MATEMÁTICA ASISTIDA POR COMPUTADORA
MATEMÁTICA ASISTIDA POR COMPUTADORA Con Aplicaciones al GeoGebra
2013 Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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MATEMÁTICA ASISTIDA POR COMPUTADORA
TABLA DE CONTENIDOS PRESENTACIÓN CAPÍTULO I:
..................................................................................................................................7
.........................................................................................................................................8
REVISIÓN DE TEMAS DE ÁLGEBRA ...............................................................................................8 1.1.-Ecuaciones cuadráticas:...............................................................................................................8
1.1.1.-.DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA: .............................................................8 1.1.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS ......................9 1.2.- APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS: ............................................... 17 1.3. ECUACIONES POLINÓMICAS: ...............................................................................................
19
1.4.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS ................................................................................................
22
1.5. ECUACIONES RACIONALES, IRRACIONALES YBICUADRÁTICAS. ............................. 25 1.5.1.-Ecuaciones racionales........................................................................................................
28
1.5.2. Ecuaciones irracionales......................................................................................................
31
1.5.3.-Ecuaciones Bicuadráticas ..................................................................................................
33
1.6.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ...............................................................................................
35
1.7.- INTERVALOS E INECUACIONES .........................................................................................
37
1.7.1.- Intervalos: ............................................................................................................................
37
1.7.2.- Inecuaciones: ......................................................................................................................
40
1.7.2.1. Inecuaciones lineales: .................................................................................................
42
1.7.2.2.- Inecuaciones cuadráticas: .........................................................................................
45
1.7.2.3.-Inecuaciones racionales: ............................................................................................
47
1.8.-EJERCICIOS Y PROBLEMAS .................................................................................................
49
...............................................................................................................................................................
53
CAPÍTULO II: ......................................................................................................................................
53
FUNCIONES BÁSICAS .....................................................................................................................
53
2.1. INTRODUCCIÓN: .......................................................................................................................
53
2.2.-DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: .....................................................................................................
55
2.3.- Gráfica de una función ..............................................................................................................
57
2.4.- Propiedades de las funciones .................................................................................................
59
2.4.1.- A. Continuidad ....................................................................................................................
60
2.4.2. B. Funciones crecientes y funciones decrecientes ........................................................ 62 Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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2.4.3.-C. Acotamiento ....................................................................................................................
63
2.4.4.D. Valores extremos de una función .................................................................................
65
2.4.5. E. Paridad y simetría de una función ...............................................................................
67
2.4.6.-F. Asíntotas ..........................................................................................................................
68
2.4.7.-G. Ceros de una función: ...................................................................................................
69
2.5.- FUNCIONES BÁSICAS Y SUS CARACTERÍSTICAS ........................................................ 70 2.5.1. Función constante: ..............................................................................................................
70
2.5.2.-Función identidad: ...............................................................................................................
71
2.5.3. Función cuadrática: .............................................................................................................
72
2.5.4. Función cúbica .....................................................................................................................
72
2.5.5. Función raíz cuadrada: .......................................................................................................
73
2.5.6. Función valor absoluto: .....................................................................................................
73
2.5.7.- Función raíz cúbica: ...........................................................................................................
74
2.5.8. Función recíproca: ...............................................................................................................
74
2.5.9.- Funciones seccionadas .....................................................................................................
75
2.6.-¡VERIFIQUE SI LOGRÓ LOS OBJETIVOS ¡ .........................................................................
77
2.7. Ejercicios y problemas: ..............................................................................................................
78
CAPÍTULO III: .....................................................................................................................................
81
GRAFICACIÓN DE FUNCIONES: TRANSFORMACIONES ......................................................
81
3.1.- Técnicas de transformación: ....................................................................................................
81
3.1.1. A. Desplazamientos: ...........................................................................................................
81
3.1.2.B. Reflexiones: ......................................................................................................................
83
3.1.3 .C. Dilataciones y contracciones: .......................................................................................
85
3.2.- Compruebe si logró los objetivos: ...........................................................................................
88
3.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ................................................................................................
90
CAPÍTULO IV: .....................................................................................................................................
92
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .........................................................................
92
4.1.-FUNCIÓN EXPONENCIAL: ......................................................................................................
92
4.1.1. Definición de función exponencial ....................................................................................
92
4.1.2. A. Gráfica de funciones exponenciales cuando b >1. ................................................... 93 4.1.3. B. Gráfica de una función exponencial con 0 < b <1. ..................................................... 93 4.1.4. Propiedades de la función exponencial ...........................................................................
94
4.1.5.- Transformaciones de funciones exponenciales. ........................................................... 95 Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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4.1.6.- La función exponencial natural
......................................................................... 96
4.2.- FUNCIÓN LOGARÍTMICA: ......................................................................................................
97
4.2.1. Definición: .............................................................................................................................
97
4.2.2. Gráfica de una función logarítmica con b >1 ..................................................................
97
4.2.3.Gráfica de una función logarítmica con 0 < b <1 .............................................................. 98 4.2.4.Propiedades de la función logaritmo .................................................................................
99
4.3. Modelación con funciones exponencial y logarítmica: ........................................................ 100 4.4.Verifique si logró los objetivos: ................................................................................................
101
4.5. EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ..............................................................................................
102
CAPÍTULO V: ....................................................................................................................................
104
OPERACIONES CON FUNCIONES .............................................................................................
104
5.1. Introducción: ..............................................................................................................................
104
5.2. Definición: ..................................................................................................................................
105
5.3. ¡VERIFIQUE EL LOGRO DE LOS OBJETIVOS!: ...............................................................
112
5.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ..............................................................................................
113
.............................................................................................................................................................
115
CAPÍTULO VI: ...................................................................................................................................
115
FUNCIÓN INVERSA ........................................................................................................................
115
6.1. FUNCIÓN INVERSA: ...............................................................................................................
115
6.2.-¡VERIFIQUE EL LOGRO DE SUS OBJETIVOS!: ............................................................... 119 6.3.-EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ..............................................................................................
120
CAPÍTULO VII: ..................................................................................................................................
122
VECTORES EN R2 y R3 ..................................................................................................................
122
7.1.- Magnitudes escalares y vectoriales: ....................................................................................
122
7.2.- Definición de vector: ..............................................................................................................
122
7.3. Operaciones con vectores: ......................................................................................................
125
7.4.- Vectores coordenados unitarios. ..........................................................................................
126
7.5. Producto escalar .......................................................................................................................
128
7.6.Ángulo entre vectores. ..............................................................................................................
129
7.7.-Producto vectorial en R 3. .........................................................................................................
131
7.8.-¡ VERIFIQUE EL LOGRO DE LOS OBJETIVOS!: ............................................................. 132 7.9.-EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ..............................................................................................
133
.................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 134 CAPÍTULO VIII: ...................................
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MATRICES Y DETERMINANTES .................................................................................................
134
8.1-Conceptos básicos: ...................................................................................................................
134
8.2. ALGUNAS RELACIONES Y OPERACIONES CON MATRICES ..................................... 136 8.3. Matrices escalonadas ..............................................................................................................
140
8.3.1. Definición de matriz escalonada .....................................................................................
140
8.4. Operaciones elementales. .......................................................................................................
140
8.5..-Matrices equivalentes .........................................................................................................
141
8.6.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. ....................................................................................
142
8.6.1. DEFINICIÓN.- ........................................................................................................................
142
8.7.-INVERSIÓN DE MATRICES. .................................................................................................
144
8.8.-¡VERIFIQUE EL LOGRO DE LOS OBJETIVOS! ............................................................... 147 8.9.-EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ..............................................................................................
148
CAPÍTULO IX: ...................................................................................................................................
149
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ( SEL ) ..................................................................... 149 9.1.-Conceptos básicos: ..................................................................................................................
149
9.2.-Definición de S.E.L. ..................................................................................................................
149
9.3. Operaciones elementales en un SEL. ..................................................................................
151
................ ................................... ................................... .................................. ................................... .................................... .............................. ............ 151 DEFINICIÓN: .................................
9.5.-Representación matricial de un SEL .....................................................................................
151
9.6.-Definición de matriz aumentada............................................................................................
152
................ ................................... ................................... .................................... ..................... ... 153 9.7.-Método de eliminación de Gauss...................................
9.8. RESOLUCIÓN DE SEL HACIENDO USO DE LA MATRIZ INVERSA. ........................... 155 9.9.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EUCACIONES HACIENDO USO DE LA REGLA DE CRAMER ........................................................................................................................................... 156 ............... ................................... .................... 157 9.10.- Problemas de modelación que se resuelven con SEL. ................................
9.11.- ¡VERIFIQUE EL LOGRO DE LOS OBJETIVOS!: .........................................................
159
9.10.-EJERCICIOS Y PROBLEMAS: ............................................................................................
159
MANUAL RÁPIDO DE GEOGEBRA PARA EL GRÁFICO DE FUNCIONES ......................... 161
ESTE MATERIAL FUE PREPARADO POR CENTRO MATEMÁTICO “LÍDERES”
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PRESENTACIÓN Considerando el hecho de que todas las carreras universitarias necesitan de la Matemática y que el aprendizaje de esta ciencia a nivel universitario requiere bases fundamentales como son específicamente los temas: Algebra, Funciones, vectores, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales; es que presentamos esta obra como un medio para facilitar el aprendizaje de esta ciencia. ¿En qué nos diferenciamos de otros textos?, es en el uso de un soporte tecnológico, cual es un software matemático de uso libre llamado Geogebra. Este software nos facilita elaborar gráficas de funciones que sin el software resultaría resu ltaría muy complicadas, tablas y cálculos a fin de ahorrar tiempo e invertir este tiempo en el análisis, interpretación y aplicación de los mismos en problemas de la vida real. En esta obra enfocamos con un lenguaje muy sencillo los procedimientos gráficos y analíticos utilizados para resolver una ecuación y una inecuación . De la misma forma establecemos sencillas técnicas para el gráfico de funciones las cuales se pueden comprobar utilizando Geogebra, hacemos hincapié que existe una gran relación entre las ecuaciones, inecuaciones y las gráficas de las funciones como podrá apreciar cuando lea las páginas de esta obra. En forma especial tratamos dos funciones: La función exponencial y la función logaritmo, debido a que éstas tienen múltiples aplicaciones en problemas de la vida real en las diferentes carreras profesionales. No dejamos de lado el tratado sobre vectores, las matrices y los determinantes.
temas de ecuaci ecu aciones ones lineales (SEL), Finalmente enfocamos los s i s temas en este último tema hacemos uso de los vectores y de las matrices y determinantes como técnicas para la obtención de los conjuntos solución de los S E L . Alertamos a nuestros lectores que el manejo del Geogebra es muy sencillo, para ello debe visitar la siguiente página www.geogebra.org .org,, en ella puede usted descargar el instalador del Geogebra, algunos videoturoriales de manejo rápido y el manual manual para descargar ; sin embargo embargo al final del texto les presento un manual de las principales ventanas y comandos que se utilizan en este texto. Esperamos sus sugerencias para mejorar esta obra con la finalidad de que les sirva de la mejor manera.
EL AUTOR.
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CAPÍTULO I: REVISIÓN DE TEMAS DE ÁLGEBRA
OBJETIVOS:
1. Identificar ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales y bicuadráticas. 2. Determinar e interpretar el conjunto solución de ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales y bicuadráticas, mediante métodos analíticos y gráficos teniendo como soporte el software matemático GEOGEBRA. 3.- Aplicar la teoría de ecuaciones e inecuaciones en la modelación de problemas de la vida real.
cuaci cione oness cuad cuadrát ráticas icas:: 1.1.-E cua La ecuación
es un ejemplo de ecuación cuadrática, estas ecuaciones pertenecen a la familia de ecuaciones polinómicas que estudiaremos con mayor profundidad más adelante. Resolveremos este tipo de ecuaciones de dos formas:
Algebraicamente, a través los métodos de factorización, completando el cuadrado y el uso de la fórmula cuadrática.
Geométricamente, usaremos el Geogebra para mostrar que las respuestas obtenidas algebraicamente también se pueden aproximar de forma gráfica, a través de las intersecciones de la gráfica de la parábola con el eje x del plano cartesiano, dichas aproximaciones por lo general son muy buenas.
1.1.1.-.DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA: Una ecuación cuadrática en la variable x es cualquier ecuación que se puede escribir en la forma
Donde a, b y c son números reales y a 0 . Una ecuación cuadrática en x se resuelve determinando sus raíces (soluciones). Las raíces de una ecuación cuadrática en x son todos los valores de x que satisfacen a dicha ecuación.
Importante saber:
Por lo general general se trabaja con funciones de la la forma y = f ( x x ) y dentro del análisis de funciones se requiere determinar los ceros de la función, los ceros son los valores de Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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x en la cual la función se anula, es decir, son los valores en el eje X por los cuales pasa la gráfica de la función. Si se trata de una función cuadrática los ceros serían determinados al resolver una ecuación cuadrática.
1.1.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES ECU ACIONES CUADRÁTICAS
A . Soluc S olucii ón por factoriz factor izaci ación ón
El método de solución de ecuaciones cuadráticas por factorización se basa en la siguiente propiedad del factor cero de números reales. Propiedad del factor cero
Si a y b son números reales y a b= b= 0 entonces a =0 =0 ó b=0 b=0 ó bien a,b=0 a,b=0 En otras palabras, la propiedad del factor cero dice que el producto de dos números reales es cero si y sólo si uno de los factores (o ambos) es cero. Veamos algunos ejemplos:
. / . / 2 33
Ejemplo 1. Determine el conjunto solución de Solución algebraica. Para lograr la factorización nos ayudamos del aspa simple
Luego (
)(
por factorización.
) = 0 y aplicando la propiedad del factor cero se tiene: ( ) = 0 óbien ( )=0
de donde las soluciones de la ecuación son
ó
Comprobando: Para Para
entonces
entonces
Así el
en la opción SOLUCIÓN GRÁFICA. Comencemos por escribir de entrada del Geogebra, obteniendo su gráfica tal como se muestra en la figura adjunta, luego usamos la opción intersección de dos objetos , esta opción nos permite localizar las intersecciones x de la gráfica con el eje X , que resultan siendo las raíces de la ecuación( ceros de la función ).
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De la gráfica podemos concluir que las soluciones de esta ecuación son , siendo la primera solución una buena aproximación a la obtenida algebraicamente.
2 3
y
Ejemplo 2. Determine el conjunto solución de
Solución algebraica: Primero le damos la forma canónica, es decir: Al factorizar se obtiene (x+1)(2x – 1)=0, de donde O
bien
Así el
Ejemplo 3. Determine el conjunto solución de
Solución algebraica: Desarrollamos los paréntesis para darle la forma canónica
Factorizando se tiene
, es decir
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donde
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Así el
23
En los ejemplos anteriores no hubo mayor dificultad a la hora de factorizar, sin embargo existen ecuaciones como por ejemplo que no pueden ser factorizadas como las anteriores. Las ecuaciones de este tipo se pueden resolver mediante el método de completar cuadrados. cuadrados.
B . S olución complet completa ando cuadrados cuadrados Para utilizar este método debemos seguir los siguientes pasos: 1. Se debe escribir la ecuación en la forma
./
… (I)
Donde el coeficiente de es 1, es coeficiente de x y es el término constante y debe estar al lado derecho de la ecuación. 2. Se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente de x, es x, es decir: … (II)
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Se suma el valor obtenido en (II) a ambos lados de la ecuación (I), luego se factoriza y se despeja x despeja x . La importancia de este método recae en el momento de la factorización, pues resulta que siempre se tendrá un cuadrado perfecto. perfecto. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de cuadrados.
completando
Solución algebraica:
Paso 1: Al dividir entre 2 y colocar el término constante al lado derecho se tiene: … (I)
. /
de x es – 1, luego Paso 2: El coeficiente de x
Paso 3: Sumamos
en ambos lados de (I) y factorizamos el lado izquierdo izquierdo
Tal como lo habíamos mencionado al factorizar resulta un cuadrado perfecto, finalmente nos queda despejar x despejar x
Así el
√ 2√ √ 3
Solución gráfica: Escribimos GeoGebra, obteniendo la siguiente gráfica.
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en la opción de entrada del
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Luego escribimos la opción intersección de dos objetos y tal como podemos observar en la gráfica las soluciones de la ecuación cuadrática son y . Utilizando una calculadora podemos comprobar que estos valores son una buena aproximación a los encontrados de forma algebraica.
Ejemplo 5. Determine el conjunto solución de
Solución algebraica: Multiplicando por 3 y despejando el término constante, se tiene
√ 2√ √ √ √ 3 *+ +
luego el coeficiente de x de x es 3, entonces
Así,
ó
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Ejemplo 6. Determine el conjunto solución de Solución algebraica:
Observamos que el coeficiente de x es cero, por tal razón la solución es Inmediata, como antes, se escribe la ecuación en la forma
22 3 o sea
Sacando raíz cuadrada en ambos lados se tiene
o bien
Así,
C . S olución oluci ón utilizando la fórmula fór mula cuadrática
En el método anterior explicamos el proceso para determinar las posibles soluciones de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados, este mismo método conduce a la siguiente formula.
Fórmula General
Si lo que buscamos es determinar las raíces de la ecuación Entonces en primer lugar calculamos el discriminante :
y dependiendo de este valor sabremos el número de soluciones que tendrá el conjunto solución, es decir: a. Si
entonces existen dos soluciones reales distintas
√ * +
y
, así
En este caso la parábola corta al eje X en dos puntos.
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b. Si
*+
entonces existen dos soluciones reales iguales
, así
En este caso la parábola es tangente al eje X y solo lo toca en un solo punto
c. Si
entonces no existe ninguna solución real, así
* +
En este caso la parábola ni siquiera toca al eje X Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Por lo tanto, queda claro que dado una ecuación cuadrática, podemos tener 2 ó 0 soluciones reales (incluyendo el caso en que las 2 respuestas sean iguales). Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 7. Determine el conjunto solución de general.
usando la fórmula
Solución algebraica: Empezamos identificando los coeficientes de la ecuación, es decir a=3, a=3, b=-5 b=-5 y c=1. c=1. Luego tenemos dos alternativas, reemplazar directamente en la formula o analizar el discriminante para ver si existen o no soluciones, lo dejamos a criterio del lector, aquí analizaremos el discriminante.
√ √ √ 2√ √ √ √ 3 *+ +
Con lo cual sabemos la existencia de soluciones, luego reemplazamos en la formula cuadrática, obteniendo
Así, el
ó ó
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Ejemplo 8. Use la formula general para determine el conjunto solución de:
23
Solución algebraica: (a) Dándole la forma canónica se tiene , con lo cual Luego la única solución es:
Así
(b) Dándole la forma canónica se tiene
. Por lo tanto el
con lo cual
.
1.2 .2..- APLICAC IO IONES NES DE LA S EC UACION ACIONES ES CUADRÁTICAS: El siguiente ejemplo es un problema cuya solución implica plantear y resolver una ecuación cuadrática, aquí el lector puede usar cualquier método para resolverlo.
Ejemplo 9. Trayectoria de un cohete de agua: Un nuevo modelo de cohete de agua se lanza verticalmente hacia arriba, de modo que su altura (medida en pies) t segundos después del lanzamiento está dada por
a. Determine el instante en que el cohete alcanza una altura de 1 284 pies. b. ¿Cuánto tiempo permanece el cohete en vuelo?
Solución: a. Del enunciado planteamos h(t ) = 1 284 , entonces:
Después de simplificar tenemos una ecuación cuadrática simple de resolver, usando el método de factorización se tiene (t – 20)(t – 4) = 0 De donde t= 20 y t = 4
Conclusión: El proyectil alcanza una altura de 1 284 pies, a los 4 y 20 segundos después de su lanzamiento. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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b. El cohete estará en vuelo hasta cuando h(t ) =0 , luego
√ √ + 384t +4 =0
Usando la formula cuadrática se tiene Veamos gráficamente
, luego
y
.
