Magia Matematica_de Pacioli a Gardner_Fernando Blasco

´ MAGIA MATEMATICA: DE PACIOLI A GARDNER por Fernando Blasco

˜ XLV Olimpiada Matem´atica Espanola

Sant Feliu de Guixols 26-28 marzo 2009 1

´ existente entre magia y ciencia se remonta a un pasaLos inicios de la relacion do que ya nos queda bastante lejano, pero que se mantiene hasta nuestros d´ıas. La ˜ andola magia ha aparecido mezclada con la ciencia, en algunas ocasiones acompan´ y en otras oponi´endose a ella. La RAE define la magia como arte o ciencia oculta con que se pretende producir, vali´endose de ciertos actos o palabras, o con la intervenci´on de seres imaginables, resultados contrarios a las leyes naturales. Si al nombre “magia” le ponemos el apellido “blanca” se define ahora como la que por medios naturales obra efectos que parecen sobrenaturales. Para muchos de nuestros estudiantes las matem´aticas se presentan como algo m´agico en el sentido de cabal´ıstico, o de hechicer´ıa, pero aqu´ı, como cient´ıficos, nos preocuparemos por los medios naturales (m´as concretamente medios matem´aticos) que pueden producir efectos que realmente parecen sobrenaturales. ´ El inter´es por la magia que han demostrado personajes historicos nos har´a hablar de Cardano, Leonardo Da Vinci o Luca Pacioli. S´eneca tambi´en muestra inter´es, como espectador, por los juegos de magia: en su cuadrag´esimo quinta carta a Lucilio describe que hab´ıa visto un fascinante truco en el que unas bolas aparec´ıan ´ y desaparec´ıan bajo unos cubiletes, pero que al conocer como se hac´ıa el juego, e´ ste perdio´ todo su inter´es. S´eneca nos da la pista de por qu´e los juegos de magia nunca deben explicarse (aunque en este libro nos saltaremos un poco esa norma). ´ Otro filosofo que describe juegos de magia es Roger Bacon y a e´ l se debe la frase “la mano es m´as r´apida que la vista”, utilizada frecuentemente al referirse a los magos prestidigitadores que, como el nombre indica, son los que tienen velocidad en los dedos. ´ de AlejanUno de los primeros matem´aticos capaces de hacer magia fue Heron dr´ıa, que en su Pneumatica inclu´ıa un sistema autom´atico de apertura de puertas en un templo. Hoy puede parecernos un sistema muy atrasado, comparado con el de apretar la tecla de un mando a distancia que funciona por infrarrojos y que, dicho sea de paso, a m´ı sigue pareci´endome magia. 2

F IGURA 1. Sistema de apertura de puertas

´ no vamos a explicar muchos juegos matem´aticos, ya En esta documentacion que preferimos que primero se vean los juegos y se disfruten. Esto provocar´a que nos preguntemos por qu´e es posible que eso ocurra y ser´a mucho m´as f´acil intro´ concepto matem´atico. En estas notas solo ´ queremos dar unas pinceducir algun ladas que permitan ver las posibilidades que encierra esta disciplina y mostrar ´ como la matem´atica puede ser muy divertida. En el curso se ver´an diferentes juegos de magia matem´atica.

Algunos juegos matem´aticos ´ Como en estas notas el t´ermino “magia” lo utilizaremos como sinonimo de ilusionismo no nos puede faltar como referencia la cartomagia y el uso de las 3

˜ un pamatem´aticas en esta parcela de la magia. Girolamo Cardano desempena pel muy importante en la historia de las matem´aticas, puesto que es el autor del ´ a un nuego de magia con cartas. primer libro impreso en el que se hace mencion Cardano era aficionado a las “artes oscuras”, y es sabido que fue excomulgado por elaborar la carta astral de Jesucristo. Nosotros no vamos a llegar hasta ese punto con el primer juego que vamos a describir, pero va a tener que ver con el ´ horoscopo. Necesitaremos 14 cartas: dos series completas de las cartas del 1 al 7 (de palos diferentes) .

