manual de matemática básica 2011

Compilado por:

Lic. Esp. José Francisco Barros Troncoso http://www.calameo.com/read/000491129dba8f8d328f7

Santa Marta-Colombia 2011 c ?

CONTENIDO I.? a II.? Obje Geer III.? Ore Me IV.? Crer E V.? C e Temá

VI.? Bb

r VII.? Web r Justificación E preee mp e r e expere be re 21 e er e e e eree e m e M R (G jr y e S Mr e ee e bá me e y pr e . L pr p e b r e memá e r ex q e e e e e mr q e r mee e rb ye p r e e pre je q e re m errme me pr e err e peme e er m y e err e e . Objetivo General Exp er me bá e memá e rm e r y errme m er q e e q e e e pre je y p er exprer e eree e pr bem e y e m . Contenido Temático á ? Er r Epem e Memá A? ´

e MATEMÁTICA?

A?

E Númer

A?

Ć á e e pr bem e memá?

c ?

A?

L mpee

½ ? Númer Ree A? L Oper re A? Expre e rm A?

Re e pr r e per re rm

A? Sem e N mer A? ºe mp p m e úmer

? Númer Eer A? V r Ab e Númer

A? Ley e A? A y r e Númer Eer A? M p y º e Númer Eer ? Númer R e ^? ºe ^? Or e e r e ^? `r pe e e r e ^? `rp me e R e ^? Oper e úmer R e ? A y r e úmer R e ? M p e R e ? º e R e ^? Númer Mx ^? E e úmer R e ^? `r bem e Ap e R e ]? A? A? A? A? A?

Númer ºeme A y r e Númer ºeme M p e Númer ºeme º e Númer ºeme Ap e úmer eme. ` reje

V ? ` e R y L

rm c ?

0 ? Expre e A ebr A? C ep Bá A? Expre Arm A? Trm A ebr

A? Trm A ebr Semeje A? S m y ºere e Trm A ebr A? M p e Trm A ebr A? Expre A ebr A? `r pe ºrb e m p repe m A? `r e p m A? `r N be A? S e A r p ë ? r ¦ ? r e A ebr A? ºe A? Smp A? S m y re A? `r

A? C ee á

E e A? E e rbe A? E C rá ? S p r r ? S mpe e r . ? S p r rm eer A? Ie e :Ie e Lee

áá ? Sem e E e Lee A? C j S A? Sem e E e A? M pr re er Sem e E e A? M e I A? M e S A? M e Em c ?

A? ` r ºeerme á ºe e Ie e Lee Ier ? ? ? ?

Aber

Cerr

Sember emerr

Ier I :

á ? M e L y C j

Orientación Metodológica `r e err e m e pe ee ere me : A? Ie rr e mr ep y e rbj m ejer prá e . A? M rr e e ejer prá q e em e e peme

r . A? `r p r r e pr bem mpej q e ejere r e me q e perme err bre be ep . A? C mpemer em r r e ejer prá

errme rmá e pr r e re rr r y r eree me . Criterios Evaluativos Se b pr e e r e e mp ee mr

pr eee e e er e e ú err q e mee ee e mrá pe m prp ere y e e er

c ?

LA MATEMÁTICA ¿Qué es MATEMÁTICA? ºe . mem y ee e re

er e ĂMǄǃĂĴ q e e me pre je

ĸM ĂĴǄǃĂĴĸǅǆM

L memá e e q e mej r em p rq e e úmer e m.

re

La matemática es m e per m e r r. Se p e e r pr mpr br e e er p r me e pr bbemee er. L memá e mp e exp r e e e e q e e e bre e e y mb e m e per q e e pr re er e e pr bem e e e ber y r. E e je mb q e e mpre p r e e err. ¡H e erre q e memá er e e je q e ee er be e Mre ( exer Obe e br : EX`LORANºO LA MATEMATICA m 1 E eer p em r q e e bje eer e memá e búq e e desarrollo del pensamiento lógico del hombre. Ćuál es el problema de la matemática? A r e r memá y e e áre e me q e pree my r e e pr e e ee y pre je ´` r q ? Ćm e j mpej ? A? N e mpre e pr bem e memá. A? e epe e prmer r e e r . (´ rbj e rm e ee? A? S r e A? S r (E eb me e pre A? S pere rm (S r r A? Terr r e e . A? L r e ee H y e m per q e eá rbj e e e e ere q e perm mej rr pr e e ee y pre je e memá. Las competencias memá e p r eer ep áe q e req ere e mbee e pre je erq e p r e pr bem c ?

y mpre q e p be r ee e mpee má y má mpej . p://jmem.b

p . m/2006/10/q emem.m p://www.e rmem./me.m

El Número: E mb q e repree . A r e r e mbre eree rm e repreer e

?

Sistema de Numeración Maya La necesidad de contar. L e e memá e b re e m . L memá e má ej m e e pr pe e er m e mbre ee e memá e e á e reeer y

e r reb y me r err.

Los dedos prmer em e mer. E me e mbre merb e q er er e b e e b e m p r e. `r er úmer my r rr m : ee rb ee ? re re ee eer. er m eeme q e el hombre utilizo para contar: ye pe r ry e pe r e r áb . L rm e Números Romanos e pree m mer e r e q e e b e prp e y re rrep e e e e c ?

m ber e p r er y e e m ber y erer r e m e. Los números que utilizamos en la actualidad e er r mb e em e r e . E e e prp e erb m em y; e er repree p r r per r ; e re p r re b e e bre e r e r p r b e e rm e r e p r m err e p r exe . A erbre ráp mee e r p m e ppe er m rm q e em . Los Números Arábigos que son Hindúes; E úmer q e er r I e e m ráb p rq e e er I y mr e . q e em reere er r p r árbe m ráb .

m pr ee e e 711 Árbe ` er rmee e E r p; e er

Números Reales Ejer . Le ee r: 1.? ] 006.004 2.? 200.202 3.? 1 001.000 4.? 10]7.003.000 ].? ]212]

`r bem Nº 1: U per re ee m me e e br re em. E e e m e pe e mre m

m e pe e mr e r eq e p r m m e pe e j e e r e m ee pe y e ere rer q e e m re pe . Ć á p e q e e e b ? Los Operadores: S mb q e re

per ere má úmer . Exe eree p e per re: A? L perme mbr expre e (y . A? ºe re: perme rer mpr e ere re (= < > .

c ?

A? Arm : I per A S m (+ S r re ( M p ( x * . e e e me q e y m p 2 º ( ó / ` e ( R (¥ Expresiones aritméticas: E mb e úmer y per re Ejer 1 Ree ee per e .?ë]3] + 74ë6 b.?7000 ² ]6 .?32476 ² 2]]ëë .?4 x 2.] e.?0 ÷ 1 .?23 ÷ 0

.?2].1] + 73.04] .?316ë ÷ 1ë .? 7.74] ÷ ].4ë .Reglas de prioridad de los operadores aritméticos: L expre e e má

per req ere e re q e perm e r e e per e ee r e e: 1.?L e r p: ( [ ] { } 2.? L

rm 3.? ` e y r 4.? M p y ].? S m y re S e expre e e er per re e mm e e pr r e re e e e q er ere. Ejer 1: Ć á e e re e ee per e? ]+4*12 Ù ]

6+×2 6²ë÷4+3×2

c ?

] ð 1ë + ] * 3 + 4 * 6 3^2*3 33 + 3 * 4 / 6 2*]²3*6

6 + 4 × 3 ² 42 ÷ 4 16 23 ó2 + 6 * 4 × 32 23 ÷ ¥16 + ] 3] ÷ ¥2] × 3 ² ] × 2 + 23÷4

Ejer 2: º ee ejer : 1 6 + ë ÷ 2 ² 3 × 1= 4 6 + ë ÷ 2 ² 3 × 1= 2 6 + ë ÷ 2 ² 3 × 1= 7 6 + ë ÷ 2 ² 3 × 1= 14 4 ë+6÷2²1×4=3 ë+6÷2²1×4=] ë+6÷2²1×4=7 ë+6÷2²1×4=16 ë+6÷2²1×4=]6

bq e e e r p e e

2 ] × 6 4 × ] = 10 ] × 6 4 × ] = ]0 ] × 6 4 × ] = 130 ] × 6 4 × ] = 70 ] Erbe expre rm r

rm y e er p be re q e e p e beer

3 ë ² 2 * 3 + 1 = 24 ë ² 2 * 3 + 1 = 1 ë²2*3+1=3 ë²2*3+1=0 6 Erbe expre rm má e r

rm y e er p be re q e e p e beer

c ?

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD U úmer b e divisible p r r a la división es exacta. p://www. r. m/ / /3.m Númer

2 3

Crer

E úmer erm e er r pr L m e r e múp e 3

4

E úmer rm p r úm r e 00 múp e 4. L úm r e 0 ]. E úmer e be p r 2 y p r 3. `r úmer e 3 r: A úmer rm p r prmer r e e re úm m p p r 2. S e re e múp e 7 e úmer r mb e. `r úmer e má e 3 r: º r e r p e 3 r y pr e rer e rrb r p . S mr y rer er mee e re be e

r p y mpr br e re e múp e 7. E úmer rm p r re úm r e 000 múp e ë. L m e r e múp e .

] 6 7

ë 10 11

L úm r e 0. S m r ( e úmer e p mpr p r y e p pr p r r . L e e re e re e mb m be . e re e er

(0 múp e 11 e úmer e be p r e. S e úmer ee r erá múp e 11 e r e.

12 13

2]

E úmer e be p r 3 y 4. `r úmer e má e 3 r: º r e r p e 3 r mr y rer er mee r p e ere q er y pr e rer e rrb re be . S e múp e 13 e úmer r mb e. S úm r er múp e 2]

12]

S re úm r er múp e 12].

c ?

Ejemp

37ë: p rq e "ë" e pr 4ë0: p rq e 4+ ë+ 0 = 12 e múp e 3. 7324: p rq e 24 e múp

e 4. 4ë]: p rq e b e ]. 326 46: p rq e 46(*2= 2ë q e e múp e 7. ]2176376: p rq e (3712 (1712 + (]4= 2]]+1= 21 e múp e 7. 272ë0: p rq e 2ë0 e múp e ë. 3744: p rq e 3+7+4+4= 1ë e múp e . 470: L úm r e 0. 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 132=11 Ö 11 e múp e 11

66: p rq e r e. E e 66 e Múp e 11 ]2ë ]2ë

]00 102] 1ë7] 1000 112] 4 2]0

Ejer 1: Apq e rer e b e b pr mpr br b e e úmer . ]34 403 72ë6 ]6ë2 ]3]] Ejer 2: H úmer e 3 má r q e e be p r: 1.? ` r 4 2.? ` r 7 3.? ` r ë 4.? ` r 11 ].? ` r 13 SISTEMAS DE NUMERACIÓN C j e re q e e pr exprer y erbr úmer . C em e mer ee be. Ere em e mer eem : Br

e be e be e ex em e be 16 y e em e be e ee úm e e q e empem r . Descomposición polinómica de un número º e úmer 3]7 e p e e e mp er: ^? 300 + ]0 + 7 ^? 3*100 + ]*10 + 7 : m 100= 1 ^? 3*102 + ]*101 + 7+100 : S em x = 10 ^? 3x2+]x+7 E er e úmer 3]7 e p e e exprer m 3x2+]x+7 Ejer 1: Exprer úmer e rm p m ]46 34]7 123]0

100201

Ejer 2. Expree p m e rm em ]x2+3x+ 2x3+6x2+ëx+1 4x3+3x

7x2 ² ]x + 3

c ?

CONJUNTO DE NÚMEROS Númer º : S q e e r Números Reales: Se er e j er e repree er R pereee: ? L N re: L úmer pr r e repree er N. ? L Eer : Eá rm p r re e er y e . ? L R e e rm /b ? L rr e q e e p e e erbr m r e eer . Tee repree e eme q e e repe erm U número natural e q er e úmer q e e pr r eeme e j . Rebe ee mbre p rq e er prmer q e e er m

pr r bje y q e re e r y e r er má eemee q e e p e e rer e e rme e e p://e.wpe . r /w/N%C3%BAmer r L úmer re . E j e e e e p r N: N = {0 1 2 3 4 10 11 12} E er ee e ex ye e j e úmer re. A emá e r e (pr r úmer re r e p e r e pr r er eeme e j : 1º (prmer 2º (e 16º ( em ex p://www. q .e . / ere/ re.p ?ppMyA m=eb0b7246 40e ]612677ë11bë `r bem re úmer N re: 1.? U empre b e e 2004 p r $321ë4 m e; e e 200] $141] m e má q e e er r; e e 2006 m e er re j ; e e 2007 m e re er re j ; y e e 200ë $ 12136 m e má e q e e 2007 y e e 200] ´ á

re ] ? c ?

2.?U per mpr ámr

rá q q e $ 17] q e $ 23] 000 er e?

br q e $10] 000; e p r $140 000; e $1ë0 000 má q e e br y e e j ; 000 má q e e br e e y ámr; y mp r má q e er r. S e brr $211 000 ´ á

3.?U e e r e eme ee re er em e ee m me e mpr e: e er e e 1]7 b rebe re em ee e e e 2ë] e mre 27ë e mr e 16 e j e e 41ë y e ere 332. E áb err e e exe e 4 b . S mpr b e $7200 y e e e $]00. Ć á e be re em? 4.?Ć á q e e ere p r $12 ]17.3]0 ej pr e $1 3ë3.]00? ].?S mpr mp r p rá p r 7]0 re q er rme $2 000 000 p r e ee e e q e e r eá e $2 10.ë0 é á eb

e er? 6.?U mere e pe e 3000 K e rr . Imee rebe ë13 K má r e 124 K me q e prmer e y ep 1]6 K má q e e e. Ć á rr p r e re? 7.?U e e r e r mpr 120 rj $1000 e y e e r e $100 . S e e r 3] rj ´ á e per ?

ë.?U mere e e 14 e r $10 ë00 pr e $ 200 p r ; 20 e rr $7 760 e $ 100 p r y 7 e rj e $ 4 ë00 pr e $ ]00 p r . Ć á e e e mer q e e e ?