La grafica muestra la altura instantánea del cohete vs el tiempo empleado en su vuelo, donde los puntos E(4,1284) y F(20,1284) significa que el cohete alcanza una altura de 1284 pies a los 4 y 20 segundos aproximadamente , además podemos observar que el cohete permanece en vuelo hasta que toca el suelo en el punto B (24,01; 0), en otras palabras después de aproximadamente 24, 01 segundos el cohete impacta con el suelo; de igual modo nos muestra que el proyectil alcanza una altura máxima de 2308 pies a los 12 segundos.
Conclusión: El proyectil permanece en vuelo aproximadamente 24,01 segundos.
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1.3. 1. 3. E CUAC IONES POLINÓMICA POLINÓMICA S :
Sea n N , decimos que P ( x x ) es un polinomio de grado n si es de la forma
Donde
son números reales llamados coeficientes con coeficiente principal y término independiente.
Definición: Las ecuaciones polinómicas son igualdades de dos expresiones algebraicas donde una de ellas es un polinomio y la otra es cero, así una ecuación polinómica es de la forma
√ √ √ √
Ejemplo 10. ¿Cuáles son ejemplos de ecuaciones polinómicas? 1. 2. 3. 4. 5. negativo. 6.
es una ecuación polinómica de grado 20. es una ecuación polinómica de grado 5. es una ecuación polinómica de grado 1. es una ecuación polinómica de grado 2. no es una ecuación polinómica porque hay un exponente no es una ecuación polinómica porque
y
Según la definición anterior, podemos decir que ya hemos estudiado dos ecuaciones polinómicas importantes como son las ecuaciones de primer grado (ecuaciones lineales) y las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Aquí estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado mayor a 2 poniendo en práctica las herramientas sobre factorización ya que si un polinomio de cualquier grado está factorizado, es decir, esta expresado como un producto de polinomios de grado 1 o de grado mayor pero sin raíces reales, el cálculo de sus soluciones son inmediatas, pues sabemos que el producto de factores es igual a cero si y sólo si todos o algunos de los factores es cero. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 11. Determine el conjunto solución de
Solución algebraica: Observamos que aplicando la diferencia de cuadrados en el primer término, el polinomio queda totalmente expresado como un producto de factores lineales, Luego las soluciones de la ecuación son
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Así, el
2 3
Solución gráfica: Al igual que en los casos anteriores, las soluciones de dicha ecuación serán los eje X donde la gráfica de se se intersecta ceros o los valores del eje X con el eje X. eje X.
Ejemplo 12. Determine los ceros del polinomio
Solución algebraica: Sabemos que parar determinar los ceros debemos resolver la ecuación P ( x x ) = 0, por tal razón pensamos en la factorización, de donde observamos que x es un factor común, luego queda factorizar una expresión cuadrática sencilla, es decir
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Igualando a cero cada factor lineal, tenemos y concluimos que el polinomio tiene 3 ceros distintos y son -1, 0, 2/3.
Ejemplo 13. Determine los ceros del polinomio Solución algebraica:
, con lo cual
Factorizando el polinomio por algún método ya estudiado, como por ejemplo el método de Ruffini, luego
de donde los ceros del polinomio son 2 y -3.
Es importante recordar al lector que la expresión es estrictamente positiva, es decir , geométricamente significa que la curva está por encima del eje X y por tal razón no tenemos ceros reales en dicha expresión (ver figura).
Ejemplo 14. Determine un polinomio de tercer grado, sabiendo que -1, 2 y 3 son sus ceros y que el coeficiente del término de mayor grado es 5. Solución algebraica: Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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No es difícil darse cuenta que el polinomio factorizado sería
1.4 .4..- EJ ER CICIO CICIOSS Y PR OBLEMAS 1. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. Justifique adecuadamente su respuesta.
**++
a. El conjunto solución de la ecuación es . b. El conjunto solución de la ecuación es c. El valor del discriminante en la ecuación es 8. d. Si la ecuación tiene una única solución real entonces el valor de a es 4. e. El polinomio es de grado 4 con coeficiente principal 1. es f. Una de las soluciones de la ecuación es . g. Sea tal que P (2) (2) = 1 entonces el valor de k es – 3. 2. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el método de factorización: a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j) k) l)
3. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el método de completar cuadrados: a) b) c) d) e)
f) g) h) i) j)
4. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante la fórmula general: a) b)
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c) d)
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e) f) g) h) i)
√ √ √
j) k) l) m)
5. Utilice el discriminante para determinar el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones: a) b) c)
d) e)
6. De las siguientes expresiones algebraicas identifique cuáles son polinomios. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. a) b) c)
d) e) f)
√
7. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones polinómicas, utilice un método de factorización adecuado: d) a) e) b) f) c) 8. Determine los ceros de los siguientes polinomios: a) b) c) d)
9. Determine un polinomio de grado cuatro, sabiendo que 1, -2 y 3 son sus ceros y que el coeficiente del término de mayor grado es 2. 10. Asocie la ecuación con su gráfica:
A.
B.
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C.
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11. Un arquitecto desea diseñar un plano para la construcción de una mansión, el propietario le pide que incluya dentro del plano un jardín rectangular proyectado en su patio, donde el largo del jardín debe medir el doble de su ancho y el área del jardín debe ser de 200 . Si el propietario esta interesado en saber cuántos metros de cerca necesita para cercar el jardín, ¿cuál es la respuesta del arquitecto?
12. Un grupo de ingenieros desean diseñar un tanque de agua que consta de un cilindro circular recto con extremos semiesféricos iguales. Ellos determinan que la superficie del recipiente es , donde l es el largo del cilindro y r es el radio de los extremos semiesféricos. Determine la longitud del radio de cada extremo semiesférico si se sabe que el largo del cilindro es de 8 pies y el área de la superficie es de 180 pies2.
13. Un grupo de ingenieros determina que la producción de un pozo petrolero dependiendo del tiempo que es explotado está modelado por la ecuación donde P (t ) son millones de barriles de petróleo que se producen por año y t representa la cantidad de años de explotación a partir del año cero. Determine cuándo el pozo dejará de producir petróleo.
14. La constructora de las casas tiene departamentos en venta, se estima que a un precio de $100 000 por departamento se venderán aproximadamente 180 departamentos por mes, se decide subir el precio por departamento y se estima que por cada aumento de $10 000 se venderán tres departamentos menos. a. Sea x Sea x el número de veces que se aumenta el precio en $10 000. Determine la ecuación que relacione los ingresos R (en cientos de miles) con x con x . b. ¿Cuántas veces tendría que aumentarse el precio para en $10 000 para reducir los ingresos a cero? 15. El dueño de una ferretería compra cierta cantidad de varillas de fiero por S/. 120. Decide guardar 3 unidades y vender el resto un precio unitario de S/ 3 más de lo que le costó, obteniendo S/. 15 menos del monto invertido. Determine a. El precio al cuál compró las varillas de fierro. b. El número de varillas que compró.
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16. Se desea construir un edificio para departamentos en un terreno rectangular cuyo perímetro es de 90 m y 500 m 2de área. Determine las dimensiones sobre la cual se construirá el edificio. 17. Un jardín tiene la forma de un triángulo rectángulo, el cual será cercado con pequeñas flores en todo su contorno, determine el perímetro del jardín si los lados del jardín vienen medidos (en metros) por tres números pares consecutivos 18. Una pequeña plancha metálica rectangular es 4 cm más larga que ancha, se corta en cada esquina cuadrados de 6 cm de lado, luego se doblan los bordes obteniendo una caja sin tapa. Determine a. Una ecuación que modele el volumen V en términos del ancho x ancho x . b. ¿Existe alguna restricción para los valores que pueda tomar el ancho x ancho x ? c. Las dimensiones de la caja si se requiere que esta tenga un volumen de 840 cm3. 19. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la altura de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por
Determine: a. ¿En qué momento llega la pelota al suelo? b. ¿Cuál es el punto más alto que alcanza la pelota?, de ser necesario estime dicho valor mediante algún graficador. 20. Cierta especie de aves que se encuentran en un zoológico aumenta y disminuye según la ecuación
donde N es el número de aves que hay en el tiempo t , siendo t el número de años desde el primero de enero de 2002 fecha en la cual la población de dichas aves fue estimada por primera vez. Determine a. ¿En qué fecha la población de aves volverá a ser la misma que cuándo se estimó por primera vez? b. ¿En qué fecha no habrá ningún ave de dicha especie en el zoológico?
1.5. ECUACIONES RACIONALES, IRRACIONALES YBICUADRÁTICAS. Vamos a estudiar algunas técnicas para resolver ecuaciones racionales, irracionales y bicuadráticas. Para trabajar estas técnicas es necesario recordar el conjunto de valores admisibles (C.V.A.) que será de gran utilidad para saber qué valores son aceptables en el conjunto solución (C.S.), este concepto toma mayor fuerza en cursos posteriores, pues permitirá comprender y trabajar el concepto de dominio de una función. Sabemos que una expresión racional es de la forma
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Donde
tanto P ( x x ) como Q( x x ) son polinomios con Q( x x ) 0 .
Si se trata de una expresión racional, observamos que es muy importante saber que valores puede tomar la variable x variable x tal que Q( x x ) 0, por tal razón en adelante se debe tener cuidado con las expresiones en términos de x que se encuentren en el denominador de una expresión racional. Si la expresión no es racional como por ejemplo
√ ||
El lector debe tener bien en claro el concepto siguiente
Concepto: Para cualquier expresión algebraica, recordemos que definimos al Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.) como aquel en el que sus elementos son todos los valores que puede tomar la variable. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 15. Determine el valor de verdad o falsedad de la siguiente proposición, justificando su respuesta: “El C.V.A. de un polinomio P ( x x ) siempre son los números reales”
x ) puede tomar cualquier valor en su Solución. Verdad. Cualquier polinomio P ( x variable x variable x (porque no tiene restricción) por lo que su C .V A.= .A.= .
Ejemplo 16. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones racionales: a.
b.
c.
Solución. a. Observamos que el denominador es estrictamente mayor a cero, es decir para todo número real, por lo tanto el: C.V.A. =R =R
b. En este caso se tiene que así el
— *+ C.V.A.=R C.V.A.=R
entonces
y
c. Tenemos una suma de dos expresiones racionales, para determinar el C.V.A. nos centramos en el denominador de cada expresión, es decir Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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de donde
2 3 y
, así el C.V.A.
Es importante que se tenga claro que para determinar el C.V.A. de una suma, diferencia, producto y/o cociente de expresiones algebraicas, así como en el caso de ecuaciones e inecuaciones, las expresiones son analizadas una por una sin hacer algún tipo de operación, una vez determinado el C.V.A. de cada expresión se intersectan los resultados para obtener el C.V.A. de expresión en general. Para poder resolver las ecuaciones racionales se debe tener ciertas habilidades operativas, vamos a repasarlas mediante los siguientes ejemplos:
Ejemplo 17. Determine el mínimo común múltiplo (MCM) de los siguientes polinomios a.
x+4), luego el menor Solución. Factorizando el primer polinomio se tiene x ( x+4), polinomio múltiplo común es x(x es x(x +4 +4 ).
b. x 2 +3x+2 ; x3+2x2 –4 x –8
Solución. Factorizando el primer polinomio se tiene luego el menor polinomio múltiplo común es
y
,
Ejemplo 18. Determine el C.V.A. y simplifique
Solución. Como las expresiones son racionales, entonces para analizar el conjunto de valores admisible nos preocupamos únicamente por los denominadores de cada expresión, los cuales deben estar factorizados, esto nos lleva a la siguiente expresión
*+
es así como podemos decir que , en otras palabras el C.V.A.= , luego efectuando la resta se obtiene la siguiente expresión equivalente.
Podemos observar para obtener la última expresión fue importante el manejo de MCM de polinomios.
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Ejemplo 19. Determine el C.V.A. y simplifique
Al igual que el ejemplo anterior factorizamos el primer denominador, denominador, obteniendo
*+
De donde el , luego observamos que tenemos que sumar y restar expresiones racionales, es decir sacamos el M.C.M. en el denominador y efectuamos las operaciones
la última expresión se dice que es una expresión equivalente a la primera. Habiendo revisado el C.V.A. y el M.C.M. y usándolo para luego simplificar una expresión algebraica, podemos formalizar el proceso para resolver una ecuación racional.
1.5.1.-E 1.5.1 .-Ecua cuaciones ciones raciona racionalles Son aquellas ecuaciones donde uno de sus miembros es una expresión racional (formada por polinomios) y el otro es cero, es decir son de la forma
√
Ejemplo 20. Son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes:
No son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes (tomándose en cuenta que no están formadas por polinomios):
√
Veamos algunos ejemplos en los cuales resolvemos ecuaciones racionales paso por paso:
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Ejemplo 21. Determine el C.V.A. y el C.S. de Solución algebraica:
Paso 1: Determinar el C.V.A.
2 3
Rápidamente observamos que
, así el C.V.A =
Paso 2: Determinar el MCM de los polinomios que están en el denominador El MCM es
Paso 3: Multiplicar el MCM a ambos miembros de la ecuación
Paso 4: Verificamos si la solución satisface a la ecuación principal Comenzamos observando que 12 pertenece al C.V.A. luego reemplazamos en la ecuación principal para verificar que la igualdad se cumple, es decir
esto nos garantiza que la solución pertenece al conjunto solución. En caso de que no hubiera pertenecido al C.V.A. inmediatamente se le excluye como elemento del C.S. La comprobación que se realiza reemplazando en la ecuación principal no es obligatoria de hacer pero si es muy importante para verificar nuestra respuesta.
*+
Paso 5: Finalizamos expresando el conjunto solución Los pasos anteriores ilustran el proceso para llegar al conjunto solución, no es una receta estricta a cumplir, sin embargo se aconseja seguirlos siempre.
Ejemplo 22. Determine el C.V.A. y el C.S. de
*+
Solución algebraica: Paso 1: Observamos que reduce a , de donde el C.V.A.
, factorizando, esto se
Paso 2: El MCM de los polinomios del denominador es Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Paso 3:
*+
Tenemos dos posibles soluciones x= soluciones x= 0
y x = –2 .
y y , con lo cual descartamos a 0 Paso4: Observamos que como parte del conjunto solución quedando únicamente -2, siendo este valor parte del conjunto solución, pues
Paso 5:
Solución geométrica:
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La grafica muestra la curva de la ecuación , donde podemos apreciar que en x en x =0 hay un hueco y en x =2 la curva se va hacia el menos y más infinito (a la izquierda y derecha de dos respectivamente), esto significa que la curva no toma ningún valor en el eje Y para dichos valores del eje X eje X y por lo tanto tal como lo afirmó el C.V.A., ademásmuestra que el único cero es -2, con lo cual comprobamos que el C.S. obtenido algebraicamente es correcto.
1.5.2.. E cua 1.5.2 cuaciones ciones irr irra acional cionales es
Son aquellas en las que alguna de sus incógnitas está afectada del símbolo radical. Veamos algunos ejemplos en los que se explica el método de solución:
√
Ejemplo 23. Determine el C.V.A. y el C.S. de Solución algebraica: Paso 1: Determinar el C.V.A. Si el índice del radical es par entonces la expresión que está en el interior debe ser positiva e incluso cero, esto indica que para determinar el C.V.A. debemos plantear la siguiente desigualdad
es decir son todos los valores reales mayores e iguales a 3.
Paso 2: Este paso tiene como estrategia dejar en un lado de la ecuación el radical y en el otro lado el resto de términos, luego elevar al cuadrado y resolver
( ) √ )
tenemos como posibles soluciones a x =4 y x =7, ambos valores pertenecen al C.V.A. ya que son mayores a 3, sin embargo el hecho de elevar al cuadrado hace que algunas o todas las soluciones obtenidas puedan no pertenecer al C.S., por tal iempr e hay que comprobar reemplazando los motivo en este tipo de ecuaciones s iempre valores obtenidos en la ecuación principal:
√ √ ,〉 *+
Para x Para x = 4 se tiene que
, es decir es parte del C.S.
Para x Para x = 7 se se tiene que
, es decir no es parte del C.S.
Paso 3:
Solución geométrica:
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√ √ ( ) ) √ √ / . √ √
Ejemplo 24. Determine el C.S. de
Solución algebraica: Paso 1: Elevando al cuadrado y haciendo las operaciones necesarias para eliminar el radical, se tiene
Paso 2: Comprobando se tiene
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, es decir
*+ Página 32
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1.5.3.-E 1.5.3 .-Ecua cuaciones ciones B icuad icuadrát ráticas icas Una ecuación bicuadrática es una ecuación polinómica de grado cuatro de la forma
, con
.
Si hacemos y reemplazamos en la ecuación original transformamos una ecuación de grado 4 en una equivalente de grado 2, es decir de la forma , esta última ecuación es una ecuación cuadrática que puede ser resuelta por cualquiera de los métodos aprendidos en la sesión anterior, sin olvidar que . Por ejemplo:
Ejemplo 25. Determine el C.V.A y el C.S. de
Solución algebraica: Como se trata de una ecuación polinómica entonces el C.V.A = R, luego haciendo , reemplazando y factorizando se tiene
*+
Como entonces x= – 2 ó x =2 son parte del conjunto solución ya que la ecuación es polinómica y ambos valores pertenecen al C.V.A, por lo tanto .
Solución geométrica: Según la gráfica queda claro que los ceros de la ecuación 2.
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son -2 y
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Existe otro tipo de ecuaciones que al hacer un cambio de variable la ecuación equivalente que resulta es una ecuación cuadrática, por ejemplo
Ejemplo 26. Determine el C.V.A y el C.S. de
√
Como tenemos un radical con índice par entonces el conjunto de valores admisibles son todos los valores mayores e iguales a cero, el cual lo expresamos en la forma siguiente.
* + + √ √ √
Por otro lado, haciendo ecuación equivalente. Factorizando se tiene
entonces
, con lo cual se tiene lasiguiente
luego
Ambos valores pertenecen al C.V.A., pero por la presencia del radical hay que comprobar si satisfacen la ecuación principal Para
se tiene
. ./ /
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, es decir
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Para
. ./ / 2 3
se tiene
Por lo tanto el
, es decir
1.6 .6..- EJ ER CICIO CICIOSS Y PR OBLEMAS: 21. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a. El C.V.A. de la la expresión b. El C.S. de la ecuación c. La expresión
*++
es R
no es racional.
d. El C.S. de la ecuación e. Sea
es
es
tal que
*+
.
entonces el valor de a es 14.
22. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones: a. b. c. d. e.
√ √ √
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f. g. h. i.
√ √
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23. Determine el C.V.A. y el C.S. de las siguientes ecuaciones racionales: a. b. c. d.
√ √ √ √ √ √
e. f.
√ √
24. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones irracionales: a. d. b. c. 25. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones bicuadráticas: a. b.
26. Determine el C.V.A. y C.S. de: a. b. c. d. e. f. g. h.
c. d.
27. Se va a construir una casa sobre un terreno rectangular cuya área es de 300 m 2, determine: a. Una ecuación que exprese el perímetro del terreno en términos de su largo x . Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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b. El perímetro, si el largo del terreno es de 25 m. c. Las dimensiones del terreno, si se sabe que el terreno tiene como perímetro 70 m. 28. Se desea diseñar nuevos envases de yogurt, el yogurt será envasado en un recipiente cilíndrico de radio r y altura h (ambos en centímetros) y como tapa se usará una capa semiesférica de radio igual igual a la del del cilindro, esta será enroscada a la parte cilíndrica. Se sabe que el total de material plástico a emplear en cada envase está determinado por la ecuación y que además el contenido neto de yogur es de 200 g.
a. Se desea emplear 52,5 cm2 de material plástico. Plantee una ecuación que permita determinar las dimensiones del nuevo envase. (use 1g de material tiene un área de 1 cm 2). b. ¿Cuáles son las dimensiones del nuevo envase?, estime mediante Geogebra o una calculadora adecuada. 29. Si dos motores de agua trabajan al mismo tiempo, tardan 15 horas en desaguar un pozo. Si solo trabaja el de menor capacidad tardaría en vaciar el pozo 16 horas más que si trabajara sólo el de mayor capacidad. Si solo funciona el de mayor capacidad, determine cuántas horas demorara en vaciar el pozo. 30. Un tanque de petróleo puede ser llenado por una llave en 20 minutos. Si después de cinco minutos que esta llave ha estado trabajando, se abre una segunda llave, llenando el tanque en tres minutos más. ¿Cuánto tiempo tardaría la segunda llave sola en llenar el tanque? 31. El gobierno está realizando en la cuidad B un gran proyecto que debe ser entregado lo antes posible, la constructora ganadora de la licitación urge de los materiales de construcción que son fabricados en la cuidad A. A. Se sabe que las ciudades están separadas 900 km y que para poder iniciar la obra los materiales solicitados deben llegar en 12 horas a su destino, el camión que traslada los materiales desde la ciudad A ciudad A recorre 540 km hasta que por razones del mal clima el chofer debe bajar la velocidad, aun así logra llegar a tiempo. Si la velocidad en el primer tramo fue mayor en 30 km/h a la del segundo tramo. Determine las velocidades a la cuál recorrió el camión para llegar justo a tiempo.
