 1 000 000 de planetas como el nuestro para completar una esfera solar; a su vez, se requerirían 27 000 000 000 de soles para formar la estrella roja gigante Épsilon de la constelación de Auriga. Nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene 200 000 000 000 de estrellas; Alfa Centauri, el sistema estelar más próximo al Sol, se encuentra a 4.3 AL, es decir, la distancia que recorre la luz durante 4.3 años terrestres, mientras la estrella polar está a 300 AL; la galaxia más cercana a nosotros, la Gran Espiral de Andrómeda, está a 2 000 000 AL, en tanto que las más alejadas aún observables distan 2 000 000 000 AL. Finalmente, el Universo alberga ¡más de 100 000 000 000 de galaxias! Pero, ¿cómo hizo el ser humano para medir magnitudes tan inverosímiles? Al final del bloque investigaremos un poco más al respecto.

u

Las galaxias más cercanas a la Vía Láctea se ven fácilmente con un telescopio de aficionado.

Nota: a.C.

significa antes de Cristo, también se usa la notación a.n.e: antes de nuestra era.

Lee

más...

Sobre los orígenes, evolución y medición del Universo: • http://recursostic.educacion. es/secundaria/edad/1esobi ologia/1quincena3/1quince na3_contenidos_1a.htm • http://astrored.org/ comunidad/ninos/ Libros del Rincón: Calvino, Italo, Las cosmicómicas, México, SEP, Ediciones Minotauro, 2003.

19



1

Lección

Resolverás multiplicaciones y divisiones con números enteros

Explora

El hospital

Nivel 10

Nivel 9

El edificio del hospital de especialidades de la región tiene 15 niveles: Planta baja ( PB), 10 niveles sobre la PB y 4 niveles subterráneos. Cada ni vel tiene una altura de 3 metros. Si consideramos que ubicados en la PB estamos a una altura de cero metros:

Nivel 8

Nivel 7

Nivel 6

Nivel 5

• ¿A qué altura en metros se encuentra una per-

sona que está en el nivel 2 sobre la PB? • ¿A qué altura en metros se ubica una persona que está en el nivel 2 subterráneo? • ¿En qué nivel se halla una persona que está a –12 metros de altura? • Una señora subió al elevador del edificio en el nivel 3 subterráneo, pero el elevador no se detuvo en el piso que ella quería. Subió primero 4 pisos, luego bajó 5 niveles, volvió a subir 7 y al final bajó 3 niveles. Finalmente llegó y se abrió en el nivel que ella quería. ¿A cuál nivel llegó? ¿A qué altura en metros se encuentra la señora? ¿Cuántos metros se desplazó en total al “viajar” en el elevador?

Nivel 4

Nivel 3

Nivel 2

3m

Nivel 1

PB

Sótano 1

Sótano 2

Sótano 3

Sótano 4

p

20

En una construcción, se dice que los niveles subterráneos están “bajo nivel de banqueta”, mientras que los niveles que se ven son sobre nivel de banqueta.

L1

B1

Descubre y construye

• Cuentas claras Liliana recibió hace algunos meses una tarjeta de crédito con la cual ha hecho compras, pocos retiros de dinero y algunos depósitos. Si el saldo es en contra, por mes se le cobra el 10% de la deuda como interés. Las primeras seis compras en el primer mes que hizo con la tarjeta fue para pagar la gasolina de su coche. Si cada carga fue de 300 pesos: 1. Escribe una operación que exprese el total de las compras que Liliana ha hecho

con la tarjeta y por lo tanto, el saldo con el que cuenta hasta el momento. Utiliza los signos de positivo y negativo para representar saldos a favor y en contra. • ¿Cuál es el saldo después de las primeras compras? • Al terminar el mes, Liliana no hizo ningún pago, ¿cuál es el saldo con los

intereses? No olvides utilizar los signos. 2. Liliana realizó después cuatro depósitos de 500 pesos. ⇒

Escribe una operación que exprese el total de depósitos hechos. • Después de estos depósitos, ¿cuál es el saldo de la tarjeta?

3. En el siguiente mes, Liliana tuvo una emergencia y realizó en la primera semana

tres retiros de la tarjeta por 400 pesos cada uno. ⇒

Escribe una operación que exprese el total de retiros. Recuerda utilizar los signos positivo y negativo. • Después de los retiros, ¿cuál es el saldo de la tarjeta?, ¿es a favor o en contra?, ¿por qué monto?

4. Si Liliana desea saldar la tarjeta antes de que acabe este mes, es decir, pagar el

total de su deuda, y quiere hacerlo dando cuatro pagos iguales. • ¿Cuánto dinero tendrá que abonar en cada pago? 5. Ella sabe que debe pagar el gas de su casa que asciende a 305 pesos mensua-

les en promedio. Si lo paga por adelantado le pueden hacer un descuento de 14 pesos por mes, y ha decidido usar su tarjeta para adelantar cuatro meses el pago del gas. ⇒

Escribe una operación para calcular el cargo a su tarjeta. • Resuelve la operación que planteaste y revisa si el signo de tu resultado es lógico. Si Liliana comparte el gasto de la casa con su mamá y un hermano en partes proporcionales, ¿cuánto debe pagar cada uno para que Liliana pueda liquidar el saldo de su tarjeta antes de que termine el mes?

6. Liliana quiere comprarle a su mamá un nuevo televisor. El que le gustó lo en-

contró a 4 650 pesos. En la tienda le explican que si da un enganche de 870 pesos podrá pagar el resto en 6 mensualidades sin intereses. Calcula cuál será su deuda en el tercer mes después del tercer pago y el enganche.

Para tu apunte La multiplicación de un número entero positivo y un número entero negativo es igual a un número entero negativo. Por ejemplo, cinco veces –300 pesos es igual a –1 500 pesos, lo que significa un saldo en contra, o una deuda, de 1 500 pesos. De igual manera la multiplicación de un entero negativo por un entero positivo es igual a un entero negativo. Es muy recomendable que al escribir una multiplicación en donde alguno(s) de sus factores sea(n) negativo(s) se utilicen los paréntesis y se omita el signo ×. Por ejemplo: (5)(–300) � –1 500 21


• Multiplica 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y escribe su signo correspondiente:

a. (�4)(5)

�

f. (�6)(8)

b. (3)(�3)

�

g. (7)(�9) �

c. (�10)(8)

�

d. (7)(9) � e. (6)(�5)

�

h. (4)(�12)

�

i. (�13)(5)

�

j. (�11)(�7) �

�

2. Comparte con un compañero tus respuestas y deduzcan cuáles son las reglas

para multiplicar signos. Verifiquen dichas reglas con las operaciones realizadas por otros compañeros. 3. Generen una hipótesis sobre cómo decidir el signo del resultado de los si-

guientes ejercicios:

(�3)(2)(�4)

(2 � 7)( �5 � 3)

(�6)( �2)( �4)

(�3)( �2)( �4)( �1)( �5)

• Multiplica y divide 1. Completa las siguientes operaciones. Coloca el signo correspondiente. Al ter-

minar compara tus resultados con los de un par de compañeros. por lo tanto

a. (2)( ) � �16

b. (�1)( ) � �12 por lo tanto c. ( )(11) � �44 por lo tanto d. ( )(�7)

� �

35 por lo tanto por lo tanto

e. (4)( ) � 24 f. ( )(�5)

�

15 por lo tanto

g. (�9)( ) � 63

por lo tanto

h. (�8)( ) � �64 por lo tanto

Para tu apunte Es común escribir las divisiones en forma de una razón a , en donde a es el dividendo b y b el divisor. Por ejemplo: 600 � 3 � 200 es equivalente a 600 � 200. 3

22

i. ( )(�30)

�

90 por lo tanto

j. (�13)( ) � 39 por lo tanto

16 2 �12 –1 �11 11 �35 �7 21 4 15 �5 63 �9 �61 �8 90 �30 39 �13 �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2. Concluye con tus compañeros cómo funciona la regla de los signos para la división.

L1

B1

Tu apunte

Pongámonos de acuerdo Damián vive en la casa central de la acera poniente de la calle Corregidora la cual tiene 15 casas:

La regla de los signos para la multiplicación: (positivo)(positivo)= positivo (positivo)(negativo)= negativo (negativo)(positivo)= negativo (negativo)(negativo)= positivo

Casa de Damián

1. Reunidos en parejas enumeren cada una de las c asas considerando que la casa

0 (cero) es la de Damián. Utilicen números positivos para las casas de la derecha y negativos para las de la izquierda. 2. Se sabe que para llegar de una casa a otra Damián da 6 pasos. Cuando se dice que Damián da –6 pasos, significa que camina 6 pasos a la izquierda para llegar a la primera casa del lado izquierdo. Cuando la cantidad de pasos es positiva, significa que camina a la derecha. En los siguientes casos la casa de origen de donde parte Damián es su casa. ⇒ Contesten utilizando números negativos cuando sea necesario: • ¿Cuántos pasos tiene que dar Damián si quiere ir a la casa 6? • ¿A cuál casa llegaría Damián si camina 42 pasos? • ¿Cuántos pasos tiene que dar Damián si quiere ir a la casa –4? • ¿Cuántos pasos tiene que efectuar Damián si quiere ir a la casa –5? • ¿A cuál casa llegaría Damián si camina –36 pasos? • ¿A cuál casa llegaría Damián si realiza –18 pasos? • ¿A cuál casa llegaría Damián si camina –42 pasos? • Si saliendo de su casa avanza a la derecha 24 pasos, regresa 18, camina hacia la izquierda 12 y a la derecha 6. ¿A cuál casa llegó? 3. Diseñen un problema que indique que Damián vaya y venga de una casa a otra para decidir al final dónde está. Resuélvanlo e intercámbienlo con otros compañeros. Evalúen el trabajo de sus compañeros. 4. Concluyan con el maestro acerca de la utilidad de expresar una situación como ésta por medio de la matemática.

De vuelta al Explora 1. Multiplica la altura de cada piso (3 metros) por el número de cada nivel, de

manera que obtengas la altura a la que se encontraría una persona, con respecto a la planta baja, si estuviera ahí. • ¿Qué significa que una persona se encuentre en el nivel –1? • ¿Cuál es la altura a la que se encuentra una persona que está en el nivel –1? • ¿En qué nivel se encuentra una persona que está a –9 metros de altura? • ¿Cuál es la altura total del edificio, es decir, desde el nivel más bajo (–4) hasta el nivel más alto (10)? 2. Si se decidiese que los pisos pares tuviesen mayor altura y en vez de 3 metros

de altura fuesen de 4 metros, resuelve los primeros 4 incisos de este ejercicio.

En otras palabras, al multiplicar dos números de signos contrarios el resultado es negativo; mientras que al multiplicar dos números de signos iguales el resultado es positivo.

Para tu apunte La regla de los signos para la división : positivo � positivo positivo positivo � negativo negativo negativo � negativo positivo negativo � positivo negativo El comportamiento de los signos en la división es igual que en la multiplicación: división de signos contrarios, resultado negativo; división de signos iguales, resultado positivo. Así, la ley de signos se emplea en la división, en la multiplicación y cuando te encuentras un signo frente a otro, como por ejemplo �(�3) o �(�5). Esta lógica también la puedes aplicar cuando te encuentras con frases que pueden ser confusas por incluir varias negaciones, por ejemplo: No es improbable que el equipo de futbol gane la copa. Considera que la frase inicia con

, y que el prefijo IM es la negación de probable. Por lo tanto, una frase equivalente a la anterior sería: Es probable que el equipo de futbol gane la copa . NO

23


Practica 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a. (4)(�11)

e. (10)(7) �

�

b. (�13)(�8)

f. (�18)(5)(�5) �

�

c. (�3)(21)(�4) d. (�6)( �9)( �3)

g. (8)(�30)(10)

�

h. (�9)( �12)

�

�

�

2. En la clase de Matemáticas varios alumnos dieron la solución a esta operación:

(�6)(�4)(�3)(�2), pero obtuvieron resultados diferentes. Patricia obtuvo �15, José dice que el resultado es �144 , Mario que es 15 y Mariana dice que es 144. Verifica quién tiene la razón y cuál fue el error de quienes se equivocaron. 3. Resuelve las siguientes divisiones:

a. (�42)(3)

b. (�84)(�7)

56 � 8 d. (120)(�15)

96 � �12 f. (121)(�11) e.

� �

�

�

�

g. (�180)(�45)

c.

�

72 � �9 4. Escribe una frase equivalente a las siguientes: a. No es imposible que no suba a lo alto del poste. b. Nunca es improbable ganar el premio de la lotería. c. No es indebido ayudar al quehacer doméstico. d. No es inapropiado ser amable con las personas. h.

�

5. En el Nevado de Toluca en el invierno se registraron temperaturas bajo cero.

Cierto día se registró una temperatura de –3 °C a las 6:00 am. En el transcurso de las siguientes 4 horas subió la temperatura a razón de 2 °C por hora. Después se registró un fuerte descenso de 3 °C cada hora por las siguientes 5 horas. • ¿Cuál fue la temperatura a las 8:00 am? • ¿Qué temperatura se registró a las 3:00 pm? • ¿Cuál fue la variación de temperatura de las 7:00 am a la 1 pm? 6. Junto con un compañero encuentren tres situaciones interesantes que vivan

cotidianamente en las que los números negativos estén presentes. Compartan sus experiencias, expresándolas en forma matemática, con los demás compañeros y su maestro.

Evalúa tu avance 1. Indica cuál es el resultado correcto de la multiplicación: 2. Indica cuál es el resultado correcto de la operación:

48 b. �72 a.

24

�

c. d.

(�6)( �4)( �3) 27 72

a. 12

c. �3

b. �4

d. 36

(�4)(9) �3

L2

B1

Problemas multiplicativos Calcularás productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Comprenderás el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

2

Lección

Explora

El tamaño de las células Un grupo de maestros cursan una pasantía de Didáctica de Biología en un centro de investigación. El jueves asistieron al laboratorio y observaron diferentes tipos de células. Los objetivos eran identificar organelos y comparar su forma y tamaño. Para comparar sus tamaños decidieron calcular aproximadamente sus áreas. Enseguida se muestran las medidas de una célula a) de la planta elodea y b) de un eritrocito (glóbulo rojo): 5.28 × 10–8 m

1.88 × 10–7 m

a

3.34 × 10–6 m

b b. p

En biología celular, se denomina organelo a l as diferentes estructuras contenidas en el citoplasma de las células.

• ¿Cuál célula es mayor y por cuánto? 25



Para tu apunte Una potencia se define por la base y el exponente: Base

34

Exponente

El exponente indica el número de veces que se multiplica la base:


• El huerto El señor Juan José tiene un terreno con las siguientes medidas: 1.2 × 10  m

34 = 3 . 3 . 3 . 3 Recuerda que el exponente nunca hace operaciones con la base, sólo le indica cuántas veces multiplicarse. En una multiplicación de potencias en donde las bases de los factores son iguales, se tiene que el producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Por ejemplo: 23 . 24 = 23+4 = 27 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27

Para tu apunte La notación científica se utiliza para expresar cantidades muy grandes, como distancia entre planetas; o muy pequeñas, como el tamaño de microorganismos. La notación científica está formado por una parte decimal y una potencia de base 10. Cuando se multiplican dos cantidades que están expresadas en notación científica, primero se multiplican las partes decimales y después las potencias de base 10, en donde los exponentes se suman. Por ejemplo: (3.45 × 1012) (8.2 × 106) = 28.29 × 1018 = 2.829 × 1019 La forma más correcta de expresar números en notación científica es escribiendo la parte decimal sólo ocupando el lugar de las unidades, es por eso que una vez hecha la multiplicación anterior se recorre el punto un lugar y se aumenta uno en el exponente de la potencia. Sin embargo, ambos resultados son equivalentes. Al usar la notación científica es preciso reconocer que se desprecia parte de la cantidad real, pues regularmente la cantidad es truncada. No obstante, recordemos que la notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños, por lo que el desprecio es insignificante. 26

6.5 × 10 

p

m

Dibujo del terreno del señor Juan José.

Si el señor Juan José desea sembrar, de modo que sea equitativo, 10 2 diferentes especies de árboles frutales en todo el terreno, ¿qué área del terreno le corresponde a cada árbol frutal? 1. Responde las siguientes cuestiones: • ¿En qué formato están dadas las medidas del largo y ancho del terreno? • ¿Qué significado tienen las medidas del largo y ancho del terreno? • ¿Cuándo se utiliza la notación científica? • Completa la operación del área del terreno: A =

(

)(

)

• ¿Cómo resolverías esta operación de modo que el resultado también esté en

notación científica? Comenta con tus compañeros y maestro. • Recuerda que en la multiplicación el orden de los factores no altera el pro-

ducto. Intenta multiplicar las cantidades decimales por un lado y multiplicar las potencias de base 10: A �

(

× 10

A �

(

×

A �

)( ) ( 10 ×

10

)

× 10

)

�

10

• ¿Cuál es el exponente de la potencia del área resultante? • ¿Cómo obtienes el exponente de la multiplicación de las potencias? • Para conocer qué cantidad de área le corresponde a cada árbol frutal, ¿qué

operación tendrías que hacer? Discútelo con tus compañeros y maestro.

L2

2. Ya que conoces el área del terreno y la cantidad de árboles a sembrar, completa la

siguiente operación de forma que el resultado esté expresado en notación científica:

Área resultante = Árboles frutales

× 10 10

=

×

=

10 10

× 10

En una división de potencias con la misma base, el cociente es igual a otra potencia con la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor. Por ejemplo:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 23 2 . 2 . 2 . 2

• ¿Cómo obtienes el exponente de la división de las potencias?

• Hojas blancas Una caja con paquetes de hojas blancas contiene en total de 46 hojas. Si cada paquete contiene 44 hojas, ¿cuántos paquetes tiene la caja? 1. Responde: • ¿Qué operación necesitas hacer para calcular la cantidad de paquetes que

hay en la caja? ⇒ Escribe la operación necesaria • ¿Cuál es el resultado de esa operación? Exprésalo como una potencia de base 4. ⇒ Comprueba el resultado de la operación completando lo siguiente:

=

Es común que al desarrollar los factores de una potencia en una división como la anterior se diga que “se cancelan o eliminan” tantos factores como haya en el numerador y denominador a la vez. Sin embargo, lo que realmente sucede es una simplificación de razones entre un factor del numerador con uno común del denominador, en donde su cociente es igual a 1, el cual es el elemento neutro de la multiplicación, por lo que no altera al resto de los factores. En caso de que la diferencia de exponentes sea negativa, es decir, que el exponente del dividendo sea menor que el exponente del divisor, la potencia debe escribirse en el denominador y con signo positivo. Por ejemplo: 24 = 24–7 = 2–3 = 1 27 23

=

4

Para tu apunte

27 = 27–4 = 23 24

• ¿Cuánta área le corresponde a cada árbol frutal?

46 = 4 44 46 = 44

B1

2. Demuestra por dos caminos diferentes que llegas al mismo resultado.

2 . 2 . 2 . 2 1 = 3 . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2

3. Comenta con un par de compañeros qué sucede con el exponente de la potencia

que es el resultado de una división de dos potencias con la misma base. 4. Haz una hipótesis: ¿qué sucede en la división de 35 ÷ 3? ¿Qué exponente corres-

ponde al divisor?

• Potencia de potencia Para tu apunte

Analiza los siguientes cuadrados: a

b 106 mm

85 cm

6

10 mm 85 cm

En la división de dos cantidades expresadas en notación científica, primero se dividen las partes decimales y después se dividen las potencias de base 10; luego se restan los exponentes. Por ejemplo: 8.36 × 1026 = 3.483 × 1012 2.4 × 1014 27


Para tu apunte En una potencia de potencia , el resultado es igual a una potencia con la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes. Por ejemplo:

Si la fórmula del área del cuadrado está dada por A � l 2, donde l es el lado del cuadrado: 1. Responde: • ¿Cuánto mide el lado del cuadrado A? 2. Sustituye el valor del lado del cuadrado A en la fórmula del cuadrado:

(2 )

2

4 3�

2

4–3 �

(24)(24)(24) � 24

12

A = (

212

4 1�

� �

)2

3. Calcula el área del cuadrado A. ⇒

Exprésala como una potencia con base 8.

4. Calcula el área del cuadrado B. ⇒

Exprésala como una potencia con base 10.

5. Comenta con dos compañeros qué sucede con los exponentes de los lados

cuando se elevan al cuadrado: • ¿Pasará lo mismo si elevas una potencia al cubo, por ejemplo: (34)3? O bien, ¿al elevar a la cuarta, quinta potencia, o a cualquier otra? ⇒ Comenten con su maestro sus conclusiones y generalicen en una frase qué sucede al elevar una potencia a otra potencia. ⇒ Resuelvan por al menos dos caminos las siguientes operaciones y verifiquen que se llega al mismo resultado.

Pongámonos de acuerdo 1. Completen los espacios de la siguiente tabla. Les servirá de consulta para ejer-

cicios posteriores: La operación que se hace con los exponentes es…

Si las bases que son iguales se multiplican… Si las bases que son iguales se dividen… Si un número con exponente está elevado a otra potencia… 2. Revisen con su maestro si llenaron correctamente la tabla. 3. Reunidos en parejas resuelvan las siguientes operaciones. Expresen el resultado

en forma de potencia. a. 47 . 48 �

Para tu apunte Las leyes de los exponentes se definen de la siguiente forma: • Producto de potencias a x . av = a x +v x

a • Cociente de potencias av = a x – y • Potencias de potencias (a x )y = a x .y 28

b. 1012 . 104 �

610 c. 8 � 6 d. 53 . 5 � e. (95)4 �

79 � 73 1015 g. 25 � 10 h. (86)3 � f.

i. (12 7)2 � j.

23 . 29 2 ( 215 ) �

L2

B1

De vuelta al Explora 1. Regresa al problema del • • • •

E XPLORA y

responde lo siguente: ¿Qué forma tiene la célula de la planta de elodea? ¿Qué forma tiene el eritrocito? ¿Cuáles son las dimensiones de la célula de la planta de elodea? ¿Cuáles son las dimensiones del eritrocito? Calcula el área de la planta de elodea. ⇒ Calcula el área del eritrocito. ⇒

Practica 1. Calcula el área de los siguientes rectángulos: a

b

63 mm

52 cm

65 mm 53 cm

• ¿Cuál es el área del rectángulo A?

Representa el área del rectángulo A como otra potencia de base 5: • ¿Cuál es el área del rectángulo B? ⇒ Represéntala mediante una potencia de base 6. • Completa las siguientes operaciones y comprueba las áreas para los rectángulos A y B: ⇒

AI � 53 . 52

�

5

125 . 25 � 5

�

AII � 65 . 63

�

6

7776 . 216 � 6

�

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones de potencias y expresa el resultado

como otra potencia. a. 125 . 12 4 =

e. 82 . 81 =

b. 49 . 412 =

f. 928 . 913 =

c. 1010 . 104 =

g. 75 . 79 =

d. 206 . 20 11 =

h. 113 . 11 4 = 29


3. Resuelve las siguientes divisiones de potencias y expresa el resultado como

otra potencia. a.

614 = 612

10 b. 3 2 =

3

e.

122 = 1210

40 f. 825 =

8

c.

920 = 925

g.

54 = 5

d.

104 = 102

h.

74 = 74

4. Resuelve las siguientes potencias de potencias y expresa el resultado como otra

potencia. a. (46)2 =

e. (10 2)7 =

b. (62)12 =

f. (53)3 =

c. (83)10 =

g. (29)3 =

d. (12 6)4 =

h. (15 6)8 =

5. Revisa con tus compañeros los resultados de los ejercicios anteriores. Utiliza las

leyes de los exponentes descritas en el P ARA TU APUNTE.

Evalúa tu avance 1. En la multiplicación 65 . 68 . 62 el exponente del resultado es igual a: a. 6 b. 15 c. 10 d. 13 2. El resultado de la operación (7.34 × 108)(6.89 × 109) es igual a: a. 50.57 × 10 b. 50.57 × 1020 c. 5.057 × 1018 d. 50.57 30

L3

B1

Figuras y cuerpos Identificarás relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificarás las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos

3

Lección

Explora

Los semáforos El municipio de Amanalco de Becerra ha crecido mucho y es necesario colocar semáforos en las calles para controlar el tránsito vehicular. La presidencia municipal necesita comprar los semáforos y especificar los ángulos de apertura que deben tener. Los semáforos se colocarán en las calles que se indican en amarillo en el siguiente plano:

Vértiz

S1 S3 S2 o s d r C e

S4 s a s o R

l a o g N

C o r r e g i d o r a B u g a m b i l i a

C l a v e l

L i r a s o g r A

S5 S6 S7 S8

A z t e c a s

l a o g N

V é r t i z

A l l e n d e

N u e v o L e ó n

t

Plano de las calles de Amanalco de Becerra en donde se colocarán los nuevos semáforos.

El encargado de vialidad del municipio dice que sólo se requieren dos tipos de semáforos para cubrir los ocho espacios. • ¿Esta persona tiene razón? • ¿Cómo podrías comprobarlo? 31



• El tiro libre Alejandro, Pablo y Julio discuten sobre cuál jugador del videojuego tiene más posibilidades de anotar gol, es decir, quién tiene un mayor ángulo de disparo en un tiro directo a portería. En la siguiente imagen aparece cómo están colocados.

Para tu apunte Para denotar un ángulo se usan dos rayos que se intersecan:

1

2

3

A

ABC

CBA

B C

En este caso, los rayos son AB y BC . El ángulo azul puede ser llamado ABC si es en contra del sentido de las manecillas del reloj o CBA si es en el sentido de las manecillas del reloj. En ambos casos la letra de enmedio denota al vértice del ángulo en cuestión. Recuerda que:

Recta: es la unión de una infinidad de puntos alineados en una misa dirección. No tiene principio ni fin. Rayo o semirrecta: es una recta que tiene principio pero no fin. Segmento: es un fragmento de recta comprendido entre dos puntos llamados puntos extremos. 32

Alejandro dice que el jugador 1 tiene el mayor ángulo (y por lo tanto más posibilidades de anotar en el tiro directo), Pablo opina que es el jugador 2, y Julio cree que el jugador 3. • ¿Quién tiene razón? • ¿Cómo podrían decidirlo aplicando sus conocimientos de Geometría? 1. Calcula el ángulo de tiro trazado para cada jugador. • ¿Quién tiene el mayor ángulo de tiro? • En realidad, los jugadores 1 y 3 tienen menos posibilidad de anotar, en fun-

ción de los ángulos, que el jugador 2. Analiza los triángulos que forman sus ángulos de tiro con el largo de la portería y explica por qué es así.

L3

B1

• Las lámparas del escenario Para la interpretación de una obra de teatro que se va a representar en el teatro José Emilio Pacheco, se requiere iluminar el escenario de la siguiente forma:

35°

Para tu apunte

p

Por medio de la iluminación escénica se pueden inventar espacios para desarrollar las representaciones teatrales en una atmósfera creada para cada situación.

Para medir un determinado ángulo con el transportador, siempre se mide ubicando los dos lados que lo componen. Los transportadores tienen normalmente dos escalas de números que van en direcciones opuestas, usa la que convenga dependiendo de si es un ángulo agudo u obtuso.

La lámpara naranja tiene una apertura de 35º y puede cubrir la sección iluminada en amarillo. 1. Con ayuda de un transportador mide el ángulo de apertura de todas las lámparas

de colores (verde, roja y azul). • ¿Qué ángulos son iguales? • ¿Qué ángulos son diferentes? • ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de apertura de las demás lámparas? 2. Compara tus resultados con los obtenidos por otros compañeros y, en caso de

haber diferencias, aclárenlas con su maestro y analicen por qué ocurrieron esas diferencias.

Si el dibujo del ángulo es demasiado pequeño para el tamaño del transportador, lo que se hace es prolongar cada una de las semirrectas que lo componen con una regla y un lápiz hasta que ambas alcancen las dimensiones del transportador. 33


Para tu apunte

• Las mamparas de la obra de teatro

Si tenemos dos o más rectas paralelas cortadas por una transversal hay algunos ángulos que son iguales. Observa la siguiente imagen.

Unos carpinteros tienen que construir una mampara para la escenografía de una obra de teatro con la siguiente forma: Bisagra

L1

Bisagra 2

L’

3

6

L’’

1 4

L 1 a r a p m M a

5

7

8

Una forma de encontrar los ángulos alternos iguales es dibujar una línea en zigzag en el diagrama. En los diagramas siguientes, D y E son ángulos alternos internos. Del mismo modo, C y F también son ángulos alternos internos. a

b c

t

l

d

2 L a r a p m M a

Las mamparas son paneles de madera u otro material, generalmente móviles, que sirven para dividir o aislar un espacio. En las escenografías teatrales son parte del conjunto de decorados de las representaciones escénicas.

• ¿A qué ángulo tienen que abrir las bisagras para que las mamparas L1 y L2 sean e

f g

m

paralelas? • ¿Puedes encontrar otra solución?

h

Pongámonos de acuerdo a

b c

l

d

1. Con lo que has aprendido en esta lección, prueba que el ángulo rojo de la si-

guiente figura es igual a la suma de los ángulos azules. e

f g

m h

Para tu apuante Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es 180º. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus grados es 90º. 34

2. Prueba con regla, compás y transportador que la suma de los ángulos interio-

res de un cuadrilátero convexo es igual a 360º. • ¿Cómo explicarías tu procedimiento a otro compañero? ⇒ Compártelo con algunos miembros de tu grupo y verifiquen con su maestro sus resultados.

L3

B1

De vuelta al Explora Utiliza todo lo que aprendiste a lo largo de la lección para calcular los ángulos de apertura que deben tener los semáforos. • ¿Cuántos tipos de semáforos tiene que comprar el municipio?

Practica 1. Calcula los ángulos de las siguientes figuras:

B

A

C

D

110°

F

G

E

H

I 45°

60°

2. Prueba con ejemplos que el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma

de los ángulos internos no adyacentes. 3. Demuestra, mediante el uso de ángulos alternos e internos, que los ángulos

internos de un triángulo suman 180º. 4. Obtén todos los ángulos de la siguiente figura:

Para tu apuante Dos ángulos son adyacentes si tienen un vértice y un lado en común.

50°

5. GeoGebra ( www.geogebra.org/cms/es/) es un programa de computación

en el que puedes hacer trazos geométricos para analizar distintas situaciones y obtener algunos resultados. Entra al programa y sigue las siguientes instrucciones: ⇒ Traza un paralelogramo cualquiera. Haz una hipótesis sobre cómo podrías conocer el valor de la suma de los ángulos interiores sin usar el transportador. ⇒ Traza una de sus diagonales y observa que se forman dos triángulos. 35


Responde: ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cualquier paralelogramo? ¿El procedimiento que seguiste lo puedes generalizar para cualquier cuadrilátero? Coméntalo en tu grupo con el maestro. ⇒ Justifica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º y con el resultado contesta la pregunta planteada. ⇒

6. Analiza la relación que se da entre los ángulos de la siguiente figura uti-

lizando lo que aprendiste en esta lección con el programa de cómputo: C

B

δ = 40.94° ε = 58.71° α = 80.35°

D

γ = 58.71°

β = 40.94°

A

Al dividir el paralelogramo se crean dos triángulos. • e � a � d � 180º, ¿por qué? •

e � g , ¿por qué?

•

d � b, ¿por qué?

Si sustituimos e y d por sus iguales, que son g y b, entonces la suma queda: �

�

�

180º

Evalúa tu avance 1. En un paralelogramo cualquiera, 2. ¿Cuánto mide el ángulo X , si las

dos ángulos opuestos pueden ser:

rectas m y n son paralelas?

a. Complementarios

a. 40º

b. 100º

c. 140º

d. 60º

b. Suplementarios c. Congruentes d. Diferentes

n

40°

X

100° m

36

L1 L4

B1 B 1

Figuras y cuerpos

4

Lección

Construirás triángulos con base en ciertos datos. Analizarás las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Explora

La alberca Un famoso rockero, famoso por su excentricidad, quiere construir una alberca de forma triangular en su casa con las siguientes medidas de sus lados: 15.3 m,

8.6 m y 5.2 m. •

¿Podrías bosquejar tan extraña alberca?

37



• ¿Cuántos puedes hacer?

Para tu apunte Para identificar las medidas de un triángulo las nombraremos con letras mayúsculas y minúsculas de la siguiente manera. Observa que el lado opuesto al ángulo está nombrado con la misma letra, pero en letra minúscula: C

a b

1. Con ayuda de regla, compás, transportador y lápiz, traza todos los triángulos

diferentes que puedas con las medidas que se indican en cada inciso y obtén las medidas de los ángulos y lado restantes. a. Traza todos los triángulos diferentes que puedas con: lado a � 3 cm y b � 4 cm. b. Traza todos los triángulos diferentes que puedas con: lado a � 3 cm , b � 4 cm y el ángulo entre ellos de 90º. 2. Compara los triángulos que trazaste con los de un compañero y responde: • ¿Cuántos triángulos diferentes pudieron obtener en el inciso a ?

A B

c

Recuerda que cuando se tienen dos triángulos con lados y ángulos idénticos se les llama triángulos congruentes .

• ¿Cuántos triángulos diferentes pudieron obtener en el inciso b ? • ¿Qué datos fueron necesarios para que los triángulos hechos por tus compa-

ñeros y los tuyos tuvieran las mismas medidas? 3. Reflexiona y escribe por qué son necesarios ciertos datos para que los triángu-

los sean iguales o congruentes.

• ¿Se puede o no se puede? 1. Completa la siguiente tabla y construye en tu cuaderno los triángulos con las

medidas que se indican: Número de triángulo

Longitud del lado a

Longitud del lado b

Longitud del lado c

a�b

a�c

c � b

1

10

15

7

25

17

22

2

10

15

6

Para tu apunte

3

10

15

5

Para poder construir un triángulo es necesario tener alguna de las siguientes condiciones:

4

10

15

4

• Tres lados que cumplan que la suma

5

10

15

3

6

10

15

2

7

10

15

1

de los lados menores sea mayor que el lado grande. • Un ángulo que conecte dos lados. • Dos ángulos y un lado que los conecte (siempre y cuando los dos ángulos no sumen igual o más de 180º). 38

L1 L4

B1 B 1

2. Una vez que trazaste los triángulos, responde: • ¿A partir de qué número, ya no es posible trazar un triángulo? • En los que sí pudiste construir, ¿cuál fue el resultado de a

relación con c ? ¿Cuál fue el resultado de a � c en relación con b? ¿Cuál fue el resultado de c � b en relación con a ? • En los triángulos que no pudiste construir, ¿cuál fue el resultado de a � b en relación con c ? ¿Cuál fue el resultado de a � c en relación con b? ¿Cuál fue el resultado de c � b en relación con a ? �

b en

3. Reunidos en parejas redacten cuáles son las condiciones que tienen que cum-

plir tres medidas cualesquiera para que se pueda formar un triángulo con ellas.

a

b c

b

c

a

A

ˆ

A

b

c b

a

c

ˆ

C

ˆ B

B

C a

• Unicidad 1. Dadas las siguientes medidas: • ¿Cuántos triángulos distintos se pueden hacer? ¿Por qué? 7 cm

a

5 cm

b

9 cm

c

39


2. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga como único requisito que

uno de sus lados mida 10 cm y tenga un ángulo de 65º. • Con base en los datos anteriores, ¿cuántos triángulos distintos puedes construir? ¿Por qué? 3. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga un lado de 10 cm y otro de

15 cm. • Con base en los datos anteriores, ¿cuántos triángulos distintos puedes hacer? ¿Por qué? • ¿Qué dato faltaría para que los triángulos que trazaste fueran congruentes? • ¿Qué datos son necesarios para que las medidas de un triángulo sean únicas? Hay tres combinaciones posibles, encuentra las tres y coméntalas con tus compañeros y tu maestro.

Pongámonos de acuerdo Con ayuda de su maestro coordinen el siguiente juego: 1. Formen varios pares de equipos de tres estudiantes cada uno. 2. Cada equipo debe diseñar triángulos con diferentes datos: dos que no se pue-

dan trazar y dos que sí. ⇒ En cada par de equipos, el equipo 1 le tiene que dar al equipo contrario algunas medidas de las que diseñó para el trazo de los triángulos. ⇒ El equipo que recibe los datos debe identificar por el simple análisis si el triángulo se puede trazar o no. En caso de que lo identifique correctamente recibe 1 punto, recibirá otro punto más si logra enunciar por qué no se puede trazar o, en caso de que sí se pueda trazar, lo haga con toda precisión. Si el equipo que recibe los datos no logra identificar si el triángulo se puede trazar, el equipo que diseñó el problema gana 2 puntos. ⇒ Todos los equipos 1 deben intercambiar los datos de triángulos con el equipo 2 hasta que terminen las 4 opciones de todos los equipos. 3. En el siguiente turno se intercambian los papeles. El equipo 2 le tiene que dar

al equipo contrario algunas medidas de las que diseñó. 4. En la siguiente ronda los equipos vuelven a intercambiar los datos entre ellos

y a evaluar si los triángulos son trazables o no. 5. En la siguiente ronda se hará lo mismo, pero ganará puntos el equipo contrario

(el que proponga los datos iniciales) que pueda decir, con el simple análisis de los datos, que el triángulo es intrazable o trazable. 6. Al finalizar el juego respondan entre todos juntos con el maestro: •

•

40

¿Cuáles son las características para que un triángulo pueda o no pueda ser construido? ¿Cuáles son las características para que un triángulo sea único?

B1 B 1

L1 L4

De vuelta al Explora 1. Con lo analizado en la lección responde: • ¿Se puede hacer la alberca que pidió el rockero?, ¿por qué? • Si sólo pudieras cambiar una medida, ¿cuál cambiarías para que la alberca sí

se pudiera construir? ¿Cuál es el valor mínimo que debe tener para que se pueda construir?

Practica 1. Entra a www.geogebra.org/cms/es/ y usa el programa GeoGebra

para realizar los siguientes ejercicios. Después hazlos en tu cuaderno con regla y compás: ⇒

Construye un triángulo que tenga los lados con las siguientes medidas: 6 cm, 9 cm y 4 cm.

⇒

Construye un triángulo con los tres lados de 7 cm.

⇒

Construye un triángulo que tenga los lados c on las siguientes medidas: 7 cm, 3 cm y 12 cm.

⇒

Después de hacer ambos ejercicios, explica qué aprendiste al hacerlos con el programa y qué aprendiste al trazarlos en tu cuaderno. Comenta en el grupo las ventajas y desventajas de cada forma de trazar. También puedes utilizar el programa Descartes disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

2. Dadas las siguientes medidas, ¿es posible construir un triángulo?

5, b � 6 y ángulo C � 47º . b. Equilátero de lado 6. c. Con lados a � 8, b � 5 y C � 132º. d. Triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.

a. Con lados

a�

3. Reunidos en parejas, uno de ustedes complete las siguientes frases con las me-

didas que vengan a su mente y el otro intente hacer un triángulo con dichas medidas: a. Los tres lados miden… b. Los tres ángulos miden… c. Dos lados y un ángulo miden… d. Un lado y los dos ángulos contiguos miden…

Para tu apunte No siempre es posible construir triángulos cuando sólo te dan las tres medidas de los lados. Para que exista un triángulo es necesario que la suma de los lados menores sea mayor que el lado más grande, por ejemplo: No puede existir un triángulo con las medidas: a � 2 cm b � 3 cm c � 6 cm

Porque c�a�b

6 � 2 � 3

Pero sí puede existir un triángulo con medidas: a � 2 cm b � 3 cm c � 4 cm

Porque, para todos los casos: a � b � c b � a � c c�a�b

Entonces sí puede haber un triángulo con esas medidas.

41


4. Escribe en el paréntesis F o V dependiendo si son falsas o verdaderas las siguientes

afirmaciones: a. Es posible construir un triángulo cuyos ángulos sean:

88, 90 y 70 grados.

(

)

(

)

(

)

(

)

e. Sólo existe un único triángulo que tiene todos sus lados iguales.

(

)

f. Sólo existe un único triángulo cuyos lados miden 10, 15 y 8 cm.

(

)

b. Es posible construir un triángulo que tenga 25, 45 y 70 grados. c. Es posible construir un triángulo que tenga los ángulos:

25, 45 y 110 grados. d. Sólo existe un único triángulo que cumple con tener un lado igual

a 15 cm y un ángulo de 30 grados.

Evalúa tu avance 1.

Dado un triángulo con ángulos 95º y 88º, ¿cuánto tiene que medir el otro ángulo?

50 °

140°

a. 3º 15 cm

b. 183º c. No hay un triángulo d. 45º

10 cm

1°

2. Tania tiene que hacer un triángulo

con tres trozos de madera y tres bisagras (ve la figura).

9 cm

• ¿Con cuál de las siguientes opcio-

nes podría hacerlo? a. Trozo de madera 1 � 15 cm, bi-

13 cm

13 cm

sagra 1 � 50º y bisagra 2 � 140º. b. Trozo de madera 1 � 10 cm, trozo

13 cm

de madera 2 � 9 cm, bisagra 1º. c. Trozo de madera 1 � 13 cm, tro-

zo de madera 2 � 6 cm y trozo de madera 3 � 6 cm. d. Bisagra 1 � 45º, bisagra 2 � 70º

y bisagra 3 � 70º.

42

45°

70°

70°

L3 L1 L 5

B 1 B1

Medida

5

Resolverás problemas que impliquen el cálculo de áreas de las figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides

Lección

Explora

El diseño de empaques Para crear los empaques de dulces, los diseñadores toman en cuenta el área de impresión que ocuparán en una cartulina. Se requiere que al pintar todas las caras del empaque no se gaste mucha pintura. Observa los siguientes tipos de empaque:

6 cm

6 cm

4 cm

3 cm 4 cm 2 cm

6 cm

3 cm

• ¿Cuál es el nombre de los cuerpos geométricos de los anteriores empaques? • ¿Cuál es el área de impresión total del empaque verde? • ¿Cuál es el área de impresión total del empaque rojo? • ¿Cuál es el área de impresión total del empaque azul? • ¿En cuál empaque se utilizaría menos pintura? 43


Para tu apunte En algunas ocasiones tendrás que calcular diferencias de áreas, para ello, deberás obtener el área total con los datos que tienes y restarle algún área. Es recomendable que identifiques qué figuras regulares existen a fin de que puedas aplicar la fórmula para calcular su área. En ocasiones estas figuras regulares están fraccionadas. Verifica si puedes formar enteros con ellas.


• Explora el parque En la comunidad Tejamanil quieren plantar pasto alrededor de una fuente circular y poner piso en el andador peatonal. Para ello necesitan conocer el área que ocupará el pasto y la del andador de acuerdo con el siguiente diseño: 2 m

4 m

u

10 m

Planta arquitectónica del proyecto del parque de Tejamanil.

• ¿Qué área ocupa el pasto? • ¿Qué área ocupa el piso? • ¿Cuál es el área que ocupa la fuente?

• El diseño del patio 1. Un arquitecto diseñó un patio rectangular en el que se colocará loseta. Dentro

del patio habrá una sección con jardín como se muestra en el siguiente dibujo.

5m

10 m 14 m

• ¿Cuántos metros cuadrados ocupa el piso indicado en color azul? • ¿Cuántos metros cuadrados ocupa la sección con jardín? 44

L3 L1 L 5

2. Como no estaba convencido del resultado, el arquitecto decidió hacer un dise-

ño distinto, como el que se muestra en el siguiente dibujo. La parte azul es el patio y la blanca la sección con jardín: M

B 1 B1

Para tu apunte Una proceso común de calcular áreas de figuras compuestas es la triangulación, la cual consiste en dividir en triángulos una figura y calcular el área de cada una para después sumarlas y obtener el total. Este proceso solo sirve para calcular figuras poligonales.

5m

6m

4m 14 m

p

El punto M es el punto medio del lado del rectángulo.

• Identifica en cuántas partes está dividido el terreno, cuáles figuras conoces

y cuáles son sus fórmulas para encontrar sus áreas. • ¿Cuánta área de tierra fértil se ocupará en las secciones de color blanco? • ¿Cuántos metros cuadrados de loseta se colocarán en las áreas indicadas con color azul? 4. Compara los dos diseños, ¿en cuál se utiliza más tierra?, ¿en cuál se utiliza más

loseta?

• El mejor diseño Además de los diseños que aparecen en la sección E XPLORA, Los diseñadores trabajaron en otro modelo antes de decidir cuál será el empaque final de los dulces:

a = 2.5 cm h = 2.4 cm

b = 1.4 cm

• ¿Cuál es el área de impresión total en este caso? • ¿En este modelo de empaque se ahorrará pintura en comparación con los otros

que aparecen en el E XPLORA? • ¿Con cuál empaque te quedarías con base en el hecho de ahorrar más pintura? ¿Qué criterios usarías para compararlos? ¿Por qué?

Para tu apunte Hay diferentes maneras de calcular el área de una figura irregular, además de la triangulación puedes usar el Teorema de Pick. Investiga junto con tu maestro de qué trata este teorema y úsalo. Puedes consultar: • http://gaussianos.com/el-teoremade-pick/ • www.matmor.unam.mx/clubmate/ primaria3/148-teorema-de-pick 45


Pongámonos de acuerdo 1. Junto con un compañero traza el siguiente cuerpo geométrico en una cartulina,

recórtenlo y péguenlo. Además, marquen con una línea roja la altura de los triángulos isósceles que conforman cada lado.

2. Una vez construido, calculen el total de cartulina que necesitaron para poder

hacer el empaque. • ¿Cuánto mide el lado de la base del cuerpo geométrico? • ¿Cuánto mide la altura del cuerpo geométrico? Utiliza tu regla para este paso. 3. Observen la línea roja que marcaron, ¿coincide con la altura del cuerpo geométrico? 4. Pregúntenle a otros equipos sus resultados y anótenlos en la siguiente tabla: Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Medida de un lado de la base Área de la base Altura del cuerpo geométrico Altura de los triángulos isósceles Área de toda la superficie Volumen del empaque

5. Junto con su maestro discutan las siguientes cuestiones: • ¿Cuáles fueron las diferencias entre los resultados de tu equipo y los de

otros equipos? • ¿A qué creen que se deban estas diferencias? • ¿Cómo midieron la altura de los cuerpos los distintos equipos? ⇒ Comenten con su maestro si existe un método matemático preciso para calcular la altura de la pirámide. 46

L3 L1 L 5

B 1 B1

De vuelta al Explora Al momento de diseñar los empaques se requiere hacer su desarrollo plano. Por ejemplo, el desarrollo plano del empaque rojo del E XPLORA queda como se muestra en el siguiente dibujo:

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

3 cm 5 cm

1. Realiza los desarrollos planos de los demás empaques con todas sus medi-

das (lado, altura, base) y calcula la cantidad de área de cartulina que se utilizaría en cada caso.

Practica 1. ¿Cuántas cajas de 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de alto caben en una

caja cuyas medidas son:

5.58 cm

3.2 cm

1 0. 5 c m

2. Calcula la superficie total de un prisma cuadrangular de 4.5 cm de altura y base

de 8 cm. 47


3. Una alberca tiene 9.5 m de largo, 5 m de ancho y 2 m de profundidad. Pintar

la alberca cuesta $45.00 el metro cuadrado. • ¿Cuánto costará pintarla? • Si se requiere poner azulejo antiderrapante alrededor de la alberca que mida 1.2 m de ancho, ¿cuántos m 2 se deben comprar de azulejo? 4. Calcula toda el área lateral de un prisma cuadrangular que tiene como área de

la base 12 cm2 y 48 cm3 de capacidad. 5. Una empresa de fiestas fabrica gorros de cartón en forma de pirámide circular

o cono. • ¿Cuánto cartón habrán utilizado para hacer 20 gorros de 7 cm de radio y 10 cm de altura?

Evalúa tu avance 1. Si sabemos que cada cuadrado tiene lados de 10 cm, ¿cuánto mide el área

de colores de la figura?

a. 100 cm2 b. 39.2 cm2 c. 257.08 cm2 d. 180.73 cm2 2. Alejandro construirá una vitrina de lámina para sus pelotas de beisbol.

Dicha caja tendrá forma de prisma rectangular, un piso de 81 cm 2 y una altura de 10 cm. • ¿Cuánto vidrio necesita comprar para construir la caja completa? a. 360 cm2 b. 162 cm2 c. 457 cm2 d. 522 cm2 48

L6

B1

Proporcionalidad y funciones

6

Lección

Resolverás problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa

Explora

La propina Nora y Carlos van a un restaurante a comer. Al terminar el mesero les entrega la cuenta por la cantidad total de 368 pesos. En la cuenta se indica que está incluida la propina del 15%. Carlos y Nora se preguntan cuánto les cobraron de propina y cuánto gastaron en el consumo.

$ 3 6 8


• Ofertas de otoño En la plaza comercial Valle Central están rematando muchos artículos por fin de temporada. Algunas de las ofertas son: • Todas las blusas y camisas tienen 40% de descuento. • Todos los pantalones y shorts cuentan con 25% de descuento. • Todos los accesorios tienen 50% de descuento. Karina y Perla quieren aprovechar las ofertas. Cada una tiene 600 pesos con los que hicieron las siguientes compras. 1. Compras de Karina sin incluir los descuentos: – Un pantalón de 240 pesos – Un short de 200 pesos – Dos blusas: una de 100 pesos y otra de 200 pesos ⇒

Una vez aplicados los descuentos, responde: 49

EJE:

M A N E J O

D E L A I N F O R M A C I Ó N

• ¿Cuánto gastó Karina en total? • ¿Le quedó dinero?, ¿cuánto? • ¿Cuánto ahorró Karina gracias a las ofertas?

Para tu apunte El porcentaje es una o más de las 100 partes en que se divide un todo. Por ejemplo, si hablamos del 40% de una cantidad, significa que esa cantidad la dividimos en 100 partes iguales y tomamos 40 de esas partes. Existen diferentes formas de calcular los porcentajes de una cantidad. A continuación te presentamos algunas de ellas: – Hay algunos porcentajes que son fáciles de calcular por su equivalencia con razones más simples. Por ejemplo: 50% con la mitad del total, 25% con la cuarta parte, 20% con la quinta parte y 10% con la décima parte. – Otra forma para calcular el porcentaje de una cantidad es multiplicar la cantidad por el decimal del porcentaje. Por ejemplo: para calcular el 40% de 350, se multiplica así:

Para calcular el 35% se multiplica por 0.35; para el 50% por 0.50; para el 89% por 0.89; para el 5% por 0.05; para el 1% por 0.01, etcétera. – También se puede utilizar la regla de tres simple o la de proporcionalidad, en donde los valores conocidos serían: el 100%, la cantidad total y el porcentaje por calcular. Usando el mismo ejemplo anterior, el 40% de 350 se plantea así: 350 × 40 000 1400 14000

140 100√14000 400 00 0

Recuerda que en la operación para resolver una proporción con un dato faltante, también conocida como la regla de tres, es importante colocar los datos conocidos adecuadamente. En el ejemplo presentado antes, puedes ver que del lado izquierdo se colocan los porcentajes y del derecho las cantidades (la conocida y la continúa u 50

3. Comenta con tus compañeros cómo calculaste los descuentos. • ¿Qué descuento es más fácil calcular: 25%, 50% o 40%? 4. Intercambien los procedimientos, comparen cuál es más conveniente y anali-

cen si en todas las situaciones es eficiente.

• Censo de la escuela En la escuela secundaria José Vasconcelos se realizó un censo de población. Se contaron alumnos, maestros, personal administrativo y personal de limpieza. En total hay 200 personas distribuidas de la siguiente forma:

350 × 0.40 000 1400 140.00

100% – 350 40% – x

2. Compras de Perla sin incluir los descuentos: – Unos aretes de 120 pesos – Unos lentes para Sol de 150 pesos – Un short de 160 pesos – Una camisa para su hermano de 180 pesos • ¿Cuánto gastó en cada uno de los artículos ya con el descuento? • ¿Cuánto gastó en total Perla? • ¿Le sobró dinero? ¿Cuánto?

Alumnos 1°A 1°B 2°A 3°A Maestros Personal Administrativo Personal de limpieza Total

Mujeres 89 20 21 21 27 12 6 2 109

Hombres 79 21 21 19 18 8 2 2 91

Total 168 41 42 40 45 20 8 4 200

1. Tras conocer los resultados del censo responde las siguientes preguntas: • ¿Qué porcentaje de maestros (hombres y mujeres) hay con respecto al total • • • • •

de personas censadas? ¿Qué porcentaje es de alumnado? ¿Cuál es el porcentaje de mujeres en la escuela? ¿Cuál es el porcentaje de hombres en la escuela? Del total de alumnos, ¿cuál es el porcentaje de hombres y de mujeres? ¿En cuál de los grupos el porcentaje de hombres es igual al porcentaje de mujeres?

2. Escribe otros porcentajes que puedes calcular con los datos de la tabla. 3. Verifica tus resultados calculando los porcentajes obtenidos con respecto al total. 4. Comparte tu procedimiento con los de dos compañeros.

B 1 B1

L4 L3 L1 L 6

• Examen de Geografía

continúa u

Samuel se prepara para el examen de Geografía. En sus apuntes sólo encontró una nota en donde dice que el 71% de la superficie terrestre está cubierta por agua y es aproximadamente de 362 100 000 km 2. 1. Con base en estos datos responde las siguientes preguntas: • ¿Qué porcentaje de la superficie terrestre está cubierta por tierra firme? • ¿Cuál es la superficie total terrestre? • Si la superficie cubierta por agua en lugar del porcentaje dado (71%), fuera

el 50%, ¿cómo calcularías la superficie total de la Tierra? • Si consideramos que el porcentaje real de la superficie cubierta por agua es del 71%, ¿de qué forma calcularías el total de la superficie terrestre? Discútelo con dos compañeros y elijan el procedimiento más eficiente. 2. Verifiquen sus resultados calculando el 71% de la cantidad que hallaron con

sus procedimientos. ¿Coincide con 362 100 000 km2?

En los próximos meses se espera un aumento en el precio de los combustibles y con ello en casi todos los productos. Don Mario, dueño de una ferretería, decidió incrementar un porcentaje fijo en todos los artículos que ofrece. Lista de artículos

Martillo

Precio actual

Próximo precio

$125.00

$140.00

Desarmador del número 5

Aumento

$21.00

Brocha para pintar

$40.00

Pala

$225.00

Candado

$7.20

Bisagra

$3.00

1. Reunidos en parejas respondan las siguientes preguntas: • En alguno de los artículos de la tabla se conocen ambos precios (actual y • • • •

Porcentajes

Total

Datos

100%

Partes Para resolver este tipo de proporciones debes identificar qué datos sí conoces de diferente columna y distinto renglón para multiplicarlos. El dato sobrante divide a ese producto.

Para tu apunte

Pongámonos de acuerdo

Artículo

que se va a calcular). Arriba está relacionado el 100% con la cantidad total y, abajo, el porcentaje que se desea calcular con la incógnita ( x ), valor que se calculará. Puedes usar una tabla como la siguiente para ayudarte a colocar los datos adecuadamente:

próximo), ¿en cuál? ¿Cuál será el incremento en pesos para este artículo? ⇒ Escríbanlo en la tabla. ¿Qué porcentaje representa este incremento con respecto al precio actual? Con base en ese dato, ¿cuál será el porcentaje de incremento para los demás artículos? Conocido el porcentaje de incremento, ¿qué es más fácil calcular: el próximo precio o el precio actual de los demás artículos? ¿Por qué?

Para calcular el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra se puede utilizar alguno de estos procedimientos: – Dividir la cantidad de la que se desea conocer el porcentaje entre la cantidad total. Por ejemplo, si se quiere saber qué porcentaje representa 48 de 120 se hacen las siguientes operaciones: 0.4 × 100 00 00 4 40.0 – La regla de tres en este caso también es útil. La diferencia aquí está en el acomodo de los datos conocidos. Siguiendo con el ejemplo anterior: 0.4 120√480 0

100% – 120 x – 48

100 40% × 48 120√4800 800 00 400 4800 Si usas una tabla debes acomodar los datos así: Total Partes

Porcentajes 100% x

Datos 120 48

51

EJE:

M A N E J O


• Conocido el porcentaje de incremento, ¿cuántos pesos aumentará la brocha

Para tu apunte Para calcular el total de una cantidad a partir de una parte de ésta en la que se conoce el porcentaje que representa, se pueden emplear algunos de estos procedimientos:

• Si la cantidad conocida es un porcentaje simple, por ejemplo, 50%, 25%, 20% o 10%, se puede dividir entre 2, 4, 5 o 10, respectivamente. • En otros casos también se puede calcular el total de una cantidad utilizando divisiones, sumas o multiplicaciones sencillas. Por ejemplo, si se conoce que el 40% de una cantidad es 32, entonces se puede saber que el 10% es equivalente a 8 (la cuarta parte de 32), y por lo tanto el 100% es 80, es decir 10 veces 8. • En este tipo de problemas también se puede usar la regla de tres, solo que esta vez la incógnita estará junto al 100%, es decir, en la posición de la cantidad total. Ejemplo: 100% – x 40% – 32

100 × 32 200 300 3200

80 40√3200 00

• • • •

para pintar? ¿Cuál será el próximo precio que tendrá? ⇒ Escríbanlo en la tabla. ⇒ Utilicen el mismo procedimiento para calcular el aumento y el próximo precio de la pala. En el caso del desarmador, ¿qué representan los $21.00? ¿Qué porcentaje representan los $21.00? Conocido el aumento y el porcentaje que este representa, ¿cuál es el precio actual del desarmador? ¿Cuál será el próximo precio del desarmador?

2. Completen el resto de los precios y escríbanlos en la tabla. 3. Si los precios actuales de los artículos representan el 100% y los aumentos

correspondientes a cada artículo representan el porcentaje fijo, respondan: • ¿Qué porcentaje creen que representan los próximos precios? ⇒ Verifiquen

sus resultados. Coméntenlos con el resto de sus compañeros y su maestro.

De vuelta al Explora 1. Analiza cómo fue el cobro de la propina en el problema del

E XPLORA,

decir, qué se incluyó en el total de la cuenta, y responde: • ¿Con base en qué cantidad se cobró la propina? • ¿Qué porcentaje corresponde a la propina?

Si usas una tabla debes acomodar los datos así: Porcentajes

Datos

Total

100%

x

Parte

40%

32

• ¿Qué porcentaje corresponde al consumo de Nora y Carlos? • ¿Qué porcentaje corresponde al total de la cuenta los 368 pesos? 2. Usando esta última relación, calcula ahora cuánto fue en pesos el consumo

de Nora y Carlos.

Practica 1. Calcula los siguientes porcentajes de acuerdo con la cantidad dada:

52

es

a. 30% de 150

e. 24% de 130

b. 65% de 280

f. 5% de 600

c. 75% de 400

g. 50% de 1 500

d. 80% de 450

h. 98% de 750

EJE:

M A N E J O



7

Resolverás problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos

Lección

Explora

Rendimientos de ahorro Patricia le propone a su hijo que si guarda sus ahorros por un año ella lo gratificará con una cantidad extra. Antes de cerrar el trato le pregunta cuál de los siguientes planes prefiere: a. Aumentarle el 5% por trimestre. b. Aumentarle el 10% por semestre. Si el ahorro inicial del hijo es de $1 200: • ¿Qué plan le recomendarías al hijo de Patricia?


• Las bacterias Algunas enfermedades son producto de la propagación de bacterias en nuestro organismo. Por ejemplo, el tétanos se contagia por medio de la bacteria Clostridium tetani, generalmente encontrada en metales en oxidación y también en las heces de algunos animales. Supongamos que al comienzo de la enfermedad el portador tiene 6 000 bacterias y se sabe que la tasa de crecimiento es del 15% por cada hora. 1. Analiza la situación y responde las siguientes preguntas: • ¿Cómo calcularías la cantidad de bacterias después de una hora? 2. Llena los espacios faltantes para el cálculo de bacterias después de una hora: Horas transcurridas

Bacterias al inicio

1

6 000

Aumento al 15% (6 000) � (0.15) �

Total de bacterias 6 000 �

�

• ¿Cuántas bacterias aumentan después de una hora? ¿Cuántas hay después de

esa hora? 54

L5 L4 L3 L1 L 7

B 1 B1

3. Llena los espacios faltantes para el cálculo de bacterias después de 2 horas: Horas transcurridas

Bacterias al inicio

2

6 900

Aumento al 15%

Total de bacterias

(6 900) � (0.15) �

6 900 �

�

• ¿Por qué hay 6 900 bacterias al inicio de la segunda hora? • ¿El aumento de bacterias en la segunda hora es igual al de la primera hora?

