Luke i Pomorske Gradevine

Sveučilište u Splitu, Građevinsko-arhitektonski fakultet

Luke i pomorske gradnje 2010

SADRŽAJ: 1.

UVOD................................................................................................................................................................3 1.1. 1.2.

ZEMLJA U SVEMIRU...............................................................................................................................3 STRUKTURA ZEMLJE.............................................................................................................................3

1.2.2. 1.2.3. 1.2.4.

1.3.

MORE.......................................................................................................................................................7

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6.

2.

DEFINICIJA............................................................................................................................................24 VRSTE IDEALNIH VALOVA...................................................................................................................24 DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA.........................................................................26 OSNOVNE JEDNADŽBE VALNOG GIBANJA ......................................... .................... ........................................... ........................................... ........................ ... 27 VALOVI MALIH AMPLITUDA – AMPLITUDA – AIRY-EVA TEORIJA...................................................................................29

VALNA KINEMATIKA ........................................ ................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................... ...... 33 4.1. 4.2.

KINEMATIČKE VELIČINE..............................................................................................................................33 PARAMETARSKI OBLIK PUTANJA ČESTICA:...................................................................................................34

4.2.2. 4.2.3.

Duboko more ......................................... ................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... .......................... 34 Plitko more.....................................................................................................................................35

4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5.

Opć enito enito ......................................... ................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... ............................... ......... 36 Superpozicija pozitivnih i negativnih valova, odbijanje (refleksija).................................................37 Utjecaj malih nagiba dna na refleksiju valova................................................................................40 Energija i snaga valova..................................................................................................................41 Protok energije (snaga toka) u smjeru vala ......................................... ................... ........................................... .......................................... ..................... 41

4.3. 4.4.

5.

DEFINICIJA MORSKIH VALOVA ........................................... ...................... ........................................... ............................................ .......................................... .................... 20 VRSTE VALOVA ........................................ ................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................... ...... 21 OPIS VALA.............................................................................................................................................23

IDEALNI VALOVI............................................................................................................................................24 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

4.

Opć i podaci......................................................................................................................................7 Reljef morskog dna..........................................................................................................................8 Fizikalna svojstva mora .......................................... ..................... ........................................... ........................................... ........................................... .............................. ........ 9 Karakteristike mora........................................................................................................................11 Korištenje mora i podmorja............................................................................................................11 Gibanje mora ......................................... ................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... .......................... 13

MORSKI VALOVI............................................................................................................................................20 2.1. 2.2. 2.3.

3.

Formiranje kopna i mora na Zemlji ........................................... ...................... ........................................... ........................................... ................................. ............ 5 Opć i podaci......................................................................................................................................5 Prikaz Zemlje...................................................................................................................................6

RASPODJELA TLAKA ..................................................................................................................................35 SUPERPOZICIJA VALOVA MALIH AMPLITUDA...................................................................................36

TRANSFORMACIJE VALA............................................................................................................................43 5.1. 5.2. 5.3.

JEDNADŽBE TRANSFORMACIJA VALA ...........................................................................................................43 „SHOALING“ EFEKT (UTJECAJ PLIĆINE): ......................................... ................... ........................................... ........................................... ................................... ............. 44 REFRAKCIJA VALA .....................................................................................................................................45

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4.

5.4. 5.5.

Jednadžbe refrakcije......................................................................................................................45 Planovi refrakcije .......................................... .................... ........................................... ........................................... ........................................... ...................................... ................. 46 Snellov zakon ........................................... ...................... ........................................... ........................................... ........................................... .......................................... .................... 47 Primjena numeri č k e integracije......................................................................................................49 čke

LOM VALA .................................................................................................................................................52 DIFRAKCIJA VALA ......................................................................................................................................54

1



2



1. UVOD 1.1. ZEMLJA U SVEMIRU Općenito, Zemlja kao planet u sun čevom sustavu predstavlja dragocjen dom brojnim živim bićima. Ono što je prvenstveno razlikuje od ostalih planeta, te je i omogu ćilo toliki razvoj živog svijeta jest, uz atmosferu, bogatstvo vode. Zemlja jedina ima vodu – zato se popularno i naziva „Plavi planet“. planet“.

U nastavku su dati neki zanimljivi z animljivi podaci enciklopedijskog karaktera u svrhu predo čavanja koncepta samog položaja, a i strukture Zemlje.

Radijus Zemlje iznosi 6370 km. Prosje čna gustoća je 5,52 g/cm 3. Temperatura na površini Zemlje iznosi 300 K. Udaljenost od Sunca 150 000 000 km.

Slika 1.1: Položaj Zemlje u Sunč evom evom sustavu

1.2. STRUKTURA ZEMLJE Postoje brojne znanstvene discipline i njihove metode kojima se izu čavala i izu čava struktura Zemlje, te njenih slojeva i podslojeva. Pretežito se koristi metoda refrakcije razli čitih vrsta valova, na osnovu koje se definiraju položaji i dubine pojedinih slojeva – Slika 1.2. je rezultat takvih istraživanja sa nazna čenim putanjama širenja i deformiranja vala unutar slojeva. 80° 110°

područč je sjene podru KOR ORA A (6 (6÷35 km) km)

~125 km 40° 150° 160°

MOHOROVIČIĆEV MOHOROVIČ DISKONTINUITET ASTENOSFERA ASTENOSFER A (dno 12 5 km) VANJSKA JEZGRA (TEKUĆ (TEKU Ć A) UNUTRAŠNJA JEZGRA (KRUTA)

2900 k m

5000 km 6300 k m

Slika 1.2: Struktura Zemlje

3



Slojevi prikazani na Slika 1.2.:

• KORA (litosfera) - na kopnu prosje čno 35-40 km, ve ćinom granitne i sedimentne stijene - na morskom dnu iznosi od 10-12 km; bazaltne stijene - gustoća iznosi 2,7 g/cm 3 • MOHOROVIČIĆEV DISKONTINUITET – naglašena granica izme đu kore i omota ča (plašta); Andrija Mohorovi čić je utvrdio granicu prou čavanjem potresnih valova • OMOTAČ – unutarnji dio Zemlje koji od granice sa litosferom seže do dubine od 2900 km; razlikuje se unutarnji, donji dio plašta – mezosfera i gornji – astenosfera u kojoj se odvija termalna dinamika s kojom i konvekcijska strujanja koja uzrokuju dinami čke procese i plasti čne deformacije u tektosferi. • VANJSKA JEZGRA – je metalna teku ća masa u kojoj se odvijaju konvekcijska strujanja • UNUTRAŠNJA JEZGRA – u čvrstom stanju, gusto će od 7,2 do 11,5 kg/dm 3 Kora (litosfera) se sastoji od 12 plo ča: Pacifička, Sjevernoameri čka, Karipska, Australijska, Afrička, Euroazijska, Arabijska, Južnoameri čka, Iranska, Antarti čka. Također postoje manje plo če. Uslijed endodinami čkih pokreta u unutrašnjosti Zemlje, kora se nabire u planinske lance, ili uslijed podvla čenja mogu će je nastajanje dubokomorskih zaljeva, smicanjem rasjedi, i razvla čenjem oceanski hrptovi (4 do 10 cm/god). Potres je jedan od važnijih oblika manifestacije endodinami čkog djelovanja. Kod potresa se razlikuju : EPICENTAR – mjesto na površini Zemlje na kojem se potres najja če osjetio HIPOCENTAR – mjesto u unutrašnjosti Zemlje odakle se potres širi ovisno o vrsti valova (transvezalni, (transvezalni, longitudinalni, lowe valovi i sl.) Utjecaji potresa se mjere razli čitim ljestvicama a ve ćina ih se zasniva na mjerenju MAGNITUDE (Richterova ljestvica 0-9 stupnjeva)– M koli čine oslobođene energije ili pak prema INTENZITETU – I M (Mercalyjeva ljestvica).

Slika 1.3: Prikaz djelovanja potresa

seizmološki valovi

4



1.2.2. Formiranje kopna i mora na Zemlji Formiranje kopna i mora na Zemlji se tijekom prošlosti odvijalo razli čitim pokretanjem kopnene mase, koja su u činila izgled Zemlje kakav danas poznajemo. Od po četnog kopna Pangea, razvojem u Lauraziju i Gondvanu, te daljnjim transformacijama došlo se do današnjih kontinenata kao na Slika 1.4.

Slika 1.4: Razvoj mora i kopna na Zemlji

1.2.3. Opći podaci Tablica 1.1: Globalna podjela površine Zemlje

MORE KOPNO

SJEVERNA HEMISFERA 154,695*10^6 km2 60,7 60,7% % 100,281*10^6 km2 39,3 39,3% %

JUŽNA HEMISFERA UKUPNO 206, 206,36 364* 4*10 10^6 ^6 km2 80,9% 361*10^6 km2 70,8% 48,6 48,611 11**10^6 10^6 km2 19,1% 149*10^6 km2 29,2%

No za sav život na Zemlji, najvažnija je raspodjela vode na Zemlji, pa je u Tablici1.2 dat prikaz raspodjele onih okvirnih 3% pitke vode. Tablica 1.2: Relativna podjela vode na Zemlji

%

POJAVNI OBLIK Polarni led

Volumen [km3]*10^6 29

75

Podzemna voda do 750 m dubine

11

4,2

Podzemna voda od 750 do 4000 m dubine Jezera Rijeke Vlaga u tlu Atmosfera

13,6 0,3 0,03 0,06 0,035

5,3 0,12 0,012 0,024 0,013 5



1.2.4. Prikaz Zemlje Zemlja se prikazuje razli čitim projekcijama – kartama i modelima. Prema položaju normalne kartografske mreže projekcije se dijele na uspravne, popre č ne i kose, a prema obliku te mreže uobi čajena je podjela na konusne, cilindri čn e, azimutalne, pseudokonusne, pseudocilindri čn e, polikonusne, kružne i druge. Kartografske projekcije upotrebljavaju se za prikazivanje jednog dijela ili čitave Zemljine plohe uz što je mogu će manje deformacije. Prema vrstama deformacija kartografske projekcije dijele se na konformne (čuvaju kutove), ekvivalentne (čuvaju površine), ekvidistantne (čuvaju duljine u odre đenom smjeru) i uvjetne. Neke od projekcija dobile su imena po svojim pronalaza čima. To su npr. Mercatorova (obi čno uspravna ili popre čna cilindrična konformna), Lambertova (azimutalna ekvivalentna, ali i konusna konformna), Bonneova (pseudokonusna ekvivalentna), Mollweideova (pseudocilindrična ekvivalentna), zatim niz pseudocilindri čnih projekcija Eckerta, Kavrajskoga i drugih. Posebnu skupinu projekcija čine geodetske projekcije, a to su projekcije za potrebe državne izmjere i izradu službenih topografskih karata. U tu svrhu najrasprostranjenije su univerzalna poprečna Mercatorova projekcija (UTM), popre čna Mercatorova ili Gauß-Krügerova projekcija, polikonusna i Lambertova konformna konusna projekcija. U Hrvatskoj je u službenoj upotrebi Gauß-Krügerova (popre čna cilindrična konformna) projekcija rotacijskog elipsoida.

Slika 1.5: Prikaz razli či tih projekcija prema obliku kartografske mreže

6



1.3. MORE 1.3.1. Opći podaci Kao što je već navedeno, more čini gotovo 71% ukupne površine Zemlje, i za potrebe ovog kolegija će biti zna čajne upravo njegove karakteristike, pa će se u nastavku dati neke op će informacije o moru.

