CAPITULO 2 PROGRAMACION Introducción Programar la calculadora corresponde a decirle que “presione teclas por sí misma automáticamente”. Los programas se pueden construir en la ventana RUN-MAT , eligiendo con SHIFT la opción PRGM sobre la tecla VARS, o bien ingresando en la ventana PRGM si si se desea construir o ingresar programas con la intención de que éstos permanezcan en la calculadora permanentemente para ser ocupados posteriormente. A modo de ejemplo, organice un programa en la ventana RUN-MAT que permita calcular el valor final de 2 x + 3y para cualquier valor de x, y cualquier valor de y. Observe que si bien el símbolo → , el símbolo símbolos tales como el signo de y las letras están en el teclado, los otros símbolos interrogación ? , los encontrará en el submenú de las teclas SHIFT PRGM.
Ejemplo 1 En la ventana RUN-MAT, ingresemos la siguiente sintaxis:
? → A ? → B 2 A + 3B Presionemos EXE para ejecutar el programa. La calculadora presentará a continuación un primer signo de interrogación esperando el ingreso del valor A. Una vez que ingresa un valor para A oprima EXE y aparecerá un nuevo signo de interrogación para ingresar un valor para B. Ingréselo y oprima EXE. Aparecerá el resultado de 2A + 3 B. A continuación se verá toda la secuencia en la calculadora:
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Obtengamos por ejemplo los resultados para A = 152, 312 y B = 365,823 y para A = 2 ⋅ 10 −5 3,15 ⋅ 10 −6
y B=
Ejemplo 2 Mejoremos ahora la calidad de la programación. Organicemos el siguiente programa que nos permitirá calcular simultáneamente el área de un círculo y la longitud de la circunferencia conocido el radio. Ingresemos a la ventana PRGM y y elijamos NEW . La calculadora estará esperando por un nombre de programa (observe que el cursor está en ALPHA). Ingresemos el nombre CIRCULO y oprimamos EXE. Ingresemos a continuación la siguiente sintaxis observando que lo que está escrito entre comillas se verá explícitamente en la pantalla al correr el programa. Las comillas están en el teclado sobre la tecla EXP. Comenzamos con el comando Lbl que que acompañado de un número indica el nombre de un rótulo y finalizamos con el comando Goto que acompañado del mismo número servirá para realizar un salto incondicional a una ubicación especificada. Con ello permitimos que el programo se ejecute constantemente . Estos comandos se encuentran en el submenú JUMP al que se ingresa oprimiendo las teclas SHIFT PRGM. El símbolo se se halla oprimiendo SHIFT PRGM y y el símbolo ↵ se produce al oprimir EXE cuando se desea pasar a la línea siguiente durante la programación
Oprimamos la tecla ESC y habremos salido al listado de nombres de programa. Veremos nuestro programa con el nombre de CIRCULO. Si ha salido, pero desea reparar o editar lo ya programado, debido por ejemplo a algun error, ingrese al programa con el submenú EDIT .
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Para ejecutar el programa reingrese con EXE. Obtengamos el área y la longitud de circunferencia si el radio tiene los siguientes valores: 1,2 ; 3,2 ; 5,75 . Notemos que una vez ingresado el radio, oprimiendo EXE secuencialmente, la calculadora nos da automáticamente el área y la longitud de la circunferencia:
Ejemplo 3
EL NUMERO e
1 Consideremos ahora la siguiente función f ( x ) = (1 + ) x . Ingrese en la ventana PRGM el nombre de x un nuevo programa llamado NUMERO E. Ingresemos el programa siguiente:
Salgamos de la programación con ESC y ejecutemos el programa con EXE para hallar las imágenes de los valores de x = 10, 100000, 1010 , 1011 ,1012
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¿ A qué valor tienden las imágenes de x cuando x crece indefinidamente? (ese valor constante se denota en Matemáticas por e) Lo invitamos ahora a ingresar los valores de x = 1014 ,1015 ,10 20 . Reporte la anomalía que se produce e intente hallar una explicación para comprender por qué los valores de las imágenes de éstos nuevos valores de x no corresponden a lo esperado. Para refrendar su explicación ingrese la función en la ventana GRAPH-TBL y obtenga un gráfico de la función:
Ingresemos ahora la función f y además la función g( x ) = e (notemos que debemos ingresar el comando en la forma e1 y no en la forma e^1), para obtener un gráfico que nos clarifique qué ocurre a medida que x crece de valor:
Lo invitamos ahora a volver a la ventana PRGM y a ejecutar el programa NUMERO e para obtener los valores de x = 1014 ,1015 ,10 20 . Intente explicar la anomalía que se produce y encuentre una explicación para comprender por qué los valores de las imágenes de éstos nuevos valores de x no corresponden a lo esperado.
