MAKALAH GEOMETRI “HIPERBOLA”
OLEH :
KELOMPOK 4
INTAN HEDY U F (1 (19)
:
HAULA ERIDA (18)
:
JUANG GALUH (2)
M NABILWAN (2 (21) M !EIK"I DK (2 (22)
:
HANANG BAYU BAYU W (1#)
:
KATA PENGANTAR
Assalamu ‘alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Alhamdulillah, puji dan syukur kami aturkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan nikmat dan karunia-Nya kepada kita bersama sehingga kami telah dapat menyelesaikan makalah tentang H$%&'*+ ini. Shalawat dan salam kami mohonkan kepada Allah, agar disampaikan-Nya kepada Nabi Muhammad SAW. Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memberikan inormasi mengenai aplikasi gerak, yang mana kami membatasi pada gerak melingkar, gerak peluru, dan gerak jatuh bebas. !emudian kami mengu"apkan terima kasih kepada #apak #udi $udiyanto, M.Si. selaku %osen Mata !uliah &eometri, 'urusan Matematika yang telah memberikan bimbingan dalam menyelesaikan makalah ini. !ami menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. (leh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pemba"a sekalian, guna peningkatan ilmu dan pengetahuan kita. surabaya, )* No+ember *
BAB I PENDAHULUAN
I,I L+-+' B&*+.+/0
%alam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda-benda yang dengan bentuk yang ber+ariasi. Ada yang berbentuk bulat, persegi, segi empat, segi lima, lingkaran, setengan lingkaran ellips, parabola, hiperbola, tak beraturan, dan sebagainya. 'ika kita perhatikan, ternyata setiap benda memiliki bentuk yang sangat unik. #enda yang kelihatannya sama, tetapi memiliki perbedaan perbedaan yang sangat mendasar sekali. /ada makalah ini akan dipaparkan mengenai hiperbola. %i mana hiperbola tersebut merupakan himpunan bagian dari keru"ut.
I,II T+/
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai bahan kajian mahasiswa mengenai ilmu geometri, khususnya mengenai hiperbola.
BAB II PEMBAHA3AN
II,I
D&&/$5$ H$%&'*+
Misalkan terdapat dua buah keru"ut dengan titik sudut yang saling bertolak belakang. !emudian dua buah keru"ut tersebut diiriskan dengan sebuah bidang datar. 0asil dari irisan keru"ut tersebut dengan bidang datar disebut dengan hiperbola. 1ain halnya dengan parabola. /arabola yang telah kita ketahui merupakan sebuah kur+a mulus yang terbentuk dari irisan suatu keru"ut dengan bidang datar. /ada hakikatnya hiperbola merupakan kur+a yang terdiri dari lebih dari satu parabola. %alam terapannya misalkan kita melukis kur+a y 2 3 x di bidang koordinat kartesius. 0asil dari kur+a y 2 3 xyang terdapat di kuadran satu dan tiga merupakan salah satu bentuk sederhana dari hiperbola. %alam geometri hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. !edua titik tertentu itu disebut titik okus. 'ika dilukiskan dalam koordinat kartesius, maka diperoleh sebagai berikut 4
%ari gambar diatas, titik ( merupakan pusat hiperbola, titik 5 6 5 adalah titik o"us hiperbola, titik pun"ak 7-a,*8 6 7a,*8, panjang sumbu mayor 2 a dan panjang sumbu minor 2 b.
