1 Introducción
Al hablar del principio de correspondencia correspondencia se pueden mencionar dos criterios que el mismo ha de tener, el primero es que realice con éxito predicciones que las teor teoría ías s ante anteri rior ores es no pudi pudier eron on hace hacerr y la segu segund nda a es que que prod produz uzca ca las las predicc prediccione iones s correct correctas as de las teorías anteriores anteriores.. Y de esta esta manera manera la ciencia ciencia pueda llevar una evolución guiada por los conocimientos previos. La mecnica ne!toniana y la relatividad general representan un e"emplo de este comportamiento. comportamiento. A pesar pesar de que el valor predicho por la mecnica de #e!ton sea acertado para ob"etos que se mueven a velocidades peque$as, comparadas con la velocidad de la luz, no describen bien la naturaleza del movimiento, tal y como lo hace hace la relativi relatividad dad general general que describ describe e completa completament mente e el movimien movimiento to de cualquier partícula sin importar la velocidad a la que esta se desplace.
Algo similar ocurre para el principio de correspon correspondencia dencia mecánico mecánico cuántico, cuántico, el cual muestra como para grandes números cuánticos, las funciones de onda que describen el comportamiento de un objeto en términos probabilísticos, toman la forma de ecuaciones de trayectorias clásicas, un ejemplo de esto es la Tierra girando alrededor del Sol. Este ejemplo será discutido y estudiando en el presente teto, con el fin de obtener mayor claridad sobre el tema.
5.Los números cuánticos de la Tierra
!ebido a que el comportamiento clásico es un caso limitante del comportamiento cuántico, el comportamiento de la Tierra nunca puede ser descrito como estrictamente clásico. En cambio, la Tierra que aquí se describe "a sido elegida para estar en un estado cuántico que "ace que su comportamiento sea tan clásico como lo permite la mecánica cuántica. Se define el plano y como como el plano en que orbita la tierra tierra en mo#imiento mo#imiento circular uniforme. uniforme. $n obser#ador situado situado a una distancia distancia lejana sobre el eje %& sobre un sistema sistema de coordenadas coordenadas derec"o, derec"o, desde donde los polos norte de la Tierra y el son #isibles, y la Tierra gira alrededor del Sol en sentido contrario a las manecillas del reloj. !e esta manera, en una buena aproimaci'n, el #ector momento angular de la tierra girando alrededor del sol se encuentra en la direcci'n %&. Sin embargo, de acuerdo con las ecuaciones ()*+ y ())+, la magnitud magnitud del #ector #ector de momento momento angular orbital L
de la Tierra Tierra nunca nunca puede ser un número número entero, entero,
mientras que según las ecuaciones ()+ y ()-+, la componente & de este #ector número entero de #eces
ħ . En consecuencia L
L z
, puede s'lo ser un
no puede ser eactamente eactamente igual a
L z
y por lo
tanto, el #ector de momento angular orbital de la Tierra nunca puede encontrarse precisamente en la direcci'n L z %&. Sin embargo, es la coincidencia #irtual de L y para la Tierra Tierra en su 'rbita 'rbita plana que obliga a l y ml a ser iguales y muy grandes.