¿por qué? • ¿Qué crees que pasará al seguir transcurriendo las horas? 4. Completa la tabla realizando y verificando las operaciones indicadas para calcular

la cantidad de bacterias de las primeras 5 horas: Horas transcurridas

Bacterias al inicio

Aumento al 15%

1

6 000

(6 000) � (0.15) �

6 000 �

�

2

6 900

(6 900) � (0.15) �

6 900 �

�

3 4

�

9 125

Total de bacterias

(0.15) � 1 190.25

(9 125) � (0.15) �

5

�

�

1 574.1

• ¿Por qué si el aumento al 15% en la hora 3 fue de 1 190.25 bacterias, en la

siguiente operación (Total de bacterias) sólo indica sumar 1 190 bacterias? • ¿La cantidad de bacterias puede llegar a ser una cifra decimal? Es decir, ¿po-

demos hablar de 0.5 bacterias? • ¿Fueron los aumentos al 15% iguales para cada hora transcurrida?, ¿cómo

fueron? • ¿Cuántas bacterias había después de 3 horas? • ¿Hasta qué hora se sobrepasaron las 10 000 bacterias? 5. Compara tus resultados con los de dos compañeros y comenten cómo funciona

el procedimiento usado en la tabla. 6. Piensen en otras situaciones reales en donde se dé este tipo de crecimiento y

coméntenlo con otros compañeros.

�

1 190 �

�

1 369 �

�

1 574 � 12 068

Para tu apunte Cuando se habla del crecimiento de poblaciones u otras cantidades de acuerdo con una tasa de incremento cada cierto periodo, es importante establecer si la tasa es fija o compuesta. Esto es, si la tasa es fija significa que el incremento en cada periodo será el mismo y se calcula directamente conociendo la población o cantidad inicial. El crecimiento se da en proporciones directas y si hiciésemos una gráfica quedaría una línea recta. En cambio, si la tasa es compuesta, esto significa que el incremento en cada periodo se calculará a partir de la población o cantidad del periodo anterior. Si hiciésemos una gráfica se genera una curva exponencial. La tasa de crecimiento es un índice de crecimiento que ocurre cada cierto periodo y generalmente se expresa en porcentaje. 55

EJE:

M A N E J O


Para tu apunte

• El alza del precio de la tortilla

Para calcular la tasa de crecimiento de una cantidad inicial se siguen estos pasos:

1. Se obtiene el porcentaje (tasa) de la cantidad inicial a fin de generar el aumento del primer periodo. 2. Se suma el aumento calculado en el paso anterior con la cantidad inicial, para obtener la cantidad del primer periodo transcurrido. 3. Para calcular la cantidad del segundo periodo, se repiten los dos pasos anteriores usando ahora el resultado del primer periodo en lugar de la cantidad inicial, y así sucesivamente. p

La tortilla de maíz es el símbolo más antiguo de la cultura culinaria de nuestro país. Sin importar la clase social a que se pertenezca, la tortilla se consume a diario por el 94% de l os mexicanos.

Se estima que el precio de la tortilla aumenta cada año 12% respecto a su precio anterior. Supón que hoy en día el kilo de tortilla cuesta $10.00. 1. Responde las siguientes preguntas: • ¿Cuál será su precio dentro de 6 años? • ¿En los precios de cualquier artículo se utilizan decimales?, ¿cuánto decima-

Para tu apunte Los crecimientos de población de seres vivos no aumentan hasta el infinito, puesto que típicamente llegan a un punto de equilibrio regulado por la muerte de algunos organismos, debido a diferentes factores como la falta de alimento, la presencia de depredadores, etcétera. De no ser así, se tendría un desequilibrio en la presencia de bacterias, plagas, algunos vegetales o animales. Sin embargo, estos desequilibrios se han presentado cuando los humanos intervenimos en ciertos hábitats o un fenómeno natural los altera. Podrás encontrar algunos ejemplos en: • http://adn-dna.blogspot. mx/2012/08/232-desequilibrioecologico-plaga-de.html • www.planetacurioso. com/2008/05/02/sabias-que-laplaga-de-conejos-en-australia-hacausado-danos-en-el-medio/ 56

les se suelen usar en los precios? • ¿En este problema será necesario redondear a enteros así como lo hicimos en el problema de las bacterias?, ¿por qué? 2. Realiza una tabla de valores que muestre los precios y los incrementos del kilo

de tortilla cada año durante 6 años. • ¿Cuánto aumentará el precio del kilo de tortilla el primer año? • ¿Cuánto se incrementará el precio del kilo de tortilla el sexto año? • ¿Después de cuánto tiempo el precio de la tortilla será aproximadamente de $14.00? • ¿Sobrepasará los $20.00 al llegar al sexto año? Si es cierto, ¿cuánto más? Y si no, ¿cuál será el precio en ese año? 3. Con base en los resultados de la tabla, plantea otras preguntas a un compañero

y compara sus respuestas con las tuyas. Verifiquen los resultados en los que difieren y lleguen a un acuerdo de cuáles son los correctos.

• El poblado de Los Mimbres El poblado de Los Mimbres se localiza en el municipio de Galeana, en el sur de Nuevo León. Actualmente cuenta con una población aproximada de 300 habitantes, de acuerdo con las estadísticas se ha estimado que en los últimos cinco años la población ha aumentado 6% y se estima que en los siguientes cinco tendrá la misma tendencia de crecimiento.

L5 L4 L3 L1 L 7

B 1 B1

1. Responde: • ¿Cuál será la población de Los Mimbres después de 4 años? 2. Completa la siguiente tabla: Años

Aumento de población 6%

–5

224

–4

13.15 14

–3

≈

14

≈

16

–2

≈

15.12

252

≈

–1 0 (actual)

Población

≈

300

1

18

318

2

19.08 19

3

≈

4

≈

5

≈

357

≈

23

Explica por qué se ajusta a enteros el aumento de población. • ¿Cómo se calculó el aumento de población para el segundo año (19.08)? ⇒ Escribe la operación. • ¿Qué significado tienen los números negativos de la primera columna de la tabla? • ¿Cómo calculas la población de un año atrás? • ¿Qué porcentaje representa 318 con respecto a 300? • ¿Qué porcentaje representa la población del tercer año (357) con respecto a la población del segundo año?

401

⇒

⇒ Verifica si sucede

• • • • •

lo mismo para las demás cantidades y explica su significado. Conociendo lo anterior, ¿qué porcentaje representa la población actual (300) con respecto a la población del año anterior? ¿Cuál era la población un año antes? ¿Cuál era la población cuatro años atrás? ¿Cuál será la población dentro de cuatro años? Si pudieras hacer recomendaciones a la alcaldía de Los Mimbres en cuanto a cómo anticipar el crecimiento de población y la atención de sus necesidades, ¿qué propondrías?

Para tu apunte En problemas donde se involucra el crecimiento de una cantidad a una tasa compuesta o con interés compuesto, las variables que intervienen son: cantidad inicial, tasa de crecimiento y periodo. Es importante que estés consciente de la naturaleza de las cantidades que manejas en un problema. Es decir, cuándo es pertinente ajustar los decimales a enteros y cuándo no. Por ejemplo, al hablar de individuos, como en el caso de las bacterias, éstas sólo existen en cantidades enteras y se les conoce como cantidades discretas. En otros casos, como cuando se habla de costos, sí se puede manejar decimales; entonces se dice que son cantidades continuas. 57

EJE:

M A N E J O


Pongámonos de acuerdo Los bancos otorgan intereses a quien ahorra cierta cantidad de dinero en ellos. Este dinero “extra” que paga el banco para quien invierte su dinero lo obtiene de cobrar intereses a quienes piden prestado dinero al banco. Estos intereses que paga a los ahorradores se consideran “buenos” hoy día si sobrepasan el 6% anual. Supón que tu familia decide invertir sus ahorros durante 5 años en un banco que les ofrece el 4% de interés anual. 1. Reunidos en parejas completen la siguiente tabla:

Para tu apunte Para resolver problemas que involucran tasa de interés compuesta se recurre a procedimientos recursivos, en los cuales se necesita siempre conocer el resultado del periodo anterior para calcular el deseado, ya que de éste depende el próximo y así sucesivamente. Una característica de los problemas que involucran tasa de interés compuesta es que el cociente de cualquier pareja de valores obtenidos consecutivos es constante. Por ejemplo, del problema anterior si tomamos el cociente 318 = 1.06. 300

Año 0 1 2 3 4 5

Inversión (acumulativo) $5 000 $5 200 $5 408

Interés anual al 4% $0.00 $200 $208

2. Ahora respondan: • ¿De cuánto fue la inversión inicial? • ¿De qué tipo es el interés en este banco? • ¿Cambia el interés dependiendo del año? • ¿Qué porcentaje representa la ganancia de cada año? • ¿Cuánto será el ahorro total de tu familia después de los 5 años? • Si dejan en el banco los ahorros por 10 años, estos aumentarán a un total de

$7 401.22, ¿cuál será el ahorro total de tu familia si los dejan 9 años? 3. Verifiquen sus resultados con su maestro.

Para tu apunte Otra forma de calcular problemas con tasa de crecimiento compuesta es multiplicando la cantidad inicial por una razón abreviada, la cual está compuesta por el 100% y el porcentaje de la tasa. Por ejemplo, si una cantidad inicial de 200 aumenta con una tasa compuesta del 5% por mes, entonces para calcular la cantidad que se tendrá después de un mes, se multiplica 200 por 1.05, esto es, el 100% + 5% que da el 105%, y expresado como decimal es el 1.05; y así sucesivamente. 58

De vuelta al Explora Analiza primero el comportamiento de crecimiento de uno de los planes que Patricia le propuso a su hijo, luego haz lo mismo para el segundo plan y compáralos. 1. Antes de elegir alguno de los planes, responde las siguientes preguntas: • ¿Cuál es el monto inicial del ahorro? • En un año, ¿cuántas veces incrementará el ahorro con el primer plan?, ¿y

con el segundo? 2. Realiza una tabla para cada plan en donde se muestre el incremento según

el porcentaje y los periodos correspondientes para un año. • De acuerdo con las tablas, ¿qué plan le recomendarías al hijo de Patricia? ¿Por qué?

L5 L4 L3 L1 L 7

B 1 B1

Practica 1. ¿Cuál fue el depósito original que a la tasa compuesta del 10% mensual, produjo

un monto de $5 324.00 al cabo de 3 meses? 2. ¿Cuántos meses deben dejarse en el banco $700 con interés compuesto del 2% mensual para que este produzca

un monto de $757.70? ⇒

p

Con ayuda de su maestro, realiza este mismo ejercicio usando una hoja de cálculo y comenta cuáles son sus ventajas:

Una hoja de cálculo es una herramienta muy útil para las personas que trabajan con números y que necesitan realizar cálculos.

3. En 2012 nació la persona 7 000 000 000 en nuestro planeta. Si en promedio en

el mundo hay un porcentaje de crecimiento anual del 3.08:

t

Calle Madero, en el centro de la Ciudad de México en 2013.

• ¿Cuántas personas habría en 2014?, ¿y en 2015? 59

E J E : M A N E J O D E L A I N F O R M A C I Ó N

4. Un recipiente con agua cuya temperatura es de 25 °C, se coloca en la estufa y

comienza a calentarse. Si la temperatura del agua aumenta con una tasa compuesta del 26% cada minuto: • ¿Cuál será la temperatura del agua al transcurrir tres minutos? • ¿En cuánto tiempo hervirá el agua? ⇒

Haz una tabla en donde se muestre la elevación de la temperatura cada minuto hasta que alcanza la temperatura de ebullición.

5. Una población de bacterias se quintuplica cada 15 minutos. Si actualmente hay

2 300 bacterias: • ¿Cuántas bacterias habrá después de una hora? • ¿Cuántas bacterias habrá dentro de tres horas? ⇒

Determina hace cuántos minutos las 2 300 bacterias eran menos de 200.

⇒

Escribe una fórmula que determine el número de bacterias respecto a la cantidad de horas transcurridas. Coméntalo con tus compañeros de clase y maestro.

Evalúa tu avance 1. Un capital de $30 000 invertido a una tasa de interés del 7% anual ha

producido $9 323.88 de intereses. • ¿Cuánto tiempo estuvo invertido el capital? a. 3 años b. 4 años c. 2 años d. 6 años 2. Un préstamo de $12 000.00, al pasar un año se cobra en $17 400.00. • ¿Cuál es la tasa de interés que se está cobrando? a. 25% b. 50% c. 30% d. 45%

60

L5 L4 L3 L1 L8

B1


8

Lección

Compararás dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que...”, “es menos probable que...”

Explora

Águila o Sol Lalo, Julio, Carlos y Orlando juegan a lanzar tres monedas al mismo tiempo. Antes de que caigan al piso, todos tienen que adivinar cuántos soles caerán. En el primer lanzamiento, Lalo dice que habrá dos soles, Julio opina que caerá un Sol, Carlos dice que habrá tres soles y Orlando indica que no caerán soles. • ¿Quién es más probable que acierte?, ¿por qué?

Descubre y construye En la kermés de la escuela habrá un concurso que consistirá en adivinar de qué color saldrá una pelota de una urna. El ganador recibirá un premio. 1. Observa con atención la urna y responde las siguientes preguntas: • ¿Qué es más probable? • ¿Sacar una pelota azul o una roja? ¿Por qué? • ¿Extraer una pelota roja o una verde? ¿Por qué? • ¿Sacar una pelota verde o una azul? ¿Por qué?

p

La kermés es una fiesta popular, al aire libre, con bailes, rifas y concursos.

2. Los alumnos decidieron cambiar un poco el concurso; una vez que se saque

una pelota no se regresará a la urna. Si el primer concursante saca una pelota de color azul: • ¿De qué color es más probable que sea la pelota que extraiga el siguiente concursante, roja o azul? ¿Por qué? 61

EJE:

M A N E J O


• La bolsa de dulces Para tu apunte La ocurrencia de un evento es más probable que la de otro, siempre que la cantidad de resultados posibles para el primer evento sea mayor a la del otro evento. Por ejemplo, qué es más probable que ocurra: que una persona que tiene un billete de la Lotería Nacional gane el premio mayor, o que gane otra persona que compró 4 billetes. Si comparamos la cantidad de billetes de cada persona con el total de billetes emitidos podemos darnos cuenta que quien tenga más boletos tendrá mayor probabilidad de ganar.

María organizó una fiesta de cumpleaños para su hija Jazmín. Como obsequio, a cada niño que asista le dará una bolsa de dulces con 5 chicles, 4 paletas, 2 chocolates, 1 mazapán, 6 mentas, 3 dulces de chile, 10 cacahuates y 3 gomitas. 1. Responde las siguientes preguntas: • Si un invitado decide sacar al azar un dulce de su bolsa, ¿cuántos resultados

posibles puede obtener? • ¿Qué es más probable que saque?: • ¿Una paleta o un chicle? • ¿Un chicle o una menta? • ¿Un dulce de chile o una gomita? • ¿Un chocolate o un mazapán? • En general, ¿qué dulce es más probable que saque?, ¿por qué? 2. Realiza otras comparaciones y averigua qué es más probable que ocurra. Inter-

cambia tus respuestas con algún compañero y verifiquen sus resultados.

• El menú del día Para realizar el menú de las comidas de la fonda en la que trabaja, Érika elige el primer plato y el plato fuerte al azar. Ella cuenta con varias recetas para el primer plato: 8 de pasta, 7 de sopa y 5 de arroz. Para el plato fuerte tiene: 4 recetas con pollo, 3 con carne de res, 6 con carne de puerco y 4 con pescado. 1. Completa los siguientes enunciados con “más, menos o igualmente”: probable que guisar pasta. • Guisar sopa es probable que cocinar arroz. • Cocinar pasta es probable que cocinar con pollo. • Cocinar con carne de puerco es probable que guisar con pescado. • Guisar con pollo es probable que guisar con pollo. • Cocinar con carne de res es 2. Realiza otros enunciados y compara cuál plato es más probable que cocine

Érika. Compártelos con tus compañeros y comparen resultados. • ¿Qué es más probable que cocine: pasta, sopa o arroz? • ¿Qué es más probable que guise: pollo, carne de res, carne de puerco o pescado?

Pongámonos de acuerdo Para tu apunte La cantidad total de casos en un evento aleatorio forman lo que se llama espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado, el espacio muestral está formado por seis casos, es decir, los seis posibles y únicos resultados que puede haber: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 62

Con el fin de aumentar sus ventas el supermercado de la colonia donde vive Juan, anuncia que premiará a sus clientes con descuentos sobre sus compras totales. Para ello ha puesto una tómbola con sobres que contienen el porcentaje de descuento a realizar. La tómbola contiene 40 sobres del 5%, 25 sobres del 10%, 15 sobres del 20%, 10 sobres del 30%, 5 sobres del 40%, 3 sobres del 50%, y 2 sobres del 100%. 1. Reunidos en grupos de tres personas, respondan: • ¿Cuántos sobres en total hay en la tómbola?

EJE:

M A N E J O


3. Tenemos tres cubos con caras pintadas:

B

A

C

a. El cubo A tiene 3 caras rojas y 3 azules b. El cubo B tiene 4 caras rojas y 2 azules c. El cubo C tiene 1 cara roja y 5 azules ⇒

Responde las siguientes preguntas: • Al tirar los tres cubos al mismo tiempo, ¿qué es más probable que salga en los cubos, caras rojas o caras azules? • Al tirar los cubos A y B al mismo tiempo, ¿qué es más probable que salga, caras rojas o caras azules? • ¿Qué cubo(s) se tiene(n) que lanzar de manera que sea igualmente probable que salga(n) cara(s) roja(s) o azul(es)?

4. Redacta un problema en el que compares dos eventos y preguntes qué es más

probable que suceda. Respóndelo e intercámbialo con un compañero para que lo conteste. Al final verifiquen sus respuestas y coméntenlas.

Evalúa tu avance 1. La lotería es un juego de azar tradicional, el cual consta 2. En un juego de la feria hay tres urnas con pelotas

de una baraja de 54 cartas y una cantidad indeterminada de tablas compuestas cada una por 16 cartas cualesquiera acomodadas en una matriz de 4 por 4. El juego consiste en sacar al azar una baraja que los participantes deben marcar, si la tienen, en su tabla. Gana quien logre primero una alineación previamente especificada. • Si la baraja está numerada del 1 al 54, ¿qué es más probable que ocurra al sacar la primera carta, que sea menor a 20, o mayor a 25? a. Mayor a 25. b. Es igualmente probable cualquiera de los casos. c. Menor a 20. d. No es probable que salga ninguna.

64

rojas y azules.

Urna 1

⇒

Urna 2

Urna 3

Contesta cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a. En la urna 1, es más probable sacar una pelota azul que una roja. b. Sacar una pelota azul de la urna 1 es más probable que sacar una azul de la urna 3. c. En la urna 2, sacar una pelota roja es menos probable que una azul. d. Sacar una pelota roja de la urna 3 es igualmente probable que sacar una roja de la urna 2.

EJE:

M A N E J O



• ¿Cuántos hermanos? Las autoridades de la escuela Bernal Díaz del Castillo quieren saber cuántos hermanos tienen los alumnos. Para ello, hicieron una encuesta en la que calcularon la división del número de hermanos entre el total del número de alumnos. El resultado fue 1.7. 1. Responde las siguientes preguntas: • ¿Se podría afirmar que hay más de 100 alumnos en la escuela? • ¿Se podría decir que más de la mitad de los alumnos tienen más de tres • • • • • p

¿Tú sabes cuántos de tus compañeros coinciden con sus hermanos en la misma escuela?

hermanos? ¿Se podría afirmar que menos de la mitad de los alumnos tienen más de un hermano? ¿Se podría decir que en la escuela hay menos de 100 alumnos? ¿Se podría afirmar que al menos un alumno tiene al menos dos hermanos? ¿Qué limitantes tiene la información proporcionada para encontrar cuántos hermanos tienen los alumnos de dicha escuela? ¿Qué información sería necesario conocer para responder a las preguntas anteriores?

• ¿Hasta qué año estudiaron? En la escuela Benito Juárez se hizo una encuesta a los papás para conocer su grado de escolaridad. Estos fueron los resultados:

Para tu apunte La media aritmética (llamada también promedio) es un valor que se calcula a partir de la suma de todos los valores dividida entre el número de sumandos. La media aritmética tiene las siguientes propiedades:

• La media aritmética siempre se puede calcular para un conjunto de datos. • Existe una media aritmética única para un conjunto de datos. • En el cálculo de la media aritmética interviene cada uno de los valores del conjunto. 66

Años de escolaridad

3

6

7

8

9

10

18

Frecuencia

1

4

5

5

6

3

1

1. Responde: • ¿Cuál es valor de la media aritmética? • ¿Cuál es el valor de la mediana? • ¿Qué valor divide a todos los valores exactamente a la mitad? • ¿Qué valor representa el promedio de los años de escolaridad? • ¿Qué valor te sirve más para describir el nivel de escolaridad de los papás

de los alumnos de la escuela: la media aritmética o la mediana? 2. En México la escolaridad promedio es de 9.1 años 1. De acuerdo con este dato

responde: • ¿Qué significa este dato? • ¿Cómo se calculó este dato? Fuente: INEGI. Características educativas de la población/Grado promedio de escolaridad de la población de 15 años y más por entidad federativa según sexo, 2000, 2005 y 2010. 1

EJE:

M A N E J O


1. Con base en la información anterior, reunidos en parejas determinen un valor

que represente, que reúna y que describa con mayor precisión las siguientes secciones: • Días soleados • Días lluviosos 2. Junto con su maestro describan el método que utilizaron para encontrar dichos

valores representativos. 3. Utilicen una hoja de cálculo para obtener los datos que se preguntan en el

inciso 1 de este problema.

De vuelta al Explora Para poder resolver el problema del E XPLORA, obtén la media aritmética y la mediana para cada empresa. Recuerda ordenar de menor a mayor los datos para calcular la mediana. • ¿Qué empresa paga mejor y por qué? • ¿Cuáles datos sirvieron para comparar los salarios y contestar la pregunta: la media o la mediana?

Practica 1. 1. En una tienda de autoservicio donde hay 13 empleados, estos se han quejado

de que el salario promedio semanal es de $900.00 mientras que el dueño les dice que es de $1 123.07. Los sueldos son los siguientes: Salario semanal

Número de empleados que reciben este salario

$2500.00

1

$1900.00

1

$1100.00

2

$950.00

2

$900.00

5

$800.00

2

• ¿Quién tiene la razón? 2. Dos amigos en la escuela compiten para ver quién es mejor en matemáticas.

Óscar obtuvo las siguientes calificaciones: 8, 7, 8 y 9 en los primeros exámenes, mientras que Cecilia obtuvo 7, 8, 7 y 10. • ¿Qué medida funcionará mejor para describir quién tiene mejores calificaciones? Demuéstralo calculándolas. 68

Evaluemos lo aprendido Evaluación tipo Enlace

3

6. El transporte público de la ciudad de Monterrey tiene un costo

Subraya la opción que consideres correcta y, al terminar, con la guía del maestro, revisa en grupo tus respuestas. 1. Realiza las operaciones necesa36 X = 72 rias con números enteros para ÷ ÷ ÷ llenar la tabla siguiente y encuentra el número que ocupa -2 X = la esquina inferior derecha. = = = a. 12 b. 6 -6 X = c. -6 d. 36 2. En el examen parcial de Física, Pedro debe resolver el siguiente problema: Si la masa de la Tierra ( MT ) es de 5.98 × 10 24 kg y la masa de la Luna ( ML ) es de 7.35 × 10 22 kg, ¿cuántas veces es mayor la Tierra que la Luna? a. 8.136 × 1044 b. 0.8136 c. 8.136 × 106 d. 81.36 3. Observa la siguiente figura, donde AD || BC . Si el ∠ ADE � 80º. ∠BCE = 40º es del doble del tamaño del ∠CBE . • ¿Cuál es valor de los ángulos ∠DAE , ∠CBE y ∠DEA? D

C

E

A

B

Nota: las líneas verticales

| expresan “paralelas”, mientras que el símbolo ⊥ significa “perpendiculares”. La notación ∠ ADE indica el ángulo que se encuentra en el vértice D, formado desde el vértice A y llegando hasta el E . a. ∠DAE � 80º, ∠CBE � 40º, ∠DEA � 60º. b. ∠DAE � 40º, ∠CBE � 80º, ∠DEA � 60º. c. ∠DAE � 80º, ∠CBE � 40º, ∠DEA � 30º. d. ∠DAE � 40º, ∠CBE � 80º, ∠DEA � 30º. 4. De los siguientes conjuntos de datos, identifica cuáles son útiles

para llevar a cabo la construcción de triángulos. Después elije sólo aquellos que garanticen que la construcción sea única. Condiciones para trazar el triángulo: I) Que sus lados midan 6 cm, 9 cm y 15 cm. II) Que tenga un lado de 12 cm cuyos ángulos adyacentes midan 50° y 75°. III) Que tenga un lado de 8 cm, otro de 11 cm, y 2 ángulos de 60° cada uno. IV) Que sea isósceles, con 2 ángulos iguales de 45° y un ángulo recto. V) Que sus 3 lados midan 7 cm.

a. Sólo V.

c. La II y V.

b. La I, IV y V. d. La I, III y IV.

5. Cada año, el tío de Luisa vacía, desinfecta y pinta el fondo y las

paredes de la alberca de su casa para darle mantenimiento. • Si las dimensiones de la alberca son 15 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de profundidad, ¿cuál es el área total que pinta? a. 216 m2. b. 306 m2. c. 153 m2. 6m 3m d. 126 m2. 15 m

70

preferencial para los estudiantes de $5.75 por viaje. Si hace 15 años, la tarifa era de $1.20. • ¿Cuál ha sido el porcentaje de incremento en la tarifa de transporte en el periodo especificado? a. 479.16% b. 379.16% c. 20.87% d. 26.37% 7. En un laboratorio de muestras biológicas se cuantifica que la población de una colonia de bacterias aumenta 40% cada 2 horas. Hora 8 am 10 am 12 pm 2 pm 4 pm 6 pm 8 pm

Número de bacterias 1 200 1 680 2 352 3 293 4 610 6 454 ___¿_x_?___

• Si en una caja de cultivo había 1 200 bacterias a las 8 am, ¿cuántas bacterias habrá en el contenedor para las 8 pm? a. 6 454 bacterias. b. 14 400 bacterias. c. 48 000 bacterias. d. 9 035 bacterias. 8. Josué y Alejandro juegan a lanzar 3 monedas al aire y a adivinar previamente la forma en que caerán. El que acierte pondrá un castigo al otro. Si se quiere ganar, ¿cuál de las siguientes opciones no convendría elegir por ser la menos probable del resto? a. Que caigan 2 soles y 1 águila. b. Que caigan 2 águilas y 1 sol. c. Que caigan 3 soles. d. Todas son igualmente probables. 9. Para elegir al mejor alumno del bimestre, el maestro de matemáticas calculó la media y la mediana de las 5 evaluaciones que presentaron los 2 mejores estudiantes en este periodo. Evaluación 1 2 3 4 5

Alumno A 50 50 100 100 100

Alumno B 70 90 100 80 90

• Con base en sus cálculos, ¿cuál medida le convendría utilizar para elegir al estudiante que recibirá el reconocimiento? a. La media, así el alumno B sería reconocido por tener mejor promedio que el alumno A. b. La mediana, así el alumno A sería reconocido por tener 100 y mostrar que es mejor que el alumno B. c. La mediana, ya que, aún cuando el alumno B tiene menor medida que el alumno A, él no reprobó ningún examen. d. Cada medida indica que uno es mejor que el otro, por ello lo más justo es reconocer a ambos debido a que no es posible definir quién es mejor.

B1

3


2. Si la luz viaja a una velocidad cercana a 3 × 108 m/s:

¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra, si la distancia entre ambos es de 1.496 × 1 011 m? • ¿Es adecuado expresar la distancia de la Luna a la Tier ra en años luz? Explica. • ¿A cuánto equivale la distancia Tierra-Sol en años luz? 3. El siguiente cuadro presenta las distancias medias desde el Sol hasta cada uno de los planetas del Sistema Solar. •

¿Cómo se mide el Universo? El interés por conocer el cosmos ha llevado al hombre a construir auténticas joyas de la tecnología, tales como telescopios, radiotelescopios y sondas espaciales que le permitan captar infor mación de zonas muy lejanas del Universo o detalles de los astros más cercanos que a sim ple vista serían imposibles de captar. Además de estas herramientas, el ser humano ha desarrollado brillantes recursos matemáticos y físicos como la técnica del paralaje que permite medir la dist ancia hasta estrellas próximas. Los telescopios ópticos se encargan de recoger la luz visible, de la misma manera que lo harían nuestros ojos, pero ampliamente magnificada; permiten fotografiar planetas, estrellas y galaxias. Funcionan desde la Tierra y aún mejor en el espacio, en donde obtienen imágenes mucho más claras. Tal es el caso de los radiotelescopios, los cuales captan otras radiaciones del espectro electromagnético que ni siquiera llegan a la Tierra. 1. Ya advertimos lo inimaginablemente lejos que están las estrellas y

las galaxias de nosotros, que la luz viaja a velocidades monumentales y aún así, tarda una cantidad incontable de años en llegar. Sin embargo, hoy en día utilizamos con unidades de medidas de distancias interplanetarias ya establecidas como: la unidad astronómica (UA), el año luz ( AL) y el paralaje-segundo (pársec). ⇒ Investiga la definición de cada una de ellas, su valor numérico expresado en forma ordinaria y en notación científica, y las equivalencias entre dichas unidades.

p

Entre los radiotelescopios que se encuentran en órbita en la actualidad está el telescopio infrarrojo Spitzer y el telescopio ultravioleta GALEX (Explorador de Evolución de las Galaxias), ambos fabricados por la NASA.

Planeta Mercurio

Distancia media al Sol (km) 57 910 000

Venus

108 200 000

Tierra

149 600 000

Marte

227 940 000

Júpiter

778 330 000

Saturno

1 429 400 000

Urano

2 870 990 000

Neptuno

4 504 300 000

Si la distancia Tierra-Sol es considerada como una unidad astronómica (1 UA) y la consideramos como un 100%: • ¿Qué porcentaje de la UA representa la distancia Mercurio-Sol? • ¿Qué porcentaje la de Saturno-Sol? 4. Supón que la órbita que siguen los planetas alrededor del Sol es circular y no elíptica. • ¿Cuál sería la circunferencia orbital aproximada de Marte? • ¿Y la de Neptuno? (Pista: C � 2�*R, con � � 3.14 y R � distancia media al Sol). 5. Ten presente que cuando miras las estrellas en el cielo estás viendo su pasado. Al igual que las galaxias, están tan remotas que su luz tarda miles de millones de años en llegar a la Tierra. Las vemos tal como eran en su juventud y es posible que muchas ya no existan. Tan sólo vemos su luz viajar por el espacio. Si pudiésemos navegar en una nave espacial a la velocidad de la luz llegaríamos a la Luna en menos de un segundo; al Sol, en 8 minutos y medio; después de más de 5 horas abandonaríamos el Sistema Solar; tardaríamos 4 años y 4 meses en llegar a Alfa Centauri, la estrella más próxima al Sol; tardaríamos más de 20 000 años en abandonar la Vía Láctea y esperaríamos más de 2 millones de años para llegar a la “cercana” galaxia de Andrómeda. ⇒ Calcula en km a qué distancia de la Tierra e stá la Galaxia Espiral de Andrómeda, si su luz tarda en llegarnos 2 × 106 años. ⇒ Si para ir desde la Tierra hasta el extremo del Universo que se puede observar se deberían recorrer 46 500 000 000 de años luz, entonces: • ¿A cuántos kilómetros equivalen? • ¿Cuántos años tardaríamos en llegar viajando a la velocidad de la luz? 71

BLOQUE 2

a

c

b


S E J E

problemas • Resolverás aditivos con monomios y

Problemas aditivos L10 Resolverás de problemas que impliquen

polinomios. a. Los juegos de construcción con bloques son prismas de distintas medidas que se interconectan entre sí. b. El flexómetro es un instrumento con el que puedes medir en centímetros o en pulgadas. c. En la arquitectura encontramos infinidad de cuerpos geométricos. d. En la industria se utilizan grandes contenedores cilíndricos para almacenar cientos de miles de litros de combustible. e. En el tiro al blanco, la probabilidad de acertar en el círculo (diana) depende tanto del diámetro de éste como de la estrategia y destreza del tirador. f. Las pirámides de Teotihuacan fueron construidas con base en un trazado geométrico y simbólico a la vez.

72

S E N T I D O N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R Á I C O

adición y sustracción de monomios.

problemas • Resolverás en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. relaciones • Establecerás de variación entre dichos términos.

S E N O I C C E L

L11 Resolverás problemas que impliquen

adición y sustracción de polinomios.

Y


S A

L12 Identificarás y buscarás expresiones

M E T

algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

L9

B2

B2 COMPETENCIAS

• Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente.

d

F O R M A ,

e

E S P A C I O

Y

M E D I D A

f

M A N E J O

D E

L A


Medida


L13 Justificarás las fórmulas para calcular el volumen

L15 Identificarás y resolverás situaciones de

de cubos, prismas y pirámides rectos.

L14 Estimarás y calcularás el volumen de cubos,

prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Analizarás las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

Nociones de probabilidad L16 Realizarás experimentos aleatorios y registro

de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relacionarás ésta con la probabilidad teórica.

73 73

E J E : SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Engánchate

La astronomía y la construcción de pirámides

p

Cuadro que muestra la fascinación del ser humano por la observación del firmamento.

Desde tiempos ancestrales el ser humano ha encontrado en la contemplación del cielo respuestas para entender mejor su entorno y, al convencerse de la influencia que tiene en su vida diaria, establecer también los fundamentos de las primeras creencias religiosas. Los beneficios de observar los astros han sido trascendentes para el desarrollo de la humanidad. Observaciones como la periodicidad de las fases de la Luna, la constante salida y puesta del Sol y sus movimientos respecto a las estrellas, dieron lugar a los conceptos de mes lunar, de día solar y a la noción de año y a su duración de 12 meses. Así, la astronomía permitió resolver los primeros problemas de las civilizaciones: cuándo cosechar y establecer las celebraciones, y cómo orientarse al viajar. Luego, el conocimiento acumulado a través del tiempo permitió predecir otros fenómenos tales como las estaciones del año, los eclipses, el paso de los cometas, etcétera.

74 74 74

B2 B2 B1

L9

Estas meticulosas observaciones motivaron la construcción de monumentos que recrearon la posición de las estrellas, como las pirámides de Gizeh (o Guiza) y muchas más en Egipto; la construcción de los observatorios en la antigua Babilonia; los de Stonehenge y, según algunos arqueoastrónomos, los de Carnac de los antiguos pueblos europeos; las pirámides en Teotihuacan, Chichén Itzá y tantas más en México, e innumerables construcciones alrededor del mundo, todas con la misma finalidad: conocer a fondo el cosmos y poder predecir los eventos astronómicos que marcaban las pautas en cada cultura. • ¿Cómo hicieron estas culturas para lograr que sus observaciones

del cielo se tradujeran en tan exactas y elaboradas representaciones físicas? Más adelante investigaremos un poco más al respecto.

P u e s t a d e l S o l P o s e n ic ió e l n m s o l s t ic á s s i e p t o d en t e v r io n e r a n a l d o e

V e n u s

l n e l e o l S o e r a n e d v l id a i o d e S a c l s t i s o

l e l e n o l S o v i e r n e d i n a d e e s t P u t ic i o l s s o

p

“El Caracol”, en Chichén Itzá templo para observar Venus, es un edificio de base cuadrangular que fue construido cerca de 960 d.C. con propósitos astronómicos y es un excelente ejemplo de arqueoastronomía. Las esquinas este-oeste de la plataforma de base cuadrangular apuntan a la salida del Sol en el solsticio de verano y la puesta del Sol en el solsticio de invierno.

Lee

más...

Acerca de la astronomía maya: • www.astro-digital.com/1/ mayas.html Libro: Belmonte Avilés, Juan Antonio, Pirámides, templos y estrellas: astronomía y arqueología en el Egipto antiguo , Barcelona, Crítica, 2012.

75

E J E : SENTIDO

NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Problemas aditivos

10

Lección

Resolverás problemas que impliquen adición y sustracción de monomios

Explora

El diagrama de listones En la clase de dibujo técnico el maestro les pidió a los alumnos que constru yeran el diagrama que se muestra abajo con listones de colores y a escala. 4d

2d 4d

4d

4d

4d

2d

4d

2d 2d 2d 2d

2d

2d

2d

14d

2d 2d

2d

2d 2d

16d

Para llevar a cabo esta tarea es necesario conocer la longitud de los listones de cada color que se utilizarán.

76

•

¿Qué color de listón se usa más?, ¿cuánto se usa?

•

¿Qué color de listón se usa menos?, ¿cuánto se usa?

B2

L10


• Magnitudes fundamentales En la clase de Física se estudia el tema de las magnitudes físicas de las cuales la longitud es una de ellas y cuya unidad de medida es el metro. Sin embargo no siempre fue así, en el pasado se usaron otras unidades como la cuarta, el CODO, la vara, etcétera. El maestro pide como actividad a sus alumnos que reunidos en equipos midan la estatura de cada uno de los integrantes utilizando una unidad de medida propuesta por ellos mismos. Un equipo eligió como unidad de medida un lápiz sin punta ( l ) y presentaron los siguientes datos:

1.

Brígida

9.30 l

Verónica

8.50 l

Tatiana

9.80 l

María

8.75 l

Jaime

9.85 l

Para tu apunte

Elena

9.25 l

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término, el cual está compuesto por tres partes: signo, coeficiente y literales. El coeficiente es cualquier número real (entero, decimal, fracción, positivo, negativo). En un monomio las literales sólo pueden presentar multiplicaciones entre ellas y potencias de números naturales. Por ejemplo:

Responde las siguientes preguntas: • ¿Qué diferencia hay entre la persona más alta y la más baja? Utiliza la unidad de medida propuesta. • ¿Cuánto suman las dos estaturas más altas? • ¿Cuánto suman las dos estaturas más bajas? • ¿Qué diferencia hay entre la estatura de Brígida y María? • ¿Qué diferencia hay entre la estatura de Verónica y Elena? • ¿Cuál es la suma de todas las estaturas? • Si la unidad de medida ( l ) tiene una longitud de 18 cm, ¿cuál es la estatura de cada integrante en centímetros?

2. Verifica

tus respuestas anteriores dado que l = 18 cm.

–5a2b5c 4

2 xy 2 3

–8 x

3.56uv

Donde: 5a2b5c 4 = �5 · a · a · b · b · b · b · b · c · c · c · c

�

• Los bloques Juan y David construyeron un prisma rectangular con bloques como se muestra en la imagen de abajo.

V = 3 x 2yz

77

E J E : SENTIDO


Para tu apunte

Si cada bloque tiene un volumen de 3 x 2yz centímetros cúbicos.

Se dice que dos monomios son términos semejantes si la parte literal de ambos es igual, esto es, que los signos y coeficientes pueden ser diferentes, pero las literales y sus exponentes deben ser idénticos en ambos monomios. Por ejemplo:

1.

Responde: • ¿Por cuántos bloques está formado el prisma rectangular que construyeron Juan y David?

2.

Calcula el volumen del prisma rectangular.

3.

Una vez conocido el volumen de todo el bloque, responde: • Si al prisma rectangular se le quita una fila de bloques de la parte superior, ¿cuál es ahora su volumen? • Si al prisma rectangular se le quita una columna de bloques del lado derecho, ¿cuál es ahora su volumen? • Si al prisma rectangular se le quita una pared frontal, ¿cuál es ahora su volumen? • ¿Cuál sería el volumen de dos prismas rectangulares iguales al presentado arriba?

4.

Comenta con tus compañeros y maestro cómo resolviste cada caso y compara tus resultados con los del resto del grupo.

�

2 2 54 a b c 3

8u3v 7

�

5a2b5c 4

xy 2

�

1

3.56u3v 7 2 mn

4.6 xy 2

�

0.9nm

En ocasiones podemos toparnos con términos que se parecen mucho y podemos confundir los que son semejantes, por ejemplo, 3 x 2y y –2 xy 2, ambos términos constan de las mismas variables, no obstante, los exponentes no son los mismos para cada variable.

• Los planos de la casa La constructora Treviño trazó los siguientes planos para la construcción de una casa: 3.3 x

2.4 x

Recámara 1

1.5 x

2 x

Sala comedor

Recámara 2

0.8 x

Baño 2 x Cocina

1.1 x

1.

Calcula en metros el perímetro de la casa. Considera sólo el contorno de las paredes exteriores.

2.

Calcula el perímetro de cada zona de la casa: Recámara 1: _________________________ Sala-comedor: _______________________ Recámara 2: _________________________ Cocina: ______________________________ Baño: _______________________________

78

L10

3.

Obtén las siguientes medidas: • ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la cocina? • ¿Cómo calculaste el ancho de la cocina? • ¿De qué tamaño mínimo tiene que ser el terreno para poder construir la casa? • ¿Qué operación realizaste para conocer las dimensiones mínimas necesarias del terreno?

4.

Comenta con tus compañeros y maestro qué operaciones realizaste para calcular los perímetros y las dimensiones.

5.

Explica cómo llevaste a cabo las operaciones con los monomios, ¿qué pasó con la parte literal y los coeficientes? Compara tus resultados con tus compañeros. Con ayuda de su maestro traten de generalizar, en pasos ordenados, cómo se pueden calcular estos perímetros.

B2

Descubre y construye En la colonia Los Colibríes se planea cercar con malla todos los parques. A continuación se presenta el plano de la colonia en el que se indican las medidas de cada parque: 6.5 a 2b 2.8 a b 2

3.2 a2b 10.4 a 2b Bugambilia Rosas a r o d i g e r r o C

1.8 a 2b

Allende Ar gos

1.7 a 2b

Nuevo León

2.1 a 2b 1.8 a b 2

1.5 a 2b

Aztecas

0.2 a2b

Nogal Cedr os

1.6 a2b

Para tu apunte Dos o más monomios pueden sumarse o restarse sólo si son términos semejantes. Al sumar o restar dos o más monomios, los coeficientes, de acuerdo con su signo, son los que se operan, y la parte literal se conserva reduciéndolo así a un solo monomio. No se puede encontrar aún un solo resultado numérico de la reducción hasta que se conozcan los valores de las literales. Por ejemplo: 8.3 x 3y 2 � 6.1 x 3y 2 � 14.4 x 3y 2 7mn � 3mn � 4mn �

1. Junto • • • • 2.

con un compañero contesten las siguientes preguntas: ¿Qué se debe calcular para conocer el total de malla que se requiere? ¿Cuánta malla en metros se requiere para cercar el parque más grande? ¿Cuánta malla en metros se requiere para cercar el parque que está a la izquierda? ¿Cuánta malla se requiere en metros para cercar el parque que está a la derecha?

29 x � 5 x � 24 x

Calculen la cantidad total de malla en metros que se requiere para cercar todos los parques: Malla para el parque más grande

Malla para el parque de la izquierda �

•

3.

3 3 2 5 3 2 3 2 2 a b c � 2 a b c � �4a b c

Maya para el parque de la derecha �

Malla total �

Si al parque más grande se le colocará un portón de 1.9a2b: ¿cuánta malla en metros se necesita para cercar el resto del parque?

Escriban cuáles son las condiciones para sumar y restar dos o más monomios. 79

E J E : SENTIDO


Dealvuelta al Explora De vuelta Explora 1.

Escribe las medidas de cada pieza de cada color y súmalas: Color

Sumas

Total

Rojo

à

+

+

+

+

Azul

à

+

+

+

+

Verde à

+

+

+

+

+

Rosa

+

+

+

+

+

à

+

+

Practica 1.

Doña Lucha tiene un restaurante en el que vende tortas. En un día vende 64y tortas, el siguiente día, 39y tortas, el tercer día, 52y tortas y el cuarto día, 91 tortas. • ¿Cuántas tortas vendió durante estos cuatro días? • Si al terminar el quinto día, doña Lucha vendió en total 321 tortas, ¿cuántas vendió ese último día?

2.

De acuerdo con los siguientes bloques, escribe cuáles son las medidas (largo, alto y profundidad), en centímetros, de las construcciones de abajo:

3 y 1.5 y 2 x

1.5 y

2 x

3.

2 x

2 x

Resuelve las siguientes sumas y restas de monomios: a.

4 x 5yz 2 � 12 x 5yz 2 � x 5yz 2 �

b.

3.6a6b � 4.5 a6b � 9.3a6b �

c. � d.

2 3 p

�

5 p 3

f.

�

1 p 3

�

3 5 qr � 7 qr � qr � 4

e. �0.75u �

80

2 x

4 x

1.05u � 0.92u �

12h3 � 7h3 � 8h3 �

L10

B2

4. Agrupa

los siguientes monomios en términos semejantes: una estrategia para agruparlos es usar colores para identificar si la parte literal es idéntica y por lo tanto son semejantes:

5.

7 xy 3

3 xyz

�

2 pq 7

8.7mn

4.6 x 2y

56 xy

3.3 xyz

�

6.7abc

�

2 pq 7

�

0.28 pq

x 2y

�

5abc

5abc

�

7 xy 3

9mn

�

4.6 x 2y

6.7abc

21 pq

4 2 x y 9

xyz

8.7mn

Plantea 3 sumas y 3 restas con los términos semejantes del problema anterior. Resuelve las operaciones e intercámbialas con un compañero. Verifiquen sus resultados.


En una biblioteca hay libros con grosores de 2 r , 2.5 r , 4.2 r y 5.8 r . Si se apilan 3 libros de 2, uno de 2.5 r , 2 libros de 4.2 r y uno de 5.8 r . •

2.

¿Cuál es la altura de la pila de libros? a.

16.5 r

b.

14.5 r

c.

22.7 r

d.

17 r

Úrsula trabaja en una oficina y por cada documento que captura en la computadora le pagan t pesos. En las últimas semanas capturó 120, 85, 94 y 150 documentos. Una compañera le ayudó con 267 documentos y acordó pagárselos a t pesos. ¿Cuál es la expresión que representa cuánto dinero le corresponde a Úrsula? •

¿Cuántos pesos le quedaron a Úrsula? a.

182 t

b.

156 t

c.

449 t

d.

128 t 81

E J E : SENTIDO


Problemas aditivos

11

Lección

Resolverás problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

Explora

De Saltillo a Tamuín Jazmín viaja en automóvil cada mes de Saltillo a Tamuín para visitar a su familia. Para llegar hasta su destino puede elegir entre dos opciones: conducir por la carretera libre o por la autopista de pago. Al viajar “por la libre”, hace dos paradas en las gasolineras marcadas con los puntos A y B. Si se traslada por la autopista de pago, que es más directa, sólo hace una parada en la gasolinera C . El siguiente diagrama muestra las distancias que hay entre cada lugar: 5 x 2  5 x  6

B

A

2 x 2  3y  6 xy

x  4 xy  5

Saltillo

Tamuín

6 x 2  10 x  5y  15

C

82

u

Saltillo es la capital del estado de Coahuila y Tamuín es un municipio del estado de San Luis Potosí.

•

¿Cuál es la diferencia de distancias entre ambas rutas?

4y  2 x  xy  7

L11

B2

Descubre y construye El señor Alberto Martínez tiene un rancho en Durango dedicado a la cría y venta de cerdos y ovejas. En los últimos meses se percató de que el corral de las ovejas ya era muy pequeño, así que decidió aumentar cada uno de sus lados: duplicó el ancho y aumentó 3 x � 2 metros el largo del corral. Originalmente el corral tenía las siguientes dimensiones en metros: x 2 + 2 x – 4

x2+2x-4 4x+5y+3

1.

2.

4 x + 5y + 3

Responde: • ¿Cuáles son las dimensiones del nuevo corral? • Al duplicar el ancho del corral, ¿qué operaciones se pueden realizar? • Si se suma dos veces el ancho, ¿cuántos términos componen la nueva medida? • ¿Se puede simplificar la expresión, es decir, reducir la cantidad de términos?, ¿de qué depende? Escribe la operación para calcular el aumento del largo del corral. • ¿Puede simplificarse la operación anterior?, de poderse, ¿cuál sería la expresión simplificada?

3.

Comenta con tus compañeros y maestro de qué forma se simplifica una suma de dos expresiones.

4.

Compara tus resultados con un par de compañeros y lleguen a un acuerdo.

5.

Calcula el perímetro del nuevo corral.

• La colección de Daniel Daniel tenía en su cartera x cantidad de billetes de 100 pesos. Un día fue a la plaza comercial y compró tarjetas de futbolistas para su colección. Cada una de las tarjetas le costó 25 pesos. Si el número de tarjetas que compró Daniel es igual al de billetes que tenía en su cartera antes de comprarlas:

Para tu apunte Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por dos o más monomios o términos no semejantes. La cantidad de términos que componen un polinomio se identifican por los signos de suma y resta ya que éstos separan a cada término. Por ejemplo: 8 x 2 � 4 x 7 x � 5y � 3 5 xy � 4 x 3y � 6 xy 3 � 9 En el primer caso, hay dos términos, en particular a este tipo de polinomios se les denomina binomios; en el segundo, hay tres, a éstos se les llaman trinomios; y en el tercero hay cuatro términos, los polinomios de cuatro o más términos no reciben un nombre específico, simplemente se les nombra polinomios de n términos. En cada uno de los ejemplos, los términos no son semejantes y por lo tanto, no se pueden simplificar.

83

E J E : SENTIDO


Para tu apunte En un polinomio cuando ninguno de los términos es semejante a otro se dice que el polinomio está simplificado o es irreducible. Un polinomio simplificado puede expresarse numéricamente sólo si se conocen los valores de las literales que lo conforman. Para ello se sustituyen los valores en la expresión y se resuelven las operaciones.

1.

Escribe, mediante una expresión algebraica, cuánto dinero tenía Daniel en su cartera antes de comprar las tarjetas.

2. Ahora • • •

responde: ¿Cuántas tarjetas compró Daniel? ¿Cuánto gastó Daniel en las tarjetas de futbolistas? ¿Qué operación necesitas hacer y qué datos debes conocer para saber cuánto dinero le quedó a Daniel después de su compra?

3.

Escribe la operación anterior y resuélvela.

4.

Comenta con un compañero qué procedimiento utilizaste y comparen sus resultados.

5. Verifica 6.

Para tu apunte En una resta de polinomios, los signos de los términos del segundo polinomio se multiplican por el signo de la resta que le antecede, y por lo tanto, cada término se multiplicará por un signo negativo, el cual cambia el signo de cada término: (3a � 6b � 8c ) � (�2a � 5b � 10c ) 3a � 6b � 8c � 2a � 5b � 10c

Discute en equipo: • ¿Pasaría lo mismo si la cantidad de tarjetas compradas no hubiera sido igual a la cantidad de billetes que tenía Daniel?, ¿por qué? • ¿Cómo expresarías algebraicamente este caso?

• De compras en el mercado Gloria y Paula van al mercado de Coyoacán. Ambas compran peras, naranjas y mangos. Gloria compra 3.5 kg de peras, 5.2 kg de naranjas y 4.6 kg de mangos; Paula compra 6.1 kg de peras, 2.6 kg de naranjas y 1.8 kg de mangos. El costo por kilogramo de cada fruta es de p , n y m pesos, respectivamente. 1.

Plantea una ecuación algebraica que exprese cuánto gastó Gloria en peras.

2.

Formula una ecuación algebraica que enuncie cuánto gastó cada una en el total de sus compras:

Es importante utilizar paréntesis para determinar dónde empieza y termina el polinomio que se va a restar y cuyos signos de sus términos tendrán que multiplicarse por el signo negativo de la resta. Ley de los signos en la multiplicación:

Pesos en peras

Pesos en naranjas

�

Pesos en mangos

Paula

(�)(�) � (�) •

(�)(�) � (�)

84

�

Gloria

(�)(�) � (�)

(�)(�) � (�)

junto con tu maestro si el procedimiento es el correcto.

¿Cómo calcularías lo que gastaron entre las dos?

3.

Escribe y resuelve la operación que calcula el total que gastaron Gloria y Paula juntas.

4.

Escribe y resuelve una operación para calcular cuál es la diferencia entre lo que gastó Gloria y lo que pagó Paula. • ¿Se puede saber quién gastó más en peras?, ¿quién pagó más en naranjas?, ¿quién gastó más en mangos? • ¿Se puede saber quién de las dos gastó más? • Explica por qué y discútelo con tus compañeros y con tu maestro.

L11

Para tu apunte

Pongámonos de acuerdo Un coche avanza 6 x 2 � 3 x � 2 km desde un punto inicial y ahí hace un descanso; posteriormente, vuelve a avanzar pero ahora 12 x 2 � 4 x � 8 km; más tarde, retrocede 5 x 2 � 6 km ; y por último, avanza 7 x 2 � 2 x � 4 km. Reunidos en parejas respondan lo siguiente: 1.

Representen mediante una operación de polinomios los avances y los retrocesos del coche desde su punto de partida. Hagan uso de los paréntesis.

2.

Resuelvan la operación anterior.*

3.

Si consideramos que al terminar el primer recorrido, la posición del coche es igual a 6 x 2 � 3 x � 2 km, completen la siguiente tabla con las demás posiciones: Punto de partida ± avance o retroceso

Posición en km

0 � (6 x 2 � 3 x � 2)

6 x 2 � 3 x � 2

Primera posición Segunda posición Tercera posición Cuarta posición

De vuelta al Explora 1.

Escribe las distancias que conforman la distancia total que hay entre las ciudades de Saltillo y Tamuín para cada ruta: a. Por la libre: �

b.

�

Por la autopista:

Calcula la distancia total en kilómetros para cada ruta: a. Por

b.

En la suma y resta de polinomios se suman o restan los términos que sean semejantes, es decir, se suman o restan los coeficientes de aquellos términos que están compuestos por las mismas variables y mismos exponentes. Por ejemplo: • (6y 3 � 5y 2 � 7y � 4) � (4y 3 � 8y 2 � y � 9) � • 6y 3 � 5y 2 � 7y � 4 � 4y 3 � 8y 2 � y � 9 � 10y 3 � 13y 2 � 6y � 13 • (5 x 2y � 6 xz � 5 x � 3) � (�2 x 2y � xy � 2 x � 10) � • 5 x 2y � 6 xz � 5 x � 3 � 2 x 2y � xy � 2 x � 10 � 7 x 2y � 6 xz � xy � 3x � 13

El signo frente a un paréntesis multiplica a cada uno de los términos del polinomio que están dentro. Sin embargo, éstos cambiarán sólo cuando el signo que está afuera del paréntesis sea negativo, pues un signo negativo al multiplicarse por cualquier otro, siempre lo cambiará. Una estrategia para distinguir los términos semejantes en la suma o resta de polinomios es subrayarlos con el mismo color tal como se presenta en la parte de arriba. También se puede encerrar los términos semejantes con figuras como cuadros, círculos, triángulos, etcétera. Otra estrategia es acomodar los polinomios en filas, de forma que los términos semejantes queden alineados de forma vertical: (6y 3 � 5y 2 � 7y � 4) � (4y 3 � 8y 2 � y � 9)= 6y 3 � 5y 2 � 7y � 4 4y 3 � 8y 2 � y � 9

�

2.

B2

10y 3 � 13y 2 � 6y � 13 (5x2y� 6 xz� 5 x� 3)�(�2 x 2y � xy�2 x� 10)=

la libre:

5 x 2y � 6 xz � 5 x x 2y � xy � 2 x �2

Por la autopista:

� �

3 10

7 x 2y � 6 xz � xy � 3 x � 13 3.

Calcula la diferencia en distancia en kilómetros entre ambas rutas: �

�

Para referirnos a la suma y resta de polinomios también es común llamarlo simplificación de polinomios o reducción de términos.

* Recuerden que antes deben quitar los paréntesis, y en el caso de haber un signo negativo antes del paréntesis, éste se multiplica por los signos del polinomio que está dentro. 85

E J E : SENTIDO


Practica 1.

Resuelve las siguientes sumas de polinomios: a.

(3 x � 4y � 6 z � 3) � (�5 x � 6y � 8 z � 9)

b. (3.4a � 6.7 b � 4.9 c ) � (2.1a � 1.5 b � 6.8 c )

(

d.

1 c. 4 x 2 � 5 2.

3.

) + ( 12 x 6) 2

�

(6r � 9t � 7) + (r � 2t � 3)

Resuelve las siguientes restas de polinomios: a.

(10 x � 8y � 3 z ) � (3 x � 2y � 5 z )

b. (8.3d � 5.6 e � 7) � (d � 2.8 e � 2)

c.

(2 x 2 � 4 x � 4) � ( x 2 � 5 x )

d.

( 13 xy

�

) ( 52 xy

2 1 7 y � 4 z

�

�

)

4 3 7 x � 5 z

Calcula los perímetros de las siguientes figuras: 8u + v – 7

4v

6 x 2y

4.

4 x 2 – 1

4v

2.5 x + 9

5.7 x 2 – 8 x + 6

13u – 5v + 7

Plantea una situación que involucre la resolución de alguna suma y/o resta de polinomios. Resuélvela e intercámbiala con un compañero para que solucione la que tú diseñaste. Al final verifiquen las respuestas que encontraron. 5.

Entra a http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/10/03.htm y resuelve las operaciones con expresiones algebraicas que aparecen en la página.


Pancho quiere cercar un corral de forma rectangular con tres hilos de alambre de púas. Las dimensiones del corral son 2.5 x � 6.7 y metros de largo y 1.9 x � 3y metros de ancho.

•

8.8 x � 22.2y b. 26.4 x � 7.4 y c. 26.4 x � 22.2y d. 4.4 x � 3.7 y a.

2.

p

86

El alambre de púas es uno de los materiales más usados para cercar terrenos, pues resulta más económico que la piedra, por ejemplo, que se utiliza en los tecorrales. En la mayor parte de las ocasiones, no basta con usar sólo un hilo de alambre, sino dos o tres.

¿Cuántos metros de hilo se necesitan?

Salomé ganó 1 000 pesos por un trabajo de diseño que realizó. Con esta cantidad pagó por una hamburguesa que cuesta 2h � 5 g pesos y un hot dog que cuesta 4h � g pesos. • ¿Cuál es la operación que representa el dinero que le quedó a Salomé? a. 1

000 � (2 h � 5 g) � (4 h � g)

b. 1

000 � 2h � 5 g � 4h � g

c.

(2h � 5 g) � (4 h � g) � 1 000

d. 1

000 � (2 h � 5 g) � (4 h � g)

L12

B2


12

Lección

Identificarás y buscarás expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos

Explora Los paneles fotovoltaicos son dispositivos compuestos por varias celdas solares que utilizan la energía del Sol para generar electricidad. A fin de abastecer a una casa pequeña es necesario generar 22 amperes de electricidad, los cuales pueden ser producidos por 10 m2 de paneles solares, dependiendo de su eficiencia. Supón que tenemos un panel fotovoltaico compuesto por celdas cuyo largo de 32 cm es el doble de su ancho.

u

La energía proveniente del Sol puede ser transformada para adaptarla a nuestras necesidades de consumo eléctrico o de consumo de calor. Para ello, hay que utilizar dispositivos como los paneles fotovoltaicos que transforman la energía del Sol en energía aprovechable por el ser humano.

•

¿Este panel es suficiente para producir los 22 amperes de electricidad que necesita la casa? 87

E J E : SENTIDO



• Cuadrados y rectángulos 1.

Completa la siguiente tabla: Figura

Expresión del perímetro

Expresión del área

(4)(5) � 20

(5)(5) � 52 � 25

5

x

4

2 x

x

2. Ahora

analiza el siguiente rectángulo y responde: a

2

a

• •

88

1

¿Cuál es la expresión algebraica que denota su perímetro? ¿Cuál es la expresión algebraica que denota su área?

L12

• El rectángulo 1.

B2

Para tu apunte El área total de la figura debe fraccionarse en áreas más pequeñas, como se muestra a continuación:

Observa el siguiente rectángulo: b

a +

2 a +

1

2

a

a

1

B

2.

Expresa algebraicamente la medida de la base B, tomando en cuenta que un lado del cuadrado mide b: B =

3.

Denota algebraicamente la medida de la altura (H ) del rectángulo: H =

4.

Si el área del rectángulo es B · H , expresa el área sustituyendo las expresiones algebraicas para B y H . Luego, simplifica esta última expresión realizando las operaciones adecuadas.

5.

Compara tus respuestas con las de un compañero y en caso de existir diferencias argumenta el porqué de tu respuesta y lleguen a un acuerdo.

a

+

+

2a

2

a

+

2

Si reduces esta expresión obtendrías a2 � 3a � 2

Para tu apunte Para poder generar la expresión algebraica del área de un rectángulo es necesario multiplicar las expresiones de la base y la altura, por ejemplo:

• ¿Cuál es tu figura? 1.