.?U mere mpr e e e úr p r $]4 000 y e e $ ]0 400 $ 2 640 p r . ´ á mpr?

c ?

10.?E er er e b $ 000 y e $ 3 000. Aer 7]2 per y e re r $ ] 472 000 ´ á epe re er y á ?

NUMEROS ENTEROS Memámee e j e úmer eer per e e m y m p

ye m y r . ` r r

e e e r e bre e j mpemee r e per r er r: eer ee prp . E j e úmer eer e repree me e (e r e e e Z e e emá Ze 'úmer '. Valor Absoluto de un Número: E e úmer er p r e ee r empre e p e er ee e e e . S x e úmer eer e r b e x e repree |x|. Ejemp : ^? |]| = |]| ^? |3|<|4| ^? |2|>|1| Ley de los signos Adición y sustracción de Números Enteros: `r mr rer má úmer eer e ebe eer e e: 1.? S e mm e m y e re q e e úmer q e ee úmer Ejemp

ê? ] + 3 = ë ê? (] + ( 3= ë 2.? S e e rr e re y e re q e e e úmer

e my r r b

Ejemp

c ?

ê? ] ² 3 = 2 ê? ] + 3 = 2 Multiplicación y División de Números Enteros: `r m pr r eer e ee e e ee er e: 1.? E pr ee e eer e e empre e p

Ejemp

ê? 6 * 3 = 1ë ê? (6 * (3 = 1ë ê? 6 ÷ 3 = 2 ê? (6 ÷ (3 = (2 2.?E pr ee e eer e eree empre e e

ê? 16 * (4 = 64 ê? (16 * 4 = 64 ê? 16 ÷ (4 = 4 ê? (16 ÷ (4 = 4

c ?

TALLER Tem: Númer Eer Obje : I er úmer eer pr pr pe e y re er pr bem q e r j e úmer . I.? Mrq e C rm rre y I rre. S rep e e rre j q e: 1.? 1 ² ]4 ² ë1 = 116 ( 2. + 1ë ² 10 = 1 ( 1.? S 21 + x = 6 e e x = 1] ( 2.?S 3x = 1ë e e x = 6 3.?1 > 2 ( 4.?|3| <|]| ( ].?] ² 2 < 1] + ë ( 6.?|7 + 12| > |ë ² 3| ( `r bem 1. Se q ere re er pr bem bre re úmer eer e q e m er ë1. Se erbe e ( ² 1 + + ( + 1 . ´ repree : ^?E me r e re úmer eer ^?E úmer eer e me

^?E my r e re úmer eer ^?L ere ere e úmer me r y e my r e re úmer eer b.?L re úmer : 26 ² 27 ² 2ë

16 ² 17 ² 1ë

6²7²ë

36 ² 37 ² 3ë

2. U Tq e ee 24320 r e e e r e e . . Ć á r e q e e e q e ep e ] r e pr me e 400 r p r r? 1ë0 r E q e q e N e 10 r

c ?

b. Ć á r e pr me e ebe mr p r r pr q e e e? 400 r 3. E

4ë64 r

46ë4 r

mpe e úb er e e er

400 r

re e j e q e

e: pr b 3 p pr emp b 1 p pr

per q b 2 p r b 2 p y e r q b 1. A eq p j ë pr y b e re er ee: à à àà à

] ] ½

à á ½ ½ ?

à ½

à á á½ á½

E ee b erb e r e e q e q e r eq p repe p : á ½ ]

à !" !# ? 4. U mp r r mpr e e mp re p r US $ 10ë000. Ve pre p r US $ 46400 US $ 400 per e US $ 100 e y r pre e US $ 36000 US $ 100 . . E e ee: 216 mp re

b. `r beer e er e: US $ ]00

116 mp re

60 mp re

40 mp re

e US $ 4000 ree mp re ebe

US $ 740

US $ 620

c ?

US $4ë0

11.? `á r y memá re ere ]ë2 y 46 .C. Á q e m r? Ć á e e e ? 12.? Hp e Aej r e e y mer q e m r e e e 41] e e 4] . Arq me e e mb e memá re q e m r e e 7] re e e e Sr p r r m e e 212 .C. É q ? Ejer Ue j e á Exe pr eerr er re

c ?

e ejer

NUMEROS RACIONALES

p://e.wpe . r /w/N%C3%BAmer r p://www.m

r. m/rbj 42/ mer r e/ mer r e.m Definición E e q e e p e e exprer m ee e úmer eer . E rm "r " e reere "r" pre e ; e j e úmer r e e e " " p r "q e" q e " ee" e r m e r pe . E j

e úmer r e eá mp e p r úmer eer y p r r r . L úmer eer r e p e e p e e exprer m

ee e e mm p r : = /1. L úmer r e eer e m r r . E j

e úmer r e e repree e rm /b e y b R b 0 rebe e mbre e mer r y b e m r. U r e . Exe p e r e pr p e mpr p . U r pr p e q e q e e mer r e me r q e e e m r; m p r ejemp : ͳൗʹ ʹൗ y ͳͳൗͳͷ U r

r e q e q e e er r e y r q e e e r r eje : ହൗଶǡ଻ൗଷൗ. L r e r e e e err e úer x e eer ( r eje ʹభయ ͷయర y య e e e er r r e e r y e re e exre r e e r. T úer eer e e e exrer r . Origen de las fracciones A?Arm : L ex e eer A?Ge mr : U e me ex A? : Me e m e `ropiedades de las fracciones A? S e e m r e 1 e r e mer r. A? S e mer r y e e m r e e r e 1. A? S e mer r e er e r e er . c ?

A? S e e m r e er e r e eerm . `rincipio fundamental de los Racionales E mer r y e e m r e r e p e e m pr (Amp

r (mpr p r mm eree e er . Ejercicio-1: Ampr e 2 ] 7 y ë r

ʹ ͷ

Ejercicio-2: Smpq e e ee expre e:

ͳ ‫ ݕݔ‬ଷ ͷ‫ ݔ‬ ͷ ‫ ݕݔ‬ଶ ͳͷ‫ ݔ‬ଶ Operaciones con los números Racionales Adición y sustracción de números Racionales `r mr rer úmer r e ebem eer e e : 1.? S ee e mm e m r: Se mee e mm e m r mú y e m mer re. Smbmee a b m d d

amb d

C 0

2.? S ee eree e m r: Se p e e rer e ee pr e me : .? Se mp mp expre e pr q e q e e e e m r b.? Se b e máxm mú r S y b úmer re e er q e > b e e: M.C.º. ( b = M.C.º. (b ² b. .? Se p rm : b m p

m bp y 0 p

c ?

Ejer : C r:

ʹ ͳ ͻ ] Ù Ù Ù ]

ͳ Ù Ù ë

ë

ʹ ] Ù

ʹെ

ͳ

ͳ ʹ െ ͷ

ͷ ͳ െ ʹ ͷ ͳ ͳ ͳ ʹͷ െ ʹ ʹ

Multiplicación de los Racionales E pr e r e e r r e e mer r e bee m p mer re e re y e e m r m p p xp e m re e re. E er: x b bx División de los Racionales E ee e úmer r e e r r q e e bee m p e m p p r e er m p e m p r. p D D E er: b b p bDp Números Mixtos: S q e rm p r eer y r . E er a b

p

Ejemp : ]

A? `r err mx e r e m e eer e r . Ejemp

err e r : ͳ ͳ ʹ ͳ ͷ ʹ ʹ ͷ

c ?

A? `r err r e mx e e er mpr p e e mp e e mer r e m q e e m e múp e e m r e epr m e mp y e expre m mx . ]

ë

] ]

Ecuaciones con números Racionales Re e y erq e e ee e e: ] m+ = x = x = ] ë ë

x Ù = ] ]

x + =

x

=

]

x = ]

`roblemas de Aplicación de los Racionales ଷ 1.? S r m e ´ á r e ee pr brr e mer ? ଶହ

2.?

U per ebe rer rbj e 3 e prmer rer y e erer ´ mpr rbj ? ] E e y 3 240 e e y e úmer e e e m jere e e

e e e

3.? 4.?

5.?

଻

e ´ á e e r e y? ºe q e e e

e prmer em e e y e ë erer em. ´ r e q e e e q e? ºe q e e e

e prmer em e e e ] erer y r em ´ r e q e e e q e? S e ହ

q e e e ]000 ´q r e e em? 6.?

U repre ere e ee rm j

pr ep pr ]

pr e re e m y e ree rá

c ?

e

beee. S ere eá r e 300 m e e pe ´ á e rrep e ? 0.?

U e r e e m rr repre ere e ee mer: e ଶ

j e ej ‫ ݕ‬ଷ e ere y erer e re . S ere e e 300 ହ

m e e pe Ć á e rrep e ? ë.?

9.? 10.?

11.?

12.?

13.?

14.?

15.?

] r e

U j e q ere mprr be. E ppá m e p mmá

e pre q e e . S be ee r e $124.000 ´ e pr mprr be? E r p e 40e e 3 e ] j e úb . Ć á j e úb ? S empe e e $1.200.000 y $160.000 e er $340.000 e me $2ë0.000 e e e reer $200.000 pr rp re y $100.000 pr mpre ree rr. ´ r e e rr? E e e e e e ep e e 2]00 e e mm

e e e 600 e e mre ]00 e y e mre 300 e ´ r e e e ? ´ r e q e e e ep ? E r e r e $1ë0.000 e reme e e r Ć á e e pre ? S e e pre e e $24.000 ´ á e r e reme ? ë ºep e e brr e pe Ć á pee eer e ] p e e rmr? ´ br? eá embr e y e re e b

ºe e 40 eáre ] y e re e pr r e me Ć á eáre eá embr e y á e b ? ´ r e eá e pr r e me? e mer e e p e e r e Ć á pe e r e r e

]

mer e r ?

c ?

16.?

S e ere

ep e ͻ ?

r e p r m Ć á emp emperá e er

c ?

NÚMERO DÉCIMAL C q er úmer r expre e e em e mer em e e q e eme. ` r ejemp 0]; 2ë4; 3141]2 U úmer em eá mp e p r pre eer e p m em y pre em. L e r r ere e m e m m em mm ezmm m m. S úmer em ee úmer e r eme e ee mr em ex ee úmer e r q e e repe per mee e m eme per y ee r q e e repe per mee úmer rr e. E e e p = 3141]2 Ã = 141424 `r err r e em e e e mer r p r e e m r. ` r ejemp : ] ; ë ; ] ] `r err em e r e re e ee pr e me : `r e me

Ejemp

x ] Se e e em rbe Se m p e p r * x ] * p e e 10 q e e er eme e e úmer

Se re e e per x ] ] Se epej rbe x Se mp e p be x Ejer 1 C err e em ]

]

]

c ?

Ejer 2 C err e r 0.ë

0.17

0.12]

0.01]

0.000]

Adición y sustracción de Números Decimales `r mr rer úmer eme ebe eer e e q e m eme ebe r e mm m q e mp r ee ebj e ee e ebj e e m ebj e m em ebj e em y e mee e eeú per e rm y y e e re e m ee e e q e q e e e m e m . S úmer ee mm e r eme mee e e úmer e r eme e mb úmer e er p r ere e pre em e q er e e . Ejer 3 C r 0ë + 017 3ë ² 07] + 13]

7ë6 + 31] 1]2 ² 07] ² 46

03 ² 01ë 3] + 36 ² 107]

Multiplicación de Números Decimales `r m pr úmer expre e rm em em m p eer e e m m er úmer re. ºep m á r eme ee ere re y eprm ee úmer e r eme e e re e ere q er . Ejer 4 C r 0] x 03 0.00ë x 0.6

01ë x 374 4].ë x 0.67

11.ë7 x 0.1

División de los Números Decimales `r r eme m

e e er ee e mm úmer

e r eme e e q e e e er q e e me r eme. U e m

e e e y e r e prme p y e c ?

e m eer . S e e eer p r em eer e e e er r eme e e em y e e m eer . Ejer ] C 12ë o0.6 13o03

0o03 064 o16

073]o01]

Ejer 6 E e r (14 ² 02] x 31ë

1]47 + (0.02] x ]132

1000000 o (1 +0.2

Aplicación de los números decimales. 1.? U per mpr e er y pre e e $ë4 23] p r e 12 p e rer $102 4]60. S e $40 7ë]]] ´q e er e rá q e p r me? 2.? `r er 36 e e req ere ë.2] mer e e Ć á mer e e e e re e ? 3.? Se e r e $30 0ë6 00 e 1ë0 Ć á e e me? 4.? S 24 e e e re rr ]67] Km. ´ á mer e p be re rrer 1] e? ].? U re ë0 mer e p e e e 7ë0 p e ´ á mer e p empe e re p e? 6.? U m ej e ee 00 mer . E ej e 2672] mer . ´ á mer e e ? 7.? U me e rm re r e 210 mer e r p r 1] mer e

e q ere rr e b r e 10 mer e eje. Árá e eje? Ć á mer e eje br ?

c ?

ë.? U e e $ë 6]4 ë23]0 e e bee e 20 000 Ć á bee e ee? .? U erre r m e 006 mer e . Ć á m e e permer ? 10.?E erre re r e 7]0ë e r y 364 m e e r

e 137 m e r p r 124] m e . .? ´ áre e erre eá r ? b.?Ć á mpe e mm áre p e e pr e e erre

e p ? .? `r r r e rer $32 07 ]0 Ć á e p r mer

r ? .?É á exe e e permer e erre permer e ? e.? S ee err e erre re e mbre ´ á mbre e ee? 11.?L p reje e er r e e e 0.7] 0.0 rrep ee prmer y e pr repe mee ´ mm ebe beer e e pr pr br r? òrcentaje ` reje p r e e r e úmer eer expre e em. E rm e er e per e m q e ´p r e p e repree r e y e m r e 100. A 20 p r e 20/100. N rmmee e repree e mb %. L á e p reje m y pr e r re . `r r e p reje e úmer r p (p reje e e e e p r 100 (be y e re e m p p r e prmer . Ejer 1. º e úmer e p reje : 1.? 4 e 30%:

x

2.? 1600 e 1ë% : x

x ë

x ë

ëë

3.? 3.] e 40% c ?

