Matematica p Prf Aula 01 Aula 01 Prf Problemas de Contagem 28386

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula !

AULA 01: PROBLEMAS DE CONTAGEM SUMÁRIO

PÁGINA

1. Problemas de contagem (análise combinatória)

01

2. Resolução de exercícios

13

3. Questões apresentadas na aula

61

4. Gabarito

77

Prezado aluno, em nossa primeira aula veremos o assunto “Problemas de contagem” do seu edital. Trata-se de um pré-requisito para o estudo da Probabilidade, objeto de nossa aula 02. Assim sendo, o entendimento da aula de hoje é essencial para o bom aproveitamento da próxima aula. Portanto, muita atenção...

1. PROBLEMAS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINATÓRIA) COMBINATÓRIA) 1.1 Contagem e análise combinatória Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis. O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto é: Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24 Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 possibilidades para o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a “escolha do tênis”). Vejamos um um outro exemplo: quantos números números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? Prof. Arthur Lima

www.estrategiaconcursos.com.br

1


Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação: 6 x 6 x 6 = 216 possibilidades E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos: 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na posição A, depois na posição B, e depois na posição C. Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades. Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões “E” e “OU”. Veja como fazer isso: - no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. - para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o Prof. Arthur Lima


2


Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação: 6 x 6 x 6 = 216 possibilidades E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos: 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na posição A, depois na posição B, e depois na posição C. Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades. Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões “E” e “OU”. Veja como fazer isso: - no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. - para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o Prof. Arthur Lima


2


segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4. - já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posição e com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posição. Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à soma, você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais acadêmica, dizemos que: - o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da calça, que independe da escolha do tênis); - o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de ele estar nas demais posições); 1.2 Permutação simples Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas? Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é, temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa já estará ocupando a primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo: Cadeira

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

Possibilidades de ocupação

5

4

3

2

1

Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o número total de formas de sentar as pessoas: Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Prof. Arthur Lima


3


Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra é somente a ordem de posicionamento das pessoas. Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n” posições distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é dada pela fórmula abaixo: P(n) = n! Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial de um número “n” o produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto é: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1 Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos: P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples nos problemas onde a ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vários problemas onde a ordem não torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los de maneira tão simples como a vista aqui. Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL? Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 6 letras, distribuídas entre 6 posições: Posição

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

Letras

6

5

4

3

2

1

Prof. Arthur Lima


4


disponíveis Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a fórmula: P(6) = 6! = 720 1.3 Permutação com repetição Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos outros. Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são idênticos. Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação simples, porém dividir o resultado pelo número de permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repetese 2 vezes, temos: PR (5 ; 3 e 2) =

5! 3!× 2!

=

10 anagramas

Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com repetição de m e p é dada por: PR (n ; m e p ) =

n! m !× p !

1.4 Arranjo simples Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas formas poderíamos fazer isso?

Prof. Arthur Lima


5


Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é dada pela multiplicação abaixo: Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60 Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m” posições (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua fórmula é dada abaixo: A(n, m) =

n!

(n − m)!

Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos: A(n, m) = A(5,3) =

n!

( n − m)! 5!

(5 − 3)!

=

5! 2!

=

5 × 4 × 3 × 2 ×1 2 ×1

A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60

Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria: Cadeira

1ª

2ª

3ª

Ocupante

Beto

Daniela

Eduardo

Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento seria:

Prof. Arthur Lima

Cadeira

1ª

2ª

3ª

Ocupante

Daniela

Beto

Eduardo


6


Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmo lugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para os casos de Permutação e Arranjo. Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um problema de Permutação simples. Isto porque a permutação também é uma ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de permutação n = m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo:

A(n, m) = A(5,5) =

n!

( n − m)! 5!

(5 − 5)!

=

5! 0!

=

5 × 4 × 3 × 2 ×1 1

A(5,5) = 120

1.5 Arranjo com repetição Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de “m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição: A (n, m) = nm (leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m) Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de arranjos abaixo: A( n, m) = n A(4,3) = 4

m

3

A(4,3) = 64 arranjos

Prof. Arthur Lima


7


Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades. 1.6 Combinação Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas, porém agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar? Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinação. Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo: n  n! =   m  m !( n − m ) !

C ( n, m ) = 

n 

Veja que   é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos, m  

m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos: n  n! =   m  m!( n − m )!

C ( n, m ) = 

 5  5! 5! = C (5,2) =   =  2  2! ( 5 − 2 )! 2!× 3!  5  5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 10 C (5, 2) =   = 2 × × × × 2 1 3 2 1  

Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas: - Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo - Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; - Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; - Daniela e Eduardo.

Prof. Arthur Lima


8


A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte: 1. multiplicando os “m” primeiros termos de “n!” 2. dividindo esse resultado por m! No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1): C (5, 2) =

5× 4 2!

=

20 2

=

10

Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n elementos, (n-m) a (n-m): n  n  m = n − m    

1.7 Permutação circular Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto, temos um caso particular de permutação, muito presente em provas de concurso, que é a Permutação Circular. Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:

Prof. Arthur Lima


9


Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal, a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição. Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da permutação circular de n pessoas, que é: Pc (n) = (n-1)! Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa será: Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de ouro”, por exemplo, passaríamos a ter uma orientação espacial em relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular. 1.8 Comentários finais para resolução de exercícios Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, gostaria de gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então resolvê-lo. Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a seguinte pergunta: - a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma escolha/disposição diferente da outra? Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é relevante, não torna uma escolha diferente da outra.

Prof. Arthur Lima


10


Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro colocado com a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma escolha diferente da outra. Feita a pergunta, você tem duas possibilidades: - se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda? - se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem (aquela multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetição. Isto é: - se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação com repetição); - se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo). Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? Portanto, o número de filas seria 5x4x3/2! . E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24. Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. - Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60 - E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120 O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 elementos possíveis), já o arranjo não Prof. Arthur Lima


11


envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?) Se você entendeu a explicação acima, conseguirá resolver a grande maioria das questões. Ah, e preste atenção nas resoluções onde misturo a fórmula de combinação com o princípio fundamental da contagem, pois estas são as questões mais difíceis, ok?

Prof. Arthur Lima


12


2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 1. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptaçes!.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. RESOLUÇÃO: Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa, devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total de grupos possíveis: 30 × 29 × 28 C (30,3) = = 10 × 29 × 14 = 4060 3 × 2 ×1 Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO. Resposta: C

Prof. Arthur Lima


13


2. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. RESOLUÇÃO: ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a 2, para escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este número de combinações pelo número de combinações dos 2 candidatos restantes para ocupar a última vaga. Isto é: C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6 Item CORRETO. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. Para que uma lista contenha Alberto, e não contenha nem Bento nem Carlos, existe uma única possibilidade: Alberto e mais os 2 candidatos restantes. Analogamente, para que uma lista contenha Bento e não contenha nem Alberto e nem Carlos, a única possibilidade é: Bento e mais os 2 candidatos restantes. Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a única opção é ela ser formada por Carlos e os 2 candidatos restantes. Ao todo, temos exatamente 3 listas possíveis com o nome de apenas um dos 3 rapazes citados. Item CORRETO.