a coordenada esférica / relaciona
L z
y L
de acuerdo con
L z
cos θ =
(-+
√ l (l + 1 )
(--+
L
0ue, rempla&ando ())+ y ()-+ en (-+ se obtiene cos θ
=
ml
a 'rbita de la Tierra se torna clásica en la medida en que
L z
se aproima a L o, en otras palabras, cos θ
en la medida en que / se aproima a cero. En la ecuaci'n (*+, para requiere que
ml
m l =l
tome su #alor máimo, es decir,
tome el #alor de la unidad, se
ml de acuerdo con ()+ y además l y
tomen #alores muy grandes, tendiendo a infinito. Es decir cos θ
1
=
l √ l ( l + 1 )
l =m l →∞
(-2+
que como se mencion' "ace que cos θ tome el #alor de la unidad cos θ =
l
√ l
2
l l
= =1
o cual es la condici'n ara la 'rbita plana, esto indica que para obtener una orbita plana
ml
debe ser
igual a l y ser muy grandes, tendiendo a infinito. !e igual manera, 3onsidere la Tierra en el límite en que su comportamiento cuántico parece clásico. 4empla&ando (56+ en (5)+ 2 − L E= 2 2 mr
(-7+
!e la ecuaci'n (8+ se tiene que su parte i&quierda es igual a la energía cinética 9, es decir K =
G ms m 2r
1 de (56+ se tiene que E=− K , entonces E=
− G ms m
2r
(26+
:gualando la ecuaci'n (26+ con (-7+ se obtiene 2
r=
L
2 G m ms
(25+
a sustituci'n de la ecuaci'n (25+ en (26+ produce la energía clásica 2
E=
Si se rempla&a L por
3
2
− G m ms 2 L
2
(76+
√ l ( l+ 1 ) ħ , tal como indica la ecuaci'n ())+ se tiene 2
3
2
−G m m s E= 2 ħ l( l+1 )
(75+
2
as ecuaciones (-;+ y (75+ para la energía son indistinguibles siempre que l ( l +1 ) 2
n
→1
(7;+ l debe tomar su #alor máimo, como ya se dijo
anteriormente l debe ser muy grande, tendiendo a infinito, es decir
l=n + 1 , entonces rempla&ando
esto en (7;+ se tiene
(n −1)( n−1 + 1 ) ( n −1 ) n ( n −1 ) = = 2 2 n
n
n
3uando n es muy grande, la diferencia entre el numerador y el denominador se "ace despreciable, en otras palabras, cuando n → ∞ entonces n = n + 1 , es decir n =l =m l → ∞
(78+
. =unciones de onda de la Tierra En esta secci'n se demostrará que las partes angulares de la funci'n de onda de la Tierra dada por la ecuaci'n ()5+ (siguiendo la modificaci'n de unas pocas constantes+, junto con la condici'n ()8+, conducen a una distribuci'n de probabilidad angular para la Tierra consistente con la de a >rbitando clásicamente la Tierra. Adicionalmente, se deri#ará una condici'n necesaria para una distancia precisamente definida entre el Sol y una Tierra cuántica. 3onsideremos primero la funci'n Θl m ( θ ) . Según las forma de las =unciones Asociado de egendre, l
para la ecuaci'n (8+ se tiene
(−1 ) |m|
m +l
l (¿ ¿ m ( 1− x ) d m +l ( x 2−1 ) ) dx Θ l m = N l m ¿ 2
2
l
(7*+
l
ml
( −1 ) l
l l (¿ ¿ l ( 1− x ) d l ( x −1 ) ) dx Θl m = N l m ¿ 2
2 2
2
(7)+
2
l
l
A"ora anali&ando por partes esta epresi'n se obser#a que 2l
d ( x 2−1 )l=1 2l dx
a epresi'n (7+ #emos que la funci'n es un polinomio de grado
2l
orden 2 l , es e#idente que esta epresi'n da como resultado 1
(7+
sobre el cual opera una deri#a de
(− 1 ) ¿ . El #alor ¿ es una constante N l ¿ 2
que será positi#a si
l es par y negati#a si es impar y que cuyos #alores no influyen en resultados
adicionales. Esta constante se escribirá en la forma
k 1
. =inalmente solo "a quedado la funci'n
l
Θ l m =k 1 ( 1− x l
)
2 2
(7-+
Si se reali&a un cambio de #ariable x =cos θ , entonces la funci'n (7-+ se reescribe como
l
l
Θl m ( θ )¿ k 1 ( 1− cos θ ) ¿ k 1 ( sin θ ) 2 2
2
2
l
l
Θl m =k 1 sin θ l
(72+
!ebido a que la probabilidad de encontrar la Tierra dentro de un rango angular infinitesimal
dθ centrado
en θ es proporcional al cuadrado de Θ l m ( θ ) , eiste una probabilidad no despreciable en el límite de l
π
l muy grande s'lo cuando / es igual a
, en otras palabras, S'lo cuando la Tierra está en el plano
2
y. A"ora consideremos la funci'n
Φm
l
(?+. El cuadrado de cualquiera de las ecuaciones (77+ y (566+ es
adecuado para epresar la probabilidad de encontrar la Tierra en el plano y dentro de un rango angular infinitesimal dφ centrado en ?. @ay límite de
ml
2 ml
de nodos angulares asociados con ambas funciones. En el
muy grande, el espaciamiento de estos nodos se "ace insignificante, al igual que el
espaciamiento de las regiones de probabilidad localmente máima. En consecuencia, la probabilidad es directamente proporcional a cualquier despla&amiento angular no infinitesimal ?. En otras palabras, cuando se trata como un objeto cuántico sujeto a la condici'n (78+, la Tierra en su 'rbita global se distribuye con igual probabilidad para todos los ángulos dentro del plano y.