Slika 1.6: Svjetski oceani i mora Tablica 1.3: Podjela mora OBLIK

IME POVRŠINA [10^6 km2] VOLUMEN [10^6 km3] SREDNJA DUBINA [m] Atlantski ocean 82,44 323,613 3925 oceani Tihi ocean 165,246 707,555 4282 Indijski ocean 73,443 291,03 3963 Sjeverni mediteran 14,09 16,98 1205 sreozemna mora Ameri čki mediteran 4,319 9,573 2216 (oceani) Sredozemno i Crno more 2,966 4,238 1429 Azijski mediteran 8,143 9,873 1212 Crveno more 0,438 0,215 491 Perzijski zaljev 0,239 0,006 25 velika sredozemna mora Hudsonov zaljev 1,232 0,158 128 Balti čko more Sjeverno more Engleski kanal Irsko more Zaljev Sv. Lowrencea mala sredozemna Andamansko more Beringovo more mora Ohotsko more Japansko more Istočno Kinesko more Kalifornijski zaljev Bass ostala mora marginalna mora Ukupno oceani i sva mora

0,422 0,575 0,075 0,103 0,238 0,798 2,268 1,528 1,008 1,249 0,162 0,075 39,928 8,079 361,057

0,023 0,054 0,004 0,006 0,03 0,694 3,259 1,279 1,361 0,335 0,132 0,005 48,125 7,059 1370,423

55 94 53 58 126 870 1437 837 1350 268 815 67 1205 874 24906,66796

7



1.3.2. Reljef morskog dna Reljef morskog dna je ponajviše odre đen mjerenjima ultrazvukom – ehosonderima, na osnovu kojih se dobiva batimetrija iz kojih se nadalje konstruiraju oceanografske i geodetske karte, ta posebno mape i reljef dna. Glavne topografske zna čajke prikazane su na Slika 1.7: 1.3.2.1 Kontinentski rubovi 1.3.2.2 Dna oceanskih bazena – abisalne ravnice 1.3.2.3 Glavni oceanski hrbat

Slika 1.7: Prikaz osnovnih elemenata reljefa morskog dna

U Tihom oceanu je abisalna ravnica izbrazdana brežuljcima uslijed intezivnog vulkanskog djelovanja. Općenito, hrptovi su visine 2 do 3 km, dužine oko 60 000 km, širine 100 km. Na njima se odvijaju snažni tektonski poreme ćaji. Na Slika 1.8. dat je prikaz reljefa morskog dna u Atlantskom oceanu.

Slika 1.8: Prikaz hrbata u Atlantskom oceanu

8



1.3.3. Fizikalna svojstva mora 1.3.3.1 Temperatura Temperatura je vrlo važno svojstvo mora, ponajviše zbog promjena u kemijsko – biološkom smislu. Oscilira po dubini i po zemljopisnoj širini. Vrlo je važna i zbog utjecaja na klimu, uzimaju ći u obzir visoki toplinski kapacitet mora. Razlike morskih masa u temperatui ujedno i generiraju morske struje što je od izuzetne važnosti za cijeli živi svijet. Slika 1.9: Oscilacije temperature po dubini i godišnjem dobu

Srednje temperature mora se kre ću od 15-25°C (za kupanje cca 21-22 °C). Najviša temperature je izmjerena u Crvenom moru – 36 °C. Najve ća amplitude mora iznosi 38°C, a usporedbe radi, u zraku je najve ća amplitude 150°C. More je dobar regulator temperature, upravo zbog spomenutog visokog toplinskog kapaciteta. Kao što je rečeno, temperatura mora i njene promjene mogu drasti čo utjecati na živi svijet, kao u aktualnom problemu gornjih horizonata – odre đene srpske hidroelektrana u kombinaciji i sa HE Dubrovnik oduzimaju Jadranskom slivu, zbog čega će doći do podizanja temperature obalnog mora za 1-2°C, što predstavlja veliki poreme ćaj i dovesti će do odumiranja nekih morskih organizama. Školjkaši su posebno osjetljivi na ovu vrstu poreme ćaja. 1.3.3.2 Slanost i gusto ća U moru je otopljeno mnogo mineral i organskih tvari, kao i plinova. Kemijski i biološki procesi mjenjaju sastav rastvora i otopljenih tvari. 96,5% mora je voda, a preostalih 3,5 % čine otopljene tvari. Salinitet u današnjm morima ne varira značajno, pogotovo ne u dubljim dijelovima (34,5-35). Površinski salinitet otvorenih mora raste do 37,3; u isto čnom Sredozemlju do 39.Gustoća mora izravno ovisi o koncentraciji otopljenih tvari, u prosjeku iznosi 1,026 kg/dm 3 na površini, i 1, 05 kg/dm 3 na dubini od 5000 m.U Mediteranu se kre će oko 1,03 kg/dm3. Slika 1.10: Prikaz saliniteta u svjetskim morima

9



Posljedice slanosti mora: a) Fizičke – odnose se na gaz brodova; npr. za brod duljine L= 200 m, B=25 m, gaz je veći 0,35 m u La Manche-u nego u Crvenom moru, što odgovara volumenu od 1700 m3. b) Kemijske – slanost štetno djeluje na materijale c) Administrativne – razgrani čenje pomorskog i rije čnog brodarstva 1.3.3.3 Prozirnost U bistrom moru predmet je s površine vidljiv do 50 m dubine, u Jadranskom moru ta dubina iznosi od 30-40 m. Ultraljubičaste zrake idu do 300 – 400 m. Svjetlost napreduje do 200 m – to je ujedno i granična dubina kontinentalnog platoa. Prozirnost kao svojstvo je više vezana za samu biologiju mora i uvjete za marikulturu, odnosno za količinu fitoplanktona – najve ćih proizvo đača kisika i hrane. Svjetlost je nužna za fotosintezu. Najveća je prozirnost mora izme đu Lošinja i Unija gdje iznosi 50-55 m. Prozirnost je složeno optičko svojstvo koje ujedno upu ćuje na siromaštvo organiskim svijetom. 1.3.3.4 Boja mora Boja mora se mjenja ovisno o godišnjim dobima, a tako đer na njen intenzitet utje če pristunost različitih organizama – najviše zooplankton i fitoplanktoni. Najčešće more ima jednu od slijede ćih boja: a) Općenito tamnoplava b) Plavo-zelena – uz obale kontinenata i na umjerenim širinama, do zeleno-plave uz obale na ekvatorijalnom podru č ju. c) Zelena – more u polarnim podru č jima d) Zelena sa žutim nijansama – Bijelo more e) Svijetlo plava – Crveno more f) Žuta – Žuto more Mediteransko more ima tamno plavu boju. Op ćenito, plava bistra boja ozna čava mora siromašnija organskim tvarima, dok mutna sivo-zelena boja se referira na bogata (sjeverna) mora. 1.3.3.5 Led u moru Nastanak leda u moru ovisi o salinitetu i temperaturi. Može nastati na više na čina: a) zaleđivanjem površine mora b) transport rijekama s kopna c) obrušavanjem ledenjaka (ledeni brijegovi) Općenito led ometa plovidbu, utje če na klimu i oblikuje reljef podmorja.

10



1.3.4. Karakteristike mora 1.3.4.1 Dobre karakteristike: - izvor života - produkcija kisika 30-70% (fitoplanktoni) - regulator temperature (spremnik topline) - izvorište hrane i sirovina - nalazišta ruda, minerala, rijetkih metala, fosilnih goriva -proizvodnja soli 1.3.4.2 Loše karakteristike - agresivno djelovanje na materijale - vremenska ćudljivost - erupcije, zemljotresi, tsunamiji Primjer štetnog djelovanja mora je i razaranje velikog djela splitske rive 19. 11. 1999. godine koje su prouzro čili snažni valovi izazvani jugozapadnim vjetrom-lebi ć. Val ispred luke je bio 5,5 m. Dotični vjetar se javi rijetko, i kratkog je djelovanja ali devastiraju će snage. More je potrebno štititi, i prilago đavati ljudske djelatnosti i potrebe pravilnom korištenju resursa. Ljudskim djelovanjem ne smije se narušavati ravnoteža prirodnih procesa. Svako planiranje, izgradnja i eksploatacija mora odvijati prema na čelima održivog razvoja. 1.3.5. Korištenje mora i podmorja Kao što je i prikazano u podnaslovu 1.3.4., more ima veliki gospodarski i ekonomski zna čaj, te se ono može eksploatirati na razli čite načine, kako je prikazano u nastavku: 1.3.5.1 IZVOR HRANE Kao izvor hrane, more daje ribe, školjke, alge. Danas ulov iznosi oko 70*10 6 t godišnje, što se može i udvostru čiti ali kontrolirano. 1.3.5.2 NALAZIŠTA NAFTE I PLINA a) Koriste se fiksne platforme za dubine do 200 m, odnosno plutaju će za veće dubine b) Kod manjih dubina se vrši i nasipanje – stvaranje umjetnog otoka u svrhu crpljenja nafte ili plina 1.3.5.3 PIJESAK I ŠLJUNAK Pijesak i šljunak se vade iz mora za razli čite svrhe, nasipanje, ure đivanje plaža, stvaranje novih umjetnih otoka (Dubai). Koriste se razli čiti kopači, zgrtalice, pumpe. 1.3.5.4 RUDA METALA Mangan se nalazi u nodulima – obla tijela, veli čina u rasponu od oblutka do ve će stijene. Nastaju taloženjem oko neke jezgre, pokrivaju gotovo 1/4 dna mora. U sastavu modula uz 27 – 30% mangana, sudjeluju još i nikal, bakar, kobalt. Vade se iz dubina 4000-5000 m, putem usisiva ča ili kablica. 11



1.3.5.5 SOL Od davnina se more koristi za dobivanje soli razli čitim metodama odvajanja drugih sastojaka– taloženje vapnenca i sedre, te korištenjem bazena iz kojih voda ispari, a ostaje sol (berba soli). 1.3.5.6 PITKA VODA Pitka voda iz mora se dobiva procesom desalinizacije u staklenim bazenima, uz pomo ć sunčeve energije ili nekim drugim sustavom napajanja, koriste ći procese isparavanja i kondenzacije. Op ćenito je proces energetski skup za ve će količine vode, no povezivanjem sa drugim procesima može se dobro iskoristiti. Na svim ve ćim brodovim na taj na čin se, korištenjem otpadne energije produkta rada motora, kombinacijom i ure đaja za hlađenje samog motor, dobiva voda za tuširanje, ali ne i za pi će. Sustav koji koristi sun čevu energiju daje prosje čno 5l/dan/5m 2 (Gr čka). U takvim postrojenjim postoji opasnost od korozije zbog kemijski agresivnih tvari iz mora, te se stoga koriste legure i drugi adekvatno otporni materijali. 1.3.5.7 ENERGIJA a) Energija valova - mehanički dobivena, a nadalje ju generator pretvara u elektri čnu, dobiva se na više na čina : - niz cilindara u čvršćenih na dno mora - plutajući modeli s turbinama

- pokretanje turbine istiskivanjem zraka - korištenje rotacione splavi, stabilne i plutaju će serijski spojene - izbacivanje valova u bazen na obali b) Toplinska energija – koristi se razlika temperature na površini i u dubokim slojevima mora. Konstrukcije su samostalni plivaju ći objekti. Princip mehanizma se zasniva na zagrijavanju amonijaka i njegovoj pretvorbi u plin toplim morem, koji zatim pokre će turbine. Djelovanjem hladnog mora, amonijak se vra ća u tekuće stanje. Amonijak ima nisko vrelište. Voda iz dubljih slojeva se podizala freonom – danas je zabranjena upotreba zbog ozonskih omota ča. c) Energija strujanja zbog plime i oseke – u Francuskoj postoji hidroelektrana koja koristi visinsku razliku plime i oseke od oko 5m. Za ovu vrstu iskorištenja energije pogodna je sjeverna Europa, SSSR, Kanada, Južna Amerika i sjeverna Australija. Mjesto hidroelektrane mora biti najviše 150km udaljeno od potroša ča, jer je u suprotnom neracionalna i neisplativa. d) Nuklearna energija – teoretski najbolje energetsko rješenje je fuzija – kemijska reakcija na razini subatomskih čestica u kojoj se spajaju neutroni i protoni u jezgru atoma helija prilikom čega se osloba đa velika i čista energija. Najpogodniji su atomi teškog vodika – DEUTERIJ ( jedan na svakih 3000 obi čnih atoma vodika). U moru ima oko 40 bilijuna tona te materije. Takvu reakciju u kojoj se atomi osloba đaju elektrona omogu ćuje visokoionizirana plazma za koju je potrebna vrlo visoka temperatura. Takvu temperaturu od 50006000°C nemože zadržati nijedan poznati materijal, zbog čega bi bilo nužno stvoriti takvo elektromagnetsko polje koje bi držalo plazmu na odgovaraju ćoj distanci. To je, također problem, jer bi se za tako jako elektromagnetsko polje potrošilo više energije nego što bi se dobilo, zato se u zadnje vrijeme radi na osposobljavanju supervodi ča pomoću kojih bi se eliminirali gubici energije na otpor, no i sa supervodi čima, cijeli postupak bi se trebao vršiti samo na apsoltunoj nuli (-273 °C).

