) j el cual, dado (5), es precisamente igual a IntM,g{oi)(w). Al aplicar la intensión de a a w, obtenemos la extensión de a en w. En consecuencia, IntM,g(ct)(w) = Mm.w,;?- Así, hemos demostrado que [VA)a]M,u>,9 = Ya que el argu mento anterior se aplica a cualquier a, M , w y g, hemos probado el siguiente teorema: Teorema 5.2. VAfct: es equivalente a a Esto significa que a podría ser escrita siempre en lugar de V/Y*. Sin embargo, lo mismo no aplica para AVa . Esto puede demostrarse por medio del siguiente ejemplo abstracto: sea M un modelo con dos mundos, W\ y w?. Considere la constante p de tipo (s, t). La extensión de p es una proposición. Se puede asumir que la extensión de p en w\ es la proposición k, que tiene el valor de verdad 1 cuando es aplicada a W\ y el valor de verdad 0 cuando es aplicada a w2. Podemos ir más allá y estipular que la extensión de p en es la proposición k', que tiene el valor de verdad 0 cuando es aplicada al mundo w\ y el valor de verdad 1 cuando es aplicada a i « 2. Es decir: I (p)(wi) = k k(u¡\) = 1 k(w 2) = 0
1 {p)(w 2) = k'
k'{w\) k (w2)
= 0 = 1
Ahora tenemos que [vapJm.um,g ^ Esto puede verse de las siguiente forma (en virtud de la claridad los subíndices M y g han sido omitidos): r PU
= Ia función h £ 0, l™ tal que para todo w' € W : h(w') = [vp]|u/
La proposición h se determina de la siguiente manera: h(w i) = [vp]Wl = M U M
= I(p )(w i)(w i) = k(w i) = 1; y
h(w 2 ) = [vp]W2 = W ^ í ^ ) = I(p )(w 2 )(w 2) = k'(w2) = 1;
roposieión h es, entonces, aquella función de mundos en valores de verdad ^ ^torna 1 com o su valor en cada mundo. Ella siempre es verdadera. Pero nG es esta proposición invariablemente verdadera; es l(p)(w \) = k. j\dernás, k y h son diferentes proposiciones. Así, i¿ H ® n 1° CU&1 irve como un contraejemplo a la equivalencia entre AVa y a. E s t e ejemplo abstracto puede hacerse un poco más claro. Supongamos que la oración María viene es verdadera en w\ y falsa en w2. La proposición k podría, entonces, verse com o la proposición expresada por esta oración; es decir, la proposición de que María viene. La proposición k' es expresada por la oración María no viene. Es decir, la proposición de que María no viene. De acuerdo con nuestra anterior estipulación, la extensión de la constante p en wi, el mundo en el cual ella viene, es la proposición de que María viene, m ie n tra s que la extensión de la constante en w2, el mundo en el cual ella no v ie n e , es la proposición de que María no viene. Esto hace de p una represen tación apropiada de la expresión si María viene o no, tal como aparece en ( 6 ):
(6)
Juan sabe si María viene o no
Pues considere los dos argumentos válidos siguientes: (7)
Juan sabe si María viene o no María viene Juan sabe que María viene
(8)
Juan sabe si María viene o no María no viene Juan sabe que María no viene
La validez de (7) y (8) muestra que, si suponemos que María viene, la exten sión de María viene o no es la proposición de que María viene, es decir, k-, mientras que si suponemos que ella no viene, la expresión tiene como su ex tensión la proposición de que ella no viene, es decir, k!. Por lo tanto, p es una representación adecuada para la expresión María viene o no. Esta expresión sirve, entonces, com o un ejemplo en el lenguaje natural de una expresión a para la cual AVa ^ a. Existen, por supuesto, expresiones a para las cuales AVa y a son equiva lentes. Los contraejemplos que hemos visto explotan precisamente el hecho de que las expresiones podrían tener diferentes extensiones en diferentes mundos.
En efecto, si a es una expresión que no permite tal variación en su ext4 sión, entonces AVa y a resultan ser equivalentes. Un tipo de expresiones cuj extensión no puede variar de mundo a mundo son las variables: su extensto depende sólo de la asignación que se encuentra bajo consideración.Otro eje^ pío, com o hemos visto, es cualquier expresión de la forma A/3: así AVA/3 l siempre equivalente a A/3 (un hecho que también se sigue del teorema 5.2.1 De manera más general, podemos definir una clase de expresiones cuya extej sión no varía de mundo a mundo: las expresiones intensionalmente cerradas'1 Definición 5.6.
I C E L, la clase de expresiones intensionalmente cerradas en L, es el subcon-j junto más pequeño de W E L tal que: I (i) Si v e V A R a, entonces v € I C E L (ii) Si a € WE%, entonces Aa € I C E L (iii) Si (p e W E 4¿ , entonces □>, 0 (p e I C E L (iv) Si a es construido con elementos de I C E L usando sólo conectivos, cuantificadores y A-operadores, entonces a e I C E L Debe observarse que donde se permitan otras relaciones de accesibilidad R distintas a la universal, las extensiones de □ (p y 0 y 0 (p serán invariantes de mundo a mundo sólo si la extensión de (p lo es. La definición 5.6. estará, entonces, sujeta a las modificaciones apropiadas. Podemos establecer ahora los siguientes teoremas: Teorema 5.3. Si a e I C E L, entonces
para todo M , w ,w '
No demostraremos este teorema aquí. Como una consecuencia inmediata del teorema 5.3., tenemos el teorema 5.4.: Teorema 5.4. Si
a e I C E L, entonces AVa es equivalente a a
I
alíñente, obsérvese que los teoremas 5.3. y 5.4. son válidos en una sola
rCión: pertenecer a I C E L en ambos casos es una condición suficiente, pero necesaria. Por ejemplo, las propiedades relevantes son ciertas para todas las fámulas válidas, pero no todas las fórmulas válidas son elementos de I C E L. Ejercicio 5.4.
que tíJM .un.sM = 1 para todo w, y lq}M,w2,g(w) = 0 para todo w. •Es \q\w una función constante?, ¿son Avq y q equivalentes?
Suponga
Ejercicio* 5.5. Demuestre el teorema 5.4. si a es una variable (de algún tipo intensional (s ,a )).
E jercicio 5.6. Suponga que definimos una relación de accesibilidad R en W de la siguiente manera: para todo w, w w R wq y si wRw', entonces w' = wq. ¿Se requiere de una modificación en la definición 5.6. para que el teorema 5.3. continúe siendo válido? Si es así, ¿cuál sería esta modificación? Si no, ¿por qué no?
5.6.
A-conversión
Una cuestión final que tenemos que examinar concerniente a la Teoría de Tipos Intensional es la determinación de las condiciones bajo las cuales la aplicación de A-conversiones conduce a resultados equivalentes. Recordemos que la condición correspondiente en el caso de la Teoría de Tipos Extensional era que ninguna variable libre resultara acotada en el proceso de conversión (ver teorema 4.1., en la sección 4.4.2.). Claramente esta condi ción permanece vigente. Sin embargo, para la Teoría de Tipos Intensional es necesario formular una nueva condición que tiene que ver con el hecho de que estamos lidiando con expresiones cuya extensión podría variar de mundo a mundo. El siguiente ejemplo informal servirá como ilustración. Considere la ex presión Xx3y[J(x = y) (en la cual x e y son variables de tipo e). Ésta ex presa una propiedad de entidades, a saber, la propiedad que una entidad d tiene si existe alguna entidad que es necesariamente (es decir, en todos los mundos posibles) idéntica a d. Por supuesto, todas las entidades tienen esta propiedad, ya que todas ellas son necesariamente idénticas a sí mismas.
Esto significa que la fórmula X x3yO (x = y ) ( j) (en la cual j es una constan*] de tipo e) es siempre verdadera. Al aplicar A-conversión a ella obtenemos l ] fórmula 3y O (j = y). Esta fórmula es verdadera sólo en caso de que exista w entidad que, en cualquier mundo dado, sea idéntica a la entidad que j tenga como su extensión en ese mundo. Esto es así sólo si j es un designador rígi^M en otras palabras, si j denota la misma entidad en cada mundo. Pero eslJ« no está garantizado: la extensión de j podría muy bien variar de mundo a f mundo en un modelo, lo cual significa que la verdad de 3y O (j = y) no está ga- | rantizada tam poco. Así pues, este es un caso en dónde la A-conversión n0 conduce a un resultado equivalente. Acabamos de ver cóm o pueden surgir problemas si una expresión que no está intensionalmente cerrada es ubicada por la A-conversión dentro del al cance de un operador intensional, tal com o □ , 0 o A (tratar a las constantes individuales com o designadores rígidos evitaría el ejemplo anterior, pero otros contraejemplos que involucren, digamos, constantes predicativas podrían gene rarse fácilmente). El teorema 5.5. brinda dos condiciones bajo las cuales la Aconversión puede aplicarse libremente: T e o re m a 5.5.
\v(3{p¡) es equivalente a [y/v]/3 si: (i) Todas las variables libres en 7 son libres para v en ¡3 (ii) O bien 7 € I C E L, o bien ninguna ocurrencia libre de v en /? cae dentro del alcance de □ , 0 o A Obsérvese que, nuevamente, el teorema sólo establece una condición suficien te, exactamente por la misma razón que ocurre en los teoremas 5.3. y 5.4. Por razones mencionadas en la sección 4.4., la A-abstracción tiene un papel importante que jugar si la Teoría de Tipos Intensional es aplicada como un formalismo para la representación del lenguaje natural. El proceso de A-conver sión, entonces, nos capacita para reducir algunas fórmulas largas y complejas y convertirlas en fórmulas relativamente cortas y simples. El teorema 5.5. nos asegura que, por ejemplo, Xx 'X ( x ) ( j ) y yX ( j ) representan el mismo signifi cado. Ejercicio* 5.7. Sea j una constante de tipo e; j de tipo (s ,e ); M de tipo (e, t); M de tipo (s ,( e ,t )) y i de tipo ((s, e), ((s, e), t}). Sean x e y variables de tipo e; x_,y,z
• o (Sie ) y * ^S' ^e’ A d u z c a las siguientes expresiones tanto ¿e tipo osible usando los teoremas 5.2., 5.4. y 5.5.: coioo sed v r\ 1 L (vü)
\X {VX (j)){ M ) (ii) X x X X a C x (x ))( j)(AM ) (iv) XxA(M (x ) Av M {x ))(y ) (vi) At/(A^A3x(l(a:) ( y ) AA x = y ) (AYe) ( Ax )
AxAx ( vJC (x))(j)(AM ) AxAxQ (vX (x ))(AM ) ( j) XzXyC\(m(¿)(y))(Aj ) ( j )
Ejercicio 5.8. Asuma que las descripciones son analizadas, no en la forma “russelliana” , sino
por medio de i-operador (ver vol. 1, §5.6.). Suponga que se quiere expresar la afirmación de re de que el único individuo que tiene la propiedad F nece sariamente tiene la propiedad G. ¿Qué está mal con la fórmula n G (ix F x )? Trate de dar una formalización mejor, usando tanto el A-operador como el i-operador.
5.7.
Operadores temporales
La Teoría de Tipos Intensional expuesta en las páginas precedentes es prácti camente idéntica al sistema I L de Montague, que se aplica en su gramática. La diferencia es que I L también incluye operadores temporales. En efecto, I L es una extensión sencilla de nuestro formalismo en la cual los operadores temporales P , F , H y G son añadidos a la sintaxis. La semántica es adaptada añadiendo a los modelos un conjunto de momentos temporales T, linealmente ordenados por la relación < (ver la sección 2.4.). Los dominios de interpre tación dependen de T. Sólo en la cláusula (iv) de la definición 5.3. (sección 5.4.), sin embargo, aparece una diferencia real. Esta cláusula se convierte en la siguiente:
(V)
D
( s ,a),D ,W ,T
=
D ^ D ,M /,T
W x T es el conjunto de todas las parejas ordenadas (w ,t), en el cual w es un mundo y í un momento en el tiempo. Ahora, los contextos no son mundos
posibles; se han convertido en mundos posibles en momentos particulares del tiempo (ver sección 2.5.). Expresiones de un tipo intensional (s,a ) denotan, entonces, funciones de mundos en momentos de tiempo a cosas de tipo a. Para una constate, la función de interpretación I asigna una función que, para cada
mundo en un tiempo, produce la denotación de esa constante en el mund ! ese tiempo. Si a es una constante de tipo a, entonces / ( a ) G D ^ x r . 11 Ahora, la definición de la extensión presenta parejas (w ,t), en vez de síqS pies mundos w. La única diferencia real que existe está en las cláusulas (y u 9 (viii) y (ix) de la definición 5.4., en la sección 5.4. Las nuevas versiones dé estas cláusulas son las siguientes: (vii’) Si ,9 = 1 t GT : |0]t'),g 1
Para todo w' G W y to
(viii’) Si a G W E ¿ , entonces [Aa]M,(w,t),g es la función h G D ^ xT tal qUe para todo w' G W y todo í ' g T : h ((w ',t')) = IM Im ,«*'}.» (ix’) Si a G
entonces
(«;,*>,» = W
m ,(w,í ),s ( ( ^
*))
Obsérvese que, de acuerdo con la cláusula (vii’), □ significa ahora necesaria mente en todos los tiempos. La interpretación es diferente de la dada en la sección 2.5., en la cual la modalidad era relativizada a un momento en el tiem po. Com o hemos señalado, hay un amplio campo de libertad para definir las cosas com o uno desea. La definición 5.4. requiere aún de algunas modificacio nes para las cláusulas sobre operadores temporales, pero ya que son sencillas las dejaremos de lado. La definición de intensión, finalmente, necesita la siguiente adaptación: las intensiones tienen ahora que ser funciones de mundos y tiempos en extensio nes. Además de esta, otras extensiones son posibles, algunas de ellas fueron discutidas en la sección 3.4.
5.8.
Teoría de Tipos Di-sorteada
Esta sección, que no es requerida para un entendimiento completo del capítulo 6, abarca el tema de la Teoría de Tipos Di-sorteada. Así com o la Teoría de Ti pos Intensional, la de Tipos Di-sorteada es una extensión de la Teoría de Tipos Extensional estándar, que tratamos en el capítulo 4. Aquí también los mun dos posibles jugarán un papel importante, pero ellos serán introducidos de forma diferente: com o una segunda clase de entidad que puede ser tratada de la misma manera com o las entidades ‘normales’ en el dominio (así, la Teo ría de Tipos Di-sorteada es una lógica multi-sorteada, en el sentido del volu men 1, capítulo 5). A pesar del papel esencial jugado por los mundos posibles, la Teoría de Tipos Di-sorteada, a diferencia de la de Tipos Intensional, es un
exten sional, pues cumple con los principios de extensionalidad familia-
^^de^la lógica de predicados y la Teoría de Tipos Estándar. La razón principal m en cion arla aquí es que puede conducirnos a un mejor entendimiento de ^Teoría de Tipos Intensional. En la Teoría de Tipos Intensional s, a diferencia de e y í, no es un tipo báes s o l a m e n t e un dispositivo técnico que nos permite construir tipos ^^'puestos de la forma (s, a). Por su parte, en la Teoría de Tipos Di-sorteada e s t r a t a d o com o un tipo básico al igual que e y t. Para esta teoría, el conjunto de tipos T 2 es definido de la siguiente forma: Definición 5.7.
T2 es el menor conjunto tal que: (i) e . t , s € T2 (ii) Si a, b £ T2, entonces (a, b) € T2 El conjunto de tipos T de la Teoría de Tipos Intensional es un subconjunto propio de T2. Así, por ejemplo, ambos s y (e, s) están contenidos en T2, pero no en T. Expresiones del tipo s denotan mundos posibles. Los domi nios de interpretación correspondientes a los varios tipos, dado un dominio D de entidades y un conjunto W de mundos posibles, pueden ser definidos de la siguiente manera: D efin ició n 5.8. (i)
De,D,W = D
(iii)
D s,d ,w
=
w (iv)
D t,D,W = {0, 1} B {afi)tDtW = D fa üD ww
(ii)
Obsérvese que el dominio de interpretación correspondiente a un tipo inten sional (s , a) no está determinado en una cláusula separada, tal y como apa rece en la Teoría de Tipos Intensional (ver definición 5.3)., sino que cae ba jo la cláusula (iv). Tales tipos están ahora garantizados por la cláusula (ii) de la definición 5.7., ya que s es ahora en sí mismo un tipo. Dado que, de acuerdo con la cláusula (iii) de la definición 5.8, D S= W , la cláusula (iv) da D (sa) = D ^ . En consecuencia, el resultado es exactamente el mismo que en la Teoría de Tipos Intensional. Ahora que s es sólo un tipo normal, podemos tener variables y constantes de tipo s, que denotan mundos posibles. También se posibilita cuantificar y
abstraer sobre mundos posibles. La sintaxis de la Teoría de Tipos Di-sorteaJ es análoga a la de la Teoría de Tipos Extensional. La única diferencia es que J vocabulario ahora contiene variables y constantes de tipo s y de tipos construí dos usando s. Como veremos, los operadores modales □ y 0 y los operador^ A y v , ahora familiares por la Teoría de Tipos Intensional, son completaraeny prescindibles en la Teoría de Tipos Di-sorteada. El rol que antes jugaban fot malmente ha sido asumido por la cuantificación, la abstracción y la aplicación sobre mundos posibles. 1 En la Teoría de Tipos Di-sorteada, tal y como en la de Tipos Extensional! las extensiones de expresiones son relativas a modelos y asignaciones. La fun-1 ción de interpretación de un modelo asigna un elemento de D a a constantes 1 de tipo a, las asignaciones hacen lo mismo para las variables, y la defini- I ción de la extensión de una expresión relativa a un modelo y asignación es, j entonces, la misma que la definición correspondiente para la Teoría de Tipos I Extensional (ver definición 4.4. en la sección 4.2.2.). Nuevamente, esto diverge de la situación presentada en la Teoría de Tipos Intensional, donde la inter pretación no vincula una constante, digamos, de tipo a, con una extensión, es decir, con un elemento de D a, sino con una intensión, es decir, con un elemento de D (s ay La extensión de una expresión era relativa a mundos posibles, dando cuenta del carácter dependiente del contexto de las expresiones. Esto se logra de forma distinta en la Teoría de Tipos Di-sorteada: equipando expresiones cuya extensión varía de mundo a mundo con una variable de tipo s. La in terpretación de una de estas fórmulas llega a ser relativa a un mundo posible asignado por la asignación de esa variable. Esto puede ilustrarse por medio de un ejemplo. El verbo caminar es una expresión cuya extensión varía de contexto a contexto. En la Teoría de Tipos Intensional este verbo fue representado por medio de una constante C de ti po (e, t). La función de interpretación I asigna a C una intensión, es decir, I ( C ) G D
íiencia de contexto de caminar aparece aquí como una dependencia las asignaciones. La r e l a c i ó n entre C y C(rri) podría hacerse más precisa, comparando los délos de la Teoría de Tipos Intensional y de la de Tipos Di-sorteada. Sea M 111 modelo para la Teoría de Tipos Intensional, ambos basados en los mismos conjuntos D y W . Luego, M consiste e n D y W junto con /m , donde 7m vin cula constantes de tipo m con elementos de D (s a). M >2 consiste en el mismo D y W junto con Im 2, donde 7m2 vincula constantes de tipo a con elementos de Da- Además, sea C una constante en la Teoría de Tipos Intensional, cu yo tipo es (e,<), y sea C una constante en la Teoría de Tipos Di-sorteada, cuyo tipo es (s, (e ,t)). Asuma que Im (C )= I m 2 (C) ■ Se sigue que la extensión de C relativa a M , w, y g, es precisamente la extensión de C(rri) relativa a M 2 yg[rn/w\' La demostración es la siguiente. Escoja un w y un g arbitra rios. IC]m,u;,9 — Im (C )(w ) (ver la definición 5.4. en la sección 5.4.). Además, tenemos tC (m )]M2,u>,9[m/u>] = 2 (C){g[m/w\(m)) = I m 2 { C ) ( w ) (compare es to con la definición 4.4. en la sección 4.2.2.). De acuerdo con nuestro su puesto, Im (C ) = Im 2 (C) del cual se sigue inmediatamente que Im (C )(w ) = Im 2 (C){w)- Finalmente, dado que w y g fueron escogidos arbitrariamente, te po
nemos que |CJm,u),9 [C(?Tl)]]M2 ,g[m/iü]La relación entre C y C(m) podría generalizarse: expresiones de la Teoría de Tipos Intensional pueden siempre traducirse a fórmulas di-sorteadas que tienen el mismo significado. Mostraremos esto definiendo una traducción de expresiones de la Teoría de Tipos Intensional a expresiones de la Teoría de Tipos Di-sorteada que preserve las interpretaciones en el sentido discu tido anteriormente. No es sorprendente que las constantes ca sean siempre traducidas com o nuevas constantes C(s a), que son entonces aplicadas a m. La traducción de una expresión compleja a será realizada de la misma manera en que a es construida, excepto cuando □ , 0 ,Aov entren en a. Intuitivamente debe ser claro que □ corresponde a Vm y 0 a 3m, A a Am y v a la aplicación a m. Así, □ , 0 y A corresponden a ligar ocurrencias libres de m, mientras que v introduce dichas ocurrencias. Damos ahora una definición inductiva precisa de la traducción, escrita com o trans—a: D e fin ició n 5.9. (i) trans—ca = cM (m) trans—va = va (ii) trans—(a(/3)) = (trans—a(trans—/3))
(iii) trans—-<(f) = -"trans—
V,
—», <-►
(iv) trans—Vu (v) trans—(a = ¡3) = (trans—a = trans—/?) (vi) trans—Xv a = Xv trans—a (vii) trans—□> = Vm trans—4> (viii) trans- 0 0 =
tra n s-^
(ix) trans—Aa = Am trans—a (x) trans—va = (trans—a (m )) Es posible convertir cualquier modelo M de la Teoría de Tipos Intensional en un modelo M 2 de la Teoría de Tipos Di-sorteada tal que para toda expresión q, para todo w € W y para toda asignación g tenemos el teorema 5.6.: Teorema 5.6. [trans Ol\M2,g[Tn/w\
M 2 puede obtenerse de M . tomando el dominio D y el conjunto de mundos W e n M y definiendo /m 2(c) >para cada constante c, com o 7m (c) . Requerimos una prueba inductiva con el fin de mostrar que el teorema 5.6. es, en efecto, válido. Trataremos solamente los pasos no triviales de la prueba (asumiendo en la inducción que el teorema 5.6. es válido para todo w' € W ). Las cláusulas han sido numeradas de tal manera que correspondan con la numeración en la definición 5.4. Definición 5.10. (i)
[trans—c] M2 9[m/u,j = [c(m )JMaiS[ m/w] =
I m {c ) ( w )
=
[ c 1 m ,w ,p
/ .... | t (traducción) [trans-D0J)M2!g[m/u)] = 1 ^ [Vm t r a n s -0 ]M2,g[m/H = 1
( v il)
(definición de verdad) .. n ri ^ para todo u; : J = [trans—a jM 2,g[m/tu] • ” or hipótesis de inducción, esto significa que para todo w' : [>]M,u>',g = 1 ^ [□>]
= 1
(viii) |trans £*jM2,<7[m/u>] — [[Atti trans (y]]jv i.g[m/ w], que es la función h tal que para todo w' : h(w') = [ a ] M,iu',5, lo que significa que h — (ix)
[trans ®lM2,9[m/tu] |trans (hipótesis de inducción) =
[[trans—£*jM2,g[m/uj] (^0 v ,
N M , !»,!/W = r a j M , I1,,5
Es asombroso que el proceso de traducción haga uso sólo de una variable m con rango sobre mundos posibles. El poder expresivo de la Teoría de Tipos Di-sorteada es claramente más grande que el de la Teoría de Tipos Intensional. Esta traducción de una teoría a otra nos arroja más luz sobre la de Ti pos Intensional. Así, por ejemplo, la equivalencia de J,\\ y a en esta teoría reaparece en la Teoría de Tipos Di-sorteada simplemente com o un caso de A-conversión válida. La fórmula correspondiente a VAn es Am a (m ), y esta, en vista del hecho de que el teorema 4.1. de la sección 4.4.2. también es válido para la Teoría de Tipos Di-sorteada, es equivalente a a. También llega a ser más claro por qué AVa no siempre es equivalente a a. El contraejemplo dado en la sección 5.5. podría reconstruirse en este nuevo marco de la siguiente manera: en vez de la constante p que apareció allí, hacemos uso de la expresión Aw(q(w) = q(m)), en la cual w y m son variables de tipo s, mientras que q es de tipo (s ,t). Si se toma q para representar la proposición de que María viene, entonces q(w) es verdadera en g(w ) si María viene es verdadera en g(w ), y q(w) es falsa en g(w ) si María viene es falsa en g(w ). Así, la expresión Aw (q(w ) = q{rri)) denota la proposición de que María viene en aquellos mundos en los cuales es verdadero que ella viene, y la proposición de que María no viene en aquellos mundos en los cuales es falso que ella viene. Es decir, \w(q{w) = q(m )) representa María viene o no. Así como Avp y p no eran equivalentes, tenemos ahora que Xm(\w(q(w) = q(m ))(m )) y \w(q(w) = q(m )) no son equivalentes, pues \m (Xw(q(w) = q (m ))(m )) se reduce a Am (q(m ) = q(m )) y esta expresión hace referencia a una proposición diferente de aquella referida por Aw(q(w) = q(m )). De la misma forma que Avp en la sección 5.5., Am (q(m ) = q{m )) hace referencia a la proposición que es verdadera en cada mundo. En la sección 5.5. observamos que existen circunstancias bajo las cuales AVa es equivalente a a, entre otros, donde a es intensionalmente cerrado. ¿Cuál es ahora la caracterización en la Teoría de Tipos Di-sorteada de las expresiones
intensionalmente cerradas? Dado que la dependencia de contexto es capturad^ | aquí y da a las expresiones contexto-dependientes una variable m com o argn_ mentó extra, la clausura intensional de una expresión en la Teoría de Tip0s Intensional equivale a la expresión di-sorteada correspondiente que no contiene ninguna ocurrencia libre de m. De acuerdo con la definición 5.6. en la sección 5.5., □<£, 0 0 y A4> son todos ejemplos de expresiones intensionales cerradas. Puede verse que las expresiones di-sorteadas correspondientes Vm trans—^ 3m trans—<¡) y Am trans—a no contienen ocurrencias libres de m. No es difícil ver ahora a qué equivale en este marco la condición (ii) del teorema 5.5. de la sección 5.6. Este teorema, repetido a continuación, concierne a la admisibilidad de la A-conversión en la Teoría de Tipos Intensional. Teorema 5.5. Aw/3(7 ) es equivalente a ['y/v\¡3 sii (i) todas las variables en 7 son libres para v en /3; y (ii) o bien 7 € I C E L o bien ninguna ocurrencia libre de v en 3 cae dentro del alcance de □ , 0 o A . En la Teoría de Tipos Di-sorteada la condición (ii) equivale a la condición de que si 7 contiene una ocurrencia libre de m, entonces 7 no podría caer por sí mismo dentro del alcance de Vm, 3m o Am, com o resultado de la sustitución. Pero esto ya es requerido en la condición (i). Así pues, en la Teoría de Tipos Di-sorteada, com o en la de Tipos Extensional, la condición (i) es suficiente por sí misma. Así, vemos cóm o ciertas cuestiones que surgieron en la Teoría de Tipos Intensional ahora reaparecen, en este marco di-sorteado, en una forma que ya nos es familiar desde la Teoría de Tipos Extensional. La Teoría de Tipos Di-sorteada nos permite referir a mundos posibles y cuantificar sobre ellos (y sobre momentos en el tiempo si elegimos introducirlos). Ahora bien, una obje ción que podría surgir contra tal lenguaje es que este tiene más compromisos ontológicos que un lenguaje con operadores intensionales; esta objeción nos parece infundada. Por sí mismo un lenguaje no tiene compromisos ontológi cos. Lo que tiene compromisos ontológicos es un lenguaje con su semántica, y la semántica de un lenguaje con operadores intensionales, en la forma de una definición de verdad que se sirve de los mundos posibles, claramente hace referencia a mundos posibles y cuantifica sobre ellos absolutamente, así co mo la semántica de un lenguaje di-sorteado. Los compromisos ontológicos son
bastante similares en ambos casos. Otra razón para preferir un lenguaje con operadores intensionales sobre un lenguaje di-sorteado tiene que ver con la diferencia en su poder expresivo. Un lenguaje con operadores intensionales tiene la ventaja de que se le puede dar exactamente el poder expresivo que se requiere para una aplicación particular. Teniendo en mente aplicaciones como la semántica de un lenguaje natural, se vuelve una pregunta empírica cuán expresivo es este poder. Para dar un ejemplo, ¿necesitamos o no nece sitamos la cuantificación sobre momentos en el tiempo con el fin de traducir las expresiones temporales del lenguaje natural en una forma satisfactoria? Esta es una pregunta compleja, pero a la vez fascinante. En §2.4.3. notamos que en el curso del tiempo, los formalismos temporales han sido equipados con más y más operadores, con el fin de lidiar con las expresiones y cons trucciones temporales, y que algunos de ellos han dado razones para utilizar lenguajes que permiten cuantificación sobre momentos. Es difícil resolver un asunto com o este; la pregunta no es sólo si teorías diferentes capturan todos los fenómenos. Su simplicidad y elegancia también está en juego.
Capítulo 6
Gramática de Montague
6.1.
Introducción
En este capítulo estudiaremos extensivamente la Gramática de Montague. Esta gramática, desarrollada por el lógico americano Richard Montague a comienzos de los setenta, busca definir una semántica modelo-teórica para el lenguaje na tural. La versión más común de la Gramática de Montague, que presentaremos en este capítulo, logra este objetivo al relacionar de una manera explícita y sistemática las expresiones de un lenguaje natural con las expresiones de un sistema lógico de la Teoría de Tipos Intensional, de tal manera que las inter pretaciones de las segundas sirvan también como interpretaciones de las primeras. El modelo de Montague no fue el único intento que se realizó en aquel momento de utilizar los métodos semánticos de la lógica en la descripción de los significados de las expresiones del lenguaje natural. Otros, por ejemplo, Creswell, Bartsch y Nennemann, y Lewis, hicieron propuestas que iban en la misma dirección. Un denominador común para tales modelos es el de ‘gramáti cas lógicas’ . En este capítulo nos preocuparemos exclusivamente por el modelo de Montague. Esto, debido a que la Gramática de Montague todavía sirve como el modelo estándar de una Gramática Lógica. De esta manera, la introducción exhaustiva que haremos a continuación le permitirá a los lectores, si así lo
desean, dominar relativamente rápido las particularidades de otros modelos. También, los desarrollos más recientes en semántica formal, que serán discuti dos en el capítulo 7, sólo pueden entenderse apropiadamente dentro del marco de la Gramática de Montague. Lo mismo sucede con las corrientes actuales como la semántica situacional, la cual, por lo menos en sus comienzos, cobró su momentum al comenzar com o un minucioso ataque a algunos de los puntos esenciales de la Gramática de Montague. La idea de la empresa de una Gramática Lógica para el lenguaje natural no es ni obvia ni improvisada. En el capítulo 1 del volumen 1 discutimos bre vemente los desarrollos históricos de la lógica y la lingüística y sus relaciones. La discusión trató de dejar claro que la idea de un objetivo común cierta mente tiene sus raíces en la historia, pero al mismo tiempo se hace plausible sólo con ciertos desarrollos relativamente recientes en ambas disciplinas. Este capítulo comienza con una corta discusión de tres suposiciones metodológicas de la Gramática Lógica, tres principios generales que subyacen casi todos los intentos de aplicación sistemática de la semántica modelo-teórica al lenguaje natural. Ellos tratan sobre el principio de composicionalidad del significado y sus consecuencias para la sintaxis, el problema de la clausura semántica y la relación entre verdad y significado.
6.1.1.
La composicionalidad del significado y la sintaxis
El principio de composicionalidad del significado tiene consecuencias impor tantes para la relación entre sintaxis y semántica. Usualmente, en un sistema lógico la definición de la interpretación semántica de las expresiones sigue de manera cercana el camino de su construcción sintáctica. La razón para esto es que la semántica debe especificar la interpretación de un número infinito de expresiones, pero de manera finita. La manera obvia de proceder, entonces, es que la definición de la semántica sea paralela a la definición finita y recur siva de la sintaxis. Este método asegura que a toda regla sintáctica que per mita construir cierto tipo de expresión a partir de una o más expresiones, le corresponda una regla semántica, la cual establece cómo la interpretación de la expresión recientemente formada debe obtenerse a partir de la interpretación de sus partes componentes. Para ponerlo de manera sucinta, los lenguajes lógicos satisfacen el siguiente principio: la interpretación de una expresión compleja es una función del significado de sus partes. Este es el principio de composicionalidad del significado, también conocido como el ‘principio de Frege’.
La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su composic¡„ ' nalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o pueden reformularse para que estén en conformidad, con el principio de composicioQaJ lidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa del 1 sistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, peroj muestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad de introducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremática, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composi cionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacer semántica, que en la lógica com o tal siempre pasa desapercibida. Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidad del significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente que la composicionalidad brinda un m étodo finito para la interpretación semántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado. Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos, las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan de manera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debe prestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restricciones complejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado, toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todos los aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretación de las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En un sistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendo la semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algo que construyamos; es algo que es dado. En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno de los fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe en la posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellos requieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de manera exacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable para el lenguaje natural.
Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos. No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los años cincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actitud diferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció la convicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural
dría darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje ^tural sería real. Irónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en el estudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría de lingüistas de la tradición “chomskiana” , y todavía no lo ha sido, por lo menos de manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados, por otra parte, personas como Katz han argumentado a favor de una versión de la composicionalidad de la siguiente manera: un usuario competente es capaz de interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretación del usuario del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de un número finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglas sintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad, que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica, parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentación se encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notar que el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólo muestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Y la composicionalidad es sólo uno de los candidatos). Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de la Gramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramáti ca Lógica. Una es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que no parece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que parten las gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). La otra es que la Gramática Lógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra de la tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la com posicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basar una interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella. Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamente más adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectos no léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos te ner en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones que consta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso, la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, por lo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a la sintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda. Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general de la Gramática Lógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremos con cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre
La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su compos¡pifJ nalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o p u e < W l reformularse para que estén en conformidad, con el principio de composición^ : lidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa del sistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, perol muestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co- ¡ mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad de introducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremática, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composi cionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacer semántica, que en la lógica como tal siempre pasa desapercibida. Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidad del significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente que la composicionalidad brinda un m étodo finito para la interpretación semántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado. Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos, las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan de manera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debe prestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restricciones complejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado, toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todos los aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretación de las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En un sistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendo la semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algo que construyamos; es algo que es dado. En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno de los fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe en la posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellos requieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de manera exacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable para el lenguaje natural. Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos. No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los años cincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actitud diferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció la convicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural
¿ría darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje Natural sería real.
rrónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en el tudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría de Hngüistas de la tradición “chomskiana” , y todavía no lo ha sido, por lo menos Je manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados,
por otra parte, personas com o Katz han argumentado a favor de una versión de la composicionalidad de la siguiente manera: un usuario competente es capaz de interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretación del usuario del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de un número finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglas sintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad, que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica, parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentación se encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notar que el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólo muestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Y la composicionalidad es sólo uno de los candidatos). Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de la Gramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramáti ca Lógica. Una es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que no parece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que parten las gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). La otra es que la Gramática Lógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra de la tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la com posicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basar una interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella. Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamente más adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectos no léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos te ner en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones que consta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso, la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, por lo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a la sintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda. Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general de la Gramática Lógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremos con cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre
forma lógica y forma gramatical. Por ahora es suficiente haber mencionada «s papel importante que juega en la empresa de la Gramática Lógica. 1
6.1.2.
1
Lenguaje objeto y metalenguaje: clausura semántica
Hay una condición técnica que debe ser cumplida por un lenguaje para qu 1 sea posible definir su semántica siguiendo la manera de un sistema lógico a I saber, la relación entre el lenguaje al cual queremos darle una semántica, se llama el lenguaje objeto, y el lenguaje en el cual formulamos la semántica*! que se llama el metalenguaje. Esos dos lenguajes pueden ser en efecto diferen- i tes; por ejemplo, en los capítulos anteriores hemos usado el español como un 1 metalenguaje con el cual se ha formulado la semántica de varios lenguajes lógi cos, que en este caso cumplen el papel de lenguaje objeto. Pero es posible que el lenguaje objeto sea parte del metalenguaje. De esta manera, la semántica de un fragmento del español puede presentarse en español. Los términos ‘len guaje ob jeto’ y ‘metalenguaje’ , entonces, se refieren más bien a las distintas funciones del lenguaje, que pueden ser desempeñadas por distintos lenguajes, pero también por uno solo. La pregunta que ahora surge es si es posible que el lenguaje objeto y el metalenguaje sean idénticos. A primera vista, nada parece hablar en contra de la suposición de que este sea el caso, pero un escrutinio detallado mostrará que esto lleva a problemas inesperados. Al describir la semántica de un lenguaje objeto, entre otras cosas, tenemos que establecer en el metalenguaje las condiciones de verdad de las oraciones del lenguaje objeto. Trabajando al estilo familiar “tarskiano” , esto significa que en el metalenguaje hay nombres disponibles para las oraciones del lenguaje objeto. Usualmente utilizamos las mismas oraciones, transformándolas en nom bres al poner comillas o escribiéndolas en cursivas. Com o resultado, es posible definir en el metalenguaje un predicado de verdad, es decir, un predicado del metalenguaje de una oración del lenguaje objeto que es cierto si y sólo si la oración es verdadera. En otras palabras, dar las condiciones de verdad de las oraciones del lenguaje objeto se reduce a especificar la extensión del predicado de verdad. T odo esto está muy bien, excepto cuando el lenguaje objeto y el metalenguaje son idénticos. La razón es que el predicado de verdad ipso fa d o hace parte también del lenguaje objeto, al igual que los nombres de las oraciones del lenguaje objeto; esto da lugar a paradojas semánticas. Por ejemplo, su pongamos que el español es nuestro lenguaje objeto y nuestro metalenguaje. En ese caso, el español contendría al mismo tiempo su propio predicado es
■ Jndera y l ° s nombres para todas sus oraciones; lo que significaría que es 1)6 ¡ble formular oraciones tales como (1):
oración (1) no es verdadera gsta oración produce una paradoja. Para que (1) sea verdadera, (1) no debe
r verdadera, dado que eso es lo que (1) significa. Pero si (1) no es verda dera entonces la afirmación expresada por (1) es verdadera y, por lo tanto,
(1) también lo es. Podemos concluir que no es posible formular una teoría semántica para un lenguaje objeto en un metalenguaje que es idéntico al len guaje objeto sin que nos metamos en problemas. Pero, el problema es aún más serio, dado que en una situación en la cual el lenguaje objeto y el lenguaje son diferentes también puede ocurrir el mismo resultado poco placentero. Por ejemplo, si describiéramos el significado de la oración (1) en un lenguaje dis tinto a' español, digamos en holandés, la paradoja no desaparecería, sino que sencillamente tendría distintas palabras. El problema radica en un lenguaje objeto que permite autoreferencia, por ejemplo, al contener nombres para sus propias oraciones y al contener su propio predicado de verdad. Tales lenguajes se llaman cerrados semánticamente. Debemos concluir que una semántica consistente, aquella que no produzca paradojas tales com o la indicada an teriormente, sólo puede definirse para aquellos lenguajes que no sean cerrados semánticamente. Como lo muestra el ejemplo (1), el español es cerrado semánticamente, por lo que no es posible darle una teoría semántica consistente. Dado que esto es cierto de manera general para todos los lenguajes naturales, parece que debe mos concluir que la empresa de la Gramática Lógica va por mal camino desde el puro comienzo. Hay varias maneras de evitar esta conclusión. Tal vez la más común sea trazar un curso seguro al formular la semántica, no para todo el lenguaje, sino sólo para los fragmentos que no sean cerrados semánticamente. La pérdida de generalidad parece más bien pequeña. Por supuesto, si seguimos este enfoque, resulta posible formular de nuevo la semántica en el mismo len guaje. En este caso, el lenguaje objeto pertenece al metalenguaje pero no es idéntico a él, y de aquí no se sigue ninguna paradoja. Esta manera de resolver el problema es esencialmente la de Tarski (1935; 1944). Como resultado, obte nemos una jerarquía de lenguajes cada vez más inclusivos en la cual el lenguaje de nivel n + 1 funciona como metalenguaje para el lenguaje de nivel n. Desde un punto de vista empírico, se arguye, la restricción que esto implica no es importante, pero hay varias condiciones formales que deben cumplirse en una teoría semántica así definida.
Además de este enfoque más bien formal, se han propuesto algunos otro8 que toman la paradoja más seriamente. Observemos que si seguimos el enfoq^e de Tarski, las oraciones paradójicas no reciben el significado que parecen tener intuitivamente, pues estos dan lugar a paradojas. Si en el lenguaje natura] solamente hubiera oraciones autoreferenciales, tales com o (1), esto parecería un pequeño precio a pagar, pero las paradojas semánticas también son generadas por otros ejemplos más naturales. Compárense las dos afirmaciones en (2) (sj substituyéramos, por ejemplo, la A y la B por los nombres de dos políticos que aspiran al mismo puesto, podríamos obtener ejemplos más naturales): (2)
A: Todo lo que diga B acerca de mí es falso B: Todo lo que diga A acerca de mí es verdadero
Ahora, suponga que en efecto A y B dicen sólo una cosa acerca del otro, a saber, las afirmaciones en (2). ¿Lo que dice A es verdadero? Si esto es así, la afirmación de B de que todo lo que A diga acerca de B es cierto, debería ser falsa. Dado que, por hipótesis, la única cosa que A dice acerca de B es que cualquier cosa que B diga acerca de A es falsa, esto implica que la afirmación de A es falsa. De manera similar, la afirmación de A es verdadera si es falsa. La paradoja surge nuevamente. Ejemplos como los de (2) pueden multipli carse y pueden hacerse más naturales describiendo mejor las circunstancias. Para muchos esto sugiere que las paradojas semánticas son un asunto menos marginal de lo pensado y que en lugar de evitarlas — que es lo que finalmente hace el enfoque de Tarski— deben ser abordadas de frente. Varias soluciones han sido propuestas para el problema de establecer una teoría semántica que haga frente a estas paradojas, por ejemplo por Kripke, Herzberger, Gupta y, recientemente, por Barwise y Etchementdy en el contexto de la semántica situacional. En conclusión, podemos decir que cualquiera que sea la posición que to memos aquí, la existencia de paradojas semánticas no excluye la posibilidad de una semántica modelo teórica para el lenguaje natural. Pero, por supuesto, debemos tomar medidas. Ya sea que nos restrinjamos describiendo el lenguaje natural en la manera sugerida por Tarski, o que adoptemos un enfoque más directo, pero también más complejo, com o los que proponen Kripke y demás.
6.1.3. La semántica y la teoría de la verdad No parece haber obstáculos formales o metodológicos para la aplicación de los métodos de la semántica lógica y modelo teórica al lenguaje natural. Sin em-
puede argumentarse que aunque tal vez sea posible describir los signi ficados de las expresiones del lenguaje natural de manera similar a los de las expresiones lógicas, no es obvio en lo más mínimo que sea provechoso aproxiarse al significado del lenguaje natural por este medio. Aquí llegamos a un asunto fundamental. hargo,
Como se explicó en el capítulo 1, la semántica modelo teórica puede verse como una Teoría Referencial del Significado. El significado se explica en términOS de la relación de referencia, o denotación, que ocurre entre expresiones y algún conjunto independiente de entidades. Esto vale tanto para una semán tica intensional, com o para una extensional: la referencia múltiple, en términos de la cual se define la intensión, también es una relación de referencia, con un parámetro extra. Por lo tanto, las nociones de referencia y verdad deben consi derarse com o las nociones clave de la semántica modelo teorética. Y si intenta mos utilizar los métodos de esta última en nuestra descripción del significado en el lenguaje natural, asumimos, implícita o explícitamente, que por lo me nos una parte sustancial del significado de las expresiones del lenguaje natural puede ser capturada en términos de las nociones de referencia y verdad. En otras palabras, uno de los puntos de partida de la Gramática Lógica es la idea de que la teoría semántica para un lenguaje natural debe contener por lo menos una definición de verdad para dicho lenguaje.
Exactamente en este punto hay una marcada oposición entre los proponen tes de la Gramática Lógica y los que se adhieren a la Gramática Generativa. Mientras que los primeros ven el significado esencialmente como una relación entre las expresiones de un lenguaje y algo más, ‘allá afuera’ , que es a lo que se refieren las expresiones, o sobre lo que hacen afirmaciones o preguntas; la última sostiene que el significado consiste en las representaciones mentales que acompañan una expresión lingüística. La controversia puede ser muy grande, entre un gramático lógico que considera que las representaciones mentales no juegan ningún papel y un mentalista que niega que el lenguaje tenga alguna función referencial. O puede ser menos dramática, puesto que un gramático lógico puede reconocer la existencia de representaciones mentales y el menta lista puede admitir que el lenguaje de alguna manera, indirectamente, también se relaciona con lo no mental. Pero en cualquier caso, la diferencia es de princi pio, porque mientras puede haber acuerdo en otras cosas, esto representa una diferencia de opinión fundamental acerca de lo que constituye el significado: su relación con el ‘mundo’ o su relación con lo ‘mental’. No podemos detallar los argumentos que han sido propuestos a favor de la primera posición. Simplemente llamamos la atención sobre la tradición, que
__..„v, nace mucho tiem po en filosofía y en lógica, que sume que cualqUje ® teoría semántica debe contener por lo menos una teoría de la verdad. Acer«^ 1 de ello ha habido acuerdos y todavía los hay. Y desde finales de los sesentas §e 1 han hecho varias propuestas para aplicar los métodos de la semántica modela 1 teórica en el análisis del lenguaje natural. Sin embargo, debe tenerse en cuenta 1 que aquí debemos distinguir entre dos corrientes de pensamiento principales ' Todas las propuestas toman la formulación de las condiciones de verdad ' de las oraciones o, más generalmente, de las condiciones de denotación de las expresiones, com o una parte esencial de la teoría, pero no todas las propuestas 1 están de acuerdo ni con respecto al m étodo para llevar a cabo esto, ni con respecto a si la definición de las condiciones de verdad es suficiente en sí misma para un análisis del significado del lenguaje natural. Con respecto al último aspecto, podemos distinguir entre los ‘extensionalistas’ y los ‘ intensionalistas’ . Un extensionalista prominente es Davidson, quien sostiene que es posible y necesario hacer semántica para un lenguaje natural solamente en términos de condiciones de verdad. Davidson comparte esta opi nión con Quine, quien por razones filosóficas y metodológicas siempre se ha opuesto al uso de nociones tales com o ‘ significado’ , ‘sinonimia’ , y otras por el estilo, incluso en lógica. La posición de que una explicación de los hechos semánticos que utilice tales nociones sería una explicación de obscurum per obscurior ha sido promovida y defendida enérgicamente por Quine en nume rosos lugares. De acuerdo con Quine y Davidson, entonces, el uso de nociones teóricas com o aquellas de mundos posibles, intensión, y por consiguiente de la semántica intensional com o tal, deben ser evitadas, puesto que no podemos esperar ninguna ganancia conceptual sobre el significado del lenguaje natural a partir de ellas. Ellos consideran que la semántica teórica debe ser formulada en términos puramente extensionales. La corriente de pensamiento intensionalista sostiene que tal posición está de masiado inspirada en motivos filosóficos y que presta muy poca atención a los requerimientos de una teoría semántica del lenguaje natural que sea empíri camente adecuada. De acuerdo con los intensionalistas, el carácter intensional del lenguaje natural es obvio. Muchas expresiones y construcciones son pro blemáticas para una semántica estrictamente extensional (Cf. los ejemplos en §§1.6. y 3.1.). Una semántica extensional no puede remontar esas dificulta des. Si nuestro objetivo es una semántica para el lenguaje natural que sea adecuada empíricamente, más que una teoría semántica que cumpla algunas restricciones filosóficas independientes, la manera obvia de proceder es utili zando una semántica intensional. Esta opinión ha sido propuesta tanto teórica
I 0 prácticamente por varios autores, notablemente por Montague, Lewis y ^rggwell- Los modelos que ellos han desarrollado realmente apuntan a proveer U marco de trabajo para una teoría semántica del lenguaje natural que sea mpíricamente adecuada. Por esta razón, estos modelos pueden ser realmente caracterizados com o ‘gramáticas lógicas’ . E s t e capítulo está dedicado a la exposición de una de esas gramáticas ló g ic a s y, por las razones indicadas en §6.1., el modelo que hemos escogido es el desarrollado por Richard Montague.
6.2.
La organización de una Gramática de Montague
E s t a sección trata la organización de una Gramática de Montague. Adoptamos e l modelo de Montague com o fue propuesto en “The Proper Treatment of
Quantification in Ordinary English” (1973): el modelo PTQ. Este modelo es una de las versiones posibles de la teoría general sobre sintaxis y semántica que
Montague formuló en su “Universal Grammar” (1970b). Esta teoría general ha llevado a varios modelos organizados de maneras un poco diferentes; por ejem plo, el enfoque de Montague en “English as a Formal Language” (1970a) difiere en varios aspectos del modelo PTQ, por lo que sería equivocado presentar, es trictamente hablando, el modelo PTQ como la Gramática de Montague. Por otra parte, el modelo PTQ es la implementación de las ideas de Montague más conocida y más extensamente utilizada, e incluso cuenta como la formulación paradigmática de la Gramática Lógica com o tal. Así pues, con estas reservas en la cabeza, nos concentramos en el modelo PTQ en el resto de este capítulo. Metodológicamente, la noción de Montague más importante es la siguien te: la tarea principal de una teoría lingüística debe ser sentar las bases para una teoría semántica. Esta presuposición tiene consecuencias para la organi zación de la gramática. Una semántica composicional requiere de una teoría sintáctica. En otras palabras: interpretar una expresión compleja de mane ra composicional no es simplemente interpretar la expresión como tal, sino interpretarla dado un análisis sintáctico. El análisis sintáctico nos dice qué subexpresiones componen la expresión compleja, qué reglas se utilizaron para formar esta expresión y en qué orden se compuso la expresión. Necesitamos esta información si queremos construir el significado de la expresión a partir de los significados de sus partes componentes, como lo requiere la composicionalidad. La interpretación semántica se realiza no sobre expresiones com o tal, sino únicamente sobre expresiones dado un análisis sintáctico. En este sentido, una teoría semántica presupone una teoría sintáctica.
La interpretación m odelo teorética usual de los lenguajes lógicos cumple con este requerimiento. Los lenguajes lógicos se caracterizan por el hecho de que las expresiones y sus análisis sintácticos no pueden distinguirse: una expre sión muestra su análisis sintáctico en su estructura. Para cada expresión hay exactamente un árbol de construcción, el cual puede deducirse sin ambigüedad a partir de la expresión, gracias al uso de los paréntesis. En el lenguaje na tural hay oraciones sintácticamente ambiguas, donde una expresión puede ser el resultado de distintos procesos sintácticos y, por lo tanto, puede tener más de un análisis sintáctico. Algunas veces, análisis sintácticos distintos pueden dar lugar a diferencias en significados. Com o resultado, podemos determinar el significado de una expresión solamente con base en su análisis sintáctico. Los siguientes tres ejemplos ilustrarán este punto. Considere la oración (3): (3)
Juan ve mujeres y hombres ancianos
La oración (3) tiene dos lecturas: en una, Juan ve mujeres y hombres, es tos últimos ancianos; en la otra, Juan ve mujeres ancianas y hombres ancia nos. La expresión componente mujeres y hombres ancianos es la fuente de la ambigüedad. El alcance del adjetivo ancianos determina a cuál conjunto de personas se retire la expresión. Cuando el alcance es solamente el nombre común hombres, la referencia es la de la primera lectura, mientras que la se gunda lectura de (3) es aquella en la cual ancianos se aplica a la expresión compuesta mujeres y hombres. Las dos maneras correspondientes de construir mujeres y hombres ancianos pueden representarse de la siguiente forma: (4)
a. [mujeres y [hombres ancianos]] b. [[mujeres y hombres] ancianos]
Los dos significados de (3) pueden construirse utilizando los análisis sintácticos (4a) y (4b). Así pues, el proceso de interpretación funciona mejor sobre repre sentaciones com o (4a) y (4b), que sobre expresiones desestructuradas como mujeres y hombres ancianos. La ambigüedad de (3) es estructural: ella reside en las dos estructuras distintas que pueden asignarse a mujeres y hombres an cianos. Pero no todas las ambigüedades sintácticas pueden reducirse a tales ambigüedades estructurales. Considere las oraciones (5) y (6): (5)
Todos en este cuarto hablan un idioma
(6)
Juan busca un tesoro
Cada una de estas oraciones también tiene dos lecturas. En una lectura de (5) hay un idioma que todos hablan en el cuarto, por ejemplo, español, mien tras que otras personas pueden también hablar otros idiomas; la otra lectura ¿ice que todos hablan solamente un idioma, posiblemente distinto para cada persona. Una ambigüedad de dicto/de re ocurre en (6). La interpretación de re establece que hay un tesoro que es buscado por Juan, pero la interpretación de dicto no implica la existencia de un tesoro.1 Tales ambigüedades no pueden reducirse a ambigüedades estructurales, com o sí era el caso para (3), dado que oraciones com o (5) y (6) sólo tienen una estructura componente. Aparente mente, para oraciones como éstas hay distintas maneras de derivarlas, aunque todas resulten en la misma expresión con la misma estructura pero con distinto significado. Las dos maneras de derivar (5) difieren en el orden en el cual se introducen los términos cuantificados todos en este cuarto y un idioma. Si in troducimos un idioma primero, obtenemos la segunda lectura; si comenzamos con todos en este cuarto obtenemos la primera lectura. Algo similar sucede con (6), com o mostraremos más adelante. La ambigüedad de (5) o (6) es el resul tado de la existencia de más de una derivación sintáctica; de aquí que sea frecuentemente llamada ambigüedad derivacional. La ambigüedad estructural de (3) puede considerarse com o un caso especial de ambigüedad derivacional. Podemos concluir que la derivación de una expresión es la que determi na su significado. Utilizaremos el término análisis sintáctico en este sentido, refiriéndonos a la historia derivacional de una expresión, distinguiéndola de la noción de análisis estructural. Una teoría semántica composicional no sólo presupone una teoría sintácti ca, también impone ciertas condiciones sobre ella. Toda ambigüedad que no sea léxica, es decir cualquier ambigüedad que no pueda reducirse a la ambigüedad de un elemento del léxico, debe corresponder a una ambigüedad derivacio nal. Otra condición requiere que toda operación sintáctica sea semánticamen te interpretable; su efecto semántico debe ser expresable explícitamente y en términos generales. Todo esto significa que la sintaxis de la Gramática de Montague no es autónoma, o por lo menos no se requiere que así sea. Consideraciones semánti cas pueden ser de suma importancia en la formulación de la sintaxis. Una 1N. de T .: este fenómeno de ambigüedad derivacional no ocurre en español cuando el objeto directo de buscar (y de la gran mayoría de verbos transitivos) es animado y definido. Por ejemplo, si en lugar de un tesoro, lo que Juan busca fuera una secretaria, la oración Juan busca una secretaria sólo tiene una lectura de dicto — como si esta frase fuera la de un aviso en un periódico— , mientras que la lectura de re sólo puede ser expresada por Juan busca a una secretaria. La preposición a debe ir antes del objeto directo cuando éste es animado y definido.
ambigüedad sintáctica puede construirse, por así decirlo, sólo por razones semánticas; similarmente, consideraciones semánticas pueden forzar a escoger entre análisis sintácticos alternativos, cuya escogencia no puede basarse sólo en consideraciones sintácticas. Todavía es una pregunta abierta si esta transgreción potencial de la semántica a la autonomía de la sintaxis se encuentra en la realidad, es decir, en la descripción actual de algún lenguaje natural. Aunque impone condiciones en la forma y contenido de la sintaxis, la semántica nos permite explicar ciertas características semánticas sin depender de consideraciones sintácticas. Dos oraciones con el mismo significado pueden diferir considerablemente en su sintaxis, incluso hasta el extremo de que a par tir de un punto de vista sintáctico no sea plausible relacionarlas. Por ejemplo, consideremos las oraciones en sus formas activa y pasiva. Una teoría semánti ca explícita nos permite dar cuenta de la conformidad en significado sin tener que suscribirnos a las hipótesis de que las oraciones son iguales en algún nivel sintáctico. Es suficiente que sus análisis sintácticos determinen la misma inter pretación semántica. En este sentido, la naturaleza y el poder de la semántica composicional equilibra la transgresión a la autonomía de la sintaxis al permi tirnos eliminar de esta última consideraciones irrelevantes, es decir, semánticas. La organización del modelo PTQ no sólo es dictada por los principios ante riormente expuestos, sino también por su m étodo característico de vincular la sintaxis y la semántica. Es posible definir directamente una semántica modelo teórica para un lenguaje natural. El análisis sintáctico de una expresión pro vee la base para una interpretación directa en un modelo, de la misma manera en que esto se hace para las expresiones de los lenguajes lógicos. Montague adoptó este m étodo de interpretación directa en su “English as a Formal Language” (1970a). Sin embargo, en el modelo PTQ utilizó un método indirecto. En este modelo, las expresiones del lenguaje natural se traducen primero a expresiones de un lenguaje lógico, com o se muestra en (7). Las expresiones lógicas se interpretan de la manera modelo teórica usual. De ello se sigue que las expresiones del lenguaje natural se interpretan indirectamente a través de la interpretación de las expresiones lógicas en las cuales son traducidas.
(7)
Com o de costumbre, el lenguaje lógico no es ambiguo; por lo tanto, la semánti ca asigna un significado a cada expresión lógica. Si la interpretación semántica
de una expresión lógica debe funcionar indirectamente como la interpretación ixiántica de una expresión del lenguaje natural, algunas condiciones deben re querirse para el proceso de traducción. Si una expresión del lenguaje natural es ambigua, necesitamos asignarle más de un significado. En el modelo PTQ, esto implica que una expresión ambigua deba traducirse en expresiones lógicas dis tintas y no equivalentes. El principio de composicionalidad requiere que toda ambigüedad no léxica se corresponda con una ambigüedad derivacional, como ge explicó anteriormente. Dado que el proceso de traducción no es más que un proceso indirecto de interpretación, él también debe adaptarse al análisis sintáctico. Una tra ducción no se obtiene para la expresión com o tal, sino únicamente para una expresión dado su análisis sintáctico. Si hay distintas formas de analizar, es decir, de derivar una expresión, debe haber traducciones distintas, que re presenten los distintos significados (com o lo veremos más adelante, no toda ambigüedad derivacional corresponde a una ambigüedad semántica genuina, mientras que lo contrario sí es cierto). Así que en el modelo PTQ, la composicionalidad juega un papel en dos niveles distintos. El primero es el nivel de la interpretación del lenguaje lógico, el cual satisface la composicionalidad como de costumbre. Pero la composi cionalidad también está involucrada en el segundo nivel, el de la traducción del lenguaje natural al lenguaje lógico. Esto es necesario si queremos asegu rar la composicionalidad del proceso de interpretación del lenguaje natural: debemos, por lo tanto, hacer que el proceso de traducción sea un proceso composicional. Todos los elementos léxicos del lenguaje natural se traducen en ex presiones del lenguaje lógico y de esta manera se les asigna significados únicos. Las reglas sintácticas nos dicen cóm o construir nuevas expresiones a partir de expresiones existentes; a cada una de estas reglas se asocia una regla de tra ducción, la cual especifica la traducción de las expresiones complejas, dada la traducción de sus partes componentes. Al final, toda expresión se construye a partir de las expresiones básicas, por medio de la aplicación de un número finito de reglas sintácticas. La construcción suministra el análisis sintáctico, el cual determina una traducción única y, de esta manera, con un significado único. Si una expresión puede analizarse sintácticamente de más de una forma, entonces tiene más de una traducción y, por lo tanto, posiblemente más de un significado. La estructura general del modelo p t q queda así definida. En las siguientes secciones daremos un ejemplo de una gramática acorde con el modelo PTQ pa ra un pequeño fragmento del español, que cubre más o menos la misma área
cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no busca dar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormente mencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y ei trabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones serán 1 examinadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis deta llado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmento ' del modelo PTQ. Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, y esperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá de una manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del mode lo PTQ. En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales y así obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Com parado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muy restringido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben ser explicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivo del fragmento no debe tomarse com o una indicación de que las posibilidades para la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Una gran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, han sido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.
6.3.
Una Gramática de Montague para un fragmento del español
6.3.1.
Categorías y expresiones básicas
El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones de un lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial pura consiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii) una definición de las categorías derivadas; (iii) un lexicón; es decir, una espe cificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificación del comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma de sintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultades para dar cuenta de algunos fenómenos tales com o el orden de las palabras, su presión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras; la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los años se han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la
•jitaxis categorial pura. Una sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis,
- e usar una sintaxis categorial pura com o un componente base y añadir un
im p on en te transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otras estrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidad sistem ática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque será abordado en el capítulo 7. En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos que acabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simple mente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglas sintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única ope ración sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (ya sea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo una regla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresiones de categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticas crece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis se incrementa. Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. Encontramos la operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambian el orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, e incluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mis mo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia de hacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones admisibles. Varias propuestas se han hecho en esta dirección. Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del español, comenzando con una definición de las categorías: Definición 6.1. C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que: (i) O, N C , V I G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/B G C A T La sintaxis contiene tres categorías básicas: O , la categoría de las oraciones; NC, la categoría de los sustantivos; y VI. la categoría de sintagmas verbales intransitivos. Las categorías derivadas A/B son categorías functoriales: una
cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no busca dar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormente mencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y ej trabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones serán examinadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis deta llado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmento del m odelo p t q . Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, y esperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá de una manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del mode lo p t q . En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales y así obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Com parado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muy restringido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben ser explicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivo del fragmento no debe tomarse com o una indicación de que las posibilidades para la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Una gran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, han sido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.
6.3.
Una Gramática de Montague para un fragmento del español
6.3.1.
Categorías y expresiones básicas
El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones de un lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial pura consiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii) una definición de las categorías derivadas; (iii) un lèxicon; es decir, una espe cificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificación del comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma de sintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultades Para dar cuenta de algunos fenómenos tales com o el orden de las palabras, su presión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras; la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los años se han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la
sintaxis categorial pura. Una sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis, fue usar una sintaxis categorial pura como un componente base y añadir un
componente transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otras estrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidad sistemática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque será abordado en el capítulo 7. En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos que acabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simple
mente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglas sintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única ope ración sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (ya sea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo una regla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresiones de categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticas crece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis se incrementa. Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. Encontramos la operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambian el orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, e incluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mis mo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia de hacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones admisibles. Varias propuestas se han hecho en esta dirección. Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del español, comenzando con una definición de las categorías: Definición 6.1. C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que: (i) O, N C , V I G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/B G C A T La sintaxis contiene tres categorías básicas: O. la categoría de las oraciones; NC, la categoría de los sustantivos; y VI, la categoría de sintagmas verbales intransitivos. Las categorías derivadas A/B son categorías functoriales: una
Definición Categorial_______Descripción_________
Expresiones
Oraciones
O
Sustantivos
NC
VI
T = O/VI
Hombre, mujer, lenguaje, tesoro, elefante, reina, parque, yate, anillo
Sintagmas verbales intransitivos
Fumar, dormir, hablar, caminar, pasear
Términos
Juan, María, Carlos, Elisa, e/o, él\, . . .
Sintagmas verbales transitivos
Añorar, amar, conocer, buscar, encontrar, ser, besar
VI/O
Verbos de complementos de oraciones
Creer que, afirmar que
VI/VI
Verbos de complementos infinitivos
Intentar, desear
VT = VI /T (= VI/(O/VI))
NC/NC
O/O
Adjetivos prenominales
Verde, grande, rosado, cuadrado, imaginario
Adverbios modificadores de oraciones
N ecesariamente
Cuadro 6.1. Categorías y expresiones expresión de categoría A/B toma una expresión de categoría B como argumento y produce una expresión nueva de categoría A. En efecto, la cláusu la (ii) de la definición 1 determina un número infinito de categorías derivadas; sin embargo, sólo usaremos algunas cuantas de ellas. Para algunas categorías derivadas introduciremos abreviaciones especiales. El cuadro 6.1. resume las categorías que se utilizarán, da una definición si el nombre de la categoría es una abreviación de una categoría derivada y presenta una caracterización lingüística más familiar. El cuadro también presenta el léxico de nuestro frag mento: al lado de cada una de las categorías se listan los elementos léxicos de esa categoría. En las siguientes secciones, designaremos a menudo los ele mentos léxicos (también llamados expresiones básicas) de una categoría A com o B a . De acuerdo con el cuadro 6.1., entonces, B ^ c es el conjunto {hombre, m u jer, lenguaje, tesoro, elefa n te, reina, parque}. Obsérvese que el número de expresiones básicas de la categoría T es infinito. Para cada número natural n, éln 6 B t . La función de esas expresiones, llamadas variables sintácticas, será clara más adelante.
Hasta ahora hemos definido tres de los cuatro componentes de una sintaxis
categorial- las categorías básicas, las categorías derivadas y el lexicón. Falta dar la enumeración de las reglas sintácticas que definen cómo crear nuevas expresiones a partir de otras ya existentes. Las reglas sintácticas para el frag mento serán el tema de las siguientes secciones. Sus definiciones se presentarán una por una: primero, unas pocas para mostrar cómo se traduce el subfragmento resultante; después, añadiremos gradualmente más reglas sintácticas y de traducción.
6.3.2.
Térm inos, verbos intransitivos, oraciones
Una regla sintáctica debe proveer tres tipos de información: (i) las categorías de las expresiones a las cuales se puede aplicar, (ii) la categoría a la cual pertenecen las nuevas expresiones que resultan después de la aplicación de la regla, y (iü) la operación sintáctica que debe aplicarse para obtener una nueva expresión. Juntas, las reglas sintácticas nos proporcionan una definición de las expresiones del lenguaje. Por consiguiente, podemos considerar una enu meración de las reglas sintácticas como una definición que determina para cada categoría A las expresiones que pertenecen a ella. En otras palabras, si denotamos com o P¿\ al conjunto de todas las expresiones que pertenecen a A, se puede considerar que el conjunto de las reglas sintácticas proporciona una definición recursiva de PA para todo A € C A T . En esta sección daremos las reglas para la generación de oraciones simples tales como: (8)
Juan camina
(9)
Todo hombre duerme
(10) El elefante fuma (11) Una mujer pasea (12) Un solo elefante habla Nuestra primera preocupación aquí es el análisis de los términos, tanto nom bres propios com o expresiones cuantificadas. El punto de partida de toda la sintaxis es la siguiente regla básica: SI:
B a C PA i para toda categoría A
Esta regla establece que todo elemento léxico de una categoría A es una ex presión de categoría A: las expresiones básicas están incluidas en el conjunto de todas las expresiones. La siguiente regla es una regla de aplicación funcional, que son aquellas que describen cóm o las expresiones de ciertas categorías functoriales, es decir categorías de la forma A/B, se combinan con expresiones de categoría B para producir expresiones de categoría A. La regla S2 establece cóm o los términos y los sintagmas verbales intransitivos se combinan para formar oraciones. La ca tegoría de los términos, T , es una categoría functorial: T se define como O/VI La categoría de las frases verbales intransitivas, VI, es una categoría básica así com o la categoría de las oraciones O. La regla es la siguiente: S2:
Si 6 G P v i y a € P t , entonces F i ( a , 8 ) £ P o y F\(a, 8 ) = aó', donde 8 ' es el resultado de reempla zar el verbo principal en 5 por su forma en tercera persona singular
Por ejemplo, el término Juan y el verbo intransitivo cam inar se combinan por S2 para formar la oración Juan camina, ya que J u a n eP r (gracias a la regla Si, dado que Juan G B t ) y cam inar G P y i (por la misma razón). Si aplicamos F\ a Juan y cam in ar, el resultado es una oración: F\(Juan, cam inar) G Pq- La función de la operación sintáctica Fi tiene dos propósitos: conjugar el verbo principal en la VI y concatenar el T y el VI conjugado. En este ejemplo cam inar es el único verbo y, por lo tanto, F\ (Juan, cam inar) = Juan camina. Algunas VI contienen más de un verbo principal: cam inar y hablar,dormi o amar a María. Esas VI se forman por medio de reglas para la conjunción la disyunción, las cuales se estudiarán en §6.3.10. El aplicar F\ a T y a dicha VI coordinada resulta en la declinación de todos los verbos principales en la VI: F\( Juan, cam inar y hablar) = Juan camina y habla. Para contrastar, con sideremos la expresión intentar hablar, la cual también contiene dos verbos no declinados, pero de los cuales sólo uno es un verbo principal: F\(Juan, intentar hablar) = Juan intenta hablar. El fragmento no contiene términos plurales; por lo tanto F\ no necesita ha cer más que declinar el verbo principal. Y sólo lo necesita hacer para la tercera persona, dado que pronombres en primera o segunda persona no aparecen en el fragmento. Más aún, F\ asume un procedimiento para reconocer un verbo prin cipal en una VI. El modelo PTQ no provee dicho procedimiento, aunque varios métodos se han propuesto en trabajos posteriores. También, la definición de F\ asume que para cada verbo se conoce su forma presente singular de la tercera
Desde el punto de vista de la organización lingüística, sería preferible tratar dichos detalles morfológicos en un componente morfológico separado, en lugar de hacerlo en la sintaxis. Pero ciertamente tal componente no es esencial para el modelo PTQ. Considerando el objetivo restringido del modelo PTQ, es claro por qué Montague no se preocupó con ese tipo de detalles. Su objetivo principal era mostrar cómo se pueden relacionar sistemáticamente la sintaxis y la semántica modelo teórica; los detalles sintácticos y morfológicos, aunque interesantes por derecho propio, fueron puestos de lado por el momento. En las siguientes secciones nos encontraremos con instancias similares, pero no las discutiremos de manera explícita; simplemente asumiremos que ciertos procedimientos están disponibles y no negaremos que ciertas funciones de las operaciones sintácticas puedan ser tratadas de una mejor manera en otra parte de la gramática. Las reglas SI y S2 nos proporcionan un procedimiento para formar ora ciones con nombres propios (o variables sintácticas) en la posición del sujeto. En oraciones como las (9) a (12), el sujeto es un término cuantificado. Para producir este tipo de oraciones necesitamos reglas que formen términos cuantificados de categoría T a partir de N C , sustantivos, al introducir de manera sincategoremática las expresiones todo, el/la, un(a), un solo: person a.
S3: S4: S5: S6:
Si Si Si Si
Q6 C£ £ € £ €
Pn c , Pn c , Pn c , Pn c -
entonces i*2(C) entonces F3{¿) entonces F ^ ) entonces F^(Q
£ 6 £ e
Pr y PT y Pt y Pt y
^MC) = F3(Q = F a{C) = i's(C) =
todo ( el/la ( un(a) £ un solo £
Las reglas S3 a S6 proporcionan cuatro formas distintas de producir términos cuantificados. Cada una de las operaciones F-¿ a F?, toman un N C como ar gumento e introducen de manera sincategoremática un determinante distinto, combinándolo con el NC para producir un T. Podemos darnos cuenta de que estas reglas toman elementos de P n c como entrada, no sólo elementos de B n c Hasta ahora, sólo hemos visto expresiones básicas de la categoría NC, pero N C también contiene expresiones complejas: por ejemplo, frases nominales que consisten en un adjetivo y un nombre común, tales como mujer alta o elefante rosado, o un sustantivo con una cláusula relativa restrictiva, como hombre que duerme, mujer que mira a Carlos. En §6.3.11. retomaremos este lema. El método empleado aquí, el cual introduce los determinantes de manera sincategoremática, tal como los cuantificadores se introducen en los lenguajes lógicos, es el que Montague usó en el modelo PTQ. Esto significa que se debe
proveer una regla aparte, o una operación aparte, para cada determinan. Podríamos elegir tratar los determinantes de manera categoremática. En t^vl caso, consideraríamos todo, el/la, un(a), un solo com o elementos de la categ0r T/N C. Una regla de aplicación funcional sería suficiente para combinar deter 1 minantes y N C en T(las reglas y las operaciones que no son parte del fragmen. to, sino que se introducen para mostrar opciones alternativas se marcan con uqJ comilla. que se lee ‘prima’ , para distinguirlas de sus contrapartes ‘actuales’)S3’ ::
Si
o
G
Pt / n
F£(a, C)
c
y (
e Pn
c
,
entonces
F ^ (a ,
C) G
Pt , y
1
= <
El término todo hombre se forma al aplicar F!¿ al T / N C todo y el N C hombre. La operación F!¿ los concatena. Si nos restringimos a determinantes simples, no hay ninguna razón convincente para preferir un método en lugar del otro. Pero una vez que tomamos en cuenta determinantes complejos, la situación cambia. Por ejemplo, podríamos considerar que la construcción posesiva el/la ... de Juan, com o en la madre de Juan, es un determinante. Un NC, madre, se combina con éste para formar un término, la madre de Juan. Para tales determinantes, la introducción sincategoremática ya no es plausible. Más bien, el/la ... de Juan debe considerarse com o un elemento complejo de P t / n c ■Y tal vez otra razón para preferir el enfoque categoremático viene del hecho de que hay un número (potencialmente) infinito de numerales que actúan como determinantes. Utilizando las reglas SI a S6, o SI, S2 y S3’, podemos construir las oracio nes (8) a (12). En la Gramática de Montague, la derivación de una expresión se representa por un árbol de análisis. La figura (13) muestra dos árboles de análisis para la oración (9): el árbol de análisis (a) muestra la derivación uti lizando S3, y el árbol de análisis (b), la derivación usando S3’ . (13)
a.
