matemática PRF

SUMÁRIO Matemática

Conjuntos numéricos Números Númer os inteiro inteiros, s, racion racionais ais e reais ....... .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. ........... 3 Sistema legal de medidas ........................................................................... 46 Razões e proporções Divisão proporcional ............................................................................. 15 Regras de três simples simples e compostas ..................................................... 18 Porcentagens ...... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ............ ............ ........ 22 Equações e inequações de 1º e de 2º graus .......................................... 25 25/3 /311 Sistemas lineares........................................................................................ 26 Funções e gráficos..................................................................................... 31 Noções de Estatística Gráficos e tabelas ................................................................................. 67 Médias .................................................................................................. 69 Moda .................................................................................................... 72 Mediana ................................................................................................ 74 Desvio-padrão.......................................................................................78 Progressões aritméticas e geométricas ................................................. 36 36/3 /388 Princípios de contagem.............................................................................. 39 Noções de probabilidade ........................................................................... 42 Geometria plana Polígonos .............................................................................................. 52 Perímetros e áreas ................................................................................. 55 Semelhança de triângulos ..................................................................... 53 Trigonometria do triângulo retângulo ................................................... 60 Geometria espacial Áreas e volumes de sólidos ......................................................... ........ 63

3 MATEMÁTICA Júlio Lociks

CONJUNTOS E INTERVALOS NUMÉRICOS A seguir recordaremos alguns dos principais con juntos numéricos.

Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ....}

Conjunto dos Números Inteiros (ou Inteiros Relativos) Z = { .... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Observe que o conjunto N está contido em Z (N⊂Z).

mais os números com representação decimal não peródica. São exemplos de números reais: 2 = 2,000... 1/5 = 0,2000... 4/9 = 0,444... π = 3,141592653... 2 = 1,41 414213. . .

Números Irracionais Alguns números têm representação decimal infinita e aperiódica não sendo, portanto, números racionais. A estes números denominamos números irracionais.

Números Irracionais: têm representação decimal... ... infinita e ... aperiódica.

Conjunto dos Números Inteiros Negativos

Z *− = { ... –6, –5, –4, –3, –2, –1} Conjunto dos Números Inteiros não-Positivos Z – = { ... –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0}

Conjunto dos Números Inteiros Positivos

O conjunto dos números irracionais é usualmente representado por I. São exemplos de números irracionais: π = 3,14159265358979323846... e = 2,71828182846...

Z *+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... } Conjunto dos Números Inteiros não-Negativos Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... } Observe que o conjunto Z + é igual ao conjunto N.

Conjunto dos Números Racionais É o conjunto de todos os números x para os quais exista um par de números inteiros a e b, com b ≠ 0, tais que a ⋅ x = b. a x = b , a ∈ Z, b ∈ Z*} Q = { x / a

Todos os números inteiros pertencem ao conjunto Q. Logo, o conjunto Z está contido em Q (Z ⊂ Q). Todas as frações com numerador e denominador inteiros, pertencem ao conjunto Q. Todas as dízimas periódicas pertencem perte ncem ao conjunto Q. Os números decimais não periódicos não pertencem ao conjunto Q.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais compreende todos os números que permitam representação na forma decimal, periódica ou não periódica. Isto compreende todos os números inteiros, todos os números racionais e

2 = 1,41421356237... A operação de radiciação produz, freqüentemente, números irracionais. A raiz de um número natural qualquer, ou resultará também número natural ou será um número irracional. n

R|núm. natural núm. natural = Sou |Tnúm. irracional irracional

Exemplos:

12 é um número irracional 3 10 é um número irracional

Representação dos Números por Pontos da Reta Podemos representar todos os números reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numérica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o número zero.

Depois, marcam-se os demais números inteiros, mantendo sempre a mesma distância entre dois inteiros consecutivos quaisquer, sendo: • os positivos, positivos, à direita direita de zero, zero, a partir partir do 1 e em ordem crescente para a direita; • e os negativos negativos à esquer esquerda da de zero, zero, a partir partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;

A C I T Á M E T A M

4 EXERCÍCIOS  CONJUNTOS NUMÉRICOS

Todos os demais números reais não inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre dois números inteiros. Observe, por exemplo, onde estão localizados os números − 2 , 3/5 e π:

− 2 = –1,414213562 –1,41421356237... 37... 3/5 = 0,6

π = 3,1415926535. 3,1415926535.....

Intervalos de Números Reais É comum designarmos por intervalo a qualquer subconjunto de R que corresponda a segmentos ou a semi-retas ou a qualquer reunião entre ent re segmentos ou semiretas da reta dos números reais.

Exemplos: a) Repres Represent entaçã açãoo Grá Gráfic fica: a: Notação de Conjuntos: {x ∈ R /–5 ≤ x ≤ 2} Notação de Intervalos: [–5; 2] b) Representa Representação ção Gráfic Gráfica: a: Notação de Conjuntos: {x ∈ R /–5 ≤ x < 2} Notação de Intervalos: [–5; 2[ c) Repres Represent entaçã açãoo Grá Gráfic fica: a: Notação de Conjuntos: {x ∈ R / –5 < x ≤ 2} Notação de Intervalos: ]–5; 2] d) Representa Representação ção Gráfic Gráfica: a: Notação de Conjuntos: {x ∈ R / x ≤ 2} Notação de Intervalos: ]–∞; 2]


e) Repres Represent entaçã açãoo Gráfica: Gráfica: Notação de Conjuntos: {x ∈ R / x > –5} Notação de Intervalos: ]–5; +∞[

Observe: Na notação de intervalos, o colchete que está do lado de –∞ ou de +∞ fica sempre voltado para fora.

1. Considerando as convenções usuais para os conjuntos numéricos, o conjunto Z+ pode ser corretamente denominado: a) Conju Conjunto nto dos números números inteiros não nulos. nulos. b) Conjunto dos números inteiros não negativos. c) Conjun Conjunto to dos números inteiros inteiros positivos. positivos. d) Conjun Conjunto to dos números racionais racionais positivos. positivos. e) Conjun Conjunto to dos números números naturais naturais.. 2. Sobre os números inteiros julgue os itens seguintes: a) To Todo do número par par pode ser escrito como 2n, onde n é um número inteiro. b) Tod Todoo número ímpar pode ser escrito como 2n+7, onde n é um número inteiro. c) A soma de dois números números inteiros inteiros ímpares é sempre um número inteiro par. p ar. d) Tod Todoo número inteiro ou é par ou é ímpar. e) Tod Todoo número inteiro par pode ser escrito como n2+2. 3. Sobre os números inteiros julgue os itens abaixo: a) A soma de dois números inteiros inteiros pares é sempre um número inteiro par. p ar. b) O produto de dois números inteiros pares é sempre um número inteiro par. c) A soma de dois números números inteiros inteiros ímpares é sempre um número inteiro ímpar. d) O produto de dois números números inteiros ímpares ímpares é sempre um número inteiro ímpar. e) O quadrado de um número inteiro inteiro ímpar é sempre um número inteiro ímpar. 4. Seja Z o conjunto dos números inteiros e A e B dois de seus subconjuntos definidos como: A={x∈Z / 2 ≤ x ≤ 5} B={x∈Z / x > 4} Nestas condições pode-se afirmar que: a) A∪B ⊂ B b) A−B ⊂ A c) B−A ⊂ {x∈Z / 4 > x} d) A−B={x∈Z / 2 ≤ x ≤4} e) B−A={x∈Z / x ≥ 5} 5. Considere os conjuntos A={x∈N/ x é primo e x<15} B={x ⋅ y / x∈A , y∈A e x≠y} Nestas condições julgue os itens abaixo: a) O número de elemen elementos tos do conjunto conjunto A é 7. b) O número de elementos do conjunto B é 15. c) O maior elemen elemento to do conjunto conjunto A é 13. d) O maior elemento elemento do conjunto conjunto B é 169. e) Para todo x, se x pertence pertence a B então x não pertence a A. 6. O número (0,444...)1/2 é: a) Mai Maior or que 0,444 0,444... ..... b) Decim Decimal al aperiód aperiódico. ico. c) Igu Igual al a 0,222. 0,222.... ... d) Ra Racio cional nal.. e) Deci Decimal mal perió periódico. dico.

5 7. Sobre os conjuntos numéricos usuais, N, Z, Q e R, é correto afirmar: a) O quociente quociente da divisão divisão de 1 por 17 tem tem infinitas infinitas casas decimais e é aperiódico. b) Toda fração irredutível cujo cujo denominador seja seja divisível por algum fator primo diferente de 2 e de 5 é necessariamente geratriz de uma dízima periódica. c) O valor da fração fração 355/113 355/113 é 3,141592... 3,141592... Como 3,141592... é igual ao número π tem-se, portanto, que π é um número racional. d) Se o quadrado quadrado de um número número x é um número racional então x é também um número racional. e) As equaçõe equaçõess do tipo x2 = n , onde n é um número inteiro qualquer, sempre têm raízes reais. 8. Julgue os itens seguintes: a) 3,999... não é um número inteiro inteiro mas é um número número racional. b) Não existe um número número racional x tal que x2 = 10. c) O núm númer eroo π = 3,14... é irracional e, portanto, sua representação decimal tem infinitas casas mas não é uma dízima periódica. d) O núme número ro x = 12.793 não é inteiro nem é racional mas pertence ao conjunto dos número reais. e) Se n é um número natural qualquer então ou n é um número natural ou n é um número irracional. 9. Sobre o valor de y= x , onde x é um número real, é correto afirmar que: a) Se x=5 então y não é um número racional. b) Se x=2 então y não é um número real. c) Se x=3 então o valor de y é um número real no intervalo ] 1 ; 2 ]. d) Se x=4 então y é igual a ±2. e) Se x=25 então y é igual a 5. 10. Sejam R o conjunto dos números reais; Q o conjunto dos números racionais e N o conjunto dos números naturais. É correto afirmar que: a) Q∪N ⊂ R b) Q∩N ⊂ R c) Q∪N = R d) Q∩R = Q e) Q∩R ≠ ∅ 11. Sejam x e y dois números reais tais que 0
d) O quociente entre dois números racionais não nulos pode ser um número racional. e) A soma de dois números racionais não nulos pode ser um número irracional.

13. Se A={x∈R / −1 < x < 2} e B={ x∈R / 0 ≤ x < 3}, então: a) A∩B = [ 0 ; 2[ b) A∩B = ] 0 ; 2[ c) A∪B = [−1 ; 3] d) A∪B = ]−1 ; 3[ e) A−B = ]−1 ; 0] 14. Sejam intervalos de números reais reai s A = (−∞ ; 2] e B = [ 0 ; +∞), então: a) A∪B = R b) A∩B = {0, 1, 2} c) A∩B = [ 0 ; 2 ] d) A−B = { 1 } e) A−B =∅ 15. Dados dois números distintos disti ntos quaisquer, x e y, tais que x e y pertençam ao conjunto R dos números reais r eais mas não pertençam ao conjunto Q dos números racionais. Pode-se afirmar corretamente que: a) O produto produto xy e o quociente quociente x÷y são necessariamente irracionais. b) A soma x+y e a diferença x−y são necessariamente irracionais. c) Os Qu Quad adrad rados os x e y são necessariamente irracionais. d) As raízes raízes quadra quadradas das x e y são necessariamente irracionais. e) Se o produto xy for raciona racional,l, então o quociente quociente x÷y também será irracional. 2

2

NÚMEROS INTEIROS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

ADIÇÃO Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total • A ordem das parcelas nunca nunca altera o resultado de uma adição: a+b=b+a • O zero zero é elemento neutro da adição: 0+a=a+0=a

SUBTRAÇÃO O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo − subtraendo = resto ou diferença diferença • A ordem dos termos pode pode alterar o resultado resultado de uma subtração: a – b ≠ b – a (sempre que a ≠ b)


6 • Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. • Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k. • A subtração subtração é a operação operação inversa da adição: adição: M−S = R ↔ R + S = M • A som somaa do do minuendo com o subtraendo e oresto é sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R=2×M

Valor absoluto absol uto O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica. Atenção: • O valor absoluto absoluto de um númeronunca é negativo , pois representa uma distância. • A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo de n") Números simétricos Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a+b=0 Exemplos: –3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (–3) + (3) = 0. 4 e – 4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (–4) = 0. O oposto de 5 é –5. O simétrico de 6 é –6. O oposto de zero é o próprio zero. Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.

Exemplo: |–3| = 3 e |3| = 3


Operações com números inteiros (Z) Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações. Adições e subtrações com números inteiros Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Exemplo1: Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4

Solução: Faremos duas somas separadas – uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 – outra só com os números negativos: (–7) + (–9) + (–3) = –19 Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados. +29 – 19 = +10 Atenção! É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto! Exemplo2: Calcular o valor da seguinte expressão: –10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2 1º passo: Achar os totais (+) e (–): (+): +4 + 3 = +7 (–): –10 – 7 – 8 – 2 = –27 2º passo: Calcul Calcular ar a dife diferen rença ça dand dandoo a ela ela o sina sinall do total que tiver o maior módulo: –27 + 7 = –20

MULTIPLICAÇÃO Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto.

1º fator × 2º fator = produto • O primeiro primeiro fator fator também também pode ser ser chamado chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador . • A ordem dos dos fatores fatores nunca nunca altera o resulta resultado do de uma multiplicação multiplicação:: a × b = b× a • O núm númer eroo 1 éelemento neutro da multiplicação: 1×a = a×1 = a • Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a × b = c ↔ (a + k) × b = c + (k × b) • Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k. a × b = c ↔ ( a× k )× b = k× c • Pod Podemo emoss distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × ( b± c ) = ( a× b ) ± ( a× c )

7 DIVISÃO INTEIRA Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: Q × D + R = N e 0 ≤ R < D(onde D é o valor absoluto de D) A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos: 1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4. 8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < 7 2) Na divisão inteira de – 60 por 7 o dividendo é – 60, o divisor é 7, o quociente é –9 e o resto é 3. –9 × 7 + 3 = – 60 e 0 ≤ 3 < 7 • Quand Quandoo ocorrer ocorrer R = 0 na divisão de N por D , teremos Q × D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q; • Quando a divisão divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, equivalentem ente, que N é múltiplo de D e D é fator de N. • O zero é divisível divisível por qualquer número número não nulo:D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0; • To Todo do número inteiro é divisível divisível por 1: ∀N, N ÷ 1 = N; • Se multiplicarmos multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q ) não será alterado mas o resto r esto (R) ficará multiplicado por k, se R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k ≥ D.

Multiplicações e divisões com números inteiros Multiplicações Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação: Exemplos: SINAIS IGUAIS → (+)

SINAIS OPOSTOS → (–)

(+5) × (+2) = +10 (–5) × (–2) = +10 (+8) ¸ (+2) = +4 (–8) ¸ (–2) = +4

(+5) × (–2) = –10 (–5) × (+2) = –10 (+8) ¸ (–2) = –4 (–8) ¸ (+2) = –4

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, parcela, e subtrairmos subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t+8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t+ 8- 5 = t+ 3 Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

2. Nu ma su bt ra çã o, a so ma do mi nu en endo do co m o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?

Solução: subtraendo do e r o resto de Sejam m o minuendo, s o subtraen uma subtração qualquer, é sempre verdade que: m–s=r →s+r=m (a soma de s com r nos dá m) Ao somarmos os três termos da subtração, m+ s + r , observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r , resulta sempre igual a m . Assim poderemos escrever:

m + (s + r) = m + m = 2m O total será sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m + s + r = 264 2m = 264 m = 264 ÷ 2 = 132 Resp.: O minuendo será 132.

3. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível possí vel é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) × (divisor) + (resto) n = 5 × 12 + 11 n = 60 + 11 n = 71 O dividendo procurado é 71.

EXERCÍCIOS  NÚMEROS INTEIROS

1. Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t moedas de 1 real, y moedas de 50 centavos, z moedas de 10 centavos e w moedas de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido os seguintes enganos:


8 contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nestas condições, a quantia correta é igual à quantia inicial a) acre acrescid scidaa de de R$ R$ 1,35 1,35.. b) dimin diminuída uída de R$ 1,35. c) acre acrescid scidaa de de R$ R$ 1,65 1,65.. d) dimin diminuída uída de R$ 1,75. e) acre acrescid scidaa de de R$ R$ 1,75 1,75..

2. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinho partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3. Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um quadrado perfeito? a) 18 b) 21 c) 27 d) 35 e) 42 4. Antônio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antônio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antônio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía? a) 11,1% c) 15,2% e) 35,5% b) 13,2% d) 33,3% 5. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na disposição que se vê a seguir: 1a coluna 1a linha →

↓ 1 7 . . .

2 8 . . .

3 9 . . .

4 10 . . .

5 11 . . .

6 12 . . .

10. Sejam X o produto de 9 números inteiros não nulos e Y o produto dos simétricos dos nove números iniciais. Então o valor de X+Y será a) sem sempre pre maior maior que X. X. b) sempr sempree maior que Y. Y. c) sem sempre pre menor menor que que X. d) sempre menor menor que Y. Y. e) sem sempre pre igual igual a zero. zero. 11. Assinale a alternativa que corresponda ao valor da expressão ( 25 × 96 )2 ÷ (22 × 93 )2 . a) (23 × 94 )2 b) (23 × 93 )2 c) (26 × 92 )4 d) (22 × 93 )4 e) (21 × 93 )6 12. O valor de n que satisfaz à igualdade (8 × 10 n ) ÷ 10 = 5 5 × 2 8 é a) –3. b) –1. c) 2. d) 5. e) 6. 13. O valor de 13 + 7 + 2 + 4 é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5.

e) 6.

14. A soma de três números inteiros e consecutivos é 249. Qual é o maior deles? a) 80 b) 81 c) 82 d) 83 e) 84 15. A soma de três números ímpares e consecutivos é 303. Qual é o menor deles? a) 105 b) 103 c) 101 d) 99 e) 97

Qual é o número escrito na 5a coluna da 243a linha? a) 961 b) 1.059 c) 1.451 d) 1.457 e) 3.151

16. A soma de quatro números inteiros e consecutivos é 42. Qual é o maior deles? a) 9 b) 13 c) 12 d) 10 e) 11

6. Seja N o menor entre os números –18 e +9. O quociente de N por –3 2 é a) –3. b) –2. c) –1. d) 1. e) 2.

17. A soma de seis números pares e consecutivos é 90. Qual é o maior deles? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

7. Determine o quociente da soma dos números –9, +6, –2, +3, –16 pelo simétrico da diferença entre os números +2 e –7 nesta ordem. a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 2

18. A soma de onze números inteiros e consecutivos é 352. Qual é o maior deles? a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39

8. Somando o produto de dois números inversos multiplicativos com o quociente entre dois números simétricos não nulos obteremos a) 2. b) 1. c) 0. d) –1. e ) –2 . A C I T Á M E T A M

c) igu igual al a zero. zero. d) meno menorr que –518.40 –518.400. 0. e) mai maior or que 518.4 518.400. 00.

9. Ao multiplicar dez números inteiros um estudante obteve –518.400. Considerando que este produto esteja correto, o produto resultante da multiplicação dos dez números inteiros simétricos dos números originais será a) –5 –518 18.4 .400 00.. b) 51 518. 8.40 400. 0.

19. A fim de receber um mês de serviços prestados, um lavrador aceita que o fazendeiro fazendei ro lhe dê, como parte do pagamento, uma vaca ou um bezerro. O fazendeiro, estimando que a vaca e o bezerro, juntos, valham R$ 600,00, diz que se desse o bezerro ainda ainda ficaria devendo R$ 100,00 ao empregado e que o lavrador é que ficaria devendo ao fazendeiro fazendeiro R$ 100,00 se recebesse a vaca. Qual é a quantia devida ao lavrador? a) R$ 250,00 c) R$ 350,00 e) R$ 45 450,00 b) R$ 30 300,00 d) R$ 40 400,00 20. Quatro sócios dividiram um lucro de R$ 1.570,00 de tal modo que ao 2o coube R$ 70,00 a menos que ao 3o e

9 R$ 50,00 a mais que ao 1o , enquanto ao quarto coube R$ 80,00 a mais que ao 3o . Quanto recebeu o quarto sócio? a) R$ 500,00 c) R$ 350,00 e) R$ 280,00 b) R$ 420,00 d) R$ 300,00

21. Dois peões recebem diárias de igual valor. O fazendeiro pagou a um deles R$ 200,00 e mais 4 kg de carne por 20 dias de serviço e pagou ao outro R$ 390,00 e mais 10 kg de carne por 40 dias de serviço. Qual o valor da diária paga a cada peão? a) R$ 15,00 c) R$ 13,00 e) R$ 11,00 b) R$ 14,00 d) R$ 12,00 22. Um floricultor encomendou certo número de dúzias de rosas. O fornecedor mandou-lhe, como cortesia, duas rosas a mais em cada dúzia encomendada, de tal modo que o floricultor acabou recebendo um total de 42 dúzias. Quantas dúzias de rosas foram encomendadas pelo floricultor? a) 39 b) 38 c) 37 d) 36 e) 35 23. Um pai tem 32 anos e seus três filhos, 10, 7 e 5 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos três filhos será igual à idade do pai? a ) 3 a no s c ) 5 a no s e ) 7 a n os b) 4 anos d) 6 a n os 24. Qual é o menor número inteiro positivo cujo triplo é divisível por 9, 11 e 14? a) 198 b) 462 c) 924 d) 1.386 e) 1.848

Expansão Decimal Finita Neste caso há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal. −3 = −15; 5 = 1,25; 3 = 0,375 2 4 8

Expansão Decimal Infinita Periódica Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período. 1 , . .. = 0,333. .. ; 1 = 01666 3 6

Determinação de uma Fração Geratriz Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representárepresent álos. Estas frações são denominadas frações geratrizes.

Como determinar uma fração geratriz 1o Caso - Número Númeross com exp expans ansão ão dec decima imall fini finita ta A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de “zeros” do denominador: 816 8,16 = 100 52, 4 =

NÚMEROS RACIONAIS OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Conceito Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, denoa minamos número racional a todo número x= , tal que x b × b = a. a x = ↔ x ⋅ b = a (com a ∈ b e b ∈ Z*) b

0,035 035 =

524 10

0035 = 35 1000 1000

2o Ca Caso so - Dízi Dízima mass Pe Peri riód ódic icas as Seja a, bc... nppp... uma dízima periódica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a, b, c...n, não fazem parte do período p. abc. . . np − ab. . . n A fração será uma geratriz 99. . .900. . .0

Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional na a forma . b

da dízima periódica a, bc... nppp... se: 1o - O número número de ‘nov ‘noves’ es’ no no denomin denominado adorr for igual à quantidade de algarismos do período; o 2 - Hou Houver ver um ‘zer ‘zero’ o’ no denom denomina inador dor para para aperiódico após cada algarismo (abc...n) a vírgula.

Representação Decimal de um Número Racional

Exemplo:

Representação Fracionária

A representação decimal de um número racional poderá resultar em um do três casos seguintes:

Inteiro Neste caso, a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente. 14 0 = 7; −9 = −1; =0 2 9 13

período: 32 (dois “noves” no denominador) atraso de 1 casa (1 “zero” no denominador) parte não-periódica: 58 fração geratriz: 5832 − 58 5774 = . 990 990


10 período: 4 (1 “nove” no denominador) atraso de duas casas (2 “zeros”) parte não-periódica: 073 fração geratriz: 0734 − 073 734 − 73 661 = = 900 900 900 período: 034 (três “noves” no denominador) não houve atraso do período (não haverá “zeros” no denominador) parte não periódica: 6

5 1 1 10 3 6 10 + 3 − 6 7 + − = + − = = 6 4 2 12 12 12 12 12

Multiplicação de Frações Para multiplicar duas ou mais frações deve-se: 1o) Multip Multiplicar licar os os numeradore numeradores, s, encontran encontrando do o novo numerador. 2o) Multiplic Multiplicar ar os denomin denominadores, adores, encontra encontrando ndo o novo denominador.

fração geratriz: 6034 − 6 999

2 3 1 2 × 3 ×1 simplific. por 6 × × = = 6      → 1 5 4 6 5 × 4 × 6 120 20

período: 52 (dois “noves”) não houve atraso do período (não haverá “zeros” no denominador) parte não-periódica: 0 fração geratriz:

1 2 7 1 × 2 × 7 14 simp simplif lif. por por 2 × × = =     → = 7 6 5 4 6 × 5 × 4 120 60

052 − 0 52 = 99 99

Números Mistos Dados três números inteiros, n, a, e b, com n ≠ 0 e 0 < a < b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma: a a n =n+ b b Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, então pode-se representar o seu resultado por um número misto.

Exemplo: A divisão inteira de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2. Então pode-se escrever: 30 =42 7 7 Adição e Subtração de Frações

Com Denominadores Iguais Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores. 3 5 7 3+5− 7 1 + − = = 20 20 20 20 20 A C I T Á M E T A M

1 3 1 m.m.c (6, 4, 2) =12 2 9 6 2 + 9 − 6 5 + −   → + − = = 6 4 4 12 12 12 12 12

Com Denominadores Diferentes Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados:

1 × 2 × 1 = 1 × 2 × 1 = 1× 2 ×1 = 2 3 5 3 1 5 3 × 1 × 5 15

Divisão envolvendo Frações Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração devemos multiplicar multipli car o primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor). 2 4 2 7 2 × 7 14 simplif. por 2 7 ÷ = × = =    → = 1 1 3 7 3 4 3 × 4 12 6 6 1 4 1 5 1× 5 5 ÷ = × = = 3 5 3 4 3 × 4 12

3 2 5 2 × 5 10 2÷ = × = = 5 1 3 1× 3 3 1 ÷ 5 = 1 × 1 = 1×1 = 1 6 6 5 6 × 5 30 Atenção: Não faça contas com dízimas periódicas. Troque todas as dízimas periódicas por frações geratrizes antes de fazer qualquer conta. Exemplo: Calcular: 0,6 ÷ 0,222... = ? = 6 ÷2 10 9 = 6 × 9 = 54 = 2,7 10 2 20

11 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcular os resultados das expressões abaixo: 4 a) 8 12 + 3 25 c) 2 13 × 5 1 b) 15 56 − 2 34 d) ÷ 1 34 2

Solução: Como o preço do estojo foi indicado para dois terços a mais que o preço da caneta, faremos: caneta: 3x estojo: 3x +

2 de 3x = 3x+ 2x = 5x 3

Juntos eles valem R$ 16,00:

Soluções:

F 1 I F 2 I F 1 2 I a) H 8 + K + H 3 + K = (8 + 3) + H + K = 2 5 2 5

caneta }

Então:

10 9 13 + F − I = 13 121 H 12 12 K

F 1 I 4 2 × 3 + 1 × 4 = 7 × 4 = c) H 2 + K × = 3 5 3 5 3 5 7 × 4 28 = = 1 + 13 = 1 13 3 × 5 15 15 15 1 F 3 I 1 1 × 4 + 3 1 7 = ÷ = d) ÷ H 1 + K = ÷ 2 4 2 4 2 4 1 4 4 simplif. por 2 2 × =     → 2 7 14 7

2. Rogério gastou

2 1 do que tinha e, em seguida, do 3 4

resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto Rogério possuía inicialmente?

3

(–8x)

(–x)

= 300,00 (resto)

3x = 300 x = 100 Logo, a quantia inicial de Rogério era: 12x = 12 × 100 = 1.200 reais Rogério possuía, inicialmente, R$ 1.200,00.

3. Um estojo custa

4. Um pai distribui certo número de balas entre suas 1 três filhas de tal modo que a do meio recebe do 3

total, a mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas?

Solução: Seja o total de balas representado por 3x:

Ra do meio: 1 de 3x = x 3 ( total) || S a mais m ais velha: vel ha: x +2 3x | |Ta mais nova: 25 Juntando todas as balas tem-se: 3x = x + x + 2 = 25

3x – x – x = 2 + 25 x = 27

− 1 de 4x 4

a caneta custa: 3x = 3 × 2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5 × 2 = 10 reais

isolando “x” na igualdade, tem-se:

Solução: Seja 12x a quantia inicial de Rogério:

− 2 de 12x

}

3x + 5x = 16 8x = 16 x=2

1 2 5 4 11 + F + I = 11 + F + I = 11 109 H 2 5 K H 10 10 K

F 5 I F 3 I F 5 3 I b) H 15 + K − H 2 + K = (15 − 2) + H − K = 6 4 6 4

estojo

2 a mais que uma caneta. Juntos 3

eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada objeto?

Logo, o total de balas é: 3x = 3 × 27 = 81 balas

EXERCÍCIOS  NÚMEROS FRACIONÁRIOS

1. Seja p/q a forma irredutível do número 2 34 + 1 12 236363 36366... . Calcule o valor de p – q. + 1,236 4 14 − 1 12 a) 99 b) 98 c) 97 d) 96 e) 95 2. Se os números x , y e z pertencem ao conjunto  4 , 7 , 11  108 180 300  e são tais que x < y < z então qual é   z − x

o valor da expressão y ? a) 1/50 b) 1/25 c) 3/50

d) 2/25

e) 1/10


12 3. Após saldar 4/5 de uma dívida, André ficou devendo, ainda, R$ 300,00. Qual era o valor da dívida original de André? a) R$ 1. 1.10 100, 0,00 00 c) R$ 1. 1.30 300, 0,00 00 e) R$ 1. 1.50 500, 0,00 00 b) R$ 1. 1.20 200, 0,00 00 d) R$ 1. 1.40 400, 0,00 00 4. Os três quintos do salário de um funcionário correspondem a R$ 720,00. Quanto são 7/8 da metade do salário deste funcionário? a) R$ 525,00 c) R$ 575,00 e) R$ 625,00 b) R$ 550,00 d) R$ 600,00 5. De uma tanque de uma viatura, inicialmente cheio, retira-se 1/4 do volume de combustível que continha e mais 21 litros, restando, então, apenas 2/5 do volume. Qual é a capacidade deste tanque? a) 75 litros c) 65 litros e) 55 litros b) 70 litros d) 60 litros 6. X e Y autuaram ao todo 184 motoristas, sendo que a quantidade de motoristas que X autuou é 2/3 maior que a quantidade que Y autuou. Quantos motoristas X autuou? a) 129 b) 115 c) 89 d) 75 e) 69 7. No início do mês Ferdinando gastou metade do dinheiro que tinha; alguns dias depois gastou 3/4 do que lhe sobrou. No fim do mês Ferdinando recebeu, como parte do pagamento de uma antiga dívida uma quantia correspondente a 7/5 do que lhe sobrara, ficando então com R$ 600,00. Quanto Ferdinando tinha no início do mês? a) R$ 1. 1.30 300, 0,00 00 c) R$ 2. 2.00 000, 0,00 00 e) R$ 2. 2.30 300, 0,00 00 b) R$ 1. 1.60 600, 0,00 00 d) R$ 2. 2.10 100, 0,00 00 8. Ao tentar dividir certa quantidade de tarefas igualmente entre três policiais rodoviários, um feirante percebeu que o primeiro policial ficou realmente com 1/3 da tarefas, mas o segundo ficou com 2 tarefas a mais que o primeiro restando para o terceiro policial 25 tarefas. Quantas tarefas havia ao todo? a) 66 b) 69 c) 75 d) 78 e) 81 9. A carteira de habilitação de Marta tem 2/5 mais pontos que Marisa e esta, 2/3 mais que Yara que tem 8 pontos a menos que Marta. Quantas pontos tem a carteira de Marta? a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 10. Na partilha de uma herança coube ao mais velho de três irmãos a metade metade menos R$ 8.000,00; o segundo recebeu um terço mais mais R$ 5.000,00 e o mais moço moço recebeu os R$ 21.000,00 restantes. Qual o valor total total da herança repartida? a) R$ 78. 78.000 000,00 ,00 c) R$ 98.0 98.000,0 00,000 e) R$ 118. 118.000, 000,00 00 b) R$ R$ 88.0 88.000, 00,00 00 d) R$ R$ 108.0 108.000, 00,00 00 A C I T Á M E T A M

11. Num total de 240 motoristas o total de motoristas habilitados há menos de cinco anos mas que já estão habilitados a mais de um ano é 2/3 do número de motoristas com tempo de habilitação igual ou inferior a um ano, enquanto a quantidade de motoristas com cinco ou mais anos de habilitação é igual ao total de

motoristas com menos de cinco anos de habilitação. Quantos destes 240 motoristas ainda não completaram cinco anos de habilitação? a) 14 144 b) 120 c) 96 d) 72 e) 48

12. Qual é o número que se deve somar aos dois termos da fração 6/11 para que se obtenha uma fração equivalente a 3/4? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 13. A quantia de R$ 2.100,00 foi distribuída entre quatro pessoas de modo que a segunda recebeu metade do que recebeu a primeira; a terceira recebeu metade da soma do que receberam a primeira e a segunda; a quarta recebeu metade da quantia que coube à terceira. Quanto recebeu a segunda pessoa? a) R$ 300,00 c) R$ 200,00 e) R$ 400,00 b) R$ 600,00 d) R$ 800,00 14. Um patrulheiro rodoviário rodoviári o afirmou que 1/5 dos veículos que passavam pelo seu posto eram de passeio ou caminhonetes, os demais sendo ônibus ou caminhões”. Posteriormente verificou-se que um em cada dez veículos classificados como de caminhonetes eram, na verdade, caminhões e que um em cada dez veículos classificados como caminhões eram, na verdade, caminhonetes. Qual era a fração que realmente representava a quantidade de veículos de passeio e caminhonetes em relação ao total de veículos que passavam pelo posto deste patrulheiro? a) 13/50 b) 7/25 c) 3/10 d) 8/25 e) 17/50 15. Uma pesquisa revelou que em certa rodovia, 8 entre cada 25 motoristas cometeram algum tipo de infração. Se 3 em cada 11 motoristas infratores infrator es deixarem de cometer infrações, o número de motoristas infratores ficará reduzido a 12.800. Nestas condições, quantos motoristas fizeram parte desta pesquisa? a) 22.000 c) 44.000 e) 66.000 b) 33.000 d) 55.000 RAZÕES E PROPORÇÕES Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita “razão de a para b” e representada como: a ou a:b b Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado conseqüente da razão dada. Ao representar uma razão freqüentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possível, torná-los inteiros.

