Manual 2 2011 (Iquique) [Unlocked by com

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Ma nua l 2 2011 (Iquique ) [Unlocke d by c om - slide pdf.c om

2011

MANUAL DE EJERCICIOS MATEMÁTICA I

Coordinación Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Chile  INACAP Iquique

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MANUAL DE EJERCICIOS MATEMATICA I EDITOR Jens Jurgensen Soto Coordinador Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de chile  INACAP Iquique

EDICIÓN N°2 - 2011 http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma nua l-2-2011-iquique -unlocke d-by-c om

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1. LOS NÚMEROS REALES 1.1 Números Naturales, Enteros y Racionales Aprendizaje Esperado Calcula el valor de expresiones numéricas mediante el uso de propiedades, reglas y transformaciones de los númer racionales.

Criterio De Evaluación Evalúa expresiones dadas con números enteros usando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operacione

1. Efectúa las siguientes operaciones aritméticas, respetando el orden de operaciones: a) b) c) d) e) f) g)

      

h) i) j) k) l) m) n)

      

2. Calcula: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

        

j) k) l) m) n) o) p) q) r)

        

3. Selecciona el menor de los dos números dados: a) b) c)

  

d) e) f)

  

g) h) i)

  

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP


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Criterio De Evaluación Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros positivos a través del us de diferentes métodos.

4. Determine el m.c.d. entre los siguientes números, usando dos métodos diferentes: a) b) c) d)

730 y 438 480, 1.400 y 8.000 16 y 40 15 y 60

e) 24, 36 y 72 f) 7, 14 y 21 g) 4 y 6

5. Determine el M.C.M. entre los siguientes números: a) 6, 45 y 12 b) 25, 45 y 75 c) 16 y 40

d) 15 y 60 e) 24, 36 y 72 f) 7, 14 y 21

Criterio De Evaluación Transforma fracciones a decimales y viceversa mediante reglas establecidas.

6. Expresa en forma de un número decimal: a) b) c) d) e) f) g) h)

      

  j)    k) l)   m)  n)  o)  p)  i)

q)

r)

s) t)

   

7. Expresa en la forma de fracción común los siguientes números decimales:

  b)   c)   d) 

a)

  f)   g)   h)  e)

i) j)



 



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Criterio De Evaluación Calcula expresiones dadas con números racionales (fracciones y/o decimales) usando reglas operatorias, propiedad y el orden de las operaciones.

8. Simplifique tanto como pueda las siguientes fracciones: a)



e)

b)

 

f)

c)

 

 d) 

 

i)

   g) 

j) k)

 h) 

l) m)

   

   

 

9. Calcula las siguientes expresiones con fracciones:

             b)       c)      d)      e)          f)           g)    a)

h) i) j) k) l) m)

                                  



10. Calcula las siguientes expresiones con decimales: a) b) c) d)

    

e) f) g)

   



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11. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) b)

c)

               

d)

 

e)

  

f)

g)

h)

i)

                   



        

1.2 Potencias y Raíces Aprendizaje Esperado Calcula expresiones numéricas utilizando propiedades y reglas de los números reales.

Criterio De Evaluación Resuelve ejercicios de cálculo, composición y/o descomposición de expresiones escritas con potencias mediante el us de sus propiedades.

12. Escribe cada potencia como producto de factores iguales: a) b) c) d)

    

e) f) g)

   

13. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible: a) 8 b) 36 c) 121

d) 125 e) 1.000 f) 2.048

14. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor. a) b)

             

c) d)

       



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15. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor: a) b) c)

  

d) e) f)

  

16. Desarrollar: a) b) c) d) e) f) g)

       

   i)   j)   k)         l)    m)   h)

n)

 

f) g) h) i)

             

17. Calcula: a) b) c) d) e)

           

Criterio De Evaluación Opera números muy grandes o muy pequeños utilizando notación científica.

18. Escriba en notación científica:

.

a) El número aproximado de átomos en 1 gramo de oro es b) La precisión de una balanza es 0,00000001 g. c) El número de Avogadro (número de partículas d) e) f) g)

en

una

molécula-gramo

o

mol)

602.200.000.000.000.000.000.000. La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos. La distancia media entre el Sol y la Tierra es 150.000.000 km. La masa de un electrón es aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091 kg La edad de la Tierra se estima en 4.567.000.000 años.



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19. Calcula y expresa la respuesta en notación científica: a) b) c) d)

    

e) f)



           



 Criterio De Evaluación Calcula expresiones dadas con potencias y/o raíces usando reglas operatorias.

20. Calcula el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las raíces y de las potencias a) b)

     

c)

d)

           

e)

f) g)

      

 

21. Utilizando propiedades de raíces , calcula: a) b) c)

         

d)

 

e)

  

f) g) h)

  

        

 

22. Reducir las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f)

           

                                   

g) h)

                

i)

         



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Criterio De Evaluación Descompone expresiones con raíces y/o racionaliza, usando reglas operatorias y propiedades.

23. Reduce a una sola raíz:

a) b) c)

      

d) e)

       

24. Racionaliza las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f)

g)

                    

h)



 

      j)        k)        l)       m)      i)

 

1.3 Problemas de Aplicación de Números Reales Aprendizaje Esperado Resuelve problemas de aplicación, utilizando propiedades y reglas de los números reales.

Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números enteros.

25. Un grupo de 27 alumnos de Inacap decide viajar a Santiago. El pasaje en bus de pasajeros cuesta $ 45.200 por persona solo de ida o vuelta. Un bus de arriendo les cobra $ 2.500.000 ida y vuelta por todo el grupo. Elige la alternativa más económica. ¿Cuánto ahorran en su elección?

26. Gloria necesita comprar 4 cortinas para su cas Cada una cuesta $ 14.500 y pagará el total en cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

27. Dos personas parten de un mismo lugar, primera da pasos de 40 cm y la segunda de 5 cm a ¿qué distancia los separará cuando den paso 20?



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28. Después de llegar a la playa, 30 amigos realizan distintas actividades: un par de ellos juegan paletas, dos parejas juegan al naipe, un cuarteto canta acompañado de un guitarrista, cuatro tríos construyen castillos en la arena y los restantes nadan. ¿Cuántos fueron a nadar? 29. Se está organizando un paseo para 110 niños. ¿Cuántos buses para 32 pasajeros se necesita contratar? 30. Si se cuenta con 32 globos, ¿cuál es el número máximo de globos que puede repartirse a cada uno de los 5 niños que hay en la fiesta, de forma que cada niño tenga el mismo número de globos? 31. Un parlante de música posee las siguientes dimensiones: 50 cm de largo, 35 cm de ancho y 90 cm de altura. ¿Cuál es el volumen del parlante? 32. En el condominio donde vive Sofía hay seis torres de 13 pisos. Si las torres tienen 4 departamentos por piso, ¿cuántos departamentos tiene el condominio? 33. Francisco y Rodrigo son muy deportistas. El sábado fueronFrancisco a correr juntos, distancia que recorrió fue el pero triplelade la que corrió Rodrigo. Si Francisco corrió 7.536m, ¿cuántos metros corrió Rodrigo? 34. En 2000, el gasto nacional en salud fue de $650.000 millones. En 2010, está cifra había aumentado en un factor de 1,9. Escriba el gasto en salud del 2000 y 2010, con el uso de notación científica. 35. Se compran cintas de cuatro colores, con las siguientes medidas: azul 210 cm, verde 360 cm, roja 180 cm y blanca 300 cm. Se desea cortar las cintas en trozos del mismo tamaño. ¿Cuál es la medida de ellos? 36. Tres ciclistas recorren una pista circular en 20, 24 y 36 segundos, respectivamente. Si parten

juntos, ¿después de encontrarán de nuevo?

cuánto

tiempo

37. ¿Cuántos elementos en común tiene el conjun de los divisores de 18 y 16?

38. ¿Qué número se obtiene si se divide el mínim común múltiplo por el máximo común divis entre 30, 54, 18 y 12?

39. Un campo rectangular de 360 m de largo y 15 m de ancho, está dividido en parcelas cuadrad iguales. El área de cada una de estas parcel cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es longitud del lado de cada parcela cuadrada?

40. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bol azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el may número de collares iguales sin que sob ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tend cada collar? 41. Un mueblista quiere cortar una plancha madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de ca cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de plancha de madera?

42. Carlos tiene en su tienda los botones metidos bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 boton cada una y no sobra ningún botón. En la caja tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampo sobra ningún botón. El número de botones qu hay en la caja A es igual que el que hay en la ca B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en ca

caja? 43. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 6 minutos, otro reloj que da una señal cada 15 minutos y un tercero que da una señal cada 3 minutos. A las 9 de la mañana los tres reloj han coincidido en dar la señal. ¿Cuántas hora como mínimo, han de pasar para que vuelvan coincidir?



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44. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?

47. La temperatura del aire baja según se asciend en la Atmósfera, a razón de 9 °C cada 3 metros. Suponiendo que a nivel cero temperatura es de cero grados, ¿A qué altu vuela un avión si la temperatura del aire es de 81 °C?

45. Una bomba extraen el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué distancia se desplaza el petróleo?

48. En un depósito hay 800 L de agua. Por la par superior un tubo vierte en el depósito 25 Litr por minuto, y por la parte inferior por otro tub salen 30 Litros por minuto. ¿Cuántos litros agua habrá en el depósito después de 1 minutos de funcionamiento?

46. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 °C, a la del pescado congelado, que está a 18 °C? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números racionales y decimales.

49. En un curso de Matemática hay 48 alumnos, de los cuales

3

52. En un estante A hay 60 botellas de

son mujeres. ¿Cuántos hombres

8

1 4

Paula comió

1 6

, Pedro comió

1 4

12

de torta,

y Carlos

1 3

de litro cada una. Calcula los litros totales qu

contienen las botellas en cada estante.

50. En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en 1

de lit

cada una y en un estante B hay 120 botellas

hay en este curso?

12 partes iguales. Ana se comió

3 4

. ¿Qué

fracción de torta se comieron entre los cuatros amigos?

53. Un estanque tiene agua hasta la mitad. Si sacan de él 2 litros, se alcanza un niv equivalente a los

3 10

de su capacidad. ¿Cuánt

litros de agua hacen falta para llenar estanque?

51. Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido los

5 18

de un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los

7 25

del trayecto; y, en la tercera hora, ha

recorrido los

11 45

del trayecto. ¿Qué fracción

queda por recorrer del trayecto?

54. El valor de la UF es de $ 21.534. Calcular el val en pesos de los siguientes seguros: Cesantía 0,0 UF, Protección Identidad 0,25 UF, Desgravam 0,1 UF, Salud 0,8 UF.

55. Un envase con un litro de aceite pesa 1,2 kilogramos. Si un litro de aceite pesa 1,10 kilogramos, ¿cuánto pesa el envase?



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56. Roberto y su hermano Iván salen de paseo, cada uno en su bicicleta. Si la rueda de Roberto avanza 1,8 m en cada giro y la de su hermano Iván 0,45 m menos, ¿cuántos metros avanza la rueda de la bicicleta de Roberto en tres giros? ¿Y la bicicleta de Iván en los mismos tres giros?, ¿cuánto más avanzó Roberto que Iván?

59. Aproxima cada número a 2, 3 y 5 decimales: a) 0,3256879546 b) 12,76453429 c) 4,1223130312 d) 5,410463924 e) 125,65831421 f) 1.324,98542132

57. Un camión que transporta automóviles lleva un Jeep que pesa 1,375 ton., un automóvil que pesa 0,85 ton y una camioneta que pesa 1,055 ton. ¿Cuánto pesa en total la carga que lleva el camión?

60. Un estudiante obtuvo en la asignatura Matemática I las siguientes notas: 5,1; 3,2; 4, 3,9; 3,0. Calcula el promedio (media aritmética aproximado a un decimal.

58. El día de la Solidaridad, los alumnos de primero medio fueron a pintar las paredes de un hogar de ancianos. En el living del hogar debían pintar 2 muros, el primero medía 6,4 m de largo por 2,7 m de alto y el segundo 7,9 m de largo por 2,7 de alto. ¿Cuál es la medida de la superficie total que debían pintar en ese living?

61. El área de un terreno cuadrado es 143 m ¿cuánto mide el lado del terreno? Aproxime resultado hasta la décima de metro.

62. Un alumno de Inacap está cursando u asignatura que tiene en el semestre tres not parciales, con ponderaciones 30%, 25% y 45 Obtiene las siguientes notas, respectivament 4,0; 3,5; 5,1. a) Calcule la nota semestral. b) ¿Debe rendir el Examen Final? En ca afirmativo, ¿qué nota mínima debe obten para aprobar la asignatura?

Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando conceptos y reglas operatorias de los números irracionales.

63. El volumen de una esfera es

4 3

  r 3 , siendo r la

medida del radio. Calcula el volumen de una esfera de radio 2 3 7 cm.

65. La suma de los cuadrados de dos números es 8 Si el número mayor es 9. ¿Cuál es el ot número? 66. Calcula el área de un cubo de arista 3 2 cm.

64. ¿Qué medida debe tener el radio de una esfera para que su área superficial sea

 ?

67. Un número elevado a cuatro multiplicado por y dividido por 4 da por resultado 3. Halle número.



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Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación utilizando las propiedades de las potencias y/o raíces.

68. Un centro de madres organiza una campaña para conseguir dinero y enviarlo a un proyecto de cooperación. Para ello han vendido cajas de lápices de colores. En cada uno de los 7 días, vendieron 7 paquetes. Cada uno de estos paquetes contenía 7 cajas con 7 lápices de colores cada una. ¿Cuántos lápices han vendido en total?

69. Se tiene un cubo de lado 2 centímetros. a) ¿Cuánto vale su volumen? b) Si se duplica el lado, ¿se duplica también su volumen?

70. En una caja hay 16 paquetes, cada paque tiene 16 bolsas, cada bolsa 16 bombones d chocolates. Exprese la cantidad bombon que hay en la caja mediante una potencia.

SOLUCIONES

  3. a) b) 3 c) d) e) f) g) h) i)         4. a)  146 b)  40 c) 6d) 15 e) 12 f) 7 g) 2  5. a) 180  b) 225 c) 8 d) 60 e) 72 f) 42               6. a)  b)   c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)  m)  n)  o)   p)   q)  r)  s)  t)   j)  7. a) 0,5 b)  c) 0,25 d)  e) 0,125 f)  g) 0,75 h)  i)              8. a)  b)  c)  d)   e)   f)  g)   h)  i)  j)  k)   l) 0 m)               9. a)   b)  c)   d)   e)   f)  g)   h)  i)   j)  k)   l)   m)  10. a) 7,4968 b) 6,732 c) 87,926 d) 0,03 e) 0,01 f)  g)       11. a)  b)   c)   d) 1,02 e)   f) 2 g) 396 h)   i) 14,89576542 12. a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  13. a)  b)  c)  d)  e)  f)  14. a)   b)    c)         g)  h) d)  15. a) b) c) d) e) f) 1 16. a) 16 b) 64 c) 4.096 d) 531.441 e) 531.441 f)          i)    j)   k)  l)  m)  n)  17. a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)          18. a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)      19. a)  b) 4,25 c)    d)  e)  20. a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)     21. a)  b)  c)  d) 8 e)   f) 0 g)  h)  22. a)        b)     c)   d)             e)    f) 17 g)  h)   i)   23. a) 5 b) 3 c)   d)   e)          24. a)   b)  c)   d)   e)   f)   g)  h)  i)   j)     k)        25. Bus, $59.200 26. $7.250 27. 300 cm 28. 7 29. 4 buses 30. 6 31.   32. 312 33. 2.512 l)  m)  34. En 2000,  . En 2010,  35. 30 cm cada parte: 7 cinta azul, 12 de cinta verde, 6 de cinta roja, 10 de cinta blan 1. a) 25 b) 105 c) 110 d) 96 e) 2 f) 19 g) 15 h) 37 i) 44 j) 118 k) 342 l) 1.120 m) n) 2. a) b) c) e) 7 f) 5 g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 12 13 16 0 54 60 q) 0 r) 14

36. 360 segundos 37. Sólo un elemento (2) 38. 39. 30 metros por lado 40. a) 5 collares b) 5 blancas, 3 azules y 18 rojas 41. a) 32 cm de lado b) 24 cuadrad 42. Mínimo 120 botones 43. Deben pasar 30 horas (1.800 minutos) 44. 77 años 45. 1.003 metros 46. 47. 2.700 metros 48. 725 litros 49. 30 hombres 50. 51. 52. 75 litros 53. Faltan 7 litros 54. Cesantía: $1.076,7  Protección

 

 

 

  55. Identidad: $5.383,5 Desgravamen: $2.153,4 Salud: $17.227,2 0,104 56. Roberto avanza 5,4 m, Iván 4,05 . Roberto avanza 1,35 m más que Iván 57. 3,280 toneladas 58. 59. a) 0,33  0,326  0,32569 b) 12,76  12,765  12,76453 c) 4,12  4,122  4,12231 d) 5,41  5,410  5,410 e) 125,66  125,658  125,65831 f) 1324,99  1324,985  1324,98542 60. 3,9 61. 12,0 metros 62. a) 4,4 b) Si, 4

 

63.