1. Ordena uno de los conjuntos de 7 cartas del As al 7 (identificaremos esos ´ sobre la mesa naipes con los d´ıas de la semana: lunes a domingo). Situa esas cartas, ordenadas, de izquierda a derecha. 2. Ordena el otro conjunto de cartas tambi´en del As al 7, de modo que cuando la baraja est´a dorso arriba la primera de las cartas sea el As y la de abajo ´ el 7. del monton 3. Ahora haremos operaciones para alterar el orden de las cartas. Comienza cortando en dos partes y completando el corte. 4. Reparte en dos montones, alternativamente a derecha e izquierda y dorso arriba, las siete cartas. ´ sobre el otro, en el orden que quieras. Si quieres corta 5. Coloca un monton el mazo y completa el corte. 6. Para desordenar un poco m´as las cartas vuelve a repartirlas en dos montones a derecha e izquierda. 7. Pon uno de los montones sobre el otro. Corta y completa el corte, si quieres. ´ sobre el 8. Vuelve a repartir una vez m´as en dos montones. Pon un monton otro. 9. Ya habremos desordenado bastante la baraja. Levanta la carta de arriba del mazo y mira cu´al es su valor (si est´as siguiendo estas instrucciones con otra persona ver´as que hab´eis llegado a valores distintos, la suerte es la que ha decidido qu´e carta se ha situado arriba). 10. Pasa, de una en una, tantas cartas de arriba a abajo como indica el valor del naipe que has visto, cont´andole (e.g. si era un dos debes pasar, de una en una, las dos primeras cartas del mazo de arriba a abajo). 4

11. ¿Preparado para la suerte? Vas a situar las cartas en una fila paralela a las que ya tienes sobre la mesa. Para ello das la vuelta al mazo de forma ´ debajo del As que se vean las caras y la primera carta que salga la situas ´ (correspondiente al lunes), la segunda debajo del 2, ... y la ultima debajo del 7, correspondiente al domingo. ´ 12. Lectura del horoscopo: si no coincide el valor de ninguna de las cartas de la segunda fila con la que se encuentra encima de ella vas a tener una semana horrible. Si coincide una carta la semana ser´a un poco mejor. Si coinciden ´ las siete ser´a una semana fant´astica (sin a´ nimo comercial). ¿Como te ha ido? Ese primer ejemplo muestra la idea de lo que es un juego con cartas en el que intervienen las matem´aticas. Normalmente a estos juegos se les llama en magia “juegos autom´aticos”. ´ a un juego de cartomagia que Ya hemos mencionado que la primera mencion aparece en prensa fue hecha por Cardano, pero la matem´atica recreativa ha estado presente en los libros de matem´aticas desde antes de que Gutenberg inventara la ´ del primer juego de magia del que se tiene constancia imprenta. La descripcion escrita aparece en un manucrito del que son coautores Luca Pacioli y Leonardo da Vinci: De Viribus Quantitatis, donde mencionan juegos de magia num´erica. ´ Libros posteriores aunan matem´aticas, f´ısica, qu´ımica y magia, siendo destacado el titulado Recr´eations Math`ematiques et Phisiques, escrito por Jacques Ozanam. En ´ adem´as de juegos cient´ıficos incluye juegos de magia tales su primera edicion, como la cuerda rota y recompuesta, la cinta infinita que sale de la boca o la carta que viaja desde una baraja al interior de un sombrero, juegos que hoy siguen ´ divirtiendo al publico. Pacioli, adem´as de mencionar juegos de magia con cartas plantea como problema algo que puede pensarse como puzzle matem´atico o como juego de magia, dependiendo del modo en el que se presente. ´ inicial es la descrita en la figura 2: un aro y un anillo de cuerda (una La situacion cuerda con los extremos pegados o anudados) de forma que el anillo de cuerda cuerda pase por el interior del aro. La cuerda se tensa y queda sujeta entre los ´ ´ consistir´a en pulgares de una persona que nos ayude (esta vez su unica mision 5

sostener la cuerda) o, en su defecto, en el respaldo de una silla. Va a convenir que el anillo de cuerda quede paralelo al suelo. Lo sencillo consistir´ıa en liberar la cuerda por uno de los pulgares y sacar entonces el anillo. Ese movimiento no est´a permitido, no pueden sacarse bucles de cuerda por encima del pulgar.