4.? ë40 e 2]% ].? 0 e 64% 6.? 200 e 2ë% Ejer 2 C q e p r e e 1. 20 e ë0 4. 3ë e 6

2. 0 e 100

3. 16 e 360

Ejer e p 1.? E 24% e e rj m rer eb ep em. S e úmer e e m er e e 2ë ë00 ´ á e rj ? 2.? E ]6% e pr e pm r e pr pr e ee. Ć á ee e pr e e 120 000

rm e pm? 3.? ` r mpr e e e e $ 2ë0 000 e e e ë%. Ć á

e ebe p r p r e e ? Ć á e e r e e e ? 4.? ` r e rre e e p $2]0 000 me e. S e rre e reme e e 62% ´ á ebe p r e rre e prxm ] ? ].? E pre e mp r e $1 760 000. S e p e e e e e e e 12%. He e pre e . S e pr e ë00 000 brre e pere r e me ]00 000 y e re e exp r ´q p reje e exp r? 6.? S e pr e ë00 000 brre e pere r e me ]00 000 y e re e exp r ´

p reje e brre e exp r?

7.? E pre e r má e mp e e r re (IVA e e $ 14] 000 e IVA e e 16% e e pre e pr IVA. ë.? S r e reme e $7]0 000 $1 0] 000 ´ á e e reme

p re ? .? S

rbj r e reme e r me p r 24 r e rbj

em e $1 ]ë4 000 $ 1 774 0ë0 ´ á e e reme p re e r e r e rbj ? 10.? E pre p r e e e e 2]0 m e e pe e er p r 220 m e e pe ´

p reje e e ?

c ?

Uso de la Tecnología S p q e ee 12] m e e $200 y r $]00. ` em r j e á pr er r p be re e er e e m e e $200 y $]00. `r rer err e e ee p : 1.? Ere j e á Exe 2.? E p A1 e 200 e B1 e ]00 y e C1 VALOR 3.? E p A2 e e úmer 12] e B2 e e úmer 0 y e p C2 e rm =A2*200+B2*]00 4.? E p A3 e rm =A2 ² 1 y pe q e e re e er ( 127. ].? Ubq ee e p B3 y erb rm =A$2A3. C pe rm 127. 6.? C pe re e m e VALOR re e . 7.? Grbe rm mbre ë.? I e e e e ráer $ e e p ] .? Expq e pr e mpre ere p 2 y ] 10.? Ae re q e e er L rep e pre ë y 10 re me e j. E e r m me j r .

c ?

ÒTENCIACIÓN L p e e rm bre e m p y e e m pr be e úmer e ee q e q e e exp ee. S b e y p úmer Ree e e: be = b x b x b x x b = p e ee º e b0 e be e e exp ee y p p e.

`ropiedades-1 ºebem eer e e q e: S e = 1 e e b1 = b. S e = 0 e e b0 = 1. S b = 1 e e 1e = 1. S b = 0 e e 0e = 0. S b<0 y e e pr e e p>0 S b<0 y e e mpr e e p<0 Tmb b Ù Ê bÊ Ejer 1 C r e r e expre: 23

34

(24

(33

42

`ropiedades-2 S p m q e y b úmer ree e er y y m mb úmer eer . .? `roducto e p e e misma base e e p e q e ee mm be y y exp ee e suma de los exponentes e p e q e e eá m p . E er: 2

2

b.? Cociente e p e e misma base e e p e mm be y y exp ee e resta de los exponentes e p e q e e eá e . c ?

a a2

a

Ù2

.? òtencia e `roducto e pr e p e. E er: ( x b) = x b .?òtencia e Cociente e ee e p e. E er 2

a a b2 b e.? òtencia e òtencia e e p e mm be y exp ee pr e exp ee e r. E er: 2

Óa 6. Exponente Racional a

2

2

2

a x2

a

Ejer 2: Ue re e exp ee pr mpr y q e e exp ee p . ] ]

x A

x x] A Ù Ù x

x Ù xÙ

(y32

(2x24

Ù

2 3 1

(x y

ÓÙ ëa

Ù

b Óa b

]

Ù

p Ù b Ù a Ù Ù a Ù b p

Ù

Ejer 3. Erb expre e e rm CX x

x Ù

(2x3

Ejer 4. E e r: 23 64 (3.73 (1.]]

x Ù

(3]

x

Ù x

(23

1.23

c ?

Ù]

`roblemas de Aplicación de la potenciación 1.? E m y p e j e p q e ee 2] j e r 2] e y 2] e . S pr e e e e US $2] Ć á e p? 2. E j y 12 j e ápe j ee 12 pq ee pq ee ee 12 m y m ee e e ápe. Ć á ápe y e e j? 3.? Se ere $1 000.000 re x e er e ë% mp e rmermee e r r re e erá: S = 1 000.000 (1.024x Ć á erá e p e ] ? 4.? Se ere $3 200.000 re x e er e ë% mp e rmermee e er e: I = 3 200.000 (1.024x ² 3 200.000 Ć á erá e p e ] ? ].? S e ere $p re mp e ( m em e r r m e p r: S = ` (1 + y e er e I = S ² ` E ere S e I pr ` e .? $1 200.000 ] er e 12% b.? $1 ë00.000 ] er e 10% .? $] 000.000 7 er e 12.]% .? $ë 000.000 3 er e 10.] 6.? S er ee bje ( r r e $S ep e y ree e er mp e ( m em e e e r preee ` q e ebe erre e ` = S (1 + E ere ` pr S e . .? $1] 000.000 ep e 2 er e 1.3% b.? $ë0 000.000 ep e 20 er e 1.]% .? $7 000.000 ep e 36 mee er e 1.2% 7.? E p be er pr xm pre e úmer e m N rm : N = 4.ë13 (1. e e e úmer e q e p e e 100. .? ´ r rrep e 1]0? c ?

b.? H pr xm e úmer e m e 1]0 10 2000 y 2007 ë.? E p reje P e m jere q e rbj er e y ee j me re e 6 e pr xm me e expre P = 33.]] ( + ])0.20] e e m e e y 0 rrep e 1ë0. C e e p reje e 10 y e e 2000.

.? S e ere $P re e er e 10% mp e

mee e r r (S) e er e bee me e rm : S P 2 º e « 2.71ë. E ere S pr ` y : .? $1 000.000 re 10 b.? $1 000.000 re ] 10.?E úmer e rp re e em ámbr (e me e p e e m er rm : N = 630.2 e e e úmer e q e p e e 1ë]. ºeerme: .? E úmer e rp re q e e em. b.? H pr xm e úmer e rp re e 1] y e e 2007. 11.?E mr r e p pr q e e reme e e úmer e empe e p erá e ú e : N = 2000(0.60.] (E e G mper º e repree e úmer e ep e brr e . .? Ć á e e úmer e empe m me e brr ? b.? Ć á empe e pr ep e 1 ] y 10 ?

c ?

RADICACIÓN E per rr e p e. L expre e e e r 2 e e e y a r .

2

a e m r e :

S e e

C e

2

a S e par S e 0 mpr

a> > >0

a< @

<0

`r e pr e p e e preer 2 1.? S a<0, exe ú rea a q e 2 a = . 2.? S a>0 exe úmer reae q e a ee ar a a ea a a a e er 2

m÷.

a

Ejer 1 Erb ee expre e e rm e r : Ù

A

Ó Óëx

Ù

Ejer 2 Erb expre exp ee r :

x

Óab

ë

b

Regla de los Radicales 2

1.

2

2.

2

a2 b

2

a

3.

2

2 2

2 2

b

ab

a b

Ejer 3. Ue pr pe e e exp ee pr mpr expre e m q e q e e exp ee p expre e rm r

c ?

Ù

A A x Ù ]. x x Ejer 4 Smpq e expre pr pe e e r e A A

o o

x A ë

x

]

] x ë A

x

Ejer ] Ree per e

x x

]x ]x

x ] A ë x A

x A

b ]

xA

] b

Ejer 6 E úe e r

]

ð ]

Ejer 7 Erbr expre e rm x 2 e C y R. Ù x A a] x

x Ejer ë E úe e r

]

]

Ejercicios de aplicación de la Radicación 1.? Im e q e e eerm q e e e er m ye e e ermr mp p br e r q e e bee : Ù

S Ó e S e re y x e e úmer e ep e mr mp. Ć áe e r ] 10 1] 20 y e mee ep e mr mp? x

c ?

2.? Se p e e erbr e reme e mp e ] Ó

e t e e úmer e q e mp tee e exte y N e e úmer e empe . . Ć át empe b re mp? b. Ć á erá e úmer e empe ] y 10 ep e ber

b re mp? 3.? E r ex r e e e pr r ee p r

° ʹ ‫ ݁ݔ‬଴Ǥ଴

e x e e úmer e r pr e e y ݁ e e e pr p r eq ee 2.71. ºeerme e e pr r 1 2 ] y 10 r . 4.? L pr ( e pr q e e p e e beer e e emp pr ábr e j ee e

P ] Óx e x e e úmer e máq e me ´ á e pr e ábr eá e me 1 3 ] máq ? ].? ºep q e per rbj p r r máq e pr r e re me erá p r

Ù Ù ] Ć á e e re me re prmer erer q y r e rbj ? H á e re . 6.? S e ere $` re e er e 10% mp e

mee e r r e er e bee me e rm

2

´

S r e be rá e er e $1 000.000 e 20 ?

7.? S p q e e e re e p b e ú e m e

c ?

Ùx S2 ]ë ]ë Ù e x e p b e m e e pe . ºeerme pr xm mee e be e ere 1 m 7 10 y 20 m e e pe e p b .

ë.? S p q e em pr er mer eá p r Ù X e e e re y q e úmer e e. ´`r q re r erá em 3 ] y 13 e? Ù x

.? E eme e e e pr eá p r S ] ] e S e me e y x e e úmer e mee q e r rr e e q e e erm mp pr m . Ć áe erá e 4 mee ep e ber erm mp? 10.?L mr r e mp pr q e e merá ep e q e e m e p e y q e e úmer e e e be rá p r Ó

]

e N e be ( e re y e úmer e mee prr e m me e q e e me e r . .? Ć áe e e e m me e q e e me e p e ? b.? Ć áe erá e 3 mee ep e mr e p e ?

c ?

TALLER Tem: R Mrq e rep e rre: Ù

1.? L mp e expre ë e eq ee : ë

2.? L mp e expre e : 36 3 4 6

3.? L expre

12]

2

ë.?

1

24

337]

US $1 414.21 US $ 2 ë2ë.42

2 N exe

4.? L expre

x

Ù ëe eq ee :

3

].? L expre

3

2

6.?

Ù

Ù

L expre

N exe

.?

US $1 ë66.06 US $62.]

Se p e e erbr e reme e mp e

e eq ee : ë

0

ૠ ቀ ૚

e t e e úmer e q e mp tee e exte y N e e úmer e empe . E úmer e empe pr xm mete e mp etr e 10 erá e

x A ë e eq ee 447

x A

Ù x

h #Ǥ ሻ

:

xA

Ó

e S e re y x e e úmer

e ep e mr mp. L e ] ep e mr mp e pr xm mee e:

Ù ë e eq ee :

Im e q e e eerm q e e e er m ye e e ermr mp p br e r q e e bee :

S

] e eq ee :

]

4. L expre

x

ଶ

7.? L expre x x e eq ee : #‫ݔ‬ሻଶ ଶ ‫ ݔ‬ଶଷ x

x A

32

6.4x1010

1.067

x A

c ?

LOGARITMACIÓN p:// r .y .e/m

rm / p://www. e emem. m/ee/

rm .m

L

rm er r e memá e pr p e r mpr er p be mp á mr . U

rm p em err: pr e m ee e re p e e pr y re e ee. Se m

rm e be e mer x exp ee b q e y q e ee r be pr beer mer . 7 ‫ݔ ݔ‬ º e Ǚ R a > y a 1 a e e ma bae e ema e

arm . q e e ee : "e

arm e bae a e úmer x e b" amb : "e úmer b e ama

arm e úmer x repe e a bae a " . U

arm e ra a q e exp ee. `r pe a e A? ï ͳ

A? ï ͳ

A? ï ‫ݔ‬

A?

‫ݔ‬

A? ï #Ǥ ܸሻ ï ï ܸ A? ï

ï െ ï ܸ

A? ï # ሻ ! ï

A? ï # ሻ ï

c ?

Tipos de Logaritmos A? L

rm C m e: Tmb m eme re q e ee p r be e úmer 10. Se erbe

10 x

x A? L

rm N re: Tmb m Neper perb ee p r be e úmer e. Se erbe

e x x Ejer 1. Erb e e rm exp e 4

2 16

4

3 ë1

ͳ ï ʹ ʹ

െʹ ï ଷ

ͳ ͻ

Ejer 2. ºepeje x erbe e e e rm exp e ï ଶ ‫ ݔ‬

ï ͳ

ï ‫ ݔ‬െ

ͳ

ï ଶହ ‫ ݔ‬െ

ͳ ʹ

Ejer 3. Erb e e rm

rm 2] 32

]3 12]

41

1/2 3

Ejer 4. Erb expre m m ere e e

rm q e ee exp ee య ‫ݔ‬ L (x + y(4x + ] ï ଻ # ‫ ݔ ݔ‬ሻ ï ‫ݕ ݔ‬

7!

‫ݔ‬ଶ

‫ ݔ‬

Ejer ]. Ue r pr eermr ï Ǥ ï య

ͷ

ï

ͷ ʹ

ͳ ï െ ï ͷ

ͳ #ï ï ሻ ʹ ï ͳ

c ?

ͳ ï ͷ െ ï ʹ ʹ

EX`RESIONES ALGEBRAICAS CONCE`TOS BÁSICOS Álgebra Em mee pbr «á ebr! (mb mbr p r árbe Amub MMM (yebr (al ejaber pr ee p r l a del árabe y a "red " pera de r a p r la al e red e l e l xad ra ad (al ebra era el md reparad r de e . àre de la maemáa q e raa l úmer e rma abraa repreeád l e rma de lera eeralad la rela e arma. Se dera a erramea q e ala la pera e pr edme d de er ee úmer " de

b"e re la q e l ea rela a e rma má eeral e de q e el ál ebra e el d ma de la maemáa. El ál ebra a al raa edade má eerale q e l úmer y bre ea edade dee pera e (mlare a la pera e arma. Variable: (`re er Smb q e repree úmer y p e e mr eree re (x.y,z,, Constante (`re mr E úmer

Signo: Oper r Arm (+, , D o Expresión Aritmética: C mb e rbe e rm .

p r per re

Término Algebraico: Eá p r e má rbe exp ee.