   64.   metros  

65.

  66.    67.   68.  69. a)   b) No, se multiplica por 8 70. 



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2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 2.1 Razones y proporciones Aprendizaje Esperado Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

Criterio De Evaluación Utiliza razones para comparar cantidades dadas.

1. En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. ¿Cuál fue la razó de la utilidad neta al activo total?

2. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre un venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar: a) La razón del total de ventas al inventario promedio. b) La razón de la utilidad a la venta total.

3. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la razón entre la cantidad de operaciones de salid realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 4. La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?

Criterio De Evaluación Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones.

5. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proporciones? a)

5 2

e)

b) 7 : 21  1 : 3 c) 4 : 3  16 : 15 d) 28 : 8  7 : 2

1, 5 1, 8



20 24

h)

3 4

: 6  1: 8

f) 0,8: 0,9  3,2:3,6 g)

2

1 2 2 :1  : 3 5 9 5

6. Halla el término desconocido en: a)

x 3,5

6

 3

b) 24: 0,4  x: 0,04 c)

3 4

: 6 1: x

d) 0,3:1,5  6:x

e) f)

0,2 x x 2, 4

 

0, 3 0,9 3 1, 8

1

1

5

2

g) 8 : 3  7 : x

1

2

1

4

3

3

h) 1 : x  : 2 2

i)

3 5 6



x 1 2 2



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7. Calcula la media proporcional geométrica entre: a)

1

1

y

4

9

d) 2

b) 49 y 0,25 c) 2 y 8

1 4

y3

1 16

e) 0,4 y 0,08

8. Calcula la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo orden: a)

5 6

,

1 4

,

2 3

b) 2, 3 y 6

c) 12,5; 10; 2,5 d) 12; 6,4; 3,75 e) 6; 12,5; 2,88

9. Determina la tercera proporcional de los pares siguientes: y3 a) b) 2 -2 y 8

c)

4 9

y 0,6

e) f) 4 2,5y 8y 5

g)

5 6

y

2 3

d) 8 y 0,4

Criterio De Evaluación Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

10. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es 10. ¿Cuál es el número de alumnos en total? 11. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana? 12. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8. ¿Cuál es el número de alumnos varones? 13. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.

14. Dos números están en la razón 7:4 y diferencia entre ellos es 36. Hallar los número

15. La razón entre dos números es 8:3 y diferencia es 55. Calcula la suma de est números.

16. Dos números están en la razón 5:2. Si sumad dan 42. ¿Cuáles son los números?

17. Dos personas se reparten $18.000 tal que s partes están en la razón de 8:4. ¿Cuánto reci cada uno? 18. La diferencia entre dos números es 48 y est en la razón 9:5. ¿cuáles son los números? 19. Sea x + y + z = 50 y Calcular x, y, z.

x:y:z=3:5:



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20. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcular los números. 21. Sea a : b : c = 7 : 5 : 2 Calcular a, b, c.

y

a  b + c = 20.

22. Si x : y : z = 8:5:2 tal que 2x + y + 5z = 93 Calcular x, y, z. 23. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamente

proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar l longitudes de cada una de ellas.

24. Calcular los ángulos interiores de un triángu si se cumple la condición    :  = 5 : 3 : 10 que la suma de estos ángulos es 180°. 25. Calcular los ángulos interiores de cuadrilátero, si verifican que:  :  :  :  = 5 : 6 : 7 : 9 y que la suma de estos ángulos es 360°.

u

2.2 Variación Proporcional Aprendizaje Esperado Aplica variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptos para su resolución.

Criterio De Evaluación Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fórmulas físicas y/o relacionadas con su especialidad.

26. En la Ley de Gases Ideales: P 

nRT V

, donde n es

el número de moles, T temperatura absoluta, V volumen del gas y R constante de proporcionalidad. ¿Entre qué variables existe una proporcionalidad directa? d

27. En la fórmula física: v  . ¿qué tipo de

28. El número de Reynolds se define com vD , donde  es la densidad del fluido, v Re   velocidad característica del fluido, D diámet de la tubería través de la cual circula el fluido  viscosidad cinemática del fluido. ¿Qué tipo relación hay entre la velocidad del fluido y l demás variables?

t

relación existe entre la velocidad v y el tiempo t?

Criterio De Evaluación Aplica conceptos de variación directa, inversa, conjunta y combinada para plantear fórmulas en base a problemas dados.

29. Plantear las formulas correspondientes: a) A es inversamente proporcional al cuadrado de B. b) A es directamente proporcional al cubo de B

c) La iluminación I, producida por una fuente luz varía inversamente proporcional co respecto al cuadrado de la distancia, d, des la fuente.



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d) La presión P en el fondo de una piscina varía directamente con la profundidad h.

varía conjuntamente con la distancia viajada y el cuadrado de la velocidad v.

e) La potencia P requerida para impulsar una embarcación varía directamente con el cubo de su velocidad v.

h) La masa m de una persona varía directamen con el cubo de su altura h.

i) Si a obreros construyen una casa en t día trabajando h horas diarias, determine relación que permite determinar el número obreros que se requiere para construir misma casa en T días, trabajando H hor diarias.

f) El peso W de un bloque rectangular de metal varía conjunta y directamente con la longitud a, la anchura b y el espesor c de bloque g) La cantidad de carbón C empleada en un barco de vapor que viaja a una velocidad uniforme

Criterio De Evaluación Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.

30. Completa las siguientes tablas, identificando si es Variación Proporcional Directa o Variación Proporcion Inversa: A 810 270 y

B 162 54 18

A 2 3 w

B 15 10 7,5

31. Hugo gana $540.000 mensuales (considerando 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días?

A 0,5 1 2

B x 2 z

A 1 t 3

B 120 60 40

35. Una guarnición de 1600 hombres tiene víver para 10 días a razón de 3 raciones diarias ca hombre.

32. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tiempo demoran en construir una casa similar 15 obreros trabajando la misma cantidad de horas diarias?

36. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos dí durarán los víveres si cada hombre toma raciones diarias?

33. Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo

37. Tres hombres trabajando 8 horas diarias h

12 cm, tiene un área de 96 cm 2. ¿Qué ocurre con el ancho si su longitud aumenta a 16 cm y su área permanece constante? 34. Una persona camina 350 metros en 15 minutos, ¿cuántos kilómetros caminará en una hora y media?

hecho 80 metros de una obra en 10 día ¿Cuántos días necesitarán 5 hombr trabajando 6 horas diarias para hacer 6 metros de la misma obra?

38. Una empresa constructora estima que so necesarios 30 obreros para terminar una ob en 3 meses trabajando 8 horas diaria



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¿Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? 39. Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $4.000 si se encienden 5 horas diarias? 40. En un taller de confecciones, 6 operarios hacen 100 polerones en un día, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 polerones en dos días, trabajando la misma cantidad de horas diarias? 41. Si 3 secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, ¿cuántos días requieren 7 secretarias para escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo similar? 42. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística por 20 días, el costo total resultó ser $300.000. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya duración será de 25 días? 43. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto se demoran 15 obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? 44. Para una biblioteca pública se dispone de $150.000 que alcanzan para comprar 120 libros. Si se recibe una donación de $375.000, ¿cuántos libros del mismo tipo se pueden comprar? 45. Cuatro llaves llenan una piscina con una capacidad de 18 m3 en 12 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 llaves?

46. Un tren tarda cuatro horas en ir de la ciudad A la ciudad B a una velocidad de 80 km/h. ¿A q velocidad promedio debe ir si necesita llegar 4 minutos antes?

47. Se desea limpiar un canal en dos semanas; sabe que el año pasado se debió realizar mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon días, ¿cuántos obreros es necesario contratar?

48. Ocho trabajadores realizan una obra en 12 día Para concluirla en 6 días menos, ¿cuánt trabajadores más se necesitarán? 49. Si A es directamente proporcional al cuadra de B y además, A=72 cuando B=3. ¿Cuál es valor de A, cuando B=9?

50. La iluminación I, producida por una fuente d luz varía inversamente proporcional co respecto al cuadrado de la distancia, d, desde fuente. Si la iluminación producida a 15 pies la fuente de luz es 48 bujías-pie (unidad d medición de la iluminación). ¿Cuál es iluminación producida a 12 pies de la fuente luz?

51. El peso de un bloque rectangular de metal var

conjunta y directamente con la longitud, anchura y el espesor de bloque. Si el peso de u bloque de aluminio de 12 pulgadas x 8 pulgad x 6 pulgadas es de 18,7 Libras, calcula el pe de un bloque de 16 pulgadas x 10 pulgadas x pulgadas.

52. La cantidad de carbón empleada en un barco vapor que viaja a una velocidad uniforme var conjuntamente con la distancia viajada y cuadrado de la velocidad. Si un barco quema 4

toneladas de carbón al viajar 80 millas nudos, ¿cuántas toneladas empleará si viajaa12 millas a 20 nudos?



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2.3 Porcentaje e interés Aprendizaje Esperado Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.

Criterio De Evaluación Calcula porcentajes de cantidades dadas.

53. Calcula: a) b) c) d)

8% de 250 15% de 462 25% de 9,6 2,3% de 48,72 1

e) 33 % de 1236 3

f) 0,75% de 24

1

g) 3 % de 112,3 4

h) 2% de 7 i) 18% de 76 j)

1 2

% de 18

k) 35% de 180 l) 42% de 1250

54. ¿Qué tanto por ciento: a) b) c) d) e)

de 8 es 7? de 7,2 es 18,5? es 3,25 de 5,5? de 860 es 129? de 30 es 6?

f) g) h) i)

es 0,64 de 512? de 1600 es 320? de 86 es 172? es 75 de 1250?

Criterio De Evaluación Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él.

55. ¿De qué número es: a) b) c) d) e) f)

3 el 75%? 22,4 el 75%? 35 el 5%? 60 el 90%? 76 el 10% 20 el 80%?

g) 12 el 2%? h) 15 el 60%? i)

2 3

el 25%?

j) 4 el 19%?

56. ¿De qué número es: a) 48 un 20% menor? b) 208 un 4% mayor?

c) 276 el 8% menor? d) 30 un 16 2 3 % es mayor?



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Criterio De Evaluación Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturale económicos y/o sociales.

57. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.?

66. Un comerciante vende carbón a $280.000 tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto cuesta el carbón?

58. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.

67. ¿Qué número aumentado en un 15% equivale 437?

59. Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de ese mineral?

69. Los gastos que demandan en una empresa l departamentos de personal, marketing finanzas son de $36.000.000 mensuales y está en la razón 6:10:14. a) ¿Cuál es el gasto del departamento marketing, en un período de un año? b) Qué porcentaje representa el gasto anu del departamento de personal?

60. Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar? 61. A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%. ¿Cuánto gana después de la reducción? 62. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo? 63. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro? 64. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó?

68. Si se aumenta en un 8% el precio de u artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cu era el precio primitivo?

69 Un comerciante compra un producto $250.000 la unidad, precio neto, pero des obtener una ganancia de un 15% sobre el prec neto. Determinar: a) precio de venta al público (IVA incluido) b) monto del IVA declarado por comerciante

70 Si una máquina vale a pesos y por motivo incendio de la fábrica se vende en b pesos (b a). ¿Qué porcentaje perdió la empresa por venta de la máquina?

65. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500. ¿Qué % de ganancia obtiene?



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Criterio De Evaluación Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.

Interés Simple: M  C 1  n  i  n

Interés Compuesto: M  C 1  i 71 Una empresa invierte en un depósito financiero 6 millones de pesos a un 5% anual simple durante tres años. ¿Cuánto ganará la empresa por concepto de intereses? 72 Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su cosecha, 850.000 pesos, en un depósito al 3% anual simple durante cinco años. ¿cuánto retirará? 73 Determina el capital final equivalente a $6.000.000 mediante capitalización simple dentro de dos años y medio sabiendo que el tipo de interés simple anual es del 5%. 74 ¿Cuáles son los intereses producidos por un capital de 3.000 UF prestado a un interés simple anual del 2,5 % durante dos trimestres? ( 1 año tiene 4 trimestres) 75 Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital de $127.830 se obtiene un capital final equivalente a un 125 % del capital inicial. 76 ¿Qué tiempo estuvo invertido un capital de 22.000 UF al 2% de interés simple anual, si los intereses fueron de 4.400 UF.? 77 ¿Cuánto tiempo tardaría un capital colocado al 8% de interés simple anual en transformarse en el triple del mismo? 78 Tengo unos ahorros colocados de la siguiente manera: 

20.000 trimestralUF al 2% de interés simple

30.000 UF al 1% de interés simple mensua 5.000 UF al 4,5% de interés simp semestral ¿Cuál es el capital final si mis ahorros está colocados durante un año y medio?  

79 Determinar los intereses y el capital fin producido por UF 50.000 al 15% de inter compuesto anual, durante 1 año.

80 Determinar los intereses generados por u capital de UF 30.000, durante 5 meses, al 15 de interés compuesto anual.

81 Tenemos una obligación por UF 12.000, a s liquidado dentro de 10 años. ¿Cuán invertiremos hoy al 9% anual compuesto, con objeto de poder cumplir con el pago de deuda? 82 Una empresa deposita $ 700.000. a una tasa d interés compuesto anual del 24%, capitalizab mensualmente, ¿cuál será el monto acumulad en 4 años?

83 Usted deposita $ 1.200.000. al Banco Inac durante 260 días a una tasa de inter compuesto anual del 7%, capitalizab mensualmente, ¿Cuánto dinero retirara término de los 260 días?

84 Determine la tasa de interés compuesto anual la que deben invertirse $3.230.000. para que 7 años se obtenga un capital final de 4.234.890.



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SOLUCIONES 1.

53.126 134.930

2. a) 6 : 1 b) 1 : 5 3. 3 : 4 4. 5 5. Son proporciones b) d) e) f) g) h)

6. a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h)

35

i) 2 7. a)

8

8. a)

1 5

b) 9 c) 2 d) 2 e) 6 9. a)

9 2

b) -32 c) 0,81 d)

1

21

b) 3,5 c) 4 d)

1 50

e) 16 f) 10 g)

e) 0,1789

8

6

8 15

10. 25 alumnos 11. 4 cm 12. 10 varones 13. 6,8 kg de cobre y 1,7 kg de estaño 14. 84 y 48 15. 121 16. 30 y 12 17. $12.000 y $6.000 18. 108 y 60 19. x = 15; y = 25; z = 10 20. 8, 12 y 16 21. a = 35; b =25; c = 10 22. x = 24; y = 15 =6 23. 30, 40 y 50 cm 24. 50°; 30° y 100° 25. 66,7°; 93,3° y 120° 26. P y n; P y T; n y V; T y V 27. Inversamente proporcional 28. Directamente proporcional con: número de Reynolds y viscosidad. Inversamente proporcional con: densidad y diámetro de tubería. A P a  t h k 29. a) A B2  k b)  k c) I  d) P  k  h e)  k f) W  k  ab  c g) C  k  d  v2 h) m  k  h3 i) B3 d2 v3 T H 30. y = 90; w = 4; x = 1; z = 4; t = 2 31. $180.000 32. 4 meses 33. El ancho disminuye a 6 cm 34. 2,1 km 35. 12 días 36. 6 días 37. 60 obreros 38 ampolletas 39. 15 operarios 40. 18 días 41. La misma cantidad de dinero 42. 2,7 días aproximadamente 43. 1 libros 44. 16 horas 45. 98,5 km/h 46. 45 obreros 47. 16 obreros 48. A = 648 49. I = 75 bujía-pie 50. 20,8 Lb 51. 120 toneladas 52. a) 20 b) 69,3 c) 2,4 d) 1,12 e) 412 f) 0,18 g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525 53. a) 87,5% b) 256,94% c) 59,1% d) 15% e) 20% f) 0,125% g) 20% h) 200% i) 6% 54. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25 i) 8/3 j) 400/19 55. a) 60 b) 200 c) 300 d) 25

5 7

56. Cobre: 17,205 kg; estaño: 412,92 kg; antimonio: 34,875 kg 57. Materiales: US$ 3.272,5; mano de obra: US$ 3.506,25; gastos generales: US$ 552,5; ganancia: US$ 1168,75 58. 42,5 kg 59. $237.993 60. $24.225 61. $4.000 62. 8% 63. 12,1 % de plomo, 87,9% de estaño 64. 13% 6 $250.000 66. 380 67. $150 68. a) $ 12.000.000 b) 20% 69. a) $342125 b) $ 54.625 70.

a b a

 100 %

71. $ 900.000 72. $ 977.500 73. $ 6.750.000 74. 37,5 UF 75. $ 31.957,5 76. 10 años 77. 25 años 78. 62.575 UF 79. Capital Final: 57.500 UF, Intereses: 7.500 UF 80. 1.796 UF 81. 5.069,93 UF 82. $ 1.810.949 83. $ 1.261.629 3,94%



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3. ALGEBRA 3.1 Algebra Elemental y Operatoria Algebraica Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios algebraicos mediante la aplicación de propiedades y conceptos. Criterio De Evaluación Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las regla s operatorias de los números reales.