1.7.- INTERVALOS E INECUACIONES
1.7.1.- Intervalo Intervaloss : Llamamos intervalo a todo subconjunto de números reales sin huecos en su interior.
--
,- -,
y y Ejemplo 27. Son ejemplos de intervalos los conjuntos pues en cada uno de ellos no hay ningún valor que falte en su interior, en pues otras palabras no hay saltos ni huecos en el interior de cada c ada uno de ellos, en cambio Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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-,, *+ 〈〉 〈〉〉
el conjunto hueco en 4 .
no es un intervalo pues tiene un no
Los intervalos son clasificados como acotados y no acotados y se pueden representar en tres formas equivalentes, la primera es llamada notación de intervalo, colocando en los extremos los números reales a y b con a b , la segunda es llamada notación de desigualdad pues se hace uso de las desigualdades ; ; o y la tercera es llamada notación g r áfica áfic a pues recordemos que se usa una recta para representar al conjunto de los números reales y por consiguiente cualquier subconjunto puede ser representado sobre la recta real, en particular los intervalos. En seguida hacemos una descripción rápida de los 8 tipos de intervalos con los que vamos a trabajar.
Intervalos Intervalos acotados cotados de números números reales reales::
Sean a y b números reales con a b Notación de intervalo
,-, ,, --
Tipo de intervalo
Notación de desigualdad
Notación gráfica
Cerrado Abierto Semi abierto Semi abierto
Intervalos Intervalos no acotad acotados os de números números reales reales:: Sean a y b números reales con a b Notación de intervalo
Tipo de intervalo
,,
Cerrado por Izquierda
-,
Abierto por Izquierda
Notación de desigualdad
Notación gráfica
*+ + * + *+ + o
o
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--
Cerrado por derecha
-,
Abierto por derecha
*+ + *+ + * + *+ + * + o
o
Operaciones con intervalos (unión e intersección) . Revisemos las operaciones mediante algunos ejemplos: Ejemplo 28. Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo. a. b. c. d.
,--- -,, ,----,,-
Solución: Apoyándonos en la notación gráfica, a.
queda claro que b.
,- -, ,-
es es un intervalo cerrado.
Luego
-- ,-
Luego
,- -, --
c.
no no es intervalo.
es un intervalo semi abierto. es
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d.
Luego
-- ,- ,* + * + --
no es un intervalo.
Conclusión: En general la unión y la intersección de intervalos no necesariamente es un intervalo. Ejemplo 29. Exprese
en notación de desigualdad y notación gráfica. en
Solución: a. Notación de desigualdad: b. Notación gráfica:
Ejemplo 30. Exprese
en notación de intervalo y gráfica. en
a. Notación de Intervalo: b. Notación gráfica:
Ejemplo 31. Exprese en notación de intervalo y de desigualdad al intervalo dado en notación gráfica
Solución: a. Notación de Intervalo:
-, *+ +
b. Notación de desigualdad :
1.7.2.1.7.2 .- Inecua I necuaciones ciones::
Entendemos por inecuación a dos expresiones algebraicas conectadas por los signos de desigualdad:
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Un número real es una solución de una inecuación si se obtiene un enunciado verdadero al reemplazar la variable (incógnita) por dicho número. El conjunto de todos los números reales que satisfacen una inecuación es llamado conjunto solución (C.S.), (C.S.), y será representado mediante los intervalos. Se empleará como método para obtener el conjunto solución el método de los puntos referenciales o puntos de referencia (P.R.), (P.R.), llamado también método de los puntos críticos, este método consiste en trabajar con los signos (+ ó -) sobre la recta real, el cual detallaremos al detalle más adelante. A continuación se presenta algunas propiedades que serán usadas como herramientas en el proceso de solución de una inecuación.
Propiedades:
Sean a;b y c números reales. 1.
Ejemplo 32. 2 5 entonces 2+8 5+8 2.
Ejemplo 33. 2 5 entonces 2 - 8 5 – 8, es decir -6 -3 3. Si
entonces
Ejemplo 34. 2 5 entonces (10)(2) (10)(5), es decir 20 50 4. Si
entonces
Ejemplo 35. 2 5 entonces (-4)(2) (-4)(5), es decir -8 -20 Esta propiedad nos dice que al multiplicar en una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad debe cambiar. Frecuentemente se comete errores por tal razón debemos ser muy precavido cuando se aplique esta propiedad.
5. Si a b y b c entonces a c . <3 y 3 <7 entonces -2 <7. Ejemplo 36. - 2 <3 6. Si a
Ejemplo 37. -3 <0 y 2 <5 entonces (-3) + 2 <(0) + (5), es decir -1 <5 Para el resto de desigualdades manera similar.
o , las propiedades anteriores se cumplen de
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Se va a estudiar inecuaciones polinómicas, poniendo mayor énfasis en las lineales y cuadráticas y las reducibles a lineales o cuadráticas, finalizando con las inecuaciones racionales.
E s trat trategia eg ia de de solución : A diferencia de las ecuaciones, en inecuaciones es aconsejable seguir con la siguiente estrategia de solución comenzando por transformar la inecuación al siguiente orden: Expresión algebraica E(x)
Desigualdad
Cero 0
Es decir, colocar todos los términos en un lado de la desigualdad (derecha o izquierda), luego la expresión algebraica debe ser factorizada y finalmente aplicar el método de los valores críticos.
1.7.2.1. Inecuaciones lineales: Son aquellas que involucran a polinomios de primer grado o reducibles a algunas de las formas
donde a y b son números reales con a 0 .
Obtener el conjunto solución no es tarea difícil ya que sólo consiste en despejar la variable teniendo en cuenta las propiedades anteriores, para determinar el C.V.A. hay que analizar la expresión tal y como es dada. Se analizará a continuación algunos ejemplos:
Ejemplo 38. Determine el conjunto solución de 2 x + 5 >0 Solución algebraica: Al despejar se obtiene
De donde el intervalo
, en notación gráfica tenemos
1 0
es el conjunto solución y el C.V.A. = R . es
Para confirmar tomemos un valor dentro del intervalo, por ejemplo el valor de 3 y reemplazamos en la inecuación dada 2(3) +5 =11 >0, esto quiere decir que 3 es parte del conjunto solución. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Solución geométrica: Que se pueda interpretar los valores obtenidos al resolver una inecuación es de mucha importancia sobre todo cuando tenga que enfrentarse a problemas de aplicaciones en cursos posteriores, por ello desde ahora empezamos a impulsar esta forma de pensar. Usando Geogebra, se traza la gráfica de la ecuación y =2 x+5 x+5 , obteniendo la curva que se muestra en la figura, donde se observa que la curva está por encima del eje X a partir del punto A, es decir valores mayores ma yores a -2,5 en eje X eje X .
Podemos concluir que resolver 2 x + 5 >0 implica determinar los valores en el eje X tal que la curva este por encima del eje X, es así como demostramos geométricamente que el conjunto solución es efectivamente el intervalo hallado de forma algebraica. hallado
1 0
A partir de la gráfica también podemos sacar como conclusión que el C.S. de la inecuación 2 x +5 +5 <0 son todos los valores del eje X tal que la curva se encuentre por debajo del eje X eje X , es decir el intervalo En adelante se aconseja comprobar las soluciones algebraicas mediante el uso de Geogebra.
1 0
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Ejemplo 39. Determine el conjunto solución de Solución Algebraica:
Cuya notación grafica es
Luego
1 1
y C.V.A. =R =R .
Ejemplo 40. Determine el conjunto solución de Solución algebraica:
Cuya notación gráfica es
Luego,
- ,
y C.V.A. =R. =R.
- ,,
Ejemplo 41. Determine el conjunto solución de Solución algebraica:
Multiplicando por 3 en cada término: Súmanos 2 en cada término: Obtenemos , luego
y C.V.A. =R =R .
Ejemplo 42. Determine el conjunto solución de Solución algebraica: Observamos que el C.V.A. =R =R . Luego aplicamos la siguiente propiedad
De donde se tiene:
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Así, el
-,
1.7.2.2.- Inecuaciones cuadráticas: Son aquellas que involucran a polinomios de segundo grado o reducibles a algunas delas formas
donde a , b y c son números reales con a 0 .
En adelante se usará el método de los Puntos de Referencia para obtener el conjunto solución. A continuación se analizan algunos ejemplos en donde se utiliza el método nombrado.
Ejemplo 43. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: Es fácil ver que el C.V.A. =R = R , al factorizar tenemos
… (I)
Igualando a cero cada término se obtiene los Puntos de Referencia que son y 2, luego se ubican en la recta real, y se elige un valor cualquiera que esté entre los Puntos de referencia y se reemplaza en la inecuación (I) colocando sobre la recta el signo resultante, resumimos todo en el siguiente cuadro: Intervalo
Elegimos
Signo del
Signo del
Signo el
-2
2(-2) + 1 = ( – –)
– 2 – 2 = ( – –)
( – –)( – –) = +
0
2(0) + 1 = (+)
–) 0 – 2 = ( –
–) = – (+)( –
3
2(3) + 1 = (+)
3 – 2 =(+)
(+)(+) = +
En adelante el proceso se puede hacerse de manera mental colocando únicamente los signos, es decir
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En este caso, la desigualdad en (I) indica tomar todos los signos positivos resultantes, es decir los signos que están por encima de la recta que sean positivos.
Luego el
1 1 , ,
Ejemplo 44. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica:
De donde se tiene a -2 y 2 como valores críticos (o puntos de referencia) y además la desigualdad indica tomar el signo negativo, es decir
El
-,
Solución geométrica. Trazamos la gráfica de ecuación
, la cual se muestra en la figura adjunta.
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De donde observamos que resolver implica determinar los valores en el eje X tal que la gráfica de este por debajo del eje X.
Ejemplo 45. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica:
El C.V.A. =R, =R, además además se observa que no existe ningún valor real tal que elevado al cuadrado sea menor que cero, así el
Ejemplo 46. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica:
El C.V.A. =R, = R, además observamos que excepto cuando x= -2 la expresión es verdadera, pues todo número real elevado al cuadrado siempre es positivo o cero, luego
* *++
Ejemplo 47. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica:
⏟
El C.V.A. = R , desarrollando se tiene:
De donde C.S. =
Positivo siempre
1.7.2.3.-Inecuaciones racionales: Son aquellas expresiones que tienen una de las formas
donde P ( x x ) y Q( x x ) son polinomios con Q( x x ) 0 .
Se analiza a continuación algunos ejemplos en donde se revisará la técnica de solución usando Puntos de Referencia (o Puntos Críticos): Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Ejemplo 48. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica:
*+
El , los valores críticos son -1 y 2, luego analizamos los signos en la recta, obteniendo:
-- -, * *++
Luego, el
Ejemplo 49. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El ; efectuando se tiene:
-,
Luego, el Ejemplo 50. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: Factorizando se tiene:
El
*+ -- - --
los valores críticos son: -3, 1/3, 1 y 3
Luego, el
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1.8 .8..-EJ ER CICIO CICIOSS Y PR OBLEMAS 32. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique adecuadamente su respuesta. a. b. c. d. e. f. g.
–
√ - , , 1 ,, ,1 , ,0--1 - –-
Si entonces . Si entonces < 3. El C.V.A. de la inecuación es R . El C.S. de la inecuación es R . El C.S. de la inecuación es . Los conjuntos y y representan al mismo intervalo. Sea x Sea x N luego x luego x puede tomar 5 valores en el intervalo .
,*+ ,, -, --,-
33. Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo y de serlo expréselo en sus diversas notaciones. a. b.
34. Grafique los siguientes intervalos a. b.
c. d.
c. d.
35. Determine el C.V.A y el C.S. de las siguientes inecuaciones: a. b. c. d. e. f. g. h. i.
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j. k. l.
36. La figura muestra la gráfica de la ecuación
Determine los valores en el eje X eje X tal que: a. c. e.
b. d.
37. En la gráfica adjunta trace la recta y =2 =2 y determine los valores en el eje X eje X tal que: a. b.
––
Verifique los resultados obtenidos en las partes a. y b. mediante el desarrollo algebraico.
38. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la altura (en metros) de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por
a. Determine durante qué tiempo la pelota estuvo po r encima de los 768 m. b. Plantee una inecuación que permita saber cuánto tiempo demoro la pelota en caer al suelo. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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c. Determine el intervalo de tiempo en qué la pelota estuvo en vuelo. 39. La empresa A&S dedicada a la producción y venta de máquinas para construcción, hace un estudio en sus ingresos, obteniendo la siguiente ecuación
donde I representa el ingreso mensual en miles de dólares y x el número de máquinas producidas y vendidas cada mes, además el costo de producción al por mayor de cada máquina es de 28 mil dólares. Determine el número de máquinas que debe producir y vender a la vez A&S para obtener una ganancia (ingreso - costo) de al menos 100 mil dólares. 40. Una competencia de autos a realizarse en nuestro país indica que el recorrido será por dos tramos distintos, el primer tramo se recorrerá en una pista asfaltada y el segundo tramo es una carretera arenosa, cierto auto fue diseñado para rendir 50 kilómetros por galón en la pista asfaltada y 35 kilómetros por galón en la carretera arenosa. Se sabe que la capacidad del tanque de gasolina de dicho auto es de 17,6 galones. Suponga que existen condiciones ideales de manejo y determine un intervalo para la distancia que pueda recorrer un auto de estas características con el tanque lleno. Interprete el resultado. 41. La relación entre las temperaturas Celsius (ºC) y Fahrenheit (ºF) está dada por la ecuación
a. En Lima, se pronostica que para este mes la temperatura variará variará entre 20ºC y 35ºC. Determine el intervalo en grados Fahrenheit para el mismo periodo. b. El pronóstico de la temperatura en la cuidad de Chiclayo, Chiclayo, se dice que está en el intervalo 77º <º F <86º. Determine la temperatura en grados Celsius para este mismo periodo 42. Cierto cultivo ha sido atacado por una fuerte plaga, se pide producir un bactericida que permita eliminar dicha plaga, un experimento indica que a t horas de ser aplicado el nuevo bactericida, el número de bacterias que quedan está dado por la ecuación:
Determine: a. Después de cuántas horas el número de bacterias está por debajo de 4 000. b. Si es posible saber si el bactericida puede eliminar la totalidad de bacterias en dicho cultivo. 43. Un ingeniero gana $7 000 en cierto negocio, decide prestar por un año parte de su dinero al 10% y el resto lo deposita en una cuenta a plazo fijo en un banco Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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que le paga 4% anual. ¿Cuál es el monto mínimo que debe prestar si al cabo de un año desea obtener un ingreso por interés de al menos $ 400?
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CAPÍTULO II: FUNCIONES BÁSICAS
OBJETIVOS:
1. Identificar si una curva representa una función mediante el Criterio de la R ecta Vertical Ver tical. 2. Determinar el dominio y el rango. 3. Identificar y clasificar gráficamente los puntos de discontinuidad. 4. Determinar gráficamente los intervalos de monotonía. 5. Determinar gráficamente las cotas de una función. 6. Identificar y determinar en forma gráfica los valores extremos (locales y absolutos) de una función. 7. Determinar la paridad y la simetría s imetría de una función. 8. Determinar gráficamente las ecuaciones de las asíntotas de una función. 9. Determinar los ceros de una función. 10. Conocer características y gráfica de 8 funciones básicas. 11. Graficar funciones seccionadas.
2.1. INT I NTRR OD ODUC UC C IÓ IÓN: N:
En este capítulo hablaremos de una herramienta muy importante dentro del mundo de las Matemáticas, cual es “La función “. Para efectos de modelación en problemas
de la vida real, entendamos una función como una relación de causa y efecto entre dos variables, una llamada independiente (causa) y otra llamada dependiente (efecto), esta relación generalmente se representa geométricamente mediante una línea en el plano cartesiano, donde cada punto (x,y) representa una causa y un efecto, y algebraicamente algebraicamente mediante una relación de la forma f(x) = y , la cual sirve para construir tablas de la forma : Causa ( variable independiente) Efecto ( variable dependiente )
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de ingeniería, finanzas, economía, estadística, medicina, química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. variables. En Economía por ejemplo podemos modelar el siguiente problema: Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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MATEMÁTICA ASISTIDA POR COMPUTADORA “Un fabricante de quesos lleva a vender diariamente al mercado una determinada cantidad (efecto “q”) de quesos, pero esta cantidad dependerá del precio que paguen los consumidores (causa “p) “y esta relación podría darse por la ecuación:
q = O(p) = 4+ 7p esta ecuación nos permite construir tablas como la siguiente : Precio ( causa ) en soles Cantidad ofertada ofertada ( efecto ) 2 18 3 25 4 32 5 39 Utilizando el Geogebra podemos construir la siguiente gráfica, solo introduzcamos en la barra de entrada f(p)= 4+ 7p y automáticamente obtenemos el siguiente gráfico.
Lo importante en este capítulo es que aprendamos a construir y a leer tablas y gráficos como los presentados anteriormente, así por ejemplo el punto A (2,18) lo leeremos así: “cuando el p recio de cada queso es de S/2.=, el productor llevará a ofertar al mercado 18 quesos”, “El punto B(3,25) se leerá: cuando el precio de cada queso es de S/3.=, el productor llevará a ofertar al mercado 25 quesos” .
Lo anteriormente dicho es la idea intuitiva de función ; sin embargo daremos algunas definiciones para comprender este importante ente matemático llamado “ FUNCIÓN “
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2.2.-DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Una función de un conjunto D a un conjunto R, es una regla que asigna a cada elemento de D un único elemento en R. El conjunto D de todos los valores de entrada es llamado dominio de la función y el conjunto R de todos los valores de salida es llamado rango de la función.
Observación: Una función puede verse como una asignación o transformación de los elementos del dominio en elementos del rango.
En la figura 1, podemos observar que se trata de una función pues para cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del rango, en cambio en la figura 2 observamos que para b en el dominio se le asignan 2 y 4 en el rango, por lo cual concluimos que no se trata de una función.
Notaciones: Variables: Las funciones que estudiaremos relacionan a dos variables, mayormente denotadas por x e y , donde “ x x ” recibe el nombre de variable independiente y “ y ” variable dependiente. Forma explícita de una función: Llamamos regla de correspondencia de una función a la expresión y =f ( x ), donde y depende de x de x . x ), x ) la regla de correspondencia de una función, el Dominio: Dada y =f ( x dominio será denotado por:
* +
Al resolver resolver la “condición”, “condición”, se obtiene los los valores valores “ x ” para la cual la función está
bien definida, es decir, al introducir un valor x (valor de entrada) en f ( x x ) se obtiene otro valor (valor de salida), esta es la forma algebraica de obtener el dominio, la otra forma de obtener el dominio es a partir de su gráfica, para lo cual proyectamos el gráfico sobre el eje ”X” , y el intervalo obtenido es el
dominio.
Rango: El rango será determinado mayormente a partir de su gráfica, para ello proyectamos su gráfica sobre el eje “Y” y el intervalo obtenido es el Rango y escribiremos .
* +
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Ejemplo 1 (Forma algebraica de determinar el dominio): Dada la regla de correspondencia, determine el dominio de cada función: a. b. c. d. e.