12



1.3.5.8 URBANI PROSTOR Nauštrb mora, proširuju se obale nasipavanjem (npr. Žnjan). Zanimljive su namjene morskih površina za plove će aerodrome na Dalekom istoku (Singapur). Izvode se umjetni otoci (Zlatni rat kod Zadra, Dubai – « palme » i « svijet »). Futurolozi predvi đaju naselja pod vodom. 1.3.5.9 ODMOR I REKREACIJA, LJE ČILIŠTA 1.3.5.10 PLOVNI PUT

1.3.6. Gibanje mora Gibanje mora se odvija pod utjecajem raznih sila: 1.3.6.1 FIZIKALNO-KEMIJSKO DJELOVANJE POD UTJECAJEM SUNČEVE RADIJACIJE Navedeni faktori daju slijede će pojave: - vjetar ; - promjene atmosferskog tlaka; - temperaturne razlike; - dotok vode s kopna. Manifestiraju se u obliku : - valova; - živog i mrtvog mora; - stojnih valova: - štige (seše) ; utjecaja na morske mijene. 1.3.6.2 GEODINAMIČKE I GEOTEHNIČKE POJAVE U LITOSFERI I ZEMLJINOJ KORI Gornje pojave su naj češće različiti - tektonski poreme ćaji; - erupcije vulkana; - pomaci na rasjedima i pukotinama. Manifestiraju se u obliku valova tsunami. 1.3.6.3 PRIVLAČNO DJELOVANJE NEBESKIH TIJELA – generiranje morskih mijena Izravno utječe na stvaranje morskih mijena – plime i oseke, te morskih struja. 1.3.6.4 UMJETNE TVOREVINE (brodovi) Manifestacija u obliku valova generiranih kretanjem brodova i od utjecaja eksplozija.

Kako je u Republici Hrvatskoj, dakle, u Primorju i Dalmaciji najve ći problem vjetar, tj. on predstavlja najvažniji generator valova- ulaznih veli čina za projektiranje bilo kojeg pomorskog objekta, u nastavku će se detaljnije obraditi svojstva vjetra i ostalih povezuju ćih klimatskih čimbenika.

13



VJETAR Vjetar je, po definiciji, pojava prirodnog kretanja zra čnih masa, koje je uglavnom paralelno s površinom Zemlje. Kretanjem zra čnih masa izjedna čavaju se razlike atmosferskog tlaka nad određenim područ jima. Djelovanje strujanja prikazano je na Slika 1.11.

VISINSKI VJETAR

NE VJETROVI

60°

ZAPADNI VJETROVI

30°

UZLAZNO SRUJANJE

SILAZNO SRUJANJE

VISOKI TLAK NE PASATI

DIZANJE ZRAKA I CIRKULACIJA

0°

NISKI TLAK NE PASATI

PRIZEMNI

VISOKI TLAK

30°

ZAPADNI VJETROVI

VJETAR

HLADNO

60°

TOPLO

NE VJETROVI

800 km

a)

b)

Slika 1.11: a)Strujanje zrač nih masa razli či tih temperatura; b)planetarni vjetrovi

Na Slika 1.11, b) prikazani su stalni vjetrovi koji pušu u atmosferi (op ći tok). Unutar strujanja odvijaju se procesi konvekcije – vertikalnog izdizanja zraka prema gore, te adijabatsko hla đenje. Atmosferski tlak – težina stupca zraka, ra čuna se u hektopaskalima (hPa), a često se zna izražavti i u milimetrima stupca žive: 1000 [hPa] = 750,1 [mmHg] p0 p1 p2 p3 NORMALNI ATMOSFERSKI TLAK – je tlak na morskoj razini i 45° sjeverne širine, temperaturi 0°C uz 760 mmHg ili 10,33 N/cm 2 =1033 hPa. Baričko polje ili sistem je podru č je na kojem se promatra stanje tlakova u atmosferi, i u njemu se definiraju podru č ja O utjecaja ciklone- podru č ja niskog tlaka i anticiklone-područ ja visokog tlaka. U takvom polju zna čajan je GRADIJENT N V TLAKA ILI BARIČKI GRADIJENT kao razlika izme đu pojedinih izobara na Slika 1.12. Gradijent tlaka je okomit na izobare. Horizontalni gradijent tlaka u O: l

p2 − p1 l Slika 1.12: Gradijent tlaka

14



Horizontalni bari čki gradijent:

p 2 − p1 ⋅ 60; l - u miljama l Horizontalni gradijent djeluje na jedini čni volumen zraka, te stoga sila gradijenta tlaka iznosi dp/dl Fg = . ρ Otklanjaju će sile odmi ču smjer vjetra od smjera gradijenta. Na sjevernoj polutci vjetrovi se otklanjaju u desno, a na južnoj u lijevo. Djelujuće sile: a) CORIOLISOVA SILA (FC) – sila koja nastaje zbog utjecaja rotacije Zemlje. Uvijek djeluje okomito na smjer gibanja, pa uzrokuje promjenu smjera, ali ne i brzine. b) AKCELERACIJA (Fa) – ovisi o brzini vjetra i o geografskoj širini ω

ω

A’

A

a = 2ωv sin ϕ = 0,000146v sin ϕ ω− brzina rotacije Zemlje v − brzina vjetra [m/s] ϕ − geografska širina

Slika 1.13: Utjecaj akceleracije

c) CIKLOSTROFIČKA SILA (Fcf ) – pojava zakrivljenih izobara d) TRENJE – unutarnje trenje predstavlja otpore izme đu čestica pojedine tvari, te dodatno vanjsko – trenje po površini zemlje. Mjerenjem je utvr đeno da vjetar skre će od smjera gradijenta pod kutem od 20°- 30°. Što je veća brzina, manji je kut. Kut opada od ekvatora prema polovima. Iznad 700 m visine vjetar puše paralelno s izobarama jer nema trenja. MAHOVITOST VJETRA – za odstupanja < ±5 m/s - miran ili ravnomjeran vjetar < ±5 m/s - mahovit ili refulni vjetar

U nastavku su grafi čki prikazane zra čne struj, zračne mase i frontovi, te njihovo nastajanje.

15



PRIKAZ ZRAČNIH STRUJA:

CIKLONA Sjeverna polutka

Južna polutka

N

N

N N – niski tlak V – visoki tlak

N

ANTICIKLONA

V

V

Slika 1.14: Grafi čk i prikaz zrač nih struja

16



RASPORED ZRAČNIH MASA NA SJEVERNOJ POLUTCI

1

1-ARKTI ČKI FRONT 2-POLARNI FRONT 3-TROPSKI FRONT

1

1 ARKTIČKI ZRAK

2

2 ARKTIČKI ZRAK

2 3

3

TROPSKI ZRAK

4

EKVATORIJALNI ZRAK

ZRA ČNE MASE

3 4 4

Slika 1.15: Raspored zrač nih masa

Izvorna podru č ja (zračnih masa) – podru č ja gdje nastaju su prikazana na Slika 1.14 Karakteristike pojedinih zra čnih masa : - jednolika temperatura i relativno slab vjetar – tropska mora, pustinje, polarna podru č ja. Dijele se na tople i hladne zra čne mase. Atmosferski frontovi su prelazna podru č ja – javljaju se pri naglim promjenama metereoloških elemenata (Slika 1.15) km topli

7 6 5 4 3 2 1 0

(n=100÷300)nagib klina

frontalna površina hladni

klin 1:n

Slika 1.16: Formiranje atmosferske fronte

Većina ciklona stvara se na glavnim frontovima troposfere. Na sinopti čkim kartama linije fronta predstavljaju sjecište frontalne površine s površinom Zemlje.

17



GLAVNE KARAKTERISTIKE VJETRA:

RUŽA KOMPASA

1. SMJER 2. UČESTALOST 3. INTENZITET

NNW

N

NNE

NW

Vjetar se mjeri razli čitim anemometrima – spravama za mjerenje brzine i jakosti vjetra. Za projektiranje, uz poznavanje prosje čnih godišnjih brzina vjetra, potrebno je poznavati i postotak dana u godini kada nije bilo vjetra – calma (tišina).

NE

WNW

ENE

W

E

WSW

ESE

Obično postoji 8 podjela vjetrova, s obzirom na smjer (rjeđe 16, ponekad i 32) – Slika 1.17.

SE

SW SSW

S

SSE

Slika 1.17: Ruža kompasa

Najzorniji prikaz djelovanja vjetra je graf ruže vjetrova (u nastavku je dato nekoliko primjera), ali i tablica sa numeri čkim podacima (bolje za o čitavanje vrijednosti). Navedeni podaci se nabavljaju od Državnog hidro-metereološkog zavoda (DHMZ), Oceanografskog instituta ili Hrvatskog hidrografskog zavoda (HHZ – ujedno vrši i sve premjere na moru). INTENZITET

INTENZITET I UČESTALOST(najčešće)

UČESTALOST

N

W

E

S C=6% - postotak tišine N

Skala za učestalost 0

6 2 °

W

C=6% - postotak tišine

Za točan smjer i intenzitet,koristi se prikaz u polarnim koordinatama

20 40 60 80 100

intenzitet 16-20 čvorova 11-15 čvorova 6-10 čvorova 0-5 čvorova

E

Slika 1.18: Ruže po razli či tim obilježjima S

Ruža vjetrova se radi iz podataka za najmanje 20 godina.

18



VJETROVI KOJI SU AKTUALNI U NAŠEM PODRUČJU: N (tramontana) NW (maestral)

NE (bura) ili grego

Slika 1.19: Smjerovi i nazivi odgovarajuć ih vjetrova

E (levanat)

W (povenat)

SE (jugo)

SW (lebić) grbin S (oštro)

40°C

topli zrak

Ponašanje zagrijavanja mora i kopna koje rezultira i nastankom dnevnih vjetrova u tijeku jednog dana ljetnog razdoblja prikazano je na Slika 1.20 Kod projektiranja pomorskih objekata podaci o vjetru koriste se za: - određivanje optere ćenja - trasiranje konstrukcija (lukobrani) - određivanje parametara vala Za sve navedeno, ranije spomenute institucije (DHMZ, HHZ, OI) izrađuju ELABORAT O VJETROVALNOJ KLIMI.

LJETNO RAZDOBLJE DAN maestral

KOPNO

20°C

MORE

noćni povjetarac

KOPNO

26°C

Noć

MORE

26°C

Slika 1.20: Nastanak poludnevnih vjetrova

Elaborat o vjetrovalnoj klimi sadrži podatke o: - smjeru vjetra - intenzitetu - učestalosti Smjer vjetra odre đen je pravcem iz kojeg vjetar puše. Intenzitet se mjeri jedinicom brzine (m/s. km/h, čvor,mph – mile per hour). Tablica 1.4: Odnos jedinica brzine (intenziteta)

m/s 1

km/h 3,6

čvor

1,944

mph 2,237

Razlikuju se DOMINANTNI VJETAR – s najve ćom učestalošću, i VLADAJUĆI VJETAR – n najvećim intezitetom (jakosti). Za projektiranje pomorskih objekata uzima se vladaju ći vjetar, ali gleda se i u čestalost. 19



2. MORSKI VALOVI Za pravilno projektiranje i dimenzioniranje pomorskih objekata potrebno je poznavati val, i sile kojima on utje če na pojedine konstrukcije i njene dijelove, stoga je nužno promatrati teoriju nastanka i djelovanja valova. 2.1. DEFINICIJA MORSKIH VALOVA Morski valovi su proces periodi čkog kolebanja neke grani čne plohe u moru udružen s osciliranjem vodnih čestica pod djelovanjem pobu đujućih i umirujućih sila. Pobu đujuće sile dolaze od zvijezda, gibanja meteoroloških sustava, seizmi čkih i tektonskih poreme ćaja, vjetra i brodova. Umiruju će sile su površinska napetost, gravitacija i Coriolisova sila. Valovi prenose energiju kroz materijal bez zna čajnog ukupnog gibanja samog materijala. Pojedine čestice kružno gibaju i vra ćaju u ravnotežnu to čku kako val prolazi (oscilacije). Pojedini djelovi vala i oscilatorno ponašanje čestica prikazano je na Slika 2.1 i 2.2.