1. Expresa en leguaje algebraico: a) El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número. b) El doble de a, aumentado en b. c) El doble de a aumentado en b. d) El cuadrado de la cuarta parte del triple de x. e) El quíntuple del cubo de y. f) La diferencia entre el cuádruple de x y la tercera parte de y. g) La suma de tres números consecutivos.

h) La mitad de la diferencia positiva entre d números pares consecutivos. i) El producto entre un número y su sucesor. j) El cubo del cuadrado de la diferencia entre e y. k) La cuarta parte del producto entre cuadrado de a y el cubo de b. l) La suma de los cuadrados de tres númer consecutivos.

2. Si a = 3 y b = 2, determine el valor de: a) a2  b2 b) a 

b3

d) a3  2b2  ab

a

2

6

4 c) a  b2  3a  4b

 1    b2  1 

e)

b3

2



1 3

a

3. Si m  2 y n  3 , determine el valor de: a) 2m  3n b) m  m2  2n c) m2  2mn  n2

d)

1

1

m

e) 

 n

1 mn

Criterio De Evaluación Simplifica expresiones algebraicas dadas con paréntesis aplicando reglas de la operatoria.

4. Reducir las siguientes expresiones algebraicas: a) b)

 



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                

c) d) e) f)

       h)     i)  j)  k)  l)  m)  n)     o)         p)          q)  r)                           t)         g)

s)

5. Reducir las siguientes expresiones algebraicas con paréntesis: a) b) c) d) e) f) g)

h)

                             



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Criterio De Evaluación Opera expresiones algebraicas mediante el uso de reglas y propiedades.

6.

Representa el área del rectángulo mayor como el producto de dos polinomios. Calcula y expresa de la maner más simple dicho producto. 2x

5

5 x

7.

Determine el área del rectángulo en términos de x

    8.

Reducir las siguientes expresiones algebraicas, realizando las multiplicaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

9.

                                                             

   m)      n)                   o)     p)      q)  r)   s)   t)    u)      v)          l)

Divide y exprese el resultado de la manera más simple posible.

    b)      c)  a)



d) e) f) g)

 

  

       

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10. Desarrolla las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) g) h)

   

   

i) j)

 

k)

           

     m)  n)  o)  p)     l)

3.2 Factorización y Expresiones Algebraicas Fraccionarias Aprendizaje Esperado Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas de operatoria, factorización y racionalización. Criterio De Evaluación Representa expresiones algebraicas como productos aplicando reglas de factorización.

11. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

                           

l) m) n)

o) p) q) r) s)

t)

u)

v)

                        

12. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c)

  



d) e) f)

    26

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g) h)

    

  

i)

13. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

                         

   n)   o)  p)      q)     r)          s)    t) u)      v)   w)     x)   m)

Criterio De Evaluación Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización.

14. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: a)

ax2

a2 x 5

g)

2

b)

c) d)

e) f)

2m np

2

18mn p

h)

125x6 y5z4

5xyz 2pq 2

2

p q  pq

j)

2 2x  x  15

x 3

3abc 6a bc  9ab c 2

i)

2

k)



l)

x2  3x  2 x2  5x  6

m2  6m  9 m2  9m  18 a2  25 2

a  4a  45 x2

 5x 2

x  x  5 4  x2 x 2

 3a2  6a 3 2 2a  6a  4a 3

m)

n)

o)

p)

3a

x 8  9y 4 4 2 x  3y

ac  ad  bc  bd c2  d2

x2 x

2

 10x  11  9x  10

x2  x  1  x  x  1 x  1 

27

30/100

5/9/2018


15. Efectúa las operaciones indicadas: a) b) c)

a ab



2b b

e)

2m 3mn 3n



4

9x 2  1 x



2

3

d)

2a

a 1

2



a

f)

2x 3x  1

1 2

a

g)

h)

2 2 x  6x  5 x  4



x 2

2a  4



2 x 1

a4



3a  12 a  16 2

a b

ab

a b

a b

2

 2

a2  8a  16 a 2

a  2ab  b 2



2

3ab

a3  2a2  a a2  25 a  7a  10 2





a 1

1 2a2

Criterio De Evaluación Aplica reglas de racionalización para eliminar radicales en expresiones fraccionarias algebraicas que contengan un o dos raíces en el denominador.

16. Racionalice las siguientes expresiones a) b) c) d) e)

7

5x

2

2

3 x a b

4  x2

f)

g)

b a 2x  3 6  4x

h)

5a

i)

3

2

x  1

a b 7

j)

3 2

k)

ab

1x 2x  3  5

11  2x 3 2 x  1

l)

x2

 16y x4 y 1

a a b b

xy 3

x

3y

3  2a

3.3 Ecuaciones Lineales, Sistemas de Ecuaciones Lineales e Inecuaciones Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad, que involucren ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales aplicando procedimientos establecidos. Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones lineales con una variable, empleando diversos métodos.

17. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes enteros: a) x  3 x  1  6  4 2x  3

e)

 x  2  3x  2  5 x  4  1

b) 5x  1  16 2x  3  32x  7  x

f)

5 x  1  4  x  3   x  1  1  x 

c) 23x  3  4 5x  3  x x  3  x x  5

g) 23x  1  4 x  4   3x  5   0

d) 2 2x  5  53  x 

h) 17y  y  9  32  19y  82



28

31/100

5/9/2018


i)

n) x  1x  1  x  2x  3  5x  1

2 2  x  1  12   x  5 2

2

l)

2

o) 7  x  4   3 x  5  4  x  1 x  1  2

2

 x  2   3  x   1 k) z  12  44z  18  15z

j)

p) 15z  135  18z  45  90  18z  15z

2  x  3 x  1  5   x  2  2

m) 3  x  x  4   16  12x   x  3 

18. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios: a) b) c)

5 3

2 x 9 x x  5 5 4 20

3

8

7

3

7

3

5

2

12

 x x x

4

g) x 

3 11 x  x x  0 5 4 30

2 x 1

i)

1 x 1 1  4 3 3 8 x  2 5x e) x  

3

 4x 

3

3x  1

h)

4

5x  1





2

5

5x  4 3

x 2 3





x 2 8

x 3 4





2x  3 5

x 5 5



1 10

x3

d)

12

f)

5

4  10x  1  4x  16x  3 6 4

2

2

x  2

j)

2

 x  3



4



9x2

 3x  5 81  20

20

19. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias: a) b) c) d) e) f) g)

1

3

x 6

h)

1



x

i)

5

3



5

3

0

2x 1

2



3

x 1 x 3 1 2x  10



j)

0 3

12  8x

k)

0

l)

2x  3

6x  4



5x  1 15x  2 4x  5 8x  3 3x  2



2 3 x  4  2 2  x  x 1 3 4x



6 5x

6x  5

  

0

1 4  x  5 3x x 1 3

x2



3 

x 4 6x

2

 6x 120

1 x

2

1

0

3 4  5x  1 6  7x 1 2x



3 5x



11 x2

20. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales literales: a) 2ax  a  a  2x b) abx  a  x a2  b2  b ax  1 

d) a2b  bx  ab2  ax e) ax  1  bx  1

c) ax  3  bx  5

f)







2 2 2  x  m   x  n  m  n

29

32/100

5/9/2018


g) a  b  c  x  a  b  x  c   a  x  cb   x  b  c a

k)

h) i) j)

 x 1  a   x 1  b   x  1  c   a  b  c  x  a

l)

2

a  4x 2a  x   2x  a  a  x a  1 x b 

x

m)

3 x

ax b x a

a

1

2

a

  0 

bx a

1

1

a

b

 

x

1

b

ab

 

a

Criterio De Evaluación Resuelve sistemas de ecuaciones de dos y/o tres variables, empleando diversos métodos.

21. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas: a)

b)

c)

d)

x 4y 4

0 4x  6y  28  0

4x  3y  3  0 2x  7y  7  0 4x  y  30  0 2x  y  12  0 x  y  10  0

x 2y 8  0

g)

h)

i)

j)

e) x  3y  7  0

3x  y  5  0 y0

5x  y  2  0

4x  7y  0

4x  7y  15  0 3x  8y  25  0

3x  9y  2  0 15x  21y  6  0 6x 

4 3

y 4 

x  6y

6 x  5  3y  4   6

6x  k)

f)

x 2 y  0

7

y 4 

2

x  8y

8 4 4   4x  2   7  5y  7   4

22. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones y tres incógnitas: xyz0

a)

x  3y  3z  1

x  y z 1

c)

x  2y  2

2x  y  5z  4

x  y 3z  3 x  y  2z  1

b)

5x  3y  5  0 8x  8y  4z 2x  y  2z  2  0



d)

2x  y  5z  4

2x  2y  4z  2

30

33/100

5/9/2018


3x  y  2z  1

e)

3x  9y  9z  48

x  y  z  4 x  2y  4z  1

6x  4y  4z  8  0 12x  25y  2z  2  0

g)

5x  25y  26z  49  0

f)

8z  32  0

18x  20y  51z  1  0

x  52y  30z  17  0

h)

15x  9y  7z  50  0

2x  13y  7z  52  0

Criterio De Evaluación Resuelve inecuaciones lineales, empleando diversos métodos.

23. Escribe como notación abreviada (algebraica) y de conjunto los siguientes intervalos:

a) 1

15

8

0

b)

c) 10

d) 12

   

e) 11

890

f)

 

0,5

24. Escriba los siguientes conjuntos como intervalos: a)

x 

/ x  2

 x 4 

b)

x 

/ x  0  x 1 

c) x  / x  5  x  10 

d)

x 

/ x  5  x  10 

e)

x 

/ x  2  x  0 

x

/ x  2  x  0

f)





25. Aplica procedimientos para resolver inecuaciones lineales. a) x 7

8

e) x (3 2x) 2x

5

b) x 3 9

f)

2(x

3)

7

2 (7

x)

c) 12

14

g) (2x

5)

(x

9)

(5 x)

7

h) 4(x

5) 3(x

d)

10

x

x



2)

x 1

31

34/100

5/9/2018


i)

3(x

2)

x

(x

1)

4(2x

j)

3)

3x

4(x

1)

26. Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto: a)

2x

6

4

f)

x

3

b)

7 3x

2

g)

3

7x

2

c)

4

2x

h)

4

x

2x

d)

3 7x

i)

7x

x

5

5x

4

2x

e) 8

10

4

10

5x

5

4x

7

c) 0

53

x

1

d) 10

x

6 x

5

j)

8

27. Resuelva las siguientes inecuaciones compuestas: a) 3x b)

2

x

1

5

4x

4

2x

15

Criterio De Evaluación Resuelve problemas que involucren ecuaciones, inecuaciones y/o sistemas de ecuaciones lineales, mediante diverso métodos.

28. Tengo cierta cantidad de dinero. Gasto total en un primer artículo; luego gasto

1 4

1 3

del

de lo

que me queda en un segundo artículo y aún me quedan $5.400. ¿Cuánto dinero tenía?

32. Pedro y Luis tienen en total $3.800. Si Ped

gasta $600 y Luis gana $400, Luis tendrá el dob de lo que tendrá Pedro. ¿Cuánto tiene ca uno?

33. Tengo una deuda de cierta cantidad de diner Pago

29. Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.

30. Un pequeño aeroplano que transporta pasajeros y carga admite un peso máximo de 1758 libras para ir con seguridad. Si los pasajeros pesan 638 libras, ¿cuántas cajas de 85 libras cada una pueden ser transportadas como carga de seguridad?

31. La suma de un número con su doble es 18. ¿Cuál

1 5

del total; luego pago

1 4

de lo que m

queda y aún debo $8.400. ¿Cuál era el mon inicial de la deuda?

34. En un corral hay conejos y gallinas. Si en to

hay 40 patas y 14 cabezas. ¿Cuántos conejos gallinas hay?

35. Tengo en mi bolsillo 37 monedas de $50 y $1

y en total tengo $2.600. ¿Cuántas monedas d $50 y cuántas de $100 tengo?

es el número?



32

35/100

5/9/2018


36. Si pago los dos quintos de una deuda quedo

46. El perímetro de un jardín rectangular es de

debiendo $45.000 más los tres décimos de la deuda. ¿A cuánto asciende la deuda?

metros. Si el lado mayor mide 11 metros m que el lado menor. ¿Cuánto miden sus lados?

37. En un curso la mitad de los alumnos estudia

47. Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro

Trabajo Social, la sexta parte estudia Ingeniería en Construcción, la octava parte estudia

hace en 6 horas. El depósito está vacío y abren los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiem

Ingeniería en Informática y los 25 restantes estudian Administración de Empresas. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?

tardará en llenarse?

38. Un reloj se adelanta 90 segundos por día. ¿En cuántos días el reloj marcará un aumento de 12 minutos?

39. Si con 134 litros de agua se llena un estanque sólo en sus

2

48. Un examen consta de 20 cuestiones. Ca

cuestión correcta se valora con 3 puntos, y cad cuestión incorrecta se restan 2 puntos. Si al fin de la prueba el alumno respondió todas preguntas y consiguió 30 puntos. ¿Cuánt cuestiones contestó correctamente y cuant no?

partes. Determine la capacidad del

49. En una función de teatro hay dos preci

40. Se compran 3 artículos A, B y C. El artículo A

diferentes de entradas. Las numeradas venden a $7.200 y las generales se venden $5.500. Si se venden un total de 162 boletos y venta total es de $1.050.800, ¿cuántas entrad de cada tipo se vendieron?

3

estanque.

costó $150. El artículo A y el artículo B costaron las tres cuartas partes del valor de C y el artículo C más el A costaron $50 más que el doble del valor de B. ¿Cuánto costó cada uno?

41. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4, ¿Cuál es el cuadrado del número mayor?

42. La suma de las longitudes de dos pasadores metálicos es de 21 cm. Si la longitud de uno de ellos es el doble de la longitud del otro. ¿Cuál es la longitud de cada pasador?

43. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos suman la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?

44. Un operador telefónico informa a un cliente que el cobro por una llamada a España, es de $900 por los tres primeros minutos y $380 por cada minuto adicional. Cualquier tiempo adicional a un minuto será redondeado al siguiente minuto. ¿Cuántos minutos adicionales puede hablar si cuenta con sólo $5.000?

45. Un boleto de cine para adulto tiene un precio de $3.200 y para un niño $2.500. Para un espectáculo se venden un total de 152 boletos. Si se recaudaron $420.600 en total para un espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron al espectáculo?



50. En dos depósitos de agua A y B hay un total d

48 litros de agua. Si del depósito A se sacan litros y se colocan en el depósito B, amb depósitos quedan con igual cantidad de litros agua. ¿Cuántos litros de agua había inicialmen en el depósito A?