Elabora una figura que corresponda al área o al perímetro según se te pida a partir de las siguientes expresiones algebraicas: • Que su perímetro pueda expresarse como a/3. • Cuya área pueda denotarse como (2 m2)( mn). • Que su perímetro pueda expresarse como 6 x � 4y . • Cuya área pueda denotarse por medio de la expresión x 2 � 2 x � 1. • Que su perímetro pueda formularse por medio de la expresión 10 ab y su área sea 6a2b2. • Cuya área pueda denotarse por medio de la expresión 2 x 2. • ¿Es posible construir otra figura con área 2 x 2 pero que sus dimensiones sean diferentes a la primera que diseñaste? Inténtalo.

3 x 2 x

Se multiplica (2 x )(3 x ) � (2)(3)( x )( x ) � 6 x 2

Pongámonos de acuerdo Para saber si dos expresiones son equivalentes puedes, entre otros métodos, representarlos de forma geométrica. Por ejemplo, el área de este rectángulo la podemos expresar como: a a + 2

A = a(a � 2)

o como

A = a2 � 2a.

Para tu apunte Dos expresiones algebraicas son iguales cuando al sustituir en ellas cualquier número en sus variables, y efectuar las operaciones indicadas, obtenemos el mismo resultado en las dos.

89

E J E : SENTIDO

z


1.

Reunidos en parejas justifiquen por qué ambas expresiones son equivalentes usando divisiones geométricas. Es decir, deberán partir la figura dada en figuras regulares de acuerdo con los datos que se dan.

2.

Obtengan dos expresiones algebraicas para el área del rectángulo que aparece del lado izquierdo.

 b

z

 b

De vuelta al Explora Para poder resolver el problema del E XPLORA, traduce a una expresión algebraica las medidas de cada lado de la celda:

¿Qué expresión algebraica describiría la longitud de la base de este rectángulo? ⇒ Escribe una ecuación que represente el área total de las 28 celdas juntas. ⇒ Calcula el área total.

•

Practica 1.

Si un rectángulo tiene base de longitud (a � 5 ) y su área está dada por la expresión (6a � 30): • ¿Cuánto mide su altura? ⇒ Traza un esquema en tu cuaderno.

2.

De las siguientes figuras, proporciona al menos dos expresiones algebraicas equivalentes que indiquen su área: 2a

x

2

1

a a

3a

x

x

y

y

a

c a

90

b

b

2

L12

3.

4.

B2

Obtén las áreas de las figuras geométricas expresadas por las siguientes fórmulas y dibújalas: a.

( x � 2)(3 � x � 5 x ) �

b.

( x � y ) ( x � y ) �

c.

(c � d )(c � d ) �

d.

Escribe el polinomio o expresión algebraica que expresa el área de cada una de las figuras anteriores.

Encuentren en las siguientes figuras el valor de los lados que faltan.

6a

2 x 2

a

x

2a

a2



a



(b 

)

2b2  10b

2

2b


Si en el siguiente rectángulo, el área es A � ab, ¿cuánto mide el lado faltante? a.

a

a

ab

2.

b.

b

c.

—

1

ab

¿Cuál de las siguientes figuras tiene como área la expresión algebraica 4 x � 16. b

a

c

d

x

4

4

4

4

4 4

x

4

x

x

x

x

91

E J E : SENTIDO


Medida

13

Lección

Justificarás las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos

Explora

La trivia En el siguiente grupo de cuerpos geométricos, hay uno que no corresponde al grupo, ¿puedes decir cuál es y por qué?


• El cubo Tenemos el siguiente cubo: 3 cm

Calcula el volumen del cubo y describe el procedimiento que seguiste para hacerlo. 2. Calcula cuántos cubos de 1 cm 3 caben en la figura de arriba y describe tu procedimiento. 3. Ahora responde: • ¿Qué relación tienen los dos resultados anteriores? • ¿Cómo justificarías la relación anterior? 4. Calcula cuántos cubos de 1 mm3 caben en el mismo cubo de arriba. 1.

Para tu apunte Para encontrar el volumen de un cubo es necesario elevar el valor de su arista a la tercera potencia: Volumen del cubo = lado3

92

L13

5. Ahora

B2

realiza lo mismo con los dos cuerpos geométricos siguientes: 3 cm

5 cm

8 cm 8 cm

4 cm

6. Justifica

la relación que tiene el volumen con la cantidad de cubos de 1 cm3 que pueden caber en un cuerpo geométrico; también explica cómo se puede calcular la cantidad de cubos que pueden caber en cada una de los cuerpos geométricos anteriores.

7.

Si observas bien, todas las figuras tienen dos caras iguales, que podrían funcionar como tapas, excepto la pirámide que tiene un pico, ¿cómo podrías calcular que ahí cabe un volumen 1 cm 3?

• La vela En el mercado de su colonia Blanca vende velas con la siguiente forma:

5 cm

4 cm

3 cm

Para hacer las cajas de envoltura, Blanca tuvo que obtener el volumen de la vela y lo hizo de varias maneras: a. Se hacen cubos de 1 cm3 y se construye el mismo cuerpo geométrico con dichos cubos. Se cuenta cuántos se utilizaron. b. Se calcula cuántos cubos de 1 cm 3 se necesitan para cubrir la base y se multiplican por la altura. c. Se calcula cuántos cubos de 1 cm 3 se necesitan para cubrir el largo, el ancho y el alto. Se multiplican los cubos del ancho, largo y alto. d. Se multiplican las medidas del largo, ancho y alto.

Para tu apunte Los cuerpos geométricos son figuras que pueden definirse en tres dimensiones, por lo tanto, el cálculo de su volumen debe tener en cuenta su tridimensionalidad. Es decir, siempre debes multiplicar tres datos del cuerpo al que estás calculando el volumen. Cuando determinas el área debes multiplicar dos datos y cuando calculas perímetro multiplicas un dato por un número constante o realizas sumas.

93

E J E : FORMA,

ESPACIO Y MEDIDA

2.5 cm

Una vez que conoces los procedimientos que usó Blanca: 1. Calcula de las cuatro formas el volumen de la vela. 2. Justifica por qué prefieres, si es que así ocurre, alguno de los cuatro procedimientos. 3. Blanca también vende otro modelo de vela. Calcula el volumen de ésta de todas las formas posibles y justifica tus respuestas. • Los diferentes prismas

2.5 cm

1.

Calcula el volumen de los siguientes prismas:

6 cm 4 cm

3 cm

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Para tu apunte

2 cm

2 cm

Para encontrar el volumen de una pirámide recta es necesario multiplicar el área de la base por la altura y dividir todo entre tres. Volumen de la pirámide = (área de la base × altura)/3

6 cm

a. Lados

2 × 3 × 4

b. Lados

2 × 2 × 6

c. Lados

4 × 2 × 3

d. Lados

2 × 6 × 2

2. Analiza 3.

los resultados y justifícalos.

Observa el siguiente prisma: 2.41 cm

5 cm

• • • • •

94

¿Cómo construirías prismas con el mismo volumen 3.5 cm que el anterior? ¿Cómo calculaste el volumen de dicho prisma? ¿Es el mismo procedimiento que usaste con los prismas rectangulares? ¿Qué operaciones hiciste de la misma manera? ¿Cuáles operaciones hiciste diferentes?

L13

4.

Identifica qué pasos del procedimiento fueron los mismos y generalízalo en una frase. Coméntalo con tu maestro.

5.

Con los resultados anteriores, justifica tus respuestas.

B2

Pongámonos de acuerdo 1.

Reunidos en parejas copien y construyan los siguientes cuerpos geométricos:

2.

Una vez que estén construidos los cuerpos geométricos, midan con una regla todas las dimensiones.

3.

Uno de ustedes llene con arroz la pirámide y viértanlo en el cubo. • ¿Cuántas veces cabe el arroz de la pirámide en el c ubo?

4.

Desarrollen y expliquen una fórmula para calcular el volumen de una pirámide a partir de la fórmula para calcular el volumen de un cubo. Tomen en cuenta las dimensiones que obtuvieron con la regla.

5.

10 cm

Con la ayuda de su maestro, describan una regla general que permita calcular el volumen de cualquier prisma.

6. Ahora,

calculen el volumen del siguiente prisma cuya base mide 30 cm2 y su altura es de 10 cm.

30 cm


2.

Con lo que has aprendido en la lección: • ¿Cómo calcularías el volumen de un prisma de base poligonal? • ¿Cuál de los volúmenes de los cuerpos geométricos se calcula diferente? Dibuja un polígono cualquiera y divídelo en triángulos para obtener su área. Usa este resultado para obtener el volumen de un prisma con base poligonal. • ¿Qué pasaría si en vez de forma poligonal se tiene una pirámide?, ¿cómo calcularías su volumen? 95

E J E : FORMA,

ESPACIO Y MEDIDA

Practica 1.

Con las reglas que acabas de describir en la lección, completa los siguientes datos. El volumen de todos los prismas es de 36 cm3. Lado a

Lado b

2

6 2 3

12

Lado c

Volumen 36 cm3

6

36 cm3 36 cm3 36 cm3

Compara tus respuestas con las de dos compañeros y si hay diferencias que cada uno justifique sus resultados. ¿Cuántos cubos de 1 mm 3 caben en un prisma cuadrangular de 3 cm de base y altura de 5 cm? Encuentra el área lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero con un área de 27.7 cm², altura de 6.93 cm y la altura del prisma es igual al triple de la magnitud de un lado de la base. Obtén las medidas de una pirámide recta que tenga la misma capacidad que un cubo de 5 cm de lado. ¿Qué volumen tiene una pirámide inscrita en un prisma rectangular de base cuadrada de 230 m y altura de 146 m? ⇒

2.

3.

4.

5.


2.

96

El volumen de una pirámide recta depende de: a. Arista y apotema b. Altura y arista c. Base y altura d. Base y apotema Una retroexcavadora puede sacar 2 m 3 de tierra cada vez que el operador remueve el material. • ¿Cuántas veces el operador tiene que hacer la anterior maniobra si necesita cavar un hoyo cúbico de 4 m de lado? a. 32 veces b. 24 veces c. 64 veces d. 16 veces

p

Una retroexcavadora, también conocida como pala mecánica, es una pieza de equipo principalmente utilizada para cavar en el piso y remover grandes cantidades de tierra, grava o arena.

L14

B2

Medida

14

Lección

Estimarás y calcularás el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Analizarás las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

Explora

La cisterna En la casa de Sebastián construyeron una cisterna con forma de prisma rectangular y con una capacidad de 4 032 litros. Para ello los albañiles tuvieron que excavar un hoyo en la tierra. Al cavar, a una profundidad de 1.80 m, encontraron una capa de roca muy sólida y ya no pudieron hacer el hoyo más profundo, por lo que ésa será la profundidad máxima de la cisterna. • ¿Cuáles tienen que ser las dimensiones de la excavación para que la capacidad de la cisterna sea de 4 032 litros?


• El escalador En el año 2006, el experimentado escalador francés, Alain Robert, escaló un edificio en la Ciudad de México desde su base hasta el último piso de acuerdo con el siguiente recorrido por la fachada:

u

El deporte que practica este francés se conoce como buildering y consiste en escalar el exterior de edificios y otras estructuras artificiales.

Si se sabe que el volumen total del edificio es de 125 000 m3... • ¿Cuántos metros recorrió el impetuoso escalador?

Para tu apunte La fórmula para obtener el volumen de un cubo es: el lado elevado al cubo. La operación que se hace para obtener el volumen del cubo es elevar a la tercera potencia. La operación contraria de una potencia cúbica se le conoce como raíz cúbica (∛ ) y lo que se busca es obtener un número que multiplicado por sí mismo dé el volumen. Una forma de obtenerlo fácilmente es factorizando el volumen para encontrar cuál es ese número que se multiplicó por sí mismo tres veces.

97

E J E : FORMA,

ESPACIO Y MEDIDA

• El ahorro de agua Cada vez que jalas la palanca del inodoro, éste consume de 8 a 10 litros de agua. Multiplícalo por todos los habitantes de tu colonia y verás que es un tremendo gasto de agua potable. Esta cantidad se puede reducir si colocas una botella llena de agua adentro de la caja del inodoro, tal y como se muestra en la imagen. p

En la actualidad existen muebles sanitarios de bajo consumo (6 litros), pero los inodoros que tienen más de 20 años consumen en promedio 18 litros de agua por descarga. Colocar una botella llena de agua adentro de la caja es un método sencillo que ayuda a reducir el consumo de agua.

1.

Calcula la capacidad del tanque de un inodoro de tu casa o escuela cuya caja tenga forma de prisma rectangular.

2.

Determina la capacidad de la botella que usarías para reducir el gasto de agua.

3.

Resta las capacidades y estima el porcentaje de ahorro en el consumo de agua que se tendría al colocar la botella en el interior del tanque. Si una persona promedio usa el baño cinco veces al día, multiplica el ahorro por el número de personas que lo usan. ¿Cuántos litros se pueden ahorrar al día?

• El silo Un trabajador de campo quiere construir un silo en forma de pirámide con las siguientes medidas: 1.

Calcula el volumen del silo.

2.

Si el trabajador quiere construir otro silo con una capacidad del doble de volumen, pero manteniendo la medida de la altura y modificando la longitud de la arista de la base cuadrada: • ¿Cuánto mediría la nueva arista? Si el trabajador quiere construir un nuevo silo con el doble de volumen, la misma longitud de arista para la base cuadrada y modificar la altura, ¿cuánto tendría que medir la altura? • ¿Cómo cambia el volumen del silo al modificar la medida de la arista de la base cuadrada de la pirámide?

4.5 m

3. 2m

p

Un silo es una construcción diseñada para almacenar granos. Además de su uso agrícola, también se ha adaptado a otros usos en la industria como el almacenamiento de cemento.

Para tu apunte Una estrategia para encontrar el lado de un cuadrado si conoces el área es factorizando el número para encontrar qué número se multiplicó por sí mismo.

98

Pongámonos de acuerdo En el año 429 a.n.e., Pericles, quien era el gobernador de Atenas, murió víctima de la peste. La leyenda dice que para tratar de encontrar una solución a esta gra ve epidemia, un grupo de atenienses viajaron a la ciudad de Delfos para consultar al oráculo de Apolo. La respuesta del oráculo fue que deberían construir un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar existente. El altar original era un cubo con 8 metros cúbicos de volumen. ¿Cuanto debía medir cada lado del nuevo cubo para que su capacidad fuera de 16 metros cúbicos? 1. Dibuja a escala el primer cubo con sus medidas, y después, con todas las herramientas posibles, obtén cuánto tiene que medir la arista del nuevo cubo para su volumen sea el doble que el del cubo original. •

L14

2.

Después de hacer varios intentos responde cómo varían las medidas del volumen con respecto a la variación de los cambios de medida en la arista.

3.

Formen equipos de dos parejas e investiguen en internet todo lo que puedan acerca de “la duplicación del cubo”.

4.

Con la asesoría de su maestro hagan una exposición en clase de este famoso problema.

B2


2. 3.

Intercambia los datos que obtuviste con otros dos compañeros. Justifiquen sus respuestas entre ustedes y discutan si sólo hay una única respuesta. Expongan y justifiquen frente a todo el grupo sus resultados. Escribe en tu cuaderno las propuestas presentadas por los demás equipos y revisa si concuerda con la de tu equipo.

Para tu apunte Para obtener el volumen de una pirámide tienes que obtener el producto del área de la base por la altura y dividirlo entre tres. El volumen dependerá tanto de la altura como del área de la base.

4 032 litros 1.8 m

Ancho Largo

Sebastián hizo la siguiente propuesta para mostrar sus resultados. Elaboró una gráfica en la que puso los posibles valores del largo y el ancho de la cisterna. Ancho 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 15 Largo

99

E J E : FORMA,

ESPACIO Y MEDIDA

4.

Completa la siguiente tabla y con los datos que obtengas construye la gráfica. Puedes hacerlo primero en tu cuaderno. Base

Ancho

Altura 1.80 m 1.80 m 1.80 m 1.80 m 1.80 m 1.80 m 1.80 m 1.80 m

•

Volumen (en litros) 4 032 4 032 4 032 4 032 4 032 4 032 4 032 4 032

¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Qué significa?

5.

Grafica también cómo cambia el perímetro de la base cuando modificas el largo.

6.

Si quisieras obtener las dimensiones de la cisterna para que se use menos material, es decir, para que tenga menor base y ancho pero la misma área, ¿qué dimensiones serían? 7. ⇒

⇒

Con una hoja de cálculo se pueden analizar grandes cantidades de datos y graficarlos. Por ejemplo, retoma la tabla del inciso 4 de esta sección y vacía los datos en una hoja de cálculo.

Si sabemos que el producto de la base por el ancho y por la altura de la cisterna tiene que ser de 4 032, entonces podemos despejar el ancho volumen entre la base por la altura, como se muestra en la siguiente figura:

Para copiar la fórmula en cada una de las celdas de la columna B, apúntala una vez en la casilla B2, cópiala y pégala desde B3 hasta B12 . ⇒ Ahora, para graficar un conjunto de datos, es necesario marcar los datos de la columna de ancho y posteriormente presionar Insertar->Gráfico del menú de Excel para que el programa realice la gráfica. ⇒

100

L14

⇒

B2

Observa cuál es la forma de la gráfica. Edítala para colocar los nombres de los ejes.

Practica 1.

Calcula las diferentes capacidades que pueden tener los empaques para queso al modificar los valores de sus medidas. Anótalas en la tabla: Altura

Volumen

1 cm 2.5 cm 7 cm 126 cm3 21 cm 357 cm3 x 2.

3.

Calcula la cantidad máxima de agua que le cabe a una pecera cúbica que tiene en su interior una pirámide con base cuadrada de la misma altura del cubo. Se tiene un prisma rectangular cuya área de la base es de 43 cm2. Completa la tabla para verificar cómo cambia el volumen si varía la altura:

Área de la base: 21 cm2

p

Empaque para quesos

101

E J E : FORMA,

ESPACIO Y MEDIDA

Altura

Volumen

1 2 3

50 cm

4 5 50 cm

4.

Tomando en cuenta que el volumen de una pirámide se mantiene constante en 45.714 cm2, completa la tabla: Altura de la base

Volumen

240 120 80 V

45.714 cm 2



60 45.714 40

5.

Calcula el área lateral y el volumen de una pirámide hexagonal de 8 cm de arista en la base, apotema de 6.94 cm y 15 cm de altura lateral.


Una alberca tiene un fondo rectangular de 50 m de largo por 40 m de ancho. Si se sabe que contiene 4 000 000 litros de agua, ¿cuál es la profundidad de la alberca? a. 2 000 m b. 200 m c. 20 000 m d. 20 m

2. Estima

el volumen de la pirámide de Keops que tiene una base cuadrada de 236.34 m de lado y una altura original de 146.61 m. a. Entre 1 000 000 y 1 500 000 m b. Entre 1 500 000 y 2 000 000 m c. Entre 2 500 y 3 000 000 m d. Entre 3 500 000 y 4 000 000 m

102

p

La Gran Pirámide de Keops es una de las siete maravillas del mundo antiguo. Algunos consideran que era una tumba funeraria, otros piensan que era un templo sagrado; también hay quienes afirman que era un observatorio astronómico.

L14

B2


15

Lección

Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos

Explora

Modernización administrativa El departamento administrativo del Hospital de Especialidades del Norte se ha propuesto digitalizar todos los expedientes de sus pacientes para almacenarlos en una base de datos y así hacer más eficiente la búsqueda de éstos por medio del uso de las computadoras. Para ello se contrataron tres capturistas, los cuales se calcula que digitalizarán los 5 760 expedientes en 10 días. Si se desea que el trabajo sea terminado en tres días: • ¿Qué sugerencias le harías a los jefes del departamento administrativo? • ¿Cuántos capturistas contratarías?


• El área del rectángulo El maestro Roberto les pide a sus alumnos que calculen todas las dimensiones enteras posibles de un rectángulo que cumpla con que su área sea de 240 centímetros cuadrados. 1.

Para ayudar a los estudiantes a realizar esta actividad comienza por anotar algunos datos: •

Nombre de las dimensiones de un rectángulo:

•

Fórmula del área del rectángulo:

•

¿Qué debes considerar para encontrar todas las posibles dimensiones?

103

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN

2.

Completa la siguiente tabla de dimensiones posibles. De ser necesario agrega más filas a la tabla. Considera llevar un orden para no olvidar alguna posibilidad. Verifica que todas tengan un área de 240 cm2. Ancho

Largo

1 120 80 4

3.

Una vez completada la tabla, responde: • ¿Cuántos rectángulos diferentes puede haber que tengan un área de 240 cm2 si las dimensiones son números enteros? ⇒ Compara tu resultado con los de tus compañeros y verifiquen si les falta alguno. • ¿Qué características observas que tiene la tabla anterior? ¿Encuentras alguna relación entre las dos dimensiones? • ¿Qué pasa con las medidas del largo cuando aumentan las medidas del ancho?

4.

Ubica el rectángulo con medidas 3 × 80 cm en la tabla anterior y explica: • ¿Qué sucede con el largo del rectángulo cuando el ancho aumenta de 3 a 6 cm?

Para tu apunte Se dice que dos magnitudes están en proporción inversa cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye a la razón recíproca. Esto es, si una de las magnitudes aumenta al doble, entonces la otra disminuirá a la mitad; si una magnitud disminuye a la cuarta parte, entonces la otra se incrementará cuatro veces; si una aumenta a 3/2, la otra disminuirá a 2/3 partes y así sucesivamente.

x 2 1

x 1 3 x 2

24

16

12

2

96

12

16

1

x 2 x 4 2

x 3

Otra característica de las relaciones proporcionales inversas es que el producto de las magnitudes siempre es el mismo, es decir, es constante. Observa que para cada par de la tabla el producto siempre es 192.

104

Largo

3

80

6

Magnitud 1 Magnitud 2 8

Ancho

•

El ancho (aumentó/disminuyó) al (doble, triple, mitad, tercera parte, etc...), mientras que el largo (aumentó/disminuyó) a (doble, triple, mitad, tercera parte, etcétera). ¿Cómo cambia el largo del rectángulo cuando el ancho disminuye de 10 a 2 cm? Ancho

Largo

10 2 5.

Escribe una conclusión acerca del comportamiento de las dimensiones del rectángulo.

L15

B2

• Las bicicletas En las bicicletas antiguas las ruedas diferían de tamaño, una era muy grande e iba al frente y la otra era pequeña y se colocaba atrás. Francisco tiene un bicicleta antigua cuya rueda pequeña tiene un diámetro de 30 cm y la rueda grande tiene un diámetro de 80 cm. Cuando la pequeña da 200 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la rueda grande?

u

La obra de arte, Bici , de Leonora Carrington estuvo expuesta en la avenida Paseo de la Reforma de la Ciudad de México.

1.

Responde las siguientes preguntas: • ¿Cuántos centímetros avanza cada rueda en cada vuelta la bicicleta de Francisco? Rueda grande: Rueda pequeña: • ¿Cuántos centímetros avanzó la bicicleta en las 200 vueltas de la rueda pequeña? • ¿Ambas ruedas recorren esa misma distancia? • Entonces, ¿la rueda grande habrá dado más, menos o las mismas vueltas que la pequeña? • ¿La relación entre el diámetro de la rueda y el número de vueltas es inversamente proporcional?

2. A

partir del uso de factores sugerido, calcula el número de vueltas que da la rueda grande con 80 cm de diámetro.

3.

Escribe en los recuadros el factor necesario para obtener el resultado de la siguiente tabla: Diámetro de la rueda

Número de vueltas

30

200 3 000

x x •

80

x 15 x

Si se modificara el diámetro de la rueda grande, ¿qué pasaría con el número de vueltas? 105

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN

4.

Para resolver la pregunta anterior, completa la siguiente tabla: Diámetro de la rueda grande

10

20

30

40

80

100

120

180

Número de vueltas •

5.

Si se mantuviera el diámetro inicial de ambas ruedas, y se modificara el número de vueltas para la rueda grande, ¿qué pasaría con la distancia recorrida por la bicicleta?

Para resolver la pregunta anterior, completa la siguiente tabla. Escribe la distancia en términos de p, es decir, sin operarla con el diámetro. Número de vueltas para la rueda grande Distancia recorrida

Para tu apunte Además del uso de factores recíprocos para encontrar un valor faltante, si se conocen los otros tres valores en una relación de proporción inversa, puedes emplear la regla de tres para proporciones inversas. Por ejemplo, un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s tarda 3 segundos en recorrer cierta distancia. Si recorriera esa misma distancia pero ahora a 5 m/s, ¿cuánto tardaría en transitar la misma distancia? Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

15

3

5

?

Una vez acomodados los datos como se presentan arriba, se aplica la regla de tres para proporciones inversas: ? � 155× 3

�

45 5

0

�

El valor desconocido será igual al producto de los valores relacionados (15 y 3) dividido entre el tercer valor (5).

• • • •

10

12

35

50

60

75

100

80π

¿Qué sucede con la distancia recorrida al aumentar el número de vueltas? ¿Las magnitudes de esta última tabla son inversamente proporcionales? ¿Por qué? ¿Qué diferencias encuentras entre las dos últimas tablas? Coméntalo con tus compañeros y maestro. ¿Qué diferencias hay entre una proporción inversa y una directa?

• ¡A llenar la alberca! En la escuela de natación del estado de Tamaulipas se llevarán a cabo las competencias locales de nado libre. Dos días antes del evento, los organizadores se percataron de que había un problema en la tubería que abastece a la alberca, por lo que tendrán que llenarla por medio de mangueras conectadas a diferentes llaves. Se sabe que para llenar la alberca, cuya capacidad es de 400 m³, se requiere abrir 6 mangueras que administren agua de manera constante, durante 10 horas. 1.

Si se mantiene el llenado de la alberca al máximo de su capacidad (400 m³), ¿cuánto tardarán en llenarla si se usan 7, 8, 9 y 10 mangueras al mismo tiempo? ¿Tardarán más o menos de 10 horas?

2.

Discute con tus compañeros y maestro cómo realizaron estos cálculos. ¿Usaron factores recíprocos, la regla de tres u otro procedimiento?

3.

Completa la tabla que relaciona la cantidad de mangueras con el tiempo que se tardará en llenar la alberca de 400 m³.

4.

106

1

Cantidad de mangueras

6

Tiempo de llenado

10

7

8

9

10

Si se mantienen 6 mangueras abiertas durante 10 horas para llenar la alberca de 400 m³. • ¿Cuánto se tardarían en llenar con esas 6 mangueras otras albercas de 500 m³, 600 m³, 700 m³ y 1 000 m3 ?, ¿se llenarían en más o en menos de 10 horas?

L15

5.

6.

Completa la tabla que relaciona la capacidad de las albercas con la cantidad de horas que tardarán en llenarse. Capacidad de la alberca

400

Tiempo de llenado

10

500

600

700

1 000

Comparte con tus compañeros cómo realizaste estos cálculos y discutan sobre las diferencias. • ¿Cómo se relacionan las cantidades en cada una de las tablas?

Pongámonos de acuerdo Una persona sana en reposo expulsa 5 litros de sangre por minuto (gasto cardíaco) por un ventrículo del corazón. El colesterol es un lípido común presente en nuestras células y que es esencial para crear la membrana plasmática que regula la entrada y salida de sustancias que atraviesan la célula; lo que ocurre es que con una alimentación inadecuada y malos hábitos, sus niveles pueden subir y tener afectaciones en el gasto cardíaco, que es la cantidad de sangre que expulsa un ventrículo por minuto. Cuando un corazón no está sano su gasto cardiaco disminuye e irriga con dificultad la sangre a todo el cuerpo. t

B2

Para tu apunte Algunas de las diferencias entre las proporciones inversas y las proporciones directas radican en: — El comportamiento de las magnitudes. En las inversas si una magnitud

aumenta, la otra disminuye a razón recíproca del aumento, mientras que en la directa, si una magnitud aumenta, la otra también lo hace a la misma razón. — Los factores internos de cambio. En las inversas los factores son recíprocos, mientras que en las directas los factores son iguales. — La constante de proporcionalidad . En la inversa es el producto de las dos magnitudes (k � xy ), mientras que en la directa es el cociente de las dos magnitudes (k � y / x ).

La mayoría de la población mexicana tiene niveles de colesterol (lípidos o grasa) en la sangre elevados, un signo grave para la salud del corazón porque obstruye las arterias. Para prevenir la hipercolesteromia, el Instituto Mexicano del Seguro Social recomienda tener una alimentación sana y realizar una actividad física diaria al menos por 30 minutos.

Reunidos en parejas respondan los siguientes puntos: 1.

Si suponemos que el nivel de colesterol y el gasto cardíaco guardan una relación inversamente proporcional, llenen la siguiente tabla: Colesterol (mg/dl) Gasto cardiaco (l/min) • •

200 5

220

240

260

280

300

4.16

¿Qué sucede al aumentar el nivel de colesterol en el cuerpo? ¿Cuál es el nivel normal de colesterol que las personas deberían de tener para considerarse sana? 107

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN

Para tu apunte

2.

Formalmente se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de cada par relacionado es una constante (k ).

Calculen el producto de cada pareja de datos: el colesterol y el gasto, y anótenlo en la tabla. Colesterol (mg/dl) Gasto cardiaco (l/min)

200 5

220

240

260

280

300

4.16

Colesterol*Gasto

x*y � k

¿Cómo son los productos? Comparen sus resultados con los de otras parejas. Comenten en grupo y con el maestro acerca de los diferentes procedimientos para resolver relaciones de proporcionalidad inversa. •

Por ejemplo, en el problema del rectángulo, las dos magnitudes, ancho y largo, son inversamente proporcionales ya que el producto de ambas en cada relación es igual a 240, el área fijada. Por tanto, si se reconoce que dos magnitudes son proporcionalmente inversas se puede utilizar la relación xy � k para encontrar algún valor faltante dados tres valores, por ejemplo:

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

15

3

5

?

4. 5.


Retoma el problema del E XPLORA y responde lo siguiente: • ¿Se necesitan más o menos capturistas para terminar la digitalización de los expedientes en 3 días? • ¿Cómo es el trabajo de cada grupo de capturistas?, ¿es igual? o ¿unos grupos trabajarían más que otros?

2.

Completa la siguiente tabla de acuerdo al número de capturistas:

Con el par de valores relacionados (15 y 3), calculas la constante de proporcionalidad inversa:

Capturistas 1 2 3 6 10 20 30

x * y � k (15)(3) � k 45 � k

Con el otro valor (5) y la constante encontrada (45), sustituyes nuevamente en la expresión xy � k, y despejas el valor faltante:

•

(5)y � 45 y � 45/5 y � 9

108

Días

10

¿Con cuántos capturistas se terminaría el trabajo en 3 días?

Practica 1.

Un campesino tiene 360 vacas que sólo puede alimentar durante 25 días. • ¿Cuántas vacas tendría que vender para alimentar a su rebaño 15 días más sin tener que reducir el alimento para cada una?

2.

Un barco lleva víveres para sostener a su tripulación, integrada por 30 hombres, durante 21 días. a. Si el barco acogió a 30 personas, de otro barco que estaban a punto de naufragar, ¿cuántos días durarán los víveres sin reducir las raciones? b. Si saben que la comida les tiene que durar 70 días en lo que llegan al primer puerto, ¿a cuántos hombres podrán alimentar sin cambiar las raciones?

L15

3.

En una carrera un participante que corre a 20 km/h tarda 15 minutos en llegar a la meta. • ¿A qué velocidad tendría que correr para hacer el recorrido en media hora? • ¿Cuál es la extensión de la carrera?

4.

Con el aceite que hay en un barril se llenan 60 botellas de —43 de litro cada una. 1 • ¿Cuántas botellas con capacidad de — de litro podrían llenarse con el conte2 nido del barril? • ¿Cuál sería la capacidad de las botellas si se quieren usar solamente 10 botellas? • De las dos situaciones anteriores justifica cuál de ellas es proporción inversa y por qué. 5.

B2

Los organizadores de la kermés de la escuela “Juan Sabines” compraron 1 250 botellas de agua y quieren evaluar qué sucederá y cómo tendrán que distribuirlas si llegan de 500 a 2 500 personas. • Con la asesoría de tu maestro, utiliza un programa de hojas de cálculo para conocer la cantidad de botellas que le correspondería a cada persona de acuerdo al total de asistentes. • Luego, con las dos columnas de datos, haz una grafíca con el programa de cómputo.


Si 20 trabajadores pueden hacer 40 bardas de bloques en 60 días, ¿cuántos días tardarían en hacer el mismo trabajo 15 trabajadores? a. 70 b. 45 c. 30 d. 80

2.

Todas las mañanas Alberto corre 10 000 metros. Si la velocidad con la que inicia, la mantiene durante todo el recorrido, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a. La velocidad y el tiempo son directamente proporcionales. b. La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales. c. La constante de proporcionalidad es igual al producto de la velocidad y el tiempo. d. Si un día corre con el doble de velocidad que el día anterior, entonces el tiempo que tarde será la mitad del que hizo el día anterior. 109

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN


16

Lección

Realizarás experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relacionarás ésta con la probabilidad teórica

Explora

El mejor premio En un concurso de televisión, un participante tiene que escoger una puerta de tres que se le muestran. Detrás de una de las puertas hay un automóvil, detrás de las otras dos hay costales de harina. El conductor del programa sabe exactamente detrás de cuál puerta está el coche. El concursante escoge una de las tres puertas. El conductor no abre la que escogió el concursante, sino una de las otras dos y muestra que sólo tiene harina. Antes de abrir la puerta escogida el conductor le ofrece al concursante que- t Los concursos producidos por las televisoras darse con la puerta que eligió o cambiar y quedarse atrapan el interés de familias enteras. con la otra puerta que también está cerrada. • ¿Crees que el concursante debería cambiar de puerta? • ¿Tiene más posibilidades de ganar con la puerta que eligió o con la otra?


• Los dados Luisa y Mariana juegan a tirar dos dados para ver quién se queda con un libro. Para ello, intentan predecir cuál será la suma de los dos dados.

110

1.

Realiza este experimento y registra los resultados a lo largo de por lo menos 50 intentos.

2.

De cada resultado, divide el número de veces que se obtuvo al tirar los dados entre el total de veces que se lanzaron los dados (es decir, 50).

L16

3. Anota

los resultados en la siguiente tabla y resuelve las divisiones.

Resultados de la suma de los dados

•

Veces que se obtuvo el resultado

Cociente entre veces que se obtuvo un número y número de intentos

B2

Para tu apunte Para determinar la probabilidad frecuencial , se necesita registrar el experimento aleatorio un número determinado de veces. De cada resultado, se obtiene el cociente entre el número de veces que se obtuvo y el número total de veces que se realizó el experimento. Sirve para predecir la probabilidad del evento, aunque no es concluyente. La probabilidad experimental es la probabilidad asignada a un suceso mediante el cálculo de la frecuencia relativa del mismo al repetir el experimento muchas veces. Cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, más se aproxima el valor obtenido al valor desconocido de la probabilidad teórica. El número de pruebas a realizar dependerá del experimento y del número de sus posibles resultados.

¿Cuál fue el resultado con el mayor cociente?

Hagan una hipótesis: ¿qué puede significar ese c ociente? 5. Coméntenlo en grupo con su maestro. 4.

• En teoría, ¿sale más el 6? Luis y Mariana decidieron calcular matemáticamente cuál sería el número que se obtiene más al tirar y sumar dos dados. Para ello, llenaron una tabla como la siguiente: Suma

Forma de obtener la frecuencia

Total de casos

2

1+1

1

3

1+2 2+1

4 5 6 7 8 9 10 11 12 111

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN

Para tu apunte: Se le llama probabilidad teórica al número de resultados posibles en que puede ocurrir un evento en particular comparado con todos los resultados posibles. Es decir: Casos posibles/Casos totales.

1.

En la segunda columna escribe cuáles son las combinaciones de los dados que se obtienen con cada una de las diferentes sumas.

2.

En la tercera columna anota el total de casos con los que se obtienen las diferentes sumas; por ejemplo: para obtener un 3 se puede tener 1 en el dado azul y 2 en el dado rojo o 2 en el dado azul y 1 en el dado rojo.

3.

Después de llenar esta tabla, responde: • Cuenta cuántas combinaciones de sumas dan cada resultado, del 2 al 12. ¿Cuál es el resultado de sumas que cuenta con más combinaciones? • ¿Cuál es el número que tiene menos formas de obtenerse combinando los dados? • Si apostaras con alguien, ¿a qué número le apostarías?

4. Ahora,

para cada caso (resultado), divide el número de casos posibles entre todos los posibles resultados de sumar dos dados (en este caso, 12).

5.

Por último, compara la probabilidad frecuencial del ejercicio anterior con la probabilidad teórica. • ¿Qué relación hay entre los resultados de cada suceso en particular? • ¿Coinciden los resultados de la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica? • ¿Qué tanto distó la probabilidad frecuencial de la teórica? • ¿Qué puede significar esa diferencia? Discutan en grupo con su maestro.

• La urna En una urna hay 10 pelotas numeradas del 1 al 10. Claudia repitió el evento de sacar una pelota al azar y devolverla 100 veces. Los resultados fueron los siguientes:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Veces que salió

13

9

9

10

12

9

10

11

9

8

7 6

3 10

1

5 4

2

Número de pelota

8

9

Responde: • ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que salga cada número? • ¿Cuál es la probabilidad teórica de que salga cada número? • ¿Qué significa cada una?

Pongámonos de acuerdo Para tu apunte Entre más se repitan los experimentos, la probabilidad frecuencial se parecerá más a la probabilidad teórica. Dependiendo del grado de precisión deseado, el experimento se debe repetir muchas veces.

112

Formen equipos de tres personas y construyan una ruleta con las siguientes instrucciones: 1.

En una cartulina dibujen un círculo de 40 cm de diámetro que será la ruleta.

2.

Dividan la ruleta en cuatro secciones de tal manera que la primera sea —21 del total del área, otra —41 y las dos restantes —81 , como se muestra en la figura:

L16

3. 4.

5.

6.

Claven la ruleta con una tachuela en la pared del salón que el maestro les indique. Hagan girar la ruleta y aleatoriamente cada uno de ustedes debe tirarle un pedazo de plastilina. Registren en una tabla dónde cae. Calculen la probabilidad frecuencial de que la plastilina caiga en cada uno de los colores de la ruleta. Deben hacer el experimento las suficientes veces para que entre la probabilidad teórica y la frecuencial haya una diferencia de 0.5 para cada color. Comparen con otros equipos y discutan acerca de cuál sería el número de veces que debe repetirse un experimento para que la diferencia entre la probabilidad teórica y la frecuencial sea menor a 0.5. • ¿Se puede saber con exactitud el número de veces necesario?

B2

Diámetro = 40 cm

p

Dibujo a escala de la ruleta


Reunidos en equipos de tres personas realicen el siguiente experimento para contestar las preguntas planteadas en el E XPLORA. ⇒ Utilicen tres tarjetas de cartón. Dibujen un automóvil en una de ellas y un costal de harina en cada una de las otras dos.

Harina

Harina

Uno de ustedes será el conductor del programa y otros dos serán los concursantes. ⇒ De los dos concursantes, uno se quedará con la primera carta que escogió y el otro cambiará de carta. ⇒ Repitan el experimento por lo menos 50 veces y llenen la siguiente tabla: ⇒

Veces que ganó el coche

Probabilidad frecuencial

Probabilidad teórica

Se queda con su primera elección Cambia la carta 2.

Contesta ahora las preguntas del E XPLORA: • ¿Crees que el concursante debería cambiar de puerta? • ¿Tiene más posibilidades de ganar con una puerta o con la otra? 113

E J E : MANEJO

DE LA INFORMACIÓN

3.

Con lo que has aprendido en la lección, resuelve el siguiente problema: Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiera diez, y tras la elección original el presentador abre ocho de las restantes para mostrar que tras de ellas hay sólo harina. • ¿Cambiarías tu elección? • ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera elección elijas la puerta ganadora? • ¿Cuál es la probabilidad que al cambiar elijas la puerta ganadora?

Practica 1.

¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener un número par al tirar un dado si al tirarlo 25 veces se obtuvo un par en 12 ocasiones?

2.

En una bolsa con 100 canicas, sólo 8 de ellas son azules. • ¿Cuál es la probabilidad teórica de sacar una canica azul de la bolsa? • Si de 30 intentos en la que se regresaba la canica nunca se sacó una c anica azul, ¿cuál fue la probabilidad frecuencial del resultado del experimento de 30 intentos?

3.

Realiza los siguientes experimentos. Anota sus probabilidades frecuenciales y después calcula la probabilidad teórica. a. Obtener un águila al tirar una moneda. b. Obtener un 5 al tirar un dado. c. Obtener por lo menos tres soles al tirar 5 monedas al mismo tiempo.

4.

La probabilidad teórica de obtener un águila es: . Ahora, tira una moneda y anota en una gráfica el resultado de la probabilidad frecuencial a lo largo de muchos tiros. Número de tiros 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

Probabilidad frecuencial

114

L16

5.

Calcula la probabilidad teórica y frecuencial de que dos personas en tu salón cumplan años el mismo día.

6.

Investiga junto con un compañero y con la asesoría de su maestro de qué trata la famosa “Paradoja del cumpleaños”. Expongan en clase todo lo que hayan aprendido de esta paradoja..

B2


En una caja hay 3 bolas rojas, 5 amarillas y 4 verdes. Luis sacó una bola, la registró y la volvió a introducir, esto lo repitió 50 veces. Los resultados que obtuvo fueron los siguientes:

•

2.

Roja

Amarilla

Verde

8

25

17

¿Cuál es la diferencia entre la probabilidad teórica y la frecuencial de obtener una bola amarilla? a.

0.083

b.

0.812

c.

1.21

d.

0.111

Una bolsa contiene bolas blancas ( b) y negras (n). Se extrajeron sucesivamente tres bolas y se regresaban a la bolsa. Estos fueron los resultados después de 20 extracciones: (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b); (n,n,n); (b,b,b); (n,n,n); (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b)(b,b,n); (b,n,b); (n,n,b) •

¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que en cada extracción se obtengan por lo menos dos bolas negras? a.

7/20

b.

8/20

c.

9/20

d.

1/2

115



Evaluación tipo Enlace • ¿Cuál debe ser en centímetros la altura del envase para que pueda contener el volumen deseado?

Subraya la opción que consideres correcta y, al terminar, con la guía del maestro, revisa en grupo tus respuestas. 1. La siguiente figura representa un terreno que se va a cercar con (22 d � 35) metros de malla: • ¿Cuál es el valor del lado faltante en la figura, en términos de d , que completa el perímetro dado? a. b. c. d. 2.

9d � 12 45 d � 12 8 45 d � 7 8 4d � 7

8d  14 17  11 d 4

33 d  3 8

7.

8.

4 p

3.

40.35 cm

b.

48.42 cm

c.

16.15 cm

d.

5.38 cm

¿Cuál de los polinomios que se dan como opci ón cumple con las dos características siguientes: “sumado a 5 x 2 � 13 x � 8 da como resultado 16 x 2 � 7 x � 12”, y “si el mismo polinomio se lo restas a 7 x 2 � 6 x 2 � 9 el resultado es 24 x � 5 ”? a. �11 x 2 � 6 x � 4 b. �1 x 2 � 20 x � 20 c. 3 x 2 � 6 x � 14 23 m 3m d. 11 x 2 � 6 x � 4

5.

La alberca de un parque recreativo mide 35 metros de largo, 23 metros de ancho y 3 metros de profundidad. Cada año, antes del verano, se vacía para darle mantenimiento. Si el día previo a la apertura, la alberca solo se había llenado hasta una cuarta parte de su altura. • ¿Cuál es el volumen de agua en m3 que falta para llenarla? a. 1 811.25 m 3 b. 603.75 litros 3 c. 2 415 m d. 2 415 litros En una empresa lechera se propuso un nuevo envase con forma de prisma pentagonal para vender el producto. Dicho envase debe contener un volumen de 1 litro (1 000 cm 3). Si las dimensiones de la base son las que muestra la figura:

116

6 cm

hermano de Yadira vive con dos amigos. Él desea comprar una nueva pantalla de televisión y les propone dividir el costo entre los tres. Uno de ellos lo acompaña y tras analizar diferentes opciones compran una televisión al contado. Cada uno paga en ese momento $3 240. Si el costo total se dividirá en tres partes iguales: • ¿Cuánto acabará pagando cada uno? a. $4 860 b. $1 620 c. $1 080 d. $2 160 Claudio tarda regularmente 45 minutos en llegar de su casa al trabajo, viajando a una velocidad promedio de 48 km/h. Cierto día, el tránsito estuvo muy fluido, lo que le permitió llegar al trabajo 5 minutos antes de lo habitual. • ¿A qué velocidad promedio realizó el traslado ese día? a. 32 km/h b. 54 km/h c. 80 km/h 43.2 km/h d. Una baraja de póker consta de 52 cartas, divididas en 4 diferentes figuras: tréboles, espadas, corazones y rombos (diamantes). Cada figura tiene 13 cartas, numeradas del 1 al 10, más J (joto o jota), Q (reina) y K (rey). Supón que extraes de un mazo 100 veces diferentes cartas y que las regresas al mismo después de registrar la elección. De esas 100 cartas 9 veces sacaste K, 11 veces Q, 6 veces J, y el resto de los diferentes números: • ¿Cuál es la probabilidad teórica y frecuencial de obtener un rey (K ) de cualquier tipo de figura al extraer una carta? a. b.

35 m

4.

¿ h ?

6. El

¿Lado?

La siguiente figura representa una sección del patio de la casa de Ana en la que habrá un huerto dividido en 4 secciones de distinta superficie. Para proteger el huerto, Ana quiere cercarlo. Con base en los datos proporcionados: • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la cerca que rodea a todo el huerto? 3 a. 12 p2 � 8 p � 9 p � 6 2 b. 4 p � 2 � 3 � 3 p c. 14 p � 10 3 p d. 7 p � 5

a.

4.13 cm

c. d. 9.

Probabilidad teórica: 9 ; probabilidad frecuencial: 9 . 100 100 9 Probabilidad teórica: ; probabilidad frecuencial: 9 . 100 100 9 Probabilidad teórica: ; probabilidad frecuencial: 9 . 100 100 9 Probabilidad teórica: ; probabilidad frecuencial: 9 . 100 100

Si se lleva a cabo el experimento aleatorio de lanzar, al mismo tiempo, 50 veces al aire una moneda y un dado de 6 caras. • ¿Cuántas veces se esperaría que caiga un “águila” y el número “6”, respectivamente? a. 25 veces el “águila” y 8 veces el número “6”, aproximadamente b. 8 veces el “águila” y 25 veces el número “6”, aproximadamente c. 25 veces el “águila” y 25 veces el número “6”, aproximadamente d. 8 veces el “águila” y 8 veces el número “6”, aproximadamente

L1

3


• De pirámides y observatorios astronómicos El ser humano, tras maravillarse con la observación del cielo, intentó explicar los misterios de todo aquello que podía observar. Para ello construyó no sólo instrumentos que le permitieran potenciar sus capacidades de observación, sino auténticos monumentos arquitectónicos que sirvieran como centro de estudio de los astros. De las culturas antiguas, la egipcia construyó majestuosos templos y pirámides cuya orientación es prueba irrefutable del conocimiento que tenían del cosmos. Ejemplo de ello es el complejo de Gizeh, situado a las afueras de la ciudad de El Cairo. Esta zona estaba conformada por 3 pirámides, entre las cuales destaca la Gran Pirámide de Keops, la mayor de las tres y primera en ser construida, considerada una de las 7 maravillas del mundo antiguo y, por cierto, la única de ellas que aún perdura. Se estima que su construcción culminó hacia el año 2570 a.n.e. 1. De esta majestuosa obra no deja de sorprender la precisión de sus dimensiones, ya que la diferencia entre las medidas de los lados de su base es de algunos centímetros, mientras que los ángulos de la misma son prácticamente rectos, por lo que se le considera de base cuadrada, con 236.34 metros de cada lado aproximadamente y una altura original que rondaba los 146.61 metros. Un par de detalles más que nos hablan de la majestuosidad de este monumento son que las caras se encuentran orientadas con enorme precisión hacia los 4 puntos cardinales, mientras que la posición relativa de las 3 pirámides del complejo correspondía a la disposición de las 3 estrellas del cinturón de Orión. ⇒ Con base en los datos anteriores responde: • ¿Cuál era el volumen original aproximado de la Gran Pirámide de Keops en Gizeh? ⇒ Investiga cuál es la altura actual de esta pirámide. • ¿A qué se debe que sea menor? • ¿Cuál es ahora el volumen aproximado de la misma? ⇒ Investiga cuáles son los nombres y las dimensiones de las otras dos pirámides que conformaban el complejo de Gizeh. • Calcula su volumen. 2. En América también se construyeron pirámides impresionantes que fungieron como observatorios astronómicos, centros ceremoniales, poblacionales o incluso funerarios. Las edificaciones creadas por culturas tales como los mayas, mexicas, incas, entre otras, dan testimonio fiel del enorme cúmulo de conocimientos que estos y otros pueblos precolombinos ostentaban. La cultura maya es una de las más enigmáticas y sobresalientes ci vilizaciones que se han desarrollado en nuestro planeta. La ciudad de Chichén Itzá, ubicada al norte de Yucatán, se erigió como su centro cultural. En ella se construyó uno la Pirámide de Kukulkán (o “El Castillo”, como la llamaron los conquistadores españoles), considerada a partir del 2007 como una de las “7 Maravillas del Mundo Moderno”. Es una pirámide cuadrangular de nueve niveles,

3.

4.

BB1 1

con una fachada principal y una escalinata central en cada una de las caras laterales, además de una plataforma superior que culmina con un templete, en la cual se rendía culto al dios Kukulkán (o Serpiente emplumada), situación que explica la aparición de serpientes en la decoración. Cada año, por su configuración, esta construcción exhibe fenómenos únicos que ponen de manifiesto la aguda sapiencia en matemáticas, geometría, acústica y astronomía que los mayas poseían. ⇒ Investiga cuáles son las dimensiones de la pirámide y calcula su volumen aproximado. A 45 km del centro de la Ciudad de México se encuentran los restos de la que fuera otra de las mayores ciudades prehispánicas de Mesoamérica. Teotihuacan alcanzó su máximo apogeo entre los siglos III y VI, tiempo en que se convirtió en un importante centro comercial y político; sin una identidad étnica definida. Se presume que era una urbe cosmopolita, pero para el siglo VII, sus pobladores abandonaron la ciudad por completo sin que hasta el momento haya una convención de qué ocurrió con ellos. Teotihuacan se compone de múltiples edificios; destacan dos por su tamaño e importancia: las pirámides del Sol y la Luna. La Pirámide del Sol es aquí la estructura de mayor tamaño y la segunda de toda Mesoamérica; tiene una altura de 63 m con base casi cuadrangular de 225 m por lado. En tanto, la Pirámide de la Luna tiene una base casi cuadrada de 45 m por lado y una altura también de 45 m. ⇒ Calcula cuál es el volumen aproximado de la Pirámide del Sol y de la Pirámide de la Luna. ⇒ Investiga cuál es la mayor pirámide en Mesoamérica y cuáles eran sus dimensiones originales y volumen. Con base en la información proporcionada o investigada sobre las dimensiones de algunas pirámides, realiza los siguientes cálculos (observa el esquema): • ¿Cuántas veces es más alta… a. La Pirámide del Sol que la de Kukulkán? b. La Pirámide de Keops que la del Sol? • ¿Cuántas veces es mayor el volumen de… a. La Pirámide del Sol que la de Kukulkán? b. La Pirámide de Keops que la del Sol? c. La Pirámide de Keops que la de Kukulkán?

VISTA COMPARATIVA

Cotas en metros Pirámide de Giza 146.6 m

75 m Pirámide del Sol en Teotihuacan

65 m

Templo Kukulcán Chichán Itzá

30 m 55.2 m 225 m 226.5 m

117


BLOQUE 3

a

c

b


S E J E


problemas • Resolverás que implican efectuar

L17 Resolverás cálculos numéricos que implican

multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. la suma • Justificarás de los ángulos internos de

a. Para adoquinar espacios urbanos como esta plaza, primero se necesita calcular su superficie.

b. En esta escultura el artista

cualquier triángulo polígono y utilizarás esta propiedad en la resolución de problemas. problemas que • Resolverás implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.

representa el cálculo mental.

c. Una balanza en equilibrio simboliza la igualdad tanto en la justicia como en las matemáticas.

d. Un barril de petróleo tiene una capacidad de 42 galones.

e. Los hexágonos cubren el plano sin dejar espacios entre sí, y sin deformarse.

f. Los puestos de los tianguis ocupan un área específica.

118

•

Leerás y comunicarás información mediante histogramas y gráficas poligonales.



usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

L18 Resolverás problemas multiplicativos que

impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

B2

L8

B3 COMPETENCIAS

• Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

d

F O R M A ,

e

E S P A C I O

Y

M E D I D A

f

M A N E J O

D E

L A


Figuras y cuerpos


L19 Formularás una regla que permita calcular la suma

L22 Representarás algebraicamente y analizarás relaciones de proporcionalidad y = kx ; asociando los significados de las

de los ángulos interiores de cualquier polígono.

variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

L20 Analizarás y explicitarás las características

de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Medida

L23 Buscarás, organizarás y presentarás información

en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

L22 Analizarás las propiedades de la media y mediana.

L21 Relacionarás el decímetro cúbico y el litro. Deducción

de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas como barril, quilates, quintales, etcétera.

119

Engánchate

La medición a través de la historia Desde que el ser humano comenzó a vivir organizado en grupos se volvió tarea frecuente realizar mediciones, ya fuera para delimitar terrenos, cuantificar distancias, masas o tiempos, o predecir comportamientos de la naturaleza. La necesidad de medir llevó a los antiguos pueblos a proponer sistemás propios de medición. Según los registros y estudios científicos, los primeros sistemas organizados datan de ¡hace más de 7 000 años! y fueron los egipcios los primeros en establecerlo tomando como patrón algunas partes del cuerpo humano: ya fuera la longitud de los brazos, los pies, las manos o los dedos. De hecho, la primera unidad estandarizada en la historia para la longitud fue el “codo real egipcio”, que es la distancia entre el codo y la punta de los dedos y que equi vale aproximadamente a 52 cm, heredada también por la cultura griega y romana, aunque con un valor distinto.

t Grabado en madera que

muestra las nuevas unidades de medición aceptadas, Francia, 1800.

120

B3

p Mapa que muestra, en color rojo, a los tres únicos países (Birmania, Liberia

y Estados Unidos de América) que no han adoptado el Sistema Internacional de Unidades en su legislación.

En aquellos tiempos los sistemas de medición eran distintos entre las diversas poblaciones, lo cual dificultaba el comercio, la comunicación y el intercambio de información y conocimientos, suscitando conflictos entre los mercaderes, los pobladores y los gobiernos, particularmente con los recolectores de impuestos. Y es que incluso hubo regiones o pueblos que tenían patrones de medición con un mismo nombre, pero con distinto valor. De ahí surgió el interés por instaurar un sistema único para todos que facilitara el intercambio de la información y que además fuera confiable y replicable. Ya en la modernidad, la creciente comunidad científica mundial requería de uniformidad en las mediciones sin importar la región del planeta de la que provinieran. Ante esta tarea nada sencilla, el trabajo colaborativo de muchos intelectuales tuvo como resultado la definición de un sistema estándar de medición que con el paso del tiempo cobraría universalidad: el Sistema Internacional de Unidades, SI, por sus siglas. •

¿Cómo lo consiguieron?

Más adelante ahondaremos un poco más al respecto.

Lee

más...

Acerca de las unidades del Sistema Métrico Decimal y del Sistema Internacional de Unidades, practica las conversiones de unidades: • www.cåonevyt.org.mx/ actividades/geometria/clic/ animacion_clic.swf Libros del Rincón: Iglesias, Thalía, Escalante, Pablo, Boltón, Mónica, Una introducción a la arquitectura, México, SEP-Santillana, 2003.

121



17

Lección

Resolverás cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios

Explora

La calculadora En la clase de Matemáticas, la maestra Diana cuestiona a sus alumnos sobre qué tanto confían en los resultados que obtienen al usar sus calculadoras. La mayoría opina que son totalmente confiables, pues están programadas para realizar operaciones y además, como todo aparato electrónico, deben de pasar por estándares de calidad para su venta. Sin embargo, la maestra les presenta una situación que le ocurrió a dos de sus compañeros al resolver la siguiente operación: 36 � 48 � 13 � 9 � 6 � 3 �

Alejandra y Francisco usaron sus calculadoras pero obtuvieron resultados diferentes. Alejandra obtuvo como resultado 215, mientras que Francisco afirma que su calculadora arrojó un total de �31. La maestra Diana le pregunta a los alumnos: • ¿Quién de los dos tiene la razón? • ¿A qué se debe que una misma operación dé dos resultados diferentes en dos calculadoras? • ¿Qué procedimiento está programado en cada una de las calculadoras?

u En la mayoría de los

países los estudiantes usan calculadoras en sus tareas escolares, pero si no las saben utilizar pueden arrojar resultados erróneos. Por eso es importante saber realizar cálculos a mano o mentalmente.

122

B3

L 17

Para tu apunte


• ¿Qué se hace primero? 1. Resuelve las siguientes operaciones sin usar calculadora: a. 45

�

8 � 20 �

b. 8 � 20 c. 65 d.

�

�

�

45 �

5 � 42 � 8 � 2 � 9 � 6 � 23 � 4

5�3�

3 � 65 � 5 �

• ¿En qué se parecen los primeros dos problemas (a y b)? • ¿El orden de las operaciones hizo que el resultado fuera diferente? • ¿Sucede lo mismo para los dos últimos problemas (c y d)? ⇒

Para resolver problemas numéricos en donde hay diferentes operaciones es necesario tener en cuenta cuál es la jerarquía de las operaciones para indicar qué operación es la que se debe resolver primero y cuáles después, independientemente del orden en que se presenten. La jerarquía de las operaciones es: primero se resuelven potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha, y por último, sumas y restas. Por ejemplo:

Completa la siguiente tabla; escribe en la segunda columna los resultados que obtuviste arriba sin usar la calculadora, y en la tercera columna verifica las operaciones usando una calculadora científica. Es importante que escribas la operación completa y hasta el final presiones el botón de o . Resultado sin calculadora

Es importante seguir la jerarquía de operaciones porque si no se hace así, se podría obtener un resultado incorrecto. También hay que tener cuidado con el uso de la calculadora, ya que su funcionamiento varía según el tipo con la que se trabaje: las científicas funcionan de acuerdo con la jerarquía de operaciones, mientras que las básicas operan de acuerdo con el orden en que se escribe.

Resultado con calculadora científica

a. 45 � 8 � 20 � b. 8 � 20 � 45 � c. 65 � 5 � 3 � d.

3 � 65 � 5 �

�

• ¿Son los mismos resultados en cada operación? Especifica, ¿en cuáles sí y en • • • •

cuáles no? ¿Cómo son los resultados de los primeros dos problemas en los obtenidos con la calculadora científica? ¿Afectó el orden de las operaciones? ¿Son iguales los resultados en los últimos dos problemas (c y d) tanto con calculadora como sin ella? ¿Cuál o cuáles no? ¿Qué tendrías que hacer para que el resultado fuera el mismo? ¿Cuál crees que sea el procedimiento que sigue la calculadora científica para resolver estas operaciones?

p La complejidad de las calculadoras

cambia según su finalidad. Los modelos más complejos, habitualmente llamados “científicos”, permiten calcular funciones trigonométricas, estadísticas y de otros tipos. 123


• La plaza En el pueblo de San Joaquín se está remodelando la plaza principal. Para ello se planea cubrir con concreto la mayor parte del terreno y dejar unas áreas rectangulares en las esquinas para unas jardineras, tal como se muestra en el siguiente dibujo: • ¿Qué operaciones necesitas hacer para encontrar las

2.5 m

medidas de la superficie que se cubrirá con concreto? 1. Escribe detalladamente cada una de las medidas

2.5 m

del contorno que delimita el área de concreto y calcúlala. Puedes usar paréntesis. 75 m

2. Expresa dos operaciones diferentes para calcular

el área de concreto. Usa los paréntesis. 3. Responde:

• ¿Qué función tienen los paréntesis en las

operaciones anteriores? • En una operación como la siguiente, ¿qué se resuelve primero? (100 � y � y) � (75 � 2.5 � 2.5) • ¿Qué área representa la expresión anterior? Márcala en el dibujo.

100 m

Para tu apunte Algunos símbolos que se usan para agrupar y ordenar las operaciones son los paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados o corchetes [ ], y las llaves { }. El uso de estos símbolos en las operaciones indica qué operación se hace primero, independientemente de la jerarquía de operaciones; es decir, en una operación donde hay paréntesis, primero se resuelven las operaciones que están dentro de los paréntesis y después se procede a seguir la jerarquía de las operaciones antes descritas: raíces y potencias; multiplicaciones y divisiones; y por último, sumas y restas. Cuando en una operación hay varios paréntesis, unos dentro de otros, primero se realizan las operaciones de los paréntesis que están más “adentro”, y se sigue así hasta llegar a los paréntesis externos. Por ejemplo:

Operación

Pasos

{[(4 � 8)/22] � [(�6 � 9 � 1) � (�6 � 2)] � (7 � 3)2} � 4 {[(12)/4] � [(2) � (�12)] � (4)2} � 4

Primero se resolvieron las operaciones que están dentro de los paréntesis redondos, así como la potencia 2 2.