Prof. Arthur Lima


14


( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. A combinação de 5 pessoas, 3 a 3 é: C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10 Item ERRADO. Resposta: C C E 3. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. RESOLUÇÃO: ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100. Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120. Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2 disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis.

Prof. Arthur Lima


15


Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Logo, o total de maneiras de compor as equipes é dado por: C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48 Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO. Resposta: C E 4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. RESOLUÇÃO: Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher, temos 2 possíveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem. Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo. 

2 homens e 1 mulher:

Para escolher 2 homens em um total de 4 disponíveis, basta calcular a combinação de 4, 2 a 2:  4 4 ×3 C (4, 2) =   =  2  2 ×1

=

6

E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como você pode comprovar abaixo: 6 6 C (6,1) =   = = 6  1  1!

Prof. Arthur Lima


16


Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar 2 homens e 1 mulher. 

2 mulheres e 1 homem:

Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponíveis, basta calcular a combinação de 6, 2 a 2: 

6 6×5 C (6, 2) =   =  2  2 ×1

=

15

E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como você pode comprovar abaixo: 

 4 4 C (4,1) =   = = 4  1  1!

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de agrupar 2 mulheres e 1 homem.

Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionários, respeitando as condições do enunciado. Resposta: C

5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25 RESOLUÇÃO: Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2 mulheres. Prof. Arthur Lima


17


No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5 homens, 1 a 1: C (3,1) = 3 C (5,1) = 5

Portanto, é possível formar 3 x 5 = 15 equipes distintas. No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2: C (3, 2) =

3×2 2 ×1

=

3

Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18 equipes distintas. Resposta: D

6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120 RESOLUÇÃO: Veja no esquema abaixo as possibilidades de retiradas, e suas respectivas explicações: Retirada 1

89

Retirada 2

possibilidades

88 possibilidades

(pois a caixa 20 não pode estar aqui, só na retirada 3)

(pois nem a caixa 20 nem a da retirada 1 podem estar aqui)

Retirada 3

1 possibilidade (caixa 20)

Retirada 4

87 possibilidades (90 menos a caixa 20 e as das retiradas 1 e 2)

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:

Prof. Arthur Lima


18

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula ! Possibilidades = 89 × 88 × 1 × 87 = 681384

Resposta: A

7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5 RESOLUÇÃO: Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis e amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode “dar o azar” de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5ª meia da gaveta, ela necessariamente será de uma das 4 cores que ele já tirou. Assim, ele certamente conseguirá formar um par de meias da mesma cor. Isso mostra que é preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter certeza de obter um par da mesma cor. Resposta: E

8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 Prof. Arthur Lima


19


c) 2800 d) 3006 e) 3005 RESOLUÇÃO: Se temos 15 questões e, delas, queremos separar um grupo de 10 questões para resolver, basta calcular a combinação de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das questões não importa: escolher as questões 1, 3 e 5 é igual a escolher as questões 3, 5 e 1. Para calcular de uma forma mais fácil a combinação de 15, 10 a 10, você precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje): C (15,10) = C (15,5)

Assim, C (15,10) = C (15,5) =

15 × 14 × 13 ×12 ×11 5 × 4 × 3 × 2 ×1

=

3003

Ana pode escolher 10 das 15 questões de 3003 formas distintas. Resposta: A

9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 RESOLUÇÃO:

Prof. Arthur Lima


20


Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final. Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso, considere o desenho abaixo: Posição 1

Posição 2

Posição 3

6 possibilidades (pois Denise já é a última)

5 possibilidades

4 possibilidades

Posição 4 1 possibilidade (Denise)

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120 possibilidades de formar fila com Denise no final. Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, é importante lembrar que Denise não pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5 possibilidades para a posição 1 (pois Ana já está no final, e Denise não pode ser a primeira). Para a posição 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos incluir Denise). E para a posição 3, temos 4 possibilidades (pois já colocamos uma pessoa nas posições 1, 2 e 4): Posição 1

Posição 2

Posição 3

5 possibilidades (pois Denise não pode ser a primeira)

5 possibilidades

4 possibilidades

Posição 4 1 possibilidade (Ana)

Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O raciocínio é análogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto é, teremos mais 100 possibilidades em cada caso. Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades. Resposta: A

10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem. ( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .

Prof. Arthur Lima


21


( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880. RESOLUÇÃO: ( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 . O objetivo aqui é formar conjuntos de 8 dígitos, usando apenas 0 e 1, de forma que três dígitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dígitos iguais a 1. Uma possibilidade seria: 00011111 Veja que é preciso permutar esses 8 dígitos, e há a repetição de três (0) e de cinco (1). Utilizando a fórmula da permutação com repetição, temos: P (8;3,5) =

8! 8 × 7 × 6 × 5! 8 × 7 × 6 = = = 56 3!5! 3!5! 3!

Veja que esse número é superior a 50. Item CORRETO. ( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880. Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos e depois o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso temos a permutação simples dos 6 dígitos disponíveis: P(6) = 6! = 720 No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o uso de apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5 dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de senhas possíveis será dado pela permutação de 6 caracteres, com a repetição de 2:

Prof. Arthur Lima


22


P (6;2) =

6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2! = = 360 2! 2!

Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total de 6 dígitos disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5: C(6;5) = C (6;1) = 6 Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de 2, é dada por 6 x 360 = 2160. Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO. Resposta: C C

11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. ( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512. RESOLUÇÃO: O número de sequências nas quais temos pelo menos 1 cara é igual ao total de sequências possíveis menos o número de sequências onde não temos nenhuma cara. Vejamos: 

total de sequências possíveis: Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada lançamento, o total é: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 2 10 = 1024.



total de sequências sem nenhuma cara: Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os lançamentos. Tratase de uma única possibilidade.

Prof. Arthur Lima


23


Portanto, o número de sequências com pelo menos 1 cara é igual a 1024 – 1 = 1023. Este número é superior a 512, tornando o item ERRADO. Resposta: E

12. CESPE – MDS – 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos. ( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. ( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. Para obter anagramas que não possuam duas vogais juntas, é preciso contar apenas aqueles anagramas onde tenhamos uma consoante separando duas vogais consecutivas, como é o caso na palavra EXECUTIVO. Em resumo, devemos permutar as vogais apenas entre elas (nas posições ocupadas por vogais na palavra EXECUTIVO), e as consoantes entre elas. Veja exemplos de permutação possíveis: - trocando apenas vogais: IXOCUTEVE - trocando apenas consoantes: EVECUTIXO - trocando vogais e consoantes, mantendo uma consoante entre duas vogais: IVOCUTEXE. No caso das vogais, temos 5 letras com a repetição de 2 letras E. Portanto, o total de permutações de vogais é: 5! P (5;2) = = 60 2!