51. Determinar un número entre 300 y 400, si suma de sus cifras es 6 y que leído al revés 41 del número buscado. 107

52. La suma de tres números es 37. El men disminuido en 1 equivale a

1 3

de la suma d

mayor y el mediano. La diferencia entre mediano y el menor equivale al may disminuido en 13. Hallar los números.

53. Entre Ana, María y Paula tienen 140 mil pesos.

María tuviera mil pesos menos tendría lo mism que Paula. Si Ana tuviera cinco mil pesos m tendría el doble de lo que tiene Paula. ¿Cuán tiene cada una?

54. Hallar los números enteros cuyo terc

aumentado en 15 sea mayor que su mit aumentada en 1.

33

36/100

5/9/2018


55. Las alturas h, en centímetros, de dos tercios de una

compañía desea que dicho costo sea menor igual que 10.000 dólares. ¿Cuál es el val máximo de m?

población satisfacen la igualdad: 4,5 . Hallar el intervalo de la recta

h 172

real en que varían dichas alturas.

56. D

59. En la fabricación y venta de un producto, l

ingresos al vender x unidades son: I 115,95 El costo de producción de x unidades e

    L

quinta parte de un número disminuido en 3 es

C 95x 750 . Para obtener beneficios ha ser I C . ¿Para qué valores de x se logr beneficios?

     

57. Hallar los números cuyo triple menos 6 sea mayor o igual que su mitad más 4.

60. La producción diaria estimada, p, en u

58. Una compañía de transportes tiene una flota de

refinería verifica:

camiones cuyo costo de funcionamiento por cada camión se estima en: C 0,32m 2300 , con C medido en dólares y m en kilómetros. Si la

p

2.250.000

125.00

donde p es medida en barriles de petróle Calcular la producción máxima y mínima.

SOLUCIONES

     b)  c)  d)    e)   f)  g) Una posible solución:  h)          i)   j)   k)  l)       2. a) 5 b)  c)  d) 25 e)    4. a) 3x b)  c)   d)    e)  f)   g) 0 h) 0 i) 3. a)  b)  c) 1 d)   e)    j)  k)  l)  m)  n)   o)  p)   q)       r)   s)      t)         5. a)  b)  c)     d)  e)  f)  g)      h)    6.    7.          1. a)

8. a) 3x5 y 8

c) a2n1

b) 42p6r12

1

1

6

5

j) 9x8  6x6  3x5  6x3  9x2 k)  a3b  a3b2 o) u  4u v  4uv  v 3

2

2

p) x  y 3

3

e) p6x 7

d) 144a4 b8 c10

3

f) 0,1053a10b18

g) a9b 7

l) x3  xy2  x2 y  y 3 m) 2x3  10x2 y  12xy2 n)

q) 3x  3a  2

r) 7a  7b  3ab

s) 4x  6y  3

1

h)

3

a3



16 3

a2

i)

4

15

a9b 11c

2

3 3 x10 y 4 z10  x 7 y 3z8  x 6 y2 5 5 5

u) 2x2  5ax  x a 

t) 9x  22

v) pn2  pn2qn  p2qn  pnq2  pnqn2  qn2

 b)  c)  d)   e)  f)   g)  

9. a)

10. a) a2  12a  36

b) 36x2  60xy  25y2

f) 13a2  42ab  34b2

g)

9 16

a4b6 

9 10

a3b9 

c) 81x 4  126x2 y2  49y 4

9 25

i) 4x2  9x2 y2

h) u2  v2

a2b12

e) 16p2q2  24pq2  9

d) x2  2x  1

j) 81m4  9n2

k) a2  25

l) a3  3a2b  3ab2  b3 m) p3  3p2q  3pq2  q3 n) 8x3  36x2 y  54xy2  27y3 o) 8x3  36ax2  54a2 x  27a3 p) 2ac  2c2

 11. a) b) c) d) e) g)  f)  3b u  v  m)  h) 5q  i) x 1  y  y a  b c  d l) 2a  x  y  x  y  y  j) 12xy 2  6p  3pq   2a  3xy  k)  5

n)

2

10a  8b 10a  8b  3

3

2

o)

3

12b

5

4

2

2

 11c3  12b5  11c3 

2

2

p)  x  7 

2

q) 3x  1

r)

x

2

2

 1

s)

 x  2  x 

t)  a  5  a  6  u)  x  2  x  3  v)  x  p  x2  xp  p2 

 c)  d)  e)  f)  b)    h)  i)      b)   c)    d)    f)  g)  h)  i)  

12. a) g) 13. a) e)



34

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j) p) u)

   k)      l)  m)  n)  o)      q)    r)       s)  t)    v)   w)    x)      1

14. a)

b)

ax 3

m

c) 25x5 y4 z3 d)

9n

2

1

e) 2x  5  f)

pq

2a  3b

 4a  5 h) 2a2  4a 2

a

h)

2x  3  5 i)

e) 3 f)  e)  l) 

m)

16. a)

2 19

20 3

9 7

20. a)

ab

904   x  541 j)  y   998  541

7 5x

b)

5x

p) x  11 15. a) a 2b x  10

2

x

ab

c)

3x

b) m

2

6  4x

d) 

b

1 5

h) 

a a 1

310 83

b)

i)

1 a b

5 7

c)

9 8

j)

1 2

11

b a

l) 2 m)

19. a)

4

2

 x 4 x  0 21. a)  b)  y  2 y  1

125  x   67 k)   y   91  67

k)

d) ab

1 3

e)

e)

2

37

n) 

7

i)

a5

j)

a 9

1

1

2 a b

k)   x  2  l) x

x5

3 5

d) 2a2  2a e) x  7x  10 x 1



5a 3  2a  3  2a

f)

9  2a 3

o)

x2 1 2

15

18. a)

2

387 109

f) n g)

bc a

h) 

1 2

i)

a 6a  1

j)

g)

3

4  x 

3

a b 3a  3

x 1 7

g)

2  x  1

 3 xy  3 y 2 17. a)  1 4 p)

f) 2

2



a4b

b) 2 c) 3 d) 

b) 

b) 30 c) 2 d) 9 e) 3 f) 14 g) 10 h) 

x  7 x  4 c)  d)  y  2 y  6

  x 7  9  22. a) y   2  5  z   2

m 3

m6

2

c) 6x  2 x

11  2x   3  2 x  1  a a b b j) x  4 y k) l) 3 3 a b 5  4x

g) 19 h) 3 i) 3 j)

f) 3 g)

1

o) a  b c d

h)

x 3

2

2

n) x 4  3y2

m) 3a  6 2a  4

x 1

g)

2 7

ab a 1

5 7

c) 

i)  k)

19 17

2

d) 

3

j) 4 k)

6a 2

a

2

l)

2

1

a



2  x  x  1 x  0  x5 x   e)  f)  g) h) i) 5     y 2 y  0 y  5  y  0 y 



x  1 No tiene Infinitas  b)  y  0 c) d) solución soluciones z  2 

1   x5  x  5 x    8    e) y   f) y  2 g) y   3  z 1  z    23   z  15

 x 1  h) y  2 23. a) 1,15 b) 8,0 c) ,10 d) 12,  e) 11,890  f) 0,5;  24. a)  b)  0,1 c) 5,   z  4  d) e) 2,  f)  2,  ,1 b) 12,  c) ,2 d) 3,  e) 8,  f) , 18 g) , 1 25. a)  5   5 5  27 37  h) , 25 i)  5,  j) 16,  26. a) 1,5  b)  ,3  c) 4,  d)  ,  e)  ,  f) , 7  1,   3   3 3  16 16  5  1 4 5   5 51   61  1  14        g)  ,     ,  h)  ,  i)  ,    ,   j)  ,    ,  27. a)  , 2  b)  c)  5 ,3 7  7 3 6  6 32   32          

d) 9, 8 28. $10.800 29. 4 30. 13 cajas 31. 6 32. Pedro S1.800; Luis $2.000 33. $14.000 34. 6 conejos y 8 gallin 35. 22 monedas de $50 y 15 monedas de $100 36. $150.000 37. 120 38. 8 días 39. 201 Litr 41. 144 42. 7 y 14 cm 43. 10,13 y 17 años 44. 10 min 45. 58 adultos y 94 niños 46. 20 y 40. $150, $450 y $800, respectivamente. metros 47. 2,4 horas 48. 14 correctas y 6 incorrectas 49. 94 numeradas y 68 generales 50. 36 Litros 51. 321 52. 10, 12 y 53. Ana $67.000, María $37.000 y Paula $36.000 54. ...,1,2,3,4,...,81,82,83

 335 353 



1

, 55.  56.  ,   57. 4,  3 2   2 

58. 24.062,5 km 59. 35,8;  60. Producción máxima de 2.375.000 y mínima de 2.125.000 barriles de petróleo.



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36

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4. FUNCIONES 4.1 Relaciones y Funciones Aprendizaje Esperado Representa diversos tipos de funciones, en forma analítica y gráfica, considerando sus características esenciales. Criterio De Evaluación Identifica las características principales de las relaciones y/o funciones reales.

     

1. Sean y . a) Determina el producto cartesiano de los conjunto A y B. b) Escribe tres relaciones de A en B.

   y   . Sean  una relación definida por         . Escrib

2. Sean R por extensión.

3. Dadas las siguientes relaciones definidas gráficamente, escribirlas señalando sus pares por extensión. a)

A

R

B

a

1

b

3

c

5

b)

  . Hallar el dominio y recorrido de R. Sean  una relación definida por     . Hallar el dominio y recorrido de R. Sea  una relación definida por   r. Determina:

4. Dada la relación en 5. 6.

a) Hallar A y B

b) c) Grafica Grafica en en un un diagrama diagrama sagital. cartesiano. 7. Sean a) b) c)

   y   . Dadas Las relaciones de A en B, determinar cuáles son funciones.               



d) e)

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8. Considerando el conjunto

  , el conjunto    y la relación de dependencia,

correspondencia entre A y B que asigna a cada elemento su cuádruple Decide si esta relación es una funció

de A en B y determine su dominio y recorrido.

9. Sean a)

c)

las funciones definidas por los siguientes diagramas. Determinar si

 A

B

f 1

b)

A

B

f 2

1

5

1

5

2

6

2

6

3

7

3

7

4

8

4

8

A

B

f 3

1

d)

5

2

6

3

7

4

A

es uno a uno, sobre o biyectiva



B

f 4

1

5

2

6

3

7

4

8

10. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

y

y

x



y

x

y

x

x

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11. Indique para cada función:  Dominio y recorrido  Intervalos de crecimiento y decrecimiento.  Puntos de corte con los ejes.  Valores extremos. Máximos y mínimos de una función. y

40 20

15 x

0 -5

-4

-3

-2

y

30

-1

0

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

0

-20

-15

-40

-30

y

30

x

0

1,5

1

2

3

4

5

y

1

20

0,5 10

-5

-4

-3

-2

x

0 x

0 -1 0 -10

1

2

3

4

-8

-6

-4

-2 0 -0,5

2

4

6

8

-1

5

-1,5

5

y 20

y

3 1

10

-1 0

x 1

2

3

4

-3 x

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1



2

3

-5

4

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Criterio De Evaluación Grafica funciones determinando puntos de ella a trav és de la construcción de tablas de valores y de análisis del Dominio y Recorrido.

12. Dada la función

   . Determine:

a) Dominio y recorrido de la función f. b) Complete la siguiente tabla de valores.

           

1,8

2,2

2,5

3

4

       Determine  Dominio y recorrido de g

13. Dada la función real:

a)

b) Construya una tabla de valores adecuada y esboza una gráfica aproximada de la función

14. Para cada una de las siguientes funciones: 

Determine el dominio y recorrido



Construye una tabla de valores adecuada y grafique

a) b) c)

         

d) e) f)

             

    . Construya una tabla de valores para los siguientes casos y grafique entre  y    a)  e)   b)  f) Compare los resultados c) y establezca alguna conjetura d)  

15. Si



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16. Haga una gráfica aproximada de las funciones representadas por las siguientes tablas de valores: a)

          b)

          c)

              Criterio De Evaluación Operar y/o componer funciones aplicando propiedades algebraicas.

17. Evalúe las siguientes funciones en los siguientes puntos: a) b)

    

  ,   ,   e)      f)    g)     

      d)       c)

18. Con las funciones del problema anterior, halla una expresión para: a) b)

  

  

c) d)

  

19. Dadas las siguientes funciones , encuentre para cada una de ellas, si existen, las imágenes de preimágenes de y 5:



a) b) c)

       



d) e) f)

 y , y l

        41

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20. Sean a) b) c)

21. Sean a) b) c)

22. Sean a) b)

  y     , dos funciones reales. Halla:   d)   e)    

   y     , dos funciones reales. Halla:     

  

d) e) f)

    y   , dos funciones reales. Halla:

c) d)

  

 

4.2 Función Afín y Función Cuadrática

Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan funciones polinomiales (afines y cuadráticas).

Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones lineales y/o cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.

23. Grafica las siguientes funciones lineales, indicando la pendiente y el coeficiente de posición de cada una:

   b)       c)   

  e)      f)     

a)

d)

24. Dada la tabla indicada grafica la función lineal que representa los datos. a) x: Libro y: Valor, $

1 2.000

2 4.000

3 6.000

4 8.000

5 10.000

b) x: Tiempo, minuto y: Temperatura, °C

0 19,8



2 22,3

4 24,8

6 27,3

10 32,3

42

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25. Un corredor de la bolsa cobra $20.000 más $25 por cada acción comprada o vendida. La comisión c de es corredor, en pesos, es, entonces, una función del número de acciones n transadas, . Realiza gráfico de esta función para n entre 0 y 10.000.



26. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, indicando las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la intersección con el eje y: a) b)

       

       

c) d)

27. Grafica las funciones cuadráticas representadas por las siguientes tablas de valores. a)

  





















b)

   

28. Represente la función que relaciona el costo total de producción de una industria de maquinaria pesada, C (en millones de dólares), con el número de unidades fabricadas, x, es:

     

Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones cuadráticas, aplicando diferentes métodos.

29. Determinar las raíces o ceros de las siguientes funciones de segundo grado

    b)       c)       d)      

  f)      g)      h)     

a)

e)

30. Resuelve: a) b) c)

     

d) e) f)

31. Resuelve mediante factorización las siguientes ecuaciones: a) b) c)

     



d) e) f)

           43

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32. Resuelve mediante completación de cuadrado del binomio: a) b) c)

          

d) e) f)

     

33. Resuelva por cualquier método las siguientes ecuaciones: a) b) c)

         

d) e) f)

     

34. Resuelve y comprueba las soluciones encontradas: a) b)

              

c) d)

            

35. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado

a) b) c)

           



d) e) f)

               

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Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, mediante funciones polinomiales, de manera analítica y gráfica.

36. En cada gráfico, determina la pendiente, el coeficiente de posición, el intercepto con el eje x y la expresión q representa cada función lineal. a)

b)

c)



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37. Encontrar la expresión de la función lineal que se asocia al ingreso por la venta de cierto número de artículo si se sabe que por la venta de 40 artículos ingresaron $4.500, y por la venta de 15 artículos el ingreso fue d $2.000.

38. Una compañía que fabrica cierto producto tiene $32.000 en Costos fijos. Si el Costo variable por producir un unidad es de $ 4. Encontrar la función lineal Costo total de este producto y el valor de este Costo por fabricación de 50 unidades.

39. Si en el ejercicio anterior se considera que cada producto fabricado se puede vender a $ 6. ¿Cuál será la funció lineal Ingreso y cuál será la función lineal Utilidad de esta operación?

40. En la producción de una Industria, el Costo Fijo es de 6500 dólares a la semana y el Costo Variable por elaboración de ciertos productos es de 9 dólares la unidad. Escribir la función lineal Costo Total y calcular monto de este, para la producción de 1500 de estos productos.

 

41. El Ingreso por la venta de ciertos artículos para repostería está dado por: pesos y el costo producirlos por pesos. Determinar la Utilidad si se producen y venden en un día 50 de est artículos.

 

42. En una Industria de tubos de polietileno, se necesita una función para determinar la bonificación mensual sus operarios con relación a su producción. Si todos los trabajadores reciben de sueldo base $105.500 y producción mensual es de 9.000 Kg de acuerdo a la exigencia máxima de las máquinas. El bon correspondiente por cada Kg producido se cancela a $ 12. ¿Cuál es la función para determinar la bonificació por trabajador? ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 kg?