Exemplos:

F 1 I 0,25 H 4 K 1 1 1 A razão entre 0,25 e 2 é: = = ⋅ = (1 para 8)

2

2

4 2

8

13 F 1 I H 6 K 1 12 2 1 5 = ⋅ = A razão entre e é: 6 12 F 5 I 6 5 5 H 12 K (2 para 5) A razão entre 6 e

1 6 5 30 é: 6⋅ = = 5 1 1 F 1 I H 5 K

(30 para 1)

Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. A proporção a = c pode ser lida como “a está para b d b assim como c está para d ” e representada como a : b : : c : d . Nesta proporção, os números a e d são os extremos e os números b e c são os meios.

Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Quarta proporcional de três números dados, a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros três uma proporção tal que: a c = b x Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos números números 3, 4 e 6 nesta ordem. Solução: 3 6 = → 3x = 4 × 6 → x = 8 4 x Proporção contínua é aquela que tem meios iguais. Exemplo: A proporção 9 : 6 : : 6 : 4 é contínua pois tem os os seus meios iguais a 6. Numa proporção contínua temos: ♦ O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos. Ex.: 4 é a média proporcional entre 2 e 8, pois pois 2 :4 : :4: 8 ♦ O último termo é chamado terceira proporcional. Ex.: 5 é a tercei terceira ra proporcion proporcional al dos númer números os 20 e 10, pois 20 : 10 : : 10 : 5

Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. Exemplo: 2 3 4 5 = = = 4 6 8 10

Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1. Exemplo: 3 10 = 1 então dizemos que “3 está para 5 na × 5 6 razão inversa de 10 para 6’’ ou então que “3/5 está na razão inversa de 10/6’ 10/6’’’ ou ainda que “3/5 e 10/6 são razões inversas”.

Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.

Exemplo: 3/5 e 10/6 são razões inversas. Então, 3/5 faz proporção com 6/10 (que é o inverso de 10/6) enquanto 10/6 faz proporção com 5/3 (que ( que é o inverso de 3/5). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais.

Qual é a razão do número de questões certas para o de erradas?

Solução: Das 50 questões, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco. Logo, o número de questões erradas é: 50 – 35 – 5 = 10 Assim, a razão do número de questões certas (35) para o de erradas (10) é

35 7 ou 7 para 2. = 10 2

2. Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é 42.

Solução: Sejam x o menor e y o maior dos números procurados. A proporção nos mostra que x está para 2 assim como y está para 5. Então, podemos dizer que: x tem 2 partes ....................... ( x x = 2 p) enquanto y tem 5 partes ......... ( y y = 5 p) Mas como a diferença y – x deve valer 42, teremos: 42 5{p − 2{p = 42 → 3p = 42 → p = → p = 14 3 y x Agora que descobrimos que cada parte vale 14 ( p p = 14), podemos concluir que: o valor de x é o valor de y é

→ →

x = 2 p = 2⋅(14) = 28 y = 5 p = 5⋅(14) = 70


14 3. Na proporção múltipla

x y z = = , determinar os 3 5 6

valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z = 112 112.

Solução: A proporção múltipla nos mostra que: x tem 3 partes .................................... ( x x = 3 p) enquanto y tem 5 parte partess ...... ............ ........... ........ ...(( y y = 5 p) e z tem 6 partes ................................ ................................(( z z = 6 p)

Como a soma das três partes vale 112, temos: 3 p + 5 p + 6 p = 112 14 p = 112 p = 112 ÷ 14 p = 8 Agora que descobrimos que podemos concluir que: o valor de x é → o valor de y é → o valor de z é →

cada parte vale 8, x = 3 p = 3⋅(8) = 24 y = 5 p = 5⋅(8) = 40 z = 6 p = 6⋅(8) = 48

4 . Sabendo que a está para b assim como 8 está para 5 e que 3a – 2b = 140, calcular a e b. Solução: Pela proporção apresentada, a tem 8 partes enquanto b tem 5 partes: a = 8 p e b = 5 p então teremos: 3a = 3 × (8 p) = 24 p e 2b = 2 × (5 p) = 10 p portanto: 3a – 2b = 140 → 24 p – 10 p = 140 → 14 p = 140 → p = 10 como p = 10 temos: a = 8 p = 8 × 10 = 80 e b = 5 p = 5 × 10 = 50 5. Dois números positivos estão entre entre si assim como 3 está para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados é igual a 100.

Solução: Se os números estão entre si na proporção de 3 para 4, então um deles é 3 p e o outro é 4 p. Deste modo, a soma dos quadrados fica fi ca sendo:


(3 p)2 + (4 p)2 = 100 9 p2 + 16 p2 = 100 25 p2 = 100 2 p = 4 → p = 2 (pois os números são positivos) Portanto, os dois números são: 3 p = 3 × 2 = 6 e 4 p = 4 × 2 = 8

EXERCÍCIOS  RAZÕES E PROPORÇÕES

1. Utilizando os conceitos de razão entre dois números e de proporção entre números, pode-se afirmar que: a) Dizemos que os números A e B encontram-se na razão de P para Q quando A/B = P/Q. b) Os números 1/5 e 1/7 encontram-se encontram-se na razão de 7 para 5. c) Os números números 8, 12 e 20 encontram-se encontram-se na proporção proporção de 6 para 9 para 15. d)Os números 3, 4 e 5 encontram-se na proporção de 6 para 7 para 8. e) Se os números números 2, 4 e 5 encontram-se encontram-se na mesma mesma proporção que 10, 20 e X então o valor de X é 50. 2. Três quantidades positivas mantêm-se diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. Nestas condições julgue as afirmativas abaixo: a) Quand Quandoo a soma dos dois maiores maiores é igual igual a 45 o menor deles é igual a 27. b) Quando diferença do maior maior para o menor menor deles é igual a 30 o maior deles é igual a 75. c) Quand Quandoo a soma do dobro do maior maior com o quádruplo do menor é igual a 66 o valor intermediário é igual a 12. d) O valor intermediário corresponde corresponde ao dobro da diferença do maior deles para o menor, independent independentemenemente dos valores assumidos pelas três quantidades. e) As três quantidades quantidades são, são, na ordem dada, diretadiretamente proporcionais a 13, 14 e 15. 3. Sobre as grandezas inversamente proporcionais podese afirmar que: a) Se três números são são inversamente inversamente proporcionais a 3, 4 e 5, então eles são diretamente proporcionais a 20, 15 e 12 pois 3×20 = 4×15 = 5×12. b) Dividindo o número número 207 em três partes inversainversamente proporcionais a 1, 3 e 5 encontraremos para maior dessas partes o resultado 40. c) Se dois números números são inversamente inversamente proporcionai proporcionaiss a X e Y, Y, então eles são diretamente proporcionais a Y e X. d)Dividindo 72 em partes inversamente proporcionais a 4 e 5 encontraremos dois números tais que a diferença do maior para o menor é 9. e) A razão invers inversaa de 3 para para 5 é 5/3. 5/3. 4. Os números X e Y encontram-se na razão de 5 para 7. Então, se o valor de X é 60 o valor de Y é: a) 84 b) 80 c) 70 d) 65 e) 35 5. Assinale a opção cujos números sejam diretamente proporcionais a 2, 3 e 7. a) 3, 4 e 8. b) 4, 9 e 49. 49. c) 6, 9 e 21. 21. d) 22, 23 e 27 27.. e) 22, 32 e 72. 72. 6. Assinale a opção cujos números sejam inversamente proporcionais a 2, 3 e 7. a) 7, 3 e 2.

15 b) 1/7, 1/3 e 1/2. 1/2. c) 0,2 , 0,3 0,3 e 0,7 0,7 d) 6, 14 e 21. e) 21 21,, 14 14 e 6.

7. Três números diretamente diretament e proporcionais proporcionai s a 4, 5 e 7 são tais que a soma dos dois menores é igual a 45. Então o maior destes números é: a) 75 b) 57 c) 47 d) 35 e) 30 8. Três números inversamente proporcionais a 1, 2 e 3 são tais que a diferença do maior para o menor deles é igual a 24. Então o maior destes números é: a) 36 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12 9. Determine três números, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a soma dos dois menores supera o maior em 16 unidades. a) 25 25,, 36 36 e 45 45.. b) 24 24,, 32 e 40. 40. c) 21 21,, 28 28 e 33 33.. d) 18 18,, 24 e 26. 26. e) 15 15,, 26 26 e 25 10. Três números, inversamente proporcionais a 1, 3 e 5, são tais que o dobro do maior deles supera a soma dos dois menores em 66 unidades. O maior deles, então, é: a) 9 b) 15 c) 35 d) 45 e) 65 11. Quatro números são tais que: - o primeiro está para o terceiro assim como 1 para 2; - o segundo está para o quarto assim como 3 para 1; - o terceiro está para o segundo assim como 2 para 3. Sabe-se que os dois menores somam 82. Nestas condições os quatro números procurados são, respectivamente: a) 37, 111 111,, 74 e 37. 37. b) 29, 35, 35, 143 143 e 35. 35. c) 41, 123 123,, 82 e 41. 41. d) 163 163,, 29, 43 e 29. 29. e) 37, 23, 37 e 129 129.. 12. Quatro números são tais que: - o primeiro está para o terceiro assim como 1 para 3; - o segundo está para o quarto assim como 5 para 1; - o quarto está para o primeiro assim como 3 para 4. Sabe-se que a soma dos três menores excede o maior em 20 unidades. Nestas condições os quatro números procurados são, respectivamente: a) 10 10,, 50, 50, 30 e 10. b) 12, 25, 36 e 5. 5.

c) 15, 30, 45 e 6. d) 18, 45, 54 54 e 9. e) 20, 75, 60 e 15.

DIVISÃO PROPORCIONAL Grandezas diretamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ...), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b 2, b 3, b 4, ...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

a1 a 2 a 3 = = = ..... b1 b 2 b 3 O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado de fator de proporcionalidade.

Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30

6 7 10 , , e 12 14 20 15 1 são todas iguais, sendo igual a o fator de 30 2

respectivamente, pois as razões

proporcionalidade da primeira para a segunda.

Como se pode observar, as sucessões de números diretamente proporcionais formam proporções múltiplas (já vistas no capítulo de razões e proporções). Assim sendo, podemos aproveitar todas as técnicas estudadas no capítulo sobre proporções para resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ...), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4, ...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

Exemplo:

Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente i nversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2 × 30, 3 × 20, 5 × 12 e 12 × 5 são todos iguais.

Relação entre proporção inversa e proporção direta Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão diretamente proporcionais aos inversos dos números da outra. Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais.


16 Divisão em partes proporcionais

1º caso: caso: Div Divisã isãoo em partes partes diret diretame amente nte prop proporc orcion ionais ais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais ao números a, b, c, ..., significa encontrar os números A, B, C , ..., tais que

A B C = = =... a b c

Então poderemos dividir 45 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Indicando as partes procuradas por: A = 2p, B = 3p e C= 4p A+B+C = 45 → 2p + 3p + 4p = 45 → 9p = 45 → p = 5 Assi As sim, m, co conc ncluí luímo moss que que::

A = 2p = 2× 5 = 10, B = 3p = 3 × 5 = 15 e C = 4p = 4 × 5 = 20

A + B + C + ... = N

2º caso: Div Divisã isãoo em parte partess invers inversame amente nte prop proporc orcion ionais ais


Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c,..., significa encontrar os números A, B, C, ... tais que

1. Dividir o número 72 em três partes diretament diretamentee proporcionais aos números 3, 4 e 5.

a × A = b × B = c × C = ... e A + B + C + ... = N

Indicando por A, B, e C as partes procuradas, procuradas, temos que: A = 3p, B = 4p, C = 5p e A+B+C = 72 portanto: 3p + 4p + 5p = 72 → 12p = 72 → p = 6 valor de A → 3p = 3 × 6 = 18 valor de B → 4p = 4 × 6 = 24 valor de C → 5p = 5 × 6 = 30 Portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30.

2. Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais aos números

1 2 3 , e . 2 3 4

Reduzindo as frações ao mesmo denominador, teremos:

6 8 9 , e 12 12 12 Desprezar os denominadores (iguais) não afetará os resultados finais, pois a proporção será mantida e ainda simplificará nossos cálculos. Então, poderemos dividir 46 em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9 (os numeradores). Indicando por A, B e C as três partes procuradas, teremos: A = 6p,

B = 8p,

C = 9p

A + B + C = 46 → 6p + 8p + 9p = 46 → 23p = 46 → p = 2 Asssim As im,, con concl cluí uím mos qu que: e:

A = 6p 6p = 6× 2 = 12, B = 8p = 8 × 2 = 16 e C = 9p = 9 × 2 = 18.

As partes procuradas são 12, 16 e 18.

3. Dividir o número 45 em partes diretamente propor A C I T Á M E T A M

cionais aos números 200, 300 e 400.

Inicialmente dividiremos divid iremos todos os números dados por 100. Isto não alterará a proporção com as partes procuradas, mas simplificará os nossos cálculos. (200, 300, 400) ÷ 100 = (2, 3, 4)

4. Dividir 72 em partes inversamente proporciona proporcionais is aos números 3, 4 e 12.

Usando a relação entre proporção inversa e proporção direta vista na página 70, podemos afirmar que as partes procuradas serão diretamente proporcionais

1 1 1 e . 3 4 12

a ,

Reduzindo as frações ao mesmo denominador, teremos:

4 3 1 , e 12 12 12 Desprezar os denominadores (iguais) manterá as proporções e ainda simplificará nossos cálculos. Então, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A, B e C as três partes procuradas, teremos: A = 4p, B = 3p, C = 1p A + B + C = 72 → 4p + 3p + 1p = 72 → 8p = 72 → p =9 Assi As sim, m, con conclu cluím ímos os que que:: A = 4p 4p = 4× 9 = 36, B = 3p = 3 × 9 = 27 e C = 1p = 1 × 9 = 9. Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9.

3º caso: caso: Di Divi visã sãoo comp compos osta ta dir diret etaa Chamamos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos: 1º)) encontra 1º encontrarr uma nova sucess sucessão ão onde onde cada cada valor será o produto dos valores correspondentes das sucessões dadas;

17 A + B + C = 690 → 6p + 8p + 9p = 690 → 23p = 690 → p = 30 A = 6p = 6 × 30 = 180, B = 8p = 8 × 30 = 240 e C = 9p = 9 × 30 = 270

2º)) efetuar a divisão 2º divisão do número em partes partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucessão encontrada.

5. Dividir o número 270 em três partes que devem ser

Portanto, as três partes procuradas são: 180, 240 e 270.

diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente.

Indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter: A será ser proporcional a 2 e 4 → 2 × 4 = 8 → A = 8p B será ser proporcional a 3 e 3 → 3 × 3 = 9 → B = 9p C será ser proporcional a 5 e 2 → 5 × 2 = 10→ C = 10p A + B + C = 270 → 8p + 9p + 10p = 270 27p = 270 → p = 10 A = 8p = 8 × 10 = 80 B = 9p = 9 × 10 = 90 C = 10p = 10 × 10 = 100 Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100.

4º caso: Divisão composta mista Chamamos de divisão composta mista à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada. Para efetuarmos uma divisão composta mista, devemos : 1º)) inverter os valores 1º valores da sucess sucessão ão que indica proporção inversa, recaindo assim num caso de divisão composta direta; 2º)) aplic 2º aplicar ar o procedimento procedimento explica explicado do anterioranteriormente para as divisões compostas diretas.

6. Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente.

Invertendo os valores da sucessão que indica proporção inversa, obtemos:

1 1 1 , e 2 3 4 Reduzindo as frações a um denominador comum, teremos:

6 4 3 , e → 6, 4 e 3 12 12 12 Então, indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter: A será proporcional a 1 e 6 → 1 × 6 = 6 → A = 6p B será proporcional a 2 e 4 → 2 × 4 = 8 → B = 8p C será proporcional a 3 e 3 → 3 × 3 = 9 → C = 9p

EXERCÍCIOS  DIVISÕES PROPORCIONAIS

1. Sejam (2, 5, 10, 15) e (10, r, s, t) duas sucessões de números diretamente proporcionais. Nessas condições pode-se afirmar que: a) O valo valorr de r é o triplo do valor de t. b) O valo valorr de de s excede o de r no mesmo número de unidades que o valor de t supera o de s. c) O val valor or de de s é igual ao dobro do valor de r. d) O valo valorr de de t é um dos divisores do valor de r. e) Os val valore oress r, s, e t são tais que 5r = 10s = 15t. 2. Sejam (3, a, b) e (10, 15, 6) duas sucessões de números inversamente proporcionais. Nessas condições podese afirmar que: a) Os valo valores res de a e b não são dois números inteiros. b) Os valore valoress de a e b são, respectivamente, 2 e 5. c) Os valo valores res de a e b são tais que 15a = 6b = 30. d) Os valor valores es de a e b são tais que a é maior que b. e) Os valor valores es de de a e b são, nesta ordem, diretamente proporcionais a 6 e 15. 3. Dividindo o número 2.400 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40, obteremos: a) Três números números diretamente proporcionais a 13, 17 e 20.. 20 b) Como a menor menor das três partes partes o valor 312. c) Como a maior maior das três três partes o valor valor 960. d) Como a menor menor das três partes um valor divisível por 8. e) Como a maior maior das três partes um valor múltiplo de 16.. 16 4. Dividindo corretamente o número 39 em partes diretadir etamente proporcionais às frações 1/2 , 1/3 e 1/4, teremos: a) Três números números tais que que o maior deles deles valerá 18. b) Três números tais que o menor deles terá metade do valor da maior. c) Três números diretamente proporcionais proporcionais a 6, 4 e 3. d) Três números tais tais que o menor deles valerá 9. e) Três números números tais que que a diferença entre entre os dois maiores terá o dobro do valor da diferença entre os dois menores. 5

Dividindoo corre Dividind corretame tamente nte o númer númeroo 42 em part partes es inve inverrsamente proporcionais a 3 e 4. Obteremos: a) dois números números pares pares divisíveis divisíveis por por 3. b) dois números números cuja diferenç diferençaa é igual a 12. c) o número 18 como parte inversamen inversamente te proporcioproporcional ao número 3.


18 d) o número 24 como parte inversamente inversamente proporcional ao número 4. e) o mesmo par de números números que obteríamos obteríamos caso a divisão fosse em partes diretamente proporcionais a 4 e 3.

6. Ao efetuarmos corretamente a divisão do número 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6 encontraremos, respectivamente, respectivamente, x, y e z. Nessas condições é correto afirmar que: a) O valor valor de x é 120. 120. b) O valor de z é o menor menor dos três. três. c) O valor de y é maior que que o valor de de x. d) O valor de z é divisív divisível el por 9. e) O valor de y é um quadra quadrado do perfeito. perfeito. 7. Ao dividir o número 196 em partes inversamente proporcionais às frações 2/3, 3/4 e 4/5, obteremos, respectivamente, p, q e r. Nessas condições é correto dizer que: a) O valor valor da diferenç diferençaa p − q é igual a 8 b) O valor de q é a média aritmética dos valores p e r.r. c) O maior maior dos três valores valores é p. d) O valor de r é igual igual à diferença diferença q− p. e) O menor menor dos três valore valoress é q. 8. Dividindo 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2, encontraremos: a) Três números diretamente proporcionais proporcionais a 6, 15 e 35.. 35 b) Uma seqüência seqüência de números números tais que o segundo será o dobro do primeiro. c) Uma progressã progressãoo aritmética. aritmética. d) Respe Respectivam ctivamente: ente: 60, 150 150 e 350. e) Seis números sendo que o maior deles será o terceiro e o menor deles será o sexto.

REGRAS DE TRÊS Chamamos de regra de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve somente duas grandezas gran dezas é costume denominá-lo de problema deregra de três simples.

Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, então, quanto custarão 6 bilhetes?

As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes.


Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas?

As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário.

Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre as duas grandezas envolvidas no problema.

Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três composta.

Exemplo: Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constroem 300m de uma cerca, quantos homens serão necessários para construir mais 600m desta cerca em 8 dias?

A grandezas são: o número de homens, aduração do trabalho e o comprimento da parte construída.

Para resolver um problema qualquer de regra de três devemos inicialmente determinar que tipo de relação de proporção existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas.

Relação de proporção direta Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção direta quando aumentando uma delas para duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra também aumenta respectivamente para duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor. Exemplo: Considere as duas grandezas variáveis: (comprimento de um tecido)

(preço de venda da peça)

1 me metr troo ... ...... ...... ... custa ... ...... ...... ..... R$ 10, 10,00 2 metros metros ..... ......... custa custam m ...... ......... ... R$ 20 20,0 ,000 3 metros metros ..... ......... custa custam m ...... ......... ... R$ 30 30,0 ,000 4 metros metros ..... ......... custa custam m ...... ......... ... R$ 40 40,0 ,000 Observamos que, quando o comprimento do tecido tornou-se o dobro, o triplo etc., o preço de venda da peça também aumentou na mesma proporção. Portanto as grandezas “comprimento do tecido” e “preço de venda da peça” são diretamente proporcionais.

Relação de proporção inversa Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção inversa quando aumentando uma delas para duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminuir respectivamente para metade, um terço, um quarto, etc. do seu valor. Exemplo: Considere as duas grandezas variáveis:

F Velocidade deI H um automóvelK

F Tempo de duraçãoI H da viagem K

A 20 km /h ........ a viagem dura ......... 6 horas A 40 km/ km/hh ...... ......... ... a viagem viagem dura ...... ......... ... 3 horas A 60 km/ km/hh ...... ......... ... a viagem viagem dura ...... ......... ... 2 horas Observamos que quando a velocidade tornou-se o dobro, o triplo do que era, o tempo de duração da viagem

19 tornou-se correspondentemente a metade, a terça parte do que era. Portanto, as grandezas “velocidade ” e “tempo de duração da viagem” são inversamente proporcionais.

Cuidado! Não basta observar que o aumento de uma das grandezas implique no aumento da outra. É preciso que exista proporção. Por exemplo, aumentando o lado de um quadrado, a área do mesmo também aumenta. Mas não há proporção, pois ao dobrarmos o valor do lado, a área não dobra e sim quadruplica!

Grandezas proporcionais a várias outras Uma grandeza variável é proporcional proporcion al a várias outras se for diretamente ou inversamente proporcional a cada uma dessas outras, quando as demais não variam.

tamente proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao número de operários que nele trabalham. Vimos também, também, entre outros, os seguintes valores correspondentes: (Tempo necessário)

(Comprimento do trecho construído)

(Número de operários)

30 dias 20 dias

6 km 12 km

10 30

Aplicando a propriedade vista acima, teremos: 30 6 30 = × (verifique a igualdade!) 20 12 10


1. Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto custarão 33 metros do mesmo tecido?

Exemplo: O tempo necessário para construir certo trecho de uma ferrovia é diretamente proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao número de operários que nele trabalham.

Observe: 1º) Vamos fixar o comprimento comprimento do trecho feito: em 30 dias, 10 operários fazem 6 km; em 15 dias, 20 operários também fazem 6 km;; km em10 dias, 30 operários também fazem 6 km. Aqui, observa-se que o tempo é inversamente proporcional ao número de operários. 2º)) Agora vamos 2º vamos fixar o número de operários: operários: 30 operários, em 10 dias, fazem 6 km; 30 operários, em 20 dias, farão 12 km; 30 operários, em 30 dias, farão 18 km. Agora, vemos que o tempo é diretamente proporcional ao comprimento do trecho feito. PROPRIEDADE Se uma grandeza for diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras, então, a razão entre dois dos seus valores será igual: ao produto das razões dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais a ela... ... multiplicado pelo produto das razões inversas dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais a ela.

Exemplo: Vimos no exemplo anterior que o tempo necessário nec essário para construir certo trecho de uma ferrovia é dire-

Solução: O problema envolve duas grandezas, quantidade de tecido comprada e preço total da compra. Podemos, então, montar a seguinte tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Quant. de tecido Preço total (em metros) (em R$ ) 5 ..... ........... ............ ............ .......... .... 30, 0,00 00 33 ............................. x Na coluna onde a incógnita x aparece, vamos colocar uma flecha: Quant. de tecido Preço total (em metros) (em R$ ) 5 ..... ........... ............ ............ .......... .... 30, 0,00 00 33 ............................. x ↑ Note que a flecha foi apontada aponta da para o R$ 30,00 que é o valor inicial do x indicando que se a quantidade de tecido comprado não fosse alterada, o preço total da compra, x, continuaria sendo R$ 30,00. Agora devemos avaliar o modo como a variação na quantidade de tecido afetará o preço total: - Quanto mais tecido comprássemos, maior também seria o preço total da compra. Assim as grandezas preço total e quantidade de tecido são diretamente proporcionais.

Na tabela onde estamos representando as variações das grandezas, isto será indicado colocando-se uma flecha na coluna da quantidade de tecido tecid o nomesmo sentido sentid o da flecha do x. Quant. de tecido Preço total (em metros) (em R$ ) 5 ............................... 30 30,0 ,000 ↑ 33 ................................. x ↑ A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era R$ 30,00: inicialmente tinha-se x = 30


20 A outra flecha (a da quantidade de tecido) indica uma fração, apontando sempre do numerador para o denominador. Como neste exemplo a flecha aponta do 33 para o 5 a fração é

33 . Esta fração nos dá 5

a variação causada em x (o preço) pela mudança da outra grandeza (a quantidade de tecido comprado). Multiplicando o valor inicial de x por esta fração podemos armar a igualdade que nos dará o valor final de x:

x = 30 ×

33 ⇒ x = 198 5

Portanto, os 33 metros de tecido custarão R$ 198,00.

2. Em 180 dias 24 oper operári ários os con constr stroem oem uma cas casa. a. Qua Quantos ntos operários serão necessários para fazer uma casa igual em 120 dias?

Solução: O problema envolve duas grandezas, tempo de construção e número de operários necessários. Montaremos, então uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Tempo (em dias) Nº de d e operários 180 24 120 ................................... x Na coluna onde a incógnita x aparece, vamos colocar uma flecha apontada para o valor inicial do x que é 24: Tempo (em dias) Nº de d e operários 180 24 120 ................................... x ↑ Lembre-se que esta flecha está indicando que se o tempo de construção permanecesse o mesmo, o número de operários necessários, x, continuaria sendo 24. Agora, devemos avaliar o modo como a variação no tempo de construção afetará o número de operários necessários : - Quanto menos tempo houver para realizar a obra, maior será o número de operários necessários. Assim as grandezas tempo de construção e número de operários são inversamente proporcio-

nais.


Na tabela onde estamos representando as variações das grandezas, isto será indicado colocandose uma flecha na coluna da quantidade de tecido no sentido inverso ao da flecha do x. Tempo (em dias) ............ ............Nº Nº de operários 180 .................................. 24 ↓ 120 ................................... x ↑

A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era 24: inicialmente, tinha-se x = 24 Como no exercício anterior, a outra flecha indica uma fração que nos dá a variação causada em x (o número de operários) pela mudança da outra grandeza (o tempo) apontando sempre do numerador para o denominador. Como neste exemplo a flecha 180 aponta do 180 para o 120 a fração é . 120 Multiplicando o valor inicial de x por esta fração, armamos a seguinte igualdade que nos dará o valor final de x: 180 x = 24 × ⇒ x = 36 120 Portanto, serão necessários 36 operários para fazer a casa em 120 dias.

3. Em 12 dias dias de traba trabalho, lho, 16 16 costure costureiras iras fazem fazem 960 calcalças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer 600 calças iguais às primeiras?

Solução: O problema envolve três grandezas, tempo necessário para fazer o trabalho, número de costureiras empregadas e quantidade de calças produzidas. Podemos, então, montar uma tabela com três colunas, uma para cada grandeza: Tempo (em dias) 12

↑

x

N º de costureiras 16 12

Q u a n ti d a d e d e c a lç a s 960 600

Para orientar as flechas das outras duas grandezas é preciso compará-las uma de cada vez com a grandeza do x e de tal forma que, em cada comparação, consideraremos como se as demais grandezas permanecessem constantes. - Quanto menos costureiras forem empregadas maior será o tempo necessário para fazer f azer um mesmo serviço. Portanto, número de costureiras é inversamente proporcional ao tempo. - Quanto menor a quantidade de calças a serem feitass menor também será o tempo necessário para ta produzi-las com uma mesma equipe. Portanto, a quantidade de calças produzidas e o tempo necesproporcionaiss. sário para fazê-las são diretamente proporcionai Tempo (em dias) 12

↑

x

N º de costureiras 16 ↓ 12

Q u a n ti d a d e d e c a lç a s 960 ↑ 600

A flecha do x , como sempre, está indicando o seu valor inicial (x = 12).

21 As outras duas flechas indicam frações que nos dão as variações causadas em x (o tempo) pelas mudanças das outras grandezas (o número de costureiras e a quantidade de calças). Lembre-se de que elas apontam sempre do numerador para o denominador. Multiplicando o valor inicial de x por estas frações, temos a igualdade que nos dará o valor final de x :

x = 12 ×

16 600 × ⇒ x = 10 12 900

Portanto, serão necessários 10 dias para fazer o serser viço nas novas condições do problema.

EXERCÍCIOS  REGRAS DE TRÊS

1. Sejam X e Y duas grandezas diretamente proporcionais. Nestas condições, se o valor de X for reduzido r eduzido a sua metade, então o valor de Y a) du dupli plica cará. rá. b) será reduzido reduzido a sua metade metade.. c) tri tripli plica cará. rá. d) será reduzido reduzido a um terço terço do que era. e) quad quadrupl ruplicar icará. á. 2. Sejam X e Y duas grandezas diretamente proporcionais. Nestas condições, se o valor de X for acrescido do quádruplo do seu valor inicial, então o valor de Y a) ficará reduzido a um quarto do do seu valor original. b) quad quadrupl ruplicar icará. á. c) ficará reduzido a um quinto do seu valor original. d) quin quintupli tuplicará cará.. e) tri tripli plica cará. rá. 3. Sejam X e Y duas grandezas diretamente proporcionais tais que o valor de Y seja 42 quando o valor de X for 26. Nestas condições, quando Y é 147 o valor assumido por X é a) 13. b) 39. c) 52. d) 65. e) 91. 4. Sejam X e Y duas grandezas inversamente inversament e proporcionais tais que o valor de Y seja 30 quando o valor de X é 42. Nestas condições, quando Y é 35 o valor assumido por X é a) 36. b) 42. c) 49. d) 54. e) 56. 5. Um veículo consome 8 litros de combustível para perper correr 80 km. Quantos litros de combustível este veículo consumiria para percorrer 210 km? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 6. Sabendo que 3 tratores levam 32 dias para executar certo trabalho, quantos dias seriam necessários para realizar a mesma tarefa se fossem 4 tratores? a) 28 b) 24 c) 20 d) 18 e) 16

7. Uma família de 5 pessoas em férias gastou R$ 1.250,00 em 10 dias. Quanto gastariam gastari am se fossem 6 pessoas em 8 dias de férias se mantidas as proporções? pr oporções? a) R$ 1. 1.32 325, 5,00 00 c) R$ 1. 1.27 275, 5,00 00 e) R$ 1. 1.15 150, 0,00 00 b) R$ 1. 1.30 300, 0,00 00 d) R$ 1. 1.20 200, 0,00 00 8. Em 8 meses de trabalho, uma equipe de 12 operários constrói 6 casas populares. Quantas dessas casas seriam construídas por 20 operários em 16 meses de trabalho? a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 20 9. Uma equipe de 6 professoras levou 6 horas para corrigir 500 provas. Se o número de professoras fosse 50% maior e se elas trabalhassem com o dobro da eficiência, quantas provas conseguiriam corrigir em 4 horas? a) 1.000 b) 1.200 c) 1.500 d) 1.800 e) 2.000 10. Uma equipe de 6 pedreiros levou 4 semanas para construir um muro de 280 m de comprimento por 4 m de altura trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia deveria trabalhar uma equipe de 9 pedreiros para construir em 3 semanas um muro de 420 m de comprimento por 6 m de altura? a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 11. Um artesão, trabalhando 7 horas por dia, levou 10 dias para fazer 128 vasos. Quantos dias ele irá levar para fazer 256 vasos de um outro modelo cuja dificuldade é igual a 6/5 da dificuldade dos anteriores se ele puder trabalhar com uma velocidade 2/5 maior que antes mas trabalhar somente 6 horas por dia? a) 28 b) 24 c) 20 d) 18 e) 12 12. Para construir um muro de 53,7 metros de comprimento empregaram-se, inicialmente, 14 pedreiros que fariam o trabalho todo em 17 dias. Passados 8 dias de iniciada a obra, contudo, o número de pedreiros foi aumentado para 18. Sabendo que todos trabalharam 8 horas por dia durante toda a obra, quantos dias ao todo durou a construção deste muro? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 13. Uma turma de 7 operários levou 18 dias para abrir uma vala de 30 m de comprimento trabalhando 10 horas por dia. Caso fossem 15 operários trabalhando 11 horas por dia, quantos dias levariam para abrir uma vala de 55 m de comprimento se o desempenho da 1a turma está para o da 2a como 3 para 4 e a dificuldade da 2a vala está para a da 1a como 4 para 7? a) 5 dias c) 7 dias e) 9 dias b) 6 dias d) 8 dias 14. Uma empreiteira é contratada para entregar certa obra em 19 dias e, para tanto, contratou 15 operários. Transcorridos 13 dias do início das obras, 5 operários pediram demissão e a obra continuou sem eles durante os três dias seguintes. Quantos operários devem ser contratados a partir de então para que a obra seja entregue exatamente no prazo combinado ? a) 4 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20


22 15. Uma prova cujo índice de dificuldade foi 7,5 foi respondida com média de acerto igual a 80 pontos. Caso o índice de dificuldade fosse aumentado em 25%, qual teria sido a média de acerto? a) 5,4 b) 6,0 c) 6,4 d) 7,0 e) 7,2 16. Os lados de um triângulo medem 4cm, 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos segmentos que a bissetriz do ângulo oposto ao maior lado do triângulo determinará neste lado, sabendo que esses segmentos são diretamente proporcionais aos outros dois lados do triângulo. a) 3,0 e 5,0 c) 3,2 e 4,8 e) 3,4 e 4,6 b) 3,1 e 4,9 d) 3,3 e 4,7

PORCENTAGENS

Na expressão acima, o valor B é a referência do cálculo porcentual. Dizemos então que A é uma porcentagem do número B. Todo problema de porcentagens depende, basicamente, de determinarmos um dos valores dados na expressão acima, A, B ou p em função dos outros dois.