Todo hombre duerme, O, S2 Todo hombre, T, S3
duerme, VI
I
hombre, NC b.
Todo hombre duerme, O, S2 Todo hombre, T, S3’ Todo, T/NC
hombre, NC
duerme, VI
j n0do de un árbol de análisis se rotula con una expresión, su categoría y el jxibre de la regla que se usa para formarla (SI nunca se menciona. El modelo da el número de la operación sintáctica en lugar del nombre de la regla • táctica, que es como lo hacemos aquí). Antes de añadir más reglas a la sintaxis, las cuales nos permitirán tratar con ¿s construcciones y expresiones, miraremos primero cuál es la organización del proceso de traducción utilizado en este sencillo fragmento. La traducción de jos términos es especialmente importante. Los nombres propios y los términos cuantificados son tratados igual por las reglas sintácticas: ellos pertenecen a la misma categoría sintáctica. Como veremos, esto tiene consecuencias más bien de largo alcance para la traducción del fragmento.
6.3.3-
La organización del proceso de traducción
En el modelo PTQ, se asigna un significado a las expresiones del español por me dio de una traducción en expresiones de un lenguaje lógico. Este lenguaje es el lenguaje de la Teoría de Tipos Intensional, que se definió en el capítulo 5. En varios momentos hemos argumentado que para representar adecuadamente los significados de las expresiones del lenguaje natural necesitamos por lo me nos un lenguaje con una estructura de tipos y una semántica intensional (cf. §§3.1., 4.2.1., 5.2.). Antes de continuar con la especificación del proceso de traducción, primero debemos introducir algunas convenciones notacionales (cf. también el cuadro 5.2.). j, m, b, e son constantes de tipo e x , y , z , x o , . . . , x n son variables de tipo e X, Y , Z, 5X n son variables de tipo (s, (e, t)) X , Y , Z, X o, - ••, X n son variables de tipo (s, ({s, (e, t )), t)) En el proceso de traducción, cada expresión del español se asocia con una expresión lógica del tipo adecuado, es decir, de un tipo que se ajuste a la significación semántica de su categoría. Así que, primero que todo, establece remos una correspondencia sistemática entre las categorías de nuestra sintaxis categorial y los tipos de la Teoría de Tipos Intensional. Dada esta correspon dencia, el proceso de traducción debe producir para cada expresión de alguna categoría, una expresión lógica del tipo correspondiente. Para las expresiones léxicas la traducción puede darse por medio de una lista finita. Para las ex presiones derivadas (infinitas en número), el proceso de traducción seguirá los lincamientos de las reglas sintácticas; dado que, como lo observamos en §6.2., si
queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composición;,] e proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la tral ucción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla h tra ucción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traduccir^ resu tante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la reo-i*1 sintáctica. Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tinos Uno de los principios líderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoría sintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramátic de Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entr! categorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerda directamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipo e es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretación de una expresión de tipo (a, b) es una función que asigna objetos de tipo b a objetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entre las categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre las categorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas. Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos de la siguiente manera: Definición 6.2. / es una función de C A T en T tal que: (i) / ( O ) = t (ii) f ( N C )
(iü)
=
f(VI)
=
{e ,t)
f ( A / B ) = ((s,f(B )),f(A ))
La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto la a egona VI de los sintagmas verbales intransitivos, com o la categoría N C de ios sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primer or en \e> )• Esto ultimo ilustra que si dos categorías son distintas, ellas no necesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones per tenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la misma mncion semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar enen Ja rnj fundón semántica! pero pertenecen a categ0nas distintas. aecir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para su
Ta cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las caterías derivadas. De manera general, una categoría functorial A/B correspon e na función de intensiones de objetos de tipo /(-B ) en objetos de tipo / *rUdecir una expresión de una categoría functorial opera semánticamente Sh e las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar as cosas Í S a manera es que algunas expresiones crean contextos in te n sio n e s (c . la Hsta elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivo ^ s c a r crea un contexto intensional, com o es evidente a partir del hecho e
que (16) no se sigue de (14) y (15): (14) Juan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (15) El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (16) Juan busca al presidente de EE.UU. Dos términos con la misma extensión pero distinta intensióncom o elcoman dante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.y el presidente de E E .U U ., no pueden sustituirse salva veñtate en el contexto Juan busca... En la Gramatica de Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánti camente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17). (17) Juan busca al barbero de Pedro (18) Juan busca al peluquero de Pedro En §6 3 5 regresaremos al tema de la representación de la naturaleza mtensional de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorial se puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma ((s, b),a).
El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en espe cificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de los elementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen los elementos de BT, el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracional necesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen com o constan tes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos
queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composicional el proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la tra ducción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla de traducción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traducción resultante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la regla sintáctica. Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tipos. Uno de los principios líderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoría sintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramática de Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entre categorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerda directamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipo e es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretación de una expresión de tipo (a, b) es una función que asigna objetos de tipo b a objetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entre las categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre las categorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas. Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos de la siguiente manera: Definición 6.2. / es una función de C A T en T tal que: (i) / ( O ) = t
(ii) f ( N C ) = f ( V I ) = (e,t) (iii) f ( A / B ) = ( { s J ( B ) ) , f ( A ) ) La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto la categoría VI de los sintagmas verbales intransitivos, com o la categoría NC de los sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primer orden (e, t). Esto último ilustra que si dos categorías son distintas, ellas no necesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones per tenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la misma función semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar tienen la misma función semántica, pero pertenecen a categorías distintas. Es decir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para su función semántica.
La cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las cate gorías derivadas. De manera general, una categoría functorial A/B corresponde a una función de intensiones de objetos de tipo f ( B ) en objetos de tipo f ( A ) . gs decir, una expresión de una categoría functorial opera semánticamente sobre las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar las cosas de esta manera es que algunas expresiones crean contextos intensionales (cf. la lista elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivo buscar crea un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (16) no se sigue de (14) y (15): (14)
Juan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.
(15)
El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.
(16) Juan busca al presidente de EE.UU. Dos términos con la misma extensión pero distinta intensióncom o elcoman dante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. y el presidentede EE.UU., no pueden sustituirse salva veritate en el contexto Juan busca... En la Gramática de Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánti camente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17): (17) Juan busca al barbero de Pedro (18) Juan busca al peluquero de Pedro En §6.3.5. regresaremos al tema de la representación de la naturaleza intensio nal de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorial se puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en espe cificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de los elementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen los elementos de B'p, el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracional necesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen como constan tes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos
léxicos se vinculen con la misma constante y daremos cuenta de la sinonim^l de expresiones léxicas por otros medios (ver §6.3.6.). Para incrementar la legibilidad de las traducciones, es una práctica cornún en la Gramática de Montague utilizar constantes que reflejen los elementos léxicos correspondientes. Por supuesto, éstos deben ser distinguibles: en este libro incluimos las constantes en versales. Por ejemplo, el VI caminar se aso cia con la constante CAM INAR de tipo (e,t). Formalmente, la asociación de elementos léxicos con constantes se realiza por una función g, que cumple con los siguientes requerimientos: (i) g es una función de B a (con la excepción de B t , ser y necesariamente) en c o r r f a (ii) Si a
¡3, entonces g( a) ± g(/3)
La cláusula (i) determina que g asigna constantes de tipo f ( A ) a las expresiones básicas de categoría A, con las excepciones establecidas, las cuales tienen un tratamiento por separado. Por ejemplo, gihom bre) = HOMBRE. La cláusula (ii) garantiza que dos elementos léxicos no sean vinculados con la misma constante. La función g es la fundamentación del proceso de traducción. Así, la primera regla de traducción se formula de la siguiente manera: T I (a):
Si a está en el dominio de g, entonces a se traduce com o g(a)
Con excepción de los elementos de B t , ser, y necesariamente, los elementos léxicos de la categoría A se traducen, por medio de T I, en constantes de tipo f ( A ) . T I será extendida con las traducciones de otros elementos léxicos. Entonces funcionará de manera análoga a su contraparte sintáctica SI, la cual comienza el proceso de traducción. El tercer paso del proceso de traducción consiste en la definición de las re glas de traducción que corresponden a las reglas sintácticas. Una regla sintácti ca opera sobre una o más expresiones para producir una expresión nueva. La regla de traducción correspondiente define la traducción de la expresión nueva en términos de las traducciones de las expresiones que son sus partes compo nentes. Daremos ejemplos de esto en las siguientes secciones.
6.3.4.
La traducción de los términos
Esta sección trata principalmente de las reglas de traducción que le corres ponden a las reglas S3 a S6, las reglas sintácticas que construyen los términos cuantificados a partir de N C .
La composicionalidad de la semántica requiere la composicionalidad de ,
traducción y, por consiguiente, los términos deben tener una traducción r separado. Se pueden considerar algunos términos, tales como los nombres
ropi°s y ^as descripciones definidas, que hacen referencia a individuos: Juan ge refiere a cierto individuo Juan, el primo más pequeño al número 2. Pero los
términos cuantificados son distintos, y esto complica la historia. Por ejemplo, consideremos el término cuantificado Todo hombre. No se puede considerar que este término hace referencia a un individuo, puesto que no hay ningún individuo que sea todo hombre. En §4.4.3., mostramos cóm o se puede obtener una traducción por separado de los términos cuantificados. Consideremos por ejemplo: (19) Todo hombre duerme La oración (19) se interpreta com o la afirmación de que la acción de dormir tiene la propiedad de ser verdadera para todo hombre. El término cuantificado todo hombre se considera com o un predicado de segundo orden que es verdadero de una propiedad de individuos si todo individuo que es un hombre tiene esa propiedad. Al final esta es justamente la lectura familiar en primer orden de (19), la cual se lee com o que para todo individuo es cierto que si es un hombre, él duerme. Así que semánticamente todo hombre se considera como una función aplicable a una propiedad. Note que esto concuerda con el hecho de que los tér minos también se comportan sintácticamente com o functores. La categoría T se define com o la categoría functorial O/VI. Sintácticamente, la aplicación de un término a un VI resulta en una oración; semánticamente, la aplicación de la interpretación de un término a una propiedad, expresada por un VI, resulta en un valor de verdad (de dicha oración). El tipo que corresponde a la categoría T refleja esto: (20) f ( T ) = f ( 0 / V I ) = « s , f ( V I ) ) , f ( 0 )) = ((s, ( e, t) ) , t ) Las expresiones de este tipo hacen referencia a (las funciones características de) conjuntos de propiedades de primer orden (cf. tabla 5.2.). El término todo hombre se traduce en la expresión (21), la cual hace referencia al conjunto de propiedades que son verdaderas de todo hombre: (21) A X V x ( h o m b r e ( x ) —>v X ( x ) ) En (21), X es una variable de tipo ( s, ( e, t ) ) y x es una variable de tipo e. Con respecto a una asignación de valores, la variable X hace referencia
a una función de mundos posibles en conjuntos de entidades, es decir, v hace referencia a una propiedad. Aplicada a un mundo posible, una propiedad produce el conjunto de entidades que tienen la propiedad en ese mundo. Con respecto a una asignación de valores, y X hace referencia en un mundo posible al conjunto de entidades que en ese mundo tienen la propiedad a la cual X hace referencia: VX es de tipo (e, t) y JX (x) es una fórmula que es verdadera en un mundo si el individuo referido por x tiene la propiedad referida por X es decir, pertenece al conjunto de entidades referidas por VX en ese mundo. La constante HOMBRE, la traducción del N C hombre, es de tipo f ( N C ) = (e,t). La expresión H O M B R E (x) es verdadera en w sii x pertenece al conjunto de los hombres en w. La fórmula (22) afirma, con respecto a una asignación, que todos los individuos que son hombres tienen la propiedad referida por X : (22) Vx ( h o m b r e —>v X ( x )) Aplicando A-abstracción sobre la variable X obtenemos (21), la traducción de todo hombre. Esta expresión es de tipo ((s , (e, t)), t), que se refiere en un mundo w al conjunto de todas esas propiedades que todo hombre en w tiene, lo cual es exactamente lo que queríamos para la traducción del término cuantificado todo hombre. Cuando aplicamos (21) a una expresión de tipo (s, (e, t)). una expre sión que denota propiedades, obtenemos una fórmula que es verdadera en w si la propiedad en cuestión es un elemento del conjunto de propiedades a las cua les (21) hace referencia en w. Por ejemplo, el VI dormir se traduce en la cons tante DORMIR de tipo f ( V I ) = ( e , t ) . La expresión ADORMIR se refiere a la propiedad expresada por DORMIR y es de tipo (s, (e,t)). Si aplicamos (21) a a DORMIR, el resultado es la fórmula (23): (23) AArVx(HOMBRE(x) —>v X ( x )) ( ad o r m i r ) Esta fórmula es verdadera en w sii dormir es una de las propiedades que todo hombre tiene en w. Por medio de la A-conversión (teorema 6.5. en §5.6.), podemos reemplazar (23) por (24), la cual, a su vez, puede reducirse a (25) por el teorema de VA-eliminación (teorema 6.2. en §5.5.): (24) Vx ( h o m b r e ( x ) -^ va
d o r m i r ( x ))
(25) Vx ( h o m b r e ( x ) —*■d o r m i r (x )) Esto nos lleva de nuevo a la representación en la lógica de predicados estándar de la oración (19).
gin embargo, dos puntos deben tenerse en cuenta. Primero, a diferencia de la lógica de predicados, la traducción de (19) se obtiene de manera composicional- Segundo, las transiciones de (23) a (24) y de (24) a (25) son admisibles precisamente porque (23) es lógicamente equivalente a (24) y (24) a (25). Con r e s p e c t o a ser una representación del significado de (19), no hay ninguna dife rencia entre (23), (24) y (25): todas ellas son lógicamente equivalentes y, por consiguiente, representan el mismo significado. Podemos considerar a (23), (24) y (25) como tres notaciones diferentes para el mismo objeto semántico. Hemos convertido a (23) en (25) sólo porque (25) es una notación más corta y más
común. La traducción composicional de los términos cuantificados se ilustró por medio de la traducción del ejemplo todo hombre. Ahora daremos la regla de traducción T3, que corresponde a la regla sintáctica S3. La regla S3 toma un N C arbitrario £ y produce el término todo £; T3 define la traducción de todo C en términos de la traducción de (. De ahora en adelante, abreviaremos la frase ‘ a se traduce com o (3’ por ‘a t-> (3\ T3:
Si C £ P n c y
( ^ entonces ^ (C )
XXWx( (' (x) —>v X ( x ) )
Dado que hombre t—» HOMBRE por la reglaT l(a ), todo hom bre{= F 2 (hom bre)) se traduce com o (21) por la regla T3. Las reglas de traducción correspondientes a S4, S5 y S6 siguen el mismo patrón: T4: T5: T6:
c
Si ( € P n c y ^ entonces FÁQ ^ 3 x (V j/( C '(y ) <-*■ x = y) Av A (x )) Si £ £ P n c y C ^ C;> entonces F4(C) A X 3x(C '(x) Av X { x ) ) Si Q G P n c y ( entonces ^ 5 (0 ^ AA3xVy((C/ (y) Av X ( y ) ) ^ x = y)
Por la regla T5, el término cuantificado una mujer se traduce com o (26): (26) A A 3 x (m u je r(x ) Av X (x)) En un mundo w, la expresión (26) se refiere a un conjunto de propiedades. Una propiedad pertenece a este conjunto si hay una mujer en w con esa pro piedad. Diferentes mujeres tienen distintas propiedades. Si María duerme en w, entonces la propiedad de dormir pertenece a la extensión de (26) en w.
y si Elisa está despierta, la propiedad de estar despierto también pertengi cerá a la extensión de (26). El conjunto de propiedades al que hace referencia ! una mujer contendrá propiedades mutuamente excluyentes tan pronto corri0 exista más de una mujer. T4 proporciona un análisis “russelliano” de las descripciones definidas tales com o el tesoro, la cual traduce así: (27) AJí3x(Vy(TESORO(y) <-> x = y) Av X ( x ) ) En un mundo w, (27) se refiere al conjunto de aquellas propiedades que son ciertas de un único individuo que es un tesoro en w. La existencia y la unicidad se afirman en este análisis, mas no se presuponen (para una discusión de estos asuntos, véase §§5.2. y 5.5. en el volumen 1. El análisis presentado aquí no es el único posible dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague, pero es el utilizado en el modelo p t q ). Dada T6, la traducción de un solo elefante se refiere al conjunto de propiedades para las cuales hay precisamente un elefante (no necesariamente el mismo siempre) que tiene esa propiedad. El análisis de los términos cuantificados, delineado anteriormente, afecta el análisis de los nombres propios. Los nombres propios pertenecen a la misma categoría sintáctica que los términos cuantificados. Sintácticamente no hay nin guna diferencia entre los dos. Su distribución, es decir, la posición que pueden tomar en una oración, es virtualmente la misma; el considerarlos como perte necientes a categorías sintácticas diferentes sería muy poco natural y, más aún, complicaría la sintaxis enormemente. Toda regla aplicable tanto a los térmi nos cuantificados, com o a los nombres propios tendría que ser duplicada. Otra razón para analizar los nombres propios de la misma manera que los términos cuantificados es que a ese nivel se vuelve posible dar una interpretación di recta de los nombres propios com o elementos en una conjunción, tal como en Juan y Carlos, Carlos o una mujer, los cuales no pueden obtenerse si nos acogemos a un análisis que los considera com o expresiones que denotan indi viduos (véase §6.3.10.). Hay razones suficientes, por lo tanto, para considerar que los nombres propios y los términos cuantificados pertenecen a la misma categoría. Com o resultado, los nombres propios se traducirán en expresio nes de tipo / ( T ) = ( ( s , ( e, t ) ) , t) y no com o constantes de tipo e, com o en el capítulo 5. Ahora, esto parece más problemático de lo que realmente es. La razón es que los nombres propios también pueden hacer referencia a conjuntos de propiedades. En la oración (8), Juan camina, se puede interpretar que la propiedad de caminar pertenece al conjunto de las propiedades de Juan. Por supuesto, esta es sólo una manera más elaborada de decir que Juan tiene la
piedad de caminar. Así como un nombre propio se analiza sintácticamente Qino un functor que toma un VI para producir una O, también puede verse semánticamente com o una función que, aplicada a una propiedad (expresada el Vi), produce un valor de verdad (expresado por la O ). El nombre projo Juan, entonces, se traduce com o (28), donde X es una variable de tipo ls
¿)) y j una constante de tipo e:
(28) \ X VX ( j ) La fórmula "'JX ( j ) es verdadera en w con respecto a una asignación si el in dividuo al que se refiere j en w pertenece al conjunto de entidades a las que se refiere yX en w, el cual es el conjunto de entidades que tienen la propiedad a la cual X se refiere bajo esa asignación. El tipo de (24) es ((s, (e , t)),t), y su referencia en w es el conjunto de las propiedades que son verdaderas del indi viduo j e n w . La traducción del nombre propio Juan se utiliza en la traducción de la oración (8) de la misma manera en la que se usaron los términos cuantificados. El VI camina se traduce com o la constante CAMINA de tipo (e,t), y ACAMINA se refiere a la propiedad expresada por camina. Aplicando (28) a aCAMINA producimos la fórmula (29): (29) AA"vJí (j')( a CAMINa ) Ella afirma que la propiedad de caminar pertenece al conjunto de propiedades de Juan. Por medio de la A-conversión y de la VA-eliminación, (29) se reduce a
(30): (30) CAMINA(j) En este caso también obtenemos la representación estándar de la lógica de predicados de primer orden. Este tratamiento de los nombres propios ha sido posible gracias al hecho de que el conjunto de propiedades de un individuo y el individuo mismo están relacionados de manera única. Dos individuos son idénticos sii ellos tienen las mismas propiedades, es decir, sii sus conjuntos de propiedades son idénticos. La fórmula (31) es una formalización de esto: (31) VxVy(x = y <-> A X vX (x ) = AX y X ( y ) ) El principio (31) es un principio válido de la Teoría de Tipos Intensional. No todo conjunto de propiedades corresponde a un individuo, por supuesto.
Por ejemplo, (21) y (26) se refieren a conjuntos de propiedades que, except0 > en casos excepcionales, no definen un individuo. La traducción de las expresiones básicas de la categoría T , de los nombres propios Juan, María, Carlos, Elisa y de las variables sintácticas ¿Iq, . . . , ¿in j proporciona en la siguiente adición a la regla T I : T l(b ):
Juan ^ X X vX ( j ) María * A X VX (m) C arlos i—►AX yX ( c ) éln ^ X X vX ( x n)
Las variables sintácticas, al igual que los nombres propios, se traducen como expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de individuos: con res pecto a una asignación g, éln se refiere al conjunto de propiedades de g( xn), el individuo denotado por x n. Volveremos a las variables sintácticas en §6.3.8. Ahora tenemos una definición uniforme de la traducción de todos los términos en nuestro fragmento. Lo que falta por definirse para completar la tra ducción del fragmento de §6.3.2. es la traducción de la regla sintáctica S2, la cual combina T y VI para formar oraciones. En vista de lo anterior, la regla de traducción parece obvia. Una oración de la forma T + V I afirma que la pro piedad expresada por el VI pertenece al conjunto de propiedades a las que se refiere el T. Un VI ó se traduce en la expresión 6' de tipo (e, i). La expresión Aó, de tipo (s , (e, t)), se refiere a la intensión de 5', una función de mundos posibles a conjuntos de individuos, es decir, la propiedad expresada por 5'. El resultado deseado se obtiene al aplicar la traducción del T a la intensión de la traducción del VI. La regla de traducción T2, entonces, dice así: T2:
Si ¿ G P y i y a £ P t y ¿ h Fi(a,<5) ^ a ' ( AS')
á' y a h
a ', entonces
Veremos este patrón en todas las reglas de traducción correspondientes a una regla sintáctica de aplicación funcional: un functor opera en la intensión de su argumento. El tipo correspondiente a una categoría functorial A/B es f ( A / B ) = « s , / ( £ ) ) , f ( A ) ) . El tipo correspondiente a la categoría del argumento es f ( B) . Si la categoría de S es B, y ¿i—><5', entonces Aó' es de tipo (s, f ( B ) ) y, por lo tanto, es un argumento apropiado para la traducción a' de una expresión a de categoría A/B. No traducimos expresiones en sí mismas, sino las expresiones dado un análi sis sintáctico, pues, com o lo observamos en §6.2., sólo así podemos garantizar la composicionalidad de la traducción y, por lo tanto, de la interpretación.
La razón es que hay expresiones ambiguas que deben recibir más de una traducción. Así pues, el proceso de traducción opera sobre árboles de análisis jntáctico que representan la derivación de las expresiones. Comenzamos por la arte d e abajo del árbol, con la traducción de los elementos léxicos, y subimos nodo tras nodo, aplicando en cada paso la regla de traducción que le corres p o n d e a la regla sintáctica nombrada por el nodo. Utilizando este método, construimos una traducción única que proporciona el significado que corres p o n d e al análisis codificado en el árbol. La traducción en sí misma también p u e d e representarse en un árbol estructural. La figura (32) muestra un árbol d e análisis y el árbol de traducción correspondiente para la oración (10), El elefante fuma: (32)
a.
El elefante fuma, O , S2 El elefante, T , S4
fuma, VI
I elefante, NC
b.
AX3x(\/2/(ELEFANTE(y) <-> x = y) A v A '(a :))(AFUMAR), í, T2
\ AX3x(Ví/(ELEFANTE(y) <-> x = y) A v X ( x ) ) ,
FUMAR, (e,t)
\ ( s , ( e , t ) ) , t ) , T4
ELEFANTE, (e,t)
La figura (33) muestra cóm o se puede reducir el resultado por medio de Aconversión y VA -eliminación. (33) 3 x ( V í /( e le f a n t e ( j/) «-» x = y) A f u m a r ( x ) ) , VA-elim inación
$ 3 x ( V j/( e l e fa n t e ( j/) h j : = y) A v a FUMAR(x)) , A-conversión
$ A X 3 x ( V j/( e le f a n t e ( í/)
x = y) A v X ( x ) ) ( afu m a r ), í, T 2
A X 3 z (V 2 /(e le fa n t e (« /) *-> x = y) A v X ( x ) ) , « * ,(e ,t » ,t ),T 4
ELEFANTE, (e,t)
fu m a r , (e, í)
En §6.3.2. sugerimos una introducción categoremática de los determj. ■ tes. En dicho enfoque, los determinantes serían expresiones de categQK T /N C y sus traducciones serían de tipo f ( T / N C ) = ((s, f ( N C ) ) , f ( T) ) ^ ((s, (e, £)), ((s, ( e, t ) ), t )). Las expresiones de este tipo se refieren a relacioné entre propiedades de individuos. Podemos traducir el determinante todo (34): (34) AYAA¡:Vx(vY (x ) -^ v X ( x ) ) Esta expresión se refiere a la relación entre propiedades que es verdadera para dos propiedades Y y Ai en un mundo w sii todos los individuos que tienen la propiedad Y en w tienen la propiedad X en w (cf. la discusión en §4.4.3.) Aplicando (34) a AHOMBRE, una expresión que se refiere a la propiedad de ser un hombre, resulta (35): (35) AYAX V x(vY (x ) -^ v X ( x ) ) ( ah o m b r e ) Esta expresión se refiere al conjunto de propiedades X que satisfacen descrita por (34) con respecto a la propiedad de ser un hombre. reducida por medio de A-conversión y VA-eliminación; el resultado, traducción del término todo hombre, y es idéntica a la traducción por el m étodo sincategoremático (21): (36)
la relación Puede ser (36), es la producida
A X V x (h o m b r e (x ) - > v X ( x ) )
En este enfoque, la traducción de los determinantes todo, el/la, un (a) y un solo se definen por la regla T I, dado que son considerados como expresiones básicas: T l ( c ’):
todo i—►AYAXVx(vY (x ) X (x )) el/la i ►A y AAT3x(Vy(vY (y) <-+ x = y) Av X (x)) un(a) i—* A Y A X 3 x(vY (x ) Av X ( x ) ) un solo i—> A y X X 3xVy((vy (y) Av X (y)) x = y)
Es predecible la traducción de la regla de aplicación funcional S3’ , la cual combina determinantes y N C para producir términos: T 3 ’:
Si
a
€
P t /n c y C
F '(a , O H a ' r O
£
P n c y o-
y C
C,
entonces
1enf°(lue categoremático, la traducción de expresiones complejas que conP 1 términos se construye de manera análoga. El lector puede verificar que bos enfoques producen los mismos resultados. Ejercicio* 6 .1 .
(a) Construya el análisis y el árbol de traducción para la oración Una mujer pasea, utilizando las definiciones categoremáticas y sincatcgoremáticas de los determinantes (b) Proporcione una traducción para el determinante ningún
g 3.5.
Verbos transitivos
En esta sección añadimos a nuestro fragmento la regla sintáctica S7, la cual combina un verbo transitivo con un término para formar un verbo intransiti vo complejo y no-léxico. Tales VI no-léxicos se combinan con términos para formar oraciones por medio de la regla S2, tal como lo hacen los elementos léxicos de dicha categoría. Esto nos permite proporcionar un análisis de las oraciones con predicados relaciónales que preserve el análisis tradicional sujetopredicado. Para la nueva regla sintáctica S7 hay una regla de traducción correspondiente que define la interpretación de VI complejos. El tratamiento de verbos transitivos nos llevará a un segundo aspecto im portante del modelo PTQ: el análisis de verbos intensionales y de ambigüedades de alcance. Nos interesa encontrar un análisis correcto y composicional de ora ciones como: (37) Juan encuentra un tesoro (38) Juan busca un tesoro (39) Toda mujer añora un solo anillo Varios aspectos que ofrece el análisis del modelo PTQ serán discutidos de ma nera separada en las siguientes subsecciones. La traducción de las oraciones en las cuales aparece el verbo transitivo ser no serán tratadas hasta §6.3.9. Allí demostraremos cóm o su uso, tanto en afirmaciones de identidad, como (40), y en afirmaciones predicativas, com o (41), pueden tratase de manera uniforme. (40) Juan es María (41) Juan es una mujer
La regla sintáctica S7, que combina V T y T en VI, es una regla de apli(:ac¡ . l funcional, dado que V T se define com o VI/T. Los verbos transitivos son, p 9 lo tanto, functores cuya entrada es un término y cuya salida es un VI: S7:
Si a G P v t y o¡ G Pt , entonces Fe(a, a ) G P y i y _ . . i a'a, F&(c, a ) = < I oca,
si a es una variable sintáctica; .
en cualquier otro caso
donde o! es la forma acusativa de a Obsérvese que la regla sintáctica S7 puede tener un efecto morfológico. Si el término en el que la regla opera es una variable sintáctica, su forma morfológica debe ajustarse. También es importante observar el orden inverso entre el verbo y la variable sintáctica.2 La figura (42) muestra un árbol de análisis de (37): (42)
Juan encuentra un tesoro, O, S2 Juan, T
encontrar un tesoro, VI, S7 encontrar, VT
un tesoro, T, S5 tesoro, NC
Este ejemplo muestra que a las oraciones con predicados relaciónales se les asigna la estructura tradicional sujeto-predicado. Nuestro fragmento contiene únicamente expresiones básicas de categoría VT. Si fuéramos a añadir un verbo triàdico, tal com o dar (a), éste se combi naría, por ejemplo, con el objeto indirecto María para producir la expresión compleja dar a María, de categoría VT. La regla de traducción correspondiente a S7 sigue el patrón de otras reglas de aplicación funcional. El tipo que se asocia con la categoría V T es f ( V T ) = f ( V I / T ) = ( ( s , /(T )> , f ( V I ) ) = ( ( s , f(S / V / ) ) , f ( V I ) ) = ( ( s , ((s, (e, í)>, f » , (e, t)). De manera semántica, un V T es una función que, cuando se aplica a una propiedad de segundo orden, produce un conjunto de individuos. Así que su referencia puede ser vista com o una relación entre individuos y propiedades de segundo orden. Estas últimas son propiedades de propiedades de primer 2N. de T .: esta inversión no ocurre en idiomas como el inglés. Compare John seeks Juan lo busca. La regla S7 que presentamos aquí es una adaptación para el español.
it
y
es decir, funciones de mundos posibles en conjuntos de propiedades 01 'ndividuos. La referencia de un término es un conjunto de propiedades de •idividuos, así que su intensión es una propiedad de segundo orden. Como costumbre, el V T , al ser un functor, opera semánticamente sobre la intensión del T, el cual es su argumento. Hay varias razones para preferir esta reducción de los V T con respecto a una traducción que los trate com o rela ciones entre individuos, es decir, com o expresiones de tipo (e, (e,t)). Primero, nos permite considerar a los V T de manera general com o functores, toman do como argumentos términos en posición de objetos directos, ya sea que esos términos sean nombres propios o términos cuantificados. Segundo, hace posible dar cuenta de la naturaleza intensional de verbos com o buscar. Más adelante trataremos con más detalle este tema, pero primero formularemos la regla de traducción: T7:
Si <5 G P v t y a G i r y o H ^ y ^ H Fe(ó, a) >->• á'(Aa ')
entonces
El efecto de T 7 se ilustra por medio del árbol de traducción en la figura (43), el cual muestra la traducción de la oración (37), dado el árbol de análisis de la figura (42): (43)
ENCONTRAR(AAX3a;(TESORO(a;) Av X(x)))(j), A-conversión y VA-eliminación
t
AXvX (j)(AENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(x) Av X(z)))), t, T2 AX
VX ( j ) ,
ENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(a;) Av X(a:))),
((s, (e, t)), t), T l(b )
ENCONTRAR,
((a, {{s, (e ,í)),í)> , (e, í)),T l(a )
(e, t),
T7 AX3x(TESORO(x) AV X
( x )),
{(s, (e ,t)),t),T 5
t e s o r o , (e ,í),
T l(a )
La traducción del VT encontrar se aplica a la intensión de la traducción del término un tesoro, de acuerdo con la regla T7. El resultado, e n c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ) es de tipo (e,t). En un mundo, la denotación de esta expresión es un conjunto de individuos, a saber, aquellos que encuentran un tesoro en ese mundo. La propiedad expresada por encontrar un tesoro es refe rida como a e n c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ) y es de tipo (s , (e,t)).
La fórmula (37) afirma que esta propiedad de individuos es una propj^Bj de Juan. Esta afirmación se expresa por medio de la fórmula XX AX c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ) ) . Por medio de la A-conversión VA-eliminación, ella se reduce a ENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x)^VI (a ;))jH El modelo PTQ tiene una notación para relaciones binarias que guarda semejanza con la de la lógica de predicados estándar, también adoptar^® esta convención que exponemos a continuación:
Convención notacional 1
1
Si 7 es una expresión de tipo (a, (b, i)), a una expresión de tipo a, y /} llTJ expresión de tipo b, entonces escribiremos 7 (/5, a ) en lugar de (7 (a ))(jM Esta convención notacional, que llamaremos de ahora en adelante CN1, nos] dice que podemos tratar funciones de objetos de tipo a en conjuntos de objetos 1 de tipo b com o relaciones entre objetos de tipo b y objetos de tipo a. La traducción de (37) ahora puede escribirse también de la siguiente manera: (44) ENCONTRAR^',A AX3x(TESORO(x)
A V X(x)))
Ejercicio* 6.2. Construya los análisis y los árboles de traducción de las oraciones Juan conoce a María3 y Toda mujer añora un solo anillo. Reduzca el resultado de la traducción, utilizando A-conversión, VA-eliminación y la CN1. Ahora bien, ¿hasta qué punto son adecuados los resultados de la aplicación de las reglas? Intentaremos responder esta pregunta considerando primero otro ejemplo: (45), la traducción de la oración (38): (45)
BUSCAR(j,A A I 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) )
Esta traducción se obtiene exactamente de la misma manera en que (44) se obtiene a partir de la oración (37), sólo que usa un verbo transitivo distinto. La fórmula (45) afirma que la relación de buscar se obtiene entre el individuo Juan y la propiedad de segundo orden de ser una propiedad de un tesoro. ¿Acaso podemos considerar esta fórmula com o una representación adecuada del signi ficado de (38)? Al responder esta pregunta debemos tener en mente cuáles son 3N. de T .: al realizar la traducción, no se preocupe por la preposición
a.
bjetivos. Deseamos encontrar una representación correcta del signilas oraciones de nuestro fragmento. El significado de una oración grad° otras cosas, en sus relaciones lógicas con otras oraciones. Debeapaiece, lo tanto, asignar una interpretación lógica a una oración de tal manera ííl° S’ ^gXplique el hecho de que ella conlleva unarelacióndeimplicación lógica Que S^ertas oraciones y no con otras. En el casode la oración (38). debemos 0011 lar los hechos semánticos relevantes de la siguiente manera: (46) no se sif° e d e (38) (Juan busca un tesoro.), (48) no se sigue de (38) y (47), y (38) y (49) fcfson equivalentes: (46) Los tesoros existen
(47) Los tesoros y los barcos fantasmas no existen (48) Juan
busca un barco fantasma
(49) Juan busca todos los tesoros Obviamente la oración (38) tiene otras relaciones lógicas con otras oraciones, pero si queremos asegurarnos de que (45) es una representación correcta de una parte importante del significado de (38), debemos ser capaces de dar cuen ta, por lo menos, de las relaciones de implicación mencionadas anteriormente. Así que queremos construir buscar como una relación entre un individuo y cier to objeto semántico de tal manera que demos cuenta de los hechos semánticos que acabamos de mencionar. Es evidente que no podemos considerar a buscar como una relación entre dos individuos. Si lo hiciéramos, el significado de (38) sería que Juan conlleva la relación de buscar con cierta entidad que es un tesoro, pero esto implicaría que (46) se seguiría de (38), lo cual contradice los hechos. En lo precedente, hemos resuelto analizar los términos de manera bastan te general como conjuntos de propiedades de individuos, teniendo en cuenta que no es necesario que todos esos conjuntos definan un individuo único. Por ejemplo, com o observamos en §6.3.4., no hay un individuo con todas las pro piedades en el conjunto A A 3 x (m u je r(x ) Av X ( x ) ) (a menos que sólo exista una mujer). Y todo individuo que es un hombre tiene más propiedades que aquellas en el conjunto A X V x(h om b re(x) —>v X (x)) (de nuevo, a menos que sólo haya un hombre): por ejemplo, tomemos la propiedad de ser igual a Juan, la cual es una propiedad de Juan, pero no de Jorge. Un análisis que considera a buscar com o una relación entre un individuo y un conjunto de propiedades de primer orden debe preferirse a uno que la considera como una
relación entre dos individuos, dado que la primera, pero no la segunda danl cuenta del hecho de que (46) no se sigue de (38). Ík! Obsérvese que la relación de buscar puede darse entre Juan y el conjunt Á propiedades de primer orden denotadas por AX3x(TESORO(x)AvX ( x ) ) ) so en aquellas situaciones en las que no haya tesoros. En esas situaciones i j j relación de buscar es verdadera del individuo Juan y el conjunto vacío. Si en u ' cierto mundo el conjunto de propiedades en cuestión es vacío, dado que no ha 1 tesoros, esto significa que en dicho mundo Juan nunca encontrará lo que estál buscando, pero esto no implica que Juan no pueda buscar lo que en efecto no 1 existe. Para ponerlo en otras palabras, (46) no se sigue de (38), y la negación de (38) no se sigue de (46). Esos resultados son bastante satisfactorios. Pero si miramos a (45), veremos que buscar no se considera como una relación entre un individuo y un conjunto de propiedades de primer orden, sino com o una relación entre un individuo y una función de mundos posi bles a conjuntos de propiedades de primer orden. Buscar no opera sobre el término mismo, sino sobre su intensión. ¿Por qué? La razón es que buscar no permite substitución de expresiones que sólo son equivalentes extensionalmente. Con respecto a (38) la razón de esto es bastante evidente. Suponga mos que (47) es verdadera. En tal situación X X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) y AX3x(BARCO-FANTASMA(x) Av X ( x ) ) serían equivalentes extensionalmente, dado que ambas denotarían el conjunto vacío. Sin embargo, (48) no se sigue de (38), incluso si (47) es verdadera. Pero nótese que aunque en esta situación los términos un tesoro y un barco fantasmatienen la misma extensión, ellos tienen distintas intensiones. Hay mundos donde los tesoros existen pero no los barcos fantasmas, y viceversa. En un mundo en el cual existan ambas entida des de cuentos de piratas, sus conjuntos de propiedades serán diferentes. Estos hechos semánticos, tanto com o el hecho de que (38) y (49) no son equivalentes, se explican perfectamente al considerar a buscar com o una relación entre un individuo y una propiedad de segundo orden. Con respecto a los hechos semánticos observados anteriormente, el análisis del modelo PTQ sobre los verbos transitivos y sus objetos directos es satisfac torio. Una propiedad de segundo orden, aunque tal vez no sea la primera cosa que viene a la mente, es semánticamente adecuada com o el segundo argumento de la relación de buscar. Pero, ciertamente, el análisis que hemos desarrollado hasta ahora deja sin explicar varios aspectos del significado de buscar. Para poner esto de manera más precisa, hasta ahora hemos especificado únicamen te aquellos aspectos que hacen de buscar un verbo transitivo intensional, es decir, hemos explicado lo que todos los verbos transitivos intensionales tienen
F pero no lo que diferencia a uno del otro. Veremos en §6.3.7. cómo un etl c rnás específico del significado de buscar se explica en el modelo p tq . ^P^uestro análisis de los verbos transitivos, entonces, es satisfactorio para verbos transitivos intensionales, pero en efecto trata todo verbo transitivo ^ el fuera intensional. Si regresamos a la traducción (44) de la oración (37), remos por qué esto es así. En (44) encontrar también es tratado como una relación entre un individuo y una propiedad de segundo orden, por lo cual (37) no i jjca ja existencia de tesoros. Pero esto no es correcto; uno simplemente o puede encontrar cosas que no existen. Así que encontrar expresa una relación entre individuos. A diferencia de la relación de buscar, esta relación es extensional, y (52) se sigue de (50) y (51): (50) Juan encuentra al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.
(51) El presidente de los Estados Unidos de América es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (52) Juan encuentra al presidente de los Estados Unidos de América Aunque los verbos extensionales e intensionales tienen distintas propiedades semánticas, ellos pertenecen a la misma categoría sintáctica. El análisis de los verbos intensionales parece requerir de un análisis similar al de los verbos extensionales. En §6.3.7. veremos que podemos explicar la naturaleza exten sional de ciertos verbos transitivos al poner mayores restricciones sobre sus
interpretaciones, sin perder la ventaja ganada por el análisis con respecto a los verbos intensionales. Además, esto proveerá una solución al siguiente pro blema: queremos que buscar exprese una relación entre individuos en casos
como: (53) Juan busca a María De acuerdo con (53) la relación de buscar se obtiene entre dos individuos, a saber, Juan y María, y en este caso se pueden sacar conclusiones existenciales, dado que (54) se sigue de (53): (54) Hay alguien a quien Juan está buscando Un segundo problema es la explicación de ambigüedades de alcance. El ejercicio 2 ilustra que al derivar la oración (39), Toda mujer añora un solo anillo, con los
medios sintácticos a disposición hasta ahora sólo obtenemos la lectura cual el alcance de toda mujer es más amplio que el alcance de un solo o La otra lectura no puede producirse todavía, lo cual es insatisfactorio AiHj similar ocurre con la representación de la ambigüedad de dicto/ de re prodi j j l por oraciones con verbos intensionales. Hasta este punto sólo hemos e s t a « preocupados por la representación adecuada de la lectura de dicto de oración com o Juan busca un tesoro. Pero, de manera general, las oración ! en las cuales ocurren expresiones que crean un contexto intensional tienen además de una lectura de dicto, una lectura de re, com o vimos en §3.1 / j lectura de re de (38) puede parafrasearse de la siguiente manera: (55) Hay algo que es un tesoro y que Juan está buscando Dedicaremos la sección 6.3.8. al tratamiento de este fenómeno; dicha sección trata sobre la introducción en nuestra gramática de otro método de construc ción de oraciones. Pero primero debemos tratar los problemas mencionados anteriormente. Los postulados de significado juegan un papel central en este tratamiento y, por lo tanto, en §6.3.6. discutiremos la función de los postulados de significado en general.
6.3.6.
La función de los postulados de significado
En el modelo PTQ la interpretación semántica de la Teoría de Tipos Intensional sirve com o la interpretación indirecta de un fragmento del español. La interpre tación determina cuáles modelos son adecuados para dicha teoría. Pero no todo modelo que es adecuado para una Teoría de Tipos Intensional será ipso fado un modelo adecuado para el español. Esto es así, dado que dichos modelos con tienen muy poca información acerca de los significados de las expresiones del español. Los significados de las constantes lógicas, es decir, los conectivos, los cuantificadores, el predicado de identidad, el A-operador, los operadores A y v, y los operadores modales se definen exactamente, pero para todas las demás expresiones sólo se describe la naturaleza general de sus significados. Por ejemplo, para la constante lógica -i la semántica no sólo establece que su interpretación es una función de valores de verdad en valores de verdad, sino que además especifica cuál función es: la que vincula 0 con 1 y 1 con 0. Pero el significado de una expresión que no es una constante lógica no es completa mente especificado de la misma manera. Para tales expresiones la semántica sólo establece qué tipo de interpretación tiene, es decir, a cuál dominio perte nece su interpretación, pero no especifica cuál elemento de este dominio es su
retación. Por ejemplo, la semántica determina que la constante j de tipo ¡pterp terpreta com o una función de mundos en individuos, I ( j ) G D w , pero £ ^ ggpecifica la función exacta de D en W . Similarmente, sabemos de las n° S^aI1tes SOLTERO y CÉLIBE que sus significados son funciones de mundos 00108 nj untos de individuos, pero nada más. 6 0 g¡ traducimos el español en el lenguaje de la Teoría de Tipos, heredaremos a distinción. El significado de algunas expresiones se especifica exactamente*, nichas expresiones son las que se traducen en constantes lógicas o en expre siones en las cuales sólo aparecen constantes lógicas y variables acotadas. Los ejemplos en nuestro fragmento son los determinantes. Esto debe ser así dado que toda teoría semántica del idioma español debe contener por lo menos una interpretación fija de las constantes lógicas. Esta es la única manera de explicar las inferencias válidas en español que dependen del significado de las contra partes en este idioma de las constantes lógicas. Por otra parte, también queremos que nuestra teoría semántica explique aquellas inferencias cuya validez depende de algo más que la interpretación de las constantes lógicas. Por ejemplo, queremos explicar el hecho de que (57) se sigue de (56): (56) Juan camina rápidamente (57) Juan camina Se puede considerar que la validez de esta inferencia se debe a una propiedad semántica del adverbio rápidamente. Hay una clase grande de adverbios con la misma propiedad, pero no todo adverbio la tiene: por ejemplo, (57) no se sigue de (58):
(58) Juan camina frecuentemente Otro ejemplo de una derivación válida que depende del contenido semántico de las expresiones que no son constantes lógicas es provisto por (59) y (60): (59) Juan es soltero (60) Juan no está casado Como lo mencionábamos anteriormente, los modelos de la Teoría de Tipos Intensional sólo nos dan la información de que SOLTERO y CASADO (las tra
ducciones de las expresiones en español soltero y casado) son interpretados
com o propiedades de primer orden. Pero si vamos a explicar la relación eny (59) y (60), esas constantes deben conllevar una relación específica entre siV.j. cualquier modelo la función de interpretación debe asignarles interpretacifw B tales que la extensión de soltero y la de CASADO sean disyuntas para w f l mundo. La semántica de la Teoría de Tipos Intensional permite tanto m o d e l® en los cuales este es el caso y modelos en los que no. Para esta teoría ambas clases de modelos son admisibles. Pero, si queremos utilizar la teorf»* para dar una semántica para el español, claramente el segundo caso debe ser« excluido. Queremos que la teoría semántica admita sólo aquellos modelos en loa 1 cuales SOLTERO y CASADO sean interpretados de tal manera que se relacionen ' como se indicó anteriormente. La función de los postulados de significados es la de restringir la clase de todos los modelos a una cierta subclase. La subclase debe consistir en aquellos modelos en los cuales algún tipo de relación semántica entre (clases de) predicados sea válido, ciertas subclases de expresiones tengan propiedades semánticas específicas, y así en adelante. Para los ejemplos que acabamos de mencionar preferiríamos solamente aquellos modelos que validan las siguientes fórmulas: (61) V xV X D (( 7 (X ))(x ) —>v X ( x ) ) , para 7
= RÁPIDAMENTE, LENTAMENTE, . . . (pero no: USUALMENTE, . . . )
(62) Vx D ( so lter o ( x ) —> -iCASADo(x)) El postulado de significado (61) nos dice algo acerca de la interpretación de una subclase de adverbios; lo encontramos antes en §4.2.1. En todo modelo en el cual (61) sea válido, se tiene que (57) se sigue de (56). El postulado de significado (62) explica el hecho de que (59) implica (60), porque en todo modelo en el cual (62) es válido, las extensiones de SOLTERO y de CASADO son disyuntas para todo mundo. Los postulados de significado son fórmulas de nuestro lenguaje lógico. Las usamos para imponer restricciones sobre los modelos para nuestro lenguaje lógico y, por lo tanto, indirectamente, para el lenguaje natural, al estipu lar que solamente consideramos aquellos modelos en los cuales los postulados son válidos (algunas veces este tipo de información semántica también puede inducirse en un modelo de otras maneras, es decir, sin utilizar un postulado de significado. Véase §6.3.9. para un ejemplo). Al utilizar postulados de significado entramos en la dimensión desconocida entre la semántica de las oraciones y la semántica de las palabras. Los postu lados de significado se usan para capturar parte del significado léxico de las
ggiones; pero hay un límite para la cantidad de información que podemos i n d u c i r , o que quisiéramos introducir, en nuestros modelos, por medio de A r tillados de significado. Por ejemplo, (62) sólo establece que el significado soltero se relaciona manera especificada con el significado de casado. ^6 „ p\ ciertamente, no proporciona el contenido semántico completo de este PgíO ’ / . . ustantivo. Si es posible y para qué propósitos sería necesario representar el sig•ficado completo de un elemento léxico, es una pregunta difícil de responder. £1 problema más complicado es cóm o hacer una distinción entre implicacio nes que dependen del significado de las expresiones y aquellas que se deben a circunstancias fácticas. Queremos que la teoría semántica explique la pri mera, pero no la segunda (lo cual, en cualquier caso, probablemente no lo lograría). Este problema es, en efecto, el mismo con el cual todo lexicógrafo se las tiene que ver: distinguir entre información semántica y la información fáctica cargada por un elemento léxico. No hay una solución simple para este problema.
6.3.7.
Postulados de significado para el fragmento
Antes de formular un postulado de significado para verbos transitivos, que explique la extensionalidad de un verbo com o encontrar, formularemos primero un postulado de significado acerca de los nombres propios. Como se discutió en §3.2., los nombres propios, a diferencia de las des cripciones definidas, son designadores rígidos. En cada mundo posible ellos hacen referencia al mismo individuo. Hemos considerado todas las constan tes individuales com o designadores rígidos en la lógica de predicados modal, pero no lo hemos hecho así en la Teoría de Tipos Intensional. La extensión de una constante de tipo e puede diferir entre mundo y mundo. Recuérdese que el nombre propio Juan se traduce com o \ X JX (j). En un mundo w esta expresión se refiere al conjunto de propiedades que (en este mundo w ) son ver daderas del individuo que es el referente de j en ese mundo. En diferentes mun dos, \ X JX ( j ) puede referirse no sólo a diferentes conjuntos de propiedades, sino también a diferentes conjuntos de propiedades de diferentes individuos. Asumiendo que Juan es un designador rígido, esto no es lo que queremos: AX vX ( j ) se debe referir a conjuntos (posiblemente distintos) de propieda des del mismo individuo, a saber, Juan, para cada mundo. Al requerir que la referencia de la constante j sea el mismo individuo en todos los mundos, cap turamos el hecho de que el nombre propio Juan funciona como un designador rígido. No imponemos esta restricción en todas las constantes de tipo e, sino sólo en aquellas que son usadas en la traducción de los nombres propios. En
el fragmento, estas son las constantes j , m, b y e . Así pues, formulamos los siguientes postulados de significado: PS1
3 xG (x — a ), donde a = j, m,b, o e
Para cada una de las constantes j , m, b y e , PS1 afirma que hay un indivi duo que es idéntico a la extensión de la constante en cada mundo posible, es decir, que es un designador rígido. Si permitimos únicamente aquellos modelos de la Teoría de Tipos Intensional en los cuales PS1 es válido, aseguramos que Juan, María, Carlos y Elisa sean designadores rígidos. Un resultado inmediato de PS1 es que si dos nombres propios se refieren a un mismo individuo en un mundo, así lo harán en todos los mundos. En otras palabras, (63) es un principio válido: (63) a = (3 es equivalente a Aa = A (3, donde a, (3 es j , m, b, o e Un principio equivalente (véase la discusión en el §3.3.2.) es el (64): (64) a = (3 es equivalente a D (a = ¡3), donde a, ¡3 es j , m, b, o e Otra consecuencia de PS1 concierne a la relación entre expresiones que se re fieren a individuos y la expresión correspondiente que se refiere a conjuntos de propiedades de individuos. Un individuo se caracteriza por el conjunto de sus propiedades; esto significa que si dos expresiones a y (3 se refieren al mismo individuo en un mundo w, las dos expresiones X X ' X ( a ) = XX JX (¡3) se refie ren al mismo conjunto de propiedades en ese mundo. En otras palabras, (65) es un principio válido (Compare el principio (31) que se discutió en §6.3.4.): (65) a ~ ¡3 es equivalente a X X vX ( a ) = X X vX(/3), donde a, (3 son expresiones de tipo e Ahora, si además a y (3 son designadores rígidos, es decir, a y (3 se refieren al mismo individuo en cada mundo, entonces A X vX ( a ) y XX^X(¡3) se refieren al mismo conjunto de propiedades en todos los mundos. Por lo tanto, el prin cipio (66) y su equivalente (67) son también válidos: (66) ot. = f3 es equivalente a AX X wX ( a ) = A X X WX((3), donde a y ¡3 son designadores rígidos (67) q = (3 es equivalente a □ (A X vX ( a ) = A X vX (/3 )), donde a y (3 son designadores rígidos
jsjo solamente las constantes j, rn.b y e son designadores rígidos, lo son tam bién las variables. La extensión de una variable en un mundo no depende del mundo sino de la asignación. Para designadores no rígidos el principio (65) eS válido, pero (66) y (67) no lo son. Por ejemplo, si c y d se refieren ambos al mismo individuo en w\ pero no en w2, entonces AX wX ( c ) y \X' JX( d) se refieren al mismo conjunto de propiedades sólo en w\ y no en w 2 . Por lo tanto, AAX VX (c ) = A \ X yX (d) no es cierto. Así pues, para designadores rígidos a, y sólo para designadores rígidos a, se tiene que a y AX X VX ( a ) son maneras enteramente equivalentes de iden tificar un cierto individuo. Si a es un designador rígido, entonces cualquier expresión en la cual AAX vX ( a ) ocurre puede convertirse en una expresión equivalente en la cual a ocurre, dado que a y AAX vX ( a ) están ambas nece sariamente ligadas al mismo individuo. El segundo postulado de significado que se va a discutir aquí formula una propiedad de ciertos verbos transitivos. Observábamos en §6.3.5. que algunos verbos transitivos, tales com o buscar, pueden considerarse como relaciones entre individuos y propiedades de segundo orden. Tal enfoque explica hechos semánticos importantes acerca de esos VT intensionales, tal com o el hecho de que la oración Juan busca un tesoro no implica la existencia de tesoros. Por otro lado, este análisis falla para un VT extensional como encontrar, queremos que la existencia de los tesoros sea implicada por Juan encuentra un tesoro. En consecuencia, debemos ser capaces de considerar estos VT extensionales como una relación entre individuos. En el postulado de significado PS2 establecemos que las propiedades de segundo orden que se relacionan con individuos por medio de la relación expresada por un V T extensional están determinadas por una relación entre individuos: PS2
3 S V x V X D (á (x ,X ) <->v X ( aAy wS ( x , y ) ) \ donde S = AMAR, CONOCER, O ENCONTRAR
La variable S en PS2 es de tipo (s, (e, (e,t))), una relación binaria de pri mer orden, y X es una variable de tipo (s, {(s, (e, t ) ) , t ) ) , una propiedad de segundo orden. El PS2 expresa que para cada <5 para el cual está definido hay una relación S entre individuos tal que 5(x, X ) es verdadera sii VX ( AAy wS(x, y)), o en otras palabras, la propiedad de estar en la relación S con x pertene ce al conjunto de propiedades VX . Veremos que para cada ó para el cual PS2 está definido existe exactamente un S que satisface esta condición. Primero introduzcamos algunas convenciones. Siempre que digamos que la oración > es umversalmente válida (\= (fi) queremos decir que —1
para cada modelo M en el cual los postulados de significado son v erd a d ^ J Tales modelos se llaman ‘ admisibles’ . Más aún, diremos que las fórmulas ip son equivalentes si |0]m.9 = M m , 9 para toda asignación g y todo iq0a ! 9 admisible M ; y decimos que (p y xp son equivalentes por PS2 si en todos los modelos admisibles para cada asignación g que satisface PS2 Co® respecto a S, es decir, que asigna un valor a S tal que |[VxVXD(á(x, X ) <^v X ( AAyv5 (x , y) ) ) } M,g — 1, donde 6 es com o en PS2. Consideremos un ejemplo 1 La traducción de (68) (= (3 7 )) es (69) (= (4 4 )): (68) Juan encuentra un tesoro (69)
ENCUENTRA(j¡,A AX3x(TESORO(x) AV X ( x )))
Por PS2 se tiene que existe una relación S entre individuos tales que (69) es equivalente a (70): (70) VAA X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ( aAy vS( j , y) ) La fórmula (70) se reduce a (71) por A-conversión y VA-eliminación, y (71) es a su vez equivalente a (72): (71)
3 x ( t e s o r o (x) Av a AyvS ( j , y ) ( x ) )
(72)
3 x ( t e s o r o ( x ) A v S ( j , x))
En otras palabras, debido a PS2 existe una relación 5 entre individuos tal que (69) es equivalente a (72); en donde (72) es la afirmación de que hay un tesoro que tiene la propiedad de estar en la relación S con j . La convención notacional CN2 provee una expresión para cada VT, la cual jugará el papel de la relación S. C o n v e n c ió n n o ta cio n a l 2 Si S es una expresión de tipo ((s , ((s, (e , t ) ) , t )), (e ,í)), entonces podemos escribir 5* en lugar de \y\x 8 ( x A X X wX ( y ) ) La expresión <5* se refiere a la relación entre individuos que es verdadera para individuos x e y sii la relación S es verdadera entre x y la intensión del con junto de todas las propiedades de y, es decir, AAX wX ( y ) . Gracias a esta con vención notacional, VxVy(á* (x, y)<-+S(x,A X X ^ X { y ) ) ) es válida universalmen te, lo cual implica que podemos escribir <5*(x, y) en lugar de la afirmación S ( x A X X ^ X( y ) ) .
pjo toda afirmación de la forma S(x, X ) se puede cambiar por una, a,^_ ¿00 equivalente con ó*, dado que no toda expresión de tipo (s, ((s, ( e, t ) ) , t ) ) refiere a una propiedad de segundo orden que se relaciona con un indivi s o e s p e c ífic o . Por ejemplo, A X 3 x (t e s o r o (x ) Av.X (x)) no define un individuo ^necífico, porque si hay más de un tesoro o si no hay tesoros, entonces \ X (T E S O R O (x) AvX (x ) ) no hace referencia a un conjunto de propiedades que s e a el conjunto de propiedades de un individuo específico. Aunque la CN2 ge d e fin e para todas las expresiones de tipo ( ( s , ( { s , ( e , t ) ) , t ) ) , { e , t ) ) , lo que a c a b a m o s de decir muestra que la CN2 es meramente una convención notacional y que ella no implica que 6* pueda siempre reemplazar a S en PS2. La relación BUSCAR puede ser verdadera de un individuo, por ejemplo j , y de una propiedad de segundo orden, por ejemplo a A X 3 x (t e s o r o (x ) Av A '(x )), sin que sea cierto que la relación BUSCAR* sea verdadera de j y un cierto individuo en e s a situación. La conexión que nos interesa entre 5 y ó* sólo se obtiene en a q u e lla s situaciones donde <5 es verdadera de un individuo x y una relación de se g u n d o orden que corresponde a un individuo específico y , es decir, la propie d a d de segundo orden que se refiere en todo mundo al conjunto de propiedades d e y (en ese mundo). Un ejemplo de dicha propiedad de segundo orden es la propiedad a la que AAX vX ( m ) hace referencia. Gracias a PS1, m es un designador rígido y, por lo tanto, AX X VX (m ) se refiere a la función que para cada mundo posible proporciona el conjunto de propiedades del mismo individuo, María. Gracias a CN2 podemos escribir <5*(x, m) en lugar de 5(x, A X X yX (m )), y de esta manera tenemos una relación entre individuos siempre que un nombre propio ocurra en el segundo argumento de un verbo intensional com o buscar. Así (74), la traducción de (73) (= (5 3 )), es equivalente a (75): (73) Juan busca a María (74)
BUSCA
(j,A X X vX ( m ) )
(75)
b u s c a * (j,
m)
Esto no elimina la intensionalidad de buscar. La equivalencia de (74) con (75 se debe simplemente al tratamiento de los nombres propios y a la convenció notacional. Más aún, obtenemos una explicación del hecho de que (73) implic a (76) (= (5 4 )), puesto que (75) implica a (77): (76) Hay alguien a quien Juan está buscando (77)
3x BUSCAR* (j , X)
Para aquellos ó para los cuales PS2 postula su extensionalidad, toda afir^.. . 9 f de la forma S(x, X ) es equivalente a una afirmación acerca de individuos ejemplo, como vimos anteriormente, por PS2, S(j/' XX3./ ( t e s o r o ( j :| a v i es equivalente a la afirmación de que hay una entidad x que es un tesoro y 1* está en la relación s con j. De la misma manera, PS2 asegura que Vx(TESORO(x) —>v X(x))) es equivalente a la afirmación de que para todaenB tidad x, si es un tesoro, está en la relación S con j . La extensión de 5, ya q ^ J su existencia está garantizada por PS2, no es más que ó*. Podemos demostrar I que PS2 y CN2 implican el teorema 6.1.: T e o re m a 6.1. |= V x V X D (5 (x ,X ) <->v X ( AAy<5*(x,y))), donde <5 os igual AMAR, CONOCER o ‘ ENCONTRAR.
Demostración. Primero demostramos la equivalencia de á*(x, y) y wS(x,y) por PS2. De acuerdo con CN2, <5*(x, y) es equivalente a S(x, AXX '/X( y) ) . por PS2 esto es equivalente a VAA X vX ( y ) ( AAyv5 (x , y)), el cual por VA-eliminar ción y A-conversión equivale a VAAy vS( x , y ) ( y ) . Aplicando VA-eliminación y A-conversión una vez más, también es equivalente a vS (x, y). Entonces, al reemplazar 6 * por v5 en PS2 queda demostrado el teorema. El teorema 6.1. nos permite sustituir fórmulas VX ( AAy5*(x, y)) para todas las fórmulas 6(x, X ), si S es un verbo extensional. Veamos de nuevo la traducción de (68), Juan encuentra un tesoro. Ya hemos reducido (78) (= (44 ) y (69)), que es el resultado directo del proceso de traducción, a (79) (= (7 2 )): (78) ENCONTRAR^',A AX3x(TESORO(x) AV X (x))) (79) 3 x ( t e s o r o ( x ) A v S ( j , x)) También hemos demostrado que VS es equivalente a á*, y por esta razón po demos reducir (79) a (80) (= (6 6 )): (80)
3 x ( t e s o r o ( x ) A e n c o n t r a r * (j, x)
La fórmula (80) proporciona la representación de (68) que nos es familiar de la lógica de predicados de primer orden. Debe subrayarse que las fórmulas (78), (80) y todos los pasos intermedios son equivalentes por PS2 y que, en conse cuencia, todas representan el mismo significado. La reducción de (78) a (80) se
b0,06
gólo Por conveniencia. Obsérvese también que podemos obtener el mismo j n sin el paso intermedio (79), dado que, por el teorema 6.1., (78) es
Í c e n t e a (81): 81) vaA X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ( AXy e n c o n t r a r * (j, y))
teorema 6.1., por lo tanto, establece que la afirmación de que la relación N C O N T R A R es verdadera de j y la propiedad de segundo orden AAX3;r (TESORO , % X ( x ) ) es equivalente a la afirmación de que la propiedad de estar en la r e l a c i ó n ENCONTRAR* con j pertenece al conjunto de propiedades de un tesoro. La reducción de (81) a (80) procede siguiendo los pasos intermedios (82), (83) y (84): (82) A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ( AXy ENCONTRAR*(j, y)) por VA-eliminación (83)
3 x ( t e s o r o ( x ) Ava Ay ENCONTRAR* (j, y) ( x
))
por A-conversión
(84) 3 x ( t e s o r o ( x ) A Ay e n c o n t r a r * (j, y )(x )) por VA-eliminación Todo esto muestra que restringir los modelos de la Teoría de Tipos Intensional por medio de PS2 nos da una semántica más satisfactoria para las expresiones del español. Los verbos extensionales se interpretan como relaciones entre individuos, mientras que, al mismo tiempo, la representación de los verbos intensionales continúa siendo como se definió en §6.3.5. El método mixto de postulados de significado y convenciones notacionales fue tomado del modelo PTQ. Nótese, sin embargo, que sería posible introducir el teorema 6.1. como un postulado de significado en lugar de PS2. En §6.3.9., en la discusión sobre el verbo transitivo ser, exploraremos este otro enfoque con un poco más de detalle. Ejercicio* 6.3. Reduzca las traducciones de las dos oraciones del ejercicio 2 utilizando CN2, P Sl y PS2. Para cada paso en la reducción, indique qué lo valida.
6.3.8.
Ambigüedades de alcance, lecturas de re y reglas de cuantificación
En §6.3.5. hemos mencionado dos problemas sobre el análisis de oraciones con sintagmas de verbos transitivos. En §6.3.7. dimos una solución para el primer problema, acerca el de cóm o representar la naturaleza extensional de ciertos
VT mientras conservamos una representación satisfactoria de la intens¡Q B lidad de otros. El segundo problema es cóm o explicar las ambigüedad^ 1 alcance y la representación de lecturas de re en oraciones con verbos inteiJ J nales. Para ilustrar el problema de las ambigüedades de alcance, considero^» la oración (85) (= (3 9 )): 081 (85) Toda mujer añora un solo anillo
■
Si analizamos esta oración utilizando las reglas que hemos definido hasta ahor» i obtenemos a (86) com o su traducción reducida: TB (86) Vx ^m u j e r ( x ) —> 3 í/V z (( a n i l l o ( z )
A a ñ o r a r *( x , ¿))
<-> y =
z)^
1
Esta fórmula establece que para cada mujer hay precisamente un anillo que ella añora, posiblemente diferentes anillos para diferentes mujeres. Ahora bien, también hay una lectura de (85) que puede parafrasearse com o (87): (87) Hay un solo anillo que toda mujer añora En esta lectura, es posible que alguna mujer añore más de un anillo, pero sólo un anillo es añorado por todas las mujeres. Nuestra teoría semántica debe proporcionar ambas interpretaciones para (85) y para oraciones ambiguas similares. La ambigüedad de (85) se debe a la ambigüedad del alcance de las expresiones todo y un solo. La distinción entre lecturas de dicto y de re también se puede formular en términos del alcance relativo de las expresiones. Por ejemplo, consideremos (88) (= (3 8 )): (88) Juan busca un tesoro Esta oración tiene dos lecturas; una, la lectura de dicto, resulta de la aplicación de las reglas que tenemos hasta ahora. La otra, la lectura de re, se puede parafrasear com o (89) (= (5 5 )): (89) Hay algo que es un tesoro y que Juan está buscando
A diferencia de la lectura de dicto, la lectura de re de (89) implica la exis tencia de tesoros. Como lo sugiere la formulación de (89), un tesoro tiene un alcance más amplio sobre el verbo intensional buscar en la lectura de re, mien tras que en la lectura de dicto, un tesoro ocurre dentro del alcance de bus car. Hay muchas ambigüedades que se basan en el alcance relativo de ciertas
g g ion es, tales como determinantes, expresiones temporales, expresiones e3C^ ajeS) verbos intensionales, negación y otros por el estilo. El principio de V o s i d ^ d a d requiere que toda ambigüedad semántica (no léxica) corres^üda a una ambigüedad derivacional. Siempre que una oración tenga más de ^dignificado, debe haber más de una manera de construirla. En el caso de amjylüedades de alcance, parece obvio que las distintas construcciones sintácticas el resultado del orden en que se introducen los elementos que involucran algún tipo de alcance. Sin embargo, las reglas sintácticas que hemos definido h a s t a ahora fuerzan un cierto orden. Aplicar un VT a un T y un T al VI resul ta n te es la única manera de formar una oración como (85) u (88). El functor siempre tendrá un alcance más amplio que el argumento. El sujeto, por lo ta n to , tiene el alcance más amplio, luego viene el verbo transitivo, y el alcance del objeto directo es el más estrecho. Para representar las ambigüedades de alcance, dentro de las cuales pode mos incluir ahora las ambigüedades de dicto/de re que acabamos de mencionar, introduciremos un segundo método de construcción de oraciones. Las variables sintácticas, es decir, las expresiones básicas de la forma éln, juegan un papel clave aquí. Las variables son de categoría T y, por lo tanto, pueden aparecer en la posición del sujeto o en la posición del objeto de un verbo transitivo. De esta manera obtenemos oraciones com o (90), (91) y (92):
(90) Él6 camina (91) Toda mujer I02 añora (92) Él* I07 busca Formularemos una regla que nos permita formar una nueva oración a partir de un término y de una oración que contenga una variable sintáctica, al sus tituir dicho término por la variable sintáctica. Esta regla se llama regla de cuantificación y se formula de la siguiente manera: S8, n:
Si a G P t y 4> G Poi entonces Fi^n(a, 4>) G P o y F j^ a t, ) — 4>'> donde 4>' es el resultado de la siguiente substitución en (p: (i) Si a no es una variable sintáctica élk, entonces reemplace la pri mera ocurrencia de éln, l°n o —lon por a y reemplace las demás ocurrencias de éln, lon o —lon por pronombres anafóricos o sufi jos apropiados. Asegúrese también de que a quede a la derecha del verbo (ii) Si a =élk, entonces reemplace todas las ocurrencias de éln Por élk, de lon por loy¡, y de —lon por —lok
La regla S8, n no es una sola regla sintáctica, sino un esquema de reglas. Es abreviación para un número infinito de reglas. Para todo número n tenei^J una regla sintáctica a partir del esquema de reglas S8, n. El índice n indica lJ variable sintáctica que sustituimos por el término a. Por ejemplo, si querern
Un hombre lo7 busca, O, S8, 1 un tesoro, T
Élx lo7 busca, O
Si queremos sustituir el término I07 por todo hombre, entonces debemos usar S8,7: (94)
Un hombre busca todo tesoro, O, S8, 7 todo tesoro, T
Un hombre I07 busca, O
Si la misma variable sintáctica ocurre en una oración más de una vez, reem plazamos la primera ocurrencia por el término en cuestión y las demás por pronombres anafóricos apropiados. De esta manera, cuantificar el término una mujer en (95) resulta en (96): (95) Éli pasea y Juan loi busca (96) Una mujer pasea y Juan la busca (La construcción de oraciones con y tales com o (95) y (96) será tratada en §6.3.10.). La formulación de la regla de cuantificación, tomada esencialmente del modelo PTQ, tiene algunos inconvenientes. Por ejemplo, ella no maneja pronombres reflexivos, que son necesarios en algunos casos: si cuantificamos Juan en (97), obtenemos (98) y no (99), com o deberíamos: (97) Éli loi ama (98) Juan lo ama (99) Juan se busca a sí mismo
es el hecho de que S8, n permite cuantificaciones ‘vacías’, puede aplicarse a un término y a una oración en la cual no ocurra • ina v a r ia b le con índice n: el resultado sintáctico será bien formado, pero se ignara un significado incorrecto. Tales problemas han sido tratados en la "teratura y aquí no nos detendremos en ellos. Finalmente, obsérvese que S8, gracias a la cláusula (ii), permite la sustitución de variables por variables: 33te hecho no será tomado en consideración en adelante. La construcción de una oración por medio de una regla de cuantificación gerá llamada la manera indirecta de construcción. La vía directa de construc ción de la oración (85) y la manera indirecta se presentan en la figura (100): in c o n v e n i e n t e
(1 0 0 ) a.