Prof. Arthur Lima


24


No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetição. O número de permutações de consoantes é: P(4) = 4! = 24 Observe que, para cada uma das 60 permutações possíveis das vogais, devemos contabilizar as 24 permutações possíveis das consoantes. Portanto, o total de permutações das letras de EXECUTIVO (obedecendo a regra do enunciado) é dado por: 60 x 24 = 1440 Esse valor é inferior a 1500, tornando o item CORRETO. ( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas diferentes de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3 possibilidades de pratos, 4 de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO. Resposta: C E

13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar. RESOLUÇÃO: Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia (qualquer um dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes em Minas, é preciso calcular o número de combinações de 12 restaurantes, 2 a 2: C (12,2) =

Prof. Arthur Lima

12 × 11 = 66 2!


25


(usamos a combinação pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes não importa. Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par {A,B} a ser visitado em Minas, é igual a escolher o restaurante B e o restaurante A neste mesmo Estado) Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em São Paulo, temos outras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de escolher 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. O número total de possibilidades é dado pela regra do produto: 5 x 66 x 66 x 6 = 130680 Este número é (bem) superior a 3800, portanto o item está CORRETO. Resposta: C Obs.: essa questão é uma exceção ao estilo CESPE. Quando temos questões como essa, onde o enunciado diz “terá mais de 3.800 maneiras” , o normal é você encontrar um resultado ligeiramente acima ou abaixo de 3.800 (tornando o item C ou E, respectivamente). Quando você encontrar um resultado muito diferente do valor “sugerido” no enunciado, muito cuidado: revise a sua resolução, verifique se não errou algum cálculo.

14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações. RESOLUÇÃO: Numa questão como essa, normalmente você poderia pensar em calcular a combinação dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi mencionada uma ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha dos programas passa a ser relevante. Assim, devemos calcular o arranjo de 14 programas, 4 a 4, ou seja, 14x13x12x11 = 24024 possibilidades. Prof. Arthur Lima


26


Trata-se de um número menor que 30mil, portanto o item está ERRADO. Resposta: E Obs.: se você resolvesse através da fórmula da combinação, encontraria C(14,4) = 1001, que é um número MUITO menor que 30mil, valor “sugerido” pelo CESPE. Com isso, você deveria, no mínimo, desconfiar que a sua resolução pudesse estar incorreta (apesar de que, neste exercício, ainda assim você acertaria o gabarito).

15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. ( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. ( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 10 4. RESOLUÇÃO: ( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. Trata-se da combinação de 5 benefícios, 3 a 3, que é: C(5,3) = C (5,2) =

5×4 = 10 2!

De fato existem menos de 12 escolhas possíveis. Item CORRETO.

Prof. Arthur Lima


27


( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 10 4 . Chamando o benefício “renda por invalidez” de A, “pensão por morte” de B, “pecúlio por morte” de C, “pecúlio por invalidez” de D e “aposentadoria” de E, teremos 3 A, 2 B, 2 C, 2 D e 1 E. Devemos permutar entre os 10 grupos esses 10 benefícios, sabendo que temos repetição de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D: P (10;3,2,2,2) =

10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3! = 3!2!2!2! 3!× (2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 75600 2 Este número é superior a 70.000 (7 x 10 4), logo o item está ERRADO. Resposta: C E P (10;3,2,2,2) =

16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário, Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor Filme Júri Popular. Internet: (com adaptações). A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem, julgue os itens subseqüentes. ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras possíveis para se formar essa comissão. Prof. Arthur Lima


28


( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103. ( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas. RESOLUÇÃO: ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras possíveis para se formar essa comissão. O número de comissões de 3 integrantes retirados de um total de 50 é dado pela combinação: 50 × 49 × 48 = 19600 C (50,3) = 3! Esse número é inferior a 20mil, portanto o item está CORRETO. ( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 10 3 . Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e 11 para o terceiro, totalizando: 13 x 12 x 11 = 1716 Esse número é inferior a 2000 (2x103), portanto o item está CORRETO. ( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,

Prof. Arthur Lima


29


respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas. Esse correspondente tem 8 possibilidades para escolher o Melhor Filme e 3 possibilidades para o Melhor Documentário, totalizando 8 x 3 = 24 maneiras distintas de votar. Este número é superior a 20, portanto o item está CERTO. Resposta: C C C

17. CESPE – Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem. ( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60. ( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 103. ( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. ( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60. Se queremos apenas os casos que começam e terminam em R, devemos, em realidade, permutar apenas as letras E, P, E, T, I. Temos, portanto, a permutação de 5 letras com a repetição de 2, totalizando: P (5;2) =

5! = 60 possibilidades 2!

Item CORRETO.

Prof. Arthur Lima


30


( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 10 3 . A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas é igual ao total de senhas possível menos a quantidade de senhas que não possuem letras repetidas. Assim, temos: 

total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576



quantidade de senhas que não possuem letras repetidas: 26x25x24 = 15600

Portanto, o número de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3 letras repetidas) é simplesmente 17576 – 15600 = 1976. Este valor é inferior a 2x103, portanto o item está ERRADO.

( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repetições da letra V e 3 repetições da letra E. Normalmente consideraríamos que, ao trocar uma letra V pela outra, ou uma letra E pela outra, temos em realidade um único anagrama. Entretanto, o enunciado mandou incluir as repetições, ou seja, considerar que ao trocar uma letra V pela outra e/ou trocar uma letra E pela outra, cada alteração dessas deve ser considerada uma permutação distinta. Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemos considerar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou trocamos um E por outro. O número de permutações das duas letras V entre si é igual a P(2) = 2! = 2. E o número de permutações das 3 letras E entre si é igual a P(3) = 6. Para cada permutação das letras V, devemos contabilizar as 6 permutações da letra E. Ao todo, temos 2 x 6 = 12 permutações onde são trocadas apenas as posições das letras V entre si mesmas e/ou as posições das letras E entre si mesmas.

Prof. Arthur Lima


31


Item ERRADO.

( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras. Temos 6 letras distintas nessa palavra. Para saber o número de pares que podemos formar, basta calcular o número de combinações destas 6 letras, 2 a 2: C(6,2) = 15 Este número é inferior a 300, portanto o item está ERRADO. Mesmo se considerássemos que a ordem das letras torna um par diferente do outro, teríamos 6 x 5 = 30 possibilidades apenas. Resposta: C E E E

18. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. RESOLUÇÃO: Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 O número de maneiras de formar grupos de 3 homens com 30 disponíveis é a combinação de 30, 3 a 3:

Prof. Arthur Lima


32


C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! = 30 x 29 x 28 / 6 C(30,3) = 5 x 29 x 28 = 4060 Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO. Resposta: C 19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum evento. ( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104 RESOLUÇÃO: Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das dezenas e 10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades, totalizando 6 x 10 = 60 possíveis números de dois algarismos para o primeiro sorteio. Após sortear o primeiro número, sobram apenas 5 possibilidades para o algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo número a ser sorteado. A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32 possibilidades para o terceiro número a ser sorteado. Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x 32 = 86400 possibilidades de sortear 3 números de dois algarismos. Muito cuidado, pois a resolução não termina aqui (embora quem parasse aqui acertasse o gabarito, por mera coincidência). A regra do produto, que utilizamos acima, é válida quando a ordem dos números sorteados torna um conjunto de 3 números diferente de outro. Entretanto, sabemos que o conjunto {21, 15, 07} é igual ao conjunto {07, 21, 15}, que é igual ao {15, 07, 21} e às demais permutações destes 3 números. Isto porque em qualquer

Prof. Arthur Lima


33


desses casos o ganhador do sorteio será aquela pessoa que tiver, em qualquer ordem, estes três números em sua cartela. A permutação de 3 números é P(3) = 3! = 6. Portanto, devemos dividir as 86400 possibilidades encontradas através da regra do produto por 6, para evitar somar repetidas vezes um mesmo conjunto de 3 números. Dessa forma, temos: 86400 / 6 = 14400 Portanto, existem 14400 formas de sortear 3 números de dois algarismos seguindo a regra proposta no enunciado. Este número é superior a 10.000 (10 4) . Item ERRADO. Resposta: E 20. CESPE – TRE/BA – 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos. RESOLUÇÃO: CORREGEDOR possui 10 letras, com a repetição de 2 letras O, 3 letras R, 2 letras E. O número de anagramas desta palavra é calculado pela fórmula de permutação com repetição: P (10;2,3,2) =

10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3! = 2!3!2! (2 × 1) × 3!× (2 × 1)

P (10;2,3,2) = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151200

Item CERTO. Resposta: C. 21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir: ( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.

Prof. Arthur Lima


34


( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais bairros. RESOLUÇÃO: 

PRIMEIRO ITEM:

Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir 15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5 bairros. A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário:  15  15 ×14 ×13 ×12 ×11 = 3003  = 5 × × × × 5 4 3 2 1  

Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10 bairros, dos quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário. A combinação de 10 bairros, 5 a 5, nos dá o número de formas de efetuar essa distribuição:  10  10 × 9 × 8 × 7 × 6  =  5  5 × 4 × 3 × 2 ×1

=

252

Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último funcionário. Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:  5   =1  5

Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do primeiro funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do segundo funcionário e pelo número de formas de distribuir os bairros do último funcionário, temos: 3003× 252 ×1 = 756756

Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.

Prof. Arthur Lima


35

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula ! 

SEGUNDO ITEM: o funcionário pode visitar os 2 bairros da região A e, a seguir, os 3 bairros da região B, ou vice-versa. Vamos calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem importa. Portanto, trata-se de um caso de permutação. - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 2 bairros da região A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2. - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 3 bairros da região B? P(3) = 3! = 6 - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar as 2 regiões? Ora, ele pode ir primeiro na região A e depois na B, ou vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que é justamente P(2).

Como temos 2 formas de visitar as regiões, e, dentro das regiões, 2 formas de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o total de formas de visitar todos os bairros é: 2 x 2 x 6 = 24. Item CORRETO. Resposta: E C

22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir. ( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados. ( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1). RESOLUÇÃO:

Prof. Arthur Lima


36

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula ! 

PRIMEIRO ITEM: quando o exercício diz que o código tem 2 dígitos, o primeiro dígito não pode ser o zero, pois nesse caso teríamos, na verdade, um número de apenas 1 dígito. Portanto, os códigos possíveis são aqueles que tem, no algarismo das dezenas, de 1 a 9 (9 possibilidades), e no algarismo das unidades, de 0 a 9 (10 possibilidades). Assim, ao todo temos 90 possibilidades de código. Como eram apenas 79 caixas de correspondência, 11 códigos não precisaram ser utilizados. CORRETO.



SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possível formar 10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 10 2 pares de 2 algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela quantidade de grupos de algarismos (10 2) já temos 106 possibilidades, que é um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item está ERRADO. Por fins didáticos, vamos prosseguir com a resolução. Teremos um código da seguinte forma: LLLL / / NN Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (10 4) pela de números (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e números podem estar em qualquer posição. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um código distinto, apesar de usar as mesmas letras e números: QRST//12 QRST12// Q/RS/T12 Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos, precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para piorar, tratase de uma permutação com repetição, pois a barra se repete. Temos, assim,

Prof. Arthur Lima


37

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula ! PR(8, 2) =

8! 2!

=

20160

Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos. Resposta: C E

23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a: a) 263 x 10 x 9 x 8 b) 263 x 103 c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 d) 26 x 25 x 24 x 10 3 RESOLUÇÃO: Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três primeiras lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes por números. Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades. Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10 x 10 = 103 possibilidades. Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 10 3 possibilidades de senhas. Resposta: D Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso onde podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o caso onde

Prof. Arthur Lima


38


podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso onde não podemos repetir nem letras e nem algarismos.

24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. RESOLUÇÃO: Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é equivalente a colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a ordem das equipes não importa. Estamos diante de um problema de combinação. O número de maneiras de se combinar 11 equipes em grupos de 5 é dado por: 11 11× 10 × 9 × 8 × 7 = 462 C (11,5) =   = × × × × 5 5 4 3 2 1  

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que formarão o grupo A será SUPERIOR a 400. Resposta: E

25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Internet: (com adaptações). Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. ( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. RESOLUÇÃO:

Prof. Arthur Lima


39


Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 – 6) não estão na fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão escolhidas pela organização criminosa. O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado por: C(11,6) = C (11,5) =

11× 10 × 9 × 8 × 7 5 × 4 × 3 × 2 ×1

=

462

Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO. Resposta: E

26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes. ( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região CentroOeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos. ( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é inferior a 50. ( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o

Prof. Arthur Lima


40


relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200. RESOLUÇÃO: 

PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões para colocar em cada uma. Todos os processos de uma mesma região devem ficar na mesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo:

Prateleira 1

Prateleira 2

Prateleira 3

Prateleira 4

Prateleira 5

5 possibilidades

4 possibilidades

3 possibilidades

2 possibilidades

1 possibilidade

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas de dispor os processos de cada região numa mesma prateleira. Imagine a seguinte distribuição: Prateleira 1

Prateleira 2

Prateleira 3

Prateleira 4

Prateleira 5

Região Norte (3 processos)

Região Nordeste (3 processos)

Região Sul (2 processos)

Região Sudeste (1 processo)

Região Centro-Oeste (2 processos)

Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da região Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a região Sudeste. Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última tabela, teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira. Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada região nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO. 

SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para transportar cada um dos agentes. A ordem não importa, o que interessa é escolher 3 dos 8 veículos disponíveis disponíveis para transportar os agentes. agentes. Isto é, precisamos calcular a combinação de 8 veículos em grupos de 3: 8×7×6 = 56 C (8, 3) = 3 × 2 ×1

Prof. Arthur Lima


41


Item ERRADO. 

TERCEIRO ITEM: O número de formas de escolher 3 agentes em um grupo de 7 é dado pela combinação de 7, 3 a 3 (pois a ordem não importa):

7× 6×5 = 35 3 × 2 ×1 Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em uma função: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir é diferente de colocar o agente A para redigir e o agente B para coordenar. Assim, para a primeira função, temos 3 possibilidades (qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades. Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de escolher os agentes. Item ERRADO. Resposta: C E E C (7, 3) =

Com relação a análise combinatória, julgue os itens 27. CESPE – ANAC – 2009) 2009) Com que se seguem. ( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. ( ) Considerando que: um anagrama de uma uma palavra é uma permutação permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B.

Prof. Arthur Lima


42


( ) Considere a seguinte situação situação hipotética. Há 6 estradas estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400. ( ) O número de comissões comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210. RESOLUÇÃO: 

PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 de destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vôos possíveis para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo, temos outros 7 vôos possíveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84 vôos (que é múltiplo de 12). Item CERTO.



SEGUNDO ITEM: Veja ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e 3 O. Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de 9 letras, com a repetição de 2 e de 3: 9 ! 362880 = = 30 240 3! 2! 12 Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só quer os anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e termine com uma das 3 vogais. Portanto, temos t emos o seguinte esquema: P (9; 3, 2) =

1ª letra

2ª letra

3ª letra

4ª letra

5ª letra

6ª letra

4 opções (consoantes)

7ª letra

3 opções (vogais)

Da 2ª à 6ª letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras restantes. Portanto, temos: 1ª letra

2ª letra

4 opções 5 opções (consoantes)

Prof. Arthur Lima

3ª letra

4ª letra

5ª letra

6ª letra

7ª letra

4 opções

3 opções

2 opções

1 opção

3 opções (vogais)


43


Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de TURBINA que atendem as condições do enunciado. Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto é, A = 21B. Item CERTO.



TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:

Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes formas: 1) A  B  C  A 2) ACA 3) ACBA 4) A BCBA Calculando as probabilidades de cada caso, temos: 1) 6 x 3 x 2 = 36 2) 2 x 2 = 4 3) 2 x 3 x 6 = 36 4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324 Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item CERTO.



QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comissões contendo 2, 3 e 4 pilotos. Podemos também calcular o total de comissões possíveis

Prof. Arthur Lima


44


com os 11 funcionários e subtrair deste total aquelas que não possuem piloto ou possuem apenas 1 piloto. Para exercitar, vamos utilizar o segundo método. O total de combinações de 11 pessoas, 4 a 4, é dado por: C (11,4) = 330 Já o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto é, sem nenhum piloto, é dado pela combinação dos 6 co-pilotos, 4 a 4: C (6,4) = 15 Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-pilotos é dado pela multiplicação entre a combinação de 5 pilotos, 1 a 1, pela combinação de 6 co-pilotos, 3 a 3: C(5,1) × C (6,3) = 100 Portanto, o total de combinações que possuem 2 ou mais pilotos é: 330 – 15 – 100 = 215 Como este valor é superior a 210, o item está CERTO. Resposta: C C C C 28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem. ( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

Prof. Arthur Lima


45


( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. ( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. RESOLUÇÃO: 

PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinação de 12 nomes em pares de 2: C (12,2) = 66 Item CERTO.



SEGUNDO ITEM: para a primeira agência, podemos combinar os 12 funcionários, 4 a 4. Já para a segunda agência, sobram 8 funcionários para serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira agência sobram 4 funcionários. Até aqui, temos: C (12, 4) = 495 C (8,4) = 70 C (4,4) = 1

Portanto, até aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. Só isso já é superior a 495, portanto o item está ERRADO. 

TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutação de 7 faixas, com a repetição de 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a fórmula da permutação com repetição, temos: 7! = 140 P (7;3,3) = 3!3! Isto é, existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item CERTO.

Resposta: C E C

Prof. Arthur Lima


46


29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. RESOLUÇÃO: Vamos imaginar o pior caso possível. Imagine que, ao retirar 4 processos, foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. Prosseguindo, após retirar mais 4 processos, demos o “azar” de tirar mais 1 processo de cada tipo, totalizando 2 processos de cada tipo. Prosseguindo neste raciocínio, pode ser que, após retirar 36 processos, tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o próximo processo (o 37º), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto é, é preciso tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 10 são do mesmo tipo. Item ERRADO. Resposta: E 30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem. ( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis. ( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda.

Prof. Arthur Lima


47


Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda. ( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela. ( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000. RESOLUÇÃO: 

PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 algarismos com as 3 letras disponíveis e os 4 algarismos disponíveis. Veja que o exercício não disse que as letras ou os algarismos deviam ser distintos, isto é, pode haver repetição. Pensando numa senha do tipo L L L – N N N N, onde a letra “L” simboliza uma letra e a letra “N” simboliza um algarismo, sabemos que temos 3 possibilidades para preencher cada “L”, e 4 possibilidades para preencher cada “N”. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 = 6912 possibilidades. Isto é, BEM MAIS que 140 placas distintas. Item CERTO.



SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praça para fazer a sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 formas de escolher um centro de saúde. Portanto, ao todo o policial pode escolher um conjunto praça-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 formas distintas. Item ERRADO.



TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobrarão exatamente 2 celas vazias, afinal devemos colocar um presidiário apenas por cela. Portanto, precisamos resolver este item em 2 etapas: - escolher 8 das 10 celas para preencher com presidiários. Para isso, devemos combinar 10 celas, 8 a 8: C(10,8) = C (10,2) = 45

Prof. Arthur Lima


48


- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidiários entre as celas, calculando a quantidade de forma de dispô-los: P (8) = 8! = 40320 Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma dessas formas, temos 40320 formas de dispor os presidiários. Assim, ao todo temos: 45 x 40320 = 1.814.400 Item CERTO. QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a repetição de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas é dada pela permutação de 9, com repetição de 2: 9! P (9;2) = = 181440 2! Isto é, temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO. Resposta: C E C E 

31. CESPE – SECONT/ES – 2009) Com respeito à quantidade de possibilidades de ocorrência de um evento, julgue os itens que se seguem. ( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas. ( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13. RESOLUÇÃO:

Prof. Arthur Lima


49


( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas. Para formar senhas de 3 algarismos distintos com os 7 algarismos disponíveis (de 1 a 7), temos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades. Distribuindo uma senha para cada um dos 152 empregados, sobram 210 – 152 = 98 senhas. Item CERTO. ( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13. Se temos 3 opções de instrumentos, 5 de dificuldades e 5 de músicas, ao todo temos 3 x 5 x 5 = 75 possibilidades de configuração. Item ERRADO. Resposta: C E 32. CESPE – SECONT/ES – 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela, duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens. ( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes. ( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os homenageados no palco. RESOLUÇÃO: ( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes. Prof. Arthur Lima


50


Sejam as cadeiras 1 a 9, numeradas da esquerda para a direita. Se Daniela sempre estará logo à direita de Joaquim, uma forma de acomodá-los seria Joaquim se sentar na cadeira 1 e Daniela na 2, ou Joaquim na 2 e Daniela na 3, e assim por diante. Note que Joaquim não pode se sentar na cadeira número 9 (pois não haveria lugar para Daniela à sua direita). Ou seja, Joaquim pode se sentar em qualquer das cadeiras 1 a 8, deixando a cadeira da direita para Daniela. Assim, existem 8 formas de acomodá-los. Item ERRADO. ( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os homenageados no palco. A pessoa mais velha deve se sentar na cadeira do meio (cadeira 5, ou C5 no desenho), ficando 4 cadeiras de cada lado: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 Veja que Joaquim e Daniela não podem ser separados. Portanto, ou os dois ficam do lado direito (3 possibilidades, pois Joaquim só poderia se sentar em C1, C2 ou C3 para Daniela ficar à sua direita), ou os dois ficam do lado esquerdo (outras 3 possibilidades, pois Joaquim não pode se sentar na cadeira C9). Para cada uma dessas 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, sobram outras 6 cadeiras para os demais. Permutando-os, temos P(6) = 6! = 720 possibilidades. Assim, para cada uma das 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, temos 720 permutações possíveis para os demais. Ao todo, temos 6 x 720 = 4320 possibilidades, ou seja, menos de 4400. Item CERTO. Resposta: E C 33. CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de buracos que representam números. As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças, Prof. Arthur Lima


51


denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine , em que as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças. M. Lugo. How to play better dominoes. New York: Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações). A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes. ( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças. ( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. ( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 28! jogadores de maneiras distintas. (7!)4 ( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas. RESOLUÇÃO: ( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças. Veja que, se temos 7 possibilidades de números, como no dominó tradicional, o número de peças é dado pela soma de: - peças com as combinações dos 7 números disponíveis, 2 a 2: C(7,2) = 21 - 7 buchas, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 7 Assim, ao todo temos 21 + 7 = 28 peças no dominó tradicional. No dominó com 13 possibilidades de números (de 0 a 12), teremos a soma de: - peças com as combinações dos 13 números disponíveis, 2 a 2: C(13,2) = 78 - 13 peças, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 13 Assim, temos 78 + 13 = 91 peças no dominó proposto. Item ERRADO. Prof. Arthur Lima


52


( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. Aqui temos a permutação circular de 4 jogadores em torno da mesa, que é dada por: Pc(4) = (4 – 1)! = 3! = 6 Item CERTO. ( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 jogadores de

28! maneiras distintas. (7!)4

O número de formas que o primeiro jogador pode tirar 7 peças em 28 é dado pela combinação C(28,7). Para o segundo jogador, sobram 21 peças na mesa, das quais ele pode tirar 7. O número de maneiras de ele tirar é dado por C(21,7). O terceiro jogador pode tirar suas 7 peças, dentre as 14 restantes, de C(14,7) formas. E o último jogador possui C(7,7) formaS de retirar as 7 peças restantes. Para saber o total de maneiras de o primeiro E o segundo E o terceiro E o quarto retirarem suas peças, devemos multiplicar as probabilidades acima: Total = C(28,7) x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7) n ! Lembrando que C(n, m ) = , então temos: m !(n − m )! Total =

28! 21! 14! 7! × × × 7!(28 − 7)! 7!(21− 7)! 7!(14 − 7)! 7!(7 − 7)! Total =

28! 21! 14! 7! × × × 7!(21)! 7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!

Total =

28! 1 1 1 28! × × × = 7! 7! 7! 7! (7!)4

Item CERTO. Obs.: lembre-se que 0! = 1, por definição.

Prof. Arthur Lima


53


( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas. Vamos imaginar que o primeiro jogador ficou com as 7 buchas. Para o segundo jogador, temos 21 peças disponíveis, totalizando C(21,7) formas de pegar as peças. Para o próximo, C(14,7), e para o último, C(7,7). Assim, o total de formas de distribuir as peças de modo que um jogador fique com as 7 buchas é dado pela multiplicação: Total = 1 x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7) Total = 1×

21! 14! 7! × × 7!(21 − 7)! 7!(14 − 7)! 7!(7 − 7)!

Total = 1×

21! 14! 7! × × 7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!

Total = 1×

21 1 1 21! × × = 7! 7! 7! (7!)3

Para verificar se este número é maior que 100 milhões, vamos desenvolvê-lo: Total =

21× 20 × 19 × 18 × 17 ×16 × 15 × 14 ×13 ×12 ×11 ×10 × 9 × 8 × 7! (7!)3

Total =

21× 20 × 19 × 18 × 17 × 16 ×15 × 14 ×13 × 12 ×11 ×10 × 9 × 8 (7!)2

Total =

21× 20 × 19 × 18 × 17 × 16 ×15 × 14 ×13 × 12 ×11 ×10 × 9 × 8 5040 × 5040

Total =

21× 20 × 19 × 18 × 17 ×16 × 15 × 14 × 13 ×12 ×11 ×10 × 9 × 8 25401600

Este número acima é superior a 100 milhões. Item CERTO. Resposta: E C C C 34. CESPE – TRE/BA – 2010) Os 100 empregados de uma empresa foram convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da empresa. O Prof. Arthur Lima