Observação: Nas questões de concursos públicos é comum encontrarmos: - lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuízo, etc. indicando uma porcentagem em situações específicas; - a exp expre ress ssão ão "principal" indicando o valor de referência que corresponde a 100%. Exemplos:

Razão centesimal

1) Calcular 20% de 250.

Chamamos de razão centesimal a toda razão cujo conseqüente (denominador) seja igual a 100.

Solução: O número procurado é igual a 20% de 250. Logo:

Exemplos: 37 em cada 100 → 37/100 19 em cada 100 → 19/100 Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na forma f orma centesimal.

Exemplos: 3 em cada 10 → 3/10 = 30/100 2 em cada 5 → 2/5 = 40/100 1 em cada 4 → 1/4 = 25/100

→ 30 em cada 100 → 40 em cada 100 → 25 em cada 100

Outros nomes usados para uma razão centesimal são razão porcentual, índice porcentual e percentil.

Forma porcentual

x =

20 × 250 5000 = = 50 100 100 x = 50

Então, 20% de 250 dá 50.

2) 30 é igual a 20% de quanto? Solução: Da definição de porcentagem temos:

↔ 30 = 20 x 100 20 . x = 30×100

30 é 20% de x

Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se 'por cento').

x

150 = 100 × 30 = 150 20

Portanto, 30 é igual a 20% de 150.

Exemplos:

3) 21 representa quanto por cento de 15?

12 = 12% (doze por cento) 100

Solução: Da definição de porcentagem temos:

x =

Porcentagem Dados dois números quaisquer, A e B (B ≠ 0) dizemos que A é igual a p% de B quando a razão A/B for igual a p%. A é p% de B ↔

A B

21

x

↔ 15 = 100 15 . x = 21× 100

21 é x% de 15

3 = 3% (três por cento) 100


20

x

↔ 250 = 100 100 . x = 20 × 250

x é 20% de 250

=

p 100

2100 = 140 15

Logo, 21 representa 140% de 15.

Forma unitária Além da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razão porcentual a qual chamamos de forma unitária.

23 A forma unitária da razão p /100 é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por 100.

Exemplos: 23% 6% 133% 0,5%

= = = =

23/100 6/100 133/100 0,5/100

= = = =

0,23 0,06 1,33 0,005

Aumentos e reduções porcentuais Quando queremos calcular um aumento ou uma redução de p% sobre determinado valor, é comum calcular o resultado em duas etapas: 1ª – Calculamos a porcentagem p% do valor dado. 2ª – Adicionamos ou subtraímos do valor original a porcentagem encontrada, para obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado, conforme o caso desejado. Usando a forma unitária, poderemos calcular aumentos e reduções percentuais de modo mais rápido, usando um dos seguintes raciocínios:

Para calcular um aumento de p%: Quando aumentamos em p% um valor V, ficamos com (100+p)% de V. Então, basta multiplicar o valor V pela forma decimal de (100+p)% para termos o resultado desejado.

Exemplos:

1) Aumentar Aumentar o valor 230 230 em 30%. 30%.

Solução: (100+30)% = 130% = 1,30 → 230 × 1,30 = 299

2) Aumentar o valor 400 400 em 3,4%. 3,4%.

Solução: (100+3,4)% = 103,4% = 1,034 → 400 × 1,034 = 413,6

Para calcular uma redução de p%: Quando reduzimos reduzimos em p% um valor V , ficamos com (100 – p)% de V. Então, basta multiplicar o valor V pela forma decimal de (100 – p)% para termos o resultado desejado.

Exemplos: 1) Reduzir o valor 300 em 30%. 30%.

Solução: (100 – 30)% = 70% = 0,70 → 300 × 0,70 = 210

2) Reduzir o valor 400 em 2,5%.

Solução: (100 – 2,5)% = 97,5% = 0,975 → 400 × 0,975 = 390

Aumentos sucessivos: Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p1%, p 2 %, ...., p n %, de tal forma que cada um dos

aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado do aumento anterior, basta multiplicar o valor V sucessivamente sucessivament e pelas formas unitárias de (100+p1 )%, (100+p2 )%, ..... , (100+pn)% .

Exemplos: 1) Aumentar o valor valor 2.000 sucessivamente sucessivamente em 10%, 20% e 30%.

Solução: 2.000 × 1,10 × 1,20 × 1,30 = 3.432

2) Se o valor 4.000 sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual será o valor resultante?

Solução: 4.000 × 1,05 × 1,05 × 1,05 = 4.630,5

Reduções sucessivas: Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p 1%, p 2 %, ...., p n %, de tal forma que cada uma das reduções, a partir da segunda, incida sobre o resultado da anterior, basta multiplicar o valor V sucessivamente pelas formas decimais de (100 – p1)%, (100 – p2)% , ..... , (100 – p n )% .

Exemplos: 1) Reduzir o valor valor 5.000 sucessivame sucessivamente nte em 10%, 20% e 30%. Solução: 5.000 × 0,90 × 0,80 × 0,70 = 2.520 2) Se o valor valor 4.000 sofrer três reduções reduções sucessisucessivas de 5%, qual será o valor resultante? Solução: 4.000 × 0,95 × 0,95 × 0,95 = 3.429,5


1. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 26,0 0 e trazia a seguinte segu inte observação: "Não "Nã o incluímos os 10% de serviço". Calcular Calcula r, em dinheiro, os 10% de serviço e o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço.

Solução: Serviço =10% de 26,00 = 2,60 Portanto, os 10% cobrados como serviço representam R$ 2,60. Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos: 26,00 + 2,60 = 28,60 Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28,60. 28, 60.

2. Num laboratório, 32% das cobaias são brancas e as outras 204 são de cor cinza. Quantas cobaias há neste laboratório?

Solução: O total de cobaias corresponde a 100%: brancas (32%) + cinza (x%) = total (100%) 32% + x% = 100% x% = 100% – 32% = 68%


24 Então, as 204 cobaias de cor cinza são 68% do total. Chamando o total de cobaias de C, poderemos escrever: 68% de C = 204 68 × C = 204 100 204 ×100 C = = 300 68

C = 300

Portanto, há 300 cobaias no laboratório.

3. O preço de um produto A é 30% maior que o de B e o preço deste é 20% menor que o de C. Sabe-se que A, B e C custaram, juntos, R$ 28,40. Qual o preço de cada um deles?

Solução: Digamos que os preços de A, B e C são a, b e c, respectivamente: a = (100%+30%) de b = 130% de b → a = 1,3 b b = (100% - 20%) de c = 80% de c → b = 0,8 c Comparando as duas igualdades acima, temos: b = 0,8c e a = 1,3b, portanto a = 1,3 × 0,8c a = 1,04c O preço dos três, juntos, é R$ 28,40: a + b + c = 28,40 1,04c + 0,8c + 1c = 28,40 2,84c = 28,40 c = 10,00 (valor de C) b = 0,8c = 0,8 × 10 = 8,00 (valor de B) a = 1,04c = 1,04 × 10 = 10,40 (valor de A) Então, os preços são: A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10,00.

4. Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00?

Solução:

A expressão "sobre a venda" significa que o valor de referência para o cálculo porcentual do lucro, neste exercício, deverá ser o preço de venda (ao contrário do que é comum!). Portanto, Portanto , devemos fazer o preço de venda corresponder a 100%. Observe, então, o esquema: A C I T Á M E T A M

(Preço de Custo) x%

+ (Lucro) = (Preço de Venda) + 20% = 100% x % + 20% = 100% logo: x% = 80%

Então, o preço de custo (R$ 160,00) corresponde correspon de a 80% do preço de venda (V): 80% de V = 160,00 (custo) Resolvendo, nos dá: V =

160 ×100 = 200 80

O preço de venda foi de R$ 200,00

5. Para atrair fregueses, um supermercado anuncia por R$ 10,00 um determinado produto que lhe custou R$ 13,00. Determine a taxa porcentual de pre juízo sobre o preço de venda.

Solução: A expressão "sobre o preço de venda" significa que o valor de referência para o cálculo porcentual do prejuízo deverá ser o preço de venda: Observe o esquema: (Pr (Preço de Custo) to) – (Prejuízo) = (Preç reço de Venda) (100 + x) % – x% = 100% O valor do prejuízo, em dinheiro, pode ser determinado pela diferença entre os preços de custo e de venda: 13,00 – 10,00 = 3,00 Assim, podemos dizer que o prejuízo (R$ 3,00) é igual a x% do preço de venda (R$ 10,00): x% de 10 = 3 Resolvendo a expressão, encontramos: x =

100 × 3 = 30 10

O porcentual de prejuízo sobre a venda é de 30%.

EXERCÍCIOS  PORCENTAGENS

1. (CESPE/94) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário, reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi: a) 34% d) 42% b) 38% e) 45% c) 40% 2. (CESPE/94) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses é correto afirmar que: a) o valor das ações permane permaneceu ceu inalterado. inalterado. b) as ações ações desvalorizaram desvalorizaram 7,84%

25 c) as ações ações valorizara valorizaram m 7,84% 7,84% d) as ações ações desvalorizaram desvalorizaram 9,48% e) as ações ações valorizara valorizaram m 8,48% 8,48%

3. Um comerciante de veículos comercializa dois tipos de automóveis, um nacional e outro importado. Observa-se que, anualmente, as vendas dos veículos nacionais diminuem em 20% e as dos importados aumenta 20%. Em 1994, 60% do total das vendas dessa revendedora foram de carros nacionais e 40% de carros importados. Em 1996, o percentual de automóveis importados comercializados pela revendedora foi de: a) 54% d) 62,6% b) 57,6% e) 63,2% c) 60% 4. (CESPE/96) Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% dos eleitores de uma cidade votaram, para prefeito, no candidato X, 30%, no candidato Y, e os 1800 eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Não houve abstenções e os votos nulos corresponderam corresponde ram a 25% dos votos em branco. Com base na situação apresentada, assinale a opção incorreta. a) O número total de eleitores da cidade é de 4.000. b) 1.000 eleitores votaram no candidato X. c) 450 eleitores eleitores anularam anularam seus seus votos. votos. d) Houve menos votos votos brancos ou nulos nulos do que votos válidos. e) 1.200 eleitores votaram no candidato Y. Y.

5. (CESPE/96) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em janeiro de 1997, ele terá 25% de aumento aument o de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, jane iro, seja de R$1 R$1.500, .500,00. 00. Assi Assim m a emp empresa resa admi admitiutiuo com um salário de X reais. Então, X satisfaz à condição a) X < 1.1 1.100, 00,00 00 b) 1. 1.100 100,0 ,000 ≤ X < 1.170,00 c) 1. 1.17 170, 0,00 00≤ X < 1.190,00 d) 1. 1.190 190,0 ,000 ≤ X < 1.220,00 e) X ≥ 1.220,00 6. (CESPE/95) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de a) R$ 594,00 b) R$ 652,42 b) R$ 641,00 e) R$ 653,27 c) R$ 648,00 7. (CESPE/95) Em uma comunidade, somente 18% dos habitantes são a favor de certa proposta. Se 30% dos homens são favoráveis à proposta e 10% das mulheres também são favoráveis à mesma proposta, então a porcentagem de homens nessa comunidade é de a) 10% d) 40% b) 20% e) 50% c) 30%

8. (CESPE/95) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% 30 % maior, em relação ao valor praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de a) R$ 4.20 4.200, 0,00 00 b) R$ 4.620,00 c) R$ 4.700,00 d) R$ 4.820,00 e) R$ 4.900,00 9. (CESPE/96) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de a) 10 10,0% d) 37,5% b) 30,0% e) 40,5% c) 35,5% 10. (CESPE/95) (CESPE/95) O funcionário da biblioteca de uma escola comprou 10 exemplares de um mesmo livro de Matemática. O vendedor concedeu-lhe um desconto de 10% , tendo ele pago R$ 585,00 pela compra. Sex é o preço original de cada livro, em reais, então a) x < 64 64,0 ,000 b) 64,00 ≤ x < 65,00 c) 65,00 ≤ x < 66,00 d) 66 66,0 ,000 ≤ x < 67,00 e) x ≥ 67,00 11. (CESPE/95) Em 1992, 10.000 estudantes estudant es de um certo estado foram reprovados durante o 1º grau. A partir do ano seguinte, a Secretaria de Educação daquele estado iniciou o projeto: “Repetênci “Repetênciaa - vamos riscá-la de nossas escolas”, consistindo em um esforço conjunto de pais e professores para a recuperação dos alunos durante todo o ano letivo. Em decorrência dessa iniciativa, o número de estudantes reprovados diminuiu, anualmente, em 9%. Nessas condições, o número de alunos de 1º grau que foram reprovados em 1994 foi de a) 8. 8.151 d) 8.300 b) 8.200 e) 8.400 c) 8.281 12. (CESPE/95) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5% de vinte e quatro milésimos. A calculadora evidenciou como resultado a) 0, 0,012 d) 0,000012 b) 0,0012 e)0,0000012 c) 0,00012

EQUAÇÕES DO 1O E DO 2O GRAUS Equações do 1 Grau o

São todas as equações redutíveis à forma a x + b = 0 (com a ≠ 0)


26 Raiz

EXERCÍCIOS  EQUAÇÕES DE 2º GRAU

É qualquer valor para x que satisfaça a equação. Toda equação do 1o grau na forma dada acima tem uma única raiz real dada por

Nos exercícios de 1 a 5, resolva as equações do 2o grau.

2. x 2 – x –12 = 0

– b/a

EXERCÍCIOS  EQUAÇÕES DE 1º GRAU Nos exercícios de 1 a 5, resolva as equações do 1o grau.

1. 2. 3. 4. 5.

x + 3

2

− x + 2 = −1 3

1. x 2 +11 x –12 = 0 3. x 2 –9 x –36 = 0 4. – x 2 +8 x +20 = 0 5. 3 x 2 +4 x +1 = 0 6. As raízes da equação 2 x 2 +3 x –2 = 0 são a) +1 e –2. –2. b) +1 +1/2 /2 e +2 +2.. c) +1 +1/2 /2 e –2 –2.. d) –1/ –1/22 e +2. e) –1 –1/2 /2 e –2 –2..

2

1 + x 2 − x 1 − − =0 6 3 2 3 + x − (1 + x) = x − 1 2 4 3 x − 1 4 x + 2 2 x − 4 x − 5 − − = 2 4 3 6 2( x − 1) 3(1 + x) 1 x − 1 + = − 3 2 2 3

7. A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine este número. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

EQUAÇÕES DO 2O GRAU São todas as equações redutíveis à forma a x 2 + b x + c = 0 (com a ≠ 0) As equações do segundo grau na forma acima podem ter duas raízes reais diferentes, uma só ou mesmo não ter qualquer raiz real.

8. A diferença entre o quadrado e o triplo de um certo número natural é igual a 54. Esse número é a) 9. b) 8. c) 7. d) 6. e) 5. 9. As raízes de x 2 +5 x +3 = 0 são p e q e as raízes de x2 +a x +b = 0 são p 2 e q 2 . Então a + b vale a) – 10. b) + 10. c) – 18. d) + 18. e) – 9. 10. As raízes da equação x 2 –7 x + c = 0 são inteiras e consecutivas. Então o valor de c é a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16.

SISTEMAS LINEARES

Estudo das raízes da Equação do 2o Grau

É todo sistema de m equações a n incógnitas do tipo:

Dada a equação a x 2 + b x + c = 0. Seja: ∆ = b 2 – 4ac

∆ > 0 → a equação tem duas raízes reais diferentes. ∆ = 0 → a equação tem uma só raiz real*. ∆ < 0 → a equação não tem raízes reais. (*)) Quan (* Quando do ∆ = 0 pode-se dizer também que a equação tem duas raízes reais iguais ou, ainda, que ela tem uma raiz dupla.

Determinação das raízes da Equação do 2o Grau Fórmula de Báscara a x 2 + b x + c = 0 → raízes: A C I T Á M E T A M

−b± ∆ 2a

Produto das raízes: P = x1 × x2 =

x1 , x2 , ... , x n – são as incógnitas a i j – são os coeficientes das incógnitas b1 , b2 , ... , b n – são os termos independentes.

Exemplos: 1o - O sistema S 1 , abaixo, é um sistema linear com 3 equações e 3 variáveis.

Soma e Produto das Raízes

Soma das raízes: S = x1 + x2 =

onde:

−b a c a

27 2o - O sistema S 2 , abaixo, é um sistema linear com 4 equações e 3 variáveis.

determinante formado pelos coeficientes do sistema for diferente de zero.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Um sistema de equações com duas variáveis, x e y, é um conjunto de equações do tipo

ax + by = c (a, b, c ∈ R) 3o - O sistema S 3 , abaixo, é um sistema linear homogêneo com 3 equações e 3 variáveis.

ou de equações redutíveis a esta forma.

Exemplo:

R2 x − 3y = 1 S3x + 3y = 9 T Resolver um sistema significa encontrar todos os

pares ordenados ( x x; y) onde os valores de x e de y satis-

fazem a todas as equações do sistema ao mesmo tempo.

Este sistema é dito homogêneo pois todos os termos independentes são nulos.

Exemplo: No sistema indicado no exemplo anterior, o único par ordenado capaz de satisfazer às duas equações simultaneamente é

Soluções de um Sistema Linear Dizemos que um sistema de equações lineares com n incógnitas, x1, x2, x3, ... , xn , admite como solução a seqüência ordenada ( r1 , r2 , r3 , ... rn ) se, e somente se, substituindo x1 = r1 , x2 = r2 , x3 = r3 ..... xn = rn em todas as equações do sistema, elas se tornarem todas verdadeiras.

Exemplo: O sistema

(x; y) = (2; 1) Ou seja, x = 2 e y = 1

Resolução algébrica Dentre os vários métodos de resolução algébrica aplicáveis aos sistemas do 1º grau, destacamos dois: • método da adição • método da substituição Para exemplificá-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois métodos:

R2 x + y = 7 S3x + 2 y = 12 T

tem uma solução igual a (7 , 3) pois substituindo x=7 e y=3 em cada uma das duas equações do sistema teremos:

(I) (II)

A) Método da Adição 1º passo: Um sistema linear pode ter mais de uma solução e pode até não ter solução alguma. Se um sistema linear qualquer:

×( −2)→ −4x − 2y = −14 2 x + y = 7   −4x − 2y = −14 (I) ⇒ RS T 3x + 2y = 12 (II)

tem uma única solução – é chamado determinado; tem várias soluções – é chamado indeterminado; não tem solução – é chamado impossível.

Observe que a variável y tem, agora, coeficientes opostos.

Propriedades 1 - Um sistema linear homogêneo tem, sempre, pelo menos uma solução pois x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 , ... xn = 0 sempre tornará todas as equações do sistema homogêneo verdadeiras. A solução (0, 0, 0, ..., 0) é chamada solução trivial. 2 - Um sistema com n equações e n variáveis terá uma única solução (sistema determinado) se e somente se o

Mult Mu ltip ipli lica camo moss as as equ equaç açõe õess por por núm númer eros os escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar a equação (I) por –2:

2º passo:

Somamos membro a membro as equações encontradas: –4x – 2y = –14 + 3x + 2y = 12 –1x + 0 = –2


28 A variável y foi cancelada restando apenas a variável x na última equação.

3º passo:

4º passo:

Resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável: –1x = –2 x=2 O valor da variável encontrada é substituído numa das equações iniciais que contenha também a outra variável e, então, resolvemos a equação resultante: 2x + y = 7 2(2) + y = 7 4+y=7 y=7–4 y =3

5º passo:

Escrevemos o conjunto-solução: S = {(2; 3)}

B) Método da Substituição 1º passo:

2º passo:

3º passo:

Isolamos uma das variáveis em uma das equaR2x + y = 7 → y = 7 − 2x S3x + 2 y = 12 ções dadas: T a variável isolada é substituída na outra equação e, então, resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável: 3x + 2y = 12 3x + 2(7 – 2x) = 12 3x + 14 – 4x = 12 3x – 4x = 12 – 14 –1x = –2 x=2 Levamos o valor encontrado para a equação que tem a variável isolada e calculamos o valor desta: y = 7 – 2x y = 7 – 2 (2) y=7–4 y =3

4º passo:

Escrevemos o conjunto-solução:

Sistema impossível Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo 0=3 ou 2=5 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução e diremos que ele é impossível . O conjunto-solução de um sistema impossível é vazio.

Resolução gráfica Vamos considerar um sistema do 1º grau com duas variáveis e duas equações:

Rax + by = c ( r ) Smx + ny = p (s) T Cada equação do sistema representa uma reta. Cada ponto comum às retas do sistema corresponde a uma solução. Então, as pergunta-chaves são: As retas do sistema têm algum ponto em comum? Quantos? Graficamente, existirão três situações possíveis: 1º) Retas Concorrentes Se as retas forem concorrentes o sistema terá uma única solução. Será um sistema possível e determinado.

Somente um ponto coincidente.

2º) Retas Paralelas Coinci dentes Se as retas forem coincidentes o sistema terá infinitas soluções. Será um sistema possível mas indeterminado.

S = {(2; 3)}

Sistema indeterminado Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo A C I T Á M E T A M

0=0 ou 3=3 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e diremos que ele é possível mas indeterminado.

Infinitos pontos coincidentes.

3º) Retas Paralelas Distinta s Se as retas forem paralelas e distintas o sistema não terá qualquer solução. Será um sistema impossível . Nenhum ponto coincidente.

29 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU Dizemos que um sistema de equações é do segundo grau quando a sua solução envolver uma ou mais equações do segundo grau. Os sistemas do segundo grau com duas variáveis podem ser resolvidos pelo método de substituição de variáveis. Exemplos:

Rx . y = 3 Resolver o sistema S T2x – y = – 1 Solução: Isolando o y da segunda equação temos: y = 2 x + 1

2. O sistema será indeterminado se e somente se a) p = 3 e q = 15 d) p ≠ 3 e q ≠ 15 b) p = 3 e q ≠ 15 e) p ≠ 3 e qualquer que seja o c) p ≠ 3 e q = 15 valor de q. 3. O sistema será impossível se e somente se a) p = 3 e q = 15 c) p ≠ 3 e q = 15 b) p = 3 e q ≠ 15 d) p ≠ 3 e q ≠ 15 e) p ≠ 3 e qualquer que seja o valor de q. 4. O sistema será determinado se e somente se a) p = 3 e q = 15 c) p ≠ 3 e q = 15 b) p = 3 e q ≠ 15 d) p ≠ 3 e q ≠ 15 e) p ≠ 3 e qualquer que seja o valor de q. 5. Resolvendo o sistema abaixo

Substituindo o y da primeira equação pela expressão encontrada acima, teremos: x ⋅ ( 2 x + 1) = 3 2 x2 + 1 x − 3 = 0

Resolvendo as raízes desta equação do 2o grau obteremos: x = −3/2 e x = 1

encontraremos a) x = 15 b) y = 12

c) z = 15 d) x = 12

e) y = 23

6. Resolvendo o sistema abaixo

Agora, substituindo os valores encontrados para x na expressão que nos dá o y: x = −3/2 → y = 2( 2(−3/2) + 1 → y = −2 x = 1 → y = 2(1) + 1 → y = 3

Então, o sistema apresenta duas soluções distintas e o conjunto-solução do sistema tem, portanto, dois pares ordenados: S = { (−3/2 ; −2) ; (1 ; 3) }

EXERCÍCIOS  SISTEMAS LINEARES

1. Resolva os seguintes sistemas:

Rx + 2y = 1 T

a) R S

x+y=5 Tx − y = 1

e) S2 x − y = 7

x + 2y = 7 b) R Sx − 2y = 3 T

x + 3y = −4 f) R S2x − y = 6 T

x + 2y = 11 Tx − y = 5

g) R S

2 x + y = 11 T2 x − 3y = −1

h) R S

c) R S

d) R S

3 x − 7 y = 13 T4x + 5y = 3 2 x + 5y = 17 T3x − 2y = 16

Considere o sistema abaixo, nas incógnitas x e y, para responder as questões 2 a 4.

encontraremos a) x = 3 b) y = 1

c) z = 2 d) x = 1

e) y = 3

7. Dois números são tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais. O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior diminuído de 2 unidades. Então, a) o produto deles deles é igual a 300. b) cada um deles é maior que 20. c) os dois números são ímpares. d) os dois números números são pares. pares. e) a soma deles deles é igual igual a 33. 8. Numa gincana cultural cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos a cada resposta errada. Em 20 perguntas uma equipe conseguiu uma pontuação final de 44 pontos. Quantas perguntas esta equipe acertou? a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 9. Um colégio tem 525 alunos, entre moças e rapazes. A soma dos quocientes do número de rapazes por 25 e do número de moças por 30 é igual a 20. Quantas são as moças do colégio? a) 150 c) 250 e) 375 b) 225 d) 325 10. Somando-se 8 ao numerador, uma fração ficaria equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao de-


30 nominador da mesma fração, ela ficaria equivalendo a 1/2. A soma do numerador e do denominador desta fração é igual a a) 36 c) 40 e) 44 b) 38 d) 42

11. Somando-se 8 ao numerador, uma fração fica equivaequiva lendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao deno1 minador, a fração ficaria equivalente a . Qual é a 2 fração original? 12. Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os pés seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal?

tinta = $ 12, cerâmica = $ 15, louça l ouça = $ 8 e vidro = $ 9. Pergunta-se:

18. Qual dos três projetos terá o menor custo de acabamento e de quanto será este custo? 19. Se uma cooperativa construir uma vila com 3, 5 e 2 casas de projetos A, B e C respectivamente, qual será o custo total do material de acabamento? 20. Uma fábrica produz três tipos de fertilizantes para o solo, A, B e C, cada um deles contendo determinada quantidade de nitrogênio (N), de fósforo (P) e de potássio (K). A tabela abaixo mostra, em g/kg, as concentrações de N, P e K em cada tipo de fertilizante.

13. A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um número é 9. Somado com 27, totaliza outro número, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual é este número? 14 . O mago Paulo Coelho tem em seu seu “laboratório” “laboratório” algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo são 14 cabeças, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada tipo estão no laboratório? 15 . Calcular Calcular três números números tais que que a soma do 1º 1º com o 2º é 40, a soma do 2º com o 3º é 70 e a soma do 1º com o 3º é 60. 16. José Antônio tem o dobro da idade que Antônio José tinha quando José Antônio tinha a idade que Antônio José tem. Quando Antônio José tiver a idade que José Antônio tem, a soma das idades deles será 63 anos. Quantos anos tem cada um deles? 17. Uma ração para canários é composta por dois tipos de sementes, A e B. Cada uma delas contém três nutrientes importantes, x, y e z, em quantidades diferentes, conforme mostrado na tabela abaixo. A B

x 5 4

y 3 6

z 1 2

Se a ração for preparada com 2 partes par tes da semente A e 3 partes da semente B, qual a quantidade que encontraremos para cada um dos três nutrientes? Enunciado para p ara as questões 18 e 19.

Ao se compararem 3 projetos diferentes para residências, constatou-se que as quantidades utilizadas para 4 materiais de acabamento variavam de um projeto para outro de acordo com a tabela abaixo que mostra as quantidades utilizadas para cada um deles. A C I T Á M E T A M

Projeto A Projeto B Projeto C

t int as 6 8 5

cerâmicas 9 4 10

l o u ça s 4 3 2

vidros 6 5 4

Sabe-se que os custos unitários de cada material são:

N 1 2 3

A B C

P 3 3 0

K 4 5 3

Para corrigir o solo de um determinado terreno, um agricultor necessita necessita de 11g de N, 9g de P e 20g de K. Se o fertilizante A é vendido a $ 6,00 o kg enquanto B e C são vendidos a $ 1,00 o kg, determine as quantidades necessárias de A, B e C que fornecem as medidas desejadas pelo agricultor e que tenha um preço de $ 10,00.

21. (CESPE/93) Uma loja especializada em equipamentos de computação fabrica três tipos de microcomputadores: A, B e C, empregando, em cada um, componentes X, Y, Z e W, nas quantidades indicadas na tabela abaixo. A B C

X 5 7 6

Y 20 18 25

Z 16 12 8

W 7 9 5

Sabe-se que os preços, por unidade, dos componentes X, Y, Z e W são, respectivamente, $ 15.000, $ 8.000, $ 5.000 e $ 1.000. Os preços unitários unitár ios de cada tipo de micro, A, B e C, serão, respectivamente: a) $ 335.000, $ 318.000 e $ 322.000 b) $ 335.000, $ 322.000 e $ 318.000 c) $ 322.000, $ 318.000 e $ 335.000 d) $ 318.000, $ 322.000 e $ 335.000 e) $ 322.000, $ 335.000 e $ 318.000

22. (CESPE/93) Para uma construção foram pesquisados três tipos de concreto, de três diferentes fábricas, fábr icas, A, B e C. Para cada quilo de concreto, determinou-se que: I - O concreto da fábrica A tem 1 unidade uni dade de brita, 3 de areia e 4 de cimento. II - O concreto da fábrica B tem 2, 3 e 5 unidades, respectivamente, de brita, areia e cimento. III - o concreto da fábrica C tem 3 unidades de brita, 2 de areia e 3 de cimento. O concreto ideal deverá conter 23 unidades de brita,

31 25 de areia e 38 de cimento. Usando-se concreto das três fábricas, as quantidades, em kg, de cada uma delas, necessárias para se obter o concreto ideal serão, respectivamente, para A, B e C: a) 5, 3 e 2 c) 3, 4 e 5 e) 1, 5 e 3 b) 4, 4 e 2 d) 2, 3 e 5

23. As idades de quatro pessoas são tais que: a soma das três primeiras é 73 anos; a soma das três últimas é 60; a primeira somada com as duas últimas é 63; a última somada com as duas primeiras é 68. A idade da mais velha é: a) 32 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15

INEQUAÇÕES DO 1O E DO 2O GRAUS Resolver uma inequação num dado conjunto numérico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os valores de U que tornam verdadeira a inequação. Este subconjunto de U é chamado conjunto-solução ou con junto-verd junto -verdade ade da inequação.

Inequações do 1o Grau São as inequações redutíveis a uma das seguintes formas: a x + b < 0 a x + b ≤ 0 a x + b > 0 a x + b ≥ 0 a x + b ≠ 0 (todas com a > 0)

Obs.: É sempre possível multiplicar os dois lados de uma inequação por –1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequação por –1 os sinais > e < serão sempre trocados um pelo outro. Sendo a > 0 teremos: a x + b < 0 a x + b ≤ 0 a x + b > 0 a x + b ≥ 0 a x + b ≠ 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x < – b/a x ≤ – b/a x > – b/a x ≥ – b/a x ≠ – b/a

EXERCÍCIOS  INEQUAÇÕES DO 1O GRAU Nos exercícios de 1 a 5, resolva as inequações do 1o grau.

1. 2 x +16 < 0

INEQUAÇÕES DO 2O GRAU São as inequações redutíveis a uma das seguintes formas: a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c ≠ 0 (todas com a > 0)

Obs.: Se a < 0, pode-se multiplicar a inequação por –1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequação por –1 os sinais > e < serão sempre trocados um pelo outro. Sejam a > 0 e ∆ = b 2 – 4ac, tem-se:

∆ > 0 → a x 2 + b x + c será:

positiva para todo x fora do intervalo limitado pelas duas raízes; igual a zero para x igual a qualquer uma das duas raízes; negativa para todo x dentro do intervalo limitado pelas duas raízes.

∆ = 0 → a x 2 + b x + c será:

igual a zero quando x for a raiz; positiva para todos os outros valores de x.

∆ < 0 → a x 2 + b x + c será sempre positiva. EXERCÍCIOS  INEQUAÇÕES DO 2O GRAU Nos exercícios de 1 a 5, resolva as inequações do 2o grau.

1. x 2 +11 x –12 > 0 2. – x 2 + x +12 ≥ 0 3. x 2 –6 x +9 > 0 4. – x 2 –16 x –64 ≥ 0 5. 3 x 2 +42 = 0

FUNÇÕES DO 1º GRAU Função do 1º grau é aquela que associa a todo número real x, o número real ax + b (sendo a e b números reais quaisquer e a ≠ 0). Simbolicamente temos:

2. –5 x +10 ≤ 0 3. 3 x +4 ≥ 2 x +5 4. 9 x +4 > 11 x –3 5.