P&'5+6++/ H$%&'*+ 1, P&'5+6++/ H$%&'*+ 7+/0 &'%5+- $ ( )
a. 9ntuk hiperbola dengan titik okus pada sumbu :, persamaan hiperbolanya adalah 4
dengan 4 ;
/usat 7*,*8
;
Titik okus 57-",*8 6 5 7",*8
;
Titik pun"ak 7-a,*8 6 7a,*8
;
/anjang sumbu mayor 2 a
;
/anjang sumbu minor 2 b
;
/ersamaan asimptot 4
;
/ersamaan direktriks 4
;
;
/anjang la"tus re"tum
b. 9ntuk hiperbola yang berokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah 4
dengan 4 ;
/usat 7*,*8
;
Titik okus 57*,-"8 6 5 7*,"8
;
Titik pun"ak 7*,-a 8 6 7*,a8
;
/anjang sumbu mayor 2 a
;
/anjang sumbu minor 2 b
;
/ersamaan asimptot 4
;
/ersamaan direktriks 4
/-; :
%iketahui persamaan hiperbola , maka 4 %ari persamaan tersebut diperoleh a 2 =, maka a 2 > dan a 2 ?, maka a 2 ), sehingga
. koordinat titik pun"ak 4 7 ; a,* 827 ; >,*8 6 7 a,* 827>,*8 b. koordinat titik okus 4 7 ; ", * 827 -,* 8 6 7 ",* 827 ,* 8 . persamaan asimptot 4 d. persamaan direktriks 4 . eksentrisitas 4 . panjang la"tus re"tum
2, P&'5+6++/ ;$%&'*+ 7+/0 &'%5+- $ P(<=)
a. 9ntuk hiperbola yang berokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu :, persamaan hiperbolanya adalah 4
dengan 4 ;
/usat 7@,8
;
Titik okus 57@ ; ",8 6 5 7@ B ",8
;
Titik pun"ak 7@ ; a,8 6 7@ B a,8
;
/anjang sumbu mayor 2 a
;
/anjang sumbu minor 2 b
;
/ersamaan asimptot 4
;
/ersamaan direktriks 4
b. 9ntuk hiperbola yang berokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah 4
dengan 4 ;
/usat 7@,8
;
Titik okus 57@, ; "8 6 5 7@, B "8
;
Titik pun"ak 7@, ; a8 6 7@, B a8
;
/anjang sumbu mayor 2 a
;
/anjang sumbu minor 2 b
;
/ersamaan asimptot 4
;
/ersamaan direktriks 4
"ontoh 4 %iketahui persamaan hiperbola , maka dari persamaan di atas dapat kita ubah menjadi %ari persamaan diatas, diperoleh , a2?, maka a2) dan b2, maka b2, . !oordinat titik pusat 7@,827-),)8 . !oordinat titik pun"ak 7@ ; a, 827-)-),-)827-=,-)8 6 7@ B a, 827-)B),)827*,-)8 ). !oordinat titik okus 4 57@ ; ", 827-)-,)8 6 5 7@ B ", 827-)B,)8 >. /ersamaan asimptot 4 . /ersamaan direktriks 4
II,II
3&+'+; H$%&'*+
#erdasarkan reerensi yang kami temukan, kata ChiperbolaD berasal dari bahasa Eunani yang berarti Cberlalu melemparkanD atau CberlebihanD, dan dalam bahasa Fnggris hyperbole yang berarti u"apan yang berlebih. Fstilah hiperbola telah disederhanakan oleh ilmuan /erga, Apollonius 7tahun = SM ; ?* SM8 yang berarti sesuatu yang berhubungan dengan keru"ut atau berbentuk keru"ut. Sebagai perbandingan bentuk keru"ut yang lain adalah ellips dan parabola. /ada dasarnya ellips dan parabola merupakan dua keru"ut bagian yang berbentuk umum.
II,III P&/&'+%+/ H$%&'*+
/erkembangan ilmu pengetahuan telah membuat hiperbola sebagai bentuk dalam ilmu geometri yang telah diterapkan dalam kehidupan. Salah satu penerapam dari hiperbola yaitu pada jam matahari. !apanpun harinya, matahari selalu berputar tanpa kemajuan pada bola samawi, dan leretannya membentur titik pada satu jejak jam matahari keluar satu keru"ut "ahaya. %alam ilmu isika penerapan hiperbola dapat terlihat pada "ahaya lampu pada gambar di bawah ini, dimana "ahaya yang dihasilkan memiliki pola hiperbola .
DAFTAR PU3TAKA
$iddle, %ouglas 5. ??. Analyti" &eometri th