√ √ √
¿qué valores debe tomar la variable Solución: En cada caso debemos preguntarnos ¿qué independiente? independiente? de tal manera que la regla de correspondencia este bien definida, es decir: si entonces existe.
* + + ,, * + * + *+ * + * + * + -, ,-
a. Como se trata de una raíz cuadrada tenemos donde la condición es la inecuación , al resolverla tenemos así el dominio de f es el conjunto:
,
,
b. Se sabe que , debemos resolver la ecuación para saber qué valores hay que discriminar en el dominio,
Luego
c. Tal como podemos observar en esta función no existe ninguna restricción para la variable independiente por lo tanto . d. En el numerador no tenemos ninguna restricción, en el denominador tenemos tenemos una raíz cuadrada entonces
e. La condición es entonces de los puntos críticos tenemos:
; usando el método
Luego el
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2.3.- Gráfica de una función
()}
Si f es una función con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos .
En otras palabras, llamaremos gráfica de una función a la curva que describe la unión de todos los puntos . C rite ri teririo o de de la recta vertical: Una gráfica (conjunto de puntos ( x x ; y ) en el plano XY), plano XY), define a y como una función de x, si y sólo si, ninguna recta vertical intersecta a la gráfica en más de un punto.
Ejemplo 2: De las cuatro gráficas que se muestran, ¿cuáles no corresponden a la gráfica de una función?
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Al trazar una recta vertical en cada una de las gráficas podemos observar que las curvas de las figuras 1 y 3 no corresponden a la gráfica de una función. Si conocemos la gráfica de una función f y deseamos conocer su dominio, entonces debemos observar los valores en el eje X donde f exista, para el rango debemos observar los valores f ( x x ), ), en el eje Y , tal que .
Ejemplo 3 (Forma gráfica de determinar el dominio): Determine el dominio y el rango a partir de la gráfica de las siguientes funciones: a. La figura siguiente muestra la gráfica de una función f .
, , , , , -, *+ -,
Observando los valores del eje X tenemos también se puede escribir
, el rango es
, o
.
b.-La figura muestra la gráfica de una función g .
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* + -- -,
Observando el eje X eje X tenemos decir que el
y al observar el eje Y podemos
.
Sin embargo podemos determinar el rango en forma analítica despejando x en función de y del siguiente modo.
Despejando..x tenemos:
Así tenemos:
* --, - , 2.4.- Propiedades de las funciones Analizar una función no es únicamente analizar el dominio y el rango, sino existen otras propiedades muy importantes, tales como: continuidad, intervalos de Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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monotonía, acotamiento, extremos locales y absolutos, simetrías, asíntotas, los ceros, entre otras.
2.4.1.- A. Continuidad Conceptuamos geométricamente una función continua cuando no se rompe en ningún punto de su dominio; sin embargo para clasificar el tipo de discontinuidad en una función, ilustraremos el concepto con algunas gráficas
Continuidad en toda x :
Obsérvese que la gráfica no se rompe en ningún punto de su dominio.
Discontinuidad removible:
En la primera gráfica, observamos que es continua en todas partes, excepto en el “agujero” x =a. =a. Este tipo de discontinuidad es llamado removible, ya que podríamos redefinir f (a) de tal manera que desaparezca el agujero y haga que f sea continua en a. En la segunda gráfica, también existe una discontinuidad removible en x =a. =a. En este caso f (a) ni siquiera existe. Es removible, ya que podríamos definir f (a) de tal manera que se tape el agujero y se haga f continua.
Discontinuidad de salto:
Tal como podemos observar f es discontinua en x=a, x=a, pero la discontinuidad no es del tipo removible; este tipo de discontinuidad es llamado de salto, ya que más que un agujero en x=a, en x=a, existe existe un salto en los valores de la función que forma un espacio imposible de llenar con solo un punto (a ( a; f (a)), independientemente de cómo tratemos de redefinir f (a).
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Discontinuidad infinita:
En este caso observamos una discontinuidad en x =a, =a, que no es del tipo removible ni de salto; este tipo de discontinuidad es llamada asintótica, ya que los valores x próximos a a hacen que f ( x x ) tienda a ser un valor infinito positivo o negativo. Debe quedar claro que la discontinuidad de una función la hemos definido en un punto x punto x = a y no en intervalos y que existen tres tipos posibles de discontinuidad los cuales podemos clasificarlos como removibles, de salto o asintótica.
Ejemplo 4: En base a la gráfica, diga si existen puntos de discontinuidad y clasifíquelos.
Solución: Nuestra visión debe estar tanto en la gráfica como en los valores del eje X , tenemos que la función es discontinua: En x En x =-3 =-3 y es del tipo asintótica. En x En x =2 =2 y es del tipo de salto. En x En x =6 =6 y es del tipo removible.
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2.4.2. B. Funciones crecientes y funciones decrecientes Ahora estamos interesados en los intervalos (valores del dominio) en la cual la función es creciente o decreciente, estos intervalos definen la monotonía de una función.
Definiciones: Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x en x ocasiona un cambio positivo en f ( x x ). ). Una función f es decreciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x en x ocasiona un cambio negativo en f ( x x ). ). Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x en x ocasiona un cambio nulo en f ( x x ). ).
Ejemplo 5: En base a la gráfica, determine los intervalos de monotonía de f, así como los intervalos donde f es constante.
Solución: A diferencia del dominio y el rango, los intervalos pedidos hay que separarlos mediante una coma (,). Intervalos de monotonía: monotonía: Los intervalos donde f es creciente son: Los intervalos donde f es decreciente son:
-,,,,--,,
Por otro la función f es constante en el intervalo
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.
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2.4.3.-C. Acotamiento
Definiciones: Cota inferior: Una función f está acotada por debajo si existe algún número a que sea menor o igual a todo número en el rango de f . Cualquiera de estos números ase denomina cota inferior de f . Cota superior: Una función f está acotada por arriba si existe algún número b que sea mayor o igual a todo número en el rango de f . Cualquiera de estos números b se denomina cota superior de f. Función acotada: Una función f está acotada si y sólo si está acotada por arriba y por debajo.
Observación: Si no existe ninguna cota, entonces se dice que la función no está acotada. Ejemplo 6: Dada la gráfica de una función, determine en cada caso si la función está acotada inferiormente, acotada superiormente o es acotada.
,,
Como el entonces existe más de un valor (por ejemplo -1,-2,-3 denominadas cotas inferiores), menor a cualquier valor en el rango. Por lo tanto f está acotada inferiormente. inferiormente.
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--
Como el entonces existe más de un valor (por ejemplo 3,4,..denominadas cotas superiores), mayor a cualquier valor en el rango. Por lo tanto la función está acotada superiormente. superiormente.
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,-
En este caso el entonces existen valores menores a 1 y valores mayores a 3, es decir existen cotas superiores e inferiores a la vez. Por lo tanto la función está acotada. acotada.
Como el
entonces no existen cotas inferiores ni superiores.
2.4.4.D. Valores extremos de una función Muchas gráficas se caracterizan por tener picos y están cambiando de crecientes a decrecientes y viceversa, a continuación definimos lo que llamaremos extremos locales y absolutos de una función.
Valores extremos absolutos: Sea f una función y : Si para todo entonces el número f (c ) se llama en x=c . valor máximo absoluto de f alcanzado en x=c Si f (c ) f ( x x ) para todo entonces entonces el número f (c ) se llama en x =c . valor mínimo absoluto de f alcanzado en x A estos valores se les conocen como valores extremos absolutos de f .
Valores extremos locales: Al número f (c ) se llama valor máximo relativo o local de f alcanzado en x en x =c Si f (c ) f ( x x ) para todo x todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c .
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Al número f (c ) se llama valor mínimo relativo o local de f alcanzado en x=c en x=c si todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f f (c ) ≤ f ( x x ) para todo x que contiene a c . A estos valores se les conocen como valores extremos locales de f .
Ejemplo 7: Dada la gráfica de una función f , si existen, determine los extremos locales y absolutos de f.
Después de haber leído e interpretado la definición sobre los valores extremos de una función, podemos entender la siguiente respuesta: Valores extremos absolutos: El máximo absoluto de f es 6 alcanzado en x en x =-4. =-4. Tal como podemos observar no hay mínimo absoluto.
Valores extremos locales: Tal como podemos observar en la gráfica existen dos máximos locales, el primero es 2 alcanzado en x=1 x=1 y el segundo es 0 alcanzado en x=5(observe x=5(observe claramente que en ambos existen intervalos abiertos conteniendo a 1 y 5 respectivamente). Tal como podemos observar el único mínimo local es –1 alcanzado en x en x =4. =4. Nota: 1. De existir, los valores extremos absolutos absolutos son únicos; pero pueden ser alcanzados en muchos (o infinitos) valores x valores x del dominio de f . 2. De existir, los valores valores extremos locales no necesariamente son únicos.
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2.4.5. E. Paridad y simetría de una función
Definiciones: Una función f se le dice función par si y sólo si Una función f se le dice función impar si y sólo si
.
.
Nota: Geométricamente, cuando una función es par su gráfica es simétrica respecto al eje de las ordenadas(Y); cuando la función es impar su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejemplo 8: En cada una de las funciones determine la paridad. a.
√ b.
c.
Solución:
a. Como
||
. Por lo tanto f es una función par.
b. Como
d.
. Por lo tanto f es una función impar
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√ √ ||| ||
C .Como d.Como
. Por lo tanto g no es par ni impar.
. Por lo tanto la función es par.
2.4.6.-F. Asíntotas La recta y =b es una asíntota horizontal de la gráfica de una función f , si f ( x x ) se aproxima a b como límite, cuando x cuando x tiende a o . La recta x recta x =a es una asíntota vertical de la gráfica de una función f , si f ( x x ) tiende a o , cuando x cuando x se aproxima a a por cualquier dirección.
Ejemplo 9: Dada la gráfica de la función sus asíntotas verticales y horizontales.
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determine las ecuaciones de
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La función f tiene como asíntotas verticales a las rectas x=-1 y x=2; 2; y como asíntota x=-1 y x= horizontal a la ecuación y=0 y=0 tanto por derecha (cuando x tiende al ) como por izquierda (cuando x (cuando x tiende a - ).
2.4.7.-G. Ceros de una función: Determinar los ceros de una función, es equivalente a determinar las intersecciones x de la gráfica de y=f ( x x ) , o las soluciones de la ecuación f ( x x ) =0 teniendo en cuenta .
√ √ √ √ √
Ejemplo 10: En cada una de las funciones, determine los ceros de la función.
a. Solución: a. El
b.
; luego implica . Por lo tanto los ceros de la función son
, ,
b. El es 3.
c.
, al resolver se tiene y .
, luego implica x implica x -3 -3 =0 entonces el único cero de la función
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-,
c. El como
√
, luego implica entonces t = 0 y t =3 , entonces el único cero de la función es 3. entonces
2.5.- FUNCIONES BÁSICAS Y SUS CARACTERÍSTICAS Hasta el momento hemos dado a conocer la definición de función, su dominio y su rango, así como varias propiedades importantes; a continuación presentamos gráficamente 8 funciones, consideradas las más conocidas; dejamos como ejercicio el reconocer las propiedades enunciadas anteriormente. 2.5.1. Función constante: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x x ) =k =k con k
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y su gráfica es:
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*+ y
2.5.2.-Función identidad: Es aquella cuya regla de correspondencia es f ( x x ) = x y su gráfica es:
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2.5.3. Función cuadrática: Es aquella cuya regla de correspondencia es
,,
2.5.4. Función cúbica Es aquella cuya regla de correspondencia es
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y su gráfica es:
y su gráfica es:
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2.5.5. Función raíz cuadrada: Es aquella cuya regla de correspondencia es
√
y su gráfica es:
,, ,, || 2 ,
2.5.6. Función valor absoluto: Es aquella cuya regla de correspondencia es Y su gráfica es:
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,, ,
2.5.7.- Función raíz cúbica: Es aquella cuya regla de correspondencia es
√
2.5.8. Función recíproca: Es aquella cuya regla de correspondencia es
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y su gráfica es:
su gráfica es:
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*+ *+
2.5.9.- Funciones seccionadas Llamaremos función seccionada a las funciones de la forma:
Dónde:
y
Ejemplo 11: En cada una de las funciones, trace su gráfica y determine su dominio, rango, intervalos de monotonía, los puntos de discontinuidad (clasificar), cotas, valores extremos y los ceros: a.
8√ ||√ b.
c.
Solución: a. La gráfica de la función es :
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-,, ,, -,, ,- ,
El dominio es: El rango es: Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento: La función es discontinua en y es del tipo salto. Es una función no acotada. El valor y =1 es un máximo local alcanzado en x =-1; =-1; el valor y=0 y=0 es un mínimo local alcanzado en x= en x=0. 0. , el único cero de la función es 0.
b. La gráfica de la función es:
--,, ,,,, ,-, , √
El dominio es: El rango es: Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento: : Analizando el dominio, no tenemos tenemos puntos de discontinuidad, cotas, ni valores extremos. , sin embargo, 0 no pertenece al dominio de la función. Por lo tanto la función no tiene ceros, esto se refleja en la gráfica pues no se interseca con el eje X eje X .
c. La gráfica de la función es:
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,, ,,,,-, ,, | |
El dominio es: El rango es: Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento: La función es discontinua en y en , ambos de salto. Como el rango es , entonces la función esta acotada inferiormente. Analizando los valores –2, 0 y 4 del dominio, el único valor extremo es el valor en x =0 y =0 =0 alcanzado en x =0 y es un mínimo absoluto. , de donde el único cero de la función es 0.
IFIQU QUEE SI LOGRÓ LOS OBJ ETIV ETIVOS OS ¡ 2.6.-¡VER IFI Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales: finales:
OBJETIVO1: De las gráficas siguientes, ¿cuáles no corresponden a la gráfica de una función? Justifique su respuesta.
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OBJ ETIVOS 2 Y 8: Dada las funciones
√ y
, en cada una de ellas
determine el dominio y los ceros.
OBJ ETIVOS DEL 2 AL 11: 11:
Trace la gráfica de la función f cuya regla de correspondencia es:
y (de ser posible) a partir de ella determine: a. Su dominio y rango. b. Clasifique los puntos de discontinuidad. c. Los intervalos de monotonía y los intervalos donde f es constante. d. Si f es acotada inferiormente, superiormente o acotada. e. Los valores extremos. f. Las ecuaciones de las asíntotas verticales y/o horizontales. g. Los ceros de la función.
jercicios ios y probl problem ema as : 2.7. E jercic 1. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a. Si g ( x x ) es una función par entonces es una función impar.
| | , √
b. El dominio de la la función es c. La función es una función acotada. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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√ √ || 2 8√ √ d. Los ceros de la función
son –1 y 0.
2. Determine el dominio de las siguientes funciones: a.
b.
c.
3. Trace la gráfica de las siguientes funciones e indique su dominio y rango. a.
b.
c.
4. A continuación presentamos la gráfica de la función f :
A partir de ella, determine:
a. Dominio y el rango. b. Y clasifique los puntos de discontinuidad. c. Los intervalos de monotonía y los intervalos donde f es constante. d. Si f es acotada inferiormente, superiormente o acotada. e. Los valores extremos. f. Las ecuaciones de las asíntotas verticales y/o horizontales. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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5. Determine los ceros de las siguientes funciones: a.
√ || b.
6. Determine la paridad de las siguientes funciones: a.
b.
7. Realice el análisis detallado de las funciones básicas: identidad, cuadrática, cúbica, raíz cuadrada, valor absoluto, raíz cúbica y reciproca; tal como se hizo con la función constante.
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CAPÍTULO III: GRAFICACIÓN DE FUNCIONES: TRANSFORMACIONES
OBJETIVOS: 1.- A partir partir de la g ráfica de una función funci ón bás bás ica ic a realizar realizar las las s ig uientes uientes transformaciones: desplazamiento horizontal, desplazamiento vertical, reflexi reflexi ón sobre s obre el eje X, reflexi reflexi ón sobre s obre el el eje Y , y estiram es tiramiento iento.. 2.- Determi D eterminar nar la r eg la de corr cor r es pondencia pondenc ia de una funció func iónn trans formada for mada.. 3.- Determi D eterminar nar las las caracterí car acteríss ticas tic as de una funci fun ci ón trans formada for mada.. Técnicas as de tra trans ns forma formaci ción: ón: 3.1.- Técnic Si se tiene una función básica f y se conoce la gráfica de la ecuación y =f ( x x ) entonces se puede esbozar la gráfica de la ecuación de la forma: y =A+B· f (C · ( x ) +D) y para hacerlo se utiliza las técnicas de transformación siguientes:
3.1.1. A. Desplazamientos: Sea A Sea A y D números reales, entonces: A.1. Desplazamientos Verticales: La gráfica de y =A+f ( x ), si A >0 el x ) desplaza A unidades la gráfica de y =f ( x x ), desplazamiento será hacia arriba y si A si A < 0 el desplazamiento será hacia abajo. A.2. Desplazamientos Horizontales: La gráfica de y =f ( x+D) x+D) desplaza D unidades la gráfica de y=f ( x x ) , si D >0 el desplazamiento será hacia la izquierda y si D <0 el desplazamiento será hacia la derecha.
Ejemplo 1: Trace la gráfica de: a. b.
Solución: ambas gráficas parten de la gráfica de la función básica
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.
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En el primer caso, la gráfica sube 3 unidades y en el segundo caso, la gráfica se mueve 3 unidades hacia la izquierda.
√ √ √ √
Ejemplo 2: Trace la gráfica de la ecuación dominio y rango.
, luego determine su
, para luego Solución: se parte de la gráfica de la función básica desplazarla 2 unidades a la derecha g(x) , y finalmente desplazarla 3 unidades hacia arriba .
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De la gráfica podemos indicar que:
,〉 ,〉 y y
3.1.2.B. Reflexiones: B.1. Reflexión en el eje x eje x : La gráfica de y = -f ( x x ) refleja la gráfica y =f ( x x ) en el eje x eje x . B.2. Reflexión en el eje y : La gráfica de y = f (- x x ) refleja la gráfica y =f ( x x ) en el eje y .
| | √
Ejemplo 3: Trace la gráfica de: a. b. x, la segunda se refleja en el eje Solución: la primera gráfica se refleja en el eje x, la y , veamos: a.
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b.-
. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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( ( ) ( )
Ejemplo 4: Trace la gráfica de Solución: vamos a graficar la función con regla de correspondencia que es equivalente a lo pedido, los pasos seguidos son los siguientes:
(( )
(A) gráfica de la función básica: (B) desplazamiento de 2 unidades a la derecha: eje x : (C) reflexión sobre el eje x (D) desplazamiento de 3 unidades hacia arriba:
3.1.3 .C. Dilataciones y contracciones: Sea C un número real, entonces: C.1. si C >1 .La gráfica de y =C ·f ( x x ) corresponde a la gráfica de f(x) contraída C.2.Si 0
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Ejemplo 5: Trace la gráfica de: a. b. c.
Solución: En el caso de de g(x)= 4x2 , la gráfica de f(x) sufre una contracción (se cierra como un capullo, también se puede decir que la gráfica se alarga hacia arriba) y en el caso de h(x)= (1/2)x 2 la gráfica sufre una dilatación (la gráfica se abre como un capullo, o también se puede decir dec ir que la gráfica se encoge hacia abajo):
Veamos algunos ejemplos relacionados con el tema:
Ejemplo 6: Dada la gráfica de la función f(x)= x 3 , obtener la gráfica de la función g(x)= -f(x-2)+3
S olució oluc iónn: el número (-2) significa que la función se desplaza 2 unidades hacia la
derecha, el número (+3) significa que la la gráfica se desplaza 3 unidades hacia arriba y el signo (-) que está delante de f(x) significa que la parte de la gráfica que se orienta hacia arriba se reorientará hacia abajo y del mismo modo la parte que se orienta hacia abajo se reorientará hacia arriba (reflexión respecto a un eje X imaginario) Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Ejemplo 7: Si la gráfica siguiente corresponde a una función cuadrática, determine su regla de correspondencia.