3 x − 6 5 x − 9 ≠ 4 6

f : R → R, sendo f(x) = ax + b; a ≠ 0

Exemplos: a) f (x) = 5x + 1 b) y = –x – 7 c) y = 8x (neste caso, como b = 0, a função é também chamada linear)


32 2. A função g : R → R, definida por g (x) = –5x, é decrescente em R.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU O gráfico da função f (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos x ou y.

y g(x) g(x) = −5x

a < b ⇒ g(a) g(a) > g(b) (b)

1º caso: a > 0 (função crescente)

g(a) g(a) = −5a g(b) g(b) = −5b

f(x) = y

0 a

b

x

Observação: Quando nada for mencionado sobre o domínio de uma função, ele será o conjunto dos números reais. EXERCÍCIOS  FUNÇÕES DO 1º GRAU x

1. Sobre o gráfico da função f(x) = -3x + 12 é correto afirmar que: a) Encon Encontra tra o eixo horizontal horizontal quando quando x = -3 b) Encontra o eixo eixo horizontal quando quando x = 4 c) Encon Encontra tra o eixo vertical vertical quando quando y = 12 d) Encontra o eixo vertical quando x = 12 e) Encon Encontra tra o eixo horizont horizontal al quando quando x = 0

O domínio de f (x) = ax + b é D(f) = R. A imagem de f (x) = ax + b é Im(f) = R. 2º caso: a < 0 (função decrescente)

2. A função do primeiro grau f(x) = ax + b encontra os eixos coordenados nos pontos (0; 20) e (-4 ; 0). Então: a) A função função f é decre decrescen scente. te. b) O valor valor de f(3) f(3) é 35. c) O valor da constante constante a desta função é igual a 5. d) O valor da constante b desta desta função é igual a 20. e) Os zeros desta desta função função são são 20 e -4.

f(x) = y

x

O domínio de f (x) = ax + b é D(f) = R. A imagem de f (x) = ax + b é Im(f) = R.

Exemplos: 1. A Função f : R → R, definida por f (x) = 5x, é crescente em R.


3. Sobre a função do primeiro grau f(x) sabe-se que f(2x + 3) = 5x + 7. Então: a) A expressão de de f em função de de x é f(x) = 5x/2 -1/2 -1/2 b) A função função f é cresc crescente. ente. c) O valor valor de f(3) é 7. d) o valor valor de f(45) f(45) é 112 112 e) O valor de f(309) f(309) é superior ao valor de f(417) 4. O preço de uma reforma que durou 5 meses foi de R$2.500,00. Outra reforma, com as mesmas características da primeira, que durou 3 meses custou R$1.540,00. Se o preço da reforma for uma função linear do tempo despendido na execução da mesma, poderemos concluir que uma reforma que dure apenas um mês e meio custará: a) R$ R$97 970, 0,00 00 b) R$ R$93 930, 0,00 00 c) R$ R$91 910, 0,00 00 d) R$ R$87 870, 0,00 00 e) R$ R$82 820, 0,00 00 5. Para que os pares (1; 3) e (3; -1) pertençam per tençam ao gráfico da função dada por f (x) = ax + b, o valor de b – a deve ser: a) 7 b) 5 c) 3 d) –3 e) –7 6. Uma função real f do 1º grau é tal que f (0) = 1 + f (1) e f (-1) = 2 – f (0). Então, f (3) é: 5 7 a) –3 b) − c) –1 d) 0 e) 2 2

33 7. Para que a função do 1º grau dada por f (x) = (2 - 3k) x + 2 seja crescente devemos ter: 2 2 2 a) k = c) k > e) k > − 3 3 3 2 2 b) k < d) k < − 3 3

Zeros (ou Raízes) de uma Função do 2º Grau Denominam-se ZEROS ou RAÍZES de uma função do 2º grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f (x) = 0. Assim, para determinar os zeros ou raízes de uma função do 2º grau devemos resolver a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

8. Um passageiro recebe de uma companhia aérea a seguinte informação em relação à bagagem a ser despachada: por passageiro, é permitido despachar gratuitamente uma bagagem de até 20kg; para qualquer quantidade que ultrapasse os 20kg, será paga a quantia de R$ 8,00 por quilo excedente. Sendo P o valor pago pelo despacho da bagagem, em reais, reai s, e M a massa da bagagem, em kg, em que M > 20, então: a ) P = 8M d ) P = 8( M – 2 0) b) P = 8M – 20 e) P = 8(M + 20) c) P = 20 – 8M

1º Exemplo: Construir o gráfico da função y = x2 – 2x – 3

Resolução: x2 – 2x – 3 = 0 ∆ = 16 (a função tem dois zeros reais diferentes)

x=

2±4 2

Rx' = 3 Sx" = −1 T

FUNÇÕES DO 2º GRAU DEFINIÇÃO A função f :R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c,co com m a , b, c reais e a ≠ 0, denomina-se função do 2º grau.

Exemplos:

a) f (x) = x2 – 4x + 3 b) y = 9 – x2 c) f (x) = –x2

Resolução Gráfica I. Toda ex expre press ssão ão do do tipo tipo ax ax2 + bx + c tem por gráfico uma parábola; II.. A concavi II concavidade dade da parábo parábola la ax ax2 + bx + c é sempre dada pelo sinal de a (coeficiente de x2); III.Toda parábola tem um ponto ao qual chamamos vértice e cujas coordenadas são sempre:

xv =

yv =

− b (média aritmética das raízes)

Observe, no gráfico, que os zeros reais da função são as abscissas dos pontos em que a parábola corta o eixo x.

2º Exemplo:

2a

Construir o gráfico da função y = –x2 + 2x – 1

−∆

Resolução:

4a

IV. O vértice pode ser: • ponto de mínimo ↔ a > 0 • ponto de máximo ↔ a < 0 V. Graficamente, Graficamente, as raízes da equação do segundo segundo grau são os pontos onde a parábola encontra o eixo x (horizontal).

–x2 + 2x – 1 = 0

∆ = 0 (a função tem um zero real duplo) 2 x' = x" = = 1 2

Exemplo:


34 ∆< 0

Observe, no gráfico, que o zero real duplo é a abscissa do ponto em que a parábola tangencia o eixo x.

y

y

−

3º Exemplo:

b 2a

eixo de simetria 0

Construir o gráfico da função y = x2 – 2x + 4

x

−∆ −∆

Resolução:

4a

v

v

4a

x2 – 2x + 4 = 0 ∆ = –12 (a função não tem zeros reais) r eais)

0

eixo de simetria

x

b

−

2a

• Conjunto Imagem da Função Quadrática Já sabemos que a função f (x) = ax2 + bx + c é definida para todo x real, ou seja, Dom = R. Usando a ordenada do vértice, vamos obter o con junto imagem imagem de uma uma função do 2º grau. Para Para isso, isso, observe os exemplos:

1º exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f (x) = x2 – 3x + 2.

Observe, no gráfico, que se a função não tem zeros reais, a parábola não encontra encontr a o eixo x.

Resolução:

Estudo das raízes da função do 2º grau Os esboços dos gráficos, nos diversos casos, são os seguintes:

∆>0 y

∆ = 1 > 0 (dois zeros reais) yv

=− ∆ =−1 4a

4

a = 1 > 0 (concavidade para cima) Esboço:

y eixo desimetria

eixode simetria

−∆

v

4a −b

2a x'

0

x''

0

x

−

x

b 2a

−∆

v

4a

A parábola, que representa o gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c, passa por um u m ponto V, V, chamado vérti-

ce , cujas coordenadas são x v

yv = −

∆ 4a

=−

b (abscissa) e 2a

(ordenada).

Observando o esboço, verificamos que:

1 4

Im = {y ∈ R / y ≥ − }

2º exemplo:

∆=0 y

Determinar o conjunto imagem da função f (x) = 5x2 + 2x – 1.

y eixo de simetria 0

x

v


Resolução: ∆ = –16 < 0 (não tem zeros reais)

yv = 0

x

eixo de simetria

−∆ = − 4 4a

5

a = – 5 < 0 (concavidade para baixo) b aixo) Esboço:

35 Então:

Se a > 0, y v

=− ∆

é o valor mínimo

Se a < 0, y v

=− ∆

é o valor máximo

4a

4a

• Intervalos de Crescimento e Decrescimento Vamos, agora, determinar os valores de x ∈ R para os quais a função do 2º grau f (x) = ax2 + bx + c é crescente ou decrescente, considerando os exemplos: 1º exemplo: Para que valores de x ∈ R a função y = x2 – 2x – 3 é: a) Crescente? b) Decrescente?

Pelo esboço, verificamos que

4 5

Im = {y ∈ R / y ≤ − }

Resolução:

Dos exemplos dados, podemos concluir que:

• Se a > 0, então Im = {y ∈ R / y ≥ − • Se a < 0, então Im = {y ∈ R / y ≤ −

∆ 4a

∆ 4a

}

∆ = 16 > 0 (dois zeros reais desiguais)

}

xv =

−b = 1 2a

Esboço:

• Valor Valor Mínimo ou Máximo da Função Fu nção do 2º Grau a) Qu Quan ando do a > 0

y 1 x

−3

Pelos esboços, você observa que a função y = ax2 + bx + c apresenta um valor mínimo

yv = −

∆ 4a

−4

, que é a ordenada or denada do vértice V.

b) Qua Quando ndo a < 0

Logo: a) f (x) é crescente para x ≥ 1 b) f (x) é decrescente para x ≤ 1

2º exemplo: Para que valores de x ∈ R a função f (x) = – x2 + 2x – 1 é: a) Crescente? b) Decrescente?

Pelos esboços, você observa que a função f (x) = ax2 + bx + c apresenta um valor máximo

yv = −

∆ 4a

, que é a ordenada do vértice v.

Resolução: ∆ = 0 (um zero real duplo)

xv =

−b 1 = 2a


36 Esboço: y 1 0

x

c) O gráfico de f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima. d) A equação f(x) = 0 terá duas duas raízes reais, reais, distintas distintas e de sinais opostos. e) O valor valor do coefic coeficiente iente b é negati negativo. vo.

4. Determine a função do 2º grau f (x) = ax2 + bx + 5 correspondente ao gráfico a seguir.

−1

y

9

v

Logo: a) f (x) é crescente para x ≤ 1 b) f (x) é decrescente para x ≥ 1 Pelos exemplos dados, podemos concluir que:

2

x

• Qu Quan ando do a > 0 f (x) é crescente para x ≥

−b 2a

f (x) é decrescente para x ≤

−b 2a

• Qu Quan ando do a < 0 f (x) é crescente para x ≤ f (x) é decrescente para

−b

5. O valor máximo da função f (x) = – 2x2 + 8x + p –2 é –1. Nestas condições, calcule o valor de p. 6. Dado o gráfico abaixo da função do 2º grau f (x) = ax2 + bx + c e sabendo-se que f (2) = 5, pede-se: a) as coordenadas do vértice; b) a imagem da função; c) para quais valores de x a função é crescente.

2a

y

−b x≥ 2a

EXERCÍCIOS  FUNÇÕES DO 2º GRAU

1. A função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c intercepta o eixo das ordenadas quando y = 12 e seus zeros são −3 e 2. Então: a) O valor valor da const constante ante c é −12. b) O gráfico de f(x) é uma uma parábola com concavidade concavidade voltada para cima. c) a soma dos coeficie coeficientes ntes de de f(x) é: a + b + c = 8. d) A soma das das raízes raízes de f(x) = 0 é 1. 1. e) O produto produto das raízes raízes de f(x) = 0 é 6. 2. Sobre o gráfico da função do Segundo grau definida por f(x) = 3x2 −24x + 45 é correto dizer que: a) Interc Intercepta epta o eixo das das ordenadas ordenadas Quando Quando y = 0 b) Tem seu ponto de mínimo mínimo Quando x = 4 c) É uma parábola parábola com concavidade concavidade voltada voltada para baixo. d) A soma dos valores de x para os quais o gráfico encontra o eixo das abscissas é −24. e) O produto dos dos valores valores de x para os quais quais o gráfico gráfico encontra o eixo horizontal é 45. A C I T Á M E T A M

3. Se a função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c é tal que os coeficientes a e c têm sinais opostos, então necessariamente: a) O gráfico de f(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo. b) A soma das raízes da equação f(x) = 0 é negativa.

−3

0

1

x

v

7. Dada a função f (x) = kx2 – 8x + 3, o valor de k para que –1 seja raiz da função é: a) –5 d) –2 b) 5 e) nenhuma das anteriores c) –11 8. (UF-MA) Sendo a função real definida por f (x) = x2 – 2, podemos afirmar que seu gráfico: a) passa pela origem; b) corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos; c) tangencia o eixo das abscissas; d) não toca o eixo das abscissas; e) nenhuma das anteriores.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Progressão aritmética (P.A.) é toda seqüência numérica na qual cada um dos termos, a partir do segundo, é

37 igual ao termo anterior adicionado de uma constante a qual chamamos razão.

Exemplos: 1o – Se o primeiro termo de uma P.A. é 8 e a razão é 3, então teremos a seguinte seqüência: (8, 11, 14, 17, 20, 23, ...). Esta é uma seqüência crescente pois os seus termos têm valores cada vez maiores. 2o – Se o primeiro termo de uma P.A. P.A. é 80 e a razão é –5, então os primeiros termos da seqüência correspondente serão: (80, 75, 70, 65, 60, 55, ...).

3 a Propriedade – Em

qualquer progressão progressão aritmética a soma dos valores de dois termos eqüidistantes dos extremos será sempre igual à soma dos valores dos dois termos extremos extr emos da P.A. P.A. a1 + an = a1+k + an– k

Exemplo de Aplicação: Determine o valor da soma dos oito termos da P.A. P.A. (2, 5, 8, ..., 23).

Solução:

Esta é uma seqüência decrescente pois os seus termos têm valores cada vez menores.

Propriedades das Progressões Aritméticas 1 a Propriedade – Se k é o número de “passos” necessários para nos levar de um termo qualquer an até o termo an+k numa P.A. P.A. de razão razã o r, então a diferença entre os valo-

res destes dois termos será igual a k×r. an+k – an = k× r

Exemplo de Aplicação: Na seqüência aritmética (3, 8, 13, 18, 23, ... ) qual será o valor do trigésimo termo? t ermo?

Solução: A razão da seqüência aritmética é 5, como é fácil percebermos. Poderíamos, então, continuar a seqüência, até o 30o termo, simplesmente fazendo sucessivas adições de 5. Entretanto será mais rápido, neste caso, raciocinarmos assim: O número de “passos” do 5o termo (a5 = 23) até o 30o termo é 30 – 5 = 25 passos. Então, usando a 1a propriedade, teremos: a30 – a5 = 25× r a30 = a5 + 25× r a30 = a5 + 25×5 a30 = 23 + 125 a30 = 148

– Numa seqüência aritmética, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética dos dois termos imediatamente vizinhos a ele. 2 a Propriedade

an = (an–1 + an+1) ÷ 2

Exemplo de Aplicação: Determine o valor de x na seqüência (3x+1, 2x+10, 4x+13, ...) de modo que esta seja uma P.A.

Solução: O segundo termo será a média aritmética do 1o e do 3o termos (termos vizinhos): (a1 + a3) ÷ 2 = a2 (3x+1 + 4x+13) ÷ 2 = 2x+10 (7x+14) ÷ 2 = 2x+10 7x+14 = 4x+20 7x – 4x = 20 – 14 3x = 6 x = 2

S = 2+5+8+11+14+17+20+23

Vamos adicionar adicion ar às oito parcelas parcela s que compõem a soma outras oito parcelas, iguais às oito parcelas originais, mas tomadas na ordem inversa. Isso nos dará o dobro do valor da expressão original: S

2×S = 2 + 5 + 8 + 11 11 + 14 1 4 + 1 7 + 2 0 + 23 23 + 23 + 20 + 1 17 7 + 1 4 + 11 11 + 8 + 5 + 2

Observe os pares de valores alinhados verticalmente. Todos os oito apresentam a mesma soma, pois são valores eqüidistantes dos extremos na P.A. P.A. original: origi nal: 2 + 23 25

5 + 20 25

8 + 17 25

.... ....

23 +2 25

Assim, podemos concluir que: 2×S = 8×25 S = 8×25 ÷ 2 S = 100

Por raciocínio análogo, pode-se mostrar que: A soma de n valores em P.A. é sempre igual a n vezes a média aritmética dos dois valores extremos desta P.A. P.A. ou de dois outros que sejam eqüidistantes dos extremos.

EXERCÍCIOS  PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1. Imagine os números inteiros de 1 a 6 000, escritos na disposição que se vê abaixo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...... Onde o número nove, por exemplo, encontra-se na 2a linha e na 3a coluna. Nestas condições, julgue os itens a seguir. a) O número número 5000 estará estará na na 833a linha e na 2a coluna. b) O número número que se encontra encontra na na 3a coluna da 500a linha é 2997. c) Toda Todass as 1000 linhas linhas são progressões aritméticas com 6 termos cada. d) Toda Todass as 6 colunas são progressões aritméticas de razão igual a 6. (5)) A posição de coluna que um determinado número (5 ocupa pode ser descrita como uma função do resto de divisão deste número por 6.


38 2. Sobre as seqüências aritméticas pode-se dizer que: a) Se o val valor or do do 5o termo é 43 e a razão é 3 então o valor do 18o termo é 82. b) Se os valo valores res do 4o e do 16o termos são, respectivamente, 12 e 96, então a razão é 7 e, conseqüentemente, o valor do 1o termo será −9. c) A soma dos 30 primeiros primeiros números ímpares positivos é 900. d) O números de múltiplos de 7 compreendidos compreendidos entre 15 e 150 é 19. e) Se a som somaa do 3o com o 37o termos de uma certa seqüência aritmética é igual a 478, então a soma do 12o com o 28o termos desta mesma seqüência é maior que 478. 3. Numa P.A., sabe-se que a soma do 5 o termo com o 7o termo é igual a 32. Então, a) o primeiro termo é negativo. b) o oitavo termo vale mais que 16. c) a razão é 4. d) o sexto termo vale 16. e) o quarto termo vale menos que 16.

Propriedades das Progressões Geométricas

– Se k é o número de “ passos passos” necessários para nos levar de um termo qualquer an até um termo an+k numa seqüência geométrica de razão q, então o quociente entre os valores destes dois termos será: 1 a Propriedade

an+k ÷ an = q k

Exemplo de Aplicação: Na seqüência geométrica (3, 6, 12, ... ) qual será o valor do décimo termo? Solução: A razão da P.G. P.G. é 2. Poderíamos, então, continuar a seqüência até o 10o termo, fazendo sucessivas multiplicações por 2. Entretanto será mais rápido, nesse caso, raciocinarmos assim: O número de “passos” do 3o termo até o 10o termo é 10 – 3 = 7 passos. Então, usando usando a 1a propriedade, teremos: a10 ÷ a3 = q10 – 3 a10 = a3 × q7 a10 = a3 × 27 a10 = 12 × 128 a10 = 1.536

4. Os números 1, (3x+1) e (4x–2) formam, nesta ordem, uma P.A. P.A. Então, Ent ão, a razão raz ão desta P.A. é a) –9/2. b) –3/2. c) –1/2. d) –3. e) –9. 5. Entre os números 50 e 130 existem, ao todo, p múltiplos de 3. O valor de p é a) 25. b) 26. c) 27. d) 28. e) 29. 6. A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada pela expressão S n = 3 n 2 – n. Então o 3o termo desta P.A. vale a) 24. b) 20. c) 14. d) 8. e) 2. 7. A soma de todos os múltiplos de 7 compreendidos ente 10 e 90 é a) 490. b) 539. c) 546. d) 700. e) 749. 8. A soma dos n primeiros números pares positivos é sempre igual a a) n 2. c) n 2 – n. e) 2 n. 2 b) n + n. d) 3 n.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

2 a Propriedade – Qualquer termo numa P.G. , a partir

do segundo, tem seu valor absoluto igual à média geométrica dos dois termos imediatamente vizinhos a ele.

Exemplos: 1o – Se o primeiro termo de uma P.G. P.G. é 3 e a razão é 2, temos a seguinte seqüência : (3, 6, 12, 24, 48, ...). Esta é uma seqüência crescente pois os seus valores são cada vez maiores. A C I T Á M E T A M

a n−1 × an +1

Exemplo de Aplicação: Na seqüência (8, x, 18, ... ) os valores são todos positivos. Determine o valor de x de modo que esta seqüência seja uma P.G. P.G.

Solução: O valor absoluto (módulo) do segundo termo será a média geométrica do 1o e do 3o termos (termos vizinhos): a2 x

=

a1 × a3

= 8 × 18 = 144 = 12 x

P.G.) é toda seqüência nuProgressão geométrica ( P.G. mérica na qual cada um dos termos, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante não nula a qual chamamos razão.

=

an

= 12 ⇒ x = ±12

Como os valores da seqüência devem ser todos positivos, apenas x = +12 servirá como resposta.

Atenção: x = –12 também nos daria uma P.G. P.G. cuja razão seria –3/2 (verifique). Teríamos, então, uma P.G. alternante (termos positivos e negativos alternados). – O produto dos valores dos dois extremos de uma P.G. P.G. qualquer será sempre igual ao produto de dois valores eqüidistantes dos extremos: 3 a Propriedade

a1 × an = a1 + k × an – k

2o – Se o primeiro termo de uma P.G. é 80 e a razão é 1/2 , então os primeiros termos da seqüência correspondente serão: (80, 40, 20, 10, ...).

Exemplo de Aplicação:

Esta é uma seqüência decrescente pois os seus valores são cada vez menores.

Numa P.G. P.G. de 20 termos, o produto produto do primeiro termo pelo último é igual a 1.248. Qual o valor do produto do 6 o termo pelo 15o termo?

39 Solução: Na P.G. dada os extremos são o 1o e o 20o termos. O 6o e o 15o termos são eqüidistantes do 1o com o 20o. Isto pode ser verificado facilmente fazendo:

6. Os números 1+ x , 2+ x e x +(7/2) formam, nesta ordem, uma P.G. Então o valor de x é a) 4. b) 3. c) 2. d) 1. e) 1/2.

1 + 20 = 21 e 6 + 15 = 21

7. Na P.G. P.G. (1, 2, 4, ...), .. .), a soma dos 10 primeiros pri meiros termos termo s é igual a a) 511. b) 1.023. c) 2.047. d) 4.095. e) 8.191.

Assim, pela 3a propriedade, o produto pedido será também igual a 1.248.

8. Na P.G. P.G. (2, – 4, 8, – 16, ....), a soma dos 10 primeiros termos é a) – 682. b) + 682. c) + 628. d) – 628. e) + 826.

Soma de n termos em P.G. Dados n termos em e m P.G. P.G. (a1, a2, a3, .... , an), com razão igual a q, o valor da soma destes n termos , isto é: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an é igual a: Sn

n = a1 ⋅ q −1 q −1

Soma-limite de infinitos termos em P.G. O limite da soma S∞ = a1 + a2 + a3 + ..., onde as parcelass estão em P.G. parcela P.G. de razão q, 0< q <1, é: S∞

=

a1

1− q

EXERCÍCIOS  PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

1. Sobre as seqüências geométricas pode-se dizer que: a) Se a razão razão de uma seqüência geométrica é maior que 1 então ela será crescente. b) Se a razão de uma seqüência geométrica geométrica é menor que 1 então ela será decrescente. c) O limite da soma dos infinitos infinitos termos termos da seqüência seqüência geométrica (1; 0,9; 0,81; 0,729; ...) é 10. d) Se o 3o e o 7o termos de uma seqüência geométrica são, respectivamente, 4 e 64, então o valor do 8o termo desta mesma seqüência é 128. e) Na seqüência geométrica (0,008; (0,008; ....; 25) o total de termos é 6. 2. O 3o e o 6o termos de uma P.G. P.G. valem, respectivamente, respect ivamente, o 1 e 27. O 1 termo desta P.G. é a) – 1/9. c) – 1/3. e) + 1/27. b) + 1/9. d) + 1/3. 3. Numa P.G. crescente, o 2o e o 3o termos somam 4/3, enquanto o 2o e o 4o termos somam 10/3. A razão é a) 1/3. b) 1/2. c) 2. d) 3. e) 4. 4. Numa P.G., o 4o termo é 20% do 3o termo. Sabendo-se que o 1o termo vale 2.000, o valor do 5o termo é a) 20/3. b) 18/7. c) 16/5. d) 14/5. e) 12/7. 5. Numa P.G. P.G. onde o produto do 3o termo pelo 7o é igual a 60, é certo que a) a soma soma do do 3o com o 7o termo será 120. b) o produt produtoo do 2o pelo 8o termos será 60. c) a som somaa do 2o com o 8o termo será 60. d) o produt produtoo do 1o pelo 9o termos será 30. e) a som somaa do 3o com o 7o termo será 60.

9. O limite da soma 18 + 6 + 2 + .... é a) 54. b) 36. c) 48. d) 36.

e) 27.

PRINCÍPIOS DE CONTAGEM Princípio Multiplicativo (P (P.M.) .M.) Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se, para cada uma das m maneiras possíveis de ocorrência de A, um segundo acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B é m × n .


1. De quantas maneiras diferentes se pode formar um casal, composto por um rapaz e uma moça, escolhidos escolhido s aleatoriamente entre os 5 rapazes e as 4 moças que compõem um grupo? Solução: ACONTECIMENTOS

Nº DE OCORRÊNCIAS

A : Escolha de um rapaz B : Escolha de uma moça

5 4

Logo, pelo P.M., teremos: 5 ⋅ 4 = 20 maneiras.

2. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no sistema de numeração decimal? Solução: ACONTECIMENTOS

Nº DE OCORRÊNCIAS

A : Escolha do algarismo da s d e z e n a s

9, pois o zero não pode ocorrer nas dezenas

B : Escolha do algarismo d a s u n i d a de s

9, pois o algarismo da s u n i d a d e s deve ser diferente do das dezenas

Logo, pelo P.M., teremos: 9 ⋅ 9 = 81 números.


40 3. Quantos números ímpares e de dois algarismos distintos podem ser formados no sistema de numeração decimal?

4 × 8 = 32 números pares não terminados em zero.

Solução: ACONTECIMENTOS

Nº DE OCORRÊNCIAS

5, pois servem A : Escolha do algarismo das un u nidades somente 1, 3, 5, 7 ou 9 8, pois o algarismo B : Escolha do algarismo da s d e z e na s d a s de z e na s n ã o pode ser zero, nem repetido das unidades Logo, pelo P.M., teremos:

4. Quantos números pares e com dois algarismos distintos podem ser formados no sistema de numeração decimal? Solução: Se o número terminar em zero, então existirão 9 maneiras de escolher o algarismo das dezenas: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ou 9 Mas se o número não terminar em zero, então sobrarão apenas 8 maneiras de escolher o algarismo das dezenas, pois um dos algarismos pares da lista apresentada acima já terá sido usado na casa das unidades. Temos, portanto, dois casos a considerar:

Caso A: Números pares terminados terminados em zero: ACONTECIMENTOS

Juntando os dois resultados encontrados, podemos concluir que o total de números pares formados por dois algarismos distintos é: 9 + 32 = 41 números.

5. Três pessoas devem acomodar-se numa fila de 5 cadeiras. Considerando-se que todas as posições possíveis são distintas entre si, de quantas maneiras podem as três pessoas acomodar-se? Solução:

5 ⋅ 8 = 40 números.

Nº DE OCORRÊNCIAS

A : O algarismo das unidades é zero.

1

B : Escolha do algarismo das dezenas

9

Logo, pelo P.M., teremos: 1 ⋅ 9 = 9 números pares terminados em zero.

Caso B: Números pares não terminados em zero:


Logo, pelo P.M., teremos:

ACONTECIMENTOS

Nº DE OCORRÊNCIAS

A : Escolha do algarismo d a s u n id a d e s

4, pois será 2 , 4, 6 ou 8

B : Escolha do algarismo d a s de z e na s

8, pois o algarismo d a s d e z e na s n ã o pode ser zero, nem repetido das unidades

ACONTECIMENTOS

Nº DE OCORRÊNCIAS

A : A pr prim imei eira ra pe pess ssoa oa escolhe uma cadeira vaga.

5, po pois is tod todas as as ca cade deir iras as ainda estão vagas.

B : A se segunda pe pessoa escolhe uma c a de i r a v a g a .

4, pois uma das 5 cadeiras já está ocupada, restando 4 vagas.

C: A terceira pessoa escolhe uma c a d e ir a v a g a .

3, p oi s d u a s d a s 5 cadeiras já estão ocupadas, restando 3 vagas.

Logo, pelo P.M., teremos: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 maneiras.

Combinações Considere um conjunto qualquer com n elementos n ≥ 1). distintos ( n Chamamos de co mb i na çã o a cada um dos subconjuntos possíveis com p elementos, 0 ≤ p ≤ n escolhidos entre os n elementos que pertencem ao conjunto considerado. É importante notar que uma combinação é sempre um subconjunto. Portanto, ao trocarmos a ordem dos seus elementos, ela permanecerá inalterada.


1. Quantos subconjuntos distintos e com 3 elementos podem ser formados com os elementos do conjunto Solução:

C = {a, b, c, d, e}? e }?

Usando o princípio multiplicativo, sabemos que o número de maneiras de escolhermos uma seqüência de três elementos quaisquer dentre os 5 considerados, é: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 maneiras

41 Entretanto, como a or de m dos elementos nos os altera , acabamos contando, no subconjuntos não os altera cálculo acima, 3 × 2 × 1 = 6 vezes cada um dos subconjuntos procurados, pois as seqüências abc, acb, cab, cba, bac e bca dão o mesmo subconjunto {a,b,c}. Sendo assim, o número de subconjuntos com 3 elementos será: 60 ÷ 6 = 10 subconjuntos. 2.

De quantos modos é possível formar uma comissão de 4 alunos escolhidos dentre os 10 que se encontram numa sala ?

Solução: Como a ordem em que os alunos são escolhidos não altera a comissão formada por eles, o problema é de combinações combina ções. 1) Seqüências de 4 alunos escolhidos entre os 10 possíveis: (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7) seqüências 2) Nas seqüências acima, cada comissão de 4 alunos foi contada: (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) vezes 3) Então, é possível formar a comissão de 4 alunos de: (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7) ÷ (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 210 maneiras

EXERCÍCIOS  SISTEMAS DE CONTAGEM

1. Maurício quer trocar o vale-presente que ganhou num amigo secreto e a loja informou que ele pode optar por um CD ou por um livro. Entre as opções estão 5 CDs e 6 livros pelos quais Maurício interessou-se. De quantas maneiras distintas poderá resultar a escolha de Maurício? a) 11 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30

ches, 5 tipos de bebidas e 3 tipos de sobremesas, então o total de pedidos possíveis para o lanche de Míriam e Bruna, juntas, será: a) 18.000 b) 8.100 c) 196 d) 90 e) 28

5. Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra p alavra PROV PRO VA? a) 15 b) 20 c) 24 d) 60 e) 120 6. Quantos anagramas da palavra PROVA PROVA começam com uma consoante e terminam com uma vogal? a) 36 b) 24 c) 12 d) 8 e) 6 7. Uma placa de licenciamento é formada por três letras seguidas de três dígitos. Tanto as letras quanto os dígitos podem ser repetidos numa placa. Todas as 26 letras podem ser usadas em qualquer uma das três posições de letras, mas nas posições posições dos dígitos não é permitido que uma placa tenha os quatro dígitos iguais a zero. Assim, por exemplo, são permitidas placas como AAA 9009 e PAR PAR 2468, entre tantas tant as outras, mas não são permitidas placas como CAR 0000 e HEL 000. Nessas condições o total de placas diferentes que podem ser feitas pode ser calculado corretamencorr etamente como: a) 263×94 b) 263×(104 -1 -1)) c) (26×25×24×23 23))×(1 (100×9×8×7) 3 d) 26 ×(1 (100×9×8×7) e) (26×25×24×23 23))× 94 8. Observe o esquema abaixo para responder o que se pede:

2. Cínthia pretende comprar um CD e um livro para presentear a seus dois filhos. Se entre as opções que a loja lhe oferece estão 5 CDs e 6 livros que lhe interessaram, de quantas maneiras poderá resultar a compra pretendida? a) 11 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30

Considere que somente seja permitido mover-se para cima sobre as linhas verticais ou para a direita nas linhas horizontais. Então, o total de maneiras possíveis de se ir do ponto A até o ponto B é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3. Para viajar da cidade A para a cidade B, uma pessoa deve decidir se vai com um dos três automóveis da empresa em que trabalha, ou se vai de ônibus, utilizando uma das três companhias que fazem o trajeto pretendido, ou se vai de avião utilizando uma das quatro empresas aéreas que oferecem vôos da cidade A para a cidade B. Nestas condições, de quantas maneiras diferentes esta pessoa poderá decidir sobre a condução que irá tomar para viajar? a) 36 b) 24 c) 21 d) 10 e) 9

9. De um grupo de 8 pessoas, 3 serão sorteadas recebendo prêmios distintos. Quantos resultados distintos existem para este sorteio? a) 12 b) 24 c) 56 d) 336 e) 563

4. Miriam e Bruna vão fazer um lanche e cada uma delas deve escolher um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. Se a lanchonete oferece 6 tipos de sanduí-

10. De um grupo de 8 pessoas, 3 serão sorteadas recebendo prêmios idênticos. Quantos resultados distintos existem para este sorteio? a) 24 b) 56 c) 64 d) 336 e) 643 11. Se 20 pessoas presentes numa festa de ano-novo brindarem entre si batendo suas taças de champanhe, quantas vezes as taças serão batidas ao todo? a) 190 b) 210 c) 380 d) 570 e) 3.610


42 12. De quantas maneiras é possível formar uma equipe composta por dois homens e duas mulheres escolhidos dentre os integrantes de um grupo onde se encontram 5 homens e 6 mulheres? a) 600 b) 360 c) 300 d) 270 e) 150 13. Quantos triângulos é possível formar unindo-se três tomados entre nove pontos marcados em uma circunferência? a) 240 b) 120 c) 60 d) 30 e) 15 14. Quantas diagonais possui um octógono regular? a) 56 b) 40 c) 28 d) 20 e) 15 15. Decompondo o número número 600 em seus fatores primos, 3 1 obtemos 2 ×3 ×52. Quantos divisores positivos distintos tem, então, o número 600? a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 60 Observe a figura abaixo para responder a próxima questão:

Espaço Amostral (S) Embora não se possa determinar exatamente o resultado de um experimento aleatório, freqüentemente é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para o experimento. Esse conjunto é chamado deespaço amostral ou conjunto universo do experimento aleatório.

Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face superior: S = { cara, coroa } b) Lançar dois dados e observar a soma dos números das faces superiores: S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } c) Extrair ao acaso uma bola de uma urna que contém 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas amarelas (A) e 6bolas brancas (B), e observar a cor: S = { V, V, A, B } Freqüentemente, é possível descrevermos o espaço amostral de um experimento aleatório de mais de uma maneira.

Evento Evento é qualquer um dos subconjuntos possíveis de um espaço amostral. É costume indicarmos os eventos por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, ...., Z. Pode-se demonstrar que se um espaço amostral tiver n elementos, então existirão 2 n eventos distintos associados a ele.

16. A figura A representa um pequeno tabuleiro de Xadrez com somente 9 casas e indica a posição em que se encontra o rei. A figura B representa os únicos movimentos que o rei pode fazer para deslocar-se deslocar- se pelo tabuleiro de uma casa para outra. Quantos caminhos distintos existem levando o rei da posição em que ele se encontra até a casa marcada com um X ? a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

Exemplo: O espaço amostral associado ao lançamento de uma moeda é S = {cara, coroa}. Como esse espaço amostral tem dois elementos, existirão 22 = 4 eventos associados a ele: ∅, {cara}, {coroa}, {cara,coroa}. Observe que o primeiro e o último eventos indicados são, respectivamente, o conjunto vazio e o próprio espaço amostral. Evento Elementar

NOÇÕES DE PROBABILIDADE Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo quando repetidos em idênticas condições, podem produzir resultados diferentes. As variações de resultado são atribuídas a uma multiplicidade de causas que não podem ser controladas às quais, em conjunto, chamamos de acaso.


Exemplos: a) O resultado do lançamento de uma moeda (cara ou coroa). b) A soma dos números encontrados no lançamento de dois dados. c) A escolha, ao acaso, de 20 peças retiradas de um lote que contenha 180 peças perfeitas e 15 peças defeituosas. d) O resultado do sorteio de uma carta de um baralho com 52 cartas.

Um evento é chamado elementar sempre que possuir um único elemento (conjunto unitário).

Evento Certo Evento certo é aquele que compreende todos os elementos do espaço amostral. Se A é um evento certo, então A = S.

Evento Impossível Evento impossível é aquele que não possui elementos. Se A é um evento impossível, então A = ∅.

Ocorrência de um Evento Dizemos que um evento A ocorre se, e somente se, ao realizarmos o experimento aleatório, o resultado obtido pertencer ao conjunto A. Caso contrário, dizemos que o evento A não ocorre.

43 Evento União

Probabilidade de um Evento

Dados dois eventos, A e B de um mesmo espaço amostral, então A ∪ B ( lê-se “A união B” ou ainda “A ou B” ) também será um evento, chamado evento união, e ocorrerá se, e somente se, se,

Seja A um evento qualquer de S, define-se a probab probabiilidade do evento A, e indica-se P(A), da seguinte forma:

A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem.

Evento Intersecção Dados dois eventos, A e B, então A ∩ B ( lê-se “A interseção B” ou ainda “A e B” ) também será um evento, chamado evento interseção, e ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. simultaneamente.

Eventos Mutuamente Exclusivos

Evento Complementar Dado um evento A, então A ( lê-se “complemento de A” ou “não-A” ) também será um evento, chamado evento complementar de A, e ocorrerá se, e somente se, A não ocorrerr. re O conjunto A compreende todos os elementos de S que não pertencem ao conjunto A: S–

A

Distribuição de Probabilidades Consideremos um espaço amostral com n elementos: S=

II. Se A ≠ ∅, então P(A) = P(e1) + P(e2) + .... + P(ei), para todo ei ∈ A. Exemplo: Seja S = {e1 , e2 , e3 , e4} um espaço amostral com a seguinte distribuição de probabilidades: p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,1 e p4 = 0,4. Nestas condições, qual será a probabilidade de ocorrência do evento A={ e1 , e3 }? Solução:

P(A) = P(e1 ) + P(e3 ) P(A) = 0,2 + 0,1 P(A) = 0,3

Se A e B são dois eventos tais que A ∩ B = ∅, então A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. Esta denominação decorre do fato de que uma vez que a interseção de A com B seja vazia não será possível que ocorram ambos simultaneamente, isto é, a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência do outro.

A=

I. Se A = ∅, então P(A) = 0.

{e1 , e2 , e3 , ... , en}

A cada um dos eventos elementares { ei } de S será associado um número, p pi, chamado probabilidade do even even-to { ei }, satisfazendo as seguintes condições:

I. 0 ≤ pi ≤ 1 para todo i. II. Σ ( p pi) = p1 + p2 + ....+ pn = 1. Dizemos que os números p1 , p2 , .... pn definem uma distribuição de probabilidades sobre S. De fato, procuramos sempre definir cada uma das probabilidades pi de modo que coincidam com o limite a que tenderia a freqüência relativa relati va (fr) de cada elemento correspondente, ei , quando o número de repetições do experimento crescesse ilimitadamente ilimitadamente.. Numa amostra, as freqüências relativas representam estimativas de probabilidades probabilidades..

Espaço Amostral Eqüiprovável Dizemos que um espaço amostral S = {e1 , e2 , e3 , .... , en} é eqüiprovável se a ele estiver associada uma distribuição de probabilidades tal que:

p1 = p2 = p3 ....= pn

Normalmente, decidimos que um espaço amostral é eqüiprovável a partir da observação de certas características do experimento.

Exemplos: 1. O lançamento de um dado com a observação do número da face superior é descrito por um espaço amostral eqüiprovável. 2. Já o lançamento de dois dados com observação da soma dos números das faces superiores pode ser eqüiprov provável, ável, descrito por um espaço amostral não eqüi S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }, pois a probabilidade de que a soma seja 7 é maior do que a probabilidade de que a soma seja 12, por exemplo.

Sempre que possível, devemos procurar descrever os experimentos aleatórios por espaços amostrais eqüiprováveis, pois isso facilita a análise de diversos problemas.

Probabilidade de um Evento num Espaço Amostral Eqüiprovável Se S = { e1 , e 2 , e 3 , .... , en} é um espaço amostral eqüiprovável e A é um evento qualquer de S, então a probabilidade de ocorrência de A será: n ° de elementos de A P(A) = n ° de elementos de S Na prática, contamos o número de elementos de A como o número de casos favoráveis ao evento A e contamos o número de elementos de S como o número de casos possíveis.

Exemplo: Um dado é lançado e observamos o número na face


44 superior do mesmo. Qual é a probabilidade de o número obtido ser par?

Solução: Espaço amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Evento: Ocorrência de um número par = { 2, 4, 6 } P(A) =

n° de casos favoráveis = 3 = 0,5 ou seja: 50%. n ° de casos possíveis 6

Esta última igualdade também é usada para verificarmos a independência de dois eventos.

Exemplos: 1. Considere o espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4 } e os eventos A={2, 3} e B={3, 4}. Mostre que os eventos A e B são independentes.

Solução: Se A e B são independentes, então:

Propriedades das Probabilidades

T-1. P(S) = 1 T-2. A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) T-3. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) T-4. A∩B = ∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) T-5. P( A ) = 1 – P(A) Probabilidade Condicional Dados dois eventos, A e B, com B ≠ ∅. Denotamos por P(A/B) a probab probabilidade ilidade de ocorrência de A dado que B tenha ocorrido (ou que a ocorrência de B esteja garantida). A probabilidade condicional pode ser calculada como:

P(A B) =

P(A ∩ B) = num. de elementos de A ∩ B P(B) num. de elementos de B

Lembrando que a última igualdade na expressão acima só será válida quando o espaço amostral for eqüiprovável.

Exemplo: Qual é a probabilidade de conseguirmos um número menor que 4 no lançamento de um dado, sabendo que o resultado é um número ímpar? Solução:

Como a igualdade foi satisfeita, A e B são independentes.

2. Em uma urna temos 6 bolas brancas e 4 bolas com pretas. São retiradas retiradas duas bolas, uma após a outra, com reposição. Qual é a probabilidade de as duas retiradas resultarem em bolas brancas? Solução: 6 3 A = { a 1ª bola é branca }, P(A) = = 10 5 B = { a 2ª bola é branca } Como houve a reposição da primeira bola retirada da urna, a probabilidade de que a segunda bola seja branca, após a retirada da primeira bola, não será afetada pela ocorrência de A. P(B/A) = P(B) =

3 5

Isso significa que os eventos A e B são independentes. Portanto, teremos: A∩B = { as duas bolas são brancas }

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Evento: A = { resultado menor que 4 } = { 1, 2, 3 } Condição: B = { ocorrer número ímpar } = { 1, 3, 5 } A ∩ B = { 1, 3 }

  2   P ( A ∩ B )  6  2 P ( A / B ) = = = P ( B )   3   3  6 

Eventos Independentes

Se a probabilidade de ocorrência de um evento A não é alterada pela ocorrência de outro evento B, dizemos que A e B são eventos independentes. A C I T Á M E T A M

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) 1/4 = 2/4 . 2/4 1/4 = 4/16 1/4 = 1/4

P(A/B) = P(A) ⇔ A e B são independentes. Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B será: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) 3 3 9 P ( A ∩ B) = ⋅ = 5 5 25 Teorema de Bayes Sejam A1, A2, A3, ...., An , n eventos mutuamente exclusivo tais que sua união seja S. A1∪A2∪A3 ... ∪An = S Se B é um evento qualquer de S, nas condições anteriores, então pode-se calcular a probabilidade condicional de Ai dado B como: P ( Ai / B) =

P ( Ai

∩ B)

P ( B )

=

P ( Ai ∩ B )

P ( A1 ∩ B) + P( A2

∩ B) + .... + P( An ∩ B )

Exemplo: Um conjunto de 15 bolas, algumas vermelhas e outras azuis, foi distribuído entre duas caixas de modo que a caixa I ficou com 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, enquanto a caixa II ficou com 2 bolas vermelhas e 8 bolas

45 azuis. Uma das caixas é escolhida ao acaso e dela sorteiase uma bola. Se a bola sorteada é vermelha, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa I?

Solução: I = {a caixa escolhida é a I}→ P( I ) = 1/2 e II = {a caixa escolhida é a II}→ P( II ) = 1/2 P(I∩V) = P( I ) ⋅ P( V / I) = 1/2 ⋅ 3/5 = 3/10 P(II∩V) = P( II ) ⋅ P( V / II) = = 1/2 ⋅ 1/5 = 1/10 V = { a bola retirada é vermelha }, P(V) = P(I∩V) + P(II∩V) =3/10 + 1/10 = 2/5 P( I / V ) =

P( I ∩ V ) P(V )

=

3 10 3 10

+ 101

=

(103 ) 3 = (104 ) 4

A probabilidade de que a caixa escolhida tenha sido a I é igual a 3/4 = 75%.

EXERCÍCIOS - NOÇÕES DE PROBABILIDADE

1. Uma pesquisa indicou que 20% dos indivíduos de um

certo grupo apoiam as idéias do senador X. Esta mesma pesquisa revelou também que 30% dos indivíduos deste grupo são liberais e que 40% dos que são liberais apoiam as idéias do senador X. Com base nos resultados desta pesquisa, julgue os itens abaixo: a) A probabilidade probabilidade de que um indivíduo indivíduo deste deste grupo, escolhido ao acaso, seja um liberal que apóia as idéias do senador X é 0,12. b) A probabilidade de que um indivíduo deste grupo, escolhido ao acaso, não seja um liberal mas apóie as idéias do senador X é 0,08. c) A probabilidade probabilidade de que um indivíduo indivíduo deste deste grupo, escolhido ao acaso, seja um liberal que não apóia as idéias do senador X é 0,48. d) A probabilidade probabilidade de que um indivíduo indivíduo deste grupo, escolhido ao acaso, não seja um liberal dado que ele apóie as idéias do senador X é menor que a probabilidade de que este indivíduo apóie as idéias do senador X dado que ele seja um liberal. e) A probabilidade probabilidade de que um indivíduo indivíduo deste deste grupo, escolhido ao acaso, seja um liberal ou não apóie as idéias do senador X é maior que a probabilidade probabil idade de que este indivíduo não seja um liberal ou apóie as idéias do senador X.

2. Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço

amostral. Sejam ainda P(A) = 0,3 e P(B)= 0,4 as probabilidades dos eventos A e B, respectivamente. Nestas condições julgue os itens abaixo: a) Se os eventos eventos A e B forem independentes, independentes, então a probabilidade de ocorrência de A ou B será 0,58. b) Se A e B forem disjuntos, disjuntos, ou seja, A∩B = ∅, então A e B serão eventos independentes. c) A probabilidade probabilidade de ocorrência ocorrência de A ou B será igual a 0,6 somente se a probabilidade de ocorrência de A dado que B tenha ocorrido for igual ig ual a 0,25.

d) A probabilidade de ocorrência de B mas não de A é igual a P(B) − P(A) = 0,1. e) Para que A e B sejam eventos independentes, com A ≠ ∅ ≠ B, é necessário que A∩B ≠ ∅ mas isto não é suficiente.

3. A respeito do lançamento de dois dados equilibra-

dos, sendo um deles verde e o outro vermelho, considere os seguintes eventos: A: a soma dos pontos obtidos é igual a 8; B: os pontos obtidos nos dois dados são iguais; C: a soma dos pontos obtidos é igual a 10; D: obtém-se mais pontos no dado verde que no dado vermelho; E: os pontos obtidos no dado verde são o dobro dos obtidos no dado vermelho. Sejam P(X) a probabilidade de ocorrência de um evento X e P(X/Y) a probabilidade de ocorrência de X dado que Y tenha ocorrido. Nestas condições julgue os itens seguintes: a) P(A P(A/B) /B) > P(B/ P(B/A). A). b) P(C P(C/D) /D) = 1/15. 1/15. c) P( P(C/ C/E) E) = 0 d) P( P(D/ D/E) E) = 1 e) P(A P(A/D) /D) = 2/1 2/15. 5.

4. Sejam A e B dois eventos quaisquer do espaço amostral S e seja ∅ o evento impossível. Julgue os itens abaixo:

a) A e S são necessariamente independentes. b) A e B são eventos independentes se e somente se P(A e B) = P(A)×P(B). c) ∅ e S são independentes. d) Se A e B são possíveis possíveis e independentes independentes então A∩ B ≠ ∅. e) A e B são possíveis possíveis e independente independentess se e somente somente se ocorrem as igualdades P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B).

5. Numa comunidade 10% dos indivíduos adultos são de

classe A, 20% são de classe B e os restantes são de classe C. Na classe A 70% dos indivíduos adultos são possuidores de um automóvel com menos de dois anos de uso. Para um indivíduo adulto da classe B este porcentual é de 40%, enquanto na classe C somente 10% dos indivíduos adultos possuem um automóvel nas mesmas condições. Todos os indivíduos pertencem a uma e somente uma das três classes citadas: A, B ou C. a) Se um indivíduo indivíduo adulto adulto desta comunidade comunidade for escoescolhido ao acaso, a probabilidade probabil idade de que ele possua um automóvel com menos de dois anos de uso é 0,22. b) Se um indivíduo indivíduo adulto desta comunidade comunidade for escoescolhido ao acaso, a probabilidade de que ele possua um automóvel com dois ou mais anos de uso é 0,78. c) Se um indivíduo adulto desta comunidade comunidade for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele seja da classe C e não possua um automóvel com menos de dois anos de uso é 0,63. d) Se um indivíduo adulto desta comunidade comunidade for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele pertença à classe A ou possua um automóvel com menos de dois anos de uso é 0,25.

6. Num jog jogoo com um dado, dado, o joga jogador dor X ganh ganhaa se tirar tirar,, no seu lance, um número maior ou igual ao conseguido pelo jogador Y. A probabilidade de X ganhar é: a) 1/2 b) 2/3 c) 7/12 d) 19/36 e) 3/4


46 7. Um dado dado é lan lançad çadoo e o númer númeroo da face face super superior ior é observado. Se o resultado for par, a probabilidade dele ser maior ou igual a 5 é de: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 8. As chanc chances es de obterm obtermos, os, em dois lança lançamento mentoss conconsecutivos de um dado, resultado igual a 6 somente em um dos dois lançamentos, são de: a) 1 para 12 d) 5 contra 13 b) 20% e) 30% c) meio a meio

Medir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza da mesma natureza, tomada como unidade de medida. Para exemplificar, vejamos na tabela seguinte apenas as mais comuns entre as unidades decimais de medidas. NATUREZA DA GRANDEZA

NOME DA UNID IDA ADE FUNDAMENTAL DE MEDIDA

SÍMBOLO

comprimento

metro

m

superfície

metro quadrado

m2

9. A probabilidade de ocorrência de A ou B é: a) 5/12 b) 1/2 c) 7/12 d) 2/3 e) 3/4

volume (capacidade)

metro cúbico litro

m3

10. Qual é a probabilidade de ocorrência de não-A, isto é, a probabilidade de ocorrência de algo que não seja o evento A ? a) 5/12 b) 1/2 c) 7/12 d) 2/3 e) 3/4

massa

grama

g

Para responder às questões 9 a 12, considere as seguintes informações. A e B são dois eventos de um certo espaço amostral tais que P(A) = 1/3 , P(B) = 1/2 e P(A e B) = 1/4.

l

11. Qual a probabilidade de ocorrência de A dado que B tenha ocorrido? a) 1/2 b) 7/12 c) 2/3 d) ¾ e) 4/5

Atenção: os símbolos são sempre invariáveis . Portanto, não mudam para indicar plural, nem admitem outras formas de escrita. Exemplos: estão certos: 20m, 30l, 16g estão errados: 20mts, 30lts, 16grs

12. Qual a probabilidade de que ocorra A mas não ocorra B? a) 1/4 b) 1/3 c) 5/12 d) 1/12 e) 1/24

Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais de medidas decimais

13 . Uma urna I contém contém 2 bolas vermelha vermelhass e 3 bolas brancas e outra, II, contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Sorteia-se uma urna e dela retira-se, retir a-se, ao acaso, uma bola. Qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha e tenha vindo da urna I ? a) 1/3 b) 1/5 c) 1/9 d) 1/14 e) 1/15

Para tornar mais cômodas as expressões de valores muito grandes ou muito pequenos em relação ao valor da unidade fundamental de uma grandeza, podemos indicar o valor da grandeza medida utilizando um múltiplo ou um submúltiplo da unidade fundamental. Os múltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1000, etc. vezes maiores que a unidade fundamental. Cada múltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondente correspondent e que são justapostos ao nome e ao símbolo da unidade fundamental, respectivamente.

14 . Considere Considere 3 urnas, urnas, contendo contendo bolas vermelhas vermelhas e brancas com a seguinte distribuição: Urna I : 2 vermelhas e 3 brancas Urna II : 3 vermelhas e 1 branca Urna III : 4 vermelhas e 2 brancas Uma urna é sorteada e dela é extraída uma bola ao acaso. A probabilidade de que a bola seja vermelha é igual a: a) 109/180 c) 9/15 e) 17/45 b) 1/135 d) 3/5

15. Numa equipe com três estudantes, A, B e C, estima-se que a probabilidade de que A responda corretamente uma certa pergunta é igual a 40%, a probabilidade de B fazer o mesmo é 20%, enquanto a probabilidade de êxito de C, na a mesma tarefa, é de 60%. Um destes estudantes é escolhido ao acaso para responder à pergunta. Qual a probabilidade de que a resposta esteja correta? a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% A C I T Á M E T A M

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

16. No problema anterior, considere que a pergunta foi feita a um dos três estudantes e este a respondeu corretamente. Qual é a probabilidade de que o estudante tenha sido B? a) 25% b) 33,3% c) 40% d) 66,7% e) 80%

quilo = k hecto = h deca = da unidade fundamental

Os submúltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1.000, etc. vezes menores que a unidade fundamental. Cada submúltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondentes que são justapostos ao nome e ao símbolo da unidade uni dade fundamental, respectivamente.

47 unidade fundamental

Assim sendo, o deslocamento da vírgula para a direita será de duas casas:

deci = d

6,78dm = 6 78, mm

centi = c

2 casas

mili = m

Ou seja, 6,78dm representam o mesmo que 678mm.

I. Medidas de comprimento A unidade fundamental das medidas de comprimento é o metro.

2º) Converter 65.300dm para hectômetros. 65.300dm = 65 300 hm ,

Os múltiplos do metro são: decâme decâ metr troo (dam (dam)) 1dam = 10m

hectôm hect ômet etro ro (hm (hm)) 1 hm = 100m

qui uillôm ômeetr troo (k (km) 1 km = 1000m

A menor unidade (dm) está à esquerda. Então, a vírgula será deslocada para a esquerda.

Os submúltiplos do metro são: decímetr troo (d (dm) 1dm = 0,1m

centím ímeetro (c (cm m) 1cm = 0,01m

Dos decímetros para os hectômetros , na “escada” dos múltiplos e submúltiplos, mudamos de unidade 3 vezes:

milímetro (mm) 1mm = 0,001m

Conversão entre unidades de comprimento Comparando os múltiplos e submúltiplos do metro, verificamos que cada um deles é 10 vezes maior ou 10 vezes menor que as unidades imediatamente vizinhas a eles.

Exemplo:

Assim, o deslocamento da vírgula para a esquerda será de três casas:

1km = 10hm = 100dam = 1.000m = ... . .. e 1mm = 0,1cm = 0,01dm = 0,001m = ... Assim sendo, se quisermos trocar a unidade em que uma medida de comprimento está representada por qualqual quer outra, poderemos usar a seguinte regra prática: A vírgula sempre se desloca para o lado da menor das duas unidades consideradas, sendo uma casa para cada vez que mudarmos do nome de uma unidade para o nome da unidade vizinha.

Exemplos: 1º) Converter 6,78dm para milímetros. Para usar a regra prática, precisamos montar uma igualdade que começará sempre pela unidade dada e terminará sempre pela unidade desejada: 6,78dm = ....? mm A unidade menor (mm) está à direita. Então, a vírgula será deslocada para a direita: 6,78dm = 6 78 mm

, Ao descer a “escada” dos submúltiplos indo de decímetros para milímetros mudamos de unidade duas vezes:

65.300dm = 65,300hm Ou seja: 65.300dm representam o mesmo que 65,3hm.

Atenção:

Para efetuar qualquer operação entre medidas de uma mesma grandeza, devemos ter todas as medidas numa mesma unidade.

Exemplo: Qual é o perímetro, em metros, de um terreno retangular que tem 0,75hm de comprimento por 305dm de largura?

Solução: 0,75hm = 75m (comprimento) 305dm = 30,5m (largura) perímetro (soma das medidas dos lados):

per = 75m + 30,5m + 75m + 30,5m = 211m Portanto, o perímetro do terreno é de 211m.

II. Medidas de massa A unidade fundamental das medidas de massa é o grama (g). Nos enunciados das questões de provas de


48 concursos é bastante comum encontrarmos o uso incorreto da palavra peso como sinônimo de massa. Os múltiplo do grama são: deca de cagr gram amaa (da (dag) g) hect hectog ogra rama ma (h (hg) g) quil quilog ogra ram ma (kg (kg)) 1d a g = 1 0g 1 hg = 10 0 g 1kg = 1.000g

O metro cúbico Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico são: são : 3 decâmetro cúbico (dam ) 1 dam3 = 1.000m3 hectômetro cúbico (hm3) 1hm 1h m3 = 1.000.000m3

Os submúltiplos do grama são: decig dec igra ram ma (d (dgg) 1dg = 0,1g

cen enti tiggra ram ma (c (cg) g) 1cg = 0,01g

miligrama (mg) 1mg = 0,001g

Conversão entre unidades de massa As conversões entre duas unidades quaisquer de massa são feitas do mesmo modo que as conversões entre unidades de comprimento que vimos anteriormente.

Exemplos:

quilômetro (km3) 1km 1k m3 = 1.000.000.000m3 (Cada múltiplo é 1.000 vezes maior que o anterior.) decímetro cúbico (dm3) 1dm3 = 0,001m3 centímetro cúbico (cm3) 1cm3 = 0,000.001m3

1º) Converter 2.630cg para hg.

milímetro cúbico (mm3) 1mm 1m m3 = 0,000.000.001m3

º

(Cada submúltiplo é 1.000 vezes menor que o anterior.)

º º º

2.630cg = 0,2630 hg = 0,263hg 4 casas

III. Medidas de volume Freqüentemente, o metro cúbico é apresentado como unidade fundamental das medidas de volume, apontando-se o litro como unidade fundamental das medidas de capacidade. A diferença é feita por motivos meramente didáticos, uma vez que as transformações entre os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico têm comportamento bem diverso das transformações entre os múltiplos e submúltiplos do litro, como veremos adiante. Além disso, 1 metro cúbico é 1000 vezes maior que 1 litro. Entretanto, volume e capacidade indicam grandezas de mesma natureza e devem ser entendidas como palavras sinônimas.

Conversão entre múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Como cada múltiplo ou submúltiplo do metro cúbico é 1.000 vezes maior ou 1.000 vezes menor que aqueles imediatamente vizinhos a ele, poderemos usar a seguinte regra prática para as conversões. A vírgula sempre se desloca para o lado da menor das duas unidades consideradas, sendo três casas para cada vez que mudarmos do nome de uma unidade para o nome da unidade vizinha.

Exemplos: 1º) Converter Converter 68.32 68.320dm 0dm3 para decâmetros cúbicos.

Solução: De decímetros cúbicos para decâmetros cúbicos mudamos de unidade duas vezes: os expoentes nos lembram que devemos deslocar a vírgula 3 casas para cada "degrau": (2 degraus) x (3 casas) = 6 casas

O litro Os múltiplos e submúltiplos do litro são: decalitro (dal) 1dal = 10l decilitro (dl) 1dl = 0,1l A C I T Á M E T A M

hectolitro (hl) 1hl = 100l centilitro (cl) 1cl = 0,01l

quilolitro (k (kl) 1kl = 1.000l mililitro (ml) 1ml = 0,001l

Observe que cada múltiplo ou submúltiplo do litro é 10 vezes maior ou 10 vezes menor que aqueles imediatamente vizinhos a ele. Assim, para converter uma medida de volume de um múltiplo ou submúltiplo qualquer do litro para outro, podemos aplicar a mesma regra prática que vimos para a conversão entre medidas de comprimento.

68.320dm3 = 0,068.320 dam3 = 0,06832dam3 6 casas 2º)) Converter 2º Converter 0,0003 0,00032m 2m3 para milímetros cúbicos.

Solução: De metros cúbicos para milímetros cúbicos descemos três “degraus”:

49 Solução:

(3 degraus) x (3 casas) = 9 casas

De km2 para m2 são 3 “degraus”. (3 degraus) × (2 casas) = 6 casas 0,32 km2 =

0,00032m = 0.000.320.000,mm = 320.000mm 3

3

3

m2= 320.000 m2

6 casas Foi preciso acrescentar mais quatro “zeros” para completar as seis casas necessárias.

9 casas

Obs.: As casas casas que faltaram faltaram para 9 foram complet completadas adas com zeros enquanto os zeros que sobraram à esquerda do número, antes da vírgula, foram eliminados.

CORRESPONDÊNCIAS ENTRE UNIDADES DE MEDIDAS

IV.. Medidas de superfície IV supe rfície

I. Unidades de volume

A unidade fundamental das medidas de superfície é o metro quadrado. Os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado são:

Freqüentemente, são exploradas nas questões de concursos as seguintes equivalências entre unidades de volumes:

mú ltip los

decâmetr troo quadr quadrado ado:: 1 dam2 = 100 m2  decâme hectômetro quadrado: 1 hm2 = 10.000 m2  quil ômetro ro quadr quadrado: ado: 1 km2 = 1.000.000 m2  quilômet

decímetr decím etroo qu quadr adrado ado:: 1 dm dm2 = 0,01 m2  subm su bmúl últi tipl plos os  ce cent ntím ímet etro ro qu quad adra rado do:: 1 ccm m2 = 0,000.1 m2 milí líme metr troo quad quadra rado do:: 1 mm2 = 0,000.001 m2  mi

Cada múltiplo ou submúltiplo do metro quadrado é 100 vezes maior ou 100 vezes menor que aqueles imediatamente vizinhos a ele. Regra prática para transformações: A vírgula sempre se desloca para o lado da menor unidade, sendo duas casas para cada “degrau”.

1m3 = 1kl

1dm3 = 1l

1cm3 = 1ml

Atenção: Como as equivalências acima mostram correspondência de 1 para 1 entre unidades de mesma natureza (volumes), as grandezas equivalentes deverão, nestes três casos, ser usadas como sinônimas . Portanto, dizer 32 dm3 é rigorosamente o mesmo que dizer 32l; dizer 470 ml é exatamente o mesmo que dizer 470 cm3; 2 kl é o mesmo que 2 m3.

Exemplo:

Um reservatório tem o formato de paralelepípedo e suas dimensões são 2m, por 3m por 5m. Determine a capacidade deste reservatório em litros.

Solução: Exemplos: 1º)) Converter 1º Converter 23.450 23.450 dm2 para decâmetros quadrados.

Solução: De dm2 para dam2 mudamos de unidade duas vezes: dam

2

m

2

dm

2

Os expoentes nos lembram que devemos deslocar a vírgula 2 casas para cada degrau: (2 degraus) x (2 casas) = 4 casas

23.450 dm2 =

dam2 = 2,345 dam2 4 casas

2º) Converter 0,32 km2 em metros quadrados.

Se transformarmos as três dimensões dadas para decímetros, obteremos o volume diretamente em decímetros cúbicos (e sabemos que dm3 = l): 2m = 20 dm 3m = 30 dm 5m = 50 dm

  

Volume = 20×30×50 = 30.000 dm3

Portanto, a capacidade do reservatório é de 30.000 l.

II. Unidades de volume e de massa Quando se propõe alguma correspondência entre a massa de uma substância e o seu volume, admite-se que elas são diretamente proporcionais entre si. Sendo assim, diremos que: Se 10m3 de uma substância pesam 4.000kg, então, 5m3 da mesma substância pesarão 2.000kg e 20m3 da mesma substância pesarão 8.000kg.


50 A razão constante entre a massa e o volume correspondente de uma substância é chamadadensidade da substância.

densid densidade ade = Exemplo:

massa volume

Para determinarmos qual é a densidade da substância discutida linhas acima, basta calcular a razão entre a massa e o volume correspondente:

densidade =

4.000 kg 3 3 = 400 kg / m 10 m

III. O caso especial da água Para a água pura e sob condições especiais de temperatura e pressão (temperatura de 4°C e pressão de 1 atmosfera), vale a seguinte correspondência:

1 litro de água pesa 1kg Esta correspondência também é a base de muitas questões de concursos públicos, embora as condições necessárias de temperatura e pressão raramente sejam lembradas.

Exemplo: Um aquário tem o formato de um paralelepípedo e suas dimensões são 60 cm de largura, 40 cm de altura e 30 cm de comprimento. Quantos quilogramas o aquário pesará depois que estiver cheio d’água se, vazio, ele pesa 3 kg?

Solução: Como cada kg de água corresponde a 1l, devemos determinar a capacidade do aquário em litros: 60cm = 6dm  40cm = 4dm volume = 6×4×3 = 72dm3 = 72l  30cm = 3dm  72l de água pesam 72 kg. Portanto, o peso do aquário mais a água nele contida é: 3kg + 72kg = 75kg

IV. Medidas não-decimais A C I T Á M E T A M

Medidas de tempo De maneira geral, os múltiplos e submúltiplos das medidas de tempo não se relacionam por fatores de 10, 100, 1.000, etc. Cada uma das medidas de tempo relaciona-se com as

outras por fatores que dependem da medida considerada, conforme veremos: 1 segundo (1s) = subdivide-se em décimos, centésimos, etc. 1 minuto (1 min) = 60 s 1 hora (1 h) = 60 min 1 dia = 24 h 1 semana = 7 dias 1 mês = 30 dias (mês comercial) 1 ano = 12 meses = 360 dias (ano comercial) Outras unidades de tempo freqüentemente utilizadas são: 1 quinzena = 15 dias 1 decêndio = 10 dias 1 bimestre = 2 meses 1 trimestre = 3 meses 1 quadrimestre = 4 meses 1 semestre = 6 meses 1 biênio = 2 anos 1 triênio = 3 anos 1 qüinqüênio = 5 anos 1 década = 10 anos 1 século = 100 anos 1 milênio = 1000 anos

EXERCÍCIOS  SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

1. Transformando corretamente 234,68 dam para decímetros, obtemos: a) 2, 2,3468 d) 23.468 b) 23 23,468 e) 234.680 c) 2. 2.34 346, 6,88 2. Transformando corretamente 340 cm para hectômetros, obtemos: a) 0, 0,0034 d) 3,4 b) 0,034 e) 34 c) 0,34 3. Transformando corretamente 5,43 km para decâmetros, obtemos: a) 54 54.300 d) 0,543 b) 5.430 e) 0,0543 c) 543 4. O hodômetro existente no painel de certos automóveis marca a quilometragem com cinco dígitos escritos em cor branca e mais um dígito, localizado à direita di reita dos outros cinco, em cor vermelha. Alguém observou que este dígito vermelho não parece marcar o número de quilômetros rodados. Então, rodando um trecho de certa rodovia, comparou a mudança dos dígitos no hodômetro com as placas de sinalização de quilometragem localizadas no acostamento da rodovia, e percebeu que o dígito vermelho mudava dez vezes a cada quilômetro percorripercorr ido. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a) o dígito vermelho vermelho marca o número de hectômetros percorridos. b) o terceiro dígito branco, branco, a partir da direita, marca marca o número de quilômetros percorridos. c) o segundo dígito dígito branco, branco, a partir do dígito vermevermelho, marca o total de decâmetros percorridos

51 d) o dígito vermelho vermelho marca a velocidade velocidade em hectômehectômetros por hora. e) a maior quilometragem que este hodômetro pode mostrar é igual a 999.999 km.