´ inicial F IGURA 2. Posicion ´ con El procedimiento es m´agico y complicado. Se puede seguir la descripcion ayuda de la figura 3. ´ el ´ındice de su mano izquierda 1. El mago se pone frente al espectador. Situa en el punto A del esquema 1 por la parte exterior de la cuerda. Hace que un bucle pase por encima del trozo de cuerda que est´a m´as cercano a nosotros. ´ situando el ´ındice de la mano derecha en el punto B hace A continuacion, que pase un bucle, siempre por encima del otro lado de la cuerda, hacia donde se encuentra nuestro ayudante. El resultado debe ser similar al que se muestra en el esquema 2. 2. El bucle que hab´ıamos arrastrado con el ´ındice de la mano izquierda (la zona que aparece sombreada en el esquema 2) se lleva hacia el pulgar izquierdo del espectador, para que quede sujeto por e´ ste, del modo como se representa en el esquema 3. ˜ 3. Cogiendo ahora la cuerda con el ´ındice izquierdo por el punto senalado con una flecha en el esquema 3 formamos un bucle que debe insertarse en el pulgar izquierdo del espectador. Para que se muestre que la cuerda no escapa por ah´ı dejamos nuestro ´ındice sobre el pulgar del espectador, toc´andolo. En el esquema 4 hemos difuminado todos los trazos correspon´ dientes a movimientos anteriores y hemos dejado en trazo visible este ultimo paso. Al crear ese bucle y hacer ese movimiento el anillo insertado en la cuerda se desplaza hacia nuestra derecha. 6

´ 4. Liberamos ahora el ´ındice de nuestra mano derecha y aflojamos la tension ´ de las de la cuerda. Volviendo a tensar la cuerda, mediante una separacion manos del espectador, el anillo queda liberado y la cuerda insertada entre los dos pulgares. ¡M´agico!

Dejando un poco de lado la ciencia recreativa en general para centrarnos en la magia matem´atica, debemos hablar de Martin Gardner. Su libro Mathematics, Magic and Mystery es el primer libro dedicado ´ıntegramente a la magia matem´atica, ´ dice este autor en el prologo ´ segun al libro de William Simon Mathematical Magic, que resulta ser el segundo libro de magia matem´atica. Posteriormente han aparecido muchos m´as libros en los que se describe la matem´atica que interviene en algunos juegos de magia. No solo se escriben libros sobre magia matem´atica, sino ´ tambi´en art´ıculos en revistas cient´ıficas matem´aticas y en revistas de educacion matem´atica. Gardner no era matem´atico, sino un periodista muy bien asesorado por grandes matem´aticos, pero adem´as era un gran mago, creador de numerosos efectos, y esto se nota en todos sus libros de matem´atica recreativa. En el lado opuesto a Martin Gardner nos encontramos con Harry Houdini, que ´ del teorema de Pit´agoras, enincluye en su libro Paper Magic una demostracion tendida como juego de magia: con dos cuadrados formar uno solo. Este juego tambi´en estar´ıa en la frontera de la magia, las matem´aticas y los puzzles: partiendo de la figura 4 y recortando los tri´angulos sombreados para despu´es colocar las tres piezas resultantes de modo que quede un cuadrado, habremos demostrado el teorema de Pit´agoras: el lado del cuadrado que se obtiene coincide con la hipotenusa del tri´angulo sombreado que aparece en la figura y los lados de los cuadrados originales eran, respectivamente, los catetos de los tri´angulos sombreados que hemos utilizado en el puzzle.