Ejemplo 4
LAZOS EN LA PROGRAMACION
Con frecuencia deseamos repetir un mismo cálculo varias veces. Intentemos por ejemplo sumar los n primeros números impares. Esto puede hacerse de la siguiente manera: a) b) c)
Consideremos el primer número impar y almacénemoslo en S. Consideremos el siguiente número impar, súmemoslo a S y almacénemoslo en S Repitamos hasta finalizar.
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La expresión 2 x j – 1 calculará el j-avo número impar. Lo usaremos en el programa al que llamaremos “SUMIMPAR” Ingresemos en PRGM y abramos un nuevo programa con el nombre de “SUMIMPAR” . Ingresemos la siguiente sintaxis: =====SUMIMPAR==== Lbl 1 “N=”? → N ↵ 0 → S ↵ For 1 → J To N ↵ S + 2J – 1 → S ↵ Next ↵ S Goto 1
Los comandos For, To, Next se encuentran ingresando con las teclas SHIFT PRGM y al submenú For. Esos comandos en conjunto crearán un lazo que comienza con For y termina con Next.. La primera vez que ejecuta el lazo se efectuará J = 1. Después J se incrementará de uno en uno cada vez que se ejecute el lazo hasta que J = N tenga el mismo valor. Ejecute el programa con diferentes valores de N menores o iguales a 10. ¿Qué ley de formación se forma? Demuestre su conclusión usando el método de inducción matemática. Notemos que podemos también crear un programa que siga la sintaxis basada en el concepto de sumatoria. De hecho la fórmula para la suma de los impares se obtiene de la expresión: n
∑ (2i − 1) i =1
Desarrollando dicha expresión se obtiene la fórmula n 2 . n
n
i =1
i =1
∑ (2i − 1) = 2∑ i − n = 2
n (n + 1) 2 −n=n 2
Un programa que llamaremos SUMIMP 2 basado en lo anterior tendría la siguiente estructura muy simple. El símbolo de sumatoria se obtiene al ingresar vía tecla OPTN al submenú CALC :
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Si lo ejecutamos para distintos valores de n obtendremos:
Ejemplo 5
LAZOS Y CONDICIONES
Existen tres tipos de lazos: For – To – Next ; Do – LpWhile y While – WhileEnd . Las sintaxis lucen de la siguiente manera:
For 1 J To ... Afirmación(es) Next ... Do Afirmación (es) Condición LpWhile ... Condición While Afirmación (es) WhileEnd ...
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Por otra parte se puede efectuar elecciones lógicas con la construcción de If – Then – Else – IfEnd . Lo que aparece entre paréntesis es opcional:
Condición If Then Afirmación (Afirmación (es) ) (Afirmación (es) Else ) (Afirmación (es) ) IfEnd
La diferencia fundamental entre los lazos While y los lazos Do es que el lazo While puede ser totalmente omitido si la condición no es verdadera desde el comienzo. En cambio el lazo Do se ejecutará al menos una vez. Los símbolos de relaciones de orden como ≤ , se pueden hallar oprimiendo las teclas SHIFT PRGM e ingresando al submenú LOGIC donde además se podrá incluir conectivos lógicos como And. Los comandos If, Then en le submenú IF y los comandos While y Do en el submenú While.