5. Numa operação da polícia rodoviária planeja-se colocar aparelhos de radar móvel a cada 12.500 metros. Contando o número de aparelhos de radar disponíveis concluiu-se que seria possível distribuí-los de tal modo que o primeiro aparelho ficaria na marca do quilômetro 65 e o último, na marca do quilômetro 140. Nestas condições, é correto afirmar que a) a distância entre entre o primeiro aparelho aparelho e o penúltimo penúltimo será igual a 75.000 m. b) o comprimento total desta rodovia é de 140km. c) serão necessár necessários, ios, ao todo, 6 aparelhos aparelhos de radar móvel. d) se rodarmos um trecho de 50 km dentro do trecho coberto pelos radares móveis encontraremos cinco radares móveis. e) o número de aparelhos de radar móvel necessário necessário para cobrir o trecho planejado é 7. 6. Dois patrulheiros, que não dispõem de aparelho de radar móvel, pretendem controlar a velocidade dos motoristas num determinado trecho de uma rodovia. Assim sendo, eles decidem ficar a uma certa distância um do outro, comunicando-se pelo rádio sobre qualquer veículo suspeito de trafegar com excesso de velocidade. Dependendo da distância entre os dois patrulheiros e do tempo gasto pelo veículo para cobrir a distância entre eles, poderão estimar qual a velocidade desenvolvida pelo veículo no trecho escolhido. A velocidade máxima permitida no trecho tr echo escolhido é de 80 km/h e, para não haver dúvidas sobre o excesso de velocidade, os patrulheiros resolvem que autuarão todos os veículos cuja velocidade ultrapasse em 12,5% a velocidade máxima permitida no trecho controlado e somente estes veículos. Nessas condições, é correto afirmar que: a) Se a distância distância entre entre os dois patrulheir patrulheiros os for de 3 km e se um veículo levar 2 minutos e quinze segundos para cobrir todo o trecho entre eles, então este veículo será autuado. b) Se um veículo veículo cobrir quase todo o trecho entre entre os dois patrulheiros patrulheir os a 110 km/h, mas passar diante de cada um deles a 75 km/h, este veículo não poderá ser autuado. c) A menor distância distância que que deve existir existir entre os dois dois patrulheiros é de 90 km. d) Se a distância entre os patrulheiros for maior ou igual a 1500 metros, eles deverão multar todos os veículos que levem menos de um minuto para cobrir o trecho entre eles. e) Quant Quantoo maior for a distância distância entre os dois patrupatrulheiros, maior será a margem de erro no cálculo da velocidade. 7. Um trecho retilíneo retilí neo de uma estrada é indicado em um mapa por uma linha de 3,2 cm de comprimento. Cada centímetro representado neste mapa corresponde a uma distância real de 15 km. A distância real do trecho indicado é a) 4.800 metros. d) 480 quilômetros b) 48.000 metros. e) 4.800 quilômetros c) 480 480.00 .0000 metros metros..

8. Transformando corretamente 42,336 dam2 para decímetros quadrados, obtemos a) 42. 42.336 336.0 .000 00 dm2 . d) 42.336 dm2 . 2 b) 4.2 4.233. 33.600 600 dm . e) 4.233,6 dm2 . c) 42 423. 3.36 3600 dm2 . 9. Transformando corretamente 52.336 dam2 para quilômetros quadrados, obtemos a) 5, 5,23 2336 36 km2 . d) 523,36 km2 . b) 0,5 0,523 2336 36 km km2 . e) 5233,6 km2 . 2 c) 52 52,3 ,336 36 km . 10. Transformando corretamente 0,0486 hm2 para decímetros quadrados, obtemos a) 4, 4,86 86 dm2 . d) 4860 dm2 . b) 48 48,6 ,6 dm2 . e) 48600 dm2 . 2 c) 48 486, 6, dm . 11. Um terreno de forma retangular tem 2,4 dam de perímetro. A diferença entre a medida do lado maior e a do lado menor é de 0,02 hm. Nestas condições, pode-se concluir que a área deste terreno, em metros quadrados, é igual a a) 0,035. d) 35. b) 0,35. e) 350. c) 3,5. 12. Se os lados de um terreno retangular encontram-se na proporção de 3 para 4 e se a área deste terreno é igual a 48 m2, então a medida do maior de seus lados, em decímetros, é a) 800. d) 0,8. b) 80. e) 0,08. c) 8. 13. Transformando corretamente 6 hm3 para decâmetros cúbicos, obtemos a) 60. d) 60.000. b) 600. e) 600.000. c) 6. 6.00 000. 0. 14. Transformando corretamente 82 dm3 para decâmetros cúbicos, obtemos a) 0,000082. d) 0,082. b) 0, 0,00082. e) 0,82. c) 0, 0,00 0082 82.. 15. Transformando corretamente 6,473 quilolitros para decilitros, obtemos a) 0,0006473. d) 6.473. b) 0,006473. e) 64.730. c) 64 647, 7,3. 3. 16. Transformando corretamente 0,96 mililitros para decalitros, obtemos a) 9.600. d) 0,000096. b) 96 960. e) 0,0000096. c) 96. 17. Corresponde corretamente corretamente a 0,3 m3: a) 300.0 300.000 00 centil centilitros itros b) 3.000 deci decilitros litros c) 3.00 3.0000 decímetros decímetros cúbicos. cúbicos. d) 3.000.00 3.000.0000 centímetros centímetros cúbicos cúbicos e) 30 3000 metr metros os


52 18. Transformando corretamente 0,06 hm3 para litros, obtemos a) 60.000. d) 600.000.000. b) 6.000.000. e) 6.000.000.000. c) 60. 60.00 000.0 0.000. 00. 19. Um veículo faz, em média, 12 km por litro de combustível. Mantendo esta média de consumo, o número de decilitros que este veículo gastará para rodar 1.000 km será, aproximadamente, igual a a) 833. d) 8,3. b) 83. e) 83.333. c) 8. 8.33 333. 3. 20. Os 25 metros cúbicos de combustível que se encontram em um reservatório devem ser usados para completar os tanques de combustível num certo número de viaturas. Se cada uma das viaturas necessitar, em média, de 40 litros de combustível para ter seu tanque completado, o número máximo de viaturas cujos tanques poderão ser completados com o combustível do reservatório será a) 6. d) 6.250. b) 62 62.500. e) 625. c) 62. 21. Um caminhão que pesa, vazio, 8.000 kg está transportando uma carga de 125 caixas de papelão, cada uma delas contendo 40 latas de abacaxi em conserva. Sabendo que estas latas têm peso unitário igual a 800 g e que as caixas de papelão na qual estão acomodadas pesam 1,6 kg cada, quanto pesam o caminhão e sua carga juntos? a) 12 1 26 ton d) 12,2 ton b) 1, 1,22 ton e) 12, 6 ton c) 1, 1,26 26 ton ton 22. Um caminhão tanque está transportando 12,6 metros cúbicos de combustível. Sabe-se que a densidade deste combustível é de 0,8 grama por mililitro. Quanto pesa este caminhão e sua carga, juntos, se o caminhão vazio pesa 10 toneladas? a) 10.850 kg d) 20.080 kg b) 11.080 kg e) 25.750 kg c) 16 16.7 .750 50 kg

POLÍGONOS

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 . . . . 40 50 60 70 80 90 100 1000

Nota: Todos os registros encontrados em Novo Dicionário Aurélio, 1 a edição, 4a reimpressão, de 1975.

NOMES PARTICULARES DE ALGUNS POLÍGONOS Nome Genérico


Nome do polígono triângulo, trígono, trilátero quadrilátero, te tetrágono, quadrângulo p ent ág o no hexágono h ept ág o no o c t ó go n o, o c t á g o n o e ne á g o n o , n o ná g o n o dec ág on o he n d e c á g o no , u n d e c á g o n o dod ecág on o tr i d e c á g o n o t e t r a d ec á g o n o pen tadecág ono

Nomes Particulares Equilá Equ iláter teroo

NOMENCLATURA DOS POLÍGONOS

No de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

he x a d e c á g o n o h eptad ecágono o ctadecágono n on adec ágo no icoságo no h en d ec os ág o no d o co s á g o no tricoságono tet rac oságo no p en t ac os ág on o he x a c o s á g o n o h ep t ac os ág on o o ct ac osá go no n o n ac o sá go n o t r i a c on t á g on o he n t r i a c o n t á g o n o d o t r i a c o n t á g o no tritriacontágono . . . . t e t r ac o n t á g o n o pen t aco nt ágo no hexacontágono hep t aco nt ágo no oct aco nt ágo no n on ac on t ág on o he ctág on o q u il ió g o n o

Triângulo

tern te rnos os con congr grue uent ntes es ((60 60 o)

Isós Is ósce cele less

Dois Do is la lado doss co cong ngru ruen ente tess

Esca Es cale leno no

Três Tr ês la lado doss com com me medi dida dass dis disti tint ntas as

Retâ Re tâng ngul uloo Obtusâng Obtu sângulo ulo Traapé Tr pézi zioo Parale Par alelog logram ramoo

Polígono

Três Tr ês la lado doss cong congru ruen ente tess e trê trêss ângu ângulo loss inin-

ou Equiân Equiângul guloo

Acutâng Acut ângulo ulo

Quadrilátero

Características

Os tr três ês ân ângu gulo loss int inter erno noss Agu Agudo doss (< (< 9900 o) Um ân ângu gulo lo in inte tern rnoo é ret retoo (9 (900 o) Um ân ângu gulo lo in inte tern rnoo é Ob Obtu tuso so (> 90 o) Um pa parr de la lado doss pa para rale lellos Doiss pare Doi paress de de lado ladoss para paralel lelos os

Retâ Re tâng ngul uloo

Quat Qu atro ro âng ângul ulos os int inter erno noss reto retoss (90 (90 o)

L os os an an go go

Quatro la lados co congruentes

Quadra Qua drado do ou Qu Quad adri rilá láte tero ro regular

Quat Qu atro ro la lado doss con congr grue uent ntes es e qua quatr troo âng ânguulos int intern ernos os reto retos. s.

Políg Po lígon onoo regul regular ar

Todos os lados Todos lados congruentes congruentes e todos todos os ângulos internos congruentes

53 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição É dada uma correspondência entre dois triângulos. Se os ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes proporcionais, então a correspondência é chamada uma semelhança e os triângulos se dizem semelhantes.

Demonstração

RAK$ L ≅ AB$ C (teor. fund. paralelismo) || ↔ ↔ a) KL / / BC BC ⇒ SAL$ K ≅ AC$ B |Â |T Com isso, satisfazemos a 1ª condição de semelhança: ângulos correspondentes congruentes. b) Como conseqü conseqüência ência do Teorem Teoremaa de Tales Tales AK AL = (1) AB AC ↔

Representação

∆ABC ~ ∆A' B' C',' , então Â ≅ Â'; B$ ≅ B$ ; C$ ≅ C$ ' e AB = BC = AC = k (razão d e semelhança) A' B' B' C' A' C'

↔

c) Pelo Pelo ponto ponto L const construí ruímos mos LR / / AB e, novamente, pelo Teorema de Tales, podemos escrever: AC BC = mas BR ≅ LK AL BR (KLRB é paralelogramo) então: AC BC = AL KL

(2)

AC BC AB = = ficando satisAL KL AK feita a segunda condição de semelhança.

d) De (1) (1) e (2) ⇒

Propriedades (Reflexiva), (simétrica) e (transitiva).

e) De a) e d) concluímos concluímos que os triângulos triângulos são semesemelhantes.

TEOREMA FUNDAMENTAL

Casos ou Critérios de Semelhança

Dado um triângulo ABC, se construírmos uma reta paralela a um dos lados e interceptarmos os outros dois lados em pontos distintos, então construímos um segundo triângulo semelhante ao anterior. Seja o ∆ABC e a reta determinada pelos pontos K e

1° Caso: (AA~)

F ↔ I L ⋅ G J . H KLK

Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos correspondentes congruentes.

R∆ABC e ∆A' B' C' | Hip. S Â ≅ Â' | B$ ≅ B$ ' T Tese: {∆ABC ~ ∆A' B' C'

RK↔L / / B↔C | ↔ |↔ Hip. SKL ∩ AB = {K} |↔ ↔ |KL ∩ AC = {L} T Tese: {∆AKL ~ ∆ABC }

Demonstração Vamos supor, para efeito de demonstração, que o ∆ ABC tenha seus lados maiores que ∆ A' B' C' . a) Marqu Marquemos emos K ∈ AC tal que AK AK ≅ A' C'. ↔ b) Const Construímo ruímos, s, pelo pelo ponto ponto K, a reta r / / BC , obtendo-se L na intersecção com o lado AB .


54 c) Pelo teore teorema ma fundam fundamental ental,, teremo teremoss ∆ ABC ~ ∆ ALK . d) Po Porr out outro ro la lado do,,

AL$ K ≅ AB$ C ≅ A' B$ ' C' e AK$ L ≅ AC$ B ≅ A' C$ ' B (por paralelismo e pela hipótese).

e pelo critério LAL, o triângulo AKL é côngruo ao triângulo A’B’C’.

Logo:

∆ABC ~ ∆AKL ∆AKL ~ ∆A' B' C'

Assim, pelo critério LAA0, teremos ∆ AKL ≅ ∆ A' B' C' .

U V ⇒ ∆ABC ~ ∆A' B' C' W c.q .d .

3° Caso: (LLL~)

Logo:

∆ ABC ~ ∆AKL U ⇒ ∆ AKL ~ ∆A' B' C' VW ∆ ABC ~ ∆A' B' C' (c .q .d)

2° Caso: (LAL~) Dois triângulos são semelhantes quanto têm um ângulo congruente compreendido entre lados correspondentes proporcionais.

Dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados correspondentes proporcionais.

AB = AC = BC T A' B' A' C' B' C'

Hip. RS

Tese: {∆ABC ~ ∆A' B' C'

Sejam os ∆ABC ~ ∆A' B' C'

R Â ≅ Â' | Hip. S AB AC |T A' B' = A' C' Tese: ∆ABC ~ ∆A' B' C'

Demonstração Seja ∆ ABC o que possui lados maiores.


tal que AK ≅ A' B'. a) Mar arqu quem emos os K ∈ AB, ta b) Co Cons nstru truam amos os KL / /BC, /BC, (L ∈ AC) ficando assim: o ∆ABC ~ ∆AKL (Teorema fundamental). c) Des Dessa sa semel semelhan hança ça resul resulta: ta: AB AC AB AC ou então = = AK AL A'B' AL Sendo por hipótese AB = AC então A' B' A' C' AC AC = ⇒ A' C' ≅ AL AL A' C' AL

RAK ≅ A' B B'' (construção) | d) Temos então S Â ≅ Â' | AL ≅ A'C' (hipótese) T

Demonstração: a) Admitindo-s Admitindo-see AB > A’B’, A’B’, tomemo tomemoss sobre AB o ponto k tal que AK ≅ A' B' B' . b) Pelo teorema teorema fundame fundamental ntal da semelha semelhança, nça, se por por K construimos KL / / BC então ∆ ABC ~ ∆AKL e portanto AB = BC = AC . A' B' KL AL B' , podemos escrever c) como AK ≅ A' B' AB BC AC = = A' B' KL AL . d) Da hipótese e de (c) temos:

AB BC U = A' B' B' C' || V ⇒ B' C' ≅ KL AB BC | = A' B' KL W| AB AC U = A' B' A' C' || V ⇒ A' C' ≅ AL AB AC | = A' B' AL W| Concluímos então que ∆AKL ~ ∆A' B' C' . Assim: ∆ABC ~ ∆AKL ≅ ∆A' B' C' ⇒ ∆ABC ~ ∆A' B' C' (c (c. q. d. )

55 PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Quadriláteros Notáveis

Triângulos

1. Trapézio

1º caso: Dadas as medidas de um lado e da altura correspondente de um triângulo qualquer.

É todo quadrilátero que tenha um par de lados paralelos.

c

b

AB / / CD

a⋅h Área = 2 Per = a + b + c

Exemplo: Calcule a área do triângulo representado na figura abaixo:

• Os lados paralelos do trapézio chamam-se bases. • Os lados não paralelos de um trapézio são ditos

transversais. • Trapézio isósceles é todo trapézio cujos lados transversais são congruentes . • Trapézio retângulo é todo trapézio que tenha um ângulo interno reto. Área de um trapézio A = (média das bases) × (altura)

Exemplo: Determine a área do trapézio representado na figura abaixo:

Solução:

Área =

5 × 6 30 = = 15cm 2 2 2

2º caso: Dada a medida de um lado de um triângulo equilátero.

Solução:

Área =

a2 ⋅ 3 4

Per = 3a

Exemplo: Determine a área do triângulo equilátero cujo lado mede 6cm.

F 5 + 9 I × 6 = 7 × 6 = 42cm 2 H 2 K 2. Paralelogramo É todo quadrilátero que tenha dois pares de lados paralelos.

Solução:

RAB / / DC | S |AD / / BC T

Área =

2

6 ⋅ 3 36 3 = =9 3 4 4

Á re a = 9 3 c m 2

Em qualquer paralelogramo valem sempre: • Os lados opostos são congruentes • Os ângulos opostos são congruentes • Dois ângulos consecutivos somam 180°. • As duas diagonais cortam-se ao meio, ou seja pelo ponto médio. • Qualquer um dos lados pode ser denominado base.


56 Área de um paralelogramo Área = (base) × (altura) Perímetro = 2 × (base) + 2 × (altura)

Exemplo: Determine a área do paralelogramo representado na figura abaixo: Perím = 4a

Solução: bas base = 7cm 7cm U Área = 7 × 5 = 35cm 2 V altu altura ra = 5cm 5cmW

Em qualquer losango sempre valem: • Todas as propriedades dos paralelogramos, pois todo losango é um paralelogramo. • As diagonais são perpendiculares (formam ângulo reto). • As diagonais dividem os ângulos internos ao meio (são bissetrizes dos ângulos internos).

Área de um losango diagonal maior = D, diagonal menor = d D×d Área = 2

3. Retângulo É todo quadrilátero que tenha os quatro ângulos internos retos.

Exemplo: Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 8cm e 5cm. Solução: Área rea = Em todo retângulo, é sempre certo que: • Valem todas as propriedades propried ades dos paralelogramos, pois todo retângulo é um paralelogramo. • As duas diagonais do retângulo têm o mesmo tamanho. • Cada diagonal do retângulo é a hipotenusa hip otenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são lados do retângulo.

Área de um retângulo

5. Quadrado

8×5 = 20cm 2 2

É todo quadrilátero que for losango e retângulo ao mesmo tempo.

Em qualquer quadrado sempre valem: • As propriedades dos losangos. • As propriedades dos retângulos. • A diagonal de um quadrado de lado a é

Área = (base) × (altura)

Exemplo: Determine a área do retângulo cujos lados medem 6cm e 8cm. A C I T Á M E T A M

Solução: Área = 6 × 8 = 48 cm2 4. Losango É todo quadrilátero plano que tenha os quatro lados com mesma medida (lados congruentes).

Perímetro = 4a

Área de um quadrado de lado a Área = a2

a 2

.

57 Exemplos:

1. Determine a área de um quadrado cujos lados medem 4cm. Solução:

Área = 4 × 4 = 16 cm2

2. Determine a área de um quadrado cuja diagonal mede 5 2 cm . Solução: Diagonal: a 2 = 5 2 → a = 5 Portanto: Área = 5 × 5 = 25cm2

Hexágono Regular

Em qualquer circunferência valem: • O centro é o ponto pertencente ao plano da circunferência e que eqüidista de todos os pontos dela; • Chama-se raio a qualquer um dos segmentos que tenha uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência; • Todos os raios de uma circunferência têm o mesmo comprimento; • Chama-se corda a qualquer segmento cujas extremidades pertençam a uma mesma circunferência. • Diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro de sua circunferência; • Numa mesma circunferência, um diâmetro tem o dobro da medida de um raio; Diâmetro = 2 × Raio • Círculo é o conjunto de todos os pontos cuja distância ao centro de uma circunferência seja menor ou igual ao comprimento do seu raio;

Denominamos por hexágono regular ao polígono convexo de seis lados congruentes congruent es e com todos os ângulos internos congruentes.

Perímetro de um círculo

Em qualquer hexágono regular sempre vale: • Ele pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros cujos lados terão a mesma medida dos lados do hexágono.

Área do hexágono regular Para determinar a área do hexágono regular, calculamos a área de um triângulo equilátero com lado de mesmo tamanho e multiplicamos o resultado por 6.

F a 2 ⋅ 3 I Áreahexágono = 6 × G H 4 J K

O perímetro de um círculo é o comprimento da circunferência que o limita. Percirc. = 2 ⋅ π ⋅ r onde: π = 3,14159... (número irracional) e r = comprimento do raio Nas questões de concursos, o valor de π é freqüentemente arredondado para 3,14 ou simplesmente é deixado indicado nas alternativas.

Exemplo: Qual é o perímetro de um círculo que tem raio medindo 5cm? Solução:

Perímetro = 6a

Exemplo: Determine a área de um hexágono regular com lado medindo 2cm.

Per = 2 × π × r Per = 2 × π × 5 = 10π cm ou então, pela última igualdade: Per = 10 × 3,14 = 31,4 cm

Área de um círculo

Solução:

F 2 2 ⋅ 3 I 4 ⋅ 3 = 6⋅ =6 4 H 4 J K

Áreahex. = 6 ⋅ G

3cm 2

Circunferência Denominamos circunferência ao conjunto de todos os pontos de um plano que q ue eqüidistam de um ponto fixado no mesmo plano.

A área de um círculo é determinada pela fórmula: Áreacírculo = π . r2

Exemplo: Determine a área de um círculo cujo raio mede 10cm. Solução: Área = π × r 2 Área = π × 102 Área = 100π cm2 ou então, pela última igualdade: Área = 100 × 3,14 Área = 314 cm2


58 Setor Circular Denominamos por setor circular a qualquer uma das regiões de um círculo que fica limitada por dois de seus raios.

Área de um setor circular Se x é a medida em graus do ângulo de abertura do setor de um círculo de raio r , então a área deste setor é determinada por:

S=

x ⋅ π ⋅ r2 360

Exemplo: Qual o valor da área de um setor de 60° num círculo de raio igual a 6cm? Solução: S=

60 ⋅ π ⋅ 6 2 = 1 ⋅ π ⋅ 36 = 6π cm 2 360 6

ou então, pela última igualdade: S = 6 × 3,14 = 18,84 cm2

EXERCÍCIOS  PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. O perímetro de um retângulo é 22 metros e suas dimensões, em metros, são números consecutivos. Então pode-se afirmar corretamente que a) a área desse desse retângulo é de 300 decímetros. b) o maior lado desse retângulo excede excede o menor em 0,1 decímetros. c) se as medidas dos lados fossem todas aumentadas em 10%, então a área do novo retângulo, assim obtido, seria 10% maior que a do retângulo dado. d) a medida do maior lado desse desse retângulo é de 600 hectômetros. e) a área desse desse retângulo é de 5 metros quadrados superior à área do quadrado cujos lados tenham medida igual ao menor lado do retângulo dado. 2. Um quadrado tem 24 cm de perímetro. Então a área desse quadrado é a) 36 metros metros quadrad quadrados. os. b) 3,6 metros metros quadrados quadrados.. c) 3.600 milímetr milímetros os quadrados. quadrados. d) 36 decímetros decímetros quadrados. quadrados. e) 360 decímetro decímetross quadrados. quadrados. A C I T Á M E T A M

3. Se a área de um quadrado é de 1.681 metros quadrados, então o quadrado da medida da diagonal desse quadrado será a) metade da medida da área desse quadrado. b) o dobro da medida da área desse quadrado.

c) um terço da medida da área área desse quadrado. quadrado. d) o triplo da medida medida da área desse quadrado. e) um quarto da medida da área desse desse quadrado,

4. Num triângulo um dos lados mede 20 centímetros e a altura correspondente é de 10 centímetros. Nesse mesmo triângulo, qual a medida de um outro lado cuja altura correspondente é de 8 centímetros? a) 25 centím centímetr etros os b) 24 centí centímetro metross c) 23 centím centímetr etros os d) 22 centí centímetro metross e) 21 centím centímetr etros os 5. Um triângulo equilátero tem lados medindo 8 dm. Então a área desse triângulo é a ) 64 3 . d) 18 3 . b) 32 3 . e ) 16 3 . c) 24 3 . 6. Determine a área de um hexágono regular sabendo que uma de suas diagonais mede 20 cm. a) 600 3 cm2 d) 150 3 cm2 b) 200 3 cm2 e) 120 3 cm2 c) 180 3 cm2 7. Os lados menores de um retângulo e os lados de um hexágono regular têm mesma medida e as medidas das diagonais desse retângulo e desse hexágono também coincidem. Sabendo que a área do retângulo é 8 metros quadrados, pode-se concluir que a área do hexágono será a) 12 metros metros quadra quadrados. dos. b) 13 metros metros quadrados quadrados.. c) 14 metros metros quadra quadrados. dos. d) 15 metros metros quadrados quadrados.. e) 16 metros metros quadra quadrados. dos. 8. Num trapézio retângulo as medidas das bases são 6m e 9 m. Sabendo que a medida do lado oblíquo às bases é igual a 5 m, pode-se afirmar corretamente que a) a altura deste deste trapézio trapézio é igual a 6 metros. b) a área deste trapézio trapézio é de 30 metros metros quadrados. c) a distância entre as bases deste trapézio é supesuperior a 5 metros. d) a área deste trapézio trapézio equivale à de um quadrado cuja diagonal mede 8 metros. e) a medida do lado perpendicular perpendicular às bases bases é de 3 metros. 9. Um círculo tem aproximadamente 62,8 m de circunferência. Então é correto dizer que a) a área desse desse círculo é de aproximadamente aproximadamente 628 metros quadrados. b) o raio desse círculo círculo é maior que a diagonal de um quadrado de mesma área que este círculo. c) o perímetro desse círculo é menos de de seis vezes o valor do seu raio. d) a área do quadrado circunscrito a este círculo é 50% maior que a área do quadrado inscrito ao mesmo círculo. e) o diâmetro desse desse círculo tem aproximada aproximadamente mente 200 dm.

59 10. Se um círculo tem 24 π centímetros de circunferência, então a área de um setor circular, cujo ângulo central tenha 40o, será igual a a) 16π centímetros quadrados. b) 32π centímetros quadrados. c) 8π centímetros quadrados. d) 64π centímetros quadrados. e) 9π centímetros quadrados.

⇒ h2 = m × n • O produto das das medidas medidas dos catetos catetos é sempre sempre igual igual ao produto das medidas da hipotenusa pela sua altura.

Relações Métricas nos Triângulos Retângulos

Triângulo retângulo é aquele onde o maior ângulo é reto.

⇒a×b=c×h

Exemplo: Três triângulos retângulos notáveis Inúmeros exercícios sobre triângulos baseiam-se em um dos triângulos retângulos apresentados a seguir. As soluções de tais exercícios ficam muito mais simples quando podemos usá-los como modelos.

1º caso notável: lados proporcionais a 3, 4 e 5 Os dois lados que se juntam para formar o ângulo reto chamam-se catetos, enquanto o lado que fica oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e é sempre o maior dos três lados.

Em qualquer triângulo retângulo valem sempre as seguintes relações: • A soma dos dos quadrados quadrados das medidas dos catetos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (Teorema de Pitágoras).

⇒

Neste caso, os catetos serão proporcionais a 3 e 4, enquanto a hipotenusa será proporcional a 5.

Exemplo: Calcule a medida x do lado indicado no triângulo da figura:

Solução: hipotenusa: 35 = 5 ⋅ 7 cateto: 28 = 4 ⋅ 7 Para completar o "trio 3-4-5" o outro cateto será: 3 ⋅ 7 = 21 ⇒ x = 21

a2

+

b2

=

c2

2º caso notável: o triângulo é a metade de um quadrado

• A altura relativa à hipotenus hipotenusaa divide esta esta última última em duas partes chamadas projeções dos catetos.

• O quadrado quadrado da medida medida da altura altura é sempre sempre igual ao produto das medidas das projeções dos dois catetos.

Neste caso, teremos: • os catetos serão lados do quadrado (a); • a hipotenusa será uma diagonal do quadrado (a 2 ) ;


60 • o triângulo será retângulo e isósceles ; • os dois ângulos agudos medirão 45° cada.

EXERCÍCIOS  TEOREMA DE PITÁGORAS

Exemplo: Determine o valor de x no triângulo da figura:

Solução: catetos: x e x (isósceles) hipotenusa:

x 2 ⇒x 2 = 6 2 ⇒

1. Calcular os valores dos elementos desconhecidos, x, y ou z, em cada um dos casos abaixo: a)

b)

c)

d)

e)

f)

x=6

3º caso notável:o triângulo é a metade de um triângulo equilátero

2. Calcular a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 8m.

Neste caso, teremos: • A hipotenusa será um lado do triângulo equilátero (a);

• O cateto menor será a metade da hipotenusa F a I ;

H 2 K

• O cateto maior será a altura do triângulo equilátero

F a 3 I ; H G 2 J K • Os ângulos agudos medirão 30° e 60°. Exemplo: Determine o valor de x no triângulo da figura:

Solução: Como um dos catetos (5) é a metade da hipotenusa (10), o triângulo triân gulo é o do 3º caso notável:

3. Calcular a medida da base de um triângulo isósceles cujos lados congruentes medem 5cm e cuja altura da base é 4cm. 4. Os lados de um losango medem 13m e uma de suas diagonais, 10m. Qual é a medida da outra diagonal?

NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA Razões Trigonométricas nos Triângulos Retângulos Em qualquer triângulo retângulo, se α é um de seus ângulos agudos, então definem-se:

seno de α : medid edidaa do cate ateto opos opostto a α sen α = medi medida da da hipot hipoten enus usaa co-seno de α : medid edidaa do cate cateto to adja adjace cennte a α cos α = medi medida da da hipot hipoten enus usaa tangente de α: medid edidaa do cate ateto opos opostto a α tg α = medid edidaa do cate cateto to adja adjace cent ntee a α Exemplo:


Determinar o seno, o co-seno e a tangente do ângulo α indicado na figura abaixo.

61 Solução: cateto cateto oposto oposto 5 = sen α = hipotenusa 13 cateto cateto adjacente adjacente 12 = cos α = hipotenusa 13 cateto cateto oposto oposto tg α = = 5 cateto cateto adjace adjacente nte 12 Relações Trigonométricas entre Seno, Co-seno e Tangente Das definições de seno, co-seno e tangente podemse deduzir as seguintes relações: sen α = tg α Icos α II - (sen α ) 2 + (cos α ) 2 = 1 IIII - se II seja jam m α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo:

Como a altura mede

sen 60 º =

3

l

2

, tem-se:

cateto cateto oposto oposto = hipotenusa

l

3 2 =

l

F l I cateto cateto adjace adjacente nte H 2 K 1 cos 60 º = = = hipotenusa

(α + β = 90º) tg60º =

Tem-se: • sen α = cos β • cos α = sen β 1 • tg α = tgβ

Seno, Co-seno e Tangente de 45º A diagonal de um quadrado divide-o em dois triângulos retângulos com ângulos agudos de 45º (veja a figura).

3 2

cateto cateto oposto oposto = cateto cateto adjace adjacente nte

l

l

2

3 2 = 3 = 3 l 1 2

Como 30º e 60º são complementares, ou seja, 30º + 60º = 90º, pode-se usar a relação trigonométrica III, enunciada anteriormente: 1 sen30 º = cos 60º = 2 3 cos 30 º = sen 60º = 2 1 1 ( 3) 3 tg30 º = = = tg60 º 3 3 ( 3) x

x

Estes valores de seno, co-seno e tangente para os ângulos de 30º, 45º e 60º são muito importantes no estudo da trigonometria e costumam ser denominados valores trigonométricos notáveis. Como a diagonal do quadrado é l 2 , tem-se: seno sen 45º =

cateto cateto oposto oposto = hipotenusa

l l

2

=

1 2

(

x

2)

(

x

2)

cateto cateto adjace adjacente nte 1 l = = hipotenusa 2 l 2 l cateto cateto oposto oposto = =1 tg 45º = cateto cateto adjace adjacente nte l

cos 45º =

=

(

x

2)

(

x

2)

2 2

=

co-seno 2 2

Seno, Co-seno e Tangente de 30º e 60º A altura de um triângulo eqüilátero divide-o em dois triângulos retângulos com ângulos agudos de 30º e 60º (veja figura).

tangente

30º 1 2

45º 2 2

60 º 3 2

3 2 3 3

2 2

1 2

1

3

Medida de um ângulo em radianos Em trigonometria é comum encontrarmos medidas de ângulos indicadas em radianos (rd). Para fazer a conversão entre radianos e graus basta lembrar que: π rd correspondem a 180º


62 Exemplos:

•

1. Conve Converter rter 30º 30º em radiano radianos. s.

Solução: 180º—— π rd 30º—— x rd 180 . x = 30 . π ⇒ x = 2. Co Conv nver erte terr

Exemplo: 30π π = rd 1 80 6

3π rd em graus. 4

Solução: π rd —— 180º 3π rd —— xº 4 3π π ⋅ x = ⋅ 180 ⇒ x = 3 ⋅ 180 ⋅ π = 135º 4⋅π 4 Seno, Co-seno e Tangente no Ciclo Trigonométrico •

O seno de um ângulo dado é o valor da coordenada vertical da sua extremidade sobre o ciclo trigonométrico.

Exemplos:

sen30 º = •

1 2

sen120 º =

3 2

O co-seno de um ângulo é o valor da coordenada horizontal da sua extremidade sobre o ciclo trigonométrico.