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Solución: observamos que la gráfica se ha reflejado sobre el eje X, luego el vértice de la parábola se ha desplazado 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba; luego, la regla de correspondencia es: f(x)=
-
(
La gráfica se abre hacia abajo (reflejada sobre
x
- 4)2 +
3
La gráfica se desplaza 3 unidades hacia arriba
La gráfica se desplaza 4 unidades hacia la derecha
,〉 〈 〉 ,〉 〈〉 ,〉 〈 〉 ,〉 〈〉
y y su rango Ejemplo 7: Si el dominio de una función f es dominio y rango de la función g con regla de correspondencia
, determine el
Solución: Analicemos paso por paso:
g ( x x ) =2·f =2·f ( x x ) , la gráfica de la función se estiró verticalmente al doble, luego, el dominio sigue siendo y el rango ahora es: . g ( x x ) = -2 ·f ·f ( x x ) , la gráfica de la función se reflejó en el eje x , luego, el dominio sigue siendo y el rango ahora es: . g ( x x ) = -2 ·f ·f ( x x ) + 3, la gráfica de la función se desplazó 3 unidades hacia arriba, luego, el dominio sigue siendo y el rango ahora es: .
omprue pruebe be s i log log ró los los obje objettivos : 3.2.- C om Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales:
OBJ ETIVO 1:
1. Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones justificando sus respuestas: a. La gráfica de la función con regla de correspondencia correspondencia corresponde a la gráfica de la función básica desplazada 2 unidades hacia la derecha. b. La gráfica de la función con regla de correspondencia correspondencia corresponde a la gráfica de la función básica desplazada 2 unidades hacia la derecha. c. No se puede graficar la función con regla de correspondencia porque en los reales no está definida la raíz cuadrada de un número negativo. d. La gráfica de la función con regla de correspondencia correspondencia corresponde a la gráfica de la función básica reflejada en el eje y.
√ √ √
e. Si el punto (2 ; – 3) pertenece a la gráfica de y =f ( x x ) , entonces necesariamente el punto (4 ; – 3) pertenece a la gráfica de y =2 =2 ·f ·f ( x x ). ). Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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f. La gráfica de y =f (3 · x x ) es la gráfica de y =f ( x x ) alargada horizontalmente 3 veces.
OBJ ETIVO 2: 2:
| |
2. Determine una ecuación de las siguientes gráficas si: a. Parte de la función básica básica f ( x x ) = .
b. Parte de la función básica básica
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OBJ ETIVO 3: 3:
√ 〈-
3. Si la función f está definida por con , determine el dominio de la función con regla de correspondencia g ( x x ) =f =f ( x x –2) + 3.
CICIO OS Y PROBLEMAS: 3.3. EJ ER CICI
〈〉
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas: a. Completando cuadrados, se puede observar que la la gráfica de es una parábola con vértice en (1;3), tomando en cuenta el desplazamiento vertical y horizontal de la función básica cuadrática. b. La gráfica de es creciente en el intervalo .
| | | | √ √ √ √√ | |
2. Trace la gráfica, utilizando las técnicas de transformación enseñadas, de: a. b. c. d. e. f. g. h. i.
3. Siendo la gráfica y =f ( x x ) la que se muestra a continuación:
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Determine la gráfica de: a. y = f ( x x +3) +3) b. y =3 =3 -f -f ( x x – 2) c. y =2 =2 +f +f (3 – x ) d. y =3 ·f ( x =3 ·f x –2)
√ ||
,〉 〈〉
4. Siendo la función f con regla de correspondencia y dominio , determine el dominio y rango de la función g con regla de correspondencia g ( x x ) = -f -f ( x x ) +2. 5. Siendo la función f con regla de correspondencia y dominio determine el dominio y rango de la función g con regla de correspondencia .
| |
,
6. Determine la ecuación de las siguientes gráficas si: a. Es una función cuadrática b. Es una función valor absoluto
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CAPÍTULO IV: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
OBJETIVOS: 1. Determinar cuándo una función es exponencial y cuándo logarítmica. 2. Graficar las funciones exponencial y logarítmica en cualquier base. 3. Utilizar las propiedades de los logaritmos para resolver problemas de modelación. 4. Reconoce el dominio, rango e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones exponencial y logarítmica.
FUNCIÓN CIÓN E XPO XPONENCIA NENCIA L: 4.1.-FUN 4.1.1. Definición de función exponencial Una función exponencial en x está definida por la regla de correspondencia:
Donde
√
b >0, >0,
con x cualquier número real. b 1, con x
Notas: 1) Si b =1, , que no representa una función exponencial, = 1, entonces sino una función constante. 2) La condición que b >0 >0 , es porque x porque x puede tomar cualquier valor real y puede ocurrir el caso en que no exista tal expresión. Ejemplo si y se tiene
lo cual no tiene sentido en los reales.
Cuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplicar algunas reglas de la teoría de exponentes. Siendo x Siendo x e y números reales y a, b números positivos. a) e)
./ b)
c)
f)
g)
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d)
h)
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4.1.2. A. Gráfica de funciones exponenciales cuando b >1.
Ejemplo 1. Graficar la función exponencial
.
Solución: Para trazar la gráfica de la función puntos. La gráfica se muestra en la figura adjunta. x f(x)
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
podemos tabular algunos 3 8
Observaciones sobre la gráfica. 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango el intervalo intervalo . 2. La gráfica corta al el eje “y” en el punto (0;1). 3. La gráfica de la función es estrictamente creciente, es decir conforme x aumenta, f(x) también aumenta. 4. El eje x se comporta como una asíntota horizontal de la gráfica de la función exponencial.
〈 〉
Las observaciones dadas son ciertas para funciones exponenciales cuya base b es mayor que 1 (b (b >1 >1). Ahora veremos un ejemplo cuando la base b está entre 0 y 1.
./
4.1.3. B. Gráfica de una función exponencial con 0
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x f(x)
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 ¼
Observaciones sobre la gráfica. 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango el intervalo . 2. La gráfica corta al el eje “ y ” en el punto (0;1). 3. La gráfica de la función exponencial es estrictamente decreciente, es decir si x aumenta, f (x) (x) disminuye. 4. El eje x eje x se comporta como una asíntota horizontal de la gráfica de la función exponencial.
〈 〉
En general la gráfica de una función exponencial tiene una de las dos formas descritas anteriormente dependiendo del valor de la base b. 4.1.4. Propiedades de la función exponencial 1. El Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos todos los números reales y el rango es el intervalo . 2. La gráfica corta al eje y en el punto (0;1), no tiene intersecto con el eje x . 3. Si b >1 >1, la gráfica es estrictamente creciente. Si 0 1, La gráfica se aproxima al aje x conforme x toma valores negativos cada vez más grandes. =0 Si 0
〈 〉
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4.1.5.- Transformaciones de funciones exponenciales. En esta parte usaremos las técnicas de graficación para trazar gráficas de funciones exponenciales que se trasladan vertical y horizontalmente.
A. Traslación vertical. Ejemplo 3.
Usando la gráfica de la función
, graficar
y
x ) +c , cuando c = – 1, la gráfica se Solución: Las funciones tienen la forma f ( x obtiene trasladando la gráfica de una unidad hacia abajo. Y cuando c =2 =2 la gráfica se obtiene trasladando la gráfica de dos unidades hacia arriba.
B. Traslación horizontal. Ejemplo 4. Usando la gráfica de la función
./
.
./
./
, graficar
./
y
x – c ) , cuando c=2 c=2 , la gráfica se obtiene Solución: Las funciones tienen la forma f ( x desplazando la gráfica dos unidades hacia la derecha. Y cuando c=-2 c=-2 la Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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gráfica se obtiene desplazando la gráfica izquierda.
./
dos unidades hacia la
4.1.6.- La función exponencial natural Como e =1, la función tiene propiedades análogas a la grafica , cuando la base de la función exponencial es e 2,718281828459, la función es llamada función exponencial natural. Aunque e puede parecer una base extraña, la función exponencial natural tiene una gran importancia en el cálculo.
Ejemplo 5. Esboce la gráfica de las funciones
y
.
podemos usar la calculadora para Solución: Para graficar la función tabular algunos puntos, vemos que se comporta como las funciones con la base b >1 y la función se comporta como las funciones cuya base está 1.
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ÍTMICA ICA : 4.2.- FUNCIÓN LOGA R ÍTM Si x > 0 y b > 0, b 1, entonces
existe si y solo si
Ejemplo 6: 1) porque 2) porque 3) entonces 4.2.1. Definición:
Una función cuya regla de correspondencia es logarítmica de base b, donde b >0, >0, b 1.
.
la llamaremos función
4.2.2. Gráfica de una función logarítmica con b >1 Ejemplo 7: Graficar la función
.
Solución: si queremos tabular algunos valores es más fácil tabular la función es decir dar valores a y para encontrar los valores de x de x . x Y=log2(x)
8 3
4 2
2 1
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1 0
1/2 -1
1/4 -2
,
1/8 -3
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〈〉
A partir de la gráfica, puede observarse que el dominio de son todos los números reales positivos y el rango consiste en todos los números reales. La gráfica corta al eje x en el punto (1; 0) y es estrictamente creciente. 4.2.3.Gráfica de una función logarítmica con 0
Ejemplo 8: Graficar la función Solución: si queremos tabular algunos valores es más fácil tabular la función , es decir dar valores a y para encontrar los valores de x de x . x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 Y=log(1/2)(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
./
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-,
4.2.4.Propiedades de la función logaritmo 1. El dominio de una función logaritmo es el intervalo . Esto es, no existe logaritmo de números negativos ni del cero. 2. El rango es el intervalo . 3. Su gráfica corta al eje x eje x en el punto (1; 0), no existe intersección con el eje y. 4. Tiene al eje y como una asíntota vertical.
〈〉
Leyes de logaritmos
. /
Sea b >0, >0, b 1, A 1, A,, B y C números reales con A con A >0 >0 y B >0. >0. 1. 2. 3.
Observación Los logaritmos de base 10 son llamados logaritmos comunes. comunes. Generalmente se omite el subíndice 10 de la notación: es decir:
Los logaritmos de base e son muy importantes en el cálculo y se le conoce como logaritmos naturales. Para tales logaritmos se utiliza la notación “ln”. Es decir:
Observación: Las funciones logaritmos y exponenciales y son inversa una de la otra y sus gráficas se obtienen como una reflexión sobre la recta y=x. Grafica de la función logaritmo natural.
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4.3. Modelación con funciones exponencial y logarítmica: Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen muchas aplicaciones:
Ejemplo 9. (Crecimiento de bacterias) El número f(t) de bacterias en el cultivo de una caja de Petri al cabo de t horas está dado por . a) ¿Cuál fue el número inicial de bacterias en el cultivo? b) Después de 6 horas. ¿Cuántas bacterias estarán presentes? presentes? c) ¿Cuándo el número de bacterias será 200?
=0, es decir: Solución: a) El número inicial de bacterias se da cuando t =0, . El número inicial de bacterias fue de 100. b) Cuando t =6 =6 se tiene Al cabo de 6 horas hay aproximadamente 6 394 bacterias. c) Observe f(t)= f(t)=200 por lo tanto , aplicando logaritmos a ambos miembros se tiene =0.693t.ln(e)=0.963.t.(1) =0.693t.ln(e)=0.963.t.(1) Aproximadamente en una hora la cantidad de bacterias serán de 200.
Ejemplo 10. (Modelación de rumor) Un rumor se propaga en forma logística de modo que modela el número de personas que han escuchado el rumor al final de t días. a) ¿Inicialmente cuantas personas han escuchado el rumor? b) ¿Cuántas personas han escuchado el rumor acabo de 6 días? Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Solución: a) El número inicial que escucharon el rumor se encuentra reemplazando t =0 =0 es decir:
Aproximadamente escucharon inicialmente el rumor 46 personas. b) Al reemplazar t =6 =6 se obtiene.
Acabo de 6 días escucharon el rumor aproximadamente 697 personas.
Verifique que s i log log ró los los objetivos objetivos : 4.4.Verifi Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales: 1. Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones justificando sus respuestas:
OBJ ETIVO 1:
a. La función f con regla de correspondencia define una función exponencial. b. La base de una función logaritmo logaritmo puede tomar tomar cualquier valor real. Justifique su respuesta.
OBJ ETIVO 2:
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c. La grafica de la función f, f, con regla de correspondencia se ha trasladado 2 unidades hacia la izquierda, respecto a la gráfica de la función . d. La gráfica de la función f, con f, con regla de correspondencia f ( x x ) =2 + ln x se ha trasladado 2 f ( x x ) =ln x .
OBJ ETIVO 3:
2. Para cierta población de células, el número de ellas en el instante t está dada por , donde N 0 es el número de células en t =0 y k es una constante positiva. Entonces el tiempo necesario para tener una población N 1 -es ?
./ ./
OBJ ETIVO 4:
3. Trace la gráfica y =f ( x x ) donde f ( x x ) =log( x x –2) +3. Determine su dominio, rango e intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. 4. Trace la gráfica y =f ( x x ) donde . Indique dominio, rango y a partir de que punto la función es negativa.
CICIO OS Y PROBLEMAS: 4.5. EJ ER CICI 1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas: a. La función exponencial es estrictamente decreciente en todo su dominio. b. El rango de la función logarítmica logarítmica es . c. La función función cuya regla de correspondencia es se ha trasladado 2 unidades hacia la derecha respecto a la gráfica de . d. La asíntota vertical de la función con regla de de correspondencia: es la recta x recta x = 3.
〈 〉
2. Graficar las siguientes funciones indicando dominio, rango e intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente:
a.
b.
c.
3. Graficar las siguientes funciones con regla de correspondencia que se indica. Determine su dominio, rango e intervalos donde la función es positiva o negativa.
a.
b.
c.
4. Evalúe las siguientes expresiones sin usar calculadora.
a.
b.
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c.
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5. Resuelva las ecuaciones pasando a su forma exponencial.
a.
b.
6. ¿Cuál de los enunciados es Falso? a.
b.
c.
c.
d.
7. Sean todas las funciones con regla de correspondencia de la forma 0
b. (1; 0)
c. (1; 1)
d. (0; 1)
8. La asíntota vertical de la función con regla de correspondencia es la recta:
a. x = 1/2 b. x = - 3 c. x = 0 9. Al resolver la ecuación ln( x x – 2) =1 se tiene:
d. x = 3
a. e
d. 0
b. 3
c. e +2 +2
10. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial? a.
b.
√ c.
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con
d.
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CA PÍTULO V: OPERACIONES CON FUNCIONES
OBJETIVOS:
1. Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones. 2. Determina la composición de funciones. 3. Descompone una función.
ntroducción: roducción: 5.1. I Int La experiencia con los conjuntos numéricos, como por ejemplo el conjunto de los números reales nos dice que; para cualquier par de números reales a y b podemos realizar con ellos las siguientes operaciones básicas: Suma : a +b Diferencia : a – b Multiplicación : ab Cociente :
Se dice que estas operaciones están bien definidas pues la suma, resta, multiplicación y división de números reales es otro número real, por ejemplo: 3+2=5 8 – 16 = – 8 (12)(6) = 72
Después de conocer el concepto de función, las funciones básicas, así como sus principales propiedades; ahora se estudiará como las funciones se pueden “mezclar”
entre ellas; para ello nos preguntamos: ¿al igual que en los números reales podemos realizar operaciones con funciones?, ¿qué condición o condiciones se deben cumplir para que estas operaciones estén bien definidas? Consideremos las funciones reales f y g de variable real definidas tal como podemos observar en la siguiente figura:
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De la figura observamos que cuando x cuando x =0, (0) = 1, entonces f (0) +g +g (0) (0) =4 =0, f (0) =3 y g (0) , f (0) -g -g (0) (0) =2 , f (0) . g (0) (0) =3, y , así podemos ver que cuando x cuando x =0 =0 , las operaciones en ese punto están bien definidas, sin embargo cuando x =4 tenemos que g (4) (4) = 3 (existe) pero f (4) no se puede determinar (no existe) por lo tanto cualquier operación en x= en x=4 4 no se puede realizar. Con esta idea, dejamos en claro que una forma de construir nuevas funciones es aplicar estas operaciones utilizando las siguientes definiciones: 5.2. Definición: Sean f y g dos funciones reales de variable real con dominios Dom( Dom(f ) y Dom( Dom(g ) respectivamente y con reglas de correspondencias f ( x x ) y g ( x x ) respectivamente, entonces:
Adición y producto: Dom( Dom( f +g ) = Dom = Dom(( f – g ) = Dom( Dom( f g ) =Dom =Dom(( f ) Dom( Dom(g ) (f +g )( )( x x ) =f =f ( x x ) + g ( x x ) (f – g )( )( x x ) =f =f ( x x ) – g ( x x ) (f g )( )( x x ) =f =f ( x x ) g ( x x )
/* + * + . ./
Cociente:
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Observación: Es fácil observar que tanto en la suma, diferencia y producto de funciones, la determinación del dominio es el mismo y se halla al intersectar los dominios de las funciones, sin embargo, en el caso del cociente hay una diferencia con respecto a las otras tres pues se sabe que el denominador de un cociente debe ser distinto de cero. Ejemplo 1: Dada las funciones a. f +g
√ y
determine:
* + , , *+ + *+ ,, * * + , √
Solución: Observando las funciones podemos determinar que: , luego aplicamos la definición. =Dom(( f ) Dom( Dom( Dom( f +g ) =Dom Dom(g ) La regla de correspondencia es
y y
b. g – f
Solución: Como ya tenemos los dominios de las funciones entonces simplemente aplicaremos la definición
-, √
Dom( Dom(g – f ) =Dom =Dom((g ) Dom( Dom( f ) La regla de correspondencia es
c. f ·g
-,
Solución: Dom( Dom( f ·g ) = La regla de correspondencia es
d.
.
√
Solución: A diferencia de los casos anteriores anter iores debemos resolver la ecuación g ( x x ) =0 , es decir de donde el C.S. = , esto significa que no hay valores que debamos excluir en la intersección de los dominios de f con g , luego
+ , ./ / .*+ / √ √
La regla de correspondencia es
Nota: Muchas veces podemos cometer errores al determinar el dominio a partir de la regla de correspondencia, esto puede ser válido siempre y cuando tengamos el Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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cuidado necesario para no caer en algún error a la hora de determinar el dominio, un ejemplo claro es el siguiente: si tomamos la regla de correspondencia anterior.
√ √
./ *+ + ,, √
podemos caer en el error de decir que el dominio es sin darse cuenta que x que x ≠0 ; por tal razón es recomendable seguir la definición.
Ejemplo 2: Dada las funciones a.
y
, determine:
Solución: Determinamos los dominios de f y g de forma separada, es decir:
+ * + **+ + + ./ * + -- *+ ./ √
(por ser una función polinómica) Además resolvamos la ecuación g ( x x ) = 0 , es decir .
de donde
Aplicamos la definición:
El valor de x =2 no se considera pues está fuera de la intersección de los dominios. La regla de correspondencia es
Geométricamente tenemos la siguiente gráfica:
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- - *+
En la gráfica, h representa a la función cociente de f entre g y queda claro que su dominio es , por ejemplo si tomamos x tomamos x = 0 tenemos f (0) = 1 y g (0) = -4 luego cuyo valor efectivamente se ve reflejado en la la gráfica; de igual manera el lector puede comprobar con otros valores del dominio.
b.
Solución:
√ ./ -- *+ -./,
De la parte a. tenemos los dominios de f y g , nos resta resolver f ( x x ) =0 , es decir 0 de donde x donde x =1, =1, luego
La regla de correspondencia es
Geométricamente tenemos:
√
-,
De la gráfica, se observa claramente que el dominio de g / f es cualquier valor del dominio, la curva h representa a la función g / f .
Ejemplo 3: Dada las funciones a. f g
y
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y que al tomar
, determine:
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*+ + *+ + -, -, - ,
Solución:
(por tratarse de una función exponencial)
Luego, aplicando la definición tenemos:
La regla de correspondencia es
b. Solución:
./ -, * + ./
Resolvemos f ( x x ) = 0 , es decir
La regla de correspondencia es
Composición de funciones
, de donde
, luego
No es difícil intuir que la función podría construirse a partir de las funciones básicas; y y . Observamos que éstas funciones no están unidas mediante suma, resta, multiplicación, ni división; en lugar de eso, simplemente las funciones se combinan en orden: primero la función cúbica y luego la función trigonométrica coseno; esta forma de combinar funciones, que no tiene contraparte en el álgebra de los números reales, se denomina función composición. composición.