Ingrese el siguiente programa con el nombre de PRIMOS que permite descomponer un número entero en sus factores primos:
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======= PRIMOS====== Lbl 1 “X = ” ? → X ↵ 2 → P↵ While P ≤ X ↵ X ÷ P → Y↵ If Int Y = Y↵ Then Y → X ↵ P Else If P = 2 ↵ Then 1→ P↵ IfEnd ↵ P + 2 → P ↵ IfEnd ↵ WhileEnd ↵ X↵ Goto 1
El programa determinará si el número X es divisible por números P iguales a 2,3,5,7,9 etc. Si lo es, el programa almacenará X P en X , mostrará el número P e intentará ese mismo número una vez más. Si no lo es, intentará el siguiente P. El lazo termina cuando P es mayor que X , porque entonces X mismo debe ser un número primo (¿Por qué?). La rutina comprobará la divisibilidad con todos los números impares y el número 2. Esto debe hacerse de ésta manera porque no existe un algoritmo que dé todos los números primos y solamente los números primos. Sin embargo, esto no tiene importancia debido a que si un número es divisible por 9 entonces también es divisible por 3, y eso es lo que se comprueba primero. El número 9 nunca aparecerá como factor primo. El hecho de que el número 2 sea un número primo es lo que nos fuerza a considerar una afirmación de tipo If-Then: Si P es igual a 2 entonces almacenamos uno en P y podemos sumar dos para obtener el siguiente número impar. ¿ Puede hallar todos los primos del 2 al 100? Use el programa para mostrar que el número 302837 es un número primo.¿Cuánto demoró? ¿Puede hallar factores primos en su número telefónico privado?
Ejemplo 6
POTENCIA DE UN NUMERO COMPLEJO
El siguiente programa permite calcular potencias de números complejos y fué desarrollado por el alumno Gerardo Roa del curso de Algebra del Primer Semestre del año 1998 de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Diego Portales. El programa usa el Teorema de De Moivre. Ingrese el siguiente programa con el nombre POT.CPLX. 54
----------POT.CPLX------------Lbl 1 Rad ↵ “REAL” ? → A ↵ “IMAG” ? → B ↵ “ GRADO” ? → N ↵ If A ≠ 0 ↵ Then (A 2 + B 2 ) → R ↵ tan −1 (B ÷ A) → S If A < 0 ↵ Then S + π → S ↵ IfEnd ↵ R ∧ N (cos NS + i sin NS) IfEnd ↵ If A = 0 ↵ Then For 1 → K To 100 ↵ If N = 4K ↵ Then (B∧ N) Goto 1 IfEnd ↵ If N = 4K – 3 Then (B∧ N) i Goto 1 IfEnd ↵ If N = 4K – 2 ↵ Then (B∧ N) x – 1 Goto 1 IfEnd ↵ If N = 4K –1 ↵ Then (B∧ N) x –i Goto 1 IfEnd ↵
Use el programa para calcular (2 + 3i) 5 , (−2 − 3i) 5 , i 10 .
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Compare los resultados anteriores con los que se puede obtener directamente en la calculadora en la ventana RUN:
Ejemplo 7
RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO
El siguiente programa desarrollado también por el alumno Gerardo Roa permite hallar todas las raíces de un número complejo. Ingrese el siguiente programa a su calculadora con el nombre RAIZCOMP
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------------RAIZCOMP------------Lbl 1 Rad ↵ “REAL” ? → A ↵ “IMAG” ? → B ↵ “GRADO” ? → N ↵ If A ≠ 0 ↵ Then (A 2 + B 2 ) → R ↵ tan −1 (B ÷ A) → S ↵ If A < 0 ↵ Then S + π → S ↵ IfEnd ↵ Goto 9 ↵ IfEnd ↵ If A = 0 And B ≠ 0 ↵ Then Abs B → R ↵ sin −1 (B ÷ R ) → S ↵ Goto 9 ↵ IfEnd ↵ Lbl 9 ↵ For 0 → K To (N – 1) ↵ N x R (cos(S + 2K π) ÷ N + i sin(S + 2K π) ÷ N ) “ ”↵ Next Usemos el programa anterior para calcular las cinco raíces quintas del número imaginario i:
Notemos que en pantalla se repite un resultado. 57
Hallemos ahora las tres raíces cúbicas de 2 + 3i.
