FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Pengantar Dasar Matematika: Pengantar Logika Matematika
Judul
1 dari 330
Drs. I Made Tirta, M.Sc, Ph.D
[email protected]
November 8, 2011
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
2 dari 330 2
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR ISI Judul
3 dari 330 3
1 PERNYATAAN
1.1
1.2
1.3
Pengertian Umum Logika . . . . . . 1.1.1 Notasi . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Definisi . . . . . . . . . . . . Pernyataan Perny ataan Tunggal Tunggal dan Negasinya Negasinya . 1.2.1 Pengertian Perny Pernyataan ataan . . . 1.2.2 Perny Pernyataan ataan Tunggal unggal . . . . . 1.2.3 Negasi Pernyataan Pernyataan Tunggal unggal . Pernyataan Perny ataan majemuk dan negasinya negasinya 1.3.1 Perakit Konjungsi (dan) . . . 1.3.2 Perakit Disjungsi (atau) . . .
15
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
19 20 21 24 24 25 27 31 31 33
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4 1.5 1.6 1.7
1.8 1.9 2
3
Tautologi dan Kontradiksi . . . . . . . . . . . Aljabar pernyataan . . . . . . . . . . . . . . Bentuk Rangkap Rangkap dan Prinsip Kerangkapan Kerangkapan . . Perakit-perakit Lain . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Perakit Disjungsi eksklusif . . . . . . 1.7.2 Fun Fungsi gsi / Operator Operator Stroke Stroke dan Dagger Dagger Bacaan Lebih Lanju Lanjutt . . . . . . . . . . . . . Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . .
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL PERNYAT BERSYARAT/KONDISIONAL 2.1 Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Implikasi dan variasinya variasinya . . . . . . . . . 2.3 Biimplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Implik Implikasi asi Logis dan Ekuivale Ekuivalensi nsi Logis Logis . . 2.5 Negasi Pernyataan Pernyataan Bersyarat . . . . . . 2.6 Hira Hirarki rki perakit dan Notasi Notasi Lukasiew Lukasiewicz icz . 2.6.1 Hira Hirarki rki perakit perakit . . . . . . . . . . 2.6.2 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . 2.7 Bacaan Lebih Lanju Lanjutt . . . . . . . . . . 2.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
37 39 41 45 45 47 50 51
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
57
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN APLIKASINY KARAKTERISTIK, APLIKASINYA A 3.1 Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Bentuk Nor Normal mal Disjungtif Disjungtif (DNF) . . . . . . . . . 3.2.2 Bentuk Normal Konjugtif (CNF) . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
61 66 68 70 74 77 77 78 81 82
4 dari 330 4
Cari Halaman
Kembali
87
Layar Penuh
91 93 93 96
Tutup
Keluar
3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Komplemen Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . Translasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . Aplikasi Bentuk Normal Normal . . . . . . . . . . . . . . . . Aplikasi Aplik asi Logika Logika dalam Aljabar Aljabar Himpunan dan Listrik Listrik . Aljabar Jaringan Jaringan Listrik atau Saklar . . . . . . . . . . Bacaan Lebih Lanju Lanjutt . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
4 KUANTOR
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
123
4.1 Tetapan dan Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup tertutup . 4.3 Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Kuantor Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Kuantor Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Negasi Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Notas Notasii lain lain untuk untuk dan . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi Konjungsi dan Implikasi . . . . . . . 4.7 Contoh Penyanggah/ Penyanggah/ Contoh Kontra Kontra . . . . . . . . . . . 4.8 Kuant Kuantor or dan kalimat kalimat terbuka terbuka lebih dari satu peubah peubah . . . 4.9 Beberapa Bentuk Khusu Khususs . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∀
5
98 100 103 106 109 119 120
∃
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
127 129 133 133 134 137 141 142 145 147 150 153 154
161 PENALARAN LOGIS 5.1 Argumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2 Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid Valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Judul
5 dari 330 5
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3
5.4 5.5
5.6 5.7 5.8 5.9
Pembuktian Tidak Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Pembuktian dengan Negasi . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Pembuktian dengan Kontradiksi . . . . . . . . . . 5.3.3 Pembuktian dengan Kontra Positif . . . . . . . . . Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Argumen berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Translasi kuantor kuantor universal dan eksistensial . . . . 5.5.2 Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial Eksistensial . . . . 5.5.3 Genera Generalisasi lisasi Universal Universal dan Generalisasi Generalisasi Eksistens Eksistensial ial Sesat Pikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem Deduktif dalam Matematika . . . . . . . . . . . . . Bacaan Lebih Lanju Lanjutt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
176 176 177 178 180 182 182 184 184 187 189 191 192
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
6 dari 330
6 HIMPUNAN
6.1 6.2 6.3
6.4 6.5 6.6 6.7
Definisi dan Jenis Definisi Jenis Himpunan Himpunan . . . . . . . . . . Relasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . Operasi Himpun Himpunan an . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Operasi Dasa Dasarr Himpunan Himpunan . . . . . . . . 6.3.2 SifatSifat-sifat sifat Operasi Himpun Himpunan an . . . . . 6.3.3 Operasi Jumlah Jumlah dan dan Selisih Selisih Himpunan Himpunan . Sifat-sifat Sifat -sifat Lanjut Lanjut Relasi Relasi Himpunan bagian bagian . . . Penggunaan Himpunan dalam Silogisme . . . . Bacaan Lebih Lanju Lanjutt . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . .
197
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
201 206 211 211 214 217 223 229 237 238
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7
8
9
HIMPUNAN BILANGAN 7.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Himpuan Bilangan Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil. 7.6 Perkembangan perhitungan π . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI 8.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Penyajian Relasi dengan Matriks . . . . . . . 8.5 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi . . . . . . . 8.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . 8.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . .
241
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
245 249 250 251 252 255 258 259
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
261
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR 9.1 Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Logika bernilai tiga atau lebih . . . . . . . . . . . 9.3 Himpunan Samar . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Himpunan dengan tiga atau lebih kategori
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . keanggotaan .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
265 267 270 276 281 283 286 288 289
7 dari 330
Cari Halaman
Kembali
293
Layar Penuh
297 300 305 305
Tutup
Keluar
9.4
9.3.2 Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan . . . 306 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Glossary
317
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
8 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR GAMBAR
Judul
9 dari 330
1.1 Diagram Pembagian kalimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1 Diagram Venn mengilustrasikan A 6.1 Diagram giannya 6.2 Diagram 6.3 Diagram 6.4 Diagram 6.5 Diagram 6.6 Diagram
∩B
. . . . . . . . . . . . . 107
Venn mengilustrasikan himpunan dan himpunanba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Venn mengilustrasikan relasi himpunan . . . . . . . . Venn mengilustrasikan Ac . . . . . . . . . . . . . . . Venn mengilustrasikan A B . . . . . . . . . . . . . Venn mengilustrasikan A B . . . . . . . . . . . . . Venn mengilustrasikan A/B dan A + B . . . . . . .
∩ ∪
Cari Halaman
Kembali
205 208 212 220 221 222
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7 Diagram pohon mengilustrasikan subset himpunan 6.8 Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩ B c = ∅ . . . . . 6.9 Diagram Venn A|| atau A ∩ B = ∅ . . . . . . . . . . . 6.10 Diagram Venn untuk A ∩ B =∅ . . . . . . . . . . . . 6.11 Diagram Venn untuk A ∩ B c =∅ . . . . . . . . . . . . 6.12 Diagram Venn untuk A B dan B C 1 ; B C 2 , namun A 6.13 Diagram Venn untuk A B, C B, maka A C . . . 6.14 Diagram Venn untuk A B, B C 1 dan B C 2 . A C 1 dan A C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 Diagram Venn untuk A B dan B C, maka A C
|| ||
⊂
||
||
7.1 7.2
⊆ Diagram Venn mengilustrasikan . . Diagram mengilustrasikan . . . . .
||
. . . . . . 228 . . . . . . 230 . . . . . . 231 . . . . . . 232 . . . . . . 233 C 1 , A C 1 234 . . . . . . 235 Namun, . . . . . . 236 . . . . . . 236
||
. . . . . . . . . . . . . . 252 . . . . . . . . . . . . . . 255
Diagram kartesius mengilustrasikan A B . . . . . . . . . . . Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke B . . . . . . . . Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A . . . . . . . . Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Contoh Grafik Relasi dari a,b,c,d,e ke u,v,w,x,y,z dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Diagram panah mengilustrasikan fungsi . . . . . . . . . . . . . 8.7 Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda . 8.1 8.2 8.3 8.4
×
{
} {
FMIPA-UNEJ
}
266 269 274
Daftar Isi
Judul
10 dari 330
Cari Halaman
Kembali
279 280 281
Layar Penuh
Tutup
287 Keluar
9.1 9.2 9.3 9.4
Grafik keanggotaan M 1 . . . . Grafik keanggotaan M 2 . . . . Grafik fungsi keanggotaan K . Grafik fungsi keanggotaan J .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
308 309 311 312
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
11 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
12 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR TABEL Judul
13 dari 330
1.1 Tabel Kebenaran Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Cari Halaman
3.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 91 3.2 Aljabar Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Kembali
7.1 Perhitungan π secara analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.2 Perhitungan π dengan mesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
14 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 1
Daftar Isi
Judul
PERNYATAAN
15 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca memahami pengertian umum logika, pengertian pernyataan tunggal maupun majemuk dan negasinya serta mampu menilai kalimat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
16 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca dapat: 1. menyebutkan definisi logika;
FMIPA-UNEJ
2. menyebutkan pengertian pernyataan tunggal;
Daftar Isi
3. menentukan negasi sebuah pernyataan tunggal; Judul
4. membentuk kalimat majemuk dengan perakit “dan”, “atau”; 5. menentukan negasi kalimat mejemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
6. menerapkan prinsip ganda pada kalimat majemuk; 17 dari 330
7. menentukan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi atau tautologi;
Cari Halaman
8. membuktikan ekuivalensi bentuk logika; 9. menyebutkan definisi perakit disjungsi eksklusif , dagger dan stroke .
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Pengertian Umum Logika 2. Pengertian Pernyataan
FMIPA-UNEJ
3. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
Daftar Isi
4. Pernyataan majemuk dan negasinya Judul
5. Tautologi dan Kontradiksi 6. Aljabar pernyataan
7. Bentuk Ganda dan Prinsip Kegandaan 18 dari 330
8. Perakit-perakit Lain Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.1.
Pengertian Umum Logika
Definisi mengenai logika diberikan oleh para ahli dengan rumusan yang agak berbeda satu sama lain, tetapi artinya tidak jauh berbeda misalnya menurut Soekadijo [18] “Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struktur proposisi dan syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk logisnya saja”. Sejalan dengan pendapat di atas, menurut kamus matematika oleh Borowsky & Borwein [1], dijelaskan bahwa logika adalah prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argumentasi atau penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks dari bentuk penalaran. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan hanya melihat bentuknya saja (terutama pada saat mengadakan penalaran), lebih dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik, logika modern atau logika matematika. Ciri lain dari logika matematika adalah penalarannya berdasarkan penalaran deduktif, yang didasarkan atas sejumlah unsur tak terdefinisi ( undifine term ), unsur terdefinisi, asumsi dasar/ aksioma serta aturan-aturan tertentu yang daripadanya dapat diturunkan teoremateorema. Keseluruhan ini membangun suatu sistem yang disebut sistem matematika. Lebih lanjut, dalam menetapkan defininsi maupun aksioma seorang matematisi sesungguhnya, tidak harus menghubungkannya dengan keadaan nyata (real world/ concrete situation ), namun demikian yang terpenting, aksioma atau definisi yang dirumuskan haruslah konsisten tidak bertentangan satu dengan yang lain. Beberapa buku teks tentang logika simbolik atau logika matematika diantaranya adalah Copi [2], Gemignani
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
19 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[6], Thomas [20], dan Polimeni & Straight [15].
1.1.1. Notasi FMIPA-UNEJ
Notasi adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi menyingkat kalimat verbal yang panjang dengan suatu simbol yang ringkas. Tanpa menggunakan simbol kita akan mengulang-ulang beberapa kalimat seperti : “Sembarang mahasiswa Universitas Jember” atau “Sembarang bilangan real” dan lain-lain. Hal ini bukannya tidak mungkin dilakukan, tetapi tentu saja akan tidak efisien. Sementara, dengan menggunakan simbol, istilah itu bisa dipersingkat menjadi “Si-X ” atau X . Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan notasi yang baik, antara lain, seperti diuraikan berikut. 1. Beberapa simbol tertentu, secara tetap sudah digunakan untuk menun jukkan hal-hal tertentu. Misalnya, notasi π biasa digunakan sebagai lambang bilangan irasional 3,1415.... Demikian pula konsensus lainnya yang telah disepakati oleh para ahli harus tetap diikuti. Sebagai contoh dalam hubungannya dengan tetapan dan peubah, seperti pada y = ax 2 + bx + c, disepakati bahwa hurup-hurup pertama abjad dipergunakan untuk melambangkan tetapan, sedangkan hurup-hurup akhir dipergunakan sebagai lambang peubah. 2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek, maka secara konsisten, simbol tersebut sebisanya digunakan untuk objek tersebut. Jika suatu objek dapat disimbolkan dengan lebih dari satu macam
Daftar Isi
Judul
20 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
simbol dan semua simbol itu akan digunakan tanpa suatu pengkhususan maka hal ini biasanya dijelaskan sejak awal. Sebaliknya jika suatu notasi terpaksa digunakan untuk objek lain, selain yang telah didefinisikan, maka definisi baru harus diberikan. Hal ini mungkin terjadi mengingat terbatasnya jumlah simbol yang bisa digunakan sebagai notasi sebaliknya sangat banyak objek yang harus dinotasikan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1.1.2. Definisi Supaya arti istilah-istilah yang dipergunakan jelas, perlu ditetapkan definisi yang benar. Sekali suatu istilah didefinisikan maka untuk selanjutnya istilah tersebut dipergunakan dalam arti yang sama. Jika suatu istilah tidak jelas definisinya maka tidak mustahil dia dipergunakan dalam arti yang berbedabeda, hal ini dapat mengantarkan kita kepada hal yang salah. Menurut Borowsky & Borwein [1] definisi adalah pernyataan yang tepat tentang suatu istilah (disebut definiendum) dengan menggunakan istilah lain yang ekuivalen (disebut definien). Untuk merumuskan suatu definisi ada beberapa aturan yang perlu diikuti antara lain (Copi [2]): 1. Definisi sebaiknya menyatakan konotasi yang konvensional (yang disepakati) dari istilah yang didefinisikan. Yang dimaksud dengan konotasi adalah sifat, karakteristik atau kualitas dari suatu benda.
Judul
21 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
2. Definisi mestinya tidak berbelit-belit (tidak circular ). Contoh definisi Keluar
yang kurang baik adalah : Manusia adalah orang. Binatang adalah hewan dan sebagainya. 3. Definisi haruslah tidak terlalu luas ataupun terlalu sempit. Contoh definisi terlalu luas : Manusia adalah binatang berkaki dua. Definisi yang terlalu sempit misalnya : Mamalia adalah binatang berkaki empat. 4. Definisi tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar, harus lebih jelas dari yang didefinisikan. Definisi tidak boleh dinyatakan dalam bahasa metaphora(kiasan / figurative ) juga tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar ( obscure ). Salah satu tujuan perumusan definisi adalah menghilangkan ketidakjelasan dari istilah bukan sebaliknya membuat menjadi lebih samar/tidak jelas. 5. Definisi seharusnya tidak dinyatakan dalam kalimat negatif jika masih dapat dinyatakandengan kalimat positif. Definisi yang kurang baik misalnya, “bangku adalah mebel kayu tetapi bukan kursi dan bukan meja”. Akan tetapi memang ada istilah yang harus didefinisikan dalam bentuk kalimat negatif seperti“botak adalah kepala yang tidak mempunyai rambut”.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
22 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Unsur yang didefinisikan disebut juga definiendum dan sejumlah symbol yang dipergunakan untuk menjelaskan definiendum tersebut dinamakan definien . Definisi yang menyatakan hubungan atara definiendum dengan definien degan tanda sama dengan (=) disebut definisi eksplisit .
Tutup
Keluar
Contoh 1.1.
definisi
× × × · · · × xn
definiendum
= x
x
x
x
definien
FMIPA-UNEJ
Mendefinisikan suatu istilah berarti menjelaskan istilah tersebut dengan menggunakan kata-kata (istilah) yang lain, maka ada tahapan kita harus menerima suatu istilah tertentu tanpa suatu definisi (selanjutnya ini disebut istilah tak terdefinisi , undefined term atau premitive symbol ). Sebagaimana dikatakan oleh Bertrand Russel berikut : Since all terms that defined, are defined by means of other terms, it is clear that human knowledge must always be content to accept some terms as an intelligible definition, in order to have a startingpoint for its definition. Selain definisi, dalam matematika atau logika ada beberapa istilah lain yang sering dipergunakan diantaranya adalah:aksioma,teorema atau dalil, asumsi.
Daftar Isi
Judul
23 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.2.
Pernyataan Tunggal dan Negasinya
1.2.1.
Pengertian Pernyataan
Pernyataan disebut juga : kalimat deklaratif, stetemen, proposisi, atau verbal assertion . Beberapa ahli ada yang membedakan istilah pernyataan dan proposisi, ada pula yang menyamakan saja. Dalam buku ini istilah-istilah tersebut dipergunakan dengan arti yang sama dan dipakai secara acak. Sebelum kita membicarakan lebih lanjut tentang kalimat deklaratif ini, ada baiknya kita lihat pembagian kalimat yang umum dilakukan dalam matematika.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 1.2.1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak dua-duanya.
24 dari 330
Cari Halaman
Istilah benar dan salah dapat dijadikan sebagai suatu istilah tak terdefinisikan karena bisa kita anggap jelas pernyataan yang bernilai benar dan pernyataan yang bernilai salah. Dengan demikian, tidak perlu lagi didefinisikan apa yang dimaksud pernyataan bernilai benar atau pernyataan bernilai salah.
Contoh 1.2. Contoh pernyataan diantaranya:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
1. Lima(5) adalah bilangan prima Keluar
2. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia 3. Dua (2) adalah bilangan prima yang genap 4. Saat ini di ruang 1 Matematika MIPA sedang ada kuliah. Benar tidaknya kalimat pertama sampai ketiga dapat segera ditentukan, sedangkan pada kalimat terakhir untuk menentukan benar atau tidaknya perlu diadakan observasi. Pernyataan yang langsung dapat dinyatakan benar atau tidaknya disebut pernyataan absolut/mutlak . Sedangkan pernyataan yang tidak segera diketahui kebenaran atau tidaknya dinamakan pernyataan empirik . Untuk memudahkan pembahasan, kita lebih banyak membicarakan pernyataan yang absolut. Dari segi matematika atau logika, kalimat-kalimat seperti: “lima (5) mencintai 3”; “ayah habis dibagi anak”; tidak dikatakan sebagai pernyataan salah, tetapi disebut kalimat yang tidak bermakna (tidak benar, tidak salah). Hal ini akan menjadi lebih jelas setelah kita membicarakan nilai kebenaran suatu pernyataan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
25 dari 330
Cari Halaman
Kembali
1.2.2.
Pernyataan Tunggal Layar Penuh
Secara tata bahasa, sebuah kalimat atau pernyataan harus memiliki pokok kalimat atau pokok persoalan dan kata kerja yang menggambarkan apa yang dilakukan atau terjadi pada pokok persoalan tadi. Pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan disebut pernyataan tunggal.
Tutup
Keluar
Definisi 1.2.2. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan atau satu ide. FMIPA-UNEJ
Notasi 1.2.1. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan hurufhuruf kecil seperti p,q, dan r. Contoh 1.3. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggal p : Lima (5) adalah bilangan prima q : Sembilan (9) adalah bilangan sempurna r : Sepuluh (10) adalah bilangan berlebih/abundan abundan Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran atau nilai logik ( truth value ) dari pernyataan tersebut dan diotasikan dengan τ ( p). Sebagai simbol dari benar biasa di pakai B (benar), R (right), T (true) atau 1 sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan (B-S, R-W,T-F, l-0). Jadi, pada contoh di atas (i) nilai kebenaran p adalah benar,τ ( p) = 1; (ii) nilai kebenaran q adalah salah, τ (q ) = 0 dan
Daftar Isi
Judul
26 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(iii) nilai kebenaran r adalah salah, τ (r) = 0. Nilai kebenaran pernyataan dapat pula disusun dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran ( truth table ).
Tutup
Keluar
p 1 0
¬ p 0 1
FMIPA-UNEJ
1.2.3.
Negasi Pernyataan Tunggal Daftar Isi
Definisi 1.2.3. Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan yang bernilai salah jika p benar dan bernilai benar jika p salah. τ ( p) = 1 jika τ ( p) = 0 dan τ ( p) = 0 jika τ ( p) = 1.
¬
¬
(1.1)
Judul
27 dari 330
∼ p atau ¬ p. (dibaca
Notasi 1.2.2. Negasi dari p dinotasikan dengan p atau “negasi p” ,“tidak p ” , “ bukan p” atau “ingkaran p”).
Jika pernyataan p dan negasinya di buat tabel kebenarannya maka kita peroleh tabel kebenaran dari p seperti tabel di sebelah kiri.
¬
Contoh 1.4. Buatlah negasi dari kalimat/ pernyataan-pernyataan berikut : p : Lima (5) adalah bilangan prima;
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan. Keluar
Jawab : Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan tersebut pertama kita buat pernyataan berikut : p : tidak benar 5 adalah bilangan prima; : lima (5) adalah bukan bilangan prima; q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/ berlebih; : sepuluh (10) adalah bukan bilangan abundan/berlebih. Babarapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi.
¬ ¬
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
1. Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi ( undefined term ). Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan, maka harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat “Ani anak yang pandai”, selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria “pandai”, sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda1 . 2. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah. Jika pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah maka kalimat tersebut dikatakan kalimat tak bermakna (lihat pembangian kalimat pada Gambar 1.1). Misalnya, kalimat-kalimat berikut p : kakak habis dibagi adik, dan p : kakak tidak habis dibagi adik,
¬
1
28 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Logika yang berkaitan dengan kata sifat dibahas pada bagian logika samar (fuzzy logics) Keluar
keduanya tidak bisa dinilai benar atau salah sehingga keduanya bukan merupakan pernyataan. 3. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk 1) bilangan dibedakan menjadi bilangan abundan, bilangan sempurna, dan bilangan defisien berkurang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
29 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
30 dari 330
Cari Halaman
Gambar 1.1: Diagram pembagian kalimat dilihat dari nilai logikanya
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.3.
Pernyataan majemuk dan negasinya
Beberapa kalimat tunggal, p, q , dapat digabung dengan menggunakan kata penghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti: p dan q, p atau q, p yang q dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut pernyataan majemuk. Kata-kata penghubung kedua pernyataan biasa disebut konektor atau perakit. Berikut dibahas beberapa perakit dasar beserta tabel kebenarannya.
1.3.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Perakit Konjungsi (dan)
Judul
Salah satu cara menggabungkan pernyataan adalah dengan menggunakan kata hubung dan. Dalam logika penghubung ini disebut konjungsi.
31 dari 330
Definisi 1.3.1. Konjungsi dari p dan q (ditulis : p q , dibaca “ p dan q ”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masingmasing p , maupun q bernilai benar. Sedangkan untuk keadaan lain maka dia bernilai salah.
∧
Cari Halaman
Kembali
Notasi 1.3.1. Beberapa simbol yang sering digunakan untuk perakit dan ini adalah : p q , p q, p & q atau pq .
∧
×
Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk p q seperti pada tabel di sebelah. Dalam membuat tabel kebenaran, banyaknya pasangan yang bisa dibuat dari n pernyataan/ kalimat penyusun adalah 2 n , ini
∧
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p
∧ q 1 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
disebabkan karena untuk setiap pernyataan hanya ada 2 nilai yang mungkin (0 atau 1). Perakit konjungsi disebut juga perakit penyertaan , karena harus menyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya jika semua komponennya benar. Dalam kehidupan sehari -hari banyak kata hubung lain yang mempunyai arti yang sama dengan “dan” yaitu : yang, tetapi, meskipun, maupun .
Contoh 1.5. Diketahui: p : dua (2) adalah bilangan genap q : dua (2) adalah bilangan prima. Konjungsi p q dapat dinyatakan sebagai: p q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima; p q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima.
∧ ∧
∧
Contoh 1.6. Diketahui : r : Ani adalah anak yang rendah hati; s : Ani adalah anak yang pandai. Maka konjungsi r dan s adalah
Judul
32 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
r
∧ s : Ani adalah anak yang rendah hati meskipun pandai.
Dalam matematika ada beberapa konsep yang harus dihubungkan dengan konjungsi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 1.7. Daftar Isi
Jika xy < 0 maka
≥ 0 maka
Jika xy
1.3.2.
x > 0 x < 0 x 0 x 0
≥ ≤
dan dan dan dan
y < 0, atau y > 0. y 0, atau y 0.
≥ ≤
Judul
Perakit Disjungsi (atau)
Selain dengan kata hubung dan pernyataan-pernyataan dapat juga digabung dengan menggunakan kata hubung atau. Kata hubung ini dalam logika disebut perakit disjungsi.
Definisi 1.3.2. Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan yang dibaca “ p atau q ”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila masingmasing p dan q salah. Sedangkan untuk keadaan lain ia bernilai benar. Notasi 1.3.2. Notasi : notasi yang umum digunakan untuk perakit disjungsi adalah : p q ; p + q .
∨
33 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p
∨ q 1 1 1 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
τ ( p
∨ q ) = 1 jika
τ ( p) = 1 atau τ (q ) = 1 atau τ ( p) = τ (q ) = 1
(1.2)
Sesuai dengan definisinya, maka tabel kebenaran disjungsi ini adalah seperti pada tabel di sebelah. Disjungsi disebut juga alternatif , karena cukup salah satu saja komponennya benar maka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefinisikan seperti di atas disebut disjungsi inklusif (lemah/ weak ). Disjungsi ini yang banyak dibicarakan dalam matematika dan jika dikatakan p atau q maka yang dimaksud adalah disjungsi inklusif ini.
34 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Contoh 1.8. Diketahui: (i) . Jakarta ada dipulau Jawa atau 2 + 3 = 5; (ii) . sin90o = 1 atau 2
× 3 = 9;
Layar Penuh
Tutup
√ (iii) . akar sembilan ( 9) adalah irasional atau 3 + 7 = 9; Keluar
(iv) . tujuh (7) adalah bilangan komposit atau 8 adalah bilangan prima. Tentukan nilai kebenaran pernyataan di atas. Jawab: Dengan mudah dapat dipahami bahwa nilai kebenaran kalimat-kalimat di atas adalah :(i) . B , (ii) . B (iii) . B dan (iv). S
Contoh 1.9. Diketahui : p : 2 adalah bilangan genap q : cos 60o = 1, 5 r : matahari terbit dari barat s : jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180 o Tentukan
Daftar Isi
Judul
∨
Cari Halaman
(i) p
∨ r : 2 adalah bilangan genap atau matahari terbit dari barat; (ii) q ∨ s : cos60 = 1, 5 atau jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180 . o
o
Dalam matematika ada kalimat yang harus dihubungkan dengan disjungsi seperti pada contoh berikut.
Contoh 1.10.
1. Jika xy = 0, maka x = 0 atau y = 0.
2. x2 = 4, maka x = 2 atau x =
35 dari 330
p r dan q s. Jawab :
∨
FMIPA-UNEJ
−2.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Setelah kita mengetahui tiga perakit dasar dalam logika ( , , ), kita tin jau kembali definisi pernyataan dalam matematika yaitu bahwa pernyataan itu harus bernilai benar atau salah tetapi tidak mungkin sekaligus benar dan salah, prinsip ini merupakan prinsip dasar logika yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan berikut ini.
¬∧∨
∨ ∧ ¬ ∧
τ ( p) = 0
1
(0
1)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(1.3)
Prinsip di atas dapat dinyatakan secara lebih luas dan dikenal dengan prinsip excluded middle yang dinyatakan seperti berikut ini.
Judul
Definisi 1.3.3 (Prinsip Excluded Middle ). Salah satu dari pernyataan p atau q benar tetapi tidak dua-duanya.
∨ ∧ ¬ ∧ p
q
p
q
36 dari 330
(1.4) Cari Halaman
Contoh yang paling jelas adalah ketika q = p, yaitu
¬ p ∨ (¬ p) ∧ ¬ p ∧ (¬q )
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4.
Tautologi dan Kontradiksi
Sebagaimana telah disampaikan sebelumnya, bahwa beberapa pernyataan dapat digabung untuk membentuk pernyataan majemuk.
FMIPA-UNEJ
Notasi 1.4.1. Pernyataan-pernyataan tunggal p1 , p2 , , pn dapat membentuk suatu pernyatan majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit dan , pn ). dinotasikan dengan P ( p1 , p2 ,
···
Daftar Isi
···
Judul
Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua jenis kalimat majemuk yang istimewa, yaitu kalimat majemuk yang selalu bernilai benar dan kalimat majemuk yang selalu bernilai salah, terlepas dari nilai kebenaran masingmasing komponennya.
37 dari 330
Definisi 1.4.1. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponenkomponennya.
Cari Halaman
Kembali
P ( p1 , p2 ,
··· , p ) = T , jika τ P ( p , p , ··· , p ) n
untuk semua kemungkinan τ ( pi ).