Definición:
Sean f y g dos funciones reales de variable real tal que Ran (g ) ∩Dom (f ) composición f de g , denotada por f ° g se define mediante la regla
* + +
. La
donde su dominio está representado por el conjunto
Observaciones:
1. Una forma de recordar está definición es haciendo el siguiente diagrama adjunto:
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√ √ ,, , , + * * + * + ,,
g, según la definición 2. Para obtener la regla de correspondencia de la función f g, anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f. Por ejemplo dada las funciones y entonces .
valores x del dominio de g que se asignan 3. El dominio de f g consiste en todos los valores x a los valores g ( x x ) en el dominio de f . Considerando las funciones del ítem anterior tenemos que el y y , donde
Es la forma algebraica de obtener el dominio de la composición de funciones, tal como podemos observar ésta forma puede resultar algebraicamente tediosa, por tal razón para obtener el dominio usaremos la regla de correspondencia, siempre que seamos capaces de no realizar” simplificaciones ” que puedan llevarnos a dar un dominio incorrecta (ver (ver ejemplos más adelante). adelante).
* + √ (√ )( )(√ ))
4. La composición g de f , denotada por g f , se define de manera similar, su regla de correspondencia es y su dominio se obtiene mediante la expresión (forma (forma algebraica). 5. En la mayoría de los casos f g y g f son funciones diferentes, en otras palabras (en el lenguaje algebraico) la composición de funciones no es conmutativa. Ejemplo 4: Dada las funciones
y
, determine:
a. f g con su respectivo dominio
Siguiendo las pautas dadas en las observaciones 2 y 3. La regla de correspondencia es ; para hallar el dominio debemos (ser capaces) de percatarnos (antes de simplificar) que x ≥ 0 y no todos los reales como indica la regla obtenida (ya simplificada), en otras palabras la respuesta es Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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,,
b. g f con su respectivo dominio.
√ * + * + -- ,,
Solución: Regla de correspondencia , en este caso no hay nada que simplificar y por lo tanto no existe posibilidad de cometer algún error en la determinación del dominio.
c. g g con su respectivo dominio. Solución:
(√ )) √ √ √ , , ((). / ( ) *+ ((). / () * + √ La regla es
y su
Ejemplo 5: Dada las funciones con sus respectivos dominios. con
y
, determine
y
Solución:
, de donde
que x que x ≠0 .
x ≠1, al simplificar tenemos
de donde
que x ≠0
x ≠ -1, al simplificar tenemos
, el cual implica
con
, el cual implica
con
.
Ejemplo 6 (Descomposición de funciones): Para cada función h, determine funciones f y g , tal que . a.
Solución:
Considerando
y y
tenemos
b.
Solución:
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√ √ √ √ Considerando
y
tenemos
Observación: Observamos que existe más de una forma de descomponer una función. Por ejemplo en la parte (b), podemos también descomponer a la función h considerando y entonces .
V E R IF IQ IQUE UE E L LOG L OG R O DE L OS OB J E TI TIVV OS ! : 5.3. ¡ ¡V Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios” finales:
OBJ ETIVO 1: 1. Dada las funciones determine:
|| | √ ,
y
a. Los dominios de f, g y h. b. las reglas de correspondencia y dominios de f + g , g - h , f g y
√ √ √
OBJ ETIVO 2:
,
2. Dada las funciones , y , determine: a. los dominios de f, g y h. b. las regla de correspondencia y dominios de f g, g f, f h y h h.
OBJ ETIVO 3:
3. En cada caso, determine funciones f y g tal que a. b. c.
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:
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CICIO OS Y PROBLEMAS: 5.4. EJ ER CICI 1. A partir de la gráfica adjunta
Determine el valor de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a. Si entonces b. existe y su valor es – 1. c. existe y su valor es 1 d. El valor de es 4.
√
y , determine en cada caso la 2. Dada las funciones regla de correspondencia y su respectivo dominio de:
3. Dadas las funciones
y y
√
a. b. c. (g
, de ser posible, determine:
e indique su dominio. )(-3)
y 4. Sea correspondencia de: a. b.
, determine el dominio y la regla de
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( ())
√ √
5. En cada ítem determine funciones f y g tal que a. b. c. d.
y 6. Dada las funciones regla de correspondencia con sus respectivos dominios de: a. b. c.
, determine la
7. De la figura adjunta: a. Determine
b. Trace la gráfica de sabe que es una recta
y
si se
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CA PÍTULO VI:
FUNCIÓN INVERSA
OBJETIVOS: 1. Reconoce analíticamente o gráficamente cuando una función es Inyectiva. 2. Determina algebraicamente la regla de correspondencia de la inversa de una función inyectiva. 3. Determina, a partir de la gráfica de f , la gráfica de su inversa utilizando el principio de reflexión de la inversa. 4. Verifica si una función es inversa de otra función utilizando la regla de composición de la inversa.
FUNCIÓ NCIÓN N INVER INVER SA : 6.1. FU Para invertir una función y que el resultado sea también una función, es necesario que cumpla con una condición importante: que la función sea Inyectiva: Una función f es Inyectiva ( uno a uno ) si para todo a, b, se cumple que =f (b) debe implicar que a =b El hecho de que f (a) =f Es decir partiendo de la igualdad f(a) = f(b) debemos llegar a la igualdad a=b.
Observe que esta condición no se cumple para muchas funciones simples. Ejemplo 1: Probar si la función
es uno a uno.
Solución: sean los números reales a y b.
f (a) =f =f (b) significa que de donde se obtiene a =b uno a uno.
a = -b . Esto muestra que la función cuadrática no es
Existe un criterio geométrico que nos dice cuando una función es uno a uno.
Criterio de la recta horizontal. Si una recta horizontal corta a la gráfica de una función en un sólo punto entonces la función es uno a uno.
Ejemplo 2. Verificar si las gráficas de las funciones cumplen el criterio de la recta horizontal. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
y
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Solución:
Definición: función inversa
Si f es una función uno a uno con dominio D y rango R, entonces la función inversa denotada por , es la función con dominio R y rango D definida mediante:
si y solo si Dada y =f ( x ), podemos determinar algebraicamente la regla de correspondencia x ), para de la siguiente manera:
1. 2. 3. 4.
Verifique gráfica o algebraicamente que f es uno a uno. Intercambie x Intercambie x por y en la regla de correspondencia y =f ( x x ). ). Despeje y para obtener la regla de correspondencia de . El dominio de es igual al rango de f, el f, el rango de f se puede determinar de la gráfica y =f ( x ). x ).
Ejemplo 3: Determine la regla de correspondencia Solución: Observe en el grafico que la función es uno a uno.
*+
Intercambiar y por x por x en
Por lo tanto
=
, si
y luego despejar y.
y su dominio es el rango de f , es decir:
Veremos que es posible utilizar la gráfica de f para determinar una gráfica de sin utilizar la parte algebraica descrita en el ejemplo anterior. Esto es posible por el principio de reflexión de la inversa. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Principio de reflexión inversa. Dada la gráfica de una función f(x) , obtendremos la gráfica de su inversa f -1(x) reflejando dicha gráfica respecto a la recta y=x. Observación: Los puntos (a (a; b) y (b (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y =x . Ejemplo 4: Dada la función
bosqueje la gráfica de
.
. Solo necesitamos Solución: No necesitamos determinar la regla para encontrar la reflexión de la gráfica dada con respecto a la recta y =x . Esto puede hacerse en forma geométrica. Imagine un espejo a lo largo de la recta y=x y dibuje la reflexión de la gráfica dada en el espejo.
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Existe una conexión natural entre inversa y composición de funciones que nos facilita la comprensión de lo que es una inversa.
Regla de composición de la inversa Una función f es uno a uno con función inversa g si y sólo si: f (g ( x x )) )) = x para toda x toda x en el dominio de g , y g ( f ( x x )) )) = x para toda x toda x en el dominio de f
Ejemplo 5: Muestre que
√ ( ) ) (()(√ ) (√ ) y
son inversas entre sí.
Solución: Observe que el dominio y el rango de f y g son los reales. Entonces
Luego por la regla de composición de la inversa, f y g son inversas entre sí. Algunas veces necesitamos estudiar la inversa de funciones que no son uno a uno en todo su dominio, pero si restringimos su dominio podemos encontrar su inversa.
Ejemplo 6: Determine la gráfica de la función inversa de
para
para x ≥0 es uno a uno. Utilizaremos la reflexión de Solución: La función cuadrática para x la gráfica respecto a la recta y = x para determinar una gráfica de la inversa.
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IFIQU QUEE E L LOGR LOGR O DE DE S US OBJ ETIV ETIVOS!: OS!: 6.2.-¡VER IFI Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales:
√
OBJ ETIVO 1:
1. Verifique algebraicamente si la función 2. Verifique gráficamente si la función
OBJ ETIVO 2:
es uno a uno. es uno a uno.
3. ¿La regla de correspondencia de la inversa de la función ?
es
4. Determine la inversa de la función con regla de correspondencia:
OBJ ETIVO 3:
5. Determine a partir de la gráfica de
OBJ ETIVO 4:
√
la gráfica gráfica de la inversa inversa
√
6. Muestre que las funciones sí. 7. 8. Muestre que las funciones
y
y
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son inversas entre
son inversas entre sí.
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6.3 .3..-EJ EJ ER CICIO CICIOSS Y PR OBLEMAS:
1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas: a. Todas las funciones tienen inversa. b. El dominio de la la función es el mismo que de la función f . c. Si la función es uno uno a uno entonces existe existe su inversa. d. El rango de la función es el mismo que de la función f.
2. Determine algebraicamente la regla de correspondencia y de la función indicando dominio y rango de. (NOTA: debe comprobar que las funciones son uno a uno) a.
b.
c.
3. Determine si la función es uno a uno. Si es uno u no a uno bosqueje bosque je la gráfica de la inversa. a.
b.
4. Determine si las funciones f y g dadas son inversas mostrando que f (g ( x x )) )) = x = x y )) = x g (f ( x x ))
|| | | √ √ a.
y
b.
y
5. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene inversa? a.
b.
c.
d.
6. ¿Cuál función es la regla de correspondencia de la inversa de la función f si ? a.
b.
c.
d.
7. Suponga que f es una función uno a uno, si f (1) =5 entonces el valor de es: Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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a. 5
b. 0
c. 1
d. -5
√ √ ,, ,, ,,
8. ¿Cuál es la regla de correspondencia de la función inversa de f si a.
b.
c.
9. El rango de la función inversa de f , siendo a. todos los reales
b.
?
d.
, es:
c.
d.
10. Determine si es posible la inversa de la función con regla de correspondencia .
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CAPÍTULO VII: VECTORES EN R2 y R3
OBJETIVOS: 1. Definir un vector, resaltando su módulo y su dirección. 2. Determinar la resultante de un vector, utilizando las operaciones de suma y producto por un escalar. 3. Expresar cualquier vector no nulo como combinación lineal de los vectores , y . 4. Determinar el ángulo entre dos vectores. 5. Determinar el producto vectorial entre dos vectores.
⃗
Magni nitudes tudes es calares y vectori vec torial ales es : 7.1.- Mag Los vectores son entes matemáticos que se utilizan para representar entes físicos mag nitudes nitudes vectoriales vectoriales . llamados mag En Física se entiende por magnitudes vectoriales a aquellas que para ser identificadas se necesitan además además de un valor numérico una dirección y un sentido sentido a diferencia de las magnitudes escalares que solo necesitan de un número para ser identificadas. Por ejemplo: La velocidad es una magnitud vectorial porque además de su módulo (rapidez) necesita de una dirección y sentido para poder ser identificada. En cambio el volumen de un cuerpo es una magnitud escalar porque para su identificación solo se necesita un número sin necesidad de expresar su dirección ni menos aún su sentido. 7.2.- Definición de vector: Se llama vector a todo segmento de recta orientado en el que se distingue un punto de origen y un punto extremo. El vector , expresado en forma de componentes se denota por = . La representación estándar del vector = es la flecha del origen A (m, n) al punto extremo B(r, s), donde a=r-m , b = s-n ; es decir vector = punto final – punto inicial.
〈 〉
〈 〉
OBSERVACIONES
〈 〉
El vector se llama vector de posición, cuando su punto inicial es el origen (0; 0) y punto final es (a ( a, b), en otros casos se les llama vectores libres Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Dirección: Es el ángulo medido desde el semieje positivo de las x y la flecha. El ángulo se representa por θ.
Magnitud: Está determinado por la longitud de la flecha y se denota por
〈 〉
| | | | ó ó
La longitud o la norma de un vector se define fácilmente a través de consideraciones geométricas, por ejemplo para R 2 se tiene que si , entonces aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo se tiene que la longitud del segmento está Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
̅
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‖‖ ⃗ 〈 〉 ⃗ ‖‖ 〈‖‖ 〉 〈〉
dada por . A este número número no no negativo también se le llama norma de y se denota por . Si un vector v tiene punto final ( x2 , y2 ) y punto inicial ( x 1,y1 ) entonces las componentes del vector son . Para R3 la idea es la misma solo que qu e se aplica dos veces vece s el Teorema de Pitágoras y si = (a1, a2, a3), entonces . Si un vector tiene punto inicial (x1,y1,z1) y punto terminal (x 2,y2,z2), entonces las componentes del vector son y la magnitud o norma está dada por . En lo que sigue denotaremos los vectores por letra negritas: u , v , w. vectores , Ejemplo 1: Determine la dirección y magnitud de los siguientes vectores, .
〈〉
y y
Solución:
./
‖‖ √ √ √
La dirección se determina por el ángulo formado con el semieje positivo de las x y la flecha, es decir , la magnitud . Para el vector v, graficamos el vector posición y observamos que el ángulo director pertenece al segundo cuadrante, con ello podemos determinar la dirección y la magnitud. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Notas: 1. La tanθ
números en
‖‖√ ,〉〉 ./. /
es periódica con período π, entonces si a ≠ 0 siempre existen dos
tales que . Por ejemplo, .Para determinar θ de manera única es necesario determinar el cuadrante de vector. 2. Cuando se afirma que el viento sopla con una velocidad de 30 km/h no se está especificando completamente el fenómeno, pues es necesario precisar la dirección en que viaja el viento. Como la velocidad del viento no actúa en un solo punto de aplicación, se trata de un vector libre y no localizado. A partir de ahora los vectores lo vamos a considerar libres, es decir dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección.
Todos los vectores que aparecen son iguales, ya que tienen la misma magnitud y la misma dirección.
Operacione racioness con vectores vectores : 7.3. Ope
〈 〉 〈 〉 〈 〈〉 〉
Definición: Sean
y y
Igualdad: Suma: Producto por un escalar: Si
, se tiene:
,
OBSERVACIONES
El vector que que tiene todas las las componentes componentes nulas se llama vector nulo y se denota por 0. El vector que se obtiene multiplicando a a por –1 se denota por – a y se llama el opuesto de a. La operación a + (- b) se llama diferencia de a y b y se denota por a - b.
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‖‖ √ √
Ejemplo 2: Determine la magnitud del vector u representado por y Q (2,5). Q (2,5). Solución: El vector
〈〉 〉 〈〉
, entonces
, donde P (4,3) (4,3) .
〈〉 〈〉〉
〈〉〉
; Ejemplo 3: Dados los siguientes vectores , determine las resultantes de las siguientes operaciones:
y
a) u - 2v b) u - 2v +3w
Solución:
〈〈〉 〈〉〈〉〉〈〉 〈〉 〉
a. u – 2v b. u – 2v+ 3w
Vectores res coorde coordena nados dos unita unitarios rios . 7.4.- Vecto n En R existen determinados vectores que asumen un papel relevante en el Algebra Vectorial ellos son los llamados vectores coordenados unitarios. Para n = 2, 3 ellos se denotan por las i, j, k y están dados por.
⃗
R
⃗ ⃗
R
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Notas:
|| √
Si u =ai+b j es unitario, entonces , de manera que a2 +b2 = 1, esto significa que u se puede representar por un punto en el círculo unitario, entonces cualquier vector u se puede escribir u = cos(θ) i +sen(θ) j.
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||
Para determinar un vector unitario unitario en una dirección dada, basta dividir el vector dado entre su norma, es decir . Este vector es unitario en la dirección de u. Cualquier vector de R2 o R3 puede escribirse como una cierta suma de vectores coordenados unitarios, esto es:
〈〈〉〉 〈〈〉〉〈〉〈〉 〈〉
.
2), Q (3; 4), 4), R (-2; 5) y S (2; -8). Ejemplo 4: Sean los puntos P (-2; 2), a. Determine la forma de componentes y la magnitud del vector : . b. Determine el vector unitario en la dirección del vector obtenido en la parte (a) y exprese el resultado como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j. Solución: a.
,〈〉 〈〉- 〈〉— 〈〉 〈〉 |〈〉| √ √ √ 〈〉〉 〈√ √ 〉 〈√ √ 〉 √ √
Luego
b. El vector unitario en la dirección del vector encontrado en la parte (a), es el Vector
,
Ahora, expresamos el vector como una combinación lineal de los vectores, es decir
Producto roducto escal es cala ar 7.5. P Una de las operaciones más importante con vectores es el producto escalar o producto interior de dos vectores. Aunque la definición es en general para vectores de Rn nos limitaremos a trabajar en R 2 y R3 por el momento. Definición
〈 〉 〈 〉∑ | |
Sean y y de los vectores a y b y se define por
se denota por a · b al producto escalar .
Algunas propiedades del producto escalar Sean a, b y c vectores de Rn y un número número real real entonces: 1. a · b =b ·a 2. a · (b+c)= a · b +a ·c 3. (a · b) =( a) · b =a ·( b) 4. a ·a= > 0 si a ≠0 5. a · a = 0 si a = 0. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Notas:
| || |
Si el ángulo θ entre los vectores no nulos a y b se conoce y se encuentra definido entre (0 <θ<π). El producto escalar se define como . El producto escalar, es un número real. El producto escalar es positivo, si 0 < θ < a · b < 0, si <θ<π. a · b =0, si θ = . En este caso se dice que los vectores son perpendiculares (ortogonales). Si a y b tienen la misma dirección y sentido, entonces θ =0 y el producto escalar es igual al producto de las normas de ambos vectores.
Ejemplo 5: Si a =6i -2 j y b= i +3 j .Calcular (2a – 3b) ·a Solución:
– – – – – 〈〉 〈〉
Á ng ulo entre vec vectores tores . 7.6. Á En el espacio R 2 el ángulo formado por dos vectores puede definirse de manera natural de la siguiente forma:
Definición: Sean a y b dos vectores no nulos. Se define el ángulo θ entre a y b como el ángulo no negativo más pequeño entre las representaciones de a y b que tienen como punto inicial al origen coordenado y se calcula
.‖‖‖‖/
Notas:
Si el ángulo entre dos vectores es recto entonces se dice que son perpendiculares u ortogonales. Los vectores no nulos y y son ortogonales para cualquier valor de x de x e y . y y , luego si dos vectores son ortogonales su producto escalar es cero. Si a = b entonces se tiene que si > 0 el ángulo formado es 0 y si < 0 el
〈〉 〈 〉 〈〉 〈〉 ∝
ángulo es π.
á ngulo que forman a Ejemplo 6: Si a =6i - 2 j y b =i +3 j. Determine el ángulo b.
Solución: Sea θ el ángulo que que forman
y a+
a y a + b. Como a +b =7i + j, luego
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Entonces
〈 〉 〈 〉 〉 √ ‖‖‖‖ ‖〈〉‖‖〈 〉‖ √ ((√ )) 4√ 5
Ejemplo 7: Una fuerza constante está determinada por el vector F =7i +4 j. Calcula el trabajo efectuado cuando el punto de aplicación de F se mueve a lo largo del eje (-5,0) hasta Q(3,0) x, desde P (-5,0) Q(3,0)..