Exemplos:


cos 120º =

−1 2

A tang tangen ente te de de um ân ângu gulo lo mar marca cado do no no cicl cicloo trig trigoonométrico pode ser determinada, lembrando que: senα tgα = cos α

cos 60º =

1 2

F 3 I 3U G J sen120º = | 2 |V tg120º = sen120º = H 2 K = − 3 −1 | cos 120 º F −1I cos 120º = H 2 K 2 |W Lei dos Senos Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado qualquer e o seno do ângulo oposto é sempre igual ao diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo.

a b c = = = 2R senA$ senB$ senC$

Lei dos Co-senos Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é sempre igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto destes dois lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos α x

x

63 EXERCÍCIOS  TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. Cal Calcul cular ar o seno seno de 45º. 45º. 2. Cal Calcul cular ar o co-seno co-seno de 30º. 30º. 3. Cal Calcul cular ar a tange tangente nte de de 60º. 60º. 4. Sabe Sabend ndoo qu quee α é um ângulo agudo e que sen α = 0,28, determine o cos α. 5. Um triângulo triângulo retângu retângulo lo tem um um ângulo ângulo agudo x cuja tangente vale 0,75. Qual é o valor de seno de x ? 6. Num triângul triânguloo retângulo retângulo as medidas medidas do do catetos catetos são 20 cm e 15 cm. Qual o valor do seno do menor dos ângulos deste triângulo? 7. Sejam Sejam A e B os vértices vértices opostos opostos aos catetos catetos de de medidas a = 1 e b = 2 de um triângulo retângulo. Qual é o valor de co-seno do ângulo B? 8. Um triângulo triângulo retângulo retângulo tem um de de seus catetos catetos medindo 15 cm e hipotenusa medindo 17 cm. Qual é o valor da tangente do maior dos ângulos agudos deste triângulo? 9. Num triângulo triângulo retângulo, retângulo, o ângulo oposto oposto a um um cateto cateto de 20 cm mede 30o. Determine a medida da hipotenusa deste triângulo.

14. (AFTN-98) O valor de y para para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 2 b) 0 c) - 1 d) -2 e) 1

Lei dos Senos e Lei dos Co-senos 15. Os ângulos ângulos internos internos da base de um triângulo triângulo medem medem 45o e 30o. Determine a medida do lado oposto ao ângulo de 30o sabendo que o lado oposto ao ângulo de 45o mede 4 cm. 16. Dois dos lados lados de um triângulo triângulo medem medem 3 cm e 5 cm e o ângulo interno formado por eles mede 120o. Qual é a medida do terceiro lado deste triângulo? 17. Um triângulo tem dois de de seus lados lados medindo 8 cm e 13 cm. Determine a medida do terceiro lado sabendo que o ângulo interno oposto ao lado de 13 cm mede 120o.

PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Paralelepípedo Denominamos paralelepípedo a todo sólido geométrico de seis faces, sendo todas elas paralelogramos.

10. O triângulo triângulo ABC é retângu retângulo lo em A. Sabend Sabendoo que o o o ângulo B mede 21 e que sen 21 ≅ 0,36, determine o perímetro deste triângulo sabendo que a sua hipotenusa mede 50 cm. 11.. A hipote 11 hipotenusa nusa do triângulo retângulo ABC mede mede 2 13 cm . O segmento que vai do vértice de um dos ângulos agudos até o ponto médio do cateto oposto oposto a ele mede 5 cm. Quanto mede a tangente do maior dos ângulos agudos do triângulo ABC? 12. Um observador observador vê um satélite satélite sob um ângulo ângulo de 45o em relação ao solo na direção leste. Ao mesmo tempo um outro observador, situado a 20 km do primeiro, pri meiro, vê o o mesmo satélite sob um ângulo de 60 em relação ao solo na direção oeste. Desprezando a curvatura da Terra e aproximando o valor de 3 para 1,7, a que altura, aproximadamente, o satélite se encontra? 13. (TFC-97) (TFC-97) Sabe-se Sabe-se que o seno do dobro dobro de um ângulo ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo coseno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de 3 120º igual a , o seno de um ângulo de 240º é: 2 a) b) c)

3 2 3 2 3

d) 2 3 e) 3 3

• Num paralelepípedo reto-retângulo, todas as faces são retangulares;

Área total da superfície do paralelepípedo reto-retângulo

Atot. = 2(ab + ac + bc)

Exemplo: Um paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões medindo 4cm, 5cm e 6cm. Qual é a área total deste sólido? Solução: Atot = 2 × (4 × 5 + 4 × 6 + 5 × 6) = 2 × (20 + 24 + 30) = 2 × 74 = 148cm2


64 Volume do paralelepípedo reto-retângulo:

Volume de um u m prisma:

V=a×b×c

V = (área da base) × (altura)

Exemplo: Qual o volume de um paralelepípedo retoretângulo que tem dimensões de 4cm, 5cm e 6cm?

Exemplo: As bases de um prisma são triângulos equiláteros com lado medindo 6cm. Determinar o volume do prisma sabendo que sua altura é 2cm.

Solução: V = 4 × 5 × 6 = 120cm3

Solução:

• Cubo é um paralelepípedo reto-retângulo onde todas

1º) Cálcu Cálculo lo da área da base (triângulo equilátero) 62 ⋅ 3 A base = = 9 3cm 2 4

as faces são quadradas.

A tot. = 6 × a 2

2º) Cálc Cálculo ulo do do volume do prisma:

V = a3

V = (Abase) × (altura) V = 9 3 × 2 = 18 3cm 3

Exemplo: Um cubo tem 24m2 de área total. Qual é o volume deste cubo? Solução: 1º) Áre reaa to total: A tot = 6 × a 2 = 24 m 2 24 a2 = =4 6 a = 4 = 2m

Pirâmide

Denominamos pirâmide a todo poliedro de n + 1 lados onde: • Uma das faces (a base) é um polígono políg ono de n lados. • As outras n faces (laterais) são todas triangulares, com um vértice comum a todas elas (vértice da pirâmide).

2º) Volu lum me: V = a3 = 23 = 8m3

Prisma Denominamos prisma a todo poliedro de n + 2 faces onde: • duas faces situam-se em planos paralelos e são polígonos congruentes com n lados (chamam-se bases); • as outras n faces são sempre paralelogramos (chamam-se faces laterais ).

• A altura de uma pirâmide é a distância do seu vértice até o plano de sua base.

• Pirâmide regular é qualquer pirâmide que tenha um polígono regular como base e triângulos isósceles como faces laterais.

• Numa pirâmide regular, chama-se apótema ao

segmento com uma extremidade no vértice e outra no ponto médio de um dos lados da base.


• Altura do prisma é a distância entre entr e os planos de suas bases.

• Os paralelepípedos são prismas cujas bases são paralelogramos.

65 Volume de uma pirâmide:

1 Vpir = × (área da base) × (altura) 3 Exemplo: Qual o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado com 3m de lado se a sua altura é de 2m? Solução: 1º) Área da base base (quadrado) (quadrado) A = 3 × 3 = 9m2

2º) Volume do cilindro: cilindro: Vcil = (área da base) × (altura) Vcil = 25π × 4 Vcil = 100π cm3 ou, pela última igualdade: Vcil = 100 × 3,14 = 314 cm3

• A superfície lateral de um cilindro circular reto

é equivalente à de um retângulo. (É como o rótulo de uma lata: quando o retiramos da lata e desenrolamos, temos um retângulo!)

2º) Volume da pirâmide: pirâmide: 1 Vpir = × (Abase) × (altura) 3 1 Vpir = x 9 × 2 = 6m3 3

Cilindro Circular Reto Denominamos cilindro circular reto ao sólido geométrico formado quando se gira um retângulo por um eixo (eixo de revolução) que contém um de seus lados.

Exemplo: Quanto mede a superfície lateral de um cilindro com 3cm de altura e 2cm de raio da base? Solução: Área da superfície lateral: Al = 2πRh Al = 2π × 2 × 3 = 12π cm2 ou, pela última igualdade, Al = 12 × 3,14 = 37,68cm2

Cone circular reto

• Um cilindro circular reto tem duas faces parale-

las, circulares e congruentes (bases do cilindro). Área da base: Ab = πr2 (círculo)

• A altura de um cilindro é a distância entre os

Denominamos cone circular reto ao sólido geométrico formado quando se gira um triângulo retângulo por um eixo (eixo de revolução) que contém um dos catetos.

planos de suas bases.

Volume de um cilindro circular reto: Vcil = (área da base) × (altura) Como a base do cilindro é um círculo, podemos escrever: Vcil = πR2 × h onde R é o raio da base e h é a altura do cilindro.

Exemplo: Calcular o volume de um cilindro com 4cm de altura e 5cm de raio na base. Solução: 1º) Área da base (círculo) (círculo) 2 Ab = πR Ab = π52 = 25 π cm2

• Um cone circular reto tem sempre uma face circular (base do cone) com raio igual a um dos catetos do triângulo retângulo que o formou. Área da base: Ab = πR2 (círculo)

• A altura do cone circular reto é a medida do cateto que fica no eixo de revolução.


66 Volume de um cone circular reto:

Vcone =

1 (área da base) × (altura) 3

Como a base do cone é um círculo, podemos escrever:

1 Vcone = × πR 2 × h 3 onde R é o raio da base e h é a altura do cone.

Exemplo: Um cone circular reto tem 6m de altura e 2m de raio na base. Qual o volume deste sólido? Solução: 1º) Área da base (círculo): (círculo): Ab = πR2 Ab = π22 = 4π cm2 2º) Volume do cone: cone: 1 Vcone = (área da base) × (altura) 3 1 Vcone = × 4π × 6 3 24 π Vcone = = 8π cm3 3 ou, pela última igualdade: Vcone = 8 × 3,14 = 25,12 cm3

Esfera Denominamos esfera ao sólido geométrico formado quando se gira um círculo por um eixo (eixo de revolução) que contém um diâmetro.

Solução: 4 × π × 33 3 4 Vesf = × π × 27 3 Vesf = 36π cm 3 Vesf =

ou, pela última igualdade: Vesf = 36 × 3,14 = 113,04cm3 • Área da superfície esférica Aesf = 4 ⋅ Acírculo ou seja: Aesf = 4πR2

Exemplo: Quanto mede a superfície de uma esfera que tem 10cm de raio? Solução: Aesf = 4 × πR2 Aesf = 4 × π × 102 Aesf = 400π cm2 ou, pela última igualdade: Aesf = 400 × 3,14 = 1256cm2 EXERCÍCIOS  PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1. Determinar o volume de um cubo que q ue tem 150m2 de área total. 2. Um paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões diretamente proporcionais proporcionai s aos números 2, 4 e 5. Determinar o volume deste poliedro sabendo que o comprimento da maior de suas dimensões excede o comprimento da menor em 6m. 3. Qual é a área total de um cubo que tem 64m3 de volume? 4. Um prisma tem 6cm de altura. Qual o seu volume se a base é um triângulo retângulo com 5cm de hipotenusa e 4cm em um dos catetos?

• O centro da esfera coincide com o do círculo que a gerou. • As medidas do raio e do diâmetro da esfera coincidem, respectivamente com as medidas de raio e diâmetro do círculo. A C I T Á M E T A M

Volume de uma esfera:

5. Um prisma tem como base um triângulo equilátero com 6cm de perímetro. Determinar o volume deste prisma sabendo que ele tem 5cm de altura. 6. Uma pirâmide tem base quadrada com 20dm de perímetro e tem 12dm de altura. Qual é o volume desta pirâmide?

4 Vesf. = πR 3 3

7. Uma pirâmide quadrangular regular tem apótema medindo 5cm e tem 6cm de aresta de base. Determinar o seu volume.

Exemplo: Qual o volume de uma esfera que tem raio igual a 3cm?

8. Qual é o volume de um cilindro circular reto que tem π cm de altura se o perímetro de sua base é 2 π cm?

67 9. Quanto mede a superfície lateral de um cilindro circular reto com 2m de altura e 13m de perímetro na base? 10. O cateto maior de um triângulo retângulo é o eixo de revolução de um certo sólido. Determine o volume deste sólido sabendo que o triângulo tem hipotenusa medindo 13m e cateto menor medindo 5m. 11. Qual a área da base de um cone circular reto que tem 4cm de altura e volume de 8cm3? 12. Um círculo com 4π dm2 de área gera uma esfera por revolução. Qual o volume desta esfera? 13. Se a área de uma superfície esférica esféri ca é 16π cm2, qual o volume da esfera correspondente? 14. As arestas de um cubo foram todas multiplicadas por uma constante positiva k, originando, originan do, assim, um novo cubo. Sendo V1 o volume do cubo original, determinar o volume do novo cubo em função de V1 e de k. 15. Somando-se os comprimentos de todas as arestas de um cubo obteve-se 48cm. Qual é o volume deste cubo? 16. Somando-se os comprimentos de todas as arestas de um paralelepípedo reto-retângulo obteve-se 72m. Sabe-se que as dimensões deste sólido são diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3. Qual é o seu volume? 17. A base de um prisma é um hexágono regular e suas faces laterais são todas quadradas. Determinar a altura deste prisma sabendo que seu volume é de 12 3m 3 . 18. Uma pirâmide regular de base quadrada recebe um corte que vai do vértice até a base, dividindo-a em duas pirâmides congruentes e com bases retangulares. Sabendo que uma das faces originadas pelo corte é um triângulo equilátero com 2cm de lado, determinar o volume da pirâmide original. 19. Corta-se um cilindro circular reto ao meio. Sabe-se que o corte origina, em cada uma das partes resultantes, uma face quadrada com área igual a 16cm2. Determinar o volume do cilindro original. 20. A medida do diâmetro da base de um cilindro circular reto é igual à da sua altura. Sabe-se que o volume é de 54π m3. Qual é o raio da base?

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

Na composição de um gráfico podem ser utilizadas as mais diversas formas, cores e estilos, como se pode observar freqüentemente lendo jornais, e revistas. Entretanto, alguns tipos de gráficos ajustam-se melhor a determinadas situações que outros.

Classificação dos gráficos Quanto à forma: - de pontos - de linhas - de superfícies - pictogramas (figuras) - estereogramas (tridimensionais) - cartogramas (mapas) Quanto à função: • gráfic gráficos os de inform informação: ação: - colunas ou barras - porcentagens complementares - composição (retangular ou de setores) - cartograma - pictograma - estereograma • gráfico gráficoss de anális análise: e: - histograma - polígono de freqüências - curva de freqüência - ogiva - diagrama cartesiano - curva de Lorenz • de con control trole: e: - gráfico em “Z” - de ponto de equilíbrio Detalharemos a seguir alguns dos gráficos mais utilizados.

Gráficos em Barras e em Colunas São gráficos que comparam grandezas por meio de retângulos de mesma largura e de comprimentos diretamente proporcionais a estas grandezas. Geralmente estes gráficos são usados em séries temporais, geográficas, especificativas ou em distribuições de freqüência onde a variável não é numérica numérica ou é numérica inteira. Quando as legendas dos retângulos forem breves, os retângulos poderão ser dispostos verticalmente originando o gráfico em colunas.

Exemplo: Volume negociado na bolsa de valores de São Paulo 1993 (R$ milhões) 47,5 47

Gráficos

46,5

O objetivo da apresentação de dados na forma gráfica é facilitar a compreensão e a comparação dos mesmos – uma imagem vale mais que mil palavras. Sendo assim, os gráficos devem realçar as diferenças de magnitude entre as grandezas, propiciando uma representação global, dinâmica e agradável dos dados.

45,5

46 A C I T Á M E T A M

45 44,5 44 1° Trim.

2° Trim.

3° Trim.

(Dados fictícios)

4° T rim.

68 Quando as legendas das bases forem longas, os retângulos poderão ser dispostos horizontalmente, originando o gráfico de barras. Exemplo: Percentuais das intenções de voto em 20/07/82 (dados fictícios) outros candidato D

Uma das vantagens do gráfico de setores é que ele permite identificar facilmente as proporções entre os diversos valores nele representados e o todo.

Gráficos de Linhas Denominam-se gráficos de linhas (ou de retas) àqueles onde uma linha poligonal indica as variações nos valores de um determinado fenômeno que é observado em intervalos regulares de tempo.

Exemplo:

candidato C

A tabela seguinte mostra as temperaturas de um paciente tomadas de 4 em 4 horas ao longo de um dia:

candidato B

Hora 0.30h 4.30h 8.30h 12.30 16.30 Temperatura (º ( ºC) 39,5 40,0 38,5 38,0 37,5

candidato A 0%

10%

20%

30%

40%

50%

O gráfico de linhas correspondente seria:

Pictogramas Os pictogramas são gráficos que usam figuras para representar quantidades.

40,5 40 39,5

Observe o pictograma seguinte:

39 38,5

Número de alunos de 5 a 8 série do 1 grau matriculados no colégio X em 1998. a

Série

a

o

Número de alunos

5 6a 7a 8a a

Legenda:

37 36,5 4.:3 30 h 4 0h

88.:3300hh

1 12 2.:3 30 0h h

1166:.3300hh

Os vértices da linha poligonal indicam os valores das temperaturas observadas.

= 50 alunos

Gráficos de Setores Os gráficos de setores são gráficos de superfícies representados por um círculo que é subdividido em regiões (setores), tais que as áreas das regiões representadas se jam proporcionais aos números que desejamos indicar.


37,5

36 00:.3300hh

A legenda explica que cada símbolo representa uma contagem de 50 alunos. Assim, este pictograma pict ograma mostra contagens de 150 alunos na 5a série, 250 na 6a série, 300 na 7a e 400 na 8a .

Exemplo:

38

Produção anual de grãos no interior paulista em 1970

Feijão

Arroz

Milho

Soja

Os pontos de cada um dos segmentos que se encontram entre dois vértices seguidos da poligonal indicam estimativas das temperaturas entre duas observações consecutivas. Deste modo, observando o gráfico podemos estimar que a temperatura do paciente às 6.30h deveria estar próxima dos 39 graus.

Histogramas São gráficos de superfícies utilizados para representar distribuições de freqüências com dados agrupados em classes. O histograma é composto por retângulos justapostos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de valores próximos (as classes). A largura da base de cada célula deve ser proporcional à amplitude do intervalo da classe que ela representa e a área de cada célula deve ser proporcional à freqüência da mesma classe. Se todas as classes tiverem igual amplitude, então as alturas dos retângulos serão proporcionais às freqüências das classes que eles representam. Considere a distribuição de freqüências apresentada a seguir e observe o histograma obtido a partir dela:

69 Distribuição das idades dos funcionários da empresa J.L. em 01/01/98 Idades (anos) 10 | 20 20 | 30 30 | 40 40 | 50 50 | 60

Freqüências relativas simples 2% 28 % 46 % 21 % 3%

O histograma construído com estas freqüências acumuladas nos dá a seguinte ogiva crescente: 100% 80% 60% 40% 20% 0% 15

25

35

45

55

EXERCÍCIOS  GRÁFICOS

1. O gráfico seguinte representa os volumes negociados numa bolsa de valores, em milhões de reais, durante os cinco dias úteis de uma determinada semana: Polígono de Freqüências

49

O polígono de freqüências é o gráfico que obtemos unindo pontos dos lados superiores dos retângulos de um histograma por meio de segmentos de reta consecutivos. Retomando o histograma apresentado no item anterior, obtemos o seguinte polígono de freqüências:

48 47 46 45 44 43 segunda

terça

quarta

quinta

sexta

Qual foi, em milhões de reais, o volume médio diário negociado nestes cinco dias?

2. O gráfico abaixo representa o número médio de vôos mensais em quatro aeroportos: Aeroporto 0

10

20

3 0 40 5 0

60

a no s

A B C D

Ogivas Chamamos de ogivas aos gráficos que indicam freqüências acumuladas, acumuladas, ou seja, aqueles que indicam quantos casos estão acima de um certo valor ou quantos estão abaixo de um certo valor. As freqüências acumuladas podem ser apresentadas na forma absoluta (quantos casos) ou na forma relativa (proporção). Consideremos a tabela de distribuição de freqüências de idades que foi dada anteriormente. Calculando as freqüências relativas acumuladas abaixo de cada limite de classe (freqüências acumuladas crescentes) teremos: Idades Idad es (anos) 10 | 20 20 | 30 30 | 40 40 | 50 50 | 60

Freq Fr eqüê üênc ncia iass rela relati tiva vass Freq Freqüê üênc ncia iass re rela lati tiva vass simples (%) acumuladas crescentes 2% 28 % 46 % 21 % 3%

2% 30% 76% 97% 100%

Número de Vôos Mensais ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Legenda: (= 250 vôos Com base nestas informações, pode-se afirmar que o aeroporto C é responsável por qual percentual de vôos em relação ao total de vôos destes quatro aeroportos?

Médias

Média Aritmética Simples ( x ) Dada uma seqüência com n valores numéricos, ( x x1, x2, x3, ...., xn,), denominamos média aritmética desses n valores à razão: x1 + x 2 + ... + x n x

=

n

Exemplo: Determine a média aritmética do seguinte conjunto de valores: (4, 10, 12, 12, 28, 30)


70 Solução: x

A contagem do total de valores ocorridos em cada faixa é denominada freqüência da faixa e a tabela assim construída é denominada distribuição de freqüências.

= 4 + 10 + 12 + 12 + 28 + 30 = 96 = 16 6

6

As freqüências das faixas podem, eventualmente, ser apresentadas em termos percentuais.

Média Aritmética Ponderada Dadas duas seqüências com n valores numéricos, ( x x1, x2, x3, ...., xn,) e ( p p1, p2, p3, ...., pn,), denominamos média aritmética dos valores xi ponderados pelos pesos pi à razão: p ⋅ x + p2 ⋅ x2 + .... + pn ⋅ xn x = 1 1 p1 + p2 + .... + pn

O cálculo da média aritmética numa tabela como esta é feito por um processo aproximativo que descreveremos a seguir:

Exemplo: Determinar a média aritmética das idades apresentadas na tabela do exemplo anterior:

Exemplo: A tabela abaixo descreve a pontuação obtida por um candidato em cada uma das cinco disciplinas que compunham a prova de um determinado concurso público. A nota final do candidato deverá ser calculada como a média aritmética dos pontos obtidos em cada uma das disciplinas da prova, ponderados pelos respectivos pesos indicados na mesma tabela. Nestas condições, qual a nota final do candidato? Disciplinas Português Matemática Dir. Constitucional Dir. Administrativo Contabilidade

P o n tu a ç ã o 8, 2 6,4 7, 5 7,2 6,7

Peso 3 2 2 2 3

Solução: A nota final do candidato deverá ser a média aritmética ponderada das pontuações obtidas em cada uma das disciplinas pelos respectivos pesos de cada disciplina. Assim, teremos: Nota final =

3 × 8,2 + 2 × 6,4 + 2 × 7,5 + 2 × 7,2 + 3 × 6,7 86,9 = ≅ 7,24 3+ 2 + 2 + 2 +3 12

Média Aritmética em Tabelas com Valores Agrupados por Faixas Em determinadas situações pode ser muito útil resumir uma lista numérica extensa numa tabela na qual os valores são organizados por faixas às quais se associam o total de valores da lista ocorridos em cada faixa.

Exemplo: Observe a tabela abaixo que representa a distribuição das idades de 50 pessoas, organizada por faixas de idade:


Idades (anos)

Número de Casos Observados

| 20 10  | 30 20  | 40 30  | 50 40  | 60 50 

1 14 23 10 2

Solução: O cálculo da média aritmética deverá usar os pontos médios de cada uma das faixas de valores, ponderados pelas respectivas freqüências. Cada ponto médio é obtido calculando-se a média aritmética entre os limites de sua faixa: X1 = 15 , X2 = 25 , X3 = 35 , X4 = 45 e X5 = 55 Assim, a média aritmética das idades será: x

=

∑(

f i ⋅ X i ) n

= 1× 15 + 14 × 25 + 23 × 35 + 10 × 45 + 2 × 55 = 1.730 = 34,6 anos 50

50

Propriedades da Média Aritmética 1ª Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma seqüência numérica, a média aritmética da nova seqüência obtida será igual igua l à média aritmética da seqüência original adicionada (ou subtraída) da mesma constante. Exemplo: Calcular a média aritmética da seqüência de valores (5, 15, 25, 35, 75). Solução: Subtraindo 5 de cada um dos valores da seqüência, obteremos (0, 10, 20, 30, 70) cuja média aritmética é: 0 + 10 + 20 + 30 + 70 130 x = = = 26 5

5

Como os valores da seqüência original são todos 5 unidades maiores, sua média aritmética será: x = 26 + 5 = 31

2ª Se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma constante todos os valores de uma seqüência numérica, a média aritmética da nova seqüência obtida será igual à média aritmética da seqüência original multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. Exemplo: Calcular a média aritmética da seqüência de valores (1,7; 3,2; 4,5; 4,6)

71 Solução: Multiplicando por 10 os valores da seqüência, obteremos (17, 32, 45, 46) cuja média aritmética é: x

= 17 + 32 + 45 + 46 = 140 = 35 4

4

EXERCÍCIOS  NOÇÕES DE ESTATÍSTICA: MÉDIA

1. O gráfico abaixo, em forma de pizza, representa o número de itens concordantes obtidos em uma questão pelos 32.000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão.

Como os valores da seqüência original são todos 10 vezes menores, sua média aritmética será:

4 (12%) 3 ( 16% )

5 ( 10% )

x = 35 ÷ 10 = 3,5

0 ( 10% ) 2 ( 32% ) 1 ( 20% )

3ª Se uma lista com n1 valores numéricos tem média aritmética x1 e uma outra com n2 valores numéricos tem média aritmética x2 então a lista composta pelos n1 valores da primeira juntamente com os n2 valores da segunda segunda tem média aritmética igual a

= n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x2 n1 + n2

x

Exemplo: Uma lista de 20 valores tem média aritmética igual a 6 e uma outra, de 30 valores tem média aritmética igual a 8. Qual a média aritmética dos 50 valores das duas listas juntas? Solução: Devemos calcular a média aritmética entre 6 e 8, com pesos 20 e 30, respectivamente: 20 × 6 + 30 × 8 360 x = = = 7, 2 20 + 30 50

4ª Seja d = x–k o desvio do valor x calculado em relação à constante k. A soma dos desvios de todos os valores x de uma seqüência, calculados em relação a uma constante k será igual a zero se e somente se k for igual à média aritmética da seqüência.

∑(

xi

− k ) = 0 ⇔ k = x

Exemplo: Na seqüência (31, 37, 39, 42, 56) a média aritmética é igual a 41. Calculando os desvios de cada um dos valores em relação à média da seqüência, obtemos: 31– 41 = –10 , 37 – 41 = –4 , 39 – 41 = –2 , 42 – 41 = +1 e 56–41 = +15 Como se pode conferir, a soma dos desvios é igual a zero.

Σ( d ) = (–10) + (– 4) + (–2) + (+1) + (+15) = 0

Com base nessas informações julgue os itens abaixo: a) O número de candidatos que obtiveram um total de 3 itens concordantes é 5.120. b) O número médio de itens concordantes, concordantes, nessa quesquestão, não foi superior a 2. c) O número modal de itens itens concordantes, concordantes, nessa questão, é igual a 2. d) O número mediano mediano de itens concordantes, nessa questão, é igual a 2.

2. Utilizando dois instrumentos distintos, A e B, foi feita, com cada um deles, uma série de vinte medições medi ções de um mesmo ângulo, e os resultados obtidos estão listados na tabela abaixo, em que freqüência A e freqüência B indicam a quantidade de vezes que o resultado foi encontrado com os instrumentos A e B, respectivamente. Freq.

67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 10''

12''

13''

14''

15''

16''

17''

18''

A

1

1

2

4

4

3

2

3

B

1

1

2

3

6

2

2

3

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a) A média da série dos resultado resultadoss das medições medições feitas com o instrumento A é menor que 67° 30' 14'’. b) As séries dos resultados resultados das medições medições feitas com os instrumentos A e B têm o mesmo desvio-padrão. c) A moda e a média da série dos resultados das memedições feitas com o instrumento B são iguais. d) A mediana da série dos resultados resultados das medições medições feitas com o instrumento B é maior que a da série dos resultados das medições feitas com o instrumento A. e) A moda a mediana mediana e a média da série dos resultad resultados os das medições feitas com o instrumento A são iguais.

3. A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências da variável diâmetro, medida em centímetros, para um conjunto de 40 observações. Diâmetros (c (cm)

Freq. Ab Absolutas Si Simples

[ 4; 6) [ 6; 8) [ 8 ; 10 ) [10;12) [12;14)

6 8 12 10 4


72 Com base nessas informações, julgue os itens: a) Mais de 65% das observações apresentaram diâmetro não inferior a 8 cm. b) A média da distribuição é inferior a 9 cm. c) A moda da distribuiç distribuição ão é igual a 8,6 cm. d) A mediana da distribuição é igual a 9 cm. e) O desvio padrão padrão da distribuiçã distribuiçãoo é igual a ±1,66 cm.

4. Considere o conjunto de valores X = {10; 10; 11; 11}e julgue os itens seguintes: a) Se o conjunto conjunto X é uma população população então então a variância variância de X é igual a 1/4. b) Se o conjunto X é uma amostra então a variância de X é igual a 1/3. c) Se adicionarmos adicionarmos 32 unidades unidades a todos todos os elementos elementos do conjunto X tanto a média aritmética quanto a variância de X ficarão aumentadas de 32 unidades. d) Se todos os elemento elementoss do conjunto X forem aumenaumentados em 20% a média aritmética do conjunto X ficará aumentada em 20% enquanto a variância do conjunto X ficará aumentada em 44%. e) Consideran Considerando do que o conjunto conjunto X represente represente um população, o coeficiente de variação de X será igual aproximadamente igual a 47,6%. 5. O regulamento de um torneio de tiro ao alvo prevê que a pontuação final de cada competidor será obtida desprezando-se a menor pontuação obtida dentre as seis séries de dez tiros que ele deve realizar e calculando-se a média aritmética das cinco pontuações restantes. A menor pontuação obtida por um certo competidor foi de 173 pontos, embora a média aritmética das seis séries de disparos que ele realizou tenha sido de 253 pontos. Deste modo, a pontuação final deste competidor foi: a) 265 pontos c) 267 pontos e) 269 pontos b) 26 266 pontos d) 26 268 po pontos 6. Um aluno obteve, em determinada disciplina, as seguintes notas bimestrais: 5 no primeiro bimestre, 4 no segundo e 7 no terceiro. Sabendo que a nota final anual é a média aritmética ponderada das notas obtidas pelo aluno nos quatro bimestres, com pesos 1, 2, 3 e 4 do primeiro até o quarto bimestre, respectivamente , qual deverá ser a nota do quarto bimestre para que a sua nota final anual seja 6? a) 6,5 b) 7,0 c) 7,5 d) 8,0 e) 8,5 7. A média aritmética de um conjunto com 20 elementos é 32 e a média aritmética de um outro com 80 elementos é 70. Então, a média aritmética dos elementos dos dois conjuntos reunidos é igual a: a) 62,4 c) 46,5 e) 38,3 b) 51,0 d) 41,0 A C I T Á M E T A M

8. Num dado concurso, 60% dos candidatos eram do sexo masculino e obtiveram, em média, 70 pontos em determinada prova. Sabe-se que a média geral dos candidatos (homens e mulheres) naquela prova foi de 64 pontos. Qual foi a média de pontos das mulheres na mesma prova? a) 55 b ) 35 c) 64 d) 6 0 e) 68

9. Ao calcular as médias aritméticas das notas obtidas pelos candidatos nas provas de um concurso, foram constatados os seguintes resultados: média dos candidatos do sexo masculino: masculino: ...... ........... ........... ............ ............ ............ .......... .... 78 pontos média dos candidatos do sexo feminino: ...... ........... ........... ............ ............ ........... ........... ........ 83 pontos médiaa geral dos candidatos: médi candidatos: ...... ............ ............ .......... 80 pontos pontos Com base nestas informações, pode-se afirmar que: a) houve erro no cálculo cálculo de uma das das três médias; médias; b) os homens representam 40% do total de candidatos; c) as mulheres representam 40% do total de candidatos; d) a média das mulheres é maior porque elas estão em maior número; e) a média geral geral só foi possível porque 50% dos cancandidatos eram do sexo masculino e 50%, do sexo feminino.

Moda (MO) Dada uma série estatística qualquer, chamamos de moda ou valor modal o valor da série para o qual se verifica a maior freqüência simples. No caso de dados numéricos, o conceito de moda é estendido para qualquer valor do rol que apresente freqüência simples maior que as dos valores vizinhos a ele. Dizemos que tais valores estão associados a picos de freqüência. Deste modo, uma lista de dados numéricos pode, eventualmente, apresentar uma única moda (unimodal), duas modas (bimodal) ou mais (multimodal), podendo também não ter moda (amodal). A determinação de valores modais deve ser evitada quando o número de observações é pequeno. No entanto, objetivando esclarecer o conceito de moda, são comuns as ilustrações que utilizam listas pequenas.

Exemplos: – A série série (2, (2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8) é unimo unimodal: dal: Mo = 3 – A série (10, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 16) tem duas modas, 13 e 15, sendo por isso denominada série bimodal. – A série (3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7) 7) não tem tem moda, moda, sendo denominada série amodal. Determinação da Moda no Caso de Dados Agrupados Considere a distribuição de freqüências das idades de um grupo de 120 indivíduos: Idades (anos)

Nº de Indivíduos

10 | 15 15 | 20

8 22

20 | 25

25 | 30 30 | 35 35 | 40 40 | 45

34

26 15 11 4

73 Assumimos que a moda está compreendida na classe 20 | 25 pois é a que reúne o maior número de indivíduos. Esta classe é denominada classe modal, enquanto a freqüência simples da mesma é chamada de freqüência modal. É muito importante observarmos que, numa tabela tabel a com dados agrupados em classes, a determinação da classe modal a partir da comparação direta dos valores das freqüências simples só é possível quando todas as classes tiverem a mesma amplitude. Este é o caso mais comum, sendo, aliás, o único citado pela grande maioria dos autores. Caso as classes tivessem amplitudes distintas, a determinação da classe modal deveria levar em conta a densidade de cada classe, que é determinada dividindo-se a freqüência simples da mesma pela sua amplitude. Apresentaremos, a seguir, três métodos distintos de determinação da moda.