{[3] � [2 � 12] � 16} � 4

Aquí se resolvió la división y se quitaron los paréntesis redondos dejando los corchetes. También se desarrolló la potencia (4) 2.

{[3] � [�10] � 16} � 4

Luego se resolvió la resta 2 � 12 del paréntesis cuadrado.

{�30 � 16} � 4

Se multiplicó [3] � [�10]

{�46} � 4

Se resolvió la operación que está dentro de las llaves.

�

�

� � �

46 � 4

Se quitaron las llaves.

50

Se sumó.

� � � �

124

L 17

B3

• Cómo se escribe lo que se lee A continuación se describen tres problemas numéricos con diferentes operaciones; después, se presentan dos posibles representaciones matemáticas. Elige la correcta e indica por qué la otra es incorrecta. 1. Primero se eleva al cuadrado el resultado de menos seis más cuatro menos ocho más 15; luego se le restan diez y el resultado se divide entre seis. A este resultado se le restan 100 y finalmente, el valor de esta resta se multiplica por diez. a. {[( �6 � 4 � 8 � 15)2 � 10] � 6 � 100} � 10 b. (�6 � 4 � 8 � 15)2 � 10 � 6 � 100 � 10 Correcta: Incorrecta: ⇒ Explica por qué: ⇒ Subraya las palabras que te ayudaron a identificar qué parte se debería escribir en paréntesis. 2. El resultado de cinco menos ocho, más 12, se divide entre el resultado de cin-

co más cuatro, menos ocho, más siete, menos 15. El resultado de esta división se eleva al cuadrado, se le restan 1 000 y, todo lo anterior, se multiplica por tres; finalmente se eleva al cuadrado. a. b.

[ {[(

5 � 8 � 12 (5 � 4 � 8 � 7 � 15)2 5 � 8 � 12 (5 � 4 � 8 � 7 � 15)

�

1 000

)

2

Correcta:

�

]

�

1 000

32

] } �

3

2

Incorrecta:

Explica por qué: ⇒ Subraya las palabras que te ayudaron a identificar en qué parte se debía escribir paréntesis. 3. Dos por cinco entre tres más uno al cuadrado por seis. a. 2 � 5 � 3 � 12 � 6 b. 2 � [5 � (3 � 12)] � 6 Correcta: Incorrecta: ⇒

Explica por qué: ⇒ Compara tus resultados con los de un compañero y verifiquen junto con el maestro. ⇒

Pongámonos de acuerdo Reunidos en parejas lean con atención la siguiente situación, después respondan las preguntas: Un señor extremadamente rápido y preciso para el cálculo mental entra a un concurso de televisión. El conductor le presenta a cinco edecanes: María, Leonor, Fernanda, Luisa e Isabel. En seguida cada una de ellas le da las siguientes instrucciones: María le dice: “a 58 súmele 75, luego réstele 28 y después súmele 30”. Luego, Leonor indica: “eleve el resultado anterior al cuadrado”. Fernanda continúa: “ahora, 125


p En la escultura "Matemático" la

artista María Tello, 2013, representa la cabeza de una persona haciendo cálculos numéricos.

divida el resultado entre dos”. Luisa dice: “ahora, eleve al cuadrado ese resultado”. Y por último, Isabel le indica: “este último resultado, divídalo entre 1 000 al cuadrado”. 1. Escriban las instrucciones de María, pero no resuelvan esta y las siguientes operaciones sino hasta terminar el ejercicio. 2. Añadan la instrucción de Leonor. 3. Agreguen la instrucción de Fernanda. ⇒ Ahora coloquen paréntesis. • ¿Qué otros paréntesis pondrían en la instrucción de Fernanda para incluir las instrucciones de Luisa? 4. Por último, agreguen las instrucciones de Isabel. • ¿Fue necesario escribir paréntesis en esta última instrucción? 5. Comparen la expresión que obtuvieron con las de otras parejas. Discutan las diferencias que existen, en caso de haberlas y, si persiste alguna, consulten a su maestro. 6. Finalmente, con ayuda de su calculadora, y respetando los paréntesis planteados, resuelvan la expresión que obtuvieron. • El resultado final es 83.0376. 7. Concluyan en grupo con el maestro.

De vuelta al Explora 1. Realiza la operación planteada sin utilizar tu calculadora. • ¿Cuál es el resultado? 2. Compara tu resultado con los de un par de compañeros, ¿es igual? 3. Verifica el resultado de la operación con tu calculadora, ¿coincide con el

Para tu apunte Para resolver un problema de cálculo numérico donde se presentan varias operaciones y el uso de los paréntesis es necesario seguir un orden, o bien, una jerarquía. En casos como el planteado la jerarquía es la siguiente: 1. Se resuelven las operaciones que están dentro de los paréntesis. Si hay varios paréntesis concatenados (unos dentro de otros) se comienza por el que está más adentro hasta llegar al externo. 2. Una vez que hayas eliminado paréntesis podrás ir resolviendo otras operaciones siguiendo la jerarquía: primero potencias y raíces; luego, multiplicaciones y divisiones siempre de izquierda a derecha; y al final, sumas y restas.

126

resultado anterior? 4. Compara el resultado obtenido con tu calculadora con el de tus compañeros, ¿es igual? 5. ¿Hay alguna diferencia entre la calculadora que usaste y las de tus compañeros? 6. Explica qué es necesario tener en cuenta cuando realizas este tipo de operaciones y concluye quién estaba en lo correcto y por qué.

Practica 1. Resuelve las siguientes operaciones sin la ayuda de tu calculadora:

a. (�3 � 5 � 8)2 � b.

(

�

)

1 1 — �— 2 � 2 4

c. (2 � 3)2 � (�2 � 3) �

L 17

B3

d. (3 �(�6)) � (7 � 5 � 4 � 3) � e. (3.5 � 7 � 2.5)(2 � 4)3 � f. (5 � 3 � 12) � (�7 � 4 � 9 � 3) � g. (2 � 7 � 6)2 � (�2 � 3)3 � h. (�5 � 4 � 3)(�4) � (�8 � 5 � 7) � 2. Guillermo piensa en el número cuatro y luego le suma un ocho, le resta un

diez, le suma un cinco y divide el resultado entre el resultado de sumarle ocho a menos 15. Finalmente, eleva el resultado de la división al cuadrado. • ¿Qué número obtuvo al final? 3. Demuestra que las dos expresiones siguientes son equivalentes:

a. 2(�2 � 6) � 53

b. 5(25 � (�4 � 12))

4. Visita las siguientes páginas en internet y practica un poco más la

resolución de operaciones con el uso de los paréntesis. Ahí mismo podrás verificar inmediatamente si tu resultado es correcto: www.ematematicas.net/fracciones.php?a=1&frac=8

Evalúa tu avance 1. Al producto de 5 por

11 se le suma el resultado de ocho menos 12, menos seis, más 18 y luego se le divide entre 12; a este resultado se le restan 100 y después se multiplica todo por 20. Elige la expresión correcta. a. (5

� �

b. (5

�

11 � 8 � 12 � 6 � 18 � 12 � 100) � 20

(�11)) � (8 � 12 � 6 � 18)] � 12 � 100 � 20

c. {[(5 � (�11)) d. 5 �

�

�

�

(8 � 12 � 6 � 18)] � 12 � 100} � 20

11 � 8 � 12 � 6 � 18 � 12 � 100 � 20

2. De acuerdo con la operación:, ¿cuál de las siguientes descripciones es

incorrecta? a. El cuadrado del resultado de tres más cinco menos cuatro, se multiplica por el resultado de 15 menos tres al cuadrado. Por último, al resultado de la multiplicación se le suma 30. b. A tres se le suma cinco y se resta menos cuatro. Ese resultado se eleva al cuadrado y se multiplica por la resta de 15 menos el cuadrado de tres. A ese resultado se suman 30. c. Se multiplican el cuadrado de tres más cinco menos cuatro y la resta de 15 menos el cuadrado de tres. Luego se suman 30. d. El cuadrado de tres más cinco menos cuatro se multiplica por 15, luego se resta tres al cuadrado. Y por último, se suman 30. 127



18

Lección

Resolverás problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios

Explora

El portarretrato En el taller de carpintería de la secundaria José Vasconcelos, los estudiantes trabajan en un proyecto para el día de las madres que consiste en realizar un portarretrato formado por cuatro piezas de madera pintadas de diferentes colores y con las siguientes medidas: 3y

2y

10y

2y

3y 15 x

• ¿Cuáles son las longitudes de cada pieza de madera del portarretrato? • ¿Cuál es el área total del marco del portarretrato?

128

B3

L 18

Para tu apunte


• ¿Cuántas hojas? En la escuela Octavio Paz hay cinco grupos de primer grado y cada uno tiene x estudiantes. La semana pasada llegaron tres estudiantes nuevos, los cuales se integraron en alguno de los grupos. Si la próxima semana hay exámenes y se estima que se necesitarán, por cada estudiante de primero, 4 x � 2 hojas en blanco para realizar las fotocopias de las pruebas, ¿cuántas hojas en blanco se necesitarán en total? • ¿Qué datos necesitas conocer para calcular el total de hojas? 1. Expresa algebraicamente cuántos estudiantes de primer grado hay en total en la escuela. • ¿Cuántas hojas se necesitan por estudiante? • ¿Qué operación necesitas realizar para calcular el total de hojas en blanco? 2. Escribe la operación algebraica que determina el total de hojas en blanco necesarias. • ¿Cómo resuelves una operación como esta? • Discútelo con tus compañeros. 3. Imagina que los factores de tu multiplicación son las medidas de un rectángulo como el siguiente, y que las áreas que lo conforman son el resultado total de tu multiplicación. Completa cada longitud y calcula cada área, luego reescríbelas abajo: A2

A4



A1

A3



2





En la multiplicación de expresiones algebraicas se multiplican los signos, los coeficientes y las variables involucradas. Por ejemplo: (3 x 2y ) (�5 xyz 3) � �15 x 3y 2 z 3 Cuando se multiplica la misma variable se aplican las leyes de los exponentes para la multiplicación de potencias con misma base donde sus exponentes se suman: x 4 · x 3 � x 4

3

�

x 7

�

Para indicar una multiplicación entre dos o más expresiones algebraicas se suele utilizar los paréntesis o el punto, sustituyendo al símbolo � (por) que puede causar confusión con la variable x que comúnmente se usa en el álgebra y en cursiva. Algunas características de la multiplicación de expresiones algebraicas que se mantienen son: – Es conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo: (�2ab) (�3c ) � 6abc (�3c ) (�2ab) � 6abc



– Es asociativa. En una multiplicación de tres o más expresiones algebraicas: 5 x



Atotal � A1 � A2 � A3 � A4

(5 x �

)(

�

2) = ____ � ____ � ____ � ____

• ¿Cómo calculas el área A1? • ¿Qué sucede con los exponentes? Recuerda las leyes de los exponentes tra-

bajadas en la lección 2. 4. Ahora, reescribe la operación algebraica que determina el total de hojas en blanco necesarias, multiplica los términos de acuerdo con la indicación de las flechas y escribe los resultados en los recuadros del color correspondiente. (

�

) (

�

) �

�

�

�

• ¿Coincide este último resultado con el de la suma de áreas del rectángulo? • ¿Puede simplificarse el resultado de la multiplicación? ¿Cuál es el resultado

(2 x 5)[(�6 x )(4y 2)] � (2 x 5)(�24 xy 2) 6 2 � �48 x y [(2 x 5)(�6 x )](4y 2) � (�12 x 6)(4y 2) 6 2 � �48 x y

– Es distributiva. Se aplica en el caso de que se multiplique: Un monomio por un polinomio: 2 x (4 x 2 � 3 xy � 6 z ) � (�2 x )(4 x 2) x )(�3 xy ) � (�2 x )(6 z ) � �8 x 3 � (�2 x 2y � 12 xz � 6

�

Un polinomio por un polinomio: (2 x + 3y )(6w + 4 z ) = (2 x )(6w ) + (2 x ) (4 z ) + (3y )(6w ) + (3y )(4 z ) = 12 xw + 8 xz + 18yw + 12yz

simplificado? 129


5. Junto con dos compañeros establezcan cómo se realiza la multiplicación de

polinomios. 6. Establezcan estrategias que les sirvan para revisar si la multiplicación está bien resuelta.

• Baile de recaudación Los alumnos de tercero de secundaria organizaron un baile para recaudar fondos para la fiesta de graduación. En total lograron reunir 24 x 3 � 16 x 2 pesos y cada entrada fue vendida en 8 x pesos. • ¿Cuántas personas pagaron su boleto para el baile? • ¿De qué formas puedes calcular el número de personas que compraron boleto? Explica.

Para tu apunte Para dividir dos expresiones algebraicas (monomio entre monomio), se procede al igual que en la multiplicación, se divide los signos, los coeficientes y las variables involucradas. Por ejemplo: 36a4b5 � (�6a3) � �6ab5 Al dividirse potencias donde la base es la misma variable, se aplica las leyes de los exponentes de la división, en donde sus exponentes se restan: a8 � a3 � a8

3

�

�

personas que compraron boleto e intenta resolverla. Nuevamente, ten en cuenta las leyes de los exponentes. 2. Calcula el monto recaudado por los estudiantes, el costo de cada boleto y el número de personas que compraron boleto, de acuerdo con el valor de x .

Expresión algebraica

Monto recaudado

Costo del boleto

24 x 3 � 16 x 2

8 x

Número de personas que compraron boleto

a5

En la división de un polinomio entre un monomio, éste divide a cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva). El resultado es la misma cantidad de términos que el polinomio está dividendo. Por ejemplo: 8 x 6 � 12 x 4 � 4 x 2 8 x 6 � 2 2 � 4 x �4 x 2 � 4 x x 4 � 3 x 3 � 1 � � 2 2 � 4 x �

1. Escribe una operación algebraica que te sirva para encontrar la cantidad de

�

12 x 4 2 �4 x

x � 5 x � 8 x � 2

3. Establece cómo se realiza la división de un polinomio entre un monomio. 4. Escribe algunas estrategias que te pueden servir para revisar si tu división fue

resuelta correctamente.

• El tianguis La señora Tania y el señor Jacinto tienen dos puestos en el tianguis en los que venden dulces y especias. Para instalar los puestos necesitan armar una estructura de acero y colocar encima una lona cuadrada que los cubra de la luz del Sol y la lluvia. Esta vez han comprado nuevas lonas pero una resultó ser más pequeña y la otra más grande por lo que les hicieron algunos arreglos: a la pequeña le agregaron lona y a la grande le recortaron. 130

L 18

B3

Para tu apunte

y

Cuando se multiplica un binomio por él mismo se dice que elevamos al cuadrado un binomio por lo que podemos expresarlo como una potencia donde la base es un binomio:

5

6

y

( x � y )( x � y ) � ( x � y )2 Al elevar al cuadrado un binomio tenemos como resultado cuatro términos:

x

( x � y )2 � x 2 � xy � xy � y 2, 6

x

5

• ¿Cuál es la medida de los lados de las lonas antes y después de ser arregladas? Antes

Después

Lona pequeña

donde siempre dos de ellos son términos semejantes e iguales, por lo que se simplifica a tres términos: ( x � y )2 � x 2 � 2 xy � y 2. Esos tres términos tienen la siguiente característica: el primero es el cuadrado del primer término del binomio; el segundo es el doble del producto de los dos términos del binomio; y el tercero es el cuadrado del segundo término del binomio. A este resultado se le llama trinomio cuadrado perfecto .

Lona grande

t Los tianguis de mayor tradición son muy

coloridos, ya que tanto las lonas que se emplean para cubrir del Sol los puestos, como las flores, frutas, granos, especias, etcétera, son de un rico colorido. Estos mercados ambulantes existen desde la época prehispánica y son un vivo exponente de la cultura mexicana.

1. Completa la siguiente tabla con la información de cada lona una vez arregladas: Medida de lado

Perímetro

Área

Lona pequeña Lona grande

• ¿Qué observas en los cálculos que hiciste para el área de un cuadrado donde

sus lados es un binomio? 131


Para tu apunte

• Al multiplicar los binomios por ellos mismos, ¿cómo es su producto?, ¿qué ca-

Para la multiplicación de expresiones algebraicas se tiene:

racterísticas tienen? • ¿Se puede simplificar el resultado?, ¿cuántos términos quedan? ⇒ Calcula el área para otras lonas. Recuerda simplificar los resultados.

– Monomio por monomio: se multiplican signos, coeficientes y variables. – Monomio por polinomio: el monomio se multiplica por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en el resultado la misma cantidad de términos que el polinomio factor. – Polinomio por polinomio: se toma el primer término del primer polinomio y se multiplica por cada término del segundo polinomio; luego, se toma el segundo término del primer polinomio y se hace lo mismo; así hasta que todos los términos del primer polinomio se hayan multiplicado por todos los términos del segundo. Si se multiplica un polinomio de tres términos por otro de cuatro términos, el resultado deberá tener 12 términos, los cuales pueden reducirse si hay términos semejantes. Por ejemplo: (3 x 3 � 2 x 2 � x � 4)(2 xy � 4y � 6) x 4y � 12 x 3y � 18 x 3 � 4 x 3y � 6 x 2y � 12 x 2 � 2 x 2y � 4 xy � 6 x � � 8 8 xy � 16y � 24 � 6 x 4y � 8 x 3y � 18 x 3 � 10 x 2y � 12 x 2 � 12 xy � 6 x � 16y � 24

Medida del lado

Área de la lona

3 x � 5 8y � 6

Compara estos resultados con los dos resultados anteriores, ¿observas algún comportamiento común?, ¿cuál? ⇒ Junto con tus compañeros, o equipo, establezcan una regla para los binomios cuando se multiplican por ellos mismos, o en otras palabras, cuando se elevan al cuadrado. 2 ⇒ Demuestren por cuatro caminos diferentes que (4 � 5) � 81. ⇒

Pongámonos de acuerdo En la fábrica de envases de cartón La Poblanita elaboran cajas de todos tamaños. La empresa de galletas Rocoso hizo un pedido en el que pedía seis tipos de cajas con medidas diferentes, pero con un volumen específico de 32 x 3y 2 � 48 x 2y 3 metros cúbicos. Largo Ancho

Otra forma de resolver esta misma multiplicación es haciéndolo de forma vertical:

Altura

3 x 3 � 2 x 2 � x � 4 2 xy � 4y � 6 4

6 x y � 4 x 3y � 2 x 2y � 8 xy 12 x 3y � 8 x 2y � 4 xy � 16y

�

18 x 3 � 12 x 2 � 6 x � 24

�

6x4y � 8 x 3y � 10 x 2y � 12 xy

1. Reunidos en grupos de tres, ayuden a la fábrica a completar las medidas que

tendrán las seis cajas con el volumen determinado:

16y � 18 x 3 � 12 x 2 � 6 x � 24

�

Para la división de expresiones algebraicas se tiene: – Monomio entre monomio: se dividen signos, coeficientes y variables. – Polinomio entre monomio: el monomio divide a cada uno de los términos del polinomio, teniendo en el resultado la misma cantidad de términos que el polinomio que está dividendo.

132

(Largo)

(Ancho)

1

(4 xy )

(4 xy )

2

(

( xy )

(2 xy � 3y 2)

32 x 3y 2 � 48 x 2y 3

3

(4 xy )

(

(8 x � 12y )

32 x 3y 2 � 48 x 2y 3

4

(4 x )

(4y )

5

(2 xy )

(

6

(

)

)

)

) (y )

(Altura) (

(

)

)

Volumen 32 x 3y 2 � 48 x 2y 3

32 x 3y 2 � 48 x 2y 3

(8 x � 12y )

32 x 3y 2 � 48 x 2y 3

(4 x � 6y )

32 x 3y2 � 48 x 2y 3

L 18

B3

• ¿Qué operaciones hicieron para encontrar la medida faltante en cada caso? • ¿Hay alguna(s) caja(s) que tenga(n) forma de prisma cuadrangular, es decir, que

dos de sus caras sean cuadradas? ¿Cuál(es)? • ¿Habrá cajas con medidas diferentes a las seis anteriores y que cumplan con el volumen requerido por la empresa Rocoso? Escríbanlas.

De vuelta al Explora 1. Escribe las medidas de cada pieza del portarretrato y calcula su área. Largo

Ancho

Área

Pieza azul Pieza rosa Pieza amarilla Pieza morada

2. Calcula el área total del marco del portarretrato. 3. Calcula las medidas y el área que debe tener la fotografía que se pondrá en

ese portarretrato. 4. Calcula las medidas exteriores del portarretrato y el área de éste.

Practica 1. Si un cubo mide ( x � 2) de altura, proporciona las expresiones que te permitan

calcular:

x +

2

a. El área de cada cara de este cubo. b. El área total del cubo (seis caras). c. El volumen de este cubo. 133


2. Escribe las expresiones que representan las áreas sombreadas de las figuras de

abajo y calcúlalas. ⇒ Compara tus multiplicaciones con las áreas pequeñas que componen cada figura. 2

5

2

y 5 x

x

A � (

8

5

x

8

8 x

y

)(

)

A �

A � (

)(

)

A �

A � (

)(

)

A �

3. Ejecuta las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. (�3a2bc )(�5ab3c ) b. 4 x (2 xy � 6y + 9) 6 18 x c. 2 �6 x

d. (y � 7)(y + 4)

36y 8 � 12y 6 � 16y 4 e. 4y2 16 5 �81a b f. 2 �27a b g. (�5w 2)(3w � 8)

4. Visita las siguientes páginas en internet y practica la multiplicación y divi-

sión de expresiones algebraicas. Realiza los ejercicios de los apartados 5 al 8. Ahí mismo podrás verificar inmediatamente si tu resultado es correcto: • http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/ datos/10/03.htm • www.thatquiz.org/es-0/?-j104-l9-p0

Evalúa tu avance 1. Expresión resultado de calcular el área de un triángu- 2. El volumen de una caja rectangular es 200 x 4y 3 + 50 x 2y 6 lo rectángulo cuyas medidas son 3 x 2 + 7 de base y y el área de la base es 50 xy 2, ¿cuánto mide de alto? 3 3 8 xy 2 de altura. a. x y + 4 xy 3 2 2 a. 12 x y + 28 xy b. 4y + x 3 2 2 b. 12 x y + 56 xy 3 2 2 c. 24 x y + 28 xy 3 2 d. 12 x + 28y

134

3 3 c. 4 x y + xy 3 3 d. 4 x + y

B3

L19

Figuras y cuerpos

19

Lección

Formularás una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono

Explora En la escuela secundaria Tierra y Libertad hay un patio de forma heptagonal. El director quiere que se coloque una lámpara que tenga una apertura del mismo ángulo que un vértice del patio para poder realizar eventos en el turno vespertino.

Lámpara

Patio p Dibujo del patio heptagonal.

•

¿Cuánto mide el ángulo de apertura de la lámpara?


• ¿Cuántos lados tiene el corral? En la granja de don Pepe se quiere construir un corral para cerditos con lados iguales y ángulos internos de 120º. ¿Cuántos lados tendrá el corral? 1. Utiliza popotes, clips y un transportador para construir un modelo del corral. 2. Introduce los clips dentro de los popotes como se muestra en las imágenes de

la derecha para unir los lados del modelo. Asegúrate que los ángulos que formas entre los popotes miden 120°. 135


3. Una vez que has construido el modelo del corral responde las siguientes pre-

guntas. Recuerda argumentar tus resultados: • ¿Cuántos lados tiene el corral? • ¿Qué pasaría si el ángulo de los lados fuera de 140 o? ¿Cuántos lados tendría el corral? • ¿Cuánto tendría que medir el ángulo para que la forma del corral fuera un octágono regular? • ¿Cuánto tendría que medir el ángulo para que la forma del corral fuera un decágono? • ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de sus ángulos interiores es igual a 2 520°? • ¿Cómo se llama este polígono? • ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de sus ángulos interiores es de 1 080°?

• Persigue esos ángulos Para poder determinar cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es necesario saber cuántos triángulos se pueden formar al unir las diagonales desde un vértice en particular. 1. De acuerdo con la información anterior, completa la siguiente tabla:

136

Terreno

Número de lados

Polígono de n lados

n

Número de diagonales desde un mismo vértice

Número de triángulos Suma de los ángulos interiores que se forman de todos los triángulos

L19

2. Redacta una regla para calcular el número de diagonales que tiene un polígono

según su número de lados. ¡Es importante que las diagonales salgan desde un mismo vértice! 3. Intercambia la regla con un compañero y verifica si son iguales y si ambas

funcionan para todo polígono.

B3

Para tu apunte Observa que si divides un cuadrado con una diagonal se forman dos triángulos de 180º cada uno, por lo tanto los ángulos internos de un cuadrado sumarán 360º:

4. Lleguen a un acuerdo y redacten una regla entre los dos. Pruébenla con un

polígono regular de 12 lados (dodecágono), uno de 15 lados (pentadecágono) y uno de 20 lados (isodecágono). Verifiquen su propuesta con su maestro. 5. Repitan el procedimiento anterior ahora para redactar una regla que determine

el número de triángulos que se forman al trazar diagonales en un polígono dependiendo del número de lados.

45° 90°

45°

45°

90° 45°

• ¿Existe una regla para la suma de los ángulos internos de un polígono? 1. Dibuja tres polígonos diferentes con cinco lados. 2. Mide con tu transportador los cinco ángulos y encuentra la suma de dichos

ángulos. • ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de los polígonos con cinco lados? 3. Dibuja otro polígono de cinco lados y ponle una letra a cada vértice ( A , B , C , D , E ). A partir del vértice A, traza todas las diagonales que puedas hacia el res-

to de los vértices. • Si observas, has creado triángulos con vértices en los vértices del polígono de cinco lados. ¿Cuántos triángulos hay? • ¿Cuál es la suma de todos los ángulos de los triángulos inscritos en el polígono de cinco lados? • ¿Es igual que lo que calculaste con tu transportador? 4. Redacta una regla para determinar cuál es la suma de los ángulos interiores de

cualquier polígono de cinco lados.


Para tu apunte Si sabemos que un triángulo tiene 180º y dividimos un polígono trazando diagonales desde un mismo vértice, podemos saber cuánto suman los ángulos interiores de cualquier polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono tiene ocho lados y con el método de trazar diagonales desde un mismo vértice se obtienen seis triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores del polígono será igual a la suma de todos los ángulos interiores de los triángulos.

1. Reunidos en parejas grafiquen en su cuaderno los siguientes puntos:

A � (�2, 3) B � (1, 4) C � (2, �1) D � (2, �1) E � (�2, �1) 137


2. Unan los puntos con segmentos y marquen cada uno de los ángulos interiores

del polígono. • ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono anterior? 3. Ahora, tracen desde un punto cualquiera todas las diagonales posibles. Esto

hará que se formen triángulos. • ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de los triángulos? 4. Llenen la siguiente tabla: Nombre del polígono

Número de lados

Número de diagonales

Cantidad de triángulos que forman las diagonales

Suma de los ángulos interiores de cada triángulo

Suma total de ángulos interiores

Cuadrilátero

4

1

2

180º

360º

Pentágono

5

Hexágono Heptágono Octágono N -ágono

n

5. Junto con su maestro planteen una fórmula en la que dada la suma de los

ángulos se pueda encontrar el número de lados. Además, creen una fórmula para que dado un ángulo central se encuentre el número de lados.

De vuelta al Explora 1. Utiliza lo aprendido en la lección para determinar el ángulo de la lámpara

del patio de la escuela Tierra y Libertad. Si se pusiera una lámpara en cada vértice, ¿cuál es la suma de los ángulos de las lámparas? ⇒ Divide el heptágono en triángulos y calcula el ángulo de apertura de la lámpara.

•

2. En un colegio cercano a la escuela Tierra y Libertad, tienen un patio de

forma más extraña: 125 125 150 x

130 170

80

• ¿Cuánto mide el ángulo de la lámpara x en este patio? 138

L19

B3

Practica 1. Encuentra las medidas de los ángulos marcados con una x . x

95°

x

60° 110°

a

b

2. ¿Cuántos vértices tiene un polígono con nueve diagonales? 3. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de los ángulos interiores es cinco

veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores? 4. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 90 diagonales en total? 5. Si un polígono tiene n lados, ¿cuántos vértices tendrá?, ¿y cuántos ángulos?

Evalúa tu avance 1. ¿Cuál es la suma de todos los ángulos de un polígono con cinco diago-

nales que salen desde un mismo vértice? a. 900º b. 1 260º c. 720º d. 1 080º 2. Si en un polígono el número total de diagonales es igual al número de

lados, ¿cuál es la suma de los ángulos interiores? a. 420º b. 540º c. 720º d. 900º

139


Figuras y cuerpos

Lección

20

Analizarás y explicitarás las características de los polígonos que permiten cubrir el plano

Explora

La hechura de la colcha En la fábrica Dulces Sueños quieren hacer una colcha con retazos en forma de un solo polígono que se pueda unir, que no se traslape y que no deje huecos. El director propuso que fuera cualquier polígono de seis lados. • ¿Es posible tener un modelo único de seis lados para fabricar la colcha?

Prueba con varias figuras. Analiza sus características (lados, vértices y ángulos internos) para reconocer cómo tiene que ser la figura de seis lados necesaria para fabricar la colcha.

⇒

p Hay colchas y edredones cuyo diseño está

hecho a base de una serie de bloques que se hacen secuencialmente y luego se ensamblan.


• Los paneles solares Los paneles solares son un conjunto de celdas fotovoltaicas que producen electricidad a partir de la luz solar. En general, todas las celdas que componen un panel son de la misma forma. 1. Inventa una sola figura de panel solar (que no sea cua-

drado ni rectángulo) que cubra toda la superficie rectangular que representa el techo. Las figuras no se pueden sobreponer y tienen que coincidir exactamente entre sus lados, cubriendo la mayor parte de la superficie.

140

L20

2. Ahora, cubre el mismo techo pero esta vez con paneles en forma de polígonos

regulares. Analiza las posibles opciones de polígonos que puedes utilizar.

B3

Para tu apunte Cuando se puede cubrir o “pavimentar” completamente una superficie plana con una figura en particular, sin dejar huecos y sin que las figuras se sobrepongan, tenemos un teselado.

3. Describe en tu cuaderno con cuáles polígonos regulares se puede cubrir el plano. 4. Discute con un compañero qué características comparten estos polígonos en

términos de sus lados, ángulos, vértices o cualquier otra característica. Reflexionen, argumenten sus respuestas y escríbanlas en su cuaderno.

• Los mosaicos En casa de la familia López tienen que elegir entre dos tipos de mosaicos: un hexágono y un pentágono, para el recubrimiento del piso de su nueva casa. Citlalli dice que solamente comprando mosaicos con forma de pentágonos se puede cubrir todo el piso, mientras que su hermana Xóchitl dice que tienen que ser hexágonos. • ¿Quién tiene la razón? 1. Recorta por lo menos tres hexágonos y tres pentágonos para comprobar quién

tiene la razón. 2. Analiza los ángulos internos de cada polígono. • Al juntar tres pentágonos, ¿cuánto suman los ángulos interiores de cada figura

que se juntan en dicho vértice? • Al juntar tres hexágonos en un solo vértice, ¿cuánto suma los ángulos interiores de cada figura que se juntan en dicho vértice? 3. Analiza los ángulos interiores de los siguientes polígonos y decide si es posible

p El vocablo teselado deriva del

sustantivo del latín tessella, tessellae cuyo significado es cubito, azulejo, referido a una pequeña parte de un mosaico.

cubrir el plano con dichos polígonos. ⇒ Calcula los ángulos interiores de los polígonos regulares y con el transportador mide los ángulos de los irregulares. ⇒ Evalúa con cuáles de ellos es posible cubrir el plano. Construye en papel los que sí se pueden y compruébalo.

141


• Un ejercicio complicado Una teselación semirregular está hecha con dos o más polígonos regulares cuyo arreglo es idéntico en cada vértice. Hay un resultado en matemáticas realmente sorprendente. Sólo existen ocho teselados semirregulares. Te mostramos algunos de ellos:

Vértice común

Por ejemplo, el arreglo anterior (4, 8, 8) está hecho de un cuadrado y dos octágonos. 1. Calcula los ángulos interiores del vértice común y súmalos. ¿Cuánto resulta? 2. Realiza el mismo cálculo en los siguientes arreglos:

(3, 3, 3, 4, 4)

(3, 3, 4, 3, 4)

(3, 12, 12)

3. Explicita cuáles son las características de los polígonos que permiten cubrir el

plano. ¿Cuáles otros arreglos de figuras pueden ser teselados semirregulares? •

Pongámonos de acuerdo En 1974, Roger Penrose descubrió un par de piezas que pueden embonar y cubrir el plano, pero cuya teselación no es periódica, es decir, si le sacamos copia a un arreglo de figuras no podremos embonarla en otra posición que no sea la original. Dichas figuras son las baldosas del cometa y la flecha:

72º 36º

72º

144º

144º

72º

36º 72º

p Cometa, o papalote, y flecha. A estos diseños se les llama teselados de Penrose, en honor

al físico matemático Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de 1970. 142

L20

1. Reunidos en parejas dibujen y recorten varios cometas y flechas de colores y

comiencen a jugar con ellas. 2. Hagan los siguientes arreglos para responder lo que se pregunta. • ¿Cuántos papalotes puedes juntar en un vértice de 72°? • ¿Cuánto suman los ángulos de todos los papalotes juntos unidos en el vértice

de 72º? • ¿Cuántas flechas puedes juntar a partir del vértice del ángulo de 72°? • ¿Cuánto suman los ángulos de todas las flechas juntas?

B3

Para tu apunte Los matemáticos llaman teselación a las figuras que pueden cubrir el plano. Para poder rellenarlo es necesario que las piezas coincidan y la suma de los vértices tiene que dar 360º, para asegurar que embonen perfectamente.

3. Fabriquen un teselado con flechas y papalotes y con ayuda de un transportador

calculen la suma de los ángulos de las flechas que sí se pueden juntar. Calculen la suma de los ángulos que no se pueden juntar. 4. Redacten una forma de poder calcular rápidamente cómo poder continuar ponien-

do flechas o papalotes para que la suma de los vértices adyacentes sea de 360º.

De vuelta al Explora 1. Con lo aprendido en la lección, calcula los ángulos interiores de algún po-

lígono de seis lados. • Cualquier polígono de más de seis lados tiene, por lo menos, un ángulo interior mayor a: 2. Analiza por qué el resultado anterior implica que la suma de los ángulos

que concurren en el vértice será mayor a 360º.

Practica 1. En el hotel Playa Dorada están construyendo una alberca de forma orgánica

cuyo fondo se va a recubrir con azulejos. El contratista le enseñó al arquitecto los modelos de azulejo existentes para que escoja uno de ellos. • ¿Con cuáles se podría recubrir el fondo con ésta forma?

143


⇒

Argumenta de antemano y con base en las características de cada figura (ángulo, lado y vértices) cuáles pueden cubrir el fondo de la alberca.

2. ¿Con cuál de las siguientes polígonos se puede cubrir un plano? a. Triángulo escaleno b. Cuadrilátero convexo c. Cuadrilátero no convexo d. Pentágono con un par de lados paralelos ⇒

Crea una hipótesis de cuáles polígonos cubren el plano y por qué. Compruébala haciendo recortes y uniéndolos. • ¿Es posible cubrir el plano con hexágonos y triángulos regulares? • ¿Es posible juntar y cubrir el plano con un cuadrado, un hexágono y un dodecágono?

3. Si pavimentamos una superficie con dos cuadrados y tres triángulos regulares: • ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de cada uno de los polígonos al unirlos

en un solo vértice?

Evalúa tu avance 1. Si se colocan tres pentágonos regulares de manera que concurran en un

vértice, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a. La suma de los tres ángulos es mayor que 360º y por eso no se puede

cubrir el plano con pentágonos. b. La suma de los tres ángulos en ese vértice es de 324º y por eso sí se

puede cubrir el plano con pentágonos. c. Si se coloca un cuarto pentágono se traslapa y la suma de los ángulos

de esos vértices da 432º y no se puede cubrir el plano. d. La suma da exactamente 360 grados y sí se puede cubrir el plano con

pentágonos. 2. Al unir tres pentágonos por un solo vértice, ¿cuánto vale el ángulo del

espacio que queda entre dichos pentágonos? a. 120º b. 180º c. 72º d. 36º

144

L21

B3

Medida

Lección

21

Relacionarás el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Unidades y otras socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera

Explora

El sistema contra incendios En febrero de 2011 se registró un incendio en la parte media del Cerro del Topo Chico en Nuevo León debido a los vientos fuertes y las altas temperaturas. Para sofocar el fuego, el Sistema de Protección Civil Estatal utilizó un sistema de extinción de incendio llamado bambi-bucket , el cual permite llevar grandes cantidades de agua en un helicóptero hasta el punto donde esté el incendio. Los bambi-bucket pueden tener diferentes tamaños y por lo tanto, pueden transportar desde 0.795 hasta 1.225 metros cúbicos de agua en un viaje. Si se sabe que el bambi-bucket pesa entre 35 y 70 kg, respectivamente: • ¿Cuántos litros pueden transportarse en el helicóptero? • ¿Cuál es el rango de peso en kilogramos que puede cargar el helicóptero? Visita este sitio de internet donde se muestra cómo se apaga un incendio utilizando el bambi-bucket : VIDEO www.youtube.com/watch?v=PTA6Bu9xQfU

p El bambi-bucket es un sistema

eficaz utilizado para la extinción de incendios. Consiste en una canasta gigante de peso ligero, resistente y plegable que se cuelga al helicóptero por medio de unos cables metálicos. Este sistema ofrece la posibilidad de lanzar grandes cantidades de agua por un costo relativamente bajo.


• La inundación de la azotea En la casa de María se rompió una antigua tubería de agua de la azotea. Como el tubo de desagüe estaba obstruido por hojas secas y basura, una sección del techo de la casa se encharcó y el agua alcanzó 12 centímetros de altura hasta que la mamá de María se dio cuenta y cerró la llave de paso principal. La sección del techo de la casa encharcada corresponde a la sala-comedor, la cual mide 4 m de ancho y 5.5 m de largo. Con los datos que tienes: 1. Calcula cuántos litros de agua se derramaron y cuánto peso extra está soportando el techo. 145


Para tu apunte El volumen es una magnitud derivada de la longitud, ya que se define por la extensión de tres dimensiones: largo, ancho y alto. A todo cuerpo físico que ocupa un lugar en el espacio puede calculársele su volumen. La unidad de medida del volumen según el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m3). El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades que se utiliza en casi todos los países del mundo. Otra magnitud que también se usa para calcular el espacio que ocupa la materia es la capacidad, la cual se mide en litros. Por lo regular, los líquidos y los recipientes se miden en litros. La diferencia entre estas dos es que el volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo, mientras que la capacidad mide el espacio vacío que tiene un objeto y que le sirve para contener a otro. La equivalencia entre ambas unidades está dada por: 1 litro (l) � 1 decímetro cúbico (dm3)

Para tu apunte El quintal fue una antigua unidad de medida española de masa. Entonces equivalía a 100 libras castellanas o 46 kg. Hoy en día, el quintal métrico es una unidad de medida muy utilizada para pesar las cosechas, y de acuerdo con el Sistema Internacional de Unidades su equivalencia es de 100 kg.

p Una vez que se extrae el petróleo de

los pozos, el líquido se trasporta por tuberías y se mide en barriles. 146

2. Investiga qué magnitud corresponde a la unidad de medida del litro, y cómo

ésta se relaciona con las unidades de medida del volumen. 3. Escribe la equivalencia del litro con la unidad de volumen (dm3). 4. Escribe la equivalencia que hay entre el m 3 y el dm3. Puedes ayudarte con el siguiente dibujo, en el que se muestra un cubo con arista de 1 m cuyo volumen es de 1 m3. Dibuja en él y escribe cuántos dm tendrá de cada arista y luego calcula su volumen en dm 3.

1 m = ____ dm

V � (1 m) (1 m) (1 m) � 1 m3 V � (___ dm)(___ dm)(___ dm) � ____ dm 1 m = ____ dm

→ 1

m3 � _____ dm3

1 m = ____ dm

5. Calcula el volumen de agua que se derramó en la azotea. Asegúrate de que las

unidades utilizadas sean las correctas. 6. Una vez que conoces el volumen del agua derramada en m3, utiliza la equivalencia que calculaste en el punto 2 y calcula los litros que corresponden a ese volumen. • ¿Podrías llegar a saber cuántos kilogramos de agua corresponde al volumen derramado?, ¿cómo? 7. Investiga la equivalencia que hay entre el volumen de agua en litros y su masa en kilogramos. • ¿Esta equivalencia se cumple para todos los líquidos o sólo para el agua? 8. Calcula los kilogramos que corresponden al volumen derramado. • Si un quintal métrico es igual a 100 kg, ¿cuántos quintales de agua se derramaron en la azotea? • Si una tonelada (1 ton) es igual a 1000 kg, ¿cuántas toneladas de agua se derramaron en la azotea? 9. Escribe todas las equivalencias que utilizaste en este problema. Compáralas con las de un compañero y si te faltó alguna(s) escríbela(s).

• El petróleo El petróleo es uno de los recursos naturales más importantes en la economía de nuestro país. Este compuesto de origen orgánico es un recurso no renovable y es la fuente de energía más utilizada en la mayoría de los países desarrollados. Una de las empresas mundiales más importante es Petróleos Mexicanos (Pemex), creada en 1938. El petróleo es extraído del subsuelo y medido en barriles de acero inoxidable. Un barril de petróleo corresponde a 158.98 litros (o 42 galones). 1. Consulta en distintas fuentes de información y responde: • ¿Cuál es el origen de medir la producción de petróleo en barriles? 2. No olvides anotar las referencias y comentar tus hallazgos con tus compañeros. 3. En octubre de 2013 se publicó que Pemex produce 2.55 millones de barriles de petróleo al día:

L21

• ¿A cuántos litros equivale esa cantidad? Observa que la cantidad se da en millones. • ¿A cuántos galones equivale esa cantidad?

B3

Para tu apunte Algunas equivalencias para la capacidad:

4. Escribe las equivalencias que empleaste en este problema. Coméntalas con tus

compañeros.

• Los quilates Es común escuchar el término quilate cuando nos referimos a las características de alguna pieza hecha de oro. Decimos, por ejemplo, que el anillo está hecho de 10, 14 o 18 quilates, pero, ¿qué significa eso? El término quilate usado en este contexto expresa la pureza del oro. El oro puro se constituye por 24 quilates, es decir, 24 partes de oro. Cuando decimos que un anillo es de 10 quilates significa que 10 partes son de oro y 14 de otros metales; si la pieza es de 18 quilates, entonces 18 partes son oro y 6 son de otros metales. No obstante, en gemología, la rama encargada del estudio de piedras preciosas (diamantes, perlas, rubíes, etc.), el quilate (ct) tiene otro significado: es la unidad de medida de masa de dichas piedras preciosas y equivale a 200 miligramos. También se utiliza el término quilate métrico para distinguirlo del término usado para el oro. 1. Investiga por qué los diamantes se miden en quilates (200 mg). 2. El Cullinan, también conocido como La Estrella del África, es el diamante más grande y costoso del mundo. Tiene un color blanco perfecto y cuando lo encontraron tenía un peso de 3 106 quilates. Posteriormente, cuando se le dio forma terminó con un peso de 530.20 quilates: ¿Cuántos miligramos pesaba el diamante antes y después que se le dio forma?, ¿y cuántos gramos? ⇒ En la siguiente tabla se enlistan otros diamantes famosos junto con su peso en quilates. Completa la tabla del peso en miligramos y gramos.

1 litro = 100 centilitros (cl) 1 litro = 1 000 mililitros (ml) 1 litro = 1 dm3 1 litro = 1 000 cm3 1 mililitro = 1 cm3 1 m3 = 1 000 litros 1 galón = 3.785 litros 1 onza líquida = 29.57 ml

•

Nombre del diamante

Peso en quilates

Golden Jubilee

545.67

Incomparable

407.48

Espíritu de Grisogono

312.24

Centenario

273.85

Millennium Star

203.04

Peso en miligramos Peso en gramos

p El término quilate proviene de la

antigua palabra griega keration, que significa algarrobo, porque las semillas de este fruto eran utilizadas en la antigüedad para pesar joyas y gemas debido a la supuesta uniformidad del peso entre semillas.

3. Escribe las equivalencias de unidades que utilizaste en este problema.

• El mecate En la vida cotidiana en México, se utilizan, además de los sistemas de medición internacionalmente aceptados, otros distintos. Un ejemplo es el mecate, que sirve para medir distancias lineales. Esta antigua medida de longitud es equivalente a 20 metros y aún se emplea en algunas zonas rurales de México para medir superficies, terrenos, así como en diversas actividades económicas. 1. Junto con un compañero investiga más acerca del origen del mecate como unidad de medida. 147


2. Midan o averigüen cuáles son las medidas del edificio de su escuela, luego

Para tu apunte Para convertir una unidad de medida a otra es necesario conocer alguna equivalencia entre estas dos medidas. Una vez conocida la equivalencia, se hace una multiplicación o una división dependiendo de los datos que se tengan. Por ejemplo, si se desea saber a cuántos litros equivale 3 584 cm3 de agua, tendríamos que buscar primero una equivalencia entre litro y cm3. Si no se conoce una equivalencia directa, se pueden hacer varias conversiones: 1 L � 1 dm3 y 1 dm � 10 cm Entonces, 1 dm3 � (1 dm)(1 dm)(1 dm) 3 � (10 cm)(10 cm)(10 cm) � 1 000 cm . Por lo tanto, 1 L � 1 000 cm3. Una vez que se conoce la equivalencia, se procede a encontrar el valor que necesitas convertir:

Litros

cm3

1

1 000 3 584

En este caso la operación que se hace es una división: 3 584 ––––––– = 3 584 1 000 Tenemos así que, 3 584 cm3 es equivalente a 3.584 litros.

148

conviertan esas longitudes a mecates. • ¿Qué operación realizaron? • ¿Conocen algunas otras medidas no convencionales? 3. Ahora respondan: • La nueva carretera de Hoctún mide 475 mecates, ¿a cuántos kilómetros equi vale esta medida? • En un terreno de 11.5 × 14.25 mecates se siembra henequén, ¿de cuántas hectáreas es el terreno? (1 hectárea = 10 000 m2, o sea, un cuadrado de 100 m por 100 m). • Si el terreno de una casa es de 8 × 18 metros, ¿a cuántos mecates equivalen esas medidas? 4. Escriban las equivalencias que utilizaron en este problema. 5. Platica en casa o con personas de tu comunidad si utilizan alguna forma no convencional de medir. Puede ser aplicada a recetas de cocina, venta de líquidos o granos, medición en la costura. Platíquenlo en el grupo con su maestro y conviertan algunas de ellas al Sistema Internacional de Unidades.

Pongámonos de acuerdo 1. Formen grupos de tres o cuatro estudiantes y midan el largo y ancho del salón

de clases usando como patrón de medida “el paso” de alguno de ustedes. 2. De igual manera, midan el largo y ancho del pizarrón usando como medida “la palma” de alguno de ustedes. 3. Con esta información llenen la siguiente tabla. Ancho del salón de clase

Largo del salón de clase

Ancho del pizarrón

Largo del pizarrón

Equipo propio Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3

4. Comparen su tabla con la de otros dos equipos y respondan: • ¿Hay diferencias entre las medidas? • ¿Por qué creen que hay diferencias? • ¿Qué tendría que pasar para que los datos de la tabla sean los mismos? 5. Discutan entre ustedes las siguientes cuestiones: • ¿Qué unidad de medida consideran que es buena opción para medir el largo

y el ancho de un terreno rectangular? • ¿Qué unidad de medida creen que es buena opción a fin de cuantificar la cantidad de cemento que se necesita para pavimentar la plaza de un pueblo? • ¿Qué unidad de medida consideran que sería mejor para cuantificar el agua que corre en un río y en un tubo? 6. Argumenten sus respuestas y con la ayuda de su maestro lleguen a un acuerdo. Escriban sus conclusiones.

L21

De vuelta al Explora 1. Calcula los valores de 0.795 m3 y 1.225 m3 a su equivalente en litros. 2. Calcula la masa a la que equivale el rango anterior que corresponde a la

masa del agua que puede contener el bambi-bucket. 3. Ahora calcula el rango de kilogramos que puede cargar el helicóptero, considerando el bambi-bucket y la carga llena.

Practica

B3

Para tu apunte Otra equivalencia muy utilizada es la que hay entre la medida de capacidad y la masa del agua: 1 L de agua = 1 kg de agua Esta equivalencia es única para el agua y no se aplica a otras sustancias líquidas, ya que depende de las propiedades físicas de cada sustancia.

1. El hermano mayor de Pancho donó una unidad de sangre. Las unidades de

sangre suelen ser de 0.45 litros. A Pancho le parece que le quitaron muchísima sangre, y su hermano quiere demostrarle el volumen de lo que donó. • ¿A cuántos cm3 equivale una unidad de sangre? 2. En la casa de Alonso se pelean por el jugo de naranja. De cada litro que compran a su papá le toca —13 , a su mamá —13 y a su hermana la mitad de lo que toman cada uno de sus papás. • ¿Cuántos mililitros le tocan a Alonso? 3. La capacidad de una alberca es de 35 000 litros de agua. Si esta vez la alberca se ha llenado con 500 000 000 cm3 de agua. • ¿Se ha desbordado el agua? Si no es así, ¿cuánta agua falta para que se llene? 4. Para desinfectar el agua de la alberca hay que ponerle cloro. En el envase del cloro las instrucciones indican que se debe usar —12 litro de cloro por cada 10 m3 de agua. • ¿Cuántos litros de cloro se deberán agregar para desinfectar la alberca del problema anterior? 5. Visita la siguiente página y practica los ejercicios de volumen y capacidad:

www.juntadeandalucia.es/averroes/ies_azahar/MATEMATICAS1/medidas/ volumen/practica/umedida.html

Evalúa tu avance 1. Ricardo compró seis cajas de espárragos. Cada caja pesa medio kilo. • ¿Cuántos miligramos pesan las seis cajas? a. 3 millones b. 30 millones c. 3 000 d. 6 000 2. La mamá de Raquel preparó limonada en una jarra de dos litros para una

reunión. • ¿Cuántos vasos llenos pueden servirse si el volumen de cada vaso es de 250 cm3? a. 6 b. 15 c. 8 d. 10 149

EJE:

M A N E J O



Lección

22

Representarás algebraicamente y analizarás relaciones de proporcionalidad y = kx , asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación

Explora

Las faldas de los disfraces Lupita y Elvira trabajan en un taller de costura con un horario de las 8:00 am a las 16:00 pm, con una hora de comida de las 13:00 pm a las 14:00 pm. Esta semana tienen que terminar un pedido de disfraces para los niños del jardín preescolar Jaime Torres Bodet por motivo del festival de primavera. El miércoles no salen a comer para poder hacer más faldas. Sin embargo, Elvira llegó a las 10:00 am, es decir, dos horas tarde de su hora de entrada. Ambas son igual de rápidas para coser, realizan seis faldas por hora cada una. Si su día laboral termina a las 16:00 pm. ¿Cuántas faldas habrán hecho cada una ese día? ¿Qué tendría que hacer Elvira para hacer la misma cantidad de faldas que Lupita?

• •


• El germinado

p Para que las plantas germinen en

un experimento como éste, hay que cuidar las condiciones de luz y humedad y que éstas no se alteren. 150

Las plantas se desarrollan a partir de sus semillas cuando éstas germinan en las condiciones apropiadas. En la clase de Ciencias con énfasis en Biología, el maestro les pidió el viernes a los alumnos hacer en sus casas un experimento. Alma lo hizo el sábado, pero a Alberto se le olvidó ese día, así que lo practicó hasta el lunes por la mañana. El experimento consiste en poner unas semillas a germinar. La planta con la que ambos experimentan crece 8 mm cada día. Al llegar el lunes el maestro midió las plantas de ambos experimentos e hizo las siguientes tablas de registro en donde el día lunes es el día cero.

L22

1. Completa las siguientes tablas, suponiendo que siguen un crecimiento constante: Alma Registro de la planta

Alberto Registro de la planta

Tiempo (días)

Altura (mm)

Tiempo (días)

Altura (mm)

0

16

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

2. Ahora responde:

• ¿Qué diferencia numérica observas en cada uno de los días transcurridos a

partir del lunes? • Cuántos milímetros crece por día la planta: Alma: Alberto:

Para tu apunte Se dice que dos magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad directa si el cociente de la magnitud dependiente y la magnitud independiente es una misma cantidad (k ). A esta cantidad fija con que se incrementa la variable dependiente al aumentar cada unidad la variable independiente se le conoce como constante de proporcionalidad (k). La representación algebraica de las relaciones de proporcionalidad es: y � k x

donde y representa a la variable dependiente, x a la variable independiente y k es la constante de proporcionalidad. Para identificar la variable independiente de la dependiente es conveniente revisar cuál de ellas define a la otra, es decir, a cuál variable se le puede asignar valores aleatorios (independiente) para encontrar el de la otra (dependiente). También puedes utilizar esta frase llenando en los espacios vacíos los nombres de las magnitudes involucradas:

3. Si la letra x corresponde al número de días y la letra y a la altura de las plantas,

expresa algebraicamente para cada caso la relación entre las dos columnas de la tabla. Planta de Alma: Planta de Alberto: • ¿Qué diferencia hay entre las dos expresiones algebraicas? • ¿Cuántos centímetros medirá la planta de Alma a los 20 días a partir del lunes especificado? Fíjate bien en las unidades que trabajas y las que se te piden. • ¿Cuántos centímetros medirá la planta de Alberto en el mismo tiempo? • Si queremos que las plantas lleguen a medir 20 cm, ¿en cuántos días alcanzará cada una ese tamaño? Planta de Alma: Planta de Alberto:

B3

depende de Por ejemplo: La distancia recorrida depende del tiempo transcurrido. En este caso la distancia recorrida es la variable dependiente y el tiempo, la variable independiente. De hecho, el tiempo casi siempre es una variable independiente. continúa ➤

• Escuela en remodelación Antes de terminar el año escolar se ha previsto pintar toda la escuela secundaria, la cual cuenta con un total de 16 salones. Dos padres de familia se ofrecieron para apoyar en este trabajo. Ambos se tardan 2.5 horas en pintar un salón de clases completo. 151

EJE:

➤

M A N E J O


1. Realiza en tu cuaderno una tabla como ésta en donde relaciones el número de

continúa

A las relaciones cuya expresión algebraica tienen la forma:

salones pintados con el tiempo que les llevará hacerlo: Salones pintados

Tiempo en pintar

y � m x � b

1 se les llaman relaciones afines y se diferencian de las relaciones de proporcionalidad directa ya que en ellas no se cumplen que el cociente de y/x sea constante, o la característica que si aumenta el doble una magnitud, la otra también, etcétera. Sin embargo, sí involucra una constante m, la cual hace que la magnitud dependiente (y ) aumente una misma cantidad por unidad de aumento de la magnitud independiente ( x ). Por ejemplo: x

y = 4 x + 7

1

11

2

15

3

19

4

23

5

27

Al aumentar de 1 en 1 la variable x , la variable y aumenta de 4 en 4 el valor de la constante m. A esta constante se le llama pendiente o razón de cambio .

2 3

• ¿Cuál de las magnitudes es la variable dependiente (y )? • ¿Cuál de las magnitudes es la variable independiente ( x )? 2. Escribe una expresión algebraica, en donde relaciones las magnitudes de salones

pintados con el tiempo que se ocupa en pintarlos. • ¿Es esta relación una proporcionalidad directa?, ¿por qué? • ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? Y, ¿qué significado tiene? • ¿Cuántas horas les tomará terminar los 16 salones? • Si por día sólo trabajan cinco horas, ¿cuántos días tendrán que ir para terminar el trabajo? 3. Si consideramos que para pintar 16 salones, dos padres de familia tardan

horas, ¿qué pasaría si ayudan más padres? ⇒ Completa la siguiente tabla: Número de padres

Tiempo en pintar

2 4 8 10 16 20

• ¿Qué sucede en esta relación? • ¿Es una relación de proporcionalidad directa?, ¿por qué? • ¿Tiene algo en común con la primera tabla?, ¿en qué es diferente? Recuerda

el tema visto en la lección 15. • ¿Qué tipo de relación hay en esta última tabla? Discute con tus compañeros y maestro al respecto. 152

B3

L22

• Distinción de la proporcionalidad directa 1. Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes problemas, determina cuál es

la variable dependiente y cuál la independiente. Asimismo, trata de resolver los problemas: a. Pedro y Oziel corren alrededor de una pista. Ambos lo hacen a la misma velocidad pero Pedro empezó antes que Oziel. Cuando Oziel corre tres vueltas, Pedro termina cinco. Si Oziel corre ocho vueltas: • ¿Cuántas vueltas completa Pedro? b. Joel y Luis corren alrededor de una pista. Ambos transitan la misma distancia, pero Joel siempre es el doble de rápido que Luis. Cuando Luis lo hace en 48 minutos: • ¿Cuántos minutos se tarda Joel? c. Roberto y Jorge corren alrededor de una pista. Empezaron al mismo tiempo pero Roberto es más rápido que Jorge. Cuando Jorge corre tres vueltas, Roberto termina cinco. Si Jorge corre ocho vueltas: • ¿Cuántas vueltas termina Roberto? d. Martín y Carlos corren alrededor de una pista. Ambos corren el mismo tiempo, pero Carlos termina menos vueltas que Martín, corre tres vueltas menos que Martín. Si Martín termina 12 vueltas: • ¿Cuántas vueltas completa Carlos? 2. Identifica cuál o cuáles de los problemas anteriores describe(n) una relación de

proporcionalidad directa y cuál o cuáles no, y explica por qué razones no pueden ser relaciones de proporcionalidad directa: Problema

Proporcionalidad directa (sí/no)

Explica por qué NO

a.

Para tu apunte Otra forma de definir que dos magnitudes están en proporción directa, es cuando al aumentar una de las magnitudes, la otra también se incrementa a la misma razón. Esto es, si una de las magnitudes ( x ) aumenta al doble, entonces la otra (y ) también se incrementará al doble; si una magnitud disminuye a la tercera parte, entonces la otra disminuirá a la tercera parte; si una aumenta a 32 , la otra se incrementará a 32 partes y así sucesivamente.

2

x 1

x 2 3

x 2

2

x 1

x 2 3

x 2

x

y

8

24

16

48

4

12

12

36

x

y

8

24

16

48

4

12

12

36

2

x

x 1 2 3

x 2

x 2 1

x 2 3

x 1

En las relaciones proporcionales directas el cociente de las magnitudes siempre es el mismo, es decir, es constante. Observa que para cada par (y / x ) de la tabla el cociente siempre es 3.

b. c. d.

3. Comenta con tus compañeros las respuestas anteriores y junto con su maestro

lleguen a un acuerdo. Generen una regla que les permita identificar cuándo una proporción es directa.

Pongámonos de acuerdo En la casa de Alfredo hay un tinaco cilíndrico con una altura de 15 dm y diámetro de 7 dm. El tinaco se llena con agua a una velocidad de 4.81 dm 3 por minuto. Reunidos en parejas respondan las siguientes preguntas: 153

EJE:

M A N E J O


1. Calculen la capacidad en litros del tinaco. Recuerden que 1 dm3 = 1 litro. • Cuántos minutos se tardará en llenar el tinaco? • ¿Cuál es la velocidad de llenado en litros por minuto? • ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? 2. Realicen una tabla en la que se muestren el volumen de agua contenido en el

tinaco al transcurrir los minutos: Tiempo (minutos)

Volumen de agua (litros)

1 2 5 10 20

3. Escriban una expresión algebraica que relacione al volumen del tinaco en litros

y al tiempo transcurrido en minutos. • Si el tinaco cilíndrico se llena a 4.81 dm 3 por minuto, ¿qué altura de agua aumenta en el tinaco por minuto? 4. Realicen una tabla en la que se muestre la altura del agua en el tinaco al trans-

currir los minutos: Tiempo (minutos)

Altura del agua (dm)

1 2 5 10 20 30 60 100 120

5. Escriban una expresión algebraica que relacione a la altura del tinaco en decí-

metros y al tiempo transcurrido en minutos. 6. Comparen sus resultados con otra pareja y verifíquenlos con su maestro. 154

L22

B3

De vuelta al Explora 1. Con lo aprendido en la lección responde: • ¿Cuántas faldas llevaba hechas Lupita cuando Elvira llegó a trabajar? 2. Elabora una tabla para Lupita y Elvira, en la que se muestre la cantidad de faldas realizadas a partir de las 10 :00 am. Horas transcurridas (variable independiente)

Faldas realizadas por Lupita (variable dependiente)

Faldas realizadas por Elvira (variable dependiente)

10:00

0

0

11:00

1

6

12:00

2

1:00

3

2:00

4

3:00

5

4:00

6

3. Escribe una expresión algebraica para cada caso, una para las faldas hechas por Lupita y otra para las faldas

realizadas por Elvira conforme transcurrieron las horas. • ¿Cuál de ellas representa una relación de proporcionalidad directa? • ¿Qué tendría que hacer Elvira para hacer la misma cantidad de faldas que Lupita? • ¿Cuántas faldas tendría que hacer por hora transcurrida para alcanzar en cantidad a Lupita? 4. Escribe la nueva expresión algebraica que describe la cantidad de faldas realizadas por Elvira.