Toda mujer añora un solo anillo, O, S2 toda mujer, T, S3 mujer, NC
b.
añorar un solo anillo, VI, S7 añorar, VT
un solo anillo, T, S6 I anillo, NC
Toda mujer añora un solo anillo, O, S8, 4 un solo anillo, T, S6 anillo, NC
Toda mujer I04 añora, O, S2 toda mujer, T, S6 mujer, NC
I04 añora, VI, S7 añorar, VT
éU, T
Ahora debemos demostrar que la construcción indirecta resulta en la lectura de (85) que nos hacía falta hasta ahora, la que parafraseamos en (87). La regla de traducción correspondiente a S8, n dice lo siguiente: T 8, n:
Si a G P t Y € Pn V cu 1—> o! y ó t—;> ó ', entonces F7,„ (a ,< ¿ > )^ a '(AAx„<¿>')
Un simple ejemplo demostrará cómo funciona T 8, n. Supongamos que hemos construido la oración (101) al sustituir Juan por e/3 en (102): (101) Juan camina (102) él3 camina
Por la regla T l(b ), que se describe en §6.3.4., las variables sintácticas se t r a ^ l ' cen en expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de primer o rcjJ S tal com o cualquier otro término. La variable e/3 se traduce com o XX^Xx*. 7 a traducción de (102) es (103), por la aplicación de T2; (103) se reduce a (lQ^I de la manera usual. (103)
A X v X ( x 3)( a c a m in a )
(104)
c a m i n a (x
3)
La fórmula (104), con la variable libre £ 3, se convierte en un predicado por medio de A-abstracción: Ax3CAMiNA(x3). Su intensión, presentada en (105)) se refiere a la propiedad de caminar: (105)
a Ax 3c a m i n a ( x 3)
De acuerdo con la regla T 8, 3, la cuantificación del término Juan en (102) se reduce semánticamente a la afirmación de que la propiedad que expresa la oración con la variable sintáctica é/3 es una propiedad de Juan. La fórmula (105) se refiere a dicha propiedad y la fórmula (106) la adscribe a Juan. Por medio de (107), la fórmula (106) se reduce a (108): (106) X X ^ X ( j ) ( aAx3c a m in a (x 3)) (107)
vaAx 3 c a m i n a ( x 3) (j)
(108)
C A M IN A (j)
La fórmula (108) da el significado de (101), que en este caso es el mismo tanto para la forma de construcción directa como para la indirecta. Este ejemplo simple ilustra concretamente el efecto semántico de la aplica ción de la regla S8, n. De manera general, la semántica de este proceso puede describirse de la siguiente manera: la substitución de una variable sintáctica éln por un término a en una oración cp se reduce a la afirmación de que la propiedad expresada por la oración cp con la variable libre éln pertenece al conjunto de propiedades a las que a se refiere. Al abstraer sobre x n y aplicar el A-operador, transformamos la traducción '), la cual expresa la afirmación deseada. En el caso de (101), la manera de construcción indirecta produce el mismo resultado que la manera directa. Esto está muy bien, puesto que (101) no es
• .in Pero en otros casos, por supuesto, los distintos métodos de construc ____ t _ . _ _ j ___________ / o r \ — • n generan resultados distintos. La traducción de (85) mediante el método Cl°|n r-tn se muestra en (109), esta vez no con un árbol estructural, sino con ^ 'r' a 0 l b l g U £’"
iiidire^1'"
una lista: (109)
1.
ék >-> \ X vX ( x * )
2.
añorar
3. 4. 5.
m ujer
6.
Fi(toda mujer,Ioí añorar) i—> A X V x ( m u j e r (x )
i—» AÑ O R AR
Fe (añorarais)
►A Ñ o r a r ( a A X v X ( x 4 ) )
i—> m u j e r
F í^ m u jer) t—►A X V x (m u je r (x ) —»v X ( x ) )
T ía T3 T2
v X ( x ) ) ( a a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4))) Vx ( m u j e r ( x ) —>v a a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4) ) ( x )) Vx ( m u j e r ( x ) —►a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4) ) ( x )) Vx Í m u j e r ( x ) —> a ñ o r a r ( x , a AATv X ( x 4))) Vx ( m u j e r ( x ) —> a ñ o r a r , ( x ,x 4 )) anillo i—> a n il l o
A-conv. VA -elimin. CN1 CN2 T ía
12.
F5( a n i l l o ) i-» \ X 3 z V y ( ( a n i l l o ( í / ) A v X (y )) <-> z = y')
T6
13.
F t^ (u u solo anillo, toda m u jer I04 añorar) 1—»
T 8, 4
7.
8. 9.
10 . 11.
= = = =
T lb T ía T7
A X 3 z V ? /^ (a n illo (j/) A v X ( y )) <-> 2 = y^j ^ A x 4V x ( m u j e r ( x ) —♦ a ñ o r a r , ( x , x 4 ) ) ^
14.
3 z Vj/ ^ ( a n il l o (2/) A v a Ax 4Vx ( m u j e r ( x ) —*
A-conv.
a ñ o r a r , ( x , x 4 ) ) (y )) <-► z = y\ 15.
3 z V ?/^( a n il l o (?/) A Ax 4Vx ( m u j e r ( x ) —*
' -elimin.
a ñ o r a r , (x ,x 4 ) ) (y )) *-*2 = y j 16.
32Vj/^(ANiLLO(y) A V x (m u je r ( x ) —> a ñ o r a r , ( x , y) ) ) <->
A-conv.
Un par de aclaraciones son necesarias. Los pasos 7 a 10 muestran que reducimos las subexpresiones tanto com o es posible durante el proceso de traducción. Por supuesto, no es necesario hacerlo, aunque sí hace las cosas más simples. La re ducción de 9 a 10 es posible simplemente por CN2, dado que la variable X4 es un designador rígido; PS2 no se necesita aquí todavía. Podemos escoger otra variable distinta a la utilizada en la descripción de la regla de traducción, como hicimos en el paso 12; de nuevo, esto no es necesario, pero sirve para evi tar confusiones. El patrón general de la traducción de una oración que se deriva por medio de una regla de cuantificación se muestra aquí en el paso 13. A partir de la traducción de toda mujer I04 añora, paso 10, se forma la expresión aAx4 Vx(mujer(:e) —> a ñ o r a r* (x, £ 4 )), la cual se refiere a la propiedad de ser añorado por todas las mujeres. La traducción del resultado de la cuantificación un solo anillo en toda mujer I04 ama, paso 13, establece que esta propiedad
pertenece al conjunto de propiedades para las cuales es verdadero que „ mente un anillo tiene esas propiedades, la cual es la misma que la afirmT^B de que existe exactamente un anillo que es añorado por todas las mujeres"^ cual es lo que expresa de manera más simple el paso 16. ‘r' Al comparar el final del proceso de traducción de la construcción in d ir«J de (85) — que es el paso 16 de (109)— con (86) — que es la traducción d e jl construcción directa- - vemos que las dos lecturas de (85) se representan ahorS de manera adecuada. Las maneras de construcción directa e indirecta son deri I vaciones distintas de la misma oración. Sin embargo, no hay una diferencia queB le corresponda en la estructura de los componentes. Si fuéramos a representar ■ la estructura de los componentes en la gramática, la oración (85) obtendría la 1 misma estructura, expuesta en (110), para ambos casos: (110) o[r[todo Nc[muj er]] vi[vT[añora ] r[un solo ] Nc[anillo]]] Este ejemplo ilustra lo que se ha establecido en §6.2.: es la historia derivacional de una oración, y no la estructura de sus componentes, la que determina su significado. La regla de cuantificación S8, n es un ejemplo de una regla sintáctica que es motivada primariamente por la semántica. Por supuesto, también desem peña cierta función sintáctica, generando pronombres anafóricos, pero la razón principal para su introducción es semántica, a saber, dar cuenta de las am bigüedades de alcance. Así que vemos aquí, de manera concreta, cómo el principio semántico de composicionalidad afecta los contenidos de la sinta xis. Obsérvese que el proceso de cuantificación nos proporciona un número infinito de maneras de derivar una oración: podemos utilizar otra variable sintáctica en cualquier momento. Dado que esas variantes no conllevan dife rencias semánticas (todas las fórmulas resultantes, a pesar de ser diferentes, son equivalentes), no las tendremos en cuenta. La regla de cuantificación también nos permite derivar la lectura de re de (88). La figura (111) muestra el árbol de análisis para esta lectura: (111)
Juan busca un tesoro, O, S8, 0 un tesoro, T, S5 tesoro, NC
Juan lo0 busca, O, S2 Juan, T
I04 buscar, VI, S7 buscar, VT
él0, T
m
pagos importantes en la traducción de este árbol son los siguientes: 1 9 ') 1
(1^ '
2.
3
k" 4 .
Juan loo busca
b u s c a r (j , A X v X
( xo ))
T lb
== B U S C A R » (j, x0)
CN2
F 7 ,o(un tesoro, Juan lo0 busca) i—> AX3a:(TESORO(a;) Av X (a ;))( AAxoBUSCAR»(j,a;o)) = 3 x ( t e s o r o ( x ) A b u s c a r » (j,x))
T 8, 0 A-conv., VA -elimin
La traducción de 1 a 2 depende del hecho de que xo es un designador rígido. La ración en la cual aparece xq, es decir, Juan loo busca, puede verse como la expresión de una propiedad de individuos, esto es, la propiedad de ser busca do por Juan. La traducción de (88) por medio de la manera indirecta de construcción se presenta en el paso 4 de (112), la cual afirma que hay algo que es un tesoro y que es buscado por Juan. Esta afirmación expresa la lectura
de re de (88). Ejercicio* 6.4.
(a) Construya tres árboles de análisis para la oración Todo hombre busca un tesoro que den lugar a tres traducciones lógicamente diferentes (b) Muestre que las construcciones directas e indirectas de la oración Juan encuentra un tesoro llevan a resultados equivalentes Haremos ahora algunas consideraciones finales. La primera concierne a la di ferencia entre las lecturas de re y de dicto de oraciones como la (88). Hemos observado que la lectura de dicto de (88) no implica la existencia de teso ros, mientras que la lectura de re sí lo hace. La pregunta ahora es si sus dos traducciones, (113) (= (4 5 )) y (114), expresan esta diferencia: (113) BUSCAR^',A AX3x(TESORO(x) AV X (x))) (114) 3 x ( t e s o r o (x )
a b u s c a r * (j , x ))
En efecto, la respuesta debe ser no; aunque esto todavía no se ha garanti zado. En la Teoría de Tipos Intensional, cuantificamos sobre individuos posibles y, por lo tanto, (114) sólo nos dice que es posible que una entidad sea un tesoro. Dicho sea de paso, en (116) — que es la traducción de (115)— no implica la existencia de mujeres: (115) Juan conoce a una mujer (116) 3x(m u jer(x) A c o n o c e r * ( j , x ) )
La introducción de un predicado existencial E nos permite varias manera« d tratar este problema. Por ejemplo, la información de que los elementos 1 ¿ j9 eos se relacionan con individuos que en efecto existen puede añadirse a 1 traducciones. T ía se podría reemplazar entonces por cláusulas como: m u jer >—►A x (m u je r(x ) A E( x ) ) Otro m étodo es la introducción de postulados de significado: Va£](<5(x) —►E( x) ) , para 6 = MUJER, TESORO, . . . Este postulado impone restricciones sobre las funciones de interpretación de los modelos, tales como: Para todo w: / ( t e s o r o ) (w) C I ( E) ( w) Cada solución afirma, no que los tesoros existen, sino sólo que si hay algo que es un tesoro, en efecto existe. Ahora bien, (114) implica la existencia de teso ros: si (114) es verdadera, hay una entidad que existe en efecto y que es un tesoro. Pero esta conclusión no puede obtenerse a partir de (113). La distinción de re/ de dicto se explica pues com o una distinción entre lecturas existenciales y no existenciales. Algunas veces la distinción entre (113) y (114) se describe com o la distinción entre las lecturas específicas y no específicas de (88). Cuando alguien está buscando un tesoro, puede estar buscando el tesoro que se le re galó en su cumpleaños y que ha desaparecido. Esto corresponde a la lectura específica de (88). Por otro lado, esta persona puede estar feliz con cualquier tesoro viejo que pueda encontrar: esto correspondería a la lectura no específica. No es claro que podamos tomar a (1 1 3 )y a (1 1 4 ) com o representaciones de las lecturas específica y no específica de (88), respectivamente. El problema aquí es que parece que las intensiones y convicciones de la persona que busca tam bién son importantes para establecer la distinción entre ambas lecturas. Por ejemplo, supongamos que Juan cree que hay tesoros y que en uno de esos teso ros hay una corona de oro. El quiere encontrar ese tesoro. En este caso Juan está buscando un tesoro específico. No podemos representar esta situación con (113), dado que se supone que ésta es la lectura no específica de (88). Por otro lado, (114) implica la existencia de tesoros, y a partir del hecho de que Juan está buscando un tesoro específico no quisiéramos concluir que ese tesoro existe. También, (114) establece que hay una entidad que es un tesoro que Juan está buscando, pero esto no implica que Juan sepa que la entidad que él está buscando sea un tesoro. Supongamos que, en efecto, él no lo sabe (él cree que
b u s c a n d o un barco fantasma); en dicho caso, no diríamos que Juan tiene la eSta "ón de encontrar un tesoro específico. Peor aún, (114) no implica que 6 tenga la intención de encontrar esa entidad específica que (114) dice Jua0£l egt¿ buscando. Si hay exactamente un tesoro y Juan sale a buscarlo, Que eg verdadera incluso si Juan, en efecto, cree que hay muchos más tesoros taría feliz con cualquiera de ellos. Pero a duras penas podríamos llamar a una situación en la cual Juan busca un tesoro específico. Por lo tanto. si queremos que fórmulas como (113) y (114) representen la distinción entre las le c tu ra s específicas y no específicas de oraciones como (88), preservando de esta m a n e r a la representación de las lecturas existencial y no existencial, parece que necesitamos profundizar más y que debemos someter a un escrutinio más detallado a verbos com o buscar, que no son sólo intensionales, sino también intencionales. Nuestro segundo comentario tiene que ver con las alternativas posibles que este método tiene para explicar las ambigüedades de alcance. Al considerar una oración com o Todo hombre añora un yate, uno podría dejarse llevar por la idea de que la representación (117) es suficiente, dado que la otra lectura, la presentada en (118), implica (117) y, por lo tanto, es sólo un caso especial:
(117) Vx(hOMBRE(x) —►3y(YATE(y) A AÑORAR*(x, y))^j (118) 3y^YATE(y) A Vx ( h o m b r e ( x ) —> AÑORAR*(x, y)) j El resultado de la construcción directa de la oración es (117) y es posible con
cluir que la construcción indirecta, (118), es superflua. Si siempre fuera cierto que el m étodo indirecto produce un caso especial de la situación descrita por la oración construida directamente, podríamos decir muchas cosas al representar únicamente la última. Sin embargo, este no es el caso. Primero, hay oraciones cuyas lecturas directa e indirecta son lógicamente independientes. Por ejemplo, consideremos nuestro ejemplo (85), Toda mujer añora un solo anillo. Sus dos lecturas (86) y (109) son lógicamente independientes; ninguna de las dos impli ca la otra. La ambigüedad de r e /de dicto de las oraciones también es un caso de lecturas lógicamente independientes. Segundo, incluso si una lectura implicara a la otra, no siempre es cierto que la construcción directa produzca la lectura más exhaustiva. Consideremos, por ejemplo, oraciones com o No es el caso que toda mujer añore un solo anillo y Un hombre añora un yate. Aquí, el méto do indirecto produce un caso especial de la lectura construida por medio del método indirecto. Una representación adecuada de las ambigüedades de alean-
ce, asi parece, presupone una sintaxis que provea varias maneras de cong^ una oración que muestre una ambigüedad de alcance. 1iir i;r
1
La regla de cuantificación nos garantiza un método para representar bigüedades de alcance. En esta sección hemos buscado los alcances rela t\ S de los términos cuantificados en posiciones de sujeto y objeto y los verbos intensionales y términos cuantificados. Pero hay muchas otras fu e n lS de ambigüedades de alcance que pueden ser tratadas de la misma manera N | encontraremos con algunos de estos casos en §6.3.10. y §6.3.11.
alcancejjyj
6.3.9.
El verbo transitivo ser
Hasta ahora no hemos discutido el verbo ser. Recuérdese que en §6.3.1. go '< introdujo ser como una expresión básica de categoría VT . En el modelo ptq el ser de identidad el de cópula se consideran como el mismo verbo transitivo. Esto es bastante notable, dado que la tradición lógica sostiene que es necesario distinguir, desde un punto de vista lógico, entre es en afirmaciones de identidad es en afirmaciones predicativas. Compare por ejemplo (121), la traducción lógica estándar de (119), con (122), la traducción de (120):
y
y
(119) Juan es María (120) Juan es un hombre (121) j = m
(122) hombre(j)
Es, tal com o aparece en (119), se presenta com o la relación de identidad en (121), mientras que la cópula es en (120) parece haber desaparecido en la tra ducción en cambio, se ha fusionado con la aplicación del predicado a la constante j . Así pues, parece que tenemos que distinguir entre dos verbos distintos. Sin embargo, com o veremos, es posible considerar las ocurrencias de es en (119) (120) como ocurrencias del mismo verbo, con el mismo signi ficado sin embargo, es posible brindar representaciones equivalentes de las oraciones respectivas y, en efecto, reducibles a (121) y (122). Dado que el verbo ser se considera com o un verbo transitivo ordinario, la derivación sintáctica de ambas oraciones es la misma, como lo ilustra la figura (123):
y,
y,
HOM BRE
y
„s
J u a n es M a ría , O , S2
Q
(123) a-
^
Juan, T
ser M aría, V I, S7 ser, V T
L u
M a ría , T
Ju an es un hom bre, O , S2 Ju an , T
ser un hom bre, V I, S7 ser, V T
un hom bre, T , S5
I hom bre, N C
Como se mencionó en §6.3.3., el verbo ser obtiene una traducción especial. Esta traducción es la siguiente: T l(c ): ser t-> AXAxvX ( aAj/(x = y)) Dado que ser es de categoría V T , su traducción es de tipo f ( V T ) = ((s , ((s , (e, t)), t)), (e, t) ). Semánticamente, expresa una relación entre individuos y pro piedades de segundo orden. T ic en efecto define qué relación es, a saber, la relación que es cierta en un mundo entre un individuo x y una propiedad de segundo orden X sii la propiedad de ser igual a x, es decir, AAy( x = y), per tenece al conjunto de propiedades que en ese mundo hacen referencia a X , es decir, sii vX ( AAy(x = y)). A primera vista, esta traducción parece brindar sólo el significado del ser de identidad, pero, com o veremos, también brinda el otro significado. Consideremos primero (124), la traducción de (119): 1.
10. 11. 12 .
María >—* \ X JX (m ) ser i—> A XA xvX ( AA?/(a: = y)) F6(ser, María) h-» A XA xvX ( aAy(x = y ))(A\ X vX (m )) = \ x VA\ X 'JX ( m ) C X y ( x = y)) = \ x \ X vX ( m ) ( A\ y(x = y)) = \ x WA\ y (x = y)(m) = \x \ y (x = y )(m ) = Xx(x = m) Juan AX vX ( j ) F\(Juan,ser María) i—> X X VX ( j ) ( AXx(x = m)) = VA Xx(x = m)(j) = Xx(x = m )(j)
13.
= (j = m)
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
T lb T ic T7 A-conv. VA -elimin. A-conv. VA -elimin. A-conv. T lb T2 A-conv. VA-elimin. A-conv.
El VI ser María se refiere al conjunto de las entidades x para las cuales es ver dadero que la propiedad de ser idéntico a x es una propiedad de María, como lo establece la fórmula 5; com o es evidente a partir de la fórmula equivalente en 8, éste es el conjunto de entidades idénticas a María, el cual es, por supuesto, el conjunto singleton con María com o su único elemento. La oración completa afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto es una propiedad de Juan. Esta afirmación es equivalente a la afirmación realizada en el paso 13, que dice que Juan es idéntico a María. La traducción de (120) se da en (125); 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12 . 13. 14. 15.
hombre i—> HOMBRE Fa( h o m b r e ) h-> A X 3 z ( h o m b r e ( z ) Av X (z )) ser i—►A X A x v X ( a Ay (x = y)) Fs(ser,un hombre) i—> A X A x v X ( a A?/(x = y)) ( a A X 3 z ( h o m b r e ( z ) Av X (z ))) = Aa:VAAAr3z(HOMBRE(z) Av X ( z ) ) ( AXy(x = y)) = A x A X 3 z (h o m b r e (z ) Av X ( z ) ) ( Xy(x = y)) = Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A v a Ay(x = y ) (z )) = A x 3 z (h o m b r e (z ) A Ay (x = y)(z)) = Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A (x = z )) Juan >-> AX vX ( j ) Fi(Juan, ser un hombre) >—> A X v X ( j ) ( AAx3z(HOMBRE(z) A (x = z))) = v a Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A (x = z))(j) = A x 3 z (h o m b r e (z ) A (x = z ) ) ( j ) = 3 z ( h o m b r e (z ) A (j = z )) = HOMBRE(j)
T ía T5 T ic T7 A-conv. VA -elimin. A-conv. VA -elimin. A-conv. T lb T2 A-conv. VA -elimin. A-conv. lógica de primer orden
Com o resulta claro a partir del paso 6, el VI ser un hombre se refiere al conjunto de las entidades x para las cuales es verdadero que la propiedad de ser igual a x pertenece al conjunto de aquellas propiedades X tales que hay un hombre que tiene X . La fórmula equivalente en 9 deja ver claramente que este es el con junto de entidades x tales que x es idéntico a un hombre. De acuerdo con el paso 12 de (125), (120) afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto es una propiedad de Juan; esta afirmación se reduce al paso 14, la afirmación de que hay un individuo que es un hombre y que es idéntico a Juan. Por supuesto, esto es equivalente al paso 15, la afirmación de que Juan es un hombre. Las fórmulas 14 y 15 son equivalentes en lógica de predicados estándar. En efecto, hay una vía más corta para este resultado. La traducción de ser un hombre es, después de todo, A x 32:( h o m b r e (2 :)A ( x = 2 ;) ) , y ella se refiere al conjunto de entidades x tales que hay un hombre que es idéntico a x. Por supuesto, esto es el conjunto de todos lo hombres, es decir, el mismo conjunto
gj que se refiere nuestra constante HOMBRE. Así que después de la línea 9, p o d r í a m o s haber continuado (125) de la siguiente manera: ( 126 )
10. 10. 11. 12.
= HOM BRE F\(Juan,ser un h o m b r e )^ X X ^ X ( j ) ( AHOMBRE) = HOM BRE ( j )
Teoría de Tipos
T2 A-conv.,v A -elimin.
que la traducción de ser, así com o se define en T ic , brinda la s e m á n t i c a correcta para su uso tanto en afirmaciones predicativas, como en afirmaciones de identidad. Como lo ilustran los resultados anteriores, el verbo ser es tratado como un verbo extensional. Com o cualquier verbo transitivo, se supone que expresa una relación entre individuos y propiedades de segundo orden. Pero nuestra traducción T ic , en efecto, define esta relación y además lo hace com o una relación extensional. Los mismos hechos también podrían haberse explicado de una manera distinta. Supongamos que no le hubiéramos dado una traducción por separado a ser, sino que la tradujéramos por una constante SER, com o cualquier otro VT. En vista de su extensionalidad, PS2 también habría sido aplicable a esta constante SER. Entonces, (127) y (128) habrían resultado ser las traducciones de (119) y (120): C o n c lu im o s
(127) SER*(j, m) (128) 3 x ( h o m b r e A SER*(j , m ))
Obsérvese, sin embargo, que estos resultados sólo explican la extensionalidad de ser, ellos no representan su significado completo. Por ejemplo, de acuerdo con (127), Juan es María afirma que existe una relación extensional entre Juan y María, pero no especifica cuál, a saber, la relación de identidad. Para dar cuenta de esto, debemos añadir otro postulado de significado: PS3
VxVyD ( s e r * (x, y) *-* (x = y))
Este postulado de significado define a SER» com o la relación de identidad. Utilizando PS3, (127) y (128) pueden reducirse a (124) y (125). Esto ilustra el hecho de que proporcionar la traducción especial T ic para la expresión ser no es la única manera de dar cuenta de su significado. Podemos obtener los mis mos resultados por medio de postulados de significado. También podemos com binar los efectos de PS2 y PS3 en un sólo postulado de significado para SER: PS4
IH(s e r
= AXAxvX ( AAy(x = y)))
Aquí tenemos un solo postulado de significado que expresa exactamente lo qUe había sido formulado en la regla de traducción. Este procedimiento también puede aplicarse en otros casos. Por ejemplo, podríamos haber traducido los determinantes en constantes, t o d o , EL, etc., explicando con un postulado de significado su relación con los cuantificadores lógicos (por supuesto, esto asume que introducimos los determinantes de manera categoremática). Esta habilidad para cambiar entre reglas de traducción y postulados de significado evidencia que los dos métodos tienen el mismo propósito: dar mayor especi ficación, y en algunos casos una especificación completa, para los significados de los elementos léxicos. En efecto, las cosas también funcionan al contra rio. En lugar de utilizar un postulado de significado, podríamos expresar la extensionalidad de los V T por medio de reglas de traducción especiales. Por ejemplo, en lugar de traducir encontrar por ENCONTRAR y luego relacionarlo con ENCONTRAR* por medio de PS2, podemos expresar la intensionalidad de kiss directamente en su traducción: T l ( a ’):
encontrar h-> AXAxvX ( AA ? /(e n c o n tr a r * (x , y)))
La similitud con la regla de traducción de ser es obvia. Sin embargo, obsérvese que hay una diferencia: T i c no sólo expresa el hecho de que ser es extensional, es decir, de que ser expresa una relación entre individuos, sino que también establece cuál relación se está expresando: la relación de identidad. T ía ’ dice que encontrar es una relación extensional, pero no la define mucho más preci samente que eso. Ejercicio 6.5. Muestre cómo la regla de traducción especial T l b para nombres propios puede reemplazarse por un postulado de significado. El siguiente ejercicio trata sobre las relaciones lógicas entre oraciones del lenguaje natural. Para las oraciones del lenguaje natural definimos la relación se sigue de a continuación: la oración B se sigue de las oraciones A i , . . . , An sii para cada análisis sintáctico de B y A i , . . . , A n se tiene que la traducción de B, en dicho análisis, se sigue de las traducciones de A i , . . . , A n (algunas veces también se puede utilizar la noción se sigue de un análisis . . . , la cual es una versión relativizada de la primera noción). Ejercicio* 6.6. Muestre que Juan busca a Elisa no se sigue de Juan busca a la reina y Elisa es la reina.
^ 3.10.
Reglas de conjunción, disyunción y negación
Comenzamos con la conjunción y la disyunción. Consideremos las siguientes oraciones:
(129) Juan duerme y María pasea (130) Un hombre camina y pasea (131) Todo hombre fuma o besa a una mujer (132) Todo hombre ama a María o a Elisa La oración (129) es un caso simple de coordinación copulativa (conjunción) de oraciones, a diferencia de (130), (131) y (132), que no se pueden reducir a ora ciones coordinadas por la cópula. La razón es que, ciertamente, las oraciones correspondientes, de (133) a (135), tienen un significado distinto: (133) Un hombre camina y un hombre pasea (134) Todo hombre fuma o todo hombre besa a una mujer (135) Todo hombre ama a María o todo hombre ama a Elisa Explicaremos dichos hechos al introducir no sólo reglas de conjunción y disyun ción de oraciones, sino también de conjunción y disyunción de VI y una regla de disyunción para términos (no introduciremos una regla de conjunción para estos últimos, dado que tendríamos que hacer un análisis de la pluralidad, lo cual está por fuera del alcance de esta introducción). Las reglas sintácticas y las reglas de traducción correspondientes se muestran a continuación: S9:
Si , i¡) 6 Po, entonces Fa(4>,ip) e Po y Fg(ct),ilj) =
T9: S10: TIO: S i l: T il: S12: T12: S13: T13:
Si (j), x¡j 6 Po y > 4>' y il>l—> V’/ i entonces Fs (4>, ip) i—> (>' A ip1). Si 4>,rp € Po, entonces Fg((t>,rl>) € Po y F g ^ ,^ ) = o ip. Si * 4>' y ^ * 4>', entonces Fg(4¡,x¡;) n * ( ' V ip'). Si 7 , 5 € P v i, entonces Fs( 7 ,<5) € PviSi 7 ,á 6 Pvi y 7 •l ' y <5 ^ > 6', entonces F 8( 7 ,<5) >—►\ x (i'(x ) A S'(x)). Si 7,(5 € P v i, entonces Fg(7 ,á) £ PVI. Si 7 ,á G Pv i y 7 i—►7 ; y ¿ i—<•(5', entonces Fg(7 ,i5) i—> \x(^'(x) V <5'(x)). Si a, (3 G P t , entonces Fg(a,/3) € PT Si q, ¡3 e P t y a •—* a' y P P ', entonces Fg(a,/3) i—> A X ( a '( X ) V P'(X)).
Las operaciones sintácticas F% y Fg introducen y y o de manera sincategoremática entre oraciones, entre los VI y los términos. Las reglas sintácticas no necesitan mayor explicación. El efecto de las reglas de traducción T9 y TlO también es obvio. T i l y T12 hacen uso del A-operador para definir la conjun ción y la disyunción de los predicados en términos de los conectivos A y y, Este proceso se discutió en §4.4.1. La regla T13 produce la traducción de una disyunción de términos de manera similar. Por ejemplo, la traducción de María o Elisa procede de la siguiente manera: aplicamos la traducción de María y la traducción de Elisa a la variable X de tipo ( s, ( e, t ) ) (com o de costumbre, tomamos una variable Y en la traducción de María y de Elisa para evitar con fusiones, aunque esto no es estrictamente necesario). Tomamos las fórmulas resultantes y formamos su disyunción X YwY( m) ( X) \/\YwY ( e ) ( X ) , la cual puede reducirse a vX (m )V vX (e ). Esta fórmula es verdadera si X es una pro piedad de María o una propiedad de Elisa. El abstraer sobre X produce una expresión que en un mundo w se refiere al conjunto de aquellas propieda des que en w son propiedades de María o propiedades de Elisa (o ambas): AX ( y X ( m ) Vv X ( e ) ) . Para ilustrar cóm o funcionan las reglas S9 a S13, presentamos en (136) los pasos más importantes de la traducción de (130): (136) 1. 2.
Fg(fumar,pasear) > Ax (f u m a r (x ) A pasear (x )) F\(un hombre, fumar y pasear)
T il
3.
1—>AX3?/(h om bre (?/) AVAT(x)) (a Ax ( fu m ar (x ) Apasear (?/))) = 3(HOMBRE(y) A Ax ( fu m a r (x ) A pasear (x ))( j/))
4.
= 3(HOMBRE(y) A FUMAR(y) A PASEAR(y))
T2 A-conv., VA -elimin. A-conv.
Si comparamos (136) con (137), la traducción de (133), vemos que en efecto (133) tiene asignado un significado distinto al de (130): (137) 3 x ( h o m b r e ( x ) A
f u m a r (x
) ) A 3 x ( h o m b r e ( x ) A p a s e a r (x ))
Por su parte, la oración (135) se traduce como (138): (138) Vx ( h o m b r e ( x ) —> a m a r (x , m )) V Vx ( h o m b r e ( x ) A
a m a r ( x , e))
La oración (132) tiene otro significado, como lo muestra su traducción paso a paso en (139):
(139)
1.
Fg(María, Elisa) >-> XX{XYvY( m) (X)
2. 3.
= A X ( vX ( m ) V v X ( e ) )
4.
A A y vY ( e ) ( X ) )
A-conv.,
F6(amar, María o Elisa) h-> AMAR(aA X(vX(t7i) F\(todo hombre, amar a María o a Elisa) A F V x (h o m b r e (x ) —>v Y(x)) (aa m a r ( a A X ( vX ( m ) V v X(e))))
Vv
X ( e )))
T7 T2
5.
= V:e ( h o m b r e ( x ) —>a m a r (x , a A X ( vX ( m ) V v X ( e ) ) ) )
6.
= Vx (hombre (x ) —»-A A X (vX(ra) V v X(e)) (a Aj/AMAR,(x , y))) = Vx (h om bre (x ) —> (a m a r *(x , m ) V a m a r *(x , e )))
7.
T 13
A-conv., VA -elimin. CN1. PS2. A-conv., VA -elimin.
Esta traducción determina el significado adecuado de (132). El PS2 se necesita en la línea 6, dado que la CN2 aquí no es suficiente: X X X ( m ) \ / vX ( e ) ) no se refiere a un único individuo (asumiendo que m y e se refieren a individuos distintos), a diferencia de AX ^ X ( m ) y A X vX (e ). Otra cosa que ahora resulta evidente es que si cuantificamos un término en una oración con y en la cual la misma variable sintáctica ocurre más de una vez, obtenemos una coreferencia semántica de las distintas ocurrencias. Consi deremos (140) (= (9 6 )): (140) Una mujer pasea y Juan la ama En la oración (140), el pronombre anafórico la se refiere a una mujer, esta afirma que hay una mujer que pasea y que es amada por Juan. La figura (141) muestra las partes relevantes del análisis de la oración (140). Los pasos relevantes de la traducción se presentan en (142): (141)
Una mujer pasea y Juan la ama, O, S8 , 1
Una mujer, T
(142)
1.
Eli pasea y Juan loi ama, O
pasea y Juan lo\ ama*->p a s e a r ( x i ) A (j, X i ) F i:i(una m ujer, éli pasea y Juan lo\ ama)
é li
T9
AMAR*
2.
i—> A X 3 x ( m u j e r ( x ) A v X ( x ) )
3.
( a A x i ( p a s e a r ( x i ) A A M A R * ( j ,x i ) ) )
T8, 1
= 3x (M U J E R (x ) A PASEAR( x ) A A M A R * ( j ,x ) )
A -c o n v ., V A -e lim in .
El
m o d e lo PTQ tie n e reglas sep a rad a s p a ra c o m b in a r los térm in o s y los
VI con
el p ro p ó sito d e fo rm a r oracion es n eg a d a s:
S14:
Si a G P t y ó 6 P v i, entonces F\o(oc,S) G P o y Fio(a, S) — a5', donde 5' es el resultado de reempla zar el primer verbo por su forma negativa en tercera persona singular del tiempo presente
La regla de traducción correspondiente es la siguiente: T14:
Si a € P t y S G P v i y ot >—*• a 1 y 8 i—* 6 ', entonces Fi0(a ,ó ) i-» -ia '(A¿')
La figura (143) muestra el árbol de análisis de dos oraciones formadas por la regla S14. Sus traducciones se dan en (144) y (145): (143)
a.
Juan no fuma, O, S14 Juan, T
b.
fuma, VI
María no ama a todos los hombres, O, S14 María, T
amar a todos
los hombres, V I, S7
amar, V T
todos los hombres, T , S5
I hombre, NC
(144)
-iF U M A R (j)
(145)
-nV x(H O M B R E (x) —> A M A R * ( m ,x ) )
Utilizando esta construcción, la negación siempre obtiene elalcance más am plio. Para las oraciones (144) a (145) este análisis es correcto.Algunasveces, no obstante, un término en posición sujeto debe tener un alcance más amplio que la negación. Esto se logra al cuantificar sobre el término en una oración formada por S14. Por ejemplo, la derivación de la oración El elefante no pasea se presenta en la figura (146); los pasos relevantes de la traducción se presentan en (147): (146)
El elefante no pasea, O, S8 , 7 el elefante, T , S4 elefante, NC
él7 no pasea, O, S14 éb, T
pasear, VI
íl47)
12.
F w (éh ,p a sea ) h-> -iPASEAR^) elefa n te, é/7 no pasea) 1—» X X 3 x (Vj/(ELEFANTE(y) <->• x — y) Av X ( x ) )
3.
= 3 x (V y ( E L E F A N T E (y )-^ x = y ) A -iP A S E A R (x ))
T14 T8, 7
(a A x 7 ->PASEAR(x7)) A -c o n v ., V A -e lim in .
que, dada la manera en la que se formula arriba, la regla de negación adecuadamente sólo si se aplica a un VI que contenga exactamente un v e r b o principal. Es posible, sin embargo, formular una regla para el caso más gen eral. En el modelo p t q las reglas para la introducción de los tiempos v e r b a l e s s o n similares a las reglas de la negación. Tal com o sus contrapartes lógicas, la cópula (conjunción), la disyunción y la n e g a c i ó n (y los tiempos verbales) del lenguaje natural se introducen sincategoremáticamente. Esto no es necesario, así com o lo vimos para el caso de los determinantes. En §4.3. discutimos, en cierta medida, la introducción categoremática de la conjunción y similares. Un análisis categoremático similar al allí bosquejado ciertamente puede implementarse para el modelo PTQ. O bsérvese fu n c io n a
Ejercicio* 6.7. Elabore un árbol de derivación y una traducción para la oración Juan besa a María o a la reina y la ama.
6.3.11.
Complementos oracionales e infinitivos, adjetivos, cláusulas relativas y adverbios
En esta sección discutiremos brevemente algunas reglas que producen oracio nes como las presentadas de (148) a (153): (148) Juan afirma que la reina pasea (149) Juan intenta encontrar un tesoro (150) Elisa es un elefante rosado imaginario (151) María ama a un hombre que camina (152) Juan camina lentamente (153) Necesariamente, todo hombre es un hombre
Para la construcción de oraciones com o (148), es suficiente formula la regla de aplicación funcional que define cóm o una expresión de categoría VI/O se combina con una de categoría O para formar un VI (obsérvese que F u es simplemente la operación de concatenación): S15:
Si S E P yi/o y 4> £ P o, entonces F u ( 6 , (p) E P v i y ^u(¿> ) = H
La regla de traducción que le corresponde a S15 sigue el patrón de las demás reglas de aplicación funcional: T15:
Si 6 E P yi/o y € P o y
l—> 4>' y 0 l—* ', entonces
F n (M ) ^ ¿ '( V ) La traducción de la oración (148) en la construcción directa es la siguiente: (154) AFIRMAR(j,A 3x(Vy(REINA(í/) <-> X = y) A p a s e a r ( x ) ) ) De manera semántica, el functor afirmar que opera sobre la intensión de su argumento. El tipo que le corresponde a la categoría VI/O es {{s,t), (e,t)). Así pues, afirmar que se interpreta como una relación entre un individuo y una proposición; en (154) estos son Juan y la proposición de que la reina pasea. La expresión A3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y) A P A SE A R (x)) se refiere a la proposición que es verdadera en un mundo w si el individuo que es la única reina en w está paseando en w. Esta proposición es la intensión de la oración La reina pasea. La traducción (154) presenta la lectura de dicto de (148). En esta lectura, (156) no se sigue de (148) y (155): (155) Elisa es la reina (156) Juan afirma que Elisa pasea En efecto, (154) y (157), las traducciones de (148) y (155) respectivamente, no implican (158), la traducción de (156): (157) 3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y) A e = x) (158)
A FIRM AR( j , a PASE AR (e))
Además de la lectura de dicto de (148), también está la lectura de re, que se parafrasea de la siguiente forma: (159) De la reina, Juan afirma que ella pasea
Una representación de la lectura de re se obtiene al cuantificar el término
¡a reina en una oración con una variable sintáctica, a saber, la oración Juan afirma que éh pasea. Este es el resultado: (160)
3 ( V y ( R E lN A ( y ) <-*■ x
= y) A a f i r m a r ^ ' , A p a s e a r ( x ) ) )
Esta lectura de (148) implica (158), dada (157) com o premisa adicional. Para la construcción de oraciones con un complemento infinitivo, com o (149), es necesario añadir la siguiente regla de aplicación funcional: S16:
Si 7 E Pvi/vi Y S eP v i, entonces F i2(7 ,¿ )G P y / y ^ 12(7 , 5)=7<5', donde 6 ' se obtiene de 6 al reempla zar todas las ocurrencias de lon por sufijos —lon, para todo n
La regla de traducción que le corresponde a S15 es la siguiente: T16:
Si 7 G P vi/vi Y & £ P v i y 7 ^ 7 ' y í m ^ 12(7 ^ )
entonces
7 '( A¿0
La oración (149), Juan intenta encontrar un tesoro, también tiene dos lectu ras. La construcción directa resulta en la siguiente traducción: (161) INTENTAR(j,A ENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x)
AV X (x ))))
Aunque la extensionalidad de encontrar no sea evidente en (161), ella está ga rantizada por PS2, así que no entraremos en detalles al respecto. En este punto todavía no podemos aplicar el teorema 6.1., dado que IN T E N T A R no tie ne un sujeto. La expresión E N C 0 N T R A R (AA X 3 x ( u N l C 0 R N l 0 ( x ) A v X ( x ))), sin embargo, es equivalente a (162), por lo que ahora es posible aplicar el teorema 6.1., que resulta en (163), la cual es a su vez reducible a (164):
ENCONTRAR(y,AA X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ) A í/(A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ( aAz E NCONTRAR*(y,z))) Ay3x(TES0R0(x) A encontrar*(y, x))
(162) Ay (163) (164)
La fórmula (161) puede, entonces, reducirse a (165): (165) INTENTAR(j,A Ay3x(TESORO(x)
A ENCONTRAR*(y, x )))
Esta fórmula representa la lectura de dicto de (149) y, por lo tanto, no irripli^ la existencia de tesoros. Una vez más, la lectura de re se obtiene por medio de cuantificación: (166) 3x(TESORO(x)
A INTENTAR(j,A Ay ENCONTRAR* (y, x )))
El modelo PTQ introduce un postulado de significado para explicar la relación entre buscar e intentar encontrar.
PS5
Vx V X D ( b u s c a r ( x , X ) <->
i n t e n t a r ( x , a e n c o n t r a r ( X )))
Por medio de este postulado de significado (165) equivale a (167) (=(113)), la representación de la lectura de dicto de Juan busca un tesoro, y (166) es equivalente a (168) (= (11 4 )), la representación de la lectura de re: (167)
b u s c a r (j',a
A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x )))
(168) 3 x ( t e s o r o ( x )
A b u s c a r * (j , x ))
Obsérvese que el modelo PTQ considera que intentar es una relación entre un individuo y una propiedad. La oración (149) significa que Juan está en la relación de ‘intentar’ con respecto a la propiedad de encontrar un tesoro. Esto no afirma, com o debería hacerlo, que Juan no estará feliz a menos que sea él el que tiene esta propiedad. Si queremos explicar esto, debemos explicar lo que se conoce com o propiedades de control de los verbos que toman complementos infinitivos. Los siguientes ejemplos pueden clarificar este aspecto: (169) Juan le promete a María desenterrar un tesoro (170) Juan le pide a María desenterrar un tesoro En (169) Juan es el sujeto del verbo capturar, el de (170) es María. Los pos tulados de significado pueden dar cuenta de este tipo de diferencias. Por otro lado, podríamos analizar también los complementos infinitivos com o expresio nes que se refieren a proposiciones en lugar de propiedades, tal como en el caso de los complementos oracionales. Los adjetivos prenominales son expre siones que se combinan con un sustantivo para formar otro sustantivo: ellos pertenecen a la categoría NC/NC. La oración (150) ilustra cóm o se le aplica un adjetivo a un N C que ya consiste en un adjetivo y un sustantivo. La regla de aplicación funcional de un NC/NC a un N C y la regla de traducción co rrespondiente son las siguientes:
S17:
Si 7 G P n c /n c y ( 6 P n c , entonces F 13(C,7 ) G P n c
y *13(7,0 = C7 T17:
Si 7 G P n c /n c Y C € P n c y 7 ^ V y C •-» C'> entonces * 13(7 , 0 « v m
que la operación sintáctica F 13 concatena los dos argumentos en el orden i n v e r s o . De manera semántica, los adjetivos son funciones de propiedades de p r i m e r orden en conjuntos de individuos: f ( N C / N C ) = ( ( s , (e , t)), (e, t)). La oración (150) se traduce por medio de T17 como (171): O b sérvese
(1 71) IM AGINARIO(AROSADO(AE LE FA N TE ))(e)
Como de costumbre, los adjetivos, al ser functores, operan sobre la intensión de sus argumentos. La razón de esto es que hay adjetivos intensionales. Ima ginaria, por ejemplo, es uno de estos casos; nótese que (150) no implica (172): (172) Elisa es un elefante rosado Cuáles individuos son elefantes rosados imaginarios no depende de cuáles indi viduos son elefantes rosados. Así que la extensión de elefante rosado no juega ningún papel para establecer la extensión de elefantes rosados imaginarios. Más bien, es la propiedad de ser un elefante rosado, es decir, la función que asigna en cada mundo posible el conjunto de elefantes rosados en dicho mundo, la que determina cuál es el conjunto de elefantes rosados imaginarios en un mundo dado w. Para simplificar, podemos ponerlo así: algo es un elefante rosado imaginario en w si es un elefante rosado en un mundo w' que sea epistémicamente accesible desde w. Por lo tanto, un adjetivo tal como imagi nario es intensional; requiere la intensión completa de su argumento y no sólo su extensión. Otros ejemplos de adjetivos intensionales son posible, ex, futuro, presunto y supuesto. También hay adjetivos extensionales, por supuesto; (173) se sigue de (172): (173) Elisa es un elefante La extensión de elefante rosado depende de la extensión de elefante. Podemos expresar este aspecto del significado de los adjetivos intensionales en un pos tulado de significado: PS6
VXVxD (7 (X )(x )
—>v
X ( x )),
VERDE, LARGO, CUADRADO
donde 7 es
ROSADO,
Se pueden hacer más distinciones dentro de la clase de adjetivos extensionaleg ] Por ejemplo, rosado y cuadrado tienen la siguiente propiedad: siempre que alg0 sea un A rosado (cuadrado), no solamente es un A, sino también es rosado (cuadrado). Tales adjetivos se llaman a veces ‘intersectivos’ , dado que el con junto denotado por la combinación de uno de estos adjetivos y un N C puede considerarse com o la intersección entre el conjunto denotado por el adjetivo y el conjunto denotado por el NC. Los así llamados adjetivos relativos son extensionales, pero carecen de la propiedad de intersectividad. A partir de Jumbo es un elefante pequeño concluimos que Jumbo es un elefante, pero no que sea pequeño. Estas propiedades semánticas de las diferentes clases de adjetivos pueden explicarse también por medio de postulados de significado. Otra manera de formar N C complejos que se presenta en el modelo p t q es la de combinar sustantivos con cláusulas relativas restrictiva. El N C com plejo en la oración (151), María ama a un hombre que camina, consiste en un N C lexical simple, hombre, y una cláusula relativa restrictiva, que camina. Este N C expresa una propiedad compleja: ser un hombre y ser algo que camina. El modelo PTQ forma tales N C complejos al combinar un N C y una oración con una variable sintáctica. En el caso en cuestión estos son hombre y élo camina, respectivamente. La segunda oración expresa una propiedad, dado que se traduce en una fórmula que contiene una ocurrencia libre de una variable lógica, a saber, C A M IN A R (xo ). El resultado de abstraer sobre xq es el predicado A xo C A M IN A R (xo ). Unir hombre con élo camina de manera semánti ca consiste en la conjunción de los predicados HOMBRE y A xoC A M IN A R (xo): A x ( h o m b r e ( x ) A A x o C A M I N A r (x o )(x )), la cual se reduce a A x ( h o m b r e ( x ) A C A M IN A r (x )). Una manera más corta de obtener esta traducción es escribir directamente A x o ( h o m b r e ( x o ) A C A M I N A r (x o )). La formación de cláusulas re lativas es un proceso sintáctico más bien complicado, por lo que no entraremos en los detalles de la formulación de la operación sintáctica que ella involucra. La regla sintáctica y la regla de traducción tienen la siguiente forma general:
S18, n: T18, n:
Si C € P /vc y ) € P n c Si £ G P n c y G P o y C l—* C y l— 4>'i entonces ^14(C> ) *-* Ax„(C'(xn) A >')
Estas reglas, así com o las reglas de cuantificación, son esquemas de reglas; para cada n existe, en efecto, una regla. Para ilustrar este caso, daremos los pasos relevantes en la traducción de (151):
/i 74)
1- F u(hom bre, élo camina) >-> Ax o ( h o m b r e (x o ) A
2.
T18, O
c a m i n a r ( x o ))
F 4 (hombre que camina) t—>
T5
A X 3 x ( A x 0 ( h o m b r e ( x 0 ) A c a m i n a r ( x 0) ) ( x ) A v X ( x ))
3.
= A X 3 x ( h o m b r e ( x ) A c a m in a r ( x ) A v X (x ))
A -co n v .
La traducción final de (151) es (175): (1 7 5 ) 3 x (H O M B R E ( x ) A C A M IN A R ( x ) A A M A R » (m , x ) )
Los adverbios predicativos, tales como lentamente en (152), son expresiones que producen un VI cuando se aplican sobre un VI. Parece obvio considerarlos como pertenecientes a la categoría VI/ VI, pero ya hemos reservado esta cate goría para expresiones tales como intentar y desear. Los adverbios predicativos no pueden ser considerados como pertenecientes a la misma categoría, dado que su comportamiento sintáctico es diferente. Por otro lado, queremos que operen sobre Vis. El modelo P T Q resuelve este dilema introduciendo una nueva clase de categoría funcional A //B , además de A /B (y si es necesario, incluso A / / / B , y así en adelante). Sin embargo, estas categorías distintas son vin culadas al mismo tipo semántico: f ( A / / B ) = f ( A / B ) = ((s, f ( B ) ) , f ( A ) ) . Así pues, distinguimos lentamente de manera sintáctica de intentar al cate gorizarla com o un VI/ / VI. Pero no hay diferencia en la semántica: ambos verbos de categoría VIj VI y VI/ / VI son considerados semánticamente como funciones de propiedades de individuos en conjuntos de individuos. La regla de aplicación funcional y la regla de traducción que introducen los adverbios predicativos son: S19:
Si 7 G Pvi//vi Y ¿ £ P v i, entonces ¿<15(7 , 6 ) G P v i y
^15 (7> T19:
Si 7
G
= ¿7 Pvi//vi y ^ £ P v i y 7
7'
y 5
ó', entonces
^ 15 (7 , S) | - >7 '(a<5') La operación sintáctica F 15 concatena los dos argumentos en el orden inverso. Por su parte, la traducción de (152) es (176): (176)
L E N T A M E N T E (AC A M I N A R )(j)
Los adverbios predicativos se traducen en expresiones del mismo tipo que las de los adjetivos prenominales. La razón es que f ( V I ) = f ( N C ) , f ( V 1//VI) =
f ( N C / N C ) . La extensionalidad de algunas expresiones de este tipo se est^l blece por medio del PS6 . El PS6 es válido no sólo para las traducciones del algunos adjetivos prenominales, sino también para varios adverbios predica I tivos. Los últimos incluyen lentamente, pero no frecuentem ente, dado que ]_ ■ oración (152) implica (178), pero (177) no implica (178): (177) Juan camina frecuentemente (178) Juan camina Además de los adverbios predicativos, en el fragmento hemos incluido adver bios que modifican oraciones. La expresión Necesariamente en (153), Necesa riamente todo hombre es un hombre, produce otra oración cuando se aplica a una oración. La regla de aplicación funcional y la regla de traducción son las siguientes: S20:
Si 7 G Po/o y (t> e P o, entonces F ie i'íA ) G P 0 y
T20:
Si 7 G Po/o y 0 € P o y 7
*16(7, 0) = 70 7; y l—> r, entonces
*16 ( l A ) ^ 7 ' ( V ) La regla de traducción dice que un modificador de oraciones opera semánti camente sobre la proposición expresada por la oración que es su argumento. Es una función, no de valores de verdad en valores de verdad, sino de pro posiciones en valores de verdad. Ciertamente, casi todos los modificadores de oraciones son intensionales. El valor de verdad de necesariamente <¡) en un mundo w depende no sólo del valor de verdad de (/> en w; el valor de verdad de (f> en otros mundos también juega un papel importante. La expresión A(p' se refiere a la intensión de 4>', es decir, la función que asigna a cada mundo po sible el valor de verdad de 4>' en dicho mundo. Así pues, semánticamente el adverbio modificador de oraciones necesariamente es una función de mundos posibles en valores de verdad. Necesariamente se traduce com o la constante N E C E S A R IA M E N T E , de tipo f ( 0 / 0 ) = { ( s, t ) , t) y añadimos el siguiente postu lado de significado (la variable p es de tipo (s , t )): PS7
V p D (N E C E S A R IA M E N T E (p ) <-> D v p )
Un m étodo alternativo sería especificar la relación entre necesariamente y 0 en la regla de traducción. Esta traducción, que es la que encontramos en el modelo P T Q , es la siguiente:
T l(d ):
necesariam ente t-» \pC¡vp
La traducción de (153) en la manera directa de construcción es (179):
^
79)
□V x(hom bre(x) —►hom bre(x))
por supuesto que la construcción indirecta de (153) produciría un resultado distinto. Hemos afirmado que casi todos los modificadores de oraciones son intensio-
nales. De manera semántica, un modificador extensional de oraciones es una función de valores de verdad en valores de verdad. Hay exactamente cuatro de tales funciones (ver §4.3.4.); una de ellas es la negación. La negación de ora ciones vista com o modificador de oraciones es un adverbio extensional, el cual puede ser definido en términos de por medio de un postulado de significado. El modelo PTQ también contiene reglas para los tiempos verbales, para preposiciones, y para la cuantificación de términos en expresiones distintas a oraciones. Los tiempos verbales se tratan por medio de reglas que son similares a la regla S14 para la negación. Esta regla es problemática en varios aspectos y las objeciones que pueden elevarse en su contra son válidas también para las reglas de tiempos verbales en el modelo PTQ. No trataremos este asunto aquí. Las preposiciones se tratan com o expresiones de tipo (VI//VIJ/T. Ellas se combinan con un término para formar un adverbio predicativo (complejo). Entre las preposiciones también hay unas que son intensionales y otras que son extensionales. Compare (180) y (181): (180) Juan pasea por un jardín (181) Juan habla acerca de un tesoro Las reglas que introducen y que traducen preposiciones siguen el patrón fami liar de las reglas de aplicación funcional. La naturaleza extensional de ciertas preposiciones se explica por medio de un postulado de significado. Estas se dejan como ejercicio para el lector. Además de la regla de cuantificación S8, n, descrita en §6.3.8., la cual nos permitió cuantificar términos en oraciones, el modelo PTQ también introduce reglas para la cuantificación de términos en VI y NC. No es clara la razón para tener la segunda regla, la cual permite la cuantificación en NC. No hay ejemplos conocidos para los cuales esta regla sea esencial. La regla de cuantificación VI, Por otro lado, es un aditamento esencial. Por ejemplo, consideremos la oración (182). Su lectura de dicto sólo puede explicarse por medio de dicha regla:
^182) Juan intenta encontrar un tesoro y besarlo La cuantificación del término un tesoro en la oración Juan intenta encontrarij y besarloo produce la lectura de re de (182), mientras que la construccúf directa no explica la coreferencia entre lo y un unicornio. Por lo tanto, ne sitamos una tercera forma de construcción. Esta es provista por la regla S2j n y la regla de traducción correspondiente: S21, n: T21, n:
Si a £ Px y 6 £ P y i , entonces F 7ín(a,S) e P v i Si a £ Px y ó £ P y i y ol cu! y <5 > 5', entonces F 7 tTl( a , 6 ) (->■ \ ya '(A\ xn( 6 '(y)))
Estas reglas también son esquemas de reglas. La operación sintáctica Fl n es la misma qUe se usó en la regla de cuantificación S8, n. La derivación de (182) se representa en la figura (183) y los pasos relevantes en su traducción en (184); (183)
Juan intenta encontrar un tesoro y besarlo, O, S2
intentar encontrar un tesoro y besarlo, VI, S16
Juan, T
encontrar un tesoro y besarlo, VI, S21, 0
intentar, V I /VI
un tesoro, T , S5
tesoro, NC
loo encontrar y loo besar, VI, S21, 0
loo encontrar, VI, S7
/ encontrar, V T
(184)
1.
loo besar, VI, S7
\
/ \ é lo , T
besar, V T
Fj o(un tesoro, loo encontrar y Ioq besar) >—> A ? /A X 3 x (t e s o r o (x ) A v X ( x )) ( a A x o ( A z ( e n c o n t r a r „ ( z , x 0) A BESAH»(z,x0))(y ))) ~ A yA X 3x(T E S 0R 0 (x) A v X (x )) (aAx0( e n c o n t r a r » ( í /, x 0) A BESAR* (y, x 0))) = A?/3x ( t ESORO(x ) A ENCONTRAR»(y ,x ) A BESAR» (y, x))
é lo , T
T21, 0
A-conv. A-conv., VA-elimin., A-conv.
(intentar, encontrar un tesoro y besarlo) *—►i n t e n t a r (AAj/3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(y, x ) A BESAR* (y, x) ) ) F\( Juan, intentar encontrar un tesoro y besarlo) i—> i n t e n t a r (j,A A ? /3 x (t e s o r o (x ) A e n c o n t r a r » ( y, x) A B E SA R »(y,x)))
T16 T2, CN1
derivación resulta en la lectura de dicto de (182), con la correferencia rf# a a d a entre un tesoro y lo. Ejercicio* 6 .8 . 1 Elabore un árbol de análisis y una traducción reducida para cada lectura
de la oración Juan afirma que Elisa intenta encontrar un tesoro (b) Formule una regla sintáctica y una regla de traducción para preposiciones (c) Elabore dos árboles de análisis con dos traducciones que no sean equi valentes para Juan camina por un jardín
(d) Formule un postulado de significado para preposiciones extensionales como por, en las cuales, a pesar de (c), la oración Juan camina por un jardín no sea ambigua
6.4. Conceptos individuales 6.4.1. Argumentos para la introducción de conceptos individuales Un aspecto del modelo PTQ que no ha sido discutido hasta ahora es el uso que Montague hace de los conceptos individuales. En el fragmento tratado en §6.3., los sustantivos y los verbos intransitivos se analizan como propiedades de en tidades. En el modelo PTQ, sin embargo, los NC y los VI se analizan como propiedades de conceptos individuales. Ellos no expresan propiedades de enti dades, sino propiedades de funciones de contextos en entidades. El argumento de Montague para esta aproximación es que ella proporciona una explicación para la invalidez de inferencias com o las siguientes: (185) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear es 38 (186) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear aumenta (187) 38 aumenta (188) La población de Ámsterdam es igual a la población de Rotterdam (189) La población de Ámsterdam disminuye (190) La población de Rotterdam disminuye
Estos ejemplos requieren que los contextos se interpreten com o momentos en JB tiempo, o com o mundos en momentos en el tiempo. La invalidez de las oraciones (185) a (187) es innegable: en cualquier n J mentó en el tiempo 38 es igual a 38; 38 no puede ni disminuir ni aumentar« El valor de un concepto individual puede aumentar o disminuir. La oración 1 (185) establece que 38 es en este momento el valor de la función que para | cualquier momento en el tiempo devuelve un número que representa el p0N cent aje de holandeses en contra de la energía nuclear en ese momento. oración (186) establece que este concepto individual aumenta, lo cual es una afirmación acerca de la relación entre sus valores en cierto periodo. Aumentar disminuir y cambiar son propiedades características de funciones de momen tos en el tiempo en números. Las oraciones (185) y (186) hacen afirmaciones distintas acerca de los conceptos del individuo el porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear, el primero hace una afirmación acerca del va lor del concepto en este momento y el segundo le adscribe una propiedad al concepto. El argumento (188) a (190) tam poco es válido. A partir del hecho de que en este momento los dos conceptos de individuo la población de Amsterdam y la población de Rotterdam tienen el mismo valor no se sigue que si el concep to la población de Amsterdam disminuye, también lo hace la población de Rotterdam. Otros nombres que se refieren a conceptos individuales son precio, temperatura, tiempo de viaje, etc. Es de recalcar que aunque las propiedades de los conceptos de individuo tales com o aumentar, disminuir y cambiar pueden definirse en términos de los valores de los conceptos de individuo en varios mo mentos en el tiempo, ellos no son, en consecuencia, propiedades de esos valores. Aumentar, por ejemplo, no es una propiedad del valor de un concepto indivi dual en un momento dado en el tiempo, sino una propiedad del concepto en sí mismo. No todo el mundo está de acuerdo en que la introducción de conceptos de individuo es la manera más apropiada para explicar la invalidez de estas inferencias y otras similares. Una objeción que se escucha a menudo es que los números no deben considerarse com o entidades básicas y, por lo tanto, que temperatura, número y porcentaje no son funciones de momentos en el tiempo en entidades, es decir, ellos no son conceptos individuales. Sin embargo, la aproximación aquí desarrollada tiene ciertas ventajas apreciables. Primero, ella explica la invalidez de estas inferencias. Segundo, si los números se analizan no como entidades básicas sino como entidades de orden superior, un tratamiento uniforme de los sustantivos y los verbos ya no es feha
ciente . Tercero, hay otras ora<:¡ones y expresiones para las cuales parece que un análisis en términos de conc(,ptog (je individuo es particularmente apropiado. Consideremos lo siguiente: M91) El tesorero de la organización fje caridad es la presidenta del Comité de Entretenimiento (192) El tesorero de la organización de caridad renunció (193) La presidenta del Coinjté de Entretenimiento renunció Esta inferencia tam poco es válida. La invalidez se explica por la suposición de que (192) y (193) afirm ^ algo acerca de conceptos individuales. La ora ción (192) establece que el individuo que es ahora el valor del concepto de individuo ‘tesorero ya no scr¿ más su valor; en (193) lo mismo se afirma del concepto ‘presidenta’ . I
Realizar un análisis utilizando los conceptos de individuo parece permita 1 nos explicar estos y otros fenómenos similares. La manera en que el model0 fl P T Q da cuenta del hecho de que algunos N C y VI expresan propiedades de I conceptos de individuo, mientras que otros expresan propiedades de entidades es interesante pero difícil de apreciar. Es por esta razón que no presentamos el 1 modelo en su forma final en las secciones anteriores. En §6.4.2. resumiremos los 1 cambios que deben ser hechos al modelo para permitir la introducción de con- ] ceptos individuales e indicar cóm o el resultado del modelo explica la invalidez I de inferencias, com o las que se discutieron en esta sección.
6.4.2. Consecuencias de la introducción de conceptos individuales Los conceptos individuales son objetos de tipo (s,e). NC y VI se refieren a conjuntos de conceptos individuales y deben ser traducidos en expresiones ló gicas de tipo (( s, e) , t ) . Esto hace posible tratar NC y VI no com o categorías básicas, sino com o categorías functoriales de tipo A /B y A / / B, donde f ( A ) = t y f ( B ) = e, loq u e produce f ( A / B ) = f ( A/ / B) = ((a, f ( B ) ) , f ( A ) ) = ((a ,e),t). Esto significa que A es O; para B escogemos crear E, una nueva categoría básica, y establecer que f ( E ) = e. Esto da lugar a las siguientes definiciones: D e fin ició n 6.3. C A T , el conjunto de categorías, es el conjunto más pequeño tal que: (i) O, £ G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/ B, A / / B G C A T D e fin ició n 6.4. / es una función de C A T en T tal que: (i) f ( 0 ) = t , f ( E ) = e (n) f ( A / B ) = f ( A / / B ) = ((s , f ( B ) ) , f ( A )) Dadas estas nuevas definiciones categoriales de N C y VI, la definición de las categorías definidas en términos de ellas (en nuestro fragmento estas son todas las categorías derivadas excepto O/O) se deben ajustar a este cambio. Tam bién, a ellas se les asigna otro tipo, com o resultado del nuevo tipo asignado a VI y a NC. En el cuadro 6.2. presentaremos las nuevas definiciones y los tipos
T ^ ffr ía
Definición
Tipo
O
t
E NC
O /E
e ({s,e ),t)
VI
0 //E
{{s,e),t)
T
VT
Nuevos elementos léxicos
« s , « s , e), t » , í)
O¡ V I 0 /{ 0 //E ) V I /T = V I /( 0 /V I )=
Número, tesorero, presidenta, temperatura, porcentaje, población Aumentar, disminuir, cambiar, renunciar
38
< ( s ,( ( s ,« s ,e ) ,í » ,t ) } ,( ( s ,e } ,í ) )
(0 //E )/(0 /(0 //E ))
C u a d ro 6.2. C a te g o ría s y exp resiones
correspondientes para las categorías más importantes. También introducimos varios nuevos elementos léxicos. Nótese que no hay elementos léxicos ni expresiones derivadas de categoría E. Una expresión de categoría E se referiría directamente a una entidad: f ( E ) = e. El único tipo de expresiones que se podrían considerar como perte neciente a esta categoría son los nombres propios, pero, según argumentamos en §6.3.4., hay buenas razones para tratarlos a la par con los términos cuantificados. Nótese también que no es estrictamente necesario introducir la nueva cate goría E\ en lugar de ello, podríamos haber retenido VI y NC como categorías básicas y haber cambiado sólo la definición de la / . Aparte de la definición de nuevas categorías y de la introducción de elementos léxicos adicionales, la sintaxis permanece como estaba. Los cambios en el proceso de traducción son menores; las principales diferencias conciernen al tipo de constantes y de variables utilizadas en las reglas de traducción. En el cuadro 6.3., que se en cuentra en la siguiente página, presentamos la descripción de tres tipos que serán usados regularmente en las secciones siguientes. La traducción de aquellas expresiones básicas que no se traducen por se parado se altera únicamente en que el tipo de las constantes que se relacionan
Tipo
Variable
((s,e),t) (s,({s,e),t))
U,V
(« ,« * , «a, e>,t»,t)>
U, V
U, V
Descripción de la extensión
Conjunto de conceptos individuales Propiedad de conceptos individuale Propiedad de segundo orden de conc individuales 1 ,|'
Cuadro 6.3. Variables e interpretación con ellas por medio de g se modifica. Por ejemplo, HOMBRE y NÚMERO son* ahora constantes de tipo f ( N C ) = ( 0 / E ) = ( ( s , e ) , t ) . Las traducciones de lo g l VI básicos, por ejemplo PASEAR y a u m e n t a r , son también constantes de estel tipo. La regla de traducción T I permanece igual: T l(a ):
Si a está en el dominio de g, entonces a i—>g(a)
Los términos se traducen ahora en expresiones lógicas de tipo f ( T ) = (/S) ( { s , e) , t ) ) , t ) . Estas se refieren a conjuntos de propiedades de conceptos indi viduales. Además de las propiedades usuales de los nombres propios, también tenemos com o elementos léxicos los nombres de los números, por ejemplo 38. En la traducción de este nombre propio utilizamos a 38 com o una constante de tipo e. La traducción de los nombres propios y de las variables sintácticas se define así: T l(b ):
Juan ^ AC/vC/(Aj ) María XUvU{ Am) E lisa • —►AUvU{ Ae) 38 ^ XUVU( A38) éln ^ AC/ví / ( fe )
La traducción de Juan, XUvU( Aj ) , se refiere en un mundo w al conjunto de propiedades de conceptos individuales que son las propiedades en w del con cepto individual que es la referencia de Aj en w. La referencia de Aj en w es la función de mundos en individuos que asigna a cada mundo w' el individuo que es la referencia de j en w'. Com o se observó en §5.4., la referencia de Aa es la misma en todo w , así que Aj se refiere siempre a la misma función. También retenemos el PS1; por lo tanto, j es un designador rígido y Aj se refiere a una función constante, una función que asigna los mismos valores a todos sus argumentos. Así pues, en cada mundo, Aj se refiere a la misma función cons tante, a saber, la función que en todos los mundos devuelve el único referente de j . Por supuesto, hay una relación uno a uno entre un individuo y la función constante de mundos posibles a dicho individuo. Similarmente, si a es un de signador rígido, entonces a y Aa se relacionan de manera única también: ellos
tifican al mismo individuo. Extenderemos el PS1 a las constantes como *^e°ias cuales figuran en la traducción de los nombres de los números; estas tantes también se consideran designadores rígidos. 0001La traducción de un término cuantificado también resulta en una expresión ' a que tiene com o extensión un conjunto de propiedades de conceptos • dividuales- Las reglas de traducción T3 a T6 se formulan de la siguiente
manera: T3: T4: T5: T 6:
Si C £ Pnc y C | - >C'> entonces F2( 0 i-> ^ Si C G P n c y C | - >C'. entonces F 3( C ) - » X U 3 ^ y ( C ( y ) ~ K = y) A v U ( k) ) Si C £ P n c y ( >-* ( ', entonces F4(C) •-* AC/3*(C'(t) Av U ( ¿ ) ) Si C 6 P n c y ( M entonces
Fb(c) -
xu s& y itfto ) aV u (s )) ~
Por ejemplo, el término la temperatura se traduce por medio de T4 en (197): (1 9 7 ) A í 7 3 ^ . ( V i / ( t e m p e r a t u r a ( i / ) <-► * = i/) A v
U { pc>)
La referencia de (197) en un mundo w es el conjunto de las propiedades de conceptos individuales que sean propiedades de un único concepto individual que tiene la propiedad TEMPERATURA en uj. La traducción del verbo transitivo ser se modifica de la siguiente manera: T l(c ):
ser i-> AUA^vU (aAi/(v^ = v y))
Como antes, la traducción da cuenta de la naturaleza extensional de ser. Ella expresa la relación entre conceptos individuales y propiedades de segundo orden de conceptos individuales que se define en términos de la identidad individual: v^c=vi/ es verdadera en w con respecto a una asignación g sii 9 {K.)(w)=g(y)(w) , es decir, sii el valor de g (¿ ) en w es idéntico al valor de g(y) en w. La expresión AAy(v x. = v y) se refiere a la propiedad de conceptos individuales de tener el mismo valor que g(?c). Así pues, la interpretación de ser es aquella relación que existe en un mundo w entre un concepto individual y una propiedad de segundo orden sii la propiedad de tener el mismo valor que dicho concepto individual es una propiedad que pertenece al conjunto de pro piedades de los conceptos individuales, que son el valor en w de la propiedad de segundo orden en w. La traducción de necesariamente, la última expresión básica que se traduce separadamente, se queda como estaba, dado que la definición categorial de O /O no ha cambiado en esta nueva aproximación.
No se necesitan cambios en las reglas de traducción que corresponden 1 reglas sintácticas de aplicación funcional. Sin embargo, en las reglas de V i ducción de las reglas de cuantificación y de la regla de las cláusulas relat' necesitamos hacer una pequeña modificación. En las reglas viejas cuantificáb ; mos sobre variables de tipo e, pero ahora cuantificamos sobre variables de ti *" (s, e). Por ejemplo, la nueva regla de cuantificación T8, n se formula de la l guiente manera: T8, n:
Si a E PT y (j> G P o y ce F 7 ¡n(a, 4>) c/(AX?^
a' y i-»
Ajustes similares han de hacerse para las reglas de conjunción y disyunción.
6.4.3. Algunos ejemplos Para ilustrar, daremos las traducciones de dos ejemplos discutidos en §6.4.1. Consideremos primero las traducciones (185) a (187). Por conveniencia, repre sentaremos el N C complejo el porcentaje de holandeses en contra de la energía n u c le a r com o PORCENTAJE. A s í, las traducciones de (185) a (187) son: (198) 3*(V z/(p orcen taje(i/) <-* ^ = y)
a v
* = 38)
(199) 3 *(V i/( po r c e n ta je ( z/) <-> * = y)
a a u m e n t a r (x ))
(200) a u m e n t a r (a 38)
Los pasos relevantes en la traducción de (198) son:
(201)
T7 A-conv., VA -elimin.
3.
= A*(Aj,(vt = v y ) C 3 8 » )
4. 5. 6.
= Xk. C k = v a 38)
A-conv., VA -elimin. A-conv., VA -elimin. T2
7.
oo CO II * >
Fe (ser, 38) AUA^vU ( aAí/(ví = v í/))(AA t/v(7(A38))) = \x_(\Uv U ( A3 8 )(AAi/(v ;t = v y)))
•< II
1. 2.
Fi(el porcentaje, ser 38) t—> Aí/3;t(Vy(PORCENTAJE(i/)<->;t = y) A v U( ¿ ) ) ( A = (198)
K. = 38)) A-conv., -elimin.
El VI ser 38 expresa la propiedad de que los conceptos de individuos tienen el valor 38. La oración (185) afirma que hay un único concepto que es igual al porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear y que tiene esta
"edad, es decir, que el valor de dicho concepto es 38. Es evidente que (200) Pr° ^ gigue de (198) y (199). La propiedad de aumentar puede ser verdadera 0 0 un concepto en cierto momento; el valor de este concepto puede ser 38 en de un _________ ______________________ , _______ ^ A; momento, pero esto no implica que el concepto A38 tenga la propiedad de n r el ni /contrario, ' n n f r o r i A oel l n n n / - » / - » al oí m í o A38 '' R en ta r. D Por concepto que se refiere es una función n g ta n te y, ciertamente, la especificación de la propiedad a la que AUMENTAR jjgce referencia requiere que los conceptos de la cual ella es verdadera tengan valores distintos en momentos distintos. La afirmación (200) nunca será verda dera Pero incluso sin dicha especificación de lo que significa que un concepto aumente, un contraejemplo puede construirse fácilmente. El segundo ejemplo que discutiremos es el brindado por las oraciones (191) a (193). Los N C tesorero de la organización de caridad y presidenta del Co mité de Entretenimiento serán representados por las constantes TESORERO y P R E S ID E N T A . Así, las oraciones (191) a (193) se traducen mediante las siguien tes foi muías: (202)
3 * (V z /(T E S O R E R O (i/)
<-> * = y)
A 3.z(Vy ( PRESIDENTA (l/)
(203)
3 * (V l/(T E S O R E R O (l/)
(204)
3 ^ ( V i/ ( p r e s i d e n t a ( i/)
<-> z = y)
<-> * = y) <-*■ £ =
AV
% = V z))
A R E N U N C I A R ^ ))
Los pasos relevantes de la traducción de (202) son: 1. 2. 3. 4.
Fe(ser,el tesorero ) AUA^vU (AAi/(va: = v y)) ( AA(/3.z(Vy (TESORERO () <-> z = y) A v U (z ))) í z i tesoreroi <-> z = y) A v U (z )) (AAy(V K y)) = <-> z = y)
—A^A73 (V/( (/) A^3¿(Vi/(TESORERO(i/) AAy(v t = v y )(z )) = A ;<:3.z(Vi/(TESORERO(i/)<->z =
T7
A-conv., VA -elimin.
A-conv., VA -elimin.
y) A v x. = V ¿)
A-conv.
La fórmula (202) afirma que el único concepto que es el tesorero y el único concepto que es la presidenta tienen el mismo valor: ambas posiciones están ocupadas por la misma persona. Del hecho de que ambos conceptos tengan el mismo valor en ese momento y del hecho de que un concepto tenga la propiedad de renunciar en ese momento, sin embargo, no se sigue que el otro concepto también tenga esa propiedad. También en este caso, un contraejemplo es fácil de construirse; por lo tanto, el argumento no es válido.