1
2
n
=1
(1.5) Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 1.4.2. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah (dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponennya. P ( p1 , p2 , , pn ) = F, jika τ P ( p1 , p2 , , pn ) = 0 (1.6)
···
untuk semua kemungkinan τ ( pi ).
···
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Kita menggunakan notasi T dan F untuk menunjukkan bahwa nilai pernyataan majemuk tersebut selalu benar atau selalu salah untuk semua kombinasi nilai p1 , p2 , , pn .
···
Judul
Contoh 1.11. (i) . p
∨ (¬ p) adalah suatu tautologi. (ii) . p ∧ (¬ p) adalah suatu kontradiksi.
¬
∨¬ ∨¬ ∧
38 dari 330
Cari Halaman
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi di atas dapat ditun jukkan dalam dua tabel berikut. Tabel kebenaran p ( p) dan p p p p ( p) p q 1 0 1 0 0 1 1 0
∧ q
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5.
Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil operasi dari beberapa pernyataan dengan perakit-perakit pernyataan sebagai operasi hitung. Sedangkan sebagai pengganti kesamaan dalam logika kita mengenal ekuivalensi , ( ). Operasi beserta pernyataannya ini dikenal dengan istilah aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan .
FMIPA-UNEJ
≡
Definisi 1.5.1. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataanpernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap keadaan komponennya
Jika τ P ( pl , p2 ,...,pn ) = τ Q(q l , q 2 ,...,q n ) maka P ( pl , p2 ,...,pn ) Q(q l , q 2 ,...,q n )
≡
(1.7)
Daftar Isi
Judul
39 dari 330
Cari Halaman
Definisi yang lain tentang ekuivalensi juga disampaikan pada Definisi 2.4.2 persamaan (2.4) halaman 70 setelah membicarakan ekuivalensi logis. Jadi dalam aljabar pernyataan kita memiliki: 1. objek: pernyataan-pernyataan, p1 , p2 ,
¬, ∧, ∨; 3. kesamaan: ≡ . 2. operator:
··· , p ;
Kembali
Layar Penuh
n
Tutup
Keluar
Pada bagian ke dua buku ini, akan ditunjukkan bahwa relasi ekuivalensi.
≡ merupakan
Teorema 1.5.1. Relasi ini adalah relasi ekuivalensi yaitu :
≡
≡ p (refleksif) (ii) . Jika p ≡ q maka q ≡ p (simetris) (iii) . Jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r (transitif) Contoh 1.12. Buatlah tabel kebenaran dari ¬( p ∨ q ) serta (¬ p) ∧ (¬q ). Tun jukkan/ selidiki bahwa ¬( p ∨ q ) ≡ ( ¬ p) ∧ (¬q ).
FMIPA-UNEJ
(i) . p
Daftar Isi
Judul
Jawab : 40 dari 330
p 1 1 0 0
Tabel kebenaran ( p q ) dan ( p) ( q ) q ( p q ) ( p q ) p q ( p) ( q ) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
∨
¬ ∨ ¬ ∧¬ ¬ ∨ ¬ ¬ ¬ ∧¬
Karena nilai kebenaran ( p q ) dan ( p) ( q ) sama untuk setiap pasangan nilai komponennya, maka ( p q ) ( p) ( q )
¬ ∨ ¬ ∧¬ ¬ ∨ ≡ ¬ ∧ ¬
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.6.
Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat rangkap atau dual dari suatu pernyataan majemuk.
FMIPA-UNEJ
Definisi 1.6.1. Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P ( p1 , p2 , , pn ) adalah bentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda dengan dan sebaliknya, demikian juga F dengan T dan sebaliknya secara serempak.
∨
∧
···
Contoh 1.13.
∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r); (ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬ p) ≡ T adalah p ∧ (¬ p) ≡ F
Daftar Isi
Judul
(i) bentuk rangkap dari p
41 dari 330
Cari Halaman
Teorema 1.6.1 (Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan (teorema) sudah terbukti kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga valid.
Kembali
Layar Penuh
Contoh 1.14. (i) Bentuk p ( p) T adalah valid (merupakan tautologi), maka bentuk p ( p) F juga valid (merupakan kontradiksi);
∨¬ ≡ ∧¬ ≡
Tutup
Keluar
(ii) Bentuk p p
∧ ≡ p adalah valid, maka bentuk p ∨ p ≡ p juga valid.
Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang bersangkutan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 1.6.2 (Negasi ganda).
¬(¬ p)) ≡ p
(1.8)
Teorema 1.6.3 (Hukum Komutatif/ pertukaran) .
∧ q ) ≡ (q ∧ p) ( p ∨ q ) ≡ (q ∨ p) ( p
∧ (q ∧ r) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ∨ (q ∨ r) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r
(1.9b)
42 dari 330
Cari Halaman
(1.10a) (1.10b)
Kembali
Layar Penuh
Teorema 1.6.5 (Hukum Identitas). p F F dan p p T T dan p
∧ ≡ ∨ ≡
∧ T ≡ p ∨ F ≡ p
(1.9a)
Teorema 1.6.4 (Hukum Assosiatif/ pengelompokan). p p
Judul
(1.11a) (1.11b)
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.6 (Hukum Komplemen/invers). p p
∧ (¬ p) ≡ F dan (¬F ) ≡ T ∨ (¬ p) ≡ T dan (¬T ) ≡ F
(1.12a) (1.12b)
FMIPA-UNEJ
Teorema 1.6.7 (Hukum De Morgan) .
Daftar Isi
¬( p ∧ q ) ≡ ¬( p) ∨ (¬q ) ¬( p ∨ q ) ≡ (¬ p) ∧ (¬q )
(1.13a) (1.13b)
Teorema 1.6.8 (Hukum Distributif). p p
∧ (q ∨ r) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) ∨ (q ∧ r) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)
(1.14a) (1.14b)
Teorema 1.6.9 (Hukum Idempoten). p p p p
∧ ≡ p ∨ ≡ p
(1.15a) (1.15b)
∧ ( p ∨ q ) ≡ p dan p ∨ ( p ∧ (¬q )) ≡ p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p dan p ∧ ( p ∨ (¬q ) ≡ p
Kembali
Layar Penuh
(1.16a) (1.16b)
43 dari 330
Cari Halaman
Teorema 1.6.10 (Hukum Absorpsi /Penyerapan) . p p
Judul
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.11 (Komplementasi Gabungan). p p
∧ ((¬ p) ∨ q ) ≡ p ∧ q ∨ ((¬ p) ∧ q ) ≡ p ∨ q
(1.17a) (1.17b)
Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenarannya. Selanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalensi yang lain. Jika diminta, maka pembuktian harus diturunkan dari kesepuluh hukum diatas (bukan dengan tabel kebenaran). Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita pelajari pada bab berikutnya asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai sebagai dasar lebih terbatas lagi dan yang lainnya harus kita turunkan dengan menggunakan aksiomaaksioma atau definisi yang diketahui. Sebenarnya hukum absorpsi dapat dibuktikan secara deduktif (bukan menggunakan tabel kebenaran) dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Dalam logika sangat penting sekali menunjukkan alasan yang dipergunakan pada setiap langkah. Bukti hukum absorpsi/ penyerapan adalah sebagai berikut ini (lihat Sulistyaningsih [19]). p
∧ ( p ∨ q ) ≡ ( p ∨ F ) ∧ ( p ∨ q ) ≡ p ∨ (F ∧ q ) ≡ p ∨ F ≡ p
identittas distributif identitas identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
44 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.7.
Perakit-perakit Lain
Selain perakit-perakit yang telah disampaikan di depan, ada lagi perakit lain yang memang tidak banyak dipakai atau dibicarakan yaitu: perakit dis jungsi eksklusif, perakit Stroke dan perakit Dagger (lihat Copi [2]). Perakitperakit ini pada prinsipnya dapat didefinisikan sebagai fungsi dari perakit dasar ( , , ).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
¬∧∨
1.7.1.
Judul
Perakit Disjungsi eksklusif
Selain disjungsi yang telah dibicarakan sebelumnya, yang dikenal dengan istilah disjungsi inklusif, dalam logika ada juga disjungsi yang lain yang disebut disjungsi eksklusif, seperti didefinisikan berikut ini.
45 dari 330
Definisi 1.7.1. Disjungsi eksklusif dari p dengan q (dibaca “atau p ....atau q ”) adalah pernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak keduanya.
Cari Halaman
Kembali
Notasi 1.7.1. Disjungsi eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p q
∨
Secara simbolis dapat dituliskan : p
Layar Penuh
∨ q = ( p ∨ q ) ∧ ¬( p ∧ q ) = ( p ∨ q ) ∧ p ∧ q
(1.18a)
Tutup
(1.18b) Keluar
Dari definisi di atas, dapat ditentukankan tabel kebenaran dari disjungsi eksklusif ini, seperti pada tabel berikut. Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif FMIPA-UNEJ
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
r = ( p q ) 1 1 1 0
∨
s = ( p q ) 1 0 0 0
∧
t = (s) 0 1 1 1
r
¬
∧ t = p ∨ q
Daftar Isi
0 1 1 0
Dengan demikian, jika seseorang mengajukan alternatif dengan maksud hanya dipilih salah satu tidak boleh keduanya, maka sebaiknya dan seharusnya dinyatakan dengan disjungsi eksklusif ini. Misalnya, secara matematis, gadis-gadis, kepada pacarnya, sebaiknya mengatakan : “Silahkan pilih atau dia atau aku !”, jika dia ingin pacarnya hanya memilih salah satu dari mereka. Sebab, jika mereka mengatakan : “Pilih dia atau aku !” maka sang lelaki tidak salah kalau memilih keduanya. Namun, secara alami memang ada kejadian yang sifatnya eksklusif (saling asing), misalnya seperti contoh berikut ini.
Judul
46 dari 330
Cari Halaman
Kembali
1. Pak Amir saat ini sedang memberi kuliah atau rapat. 2. Tiga (3) adalah bilangan ganjil atau genap. 3. Sembilan (9) adalah bilangan prima atau komposit.
Layar Penuh
Tutup
4. Adik sedang bersiul atau gosok gigi. Keluar
1.7.2.
Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Operator Stroke (/) Operator Stroke dinotasikan dengan “/ ”. Fungsi atau operator Stroke ini disebut juga pengingkaran alternatif ( The alternative denial ). Dalam bentuk notasi dasar yang telah kita pelajari operasi Stroke ini dapat dinyatakan sebagai
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 1.7.2 (Operator Stroke) . p/q = ( p)
¬ ∨ (¬(q )) (alternatif)
(1.19)
47 dari 330
↓
Operator Dagger ( ) Operator Dagger dinotasikan dengan “ ” atau “ ”. p q dibaca “bukan p dan bukan pula q ”, neither p nor q . Operator Dagger disebut juga the joint denial atau pengingkaran bersama atau konjungsi ingkaran. Dalam bentuk notasi dasar yang telah kita pelajari operasi dagger ini dapat dinyatakan sebagai
↓
†
↓
Definisi 1.7.3 (Operator Dagger) . p q = p
↓
¬ ∧ ¬q (bersama-sama)
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(1.20) Keluar
Tabel 1.1: Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Dagger p q p q p/q p q 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
¬ ¬
↓
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dari Definisi 1.7.2 dan Definisi 1.7.3, kita dapat turunkan sifat atau aksioma berikut.
Teorema 1.7.1.
48 dari 330
p/q = ( p p q = ( p
↓
¬ ∧ q ) ¬ ∨ q )
(1.21) (1.22)
Cari Halaman
Kembali
Dari definisi sebelumnya maupun dari teorema di atas, kita dapat menentukan nilai kebenaran dari operator Stroke dan Dagger seperti Tabel Kebenaran 1.1. Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang terlalu banyak, maka diadakan kesepakatan bahwa dalam aljabar pernyataan, urutan/hirarki operasi , , adalah yang pertama , lalu diikuti dan .
¬ ∧ ∨
¬
∧
∨
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.15.
¬ p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡ (¬ p) ∧ (¬q ) ∨ ( p ∧ q ) FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
49 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6]. Definisi umum beberapa istilah dalam buku ini selain diambil dari kamus matematika oleh Borowsky & Borwein [1]. juga diambil dari eksiklopedia matematika oleh Negoro & Harahap [12].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
50 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.9.
Soal-soal Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemudian tentukan negasinya.
FMIPA-UNEJ
1. 7 + 3 =10. Daftar Isi
2. 7 + 5 > 10
− 4. Judul
3. Sembilan (9) adalah bilangan ganjil. 4. Bujur sangkar adalah persegi panjang. 5. Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180.
51 dari 330
6. Seratus dua puluh satu (121) adalah bilangan prima. Cari Halaman
7. Gajah adalah binatang berkaki dua. 8. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. 9. Tujuh (7) adalah bilangan komposit (bukan prima). 10. Matahari terbit dari sebelah timur.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
11. Diketahui : Keluar
p q r s t
: : : : :
Jakarta adalah ibu kota negara RI 3 + 4 =10 persegi panjang adalah suatu bujur sangkar 7 adalah bilangan ganjil 8 adalah bilangan genap
FMIPA-UNEJ
Tentukan :
Daftar Isi
(i) . p
∧ q (ii) . q ∧ r (iii) . r ∧ s (iv) . s ∧ t
Judul
12. Buktikan bahwa :
52 dari 330
(a) p
¬ ≡ p/p (b) p ∧ q ≡ ( p/q )/( p/q ) (c) ¬ p ∨ q ≡ ( p/p)/(q/q ) (d) p/q ≡ ( p ↓ p) ↓ (q ↓ q ) ↓ ( p ↓ p) ↓ (q ↓ q ) (e) p ↓ q ≡ ( p/p)/(q/q )/(q/q )/( p/p)/(q/q )
13. Buatlah tabel kebenaran dari : (a) p
∨ ¬q
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) p
∧ ¬q (c) ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ q ) (d) ¬(¬ p ∨ ¬q )
FMIPA-UNEJ
14. Buktikan dengan hukum-hukum aljabar proposisi
¬( p ∨ q ) ∨ p ≡ T (b) p ∧ ¬( p ∨ q ) ≡ F (c) ( p ∧ q ) ≡ ¬(¬ p ∨ ¬q ) (d) ( p ∧ q ) ∨ ¬ p ≡ ¬ p ∨ q
Daftar Isi
(a)
(e) Hukum komplementasi gabungan dan hukum absorpsi yang belum dibuktikan.
15. Buktikan bahwa ( p
¬ ≡ p ↓ p (b) p ∧ q ≡ ( p ↓ p) ↓ (q ↓ q ) (c) p ∨ q ≡ ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q ) (d) p ≡ ( p ↓ p) ↓ ( p ↓ p (e) p ↓ ( p ↓ p) ≡ F (f) p/( p/p) ≡ T
53 dari 330
∨ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) = T
16. Buktikan bahwa : (a) p
Judul
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
17. Misalkan p : Angin bertiup q : Cuaca cerah
FMIPA-UNEJ
Tulis kalimat yang disimbolkan seperti berikut ini : (a) p
¬ (b) ¬ p ∧ ¬q (c) p ∧ q (d) ¬( p ∧ q ) (e) ¬( p ∨ q ) (f) ¬ p ∨ q (g) p ∨ q (h) ¬ p ∨ ¬q
Daftar Isi
Judul
54 dari 330
Cari Halaman
18. Diketahui p : Ani anak yang cantik q : Ani anak yang pandai
Kembali
Layar Penuh
r : Ani anak yang disiplin Tulis notasi dari pernyataan-pernyataan berikut :
Tutup
(a) Ani adalah anak yang cantik dan pandai. Keluar
(b) Meskipun tidak pandai, Ani disiplin (c) Ani adalah anak yang pandai dan disiplin tetapi tidak cantik. (d) Ani adalah anak yang cantik atau sekaligus pandai dan disiplin.
FMIPA-UNEJ
(e) Mustahil Ani sekaligus pandai dan cantik (f) Ani tidaklah cantik dan tidak pula pandai.
Daftar Isi
19. Selidikilah pasangan-pasangan kalimat berikut, tentukan apakah kalimat yang kedua merupakan ingkaran dari kalimat pertama. (a) Saya haus. Saya tidak haus.
Judul
(b) Siti berbaju merah. Siti berbaju putih. (c) 7 adalah bilangan ganjil dan prima. 7 bukan bilangan ganjil dan bukan bilangan prima. (d) Ayah atau Ibu menjemput adik. Ayah menjemput adik tetapi ibu tidak menjemput adik. (e) Hari ini cuaca cerah. Hari ini hujan deras. (f) 2 + 3 > 7
55 dari 330
Cari Halaman
Kembali
− 6. 2 + 3 < 7 − 6. Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
56 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 2
Daftar Isi
Judul
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
57 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami bentuk-bentuk, penilaian serta negasi pernyataan bersyarat, hierarki perakitperakit termasuk perakit bersyarat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
58 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat 1. menyebutkan definisi implikasi dan variasinya
FMIPA-UNEJ
2. menyebutkan definisi biimplikasi
Daftar Isi
3. menentukan apakah suatu implikasi merupakan implikasi logis Judul
4. menentukan apakah suatu biimplikasi merupakan biimplikasi logis 5. menentukan hubungan implikasi dengan perakit dasar (dan, atau, negasi) 6. menentukan negasi kalimat bersyarat 7. menerapkan hierarki perakit
59 dari 330
Cari Halaman
8. menerapkan notasi Lukasiewicz Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Implikasi dan variasinya 2. Biimplikasi
FMIPA-UNEJ
3. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Daftar Isi
4. Ekuivalensi dengan perakit dasar Judul
5. Negasi pernyataan bersyarat 6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz Banyak pernyataan-pernyataan dalam matematika berbentuk “jika ... maka...”. Kalimat atau pernyataan seperti ini disebut kalimat bersyarat atau kondisional. Pernyataan berbentuk “jika ... maka ... ” ini disebut implikasi. Sedangkan pernyataan berbentuk “jika ... maka dan jika ... maka ...” disebut pernyataan berbentuk implikasi dua arah atau biimplikasi. Biimplikasi ini lebih umum dinyatakan dengan “... jika dan hanya jika ...” .
60 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.1. Implikasi Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q ” dinotasikan dengan “ p q ” disebut implikasi. Selanjutya “ p q ” dapat dibaca:
→
→
1. jika p maka q ;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2. setiap kali p, (maka) q ; 3. p hanya jika q ;
Judul
4. p syarat cukup ( sufficient ) untuk q ;
5. q syarat perlu ( necessary ) untuk p. Selanjutnya, pada pernyataan p
→ q :
61 dari 330
1. p disebut anteseden/ hipotesis , 2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan .
Cari Halaman
Nilai kebenaran implikasi diberikan pada definisi berikut. Kembali
Definisi 2.1.1. Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanya apabila hipotesisnya benar tetapi diikuti oleh konklusi yang salah. Untuk keadaan lain implikasinya benar. τ ( p
→ q ) =
0 jika τ ( p) = 1 τ (q ) = 0, dan 1 untuk yang lain.
∧
(2.1)
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran implikasi p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
→
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dari definisi diatas dapat kita buat tabel kebenaran untuk implikasi ini seperti tabel sebelah. Sebagaimana telah disinggung dalam bab pendahuluan bahwa seorang matematisi sebenarnya dapat secara bebas mendefinisikan istilah-istilahnya secara abstrak (tanpa terikat situasi konkrit), yang penting dia konsisten dan kosekuen dengan definisi yang dibuat. Sepintas penetapan nilai kebenaran untuk keadaan ketiga (yaitu : anteseden salah, konklusi benar implikasi kedengarannya agak janggal dan tidak sesuai dengan kondisi riil, akan tetapi jika kita pikirkan lebih dalam sebenarnya tidak terjadi pertentangan antara nilai kebenaran yang didefinisikan dengan tabel implikasi dengan logika umum (common sense ) dan penetapan nilai kebenaran ini masuk akal.
62 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Contoh 2.1. Seseorang berjanji kepada orang lain : “Jika hari tidak hujan, (maka) saya akan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah : kapan orang yang bicara tadi dikatakan ingkar janji (menyalahi yang diucapkan)? Jawaban kita adalah jika hari tidak hujan ( p benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
Tutup
Keluar
Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk tindakannya yang lain ia tidak dapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan dan ia tetap datang ia tidak dapat dipersalahkan. Kita menetapkan nilai kebenaran dari suatu implikasi selanjutnya adalah berdasarkan definisi diatas tanpa memperhatikan hubungan antara p dan q . (tidak harus sebab akibat atau janji). Karena penetapan nilai kebenaran implikasi maka implikasi ini disebut implikasi material atau implikasi formal .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 2.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataann berikut:
Judul
(i) jika 2 + 3 = 5, maka 5 + 3 = 8
(ii) jika ika 2 adalah bilangan prima, maka matahari terbit dari barat. (iii) jika saya lahir di Amerika Serikat, maka sayalah presiden negara tersebut. (iv) jika matahari terbit dari barat, maka manusia tidak akan pernah mati.
63 dari 330
Cari Halaman
Nilai kebenaran implikasi-implikasi diatas adalah (i) B, (ii) S (iii) B dan (iv) B.
Perhatikan bahwa dalam implikasi, jika antesedennya salah maka implikasinya selalu benar tanpa memperhatikan konklusinya . Ini berarti dari anteseden yang salah kita dapat bebas menentukan konklusi.
Contoh 2.3. “Jika matahari terbit dari barat” (salah), kita dapat membuat kesimpulan misalnya:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. maka manusia bisa terbang; 2. maka manusia tidak pernah mati; 3. maka manusia tidak perlu makan;
FMIPA-UNEJ
dan implikasi yang dibentuk bernilai benar.
Daftar Isi
Untuk memahami pengertian syarat perlu dan syarat cukup ada baiknya kita perhatikan definisi berikut :
Definisi 2.1.2. Pernyataan p dikatakan syarat cukup bagi q, apabila q selalu muncul setiap kali p muncul. Pernyataan q dikatakan sebagai syarat perlu untuk p apabila p muncul hanya jika q muncul, jika q tidak muncul maka p juga tidak bisa muncul.
Judul
64 dari 330
Cari Halaman
Contoh 2.4. Jika suatu bilangan prima maka bilangan itu bulat. Bilangan prima adalah syarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa bilangan itu prima sudah cukup untuk menyatakan bilangan tersebut bulat. Artinya juga, jika kita ingin bilangan bulat cukup kita mengambil bilangan prima, karena bilangan prima pasti bulat. Sebaliknya, jika kita mengambil bilangan yang tidak bulat maka tidak mungkin kita memperoleh bilangan prima. Akan tetapi untuk memperoleh bilangan bulat tidak perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4;1 juga bulat). Supaya suatu bilangan itu prima tidak cukup hanya dikatakan bulat (4,
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8, bulat tetapi tidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syarat cukup belum tentu perlu dan syarat perlu belum tentu cukup. Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yang sama.
FMIPA-UNEJ
1. Jika matahari bersinar maka udara hangat.
Daftar Isi
2. Udara hangat, jika matahari bersinar Judul
3. Setiap kali matahari bersinar, udara hangat 4. Matahari bersinar hanya jika udara hangat.
5. Matahari bersinar adalah syarat cukup untuk udara hangat. 65 dari 330
6. Udara hangat adalah syarat perlu untuk matahari bersinar. 7. Matahari bersinar secara implisit berarti udara hangat.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.2.
Implikasi dan variasinya
Dari implikasi p q , kita dapat membentuk berbagai pernyataan-pernyataan yaitu: (i) p q yang disebut invers (ii) q p disebut konvers (iii) q p disebut kontra posisi/ kontra positif dari implikasi tadi. Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk invers, konvers dan kontra positif sebagai berikut:
→ ¬ →¬ → ¬ → ¬
Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif. p q p q p q p q q p q p 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
¬ ¬
→
¬ →¬
→
¬ → ¬
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
→ q ≡ ¬q → ¬ p dan 2. ¬ p → ¬q ≡ q → p.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
66 dari 330
Cari Halaman
1. p
Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu, sudah jelas bahwa “jika p maka q ” artinya sama dengan “jika tidak ada q maka tidak ada p” (artinya implikasi ekuivalen dengan kontra positif). Hubungan antara implikasi, invers, konvers dan kontra positifnya ditunjukkan dengan gambar berikut.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p → q
p →¬ q
¬
invers
FMIPA-UNEJ
konvers
Kontra
positif
konvers
Daftar Isi
Judul
invers
q → p
q → ¬ p
¬
67 dari 330
Cari Halaman
Diagram Venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers dan kontrapositip Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran biimplikasi p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
↔
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2.3. Biimplikasi
Judul
Pada implikasi p dengan q , pernyataan p maupun q dua-duanya sekaligus merupakan syarat cukup dan perlu dari yang lainnya.
68 dari 330
Definisi 2.3.1. Biimplikasi dari pernyataan p dan q (dinotasikan dengan p q dan dibaca “ p jika dan hanya jika (jhj) q ” atau “ p bila dan hanya bila (bhb) q ”) adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai sama, serta bernilai salah jika komponen-komponennya bernilai tidak sama, yaitu 1 jika τ ( p) = τ (q ) dan (2.2) τ ( p q ) = 0 jika τ ( p) = τ (q ).
↔
↔
Tabel kebenaran biimplikasi adalah seperti tabel sebelah.
Contoh 2.5.
(i) 2 + 3 = 5
↔ 3 × 5 = 15 (Benar)
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) 2 adalah prima
↔ 4 adalah ganjil (Salah) (iii) Matahari terbit dari barat ↔ 2 + 3 = 5 (Salah) (iv) 2 × 5 = 6 ↔ 33 = 9 (Benar).
FMIPA-UNEJ
Contoh 2.6. Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu, misalnya: “Persegi panjang disebut bujur sangkar jika dan hanya jika masingmasing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang”. Disini terkandug pengertian bahwa jika suatu persegi panjang adalah bujur sangkar, maka keempat sudutnya masing-masing 90o dan keempat sisinya sama panjang. Sebaliknya jika suatu persegi panjang masing-masing sudutnya 90 o dan keempat sisinya sama panjang, maka persegi panjang itu disebut bujur sangkar. “Suatu bilangan asli (yang tidak sama dengan 1) dikatakan bilangan prima jika dan hanya jika bilangan itu hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri”. Definisi ini mengandung pengertian bahwa, jika bilangan asli selain 1, hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, maka bilangan itu disebut bilangan prima. Sebaliknya, jika suatu bilangan adalah prima, maka bilangan itu (tidak sama dengan 1) dan hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
Daftar Isi
Judul
69 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.4.
Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi bergantung pada nilai kebenaran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk khusus dari suatu implikasi yang nilainya selalu benar tanpa bergantung pada nilai kebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi semacam ini disebut implikasi logis.
Definisi 2.4.1. Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikan q ), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa memandang dengan p nilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain
⇒
P ( pl , p2 ,...)
⇒ Q(q , q ,...) jika P ( p , p ,...) → Q(q , q ,...) ≡ T . l
2
l
2
l
2
(2.3)
Seperti halnya nilai kebenaran implikasi, nilai kebenaran biimplikasi juga ditentukan oleh nilai kebenaran masing-masing komponennya. Jika suatu biimplikasi selalu bernilai benar maka dia disebut ekuivalensi logis, yang dinotasikan dengan .
⇔
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
70 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Definisi 2.4.2. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika biimplikasinya merupakan tautologi, yaitu : P ( pl , p2 ,...)
⇔ Q(q , q ,...) jika P ( p , p ,...) ↔ Q(q , q ,...) ≡ T . l
2
l
2
l
2
Tutup
(2.4) Keluar
Bandingkan definisi di atas dengan Definisi 1.5.1 persamaan (1.7) pada halaman 39. Perhatikan bahwa kedua definisi tersebut meskipun perumusannya agak berbeda namun keduanya konsisten dan sesungguhnya ekuivalen satu dengan lainnya. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu implikasi atau biimplikasi adalah logis atau tidak, perlu dibuktikan bahwa implikasi atau biimplikasinya adalah suatu tautologi. Untuk memudahkan pembuktian ini diperlukan ekuivalensi antara implikasi atau biimplikasi dengan perakit-perakit dasar. Penurunan secara lebih sistimatis diberikan pada Bab 3.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Teorema 2.4.1 (Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)). 71 dari 330
p
→ q ≡ ¬ p ∨ q
(2.5)
Teorema 2.4.2 (Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi). p
Contoh 2.7. Buktikan bahwa : 1. p
⇒ ( p ∨ q )
↔ q ≡ (¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬q )
(2.6)
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. ( p
∧ q ) ⇒ p
3. ( p
∨ q ) ⇔ (q ∨ p)
4. ( p
∧ q ) ⇔ (q ∧ p)
5. ( p
⇔
↔ q )
( p
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
→ q ) ∧ (q → p)
6. ( p
→ q ) ∧ ¬q ⇒ (¬ p)
7. ( p
→ q ) ∧ ( p → r) ⇒ p → (q ∧ r)
Judul
→ ( p ∨ q ) ≡ ¬ p ∨ ( p ∨ q ) ≡ (¬ p ∨ p) ∨ q ≡ T ∨ q ≡ T
72 dari 330
Bukti: Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah dengan membuktikan bahwa implikasinya adalah suatu tautologi. p
persamaan (2.5) hukum asosiatif hukum komplemen hukum identitas
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Maka p
⇒ ( p ∨ q ). ( p ∧ q ) → q ≡ ¬( p ∧ q ) ∨ q ≡ (¬ p ∨ ¬q ) ∨ q ≡ ¬ p ∨ (¬q ∨ q ) ≡ ¬ p ∨ T ≡ T
persamaan (2.5) hukum De Morgan hukum Asosiatif hukum komplemen hukum identitas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
73 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.5.