Ejemplo 8
Hallar el menor n tal que f (n ) < 0,001
Hallar el número entero positivo n más pequeño tal que f(n) < 0,001 para la función siguiente:
f ( x) =
1 2 x + 120 x − 22
Usaremos un método para evaluar funciones aprovechando la capacidad de programación de la calculadora. Ingresemos en el menú de programas PRGM y pongamos como título de éste nuevo programa el nombre EVALF1. Este programa ingresará automáticamente cualquier función que usted desee en la posición Y1 del listado de funciones gráficas de la ventana GRPH-TBL. Digite el programa que aparece a continuación. Note que la expresión Y1 no corresponde a la letra del teclado Y acompañado de un 1, sino al nombre de la variable Y1 del listado de funciones gráficas. Para obtener dicha variable debemos ingresar mediante la tecla VARS a los submenúes de nombres de variables de las diferentes ventanas de la calculadora. Debemos elegir la opción GRPH que corresponde a la ventana GRPH-TBL. Allí elegimos Yn y agregamos el número 1. Si lo desea, antes de ir a la ventana PRGM , haga una prueba en la ventana RUN-MAT . Obtenga Y1 en pantalla de acuerdo a lo explicado. La calculadora debe mostrar lo siguiente:
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Vuelva a la ventana PRGM . El programa ingresado en la ventana PRGM deberá lucir de la siguiente manera:
o bien en la siguiente forma, donde se agrega una línea con el comando ClrText, si desea que al correr el programa la pantalla se limpie cada vez que ingrese un nuevo valor: =====EVALF1===== "FUNCION" ? Y1 Lbl 1 "X=" ?
X
"Y1=" Y1
ClrText
Salgamos del programa con la tecla ESC y ejecutemos el programa EVALF1 con la tecla EXE. Comprobemos que f (2) = 0,00450450 45 , f (3) = 0,00288184 438 y calculemos f ( 4) , f (5) , etcétera, hasta que obtengamos f (n) < 0,001 para algún n. Verificaremos que el n buscado es n = 8.
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Analicemos ahora la relación existente entre la fórmula cuadrática y lo realizado anteriormente:. Observemos que:
1 x 2 + 120x − 22
<
1 si x 2 + 120 x − 22 > 1000 1000
o sea, si x 2 + 120 x − 1022 > 0 Usemos la fórmula cuadrática para hallar las dos soluciones de x 2 + 120 x − 1022 = 0 Ingrese en la ventana EQUA y después en POLYNOMIAL y obtenga las soluciones de la ecuación. Aproxime la solución decimal de la solución mayor al entero más cercano y obtendrá una solución al problema original. ¿Por qué no se considera la menor? Ingrese ahora en la ventana GRAPH la función cuadrática y = x 2 + 120x − 1022 , y verifique gráficamente para qué valores de x se cumple que y > 0 . Elija el valor que se ajuste a la condición x > 0 y confirme que dicho valor es el mismo obtenido anteriormente en la ventana EQUA y también por los métodos anteriores.