]x2

3xy

ଶ

ଶ ଷ ଷ

6

Términos Algebraicos Semejantes: º má rm ebr emeje ee mm pre er ee mm p e.

c ?

Suma y Diferencia de Términos Algebraicos E ebe er emeje e m eee y e m e exp ee. Se ebe eer e e ey e . Multiplicación de Términos Algebraicos. Se ee e e ey e e m p e e emá A? S rbe e e p pr pe e e p e pr

ee e p e e be. A? S rbe e per e ej . Expresión Algebraica: º má rm ebr rm .

p r per re

`ropiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: Smbmee #b+) b + `roducto de polinomios. Smbmee # + b)# + ) + + b + b `r bem e ` m 1.? L re e be p r e e x úmer e p e máq p r e R(x = 0.04x2 + 2000x pe p r em y e p r pr e x e e e máq e C(x = 0.000002x3 ² 0.02x2 + 1000x +120 000 pe p r em (0 < x < ] 000. .? ºeerme expre q e pr p r e me e empre. b.? ºeerme me e e pr me e ]00 eme. .? ´

expre 0 < x < ] 000

2.?U bre e rq e e e eerm q e e e pr e x rq e p r e p r C(x = 0.0001x2 + 4x + 400 re. C rq e e e e pre e p re e p = 0.0004x + 10. E ere expre pr r e bre p e q e e p e e e er rq e br .

c ?

S ere: E re e p r e úmer e rq e e m p p r e pre e rq e. L eá p r e re me e . 3.?E e p r per (e re p r pre e e r pr ye p re p r rp r e y mp e e r y e pr xm mee 2.]2 + 1ë.] + ]0

( " # " ͳ

e e m e e y =0 rrep e e 14. E berme rrep ee (e re q e mpre e m e ere ee y e e 1.12 + 2.1 + 42 Erb

( " # " ͳ

expre pr ere ere e e r pr y

berme p r per e q er e . ´ á e ere ere

e e 1ë y e 2000? Erb á e rep e. `roductos Notables: E e mbre q e rebe q e m p e expre e ebrá y re p e e er er p r mpe pe err m p q e mpe er re j. S p mp y em re e m m p e b e. x x x

x

* x b * b *px *

x Ù *

*

x

px

x

x Ù x

] x

* x Ù *

x

*

x Ù *

b * b

x

bp * x b

x Ù x x

x Ù x x Ù

c ?

Ejer . Re e ejer . 1

(x + 3(x + 3

2

(x ² 1(x + 1

3

(2x ² y(x + 3y

4

(x + 22

]

(y ² 32

6

(2x + 3y2

7

(2 + y3

ë

(3x ² 2y3

División de òlinomios L e p m e e pr e emeje e úmer eer . Re pr e p m .? Se r e e e y e r re mm rbe. I y rm q e e eee 0 e e e . b.? Se e e prmer m m e e ere e prmer m m e r

be e e prmer m m e ee .? Ee prmer rm e ee e m p p r e p m r y e pr e re e pr e e mb e erbe rm ebj e emeje. S ú rm ee emeje e e e

e erbe e e r q e e rrep e e er e e y e r. .? Se e e prmer rm e re p r e prmer rm e r y e rem e e rm e ee. e.? Ee e rm e ee e m p p r e r y e pr e re e e mb e . c ?

.? C ee p m ere e repe e pr e . Y q e e be p m e r me r q e e e . Ee e e u to y per erm. Ej ucicio. Dividiu 1.?4x3 + 4x2 + ] ere 2x2 + 1 2.?4x3 ² 13x 22 ere x ² 3 3.?x3 + x ² 1 ere x + 2 4.?x4 + 3x3 ² x + 1 ere x2 + 1 5.?x3 + ]x2 ² 6 ere x2 2 Signos de Agrupación. S per re e my r e e jerrq e r e y ere e mm y r e pre ( ree [] y e { }. C

e r p pree e e rm q e e e er er e e mb e (ey e Ejercicio 1.?E expre ebr re e rbe 4x ²x2 e x$ x Ù A donde x5 & &' x Ù A

3x$%&$$x& e x' & &% A donde &' Ù A

2.?Ue j e á Exe y e e expre e er re pr re mpre ere 10 y 10.

c ?

Taller Erb expre q e repreee e reá q e e e q re mbre 2

x

4 4

x

x

x

m

4

1

2

x

m

x

y

y

y x

4

x

y y

y

4

x

x

2 1 2

3x

2

5

2

5

3x 5

c ?

7 3

FACTORIZACIÓN `r e me me e e e repree expre ebr m e pr

e má re R d Ftouizió2 1.?c 2 i ft u $x$ ² % $#x$ ² $)

xy + 'x x#y + ')

$.?Tui2 i d ab. Factorar x$+7x+1

f u

'$x'+ 9kx' ² 1$k'x$

x$®2® = $ ® (® ® = (®(®

x6(x')

x$&$+ x& 1$

donde na+b &

xë + %x% '$

'.?Tui2 i d f u $® ® donde a no es cuadrado *+*cto. $x$+11x+5

'x$ +)x (

$x$ +5x+ $

%x$ +)abc ² 15b$c$

Ej uii Facto+c* col*ta*nt* las *x+*sion*s sigui*nt*s $ax + $,

1x& + 5xz

ëa',c ² 1$a,'cd + %,%c$d$

+ ' a$ +1$a + '5 5x$ + $5x + X$ + ( x + 9 ' % $ X & ² $x & + & ù

l mas d Apliaión d l Alg

Z$ ² %9 9&$ ² 1ë& + ë

ua

á ? L re e be p r e e x p r e

e e

máq

^? 0.04x2 + 2000x re p r em y e p r pr e x e e e mq e 0.000002x' ² 0.02x2 + 1000x + 120 000

c ?

re p r em. ºeerme expre q e pr p r e me e mp. ½ ? U r r e r q e e mr re r b r e rme. E mr ee e be r q e e y e b r e m e x m. .? Repreee rámee . b.? Repreee ebrmee e áre e r y e áre e p r. .? S e áre e r e e ]000 m2 Ć á e e r y e e r ? .? S e b r e e r e e 3 m ´ á e áre e p r ? E e p r per (e re p r pre e e r pr ye p re p r rp r e y mp e e r y e pr xm mee 2.]2 + 1ë.] + ]0

(0 6

e e m e e =0 rrep e e 14. E

berme rrep ee (e re q e mpre e m e ere ee y e e 1.12 + 2.1 + 42

(0 6

º e ee e er r. º expre pr ere ere

pr y berme p r per e q er e . ´ á er ere ere e prp e 1ë y 2000? Ierpree e re

? U mp e e pr $]] p r . Erb expre pr e er reb ( re e e e x e e pr . ] ? S p q e e re R (e pe e mp p r e e x e e pr e bee me e R $15x y e C (e pe e pr r e x e e bee p r C (5x + 15 .? S e e re me e e ere expre pr

e pr y e e x e. b.? E ere e re y e e e 1 e.

c ?

V ? S p q e ee $4 000 000 pr err e ere x pe er e 10% y e re ë%. Erb expre q e repreee: .? L er . b.? L reb be p r er. .? E e er 0 ? E r r e er er mpe e P pe e er r ( e em re e bee expre V = P + Pr .? re expre b.? ´ emp ebe rr er pr pr? S e er e e ë%. .? Ć á e ebe err pr beer r r e $2 3]0 000 e ] e 3.]% 6. E e m r p r r e e pr e pre e e mer p y e úmer e e em . S p q e pr er r e e m r e bee me e G = 10 000p ² 100p2 . re expre e e e rr expre pr e úmer

e e em . b. E rr e úmer e e em e pre e $3ë. 7. S p q e e e re e pr r x e e pr e eerm p r me e C(x= 10 000 + 20x . º e =2.71 . Expree rm m r. b. E ere e e pr r 100 e 4.? E er ábr e e brr q e re j r e pr r e C#-).$-$+-+9 . C be e expere e eerm - e pr xm mee -#) $ + 1 e e pr e re prmer r e j r e pr . .? Erb expre e e br repe e emp . b.? C r e e br 1 ] y 7 r ep e pr . ´ e er? ].? S p - e e C #e re) e emr e p% e m e e eper e pr e e br e bee c ?

ͷ

െ ͷ

ͳ

െ .? Expree rm m r b.? E ere e e emr e ë% e m .? ´ e e e rm p=100? Expq e &

6.? S p q e e C e beer e rr y q e ee p p re e ee e m e eerm me e ʹ ͷ

° െ ʹ ͷ

.? Expree rm m r b.? E ere e e emr e 100 e m 7.? E pr me p r e r e p r ͷ

ͳ ͷ ° ‫ݔ‬ º e x e e úmer e r pr .? Expree rm m r b.? E ere e pr me e pr r 3000 r Algebra con Tecnología 1.? E pr me p r e mp e pr e x e e ee m :

° # # #7 ‫ݔ‬ S p q e pr me e mp e bee

ͷͷ ǡͳ‫ݔ‬ ° # $ ݁݀݅ ‫ݔ‬ ° # $ ݁݀݅

ºee j e á Exe q e e U e pr C

pr me y e 100 1000 e. ´

e er?

^?E pr me p r e mp e pr e x e e ee m :

° # # #7 ‫ݔ‬ S p q e pr me e mp e bee me e ° # $ ݁݀݅

c ?

ͷ

ͳͻ ǡʹ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ºee j e á Exe q e e U e pr C

° # $ ݁݀݅

pr me y e 100 1000 e. ´

e er?

^? S p q e e me e e r e mp rb mp p br e bee ܸ 7 ݁!݀݁%݁!# ͳ

ͳ െ # ## ሻଶ

º e e e úmer e e e q e e mp. ºee j e á Exe q e e e úmer e y me e e r e 2 mee. ´

e er?

3.? S ep me mee 100 m pe me mee e e q e er me mee mp e e % e e e r r S ( e me e e ep e mee e bee me e rm #ͳǤ

ͷሻ െ ͳ . ͳ

& ൨

Ǥ

ͷ ºee j e á Exe q e e e úmer e mee y e r r e er me mee e ] . 4.? S p q e p e prm e 10 000 re p r mee pr mprr m e er me mp e e 7.ë%. E m e p me R e bee p r me e rm

Ǥ

ͷ ൨ s ͳ

& ͳ െ #ͳǤ

ͷሻି ºee j e á Exe q e e e úmer e mee y e m e p me re . ].? S p q e e e re e pr r x e e pr e eerm p r me e C#x) 1 + $x

. ºee j e á Exe

c ?

q e

e e úmer e

e (100 200 y

eq ee e

pr . FRACCIONES ALGEBRAICAS U fracción algebraica e expre ebr r r e q e mer r y e m r p m . L per e q e e p e e rer r e ebr : A? Simplificación: `r mpr r e e e mer r y e e m r p r má re m e mb . Se bee r r eq ee Ejemplos mpr r ‫ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ʹͳ ݔ‬

ʹ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬െ െ ‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଶ

A? Suma y resta: `r mr y rer pr e erem e rm mr q e r e e úmer eer re e prmer mú e m r. ‫ݔ‬െʹ ‫ʹ ݔ‬ ‫ ݔʹ ݕ ݔ‬െ ‫ݕ‬ # െ ଶ ଶ െ ͻሻ െ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ͻ ʹ#‫ݔ‬ ͳͷ‫ ݕݔ‬ଶ ͳ ‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ # ʹ # െ ͳ A? `roducto: `r m pr r e ebr pr e erem q e r e m p mer re y e m re q e e e m pr ebem mpr e p e e. ʹ‫ ݕݔ‬ͷ ' ଷ ͷ‫ ݔ‬ଷ ‫ݕ‬

ͳʹ‫ ݔ‬െ ‫ͳ ͳʹ ݕ‬ ' ͳͷ ͳ ʹ ‫ ݔ‬െ ͷ‫ݕ‬

A? Cociente: `r r r e ebr pr e erem q e r e e e pr r e mer re y e m re q e e e m pr ebem mpr e p e e. 1.?

ଷହ య

య

ó

2.

య ି (

ó

ି

(

c ?

Racionalización de Denominadores A ee e e m r e r ee rm q e ye re r e m r p e e r re m pá p r expre q e er e ere e r e er p r r y e

rm e rr . Ejercicio R e expre 1.?

ଶି଺

2.

ହିଶ ହ(ଶ

c ?

TALLER ºE RACCIONES ALGEBRAICAS 1.?

Re expre expre má mpe ʹ‫ݔ‬ ʹ‫ ݔ‬

2.?

Ree per y mpq e ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ ͻ ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬ ó ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ ʹͳ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬െ

3.?

Smpq e r ‫ݔ‬െͳ ‫ݔ‬െͳെ ‫ݔ‬ ͳ ‫ݔ‬െͳ ͳ

4.?

S p q e e C (e re e emr e p% e m e e

‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ ʹ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݕݔ‬ଷ

eper e pr e e br e bee ͷ

& െ ͷ

ͳ

െ .? Expree rm m r

b.? E ere e e emr e ë% e m .? ´ ].?

e e e rm p=100? Expq e

R e e e m r e

‫ ݔ‬െ

‫ ݔ‬െ ͳ Actividad E ee re e Iere e rr ejer bre r e ebr repe rep e re e mer e ejer . p://www.pe. rr.e/emr/ eprme /mem/ejer /ë.p

c ?