Negasi Pernyataan Bersyarat
Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya yang terdiri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama baik dengan invers maupun konvers.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 2.5.1 (Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah Judul
¬( p → q ) ≡ p ∧ ¬q.
(2.7)
Bukti:
¬( p → q ) ≡ ¬(¬ p ∨ q ) ≡ ¬(¬ p)) ∧ ¬q ≡ p ∧ ¬q
persamaan (2.5) De Morgan negasi ganda
74 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Contoh 2.8. Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka udara hangat.” adalah “Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.” Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti dinyatakan dalam teorema berikut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 2.5.2 (Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah
¬( p ↔ q ) ≡ ¬( p → q ) ∨ ¬( p → q ) ≡ ( p ∧ ¬q ) ∨ (¬ p ∧ q ) ≡ ¬ p ↔ q ≡ p ↔ ¬q
(2.8a) (2.8b) (2.8c) (2.8d)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Bukti: Judul
¬( p ↔ q ) ≡ ¬ ( p → q ) ∧ (q → p) ≡ ¬( p → q ) ∨ ¬( p → q ) ≡ ( p ∧ ¬q ) ∨ (¬ p ∧ q ) ≡ ( p ∧ ¬q ) ∨ ¬ p ∧ ( p ∧ ¬q ) ∨ q ≡ T ∧ (¬q ∨ ¬ p) ∧ ( p ∨ q ) ∧ T ≡ (¬q ∨ ¬ p) ∧ ( p ∨ q ) ≡ (¬q ∨ ¬ p) ∧ ( p ∨ q ) ≡ (¬q ∨ ¬ p) ∧ (¬¬ p ∨ q ) ≡ ¬ p ↔ q atau, ≡ (¬q ∨ ¬ p) ∧ ( p ∨ ¬¬q ) ≡ p ↔ ¬q.
De Morgan Teorema 2.7
distributif
distributif identitas
75 dari 330
Cari Halaman
identitas negasi dobel
Kembali
negasi dobel
Layar Penuh
Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika cuaca cerah” mempunyai negasi : “Saya datang jika dan hanya jika cuaca tidak
Tutup
Keluar
cerah” atau “Saya tidak datang jika dan hanya jika cuaca cerah”. Untuk meyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi biimplikasi, kita dapat membuat tabel kebenarannya. FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
76 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.6.
Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
2.6.1.
Hirarki perakit
Untuk menghindari penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak maka dalam pembicaraan logika diadakan konsensus tentang hirarki pengerjaan operasi logika (perakit). Urutan yang harus dikerjakan dalam operasi logika jika tidak menggunakan tanda kurung adalah :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
1. Negasi:
¬
2. Konjungsi:
∧ 3. Disjungsi: ∨ 4. Implikasi: → 5. Biimplikasi: ↔
77 dari 330
Cari Halaman
6. Implikasi logis:
⇒ 7. Ekuivalensi logis: ⇔ atau ≡ Contoh 2.9. Jika ditulis:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
r
∧ ¬ p ∨ q → p ↔ q ∧ ¬r
Keluar
maka diartikan sebagai:
∧ ¬ ∨ → ↔ ∧ ¬ r
Sedangkan
( p)
p diartikan sebagai
2.6.2.
( p
q
p
q ( r) . FMIPA-UNEJ
∧ q ⇒ r ≡ p ∧ q → r
∧ q ) ⇒ r ≡
Notasi Lukasiewicz
( p
∧ q ) → r
Daftar Isi
.
J. Lukasiewicz adalah seorang logisi Polandia yang memperkenalkan suatu cara penulisan pernyataaan-pernyataan logika, yang juga menghindarkan penggunaan kurung yang banyak. Notasinya juga sering disebut notasi Polandia (Polish Notation ) atau notasi Lukasiewicz seperti pada Copi [2]. Notasi perakit menurut Lukasiewicz diberikan pada Tabel 2.1
Contoh 2.10. Tentukan Notasi Lukasiewicz dari :
¬ ∨ (q → ¬r) (ii) p → ¬(q ∨ ¬r) ≡ ( ¬q ∧ r) ∨ (¬s ∧ t)
Judul
78 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(i) p
Jawab :
Layar Penuh
Tutup
(i) (a) implikasi q dengan negasi r : CqNr Keluar
Tabel 2.1: Notasi Lukasiewicz untuk perakit logika Perakit Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi (Ekuivalensi)
Notasi Lukasiewicz Notasi biasa N p K p q A (=Alternasi) p q C p q E p q
¬ ∧ ∨ → ↔
Notasi Lukasiewicz Np Kpq Apq Cpq Epq
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
(b) selanjutnya dialternasikan dengan negasi p : ANpCqNr (ii)
a. Alternasi q dengan negasi r : AqNr b. Negasi a. : NAqNr
79 dari 330
Cari Halaman
c. Implikasi d p dengan a. : CpNAqNr d. Konjungsi, Negasi q dengan r : KNqr
Kembali
e. Konjungsi Negasi s dengan t : KNst f. Alternasi d. dengan e. : AKNqrKNst
Layar Penuh
g. Equivalensi c. dengan f. : ECpNAqNrAKNqrKNst Jadi notasi terakhir yang porelah : ECpNAqNrAKNqrKNst. Untuk memudahkan mengingat notasi Polandia ini kita ingat N (untuk uner ) dan C,A,K,E
Tutup
Keluar
untuk biner nya sehingga sering disebut sebagai huruf roti ( CAKE Letters )
Contoh 2.11. Tulis Notasi berikut dalam bentuk standar ! CCNqqq dan ApKrEsCtu
FMIPA-UNEJ
Jawab : Daftar Isi
1. (a) Nq = q
¬
(b) CNqq = q
2.
¬ → q (c) CCNqqq = ¬q → q → q (a) Ctu = t → u (b) EsCtu = s ↔ (t → u) (c) KrEsCtu = r ∧ s ↔ (t → u) (d) ApKrEsCtu = p ∨ r ∧ s ↔ (t → u)
Judul
80 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.7.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Copi [2].‘
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
81 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.8.
Soal-soal Latihan
1. Nyatakan penyataan-pernyataan berikut dalam bentuk jika . . . maka . . .
FMIPA-UNEJ
(a) Saya akan pergi hanya jika kamu menyuruh. Daftar Isi
(b) Setiap kali saya memikirkan pelajaran, saya ingin bermain. (c) Kamu akan menemukan jika mencari.
Judul
(d) Tidak ada manusia yang bisa terbang. (e) Setiap bilangan asli adalah bulat.
(f) Adalah perlu bagi kita makan, untuk hidup. (g) Untuk membuat segitiga sama kaki adalah cukup dengan membuat segitiga sama sisi. 2. Buatlah pernyataan-pernyataan konversi, inversi dan kontra positif dari pernyataan-pernyataan berikut :
82 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(a) Jika n bilangan asli maka 2n adalah bilangan asli (b) Jika turun hujan maka tanah basah.
Layar Penuh
(c) Jika 12 adalah bilangan prima, maka 9 adalah bilangan sempurna. 3. Jika syarat cukupnya sekaligus merupakan syarat perlu dan sebaliknya maka dikatakan implikasi tersebut dapat diganti dengan biimplikasi
Tutup
Keluar
(dua-duanya benar) misalnya “Jika x < 0 maka 2x dapat dikatakan sebagai: x < 0 jhj 2x < 0. Nyatakan apakah implikasi-implikasi berikut dapat diubah dengan biimplikasi : FMIPA-UNEJ
(a) Jika n genap maka 2n genap (b) Jika x2 positif maka x adalah positif.
Daftar Isi
(c) Jika ketiga sisi segitiga sama, maka ketiga sudutnya sama besar. (d) Jika x = 3 maka x2 = 9. (e) Untuk sembarang himpunan A, B, jika A//B maka A
Judul
⊂ B = ∅.
(f) Jika x 1 adalah jawab dari persamaan ax + b = 0 maka ax 1 + b = 0. 4. Buatlah negasi dan invers dari pernyataan-pernyataan berikut :
83 dari 330
(a) Jika 6 adalah bilangan sempurna, maka 7 adalah bilangan ganjil. (b) Jika n adalah bilangan genap maka 2n adalah genap. (c) 2x + 3 = 4x
− 5 jhj 2= 8.
(d) Saya akan datang jhj kamu menyuruh. 5. Diketahui :
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
p : segitiga ABC sama kaki q : segitiga ABC sama sisi
Tutup
r : 5 adalah bilangan prima Keluar
s : sudut-sudut segitiga ABC masing-masing 60 0 . Tulis kalimat yang disimbolkan oleh notasi berikut : (a) p
¬ → q (b) q ↔ s (c) ¬( p → r) (d) p ∨ q ↔ r ∧ s (e) ¬q → ¬r (f) p ∧ q → q ∧ s
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
6. Selidikilah valid tidaknya pernyataan berikut: (a) p
⇒ p ∨ q (b) ( p → q ) ∧ ( p → r) ⇒ ( p → (q ∧ r) (c) ( p → q ) ≡ (q → p) (d) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r) ∧ (q → r) (e) ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r) ∨ (q → r) (f) ( p → q ) → r ≡ p → (q → r) (g) p ⇒ p (h) ( p → q ) ∧ p ⇒ q (i) ( p ∨ q ) ∧ p ⇒ ¬q
84 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(j)
¬
( p
∧ q ) ∧ p] ⇒ ¬q
7. Ubah dari notasi Lukasiewicz ke notasi biasa. (a) KcpNqNApq
FMIPA-UNEJ
(b) ECpNNpNANqNq Daftar Isi
(c) CCCKpNqKNrsKANpNrsq (d) ENCpNKNprANpKpNq
Judul
8. Ubah dari notasi standart ke notasi Lukasiewicz (a) p
¬ ∧ q → q ∧ ¬ p (b) ¬( p ∧ q ) → ¬ p ↔ ¬( p ∧ q ) → ¬q (c) p → q ”( p → q ) (d) ¬ p → ¬q ∨ r
85 dari 330
Cari Halaman
9. Diketahui : p : udara segar q : cuaca cerah
Kembali
Layar Penuh
r : matahari bersinar Nyatakan kalimat-kalimat berikut dengan simbol-simbol yang tepat.
Tutup
(a) Mustahil, jika udara segar cuaca tidak cerah. Keluar
(b) Jika cuaca tidak cerah udara tidak segar. (c) Matahari bersinar hanya jika cuaca cerah. (d) Cuaca cerah jhj matahari bersinar dan udara segar.
FMIPA-UNEJ
(e) Mustahil jika cuaca cerah, udara tidak segar. 10. Diketahui:
Daftar Isi
r : 2 adalah bilangan genap Judul
t : 3 adalah bilangan ganjil s : 6 adalah bilangan sempurna
Nyatakan kalimat-kalimat yang dinotasikan seperti berikut ini.
¬(r → s) (b) r → s (c) r → ¬s (d) s → r ∧ t (e) s ∨ t → r (a)
86 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 3
Daftar Isi
KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN APLIKASINYA
Judul
87 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mampu memahami konsep karakteristik dan bentuk normal serta mengaplikasikannya dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabar jaringan listrik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
88 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat 1. menentukan karakteristik suatu bentuk logika
FMIPA-UNEJ
2. mengubah bentuk logika ke bentuk Normal
Daftar Isi
3. mencari komplemen bentuk Normal Judul
4. mengubah bentuk normal disjungtif ke bentuk normal konjungtif dan sebaliknya
5. mengaplikasikan bentuk Normal baik dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabar jaringan listrik
89 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Karakteristik 2. Bentuk Normal
FMIPA-UNEJ
3. Komplemen Bentuk Normal
Daftar Isi
4. Translasi diantara bentuk normal Judul
5. Aplikasi bentuk Normal 6. Aplikasi Logika dalam aljabar himpunan dan listrik
90 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.1: Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p
∧q 1 0 0 0
p
∨q 1 1 1 0
p
→ q 1 0 1 1
p
↔ q 1 0 0 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
3.1. Karakteristik Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih ringkas untuk menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk. Perhatikan tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi maupun biimplikasi pada Tabel 3.1 Dari Tabel 3.1, dikatakan bahwa:
∧ q adalah 1000; 2. karakteristik dari p ∨ q adalah 1110; 3. karakteristik dari p → q adalah 1011, dan 4. karakteristik dari p ↔ q adalah 1001.
91 dari 330
Cari Halaman
1. karakteristik dari p
Untuk menentukan karakteristik suatu perakit, perlu diadakan kesepakatan atau konvensi bagaimana kita mengurut nilai logika dalam tabel kebe-
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
naran. Dalam diktat ini, kita sepakat bahwa nilai kebenaran pernyataan disusun berdasarkan urutan yang sistematis yaitu dari benar (1) ke salah (0). FMIPA-UNEJ
Definisi 3.1.1. Karakteristik suatu pernyataan majemuk adalah nilai logika dari pernyataan tersebut dalam tabel kebenaran dengan urutan kemungkinan nilai yang disepakati.
Daftar Isi
Judul
Contoh 3.1. Dari definisi di atas, kita dapat mencari karakteristik dari bentuk yang lain misalnya karakteristik dari p q adalah 0110 karakteristik dari p q adalah 0001 dan seterusnya.
∨
↓
92 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.2.
Bentuk Normal
Sejauh ini yang telah kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan. Dengan kata lain, kita mencari karakteristik dari suatu pernyataan. Kita akan mencoba mengerjakan hal yang sebaliknya yaitu bagaimana mencari bentuk suatu pernyataan yang diketahui karakteristiknya. Misalnya bagaimana bentuk persamaan yang mempunyai karakteristik 1101 ? Permasalahan yang dikemukakan diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan bentuk normal. Bentuk normal dibedakan menjadi dua yaitu normal konjungtif dan normal disjungtif. Untuk memudahkan pembicaraan bentuk normal ini kita memilih penggunaan simbol dan atau sebagai notasi dis jungsi. Sedangkan negasi ( ) dinotasikan dengan . Selanjutnya bentuk yang dipisahkan oleh + disebut sebagai suku sedangkan bentuk yang dipisahkan oleh atau . kita sebut sebagai faktor . Misalkan jika pernyataannya hanya 2, p dan q maka bentuk suku-sukunya adalah : pq,pq , p q dan p q jadi bentuk faktornya adalah ( p + q ), ( p + q ), ( p + q ) dan ( p + q ). Dengan demikian pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-suku atau faktor-faktor.
¬
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
93 dari 330
×
3.2.1.
Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya jumlah dari suku-suku yang setiap sukunya memuat secara lengkap unsurunsur penyusunnya.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.1. Bentuk normal disjungtif ( DNF = Disjunctive Normal Form ) ditandai dengan ciri-ciri berikut : FMIPA-UNEJ
1. disusun dalam bentuk jumlah suku-suku. 2. tiap-tiap suku memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan yang dibicarakan dalam bentuk konjungsi.
Daftar Isi
Judul
Contoh 3.2. Berikut ini adalah contoh pernyataan dalam bentuk DNF (i) pqr + p qr + pqr ; (ii) p q + pq + pq ;
94 dari 330
(iii) p; (iv) p + q ; (v) pqr. Tetapi, bentuk-bentuk seperti : p + qr dan p + pq bukan berbentuk normal sebab suku-sukunya tidak memuat semua pernyataan (pernyataan yang dibicarakan tidak ada pada setiap sukunya), yaitu ada suku yang hanya mengandung p tanpa mengandung q . Selanjutnya perlu diingat bahwa pq sendiri merupakan bentuk normal dengan hanya satu suku.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.2. Apabila semua kemungkinan/ semua bentuk suku-suku termuat dalam bentuk normal tersebut dikatakan bentuk normal tersebut adalah lengkap, dalam hal ini disebut Bentuk Normal Disjungtif Lengkap (CDNF = Complete Disjunctive Normal Form).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 3.3. Berikut adalah pernyataan-pernyataan yang berbentuk CDNF Judul
(i) pq + pq + p q + p q dan (ii) pqr + pqr + pq r + pq r + p qr + p qr + p q r + p q r Dapat ditunjukkan bahwa bentuk Normal Disjungsi Lengkap (CDNF) ini adalah suatu tautologi. Kita mungkin juga mengubah bentuk tidak normal menjadi suatu bentuk normal atau sebaliknya menyederhanakan suatu bentuk normal sehingga diperoleh bentuk yang meskipun tidak normal tetapi lebih sederhana.
Contoh 3.4. (i) Ubahlah p + pq ke bentuk normal
95 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(ii) Sederhanakan bentuk p q + pq + pq Tutup
Jawab: Keluar
Untuk mengerjakan hal-hal diatas kita harus menggunakan hukum-hukum aljabar kalimat / proposisi yang telah diberikan, hanya saja harus diingat dengan baik bahwa untuk menyederhanakan notasi kita menggunakan p.q = pq untuk p q , p + q untuk p q, 1 untuk T dan 0 untuk F .
∧
p + pq
∨
≡ p.1 + pq ≡ p(q + q ) + pq ≡ pq + pq + pq ≡ pq + pq (DNF)
identitas komplemen distributif idempoten
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
pq + pq + p q p(q + q ) + p q p.1 + p q p + p q ( p + p ).( p + q ) 1.( p + q ) ( p + q )
≡ ≡ ≡ ≡ ≡
3.2.2.
≡
distributif komplemen identitas distributif komplemen, identitas
96 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Bentuk Normal Konjugtif (CNF) Layar Penuh
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya hasikali faktor-faktor yang setiap faktornya memuat secara lengkap unsurunsur penyusunnya dalam bentuk jumlah.
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.3. Bentuk Normal Konjungtif (CNF = Conjunctive Normal Form) adalah bentuk yang ditandai oleh ciri-ciri berikut : 1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor. FMIPA-UNEJ
2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan yang dibicarakan.
Daftar Isi
Contoh 3.5. Beberapa pernyataan yang berbentuk CNF
Judul
(i) (x + y)(x + y ) (ii) ( p + q + r)( p + q + r)( p + q + r) (iii) ( p + q )
97 dari 330
Tetapi, p( p + q ); p( p + r) bukan dalam bentuk normal. Cari Halaman
Definisi 3.2.4. Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap ( CCNF = Complete Conjunctive Normal Form) jika memuat secara lengkap semua bentuk faktor-faktornya.
Kembali
Layar Penuh
Contoh 3.6. Bentuk CCNF untuk dua unsur p dan q adalah (x + y)(x + y )(x + y)(x + y )
Tutup
Dapat ditunjukkan bahwa betuk CCNF adalah suatu kontradiksi. Keluar
3.3.
Komplemen Bentuk Normal
Definisi 3.3.1. Komplemen dari suatu bentuk normal adalah suku-suku atau faktor-faktor dari bentuk lengkap yang tidak dimuat dalam bentuk normal tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Contoh 3.7. Tentukan komplemen dari: (i) pq + p q
(ii) xyz + xyz + xy z + xy z Jawab: Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah masingmasing:
98 dari 330
Cari Halaman
(i) pq + p q Kembali
(iii) x yz + x yz + x y z + x y z
Contoh 3.8. Tentukan komplemen dari : (i) (x + y )(x + y)(x + y )
Layar Penuh
Tutup
(ii) (x + y) Keluar
Jawab : Faktor- faktor dari bentuk lengkap yang tidak termuat masing- masing adalah: (i) (x + y)
FMIPA-UNEJ
(ii) (x + y )(x + y)(x + y )
Daftar Isi
Judul
99 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.4.
Translasi Bentuk Normal
Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF atau sebaliknya baik dengan menggunakan sifat- sifat perakit maupun dengan membuat negasi dari komplemennya.
FMIPA-UNEJ
Contoh 3.9. Translasikan bentuk CNF ke DNF atau sebaliknya.
Daftar Isi
(i) (x + y)(x + y ), CNF; Judul
(ii) xy + x y , DNF.
Jawab: (x + y)(x + y )
≡ (x + y)x + (x + y)y ≡ xx + yx + xy + yy ≡ 0 + yx + xy + 0 ≡ yx + xy DNF
distributif distributif komplemen identitas
100 dari 330
Cari Halaman
Kembali
xy + x y
≡ (xy + x )(xy + y ) ≡ (x + x )(y + x )(x + y )(y + y ) ≡ 1.(y + x )(x + y ).1 ≡ (y + x )(x + y ) CNF
distributif distributif komplemen identitas
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dapat dibayangkan bahwa semakin kompleks bentuknya, operasi yang dilibatkan juga semakin kompleks sehingga tidak semua bentuk dapat diselesaikan dengan mudah dengan cara di atas. Untuk itu dapat dipergunakan cara negasi komplemen.
FMIPA-UNEJ
Aturan 3.4.1. Langkah langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke DNF dan sebaliknya
Daftar Isi
1. Tentukan komplemen dari bentuk yang dimiliki, yaitu suku atau faktor dari CDNF atau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan yang dimiliki; 2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau sebaliknya, tetapi masih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya masih sama.
Judul
101 dari 330
Cari Halaman
Contoh 3.10. Ubah bentuknya dengan aturan di atas. Kembali
1. Bentuk CNF (x + y)(x + y ), (a) komplemen:(x + y)(x + y )
Layar Penuh
(b) negasi komplemen: (x + y)(x + y ) . (c) Selanjutnya dengan menerapkan hukum De Morgan, diperoleh xy + x y yang merupakan bentuk DNF.
Tutup
Keluar
2. Diketahui bentuk DNF xyz + xyz + xy z + xy z + x yz (a) komplemennya x yz + x y z + x y z
(b) negasinya: x yz + x y z + x y z .
FMIPA-UNEJ
(c) Hukum De Morgan menghasilkan bentuk CNF ( x + y + z )(x + y + z )(x + y + z ).
Daftar Isi
Judul
102 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.5.
Aplikasi Bentuk Normal
Sebagaimana telah disampaikan di depan, manfaat utama bentuk Normal ini adalah dalam menentukan bentuk persamaan yang diketahui karakteristiknya. Sebagimana telah dipelajari sebelumnya nilai karakteristik terdiri atas 0 dan 1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Aturan 3.5.1. Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka aturannya adalah sebagai berikut : 1. bentuk yang diperoleh adalah DNF; 2. tiap baris yang bernilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1 berarti bentuk adalah positif dan nilai 0 berarti negasi ( ).
Aturan 3.5.2. Jika yang kita perhatikan adalah nilai 0 dari karakteristiknya maka aturannya adalah: 1. bentuk yang diperoleh adalah bentuk CNF; 2. tiap baris yang bernilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1 berbentuk negasi ( ). Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk CNF atau DNF sesuai dengan jumlah yang lebih sedikit dari yang lain yaitu :
Judul
103 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. jika 1 lebih sedikit, gunakan DNF 2. jika 0 lebih sedikit gunakan CNF
Contoh 3.11. Tentukan persamaaan yang mempunyai karakteristik 10001001
FMIPA-UNEJ
Karena 1 lebih sedikit, maka kita menggunakan bentuk DNF. p p 1 1 1 1 p 0 0 0 p 0
q 1 0 0 0 1 1 0 0 q
r 1 1 0 0 1 0 0 0 r
y 1 0 0 0 1 0 0 1
Daftar Isi
pqr
Judul
p qr 104 dari 330
p q r
y = pqr + p qr + p q r
Kita peroleh bentuk DNF dengan 3 suku ( ada tiga karakteristik 1 ) yaitu y = pqr + p qr + p q r . Tugas kita selanjutnya adalah menyederhanakan bentuk normal ini dengan hukum-hukum yang telah dipelajari. Kita bisa periksa ( cek ) kebenarannya dengan membuat tabel kebenarannya.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 3.12. Tentukan persamaan dengan karakteristik 01111110 Karena 0 lebih sedikit kita menggunakan bentuk CNF p q r p 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 p 0 0 0 q r
y 0 1 1 1 1 1 1 0
FMIPA-UNEJ
p + q + r Daftar Isi
Judul
p + q + r
y = ( p + q + r)( p + q + r )
105 dari 330
Maka bentuk yang kita peroleh adalah CNF dengan dua faktor yaitu
Cari Halaman
y = ( p + q + r)( p + q + r ). Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.2: Hubungan antara aljabar Boole, Aljabar Himpunan, Aljabar Proposisi dan aljabar jaringan listrik No Aspek Aljb. Proposisi Aljb. Himpunan Aljb. Listrik 1 Unsur pernyataan himpunan saklar p, q, r A, B, C A, B, C c 2 Negasi () saklar balik p 3 Konjugsi seri 4 Disjungsi paralel 5 Implikasi logis 6 Ekuivalensi ekuivalensi kesamaan ekuivalensi 7 Nilai global T S tertutup 8 Nilai global F terbuka 9 nilai lokal 1 tertutup 9 nilai lokal 0 in terbuka
¬ ∧ ∨ ⇒
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
∩ ∪ ⊆
∅ ∈
Judul
106 dari 330
Cari Halaman
3.6.
Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik Kembali
Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik ( electrical network atau electrical switching ). Pada dasarnya semua pembahasan ini didasari oleh aljabar Boole. Keharmonisan aljabar Boole, logika himpunan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan dengan tabel berikut : Dalam himpunan didefinisikan bahwa A B adalah himpunan yang hanya
∩
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
B
107 dari 330
Cari Halaman
Gambar 3.1: Diagram Venn mengilustrasikanA
∩B Kembali
beranggotakan unsur-unsur yang yang sekaligus A dan B. Tabel keanggotaan untuk A B dilihat pada tabel berikut. Perhatikan bahwa tabel kebenaran A B ini ekuivalen dengan tabel kebenaran konjungsi p q.
∩
∩
∈
∈
∧
Layar Penuh
Tutup
Tabel Keanggotaan A
∧ B dan tabel kebenaran A ∩ B
Keluar
A 1 1 0 0
B 1 0 1 0
A
∧B 1 0 0 0
dan
A
B
∈ ∈ ∈/ ∈/
∈ ∈/ ∈ ∈/
A
∩B ∈ ∈/ ∈/ ∈/
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
108 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.7.
Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar
Rangkaian seri Dalam aljabar jaringan listrik rangkaian seri identik dengan konjungsi seperti diilustrasikan pada gambar berikut
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Jaringan/ rangkaian listrik mengilustrasikan AB Judul
A
B
109 dari 330
Cari Halaman
L
Kembali
Layar Penuh
Keterangan : 1. Jika suatu jaringan dirangkai seri dan salah satu saja saklarnya dibuka (off) maka arus listrik tidak dapat lewat dan lampu padam (off).
Tutup
Keluar
2. Dalam pembicaraan jaringan listrik ini kita hanya memperhatikan susunan. rangkaian saklarnya, sumber listrik dan lampu biasanya diabaikan. Kondisi aliran listrik berdasarkan terbuka dan tertutupnya saklar A dan B ditunjukkan dalam tabel berikut. Bandingkan tabel tersebut dengan tabel kebenaran A B dan tabel keanggotaan A B.
∧
FMIPA-UNEJ
∩
Tabel aliran listrik (kondisi menyala/tidaknya lampu L dilihat dari kondisi tertutup/terbukanya saklar Adan B A B L tertutup (1) tertutup(1) menyala (1) tertutup (1) terbuka(0) padam (0) terbuka (0) tertutup(1) padam (0) terbuka (0) terbuka(0) padam (0)
Rangkaian paralel Rangkaian paralel seperti pada Gambar identik dengan aljabar perakit dis jungsi Keterangan : 1. Pada rangkaian paralel arus listrik bisa lewat jika salah satu saklarnya di on/ ditutup. 2. Jika salah satu/semua dibuka/on arus listrik dapat lewat dan lampu menyala.
Daftar Isi
Judul
110 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p on on off off
q A+B on on off on on on off off
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Rangkaian negasi Rangkaian A dan A dipasang sedemikian sehingga jika p on maka otomatis p off dan sebaliknya. Ketiga rangkaian di atas (negasi, seri , paralel ) yang merupakan rangkaian dari bentuk dasar (negasi, konjungsi, dan disjungsi) disebut rangkaian dasar. Rangkaian-rangkaian lain seperti implikasi, biimplikasi, Nor (Not Or), Nand (Not And) dan lain-lainnya, dapat diturunkan dari rangkaianrangkaian dasar diatas. Sebagai aplikasi dari bentuk normal, kita juga dapat merangkai jaringan listrik dengan bermacam-macam hasil (out put/karakteristik ) yang kita inginkan.
Contoh 3.13. Tiga buah saklar dirangkai dan dihubungkan pada sebuah bel. Ternyata bel tersebut hanya berbunyi apabila tepat satu saja dari ketiga saklar diatas di tekan (on). Jika sekaligus dua saklar atau lebih di-on-kan bel tidak mau berbunyi. Tentukan bagaimana saklar-saklar tadi dirangkai.
Judul
111 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Jawab: Keluar
Misalkan ketiga saklar itu adalah x,y,z (kita juga bisa menggunakan huruf besar A, B,C ) hasil yang terjadi adalah sebagai berikut: x 1 1 1 1 0 0 0 0
y 1 1 0 0 1 1 0 0
z 1 0 1 0 1 0 1 0
keluaran 0 0 0 1*) 0 1 *) 1*) 0
Tanda *) menunjukkan bahwa dalam keadaan ini bel berbunyi (output = 1), yang lain padam, tidak berbunyi (output= 0). Karena banyaknya berbunyi ( 1 ) lebih sedikit kita gunakan bentuk DNF dan persamaan rangkaiannya adalah: xy z + x yz + x y z
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
112 dari 330
Cari Halaman
Kembali
atau (x( y( z )(( x(y( z )(( x( y(z ).