Los otros ejemplos discutidos en §6.4.1. se explican He m Concluimos que en lo que concierne a la e x p l i c a d de * 7 “ * «««. nos. la mtroducción de conceptos de i n d i v l o p ^ d u t l u ^ ^ satisfactorios. Pero nnr , i lLe resultados ? pOi
S lip ilG S t O , IlO D odB TTlO S r i p i a r l o o
ahora toda expresión se considera com o una afirmación acer“ ' I individuos y ciertamente esto es mucho para ser b n en T í Z or„ Juan can,,„a y Todo hombre añora un „ate son, d e s p i de todo acerca de individuos. Ciertamente, com o ya lo hemos observarir oraciones que contienen nombres funcionales como tesorero acerca de conceptos de individuos. son v flT d « d^ r o Cno h l t ‘ m a t a d o ^ T implican ( 196). Junto con los N C ^
da* < J ^ ¿ maci°3| macionea
a Z “ “ 4“ ,? 6 <191) * <193) »» *' ^
a u m en ta r-, los cuales expresan propiedades de conceptos de m d i X ' T NC com o unicornio — v V I romn u ,in dades de individuos. La situación en huV ™ d o - que expresan propia que encontrábamos en el análisis de loT v I T e* C° ntramos refleJa el dilema V in te n ía le s , % dúos y propiedades de segundo orden Par« e relaciones entre indivialgunos V T se introdujo un postulado de s i ^ f i ^ ^ J t ' ’" “ ^ ^ * la misma manera. gnmcado. Aquí procederemos de
6.4.4.
Postulados de significado
otro para
PSS
s^
“
° de si®n¡fi“ do para VS y
W d f s ^ “ ” V •¥ (V t),! d° " de ¿ S ta distinto a aumentar, disminuir, eamb,ar y renunciar
*
un
c o r t a d “ : z z z : : i * ‘T : r p¡: dades de * ¡“ una propiedad de individuos tal n i,!''!.,'1,08,] e^ mplo> PS8 implica que hay dadero de un concepto de inHi vi
••
mundo posible,
duo que es el valor del concento 7 " ! r E1 modelo p t q introduce un anteriormente para verbos tranJtivos“
c a m in a r
es ver-
pr° piedad es verdadera del indivi-
m
U° ^
CUal CAMINAR es verdadera,
C° nVenCÍ° na1’ SÍmÍlar a la introducida
Convención notacional 3 eescribir t r i S r ó* T en T lugar 68“ "de* Ax(S(Ax)) “ f 0 <<"’ e>’ *>•
podemos
jf . Jjjplo, CAMINAR» es una expresión de tipo (e,t) que en cada mundo w P°Te^eTC al conjunto de aquellas entidades de las cuales es verdadero que se r . constante de dicha entidad pertenece al conjunto de conceptos indiIa , nlie es la denotación de CAMINAR en w. Miremos ahora la traducción ¡duales H . Qj"3,cion Juan camina. (206) CAMINA(Aj )
Como lo observábamos anteriormente, se sigue del PS1, el cual establece que j un designador rígido y que Aj se refiere a una función constante. La función constante de un individuo y el individuo mismo están correlacionados de manea única. Toda función constante se relaciona con un individuo y para cada individuo hay una función constante cuyo valor es dicho individuo. En este sentido, (206) es una afirmación acerca de un individuo, en tanto que es una afirmación acerca de un concepto individual. La CN3 provee una notación más perspicua. Gracias a la CN3, (206) se escribe como: (207) CAMINA» (j) Esta es la representación que obtenemos de la oración Juan camina. Es una fórmula que expresa la afirmación de que el individuo Juan tiene la propie dad de individuos CAMINAR* (nótese que CAMINAR* es del mismo tipo que CAMINAR en el fragmento sin conceptos de individuo). Así pues, la introduc ción de conceptos de individuo no hace ninguna diferencia mientras estemos tratando con constantes de conceptos de individuos. Para aquellos VI 6 para los cuales está definido, el PS8 garantiza que existe una propiedad de indivi duos correspondiente. La última propiedad puede escribirse como <5*, dado que bajo la suposición de PS8, el siguiente teorema es verdadero para el 6 para el cual se postula el PS8: Teorema 6.2. <-> ¿*(v^)) No demostraremos este teorema, pues su demostración es análoga a la demos tración del teorema 6.1. en §6.3.7. Podríamos haber formulado el postulado de significado de manera diferente, por ejemplo, com o en el PS9 (para la misma expresión 6 ): PS9
VaúD(5(ac) <-*• 3 x(x = v ^ A <í(Ax )))
Formulado de esta manera, el postulado de significado e™ cualquier concepto de individuo * (constante o n o e l T u T “ qUe PJ , a a rmacion de que x tiene la propiedad S es equivalente™ !* ""»»fe c o n de que cierto concepto constante tiene dicha p Z w l “ “ concepto que es la función constaute que para todo m ™ ^ i “ “ H t valor el valor de x en w Y en i « ndo “ «ene J 51 , . A Y’ en eíecto> las afirmaciones acerca rU i C!°m0 tos constantes son afirmaciones acerca de individuos com o lo anteriormente. El modelo P S !0
pt q
da otros postulados de kgnificado p ^ T “ ' “ 41 Pdra |0g ^
u í w d - ) r t3 l ( , : = A x ) ) ’ d 0 n d e'5eSlatraducci
i
Este postulado de significado afirma que todo concepto de indiviH bajo un N C com o hombre, m ujer o un.com ,o es una t o coZ ^ V ^ es claro por que hay un postulados de significado para VI v t nstante- No pesar de la negativa del modelo p t q , el que haya una NC' A por el hecho de que el teorema 6 2 no p« t i a diferencia se establece N C Para los cuales el PS10 está definido. PoTotro fado los de Ios son válidos para los NC: ’ S18uientes teoremas Teorema 6.3. 3* ( W
Av U( K)) es equivalente a 3x { 8*(x) Av U ( \ ) )
Teorema 6.4. Vac(í(t)
C % )) es equivalente a Vx(ót (x) -+ v U( Ax))
Teorema 6.5. AvCffAx j f
^ ~ ^ A
U( ¿ ) ) es equivalente a 3x(V y(í*(y) x = y)
Teorema 6.6. K ^
^ A
-- -
¿
^
z
= y) es equivalente a 3xVy((ó*(y) Av U( Ay)) <_» x = y)
z
z
z
x
s
z
“
pjQ no
t e n d r á c o n s e c u e n c i a s . F in a l m e n t e , d a r e m o s a l g u n o s e je m p l o s
pafa '° SaCiones a c e r c a d e c o n c e p t o s d e i n d i v i d u o q u e , g r a c ia s a lo s t e o r e m a s afir®
e q u iv a l e n t e s a a f i r m a c io n e s a c e r c a d e i n d iv id u o s :
6.2. a 6
(208)
U n e l e f a n t e p a s e a >—►3 ^ ( e l e f a n t e ( ^ ) A p a s e a r ^ ) ) = 3 ^ (E L E F A N T E (a :) A PASEA R*
C x ) ) , p o r e l t e o r e m a 6 .2 .
= 3 x (E L E F A N T E * (x ) A PASEA R* ( v V ) ) , = 3 x ( e l e f a n t e * ( x ) A PASEA R*
(x )),
p o r e l t e o r e m a 6 .3 .
p o r V A - e lim in a c ió n
Otra m a n e r a de obtener este resultado es esta: (209)
Un elefante pasea h-> 3 ^ ( e l e f a n t e ( ^ ) A
P A S E A R ^ ))
= 3 x ( e l e f a n t e * ( x ) A p a s e a r (ax )), por el teorema 6.3. = 3 x ( e l e f a n t e *( x ) A p a s e a r *( x )), por la CN3 Un segundo ejemplo es la representación (un poco simplificada) de (195): (210)
El tesorero de la organización de caridad está huyendo (-+ 3 ^ (V j/(te s o r e r o (i/)
pc = y) A e s t á
= 3 ^ (V í/(te s o r e r o (i/)
7c = y) A e s t á h u y e n d o * (v* ))
h u y e n d o ^ ))
Esta fórmula no se puede reducir más, dado que el PS10 no está definido para el NC tesorero: la fórmula (210) dice que el individuo que es el valor del concepto el tesorero tiene la propiedad de estar huyendo; la oración (196) recibe una traducción similar. Se sigue de (202), que es la traducción de (191), y de (210) que la presidenta del Comité de Entretenimiento ha dimitido. La fórmula (202) afirma que el valor del concepto tesorero y del concepto presidenta son el mismo individuo. La fórmula (210) afirma que ese individuo tiene la propiedad de estar huyendo. De esta manera, esta propiedad es verdadera del individuo que es el valor del concepto presidenta. Una última observación concierne a la reformulación del postulado de sig nificado PS2, la cual da cuenta de la extensionalidad de algunos VT y también concierne a la CN2. Los contenidos del PS2 no han cambiado: ahora vincula relaciones entre conceptos de individuo y propiedades de segundo orden de conceptos de individuos con relaciones entre individuos. El PS2, la CN2 y el teorema 6.1. se reformuían de la siguiente manera: PS2
35V*VUD ( ¿ k , U )
U (aAz/(v5 (v^,v y)
donde 6 es igual que antes
C onvención notacional 2
Si 6 es una expresión de tipo {{s, ( { s , ( ( s , e ) , t ) ) , t ) ) , ( { s, e) , t ) ) , entonces i podemos escribir <5* en lugar de Xy\x5(Ax ,A \Uv U( Ay)) Teorema 6.1. VacVUD(á(ac, U ) <->v U (Aái/(vá*(v;t,v y)))), donde 6 es igual que antes. Por medio del teorema 6.1., recién reformulado, podemos reducir (211) a (212) ! la cual es, a su vez, reducible a (213) gracias al teorema 6.3.: (211)
BESAR (Aj , A A í7 3 ^ (U N IC 0 R N I0 (a :) A V
(212)
3 * (U N I C 0 R N I 0 (;t ) A BESAR* (j , v
* ))
(213)
3 x ( u n i c o r n i o * ( x ) A B E S A R *(j,
x))
£ /(* )))
De esta manera, la introducción de los conceptos de individuo no afecta los re sultados del fragmento sin conceptos de individuo; ellos pasan sin restricciones y además permiten dar cuenta de los ejemplos dados en §6.4.1. y, por lo tanto, permiten también formular una semántica más adecuada para el español. Ejercicio* 6.9. ¿Cuál de las siguientes oraciones puede reducirse a fórmulas que tengan la notación *? ¿De qué depende la reducción? (i) Juan encuentra a María (ii) Juan encuentra un tesoro (iii) Juan busca a María (iv) Juan busca un tesoro
6.5. Composicionalidad, forma lógica y forma gramatical En esta sección retomaremos brevemente un tema de §6.1.1.: el estatus me todológico del principio de composicionalidad y su relación con el contraste entre forma lógica y forma gramatical. El término ‘forma lógica’ hoy en día puede significar dos cosas bien di ferentes (aunque tal vez relacionadas históricamente). Puede referirse a una
• i ampliamente utilizada y explorada en la Gramática Generativa desde n° Cletentas. En la Gramática Generativa, la ‘forma lógica’ representa un nivel ecífic° de descripción en la gramática, distinto de la estructura superficial de la estructura subyacente. El término ‘forma lógica’ también puede ser y ... a(j0 para denotar un concepto que es mucho más antiguo y que tiene un ^ filo s ó fic o . Para comenzar por el segundo significado, se ha hecho una distinción entre la forma gramatical y la forma lógica de una expresión en lógica y en filosofía en varios momentos de la historia. Especialmente desde el desarrollo de la lógi ca cuantificacional moderna a finales del siglo X IX , la idea de que la forma gramatical ‘observable’ de una oración puede inducir a error con respecto a su forma lógica real fue formulada con vigor y convicción por personajes tan notables com o Frege, Russell y Wittgenstein (ver capítulo 1, volumen 1, para más detalles). Esta ‘tesis de la forma que induce a error’ y la visión concomi tante del lenguaje natural como irregular, poco sistemático, vago y deficiente, ha dominado el pensamiento filosófico y lógico acerca del lenguaje hasta bien entrada la segunda mitad del siglo X X . Esta distinción entre forma lógica y forma gramatical es más bien extraña para la Gramática Lógica. La siguiente cita de ‘ Universal Grammar’ (1970b) de Montague puede servir como ilustración: En mi opinión no hay ninguna diferencia teórica importante entre los lenguajes naturales y los lenguajes artificiales de los lógicos; en efecto considero posible entender la sintaxis y la semántica de ambos tipos de lenguaje dentro de una única teoría natural y matemáticamente precisa. En este punto difiero de va rios filósofos pero concuerdo, creo, con Chomsky y sus asociados. Es claro, sin embargo, que no se ha construido aún una teoría semántica adecuada y comprehensiva y que no existe todavía una teoría sintáctica comprehensiva y semánticamente significativa.4
En esta cita es evidente que Montague siente que su convicción de que el len guaje natural puede describirse de manera rigurosamente formal es compartida por lingüistas de la tradición chomskiana. Sin embargo, — y esto nos conduce al segundo significado de la frase ‘forma lógica’ y al tema de la composicionafidad— también está convencido de que el trabajo en la tradición generativa no ofrece una teoría semántica y que la teoría sintáctica que ésta presenta probablemente falla en producir una base adecuada para la semántica. Con respecto a la primera afirmación, ‘semántica’ significa en el libro de Montague ‘semántica veritativo-condicional’ y, en efecto, esta clase de semánti ca nunca le ha interesado a los lingüistas generativos. Para ser precisos, c] 4N. de T .: la traducción es nuestra.
gramática. Es suficiente observar lo siguiente: el nivel de la forma ló g j| se considera com o un nivel de descripción que es distinto tanto de la estructu^ superficial, com o de la estructura subyacente (o ‘profunda’) de una expresión Ella sirve para explicar varios fenómenos, tales com o correferencia y alcance pero no a través de un proceso de interpretación. En efecto, no es siempre claro si la forma lógica es parte de la semántica o de la sintaxis. La forma lógica de una expresión sólo está parcialmente determinada por su estructura sintáctica superficial, y esta relación es de uno a muchos. Este último hecho significa que incluso si el nivel de la forma lógica fuera algo com o una representación o una interpretación modelo-teórica en todo el sentido de la palabra (lo cual no es cierto), todavía no encajaría con el principio más básico de la Gramática Lógica, a saber, la composicionalidad del significado. El desacuerdo entre la Gramática Lógica y la Gramática Generativa se ilustra claramente por la segunda afirmación atribuida arriba a Montague, ■ a saber, que las teorías sintácticas existentes no son ‘semánticamente signi ficativas’ . Para ponerlo crudamente, mientras que el punto de partida para Montague es la semántica, para Chomsky es la sintaxis. El primero adopta el principio de composicionalidad del significado y el segundo aboga por la auto nomía de la sintaxis. Como lo observamos en §§6.2. y 6.11., esos dos principios pueden estar en conflicto entre sí. Así pues, dos cosas deben observarse. Primero, ni la noción filosófica tradi cional ni la noción moderna de forma lógica, la cual se utiliza en la Gramática Generativa, parecen jugar un papel en la Gramática Lógica. Segundo, el pun to divisorio principal entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógica parece ser el principio de composicionalidad. Esto genera varias preguntas: si queremos identificar un nivel de representación en la Gramática Lógica como un nivel de la forma lógica que aproxime el que se utiliza en la Gramática Generativa, ¿cuál nivel es éste? y ¿cuál es exactamente el estatus del principio de composicionalidad y, por lo tanto, del desacuerdo entre la Gramática Gene rativa y la Gramática Lógica? ¿Su estatus es fáctico o más bien metodológico? En el resto de esta sección intentaremos contestar estas cuestiones brevemente.
w S
ab°ra en adelante utilizaremos la frase ‘forma lógica’ para significar la tación de una expresión que determina su significado. En el modelo represen , g niveles de representación distintos. Podemos distinguir entre:
■ (i) Expresi° nes L ) Árboles de análisis (iii)
E x p r e s io n e s
lógicas
Tjna expresión es una cadena generada por la sintaxis, es decir, una sucesión de ¿nbolos que la gramática declara como bien formada. Por su parte, el árbol de análisis codifica la historia derivacional de una expresión. Contiene la infor mación que especifica cuáles expresiones básicas se usaron y cuáles reglas se emplearon para formar expresiones complejas. Finalmente, la expresión lógica es el resultado del proceso de traducción aplicado al árbol de análisis.
Consideremos ahora nuestro ejemplo, ya algo desgastado: (214) Juan busca un tesoro La oración (214), que es una cadena generada por la sintaxis, es decir, al nivel (i), se representa a sí misma. En el segundo nivel hay dos representaciones: los árboles de análisis correspondientes a las construcciones directas e indirectas. Las repetimos en la figura (215):
(215)
a.
Juan busca un tesoro, O, S2 Juan, T
buscar un tesoro, VI, S7 buscar, V T
un tesoro, T , S5
I buscar, V T
b.
Juan busca un tesoro, O, S8 , 0 un tesoro, T , S5 tesoro, NC
Juan loo busca, O, S2 Juan, T
loo buscar, V I, S7 buscar. V T
élo, T
Finalmente, en el tercer nivel encontramos de nuevo dos representaciones: las dos traducciones (reducidas) de (216) y (217) (ignorando de nuevo los conceptos individuales):
(216)
b u s c a r ( j', a
A X 3 x (t e s o r o ( x ) A v - X ( x ) ) )
(217)
3 x (t e s o r o (x )
a buscar,
( j , x) )
Con respecto a los árboles de análisis y las expresiones lógicas, debe que las representaciones a esos niveles no son únicas. Hemos acentuado < * ^ 1 . varias oportunidades para las traducciones: todos los pasos de reducción plificación que aplicamos ‘preservan el significado’ , en el sentido de que sienÜH procedemos de una expresión a otra que le es equivalente. Así que no sentido hablar, por ejemplo, de la expresión lógica que es la representaciój de la lectura de re de (214). Por razones prácticas obvias, utilizaremos (21tB com o representación en la mayoría de los casos y en ciertas circunstancias po¿I ejemplo cuando queramos aplicar un mecanismo sintáctico de prueba, incluso I puede ser necesario que así sea. Pero (217), al ser una representación de uno de * los significados de (214), no tiene un estatus privilegiado: cualquiera de un número infinito de expresiones equivalentes serviría. Lo mismo vale para los árboles de análisis. Esto tal vez sea más claro en el caso de (215b), donde una elección distinta de variable sintáctica habría resul tado en un árbol de análisis distinto, que obviamente determinaría el mismo significado, dado que habría resultado en una traducción que es equivalente a (217). Con respecto a la construcción directa ejemplificada en (215a), nótese que el modelo PTQ también nos permite utilizar el mecanismo de cuantificación de una manera ‘vacía’, es decir, sin efectos semánticos. El árbol de análisis en la figura (218) ilustra esto:
J
(218)
Juan busca un tesoro, O, S8 , 3 Juan, T
Élo busca un tesoro, O, S2 él3, T
buscar un tesoro, VI, S 7 buscar, V T
un tesoro, T , S5
I tesoro, NC
Este árbol conduce a una traducción que es equivalente a (216) y, por lo tanto, también representa el significado de dicto de (214). Ahora bien, ¿qué pasa con la forma lógica? ¿Cuál de estas representaciones determina el significado de (214)? Dado que (214) es ambigua, deben asignárse le dos formas lógicas distintas, y por lo tanto (214), es decir, la representación de nuestro ejemplo de una cadena generada por la sintaxis categorial, no puede
coin0 una de e^as‘ ^ sto era esperar, pues com o vimos en §6.2. la ^ptar .cjorialidad implica que el significado se determina dado un análisis. c°PiP°S ^eva a analizar el nivel de los árboles de análisis y de las traduccioggto * * ambos niveles podrían considerarse com o el nivel de la forma »es- ®nc0in0 pueden ayudar a aclararlo las siguientes consideraciones. lóg¡ca' ncemos con las traducciones. Debemos tener en mente que no es E / a d o hablar de una única expresión lógica com o la representación; más aPr°Pdebem0s contar como tal toda una clase de expresiones equivalentes. observar dos cosas. Primero que todo, dicha clase determina, por fi 'ción, un significado único. Pero en segundo lugar, no queda mucho de acerca de la noción resultante de forma lógica, dado que la equivalencia [ó ‘ca de dos expresiones no descansa sobre ninguna semejanza interesante entre sus formas. Con respecto a los árboles de análisis, lo importante que debemos notar es que éstos determinan una traducción única. Un árbol tiene expresiones bási cas en sus hojas, y en cada nodo tiene una única expresión derivada y una indicación de la regla sintáctica que se utilizó para formarla. Las expresiones básicas tienen una traducción única, que se da en la regla de traducción T I. Igualmente, cada expresión derivada tiene una única traducción, que está de terminada por la regla de traducción que le corresponde a la regla sintáctica. Dado que las expresiones lógicas no son ambiguas, se sigue que un árbol de análisis determina un significado único. Observábamos anteriormente que, al igual que con las traducciones, debemos tomar una clase de equivalencia de árboles de análisis y no un sólo árbol com o la representación del significado de una expresión. La relación de equivalencia relevante es la de generar una ex presión lógica equivalente como traducción. Aquí también observamos que no hay identidad formal entre los miembros de una misma forma lógica, aunque es de esperar que las similitudes formales sean mayores que en el caso de las expresiones lógicas. Así pues, concluimos que tenemos dos candidatas para servir de formas lógicas. ¿Hay alguna razón para elegir una en lugar de la otra? En efecto, la composicionalidad nos proporciona una respuesta. Se puede observar que es el principio de composicionalidad del significado el que determina que nuestra gramática debe contener el nivel de representación de los árboles de análisis. La razón es que la composicionalidad establece que el significado de una expresión está determinado por, o más bien es una función del, significado de sus partes. El significado, debemos resaltarlo una vez más, son los objetos semánticos en el modelo, es decir, los individuos, las propiedades, proposiciones, propiedades de segundo orden y demás que asociamos con las expresiones. Las expresiones
lógicas sirven para representarlos, pero no debemos confundirlas con ellog punto es que esta descripción de la composicionalidad se refiere a la nrJ^B informal de las ‘partes’ de una expresión. De alguna manera, el punto p r¡n . / J para hacer sintaxis, o más bien una sintaxis semánticamente significativa explicar esta noción. Un simple ejemplo de una expresión ambigua es snfi^ - » para mostrar que las partes no se pueden identificar con los elementos lé x iH a partir de los cuales se construye una expresión. El ejemplo (214) tiene a J significados distintos, ambos expresados por el mismo conjunto de expresión i básicas. Y, com o lo observamos en §6.2., los componentes de una expresión! tam poco son los objetos semánticos relevantes, dado que una expresión puede ser ambigua sin tener dos estructuras componentes distintas. Pero la c o m p o s i. 1 cionalidad requiere simplemente que haya ‘partes’ distintas siempre que no ha ya ambigüedad léxica, y si ninguna de las nociones conocidas son suficientes, las partes deben ‘inventarse’ . En el marco del modelo P T Q esto ha conllevado a la noción de derivaciones codificadas en árboles de análisis y a la introducción de reglas de cuantificación, entre otros. Hay otras opciones disponibles, y se han desarrollado otras técnicas, pero lo importante a observar aquí es que la compo sicionalidad demanda un nivel de representación sin ambigüedad en la sintaxis. 1 Esto crea la necesidad del nivel de los árboles de análisis (o alguna cosa p a recida) , pero también muestra el carácter opcional del nivel de las expresiones lógicas. Esto se debe a que si los árboles de análisis determinan el significado, las traducciones no pueden añadirles nada: ellos deben ser superfluos; y en efecto lo son. Dado que un árbol de análisis determina una traducción única y que las expresiones lógicas no son ambiguas, siempre es posible eludir el nivel de traducción e interpretar los árboles de análisis directamente. Simplemente podemos asignarle directamente a las expresiones básicas los objetos semánti cos que son las interpretaciones de las traducciones de esas expresiones y, en lugar de reglas de traducción, podemos utilizar las operaciones semánticas que les corresponden para operar sobre objetos semánticos. Este es el método utilizado por Montague en “English as a Formal Language” (1970a). Así pues, concluimos que si debemos ponerle la etiqueta del nivel de forma lógica a uno de los tres niveles de representación en el modelo P T Q , la elección más razonable es la de los árboles de análisis. Ellos determinan el significado de manera única y son elementos necesarios de la gramática, de acuerdo con el principio de composicionalidad. Volvamos ahora a la segunda pregunta, que trata sobre el estatus de la composicionalidad. ¿Debemos considerarla una hipótesis empírica, o es más bien un principio m etodológico? Las consideraciones anteriores sugieren una respuesta. Hemos observado que el principio de composicionalidad requiere
un nivel sin ambigüedad en la sintaxis. Cuando se traía pa ra gUajes artificiales, simplemente configuramos la sintaxis de tal manera de reqUerimiento se cumpla. Por ejemplo, las expresiones de los lenguajes Que ajenen su historia derivacional codificada en su estructura, a través del jB P "T paréntesis o de dispositivos similares: a cada expresión le corresponde árbol de análisis único y, por lo tanto, puede interpretarse completamente Ul'inanera composicional. Para un lenguaje natural las cosas son distintas. Por * * tenemos una noción de estructura sintáctica (de los componentes), la cual puede asumirse que está motivada independientemente de conside raciones semánticas. Por otro lado, nos enfrentamos a la tarea de explicar la noción de ‘parte de’, de la cual habla la composicionalidad. Supongamos que nos encontramos con expresiones ambiguas que no son ‘ambiguas estructuralmente’, es decir, que no pueden dividirse en componentes de dos maneras distintas. Ante esta situación podemos proceder de dos maneras: o bien se pue de admitir un nivel de representación sintáctica distinto a la estructura de los componentes, y de esta manera cumplir con la composicionalidad; o se puede estipular que los componentes son las ‘partes’ relevantes y que, por lo tanto, el significado del lenguaje natural no puede describirse composicionalmente. F ,a r e p r e s e n t a c ió n
El punto importante que debemos observar es que la primera alternativa siempre está abierta para nosotros, a menos que decidamos por adelantado lo que puede y lo que no puede hacer parte de nuestra sintaxis. Si comenzamos con la suposición de que nuestra sintaxis debe representar la estructura de los componentes y sólo la estructura de los componentes; entonces podemos, en efecto, decir que la hipótesis de que la semántica de un lenguaje natural como el español es composicional se puede ‘falsear’ por los hechos. Pero podemos observar que esta suposición inicial no es un hecho empírico, sino más bien una decisión metodológica. Así pues, parece razonable concluir que cualquiera que sea el enfoque que tomemos, la composicionalidad es un asunto metodológico: nosotros decidimos describir la semántica de nuestro lenguaje de manera com posicional, o decidimos que no; pero en ambos casos lo que está en discusión es, más bien, un asunto metodológico que de hechos.
6.6.
Observaciones finales
Las secciones anteriores se dedicaron a la introducción en profundidad de las peculiaridades de un modelo en particular de Gramática Lógica, el modelo PTQ de Montague. Las razones para escoger este modelo en lugar de otro se expusieron en §6.1. Una vez dominado el modelo PTQ, el lector encontrará que
es una tarea relativamente sencilla conocer otros modelos y enfoques que com parten sus principales suposiciones de fondo. Véase, por ejemplo, Bartsch y Vennemann (1972); Bartsch (1976b); Cresswell (1973, 1985); y Lewis (1972) También debe ser posible para el lector encontrar su camino a través de la enorme cantidad de literatura teórica, u orientada empíricamente, presentada en los artículos originales de Montague. Es virtualmente imposible dar aquí un sondeo del trabajo realizado en esta área y debemos limitarnos a señalar unas pocas contribuciones y colecciones individuales importantes. Comencemos por mencionar algunos otros textos introductorios y exegéticos. Dowty et al. (1981) proveen una extensiva introducción al modelo p t q en inglés; Link (1979) y Lóbner (1976) proveen una introducción en alemán. Partee (1975) presenta un artículo extenso que introduce el modelo p t q para los lingüistas generativos. La introducción a los trabajos de Montague, com pilados en Montague (1974), se concentra más en los aspectos filosóficos y lógicos de sus estudios. Halvorsen y Ladusaw (1979) desmenuzan y explican la teoría semiótica general de Montague, formulada en su “Universal Grammar” (1970a). Un estudio exhaustivo, orientado matemáticamente, del contenido y el pa pel del principio de composicionalidad, al cual esta introducción le debe mucho, puede encontrarse en Janssen (1986). Este documento también contiene va rias contribuciones a temas empíricos (cláusulas relativas, tiempos verbales y aspecto), y una aplicación de varias de las técnicas de Montague a problemas de la semántica de los lenguajes de programación. Un estudio más orientado empíricamente sobre la composicionalidad se halla en Partee (1984). La com posicionalidad fue descrita anteriormente como el punto divisorio entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógica; pero estas empresas también pueden contribuir una a la otra. Varios autores se han preocupado por este tema; véase Partee (1973, 1979a); Cooper y Parsons (1976); Bach (1979b), y McCloskey (1979). Una semántica modelo teórica al estilo de Montague tam bién se emplea en otros modelos de gramática, notablemente en la gramática generalizada de las estructuras de frase: ver Klein y Sag (1985), y Gazdar et al. (1985). Uno de los principales defectos de la Gramática de Montague desde el punto de vista de la Gramática Generativa es la introducción en la sintaxis del nivel de los árboles de análisis. Cooper ha desarrollado un mecanismo de cuantificación alternativo al del modelo PTQ que, aunque depende ampliamen te de la disponibilidad de los árboles de análisis como una herramienta teórica, continúa siendo composicional. Véase Cooper (1984) para un análisis comple tamente desarrollado de su mecanismo de ‘almacenamiento’ . Una aplicación de estas ideas se puede encontrar en Partee y Bach (Mathematical Centre).
00
enfoque distinto al problema de representar ambigüedades de alcance, que
una cierta relajación del requerimiento de composicionalidad, es el (1988). El problema de la posibilidad de una ‘gramática monoestrato’, es decir, una gramática con sólo un nivel de representación, se encuentra e n el c e n t r o de varios desarrollos, por ejemplo, el de la gramática generalizada je estructura de frase (véase arriba). Véase también Hausser (1984). La aná fora se ha estudiado intensivamente tanto en la Gramática Generativa como en la Gramática Lógica. El análisis que el modelo PTQ ofrece, aunque es adecuado también para una clase de casos más grandes, requiere extensión y refinamien to. Tratamientos tempranos representativos son ofrecidos por Bartsch (1979); Cooper (1979); Partee (1979b), y Hausser (1979). Dos números especiales de Linguistics and Philosophy, 6 (1 ): (1983) y 7(3):(1984), contienen varias con tribuciones interesantes: la de Landman y Moerdijk merece mención especial en este contexto. Los problemas concernientes a la anáfora y los términos indefini dos generaron una teoría completamente nueva a comienzos de los años ochen ta: la Teoría de Representación de Discursos, la cual discutiremos en cierto detalle en §7.4. Las referencias a la literatura en esta área las daremos allí. Mencionemos brevemente algunas contribuciones en otros asuntos empíri cos particulares. El trabajo de Dowty sobre el análisis del aspecto de varios verbos y de los tiempos verbales se puede encontrar en Dowty (1979). Véase también Bennett (1977) y Verkuyl (1989). Kamp (1980) tiene un interés simi lar a este. Los verbos de control se tratan en Bach (1979a) y en Klein y Sag (1985). Los adjetivos y los adverbios se analizan en Bartsch (1976a); Cresswell (1976, 1979); Kamp (1975), y Klein (1980). Véase también Stalnaker y Thomason (1973). La pluralidad también es un asunto que ha sido objeto de varios estudios, véase especialmente Scha (1981); Verkuyl (1981); Link (1983), y Landman (1988). Otro tópico es el de la negación, para el que se pueden consultar Jacobs (1982) y Verkuyl (1987). Un análisis de los genéricos se presenta en Carlson (1977, 1982). Las preguntas se estudian en Hamblin (1973); Karttunen (1977); Hausser y Zaefferer (1979); Belnap (1982); Groenendijk y Stokhof (1982, 1984, 1988b); Hausser (1983); Engdahl (1985). La semántica de las construcciones nominalizadas ha llevado a propuestas intere santes sobre la clase de teoría semántica que mejor se acomoda al lenguaje natural; sobre este tema véase Turner (1983); Chierchia (1982, 1984), y Chierchia y Turner (1988). La lista anterior está lejos de ser completa. El lector puede dar un vistazo a muchos otros temas tratados en la tradición de Montague mirando entre colecciones como Davidson y Harman (1972); Keenan (1975); Partee (1976); Guenthner y Rohrer (1978); Guenthner y Schmidt (1979); Davis y Mithun e q u ie r e
¿e
H e n d r ik s
(1979); Rohrer (1980); Groenendijk et al. (1981, 1984); Báuerle et al. (I97g\. Báuerle et al. (1983); Landman y Feltman (1984); Groenendijk et al. (1987a bV 1 Klein y van Benthem (1988), y Groenendijk et al. (1988). Además de la Teoría de Representación de Discursos, en el capítulo 7 troduciremos otros dos desarrollos importantes en la semántica modelo teórica del lenguaje natural. Ellos son la Teoría de los Cuantificadores Generalizados y la Gramática Categorial flexible. Las referencias a la literatura relevante se 1 darán allí.
Capítulo 7
Desarrollos recientes
7.1.
Introducción
Este capítulo introducirá tres temas que actualmente están en el centro de in terés del campo de la semántica lógica. Los tres se desarrollan dentro del marco de la Gramática de Montague, com o se describió en el capítulo 6. aunque se desvían del camino trazado por ella en aspectos fundamentales. Estos tres temas son la Teoría de Cuantificadores Generalizados, la Gramática Categorial Flexible y la Teoría de Representación de Discursos. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados puede ser vista como un desarrollo del análisis de Montague en el modelo PTQ sobre las expresiones cuantificadas, utilizando las herramientas de la Teoría de Modelos Abstrac ta. Sus objetivos son parcialmente descriptivos y su naturaleza, parcialmente teórica. El trabajo descriptivo involucra una variedad de tópicos, tales como la estructura semántica interna de los términos, la distribución de los ítems de polaridad negativa, la inserción (allí) hay y la reducción de la conjunción. La investigación más teórica se centra en las restricciones de los posibles signi ficados de los términos del lenguaje natural, en el poder expresivo de los lenguajes naturales con respecto a los significados posibles y en los universales semánticos, entre otros. Las referencias clave son Barwise y Cooper (1981); van
Benthem (1983, 1984b, 1987); Keenan y Moss (1984); Keenan y Stavi (1986) y Keenan (1987).
El marco de la Gramática Categorial se ha desarrollado en los años recien- 1 tes y se ha convertido en una herramienta flexible y adecuada para capturar varias generalizaciones de la sintaxis y la semántica del lenguaje natural. La, diferencia principal con el modelo PTQ de Montague reside en que la relación entre expresiones y categorías se hace más flexible; es decir, ya no se asume que una expresión (no ambigua) pertenece sólo a una categoría y se postulan varias reglas para permitir cambiar la categoría que el léxico le asigna inicial mente a una expresión, por un conjunto bien definido de otras categorías. De esta manera, varios fenómenos con los que la gramática categorial en su forma original no podía tratar, por ejemplo, los componentes discontinuos ahora pueden describirse adecuadamente. Más aún, el componente con el que se cam bia de categoría nos permite simplificar un poco la complejidad de la asignación de categorías y tipos del modelo PTQ de Montague. Además, el lazo estricta mente funcional entre las categorías sintácticas y los tipos semánticos se ha aflojado un poco. Trabajos importantes en este campo se pueden encontrar en Partee y Rooth (1983); Zwarts (1986); van Benthem (1986), y Moortgat (1988). Por su parte, la Teoría de Representación de Discursos es, de alguna ma nera, la más antagónica al marco de la Gramática de Montague. Uno de los motivos para su desarrollo fue encontrar alternativas para varios aspectos cen trales de la Gramática de Montague y uno de sus objetivos es trascender la restricción que esta última tiene de trabajar sólo con oraciones extendiendo el análisis a discursos o textos. La Teoría de Representación de Discursos fue desarrollada por Hans Kamp (1981) e Irene Heim (1982, 1983), pero se han propuesto ideas similares en marcos bastante diversos (véase, por ejemplo, Karttunen (1976); Seuren (1985)). Esta teoría tiene aspectos tanto descrip tivos, com o teóricos: en el lado descriptivo encontramos tópicos tales como la distinción entre términos referenciales y no referenciales, particularmente en conexión con la anáfora (por ejemplo las notorias oraciones burro); más aún, la teoría se ha probado con respecto al tratamiento de tiempos y aspectos verbales (por ejemplo, Partee (1984) y Kamp y Rohrer (1983)) y de actitudes proposicionales (Asher (1986) y Zeevat (1987)). La ambición más teórica es la posible síntesis de dos enfoques con respecto al significado: la concepción veritativo condicional y modelo teórica y el punto de vista procedimental y representacional. Otro objetivo importante ya ha sido mencionado: la extensión del dominio de las teorías semánticas de oraciones a textos (‘discursos’).
72.
La Teoría de los Cuantificadores Generalizados
72-1-
Objetivos principales
Un aspecto importante de una teoría semántica como la Gramática de Montague es la asociación de cierto tipo de objetos semánticos (valores de verdad, propiedades, etc.). En general, no se imponen mayores restricciones sobre la asociación que las que se requieran para explicar nuestras intuiciones acerca
de las relaciones semánticas, tales como la implicación. Cuando sea nece sario, las restricciones se formulan por medio de postulados de significado, las
cuales, en su mayoría, se aplican a expresiones individuales o a clases res tringidas de expresiones. Su función es aislar algunos elementos dentro de la totalidad de objetos semánticos de cierto tipo para considerarlos como los po
sibles significados para una (clase de) expresión (es). Pero, excepto por esta clase de restricciones, la Gramática de Montague se preocupa por una clase
completa de objetos semánticos de un tipo. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados trata sobre los objetos semánticos que son la interpretación de los términos: conjuntos de propieda des. Dentro de esta teoría, un punto de interés principal es la estructura de dichos objetos semánticos: ¿qué propiedades formales tienen, cuáles subclases naturales se pueden distinguir y cuáles de esas se puede considerar que de hecho representan significados de los términos del lenguaje natural? La investigación de tales tópicos va más allá de la mera formulación de una relación entre una categoría sintáctica y un tipo semántico. Presentaremos a continuación algunos ejemplos. Una de las primeras líneas de investigación trata de lograr una clasificación de los cuantificadores generalizados en términos de sus propiedades formales, intentando dar una explicación de varios fenómenos lingüísticos. Un ejemplo sencillo de esto es la inserción (allí) hay. Algunos términos pueden ocurrir en el contexto (1): (1)
Hay . . . en el jardín
Otros no, com o lo muestra la diferencia entre (2a) y (2b): (2)
a. Hay alguien en el jardín No hay nadie en el jardín Hay dos unicornios en el jardín
b. *Hay todo el mundo en el jardín1 *Hay Juan en el jardín *Hay los dos unicornios en el jardín La pregunta que surge es la siguiente: ¿hay propiedades del significado d I términos que permitan distinguir entre los términos que pueden ocurrj^B el contexto de (1) de aquellos que no? ¿Acaso esas propiedades pueden exnlijH junto con un análisis semántico de la frase (allí) hay . . . , por qué esos térn| nos encajan o no? Para ejemplos de respuestas a dichas preguntas véase 9 ejemplo, Barwise y Cooper (1981); Zwarts (1981), y de Jong y Verkuyl (19»4\ I Otro ejemplo de investigación en esta dirección trata sobre la distribu c^M de las expresiones con ‘polaridad negativa’ . Compárense (3) y (4): (3)
Este niño no come en absoluto *Este niño come en absoluto
(4)
Nadie vio nada * Alguien vio nada
Tradicionalmente, la posibilidad de ocurrencia de expresiones con polaridad negativa, tales com o en absoluto y nadie, ha sido conectada con la ocurrencia de un elemento negativo en la oración (de aquí su nombre): la negación nadie en (3), versus alguien en (4). La explicación tradicional, sin embargo, es proble mática para la interpretación de oraciones tales com o (5) y (6): (5)
No salió nadie
(6)
*Nadie salió
El postulado de un elemento negativo abstracto en la estructura sintáctica profunda, que será fusionado con el elemento sobre el que opera en un estado posterior de derivación, no es una solución muy atractiva. Una explicación en términos de las propiedades semánticas de este tipo de expresiones (nadie versus alguien, más de n versus menos de n) parece preferible.2 1N. de T .: siguiendo la práctica lingüística usual, una oración que se considere mal formada en español irá precedida por el símbolo Si la oración no es claramente mal formada, pero tampoco es claramente bien formada, irá precedida del símbolo *?’. 2N. de T .: el tema se discute a profundidad en Zwarts (1981, 1986). Para una discusión de estos elementos en el idioma español, consúltese Bosque (1980).
f último ejemplo trata del fenómeno de la reducción de la conjunción (el * ce adopta de la gramática transformacional): compare (7) y (8): 0oi»bre bt ^ (g)
j uan
juega y Juan canta
Juan
juega y canta
dos oraciones son equivalentes. La tradición transformacional sostuvo en ' tiempo que (8) se deriva de (7), por medio de la transformación conocida ‘reducción de la conjunción’. Pero compare (9) y (10): ( 9)
Nadie juega y nadie canta
(10) Nadie juega y canta Las dos oraciones no son equivalentes: (9) implica (10), pero no al contrario, y la transformación propuesta no debería ser aplicable en este caso (asumien do que las transformaciones deben preservar el significado). Este problema es difícil de enfrentar para una perspectiva transformacional tradicional. Por otro lado, si renunciamos a la suposición de que la identidad del significado debe explicarse en términos de la identidad de la estructura sintáctica (profunda), la situación cambia. Si tenemos una semántica explícita, com o la de la Gramática de Montague, que nos permite dar cuenta de las relaciones semánticas, como la sinonimia y la implicación en términos de relaciones entre objetos semánticos (modelo teóricos), y no de relaciones entre estructuras sintácticas, la pregunta tiene que reformularse así: ¿qué propiedades de los tipos de los objetos semánti cos asociados a los términos garantiza tales relaciones de sinonimia? Debe ser claro a partir de esta corta exposición que incluso los resultados con una mayor orientación empírica siempre tendrán implicaciones teóricas o metodológicas. Discutiremos esto más adelante. Una segunda rama de investigación dentro de la Teoría de los Cuantificadores Generalizados consiste en la búsqueda de universales, es decir, la for mulación de regularidades universales significativas que gobiernen los objetos semánticos que son el significado de los términos. De manera característica, la lingüística “chomskyana” busca los principios gramaticales que aíslan la sub clase de todos los lenguajes humanos posibles de la clase de todos los lenguajes Posibles. Tales principios gramaticales formarían una gramática universal (paece obvio asociar tal gramática con principios universales del pensamiento humano. Esto es lo que Chomsky hizo al apelar a la tradición racionalista), m embargo, Montague procedió desde un punto de partida distinto, con un
objetivo diferente: él quería un marco uniforme y matemáticamente que contuviera tanto a los lenguajes naturales, com o a los lenguajes f0 Esta era su concepción de una ‘gramática universal’ (véase Montague cap. 4)).
■
^4,
La Teoría de los Cuantificadores Generalizados busca explorar los int J de la tradición “chomskyana” dentro del marco de la semántica modelo te ó rH el dominio semántico de los términos, el conjunto de todos los conjuntos de n 9 piedades de individuos, es extremadamente ‘grande’ . A priori, la suposición d que todos esos significados potenciales son adecuados, es decir, que en efecto expresan significados de términos del lenguaje natural, no parece plausibl • por lo tanto, debemos formular restricciones universalmente válidas. Las invesl tigaciones sobre las propiedades universales de los significados de los términos | del lenguaje natural han sido desarrolladas mayoritariamente por Barwise y Cooper (1981). Algunos ejemplos de este tipo de universales semánticos se discutirán en §7.2.4. Un tercer tópico en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la búsqueda de restricciones, es decir, propiedades formales que definen ciertas clases de determinantes que tienen cierto interés particular debido a razones independientes. Este tipo de investigación está estrechamente relacionada con la anterior. Por ejemplo, van Benthem (1983) hace la pregunta sobre cuáles propiedades caracterizan la clase de determinantes lógicos (todos, algunos, ninguno, no todos, es decir, el cuadro aristotélico tradicional). Ciertamente, esta clase es interesante no sólo desde una perspectiva lógica, sino también desde el punto de vista de la semántica del lenguaje natural. La pregunta también puede hacerse de la manera contraria: dada una cierta restricción (o conjunto de restricciones) global, ¿cuál es la clase de expresiones del lenguaje natural que la(s) cumplen? Algunos resultados en este campo se discutirán en §§7.2.5. y 7.2.6. Otro tópico de investigación, que también se conecta con los mencionados anteriormente, es el del poder expresivo de los lenguajes naturales. Esta inves tigación busca restricciones que puedan reducir todos los objetos semánticos potenciales a un número expresable. La estrategia que más comúnmente se sigue asume restricciones intuitivamente plausibles y luego intenta demostrar que todos los significados en dichas clases restringidas pueden expresarse en el lenguaje natural. Cuanto más independiente es la motivación de las restriccio nes, más soportan los resultados de la estrategia el principio de expresibilidad de los lenguajes naturales (y, si uno lo desea, del pensamiento humano). La investigación en esta área no se discutirá aquí (véase Keenan y Moss (1984))-
«o2 7
¿
i
SN
como cuantificadores generalizados en la Gramática
L de Montague
fc sección repetiremos brevemente las carnet eríst icas más importantes del ©*eS a. qUe Montague da a los términos y desarrollaremos sus aplicaciotrftta la T e o r ía de los Cuantificadores Generalizados. Para asegurarnos de que DeS T a exp osición concuerda con la literatura sobre este tema, adoptaremos nUtermin°l°6 ia lingüística común de ahora en adelante. Así, 5W denota los sin18 as n o m in a le s, es decir expresiones com o nombres propios, descripciones y términos cuantificados. La abreviatura SN corresponde a la T de términos de Montague. Por su parte, S V denota los sintagmas verbales, tanto los V I como los VT y N denota todos los sustantivos, llamados N C en la Gramática de Montague. D E T se utiliza para referirse a la categoría de los determinantes, es d ecir, lo s artículos y las expresiones tales com o todo, algún. Además, utiliza remos E en lugar de D para referirnos al dominio y reservaremos la expresión D para la interpretación de los determinantes. El análisis de Montague de los SN, como fue descrito en el capítulo 6, depende de dos principios: uniformidad y composicionalidad. El efecto de uni formidad es doble. Primero, las expresiones que exhiben un comportamiento sintáctico similar, es decir, que obedecen las mismas leyes de distribución siempre que ellas sean determinadas sintácticamente, se consideran com o per tenecientes a la misma categoría sintáctica. Por esta razón, tanto nombres propios y descripciones, por un lado, com o SN cuantificados, por el otro, se cla sifican como SN, a pesar de que su comportamiento semántico sea diferente. Segundo, una categoría sintáctica corresponde a un tipo semántico, es decir, todas las expresiones de una categoría tienen la misma suerte de significado (recordemos que la gramática categorial fue concebida originalmente como un sistema de categorías semánticas). Esto significa en el caso de los SN, que el análisis de los SN cuantificados com o conjuntos de propiedades se extendió a los nombres propios. La composicionalidad implica que un SN tiene un significado indepen diente, son unidades sintácticas independientes y su significado son los bloques de construcción para los significados de unidades más grandes. La composicionalidad conlleva ‘naturalmente’ a un análisis semántico de los SN como cuantificadores generalizados y, por lo tanto, com o coniuntos de propiedades (véase §§4.4.3. y 6.3.4.). Podemos explicar esto último brevemente de la siguiente manera: conside remos la oración (lia ), su estructura sintáctica (11b), y su traducción (11c) en lógica de predicados:
(11)
a. Todo hombre camina b. o [sjv [todo hombre] s v [camina]]
l
c. Vx ( h o m b r e ( x ) —+ c a m i n a r ( x ))
I
El significado asignado a la expresión todo hombre en (11c,) no es indenpr^ j compare (12): (12)
a. Todo hombre duerme b. Vx ( h o m b r e ( x ) —> d u e r m e (x ))
En la comparación de los significados de ( l i a ) y (12a) se puede apreciar hay algo que es intuitivamente diferente en las dos oraciones (a saber, caminar 1 dormir) y algo que es igual (a saber, todo hombre lo hace). El procedimiento ahora es cambiar por una variable aquello que es diferente en ambos casos y 1 abstraer sobre dicha variable, reteniendo de esta manera el factor de signifi cado constante. Con la semántica intensional del modelo P T Q , obtenemos la siguiente representación: (13)
A X V x (h o m b re (x ) —>v X( x) ) , donde X es de tipo (s, (e, t)).
A pesar del análisis del modelo P T Q que discutimos en el capítulo 6, que es fuertemente intensional, la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es extensional. Primero, utiliza sólo modelos extensionales M = (E , []), donde E es el conjunto de individuos y [] es una función de interpretación que asigna interpretaciones extensionales a las expresiones (es decir, que asigna a una expresión aquello que es la extensión de dicha expresión en la lógica intensional de p t q ) . Segundo, las extensiones son extensionales: individuos en lugar de conceptos individuales, conjuntos de individuos en lugar de propiedades, etc. En otras palabras, (14), y no (13), es la representación del significado asignado por la Teoría de los Cuantificadores Generalizados al SN todo hombre: (14)
A X V x (h o m b re (x ) —►X( x) ) , donde X es de tipo (e, t)
Sin embargo, es común escribir esos significados directamente en el metalenguaje, utilizando alguna notación de la Teoría de Conjuntos, sin un lenguaje lógico intermediario. Es decir, obtenemos representaciones tales com o (15): (15)
[todo hombre] = { X C E \[hombre]
C
La restricción a modelos extensionales parece más severa de lo que realmente es. En efecto, no hay muchos SN o determinantes intensionales.
^
Determinantes: dos perspectivas
de la Teoría de los Cuantificadores Generalizados podemos distinguir peotr° " e c t iv a s diferentes con respecto a los determinantes: una perspectiva dos Pe ^y una funcional. La segunda está estrechamente relacionada con el ftl0**0 lingüístico tradicional de las oraciones, en el que las oraciones están ^■LT^stas de Un sujeto y un predicado, o en otras palabras, de un S N y un SV. ^ ¡dgremos la siguiente oración sencilla (16a) y su estructura constituyente (1 6 b ):
(16)
a. Todo hombre duerme b. o[sN[DET[todo] 7v[hombre]]
[dormir]]
determinante todo se combina con el sustantivo hombre para formar el SN todo hombre. En términos de la sintaxis categorial, un determinante es de categoría SN/N. Semánticamente, esto implica que ella se interpreta como una función: aquella que le asigna la interpretación de un SN, un conjunto de conjuntos de individuos, a la interpretación de un N , un conjunto de indivi duos. Esta perspectiva funcional se refleja en el marco de la Gramática de Montague en el análisis de los SN (compárese §6.3.2. y la representación de todo hombre, (13), en §7.2.2.). Una manera distinta de ver los determinantes es considerarlos com o rela ciones. Según esta perspectiva, todo en (16a) es una expresión que relaciona un N con un S V para formar una O. Tanto hombre com o dormir se interpre tan como conjuntos de individuos y todo se considera com o una relación entre conjuntos, a saber, la relación que se obtiene entre dos conjuntos X e Y sii X C Y . Considerada de esta manera, la oración (16a) afirma que el conjunto de los hombres es un subconjunto del conjunto de los individuos dormidos. A primera vista, las dos perspectivas parecen ser muy distintas. Pero si con sideramos de nuevo la representación de los significados de los SN en el marco de la Teoría de Tipos, y en particular al tipo de esta representación, vemos que ambas perspectivas vienen a ser lo mismo. El tipo de un determinante en la perspectiva funcional es ({e ,t), ((e. t), t)). El dominio semántico correspon diente está formado por el conjunto de funciones que vincula (las funciones características de) los conjuntos de individuos con (las funciones característi cas de) conjuntos de conjuntos de individuos. En general, se tiene que una función que vincula objetos de un tipo a con un conjunto de objetos de ti po b puede identificarse con una relación entre objetos de tipo a y objetos El
correspondiente R f C E a x E\¡ se define de la siguiente manera:
en {0, l } Ea tal que para todo dae E a, ( f R(db))(d a) = l sii (da,db) e R. De ta manera, las ‘ funciones determinantes’ corresponden de manera única a |J ‘relaciones determinantes’ entre conjuntos de individuos.
los SN. La perspectiva funcional provee el marco para la descripción actual
com o en la Gramática de Montague. La perspectiva relacional es a menuda! más comprensible para un análisis de los determinantes como tal. En adelante discutiremos ambas perspectivas, comenzando con la funcional y dejando la perspectiva relacional para después. Una observación final concierne un posible malentendido. En §4.4.3., ob servábamos que los determinantes com o la mayoría y más de la mitad son esencialmente relaciónales, a diferencia de, por ejemplo, todo y algún. En vista de lo que hemos dicho anteriormente, esto podría llevar a un malentendido, dado que acabamos de establecer que las perspectivas relacional y funcional son intercambiables, es decir, vienen a ser lo mismo. El punto es que algunos determinantes, tales como los determinantes ‘lógi cos’ todo y algún, nos dan razones para un tercer análisis alternativo: podemos considerarlos com o predicados de segundo orden, es decir, com o expresiones de tipo ((e , t ) , t ). Por ejemplo, todo afirma acerca de una propiedad (compleja) que todo objeto en el dominio tiene dicha propiedad. Esto se define extensionalmente de la siguiente manera: (17)
[todo] = { E }
Lo mismo ocurre con algún, que afirma acerca de una propiedad que no es vacía: (18)
[algún] = { X \X C E & X ¿ Q)}
(19) Alguna mujer pasea
to es e s e n c i a l tener una manera de representar predicados complejos, P&ríi ser una mujer que pasea (por ejemplo, por medio de A-abstracción). 1.^ qO*** HSf sin embargo, que un determinante como la mayoría no permite ser gs claro, como un predicado de segundo orden; no podemos definir su inter30 t ción sin hacer referencia por separado a la interpretación del sustantivo, f o r a c ió n (19) puede parafrasearse com o (20): * El conjunto de las mujeres que pasean es no vacío / contiene a alguien (es decir, es un elemento de (18)) pero una paráfrasis similar de (21) no tiene sentido, como lo muestra (22): (21) La mayoría de hombres duerme (22) El conjunto de los hombres que duermen contiene la mayoría de las cosas Otras reducciones posibles también resultan igualmente inadecuadas. En otras palabras, la interpretación de la mayoría se refiere, esencialmente, tanto al conjunto que es la interpretación del SV, como al conjunto que es la interpre tación del sustantivo: ella expresa una relación entre los dos. En este sentido, la mayoría es un determinante esencialmente relacional. Sin embargo, se puede observar que en este último sentido del término ‘relacional’ , tanto la perspecti va relacional com o la perspectiva funcional que se describieron anteriormente presentan una interpretación ‘relacional’ de los determinantes.
7.2.4.
7.2.4.1.
Algunas propiedades fundamentales de los SN y de los cuantificadores Terminología, ejemplos e interpretación indefinida
Es importante hacer una distinción sistemática entre los SN y sus interpreta ciones. Un SN es un objeto lingüístico y sintáctico, una expresión del lenguaje natural. Por su parte, un cuantificador es un objeto semántico, un conjunto de conjuntos. Los modelos M son parejas ordenadas (E, |]), donde E es un conjunto de individuos, el dominio del modelo, y |] es una función de inter pretación que asigna interpretaciones a las expresiones del lenguaje natural. A diferencia del método utilizado en la Gramática de Montague, la Teoría de los Cuantificadores Generalizados no utiliza un nivel de traducción inter medio en un lenguaje lógico interpretado (como I L en PTQ; pero Montague
SN__________________ Interpretación Todo N { * X C E & [N] n i = 1NJ} Un N {* X C £ & [ N ] n I ^ 0 } No todo N lC £ & [N ]n J ^ [N ]} Ningún N X C E & ¡N] n X = 0} X C E 8¿ [N] n X = X } Sólo N Exactamente 2 N { * X C E & ¡N ¡ n X = 2} A lo sumo 2 N { * X C E 8¿ [N] f l l < 2 } X C E & |N] n i > 2 } Por lo menos 2 N Cuadro 7.1. Interpretación de SN
también usó la interpretación directa; véase “English as a Formal Langua ge” en Montague (1974)). Las interpretaciones se escriben directamente en el metalenguaje, el cual es español enriquecido con la notación de la teoría de conjuntos y de la lógica. A manera de ejemplo, daremos las interpretaciones de algunos SN en el cua dro 7.1, utilizando ca rd (X ) para referirnos a la cardinalidad de X . Obsérvese que la interpretación de un SN depende del modelo: en las interpretaciones del dominio de M , E ocurre com o un parámetro. En otras palabras, cuál es la in terpretación en particular del cuantificador depende del modelo. Por supuesto, estamos interesados principalmente en las propiedades de las interpretaciones de los STVsin importar el modelo (en adelante omitiremos X C E siempre que no haya lugar a confusión). Antes de discutir algunos ejemplos de dichas propiedades, debemos consi derar brevemente cuál tratamiento debemos darle a los SN ‘presuposicionales’, tales com o las descripciones definidas. La interpretación de el rey de Francia es el conjunto de conjuntos tales que el rey de Francia pertenece a X , si es que hay un único rey de Francia. Pero si dicho individuo no existe, ¿cuál será la interpretación? En principio, hay varias opciones entre las que podemos escoger y nuestra selección dependerá, entre otras cosas, de lo que conside remos que sea el estatus de oraciones en las cuales ocurran expresiones pre suposicionales, en el caso en que las presuposiciones no sean satisfechas. Si pensamos que (23) es falsa bajo las circunstancias presentes, podemos escoger (24) com o la interpretación de el rey de Francia: (23) El rey de Francia es calvo (24)
[el rey de FranciaJ={A’ |card([[rey de Francia]) = l 8¿ [[rey de Francia]] C X )
por otro lado, si consideramos que (23) no tiene ningún valor de verdad, es mejor que al SN en cuestión sólo lo interpretemos en una subclase de modelos y que consideremos la condición card(|AT]) = 1 com o una condición necesaria para que la interpretación esté definida: (25)
[el rey de Francia] = { X | [rey de Francia] C X } ,
{
indefinido,
si card{\rey de Francia]) = 1;
en cualquier otro caso
En general, la gente que trabaja en la Teoría de los Cuantificadores Gene ralizados escoge la segunda opción, sin mucha discusión. Como consecuencia de ello, la función de interpretación |] es parcial: algunas oraciones no tienen valor de verdad y esto genera la pregunta (abierta) sobre la manera, si es que es posible, en que se le asigna un valor de verdad a las oraciones compuestas, en las cuales ocurre una oración sin valor de verdad (véase el volumen 1 §5.5. para una discusión general y algunas referencias bibliográficas sobre el tema). A pesar de los problemas sin resolver con respecto al enfoque de ‘la in terpretación indefinida’ , será este tipo de interpretación la que emplearemos, dado que, com o ya lo hemos dicho, es la que generalmente se usa en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados. Otros ejemplos de STVque obtienen sólo una interpretación condicional son (26) y (27):
(26) (los dos
[indefinido, en cualquier otro caso
(27) lalgún N ] - í ([X 1 I indefinido,
°£ 2 } '"* en cualquier otro caso
2 2;
Obsérvese que algún se interpreta como un determinante plural y no singular, en donde este último es la opción usual de los sistemas lógicos.
E je rcicio * 7.1. Elabore la interpretación de los siguientes SN: (i) Juan (ii) unos pocos N (iii) no todo N
(iv) ninguno de los dos N
(v) un número finito de N 7.2.4.2.
Monotonicidad
Una propiedad fundamental de los cuantificadores y de los SN que se trabaja en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la monotonicidad ascen dente. Consideremos los ejemplos (28) a (33) (usamos aquí J= para denotar implicación entre oraciones del lenguaje natural): (28) Todos los hombres caminaron rápidamente f= Todos los hombres caminaron (29) Todas las mujeres caminaron \= Todas las mujeres se movieron (30) Un hombre fumó un cigarro |= Un hombre fumó (31) Un niño estaba soñando J= Un niño estaba dormido (32) Am bos niños jugaban en la calle (= Ambos niños jugaban (33) Más de la mitad de las niñas viven en Hoorn (= Más de la mitad de las niñas vive en una ciudad Claramente, todas esas implicaciones son válidas, lo cual se debe al significado de los SN en cuestión. Aparentemente, todo N, un N, ambos N, y más de la mitad de los ./Vtienen algo en común en sus interpretaciones, lo que da cuenta de estas inferencias. Un SN se interpreta como un cuantificador, es decir, como un conjunto de conjuntos. Los conjuntos que forman cuantificadores pueden tomarse como interpretaciones (parciales) de predicados: una oración de la forma [SN SV] es verdadera sii [S V ]g[S N ]. Ahora bien, si consideramos los ejemplos (28) a (33), vemos que el predicado en la premisa está necesariamente subordinado al pre dicado en la conclusión: [caminó rápidamente]C [cam inó], [estaba soñando] C [estaba dormido], [viven en Hoorn] C [viven en un pueblo], etc., en cada M adecuado. Aparentemente, la interpretación de los S N en (28) a (33) es tal que siempre que un conjunto le pertenezca, todos los conjuntos ‘más grandes’ también le pertenecen. Ellos expresan lo que se llama los cuantificadores monótonos ascendentes (también conocidos com o ‘monótonamente creciente’). Sea Q un cuantificador en M , es decir, un conjunto de conjuntos de individuos en E m : entonces podemos definir esta propiedad de la siguiente manera:
pefin*c*on q s e dice monótono ascendente en M sii para todo X , Y C. E: s\ X % C Y , entonces Y € Q
6
Q
y
(Es claro que la interpretación está determinada por M . en tanto que la cuantificación es sobre subconjuntos de E ). Un SN se dice monótono ascendente si expresa un cuantificador monótono ascendente en todo modelo en que su interpretación esté definida: Definición
7.2.
Un SN es monótono ascendente sii para todo M : si |S./V] está definido en M , entonces [S7V]m es monótono ascendente en M Otra manera de describir ‘a es m onótono ascendente’ es ‘a es cerrado bajo extensiones’ . La definición 7.1. nos da un test para monotonicidad ascendente: Test 1 de monotonicidad ascendente Si iS V i] C [SV2], entonces S N SV\ f= S N SV2 Con este test es claro por qué el SN ni un solo muchacho, presentado en el ejemplo (34), no es monótono ascendente: (34) Ni un solo muchacho caminó rápidamente ^ Ni un solo muchacho caminó
E je rcicio * 7.2. (a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono ascendente? (i) por lo menos n N (ii) los n N (iii) pocos N (iv) n N (v) María (vi) la mitad de los N
(b) Sea P un predicado tal que para todo M : [P ] = E m - Muestre que si SN es m onótono ascendente y |S7V] ^ 0, entonces para todo M :[PJ _ [SWJ. Muestre también que esta propiedad no es una condición suficiente 1 para la monotonicidad ascendente. Una definición equivalente de monotonicidad ascendente es la siguiente: Definición 7.3. Q es m onótono ascendente en M sii para todo X , Y C E: si X fl Y £ Q entonces X £ Q y Y £ Q . Esta definición también da lugar a un test: Test 2 de monotonicidad ascendente S N SVi y SV 2 \= S N SVí y S N SV2 La interpretación de una conjunción de dos SV es la intersección de las in terpretaciones de los dos SV. Los siguientes dos ejemplos ilustran este último test: (35) Todas las muchachas estaban fumando y bebiendo (= Todas las muchachas estaban fumando y todas las muchachas estaban bebiendo (36) Ni un solo muchacho estaba cantando y bailando ^ Ni un solo muchacho estaba cantando y ni un solo muchacho estaba bailando El conjunto de los SN que son monótonos ascendentes es cerrado bajo conjun ción y disyunción. En otras palabras, la conjunción o disyunción de dos SN que son monótonos ascendentes es un SN monótono ascendente. Compárese: (37) Todos los muchachos y una muchacha caminaron rápidamente (= Todos los muchachos y una muchacha caminaron (38) Dos hombres o ambas mujeres estaban soñando f= Dos hombres o ambas mujeres estaban dormidas Semánticamente, la conjunción de dos SN es la intersección de sus interpre taciones: ISNx y 57V21 = {S N i] n ¡S N 2j Es fácil ver que la monotonicidad ascendente se preserva bajo la intersección. Sean Q i y Q 2 m onótono ascendentes. Asumamos que para X e Y : X £ Qi(~)Q2
v C Y - Entonces, X e Q x y X E Q 2, y por la monot0rmici(lad i n d e n t e de <3i y ^ 2’ Y e
y Y E ^ 2’ de donde se sigue que Y $
Ejercicio 7.3.
pefina la disyunción de los SN y muestre que la m o n o to ^ ida(1 ascendente se preserva bajo la disyunción. Ejercicio* 7.4.
Muestre que la definición 7.1. es equivalente a la definicj^Q 7 3 La monotonicidad descendente es una propiedad de los SJV y de los cuantifi cadores que es, de alguna manera, la imagen recíproca die Ja m onotonicidad ascendente. Daremos una formulación exacta de ella adelante. Considere mos los ejemplos (39) a (42): (39) Ningún hombre caminó |= Ningún hombre caminó r ápidamente (40) No toda mujer estaba dormida f= No toda mujer estaba soñando (41) Menos de la mitad de las muchachas fumaban (% las muchachas fumaban cigarros
enoS de ja m ^ ad de
(42) Pocos muchachos estaban jugando (= Pocos muchachos estaban jugando en la calle Todas estas inferencias son válidas. Si las comparados CQn (28) a (33^ veremos que la implicación va de manera inversa. monotonicidad as cendente da cuenta de las inferencias en las que el Predicado (el SV) en la conclusión contiene el predicado en la premisa. En los ej empios anteriores el predicado en la premisa contiene el predicado en la C0nClusión- [caminó] 2 [caminó rápidamente], [estaba dormido] D [estaba soñando], etc., para todo M . Aparentemente, es cierto en (39) a (42) quesienipre que un COnjunto pertenece a la interpretación del SN, también lo hacen toados sus subconjuntos Estos SN son ‘cerrados bajo inclusión’ , que es otrarnar]era de decir que son monótonos descendentes. La definición es la siguiente; Definición 7.4. Q es monótono descendente en M sii para todo X , Y c jr. gj X E Q y X D Y entonces Y £ Q
Como se mencionó anteriormente, un SN se llama monótono descendente J su interpretación, siempre que esté definida, es un cuantificador monóton0 ] descendente: Definición 7.5.
1
Un SN es monótono descendente sii para todo M : si {SN^ está definido en Kfl entonces ¡STVJm es m onótono descendente en M ’ Los cuantificadores y los SN monótono descendentes también se llaman ‘monóto namente decrecientes’ . Existe un test para monotonicidad descendente que es similar al de monotonicidad ascendente: Test 1 de monotonicidad descendente Si ISVi] D ISV21 entonces S N SV1 (= S N SV 2 Este test muestra que, por ejemplo, todo hombre no es monótono descendente, com o se puede apreciar en (43): (43) Todo hombre caminó ^ Todo hombre caminó rápidamente Ejercicio 7.5. (a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono descendente? (i) muchos N (ii) la mitad de los N (iii) (pero) Juan no (iv) a lo sumo n N (v) exactamente n N (vi) tam poco N (b) ¿Las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se exclu yen mutuamente? Una definición equivalente para monotonicidad descendente en términos de uniones es la siguiente: D e fin ició n 7.6. Q es monótono descendente en M sii para todo X , Y entonces X e Q y Y e Q
C
E: si X U Y £ Q,
gj test correspondiente es: Test 2 de monotonicidad descendente S N SVi o SV 2 1= S N SVi y S N SV 2 la disyunción de dos S V se interpreta com o unión, mientras ue la conjunción se interpreta com o intersección:
S e m á n t ic a m e n t e ,
[SVi o SV21 = [ 5 Vi ] U 15Va] Algunos ejemplos que ilustran el test son los siguientes: (44) Ninguna de las dos muchachas estaba bebiendo o fumando |= Ninguna de las dos muchachas estaba bebiendo y ninguna de las dos muchachas estaba fumando (45) Todos los muchachos cantan o bailan ^ Todos los muchachos cantan y todos los muchachos bailan El conjunto de todos los SN monótonos descendentes es cerrado bajo disyun ciones y conjunciones, tal como su contraparte monótona ascendente. La interpretación de una disyunción de SN es, por supuesto, la unión de la inter pretación de los elementos que la constituyen: [SV: o SV21 = [SVi] U [SV2J Se puede argumentar que la monotonicidad descendente se preserva bajo unio nes de la siguiente manera: tomemos X e Y arbitrarios, tales que X U Y £ Qi U Q 2. Entonces, se tiene que X U Y £ Q\ o X U Y £ Q 2 y, por lo tanto, X ,Y £ Q i o X , Y £ Q 2, dado que Q\ y Q¿ son monótono descendentes. Por lo tanto, en cualquier caso X £ Q\ U Q 2 e Y £ Q\ U Q 2.
7.2.4.3.
Monotonicidad ascendente y descendente y la negación de los cuantificadores
Hemos observado que hay una relación especial entre la monotonicidad ascen dente y la descendente. Una es espejo de la otra: la monotonicidad ascendente involucra clausura bajo extensión y la monotonicidad descendente involucra clausura bajo inclusión. No sólo por las definiciones respectivas podemos apre ciar esta relación, sino también por medio de varios ejemplos. Consideremos los ejemplos en el cuadro 7.2., los cuales muestran, claramente, que los SN
Monótono ascendentes Todo N Muchos N Al menos n N Más de la mitad de los N Juan
M onótono descendentes No todo N Pocos N A lo sumo n N Menos de la mitad de los N Juan no Cuadro 7.2. SN monótonos
monótono descendentes son las negaciones de los SN monótonos ascendenj tes; algunas veces literalmente ( Juan vs. Juan no), otras veces implícitamente (muchos vs., pocos). Usualmente se distinguen dos tipos de negación de los cuantificadores a saber, una interna y una externa, las cuales se definen a continuación: Definición 7.7. La negación externa ->Q de Q en M es { X C| X 0 Q } Definición 7.8. La negación interna Q -> de Q en M es { X C| (E — X ) € Q } De acuerdo con una definición alternativa, aunque equivalente, la negación externa ~Q = p( E) - Q Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E (aquellos elementos de p{ E) ) que no están en Q. La negación interna de Q, Q->, también se puede obtener al tomar para cada elemento de Q su complemento con respecto al dominio E: Definición 7.10. Q-> = { F C E |existe un X £ Q : Y = E — X } Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E cuyo complemento con respecto a E está en Q: de aquí que la definición 7.10. sea equivalente a la definición 7.8.
Veamos algunos ejemplos. Recordemos que la interpretación de todo N , un 0 todo N y de ningún N se dio en el cuadro 7.1. (cf. p. 288). La negación fgierna d e todo N es no todo N , lo cual puede mostrarse de la siguiente uianera: (46) - ’IIt o d o
I x & [todo N j } (utilizando la definición 7.7.)
= { X |[JV] n X ^ p V ]}= [n o todo N ] Su negación interna es ningún N : (47) [to d o N j-> = {X |(E - X )
G
[todo N ] } (definición 7.8.)
= { X I [iV] n {E - X ) = p V ] } = { X I {N j n X = 0 }= [n in g ú n N j La negación externa de un N es ningún N : (48) -i[u n N ] = { X |X £ [un N j } (utilizando la definición 7.7.) = { X | [TV] í~lX =0}=[ningún N j Y su negación interna es no todo N : (49) [un 7 V ]-i= {X \(E - X ) € [un N j } (definición 7.8.) = { X I [TV] n { E - X ) ¿ 0 } = { X I INI n X + [AT]}=[no todo Nj Tanto la negación interna como la externa ‘invierten’ la monotonicidad del cuantificador: Hecho 7.1. Si Q es m onótono ascendente, entonces ->Q y Q-> son monótonos descendentes Hecho 7.2. Si Q es m onótono descendente, entonces ->Q y Q~> son monótonos ascendentes A manera de ejemplo, demostraremos el hecho 7.1. Asumamos que Q es monótono ascendente. Tomemos X , Y arbitrarios, tales que X G -*Q y Y C X . Ahora bien, se tiene que X Q y, por lo tanto, Y ^ Q. De lo contrario, asu mamos que Y G Q. Entonces, dado que Y C X y Q es monótono ascendente, X G Q, lo que contradice la suposición. Así, Y G ~>Q y, por lo tanto de esta manera -iQ'es monótono descendente. De manera similar, asumamos que Q es monótono ascendente, X G Q~<, y Y C X . Entonces, tenemos que ( E —X ) G Q.