〈〉— 〈〉 〈 〉 〈 〉 〈〉
Solución: Como sabemos, el trabajo W está dado por W = F ·D, el desplazamiento luego luego 56 Joule.
Nota: Este resultado se puede interpretar teniendo en cuenta que la unidad de magnitud de fuerza se expresa en newton y la unidad de magnitud en metros, entonces el trabajo efectuado es 56 newton-metro o 56 joules.
Ejemplo 8: Determinar el valor de k si los vectores a =3i –k j perpendiculares.
y b =5i +6 j son
Solución: Se sabe que si dos vectores a y b son perpendiculares, entonces
〈〉 〈〉
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7.7.-P roducto vectorial en R 3. Otra operación que es posible realizar entre vectores, y en este caso exclusivamente para R3 es el llamado producto vectorial o producto cruz. Esta operación a diferencia del producto escalar que proporciona un número real, proporciona un nuevo vector.
Definición:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Sean y v . El producto vectorial vectorial de u por v se denota por u x v en ese orden, es un nuevo vector definido por:
Naturalmente que recordar esta definición en la forma en que está dado resulta algo complicado, por lo que un recurso para recordar esta definición es escribir la parte de la derecha como un cierto determinante el cual se ha desarrollado por la primera fila.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 〈〉 〈〉 ⃗ ⃗ ⃗⃗
Ejemplo 9: Considere los vectores vectorial a x b.
y y
. Hallar el producto
Solución:
Algunas propiedades del producto cruz, son las siguientes: a. uxv = -(v xu)(Simetría alternada) b. u x0 =0x u =0 c. αu xv = α(v x u) siendo αun número real. d. u xv = 0 si y solo si u y v son paralelos (si u y v no son vectores nulos)
Todas estas propiedades se demuestran fácilmente mediante el empleo de las propiedades conocidas de los determinantes, que ustedes estudiaran más adelante.
Interpreta Interpretación ci ón g eomét eométririca ca del producto producto vectoria vectori al y de s u norma nor ma.. Si u y v son dos vectores no nulos que forman un ángulo θ entre ellos, el vector resultante uxv, es perpendicular al vector u y al vector v. Esto significa que ( u xv)·u =(u xv)·v =0
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‖ ‖ ‖‖‖‖
Si θ es el ángulo entre u y v (0 ≤ θ ≤ π), entonces el área del paralelogramo formado por los vectores u y v, se determina por
Ejemplo 10: Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (5;- 2; 2) ; B (7;-3;8) y C (2;3;3) (2;3;3) . Solución: Denotemos por S el área del triángulo. Es claro que S es igual a la mitad del área del paralelogramo que se muestra en la figura con líneas discontinuas.
‖ ‖ ̅ 〈〉 ̅ 〈〉 ‖ ‖ ̅ ̅ ‖ ̅ ̅ ‖ √
Luego
, como
y y
, entonces
Entonces el área del triángulo es:
unidades cuadradas.
IFIQU QUEE EL LOGRO DE DE LOS LOS OBJ ETIVO ETIVOS! S! : 7.8.-¡ VER IFI Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales: 1. ¿Qué es un vector de R n? 2. ¿Cuáles son las operaciones que caracterizan al espacio R n? 2. ¿A qué llamamos vector geométrico?, ¿Y dirección de un vector del plano? ¿Cuándo dos vectores son equivalentes? 3. ¿Cómo se define la longitud o norma de un vector? 4. ¿Cómo se define el producto escalar entre dos vectores? 5. ¿Cuáles son sus propiedades más importantes? 6. ¿A qué llamamos vectores unitarios? 7. ¿Qué se entiende por ángulo entre vectores?, ¿Cuándo dos vectores son ortogonales? 8. ¿En qué espacio está definido el producto vectorial? Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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9. ¿Cuáles son sus propiedades más importantes?, ¿Cómo se interpreta geométricamente su norma?
CICIOS OS Y PROBLEMAS: PROBLEMAS: 7.9.-EJ ER CICI 1. Determine la dirección y la magnitud de los siguientes vectores: a. b.
〈〈√ 〉〉
⃗ ⃗
2. Determine un vector unitario que tenga la misma dirección del vector u=2 - 3 .
3. Sea P = ( = (c c ;d ) y Q = ( = (cc +a;d + b) b ) .Encuentra un vector unitario en la dirección de .
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 〈〉 ⃗ 〈〉 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ||⃗⃗|| ⃗ ⃗
4. Encuentre un vector a.
que tenga la magnitud y la dirección dadas:
b. 5. Sean u = 3 +4 y v = +α Determine α tal que: a. y sean ortogonales. b. El ángulo entre y sea . c. y sean paralelos.
6. Sean = -2 +7 y =α - 3 . Determine α tal que: a. y sean ortogonales. b. El ángulo entre y sea c. y sean paralelos. d. El ángulo entre y sea 7. Sean =2 - 3 +4 , = -2 = - 3 + 5 , a. Calcule (3 - 2 ) · (5 +2 ) b. Calcule · – · c. Determine el ángulo entre los los vectores vectores y .
y =
8. Encuentre el producto cruz x , si: a. = =-i + 7 - 3 - 7 - 3 , b. =2 = -3 - 7 , - 4
9. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a 3 .
=2 - 3 j como a
=4 +
10. Utilice el producto cruz para encontrar el seno ángulo entre los vectores - y = -3 - 2 + 4 .
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=2 +
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CAPÍTULO VIII: MATRICES Y DETERMINANTES
OBJETIVOS: 1. Identificar una matriz y calcular su determinante cuando sea posible. 2. Definir los principales términos utilizados en el tema de matrices: Filas, columnas, orden y rango de una matriz. 3. Definir las operaciones matriciales de adición, sustracción, producto por un escalar y producto entre matrices, matriz transpuesta y matriz inversa. 4.- Definir los términos: menor y cofactor correspondiente a un elemento de una matriz cuadrada. 5. Utilizar las operaciones elementales de fila para escalonar una matriz y obtener el rango de una matriz. 6. Utilizar las operaciones elementales de fila para invertir matrices. 7.- Utilizar los determinantes para obtener la inversa de una función.
Concepttos bá báss icos : 8.1-Concep Las matrices son herramientas matemáticas que tienen muchas aplicaciones en las diferentes carreras profesionales de nuestra universidad, entre ellas se tiene el hecho de ordenar información, podemos citar por ejemplo en Estadística se utilizan matrices como la siguiente: Clase ………… [xi , xi+1 ] [2 , 6 > [ 6, 10 > [10, 14 > [14, 18 > [18, 22 > Total
Marca de clase Xi 4 8 12 16 20
Frecuencia absoluta f i 10 20 12 32 14 88
Frecuencia relativa hi 10/88 20/88 12/88 32/88 14/88
Frecuencia absoluta acumulada Fi 10 30 42 74 88
Frecuencia relativa acumulada Hi 10/88 30/88 42/88 74/88 1
Como podemos observar este arreglo tiene tanto filas como columnas y sirve para ordenar toda la información información recopilada en un solo cuadro. A continuación veremos algunas definiciones y conceptos que utilizaremos oportunamente:
Definición de matriz : Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) de números o cosas. Si la matriz tiene m filas y n columnas, se llama matriz de orden mxn. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Ejemplo 1: Dado el siguiente arreglo
0 1
, de qué orden es la matriz A.
Solución: La matriz A tiene dos filas y tres columnas, por tanto la matriz A es de orden 2x3. Se representa A2 x 3. 3. Ejemplo 2: Betty tiene dos tiendas de ropa deportiva, una de ellas está ubicada en Lima y la otra en el departamento de Apurímac. La última semana, debido al mundial de futbol, las tiendas registraron la venta de ropa deportiva para niños y adultos de la siguiente manera. Lima: S/. 1500 en ropa de niños y S/. 1000 en ropa de adultos. Apurímac: S/. 870 en ropa de niños y S/. 100 en ropa de adultos. Solución: La matriz correspondiente a la venta de ropa deportiva para niños y adultos estará dada por: ROPA DE NI OS RO ROPA ROPA PA DE ADUL ADULTO TOS S LIMA S/. 1500 S/. 1000 APURIMAC S/. 870 S/. 100 Notas:
A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. Se emplean ( ) o corchetes [ ] para encerrar los los elementos que conforman a la matriz. Los elementos de una matriz A se acostumbran a denotar por a ij, la letra en minúscula afectada por dos subíndices; el primero de ellos indica el número de la fila y el segundo el número de la columna en la cual se encuentra el elemento. Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha. El tamaño u orden se denota por mxn, mxn, donde m es el número de filas y n el de columnas.
También son usuales las notaciones A =(ai j )mxn=Amxn
Algunos ejemplos son los siguientes
√
Se trata de una matriz de 3 filas y 4 columnas.
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El elemento b42 = -1.
Ejemplo 3: Dada la matriz
0 1
La matriz B tiene 4 filas y 4 columnas.
, determine los elementos b 11, b22 y y b23.
Solución: Los elementos que se piden se obtienen leyendo los subíndices y sus significados: b11 = 3; b 22 =-4 y b23 = 2 .
()
Ejemplo 4: Encuentre los componentes de la matriz elementos de A responden a la siguiente ley de formación
, si A es de 2 x 3 y los .
Solución: Los elementos que se piden se obtienen reemplazando i y j en la ley dada: a11 = 21 – 31 = -1 ; a12 = 2 – 32 = -7 y a13 = 2 – 33 = - 25 a21 = 22 – 31 = 1 ; a22 = 22 – 32 = -3 y a23 = 22 – 33 = -23 , así entonces la matriz
0 1
( )
Ejemplo 5: Encuentre los componentes de la matriz elementos de C responden a la siguiente ley de formación
, si C es de 4 x 1 y los .
Solución: El procedimiento es similar al ejemplo 1, entonces C
ALGUNAS AS R ELAC IO IONES NES Y OPER ACION ACIONES ES CON MATRICES 8.2. ALGUN
Igualdad : Dos marices A y B son iguales, si son ambas del mismo orden y
todos los elementos que ocupan las mismas posiciones en ambas matrices son iguales.
0 1
0 1
iguales . A Ejemplo 6: Diga si las siguientes matrices son iguales.
y
B
Solución: Si bien es cierto que las matrices están formadas por los mimos elementos y tienen el mismo orden, las posiciones que ocupan los mismos no Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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coinciden, por ejemplo, el elemento A y B son diferentes.
0 1
0 1 , por tanto las matrices y N
Ejemplo 7: Consideremos que las matrices M
son iguales. Determine los valores de a, b y c.
Solución: Las matrices M y N son del mismo orden, entonces deben ser iguales los elementos correspondientes, así entonces: a =4, = 4, c = 3 y b - 1 =1, es decir a =4, =4, c =3 =3 y b =2 =2
A dic ión ió n . Sean las matrices A y B del mismo orden, la suma A + B es una
matriz del mismo orden de A y B y se obtiene al sumar cada elemento de A con cada elemento que ocupa la misma posición en B.
Propiedades : Si A, B, C y O son matrices del mismo orden, además O representa la matriz nula, entonces: -A+B=B+A - (A + B) + C = A + (B + C)
-A+O=A Ejemplo 8:
0 1 0 1
Dadas las matrices: A
;B
y y C
,
diga si se pueden realizar las siguientes operaciones, A + B caso afirmativo efectúe la operación.
y C + A, en
Solución: A+ B, no se pueden sumar ya que el orden de A es 2x3 y el orden de B es de 3x3, en cambio C + A es igual a:
0 1 0 1 0 1
C+A
P roduc to de un es es calar calar por una matriz matriz :
Sea A una matriz mxn y k un número real, entonces k A es una matriz del mismo orden que A y donde todos sus elementos estarían multiplicados por k , es decir kaij.
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0 1 0 1 , - , - , , 01 , - 01 , - ,--
Ejemplo 9: Dada la matriz: A
y
k = 2, obtenga 2A.
Solución: 2A
P roducto de matrices matrices : Sean las matices A
y
B
Entonces A·B
Ejemplo 10: Multipliquen la matriz: A
y la matriz B
Solución: A·B
Definición: Sea Amxn
y Bnx p. p. El producto AB es la matriz de orden mx p, p, que resulta de multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Notas:
El producto de dos matrices A.B exige, que el número de columnas de A, sea igual al número de filas de B, es decir si Amxn . Bpxq existe entonces n = p. El orden de la matriz, que que resulta de multiplicar multiplicar Amxn .Bpxq es Cmxq. El producto de matrices no es conmutativo, es decir A·B ≠B·A
0 1 0 1
Ejemplo 11: Dada las siguientes matrices M
y y N
.
Analice si es posible efectuar el producto MN y NM, en caso afirmativo obtenga la matriz resultante.
Solución: M2x2 y N2x3, entonces la matriz MN es de orden 2x3, M·N=
0 1 0 1 0 1
El producto NM, no es posible efectuarlo, ya que el número de columnas de N es 3 y el número de fila de M es 2.
Ejemplo 12: Dada las siguientes matrices A
y
B
Analice si es posible efectuar el producto AB y BA, en caso afirmativo obtenga la matriz resultante. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Solución: A2x2 y B2x2, entonces ambos productos se pueden efectuar y el orden en ambos casos será de 2x2, ; A·B
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
. Noten que las matrices resultantes no B·A son iguales, lo que refuerza la idea del que el producto de matrices no es conmutativo.
Matr Matr iz trans pues ta y s us propi pro piedade edadess : A la matriz At se le llama
transpuesta de la matriz A, si el elemento aij de A es el elemento aji de At.( Es decir las filas se vuelven columnas y las columnas se vuelven filas ). Nota:
()
Si A
() 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 () 0 1 y B = At , entonces B
Si el orden de A es mxn, entonces el orden de At es nxm. y B
Ejemplo 13: Sean A a) Determine b) Determine
Solución: a) At
.
y compare el resultado con
, luego
A, entonces
, luego (A·B)t
b) A·B
Bt·At
, si multiplicamos Bt·At,
, entonces ( A·B)t = Bt·At
Propiedades de las matrices traspuestas:
(A+B)t = At + Bt (A·B)t = Bt·At (kA)t =kAt , k R
Ejemplo 14: Sea la matriz A a) Determine A b) Determine At.
de orden 2 x 4.
Solución: a) A
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b) At
8.3. Matrices Matrices es escal calona onada dass
Una de las principales técnicas utilizadas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en la inversión de matrices, haciendo uso de las matrices es el proceso de escalonamiento de matrices , para ello haremos uso de las operaciones elementales de filas y el concepto de matrices equivalentes. Del mismo modo introduciremos el concepto de Rango de una matriz el cual lo utilizaremos para clasificar un SEL.
8.3.1. Definic D efinición ión de matriz matriz es cal calona onada da
Una matriz se encuentra en la forma escalonada por filas si se cumplen las siguientes condiciones: Todas las filas nulas, si existen, existen, se encuentran en las últimas últimas filas de la matriz. Si dos filas consecutivas, i y i + 1 no son nulas, entonces el primer elemento de la fila i + 1 diferente de cero se encuentra a la derecha del primer elemento de la fila i diferente de cero. Cualquier columna que contiene el primer elemento elemento diferente diferente de cero en una fila, tiene ceros en el resto de la columna. El primer número diferente de cero en una fila (si existe) se llama pivote para esa fila.
Ejemplo 15: Dadas las siguientes matrices
A
ellas es escalón.
, B
y C
diga cuál de
e lemento pivot Solución: Las matrices A, B son escalones, la matriz C no, ya que el elemento de la fila 3 no está a la derecha del pivot de la fila 2.
Operaciones ones el eleme ementa ntales. les. 8.4. Operaci Con las filas y con las columnas de una matriz se pueden realizar un grupo operaciones que la transformarán en otra matriz, naturalmente diferente a la de partida, pero con características adecuadas para nuestros propósitos. A estas operaciones se les llama operaciones elementales por filas o por columnas . En lo que sigue sólo nos ocuparemos de las operaciones elementales por filas.
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Definición A las operaciones:
1. Multiplicar todos los elementos de una fila por un número diferente de cero ( ) 2. Sumar los elementos de una fila previamente multiplicados por un número no nulo a otra fila. ( )
↔
3. Intercambiar (permutar) filas.(
)
Se llaman operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz
Ejemplo 16: Dada la matriz A
, obtenga una matriz equivalente B que
resulte de intercambiar la fila tres por la siguiente operación
.
Solución: B
Matr ic ices es equi equivalentes valentes 8.5..- Matr La matriz A se dice que es equivalente a una matriz B, si esta última ha sido obtenida de A a través de operaciones elementales. En tal caso se escribe A~B. Notas:
Dos matrices equivalentes equivalentes no son necesariamente iguales, iguales, pero dos matrices iguales si son equivalentes. Las operaciones elementales no modifican el orden ni el rango de una matriz. La equivalencia de matrices es una relación de equivalencia y por lo tanto se verifican las siguientes propiedades.
Para matrices A, B y C se tiene: 1. A~A 2. Si A~B entonces B~A 3. Si A~B y B~C, entonces A~C
Ejemplo 17: Dada la matriz A sea escalón.
, obtenga una matriz equivalente B que
Solución: Se toma al elemento 2 como pivote y se trata de eliminar los números 6 y 2 que se encuentran debajo de él: 1. Se multiplica la fila 1 por – 3 y se suma a la fila 2 (reemplazamos la segunda fila por f 3 -3f 1 ). Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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2. Se multiplica la fila 1 por –1 y se suma a la fila 3.( Se reemplaza la f 3 por f 3 –f 1 )
Vemos que los elementos debajo del (2) son ceros. Ahora tomaremos como pivote a a22 =-2 y trataremos de eliminar a32=2 3. Se suma la fila 2 con la fila 3.( se reemplaza f 3 por (f 3+f 2 )).
y se obtiene una matriz escalón (no reducida).
OBSERVACIÓN:
La última última matriz es equivalente a la la matriz A dada inicialmente. Entiéndase por rango de una matriz escalonada al número de filas no nulas que contiene. ango de la La última matriz tiene tres filas no nulas, esto significa que el r ango matriz matriz es =3, y como la equivalencia de matrices conserva el rango, por tanto podemos afirmar que la matriz A dada inicialmente también tendrá rango =3. En lo sucesivo cuando deseemos determinar el rango de una matriz, solo debemos convertirla en escalonada y observar el número de filas no nulas que contiene.
8.6.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. 8.6.1. DEFINICIÓN.Dado Mnxn definido como el conjunto de todas las matrices cuadradas cuyos elementos son números reales y R el conjunto de los números Reales; definiremos la función determinante como aquella que hace corresponder a cada matriz cuadrada un número real determinado Es decir :
R
nxnn nx
det: Anxn
det(Anxn )
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En este texto nos ocuparemos de las matrices de orden 2x2 y 3x3 para luego extender este concepto a matrices de órdenes superior.
0 1
DETER MINANTE INANTE DE UNA UNA MATR IZ DE ORDE N 2X2 2X2 S i entonces det(A) = a 11a22 –a21a12 . DETER MINANTE INANTE DE UNA UNA MATRIZ DE OR DEN 3x3 Si
entonces su determinante podemos calcularlo del siguiente
modo:
y los determinantes de orden 2x2 se calculan con el método expuesto anteriormente.
Debemos hacer notar que hemos elegido la primera fila; también podemos utilizar cualquier fila o columna, para ello solo debemos eliminar la fila i y la columna j correspondiente al elemento a ij , así por ejemplo si elegimos la segunda fila obtendremos el determinante del siguiente modo :
Cada uno de los sumandos se llama cofactor correspondiente al elemento a ij el cual se obtiene del siguiente modo :
()
Donde Mij (llamado menor correspondiente al elemento aij) se obtiene calculando el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila (i) y la columna (j).
E jemplo jemplo 18
| | | |
Obtener el determinante de la matriz
Solución:
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8.7.-INVERSIÓN DE MATRICES.
Definición.- Dada una matriz A que cumpla con las siguientes condiciones:
A es cuadrada de orden nxn.