Slika 2.1: Djelovi vala

Slika 2.2: Oscilatorno ponašanje č estica vala

Valovi su općenito potencijalna i nestacionarna pojava.

20



2.2. VRSTE VALOVA Različiti su kriteriji i osobine valova na osnovu kojih ih možemo dijeliti, stoga je u nastavku dat niz podjela i definiranih vrsta valova. 2.2.1.1 S obzirom na sloj mora koji oscilira postoje: a) površinski valovi - nastaju na plohama izme đu različith fluida (more-zrak), zbog relativnog pomaka me đu njima ili kad je fluid pobu đen vanjskom silom. p0

ρz

Slika 2.3: Shema površinskih valova

ρ1 ρ2

DNO

b) dubinski valovi (interni)- nastaju u vodenoj masi na granici izme đu različitih vodenih masa .

ρz

p0

Slika 2.4: Shema internih valova

ρ1

ρ2

DNO

Interni valovi se ne će posebno obra đivati, te se stoga, u nastavku teksta pod izrazom val misli isklju čivo na površinske valove. 21



2.2.1.2 S obzirom na generator koji ga proizvodi val može biti: a) pod utjecajem nebeskih tijela – plima i oseka (plimni val) b) vjetrovni val c) val generiran kretanjem brodova morske mijene d) tsunami – pod utjecajem seizmi čkih sila e) meterološko reljefni utjecaj – seše (meteotsunami), su stojni valovi u zatvorenim ili poluzatvorenim bazenima, valovi od brodova te mogu nastati zbog djelovanja vjetra, promjene pritiska, seizmi čkim ili dugim valovima s mora. olujni valovi

vjetrovni valovi

tsunami

seše

Na Slika 2.5. prikazana je shematski vremenska zastupljenost pojedinih vrsta valova

Slika 2.5: Vremenska zastupljenost valova

2.2.1.3 S obzirom na duljinu perioda a) valovi kratkih perioda: – kapilarni (T=0,01-0,1s) – vjetrovni (T=1-14 s) – valovi od brodova (T=0,8 – 2,0s) b) valovi dugih perioda: – plimni valovi – tsunami (T=5 min – 1h) – seše (T=15min – nekoliko sati) – olujni valovi (T=0,5 – 60 min) 2.2.1.4 S obzirom na smisao prostiranja kolebanja a) pozitivan val – giba se u pozitivnom (+) smjeru osi – x b) negativan val – giba se u negativnom (-) smjeru osi – x

U prirodi nikada pojedine pobu đujuće i umirujuće sile ne djeluju separatno nego kompleksno s različitim intenzitetom. Osim toga pobu đujuće sile su pulsiraju će i često slučajne prirode što sve skupa realne valove čini nepravilnim po frekvenciji, smjeru i amplitudi. Stoga se valovi još teoretski dijele na REALNE i IDEALNE, i kao takvi zahtjevaju i razli čite pristupe izučavanja i opisa. U nastavku su prezentirani razli čiti pristupi koji su se razvili za opise valova. Na razini ovog kolegija bavit ćemo se idelanim valovima koji se opsežnije odrađuju u posebnom poglavlju.

22



2.3. OPIS VALA Općenito osnovne karakteristike vala su: - visina, smjer, u čestalost i trajanje. Važno je razlikovati tri pristupa u promatranju i opisu vala: a) DETERMINISTIČKI PRISTUP – zahtjeva jasno determinirane podatke koji zanimaju inženjera za daljni proces analize djelovanja i kona čno dimenzioniranja pojedinih objekata, i to su: - visina vala, H - dužina vala, L - amplituda, a

- brzina vala, c - period, T - strmost, H/L

- profil vala - promjena tlaka - energija

L c

BRIJEG

a

∆y

H DOL Slika 2.6: Podaci za val

Deterministički opis će se koristiti za opis idealnih pravilnih dvodimenzionalnih valova s konstantnim parametrima valnog profila. b) STATISTIČKI PRISTUP – prikazuje realne nepravilne trodimenzionalne valove, na jednoj geografskoj to čki za neko stacionarno stanje mora (10min do nekoliko sati), reprezentativnim parametrima valnog profila koji su za to stanje konstantni. Za statisti čki opis je potreban valni zapis ili vizualno opažanje. c) SPEKTRALNI PRISTUP - kao i statistički služi za prikaz kratkoro čnog stacionarnog stanja realnih valova. No sredstvo spektralnog opisa je matemati čko: funkcija spektralne gusto će koja se često skraćeno naziva valni spektar. Dakle, ovaj opis zahtjeva primjenu spektralne analize vala, u kojoj se realni polikromatski val rastavlja na niz komponenti koje se potom posebno promatraju. Ovaj proces se radi putem različitih stohasti čkih (kratkoročnih i dugoročnih) metoda prognoze valovanja, parametarske metode i sli čno (o ovoj tematici više u Obalnom inženjerstvu). REALNI VAL

t

t

Slika 2.7: Rastav realnog vala na komponente

KOMPONENTE

t

23



3. IDEALNI VALOVI 3.1. DEFINICIJA Idealni val je veoma restriktivan fizikalni ili matemati čki model realnog vala. Fizikalni model je u odnosu na realni val restriktivan u toliko što je: • dvodimenzionalan • monokromatski • jednostavan (opisan jednom(više) sinusoida ili nekom drugom harmonijskom funkcijom) Mogu opstati samo u laboratoriju. Realni morski valovi nemaju niti jednu od karakteristika idealnih valova, a samo iznimno im se u tom pogledu približuju (dugi valovi mrtvog mora). Matemati čki model uklju čuje slijedeće važne pretpostavke bez kojih se nebi mogla pojava valovanja definirati jednadžbama: • fluid je homogen i nestišljiv, gusto ća je konstantna; • površinska napetost se zanemaruje; • Coriolis-ov efekt se zanemaruje; • tlak na površini mora je jednoli čan i konstantan; • fluid je idealan ili neviskozan; • pojedini val se promatra bez interakcije s ostalim gibanjima vode; • dno je horizontalno, čvrsto, nepomičnog ruba što uklju čuje da čestice na dnu imaju vertikalnu brzinu nula; • amplituda vala je mala, a forma vala je nepromjenljiva u prostoru i vremenu; • valovi su male strmine. 3.2. VRSTE IDEALNIH VALOVA

• S obzirom na duljinu perioda valovi se mogu dijeliti na : - valove kratkih perioda (periodi manji od 30 s) -velovi dugih perioda (periodi ve ći od 5min) Prvi imaju karakteristiku da je u pokretu pretežno površinski sloj mora dok se dubinski slojevi znatno manje ili ništa ne pokre ću. Elementarne čestice se kre ću u kružnim ili elipti čnim putanjama. Drugi imaju karakteristiku da pokreti zahva ćaju čitavu morsku masu. Pri tome su putanje karikirano izdužene elipse tako da se uo čavaju samo horizontalni pokreti tamo-amo. Promjena gibanja čestica po dubini je mala u odnosu na promjenu kod kratkih valova. • S obzirom na na čin i vrstu gibanja VALNOG PROFILA, gledaju ći po prostoru dijele se na progresivne i stojne valove, a gledaju ći po vremenu razlikuju se periodički i neperiodi čki valovi. Progresivni val je onaj kome se valni profil horizontalno giba u odnosu na fiksnu to čku. Smjer u kome se greben giba je smjer rasprostiranja vala. Stojni val je onaj kome se valni profil pomi če samo gore-dolje na fiksnoj poziciji. Karakteriziran je trbusima i čvorovima. Periodički val je onaj kome se valni profil: t.j. kolebanje fizi čke površine mora ponavlja u jednakim vremenskim intervalima. Neperiodi čki val je onaj kome se valni profil, odnosno izdizanje fizi čke površine mora pojavi usamljeno, ili se ponavlja u vrlo dugim vremenskim intervalima tako da val izgleda usamljen (naziva se i soliterni val). 24



• S obzirom na gibanje VODNIH ČESTICA, koje se razlikuje od gibanja valnog profila, postoji oscilatorni i translatorni val. Oscilatorni val je onaj kome se gibanje čestica odvija po kružnim ili elipti čnim putanjama (trajektorijama) koje su manje-više na istom mjestu. Vodna čestica pređe cijelu putanju za jedan valni period i to se na istom mjestu stalno ponjavlja s tim istim periodom. Ako su trajektorije zatvorene takvo gibanje vodnih čestica se naziva rotaciono,a ako su približno zatvorene naziva se irotaciono. Rotaciono gibanje ne daje nikakvo napredovanje vodnih čestica u smjeru rasprostiranja vala, a kod irotacionog gibanje daje veoma malo napredovanje vodnih čestica u smjeru rasprostiranja vala (t.z.v. drift struju). S druge strane pokreti susjednih vodnih čestica su jednake periodi čnosti (frekvencije), ali su me đusobno pomaknuti u fazi. Neke čestice su na vrhovima svojih orbita, neke malo niže tako da se može formirati valovita fizi čka površina mora. Translatorni val je onaj kome vodene čestice permanentno, u znatnom iznosu, napreduju s valnim grebenom i ne vra ćaju se na svoje početno (originalno) mjesto. Spomenutih šest vrsta valova prikazani su na Slika 3.1.

Slika 3.1: Vrste valnog gibanja

25



3.3. DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA Determinističkim načinom može se u potpunosti opisati samo idealni valovi preko zakona valne mehanike. Datira s po četka razvoja pomorske hidraulike, 19. st. Realni valovi ne mogu se na taj na čin zadovoljavaju će opisati radi slu čajne varijacije njegovih parametara. Najosnovniji parametri za opis valnog profila su visina H[m], dužina L[m] i period T[s]. - Amplituda a[m]=H/2 je maksimalni pomak fizi čke površine mora od srednjice vala - Period vala T[s] je vremenski period izme đu dva uzastopna prolaza grebena kroz istu točku. Visina H i dužina L su parametri vala koji se mijenjaju s dubinom. Period

T se ne mijenja s dubinom! - Valni profil η(x,t)[m]≡z(x,t)[m] predstavlja vertikalno kolebanje fizi čke površine mora po prostoru i vremenu u vidu neke cikli čke funkcije. - Strmost vala H/L[1 °] je odnos visine i dužine vala, kre će se od 1/7 do 1/200 (najčešće od 1/10 – 1/25) - Brzina rasprostiranja vala, ili samo brzina vala, c[m/s] je brzina pojedina čnog brijega ili dola vala kojom se on rasprostire morskom površinom u odnosu na fiksnu to čku.

Kod oscilatornog vala dade se izraziti kao c = L/T, dok se brzina translatornog vala ne da izraziti na taj na čin jer T→∞.

- Brzina vodne čestice v[m/s] je brzina kojom ona prolazi svoju putanju. Ima horizontalnu

komponentu "u[m/s] ≡vx" i vertikalnu "w[m/s] ≡vz". Većina navedenih parametara prikazani su na Slika 2.6., a ostale u nastavku valne mehanike. Nakon što je izvedena prva valna teorija (Trohoidalna, Gerstner 1802.) pokazalo se da ona ne može dobro opisati sva valna gibanja i svim podru č jima dubina mora, pa su razvijene pojedine teorije koje najbolje opisuju odre đeni valni profil i valna gibanja u odre đenom područ ju dubina .Zbog toga neka teorija, prilago đena određenom valnom profilu, gibanju i područ ju dubine mora, ima najmanje pogreške za upravo tekav val. Za druk čiji val i dubinu mora više griješi. Najčešće se koristi linearna teorija koja za naj češće inženjerske probleme prihvatljivo opisuje progresivnan, periodi čki, oscilatorni val u svim podru č jima dubina mora. Dean Veličina amplitude Red teorije Naziv i autor teorije 1) Valovi malih amplituda Prvog reda ili linearna Airy (1845) H/L < 1/150 L > 150 H Trohoidalna, Gerstner (1802.), Stokes 2. reda (1880.), Stokes 3. reda Stokes 4. reda Stokes 5. reda Koncidalna 1. reda, Korteweg i Prvog reda ili linearna De Vries (1895.), Knoidalna 2. reda, Hiperbolična (1968.) Iwagaki, 2 Valovi konačnih amplituda i višeg reda ili nelinearna Soliterna (1872.) Businesque, Teorija strujne funkcije (1973.) 26



Tablica 3.1: Deterministi čk e teorije idealnih valova kratkih perioda

3.4. OSNOVNE JEDNADŽBE VALNOG GIBANJA Equation Chapter (Next) Section 3 . EULER-ova jednadžba: r ur r ur 1 ∂v v2 + grad + rotv x v = R − gradp ∂t ρ 2 Strujanje je bezvrtložno: r rot v = 0 Strujanje je u op ćem polju sila:

(3.1) (3.2)

ur

Za polje sila teže vrijedi : Uzima se nestišlijvi fluid :

R = gradΩ R = −g Ω = g⋅ z, ρ = const.