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´ del aro F IGURA 3. Liberacion

Cartomagia matem´atica 8

F IGURA 4. Teorema de Pit´agoras Persi Diaconis es un matem´atico que trabaja en Stanford (“la f´abrica de genios”). Ser profesor en esa Universidad implica excelencia como matem´atico. Lo curioso es que e´ l llego´ a las matem´aticas, y a la estad´ıstica, gracias a la magia. ˜ En su juventud viajo´ acompanando al mago Dai Vernon, que fue quien cambio ´ a la magia de cerca, hecha a escasos cent´ımetros el concepto de la magia de salon ´ del espectador. Diaconis descubrio´ lo utiles que pueden ser las matem´aticas en la magia. Quiz´as m´as conocido que Diaconis es Raymond Smullyan, autor de mu´ de matem´atica y logica. ´ chos libros de divulgacion Pues bien, e´ l tambi´en es mago. ´ de las matem´aticas y la magia continua. ´ La relacion Diaconis ha probado que la m´axima entrop´ıa en una baraja se alcanza cuando e´ sta se mezcla, por hojeo, 7 veces. La mezcla por hojeo, o mezcla americana consiste en dividir el mazo en dos montones m´as o menos iguales, enfrentarlos y, con la ayuda de los pulgares de ambas manos ir liberando cartas poco a poco de modo que se intercalen las de los dos paquetes (ver figura 5).

F IGURA 5. Mezcla americana 9

Esa mezcla es la que se ve en muchas pel´ıculas y que hoy tambi´en hace mucha ˜ Es una mezcla m´as elegante que la t´ıpica mezcla por arrastre que gente en Espana. se usa en el tute o el mus pero ... ¿es mejor mezcla? Podemos simular una mezcla americana (figura 6) dividiendo el mazo en dos montones m´as o menos iguales dej´andolos sobre la mesa, para seguir apretando ˜ uno de los montones hacia abajo al mismo tiempo que giramos la muneca (como si estuvi´esemos cerrando una llave de paso o apretando una tuerca con las ´ una estructura con una forma manos) de modo que consigamos en el monton ´ hacemos lo mismo con el similar a la de una escalera de caracol. A continuacion ´ El siguiente paso que hay que hacer es acercar los montones, y junotro monton. tarlos en uno solo llevando las manos perpendiculares a la mesa. De este modo queda un revoltijo que estructuralmente es una mezcla americana. Solo nos resta cuadrar la baraja para poder operar con ella.

F IGURA 6. Variante de la mezcla americana

Dicho esto, propongo hacer el siguiente experimento: Toma una baraja de 52 cartas y separa las 26 cartas rojas de las 26 cartas negras. ´ las 26 cartas rojas sobre las 26 negras. Te quedar´an las cartas de cora1. Situa zones y rombos en la parte superior y las de picas y tr´eboles en la inferior. 2. Reparte 4 cartas sobre la mesa, como si fueran los cuatro v´ertices de un cuadrado. 10

3. Lo que vamos a hacer ahora es repartir el resto del mazo echando cartas de una en una sobre las cuatro primeras que ten´ıamos sobre la mesa. No es necesario repartir el mazo en orden: puedes seguir un orden, luego invertirlo, dar cartas en diagonal, etc. Lo importante es que los cuatro montones ´ tengan m´as o menos el mismo numero de cartas. 4. Elige dos de los montones, los que tu´ quieras, y m´ezclalos a la americana. 5. Mezcla, tambi´en a la americana, los otros dos montones que te quedan sobre la mesa. 6. Ahora debes mezclar a la americana los dos montones grandes que te han quedado. 7. Tienes en este momento la baraja mezclada (y bien mezclada). Reparte las 16 cartas superiores encima de la mesa, una tras otra, dej´andolas con el dorso hacia arriba. ´ 8. Reparte del mismo modo las 20 cartas siguientes formando otro monton, a la derecha del anterior. ´ de 16 cartas que te quedan en la mano a la derecha de 9. Deposita el monton los otros dos. ´ central y viendo las caras separa las cartas rojas de las 10. Coge el monton negras. Comprueba que de las 20 cartas 10 son rojas y 10 son negras. ´ de la 11. Recuerda que has mezclado la baraja tres veces. Voltea el monton izquierda y comprueba que est´a formado solamente por cartas negras. 12. Voltea el de la derecha y, si puedes, extiende las cartas sobre la mesa. ¿Crees que hab´ıas mezclado la baraja suficientemente a fondo?