Ejemplo 9
PROGRAMA DE UN PASO
Ingresemos el siguiente programa de un paso. Esta versión automática nos permitirá hallar el valor de la imágen f (n) para el siguiente valor de n. El objetivo será entonces el poder ejecutar el progama una cierta cantidad de veces y obtener como salida una sucesión de valores de n y f (n). Lo que queremos es sumar 1 al valor de n con cada ejecución del programa. Ingrese a PRGM el siguiente programa que llamaremos EVALUP: =====EVALUP===== "FUNCION" ? Y1 0
X
Lbl 1 X+1
X
"N=": X "F(N)=": Y1 ClrText 60
Oprima la tecla ESC para salir del programa y ejecute el programa EVALUP con EXE. Deberá obtener de un solo toque las imágenes de 1, de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7 y de 8 para corroborar una vez más que efectivamente f(8) < 0,001
Ejemplo 10
SUBPROGRAMAS
Usted puede ejecutar siempre un programa B dentro de un programa A. La sintaxis es muy sencilla: Prog “PROGNOMBRE” donde [Prog ] lo puede hallar en el menú bajo SHIFT PRGM [ CTL ] y “PROGNOMBRE” es el nombre del programa B. El programa B se ejecutará tan sólo una vez, y entonces continuará la ejecución del programa A desde el punto donde se llamó al programa B. Es recomendable usar subprogramas de éste tipo en lugar de largos códigos programáticos como las construcciones del tipo If – Then – Else. En general son mucho más fáciles de leer y por lo tanto producirán programas más estructurados.
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Organizaremos a continuación un programa que nos permitirá usar la ley de Ohm con facilidad. Denotemos la resistencia por R, el voltaje por V y la intensidad por I. La ley de Ohm puede ser considerada de tres maneras distintas:
V = R ⋅ I ,
R =
V I
ó
I=
V R
El uso de cada una de estas formas dependerá de lo que se quiera calcular. El programa que queremos digitar incluye un programa principal “ OHM ” en el cual se podrá elegir V , R o I. Dependiendo de la elección el programa llamará a un subprograma “VCALC” , “RCALC” o “ICALC” . El programa principal luce así:
“VOLTAJE 1” “RESISTENCIA 2” “INTENSIDAD 3” “ELECCION” ? → A If A = 1 ↵ Then Prog “VCALC” ↵ If End ↵ If A = 2 ↵ Then Prog “RCALC” ↵ If End ↵ If A = 3 ↵ Then Prog “ICALC” If End ↵
“VCALC” lucirá así:
“R = ” ? → R ↵ “I = ” ? → I ↵ RxI
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Complete el programa con los subprogramas “RCALC” e “ICALC”. Use el programa para calcular V cuando R = 92 (Ω) e I = 2,5 (A). Calcule además R cuando V = 230 (V) e I = 2,5 (A) y calcule I cuando V = 230 (V) y R = 92 (Ω).
EJERCICIOS Y PROYECTOS 1.
Escriba un programa que calcule el área y el perímetro de un rectángulo de base B y altura H. Ejecute el programa con los valores de comprobación B = 5,5 y H = 3,2
2.
Escriba un programa que resuelva ecuaciones cuadráticas ax 2 + bx + c = 0 . El programa deberá preguntar por los coeficientes a , b , c y deberá dar ambas soluciones, incluyendo la posibilidad de números complejos. Ejecute su programa con las ecuaciones 2 2 2 x + 3x − 5 = 0 y 2 x + 3x + 5 = 0 . Ingrese a la ventana EQUA, ingrese a POLYNOMIAL , obtenga los resultados de las ecuaciones dadas en dicha ventana y compárelos con los dados por su programa
3.
En ésta actividad introducimos el uso del operador sumatoria Σ de su calculadora. Para realizar cálculos con Σ en la ventana RUN-MAT se usa la siguiente sintaxis: X = b
∑ f (X) = ∑ ( f ( X ), X (variable), a (valor inicial) , b (valor final), n (valor intervalo))
X =a
Si se desea, se puede omitir el valor de n (nosotros lo omitiremos). En tal caso, la calculadora considerará automáticamente que se desea calcular con intervalos que van de uno en uno, o sea n = 1 . En RUN-MAT se podrá obtener resultados de sumatorias de tipo numérico. Ingrese con la tecla OPTN, elija la opción CALC con F4 y después el comando ∑ con la opción 4.