Uvrštenjem u (3.1)r slijedi: ⎛ ∂v p v2 ⎞ ili + grad ⎜ Ω + + ⎟ = 0 2 ∂t ρ ⎝ ⎠ 2 p v gdje je Ω + + - Bernoulijev tročlan ρ 2 Uvođenjem brzinskog potencijala Φ = Φ (x,y,z,t) slijedi:

(3.3)

r

∂v + gradB = 0 ∂t

(3.4)

r

v = gradΦ u svakom trenutku t r ∂Φ r ∂Φ r ∂Φ r r r r v= i+ j + k = vxi + vy j + vzk ∂x ∂y ∂z r r dl Promotrimo v ⋅ dl 2

(3.5)

r

r

v Put integracije neovisan o t r r

1

v ⋅ dl = v xdx + v y dy + v zdz (3.6) r ∂Φ ∂Φ ∂Φ ( gradΦ ) dl = dx + dy + dz = 0 − po definiciji za totalni diferencijal d Φ (3.7) ∂x ∂y ∂z Dakle: r r r dΦ = v ⋅ dl je jednadđžba potencijala što je analogno ( gradB) dl = dB Jednadžbu (3.4) integrira se uzduž „l“ (vektorski integral) r r ⎛ ∂v ⎞ r ∂ r r ∂ dl gradB dl 0 (v ⋅ dl) + dB = 0 → (dΦ ) + dB = 0 + = → ( ) ⎜ ⎟ ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂Φ ∂Φ + B = F(t) d + dB = 0 / ∫ → ∂t ∂t

(3.8) (3.9)

27



Opterator d ne djeljuje na vremensku komponentu ! Kako je gradΦ ovisan samo o položaju u prostoru F(t) može se uzeti cont. (ili uklju čiti u Φ ): ∂Φ + B = const. (3.10) ∂t Za polje sila teže slijedi. p v2 ∂Φ (3.11) + gz + + = const. ∂t ρ 2 To je Bernoully-jeva jednadžba za nestacionarni tok. jednadžba kontinuiteta za ρ = const. r ∂v ∂v ∂v divv = 0 → x + y + z = 0 (3.12) ∂x ∂y ∂z Slijedi Laplace-ova jednadžba potencijalnog toka: r ∂Φ ∂Φ ∂Φ (3.13) v = gradΦ → v x = ; vy = ; vz = ∂x ∂y ∂z Uvođenjem u (3.12) sliejdi: ∂ 2 Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + + =0 (3.14) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 r (3.15) v = gradΦ 2 ∂Φ p v + gz + + = const. (3.16) ∂t ρ 2 Jednadžbe (3.14),(3.15) i (3.16) su za rješavanje valnog problema + rubni i po četni uvjeti r Nepoznato je : v,p,Φ Broj nepoznanica može se reducirati na p i Φ ∂ 2 Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 2 2 2 p 1 ⎡⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ ∂Φ + gz + + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = const. (3.17) ∂t ρ 2 ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ Dvodimenzionalna predstava: z BRIJEG

p = p0 = 0 S.R.M. (z=0)

y

O

x -z

D

DOL D N O

n

Slika 3.2: Shematski prikaz površinskog vala

r

Za mirno more: v = 0;

z = 0;

p = p0 = 0;

∂Φ = 0 → const. = 0 ∂t

28



Rubni uvjeti su : Dno: r

vn =

Površina mora:

∂Φ = 0, ∂n

z = y;

⎛ ∂Φ | = 0 ⎞ z = −D → ⎜ z =− D ⎟ ⎝ ∂n ⎠

(3.18)

p = p0 = 0

2 2 1 ⎡⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ ∂Φ + | + ⎢ ⎥ + gy = 0 ∂t z =y 2 ⎢⎣⎜⎝ ∂x ⎟⎠ ⎜⎝ ∂z ⎟⎠ ⎥⎦ Početni uvjeti su: Φ(x,z,t 0 ) = F(x,z)

(3.19)

3.5. VALOVI MALIH AMPLITUDA – Airy-eva teorija Najelementarnija od svih teorija je teorija valova malih amplituda ili još nazvana linearna teorija, odnosno, prema autoru Airy-jeva teorija (1845). Airyjeva teorija može se označiti kao prva aproksimacija nelinearnog opisa oscilatornih valova. Ta teorija daje uvid u sva periodi čka valna ponašanja i opis valnog profila u svim područ jima dubina mora. Jednadžba : ∂ 2Φ ∂ 2Φ + =0 ∂x 2 ∂z 2 - ∞ < x < +∞ −D < z < 0

z

S.R.M

y

O

x

H

D

-z

z=-D

Rubni uvijeti:

L

x

n

DNO

Slika 3.3: Grafi čk a prezentacija Airy-evih postavki

r

pretpostavke su: H << D; na površini v ≈ 0

za površinu: ∞

∂Φ ∂Φ |z = y  | ∂t ∂t z =0

(3.20)

1 ∂Φ ∂Φ |z =0 + gy = 0; y = − g ∂t ∂t

(3.21) 29


za dno:


∂Φ ∂Φ |z =−D = 0; | = 0; ∂n ∂z z =−D

Rješenje se traži Fourierovom separacijom varijabli: Φ(x,z,t) = X( x) ⋅ Z(z) ⋅ T(t )

(3.22)

(3.23)

Uvođenjem u Laplace-ovu jednadžbu dobije se:

X '' Z'' =− X Z kako desna strana ne ovisi o (x), to je u jednadžbi konstanta: X '' 2 Z'' + k = 0; k 2 = X Z X ''⋅ Z ⋅ T + X ⋅ Z''⋅ T = 0 | ÷X ⋅ Z ⋅ T →

(3.24)

(3.25)

iz čega slijedi :

X''+ k2 X = 0 Z''− k2 Z = 0 Rješenje dobivenih običnih jedndžbi (diferencijalnih) glasi: X = Acos(kx) + Bsin(kx) i Z = Cekz + De− kz gdje su A, B, C i D konstante.

(3.26) (3.27) (3.28)

Potencijal glasi:

Φ(x,z,t) = (A cos(kx) + Bsin(kx)) ⋅ (Cekz + De−kz ) ⋅ T(t)

(3.29)

Za funkciju T(t) predpostavlja se, radi razvijenosti oscilatornog vala, 2π da je harmonijskog oblika: T(t) = cos(σ t) ili sin(σ t);gdje je σ = − frekvencija vala T Za izabrani val (pozitivni) mogu će je prema rubnim uvjetima odrediti konstante da rješenje glasi: H cosh[k(D + z)] cos(kx − σt) Φ(x,z,t) = − g (3.30) 2 σ cosh(kD) a za negativni val: H cosh[k(D + z)] Φ(x,z,t) = + g (3.31) cos(kx − σt) 2 σ cosh(kD) gdje je H visina vala. 1 ∂Φ H z = 0; y = − |z =0 → y = sin(kx − σt) (3.32) Profil vala : g ∂t 2 2π 2π gdje je : k = − valni broj ; σ = − frekvencija vala L T H ⎡ x t ⎤ (3.33) y = sin ⎢ 2π( − )⎥ 2 ⎣ L T⎦ Dakle, profil vala po linearnoj teoriji (malih amplituda) je sinusoidalni val. Periodi čan je po prostoru i vremenu. Oblik vala za promatra ča koji putuje brzinom vala, je nepromjenjen: kx − σt = const. 30



Brzina pomaka koordinatnog sustava biti će : dx σ 2π / T L = = = =c dt k 2π / L T Brzina i dužina vala

(3.34)

- određuju se posrednim putem Vertikalna brzina čestice na površini : 1 ∂ 2Φ ∂y ∂ 1 ∂Φ v z = = (− | )=− | g ∂t 2 z = 0 ∂t ∂t g ∂t z =0 Vrijedi i slijede će: ∂Φ vz = | ∂z z =0 tako da se izjedna čavanjem dobije: ∂ 2Φ ∂Φ + g |z =0 = 0 ∂t 2 ∂z Ako se uvrsti Φ za pozitivni i negativni val, dobije se: σ2 = g ⋅ k ⋅ tgh(kD) σ L Kako je : c = = ; σ = c⋅k k T dobije brzina vala koja je neovisna o visini vala H :

(3.35) (3.36) (3.37) (3.38)

gL 2πD ⋅ tgh 2π L gT 2 2πD L = c ⋅ T ili L = ⋅ tgh 2π L gT 2πD c = tgh 2π L c=

Dužina vala je : pa je brzina vala :

(3.39) (3.40) (3.41)

Period T Po jednostavnoj harmonijskoj analizi period vala ne ovisi o dubini – VAŽNA PRETPOSTAVKA. Dokaz: ulazni val: T=T 1 izlazni val: T=T 2 U dugačkom ∆t uđe: ∆t N1 = valova T1 ∆t N 2 = valova T2

1

2

D N O

Slika 3.4: Ponašanje valova smanjenjem dubine

Kada je ∆t dovoljno veliko mora biti N 1=N2 1 1 N1 − N2 = ∆t( − ) → samo za T1 = T2 T1 T2 Period vala se mjeri. Za vjetrovne valove T=1 ÷14 s (približno). 31



Podjela valova prema relativnoj dubini D/L Tablica 3.2: Tabli č ni prikaz podjele valova

PARAMETAR ASIMPTOTSKE FUNKCIJE Kd=2πD/L sinh(kD) cosh(kD) tgh(kD) 0 do 1/20 PLITKO MORE (dugački valovi) kD 1 kD 0 do π/10 ‐ ‐ ‐ 1/20 do 1/2 SREDNJE MORE (normalni valovi) π/10 do π

RELATIVNA DUBINA D/L

TIP VALOVA

1/2 do ∞

PLITKO MORE (kratki valovi)

π do ∞

1 kD e 2

1 kD e 2

1

• DUBOKO MORE – D/L>1/2 (pučina) brzina vala : dužina vala :

gL 0 gT = 2π 2π gT 2 L0 = 2π c0 =

• PLITKO MORE – D/L<1/20 brzina vala : dužina vala :

gL tgh(kD) = gD 2π L = c ⋅ T = gD ⋅ T c=

• SREDNJE MORE – 1/20
2πD ) L 2πD L = L0tgh( ) L c = c 0tgh(

⇒

c L = c0 L0

D D 2πD = tgh( ); L0 L L na osnovu čega se može izračunati dužina vala L na zadanoj dubini D i dužina vala na pučini L 0 .