Practica 1. La Ley de Hooke define que la distancia con que se estira un resorte es direc-

tamente proporcional al peso que cuelga de él. Si se tiene un cuerpo cuyo peso es de 4 kg colgando de un resorte y éste se estira 42 cm: ⇒ Indica cuál es la variable dependiente y la variable independiente. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ⇒ Indica la distancia que se alargará el resorte cuando se cuelguen 3 kg. ⇒ Indica el peso necesario para que el resorte se estire 30 cm. ⇒ Realiza una tabla y su gráfica que muestre el comportamiento de las variables. 2. Indica en cuál de las siguientes tablas se muestra la constante de proporciona-

lidad. Escribe una expresión algebraica para cada una: x

2

4

6

7

8

y

3.2

6.44

9.72

11.41

12.8

x

1

3

5

9

10

y

1.75

5.25

8.75

15.75

17.5 155

EJE:

M A N E J O


3. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a los valores de la tabla: x

1

2

3

4

5

6

7

y

4

8

12

16

20

24

28

a. y � 3 x � 1

b. y � 2 x

c. y � 4 x

d. y � 2 x � 2

4. ¿Cuál de las siguientes tablas no representa una relación de proporcionalidad? x

2

3

4

7

8

9

11

y

4

6

8

14

16

18

22

x

2

3

4

7

8

9

11

y

3

4.5

6

10.5

12

13.5

16.5

x

2

3

4

7

8

9

11

y

5

7.5

10

17.5

20

22.5

27.5

x

2

3

4

7

8

9

11

y

2

3

5

7

8

10

11

5 Escribe cinco relaciones que existan en el mundo real, por ejemplo lo que pagas

por cada kilogramo de tortillas, lo que creces en un año, la edad que tienes y la que tiene tu hermano desde hace cinco años, etc. y evalúa cuál de ellas sí cumple con ser una relación directamente proporcional. • Comenta con el grupo y tu maestro cómo las evaluaste para determinar si sí eran proporcionales o no.

Evalúa tu avance 1. La longitud de la sombra de cualquier objeto siempre es proporcional a

la altura del objeto. A cierta hora del día un edificio de 14 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m de largo: • ¿Cuál es la altura de un poste cuya sombra es de 0.35 m a esa misma hora? a. 11.8 m b. 3.50 m c. 5.25 m d. 4.08 m 2. ¿Cuál es la representación algebraica de la relación entre la distancia recorrida (y ) y el tiempo ( x ) que tarda en recorrer un autobús que viaja a

una velocidad constante de 75 km/h? a. y � 75 x b. y �

75 x

c. y � 75 x � 75 d. y � x � 75 156

L23

B3


Lección

23

Buscarás, organizarás y presentarás información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan

Explora

¡A ahorrar! ¿Sabías que 40% de los mexicanos ahorra y en promedio empieza a hacerlo a los 35 años? El ahorro es una buena forma de cuidar el dinero aunque el ingreso sea poco. 1. Durante una semana, lleva el registro de tu ingreso, así como de los egresos. 2. Al finalizar la semana elabora una gráfica (la que más te convenga) y analízala para determinar cuáles gastos son indispensables (como transporte, alimentación, etc.) y de cuáles podrías prescindir para determinar cuáles son tus egresos más altos, tus compras constantes. Asimismo, propón una forma en la que podrías ahorrar de manera constante. ¿Qué podrías hacer con ese ahorro? •

p Ahorrar es guardar una parte de tu

ingreso para utilizarlo en el futuro, sirve para alcanzar metas de corto y mediano plazos, y contar con un capital para invertir y lograr objetivos de largo plazo.


• El ahorro de Ana Ana recibe de sus papás $75 pesos semanales. Como ella es muy organizada, hizo una tabla con la siguiente información para ver si podía ahorrar algo:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Gasto

Concepto

$10 $8 $3 $10 $5 $10 $5 $1 $10 $3 $10

Pasaje Dulces Pluma Pasaje Dulces Pasaje Dulces Goma Pasaje Dulces Pasaje

• ¿Cuánto ahorró Ana en la semana? 157

EJE:

M A N E J O


Para tu apunte Un histograma es una gráfica en la que se utilizan barras. La altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de los datos. Más adelante verás cómo se eligen las marcas que van en los ejes.

Para entender el comportamiento de sus ingresos (que significa una constante monetaria semanal) y dinero que le va quedando, Ana pensó en analizar sus datos con una gráfica como la siguiente: 60 50 40 30

Ingresos Egresos

20 10 0 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

1. Analiza las componentes de la gráfica que hizo Ana. Apóyate de las siguientes

preguntas: • ¿De qué se compone? (por ejemplo, consta de unos ejes coordenados y perpendiculares, ¿de qué más?) • ¿Cuál es la escala? • ¿Qué significa la línea azul? • ¿Qué significa la línea roja? • ¿Qué día gastó más? • ¿Qué días gastó menos? • ¿Cuánto fue su ahorro final? • ¿Qué significa el punto en el que se cruzan ambas líneas? A pesar de que con la gráfica anterior Ana pudo analizar el comportamient o de sus gastos en la semana, ella quería reconocer en qué cosas gastaba más y en cuáles podría ahorrar. 2. Elabora una gráfica como la anterior que analice los gastos por rubro. 3. Considera poner todos los componentes de la gráfica como: ejes, escalas, etcétera. 4. Después de hacer la gráfica, ¿qué le podrías recomendar a Ana para aumentar

su ahorro? Para tu apunte Una gráfica poligonal o polígono de frecuencias es una representación gráfica que resulta equivalente a un histograma. Se obtiene encontrando los centros de las bases superiores de los rectángulos del histograma y uniéndolos. 158

• ¿Es natural el cambio climático? Existen varias teorías acerca de cuáles son las causas que originan el cambio climático en la Tierra. Un grupo de científicos afirma que nuestro planeta tiene ciclos naturales de temperatura. Esto significa que debido a los movimientos de rotación y traslación y a un movimiento particular tipo péndulo, la Tierra se calienta más durante unos siglos y luego se enfría.

L23

B3

1. Observa la siguiente gráfica: Temperatura de la Tierra a r r e i T a 20° l e d a i d e m15° a r u t a r e 10° p m e T

600

500

400

300

200

100

Hoy

Hace x millones de años

• ¿Observas algún ciclo en la temperatura terrestre? Explica. • Según el modelo representado en la gráfica, ¿qué temperatura podríamos

esperar los siguientes miles de años? 2. Grafica tus predicciones con la misma escala de valores.

Según los científicos que sostienen esta teoría, desde hace varios millones de años la Tierra ha estado sometida a ciclos repetitivos que duran unos 110 000 y 120 000 años. De hecho, como se aprecia en la gráfica anterior, la Tierra está pasando por una fase fría, que inició hace unos 30 000 o 40 000 años. La temperatura de la Tierra, como promedio, está a unos 12 oC por debajo de la temperatura más frecuente de los últimos 600 millones de años. Por otro lado, otro grupo de científicos afirma que el cambio climático está siendo provocado por el ser humano. Esta alteración del clima es atribuida a di versas actividades humanas como el uso del automóvil, la deforestación, la ganadería extensiva, los procesos industriales, etcétera, que emiten altos niveles de gases contaminantes a la atmósfera, causando un aumento de la temperatura global de la Tierra conocido como efecto invernadero.

Efecto Invernadero La radiación solar pasa a través de la atmósfera libre de obstáculos

SOL

ATMÓSFERA Una parte de la radiación solar es reflejada por la atmósfera y la superficie terrestre

Radiación solar penetrante Radiación solar reflejada

Una parte de la radiación infrarroja atraviesa la atmósfera y se pierde en el espacio Radiación infrarroja no reflejada

GASES DE EFECTO INVERNADERO Parte de la radiación infrarroja es absorbida y reemitida por las moléculas de gas invernadero. El efecto directo es el c alentamiento de la superficie terrestre y de la troposfera

La energía solar es absorbida por la superficie terrestre y la calienta

La superficie terrestre gana temperatura y la radiación infrarroja es emitida de nuevo y transformada en calor reflejando la emisión de radiación de longitud de onda (infrarrojo) a la atmósfera

t Los gases de efecto invernadero

(también llamados termoactivos) son el dióxido de carbono (CO 2), metano (CH4), óxidos de nitrógeno (NOx), el vapor de agua, los clorofluorocarbonos y el ozono (O3), entre los más importantes. Absorben esta energía infrarroja como una esponja, calentando tanto la superficie de la Tierra como el aire que la rodea. 159

EJE:

M A N E J O


3. Observa la siguiente tabla y haz una gráfica en forma de histograma o poligonal. Año

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040

Variación de la temperatura media de la Tierra (en ºC)

0.3

0.4

0.55

0.6

0.7

0.8

0.9

1

• ¿Cuál ha sido la mayor variación en la temperatura terrestre hasta ahora? 4. Contrasta ambas posturas acerca del cambio climático y responde: • ¿A qué crees que se deba el cambio climático? 5. Argumenta tu opinión. Coméntala en grupo con tu maestro.

Pongámonos de acuerdo Calificaciones

Alumnos

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

1 1 2 4 6 7 5 3 2 1

1. Reunidos en parejas analicen el siguiente histograma que representa las califi-

caciones de alumnos y respondan: • ¿Cuántos alumnos obtuvieron de 6 a 10 de calificación? • ¿Cuántos alumnos obtuvieron de 0 a 5 de calificación? • ¿En qué grupo de número de alumnos está quien obtuvo 5.4 de calificación? • Para el maestro, ¿es más útil saber cuántos alumnos obtuvieron 4.4 o cuántos obtuvieron de 3 a 4? ¿Por qué? 2. Escriban el número de alumnos de cada grupo de calificaciones en la tabla. Calificación

Marca en el eje X

Frecuencia

0-1

1

1

1-2

2

2-3

3

3-4

4

4-5

5

5-6

6

6-7

7

Para tu apunte

7-8

8

A los intervalos que se definen en los ejes x y y se les denomina clases. Para obtenerlos es necesario fijar la atención en los valores frontera. Por ejemplo, en el ejercicio de esta página, en 3-4 están incluidos todas las calificaciones entre 3 y 4, por ejemplo: 3.7. Es decir, están incluidas todas las calificaciones mayores o iguales que 3 y estrictamente menores que 4. Los que obtuvieron 4 se quedan en la clase 4-5.

8-9

9

9-10

10

160

• ¿Qué número se eligió como marca en el eje y para cada grupo de califica-

ciones? Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y escriban su conclusión. 3. Redacten una explicación de cómo se puede obtener la marca en el eje y

(denominada clase ) en cualquier histograma.

L23

• La temperatura en tu ciudad En México, el Servicio Meteorológico Nacional se encarga de realizar pronósticos, alertas e información acerca del estado del tiempo y del clima de todo el país. En 2013, esta organización obtuvo los datos que se muestran en la tabla de la derecha para la Ciudad de México. 1. Reunidos en equipos de tres personas, organicen la información en una gráfica de barras con el siguiente formato:

Temperatura promedio

Mes

17.7º

Enero

19.2º

Febrero

21.3º

Marzo

24.3º

Abril

26.7º

Mayo

31.2º

Junio

32.8º

Julio

32.8º

Agosto

32.1º

Septiembre

28.6º

Octubre

23.1º

Noviembre

19.1º

Diciembre

B3

y

x 0

2. Agreguen el título de la gráfica, los títulos de cada eje, las escalas y hagan la

gráfica correspondiente. 3. Registren, organicen y presenten los datos de la variación de la temperatura por cada dos horas durante un día en su localidad (pueden obtener los datos en: www.meteored.mx/) 4. Grafiquen de la misma manera los resultados, compáralos con otros compañeros y discutan las características que debe tener dicha gráfica. 5. Verifiquen sus resultados y revisen con su maestro.

De vuelta al Explora Una manera de analizar tus gastos es realizar una gráfica, ya sea en histograma o poligonal. 1. Elige la que te sea más útil para analizar el registro de tus gastos semanales. 2. Elabora un plan de ahorro razonable para ti y haz una gráfica que muestre el crecimiento de tu ahorro por mes. 3. Intenta llevarlo a cabo y responde. • ¿En cuánto tiempo tendrás más de $500? • ¿En cuánto tiempo tendrás $1 000? 4. Si quieres saber más sobre cómo cuidar tus gastos y hacer crecer tu ahorro, puedes consultar la siguiente página en internet: http://revistadelconsumidor.gob.mx/?p=4671 161

EJE:

M A N E J O


Practica 1. Obtén los datos de las estaturas de todos tus compañeros de clase, organízalos y

preséntalos en una gráfica poligonal. Al terminar responde las siguientes preguntas: • ¿Cómo elegiste las clases para dibujar la gráfica poligonal? • ¿Cuáles son los puntos frontera de cada clase? 2. En la oficina donde trabaja el papá de Daniel graficaron el peso de 100 empleados. ⇒

Haz la tabla a partir de la cual se obtuvieron estos resultados. 40

42

s a n o s r e p e20 d o r e m ú N

27

18

8 5

0

60 63

Para tu apunte Un histograma es similar a un gráfico de barras pero son el número de rangos que tú decidas.

66

69

72

75

Peso

⇒

Con base en el histograma anterior responde: • ¿Es verdad que el mayor peso es de 75? • ¿Es verdad que hay 18 empleados que pesan 63 kg exactamente? • ¿Al ver la gráfica se puede determinar cuántas personas tienen un peso mayor o igual a 66 kg?

3. Observa la siguiente gráfica y responde:

20

15

10

5

9.5

17.5

29.5

39.5

49.5

59.5

69.5

79.5

• ¿Qué errores hay en la gráfica? • Haz una hipótesis sobre cuál situación real puede estar representada en esta

gráfica. • Inventa alguna tabla, con valores y frecuencias, de tal manera que la gráfica sea una versión mejorada de la gráfica poligonal anterior. 162

L23

B3

4. Entra en la siguiente página: www.dof.gob.mx/indicadores.php y obtén

información acerca de la variación del tipo de cambio de dólares a pesos en una semana. Organízala y preséntala en un histograma.

Evalúa tu avance 1. En la Feria Internacional del Libro en Guadalajara se registraron las ventas

de dos libros distintos en la semana: • ¿Qué día de la semana se registró la menor diferencia entre las ventas? a. Lunes b. Jueves

El Quijote Cien Años de Soledad

c. Viernes d. Miércoles

80 60 40 20

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

2. La siguiente gráfica muestra la población existente de ajolotes en una

sección de los canales de Xochimilco desde 2001 hasta 2010. Las tomas fueron hechas siempre en el mes de enero. • ¿Entre qué años hubo un mayor decremento de ajolotes en esa sección

de los canales de Xochimilco? a. 2003-2004 b. 2004-2005

Población

60

c. 2006-2007

50

d. 2009-2010

40 30 20

p El ajolote o axolotl ( Ambystoma

10

2 0 0 1

2 0 0 2

2 0 0 3

2 0 0 4

2 0 0 5

2 0 0 6

2 0 0 7

2 0 0 8

2 0 0 9

2 0 1 0

Año

mexicanum) es un anfibio que no crece sino que se desarrolla en su estado larval; permanece como un animal acuático. Sólo se distribuye en el Valle de México. 163

EJE:

M A N E J O



Lección

24

Analizarás las propiedades de la media y la mediana

Explora

La excursión al campo El hermano de Adriana está organizando una excursión al campo a la que irán diez de sus amigos. A cada uno les pidió colaborar con dinero para comprar alimentos y bebidas y en promedio recolectó $85 por persona. Un día antes de la excursión notó que el dinero no iba a ser suficiente para comprar todo lo que necesitaban y le pidió a sus amigos, sin importar cuánto habían dado, duplicar la cantidad de dinero que dieron anteriormente. • ¿Cuál es el nuevo promedio de dinero que recolectó por persona?


• El ciclo de cine escolar Los alumnos del grupo 2º A de la secundaria Sor Juana Inés de la Cruz organizaron un festival de cine. Para poder rentar sillas se le pidió a cada uno de los 21 alumnos una aportación voluntaria. La cantidad de dinero que dieron se anotó en un cuaderno y es la siguiente: $21, $7, $17, $7, $10, $25, $10, $22, $11, $19, $11, $16, $18, $11, $19, $10, $19, $20, $7, $7, $24 Carlos decía que si más de la mitad de las personas daban más de 16 pesos, lograrían juntar para las sillas. Gabriel decía que Carlos estaba equivocado; sostenía que en promedio las personas deberían de dar 9 pesos para que juntaran para la renta de todas las sillas. 1. Si la renta de las sillas cuesta 189 pesos, responde: • ¿Quién tuvo la razón? • ¿Cuál es la media de aportaciones? 164

B3

L24

• • • • • •

¿Más de la mitad de las personas dieron más de 16 pesos? ¿Cuál es la mediana? ¿Cómo podrías saber si Carlos tiene la razón? ¿Cómo podrías saber si Gabriel está en lo correcto? ¿Ambos tienen razón? Explica. Elabora una serie de datos en donde tanto Carlos como Gabriel tengan la razón. ¿Es posible? Coméntenlo en clase con su maestro.

• La altura del equipo de voleibol de la escuela En la escuela Niños Héroes los estudiantes organizaron un equipo de voleibol mixto. Para poder entrar a un torneo les pidieron dar la media y la mediana de las alturas de sus jugadores. Tanto la media como la mediana resultaron ser de 1.65 m. Al estar a punto de comenzar el torneo, dos jugadores se salieron del equipo; casualmente fue el jugador de menor estatura, que medía 1.51 m, y la jugadora más alta, que medía 1.80 m.

Para tu apunte La media (aritmética) es el resultado de sumar todos los datos y dividirlos entre el número total de dichos datos. Podemos decir que el valor de la media es un número total distribuida a partes iguales para cada observación o recolección de datos. La mediana es el valor que ocupa la parte central de todos los datos ordenados de menor a mayor. Si es un número de impar de datos tomamos el número central. Si es un número par de datos, tomamos la media entre las dos puntuaciones centrales.

2.00

1.80

1.70

1.60

t La estatura puede ser, en algunos

casos, un requisito físico para acceder a determinados deportes.

• ¿Variará la mediana al salirse las dos personas? • ¿Variará la media al salirse las dos personas? • ¿La media aritmética de las alturas puede ser mayor a la altura de la jugadora

más alta? • ¿Necesariamente la mediana es igual a alguno de las alturas de los jugadores? • ¿Forzosamente la media aritmética es igual a alguna de las alturas de los jugadores?

• La falsa carrera En la Olimpiada Nacional de Atletismo, realizada en el puerto de Veracruz, los resultados de la carrera de los 100 metros planos fueron los siguientes: Alejandro

Gabriel

Rodrigo

Santiago

Guillermo

Sebastián

Adrián

Armando

Jorge

Alonso

15.41 s

15.34 s

15.52 s

15.12 s

14.92 s

14.90 s

15.68 s

14.98 s

15.91 s

16.01 s 165


Para tu apunte ¿Cuándo usar la media y cuándo la mediana? Cuando queremos saber qué dato divide a las observaciones en la mitad se usa la mediana. Por ejemplo, si conocemos que la mediana del tamaño de la medida de zapatos es 24, sabemos que la mitad de las personas tiene un número menor o igual que 25 y la otra mitad un número mayor o igual que 33. La media es útil cuando se quiere reconocer un valor que represente a todos. Por ejemplo, cuando quieres obtener el promedio de tus calificaciones.

1. Con base en la información de la tabla, responde: • ¿Qué corredor hizo el menor tiempo? • ¿Quién hizo el mayor tiempo? • ¿La media aritmética del tiempo de todos los corredores puede ser menor al

valor que anotaste en la primera pregunta? pregunt a? ¿Por qué? • ¿La media aritmética del tiempo de todos los corredores puede ser mayor al valor de la segunda pregunta? p regunta? ¿Por qué? • ¿La mediana es siempre un valor de los registrados en la tabla? Los organizadores se sorprendieron de que todos los participantes hicieran unos tiempos muy lentos. Al revisar qué había sucedido resultó que el cronómetro estaba defectuoso y había marcado, en todos los casos, 2.1 segundos más. Uno de los organizadores dijo que no era necesario hacer los c álculos de nue vo porque la media es igual a la l a media anterior a nterior menos me nos 2.1 segundos. 2. Responde: • ¿Estás de acuerdo con esa afirmación? 3. Comprueba lo anterior restando a cada tiempo de los corredores 2.1 segundos

y obtén la media aritmétic a ritmética. a.

• Las variaciones variaciones del kilogramo La primera definición del kilogramo se dio durante la Revolución Francesa y decía que el kilogramo era igual la masa de un decímetro cúbico de agua destilada a una atmósfera de presión y 3.98 ºC. En el año 1900, el kilogramo lo redefinió la Oficina Internacional de Pesas y Medidas a partir de un modelo fabricado con una aleación de platino e iridio. De este modelo se hicieron 50 copias que se enviaron a distintos países. Al pasar 90 años se volvieron volvie ron a juntar j untar algunas al gunas copias cop ias y estos fueron f ueron los resultados con respecto al modelo base: á d a n a C

U E

p El prototipo internacional del

kilogramo es un cilindro de platino e iridio de cerca de 39 milímetros de alto y 39 milímetros de diámetro.

25 µg

�

25 µg

�

a i c n a r F

43 µg

�

50 µg

�

15 µg

�

r u p a g n i S

o c i x é M

a y n e K

n ó p a J

21 µg

�

10 µg

�

a í u q r u T

4 µg

�

l i s a r B

41 µg

�

µg = microgramos

1. Ordena los datos de la menor a la mayor variación. • ¿Cuál es la mayor variación? • ¿Cuál es la menor variación? 2. Obtén la mediana de los datos. 3. Elimina el dato mayor y el menor y anota la mediana de los datos restantes. • ¿La mediana cambió? ¿Por qué? • ¿Será cierto que más de la mitad de los datos son mayores o iguales a la me-

diana? ¿Por qué? • ¿Será verdadero que más de la mitad de los datos son menores o iguales a la mediana? ¿Por qué? 166

166

L 24

B3

4. Compara tus respuestas con las de un compañero y verifíquenlas con la ayuda

de su maestro. 5. Comenten en el grupo qué variables pudieron hacer cambiar el kilogramo

patrón que recibió cada país.

Pongámonos de acuerdo 1. Reunidos en parejas lean cada enunciado y respondan si es verdadero o falso.

Si es verdadero, den una serie de por lo menos diez datos que lo cumplan. Si es falso, den una serie de por lo menos diez que sirvan como contraejemplo. a. En un grupo de valores puede existir dos medianas. V

F

b. Si se multiplica cada uno de los valores de una serie de datos por cualquier

número, la media de todos los datos se multiplica por ese número. V

F

c. Si se resta una constante b a cada uno de los datos de una serie, la media disminuirá exactamente en esa constante b. V

F

d. Si se suma una constante b a cada uno de los datos de una serie, la mediana aumentará exactamente en esa constante b. V

F

e. En una serie de datos ordenados de menor a mayor, la mediana no cambia

si se modifican los valores extremos. V

F

f. En una serie de datos ordenados de menor a mayor, la media no cambia si

se modifican los valores extremos.

De vuelta al Explora 1. Para poder resolver el problema del

realiza un experimento con datos inventados por ti cuya media sea de 85 pesos. 2. Después de tener los datos consolidados, duplícalos duplícalos y obtén la media. • ¿Cuál fue el valor resultante de la media? • ¿Cuál sería el nuevo valor de la media si en vez de duplicar todos los valores se triplicaran? tripli caran? • ¿Sucede siempre lo mismo? 3. El hermano de Adriana pensó que les estaba pidiendo mucho dinero a sus amigos. Al recapacitar sólo les pidió que, además de lo que ya habían dado, todos aportaran 12 pesos más. • ¿Cuál es el valor resultante de la media? • ¿Se puede encontrar dicho valor de la media sin conocer exactamente los valores de los datos? dat os? • ¿Siempre sucederá lo mismo? E XPLORA

167


Practica 1. La siguiente tabla muestra las ganancias que obtuvo Rodrigo en la semana: Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo Do

$16

$20

$35

$20

$16

$50

$50

• ¿El valor de la media puede ser mayor que la mayor ganancia? ¿Por qué? • ¿El valor de la media está entre el valor mayor y menor? ¿Puedes dar otros

datos en donde la media no sea necesariamente mayor o menor que los datos?, anótalos. • ¿Cuántos valores son mayores o iguales que la mediana y cuántos son menores o iguales? • Si la ganancia del domingo fuera de 100 pesos, ¿el valor de la mediana se modificaría? ¿Por qué? • Si la ganancia del domingo fuera de 100 pesos, ¿el valor de la media se modificaría? ¿Por qué? 2. Matías quiere inscribirse a equipo de basquetbol en el centro deportivo de su

colonia. El instructor le dijo que podía escoger entre tres equipos. Para decidir a cuál se inscribirá, Matías analizó una tabla con los puntos obtenidos por los tres equipos en los últimos cinco partidos jugados. Equipo

Partido 1

Partido 2

Partido 3

Partido 4

Partido 5

Jaguares Jagu ares

67

87

54

99

78

Lobos

85

90

44

80

46

Leones

32

101

65

88

55

• Matías quiere unirse al equipo que le está yendo mejor. Por lo tanto ordenó

los equipos por sus puntajes promedio. • ¿A qué equipo le conviene unirse?, ¿por qué? • Si en vez de usar la media, Matías utiliza la mediana para evaluar los ejemplos, ¿a qué equipo debe unirse?, ¿por qué? • Supongamos que tú eres el entrenador de los Leones y te hacen una entre vista. ¿Qué datos dat os te conviene usar, la media o la mediana de puntos? • ¿Cuál dato refleja mejor el desempeño de los Leones: la media o la mediana? 3. Argumenta y comprueba con datos elegidos por ti la siguiente afirmación: • Si cada uno de los datos de una muestra se le resta la media y luego se su-

man esas diferencias, la suma resultante es igual a cero. 168

168

L 24

B3

4. Argumenta y comprueba con datos elegidos por ti la siguiente afirmación: • Si se multiplica la media por el número de datos se obtiene la suma de los

datos. 5. A la salida de un u n supermercado supermerc ado se le preguntó pre guntó a un grupo de d e personas la l a can-

tidad de dinero que habían gastado en la compra de alimentos. Las respuestas fueron las siguientes: $350, $390, $280, $930, $620 y $250. • ¿Cuál es el promedio de estas ventas? • Dos personas que salieron después mencionaron que habían gastado $470 cada una. ¿Cómo influyen estos dos valores en el nuevo promedio de las ocho ventas? • Otra persona dijo que se gastó $650 en alimentos. ¿Cómo influye este nuevo valor al promedio de las la s nueve ventas? ventas ? • ¿Cuál es el valor promedio?

Evalúa tu avance 1. Berenice comparó el costo de un boleto de autobús de la Ciudad de

México a Xalapa en distintas líneas terrestres y registró lo siguiente: Línea A

Línea B

Línea C

Línea D

Línea D

$800

$650

$970

$1 000

$780

Después vio que había otras dos líneas de autobuses para llegar al mismo lugar y observó que no se modificó la mediana de los datos anteriores. • ¿Cuáles fueron esos datos? a. $500 y $550 b. $700 y $500 c. $700 y $1 800 d. $800 y $900 2. Un auto viaja a una velocidad de 80 km/h durante dos horas y después a

una velocidad de 120 km/h durante ocho horas. • ¿Cuál sería la velocidad promedio si al final pasa una hora en el

tránsito a 0 km/h? a. 112 km/h b. 120 km/h c. 95.4 km/h d. 101.8 km/h 169



conversión de unidades del sistema inglés inglés al Sistema 7. Se sabe que la conversión

Subraya la opción opció n que consideres correcta y, al terminar, con la guía del maestro, revisa en grupo tus respuestas. 1. Perla resolvió correctamente el siguiente ejercicio en un examen,

para ello siguió en forma acertada las condiciones de la jerarquía de las operaciones al realizarlo. • ¿Cuál es el resultado que encontró? encontró? 2 13 � 7 � 2 � 4 � (5 � 42) � (11 � 3)2 / √16 � 6 � a. 172 b. 1 c. 68 d. �392

Internacional (SI) de Unidades cumple con una relación de proporcionalidad directa. Luego, si analizamos la siguiente tabla que presenta la conversión de diferentes medidas de longitudes en pies (ft) del sistema inglés a centímetros (cm) del SI: • ¿Cuál es la constante constante de proporcionalidad que permite permite transformar las medidas de la tabla en pies a centímetros y cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? Medida en pies (ft)

2

3

5

6

10

Medida en centímetros (cm) 60.96 91.44 152.4 182.88 304.8

r esolver en el pizarr pizarrón ón los l os siguientes s iguientes dos ejercici ejercicios os de de 2. Jesús debe resolver multiplicación y división de expresiones algebraicas:

a. k � 30.48; y � 30.48 x

2

( x x � 5 x � 25) ( x � 5) � 24y y � 15 x 5 y 2 � 2 x y 6

b. k � 0.0328; y � 0.0328 x c. k � 0.0328; y � 0.0328 x d. k � 30.48; y � 30.48 x

7 3

�

16 x 3 y 2

• ¿Cuáles son las respuestas respuestas que debe obtener? a. x 3 � 125; 18 x 4y � 9 x 2 � 3

2

y 4

secundaria se encuestó a los alumnos alumnos de segundo 8. En una escuela secundaria

4 x 2 10 5

b. x � 10 x � 50 x � 125; �4 x y

�

5 2

c. x 3 � 10 x 2 � 50 x � 125; �4 x �4y �1 �

8 4

x y 5 2

�

grado para conocer cuál es su deporte favorito. A partir de la información obtenida, se realizó el siguiente polígono de frecuencias:

x 4y 8

x �2y 0 �

3 x �2y �4

a. p2 � 49 y 18 p2 � 26

b. p2 � 14 p � 49 y 81 p2 � 169

c. p2 � 14 p � 49 y 81 p2 � 169

d. p2 � 49 y 18 p2 � 26

4. ¿Cuál de las siguientes opciones incluye la operación que te permi-

te calcular la suma de ángulos interiores de un octágono regular?

c.

8 (8 � 3) 2

b.

180º (8 � 2) 8

d. 180º (8)

terraza en el jardín de su casa. 5. La señora Gloria va a construir una terraza Ella quiere que el piso sea de mosaicos de formas iguales, que cubran toda la superficie de la terraza y que no se empalmen ni queden huecos entre unos y otros. • ¿Cuál de las siguientes formas formas no debe escoger pues no cumple con los requisitos para cubrir el área de la terraza? a. Hexágono regular b. Cuadrado c. Decágono regular d. Triángulo equilátero 6. El médico le recetó a Amador un jarabe que alivia las molestias de la tos y le indicó que tome 15 centímetros cúbicos tres veces al día, durante cinco días. • ¿Cuántos mililitros mililitros de jarabe habrá consumido consumido Amador al terminar terminar su tratamiento? a. 22.5 ml b. 225 ml c. 22 500 ml d. 0.225 ml 170

Alumnos de 2º grado

3

5 y 4 d. x 3 � 125; �4 x 4y � x 2 � 2 2 3 x productos notables: ( p p � 7)2 y (9 p � 13) 3. Tras calcular los siguientes productos (9 p � 13), las respectivas respuestas son:

a. 180º (8 � 2)

50

40

30

20

10

Futb Fu tbol ol

Basq Ba sque uetb tbol ol

Futb Fu tbol ol americano

Beisbol

Otros

• ¿Cuántos alumnos participaron en la encuesta encuesta y qué porcentaje porcentaje mostró preferencia por el futbol? a. 140 encuestados; 32.14% b. 145 encuestados; 31.03% c. 150 encuestados; 30% d. 150 encuestados; 33.33%. en computación. Para acreditar el 9. Daniel concluyó un diplomado en curso debía obtener una calificación calificació n mínima de 8 tras promediar seis evaluaciones parciales. Sabe que su puntuación más baja fue un 6; que la más alta fue un 10; que la mediana de sus calificaciones fue 8.5, en tanto que la moda fue 9 (esto debido a las dos únicas califi caciones que se repitieron), pero desconoce su última calificación; aun así, se enteró que su promedio final fue mayor a 8. • ¿Cuál fue su última última calificación obtenida y qué promedio final alcanzó? promedio final = 8.17 8.17 a. Última calificación = 7; promedio b. Última calificación = 6; promedio final = 8.00 c. Última calificación = 8; promedio final = 8.33 d. Última calificación = 9; promedio promedio final = 8.50 8.50

B3

3


• Del Sistema Métrico Decimal al Sistema Internacional de Unidades A lo largo de la historia siempre ha sido importante medir, de forma confiable, y lo más exacto posible. Pero, ¿qué es medir? Significa comparar el objeto o cualidad que se desea cuantificar con una unidad o patrón de medida, previamente definido. Al resultado de esa comparación le llamamos medición. Así, no es difícil imaginar por qué los primeros sistemas de medición tenían por patrones, e incluso como instrumentos, partes del cuerpo humano (como el largo del pie, los brazos o los dedos), u objetos del entorno, como una vara. Si dos pueblos cercanos usaban, por ejemplo, la vara como unidad para medir longitudes, no necesariamente significaba que la medición fuera idéntica en ambos lugares; es conocido el caso de la vara castellana, cuya medida era de 0.8359 m, y la vara aragonesa, con valor de 0.7704 m, ambas usadas en reinos cercanos de la antigua España. Este tipo de detalles suscitó conflictos y disputas sobre todo en el comercio. 1. Imagina que eres un poblador del antiguo reino de Castilla que ha

decidido mudarse al reino de Aragón, y quieres comprar un terreno para construir tu casa. El vendedor aragonés tiene un terreno rectangular de 30 varas de largo por 21 varas de a ncho. Tú haces un cálculo aproximado del área basado en tus conocimientos previos y aceptas el trato. Sin embargo, desconoces que las varas en Aragón miden lo mismo que las de Castilla, así que te sientes engañado al medir tu terreno, ya que, el área es menor a la esperada. Al reclamar al vendedor aragonés éste responde que ha sido claro en la oferta y se muestra indignado ante tus acusaciones. ⇒ Con base en la información dada responde: • ¿Cuáles son las dimensiones del terreno, en metros, si usas como unidad de medida la vara castellana? • ¿Y si usaras como unidad la vara aragonesa? • ¿Cuál es la diferencia de área, en metros cuadrados, entre los dos terrenos: el imaginado por el castellano y el real del aragonés? La mayor contribución al desarrollo y establecimiento del sistema de unidades se dio cuando el rey de Francia, Luis XVI, ordenó la instauración de un comité de sabios entre los cuales destacó Antonio Lorenzo de Lavoisier. Dicha comisión logró, en 1791, obtener unidades patrón para la longitud y el peso: el metro y el grave (que después fue redefinido y llamado kilogramo), respectivamente, además de fabricar registros físicos de los mismos. Los trabajos de esta comisión, sentaron las bases para la creación del Sistema Métrico Decimal, que fue obligatorio por ley en Francia en 1800. Lavoisier comentó “nada más grande ni más sublime ha salido de las manos del hombre que el sistema métrico decimal”. 2. El Sistema Métrico Decimal tiene como unidad base al metro y sus

múltiplos y submúltiplos varían en función de la base 10. Su objetivo es “la unificación y racionalización de las unidades de medición, y de sus múltiplos y submúltiplos”. Sus unidades deben cumplir con las cualidades de neutralidad, universalidad, practicidad y fácil reproducción.

En sus inicios tenía como unidades básicas al metro y al kilogramo, y de ellas se obtenían algunas unidades derivadas. ⇒ Realiza una tabla en la que muestres cada prefijo para los múltiplos y submúltiplos, así como su valor con respecto a la unidad base. ⇒ Indica una situación real en la que sería conveniente usar cada una de estas unidades, por ejemplo: usar el “centímetro” para medir este libro de texto. Debido a que las naciones rechazaban el nuevo régimen revolucionario que impuso la república francesa, la introducción y aceptación del sistema métrico en el mundo fue lenta en un inicio. 3. En 1832, el matemático alemán Karl Gauss publicó el uso de un

sistema métrico con la adición del “segundo” como unidad del tiempo y a las unidades del centímetro para longitud y al gramo para masa, en lugar del metro y el kilogramo, respectivamente. En 1874 que se convenció a las autoridades británicas y se estableció el sistema CGS o cegesimal. En 1875, se firmó la Convención del Metro, hecho que marcó la aceptación e implementación universal del sistema métrico en todos los países del mundo. ⇒ Se sabe que el segundo no es una unidad “decimal”, sino “sexagesimal”. Explica a qué se refiere esto. El sistema sexagesimal es también conocido por ser el referente para la medición de ángulos, para los cuales existe otra unidad de medida: el radián. ⇒ Investiga: ¿Cuál es la definición de un “grado sexagesimal” y de un “radián”? ⇒ Dada la relación de equivalencia existente entre estas dos unidades de medición de ángulos, Grados � Radianes , realiza las 180º π siguientes conversiones: a. 30°, 80°, 125° y 240° a radianes; b. 112 π, 14 π, 23 π y 75 π a grados sexagesimales. A partir de 1889 se adoptó en todo el mundo el Sistema Métrico Decimal. Sin embargo, para 1921 las necesidades de medición tanto para la ciencia como para el comercio hacían necesaria la implementación de nuevas unidades de medida y la redefinición de las ya conocidas. Durante la XI Conferencia General de Pesos y Medidas, el Sistema Métrico Decimal evolucionó para convertirse en un sistema bastante más completo, y que actualmente es usado por cerca del 95% de la población mundial: el Sistema Internacional (SI) de Unidades. 4. Inicialmente, el SI contaba con seis unidades físicas llamadas “fun-

damentales”, pero en 1971 se añadió la séptima y última unidad básica: el mol. ⇒ Investiga el valor de los siguientes prefijos actuales para cantidades muy grandes o muy pequeñas: mega, giga, tera, peta, exa, zetta, yotta; y micro, nano, pico, femto, atto, zepto, yocto. ⇒ Enlista, para cada una de estas unidades fundamentales, un ejemplo real de una magnitud muy grande o muy pequeña en la que se utilicen los prefijos antes mencionados. t El Sistema Métrico Decimal

se introdujo en México el 15 de marzo de 1857, este es un timbre conmemorativo. 171


BLOQUE 4

a

b


c S E J E

Patrones y ecuaciones

sucesiones • Representarán de números enteros a

L25 Construirás sucesiones de números enteros a partir de las reglas alegraicas que las definen. Obtendrás la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

partir de una regla dada y viceversa. problemas • Resolverás que implican el uso de las

a. Las conchas como las de los nautilus tienen una estructura matemática en forma de espiral.

b. La luz que emiten los faros gira 360º para guiar a los barcos que navegan cerca de las costas.

c. La gráfica es un recurso visual que representa datos numéricos.

d. Para que los juegos mecánicos sean seguros necesitan ser instalados con precisión matemática.

e. Los dados se utilizan en diversos juegos de azar.

f. Los resultados de las votaciones arrojan datos estadísticos.

172

ecuaciones de la forma: ax � b � cx � d , donde los coeficientes son números enteros fraccionarios o decimales positivos y negativos. interpretarás • Identificarás y expresarás relaciones de proporcionalidad directa o inversa algebraicamente o mediante tablas o gráficas. problemas que • Resolverás implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y mediana.



L26 Resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax � b � cx � d y con paréntesis en uno o ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros fraccionarios o decimales positivos y negativos.

L81 L2

B2 B4

B4 COMPETENCIAS


d

F O R M A ,

f

e

E S P A C I O

Y

M E D I D A

M A N E J O

D E

L A


Medida


L27 Caracterizarás ángulos inscritos y centrales en un círculo y analizarás sus relaciones.

L28 Analizarás las características de una gráfica que

represente la relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

L29 Analizarás situaciones problemáticas asociadas a

fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representarás a la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y � ax � b.

Análisis y representación de datos L30 Resolverás situaciones de medias ponderadas.

173


Engánchate

De sucesiones y números divinos ¿Has notado alguna vez que muchos objetos y fenómenos naturales siguen un patrón numérico o sucesión? La naturaleza nos brinda una enorme variedad de ejemplos que cumplen con esta condición: desde la disposición de las flores, las hojas o las ramas de muchas plantas, o incluso sus propias semillas, hasta la dinámica poblacional de algunos seres vivos, como los zánganos de las abejas. También la formación de huracanes y tornados es clara muestra de cómo los fenómenos de la naturaleza se ajustan a patrones numéricos. De hecho, más allá de nuestro entorno, los astrónomos han descubierto un gran número de galaxias cuyo desarrollo también sigue algún patrón matemático.

p La Vía Láctea, tal como la enorme mayoría de las galaxias del Universo que

conocemos, tienen una perfecta forma de espiral.

174

L21

B4 B4

p En el núcleo de la flor de girasol (a) se forma una red de espirales, unas que van

en el sentido de l as agujas del reloj y otras al contrario, pero en cualquiera de los casos, siempre, las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci (b).

Entre todas las secuencias matemáticas que modelan éstos y otros fenómenos, la más famosa e interesante es la sucesión de Fibonacci. A través del tiempo, múltiples personalidades se han visto atraídas por el misterio que esta secuencia genera, al grado de concebirla cercana a un poder divino o sobrenatural. Arquitectos, escultores, artistas, músicos, científicos, todos han usado esta sucesión numérica para complementar sus obras o trabajos, a veces intencionadamente, otras sin siquiera darse cuenta, pero en cada caso, obteniendo siempre un resultado extraordinario. Según los estudios, esto obedece a que la razón entre un par de números consecutivos de Fibonacci se aproxima a la proporción áurea o divina proporción, número descubierto en la Antigüedad que posee muchas propiedades interesantes y cuya aplicación en las artes y la arquitectura da un valor estético a las formas que guardan esta proporción en sus medidas, es decir, cuanto más se acercan las razo nes de las medidas de un objeto a la “razón dorada”, más bello y agradable resulta a la vista. • ¿Deseas conocer más acerca de las sucesiones numéricas como las de Fibonacci? Te invitamos a descubrirlas.

Lee

más...

Practica diversos acertijos y problemas que involucran a la sucesión de Fibonacci: http://www.uam.es/personal_ pdi/ciencias/ehernan/Talento/ LuisPozo/fibonacci.pdf Libros del Rincón: Corrian, Lucía, La Europa del Renacimiento, México, SEP: SERRES, 2002.

175



Lección

25

Construirás sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtendrás la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros

Explora

El ahorro de Fernando Fernando se hizo el propósito de ahorrar diariamente antes de un viaje que hará con sus papás dentro de 245 días. Si su ahorro desde el inicio ha ascendido de acuerdo con la siguiente sucesión: 19

23

27

31

35

39

43

• ¿Cuál será el ahorro de los siguientes siete días? • ¿Cuál será el ahorro del día 15? • ¿Cuánto habrá ahorrado para el día 245?


• Desarrollo de sucesiones 1. En las siguientes tablas, sustituye los diversos valores de la columna de la izquierda ( n) en las expresiones algebraicas

de la columna central y obtén su resultado. Usa tu calculadora y verifica si sigue la jerarquía de operaciones que aprendiste en la lección 17. n 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 176

Tabla 1 3 � (n � 1)(5)

Resultado

n 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2 �10 � (n � 1)(3)

Resultado

L25

n

Tabla 3 17 � (n � 1)(�6)

Resultado

n

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

Tabla 4 �3 � (n � 1) (�4)

B4

Resultado

2. Los términos de la columna de resultado de cada una de las tablas conforman

una sucesión. Escribe el primer término de cada tabla: Tabla 1: Tabla 2: Tabla 3: Tabla 4: • ¿Estos primeros términos tienen alguna relación en las expresiones algebraicas respectivas?, ¿cuál? • En cada una de las tablas, ¿los términos aumentan o disminuyen? Escribe lo que observas en cada caso. Tabla 2: Tabla 1: Tabla 3: Tabla 4: • ¿Siempre aumenta o disminuye de la misma forma?

Tabla 1: Tabla 3:

Tabla 2: Tabla 4:

3. Escribe cuánto aumenta o disminuye entre los términos de cada una de las suce-

siones. En caso de que haya disminución represéntalo con un signo negativo: Tabla 1: Tabla 2: Tabla 3: Tabla 4: • Este aumento o disminución, ¿lo ves reflejado en las expresiones algebraicas

respectivas?, ¿en qué parte? • ¿Cómo son los resultados de cada tabla?, ¿todos son positivos o todos negativos o hay de ambos? Tabla 1: Tabla 2: Tabla 3: Tabla 4: • A partir de las expresiones algebraicas de cada tabla, ¿podrías deducir lo

anterior? ¿Cómo? • En una sucesión cuya expresión algebraica es 12 � ( n � 1)(�8), ¿podrías saber, sin desarrollarla, cuál es el primer término, si aumenta o disminuye, cuánto aumenta o disminuye, si todos sus términos serán positivos o negativos o si habrá de ambos? ⇒ Responde primero cada cuestión y luego compruébalo desarrollando la sucesión. 177


4. Revisa tus respuestas contrastándolas con las de tus compañeros y lleguen a un

acuerdo. 5. Después, completa la siguiente tabla resumen: Tabla 1

Tabla 2

3 � (n � 1) (5)

10 � (n � 1)(3)

�

Tabla 3

Tabla 4

17 � (n � 1)(�6)

3 � (n � 1)(�4)

�

Primer término Cuánto avanza o disminuye Sucesión creciente o decreciente Términos positivos, negativos o ambos (cuál primero y cuál después)

• ¿Cuál sería el término 50 de cada tabla?

Tabla 1: Tabla 2: Tabla 3: Tabla 4: • ¿Qué procedimiento hiciste? • ¿Cómo comprobarías que el término 98 pertenece a la sucesión de la tabla 1?, ¿cómo sabrías la posición del término? • Escribe y discute tu método con tus compañeros y lleguen a un acuerdo.

• Construcción de sucesiones 1. Dadas las siguientes sucesiones de números, construye una regla general para

cada una y responde lo que se te solicita: Sucesión de números S1:

0, �5, �10, �15, �20, �25, �30, ...

S2:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

S3:

12, 7, 2, �3, �8, �13, �18, ...

S4:

12, �7, �2, 3, 8, 13, 18, ...

�

Regla general a1 �

d �

an � a1 �

d �

an � a1 �

d �

an � a1 �

d �

an �

• De las sucesiones anteriores, ¿hay algunas que aumenten o disminuyan de • • • • 178

la misma forma?, ¿cuáles? ¿En que son diferentes las sucesiones que disminuyen de la misma forma? ¿Cómo son los términos de las sucesiones que disminuyen de la misma manera? ¿todos negativos, todos positivos, de ambos? ¿A qué se debe que una sucesión tenga tanto términos positivos como negativos? ¿En qué otra sucesión pasa esto?

L25

2. Intenta escribir la regla para dos sucesiones en la que al desarrollarlas, algunos

de sus términos sean positivos y otros negativos. Luego, comprueba la regla. • ¿A qué se debe que una sucesión tenga sólo términos positivos, o sólo términos negativos? Fíjate en las reglas generales de las sucesiones en las que pasa esto. 3. Intenta escribir la regla para dos sucesiones en la que al desarrollarlas, todos

sus términos sean positivos o negativos. Luego, comprueba la regla. 4. Calcula los términos que se piden para cada sucesión de la tabla anterior:

El término 40 de S1: El término 100 de S2: El término 86 de S3: El término 95 de S4:

El término 201 de S2: El término 500 de S3: El término 60 de S1: El término 45 de S4:

• ¿Qué otras sucesiones hay?

Para tu apunte Una sucesión es un conjunto de números que se encuentran uno en seguida del otro, y que llevan un orden determinado. Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Para denotar estas últimas se utilizan los tres puntos suspensivos. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, ... Se dice que una sucesión es una progresión aritmética si la diferencia entre cada término consecutivo es constante, es decir, si aumenta o disminuye la misma cantidad. A la diferencia constante se le llama diferencia de la progresión y se denota con la letra d . La regla general para las sucesiones aritméticas es: an � a1 � (n � 1)d

1. Observa las siguientes sucesiones de números e identifica cuáles son progre-

siones aritméticas y cuáles no. Si lo son, entonces escribe la regla general; y si no, explica por qué no son aritméticas: Sí es aritmética. Regla general

Sucesiones

No es aritmética. Explica por qué no

3, 5, 8, 12, 17, 23, ...

B4

para los valores de n = 1, 2, 3, 4, ... y donde a1 es el primer término de la sucesión: a1 � a1 � (1 � 1)d � a1 � (0)d � a1 a2 � a1 � (2 � 1)d � a1 � (1)d � a1 � d a3 � a1 � (3 � 1)d � a1 � (2)d � a1 � 2d a4 � a1 � (4 � 1)d � a1 � (3)d � a1 � 3d

...

12, 8, 4, 0, �4, �8, ...

Por ejemplo, si una sucesión está denotada por la regla general:

11, 14, 34, 37, 47, 50, ... 13, 23, 43, 73, 113, ...

an � 8 � (n � 1) (�3)

24, 21, 18, 15, 12, ...

entonces, para encontrar los términos que componen esta sucesión, se sustituyen los valores para n � 1, 2, 3, 4, ...

1, 8, 15, 22, 29, ... 1, 3, 9, 27, 81, ...

a1 � 8 � (1 � 1)(�3)� 8 � (0)(�3)� 8 � 0� 8 a2 � 8 � (2 � 1)(�3)� 8 � (1)(�3)� 8 – 3 � 5

1, 4, 9, 16, 25, ...

a3 � 8 � (3 � 1)(�3)� 8 � (2)(�3)� 8 � 6� 2 a4 � 8 � (4� 1)(�3)� 8 � (3)(�3)� 8 � 9 � �1

...

Pongámonos de acuerdo Si la siguiente sucesión representa la temperatura en grados centígrados de una ciudad conforme transcurre cada hora durante las próximas 20 horas: 3,

1,

1,

�

3,

�

5,

�

...

Otra forma de hallarlos, es simplemente identificando el primer término a1, que es 8, y el valor de d que es �3, lo cual significa que la sucesión va disminuyendo de 3 en 3, por lo tanto: 8, 5, 2, �1, �4, �7, �10, ...

y donde el primer valor representa la temperatura cuando se inicia el registro y no ha transcurrido aún una hora, el segundo valor cuando pasó una hora, y así sucesivamente. 179


Para tu apunte Para encontrar la regla general de una sucesión aritmética a partir de una sucesión dada, primero se identifica el primer término de la sucesión (a1) y luego, la cantidad que aumenta o disminuye entre cada término sucesivo (d ). Con estos dos valores se construye la regla sustituyéndolos en la expresión de las sucesiones aritméticas:

1. De acuerdo con lo descrito en el problema, reunidos en parejas, completen la

siguiente tabla: Horas transcurridas

n

0 1

1 2 3 4 5 6

Regla general an � ______ � (n � 1) ______

Resultado 3 1 �1

an � a1 � (n � 1)d

Por ejemplo, en la sucesión: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... La diferencia de la progresión (d ) es igual a 3, ya que la sucesión aumenta de 3 en 3; y a1 es igual a 1, por ser el primer término de la sucesión. Por lo tanto, regla general es: an � 1 � (n � 1)(3)

• ¿Cuál es el valor de a1 y qué significado tiene? • ¿Cuál es el valor de d y qué significado tiene? • Si deseamos saber qué temperatura habrá cuando transcurran diez horas, ¿qué término (n) de la sucesión hay que calcular? • ¿Cuál es la temperatura al transcurrir 10 horas? • Si calculamos la temperatura del término 16 (n = 16) de la sucesión, ¿a cuántas horas transcurridas equivale éste? • ¿Cuál es la temperatura para el término 16? 2. Calcula el valor de la temperatura después de 20 horas. • ¿Qué valor de n utilizaron para el cálculo anterior? 3. Una vez que respondan lo anterior, desarrollen la sucesión de las 20 horas y comprueben sus resultados. Pidan ayuda a su maestro en caso de que sus resultados no coincidan. Lleguen en grupo a una conclusión común.

De vuelta al Explora 1. Retoma el problema del E XPLORA y responde lo siguiente: • ¿Cuál fue el ahorro inicial de Fernando? Es decir, cuando no ha transcurri-

do ningún día. • ¿Cuánto dinero ahorra al día? • ¿Es una sucesión aritmética? • Después de un día, ¿cuánto dinero llevaba ahorrado? • ¿Qué posición ( n) tiene el resultado anterior? • Cuando pasaron dos días, ¿cuánto dinero llevaba ahorrado? • ¿Qué posición ( n) tiene el resultado anterior? • Si queremos calcular el ahorro de Fernando cuando transcurrieron siete días, ¿qué valor de n o qué posición tenemos que buscar en la sucesión? • ¿Cuál es el ahorro a los siete días? • ¿Cuál será el ahorro de los siguientes siete días? 2. Escribe la regla general de la sucesión. • ¿Cuál será el ahorro del día 50? • ¿Cuál será el ahorro del día 245 en que se va de vacaciones? 180

L25

Para tu apunte

Practica 1. Encuentra el valor de d e indica en cada una de las siguientes sucesiones si es

2.

3.

4.

5.

B4

creciente o decreciente: a. 4, 9, 14, 19, ... b. 4, �1, �6, �11, ... c. 6, 10, 14, 18, ... d. 2, �11, �24, �37, ... e. 9, 7, 5, 3, 1, ... Para cada una de las siguientes sucesiones encuentra la expresión para el término n y proporciona los que se te pidan: a. 3, 8, 13, ... Proporciona los términos 10, 15 y 20. b. �9, �5, �1, ... Proporciona los términos 10, 25 y 50. c. 11, 18, 25, ... Proporciona los términos 60, 70 y 80. d. 27, 13, ... Proporciona los términos 100 y 101. e. 1, 4, 7, ... Proporciona los términos 15 y 16. Lee las siguientes situaciones y evalúa en cada una si son o no sucesiones: a. La diferencia de edades de dos hermanos que hoy se llevan 3 años. b. Lo que te cobran por cada kilogramo de tortillas si por el papel con el que las envuelven te cobran $1.00 sin importar cuántos kilos compres. c. Las páginas leídas de un libro y las que faltan por leer. d. El perímetro de un rectángulo si se aumenta la base 1, 2, 3 cm y la altura mide 4 cm. e. El área de un cuadrado. En un tanque hay 25 litros de agua. Comienza a llover de tal manera que un minuto después ya hay 28 litros de agua. Si la lluvia continúa cayendo al mismo ritmo durante 25 minutos: • ¿Cuántos litros habrá en el tanque de agua transcurridos los 25 minutos? Si los números 24 y 28 son los términos octavo y noveno de una progresión aritmética: • ¿Cuáles son los primeros tres términos de esta sucesión?

Evalúa tu avance 1. El señor Carlos aborda un taxi. Rogelio, el conductor, pone a funcionar el

taxímetro que marca 9.50 pesos; a los cinco minutos marca 14 pesos, a los diez minutos $18.50, y así continúa aumentando en forma progresiva. El señor Carlos sabe que su viaje va a tardar alrededor de una hora y cuarto: • ¿Cuánto marcará el taxímetro a la hora y cuarto? a. $85.50 b. $100.00 c. $95.50 d. $77.00

Una sucesión aritmética es aquella en la que la diferencia entre término y término es constante. Su regla general está dada por: an � a1 � (n � 1)d

donde a1 representa el primer término de la sucesión, d es la diferencia de la progresión y n � 1, 2, 3, ... representa la posición de cada término. Algunas características de las sucesiones aritméticas son: – El valor de d indica la cantidad del aumento o decremento entre término y término consecutivo. – Si d es positiva, significa que la sucesión es creciente y por lo tanto asegura que habrá términos positivos. – Si d es negativa, significa que la sucesión es decreciente y por lo tanto asegura que habrá términos negativos. – El valor de a1 indica el primer término de la sucesión, así que si es positivo, entonces la sucesión comienza con un número positivo, si es negativo, la sucesión comienza con un número negativo. – Si a1 > 0 y d > 0, significa que la sucesión comienza con un número positivo y como es creciente, todos sus términos serán positivos. – Si a1 > 0 y d < 0, significa que la sucesión inicia con un número positivo pero como es decreciente, luego habrá términos negativos. – Si a1 < 0 y d > 0, significa que la sucesión comienza con un número negativo y como es creciente, luego habrá términos positivos. – Si a1 < 0 y d < 0, significa que la sucesión inicia con un número negativo pero como es decreciente, todos sus términos serán negativos.

2. En una sucesión, los números 17, 23 y 29 ocupan las posiciones 13, 14 y 15,

respectivamente: • ¿Qué número ocupará la primera posición? a. �55 b. 72 c. 55 d. 6 181



Lección

Resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a x + b = c x + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

26

Explora

La mesada La mamá de Ana y Patricia les da una misma cantidad de dinero por mes para que salgan a pasear los fines de semana. Si a Ana le da billetes de $200 más $14 en monedas; y a Patricia le da un billete más que a Ana, pero de $100 y además $114 en monedas. • ¿Cuántos billetes les dieron a cada una? • ¿Cuánto dinero les dieron a cada una?


• El sube y baja Los trillizos Carlos, Alberto y Roberto juegan con Damián en el sube y baja. Los tres hermanos pesan los mismo y Damián pesa 43 kg. En cada lado se suben dos y el sube y baja se inclina hacia el lado donde están Roberto y Damián. Momento después, llega Paula, quien pesa 25 kg, y se sube en el lado donde están Carlos y Alberto, entonces el sube y baja se equilibra.

t El sube y baja también

se conoce como balancín. Es un juego tradicional infantil. 182

L26

B4

1. Haz un dibujo en donde muestres cómo estaba el sube y baja antes de que

llegara Paula. • Con esa información, ¿puedes calcular el peso de los trillizos? 2. Traza un dibujo en el que muestres cómo c ómo estaba el sube y baja después de que

llegara Paula. • Si el sube y baja está en equilibrio, ¿cómo deben ser la suma de los pesos en cada lado? • ¿Puedes calcular el peso de cada uno de los trillizos?, ¿cómo? • Cuando está en equilibrio el sube y baja, ¿qué pasaría si se bajan del juego Alberto y Roberto? • Si está en equilibrio, ¿qué ocurriría si se bajan Carlos y Roberto? • En la misma posición de equilibrio, ¿qué pasaría si se bajan Carlos, Paula y Damián? • ¿Qué ocurriría si se bajan Alberto, Paula y Damián de la posición de equilibrio? 3. Haz un dibujo en donde muestres cómo queda el sube y baja si Alberto y Ro-

berto bajaran de él y sólo quedaran Carlos, Paula y Damián. • Observa que de un lado tienes a dos personas y del otro sólo a una, ¿aún así están en equilibrio?, ¿qué significado tiene eso? • ¿Cuántos kilogramos más pesa Damián con respecto a Paula? • ¿Qué relación tienen esos kilogramos de más con el peso de Carlos? • Entonces, ¿cuál es el peso de Carlos, Alberto y Roberto? 4. Ya que conoces el peso de los trillizo trillizos, s, comprueba tu resultado: suma los pesos

en cada lado del sube y baja y verifica que sean iguales.

Para tu apunte Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. algebraicas. Se dice que una ecuación es de primer grado si en ella sólo hay una variable y ésta tiene exponente uno. Por ejemplo: 3 x � 4 � �2 x � 5 4(y � 9) � �(y � 3)

�

5. Compara tu resultado con el de tus compañeros, ¿coinciden? Expliquen por

escrito qué procedimiento siguieron y coméntenlo con su maestro.

–12 x � 2 � –14 3.2 x � 5.1 � 4.6 � 7.3 x

• Áreas iguales El cuadrado y el romboide que aparecen en seguida están formados por cuatro figuras diferentes y ambos tienen la misma área. • ¿Cuál es el área del triángulo amarillo ( x )? )? x

4.16 cm2 8.32 cm 2

8.32 cm 2

4.16 cm 2 x x

x

x

8.32 cm 2

x

x

x

4.16 cm 2

4.16 cm2

4.16 cm 2 x x

183


1. Escribe una expresión algebraica para el área de cada figura:

Área del cuadrado: c uadrado: Área del romboide: 2. Como ambas áreas son iguales, iguala las expresiones anteriores:

Área del cuadrado = Área del romboide = 3. Compara las figuras por las que están formadas el cuadrado y el romboide.