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También podrá hallar el comando Σ en la ventana CAS. A diferencia de lo que ocurre en la ventana RUN-MAT donde los resultados son numéricos, en la ventana CAS serán tanto de tipo numérico o de tipo simbólico pudiendo obtener incluso fórmulas finales. Para trabajar en la ventana CAS con sumatorias la sintaxis es la siguiente: X = b
∑ f (X) = ∑ ( f ( X ), X (variable), a (valor inicial) , b (valor final))
X=a
Observe que en la ventana CAS no existe la posibilidad de elegir intervalos. Estos serán considerados siempre en forma automática de uno en uno. En la ventana RUN-MAT , queremos ahora comprobar los resultados que obtuvo vía programación para la suma de los primeros diez números impares. a) ¿Qué función f (X) debemos ingresar en la sumatoria para ir obteniendo la suma parcial de los cinco primeros números impares? Describa claramente la sintaxis que ingresó a su calculadora para las cinco sumatorias. ¿Cuál es la sintaxis para la suma para 20 números impares y qué resultado le dió? b) Se puede automatizar el cálculo de las sumas parciales con la sumatoria usando programación. Ingrese en la ventana PRGM adecuado el siguiente programa con el nombre SUMIMP2, eligiendo un f ( X ) adecuado para nuestro problema. Describa cuál fué el f ( X ) que ingresó. Lbl 1 ↵ “ N “ ? → N ↵ ∑ ( f ( X ) , X , 1 , N) Goto 1 Salga de la edición del programa con ESC y ejecute el programa ingresado desde N = 1 hasta N = 10 . Confirme que se forma la misma ley de formación para la suma de n números impares que la obtenida con el programa SUMIMPAR del Ejemplo 4. ¿Cuánto da su programa para N = 31, N = 33 , N = 40 ? c) Use sumatoria para deducir manualmente la fórmula general para la suma de n números. d) Confirme la fórmula general para n términos en la ventana CAS, considerando la suma de n números impares desde 1 hasta N. Describa la sintaxis ingresada y diga qué fórmula le dió la calculadora. 4.
Considere la siguiente suma:
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1 1 1 1 + + + + ..... 2 4 8 16 a) Encuentre cual es la función f( X ) que da lugar a la ley de formación de cada uno de los términos de la suma b) En RUN-MAT use el operador Σ para hallar la suma parcial de 5 términos, 8 términos y 20 términos. Ingrese la expresión f( X ) dentro de la sumatoria usando la tecla para fracciones • . De este modo los resultados aparecerán en forma a b en lugar de la tecla división c •
fraccionaria en lugar de la forma decimal (al menos hasta cierto valor). Describa la sintaxis ingresada para obtener los tres resultados y los tres resultados que obtuvo. Recuerde que no es necesario que usted ingrese la sintaxis completa de la sumatoria cada vez. Basta que una vez ingresada y calculada la suma para 5 términos, use la “flecha para hacia arriba” para superponer el valor 5 por 8, oprimir EXE y volver con la “flecha para hacia arriba” nuevamente para superponer el nuevo valor.
c) Ingrese en la ventana PRGM y abra un nuevo programa llamado SUMPROG. Describa la sintaxis que debe ingresar para automatizar con uso del comando ∑ las sumas parciales de este problema de 1 a N (similar al que se usó en la parte (b) del ejercicio anterior). Ejecute el programa y complete la siguiente tabla: N RESULT.
1
5
10
13
14
15
¿A partir de qué valor de N dejó de dar resultados en forma fraccionaria y comenzó a dar los resultados en forma decimal? Complete ahora la siguiente tabla: N RESUL
31
32
33
35
36
37
40
Haga un comentario crítico de los resultados obtenidos por la calculadora.
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1 1 1 1 + + + + ..... se puede ver como la suma de términos de una 2 4 8 16 progresión. ¿ A qué tipo de progresión corresponde? Explique como puede comprobar la suma usando una fórmula para la suma de n términos de una progresión de este tipo. Encuentre la fórmula general para la suma de los n primeros números de esta suma. Compruebe su fórmula para n = 20, usando el programa SUMPROG ingresado anteriormente. d)
La suma:
e) Compruebe en la ventana CAS que la fórmula general para n términos es la misma que la obtenida por usted. Describa la sintaxis ingresada y el resultado de la máquina. Demuestre que es equivalente con el obtenido por usted manualmente. 5.