´ Alex Elmsley no era matem´atico, pero estaba muy proximo: era inform´atico y ´ entre las mezclas perfectas (denominadas mezclas faro) y descubrio´ una relacion el sistema binario. Elmsley tambi´en es creador de diferentes t´ecnicas manuales utilizadas por los cartomagos profesionales, por ello no podemos referirnos a e´ l como un simple “aficionado” (la palabra amateur ser´ıa m´as correcta, dado que nos estamos refieriendo a un no profesional pero de m´as nivel que muchos magos que ˜ Ramon ´ Rioboo es uno de se dedican profesionalmente al ilusionismo). En Espana estos “grandes aficionados” (profesionalmente se dedicaba a algo que no ten´ıa nada que ver con la magia) que empezo´ en el ilusionismo siendo bastante mayor y que ha creado muchos efectos basados, directa o indirectamente, en propiedades 11

˜ que utiliza muchas propiedades matem´aticas matem´aticas. Otro mago espanol ´ en sus juegos es Woody Aragon. La mezcla faro es la mezcla “perfecta”: la que se consigue dividiendo la baraja en dos mitades iguales (de 26 cartas cada una si utilizamos una baraja france´ sa) y en la al mezclar se intercalana las cartas proviniendo una de cada monton. Hacer correctamente esta mezcla requiere entrenamiento, pero es posible hacerla. Veremos algunos juegos donde aparecer´a. Elmsley hac´ıa mezclas faro interiores ´ (In-shuffle) y mezclas faro exteriores (Out-shuffle), dependiendo de como comen´ proven´ıa zaba a intercalar las cartas: se fijaba si la primera carta del nuevo monton de la mitad inferior o de la mitad superior. Pues bien, escribiendo OIIOO para denotar la secuencia de mezclas que hab´ıa hecho comprobo´ que la primera carta del ´ representada por el numero ´ mazo iba a parar a la posicion binario 01100. ¿No es m´agico y sorprendente?

El cursillo de magia matem´atica ´ Tambi´en encontramos un hecho paradojico en la magia matem´atica. A los estudiantes no les gusta conocer la prueba de los resultados matem´aticos. Suelen decir que ellos se lo creen. Sin embargo quieren saber en qu´e se basan las proezas m´agicas. Como elemento did´actico la matemagia es interesante puesto que permite preguntar el porqu´e de algunos resultados. Otros divulgadores de la matem´atica de gran e´ xito, Rob Eastaway y Jeremy Windham, en su libro Why do buses come in threes? hacen el comentario siguiente: “La mas matem´aticas est´an llenas de curiosidades que pueden utilizarse como base para juegos. Quiz´as esto explica por qu´e tantos magos son tambi´en aficionados a las matem´aticas, y no es una coincidencia que Lewis Carroll, el gran matem´atico y autor infantil, tambi´en amara la magia y los puzzles. Quiz´as deber´ıa haber m´as profesores de matem´aticas que se convirtieran en magos” Y estos dos autores, hacia el final de su libro escriben: ´ “Hemos dejado el cap´ıtulo sobre magia matem´atica para el final por una razon. Los trucos de magia demuestran una de las aplicaciones m´as pr´acticas de la matem´atica, que es hacer la vida m´as divertida” 12

´ A menudo nosotros, nuestros estudiantes y tambi´en el publico en general pen´ pr´actica no samos que las matem´aticas son algo serio, dif´ıcil y cuya utilizacion se ve. De este modo, desde los niveles educativos de menor edad (que no son los ´ pr´actica sencilla de niveles educativos inferiores) puede mostrarse una aplicacion la matem´atica y evitar con ello el rechazo inicial que supone para muchos. Los contenidos que se pueden presentar mediante juegos de magia son muchos y variados: Probabilidad Estad´ıstica Teoremas de punto fijo Bases en espacios vectoriales ´ decimal Sistema de numeracion ´ binario Sistema de numeracion Teorema de Pit´agoras Teorema de Thales Matrices Determinantes Aritm´etica Modular Combinatoria Ecuaciones C´alculo mental Topolog´ıa (Razonamiento) (Algor´ıtmica) (Causalidad) ´ de problemas) (Resolucion ´ exhaustiva de las posibilidades, porque No queremos aqu´ı hacer una descripcion adem´as ser´ıa imposible. Creemos que casi cualquier concepto matem´atico puede ´ juego de magia. Dada la limitacion ´ que suponen 8 introducirse utilizando algun horas no van a poder tocarse todos los temas, y ser´ıa bueno para el desarrollo de las clases que los participantes pensasen qu´e temas concretos prefieren que desarrollemos. 13