Quita las que son iguales y que están en e n ambos como se muestra en el siguiente ejemplo. Continúa hasta que ya no haya figuras iguales:

x

8.32 cm 2

4.16 cm 2

8.32 cm 2

8.32 cm 2

x x

4.16 cm 2 x x

4.16 cm 2

x x

x

4.16 cm 2 4.16 cm 2 x

x

• ¿Cómo es el área que queda cada vez que quitas una figura igual del cuadrado

y del romboide? 4. Dibuja las figuras que quedaron al final. 5. Escribe una ecuación que indique cómo son las áreas anteriores. ⇒ Intenta dejar sólo el valor desconocido ( x x ) en el lado de la igualdad en el que se encuentra; para ello, réstale en ambos lados la cantidad que está junto al valor desconocido. Puedes Puede s ayudarte del dibujo. di bujo. • ¿Cuál es el valor de x : el área del triángulo amarillo? 6. V Verifica erifica tu resultado resu ltado sustituyendo su stituyendo el valor de x en en el área total del cuadrado y

del romboide. Comprueba que son iguales. 7. Compara tu resultado con el de tus compañeros y repasen el procedimiento

que hicieron para obtener el valor desconocido. 184

L26

B4

Para tu apunte Para resolver una ecuación de primer grado donde la variable aparece en ambos lados de la igualdad, es necesario reducirla de forma que la incógnita termine en un sólo lado de la igualdad. Para ello, se procede a operar en ambos lados de la ecuación de manera que no se rompa la igualdad que hay entre las dos expresiones, esto es, sumas o restas la misma cantidad en ambos lados, multiplicas o divides por la misma cantidad en ambos lados. Estas operaciones se eligen intencionalmente para dejar a la variable de un solo lado. Por ejemplo:

3(5 x � 4) � 2(4 x � 8)

Para quitar los paréntesis, se multiplican los números que están delante de cada paréntesis con la expresión que está dentro.

15 x � 12 � 8 x � 16 15 x � 12 � 12 � 8 x � 16 � 12

Se restan �12 de cada lado con la intención de eliminar �12 del lado izquierdo, y conseguir así que el término 15 x quede quede solo. Se suman o restan los términos semejantes de ambos lados.

15 x � 8 x � 28 15 x - 8 x � 8 x � 28 � 8 x

Se restan �8 x en ambos lados con la intención de eliminar 8 x del del lado derecho y así mantener a la variable x de de un solo lado. Se suman o restan los términos semejantes de ambos lados.

7 x � �28 7 x 7

�

�28 7

x � 4

Se divide entre 7 ambos lados de la ecuación de manera que el coeficiente de la variable x , resulte 1. Se hace la operación de la división en ambos lados de la ecuación. Se tiene, finalmente, el valor desconocido.

• Las hamburguesas La familia López García se dedica a la venta de hamburguesas los fines de semana. Ellos tienen dos puestos en diferentes colonias: Gustavo se encarga del que está en la colonia El Rosedal y su hermano Samuel del que se ubica en Pensiones. Samuel vende las las hamburguesas a tres pesos pesos menos que Gustavo. Gustavo. El sábado Gustavo Gustavo vendió 30 hamburguesas y juntó $148 de propinas; por otra parte, Samuel vendió 35 hamham burguesas y juntó $28 de propinas. Al llegar a casa y revisar los ingresos se dan cuenta que ambos ganaron lo mismo. ¿A cómo da cada A cad a hamburguesa hamb urguesa cada hermano h ermano?? 1. Define con una incógnita el costo de las hamburguesas en cada puesto:

Costo de hamburguesa en el puesto de Gustavo: Costo de hamburguesa en el puesto de Samuel: • ¿Qué operación necesitas hacer para calcular los ingresos que tuvieron el sábado únicamente por la venta de las hamburguesas? hamburguesas esas y propinas) de cada uno: 2. Expresa los ingresos totales (venta de hamburgu Ingresos totales de Gustavo: Ingresos totales de Samuel: 3. Plantea una ecuación en donde muestres que los ingresos de Gustavo y Samuel

son los mismos. Después, resuélvela y encuentra el valor desconocido. • ¿A qué corresponde ese valor desconocido? c on los costos calculados, son iguales. 4. Comprueba que los ingresos, de acuerdo con 185


Para tu apunte Para plantear una ecuación a partir de una situación problemática, se necesita identificar la incógnita del problema y asignarle una variable. Una vez que se tiene la variable se relaciona con los datos que presenta el problema, se decide qué operaciones se realizan con la incógnita y se escribe la igualdad de las expresiones correspondient correspondientes. es. En ocasiones parece que el problema incluye dos incógnitas. Lo que se debe hacer es definir cuáles son los datos que se necesita saber, encontrar la correlación entre ellos y traducirlo a la operación matemática, por ejemplo: •

•

•

•

Dos números consecutivos: x , x � 1 Tres números consecutivos: x , x � 1, x � 2 Juan es 8 años mayor que Pedro: la edad de Pedro será x y y la de Juan será x � 8 Un número desconocido y su triple: x , 3 x

Pongámonos de acuerdo En la tienda de don José se venden dos marcas diferentes de leche en bote: Plusleche y Las Lomas. Al inicio del lunes hay el doble de botes de leche Las Lomas que de Plusleche. Durante todo el día sólo se vendieron 30 botes de la marca Las Lomas. Al final del día queda en la tienda el triple de botes de Plusleche que los de Las Lomas.

• ¿Cuántos botes de leche de cada marca había al inicio del lunes? 1. Reunidos en parejas respondan las siguientes preguntas:

• En el problema, ¿cuál, o cuáles, son los valores desconocidos? 2. Escriban una expresión algebraica para la cantidad de leche de cada marca.

Consideren que de una hay el doble que de la otra. Plusleche: Las Lomas: • ¿Cuántas leches se vendieron de cada marca? Plusleche: Las Lomas: • ¿Cuántas leches de cada marca quedaron al final del día? ⇒ Escríbanlo mediante una expresión algebraica. Plusleche: Las Lomas: Además, se sabe que al final del día la cantidad de botes que quedaron de Plusleche es igual al triple de botes que quedaron de leche Las lomas. 3. Escriban la ecuación que represente lo anterior: Bote Bo tess que que qued quedar aron on de de Plus Plusle lech chee

=

Número de ve vece cess

Bote Bo tess que que qu qued edar aron on de La Lass Lom Lomas as

=

4. Resuelvan la ecuación anterior. • ¿Cuántos botes de leche de cada marca había al inicio del lunes?

Plusleche: Las Lomas: 5. Con los valores encontrados, verifiquen, junto con su maestro, que se cumplan

las condiciones que plantea el problema al inicio y final del día. 186

L26

B4

Para tu apunte Otra forma de ver la resolución de una ecuación de primer grado de la forma ax � b � cx � d es es despejando la variable. Se entiende por despe jar a la acción acción de dejar dejar de un solo solo lado lado del signo signo de igual igual a la varia variable, ble, en donde donde los térmi términos nos con con la incó incógnita gnita suele suelen n pasarse pasarse del del lado lado izqui izquierdo erdo y los términos constantes del otro. Un término pasa de un lado a otro invirtiendo su operación, es decir, si de un lado suma, del otro resta; si de un lado divide, del otro multiplica y viceversa. Por ejemplo:

3(5 x � 4) � 2(4 x � 8) 15 x � 12 � 8 x � 16 15 x � 8 x � 16 � 12 15 x � 8 x � 2 28 8 15 x � 8 x � �28 7 x � �28 x � �28 7

x � �4

Para quitar Para quitar los los parént paréntesi esis, s, se mult multipl iplica ican n los térm término inos. s. x quede El +12, +12, que sum sumaa del lado izq izquier uierdo do,, pasa al lado lado derech derecho o restan restando do para para que que el térmi término no 15 x quede solo. Se suman los términos constantes. El término 8 x , que suma del lado derecho, pasa del lado izquierdo restando y así se tiene a la variable x de de un solo lado. Se restan los términos semejantes. El coeficiente 7, que multiplica a la x en en el lado izquierdo, pasa al lado derecho con su mismo signo dividiendo y deja a x despejada. Se hace la división del lado derecho y se tiene finalmente el valor desconocido.

De vuelta al Explora 1. Expresa algebraicamente la cantidad de billetes que reciben Ana y Patricia.

Toma en cuenta que una recibe uno más que la otra: Patricia: Ana: 2. Expresa algebraicamente el dinero total que recibe cada una:

Ana:

Patricia:

3. Plantea una ecuación para resolver la cantidad de billetes que recibe cada una. • ¿Cuántos billetes le dieron a cada una? • ¿Cuánto dinero les dieron a cada una?

Practica 1. Encuentra el valor de la variable en las siguientes ecuaciones:

a. b. c. d. e. f. g. h.

2 x � x � 3

–12 x � 4 � 5 � –14 x 9y � 1 � 20 � y 6.5 x � 30 � �28 � 3.5 x 1.2y � 5.4 � 0.8y � 7.4 4 x – – 7 � � x � 38 5 x � 19 � 4 x � 67 3y � 8 � 4y � 5.5

x � 9) � 2( x x � 6) i. 5( x j. –13 y � 2 � –16 y x � 3) � 6( x x � 5) k. 3 x � 4 � 2( x l. –25 y � 1 � –15 y � 2 x � 4) �2 � 2 x � 3 m. 4 x � 6( x n. 4.3y � 4.2 � 1.1y � 2.2 ñ. 4y � 6 � �2y � 12 x – – 4) � 16 o. 2.5( x

2. Omar tiene 30 estampitas de superhéroes menos que Mauricio. Si entre los dos

tienen en total 112 estampitas. • ¿Cuántas estampitas tiene cada uno? 187


3. El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3 metros más que su altura, es

igual al perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados congruentes miden lo mismo que la altura del rectángulo y cuyo lado diferente es 4 metros menos que los otros lados. • ¿Cuáles son las medidas del rectángulo? • ¿Cuáles son las medidas del triángulo? 4. Observa la siguiente balanza:

• Si cada canica roja pesa 30 gramos, ¿cuánto pesa cada canica verde? 5. En una fiesta de la escuela hay 26 niñas más que niños. Después de irse 15 niñas

y 15 niños, queda exactamente el triple de niñas que de niños. • ¿Cuántos niñas y niños había originalmente en la fiesta? 6. El área de cada rectángulo está dada en cm 2; si las bases y las alturas están

dadas en cm, ¿cuál es la longitud de la base de cada rectángulo? 4 x  2

área = 12

2 x – 1

3

área = 40

Evalúa tu avance 1. Tomás tiene $120 y compra seis tacos de carne asada. Si Renata compra cuatro tacos y paga justamente lo que

le sobra a Tomás: • ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar el costo de cada taco? a. 120 � 6 x � 4 x

b. 6 x � 120 � 4 x

c. 120 � 6 x � 4 x

d. 4 x � 6 x � 120

2. En la tlapalería El Faro venden una lata de pintura 31 pesos más barata que en la tlapalería El Árbol, así que con

la misma cantidad de dinero puedo comprar en El Faro cinco latas de pintura, mientras que en El Árbol sólo puedo comprar cuatro latas sin que me sobre nada de dinero. • ¿Cuánto cuesta la lata en El Faro? a. $150 b. $124 c. $138 d. $100 188

8

L27

B4

Medida

Lección

27

Caracterizarás ángulos inscritos y centrales en un círculo, y analizarás sus relaciones

Explora

Un libro especial

Para tu apunte

Elementos de Euclides es uno de los libros más importantes para las matemá-

Subtender se refiere a la parte de la cir-

ticas. Es un tratado geométrico hecho de 13 libros escritos por el matemático y geómetra griego Euclides cerca del año 300 a.n.e. Este libro era una guía de todas las matemáticas que se habían hecho hasta ese momento y la mayor parte de lo que has aprendido hasta ahora sobre Geometría. En el libro III. Proposición 32, dice:

cunferencia que abarca la abertura de un ángulo.

III.32. Si desde el punto de contacto de una tangente a una circunferencia se traza una cuerda de ésta, el ángulo que forman la tangente y la cuerda es igual al ángulo que subtiende la cuerda y cuyo vértice está en cualquier punto de la pared de la circunferencia que queda en el lado distante de la cuerda. (“Libro II, Proposición 32”. Elementos, primera traducción del Árabe al latín en 1482.) 1. Bosquejen lo que quiso decir Euclides con esta afirmación. 2. Analícenla, compréndanla e intenten comprobar dicha proposición.


• El faro Los faros son torres situadas a la orilla del mar en cuya parte más alta hay una lámpara muy potente que sirve para orientar a los barcos que navegan cerca de las costas. Los faros sólo pueden iluminar un cierto ángulo. 1. En seguida hay un esquema de una vista aérea de dos faros. Con ayuda de tu

transportador mide los ángulos de abertura que tienen los dos faros (que se representan como puntos) colocados en tierra firme alrededor de una bahía. 189


Para tu apunte

Faro 1

Para poder hablar en términos matemáticos necesitamos conocer el vocabulario técnico: Arco: Es una curva continua en una circunferencia definida por dos puntos, o por la longitud de la cuerda y el radio. Si se define por dos puntos, el arco tiene dos maneras de denominarse según la orientación.

Tierra firme

Bahía

Faro 2

Mar abierto

C

B

2. Observa que la abertura de los faros es una sección del círculo, a esta sección

A

Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado centro. A dicha distancia se le llama radio. Para ser muy precisos en el lenguaje podríamos decir que la circunferencia es sólo el perímetro de un círculo. Radio: Es cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Diámetro: Es el segmento que pasa por el centro y que une dos puntos opuestos de la circunferencia. El diámetro mide dos veces el radio.

se le llama arco. • ¿Cuánto mide el ángulo de abertura del faro 1? • ¿Cuánto mide el ángulo de abertura del faro 2? • ¿Se podrá colocar un faro con el mismo ángulo de abertura que el faro 1 en cualquier punto de la bahía? • ¿Qué pasaría si colocamos el faro muy cerca del mar abierto pero aún en la bahía? ¿Aún ahí se puede iluminar toda la entrada a la bahía con el mismo ángulo de abertura del faro 1? 3. En el esquema siguiente de una bahía, dibuja un faro que ilumine toda la en-

trada. Después, copia el ángulo de abertura de la luz del faro y ponlo en cualquier otro lugar de la orilla de la bahía. • ¿Ilumina toda la abertura de la bahía también?

Tierra firme

Bahía

Mar abierto

4. Junto con un compañero concluye qué pasa con el ángulo de abertura de cual-

quier faro cuya abertura cubra una cuerda específica. 190

L27

B4

• El alumbrado para los cocodrilos En el zoológico regional se quiere iluminar el lago artificial de forma circular, que es el hogar donde viven los cocodrilos, con lámparas que abarcan cierto ángulo. Si hay cinco modelos de lámparas disponibles: 1. Usa tu transportador y mide en los siguientes dibujos los diferentes ángulos de

abertura de las lámparas que se podrían colocar. a.

b.

c. Lámpara

Lámpara

Lámpara Lago Lago

d.

Lago

e. Lámpara Lámpara Lago Lago

• ¿En cuál de los dibujos las lámparas tienen un ángulo mayor de abertura? • ¿En cuáles de los dibujos la lámpara está exactamente en el centro del círculo? • ¿En cuáles de los círculos la iluminación de la lámpara es un ángulo inscrito

y en cuáles un ángulo central? • ¿Cuál es la diferencia entre un ángulo inscrito y uno central? • ¿Es posible diseñar un modelo de una sola lámpara que se encuentre en la circunferencia del lago y que tenga una abertura que ilumine todo el lago? • ¿En cuáles modelos los ángulos de abertura están formados por dos secantes? • ¿En cuáles modelos los ángulos de abertura están formados por un diámetro de la circunferencia? • ¿Podría haber un ángulo de abertura que esté formado por dos diámetros? Para tu apunte

• Una de matemáticas 1. Junto con un compañero, tracen cada uno un círculo de cualquier radio (de

preferencia mayor a 4 cm). Dibujen un ángulo central y un ángulo inscrito de tal manera que abran el mismo arco. 2. Midan los ángulos. • ¿Qué relación hay entre un ángulo inscrito y un ángulo central si ambos abren

el mismo arco?

Ángulo inscrito de una circunferencia es cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y las dos semirrectas que forman dicho ángulo sean secantes de la circunferencia (esto es, una recta que corte dos veces a la circunferencia).

Ángulo central de una circunferencia es cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia.

191


Para tu apunte Si dos ángulos, uno central y uno inscrito, subtienden el mismo arco, el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.

Pongámonos de acuerdo 1. Reunidos en equipos de tres personas respondan las siguientes preguntas. Hagan

los dibujos correspondientes que les ayuden a representar lo que se pregunta: • Si un ángulo inscrito subtiende un diámetro, ¿cuánto vale su ángulo central correspondiente? • ¿Cuánto mide cualquier ángulo inscrito cuya abertura sea la del diámetro de la circunferencia?

x

2 x

2. Compartan en grupo sus respuestas y concluyan junto con el maestro.

De vuelta al Explora Lo primero que puedes hacer cuando lees una proposición como la de Euclides es entender a qué se refiere: ⇒ Subraya las palabras que no conoces. ⇒ Búscalas en el diccionario. ⇒ Parafrasea el texto empleando palabras que tú entiendes. ⇒ Descompón el texto en partes más pequeñas y cada una tradúcela en una acción en un esquema. 1. Traza un bosquejo en tu cuaderno como el siguiente: T

A

C

Punto cualquiera en la circunferencia

B

El primer fragmento de la proposición 32 dice: “Si desde el punto de contacto de una tangente a una circunferencia se traza una cuerda de ésta”, se refiere a una recta tangente a la circunferencia. En el bosquejo, denominamos a ese punto A y trazamos una cuerda hasta B, por lo tanto la cuerda es el segmento AB. 192

L27

B4

2. Sigue leyendo lo que escribió Euclides y completa el bosquejo en tu cuaderno:

[…] el ángulo que forman la tangente y la cuerda es igual al ángulo que subtiende la cuerda y cuyo vértice está en cualquier punto de la pared de la circunferencia que queda en el lado distante de la cuerda. a. Marca el ángulo que forman la tangente y la cuerda (hay dos, indica el

ángulo agudo). b. Elige cualquier punto alejado de la cuerda e indícalo con la letra C . c. Subtiende desde C la cuerda, o sea, une con una recta ambos extremos de la cuerda con el punto C . Se refiere al ángulo ∠TAC = ∠ ABC . Es importante notar que el punto C puede ser cualquier punto sobre la circunferencia. T

A C

3. Júntate con una pareja y demuestren la proposición con ejemplos específi-

cos y observen que funciona en cualquier caso. Si quieren un reto aún más grande, compruébenlo para todos los casos.

Practica 1. Dado el siguiente cuadrilátero inscrito en una circunferencia, calcula α y β. C

α

A

α = 120° E B

β D

193


2. Encuentra el valor del ángulo α, sabiendo que la línea AB es un diámetro. A

α

37°

B

3. Si en el siguiente dibujo la línea FA es bisectriz del ángulo CAB... F B

C

A

E

D

⇒

Responde si cada uno de los siguientes incisos es verdadero o falso y justifica tu respuesta: a. ∠CDB � ∠CEB 1

b. ∠CAF � — 4 ∠CDB 1

c. ∠FAB � — 2 ∠CEB d. ∠CAB � ∠CDB + ∠CEB e. ∠CAF � 4 ∠CDB 194

L27

4. Nombra, en tu cuaderno, todos los ángulos que subtienden el arco BEC en las

siguientes dos imágenes: 2

1

E

D

A

B C C A

B

F E

D

5. Encuentra las medidas de los ángulos faltantes: P V

T

β°

Q

γ°

α°

42°

102°

R

76° 56°

S

R

δ° S

6. Entra a la página www.matematicasvisuales.com/html/geometria/circunferen-

cias/angcap.html, e investiga dinámicamente las relaciones entre el ángulo central e inscrito de un círculo. Asimismo, apóyate en esta herramienta para poder demostrar la Proposición 32 de Euclides.

Evalúa tu avance 1. Sea BC una cuerda que no es un diámetro. Definimos A, un punto cualquiera sobre la

circunferencia y A’ , otro punto sobre la circunferencia pero del otro lado que determina la cuerda. • ¿Cuánto vale ∠BAC + ∠CA’B ? a. 90º b. 180º c. 360 B d. 270º 2. En el siguiente esquema, ¿cuánto vale α? a. 180º b. 45º c. 60º d. 360º

2α

O α

C A

A’ 2

α

C

B

α

1

A

B4



Lección

28

Analizarás las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano

Explora

La inflación Al aumento generalizado de los precios durante un año se le denomina inflación. En 1987 México sufrió una de sus grandes caídas económicas, en las que la inflación fue del 160%. 1. Elabora una gráfica que represente la relación de cambio de artículos que

en 1986 (antes de la inflación) costaban $10, $20, $30, $40, $50, $60, $70, $80, $90 y $100 y lo que costaban en 1987 con la inflación del 160%. • ¿Qué características debe tener dicha gráfica? • ¿Qué unidades deben utilizarse en cada eje? • ¿Qué intervalos establecerías para cada eje?

Para tu apunte A esta gráfica se le llama proporcional directa. Entre sus características están que siempre atraviesa por el origen (0, 0) y que a cambios iguales en las abscisas, hay cambios iguales en las ordenadas. La

gráfica de la proporcionalidad directa siempre es una línea recta.

196

p Los efectos de la inflación en una economía son diversos. El aumento en los precios de los

alimentos impacta de forma directa en la economía de las familias.

L28

B4


• La moneda de cambio

Dólar 9

Hoy en día (mayo de 2014), un dólar equivale a $13.16 pesos mexicanos. 1. Llena la siguiente tabla y la siguiente gráfica:

8 7 6

Dólar

1

Peso

13.16

2

3

4

5

6

7

8

9

5 4 3 2

2. Ahora, responde: • ¿Al doble de dólares le corresponde el doble de pesos? • ¿La gráfica atraviesa por el (0, 0)? • ¿La gráfica será curva en algún momento?

1

0

13.16

Peso

3. Escribe una expresión algebraica que modele el costo del peso frente al dólar.

• La mezcla perfecta El rojo, el azul y el amarillo son los colores primarios. Los colores restantes son una mezcla proporcional de dos o todos los anteriores. Por ejemplo, para tener un color violeta se necesitan 5 partes de azul y 2 de rojo, sea cual sea la medida base.

o

o s e r d

Am

a r i

v l l o i r

a

m

A

Amarillo

l l o a n a r a n j a d

o

N

e d

a r a

r

e

n j a

V

Complementario o

s

o d

R

o

r

e v

o

j

l

u

z

A

a

t

n

A

e

z u

g

l

a

c i a n

u El círculo cromático es el esquema que muestra cómo los colores se

relacionan entre sí. Los principios del círculo cromático están basados en los colores primarios rojo, azul y amarillo de los que se desprenden los colores secundarios y terciarios. En total suman 12 colores cuya combinación de tonos y matices son ilimitados.

m

o j o R

A

z u l v i o l á c e o

a u r

p r

P ú V i oleta

1. Completa la siguiente tabla: Partes de pigmento azul

0

1

Partes de pigmento rojo

2

3

4

5

1.6

2

6

2. Ahora, completa la gráfica. 3. Completa la siguiente frase:

Entre más partes de pigmento azul

partes de pigmento rojo. 197


4. Responde: • ¿Cuántas partes de pigmento rojo se tienen que poner para que combinada

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8

o j o r o 1.6 e m g i P 1.4

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

2 3 4 Pigmeo azul

5

6

con tres partes del pigmento azul resulte violeta? • ¿Cuántas partes de pigmento rojo se tienen que poner para que combinada con una parte de pigmento azul resulte violeta? 5. Una vez que conoces la respuesta anterior, calcula cuántas partes de rojo se tendrían que poner para 1 800 partes de azul. • ¿Qué operación realizaste? • Si y son las partes de pigmento rojo, x las partes de pigmento azul, ¿cuánto valdría k en la siguiente fórmula para encontrar la proporción correcta para generar pintura violeta? y = kx 6. Escribe la expresión algebraica del problema anterior que describa la relación que hay entre la proporción de partes de color rojo y azul para formar el color violeta. 7. Traza la gráfica que se obtiene en este ejercicio. • ¿Atraviesa por la coordenada (0, 0)? 8. Elige un punto cualquiera sobre la gráfica, obtén sus coordenadas ( x , y ) y realiza la división de ordenada entre abscisa. • ¿Para cualquier punto se obtiene el mismo resultado?

• El costo de los taxis En las siguientes gráficas aparecen los precios de los taxis en algunas ciudades del mundo. Estas gráficas representan el precio total de un viaje al recorrer x kilómetros. Todos los precios están dados en pesos mexicanos.

Para tu apunte A una relación entre datos, de tal manera que uno crezca y el otro crezca proporcionalmente, se le llama relación directa. Por ejemplo, en el ejercicio sobre el pigmento y los colores, mientras más color azul haya, más color rojo habrá. Esto se puede representar como y = kx , donde k es la constante de proporcionalidad. En el caso del ejercicio de la combinación de pigmentos, la constante de proporcionalidad es 0.4. Analiza que las constantes de proporcionalidad no llevan unidades, sólo representan la relación que existe entre dos variables.

198

Londres

100 90 80 70 60 Precio 50 40 30 20 10 1

5

Nueva York

100 90 80 70 60 Precio 50 40 30 20 10 10

1

Kilómetros recorridos

5

10

Kilómetros recorridos Veracruz

Río de Janeiro 100 90 80 70 60 Precio 50 40 30 20 10

100 90 80 70 60 Precio 50 40 30 20 10 1

5

10


1

5

10


L28

1. Analiza las gráficas y responde las siguientes preguntas: • ¿En cuáles ciudades el costo del kilometraje no empieza desde cero? • ¿En qué ciudad cuesta más el kilómetro recorrido?, ¿cómo se manifiesta esto

en la gráfica? • ¿En qué ciudad el costo del viaje no es proporcional a los kilómetros recorridos? 2. Calcula la constante de proporcionalidad en cada una de las ciudades donde el costo del viaje permaneció proporcional. Si no se puede argumenta por qué. • ¿Qué significa en el costo del taxi que la gráfica no inicie en el origen? • ¿En cuáles ciudades el precio por recorrido es directamente proporcional a los kilómetros recorridos? • ¿Qué características tienen las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa entre el precio y los kilómetros recorridos? 3. Escribe las expresiones algebraicas de las relaciones que son de proporcionalidad. • ¿En qué son diferentes? • ¿Qué representan en las gráficas esas diferencias? 4. Redacta las características de una gráfica de una relación proporcional en el plano cartesiano. Compara tu redacción con la de un compañero y, si difieren, lleguen a un acuerdo.

B4

Para tu apunte Dos cantidades, A y B, son directamente proporcionales si por cualquier cambio del factor A, B cambia por el mismo factor.

Pongámonos de acuerdo 1. Reunidos en equipos de tres personas, planteen una situación de proporciona-

lidad directa y tracen la gráfica correspondiente. 2. Al terminar, intercambien su gráfica con otro equipo y revisen la del otro equipo. Comprueben que: • Sea una gráfica de proporcionalidad directa. • Que la gráfica modele la situación planteada de manera correcta. 3. Encuentren la constante de proporcionalidad del planteamiento del otro equipo y revisen que la gráfica realmente corresponda a los datos. 4. Verifiquen sus resultados y concluyan con su maestro.

De vuelta al Explora 1. Completa la siguiente información antes de crear la gráfica que se requiere: • Que la inflación sea de 160% significa que cada precio registrado en 1986

se multiplica por: • Identifica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente. Recuerda lo aprendido en la lección 22. • ¿Cuánto costaría en 1987 algo que en 1986 costaba $1? • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de este ejercicio? 2. Con todo lo revisado en la lección, realiza la gráfica que modele el cambio de precios entre 1986 y 1987. 3. Compara tu gráfica con la de otros compañeros y discutan nuevamente los elementos que conforman una gráfica que representa una relación proporcional. 199


Para tu apunte Para encontrar los valores en una gráfica que represente una relación proporcional te sugerimos: encontrar el factor de proporcionalidad que resulta de dividir el valor de las ordenadas con su corresy pondiente valor en las abscisas x — = k, donde k es la constante. Al encontrarla, es más sencillo multiplicar dicha constante por cualquier valor de las abscisas y encontrar su ordenada correspondiente.

Practica 1. De cada uno de los siguientes ejemplos, determina cuáles son de proporciona-

lidad directa. Para cada uno de los enunciados, determina la función, tabúlala y luego grafícala. a. El área de tierra cultivada y el producto cosechado. b. El número de trabajadores y el tiempo que se tardarían en terminar un trabajo. c. El tiempo de un viaje y la distancia recorrida en una velocidad constante. d. La población de una ciudad y los metros cuadrados por persona (a este dato se le conoce como densidad de población ). 2. Describe la siguiente gráfica y responde las preguntas: 25

Consumo de combustible (en galones)

20 Distancia recorrida (en kilómetros)

15 10 5 0 100

200

300

400

500

• ¿Qué modela la gráfica anterior? • La gráfica representa una relación de proporcionalidad?, ¿de qué tipo? Describe • • • •

21 Carlos

18 15 s o r 12 t e m ó 9 l i K

Leo

6 3 0

20 40

60

80 100 120 Tiempo (minutos)

200

qué indicadores utilizaste para reconocerla. ¿Al mismo cambio de distancia, mismo cambio de consumo de litros? Qué pasa cuando hay cero kilómetros recorridos. ¿Cuánto consumo de combustible hay? ¿Están alineados los puntos marcados con rojo?, ¿esta es una característica de toda situación de proporcionalidad directa? ¿Dónde comienza la gráfica?, ¿esta es una característica de todas las gráficas de relación proporcional? ⇒ Con la ayuda de su maestro y en equipo, hagan una lista de las características que debe cumplir toda relación proporcional.

2. Leo y Carlos hicieron una carrera a campo traviesa de 18 km. Sin embargo,

como Leo sabía que Carlos era más lento que él, le dio una cierta ventaja. Del lado izquierdo se presenta la gráfica de sus recorridos. ⇒ Responde: • ¿Qué diferencias hay entre las líneas? ⇒ Estima los factores de crecimiento de cada una de las líneas. • ¿Cuál línea representa una relación proporcional?, ¿por qué? • ¿En ambas líneas al doble de horas corresponde el doble de kilómetros recorridos? • ¿Por qué una empieza desde (0, 0) y la otra no?

L28

B4

3. En un barco a escala, el mástil tiene 9 cm de alto, mientras que el mástil real

tiene 12 m de alto. Si el largo del barco real es de 28 m: • ¿Cuánto mide el largo del barco a escala? ⇒ Elabora una gráfica para analizar la relación entre las medidas del barco real y el barco a escala. 4. Grafica la relación entre el perímetro de un círculo y la medida de su radio. ⇒ ⇒

Describe si cumple con las condiciones para ser una relación proporcional o no. Enlista sus características.

Evalúa tu avance 1. Sofía puede escribir 50 palabras por minuto. • ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la relación entre el total de palabras que Sofía puede escribir y el

tiempo que se tarda en hacerlo? 1

Número de palabras

1125

1125

1000

1000

875

875

750

750

625

625

500

500

375

375

250

250

125

125

0

3

2

Número de palabras

5

10 1 5 20

Tiempo (minutos)

Número de palabras

0

4

1125

1000

1000

875

875

750

750

625

625

500

500

375

375

250

250

125

125 5

Tiempo 10 1 5 20 (minutos)

Tiempo 10 1 5 20 (minutos)

Número de palabras

1125

0

5

0

5

10 1 5 20

Tiempo (minutos)

201 2. Responde de acuerdo con las opciones: • ¿Qué característica no corresponde a una gráfica que representa una relación de proporcionalidad en el plano? a. Cuanto más crezcan los valores en el eje x , más crecen los valores en el eje y . b. El crecimiento se mantiene constante a lo largo de la gráfica. c. La gráfica siempre atraviesa el origen. d. Al doble de crecimiento en las abscisas le corresponde cualquier crecimiento a los datos de las ordenadas.



Lección

29

Analizarás situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representarás la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = a x + b

Explora

El Big Bang Los físicos crean modelos que explican cómo funciona el Universo. Una de las grandes preguntas que se han planteado desde hace siglos es cuál fue su origen; la teoría científica del Big Bang o la gran explosión supone que el Universo tiene unos 13 mil 700 millones de años. En la siguiente tabla se muestra la distancia, en años luz, existente entre dos planetas en determinados momentos de la vida del Universo: Tiempo

Distancia entre dos planetas

Actualmente

4.29 años luz

Hace 1 millón de años

3.96 años luz

Hace 2 millones años

3.63 años luz

Hace 3 millones de años

3.3 años luz

Hace 4 millones de años

2.97 años luz

De acuerdo con la información anterior: ¿Cuál era la distancia entre los dos planetas hace 13 millones de años? ¿Cuál sería la ecuación que modele la distancia entre los dos planetas con respecto a los años del Universo?

• •

t En la actualidad, el modelo del Big Bang como teoría del origen del

Universo está aceptado por la mayoría de los cosmólogos porque hay indicios sustanciales que permiten pensar que es correcto.

202

L29

B4


• El juego mecánico En un parque de diversiones hay un juego mecánico que consiste en subir a unas personas a una gran altura para después dejarlas caer. Antes, por supuesto, las personas se sujetan al asiento con cinturones de seguridad. En Física has aprendido que la velocidad de un cuerpo en caída libre está dada por la expresión: v = at (velocidad es igual a la aceleración por el tiempo), a = 10 m/s2 es la aceleración aproximada de la gravedad en la Tierra. 1. Completa la siguiente tabla para los primeros siete segundos de recorrido del

juego. p Los movimientos de muchos juegos

Tiempo (s)

Velocidad (m/s)

0

que hay en las ferias son el resultado de factores físicos como la fuerza de gravedad, la energía cinética, la energía potencial, la inercia y la fricción.

1 2 3 4 5 6 7

2. Ahora responde: •

•

•

•

¿Cuánto tiempo se necesitaría para sobrepasar los 100 m/s? ¿Qué cálculo hiciste para llenar cada espacio en la columna de velocidad? Cada vez que aumenta un segundo en el tiempo, ¿cuánto se incrementa la velocidad? ¿Este aumento es constante en toda la tabla?

3. Traza una gráfica con la información de la tabla, nombra x al eje de las abscisas

y y al de las ordenadas.

Para tu apunte Se denomina pendiente a la inclinación de una gráfica respecto a una recta imaginaria horizontal con pendiente 0. En el caso de la variación lineal entre dos grupos de datos, la pendiente se puede describir como la constante de cambio . En la ecuación y = a x + b, la pendiente se encuentra como la literal a.

4. Toma dos puntos cualesquiera sobre la gráfica y nómbralos ( x 1, y 1) y ( x 2, y 2) y

calcula la división de las diferencias de cambio en el eje y y en el eje x , de la siguiente forma: y 2 � y 1 Pendiente � ––––––––––––– x 2 � x 1 •

¿El resultado coincide con la constante de cambio? 203


Para tu apunte

• El promedio de vida de las mexicanas

Al valor de la ecuación cuando x = 0 se le llama ordenada al origen y es la intersección de la gráfica con el eje y .

Se ha registrado el promedio de vida de las mujeres mexicanas y el modelo de los datos es y � 0.2 x + 73, donde x = 0 corresponde al año 1960, x = 1 se refiere al año 1961 y así sucesivamente. 1. Elabora una tabla en donde registres el promedio de vida anual desde 1960

hasta 1980. ¿Cuál es la razón de cambio anual? ⇒ Localiza este número en la ecuación que modela el promedio de vida de las mexicanas. ⇒ Explica el significado de la pendiente en este caso. ¿Qué pasa cuando x = 0 ?, ¿qué significa el valor en y ? ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen del ejercicio anterior?

•

• •

Para tu apunte Cuando leemos un problema puede ser complicado analizar cuál es la ordenada al origen y la pendiente. Utiliza las siguientes palabras clave para averiguar si un número corresponde a la pendiente o a la intersección con el eje en la ecuación, dependiendo de lo escrito en el problema:

La pendiente

La ordenada al origen

Por cada

Cuota inicial

Cada uno de

Costo inicial

Cada veces

Comienzo Banderazo o tarifa única

Llena los espacios vacíos en las listas con palabras que orienten acerca de cuál es el valor que corresponde a la pendiente o la ordenada al origen.

Para tu apunte Cuando un problema implica una tasa o velocidad constante y da una relación en algún momento en el tiempo entre cada variable, la ecuación se puede escribir en forma de ecuación “punto-pendiente”: (es decir, y = a x + b) para modelar la relación.

204

p De acuerdo con el Instituto Nacional de Estadística y Geografía e

Informática (INEGI), la esperanza de vida de las mujeres mexicanas en la actualidad es de 74 años.

• La ecuación y = ax + b Muchas situaciones de la biología, economía, física, etcétera, como las que te presentamos a continuación, se pueden modelar con una variación lineal. a. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos de grillos por minuto está relacionado con la temperatura del ambiente. Cuando un grillo chirría 124 veces por minuto la temperatura está a 20º Celsius. Cuando chirría 172 veces por minuto, la temperatura está a 27º. b. El crecimiento de un helecho es de 1.5 cm por día. c. Una gota que se condensa en una nube a una altura de 8 500 metros cae a x metros por segundo. d. El crecimiento poblacional en México está dado por 1.2% anual y la población actual es de 120 millones de personas. 1. Para cada uno de los ejemplos anteriores encuentra: a. Los valores de la pendiente. b. La ordenada al origen. 2. Haz una tabla que ejemplifique la variación lineal y su correspondiente expresión

algebraica. Decide qué rango de valores de x usarás para cada situación.

L29

B4

Para tu apunte

Pongámonos de acuerdo 1. Reunidos en parejas investiguen las siguientes leyes útiles para practicar el buceo

con seguridad y describan por qué representan situaciones de variación lineal entre dos conjuntos: a. Ley de Charles b. Ley de Henry c. Ley de Boyle-Mariotte

La ecuación más común para representar la variación lineal en fenómenos sociales, físicos, biológicos, etc., es la ecuación “pendiente-intersección“ de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b la intersección con el eje y (también llamada ordenada al origen). Algo importante de notar es que no se pueden modelar líneas verticales porque la pendiente es infinita y deja de ser función porque para cada cierto valor de x correponden infinitos valores de y .

u En el buceo la inmersión en

cuerpos de agua, ya sea el mar, un lago, un río, o una alberca, tiene como fin desarrollar una actividad profesional o recreativa con o sin ayuda de equipos especiales.

2. Escriban las ecuaciones correspondientes e inventen algunos datos con los que

puedan crear una tabla que represente la variación lineal. 3. Intercambien sus respuestas con otras parejas y pídanles que comprueben sus resultados. Hagan lo mismo ustedes con las de sus compañeros. 4. Verifiquen sus resultados con su maestro y concluyan grupalmente.

De vuelta al Explora 1. Para poder responder el problema del

, usa las palabras clave para encontrar cuál es la pendiente y la ordenada al origen y así poder escribir la ecuación correspondiente. 2. Nombra el significado de cada literal de la ecuación y = a x + b: E XPLORA

y : a: b: x = Hace x millones de años. •

Según esta teoría, ¿cuál es la distancia, en años luz, entre esos dos planetas? ¿Qué significa este resultado?

Practica 1. En Oaxaca los taxis cobran el “banderazo” a $13 y cada kilómetro se cobra a $1.75. ⇒

Elabora una tabla y escribe la expresión algebraica que le corresponde. ¿Cuánto cobrará el taxi por 8 kilómetros recorridos? Si el costo total de un viaje fue de $40.5, ¿cuántos kilómetros se recorrieron? • •

205


2. Un plomero cobra $50 sólo por ir a verificar los trabajos que se van a realizar

en una casa y $75 por cada hora laboral. ⇒ Escribe una ecuación que modele el pago que se le dará al plomero por el número de horas trabajadas. ¿Cuánto costará el total del trabajo si el plomero tarda 2.5 horas? Si el plomero cobró $312.50 pesos, ¿cuántas horas trabajó? • •

3. La ecuación para la velocidad (no la altura) de una pelota que se lanza hacia

arriba en el aire está dada por v � 128-32t , donde v es la velocidad (en metros por segundo) y t es el número de segundos después de que la pelota es lanzada. ¿Con qué velocidad inicial fue lanzada la pelota? ¿Cuál es el significado de la pendiente? Elabora una tabla que represente la variación de este problema con base en la ecuación presentada.

• • •

4. Inventa un problema con las siguientes ecuaciones y tabla. a. y � 4 x � 4 1

b. y � — 2 x � 2 c. y � �2 x � 10 d. 1

7

2

12

3

17

4

22

Fórmula:

Situación:

Evalúa tu avance 1. Los pescadores del río Papaloapan, en Alvarado, Veracruz, están preocupados por los peces muertos que en-

cuentran mientras pescan en la región. Por su parte, el Departamento de Conservación del Medio Ambiente monitorea el índice de contaminación del río y creó un modelo que relaciona el número de muertes de peces (y ) para un índice de contaminación ( x ). Si y = 1 000 x + 10 000, ¿cuál es el significado de la pendiente? a. Que aun habiendo un índice de cero de contaminación siempre hay 10 000 peces muertos. b. Esto significa que, por cada aumento en el índice de contaminación por una unidad (por ejemplo, de un índice de contaminación de las seis a un índice de contaminación de siete), hay diez veces más muertes de peces durante el año. c. Significa que el conteo de peces muertos siempre empieza en 1 000. d. Que por cada aumento en el índice de contaminación por unidad, hay 1 000 peces nuevos. •

2. El servicio de internet de una empresa cobra $180 mensuales más una cuota inicial. Un cliente pagó $810 pesos

después de dos meses de servicio. ¿Cuál es la ecuación que modela el costo del servicio de internet mensual? a. y � 180 x � 810 b. y � 810 x � 180 c. No se puede determinar d. y � 180 x � 450 •

206

L29

B4

Análisis y representación de datos

Lección

30

Resolverás situaciones de medias ponderadas

Explora

La calificación bimestral Al final del bimestre, en la clase de Física, Samantha obtiene las siguientes calificaciones: 80 en asistencia, 90 en tareas, 85 en el trabajo especial y 100 en el examen. Si el maestro había establecido que calificaría con 10% la asistencia, 20% las tareas, 20% el trabajo especial y 50% el examen. •

¿Qué calificación tendrá Samantha?

El maestro le pregunta a Samantha si prefiere que le promedie equitativamente sus calificaciones sin tener en cuenta los porcentajes. •

¿Qué le recomendarías decidir a Samantha?


• La final de basquetbol En la escuela Felipe Carrillo Puerto se organizó un torneo mixto de basquetbol. El equipo de segundo de secundaria se prepara para la final y se pregunta, dependiendo de las estadísticas de los cinco juegos pasados con respecto a los puntos promedio por partido: •

¿Cuál sería la mejor alineación?

1. Analiza la tabla (p. 208) de los jugadores

del equipo finalista de segundo de secundaria y ayúdalos a decidir cuál es la mejor alineación:

p El baloncesto (basquetbol) fue

inventado por el maestro de educación física James Naismith, en 1891, en Estados Unidos. 207


Para tu apunte

Jugadores Jugad ores del equip equipoo

Puntos Punt os promed promedio io por por partido partido

Luz

12

Tania

13

Germán

15

Daniel

11

Paula

9

5 � 3 � 8 � 6 � 9 31 – A � ——————————— � — � 6.2 5 5

Rodrigo

12

Adriana

14

La media ponderada de un conjunto de datos es igual a la suma de cada dato multiplicado por un valor particular llamado peso y dividida entre la suma de los pesos. En otras palabras, se usa la media ponderada cuando los datos de un conjunto no tienen la misma relevancia. Por ejemplo: el peso medio de varones de 14 años es de 55 kg y el peso medio de mujeres de 14 años es de 48 kg. En un grupo de 16 chicas y 9 chicos de 14 años, ¿cuál es el peso medio del grupo?

Santiago

9

Inés

11

Paola

14

La media aritmética o promedio de un conjunto finito de datos es la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Por ejemplo: Sea el conjunto A � {5, 3, 8, 6, 9} Su media aritmética o promedio se calcula así:

2. Toma en cuenta los puntos promedio por partido y responde las siguientes

preguntas: ¿Cuál fue el promedio de puntos por partido del equipo? ¿Cómo hiciste este cálculo? ¿Cuál fue el promedio de puntos de las mujeres? ¿Cuál fue el promedio de puntos de los hombres? ¿Cuál sería la mejor alineación para el juego? •

•

•

•

16(48) 1 9(55) 25

�

768 � 495 1263 � 25 25

�

50.25

•

El equipo de segundo de secundaria se enfrentará en la final al equipo de primero. En el equipo contrario también hay diez jugadores, cuatro mujeres y seis hombres. 3. Si del equipo de primero el promedio de puntos de los hombres es de 11 y el

de las mujeres es de 13, responde: ¿Cuál será el promedio de los puntos de los diez jugadores? ¿Cuál equipo tiene el mejor promedio de puntos en mujeres? ¿Cuál equipo tiene el mejor promedio de puntos en hombres? ¿Cuál de los dos equipos tiene mejor promedio general de puntos? ¿Cómo calculaste esta ventaja? ¿Qué diferencias encontraste en los cálculos para obtener el promedio de puntos en los dos equipos? •

•

•

•

•

•

4. Comenta con otro compañero el procedimiento que hicieron en cada caso y

lleguen a un acuerdo sobre cuál es la mejor manera de hacerlo. Comenten con su maestro sus conclusiones.

• La inversión El papá de Efraín tiene una tienda de frutas, verduras y dulces. Le ofreció a su hijo que si lo ayudaba en el periodo de vacaciones le daría un pequeño porcentaje de la venta de cada producto. 208

L30

B4

Por las ventas de frutas le ofreció el 5%, por la venta de verduras le ofreció el 10% y por la venta venta de de los dulces le dijo dijo que que le daría el 15%. Si las las ventas ventas de de un día fueron: Frutas

$250

Verduras

$130

Dulces

$100

1. Responde: •

¿Cuál fue la ganancia de Efraín en tres días si las ventas conservaron los mismos valores cada día?

Ante los lo s resultados, resu ltados, Efraín E fraín le propuso pro puso a su papá que mejor m ejor le l e diera dier a el 10% del total de la ganancia de un día. •

¿Qué le conviene más a Efraín, el trato que su papá le ofreció originalmente o el que él le propuso?

2. Haz los cálculos necesarios para determinar con cuál opción le iría mejor a

Efraín. ¿Qué le conviene a Efraín?

•

3. Valida tus respuestas confrontando confr ontando con el grupo las operacione op eracioness que realizaste realizast e

y tus resultados. re sultados.

• Votación escolar En una universidad estatal se acostumbra convocar a votaciones para la elección del director. Tanto estudiantes como maestros y trabajadores administrativos administrativos acuden a votar por su candidato favorito. Sin embargo, los votos no tienen el mismo peso de forma individual, sino por grupos, esto es: los maestros y administrativo administrativoss tienen el 50% de la decisión y los alumnos el otro 50%. Si en las últimas elecciones se obtuvieron los siguientes votos para cada candidato: Lic. Reyes

Lic. Campos

Nulos

Total

310

180

10

500

4

15

1

20

Alumnos Maestros y administrativos

p Una elección es un proceso de toma

de decisiones en el que los electores eligen con su voto entre varios candidatos para ocupar un cargo.

1. Responde: • •

¿Quién será el candidato ganador? ¿Qué operaciones harías para resolver este problema? ⇒ Discute tu planteamiento con tus compañeros.

2. Calcula el porcentaje de votos que le corresponde a cada candidato de acuerdo

con el total de alumnos o el total de maestros y administrativos: administrativos: Lic. Reyes Alumnos Maestros y administrativos •

Lic. Campos

310 � 0.62 → 62% 500 4 � 0.2 → 20% 20

Nulos

Total 100% 100%

¿Qué puedes concluir de la tabla anterior?, ¿ganó el mismo candidato tanto para los alumnos como para los maestros y administrativos? 209


Ahora, ra, para calcula calcularr quién es el ganador ganador definitivo definitivo,, recurrimos recurrimos a usar que el 50% 3. Aho corresponde para los alumnos y 50% para los maestros, entonces completa la tabla: Lic. Reyes

Lic. Campos

Nulos

Total

Alumnos

50% de 62% � 31%

50%

Maestros y administrativos

50% de 20% � 10%

50%

31% + 10% � 41%

100%

•

¿Quién será el próximo director?

Pongámonos de acuerdo Mayra vende en el puesto del mercado bolsas con el mismo peso de fresas, ciruelas y duraznos. Las de fresas las vende vende en $35, las de ciruelas en $40 y las de duraznos en $50. Ella lleva para vender 15 bolsas de fresas, 18 bolsas de ciruelas y 12 bolsas de duraznos, y este día quiere vender cada bolsa de cualquier fruta por un mismo precio pero sin perder los ingresos que tendría si las vende con los precios originales. 1. Reunidos en parejas contesten las siguientes preguntas: Si Mayra vendiera todas las bolsas de cada fruta con el precio original, ¿cuánto ganaría? ¿Cuántas bolsas trae consigo Mayra para vender? ¿Qué operación tienes que hacer para encontrar el costo en que debe vender cada bolsa de fruta sin perder las ganancias con los costos iniciales? 2. Calculen la media ponderada del costo por bolsa. ¿Qué significado tiene este resultado? ¿Cuál es el costo en que debe vender cada bolsa, sin importar el tipo de fruta? 3. V Verifiquen, erifiquen, junto con su maestro, que las ganancias sean las mismas a la inicial. •

• •

• •

De vuelta al Explora Si las calificaciones de Samantha son: 80 en asistencia, 90 en tareas, 85 en el trabajo especial y 100 en el examen. 1. Con lo aprendido en la lección, responde: ¿Qué le conviene más, que el maestro le califique el promedio final con 10% la asistencia, 20% las tareas, 20% el trabajo especial y 50% el examen o que cada aspecto valga lo mismo (media aritmética)? 2. Explica por qué es mejor la opción que le recomiendas a Samantha. ¿Habrá algún caso en donde le convenga que la califique ca lifique de la otra forma? Ejemplifica un caso. 3. Comenta el punto anterior con tus compañeros y lleguen a un acuerdo junto con su maestro. 4. En discusión grupal, enuncien cuándo es conveniente c onveniente usar la media ponderada y cuándo la media aritmética. •

•

210

L30

B4

Practica diferentes. s. La L a primera semana 1. Alejandro cambió dólares a pesos en semanas diferente fueron 300 dólares a $12.00, la segunda semana fueron 400 dólares a $13.00 y la tercera semana cambió otros 400 dólares a $11.00. Si se ponderan, ¿cuál es el tipo de cambio promedio?

•

2. En la materia de biología se aplicaron cinco exámenes en el año. Dos alumnos,

Alejandro y Belinda, Be linda, obtuvieron obtuvie ron las siguientes siguie ntes calificaciones cali ficaciones según el orden orde n de los exámenes: A: 5, 8, 6, 5, 5, 4 B: 3, 7, 8, 6, 6, 9 ¿Cuál de los dos alumnos tuvo mejor nota si el valor de los exámenes 1, 3 y 4 es del 10% y el de los exámenes 2 y 5 del 35%? Si consideramos que todos los exámenes valen igual, ¿qué alumno obtendría mejor calificación?

Para tu apunte Dado un conjunto de datos finitos { x x 1, x 2, x 3, – x n} y sus pesos correspondientes { p p1, p2, p3, …, pn}, la media ponderada se define así: p1 x 1 � p2 x 2 � p3 x 3 � … � pn x n – X � —————–——————————–—— p1 � p2 � p3 � … � pn

•

•

3. Se sabe que en un grupo de 30 estudiantes la estatura promedio de las niñas es

de 1.40 m, mientras que la de los niños es de 1.55 m. Si en el grupo hay 12 niñas y 18 niños: ni ños: ¿Cuál es el promedio de las estaturas del grupo completo? •

3. El costo promedio por artículo comprado en la papelería es de $27. Juan com-

pró ocho libretas de $20, seis plumones de $15 y dos paquetes de hojas. ¿Cuál es el costo de cada paquete de hojas?

•

Evalúa tu avance 1. Los resultados de una encuesta en un grupo de la escuela Efraín Huerta

manifiestan que hay 17 jóvenes que tienen 13 años, seis jóvenes que tienen 14 años y dos que tienen t ienen 15 años: ¿Cuál es el promedio de la edad del grupo? a. 16 años b. 13.4 años c. 14 años d. 13.5 años •

2. Las calificaciones de Víctor en tres exámenes de de Español son: 70, 60 y 85. •

¿Qué es más conveniente para Víctor, que se promedien los tres exámenes o que se pondere con 30% el primero, 30% el segundo y 40% el tercer examen? a. Que se promedien los tres. b. Es igual, en ambos casos se obtiene el mismo resultado. c. Que se deje la calificación del segundo examen. d. Que se ponderen con 30%, 30% y 40%. 211




7. De las gráficas que se presentan presentan a continuación: continuación:

Subraya la opción que consideres correcta y, al terminar, con la guía del maestro, revisa en grupo tus respuestas. 1. La expresión algebraica que define a la sucesión aritmética 6, �

a.

8

b.

7 6

8, �15, �22, … es:

a. 13 c. 7

�

�

5 4

b. 7

17n

�

d. 13n

n

2. La regla general 9n

�

3

13n �

2 1

y = = 2

7

-4 -3 -2 -1-1

17 define a la sucesión aritmética:

17, �8, 1, 10, 19, … c. 9, 18, 27, 36, 45, … a.

1,

�

• ¿Cuál representa a cantidades que varían de forma forma directamente proporcional?

�

-3

8, �1, �10, �19, �28, … d. �8, 1, 10, 19, 28, … b.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

�

3. Se tiene la siguiente propiedad de de los números: “Dados “Dados 3 números

-4 2

y = x + x + + 10

c.

120

8

d.

7

100

enteros pares consecutivos, la suma del primero y el tercero de ellos es siempre el doble del segundo” segundo”.. • ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la propiedad anterior?

6 5

80

4 3

60

2 1

40

a. x 1

� x 3 �

2 x 2

c. x � ( x � 2)

�

b. x � ( x x � 4)

�

2( x � 2)

-8 -7 -6 -5 -4 -4 -3 -2 -1-1

20

1 2 3 4

-2

2( x � 1)

d. 2 x � (2 x � 2)

�

2(2 x � 1)

-3 -10

-5

5

10

-4

Pedro, Oziel y Gabriel, Gabriel, es de 4. La suma de las edades de 3 hermanos, Pedro,

8. Las escalas termométricas Celsius y Fahrenheit están relacionadas por

75 años. Pedro tiene 12 años más que Gabriel, mientras que Oziel tiene 3 años menos que Pedro. • ¿Cuál es la ecuación que modela la situación situación anterior y cuál es la edad de Pedro? a. x � 12 � x � 9 � x � 75; Pedro: 18 años b. x � y � z � 75; Pedro: 27 años c. 3 x � 21 � 75; Pedro: 30 años d. x � 12 � x � 3 � x � 75; Pedro: 20 años

la expresión algebraica T ºF � 1.8(T ºC) � 32, de manera que es posible convertir la medida en grados de una escala a la otra. Si cierto día la temperatura ambiente en una ciudad fronteriza alcanzó los 99 °F: • ¿Cuál es el valor correspondiente correspondiente de esa temperatura en grados Celsius? a. 210.2 °C b. 81.22 °C c. 23 °C d. 37.22 °C

5. Se tienen 2 cajas de igual forma, forma, tamaño y composición; composición; la caja 1

contiene cierta cantidad de kilogramos de durazno y 3 kg de chabacanos, mientras que la caja 2 tiene la tercera parte de los kilogramos de durazno de la caja 1 y 4.5 kg de nectarinas. Si ambas cajas pesan lo mismo: • ¿Cuál es el peso total de cada caja? a. 5.25 kg

b. 2.25 kg

c. 0.75 kg

d. 5.625 kg

6. En la siguiente siguiente figura, el triángulo ∆ ABC está está inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo ∠ ABC ? B a. 45° b. 60° c. 90° d. 30°

212

C

O

A

9. La siguiente tabla muestra la nómina de una pequeña pequeña empresa, en la

que se refleja el pago quincenal que reciben los trabajadores: Puesto

Cantidad

Sueldo

Gerente

1

$12 300

Subgerente

1

$7 400

Supervisor

2

$5 600

Secretarias

3

$4 200

Empleados

8

$3 900

Con base en la información de la tabla: • ¿Cuál es la media del salario salario quincenal percibido por los empleados de esta empresa? a. $ 2 227 b. $ 6 680 c. $ 4 980 d. $ 14 940

B4

3


La sucesión de Fibonacci y la razón áurea A lo largo de la historia, grandes pensadores han hecho de la observación sistemática la principal herramienta para entender los fenómenos de la naturaleza. Entre las observaciones realizadas existen algunas que, por su perfección, se han relacionado con la divinidad o lo sobrenatural. Aquí es donde entran en escena dos de los conocimientos que las matemáticas nos han develado: La razón aurea y la sucesión de Fibonacci. 1. Leonardo Bonaccio o Leonardo de Pisa, conocido también como Fibonacci, fue un ilustre matemático que escribió en 1202 su obra Liber abaci (El libro de los ábacos). En este libro aparece una extraña secuencia de números, producto de un acertijo matemático conocido como “el problema de los conejos”. La sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… se denomina “Sucesión de Fibonacci”. ⇒ Investiga en que consiste el famoso acertijo del “problema de los conejos”. • ¿Que hace tan especial a la secuencia numérica de Fibonacci? Si observas con detenimiento, verás que la secuencia se inicia con dos números: el cero y el uno; después, cada siguiente término se obtiene sumando los dos anteriores, esto es: El tercer término: 0 + 1 = 1; entonces tenemos 0, 1, 1. El cuarto termino: 1 + 1 = 2; entonces tenemos 0, 1, 1, 2. El quinto termino: 1 + 2 = 3; entonces tenemos 0, 1, 1, 2, 3. El sexto termino: 2 + 3 = 5; entonces tenemos 0, 1, 1, 2, 3, 5. Y así sucesivamente. Se ha encontrado que esta sucesión se presenta constantemente en la naturaleza. Por ejemplo: las plantas, las ramas y las hojas se distribuyen de forma que cada una pueda recibir el máximo de luz solar, esto es, sin sobreponerse una con las otras; esta distribución sigue un patrón. También, el número de espirales de varias flores y frutos se relaciona con algún par de números de Fibonacci consecutivos. Estos, y otros casos, despertaron el interés del matemático francés del siglo XIX Edouard Lucas, quien fue responsable de darle el nombre de Fibonacci a la sucesión. 2. Los primeros diez términos de la sucesión de Fibonacci son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,… Como podrás notar, es una sucesión infinita de términos. ⇒ Escribe los siguientes diez términos de la sucesión, es decir, los términos 11 al 20 de la sucesión. En las siguientes actividades se muestran algunas de las muchas propiedades numéricas encontradas en esta secuencia. Léelas con atención y realiza cada operación que se te pide. 3. “Cualquier numero natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás”. Por ejemplo: 17 � 13 � 3 � 1 y 65 � 55 � 8 � 2. Encuentra la expresión, mediante sumas de números de Fibonacci, de los siguientes números naturales: a. 30 b. 84 c. 161 d. 295 e. 52

4. “Si llamamos ‘fp’ a cualquier término de la sucesión de Fibonacci, y se tiene que fp � a de tal forma que ‘a’ es un numero primo, entonces ‘p’ también es un numero primo”, salvo la única excepción siguiente: f 4 � 3, donde 3 es primo pero 4 no lo es, y donde la secuencia inicia en 1 y no en 0, es decir: f 1 � 1. ⇒ Encuentra los primeros cinco números de Fibonacci que cum-

plan con esta propiedad. La propiedad más importante de la sucesión de Fibonacci es la que la vincula con la razón aurea. El matemático escocés Robert Simson la descubrió en 1753. Demostró que la razón entre dos números de Fibonacci consecutivos fp�1 /fp se acerca a la razón dorada ( φ) mientras mayores sean los términos. Es más, existe una formula explicita para encontrar cualquier término de la sucesión de Fibonacci en función de este misterioso número. 2

3 1

1 8

t

5

Al construir cuadrados cuya medida de sus lados son números de Fibonacci se consigue una figura semejante al rectángulo áureo).