43. El costo de imprimir u diario es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al número d ejemplares impresos. a) Escribe la función lineal que exprese esta variación conjunta si el costo de imprimir 500.000 diarios de 3 páginas es $75.000.000. b) ¿Cuál sería el costo de impresión para 600.000 ejemplares de un diario de 20 páginas?



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44. Para las siguientes gráficas determina:  Signo del coeficiente a.  Signo del coeficiente c.  Signo del Discriminante 

  

Raíces o ceros de la función cuadrática. Coordenadas del vértice. Intercepto con el eje y.

a)

b)

c)

d)



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45. La distancia que recorre un vehículo desde que el conductor toma la decisión de pisar los frenos y el momen en el que realmente se detiene el automóvil, se llama distancia de frenado. Para un automóvil que viaja a kilómetros por hora, la distancia de frenado d en metros está dada por: ¿Qué distancia frenado tendrán un automóvil que viaja a 120 km/h?

   

46. Una empresa produce un bien, cuyo costo promedio (en miles pesos) para x unidades, viene dado po ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades del bien?

  

47. Se lanza un objeto desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con cierta velocidad inicial. Cuando ha transcurrido t segundos desde el lanzamiento, su altura h en metros está dada por ¿Cuál es la altura que alcanza el objeto a los 2 segundos?

   

48. Un fotógrafo tiene una foto de 18 por 24 cm (centímetro). Desea reducir la foto la misma cantidad de cad lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área de la foto original. ¿En cuánto tiene que reducir l longitud de cada lado? 49. Si la ecuación

  tiene una solución igual a , ¿Cuál es el valor de k?

50. La suma de tres veces un número entero positivo con el cuadrado del número es 154. ¿Cuál es el número?

51. El producto de dos números enteros positivos es 88. Si uno es 3 unidades mayor que el otro, encuentre lo números.

4.3 Función Exponencial y Función Logarítmica

Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan funciones exponenciales y logarítmicas.

Criterio De Evaluación Calcula y/o reduce expresiones logarítmicas numéricas y/o algebraicas, mediante el uso de la definición y sus propiedades.

52. Calcula: a) b) c)

        



d) e) f)

      

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53. Aplica propiedad de logaritmos y desarrolla las siguientes expresiones: a) b) c)

        

d) e) f)

    

54. Reducir a un solo logaritmo: a) b)

                     

c) d)

     

Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones exponenciales y/o logarítmicas dadas mediante enunciados, tablas o expresione algebraicas, indicando sus elementos característicos.

55. Grafique las siguientes funciones exponenciales de acuerdo a las tablas de valores entregadas:

x

      

          



   

     

      

x

      x

     

     

56. Grafique las siguientes funciones partiendo de los gráficos anteriores. Determine su dominio, recorrido y asíntotas. a) d) b) e) c) f)

         



          

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57. Grafique las siguientes funciones logarítmicas de acuerdo a las tablas de valores entregadas:

x

      

x

   

 

0,1

2,30

0,5

0,69

1

0

1

0

10

1

2

100

2

3

1.000

3

4

  

x

2

0,01

1

0,1

0

  

   

  

Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones logarítmicas y/o exponenciales, aplicando diferentes métodos.

58. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) b) c) d) e) f) g)

                          

     i)     j)       k)      l)      m)      h)

59. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) b) c) d)

                   



e) f) g)

                

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Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando métodos gráficos y/o analíticos.

60. Una población de bacterias crece de forma tal que en el tiempo t su tamaño está dado por: Si se sabe que . a) Determina la población inicial. b) Calcule A, con tres decimales exactos.

    

61. Se invierte $2.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto tiempo le llevará incrementarse a $2.500.000? 62. Debido a una depresión económica una cierta región tiene una población que decrece. En 1990 la población fue de 700.000 habitantes y de ahí en adelante se rigió por la función: , donde t representan los años desde 1990. Suponiendo, que esta tendencia continúa, calcule la población proyectada para el año 2011.

  



63. El volumen de ventas de una marca de jug crece a un 8 % anual compuesto. Si el actu volumen de ventas es de 1.000 unidad diarias. ¿En cuánto tiempo se alcanzará la cif de 1.500 unidades?

64. La población de un cierto país era de 8.000.00 de habitantes en 1995 y está creciendo a un tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa crecimiento continuará. ¿Cuándo alcanzará es país los 10.000.000 de habitantes?

65. Un modelo para el crecimiento de la població

P de un país a los t años está dada po ¿Cuántos habitant habrá a los 5 años?

   

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5. PROGRESIONES 5.1 Sucesiones Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades, teoremas y gráficos para analizar el comportamiento de una sucesión.

Criterio De Evaluación Utiliza reglas de los números para obtener el término general de una sucesión a partir de los primeros términos de ella.

1. Determinar el término general de las siguientes sucesiones. a) a n  0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; 0,00005; 

h)

m n  10,  15,  20,  25,  30, 

b) b n  11,  13, 15,  17, 19 

i)

k n  0,5; 0,25; 0,125; 0,625; 0,3125; 

j)

s n  3; 3;



1 1 1 1  , , , ,   3 5 7 9  d) d n  0, 3, 8, 15, 24,

c) c n  1,

e) f n  0,  1,  2,  3,  4,  f)

g n  1, 2, 1, 2, 1,



 t n   9, 1

 3; 3;  3; 

k) r n  1 , 1 , 1 , 1, 1 ,... 2 4 6 8 10 l)



8 , 7 , 6 , 5 ,...  3 9 27 81

g) h n  3, 7, 11, 15, 19, 

Criterio De Evaluación Aplica propiedades para determinar si una sucesión es monótona y acotada.

2. Determina cuál o cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes o monótonas crecientes. a) a n  1 ,1, 2,3,5,8,13,21, b) b n   n c) b n  d) c n 

 1 n1 n 2 n 3

e) a n 

n n 2 1

f)

 1 1 1 1  b n  1 , , , , ,  2 3 4 5 

g)

bn

n 1 n2

3. Determina cuál o cuáles de las siguientes sucesiones son acotadas o no acotadas. a) a n  b) b n 

n 2n  1 n2  3 n 1

c) c n 

2n  1 n3

1



d) d n  2n  1

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Criterio De Evaluación Aplica los teoremas de las sucesiones monótonas y acotadas para probar si una sucesión es convergente.

4. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son convergentes? a) a n 

1 n1

n 2

 

b) a n     c) b n 

dn 

f)

3

g) d n 

h) f n 

2n n!

1 2 n 1 n  1 1   n   2 n

2

d) b n  2n e) c n 

2 n  3  n

5.2 Sumatorias Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades y fórmulas para calcular sumatorias. Criterio De Evaluación Calcula sumas parciales de sucesiones mediante propiedades.

5. Escriba en forma de sumatoria y calcula la suma de las siguientes series:

a) 1 + 3 + 5 + 7 +  + 23.

f) 2+4+8+.............+4096

b) 1 + 4 + 7 + 10 +  + 43 c) 1 + 2 + 3 + 4 +  (100 términos) d) 1 + 4 + 9 +  + 121. e) (24 términos)

g)  1  3  5  7  ... ... (15 términos)

     

5

8

7

14



h) (12 términos) i) 4+18+48+100+180+294.

Criterio De Evaluación Calcula sumatorias aplicando fórmulas y propiedades.

6. Escriba todos los términos de cada sumatoria y calcula su valor: 5

(1)  (i  1) i 1 2

a)

12

k 1



k 1

b)

 i 1

k 1

7. Desarrolla las siguientes sumatorias y calcula sus valores: a)

6 1

c)

 (2i  1)

d)

i1 5

b)

i1



5

8

i

 i2

e)

 i3

f)

i1 4 i1

 (1)i  i

i1 10

  1i1  i 1

i1

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n

g)

n

h)

 2i

2i1 1 i 1

i1

8. Calcula las siguientes sumas aplicando propiedades a)

5

 2i3  i  3

i1 7

b)

30



k k  3  k 20 10 d) 2k  (1  k) k 8

c)

  3i3  2i2  i  6 



i1

Criterio De Evaluación Aplica la propiedad telescópica para determinar una expresión que permita calcular directa mente el valor de una sumatoria.

9. Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la propiedad Telescópica: n

a)

i 1 100

b) c)

d)

n

1

 i  (i  1)



2 2

e)

 j·j!

j1

n

f)

k 2 k  1 2n 1 2 4k  1 k 1 n

 log

k 1 80



g)



k 1 k 1

k 1 k  1  k

1  (3k  2)(3k  1)

k 1

Criterio De Evaluación Utiliza fórmulas para calcular sumatorias.

10. Calcula: 25

a)





 i  5  32 i2 i 5

8

c)

 (k  2)

k 1



6

e)

j 3

10

b)

 (3  5j) 9

d)

 (u3  u2  20)

u5

 (1)k 2k

k 1 5

f)



i i 1

i 1 2

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5.3 Progresiones Aprendizaje Esperado Aplica propiedades y fórmulas de las progresiones para resolver problemas de aplicación. Criterio De Evaluación Aplica las propiedades y fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas, en el cálculo de elementos desconocidos de ella.

11. Escribe el término general de la progresión aritmética, dados: a) a1 = 7; d = 5 b) a1 = 74; d = -12 c) an = 100; d = 15 12. Determina la diferencia en las progresiones aritméticas siguientes: a) 13; 20; 27; 34; ... b) 68; 59; 50; 41; ... c) 11/2; 33/4; 11; 51/4; ... 13. En una progresión aritmética, el séptimo término es 35 y el noveno 83. Calcular el octavo término y d. 14. En una P.A. el quinto término es 149/6 y el séptimo es 363/4. Calcular el sexto término y la diferencia. 15. Dada la PA: 9, 14, 19, ...; calcular el 16º término. 16. Dada la PA: 15, 24, 33, ... calcular el 12º término. 17. Dada la PA: 8, 20, 32, ...; calcular el 21º término. 18. Si: a1 = 12; d = 7; n = 15; calcular a n 19. Si: an = 153; d = 11; n = 14; calcular a 1 20. Si: a1 = 23; an = 131; n = 13; calcular d. 21. Escribe el término general de la progresión geométrica, dados: a) 7, 21, 63, 189,... b) 512, 128, 32, 8,... 22. Formar seis términos de una P.G., dados: a) a1 = 2; r = 5

b) a1 = 7; r = 4.

c) a3b, a4b2, a5b3, a6b4, c) a1 = 2916; r = 1/3

23. El producto del 4° término de una P.G. por el 6° término es 5184. Calcular el 5º término. 24. El tercer término de una P.G. es 15 y el quinto es 735. ¿Cuál es el cuarto término? 25. Si: a1 = 8; r = 4; n = 7. Calcular a n 26. Si: a1 = 5; r = 4; an = 20480. Calcular n.



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27. Dados a1 = 5, r = 3; an = 1215. Calcular n, 28. Dados a1 = 9; an = 36864; n = 7. Calcular el cuarto término. 29. El octavo término es 384, el primero es 3 y el sexto es 96. Formar la P.G.

Criterio De Evaluación Calcula la suma de los enésimos primeros términos de una progresión aritmética o geométrica mediante el uso de fórmulas y propiedades correspondientes para cada caso.

30. Calcular Sn dados: a) a1 = 20; an = 185; n = 12. b) a1 =15; n = 14; d = 9 c) a1 = 160; n = 14; d = -12.

31. En una PA el quinto término es

d) a1 = 2; r = 3; n = 6. e) a1 = 8; r = 5; n = 4 f) a1 = 1215; r = 1/3; n = 6

11 , el séptimo es 7. Si tiene 13 términos, 3

calcular:

a) el primer y último término. b) la suma de los trece primeros términos. 32. En una PG el octavo término es

1 4

y el noveno

1 8

. Si tiene 20 términos, calcular:

a) el primer y último término. b) la suma de los veinte primeros términos.

33. El primer término de una progresión aritmética es 14, y la diferencia entre dos términos consecutivos es -4. D acuerdo a lo anterior, calcule la suma de los 26 primeros términos.

Criterio De Evaluación Aplica propiedades y fórmulas de progresiones aritméticas y geométricas en la resolución de problemas...

34. Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9.330. Determinar lo que ahorró el primer y el último mes. 35. Un padre proyecta colocar en un baúl $ 100 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego?



36. Una máquina costó $ 9000. Se calcula que final de cada año sufre una depreciació igual al 15 % del valor que tiene al princip de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de años?

37. El número de bacterias de un cultivo es aumentando un 25 % cada hora. Si principio había 300.000 ¿Cuántas bacteri habrá al cabo de 5 horas?

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38. El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19.000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? 39. Una ciudad tiene 600.000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años? 40. El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 10.000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? 41. La población de una ciudad aumenta en 35% cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40.000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? 42. Se quiere construir un muro de ladrillo en forma triangular, para ello cada fila debe contener 4 ladrillos menos que la fila inmediatamente anterior. Si en la primera corrida hay 601 ladrillos y en la última hay 1 ladrillo entonces determine la cantidad total



de ladrillos que se necesitan para constru el muro.

43. Calcular cuánto artículos de una mism especie habían en una bodega de un loc comercial, si el primer día se sacaron par reposición 2.000 artículos, fu disminuyendo la reposición en 50 diarios los artículos de la bodega duraron 30 días. 44. La suma de 3 números en P.A. es 48 y la sus cuadrados es 800. Hallarlos.

45. Si Raúl gana $100 el 1° de enero, $200 el de enero, $300 el 3 de enero y así e adelante. ¿Cuánto dinero ganó en un mes?

46. Un jugador apuesta en el primer juego U$5 como perdiera, duplicó la apuesta en segundo juego, con el mismo mal resultad Continuó duplicando la apuesta, hasta q en el octavo juego, apuesta el dinero que quedaba. ¿Cuánto apuesta en el último jueg y cuánto perdió?

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6. GEOMETRÍA 6.1 Elementos Básicos de la Geometría

Aprendizaje Esperado Resuelve expresiones numéricas y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad que involucren triángulo aplicando la trigonometría triangular. Criterio De Evaluación Utiliza símbolos y figuras para distinguir líneas, semirrectas, rectas y segmentos.

1. En la siguiente figura identifique los puntos, semirrectas, rectas y segmentos. Z J

G N

S

M Y

I

F

O

B

P

V Q A L

C

T

E

H

D

Criterio De Evaluación Utiliza fórmulas de conversión para transformar medidas de ángulos de un sistema a otro.

2. Transformar de radianes a grados sexagesimales: a) b)

 5

 3

g)

h)

5 3 4 3

m)

n)

o) 25 

 c) d) e) f)

6

i)

2 3 3 2

10

5 19



3

4





j) k)



l)

5 4 4 9 4 5

 2

p)

6 13



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3. Transformar de grados sexagesimales a radianes a) b) c) d) e)

150° 90° 60° 45° 30°

f) g) h) i) j)

480° 20° 18° 420° 360°

k) l) m) n) o)

30            

Criterio De Evaluación Aplica definiciones y teoremas para calcular ángulos mediante condiciones y/o figuras dadas.

15. Si L1 L2 y L 3 L 4 y L1  L 3 . Hallar x.

4. Si   48 16' 5'' y   85 14' 13'' . Calcula  

L3

34

L1

5. Si se tiene   100 75' 25'' y   46 54' 50'' . Calcula 2  3 L



2

6. Calcular el suplemento de   25 25'25'' 7. Determine el complemento de   60 8' 25'' . 8. Dos ángulos forman un ángulo recto, si uno de ellos mide 67 23' , ¿Cuánto mide el otro ángulo?

L4

16. Si L1 L2 ,  :   5: 6 . Determinar la medida todos los ángulos.  L1

9. Dos ángulos forman un ángulo llano, si uno de ellos mide 74 45' , ¿Cuánto mide el otro ángulo? 10. Dos ángulos forman un ángulo recto y están en la razón 2:3. ¿Cuánto mide cada ángulo? 11. En un triángulo dos de sus ángulos son 74 45'55'' . ¿Cuánto mide el 50 40'30'' y tercer ángulo?