Det(A)≠0
Llamamos inversa de la matriz A y se denota por A-1 a aquella matriz de orden nxn que cumpla la siguiente condición A. A -1 = A-1.A = I nxn , donde Inxn es llamada la matriz identidad :
es decir aquella que tiene todos todos sus elementos iguales a
cero, excepto los elementos de su diagonal que solo tienen (1).
CÁLCULO DE INVERSAS.Utilizaremos la siguiente fórmula:
( ( ) | | | |
Donde Cofact(A) es la matriz de todos los cofactores correspondientes a cada elemento de dicha matriz.
Ejemplo 19.-
Calcular la inversa de la siguiente matriz:
Solución: En primer lugar verificamos si cumple las condiciones de i9nvesibilidad: - Es cuadrada de orden 3x3
-
Ahora calcularemos
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Entonces se tiene:
Comprobaremos que la matriz obtenida es la inversa de la matriz dada. En efecto se debe comprobar que:
OBSERVACIÓN Para el caso de una matriz de orden 2x2 se tendrá en cuenta el siguiente resultado:
0 1 0 1 ||
, es decir los elementos de la la diagonal principal cambian de lugar pero mantienen el signo ; sin embargo los elementos de la diagonal secundaria mantienen el lugar pero cambian de signo .
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EJEMPLO 20 Calcular la matriz inversa de la matriz
Solución:
0 1
0 1 0 —— 1 0
1
Comprobaremos que la matriz obtenida es la inversa de la dada.
0 1 0 1 ⌊ ⌋
INVERSIÓN DE MATRICES UTILIZANDO OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS Ejemplo 21: Calcular la inversa de la siguiente matriz:
Solución: Este método consiste en los siguientes pasos: 1°) Formar una matriz aumentada de la siguiente forma [ A / I ] . 2°) Luego mediante operaciones elementales de fila se escalona esta matriz aumentada y se reduce a la siguiente forma [ I / A -1 ], obteniendo de este modo la inversa de la matriz A. Así tenemos:
Tomando como pivote al elemento a 11= 2, realizaremos las siguientes operaciones elementales de de fila : f 2 = -3f 1+2f 2 , f 3=f 1+2f 3 y de este modo obtenemos :
Tomando como pivote al elemento a 22 = 1 , realizamos la siguiente operación elemental de fila : f 3= -9f 2+f 3 y obtenemos:
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Ahora lograremos que la matriz de la izquierda se convierta en la identidad, para ello realizaremos las siguientes operaciones de filas, pivoteando de abajo hacia arriba: Realizamos f 2 = f 3+9f 2 obteniendo:
Realizamos f 1= f 2-9f 1
Realizamos f 1= f 1/-18 , f 2= f 2/9 , f 3= f 3 -72
Entonces se tiene:
. Vemos que esta matriz coincide
con la del ejemplo ejemplo 19.
8.-¡VER IFI IFIQU QUEE EL LOGRO DE DE LOS LOS OBJ ETIVO ETIVOS! S! 8.8 8.
Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales: 1. ¿Qué es una matriz? 2. ¿Qué es el orden de una matriz? 3. ¿A qué llamamos matriz traspuesta? 4. ¿Cómo se definen las operaciones: Suma Producto por un escalar Producto matricial Transposición? 5. ¿A qué llamamos matrices equivalentes y que operaciones definen estas equivalencias? 6.- ¿A qué se le llama determinante de una matriz?.
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6.-¿A qué se llama inversa de una matriz?. ¿Qué métodos se usan para invertir matrices?.
CICIOS OS Y PROBLEMAS: PROBLEMAS: 8.9.-EJ ER CICI 1. Dadas las matrices A3x2, B3x4, C4x2, D2x3 determine cuál de las siguientes operaciones está definida. En caso afirmativo diga el orden de la matriz obtenida. a) AB b) DA
c) ADB
d) DBA
e) DBB
f) AAC
g) ABC
h) DBD
0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 , - 3. Dadas las matrices: A
; ; B
, realice
;C
las operaciones que sean posible
a) (A - 4B)·C
b) A·Bt
c) At + C
3. Obtenga una MATRIZ ESCALON equivalente a la matriz
4. Sea A
encuentre un vector no nulo
5. Sean A
y y B
B
tal que AB = 6B.
, pruebe que A2 + B2 = (A + B)2
6. Realice los cálculos que se piden: a)
b)
c)
7. Una matriz A de nxn es normal si A · At =At ·A. Pruebe que la siguiente matriz es normal. 8. Una matriz cuadrada se denomina anti simétrica si At = - A (es decir ai j = - a ji ). ¿Cuál de las siguientes matrices son antisimétricas? a)
0 1
b)
0 1
c)
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d)
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CAPÍTULO IX: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ( SEL )
OBJETIVOS:
1. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales. 2. Resolver un sistema de ecuaciones matriciales haciendo uso de métodos matriciales.
oncept ptos os bá báss icos icos:: 9.1.-C once Lo más importante en este capítulo es lograr que el alumno utilice su comprensión lectora para identificar en un determinado enunciado: la situación problemática, las variables que intervienen y sobre todo que logre plasmar la relación existente entre dichas variables en una o más ecuaciones lineales; a este proceso se le llama “modelación”. .E.L. .L. 9.2.-Definición de S .E , x 2 2 ,..., ,.. ., x n, es un conjunto Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x 1 , co njunto de ecuaciones de la forma:
donde los elementos aij (llamados coeficientes) coeficientes) que aparecen multiplicando a las incógnitas y las constantes bi (llamados términos independientes) independientes) son números reales. Si todas las constantes bi son nulas el SEL se llama homogéneo.
Ejemplo 1: Dado el sistema homogéneo
, verifique que los valores
a=2; a=2; b =1; =1; c =3 =3 y d =4 =4 son soluciones del SEL.
Solución: Si reemplazamos en cada una de estas ecuaciones obtenemos las siguientes identidades:
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–
, es decir, los valores de las incógnitas satisfacen por
separado cada una de las ecuaciones del SEL.
¿Qué significa resolver un un sistema de ecuaciones lineales? lineales ?
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar, si existen, valores de las
incógnitas que intervienen en el sistema, de modo que sustituidos estos valores en el sistema reduzcan a identidades a todas y cada una de la s ecuaciones del sistema. A tal conjunto de números reales se le denomina s oluci ón del sistema de ecuaciones lineales. Es costumbre escribir las soluciones de estos sistemas a través de n-plas de números reales, esto es, pares ( x 1, x 2), 2), ternas ( x 1, x 2, 2, x 3), 3), etc. Así x 1, x 1, para el ejemplo 1, una solución del SEL es (2; 1; 3; 4), sin embargo esta no es la; única solución, también (4; 2; 6; 8) es solución y podremos encontrar más soluciones (infinitas soluciones ).
Conjunto solución Al conjunto de todas y cada una de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales le llamaremos conjunto solución del sistema. Nota: Observemos que el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales puede ser vacío.
CLAS IFICAC IFICAC IÓN IÓN DE DE LOS SISTEMAS DE EC UACIONES ACIONES LINEA LINEA LES : Los SEL se clasifican según sus soluciones en: a) COMPATIBLES: Cuando es posible resolverlos. resolverlos. Estos a su vez pueden ser : A .1.-C .1. -Compat ompatibles ibles determinados.- Cuando tienen solución única . A .2..2. - Compatibles indeterminados.- Cuando tienen infinitas soluciones. b) INCOMPATIBLES : Cuando no tienen solución.
Ejemplo 2: Verifique que los SEL dados son compatibles:
* + *+
a)
b)
, C.S =
, C.S =
Solución: a. El SEL es compatible indeterminado, ya que si reemplazamos el conjunto solución para cada una de las ecuaciones del SEL, lo convierte en tres identidades, para cada k (infinitas soluciones) . R Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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b. El sistema es compatible determinado, ya que si reemplazamos en cada una de las ecuaciones, el S E L se convierte en una identidad y el S E L no tiene más soluciones. 9.3. Operacione Operacioness elementales en un SEL. En esta sección estudiaremos la teoría que nos proporciona las herramientas necesarias para abordar, de manera general, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Definición A las operaciones: 1. Multiplicar una ecuación (fila) por un número n úmero no nulo. 2. Sumar los elementos de una ecuación (fila) previamente multiplicados por un número no nulo a otra fila. 3. Intercambiar (permutar) filas. Se llaman operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz La importancia de las O.E.F es que nos permiten determinar el rango de una matriz
DEFINICIÓN: Dada una matriz A mxn la cual se transforma mediante O.E.F. a una matriz MATR IZ A mxn , al número de filas no escalonada Bmxn , llamamos R ANG O DE LA MATR nulas que tiene la matriz escalonada B mxn.
OBSERVACIÓN : Es decir que para determinar el rango de una matriz debemos en
primer lugar reducirla a una matriz escalonada. La importancia de los rangos de matrices lo veremos posteriormente.
epresentaci ción ón ma matric tricial ial de un SE SE L 9.5.-R epresenta Los SEL están indisolublemente relacionados con las matrices y estas son empleadas frecuentemente para identificar SEL Supongamos, para simplificar notaciones y hacer más comprensible la exposición, dado un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas:
A la matriz A conformada con los coeficientes del sistema
A
matrizz del del sis si s tema tema.. le le llamaremos matri
A la matriz columna X cuyos elementos son las incógnitas del sistema Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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X
matriz de las las incóg inc óg nitas nitas . le le llamamos matriz
Finalmente denotamos por B la matriz columna de los términos independientes del sistema
B
Si efectuamos el producto matricial A. X e igualamos el resultado a la matriz B, esto es A. X = B, y utilizamos la definición de igualdad de matrices, se obtiene el sistema de ecuaciones lineales dado inicialmente, por lo que a la relación A. X = B le entación ci ón matrici matrici al del sistema de ecuaciones lineales. llamaremos repres enta
67
El sistema de ecuaciones lineales producto
puede escribirse como el
,
si se efectúa el producto de matrices y se igualan se obtiene el SEL original.
Defini nici ción ón de ma matriz triz aumenta aumentada da 9.6.-Defi
Dado el s is tema tema de ecuaciones ecuaciones lineale linealess
| | ||
Denotaremos Denotaremos por (A/B) a la matri matrizz ampliada ampliada del del sis s is tema, tema, definida defini da por
Ejemplo 4: Escriba el SEL como un producto
,
AX= B y represente su matriz ampliada.
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|| |
Solución: A: matricial es:
,X
yB
, entonces el SEL escrito en su forma
y la matriz ampliada que representa al SEL es:
Método de elimi eliminaci nación ón de G aus ausss . 9.7.- Método Uno de los métodos más empleados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por su sencillez es el método de eliminación de Gauss. La esencia del método, como su nombre lo indica, es realizar determinadas transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales dado, de modo que los sistemas equivalentes que se van obteniendo contengan menos incógnitas. Como veremos a continuación, cuando el sistema de ecuaciones lineales está dado en su forma matricial, el método se reduce a escalonar la matriz ampliada del
s i s tema. tema.
Ejemplo 5: Resuelva el SEL mediante el método de Gauss:
Solución: Comencemos escribiendo la matriz ( A/B) ampliada del sistema: Tomemos como pivote a a 11 = 1 y trataremos de eliminar los elementos que se encuentren debajo de él en la primera columna; luego tomaremos como pivote a a 22 = 3 y trataremos de eliminar al elemento a 32 = -3
(A/B)
,
las tres matrices ampliadas son equivalentes ( y por tanto tienen tienen el mismo rango ) , regresando al sistema se obtiene ,
de la última ecuación obtenemos
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MATEMÁTICA ASISTIDA POR COMPUTADORA ……….(α) w = -2 -2z ……….(α) remplazando (α) en la segunda ecuación despejamos
2 . / 3
…………..(β) reemplazando ……….(α) y …………..(β) en la primera ecuación y despejamos
x
,
por tanto el conjunto solución es CS=
Teorema (caracterización de los SEL ) Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas A.X = B. Entonces se tiene: i) EL SISTEMA ES COMPATIBLE Si y solo si rang(A) = rang( A/B). Este a su vez puede ser: TI B L E D E TE R MINA MIN A D O i.1) S IS TE MA E S C OMP A TIB si y solo si rang(A)= rang(A/B) = Número de variables. i.2) SISTEMA ES COMPATIBLE INDETERMINADO SI Y SOLO rang(A)= rang(A/B) < número de variables. variables. IMCOMPATIBLE PATIBLE ii) EL SISTEMA E S IMCOM Si y solo si rang(A) ≠ rang(A/B)
Ejemplo 6: Resuelva los siguientes SEL y clasifíquelos según su solución:
*+ a)
b)
Solución: En cada caso; obtenemos la matriz aumentada: a)
Se tiene z = 2; y + 2(2) = 5 luego y = 1; x - 2(1)+1(2) = 1 → x = 1. Por lo tanto se obtiene: Sistema compatible determinado, solución única Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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./ b)
Se puede notar que rango(matriz coeficientes )=2 ≠ rango( matriz aumentada ) = 3
Por tanto se tiene un sistema Incompatible, es decir no tiene solución.
9.8. RESOLUCIÓN DE SEL HACIENDO USO DE LA MATRIZ INVERSA. Sea un sistema matricial matricial de la forma: AX= B, tal que A sea invertible entonces -1 x= A .B
Ejemplo 7 Resolver el siguiente sistema:
SOLUCIÓN
67 67
Reescribiendo el sistema en forma matricial se tiene :
Luego se tiene :
Luego c.s. = {(x, y, z)=(2, 1; -1/4) }
OBSERVACIÓN: Hemos usado 19 del capítulo capítulo anterior .
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del del ejemplo
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9.9 .9..- R ES OLU OLUCIÓN CIÓN DE DE S ISTEMAS DE EUCA CIONES HA CIE NDO USO DE LA REG LA DE D E CRAMER
Sea el sistema :
Además definamos los siguientes determinantes :
,
es decir reemplazamos la i-ésima columna por la columna de los términos independientes en la matriz de coeficientes. Entonces las soluciones del sistema se obtienen obtienen de la siguiente manera:
Ejemplo 8 Resolver el siguiente sistema:
Solución :
=-45 =-45
Luego las soluciones buscadas se hallarán así:
c.s. ={(x;y;z) = ( 1; 2 ; 3 )}
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roblema mass de mod model elación ación que s e resuel res uelven ven con SE S E L. 9.10.- P roble 30,00 diarios en Ejemplo 7: Un viajero acaba de regresar de Europa. Gastó $ 30,00 Inglaterra, $ 20,00 20,00 diarios en Francia y $ 20,00 20,00 diarios en España por concepto de 20,00; $ 30,00 30,00 y $ 20,00 20,00 diarios en Inglaterra, alojamiento. En alimentación gastó $ 20,00; Francia y España respectivamente. En cada país gastó $ 10,00 10,00 diarios en otros menesteres. Los gastos totales fueron $ 340,00 por 340,00 por alojamiento, $ 320,00 320,00 en comidas 140,00 en otros gastos. ¿Cuántos días pasó el viajero en cada país? y $ 140,00
Solución: Sea x : El número de días que está el viajero en Inglaterra. y : El número de días que está el viajero en Francia. z : El número de días que está el viajero en España. Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:
*+ Se Se tiene z = 4; y = 4; x 4; x = 6
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el S.E.L. Rpta: El viajero pasó 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.
Ejemplo 8: Kimberly Clark vende máquinas limpiadoras de alfombras. El modelo EZ1000 pesa 10 kilogramos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo compacto pesa 20 kilogramos y viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo comercial pesa 60 kilogramos y viene en una caja de 28 pies cúbicos. Cada uno de sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio y puede contener un máximo de 440 kilogramos. Para que un camión esté totalmente cargado, encuentre el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo siguiente: a) Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático que involucre a todas las incógnitas. b) Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe llevar cada camión, si este número debe ser el mayor posible. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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Solución: a) Sea x Sea x : El número de cajas del modelo EZ - 1000. Sea y : El número de cajas del modelo compacto. Sea z : El número de cajas del modelo comercial. Realizamos una agrupación de la información
0 1 0 1 ./
solicitado:
b) La matriz aumentada es:
La condición del problema es que el número de cajas sea el mayor posible.
Además:
Luego:
Analizando se tiene: Si: Si: Si:
Rpta: El mayor número de cajas que puede llevar cada camión es 16 cajas del modelo compacto ,12 cajas del modelo EZ-1000 y ninguna caja del modelo comercial.
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IFIQU QUEE EL LOGRO DE LO LOSS OB OB J ETIVO ETIVOS! S! : 9.11.- ¡VER IFI Las siguientes preguntas ayudarán a saber si se logró los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los “Ejercicios y problemas” finales: 1. ¿Qué es un SEL? 2. ¿A qué se llama solución de un SEL? 3. ¿Cómo se clasifican los SEL, según su solución? 4. ¿En qué consiste el método de eliminación de Gauss?
CICIOS OS Y PROBLEMAS: PROBLEM AS: 9.10.-EJ ER CICI 1. Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas:
a. La matriz ampliada equivalente equivalente en su forma escalonada de un sistema de ecuaciones lineales se presenta a continuación
, entonces el
SEL tiene solución única. b. La matriz ampliada equivalente en su forma escalonada de un AX=B se
* +
presenta a continuación
, entonces el C.S de
AX=B
es:
2. Usando el método de eliminación gaussiana, resolver los S.E.L que a continuación se presentan: a. b.
c. d.
3. Dado el sistema de ecuaciones lineales determinar el o los valores de α de modo que: a) Sea incompatible. b) Compatible determinado. Mg.Mat. AMADOR ALEJANDRO GONZÁLES PISCOYA
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c) Asigne un valor al parámetro αy resuelva el sistema por el Método de Gauss. 4. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa. 5. Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio. Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio. Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. ¿Cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento ideal? 6. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas herramientas donde se fabrican las partes de los muebles, y una división de ensamble y terminado en la que se unen las parte para obtener el producto final. Suponga que tiene 12 empleados en el taller y 20 en la división y que cada empleado trabaja 8 horas diarias. Suponga también que se producen solamente dos artículos sillas y mesas. Una silla requiere 384/17 horas de maquinado y 660/17 horas de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante desea mantener ocupados a todos los empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas puede producir está fábrica al día?
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MANUAL RÁPIDO DE GEOGEBRA PARA EL GRÁFICO DE FUNCIONES A continuación, te ofrecemos un manual breve de las funciones más relevantes que podrás utilizar en Geogebra. Al abrir el programa Geogebra, te aparecerá una página como esta:
Dibujo 1 En la barra que aparece en la parte superior, están situados unos “cuadraditos”, que
son las funciones que podremos utilizar más adelante, cuando tengamos conocimiento del uso de cada una de ellas. Al final de la lista de estas funciones, nos aparece siempre la función del cuadrado cuadrado que hemos seleccionado (con el ratón). En el dibujo 1, por ejemplo, aparece nuevo punto. Veamos cada una de las operaciones que podemos hacer en este programa: Cuando necesitemos graficar una función, solo debemos insertar la función en la barra de entrada, luego ponemos un anti clic sobre la gráfica teniendo seleccionado el primer botón de la izquierda, y en la opción propiedades de objeto seleccionamos el color, el estilo, el grosor y otras opciones
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Luego le colocamos un rótulo en la opción inserta texto:
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El rótulo puede ser mejorado, haciendo clic sobre el letrero y aparecen las opciones de tamaño, color y fondo respectivamente, por ejemplo hemos seleccionado el tamaño mediano, color de letra rojo y fondo verde y aparece lo siguiente:
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Si deseamos encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje X, X, solo debemos seleccionar la segunda ventana ventana y seleccionar la opción intersección de dos objetos, luego hacemos clic en la gráfica y luego clic en el eje X y aparecen los puntos de intersección:
Bibliografía Kaufmann Jerome,(2010),Algebra ( 8° edición ).México. Cengage Learning. Baldor Aurelio (2010). Algebra (3° Edición).México. Grupo Editorial Patria. Larson Ron (2011). Cálculo. (9° Edición). México. McGraw-Hill. Carrillo de Albornoz Agustín (2010). Geogebra mucho más que Geometría. (1° Edición). México. Alfa y omega. Arya Jagdish (2009). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. México. Pearson.
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