¬ ¬ ¬
¬ ¬ ¬
Contoh 3.14. Ubah ekspresi berikut ke bentuk DNF
Layar Penuh
Tutup
(i) (x + y ) Keluar
(ii) ( pqr ) + ( pr) + ( pq ) Jawab : (i) Bentuk (x + y ) adalah berbentuk CNF , maka cara merubah ke bentuk DNF nya kita lakukan dengan mencari negasi dari komplemennya. Komplemen bentuk ini adalah: (x + y)(x + y)(x + y ). Negasi komplemennya adalah: = ((x + y)(x + y)(x + y ) ) = (x + y) + (x + y) + (x + y ) = x y + xy + xy(DNF) (ii) Bentuk pqr + pr + pq , suku pertamanya sudah lengkap, tinggal suku kedua dan ketiga yang tidak lengkap. Suku kedua tidak mengandung q . Kita bisa menganggap pr = pr.1 pr = pr(q + q ) = pqr + pq r
identitas distributif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
113 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Suku ketiga tidak mengandung r, maka Layar Penuh
pq = pq.1 = pq (r + r ) = pqr + pqr
ident. & komp. distributif
Tutup
Keluar
Jadi kita peroleh : pqr + pq r + pqr
Contoh 3.15. Ubah ekspresi berikut ke bentuk CNF.
FMIPA-UNEJ
1. p q + pq
Daftar Isi
2. p(q + r)
Judul
Jawab:
1. Bentuk p q + pq adalah DN F , karenanya kita translasikan dengan menggunakan negasi komplemennya. Komplemennya adalah : ( pq + p q ). Negasinya:
114 dari 330
Cari Halaman
( pq + p q ) = ( pq )( p q ) = ( p + q )( p + q ).
Kembali
Jadi bentuk CNF nya adalah : Layar Penuh
( p + q )( p + q ) Tutup
2. p(q + r) ; terdiri atas dua faktor, yaitu faktor pertama p tidak lengkap, Keluar
dan faktor kedua (q + r) juga tidak lengkap p = p + 0 identitas = p + (q.q ) komplemen = ( p + q )( p + q ) distributif = (( p + q ) + 0)(( p + q ) + 0) identitas = (( p + q ) + (rr ))(( p + q ) + (rr )) komplemen = ( p + q + r)( p + q + r )( p + q + r)( p + q + r ) distributif. (q + r) tidak mengandung p (q + r) = (q + r) + 0 = (q + r) + pp = (q + r + p)(q + r + p )
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
identitas komplemen distributif
115 dari 330
Cari Halaman
Jadi bentuk keseluruhannya adalah : ( p + q + r)( p + q + r )( p + q + r)( p + q + r )(q + r + p)(q + r + p ) atau
Kembali
Layar Penuh
( p + q + r)( p + q + r)( p + q + r)( p + q + r )( p + q + r ) Tutup
( dengan menerapkan hukum distributuf dan idempoten ) Keluar
p 1 1 0 0
q keluaran 1 1 0 0 1 0 1 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 3.16. Tentukan persamaan yang mempunyai karakteristik 1001. Jawab : Misalkan unsur-unsurnya adalah p dan q, maka Banyaknya 1 dan 0 sama jadi bisa memakai DN F maupun CNF. Misalkan 0 kita jadikan pedoman maka kita peroleh :
Judul
116 dari 330
y = ( p + q )( p + q ) (CNF). Cari Halaman
Contoh 3.17. Suatu alat peraga logika terdiri atas tiga saklar dan sebuah lampu. Ternyata lampu tersebut menyala hanya apabila ketiga saklar tersebut di-on-kan atau jika ketiga saklar di-off-kan. Tentukan persamaan rangkaiannya.
Kembali
Layar Penuh
Jawab: Lampu menyala (1 ) hanya pada dua keadaan A = B = C = 1atau A = B = C = 0 (A,B,C menunjukkan saklar-saklarnya ). Dengan menggunakan nilai 1 berarti kita menuju bentuk DNF dan unsur-unsur bernilai 1 adalah
Tutup
Keluar
positif, yang bernilai 0 adalah beerbentuk negasi. Dengan demikian kita peroleh persamaannya : y = ABC + A B C .
FMIPA-UNEJ
Contoh 3.18. Empat orang anak masing-masing Ali , Budi , Citra dan Didiek menghadapi saklar yang dihubungkan pada sebuah lampu. Ternyata lampu tersebut dalam keadaan:
Daftar Isi
(i) Jika Ali dan Citra meng-on-kan saklarnya sedangkan Budi dan Didiek tidak, lampu menyala. (ii) Jika Citra sendiri meng-onkan saklarnya sedang yang lainnya tidak, lampu menyala. (iii) Jika keempat-empatnya serempak meng-on-kan saklarnya lampu menyala. Untuk keadaan yang lain-lainnya lampu padam. Tentukan persamaan rangkaiannya. Jawab: Misalkan saklar yang mereka hadapi adalah A,B, C, D. Untuk menyelesaikan ini kita bisa membuat semacam tabel kebenarannya atau langsung dengan hanya memperhatikan keadaan-keadaan pada saat lampunya menyala yaitu : (i) hanya Ali dan Citra yang meng-onkan lampu
Judul
117 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
AB CD (B dan D dalam bentuk negasi) Keluar
(ii) hanya Citra sendiri yang meng-onkan saklar A B CD ( hanya C yang tidak negasi ) FMIPA-UNEJ
(iii) Keempat-empatnya serempak meng-onkan saklar Daftar Isi
ABCD Jadi persamaannya y = ABCD + AB CD + A B CD . Langkah berikutnya tinggal menyederhanakan bentuk tadi jika memang diangggap perlu.
Judul
118 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh aplikasi logika atau aljabar Boole dalam aljabar jaringan listrik selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Selain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Lipschutz [9], Nissanke [14], Sulistyaningsih [19] dan Siang [17].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
119 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.9.
Soal-soal Latihan
1. Tentukan persamaan yang paling sederhana dari bentuk yang mempunyai karakteristik berikut:
FMIPA-UNEJ
(a) 01010001
Daftar Isi
(b) 01101111 (c) 00110011
Judul
(d) 00111011
2. Pikirkan persamaan rangkaian listrik dengan tiga saklar A, B,C dengan ketentuan: (a) Arus mengalir setiap kali A on dan C off kecuali jika sekaligus A dan B on (arus tidak mengalir).
120 dari 330
Cari Halaman
(b) Jika B on dan A dan C off arus mengalir. Kembali
3. Empat peserta cerdas cermat masing-masing menghadapi sebuah saklar yang dihubungkan pada sebuah bel. Juri ingin agar bel tersebut berbunyi hanya apabila salah satu saja dari keempat kelompok tersebut yang meng-onkan saklarnya. Sedangkan jika lebih dari satu kelompok mengonkan saklarnya bersama-sama bel tidak boleh berbunyi. Cobalah anda bantu juri merangkaikan bel dan saklarnya tersebut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Seorang bapak berhasrat agar lampu kebunnya dapat dimatikan maupun dihidupkan masing-masing dari tiga tempat (ruang tamu (T) , garasi (G) , ruang tengah (H)). Jadi jika ia ingin menghidupkan atau mematikan lampu kebunnya ia harus dapat melakukannya melalui saklar T , saklar G maupun H . Bantulah bapak ini membuat persamaan rangkaiannya.
FMIPA-UNEJ
5. Buatlah rangkaian dari persamaan berikut :
Daftar Isi
(a) (A + B)(A ((B + (A B )
↔
Judul
(b) ((A + B)C ) + (A B C ) (c) ((A + B)
C ) (A + C )
121 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
122 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 4
Daftar Isi
Judul
KUANTOR
123 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan memahami kuantor serta mampu menggunakannya dalam menyelesikan soal-soal logika yang mengandung kuantor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
124 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan dapat 1. memberi contoh tetapan dan peubah
FMIPA-UNEJ
2. memberi contoh kalimat matematika terbuka maupun tertutup
Daftar Isi
3. memberi kuantor universal maupun eksistensial yang sesuai untuk suatu kalimat
Judul
4. mencari negasi suatu pernyataan berkuantor
5. mencari contoh penyanggah suatu pernyataan berkuantor 6. menentukan kuantor untuk pernyataan yang mengandung perakit 7. menentukan kuantor untuk pernyataan dengan lebih dari 1 peubah
125 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Tetapan dan peubah 2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
FMIPA-UNEJ
3. Kuator universal dan Kuantor eksistensial
Daftar Isi
4. Negasi kuantor Judul
5. Contoh penyanggah 6. Kuantor dengan disjungsi, konjungsi dan implikasi
7. Kuantor lebih dari satu peubah 126 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.1.
Tetapan dan Peubah
Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas dua macam yaitu yang mewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur yang berubah.
FMIPA-UNEJ
Definisi 4.1.1. Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakili suatu elemen tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatu semesta pembicaraan. Definisi 4.1.2. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadi sumber atau asal unsur-unsur yang dibicarakan. Dalam matematika, terutama dalam bentuk umum fungsi maupun persamaan, tetapan biasanya disimbolkan dengan huruf-huruf pertama dari ab jad seperti : a,b,c,...
Contoh 4.1. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris bawahi adalah suatu tetapan. ((i) 2 adalah bilangan asli. (ii) Ani berbaju merah.
Daftar Isi
Judul
127 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(iii) Betuk umum pungsi linier adalah y = ax + b. Keluar
Pada contoh di atas, Ani meskipun kita tidak tahu persis siapa orangnya, namun Ani tidak dikatakan sebagai peubah karena jelas Ani menunjukkan nama seseorang tertentu tidak semua orang dapat disebut Ani. Pada contoh (iii) a, b meskipun tidak diketahui dengan persis, tetapi keduanya adalah suatu tetapan yang tidak berubah sebagaimana halnya x dan y.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 4.1.3. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih mewakili suatu elemen umum yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubahubah pada semesta pembicarannya.
Judul
Contoh 4.2. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat berikut adalah peubah. Pada umumnya peubah dilambangkan dengan huruf-huruf terahkir dari abjad seperti : x, y, z .
128 dari 330
Cari Halaman
(i) x adalah bilangan asli (ii) Manusia berbaju merah
Kembali
(iii) Bentuk umum fungsi linier adalah y = ax + b Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.2.
Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat ataupun pernyataan-pernyataan yang memuat simbol-simbol matematika. Kalimatkalimat tersebut ada yang berbentuk pernyataan ada yang tidak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 4.2.1. Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbolsimbol matematika seperti peubah, tetapan dan operator lainnya. Definisi 4.2.2. Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matematika yang belum bisa dinilai benar atau salah. Definisi 4.2.3. Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataan matematis) adalah kalimat matematika yang sudah bisa dinilai benar atau salah.
7, adalah suatu kalimat matematika Contoh 4.3. Kalimat p(x) : x + 2 terbuka, karena belum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan real. Berarti x adalah anggota dari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan x dengan sembarang bilangan real x 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai benar. Sebaliknya jika kita gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 , maka terbentuk pernyataan yang bernilai salah.
≥
≥
Judul
129 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U , setiap kali kita mengambil elemen u dari U , maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah satu benar atau salah . Semua elemen x U yang menyebabkan p(x) bernilai benar disebut himpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran (truth set/ solution set ) dari p dan dinotasika dengan T p .
∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 4.2.1. Untuk p , kalimat terbuka pada U , maka untuk setiap u atau τ ( p(u)) = 1, atau τ ( p(u)) = 0.
∈ U Judul
Definisi 4.2.4. Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesaian adalah himpunan semua unsur dari semesta pembicaraan yang menyebabkan terjadinya kalimat/ pernyataan yang bernilai benar.
T p = u U, τ p(u) = 1
{ ∈
130 dari 330
}
Cari Halaman
Contoh 4.4. Kembali
(i) Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 x 8, x bilagan asli .
{ ≥
}
≥ 10, x bilangan asli, maka T
(ii) Misalkan p(x); x2 < 0 ; x bilangan real, maka T p =
p
= Layar Penuh
∅
(iii) Misalkan p(y); y 2 0; y bilangan real, maka T p = U = . Semua bilangan real jika dikuadratkan akan lebih atau sama dengan nol.
≥
Tutup
Keluar
Teorema 4.2.2. Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat tertutup dengan menggantikan peubahnya dengan tetapan dari semesta pembicaraannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 4.5. Judul
(i) Misalkan p(n) : n + 2 > 8 adalah kalimat terbuka, misalnya pada semesta N (himpunan semua bilangan asli), maka
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah. (b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
131 dari 330
(ii) q (x) : x 2
− 2x + 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada , maka: (a) q (2) : 2 − 2.2 + 1 = 0 adalah pernyataan salah dan (b) q (1) : 1 − 2.1 + 1 = 0 adalah pernyataan benar 2
Cari Halaman
2
Telah disampaikan diatas bahwa jika p(x) kalimat terbuka pada semesta U maka p(x) bisa benar untuk semua x U , yaitu T p = U . Benar untuk beberapa atau tak satu pun x U . Secara implisit ini berarti dengan memberikan kata -kata : Setiap, beberapa atau tak satupun , di depan kalimat terbuka tasi maka kalimat terbuka tadi maka kalimat terbuka tadi akan menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah.
∈
∈
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.6. 1. p(x) : x + 2
≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N , maka : (a) untuk semua x ∈ N berlaku x + 2 ≥ 8, adalah pernyataan salah, (b) ada x bilangan asli yang bersifat x + 2 ≥ 8 adalah benar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2. p(x) : x 2 < 0; x bilangan asli adalah kalimat terbuka, maka: Judul
(a) ada x bilangan asli yang bersifat x2 < 0 adalah salah; (b) tidak satupun x bersifat x 2 < 0 adalah benar.
Jadi istilah-istilah terdapat, semua, taksatupun dapat megubah kalimat terbuka menjadi peryataan.
132 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.3. Kuantor Istilah-istilah : terdapat , semua/ setiap, dengan demikian, dan sejenisnya, dapat digunakan untuk mengukur keberadaan himpunan penyelesaian (unsur-unsur yang menyebabkan p(x) bernilai benar). Kata-kata ini dalam logika disebut kuantor/ quantifier ( to quantify = mengukur). Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial.
4.3.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U maka
∀x ∈ U, p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x, τ ( p(x)) = 1 adalah pernyataan yang dibaca : “untuk semua/ setiap x ∈ U x bersifat p” atau “semua x bersifat p”, atau “untuk semua x pernyataan p(x) adalah benar”. Notasi ∀ yang dibaca “setiap” atau “semua” disebut kuantor universal. Perlu kita catat bahwa p(x) sendiri adalah suatu kalimat terbuka, akan tetapi akan tetapi ∀x, p(x) adalah suatu pernyataan. Definisi 4.3.1. Nilai kebenaran pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah
∀
τ
133 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
x, p(x) = 1 jika dan hanya jika T p = U. Keluar
Contoh 4.7. Misalkan 3 dengan semesta N , maka T p = N . sehingga x (i) p(x) : x + 2 N, x + 2 3 adalah benar. Demikian juga dengan (ii) p(x) : x + 2 = 10 dengan semesta N maka T p = 8 , sehingga x N, x + 2 = 10 adalah salah. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa (iii) x , x2 < 0 adalah salah dan (iv) x , x2 + 2x + 8 > 0 adalah benar.
≥
≥
{ }
∀ ∈ ∀ ∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
∀ ∈ ∀ ∈
4.3.2.
Judul
Kuantor Eksistensial
Misalkan p adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U , maka:
134 dari 330
∃x ∈ U, p(x) atau ∃x, p(x) atau ∃x, τ ( p(x)) = 1
Cari Halaman
adalah pernyataan yang dibaca : “terdapat x yang bersifat p”, atau “beberapa x bersifat p”, atau “paling sedikit satu x bersifat p. Notasi yang dibaca : “beberapa” , “terdapat”, “paling sedikit satu ” disebut kuantor eksistensial.
∃
Kembali
Layar Penuh
Definisi 4.3.2. Nilai kebenaran kuantor eksistensial adalah
∃
τ
Tutup
x, p(x) = 1, jika dan hanya jika T p = .
∅
Keluar
Contoh 4.8. (i) p(x) : x2 4x + 4 = 0 untuk semesta , dengan T p = 2 , maka x, x2 4x + 4 = 0 untuk semesta adalah benar.
−
∃
{}
FMIPA-UNEJ
− (ii) p(x) : x − 2x + 4 = 0 untuk semesta , dengan T = ∅, maka ∃x, x − 2
Daftar Isi
2
p
4x + 4 = 0 adalah salah.
Judul
Dalam menggunakan kata-kata “terdapat x”, biasanya ditambahkan juga istilah “sedemikian sehingga” yang dalam logika dinotasikan dengan “ ”
Contoh 4.9. Notasi logika dari pernyataan “terdapat bilangan asli sedemikian sehingga kuadratnya lebih dari 26 tetapi tidak lebih dari 100” adalah x N, 26 < x2 100.
∃ ∈
≤
135 dari 330
Cari Halaman
Kuantor Universal dan eksistensial masing-masing dapat digunakan untuk mendefinisikan Irisan dan gabungan dari keluarga himpunan Ai , i = 1, 2, 3, ;
{
···}
(i) Irisan (Interseksi) keluarga himpunan. adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang muncul pada setiap himpunan, yaitu:
i∈I
Ai = x x A i , i I
{| ∈ ∀∈ }
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) Gabungan (Union ) dari keluarga himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang cukup muncul pada salah satu himpunan A i tadi Ai = x i I x Ai
i∈I
{ |∃ ∈ ∈ }
FMIPA-UNEJ
Pembahasan yang lebih rinci akan disampaikan pada Bab Pada Bab 6.
Daftar Isi
Judul
136 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.4.
Negasi Kuantor
Seperti halnya pada pernyataan tanpa kuantor, pada dasarnya negasi diperoleh dengan melakukan penyangkalan terhadap kalimat bersangkutan. Misalnya penyangkalan terhadap pernyataan : “Semua manusia berhati dengki”, mengandung pengertian bahwa tidak semua manusia berhati dengki, atau, “setidak-tidaknya ada satu manusia yang tidak berhati dengki”. Secara simbolis dapat dituliskan:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
( x M )(x berhati dengki ))
∀ ∈ ≡ ∀x ∈ M, d(x) ¬ ∀x ∈ M )(x berhati dengki ) ≡ ¬ ∀x ∈ M, d(x) ∃(x ∈ M )(x tidak berhati dengki) ≡ ∃x ∈ M d(x)
Kita peroleh kesimpulan bahwa :
¬ ∀
∃
137 dari 330
Cari Halaman
( x) p(x)) = x, p(x).
(4.1)
Hasil di atas dapat diangap sebagai penerapan hukum De Morgan pada pernyataan yang mengandung kuantor. Pernyataan/ kalimat x tidak bersifat p biasa dinotasikan dengan“ p(x)” atau “ p(x)” atau “ p(x)”.
¬
Contoh 4.10. Tuliskan Kalimat / pernyataan berikut dengan tanda kuantor yang tepat dan tentukan negasinya. Demikian pula tulis secara lengkap bagaimana pengucapan negasinya.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(i) “Semua bilangan asli n bersifat n + 2
≥ 10.”
Jawab Notasi p Negasi p
∀n ∈ N, n + 2 ≥ 10. ¬ ∃n ∈ N, n + 2 10 ≡ ∃n ∈ N, n + 2 < 10 : :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Pernyataan di atas dapat diucapkan sebagai “beberapa bilangan asli jika ditambah 2 hasilnya kurang dari 10”, atau “beberapa bilangan asli n bersifat n + 2 < 10”. (ii) “Setiap manusia dapat mati”
Judul
Jawab: Notasi : p
≡ ≡ Negasi : ¬ p ≡ ≡
∀x ∈ M )(x dapat mati) ∀x ∈ M )m(x) ∃x ∈ M ), (xtidak dapat mati) ∃x ∈ M ), (m(x))
( ( ( (
Ada manusia yang tidak dapat mati.
Selanjutnya negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial dicari dengan cara yang sama. Misalnya sanggahan terhadap pernyataan:“Ada manusia yang bisa terbang” adalah: “Tidak benar (mustahil) ada manusia yang dapat terbang”. Pernyataan ini mengandung arti bahwa semua manusia tidak dapat terbang. Secara simbolis kita dapat ditulis:
138 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
∃x ∈ M x dapat terbang ≡ ∃x ∈ M, t(x) ¬ ∃x ∈ M (xdapat terbang) ≡ ¬ x ∈ M, t(x) ∀x ∈ M (x tidak dapat terbang) ≡ ∀x ∈ M, t(x)
Jadi, secara umum kita peroleh
¬ ∃ ( x)
q (x)) = x, q (x).
∀
FMIPA-UNEJ
(4.2)
Daftar Isi
Perhatikan bahwa nilai kebenaran p dengan p untuk p yang mengandung kuantor adalah saling berlawanan, sebagaimana p yang tidak mengandung kuantor.
¬
Contoh 4.11. Tuliskan notasi pernyataan berikut dengan tepat. Selanjutnya tentukan negasi dan pengucapannya.
Judul
139 dari 330
i Ada bilangan prima yang genap Jawab :
Cari Halaman
misalkan P adalah bilangan prima, dan g : bersifat genap. Notasi : x P, g(x) Negasi : x P, g(x) : semua bilangan prima, tidak genap.
∃ ∈ ∀ ∈
Kembali
Layar Penuh
ii Semua bujur sangkar adalah persegi panjang Jawab :
Tutup
misalkan B : bujur sangkar p : persegi panjang. Keluar
Notasi : Negasi :
∀x ∈ B, p(x) ∃x ∈ B, p(x)
Ada bujur sangkar yang bukan persegi panjang. FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
140 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.5.
Notasi lain untuk
∀ dan ∃
Misalkan U = 2, 3, 5 dan p(x): x adalah bilangan prima, maka pernyataan : “2 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan dengan : p(8) p(3) p(5) = u U, p(u). Pernyataan ini berarti: “setiap u U bersifat p(u). Jadi kita peroleh :
{
}
∧
∈
∀u ∈ U, p(u)
∧
Daftar Isi
≡
p(u)
(4.3)
u∈U
Judul
Demikian pula kalimat : “2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima atau 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan : p(2) p(3) p(5) u∈U p(u). Pernyataan di atas sama artinya dengan setidaknya (paling tidak) ada satu elemen U yang bersifat p yaitu : u U p(u). Jadi
∨
∨
≡
∃ ∈
∃u ∈ U, p(u)
≡
p(u)
∨
Cari Halaman
u∈U
∀
∃
141 dari 330
(4.4)
Jadi notasi dan juga dapat dipergunakan selain notasi dan . Catatan : Jika U adalah himpunan yang berhingga maka pernyataan (4.3) dan (4.4) dapat dibuat. Tetapi untuk U yang takberhingga hanya (4.4) yang dibuat.
∧
FMIPA-UNEJ
∀ ∈
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.6.
Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi
Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau perakit perakit pernyataan seperti dijungsi, konjungsi maupun implikasi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 4.12. Berikut ini adalah beberapa contoh kuantor yang bergabung dengan beberapa perakit logika yang telah dipelajari.
Daftar Isi
1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), maka dia ganjil (G) Judul
∀x ∈ , P (x) → G(x)
2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki(K). Pernyataan ini ekuivalen dengan “untuk semua segitiga, jika dia sama sisi maka dia sama kaki”. x G, S (x) K (x)
∀ ∈
→
142 dari 330
Cari Halaman
3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “ada bilangan asli (N) yang sekaligus prima (P) dan genap (A)”. Kembali
∃x ∈ N
P (x)
∧ A(x)
4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil, pastilah dia genap dan tidak mungkin dua-duanya.
∀x ∈ B, G(x)∨A(x)
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Apabila P (x) adalah kalimat majemuk yang mengandung perakit, maka negasinya adalah
¬ ∀ ¬ ∃
( x) P (x)) = x, p(x).
demikian juga
( x)
∃
(4.5) FMIPA-UNEJ
q (x)) = x, q (x).
∀
(4.6)
dengan P (x) maupun Q(x) mengikuti aturan negasi perakit seperti hukum De Morgan. Berikut adalah negasi dari pernyataan berkuantor yang bergabung dengan beberapa perakit logika seperti pada contoh-contoh berikut
Contoh 4.13. Ada bilangan asli yang prima(P) tetapi tidak ganjil(G)
∃x ∈ N,
P (x)
∧ ¬G(x)
Daftar Isi
Judul
143 dari 330
Cari Halaman
Contoh 4.14. Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki(K). Kembali
∃x ∈ G, S (x) ∧ ¬K (x) Contoh 4.15. Semua bilangan prima (P) tidak genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P) maka dia tidak genap (A)”. x N, P (x) A(x)
∀ ∈
→¬
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.16. Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau ada bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap.
∨
∃x ∈ B, ¬G(x) ∧ ¬A(x)
G(x)
∧ A(x)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
144 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.7.
Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra
Perhatikan bahwa x, P (x) x, P (x) yang dapat diartikan bahwa pernyataan “tidak benar bahwa semua x bersifat P , ekuivalen dengan pernyataan“ada x tidak bersifat P ”. Jadi untuk mengatakan bahwa kalimat x, P (x) salah, ekuivalen dengan menunjukkan bahwa x, P (x) benar. Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa paling tidak ada satu x yang tidak bersifat P . x yang tidak bersifat P disebut contoh penyanggah/ kontra (counter example ) dari pernyataan x, P (x).
¬∀
≡∃
∀
FMIPA-UNEJ
¬∀
Daftar Isi
∀
Teorema 4.7.1. Pernyataan x, p(x) bernilai salah jika ada contoh penyanggahnya dan bernilai benar jika tidak ada contoh penyanggahnya.
∀
∃x, p(x) ∃x, p(x)
⇒ ∀ ⇒ ∀
Judul
145 dari 330
τ x, p(x) = 0 τ x, p(x) = 1
Pada contoh-contoh berikut kita dapat menentukan nilai kebenaran pernyataannya dengan menentukan contoh penyanggahnya.
Cari Halaman
Kembali
Contoh 4.17. Pernyataan x, x > 0 bernilai salah karena ada x = 0 dengan x ≯ 0.
Layar Penuh
Contoh 4.18. Pernyataan x, x2 > x bernilai salah karena ada x = 12 dengan x2 = 14 ≯ x = 12
Tutup
||
∀ | | ∀
Keluar
Contoh 4.19. Semua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk setiap bilangan riil, jika dia prima pastilah ganjil.
∀x, x ∈ P →∈ G
FMIPA-UNEJ
Pernyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu
∃x = 2
x P
x / G
Contoh 4.20. Pernyataan berikut adalah benar, karena tidak ada contoh penyanggahnya. x, x P G
∀
Daftar Isi
∈ ∧ ∈ ∈ →∈
Judul
146 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.8.
Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah
Untuk kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah, pada prinsipnya tiaptiap peubah disajikan dengan kuantor masing-masing. Misalkan ada beberapa himpuan A 1 , A2 , , An . Suatu kalimat terbuka pada A 1 A2 An dinotasikan dengan p(x1 , x2 , , xn ) dengan sifat bahwa p(x1 , x2 , , xn ) bernilai benar atau salah (tetapi tidak keduanya) untuk suatu ( x1 , x2 , , xn ) A1 A2 An
···
···
× ×···×
Contoh 4.21. Misalkan M adalah himpunan laki-laki dan W adalah himpunan perempuan, maka: “x suami dari y” adalah kalimat terbuka pada M W dan kalimat : “x istri dari y” adalah kalimat terbuka pada W M .
×
×
Contoh 4.22. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut untuk semesta U = 1, 2, 3 .
{
∀x, ∃y, x ii ∃x, ∀y, x iii ∀x, ∀y, x i
}
2
2
FMIPA-UNEJ
× ×···× ··· ··· ∈
+ y 2 < 14
Daftar Isi
Judul
147 dari 330
Cari Halaman
+ y 2 < 14 Kembali
2
2
+ y < 14
Jawab:
Layar Penuh
i Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa setiap kali kita mengambil x U , kita dapat mengambil beberapa y U , sedemikian sehingga x2 + y 2 < 14.
∈
∈
Tutup
Keluar
Jika kita ambil x = 1 maka kita bisa ambil y = 1, 2, 3 x = 2 y = 1, 2, 3 x = 3 y = 1, 2 Jadi pernyataan [i] bernilai:benar.
FMIPA-UNEJ
ii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa ada x U yang berlaku untuk semua y U sedemikian sehingga x 2 +y 2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 1, 2, maka nilai x ini berlaku untuk semua y U sedemikian sehingga x2 + y 2 < 14. Jadi pernyataan [ii] bernilai benar.
∈
∈
Daftar Isi
∈
Judul
iii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa untuk semua x U dan semua y U berlaku x 2 + y 2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 3 dan y = 3 tidak berlaku x 2 + y 2 < 14. Jadi pernyataan [iii] bernilai salah.