Dado que Y C X , se sigue que ( E - X ) C ( E - Y ) y, por lo tanto, (p0 r, 1 monotonicidad ascendente de Q) ( E — Y ) € Q , lo cual implica que Y £ Esto significa que Q —>es monótono descendente. La demostración del hec^'l 7.2. es similar. Am bos tipos de negación se cancelan a sí mismas: Hecho 7.3. -i-i Q = Q — Q-I-* No es generalmente válido que ->Q-> = Q. Lo que sí se tiene es que —iQ— , J| equivalente al dual de Q, escrito como Q *. que se define de la siguiente maneraDefinición 7.11. El dual Q* de Q en M es { X
C
E \(E — X ) £ Q }
Algunos cálculos con la definición 7.11. y las interpretaciones de un N y todo N muestran que el uno es el dual del otro. También hay cuantificadores que son equivalentes a su propio dual, los cuantificadores autoduales. Los nombres propios, por ejemplo, son autoduales: [Juan] = [Juan]* Dado que Q* — -
negación interna todo N <-----------------------» ningún N
dual
dual
un N <------------------------> no todo N negación interna
(
Los SN m onótono ascendentes y descendentes forman dos clases impor tantes de SN del lenguaje natural, los cuales están relacionados por medio de la aegaeión- En Seneral> la mayoría de los SN ascendentes no son marcados y la mayoría de los descendentes son SN ascendentes negados (implícita o explíci tamente) ■ Pero no hay razón para darle a esta negación un status sintáctico, dado que la relación en cuestión se puede formular en términos puramente semánticos. La clasificación de los SN en monótono ascendentes o descendentes no es exhaustiva; algunos no son ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo, consideremos el SN de la forma exactamente n N : (51) Exactamente seis muchachos caminaron rápidamente seis muchachos caminaron
Exactamente
(52) Exactamente seis muchachos estaban dormidos ^ Exactamente seis muchachos estaban soñando El primer ejemplo muestra que exacatamente seis muchachos no es monótono ascendente y el segundo, que no es monótono descendente. Otro ejemplo de un SN no monotónico es unos pocos N : (5 3 )
Unos pocos muchachos estaban soñando ^ Unos pocos muchachos estaban dormidos
(5 4 )
Unos pocos muchachos caminaron ^ Unos pocos muchachos caminaron rápidamente
Un ejemplo final está dado por los SN de la forma sólo SN. Compárese: (5 5 )
Sólo Juan caminó rápidamente
Sólo Juan caminó
(5 6 )
Sólo Juan estaba dormido ^ Sólo Juan estaba soñando
(5 7 )
Sólo el hombre estaba soñando ^ Sólo el hombre estaba dormido
(58) Sólo el hombre caminó ^ Sólo el hombre caminó rápidamente Con respecto a (56), puede ser útil tener en mente que Sólo Juan significa algo como Juan y nadie más; un contraejemplo sería una situación en la cual Juan es el único dormido y no sueña.
Obsérvese que sólo, tal como ocurre en las oraciones (55) a (58), no es ll^H| determinante sino un modificador de SN. Más aún, debemos observar el estatus de determinante de pocos y de muchos es controversial. AlgUtlQg j argumentan que son adjetivos. Un análisis similar ha sido propuesto para logl numerales com o seis en seis muchachas. En §7.2.5. trataremos este análisjg más detalladamente.
j
Ejercicio* 7.6. ¿La interpretación de exactamente un muchacho es un cuantificador no monótonj en todo m odelo?
7.2.4.4.
Monotonicidad y universales semánticos
Haremos un breve desvío para mirar dos ejemplos, ambos tomados de Barwise y Cooper (1981), sobre los intentos de aplicar las nociones introducidas anteriormente. Barwise y Cooper están interesados en la formulación de uni versales semánticos, que son propiedades de los significados de las expresiones del lenguaje natural, en nuestro caso SN, y que pueden considerarse válidos para todo lenguaje natural, pero que no son simplemente verdades necesarias (lógica o matemáticamente). El primer ejemplo de dichos universales ilustra la importancia de la monotonicidad y es el siguiente: Restricción de monotonicidad En todo lenguaje natural, los SN que no son compuestos expresan cuantificadores monotónicos o conjunciones de cuantificadores monotónicos SN ‘no compuestos’ quiere decir: nombres propios, SN de la forma ‘determi nante simple + N\ y SN tales como alguien, todos, nada. Debemos aclarar que una restricción com o esta no es una verdad a priori. No hay leyes lógicas o matemáticas que le prohíban a un SN simple tener el mismo significado que el SN no monotónico (y compuesto) un número par de hombres. En otras palabras, no hay ninguna razón lógica por la cual un lenguaje natural no deba tener un determinante simple con el mismo significado de un número par de. Si todos los lenguajes satisfacen la restricción de monotonicidad, y hasta donde sabemos así es (aunque véase §7.2.5.), ella expresa una propiedad de los lenguajes que, por un lado, no es una necesidad lógica pero que, por otro, ís válida universalmente para los lenguajes naturales. Esta es una contribución significativa a la caracterización de la noción de ‘lenguajes humanos posibles’ .
f
restricción de monotonicidad no da ninguna pista de por qué esto ha
ger así. En general, esto es cierto para todos los universales. Una formu* una propiedad universal es una cosa; la explicación que se le de es tra En el chso de la restricción de monotonicidad, Barwise y Cooper inten taron dar una explicación (que no retomaron para otros universales). La idea que los SN monótonos son ‘más fáciles’ , es decir, es más fácil verificar o gjsear oraciones con SN monótonos que oraciones con SN no monótonos (este tópico se discutirá más generalmente en §7.2.5.). De cualquier manera, con o sin explicación, el hecho simple (si en efecto así es) formulado por la restricción de monotonicidad es sorprendente y la Teoría de los Cuantificadores Genera lizados nos brinda las herramientas necesarias para su formulación. El segundo ejemplo trata sobre la relación entre la monotonicidad y la conjunción de SN. Hemos observado anteriormente que, en lo que respecta a su semántica, la conjunción de SN viene a ser lo mismo que tomar la in tersección de las interpretaciones de los SN que se unen en la conjunción. A partir de esta perspectiva general, no hay razón para dudar que todo par (es decir, toda n-tupla) de SN puede unirse en conjunción. Sin embargo, aparen temente hay restricciones sobre la conjunción de SN en el lenguaje natural. Comparemos los siguientes ejemplos:
(59) un hombre y dos mujeres todos los muchachos y María el padre de Pedro y muchos niños (60) ningún hombre y pocas mujeres ninguna de las muchachas y a lo sumo tres muchachos menos de la mitad de los niños y ningún adulto (61) un hombre y pocas mujeres *Juan y ninguna mujer *dos cellos y pocos violines Ambos SN en las conjunciones de (59) son monótono ascendentes y los de las conjunciones en (60) son monótonos descendentes. En (61) se intenta hacer una conjunción de SN que tienen distintos tipos de monotonicidad y los resultados no son bien formados. Esos ejemplos, y otros similares que in volucran la disyunción, pueden llevar a la conclusión de que la coordinación por medio de y y o es posible sólo cuando ambos SN son ya sea monótono
ascendentes o descendentes. Esta restricción puede relacionarse con el he e que las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se n °1 servan bajo intersecciones y uniones, mientras que la intersección y la de un cuantificador ascendente y uno descendente no resulta normalmente0* un cuantificador monótono. (:H Ejercicio* 7.7. Muestre que la interpretación de Juan y ninguna mujer no es un cuantificaH monótono. daor
Resta ver hasta qué punto esta última observación explica la restricción. 0 mo lo indica la restricción de monotonicidad, los lenguajes naturales prefiere^ SN monotonos que sean simples; aunque ciertamente también hay SN com I puestos no monotónicos. El hecho de que la conjunción o la disyunción de W SN con monotonicidad contrastante resulten en un cuantificador no monotónico no es ninguna razón para que dichos SN coordinados no estén bien formados Dos observaciones más son suficientes para mostrar que no se ha dicho la ultima palabra en el tópico de la monotonicidad y la coordinación. La primera observación tiene que ver con el hecho de que un SN coordinado, que consiste de dos S7V con monotonicidad contrastada unidos por pero, está en efecto bien formado: (62) muchos hombres pero pocas mujeres Juan pero ninguna mujer muchos niños pero menos de la mitad de los adultos Incluso, parece que pero produce SN bien formados sólo si coordina SN con monotonicidad distinta. Comparemos: (63) *algunos muchachos pero dos mujeres *todos los muchachos pero mi hermana *nmguna de las muchachas pero a lo sumo tres muchachos Si nos atenemos al enfoque usual, que se viene desde Frege, en el semánticamente equivalente (es decir, en cuanto concierne a las ae verdad) a y, los ejemplos en (63) generan dudas acerca de la propuesta anteriormente sobre la restricción en la coordinación medio de y.
que pero es condiciones explicación de SN por
m T a segunda observación tiene que ver directamente con la restricción proen sí misma. Su explicación no sólo debería parecer sospechosa, sino pUgSlos siguientes ejemplos también crean dudas con respecto al fenomeno , i c0pio tal: (64) a lo sum° SGÍS muchachas y por lo menos cuatro muchachos el padre de Pedro y unas pocas mujeres ninguno de los muchachos y exactamente una mujer unos pocos hombres y un número par de mujeres
Tndos estos son SN bien formados, pero ninguno está compuesto por dos SN con igual monotonicidad. En el primer ejemplo se unen un SN monotono as cendente y un SN monótono descendente; en el segundo, un SN monotono ascendente y un SN no monotónico; en el tercero, un SN monotono descendente v un SN no monotónico, y en el cuarto, finalmente, dos SN no monotomcos. En todos los casos, el resultado es un SN bien formado no monotomco. Este fenómeno muestra que el universal propuesto por Barwise y ü o o Pe^ que dice que la coordinación de SN se restringe a SN con igual monotonicidad, no es válido y que debe ser reemplazado por un análisis más refinado. Sin em bargo, es bastante notable que la Teoría de los Cuantificadores Generalizados nos permita formular tales hipótesis falseables.
7.2.4.5.
Persistencia y antipersistencia
Las propiedades de persistencia y antipersistencia que discutiremos a continua ción se relacionan estrechamente, com o resultará evidente, con las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente. La diferencia principal yace en e hecho de que la persistencia y la antipersistencia son propiedades, ya no de S completos, sino de determinantes. Esto implica que debemos considerar las cosas desde una perspectiva relacional (ver §7.2.3.). Un determinante D E se considerará como una expresión que toma u n J V y u n S V para formar un U. Semánticamente, la interpretación de un determinante D será tratada como una relación entre conjuntos (de ahora en adelante, quedaremos satisfechos con establecer definiciones, hechos, etc., únicamente para los objetos semánticos, confiando que el lector será capaz de proporcionar las definiciones correspon dientes para las expresiones sintácticas).
Definición 7.1 2 .
Un determinante D es persistente sii para todo X , Y, Z: si D ( X , Z) y X Q yl entonces D (Y , Z ) fl La persistencia es una propiedad del primer argumento de una relación d e t j minante. Si vemos a los determinantes com o expresiones lingüísticas, es u J propiedad que se le atribuye al N al que se le aplica el determinante, g g l resulta claro cuando convertimos la definición anterior en un test: Test de persistencia Si [JViJ c [7V2], entonces D E T N x V P
I \= D E T N 2 V P
]
Un determinante es persistente si es cerrado bajo la extensión de su primer argumento, es decir, el N al cual se aplica. Veamos unos pocos ejemplos: (65) Algunos hombres caminaron; los hombres son seres humanos J= Algunos seres humanos caminaron (66) Por lo menos cuatro muchachas estaban fumando; las muchachas son mujeres (= por lo menos cuatro mujeres estaban fumando (67) Todos los muchachos beben; los muchachos son hombres ^ todos los hombres beben Algunos y por lo menos n son determinantes persistentes; todo no es un deter minante persistente. La imagen espejo de la persistencia es la antipersistencia: Definición 7.13. D es antipersistente sii para todo X , Y , Z : si D( X. Z) y Y C X , entonces D(Y, Z) Un determinante antipersistente es un determinante cuyo primer argumento es cerrado bajo inclusión. El test correspondiente es, por supuesto, el siguiente: Test de antipersistencia Si [N 21 C [iVi], entonces D E T Ni V P
(= D E T N 2 V P
Los siguientes ejemplos muestran que todo, ningún y a lo sumo n son deter minantes antipersistentes:
i
(68)
I
(6
Todos los niños caminaron; los niños pequeños son niños |= todos los niños pequeños caminaron Ninguna mujer estaba fumando; las muchachas son mujeres f= ninguna muchacha estaba fumando
Í70) A 1° sumo tres ingleses se pusieron de acuerdo; los londinenses son ingleses (= a lo sumo tres londinenses se pusieron de acuerdo Muchos determinantes, incluyendo los léxicamente simples, no son ni persis tentes, ni antipersistentes: muchos, pocos, los n, ambos, exactamente n, más de la mitad de, menos de la mitad de. A este respecto, el par persistencia/antipersistencia es notablemente distinto del par monotonicidad ascendente/ descendente. Los determinantes persistentes y antipersistentes se vinculan por medio de la negación. Tanto la negación externa como la interna de un determinante transforma un determinante persistente en uno antipersistente, y viceversa; por lo tanto, tanto la negación externa como la interna de un determinante no persistente (es decir, un determinante que no es ni persistente ni antiper sistente) producen un determinante no persistente.
Ejercicio 7.8. Defina la negación externa e interna de los determinantes y demuestre las afirmaciones hechas anteriormente. Hemos observado, y las definiciones han ilustrado, que la persistencia y la monotonicidad están estrechamente relacionadas. La persistencia es la monotonicidad ascendente del primer argumento de una relación determinante y la antipersistencia es la monotonicidad descendente del primer argumento. De manera análoga, la monotonicidad (ascendente o descendente) de un SN es la monotonicidad (ascendente o descendente) del segundo argumento del deter minante en dicho SN. La terminología usual es ‘monotonicidad izquierda’ (ascendente o descendente) y ‘monotonicidad derecha’ (ascendente o descen dente). La notación usada frecuentemente es esta: |mon, para monotonicidad 'zquierda ascendente, y mon |, para monotonicidad derecha descendente, y 981 en adelante. En total, hay cuatro posibles combinaciones de dichas propie dades de monotonicidad de los determinantes. Algunos ejemplos de expresiones que exhiben las cuatro combinaciones posibles se presentan en (71):
Determinante Todo Algún Por lo menos k A lo sumo k Exactamente k
(71)
rificación n 1 k * -k n
Falsificación 1 n n — (k — 1) k+ 1 k+ 1
Total n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n + (k + 1)
]m on | [m on |
algunos todo
por i0 menos n
un número infinito
[m on [ Tmon [
ningún no todos
a lo sumo n
un número finito
Podemos considerar que los ejenip]os en ia primera y tercera fila tratan de manera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencillo hasta el más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la pri mera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera columna son compuestas. 0 bsérvese también que en la primera columna teñemos ^os determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estas observaciones muestran, una vez inás, que la monotonicidad y la persistencia son^ nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas (más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamente el cuadro de oposición lógico). Una observación final acerca dc¡l ro[ central de la monotonicidad, tomada e van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cual una oración de la forma (A , B ) fruede ser falseada o verificada. Conside remos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el número e elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afir mación de la forma D E T ( A , B). Por ejemplo, supongamos que ¡muchacha] contiene seis elementos (es decir, = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bailando sólo necesita que una muchacha esté bailando para ser confirmada, pero para ser falseac]a debemos comprobar todos los seis ele mentos de ¡muchacha]]. Otro ejemplo es el siguiente: considerem0s la oración P or lo menos tres mu chachos están fumando, supongamos que hay diez muchachos (es decir n = 10). a afirmación será verificada si podamos encontrar tres muchachos fu m a n d o ( — 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fu mando, es decir, n — (k — 1) = 10 — (3 _ i ) = g
úniero n + 1 resulta ser un mínimo demostrable: para cualquier deter■ D la suma de los números de las instancias de verificación o falsación es ! qUe n -1-1. También, es posible demostrar que todos los determi n o 1 ue tienen ‘complejidad contable minimal’ , es decir, para los cuales este 0aflteS ^ jgual a n + 1, son monótonos (ascendentes o descendentes). Esto ° servir para enfatizar de nuevo el rol fundamental de la monotonicidad Pu respecto a los determinantes y cuantificadores del lenguaje natural.
725. 7 2 5.1.
Restricciones globales Introducción
jjemos mencionado varios objetivos de la Teoría de los Cuantificadores Genera lizados, incluido la investigación de restricciones sobre los determinantes y los cuantificadores y la búsqueda de una caracterización de clases específicas de dichas expresiones, lo que puede ser interesante por otras razones no relacio nadas. En esta sección, discutiremos algunas restricciones globales que han sido propuestas en la literatura y esbozaremos cómo pueden usarse para carac terizar la clase de los determinantes lógicos (todo, algún, no todo, ningún). Nuestra exposición de este tema se basará, principalmente, en el trabajo de van Benthem (1983, 1984b). La búsqueda de restricciones globales no se limita a los determinantes y a los cuantificadores, dado que es generalmente válido, excepto para unos pocos tipos simples, que el conjunto de todos los objetos semánticos de un tipo sea ‘muy grande’ , en el sentido en que el lenguaje natural expresa sólo una parte (a veces muy pequeña) de tales objetos. Esto es particularmente llamativo si sólo contamos las expresiones realizadas léxicamente, pero también es válido si también tomamos en consideración expresiones compuestas. Además, en casi todos los tipos hay especímenes más bien ‘extraños’ , objetos semánticos que se comportan mal y que nunca serían clasificados com o significados de expre siones del lenguaje natural. Esto también es una razón para averiguar si tal vez hay restricciones globales en la clase entera de objetos de cierto tipo que ayudan a reducirla a un subconjunto más pequeño y preferible de expresiones que se ‘comportan bien’ . La búsqueda de restricciones globales no se restringe, por lo tanto, a los determinantes y cuantificadores. En efecto, los postulados de significado fami liares de la Gramática de Montague también pueden interpretarse com o clases de restricciones globales (por lo menos aquellos que se aplican a clases de Opresiones).
Verificación Falsificación Determinante Total ~~ Todo 1 re n+ 1 Algún n 1 n+ 1 Por lo menos k k n — (k — 1) re + 1 A lo sumo k re — k k+ 1 re + 1 Exactamente k re k+ 1 n + (k + 1) Cuadro 7.3. Complejidad contable de los determinantes (71)
fm on lm on [m on }m on
T | i i
algunos todo ningún no todos
por lo menos re
un número infinito
a lo sumo re
un número finito
Podemos considerar que los ejemplos en la primera y tercera fila tratan del manera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencillo el más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la prÜl mera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera columna son compuestas. Obsérvese también que en la primera columna tene mos los determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estas observaciones muestran, una vez más, que la monotonicidad y la persistencia son nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas (más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamente el cuadro de oposición lógico). Una observación final acerca del rol central de la monotonicidad, tomada de van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cual una oración de la forma (A , B ) puede ser falseada o verificada. Conside remos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el número de elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afir mación de la forma D E T ( A , B). Por ejemplo, supongamos que [muchacha] contiene seis elementos (es decir, n = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bailando sólo necesita que una muchacha esté bailando para ser confirmada, pero para ser falseada debemos comprobar todos los seis ele mentos de |muchacha]. Otro ejemplo es el siguiente: consideremos la oración P or lo menos tres mu chachos están fumando, supongamos que hay diez muchachos (es decir re = 10)La afirmación será verificada si podemos encontrar tres muchachos fu m a n d o (k = 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fu mando, es decir, re — (k — 1) = 10 — (3 — 1) = 8.
1
« -m ita ser un mínimo demostrable: para cualquier deter-
t i"
.
"n
^ e s 1'
; Í f t t qe n ‘complejidad contable
^ < « o
«
E sto
W » 1 “ " ¿ í ’^ d e n°evo°eTrol fundamental de la monotonicidad
Pe " * %
IZ
determinantes y cuautificadores del lenguaje natural,
con respeC
Restricciones globales 7.2-5-
7 2 5.1H em os
Introducción
menC^
los determinantes y los
y >a « a de dichas expresrones, loqu e p u ^ os propuesta® ^ n la literatura b
.^
«
t “
y
^
'Z Z Z 2 Z . Z Z Z I
esbozaren .» a
"
r
P—
e n . , en el trabajo de
van Benthem (1983, 1984b). La búsqueda de restricciones globa es no los cuantificadores, dado que es genera m tipos simples, que el conjunto de todos los •muy grande', eu el sentido en que el l e g a j e
jos determinantes y a ^ ^ unf)s pocQS semánticos de un tipo sea sólo J ^ r t e Uamatiío si
(a veces muy pequeña) de tales objetos. Es o p sólo contamos las expresiones realizadas lencamente p
también es válido e ^ ^
si también tomamos en consideración objetos semánticos que todos los tipos hay especímenes mas ’ ■ ■r' (ios de expre* comportan mal y que nunca serían c la r e a d o s comc' ¿tú sioues Sel lenguaje natural. Esto también es una ra*m p a r a ^ e n g u a ^ vez hay restricciones globales en la clase entera ayudan a reducirla a un subconjunto mas peq
e o
de expresione5
que se ‘comportan bien’ . , , tanto a los La búsqueda de restricciones globales no se restrmge, y » lo _tanto, ^ determinantes y cuantificadores. En efecto, los pos u a d fiares de la G r a fit ic a de Montague también pueden m t e r p r e c o m o o de restricciones globales (por lo meuos aquellos que se aphean expresiones).
7.2.5.2.
1
Conservatividad
Nuestra perspectiva continúa siendo relacional. La primera restricción globjj que consideramos tiene que ver con la propiedad de los determinantes qUe 1 llama conservatividad: 1 Definición 7.14. D es conservativo sii para todo X , Y : D ( X , Y) sii D ( X ,
X f l 7 )
La definición 7.14. establece que para verificar o falsear una afirmación de la I forma D E T ( A , B ) es suficiente mirar la interpretación de A y la intersección de las interpretaciones de A y B. En otras palabras, sólo lo que está en ([^J —[£?]) U ([A ] n IB})) es relevante; el contenido de \B} - [A ] no es relevante y tam poco lo es lo que está por fuera de [A ] y [£?], es decir, E — ([[A] U [£]), Una noción relacionada es la propiedad de ‘vivir en’ de los cuantificadores, definida por Barwise y Cooper: Definición 7.15. Q vive en X sii para todo Y : Y € Q sii X fl T & Q Un cuantificador puede vivir en varios conjuntos; todo hombre, por ejemplo, vive en E (el dominio) y en [hombre]. Intuitivamente, este último es un con junto interesante: es la restricción natural del determinante todo en el SN todo hombre. De acuerdo con Barwise y Cooper, el papel central que juega la restricción en la cuantificación en el lenguaje natural (‘toda cuantificación en el lenguaje natural es una cuantificación restringida’) se expresa en el si guiente universal: En todo lenguaje natural, los determinantes simples junto con un N producen un SN que vive en [JV] De acuerdo con este universal, el hecho de que D E T ( A ) viva en [A ] sería válido para todos los determinantes simples, es decir, \DET\ sería un determinante conservativo. Obsérvese que este universal es una restricción fuerte sobre la clase de relaciones que puede expresar un determinante simple. Ciertamente, hay determinantes no conservativos y no hay una razón lógica por la cual no puedan lexicalizarse en el lenguaje por medio de una expresión simple. Excepciones aparentes son sólo y muchos. Como de costumbre, se puede derivar un test a partir de la definición 7.14. (usaremos para denotar la
nlicación mutua entre oraciones del lenguaje natural. Es decir, ‘A O B Unifica lA\= B y B \= A ’). Test de conservatividad D E T N V P O D E T N son N que S V Com párense los siguientes ejemplos: (7 2 )
Todos los muchachos caminaron <& Todos los muchachos son muchachos que caminaron
( 73 )
Algunas muchachas están bailando <=> Algunas muchachas son muchachas que están bailando
(74) Sólo hombres fuman cigarros <£> Sólo hombres son hombres que fuman :igarros Es claro que sólo no es un determinante conservativo: sólo hombres no vive en [hombre]. La manera obvia de salvar el universal es considerar a sólo no como un determinante, sino como un modificador de SN (es decir, como una expre sión de tipo SN/SN) . Las construcciones como las de (75) parecen confirmar esta perspectiva; por lo tanto, el análisis de sólo hombres en (76), en el cual A representa un determinante plural morfológicamente ‘ nulo’ , parece razonable (compárese la discusión en la sección sobre monotonicidad en §7.2.4.): (7 5 )
Sólo Juan Sólo el vecino Sólo unas pocas muchachas
(76)
s w
[ s n /,s j v [ s ó 1o ] s i v [ D £ ; r [ A ]
^ [h o m b r e s ]]]
Esto explica sólo, pero ¿cómo explicamos muchos? Ejercicio
7 .9 .
De una interpretación de muchos que no sea conservativa. Aunque el ejercicio 7.9. tiene una solución, puede haber razones para dudar del estatus de determinante de muchos, dado que, al igual que con pocos, un análi sis de muchos com o un adjetivo (N /N ) parece plausible. En primer lugar, ambos pueden ocurrir en posición prenominal, precedidos por un determinante
( los muchos errores, los pocos resultados). En segundo lugar, ambón formas comparativas y superlativas (más/menos, la mayoría/la m i n o r '^ ^ ' tercer lugar, pueden ocurrir com o predicados ( los niños son muchos/po f l Ya sea que tratemos estas dos excepciones de esta o de otra manera °C°’S^ seguro decir que la propiedad universal propuesta por Barwise y válida, por lo menos para el español.3 ':>
Todas las supuestas
Usualmente, estos casos se excluyen por medio del siguiente razonamiento: la Teoría de los Cuantificadores Generalizados era extensional de todas maneras, y si quisiéramos “intensionalizarla” , tendríamos que modificar la noción de conservatividad. 3N. de T .: ciertam ente tam bién para el inglés, que es el idiom a original de los estudios de Barwise y Cooper.
I rimera vista es^a Parece ser una reacción más bien extraña, aún si se cuenta que hay una alternativa obvia: (81) no debe considerarse como tjefleen de ¡os componentes del SN en (80), sino (82): la estruC
det/ det[supuesto]] ^[mujeres]] (81) ^ g ' sN[det\ t ° d°] TVU/7V[supuesto] n[mujeres]]] I
tonces en lugar de (80), tendríamos la frase inobjetable (83): -podas las supuestas mujeres son hombres <=> Todas las supuestas mujeres son supuestas mujeres que son hombres por supuesto, si escogiéramos analizar el SN en (80) de la manera sugerida por (82), deberíamos hacerlo así también en general, es decir, no sólo para el caso de los adjetivos intensionales, sino también en el caso de los extensionales. En otras palabras, conjeturamos simplemente que no hay tal cosa com o la restricción adjetival de los determinantes; los adjetivos son modificadores de nombres de categoría N/N 4 Pero también hay buenas razones para escoger no tener que salvar de esta manera la universalidad de la conservatividad. Dado que si ignoramos la posi bilidad de la restricción adjetival con los adjetivos intensionales, podemos demostrar lo siguiente (cf. Keenan y Stavi (1986), donde se presenta una dis cusión cuidadosa de la conservatividad): Hecho 7.5. La clase de todos los determinantes conservativos es exactamente la clase de todos los determinantes generados por (i) todos y algunos, (ii) combinaciones “booleanas” y (iii) restricción adjetival extensional Ejercicio* 7.10. Muestre que las operaciones booleanas y la restricción extensional preservan la conservatividad. 4N. de T .: dado que en inglés el orden de los adjetivos con respecto a los sustantivos es, salvo algunos casos marginales, contrario que en español, el argumento en cuestión es más mteresante en el primer idioma que en el segundo. En español es mucho más claro que los ®djetivos no modifican al determinante, sino al sustantivo.
Gracias al hecho 7.5.. es atractivo retener la restricción adjetival de l0s minantes como un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que el le natural es ‘expresivamente com pleto’, vis-à-vis las denotaciones posibles determinantes. ‘ 1 Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como un UUcl T)iyv piedad universal de los determinantes del lenguaje natural es todos y Solo} Compare: (84) Todos y sólo los muchachos patinaban o - Todos y sólo los muchach son muchachos que patinaban
i
Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85): (85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachos ' son muchachos que patinan La oración del lado derecho de la ‘y ’ en (85) es una tautología y, por lo tanto, es equivalente a (86): (86) Todos los muchachos son muchachos que patinan Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de (84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez depende de que todo y sólo, com o ocurre en todos y sólo los muchachos, tenga el esta tus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razones para que sólo tenga el estatus de un modificador de SN. Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume que la coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’ : la coordinación es posible sólo entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto pa recería sostener, después de todo, el estatus de sólo com o determinante, al menos com o aparece en esta construcción. Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la res tricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura. 7.2.5.3.
Variedad
Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intui tivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad: 5N. de T .: el determinante en la expresión todos y sólo podría expresarse más c l a r a m e n t e por todos aunque únicamente. Hemos escogido l a primera opción por razones de comodidad-
p e fln i^ variedad sii existen X , Y tales que D ( X . Y) y existen X. Y tales
If**
oner la restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad (¡luyen determinantes ‘sin interés’ , que son o bien siempre verdaderos o ^ nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes. Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apa lé a t e e s por lo menos n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero este caso, com o lo decidimos anteriormente, la interpretación de los delipjiinantes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta ( “en todo modelo donde D E T esté definido . . . ” ), todos los determinantes simples tienen la propiedad de la variedad. Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanas de determinantes, tales como uno o ninguno (que es válida para toda pareja (X, Y)), o por lo menos cuatro y a lo sumo tres (que no es válida para ninguna pareja (X , Y) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nueva luz sobre el estatus de la variedad com o una restricción global. Desde luego que los determinantes como los de los ejemplos anteriores no son muy útiles: en este sentido no son expresiones ‘significativas’ . Por otra parte, ellos existen y tienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad com o una restricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinatu rales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.
7.2.5.4.
Continuidad
En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonicidad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresan cuantificadores monótonos o conjunciones de estos. Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples son monotónicos se puede derivar de un ejemplo com o un solo, que significa exac tamente uno. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran los siguientes ejemplos:
(87) Un solo muchacho estaba soñando y= Un solo muchacho estaba dormido (88) Un solo muchacho estaba dormido ^ Un solo muchacho estaba soñando
Gracias al hecho 7.5., es atractivo retener la restricción adjetival de lr minantes com o un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que el natural es ‘expresivamente com pleto’ , vis-à-vis las denotaciones posible¡ determinantes. Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como \ u tla Pro. piedad universal de los determinantes del lenguaje natural es todos y sólo} Compare: (84) Todos y sólo los muchachos patinaban <=> Todos y sólo los muchachos« son muchachos que patinaban Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85): (85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachos son muchachos que patinan La oración del lado derecho de la ‘y ’ en (85) es una tautología y, por lo tanto, es equivalente a (86): (86) Todos los muchachos son muchachos que patinan Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de (84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez depende de que todo y sólo, com o ocurre en todos y sólo los muchachos, tenga el esta tus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razones para que sólo tenga el estatus de un modificador de SN. Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume que la coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’ : la coordinación es posible sólo entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto pa recería sostener, después de todo, el estatus de sólo com o determinante, al menos com o aparece en esta construcción. Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la res tricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura.
7.2.5.3.
Variedad
Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intui tivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad: 5N. de T .: el determinante en la expresión todos y sólo podría expresarse más claramente por todos aunque únicamente. Hemos escogido la primera opción por razones de comodidad.
peSnicW” T. I « tra variedad, sii existen X , Y tales que D ( X , Y ) y existen X , Y tales
•mponer Ia restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad cluyen determinantes ‘sin interés’ , que son o bien siempre verdaderos o • nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes. Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apa nte es por lo menos n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero en este caso, com o lo decidimos anteriormente, la interpretación de los de n om in an tes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta ( “en todo modelo donde D E T esté definido . . . ” ), todos los determinantes simples tienen la propiedad de la variedad. Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanas de determinantes, tales como uno o ninguno (que es válida para toda pareja (.X , Y)) , o por lo menos cuatro y a lo sumo tres (que no es válida para ninguna pareja ( X , Y ) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nueva luz sobre el estatus de la variedad com o una restricción global. Desde luego que los determinantes com o los de los ejemplos anteriores no son muy útiles: en este sentido no son expresiones ‘significativas’ . Por otra parte, ellos existen y tienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad com o una restricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinatu rales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.
7.2.5.4.
Continuidad
En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonicidad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresan cuantificadores monótonos o conjunciones de estos. Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples son monotónicos se puede derivar de un ejemplo com o un solo, que significa exac tamente uno. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran los siguientes ejemplos: (87) Un solo muchacho estaba soñando
Un solo muchacho estaba dormido
(88) Un solo muchacho estaba dormido
Un solo muchacho estaba soñando
Debe añadirse que el estatus de un solo como determinante no es incontr 3 vertible. Por otro lado, si uno lo acepta como determinante, la monotoniciJ^B com o tal puede no ser una restricción global. En dicho caso, parece necesa^B formular una propiedad más débil que caracterice exactamente aquellos d e t a S minantes que son o bien monotónicos, o bien una conjunción de determinant!3 monotónicos. Esta propiedad más débil es la continuidad: ' Definición 7.17. D es continuo sii para todo X , Y\,Y2, Y : si D ( X , Yí) y D ( X , Y¿) y Y i c y c y entonces D ( X , Y)
!
En Thijsse (1983), donde se propone a la continuidad como la propiedad rele- 1 vante, encontramos el siguiente hecho: Hecho 7.6. El conjunto de todos los determinantes continuos es exactamente el conjunto de todos los determinantes monotónicos y sus conjunciones Ejercicio* 7.11. Muestre que todos menos uno puede tomarse com o la conjunción de determi nantes monotónicos, pero no así un número par de. 7.2.5.5.
Extensión
La última restricción global propuesta y defendida en la literatura que quere mos considerar aquí concierne una forma de independencia del contexto: Definición 7.18. D tiene extensión sii para todo X , Y, E , E': si E C E\ entonces D ( X , Y) en E sii D ( X , Y ) en E' Los determinantes que tienen extensión son independientes del contexto, pues si se extiende el número de elementos del dominio, no se produce ninguna diferencia en su interpretación. Estos son determinantes que no se refieren a la cardinalidad del dominio. Un ejemplo de una interpretación de un determi nante que no tiene extensión es el siguiente:
lmuchoSl = { ( x . r ) | í í g ^ p > i r g j }
interpretación, muchos significa algo como ‘ relativamente muchos o ^ s en comparación con el dominio entero’ . Esta interpretación es esen‘111110 te dependiente del contexto: si la cardinalidad del dominio se aumenta diminuye- el determinante puede hacer válidos algunos pares que no eran válidos anteriormente.
7 2 6.
Determinantes lógicos
P « t a última sección discutiremos brevemente el conjunto de restricciones *hre los determinantes que produce exactamente la clase de los determinan tes lógicos (todo, algún, ningún, no todo). Nuestra exposición se basa en van Benthem (1983, 1984b). ■ A diferencia de las discutidas anteriormente, estas restricciones no son (to das) restricciones globales, que expresan propiedades intuitivas y universales del significado de los determinantes del lenguaje natural. Más bien, nos preo cupan aquí los principios con los cuales, de alguna manera, se caracterizan los contenidos de estos determinantes lógicos, lo que explica qué es ser un determinante lógico. Por supuesto, las restricciones discutidas anteriormente todavía juegan un papel: ellas establecen el escenario.
7.2.6.1.
El árbol de números
En esta sección introduciremos una restricción sobre los determinantes que, en combinación con la conservatividad y la extensión, hace posible la repre sentación sencilla y transparente de los determinantes que satisfacen estas restricciones. Este método de representación, en forma de patrones que los determinantes le asignan a ‘árboles de números’ , permite comprender clara mente el carácter de varios determinantes y especificar más exactamente lo que distingue a un determinante lógico de uno no lógico. La restricción en cuestión concierne el caracter cuantitativo de ciertos de terminantes. Consideremos (89):
Y
---- - X
a = card(X — Y )
X
x r
VV a
^—
c
6
__
y ^ ----- y
)
b = card(Y — X ) c = card(X O Y ) d = card(E — ( X U Y ))
Determinante Todo Algún Ningún La mayoría Muchos“
Definición a= 0 C
0
c=
0
c C> a\ C+..Ò c+a — c + a + b + d
a L a interpretación de m u c h o s es la interpretación dependiente del con tex to presentada en §7.2.5.
|
Cuadro 7.4. Determinantes cuantitativos
Con la ayuda de los números a, b, c, y d, definidos de esta manera, mos definir la propiedad de cuantitividad. Un determinante cuantitativo es u* determinante que no es sensitivo a las propiedades de los elementos, ni tamil poco a las relaciones entre ellos, que pertenecen tanto al dominio, como a los conjuntos que dicho determinante relaciona: D e fin ició n 7.19. D es cuantitativo sii para todo X , Y : D ( X , Y) depende sólo de a, b, c y d De esta manera, los determinantes cuantitativos se pueden definir en términos de a, b, c, y d. únicamente. Presentamos algunos ejemplos en el cuadro 7.4. No todos los determinantes son cuantitativos. Algunos dependen de más factores además del número de elementos involucrados: por ejemplo, pueden ser sensitivos a propiedades de (algunos de) estos elementos o a las relaciones entre ellos. Dos ejemplos de determinantes no cuantitativos que se han discu tido frecuentemente son los determinantes de restricción adjetival, tales como todos los grandes, y los determinantes posesivos, tales como de María. La si guiente definición equivalente de la cuantitividad puede ser útil para decidir cuándo los determinantes son cuantitativos o no: D e fin ició n 7.20. D es cuantitativo sii para toda permutación n de E: D ( X , Y ) sii D(Tr(X),Tt(Y)M Una permutación de E no afecta los números relevantes a, b, c y d, pero puede afectar las propiedades de algunos de los elementos en el dominio y sus relaciones con otros elementos. Un determinante cuantitativo es insensitivo a tales permutaciones, pero todos los grandes, por ejemplo, no lo es:
te modelo M es verdadero que todos los grandes(X, Y ). pero 110 es cierto todos los pequ eñ os(X .Y ), antes de la permutación n. En efecto, si sus^'tuímos un elemento de los X grandes por un elemento de los X pequeños, ha cambiado cuantitativamente; 7r crea un modelo M ' en el cual a, b. c, d tienen el mismo valor que en M . Pero en M ' no es cierto que todos los ^grandes(X,Y): los X grandes no están sólo en la parte sombreada (menos el intruso pequeño), sino que también hay un elemento grande por fuera de Y . Así que el determinante todos los grandes es sensitivo a otras cosas distintas al número de elementos; su naturaleza (en este caso el que sea grande o n o), también es relevante. Esto es, por supuesto, lo que se supone que la restricción adjetival del determinante simple todo con grande debe hacer. Un ejemplo similar muestra que un determinante posesivo tal como de María tam poco es cuantitativo. En este caso, la relación de posesión es rele vante para la validez de las afirmaciones de la forma de Mar í a( X, Y) . Esta relación no se preserva bajo permutaciones de E. Casos com o este se pueden cubrir por medio de una noción más sutil, llamada ‘cualidad’ . Un dominio tiene cierta estructura, así que podemos limi tarnos a aquellas permutaciones que la preservan. Los mismos determinantes, tales como todos los grandes y de María, suministran la información acerca de la estructura relevante: todos los grandes es cualitativo con respecto a todas las 7r tales que x € [grande]] <=> 7 r ( x ) € [grande], y así en adelante. La cuantitividad es una noción muy poderosa y, combinada con la conservatividad y la extensión, produce el siguiente resultado: si un determinante es cuantitativo, sabemos que sólo a, b, c y d son relevantes para su interpreta ción. Si el determinante también satisface extensión, d ya no es relevante. Si también es conservativo, b tampoco juega ningún papel. En otras palabras, la interpretación de todos los determinantes que son cuantitativos, conserva tivos e independientes del contexto con respecto a E se puede formular sola mente en términos de los números a y c. Su significado queda completamente especificado sólo después de establecer el valor de verdad que produce el deter-
minante para cada par de números (a, c): verdadero o falso. En otras 1 un determinante cuantitativo, conservativo que satisface extensión siderarse com o una asignación de + o — para todos los pares de núm err ^ i La representación resultante utiliza el ‘árbol de números’ : ° S 'Q'c). 1 card(X)
= 0 =
1
=
2
= 3
0,0
1,0 2,0 3,0
0,1 1,1
2,1
0,2 1,2
0,3
etc.
Si X no tiene elementos, tam poco X —Y, ni X H Y . Por consiguiente, a = c = q 0,0. Si la cardinalidad de X es 1, entonces hay dos posibilidades para a y c- ei I elemento pertenece a X — Y y, por lo tanto, no pertenece a X 0 V: i q 1 o viceversa: 0,1. Si X tiene dos elementos obtenemos tres posibilidades distiiZl tas para a y c: ambos elementos pertenecen a X —Y y, por consiguiente. XfiY es vacío: 2,0; hay un elemento en 1 - 7 y uno en X fl Y : 1,1; y ambos 1 elementos pueden pertenecer a X fl Y, mientras que X — Y es vacío: 0,2. De esta manera se construye el árbol completo. Podemos caracterizar el significado de un determinante que sea cuantita tivo, conservativo y que satisfaga extensión en términos del árbol de números, simplemente al establecer a qué parte del árbol le asigna un más, es decir, para cuáles pares de números (a, c) es verdadero. Por ejemplo, todo es ver dadero en la rama de la derecha del árbol, ningún es verdadero en la rama izquierda; el es verdadero en (0,1) y no en otro lugar; y así sucesivamente. Varios determinantes monotónicos pueden ser caracterizados en términos de los árboles: un determinante es mon| si en la línea horizontal a la derecha de cualquier más sólo hay signos más. De manera análoga, un determinante es lm on si es verdadero para la línea a la izquierda de cualquier más. Para un determinante que sea ]m on es cierto que si hay un más en un cierto punto, hay sólo signos más en el triángulo que se extiende hacia abajo y que tiene como ápice dicho punto; lo mismo para [m on, pero con un triángulo que se extien de hacia arriba. Para muchos propósitos, el árbol de númferos es una herramienta útil y se utiliza frecuentemente en la literatura.
7.2.6.2.
Caracterización de los determinantes lógicos
¿Qué propiedades adicionales distinguen a los determinantes lógicos dentro de la clase de determinantes que satisfacen cuantitividad, conservatividad y
•' ? Ahora presentaremos un análisis con el propósito de revelar algunas g;C utenS'0nsenl¿ nticas que pueden ser interesantes en sí mismas. aciones J CÍ° n hem0s discutido las dos primeras propiedades: ellas son la continuidad ¡ 'edad. Los determinantes lógicos son rnon j o m o n i y, Por 1° tanto, y Ia . enos también satisfacen la variedad. c°nl‘ ¿ os propiedades adicionales que necesitamos tienen que ver con una . regularidad en el comportamiento de los determinantes y una indec^aS^encia relativa con respecto a números específicos. Estas dos propiedades Pe” en ser características fundamentales de los determinantes lógicos (y de ¡ ^ c o n c e p t o s lógicos en general). La primera de estas dos propiedades es la siguiente (en adelante. 'D(a, c) '. te significa que D asigna un más al par (a ,c); y ‘-i.D(a, c )’ , etc., significa bt
r
que D asigna un menos al par (a, c)). Definición 7.21.
D tiene la propiedad del más sii: si D(a, c), entonces D( a + 1, c) o D ( a , c + l); si -iD(a, c), entonces -*D(a + 1, c) o ~^D(a, c + 1) Esta definición de la propiedad ‘del más’ establece que D no tiene ‘callejones sin salida’ : si asigna un cierto valor de verdad, entonces es posible preservar este valor de verdad si le añadimos un elemento a X . En particular, el número específico de elementos en X no influye en el comportamiento de D, mientras que, por el contrario, esto es esencial para un determinante com o los n. La segunda propiedad adicional, llamada uniformidad u homogeneidad, es más bien complicada de formular de manera exacta y general (además, varias formulaciones alternativas están disponibles). Esta propiedad hace que el patrón de valores de D sea ‘suave’ , al no permitir en el árbol aquellos deter minantes que muestran ‘patrones con saltos’ . Por ejemplo, si un determinante es uniforme y muestra un patrón a de valores de verdad en algún lugar en el árbol, entonces no tiene permitido tener otro patrón, digamos b, en otra parte en el árbol: a.
+
b.
+
+ Esta caracterización informal se utiliza en la siguiente definición: Definición 7.22. D es uniforme sii D sólo muestra un patrón de valores de verdad
Si consideramos, com o lo hace van Benthem (1987), que los cuantifir. 1 son ‘autómatas semánticos’ que calculan un valor de verdad cuando se les j 8 par de conjuntos com o entrada, la uniformidad viene a ser lo mismo ^ hecho de que un determinante siempre siga el mismo procedimiento. ^ Dadas estas dos propiedades adicionales, es claro cómo aparecen los r j minantes lógicos. ('r' Consideremos el ápice del árbol de números, dónde card( X) = fl Q i . J = 0
card(X)
=
1
0,0 1,0
0,1
Un determinante imprime un patrón de signos más o menos en él. Hay o^J patrones posibles: 1.
2.
+ +
+
+
+
+
+
5.
4.
+
7.
-
8.
-
+ La propiedad de variedad prohíbe 1 y 8: la segunda fila debería tener tanto más, com o menos. La propiedad del más elimina a 4 y a 5: el más y el menos de la primera fila, respectivamente, deberían ocurrir de nuevo en la segunda fila. Sólo quedan cuatro patrones, es decir, cuatro determinantes: 2.
+
3.
+
+
6.
+
7.
+
-
+
En efecto, estos son los patrones de ningún, todo, no todo y algún, respecti vamente. Para demostrarlo, debemos evidenciar que estos patrones persisten en el árbol completo de la manera adecuada. Podemos ver que esto es así al refleccionar sobre la uniformidad y la continuidad. La uniformidad asegura que obtendremos el mismo patrón en todo el árbol. Esto implica, por ejemplo, que las primeras cuatro líneas horizontales del árbol para todo se parecen a esto:
w
card(X)
= 0 = 1
+ -
+
2
=
= 3
...
trón de todo, dado anteriormente en 3. es el siguiente: ‘debajo de un más ^ ^tram os a la izquierda un menos y a la derecha un más’ . Esto nos da los eIlCOn la rama derecha, con los menos inmediatamente a la izquierda. Las más en i» posiciones en las líneas horizontales se determinan por la continuidad: otras Ha*dice qUe sólo puede haber menos hacia la izquierda (dado que entre dos , la continuidad sólo permite otros más): nías, =0
card(X)
=
1
=
2
+ -
+
-
= 3
-
-
+
-
-
+
Así pues, debido a la uniformidad y a la continuidad, el patrón 3, realizado en el ápice del árbol de números, sólo se puede extender en el patrón realizado por el determinante todo. Consideremos otro ejemplo: algún. El árbol de car d( X) = 0 ,1 ,2 y 3 tiene el siguiente esquema: card(X)
=0 1
=
-
= 2
+
-
= 3
-
+ +
En vista de la uniformidad, el patrón 7 es único y llena la rama izquierda del árbol, así como las posiciones inmediatamente adyacentes. El resto se completa de nuevo por la continuidad y consiste sólo de signos más: card(X)
=0 =
1
-
= 2 = 3
+
+ -
+
+ +
+
(Obsérvese que tener una tercera columna de la forma — + — llevaría a una cuarta columna que viola la continuidad). Con el mismo tipo de razonamiento, se puede mostrar que los patrones 2 y 6 se pueden expandir sólo en los de nin gún y no todo, respectivamente. Este es, por supuesto, sólo un esquema de la demostración. Para más detalles, debe consultarse la literatura mencionada anteriormente. También se pueden encontrar allí los resultados sobre el efecto de debilitar o borrar alguna de las propiedades involucradas.
Ejercicio 7 .1 2 .
¿Qué clase de determinantes resulta si no utilizamos la propiedad de la conf nuidad? 1
7.2.7.
Desarrollos posteriores
Debemos hacer énfasis en que la lectura de las secciones precedentes sólo da I una primera visión superficial del campo y de sus muchos conceptos y prin, j cipios. Por ejemplo, se han realizado muchas investigaciones empíricas que no hemos mencionado: ter Meulen (1983); van Benthem y ter Meulen (1984)Groenendijk et al (1987b) y Gárdenfors (1988) son colecciones en las que se pueden buscar tales trabajos. Tam poco hemos prestado atención a la investi gación de los determinantes por medio de conceptos de la Teoría de las Rela ciones (véase Zwarts (1983) y, especialmente, van Benthem (1984b), donde se estudia la conexión entre el último enfoque y el de las restricciones globales). Tampoco tratamos la investigación sobre cuestiones de ‘expresibilidad’ (véase, por ejemplo, Keenan y Moss (1984), Thijsse (1984) y Keenan (1987)). Otra falencia es que no le prestamos atención a las condiciones que tienen que ser satisfechas para incorporar la Teoría de los Cuantificadores Generalizar dos a la gramática. Es obvio que ciertas condiciones deben imponerse sobre los componentes semánticos de dicha gramática y que el componente semántico también necesita satisfacer ciertos requerimientos. Algunas discusiones sobre este tema son Zwarts (1986) y van Benthem (1986). El trabajo de Keenan y Faltz (1985) debe mencionarse también en este contexto, dado que intenta transferir el concepto de estructura booleana, como se observó en el dominio de las interpretaciones de SN, a otros componentes de la gramática.
7.3.
La Gramática Categorial Flexible y la Teoría de Tipos
En años recientes ha habido ciertos desarrollos interesantes en las investiga ciones sobre Gramática Categorial, parcialmente inspirados en la Gramática de Montague (véase el capítulo 6). Discutiremos algunos aspectos de este pro greso, dado que involucra más vínculos con la Teoría de Tipos.
7.3.1.
Cambio de categoría
Varias de las objeciones en contra de la sintaxis categorial clásica, menciona dos en el capítulo 4, conciernen la rigidez de la asignación de las categorías a las expresiones. El lenguaje natural es más bien flexible en el comportamiento
¿e la combinación categorial. Por ejemplo, la negación no, que usualmente se jggifica com o o/o, no sólo ocurre com o negación de oraciones (No es el caso e Arturo llore), sino también com o negación de predicados (La mayoría de tebés no lloran), como negación de SN (No todo bebé llora), com o negación j e adverbios (no cruelmente), entre otros. Ya desde 1972, Peter Geach pro puso explicar este fenómeno introduciendo reglas de cambio de categorías que-: operan sobre las categorías básicas asignadas a una expresión y así producir categorías admisibles sucesivas. Para evitar el exceso de barras diagonales utilizaremos una notación dis tinta a la anterior: (a, b): ‘de la categoría a a la categoría V Esta notación no se interpretará direccionalmente, es decir, no indica cuál lado es el argumento que es tomado por el functor. Si se llega a requerir, el aspecto direccional se puede introducir en un estado posterior (obsérvese, sin embargo, que también hay otras razones lingüísticas de principio para preferir un enfoque no direccional; compárese Hoeksema (1984)). Con esta notación, las reglas de Geach para cambio de categoría se leen de la siguiente manera: Si una expresión tiene categoría (a, b), entonces también tiene categoría ((c, o), (c, b)), para todas las categorías c Por ejemplo, la negación de oraciones (o, o) también puede ocurrir como ne gación de predicados ((n, o), (n, o)), o cuando se usa la regla de Geach repeti damente, com o en ((n , (n, o)), (n, (n, o))), se obtiene la negación de un verbo transitivo. Otra aplicación de este mecanismo concierne al análisis categorial de los verbos transitivos que tienen SN complejos en la posición de objeto directo. Una expresión como canta todas las baladas produce las siguientes categorías: cantar (■n , ( n , o ))
todas las baladas ((n, o), o)
Estas categorías no se pueden combinar, por medio de la aplicación funcional, para formar la categoría final deseada, a saber, (n, o). La regla de Geach nos da una solución instantánea: ((n, o), o) se cambia por ((n , ( n , o ) ) , ( n , o )), y así la aplicación funcional es suficiente para producir el resultado deseado. Otra manera, en efecto equivalente, de describir lo que está ocurriendo es afirmar que hay un incremento en las posibilidades de combinación categorial.
Además del método de aplicación funcional (que consiste de dos reglas, nuestra aproximación no direccional): a + (a, b) =>■ b (‘a combinado con (a, b) produce í>’) (a, 6) + a =4> b también permitimos la composición funcional: (a,b) + (6, c) => (a, c) (‘ (a, 6) combinado con (6, c) produce (o, c )’) (6, c) + (a, 6) =>• (a, c) Para ver que esto viene a ser lo mismo, obsérvese que con a = n. b = (n, ó) yfl c — o, la derivación anterior del sintagma verbal es una instancia de la primera i regla de composición. Muchos lingüistas han (re) descubierto la regla de Geach com o una herrar mienta descriptiva. Daremos otro ejemplo, esta vez de carácter morfológico, que aparece en Moortgat (1988) y Hoeksema (1984). Los verbos pueden nominalizarse, com o en enseñar es una actividad gratificante. Parece natural que se categorice esta nominalización como ((n, o), n), en otras palabras: una propie dad se convierte en un objeto. Pero esto genera problemas con una expresión com o construyendo Versalles, donde el verbo nominalizado construyendo tiene un objeto directo. Una manera de explicar esto es por medio del siguiente análisis: construir (n, (n, o))
Versalles n
+ •U(n,o)
-yendo +
((n, o), n)
4 n Aquí, primero hemos combinado construir com o verbo transitivo con su objeto directo Versalles, nominalizando el resultado al combinarlo con la partícula yendo. El problema es, por supuesto, obtener la forma morfológica correcta, es decir, obtener la partícula en el verbo. Por lo tanto, el siguiente análisis, que usa la regla de Geach, sería más natural desde un punto de vista metodológico: construir (n ,(n ,o ))
-yendo + JJ. (n, n) + n
((n ,o ),n ) Versalles n
tipos de reglas de cambio se han propuesto en los años recientes. Un mpl° es la ‘reSla de Montague’: de categoría a a categoría ((a,b),b), para toda categoría b Este principio explica el fenómeno de la coordinación, como en el siguiente ejempl°: María
y
todo muchacho
A
((n,
n
a((n ,o ),o )
o ), o )
U ((n,o),o) Compárese el tratamiento de los términos y los nombres propios en §6.3.4.
Otras formas de flexibilidad en la Gramática Categorial se pueden encon trar, por ejemplo, en Partee y Rooth (1983); van Eyck (1985); Groenendijk y Stokhof(1 9 8 4 ,1988a).
7.3.2.
Un punto de vista lógico
No toda transición entre categorías debe considerarse como un tipo de regla de cambio bien motivado. En efecto, los ejemplos dados anteriormente muestran un patrón bien definido. Esto fue observado por Lambek (1958), quien hace una analogía con las implicaciones lógicas: en muchos aspectos, un tipo funcional como (a, b) se com porta como una implicación a —> b. Esta analogía nos da una explicación de los tipos de cambio anteriores en términos de implicaciones lógicas entre formulas implicacionales: a —> b |= (c —y a) —> (c —> b) (Regla de Geach) a \= (a —> b) —>b (Regla de Montague) Este test también es adecuado para otros tipos de flexibilidad. Por ejemplo, Partee y Rooth usan la ‘disminución del argumento’ : (((a, b) , b), c) => (a, c) que también es válida com o una ley de la implicación: ((a —►b) —> b) —►c )= a —> c Estas transiciones válidas se pueden describir como una lógica implicacional, tal com o lo hizo Lambek. Para este propósito, la deducción natural, como se
presenta en el volumen 1, capítulo 4, resulta ser muy útil. El ‘Lambek calculus' se puede describir com o una lógica implicacional intuicionista, con varias res- [ tricciones adicionales sobre las reglas de ‘contabilidad’ para las suposiciones que se usan en las derivaciones. Ejemplo: Una derivación de la regla de Geach 1 2
a --> b c —> a
3
c
4
a
=»E, 2, 3
5
b
=>E, 4, 1
6 7
c —> b (c - » a) —
=>I b)
=>I
No todas las leyes de la implicación del sistema presentadas en el volumen 1 son admisibles aquí; por ejemplo, b —►a no se deriva de a. Esto, dado que el Lambek calculus sólo permite retirar las suposiciones que en efecto se usan. Y , ciertamente, en el lenguaje natural las transiciones com o o => (n, o) ( ‘una oración se vuelve un verbo intransitivo’ ) no parecen ocurrir. Incluso así, existen varias opciones lógicas defendibles para un sistema razonable de cambio de categoría. Por ejemplo, en la variante más estricta no es válido que: a —> ( a —> b) h a —y b La razón es que el uso múltiple de la misma suposición (que se necesitaría en esta derivación) tam poco es permitida en el Lambek calculus. Se podría argu mentar que este patrón ocurre ocasionalmente en el lenguaje natural, por ejemplo, en una transición com o la siguiente: lavar (n, (n, o))
lavarse (n ,o)
Pero no parece que haya una licencia lingüística general para perder argumen tos de esta manera. Sin embargo, la imagen general es esta: debajo de la lógica intuicionista, o incluso la lógica condicional minimal del volumen 1, yace un es pectro de lógicas implicacionales más débiles que pueden servir como ‘motores
categoriales’ para el cambio de categoría. Un sistema interesante de este tipo eS el Lambek calculus, que permite retirar sólo una ocurrencia de una suposi ción en la regla de introducción para la implicación. Es decir, es una lógica de ocurrencias de premisas. Pero para ciertas aplicaciones, también es prudente estudiar lógicas más fuertes que permitan usos múltiples de suposiciones. Una manera más sistemática de ver tales opciones para el cambio de ca tegoría tiene que ver con la siguiente pregunta más bien obvia: en el análisis que acabamos de presentar, las transiciones de categoría tomadas como impli caciones muestran un patrón sintáctico y deductivo interesante, pero ¿cuál es su significado semántico? Esta pregunta es fácil de responder en casos específicos. Por ejemplo, la re gla de Geach es atractiva precisamente por su ‘receta’ naturalsubyacente para convertir un significado de categoría (a, b) en uno de categoría ((c, a), (c. b)): de
a Ay(c a)A2c [i^f(a;6)(y(c a)(zc))]
Obsérvese cóm o el A-operador introducido en el capítulo 4 juega aquí un papel crucial. De manera análoga, aquí está la receta para la regla de Montague: de M a a Ay(a 6)[y(aj6)(M a)] La evaluación de expresiones procede, entonces, por medio de una interacción de cambio de categoría y aplicación funcional ordinaria, de la siguiente manera: María n
An
canta (n, (n, o))
todas las baladas ((n ,o ),o )
n,(n,o))
) aC ((n ,(n ,o )),(n ,o )) ^ 'E (n ,(n ,o ))^ y n [ C ((n ,o ),o ) (* ^ (n ,(n ,o )) ( ? m ) ) ]
+ (n,o) [ C ( ( n , o ) , o ) ( % ( n , ( n , o ) ) (? /n ))] (-^ (n ,(n ,o )))
que se reduce por A-conversión a: A^/n [C((n,o),o)(-^(n,(n,o))(yn))]
+ Ayn[C((ni0)t0)(5(n,(n,o)) (2/n))] {An) que se reduce a la lectura deseada:
Podríamos imponer la restricción general sobre las reglas de cambio de cate goría que dice que las reglas ‘razonables’ son las que tienen una explicación
tipo-teórica. Ahora, podemos hacer algunas observaciones lógicas sobre este tema (véase van Benthem (1986, cap. 7)). Todas las derivaciones en el Lambek calculus pueden recibir sistemáticamente tales términos tipo-teóricos: las tran siciones de categoría correspondientes son correctas en el sentido que acabamos de plantear. También hay resultados recíprocos que indican cóm o términos tipo-teóricos se pueden asociar, efectivamente, con derivaciones implicacionales. La situación general es diversa. Cálculos implicacionales distintos corres ponden a fragmentos distintos de un lenguaje tipo-teórico con A-operadores —en donde el cálculo intuicionista completo corresponde al lenguaje completo, pero el Lambek calculus utiliza sólo una parte— . Más aún, ha habido más inves tigaciones sobre restricciones adicionales a los cambios de categoría ‘naturales’, es decir, ‘ A-recetas’ , que pretenden asegurar que las ‘A-transformaciones’ de las denotaciones originales retengan aproximadamente el mismo comportamiento semántico que los originales. De esta manera, parece que hay una familia de gramáticas categoriales de cambios de categoría flexibles. Las investigaciones actuales se concentran sobre las propiedades técnicas de dichas gramáticas. Un asunto importante aquí es reconocer el poder de dichas gramáticas (véase vol. 1, cap. 8). Proba blemente, las gramáticas categoriales basadas en las reglas Lambek originales reconozcan sólo lenguajes independientes del contexto, pero esta cuestión no se ha resuelto aún. Resulta curioso que cálculos más poderosos puedan per der poder de reconocimiento, incluso al punto de que sólo puedan reconocer lenguajes regulares. Una segunda serie de preguntas concierne a las propiedades semánticas de los A-términos que las gramáticas flexibles le asignan a las expresiones. Por ejemplo, se ha demostrado que, sin importar cuántas lecturas de una expresión sean producidas por derivaciones en el Lambek calculus, las ‘recetas de significado’ relacionadas producen sólo un número finito de significados lógicos no equivalentes. En este sentido, la riqueza de los cambios de categoría se mantiene dentro de bordes razonables. Además, en este escenario se investigan varias generalizaciones de propie dades semánticas importantes, tales com o la monotonicidad (véase §7.2.). No sólo los SN y los determinantes pueden ser monótonos, también pueden serlo los adjetivos, las expresiones adverbiales y las preposiciones. Este es un ejemplo de una tendencia actual de formular de manera general observaciones semán ticas acerca de categorías especiales (cuantificadores, verbos, adverbios). Por ejemplo, la noción central de conservatividad encontrada en los determinantes resulta ser una instancia de un comportamiento restrictivo general de sintag-
pxas nominales a lo largo de expresiones enteras. Testigos de esto son patrones como los siguientes: ■ Todo A le teme a u n B ^ Todo A le (teme n (A x B )) a un B m Ningún A le dio un i? a todos los Cs
Ningún A le (dio n (^ x B x C ))
un B a todos los Cs efecto, podemos d er iv a r de manera sistemática tales formas más com plejas de conservatividad, a través de A-recetas que acompañan la derivación categorial de dichas oraciones. De esta manera, incrementamos nuestra com prensión del sistema categorial de lenguajes naturales como estos.
En
7.3.3.
Desarrollos adicionales
En este momento se están investigando varias extensiones y variantes del enfoque explicado anteriormente. Hemos mencionado la discusión acerca de la naturaleza precisa del vínculo entre el cambio semántico de tipos y el cambio sintáctico de categoría. Otros tópicos tratan sobre varias extensiones del enfoque tipo-teórico hasta ahora formulado. Una de tales extensiones trata sobre el siguiente fortalecimiento lógico: la Gramática Categorial estándar produce significados que pueden describirse al utilizar sólo aplicación funcio nal, los cambios de categoría introducidos en §7.3.1. y §7.3.2. también dan lugar a la A-abstracción. El siguiente paso puede ser la admisión de identidad lógica entre términos tipo-teóricos. Un ejemplo lingüístico de esta característi ca es el que se presenta a continuación, el cual proviene del alemán: Der Heinrich El determinante d eres de categoría ((n, o), ((n, o), o)) y el nombre propio Hein rich es de categoría n. Si un SN, es decir ((n, o), o), es el resultado de la apli cación de uno al otro, la categoría de Heinrich debe convertirse a (n, o). Una receta posible podría ser utilizar la siguiente identidad: n =>• (n, o) de A n a Ayn [An = Vn] (la propiedad de ser A n) Otra extensión lleva a la adición de tipos intensionales (véase §5.6.), dado que los cambios de categoría también ocurren en contextos intensionales; has ta ahora, ningún sistema ha sido propuesto para este propósito. Finalmente,
mencionamos un asunto posiblemente más sorprendente: es posible proponer un mecanismo general para el lenguaje natural, tal com o el cambio de cate goría; sin embargo, no podemos dejar el asunto así no más, dado que este mecanismo expondrá comportamientos interactivos con otras características importantes del lenguaje natural. Por ejemplo, si podemos hacer deducciones lógicas a partir de cierta expresión, ¿qué pasa si esta expresión se expone a un cambio de categoría? ¿Se preservarán las conclusiones y, en dicho caso, de qué manera? En efecto, hay una línea de investigación actual que trata sobre la inferencia y el cambio de categoría en los cálculos combinados. Otros tipos de interacción todavía esperan ser investigados. Literatura adicional sobre estos temas se puede encontrar en Oehrle et al. (1988); Buszkowski et al. (1988) y Klein y van Benthem (1988).
7.4.
Teoría de Representación de Discursos
7.4.1.
Introducción
La Teoría de Representación de Discursos es una teoría semántica para el lenguaje natural desarrollada a comienzos de los ochenta por Hans Kamp (1981). Muchas ideas incorporadas en esta teoría estaban presentes de forma seminal en trabajos anteriores de varios autores. Aproximadamente al mismo tiempo se desarrollaron propuestas similares de manera independiente, entre otras, las presentadas por Irene Heim (1982, 1983) y Pieter Seuren (1985). Una de las características de la Teoría de Representación de Discursos, com o su nombre lo sugiere, es que se centra en la interpretación semántica de discursos, es decir, en sucesiones coherentes de oraciones, también llamadas ‘textos’ ; en lugar de oraciones aisladas, como en la Gramática de Montague. En la Teoría de Representación de Discursos, de ahora en adelante d r t (por su sigla en inglés), la unidad primaria semántica (y sintáctica) no es la oración, sino el discurso (o el texto). Otra característica de la DRT es que considera la interpretación semántica no com o una relación directa entre expresiones y (un modelo de) la realidad, sino que postula un nivel intermedio de representación semántica en donde se almacena la información expresada por un discurso. Esta característica se refleja también en el nombre de la teoría. A diferencia del nivel intermedio de la Gramática de Montague, en donde las estructuráis sintácticas se traducen en expresiones del sistema de la lógica intensional (véase §6.2.), el nivel correspondiente de la representación de discur-
gos en la DRT se considera un componente esencial de la gramática. Se asume que no es posible proceder sin este nivel de análisis, mientras que el nivel de traducción en la Gramática de Montague sólo está allí por conveniencia, lo que lo hace eliminable gracias a la composicionalidad de los procesos de traducción e interpretación. Así pues, el “representacionalismo” de la DRT la convierte en una teoría no composicional. La idea es que una representación de discurso refleja la información expre sada por un discurso. Como tal, debe ser considerada como una descripción parcial de la realidad. Ciertamente, un texto nunca da información sobre todo lo que es verdadero en alguna realidad (ficcional o de otro tipo); él sólo describe a lo sumo una parte de ella. El significado de una expresión será considerado primariamente com o la contribución de dicha expresión a la representación del discurso, dado por el todo mayor en el cual ella ocurre. Este concepto de sig nificad i difiere del concepto familiar de interpretación de una expresión en un modelo. En este último, una expresión es interpretada dentro de una imagen completa de la realidad. Sin embargo, este nivel más familiar de interpretación semántica también está presente en la DRT, en la forma de la definición de la verdad de un discurso, la cual se define en términos de si la información parcial representada puede imbuirse en el modelo completo. Hay varios motivos para el desarrollo de la DRT. Primero que todo, están en juego asuntos generales teóricos y metodológicos. Se asegura que la DRT salva la brecha entre la visión (psico-) lingüista del significado, en la cual las estruc turas sintácticas se relacionan con las representaciones mentales y la visión lógico-semántica, en la cual las estructuras sintácticas se relacionan con (un modelo de) la realidad. A este respecto, se dice que la DRT reconcilia la visión declarativa o estática del significado, con la visión procedimental o dinámica. La visión dinámica, que es dominante en ciencia cognitiva, sostiene que el signifi cado de una expresión debe considerarse como una instrucción para el oyente de ‘construir’ (parte de) una representación. La visión estática es defendida usualmente por lógicos y filósofos del lenguaje; ella conecta el significado con condiciones de verdad o, más generalmente, con condiciones de denotación. Por supuesto que los motivos detrás del desarrollo de la DRT no son sólo metodológicos; esta teoría también pretende dar cuenta de cuestiones empíri cas que otras teorías semánticas, por ejemplo la Gramática de Montague, no pueden explicar. Un grupo importante de dichos fenómenos trata sobre la in terpretación de pronombres y, en particular, de las relaciones anafóricas entre pronombres y términos indefinidos, tanto dentro, com o a través de las fronte
ras de la oración; la DRT provee una solución para varios problemas en este campo. Otras áreas en las que la DRT se ha aplicado incluyen la interpretación de tiempos y aspectos verbales, en particular el papel que estos juegan en es tablecer la coherencia de textos, y el análisis de oraciones de creencia y otros reportes de actitudes proposicionales. En esta introducción nos concentraremos en algunos problemas centrales del primer grupo de fenómenos. Lo hacemos así por razones de exposición, dado que aquí se puede mostrar más claramente el contraste entre la DRT y la Gramática de Montague. Alguna distorsión puede resultar de este enfoque. Ciertamente, no debe entenderse que la aplicación de la DRT a otros fenómenos empíricos es menos importante. El lector es referido a los trabajos de Heim, Kamp y Seuren y a la literatura mencionada en §7.4.6. Introduciremos la DRT desde el punto de vista de la Gramática de Monta gue. En §7.4.2. presentaremos ciertos problemas con las relaciones anafóricas y términos indefinidos que surgen en la Gramática de Montague. Luego, esbo zaremos la solución que la DRT ofrece para esos problemas. En §7.4.3. daremos una introducción informal a la DRT. En §7.4.4. daremos definiciones de la sin taxis y la semántica del lenguaje formal usadas en la DRT para representar la información expresada por un discurso. Com o lo indicamos anteriormente, el nivel intermedio de representación de discurso que la DRT postula va en contra del principio metodológico de la composicionalidad, que ocupa una posición central en la Gramática de Montague. En §7.4.5. trataremos este asunto y sostendremos que, a diferencia de lo que se sugiere usualmente, el “representacionalismo” no es esencial para la DRT, en el sentido de que su poder explicativo no lo presupone. El éxito empírico de la DRT descansa más bien sobre su visión procedimental y dinámica del signi ficado.
7.4.2.