5. El concepto de la sucesión de Fibonacci fue evolucionando. Es un número irracional que se representa con la letra griega “φ” (phi) y

se le nombra de diversos modos: número áureo, o de oro o dorado; razón, media o proporción aurea; divina proporción, entre otros. • Un número irracional es un número decimal que no tiene una parte decimal finita o infinita periódica; se le puede representar con la fracción φ � 1 � 52. ¿Cuál es su valor decimal? ⇒ Encuentra una respuesta que tenga al menos diez decimales. • Si se construyen cuadrados que tengan como medida de sus lados a los números de la sucesión de Fibonacci, tal como aparece en la figura, podrías construir “la espiral de crecimiento”. Trata de reproducirla. p Concha de nautilus que muestra la espiral de crecimiento logarítmica.

6. Dado que la razón entre dos números consecutivos de la sucesión de

Fibonacci tienden hacia la razón aurea mientras mayor sean los términos, esto es: sea fn el n-esimo término de Fibonacci con f 1 � 1, entonces: f 2 f 1

�

1 1

�

1; f 3 f 2

�

2 1

�

2; f 4 f 3

�

3 2

�

1.5; f 5 f 4

�

3 3

�

1.666…; f 6 f 5

�

8 5

�

1.6; …

⇒ Realiza los siguientes cálculos: a. f 7/f6

b. f 8/f 7

c. f 9/f 8

d. f 10/f 9

e. f 11/f 10

7. El psicólogo alemán Gustav Fechner, pionero de la psicología expe-

rimental, demostró que la percepción de la belleza está fundada en la proporción áurea. Esto se aplica a cualquier expresión artística, ya sean complejos arquitectónicos, pinturas, esculturas o partituras musicales, así como cualquier objeto en la naturaleza. ⇒ Investiga y lista al menos cinco expresiones artísticas donde se vean repetidos estos asombrosos patrones matemáticos. 213

EJ E : SENTIDO

N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R A I C O

BLOQUE 5

a

c

b


S E J E


problemas que • Resolverás implican el uso de sistemas

• a. Una mezcla de café puede estar compuesta, en diferentes porcentajes, de dos o hasta más variedades de granos.

b. En algunos deportes existen medidas y áreas oficiales que delimitan los espacios de juego.

•

c. Para calcular la producción agrícola se consideran factores como el área de la superficie sembrada.

d. Los fotógrafos pueden lograr imágenes impactantes cuando aprovechan la simetría.

e. Con el riego por aspersión se ahorra agua y se cubren superficies extensas.

f. En un caleidoscopio los objetos de vidrio se reflejan simétricamente en los tres espejos colocados en su interior.

214

•

de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Construirás figuras simétricas respecto de un eje e identificarás las propiedades de la figura original que se conservan. Resolverás problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo como ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. Explicarás la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.


L31 Resolverás problemas que impliquen


el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma, resta, igualación o sustitución). L32 Representarás gráficamente un

sistemas de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocerás el punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema figuras y cuerpos.

LL8 31

B5 B2

B5 COMPETENCIAS


d

F O R M A ,

e

E S P A C I O

Y

M E D I D A

f

M A N E J O

D E

L A


Figuras y cuerpos


L33 Construirás figuras simétricas respecto de un

L35 Leerás y construirás gráficas de funciones lineales

eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como triángulos isósceles y equilateros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Medida L34 Calcularás la medida de ángulos inscritos

y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

asociadas a diversos fenómenos.

L36 Analizarás los efectos al cambiar los parámetros

de la función y = m x + b, en la gráfica correspondiente.

Nociones de probabilidad L37 Compararás las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

215


Engánchate

Espejos y reflejos Los espejos no sólo son un instrumento manual y de tocador que nos sirve cotidianamente para ver nuestra propia imagen y percibir cómo nos ven los demás. Parece un utensilio muy simple pero, ¿sabes cuándo, dónde y cómo se inventaron los espejos?, ¿qué tipos de espejos conoces?, ¿has reflexionado sobre otras de sus múltiples aplicaciones y la importancia de su existencia en nuestras vidas? Como ocurre con algunas superficies de agua los espejos reflejan casi toda la luz que incide sobre ellos. Los primeros fueron construidos puliendo rocas como la obsidiana, más tarde, en la edad media, dif erentes civilizaciones como la egipcia, la griega, la etrusca, la romana, entre otras, los construyeron puliendo o bruñendo metales con un acabado de plata, estaño, cobre o bronce. Sin embargo, su uso no era tan común como lo es hoy en día. A partir del siglo XVI , cuando los espejos ya se construían con delgadas capas de plata o mercurio sobre placas de vidrio pulido (cristal de roca), gracias a la inventiva de los artesanos italianos Dominico y Andrea (1507), su uso se popularizó a pesar de su alto costo y se apreciaban también como objetos decorativos. En América, en la época de la conquista, los españoles que arribaron a México se asombraron por la inmensa cantidad de metales y joyas preciosas que poseían los gobernantes de esas tierras; sin embargo, se sorprendieron aún más cuando vieron que preferían cambiar sus valiosas joyas por los espejos que los españoles traían consigo.

t

216

La intensidad de la luz de los faros de los autos aumenta gracias a que se refleja en un espejo.

L31

Con el paso del tiempo los espejos han tenido otras aplicaciones dependiendo de su tipo (planos, cóncavos, convexos). Algunas las encontramos en los retrovisores de los automóviles pues permiten al conductor tener un mayor campo visual; también se usan en la construcción de los faros cuya función es desviar los rayos de luz que rebotan en la superficie cóncava lo que evita la disipación de energía que se aprovecha en forma de iluminación. Asimismo, los dentistas utilizan pequeños espejos para poder observar toda la cavidad bucal. En la investigación científica, como ocurre en la astronomía, los espejos son la base estructural de la mayoría de los telescopios y qué decir de los microscopios usados en biología y medicina, y de los mecanismos de las cámaras fotográficas analógicas, los juegos y el arte. Como puedes ver los espejos son más que un accesorio de belleza, y tan importantes que sin ellos la vida tal como la conocemos sería completamente distinta.

Lee

B5

más...

• www.uncachodeciencia. org/2014/03/03/juegos-conespejos-planos/

• www.universum.unam.mx/ resultados.php?cx=01515745 0102400306157%3Adu0pu2v v5ck&cof=FORID%3A11&ie=U TF-8&q=espejos&sa=Buscar&s iteurl=www.universum.unam. mx%2Fexpo_matematicas. php&ref=www.google.com. mx%2F&ss=1039j202835j7 Son múltiples las leyendas, historias, cuentos y novelas que utilizan los espejos como un objeto central de la narración: Blanca Nieves y los siete enanos, Alicia a través del espejo, las siete novelas de Harry Potter, El Señor de los anillos.

p

El vidrio-espejo es utilizado con frecuencia en las fachadas de edificios de oficinas debido a sus cualidades estéticas.

Libros del Rincón: Martínez Vázquez, Ana, Materiales Hechiceros , México, SEP, Santillana, 2004.

217

EJ E : SENTIDO

N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R A I C O


Lección

31

Solucionarás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2×2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

Explora

Una carrera fraternal Los hermanos Julio y Ricardo efectúan una carrera en la pista de atletismo. Cuando inician, Julio, que es el hermano mayor, le da una ventaja de 15 metros a Ricardo. Si Ricardo recorre seis metros cada segundo y Julio ocho metros cada segundo: • ¿Cuánto tiempo pasará para que Julio alcance a Ricardo? • Con respecto al punto de inicio de donde partió Julio, ¿a los cuántos metros alcanzará Julio a Ricardo?


• ¡Vamos al cine! Perla y Jesús llevan al cine a sus tres hijos. En la taquilla piden dos boletos para adultos y tres boletos para niños y pagan $203. Si el costo del boleto de adulto es el doble que el de niños. 1. Responde: •

¿Cuál es el costo de cada boleto para adultos y para niños?

2. Intenta escribir cómo resolviste el problema. • •

¿Qué procedimientos hiciste? Compara tus procedimientos con los de un compañero y lleguen a un acuerdo.

3. Con base en los datos del problema inicial, si tú y tu compañero quisieran

comprar cuatro boletos para adulto y seis para niños, responde: • ¿Cuánto pagarían en total? • ¿Qué operación hicieron? • ¿Es necesario conocer el costo de cada boleto?, ¿por qué? 218

L31

4. Con base en los datos del problema inicial, representa cada valor desconocido

(o incógnita) con una literal diferente. 5. Expresa por medio de una ecuación el total del costo de boletos para adultos

y para niños. Recuerda que una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. • ¿Qué otra información se da en la descripción del problema inicial? 6. Expresa otra ecuación en donde se represente que el boleto para adulto cuesta

el doble que el de niño. Utiliza las mismas variables que en la ecuación anterior. 7. Una vez establecidas estas dos ecuaciones, donde hay dos incógnitas, procede

a resolverla de acuerdo con los siguientes pasos que ya aprendiste: En la segunda ecuación una de las variables está despejada, es decir, está de un solo lado de la igualdad y su coeficiente es 1. ⇒ Toma el valor de esa variable despejada en términos de la otra y sustitúyelo en la primera ecuación, de manera que se obtenga una ecuación de una sola variable. ⇒ Quita los paréntesis y resuelve la ecuación para conocer una de las incógnitas. ⇒ Con el valor encontrado, sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones principales (de preferencia la más sencilla) y resuélvela para encontrar la otra incógnita. ⇒

Para tu apunte Al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables se le llama sistema de ecuaciones. A los sistemas con dos ecuaciones y dos variables con exponente 1, se les llaman sistemas de ecuaciones lineales de 2 × 2. Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 × 2 es el de sustitución. Este método consiste en despe jar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra, de forma que se obtenga una ecuación de una sola incógnita de la que se puede encontrar su valor y luego sustituirlo en la ecuación despejada para encontrar el segundo valor. Veamos un ejemplo paso a paso. Dado el sistema de ecuaciones: (1) 3 x � y � 8 (2) x � 4y � 33

•

¿Cuál es el costo de cada boleto? ⇒ Comprueba que las dos condiciones se cumplan: (1) comprar dos boletos para adultos y tres para niños es igual a $203 y (2), que el costo del boleto para adulto es el doble que el de niño.

• Retiros y depósitos Al inicio de una semana Nancy y Areli tienen en sus cuentas bancarias la misma cantidad de dinero. En el transcurso de la semana Nancy hace tres retiros de la misma cantidad cada uno y le queda en su cuenta un saldo de $1 700. A su vez, esa misma semana Areli hace tres depósitos de dinero por la misma cantidad que cada uno de los retiros que hizo Nancy y el saldo reflejado en su cuenta es de $3 200. • ¿Cuál era la cantidad inicial de dinero que tenía cada una al inicio de semana? • ¿Cuál fue la cantidad de cada retiro o depósito que hicieron?

•

(2) x � 4 (8 � 3 x ) � 33

•

Resuelve la ecuación para la variable, en este caso x : (2) x � 4 (8 � 3 x ) � 33 x � 32 � 12 x � 33 13 x � 32 � 33 13 x � 33 � 32 13 x � 65 x � 65/13 x � 5

•

Este valor se sustituye en la ecuación despejada, para encontrar la incógnita faltante, aunque puede ser en cualquiera de ambas, sin embargo en la que ya despejaste no tendrás que volver a hacerlo: y � 8 � 3x y � 8 � 3(5) y � 8 � 15 y � �7

•

La solución del sistema de ecuaciones es: (5, �7) Una forma de expresar la solución de un sistema de ecuaciones es con un par ordenado ( x, y ), donde el primer valor corresponde a x y el segundo a y .

2. Expresa algebraicamente cuánto dinero tenía cada una en su cuenta al inicio.

depositó Areli en total. Nancy:

Areli:

4. Expresa una ecuación para Nancy y otra para Areli en donde se represente el

saldo final en sus cuentas.

Sustituye la variable que despejaste en la otra ecuación: Nota: es importante que la variable se sustituya en la otra ecuación donde no se hizo el despeje.

1. Representa los valores desconocidos con una variable.

3. Expresa de manera algebraica cuánto dinero retiró Nancy en total y cuánto

De la ecuación (1) despejas la variable y , así: y � 8 � 3 x . Nota: puedes tomar cualquiera de las dos ecuaciones y despejar cualquiera de las dos variables, pero es recomendable usar este procedimiento si el coeficiente de una de las incógnitas es 1.

8. Una vez que completes los pasos anteriores, responde: •

B5

219


Para tu apunte

5. Ahora, sigue estas instrucciones y, después, lee el “para tu apunte”:

Otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el de “suma y resta”. Este método consiste en sumar las dos ecuaciones del sistema. Lo que se busca es que una de las variables se elimine para dejar una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y luego se sustituye en una de las ecuaciones para encontrar el valor de la otra. Es recomendable utilizar este método si detectas que en las ecuaciones planteadas los coeficientes de la misma incógnita son inversos aditivos (o sea, mismo valor absoluto pero signos contrarios) o que con una multiplicación sencilla puedes convertir los coeficientes de la misma incógnita en inversos aditivos. Por ejemplo: 4 x � 2y � 8 x � 2y � 7

•

Del sistema de ecuaciones se observa que la variable más simple de eliminar, es la variable y . 4 x � 2y � 8 � x � 2y � 7 5 x

�

15

En cambio, si quisiéramos eliminar la x , tendríamos que hacer un ajuste a la ecuación de abajo y multiplicar por ( �4) toda la ecuación de ambos lados. Nota que al sumar las dos ecuaciones la igualdad se sigue conservando pues de la primera tenemos que la expresión de la izquierda es igual a la de la derecha y lo mismo sucede para la segunda ecuación, por lo tanto, estamos sumando expresiones equivalentes en ambos lados.

•

Se resuelve la ecuación resultante de la suma anterior: 5 x � 15 15

x � 5 x � 3

•

Este valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales; en este caso tomaremos la segunda: x � 2y � 7 3 � 2y � 7 �2y � 7 – 3 �2y � 4 y �

4 –2

y � �2

•

El resultado del sistema es: x � 3; y � �2.

220

⇒

Escribe en las líneas de abajo cada ecuación de forma que los términos semejantes de cada ecuación coincidan uno debajo del otro y súmalas: __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ � __ __ __ __ �

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ � __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ � __ __ __ __ •

¿Qué sucedió al sumarlas?, ¿cómo es la ecuación resultante? Resuelve la incógnita de la ecuación resultante. ⇒ Con el valor encontrado, sustitúyelo en cualquiera de las ecuaciones iniciales. ⇒ Quita los paréntesis y haz las operaciones adecuadas para resolver ahora la otra incógnita. • ¿Cuál es el valor para cada incógnita? ⇒

6. Escribe qué representa cada incógnita. 7. Comprueba que los valores encontrados se cumplan en cada ecuación.

• Cuántos billetes José Luis lleva en su cartera $1 800 en billetes de $100 y $200. 1. Responde: • •

¿Es posible conocer cuántos billetes de cada denominación lleva en su cartera? ¿El resultado es único?, ¿cuántos resultados hay?

2. Escribe los resultados en una tabla como la siguiente (agrega más renglones si es

necesario): • Si en el planteamiento del problema se dijera además que la cantidad de billetes en la cartera es de 13: ¿qué pasaría?, ¿cuántos resultados tendrías? • ¿Cuál sería el resultado del planteamiento anterior? Cantidad de billetes de $100

Cantidad de billetes de $200

Suma total del dinero

16

1

$1 800 $1 800 $1 800

L31

3. Comenta con tus compañeros qué se necesita para que en una situación (pro-

blema) en la que hay dos incógnitas, el resultado sea único. 4. Escribe un sistema de ecuaciones en el que se describa que los billetes de $100

y $200 que lleva José Luis en la cartera suman una cantidad de $1 800 y que la cantidad de billetes que trae es de 13. 5. Resuelve el sistema de ecuaciones con uno de los métodos vistos anteriormente. 6. Evalúa las ecuaciones que obtengas para elegir el método que sea más fácil de

utilizar.

B5

Para tu apunte Un método más es el de “igualación”, que consiste en despejar una de las variables, o un término idéntico, en las dos ecuaciones e igualarlas. Es recomendable usar este método si detectas que tienes un término idéntico que incluya la misma incógnita en ambas ecuaciones. Por ejemplo: 4 x � 5y = �26 4 x + 3y = 22

•

En ambas ecuaciones podemos ver que aparece el término 4 x , por lo tanto, se despeja ese término en las dos ecuaciones: 4 x � �26 � 5y 4 x � 22 � 3y

•

Posteriormente, se igualan los términos que se encuentran a la derecha de cada ecuación para obtener una ecuación con una sola variable: �26 � 5y � 22 � 3y 5y � 22 � 3y � 26 5y � �3y � 48 5y � 3y � 48 8y � 48 y � 48/8 y � 6

•

Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales o en las ecuaciones despejadas; en este caso tomamos la segunda ecuación de las despejadas: 4 x � 22 � 3y 4 x � 22 � 3(6) 4 x � 22 � 18 4 x � 4 x � 4/4 x � 1

•

La solución del sistema de ecuaciones es: x � 1; y � 6

Pongámonos de acuerdo Salomé compra 20 metros de dos tipos de telas: organza blanca y raso celeste. Si el metro de organza cuesta $44 y el de raso cuesta $52 y en total pagó $988: • ¿Cuántos metros de tela compró de cada tipo?

p

La organza es una tela de gran resistencia y durabilidad, suave al tacto, con una excelente textura y apariencia, se utiliza mucho para vestidos de fiesta. El raso es una tela muy suave y brillante y con buena caída.

1. Junto con un compañero resuelvan el problema. 2. Planteen un sistema de ecuaciones que describa la situación del problema. 3. Discutan qué método de resolución es mejor utilizar. Una vez decidido, uno de

ustedes resuélvalo de esta forma, y el otro use otro método. Háganlo de forma individual y luego comparen los resultados. • ¿Fueron iguales los resultados? 4. Si no fue así, comprueben sus resultados sustituyéndolos en las ecuaciones

originales, ¿cuál es el resultado correcto? 5. Verifiquen sus resultados en grupo y con la ayuda de su maestro. 221


Para tu apunte La elección del método para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 ×2 depende tanto de la presentación misma de las ecuaciones, como de quién las resuelve esto es, que siempre se debe buscar qué método es más conveniente. Por ejemplo, en los siguientes sistemas: 1.

2. x � 3y � �18 2 x � 3y � 9

3. x � 3y � 9 x � �7y � 1

4. x � y � 8 5 x � 3y � 12

2 x � 5y � �6 5 x � 3y � �15

En el sistema (1) conviene usar el método de suma y resta, puesto que los términos �3y y 3y se eliminan al sumarlos. En el sistema (2) conviene el método de igualación, puesto que en ambas ecuaciones está despejada la variable x . En el sistema (3) conviene usar el método de sustitución, ya que en la primera ecuación está despejada la variable x . Para el sistema (4) se puede elegir el que manejes mejor estudiantes; por ejemplo, si eliges el de suma y resta puedes aprovechar los signos diferentes de los términos con la variable y , y tendrías que multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 5, para igualar los coeficientes: 2 x � 5y � �6 5 x � 3y � �15

 

3(2 x – 5y ) � 3(�6) 5(5 x � 3y ) � 5(�15)

 

6 x � 15y � �18 25 x � 15y � �75 31 x

93

� �

De vuelta al Explora 1. Retoma el problema del •

y responde: ¿Cuáles son las incógnitas en el problema? E XPLORA

2. Escribe una ecuación para Julio y otra para Ricardo en la que representes

la posición de cada uno tomando como punto inicial la posición de Julio y el tiempo transcurrido. 3. Resuelve el sistema de ecuaciones anterior con el método que más convenga. • • •

13 Kg

¿Cuál es la solución del sistema? ¿Cuánto tiempo pasará para que Julio alcance a Ricardo? ¿A los cuántos metros Julio alcanzará a Ricardo?

Practica 1. Completa este sistema de ecuaciones para que su solución sea x � 5, y � 2. 6 x + 5y = 4 x – 3y = 2. Observa estas dos balanzas. Si todos los conejos pesan lo mismo y el tigre ca-

25 Kg

222

chorro pesa lo mismo, ¿cuánto pesan el tigre cachorro y cada conejo? 3. Pepito llega a la papelería para comprar una pluma y cinco lápices, por los que paga $7 a doña Josefina. Luego llega Pepe y compra dos plumas y seis lápices iguales a los de Pepito, por los que paga $10 a doña Josefina. Por último, llega don José que quiere comprar cuatro plumas y diez lápices iguales a los de los dos niños, pero sólo tiene 15 pesos. • ¿Tiene el dinero suficiente o le quedará a deber a doña Josefina?

L31

4. Esmeralda y sus amigas van a comer a El Rey de la Hamburguesa, donde orde-

nan tres hamburguesas dobles con queso y cuatro refrescos por $165 en total. Al día siguiente regresan sólo algunas de ellas y piden una hamburguesa doble con queso y dos refrescos por los que pagan $65 en total. La siguiente semana regresan todas las amigas, piden cinco hamburguesas dobles con queso y ocho refrescos y al momento de pagar, la cajera les dice que son $300. En ese momento Esmeralda le protesta a la cajera por la cuenta. • ¿Tiene razón Esmeralda para protestar?, ¿por qué? Pese al incidente, 15 días después, para celebrar el cumpleaños de una de estas amigas, todas vuelven a este restaurante y ordenan 16 hamburguesas dobles con queso y 20 refrescos. • ¿A cuánto ascenderá el total de la cuenta?

B5

Para tu apunte Un problema que presenta dos incógnitas tendrá posibilidades de tener solución única solamente si, por lo menos, se conocen dos ecuaciones.

5. Observa el siguiente dibujo.

+ •

= 990 gramos

+

= 460 gramos

¿Cuánto pesa una manzana y cuánto pesa una pera en promedio?

6. En una tienda de café en San Cristóbal de las Casas se preparan mezclas con

diferentes granos de café. La combinación de la casa contiene 200 g de grano arábigo y 300 g de grano robusto y el medio kg cuesta $148. La mezcla especial contiene 300 g de arábigo y 200 g de robusto y el medio kg cuesta $144. • ¿Cuánto cuestan 100 g de cada tipo de grano?

Evalúa tu avance 1. Miguelito tiene dos bolsas, una de canicas blancas y otra de canicas ver-

des. Si pasa cuatro canicas verdes a la bolsa de las canicas blancas, tendrá el mismo número de canicas en ambas bolsas. Y si pasa todas las canicas verdes a la bolsa de las canicas blancas tendrá un total de 42 canicas. • ¿Cuántas canicas blancas y cuántas canicas verdes tiene originalmente Miguelito? a. Canicas verdes = 23; canicas blancas = 19 b. Canicas verdes = 25; canicas blancas = 17 c. Canicas verdes = 21; canicas blancas = 21 d. Canicas verdes = 15; canicas blancas = 27 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

p

Hay dos especies de café: el cafeto arabica (Coffea arabica) y el cafeto robusta (Coffea canephora)

a. 3 x � 2y � �22 b. 2 x � y � �3

Y encuentra a cuánto equivale la expresión 5 x � 4y : a. 40 b. –40 c. 20 d. 0

⇒

223

E J E : S E N T I D O N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R Á I C O


Lección

32

Representarás la gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocerás del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema

Explora

El refrigerio Mariana hace fila en la cafetería de su escuela, quiere comprar una dona y un café pero no conoce el costo de cada uno y teme que no le alcance el dinero que trae. Mariana escucha que un chico pide seis donas y tres cafés y el tendero le cobra $60. También escucha que la siguiente chica pide dos donas y un café y le cobra $20. • Con esta información, ¿Mariana puede saber si con los $15 que trae le alcanza para comprar una dona y un café?, ¿por qué? • ¿Cuál es el costo de cada uno?


• Jugos y refrescos Karina va a la tienda a comprar refrescos y jugos. Compra tres refrescos y dos jugos y paga $43. El precio del jugo es $4 más caro que el del refresco. • ¿Cuáles son las incógnitas en este problema? 1. Plantea dos ecuaciones que involucren a las dos incógnitas; asígnales las variables x y y .

(1):

(2):

2. Despeja en cada ecuación a la variable y :

(1):

(2):

3. Dados los siguientes valores de las tablas para la variable x , encuentra el valor de y para cada ecuación: 224

L32

Tabla 1 x

•

y

Para tu apunte

Tabla 2 x

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13

14

14

15

15

y

Al conjunto de pares ordenados ( x , y ) que satisfacen una ecuación de dos variables se le llama conjunto solución . Cuando se tiene un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se dice que la solución del sistema es el par ordenado ( x , y ) que satisface las dos ecuaciones. Gráficamente, las ecuaciones de primer grado de la forma y � a x � b se representan con una línea recta, y por lo tanto, el par ordenado que satisfaga las dos ecuaciones del sistema será la intersección ( x , y ) de las dos rectas. y

¿Qué significado tiene el par ordenado ( x , y ) en la tabla 1, cuando x � 1?

4. Grafica los puntos coordenados para cada ecuación en el mismo plano cartesiano.

Estos puntos deben generar una línea recta, si no lo hacen es necesario revisar las operaciones de las tablas. Utiliza colores diferentes para cada ecuación. y

x

• •

B5

7 6 5 4 3 2 1

y = — 2 x +

1

1

1 6

3

(6,4)

y = — x +

x

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Cuando dos rectas de un sistema de ecuaciones intersecan en un punto se dice que tiene solución compatible determinada. El método gráfico consiste en trazar las dos gráficas del sistema de ecuaciones y encontrar el punto ( x , y ) de la intersección. El procedimiento del método gráfico es:

1. Despejar la variable y de las dos ecuaciones. 2. Construir una tabla de valores para cada ecuación. A este procedimiento también se le conoce como tabular. 3. Graficar los puntos de las dos tablas de valores en un mismo plano cartesiano y trazar las rectas. 4. Identificar cómo es la solución del sistema: una solución, infinidad de soluciones o sin solución.

¿Hay algún punto en común en las gráficas?, ¿cuál? ¿Qué significado crees que tenga este punto? ⇒ Coméntalo con tus compañeros y tu maestro.

5. Utiliza un método de los vistos en la lección anterior para resolver el sistema

de ecuaciones que planteaste en el punto 1. • ¿Cómo es la solución del sistema comparado con el punto en común en las gráficas? • ¿A qué conclusión puedes llegar respecto a esto? 225


• Los botes de agua Bote 1

Bote 1

22 cm

2c

Dos botes idénticos de forma cilíndrica que tienen una altura de 22 cm comienzan a llenarse con agua. La altura del agua en ambos aumenta 3 cm por cada minuto. Si uno de los botes ya tenía 2 cm de agua antes de que empezaran a llenarse: • ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que la altura del agua en ambos botes sea la misma? 1. Escribe las dos ecuaciones que describen la altura ( y ) del agua al pasar los minutos ( x ). Bote 1: Bote 2: • ¿En qué se parecen las ecuaciones anteriores? 2. Completa las siguientes tablas para cada bote en donde se describe la altura (y ) que tiene el agua en cada uno al pasar los minutos ( x ). Recuerda que la altura

máxima del bote es de 22 cm: Bote 1

Bote 2

x

y

x

y

0

0

0

2

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

3. Grafica los puntos coordenados para cada ecuación en el mismo plano carte-

siano. Utiliza colores diferentes para cada ecuación. y

x

•

226

¿Hay algún punto en común en las gráficas?, ¿por qué crees que sucedió esto? ⇒ Coméntalo con un par de compañeros y lleguen a una conclusión.

L32

4. Junto al bote 2 hay otro bote 3 que está completamente lleno. En el mismo

momento en que el bote 2 empieza a llenarse, el bote 3 se empieza a vaciar, y en este caso el nivel del agua baja 2 cm por cada minuto transcurrido. ⇒

Escribe las dos ecuaciones que describen la altura ( y ) del agua en los botes 2 y 3 al pasar los minutos ( x ). Bote 2:

Bote 3:

5. Completa las tablas para ambos botes traza sus gráficas en tu cuaderno. Bote 2

B5

Para tu apunte Cuando se grafican dos ecuaciones de un sistema y las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solución puesto que no se tiene ninguna intersección ( x , y ), y por lo tanto, no habrá par ordenado que satisfaga ambas ecuaciones. En este caso, se dice que el sistema tiene solución incompatible .

Bote 3

y

x

y

x

y

0

2

0

22

1

1

20

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

1

y = — x + 3 2 1

y = — x + 1 2

x 0

Dos ecuaciones son paralelas si en las ecuaciones despejadas para la variable y , los coeficientes de x son iguales (tienen la misma pendiente, como aprendiste en la lección 29), pero su término constante o independiente es diferente. Por ejemplo:

y

1 y � — x � 3 2

1 y � — x � 1 2

Coeficientes iguales

Constantes diferentes

x

•

¿Qué punto en común tienen las gráficas?

•

¿Qué significado tiene esta intersección?

6. Comprueba esta solución con algún método de resolución de sistemas de

ecuaciones. Primero escribe una ecuación para cada bote en donde se describa la altura que tiene el agua al transcurrir cada minuto y luego resuelve el sistema. Bote 2: •

Bote 3:

¿La solución coincide con el punto de intersección? 227


• Terreno al doble

Para tu apunte Cuando se grafican dos ecuaciones de un sistema y las rectas coinciden en todos los puntos de la tabla de valores, el sistema de ecuaciones tiene infinidad de soluciones puesto que en todos los puntos ( x, y ) coinciden, y por lo tanto, todos los pares ordenados satisfacen ambas ecuaciones. En este caso, se dice que el sistema tiene solución compatible indeterminada. y 1 2

y = — x + 3 1 2

y = — x + 3

Para cercar un terreno rectangular se necesitan 24 metros de malla cíclica y para cercar otro terreno rectangular, cuyos lados miden el doble que los del primero, se necesitan 48 metros. • ¿Cuáles son las medidas de cada terreno? 1. Representa las incógnitas involucradas en el problema. 2. Plantea dos ecuaciones en donde se representen las medidas de cada terreno

con la malla necesaria para cercar. Terreno 1:

Terreno 2:

3. Despeja y en cada ecuación y tabula una tabla de valores para cada una:

Terreno 1:

Terreno 2: Terreno 1

x

0

Dos ecuaciones coinciden en todos los puntos si en las ecuaciones despejadas para la variable y , tanto los coeficientes de x como los términos constantes o independientes son iguales. 1 y � — x � 1 2

Coeficientes iguales

Constantes diferentes

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

1 y � — x � 3 2

Terreno 2 x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

¿Hay algún punto en que coincidan?, ¿cuál? ¿Qué significado tiene este resultado? 4. Grafica ambas ecuaciones en el plano cartesiano: • •

y

x

•

228

¿Qué conclusión puedes dar respecto de las medidas de los terrenos? ⇒ Coméntalo con tus compañeros y tu maestro y lleguen a un acuerdo.

L32

B5

Para tu apunte

Pongámonos de acuerdo En la primera repisa de un librero hay 19 libros, todos ellos de poesía o terror. Si se sabe que la cantidad de libros de poesía son el doble que los de terror más uno. • ¿Cuántos libros hay de cada género? 1. Reunidos en parejas resuelvan el problema:

¿Cuáles son las variables involucradas en el problema? 2. Escriban dos ecuaciones que describan las condiciones planteadas en el problema. 3. Resuelvan el sistema de ecuaciones usando el método gráfico. 4. Tracen cada uno ambas gráficas en el plano: •

y

Un sistema de ecuaciones puede resolverse por el método gráfico, el cual consiste en trazar las rectas en un mismo plano cartesiano y en el que se pueden tener tres resultados:

1. Que las rectas se intersequen en un punto ( x , y ), con lo que se tiene una sola solución y por lo tanto el sistema es compatible determinado. 2. Que las rectas sean paralelas y por lo tanto, no haya solución, con lo que tenemos un sistema incompatible. 3. Que las rectas coincidan exactamente en todos los puntos ( x , y ), y haya infinidad de soluciones y, por lo tanto, sea un sistema compatible indeterminado.

x

¿Cuál es la solución del sistema? 5. Cada uno de ustedes compruebe su respuesta con algún método visto en la lección anterior. • ¿Cuántos libros de cada tipo hay? 6. Verifiquen sus resultados en grupo y con la ayuda de su maestro. •

De vuelta al Explora 1. Plantea dos ecuaciones en las que se muestre la compra que hacen las dos

personas que estaban formadas antes de Mariana y el total a pagar. 2. Resuelve el sistema por el método gráfico. • ¿Qué solución encontraste? • ¿Mariana puede saber si los $15 le alcanzan para comprar una dona y un café?, ¿por qué? • Si alguien más pagó $22 por una dona y dos cafés, ¿se puede saber cuál es el costo de la dona y cuál el del café? 3. Plantea una ecuación para este último cliente, forma un sistema de ecuaciones con cualquiera de las dos primeras y resuélvelas por el método gráfico. • ¿Podrá Mariana comprar la dona y el café con los $15 que trae? 229

EJE: SENTIDO

N U M É R I C O Y P E N S A M I E N T O A L G E B R Á I C O

Practica Lee detenidamente los siguientes problemas y resuelve lo que se te pide. 1. Un costal de 50 kg de frijol se divide en 39 bolsas de 1 y 2 kg. • ¿Cuántas bolsas de 1 kg y cuántas de 2 kg se utilizaron? 2. Las edades de Gloria y Miguel suman 38 años. Si dentro de cinco años la edad de Miguel será el triple que la de Gloria. • ¿Qué edad tiene cada uno? 3. En la rosticería El pollo frito venden un paquete de seis piezas de pollo y dos refrescos por $224; tienen también otro paquete de dos piezas de pollo y un refresco por $66. • ¿Cuánto cuesta cada pieza de pollo y cada refresco? 4. De los siguientes sistemas de ecuaciones identifica cuáles tienen una solución, infinidad o ninguna solución: a. 2 x � y � �1 b. 3 x � 2y � 6 e. 5 x � 2y � 21 x � 4y � 22 c. 7 x � 8y � 36 � x � 5y � 1

9 x � 6y � 18 d. �4 x � y � �5 5 x � 6y � �1

5 x � 2y � 9 f. 6 x � y � �11 � x � 3y � �1

5. Junto con un compañero, planteen un problema que involucre dos incógnitas y dos condiciones. Compártanlo con

otra pareja y verifiquen los resultados.

Evalúa tu avance 1. Erika renta dos películas y un videojuego y paga $65. 2. Dada la siguiente gráfica:

Tres días después renta tres películas y dos videojuegos y paga $110. • ¿Cuánto cuesta rentar una película?, ¿y un videojuego? • ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución al problema?: a.

b.

75

75

50

50

25

25

0

20

0

30

c.

d.

75

75

50

50

25

25

0

230

10

10

20

30

0

10

20

30

10

20

30

¿A cuál problema corresponde su solución? a. Diana va a un centro de impresiones e imprime su tarea que tiene diez páginas en blanco y negro y cuatro a color. Paga $36 por las impresiones. Daniel también imprime su trabajo en el mismo lugar. Paga $30 por su tarea que tiene cinco páginas en blanco y negro y otras cinco a color. • ¿Cuál es el costo por cada impresión en blanco y negro y a color? b. Carolina compra dos paletas y un chicle y paga $7, mientras que Carlos compra cinco paletas y cuatro chicles y paga $19. • ¿Cuál es el costo de cada paleta y cada chicle? c. La señora Tomasa se tarda ocho horas en tejer una bufanda y dos gorros. Al día siguiente teje dos bufandas y un gorro y se tarda diez horas. • ¿Cuánto tarda en hacer cada prenda? d. El lunes por la mañana Brenda compra tres gelatinas y dos flanes por $29. En la tarde del mismo día Brenda compra una gelatina y un flan y paga $12. • ¿Cuál es el costo por cada gelatina y cada flan? •

L33

B5

Figuras y cuerpos

Lección

Construirás figuras simétricas respecto de un eje. Analizarás y explicitarás las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

33

Explora

Nadadora, ¡no te compliques! La figura siguiente ( ABCD) es una alberca rectangular. Ana Laura está en el punto P y tiene que nadar hasta la orilla BC , luego a la orilla CD, después de allí hasta la orilla DA, y finalmente regresar al punto P . Si Ana Laura desea minimizar la distancia total de la natación alrededor de la trayectoria de P y de nuevo a P , responde: • ¿Cuál sería este recorrido? B

C

O

P

S

A

T

D


• Lo mismo pero del otro lado 1. Traza en tu cuaderno las figuras simétricas de las que aparecen en la siguiente

página. Toma como referencia el eje señalado. Recuerda que es indispensable el uso de tus escuadras para hacerlo con precisión. • ¿Qué significa que una figura sea simétrica a otra? 231


Para tu apunte

2. Escribe el método que usaste para trazar las figuras simétricas.

A la línea que marca la simetría se le llama línea o eje de simetría . Esta línea dista lo mismo de un punto original como su simétrico:

• • •

¿Alguna de las figuras cambió de tamaño? ¿Las aristas o lados de alguna de las figuras cambiaron de tamaño? ¿Alguna de las figuras cambió de dirección?, ¿cuál? ⇒ Argumenta por qué ocurre este cambio.

Línea de Simetría

• El método del doblado de papel A

A’

x

x

1. Dobla una hoja de papel a la mitad, mar-

ca la línea con algún color y dibuja un triángulo de un lado del doblez; nombra los vértices A, B y C . 2. Marca con lápiz los vértices del triángulo.

Es muy importante notar que la línea roja es perpendicular a la línea de simetría (esto es, que se forma un ángulo de 90º en su intersección). También, hay que notar que la distancia entre el punto A y la línea de simetría es la misma distancia que la línea de simetría hasta A’. A este tipo de simetría se le conoce como simetría axial pues es con respecto a un eje. 232

3. Dobla la hoja y remarca los vértices pero

del lado contrario. 4. Cuando desdobles la hoja verás una ima-

gen como la que se muestra en la fotografía de abajo. 5. Ahora, nombra los vértices A’ al punto que corresponde a A, B’ al punto que corresponde a B y C’ al que corresponde a C .

L33

B5

6. Une los vértices del nuevo triángulo. • • •

¿Cuál es la distancia entre los vértices del triángulo original y el doblez de la hoja? ¿Cuál es la distancia entre los vértices del nuevo triángulo y el doblez de la hoja? ¿Hay diferencia entre las distancias de los triángulos a la recta del doblez?

7. Mide las aristas de los dos triángulos y compáralas. 8. Con un transportador, mide todos los ángulos de los dos triángulos y compáralos. • •

¿Las medidas de los ángulos se mantienen? ¿Hubo algún cambio en el nuevo triángulo con respecto al triángulo original?

• El eje de simetría Cuando una línea de simetría pasa sobre una figura y aun así se conserva simétrica se puede decir que se encontró su eje de simetría. 1. Con la información que tienes, encuentra el eje de simetría y termina, en cada

caso, la figura simétrica. Usa tus escuadras y tu compás: • ¿Cuál fue el procedimiento que realizaste para encontrar el eje de simetría? • ¿Qué elemento geométrico se encuentra en el punto medio de un punto y su simétrico? B

B’

A

Para tu apunte Cuando hay dos figuras simétricas, la distancia de las aristas es igual en ambas figuras, pero cambian de dirección. Cuando hay dos figuras simétricas, ambas mantienen los valores absolutos de sus ángulos. Se nombra valor absoluto porque la figura simétrica sí conserva los mismos ángulos pero cambian de dirección. Si un ángulo se abre en el sentido de las manecillas del reloj (�) en la figura original, en la figura simétrica se abrirá en el sentido en contra de las manecillas del reloj (�), pero con el mismo valor absoluto.

B A’

A

B’ B’ B A’ A’

A

2. Evalúa la siguiente frase, explica y argumenta si es verdadera o no:

“En cualquier figura y su simétrica se encuentra el mismo elemento geométrico en el punto medio de un punto y su simétrico”. 3. Junto con un compañero analiza qué propiedades tiene la línea de simetría con

respecto a las figuras geométricas que genera. Después, comenten en el grupo y con el maestro sus resultados. 233


Para tu apunte Una figura simétrica con respecto a una línea mantiene distancias y ángulos, pero se invierte la dirección. Cuando una figura es dividida por una línea y cada uno de sus lados es simétrico, a la línea se le llama eje de simetría. Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro ejes de simetría:

Pongámonos de acuerdo 1. Reunidos en parejas realicen, de cada uno de los siguientes enunciados, una

construcción geométrica con cuatro puntos, pero que no sea cuadrado, rombo ni rectángulo y justifiquen si el enunciado es verdadero o falso. a. La transformación de una figura a su simétrica con respecto a una línea de simetría siempre mantiene los puntos medios de los segmentos. b. Una transformación simétrica con respecto a una línea de simetría siempre mantiene líneas paralelas. c. Una transformación simétrica con respecto a una línea preserva el área de un triángulo. d. Una transformación simétrica con respecto a una línea preserva el área de cualquier figura. 2. Diseñen un contraejemplo para los enunciados que resultaron falsos. 3. Comparen sus respuestas con las de otra pareja y concluyan. 4. Verifiquen sus resultados con su maestro y con el grupo.

De vuelta al Explora Una de las maneras de resolver la complicada ruta de la nadadora es por medio de la simetría. La siguiente figura sugiere cómo realizar los trazos para encontrar la solución: 1. Traza el dibujo en tu cuaderno conforme a las siguientes instrucciones: ⇒ Construye el punto simétrico de P sobre BC , llámalo P’ . ⇒ Construye el punto simétrico de P’ sobre CD, llámalo P’’ . ⇒ Construye el punto simétrico a P’’ sobre AD, llámalo P’’’ . ⇒ Une con una línea P’’’ a P para encontrar T sobre AD. ⇒ Une con una línea T con P’’ para encontrar S sobre DC . ⇒ Une con una línea S con P’ para encontrar Q sobre BC . P’

P’’ O

B

B’

C

P

S

A

T

A’

D

P* P’‘’

2. Demuestra que PQST es una ruta más corta que cualquier trayectoria de P a un punto X sobre BC y luego hasta un punto Y sobre CD , a continuación hasta un punto Z en AD, y finalmente de nuevo a P . Nota: Es suficiente probar esto para PQST . 234

B5

L33

Practica 1. Analiza las siguientes afirmaciones y decide si son verdaderas o falsas. Para

cada afirmación haz un esquema que la demuestre: a. En una simetría sobre un eje, los ángulos de la figura simétrica son diferentes a los originales. V

F

b. En una simetría sobre un eje, la suma de los ángulos internos de cualquier

figura son iguales para ambas figuras (salvo la dirección). V

F

c. En una simetría sobre un eje, un lado se mantiene midiendo lo mismo y los

demás cambian. V

F

V

F

V

F

V

F

d. Una simetría sobre un eje transforma rectas en rectas. e. Una simetría sobre un eje transforma círculos en círculos. f. Una simetría sobre un eje deforma a los rombos. 2. Si A y B son dos puntos y A’ y B’ sus respectivos puntos simétricos:

Escribe los lados de los triángulos que son congruentes (o sea, que miden lo mismo). 3. Traza en tu cuaderno las figuras simétricas de las ilustraciones que aparecen a la derecha. 4. Conecta los dos puntos rosas con uno de los puntos negros para crear un cuadrilátero que es simétrico con respecto a la línea rosa: ⇒

5. ¿Qué tipo de triángulo tiene dos ejes

de simetría?

Evalúa tu avance A

1. ¿Qué tipo de triángulo es aquél que sólo tiene un eje de simetría? a. Isósceles

b. Rectángulo

c. Escaleno

d. Obtusángulo

2. En un triángulo ABC , toma la línea BC como eje de simetría y las medidas

como se muestra en la imagen. • ¿Cuánto mide el a.

∠BCA

B

35° 35°

45° 13 cm

C

45°

∠BA’C ?

b. ∠ A’CB

c.

∠BAC

d.

∠CAB A’

235


Medida

Lección

34

Calcularás la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

Explora

El lanzamiento de jabalina El lanzamiento de jabalina es un deporte olímpico que se ha practicado desde el año 708 antes de nuestra era. La competencia tal y como la conocemos ahora se realiza en una sección circular con 29º de apertura y líneas que dividen el campo cada 40 m, 70 m, 90 m y 100 m.

10° m 4 5

m 9 4

m 9 3

m 4 2

29°

10°

4 0 m

7 0 m 9 0 m m 1 0 0

p

La zona de lanzamiento de jabalina se ubica dentro de una pista de atletismo, en el centro de uno de los semicírculos, ubicado de forma paralela a las rectas.

En la Olimpiada Nacional que se celebró en Aguascalientes en 2013, se pintó cada sección de un color diferente pero para ello se requería saber el área de cada sección. Si cada litro de pintura alcanza para pintar 1 m 2 del área: • ¿Cuánta pintura se necesita para pintar cada sección de color diferente?

236

L3 4

B5


• El riego

Aspersor

En la comunidad de Huiramba, Michoacán, don José quiere instalar un sistema de riego por aspersión para regar una parcela cuadrada de pasto. Con el fin de no invadir el área de la parcela le sugieren colocar cuatro aspersores en cada una de las esquinas de la parcela cuadrada, como se muestra en el dibujo a la derecha:

Parcela

1. Si los aspersores tienen un alcance de 4 m y el lado de la parcela cuadrada

mide 70 m2: • ¿Podrá don José regar su parcela completa con estos cuatro aspersores? • Con esta disposición de los aspersores, ¿cuántos metros cuadrados de pasto podrá regar don José? • ¿Cuántos metros cuadrados de pasto no podrá regar don José? 2. Para mejorar el riego don José decidió poner sólo dos aspersores colocados en

orillas opuestas de la parcela pero con 5 m de alcance. ⇒ Haz un modelo de esta solución. • ¿Cuántos m2 se pueden regar con esta opción? • ¿Cuántos m2 deja de cubrir si un aspersor con alcance de 3 m es colocado en el centro?

p

3. Analiza los procedimientos para calcular las secciones circulares y la corona

circular que modelaste en el inciso 2. 4. Compara el método que utilizaste con el de un compañero y argumenta cuál

El riego por aspersión es un sistema de irrigación muy efectivo que imita a la lluvia mediante un sistema de tuberías y pulverizadores, llamados aspersores.

sería el óptimo para calcular dichas áreas.

• El limpiaparabrisas Un limpiaparabrisas de 45 cm de largo puede girar un ángulo de 115º. 1. Responde: • ¿Cuál es la distancia que recorre el parabrisas en su parte más alta?

Para tu apunte

A’

B

α =

115°

A

2. Escribe el método que usaste para calcular dicha longitud. • •

¿Qué relación matemática tiene la longitud del limpiaparabrisas con la longitud del arco AA’ ? ¿Qué relación matemática tiene la longitud del ángulo con la longitud del arco AA’ ?

3. Compara tu método con el de un compañero y decidan cuál es la mejor estra-

tegia para calcular la longitud de un arco y cuáles son los datos necesarios para poder responder a la pregunta.

Para calcular las áreas de las secciones de un círculo es necesario recordar que el área de un círculo se calcula con la fórmula: π(r 2). Por lo tanto, la proporción del área total que corresponde a la apertura del ángulo se iguala con la proporción. Para ello se resuelve la siguiente igualdad, donde α es el ángulo de apertura del que se desea obtener el área x :

360º ——— α

�

2 π r —— x

237


• La Olimpiada de Matemáticas

Para tu apunte Para calcular la longitud de un arco, es necesario recordar que el cálculo del perímetro de una circunferencia es π(d ), donde d es el diámetro de la circunferencia. Además de esto, hay que recordar que una circunferencia completa tiene 360º. Por lo tanto, habría que calcular la proporción del ángulo de apertura del arco en relación a los 360º e igualarla con la proporción entre el perímetro y la longitud de arco que queremos obtener. Para ello podemos plantear la siguiente igualdad:

360º ——— α

�

En México se realiza anualmente una Olimpiada de Matemáticas en la que participan alumnos como tú. Uno de los problemas presentados en una de las olimpiadas fue: 1. Encuentra el ángulo indicado de la siguiente figura: D

C

E

37°

2 π r —— x

Si tu compañero y tú lograron calcular la longitud de un arco de una manera diferente, expónganla al grupo.

N

• • •

¿Qué datos son relevantes para resolver el problema? ¿Qué datos no son relevantes para resolver el problema? ¿Qué resultados conocías y cuáles retomaste para poder resolver el problema?

2. Junto con un compañero analicen el procedimiento que cada uno siguió para

resolver el problema. 3. Elijan una de las siguientes situaciones o inventen una similar para diseñar un

problema de cálculo de ángulos inscritos y centrales: Un escenario circular que debe ser iluminado con dos lámparas. Un kiosco en una plaza circular que requiere cámaras de vigilancia. Una pista de baile circular con tres lámparas en el borde del piso. 4. Otro problema de la misma Olimpiada fue: ⇒

Calcula el área coloreada del siguiente semicírculo, conociendo los radios de las circunferencias.

R = 10 cm

R = 5 cm

Para tu apunte Recuerda que el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central, siempre y cuando abran el mismo arco. Así mismo recuerda que si un ángulo con vértice sobre la circunferencia se abre del tamaño del diámetro, entonces mide 90º.

238

5. Junto con otros dos miembros del grupo analicen el procedimiento que cada

uno siguió para resolver el problema, discutan y concluyan sobre cuál fue el más adecuado.

L3 4

B5

Pongámonos de acuerdo 1. En una plaza de toros el ruedo (área para torear) mide 78.56 m2. •

¿Qué distancia recorre el torero cuando da la vuelta al ruedo?

2. El callejón es el área segura que rodea al ruedo en donde pueden estar los

toreros y sus ayudantes. Si el callejón de la plaza de toros mide 1.5 m de ancho: • ¿Cuál es su circunferencia? • ¿Cuál es el área del callejón? 3. Comparte tu planteamiento para resolver el problema anterior con un c ompa-

ñero y pídele que lo resuelva con tu método; piensa en lo siguiente: • ¿Cuál es la mínima cantidad de datos relevantes que le puedo poner al problema para aumentar la dificultad, pero que aún tenga solución? 4. Asimismo, pide a tu compañero que te plantee un problema parecido. Des-

pués, analiza si tiene los datos suficientes, si es muy complicado, si se puede resolver y si fue escrito con suficiente claridad. 5. De cada uno de los temas, analicen en grupo, junto con su maestro, cuáles son

las estrategias de solución y los datos necesarios para poder resolver el problema inicial de esta sección.

De vuelta al Explora 1. Analiza qué forma tienen las secciones circulares del tiro con jabalina.

¿Cuál es el ángulo de apertura? ¿Cuál es la distancia desde el lanzamiento hasta cada una de las secciones?

• •

2. Los organizadores decidieron colocar una malla al final de cada una de las

secciones del lanzamiento de jabalina. Calcula la longitud de malla que se necesita para poder delimitar cada sección en el campo de lanzamiento de jabalina.

⇒

Practica 1. El siguiente diagrama muestra el corte de un cable hueco en el que la distancia OA � 12 cm y la distancia OC � 15 cm. •

¿Cuál es el volumen de esta sección del cable?

2. El haz de luz de un faro alcanza una distancia de 8 km y puede abarcar un

ángulo de 35º. • ¿Cuál es el área que abarca el haz de luz?

30 cm

C

A

110° O

B

D

239


3. Un reloj de péndulo tiene un ángulo de movimiento de 35º y su cuerda mide 65 cm. •

¿Cuál es la longitud del recorrido en su parte más baja? E = 35°

D = 6.5

p

El péndulo fue uno de los avances más importantes en la tecnología de los relojes mecánicos. El péndulo es una masa suspendida de una cuerda que oscila libremente en el aire y tiene la propiedad de que el tiempo entre una oscilación y la siguiente depende únicamente de la longitud del péndulo y de la fuerza de la gravedad.

D

D x

4. Encuentra la medida del ángulo que subtiende el arco IKH : I J H

70°

70°

K

L

Para tu apunte Puedes utilizar el siguiente resultado: La medida de un arco mayor en una circunferencia es igual a 360° menos la medida del arco menor correspondiente.

5. En un campo de beisbol se quiere colocar una

malla en uno de los límites del campo. • ¿Cuántos metros tiene que medir dicha malla si será colocada en la parte verde del siguiente campo?

120 m 15 m

Evalúa tu avance 1. Calcula el área azul:

2. Si la línea BD mide lo mismo que CD: • ¿Cuánto mide el ángulo x ?

a. 19.626

b. 3.14

c. 16.485

d. 20.53

a. 60º

b. 75º

d. 105º

d. 210º C

B

5 cm A

X° 30°

2 cm

240

D

L35

B5


Lección

35

Leerás y construirás gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos

Explora

El mensaje espacial Por petición del astrónomo Carl Sagan, la sonda espacial estadounidense Pioneer 10 lleva una placa de oro con un mensaje inscrito que, a la larga, le informaría a una civilización extraterrestre la procedencia del objeto, una especie de “mensaje en la botella”. La Pioneer 10 fue lanzada al espacio el 2 de marzo de 1972 y ha mantenido una velocidad de 12.04 km/s durante toda su trayectoria. ⇒ Dibuja la gráfica que modela la distancia que recorre la Pioneer 10 durante un año de viaje. u

La Pioneer 10 fue la primera nave en atravesar el cinturón de asteroides, la primera en visitar Júpiter, la primera en alejarse más allá de la órbita del planeta de nuestro sistema solar más distante al Sol, y la primera en utilizar la gravedad de un planeta para cambiar su curso y alcanzar la velocidad de escape necesaria para salir del Sistema Solar.


• La compañía de telefonía móvil En cierto país, una compañía de telefonía móvil aumentó sus costos. Irina y Gabriel quieren calcular cuál es el costo del internet que contratan con una tarjeta de pago. Antes, 1 megabyte (MB) costaba $1. Ahora, dicha compañía cobra $0.02 pesos el kilobyte (kB).

Con el precio anterior, una tarjeta de $200 alcanzaba para 200 MB. •

¿De cuántos MB se dispondrá con los mismos $200 pero con la nueva tarifa?

Para tu apunte Megabyte y kilobyte son medidas de datos informáticos: 1 MB = 1024 kB. 241


Para tu apunte

1. Completa la siguiente tabla:

Cuando construyas una gráfica lineal para problemas reales haz lo siguiente:

• •

•

Elige intervalos apropiados para definir en los ejes. Asegúrate que usas intervalos iguales. Pueden ser diferentes para cada eje, pero en cada eje deberán ser distancias idénticas siempre. Si todos los datos son positivos solo usa el primer cuadrante para graficar.

kB

1

Precio

$0.02

2

3

4

5

6

7

8

9

2. Con los datos anteriores, elabora una gráfica para representar el crecimiento

lineal del precio con respecto a los kB usados. 3. Escribe una ecuación que modele el precio del uso de la telefonía móvil para

internet con respecto a los kB usados. • ¿Qué escala usaste para poder graficar el cambio del precio con respecto a los kB usados? • ¿Cómo puede ayudarte la escala para responder cuánto es el gasto por 1 MB? 4. Realiza en tu cuaderno una nueva tabla en la que reelabores la escala y la grá-

fica para poder comparar la línea que modela del precio anterior y la línea que modela el nuevo precio. • ¿Qué escala usaste para poder graficar los cambios del precio con los dos precios distintos? • ¿Qué otros datos puedes obtener a partir de la graficación de los precios con respecto a los kB usados? 5. Analiza las gráficas que obtuviste y señala algunas de las características nece-

sarias para poder construir una gráfica lineal. Coméntalo primero con algún compañero y después en el grupo con tu maestro.

Para tu apunte Todo lo que necesitas para graficar una función lineal es determinar su valor en dos puntos. Solamente es necesario que la función esté en el formato y � a x � b, donde a y b sean números conocidos.

6. Analiza qué representa cada sección de la función en su representación gráfica. • ¿En qué valor de y cruza la gráfica el eje de las ordenadas? 7. Elige dos puntos de la recta que graficaste y cuenta cuánto tienes que avanzar en el eje de las x y cuánto tienes que avanzar en el eje de las y . Divide lo que avanzas en y entre lo que avanzas en x . 8. Busca en la función que escribiste si aparecen estos dos datos: el cruce con el eje de las ordenadas y la división del incremento en y entre el incremento en x .

• La población de zorrillos Un grupo de biólogos está preocupado por la posibilidad de la extinción de una especie de zorrillo (Spilogale pygmaea) que se encuentra en las costas mexicanas del océano Pacífico.

u

242

El zorrillo pigmeo se encuentra en regiones boscosas y matorrales de suelo rocoso. Evitan los bosques densos y pantanos. Se resguardan en madrigueras o pueden refugiarse en los árboles.

B5

L35

La siguiente gráfica modela la población existente de zorrillos por año y a futuro: 4000 3500

Si tu primera tarea es identificar, a partir de la función, el punto donde la gráfica de una función lineal cruza con el eje x o y , puedes hacer lo siguiente:

•

3000

Número de zorrillos

Para tu apunte

2500 2000 1500 1000

•

500

2005

2010

2015

2020

2025

Años

La intersección con el eje y es en el punto donde la coordenada x es 0, y la coordenada y es igual a a(0) � b, es decir, b. Así que el punto es (0, b). Por eso llamamos a b en la ecuación y � a x � b como ordenada al origen o simplemente donde corta al eje y . La intersección con el eje x es el punto ( x , 0), donde el valor de a x � b � 0. Para encontrar cuál es la x , sólo se tiene que ajustar a x � b � 0, y se obtiene x � –b . a

1. Analízala y responde las preguntas que se plantean a continuación. • ¿Qué representa la escala del eje x ? • ¿Qué representa la escala del eje y ? • • •

En 2005, ¿cuál era el número estimado de zorrillos? ¿La población de zorrillos crece o decrece? ¿Cuál es la población de zorrillos que habrá en 2015, conforme al inicio de registro en el año 2005?

Una advertencia: si a es cero, no se debe tratar de encontrar la intersección con el eje x de esta manera, porque la división quedaría indefinida. Para dibujar una ecuación con a � 0 se dibuja una línea recta horizontal que pasa por el punto (0, b).

2. Completa la siguiente tabla:

• •

Año

2005

2006

Zorrillos

4 000

3 975

2007

2008

2009

2010

2011

2012

¿Cómo obtuviste los datos de los zorrillos? Describe estos cálculos. Según el modelo, ¿en cuántos años se podrían extinguir los zorrillos?

• La venta de tortillas Inés puso una tortillería. Ella sabe por cada 10 kilos de tortilla que venda ganará $30. 1. Usa la siguiente gráfica para responder lo siguiente: • • • •

Si Inés vende cinco kilos de tortilla, ¿de cuánto es su ganancia? Para que tenga una ganancia de $150, ¿cuántos kilos de tortilla tiene que vender? ¿Cuánto gana Inés por cada kilo de tortilla vendido? Si Inés vende 90 kilos de tortilla, ¿cuánta ganancia tendría?

$700 $600 $500 Ganancia en pesos

$400 $300 $200 $100

0

10

20

30

Kilos de tortilla

243


Pongámonos de acuerdo 1. Analiza, junto con un compañero, el siguiente problema: Mauricio gasta $10

por día solamente en transporte. Si después de cinco días, le sobran $8. • ¿Con cuánto dinero inició hace cinco días? 2. Según la ecuación de y = a x + b escriban de qué trata cada variable:

y � la cantidad de dinero que tiene Mauricio x � a� b� 3. Ahora, consigan la información necesaria para poder graficar el problema y

tracen la gráfica. • ¿En tres días cualquiera el gasto es siempre el mismo o varía? 4. Analicen en las gráficas de funciones lineales si a cambios iguales en el eje de

las ordenadas, hay cambios iguales en el de las abscisas. 5. Verifiquen sus resultados con la ayuda de su maestro.