ECUACIONES U e e rm q e ebee e expre e ebr eq ee e. L e e e m membr e e . Ejemp : A? x ð ] A? x ð A? x * x ð A?

x ð ] x * x

L rebe e mbre e rbe y r eerm e e er. L e e e e e rr e ( r (e e ( rbe ( q e e er er e . L e e er pr re e rbe e e e m e y q e q e er er pr er re e m e e e. Re er una ecuación lineal con una variable e r e r e rbe r e pr e me ebr . `r e e ebe ejr rbe e . E e

r epej re y rbe. C e epej r rbe (pr r e ee e p er per rr e er e m p rer y e er y eá m p p r y e er. Ejer 1. ºepeje ` e e : 1.? 4.?

2.? S

`

Ùb xÙa

7.? x ð

].? ] x Ù

P * ÷

ë.?

x ð ]

c ?

3.? S

P `

6.? x

] Ù

.?

ð

u

Ejer 2. Re e y erq e e : 1.? x ð 4.?

x

7.?

x ] ë.? x ë ë x *

ëx ð

10.? ‫ݔ ݔ‬ ଷ

Ù

].?

Ù

xÙ ଶ

2.? x Ù

11.?

ଶ

Ù x ]x

3.? x

ë

6.? x ð ë .? Ù 12.?

x

x x ð ]

] Ù x ð

Aplicaciones 1.? E pr me (e me e pe e pr e x e e er

r e p r

° #‫ ݔ‬ሻ ʹ ‫ݔ‬ .? ºeerme e e pr r 100 y 200 e. C mpre re ´q e er? b.? Ć á e e ebe pr r pr q e e pr me pr q e e pr me e e 2] m pe 2.? L re pr r e me pr ere y e e ͷ

# ## ሻ # ͳʹ e D#t) etá e m y t e e e #e ) .? E ere e me q e e e ebe r e ] y 6 . C mpre re q e e er b.? Á q e e e ebe r e 100 m

2.? S p q e e e beer q e ee e p p r e e mp re ଶ଴଴଴଴ െ ͳʹ

e p r C(x = ௣

Á e 3 000 re q e p reje e mp re e p e e

beer?

c ?

3.? E úmer e e e p r mp r e e e púb e E ଷ଻ହǤହିହ U e p e e m er e f#x) e x e e úmer e (଴Ǥ଴ଷ

r rr e e 1ë1. É q e pr ye eer e e p r mp r e e e púb e E U . 4.? L e & (e me e re e re e p b x (e ଶ଴଴ me e re e ú &(x x 10. Ć á e p e e err e ି଴ p b pr beer e e 10 m e e re ( f(&)10 000)

].? S e pr me (e re e pr r ee re T b e 27 p e p r ହ଴଴଴଴(଴ହ C(x =

e x e e úmer e ee re pr p r em ´ á ee re p r em e p e e pr r pr me 200 re? 6.? S p q e e r S (e re ep e ermr mp p br ଶ଴଴ S( = 400 +

௧(

E ere e úmer e q e ebe pr pr q e e m y e ]00 re 7.? E pr per e r e 30 m e e pe epre. E r & e r ep e x mee e e & 30 ² 0,1$3x .? Ć á erá e r e r er e 6 mee? b.? Ć á erá e r e r er e ] ? .? Ć á emp p q e r e epree p r mpe (&0)? .? Ć á emp ebe pr pr q e r e epree e 10 m e e pe ? ë.? L r rb r per áp T (e m e e pe ) e p e e erbr p r me e T()$0,3) + 1,ë3%, e e e úmer e q e p e e 1ë0. .? Ć á er r rb r e 1ë0? b.? Ć á erá r rb r e e $00ë? .? É q pr xm mee r rb r erá e )0 m e e pe ?

c ?

.? E me e m e e pe e r e e jer eer me rme e reme e úmer e máq . Se p e e erbr e re &.1'(x ² 5. e & me e m e e pe e r e & x e úmer e jer (e me .? Ć á e e me e r e e 1 m jer ? b.? Ć á jer e ebe eer pr q e e me e r e e e 1 m e e pe ? 1.?E p reje e empre q e re r mee empe e ere ere 1ë & 2 e p e e m er P(x2(5x1%5 p r e e x e e úmer e q e p e e 1ë. .? ´ p reje e per re r e 1ë? b.?Ć á ebe r rrr pr q e e p reje e per re p r empre e e 5%? 11.?Se p e e erbr e úmer e e e ere A me e e A'''X ² 1ë5 m e e e e X e e úmer e q e p e e 1. É q pr xm mee e rá %7%7 m e e e? 12.?E mp re e er er mpe e Ap + pr ´q r prp e p e ebe err re 5 e er r1% e m q e e mp re A mee $(? 1'.?L e er e q e pr ee e p r e e rje e r e per r be. Se p e e er pr xm e er e re I p bre e e $1. ' e er e r% p r me e e ð ]

u

E ere e er p e e 1.ë% 14.?U empre q e br Cº rb r e pq ee e ]00 Cº. S e y e re (e re p r x pq ee e ]00 Cº eá p r: c ?

C = 2x + 720

e

I re = 20x

Ć á pq ee e ]00 Cº e ebe e er pr r

p e

eq br . 1].?E e e per e e pr ee r e ere er $170 ]00. S e repree e ]76% e e mp e e prmer e ere pr xm e prmer . 16.?U e e r e m e mpr 20 m e e e $16 000 ( re S e e 16 e 20% é á ebe e er r r pr eer e 1ë%?

c ?

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de Ecuaciones: C j e má e e má rbe. S Sem e E e ee e e compatible e incompatible. S em mpbe ee e e determinado y ee e e indeterminado. Métodos para resolver un Sistema de Ecuación lineal `r re er em e e e ee e eer beer e e e e . L m eemee pr re er em e e e ee : p r em re e Crmer eerme y e rá . L ere ere m e e be e prmer e r

be e remp e q er e e e r e pr r e r e

r rbe. Conjunto Solución: S q e re q e rempr rbe e e e e e mr. `r r q e re be j e ebe err e e e e pr e me e e r re be e e e re e e y e bee e mr e e e rre. Método de Igualación C e e epejr e mb e e mm rbe e expre e be bee e e re e e y e e r e prmer rbe e remp e r be e e e e epej pr beer e r e r rbe y e er pr r re be j Ejer . Re er e ee em e e e p r e m e x+y$ 'x + y 1$

#E1) #E$)

ºepejm rbe y e e e 1 y 2 c ?

ºe (E1 y = 2 ² (E3 I m e e E3 y E4: ºepej

ºe (E1 x y = 12 ² (E4

3x

2 ² x = 12 ² 3x 3x ² x = 12 ² 2; 2x = 14;

‫ݔ‬െ

ଶ

· 0 ? Hm e r e r rbe remp e r e rbe be e e e e r e epej e (E3 (E4 E (E1

ʹ െ #െሻ

E e

ͻ

`r err e remp re be e e e r e (E1 y (E2 E (E1 x+y2

E (E2 'x + y 12

െ ͻ ʹ

#െሻ ͻ െͳʹ

ʹʹ

െʹͳ ͻ െͳʹ െͳʹ െͳʹ

Método de Sustitución C e e epejr e e e e rbe expre be e ye e r e bee e e re e e y e e r e prmer rbe e remp e r

be e e e e r e pr beer e r e r rbe y e er pr r re be j Ejer . Re er e ee em e e e p r e m e c ?

%x ² $& #.c1) % x ² $& #.c$) $ ‫ ݕʹ ݔ‬െ ʹ

Se epej rbe e #.c$):

#ʹ‫ ݕ‬െ ʹሻ െ ʹ‫ ݕ‬

Se remp e (E1:

‫ ݕ‬െ െ ʹ‫ ݕ ݕ‬െ

Re e

‫ ݕ‬

ºepej

Se remp e (E2:

(E3

‫ʹͳ ݕ‬ǣ‫ ݕ‬

ଶ ଺

) )*+

‫ ݔ‬െ ʹ#ʹሻ െʹ ‫ ݔ‬െ െʹǣ‫ ݔ‬െʹ ) )*,

Ver E (E1 %(2 ² 2(2 %

E (E2 2 ² 2(2 2

െ

ʹ െ െʹ െʹ െʹ

Método de Eliminación C e e emr q er e rbe. E e

r e q e e rbe q e e eee per rr p r me e m p y e e m e e be

bee e e re e e y e e r e prmer rbe e remp e r be e e e e r e pr beer e r e r rbe y e er pr r re be j

Ejer . Re er e ee em e e e p r e m e em $x + 'y 5 x $y ë Se m p #E$) p r $:

#E1) #E$)

െʹ#‫ ݔ‬െ ʹ‫ݕ‬ሻ െʹ# ሻ െʹ‫ ݕ ݔ‬െͳ# ሻ

S mm (E1 y (E3; c ?

ºepej :

‫ ݕ‬

ିଶ ଻

- െ૜

Remp e (E2:

$x + '& 5 $x + 4& 16 7& $1

‫ ݔ‬െ ʹ#െሻ ‫ ݔ ݔ‬

െ ,

Ver

. l #.1) $#$) + '#') 5

. l #.$) $ $#') ë

% ² 9 5

$+(ë

5 5

ëë

.jer : Re l er em e e $x + y 0 x y '

$x +'y 1 x y$

'x + $y $ $x + 5 y (

%x ² y ' $x + 'y 19

òr Determinante Matriz C j e r e y m. U mr e m y m e e mr e mx úmer e e m e mr. U mr e y m e er e úmer e e e m e e mr r e r e . Determinante de una matriz de orden 2 º mr

A

a a

a a m

E eerme e A e úmer q e e e e#A) |A| y e bee e#A) |A| 1,1.$,$ $,1.$,1 Regla de Cramer º e em e e e x + ,& x + e& f c ?

a , d * & f R * mp*

൨ ቂ ݀ ݁ ‫ ݕ‬ ቃ ቈቂ ݁ ݀

& . ‫ݔ‬ ቂ ݀ &

& .ቃ

ቃ቉ ݁ Ejer . Re er e ee em e e e p r re e Crmer 'x + $& ) $x '& % Ap re e Crmer ‫ݔ‬

‫ݕ‬

ቂ

ି଻ ଶ ቃ ିଷ ଷ ଶ ቂ ቃ ଶ ିଷ

ଷ ଶ ଷ ቂ ଶ

ቂ

ି଻ ቃ ଶ ቃ ିଷ

#ି଻ሻ#ିଷሻି#ሻ#ଶሻ #ଷሻ#ିଷሻି#ଶሻ#ଶሻ

#ଷሻ#ିଷሻି#ଶሻ#ଶሻ #ଷሻ#ሻି#ି଻ሻ#ଶሻ

ଶି

ିି

ଶ(ଶ ିି

ଷ

ିଷ

ଶ଺

ିଷ

െͳ , e e x1

െʹ , e e & $

Ver

E #E1) '#1) + $#$) )

E #E$) $#1) ² '#$) %

' ² % )

$ + ( %

) )

%%

Ejer . Re e em e e e 1.? $.? '.? %.? 5.? (.? ).? ë.? 9.?

%x ² '& 5 ;'x $& % 'x + %& 1 ; $x ² '& 1$ 5x ² $& % ; $x ² '& 5 $x + '& 1$ ; 'x + $& 1' 'x + %& 1; $x ² '& 1$ 5x ² $& %; $x '& 5 %x + '& 5 ; 'x ² $& % x + $& ' ; 'x + (& ( .$x ² .&' %; $,'x ² & 1.$

c ?

] 1.? x Ù A

Ùë x ð A

Ejer . Re e SEL x+ y + = 2 x²y+=0 x²y²=4

2x + y = 1 3x ² 2y + = 3 4x + 3y + 2 = 11

x + 1 x+y=0 y + = 3

x + 2y ² = 3 3x ² y + 2 = =ë 2x + 3y + = 1

x +y+=6 2x + y ² = 1 x ² 2y + = 0

x ² 2y + 2 = 3 x ² 2 = 4 y²=1

`ROBLEMAS DE A`LICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ` pr re er pr bem e p ? Leer e pr bem ee er

b? ºe rbe q e prp e e pr bem ? èe e e ? Re e e em e e e e? Verq e re 1.? U m er b q e e rm ee mr e be ( m y mpe (1 m. S e er 6] mr e q e e ee 10] m er r e úmer e mr e e p . 2.? L m e pe e e 3 m e e pe y m e eree pr e $1ë0 000 ´ áe pe e be q e e prmer e pre ]% y e e ë%? 3.? E e 10 er e y e e $]1 200 y 17 e y 1] e $ë31 00. Hr e pre e er e y e . 4.? U ee e p e jer e b q e e mbe eq e $]0 000 e bee e $]0 000 y $20 000 e jer e e 1 bee ´ á bee e e m ere ? ].? E ere e e m ´rp e e er p e $2] 000 y m $1ë 000 e e e e pre er e $441 000. E áb e m e p y m $20 000 y e er e $420 000 ´ á p e y á m e e er ?

c ?

6.? U m er ee r j p r e prmer m y r eree p r m . S m e 7 m e $2000 y e 4 e $1 2ë0 e er e e prmer m y e m

. 7.? U empre e er e epe e preprr y e er e. L empre br r j má p r . S p r e er 2] e $3 000 000 y p r e er 40 e $4 200 000 ´ á e r j y e p r ? ë.? E q er e m ee j em rer q e e br p r mer re rr . U je e em e ë00 mer e $440 000 y e 1200 Km e $]60 000. E ere r em y r p r mer re rr . .? U pr m r e er ee re r $3ë0 m e e pe e e e 16 000 b e . S e pr m r br $20 000 p r b e y $30 000 p r r ´ á b e e p ebe e er? 10.?` r r e er e ere mp br r e $2 000 r/ y $2 ]00 r/ e. per p $64 000 p r 2ë r e e er e rr e úmer e r r y r e er . 11.?U my r e r e e e me e e y me r. C br US$ 2ë p r br e e y US$ ]3 p r br e me r. S me e e er e US$ 33 p r br ´ á br e e y á e me r e ebe r pr er 100 br e me? 12.?U m jer ee $23] 000 er e pr pe e e re. U ee r e 10% bre er y r e 12%. S re e e e e $2] 000 É q ee my r er y e á e e m ? 13.?E eer "C mb " y e e: e $]400 e

rm

y r e $7000 e

rm . Se ee beer me e 200

rm e pr e er $6000 e

rm . Ć á

rm eberá p ere e e e ? 14.?E úmer e pjer m e er e e b e rb e e 1000. S e pje pr e US $0.2] y e e US $0.7] y e re be e br e pje e e US $6]0. Ć á y r e b e m?

c ?