Algunos problemas con las relaciones anafóricas y los términos indefinidos
En la Gramática de Montague, com o se presentó en el capítulo 6, los pronom bres anafóricos, es decir, los que se interpretan como ‘refiriéndose de nuevo’ a la denotación de un término, se analizan sistemáticamente com o variables acotadas. Los siguientes ejemplos ilustran esto: (91) Juan ama a María y él la besa (92) Toda mujer ama a un hombre que la admira
En la oración (91) se entiende que él se refiere de nuevo a Juan y la, a María; en (92), el pronombre la está acotado por el término cuantificado toda mujer. por supuesto, también hay lecturas de (91) y (92) en las que los referentes de los pronombres están determinados de manera distinta; pero este uso deíctico de los pronombres no nos concierne aquí, y en adelante ignoraremos sistemáticamente esta posibilidad. Las lecturas previstas de (91) y (92) se obtienen en la Gramática de Montague por medio de las reglas de cuantificación (véase §6.3.8.). Por ejemplo, la oración (91) se deriva de una estructura oracional en la que ocurren dos variables sintácticas distintas, él\ I02 ama y él\ I02 besa, en las cuales se intro ducen sucesivamente los términos Juan y María, por medio de la regla de cuantificación S8, n. El efecto de esta regla es el siguiente: el término en cues tión se sustituye por la primera ocurrencia de la variable sintáctica relevante y los pronombres adecuados, es decir, los que concuerdan en género, número y caso con el término en cuestión, toman el lugar de las otras ocurrencias. Dicho sea de paso, se puede observar que el uso de un tipo de pseudo-pronombre co mo una variable sintáctica puede llevar a confusiones: las variables sintácticas en sí mismas no son pronombres, pero pueden reemplazarse por ellos de ser necesario. Podríamos haber utilizado x e y en lugar de éli y éfo. Semánticamente, el proceso de cuantificación corresponde a lo siguiente: una variable sintáctica se traduce en una variable lógica. Luego, la fórmula que es la traducción de la oración en la cual ocurre la variable sintáctica se transforma en una expresión que se refiere a la propiedad por A-abstracción sobre la variable lógica. Los términos se traducen en expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades y la traducción de la oración final, con el termino cuantificado, es el resultado de aplicar la traducción del término a la intensión de la A-expresión. El resultado es una fórmula que afirma que la propiedad expresada por la A-expresión pertenece al conjunto de propiedades que es la denotación de la traducción del término. Si éste es un término cuantificado, tal como toda mujer o un hombre, entonces por A-conversión el cuantificador que aparece allí acota las ocurrencias de las variables libres en la oración original. En la traducción de los nombres propios, todas las ocurrencias se reemplazan por la constante que aparece en la traducción del nombre propio. En este sentido, los pronombres anafóricos se consideran como variables acotadas en la Gramática de Montague. ¿Cuáles son las dificultades que surgen de este tratamiento de pronombres anafóricos, para los cuales la d r t intenta dar una solución? En esta sección nos restringiremos a la discusión de tres ejemplos que, aunque son aparentemente
simples, ilustran los problemas mayores. Por supuesto, hay más fenómenos re lacionados con los términos y las relaciones anafóricas. Para una revisión rigurosa y extensiva referimos a Heim (1982, cap. 1). El primer tópico se centra en el tratamiento de las relaciones anafóricas que cruzan los bordes de la oración. La Gramática de Montague no puede tratar efectivamente este tipo de relaciones anafóricas. Consideremos el ejemplo (93): (93) Un hombre camina por el parque. El silba El pronombre él, en la segunda oración, está acotado por el término un hombre de la primera oración. En otras palabras, esta sucesión de oraciones tiene el mismo significado que la oración simple (94): (94) Un hombre camina por el parque y silba Derivar (94) en la Gramática de Montague con la lectura deseada es fácil. El proceso de cuantificación, bosquejado en los párrafos anteriores y discutido extensivamente en §6.3.8., nos permite derivar (94) con la traducción reducida (95) (ignoraremos la estructura interna de camina por el parque y la traduci remos por la constante de predicado sencilla CAMINA POR EL PARQUE): (95)
3 x ( h o m b r e (x ) A c a m i n a
p o r el p a r q u e (x )
A s il b a (x ))
Esta fórmula no sólo expresa el significado correcto de (94), sino que también provee el significado de (93). A primera vista, extender la Gramática de Mon tague para obtener un tratamiento satisfactorio de ejemplos com o (93) parece ser un asunto sencillo. Podemos introducir una operación sintáctica de ‘secuenciar oraciones’ , que se interpreta semánticamente com o una conjunción, y aplicar también la regla de cuantificación a las sucesiones de oraciones. Si comenzamos con las oraciones Eli camina por el parque y Eli silba, forma mos, a partir de ellas, Eli camina por el parque. Eli silba, y en esta estructura cuantificamos el término un hombre. El resultado (reducido) es (95). Pero hay un problema. El discurso (93) se puede continuar con oraciones en las que el pronombre él ocurre de nuevo, con la intención de referir de nuevo a un hombre, tal com o ocurre en (96): (96) Un hombre camina por el parque. Él silba. Aparentemente [él] está de buen humor
Si derivamos las dos primeras oraciones de (96), es decir (93), com o se descri bió anteriormente, no es posible añadir la tercera oración de tal manera que la ocurrencia de él sea acotada por un hombre. En general — y también en el caso de (93)— esta manera de dar cuenta de la referencia anafórica que cruza los bordes de las oraciones presupone que primero se genere el texto completo, con variables sintácticas en los lugares adecuados, después de lo cual tiene lugar la introducción de los términos requeridos y sus pronombres anafóricos dependientes, por medio del proceso de cuantificación. Pero desde la perspectiva semántica, realizar este proceso implica que la interpretación de un término y de los pronombres anafóricos relacionados sólo tenga lugar cuando se esté seguro de que el discurso o texto no continuará, sino que está cerrado. Esto implica que el proceso de interpretación no proceda paso por paso, aunque así sea como percibimos el proceso intuitivamente. Cuando leemos u oímos un texto, analizamos e interpretamos primero la primera ora ción, después la segunda y así en adelante. En otras palabras, la interpretación es un proceso de incrementos: la interpretación de oraciones anteriores influen ciará la de oraciones posteriores, lo que presupone que la interpretación de las primeras oraciones estará disponible más adelante. Por otro lado, la manera que tiene la Gramática de Montague de explicar las relaciones anafóricas por medio de las reglas de cuantificación no concuerda bien con esto. Siempre que una relación anafórica cruce la frontera de una oración, la interpretación de la primera oración no puede determinarse hasta que el discurso esté completo, es decir, hasta que el texto completo esté disponible. En otras palabras, un texto sólo se puede interpretar holísticamente, no por incrementos. Uno podría considerar esto como un resultado un tanto contraintuitivo, como una de esas ocasiones inevitables en las que la explicación teórica y la intuición pre-teórica divergen. Pero un segundo ejemplo mostrará que el pro blema es más profundo. Consideremos la siguiente variación de (93): (97) Exactamente un muchacho camina por el parque. Él silba Si derivamos (97) de la misma manera que (93), cuantificando el término exactamente un muchacho en la sucesión abierta de oraciones Elo camina por el parque. Elo silba, el resultado es la traducción (reducida) presentada en (98): (98)
EkVy ((MUCHACHO(y) A CAMINA POR EL PARQUE(y) A S IL B A (y ))^ X = y )
Pero (98) no representa el significado de (97). Esta fórmula dice que hay exacta mente un individuo que tiene las propiedades de ser un muchacho, de caminar
por el parque y de silbar; en otras palabras, hay exactamente un muchacho caminando y silbando por el parque no excluye que otros muchachos caminen en el parque. Sin embargo, el significado de (97), por otro lado, es que hay exactamente un muchacho en el parque y que este muchacho está silbando. Por lo tanto, es (99), y no (98), la fórmula que proporciona la representación correcta del significado de (97): (99) 3x(Vy((MUCHACHO(y)ACAMINA POR EL PARQUE(y))<->X=y)ASILBA(x))
Esta observación muestra que el problema de extender la Gramática de Montague de la manera esbozada anteriormente no es sólo que explique las relaciones anafóricas que cruzan los bordes de las oraciones de una manera contraintuitiva; sino también que produce predicciones erradas. La diferencia entre los ejemplos (93) y (97) también hace que sea intuitiva mente claro por qué este m étodo es, en general, incorrecto. La idea subyacente es considerar un discurso o un texto como una descripción de una propiedad compleja adscrita subsecuentemente al término en cuestión. En el ejemplo (93), esto resulta en que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ se aplica a un hombre, lo cual es correcto. Por otra parte, el resultado de la opera ción en el caso de (97) es que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ se aplica a exactamente un muchacho, lo cual no es el significado de (97); mientras que (93) y (94) son equivalentes a (100), (97) no es equivalente a (101): (100) Un muchacho camina por el parque y silba (101) Exactamente un muchacho camina por el parque y silba En la sucesión de oraciones de (97), primero se afirma que hay exactamente un muchacho que está caminando por el parque y luego se afirma de este muchacho que está silbando. Esto también puede describirse de la siguiente manera: la primera oración introduce un individuo, el único muchacho que camina por el parque, y la segunda oración proporciona una descripción adicional de este individuo: él silba. Esto sugiere una manera bastante general de tratar la continuación de un texto. Por ejemplo, la sucesión en (97) se puede continuar como en (102): (102) Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba. El tiene los ojos azules
Como lo observamos anteriormente, el enfoque de la cuantificación encuentra dificultades aquí. Sin embargo, si seguimos la sugerencia hecha anteriormen te, parece que hay una manera de evitar estas dificultades. Mientras el texto continúa, vamos atribuyéndole más propiedades al individuo introducido. Por supuesto, podemos tratar un ejemplo como (93) de la misma manera: la prime ra oración introduce un individuo (no necesariamente único) que es un hombre y que camina por el parque. Las oraciones subsecuentes adscriben más propie dades al individuo: silba, está de buen humor y así en adelante. Tales individuos, primero introducidos y después descritos en un discurso o texto, se llaman aveces referentes del discurso. Ellos son lugares para los indi viduos a los que se refiere el discurso o texto. Observamos anteriormente que un discurso dado casi siempre proporciona sólo una descripción parcial de cierto dominio. Ya sea que el discurso es verdadero o no, en un modelo dado depende de si se puede establecer una correspondencia entre los referentes del discurso introducidos por el discurso e individuos reales en el dominio del modelo, de tal manera que todas las afirmaciones hechas en el discurso acerca de los referentes del mismo sean verdaderas. Algunas veces hay una sola manera de obtener tal correspondencia y algunas veces hay más de una. Estas observaciones informales acerca de cómo interpretar un discurso yacen en el fondo del enfoque de la DRT. Pero antes de entrar en detalles quere mos discutir un tercer fenómeno que la Gramática de Montague no puede explicar y para el cual la DRT propone una solución. El problema en los ejemplos discutidos anteriormente trata sobre sucesiones de oraciones, donde un pronombre en una oración está relacionado anafóricamente con un término indefinido en una oración precedente. El tercer fenómeno también trata sobre términos indefinidos y pronombres anafóricos, pero esta vez dentro de las fronteras de la oración. Consideremos los siguientes ejemplos: (103) Si Juan tiene un burro, [él] lo golpea (104) Todo granjero que tenga un burro lo golpea En la oración (103) encontramos un término indefinido en el antecedente de una implicación y un pronombre en el consecuente; en la oración (104) encon tramos un término indefinido en una cláusula relativa que modifica un término cuantificado universalmente y un pronombre en la cláusula principal. Ambas oraciones ilustran el mismo problema, el cual se conoce en la literatura como el problema de las oraciones burro. El problema es el siguiente: un análisis
semántico correcto de los ejemplos (103) y (104) debe producir las sigUierit 1 traducciones (reducidas): (105) Vx (( b u r r o ( x )
á t e n e r ( j u a n , x ))
—►g o l p e a r ( j u a n , x))
(106) VxVy ((GRANJERO(x) A BURRO(y) A
t e n e r (x ,
y)) —►GOLPEAR(x, y)\
El problema, por supuesto, no es cuál es el significado de las oraciones (103) y (104) o cóm o debe representarse; las fórmulas de la lógica de predicados de primer orden (105) y (106) expresan sus significados adecuadamente. El núcleo del problema, com o en los ejemplos discutidos anteriormente, es cómo obtener las representaciones de (105) y (106). Veamos más de cerca el ejemplo (103). Notamos inmediatamente que el término indefinido un burro aparece de nuevo en (105), no com o un cuantificador existencial, sino com o uno universal que tiene alcance sobre toda la implicación. Esto es correcto en vista del significado de (103); la pregunta ahora es cóm o obtener este significado de una manera composicional. Parece razonable asumir que al término un burro, tal com o ocurre en oraciones como (103) y (104), se le asigna su significado usual, representado en IL por la ex presión familiar A X 3x [BURRO (x) A v X ( x ) ] . Pero si queremos derivar (103) de tal manera que el pronombre lo en el consecuente de la implicación esté acotado por el término un burro en el antecedente, nos vemos en dificultades. La única manera en podríamos obtener esta acotación sería cuantificando el término un burro en la oración Si Juan Ioq tiene, entonces [él] Ioq golpea. El resultado de esta operación es (107): (107) 3 x ( b u r r o (x ) A ( t e n e r ( j u a n , x ) —> g o l p e a r ( j u a n , x )))
Pero esta fórmula no expresa el significado de (103). La única alternativa que ofrece la Gramática de Montague es la introducción directa del término, es decir, una derivación sin ninguna cuantificación. El resultado de esto es (108): (108) 3 x [b u r r o ( x ) A
t e n e r (j u a n , x ) ]
—> g o l p e a r ( j u a n , x )
Aquí, la ocurrencia de x en el consecuente no está acotada por el cuantificador existencial en el antecedente y, por lo tanto, no hay explicación para la relación anafórica entre un burro y lo; en consecuencia, (108) no es equivalente a la tra ducción correcta (105). En general, una fórmula de la forma 3x0 —> xp es equivalente a V x (0 —> ip) sólo si tp no contiene ocurrencias libres de x. El con secuente de (108) contiene una ocurrencia libre de x y, por lo tanto, no es equi-
lente a (105). Encontramos el mismo problema, por supuesto, si tratamos ¿ e o b t e n e r de manera composicional a (106) como una traducción de (104). E s t o s ejemplos son similares a los que discutimos anteriormente en relación n jas relaciones anafóricas. Si no hay un pronombre anafórico, com o en (109), d e m o s arreglárnoslas con la representación estándar de un burro y el resul tado es la traducción adecuada (110): (109) Si Juan tiene un burro, entonces Javier se pone furioso (110) 3 x (BURRO(x ) A TENER(JUAN, x )) —> ESTAR FURIOSO( JAVIER) El problema específico creado por los ejemplos de oraciones burro es el de encontrar una manera semántica de tratar con los términos indefinidos que explique el hecho de que en una construcción su significado es existencial y en otra construcción es universal. En la sección 7.4.3. mostraremos que ana lizar utilizando referentes del discurso provee una solución adecuada para este problema. Ejercicio 7.13. Muestre que la oración (104) no puede tratarse satisfactoriamente dentro del fragmento de la Gramática de Montague del capítulo 6.
7.4.3.
Una introducción informal a la D R T
En la sección 7.4.2. discutimos varios fenómenos concernientes a los términos indefinidos y a los pronombres anafóricos que no se pueden resolver dentro del marco de la Gramática de Montague, tal com o se presentó en el capítu lo 6. Una de las afirmaciones empíricas de la DRT es que ofrece un marco semántico dentro del cual se puede dar una descripción uniforme y elegante de estos hechos. Esta sección introducirá este marco al mostrar cóm o tratar estos problemas. No hay realmente una formulación definitiva de la DRT a la cual adherirse. Las definiciones dadas a continuación difieren en diversos aspectos de la versión original de la DRT presentada en Kamp (1981). Sin embargo, confiamos en que los lectores serán capaces de explorar la literatura sobre el tema después de familiarizarse con la versión que aquí presentamos. Al igual que la Gramática de Montague, la DRT ofrece una interpreta ción semántica de (un fragmento) del lenguaje natural. La primera diferencia consiste en que la Gramática de Montague es una gramática de oraciones,
mientras que la DRT, en principio, intenta interpretar sucesiones de oración 1 nes. Para el tipo de ejemplos que discutiremos aquí, esta diferencia no resulta ser tan importante, dado que todas las instancias de sucesiones de oraciones con las que nos encontraremos pueden ser parafraseadas como conjunciones de oraciones. Sin embargo, la afirmación es que la manera en que se tratan las I sucesiones de oraciones provee una perspectiva fructífera para el tratamiento de casos más complicados.
La DRT ofrece una interpretación semántica, por lo cual se justifica espe- j rar una sintaxis com o punto de inicio para el análisis y un modelo como punto final. No entraremos en detalles con respecto a la sintaxis del fragmento aquí tratado, simplemente asumiremos que hay disponible una sintaxis que asigna estructuras constituyentes simples a las oraciones del fragmento. También asumiremos que el fragmento contiene: sintagmas verbales extensionales in transitivos y transitivos; sintagmas nominales comunes; nombres propiospronombres personales singulares; términos cuantificados de manera univer sal y existencial; cláusulas relativas restrictivas, y operaciones oracionales de negación, disyunción, implicación y secuenciadora de oraciones. Los modelos extensionales simples de la lógica de predicados de primer orden pueden servir de modelos para el fragmento. Una propiedad característica de la d r t es que, dada una estructura sintác tica, las (sucesiones de) oraciones están provistas de representaciones. Uno de los mecanismos de la DRT es un conjunto de reglas que convierten estructuras sintácticas en estructuras de representación de discursos, llamadas DRS por sus siglas en inglés. Estas reglas se llaman reglas de construcción de DRS. Las DRS son expresiones de un lenguaje formal no muy ortodoxo. Intro duciremos dos clases de notaciones para DRS, ambas pueden encontrarse en la literatura sobre la DRT: notaciones pictóricas y lineales. En esta sección dare mos un esbozo del proceso de construcción de las DRS y de la interpretación de las DRS resultantes de utilizar la notación pictórica. En §7.4.4. pasaremos a considerar una definición formal de la sintaxis y la semántica de las DRS, utilizando la notación lineal. Como primer ejemplo de construcción de una DRS para una oración del lenguaje natural, consideremos (111): (111) Juan ama a una muchacha que lo admira Asumimos una estructura constituyente de la oración (111). El primer paso en la construcción de la DRS es poner la oración en una caja:
(112)
Juan ama a una muchacha que lo admira
El segundo paso en la construcción conduce a la siguiente caja:
(113) Juan=x x ama a una muchacha que lo admira En la transición de (112) a (113) tres cosas han sucedido: (i) se introdujo una variable x en la caja, llamada un marcador de referencia en la DRT, que juega el papel de lo que hemos llamado, en §7.4.2., un referente de discurso; (ii) se reemplazó en la oración el término que es el sujeto de la oración, el nombre propio Juan, por el marcador de referencia x; (iii) se añadió una afirmación de identidad Juan = x. La aplicación de la regla que le corresponde a los nombres propios siempre hace que estas tres cosas ocurran. La regla se aplica siempre que nos encontremos con algo de la forma o [sjv[nombre propio] vi[- ■•]] (aunque no exclusivamente en este caso). Continuando con la construcción, el tercer paso conduce a la siguiente caja: (114)
x, y
Juan=x x ama a y muchacha(y) y lo admira En este paso se introduce un nuevo marcador de referencia y. Los marcadores se introducen no sólo para los nombres propios, sino también para los térmi nos indefinidos, com o una muchacha, o en este caso, una muchacha que lo admira. En lo que quedaba de la oración original en la caja (113), se reem plaza este término por el marcador y, recientemente introducido. El resultado es la fórmula x ama a y. Finalmente, se añade la formula m uchacha(y) y se aplica simultáneamente una reconstrucción a la cláusula relativa. En esencia, la reconstrucción viene a ser lo mismo que reemplazar el pronombre relativo Que por el marcador y. Si la oración original hubiese sido Juan ama a una muchacha, tendríamos la caja (114) menos la última línea y la construcción de la
drs
estaría completa.
Sólo resta hacer una cosa con nuestra oración: debemos hacernos cargo c]e¡ pronombre anafórico lo. La regla de construcción de DRS relevante substitu. ye el pronombre por un marcador apropiado introducido previamente. Dado que lo es masculino, el único marcador apropiado es la x, que fue introducida por Juan. En otras instancias podría haber más de un candidato y, por consi guiente, más de una d r s habría sido posible. En el caso actual, sin embargo el resultado no es ambiguo: (115)
x, y Juan=x x ama a y muchacha(y) y admira a x
De esta manera se alcanza el estado final del proceso de construcción de drs, no hay más reglas de este sistema que se puedan aplicar a la caja (115). El resultado es una caja que contiene dos tipos de cosas: (i) un conjunto de marcar dores de referencia: {x , y }; (ii) un conjunto de fórmulas: {Juan = x, x ama a y, muchacha(y), y admira a x } . Las fórmulas que ocurren en una DRS se llaman condiciones. En nuestro ejemplo, todas las condiciones son fórmulas atómicas. Tales DRS simples, que consisten en un conjunto de marcadores de referencia y un conjunto de condiciones atómicas, forman los bloques de construcción de DRS básicos. Más adelante veremos que las DRS también pueden contener condiciones complejas. Si la oración (110) fuera a continuarse con la oración (116), entonces esta oración debería añadirse a la caja (115) y el proceso de construcción conti nuaría. (116) Ella también lo ama El resultado final luciría de la siguiente manera: (117)
x, y Juan=x x ama a y muchacha(y) y admira a x y ama a x
£ ajas como esta están hechas para representar el significado de (sucesiones de) oraciones. Así pues, debemos considerar ahora la interpretación de las DRS.
fiemos observado que una DRS se considera com o una descripción parcial de (un modelo de) la realidad. Para ponerlo de otra manera, podemos considerar una DRS com o un modelo parcial de la realidad. En (117) y (115), este es un modelo con un dominio que contiene dos individuos cuyas propiedades están (parcialmente) especificadas por las fórmulas presentadas en los dos ejemplos. La idea ahora es que una DRS puede llamarse verdadera con relación a un modelo ordinario total M si el modelo parcial correspondiente a la DRS puede tomarse com o una parte de M , es decir, si puede imbuirse en M . La interpretación de una DRS procede de la siguiente manera. Un modelo M especifica un dominio D y una función de interpretación I. La función I interpreta los nombres propios, los nombres comunes y los verbos, de la misma manera en las constantes individuales y los predicados se interpretan en lógica de predicados. Definimos la noción de una imbuición verificadora de una DRS en un mo delo M . Dicha imbuición verificadora es una función / que asigna elementos de D a los marcadores de referencia en la DRS, de tal manera que todas las condiciones en la DRS sean verdaderas en M . En términos de esta noción de imbuición verificadora se define la noción de verdad de una DRS en un modelo M . Una DRS es verdadera en M sii hay por lo menos una imbuición verifica dora para la drs en M . Por ejemplo, la drs (117), la drs de la sucesión de oraciones (110) y (116), es verdadera sii hay una imbuición verificadora / que asigne individuos de D a los marcadores de referencia x e y, de tal manera que / ( x ) = Juan, y f ( y ) sea una muchacha amada por Juan quien a su vez lo ama y admira. En otras palabras, las condiciones de verdad de la DRS (117) tienen los mismos efectos que si el término indefinido una muchacha que lo admira fuera analizado como un término cuantificado existencialmente con el alcance amplio sobre la conjunción de (110) y (116), y los pronombres fueran analizados com o variables acotadas. Esto ocurre a pesar de que no se uti lizó ninguna cuantificación existencial para obtener dicho resultado. El efecto de la cuantificación existencial es el resultado de las condiciones de verdad Para las d r s , lo que requiere la existencia de por lo menos una imbuición verificadora de la DRS en el modelo. Pero vimos anteriormente que los términos indefinidos algunas veces corres ponden a la cuantificación universal. ¿Cóm o logra la DRT dar cuenta de esto? tratamiento de la drt a la oración (104), repetida a continuación como
(118), ilustra este punto:6 (118) T odo granjero que tenga un burro lo golpea El primer paso en la construcción de una drs para (118) es, de nuevo, poner la oración entera en una caja. La oración tiene la forma o[sN [todo jvc[a]] v/[/3]], es decir, su sujeto es un término universal. El segundo paso en la construc ción es la aplicación de la regla de construcción de drs para SN universales. Esta regla introduce algo nuevo, a saber, una relación de implicación —> entre las DRS. Después de estos dos pasos iniciales, el resultado luce de la siguiente manera: (119) x granjero(x) x tiene un burro
=>
x lo golpea
La DRS (119) está compuesta por tres cajas. La caja exterior, donde habíamos puesto la oración original, se llama la DRS principal. La relación de implica ción —*■ entre las dos sub-DRS las convierte en una condición compleja y esta condición compleja se coloca dentro de la DRS principal. El proceso también introduce una relación de subordinación entre las DRS. Las dos sub-DRS rela cionadas por —> están subordinadas a la DRS principal y la de la derecha de —►está subordinada a la de la izquierda.
En la caja de la izquierda se introduce un marcador de referencia x. En la caja de la derecha aparece una fórmula que resulta de reemplazar el SN universal en la oración por el marcador x introducido. Las fórmulas en la caja de la izquierda corresponden al N C y a su cláusula relativa, que se tratan de la misma manera com o se ilustró en el ejemplo (111), con un término indefinido. Las dos sub-DRS en (119) están sujetas a reglas de construcción de DRS adicionales. Así pues, dentro de las cajas de la izquierda y de la derecha, continuamos el proceso de construcción de DRS. En la caja de la izquierda aparece el término indefinido un burro y aplicamos la regla de construcción para términos indefinidos, como se discutió en el análisis de la oración (111). Esto significa que se introduce un nuevo marcador y en la caja de la izquierda, ®N. de T .: el ejem plo (118) se tradujo del inglés, don de no aparece el m od o subjuntivo de la oración. Ninguna de las discusiones en esta sección tienen relación con dicho m odo, así que p od em os obviarlo y concentrarnos en el problem a de la resolución de anáforas.
junto con una fórmula que afirma que y es un burro; el objeto SN un burro se reemplaza por el marcador y, recién introducido en la frase x tien e un burro. Finalmente, debemos encargarnos del pronombre lo que se encuentra en la caja de la derecha. En el ejemplo anterior sólo había una caja y allí describimos la regla de construcción para pronombres de la siguiente manera: sustituya el pronombre por un marcador de referencia adecuado. Sin embargo, esta regla debe extenderse mediante el uso de la relación de subordinación entre las DRS que introdujimos anteriormente, por lo que queda: sustituya el pronombre por un marcador de referencia adecuado, introducido en una de las cajas a las cuales está subordinada la caja en la cual aparece el pronombre. En este caso, ésta sólo puede ser la caja de la izquierda del signo de implicación, dado que no se ha introducido ningún marcador en la DRS principal y sólo y es adecuado. El resultado final del proceso de construcción es la siguiente DRS:
( 120) X granjero (x) x tiene a y burro (y)
=>
x golpea a y
Consideremos ahora la interpretación de este nuevo tipo de DRS. La DRS princi pal de (120) no contiene marcadores de referencia y sólo contiene una condición compleja. Así que la definición de la noción de imbuición verificadora introdu cida anteriormente requiere para esta DRS que la condición que consiste de las dos sub-DRS unidas por el signo de implicación sea verdadera. Esto último es el caso, por definición, si toda imbuición verificadora de la DRS antecedente da lugar a una imbuición verificadora para la DRS consecuente. Para (120), esto implica que toda asignación / de un granjero a x y de un burro a y, y de tal manera que el burro le pertenezca al granjero, debe verificar que el granjero golpea al burro. En otras palabras, las condiciones de verdad de (120), la representación del discurso de la oración (118), son exactamente las mismas que las de su traducción (106) en la lógica de predicados ordinaria, discutidas en §7.4.2., con el alcance amplio del cuantificador universal sobre x e y. Pero esta vez no encontramos el problema que mencionábamos allí. En la construcción de las DRS hemos tratado el término indefinido un burro, de la oración (118), de la misma manera en que tratamos el término indefinido en el ejemplo (111). Pero la interpretación de las DRS asegura que en el último caso se obtenga
la fuerza de un cuantificador existencial, mientras que en el primero se ad quiere la fuerza universal, dado que ocurre dentro del antecedente de una condicional. ^
Cerramos esta sección haciendo notar que la oración condicional (12;n resulta exactamente en la misma drs que la oración (118), que acabamos ri tratar: e (121) Si un granjero tiene un burro, lo golpea La construcción de una DRS asociada con una oración condicional consiste en la introducción de dos sub-DRS conectadas por —> en la DRS principal. En la drs antecedente continuamos con la reconstrucción del antecedente de la oración en este caso un granjero tiene un burro; en la DRS consecuente continuamos con el consecuente de la oración, en este caso él lo golpea.
Ejercicio* 7.14. Construya las
drs
para las siguientes (sucesiones de) oraciones:
(a) Un muchacho ama a todas las muchachas (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas (c) Si Juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia Ejercicio* 7.15. Formule una regla de construcción de drs para los SN sujetos que tengan el determinante exactamente uno y utilícela para construir una DRS para el ejemplo (97), discutido en §7.4.2.: Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba.
7.4.4.
Definiciones formales
En esta sección daremos las definiciones formales de la sintaxis y la semántica de las drs en una notación lineal basada en la Teoría de Conjuntos.
En el vocabulario del lenguaje de las drs encontramos constantes indivi duales y marcadores de referencia (que juntos forman la clase de los términos), constantes predicativas n-árias, la identidad, la negación, disyunción e impli cación (así pues, si identificamos los marcadores de referencia con variables, el vocabulario del lenguaje de las drs forma realmente un subconjunto del lenguaje de la lógica de predicados de primer orden).
Como lo indicamos en §7.4.3., una DRS puede verse como un par (V ,C ), donde V es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de marcadores de refexicia y C es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de condiciones. Estas áttimas pueden ser atómicas complejas (hablando estrictamente, C no es un ;unto de fórmulas, sino más bien un conjunto de ocurrencias de fórmulas, o na agrupación o un conjunto múltiple de fórmulas. En el resto de esta sección ignoraremos este detalle técnico). Las condiciones complejas están formadas «•partir de DRS, así que las definiciones de las DRS y de las condiciones tie nen que hacerse de manera simultánea. Utilizaremos los caracteres griegos en minúsculas y V como metavariables que toman valores sobre condiciones y los caracteres griegos en mayúsculas $ y $ como metavariables que toman valores sobre las DRS.
Definición
7.23.
(i) Si P es una constante de predicado n-aria y t i , . . . , í n son términos,
entonces P ( ¿ i , . . . , tn) es una condición (ii) Si t y t' son términos, entonces t = t! es una condición (iii) Si $ es una DRS, entonces (iv) Si $ y
es una condición
son DRS, entonces ( $ —> 'J') es una condición
(v) Si $ y 'I' son DRS, entonces ($ V \I>) es una condición x i , . . . , x n son marcadores de referencia ( n > 0), y c/>i, • • •, m son condiciones (m > 0), entonces ( { x i , . . . , x „ } , { 4>i, •. •,^m}) es una DRS
(vi) Si
(vii) Únicamente los elementos que cumplen con las cláusulas (i) a (vi) son
una DRS o una condición Por medio de las cláusulas (i) y (ii) se pueden formar clausulas atómicas que no difieren en ningún aspecto de las fórmulas atómicas de la lógica de predica dos. Las cláusulas (iii) a (v) forman negaciones, implicaciones y disyunciones. Mientras que en la lógica de predicados esas operaciones convierten fórmulas en fórmulas más complejas, aquí convierten las DRS en condiciones complejas. Es sólo por medio de la cláusula (vi) que se pueden formar las DRS. En efecto, las operaciones en las cajas que se usan en las reglas de construcción de DRS, tales como añadir marcadores de referencia y condiciones a las DRS, se pueden ver com o tales operaciones de la Teoría de Conjuntos.
El conjunto de marcadores de referencia en una DRS cumple el papel de un mecanismo de cuantificación. Las ocurrencias libres de los marcadores de refe rencia en las condiciones (atómicas o complejas) de las DRS son acotadas por dicho conjunto. La fuerza de acotación de los conjuntos de marcadores de refe rencia es más poderosa que la de los cuantificadores en la lógica de predicados. Los cuantificadores sólo pueden acotar variables dentro de su alcance. Si identificamos el alcance de un conjunto de marcadores V en una d r s (V ,C ) con las condiciones en C , entonces el conjunto V puede acotar mar cadores por fuera de su alcance. Esto ocurre en el caso en que {V, C) sea el antecedente de un condicional (V, C ) —> (V ',C '). En el caso en que un mar cador x £ V ocurra libremente en el consecuente ( V ' , C ) , dicha ocurrencia queda acotada por el conjunto V en el antecedente. Esta noción más general de acotación de variables es una característica esencial de la DRT; ella constituye el núcleo del tratamiento de las oraciones burro por parte de la DRT, en las cuales un término indefinido dentro del antecedente de una estructura implicacional puede vincularse anafóricamente a un pronombre por fuera de su alcance en el consecuente. En el lenguaje de las DRS definido anteriormente, esta noción más relajada de acotación se restringe a las implicaciones. En una disyunción no es posible que el conjunto de marcadores de uno de los componentes de la disyunción acote marcadores en el otro componente. Similarmente, un conjunto de mar cadores bajo el alcance de la negación no tiene fuerza para acotar por fuera de la negación. Por supuesto que las propiedades de acotación de las DRS, discutidas aquí informalmente, son efectuadas por su semántica, sobre lo cual volveremos más adelante. A manera de ilustración, presentamos las DRS de los dos ejemplos discutidos en §7.4.3. en la notación lineal de la definición 7.23. En la notación pictórica de cajas, la sucesión de oraciones Juan ama a una muchacha que lo admira. Ella (también) lo ama se representó com o (122) (= (117)):
(122) x, y
Juan=x x ama a y muchacha (y) y admira a x y ama a x En el formalismo de la definición 7.23., (122) corresponde a la siguiente DRS:
(123) ({x ,y }, { juan =
x , a m a r ( x , y), muchacha (y), a d m ir ar ^
,
x ), a m ar (y,
x )} )
Muestro segundo ejemplo es la DRS de la oración burro Todo granjero que tenga
un burro lo golpea (= (12 0 )): (124)
X granjero (x) x tiene a y burro (y)
=>■
x golpea a y
La DRS principal de (124) consiste en un conjunto vacío de marcadores de referencia y un conjunto de condiciones con un elemento: una condición com pleja que tiene la forma de una implicación. La caja a la izquierda del signo de implicación, la DRS antecedente, se escribe como (125) en la notación lineal de la definición 7.23.: (125) ({x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y), te n e r ( x , y )}) La caja de la derecha del signo de implicación, la DRS consecuente, se escribe ahora com o (126): (126) (0, { g o lpear ( x ,?/)}) Las DRS (125) y (126) juntas forman la condición compleja (127): (127) (({ x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y), te n e r ( x , y ) } ) —» ( 0, { g o lpear ( x , y ) } ) ) La DRS (124) como un todo corresponde, entonces, a (128): (128) (0, (({x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y),
ten er ( x ,
y )}) —►
( 0, { g o lpear ( x , y ) } ) ) )
Por razones de legibilidad, algunas veces escribiremos (0, { 0 i , . . . , 4>n}) como { 0 1 , . . . , 0 „ } y { 0 } como 0 y omitiremos los paréntesis exteriores. Con estas convenciones, (128) se puede escribir como (129): (129) ({x , y }, { g r a n j e r o ( x ), BURRo(y), t e n e r ( x , y )}) —> g o l p e a r ( x , y)
E jercicio* 7.1 6.
Escriba en la notación lineal de la definición 7.23. la DRS para las (sucesio de) oraciones (a) a (c) y la DRS para (d): ' nes (a) Un muchacho ama a una muchacha (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas (c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia (d) Exactamente un muchacho camina por el parque. Él silba Ahora, consideraremos la interpretación semántica de las DRS utilizando un modelo, tal com o se hace con las fórmulas de cualquier lenguaje lógico Para el lenguaje de las DRS que tratamos aquí, los modelos extensionales de primer orden son adecuados. De esta manera, un modelo M = (D , I) consiste en un dominio D y una función de interpretación / , que interpreta las constantes individuales y las constantes de predicado de la manera usual. Dado que la definición sintáctica define tanto las condiciones como las drs la definición semántica también tiene que establecer las interpretaciones para las dos clases de expresiones. Se definen simultáneamente dos nociones: N m i£í , que significa que la condición 0 es verdadera en el modelo M con respecto a la asignación g ^ Que significa que la asignación h es una imbuición verificadora para la drs en el modelo M con respecto a la asignación g En términos de estas dos nociones daremos la interpretación de las condiciones y as DRS, por medio de una definición recursiva simultánea. Utilizaremos la siguiente convención notacional: PJm.3 = /m (¿) si t es una constante individual W m,s = g(t) si t es una variable h\xi , . . . . x n]g significa que la asignación h difiere a lo sumo de la asignación g en los valores que le asigna a los marcadores de refer en cia x i , . . . , x n (para n = 0, esto viene a ser lo mismo que h = g) Definición 7.24.
■■' ’ * ") SÍÍ
(i)
(ii) H m ,5 * = ^ SÜ W M'3 =
p i)
9^
•••, PnlM.g) € / m ^ )
M’9
S" n0 hay nin§una ^ tal que h
,.y) |^M g ($ —> V^) sii para toda h, si h ]=M,g
^ entonces existe una k tal
que k |=m,/i ^
(v) (=M9 ($ V q u e h |=M,g (v i)
sii existe al§una h tal que h ^ M’9 $ ° eXÍSte alguna h tal ^
( = M jfl < { * ! , . . . , X n } , {»!, . . . , < ¿ m }} SÜ
h
&
^
&
H M .h ¿ 1 &
•••
4>m
Definimos la noción de verdad en una DRS en términos de la noción de una imbuición verificadora para una DRS: D efin ición
7.25.
DRS $ es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación g,
Una
t=M,g
sü existe una asignación h tal que h |=M,g $
O bsérvese
que la noción de verdad de una DRS juega un papel implícito en la
en las cláusulas (iii)-(v). Utilizando la noción de verdad de una DRS d e f i n i d a en 7 .2 5 ., estas cláusulas se pueden escribir de manera más económi
d e fin ic ió n 7 .2 4 .,
c a a sí:
(Üi’) t=M,p (iv ’ ) (v ’)
Sii
,g $
f=Mifl ($ -► $ ) sii para toda h, si h t=M,g )= M ,g ( $ v ’í ' ) sii N , g
entonces |=M,h V
^ ° I= m ,j ^
En palabras: una condición -<$ es verdadera con respecto a una asignación g sii la DRS $ es falsa con respecto a g-, una condición es verdadera con respecto a g sii \I> es verdadera con respecto a toda asignación hquesea una imbuición verificadora para $ con respectoa g, y una condición $ V ^ es verdadera con respecto a g sii $ es verdadera con respecto a g o í e s verdadera con respecto a g. La definición de verdad también deja claro que el conjunto de marcadores de
referencia en una DRS cumple el papel de un mecanismo de cuantificación.
Una d r s ( { # 1, . . . , xn}, {(¡)X, . . . , 4>m}) es verdadera con respecto a g sii % alguna asignación h que difiere a lo sumo de g con respecto a los valoreg^J le asigna a x \ , . . . , x n y tal que (j)\,. . . ,i, •••, 0 m } ) sii (=M,9 & . . . & |=M g >m. Para ilustrar la manera en que funcionan las definiciones 7.24. y 7.25., consideraremos de nuevo las DRS de la sucesión de oraciones Juan ama a una muchacha que lo admira. Ella lo ama (también), presentadas en (123), y la D R S d e l a o r a c i ó n b u r r o Todo granjero que tenga un burro lo golpea, presentada en (128). Primero la interpretación de (130) (= (123)): (130) ({a:,í/}, {JUAN=X, AMAR(x, y), MUCHACHA(y), ADMIRAR(y, x), AMAR(y, x)}) De acuerdo con la definición 7.25., la DRS (130) es verdadera (podemos omitir la referencia a una asignación dado que (130) no contiene variables libres) sii hay una asignación h que sea una imbuición verificadora para (130). De acuerdo con la cláusula (vi) de la definición 7.24., este es el caso sii hay una asignación h tal que \=h juan= x , |=/j am ar (x , y), |=h muchacha (y), (=*. ADMiRAR(y, x) y 1=^ AMAR(y, x). De acuerdo con las cláusulas (i) y (ii), este es el casa sii hay una asignación h tal que / i (x ) = / ( juan), {h (x), h (y )) 6 / ( amar ), h ( y ) e l ( muchacha), (h(y), h (x )) 6 / ( admirar ) y (h(y), h (x ))e / ( amar ). En otras palabras, la DRS (130) es verdadera bajo exactamente las mismas circunstancias que la fórmula de la lógica de predicados (131), que a su vez es equivalente a (132): (131) 3x3y(juAN =x
A muchacha (y) A am ar (i ,?/)
A admirar ^ , x)
A am ar (?/,i ))
132)
3z[MUCHACHA(y) A AMAR(j> y) A ADMIRAR(y, j ) A AMAR(y,j)]
uestro segundo ejemplo, consideraremos la interpretación de la DRS (133)
^°(128)) que corresponde a la oración burro (104): 13 3
1
) (0, « { x , y } , {GRANJER0(x),BURR0(y),TENER(x,y)}) -»• (0, {g o lp e a r (x , y)})))
pado que el conjunto de marcadores de la DRS principal de (133) es vacío, sus condiciones de verdad coinciden con las de su única condición (134) (=(127)): (134) (({x, y }, ( granjero(x ) , BURRo(y), tener (x , y)}) -> (0,{GOLPEAR(x,y)}))
De acuerdo con la cláusula (iv) de la definición 7.24., la oración (134) es ver dadera sii la DRS consecuente (0, { golpear (x , y)}) es verdadera con respecto a todas las asignaciones h que sean imbuiciones verificadoras de la DRS ante cedente ({x , y }, ( granjero(x ), BURRo(y), tener (x , y )}). La verdad de la DRS consecuente (0, { golpear (x , y )}), que tiene un conjunto vacío de marcadores, viene a ser la verdad de su condición golpear( x , y). Esto significa que las con diciones de verdad para (134), y por lo tanto para (133), vienen a ser las siguientes: para toda asignación h, si h (x ) G / ( granjero), h(y) £ / ( burro) y (h (x ),h (y )) € / ( tener ), entonces (/i(x ), /i(y)} € / ( golpear). En otras pa labras, la verdad de las condiciones de la DRS (133) para la oración burro (118) son las mismas que las de su traducción (135) (= (10 6 )) en la lógica de predicados: (135) VxVy (( granjero (x ) A burro(x ) A tener (x , y)) —> golpear ( x , y)) Es esta interpretación de la implicación en la drt la que se hace cargo de que cualquier conjunto de marcadores en el antecedente pueda acotar ocurrencias de variables en el consecuente y la que le da fuerza universal. Ejercicio 7.17. Determine las condiciones de verdad de la DRS de las (sucesiones de) oraciones (a) a (c), y (d), del ejercicio 7.16., aplicando las definiciones 7.24. y 7.25.:
(a) Un muchacho ama a una muchacha (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas
(c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia (d) Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba Hasta ahora no le hemos prestado casi atención a la negación y a la disyunción de las DRS. Cerraremos esta sección con unas pocas observaciones acerca de estas operaciones. Primero, veamos la negación. Consideremos las siguientes dos sucesiones de oraciones: (136) No es cierto que un hombre camine por el parque. Él silba (137) Ningún hombre camina por el parque. Él silba En ambos casos observamos que el pronombre en la segunda oración no puede ser vinculado anafóricamente a los términos un hombre o ningún hombre de la primera oración. Este hecho se explica en la DRT. Utilizando una vez más la notación de cajas, la construcción de DRS de la primera oración daría como resultado la DRS (138): (138)
hombre (x) camina por el parque(x) Esta DRS tiene un conjunto vacío de marcadores de referencia y contiene una única condición, la negación de la DRS que corresponde a un hombre camina por el parque. Si añadimos la segunda oración a esta DRS, no podemos ir más allá de lo siguiente:
X —1
hombre (x) camina por el parque(x)
él camina No podemos resolver el pronombre. En la DRS principal no se han introducido marcadores de referencia. El conjunto de marcadores dentro de la negación no es accesible. También podemos ver esto de la siguiente manera: tomemos la representación lineal (140) de la DRS (139), en donde reemplazamos el pro nombre por el marcador x:
(1 4 0 )
(0 , { " ' ( { x } , { H O M B R E ( x ) , C A M IN A P O R E L P A R Q U E ( x ) } ) , S IL B A R ( x ) } )
t a ocurrencia del marcador x en la condición SILBAR(x) es libre. El conjunto . marCadores de la DRS a la cual pertenece es vacío, pero no lo es en el con secuente de la implicación. El ejemplo es una instancia del hecho general de que l°s términos en una oración negada no pueden tener una relación anafó rica con los pronombres en oraciones subsiguientes. En el segundo ejemplo, (137), obtenemos un resultado equivalente. En la notación de cajas obtendríamos la siguiente DRS como su interpretación:
X
=¿*
camina por el parque (x)
hombre(x) él camina Una vez más, el pronombre no se puede resolver. De manera correspondiente, en la representación lineal (142) encontramos una ocurrencia del marcador x en la condición SILBAr (x ) que no está acotada: (142) (0, { « { x } , { h o m b r e (x )) -> —.<0, { c a m in a POR EL p a r q u e ( x )})),
silb ar (x )})
Bajo esta representación no es la negación como tal la que bloquea la relación anafórica en (137), sino más bien el hecho de que los términos dentro de una oración condicional no pueden entrar en una relación anafórica con pronom bres en oraciones subsiguientes del discurso. Esto significa que en el caso de los discursos (143) a (145), la DRT predice correctamente que los pronombres en la segunda oración no pueden estar relacionados anafóricamente con térmi nos de la primera oración: (143) Todo hombre camina por el parque. El camina (144) Si un granjero tiene un burro, él lo golpea. El lo odia (145) Ningún hombre camina por el parque. El silba Sin embargo, algunas veces discursos estructuralmente similares son correctos: (146) Todo jugador escoge un peón. Él lo pone en el primer cuadrado
(147) Si un cliente entra, lo tratas bien. Le ofreces una taza de café y le dice8 que espere En (146) y (147), la primera oración corresponde a una DRS que contiene una condición que tiene la forma de una implicación. Para obtener una repre sentación correcta de los significados de (146) y (147) necesitaríamos que la condición que corresponde a la segunda oración estuviera incluida en el conse cuente de la implicación que corresponde a la primera oración. Así pues, no es imposible construir una DRS para estos discursos, pero el proceso de construc ción de las DRS para la segunda oración tiene que tener una forma diferente a la del procedimiento normal, en el cual las segundas oraciones entrarían en la DRS principal, en estos casos, las segundas oraciones deben entrar en la drs consecuente de la representación de la primera oración. Más aún, tendríamos que explicar por qué este procedimiento no está permitido para (143) y para muchos otros casos. Se pueden hacer observaciones similares con respecto a la doble negación. En algunos casos, aunque no en todos, obtenemos relaciones anafóricas: (148) No es cierto que Juan no tenga un carro. Es rojo y está parqueado en frente de esta casa La DRT no puede explicar esto fácilmente; la negación bloquea las relaciones anafóricas y esta característica de la negación no es aniquilada por la doble negación. Se pueden observar limitaciones similares en la explicación de las relaciones anafóricas con disyunciones. La interpretación de las disyunciones como se da en la definición 7.24. prohíbe relaciones anafóricas entre un pronombre que esté en la oración de la derecha de la disyunción y un término que esté en la de la izquierda. Por consiguiente, las oraciones como (149) y (150) no pueden ex plicarse simplemente tomando la disyunción de las dos oraciones componentes: (149) O bien no hay baño aquí o bien éste es un lugar curioso (150) O bien Juan no tiene un burro o bien lo golpea Este hecho es sorprendente, dado que estas disyunciones parecen ser simples variaciones de oraciones burro ordinarias; la disyunción burro (150) es equiva lente a nuestro ejemplo anterior (103). Pero no hay una manera fácil y directa de mejorar el lenguaje de las DRS y su interpretación para obtener mejores resultados para estos ejemplos problemáticos.
Ejercicio* 7.1 8. proporcione las DRS que representen correctamente el significado de los ejem plos (144) a (147).
74.5.
D R T y la composicionalidad
los puntos de partida de la semántica modelo-teórica es que el signi f ic a d o reside en las condiciones de verdad. La noción de verdad de las DRS, d e fin id a en §7.4.4., nos proporciona condiciones de verdad para las DRS y, d e u n a manera indirecta, por medio de su reconstrucción en DRS, nos brin d a condiciones de verdad para las oraciones y discursos del lenguaje natural. C o n s i d e r e m o s el siguiente par de ejemplos: U no de
(1 5 1 )
Un hombre camina por el parque
(152) No todo hombre no camina por el parque Las DRS correspondientes a (151) y (152) son (153) y (154), respectivamente: (1 5 3 )
({x }, {HOMBRE(x), CAMINA POR EL PARQUE(x)})
(1 5 4 )
(0, { - '( ( { x } , { h o m b r e (x )}) —>•-.(0, { ca m in a
por el parq u e (x )}))})
Utilizando nuestras convenciones de abreviación, esta última puede escribirse de la siguiente manera: (155) ->(({x},HOMBRE(x)) —> -"CAMINA POR EL PARQUE(x)) En efecto, algunos cálculos muestran que (153) y (154) tienen las mismas condiciones de verdad en la DRT, tal com o las fórmulas correspondientes en la lógica de predicados. Por consiguiente, si identificamos el significado lógico con las condiciones de verdad, debemos concluir que (151) y (152) tienen el mismo significado lógico. Por otro lado, consideremos lo que pasa si continuamos cada una de las oraciones (151) y (152) con la oración El silba. Tenemos, entonces, los siguien tes dos discursos (el primero de los cuales ya lo encontramos anteriormente; (156)=(93)): (156) Un hombre camina por el parque. Él silba (157) No todo hombre no camina por el parque. Él silba
Claramente, ahora hay una diferencia: sólo en el caso de la oración (15^ podemos interpretar el pronombre en la segunda oración com o ligado anafórt 1 camente a un término en la primera. Este hecho se refleja en las DRS (158) vi (159) de los discursos (156) y (157): (158) ( { x } , { h o m b r e (x ),
c a m in a p o r el p a r q u e ( x ), s il b a r (x )})
(159J (0, { - '( ( { x } , { h o m b r e (x ) }) -> —-<0, { c a m in a p o r EL p a r q u e ( x ) } ) ) , s il b a r ( x )})
Esta última se puede abreviar de nuevo de la siguiente manera: (160) { - '( ( { x } ,
h o m b r e ( x ))
-> - . c a m in a
p o r el p a r q u e ( x )), s il b a r ( x )}
Mientras que la DRS (159) tiene un conjunto vacío de marcadores, el conjunto de marcadores de (158) es el conjunto no vacío { x } . Es precisamente esta dife rencia la que explica el hecho de que en (156) el pronombre de la segunda oración se pueda vincular anafóricamente al término indefinido en la pri mera oración, mientras que tal vínculo anafórico no es posible en (157). Dado que en (159) el conjunto de marcadores { x } está dentro de una condición en su conjunto de condiciones, es imposible que acote la variable x en otra condición, en este caso SlLBAR(x), en dicho conjunto. Así pues, a pesar de que (151) y (152) tienen las mismas condiciones de verdad, es decir, el mismo significado lógico, las diferencias entre (156) y (157) muestran que tienen un papel distinto en el discurso, es decir, un ‘significado de discurso’ . Por consiguiente, para ser capaces de explicar esta diferencia, parece esencial que las oraciones (151) y (152) correspondan a DRS distintas, con propiedades de discurso distintas. En consecuencia, es posible concluir que el nivel de representación de dis curso es un nivel esencial en la semántica. Si las DRS (153) y (154), que corres ponden a las oraciones (151) y (152), son distintas pero su significado lógico es el mismo, es sólo su diferencia en form a, su diferencia como representa ciones, la que puede explicar la diferencia en el comportamiento en el discurso. Asociar las DRS a sucesiones de oraciones por medio de reglas de construc ción de DRS es, entonces, un elemento esencial de la interpretación semántica que no se puede eliminar. Esta conclusión entra en contradicción con el principio de com posicion alidad, el principio líder de la Gramática de Montague. La situación a la que nos estamos enfrentando es la siguiente: la d r t ofrece una teoría semántica no
jüposicional que es capaz de explicar ciertos fenómenos empíricos que, cojjjo lo demostramos en §7.4.2., no se pueden explicar mediante la semántica c0mposicional ofrecida por la Gramática de Montague. Esto parece sugerir, j e una manera más bien poderosa, que la composicionalidad ha sido refu tada Por es^os hechos. Pero ¿cóm o es esto posible, teniendo en cuenta que en el capítulo 6 hemos enfatizado el hecho de que la composicionalidad es un principio metodológico en lugar de una hipótesis empírica? Es el principio de composicionalidad en sí mismo el que muestra la salida a este dilema. Con sideremos de nuevo los discursos (156) y (157). Ellos son sucesiones simples de dos oraciones pero, aunque la segunda oración es la misma en ambos, su significado difiere. Por consiguiente, la composicionalidad dicta que la primera oración de (156) y (157) difiere en significado. Pero ¿no acabamos de ver que ellas tienen las mismas condiciones de verdad? Entonces la composicionalidad muestra que su significado no reside en sus condiciones de verdad. ¿Qué noción de significado puede darnos medios para encontrar una di ferencia entre los dos discursos? De cierta manera, la noción de significado requerida ya está implícita en la definición 7.24., en particular en la cláusula (vi), en donde se define la interpretación de las DRS. Esto, dado que se puede observar que la noción recursiva básica en la semántica de las DRS es la de una asignación h, que es una imbuición verificadora para una DRS con respecto a una asignación g. La noción de verdad de una DRS no es la noción semántica recursiva básica en la DRT; es una noción semántica derivada. En la definición 7.25., la verdad de una DRS se define en términos de sus condiciones imbuidas. La verdad se usa aquí com o una noción global; no es la misma noción que lubrica los engranajes de la definición de interpretación. Por ejemplo, la verdad de una condición de la forma <£—>'!' se define en términos de las imbuiciones verificadoras de $ y 'I', y no en términos de sus condiciones de verdad. De esta manera, lo que la d r t - interpretado apropiadamente, es decir, composicionalmente— muestra en realidad es que el significado de una oración o un discurso no se puede identificar con sus condiciones de verdad, sino más bien reside en las condiciones de imbuición de las DRS en las cuales se traduce. En efecto, dos DRS pueden tener las mismas condiciones de verdad, incluso cuando sus condiciones de imbuición difieran. Por ejemplo, las DRS (153) y (154), las cuales corresponden a las oraciones inaugurales de los discursos (156) y (157), tienen las mismas condiciones de verdad, pero difieren no sólo en su forma, sino también en sus condiciones de imbuición.
Así pues, no hay necesidad, en absoluto, de concluir que necesitamos \ltl nivel de representación com o un nivel esencial de interpretación. No hay ur^ razón empírica para abandonar la composicionalidad, pues es esta la que lleva a la conclusión de que lo que realmente necesitamos es una noción más rica de significado que la de la semántica estándar. Lo que podemos concluir de todo esto es que, en principio, nada se inter pone en el camino de una unificación de la DRT con la Gramática de Montague en una teoría global del significado del discurso, en tanto que interpretemos apropiadamente lo que sucede en la DRT. No podemos discutir aquí todos los detalles de dicha unificación, por una razón, y es que la DRT es una teoría extensional de primer orden, mientras que en la Gramática de Montague utili zamos una semántica de orden superior intensional. De nuevo, esta elección de marco lógico está dictada por la composicionalidad. Así pues, nuestra teoría unificadora debe extender la interpretación del discurso a esa lógica de orden superior intensional. Hacer esto está por fuera del alcance de esta introducción. Nos concentraremos en el caso de primer orden, sólo para mostrar el camino. Haremos esto al comparar, para unos pocos ejemplos, las representaciones semánticas en el lenguaje de las DftS con las traducciones en lógica de predi cados de primer orden. En esta comparación, nos concentramos en la cuestión de hasta qué punto estas dos maneras de representación se pueden obtener por medio de un proceso com p osicion a l. La respuesta a esta pregunta será que algunas veces las DRS se pueden obtener de una manera ‘más com posicio nal’ que la de las traducciones de la lógica de predicados, pero que en otros casos, la construcción de DRS también deja algo que desear. Indicaremos una manera de superar esta falta de composicionalidad en la DRT, regresando al lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, pero interpretándola de una manera diferente. Consideraremos primero la oración burro simple (161). (161) Si un hombre camina por el parque, [él] silba Su traducción en lógica de predicados, presentada en (162) y la DRS corres pondiente, presentada en (163) difieren esencialmente en su estructura: (162) V x ((h o m b r e (x ) (163) (0, { ( { x } ,
A
CAMINA POR e l p a r q u e (x )) —» s ilb a r (x ) )
h o m b r e ( x ),
CAMINA POR EL
p a r q u e (x ) })
—>
(0, { s il b a r ( x ) } ) } )
Desde un punto de vista composicional, la DRS (163) es una mejor repre sentación de la oración (161), que la fórmula (162). Las dos oraciones un
hombre camina por el parque y él silba, a partir de las cuales está forma da Ia oración (161), se pueden recobrar en la DRS (163) como las sub-DRS ({x}, (hom bre(x), camina POR e l p a rq u e(x)}) y (0, {s ilb a r (x )}). Este no
gg el caso para la traducción en lógica de predicados presentada en (162). gn efecto, una traducción composicional de la oración (161) en la lógica de predicados conllevaría a la fórmula (164): (164) 3 x ( h o m b r e ( x ) A c a m in a por el pa r q u e ( x )) —►silb ar (x )
Por supuesto que (164) no es una traducción apropiada de (161). La variable en el consecuente no está acotada por el cuantificador existencial en el antece dente; (164) no es equivalente a la interpretación correcta, pero no composicio nal, presentada en (162). Hemos visto que la interpretación de la relación de
implicación en la DRT asegura que el conjunto de marcadores en el antecedente tiene fuerza acotadora sobre variables en el consecuente.
Como un segundo ejemplo, consideremos, una vez más, la sucesión simple de dos oraciones, (165) (= (1 5 6 )= (9 3 )):
(165) Un hombre camina por el parque. El silba
Esta vez, la traducción en lógica de predicados presentada en (166) (=(95)) y la DRS correspondiente presentada en (167) (=(158)) tienen esencialmente la
misma estructura: (166) 3 x ( h o m b r e (x ) A c a m in a po r el p a r q u e (x ) A silb a (x )) (167) ({x }, { h o m b r e (x ), c a m in a por el p a r q u e (x ) , sil b a r (x )})
A diferencia del ejemplo previo, las dos oraciones un hombre camina por el parque y él silba, a partir de las cuales se construye la oración (165), no se pueden recuperar en la DRS (167) como sub-DRS. Para que así fuera, necesi taríamos una operación sobre las DRS, digamos A, que convertiría dos DRS en una nueva. Si tal operación estuviera disponible, la oración (165) se podría representar más composicionalmente como (168): (168) ({x }, { h o m b r e (x ), c a m in a por el p a r q u e (x )}) a (0, { sil b a r (x )})
En efecto, la estructura de (168) es lo que sería la traducción de (165) en lógica de predicados si la construyéramos composicionalmente, tal como lo muestra (169):
(169) 3x(h om bre(x) A camina p o r e l parque(x)) A silb a (x )
Pero de nuevo, esta fórmula no da una interpretación correcta del significado de (165). Para que la conjunción de las d r s en (168) tenga sentido, debemos añadir (170) com o una cláusula a la definición 7.23.: (170) Si $ y ^ son DRS, entonces ( A '!') es una
drs
Y debemos añadir una cláusula a la definición 7.24. para representar su inter pretación. Para encontrar la interpretación del operador A, primero observaremos de nuevo la interpretación de las DRS. Como hemos visto, la definición 7.24. pre senta la interpretación de las DRS en términos de la noción relacional h (=m ,3: lh es una imbuición verificadora de la DRS con respecto a g\ Lo que esto significa es que podemos tomar la interpretación de una DRS com o una rela ción entre asignaciones de valores a los marcadores de referencia. En lógica de predicados ordinaria, en donde definimos la noción de una fórmula como verdadera con respecto a una asignación, podemos ver el significado de una fórmula com o un conjunto de asignaciones: las asignaciones bajo las cuales la fórmula es verdadera. Similarmente, el significado de una DRS se puede tomar com o un conjunto de pares ordenados de asignaciones. Por ejemplo, el conjunto de pares de asignaciones que son la interpretación de la DRS simple ( {x }, {F (x ) } ) se puede escribir como: (171) { ( g, h) |h[x)g & h(x) € / ( / ) }
Obsérvese que el orden de los pares en (171) es el contrario al de la noción de h ¡=M,g. La razón de esto es que tiene sentido considerar dichos pares en tér minos de entradas y salidas. Con respecto a una asignación de entrada g, la salida del procedimiento que interpreta ({x }, {.F (x)}) corresponde aquellas asignaciones h que difieren de g a lo sumo en que asignan un objeto a x tal que dicho objeto pertenece a la interpretación del predicado F. Desde esta perspectiva, la tarea de encontrar una interpretación de $ A í ' viene a ser la de especificar la relación de entrada-salida de $ A 'I', en términos de las relaciones de entrada-salida asociadas con
(172) h (=m,s $ A í» sii existe alguna k tal que k (=M,g $ y h [=M,fe ^ P o r e je m p lo , p a r a
(165),
e s t o s ig n ific a q u e la s e c u e n c ia d e o r a c io n e s p u e d e ser
r e p r e s e n ta d a p o r m e d io d e la c o n ju n c ió n d e la s d r s e n s u la que
(172) p a r a l a (168) o b t i e n e
(168).
B a jo
la c lá u
in te r p r e ta c ió n d e la c r e a c ió n d e s u c e s io n e s , la in t e r p r e ta c ió n es la m is m a q u e la d e la DRS o r ig in a l
(158).
D e e sta m a n era ,
o b t e n e m o s la f o r m a q u e tie n e la D R T p a r a in t e r p r e t a r s u c e s io n e s d e o r a c io n e s c o n u n t é r m in o in d e fin id o e n la p r im e r a o r a c ió n y u n p r o n o m b r e e n la s e g u n d a . T a m b i é n p o d e m o s r e p r e s e n t a r l a a h o r a p o r m e d i o d e u n a D R S e n l a c u a l la s
(165) e s t á n r e p r e s e n t a d a s p o r s u b - D R S e n (168). Para un último ejemplo en la discusión de composicionalidad, volvemos de nuevo sobre la oración burro (173) (= (104)):
o r a c io n e s c o m p o n e n t e s d e
(173) Todo granjero que tenga un burro lo golpea La
o r a c ió n
(173) o b t i e n e l a m i s m a t r a d u c c i ó n (175) (= (10 6 )) e n (174) (= (12 1 )) y a m b a s s e r e p r e s e n t a n p o r l a m i s m a
p r e d ic a d o s q u e
ló g ic a DRS
de
(176)
(= (128)): (174) Si un granjero tiene un burro, lo golpea (175) VxVy ( ( g r a n j e r o ( x ) A b u r r o ( x ) A t e n e r ( x , y)) —> g o l p e a r ( x , y)) (176) (0,
(({x ,
y },
{ g r a n j e r o ( x ) , b u r r o ( j/ ) , t e n e r ( x , y ) } ) — ►
( 0 , { g o l p e a r (x , y ) } ) ) )
Como lo comparábamos en el ejemplo anterior, encontramos en este caso una brecha más dramática de la composicionalidad en la traducción en lógica de predicados. La oración (173) contiene el término indefinido un burro que normalmente se traduce com o un sintagma cuantificado existencial. En la tra ducción (175), sin embargo, estamos forzados a asociarlo con su cuantificación universal. Más aún, este cuantificador debe recibir alcance amplio sobre la implicación como un todo, mientras que el término indefinido un burro ocurre dentro de la cláusula relativa que es parte del sujeto del término de (173) y, por consiguiente, a partir de un punto de vista composicional, debería estar dentro del antecedente. Pero, de manera similar, no se puede encontrar ninguna subexpresión en la D R S (176) que corresponda al sintagma nominal común granjero que tenga un burro y que forme un componente en la oración (173). Esto mismo es cierto para el sintagma verbal intransitivo tiene un burro en la oración (174). Una d r s que correspondería a esta última oración sería (177):
(177) ( { y } , (BURHo(y), t e n e r ( x , y )}) Para llegar desde aquí a la representación de granjero que tenga un k j podemos utilizar nuestro nuevo operador A: (178) (0,
(G R A N J E R O (x )})
A
( { y } , (G R A N J E R O (y ), t e n e r ( x , y ) } )
El sintagma verbal lo golpea se puede asociar con la (179) (0,
{g o lp e a r (x ,
DRS
(179):
y )})
Lo que necesitamos ahora es una operación que combine la d r s (178), qUel corresponde al sintagma nominal común de la oración (173), con la d r s (1 7 9 ) ;jue corresponde a su sintagma verbal. Esta operación tiene que convertir estas DRS en una implicación que tenga (178) com o su antecedente y (179) como su consecuente. Más aún, el marcador de referencia x debe quedar acotado, es iecir, el antecedente debe, además, contener un conjunto de marcadores {x}. D R S (180) serviría, pues obtendríamos la interpretación correcta, dado que illa tiene las mismas condiciones de imbuición que la D R S original (134): 180) ( ( { x } , (0 , {
( g r a n j e r o (x ) } )
g o l p e a r (x
A
( { y } , (B U R R O (y ), t e n e r (x , y ) } ) ) —>
, y )})
*ero este resultado sólo se puede obtener al reemplazar el conjunto vacío en i primera oración de la conjunción de (178) por el conjunto { x } . Esta es una uerte de maniobra sintáctica que es, para decir lo menos, difícil de interpretar smánticamente. No es la clase de movida que se permite en un marco comosicional, pues nos fuerza a romper una estructura que ya estaba construida, ería preferible, si pudiéramos, simplemente preponer { x } al antecedente: .81) {x }((0 ,
( g r a n j e r o (x ) } )
A
( { y } , (B U R R o (y ), t e n e r (x , y ) } ) )
—>
(0 , { g o l p e a r (x , y ) } )
sro esto no cuadra con la cláusula (vi) de la definición 7.23. de la sintaxis ; las d r s y de las condiciones. De acuerdo con esta cláusula, el conjunto de arcadores { x } debe combinarse con un conjunto de condiciones y no con una IS. En efecto, en el momento en que se pueda conectar un conjunto de mardores con una D R S para formar una D R S nueva y más compleja, podemos finir una noción iterativa de cuantificación, conectando un conjunto sin-
* 11 {%} a una DRS’ en lugar de una noción no iterativa de la definición 23 ^U6 611 Un ^aS° com^'na un conjunto { x i> •••>xn }, para n > 0, con un i'unto de) condiciones. Esto último se necesitaba en la definición 7.23., esto que el añadir un conjunto de marcadores cambia su estatus sintáctico: PU to convierte a las condiciones en D R S . Una noción iterativa de la cuantificajón en DRS aplica un conjunto unitario { x } sobre una D R S $ , la cual resulta una DRS {x}
de una c o n d i c i ó n ( o , d e m a n e r a a l t e r n a t i v a , a ñ a d i r u n a o p e r a c i ó n q u e c o n v i e r t e una c o n d i c i ó n e n u n a D R S ; s i n e m b a r g o , a q u í e s c o g e r e m o s l a p r i m e r a o p c i ó n ) . Así, ya n o n e c e s i t a m o s m á s l o s c o n j u n t o s d e c o n d i c i o n e s ; l o s r e e m p l a z a r e m o s por c o n j u n c i o n e s d e D R S , u t i l i z a n d o l a n o c i ó n d e c o n j u n c i ó n a n t e s d e f i n i d a . Todo e s t o r e s u l t a e n q u e l a s i n t a x i s d e l a s D R S s e p u e d e h a c e r i d é n t i c a a l a de la l ó g i c a d e p r e d i c a d o s d e p r i m e r o r d e n o r d i n a r i a , c o n u n a e x c e p c i ó n h a s t a ahora y e s q u e a ú n n o s h a c e f a l t a e l c u a n t i f i c a d o r u n i v e r s a l ; p e r o v e r e m o s más a d e l a n t e q u e p u e d e i n t r o d u c i r s e y d e f i n i r s e e n t é r m i n o s d e l c u a n t i f i c a d o r existencial y l a n e g a c i ó n d e l a m a n e r a u s u a l . Para obtener los efectos de la D R T , sólo tenemos que adaptar la semántica. En lugar de definir la noción de ‘la fórmula 0 es verdadera con respecto a la asignación g\ definimos la noción ‘la asignación h es una imbuición verificadora para la fórmula 0 con respecto a la asignación g. El sistema que obtenemos de esta manera se llama lógica de predicados dinámica (véase Groenendijk y Stokhof (1988a, 1991) para una introducción más detallada). Llegamos entonces a la siguiente definición de la interpretación semántica de l a lógica de predicados dinámica ( d p l ) : D efin ició n 7.26. (i) h (= m ,9 P ( t i , . . . , ín) sii h = g y ([íiJM,fc, •••, IM lvu) G I m{ P) (ii) h |=m ,9 t = t' sii h = g y [ í ] M,/i = [í'Jm,/! ( ii i )
h (=M,g ~'0 sii h = g y no hay ninguna k tal que k (=M,h 0
(iv) h [=M,g (0 A i/j) sii existe k tal que k (=m.s y h |=M.fc (v) h (0 ~^>VO sü h = g y para todo k, si k tal que j |=M,fc V’
, entonces existe j
(vi)
h
(0 V
(vn) h
sii h = g y existe A; tal que k
cf> o k h M)ft $
3x sii existe k tal que k[x]h y h h M,fc <¿>
(Vüi)
V *
sii h
=
g y
para toda
*,
s¡
k [x ]K
exhte
_
.
^
Las cláusulas (i) a (ü l) y (T) a (vi) m
I
de la definición 7.2 4 . L a cláusula (¡v ) introduce la c o n j u n t e lo discútanos anteriormente. E a (v i¡) encontram os la i c i ó n
D »»“
ite r a d
fc"
>
cuantificacion DRS. Por su parte, la cláusula (vüi) introduce u n í ™
' '*
tenstica, a saber, la cuantificación universal Como va 1 ■ ,v *i
V& (arac'
se puede definir de la m anera usual c o l - l ^
C
o
l
™
lector, lo siguiente es válido:
H
puede verificar el
(182) Para todo M , g y h, h |=M-J Vx
e. cnantificador existencia, no se p n ^ e tificador universal. En otras palabras 3 x ó v
V
a
S
y del cuan‘
no tienen las mismas c o n d ic C e s d e ^ m b u L d ! ^ ^ ^ ?qUÍValentes>P“ » 3x F (x ) y -i\/x-iF(x) se 1, . ! ! de imbmcion. Por ejemplo, a las fórmulas por medio de la definición 7.26.gnan ^ SlgUlentes condlcl°nes de imbuición, (183) h
3x F (x ) sii h[x\g y h (x) G I ( F )
(184) h N m ,3 - V x - F ( X) sii h = g y para a,g|¡n * ^ ^
1
2
“
»“
^
^
g /(J ^
* W " individuo pertenezca a la interpre-
en la asignación de un L d v H
“ “ “ * P ^ ^ e n t e difiera de g
p a c i o n e s de
^
<“ *
otra, por m ediocte la ni,r ^ “ “ ** ^ fórmulas “ o s t i ó n le añadimos digam os Glx ) Las fóimirlí,rlt’lr>!l y S1 e's ta ú ltim a contiene la m ism a variable X,
« (* ), (!S5) h
d | = M ,ff
3x F (x )
A
G (x) sii h[x]g
^
W AGW y
el caso de (185), encontrarnos que la variable x en la segunda fórmula de la 'unción sigue acotada por el cuantificiador existencial de la primera fórmula ^ l a c o n j u n c i ó n . Es decir, encontramos que 3 x F (x ) A G (x ) tiene las mismas ^6 d i c i o n e s de imbuición que 3 x (F (x ) A G (x )). En efecto, lo siguiente es válido £fla DPL: (187) Para todo
g y ^ h ^=M’9
a ip sii h |=M,g 3x(
gn (186), sin embargo, la variable en la segunda fórmula de la conjunción, Q(x), no está acotada por el cuantificador universal. La condición (186) re quiere que h (x), que debe ser igual a g (x ), sea un elemento de I{G ). Por supuesto que estos hechos encajan con nuestra discusión anterior, en esta sección, sobre la diferencia entre los discursos (188) (=(165) y (189) (=(157)): (188) Un hombre camina por el parque. El silba (189) No todo hombre no camina por el parque. El silba Estos dos
d is c u r s o s s e t r a d u c e n e n la s s ig u ie n t e s fó r m u la s d e la D P L:
(190) 3 x (h o m b re (x ) A c a m in a r p o r
e l
p a rq u e (x )) A
S I L B A R ( :r )
(191) ->Vx(HOMBRE(2 :) —►-'CAMINAR POR EL PARQUE(x)) A SILBAR(x) Como lo acabamos de ver, las primeras fórmulas de las conjunciones (190) y (191) no son equivalentes en la D P L , precisamente porque el cuantificador existencial en (190) también tiene fuerza de acotación sobre la segunda fórmula de la conjunción (190). En la D P L , (190) es equivalente a (192): (192) 3 x (h o m b re (x ) A c a m in a r p o r e l p a rq u e (x )
a
s ilb a r ( x ) )
Esto no es válido para (191). Por supuesto que las condiciones de verdad para la primera fórmula de las conjunciones (190) y (191) son las mismas, incluso si su significado completo e s diferente. La definición de verdad sigue siendo la misma que la de la D R T : D efin ició n 7.27. Una fórmula 4> es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación 9i [=M,g 4> sii existe una asignación h tal que h (=M.g >
Si regresamos de nuevo a nuestros dos ejemplos simples, dadas las con^ J nes de imbuición (183) de 3 x F (x ) y (184) de -iV x-iF (x), puede verificf^B fácilmente que sus condiciones de verdad son las mismas de acuerdo 1 definición 7.27. En efecto, es válido de manera general que: ' (193) Para todo M , g y h, h |=M,g 3 x0 sii f=M,g -,V x-'0 Otro hecho importante sobre la D P L está relacionado con la interpretación las oraciones burro. Las fórmulas (197), (198) y (199) son las traduccione¿J de las oraciones burro (194), (195) y (196), respectivamente (=(161), (173^ (174), respectivamente): (194) Si un hombre camina por el parque, [él] silba (195) Todo granjero que tenga un burro lo golpea (196) Si un granjero tiene un burro, lo golpea (197) 3x(hom bre(x) (198)
A
cam inar p o r e l parque(x)) —> silb a r(x )
V x ( ( g r a n j e r o (x )
A 3y(BURR0(y) A t e n e r ( x , y ))) —►g o l p e a r ( x , y))
(199) 3 x ( g r a n je r o ( x ) A 3 y ( B U R R o ( y ) A t e n e r (x , y ))) —►g o l p e a r (x , y) Por supuesto que las traducciones (197) a (199) no serían traducciones en lógica de predicados ordinaria. El hecho esencial que determina que se a n traducciones correctas en la D P L se ilustra mejor con el ejemplo más sencillo de los tres. La fórmula (197) es una implicación con un antecedente cuantificado existencialmente y un consecuente en el cual ocurre una variable ‘libre’. En efecto, la variable no es libre en absoluto en la D P L : está acotada por el cuantificador existencial en el antecedente. Dado que tenemos un cuantificador universal a nuestra disposición, este hecho se puede establecer de la siguiente manera: en la D P L la fórmula (197) tiene exactamente la misma interpretación que (200), la cual es la traducción usual en la lógica de predicados de primer orden de la oración burro (194): (200) Vx (( g r a n je r o (x ) A 3y(BURRO(y) A t e n e r (x , y )) —> g o l p e a r (x , y))) De manera general, tenemos la siguiente equivalencia: (201) Para todo M , g y h, h [=m,3 3x0 —►%¡) sii h (=M,g Vx(0 —> i¡))
diferencia de la lógica de predicados, la equivalencia de 3 x0 —> t/> y Vx(0 —> i\ es válida sin importar si contiene ocurrencias libres de x. Por supuesto, de a c u e r d o con (201), las fórmulas (198) y (199) también son equivalentes y, ¿s aún, son equivalentes a (202), que es su traducción correcta en lógica predicados ordinaria: (202)
VxVy((GRANJERo(x)A BURRo(y)A
te n e r (x ,
y
)) —►
g o lp e a r (x ,
y))
Concluiremos esta sección observando que, aparte de ofrecer un sistema lógico con apariencia más ortodoxa y que provee una herramienta mejor para
un análisis semántico composicional de los discursos en lenguaje natural, la PPL y la tienen el mismo impacto empírico. En particular, los casos pro blemáticos de relaciones anafóricas discutidas al final de §7.4.4. son igualmente problemáticos en el marco de la Se necesita una semántica dinámica esen cialmente más rica, una semántica más dinámica, para tratar esos fenómenos problemáticos (véase Groenendijk y Stokhof (1988a)).