L2

 70

17. Si L1 L2 ,  :   7 : 3 . Determinar la medida todos los ángulos.

12. Cuatro ángulos , , y forman un ángulo completo, además se sabe que:   ,   ,   y  . Hallar la medida de x y cada ángulo



L1

 

100



L2



13. Si tres ángulos  ,  y  están en la razón 3:5:7. Si sabe quese siguiente 9se  cumple . Hallarla la medidaexpresión: de cada ángulo. 14. Si se sabe que en la figura adjunta,   y   . Calcular la medida de todos los ángulos.

18. Si L1 L2 y L3  L 4 . Además,   28 4 % de 7

Determinar la medida de cada ángulo. L4

L3



 L1









 L2

 



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19. Si L1 L2 . Además:  ,   y   . Calcular la medida de cada ángulo.

20. Calcula la medida del ángulo

7

3





L1

4









L2



6.2 Curvas, Polígonos y Circulo Aprendizaje Esperado Utiliza técnicas y fórmulas de los polígonos y círculo para resolver problemas geométricos y/o de su especialidad.

Criterio De Evaluación Aplica fórmulas y teoremas para determinar elementos de triángulos y cuadriláteros.

21. Calcular la medida de los ángulos que se indican: C

a)  CAB

d)  x

80

72 A

B

b)  QPR

X

32

R

40

e) PSQ, si RP  QR , PS bisectriz del  RPQ R

125 P

S

S

c) x

Q

P

81

X

f) x + y, si PR // ST R

70

60

T

y

P

22. El ABC es equilátero BDC es rectángulo isósceles, entonces el ángulo  mide: C

D

 A

70

x

Q

S

23. El cuadrilátero ABCD es un trapecio rect Determina el ángulo que falta. C

D 145

A

 B

B



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24. Calcular: PSQ=20°

TRQ, si PSRQ es un rombo y

D

R

S

29. Sea ABCD rectángulo. Determine el ángulo x. C

30

Q

T

P

x

25. En el cuadrilátero AB  CD y AD  BD  CD . ¿Cuánto mide  ?

A

B

30. Sea ABCD trapecio. Determine el valor de  y

D

C

D 40

B



2  5



C

 5

A

B

A

26. ABCD cuadrado, ACE triángulo equilátero. Calcular
31. Si CD  AB , CE bisectriz de
E

x D

C

A

120 A

B

27. ABC triángulo equilátero y BDEC cuadrado. Calcular el ángulo x.

D

140 B

E

32. ABC triángulo cualquiera. AM bisectriz
C

E C

 x x

D A A

B

33. Sea ABCD cuadrado. Si DC  EC , entonc ¿cuánto mide el ángulo x?

28. Sea ABCD paralelogramo. Calcular el valor de x. D

15x

B

40  x

D

C

C x

E A

B



A

B

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34. Sea ABCD cuadrado. Si z = 4y, calcule la medida del ángulo x.

35. Determine la medida del ángulo x. B

C

D

80 x y D

x

120 A

z

A

B

C

10

Criterio De Evaluación Aplica definiciones y fórmulas para calcular ángulos y arcos en circunferencias.

36. Sea una circunferencia con centro O con AB  BC  AC . Determine la medida del ángulo x.

39. Si una circunferencia tiene centro en además
C C A

O P

x

B D

B

37. En la figura AP y DP secantes. Además,
40. Sea la circunferencia con centro O AB  72 ¿Cuál es la medida de x? A

C

D O

P

x

A

B

B

38. Sea O el centro de la circunferencia,
41. Sea AB diámetro de la circunferencia co centro O y


C A

A

 O

O x

C

B



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Criterio De Evaluación Utiliza técnicas y fórmulas para calcular elementos, áreas y perímetros de figuras planas dadas y/o en problemas d su especialidad.

42. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras: a) ABCD cuadrado de lado 11 cm. b) ABCD cuadrado de diagonal 4 cm. c) ABCD rectángulo de lados 8 cm y 14 cm.

47. Un cateto de un triángulo inscrito en un circunferencia mide 12 cm de longitud y su ár es de 96 cm2. Calcular el área del círcu limitado por la circunferencia, en cm2.

48. Sea O el centro de la circunferencia. Determina el área de la región sombreada, en cm 2.

d) ABCD rectángulo de diagonal AC = 13 cm O

e) ABCD rombo, de diagonal 9 cm.

8 cm 45

f) ABC triángulo cualquiera de altura 10 cm y su base correspondiente 4,5 cm. g) ABC triángulo equilátero de lado 6 cm. h) ABC triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 12 cm. 43. En un rectángulo el lado menor es equivalente a la quinta parte del lado mayor. Si el lado menor mide 10 cm, calcular el perímetro del rectángulo, en cm. 44. Un lado de underectángulo mide 5 cm y su es igual al área un triángulo equilátero deárea altura ¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo, en cm?

49. El perímetro de un cuadrado es k cm y su área k cm2. Determine el valor de k.

50. Si la diagonal de un cuadrado mide 3 2 c Calcular su perímetro, en cm.

51. En la figura, A es el punto medio del lado d cuadrado. Determine el área de la regió sombreada en cm2.

A

5 3 cm.

45. Si el radio de una circunferencia es de 5 cm. Determine el área de un cuadrado inscrito en ella, en cm2. 46. En la figura, ABCE rectángulo, DCE triángulo isósceles, F punto medio segmento EC , AE  EF  FD  3 cm . Determine el área de la figura ABCDE en cm2.

10 cm

52. Se desea fabricar una mesa de cubierta circular del mayor tamaño posible. Para esto se dispon de una lámina de madera cuadrada de 1 m por lado. ¿Cuál será el área de la superficie de la mesa, en cm2? 53. La figura muestra un cuadrado de lado 10 cm inscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia, en cm?

D

E

A

F

C

B



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54. En la figura, la hipotenusa del triángulo isósceles mide h cm y pasa por el centro de la circunferencia. Determine el área de la región sombreada, en cm2.

56. Calcular el perímetro y área de la siguiente figura:

50 mm

120 mm 90 mm

O

120 mm

55. En la figura, ABCD es un cuadrado de 4 cm y AB es una semicircunferencia. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada? D

C

80 mm 310 mm

57. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

A

100 mm

B

120 mm

55 mm

75 mm

250 mm

6.3 Cuerpos Geométricos Aprendizaje Esperado Aplica conceptos de los cuerpos geométricos para resolver problemas de la vida real y/o de su especialidad. Criterio De Evaluación Aplica fórmulas y propiedades de los cuerpos geométricos para calcular sus elementos.

58. La generatriz de un cono recto de radio basal 4,5 cm, mide 7,5 cm. Calcular la altura del cono, en cm.

62. Suponga que el área de la base de un prism es x m2 y su altura 2x metros. Si el volum del prisma es 54 m3, ¿Cuál es su altura?

59. Calcular la diagonal principal de un cubo de 5 cm de arista.

63. Un depósito en forma de prisma recto tie una capacidad de 1.080.000 litros. Sabiend

60. La diferencia entre los volúmenes de dos cubos es 117 cm3. Si se sabe, además, que la diferencia entre sus aristas es de 3 cm. ¿Cuál es la medida de la arista menor? 61. Si la diagonal de un cubo mide 7 3 cm, ¿cuánto mide su arista, en cm?

que su base es un cuadrado cu diagonal mideinferior 12 cm, ¿cuánto mide la altu del depósito?

64. Si el volumen de un cilindro recto de altura cm, es 4 a3 cm3, ¿Cuánto mide el rad basal?

65. El área superficial de una esfera es 100 cm2. Calcular la medida de su radio, en cm



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Criterio De Evaluación Aplica fórmulas y propiedades para calcular áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos.

66. Calcular el área total, en cm 2, de un cubo de lado 3 cm.

74. Calcular el volumen de un cono recto que tien radio basal 6 cm y altura 12 cm.

67. Si la diagonal de una cara de un cubo mide 3 2 cm. Calcular la superficie total del cubo, en cm 3.

75. Determinar el área lateral de un cono que tie radio basal 15 cm y generatriz de 15 cm.

68. Si la altura h de un cilindro equivale al doble del diámetro de su base. Exprese el volumen del cilindro en función de su altura.

76. Calcular el área lateral y volumen de un cilind recto que tiene una base con radio 10 cm y un altura de 25 cm.

69. En una pirámide de base cuadrada, la arista basal mide 12 cm y la altura 16 cm. Calcular el área lateral.

77. Un cilindro tiene por altura la misma longitu que la circunferencia de la base. Su altura mi 125,66 cm. Calcular: a) Área total. b) Volumen.

70. Calcular el área superficial y volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. 71. La suma de las aristas de un cubo es igual a 72 cm. Determinar el área superficial y el volumen del cubo. 72. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 cm y 10 cm, con generatriz de 15 cm. 73. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 cm y 2 cm, y altura 10 cm.

78. Calcular el área y el volumen de una esfe inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

79. Calcular el volumen de una semiesfera de 10 c de radio.

80. Calcular el área y el volumen de una zo esférica cuyas circunferencias tienen de radio cm y 8 cm, siendo la distancia entre ellas de cm.

81. Determinar el área superficial y el volumen de los siguientes cuerpos:

10 50

60 3 70 10

2

2 1



9

50 90

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Criterio De Evaluación Utiliza fórmulas y propiedades de los cuerpos geométricos para resolver problemas de aplicación.

82. Una piscina que mide 2,5 m de largo, 1,8 m de ancho y 1,2 m de profundidad, se llena de agua hasta 25 cm del borde superior. Calcular el volumen de agua que contiene la piscina, en m 3. 83. En un envase cilíndrico de radio 3 cm y volumen de 510 cm 3, se desea guardar pelotas de 3 cm de radio. ¿Cuál es el número máximo de pelotas que se pueden guardar? 84. Para una fiesta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? 85. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un costo de $ 5.500 por m 2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración? 86. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto, se quiere almacenar cajas de 100 cm de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?



87. En una probeta de 6 cm de radio se ech cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿ qué altura llegará el agua cuando se derritan?

88. Se sabe que la superficie de la Tierra es cubierta por agua en un 71% aproximadamente. Si consideráramos la form del planeta como una esfera perfecta de rad 6.378 km. Aproximadamente, ¿cuánt kilómetros cuadrados de la superficie terrest no está cubierta de agua?

89. Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agu ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm radio?

Para realizar una reparación de urgencia es necesario vaciar un contenedor cilíndrico de 7 metros de altura y 3 metros de radio que se encuentra completamente lleno de petróleo. Para trasvasijar el contenido del cilindro se dispone de varios estanques cónicos, de igual altura y radio basal que el depósito cilíndrico. ¿Cuántos depósitos cónicos serán necesarios para contener el volumen total de petróleo de contenedor cilíndrico?

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7. TRIGONOMETRÍA 7.1 Ángulos y Trigonometría Elemental

Aprendizaje Esperado Resuelve expresiones numéricas y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad que involucren triángulo aplicando la trigonometría triangular. Criterio De Evaluación Transforma medidas angulares de un sistema a otro, utilizando fórmulas de conversión.

1. Transformar de radianes a grados sexagesimales: a) b)

 5



g)

h)

3

c) d) e) f)

 4

 6

3 4

m)

n)

3

5

i)

4

2 3 3 2

5

4

j)

9

k)

4 5



l)

2

o) p)

 10

5 19 3 25

6 13

  

2. Transformar de grados sexagesimales a radianes a) b) c) d) e)

150° 90° 60° 45° 30°

f) g) h) i) j)

480° 20° 18° 420° 360°

k) l) m) n) o)

            

Criterio De Evaluación

Resuelve problemas de triángulos rectángulos cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando razones trigonométricas.

3. Resuelve los triángulos rectángulos: a) b)

 ; a = 5; b = 3 ;  ; b = 8; c = 15



4. Cuando el sol está 20° sobre el horizonte. ¿Qu largo tiene la sombra que proyecta un edific de 45 m de alto?

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5. Un hombre conduce durante 150m. A lo largo de una vía inclinada de 20° sobre la horizontal. ¿A qué altura se encuentra sobre su punto de partida? 6. Una escalera de 13,5 m. de longitud llega hasta la parte un con muro. Si la hallar escalera forma unsuperior ángulo dede60° el muro, la altura de éste y la distancia a él desde el pie de la escalera.

7. Desde dos puntos A y B separados 800 metros, observamos un globo con ángulos de elevación de 30° y 75° respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo. 8. Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 m. de distancia, los ángulos de elevación de la punta astay y30° de larespectivamente. parte superior delHallar edificio son dedel60° la longitud del asta.

9. Desde la cúspide de un monumento de 3 metros de altura, los ángulos de depresión dos objetos, que están sobre el terreno en dirección oeste del monumento son de 45° 30° respectivamente. Hallar la distancia que l separa.

10. El ángulo de elevación de una torre es de 45° una distancia de 72 m de la torre. Si observador se encuentra a 1,10 m sobre suelo (altura de sus ojos). Calcula la altura de torre.

11. Desde la torre de control de un aeropuerto establece comunicación con un avión que va aterrizar. En ese momento el avión encuentra a una altura de 1200 m y el ángu de observación desde la torre es de 30°. A qu distancia está el avión del pie de la torre si es

mide 40 m de altura. 12. Para calcular la altura de la torre Eiffel, n situamos a 74 m de la base de la torre. observamos la torre con un ángulo de elevaci de 75°. ¿Cuánto mide la torre?

Criterio De Evaluación Resuelve problemas de triángulos oblicuángulos cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando teoremas del seno y/o del coseno.

13. Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 m, desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7° y BCA = 64°. ¿Halla la distancia entre A y B? 14. Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 73,2 m. Suponiendo que los ángulos ACD = 80,2°; BCD = 43,5°, BDC = 32° y ADC = 23,23°. Determina la distancia AB. 15. Determinar el área del paralelogramo si sus lados adyacentes son 42 cm y 32 cm y forman un ángulo de 30°.



16. Determinar el área del triángulo de lad a = 171 cm, b = 195 cm y c = 204 cm.

17. Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 4 encontrar las longitudes h a, hb y hc. 18. Dos lados de un triángulo son a = 120 m. b = 300 m. y el ángulo = 150°, determinar área del triángulo.

19. Resolver el triángulo ABC sabiendo q      = 46°   = 98° 

20. Resolver el triángulo ABC sabiendo que b = 2 c = 2,   ° 21. Resolver el triángulo ABC sabiendo que a = b = 7, c = 9.

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7.2 Trigonometría Gráfica y Algebraica

Aprendizaje Esperado Resuelve ecuaciones y problemas trigonométricos, utilizando fórmulas, propiedades y gráficas de las funcion trigonométricas.

Criterio De Evaluación Grafica funciones trigonométricas simples.

22. Esboza la gráfica de las siguientes funciones:

    b)       c)      d)        a)

e)

f)

g)

h)

      

     

Criterio De Evaluación Comprueba y/o verifica identidades trigonométricas utilizando propiedades y relaciones trigonométricas.

23. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas: a) b) c) d) e)

                                  

f) g)

               

Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones trigonométricas sencillas aplicando propiedades e identidades trigonométricas.

24. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas para a) b) c) d) e) f)

                  



 () g)        h)       i)     j)      k)      l)   

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8. NÚMEROS COMPLEJOS 8.1 Números Complejos Aprendizaje Esperado

Calcula expresiones dadas con números complejos en sus distintas formas, aplicando transformaciones, reglas propiedades.

Criterio De Evaluación Aplica reglas para transforma números complejos de una forma a otra.

1. Escriba los siguientes complejos en su forma binomial ( a + b i ), polar ( r  ) y exponencial ( r  ei ): a) 4 ( cos 45° + i sen 45° ) b) 3 ( cos 135° + i sen 135° )

f) 2 ( cos 210° + i sen 210° ) g) 5 ( cos 240° + i sen 240° )

c) cos 30° + i sen 30° d) cos 60° + i sen 60° e) 4 ( cos 270° + i sen 270° )

h) 3 ( cos 330° + i sen 330° ) i) 12 ( cos 180° + i sen 180° )

2. Escriba los siguientes complejos en su forma trigonométrica ( r  cos   i  sen ), polar y exponencial : a) 1  i b) 3 + i c) 2 + i d) 2  2i

g) 1 + 9 i h) 10 + i i) 6 i j) 5

+3i e) f) -7 67i

k) 12 i

Criterio De Evaluación Opera números complejos en forma binomial, aplicando propiedades algebraicas.