Φm , c ( φ )= l
Φm , s ( φ )= l
1
√ π 1
√ π
cos
( ml φ )
sin ( ml φ )
(77+
(566+
Analicemos por último la funci'n Rnl ( r ) , para esto obser#e la ecuaci'n
2 l +1
l
−r /( a n)
Rnl ( r )= N nl r Ln +1 ( ρ) e
0
3uando el número cuántico l asume su #alor máimo de n −1 , el
!onde
k 2
n−1
−r /( b n)
e
0
(565+
es una constante cuyos #alores no influyen en resultados adicionales. El lado derec"o de la
ecuaci'n ())+ consiste en un producto de una funci'n mon'tonamente creciente y una funci'n mon'tonamente decreciente.
=0
(56;+
Es decir d k 2 r
−r
e
b0 n
[
r
n−1
n −1
− r/ (b n )
e dr
(
0
=0
]
n −1 1 − ) =0 r b0 n
−r
3omo
e
b0 n
nuca #a ser cero, entonces r
n− 1
=0
(568+
yBo 1 n−1 = r b0 n
(56*+
r mp
o que se quiere es dar con el #alor máimo
para la distancia TierraSol, entonces de (56*+, es claro
que r mp= b0 n ( n−1 )
(56)+
!ebido a que en un sentido relati#o n −1 difiere insignificantemente de n en el límite de muy grande n , la ecuaci'n (56)+ puede ser reescrita como 2
r mp = b0 n
(56+
a distancia TierraSol r se define con precisi'n en la medida en que Rnl ( r ) se "ace insignificante cuando
r mp
r difiere muy ligeramente de
.
cantidad f (que puede ser positi#a o negati#a+ que especifica esa #ariaci'n de probable. A"ora definamos la cantidad R nl ( b0 n + f b0 n 2
=
2
)
2
R nl ( b0 n )
r de su #alor más
(56-+
0ue indica c'mo disminuye la probabilidad cuando r se incrementa o disminuye desde su #alor más probable. a combinaci'n de la ecuaci'n (56-+ con (565+ produce 2
2
−(b n + f b n ) 0
k 2 ( b0 n
2
=
+f b n 0
)
2
n−1
0
b0 n
e 2
−(b n ) 0
2
k 2 ( b0 n
)n− e
b0 n
1
2
−b n ( 1+f ) 0
n −1
(b n ) = 2
0
(1 + f )n− e
b0 n
1
2
−(b n ) 0
2
n−1
k 2 (b 0 n )
n−1
=(1 + f )
Así que
b0n
e
−f
e
(562+
ln =( n− 1 ) ln ( 1 + f )− fn
a epresi'n
(
(567+
) dada como epansi'n en serie "asta su termino de segundo orden, es
ln 1 + f
ln ( 1 + f ) ≅ f −
2
f
2
(556+
Sustituyendo (556+ en la ecuaci'n (567+ se obtiene ln =( n− 1 ) ( f −
2
f
2
)− fn
2
ln =−( f −
2
f −f 2
)
2
n
2 2 −(f − f ) −f n
=e
2
2
@aciendo tender f a cero, entonces 2
=e
− f n 2
a ecuaci'n (555+ muestra un criterio a la "ora de obtener un radio orbital
(555+
r con precisi'n. os números
proporcionados en la siguiente secci'n muestran que esta condici'n se cumple de "ec"o para una Tierra cuántica en su 'rbita aparentemente clásica
2. !iscusi'n El aspecto clásico de la Tierra #a más allá de su distribuci'n de probabilidad en el espacio. 3omo los #alores en la secci'n anterior indican que un aumento de
n
por 1 , resultaría en un cambio completamente
indetectable en r . Adicionalmente, se deduce de la ecuaci'n ()7+ que
2
E ( n + 1 )− E ( n )≅
3
2
G m ms 2
3
ħ n
(55;+
Según la ecuaci'n (55;+, la Tierra obtendría una energía totalmente imperceptible de
3,147 x 10
−31
!