Moda Bruta A moda bruta é o ponto médio da classe modal. Portanto, para a distribuição de freqüências apresentada anteriormente, a moda bruta é 22,5 anos, pois este é o ponto médio do intervalo 20 | 25, que é o intervalo da classe modal. Embora seja bastante simples, o cálculo da moda bruta é muito impreciso, pois não considera a influência das freqüências das classes vizinhas sobre o valor da moda.

Fórmula de Czuber A fórmula de Czuber é considerada a mais precisa para o cálculo da moda numa tabela com dados agrupados em classes. Nela, consideram-se as variações das freqüências das classes vizinhas à classe modal em relação à freqüência da própria classe modal. Dada uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classes de mesma amplitude, a determinação da moda, pela fórmula de Czuber, será obtida pela expressão: Mo = l mo

onde:

  + c ⋅  ∆1   ∆1 + ∆ 2

= limite limite inferior inferior da classe classe modal modal.. = amplit amplitude ude do interva intervalo lo da classe classe modal. ∆1 = difere diferença nça entre entre as freqüênc freqüências ias simples simples das classes modal e anterior à modal. ∆2 = difere diferença nça entre entre as freqüên freqüências cias simpl simples es das classes modal e posterior à modal. lmo

c

Na distribuição apresentada anteriormente, temos: = 20 c =5 ∆1 = 34 – 22 = 12 ∆2 = 34 – 26 = 8 lmo

Mo = 20 + 5 ⋅ Mo = 20 +

Mo

 12    12 + 8 

60 20

= 20 + 3 = 23 anos

(Compare o resultado obtido com o valor da moda bruta, observando a diferença)

Fórmula de King A fórmula de King baseia-se apenas na influência das freqüências das classes adjacentes à classe modal sobre o valor da moda, não considerando a freqüência da própria classe modal. É menos precisa que a fórmula de Czuber, devendo, portanto, o seu uso ficar restrito aos casos onde seja expressamente pedida. Dada uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classes, a determinação da moda, pela fórmula de King, será dada pela expressão: Mo = l mo

onde:

lmo

c f ant f pos

 f  + c ⋅  pos    f ant + f pos 

= limit limitee inferior da classe classe modal. modal. = amplit amplitude ude do intervalo da classe classe modal. = freqüê freqüência ncia da da classe classe anterior à classe modal. = freqüê freqüência ncia da da classe classe posterior à classe modal.

No mesmo exemplo usado anteriormente, temos: lmo = 20 c = 5 f ant = 22 f pos = 26 Assim, a fórmula de King nos dá: 26 Mo = 20 + 5 ⋅    22 + 26  Mo = 20 + 2,708... Mo ≅ 22,7 anos (Compare também este resultado com os valores obtidos com as fórmulas de Czuber e da moda moda bruta)

Determinação Gráfica da Moda Pode-se determinar graficamente a posição da moda no histograma representativo de uma distribuição de freqüências simples. O método descrito a seguir é o equivalente geométrico da fórmula de Czuber. A D

B

C

Portanto: Mo = 20 + 5 ⋅ 

12 20

Mo


74 1o A partir dos vértices superiores do retângulo correspondente à classe modal (A e B), traçamos os segmentos concorrentes AC e BD, ligando cada um deles ao vértice superior adjacente do retângulo correspondente a uma classe vizinha, conforme ilustrado na figura. 2o A partir da interseção dos segmentos AC e BD, baixamos uma perpendicular ao eixo horizontal, determinando o ponto Mo que indica a moda.

Exemplo: A tabela abaixo apresenta a distribuição das alturas de 26 pés de certo arbusto, aos quatro meses de idade. Determinar a altura mediana desta distribuição. Alturas (cm)

50 | 60 60 | 70 70 | 80 80 | 90 90 | 100

Mediana (Md ) Mediana é o valor que separa um rol em duas partes com a mesma quantidade de ocorrências. A mediana, portanto, será sempre um número que, num conjunto ordenado de dados, tenha 50% dos valores menores ou iguais a ele , sendo os outros 50% maiores ou iguais a ele. Ocupa, quanto ao número de elementos do rol, uma posição central no mesmo.

Cálculo da Mediana numa Série com Dados Não Agrupados I - Quando Quando a quant quantida idade de de dados dados for for ímpar: ímpar: Neste caso a mediana será o valor do dado que, no rol, tem a mesma quantidade de ocorrências antes e depois de si. Exemplo: Na série (5, 10, 15, 16, 20, 40, 40) a mediana é 16. II - Quando a quanti quantidade dade de dados dados for for par: Neste caso a mediana será a média aritmética dos dois valores mais centrais do rol, quanto ao número de ocorrências. Exemplo: Na série (13, 15, 17, 19, 25, 30) os dois valores mais centrais do rol são 17 e 19, sendo 18 a média aritmética entre eles. Assim, a mediana é 18. Note que, neste caso, a mediana é um valor teórico, isto é, que não pertence realmente ao rol.

Cálculo da Mediana numa Distribuição com Dados Agrupados em Classes Dada uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classes, o valor da mediana pode ser obtido com a seguinte expressão:

 ∆  f

Md = l md + c ⋅ 


md

   

onde: lmd = limite inferior da classe mediana, mediana, isto a é, da 1 classe que apresentar freqüências acumuladas maiores ou iguais a 50% c = amplitude do intervalo da classe mediana simples da classe mediana mediana f md = freqüência simples ∆ = par parcel celaa da f md necessária para acumular 50% na classe mediana

Freqüências simples

2 5 8 7 4

Solução: 1º A mediana deve ter 50% das ocorrências menores ou iguais a ela. Como o total de ocorrências da tabela acima é 26 devemos ter: 50% de 26 = 13 ocorrências

2º Na prática, em vez de calcularmos as freqüências acumuladas crescentes e as decrescentes, podemos tomar a primeira classe que apresentar freqüência acumulada crescente com pelo menos 50% das ocorrências. No nosso exemplo, 13 ou mais ocorrências. Alturas (cm)


Freqüências acumuladas

2 7

| 80 80 | 90 90 | 100

2 5 f md md = 8 7 4

50 | 60 60 | 70 70

15

22 26

Podemos observar na tabela acima que a classe mediana será a terceira, pois ali encontramos o primeiro valor de freqüência acumulada crescente com pelo menos 50% das ocorrências. ocorrências.

3º O valor de ∆ é o valor que deveríamos ter na freqüência simples da classe mediana para conseguir uma freqüência acumulada de 50% (13 ocorrências, em vez das 15 que ali encontramos): Alturas (cm)

50 | 60 60 | 70


Freqüências acumuladas

2 5

2 7

| 80 80 | 90 90 | 100 70

=6

-

13

-

4o Resumindo os valores encontrados e substituindo-os na fórmula que nos dá a mediana temos: = 70 c = 10 f md = 8 ∆= 6 lmd

75 3o A distribuição é assimétrica à esquerda – neste caso, a média aritmética será menor que a mediana e esta, menor que a moda.

 6  Md = 70 + 10 ⋅    8  Md = 70 + 7,5 Md = 77,5 centímetros

f

Determinação Gráfica da Mediana Uma vez que os números de elementos abaixo e acima da mediana são iguais, podemos concluir que a mediana é o valor para o qual as freqüências acumuladas crescente e decrescente são iguais, o que nos permite localizar graficamente a mediana utilizando as ogivas, que são os gráficos que registram as freqüências acumuladas, acumulad as, conforme observamos abaixo. Ogivas - Crescente e Decrescente

x

Md

Mo

Relação de Pearson entre Média Aritmética, Moda e Mediana Se uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classes for unimodal e pouco assimétrica, então pode ocorrer a seguinte relação:

fa c 100% 50%

x − Mo ≅ 3 ⋅ ( x − Md ) Md

A linha vertical traçada a partir do ponto de cruzamento das duas ogivas, indica a localização da mediana sobre o eixo da variável.

Posições Relativas entre Média Aritmética, Moda e Mediana Dada uma distribuição de freqüências unimodal, uma, e somente uma, das três situações abaixo ocorrerá: 1o A distribuição é simétrica – neste caso, teremos um mesmo valor para a média aritmética, a moda e a mediana.

Interpretada graficamente, esta relação mostra que a distância da média aritmética até a moda é o triplo da distância da média aritmética até a mediana. Por ser uma relação empírica, seu uso deve ficar restrito aos casos onde seja expressamente pedida.

Propriedade das Medidas de Posição 1a Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma série, a média aritmética, a moda e as separatrizes (mediana, quartis, decis e centis) ficarão todas adicionadas (ou subtraídas) da mesma constante.

2a Se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma

f

constante todos os valores de uma série, a média aritmética, a moda e as separatrizes (mediana, quartis, decis e centis) ficarão todas multiplicadas (ou divididas) pela mesma constante.

EXERCÍCIOS  MODA 1. A curva “X” “X” represen representa ta uma distrib distribuiçã uiçãoo de freqüência freqüências: s:

Mo = Md = x

2o A distribuição é assimétrica à direita – neste caso, a média aritmética será maior que a mediana e esta, maior que a moda. f

Mo

Md

x

a) bimodal; b) amodal; c) multimodal; d) unimodal.


76 2. A empresa empresa ‘‘Cerrado’ ‘‘Cerrado’’’ distribuiu seus empregados nas faixas salariais abaixo, em salários mínimos: Faixa Salarial (sal. mín (sa mínimos) 1 5 9 13

| 5 | 9 | 13 | 17

Número de Empregados 15 40 10 5

O salário modal da empresa é aproximadamente a) 7 salários mínimos. b) 40 salários mínimos. c) 6,82 salários mínimos. d) 9 salários mínimos. 3. Na série série (50, (50, 80, 70, 70, 50, 40), a moda será: a) 40 b) 50 c) 56 d) 80 4. (ESAF/TTN) (ESAF/TTN) Dada a seguint seguintee distribu distribuição, ição, onde f i é a freqüência simples absoluta da i-ésima classe, então: Classes 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12

f1 2 8 10 8 4

a) a distribuição é simétrica e o número de classes é 5; b) a distribuição é assimétrica e bimodal; c) a média aritmética é 6,4; d) por ser a maior freqüência, a moda é 10; 10; e) o ponto médio médio da 3ª classe classe e a moda são iguais. iguais. 5. (ESAF/TTN)D (ESAF/TTN)Dee acordo acordo com a distribuição distribuição de freqüênfreqüência transcrita a seguir, pode-se afirmar que: Diâmetro (cm) 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12 12 | 14

Freqüências simples absolutas 6 8 12 10 4

A moda da distribuição é aproximadamente igual a a) 9, 9,55 cm. cm. b) 9, 9,77 cm. cm. c) 9,3 cm. d) 9, 9,66 cm. cm. e) 9,4 cm. 6. A série série (40, (40, 60, 60, 70, 70, 80 ,90, ,90, 40, 40, 70) é a) am amod odal al.. b) bim bimoda odal.l. c) uni unimod modal. al. d) mult multimo imodal. dal. A C I T Á M E T A M

7. A mod modaa bru bruta ta é a) o ponto médio médio da classe classe central. central. b) o ponto médio da classe de maior freqüência. c) um ponto médio qualquer qualquer escolhido escolhido arbitrariaarbitrariamente. d) nenhu nenhuma ma das respostas respostas acima. acima.

8. A moda moda de Czube Czuberr é calcula calculada da utilizan utilizando do a) todos os os dados da da distribuição distribuição.. b) os dados centrais centrais da distribuiç distribuição. ão. c) os dados que estão em torno da classe de maior freqüência. d) os dados extremos. 9. Se as freqüência freqüênciass das classes classes adjacen adjacentes tes à classe classe modal modal forem iguais, poderemos afirmar que a) a moda de Czuber Czuber será maior maior que a moda bruta. bruta. b) a moda de Czuber será maior que a moda de King. c) a moda bruta será igual à moda de Czuber Czuber.. d) a moda bruta será maior que a moda de King. 10. Se a freqüência da classe anterior anterior à classe modal for maior que a freqüência da classe posterior à classe modal, poderemos afirmar que a) a moda de King será menor que a moda de Czuber. b) a moda de Czuber será menor que a moda de King. c) a moda de King será menor que a moda bruta. d) as modas de King, Czuber e bruta serão iguais.

EXERCÍCIOS  MEDIANA 1. Na série série (15, 20, 30, 30, 40, 50) 50) há, abaixo abaixo da da mediana mediana a) 2 valo valore res. s. b) 3 valo valores res.. c) 3,5 val valore ores. s. d) 4 valo valores res.. 2. Na série série (10, 20, 40, 40, 50, 70, 70, 30, 0), 0), a mediana mediana será: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 3. (IDR-DF/AF (IDR-DF/AFCE) CE) Um órgã órgãoo público público divide divide suas suas despesas em doze rubricas diferentes. Os valores (em 1.000 reais) orçados por rubrica para o próximo ano, em ordem crescente, são: 20; 22; 28; 43; 43; 43; 61; 61; 61; 64; 72 e 82. Pode-se afirmar, então, que a mediana destes valores é: a) 43 b) 50 c) 52 d) 61 4. A empresa empresa ‘‘Cerrado’ ‘‘Cerrado’’’ distribuiu distribuiu seus empregados nas faixas salariais abaixo, em salários mínimos: Faixa Salarial (Sal. mínimos) 1 | 5 5 | 9 9 | 13 13 | 17

Número de Empregados 15 40 10 5

O salário mediano da empresa é a) 7 salários mínimos. b) 40 salários mínimos. c) 6,82 salários mínimos. d) 9 salários mínimos. 5. (ESAF/TTN (ESAF/TTN)) Considere Considere as media medianas nas dos dos grupos grupos abaixo. Grupo I: 10, 6, 30, 2, 5, 8. Grupo II: 7, 4, 2, 10, 7, 15. Grupo III: 5, 9, 7, 33, 18, 4. Grupo IV: 6, 9, 4, 10, 10, 11.

77 Os grupos que têm a mesma mediana são a) I e II II.. b) II e III III.. c) III e IV IV. d) I e II III. I. e) II e IV IV.. 6. Na série série (20, 30, 30, 40, 60, 60, 50, 80, 80) 80) a mediana mediana será: será: a) 40 b) 50 c) 60 d)800 d)8 7. (ESAF/TT (ESAF/TTN) N) De acordo acordo com com a distribu distribuição ição de de freqüência transcrita a seguir, pode-se afirmar que: Pesos (kg) 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12


A mediana da distribuição é igual a a) 5, 5,20 20kg kg.. b) 5,3 5,30kg 0kg.. c) 5, 5,00 00kg kg.. d) um valor valor inferior inferior a 5kg. 5kg. e) 5,10kg. 8. (ESAF/TT (ESAF/TTN) N) De acordo acordo com com a distribu distribuição ição de de freqüência transcrita a seguir, pode-se afirmar que: Diâmetro (cm) 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12 12 | 14


A mediana da distribuição a) é eqüidistante da média aritmética aritmética e da moda. b) é igual à média média aritmética aritmética.. c) é inferior inferior à média aritméti aritmética. ca. d) coincide com o ponto médio de um intervalo intervalo de classe. e) perten pertence ce a um intervalo intervalo de classe distinto distinto do que contém a média aritmética.

Variância Variân cia (S2 ) A variância é definida como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios calculados em relação à média aritmética dos valores da série. S

2

( x − x ) =∑

2

i

n

Fórmula Breve para o Cálculo da Variância Pode-se demonstrar que a fórmula dada acima é equivalente à seguinte: S

2

= x − ( x ) 2

2

Em palavras: A variância é igual à diferença entre a média aritmética dos quadrados dos valores da série e o quadrado da média aritmética da mesma.

O uso da fórmula acima permite chegarmos ao mesmo resultado da primeira fórmula apresentada, sem necessidade de calcularmos os desvios.

Cálculo da Variância numa Amostra A qualidade da estimativa do valor da variância a partir dos dados de uma amostra sofre influência do número de elementos disponíveis na amostra, tendendo a apresentar resultados menos precisos para amostras com pequeno número de elementos. Para obtermos uma melhor estimativa do valor da variância, devemos empregar um fator de correção: fator de correção de Bessel =

n n −1

Deste modo, ao multiplicarmos o valor resultante de S2 pelo fator de correção de Bessel, obteremos uma estimativa melhor para a variância, usualmente indicada pela expressão S n2−1 : S n2−1

= S2 ⋅

n n −1

Na prática, quando n é grande (n > 30) não há diferença significativa entre os valores obtidos por S2 e por 2 S n−1 , possibilitando, assim, que desprezemos o uso do

fator de correção. Entretanto, deve-se dar preferência ao cálculo de S n2−1 sempre que estivermos trabalhando com uma amostra com menos de 30 elementos, pois desta forma teremos uma estimativa melhor para a variância.

Propriedades da Variância 1a Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma série, a variância permanecerá inalterada.

Exemplo: Calcular a variância da seguinte amostra de idades num grupo de funcionários de certa empresa: 46 anos, 48 anos, 52 anos, 55 anos. Solução: Subtraindo 50 de cada um dos valores da amostra obteremos a nova série: (–4, –2, 2, 5) Nela, a variância será a mesma da série original mas os cálculos serão bem mais “confortáveis”. Usando a fórmula breve (2a fórmula) para o cálculo da variância teremos: Média dos quadrados das idades: x

2

= 16 + 4 + 4 + 25 = 49 = 12,25 anos2 4 4


78 Exemplo: As séries (2, 3, 5, 8, 10) e (40, 41, 43, 46, 48) têm desvios padrões iguais, pois os elementos da segunda podem ser obtidos dos elementos da primeira, adicionando-se 38 a cada um deles.

Quadrado da média de idades: 2 2 2 − 4 − 2 + 2 + 5   1  1  ( x ) =   =   = = 0,0625 anos2 4    4  16 Variância: S n2−1

= ( x 2 − ( x ) )⋅ 2

=   49 − 1   ⋅ 4 = 195 = 16,25 anos2 n − 1  4 16  3 12 n

Observe que a unidade de medida que indicou a variância é anos2 (anos ao quadrado).

2a Se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma constante todos os elementos de uma série, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto daquela constante.

Exemplo: Calcular o desvio padrão da distribuição de diâmetros fornecida na tabela abaixo:

A unidade de medida que expressa uma variância é sempre o quadrado da unidade de medida da variável estudada.

Diâmetros (cm) 10 | 15 15 | 20 20 | 25 25 | 30 30 | 35

2a Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os valores de uma série por uma mesma constante, a variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado do valor daquela constante.

Exemplo: Considere as séries A = (1, 3, 6, 8) e B = (10, 30, 60, 80). Se o valor da variância da série A for igual a 9, 667, qual será o valor da variância da série B?

Solução: A série B pode ser obtida multiplicando-se todos os valores da série A por 10. Deste modo, a variância da série B será igual à variância da série A multiplicada por 102, ou seja:

Solução: Como se trata de uma tabela de distribuição de freqüências com dados agrupados em classes, os cálculos devem ser executados utilizando-se os pontos médios dos intervalos de classes (12,5 , 17,5 , 22,5 , 27,5 e 32,5), com suas respectivas freqüências simples como pesos para os cálculos de média. Se subtrairmos 22,5 de todos os valores dos pontos médios, o desvio padrão não será alterado. Dividindo, em seguida, todos os resultados por 5 (que é a amplitude dos intervalos de classe), o desvio padrão ficará igualmente dividido por 5, mas nossos cálculos serão menos trabalhosos. Assim, teremos a seguinte tabela:

(Variância da série B) = 102 × (V (Variância ariância da série A) (Variância da série B) = 100 × 9,667 = 966,7

Desvio Padrão (S) Vimos Vim os que a unidade de medida de uma variância é igual ao quadrado da unidade de medida da variável estudada. A fim de eliminarmos este inconveniente, criamos uma nova medida de dispersão, o desvio padrão, que é definido como sendo a raiz quadrada da variância, e representado por Sn–1 ou por S, conforme seu cálculo use o fator de correção ou não, respectivamente. S

=

Freq. absolutas simples 2 4 6 5 3

(X–22,5)÷5 –2 –1 0 1 2

S2

Freq. absolutas Simples 2 4 6 5 3

e S n −1

=

Média dos quadrados:

S n2−1

x 2

O desvio padrão indica, em termos absolutos, o afastamento dos valores observados e relação à média aritmética da série estudada. A C I T Á M E T A M

x 2

Propriedades do Desvio Padrão

20

= 2 ⋅ 4 + 4 ⋅1 + 6 ⋅ 0 + 5 ⋅1 + 3 ⋅ 4 = 29 = 1,45 cm2 20

20

Quadrado da média:

1a Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma série, o desvio padrão permanecerá inalterado.

2 2 2 2 2 = 2 ⋅ (−2) + 4 ⋅ (−1) + 6 ⋅ (0) +5 ⋅ (1) + 3 ⋅ (2)

2 2 ( x)2 =   2 ⋅ (−2) + 4 ⋅ (−1) + 6 ⋅ (0) + 5 ⋅ (1) + 3 ⋅ ( 2)   =   3   = 0,0225 cm 2 20 20



  

79 2. Dados os conju conjuntos ntos A = (–2, –1, 0, 1, 2) e B = (30, 35, 40, 45, 50), pode-se afirmar em relação ao desvio padrão em B: a) é igual ao desvio desvio padrão padrão em A; b) é o quíntuplo do valor do desvio padrão de A; c) é o quíntuplo do valor valor do desvio desvio padrão de A, somado com 40; d) é 40 unidades maior que o desvio padrão de A; e) não pode ser ser avaliado a partir do desvio desvio padrão de A.

Variância: Sn2−1

S n2−1 S n2−1

2 = LMN x 2 − d xi OPQ ⋅

n n −1

= (1,45 − 0,0225)⋅ 20 19

= 1,4275 × 1,05263 = 1,50263 cm2

Desvio Padrão:

= S n−1 S n −1 = 1,50263 = 1,2258 cm 2

S n −1

Então o desvio padrão da série dada será o produto do valor encontrado por 5, ou seja: 5 × 1,2258 = 6,129 cm

3. (BACEN-94) (BACEN-94) Em Em certa certa empresa empresa o salário salário médio médio era era de $ 90.000,00, com desvio padrão de $ 10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. Então o desvio padrão dos novos salários passou a ser: a) $ 10.0 10.000, 00,00 00 b) $ 10.100 10.100,00 ,00 c) $ 10.5 10.500, 00,00 00 d) $ 10.900 10.900,00 ,00 e) $ 11.0 11.000,0 00,000

EXERCÍCIOS  DESVIO PADRÃO 1. Determinar o desvio padrão da amostra (10, 10, 11, 11, 11). 1 1 a) 13 b) 14 c) 10,5 d) e) 4 3

Tabelas Financeiras

M

= C ⋅ (1 + i ) n

Tabela 1

Calcula o montante M que resulta do investimento do capital C , após n períodos, com taxa de juros composta de i% ao período. 0,5%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

1

1,00500

1,01000

1,02000

1,03000

1,04000

1,05000

1,06000

1,07000

2 3 4 5 6

1,01003 1,01508 1,02015 1,02525 1,03038

1,02010 1,03030 1,04060 1,05101 1,06152

1,04040 1,06121 1,08243 1,10408 1,12616

1,06090 1,09273 1,12551 1,15927 1,19405

1,08160 1,12486 1,16986 1,21665 1,26532

1,10250 1,15763 1,21551 1,27628 1,34010

1,12360 1,19102 1,26248 1,33823 1,41852

7 8 9 10 11

1,03553 1,04071 1,04591 1,05114 1,05640

1,07214 1,08286 1,09369 1,10462 1,11567

1,14869 1,17166 1,19509 1,21899 1,24337

1,22987 1,26677 1,30477 1,34392 1,38423

1,31593 1,36857 1,42331 1,48024 1,53945

1,40710 1,47746 1,55133 1,62889 1,71034

12 13 14 15 16

1,06168 1,06699 1,07232 1,07768 1,08307

1,12683 1,13809 1,14947 1,16097 1,17258

1,26824 1,29361 1,31948 1,34587 1,37279

1,42576 1,46853 1,51259 1,55797 1,60471

1,60103 1,66507 1,73168 1,80094 1,87298

17 18 19 20 21

1,08849 1,09393 1,09940 1,10490 1,11042

1,18430 1,19615 1,20811 1,22019 1,23239

1,40024 1,42825 1,45681 1,48595 1,51567

1,65285 1,70243 1,75351 1,80611 1,86029

22 23 24

1,11597 1,12155 1,12716

1,24472 1,25716 1,26973

1,54598 1,57690 1,60844

1,91610 1,97359 2,03279

8%

9%

10%

11 %

12 %

13%

1,08000

1,09000

1,10000

1,11000

1,12000

1,13000

1,14490 1,22504 1,31080 1,40255 1,50073

1,16640 1,25971 1,36049 1,46933 1,58687

1,18810 1,29503 1,41158 1,53862 1,67710

1,21000 1,33100 1,46410 1,61051 1,77156

1,23210 1,36763 1,51807 1,68506 1,87041

1,25440 1,40493 1,57352 1,76234 1,97382

1,27690 1,44290 1,63047 1,84244 2,08195

1,50363 1,59385 1,68948 1,79085 1,89830

1,60578 1,71819 1,83846 1,96715 2,10485

1,71382 1,85093 1,99900 2,15892 2,33164

1,82804 1,99256 2,17189 2,36736 2,58043

1,94872 2,14359 2,35795 2,59374 2,85312

2,07616 2,30454 2,55804 2,83942 3,15176

2,21068 2,47596 2,77308 3,10585 3,47855

2,35261 2,65844 3,00404 3,39457 3,83586

1,79586 1,88565 1,97993 2,07893 2,18287

2,01220 2,13293 2,26090 2,39656 2,54035

2,25219 2,40985 2,57853 2,75903 2,95216

2,51817 2,71962 2,93719 3,17217 3,42594

2,81266 3,06580 3,34173 3,64248 3,97031

3,13843 3,45227 3,79750 4,17725 4,59497

3,49845 3,88328 4,31044 4,78459 5,31089

3,89598 4,36349 4,88711 5,47357 6,13039

4,33452 4,89801 5,53475 6,25427 7,06733

1,94790 2,02582 2,10685 2,19112 2,27877

2,29202 2,40662 2,52695 2,65330 2,78596

2,69277 2,85434 3,02560 3,20714 3,39956

3,15882 3,37993 3,61653 3,86968 4,14056

3,70002 3,99602 4,31570 4,66096 5,03383

4,32763 4,71712 5,14166 5,60441 6,10881

5,05447 5,55992 6,11591 6,72750 7,40025

5,89509 6,54355 7,26334 8,06231 8,94917

6,86604 7,68997 8,61276 9,64629 10,80385

7,98608 9,02427 10,19742 11,52309 13,02109

2,36992 2,46472 2,56330

2,92526 3,07152 3,22510

3,60354 3,81975 4,04893

4,43040 4,74053 5,07237

5,43654 5,87146 6,34118

6,65860 7,25787 7,91108

8,14027 8,95430 9,84973

9,93357 12,10031 14,71383 11,02627 13,55235 16,62663 12,23916 15,17863 18,78809


80 PORCENTAGENS 1. c 2. b 3. c 5. d 6. c 7. d 9. d 1 0. c 11. c

GABARITO

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. E, C, E, E, C 2. C, C, C, C, E 3. C, C, E, C, C 4. C, C, E, C, E 5. E, C, C, E, C 6. C, E, E, C, C 7. E, C, E, E, E 8. E, C, C, C, C 9. C, E, C, E, C 10. C, C, E, C, C 11. E, E, E, C, E 12. C, C, C, C, E 13. C, E, E, C, E 14. C, E, C, E, E 15. E, E, E, C, C NÚMEROS INTEIROS 1. a 2. e 3. b 5. d 6. e 7. e 9. a 10. e 11. b 13. c 14. e 15. d 17. c 18. c 19. b 21. e 22. d 23. c

EQUAÇÕES DO 1O GRAU 1. {–8} 2. {2} 3. {1} 4. {7/2} EQUAÇÕES DO 2O GRAU 1. {1 ; –12} 2. {–3 ; 4} 4. {–2 ; 10} 5. {–1/3 ; –1} 7. e 8. a 9. a

4. a 8. c 12. e 16. c 20. a 24. b

3. {–3; 12} 6. c 10 . c

INEQUAÇÕES DO 1O GRAU 1. { x < –8} 2. { x ≥ 2} 3. { x ≥ 1} 4. { x < 7/ 7/2} 2} 5. { x ≠ 0}

RAZÕES E PROPORÇÕES 1. C, C, C, E, E 2. E, C, C, C, E 3. C, E, C, E, C 4. a 5. c 6. e 7. d 8. a 9. b 10. d 11. c 12. e

INEQUAÇÕES DO 2O GRAU 1. { x < –12 ou x > 1} 2. {–3 ≤ x ≤ 4} 3. { x ≠ 3} 4. { x = 8} 5. ∅ FUNÇÕES DO 1º GRAU 1. E, C, C, E, E 2. E, C, C, C, E 3. C, E, C, C, E 4. e

4. a 9. a 14. c

5. a 6. b 7. b 8. d

FUNÇÕES DO 2º GRAU 1. c 2. b 3. d 4. f (x (x) = –x2 + 4x + 5 5. – 7 6. a) v(– v(– 1; 1; – 4); 4); b) b) {y ∈ R / y ≥ – 4}; c) x ≥ –1 7. c 8. b

DIVISÕES PROPORCIONAIS 1. E, C, C, E, E 2. E, C, C, E, C 3. C, E, C, C, C 4. C, C, C, C, C 5. C, E, E, E, C 6. E, C, E, E, C 7. C, E, C, E, E 8. C, E, E, C, E REGRAS DE TRÊS 1. b 2. d 3. e 6. b 7. d 8. e 11. c 12. e 13. b 16.c

5. {0}

SISTEMAS LINEARES 1.a .a)) (3; 2) b) (5; 1) c) (7; 2) d) (4; 3) e) (3 (3;; –1) –1) f) (2 (2;; –2) –2) g) (2 (2;; –1) –1) h) (6 (6;; 1) 1) 2. a 3. b 4. e 5. d 6. a 7. c 8. d 9. a 1 0. b 11. 15/23 12. 13 galinhas e 17 coelhos. 13. 36 14. 6 cobras, 5 sapos, 3 morcegos (e 1 coelho – o paulo coelho) 15.O primeiro é 15, o segundo é 25 e o terceiro é 45. 16. José Antônio tem 28 anos e Antônio José tem 21 anos. 17. x = 22, y = 24 e z = 8 18. O projeto b: $ 225,00 225,00 19.$ 2.816,00 20. a: 1kg; b: 2kg e c: 2kg 2kg 21. c 22. d 23. b

NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1. b 2. c 3. e 4. a 5. d 6. b 7. c 8. e 9. a 10. d 11. b 12. c 13. e 14. a 15. d


4. c 8. b 1 2. b

5. c 10 . c 15. c

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 1. E, C, C, C, C 2. C, C, C, C, E 3. d 4. a 5. c 6. c 7. b 8. b

81 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 1. E, E, C, E, C 2. b 3. d 5. b 6. d 7. b 8. a

4. c 9. e

SISTEMAS DE CONTAGEM 1. a 2. e 3. d 4. b 5. e 6. a 7. b 8. c 9. d 10. b 11. a 12. e 13. b 14. d 15. c 16. a NOÇÕES DE PROBABILIDADE 1. C, C, E, E, E 2. C, E, C, E, C 3. E, C, C, C, C 4. C, C, C, C, C 5. C, E, C, C, C 6. c 7. b 8. d 9. c 10. d 11. a 12. d 13. b 14. a 15. c 16. d SISTEMA DE MEDIDAS 1. d 2. b 3. c 5. e 6. d 7. b 9. a 10. e 11. d 13. c 14. a 15. e 17. b 18. c 19. a 21. d 22. d

4. a 8. c 12. b 16. d 20. e

PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 1. e 2. c 3. b 4. a 5. e 6. d 7. a 8. b 9. e 1 0. a TEOREMA DE PITÁGORAS 1. a) x = 2,4 b) x = 6 c) x = 7, 7,2; 2; y = 9, 9,66 e z = 5, 5,44 d) x = 6; y = 6,4 e z = 3,6 e) e f) e

PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 1.125m3 2. 320m3 3. 96m2 4.36cm3 5. 5 3cm 3 6. 100dm3 7.48cm3 8. π2cm3 9. 26m2 32 π 3 dm 10.100πm3 11. 6cm2 12. 3 32 π 3 cm 13. 14. K3 . V1 15. 64cm3 3 4 3 3 cm 16. 162m3 1 7. 2 m 18. 3 19. 16pcm3 20. 3m GRÁFICOS 1. 46,4 milhões

2. 35%

MÉDIAS 1. C, E, C, C 2. E, E, E, E, E 3. E, C, E, C, E 4. C, C, E, C, E 5. e 6. a 7. a 8. a 9. c MODA 1. c 6. b

2. c 7. b

3. b 8. c

4. e 9. c

MEDIANA 1. a 2. b 5. a 6. b

3. c 7. c

4. c 8. d

5. c 10. c

DESVIO PADRÃO 1. a 2. b 3. e

2. 8 2 cm 3. 6 c m 4. 24 24m m

TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. 2 / 2 2. 3 / 2 3. 3 4. 0,96 5. 0,6 6. 0,6 cm 7. 5 / 5 8. 15/8 = 1,875 9. 40 c m 10. 114,6 cm 11. 1,5 12. 12,6 km 13. a 14. d 15. 2 / 2 16. 7 c m 17. 7cm


matemática PRF

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