Hemos dejado para el final el comentario de otro divulgador de la ciencia y ´ siendo el m´as conocido 2001, conocido escritor de cl´asicos de la ciencia ficcion, una odisea del espacio. Arthur C. Clarke estudio´ matem´aticas y f´ısica en el prestigioso Imperial College de Londres. Nos dejo´ tres leyes que relacionan la ciencia, la ´ y la ciencia-ficcion. ´ En particular son aplicables a la matem´atica, y tambi´en ficcion a la magia: 1. Cuando un viejo y distinguido cient´ıfico determina que algo es posible, probablemente est´a en lo correcto. Cuando determina que algo es imposible, probablemente est´a equivocado. ´ 2. La unica manera de descubrir los l´ımites de lo posible es aventurarse hacia lo imposible. 3. Cualquier tecnolog´ıa suficientemente avanzada es indistinguible de la magia.

Referencias En el curso mencionaremos algunos libros o art´ıculos en los que se tratan temas relacionados con la magia matem´atica. La referencia principal, porque en ella expongo “casi todo” lo que s´e es: - Blasco, Fernando. Matemagia. Temas de Hoy. Madrid, 2007. Libros que tratan sobre los inicios de la matem´atica recreativa, la magia y la ´ momento del curso. f´ısica recreativa, y que mencionaremos en algun - Pacioli, Luca. De Viribus Quantitatis. Codice 250 de la Biblioteca Universitaria de Bolonia. Compilado entre 1496 y 1508. Disponible en http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Pagine/index.html ´ del libro data de 1550. - Cardano, Girolamo. De Subtilitate. La primera edicion ´ de 1663 est´a disponible en http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de La edicion - Aurel, Marco. Libro Primero de Arithmetica Algebratica, J. Mey, Valencia, 1552. - Bachet, Claude Gaspar. Probl`emes Plaisants et D´electables qui se font par les nombres. Par´ıs, 1612. 14

- Ozanam, Jacques. R´ecr´eations math´ematiques et physiques. El libro fue es´ de 1778, realizada por Jean Ettiene Montuela, est´a disponible crito en 1694. La edicion en http://cnum.cnam.fr/fSYN/8PY9.html El mayor divulgador de la matem´atica del siglo XX y mago aficionado merece un apartado para e´ l solo. Es autor de muchos otros libros y, en casi todos, hay ´ cap´ıtulo en los que habla de magia matem´atica. He aqu´ı una seleccion ´ de algun los mismos: - Gardner, Martin. Mathematics, magic and mystery. Dover. 1956. - Gardner, Martin. Nuevos pasatiempos matem´aticos. Alianza Editorial, 1980. - Gardner, Martin. Carnaval matem´atico. Alianza Editorial, 1980. - Gardner, Martin. Circo matem´atico. Alianza Editorial, 1983. - Gardner, Martin. Festival m´agico-matem´atico. Alianza Editorial, 1983. Otros textos dedicados a la magia matem´atica: - Simon, William. Mathematical magic. Dover. 1964. - Heath, Royal V. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers. Dover. 1953. ˜ Santonja, Jos´e. Ernesto el aprendiz de matemago. Nivola. 2003. - Munoz - Alvarez, Venancio, Fernandez, Pablo y M´arquez, M. Auxiliadora. Cartomagia matematica y cartoteoremas magicos en la Gaceta de la Real Sociedad Matem´atica ˜ Espanola. Vol 5 (3), 2002, 711-735. - Estalella, Jos´e. Ciencia Recreativa. Ajuntament de Barcelona. 2008. Historia de la matem´atica. - Boyer, Carl B. Historia de la matem´atica. Alianza Editorial. 1986. ´ - Karlson, Paul. La magia de los numeros. Labor. 1960. ´ ´ - Gonz´alez Urbaneja, Pedro Miguel. Pit´agoras. El filosofo del numero. Nivola 2001. ´ Historia de la magia. Los dos unicos libros que comentamos nos muestran una historia ilustrada de la magia. En el de Melbourne Christopher aparecen muchas ´ de los magos. ilustraciones de la e´ poca, incluyendo los carteles de presentacion ´ El de Angel Id´ıgoras tiene caricaturas de ilusionistas. 15