durante una transici'n a su siguiente estado de energía más alto, de modo que la energía, mientras está cuanti&ada, parece ser intercambiable en cualquier cantidad arbitrariamente pequeCa. El estado cuántico de la Tierra contrasta fuertemente con los estados cuánticos conocidos de los electrones en el Dtomos de "idr'geno. 3onsideremos el ejemplo de un electr'n en un orbital con
θ=
l=1 ,
2 p
con
m l=1
. !e la ecuaci'n (*+
π 4
. Esto indica que el #ector momento angular no está alineado con el eje %&, es más,
L este se proyecta sobre el plano y con igual probabilidad para cualquier ángulo φ . El #alor de x es
máimo para φ =0 , es decir L x = √ l ( l + 1 ) " sin θ
L x = √ 1 ( 1 + 1 ) " sin
π 4
=√ 2
1
√ 2
"= "
L L # 1 cuando φ =π , x es mínimo y toma el #alor − " . $n argumento similar se aplica a . Así
1
L x
L z =m l "
como
L #
−"$ L x % "
(558+
−"$ L x % "
(55*+
se encuentran dentro de un inter#alo que es dos #eces mayor que el #alor
. 4esumiendo, el mo#imiento del electr'n tiene una gran indeterminaci'n.
el #ector del momento angular de la tierra coincide #irtualmente con el eje %&, y insignificantes comparados don
L z
L x
y
L #
son
. $n #ector de momento angular definido con precisi'n es una
propiedad de un objeto mo#iéndose en una 'rbita determinada. Así, la aproimaci'n de un #ector de momento angular orbital al eje & puede considerarse como criterio para un mo#imiento que se aproima a ser determinado. a forma de las funciones cuyo producto constituye la funci'n de onda en la ecuaci'n ()5+ implican una distribuci'n de probabilidad espacial para el electr'n indistinguible de un círculo con radio
2
r = a0 n
(55)+
a contrapartida de la ecuaci'n (56+ para el átomo de "idr'geno. a energía del electr'n sigue siendo dada por la ecuaci'n (*2+, y la magnitud del #ector del momento angular orbital del electr'n dado por ()8+ se "ace indistinguible de L=n"
(55+
En resumen, un electr'n que describe en su trayectoria un círculo alrededor de un prot'n en la mayor medida que permite la mecánica cuántica corresponde al átomo de "idr'geno de Fo"r. a longitud de onda de Froglie & asociada a una partícula de masa m con #elocidad ' #iene dada por & =
( m'
(55-+
, la longitud de onda de Froglie terrestre
& E
se encuentra en
−63 3.724 x 10
1
y
. Se #erifica
fácilmente que la ecuaci'n (552+ se aplica a la 'rbita de la Tierra, es decir, la distancia recorrida por el inmenso número n de ondas Froglie etremadamente cortas es de "ec"o la circunferencia de la 'rbita de la Tierra.