54


empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I ou a cédula II. Caso ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de logotipo, na ordem de sua preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª – 5 pontos; 2.ª – 4 pontos; 3.ª – 3 pontos; 4.ª – 2 pontos; 5.ª – 1 ponto. Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5 opções, e cada uma receberá 3 pontos. Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes. ( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de votos distintos possíveis para cada empregado é igual a 130. RESOLUÇÃO: Se o empregado escolher a cédula I, ele deverá listar as 5 opções em ordem. Como ele não pode repetir a mesma opção em mais de uma posição da cédula, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de preencher essa cédula. Se o empregado escolher a cédula II, ele deverá escolher 3 das 5 opções, que terão a mesma pontuação. Isto é, neste caso, a ordem de preenchimento não importa. Assim, o número de formas de escolher 3 das 5 opções disponíveis é dado por C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10. Assim, ao todo temos 120 fórmulas de preencher a cédula I e 10 formas de preencher a cédula II. Ao todo, cada empregado tem 130 formas diferentes de votar. Item CERTO. Resposta: C 35. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima


55


( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a 2, para escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este número de combinações pelo número de combinações dos 2 candidatos restantes para ocupar a última vaga. Isto é: C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6 Item CORRETO. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. Para que uma lista contenha Alberto, e não contenha nem Bento nem Carlos, existe uma única possibilidade: Alberto e mais os 2 candidatos restantes. Analogamente, para que uma lista contenha Bento e não contenha nem Alberto e nem Carlos, a única possibilidade é: Bento e mais os 2 candidatos restantes. Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a única opção é ela ser formada por Carlos e os 2 candidatos restantes. Ao todo, temos exatamente 3 listas possíveis com o nome de apenas um dos 3 rapazes citados. Item CORRETO. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. A combinação de 5 pessoas, 3 a 3 é: C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10 Item ERRADO. Resposta: C C E 36. CESPE – TRE/RJ – 2012) Na campanha eleitoral de determinado município, seis candidatos a prefeito participarão de um debate televisivo. Na primeira etapa,

Prof. Arthur Lima


56


o mediador fará duas perguntas a cada candidato; na segunda, cada candidato fará uma pergunta a cada um dos outros adversários; e, na terceira etapa, o mediador selecionará aleatoriamente dois candidatos e o primeiro formulará uma pergunta para o segundo responder. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. ( ) Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa. ( ) Menos de 10 perguntas serão feitas na primeira etapa do debate. ( ) Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate. ( ) A quantidade de maneiras distintas de o mediador selecionar os dois candidatos para a terceira etapa do debate é igual à quantidade de perguntas que serão feitas na segunda etapa. RESOLUÇÃO: Na primeira etapa, o mediador fará 2 perguntas a cada um dos 6 candidatos, totalizando 2 x 6 = 12 perguntas nesta primeira etapa. Na segunda etapa, cada um dos 6 candidatos fará uma pergunta a cada um dos 5 outros adversários, totalizando 6 x 5 = 30 perguntas. Na terceira etapa, o mediador selecionará aleatoriamente 2 candidatos e o primeiro formulará 1 pergunta para o segundo responder. Portanto, apenas 1 pergunta será feita nesta etapa. Com isso em mãos, vamos julgar os itens: ( ) Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa. ERRADO. Na terceira etapa será feita apenas 1 pergunta, enquanto na primeira serão feitas 12. ( ) Menos de 10 perguntas serão feitas na primeira etapa do debate. ERRADO. 12 perguntas serão feitas na primeira etapa. ( ) Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate. CORRETO. Ao todo, 30 perguntas serão feitas nesta segunda etapa. ( ) A quantidade de maneiras distintas de o mediador selecionar os dois candidatos para a terceira etapa do debate é igual à quantidade de perguntas que serão feitas na segunda etapa.

Prof. Arthur Lima


57


O mediador deve selecionar 2 dentre os 6 candidatos. Ele tem 6 formas de escolher o primeiro candidato, que fará a pergunta (pode escolher qualquer um dos seis disponíveis). Para a segunda escolha, ele possui apenas 5 opções de candidatos para responderem a pergunta formulada, uma vez que o candidato escolhido para perguntar não pode ser o mesmo que vai responder. Portanto, ao todo temos 6 x 5 = 30 formas de escolher dois candidatos nesta etapa. Este número coincide com a quantidade de perguntas da segunda etapa. Item CORRETO. Resposta: E E C C 37. CESPE – IBAMA – 2013) Para melhorar a fiscalização, evitar o desmatamento ilegal e outros crimes contra o meio ambiente, 35 fiscais homens e 15 fiscais mulheres serão enviados para a região Norte do Brasil. Desses fiscais, uma equipe com 20 fiscais será enviada para o Pará, outra com 15 para o Amazonas e uma outra com 15 para Rondônia. Considerando que qualquer um desses 50 fiscais pode ser designado para qualquer uma das três equipes, julgue os itens seguintes. ( ) Considere que o destino de cada um dos 50 fiscais será decidido por sorteio da seguinte forma: em uma urna, colocam-se 20 fichas com o nome Pará, 15 com o nome Amazonas e 15 com o nome Rondônia. O fiscal, ao retirar da urna uma ficha, terá identificado o seu destino. Nesse caso, se os 5 primeiros fiscais que retiraram suas fichas terão como destino o Amazonas ou o Pará, a probabilidade de o 6.º ir para Rondônia é superior a 30%. ( ) A quantidade de maneiras distintas que essas três equipes podem ser formadas é o número representado por (50 – 20)! × (30 – 15)! × 15!. ( ) Se cada equipe tiver exatamente cinco mulheres, a quantidade de maneiras distintas que essas equipes podem ser formadas é o número representado por [35!] / [(10!)2 × (5!)2]. RESOLUÇÃO: ( ) Considere que o destino de cada um dos 50 fiscais será decidido por sorteio da seguinte forma: em uma urna, colocam-se 20 fichas com o nome Pará, 15 com o nome Amazonas e 15 com o nome Rondônia. O fiscal, ao retirar da urna uma ficha, terá identificado o seu destino. Nesse caso, se os 5 primeiros fiscais que retiraram suas fichas terão como destino o Amazonas ou o Pará, a probabilidade de o 6.º ir para Rondônia é superior a 30%.

Prof. Arthur Lima


58


Se os 5 primeiros foram para o Amazonas ou Pará, restam 45 fichas, sendo que 15 possuem o nome Rondônia. Assim, a probabilidade de o 6º fiscal retirar uma dessas 15 é: P = 15 / 45 = 1 / 3 = 33,3% Item CORRETO. ( ) A quantidade de maneiras distintas que essas três equipes podem ser formadas é o número representado por (50 – 20)! × (30 – 15)! × 15!. Para o Pará devemos selecionar 20 dos 50 fiscais disponíveis, obtendo um número de combinações igual a C(50, 20). Para o Amazonas, devemos escolher 15 dos 30 fiscais disponíveis após a retirada daqueles do Pará, totalizando um número de combinações de C(30,15). Por fim, para Rondônia devemos pegar 15 dos 15 fiscais que restaram, ou seja, C(15, 15). Ao todo, o número de combinações é: C(50,20) x C(30, 15) x C(15, 15) = C(50,20) x C(30, 15) x 1 = 50!