Može se izvesti i slijedeće :

32



4. VALNA KINEMATIKA 4.1. Kinematičke veličine z

L c

S.R.M

x

y

O

H

vz vx ε

-z

D

ζ P u t a n j a č estice

D+(-z)

z=-D

DNO

Slika 4.1: Definicija parametara površinskog vala

Equation Chapter (Next) Section 4 Potencijal vala definiran ve ć ranije dat je izrazom: H cosh[k(D + z)] cos(kx − σt) Φ(x,z,t) = − g 2 σ cosh(kD)

(4.1)

Brzine su definirane izrazima:

∂Φ πH cosh[k(D + z)] cos(kx − σt) = ∂x T sinh(kD) ∂Φ πH sinh[k(D + z)] vz = sin(kx − σt) = ∂z T sinh(kD)

vx =

(4.2) (4.3)

Pomaci čestica (putanje):

H cosh[k(D + z)] sin ϑ 2 sinh(kD) H sinh[k(D + z)] cos ϑ ε = ∫ v z dt = 2 sinh(kD) x t gdje je ϑ = (kx − σt) = 2π( − ) fazni kut. L T Ubrzanje čestica: ∂v ∂v ∂v x ax = v x x + v z x + x 244 x ∂4 ∂3 ∂t 14

ζ = ∫ v x dt = −

(4.4) (4.5)

(4.6)

{

konvektivno ubrzanje

lokalno ubrzanje

Konvektivno ubrzanje (ubrzanje od utjecaja toka) se može zanemariti (polazna pretpostavka), ∂v ∂v te stoga vrijedi ax ≈ x i az ≈ z , a nakon sre đivanja slijedi: ∂t ∂t

33



2π2H cosh[k(D + z) ] ax = 2 sin ϑ T sinh(kD) 2π2H sinh[k(D + z) ] az = − 2 cos ϑ T sinh(kD)

(4.7) (4.8)

Iz izraza za putanju, brzinu i ubrzanje čestice proizlazi da se odgovaraju ći parametar sastoji iz:

⎛ veličina parametra ( veličina parametra ) = ⎜⎜ na površini ⎜ dubokog mora ⎝

⎞ ⎟ ⋅ ⎛ hiperbolni utjecaj ⎞ ⋅ fazni utjecaj ) ⎟ ⎜⎝ relativne dubine ⎟⎠ ( ⎟ ⎠

4.2. Parametarski oblik putanja čestica: Za zadano „z“ mogu se izdvojiti konstante: H cosh[k(D + z) ] H sinh [k(D + z) ] A= ; B= ; 2 sinh(kD) 2 sinh(kD) tako da putanja čestice se može pisati: ζ = A sin ϑ i ε = Bcos ϑ ; odnosno: ζ 2 ε2 + = 1 − jednadžba elipse A 2 B2 a) DUBOKO MORE

b) SREDNJE MORE

L

(4.9) c) PLITKO MORE

L=D

L=D

H B

B A z=−

D /L >

B A

L 2

D

A D

D

DNO

DNO

1

D/L<

2

DNO

1 1
1 20

Slika 4.2: Putanje č estica u razli či tim područ jima mora: a)duboko more; b)srednje more; c)plitko more

4.2.2. Duboko more Asimptotske vrijednosti funkcija za D/L →∞ bit će: cosh[k(D + z)] sinh[ k(D + z)] kz ≈ ≈e ; sinh( kD ) sinh( kD) zbog čega osi elipse postaju jednake : H 2Lπ z A =B= e 2 Putanje čestica u dubokom moru su kružnice (Slika 4.2.a)) Navedeni izraz vrijedi iz slijede ćeg matematičkog odnosa

(4.10)

(4.11)

34



e x − e− x ex + e−x sinh(x) = ; a cosh(x) = 2 2 i za slučaj kad x → ∞, cosh(x) ≈ sinh(x)

4.2.3. Plitko more Vrijedi za asimptotsko stanje D/L →0 : cosh[k(D + z)] 1 sinh[ k(D + z)] z (4.12) ≈ ; ≈ 1+ sinh( kD ) kD sinh( kD ) D što je proizašlo iz odnosa za slu čaj kad x → 0, sinh(x) ≈ x ; te će osi elipse za plitko more glasiti: H L H z A= ⋅ ; B = ⋅ (1 + ) (4.13) 2 2πD 14 2 D 4244 3 (kad z=0→B=H/2)

4.3. Raspodjela tlaka Iz Bernoullijeve jednadžbe (gdje je zanemareno v 2) ∂Φ p + + gz = o ∂t ρ uvede se izraz za valnu funkciju Φ i izračuna se tlak: ρgH cosh[ k(D + z)] p = −ρgz + cos ϑ ili 2 sinh(kD) p = −ρgz + ρgA cos ϑ

(4.14)

(4.15)

{

±1maximin zabrijegidol

Grafički prikaz raspodjele tlaka na Slika 4.3 DUBOKO MORE

-z

+ρgA

PLITKO MORE

-z

−ρgA

L −ρgz

2

−ρgA

+ρgA −ρgz DNO

DNO

Slika 4.3: Raspodjela tlaka u dubokom i plitkom moru

35



4.4. SUPERPOZICIJA VALOVA MALIH AMPLITUDA 4.4.1. Općenito ∂ 2Φ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ Uvjetna jednadžba 2 + 2 = 0 , kao i pripadaju ća amplituda y = − | , su line arne, ∂x ∂z g ∂t z=0 te stoga vrijedi zakon superpozicije (pojedine faze se zbrajaju). Ukupni potencijal je: N Φ T = Φ1 + Φ2 + ... + ΦN = ∑ Φ i (4.16) i=1

a i-ta faza vala glasi:

H cosh[ki (D + z)] Φi = i g cos(ki x ± σit + δi ) (4.17) 2 σi sinh(kD) i gdje predznak ± određuje smjer vala, a δi predstavlja fazni pomak (mjereno od ishodišta). Ukupno ima (N-1) nezavisnih faznih pomaka (jer je jedan odre đen odgovaraju ćim izborom ishodišta - kx ± σt ). Rezultirajući profil vala, brzine i tlaka: N H y T = ∑ y i , gdje je y i = − sin(kx − σi t + δi ) (4.18) 2 i =1 N

v x = ∑ v xi

(4.19)

i =1

N pT pT ∂Φ ∂Φ = − − gz ili = − ∑ i − gz ρ ∂t ρ i =1 ∂t

Neka je za sve komponente k i=k: σi=σ, tada se može na osnovu identiteta sin(a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ sinb napisati: N N Hi H y T = sin(kx − σt)∑ cos δi + cos(kx − σt)∑ i sin δi i =1 2 i =1 2 N N Hi H Neka je: ∑ cos δi = r cos λ ; i ∑ i sin δi = r sin λ, može se izra čunati i =1 2 i =1 2 N Hi sin δi ∑ N N Hi H 2 r = (∑ cos δi ) 2 + ( ∑ i cos δi ) 2 ; i λ = arctg iN=1 Hi i =1 2 i =1 2 cos δi ∑ i=1 2 pa je rezultirajući val y T = r cos λ ⋅ sin(kx − σt) + r sin λ ⋅ cos(kx − σt) Izračunavanje r i λ može se prikazati vektorski u polarnom koordinatnom sustavu: H2 2

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

δ2 H1/2 kx − σt

δ

36

2π − λ

r Hn

λ

r


Luke i pomorske gradnje 2010 Slika 4.4: Polarni koordinatni sustav i poligon vektora

4.4.2. Superpozicija pozitivnih i negativnih valova, odbijanje (refleksija) Pozitivni i negativni valovi zbrajaju se prema op ćem pravilu. Posebno su važne za razmatranje superpozicije pozitivnog i negativnog vala koje nastaju refleksijom dolaznog vala od neke prepreke na mjestu x = xR (Slika 4.5.a)) Odbijeni val imat će isti period jer se period ne mjenja – invarijantan je. Vrijedi k2 = k1 i σ1 = σ2 . Amplituda vala u to čki x = xR iznosit će (4.24) H = KR ⋅ H1 gdje je 0 ≤ K R ≤ 1 - koeficijent odbijanja (refleksije). Ako je dobijanje potpuno K R = 1; a za slučaj potpune propusnosti prepreke (obale) K R = 0,u kojoj krajnosti više i nema refleksije. Za spomenuti slu čaj KR = 1; brzinski potencijal odbijenog vala biti će : H cosh[k(D + z) ] ΦT = g (4.25) [ cos(kx − σt) − cos(kx + σt + δ) ] 2 σ cosh(kD) gdje je δ2 fazni pomak odbijenog vala. Ako je prepreka od koje se val odbija vertikalna i nepropusna onda je na njoj ispunjen uvijet: ∂Φ µT = − = 0, za x = xR i za svaki t . ∂x Uvodeći izraz za derivaciju potencijala dobije se: H gk cosh[k(D − z) ] µT = (4.26) [ sin(kx − σt) − sin(kx + σt + δ2 ) ] 2 σ cosh(kD) Odakle trebaizra čunati fazni kut (pomak) - δ2 . Fazni pomak odnosi se na varijablu x, na koju 2π ne utječe. Ovaj uvjet je ispunjen u slu čaju: σ= T sin(kx R − σT ) − sin((kx R + δ2 ) + σ ⋅ t) = 0 Razvojem gornjeg izraza u oblik: sinkx R cos σ⋅ t − coskx R ⋅ sin σ⋅ t = sin (k ⋅ xR + δ2 )cos δt + cos(k ⋅ x R + δ2 )sin δt Odakle slijedi: sinkxR = sin(kxR + δ2 ) coskx R = − cos(kx R + δ2 ) Ova dva uvjeta ispunjena su kod faznog pomaka: δ2 = (2n + 1)π − 2kxR ; n = 0,1, 2, 3,... Razultirajući profil vala bit će: H H y T = sin(kx − σt) + K R sin(kx + σt + δ 2 ) 2 2

(4.27) (4.28) (4.29) (4.30) (4.31) 37



; uvodeći δ2 i KR = 1, nakon sre đivanja se dobije: (4.32) y T = Hsin(kx R − σt) ⋅ cos(kx − kx R ) U dobivenoj jednadžbi postoje dva faktora; jedan je ovisan samo o x, a drugi samo o t. Prema tome, postoje trenuci kada je y T = 0 za svaki x, a tako đer postoje i mjesta kada je y T = 0 za svaki t. Mjesta gdje je y T = 0 za svaki t zovu se čvorovi. Lokacija čvorova bit će određena iz:

(2n + 1)π (4.33) n = 0, 1, 2, 3,... 2k Opisano stanje valova sa stacionarnim čvorovima zove se stojni val ili klapotis (Slika 4.5 b)) Konstrukcija odbijenog vala zasniva se na zrcaljenju dolaze ćeg vala. Iz konstrukcije se može „očitati“ fazni pomak δ2 . cos(kx − kxR ) = 0; i xčvor = xR −

a)

b)

y

ZRCALO

c

y

c

x = xR

x=0

H

x

čvor

x=0

čvor

HT H

δ2 / k HTmax = 2H

Slika 4.5: Prikaz odbijanja vala od prepreke a)refrakcija; b)klapotis

U analizi refleksije vala prikladnije je postaviti koordinatni sustav uz pregradu tako da je x R = 0. Tada rezultiraju ći val ima jednadžbu: y T = −Hsin σt ⋅ coskx; δ2 = (2n + 1) π (4.34) Maksimalna visina stojnog vala je dvostruka u odnosu na osnovni val. Stojni val opisan je H normalnim oblikom pozitivnog vala: y = sin(kx − σt) ; koji u čvorovima mora zadovoljiti 2 uvjet sin(kx − σt) = 0 ; pa je: n ⋅ π + σt (4.35) x čvor = ; n = 0, 1, 2, 3,... k Brzinski potencijal stojnog vala biti će: Hg cosh[k(D + z) ] cos(kx R − σt)cos(kx − kx R ) ΦT = − ⋅ (4.36) cosh(kD) σ Te kao takav, potencijal daje komponente brzine stojnog vala:

38

x



∂ΦT Hk ⋅ g cosh[k(D + z)] cos(kxR − σt )sin(kx − kxR ) = ⋅ cosh(kD) ∂x σ ∂Φ Hk ⋅ g sinh[k(D + z)] vz = T = − cos(kxR − σt)cos(kx − kxR ) ⋅ sinh(kD) ∂z σ vx =

(4.37)

Kako je u čvorovima cos(kx − k R ) = 0 vidi se da u položaju čvorova postoje samo horizontalnna strujanja, a u anti čvorovima (trbusima) samo vertikalna. Ukupni tlak unutar stojnog vala određen je izrazom: ⎡ coshk(D + z) − z ⎤ (4.38) p = ρg ⎢ y T ⎥⎦ coshkD ⎣ Ispod čvora (yT =0) tlak je samo hidrostatički. DJELOMIČNA REFLEKSIJA – KR < 1 U slučaju djelomi čne refleksije, fazni pomak δ2 ne mora biti ( 2n + 1) π − 2kxR . Fazni pomak δ2 određuje se kao i ranije iz rubnog uvjeta u to čki refleksije. Nepoznati koeficijenti refleksije određuju se iz energijskog uvjeta. Obi čno se jedan dio energije prenosi dalje kroz pregradu (iznad, ispod ili kroz), jedan dio energije se izgubi (disipacija), a ostatak se odbije. Veličina koeficijenata odbijanja (refleksije) odredi se pokusom, a za uobi čajene primjere postoje tablice.