Ecuaciones Cuadráticas L e e rm x$+ ,x + , e , , & úmer ree & /, e m e rá e e r e r,e x. S , & eree e er , e e e m mpe & , &/ e er e e mpe. Ejer 1. º e rá eq e re e eee , , & . E úmer º ,$ %, e e m discriminante & e p e e preer ee e: 1.?S D ,$ %ac > a ec ac ee c e race. $.?S D ,$ %ac a ec ac ee a c ra. 3.?S D ,$ %ac < a ec ac ee c e reae. Solución de ecuaciones cuadráticas. `r re er e rá

p e e

re q er e

ee m : Método 1. Solución por factorización C m e rá e eq ee e e e membr e p m e e r y e r e er ; e e e p m e e r p e rre e pr e e : S x$ + bx + #x+r1).#x+r$) e e e x$ + bx + e eq ee : #x+r1).#x+r$) #1) L e #1) p e e re ere pr pe e em e úmer ree S X.Y e e X Y: Método 2. Solución completando de cuadrados. Ee m e e má q e exe pr e rr e e e rá. c ?

Se p e q e e : x$ + ,x + è e eq ee e rá: x$ + px q (1 ௣ ଶ

S m ቀ e m, mem,r e e (1 e ,ee: ଶ ଶ ଶ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬ቀ / ቀ ʹ ʹ r

ଶ / ଶ ቀ‫ ݔ‬ ʹ

Exrye r r e m, mem,r e úm ( ee e %q + p$ e ,ee: ௣

‫ ݔ‬01 ଶ

2(௣

௣

݀ !݀݁‫ ݔ‬െ 0 1 ଶ

2(௣

($

L rm ($ pr p r e ( pr e e rá (1 q e e eq ee e : x$ + ,x + .

Método 3 solución por la formula general U e m mpe r em ere q e e e rá: x$ + ,x + / ee p r:

(1). Solución: L e : x$ + ,x + / e eq ee e :

ଶ

S m ቀ e mb membr e er r e bee: ଶ

O eq eemee

c ?

Exrye r r e mb membr e úm ( b24 0 e

bee: ‫ ݔ‬ ºe e

‫ݔ‬െ

ଶ

ଶ െ & 3 0 ʹ ଶ

01

ି

ି0 ି ଶ

2)

L rm (2 e e m : rm eer pr re er e rá x2+,x+; /. Ejer : Re er e ee e e rá x2 ² ]x + 6 x2 + 12 4] 3x2 ² 2 4x 2x2 + ]x + 2

x2 + x ² 2 x2 ² 1ëx ë] 2x2 + 11x + ] x2 + 3x ² 1

x2 ² 64 2x2 + ]x + 1 x2 + 2x ² 1 3x2 + 7x ² 6

1.? S re pr r e R#x) '(x ² .1x$ e x e e úmer e e e . E ere e úmer e e q e e ebe e er pr beer e $'] $.? L p r e e x e pr e pr eá p r #x) 1ëx + .1X$$. Obe mm q e ebe pr r pr eer pr . '.? L er pr pr eá p r e #p) 'p$ ² %$ e #p) e re y p e pre Á q pre er ú pr . %.? L re eme e pe e ere e eerm me e R#)

ହ଴௧

௧ (ଷ଺

con to, on e R#t) e en mone e re & t en emn. Ć ánto

mee eben pr pr q e o n reo emne en e 1 mn e re #R#t)1)

c ?

].? E er ábr e e brr - e re j r e pr r e ° #/ ሻ Ǥʹ/ ଶ െ / ͻ

. Ć á e e p e e brr 3000 re? 6.? C be e expere e eerm q e pr xm mee /##ሻ # ଶ ͳ

# e e pr e re prmer r e j r e pr . Ć á e e pr e e prmer r e j r e pr . 7.? L re e be p r e e x úmer e p e máq p r e R(x = 0.04x2 + 2000x pe p r em. Apr xm mee á p e ee q e e er pr

beer re e m e pe . ë.? L be (e m e e pe p r brr y e er x e e er pr eá p r `(x=60x ² x2 Ć á e e ee q e pr r y e er pr beer e 00 m e e pe ?

c ?

DESIGUALDADES U e expre e rm re per re e re: ǡ ൐ǡ "ǡ ൒ Ley de la tricotomía: `r pr e úmer ree y , e er er pr p e: < , ó > , ó ,

y mee

e

Exe e e e e: , y e. · Desigualdad a soluta e q e q e e á pr q er r q e e r, y r,e e e e. ` r ejemp : x2 +1 > x · Desigualdad co2dicio2al e q e q e ó e er pr er re e r,e. ` r ejemp : 4x 12 > 0 q e mee e pr x > 3. `ropiedades de las desigualdades S ( , ) Æ R P+oi*dad Transitiva

D*sc+ición Si a > , & , > c, *ntonc*s a > c Si a < , & , < c, *ntonc*s a < c Si a > , *ntonc*s a + c > , + Suma c Si a>, & c>d *ntonc*s a+c>,+d Si a0, & c0d *ntonc*s a+c0,+d Multiplicación por Si a 1 , & c 1 *ntonc*s ac un número 1 ,c positivo Multiplicación por Si a 1 , & c 0 *ntonc*s ac un número 0 ,c negativo División por un Si a 1 , & c 1 *ntonc*s ൐ número positivo División

por

."*lo Coo 5 > $ & $ > 1 *ntonc*s 5 > 1 Coo '05 & 509 *ntonc*s '09

Coo ) > $ *ntonc*s ) + ' > $ + ', 1 > 5 Coo (1$ & )1' *ntonc*s (+)1$+' Coo 50) & $0( *ntonc*s 5+$0)+(

Coo ë1% *ntonc*s ë $1% $, 1(1ë

Coo 915 *ntonc*s 9 #$)05 #$), 1ë01

଺

Coo ë1( *ntonc*s ൐ , % 1 '

un Gi a 1 , & c 0 *ntonc*s ×oo ë1% *ntonc*s

c ?

ଶ

ିଶ

ଶ

൐

ିଶ

, % 0$

número negativo

Gi a 0 , & c 0 *ntonc*s ൐

×oo (09 *ntonc*s

଺

ିଷ

൐

ିଷ

, $1'

a1 si & sola*nt* si, ²a0 a1 si & sola*nt* si, Cambio de signo

൐

Gi a1, *ntonc*s ²a 0 , Gi a / *ntonc*s a$ 1

×oo 51' *ntonc*s 50'

c ?

CONJUNTO p://www. r.e/r re/ 4/ 4repr]0e.p Conceptos Básicos Conjunto I mee j e e e eeme be e Notación de Conjunto L mbre e j e e er myú y eeme er mú . L j e e p r exe (Se e e eeme y p r mpre (Se e má pr pe e e j A = { e }; p r exe A= {x/x e er }; p r mpre Tipos de Conjuntos: L j p e e er: A? : Se p e e r eeme . A? I : N e p e e r eeme . A? V : N ee eeme . A? U er: C j e reere Relación entre Conjuntos: º j p e e er: A? S b j

A? S b j pr p

A? I e A? ºj y : N ee eeme e m e Operación entre Conjuntos A? Unión: A U B = {x/x Ǚ A x Ǚ B} c ?

A? Intersección: A B = {x/x Ǚ A ^ x Ǚ B} A? Diferencia: A ² B = {x/x Ǚ A ^ x ô B}

A? Complemento: A = {x/x Ǚ U ^ x ô A}

A? Diferencia Simétrica: A ¨ B = {x/x Ǚ (A U B ^ x ô (A B} Ejer . Se U = {0 1 2 3 4 ] 6 7 ë } A = {0 1 2 3 4 ]} B = {6 7 ë } C= {2 4 6 ë 10} ºeermr 1.? A U C

6. A B

2.?C B

7. (A B

3.?B ² C

ë. B U C

4.?A

. (B U C

5.? C ¨ A

10. (C B INTERVALOS

S b j e úmer ree y e e: A? Abierto (a , ,) {x "sJ a 0 x 0,}

A? Cerrado [a , ,2 {x "sJ a x ,}

A? Semi-abierto semi-cerrado (a , ,2 {x "sJ a 0 x ,} [a , ,) {x "sJ a x 0 ,}

A? Intervalos Infinitos:

? (a,) {x "sJ x 1 a} ? [a,) {x "sJ x a}

? (, a) {x "sJ x 0 a}

? (, a2 {x "sJ x a}

c ?

TALLER ºE INTERVALOS 1.? Se A=(37] B=[40] y C=[03 repreer rámee y r .? B C b.? B .? A

C

.? A ² B e.? A ¨ B .? A B

.? (A

B

2.? `r rm erb er q e erq e: .? S

(ë2]

b.? S ere [13 .? S ere (3 3 .? S ere e y

ree

c ?

Inecuaciones Lineales: U e e e e q e pree . S e r e e e e e q e e e e. Re er e e e rr re e pr e e mpe e . L e e e p r eer er e er e úmer ree. E m pr re er e e mr pr re er e e per

ee preee pr pe e e e e. E eee rr e e rá. S ye ú exrem e er e rá repreem exrem r e e r; e mb ye e exrem repreem me e r b

(rpree. Ejer : Re er e j e p 1?X + 3 > 7 X + 3 ² 3 > 7 ² 3: ` r I X + 0 > 7 ² 3: I er A

X > 7 3: `r pe m e m X > 4 Oper

E e er e x Ǚ (4 3: re ree my re q e 4. Grámee 0?

1

2

3

4

]

6

2? 2x ² 4 < 6 2x ² 4 + 4 < 6 + 4: ` r 2x + 0 < 6 + 4: I er A

2x < 6 + 4: `r pe M e m 2x < 10: Oper

2x/2 < 10/2 : ` r 1x < 10/2: I er M p

x < 10/2: `r pe M e m p c ?

x < ]: Oper

E e er e x Ǚ (3 ]: re ree me re q e ]. Grámee

1?

2

3

4

]

6

3? 3x + 1 > ] 4? 2x ² 3 < 3x + 1 ]? x + 2 > x + 1 3 6? x 3 < 1 2? 2 7? 3(x + 1 > 2x + 2

c ?

c ?

1.? Er r epem ºe em ºe ep L memá 2.? L `r p (C e L ~? Ne ~? ºy ? I ? Ex ~? C j ~? C ? Vr e e C ~? B 3.? Ierpre Or I má 4.? º rm e Ver e pr p e C mp e ].? Tb e Ver .? T

b.? C r .? I eerm . 6.? Eq e L : A ebr e pr p e 7.? Iere L Re e Iere 7.1. M ` e ` e `` 7.2. º be Ne (ºN 7.3. M T e T e (TT 7.4.?M T e ` e (T` 7.].?Re e Smp (S 7.6.?Re e A j (A 7.7.?Re e A ( LA c ?

7.ë.?Re e S

m Hp e (SH 7..?Re e S

m ºy (Sº 7.10.?Re e Smp ºy (º 7.11.?Or re e Iere ë.? C A? A? A?

e E C r U er C r Exe Ne e C re

.? C e `r p e Ce r E C r e Op 10.? Iere Ime : C er Ob er Y C rp 11.? C j

A? N e C j

A? Tp e C j

A? Re ere C j A? º rm e Ve E er A? Oper ere C j A? Númer e eeme e j

c ?

LÓGICA Lógica. (ºe . ogc, y ee e gr. ǇǊǁǅǆM. 1. . Ce q e exp e eye m y rm e me e . rm ~ memá. 1. . L q e per e je mb r y e br e e . T m e: p://b .re.e/ reI/Sr C ?TIÒBUS=3&LEMA=

L e e rm y rm e filosofía q e e prp e em r e ere á . L pbr er e re ǇǊǁǅǆƾ (

ke q e " e r ee r me " q e e ee e ǇǓǁǊǌ (

"pbr peme e r me r prp ". T m e: p://e.wkpe . r /wk/L%C3%B3 L lógica matemática e p q e r e m e r me . E e eeme pr p r re y pr eermr e r me . E r me e empe e memá pr em rr e rem; e e e mp pr err rre pr

rm; e e y re pr r e e experme ; y e e e y e pr re er m e pr bem. Cermee e e rm e e r me pr rer q er . T m e: p://www.me

. m/M/`r p e U `r p e expre

r er e mpe q e

epe e e per e ep e emp . T pr p ee r e er q e p e e er er er per mb e e e ey e m ey e erer ex . L pr p e e eeme me e memá. U pr p e expre eermee er mú p y r. A ejemp e pr p e : A? p: L err e p. A? q: í17 + 1] = 2 A? r: x > y c ?

A? A? A? A? A?

: E a r erá e prxm mpe e C mb. : B e w: H y e e : He C r x: S Mr e má b q e Ve pr

L pr p e e e mpe y mp e. L pr p e mpe eá rm p r r y mp e p r má e r y e p r e ber: e y j y b . La Negación S pr p mpe e e ep e expre e er e e erp e e erb e rm pr p mp e m e e pr p prp. Se mb ¬ p. S p e pr p mpe e e p e repree ¬ p y e ee p. Tb e er Urem úmer 1 y 0 pr r q e pr p e er er repe mee p 1 0

¬p 0 1

Nee q e pr p e er er e e y e er Ejer . Ne e e ee pr p e a: La matemática es la madre de todas las ciencias B: Colombia tiene la mejor democracia en América Latina c. El hombre no es el único animal racional d. No es cierto que todas las aves vuelan e. No hay nadie en casa

c ?

La Disyunción Inclusiva e pr p mp e rm p r má pr p e mpe. Se repree e mb e ee . S p y q pr p e mpe y e p y q e repree p q e ee p q. Tb e er p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 1 1 0

Nee q e y mee e pr p e Ejer : Erb pr p mp e e q e r e er : .?

r: Sm B r er ee

: Sm B r er mb . E e: r d b.?

p: L err e re q: L err e E e: p qd .?

p: L be e mmer

: L be ee brq E e: p d .?

p: E eme b e e e e q e err e er : E eme b e e e e úmer e

c ?

be e err E e: p d e.?

p: L e e rer e e mbre : L e e p r e e e mbre E e: p d L Disyunción Exclusiva E epe e y y mb e q e e ere e er r e q e e er er y mee e pr p e e er er.

