Oscilación libre En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
Oscilación amortiguada Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscila osc ilació ción, n, ste ste seguir seguir!a !a "ibrand "ibrando o inde# inde#nid nidame amente nte.. En la natural naturaleza eza e$iste lo que se conoce como fuerza de fricción %o rozamiento&, rozamiento&, que es el produc producto to del choque choque de las part!c part!cula ulass %molc %molcula ulas& s& y la consec consecuen uente te transformación de determinadas cantidades de energ!a en calor. Ello rest resta a ca cada da "ez "ez m' m'ss ener energ! g!a a al mo"i mo"imi mien ento to %el %el sist sistem ema a os osci cila land ndo& o&,, produciendo #nalmente que el mo"imiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma "ar!a en el tiempo %según una cur"a e$ponencial&, hacindose cada "ez m's peque(a hasta llegar a cero. Es decir, el sistema %la part!cula, el pndulo, la cuerda de la guitarra& se detiene #nalmente en su posición de reposo. )a representación matem'tica es
, donde
es el coe#ciente de amortiguación. *otemos que la amplitud
es
tambin una función del tiempo %es decir, "ar!a con el tiempo&, mientras que a y
son constantes que dependen de las condiciones de inicio del
mo"imiento. *o obstante, la frecuencia de oscilación del sistema %que depende de propiedades intr!nsecas del sistema, es decir, es caracter!stica del sistema& no "ar!a %se mantiene constante& a lo largo de todo el proceso. %Sal"o que se estu"iera ante una amortiguación muy grande.& Oscilación forzada )as oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante %llamada generador +& sobre un sistema oscilador %llamado resonador &. En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador %-g&, y no en su frecuencia natural %-r&. Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema ser' igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que "ibran por simpat!a. /ebe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. )a generación de una oscilación forzada depender' de las caracter!sticas de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación. esonancia
Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del generador %-g& coincide con la frecuencia natural del resonador %-r&, se dice que el sistema est' en resonancia. )a amplitud de oscilación del sistema resonador depende de la magnitud de la fuerza periódica que le aplique el generador +, pero tambin de la relación e$istente entre -g y -r. 0uanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la frecuencia del resonador, menor ser' la amplitud de oscilación del sistema resonador %si se mantiene in"ariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador&. O, lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador, mayor cantidad de energ!a se requerir' para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada %en el resonador&. 1or el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del resonador coincidieran %resonancia&, una fuerza de peque(a magnitud aplicada por el generador + puede lograr grandes amplitudes de oscilación del sistema resonador . )a 2igura 34 muestra la amplitud de oscilación del sistema resonador, para una magnitud constante de la fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia del generador -g y la frecuencia del resonador -r.
Oscilador amortiguado
5odos los osciladores reales est'n sometidos a alguna fricción. )as fuerzas de fricción son disipati"as y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. 0omo consecuencia, el mo"imiento est' amortiguado, sal"o que alguna fuerza e$terna lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto "alor cr!tico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. )a rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del
amortiguamiento,
pudindose
dar
dos
casos
distintos6
el
sobreamortiguamiento y el mo"imiento cr!ticamente amortiguado. 0uando el amortiguamiento no supera este "alor cr!tico el sistema realiza
un
mo"imiento
ligeramente
amortiguado,
semejante
al
mo"imiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye e$ponencialmente con el tiempo. 1ara ilustrar este tipo de mo"imiento consideremos una masa m unida al e$tremo de un muelle el'stico de constante 7, y a un amortiguador cuya fuerza de fricción es proporcional a la "elocidad de la masa m en cada instante Movimiento Forzado
8n mo"imiento forzado es cuando se lle"a en marcha un sistema amortiguado y se le "a introduciendo energ!a al sistema. 1or ejemplo, al sentarse en un columpio y hacerlo oscilar, el suministro de energ!a se realiza mo"iendo el cuerpo y las piernas hacia adelante y atr's, de forma que se con"ierte en un oscilador forzado. 8na manera de suministrar energ!a en un sistema masa9resorte es mo"er el punto de soporte de arriba hacia abajo, con un mo"imiento armónico de frecuencia :l principio el mo"imiento es complicado, pero #nalmente alcanzara un estado estacionario en el que sistema oscilara con la misma frecuencia de la fuerza e$terna impulsora y con amplitud constante.
Se de#ne la frecuencia natural como la frecuencia que tendr!a el oscilador si no estu"iesen presente el amortiguamiento, ni la fuerza impulsora .0uando la frecuencia impulsora es igual o apro$imadamente igual, este sistema oscilara con la amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este fenómeno se denomina resonancia. Se denominan cur"as de resonancia a la representación de la amplitud alcanzada por el oscilador en el estado estacionario en función de la frecuencia a la que es acti"ado. 0uando el amortiguamiento es peque(o, el oscilador absorbe mucha m's energ!a que la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia %o pró$ima a ella&, lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia; en este caso, se dice que la resonancia es aguda, pues la cur"a de la anchura es estrecha. 0uando el amortiguamiento es grande, la cur"a de resonancia es ancha
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
8na part!cula describe un
)as caracter!sticas de un <.:.S. son6 •
0omo los "alores m'$imo y m!nimo de la función seno son >? y 9?, el mo"imiento se realiza en una región del eje = comprendida entre -A y +A.
•
)a función seno es periódica y se repite cada @p, por tanto, el mo"imiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en @p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w%t+P&+j=w t+j+2p .
PA@BCω
0inem'tica de un <.:.S. En un mo"imiento rectil!neO, dada la posición de un mó"il, obtenemos la "elocidad deri"ando respecto del tiempo y luego, la aceleración deri"ando la e$presión de la "elocidad. )a posición del mó"il que describe un <.:.S. en función del tiempo "iene dada por la ecuación x=ADsen%ωt+φ&
/eri"ando con respecto al tiempo, obtenemos la "elocidad del mó"il
/eri"ando de nue"o respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del mó"il
Este resultado se suele e$presar en forma de ecuación diferencial
Esta es la ecuación diferencial de un <:S donde x puede ser cualquier magnitud6 un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
1uede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es x=A sen%w t+j &
0ondiciones iniciales 0onociendo
la
posición
inicial x 0 y
la
"elocidad
instante t A3. x 0=A·sen j v 0=Aw·cos j
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ
inicial v 0 en
el