Considere el siguiente ejercicio: n
∑ a k = 2n + 3n k =1
2
“Sea {a k } una sucesión de números que satisface
. Demostrar que es una P.A. y encontrar una expresión para a n en
terminos de n” a) Resuelva el problema dado y encuentre los términos a n en términos de n demostrando que efectivamente es una P.A. b) ¿Cómo puede hallar mediante sumatoria la suma de n términos de esa sucesión de números?. Describa esa sumatoria y obtenga una fórmula general. c)
Ingrese en la ventana PRGM e ingrese un nuevo programa con el nombre de SUM P.A. Describa la sintaxis que permite calcular automáticamente sumas parciales de 1 a N de la progresión aritmética con la sumatoria que usted describió anteriormente. Ejecute el programa de N = 1 hasta N = 5 y diga qué resultados le dió. Compruebe el caso N = 20 con la fórmula obtenida en la sumatoria. d) Describa un programa similar al programa SUMIMPAR`del Ejemplo 4 que permita calcular la suma de n términos de esta progresión aritmética y que no use sumatoria, sino comandos de programación del tipo FOR , TO, NEXT . Ingrese a la ventana PRGM y denomínelo por SUMIMP3. Ejecútelo para comprobar que está correcto con N = 21 a N = 25 , comparandolo con el programa SUM P.A. 6.
Use la fórmula cuadrática tal como se hizo en el Ejemplo 8 para determinar el menor entero 1 2 n > 0 tal que f (n ) < tomando f ( x ) = 2 . 1000 x + 10x + 100
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Ingrese después la función al listado de funciones gráficas GRPH-TBL como Y1 y verifique la solución obtenida mediante el uso del programa EVALF1. Verifique la solución también con el programa EVALUP. 7.
Para las siguientes funciones, repita los procedimientos usados en el Ejemplo 8 para hallar el menor n > 0 tal que f (n ) < 0,001 : a) f ( x ) =
x + 3 4
x + 7
;
b)
f ( x ) = e
−2 x
Con el objeto de emular un procedimiento similar al del Ejemplo 8 transforme la inecuación x+3 1 < en una inecuación de cuarto grado de la forma f(x) > 0. 4 x + 7 1000 Ingrese a la ventana GRAPH la función f(x). Obtenga una gráfica de la función f. Si tiene problemas con la escala de valores de V-VINDOW le recomendamos usar el zoom automático ZOOM AUTO que permite capturar automáticamente una ventana apropiada para el gráfico. Encuentre las raíces de la función con SHIFT G-SOLV ROOT para hallar el valor de x positivo más pequeño que cumpla la condición f (x ) > 0. Aproxime al entero que está buscando.
8.
Ingrese la función x + 0,005x 2, 01 como Y1 en el listado de funciones gráficas de GRPH-TBL. Use el programa EVALF1 para iterar la función dada. Esta función permite proyectar la población actual a un año plazo. Al ejecutar el programa asigne 3,049 en X, que es la población que había, en billones de personas, en 1960. La calculadora debiera darle 3,096, que es un estimado de la población en 1961. Oprima EXE y asigne la respuesta que se obtiene con la tecla SHIFT ANS (lo encontrará sobre la tecla del signo negativo (-)) como valor para X. Oprima nuevamente EXE para hacer correr EVALF1 y obtendrá 3,144 billones, que será un estimado para la población mundial en 1962. Siga oprimiendo EXE y ejecutando repetidamente EVALF1 e ingresando cada vez ANS para X. Compare la estimación que da la ecuación con las cantidades que aparecen a continuación.
AÑO POBLACION
1965 3,299
1971 3,659
1981 4,473
Determine qué población podría tener el mundo en el año 2035. ¿Qué opinión le merece?
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9.
Construya un programa que calcule una de los elementos: velocidad media, distancia o tiempo si se conocen las otras dos, usando una programación que use como rutinas los subprogramas.
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