∈
∈
Contoh 4.23. Untuk semesta U = 1, 2, 3 selidiki apakah pernyataan berikut benar atau salah x, y, z, x 2 + y 2 2z 2
{ ∀ ∀ ∃
}
≤
Jawab: Untuk sembarang atau semua x, y U terdapat atau dapat diambil z U sedemikian sehingga x2 + y 2 2z 2 . Pernyataan ini benar karena tidak ada contoh penyanggahnya. Namun untuk lebih jelasnya kita dapat memeriksa semua pasangan x dan y seperti berikut ini:
≤
∈
148 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
∈
Tutup
Keluar
x 1 1 1 2 2 2 3 3 3
y 1 2 3 1 2 3 1 2 3
z x2 + y 2 3 2 3 5 3 10 3 5 3 8 3 13 3 10 3 13 3 18
≤
2z 2 18 18 18 18 18 18 18 18 18
Nilai(B/S) B B B B B B B B B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Teorema 4.8.1. Jika x dan y berasal dari semesta yang sama, maka berlaku
∀x, ∀y p(x, y) ≡ ∀x, y p(x, y) ≡ ∀y, ∀x p(x, y) 2. ∃x, ∃y p(x, y) ≡ ∃x, y p(x, y) ≡ ∃y, ∃x p(x, y) 3. ∀x, ∃y p(x, y) ⇒ ∃y, f orallx p(x, y) 4. ∀x p(x) ⇔ ¬ ∃x p(x) 5. ∀x p(x) ∧ ∀x q (x) ⇔ ∀x p(x) ∧ q (x) 6. ∃x p(x) ∨ ∃x q (x) ⇔ ∃x p(x) ∨ q (x) 7. ∀x p(x) ∨ ∀x q (x) ⇒ ∀x p(x) ∨ q (x) 1.
149 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.9.
Beberapa Bentuk Khusus
Selain kuantor dalam bentuk umum dan ada bentuk kuantor khusus seperti pada berikut ini, yang berlaku apabila peubahnya berasal dari semesta yang sama. Apabila semestanya tidak sama, maka sifat-sifat tersebut belum tentu berlaku.
∀
∃
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Terdapat dengan tunggal x yang bersifat p.
∃! x p(x)
Judul
2. Ada sebanyak-banyaknya satu objek bersifat p. Ini berarti jika ada x dan y masing-masing bersifat p, maka x = y.
( x, y) p(x) p(y)
∀
∧
⇔
x = y
∃x, y (x = y)
∧ ∀
p(x) p(y)
∧
( z ) p(z )
Cari Halaman
Kembali
4. Tepat ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama masing-masing bersifat p dan setiap objek ketiga yang bersifat p, maka objek ketiga ini pasti sama dengan salah satu dua objek pertama.
∧
150 dari 330
3. Setidaknya ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama masing-masing bersifat p.
∃x, y (x = y) ∧ p(x) ∧ p(y)
Layar Penuh
Tutup
⇒ (z = x ∨ z = y)
Keluar
5. Sebanyak-banyaknya ada dua objek bersifat p. Berarti bisa ada dua, satu atau tidak ada objek yang bersifat p.
⇒
∀x,y,z p(x) ∧ p(y) ∧ p(z )
(x = y)
∨ (x = z ) ∨ (y = z )
FMIPA-UNEJ
6. Setidaknya ada satu objek bersifat p
Daftar Isi
∃x p(x) Judul
Contoh 4.24. Misalkan
M
=
W
=
{ Pak Ali, Pak Amir,Pak Budi } merupakan himpunan suami { Ny. Budi, Ny. Amir, Ny. Ali, Ny. Ton, Ny. Hasan }
merupakan himpunan istri. s(x, y) : x suami y t(x, y) : x istri y U s = M W dan U t = W M. Selanjutnya selidiki nilai kebenaran pernyataanpernyataan
×
151 dari 330
Cari Halaman
×
∀x ∈ M, ∃y ∈ W, s(x, y). ii ∃y ∈ W, ∀x ∈ M, s(x, y). iii ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, s(x, y). iv ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y).
Kembali
i
Layar Penuh
Tutup
Keluar
v
∀x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y).
Jawab: i Pernyataan x M, y W, s(x, y) berarti bahwa untuk setiap orang anggota M terdapat perempuan anggota W sedemikian sehingga x suami y. Dengan kata lain setiap suami di M ada istrinya di W . Pernyataan ini benar.
FMIPA-UNEJ
ii Pernyataan y W, x M, s(x, y) berarti ada perempuan anggota W yangberlaku untuk semua laki-laki angggota M sehingga laki-laki tersebut suami perempuan tadi. Dengan kata lain ada beberapa perempuan yang menjadi istri semua laki-laki di M . Pernyataan ini salah.
Judul
∀ ∈ ∃ ∈
Daftar Isi
∃ ∈ ∀ ∈
iii Pernyataan x W, y M, s(x, y) berarti dari anggota M dan W dapat dibuat pasangan suami-istri. Pernyataan ini benar.
∃ ∈ ∃ ∈
iv Pernyataan x W, y jadi bernilai benar.
∃ ∈
∃ ∈ M,
t(x, y) identik dengan pernyataan (iii)
v Pernyataan x W, y M, t(x, y) berarti bahwa untuk semua perempuan anggota W dapat ditentukan laki-laki anggota M sehingga dia menjadi istri laki-laki ini. Pernyataan ini salah karena ada contoh penyanggah yaitu untuk Ny. Hasan tidak dapat ditentukan laki-laki anggota M sehigga Ny. Hasan istri laki-laki tersebut.
∀ ∈
∃ ∈
152 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.10.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini dapat dibaca beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Slain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain di antaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Polimeni & Straight [15], Fletcher et al. [5].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
153 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.11. Latihan 1. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat ( , !, , ) sehingga pernyataanpernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan . Selanjutnya berikan himpunan penyelesaiannya.
∃ ∃ ∃ ∀
FMIPA-UNEJ
(a) (. . . x) x 2 = 0
Daftar Isi
(b) (. . . x) cos xo = 3 (c) (. . . x) x 2 + 2x + 1 = 0
Judul
(d) (. . . x) x 2 + 5x + 6 = 0
(e) (. . . x) x 2 + 2x + 4 = 0
(f) (. . . x) (. . . y) x > y 154 dari 330
(g) (. . . x (. . . y) xy = y (h) (. . . x (. . . y) (. . . z ) x = y = z
Cari Halaman
(i) (. . . x (. . . y) (. . . z ) x + y = z 2. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat ( , !, , ) sehingga pernyataanpernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan himpunan manusia. Selanjutnya tentukan negasinya.
∃ ∃ ∃ ∀
Kembali
Layar Penuh
(a) (. . . x) (x ada yang melahirkan). (b) (. . . x) (x berkaki lima).
Tutup
(c) (. . . x) (. . . y) (x adalah saudara kandung y). Keluar
(d) (. . . x) (. . . y) (x tepat sama dengan y ). (e) (. . . x) (. . . y) (x adalah suami y). (f) (. . . x) (. . . y) (. . . y) (x,y,z saling mengenal). 3. Misalkan M (x) P (x) W (x) r(x) q (x, y) t(x, y)
: : : : : :
x adalah manusia x adalah pria x adalah wanita x suka merokok x dan y saling mencintai x lebih cerdas dari y
Untuk masing-masing soal berikut tentukan simbol logikanya, simbol negasinya dan pengucapan negasinya. Selanjutnya dengan menggunakan dunia riil sebagai semesta tentukan yang mana dari pernyataan (atau negasinya) yang bernilai benar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
155 dari 330
Cari Halaman
(a) Setiap pria lebih cerdas dari setiap wanita. Kembali
(b) Ada wanita yang lebih cerdas dari beberapa pria. (c) Setiap manusia adalah pria atau wanita tetapi tidak dua-duanya.
Layar Penuh
(d) Setidaknya ada satu wanita yang suka merokok. (e) Ada beberapa pria dan wanita yang saling menciantai.
Tutup
(f) Setiap pria tidak lebih cerdas dari setiap wanita. Keluar
(g) Paling tidak ada 3 laki-laki yang suka merokok. (h) Paling banyak hanya ada 2 wanita yang suka merokok. 4. Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
∀x, |x| > 0 (b) ∃x x = x (c) ∀x∃y = 1 (d) ∀x∃y xy = x (e) ∃x∀y xy = y (f) ∀(x, y) p(x) ∨ q (x) (g) ∀(x, y) p(x, y) → q (x, y)
FMIPA-UNEJ
(a)
Daftar Isi
2
x y
5. Diketahui: N (x) : P (x) : G(x) : I (x) : C (x) : S (x) : J (x) :
Judul
x adalah bilangan asli. x adalah bilangan prima. x adalah bilangan genap. x adalah bilangan ganjil. x adalah bilangan cacah. x adalah bujur sangkar. x adalah persegi panjang.
156 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Tentukan notasi pernyataan-pernyataan berikut: Keluar
(a) Setiap bilangan asli adalah ganjil atau genap, tetapi tidak keduanya. (b) Setiap bilangan asli aalah bilangan cacah. (c) Terdapat bilangan yang sekaligus prima dan genap.
FMIPA-UNEJ
(d) Tidak ada bilangan asli yang ganjil. Daftar Isi
(e) Semua bujur sangkar adalah persegi panjang. (f) setiap bilagan prima adalah bilangan asli.
Judul
6. Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan notasi yang ditunjuk: (a) Orang yang bangun pagi memperoleh udara segar. O(x) : x adalah orang, S (x) : x adalah udara segar, p(x, y) : x memperoleh y. (b) Setiap mawar memiliki duri. M (x) : x adalah mawar, D(x) : x adalah duri, p(x, y) : x memiliki y. (c) Singa yang mati lebih berbahaya dari anjing hidup. S (x) : x adalah singa, M (x) : x adalah mati, A(x) : x adalah anjing, H (x) : x adalah hidup, B(x, y) : X lebih berbahaya dari y. (d) Semua manusia tidak mengetahui sesuatu, sebelum dia mempela jarinya. M (x) : x adalah manusia,T (x, y) : x tidak mengetahui y, B(x, y) : x mempelajari y. 7. Nyatakan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan suatu kalimat terbuka (bermakna) pada himpunan yang diberikan.
157 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) x + 2 < 1 untuk semesta himpunan bilangan asli. (b) x2 + 2x + 1 = 0 untuk semesta bilangan riil. (c) x + 3 > 5 untuk semesta bilangan kompleks. 2
o
2
FMIPA-UNEJ
o
(d) sin x + cos x = 1 untuk semesta bilangan riil. (e) x mencintai y untuk semesta bilangan kompleks. sin xo o (f) tan x = untuk semesta bilangan riil. cos xo
Daftar Isi
Judul
8. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
∀x ∈ , x + 3 > 3 (b) ∃x ∈ x − 5 < 4 (c) ∃x, p(x) ∨ ∀y, q (y) (d) ∀x, y p(x, y) → q (x, y) (e) ∃x, y p(x, y) ∧ q (x, y) (f) ∀ > 0, ∃N , ∀N, N > N → |a | < 9. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, }. Tentukan himpunan penyelaian dari (a)
0
0
N
158 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
kalimat-kalimat terbuka berikut.
∃x 2x + 3 < 7. (b) ∃x x adalah genap. (a)
Tutup
Keluar
∃x x bukan prima. (d) ∃x x = x 10. Untuk semesta U = {2, 3, 4, . . . , 8, 9} tentukan contoh penyanggah (c)
x
FMIPA-UNEJ
pernyataan-pernyataan berikut. (a)
∀x, x + 5 < 12. (b) ∀x, x adalah prima. (c) ∀x, x > 1. (d) ∀x, x + 5 > 7.
Daftar Isi
Judul
2
159 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
160 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 5
Daftar Isi
Judul
PENALARAN LOGIS
161 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami tehnik-tehnik penarikan kesimpulan yang valid baik secara langsung (deduktif), tak langsung, maupun secara induktif. Nantinya diharapkan mampu menerapkannya dalam pembuktian teorema-teorema di berbagai bidang matematika.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
162 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat 1. menyebutkan definisi argumen
FMIPA-UNEJ
2. mengguakan berbagai bentuk argumen yang valid dalam menrik kesimpulan
Daftar Isi
3. menggunakan pembuktian tidak langsung
Judul
4. menggunakan Induksi Matematika
5. menggunakan tehnik Argumen yang mengandung kuantor 6. menghindarkan sesat Pikir
163 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Argumen 2. Bentuk-Bentuk argumen yang valid
FMIPA-UNEJ
3. Pembuktian tidak langsung
Daftar Isi
4. Induksi Matematika Judul
5. Argumen berkuantor 6. Sesat Pikir
164 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.1. Argumen Definisi 5.1.1. Argumen adalah suatu proposisi/ pernyataan majemuk yang memuat sekumpulan pernyataan-pernyataan P 1 , P 2 , ...P n (disebut premis) dan diikuti suatu pernyataan lain Q yang disebut disebut konklusi /kesimpulan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Notasi : Argumen secara umum dinotasikan dengan: Judul
P 1 , P 2 , . . . Pn Q
Karena argumen itu adalah suatu proporsi/ pernyataan maka ia dapat bernilai benar atau salah. Argumen yang benar disebut argumen valid /sah /sahih. Sedangkan argumen yang tidak benar disebut argumen yang invalid /sesat / fallacy .
Definisi 5.1.2. Suatu argumen dikatakan valid jika kesimpulannya merupakan implikasi logis dari premis-premisnya, yaitu: P 1 , P 2 , . . . Pn Q jhj P 1 P 1
∧ P ∧ P ∧ · · · ∧ P n ⇒ Q atau ∧ P ∧ P ∧ · · · ∧ P n → Q ≡ T 2
3
2
3
Karena suatu tautologi akan tetap benar tanpa bergantung pada isi pernyataanpernyataannya maka vadilitas argumen juga tidak bergantung pada isi pernyataanpernyataan baik pada premis maupun konklusinya. Ia hanya bergantung
165 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
pada bentuknya, apakah suatu tautologi atau tidak. Ini adalah ciri khas dari logika matematika yang bersifat formal. Untuk lebih jelasnya berikut dikutipkan pendapat Lipschutz (1974:27) berikut :
We emphasize that the validity of an argument does not depend upon the truth values nor the content of the statement appearing in the argument, but upon the particular form of the argument.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 5.1.
Judul
P 1 : Jika orang hidup membujang maka ia akan tidak bahagia P 2 : Jika orang tidak bahagia maka ia akan mati muda Q : Jadi (∴)orang yang hidup membujang akan mati muda. Untuk menyelidiki valid tidaknya argumen di atas kita buat bentuk/ simbol, misalkan: p : hidup membujang (orang hidup membujang) q : orang hidup bahagia r : orang mati muda Kita peroleh : ( p
→ q, q → r) → ( p → r)
166 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Kita bisa membuktikan/ menunjukkan bahwa: Tutup
( p
→ q, q → r) ⇒ ( p → r) Keluar
Jadi penalaran diatas adalah benar/ logis/ valid, terlepas dari keadaan yang sebenarnya ( the concrete situation ). kata-kata jadi, oleh karena itu, kesimpulan, dalam matematika sering dinotasikan dengan ∴.
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.2. Jika dua sisi segitiga sama panjang maka sudut-sudut dihadapannya sama besar P 2 : Sudut dihadapannya sama besar Q : Jadi sisi (dua sisi) segitiga sama panjang. Sepintas kesimpulan di atas nampak valid, karena pernyataan kesimpulan sesuai dengan kenyataan sifat-sifat dalam geometri. Tetapi dilihat dari cara penarikan kesimpulannya, penalaran diatas tidak sah /sesat. Kita dapat menyelidiki bahwa bentuk: P 1
Daftar Isi
:
→ ∧ → ( p
bukan tautologi.
q )
q
r
Judul
167 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.2.
Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid
Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung pada bentuknya apakah merupakan implikasi logis atau tidak. Dengan demikian sembarang implikasi logis dapat dijadikan argumen yang valid. Berikut ini diberikan beberapa bentuk implikasi logis yang umum dipakai dalam penarikan kesimpulan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Simplifikasi
Judul
Bentuk umum p
∧ q p p ∧ q q
Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan dengan mudah dapat dipahami bahwa jika p q benar maka baik p maupun q adalah benar.
∧
168 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.3. Kembali
2 dan 5 adalah bilangan prima 2 adalah bilangan prima
Layar Penuh
2. Konjungsi Tutup
Bentuk umum :
∧ q
p, q p
Keluar
Contoh 5.4. 2 adalah bilangan prima 2 adalah bilangan genap 2 adalah bilangan prima dan genap
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. Adisi Bentuk umum :
∨ q q p ∨ q
Judul
p p
Contoh 5.5. 169 dari 330
2 adalah bilangan prima 2 atau 8 adalah bilangan prima
Cari Halaman
4. Silogisme disjungtif Kembali
Bentuk umum : p
∨ q, ¬ p q
Pernyataan p q benar jika salah satu atau keduanya benar, karena itu, jika p tidak benar maka logis kita simpulkan q benar.
Layar Penuh
∨
Tutup
Contoh 5.6. Keluar
2 atau 8 adalah bilangan prima 8 bukan bilangan prima 2 adalah bilangan prima FMIPA-UNEJ
Contoh 5.7. Ayah atau ibu menjemput adik Ayah tidak menjemput adik Ibu menjemput adik
Daftar Isi
Judul
5. Silogisme Disjungsi Eksklusif
Bentuk umum :
∨ ¬q
p q, p
Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi bersamasama. Jadi jika p benar haruslah q salah (tidak terjadi).
170 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.8. Ayah sedang di pasar atau di kantor Ayah sedang di kantor Ayah tidak sedang di pasar
Kembali
Layar Penuh
6. Modus Ponens/ Hukum Detasemen Tutup
Bentuk umum : p
→ q, p q
Keluar
Bukti validitasnya dapat ditunjukkan berikut : ( p
→ q ) ∧ p ≡ (¬ p ∨ q ) ∧ p ≡ (¬ p ∧ p) ∨ (q ∧ p) ≡ 0 ∨ (q ∧ p) ≡ q ∧ p ⇒ q Jadi ( p → q ) ∧ p ⇒ q dan p → q, p q.
ekuivalensi distributif komplemen identitas simplifikasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Contoh 5.9.
Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah mati Matahari terbit dari barat Manusia tidak pernah mati
171 dari 330
7. Modus Tolens Bentuk umum :
Cari Halaman
p Bukti :
→ q, ¬q ¬ p Kembali
( p
→ q ) ∧ ¬q ≡ (¬ p ∨ q ) ∧ ¬q ≡ (¬ p ∧ ¬q ) ∨ (q ∧ ¬q ) ≡ (¬ p ∧ ¬q ) ∨ 0 ≡ (= p ∧ ¬q ) ⇒ ¬ p
EDI distributif komplemen identitas simplifikasi
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada penerapan hukum simplifikasi di atas p q karena q diketahui, maka tidak perlu digunakan sebagai kesimpulan dan kesimpulan kita adalah p.
¬ ∧¬
¬
¬
FMIPA-UNEJ
8. Silogisme Hipotetik Bentuk umum : p
Daftar Isi
→ q, q → r p → r
Salah satu cara untuk membuktikannya adalah sebagai berikut ini. Misalkan:
Judul
P 1 : p P 2 : q
→ r → r
Di lain pihak secara keseluruhan implikasinya dapat diubah Andaikan p
⇒q ⇒r ⇒ p → r
172 dari 330
Cari Halaman
Kembali
berdasar P 1 dan Modes Ponen berdasar P 2 dan Modes Ponen
Layar Penuh
Tutup
Dengan kata lain pengandaian p akan menghasilkan kesimpulan r. Keluar
9. Dilema Kontruktif Bentuk umum : p
→ q, r → s, p ∨ r q ∨ s
FMIPA-UNEJ
Dilema kontruktif ini adalah merupakan bentuk Modus Ponens yang lengkap (gabungan dua modus ponen). Ini dapat dipahami sebagai berikut : p syarat cukup untuk q dan r syarat cukup untuk s, jika salah satu dari p atau r muncul pastilah salah satu q atau s muncul.(Bisa juga dilakukan dengan membuktikan tautologinya)
Contoh 5.10.
Daftar Isi
Judul
Jika hari hujan maka tanah basah Jika kamu datang maka saya senang Hari ini hujan atau kamu datang Tanah basah atau saya senang Bentuk lain, yang lebih sederhana dari Dilema konstruktif ini adalah: ( p
→ q ), (r → q ), ( p ∨ r) q
Yang merupakan bentuk modus ponen. Untuk membuktikan validitasnya kita harus membuktikan implikasi logisnya kita harus membuktikan bahwa : ( p q ) (r q ) ( p r) q
→ ∧ → ∧ ∨ ⇒
173 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.11. Keluar
Jika hari hujan maka tanah basah Jika tanah disiram maka tanah basah Hari hujan atau tanah disiram Maka tanah basah
FMIPA-UNEJ
10. Dilema Destruktif Daftar Isi
Bentuk umum : ( p
→ q ), (r → s), (¬q ∨ ¬s) (¬ p ∨ ¬r)
Karena q adalah syarat perlu untuk p dan s syarat perlu untuk r maka, jika q atau s tidak terjadi maka p atau r juga tidak terjadi.
Judul
174 dari 330
Contoh 5.12. Jika hari hujan maka tanah basah Jika kamu datang maka saya senang Tanah tidak basah atau saya tidak senang Hari tidak hujan atau kamu tidak datang Bentuk lain yang termasuk dilema destruktif adalah : ( p
→ q ), ( p → r), ¬(q ∧ r) ¬ p
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.13. Keluar
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu bulat Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu rasional 2 tidak sekaligus bulat dan rasional 2 bukan bilangan asli
√ √
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
175 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3.
Pembuktian Tidak Langsung
Kadang-kadang dalam membuktikan suatu pernyataan matematis kita tidak dapat/ tidak praktis membuktikan langsung dari premis-premisnya. Beberapa cara pembuktian yang umum dikelompokkan ke dalam bukti tidak langsung ini adalah :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Bukti negasi atau bukti dengan contoh kontra/ penyanggah Judul
2. Bukti kotradiksi (Absurditas/ Reduksio ad Absurdum/ Argument by cotradiction )
3. Bukti kontra positif 4. Bukti pemilihan dan pencoretan.
5.3.1.
176 dari 330
Pembuktian dengan Negasi
Cari Halaman
Kita telah mengetahui bahwa p dan p mempunyai nilai kebenaran yang bertentangan. Jika p benar maka p salah. Dengan demikian jika kita dapat membuktikan p salah sama halnya membuktikan p benar, sebaliknya jika kita dapat menunjukkan p benar berarti kita telah membuktikan p salah. Dalam argumen berkuantor universal kita dapat menunjukkan valid/ tidaknya dengan menunjukkan contoh-contohnya.
¬
¬
¬
¬
¬
Kembali
Layar Penuh
Tutup
∃x ∈ U, p(x ) o
o
¬∀
(x U, p(x)
∈
Keluar
xo ∈ U, p(x) ∀x ∈ U, p(x) Di sini x o dikatakan sebagai contoh penyanggah dan pembuktian dengan cara menunjukkan contoh penyanggah disebut pembuktian dengan negasi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.14. p: setiap bilangan prima adalah ganjil. Jika kita ingin menunjukkan bahwa p adalah salah, maka kita dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa p adalah benar, dengan p adalah “ada bilangan prima yang tidak ganjil”. Pernyataan ini ( p) adalah pernyataan yang bernilai benar, yaitu ada xo = 2 yang merupakan bilangan prima tidak ganjil. 2 disebut contoh penyanggah dari pernyataan p.
¬
¬
¬
Contoh 5.15. p: setiap bilangan asli adalah bulat. Negasi pernyataan tersebut, p adalah: “terdapat bilangan asli yang tidak bulat”. Penyataan p tidak benar, karena tidak ada bilangan asli yang tidak bulat (contoh kontranya tidak ada, ). Jadi pernyataan p benar.
¬
5.3.2.
Daftar Isi
¬
∅
Judul
177 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Pembuktian dengan Kontradiksi Layar Penuh
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan kita dapat juga mengandaikan bahwa pernyataan itu salah, dari pengandaian ini akan ditemukan suatu kontradiksi. Dari kontradiksi yang terjadi disimpulkan bahwa pengandaian ini salah. Bukti ini sering juga disebut bukti pengandaian .
Tutup
Keluar
Bentuk pembuktian ini adalah :
¬ → p
F
p
Pengambilan p disini adalah suatu pengandaian.
¬
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.16.
Daftar Isi
Buktikan bahwa “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan H ”, H . Bukti : Misalkan pernyataan “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan H ” adalah p. Andaikan yang benar adalah p, “ bukan subset dari H ”. Ini berarti (dari definisi tentang subset):
∅ ⊆
¬ ∅
Pernyataan x adalah suatu kontradiksi, sebab tidak pernah memiliki suatu elemen. Ini berarti pengandaian harus diingkar, yaitu yang bear adalah ( p) p. Kesimpulannya, yang benar adalah p : H
∅ ∅⊆
¬¬ ≡ 5.3.3.
Cari Halaman
Kembali
Pembuktian dengan Kontra Positif Layar Penuh
Membuktikan bahwa p adalah syarat cukup untuk q sama halnya membuktikan q adalah syarat perlu untuk p. Ini berarti jika q tidak muncul, maka p tidak muncul. Jadi: q p p q
¬ → ¬ ⇒ →
178 dari 330
∃x ∈ ∅, tetapi x ∈ H. ∈ ∅
Judul
Tutup
Keluar
Contoh : Jika Abang tidak punya uang maka adik tidak sayang Kesimpulannya : Jika adik sayang abang berarti (maka) Abang lagi punya uang. Kita menganggap ruas kanan adalah kesimpulan/ konsekuensinya logis dari ruas kiri. Meskipun kenyataan berlaku , tetapi dalam hal ini kita hanya memperhatikan saja.
→
≡
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
179 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.4.
Induksi Matematika
Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan asli dikenal juga pembuktian lain yang disebut Induksi Matematika/ Induksi Lengkap. Sebenarnya pembuktian ini bukanlah induksi tetapi suatu deduksi yang di dasarkan atas aksioma/ postulat Peano tentang bilangan asli. Postulat dari Peano menyatakan bahwa Sembarang subset K dari N dengan sifat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
1. 1 K .
∈
2. jika untuk sembarang k
∈, maka k
∗
= k + 1
∈ K ,
3. maka K = N Postulat ini dapat dipakai sebagai suatu pembuktian 180 dari 330
P (1), ( p(k)
→ p(k + 1) p(n), ∀n ∈ N Cari Halaman
Secara rinci langkah-langkah induksi matematika untuk membuktikan bahwa P (n) berlaku untuk semua n N adalah sebagai berikut:
∈
Kembali
Langkah 1 (awal) buktikan P (1) Langkah 2 (hipotesis induktif) andaikan P (k) Langkah 3 (kesimpulan induktif) buktikan P (k + 1)
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.17. Keluar
Buktikan, bahwa untuk semua n
∈ N berlaku 1 + 2 + 3 + ··· + n = 1/2n(n + 1) FMIPA-UNEJ
Bukti : i Periksa untuk n = 1
Daftar Isi
1 = 1/2(1 + 1) (Benar) Judul
ii Misalkan untuk sembarang k berlaku : 1 + 2 + ... + k = 1/2k(k + 1) iii Maka untuk k = k + 1
∗
1 1 + 2 + ... + k + k + 1 = k(k + 1) + (k + 1) 2 1 = (k + 1)( k + 1) 2 1 = (k + 1)(k + 2) 2 1 = (k + 1)(k + 1 + 1) 2 1 ∗ ∗ = k (k + 1) untuk k ∗ = k + 1 2
181 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.5.
Argumen berkuantor
5.5.1.
Translasi kuantor universal dan eksistensial
Perhatikan empat pernyataan berikut :
FMIPA-UNEJ
(i) Setiap/ semua P bersifat Q
Daftar Isi
(ii) Taksatupun P bersifat Q (iii) Sebagian P bersifat Q
Judul
(iv) Sebagian P tidak bersifat Q Pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan baik dengan kuantor universal maupun eksistensial.
182 dari 330
Dengan kuantor universal
∀x, P (x) → Q(x) (ii) ∀x, P (x) → Q(x) (iii) ¬(∀x)(P (x) → Q(x) (iv) ¬[(∀x)(P (x) → Q(x))] (i)
Pernyataan sebagian P bersifat Q sama artinya bahwa tidak benar bahwa untuk semua x jika x bersifat P maka x tidak bersifat Q. Ingat bahwa ( p q ) ( p q ) dan ( p q ) ( p q ).
¬ → ≡ ∧¬
¬ ∧ ¬ ≡ →
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dengan kuantor eksistensial Kalimat atau pernyataan (i), sama artinya dengan tidak benar bahwa ada x yang bersifat P tetapi tidak bersifat Q. Pernytaan (ii) sama artinya dengan : tidak benar bahwa ada x yang sekaligus bersifat P dan Q. Jadi notasinya : (i) (ii)
¬ ∃ ¬ ∃ x,
P (x)
x,
Daftar Isi
∧ Q(x)
P (x)
Judul
∧ Q(x)
∃x, P (x) ∧ Q(x) (iv) ∃x, P (x) ∧ Q(x).
(iii)
(iii) (iv)
≡¬ ∃ ≡ ∃ ≡ ∃
→ Q(x)) ≡ ¬(∃x) P (x) ∧ Q(x)
∀
→ Q(x)
¬∀
¬(∀x) P (x) → Q(x) ( x) P (x)
→ Q(x)
Cari Halaman
∀
(ii) ( x) P (x)
183 dari 330
Kita peroleh kesamaan berikut : (i) ( x)(P (x)
FMIPA-UNEJ
( x) P (x)
( x) P (x) ( x) P (x)
∧ Q(x) ∧ Q(x)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
∧ Q(x)
Keluar
5.5.2.
Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial
Perhatikan pernyataan : ( x)(P (x)), yang berarti kita dapat mengambil tetapan a U , secara bebas dan kita peroleh P (a). Jadi kita telah mengkhususkan dari peubah x ke suatu tetapan a, dengan kata lain kita memberikan contoh. Prinsip ini disebut dengan Spesifikasi Universal (US = Universally Specified = UI = Universal Instantiation ). Perhatikan bahwa pemunculan a di sini adalah bebas ( free occurrence ) karena P (x) berlaku untuk semua x.
∀
∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
U S : ( x)( p(x)) P (a), a U (bebas)
∀
∈
Sebaliknya dari pernyataan ( x)(P (x)), kita hanya dapat mengambil elemen (tetapan) a tertentu yang bersifat P atau P (a). Dengan demikian kita juga dapat mengambil contoh ataupun menspesifikasikan yang disebut pengambilan Spesifikasi Eksistensial ( ES = EI = Existentially Specified = Existentially Instantiation ).
∃
Judul
184 dari 330
Cari Halaman
ES : ( x)(P (x)) P (a), a U (terbatas)
∃
5.5.3.
∈
Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Apabila untuk sembarang ( arbitrary ) a kita menemukan P (a) maka kita dapat menggeneralisasikan bahwa setiap x, P (x). Ingat bahwa a diambil secara sembarang (arbitrarily selected ). Generalisasi ini disebut Generalisasi Universal (UG). U G : a U, P (a)( x)(P (x))asembarang
∈
∀
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Apabila a adalah elemen teretentu (diambil dengan memilih beberapa saja ), maka kita dapat mengadakan generalisasi yaitu terdapat x yang bersifat P , prinsip ini disebut Generalisasi Eksistensial (EG) FMIPA-UNEJ
EG : (a U ), P (a)( x)(P (x))atertentu
∈
∃
Secara umum apabila premis-premisnya hanya memuat kuantor universal dan kita hanya menggunakan U S dan U G persoalannya agak mudah dibandingkan dengan penggunaan kuantor universal dan eksistensial bersama-sama ES dan EG. Untuk itu perlu diperhatikan dalam penggunaannys:
Daftar Isi
Judul
(i) Tidak benar
( x)(x = y) (y = y)
∃
Ada suatu x yang tidak sama dengan y. x yang dimaksud adalah x = y jadi x tidak dapat digantikan dengan y
(ii) Kita tidak dapat menggunakan E S sebagai kesimpulan dari
185 dari 330
Cari Halaman
( x)( y)F (x, y) ( y)( x)F (x, y)
∀ ∃
∃ ∀
(iii) Kita tidak dapat menggunakan E S untuk menyimpulkan
( x)P (x), ( x)Q(x) ( x) P (x)
∃
∃
∃
∧ Q(x)
(iv) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan sembarang unsur ( x)P (x) P (y)
∃
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Kesimpulan-kesimpulan (generalisasi) di atas dikenal sebagai konsekuensi (kesimpulan) yang tidak diinginkan yang sering mengelirukan (unwanted consequences ). FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
186 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.6.
Sesat Pikir
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan argumen yang tidak valid dikatakan sesat pikir.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 5.18. Jika hari hujan maka tanah basah Tanah basah Hari hujan Penarikan kesimpulan hari hujan dari tanah basah adalah tidak sah / sesat. Kita dapat membuktikan bahwa ( p q ) q p adalah bukan tautologi.
→ ∧ →
Judul
187 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.19. Kembali
Jika hari hujan maka tanah basah Hari tidak hujan Tanah tidak basah
Layar Penuh
Adalah penarikan kesimpulan yang tidak sah / sesat. sebab ( p q ) ( p) q bukan tautologi. Akan tetapi berbeda halnya jika premis mayornya dinyatakan dengan biimplikasi seperti misalnya :
∧ ¬ → ¬
→
Tutup
Keluar
P 1
:
P 2
:
Suatu banguan segiempat disebut bujur sangkar Keempat sudutnya = 90o dan keempat sisinya sama panjang. Segi empat ABCD , AB = CD = BC = AD dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90o ABCD bujur sangkar
FMIPA-UNEJ
K 1 : atau P 3 : PQRS bukan bujur sangkar K 2 : Salah satu sisinya tidak sama dengan yang lain atau Salah satu sudutnya bukan 90o
Daftar Isi
Judul
Dapat dibuktikan bahwa
↔ q ), ¬ p ¬q ( p ↔ q ), q p
( p
188 dari 330
dua-duanya valid. Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.7.
Sistem Deduktif dalam Matematika
Teori matematika (yang lebih sering disebut sebagai matematika murni) dapat dipandang suatu sistem deduktif yang tidak harus terkait dengan dunia nyata. Sebagai sistem deduktif matematika terdiri atas beberapa komponen diantaranya:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. unsur primitif atau unsur tak terdefinisi; Judul
2. definisi yang biasanya terdiri atas sekumpulan aksioma atau postulat; 3. aturan yang mengatur bagaimana suatu operasi dalam sistem tersebut diberlakukan; 4. teorema atau proposisi yang merupakan sekumpulan sifat-sifat yang diturunkan dari definisis dan aturan yang ada; 5. lemma yang merupakan teorama bantu yang diperlukan untuk membuktikan teorema utama;
189 dari 330
Cari Halaman
Kembali
6. korolari yang merupakan konsekuensi logis dari suatu teorema yang dianggap terlalu dekat untuk dipisah menjadi teorema lain; Layar Penuh
7. konjektur yang belum bisa dibuktikan. Aksioma dalam sistem matematika harus memenuhi syarat utama yang disebut syarat konsistensi yaitu antara satu aksioma dengan aksioma lain
Tutup
Keluar
dalam suatu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Dengan demikian, dapat juga dijamin bahwa teorema-teorama yang diturunkan juga terbebas dari kontradiksi. Syarat yang kedua, namun tidak dianggap mendesak adalah syarat independensi yaitu aksioma-aksioma yang menjadi definisi tidak ada yang dapat diturunkan dari aksioma lainnya. Karena kalau terjadi demikian, maka aksioma tersebut sesungguhnya telah menjadi suatu teorema. Kegiatan mendefinisikan suatu sistem (misalnya Aljabar Boole, Grup atau Ring) dengan jumlah aksioma seminim mungkin, merupakan suatu topik penelitian tersendiri yang cukup menarik dalam bidang matematika murni. Beberapa sistem aksioma yang penting yang banyak dikenal dalam matematika diantaranya adalah Sistem Aksioma Aljabar Boole dan beberapa struktur dalam matematika seperti grup/kelompok, ring/gelanggang dan field/medan. Sistem aksioma ini banyak dibahas dalam aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
190 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Lipschutz [9], dan Polimeni & Straight [15]. Sedangkan untuk melihat beberapa contoh sistem aksioma dalam matematika dapat dibaca beberapa referensi tentang aljabar boole maupun aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
191 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.9.
Soal-soal Latihan
1. Selidiki apakah argumen-argumen beriku valid atau tidak. (a) p
→ q, q → p p ↔ q (b) p → q, ¬ p ¬q (c) p → q, ¬ p q (d) p → q, r → q r → ¬ p 2. Selidiki apakah penarikan kesimpulan ini sah / valid atau tidak. (a) Argumen Jika saya belajar maka saya lulus ujian Jika saya tidak menikah maka saya tidak lulus ujian Jika saya belajar maka saya menikah (b) Argumen Jika 2 bilangan genap maka 7 bilangan prima 7 bukan bilangan prima atau 9 bilangan sempurna 9 adalah bilangan sempurna
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
192 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(c) Argumen Setiap manusia adalah makhluk Tuhan Setan adalah makhluk Tuhan Setan adalah manusia
Tutup
Keluar
(d) Argumen Semua bujur sangkar adalah persegi panjang Tidak ada persegi panjang yang bukan jajaran genjang Bujur sangkar adalah jajaran genjang
FMIPA-UNEJ
(e) Argumen Jika matahari terbit dari barat maka 2 + 2 = 5 Jika manusia bermuka dua maka matahari terbit dari barat 2+2 = 5 Manusia tidak bermuka dua
Daftar Isi
Judul
3. Jika dapat berikan kesimpulannya agar argumen-argumen berikut valid. Tentukan prinsip apa yang dipakai. 193 dari 330
(a) Argumen Setiap manusia adalah hewan Einstein adalah manusia K ............................................... (b) Argumen Siti adalah mahasiswa Siti adalah pegawai negeri K ..................................................
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(c) Argumen Keluar
Saya naik kelas atau tidak diberi hadiah Saya tidak naik kelas atau saya senang Saya tidak senang K ........................................................
FMIPA-UNEJ
(d) Argumen Atau ayah atau ibu menjemput adik (tapi tidak keduanya) Ayah menjemput adik K .............................................................. (e) Argumen Jika 2 + 3 = 5 maka 6 adalah bilangan sempurna Jika 2 7 = 14 maka 8 adalah bilangan asli 6 bukan bilangan sempurna atau 8 bukan bilangan asli K .................................................................
×
(f) Argumen Jika Paris ada di Perancis maka 3 + 5 = 6 Jika 4 + 5 = 9 maka 72 = 14 Paris ada di Perancis atau 4 + 5 = 9 K ..................................................................... (g) Argumen Jika 2 = 3 maka 62 = 12 Jika 3 + 2 = 6 maka 62 = 12 62 = 12 K ..........................................................
Daftar Isi
Judul
194 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Selidiki valid (sah) atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut : (a) Argumen
FMIPA-UNEJ
Jika London tidak di Denmark, maka Paris tidak di Perancis Paris di Perancis London di Denmark
Daftar Isi
(b) Argumen Jika saya belajar, maka saya tidak jatuh (gagal) dalam matematika Saya tidak belajar Saya jatuh dalam matematika (c) Argumen Jika 6 adalah genap, maka 2 adalah bukan pembagi 7 5 bukan prima atau 2 adalah pembagi 7 5 adalah prima 6 adalah bukan genap (d) Argumen Pada hari ini ulang tahun istriku, kuberikan dia bunga Hari ini ulang tahun istriku atau saya terlambat ke kantor Saya tidak memberikan bunga istriku hari ini Hari ini saya terlambat ke kantor
Judul
195 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(e) Argumen Keluar
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar Saya belajar atau saya lulus ujian Saya bekerja Saya lulus ujian
FMIPA-UNEJ
(f) Argumen Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar Saya belajar atau saya lulus ujian Saya lulus ujian Saya bekerja
Daftar Isi
Judul
196 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 6
Daftar Isi
Judul
HIMPUNAN
197 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep himpunan beserta operasinya serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
198 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat: 1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
FMIPA-UNEJ
2. menentukan relasi dua himpunan;
Daftar Isi
3. menyelesaikan operasi dasar himpunan; Judul
4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan; 5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan; 6. menunjukkan sifat-sifat relasi
⊆;
199 dari 330
7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme. Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Definisi dan jenis himpunan FMIPA-UNEJ
2. Relasi himpunan 3. Operasi dasar himpunan
Daftar Isi
4. Sifat-sifat operasi himpunan Judul
5. Operasi jumlah dan selisih himpunan 6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset ( )
⊆
7. Pengguaan himpuan dalam silogisme 200 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.1.
Definisi dan Jenis Himpunan
Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam himpunan ‘tradisional’ kumpulan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti dengan jelas dapat ditentukan apakah suatu objek termasuk dalam suatu kumpulan atau tidak. Selain itu dalam himpunan ‘tradisional’ (untuk membedakan dengan pengertian himpunan samar atau fuzzy set ) tidak ada perbedaan tingkat keangggotaan suatu objek pada suatu himpunan. Berbeda dengan himpunan organisasi yang anggotanya mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif dan lain sebagainya. Himpunan sering juga disebut gugus (Lihat misalnya Nasoetion [11]). Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matematikawan Jerman George Cantor (1845-1918). Cantor menggunakan istilah ”menge” dalam bahasa German yang berarti “Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadi kesatuan”. Dalam bahasa Inggris “menge” disebut set (Nasoetion [11, hal.15]).
Definisi 6.1.1. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi dengan tegas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
201 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan objek yang menjadi angggota ditulis diatara kurung kurawal, . Objek yang menjadi anggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Unsur-unsur suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menulis keseluruhannya (disebut cara
{}
Tutup
Keluar
tabulasi atau dengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cara rumusan atau deskripsi). Contoh 6.1. A = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , maka dengan jelas dapat ditentukan
{
}
FMIPA-UNEJ
i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 A.
∈ ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.
Daftar Isi
iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 A.
∈
Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama atau dibawah 17, dalam notasi matematika
{ | ≤ 17 ∧ x : prima} atau A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima } atau A = {x; x ≤ 17 dan x adalah prima }
Judul
A = x x
202 dari 330
Cari Halaman
Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “ ”, namun ada juga yang menggunakan tanda “:” dan “;”. (Ruseffendi [16])
|
Contoh 6.2. G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.3. M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak.
FMIPA-UNEJ
Definisi 6.1.2. Himpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U adalah himpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadi pembicaraan)
Daftar Isi
Judul
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal ( universal set ).
Contoh 6.4. Beberapa contoh himpunan semesta misalnya i U adalah himpunan bilangan riil, ii U adalah himpunan manusia.
203 dari 330
Cari Halaman
Definisi 6.1.3. Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari himpunan tersebut. Kardinal himpunan A dinotasikan dengan #(A)
Kembali
Layar Penuh
Contoh 6.5. Untuk A = 1, 3, 5, 7, 9 , maka #(A) = 5.
{
}
Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi himpunan kosong, himpunan berhingga dan himunan takhingga.
Tutup
Keluar
Definisi 6.1.4. Himpunan kosong atau empty set atau void set, dinotasikan dengan atau adalah himpunan yang tidak memiliki unsur dengan kata lain A = jika dan hanya jika #(A) = 0
∅
{}
FMIPA-UNEJ
∅
Definisi 6.1.5. Himpunan berhingga atau finite set adalah himpunan yang kardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0
Daftar Isi
≤ #(A) < ∞
Definisi 6.1.6. Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya tak hingga A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) =
Judul
∞ 204 dari 330
Contoh 6.6. H adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakan himpunan kosong.
Cari Halaman
Contoh 6.7. A = 2, 3, 5, 7 adalah merupakan himpunan berhingga.
{
}
Contoh 6.8. N himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan himpunan takhingga. Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut diagram Venn. Diagram Venn terdiri atas persegi panjang untuk mengambarkan himpunan semesta, kurva tertutup untuk menggambarkan himpunan dan titik-titik untuk menggambarkan unsur-unsur himpunan seperti pada Gambar 6.1.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
S=U
Daftar Isi
Judul
A 205 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.1: Contoh Diagram Venn
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.2.
Relasi Himpunan
Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa himpunan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki beberapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 6.2.1 (Himpunan Saling lepas). Dua himpunan dikatakan saling lepas disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur bersama. A B jika dan hanya jika x, (x A
||
∀
∈ → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)
Definisi 6.2.2 (Himpunan berpotongan) . Dua himpunan dikatakan berpotongan (dinotasikan ) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsur bersama. A B jika dan hanya jika x x A x B
∃ ∈ ∧ ∈
Definisi 6.2.3 (Himpunan sama). Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama.
Judul
206 dari 330
Cari Halaman
Kembali
A = B jika dan hanya jika x, x A
∀
∈ ↔ x ∈ B
Definisi 6.2.4 (Himpunan ekuivalen). Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika keduanya memiliki kardinal yang sama. A
≡ B ↔ #(A) = #(B)
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.2.5 (Himpunan bagian) . Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian ( subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsur himpunan lain tadi. FMIPA-UNEJ
A
⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Teorema 6.2.1 (Kesamaan dua himpunan) . A = B
Daftar Isi
⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Bukti: Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku: ⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ⇒A = B Contoh 6.9. Jika A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A ⊆ B.
Judul
207 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U=S C B FMIPA-UNEJ
A
Daftar Isi
D Judul
Gambar 6.2: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan
208 dari 330
Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunan berpotongan diberikan pada Gambar 6.2. Pada gambar tersebut diilustrasikan A B, A maupun B masing-masing lepas dengan C maupun D, namun C berpotongan dengan D.
Cari Halaman
⊆
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Teorema 6.2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga yang Keluar
bersifat A
⊆ B dan A ≡ B , maka A = B
Definisi 6.2.6 (Keluarga himpunan). Keluarga himpunan adalah himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.
FMIPA-UNEJ
Definisi 6.2.7 (Himpunan kuasa). Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan tadi. P A = B B A
Daftar Isi
{ | ⊆ }
Contoh 6.10. Jika A = 1, 3, 5 dan B = 2, 4, 6, 8 , maka A B.
{ } { } || Contoh 6.11. Jika C = {4, 5, 7, 9} dan D = {5, 7, 11, 12, 15}, maka A berpo-
Judul
209 dari 330
tongan dengan () B
Contoh 6.12. A = 2, 3, 5 dan B = 3, 2, 5 adalah merupakan himpunan yang sama.
{
}
{
}
Contoh 6.13. Jika A = 2, 3, 4 , B = 2, 3, 5 , C = a,b,c maka
{
i A
≡ B ≡ C
ii A B
}
{
}
{
Cari Halaman
Kembali
}
Layar Penuh
Tutup
iii A C dan B C
||
||
Keluar
Contoh 6.14. Jika A, B,C adalah suatu himpunan, maka K = A,B,C adalah keluarga himpunan.
{
}
, 1 , 2 , 1, 2 . Jika B = Contoh 6.15. Jika A = 1, 2 , maka P A = a,b,c maka P B = , a , b , c , a, b , a, c , b, c , a,b,c
{
}
{ } {{} { } { } { }} {{} { } { } { } { } { } { } { }}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
n
Teorema 6.2.3. Jika #(A) = n maka #(P A ) = 2 . Judul
210 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.
Operasi Himpu Himpunan nan
6.3.1.
Operasi Dasa Dasarr Himpu Himpunan nan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen (() c ), operasi biner irisan ( ) dan gabungan ( ). Keti Ketiga ga operas operasii ini ini ekuiv ekuivale alen n dengan dengan operasi negasi, negasi, konjungsi konjungsi dan disjungsi pada logika. logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.
∩
FMIPA-UNEJ
∪
Daftar Isi
Judul
Definisi 6.3.1 (Operasi Komplemen) . Komplemen suatu himpunan adalah himpuan himpuan yang beranggo eranggotakan takan unsur-unsu unsur-unsurr dari semesta semesta pembicar embicaraan aan yang tidak menjadi unsur himpuan bersangkutan. Ac = x x U
{ | ∈ ∧ x ∈ A}
211 dari 330
Cari Halaman
Contoh 6.16. Jika U = 1, 2, 3,
{
· · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9}
Kembali
maka 1. Ac = 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 2. B c
{ } = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Layar Penuh
Tutup
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 6.3 6.3.. Keluar
A
FMIPA-UNEJ
A
A Daftar Isi
Judul
Gambar 6.3: Diagram Venn untuk
Ac
212 dari 330 212
Cari Halaman
Definisi Definisi 6.3.2 (Operasi Irisan) . Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama kedua himpunan. A B = x x A x B
∩
{| ∈ ∧ ∈ }
Kembali
Layar Penuh
Teorema 6.3.1. A
= A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
Tutup
Keluar
Contoh 6.17. Jika U Jika U = 1, 2, 3, , 10 A = A = 1, 3, 5 dan B dan B = 5, 7, 9 maka A maka A B = 5 Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 6.4 6.4..
{
···
}
{
}
{
}
∩
{} FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi Definisi 6.3.3 (Operasi Gabungan) . Gabungan dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salah satu atau kedua himpunan.
Judul
A
∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B }
213 dari 330 213
Cari Halaman
Contoh 6.18. Jika U = 1, 2, 3, , 10 A = 1, 3, 5 dan B = 5, 7, 9 maka A B = 1, 3, 5, 7, 9 Ilustrasi diagram Venn dari gabungan himpunan diberikan pada Gambar 6. Gambar 6.55.
{
{ }
···
}
{
}
{
}
∪
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.2.
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole, sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit logika dan aljabar Boole juga berlaku pada operasi himpunan. Demikian juga sifat dualitas berlaku pula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada himpunan analog dengan pembuktian pada aljabar perakit.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Teorema 6.3.2 (Komplemen Ganda). Untuk sembarang A berlaku: sembarang himpunan A (Ac )c = A
(6.1)
Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran) . Untuk sembar sembarang ang himpunan A dan B berlaku: A B = B = B A (6.2a)
∩ ∩ A ∪ B = B = B ∪ A
∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B ) ∪ C = A ∩ (B ∪ C )
214 dari 330 214
Cari Halaman
(6.2b) Kembali
Teorema 6.3.4 ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan) . Untuk sembarang himpunan A, B dan C berlaku: (A
Layar Penuh
(6.3a) Tutup
(6.3b) Keluar
Teorema 6.3.5 ( Sifat Identitas) . Terdapat identitas untuk interseksi ( ) U ) dan untuk setiap himpunan A berlaku dan identitas untuk gabungan ( U )
∅
∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ = A A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A A
(6.4a)
(6.4b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 6.3.6 ( Sifat Komplemen) . Untuk setiap A terdapat dengan tunggal Ac sehingga (A Ac ) = (6.5a)
∩ ∅ (A ∪ A ) = U c
(6.5b)
Teorema 6.3.7 (Komplemen identitas) . c
∅
= U
U c =
∅
(6.6a)
(6.6b)
Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan) . Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku (A B )c = A c B c (6.7a)
∩ (A ∪ B )
c
= A c
∪ ∩B
Judul
c
215 dari 330 215
Cari Halaman
Kembali
(6.7b)
Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif) . Untuk sembarang himpunan A, B dan C berlaku: A (B C ) = (A B ) (A C ) (6.8a)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩ A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
Layar Penuh
Tutup
(6.8b) Keluar
A berlaku Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten) . Untuk sembarang himpunan A A
= A ∩ A = A A ∪ A = A = A
(6.9a)
(6.9b)
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada Teorema 6.2.1 yaitu 6.2.1 yaitu A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Beri Berikut kut diambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya A B = B = B A. Bukti: Ambil sembarang unsur x (A ( A B )
⊆
∈ ∩
A ) ∧ (x ∈ B) B ) ⇒(x ∈ A) ⇒(x ∈ B) B ) ∧ (x ∈ A) A ) ( B ∩ A) ⇒x ∈ (B ( B ∩ A) ⇒(A ∩ B) ⊆ (B
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y
⊆ ∩
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
∩
definisi A B komutatif konjungsi definisi B A definisi A B
Judul
∩
∈ B ∩ A
∩ ⊆
B ) ∧ (y ∈ A) A ) definisi B ∩ A ⇒(y ∈ B) A ) ∧ (y ∈ B) B ) komutatif konjungsi ⇒(y ∈ A) ( A ∩ B ) definisi A ∩ B ⇒y ∈ (A ( A ∩ B ) definisi B ⊆ A ⇒(B ∩ A) ⊆ (A Karena (A (A ∩ B ) ⊆ (B ∩ A) dan (B ( B ∩ A) ⊆ (A ∩ B ), berdasarkan Teorema 6.2.1,, maka (B 6.2.1 ( B ∩ A) = ( A ∩ B )
216 dari 330 216
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.3.
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan dengan menggunakan operasi dasar tadi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 6.3.4 (Operasi Selisih). Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang. A/B = A
− B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B }
Judul
Teorema 6.3.11. A/B = A
∩B
c
217 dari 330
Definisi 6.3.5 (Operasi Jumlah). Jumlah dua himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan. A + B = (x A
{ ∈ ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ (A ∩ B)}
Contoh 6.19. Jika A = 1, 3, 5, 7, 9 dan B = 4, 5, 6, 8, 10 maka
{
1. A
}
∩ B = {5} 2. A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
{
}
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. A/B = 1, 5, 7, 9
{ } 4. B/A = {4, 6, 8, 10} 5. A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
FMIPA-UNEJ
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secara formal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.
Daftar Isi
Judul
Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A, B A + B = (A
∪ B)/(A ∩ B)
218 dari 330
Cari Halaman
Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A, B A + B = (A/B)
∪ (B/A)
Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A, B
Kembali
Layar Penuh
Tutup
A + B = B + A Keluar
Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A, B,C
∪ B)/C = (A/C ) ∪ (B/C ) (A ∩ B)/C = (A/C ) ∩ (B/C ) (A
(6.10a) (6.10b)
FMIPA-UNEJ
Definisi 6.3.6 (Partisi himpunan). Himpunan A dan B dikatakan partisi dari himpunan C jika dan hanya jika A dan B saling lepas dan gabungannya sama dengan C.
Daftar Isi
Judul
↔
A, B partisi dari C
(A
∩ B = ∅) ∧ (A ∪ B = C )
219 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A Judul
220 dari 330
B Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.4: Diagram Venn A
∩B
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
B
Judul
221 dari 330
A
Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.5: Diagram Venn
A
∪B
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
A
A
B
222 dari 330 B
Cari Halaman
Gambar 6.6: Diagram Venn A/B dan A + B
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.4.
Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Konsep himpunan bagian ( ) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
⊂
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 6.4.1. Relasi non simetrik yaitu:
⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi (6.11a) ∀A, A ⊆ A (6.11b) ∀(A,B,C ) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C ) ⇒ (A ⊆ C ) (6.11c) ∀(A, B) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇒ (A = B)
Teorema 6.4.2. Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka 1. A
⊆ A 2. ∅ ⊆ A 3. A ⊆ U
Judul
223 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian. Bukti 3.:
Tutup
Keluar
Andaikan A U berarti x A, x U . Tetapi berdasarkan definisi U tidak ada x / U . Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A U
⊆ ∈
∃ ∈
∈
⊆
FMIPA-UNEJ
Teorema 6.4.3. A
Daftar Isi
⊆ B ⇔ A ∪ B = B
Judul
Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya 1. (A
⊆ B) ⇒ A ∪ B = B 2. A ⊆ B ⇐ (A ∪ B = B) 3. (A ∪ B) ⊆ B) 4. B ⊆ (A ∪ B) Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B. Ambil sembarang y ∈ (A ∪ B) definisi A ∩ B ⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) A ⊆ B ⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) idempoten ∨ ⇒(y ∈ B) definisi B ⊆ A ⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B)
224 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ambil sembarang z B
∈ ⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) ⇒(y ∈ (A ∪ B) ⇒(y ∈ B) ⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B)
sifat additif A B idempoten definisi B A
⊆
∨ FMIPA-UNEJ
∨ ⊆
Daftar Isi
Berarti kita telah membuktikan bahwa Judul
A
⊆ B ⇒ A ∪ B = B Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪ B = B, berarti A ∪ B ⊆ B, karenanya ⇒∀x x ∈ (A ∪ B), ⇒ x ∈ B ⇒ ∃x x ∈ (A ∪ B), ∧x ∈ B ⇒ ∃x (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ B ⇒(∃x ∈ A) ∧ (∃x ∈ B) x ∈ B ⇒(∃x ∈ A) x ∈ B ⇒∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒A ⊆ B Teorema 6.4.4. Untuk himpunan semesta U dan himpunan A
⊆ ⇔ A = U
225 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
U A
Keluar
Teorema 6.4.5. A
⊆ ∅ ⇔ A = ∅
Teorema 6.4.6. Untuk sembarang himpunan A dan B , A
FMIPA-UNEJ
⊆ A ∪ B dan B ⊆ A ∪ B
Daftar Isi
Teorema 6.4.7. Untuk sembarang himpunan A dan B , (A
∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B
Judul
Teorema 6.4.8. Untuk sembarang himpunan A dan B ,
⊆ A dan (B/A) ⊆ B Teorema 6.4.9. Untuk A, B,C ⊆ U (A ⊆ C ) ∧ (B ⊆ C ) ⇒ (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B) ⊆ C Teorema 6.4.10. Untuk A, B,C ⊆ U (A ⊆ C ) ∨ (B ⊆ C ) ⇒ (A ∩ B) ⊆ C Teorema 6.4.11. Untuk A, B,C ⊆ U (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C
(A/B)
226 dari 330
(6.12)
Cari Halaman
Kembali
(6.13) Layar Penuh
(6.14)
Tutup
Keluar
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnya dan dihubungkan dengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam hal hubungan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu: 1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ( ) adalah subset dari setiap himpunan.
∅
Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong. Misalkan diketahui subset-sebset A, B,C, D, E dari S mempunyai hubungan sebagai berikut: A B, B C, D B. maka diagram pohon lengkapnya adalah seperti pada bagian kiri Gambar 6.7, sedangkan jika S = 1, 2, 3, , 10 X = 1, 3, 5, 7, 9 , Y = 2, 4, 6, 8, 10 , Z = 2, 3, 5, 7 W = 2, 4 dan V = 2 maka diagram pohhon lengkapnya adalah seperti pada bagian kanan Gambar 6.7.
⊆
{ ··· { }
} { { }
⊆
}
⊆
{
}
{
}
227 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi U
C
U=S
E
X
Y
B A
Z
Judul
W D V
{}
{}
228 dari 330 228
Cari Halaman
Gambar 6.7: Diagram pohon untuk A untuk A,, B,C,D (kiri) B,C,D (kiri) dan untuk S untuk S,, X, Y,Z dan dan V V (kanan)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.5.