DRT
DPL.
E jercicio* 7.19. Considere de nuevo el ejemplo (97), que se trató en §7.4.2. y sobre el cual versa el ejercicio 7.15.: Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba. De una traducción correcta de (97) en (a) lógica de predicados; (b) en el lenguaje DRS de la definición 7.1. y, (c) en lógica dinámica de predicados. Compare entre sí las traducciones realizadas en (a), (b) y (c) con respecto a su ‘nivel de composicionalidad’. E je rcicio * 7.20. Considere la siguiente alternativa para la interpretación semántica de la dis yunción: h Nm,9 4> V ip sii h t=M,s 4> o h
|=M ,g
(i) Discuta las diferencias entre esta interpretación y la de la disyunción com o se da en la cláusula (iv) de la definición 7.26. (ii) ¿Es posible explicar los ejemplos (149) y (150) del §7.4.4. bajo esta in terpretación de la disyunción? (ni) Intente encontrar un ejemplo típico de una sucesión de oraciones que exhiba el tipo de relación anafórica que se puede explicar con base en esta interpretación alternativa de la disyunción.
Ejercicio* 7 .2 1 .
En la lógica de predicados ordinaria es posible comenzar a partir de un con. junto mínimo de conectivos y cuantificadores y definir los otros en términos de éstos. Por ejemplo, A, V, y 3 se pueden definir en términos de -t, V, y ' Determine dicho conjunto mínimo para la lógica dinámica de predicados. Ejercicio* 7.22. Varias nociones de implicación son factibles para la lógica dinámica de predi cados (y la d r t ) . Considere las siguientes tres alternativas: (a) (j)
j = a ip
(b) (f> (=6 0 (c)
sii para todo
M , g,
y h: si h
|=M,g entonces h (= M .g
^
sii para todo M , g: si |=m ,9 4> entonces (=M,g
sii para todo M , g , y h: si h
|=M,g
entonces h
^
Con base en lo anterior: (i) Determine para cuáles de esas tres nociones de implicación es válido que: 3 x F (i) f= F ( x ); 3x F (x ) |= 3y F (y ). (ii) Determine para cuál de las tres nociones es válido que: (f) f= ip sii |= (f>— (iii) En lógica de predicados ordinaria la relación de implicación es reflexiva y transitiva. ¿Es esto cierto para las tres nociones definidas anteriormente? Si no lo es, presente un contraejemplo.
7.4.6.
Conclusión
Las conclusiones principales que se obtienen a partir de la discusión anterior son las siguientes. Primero que todo, se ha mostrado ampliamente que el cambio de la DRT a partir de una semántica estática y basada en oraciones, hacia una semántica dinámica y basada en discursos, es una movida muy exi tosa. Segundo, hemos visto que algunas de las características distintivas de la d r t , el lenguaje DRS poco ortodoxo, y en particular su postulado de un nivel intermedio de representación semántica entre la sintaxis del lenguaje natu ral y la interpretación semántica, no son ingredientes necesarios para su éxito empírico. En lugar de ello, podemos usar el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, interpretada de la manera composicional usual, si utilizamos una noción dinámica más rica en significado.
lógica dinámica de predicados no es simplemente una variante notaciomás ortodoxa de la d r t ; ella nos permite, en la medida en que esto es posible en el lenguaje de primer orden, obtener traducciones composicionales d i r e c t a s de las oraciones que ejemplifican el alcance empírico de la D R T . La
paJ
que la D P L es un marco lógico composicional ortodoxo, no parece ser tarea mayor transferir su interpretación dinámica a lenguajes intensionales d e o r d e n superior, tales com o el utilizado en la Gramática de Montague, y de e s t a manera intentar una unificación de la Teoría de Representación de Dis c u r s o s y la Gramática de Montague. D ado
una
La Gramática de Montague también se puede beneficiar de tal empresa. En §7.4.2. se mostró que los mecanismos de las reglas de cuantificación no s o n adecuados para explicar las relaciones anafóricas sobre las cuales trata l a D R T . En efecto, las traducciones en la D P L que obtenemos para las oracio n e s burro y el tratamiento de la D P L de otras relaciones anafóricas dentro y fuera de los límites de la oración sugieren, convincentemente, que no necesita m o s el mecanismo de cuantificación para explicar las relaciones anafóricas. Las traducciones que la D P L ofrece se parecen a las que obtenemos en una cons trucción directa, donde se establecen las acotaciones adecuadas por medio de l a dinámica del mecanismo de interpretación, en lugar del mecanismo de las reglas de cuantificación. Esto le quita la última de las dos funciones: explicar la s relaciones anafóricas. La única función de las reglas de cuantificación que permanece es la de explicar las ambigüedades de alcance (pero como lo indica m o s en §6.6., se han desarrollado alternativas que explican las ambigüedades de alcance de una manera diferente). Finalmente, le recordamos al lector que el tipo de fenómenos que se han estudiado en el marco de la D R T no se limitan a lo que aquí ha sido el énfasis principal, a saber, las relaciones anafóricas. Un primer ejemplo de otro cam po de aplicación es el de los estudios sobre tiempos y aspectos verbales. En Hinrichs (1986): Kamp (1981); Kamp y Rohrer (1983), y Partee (1984), se expone el punto de vista de que el papel de los tiempos y aspectos verbales en el discurso es un tema importante de la semántica de los tiempos y aspectos verbales y que el enfoque dinámico del significado arroja nueva luz sobre este análisis. Otro fenómeno que ha sido tratado dentro del marco de la D R T es el análi sis semántico de las oraciones sobre creencias y otros reportes de actitudes proposicionales. En Asher (1986, 1987) y Zeevat (1987), se expone el punto d e vista de que la filosofía representacional detrás de la D R T provee mejores medios para tratar muchos de los problemas añejos en este campo. Así pues,
esta es un área en donde se considera que el “representacionalismo” de la drt contribuye positivamente a nuestro entendimiento del fenómeno en cuestión.
Además de los tiempos y aspectos verbales y las actitudes proposicionales, también se han discutido otros fenómenos de la DRT, tales com o el impacto en el discurso de muchos otros términos y determinantes, además del pequeño grupo discutido anteriormente, y más relaciones anafóricas complejas en con textos intensionales (véase Kadmon (1987); Roberts (1987, 1989), y van Eyck (1985)).
Solución de los ejercicios seleccionados
Capítulo 2 Ejercicio 2.1. (a) (b) (c) (d) (e)
0 ~*p A -O -ip Op—O O p 0 (0 p —>p)
clave: p: usted me entiende clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo ( esto = estálloviendo) clave: p: está lloviendo ( esto = puede estarlloviendo)
Ejercicio 2.2. ítem (a): (i) En w\ : VWl(D p)= 0, porque VW2 (p)—0 y w\Rw 2 ■ De lo que se sigue que VWl{D p ^ D D p )= l-, en w 2 : VrW2(D p )= l, pues VWl(p ) = 1 y sólo w\ es acce sible desde w2, y VW2(□ □ p )= 0 porque VW] (□ p )= 0 y w 2 Rw\. Entonces, VW2 (O p—»□ □ p )= 0 . Dado que VW2 (C\p—►□□p)=0, Dp-^D D p no es válida en M . (ii) En w\ : V^,1(-iD p )= l porque VrWl(D p)= 0; en w 2 : VW2 (-O p )= () porque Vm2 (\Hp)=l. Así, en el modelo M -O p no es válida. (iii) K ,1(0 p )= l, porque VWl(p )= 1 y w iR w i, y VW2(0 p ) = l, porque Vru,1(p )= l y w 2R w \. Esto significa que tanto V^ül(D 0 p )= l com o VU)2(D 0 p )= l y a partir de ahí VWl (p—O 0 p ) = l y VWl (p—0 < ) p ) = l. Entonces, en M . (p—O O p ) es válida.
ítem (b): (i) Vea la figura: p, q wi
P
(ii)
w 2 ->p, q
w3
1. VW2 (g )= l implica que VWl ( □ g ) = l , porque solamente w 2 es accesible desde w\. 2. VW3 (-i(p -* q ) ) = 1 implica que K ,2(D -i(p -> g ))= l porque solamente u >3 es accesible desde w2. 3. VWl(pAq) = l implica que VWl((pAq)V (~p A ->q))=l. Entonces, V^3(D ((p A q) V (~tp A -> q )))= l, porque solamente w\ y son accesibles desde w3. 4. VW3 (p )= l, entonces VW2 (H\p)=1, porque solamente desde w2, entonces VWl (0 D p )= l, porque vú\Rw2.
es accesible
5. VW2 (p )= 0, entonces Vvn (()p)=0. porque solamente w 2 es accesible desde w i, entonces VWl (0 p A ()q)=0. (iii)
1. V^,(Dp)=l si y sólo si w = w 2. En consecuencia, 14,(0Clp)=l si y sólo si w = w i o w =v) 4 , porque w 2 es accesible sólo desde w\ y 104. De esto se sigue que Ku(0 0 n p ) = l si y sólo si w = w 3, porque tanto í/7] como 104 son accesibles sólo desde W3 . Entonces, VW2(§ D p V OODp)—0 y ODp V OOCp no es válido en M . 2. V ^ (D p )= l si y sólo si w = w 2. También VW2 { p p ) = 1. Entonces, para todo G W , V^(Dp—>-ip)=l. En M , IHp— es válido. 3- VWl(p)=\ y V^J,1(0 p )= 0 , dado que VW2 (p )= 0 y sólo w 2 es accesible desde w\. Se sigue que VWl(p—>0p)=0 y de ahí que Vm ((p—>0p) A (9-^ 0 q ))= 0 . En M . (p—>0p) A (—»O«?) es válido. 4. La fórmula p V ^ p e s una tautología. Entonces, Vw(()(p V _ip ))= l para todo w £ W para el que hay un w' 6 W7 tal que w R w '. Por otra parte, V^i(D (p V ->g))=0, dado que VW2(p V -ig)= 0 y w\Rw2De esto se sigue que VWl ( 0 (p V -ip)—>D(p V -i^))=0. Entonces, 0 (p V ->p)—>[H(p V -ip) no es válido en M .
(jV)
1. Suponga Vr¿ (D p ) = l para algún w
G W y un V' arbitrario en el
marco. Esto significa que (p) = 1 para todo u/ accesible desde w. Cada w en el marco tiene un w' accesible desde él. De ahí V^(()p)—\. Entonces Dp—>0p es válido en el marco. 2. Suponga V^,(00np) = l para algún w G W y un V' arbitrario en el marco. Entonces, hay un w' y un w " tal que wRw ' , w'Rw", y F '„(IH p )= 1. Para probar la validez de 0 0 Op—>p es suficiente mos trar que w "R w debe ser válido (si esto es verdad, V ¿{p ) = 1 se sigue de V ^ (D p )= l). Este es, en efecto, el caso: si w=w\, entonces debe ser el caso que w '= w 2 y w"=w^\ si W=W 2 , entonces debe ser el caso que w '=w s y w"=w\ o w" = si w = w 3, entonces debe ser el caso que w'=w\ o w '=w 4 y w "= w 2; si w = w 4, entonces debe ser el caso que w '= w 2 y w"=w^. En todos los casos w "Rw. Entonces, 0 0 E\p—>p es válida en el marco. Ejercicio 2.3. ítem (a): (i) Suponga que M es un modelo con un marco simétrico subyacente. Supon ga ahora que V^,(0n<^)=l- Debe mostrarse que Vw{4>)—1. De V ^ (O d 0 )= l se sigue que para algún w' tal que wRw'\ V^,/(D0)=1. De la simetría de R se sigue que w'Rw. Este hecho, junto con el hecho de que VU,/(D 0)= 1, implica que VW(4>)=1. (ii) Suponga ahora que la relación R en un marco no es simétrica. Entonces, hay mundos w\ y tales que w 1R.W2 , mientras que W2 RW1 no se obtiene. Ahora, en ese marco definimos un modelo estipulando que Vw(p )= l si y sólo si W2 Rw. En consecuencia, VW2 (□/->) = 1 y, entonces, VWl (0 D p )= l. Sin embargo, VWl {p )= 0, por lo que se sigue que VWl (0O p—>p )= 0. En este modelo 0 \3p—>p no es válido. ítem (b): Solamente daremos los resultados. En los marcos, 0 0 0 ^ —► V2 = w); 0 0 0 0 —> (f> corresponde a la fórmula V'u;Ví; 1\/i>2V'6'3((wRv 1 A v\Rv 2 A v\R v-¿)^ v¿= w ). Así, la generalización para el caso con sucesiones arbitrarias 0 i, ■•■, 0 n será obvia.
Ejercicio 2 . 7 . (a) p A F -ip (b) p A G p (c) P p A P q
clave: clave: clave:
(d) P (p A P ij)
clave:
(e) P (p A Fg) (f) (Fp V -iFp) A (F p—>HFp) (g) G q —>Gp o G q Gp
clave: clave: clave:
p: p: p: q: p:
usted es joven, te soy fiel. Juan lee La guerra y la paz. Carlos lee La guerra y la paz. María entra.
q: Juan pone la botella de whiskey en la nevera, com o en (d). p: una batalla naval tiene lugar, p: tú estás conmigo. q: yo estoy feliz.
Ejercicio 2.8. ítem (a): (i) Vea la figura:
(ii)
1. Dado que Vt(-ip ) = 1 sólo en los casos Í= Í4 y Í= Í5, necesitamos deter minar V í(FG p) solamente para esos valores de t. Ahora Vts (G p)= l porque Vt6 (p )= 1 y te es el único t después de £5. Además, Vt6 (G p)= l, dado que no hay t tal que t^Rt. En consecuencia, Vt4(F G p )= l y V'Í5(F G p )= l y -ip—>FGp es válida en el modelo. 2. Vrt4(F -.p )= l, dado que V'Í5(p)= 0 y t 4 R t5, pero Vu (FF->p)=0 porque ->p no es verdadero en te. De ahí que F->p—>FF-ip no sea válida en el modelo. 3. V¿6( P —ip—>-ip)=0, dado que Vt6 (P ^ p )= l y Vt6(-ip)=0. De esto se sigue que, por ejemplo, Vt5 (G (P ^ p —>->p))=0 porque t 5 R t 6 y, Por consiguiente, G (P -ip —>-ip) no es válida en el modelo. 4- Vt6(p A G p )= l, mientras que Víf] ÍH p)=0. porque t 5 R t 6 y Vt5 (p )-^ De lo que se sigue que (p A G p )—>Hp no es válida en el modelo.
íte m (b ) :
(i) Validez de FG<£—>GF4> en el marco F significa, con respecto al tiempo eje T de F , que si dos puntos del tiempo están después de un punto dado en el tiempo, siempre habrá un punto en el tiempo que esté después de estos dos puntos; es decir, si tRt\ y tR t2, entonces hay un Í3 en T tal que t\Rt3 y t 2 R t3. En otras palabras, una configuración como en la figura (a) siempre puede extenderse a una configuración como la que se presenta en la figura (b). (a)
(b)
Asuma primero que esta propiedad es cierta para F y que Vrt (FG)=l para algún t £ T en un modelo en F. Entonces, hay un t\ € T tal que tR ti y para cada t! con t\Rt' es el caso que Vf()=1, y porque t2Rts es cierto, V¿2(F)=l es cierto también. Dado que t 2 ha sido escogido arbitrariamente con la propiedad tR t2, se sigue que Vrt (G F 0 ) = l. Esto significa que si la propiedad relacional dada es cierta para F, F G 0 —>GF^> es válida en cada modelo en F. Suponga ahora que la propiedad no es cierta para F . Entonces, hay puntos en el tiempo t, ti, t 2 € T de F tales que tRt] y tR t2, mientras que no hay ¿3 tal que t\Rt^ y t 2 Rts. Ahora se define un modelo en F , estipulando que Vt'(jp)=1 si y sólo si t\Rt'. Entonces, Vt1(G p )= l y, en consecuencia, V f(F G p )= l. Por otra parte, V¿2(F p )= 0 porque no hay t! con t 2 Rt' tal que Vt'( p ) = 1. Entonces, V ^ G F p ^ O . De ahí que F G p —>GFp no sea válida en este modelo y que también falle en F. (ii) La validez de G( A ~^) V F G (0 A -■>) en un marco F significa que en el eje temporal del marco cada punto en el tiempo es seguido por un punto final (excepto por el punto final mismo). Indicamos en el texto que t es un punto final en el tiempo si y sólo si Vt(G(0))=1. Esto implica que Vt(FG((f> A ~'4>))=1 si y sólo si t es seguido por un punto final y Vt(G( A V FG((/> A - i 0 ) ) = l si y sólo si t es un punto final o es seguido por uno.
(iii) La validez de P P ^-^P ^, en un marco significa que la relación de accesi bilidad R de el marco es transitiva. Para ver esto, suponga primero que R es transitiva y que Vt(P P <£)=l. Entonces, habrá un t' y un t" con t” Rt' y t'R t tal que Vt"((j))= 1. Dado que R es transitiva, t"R t también es cierta y de ahí Vt(P>)=l. Por esto, para cada modelo en un marco con una relación de accesibilidad transitiva, P P 0 — es válida. Suponga ahora, por otra parte, que R 110 es transitiva. En este caso, hay t", t! y t con t"R t' y t'Rt, mientras que t"R t no es cierta. Ahora, se define un modelo estipulando que Vt" ( p ) = 1; pero V hace falso a p en todas las demás partes. Entonces, Vt{P P p ) = l es en efecto cierto, mientras que V ¿(P P p)=0. Así, P P p —>Pp no es válida en este modelo.
Capítulo 3 Ejercicio 3.1. Las claves y dominios serán dejados implícitos en la siguiente solución. Además, abreviamos H0A>AG!> como A > (siempre (p) y P 0 V 0 V F com o Ecfr (algunas veces 4>)• Será claro que A es equivalente a —>E—10, y E ó a -iA (a) O F W lw (b) 0 V x (H x -> H 3 y A x y ) (c) (}3yW x(H x—*U A xy) (d) \/x\/y(x 7^ y—►OS'xy)—>VxOVy(x ^ y -+ S x y ) (e) \/x(3y()KFxy A VyOEFxy A -lO VyAFxy)
( Ustedes es interpretado aquí como todos. Esta es solamente una lectura posible). (f) 3x(V y(Py <-> y = x ) A G D x ) (El presidente actual siempre será un demócrata) y: G 3x (V y (P y y = x ) A D x) (Quienquiera que sea el presidente, él o ella será un demócrata) (g) V x(S x^ >B (x, 3 y (M y A W y t))) (de dicto) 3 y (M y A V x (S x —>B(x, W y t))) (de re) V x (S x -^ 3 y (M y A B (x , W y t))) (de re, pero para cada estudiante posible mente uno diferente).
Ejercicio
3 .4 .
(a) Construimos un contraejemplo para VxO0 —
en la siguiente figura:
D Wl — D W2 — D w3 — {a, 6}; IWl(A ) — i/),IW2 (A ) { a } , I W3 (A ) {^}Es claro que para un g arbitrario, Vjyi,W2,g[x/a)(Ax) = 1 y de ahí que ^M,iui ,g[x/a\ (O A x) = 1. También V^j[^W3 g^x {A x) 1 y, consecuente mente, Vm,íü1,9[x/6](0^x)=1. De esto se sigue que FM,iu1,g(Vx0^4x)=l. Por otra parte, dado que Vm,w2 ^ x A x ) = 0 y que Vm,w3 ^ x A x ) = 0, VM,u;i(OVxAa:)=0. Entonces, Vx0)=1- Tomemos un g arbitrario. El hecho de que Vm,uj.c/(O3x 0 )= 1 significa que para algún w' con wRw', es el caso que Vm,w',9(3 x 0 )= 1 y, entonces, VMw-ig[x/d]((j) ) = 1 es el caso para algún d £ D w>. Dado que M satisface el requisito de dominios decrecientes, es ver dad también que d £ D w. Esto significa que ^M.u,;g[I / (i](O 0 )= l y de ahí que Vm,u>,9(3xO0 ) = 1. Si M no satisface el requisito de disminución de dominios, entonces hay mundos w y w' donde wRw', con una entidad d tal que d £ D wt y d £ D w. Ahora hagamos que g {y)~ d . Entonces, VMjli)/>9[x/ d](x = y ) = 1 y, por consiguiente, VM,ti/,s (3 x (x = y ) )= l y V M ,u),g(03x(x=y))=l. Por otra parte, para todo d' £ D w (observe que d! siempre es diferente al d de arriba) y wRw', el valor de Vm .,w',g[x/d,') (x = y) es siempre 0 o indefinido. Entonces, VMw^ x/ d '](0{x= y))= 0 y, por consiguiente, Vm,u;,9(0 3 x (x = y) -»• 3 x 0 (x = y)) = 0.
Ejercicio 3.5. (a) Definimos M de la siguiente manera: W = { ^ 1, ^ 2}; R = { ( ^ 1, ^ 2)}; D = {a, 6}; IWl(E ) = {a }; IW2 (E ) = {a, 6}; Im (A ) = IW2 (A ) = {a }. Mostraremos que Vm,wi (Vx(.Ex—>DAx)—►□Vx(.Ex—>Ax)) = 0. Para una asignación arbitraria g, ,Wljg[x/b](Ex) = 0 es cierta y, entonces, VM.w ^ g l x / b ^ E x - * ^ ^ 1- También V ^ W2^ x/a] { A x ) = l es cierta, por lo
que V ^ Wug[x/a]{U A x )= l y VMtWug[x/a](E x -> O A x )= l. En consecuencia, ^M.ioi ,3(Wx(Ex ^EH.í4.x)) 1. Por otra parte, ^*^))—0, (jg donde se deduce que VM.Wl,g(O \ / x(E x^ A x))= 0 . que es lo que se quería. (b) En un modelo M , (78) es válida si y sólo si el predicado de existen cia en M es creciente, es decir, si wRvo' implica que IW(E ) C IW>(E). Supongamos que se cumple la condición anterior y que Vm,u),j(É2:) = 1. Esto significa que g (x ) £ IW(E ). Dado que IW(E ) C Iwi ,g ( x ) £ IW'(E) será válida para todo w' con wRw', Vm,™',g (E x )= l. Esto prueba que VM ,yj,g(OEx)=l. Dado que g fue escogido arbitrariamente, se sigue que V m ,w (V x(E x^ -O E x))=1. Ahora, asuma que Vm,w(Vx(Ex—> D £ ’x ) ) = ; 1 y suponga que wRw ', d £ IW(E ). Basta mostrar que d £ IW>(E) es válida también. Ahora, VM,w,g[x/ d\(E x-*O E x)=l. Dado que d £ IW(E ), tam bién se sigue que VM^w^ x/ ^ (E x )= l y así, VM w g[x/^ (\ J E x)= l. Pero esto significa que Vm,w',g[x/d\(Ex)=1 y, entonces, d £ IW'(E ).
Capítulo 4 Ejercicio 4.1.
(a) (i) no; (ii) no; (iii) sí, tipo (e, t)\ (iv) sí, tipo í; (v) sí, tipo í; (vi) no; (vii) sí, tipo £; (viii) sí, tipo t.
(b)
(i) c0(M ) debe ser del tipo (e ,i), dado que j es del tipo e, entonces a = ( ( e , t ) ,{ e ,t ) ) . (ii) (iii)
M ( j) es del tipo t, entonces a = (t , t). S (M )
es del tipo (e, t), entonces a es e.
(iv) De nuevo, a= e, entonces b= (t,t). (v)
Dado que ca es aplicable a 5, a = (( (e, t) ,(e, t ) ) , a' ) ,para algú a'; dado que ca(S), al ser del tipo a', es aplicable a M , o! — ((e, t ) , a") para algún tipo a", entonces b= (a " ,t ) para el mismo tipo a” . En consecuencia, no tenemos aquí una única solución.
Ejercicio
4 .2 .
j : Juan; a: Alberto; m: María; s: el salami; c: el sofá; M : dormir; S: rebanar; f{: sentar; T: profundamente (tipo ( ( e , i ) , (e, í))); C : cuidadosamente (tipo ((e, t) , (e, í))); ci: presumiblemente (tipo (t,t)); c2: hacer (tipo ((e, í ) , (e ,t))); c3: mal (en (d), tipo ( ( ( e , í ) , (e ,í)) , ( ( e , í ) , (e ,*)))); C4: en ((e, ( ( e , f ) , (e ,í)))); C5: entre (y), (tipo (e, (e, ((e, í ) , (e ,£))))); W : mal (en (e), tipo ((e ,i) ,í)). Traducciones: (a) ( T (M ))(j) (b) c i ( M ( j ) ) (c) ( C ( S ( s M a ) (d) V x ( -3 Y ( c 2 ( Y ) ( x ) )
-
(e) V x ( - a y ( c 2( y ) ( x ) ) -
- 3 y ( c 3(c2) ( y ) ( x ) ) ) - a y ( c 2( y ) ( x ) a w ( y ) ) )
(f) ((c4(c ))(i? ))(m ) (g) ((c5Ü')(a))(i?))(m)
(h) ((c5( j) (a ))( (c 4(c ))(fí)))(m ) E je rc ic io 4.4.
ítem (a): 7 (c 1) = P 1; 7(e2) = ( P 2); / ( e 3)= ( P 3); 7 (M )(P 1)= 1 ; 7 (M )(P 2)= 1 ; 7(A7)(P3)=0; I(A )(P \ ) es la función /1 tal que /i( P i) = 0 ,/i( P 2 ) = /i( P 3 ) = 1 - 7 (A )(P 2) es la función /2 tal que /2 (P i)= /2 (P 2 )= /2 (P 3 )= 0 . /( A ) ( P 3) es la función / 3 tal que / 3(P i)= 0 y / 3(P2)= /3 (P 3 ) = 1. 7 ( £ ) ( /x) = l sii X # 0, X + {P 3}7 (T ) ( /x ) ( y ) = l sii ( /x ) ( y ) = 0 . ítem (b): (i) Esta fórmula expresa que hay un punto con flechas a dos puntos, uno de los cuales es rodeado, mientras que el otro no lo es. Esto es válido para P i, por lo que la sentencia es verdadera. La interpretación puede obtenerse con la ayuda de la definición 4, de la siguiente manera:
Supongamos que g (x )—P 1; g(y)=P-¿\ g (z)= P z. Por esta elección, I (A )(9 (v ))(9 (v ) ) = 1 y I ( A ) ( g ( z ) ) ( g ( x ) ) = l , entonces IA (¡/)(® )]Mj9^ [ A ( z ) ( x ) 1 m ,s = 1 -
Además, I ( M ) ( g ( y ) ) = l , entonces [M (y )]M,s= l y I ( M )(g (z ))=Q, en con secuencia [M (2)]m ,9=0 y [_,M (z)]]M ,g=l- De este hecho y del precedente se sigue que \A(y)(:r ) A M (y ) A ( A ) ( z ) ( x ) A m,9= 1, de donde se sigue que l3 x 3 y 3 z (A (y )(x ) A M ( ¡ / ) A yl(z)(x) A -iM (z))J m ,j= 1 . (ii) Esta fórmula expresa que una flecha va desde un punto hacia sí mismo si y sólo si no está rodeado. Esto es verdadero porque hay una flecha desde P3 hacia sí mismo y P3 es el único punto no rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: |[j4(x)(x)lM,g,[a;/Pi]=::íJ4 (;l:)(*c)]M,g,[a:/P2]= ^ y I^.(*c)(*z')jM,g,[:r/P3] = l- Más
aún: [-< (M (*))]m j,[x/J ií] =
H M (x ))1m,9,(x/p2] =
°> mientras que
|[-.(M(a:))]M,g,[i/P3j = 1- De ahí> I ^ X * ) ^ ^ M ix )lM ig,[x/d\=t para to do d, € D , lo cual significa que ¡[Vx(A(:z)(x) «-> ' iM (i))J m ,9=1. (iii) Esta fórmula expresa que para cada punto que tenga una flecha que llega a él mismo hay también una flecha que va hacia un punto rodeado. Esto es verdadero: P3 es el único punto con una flecha que va hacia él mismo y desde P3 hay una flecha que va hacia P2, el cual es un punto rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: tenemos [A (x )(£ )]m ,p,[x/Pi] = 0 y I ^ (x )(a::)lM,9,[x/P2] = 0, mientras que I-^-(y)(a')lM ,3,[x/P3][y/P2] = 1 y I-^(^)lM,g,[a:/P3][j//P2] — !• De los dos últimos resultados se sigue que l3 y (A (y )(x ) A M (y))]M ,g,[x/p3]= l y Que lA (x )(x )-+ 3 y (A (y )(x ) A M {y))\ yl^ x/P^ = l . De los dos primeros resul tados obtenemos que lA (x )(x )-* 3 y (A (y )(x ) A M ( y ))]M)fli[a./P.] = l, para i = 1,2. De ahí, p / x (A (x )(x )^ 3 y (A (y )(x ) A M ( y ) ) ) } Mt9 t[x/p3]= l . (iv) Esta fórmula significa que cada subconjunto del dominio contiene un elemento. Esto no es verdadero: el conjunto vacío no contiene elementos. Más formalmente, supongamos que g ( X ) es la función característica de 0, es decir, la función en el dominio que asigna el valor 0 para todos los tres puntos. Entonces, { X ( x ) j M^ t[x/P^ = g (X )(g [x / P i](x ))= g (X )(P i)= 0 y, además, [X (x)])m ,3,[x/P2] = = 0. Esto implica que [3 x X ( o;)Im ,9=0 y, entonces, que |VX3x X ( x ) ] m =0. (v) Esta fórmula expresa que si un conjunto de puntos no contiene elementos rodeados, es porque contiene un elemento con una flecha apuntando hacia
sí mismo o porque es el conjunto vacío. Esto es verdad: un conjunto sin elementos rodeados sólo puede ser {P 3} o 0. Esto se puede elaborar de la siguiente manera: basta— asumiendo que [[Vy(M(y)— (y))lM,s,[X/C]=l> para algún C arbitrario en el dominio— mostrar que [3 y ( X (y)A A (y)(y))V - ,3yX (y)]Mg![X/ C]= l. Primero, mostramos que C no contiene P\ o P2, es decir, que l X ( y ) } M ,g,[X/C][v/Pi] = lX(y)lM,g,[x/C\wn] = Por ejemplo, suponga que I X ( 2 / ) l M , g , [ x / q [ y / P 1] = 1 ; de donde I - ’X(y)])M ,g,[x/C][y/Pi] = 0 con secuentemente, dada nuestra suposición, [M (y )]Mi9i[x/C][v/Pi]—1 0- Así, I ( M) ( g [ X / C] [ y / Pi ] { y ) ) = I ( M) ( P i ) = 0 , lo cual contradice nuestras supo siciones. Ahora hay dos posibilidades: (a )[[X (y)]M ,g,[x/C][y/P3]= 0 ; o (b) lX(y)ÍM,g,[x/C][y/P3r l - En (a M 3 y X (y )J M,<,,[x/C]=0 y, en consecuen
cia, [- '3 y X (y )]M)gi[x/C ]= 1- En (b )> I^(2/)(2/)1m,,[X/C][j//p3]:= 1 y también \ X (y )A j4 (y )(y )]M ,g,[x/C'][j//P3]= l! entonces l 3 y ( X ( y ) A A ( y ) ( y ) ) j Migt[x/c\ = 1 . En ambos casos, 13y ( X( y ) A A (y) (y)) V ->3iyX (y )¡Migt[X/C¡=l ■ (vi) Esta fórmula afirma que hay un grupo tal que tanto él como su comple mento contienen puntos rodeados. Esto es verdadero. Tome { P i } , por ejemplo. Tanto { P i } com o {P 2, P3} contienen un punto rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: -f ( ^ ) ( /{ P i } ) = / (^ )(/{P 2 ,P3} ) =:1; 7 (r ) ( /{ P i } ) = /{ P 2 ,P3}- Supongamos que g ( X ) = f { Ply, entonces, tanto [ £ p O ] M,9 = 1, com o [T (X )1 m ,s = /{ p 2,p3} son ciertas y, en consecuencia, I^(P(X ))1m ,p = 1- Con esto \£{X) A £ (T (X ))J M.9=1 y, finalmente, [3 X ( £ ( X ) A £ ( T ( X ) ) ) ] M,9=1-
Ejercicio 4.5. (a) Las expresiones básicas reciben las siguientes categorías: CN: hombre, caballo T: Juan, Pedro T /C N : el, un CN /C N : verde, grande, honesto T\S: caminar, suda (T \ S )/T : admira a, maldice a, persigue a
(b)
(i) Modificadores de predicado como suavem ente, rápidamente . . .; por ejemplo, suda suavemente (ii) Preposiciones com o sobre, encima, por encima; por ejemplo, sobre el caballo (iii) Posesivo de; por ejemplo, el caballo de Juan (iv) La cópula es; por ejemplo, es honesto (hay un problema aquí: expre siones com o es honesto y es verde se convierten en categorías T\S entonces debe ser posible combinarlas con modificadores de predi cado, pero este no es el caso. En la Gramática de Montague este problema se resuelve por ‘duplicación’ de categorías (ver §6.2.11.)).
La gramática independiente de contexto completa es: S => N P V P V P => V P Adv I VintT V P =► i Vtr N P
N => hombre, caballo Adv => suavem ente, rápidamente Adv => P N P Víntr =>• camina, ju ra
i, Adj Vcjyp
Vtrans =► admira a, maldice a, persigue a
( P rop N
Vcop
N P =>■ <
es
Adj =>• verde, grande, honesto
[Det N P ro p N => Juan, P edro N =► Adj N P =>■ sobre, encima, por encim a
D et =^- el, un D et => N P P os P os => de
Ejercicio 4.8. (i) (ü) (iii) (iv) (v)
no sí, sí, sí, sí,
t (e, t) (e,t) t
(vi) (vii) (viii) (ix) (x)
sí, (e, ( ( e, t ) t ) ) no sí, (e,t) no sí, t
(xi) (xii) (xiii) (xiv)
sí, t no sí, t sí, t
Ejercicio 4 . 9 . La clave usada en la siguiente solución es: E: C: B:
F: Gv. G 2: C\\ c2: T:
S i:
5 2: L: /C:
bañar poner restaurar haber olvidado haber sabido saber ahora siempre, tipo ( t , t) otra vez, tipo ( t , í) correctamente, tipo ((e, ( e ,í ) ) ,( e , (e,í}>) adelante atrás amar a importante
£>: M i: -M 2: W i: H 2: L j: ¿ 2: M : ü i:
i?2: Q: m:
saludable resulta en jaque mate posible bueno malo crecer brillar humano perfecto ser (existir) reina María
Las traducciones son: 1. /C (A x ((r (£ ))(x )(x ))) 2. £>(Ax 3y( L( y) ( x) ) ) 3. XUXy \x(( S\(U))(y) (x) V (5 2(f7 ))(y )(x )) (compare la respuesta (d)) 4. A 4 i(A x((S i(C ))(< /)(x) V (S2(C ))(g )(x ))) 5. A x (L i(x ) A L 2( x ) A V y ( M ( y ) - > c i ( c 2 ( JB ( y ) ( x ) ) ) ) ) , tomado como el conjun to de los objetos que satisfacen la descripción (hay, además, una lectura del sintagma nominal, la cual se omite aquí) 6. A x 3 y (F (y )(x ))= A x 3 y (G i(y )(x ) A ->G2(y )(x )) 7. - i.A/í 2 (A x ( c i ( x =
x
)))
8. XxRi(x)=Xx\/X(' H\(X)—>X(x)) 9. A x W í(7í2( X ) — (X (x ) «-*• X ( m ) ) ) 10. Xy{Xx(R 2 ( x) )(y) V -.(Ax(J?2(x ))(y ))) es decir: Xy(R 2 (y) V ->i?2(y))
\quí las traducciones surgen, en general, de una interpretación de las formas ;ategoriales generales, junto con una explicación detallada de las constantes ógicas, cuando es posible. Ejercicio 4.10. 'i )M (j); (ii)M (j); (iii)M (j); (iv)V y(A (J)(y)); (v) A-conversión directa no es posible: y no es libre para x en Vy( A( x) ( y) ) . Sin embargo, A-conversión es posible si Vy{ A( x) ( y) ) es traspuesto primero en Vz( A( x) ( z) ) , en cuyo caso uno obtiene Vz( A( y) ( z) ) . (vi) M ( j ) . (vii) Aquí también, A-conversión directa no 3S posible. Por trasposición de Vx ( Y( x ) ) en Vz ( Y( z) ) , uno primero obtiene 1z( \y( A( x) ( y ) ) ( z ) ) y, entonces, Vz( A( x) ( z) ) .
Capítulo 5 Ejercicio 5.1. ítem (a): (i) (ii) (iii) (iv) (v)
sí, t no no sí, t no
(vi) (vii) (viii) (ix) (x)
sí, t sí, t no no no
(xi) (xii) (xiii) (xiv)
sí, (s,t) no sí, (s, (s, e)) sí, t
ítem (b): (i)
a es de tipo ((s, i ) , t), dado que Ap es de tipo (s, t)
(ü) (iii) (iv)
(< * .e ),t) y a ( j ) es de tipo í, entonces, v a es de tipo (e,t) y a, de tipo (s, (e, t)) v a es de tipo ((s, í ) , e) y, entonces a es de tipo (s, ((s, t ) , e))
Ejercicio 5.2. ítem (a):
;
I ( j ) { w i ) = I { j ) ( w 2) = a I { j ) ( w 3 ) = b
I ( m ) ( w ) —c para todo w £ W I ( M ) ( w 1) ( a ) = I { M ) { w 1) ( b) =l
j(M )(m )(c)=I(M )(w i)(d)=0 /(M ) ( ^ 2 ) ( a ) = /( M ) ( w 2)(6)= 0 j l M ) i w 2 ) ( c ) = I { M ) ( w 2) ( d ) = l j ( M ) ( m ) { e ) = 0 para todo e G D I(í\í)(w 3 ){' w)(e)=l para todo w G W y para todo e G D ítem (b):
(i)
¡ j Í M , W 2 ,9 = I ( j ) M = a
(ii) [AÍllM,«;i,g= aquella h G D w tal que para todo w G W: /i(u;)=[7]]m,w,s , es decir, I (j ) (iii) Iaj] (iv)
m
,U;3,s = í 0')> com o en (¡i)
l M ( j ) } M , w 2 , g = l M } M ,w2 , g { b l M , W 2 , 9 ) = I ( M ) ( w 2 ) ( I { j ) { w 2 ) ) = I ( M ) ( w 2 ) ( a )
= 0
(v) Iv M } W3 = l M í w 3 ( m ) = I ( M ) { w 3 ){ w3) = la función desde { 0 , 1 } D que pro duce el valor 1 para todo e G D (vi)
= l M } wl{wi) = I ( M ) ( w i ) ( w i ) = I ( M ) { w i ) y
Ív^Ü ')U i=/ (?w')(wi)(lí;i)(7(Í)(u;i))=/ (M )(wi)(a)=1 (vii) Iv íW (j)l«;2= / ( ^ ) ( u ; 2)(w 2)(-/'(j)(^ 2))= ^ (M )(u ;2)(a )= 0 (viii) [íW = A M j Wl = 1 sii M « , ! = IAM ]W1. Ahora, IíW]Wl es la función I ( M ) ( w i ) = I ( M ) . Por otra parte, [AM ] Wl es la función h tal que para todo w G W: h ( w ) = l M } w y este es, además, exactamente igual a I ( M) . De esto se sigue que \M =h M\Wl=\ (ix)
3 = 1 sii r ^ ] u , 3= l M l W3. Ahora, como en (v), M\W3 es la función de { 0 , 1 } D, lo cual produce el valor 1 para todo d G D. Por otra parte, \M }W3= I ( M) ( w s ) , la función que asigna el valor 0 para todo d e D . Así, ! M = M } W3=0.
Item (c): (i)
Dado (bviii), |íW=AM ] m ,íí)i ,s = 1 es válida. En consecuencia, se sigue que [ 0 ( ^ = a -^)1m,iu,9=1^ para todo w G W. Entonces 0 ( ^ = " ,ed£,eM ) es válida en M .
(ii) Dado (bix), |v íVf=M]M,u>3,g =0 es válida. Esto significa que para t o f l w G W , [ □ ( v íW =M )Jm ,w,9= 0 , por lo que □ (v f t í= M ) es inválida en \ J
(iii) En todo w G W, m refiere a c. Esto significa que [m = x ]M w g [x/cp J 1 P ( m = * ) ] M ,ti;,s,[x/c]=l Y p x D ( m = x ) l M ,w,9= l , para todo w G W .
significa que 3x\JÍ(m=x) es válida en M . Ejercicio 5.5. [AvalM ,ít;,g= la función h G tal que h(u/)=|[v ajM ,w',9, para todo w' c 1 W = la función h G D™ tal que /i(«/)= [a ]M ,iu ',s (u/)> Para todo w' G W = l«| función h G tal que h( w' ) =g( a) ( wl), para todo w' G W . Esto significa que h=g( a) , entonces, [AVajM ,u ^ = 7i= s(oO = IajM ,■;,•
Ejercicio 5.7. (i) v íW(j) (teorema 5). (ii) AxAX ( v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) se reduce a X X ( VX ( j ) ) ( AM ) y luego a VAM (j) por el teorema 5, y éste se reduce a M ( j ) por el teorema 2. (iii) \x\X\I\(v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) no se reduce, porque la variable x está en el alcance de □ y j ^ I C E . (iv) X X AxD (v X (x ))(AM ) ( j ) se reduce a AxD (VAM ( x ) ) ( j ) por el teorema 5, porque AM G I C E . Por el teorema 2, AxD(VAM ( x ) ) ( j ) se reduce a A x D M (x )(j), el cual no puede ser reducido, dado que x está en el alcance de □ y j £ IC E . (v) AxA(M (x ) Av íW'(x))(y) se reduce a A(M (y ) Av %í(y)) por el teorema 5, dado que y G IC E . (vi) XpcXyD(B(^)(y))(A{j )(j) se reduce a XyC\(B(Aj ) ( y) ) ( j ) por el teorema 5, porque Aj G I C E . Dado que y está en el alcance de □ y j ^ IC E , Xy\Z\(B(A(j)(y )){j) no puede ser reducida más allá. (vii) Dado que z G I C E , XyX?cA3x(B(?c)(y) A Ax = i/)(AVz )(Ax) se reduce por el teorema 3 a XyX^3x( B(^) (y) A Ax = t/)(z )(Ax), el cual se reduce por el teorema 5 a A^A3x(i?(a:)(z) A Ax = z ) ( Ax), nuevamente, porque z G I C E . La reducción se detiene aquí, dado que x está en el alcance de 3x. Si reemplazamos este cuantificador y su variable acotada por 3y y y, respectivamente, podemos continuar con la reducción con la ayuda del teorema 5, porque Ax G I C E , de donde se obtiene A3 y ( B ( Ax ) ( z ) A Ay=z) .
Cap'tu l° 6 ¡¡jerctcio 6 .1 .
ítem (a) : Categoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura a: una mujer pasea, O, S2
a-
una mujer, T , S3’ una, T /N C
pasear, VI
mujer, NC
El árbol de traducción se da en la figura b:
3 x ( m u j e r ( x ) A P A S E A R (x )), VA-eliminación Jk
3 x (m u je r (x ) A
va
p a s e a r ( x ) ) , A-conversión A
V
A X 3 x (m u je r (x ) A
v
X ( x ) ) ( a p a s e a r ) , í, T2
A X 3 x ( m u j e r ( x ) A v X( x ) ) , VA-eliminación
p a s e a r , ( e , t ) ,T l a
$ A X 3 x (v a m u je r (x ) A
v
X ( x ) ) , A-conversión
$ Ay A X 3 x (v y (x )
Av X (
x
))(a
m u je r
) , ( ( s , (e , í ) > , í ) ,
m u je r ,
AF AX3x(vy(x)
Av
T3'
(e, t)
X(x)), «a, (e, t» , ((s, (e, t)), t ) ,),
, T
lo
T ic '
Sincategoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura c: C.
u n a m u je r p a s e a , O ,
una mujer, T , S5
I mujer, NC
S2 pasear, VI
El árbol de traducción se da en la figura d: d.
3 x ( m u j e r ( x ) A p a s e a r ( x ) ) , VA- e l im i n a c ió n
$ 3 x ( m u j e r ( x ) A v a p a s e a r ( x ) ) , A -c o n v e r s ió n
$ A X 3 x ( m u j e r ( x ) A X ( x ) ) ( a p a s e a r ) , t, T 2
A X 3 x (m u je r (x ) A
v
X( x ) ) , ((s, (e,t)) ,í) ,T 5
M U JER , ( e ,
t)
p asear,
( e ,í ) ,T l a
,T \ a
ítem (b):
X Y A X -i3 x (vY (x ) A vX ( x ) )
E je rc ic io
6.2.
(i) Arbol de análisis: véase figura a; árbol de traducción: véase figura b (ii) Árbol de análisis: véase figura c; árbol de traducción: véase figura d a.
Juan conoce a María, O, S2 Juan, T
conocer a María, VI, S7 conocer, V T
b -
C 0 N 0 C E R (j,A
AX
wX { m ) ) ,
María, T
NCI
A V*
C O NO C E R ( A A X v X ( m ) ) ( j ) , v A - e l i m i n a c i ó n
$ vAc ON oc er (AAX v X (m )) ( j ), A-conversión ±
v A X v X O ) ( a c o n o c e r ( a \ X v X ( m ) ) ) , t,
A X v X ( j ) , ( ( s , (e , í ) ) , í ) , T lb
T2
C O N O C E R (A A X v X ( m ) ) , (e, í ) , T 7
C O N O C E R , ( ( s , ( { s , ( e , í ) ) , t ) ) , ( e , í » , T ía
AX v X ( m ) , { { s , ( e , t ) ) , t ) , T lb
c-
toda mujer añora un solo anillo, O, S2 toda mujer, T , S3 mujer, NC
añora un solo anillo, V I, S7 añora, V T
un solo anillo, T , S6
I anillo, NC
Vx (m
u je r
(: e ) — >•A Ñ ORARAS,A A X 3 2 / V z ( ( a n i l l o ( z )
A v X ( z ) ) <-» ? / = z ) ) ) VA-e lim , A -c o n v , NCI
$ AyVx(MUJER(x)—* Vy ( x ) ) ( AAÑORAR(AX3í/Vz((ANILLO(z) A vX ( z ) ) <-> y = z ))), t , T2
A y V x (M U J E R (a :)—* v y ( x ) ) ((s , (e , t )) ,t), T 3
m u j e r , (e,t), T í a
a ñ o r a r ( a A X 3 i / V z ( ( a n i l l o ( z ) A vX ( z ) ) «-> y = z ) ) (e , t ) , T 7
A Ñ ORAR, T í a ((s, ( ( s , (e , í » , t ) ) , (e , í ) )
A X 3 j / V z ( ( a n i l l o ( z ) A v X ( z ) ) <-> y = z ) ( ( s , (e,t)) ,t), T 6
I a n il l o ,
(e ,í) , T ía
Ejercicio 6.3. (i)
C 0 N 0C E R ( j,A A X v X ( m ) ) = C O N O C E R * ( j , m )
(ii)
V x (m u je r(x )-> a ñ o ra r(x ,a AX3yV2:((HOMBRE(z)A
PS1 y CN 2
y X ( z ) ) +-> y = z ))) =V x ( m ujer (x )—>VAA X 3yVz((ANiLLo(z) Av X ( z ) ) y = z ) [ A\m AÑORAR*(x, m ))) = V x ( m ujer (x )—>AAr3yVz((ANlLLO(,2:) Av X ( z ) ) <-> y = z ) (AAm AÑORAR*(x, m ))) =Vx(MUJER(x)—>3yV.2(( ANILLO ( 2 ) A VAA m AÑORAR»(x,m)(z)) <-> y = z ) )
Teorema 1 VA-elim. A-conv.
= V x ( m ujer (x ) —>-32/Vz (( a n il l o ( z ) A A m A Ñ O R A R *( x ,
m) ( z) )
<-► y = z ) )
VA-e lim .
= V x ( m u j e r ( x ) —>3 j/V 2:((A N IL LO ( z )
A a ñ o ra r*(x , z ))
y —z ))
A-conv.
•icio 6 .4 .
(a): ración Todo hombre busca un tesoro tiene tres lecturas diferentes. Primero iodo, tiene una lectura de dicto que no nos compromete a la creencia de os tesoros existan. Segundo, hay una lectura en la cual cada hombre busca ismo unicornio existente. Y tercero, la oración puede significar que cada bre busca a un unicornio que existe; la oración es indeterminada en cuanto realmente todos los hombres tratan de encontrar el mismo unicornio. Las ñas dos lecturas son ambas de re. primera lectura puede construirse directamente, com o se muestra en la ra a: todo hombre busca un unicornio, O, S2 todo hombre, T , S3
busca un unicornio, V I, S7
I hombre, NC
buscar, V T
un unicornio, T , S5
I unicornio, NC
traducción de a es: tesoro h-> t e s o r o F±(tesoró) i—> A X 3 x ( t e s o r o ( x ) buscar BUSCAR Fe(buscar, un tesoro)*—> b u s c a r (a
hombre
A X 3 x (t e s o
r o (x
T ía A
wX ( x ) )
T ía
) A VX ( x ) ) )
H O M B RE
F 2 (/io m 6 r e )
h->
T5
T7 T ía
A y \ /y (H O M B R E (y )—>v y ( y ) )
T3
F\{todo hombre, buscar un tesoro) i—> A y V í/(H O M B R E (y )—> v^
>•
(2 /))(a b u
s c a r (a
A X 3 x (t e s o
r o (x
) Av X ( x ))))
vX (x )))(y )) >•
A-conv.
=Ví/(HOMBRE(y)-> BUSCAR(AAX3x(TESORO(x)A
vX (x )) )(y ) ) LO.
T2
= V y ( H O M B R E ( y ) —> VAB U S C A R (A A X 3 x ( T E S O R O ( x ) A
VA-elim.
= Ví/( h o m b r e ( j/) —>b u sc a r (?/, AAX3x(TESORO(x) A
V* ( z ) ) )
CN1
La segunda lectura se puede obtener por la cuantificación de un unicornio en todo hombre loo busca, como se muestra en la figura b: b.
todo hombre busca un tesoro, O, S8, 0 un unicornio, T , S5
todo hombre loo busca, O, S2
I tesoro, NC
todo hombre, T , S3
loo buscar, VI, S7
I hombre, NC
/ buscar, V T
\ élo, T
La traducción del árbol de análisis b es la siguiente:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
élo ^ A X vX ( x 0) buscar i—> B U S C A R F 6 (buscar, élo) »-*■ b u s c a r (a A X v X ( x 0)) hombre *—> H O M B R E F 2 (hombre) i—> AYVY(HOMBRE(y)—>vY (y ))
T lb T ía T7 T ía T3
F\(todohombre,I oq buscar) i—> AYVy(HOMBRE(y)—> vy ( y ) ) ( ABUSCAR(AA X v X ( x 0)))
T2
7.
=Vy(HOMBRE(y)—>VABUSCAR(AA X vX ( x 0))(y))
A-conv.
8.
=Vy(HOMBRE(y)-+BUSCAR(AA X vX ( x 0))(y))
VA-elim.
9. 10. 11. 12. 13.
= V y ( H O M B R E ( y ) — > B U S C A R (y ,A
14.
A X v X ( x 0)))
= V y (H O M B R E (y )-> B U S C A R * (y ,x o ))
tesoro i—* T E S O R O F ^ teso ro ) >-+ A X 3 x (te s o r o (x ) A vX (x )) Fifi{uv/tesoro, todo hombre loo busca) i—> A X 3 x (te s o r o (x ) A vX ( x ) ) ( AAx0Vy(HOMBRE(y)—>
CN1 CN2 T ía T5
BUSCAR*(y,x0))) 3 x (te s o r o (x ) A VAAx0Vy(HOMBRE(y)—>
T8.0
B U S C A R *(y , X 0 ) ) ( x ) )
A-conv.
15.
3 x (t e s o r o (x ) A Ax0Vy(HOMBRE(y)-^BUSCAR*(y,x0))(x))
16.
3 x (te s o r o (x ) A Vy(buscar*(y, x )))
VA-elim.
A-conv.
En la tercera lectura, un tesoro tiene un alcance más amplio que buscar, pero está en el alcance de todo hombre. Esta lectura puede obtenerse al cuantificar primero un tesoro en la oración él\ loo busca. Esto resulta en él\busca un tesoro. Entonces todo hombre puede cuantificarse, como se muestra en c:
c.
todo hombre busca un tesoro, O, S8, 1 todo hombre, T , S3
eli busca un tesoro, O, S8, 0
I hombre, NC
un tesoro, T , S5
éli loo busca, O, S2
I tesoro, NC
^
\
éli, T
lo o buscar, V I, S7
/ buscar, V T
\ élo, T
La traducción de c procede de la siguiente manera: T lb T ía T7 T lb
5.
élo ^ A X v X ( x 0) buscar i—►BUSCAR Fe (buscar, élo) ^ b u sc a r (a A X v X ( x 0)) éh *-+ AF vr ( x i ) F\(él\,loQ buscar) XY vF (x i)
6.
(a b u s c a r ( a A X vX (x 0))) = vab u s c a r ( a A X v A '( xo))( x 1)
7.
= b u s c a r ( a A X v X ( x 0))( x !)
8.
= b u s c a r (x i , a A X v X ( xo))
9.
=BUSCAR*
10. 11. 12 .
tesoro h-> t e s o r o F i{teso ro ) >—> A X 3 x (te s o r o (x ) A vX (x )) F 7 to(un teso ro, él\ loo busca) i—>
T2 A-conv. VA-elim. CN1 CN2 T ía T5
1.
2. 3. 4.
13. 14. 15. 16. 17. 18.
(x i, Xo)
A X 3 x (te s o r o (x ) a vX ( x ) ) ( aAxoBuscar*(xi,xo)) 3x(TESORO(x) A VAAxoBUSCAR*(xi, xo)(x)) 3 x (te s o r o (x ) A AxoB uscar*(xi,xo)(x)) 3 x (te s o r o (x ) A BUSCAR»(xi, x)) hombre *-> HOMBRE F 2 (hom bre) i—> AXVy(HOMBRE(y)—>vX (y )) FT¿(todo hombre, él\ busca un tesoro) i—► AX3y(HOMBRE(y)—*•v X ( y ) )
T8,0 A-conv. VA-elim. A-conv. T ía T3
T 8,l
19.
(a A x i3 x (te s o r o (x ) a b u s c a r* (x i,x ))) =Vy(HOMBRE(y)—>vaA x i3 x (te so r o (x )A b uscar* (x i,x )) (y)) =Vy(HOMBRE(y) —>Axi3x(TESORO(x)A
A-conv.
20. 21.
BUSCAR*(xi,x))(y)) =Vy ( h o m b r e ( y ) —>3x ( t e s o r o (x) A B U SCA R *(y, x)))
VA-elim. A-conv.
ítem (b): Comenzamos con la construcción indirecta de Juan encuentra un tesoro. Esto se representa en el árbol de análisis d: Juan encuentra un tesoro, O, S8, 3
d.
un tesoro, T, S5 Juan I03 encuentra, O, S2
I
/
tesoro, NC
I03 encontrar, VI, S7
Juan, T
encontrar, VT
él3, T
La traducción del árbol d es: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
él3 ~ X X y X { x 3) encontrar 1—> ENCONTRAR F 6 (encontrar, él3) i-> ENCONTRAr (a A X v X ( x 3)) Juan AY v Y ( j ) Fi(Juan, lo 3 encontrar) AY V y ( j) ( AENCONTRAR(AA X VX ( X 3 ) ) ) = VAENCONTRAR(AA X VX ( x 3 ))(j)
T lb T ía T7 T lb
=ENCONTRAR(AA X VX ( x 3))(j)
VA-elim. CN1 CN2 T ía T5
= ENCONTRAR(j, AA X VX (xa)) =ENCONTRAR*(j, X 3 )
tesoro 1—►TESORO F4(tesoro) A X 3 x ( t e s o r o (x ) A v^ ( x ) ) F i¿(u n teso ro , Juan lo 3 encuentra) 1—> A X 3 x (t e s o r o (x )A 3x(TESORO(x) A VAAx3ENCONTRAR*(j, x 3)(x))
A-conv.
3x(TESORO(x) A Ax3ENCONTRAR*(j, ®3 )(x))
VA-elim.
3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(j, x))
A-conv.
La construcción directa se muestra en la figura e.: e.
A-conv.
T8,3
VX ( x ) ) ( AAx3ENCONTRAR*(j,X3))
13. 14. 15.
T2
Juan encuentra un tesoro, O, S2 Juan, T
encuentra un tesoro, VI, S7
encuentrar, VT
un tesoro, T, S5
I tesoro, NC
La traducción del árbol de análisis e es: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
tesoro h-» tesor o F i(teso ro ) A X 3 x (t e s o r o (x ) A S/X ( x ) ) encontrar i—*•e n c o n t r a r Fe(encontrar, un tesoro) e n c o n t r a r (a A X 3 x (t e s o r o (x ) a v X ( x ))) Juan AY v Y ( j ) F\ (Juan, encuentra un tesoro) i—> AY v Y ( j ) (a e n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) a v X ( x )))) = vae n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) A v X ( x ) ) ) ( j ) = e n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ) ( j ) =ENCONTRAR(j, AX X 3x(TESORO(x) AV AT(x ))) = va A X 3 x (t e s o r o (x ) AVX ( x ))(AAy ENCONTRAR*(j, y)) = A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ( AXy e n c o n t r a r * (j, y)) = 3x(TESORO(x) A VAAy ENCONTRAR* (j, y) (x)) = 3 x (t ESORO(x ) A Ay ENCONTRAR* (j, y)(x)) = 3 x (t ESORO(x ) A ENCONTRAR*( j , x) )
T ía T5 T ía T7 T lb T2 A-conv. VA-elim.
CN1 Teorema 1 VA-elim. A-conv. VA-elim. A-conv.
Ejercicio 6.6. El problema es mostrar que (iii) no se sigue de (i) y (ii): (i) Juan busca a la reina (ii) Elisa es la reina (iii) Juan busca a Elisa Esto lo hacemos analizando sintácticamente cada una de las oraciones, de tal forma que la traducción de (iii) no se siga de la traducción de (i) y (ii), dado este análisis sintáctico. Las oraciones (ii) y (iii) no son ambiguas, pueden construirse de diferentes formas, pero al final resultan en la misma traducción, (iv) y (v), respectivamente: (iv) 3x(Vy(RElNA(y) (v)
BUSCAR* ( j , e)
x=y) A x=e)
Por otra parte, la oración (i) es ambigua. Tiene una lectura de re y una de dicto. Obtenemos la última construyendo (i) directamente, com o en a: a.
Juan busca a la reina, O, S2 Juan, T
busca a la reina, V I, S7 buscar, V T
la reina, T , S4
I reina, NC
Este análisis sintáctico produce la siguiente traducción: (vi)
B U S C A R (j,A AX3x(Vy(RElNA(y)
x = y ) A v -X(x)))
La fórmula (v) no se sigue de las fórmulas (vi) y (iv). Asumamos un modelo M con un mundo w tal que (vi) y (iv) sean verdaderas en w, dado M . Un contraejemplo se puede producir fácilmente mostrando que no se sigue que (v) sea verdadero en M para w. Para ver esto, observemos primero que de la definición de BUSCAR* se sigue que (v) es equivalente a (vii): (vii)
B U S C A R (j,A
X X wX ( e ) )
La fórmula (vii) se sigue de (vi) sólo si AAX3x(Vy(REINA(y) x = y ) Av X ( x ) ) se refiere en M a la misma función de mundos en conjuntos de propiedades de primer-orden, como lo hace AX X y X ( e ) (la extensión de estas dos expresiones depende sólo del modelo M , no del mundo o la asignación. Esto se debe a que ellos son expresiones intensionalmente cerradas que no contienen variables libres. Este es el caso si para todo w 1 £ W en M . AX3x(Vy(RElNA(y) x = y ) Av X (x)) se refiere al mismo conjunto de propiedades de primer-orden que A X vX ( e ) ) . Esto es verdad sólo si (iv) 3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y ) A x = e ) es verda dero en todo w' . Por suposición, (iv) es verdadero en w y, entonces, tanto AX3x(Vy(RElNA(y) «-> x = y ) Av X { x ) ) como A X vX ( e ) refieren en w al mismo conjunto de propiedades de primer-orden. Sin embargo, esto no dice nada sobre el valor de verdad de 3x(Vy(RElNA(y) x = y ) Av X ( x ) ) y XX JX (e) refieren a conjuntos diferentes de propiedades de primer-orden.
De esto se sigue que AAX3x(Vj/(RElNA(y) «-» x = y ) A v X ( x ) ) y AA X vj f ( ej refieren en M a funciones diferentes y, de ahí también, que la fórmula (v) no se sigue de (vi), incluso si (iv) es válida. Así podemos construir un contraejempl0 para la declaración de que (v) se sigue de (vi) y (iv), tomando un modelo JVJ con un mundo w en el cual tanto (vi), com o (iv) sonverdaderas,mientras que (v) no es verdadera; y un mundo w' en el cual (iv) no sea verdadera. Esto muestra que (iii) no se sigue de (i) y (ii). Después de todo, hemos dado análisis sintácticos para (i), (ii) y (iii), tales que la traducción de (iii) no se sigue de las traducciones de (i) y (ii). Se debe notar, sin embargo, que la lectura de re hace válido el argumento Esta lectura resulta de una construcción indirecta, com o se muestra en la figura b: Juan busca a la reina, O, S8 , 4
b.
Juan I04 busca, O, S2
la reina, T , S4 reina
I04 buscar, VI, S7
Juan, T
buscar, V T
éU, T
La traducción que resulta es la siguiente: (viii) 3 x(V j/(rein a(j/) <-* x = y )
A
b u sca r*(j,x))
La fórmula (v) se sigue directamente de (viii) y (iv).
Ejercicio 6.7. Para la oración Juan besa a María o a la reina y la ama, hay dos árboles de análisis, que resultan en dos traducciones que no son equivalentes. El primer árbol de análisis se da en la figura a.: a.
Juan besa a María o a la reina y la ama, O, S8 , 0 María o la reina, T , S13 Juan lao besa y lao ama, O, S2 / \ ^ María, Tía reina, T , S4Juan, T
\ loo besar y loo amar, VI, S i l
I reina, NC
\ loo besar, VI, S7 / besar, V T
loo amar, VI, S7
\ / élo, T amar, V T
\ élo, T
j,a traducción del árbol de análisis a es: 1. 23. 4. 5.
6.
besar * BESAR él0 A X vX ( x 0)) Fe{besar, élo) i-> b e s a r ( a A X am ar BESAR Fe(amar, élo) b e s a r (a A X Fe(am ar, élo) l—> A x ( b e s a r ( a AAÍ v X ( x 0 ) ) ( x )
7. 8. 9.
10.
A
= A x ( b e s a r ( x , a A X v AT(x 0 ) )
v
X (
x
0 ))
v X ( x 0))
a m a r
A
( a AAT v X ( x o ) ) ( x ) )
a m a r
(x , a A X v X ( x o )))
= A x (b e s a r * (x , x o ) A a m a r * (x , x 0))
Juan i—> AX v X ( j ) F\{Juan, loo besar y loo am ar) A X vX ( j ) ( a A x (b e s a r * (x ,x o ) A a m a r * ( x , x 0)))
11. 12 . 13. 14. 15. 16. 17.
= VAAx(BESAR»(x,
X0)
a AMAR*(x,
=A x(besar*(x,
x
= BESAR»(j,
A AMAR* (J, X 0 )
X0)
0)
X0))(j)
A a m a r * (x , x 0))(j)
María t—►AX v X ( m ) reina i—» REINA F 3 (reina) AY3x(Vy(RElNA(y) <->■ x = y ) A vY ( x ) ) Fq (María, la reina)^> X Y ( A X VX ( m ) ( X ) V AY3x(Vy(REiNA(y) <-»• x = y ) A vY ( x ) ) ( X ) )
18. 19.
= \ X ( v X (m ) V 3x(Vy(RElNA(y) <-*■ x = y ) A v X ( x ) ) )
T ía T lb T7 T ía T7 T il CN1 CN2 T lb T2 A-conv. VA-elim. A-conv. T lb T ía T4 T13 A-conv.
F'j^(María o la reina, Juan loo besar y loo amar) i—> A X ( v X ( m ) A 3x(Vy(RElNA(y) <->■ x = y ) A v X ( x ) ) ) (AAx0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j,
20.
3x(Vy(REiNA(y) AvaAx0(b e s a r * ( j ,
21.
X 0 )))
T8, 0
VAAx0( b e s a r *(j , x 0) A AM AR*(j,x0))(m )A x=y) x
0)
A AMAR*(j, x 0))(x))
A-conv.
Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j,X0))(m )A 3x(Vy(REiNA(y) <-> x = y ) AAx 0( b ESAR*(j , X0) A AMAR*(j, x 0))(x))
22.
VA-elim.
= ( b e s a r * ( j , xo) A a m a r * (j, m )) V 3x(Vy(REiNA(y) <->■ X = y ) A BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x))
A-conv.
De esta manera, obtenemos una lectura en la cual la oración puede ser verda dera en una situación cuando no hay reina, esto eso, en la situación en la cual es verdad que Juan besa y ama a María.
,a lectura en la cual se asegura la existencia de la reina puede obtenerse nalizando la oración sintácticamente, com o se muestra en la figura b: Juan besa a María o a la reina y la ama, O, S8, 2 la reina, T , S4
Juan besa a María o a él2 y la ama, O, S8, 0
reina, NC María o él2, T , S13
/ María, T
Juan loo besa y loo ama, O, S2
\ él2, T
Juan, T loo besar y loo amar, V I, S i l loo besar, VI, S7
/ besar, V T
loo amar, VI, S7
\ élo, T
/
\
amar, V T élo, T
^ traducción del árbol de análisis b es la siguiente: I.
Juan loo besa y Ioq ama i—►. . . BESAR*( j , X 0)
A A M A R *( j , X 0)
María i—> XX v X (m ) él2 ^ X X v X ( x 2)) Fg(María, él2) ^ X X ( X X VX { m ) { X ) V A X vX ( x 2) ( X ) ) = A X (vX (m ) V v X ( x 2)) F j to(María o él2, Juan loo besa y loo amao)i—►
ver (1) a (13) arriba T lb T lb T13 A-conv.
A X (vX (m ) V vX ( x 2))(AAx0(BESAR*(j,x0)A
7.
9. 10.
II. 12-
AMAR*(j,X0))) VAAx0(BESAR*(j, Xo) A AMAR*(j, X 0) ) ( m ) V
T8, 0
VAAxo(BESAR*(j, X 0 ) a AMAR*(j,X0))(x 2) Ax 0( b esa r *(j , Xo) A AMAR*(j, x 0))(m )V
A-conv.
Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j, X0))(x 2) = (BESAR* ( j , m ) A A M A R * (j,m )) V (BESAR* (j, X 2) A
VA-elim.
A M A R *( j , X 2))
A-conv. T ía T4
reina r e in a F 3 (reina) i-> AX3x(Vy(REINA(y) <-> x = y ) A vX (x )) F’j^ila reina, Juan besa a María o a é/2 y lo a m a )A X 3 x (V y (R E lN A (y ) x=y) A v X ( x ) ) ( a Ax2( ( b e s a r * (í, m ) (B E S A R *(j, X 2)
A AMAR* ( j , m ) ) V
A A M A R *(j, X 2) ) ) )
T8, 2
13. 14. 15.
=3x(Vy(REiNA(y) <-> x = y ) VAAx2( (besar* (j, m)A AMAR»(j, m )) V (BESAR*(j, x 2) A AMAR*(j, x 2)))(x)) =3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y ) A Ax2( (BESAR* (j, m )A AMAR*(j,m)) V (BESAR*(j,x2) A AMAR*(j, x2)))(x)) =3x(Vy(REINA(y) <-> x = y ) A ( (BESAR* (j, m )A AMAR*(j, m )) V (BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x)))
A-conv. VA-elim. A-conv.
Ejercicio 6.8. ítem (a): La oración Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro contiene dos expresiones intensionales: afirmar y tratar de encontrar. El término un tesoro puede tener un alcance estrecho o amplio con respecto a ambas expresiones. De esto resultan tres lecturas, las cuales pueden parafrasearse de la siguiente manera: (i) Hay un unicornio y Juan afirma que Elisa trata de encontrarlo. (ii) Juan afirma que hay un unicornio y que Elisa trata de encontrarlo. (iii) Juan afirma que Elisa trata de encontrar un unicornio. La tercera lectura, en la cual un tesoro tiene un alcance estrecho con respecto a afirmar y tratar de encontrar, es el resultado de construir el árbol de manera directa, como se muestra en la figura a: a.
Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2 Juan, T , S4
afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, VI, S I5
afirma que, V I /O
Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2
Elisa, T
trata de encontrar un tesoro, V I, S16
trata de, V I/V I encontrar un tesoro, V I, S7 encontrar, V T
un tesoro, T , S5
I tesoro, NC
Traducción: 1.
2. 3. 4.
5. 6.
7.
8.
tesoro i-> t e s o r o F^tesoró) i—> AX3x(tesoro(x) A SJX( x) ) encontrar i—> E N C O N T R A R F^encontrar un tesoro) i—> ENCONTRAR(aAX3x(TESORO(x) A v X( x) ) ) trata de i—> TRATA Fi2 (tratar de, encontrar un tesoro) i—> TRATAR(Aencontrar(A\X3x(TESORo(x) A vX(x)))) Elisa A y v y(e) Fi(Elisa trata de encontrar un tesoro) i—►AXvX(e)
11.
(atr a t a r (aen co n tra r(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))) = vaTRATAR(a ENCONTRAR (a AX3 x (tesoro (x ) Av X(x))))(e) = t r a t a r ( aen con trar(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))(e) = T R A T A R ( e , aen con trar(aAX3x(tesoro(x) A v X ( x ))))
12.
= T R A T A R ( e , A Ay e n c o n t r a r
9. 10.
aAX3x(tesoro(x) Av X ( x )))) = T R A T A R ( e , aAj/(vaAX3x(tesoro(x) A v X(x) ) (AAzENCONTRAR*(y, z)))) = T R A T A R ( e , AAyAX3x(TESORO(x) A v X(x) ) (AA z ENCONTRAR»(y, z))) =TRATAR(e, AAy3x(TESORO(x)Ava Az ENCONTRAR* (y, z)(x))) = T R A T A R ( e , AAy3x(TESORO(x) A Az E N C O N T R A R » (y, z)(x))) = T R A T A R ( e , AAy3x(TESORO(x) A E N C O N T R A R * (y, x)))
T ía
T5 T ía
T7 T ía T16 T lb T2
A-conv. VA-conv. CN1 CN1,
A-abstr.
(y,
13. 14.
15. 16. 17. 18. 19.
afirm ar que af ir m a r Fu(a firm ar que, Elisa trata de encontrar un tesoro) i—>
20.
AFIRMAR(ATRATAR(e, AAy3x(TESORO(x) A ENCONTRAR* (y, x)))) Juan ■-» XXvX ( j )
21.
22.
23. 24.
Teorema 1 VA-elim. A-conv. VA-elim. A-COnv. T ía
T15 T lb
Fi(Juan, asegurar que Elisa trata de encontrar un tesoro) i—► A XvX ( j) ( AASEGURAR(ATRATAR(e, Ay3x(TESORO(x) AENCONTRAR* (y, x))))) = vaasegurar(atra ta r(c, Aí/3x(tesoro(x)A ENCONTRAR* (y, x))))(j) = A S E G U R A R ( A T R A T A R ( e , Ay3x(TESORO(x) A encontrar * (y, x))))(j) = A S E G U R A R ( j , A T R A T A R ( e . Ay3x(TESORO(x)A en con trar,(y, x ) ) ) )
T2
A-conv. VA-elim. CN1
En la segunda lectura, un tesoro tiene alcance estrecho con respecto a asegurar, pero alcance amplio sobre tratar de encontrar. Por supuesto, esta lectura se obtiene usando la regla de cuantificación, com o se muestra en la figura b:
Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2
b.