La Conjunción e pr p mp e rm p r má pr p e mpe. Se repree e mb Ʈ e ee y. S p y q pr p e mpe j e p y q e repree p Ʈ q e ee p y q. Tb e er p 1 1 0 0

1 0 1 0

pƮq 1 0 0 0

Nee q e j e er er pr p e er er. Ejer : Erb pr p mp e e q e r e er : .?

r: Sm B r er ee

: Sm B r er ber e e . E e: r Ʈ d

c ?

b.?

p: L err e re q: L err e e p E e: p Ʈ qd .?

p: L be ee brq : L be e mmer

E e: p Ʈ d .?

p: L Serr e e S Mr pereee Cer : L err e e S Mr e e p r e eme b E e: p Ʈ d e.?

p: L e e rer e e mbre : L e e p r e e e mbre E e: p Ʈ d

La Condicional e pr p mp e rm p r má pr p e mpe. Se repree e mb e ee S..e e. S p y q pr p e mpe e e p y q e repree p q e ee S p e e q. Tb e er

p 1 1 0 0

1 0 1 0

pq 1 0 1 1

c ?

Nee e e prmer pr p e er er y e e . Ejer : Erb pr p mp e e q e r e er : .?

r: T pee pr : L be e pe E e: r d b.

p: C mb e e erer p má r e q: E C mb y pr bem e m e E e: p qd .

p: C mb rá be mre e EEUU : Vee e r mpe re e C mb

.

E e: p d p: L prmre e e e err : N y ep e C mb

e.

E e: p d p: L e e mej r e e e e mbre : E mbre pr e e e E e: p d

c ?

.

p: E reme e be e er : E reme e re er exrjer E e: p d Tipos de Condicionales º pq e m re e e e e m: A? C rr: ¬ p ¬ q A? Repr : q p A? C rrepr : ¬q ¬p

Ejer : Erb rr repr y rrepr e pr p 1.? S e e mr er x e e ebe r reá 2.? S pe e C mb b r r p r ee e e pe m 3.? S e U M e j e be e e e e erá empre

4.? S re e pr br º e e p rq e exp e ree

La Bi-condicional e pr p mp e rm p r má pr p e mpe. Se repree e mb e ee S .. S . S p y q pr p e mpe b e p y q e repree p q e ee p q. Tb e er

p 1 1 0 0

1 0 1 0

p q 1 0 0 1

c ?

Nótese b e er er re e er e pr p e e. Ejer : Erb pr p mp e e q e r e er .?

r: E C mb y p : E C mb bere e E e: r d b.?

p: x + ] = 7 q: x = 2 E e: p qd .?

p: L e ee p ee r p : L e ee p ee r

.?

E e: p d p: L prmre e e e err : L prmre ee r e ree r e E e: p d

e.?

p: E U M e erá prmer e r : E M e e e

E e: p d

c ?

.?

p: H e e p má p bre e m

: H e e p my r p b e exrjer E e: p d

Equivalencias de los Conectores Conector Ne C j ºy C

B

Lenguaje Común N ; N e er q e; e e q e Y: èr ; S embr ; A emá; A q e; A e; N be N O; ´S e e; ´` r ´ ´

q e; émpre q e; ´ p rq e; é q e ´S y

Interpretación oracional Idiomática Se e m erpre má q er e y er r pr p : Ejer . Ierpree r mee e eq e pr p e mpe y repreee e rm mb ? S e e rep be e mpr m y m er er e e e e pr e e e er mej r e e m

b rá ere pr eer ? S e mbre er r e e r yer rm e pr m

c ?

? E q e r r j y e e ? S p e e b e e e e p er e err ? S R me Gr y a V e mr e e b e j re e b e rmr e r p ? S C mb e e p q e má bee Vee e y Vee e e e prp mpr r e pr mb e e ere e pre ee ee e pe ? L re ee erá mr j re mb

mr r bre e br e e p e mr ? S e eme b e pr e m mbe e rm e árb e e e m mbe y rm e rb e ? L er e mej r e mpeme p e reme

rb r y y rr p mr

Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas L rm e er perme er e r e er e e

mp e

Ejer . Hr e r e pr p : (1 b(0 (0 y (1 A? A? A? A? A?

( Ʈ b (b ¬(b ¬b ¬ [( Ʈ ] [( Ʈ ( ] ( Ʈ ¬

Tablas de Verdad U b e er e rm q e perme eermr rmee pr p mp e e er er r . c ?

S re e er e pr p mp e er er e e m

p r ejemp [p © (p q] r p r ejemp [(p Ʈ q Ʈ ¬q] e rr e m eerm e p r ejemp [(p q ©¬p]. E pr e e r e b e er p r eermr e úmer e mb e p be e re e er e pr p e mpe yee. S pr p e pr p e mpe eree p e

q e e e ee re p be ( er er brá 2 mb e p be e re. Ejemp . C r r b e er e pr p (p © q Ʈ ¬r Ejer . C r r b e er e pr p mp e e q e p

A? A? A? A? A? A? A? A? A? A?

¬( p Ʈ q (p q p p (p Ʈ ¬q ¬ (p q (¬p Ʈ ¬ q ¬[ (p Ʈ ¬ p q] p (p q (p Ʈ q Ʈ¬(p q [(p q Ʈ q] p (p Ʈ¬ q r (p © ¬q À (¬p À r Ʈ (¬p À ¬q À r

Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones Se e q e pr p e `(p q y (p q mee eq ee ee b e er e e `(p q d (p q .

` r ejemp . C erem b e er e pr p e (p Ʈ q y ¬p q

c ?

` 1 1 0 0

1 0 1 0

pƮq 1 0 0 0

(p Ʈ q 0 1 1 1

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

q 0 1 0 1

¬p 0 0 1 1

¬p q 0 1 1 1

C m re e e b e er e pr p e eq ee e er (p Ʈ qd ( ¬p q Ejer . Verq e eq e e ee pr p A? (p q d # p Ʈ q A? pq d (p q (p Ʈ q

L pr p e e m eq e eye e m e má mp re e

y r Leyes del Algebra de `roposiciones Leye

`r p e p v p dp

I emp e

÷ Ʈ ÷ dp

(p q r d p (q r

(p Ʈ q Ʈ r d p Ʈ (q Ʈ r

ºrb p (q Ʈ r d (p q Ʈ(p r

p Ʈ (q r d (p Ʈ q (p Ʈ r

A

(p q d (q p

C m Leye e e Leye e mpeme Leye e M r Imp y y Ne e mp

` dp p

pd

(p Ʈ q d (q Ʈ p

`Ʈdp

` d

`Ʈd

pd

d

d

pƮ

pdp (p q d

p Ʈ

/

(p Ʈ q d

p

/

p © q d ¬p À q ¬(p © q d p ^ ¬q

c ?

Ter Nº 1 1.? See ee e pr p e er q e e e pr p j q e rep e y e q e r e er Nº

E

S

N

a /V r e Ver

1

eb

e web r e re e e

2

eb

e mej r errme e m r

3 eb

e berr e pr . 4 eb

e re pr e eb

e rm pr j ee

]

2.? Se p: eb

e má e 400 m e e r q: eb

e errme pr mprr rm r: eb

reb p e r p r e q e eá ee ere me re : eb

reb p e r p r p e pr . : eb

ee rer e pr . Erb r p r pr p `r p

Or

î (î p pƮîq r î©î î

(r Ʈ

3.? º pr p S eb

e web r e re e e e e e re pr e Erb:

c ?

C rr Repr C r repr 4.? ºe pr p î p Ʈ ( q r . He e r e er p (1 q(0 y r(0. b. C r y b e er . ].? ºem ere q e pr p e (p

q y [(p © q Ʈ (q © p] eq ee

c ?

INFERENCIA U e bje e e eermr m pr p e p e e er re e r e er e e re p rmee rm y rebe e mbre e e . ` r me e e e m er eerm pr p m re e má pr p e m prem. E pr e p r e e ebee q e e e e prem rebe e mbre e pr eb. U pr eb e err e er

y prr e er re e m re e ere q e eer ebeer e e prp .. Lmrem rre ere q e re ebe . U ere e e beer pr p er er ( prr e pr p er er (prem q e pm re e ere.

Reglas de Inferencia 1.? Modus ònendo ònens (`` Ejemp 1 `rem 1: S em e rb me e e merá emper r bre err `rem 2: L em e rb me C : A merá emper r bre err `rem 1: p © q

Eq emámee: p © q

`rem 2: p

p

C : q

..q

Ejemp 2 p p ©¬ q .. q

p1 p2

p1 p2

c ?

Ejemp 3 (¬ p q © ( Ʈ r

(¬ p q

p1

p2

.. Ʈ r

2.? Doble Negación (ºN `rem 1: ¬ (¬ p Eq emámee: ¬ (¬ p C : p

`1

..p

L re e be e e p e e exprer p `1 ¬ (¬ p `rem:

L be e m mmer

C : N e er q e be e m mmer

3.? Modus Tollendo Tollens (TT `rem 1: p©q Eq emámee:

p©q

`rem 2: ¬ q

¬q

C : ¬ p

.. ¬ p

`1 `2

`rem 1: S My pre e e r e e p rq e e r er . `rem 2: L my e r er C : L my pre e e r

4.? Modus Tollendo ònens (T` `rem 1: p q Eq emámee: `rem 2:

¬p

C : q

p q ¬p

`1 `2

..q

c ?

p q ¬q .. p

`1 `2

`rem 1: L r e e e e á e p eb

`rem 2: L r e e e e á C : L r e e e p eb

].? Regla de Simplificación (S Eq emámee pƮq

`1

pƮq

.. p

`1

..q

Ejemp 1: `rem: L e árb e b ee e y me emper r e e

C 1: L e árb e b ee e C 2: L e árb e me emper r e e

Ejemp 2 `rem: E reme e be e er e reme er exrjer C 1: E reme e be e er C 2: E reme e reme er exrjer

6.? Regla de Adjunción (A Eq emámee p

`1

q

`2

.. p q

p

`1

q

`2

..q p

c ?

Ejemp 1 `rem1: E ber mb e em rá

`rem2: E ber mb e C 1 E ber mb e em rá e C 2 E ber mb e e em rá

Ejemp 2 `rem1: Aber Ee er

`rem2: Aber Ee er

C 1 Aber Ee er er

C 2 Aber Ee er

7.? Regla de Adición (LA Eq emámee p

`1

..p q Ejemp 1 `rem: L e m pre e e r

C : L e m pre e e r e preee Ejemp 2 E p C mb e r

C : E p C mb e r x

ë.? Regla del Silogismo Hipotético (SH

Eq emámee p © q `1 q©r `2 .. p © r Ejemp 1

c ?

`rem1: S e pr bem e be e e e r pr bem e pere `rem2: S e pr bem e pere e e p e m rr e r C : S e pr bem e be e e p e m rr e r Ejemp 2: `rem1: S e U M e ee b e j re e e j e be e b `rem2: S U M e j e be e b e e brá e e r C : S e U M e ee b e j re e e brá e e r .? Regla del Silogismo Disyuntivo (Sº Eq emámee p©r

`1

q©

`2

p q

`3

.. r Ejemp 1: `rem1: S me e pre e e e be e pre e rp re rb

`rem2: S e reme e e pm e e rem b mb be `rem3: A me e pre e e reme e e pm C : S be e pre e rp re rb rem b mb be Ejemp 2 `rem1: S e reme e eempe e e empre eá q ebr

`rem2: S e p e mp e e e e m eree `rem3: Se reme e eempe e p e mp e C : L empre eá q ebr e m eree

c ?

10.?Regla de la Simplificación Disyuntiva Eq emámee p p .. p Ejemp 1 `rem1: Apr eb e r pr eb e r

C : Apr eb e r

Ejemp 2: `rem: Se per e per C : Se per 11.? Conmutativas (LC p q `1 pƮq .. q p

`1

.. q Ʈ p

12.Leyes de Morgan (LM ¬(p q `1 ¬p Ʈ ¬q

..¬p Ʈ ¬q ¬(p Ʈ q

`1

..¬(p q `1

¬p ¬q

..¬p ¬q

`1

..¬(p Ʈ q

13.?Reglas de las `roposiciones Bicondicionales (p q Ʈ (q © p `1 (p q `1

..(p q Ʈ (q © p

..(p q

c ?

Ejercicios Erb q e e p e e e r e e ee j e prem y repree mbmee: 1.? 2.?

S y ye e p e e empre ebe errr S e Vee e ú erre empre pr y p e e e Cá e bj e p p r erá reee

H y e e úm e me. S y e úm e me e e brá b

e e m > b y > 0. S > b y > 0 e e x > b x

3.? 4.?

Ejercicio Erb e e ee j e prem y eerme re e ere p © ¬q ¬p

`1 `2

¬p © ¬q ¬q © r

p © ¬r ¬q © p ¬q

`1 `2 `3

(p Ʈ ¬q r ¬p q

¬p ¬q

`1 `2

`1 `2 `1 `2

(p © ¬q Ʈ (¬q ©p `1

¬(¬p Ʈ ¬q

`1

p © (r Ʈ q © ¬ p q

`1 `2 `3

(p ¬q © r ¬(¬p q

`1 `2

Ejercicio Apq e eye e M r pr ebeer ¬(p ¬q ¬[(p ¬qƮ r] ¬(¬p Ʈ ¬q p Ʈ ¬q

¬p ¬q

¬[(p (¬q Ʈ r

c ?