39



BRZINA GRUPE VALOVA Dva pozitivna vala razli čitih perioda daju: H H (4.39) y T = 1 sin( k1x − σ1t + δ1 ) + sin ( k2 x − σ 2 t + δ2 ) 2 2 Primjer: T1 = 12s, T2 = 8s, δ1 = δ2 = 0 Superpozicija različitih valova može dati pojavu grupe valova koja ima neku grupnu brzinu C g. Promotriti će se grupa valova kao beskona čni red malih poreme ćaja. Neka su poznata dva „bliska“ vala istih amplituda i u fazi su ( δ = 0 ) . Rezultirajući val za takva dva vala biti će nakon transformacije : 1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ (4.40) y T = Hcos ⎢ ( k1 − k2 ) x − ( σ1 − σ 2 ) t ⎥ ⋅ sin ⎢ ( k1 + k2 ) x − (σ 1 + σ 2 ) t ⎥ 2 2 ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦ Anvelopa tih valova imat će nultočke (čvorove)

⎡ σ − σ ⎤ ( 2m + 1) π 1 1 π (4.41) ( k1 − k 2 ) x − ( σ1 − σ2 ) t = (2m + 1) ili x čvor = ⎢ 1 2 ⎥ t + 2 2 2 k k k k − − 1 2 ⎣ 1 2⎦ koji su funkcija vremena. Brzina pomaka čvorova biti će brzina grupe valova: (σ − σ ) dx čvor dσ (4.42) = brzinagrupe Cg = 1 2 ili za σ1 → σ 2 Cg = dt dk ( k1 − k 2 ) dc 2π Kako je σ = k ⋅ c slijedi C g = c − k , a za k = dobije se za brzinu grupe valova dk L dc Cg = c − L . dL g Uvodeći c 2 = tghkD nakon sređivanja se dobije k c 2kD ⎤ (4.43) C g = ⎡⎢1 + = n⋅c 2 ⎣ sh2kD ⎥⎦ 1 Gdje je n broj iznad za duboko more i 1 za plitko more. Prema tome vidi se da pojedina čni 2 valovi imju uvijek ve ću brzinu od grupe valova. 4.4.3. Utjecaj malih nagiba dna na refleksiju valova

40



Kada je dno nagnuto val iz dubine dolazi na pli ćak i dolazi do snažnog utjecaja dna na val uslijed čega se mijenja dužina i visina vala. Nagibi dna su mali Miche-ova formula za koeficijent refleksije: 2β sin⋅2 β , za H0 L0 ≤ (H0 L0 )crit → K crit = 1 (4.44) ⋅ ( H0 L0 )crit = π π Inače: K r = δ

( H0 L 0 )crit H0 L 0

(4.45)

Ho -visinaidužina valana pu čini δ-eksperimentalni koeficijent δ=1za nepropusne i glatke kosine δ=0,7do0,9za nepropusne i neravne kosine δ=0,3do0,6za propusne i neravne kosine 4.4.4. Energija i snaga valova Ukupna energija : E = Ep + Ek Kineti čka energija : L −D L −D L −D 1 1 1 2 2 2 Ek = ∫ ∫ δmv =∫ ∫ ρdx ( −dz ) ( v x + v z ) = ∫ ∫ ρ ( v 2x + v 2z ) d xdz 0 0 2 0 0 2 0 0 2 Nakon uvođenja v x ,v y , te nakon integriranja dobije se: H2 Ek = ρg L 16 Potencijalna energija (ukupna energija mirovanja): L D D+y − težišni tlak Ep ∫ pT (D + y)dx − ρg D ⋅ L ;p T = ρg    2 2 0 ukupna potencij alna    energija

(4.46)

(4.47)

(4.48)

potencijalna energija mirovanja

L

1 Ep ∫ ρg(D + y)2 dx − ρgD2 ⋅ L 2 0

(4.49)

H2L Uvođenjem y i integracijom dobije se Ep = ρg , pa je Ep = Ek , iz čega je ukupna energija: 16 H2L (4.50) E = Ep + Ek = ρg 8 Srednja kineti čka energija po jedinici dužine vala je E H2L (4.51) E = = ρg ( gustoća ener gije ) L 8 4.4.5. Protok energije (snaga toka) u smjeru vala Zanemareno v 2 u skladu s linearnom teorijom. Ukupni protok energije u periodu T, po dubini D iznosi: 41



T 0

H2L ⎛ 2kD ⎞ P = ∫ ∫ ( p + ρgz ) v xdzdt ili P = ρg ⎜1 + 16 ⎝ sh2kD ⎟⎠ 0 −D Srednji protok energije (srednja snaga toka) u periodu T: P H2 L 1 ⎛ 2kD ⎞ H2 c ⎛ 2kD ⎞ P = ili P = ρg ⋅ ⋅ ⎜ 1 + = ρg ⋅ ⋅ ⎜1 + = T 8 T 2 ⎝ sh2kD ⎟⎠ 8 2 ⎝ sh2kD ⎟⎠ c 2kD ⎞ Kako je C g = ⋅ ⎛⎜ 1 + brzina grupe valova biti će protok energije : 2 ⎝ sh2kD ⎟⎠ H2 nE P = ρg ⋅ C g ili P = E ⋅ C g ili P = 8 T Dakle, protok(prijenos) energije odvija se brzinom grupe valova Vrijedi zakon održanja:

(4.52)

(4.53)

Slika 4.6: Shema zakona održanja

Uz pretpostavku stacionarnog procesa i bez disipacije i proizvodnje energije ili refleksije valova, zakon održanja snage ima jednostavniji oblik. P2 − P1 = 0 (4.54) odnosno (4.55) (E ⋅ B ⋅ Cg ) = (E ⋅ B ⋅ C g ) = const. 2

1

Iz prethodnoga izvodi se izraz za transformaciju visine vala uzduž valnih ortogonala (zraka). H1 nL B = 2 2⋅ 2 (4.56) H2 n1L1 B1 Općenito može se pisati : H1 L B = o ⋅ 0 (4.57) H2 2nL B {

Ks

{

K r

Ks - koeficijent pli čine , Kr – koeficijent refrakcije Transformacija vala može se izraziti u obliku : B0 H1 2ch2kD = H2 B 2kD + sh2kD Isto se može pisati i za strminu vala: B0 H H0 2ch2kD = = ⋅ ctghkD L L0 B 2kD + sh2kD gdje je: B – širina izme đu dviju zraka B0,H0,L0 – parametri vala na dubokom moru.

(4.58)

(4.59)

42



5. TRANSFORMACIJE VALA

Profil i parametri vala postepeno se mijenjaju kad se val rasprostire iz dubokog mora prema plitkom. U dubokom moru valne karakteristike se dobro opisuju linearnom teorijom, dok teorije valova kona čnih amplituda dobro aproksimiraju valove u pli ćem moru. Prema ovim teroijama izvedene su brojne relacije i definirani parametri prema kojima se izra čunavaju transformacije valova. Slika 5.1: Primjer transformiranog vala

Rasprostiranjem vala prema obali nastaje prostorno i vremenski niz deformacija, a to su: 1. deformacija valova na nagnutom dnu zbog smanjenja dubine (“shoaling” efekt) 2. deformacija valova usljed trenja s dnom 3. refrakcija valova (kad valovi nailaze koso na izobate) 4. difrakcija valova 5. lom valova 5.1. Jednadžbe transformacija vala Transformacije vala opisuju što se doga đa s valovima kada oni dospiju iz dubine u plitko more. Te pojave su definirane pomo ću dviju vektorskih jednažbi: 6. jednadžba propagacije vala: Equation Section 5

r

∇× k = 0 7. i jednadžba o čuvanja protoka energije: uur ∇ ⋅ (ECg ) = 0

(5.1) (5.2) 43



Vektor k predstavlja vektor valnog broja, njegov smjer je odre đen smjerom propagacije vala, a iznos je jednak valnom broju: 2π L

k=

(5.3)

Prema teoriji valova malih amplituda, duljina vala L je: gT 2 L= tgh(kD) = L0tgh(kD) 2π

(5.4)

gdje je T period vala, L 0 je duljina vala u dubokom moru i D je dubina mora. U jednadžbi 5.2 (EC g) je izraz za protok energije (fluks), a E je gusto ća energije vala data izrazom: E=

1

ρ gH

(5.5)

2

8

dok je Cg vektor brzine grupe valova, čija vrijednost je: Cg = nC gdje je C brzina propagacije pojedina čnih valova

(5.6)

L gT C= = tgh(kD) = C0tgh(kD) T 2π

(5.7)

a n je n=

1 ⎛ 2kD ⎞ 1+ ⎜ ⎟ 2 ⎝ sinh(2kD) ⎠

(5.8)

Gore su prikazane osnovne jednadžbe potrebne za opis transformacija a njihov složeniji izvod i rješenja mogu se potražiti u literaturi (Liu 1990., Berkhoff 1972. i sl.) 5.2. „SHOALING“ EFEKT (utjecaj plićine): Iz analize valova kratkih perioda čiji je pravac napredovanja okomit na izobate morskog dna (poseban slučaj refrakcije α=0), te primjenom zakona održanja protoka energije na jedinicu širine grebena u dubokom i pli ćem moru, proizlazi koeficijent pli ćine („shoaling coefficient “) prikazan u jednadžba 5.11 Slika 5.2: 3D Prikaz utjecaja pli ći ne

Eo ⋅ c go = E ⋅ c g = nCE = const

(5.9)

Eo – srednja kineti čka energija na jedinicu dužine vala u dubokom moru cgo – brzina grupe valova u dubokom moru 44



E – srednja kineti čka energija na jedinicu dužine vala u pli ćem moru, na mjestu na kojem se računa deformacija vala zbog smanjenja dubine cg – brzina grupe valova na mjestu na kojem ra čunamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine 1

c g0 = n0 ⋅ C0 = ⋅ C 0 2

(5.10)

Izraz za n dat je u jednadžbi 5.9. Co – brzina pojedina čnog vala u dubokom moru C – brzina pojedina čnog vala na mjestu na kojem ra čunamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine Iz prethodno spomenutih relacija održanja protoka izvodi se izraz: H = H0

n0 C0 = n C

H 11 1 = = K S 2 n tgh(kD) H 0 '

(5.11)

H'o – visina vala u dubokom moru kada valovi dolaze na obalu pod pravim kutem. H – visina vala na mjestu na kojem ra čunamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine Ks – koeficijent pli ćine (shoalling coefficient) 5.3. Refrakcija vala 5.3.1. Jednadžbe refrakcije Refrakcija je deformacija valova na nagnutnom dnu kada oni nailaze koso( α≠0) na izobate morskog dna. Manifestira se promjenom smjera rasprostiranja valova i parametara vala. Promjena smjera rasprostiranja valova nastaje u prelaznom podru č ju i u plitkom moru, kad je d < L o/2 i ovisi o dubini d i kutu α kojeg zraka vala čini s konturom dna. Slika 5.3: Prikaz pojave refrakcije pri kosom nailasku vala na obalu

Promjena smjera zraka vala nastaje zbog razlika u brzini rasprostiranja dijela vala koji je u plićem moru te napreduje sporije i dijela vala koji je u dubljem moru i napreduje brže. Ova promjena smjera se o čituje povijanjem grebenova, koji su u dubokoj vodi paralelni pravci, a rasprostiranjem prema obali grebenovi se savijaju i sve više poprimaju oblik izobata odnosno obalne crte. Smjer valova, odnosno zrake postaju okomite na obalnu crtu (formira se lice plaže). Dužina vala se prema obali smanjuje, a visina vala se ovisno o refrakciji pove ćava (na rtovima) ili smanjuje (u uvalama). Kada je protok energije sa čuvan izme đu zraka vala, na udaljenosti B, tada vrijedi: 45



nCEB = const

(5.12)

što se nadalje usporedbom razvije u (isto kao i za „shoaling efekt“): H = H0

n0 C0 n C

B0 = B

B0 11 1 2 n tgh(kD) B

= K S K R

(5.13)

B – koeficijent refrakcije (a B se očita ili izra čuna iz plana refrakcije) B0 Bo – širina snopa jedini čne valne energije u dubokom moru (d >L o/2) B – širina snopa na mjestu na kojem ra čunamo valnu visinu gdje je K R =

Navedeni izrazi su ve ć dijelom prezentirani u jednadžbama 4.54 do 4.59. 5.3.2. Planovi refrakcije Refrakcija valova prikazuje se planom refrakcije koji se sastoji od grebenova valova i zraka (ortogonala) – okomica na grebenove. Postoje različite metode izrade planova refrakcije (prelamanja valova): 1. Metoda valne dužine - grafička konstrukcija na osnovi Snellovog zakona - direktna primjena Snell-ovog zakon 2. Numerička integracija diferencijalnih jednadžbi zraka vala U nastavku su opisana op ća načela primjene Snell-ovog zakona i numeri čke integracije (5.3.3 i 5.3.4), a na idućim slikama prikazani su primjeri refrakcije u stvarnim situacijama.

