Notas de aula: Matem´ atica 2 atica Felipe F. P. Souza
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5 de Abril de 2018
Conte´ udo
1
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸ c˜ ao
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao Caso inicial[4, 308]
Suponha que um corretor de im´ oveis esteja interessado em avaliar um terreno com 100 metros de largura, limitado por ruas em trˆ es lados e por um rio no quarto lado. O corretor verifica que, para um sistema de coordenadas como o da figura, o rio pode ser descrito pela curva y = x 3 + 1, onde x e y s˜ ao medidos em centenas de metros.
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao Caso inicial[4, 308]
2
1.5 ) m 0 0 1 (
1
y
0.5
0
0
0.2
0.4 0.6 x (100 m)
0.8
1
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao Caso inicial[4, 308]
O corretor calcula que o metro quadrado de terra nas vizinhan¸cas vale R$12,00; assim, se o terreno tiver A metros quadrados de ´area, poder´a ser vendido por 12A reais. Se o terreno fosse retangular, triangular ou mesmo trapezoidal, seria poss´ıvel calcular a ´area A usando uma f´ormula de geometria, mas o limite superior do terreno ´e curvo. O que o corretor deve fazer para calcular a ´area do terreno e assim conhecer quanto vale no mercado? Como fazer esse c´alculo no Excel? Dica: implemente as ideias contidas no exemplo a seguir.
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao
√ Exemplo: Calcular a ´area abaixo da curva definida pela fun¸ c˜ao f (x ) = x entre x = 0 e x = 9.
4
3 x
√
= ) x (
2
f
1
0
0
2
4
6 x
8
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao n = 1, x 0 = 0, x 1 = 4, 5, x 2 = 9, ∆x = 9/2 = 4, 5 A1 = f (x 1 )∆x = 4, 5 (4, 5) = 9, 55
√ · 4
3 x
√
= ) x (
2
f
1
0
0
2
4
6 x
8
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao n = 2, x 0 = 0, x 1 = 3, x 2 = 6, x 3 = 9, ∆x = 9/3 = 3 A2 = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x = 3 3 + 6 3 = 12, 54
√
√
·
·
4
3 x
√
= ) x (
2
f
1
0
0
2
4
6 x
8
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao n = 3,x 0 = 0, x 1 = 2, 25, x 2 = 4, 5, x 3 = 6, 75, x 4 = 9, ∆x = 9/4 = 2, 25 A3 = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x A3 = 2, 25 (2, 25) + 4, 5 (2, 25) + 6, 75 (2, 25) = 13, 99
√
√ ·
·
√
·
4
3 x
√
= ) x (
2
f
1
0
0
2
4
6
8
C´ alculo de ´ areas: Integral de uma fun¸c˜ ao Tomando o limite
i =n
An = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + ... + f (x n )∆x =
f (x i )∆x
i =1
Para calcular a ´area exata (A) tomamos o limite quando n i =n
A = lim
n→∞
i =1
f (x i )∆x
→ ∞, ent˜ao:
Referˆ encias
MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB. Introdu¸c˜ ao ao C´alculo para Administra¸c˜ ao, Economia e Contabilidade. Saraiva, 2009. MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB. C´ alculo: fun¸co ˜es de uma e v´ arias vari´ aveis. Saraiva, 2016. TAN, S. T. Matem´ atica aplicada a administra¸ c˜ ao e economia. 2. ed. S˜ao Paulo: Thomson Learning, 2007. HOFFMANN; BRADLEY. C´ alculo: um curso moderno e suas aplica¸c˜ oes. LTC, 2011.