- Christopher, Milbourne. Magic: a Picture history. Dover. 1992. ´ - Id´ıgoras, Angel. Aventuras de 51 magos y un fakir de cuenca. P´aginas. 1999. Magia general. En este listado aparecen tanto algunos de los libros a los que nos hemos referido en el texto como otras referencias muy buenas para empezar con juegos de magia no necesariamente matem´aticos. ´ - Giobbi, Roberto. Gran Escuela Cartom´agica (5 volumenes). P´aginas. 2004. ´ - Ciuro, Wenceslao. Juegos de mano de bolsillo (6 volumenes). P´aginas. 2002. ˜ Mart´ınez Roca. 2003. - Blass, Jorge. Magia para no dejar de sonar. - Tamariz, Juan. El mundo m´agico de Tamariz. Ediciones del Prado. 1995. - Canuto, Vicente. Cartomagia fundamental. ICASA. 2003. - Houdini, Harry. Paper Magic. Originalmente publicado en 1922 existe una ´ hecha por Kessinger Publishing. 2003. reimpresion Creo interesante incluir tambi´en las referencias a algunos de los videos que se van a ver, o comentar, en el curso: ´ Jerry Andrus (ilusiones opticas) http://es.youtube.com/watch?v=Frm6sfswiGo Crecen y encogen http://es.youtube.com/watch?v=6oEJ10fnZXk Ilusiones de Bill Nye http://es.youtube.com/watch?v=WvVfcyVCdNA Jerry Andrus (caja) http://es.youtube.com/watch?v=SErHThEGTDc ´ movi´endose Dragon http://es.youtube.com/watch?v=YoufjevVGZ0 El pdf con el dragon http://www.grand-illusions.com/images/articles/opticalillusions/dragon illusion/dragon.pdf

´ castillo colores Ilusion http://es.youtube.com/watch?v=417UqoEqNmY ´ optica ´ Ilusion de la casa http://es.youtube.com/watch?v=jIpdajUHVtI Los que se pasan la pelota de baloncesto http://es.youtube.com/watch?v=7-rUBENnVaE 16

Estos son enlaces a videos de un minuto y medio, de una entrevista en la revista ´ est´an en videos separados. Puede que os sirva Quo. La magia y la explicacion para recordar algunas de las cosas que estudiaremos. http://es.youtube.com/view play list?p=A7F8255C56413D50 Entrevista en ”Vive la ciencia”. Aqu´ı se grabo´ el juego de aro y cuerda de Pacioli ´ movimiento. descrito en estas notas, por si se os olvida algun http://es.youtube.com/watch?v=i46dVfcfqOQ Entrevista en Tres14 (tve2) http://www.tres14.rtve.es/vids/PGM24-entrevista.flv Conferencia en el Creamat, del Departamento de Educacion de la Generalitat (16.10.08) http://video.xtec.cat:8080/ramgen/creamat/creamatconf161008.rm Otros enlaces interesantes: ´ de la Real Sociedad Matem´atica Espanola. ˜ La p´agina de divulgacion Hay una ´ de Magia Matem´atica conducida por Pedro Alegr´ıa, profesor de la Uniseccion versidad del Pa´ıs Vasco. http://www.divulgamat.net ´ donde hay mucho material para utilizar en clase. Os animo Ciencia en Accion, ´ ´ De algun ´ modo Ciencia en Accion ´ y Rosa a que particip´eis en la proxima edicion. ´ por la magia matem´atica M. Ros (su directora) tienen la culpa de que mi aficion no me la guarde para m´ı solo... http://www.cienciaenaccion.org/ ´ Card Colm en la web de la Mathematical Association of America, La seccion conducida por Colm Mulcahy, del Spellman College en Atlanta. http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm.html

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