Slika 5.4: Prikaz koncentracije energije zraka valova na rtovima

46



Slika 5.5: Primjer deformacije grebena vala (Aljaska) s naznač enim smjerom zraka koje u ovom sluč aju i ogibaju oko rta i završavaju okomito na obalnu crtu

5.3.3. Snellov zakon Za praktičnu primjenu često se uzimaju pretpostavke da su obalna crta i linije batometrije približno ravne i me đusobno paralelne. Za prora čun propagacije vala koristi se jednadžba 5.1. koja se sada može napisati na slijede ći načina (upotrebom Kartezijevih koordinata): ∂ ∂ (5.14) (k sinα ) + (k cosα ) = 0 ∂x ∂y gdje je x predstavlja os okomito na obalnu crtu, a y uzdužno, kao što se vidi na Slika 5.6.

Slika 5.6: Shema refrakcije

Za obalu i batimeriju drugi dio gornje jednadžbe je nula pa ostatak daje: ksin α = 0 Kako period T ostaje isti tijekom refrakcije dobije se izraz: C = const sin α

(5.15) (5.16) 47



Ovi izrazi predstavljaju Snell-ov zakon refrakcije vala koji ra čuna kuteve nadolaze ćih zraka vala prema slijede ćem: sin α2 C 2 sin α C 2πD ⎞ = , odnosno = = tgh ⎛ (5.17) ⎜ L ⎟ sin α1 C1 sin α0 C 0 ⎝ ⎠ Kako se svaka zraka jednako refraktira udaljenost paralelna s obalnom crtom ostaje konstantna izme đu dviju zraka: B = const (5.18) cos α što znači, B1 cos α1 = (5.19) B2 cos α2 i koeficijent refrakcije se može izraziti: B cos α0 KR = 0 = (5.20) B cos α Ako se u obzir uzme duljina vala – L, uz malo trigonometrije (l=y u prethodnim izrazima) Snellov zakon može se prikazati i na slijede ći način na Slika 5.7 i izrazima: L2 L = 1 sin α 2 sin α1 sin α1 L1 C1 ⋅ T C1 = = = sin α2 L2 C2 ⋅ T C2 l=

(5.21) (5.22)

2. greben L 2 = C2 ⋅ T α2

D2 < D1 ;C 2

α2

D1 ;C2

α1 α1

L1 = C1 ⋅T

1. greben

l

Slika 5.7: Bliži prikaz trigonometrije veli či na koje opisuju dvije susjedne zrake vala i njihove transformacije uslijed refrakcije (prelamanja)

48



5.3.4. Primjena numeričke integracije U dubokom moru dno ne utje če na promjenu parametara vala (kaže se da val “ne osjeća dno”). Zbog toga parametri vala su konstantne veli čine i u dubokom moru se “indeksiraju” s “0”: H 0 – visina vala, L 0 – dužina vala, c 0 – brzina vala. Brzina vala ne ovisi o dubini mora d, ve ć o periodu vala c =f(T), koji je za idealan val konstantan (T = const.). Zbog toga sve to čke duž grebena vala u dubokom moru imaju istu brzinu pa su grebenovi i zrake valova pravci, mo kao što se na Slika 5.8 vidi, čim zrake dospiju u pli ći dio, dolazi do zakretanja kako je opisano u nastavku

t+dt

k a z r a

t g r

e s b e n

c+ δc ds δs

-d

+d l(x,y)

y

ds dl x

c

+d dy

dx

Slika 5.8: Diferencijalni segment integracije u planu refrakcije (x i y su obrnuto prikazani u odnosu na Slika 5.6)

U prelaznom podru č ju i u plitkom moru valovi “osje ćaju” dno te dolazi do savijanja grebenova, jer se dio grebena koji je u dubljoj vodi kre će brže nego u plitkoj vodi. Kod analize refrakcije valova smatra se da prenošenje energije izme đu zraka vala (ortogonala) ostaje konstantno, odnosno da ne dolazi do širenja energije bo čno po grebenu. 49



Jednadžbe zrake vala date su slijede ćim izrazima: c = c(x,y) – brzina vala u to čki (x,y) -

-

promjena položaja to čke vala u vremenu dt: dl = c ⋅ dt dx = c ⋅ cos α ⋅ dt dy = c ⋅ sin α ⋅ dt nadalje, uređivanjem izraza: dx = c ⋅ cos α dt dy = c ⋅ sinα dt

-

(5.23)

(5.24)

promjena kuta zrake vala u vremenu dt:

⎛ c + ∂c ds ⎞ dt − cdt ⎜ ∂s ⎟ dc ⎠ = − dt dα = − ⎝ ds ds

gdje je:

(5.25)

dα ∂c =− ∂s dt

(5.26)

∂c ∂c ∂c = − sin α ⋅ + cos α ⋅ ∂s ∂x ∂y

(5.27)

Početni uvjeti: T0 ( x0 , y 0 ) – početna točka zrake vala D0 – dubina u točki T0 c 0 – brzina vala u točki T0 α 0 − početni kut upada zrake vala Za formirane varijable x, y i α date su diferencijalne jednadžbe: t

x = x 0 + ∫ c ⋅ cos α dt

(5.28)

t0

t

y = y 0 + ∫ c ⋅ sin α dt

(5.29)

t0

t

α = α0 + ∫ − t0

∂c dt ∂s

(5.30)

50



Rješavanje sustava jednadžbi provodi se jednim od postupaka (eksplicitna metoda, implicitna metoda i ili mješoviti postupak) numeri čke integracije (diskretizacija u vremenu – ∆t) koje onda daju vrijednosti integrala u pojedinim to čkama. U nastavku je dat konkretan primjer rješenog plana refrakcije na podru č ju plaže autokampa u Splitu, primjenom metode kona čnih elemenata na kojima je vršen gore opisan postupak uz korištenje algoritma za prora čun točki progresije zraka vala u Fortranu.

Slika 5.9: Mreža konač nih elemenata za plan refrakcije na područ ju plaže autokamp

51



Slika 5.10: Prorač unsko rješenje plana refrakcije

Kao što je vidljivo na Slika 5.10 prora čunate zrake vala se postepeno u pli ćem moru šire i prelamaju na rtovima, odnosno na platou i punti, da bi u kona čnici njihov smjer bio okomit na obalnu crtu. 5.4. Lom vala Kada se val rasprostire prema plaži, u vrlo plitkom moru visine vala teže u beskona čnost, ali postoji fizička granica odre đene strmosti vala. Kada val pro đe tu granicu dolazi do loma i disipacije energije vala. Strmost vala se definira kao kvocijent visine i dužine vala. Idealan val može zadržat stabilnu formu i ne će se lomiti samo ako mu je strmost manja od maximalne strmosti za odre đenu dubinu. Slika 5.11: Lom vala u dubokom moru

Kriterij Stokes-a: Poveć anjem visine vala brzina č ela vala postaje bliska brzini vala, zbog č ega val postaje nestabilan i lomi se.

Duboko more - valovi ne reagiraju s dnom tako da im strmost može pove ćati samo vjetar i na taj na čin dovesti do loma kad se prekora či (Ho/Lo)max. Maximalan strmost vala u dubokoj vodi (d > L o/2) određena je izrazom: ⎛ Ho ⎞ 1 (5.31) ⎜ L ⎟ = 7 = 0.142 ⎝ o ⎠max Plitko more - valovi u plitkom reagiraju s dnom što rezultira pove ćanjem strmosti i lomom vala ako se prekora či (H/L)max. Maximalna strmost vala u plitkom moru (d < L/20) odre đena je izrazom:

⎛ H ⎞ = 1 2πD ⎜L⎟ ⎝ ⎠max 7 L

(5.32)

Izraze 5.31 i 2.32 dokazao je eksperimentom Dunel (1952.) Srednje more - uvjet za lom vala (maksimalnu strmost) postavio je Miché (1944.): 52



⎛ H ⎞ = 1 tgh ⎛ 2πD ⎞ ⎜L⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠max 7 ⎝ L ⎠

(5.33)

Slika 5.12: Lom vala u plitkom moru

Usporedbom izraza za duboku i plitku vodu može se zaklju čiti da valovi u dubokoj vodi mogu održati stabilnu formu uz veću strmost nego u plitkoj vodi. Poznavanje loma vala je vrlo važno radi odre đivanja stabilnosti građevina koje se nalaze na podru č ju loma. Lom vala može biti u razli čitim oblicima, neki od njih su prikazani na Slika 5.13.

RASPADANJE VALA

NAKUPLJANJE

PROPINJANJE VALA (UDARNI LOM)

Slika 5.13: Primjeri tipova loma vala

Lom vala po Miche-ovoj formuli vrijedi za idealan val. Na lom još utje če nagib dna i strmina vala, tip zaštite obale i sl. Za takve i druge slu čajeve koriste se Goda (1970.) dijagrami. USPINJANJE VALA

Du

Du

Dl

Dl

Slika 5.14: Prikaz uspinjanja vala uz obalu (konstrukciju-lukobran i lukobran s bermom)

Kod blažeg nagiba obale od 5 do 10 % dolazi do prelamanja vala, dok se kod strmijeg nagiba obale ne stigne prelomiti nego dolazi do uspinjanja (Slika 5.14).

53



5.5. Difrakcija vala Difrakcija vala je pojava kod valovanja koja se bavi prijenosom energije vala popre čno na zrake vala. Posebno je odvojena od refrakcije mada najčešće u prirodi se javljaju u zajedni čkom međudjelovanju. Osnovna razlika od refrakcije jest da se difrakcija ne bavi promjenom dubine, nego isklju čivo transformacijama vala zbog iznenadne promjene uvjeta valovanja kao što je to prilikom pojave prepreka tipa lukobrana i valobrana, ili npr. broda kao na Slika 5.15. Slika 5.15: Primjer difrakcije oko broda

Klasičan primjer čiste difrakcije vala je primjer valobrana – Slika 5.16. Zona valovanja

Zona sjene

Zrake valova Zrake

Slika 5.16: Č ista difrakcija

Grebeni

Valobran

Grebeni valova

Valobran dijelu zonu valovanja i zonu sjene a linija koja ih povezuje je zraka vala. Uz pretpostavku konstantne dubine (bez refrakcije), analiza difrakcije prora čunava energiju vala koja se disipira unutar zone sjene. Navedeni proračun, čak i za jednostavne situacije kao što je 5.16 je vrlo kompliciran, a rješenja su dali brojni autori kao što su Dean i Dalrymple (1984), Goda(2000.– razradio je model za realan val koji daje isto tako nešto to čnije vrijednosti K D), Penney i Price (1951.) i za zahtjevnije prora čune čitatelj se upu ćuje na spomenutu literaturu. Za preliminarne prora čune je, zato, vrlo često dovoljno koristiti dijagrame difrakcije koji su već ranije određeni proračunom(numerički) ili eksperimentalno. Dijagram difrakcije daje numeri čke vrijednosri koeficijenta difrakcije: H (5.34) K D = = F ( x,y ) Hi gdje je Hi – incidentni val koji nailazi na prepreku, a H je tražena za K D umanjena visina vala u zoni sjene. Na Slika 5.17 prikazan je takav dijagram za položaj valobrana iz Slika 5.16 prema 54



CERC (1984.) a u navedenoj literaturi se mogu na ći i ostali dijagrami za razli čiti kut nailaska incidentnog vala.

Slika 5.17: Dijagram difrakcije za kut nailaska vala α =90° (CERC 1984.)

Kada efekt pli ćine, refrakcija i difrakcija djeluju istovremeno visina vala se može izraziti: H (5.35) = K SK R K D H0 Kombinacijom razli čitih dijagrama mogu se rješavati kompleksniji problemi. Na slijede ćim slikama su prikazani primjeri dijagrama za razli čite ulaze u luku.

Slika 5.18: Difrakcija na ulazu u luku otvora - B/L=2

55

Luke i Pomorske Gradevine

Recommend Documents