3. Dados los números complejos: a) b)

       

     . Encontrar el valor de: c)    

d)

 

b)

  

4. Calcular el valor de: a)

   



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5. Determine el valor de: a)

       



b)

   un número complejo. Determinar los valores de x e y para que la expresión dada sea: a) Un número imaginario puro. c) Cero d) Igual a  b) Un número real

6. Sea

7. Encuentre las raíces de los siguientes números complejos: a)

 

b)

 

8. Efectúe las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

 

c)

 

d)

  l)   m)    n)  o)  p)  q)  r)  s)  t) 

                     

k)

Criterio De Evaluación Opera números complejos en sus distintas formas, aplicando reglas operatorias y transformaciones.

              . Calcule:    d)         e)       f)   

9. Sean a) b) c)

10. Calcular: 1

a) Z1 Z2, con Z1  2 ( cos 240° + i sen 240° ) y Z2  ( cos 60° + i sen 60° ) 2

b) Z1 / Z2, con Z1  2 ( cos 350° + i sen 350° ) y Z2  4 ( cos 140° + i sen 140°) c) Z1 Z2, con Z1  5 35 y Z2  20 125 d) Z1 / Z2, con Z1  10 45 y Z2  3 95



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9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 9.1 Sistemas de Coordenadas Aprendizaje Esperado Utiliza relaciones entre puntos y ángulos entre rectas para resolver problemas geométricos en el plano.

Criterio De Evaluación Calcula perímetros y áreas de triángulos y polígonos mediante relaciones entre puntos.

  

     Calcula el área del triángulo cuyos vértices son ,  y 

6. Dados , y . a) Compruebe con la fórmula de la distanc entre dos puntos que el triángulo rectángulo. b) Calcula el perímetro del triángulo. c) Determine el área del triángulo.

3. Determina el perímetro del triángulo del problema (2).

7. Determina el perímetro de la circunferencia d y que pasa por el pun centro en

1. Grafica en un mismo sistema cartesiano los siguientes puntos: , , 2.

4. Calcule el área del cuadrilátero ABCD con vértices , , y

   



 

8. Calcula el área del círculo del problema (7).

5. Determina el perímetro del cuadrilátero del problema (4).

Criterio De Evaluación Calcula las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada mediante teoremas.

9. Encuentre las coordenadas del punto medio del trazo de extremos ,

  10. Dados , ,  y . a) Encuentra las coordenadas de los puntos medios de  y 

b) ¿Qué puede concluir respecto a las diagonales del cuadrilátero ABCD c) Determina la coordenadas d los puntos medios y

    

11. Las coordenadas de los extremos del segmento son: y . Hallar



las coordenadas del punto C que divide segmento en dos partes tal

   que    

12. Determina la razón en que divide segmento dado el punto P que se indica a) , y b) , y

      

13. Los extremos del segmento son: . Determina las coordenadas d punto P que divide ese segmento en razón

  

 

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Criterio De Evaluación Calcula la medida del ángulo entre dos rectas mediante teorema.

14. Determinar si las rectas determinadas por los siguientes pares de ecuaciones son paralelas o perpendiculares a) b) c)

                       15. Por medio de pendientes demuestre que los puntos , ,  y  son los vértices de u

rectángulo.

16. Determine el ángulo entre las dos rectas que se indican: a) b) c)

          

       

9.2 Línea Recta y Circunferencia Aprendizaje Esperado Determina la ecuación de la recta y circunferencia en sus distintas formas de acuerdo a un gráfico y/o condicion geométricas dadas.

Criterio De Evaluación Determina la ecuación de la recta, mediante condiciones dadas, y la expresa en forma general y/o principal.

17. Hallar la ecuación de la recta principal cuyas intersecciones con los ejes X e Y son, respectivamente, 3 y 4.

21. Halla la ecuación principal de la recta que pa por los puntos y .

  22. Halla la ecuación general de la recta cu pendiente es  y pasa por el punto  .

18. Hallar la ecuación de la recta general que pasa por el punto y es paralela a la recta de ecuación:

    19. Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos:  y .

20. Escribe la ecuación general de la recta que

tiene por. pendiente  pasa por el punto



23. Determina la ecuación principal y general de recta que tiene pendiente m 

2 3

y coeficien

1

de posición b   . 6

24. Determina la ecuación principal y general de recta que pasa 1 2     A  ,  2  y B  ,7  . 3  3 

por

los

punt

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Criterio De Evaluación Determina la ecuación de la recta mediante una gráfica dada.

25. En cada gráfico, determina la pendiente, el coeficiente de posición, el intercepto con el eje x y las ecuacion principal y general de la recta. a)

b)

c)



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Criterio De Evaluación Determina la ecuación de la circunferencia en sus distintas formas según condiciones dadas.

26. Escriba las ecuaciones canónica y general de los círculos: a) b) c) d) e) f)

                  

27. Determine la ecuación del círculo con cent en el origen y que pasa por el punto

 

28. Determine la ecuación de la recta L, que tangente al círculo de ecuación , en el punto .

  



 

Criterio De Evaluación Determina la ecuación de la circunferencia en sus distintas formas según gráfica dada.

29. En cada gráfico, determina las coordenadas del centro A, la medida del radio y las ecuaciones canónica general de la circunferencia. a)

b)



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c)

9.3 Secciones Cónicas

Aprendizaje Esperado Determina la solución de problemas geométricos y físicos relacionados con cónicas mediante gráfica y/o condicione geométricas dadas.

Criterio De Evaluación Determina los elementos de las diferentes cónicas dadas mediante definiciones y propiedades.

30. Para las siguientes parábolas, obtenga: vértice, eje, foco, una ecuación de la directriz y los extremos del lad recto: a)

d)

b)

e)

c)

      

f)

     

31. Para las siguientes elipses, obtenga: el centro, el eje principal, los vértices, los extremos del eje menor y lo focos: a) b) c)

               

d) e) f)

                        

32. Para las siguientes hipérbolas, obtenga: el centro, el eje principal y los vértices: a) b)

               



c) d)

                  79

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e)

      

f)

      

Criterio De Evaluación Determina las ecuaciones de las diferentes cónicas en sus distintas formas de acuerdo a condiciones o gráficas dada

33. Determine la ecuación canónica y general de las elipses: a) Focos en (-2, 1) y (4, 1) y eje mayor 10 b) Focos en (-3, 0) y (-3, 4) y eje menor 6 34. Encuentre la ecuación de la elipse de centro (-2-1), uno de sus vértices en (3,-1) y cuyo lado recto mide 4 cm. 35. Determine la ecuación canónica y general de las hipérbolas, si: a) Focos en (±4, 0) y vértices en (±1, 0) b) Focos en (0, ±3) y vértices en (0, ±2)

c) Centro (-1, 3), vértices en (-4, 3) y (2, y focos en (-6, 3) y (4, 3).

36. Encontrar la ecuación de la hipérbola centro (0,0) que pasa por los puntos (0,6) (4,8) y cuyo eje focal coincide con el eje y.

37. Determine la ecuación canónica y general d las parábolas si: a) Vértice en (0, 0) y foco en (3, 0) b) Vértice en (2, 3) y foco en (2, 1) c) Foco en (1, 2) y directriz x =  1 d) Foco en (0, 3) y directriz y =  2

38. Determine las ecuaciones generales de las cónicas mostradas en los siguientes gráficos. a)

b)



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c)

Criterio De Evaluación Aplica definiciones, elementos y propiedades de las cónicas para resolver problemas geométricos y físicos.

39. La órbita del cometa Halley es una elipse con el sol en uno de sus focos. Los semiejes mayor y menor de s órbita elíptica miden 18.09 UA y 4.59 UA respectivamente. ¿Cuáles son las distancias máxima y mínima del s al cometa Halley?. Si UA representa la distancia media de la tierra al sol. 40. El arco de un puente es de forma semielíptica y tiene una amplitud horizontal de 40 m y una altura de 16 m su centro. ¿Qué altura tiene el arco a 9 m a la derecha o izquierda del centro?

41. La trayectoria descrita por un cierto proyectil lanzado horizontalmente desde un punto situado a y metro 2

sobre el suelo con velocidad v metros por segundo es una parábola de ecuación: x2  2v  y g

donde x es

distancia horizontal desde el lugar del lanzamiento y g = 9,8. Se lanza horizontalmente una piedra desde u punto situado a 5 metros sobre el suelo, con velocidad inicial de 80 metros por segundo. Determine la distanc horizontal al punto de caída.

42. El costo de producción de un artículo es $12 menos en un punto A que un punto B, y la distancia entre A y B e de 100 km. Suponga que la ruta de entrega del producto es una línea recta y que el costo de entrega es de $2 por unidad por kilómetro, determina la curva en cualquier punto al cual puede surtirse el artículo desde A o al mismo costo. Sugerencia: Considere los puntos A y B en y , respectivamente.

 



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10. ESTADÍSTICA 10.1 Conceptos Básicos Aprendizaje Esperado Aplica los conceptos de estadística que le permitan organizar, graficar e interpretar información.

Criterio De Evaluación Utiliza conceptos de estadística para diferenciar población y muestra; parámetro y estimador y tipos de variable estadística.

10.1 El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos. Identifique la población y la muestra en este estudio. 10.2 Un nuevo hotel va a abrir sus puertas en cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de los 150 hoteles de la misma categoría de esa ciudad. Identifique la población y la muestra en este estudio. 10.3 Se desea estudiar el ingreso medio familiar de los estudiantes de Inacap de la sede Iquique. Se seleccionan a 120 estudiantes y se registran los datos del ingreso familiar de cada uno. ¿La

media (promedio aritmético) del ingre familiar de los 150 alumnos representa u parámetro o un estimador?

10.4 Se investiga cual es el nivel de endeudamien de los clientes de un banco. Dado los sistem

informáticos, se dispone la la información cada uno de los clientes. de Con ayuda de u software apropiado un ejecutivo del ban calculo la media aritmética del endeudamien de todos los clientes. ¿El resultado que obten el ejecutivo es un estimador o un parámetro?

10.5 Para otorgar becas a estudiantes de Universidad se considera: género, ingre familiar y número de integrantes del grup familiar. ¿Cuáles de estas variables s Cuantitativas? ¿cuáles son Cualitativas?

Criterio De Evaluación Clasifica según tipo y clase distintas variables, en situaciones de la vida real, mediante definiciones.

6. Indica cuales de las siguientes variables de estudio son Cualitativas y cuales Cualitativas: a) ¿Cuál es tu comida favorita? b) ¿Cuál es el color de tus ojos? c) ¿Cuánto mides? d) ¿Carrera que estudias? e) ¿Cuántos hermanos tienes? f) ¿Cuántos compañeros de curso tienes 7. Clasifique las siguientes variables Cuantitativas son Discretas y Continuas. a) Litros de agua contenidos en un depósito. b) Libros en un estante de biblioteca. c) Suma de puntos al lanzar dos dados. d) Área de una sala de clases de Inacap. e) Temperatura registrada cada hora en la playa Cavancha.



9. El departamento de servicio al cliente de u tienda diseña una encuesta para que l clientes evalúen la atención de los vendedor en una de las siguientes categorías: Muy Buen Buena, Regular, Pésima. Clasifiq completamente la variable estadística estudio.

8. Clasifique las siguientes variables Cualitativ en Nominales y Ordinales. a) Genero. b) Profesión. c) Lugar obtenido por tu equipo favorito en último campeonato de futbol. d) Clasificación de Chile en el ranking de l países con mejores índices económicos.

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10. El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos. Clasifique completamente la variable estadística de estudio.

11. Un nuevo hotel va a abrir sus puertas en cier ciudad. Antes de decidir el precio de s habitaciones, el gerente investiga los preci por habitación de 40 hoteles de los 1 hoteles de la misma categoría de esa ciuda Clasifique completamente la variab estadística de estudio.

Criterio De Evaluación Representa en formato tabular y gráficamente mediciones de variables estadísticas.

12. Un módulo de Zofri desea estudiar la cantidad de clientes que atiendo diariamente. Se cuenta con la información de los últimos 70 días. 0 1 0 2

0 8 3 2

2 5 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 4 1 1

3 3 0 2

0 3 0 1 1 2

1 0 6 1 2 4

6 0 2 0 0 0

4 1 0 2 0 2

3 0 2 2 5 0

3 0 3 1 2 0

1 0 0 0 1 4

13. Una empresa realiza un estudio de la antigüeda de su flota de camionetas. El siguiente gráfi muestra la cantidad de camionetas existentes acuerdo a su antigüedad en años. Según este gráfico, elabore una Tabla distribución de Frecuencias, donde se observ los intervalos, la marca de clase, las frecuenci absolutas, relativas, absolutas acumuladas relativas acumuladas. 40

i n , a t u l o s b A a i c n e u c e r F

30 20

a) Complete la siguiente tabla adjunta. Número de Clientes 0

Frecuencia

1 2 3 4 5 6 7 8

b) Haga un histograma basado en la tabla anterior. c) ¿Cuántos días se atendieron menos de 5 personas?

10 0 0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

Antiguedad, en años

14. En el mes de Febrero de 1968 se registraron l siguientes temperaturas máximas en Iquique, °C. 28,0 27,5 29,6 28,2 26,0 25,0

26,0 24,5 22,5 28,6 29,2 34,7

29,6 24,5 30,2 21,8 22,7 26,8

24 29 31 36 23 31

27,0

26,8

24,6

28

a) Construya una tabla de distribución frecuencias. b) Haga un gráfico por cada frecuencia.



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Criterio De Evaluación Utiliza tablas estadísticas para organizar, representar gráficamente e interpretar información.

15. Se poseen los siguientes datos del peso, en kilogramos de una muestra de 100 estudiantes. a) Haga un histograma de la frecuencia absoluta. b) Elabore un gráfico circular. c) ¿Cuál de los gráficos representa de mejor forma la información?

16. Con el objetivo de estudiar el efecto de la crisis mundial en el país, se tiene la inversión de los países asiáticos en Chile, en millones de dólares, que se presenta en la siguiente tabla: Si se define el Índice de inversión como el porcentaje de inversión materializada respecto a la autorizada.

a) b) c) d) e)

Países Japón EE.UU.

China España Taiwán Suecia

Peso, kg 60  62 63  65 66  68 69  71 72  74 Inversión Autorizada 885 50 42,6 20,4 20,3 5,3

Frecuencia Absolut 5 18 42 27 8 Inversión Materializada 373,2 3 16,1 19,2 4,3 0,6

Índice Inversi

TOTAL 1.023,6 416,4 Complete la tabla. Haga un gráfico circular para el índice de inversión. Haga un gráfico de barras que permita comparar la inversión materializada con la autorizada por país. Ordene los países de menor a mayor de acuerdo al índice de inversión. ¿Cuáles son los países con menor índice de inversión?

17. Con el objetivo de invertir en un gran proyecto de inversión, se ha tomado una muestra aleatoria de 10 semanas, respecto a la rentabilidad de las acciones de una empresa A, en %. Para ello, se han recopilado l datos que se han resumido en la siguiente tabla: Rentabilidad (%) Li

Ls

Frecuencias

Marca de Clase

0,505

Absoluta Relativa Acumulada Absoluta

Relativa Acumulada

5 1,505

25 1,755

50 95

a) Complete la tabla de distribución de frecuencias, sabiendo que los intervalos tienen igual amplitud. b) Haga un histograma de la frecuencia relativa acumulada. 18. En una distribución simétrica de siete intervalos de igual amplitud se tiene los siguientes datos: a i  10 , F 6  0,95 , f 3  0,21 , n 2  n 6  62 , c 3  n 3  1.260 , n 1  8 Complete la tabla de distribución de frecuencias.



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10.2 Medidas Estadísticas Aprendizaje Esperado Utiliza las medidas estadísticas en la resolución e interpretación de problemas.

Criterio De Evaluación Aplica fórmulas para calcular las medidas de tendencia central, dispersión y posición.