30!

×

20!(50 − 20)! 15!(30 − 15)! 50!

×

30!

20!30! 15!15! 50!

×

1

20! 15!15!

×

×

1=

1=

=

50! 20!(15!) 2

Item ERRADO. ( ) Se cada equipe tiver exatamente cinco mulheres, a quantidade de maneiras distintas que essas equipes podem ser formadas é o número representado por [35!] / [(10!)2 × (5!)2 ]. Para formar a equipe paraense, devemos combinar as 15 mulheres em grupos de 5, e os 35 homens em grupos de 15, totalizando 20 fiscais. Assim, o numero de formas de montar a primeira equipe é C(15, 5) x C(35, 15).

Prof. Arthur Lima


59


Para a segunda equipe, devemos combinar as 10 mulheres restantes em grupos de 5, e os 20 homens restantes em grupos de 10, obtendo C(10, 5) x C(20, 10). E para a terceira equipe, C(5, 5) x C(10, 10). Ao todo temos: C(15, 5) x C(35, 15) x C(10, 5) x C(20, 10) x C(5, 5) x C(10, 10) = C(15, 5) x C(35, 15) x C(10, 5) x C(20, 10) x 1 x 1 = 15! x 35! x 10! x 20! / [5! x 15! x 5! x 10! x (10! x 20! x 5! x 10!)] = 35! / [5! x 5! x 10! x (5! x 10!)] = 35! / [(5!)3 x (10!)2] Item ERRADO. Resposta: C E E *************************** Pessoal, por hoje, é só!! Na próxima aula veremos a Teoria da Probabilidade. Abraço, Arthur [email protected]

Prof. Arthur Lima


60


3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptaçes!.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. 2. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. 3. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja Prof. Arthur Lima


61


composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60.

5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25

Prof. Arthur Lima


62


6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120

7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5

8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006

Prof. Arthur Lima


63


e) 3005

9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60

10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem. ( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 . ( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.

11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. ( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512.

Prof. Arthur Lima


64


12. CESPE – MDS – 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos. ( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. ( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. 13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar. 14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações. 15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez.

Prof. Arthur Lima


65


( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. ( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 10 4.

16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário, Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor Filme Júri Popular. Internet: (com adaptações). A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem, julgue os itens subseqüentes. ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras possíveis para se formar essa comissão. ( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103. ( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades Prof. Arthur Lima


66


de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas. 17. CESPE – Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem. ( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60. ( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 103. ( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. ( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras.

18. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. Prof. Arthur Lima


67


19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum evento. ( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104 20. CESPE – TRE/BA – 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos. 21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir: ( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes. ( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais bairros. 22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens de 26 a 28.

Prof. Arthur Lima


68


( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados. ( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1). 23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a: a) 263 x 10 x 9 x 8 b) 263 x 103 c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 d) 26 x 25 x 24 x 10 3

24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.

Prof. Arthur Lima


69


25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Internet: (com adaptações). Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. ( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes. ( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região CentroOeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos. ( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é inferior a 50. ( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o

Prof. Arthur Lima


70


relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200. 27. CESPE – ANAC – 2009) Com relação a análise combinatória, julgue os itens que se seguem. ( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. ( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B. ( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400. ( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210. 28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem. ( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na Prof. Arthur Lima


71


TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. ( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. ( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. 29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. 30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem. ( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis. ( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda.

Prof. Arthur Lima


72


Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda. ( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela. ( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000. 31. CESPE – SECONT/ES – 2009) Com respeito à quantidade de possibilidades de ocorrência de um evento, julgue os itens que se seguem. ( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas. ( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13. 32. CESPE – SECONT/ES – 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela, duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens. ( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.

Prof. Arthur Lima


73


( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os homenageados no palco. 33. CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de buracos que representam números. As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças, denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine , em que as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças. M. Lugo. How to play better dominoes. New York: Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações). A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes. ( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças. ( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. ( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 28! jogadores de maneiras distintas. (7!)4 ( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas.

Prof. Arthur Lima


74


34. CESPE – TRE/BA – 2010) Os 100 empregados de uma empresa foram convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da empresa. O empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I ou a cédula II. Caso ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de logotipo, na ordem de sua preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª – 5 pontos; 2.ª – 4 pontos; 3.ª – 3 pontos; 4.ª – 2 pontos; 5.ª – 1 ponto. Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5 opções, e cada uma receberá 3 pontos. Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes. ( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de votos distintos possíveis para cada empregado é igual a 130. 35. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. 36. CESPE – TRE/RJ – 2012) Na campanha eleitoral de determinado município, seis candidatos a prefeito participarão de um debate televisivo. Na primeira etapa, o mediador fará duas perguntas a cada candidato; na segunda, cada candidato fará uma pergunta a cada um dos outros adversários; e, na terceira etapa, o mediador selecionará aleatoriamente dois candidatos e o primeiro formulará uma pergunta para o segundo responder. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. ( ) Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa. ( ) Menos de 10 perguntas serão feitas na primeira etapa do debate. ( ) Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate.

Prof. Arthur Lima


75


( ) A quantidade de maneiras distintas de o mediador selecionar os dois candidatos para a terceira etapa do debate é igual à quantidade de perguntas que serão feitas na segunda etapa. 37. CESPE – IBAMA – 2013) Para melhorar a fiscalização, evitar o desmatamento ilegal e outros crimes contra o meio ambiente, 35 fiscais homens e 15 fiscais mulheres serão enviados para a região Norte do Brasil. Desses fiscais, uma equipe com 20 fiscais será enviada para o Pará, outra com 15 para o Amazonas e uma outra com 15 para Rondônia. Considerando que qualquer um desses 50 fiscais pode ser designado para qualquer uma das três equipes, julgue os itens seguintes. ( ) Considere que o destino de cada um dos 50 fiscais será decidido por sorteio da seguinte forma: em uma urna, colocam-se 20 fichas com o nome Pará, 15 com o nome Amazonas e 15 com o nome Rondônia. O fiscal, ao retirar da urna uma ficha, terá identificado o seu destino. Nesse caso, se os 5 primeiros fiscais que retiraram suas fichas terão como destino o Amazonas ou o Pará, a probabilidade de o 6.º ir para Rondônia é superior a 30%. ( ) A quantidade de maneiras distintas que essas três equipes podem ser formadas é o número representado por (50 – 20)! × (30 – 15)! × 15!. ( ) Se cada equipe tiver exatamente cinco mulheres, a quantidade de maneiras distintas que essas equipes podem ser formadas é o número representado por [35!] / [(10!)2 × (5!)2].

Prof. Arthur Lima


76

Matematica p Prf Aula 01 Aula 01 Prf Problemas de Contagem 28386

Recommend Documents