Ejercicio Verq e e rre .? S è r m e e Mr re re. è r m. ` r è r m b.? E q e: e y rbj . ` r e rbj . .? S e múp e b y b e múp e e e e múp e . e múp

e . ` r y q e e múp e b b e múp e

¬p © ¬q p

`1 `2

.. q

p©r ¬q © p ¬q .. r Ʈ

p © ¬q ¬q © r

¬(¬p q

`1 `2

`1

.. p Ʈ ¬q

.. r ©p

`1 `2 `3

(¬p Ʈ q r ` ¬q

`1 `2

.. r

(¬p Ʈ q © r ¬r `2

`1

.. p ¬q

Taller Erb q e e p e e e r e e ee j e prem y repree mbmee e q e re ere q e p: 1.? U mer e b e ee e me y q ere pr e 2.? S S Mr ee e me r e e eempe e e my r pre e rbj re rme. L my r pre e rbj re e Mr rme. 3.? S e e eá prepr re e re e e re rá e mee. L e e e prepr pr re e re 4.? S a r e mpe e e e

b e eq p . S j r e

b e eq p e e

repreerá C mb

c ?

].? L e e rme re epree. L e e rme epree. 6.? S S e pre ee e e Urbe e perpeú e e p er. S M e pre ee e brá rr p e C mb. S M erá pre ee. 7.? N e er q e e e rrep be y repe ee ë.? N e er q e e púb e b e. .? L r e mej re j re e b per má m e. 10.? S e e re r

pr er e e e

rm m. Se e re r pr er e

c ?

CUANTIFICACIÓN DE ENUNCIADOS Aree er q e e (mpe ee rm ´S e ` e S e e je y ` e pre q e e rb ye S. E pre ` empre e ep

e br per e je S p e e er e re m ep e br. S rre prmer eem e

r mer q e e e e er e ep eer. E A Aer re e er e ep e eere q e e e e e ere pr re e e . E e e r q e rm e e y e er pr r

e . Lm

A? er pereeer ; A? pr r pereeer ; A? e pereeer pereeer r pr r

er

Cuantificador Universal: e repree e mb 3 q e e ee ´para todo. C ee expre 4 m ´ ´pr y rb ye e pre

ermee je e er rm q e e ep pre e pbe q e e p e je . Smbmee 3, Æ 4#,ሻ L expre rm e ´ S e ` y expre e ´ ú S e ` Cuantificador Existencial: Se mb e ee éxiste. C ee expre 4 m ´ ú ý ´pr ú y rb ye e pre pr rmee je e er e er rm q e e ep q e e ep e pre e pbe q e mb e p e ep je . Smbmee , Æ 4#,ሻ L expre rm e Á ú S e ` expre e ´ ú S e ` Negación de los Cuantificadores Smbmee c ?

#3‫ ݔ‬Æ 5#‫ݔ‬ሻሻ d #‫ ݔ‬Æ 5#‫ݔ‬ሻሻ #‫ ݔ‬Æ 5#‫ݔ‬ሻሻ d #3‫ ݔ‬Æ 5#‫ݔ‬ሻሻ

Ejer . I eq e e r q e p y e e e ee pr p e A? A? A? A? A? A? A? A? A? A?

T p rr p A b pr e e N ú mbre e r Exe b e p e e

T j ee ee r e

A errer e ee N ú pr

rm e ee ee Exe pr e re m T e q e e e e

A m x e ee

CLASIFICACIÓN DE LAS `ROÒSICIONES CATEGÓRICAS ÒR LA CUALIDAD Y LA CANTIDAD. EXTENSIÓN DE SUS RESÈCTIVOS SUJETOS Y `REDICADOS Las proposiciones categóricas A? A? A? A?

`r p `r p `r p `r p

U er Arm : T mmer (A U er Ne : N ú e mmer (E: `r r Arm : A ú e mmer (I `r r Ne : A ú e mmer (O

Ejercicio I eq e ee pr p e y eerme e je y e je y e pre ere pr re. A? A? A? A? A? A?

A p pre ee N ú mú e b xe r T r e p ee r e perm pr ejerer pr e A e p em eá be

r T re q e ee me e re A ú membr e ee ej p y me

c ?

A? A? A? A?

N e e e em e r m eee ee T e re e eq p me re e e N ú eee e e pr A er re e e e e ee e

EL CUADRADO DE LA OÒSICIÓN DE LAS `ROÒSICIONES. INFERENCIAS QUE SE BASAN EN ÉL

?

A? A? A? A? A? A? A? A?

S S S S S S S S

A e er er: E e I e er er y O e E e er er: A e I e y O e er er I e er er: E e A y O q e eerm O e er er: A e E e I q e eerm A e : O e er er E e I q e eerm E e : I e er er A y O q e eerm I e : A e E e er er y O e er er O e : A e er er E e e I e er er

´ p e e erre er e ee pr p e e e j p em q e prmer e e e er er? Ý p em q e e ? N º 1

`r p e T e ee N ú e e ee A ú e e ee A ú e e ee

c ?

V re e Ver 1 0

2

3

4

]

N ú p e mer

T p mer A ú p e mer

A ú p e mer

A re e pre eá m re N ú r e pre eá m re

T re e pre eá m re A re e pre eá m re N ú mmer e r e r T mmer r e re A mmer r e re A mmer r e re A ejer e e e re er T ejer e e e re er N ú ejer e e e re er A ejer e e e re er

1

0

1

0

1

0

1

0

INFERENCIAS INMEDIATAS: CONVERSIÓN, OBVERSIÓN Y CONTRAÒSICIÓN CONVERSIÓN C eree T S e ` N ú S e ` A ú S e ` A ú S e `

C er I: A ú ` e S (p r m E: N ú ` e S I: A ú ` e S ( y e eer eq e

OBVERSIÓN Ob eree T S e ` E: N ú S e ` A: A ú S e ` O: A ú S e ` I:

Ob er N ú S e ` T S e ` A ú S e ` A ú S e `

CONTRAÒSICIÓN `rem T S e `

A:

C rp T ` e S

c ?

E: I:

N ú S e ` O: A ú S e `

O

A ú S e ` O:

A ú ` e S E eer

eq ee A ú ` e S

` r Lm.

Ejer . E e y er b er y rp e e ee pr p e Nº `r p 1

T per e mer

2

N ú e e á

3

A

Iere

per re 4

A er re Urb

c ?

CONJUNTO I mee j e e e eeme be e Notación de Conjunto L mbre e j e e er myú y eeme er mú . L j e e p r exe (Se e e eeme y p r mpre (Se e má pr pe e e j A = { e }; p r exe A= {x/x e er }; p r mpre Tipos de Conjuntos: L j p e e er: A? : Se p e e r eeme . A? I : N e p e e r eeme . A? V : N ee eeme . A? U er: C j e reere Relación entre Conjuntos: º j p e e er: A? S b j

A? S b j pr p

A? I e A? ºj y : N ee eeme e m e Diagrama de Venn-Euler E errme q e r re e ere j e repree e áre p p r eer em p r r .

? c ?

Operación entre Conjuntos A? Unión: A U B = {x/x Ǚ A x Ǚ B} A? Intersección: A B = {x/x Ǚ A ^ x Ǚ B} A? Diferencia: A ² B = {x/x Ǚ A ^ x Ô B} A? Complemento: A = {x/x Ǚ U ^ x Ô A} A? Diferencia Simétrica: A ¨ B = {x/x Ǚ (A U B ^ x Ô (A B} Ejer . Se U = {0 1 2 3 4 ] 6 7 ë } A = {0 1 2 3 4 ]} B = {6 7 ë } C= {2 4 6 ë 10} ºeermr AUC CÄ (B U C

CB A B (C B

B²C (A B A ² (B C

A B U C A (C ² B

Número de Elementos de un Conjunto E j A e p em eermr úmer e eeme . N m nA) úmer e eeme r e j A º j A y B p em err 2 p b e 1.? S A y B y e er A B = ë e e (A U B=(A + (B 2.? S A y B ee eeme m e e er A B è ë (A U B=(A + (B ² (A B

S eem 3 j (A U B U C = (A + (B + (C ² (A B (A C (C B+ (A B C

`roblemas 1.? E b mp er er 1200 mbre e e: A? A? A? A?

420 er er e be 430 er er e br 320 er er e per ë0 er er e mb membr (br y per

c ?

A? A? A? A?

]0 er er e be y e br 60 er er e per y be 20 er er e re pre 200 er er

.? Ć á er er e r? b.? Ć á er er p r me e re?

C erem e j C er e be B er e br y ` er e per Repreem rámee e pr bem

?

? ?

ë? ?

?

` r 1? 2? 3? 4? ]? 6? 7? ë? ? A?

(CUBU`=r1+r2+r3+r4+r]+r6+r7+rë=1200 r1+r2+r4+r]=420 r2+r3+r4+r6=430 r4+r]+r6+r7=320 r4+r6=ë0 r2+r4=]0 r4+r]=60 r4=20 rë=200 Remp e (7 r4: 20 + r] = 60; r]=6020; r]=40

A? Remp e (6 r4: r2 + 20 = ]0; r2=]020; r2=30 A? Remp e (] r4: 20 + r6 = ë0; r6=ë020; r6=60 A? Remp e (4 r4 r] y r6: 20 + 40 + 60 + r7 = 320; 120 + r7=320; r7=320 120; r7=200 A? Remp e (3 r2 r4 y r6: 30 + r3 + 20 + 60 = 430; 110 + r3=430; r3=430 ² 110; r3=320

c ?

A? Remp e (2 r2 r4 y r]: r1 + 30 + 20 + 40 = 420; r1 + 0=420; r1=4200; r1=330

Ver : r1 + r2 + r3 + r4 + r] + r6 + r7 +rë = 1200 330 + 30 + 320 + 20 + 40 + 60 + 200 + 200 = 1200 1200=1200 .? Ć á er er e r? 330 er er e be 320 er er e br 200 er er e per ` r ë]0 er er e r 2.? U e e

r p e 100 e e er e e e r p r

ee ; 6] ee e 7] p e ]] ee e y p e 20 e y r 30 r y p e; 10 ee re em y ] ee e re em Se pre Ć á e e ee p e? Ć á e e ee r ? Ć á e e ee e? Grámee (1? r1+r2+r3+r4+r]+r6+r7+rë=100

? ?

(2?r4+r]+r6+r7=6] (3?r1+r2+r4+r]=7] (4?r]+r4=]] (]?r6+r4=20 (6?r2+r4=30 (7?r4=10

ë?

?

?

(ë?rë=]

A? ` r (7 y (4: r] + 10 = ]]; r] = ]] ² 10= 4] ( A? ` r (7 y (]: r6 + 10 = 20; r6 = 20 ² 10 = 10 (10 A? ` r (7 y (6: r2 + 10 = 30; r2 = 30 ² 10=20 (11 A? ` r (7 ( y (10: 10 + 4] + 10 + r7 = 6]; r7 = 0 (12 A? ` r (11 (7 y (:r1 + 20 + 10 + 4] = 7]; r1 = 0 (13 A? ` r : 0 + 20 + r3 + 10 + 4] + 10 + 0 + ] = 100; r3=10

c ?

Rep e: 10 e e ee r y ú e e ee p e e 3.? U r p e j ee e ere er e preere p r er me e rp re (be m e y m e e e er ee A?

M e mee: ]

A?

M e: 3ë

A?

N e m :

A?

M e y be per m : 3

A?

M e y m per be: 20

A?

N e be: 72

A?

N e re : 1

A?

N e m e: 61

Se pre .? Ć á e e úmer e per ere ? b.? Á á e be mee? .? Á á e e m mee? .? Á á e re ? e.? Á á e be y e m per m e? 4.? ºe 1000 ee ee e e e bee ee rm A? 31 e pr

rm ep r A? 230 e pr

rm m A? ]4] e pr

rm bre e m m A? ë e pr

rm m y ep r A? 1]2 e pr

rm m y bre e m m A? ëë e pr

rm ep r y bre m m A? 0 e re pr

rm A? ]0 e pr

rm ep r y m per bre e m m

Se pre .? Ć á e ere e re p e pr

rm? b.? Ć á e ere e e re p e pr

rm?

c ?

].? E e e 4] m 24 j e b e e 12 j e b 2] j e bq eb 10 bq eb 1 j e ey b y j e b y bq eb . S prá p r me ep re e pre A? Ć á j e bq eb y ey b ? A? Ć á j e b y bq eb ? A? Ć á j e ey b y bq eb ? 6.? U e re re pr eb 100 e e y rr j ee re A? 2 E e rr e re pr eb A? 7 E e rr e prmer y e pr eb A? ë E e rr e e y erer A? 10 E e rr e prmer y erer A? 2] E e rr e prmer pr eb A? 30 E e rr e e pr eb A? 2] E e rr e erer pr eb E ere Ć á rr mee e prmer pr eb? Ć á rr e e y e erer per e prmer? Ć á pr br re pr eb? 7.? E e e re r p e empe re e q e 277 e pr p; 233 p e m ; 40] ee r; 16] m y ee r; 120 m y ; 10 y ee r 1] e m y ee r. Se pre : .?Ć á per er e e ? b.?Ć á per ee pr p? .?Ć á per ee mee y ee r? ë.? Hy 100 e y re e e eree e q e e pree ep re: b e e

bq eb e e er y beb e prm er. A e e j e mee

ep re r y r re. 40 per j e b 1] re

ep re ] bq eb y b per beb y 10 mee b . Ć á per j e beb m b ?

c ?

.? U empre e er mpr re mer y p r e ee rp rr 2] e re. L empre req ere memee per q e p e me e rer ee .?A expere e e áre e e b.? rm .?C me e E re empre ree 12 p pr e rer ; 14 pr e rer b; 11 p pr e rer . A r be empre q ere q e ] e re p e rer y b q e 3 p e rer y q e 6 e re p e b y y 3 e re b y y . Ć á e e 2] e re q ere empre q e p e re rer ? Á á e re e e ex e eer me e ? Ć á ee expere e e y me e y ee rm ?

c ?

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rm / A? p://www. e emem. m/ee/

rm .m A? p://per .re eb.e/j e b/ ebr.m A? p:// ebrb r.web r . m/ ].m A? p:// ebrb r.web r . m/ 6.m A? p://www.pe. rr.e/emr/ eprme /mem/ejer /ë.p A? p:// r .y .e/ 21/ 401.m A? p://www.101. m A? p://www.. m.mx/ /p emem/11.%20ºe e. p

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N e e S Mr C mb Le e memá y Epe e M me pr º e E e e mer e e e e err

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manual de matemática básica 2011

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