19. Calcular la media aritmética y la varianza del siguiente grupo de datos 7, 20, 13, 14, 6, 9, 1. 20. Se sabe que el promedio del siguiente grupo de datos 2, 4, 6, 8, X es 10. ¿Cuál es el valor de X? 21. La media entre cinco datos es 5 y se sabe que los cuatro primeros datos son: 4, 3, 9 y 7. a) ¿Cuál es el dato que falta? b) Calcule la desviación media. 22. La media aritmética de tres números es 2n. Si dos de ellos son 4n y 8n, entonces, ¿Cuál es el tercero? 23. El promedio entre un número natural y su antecesor es 3,5. ¿Cuál es el sucesor del número? 24. La asignatura de Economía tiene contemplada 4 pruebas con las siguientes ponderaciones: 30%, 25%, 15%, 30%. a) Si un alumno obtuvo las siguientes notas: 4,1;compañero 4,6; 6,7 y 2,5. es su promedio? b) Un de ¿Cuál este alumno, ha obtenido en las tres primeras pruebas las siguientes notas: 5,1; 4,1; 6,0. ¿Qué nota deberá obtener para eximirse? 25. Los siguientes son los datos de ventas, en miles de dólares, de 20 vendedores de una compañía de computadoras: 40,2 29,3 35,6 88,2 42,9 26,9 28,7 99,8 35,6 37,8 44,2 32,3 55,2 50,6 25,4 31,7 36,8 45,2 25,1 39,7.

26. Un policía de una ciudad, usando radar, verifi la velocidad de los automóviles que circulaba por una calle de la ciudad, en kilómetros p hora:

67 43 52 48 53 44 45 43 52 62 41 30 49 38 47 55 69 48 36 53 25 37 45 71 43 44 48 43 Determine: a) El promedio aritmético. b) c) d) e) f) g) h)

La media Cuartil 2 de los datos. Percentil 90 Desviación Media Varianza Desviación Típica o Estándar ¿Qué porcentaje de los autos sobrepasab el máximo de 50 km/h?

27. Las siguientes cifras son los importes d consumo de una muestra de 15 personas en u restaurante, en orden ascendente: 1000, 100 2500, 2500, 3500, 4000, 5300, 9000, 1250 13500, 24500, 27500, 30900 y 41000. Calcule: a) El promedio aritmético. b) La media de los datos. c) La moda d) Cuartil 1 y 3 e) Percentil 68 f) Desviación Media g) Varianza h) Desviación Típica o Estándar

Calcular: a) b) c) d) e) f)

Media Mediana Desviación estándar. Desviación media. Percentil 25 y 75 Décil 6



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Criterio De Evaluación Utiliza diagramas de caja para representar conjunto de datos y extrapolar información.

28. Para los ejercicios 25, 26 y 27, represente los datos mediante un gráfico de cajón con bigotes.

29. Dado el siguiente diagrama de cajón y bigotes. Determine: a) Cuartil 1 y 3 b) Mediana. c) Valor máximo y Valor mínimo.

20

4 20

33,5

39

30. Se tienen algunos datos referentes al tiempo de vida de una especie de alambre, el cual es probado para resist altas temperaturas. Varios laboratorios llevaron a cabo estas pruebas. Los datos de resistencia en semanas dos de ellos, usando condiciones de 200 °C, son los siguientes :

Laboratorio 1: 12, 15, 17, 18, 20, 22, 20, 26, 24, 25 Laboratorio 2: 26, 15, 23, 19, 29, 30, 21, 30, 30, 34

a) Elabore un Resumen Estadístico, calculando para cada laboratorio: Valor Máximo, Valor Mínimo, Median Cuartil 1 y Cuartil 3. b) Haga un gráfico de Cajón y Bigotes donde se comparen ambos laboratorios. c) Compare los resultados de ambos laboratorios.

Criterio De Evaluación Utiliza los conceptos y fórmulas de medidas estadísticas para resolver e interpretar las soluciones obtenidas.

31. Un alumno obtiene como promedio de presentación en Administración General un 3,4. Si la nota de presentación equivale al 75% y el examen un 25%, entonces ¿qué nota debe obtener como mínimo en el examen final para aprobar la asignatura? 32. En la reunión de curso informan que los costos de los libros (7) para el año escolar son: $7.200, $6.500, $ 6.000, $8.000 $18.900. $7.300, ¿Qué medida de $6.000, tendencia centraly representaría mejor los datos?



33. En un condominio de 40 departamentos, realizará la presentación de candidatos elección de los representantes a la Jun Directiva. El administrador, muy eficiente, lle un registro de las asistencias a las diez últim reuniones. Los datos son: 23,18, 25, 25, 30, 2 28, 22, 33 y 17. Si el administrador de decidir cuántas sillas alquilar, ¿cuál crees q sea el número más representativo?

34. En taller de matemáticas un alumno tiene l siguientes notas: 4,2; 5,1; 6,0; 4,5; 5,8; 3,2; 4 5,5; 6,5; 3,8. Calcular el promedio de las not correspondiente al 50% de las mayores notas

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10.3 Regresión Lineal y Correlación Aprendizaje Esperado Aplica los conceptos de regresión lineal y correlación para resolver problemas y extrapolar información.

Criterio De Evaluación Representa relaciones de causalidad a través de un modelo lineal.

35. Encontrar el modelo lineal que se asocia al ingreso por la venta de cierto número de artículos, si se sabe que por la venta de 20 artículos ingresaron $4.500, y por la venta de 65 artículos el ingreso fue de $ 8.000.

37. Una compañía que fabrica cierto producto tie $5.000 en Costos fijos. Si el Costo variable p producir una unidad es de $500. Encontrar modelo lineal que representa el Costo total este producto.

36. En una Industria de tubos de polietileno, se necesita una función para determinar la

38. En la producción de una Industria, el Costo Fi es de 6500 dólares a la semana y el Cos

bonificación mensual de sus operarios con relación a su producción. Si todos los trabajadores reciben de sueldo base $105.500 y su producción mensual es de 9.000 Kg de acuerdo a la exigencia máxima de las máquinas. El bono correspondiente por cada kilogramo producido se cancela a $ 200. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador?

Variable por la elaboración de ciertos product es de 9 dólares la unidad. a) Determine el modelo lineal del Costo Total b) ¿Qué representa la variable independien del modelo?

Criterio De Evaluación Representa gráficamente la relación entre las variables dependiente e independiente.

39. Durante las últimas 12 semanas la cantidad de pasajeros en un hotel, son como se indica: Semana Pasajeros

1 17

2 3 21 19

4 5 23 21

6 7 26 27

8 9 28 32

10 11 30 35

12 32

Haga un diagrama de dispersión de la cantidad de pasajeros en función de la semana.

40. Una compañía de seguros desea determinar el grado de relación que existe entre el ingreso familiar X y monto del seguro de vida Y del jefe de familia. Con base en una muestra aleatoria de 14 familias se obtuvo siguiente información (en miles de dólares). Ingreso Seguro

45 20 40 40 47 30 25 20 15 35 40 55 50 60 70 50 60 50 90 55 55 35 40 65 75 105 110 120

Haga un gráfico donde el ingreso sea la variable explicativa o independiente.



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41. En el servicio central de turismo del país se ha observado que el número de plazas hoteleras ocupadas diferente según sea el precio de la habitación. Sobre el total de plazas ocupadas en un año se tiene: Precio, US$/noche

250

Número de Habitaciones

650 1000 1400 2100 2500 2700 3300 4000

4725 2610 1872

943

750

700

700

580

500

Representa gráficamente para comprobar que existe cierta dependencia lineal entre las variables, donde número de habitaciones sea la variable explicada.

Criterio De Evaluación Calcula los coeficientes de un modelo lineal usando calculadora.

42. Para los problemas 39, 40 y 41, determine: a) Covarianza b) El modelo lineal: Y = a X + b, usando el método de los mínimos cuadrados. c) El coeficiente de correlación. d) coeficiente determinación. e) El Interprete los de resultados obtenidos en c) y d).

Realice los cálculos en forma manual y luego revise los cálculos usando la función STAT o REG de su calculadora.

Criterio De Evaluación Usa un modelo de regresión lineal para predecir una respuesta..

43. El siguiente modelo lineal Y  27, 4  0, 422  X , explica el peso Y en kilogramo en función de la estatura X, e cm en un grupo de niños de 10 años. a) Estime el peso de un niño que pesa 45 kilogramos. b) Estime la estatura de un niño que mida 120 centímetros. c) Si el coeficiente de determinación es 0,25, ¿son confiables las estimaciones obtenidas? Explique. 44. Para el ejercicio 40. ¿cuánto será el monto del seguro de vida, si el ingreso familiar es de US$31.000?

45. El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el exame correspondiente, de ocho personas es: Horas (X) Calificación (Y)

20 6,5

16 6

34 8,5

23 7

27 9

32 9,5

18 7,5

22 8

a) ¿Cuál sería la calificación de una persona que estudiara 28 horas? b) Comente la estimación considerando el coeficiente de correlación.



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11. CONJUNTOS Y LÓGICA 11.1 Conjuntos Aprendizaje Esperado Aplica conceptos, operaciones, propiedades y/o cardinalidad de los conjuntos para resolver problemas.

Criterio De Evaluación Aplica definiciones y propiedades para operar con conjuntos.

1. Relaciones cada uno de los conjuntos de la columna I con la descripción que le corresponda de la columna II: II

I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

                     

A. Conjunto de todos los enteros pares. B. Conjunto de las cinco menores potenci enteras positivas de 2.

C. Conjunto de los enteros positivos par menores que 10. D. Conjunto de todos los enteros impares. E. Conjunto de todos los enteros negativos. F. Conjunto de los enteros impares positiv menores que 10. G. H. H. Conjunto de los cinco menores múltipl enteros positivos de 2.



   

2. Escribe los siguientes conjuntos por comprensión: a) b) 3. Escribe los siguientes conjuntos por extensión: a) b) 4.

     Dados conjuntos   y        y  . Determin   

5. Dados los conjuntos 6. Dados

los

         

conjuntos

         

7. Sea

  , Determina el conjunto          ;

;

;

,

Encuentre

el

conjunto

solución

, ¿Cuál es el conjunto complemento de J?



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d

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  ;    ;   ;   . Realiza las siguientes operaciones: a)  d)  b)  e)   c)    f)    

8. Sean

Criterio De Evaluación Utiliza diagramas de Venn para ilustrar proposiciones dadas.

9. Redacta una descripción de cada área sombreada. a)

b)

U

U

B

B

A

c)

A

d)

U

U

B

B

A

e)

A

f)

U

U

A

B

A

C

10. De acuerdo al diagrama de Venn, d etermine:



B

C

  

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Criterio De Evaluación Utiliza las propiedades de las operaciones para simplificar proposiciones dadas.

11. Simplificar las siguientes proposiciones, considerando U como el conjunto universo: a) e) b) f) c) g) d) h)

            

                

Criterio De Evaluación Utiliza diagramas de Venn y/o cardinalidad para resolver problemas.

12. Un grupo de 43 alumnos cursaban las asignaturas de electricidad, física y/o matemáticas. Aprobaro electricidad 21 alumnos, física 20 alumnos y 20 matemáticas. Electricidad y física aprobaron 9 alumno electricidad y matemáticas 7, y sólo 5 aprobaron las tres asignaturas. ¿Cuántos alumnos que solamen aprobaron matemáticas?

13. En una panadería se realiza una encuesta a los clientes, consultando sobre el tipo de pan que compran, lo resultados son los siguientes: 275 personas compran marraquetas, 220 compran hallullas, 185 pan especia 175 marraquetas y hallullas, 120 marraquetas y pan especial, 115 pan especial y hallullas, 80 só marraquetas, 30 sólo hallullas, 50 sólo pan especial, 20 otro tipos de panes. Si el total de encuestados fuero 390 personas, ¿Cuántas personas compran de los tres tipos de pan?

14. En un curso Juan, Pedro y María pertenecen al grupo de natación, María y Ana practican atletismo y finalmen José y Ana juegan tenis, entonces, ¿Quién o quiénes participaron en los tres deportes?

15. En un curso de 40 alumnos hay 15 físicos y 35 matemáticos, entonces ¿Cuántos estudiantes so simultáneamente físico y matemáticos?

16. Si el taller de música tiene 15 alumnos, el taller de teatro 10 alumnos y asisten a ambos talleres 5 alumno Calcula la cardinalidad de los alumnos que asisten solo a música.

17. De un hospital se consideran 80 pacientes, donde 30 tienen dolor de estómago, 40 padecen dolor de cabeza 10 tienen los dos síntomas, entonces ¿Cuántos sufren ambos dolores?

18. Determine la cardinalidad del conjunto universo U, dado:

                      

19. Calcule

. Si:



                  

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11.2 Fundamentos de Lógica Aprendizaje Esperado Utiliza tablas de verdad y las herramientas del algebra proposicional para el planteamiento y resolución problemas.

Criterio De Evaluación Utiliza tablas de verdad para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas.

20. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, construyendo una tabla de verdad en cada caso

                    21. Si  Determine los valores de verdad de p, q y r 22. El valor de verdad de la proposición compuesta       es falsa, ¿Cuáles son los valores de verdad a) b) c) d) e) f)

de las proposiciones p y q.

23. Si p y q son verdaderas y r es falsa. Halla el valor de verdad de: 24. Determine

el

valor

de

verdad

de

p,

q

         es Verdadera

y

r,

       si

sabe

que

la

proposición

compues

Criterio De Evaluación Aplica teoremas y propiedades del algebra de proposiciones para simplificar proposiciones compuestas.

25. Transforme las siguientes expresiones en proposiciones lógicas que contengan los conectivos a) b) c)

,

.

,

              

26. Simplifique las siguientes expresiones usando propiedades: a) b) c) d)

        



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Criterio De Evaluación Utiliza tablas de verdad para verificar una conclusión y juzgar la validez de un argumento.

27. Determine si los siguientes argumentos son válidos o inválidos: a) Si mi Cheque llega a tiempo, me inscribiré en el semestre Otoño. Me Inscribí en el semestre Otoño. Mi cheque llegó a tiempo b) Si un hombre pudiese estar en dos lugares a la vez, yo estaría con usted. Yo no estoy con usted. Un hombre no puede estar en dos lugares a la vez c) Compraré un automóvil o me iré de vacaciones. No compraré un automóvil. Me iré de vacaciones. d) Si rechina, entonces utilizo WD-40. Si utilizo WD-40, entonces debo ir a la ferretería. Si rechina, entonces debo ir a la ferretería e) Si Pedro va al pueblo, entonces Pamela se queda en casa. Si Pamela no se queda en casa, entonces Ana cocinará. Ana no cocinará. Por lo tanto, Pedro no va al pueblo.

11.3 Algebra de Boole Aprendizaje Esperado Utiliza las herramientas del álgebra de Boole para resolver problemas de circuitos o redes. Criterio De Evaluación Utiliza tablas de valores o axiomas y teoremas para demostrar igualdades de polinomios boléanos.

28. Demuestre la equivalencia de los siguientes polinomios boléanos:

a) b) c) d) e) f) g) h)

                             



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Criterio De Evaluación Utiliza axiomas y teoremas para simplificar polinomios boléanos.

29. Simplifique los siguientes polinomios boléanos: a) b) c) d) e) f) g) h)

                            

Criterio De Evaluación Utiliza el álgebra de Boole para construir y simplificar circuitos.

30. Determine los valores de los elementos, para construir los siguientes circuitos: a)

b)

c)

31. Al construir el siguiente circuito:

Escriba el polinomio boleano que represente el paso de corriente a través de la combinación ABCDE.



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BIBLIOGRAFÍA ALGEBRA Baldor, A. Cecsa edición 2007 ALGEBRA Carreño, X.; Cruz, X. Arrayan Editores 2001 ARITMÉTICA Baldor, A. Cecsa edición 2007 EL CÁLCULO Leithold, L. Oxford University Press 1998

GEOMETRÍA ANALÍTICA Lehmman, C. Editorial Limusa 1989 MANUAL DE PREPARACIÓN MATEMÁTICA PSU Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J.; López, D. Ediciones UC Novena Edición 2009 MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO Leithold, L. Oxford University Press 2002 MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO Y APLICACIONES Miller, Charles; Heeren, Vern E.; Hornsby, John Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Décima Edición 2006 PRECÁLCULO: FUNCIONES Y GRÁFICAS Barnett, R.; Ziegler, M.; Byleen, M. Mc Graw Hill Primera Edición 1999 SECTOR MATEMÁTICA http://www.sectormatematica.cl WebMaster: Danny Perich Campana


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