Penggunaan Himpunan dalam Silogisme
Pada Subbab 5.5 5.5 telah telah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan dengan argumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahas hal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram diagram Venn. Berikut Berikut diberikan diberikan rangkuman kondisi unsur dua himpunan (A (A dan B ) beserta hubungan yang terjadi diantaranya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
No Unsur A dan B
1
2
3
4
Relasi A Relasi A dengan B semua unsur A menjadi A B unsur B (universal affirmative ) semua un u nsur A tidak A B c menjadi unsur B ( universal negative ) sebagian unsur A men- A B B jadi unsur B (particular affirmative ) sebagian unsur A tidak A B B menjadi unsur B unsur B (particular negative )
⊂ ⊂
A
∩B
Diagram Venn
Gambar 6.88 A B = A Gambar 6. c atau A atau A B =
∩
∅
∩
A
∩ B = ∅
Gambar 6. Gambar 6.99
A
∩ B = ∅
Gambar 6.10 Gambar 6.10
A
c
229 dari 330 229
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
∩ B = ∅
Gambar 6.11 Gambar 6.11 Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A
Judul
B
230 dari 330 230
Cari Halaman
Gambar 6.8: Diagram Venn untuk
A
⊂ B atau A ∩ B
c
=
∅ Kembali
Beriku Berikutt diuraik diuraikan an sifat-s sifat-sifa ifatt relasi relasi himpuna himpunan n yang yang terk terkait dengan dengan penarikan kesimpulan secara silogisme.
Layar Penuh
Tutup
A, B,C Teorema 6.5.1. Untuk A,
⊆ U jika A himpunan bagian dari B dan
Keluar
B
FMIPA-UNEJ
A Daftar Isi
Gambar 6.9: Diagram Venn
A
A himpunan bagian dari C maka A himpunan bagian dari C (A
c
c
c
( A ∩ C = ∅) (6.15) ∩ B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅) ↔ (A Teorema 6.5.2. Untuk A, A, B,C ⊆ U jika A beririsan dengan B dan B
beririsan dengan C ,
(A
Judul
|| atau A ∩ B = ∅
(6.16) ∩ B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅) maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C A, B,C ⊆ U jika A lepas dengan B dan B lepas Teorema 6.5.3. Untuk A, dengan C , (A ∩ B = ∅) ∧ (B ∩ C (6.17) = ∅) maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
231 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A
B
Judul
232 dari 330 232
Cari Halaman
Gambar 6.10: Diagram Venn untuk
A
∩ B = ∅
Aturan 6.5.1. Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kesimpulan seperti di atas
Kembali
Layar Penuh
1. Tidak ada kesimpulan yang yang dapat diambil dari dua dua pernyataan negatif. Jika A A B (Tidak ada unsur A A menjadi unsur B B ), dan B dan B C (tidak (tidak ada unsur B menjadi unsur C ), ), maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan A dan C C (bisa berh b erhubung ubungan, an, bisa tidak, tidak,
||
||
Tutup
Keluar
A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
B
233 dari 330 233
Cari Halaman
Gambar 6.11: Diagram Venn untuk
A
c
∩ B = ∅ Kembali
lihat Gambar 6.12 Gambar 6.12 ). ). Layar Penuh
2. Jika Jika salah salah satu satu premis premis negatif, negatif, maka maka kesim kesimpul pulan an juga juga negati negatif. f. Jika Jika A B (tidak ada unsur A yang menjadi B dan C B ( C bagian C bagian dari B , maka A C C (tidak ada unsur A yang menjadi C . (lih (lihat at Gam Gambar bar 6.13 .
||
||
⊆ ⊆
Tutup
Keluar
C2 C1
FMIPA-UNEJ A B
Daftar Isi
Judul
Gambar 6.12: Diagram Venn untuk A B dan B C 1 ; B C 2 , namun A C 1 , A C 1
||
||
||
||
3. Jika kedua premis premis positif, maka maka kesimpulannya kesimpulannya juga positif. Jika A Jika A B (semua unsur A menjadi A menjadi unsur B B dan B dan B C (semua C (semua unsur B B menjadi unsur C , C , maka A A C (semua C (semua unsur A menjadi unsur C ). ).
⊆
⊆
⊆
4. Dalam sillogism sillogismee harus ada Unsur (terma/ (terma/ term ) tengah/ antara dan harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premis minor. 5. Semua unsur yang yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul muncul dalam premis mayor mayor atau premis minor.
par6. Tidak ada kesimpulan kesimpulan yang dapat diambil diambil dari dua premis premis khusus ( particular premises), baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif. Jika A A B = (Jika ada unsur A yang A yang menjadi unsur B) B ) dan B dan B C =
∩ ∅
∩ ∅
234 dari 330 234
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
C
Daftar Isi
A B Judul
Gambar 6.13: Diagram Venn untuk A B, C B, B , maka A maka A C
||
⊂ ⊂
||
(ada unsur B menjadi unsur C ), ), maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil tentang A C (lihat (lihat Gambar 6.14 Gambar 6.14 .) .)
235 dari 330 235
Cari Halaman
∩
7. Jika salah salah satu premis betuknya khusus khusus (eksistensial), maka maka kesimpulan juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika A B = (ada unsur A menjadi unsur B B ) dan ada beberapa kondisi lain ( B C , C , semua unsur B menjadi unsur C ), C ), maka kesimpulan yang pasti, yang dapat diambil adalah A adalah A C = (ada unsur A A menjadi unsur C , C , lihat Gambar 6.15 Gambar 6.15 ). ).
∩ ∅ ⊂
∩ ∅
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
C2
FMIPA-UNEJ C1 A
Daftar Isi
B
Judul
Gambar 6.14: Diagram Venn untuk A untuk A B B,, B C C 1 dan B dan B C 2 . Namun, A Namun, A C 1 dan A C C 2
236 dari 330 236
Cari Halaman
C
Kembali A
B
Layar Penuh
Gambar 6.15: Diagram Venn untuk A B B dan B dan B
maka A C C ⊆ C, maka A
Tutup
Keluar
6.6.
Bacaann Lebih Lanju Bacaa Lanjutt
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya antaranya Ruseffendi [ Ruseffendi [16 16], ], Nasoetion [11 [11], ], Lipschutz [ Lipschutz [99], Polimeni & Straight [15 15]] dan Courant & Robbins [3 [ 3] . Seca Secara ra umum umum hamp hampir ir semua semua buku teks teks tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
237 dari 330 237
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7.
Soal-soal Latihan
1. Nyatak Nyatakan an benar b enar atau salah pernyataan pernyataan-perny -pernyataan ataan berikut ini:
∅ ∈ {2, 3} (b) {1, 2, 3} = {2, 3, 1} (c) {x ≤ 16 |x : prima} ⊆ {0, 1, 2, · · · , 13} (d) {1, 3, 5, · · · } ≡ {1, 2, 3, ···} (e) {1, 3, 5, · · · } ⊆ {1, 2, 3, ···} (a)
2. Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan tentukan semua subset-subsetnya. subset-subsetnya. Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya. (a) 2, 3, 4
{ } (b) {∅, {2, 3}} (c) {a,b,c,d } 3. Buktikan Teorema 6.4.1 eorema 6.4.1 pada pada halaman 223 223..
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
238 dari 330 238
Cari Halaman
Kembali
4. Buktikan Teorema 6.4.4 eorema 6.4.4 pada pada halaman 225 225.. 5. Buktikan Teorema 6.4.10 eorema 6.4.10 pada pada halaman 226 226.. 6. Tentukan entukan apakah hubungan antara A dan C bisa C bisa dibuat, jika ya tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yang tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan):
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A
⊆ B,B ⊆ C (b) A ⊆ B,C ⊆ B (c) A B,B C
FMIPA-UNEJ
(d) A B, B C
||
||
Daftar Isi
7. Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut. Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya.
Judul
(a) P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa (Simpulkan hubungan burung dengan cecak) (b) P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkaki empat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisa terbang?). (c) P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawan yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?) (d) P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak ada pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?) (e) P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkar itu (sama dengan) persegi panjang?) 8. Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan A,B,C,D,E dan berikut:
∅
239 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A = 1, 5
{1, 2, 3, 5}, B
{1, 3, 5}, C = {2, 3, 5}, D
=
=
{2, 5}, E =
{ } (b) A = {a,b,c,d }, B = {b,c,d}, C = {a,b,c}, D = {b, c}, E = {b, d}
FMIPA-UNEJ
9. Buatlah himpunan yang memenuhi struktur subset seperti pada gambar berikut: U=S
X
P
Daftar Isi
U
Y
Z
C
Judul
E
F
W
V
{}
B A
D
{}
240 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 7
Daftar Isi
Judul
HIMPUNAN BILANGAN
241 dari 330
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v ...). Pada subbab ini akan dibahas beberapa himpunan bilangan yang penting.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Mahasiswa memahami himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
242 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Mahasiswa dapat menyebutkan ciri-ciri, contoh, dan sifat-sifat operasi hitung dalam himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
243 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. himpunan Bilangan Asli; 2. himpunan Bilangan Cacah;
FMIPA-UNEJ
3. himpunan Bilangan Bulat;
Daftar Isi
4. himpunan Bilangan Rasional; Judul
5. himpunan Bilangan ; 6. himpunan Bilangan Riil;
244 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.1.
Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam ( Natural numbers ). Bilangan ini merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita. Himpunan bilangan Asli N = 1, 2, 3,
{
FMIPA-UNEJ
···}
Daftar Isi
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Judul
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x + y ∈ N ∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N ) Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian , yaitu:
∀x, y ∈ N x + y = y + x
∀
x.y = y.x x,y,z N x + (y + z ) = (x + y) + z x.(y.z ) = (x.y).z
∈
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
245 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
∀x,y,z ∈ N (x + y)z = xz + yz Keluar
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumlahan.
∃1, ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
FMIPA-UNEJ
tetapi
∃ e ∈ N, ∀x ∈ N x + e = e + x = x
Daftar Isi
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut: 1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun perkalian. x(= 1) N, x N, x.x = 1
Judul
∀ ∈ ∃ ∈
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃ x, y ∈ N (x − y) ∈ N dan ∃ x, y ∈ N (x/y) ∈ N Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima 1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit . Jadi 1
246 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber diantaranya Courant & Robbins [ 3, hal 21-31] Keluar
1. Himpunan bilangan Prima = P = 2, 3, 5, 7, 11, 13
{
···}
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P FMIPA-UNEJ
Definisi 7.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k ∗ adalah bilangan asli berikutnya setelah bilagan asli k . Jadi k ∗ = k + 1.
Daftar Isi
Judul
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S N , berlaku
(1 N )
∈
∗
∧ (∀ k ∈ S ⇒ k ∈ S )
⊆ ⇒ (S = N )
∗
∈ N ) ∧ (∀ (k > n ) ∈ S ⇒ k ∈ S )
(n1
1
⇒
(S = n1 , n1 + 1, n1 + 2,
{
···}
247 dari 330
Cari Halaman
Kembali
···})
(7.2) Persamaan (7.2) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada S maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S , maka S adalah himpunan bilangan asli mulai dari n 1 , yaitu S = n1 , n1 + 1, n1 + 2, .
{
(7.1)
Persamaan (7.1) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S , maka S adalah himpunan seluruh bilangan asli.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
∧ ∀ P (1)
k, P (k)
∗
⇒ P (k )
⇒
P (n), n
∀ ∈ N
FMIPA-UNEJ
(7.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung.
Definisi 7.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan dikatakan himpunan takterhitung yang merupakan himpunan kontinu.
Daftar Isi
Judul
248 dari 330
Cari Halaman
Contoh 7.1. H = 1, 3, 5, ,Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = x 1 < x < 2, x , himpunan bilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung.
{
∈ }
···}
{ |
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.2.
Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk mementukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
∅
∪ { }
Himpunan bilangan Cacah(C ) = N
0 = 0, 1, 2,
{
···}
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunanbilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun invers perkalian.
Judul
249 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, ∀c ∈ C, 0 + c = c + 0 = c Tetapi
Layar Penuh
Tutup
∀ c(= 0) ∈ C, ∃ c ∈ C c + c = 0 Keluar
7.3.
Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse pen jumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z .
FMIPA-UNEJ
Z = C
∪ {−1, −2, ···} = {··· , −2, −1, 0, 1, 2, ···}
Daftar Isi
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan, tetapi bukan invers perkalian.
Judul
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
∀ c ∈ C, ∃ c ∈ C c + c = 0
250 dari 330
Tetapi,
∀ c(= 0) ∈ C, ∃ c ∈ C c.c = 1
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.4.
Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umum bilangan rasional didefinisika seperti pada definisi berikut ini.
Definisi 7.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b = 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
251 dari 330
Contoh 7.2. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilanganbilangan rasional Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers pen jumlahan, maupun invers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
∀ x ∈ Q, ∃ x ∈ Q x + x = 0 dan ∀ x(= 0) ∈ C, ∃ x ∈ Q c.c = 1
Tutup
Keluar
7.5.
Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
U=R
Judul
N
C
Z
Q 252 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 7.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil Layar Penuh
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan x n = y untuk n 2 tidak memiliki penyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa tidak ada bilangan rasional x sedemikian sehingga x n = 2. Dengan kata lain,
≥
Tutup
Keluar
√ 2 bukan bilangan rasional.
Bilangan-bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b), disebut bilangan irasional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar ( a) juga termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan irasional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan Euler tahun 1748 dan bilangan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai n
√ n
∞
e =
n=0
1 1 1 1 = 1+ + + + n 1! 2! 3!
∞
−
Daftar Isi
Judul
···
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalah John Wallis dengan rumus π 2n 2n = 2 n=1 2n + 1 2n 1
FMIPA-UNEJ
(Courant & Robbins [3]) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan himpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram struktur Himpunan Bilangan dapat digambarkan pada Gambar 7.1. Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum seperti pada Tabel berikut.
253 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
No Sifat-sifat Operasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Identitas Penjumlahan (0), 0 + a = a + 0 = a Identitas Perkalian(1), 1a = a1 = a Kumutatif Penjumlahan a + b = b+a Kumutatif Perkalian ab = ba Asosiatif Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) Invers Penjumlahan a + ( a) = 0 Invers Perkalian a(1/a) = 1 Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan a(b + c) = ab + ac Tertutup terhadap Operasi Invers Penjumlahan a + ( b) = c Tertutup terhadap Operasi Invers Perkalian a(1/b) = c Tertutup terhadap Operasi ab = c
−
−
Himpunan Bilangan N C Z Q
×
FMIPA-UNEJ
× × × × × × × × ×
× × × ×
Daftar Isi
Judul
254 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.6.
Perkembangan perhitungan π FMIPA-UNEJ
Riil
Rasional Q
Irasional
Bulat Z
Pecah
Cacah C
Bulat Ne
Asli N
0
Gambar 7.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilangan Riil
Daftar Isi
Judul
255 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadrat jaraknya dan rasio keliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan. Namun, pada awalnya belum diketahui bahwa kedua konstanta tersebut adalah sama. Buku-buku kuno menggunakan konstanta yang berbeda untuk kedua rasio tersebut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar 1650 SM, di Mesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritis sepertinya dimulai oleh Archimedes (287-212 SM) yang mendapatkan pendekatan 223/71 < π < 22/7.
FMIPA-UNEJ
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan perhitungan baik secara analitik maupun dengan menggunakan komputer. Pada zaman modern sekarang akurasi perhitungan π sempat dijadikan salah satu tes untuk mengukur kecanggihan komputer maupun suatu algorithma. Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel 7.1 dan Tabel 7.2
Daftar Isi
Judul
Tabel 7.1: Perhitungan π secara analitik Matematisi Waktu Desimal Nilai Rhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9)2 ) Archimedes 250 SM 3 3.1418 Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000) Brahmagupta 640 1 3.1622 (= 10) Fibonacci 1220 3 3.141818 Madhava 1400 11 3.14159265359 Newton 1665 16 3.1415926535897932 Rutherford 1824 208 hanya 152 benar Shanks 1874 707 hanya 527 benar
256 dari 330
Cari Halaman
√
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 7.2: Perhitungan π dengan mesin Matematisi Ferguson Ferguson, Wrench Smith, Wrench Reitwiesner dkk. Nicholson, Jeenel Felton Genuys Felton Guilloud Shanks, Wrench Guilloud, Filliatre Guilloud, Dichampt Guilloud, Bouyer Miyoshi, Kanada Guilloud Kanada, Yoshino, Tamura Ushiro, Kanada Gosper Bailey Kanada, Tamura, Kubo Kanada, Tamura Chudnovskys Kanada, Tamura Chudnovskys Kanada, Tamura Chudnovskys
Waktu 1947 1947 1949 1949 1954 1957 1958 1958 1959 1961 1966 1967 1973 1981 1982 1982 1983 1985 1986 1987 1988 1989 1989 1989 1989 1994
Desimal 710 808 1120 2037 3092 7480 10000 10021 16167 100265 250000 500000 1001250 2000036 2000050 16777206 10013395 17526200 29360111 134217700 201326551 525229270 536870898 1011196691 1073741799 4044000000
Mesin Kalkulator Kalkulator Kalkulator ENIAC NORAC PEGASUS IBM 704 PEGASUS IBM 704 IBM 7090 IBM 7030 CDC 6600 CDC 7600 FACOM M-200
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
257 dari 330
Cari Halaman
HITACHI M-280H HITACHI S-810/20 SYMBOLICS 3670 CRAY-2 NEC SX-2 HITACHI S-820/80
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.7.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9], Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85 dan Courant & Robbins [3]. Bagi yang berminat mempelajari bilangan dari sisi sejarahnya dapat membaca Haza’s et al. [7]. Secara umum hampir semua buku teks tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
258 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.8.
Soal-soal Latihan
1. Berikan dua contoh bilangan desimal yang takberhingga dan berulang. 2. Tentukan bentuk pecahan biasa dari contoh di atas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
259 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
260 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 8
Daftar Isi
Judul
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
261 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan fungsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
262 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat 1. menyelesaik menyelesaikan an perkalian perkalian Kartesius dua himpunan himpunan
FMIPA-UNEJ
2. memberi memberi contoh contoh berbagai jenis relasi dengan dengan sifat-sifatnya sifat-sifatnya
Daftar Isi
3. memberi memberi contoh contoh berbagai jenis fungsi dengan dengan sifat-sifatnya sifat-sifatnya Judul
263 dari 330 263
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Perka Perkalian lian Kartesius Kartesius 2. Relasi dan sifat-sifatn sifat-sifatnya ya
FMIPA-UNEJ
3. Fungsi
Daftar Isi
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius.
Judul
264 dari 330 264
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.1.
Perkalian Perk alian Kartesius
Definisi 8.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali. A
{
}
{ }
1. A
(1, 4), 4), (1, (1, 5), 5), (3, (3, 4), 4), (3, (3, 5), 5), (5, (5, 4), 4), (5, (5, 5)} × B = {(1, 2. B × A = {(4, (4, 1), 1), (4, (4, 3), 3), (4, (4, 5), 5), (5, (5, 1), 1), (5, (5, 3), 3), (5, (5, 5)} Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar 8.1.. 8.1
Teorema 8.1.1. Untuk sembarang A dan B , secara umum berlaku:
× B = B × A 2. A × B ≡ B × A
Daftar Isi
× B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B }
Jika A = 1, 3, 5 dan B dan B = 4, 5 maka Contoh 8.1. Jika A
1. A
FMIPA-UNEJ
Judul
265 dari 330 265
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6
FMIPA-UNEJ 4
B
Daftar Isi
2
Judul
0
0
2
4
6
A
Gambar 8.1: Diagram kartesius mengilustrasikan A mengilustrasikan A
×B
266 dari 330 266
Cari Halaman
3. (A
A = B B × B) = (B × A) ⇔ A = Kembali
Definisi 8.1.2. 2
A
= A = {(a , a )|a , a ∈ A } (8.1a) × A = A A × A × . . . × A = A = {(a , a , . . . , a )|a ∈ A, i = 1, 2, . . . , n } (8.1b) 1
n
n
1
2
2
n
1
2
Layar Penuh
i
Tutup
Keluar
8.2. Relasi Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkalian perkalian dua himpunan bersangkutan. bersangkutan. Relasi Relasi dari himpunan himpunan A ke B dinotasikan dengan RA×B atau R : A : A B . Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi R : A : A B yaitu:
→
FMIPA-UNEJ
→
Daftar Isi
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin , yaitu yaitu himpuan A himpuan A yang yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain. 2. Adanya Adanya daerah kawan kawan yang disebut kodomin , yaitu himpunan B yang menjadi kawan himpunan A. himpunan A. 3. Adanya Adanya aturan penga p engawana wanan n antara antara himpunan asal A dan himpunan kawan B . Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut berurut.. Jika Jika pasanga pasangan n berurut berurut (x, ( x, y ) merupakan ang-gota dari R maka dinotasikan dengan (x, ( x, y ) R, R , jika tidak maka dinotasikan (x, ( x, y ) R. R .
∈
∈
Judul
267 dari 330 267
Cari Halaman
Kembali
Contoh 8.2. Misalkan R Misalkan R adalah adalah relasi dari N dari N ke N ke N dengan dengan aturan pengawanan Layar Penuh
R = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 1), 1), (3, (3, 2), 2), (3, (3, 3), 3),
{
atau
···} Tutup
R = (x, y ) y
{
x ; x, y ∈ N } | ≤ x;
Keluar
Misalkan R adalah relasi dari N ke N ke N dengan aturan R aturan R((n) = 2n Contoh 8.3. Misalkan R dapat dinyatakan dengan R = (x, y ) y = 2x, x N
{
|
∈ }
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah hasil/ range dari dari R. Pada contoh diatas daerah hasil H R adalah himpunan bilangan bulat positif, yaitu H R = 2, 4, 6, .
{
FMIPA-UNEJ
···}
Daftar Isi
Judul
268 dari 330 268
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
269 dari 330
A
B Cari Halaman
Kembali
Gambar 8.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.3.
Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 8.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R
Judul
Definisi 8.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) ∈ R Definisi 8.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R Definisi 8.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R Definisi 8.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
270 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R Definisi 8.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
∀x,y,z
(x, y) R
∈ ∧ (y, z ) ∈ R
⇒
FMIPA-UNEJ
(x, z ) R
∈
Daftar Isi
Definisi 8.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasi ekuivalensi.
Judul
Contoh 8.4. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif.
271 dari 330
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil. Cari Halaman
∀x, x = x yaitu (xRx) 2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. 3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri. Keluar
Contoh 8.5. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif. 1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0)
FMIPA-UNEJ
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri.
Daftar Isi
Contoh 8.6. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif. Judul
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak sama dengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang dari dirinya sendiri. 272 dari 330
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk dari dirinya sendiri. 4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinya sendiri.
Cari Halaman
Kembali
Contoh 8.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik. 1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. 2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
Layar Penuh
Tutup
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia Keluar
Contoh 8.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik. i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil. FMIPA-UNEJ
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 8.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
Daftar Isi
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. Judul
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Contoh 8.10. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif. 273 dari 330
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
Cari Halaman
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia Kembali
Definisi 8.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
∃x,y,z
(x, y) R
∈ ∧ (y, z ) ∈ R
⇒
(x, z ) R
∈
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.11. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif. i Relasi berpotongan pada himpunan. ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 8.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
∀x,y,z
(x, y) R
∈ ∧ (y, z ) ∈ R
⇒
(x, z ) R
∈
Judul
274 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 8.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dari A ke A digambarkan dalam Gambar 8.3. Dalam diagram tersebut panah melingkar menunjukkan pengawanan ke dirinya sendiri (refleksif).
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.12. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif. i Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1. i Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
FMIPA-UNEJ
ii Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
Daftar Isi
Contoh 8.13. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi. Judul
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis. 275 dari 330
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia. v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.4.
Penyajian Relasi dengan Matriks
Selain dengan cara diagram panah, reasi juga dapat disajikan dalam bentuk matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain; 2. Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain; 3. Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian adal 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0.
Contoh 8.14.
Judul
276 dari 330
Misalkan R1 adalah relasi dari A = 1, 2, 3, 4 ke B = a,b,c dengan aturan
{
}
{
}
Cari Halaman
R1 = (1, a), (1, b), (2, c), (3, a), (4, b)
{
}
Kembali
. Misalkan pula R2 adalah relasi dari A ke dirinya sendiri dengan aturan R2 = (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4)
{
}
Layar Penuh
Tutup
, maka dalam bentuk matriks dapat disajukan sebagai berikut: Keluar
R1 =
1 2 3 4
a 1 0 1 0
b 1 0 0 1
c 0 1 0 0
,
R2 =
1 2 3 4
1 1 0 1 0
2 0 1 0 0
3 1 0 1 0
4 0 0 0 1
Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang melalui teori graph. Matriks representasi tersebut biasda disebut matriks ajasen adjacent matrix . Representasi dengan matriks memungkinkan kita memanfaatkan perangkat lunak (software ) untuk menggambar grafik dari relasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup banyak. Pada contoh berikut baik matriks relasi maupun grafiknya seperti pada Gambar 8.4 dihasilkan dengan program R.
y x z u v p r t s
y 0 1 1 1 0 0 0 0 0
x 0 0 0 1 0 0 0 0 0
z 0 0 0 1 1 0 0 0 0
u 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v 1 1 1 1 0 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0 0 1 1 0
r 0 0 0 0 0 1 0 1 1
t 0 0 0 0 0 1 1 0 1
s 0 0 0 0 0 1 1 1 0
q 0 1 0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
277 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
q a c b
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
FMIPA-UNEJ
Selanjutnya relasi dari a,b,c,d ke x,y,z dapat juga disajikan dalam bentuk matriks, dengan mendefinisikan unsur matriks yang bersesuaian. Lihat matriks berikut dan grafiknya pada Gambar 8.5.
{
x a b c d y z u e v w
x 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
} {
y 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
z 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
u 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
w 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
}
Daftar Isi
Judul
278 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x
y
FMIPA-UNEJ q
z
Daftar Isi
c
Judul u s
a
b v
279 dari 330 p
t
Cari Halaman r
Kembali
Gambar 8.4: Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dengan Software R
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ a
u
v
Daftar Isi
b
Judul w c
x
280 dari 330 d y
Cari Halaman z
e
Kembali
Gambar 8.5: Contoh Grafik Relasi dari a,b,c,d,e ke u,v,w,x,y,z dengan Software R
{
} {
}
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
B
A
Gambar 8.6: Diagram mengilustrasikan fungsi dari A ke B
281 dari 330
Cari Halaman
8.5. Fungsi Kembali
Perhatikan bahwa relasi R : A B adalah himpunan bagian dari A B. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur A yang tidak mempunyai kawandi B atau suatu unsur di A memiliki lebih dari satu kawan di B. Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidak memiliki sifat tadi disebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di A memiliki satu dan hanya satu kawan unsur B.
→
×
Layar Penuh
Tutup
Keluar
B adalah suatu hubungan yang memiliki sifat Definisi 8.5.1. f : A bahwa a A, !, b B, b = f (a)
→ ∀ ∈ ∃ ∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu 1. Domain (daerah asal), misalnya himpunan A. 2. Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan B.
Judul
3. Aturan pemetaan b = f (a) atau y = f (x) jika fungsinya dari X ke Y. Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. ada panah yang keluar dari domain, 2. panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
282 dari 330
Cari Halaman
Kembali
3. tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar. Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.6.
Jenis-Jenis Fungsi
Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus memiliki prakawan di domain. Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur asal harus memiliki kawan yang berbeda. Dilihat dari cara pengambilan unsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitu surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri sering disebut sebagai permutasi .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 8.6.1. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif), jika setiap unsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula. f : injektif
↔ ∀x , x 1
2
(x1 = x 2 )
⇒ f (x ) = f (x ) 1
2
283 dari 330
Definisi 8.6.2. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan. Cari Halaman
f : surjektif
↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X , y = f (x)
Definisi 8.6.3. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satusatu (bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif. f : bijektif
↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X , y = f (x) dan (f (x ) = f (x )) ⇒ (x = x ) 1
2
1
2
Teorema 8.6.1. Jika suatu fungsi f dari X yang berhingga ke dirinya sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti: Andaikan f tidak bersifat surjektif, berarti ada x1 X sedemikian sehingga tidak ada x sehingga x1 = f (x), sehingga RA = A. Tetapi karena f satu-satu berarti DA = A RA . Karena RA A, RA A berarti RA = A(lihat Teorema 6.2.2). Ini merupakan kontradiksi (A = A). Oleh karena itu haruslah juga f bersifat surjektif. Sifat ini tidak berlaku untuk himpunan tak hingga. Misalnya jika X = N dan f (n) = 2n 1, maka f bersifat injektif, tetapi tidak surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya, himpunan bilangan asli ganjil.
≡
⊆
∈
FMIPA-UNEJ
≡
Daftar Isi
−
Judul
Teorema 8.6.2. Jika suatu fungsi dari X yang berhingga ke dirinya sendiri bersifat surjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
284 dari 330
Cari Halaman
Dilihat dari bentuk hubungan antara x dari X ke Y ., fungsi dapat dibedakan atas:
∈ X dengan y ∈ Y pada fungsi Kembali
n i=0
1. fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk y = beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
ai xi . Layar Penuh
(a) fungsi konstan, yaitu bila a i = 0,untuk i = 0;
∀
(b) fungsi linier, yaitu bila n = 1 dan a 1 = 0
Tutup
(c) fungsi kuadrat, yaitu bila n = 2 dan a2 = 0
Keluar
2. fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar seperti fungsi trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan exponensial ( [10]). FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
285 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.7.
Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi
. Fungsi memiliki tiga karakteristik utama yaitu bentuk skala dan lokasi. Sebagai contoh ambil fungsi yang sederhana yaitu fungsi kuadrat, y = x2 . Fungsi memiliki bentuk khas yag disebut parabola. Skala parabola pada suatu nilai a apakah membuka lebar atau sempit, membuka ke atas atau ke bawah. Sehingga bentuk yang lebih umum y = ax2 , a = 0 tetap mempunyai bentuk sama tetapi dengan sekala berbeda tergantung nilai a. Selanjutnya jika lokasi fungsi digeser sepanjang sumbu X maupun sumbu Y , maka menghasilkan persamaan fungsi dengan bentuk fungsi lebih umum yaitu y = a(x x p )2 + y p . Fungsi ini adalah fungsi kuadrat dengan puncak (x p , y p ) dengan bentuk parabola dan membuka (skala) sesuai dengan nilai a. Dengan kata lain parabola yang dihasilkan hanya berbeser lokasi tanpa mengubah bentuk, maupun skala (jika a tetap). Ilustrasi tentang bentuk, skala dan lokasi fungsi diberikan pada Gambar 8.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
−
Judul
286 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Y=a(x−xp)^2+yp FMIPA-UNEJ
5 2
Y
0 2
Daftar Isi
5 1
Judul
0 1
5
287 dari 330
0
Cari Halaman 5 −
Kembali −4
−2
0
2
4
X
Layar Penuh
Gambar 8.7: Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda
Tutup
Keluar
8.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi[16], Nasoetion [11], Lipschutz[9], Polimeni & Straight [15]. Secara umum hampir semua buku teks tentang kalkulus, pada bagian awalnya membahas relasi dan fungsi. Khusus untuk perangkat lunak program R dapat dilihat lansung pada situs http://www.r-project.org.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
288 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.9.
Soal-soal Latihan
1. Diketahui A = a,b,c,d dan B = 1, 3, 5 tentukan
{
}
{
}
(a) A
×B (b) B × A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2. Diketahui H adalah himpunan bilangan asli kurang dari 17. Buatlah relasi dari H kedirinya sendiri yang menggambarkan:
Judul
(a) h1 kelipatan dari h2 (b) h1 faktor dari h 2
3. Buatlah relasi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat 289 dari 330
(a) refleksif dan simetrik tetapi non-transitif (b) irefleksif tetapi simetrik dan transitif
Cari Halaman
(c) refleksif dan non-simetrik tetapi transitif 4. Buatlah fungsi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat (a) injektif dan surjektif
Kembali
Layar Penuh
(b) injektif tetapi tidak surjektif (c) tidak injektif dan tidak surjektif
Tutup
5. Buatlah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri yang bersifat Keluar
(a) injektif dan surjektif (b) injektif tetapi tidak surjektif (c) tidak injektif dan tidak surjektif
FMIPA-UNEJ
Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari soal ini. Daftar Isi
6. Buktikan Teorema 8.6.2 pada halaman 284. 7. Diketahui A = 1, 3, 5 dan B = a,b,c . Tentukan berapa banyaknya fungsi (sebutkan fungsi apa saja) yang bisa dibuat dari A ke B yang bersifat
{
}
{
}
Judul
(a) umum (fungsi biasa) (b) injektif
290 dari 330
(c) surjektif (d) bijekttif
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8. Sebutkan ada berapa kondisi relasi yang menyebabkan dia tidak men jadi fungsi. 9. Perhatikan diagram relasi berikut. Tentukan sifat-sifat relasi yang diwakili. Apakah bersifat refleksif, simetrik atau transitif?
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
291 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
292 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB 9
Daftar Isi
Judul
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
293 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca mengenal dan memahami konsep logika dan himpunan samar serta mampu membedakannya dengan himpunan atau logika yag telah dibicarakan pada bab sebelumnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
294 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat 1. menyebutkan definisi logika samar
FMIPA-UNEJ
2. menyebutkan definisi himpunan samar
Daftar Isi
3. memberi contoh logika samar Judul
4. memberi contoh himpunan samar
295 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi 1. Konsep Dasar 2. Logika bernilai-3 atau lebih
FMIPA-UNEJ
3. Memodelkan tingkat keanggotaan himpunan
Daftar Isi
Judul
296 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.1.
Konsep Dasar
Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang mutlak, 0 atau 1. Logika ini selanjutnya disebut logika biner (bernilai 2). Padahal di masyarakat dikenal banyak hal yang sulit ditentukan secara mutlak apakah suatu itu benar atau salah. Masyarakat biasa menyebut sebagai wilayah abu-abu (grey area . Demikian juga dalam hal himpunan, kita belum bisa membicarakan himpunan dengan kriteria bersifat kualitatif. Sifat-sifat atau keadaan seperti:“cantik, manis, muda, tinggi” adalah merupakan kondisi yang tidak bisa dinilai secara mutlak. Setiap orang mungkin saja mempuyai penilaian yang berbeda terhadap objek yang sama. Logika samar maupun himpunan samar fuzzy logics & fuzzy set logika atau himpunan yang mempertimbangkan nilai keberan atau keanggotaan yang bersifat samar (tidak mutlak). Namun, dalam kenyataan justru fenomena samar-samar ini yang banyak dijumpai di masyarakat. Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τ p pada logika biner dapat dianggap sebagai suatu fungsi indikator yang memetakan p ke himpunan 0, 1 , seperti dinyatakan dalam definisi berikut.
{ }
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
297 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Definisi 9.1.1. Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagai τ p : p 0, 1 dengan
→{ }
τ p ( p) =
1 jika p benar 0 jika p salah
(9.1)
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Demikian juga keanggotaan suatu unsur x pada himpunan biner, A dapat dianggap sebagai fungsi karakteristik atau fungsi indikator ξ A yang memetakan setiap anggota ke salah satu dari dua kategori, yaitu menjadi anggota (1) atau bukan anggota (0). Jadi daerah kawan atau hasilnya hanyalah 0, 1 . Formalnya, fungsi indikator keanggotaan dalam himpunan A didefinisikan sebagai berikut.
FMIPA-UNEJ
{ }
Daftar Isi
Judul
Definisi 9.1.2. Keanggotaan pada himpunan biner A didefinisikan sebagai ξ A : S 0, 1 dengan
→ { }
ξ A (x) =
1 jika x A 0 jika x A
∈ ∈
(9.2)
Ide fungsi indikator di atas lalu diperluar untuk memungkinkan suatu unsur memperoleh nilai antara 0 dan 1. Ada banyak hal yang tidak dapat diukur secara mutlak dengan hanya dua kategori, diantaranya adalah: 1. kondisi sifat seseorang atau sesuatu seperti kecil, tinggi, muda; 2. kondisi keberadaan sesuatu seperti tidak ada, sedikit, banyak, kebanyakan, sebagian besar semua; 3. kondisi hubungan seperti sama, mirip, lebih baik dan lain-lain;
298 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
4. kondisi kebenaran seperti salah, relatif benar, benar sekali; Keluar
5. kondisi kemungkinan seperti, tidak mungkin, mungkin, mungkin sekali, pasti. FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
299 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.2.
Logika bernilai tiga atau lebih
Logika matematika tradisional1 dapat juga dikatakan sebagai logika dengan 2 kategori, yaitu 0 dan 1. Salah satu bentuk generalisasi yang paling sederhana adalah dengan menambahkan satu kategori lagi, misalkan s yang menyatakan bahwa nilai kebenarannya masih samar (ragu-rahu). Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika ini merupakan fungsi indikator dengan definisi berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 9.2.1. Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘bernilai-3’ didefin0, s, 1 dengan isikan sebagai τ s : p
→{
τ s ( p) =
}
1 jika p benar 0 jika p salah s jika p bukan salah satu di atas.
300 dari 330
(9.3)
Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan riil, atau setidaknya bilangan rasional, 0 < s < 1, maka operator , , dapat didefinisikan sebagai berikut.
¬ ∧ ∨
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
1
Sebenarnya logika matematika sendiri sudah termasuk kategori logika modern, namun dengan munculnya logika samar, maka dari kaca mata logika samar, logika matemtika dapat dianggap sebagai logika tradisional
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.2. Nilai kebenaran logika samar dari pernyataan-pernyataan p, q, r, , masing-masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [0,1] didefinisikan sebagai
···
FMIPA-UNEJ
τ s ( p) = 1 τ s ( p) τ s ( p q ) = minimum τ s ( p), τ s (q ) τ s ( p q ) = maksimum τ s ( p), τ s (q )
¬ ∧ ∨
−
{
{
}
}
(9.4) (9.5) (9.6)
Daftar Isi
Judul
x dan y merupakan nilai dari suatu pernyataan, yang berada pada interval [0,1], maka nilai kebenaran dari hasil operasi konektif dasar seperti pada Definisi 9.2.2 dapat dinyatakan sebagai berikut:
301 dari 330
¬x = 1 − x x ∧ y = min{x, y } x ∨ y = min{x, y }
Cari Halaman
Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0,s dan 1, maka tabel kebenaran p, p q dan p q dapat didefinisikan sebagai berikut ini.
¬
∧
0 s 1 0 0 0 0 s 0 s s 1 0 s 1
∧
∨
Kembali
Layar Penuh
0 s 1 0 0 s 1 s s s 1 1 1 1 1
∨
0 s 1
¬ 1 s 0
Tutup
Keluar
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebenaran untuk implikasi dan biimplikasi . Sebagaimana pada logika biasa, maka p q ( p q ), maka s 0 s 0 s sedangkan dan seterusnya.
→ ≡ ¬ ∨
↔ → ≡ ¬ ∨ ≡ → 0 s 1 0 1 1 1 s s 1 1 1 0 s 1
→
↔
0 s 1
0 s 1 s s 1 0 s
1 0 s 1
Contoh 9.1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut: p : Ani adalah gadis cantik q : Ali adalah pemuda cerdas r : Setiap manusia perlu makan t : Ada negara dengan tiga ibukota Jika pernyataan emperik yang belum diketahui kebenarannya, nilainya dinyatakan dengan s, maka nilai kebenaran pernyataan berikut adalah:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
302 dari 330
Cari Halaman
1. τ ( p) = s, τ (q ) = s, τ (r) = 1, τ (t) = 0; 2. τ ( p
∧ r) = s,τ ( p ∨ r) = 1; 3. τ (q ∧ t) = 0, τ (q ∨ t) = s. Sebagaimana disinggung pada pembukaan subbab sebelumnya bahwa fungsi keanggotaan atau kebenaran dapat diberi nilai secara bebas pada interval [0,1]. Hal ini memungkinkan kita membuat sistim logika dengan lebih dari 3 nilai.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.3. Nilai kebenaran samar dari pernyataan p, dinotasikan dengan f s adalah suatu fungsi dari p ke [0, 1]. Selanjutnya f s dikatakan sebagai fungsi kebenaran.
FMIPA-UNEJ
Definisi 9.2.4. Nilai kebenaran p pada logika matematika dapat didefinisikan sebagai τ s : p [0, 1] dengan
Daftar Isi
→
τ s ( p) =
1 jika p benar 0 jika p salah 0 < f (s) < 1 jika p bukan salah satu di atas.
Judul
(9.7)
f (s) dapat berupa fungsi yang menunjukkan derajat keyakinan seseorang terhadap nilai kebenaran p. Jika P adalah himpunan pernyataan-pernyataan dengan nilai kebenaran berada pada interval [0,1], maka operasi pernyataan dengan konektif , , maupun yang lainnya dapat dilakukan dengan menggunakan Definsi 9.2.2. Dengan kata lain definisi tersebut juga berlaku untuk sistim yang mempunyai nilai lebih dari 3 kategori, bahkan untuk sistim yang mempunyai nilai kebenaran kontinu.
¬∧∨
303 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Teorema 9.2.1. Pada logika samar, berlaku hukum komutatif baik untuk maupun
∨
∧ Tutup
Keluar
Bukti: x
∧ y = min(x, y) = min(y, x) = y x
FMIPA-UNEJ
∧
Daftar Isi
Teorema 9.2.2. Pada logika samar, berlaku hukum asosiatif baik untuk maupun
∨
∧
Judul
304 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3.
Himpunan Samar
9.3.1.
Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan
Seperti halnya pada logika samar. Himpunan samar juga mempunyai tingkat keanggotaan yang lebih luas dari sekedar dan / . Perluasan yang paling sederhana adalah mengelompokkan keanggotaan menjadi tiga kategori:
∈
FMIPA-UNEJ
∈
Daftar Isi
1. anggota (pasti) ( )
∈
Judul
2. anggota (ragu-ragu) (s) 3. bukan anggota ( / )
∈
Contoh 9.2. Misalkan kita memiliki sejumlah calon mahasiswa dengan kondisi Niai Ujian matematika (M ) dan Penghasilan orang tua dalam jutaan rupiah ( P ) sebagai berikut: Calon a b c d e
M P 6,5 25,0 4,0 0,1 9,0 10,0 6,0 1,0 8,0 1,5
305 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Jika A adalah himpunan calon mahasiswa cerdas dan B adalah himpunan calon mahasiswa kaya, maka keanggotaan dari a,b, , e terhadap A dan B salah satunya dapat ditentukan sebagai berikut:
···
Tutup
Keluar
Unsur A B a s b / / c d s s e s
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
9.3.2.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan
Tingkat keanggotaan himpunan selain dapat dikategorikan menjadi beberapa kategori, juga dapat didefinisikan secara kontinu.
Definisi 9.3.1. Keanggotaan samar dari suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari S ke [0, 1]. Untuk suatu himpunan samar, misalnya S , fungsi A : S [0, 1] dikatakan fungsi keanggotaan dan nilai A(x) disebut tingkat keanggotaan dari x pada himpuan samar A. Tentu saja fungsi keanggotaan untuk suatu masalah yang sama dapat berbeda-beda. Jika x merupakan suatu kualitas/ sifat yang dapat diukur secara kuantitaif (misalnya umur, tinggi badan, berat badan), maka fungsi derajat keanggotaan ini dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kuantitas tadi yag dipetakan ke [0,1]. Dengan kata lain kita dapat membuat model keanggotaan secara kontinu untuk sesuatu sifat yang dapat dinyatakan dalam bentuk angka.
→
Judul
306 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 9.3. Misalkan kita ingin membuat model keanggotaan dari himpunan orang muda. Status muda atau tidak dapat dilihat dari umur yang dinyatakan dalam bentuk angka. Dengan demikian kita dapat membuat model yang menghubungkan umur dengan keanggotaan himpunan. Misalkan pula untuk membuat himpunan orang muda seperti ini ada beberapa pendapat. Satu kelompok masyarakat sepakat/ yakin bahwa umur dibawah 25 tahun adalah muda, dan di atas 45 tahun bukan muda lagi. Tetapi banyak diantara mereka yang menganggap antara 25 sampai 45 tahun juga masih tergolong muda. Kenggotaan ini dapat dirumuskan dengan M i (x). Kelompok lain misalnya mempunyai kriteria berbeda. Mereka sepakat/ yakin bahwa dibawah 30 tahun adalah muda sedangkan di atas 50 tahun sudah tidak muda lagi. Sedangkan mereka juga menganggap antara 30 dan 50 tahun juga masih bisa dikelompokkan muda (walaupun samar-samar). Fungsi keanggotaan M diberikan pada persamaan (9.8a) dan grafiknya diberikan pada Gambar 9.1.
M 1 (x) =
1 45−x 20
0
jika x < 25 jika 25 < x < 45 jika x > 45
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
307 dari 330
Cari Halaman
(9.8a)
Misalkan pula bagi kelompok yang lebih senior memiliki model yang sedikit berbeda (tidak ada keraguan kategori muda untuk usia dibawah 30 dan tidak ada keraguan tidak muda untuk usia di atas 50 tahun), maka salah satu modelnya adalah seperti pada persamaan (9.8b) dengan grafik seperti Gambar 9.2.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.1: Grafik keanggotaan M 1 5 . 1
FMIPA-UNEJ
0 . 1
Daftar Isi
a d 5 . u 0 M
Judul
0 . 0
308 dari 330
5 . 0 -
10
20
30
40
50
Cari Halaman
Umur
Kembali
M 2 (x) =
− 1 1 0
x−30 20
2
jika x < 30 jika 30 < x < 50 jika x > 50
(9.8b)
Contoh 9.4. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan orang kaya. Untuk ini misalkan pula masyarakat sepakat bahwa penghasilan dibawah Rp 1
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.2: Grafik keanggotaan M 2 5 . 1
FMIPA-UNEJ
0 . 1
Daftar Isi
a d 5 . u 0 M
Judul
0 . 0
309 dari 330
5 . 0 -
10
20
30
40
50
Umur
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
juta tidak dapat dikatakan kaya, sedangkan penghasilan diatas 5 juta sebulan sudah pasti termasuk kelompok kaya. Maka salah satu fungsi keanggotaan untuk
Tutup
Keluar
masalah ini adalah seperti persamaan (9.9) dengan grafik seperti Gambar 9.3.
0
K (x) =
x−0,5×106 4,5×106
1
untuk x < 0, 5
× 10
6
6
× 10 < x < 510 untuk x > 5 × 10
untuk 0, 5
6
(9.9)
FMIPA-UNEJ
6
Daftar Isi
Contoh 9.5. Misalkan pula kita membuat model keanggotaan himpunan jarang ditentukan dengan mendefinisikan istilah jarang dengan proporsi keberadaan x sebagai berikut: 1. benar mutlak (bernilai 1, berarti benar jarang) jika tidak ada sama sekali; 2. mutlak tidak benar (bernilai 0, berarti tidak benar jarang) jika ada lebih dari 1/2 3. 1 4x22 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x adalah proporsi keberadaan.
−
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti persamaan (9.10) dengan grafik seperti pada Gambar 9.3.
J (x) =
− 1 1 0
Judul
310 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
4x2
jika x < 0 jika 0 < x < 1/2 jika x > 1/2
(9.10)
Tutup
Keluar
Gambar 9.3: Grafik fungsi keanggotaan K 5 . 1
FMIPA-UNEJ
0 . 1
Daftar Isi
Judul
a y 5 . a 0 K
0 . 0
311 dari 330
5 . 0 -
0
1
2
3
4
5
Cari Halaman
Penghasilan
Kembali
Grafik dari fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 9.4
Contoh 9.6. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan sebagian besar . Maka pertama kita tentukan karakteristik dari keberadaan tersebut. Salah satu yang bisa dilakukan adalah dengan melihat prosentase keberadaan objek yang kita jadikan perhatian. Misalkan pula kita didefinisikan sebagai berikut: 2
kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 1
2
− 12x
Layar Penuh
Tutup
+ 16x3 Keluar
Gambar 9.4: Grafik fungsi keanggotaan J 5 . 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
0 . 1
g n a r a J
Judul
5 . 0
0 . 0
312 dari 330
5 . 0 -
0.0
0.5
1.0
1.5
Proporsi
Cari Halaman
Kembali
1. benar mutlak (sebagian besar, bernilai 1) jika adanya lebih dari separuh (0.5);
2. salah mutlak (tidak benar sebagian besar, bernilai 0) jika adanya 0 (tidak ada);
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. 8x33 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x menunjukkan proporsi keberadaan. Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti pada persamaan (9.11).
S (x) =
0 jika x < 0 8x3 jika 0 < x < 1/2 1 jika x > 1/2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(9.11)
Judul
313 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup 3
kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 4 x2 Keluar
9.4.
Bacaan Lebih Lanjut
Teori tentang himpunan samar ( fuzzy sets ) dimulai oleh L.A. Zadeh, seorang ahli teori kontrol, pada tahun 1965. Walaupun pada awalnya mendapat banyak penolakan, terutama dari kalangan statistisi, dewasa ini teori samar berkembang cukup pesat dan banyak diapliasikan dalam automatisasi alat-alat elektronika. Automatisasi dengan sistim atau logika samar diklaim mendapatkan hasil yang lebih sempurna (dibandingkan dengan tehnik digital yang berdasarkan logika 2 nilai) dan dalam pengendalian robot akan menghasilkan robot yang lebih cerdas dan lebih mendekati prilaku manusia. 1. mesin cuci, yang dipelopori oleh perusahan Matsushita tahun 1990. Dengan kontrol menggunakan logika samar mesin cuci lebih cerdas dalam membaca jenis dan tingkat kotoran pakaian serta mengatur prilaku mesin cuci; 2. pengatur transmisi automatis pada mobil dipelopori oleh perusahan mobil Nissan. Dengan sistim ini mobil dapat menghemat bahan bakar sampai 12 sampai 17 %. Tahun 1992 perusahan mobil Mitsubishi menerapkan logika samar bukan saja pada transmisi tetapi juga pada suspensi, kemudi dan daya 4 roda serta pengatur udara;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
314 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
3. kamera dan video. Kamera dan video yang dilengkapi dengan sistim logika samar dapat menghasilkan perhitungan penyinaran yang dan kontrol yang lebih sempurna sehingga menghasilkan gambar yang lebih baik.
Tutup
Keluar
Bagi pemula, buku tulisan Nguyen & Walker [13] cukup memadai sebagai tahap awal mendalami logika samar. Aplikasi logika samar pada pengambilan keputusan dapat dibaca pada Kusumadewi & Purnomo [ 8]. Sedangkan aplikasi dalam sistim dan kontrol dapat dibaca pada Wang [ 21]. Pada buku yang sama Wang juga menguraikan arah dan cabang pengembangan teori samar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
315 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
316 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
GLOSSARY Judul
317 dari 330
A abundan Bilangan abundan/berlebih adalah bilangan yang memiliki jum-
Cari Halaman
lah faktor sejati (termasuk 1), melebihi bilangan itu sendiri. aksioma Aksioma adalah pernyataan yang diterima kebenarannya dalam
rangka membangun suatu teori, yang menghasilkan teorema-teorema dalam buku ini aksioma dianggap sama dengan postulat.
Kembali
Layar Penuh
asumsi Asumsi adalah pernyataan yang dianggap benar dalam argu-
mentasi tertentu dan dipergunakan sebagai hipotesis untuk menurunkan suatu kesimpulan.
Tutup
Keluar
D defisien Bilangan defisien/berkurang adalah bilangan yang memiliki
jumlah faktor sejati (termasuk 1), kurang dari bilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
K konjektur
korolari
Daftar Isi
Konjektur adalah pernyataan tentang sifat suatu sistem yang diduga benar tetapi belum bisa dibuktikan secara deduktif. Korolari/akibat langsung adalah konsekuensi logis dari suatu teorema yang sangat dekat kaitannya dengan teorema sebelumnya.
Judul
318 dari 330
L lemma
Lemma adalah suatu sifat yang bergantung pada sistem di luar yang dibahas yang dibuktikan untuk menyederhanakan pembuktian teorema yang diperlukan.
P proposisi
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Proposisi dalam sistem matematika adalah suatu pernyataan tentang sifat-sifat suatu sistem, hampir sama dengan teorema hanya saja pembuktiannya tidak seformal teorema.
Tutup
Keluar
S sempurna Bilangan sempurna adalah bilangan yang memiliki jumlah fak-
tor sejati (termasuk 1), sama dengan bilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
T
Daftar Isi
teorema Teorema adalah pernyataan atau rumus yang dapat diturunkan
dari suatu sistim aksioma dengan menerapkan aturan-aturan yang berlaku pada sistim bersangkutan.
Judul
319 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
320 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR PUSTAKA
Judul
321 dari 330
[1] E.J. Borowsky and J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathematics . Collins, Great Britain, 1989. [2] I. M. Copi. Symbolic Logic . The Macmillan Company, New York, 1961. [3] R. Courant and H. Robbins. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods . Oxford University Press, Oxford, 1978. [4] H.B. Enderton. Mathematical Introduction to Logic . Academic Press, 1972.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[5] P. Fletcher, H. Hoyle and C.W. Patty. Foundation of Discrete Mathematics . PWS-Kent Pub. Co., Boston, 1991. [6] M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic . Addison Wisley Pub.Co., 1968.
FMIPA-UNEJ
[7] S.K. Haza’s, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah. Sejarah Matematika, Klasik dan Modern . UAD Presss, Yogyakarta, 2004.
Daftar Isi
Judul
[8] S. Kusumadewi and H. Purnomo. Aplikasi Logika Fuzzy untuk pendukung Keputusan . Graha Ilmu, Yogyakarta, 2004.
[9] S. Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics . Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Co., New York, 1974. [10] M.A. Munem and D.J. Foulis. Calculus with Analytic Geometry . Worth Publisher, Inc, New York, 1978. [11] A.H. Nasoetion. Landasan Matematika . Bharata Karya Aksara, Jakarta, 1980. [12] S. Negoro & B. Harahap. Ensiklopedia Matematika . Ghalia Indonesia, Jakarta, 1990. [13] H.T. Nguyen and E. A. Walker. A First Course in Fuzzy Logic . Chapman & Hall/CRC, London, 2nd edition, 2000.
322 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[14] N. Nissanke. Introductory Logic and Sets for Computer Scientists . Addison-Wesley Longman Lmt., England:Harlow, 1999. [15] A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Mathematics . Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.
FMIPA-UNEJ
[16] E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru . Tarsito, Bandung, 3 edition, 1982.
Daftar Isi
[17] J.J. Siang. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer . Andi, Yogyakarta, 2002. [18] R. Soekadijo. Logika Dasar . Gramedia, Jakarta, 1983. [19] S. Sulistyaningsih. Mengenal Tehnik Dasar Komputer . M2S, Bandung, 1984. [20] N.L. Thomas. Modern Logic-an Introduction . Barnes & Noble, New York, 1968. [21] L-X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control . Prentice-Hall International Inc., London, 1997.
Judul
323 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
INDEKS PENULIS
Daftar Isi
Judul
Borowsky, 8, 9, 22 Borwein, 8, 9, 22
Harahap, 22 Haza’s, 111
Copi, 8, 9, 20, 34, 35 Courant, 101, 110, 111
Lipschutz, 81, 101, 111, 123
Enderton, 22, 35, 66, 81
Nasoetion, 86, 101, 111, 123 Negoro, 22 Ngathoillah, 111 Nguyen, 135
Fletcher, 66
Polimeni, 8, 66, 81, 101, 111, 123
Gemignani, 8, 22, 35, 66, 81
Robbins, 101, 110, 111
Dyastriningrum, 111
324 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ruseffendi, 86, 101, 111, 123 Soekadijo, 8 Straight, 8, 66, 81, 101, 111, 123 Sulistyaningsih, 19
FMIPA-UNEJ
Thomas, 8, 22, 35, 66, 81
Daftar Isi
Walker, 135 Wang, 135
Judul
325 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
INDEKS SUBJEK
Daftar Isi
Judul
anteseden, 27 argumen kesimpulan, 71 premis, 71 bentuk normal, 41 CCNF, 43 CDNF, 41 CNF, 42 disjungtif, 41 lengkap, 41 DNF, 41
konjungtif, 42 lengkap, 43 biimplikasi, 27 bilangan abundan, 11–13 Archimedes, 109 defisien, 13 Euler, 109 komposit, 22 prima, 22 sejarah, 111 sempurna, 13
326 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
biner, 35 bukti tak langsung, 76 kontradiksi, 76 negasi, 76 pengandaian, 76 penyanggah, 76 Dagger, 21 deduktif, 81 definisi, 9 diagram kartesius, 114 panah, 115, 122 pohon, 99 Venn, 88, 91–93, 95, 109, 111 diagram Venn, 47, 89 dilema destruktif, 75 konstruktif, 74, 75 dual, 18 ekuivalen, 17 ekuivalensi biimplikasi, 32
implikasi, 32 logis, 31 faktor, 41 fungsi aljabar, 123 karakteristik bentuk, 123 lokasi, 123 skala, 123 transenden, 123 trigonometri, 123 fuzzy, 128 gabungan, 59 generalisasi universal, 79 gugus, 86 himpunan, 86 bagian, 89 berhingga, 87 berpotongan, 88 bilangan asli, 57 cacah, 108
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
327 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kardinal, 108 diskrit, 107 ekuivalen, 89 elemen, 86 deskripsi, 86 tabulasi, 86 keluarga, 90 kontinu, 107 kosong, 87 kuasa, 90 partisi, 96 penyelesaian, 56 saling lepas, 88 sama, 88 samar, 86 semesta, 87 subset sifat-sifat, 96, 98–100 takhingga, 87 terhitung, 107 unsur, 86 hipotesis, 27 hirarki perakit, 21, 34
implikasi, 27 formal, 28 logis, 31 material, 28 induksi lengkap, 77 matematika, 77, 107 irisan, 59
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
jaringan listrik, 46 kalimat matematika, 56 terbuka, 56 tertutup, 56 karakteristik, 40 kardinal himpunan, 87 kebenaran nilai, 11 tabel konjungsi, 13 negasi, 12 kesimpulan, 27
328 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
konklusi, 27 konsekuen, 27 konstanta, 55 kontra, 76 kontradiksi, 16, 43 kuantor eksistensial, 57 universal, 57 kuantor eksistensial, 78, 79 kuantor universal, 78 negasi, 12 biimplikasi, 33 implikasi, 33 tunggal, 12 notasi, 8 Lukasiewicz, 34 operasi himpunan gabungan, 91 irisan, 91 jumlah, 95, 96 kartesius, 113 komplemen, 90 selisih, 95, 96
sifat-sifat, 92 parabola, 123 Peano, 77 pengingkaran alternatif, 21 bersama, 21 pengurut, 107 penyanggah, 76 perakit, 13 dan, 13 dasar, 15 disjungsi, 14 eksklusif, 20 konjungsi, 13 permutasi, 122 pernyataan aljabar, 17 kalkulus, 17 kondisional, 27 majemuk, 13 tunggal, 11 peubah, 55 primitif, 81
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
329 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