De vuelta al Explora En primer lugar, hay que identificar que para graficar la distancia que ha recorrido la Pioneer 10 durante un año de viaje, necesitamos colocar los intervalos de medida en los ejes adecuadamente. Una manera de hacerlo es la siguiente: 1. Si un año tiene 31 536 000 segundos puedes elegir una escala de dos en dos

millones de segundos, o como mejor te convenga. 2. Después de elegir adecuadamente la escala y los intervalos de las medidas

en los ejes, identifica cuál es la ordenada al origen y cuál es el número en donde empezaría la gráfica. 3. Una manera de graficar sencillamente es encontrar dos puntos que sí estén

sobre la gráfica y, si la gráfica es lineal, unir los puntos con una recta y listo. • ¿Se puede modelar con una ecuación lineal la velocidad con respecto al tiempo de la sonda? Argumenta por qué. • ¿El punto con coordenadas (0, 0) está en la gráfica? • Si Júpiter está a 679 623 714 km de la Tierra, ¿cuánto tiempo tardó en llegar la Pioneer 10 a dicho planeta? 4. Analiza qué información te puede dar la gráfica que modelaste. 5. Junto con un compañero analicen las características que tienen las gráficas

de funciones lineales y revisen sus generalizaciones con su maestro. 244

L35

B5

Practica 1. Explica por qué el siguiente problema no puede ser modelado por una gráfica

lineal: La población de una bacteria se duplica cada minuto. 2. En México, la gasolina cuesta $10.70 por litro. Realiza una gráfica que muestre la variación del precio por cada litro comprado. • Según tu gráfica, el precio de la gasolina por litro, ¿es modelado por una gráfica lineal? • ¿Cuánto cuestan 16 litros de gasolina? • Si sólo tenemos $143, ¿cuántos litros podemos obtener? 3. Inventa un problema y realiza la gráfica de las siguientes ecuaciones: a. y � x � 10

b. y � 3 x � 4

c. y � �5 x � 10

d. y � 23 x � 13

4. Para los últimos dos incisos piensa en una situación en la que conforme x aumente, el valor de y disminuya. 5. Para el último inciso, piensa en una situación en donde el incremento sea de-

terminado por una fracción. 6. Analiza la siguiente gráfica que representa el costo de rentar un salón de fiestas (eje y ) según el número de personas (marcado en el eje x ):

s o s e p n e o t s o C

1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Número de personas

7. Inventa dos situaciones que se puedan modelar como una función lineal y

grafícalas. Una de ellas tiene que ser creciente y la otra decreciente. 8. Platica con tus compañeros y tu maestro en qué situaciones reales suceden éstas funciones. 9. Entra a la siguiente página de internet: http://fooplot.com/

En ella, podrás graficar cualquier ecuación con la escritura correcta. Por ejemplo, si quieres saber cómo es la gráfica de y � 2 x � 4 sólo tienes que escribir 2 x � 4. ⇒ Grafica los siguientes enunciados y compara las gráficas: – Un taxi cobra $25 de banderazo y cada kilómetro cuesta $8.30 – Un taxi cobra $30 de banderazo y cada kilómetro cuesta $6.50 – Un taxi cobra $45 de banderazo y cada cuesta 5% • ¿Cuál taxi te conviene más tomar? ⇒ Analiza a partir de qué kilometraje te conviene más elegir un cierto taxi u otro. 245


Evalúa tu avance 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la modelación del siguiente evento? Una empresa de taxis cobra

$4.50 por cada kilómetro recorrido y el banderazo empieza en $15: y = 4.5 x + 15

50 40 Precio 30

y 

20

4.50 

15

20

10

Precio 10

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

0.4

Número de kilómetros

a.

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4


b.

y  15 x  4.5

y  8 x  15 40

50 32

40 Precio

30

24

20

16

10

8

0.4

0.8

c.

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

0


0.5

1

1.5

2

2.5

3


d.

1. ¿Cuál es la ecuación que mejor modela la siguiente gráfica? a. y � 5 x � 236

1000

b. y � �5 x � 236 c. y � 1/5 x � 236

750

d. y � 236 x � 5 Población en millones

500

250

0

25

50

75

100

Próximos años

246

125

150

L36

B5


Lección

36

Analizarás los efectos al cambiar los parámetros de la función y = m x + b, en la gráfica correspondiente

Explora

La tarifa del taxi En cierto estado del país el costo de un viaje en taxi está dado por la ecuación y = 5 x + 8, en la que x es el número de kilómetros recorridos y y es el costo total del viaje. Debido al incremento en el precio de la gasolina los taxistas solicitaron que se haga un ajuste en el cobro de los viajes en taxi. Se tienen dos propuestas: a. Mantener el costo por kilómetro recorrido y aumentar el banderazo a $15. b. Aumentar el costo por kilómetro a $6 y mantener el banderazo de $8.

A continuación se presentan las gráficas de las dos propuestas:

50

e j a i v l e d l a t o t o t s o C

50

40

e j a i v l e d l a t o t

30

o t s o C

20

10

0

30

20

10

5

10

15

Número de kilómetros recorridos

•

40

0

5

10

15

Número de kilómetros recorridos

¿Cuál propuesta les conviene más a los taxistas? Explica por qué. 247



• Los corredores En una pista recta de 100 metros, cuatro corredores se preparan para iniciar una competencia. Todos ellos corren a una velocidad de 5 metros por segundo, la diferencia está en que al momento de empezar se encuentran en diferentes posiciones, esto es, Salvador inicia desde el punto de salida, Joel parte 10 m adelante del punto de salida, Aracely lo hace 20 m adelante del punto de salida y Erika parte 30 m adelante del punto de salida. • ¿Quién llegará primero a la meta de 100 m?, ¿por qué? 1. Escribe una ecuación para cada corredor en donde y sea la posición en metros del corredor y x sea el tiempo en segundos.

Salvador: Joel: Aracely: Erika: • ¿Qué tienen en común las cuatro ecuaciones? • ¿En qué se diferencian las cuatro ecuaciones?

Para tu apunte En una ecuación lineal de la forma y � m x � b, m es la pendiente de la recta y determina la inclinación de ésta, y b es la ordenada al origen y determina la intersección con el eje y . Si dos o más de ecuaciones lineales de la forma y � m x � b tienen la misma pendiente pero diferente ordenada al origen, significa que sus gráficas tendrán la misma inclinación y serán paralelas, pero estarán desfasadas verticalmente de acuerdo con la ordenada al origen.

2. Completa una tabla de valores para cada corredor en donde se muestre la posición

desde el punto de salida en metros con respecto a los segundos transcurridos: Salvador x (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y (m)

Joel x (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Aracely y (m)

x (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y (m)

Erika x (s)

y (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

¿Qué puedes concluir de acuerdo con los valores de las tablas anteriores? Al pasar cinco segundos, ¿qué distancia hay entre Salvador y Joel?, ¿cuántos metros hay entre Salvador y Aracely?, ¿qué distancia hay entre Salvador y Erika? • ¿Cambian esas distancias al transcurrir más segundos? • ¿Coinciden Salvador, Joel, Aracely y Erika en un punto en común en un mismo momento? • ¿Rebasará uno a alguno o algunos? • •

248

L36

3. Traza las gráficas de cada corredor en el mismo plano. Utiliza

diferentes colores para distinguirlos. • ¿Qué tienen en común las cuatro gráficas? • ¿Cuál está más inclinada? • ¿Qué dato sobre los corredores decide la inclinación o pendiente de la recta? • ¿Qué dato sobre los corredores define dónde se cruzará su recta con el eje y o las ordenadas? • ¿En qué puntos se cortan o intersecan las gráficas con el eje de las ordenadas (y )? • ¿Crees que en algún momento las gráficas se intersecan? ¿Por qué? 4. Comenta con un par de compañeros las características de las

gráficas anteriores junto con sus ecuaciones.

B5

160 150 140 130 120 110 a i c n e u c e r F

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Suma de los dos dados

• Las cajas de vasos En una fábrica de vidrio de la ciudad de Tonalá, Jalisco, empacan cierta cantidad de vasos de vidrio soplado en cajas de cartón para poderlos exportar. Cada caja debe contener la misma cantidad de vasos y deben quedar bien protegidos para que no se rompan. Algunos de los empleados son muy buenos empacando pues tienen años trabajando en la fábrica, pero otros no lo son tanto. Sus promedios al empacar son los siguientes: Roberto, tres cajas por cada hora; Diego, cinco cajas por hora; Alejandro, ocho cajas por hora y Gerardo, diez cajas por hora. 1. Si en una jornada completa de ocho horas todos los empleados se dedicaron

sólo a empacar vasos, responde: • ¿Cuántas cajas lograron empacar los cuatro empleados juntos si al momento de iniciar cada uno tenía dos cajas ya empacadas? • ¿Quién empacó más cajas de vasos en las ocho horas?, ¿por qué?

p

La técnica del vidrio soplado consiste en inyectar aire al vidrio fundido por medio de tubos muy largos de metal. Esto puede ser con la ayuda de máquinas o de modo artesanal, soplando por uno de los extremos. Para moldear las figuras se utilizan moldes.

2. Escribe una ecuación para cada empacador en donde y sea la cantidad de cajas empacadas y x sea el tiempo en horas.

Roberto: Diego: Alejandro: Gerardo: • •

¿Qué tienen en común las cuatro ecuaciones? ¿En qué se diferencian las cuatro ecuaciones? 249


Para tu apunte

3. Completa una tabla de valores para cada empleado en donde se muestre la

cantidad de cajas empacadas con respecto a las horas transcurridas:

Si dos o más ecuaciones lineales de la forma y = m x + b tienen la misma ordenada al origen pero diferente pendiente, significa que sus gráficas cruzan en el mismo punto del eje y pero tendrán diferente inclinación de acuerdo con la pendiente de cada ecuación.

Roberto x (h)

Diego

y (cajas)

x (h)

y (cajas)

Alejandro x (h)

y (cajas)

Gerardo x (h)

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

y (cajas)

¿Qué conclusiones puedes plantear de acuerdo con los valores de las tablas anteriores? • Al pasar tres horas, ¿cuántas cajas empacadas hay de diferencia entre Roberto y Diego?, ¿cuántas cajas hay de diferencia entre Roberto y Alejandro?, ¿cuántas cajas hay de diferencia entre Roberto y Gerardo? • ¿Cambian esas diferencias al transcurrir más horas? • ¿Coinciden Roberto, Diego, Alejandro y Gerardo con la cantidad de cajas empacadas en un mismo momento? •

160 150 140 130 120 110 a i c n e u c e r F

100 90 80 70

4. Traza las gráficas de producción para cada empleado en el mis-

60

mo plano. Utiliza diferentes colores para distinguirlos. • ¿Qué tienen en común las cuatro gráficas? • ¿Cuál está más inclinada? ¿Cuál está menos? • ¿En qué puntos se cortan o intersecan las gráficas con el eje de las ordenadas (y )?, ¿por qué? • ¿Crees que en algún momento las gráficas se intersequen?, ¿por qué? • ¿Cuál dato de cada empacador decide la inclinación de la recta? • ¿Cuál dato indica el cruce con las ordenadas?

50 40 30 20 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12


5. Comenta con un par de compañeros las características y significados de las

gráficas anteriores junto con sus ecuaciones.

• Los tanques Tres tanques con capacidad de 36 litros, contienen seis, dos y seis litros de agua, respectivamente. Todos comienzan a llenarse al mismo tiempo. En los primeros dos tanques la velocidad de llenado es de 3 litros por minuto y en el tercero, de 2 litros por minuto. 250

L36

1. Plantea una ecuación para cada tanque en donde y sea la cantidad de litros que contiene el tanque y x sea el tiempo

Tanque 1 3 litros / min

en minutos. Tanque 1: Tanque 2: Tanque 3: • ¿Qué hay en común en las ecuaciones de los tanques 1 y 2? • ¿Qué hay en común en las ecuaciones de los tanques 1 y 3? • ¿Qué diferencia hay en las ecuaciones de los tanques 1 y 2? • ¿Qué diferencia hay en las ecuaciones de los tanques 1 y 3?


6 lItros

B5


2 litros

6 litros

2. Haz una tabla de valores para cada tanque. Tanque 1 x (min) y (l) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tanque 2 x (min) y (l) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tanque 3 y (l) x (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3. Traza las gráficas de los tanques 1 y 2. Usa distintos colores para diferenciarlas. • • •

¿Cómo son sus gráficas? ¿El nivel del agua del tanque 2 podrá alcanzar al del tanque 1 antes de llenarse? Si se pudiera manipular la velocidad del llenado de los tanques, ¿qué velocidad tendría que tener el llenado del tanque 2 para que alcanzara al tanque 1 en el minuto 4? Los litros iniciales (b) de cada tanque se mantienen, sólo tienes que modificar la velocidad (m) del tanque 2.

40

4. Reescribe la nueva ecuación para el tanque 2 y traza su gráfica en el plano

30

anterior. Verifica que la intersección de la ecuación del tanque 1 y ésta sea en el minuto 4. Tanque 2:

20

5. Traza las gráficas de los tanques 1 y 3. Usa distintos colores para diferenciarlas. • •

¿Podrá el tanque 3 llenarse antes que el tanque 1? Si se pudiera manipular la cantidad de litros iniciales que hay en los tanques, ¿cuántos litros iniciales tendría que tener el tanque 3 para que se llenara en el mismo tiempo que el tanque 1? Las velocidades (m) de cada tanque se mantienen, sólo tienes que modificar los litros iniciales (b) del tanque 3.

10

0

5

10

6. Reescribe la nueva ecuación para el tanque 3 y traza su gráfica en el mismo plano.

Verifica que la intersección de la ecuación del tanque 1 y ésta sea a los 36 litros. Tanque 3: 251


Para tu apunte


Todas las rectas de la forma y � m x � b cuya pendiente m es fija y la ordenada b varía, forman una familia de rectas. Por ejemplo:

El pequeño Dante regresa a su casa después de jugar en el parque y le cuenta a su mamá que hay dos resbaladillas en las que juega, pero no entiende por qué la roja le da miedo y la azul no. Su mamá le dice que quizá es porque la roja es más grande. Dante le responde que eso fue lo primero que pensó, que la roja era más alta que la azul, pero entonces contó los escalones y resultó que la cantidad era la misma, así como la distancia entre uno y otro; por lo tanto, la altura de las resbaladillas era la misma. Entonces, la mamá de Dante lo acompañó al parque para observarlas y medirlas. Encontraron que efectivamente las dos tienen una altura de 2 metros, pero que la distancia que había entre las escaleras y el borde era de 2 m en la resbaladilla azul y de 1 m en la roja.

y � 8 x � 5 y � 8 x � 6 y � 8 x y � 8 x � 9 y � 8 x � 21 ...

De la misma forma, el conjunto de rectas y � m x � b, en donde b es fija y m varía forman otra familia de rectas. Por ejemplo:

1. Dibuja en el siguiente plano la gráfica para cada resbaladilla de acuerdo con

y 4 x � 7 y � 6 x � 7 y � �3 x � 7 y � x � 7 y � �2 x � 7... �

las características mencionadas. Toma al origen como el punto más bajo de la resbaladilla. 2. Escribe una ecuación para cada resbaladilla de acuerdo con las gráficas que hiciste.

Resbaladilla azul: Resbaladilla roja: 3. Junto con un compañero responde las siguientes pre-

guntas: • ¿De qué depende la inclinación de la resbaladilla si la altura de ambas es la misma? • ¿Cómo son las pendientes (m) de las ecuaciones de las gráficas? • Pueden concluir que: mientras (mayor/menor) sea la pendiente (m) en una gráfica, (mayor/menor) será la inclinación de la recta. • ¿Qué razón le darían a Dante ante su cuestionamiento? • Si quisieran diseñar una resbaladilla verde que tuviera menor inclinación que la azul pero la misma altura, ¿cómo tendría que ser la pendiente (m)? Escriban su ecuación en la pleca y dibújenla cada quien en el plano de la izquierda. Resbaladilla verde:

40

30

20

10

0

5

10

4. Comparen sus resultados con los demás compañeros del grupo y comenten,

junto con el maestro, en qué otras situaciones cotidianas experimentan la sensación de las pendientes. 252

L36

Para tu apunte

De vuelta al Explora 1. Con lo aprendido en la lección responde: • •

B5

¿Cuál es costo por kilómetro recorrido antes del ajuste? ¿Cuál es el costo del banderazo antes del ajuste?

2. Escribe una ecuación para la propuesta 1: mantener el costo por kilómetro

y aumentar el banderazo en $15. 3. Escribe una ecuación para la propuesta 2: aumentar el costo por kilómetro

y mantener el banderazo. • ¿Cuál es la diferencia en costo de un viaje de 5 km de la propuesta 1 con respecto a la segunda? • ¿Cuál es la diferencia en costo de un viaje de 5 km de la propuesta 2 con respecto a la primera? • ¿Qué propuesta conviene para quien hace un viaje de 5 km? • ¿Qué propuesta conviene para quien hace un viaje de 7 km? • ¿Qué propuesta conviene para quien hace un viaje de 10 km? • ¿Para qué casos será más conveniente cada propuesta? ⇒ Explica por qué.

La inclinación de una recta y � m x � b está determinada por su pendiente m. Mientras mayor sea la pendiente mayor será la inclinación de la recta y viceversa. La ordenada al origen está determinada por el valor de b. Este valor indica el punto en donde cruza la recta con el eje y . Dos o más ecuaciones de la forma y � m x � b tendrán la misma inclinación si su pendiente m es igual. Si dos o más ecuaciones tienen la misma ordenada al origen significa que estas ecuaciones concurren en el mismo punto del eje y .

Practica 1. Por simple análisis, revisa las siguientes ecuaciones y contesta la tabla. Después

grafícalas y verifica si tus respuestas fueron correctas: y � 3 x � 2

y � 3 x � 5

y � 3 x � 4

y � 3 x Sí

No

Sí

No

Las cuatro gráficas de las ecuaciones se intersecan en el origen. Las cuatro gráficas de las ecuaciones son paralelas pero trasladadas hacia arriba o abajo dependiendo del valor de b. Las cuatro gráficas tienen la misma pendiente pero diferente ordenada al origen. Las cuatro graficas son paralelas pero todas pasan por el origen (0, 0). Las cuatro gráficas cruzan en la misma ordenada al origen.

2. Por simple análisis, revisa las siguientes ecuaciones y contesta la tabla. Después

grafícalas y verifica si tus respuestas fueron correctas: y � 2 x � 3

y � x � 3

y � 8 x � 3

y � � x � 3

Las cuatro gráficas de las ecuaciones se intersecan en el origen. Las cuatro gráficas de las ecuaciones son paralelas pero trasladadas hacia arriba o abajo dependiendo del valor de b. Las cuatro gráficas tienen la misma ordenada al origen pero diferente pendiente. Las cuatro graficas coinciden en el punto (0, 3). Las cuatro gráficas cruzan en la misma ordenada al origen. 253


3. Identifica las ecuaciones de las siguientes gráficas. Elige una de las ecuaciones

del recuadro y subráyala del mismo color que la recta correspondiente. Observa la ordenada al origen y la pendiente de cada una. y

y  x  10 y  5 x y  3

 2 x

y  x  2

15

y  2 x  10

10

5

x 0

5

10

15

4. Visita la siguiente página en internet y observa cómo cambia la recta

cuando variamos los valores de la pendiente y la ordenada al origen en una ecuación lineal: www.educaplus.org/play-40-Ecuaci%C3%B3n-de-larecta:-pendiente-y-punto-de-corte.html 5. ¿Qué modificaciones debes hacer en la pendiente para encontrar la ecuación

de una recta que sea perpendicular a la original? En parejas experimenten con 3 la ecuación y � –2 x . • Generalicen cómo se puede hacer y coméntenlo en el grupo y con el maestro.

Evalúa tu avance 1. Evalúa las siguientes características e indica cuál es la correcta. Para las ecuaciones (1) y � 6 x � 1; (2) y � 4 x � 1

se tiene que: a. La gráfica de la (1) estará por arriba de la gráfica (2) para x mayores que cero. b. Tienen la misma inclinación. c. No tienen intersección. d. Son paralelas. 2. Si dos ecuaciones lineales tienen pendientes iguales pero difieren en la ordenada al origen, ¿qué afirmación es falsa?

254

a. Sus gráficas no tienen intersección.

b. Su intersección con el eje y es en el mismo punto.

c. Sus gráficas son paralelas.

d. Tienen la misma inclinación.

L37

B5


Lección

37

Compararás las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio

Explora

A lo loco La maestra de Ciencias les puso un examen a los alumnos de la escuela secundaria Gabriela Mistral. Este examen constó de diez preguntas de opción múltiple cada una con cinco posibles respuestas donde sólo una es correcta. Como Pedro no había estudiado nada la noche anterior decidió responder el examen al azar y así se lo hizo saber a su maestra. Ante esta es ta situación, sit uación, la maestra le propuso prop uso al perezos perezosoo estudiante estudi ante hacer ha cer un experimento y ver cuál es la distribución frecuencial frecuencial de elegir al azar las resrespuestas del examen. • ¿Cuáles son las diferencias entre las gráficas de distribución teórica y frec uencial en el experimento que la maestra le dejó al alumno?


• El dado cargado En un salón de clases, los alumnos realizaron el experimento de obtener la distribución frecuencial de tirar un solo dado. La gráfica que resultó se muestra a la derecha. Según una compañera del salón, el dado estaba “cargado” o falso. 1. Responde: • ¿Estás de acuerdo con su afirmación?, ¿cómo lo demostrarías? • Según la gráfica de la distribución frecuencial, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 2 al tirar el dado? ¿Cuál es la diferencia con su probabilidad teórica? • Según la gráfica de la distribución frecuencial, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 3 al tirar el dado? ¿Cuál es la diferencia con su probabilidad teórica? • Según la gráfica de la distribución frecuencial, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 6 al tirar el dado? ¿Cuál es e s la diferencia con su probabilidad teórica?

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1

2

3

4

5

6

255


Para tu apunte

2. Haz la gráfica de la distribución teórica de los resultados de tirar un dado que

La gráfica de la distribución teórica es aquélla que representa los valores de los posibles resultados teóricos de un evento. Por ejemplo, una manera de representar la gráfica de la distribución teórica del lanzamiento de una moneda es:

no esté cargado. • ¿Cuál es la diferencia entre estas gráficas? 3. Realiza el experimento de tirar un dado muchas veces y grafica la distribución

frecuencial de dicho evento. • ¿En qué coincide y en qué difiere tu gráfica con la que se mostró anteriormente?

• Águila o sol Águila

50%

50%

Sol • •

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda no cargada se obtenga sol? ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda no cargada se obtenga águila?

1. Haz las gráficas tanto teórica como experimental del problema de las caras de

la moneda. Para que el experimento tenga muchas repeticiones (más de 45), pídele a tres compañeros c ompañeros sus resultados y agrégalos a los tuyos.

Para tu apunte Una de las formas de representar la probabilidad del resultado de lanzar una moneda no cargada es hacer dos tipos de gráficas: La gráfica de la distribución teórica es aquélla que representa lo que se espera que suceda con base en los casos posibles asumiendo que los resultados sean equiprobables. La gráfica de la distribución experimental es aquélla que resulta de un experimento o simulación después de un gran número de intentos.

Combinaciones posibles

•

¿Qué diferencia hay entre las gráficas experimentales y teóricas en términos de las probabilidades que representan?

• Demuestra con los dados 1. Realiza la gráfica de la probabilidad teórica y frecuencial de la distribución

probabilística de obtener cada uno de los resultados al sumar las tiradas de dos dados no cargados. 2. Antes, llena la siguiente tabla escribie escribiendo ndo las combinacion combinaciones es posibles que al

sumarlas den el resultado mostrado (sin importar el orden en el que caigan los dados) y la probabilidad teórica de cada uno de los siguientes eventos: Probabilidad teórica

Combinaciones posibles

Que la suma dé 2

Que la suma dé 7

Que la suma dé 3

Que la suma dé 8

Que la suma dé 4

Que la suma dé 9

Que la suma dé 5

Que la suma dé 10

Que la suma dé 6

Que la suma dé 11

Probabilidad teórica

Que la suma dé 12

3. Para poder hacer la gráfica, realiza con otros dos compañeros el experimento de

lanzar dos dados no cargados al menos 40 veces. Ve registrando el resultado de la suma. 4. Realiza la gráfica de la distribución frecuencial de la suma de dos dados no

cargados en el siguiente plano coordenado. 256

L37

Es importante que definas la escala del eje y , dependiendo del número de experimentos que registres. • ¿Cuáles son las diferencias entre la gráfica de la distribución teórica y la gráfica de la distribución frecuencial? • ¿Cuáles son las semejanzas entre la gráfica de la distribución teórica y la gráfica de la distribución frecuencial? ⇒ Escribe tus conclusiones sobre las coincidencias entre ambas gráficas. 5. Junto con dos compañeros compa ñeros analicen analice n la implica-

ción de la siguiente afirmación: entre más experimentos se realizan, más se parecen las distribuciones (frecuencial y teórica). 6. Respondan en el grupo junto con su maestro:

B5

160 150 140 130 120 110 a i c n e u c e r F

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

t 0

1

¿por qué sucede esto?

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12


Gráfica de la probabilidad frecuencial.

Pongámonos de acuerdo 1. Haz el siguiente experimento de manera individual y grafica la distribución

teórica y frecuencial de los resultados. ⇒ Mete en una urna tapada cinco pelotas rojas y cuatro pelotas azules. ⇒ Saca una pelota y anota el color. ⇒ Vuelve a introducir la l a pelota y repite rep ite el experimento. experime nto. 2. Haz varias veces el experimento y anota la frecuencia con la que sale una pe-

lota roja o azul y grafica este resultado. 3. Ahora reúnete reú nete con co n dos compañeros comp añeros y comparen sus resultados. resul tados. 4. Comparen la gráfica teórica y frecuencial del resultado del experimento y res-

pondan: • ¿Todas las gráficas son iguales? • ¿Todas las gráficas son diferentes o hay algunas que se parecen más? • ¿En qué se parecen las gráficas? • ¿En qué difieren las gráficas? 5. Si el experimento involucrara eliminar la pelota que se sacó, respondan: • •

¿Cambiarían las gráficas? ¿Se parecerían más las gráficas?

Para tu apunte Decide cuál tipo de gráfica teórica usar, por ejemplo de barras o circular. Entre más veces repitas el experimento, más se asemejarán las gráficas de la distribución frecuencial y la teórica.

6. Realicen este nuevo experimento en equipo, es decir metan en una urna tapada

cinco pelotas rojas y cuatro pelotas azules, luego saquen una pelota al azar y elimínenla. Anoten los resultados y después respondan las preguntas anteriores. 7. Por último, respondan junto con su maestro: •

¿Cuál es la diferencia entre una gráfica de distribución teórica y una de distribución frecuencial? 257


De vuelta al Explora 1. Crea un experimento que modele la elección de una respuesta correcta

entre cinco opciones. Recuerda que el examen tiene diez preguntas y que el total de la calificación será igual al número de respuestas correctas. 2. Grafica en tu cuaderno dicho experimento y responde: • Si elegir una respuesta correcta entre cinco opciones es como si se escogiera una pelota blanca de una urna donde hay cuatro bolas negras y sólo una blanca, entonces, ¿cuál es la probabilidad teórica de obtener cada una de las calificaciones entre 0 y 10? • A partir de tu experimento, ¿cuál es la distribución frecuencial de obtener cada uno de los resultados de la calificación? • A partir de las dos gráficas que realizaste, ¿cuál es la diferencia entre estas gráficas? • ¿En qué difieren las gráficas?, ¿por qué? • ¿En qué se parecen las gráficas?, ¿por qué? 3. Evalúa cuál es la probabilidad de que el alumno que no estudió apruebe el examen. 4. Comenta el resultado en grupo y con tu maestro.

Practica 1. En una muestra de 100 estudiantes elegidos al azar, 37 de ellos pudieron iden-

tificar la diferencia entre dos marcas de refrescos del mismo sabor. Con base en estos datos: • ¿Cuál es la mejor estimación de cuántos de los 2 352 estudiantes de la escuela podría distinguir entre los dos refrescos? • ¿Cómo sería la gráfica de distribución teórica? 2. Con los siguientes datos inventa un experimento que arroje los datos para

obtener obte ner las gráficas teórica y frecuencial. a. Elige 25 personas al azar de un grupo de 30. b. Elige 5 personas al azar de un grupo de 30. • ¿Qué tipo de experimento se tiene que hacer? • Todos tus ocmpañeros idearon el mismo experimento? 3. A partir de una gráfica teórica, ¿se puede obtener obt ener una gráfica gr áfica frecuencial? frecu encial? Si tu

respuesta es sí, da un ejemplo y si es no, argumenta por qué. 4. A partir de una gráfica grá fica frecuencial, frec uencial, ¿se puede obtener obt ener una gráfica g ráfica teórica? te órica? Si la

respuesta es sí, da un ejemplo y si es no, argumenta por qué. 5. Inventa un experimento con el cual puedas comparar las gráficas de las distri-

buciones teórica y frecuencial. 6. Intercámbialo con algún compañero para que cada uno resuelva el problema. 7. V Verifiquen erifiquen si s i estuvo bien b ien planteado plant eado y si s i la solución solu ción es correct correcta. a. 258

L37

B5

Evalúa tu avance 1. ¿Cuál es el mínimo número de veces que se tiene que realizar el experimento de tirar una moneda no cargada

para que las gráficas de las distribuciones teórica y frecuencial sean iguales? a. 50 veces b. 1 000 veces c. 2 veces d. No es posible 3. María lanzó un dado no cargado, 30, 100, 500 y 1 000 veces y los resultados fueron: Caras de del da dado

30 la lanzamientos

100 la lanzamientos

500 la lanzamientos

1 000 la lanzamientos

1

6

19

78

166

2

7

8

77

163

3

2

19

83

164

4

2

14

74

177

5

5

24

101

169

6

8

16

87

161

Total

30

100

500

1 000

• ¿Cuál es la gráfica que mejor describe la distribución frecuencial? a

b

s a i s c a n v i e t u a c l e e r r F

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00


1

2

3

4

5

6

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

1

2

Caras del dado

3

4

5

6

5

6

Caras del dado

c

d c)


0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00


1

2

3

4

5

6

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

Caras del dado

30 Lanzamientos

1

2

3

4

Caras del dado

100 Lanzamientos

500 Lanzamientos

1 000 Lanzamientos

259



Subraya la opción que consideres correcta y, al terminar, con la guía del profesor, revisa en grupo tus respuestas. 1. El ingreso mensual de la familia López Jiménez es de $25 000. Si el

padre de familia gana $2 400 más que la madre. • ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones se necesita para resolver este problema? a. x � y � 25 000 y � x � 2 500 b. x � y � 25 000 y � x � 2 400 c. x � y � 25 000 y � x � 2 500 d. x � y � 25 000 y � x � 2 400

6. ¿Cuál es la longitud del arco cuyo ángulo

central es de 140° y que es subtendido por radios de 8 m? a. 16 π b. 10.5 π c. 8 π d. 6.22 π

8m

7. A continuación se presentan las gráficas de tres rectas en un mismo

plano cartesiano. • ¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b) de cada una de las rectas? a. Azul: m = 4 , b = 1 3 Roja: m = 5 , b = 2 7 Verde: m = 2 , b = 4 9

2. En un campamento hay registrados 120 niños y niñas. Si al separar-

los para repartir las habitaciones se encuentra que hay 15 niñas menos que el doble del número de niños: • ¿Cuántos niños y cuántas niñas hay registrados en el campamento? a. 75 niños y 45 niñas b. 60 niños y 60 niñas c. 45 niños y 75 niñas d. 40 niños y 80 niñas 3. Dada la siguiente gráfica de posición en metros contra el tiempo en segundos de dos corredores: • ¿Qué información es incorrecta? a. A los 8 segundos el corredor 2 alcanza al corredor 1 en la posición de 13 m, y lo rebasa 15 b. La velocidad del corredor 1 es de 1 m por segundo y la del correCorredor 1 10 dor 2 es de 1.5 m por segundo Corredor 2 c. La distancia entre los dos corredores al momento de iniciar la 5 carrera es de 4 m d. La velocidad de ambos corredores es igual por tanto el corredor 0 5 10 1 siempre llevará la delantera 4. ¿Cuántos ejes de simetría presenta la siguiente figura? a. Cuatro b. Ocho c. Dos d. Tres 5. ¿Cuál es el área de la parte sombreada? El radio

mayor es de 6 cm y el del menor es 4 cm. a. 36

π

b. 20

π

c. 16

π

d. 52

π

260

140°

b. Azul: m = 2, b = 0

Roja: m = 1, b = 0 Verde: m = 5, b = 0 c. Azul: m = 5 , b = 1 3 5 Roja: m = , b = 2 7 Verde: m = 1 , b = 4 5 d. Azul: m = 1, b =

Roja: m = 2, b = Verde: m = 4, b = 8. Amalia lanzó 3 monedas al aire en 80 ocasiones y registró la com-

binación obtenida en cada “volado”. Después construyó el siguiente gráfico que muestra la distribución frecuencial de cada opción conseguida. • Con base en tus conocimientos sobre el tema, ¿qué resultado ocurrió más veces de lo esperado?: Lanzamiento de 3 monedas

40 35 30 25 20 15 10 5 0 3 Águilas

a. b. c. d.

3 Águilas

Todos menos 2 águilas y 1 sol 3 águilas y 3 soles Todas las opciones Todos menos 3 soles

2 Águilas 1 Sol

1 Águilas 2 Sol

B5

3


El caleidoscopio moderno fue inventado por el físico escocés David Brewster en 1816. La palabra caleidoscopio proviene del griego kalós , bella, éidos imagen, scopéo , observar, es decir observar imágenes bellas. Es un instrumento constituido por un tubo que tiene en su interior tres espejos colocados a lo largo y unidos de tal forma que su parte reflejante queda hacia adentro. En sus extremos hay unas laminillas traslúcidas las cuales permiten observar los objetos brillantes que se encuentran dentro de los espejos, o imágenes a través de ellos que son reflejadas simétricamente. El caleidoscopio ha sido considerado uno de los juguetes más conocidos en el mundo y más apreciado por sus hermosos efectos ópticos. ,

Explica cómo es que se forman los otros tres lados del cuadrado, es decir, ¿de dónde provienen? • ¿De qué forma se tiene que colocar el libro-espejo sobre la línea recta para que los polígonos que formes sean regulares? c. Coloca las hojas del libro-espejo de manera que obtengas un cuadrado. Observa en la figura al ángulo central A y responde las preguntas. ⇒

1. Para entender cómo funciona este instrumento comencemos por

construir un libro-espejo y a partir de éste construiremos algunos polígonos regulares. El funcionamiento de este libro-espejo se asemeja al del caleidoscopio. a. Para hacer el libro-espejo toma dos espejos, o superficies reflejantes, de aproximadamente 10 cm × 10 cm y únelos por uno de sus bordes con cinta adhesiva o cinta canela, de manera que las dos partes reflejantes queden enfrentadas hacia su interior.

B

A

¿Cuánto mide el ángulo A, al formar un cuadrado? Si el polígono que formaste tiene tres lados, ¿cuánto mide el ángulo central A? • ¿Todos los polígonos tienen la misma medida de sus ángulos centrales? • ¿Cuánto mide el ángulo central A en cada caso: polígono regular de 3, 4, 5 y 6 lados? d. Utilizando un transportador podemos conocer la apertura del ángulo del libro-espejo. ⇒ Obtén una fórmula para calcular el valor del ángulo central A para un polígono de n lados. Utiliza el lenguaje algebraico. Recuerda que n representa el número de lados. ¿Esta fórmula es válida para todos los casos? Comprueba tu res• puesta para los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 6 lados. • •

2. Se dice que la imagen que vemos reflejada en los espejos es virtual, b. Traza una línea en un papel y sitúa el libro-espejo encima de

esta línea. Abre y cierra sus dos hojas y observa cómo se forman polígonos regulares de 3, 4, 5, o más lados. Ahora responde: • ¿De qué forma tendrías que colocar los espejos para formar un triángulo? • Explica cómo es que se forman los otros dos lados del triángulo, es decir, ¿de dónde provienen? • ¿De qué forma tendrías que colocar los espejos para formar un cuadrado?

ya que es idéntica a la original pero inversa o simétrica a los lados. Esto es, que el eje de simetría es vertical. ⇒ Dibuja las imágenes virtuales u originales de acuerdo con la descripción de cada caso: a. Karina tiene un lunar en la comisura superior del labio izquierdo. Ella suele dejarse su cabello suelto pero siempre lo usa apartado del lado derecho. Hace dos días perdió su arete derecho. Si Karina se pone frente a un espejo y luego toma una foto a la imagen reflejada: ⇒ Dibuja cómo se vería esta imagen. 261


b. ¿Has visto alguna vez el frente de una ambulancia por el retrovi-

sor de un automóvil? Cuando lo haces se puede leer claramente el rótulo “Ambulancia” que deben tener. Dibuja el rótulo original. • ¿A qué se debe que el rótulo se coloque de forma inversa? c. Si el diseño de la figura se girara 90° en contra de las manecillas del reloj, y luego se colocara un espejo al frente, ¿cuál sería el resultado? Dibújalo.

⇒

Traza con un color las trayectorias y los ángulos que deberían seguir las bolas de billar para caer en el hoyo indicado y con el número de choques solicitados: • Hoyo 4 con 2 choques: 1

2

3

4

• Hoyo 3 con 1 choque: 1

2

3

4

3. Los rayos de luz al chocar en un espejo se reflejan y rebotan hacia

afuera con un ángulo de salida, o de reflexión, igual al ángulo de incidencia, tal como se muestra en la figura. Lo mismo sucede al jugar billar. Sin embargo, ocurre con las bolas que, al chocar entre ellas o con el taco, pueden tocar la superficie lateral de la mesa, de acuerdo con el ángulo con el que llegan (ángulo de incidencia). Así, cuando la bola choca con la orilla de la mesa será igual al ángulo de salida (ángulo de reflexión): Poner Ángulo en todos los casos. Troneras

• Hoyo 2 con 3 choques: 1

2

3

4

Ángulo de reflexión Eje de simetría Ángulo de incidencia

Ángulo de reflexión Eje de simetría

262

Apéndice

Glosario Respuestas de las evaluaciones Evalúa tu avance Bibliografía Recomendada para los estudiantes Recomendada para los maestros Referencias de internet Recomendaciones para navegar en la red Recomendaciones generales y consultadas Recomendaciones por bloque Ligas generales Créditos iconográficos

263


Glosario

BLOQUE 1

Ángulos alternos. Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal creando una recta transversal corta a dos rectas paralelas. Ángulos suplementarios. Son aquellos cuya suma de sus grados es 180º. Ángulos complementarios. Son aquellos cuya suma de sus grados es 90º. División de potencias con la misma base. El cociente es igual a otra potencia con la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor. Evento aleatorio. Evento al que se permite que suceda sin intentar tomar el control del resultado o consecuencia del evento. Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Leyes de los exponentes: • Producto de potencias a x . av = a x +v a x • Cociente de potencias av = a x – y • Potencias de potencias (a x )y = a x . y Media aritmética. Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Mediana. Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. Multiplicación de potencias de igual base. Para multiplicar dos potencias de igual base, debemos mantener la base y sumar los exponentes. Notación científica. La notación científica está formado por una parte decimal y una potencia de base 10. Se utiliza para expresar cantidades muy grandes, como distancia entre planetas; o muy pequeñas, como el tamaño de microorganismos. Ocurrencia de un evento. Es el resultado matemático de los casos deseados sobre los casos posibles. Tasa de crecimiento. Es un término genérico expresado, generalmente, en porcentaje que indica el aumento experimentado a partir de una fecha o una cantidad. Tasa compuesta o con interés compuesto. Representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un periodo (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial. Porcentaje. Es una o más de las 100 partes en que se divide un todo. Potencia de potencia. Es una potencia cuyo resultado es igual a una potencia con la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes. 264

Rayo o semirecta. Es una recta que tiene principio pero no fin. Recta. Es la unión de una infinidad de puntos alineados en una misma dirección. No tiene principio ni fin. Rayo o semirrecta. Es una recta que tiene principio pero no fin. Regla de los signos para la división. División de signos contrarios, resultado negativo; división de signos iguales, resultado positivo. Regla de los signos para la multiplicación. Al multiplicar dos números de signos contrarios el resultado es negativo; mientras que al multiplicar dos números de signos iguales el resultado es positivo. Segmento. Es un fragmento de recta comprendido entre dos puntos llamados puntos extremos. Tasa de crecimiento fija. Es aquella que permanece igual durante un periodo determinado. Tasa de crecimiento compuesta. El incremento en cada periodo se calcula a partir de la cantidad del periodo anterior. Teorema de Pick. Es un resultado geométrico que permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Triángulos congruentes. Son dos triángulos con lados y ángulos idénticos. Triangulación. Es un proceso para calcular áreas de figuras compuestas que consiste en dividir en triángulos una figura y calcular el área de cada una para después sumarlas y obtener el total. Este proceso sólo sirve para calcular figuras poligonales. BLOQUE 2

Cuerpos geométricos. Son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupan un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un volumen. Factor recíproco. Es por lo que hay que multiplicar un valor para que salga 1. Para tener el recíproco de un número, sólo hay que dividir 1 por el número. Monomio. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Polinomio. Son expresiones algebraicas compuestas por dos o más monomios o términos no semejantes:

Probabilidad frecuencial. Es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Probabilidad teórica. El número de pruebas a realizar dependerá del experimento y del número de sus posibles resultados. Proporción. Es una igualdad entre dos o más c fracciones: ab � d Proporcionalidad directa. La proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa. Proporcionalidad inversa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Regla de tres para proporciones inversas . Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Resta de polinomios. Consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Términos semejantes. Son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Volumen. Es la medida del espacio que se localiza en el interior de un sólido geométrico y se determina mediante el desarrollo de la fórmula correspondiente. Volumen del cubo. Se calcula con la fórmula: V = a3. Volumen de una pirámide recta. Se calcula con × altura) la fórmula: (área de la base 3 BLOQUE 3

Capacidad. Es el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Para medir el volumen de un objeto se utilizan las medidas de capacidad. La medida más utilizada es el litro (l). Gemología. Rama encargada del estudio de piedras preciosas (diamantes, perlas, rubíes, etc.). Gráfica poligonal o polígono de frecuencias. Es una representación gráfica que resulta equivalente a un histograma. Se obtiene encontrando los centros de las bases superiores de los rectángulos del histograma y uniéndolos. Histograma. Es una gráfica en la que se utilizan barras. La altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de los datos. 1 n n – 1 n – 2 P ( x ) = an x + an – 1 x + an – 2 x + ... + a1 x + a0 Jerarquía de las operaciones 1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corP ( x ) = 5 x 4 − 3 x 3 + 2 x 2 + 7 x + 6 chetes y llaves. Probabilidad experimental. Es la probabilidad 2. Calcular las potencias y raíces. asignada a un suceso mediante el cálculo de la frecuencia relativa del mismo al repetir el expe- 3. Efectuar los productos y cocientes. rimento muchas veces. 4. Realizar las sumas y restas.

L28

Leyes de los exponentes: 1. El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces. 2. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir. 3. Un exponente fraccionario como 1n quiere decir hacer la raíz n-ésima. Pendiente o razón de cambio. Es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. Quintal. Antigua unidad de medida española de masa. Equivalía a 100 libras castellanas o 46 kg. Quintal métrico. Es una unidad de masa utilizado en la agricultura. Relación de proporcionalidad directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al incrementarse o disminuir una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción. Relaciones afines. Relaciones cuya expresión algebraica tienen la forma: y = m x + b. Sistema Internacional de Unidades ( SI). Es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas. Teselado o teselación. Es un patrón repetitivo de figuras geométricas, por ejemplo polígonos, que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos. Teselar. Es embaldosar una superficie con figuras regulares o irregulares. Al teselar un plano, entre las figuras, no quedan espacios y tampoco se superponen. Trinomio cuadrado prefecto. Es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Valor frontera. Un problema de valores en la frontera consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden n y de n condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en n valores de la variable independiente. BLOQUE 4

Ángulo inscrito. Es el que tiene como vértice un punto de la circunferencia. Ángulo inscrito de una circunferencia es cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y las dos semirrectas que forman dicho ángulo sean secantes de la circunferencia. Ángulo central. Es aquel donde el vértice se encuentra en el centro del círculo. Ángulo central de una circunferencia es cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia.

Arco. Es una curva continua en una circunferencia definida por dos puntos, o por la longitud de la cuerda y el radio. Circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado centro. Densidad de población . Es una medida de distribución de población de un país o región, que es equivalente al número de habitantes dividido entre el área donde habitan. Diámetro. Es el segmento que pasa por el centro y que une dos puntos opuestos de la circunferencia. El diámetro es dos veces el radio. Diferencia de la progresión. Es la diferencia constante entre cada término consecutivo de una progresión aritmética. Ecuación. Es una igualdad de dos expresiones algebraicas donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable. Ecuación de primer grado. Son las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Factor de proporcionalidad. Es el resultado de dividir el valor de las ordenadas con su corresy pondiente valor en las abscisas: k = k, donde k es la constante. Gráfica de la proporcionalidad directa. Se representa en un eje cartesiano con una recta que pasa por el origen (0,0). Media aritmética. Es el promedio de un conjunto finito de datos. Media ponderada. Es una medida de tendencia central, se construye asignándole a cada clase un peso, y obteniendo un promedio para los pesos. Cuanto más grande sea el peso de un elemento, más importante se considera que es éste. Ordenada al origen. Es el valor de la ecuación cuando x = 0. Pendiente. Es la inclinación de una gráfica respecto a una recta imaginaria horizontal con pendiente 0. Progresión aritmética. Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d . 8, 3, –2, –7, –12, ... 3 – 8 = –5 –2 – 3 = –5 –7 – (–2) = –5 –12 – (–7) = –5 d = −5 Radio. Es cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

B5

Relación directa. Es una relación entre datos, de tal manera que uno crezca y el otro crezca proporcionalmente. Subtender. Se refiere a la parte de la circunferencia que abarca la abertura de un ángulo. Sucesión. Conjunto de números que se encuentran uno enseguida del otro, y que llevan un orden determinado. Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Sucesión aritmética. Es aquella en la que la diferencia entre término y término es constante. Su regla general está dada por: an � a1 � (n � 1)d. Variación lineal. Es una variación proporcional directa, cuya ecuación es y � kx , con x y y variables, si x � 0, y � 0, luego la gráfica correspondiente a dicha variación es una recta que pasa por el origen. BLOQUE 5

Área del círculo. Es igual a pi por el radio al cuadrado. A � π(r)2. Conjunto solución. Es el conjunto de pares ordenados ( x , y ) que satisfacen una ecuación de dos variables. Eje de simetría . Es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos. Gráfica de la distribución experimental. Es aquélla que resulta de un experimento o simulación después de un gran número de intentos. Gráfica de la distribución teórica. Es aquélla que representa los valores de los posibles resultados teóricos de un evento. Kilobyte. (KB o Kbyte) Es una unidad de medida equivalente a mil bytes de memoria de computadora o de capacidad de disco. Megabyte. (MB, mbyte) Unidad que sirve para medir cantidad datos informáticos. Un megabyte equivale exactamente a 1 024 KB. Simetría axial. Es cuando el eje de simetría divide en dos partes la figura, de manera que si se pliega el plano por ese eje las dos partes coinciden. Sistema de ecuaciones. Conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables. Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2. Son los sistemas con dos ecuaciones y dos variables con exponente 1. Valor absoluto. Es el número natural que resulta al suprimir el signo de un número entero.

265


Respuestas de las evaluaciones

B1 L1

B1 L9

B2 L16

1. Respuesta: b. –72

1. Respuesta: b. 24.5

1. Respuesta: a. 0.038

2. Respuesta: a. 12

2. Respuesta: c. La mitad más alta de los niños Triquis tiene en promedio 1.38 cm de altura

2. Respuesta: c. 9/20

B1 L2

1. Respuesta: b. 15 2. Respuesta: c. 5.057 × 1018 B1 L3

B3 L17

1. Respuesta: c.

B2 L10

2. Respuesta: d. El cuadrado de tres más cinco menos cuatro se multiplica por 15, luego se resta tres al cuadrado. Y por último, se suman 30.

1. Respuesta: c. 22.7 r 2. Respuesta: a. 182 t

1. Respuesta: c. Congruentes 2. Respuesta: b. 120

B2 L11

1. Respuesta: c. 26.4 x � 22.2y B1 L4

2. Respuesta: d. 1 000 � (2h � 5g) � (4h � g)

1. Respuesta: c. No hay triángulo 2. Respuesta: b. Trozo de madera 1 = 10 cm Trozo de madera 2 = 9cm Bisagra 1 = 1°

B3 L18

1. Respuesta: a. 12 x 3y 2 � 28 xy 2 2. Respuesta: c. 4 x 3y � xy 3

B2 L12 B3 L19

1. Respuesta: d. 1

1. Respuesta: d. 1 080

2. Respuesta: c.

2. Respuesta: b. 540

B1 L5

1. Respuesta: c. 257.08 cm2 B3 L20

2. Respuesta: d. 522 cm2

1. Respuesta: c. Si se coloca un cuarto pentágono se traslapa y la suma de los vértice da 432 y no se puede cubrir el plano.

B1 L6

1. Respuesta: d. En cualquiera de las dos tiendas 2. Respuesta: b. 33.33%, 16.66%, 22.22%, 16.66% y 11.11%

x

x

B2 L13

B3 L21

1. Respuesta: c. Base y altura

1. Respuesta: a. 3 millones

2. Respuesta: a. 32 veces

2. Respuesta: c. 8

B2 L14

B3 L22

1. Respuesta: d. 2 m

1. Respuesta: d. 4.08 m

1. Respuesta: c. Entre 2’500,000 y 3’000,000 (le faltan 3 ceros a la primera cifra ponerlos por favor).

2. Respuesta: a. y = 75 x

B2 L15

B3 L23

1. Respuesta: d. 80

1. Respuesta: Miércoles

2. Respuesta: a. La velocidad y el tiempo son directamente proporcionales.

2. Respuesta: 2009-2010

B1 L7

1. Respuesta: b. 4 años 2. Respuesta: d. 45% B1 L8

1. Respuesta: a. Mayor a 25 2. Respuesta: c. En la urna 2, sacar una pelota roja es menos probable que una azul.

266

2. Respuesta: 36º

B5

L28

B3 L24

B4 L29

B5 L34

1. Respuesta: c. 700 y 1 800

1. Respuesta: d. Que por cada aumento en el índice de contaminación por unidad, hay 1 000 peces nuevos.

1. Respuesta: c. 16.845

2. Respuesta: d. 101.8 km/h

2. Respuesta: c. 105º

2. Respuesta: d. y = 180 x + 450 B3 L25

B5 L35

1. Respuesta: d. $77.00

1. Respuesta: a. y � 4.5 x � 15

B4 L30

2. Respuesta: a. �55

y = 4.5 x + 15

1. Respuesta: b. 13.4 años 2. Respuesta: d. Que se ponderen con 30%, 30% y 40%.

B4 L26

1. Respuesta c. 120 � 6 x � 4 x 2. Respuesta: b. $124

40 Precio 30 20

B5 L31

1. Respuesta: b. Canicas verdes � 25; Canicas blancas � 17

B4 L27

50

10

0.4

0.8

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4


2. Respuesta: d. x � �4; y � 5

1. Respuesta: b. 180º

1.2

2. Respuesta: y � 5 x � 236

2. Respuesta: c. 60º B5 L32

B5 L36

1. Respuesta: c.

B4 L28

1. Respuesta: a. La gráfica de la (1) estará por arriba de la gráfica (2) para x mayores que cero.

1. Respuesta: a. 75

Número de palabras

l

1125

2. Respuesta: b. Su intersección con el eje y es en el mismo punto.

50

1000 875 25

750 625

B5 L37

500

0

10

20

30

375 250 125 0

5

10 1 5 20

Tiempo (minutos)

2. Respuesta: d. Al doble de crecimiento l en las abscisas le corresponde cualquier crecimiento a los datos de las ordenadas.

2. Respuesta: c: La señora Tomasa se tarda ocho horas en tejer una bufanda y dos gorros. Al día siguiente teje dos bufandas y un gorro y se tarda diez horas. l

B5 L33

1. Respuesta: a. Isósceles

1. Respuesta: d. No es posible 2. Respuesta: a s a i s c a n v i e t u a c l e e r r F

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

1

2

3

4

5

6

Caras del dado

2. Respuesta: a. ∠BAC

i

i

267

Bibliografía Recomendada para los estudiantes Magnus Enzensberger, Hans, El diablo de los números, España, Siruela, 1997.

Tahan, Malba, El hombre que calculaba , México, Limusa, 2005

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Referencias de internet Recomendaciones para navegar en la red 1. No te quedes en la primera referencia a la que te remite el buscador. 2. Busca páginas que contengan citas de libros especializados.

6. Los blogs en internet suelen caducar (no son permanentes) y por ello mucha información valiosa puede dejar de estar disponible.

3. Busca páginas de instituciones educativas (universidades) pues éstas suelen ser permanentes y confiables.

7. Merece hacer el esfuerzo de establecer contacto vía correo electrónico con el autor de una página que te resulte interesante. 4. Wikipedia es un buen comienzo pero no te debes quedar ahí. Conviene que revises las referencia, la bibliografía y 8. La calidad de una investigación aumenta conforme se incrementa la cantidad los enlaces externos que están relacioy calidad de sus fuentes. nados con la página de Wikipedia que consultaste y, además, no pierdas de 9. En Ciencia y Matemáticas las páginas vista que mucha de la información a la en inglés suelen estar más completas y que remite puede ser muy técnica. contener información más actualizada. 5. Wikipedia sirve para contrastar la información que se presenta en otras pági- 10. Los textos que no encuentres en la biblioteca de tu escuela búscalos como nas. Normalmente es confiable, pero también insuficiente. archivos PDF.

11. Busca en la red entrevistas con autores reconocidos, puedes encontrarlos como texto o como video. 12. Si escribes entre comillas, por ejemplo: “caminos, azar y probabilidad”, el buscador listará todas las páginas donde encuentre esta frase literalmente. 13. Sistematiza tus propios métodos de búsqueda. 14. Recuerda que los libros son insustituibles y que las referencias que encuentras en la red son sólo otra forma de adquirir información. Además siempre será mejor, ya sea que consultes libros o la red, que busques en los textos de los autores que generaron la información que estás investigando.

Recomendaciones generales y consultadas por bloque Revista Electrónica de Investigación en Educación de las Ciencias

Enseñanza de las Ciencias. Revista de Investigación y Experiencias Didácticas

Cetes directo

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Revista Mexicana de Investigación Educativa

Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros

www.comie.org.mx/v1/revista/portal.php

www.condusef.gob.mx

Revista en la que encontrarás aportes a la enseñanza de una metodología educativa, dando prioridad a los aportes de México y América Latina.

Página que depende de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, que otorga medidas preventivas para orientar, informar y promover la educación financieras, así como atender y resolver las quejas y reclamaciones de los usuarios de servicios y productos financieros.

Cuéntame www.cuentame.inegi.org.mx/ Es una página de INEGI que está dirigida a niños y jóvenes donde se otorgan cifras acerca del territorio, la población y la economía de México.

269

Descartes 2 D www.descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/teselacion/Indice_teselacion.htm Página que te ayuda a entender distintos conceptos de la geometría a través de mosaicos decorativos. Disfruta las matemáticas www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones-artista.html Aquí encontrarás una forma divertida de crear tus propias teselaciones, a partir de un programa donde puedes dibujarlas y aplicar los conocimientos que has adquirido. Ángulos en la circunferencia www.acta.es/agustincarrillo/angulos/ angulos1.htm Aquí podrás encontrar explicaciones y actividades relacionadas con la circunferencia y sus ángulos.

Paleomar Projects

Buceo Donosti

www.scotese.com/climate.htm

www.buceodonosti.com

En esta página puedes encontrar diversas imágenes en animación de la tierra y los climas que se presentan en ella, así como los cambios climáticos que se han gestado a lo largo de la historia.

Es una divertida página donde encontrarás información acerca del mundo submarino, el buceo y artículos de interés que relacionan a las matemáticas con la biología.

Instituto Nacional de Ecología

www.buceomardelplata.com.ar/leyesf.htm

www.cambio_climatico.ine.gob.mx/comprendercc/sitiosinteresninoseducadores/ sitiosdeinteres.html

Aquí encontrarás las distintas leyes físicas que se relacionan con las matemáticas porque van otorgando información de porcentajes, números, etcétera.

En su sección “Cambio Climático en México” podrás encontrar diversos sitios en Internet (en español y en inglés), dedicados a la población infantil y a educadores, con información directa o indirectamente relacionada al tema del cambio climático.

Buceo Mar de Plata

+ Buena Salud www.buenasalud.com/tools/bmicalc.cfm Encontrarás una serie de artículos relacionados con la salud humana y una serie de herramientas como conversores de peso y masa.

Recomendaciones por bloque Bloque 1

Bloque 3 Instituto Nacional de Tecnologías Educa- Colegio Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo tivas y de Formación del Profesorado www.conevyt.org.mx/actividades/geomehttp://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esobiologia/1quincena3/1quin tria/clic/animacion_clic.swf Animación del Sistema Métrico Decimal cena3_contenidos_1a.htm Ejercicios de Matemáticas Origen y evolución del Universo www.ematematicas.net/fracciones. Geogebra php?a=1&frac=8 geogebra.org/cms/es/ Ejercicios de matemáticas Utilitario de Matemáticas y Ciencias para Portal de la Consejería de Educación y enseñar y aprender Universidades del Principado de Asturias Descartes http://web.educastur.princast.es/ies/prahttp://recursostic.educacion.es/descartes/ via/carpetas/recursos/mates/anaya1/ Ejercicios de matemáticas web/ Thatquiz Matemáticas interactivas www.thatquiz.org/es-0/?-j104-l9-p0 Bloque 2 Sitio de web para la enseñanza de las Astronomía Digital matemáticas. www.astro-digital.com/1/ Junta de Andalucía Revista internacional de astronomía en español www.juntadeandalucia.es/averroes/ ies_azahar/MATEMATICAS1/ Ejercicios para cálculo de volumen 270

Bloque 4 Universidad Autónoma de Madrid www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/LuisPozo/fibonacci.pdf Problemas con los números de Fibonacci Matemáticas visuales www.matematicasvisuales.com/html/geometria/circunferencias/angcap.html Ángulo central inscrito en una circunferencia Bloque 5 Educaplus www.educaplus.org/play40-Ecuaci%C3%B3n-de-la-recta:-pendiente-y-punto-de-corte.html Ecuación de la recta Lemon graph library http://fooplot.com/ Biblioteca virtual de modelado eficiente y optimización en redes

Ligas generales Correo del Maestro. Revista para profesores de educación básica

Revista EPSILON de la SAEM THALES

NrichMaths

http://thales.cica.es/epsilon

http://nrich.maths.org/frontpage

www.correodelmaestro.com

Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática.

Sitio inglés donde se proponen ejercicios desafiantes de matemáticas.

PNA. Revista de investigación en Didáctica de la Matemática

Coolmath Store

www.pna.es

Lecciones, juegos y aplicaciones divertidas de matemáticas gratuitos.

En esta página puedes encontrar todos los temas que abordan los docentes en la educación básica. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa www.clame.org.mx/relime.htm Publicación oficial de investigación del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Revista Educación Matemática www.santillana.com.mx/educacionmatematica Publicación internacional arbitrada que ofrece un foro académico para la presentación y discusión de ideas, conceptos, propuestas y modelos que puedan contribuir a la comprensión y la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en diversos contextos y latitudes. Revista Latinoamericana de Etnomatemática www.etnomatematica.org Aborda los aspectos socioculturales y políticos del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y a través de entrevistas y reseñas que divulgan trabajos de investigación de Etnomatemática.

Revista de investigación en Didáctica de la Matemática cuyo objetivo es promover y difundir la investigación de calidad que se realiza en España y el mundo.

www.coolmath-games.com/

Math worksheets and printables www.education.com/worksheets/math/

UNION. Revista Iberoamericana de Educación Matemática

Hojas de trabajo de matemáticas para un aprendizaje atractivo.

www.fisem.org/web/union

Webgraphic

Publicación que difunde trabajos sobre educación matemática, destinados al profesorado en activo, de todos los niveles educativos, esto es, desde educación infantil hasta la universidad.

www.webgraphing.com/quadraticequation_factoring.jsp

Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas www.sinewton.org/numeros Publicación que incluye trabajos de interés para el profesorado de educación primaria y secundaria, principalmente.

Programa que resuelve ecuaciones cuadráticas por el método de factorización. Red Escolar ILCE http://red.ilce.edu.mx Un espacio para el fomento del aprendizaje y la cultura digitales.

Créditos iconográficos Banco de imágenes © Shutterstock: pp. 16 (derecha), 19, 72 (izquierda, Stefano Tinti), 72 (centro), 73 (centro), 96, 102, 107, 110, 118 (izquierda), 118 (derecha), 119 (izquierda),119 (centro), 119 (derecha), 145, 146, 147, 150, 172 (izquierda), 175, 205, 214 (izquierda), 214 (derecha), 215 (izquierda), 237, 239, 242, 249. © Pixabay: pp. 16 (centro), 16 (derecha), 72 (derecha), 73 (izquierda), 86, 118 (izquierda), 172 (centro), 214 (centro), 215 (izquierda), 216, 217. © NASA : pp. 16 (izquierda),19, 71, 174, 241 (libre de derechos) © Rocío Baderas R. (células al microscopio): p. 25 © Agencia EFE : p. 69

Obra artística: pp. 74, 120, 163, 171 (derechos libres); cc (Creative Commons) p. 175 “Fibonaccis Traum” pintura de Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm. Ilustraciones: Carlos

Alberto Orenda Trujano

Sin título (1999)

Alba Rojo (1963) Técnica: escultura en hierro Medida: 40 x 30 x 30 cm Fotografía: Carlos Hahn

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Este libro se imprimió en Reproducciones Fotomecánicas, S.A . de C.V., Democracias 116, San Miguel Amantla, C.P. 02700, México, D.F., en MES de 2014.

La tirada fue de XXXX ejemplares. 272

Matemáticas 2

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