Juan, T
afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, VI, S15
afirma que, V I /O
Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S8, 0
un tesoro, T , S5 | Elisa trata de encontrarloo, O, S2 tesoro, NC
Elisa, T tratar de encontrarloo, VI, S16
\ tratar de, V I/V I
loo encontrar, VI, S7
^ encontrar, V T
\ élo, T
Omitiendo los pasos que resultan en la traducción de Elisa trata de encontrarloo, los cuales son completamente análogos a los pasos 1 a 17 en la traducción de a, obtenemos la siguiente traducción de la figura b: 1.
F\ (Elisa, tratar de encontrarloo)
2.
tesoro
T R A T A R (e , A A y E N C O N T R A R » ( y , X 0 ) )
h-> t e s o r o
4.
F\{tesoro) t—* A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X( x ) ) Fjfi(un tesoro, Elisa trata de encontrarloo) ►A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ( AA x 0 T R A T A R (e , AXy e n c o n t r a r » (y,xo)))
5.
= 3 x (te s o r o (x )A
3.
VAA x 0 T R A T A R (e, A A y e n c o n t r a r * ( y , x 0 ) ) ( x ) )
6.
= 3 x ( t e s o r o ( x ) A A x 0 T R A T A R (e, A A y e n c o n t r a r » ( y , x 0 ) ) ( x ) )
7.
= 3 x (t E S O R O (x ) A T R A T A R ( e , a Aj/ e n
8.
afirm ar que i—» a f i r m a r F\\ (afirmar que, Elisa trata de encontrar un tesoro)>—> a f i r m a r ( a 3 x ( t e s o r o ( x ) A v t r a t a r ( c , A\y e n c o n t r a r » (y, x))))
9.
10 . 11.
AAy e n c o n t r a r » (y, Xo)))))
T 8, 0 A-conv. VA-elim. A-conv. T ía T15 T lb
T2
(y, x))))(j)
A-conv.
(y, x))))(j)
VA-elim.
a fir m a r (a 3 x (te s o r o (x )A T R A T A R (e , A A y e n c o n t r a r »
14.
(y, x ) ) )
T5
v a a fir m a r (a 3 x (t e s o r o (x )a T R A T A R (e , A A y e n c o n t r a r »
13.
»
Juani - AX v X { j ) F\(Juan, afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro) >—* \ X VX ( j ) ( A A F IR M A r ( A 3 x (t E S O R O (x ) A T R A T A R (e ,
12 .
co n trar
ver arriba T ía
a fir m a r (j, a 3 x (t e s o r o (x )A T R A T A R (e ,
A\y e n c o n t r a r » (y,x))))
CN1
Finalmente, en la tercera lectura, un tesoro tiene un alcance amplio sobre afirmar y sobre tratar de encontrar. Esta lectura se puede obtener también con la ayuda de la regla de cuantificación, com o se muestra en la figura c:
c.
Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S8, 0 un tesorcj, T , S5
Juan afirma que Elisa trata de
I
encontrarloo, O, S2
tesoro, NC Juan, T
afirmar que Elisa trata de encontrarloo, VI, S15 afirmar que, V I /O
Elisa trata de encontrarloo, O, S2
Elisa, T tratar de encontrarloo, VI, S16 tratar de, V I /V I
loo encontrar, V I, S7
encontrar, V T
élo, T
Omitiendo nuevamente los pasos que dirigen la traducción de Juan afirma que Elisa trata de encontrarloo> porque son completamente análogos a los de la traducción del árbol a con élo en lugar de un tesoro, obtenemos la traducción del árbol c que se muestra a continuación: (Juan afirma que Elisa tratar de encontrarloo) i—> AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AXy ENCONTRAR* (y, X 0 ) ) ) 2. tesoro i—►teso ro 3. F AX3x(tesoro(x) A S/X( x) ) 4. Fj ü(un tesoro, Juan afirma que Elisa trata de encontrarloo) 1.
5.
AX3 x (tesoro (x ) A v X ( x )) (AAxo AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AA?/ ENCONTRAR»( y , = 3 x (tesoro (x ) a
X o))))
VAA x o A F I R M A R ( j , A T R A T A R ( e , A A y E N C O N T R A R » ( y , X o ) ) ) ( x ) )
6. 7.
ítem
= 3 x (tesoro (x )A Ax0AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AAy ENCONTRAR»(y, x0)))(x)) = 3 x (tesoro (x )A AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AXy ENCONTRAR»(y, x))))
ver arriba T ía T5
T8, 0 A-conv. VA-elim. A-conv.
(b ):
S21: si 7 G P(vi//vi)/T y a € PT, entonces ^ 1 7 (7 , a ) G Pyi//vi y F n h , <*)=7 a T21 : si 7 G P ( v i / / v i ) / t y Q ^ P t y 71—>7' y a*-+a' , entonces F i e ^ , a ) * - + y ( Aa ').
ítem (c): El árbol de análisis en la figura d representa la construcción directa: d.
Juan camina por un jardín, O, S2 Juan, T
caminar por un jardín, VI, S19
por un jardín, V I //V I , S21 por, ( V I //V I ) /T
caminar, VI
un jardín, T , S5
I jardín, NC
La traducción del árbol de análisis d es la siguiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
jardín <—> jardín Fi(jardín) i—> AX3 x (jardÍn (x ) A vX(x)) por h-> POR F\e{por, un jardín) i-> por(a AX3 x (jardín(x ) A vX(x))) caminar >—> CAMINAR F15(por, un jardín, caminar) >—>
Tía T5 Tía T21 Tía
por (a AX3 x (jardín(x ) A v X ( x )))( acaminar )
T19 Tlb
Juanh-» AX yX { j ) FiJuan, caminar por un jardíni—> XX^X( j )
7. 8.
(apor (a AX3 x (jardín(x ) a v X ( x )))( acaminar )) 9. 10.
avpor(a AX3 x (jardín(x ) a v X ( x )))( acaminar )(j )
POR(AAX3 x (JARDÍN(i ) A vX (x )))(ACAMINAR)(j)
T2 A-conv. VA-elim.
Esta traducción expresa que hay una relación triádica POR entre la propie dad de segundo orden expresada por un jardín, la propiedad de caminar y el individuo Juan. Esto deja indeterminada la existencia de jardines, lo cual no está en concordancia con el significado de la oración analizada. La cons trucción indirecta dada en la figura e resulta en una traducción en la cual la existencia de jardines puede inferirse: e.
Juan camina por un jardín, O, S8, 0 un jardín, T , S5 Juan camina por élo, O, S2 jardín, NC
Juan, T
caminar por élo, VI, S19
por élo, ( V I //V I ) , S21 por, ( V I //V I ) /T
élo, T
caminar, VI
La traducción de e es la siguiente: 1.
2. 3. 4.
5.
6. 7.
Juan camina por élo P O R ( A A X v X ( a : o ) ) ( AC A M I N A R ) ( j ) jardín i-+ jardín F4 (jardín) h-> A X 3x(jardÍn(x) A ^X(x)) F\fl(un jardín, Juan camina por élo)y—> A X 3x(jardín(x) A vX (x )) (AAx0POR(AA X VX(a:o))(ACAMINAR)(j)) 3x(jardín(x) A vaAx0 p o r(aA X vX ( x 0)) (a caminar )(j )( x )) 3 x (jardín (x ) A Ax 0 por ( a A X v X '( x 0)) (Ac am inar ) 0')( x )) 3x ( jardín (x ) a por ( a A X v AT(x ))( a cam in ar )(j ))
ver arriba T ía T5
T8,
0
A-conv. VA-elim.
A-conv.
ítem (d): La oración Juan camina por un jardín no es ambigua: por denota una relación entre una entidad, una propiedad y otra entidad. El siguiente postulado de significado da cuenta de esto: 3 £ > V X V X V x D (E N (X )p O (x ) «-» VX ( AAy D ( y ) { X ) { x ) ) )
D es una variable del tipo (e, ((s, (e, i)), (e, £))), el tipo de relación triàdi ca entre entidades, propiedades de entidades y entidades. Con la ayuda de la siguiente convención notacional, obtenemos una notación para la relación triàdica cuya existencia está garantizada por el postulado de significado: P O R ^defX yX X X x POR(AA y vY ( j /) ) ( X ) ( x ) El siguiente teorema es válido, gracias al significado del postulado y a la con vención notacional: V X V X V x D ( e n ( X ) ( A :) ( x ) «-» v X ( AAy E N *(y )(X )(x )))
El resultado de la construcción directa de Juan camina por un jardín puede, ahora, reducirse con la ayuda de este teorema:
10. 11.
POr(a A X 3 x ( j a r d Í n ( x ) A
vX
( x ) ) ) ( a CAMINAr )( j )
Teorema 1
( a CAMINAr )( j ))
12 .
= A X 3 x ( j a r d Ín ( x ) A
vX
( x ) ) ( AAy POR*(y)
( a c a m i n a r )( jí)) 13.
ver arriba
= vaA X 3 x ( j a r d Í n ( x ) A v X ( x ) ) ( AAy POR*(y)
= 3 x ( j a r d Í n ( x ) A VAAy POR*(y)(ACAMlNAR)(j)(x))
14.
= 3 x ( j a r d Í n ( x ) A Ay POR»(y)(ACAMlNAR)(j)(x))
15.
= 3 x ( j a r d í n (x ) A
p o r *( x )( a c a m i n a r )( j ))
VA-elim. A-conv. VA-elim. A-conv.
jjl resultado de la construcción indirecta puede reducirse también a 15. Sólo necesitamos la convención notacional para efectuarlo. 7.
=
8.
=
3x (jA R D ÍN (a ;) 3x ( jA R D Í N (x )
A P O R (a A X v X ( x ) ) ( AC A M lN A R )(j)(x ))
v e r a r r ib a
A P O R *(x )(AC A M IN A R )(j))
CN
Capítulo 7 Ejercicio 7.1. (i) {X \ j e X } (ii) {X\2
< card (X f l i N j ) } (para lo cual podemos añadir la condición de que card (X fl |ArJ) no exceda un número especificado contextualmente (‘relativamente pocos Ar’ ))
(üi)
{x\
(iv)
{X | X
fl | 7 V ]= 0 },
con la presuposición de que c ar d( l N} ) =2
(v) {X \ card(X fl [ÍVJ) es finito}
Ejercicio 7.2. (a)(i), (ii) y (iv) son monótonos ascendentes; los otros no lo son.
(b)
Dado que [S Nj es no vacío y que { P j = E , se sigue que hay un Xt que X G { SNj y X C |Pj . De ahí, [P ] 6 ISNj , si S N es monótono ascendente. Esta propiedad no es una condición suficiente para la monotonía ascen dente. Por ejemplo, todo o ningún N, satisface esta condición pero no es monótona ascendente.
Ejercicio 7.4. Asuma que Q satisface la definición 1 y escoja X y Y tales que X H Y G Q. Dado que X O Y C. X y l n Y C 7 , s e sigue, por la definición 1, que X G Q y Y € Q, lo cual significa que Q satisface la definición 3. Asuma que Q satisface la definición 7.3. y escoja X y Y tales que X C Y y X G Q. Si X C Y, entonces X fl Y = X y, por consiguiente, Y GQ por la definición 3; así, Q satisface la definición 7.1.
Ejercicio 7.6. Si \muchacho\ m es un singleton, \exactamente un muchachoJm es monotóni co ascendente; y si lmuchacho}M =®, \exactamente un muchacho}-^ es notónico descendente. Ejercicio 7.7. Considere los siguientes ejemplos: (i) Juan y ninguna mujer caminaron rápidamente ^ Juan y ninguna mujer caminaron. (ii) Juan y ninguna mujer caminaron V- Juan y ninguna mujer caminaron rápidamente. El primer ejemplo muestra que Juan y ninguna mujer no es monótono ascen dente; el segundo muestra que tam poco es monótono descendente. De manera formal, escoja un modelo M y sean X , Y y Z tales que X G \Juan y ninguna mujer]m, Y = X — { j } , y Z = X U {w}, con v G fm u je r jw Tenemos que \Juan y ninguna m ujer\={X \j G X k, X D \m ujer\=$}. Ahora, tenemos Y C X y Y ^ |Juan y ninguna mujer}] de donde Juan y ninguna mujer no es monótono descendente. También, tenemos Z D I y Z ^ \Juan y ninguna mujer]|; por lo que Juan y ninguna mujer no es monótono ascendente. Ejercicio 7.10. Primero consideremos la negación, que definimos de la siguiente manera: ^D ={{X,Y)\(X,Y)tD } Para X e Y arbitrarios tenemos: {X, Y) G ->D sii (por definición de -¡D) (X , Y ) £ D sii (por conservatividad de D ) (X , X fl Y ) £ D sii (por definición de ->D) ( X , X r \ Y ) 6 -
2= d
xn d
{x, y) e
2= { ( x , y) |
d, &
{x, y ) e
d
2}
Se sigue que: {X , Y) € D\ A D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X, Y) € D\ y ( X , Y ) £ D 2 sii (por conservatividad de D\ y de D 2) ( X , X fl Y) E D\ y (X, X fl Y) 6 D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X , X fl Y) G D\ A D 2. Finalmente, miremos la restricción: D A( X , Y ) = D ( X n A , Y )
(X , Y) G D a sii (por definición de Da) ( X n A, Y) G D sii (por conservatividad de D) { X n A, X n A n Y) G D sii ( X n A, X n A n X n Y) £ O sii (por conservatividad de D) ( X n A, X D Y ) G D sii (por definición de
Entonces:
D a ) ( X , x n Y ) e D A. Ejercicio 7.11. Todos excepto uno tiene el mismo significado que exactamente uno no, lo cual, a su turno, puede verse com o la conjunción al menos uno no y a lo sum o uno no. Ya que tanto al menos uno, como a lo sumo son determinan tes monotónicos, es suficiente mostrar que este tipo de negación convierte un determinante m onótono en otro determinante monótono. La definición es la siguiente: D -i * = { ( X , Y) |(X, E - Y)
G
D)
Se puede probar que esta negación invierte la monotonicidad: D es mon | (mon ],) sii D -i* es mon J. (mon |). Mostramos que si D es mon |, entonces D~'* es mon |. Suponga D es mon j. Escoja X , Y y Z tales que (X , E - Y ) G D y Y C Z. Lo primero garantiza, por la definición de D->*, que (X , Y ) 6 D~<*. Lo segundo implica que E —Z C E —Y , de donde, por monotonía descendente de D, { X , E — Z) G D. Por definición de D~<*, nuevamente, tenemos (X, Z ) G D - 1*, lo que muestra que D -¡* es mon |. El otro caso es similar. Se puede mostrar de la siguiente manera que un número par no es una conjunción de determinantes monotónicos: en vista del hecho 6, es suficiente mostrar que este determinante no es continuo. Construya M de la siguiente manera: E m = {1 ,2 , 3 ,4 }, [-/VJm = {1,2, 3 ,4 }, I^ i1 m = {1 ,2 }, [VblM= { l , 2 ,3 }, IV 3J m = {1 ,2,3 ,4}. Entonces, tenemos que {un número par de 7V'Vi|M=[[wn número par de N V3]m=1, pero que |un número par de N F2]m = 0 , aun cuando [Vi]m Q Ejercicio 7.14. (a)
x m uchacho(x)
y muchacha(y)
x ama a y
(b) x
y
muchacho (x)
muchacha (y)
x ama a y
(c )
x, y
x —Juan y —María x ama a y
y ama a x
x odia a y
y odia a x
Note que para obtener una representación correcta del significado de esta se cuencia de oraciones, los marcadores de referencia x y y y las condiciones x = Juan y y = María tienen que ponerse en el DRS principal y no en los antecedentes de la primera oración; de otro modo, ellos no podrían ligar
las ocurrencias de x y y en el segundo condicional. Esta es la manera general en la que DRT maneja los nombres propios: ellos siempre introducen nuevos marcadores en el DRS principal.
Ejercicio 7.15. La regla de construcción DRS para los SN con el determinante e x a c ta m e n te uno se lee de la siguiente manera: (i) adicionar un marcador de referencia nuevo x para el DRS; (ii) si a es el NC del SN, adicionar una condición o¡{x) al DRS; (iii) reemplazar el sujeto SN de la oración con el marcador de refer^ncja x ; (iv) adicionar una condición que consiste de dos sub-DRSs conectada?* p0r —►al DRS; (v) repetir los pasos (i) a (iii) en la caja de la izquierda con un marcador nuevo y; (vi) adicionar una condición y = x a la caja de la derecha. Usando esta regla de construcción la secuencia de oraciones (96) resuHa en el siguiente DRS:
X
m uchacho(x) x camina por el parque y =>
muchacho (y) y camina por el parque
x=y
silba(x)
Ejercicio 7.16. (a) (b)
(c)
( { x } , {M U C H A C H O (x ), ( { { y } , M U C H A C H A (y )}) - »
(0,
{(({£ }>
(0,
{ ( ( { y } , {M U C H A C H A (y)}) - >
{ a m a r (x , y ) } ) ) } )
{ m u c h a c h o (x ) } ) —>
({x , y }, {x =
(0,
(0,
JUAN, y =
{A M A R (y, x ) } ) ) ,
({0,
M ARÍA,
(0,
{ a m a r (x , y ) } ) ) } ) ) } )
((0,
{ a m a r (x , y ) } ) - »
{O D lA R (y , x ) } ) - +
(0 ,{O D IA R (x,y)}})}|
(d)
( { x } , { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( x ) , ( ( { y } , { M U C A C H O ( y ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( y ) } ) —> (0, { y = x } ) ) , s i l b a r (x ) } )
Si usamos nuestras convenciones notacionales abreviadas, (a )-(d ) podemos escribir como: (a)
( { x } , { m u c h a c h o (x ), ( ( { y } , m u c h a c h a ( y ) ) - > a m a r (x , y ) ) } )
(b)
( { x } , m u c h a c h o ( x ) ) - > ( ( { y } , M U C H A C H A (y )) - > a m a r (x , y ) )
(c)
( { x , y } , { x = J U A N , y = M A R Í A , (a m a r ( x , y ) — > A M A R (y, x ) ) , ( o D i A R ( y , x ) — >o d i a r ( x , y ) ) } )
(d)
( { x } , { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( x ) , ( ( { y } , ( M U C H A C H O ( y ) , C A M I N A R E N EL P A R Q U E ( y ) } ) — >y = sil b a r
(x ) } )
x),
ercicio 7.18. 143)
( { x } , { h o m b r e (x ) } ) - > { c a m i n a r
144)
( { x } , { H O M B R E ( x ) } ) — ► {-'C A M IN A R e n
145)
( { x } , { j u g a d o r (x ) } ) - >
en
el
p a r q u e
el
{P E Ó N (y ), E SC O G E R (x , y ), PONER e n
146)
(x ), s i l b a r (x ) }
p a r q u e
(x ), c a s a (x ) }
EL C U A D R A D O ( x , y ) } )
( { x } , { c l i e n t e (x ), e n t r a r (x ) } ) — > {tratar
A M A B L E M E N T E (u S T E D ,x ) , O F R E C E R C A F É ( U S T E D , x ) }
ercicio 7.19. la
DRS,
una fórmula de la lógica de predicados y una fórmula
DPL
que repre-
uten correctamente el significado de (96) son (a), (b) y (c), respectivamente vitamos el uso de material equivalente en (b) para hacer más fácil la comiración): (a) ({x }, { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R (({y }, ( M U C H A C H O ( y ) , C A M I N A R
EN EL P A R Q U E ( x ) , EN EL P A R Q U E ( y ) } ) —>
(0,{y=x})),SIL B A R (x)}) (b) 3x(MUCHACHO(x)
A C A M I N A R EN EL
Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR (c) 3x(MUCHACHO(x)
A
CAMINAR
Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR
E N EL
PARQUE(x)A PARQUE(y))—>y=x) ASILBAR(x))
EN EL P A R Q U E ( x ) A E N E L P A R Q U E ( y ) ) — > y = x ) ) ASILBAR(x)
3 sólo en la fórmula D P L (c) que la traducción de la primera oración de (96) jarece como una subfórmula en la traducción de la sucesión de oraciones, anto en la D R S (a) como en la fórmula lógico-predicativa (b), la traducción 3 la segunda oración tiene que traerse bajo el alcance del cuantificador {x } 3x, respectivamente, para obtener resultados semánticamente correctos. En msucesión, la fórmula D P L es la única traducción composicional de las tres; la RS y la traducción a lógica de predicados son igualmente no-composicionales. ote que en la semántica de D P L (b) y (c) son equivalentes.
'jercicio 7.20. ajo la interpretación de la disyunción dada en la definición 4, un cuantificador cistencial 3x en la primera disyunción no puede acotar ocurrencias libres de
x en la segunda disyunción (ni de manera contraria). Más aún, si continuamos una disyunción 0 V tp con una nueva conjunción: (0 V VO A \ >un cuantificador existencial 3x en 0 o ip no puede acotar ocurrencias de x en xB ajo la definición alternativa de disyunción propuesta, todavía no es po sible para un cuantificador en la primera disyunción acotar variables en la se gunda (ni viceversa). Entonces, esta interpretación alternativa de disyunción no puede ayudar a explicar relaciones anafóricas en las disyunciones burro problemáticas (148) y (149), discutidas en §7.4.4. Dicho sea de paso, estos ejemplos son de la forma ->3 x0 (x) V tp{x). Así, la negación bloquea la acotación de variables fuera del alcance de la negación por cuantificadores dentro del alcance de la negación; ninguna definición al ternativa de la disyunción puede ayudar a explicar las relaciones anafóricas en estos ejemplos. Lo que también parece necesario es una definición alternativa de la negación. Pero la interpretación alternativa de la disyunción propuesta difiere de la original en otro aspecto. De acuerdo con la definición alternativa, es posible para un cuantificador 3x en cualquiera de las disyunciones Ax) y, por consiguiente, 3 x (0 A x ) V3x(?/>Ax)En consecuencia, podemos usar la noción alternativa de disyunción para ex plicar las relaciones anafóricas en una sucesión de oraciones com o la siguiente: (203) Un profesor o un profesor asistente atenderán la reunión. El la reportará a la facultad Para traducir los dos términos indefinidos un profesor y un profesor asistente debemos usar el mismo cuantificador 3x; por su parte, el pronombre en la segunda oración debe ser traducido por la variable x. Ejercicio 7.21. En DPL hay un único subconjunto más pequeño que {3, V, A, V, —>} en térmi nos del cual el resto de constantes lógicas puede definirse. Como se explicó en el texto, Vx0 puede definirse como -i3x->0, pero 3x(p no puede definirse com o —Nx^4>. 3x0 y ->Vx—'<¡> no son fuertemente equivalentes
en DPL. Ellas no tienen las mismas condiciones de imbuición, a pesar de qUe tienen las mismas condiciones de verdad. Similarmente, es posible definir A pero no es posible definir ip) o como . Estas tres fórmulas tienen las mismas condiciones de verdad pero no las mismas condiciones de imbuición (dicho sea de paso, lo mismo es válido para (j) y En consecuencia, el único subconjunto mínimal posible del conjunto total de constantes lógicas {3, V, A, V, -►} es el conjunto {3, A}. Ejercicio 7.22. (i)
3x F x \£a F x 3 x F x \£b F x 3x F x |=c F x
3x F x y=-a 3 y Fy 3x F x (=5 3y F y 3x F x \=c 3y F y
(ii)
diferencia de f=Q y |=¿, la relación de implicación |=c no es ni refle xiva, ni transitiva. Un contraejemplo de reflexividad es F x A 3xG x F x A 3x G x. Mientras la ocurrencia de x en F x en la premisa es libre, su ocurrencia en la conclusión está acotada por el cuantificador en la premisa. Un contraejemplo de transitividad es: aunque 3x F x (=c 3yF y Y 3y F y \=c F y son válidos, no es válido que 3x F x f=c F y.
Notas bibliográficas
Estas notas bibliográficas contienen sugerencias para lecturas futuras, sin ninguna pretensión de ser exhaustivas. En general, no se repiten las referencias a la literatura presentadas al interior del texto.
1. Orígenes de las lógica intensional Los artículos originales en los que Frege desarrolla sus ideas acerca del significado son Frege (1892b,a, 1918a,b, 1923). Estos artículos se recogen en Frege (1962a,b). Traducciones al inglés de los primeros dos artículos pueden encontrarse en Geach y Black (1960}, y de los otros artículos en Geach (1975). La referencia para una exposición y valoración detallada de la filosofía del lenguaje de Frege se encuentra en Dummett (1973); ver también Dummett (1981). Un estudio desde una perspectiva histórica es Sluga (1980). Una colección de artículos recientes está en Wright (1984).
2. Lógica proposicional intensional Dos excelentes» libros de texto sobre lógica modal proposicional son Hughes y Cresswell (1968) y Chelllas (1980). Un estudio general de los sistemas intensionales con varias aplicaciones pmede encontrarse en van Benthem (1988). Para conexiones computacionales recientes, ver también Goldblatt (1987). Una colección útil de estudios de varias ramas de la l»ógica intensional es Gabbay y Guenthner (1984). Un trabajo pionero en la construcción de sistemas actuales de lógica intensional es Lewis (1918). Para el trabajo origimal de Carnap, Kanger, Hintikka y Kripke, ver Carnap (1947); Kanger (1957); Hintüxka (1961); Kripke (1963). No existein trabajos introductorios de estatus similar disponibles para la lógica temporal (peiro cf. Rescher y Urquhart (1971)). El lector puede consultar el traba-
) original de Prior (1967). Un estudio técnico avanzado es van Benthem (1983). 11 análisis del tiempo de Reichenbach puede encontrarse en Reichenbach (1947). Un studio polémico interesante de la relación entre la lógica estándar y la lógica temporal uede encontrarse en Needham (1975). Para el análisis de Kamp del n-operador, ver [amp (1971). El análisis de Lewis de los contrafácticos puede encontrarse en Lewis (1973). Ver ambién Veltman (1981, 1985), y Kratzer (1981).
i. Lógica de predicados intensional ,a mayoría de los libros de texto sobre lógica intensional se concentran en la lógica iroposicional. Pero Hughes y Cresswell (1968) contiene una sección interesante sobre Sgica modal de predicados. Hintikka (1969) y Plantinga (1974) hacen un análisis losóficamente interesante. Se recoge un número de artículos clásicos en este campo e Quine, Kaplan, Kripke y Hintikka, entre otros, en Linsky (1971). Para la Teoría de Designación Rígida el lector puede consultar, además de los rtículos de Kripke referidos en este texto, los trabajos de Kripke, Putnam, Donellan Kaplan que pueden encontrarse en Schwartz (1977) y en French et al. (1979).
Quine, por su parte, expresó sus ideas acerca de la lógica intensional en una serie le artículos; ver Quine (1961). Para la Teoría de Contrapartes de Lewis ver Lewis 1968, 1973).
L Teoría de Tipos y la Gramática Categorial
■Jo se dispone de libros de texto accesibles sobre Teoría de Tipos. Una formulación emprana puede encontrarse en Church (1940). Para la Teoría Finita de Tipos de lussell ver Russell (1908). El lector podría consultar también Hindley y Seldin (1986). La formulación original de la sintaxis categorial fue dada por Lesniewski (1929). /er también Adjuciewicz (1935). Para las proposiciones hechas por Bar-Hillel, ver 3ar-Hillel (1953); para las de Lyons ver Lyons (1968). Otra literatura relevante s Lewis (1972); Montague (1970a, 1973); Cresswell (1973); Geach (1972); Bartsch r Vennemann (1972) y Bartsch (1976b). Ver también §7.3. para referencias a literaura más reciente.
>. Teoría de Tipos Intensional
Jn estudio lógico extensivo de la Teoría de Tipos Intensional y de la Teoría de Tipos Di-sorteada se encuentra en Gallin (1975). Ver también Janssen (1986). Para la Teoría de Preguntas usada en §5.5. ver Groenendijk y Stokhof (1982, 1984, 1988b).
6. G r a m á t ic a d e M o n t a g u e
La última sección de este capítulo contiene referencias a textos introductorios y a otra literatura. Ver también las referencias en el capítulo 7. Las ideas de Tarski referidas en §6.1.2. pueden encontrarse en Tarski (1935, 1944). Para la teoría de Kripke ver Kripke (1975); para la alternativa de Gupta ver Gupta (1982). Ambos se han reimpreso, entre otros artículos relevantes, en Martin (1984). Ver también Barwise y Etchemendy (1987).
7. D e s a r r o llo s r e c ie n te s
Ver las referencias dadas en el texto. Un desarrollo importante e influyente no tratado en el capítulo 7 es la ‘semántica situacional’. Ver Barwise y Perry (1983) y el número especial de Linguistics and Philosophy, 8 (1985).
Bibliografía
Adjuciewicz, K., 1935: Die syntaktische Konnexität. Studia Philosophica, 1: 1-27. Asher, N., 1986: Belief in discourse representation theory. Journal of Philo sophical Logic, 15: 127-189. — 1987: A typology for attitude verbs and their anaphoric properties. Lin guistics and Philosophy, 10: 125-198. Bach, E., 1979a: Control in Montague grammar. Linguistic Inquiry, 10: 515531. -
1979b: Montague grammar and classical transformational grammar. En: Linguistic, Philosophy, and Montague Grammar, M. Mithun y S. Davis, eds., University o f Texas Press, Austin.
Bar-Hillel, Y ., 1953: A quasi-arithmetical notation for syntactic description. Language, 29: 47-58. Bar-Hillel, Y., C. Gaifman, y E. Shamir, 1960: On categorial and phrase struc ture grammars. Bulletin o f the Research Council o f Israel, 9F: 1-16. Bartsch, R., 1976a: The Grammar o f Adverbials. North-Holland, Amsterdam. — 1976b: The role o f categorial syntax in grammatical theory. En: Language in Focus, A. Kasher, ed., Reidel, Dordrecht.
- 1979: The syntax and semantics o f subordinate clause constructions and pronominal coreference. En: Selections from the Third Groningen Round Table, F. Henry y H. Schnelle, eds., Academic Press, Nueva York. Bartsch, R. y T. Vennemann, 1972: Semantic Structures. Athenäum, Frank furt. Barwise, J. y R. Cooper, 1981: Generalized quantifiers and natural language. Linguistics and Philosophy, 4: 159-219. Barwise, J. y J. Etchemendy, 1987: The Liar: An Essay in Truth and Circu larity. Oxford University Press, Oxford. Barwise, J. y J. Perry, 1983: Situations and Attitudes. Bradford Books, Cam bridge, Mass. Bäuerle, R., U. Egli, y A. von Stechow, 1979: Semantics from Different Points o f View. Springer, Berlin. Bäuerle, R., C. Schwarze, y A. von Stechow, 1983: Meaning, Use, and the Interpretation o f Language, de Gruyter, Berlin. Belnap, N., 1982: Questions and answers in montague grammar. En: Processes, Beliefs, and Questions, S. Peter y E. Saarinen, eds., Reidel, Dordrecht. Bennett, M., 1977: A guide to the logic o f tense and aspect in english. Logique et Analyse, 80: 491-517. Bosque, I., 1980: Sobre la negación. Ediciones Cátedra, S.A., Madrid. Buszkowski, W ., W. Marciszewski, y J. van Benthem, 1988: Categorial Gram mar. Benjamins, Amsterdam. Butt, J. y C. Benjamin, 2004: A New Reference Grammar o f Modern Spanish. Hodder Arnold, Londres. Carlson, G., 1977: Reference to kinds in English. Tesis de doctorado, Univer sidad de Amherst. - 1982: Generic terms and generic sentences. Journal o f Philosophical Logic, 11: 145-181. Carnap, R., 1947: Meaning and Necessity. University o f Chicago Press, Chica go-
Chellas, B., 1980: Modal Logic: An Introduction. Cambridge University Press, Cambridge. Chierchia, G., 1982: Nominalization and montague grammar: A semantics wit hout types for natural languages. Linguistics and Philosophy, 5: 303-354. — 1984: Topics in the syntax and semantics o f infinitives and gerunds. Tesis de doctorado, Universidad de Amherst. Chierchia, G. y R. Turner, 1988: Semantics and property theory. Linguistics and Philosophy, 11: 261-302. Church, A., 1940: A formulation o f simple theory o f types. Journal o f Symbolic Logic, 5: 56-68. Cooper, R., 1979: The interpretation of pronouns. En: Selections from the Third Groningen Round Table, F. Heny y H. Schnelle, eds., Academic Press, Nueva York. - 1984: Quantification and Syntactic Theory. Reidel, Dordrecht. Cooper, R. y T. Parsons, 1976: Montague grammar, generative semantics, and interpretive semantics. En: Montague Grammar, B. Partee, ed., Academic Press, Nueva York. Cresswell, M., 1973: Logics and Languages. Methuen, Londres. — 1976: The semantics o f degree. En: Montague Grammar, B.Partee, Academic Press, Nueva York.
ed.,
- 1979: Adverbs o f space and time. En: Formal Semantics and Pragmatics fo r Natural Languages, F. Guenthner y S. Schmidt, eds., Reidel, Dordrecht. - 1985: Structured Meanings. Bradford Books, Cambridge, Mass. Davidson, D., 1979: Quotation. Theory and Decision, 11: 27-40. Davidson, D. y G. Harman, 1972: Semantics o f Natural Language.Reidel, Dordrecht. Davis, S. y M. Mithun, 1979: Linguistics, Philosophy, and Montague Gram mar. University o f Texas Press, Austin.
de Jong, F. y H. Verkuyl, 1984: Generalized quantifiers: the properness o f their strength. En: Generalized Quantifiers in Natural Language, J. van Benthem y A. ter Meulen, eds., Foris, Dordrecht. Dowty, D., 1979: Word Meaning and Montague Grammar. Reidel, Dordrecht. Dowty, D., R. Wall, y S. Peters, 1981: Introduction to Montague Semantics. Reidel, Dordrecht. Dummett, M., 1973: Frege: Philosophy o f Language. Duckworth, Londres. - 1981: The Interpretation o f Frege’s Philosophy. Duckworth, Londres. Engdahl, E., 1985: Constituent Questions: The Syntax and Semantics o f Ques tions with Special Reference to Swedish. Reidel, Dordrecht. Frege, G., 1879: Begriffsschrift. Verlag Louis Nebert, Halle, traducido al ingles en van Heijenoort (1967). - 1892a: Uber begriff und gegenständ. Vierteljahrsschrift für wissenschaftli che Philosophie, 19: 192-205. - 1892b: Uber sinn und bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosop hische Kritik, 100: 25-50. - 1918a: Der gedanke: Eine logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 1. - 1918b: D i e V e r n e in u n g : E i n e lo g is c h e hie des deutschen Idealismus, 1.
U n te r s u c h u n g .
Beiträge zur Philosop
- 1923: Logische Untersuchungen, ditter teil: Gedankengefüge. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 3. - 1962a: Funktion, Begriff, Bedeutung: Fünf Logische Studien. VandenKoeck, e. G. Patzig. Göttingen. - 1962b: Logische Untersuchungen. VandenHoeck, e. G. Patzig. Göttingen. French, P., T. Uehling, y H. Wettstein, 1979: Contemporary Perspectives in the Philosophy o f Language. University of Minnesota Press, Minneapolis. Gabbay, D. y F. Guenthner, 1984: Handbook o f Philosophical Logic. Vol. 2: Extensions o f Classical Logic. Reidel, Dordrecht.
Gallin, D., 1975: Intensional and Higher-Order Modal Logic. North-Holland, Amsterdam. Gardenfors, P., 1988: Generalized Quantifiers: Linguistic and Logical Approa ches. Reidel, Dordrecht. Gazdar, G., 1982: Phrase structure grammar. En: The Nature o f Syntactic Representation, P. Jacobson y G. Pullum, eds., Reidel, Dordrecht. Gazdar, G., E. Klein, y I. Sag, 1985: Generalized Phrase Structure Grammar. Blackwell, Oxford. Geach, P., 1972: A program for syntax. En: Semantics o f Natural Language, D. Davidson y G. Harman, eds., Reidel, Dordrecht. Geach, P., ed., 1975: Logical Investigations. Blackwell, Oxford. Geach, P. y M. Black, eds., 1960: Translations from the Philosophical Writings o f Gottlob Frege. Blackwell, Oxford. Goldblatt, R., 1987: Logics o f Time and Computation. University of Chicago Press, Chicago. Groenendijk, J., D. de Jongh, y M. Stokhof, 1987a: Foundations o f Pragmatics and Lexical Semantics. Foris, Dordrecht. — 1987b: Studies in Discourse Representation Theory and the Theory of Ge neralized Quantifiers. Foris, Dordrecht. Groenendijk, J., T. Janssen, y M. Stokhof, eds., 1981: Formal Methods in the Study o f Language. Mathematical Centre, Amsterdam. Groenendijk, J., T. Janssen, y M. Stokhof, 1984: Truth, Interpretation, and Information. Foris, Dordrecht. Groenendijk, J. y M. Stokhof, 1982: Semantic analysis of wh- complements. Linguistics and Philosophy, 5: 175-233. — 1984: Studies on the semantics o f questions and the pragmatics o f answers. Tesis de doctorado, Universidad de Amsterdam. — 1988a: Context and information in dynamic semantics. En: Working Models o f Human Perception, B. Elsendoorn y H. Bouma, eds., Academic Press, Nueva York.
- 1988b: Type-shifting rules and the semantics of interrogatives. En: Proper ties, Types, and Meaning, G. Chierchia, B. Partee, y R. Turner, eds., Reidel, Dordrecht. - 1991: Dynamic predicate logic. Linguistics and Philosophy, 14: 39-100. Groenendijk, J., M. Stokhof, y F. Veltman, eds., 1988: Proceedings o f the Sixth Amsterdam Colloquium. ITLI, Amsterdam. Guenthner, F. y C. Rohrer, eds., 1978: Studies in Formal Semantics, Intensionality, Temporality, Negation. North-Holland, Amsterdam. Guenthner, F. y S. Schmidt, eds., 1979: Formal Semantics and Pragmatics for Natural Languages. Reidel, Dordrecht. Gupta, A., 1982: Truth and paradox. Journal o f Philosophical Logic, 11: 1-60. Halvorsen, P.-K. y W . Ladusaw, 1979: Montague’s ‘universal grammar’ : An introduction for the linguist. Linguistics and Philosophy, 3: 185-223. Hamblin, C., 1973: Question in montague english. Foundations o f Language, 10: 41-53. Hausser, R., 1979: How do pronouns denote? En: Selections from the Third Groningen Round Table, F. Heny y H. Schnelle, eds., Academic Press, Nueva York. - 1983: The syntax and semantics o f english mood. En: Questions and Ans wers, F. Kiefer, ed., Reidel, Dordrecht. —
1984: Surface Compositional Grammar. Fink, Munich.
Hausser, R. y D. Zaefferer, 1979: Questions and answers in a context-dependent montague grammar. En: Formal Semantics and Pragmatics fo r Natural Lan guages, F. Guenthner y S. Schmidt, eds., Reidel, Dordrecht. Heim, I., 1982: The semantics o f definite and indefinite noun phrases. Tesis de doctorado, Universidad de Massachusetts, Amherst. - 1983: File change semantics and the familiarity theory o f definiteness. En: Meaning, Use, and Interpretation o f Language, R. Bäuerle, C. Schwarze, y A. von Stechow, eds., De Gruyter, Berlin.
Hendriks, H., 1988: Type change in semantics: The scope o f quantification and coordination. En: Categories, Polymorphism, and Unification, E. Klein y J. van Benthem, eds., CC S/IT L I, Edinburgo/Amsterdam. Hindley, R. y J. Seldin, 1986: Introduction to Combinators and X-Calculus. Cambridge University Press, Cambridge. Hinrichs, E., 1986: Temporal anaphora in discourses o f english. Linguistics and Philosophy, 9: 63-82. Hintikka, J., 1961: Modality and quantification. Theoria, 27: 119-128. — 1969: Models fo r Modalities. Reidel, Dordrecht. Hoeksema, J., 1984: Categorial morphology. Tesis de doctorado, Universidad de Groeningen. Hughes, G. y M. Cresswell, 1968: An Introduction to Modal Logic. Methuen, Londres. Jacobs, J., 1982: Syntax und Semantik der Negation im Deutschen. Fink, Mu nich. Janssen, T., 1986: Foundations and Applications o f Montague Grammar. Cen tre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam. Kadmon, N., 1987: On unique and non-unique reference and asymmetric quan tification. Tesis de doctorado, Universidad de Amherst. Kamp, H., 1971: Formal properties of ‘now’. Theoria, 31: 227-273. — 1975: Two theories about adjectives. En: Formal Semantics o f Natural Language, E. Keenan, ed., Cambridge University Press, Cambridge. — 1980: Some remarks on the logic o f change: Part 1. En: Time, Tense, and Quantifiers, Rohrer, ed., Niemeyer, Tübingen. — 1981: A theory o f truth and semantic representation. En: Formal Methods in the Study o f Language, J. Groenendijk, T. Janssen, y M. Stokhof, eds., Mathematical Centre, Amsterdam, reimpreso en Groenendijk et al. (1984). Kamp, H. y C. Rohrer, 1983: Tense in texts. En: Meaning, Use, and Interpre tation o f Language, R. Bäuerle, C. Schwarze, y A. von Stechow, eds., De Gruyter, Berlin.
Kanger, S., 1957: The morning star paradox. Theoria, 23: 1-11. Kaplan, D., 1978: Dthat. En: Syntax and Semantics 9: Pragmatics, P. Cole, ed., Academic Press, Nueva York. - 1979: On the logic o f demonstratives. En: Contemporary Perspectives in the Philosophy o f Language, P. French, T. Uehling, y H. Wettstein, eds., University o f Minnesota Press, Minneapolis. Kaplan, D. y J. Bresnan, 1982: Lexical-functional grammar: a formal system for grammatical representation. En: The Mental Representation o f Gram matical Relations, J. Bresnan, ed., MIT Press, Cambridge, Mass. Karttunen, L., 1976: Discourse referents. En: Syntax and Semantics 7, J. McCawley, ed., Academic Press, Nueva York. - 1977: Syntax and semantics o f questions. Linguistics and Philosophy, 1: 1-44. Katz, J., 1966: The Philosophy o f Language. Harper & Row, Nueva York. - 1981: Language and Other Abstract Objects. Harper & Row, Nueva York. Keenan, E., ed., 1975: Formal Semantics o f Natural Language. Cambridge University Press, Cambridge. Keenan, E., 1987: Lexical freedom and large categories. En: Studies in Dis course Representation Theory and the Theory o f Generalized Quantifiers, J. Groenendijk, D. de Jongh, y M. Stokhof, eds., Foris, Dordrecht. Keenan, E. y L. Faltz, 1985: Boolean Semantics fo r Natural Languages. Reidel, Dordrecht. Keenan, E. y L. Moss, 1984: Generalized quantifiers and expressive power of natural language. En: Generalized Quantifiers in Natural Language, J. van Benthem y A. ter Meulen, eds., Foris, Dordrecht. Keenan, E. y J. Stavi, 1986: A semantic characterization o f natural language determiners. Linguistics and Philosophy, 9: 253-326. Klein, E., 1980: A semantics for positive and comparative adjectives. Linguis tics and Philosophy, 4: 1-46.
Klein, E. y I. Sag, 1985: Type-driven translation. Linguistics and Philosophy, 8: 163-201. Klein, E. y J. van Benthem, eds., 1988: Categories, Polymorphism, and Uni fication. C C S /IT L I, Edinburgo/Amsterdam. Kratzer, A., 1981: Partition and revision: The semantics o f counterfactuals. Journal o f Philosophical Logic, 10: 201-216. Kripke, S., 1963: Semantical considerations on modal logic. Acta Philosophica Fenica, 16: 83-94. — 1972: Namin and necessity. En: Semantics o f Natural Language, d. Davidson y G. Harman, eds., Reidel, Dordrecht. — 1975: Outline o f a theory o f truth. Journal o f Philosophy, 72: 690-716. Lambek, J., 1958: The mathematics o f sentence structure. American Mathe matical Monthly, 65: 154-170. Landman, F., 1988: Groups, plural individuals, and intentionality. En: Pro ceedings o f the Sixth Amsterdam Colloquium, J. Groenendijk, M. Stokhof, y F. Veltman, eds., ITLI, Amsterdam. Landman, F. y F. Feltman, 1984: Varieties o f Formal Semantics. Foris, Dor drecht. Lesniewski, S., 1929: Grundzuge eines neues systems der grundlagen der mathematik. Fundamenta Mathematicae, 14: 1-81. Lewis, C., 1918: A Survey o f Symbolic Logic. University of California Press, Berkeley. Lewis, D., 1968: Counterpart theory and quantified modal logic. Journal of Philosophy, 65: 113-126. — 1972: General semantics. En: Semantics o f Natural Language, D. Davidson y G. Harman, eds., Reidel, Dordrecht. 1973: Counterfactuals. Blackwell, Oxford. Link, G., 1979: Montague-Grammatik. Fink, Munich.
- 1983: The logical analysis o f plurals and mass terms: A lattice-theoretical approach. En: Meaning, Use, and Interpretation o f Language, R. Bäuerle, C. Schwarze, y A. von Stechow, eds., De Gruyter, Berlin. Linsky, L., ed., 1971: Reference and Modality. Oxford University Press, Oxford. Löbner, S., 1976: Einführung in die Montague-Grammatik. Scriptor, Kronberg. Lyons, J., 1968: Introduction to Theoretical Linguistics. Cambridge University Press, Cambridge. Marin, F., J. Satorre, y M. Viejo, 1999: Gramática española. Editorial Síntesis, S.A., Madrid, 2a edición. Martin, R., ed., 1984: Recent Essays on Truth and the Liar Paradox. Oxford University Press, Oxford. McCloskey, J., 1979: Transformational Syntax and Model-Theoretic Seman tics. Reidel, Dordrecht. Montague, R., 1970a: English as a formal language. En: Linguaggi nella so cietà e nella ecnica, e. a. B. Visentini, ed., Edizioni di Communità, Milan, reimpreso en Montague (1974). - 1970b: Universal grammar. Theoria, 36: 373-398, reimpreso en Montague (1974). - 1973: The proper treatment o f quantification in ordinary english. En: A p proaches to Natural Language, J. Hintikka, J. Moravcsik, y P. Suppes, eds., Reidel, Dordrecht, reimpreso en Montague (1974). - 1974: Formal Philosophy: Selected Papers o f Richard Montague. Yale Uni versity Press, New Haven, editado y con una introducción de Richmond H. Thomason. Moortgat, M., 1988: Categorical Investigations: Logical and Linguistic Aspects o f the Lambek Calculus. Foris, Dordrecht. Needham, P., 1975: Temporal Perspective. Philosophical Studies, Uppsala. Oehrle, R., E. Bach, y D. Wheeler, eds., 1988: Categorial Grammars and Na tural Language Structures. Reidel, Dordrecht.
Partee, B., 1973: Some transformational extensions o f Montague grammar. Journal o f Philosophical Logic, 2: 509-534. — 1975: Montague grammar and transformational grammar. Linguistic In quiry., 6: 203-300. Partee, B., ed., 1976: Montague Grammar. Academic Press, Nueva York. Partee, B., 1979a: Constraining transformational Montague grammar: A fra mework and a fragment. En: Linguistics, Philosophy and Montague Gram mar, S. Davis y M. Mithun, eds., University of Texas Press, Austin. -
1979b: Montague grammar and the well-formedness constraint. En: Selec tions from the Third Groningen Round Table, F. Heny y H. Schnelle, eds., Academic Press, Nueva York.
— 1984: Compositionality. En: Varieties o f Formal Semantics, F. Landman y F. Veltman, eds., Foris, Dordrecht. Partee, B. y E. Bach, Mathematical Centre: Quantification, pronouns, and vpanaphora. En: Formal Methods in the Study o f Language, J. Groenendijk, T. Janssen, y M. Stokhof, eds., Amsterdam, 1981, reimpreso en Groenendijk et al. (1984). Partee, B. y M. Rooth, 1983: Generalized conjunction and type ambiguity. En: Meaning, Use, and Interpretation o f Language, R. Bauerle, C. Schwarze, y A. von Stechow, eds., De Gruyter, Berlin. Plantinga, A., 1974: The Nature o f Necessity. Oxford University Press, Oxford. Prior, A., 1967: Past, Present, and Future. Oxford University Press, Oxford. Pullum, G. y G. Gazdar, 1982: Natural languages and context-free languages. Linguistics and Philosophy, 4: 471-504. Quine, W ., 1961: From a Logical Point o f View. MIT Press, Cambridge, Mass. Reichenbach, H., 1947: Elements o f Symbolic Logic. Macmillian, Nueva York. Rescher, N. y A. Urquhart, 1971: Temporal Logic. Springer, Berlin. Roberts, C., 1987: Modal subordination, anaphora, and distributivity. Tesis de doctorado, Universidad de Amherst.
- 1989: Modal subordination and pronominal anaphora in discourse. Linguis tics and Philosophy, 12: 683-721. Rohrer, C., 1980: Time, Tense, and Quantifiers. Niemeyer, Tübingen. Russell, B., 1908: Mathematical logic as based on the theory o f types. Americal Journal o f Mathematics, 30: 222-262. Savitch, W ., E. Bach, W. Marsh, y G. Safran-Naveh, eds., 1987: The Formal Complexity o f Natural Language. Reidel, Dordrecht. Scha, R., 1981: Distributive, collective, and cumulative quantification. En: Formal Methods in the Study o f Language, J. Groenendijk, T. Janssen, y M. Stokhof, eds., Mathematical Centre, Amsterdam, reimpreso en Groenen dijk et al. (1984). Schwartz, S., 1977: Naming, Necessity, and Natural Kinds. Cornell University Press, Ithaca. Seuren, P., 1985: Discourse Semantics. Blackwell, Oxford. Sluga, H., 1980: Gottlob Frege. Routledge & Kegan Paul, Londres. Stalnaker, R. y R. Thomason, 1973: A semantic theory o f adverbs. Linguistic Inquiry, 4: 195-200. Tarski, A., 1935: Der wahreitsbegriff in den formalisierten sprachen. Studia Philosophien, 1: 261-405, traducido al inglés en Tarski (1944). - 1944: The semantic conception o f truth. Philosophy and Phenomenological Research, 4: 13-47. ter Meulen, A., ed., 1983: Studies in Model-Theoretic Semantics. Foris, Dor drecht. Thijsse, E., 1983: On some proposed universals o f natural language. En: Studies in Model-Theoretic Semantics, A. ter Meulen, ed., Foris, Dordrecht. - 1984: Counting quantifiers. En: Generalized Quantifiers in Natrual Langua ge, J. van Benthem y A. ter Meulen, eds., Foris, Dordrecht. Turner, R., 1983: Montague semantics, nominalization, and scott’s domains. Linguistics and Philosophy, 6: 259-288.
van Benthem, J., 1983: Determiners and logic. Linguistics and Philosophy, 6: 447-478. — 1984a: The logic o f semantics. En: Varieties o f Formal Semantics, F. Land man y F. Veltman, eds., Foris, Dordrecht. — 1984b: Questions about quantifiers. Journal o f Symbolic Logic, 49: 443-466. — 1986: Essays in Logical Semantics. Reidel, Dordrecht. — 1987: Semantic automata. En: Studies in Discourse Representation Theory and the Theory o f Generalized Quantifiers, J. Groenendijk, D. de Jongh, y M. Stokhof, eds., Foris, Dordrecht. — 1988: A Manual o f Intensional Logic. University of Chicago Press, Chicago. van Benthem, J. y A. ter Meulen, 1984: Generalized Quantifiers in Natural Language. Foris, Dordrecht. van Eyck, J., 1985: Aspects o f quantification in natural language. Tesis de doctorado, Universiadad de Groningen. van Heijenoort, J., 1967: From Frege to Godel. Harvard University Press, Cam bridge, Mass. Veltman, F., 1981: Data semantics. En: Formal Methods in the Study o f Lan guage, J. Groenendijk, T. Janssen, y M. Stokhof, eds., Mathematical Centre, Amsterdam, reimpreso en Groenendijk et al. (1984). — 1985: Logic fo r conditionals. Tesis de doctorado, Universidad de Amster dam. Verkuyl, H., 1981: Numerals and quantifiers in x-bar syntax and their semantic interpretation. En: Formal Methods in the Study of Language, J. Groenen dijk, T. Janssen, y M. Stokhof, eds., Mathematical Centre, Amsterdam. — 1987: Aspect, quantification and negation. En: Proceedings of the Sixth Amsterdam Colloquium, J. Groenendijk, M. Stokhof, y F. Veltman, eds., ITLI, Amsterdam. — 1989: Aspectual classes and aspectual composition. Linguistics and Philo sophy, 12: 39-94.
Wittgenstein, L., 1921: Tractatus Logico-Philosohicus. Annalen der Naturphi losophie. Wright, C., 1984: Frege: Tradition and Influence. Blackwell, Oxford. Zagona, K., 2006: Sintaxis generativa del español. Visor Libros, Madrid. Zeevat, H., 1987: A treatment o f belief sentences in discourse representation theory. En: Studies in Discourse Representation Theory, J. Groenendijk, D. de Jongh, y M. Stokhof, eds., Foris, Dordrecht. Zwarts, F., 1981: Negatief polaire uitdrukingen. GLOT. 6: 35-132. 1983: Determiners: A relational perspective. En: Studies in Model-Theoretic Semantics, A. ter Meulen, ed., Foris, Dordrecht. - 1986: Categoriale grammatica en algebraische semantiek. Tesis de doctora do, Universidad de Groningen.
f
f
Indice analitico
CAT, 189, 191, 196, 256 C O N , 101, 107, 108, 149, 150, 154, 198 D E T , 283, 285, 303, 304, 306, 308, 309, 311, 313 N , 283, 285, 289, 296-300, 303, 304, 308, 309 N C , 189, 193, 194, 198, 248, 283 O, 189, 192, 196, 203, 244, 285, 303 SN , 283-296, 299-303, 305, 308, 309, 311-313, 322, 323, 328, 329, 344 346
conversión, 136,138,139, 164, 171, 172, 200, 203, 205, 206, 209, 210, 220, 222, 223, 333 operador, 128, 130-132, 134, 137, 140-143, 162, 165, 214, 240, 327, 328 K , 35 árbol de análisis, 194, 195, 205, 208, 209, 230, 242, 253, 269-273 de construcción, 126, 184
de números, 315, 318, 320, 321 de traducción, 205, 207, 209 V A R, 101, 107, 108, 131, 149, 150, estructural, 229 154, 162 árboles V I , 189, 192, 194, 283, 341, 344 análisis, 269 W E , 102, 107, 108, 131 éln, 190, 225 VA-eliminación, 200, 203, 205, 206, 210, índice, 84, 226, 227 220 a lo sumo, 291, 301-304, 306, 313 A de dicto, 185 abstracción, xxii, 131, 136, 139, de re, 185 144, 164, 200. 228, 287, 329, de re, 185, 223 VI, 190 333
de dicto, 214, 224, 225, 231-233, 244, algunas veces, véase adverbio tempo 246, 251, 253, 270, 433 ral de re, 185, 214, 224, 225, 230-233, 244- alternativa epistémica, 21 246, 252, 270, 433 ambigüedad, 59, 184-187, 224 de dicto, 233 abajo, 150 de re, 233 abstracción de dicto, 185, 214 funcional, 131 de re, 185, 214 sobre una variable, 134 de alcance, 207, 213, 224, 225, 230, sobre una variable libre, 130, 134 233, 234, 371 abstractor de conjuntos, 131 derivacional, 185, 187, 225 abstraer vacíamente, 130 estructural, 184, 185 acotada anáfora, 275, 278, 344 ocurrencia, xxiv relación anafórica, 335, 355, 369 actitudes proposicionales, 56, 278, 332, análisis 371, 372 árbol, 194, 195, 205, 208, 209, 230, adjetivo, 57, 60, 96, 184, 193, 243, 246242, 253, 269-273 248, 275, 300, 309, 311, 328 estructural, 185 extensional, 247, 248 sintáctico, 16, 115, 183-187, 204, intensional, 247, 310, 311 238 intersectivo, 248, 310 analogistas, 3 prenominal, 246, 250 anomalistas, 3 pronominal, 249 antipersistencia, 303-305 relativo, 96, 97, 99, 248 adverbio, 47, 57, 60, 215, 216, 243, aplicación funcional, 99, 101, 110, 112, 131, 275, 323, 328 192, 194, 204, 206, 208, 244extensional, 251 246, 249-251, 260, 323, 324, predicativo, 96, 97, 99, 249-251 327 predicativos, 249 argumento que modifica oraciones, 197, 250 disminución, 325 temporal, 50 Aristóteles, xix, 23, 39 alétheia, 37 argumento batalla naval, 39 alcance, xxiv, 39,48, 49, 58, 60, 62, arriba, 150 126, 137, 164, 172, 184, 213, 214, 224, 225, 234, 242, 268, artículo, véase determinante 275, 338, 343, 345, 348, 363, asignación, xxiv, 74, 75, 80, 162, 168, 170, 199, 200, 203, 204, 219, 371 220, 278, 318, 322, 345, 350estrecho, 225 353, 359, 362, 365-367 relativo, 224, 234
autómata semántico, 320 autonomía de la sintaxis, 177, 186, 268 autoreferencia, 179, 180 axioma, 24, 35, 36 esquema, 36 f bautismo inicial, 65 Bedeutung (Frege), 10 ungerade, 15 cópula, 234 caja, 340 cap, 150 caracterización de marcos, 31 categoría, 24, 189-193, 195, 196, 202, 204, 206-208, 213, 225, 234, 244, 246, 249, 256, 257, 278, 279, 283, 285, 311, 312, 322, 323, 325-329 asignación de, 189 básica, 115,116, 121,188, 189,191, 192, 256, 323 cambio de, 278, 322, 323, 327-330 derivada, 115-118, 188-190, 197, 256 functorial, 192, 197, 199, 204, 249, 256 ciertos, 23 citación, 55, 56 cláusula, 20, 22, 28 inductiva, xxiii intencional, 22 relativa, 243, 248, 260, 274, 337, 341, 344, 363 relativa restrictiva, 193, 248, 340 clausura semántica, 175 complemento infinitivo, 190, 245, 246
oracional, 190, 246 componente discontinuo, 122, 123 composición de predicados, composicionalidad, 7, 175, 267, 271-275, 332, 360, 363, 369 de la referencia, 14-16 de la traducción, 140, 331, 363 del sentido, 15
133, 134 176, 199, 357, 359,
199, 204,
del significado, 6, 140, 175, 268, 271 principio de, 15, 225, 230, 266, 268, 272, 274, 358, 359 concatenación, 115, 117, 122, 124, 126, 188, 189, 244 concepto individual, 18, 61, 73, 85, 156, 254, 258, 259, 263 conceptualismo, 4 conectivos, 20, 22, 28, 162, 214, 240, 370 interpretación ‘fuerte’ y ‘débil’ de los, 70 conjunción, xxiii, 111, 126, 129, 202, 239, 240, 243, 248, 292, 295, 301, 302, 334, 343, 365-367 reducción de la, 277, 281 regla de, 192, 239, 260 conjunto potencia, xxv conjunto vacío, xxiv conocer, véase actitudes proposiciona les conocimiento, 16, 19, 177 conservatividad, 308-312, 315, 317, 318, 328, 329 constante individual, xxiii
construcción cuantificación, 225 de oraciones, 214, 225, 226, 244, de orden superior, 111 245 vacía, 270 extensional, 15 cuantificador, 18, 28, 50, 149, 162, 193, 214, 238, 287, 288, 290, 293, intensional, 9, 20 294, 302, 307, 308, 313, 348, manera directa de, 227, 371 370 manera indirecta de, 227 autodual, 298 contexto, 16-18, 20-22, 40, 85, 165, dual, 298 168, 169, 172, 177, 188, 254, existencial, xxiv, 176, 338, 346, 361, 264, 275, 279, 280, 314-317, 365-368 322, 328 múltiple, 6 de uso, 84 monótono ascendente, 290, 291 funciones de, 253 monótono descendente, 294 hiperintensional, 91, 92 monotonicidad, 297, 298 intensional, 19, 197, 214, 329, 372 negación de, 295 momentos en el tiempo, 20 Teoría de Cuantificadores Gene opaco, 55-58, 147 ralizados, xx, xxii, 277, 279, transparente, 55 281-287, 289, 290, 301, 303, contexto:, 83 307, 310, 322 contradicción, xxiv Teoría de los Cuantificadores Ge contraejemplo, 16, 31, 32, 34, 43, 44, neralizados, 276 161, 164, 171, 261, 299, 310, universal, xxiv, 176, 345, 365-368 312, 370 cup, 150 contrafáctico, 12, 52, 53, 65, 89 contrapartida, 90 de dicto, 55 convención notacional, 210, 220, 221, de dicto, 58-60, 62, 75, 78, 88 350 de re, 55 CN1, 210 de re, 58-60, 62, 75, 78, 88, 89 CN2, 220, 266 debe, 23 CN3, 262 deducción natural, xxiv, 35, 325 convencionalismo, 3 definición de verdad, véase modelo coordinación, 325 de un discurso, 331 correferencia, 241, 252 definición inductiva (recursiva), xxiii creencia, 16, 19, 72, 73, 92, 332, 371 densidad, 45 creer, véase actitudes proposicionales, dependencia véase actitudes proposiciona del contexto, 16, 20, 172, 315, 316 les derivabilidad axiomática, xxiv cuadro de oposición, 298
sintáctica, xxiv descripción definida, xxv, 8, 13, 61-63, 65, 66, 73, 199, 202 descubrir, véase actitudes proposicio nales t
disyunción, xxiii, 111, 239, 240, 243, 292, 293, 295, 301, 302, 346, 348, 354, 356, 369 regla de, 239, 260 doble indexación, 87 designador rígido, 65, 71, 72, 79, 85, dominio, xxiv, 5, 6, 94, 150-152, 155, 165-167, 170, 198, 214, 258, 91, 164,217-219, 221,229, 231, 278, 282, 283, 285-288, 296, 258, 263 308, 313-317, 322, 337, 343, destinatario, véase índice, véase índi 350 ce creciente, 71, 73, 75, 77, 78 determinante, 142, 144, 193, 194, 196, de expresiones de tipo a, 105 206, 207, 215, 225, 238, 243, DPL, 365, 367-369, 371 282, 283, 328, 329, 346, 372 DRS, 340-348, 350, 352, 354, 356-366, antipersistente, 304 369, 370 complejo, 194 condición, 342, 347 conservativo, 308 imbuición verificadora, 343, 345, continuo, 314 350-352, 359, 362, 365 cuantitativo, 315 regla de construcción, 340, 342, 344 homogeneidad, 319 346 intensional, 310 subordinación, 344, 345 lógico, 315 verdad de, 351 persistente, 304 DRT, 330-333, 337, 339-341, 343, 348, posesivo, 316 353-361, 363, 365, 367, 369que tiene extensión, 314 372 simple, 194, 300 y la composicionalidad, 357 uniformidad, 319
dual, véase cuantificador dual
variedad, 312 vive en, 308 discurso, xxii, 177, 278, 330-332, 334337, 339, 355-360, 367, 369 372 análisis de, 278 punto de discurso, 49 referente, 337, 341 representación, 275, 276 representación de, 345 discurso indirecto, 56
eje temporal, 41-43, 45-47, 51 con ramificaciones, 44 ramificado, 44 el/la, 193, 206 elemento léxico, 116, 119, 192 eliminación: AV, 160 en absoluto, véase polaridad negativa entidad, 2-8, 10, 11, 61, 62, 66-68, 149, 152, 153, 155, 157, 159, 163, 166, 167, 203, 211, 212,
222, 231-233, 236, 253, 254, 256, 257, 263 intensional, 147-149, 152 equivalencia, xxiv, 24, 30, 108, 155, 161, 171, 221, 222, 271, 369 débil, 119 fuerte, 119 lógica, xxiv material, xxiii relación, 36, 37, 271 esencialismo, 58, 89 esquema argumentativo, xxiv, 39 axioma, 36 de demostración, 321 de reglas, 226, 248, 252 estructura de representación de discursos, 340 modal, véase marco sintáctica, 268, 273 subyacente, 267, 268 superficial, 267, 268 temporal, 44-46 temporal ramificada, 52 expresión básica, 190, 234, 259 regla, 191 tipo, 98 cerrada intensionalmente, 162, 164, 172 extensión, 1, 2, 6, 17, 18, 47, 154, 155, 162-166, 168, 169, 178, 196, 197, 201, 202, 212, 216-219, 222, 247, 258, 259, 275, 278, 284, 295, 304, 314, 315, 317319, 329, 436 extensionalidad, 7, 20, 23, 217, 222, 237, 238, 245, 250, 262, 265
principio de, xxiv, 7, 15 extensionalistas, 182 Färbung (Frege), 10 fórmula Barcan, 76, 78, 81, 82 válida, 30 válida en F , 31 forma gramatical, 266 lógica, 266 que induce a error, 267 frecuentemente, véase adverbio tem poral fuerza (Frege), 10 función característica, 104, 105, 142, 143 de interpretación, xxiv dominio, 66, 69, 70 futuro, 40
Geach regla de, 323, 324, 327 gedanke (Frege), 13 gramática lógica, 175 categorial, xxii, 115, 117, 276, 325, 328, 329 bidireccional, 117, 119-121 flexible, 322 de estructura de frase generaliza da, 125 de lógica, 175 de Montague, xx, xxii, 174, 175, 183, 185, 188, 194, 196-198, 202,274,330-339, 358-360, 31 flexible, 328 generativa, 176, 177, 181, 267, 268 274, 275
independiente del contexto, 119, 120, 122-125 lógica, xix, xx, xxii, 18, 177-179, 181, 183, 267, 268, 273-275 universal, 281 t
de segundo orden, 95, 106, 113 de predicados dinámica, 365 de predicados intensional, 18 de predicados modal, 217 de primer orden, 211, 222, 338, 340, 346, 352, 360, 365, 368, ha sido, 40 370 hablante, véase índice de proposicional, xx, xxv historia derivacional, 185, 230, 269, 273 de tipos di-sorteada, 166 deóntica, 19, 74 ideas (Frege), 10 epistémica, 19 identidad, 71, 238 implicacional, 325, 326 predicado de, 71 multi-valuada, xx, 39, 70 ser, 235 proposicional, xix, xxiii, xxiv, 1, transmundana 6, 7, 18, 20, 26, 28, 35, 39, 40, problema de la, 89, 90 51, 176 imbuición verificadora, 343, 345, 350 proposicional modal, xxi, 23, 26352, 359, 362, 365 28, 33, 38 implicación (material), xxiii proposicional modal minimal, 35, indiscernibilidad de los idénticos, 7 36 individuo, véase entidad segundo orden, xx, 1 intención, 56 temporal, xxi, 19, 40-42, 44-47, intensionalistas, 182 50, 51, 82 interpretación Lambek calculus, 326-328 directa, 186, 202, 288 lectura indirecta, 186, 214 específica, 232 intersección, xxiv no específica, 232 introducción lectura existencia, 231 categoremática, 127, 206, 243 lenguaje objeto, 179 sincategoremática, 126, 194 lexicón, 191 ley de Leibniz, 7 kraft (Frege), 10 libre lógica ocurrencia, xxiv de predicados, xix-xxi, xxiii-xxv, libre para x, 137 1,2, 5-7, 38, 50, 200,201,203, lugar, véase índice 210, 236, 283, 343, 345, 347, 348, 352, 353, 357, 360-363, marcador de referencia, 341 365, 368-370 marco, 27 de primer orden, 95 irreflexivo, 33
reflexivo, 31 transitivo, 32 mentalismo, 177 metalenguaje, 179 metavariable, xxiii modalidad, 24 alética, 37 epistémica, 38 modelo de Kripke, 22 de lógica proposicional intensional,
22 de la lógica temporal proposicio nal, 41 lógica modal de predicados, 61 lógica proposicional modal, 27 Teoría de Tipos, 106 Teoría de Tipos Intensional, 152, 154, 159, 160, 164, 165, 168170 momentos de tiempo, 50, 82-84 monótono ascendente, 290, 295 decreciente, 294, 295 descendente, 294 números enteros, 45 números racionales, 45 nadie, véase polaridad negativa naturalismo, 3 necesario, 20 físicamente, 21 lógicamente, 21 negación, xxiii externa, 296 interna, 296 regla de, 242 negación de los cuantificadores externa, 296
interna, 296 nombre propio, 8, 61-63, 110, 258, 325, 333 nominalización, 324 notación polaca, 127 nunca, véase adverbio temporal obligación, 19 ocurrencia acotada, xxiv libre, xxiv operación sintáctica, 189 F l, 192, 204 FIO, 242 F l l , 244 F12, 245 F13, 246 F14, 248 F15, 249 F16, 250 F2, 193 F2\ 194, 206 F3, 193, 201 F4, 193, 201 F5, 193, 201 F6, 208, 209 F7,n, 225, 227, 252, 260 F8, 239 F9, 239 operador A, 128, 130-132, 134, 137,140-143 temporal, 49, 150, 165 operadores modales apilados, 29 oraciones contrafácticas, 12 oraciones burro, 337 orden lineal, 44
paréntesis, 101, 102, 105, 126, 130 paradoja de la implicación material, 24 de Russell, 98, 139 del lucero m atutino/el ^ucero ves pertino, 8, 63 del mentiroso, 179 semántica, 178 parcialidad de la interpretación, 70 pasado, 40 pensamiento (Frege), 13 permiso, 19 persistencia, 303-305 Platón, 3 platonismo, 4 polaridad negativa, 277, 280 por lo menos, 288 postulado de significado, 216 PS1, 218 PS10, 264 PS2, 219, 265 PS3, 237 PS4, 237 PS5, 246 PS6, 247 PS7, 250 PS8, 262 PS9, 263 pragmática, 92, 112 predicado de existencia, 66 de verdad, 178 principio de extensionalidad, 157 de Frege, véase composicionalidad producto cartesiano, xxv pronombre anafórico, 241
deíctico, 83 personal, 83, 85 pronombres reflexivos, 226 propiedad, 147, 148, 152, 163 accidental, 58 de primer orden, 153, 158 esencial, 58 proposición, 13, 147, 148, 152, 153, 158 puede, 23 punto de evento, 49 de referencia, 49 raramente, véase adverbio temporal realismo, 5 reducción, véase A-conversión referencia auto-, 179 indirecta, 15 múltiple, 18 marcador de, 341 referencia (Frege), 10 indirecta, 15 referencia múltiple, 18 referente del discurso, 337 regla básica, 191 de cuantificación, 225 de Geach, 323 de la negación, 242 de Montague, 325 regla de traducción T (c), 235 T l ( a ’), 238 T I (a), 198, 258 T l(b ), 204, 258 T l ( c ’ ), 206 T l(c ), 259
T l(d ), 250 TIO, 239 T i l , 239 T12, 239 T13, 239 T14, 242 T15, 244 T16, 245 T17, 246 T18, 248 T19, 249 T2, 204 T20, 250 T21, 252 T3, 201 T3\ 206 T3), 259 T4, 201, 259 T5, 201, 259 T6, 201, 259 T7, 209 T8,n, 227 T8,n), 260 T9, 239 regla sintáctica 51, 191 510, 239 511, 239 512, 239 513, 239 514, 242 515, 244 516, 245 517, 246 518, 248 519, 249 52, 192 520, 250
S21, 252 53, 193 S3’ , 194 54, 193 55, 193 56, 193 57, 208 58, 225 59, 239 relación anafórica, 335 anterior a, 40, 41 conectada, 34 de accesibilidad, 22 de contrapartida, 90 de equivalencia, 36 de similitud, 54 irreflexiva, 33 reflexiva, 31 transitiva, 44 representación mental, 181 restricciones, 282 globales, 307 S5, 36 semántica de las oraciones, 216 de las palabras, 216 semántica situacional, 180 sentencias, xxiv sentido (Frege), 10 ser, 234 siempre, véase adverbio temporal significado léxico, 216 significado por correspondencia, 2 sinn (Frege), 10 sinonimia, 182 sintagma
de Tipos Intensional Di-sorteada, 166 del Significado, 2, 5, 9, 360 del Significado por Corresponden cia, 2, 4-6 Intensional de Tipos, xxii Intensional del Significado, xx, xxi Pictórica del Significado, 5 Referencial del Significado, 5, 7, 8, término, 191 181 término cuantificado, 259 Teoría de Categorías Semánticas, 115 tal vez, 23 Teorías tautología, xxiv del Significado, 2 reoría tesis de la forma que induce a error, de Tipos, 18 267 de Tipos Intensional, 18 tiempo discreto, 45 del Sentido de Frege, 12, 14 tiempo verbal, 40 del Significado, 6 tipo del Significado de Frege, 10, 11, 14 básico, 98 Semántica no Composicional, 358 derivado, 99 Conductista del Significado, 2 di-sorteado, 167 de Conjuntos, xxiii, xxiv, 284, 288, intensional, 329 346, 347 todo, 193, 206 de Cuantificadores Generalizados, tono (Frege), 10 xxii, 277, 279, 281-287, 289, traducción 290, 301, 303, 307, 310, 322 composicional, 140 de las Descripciones Definidas, xx explícita, 140 de las Relaciones, 322 finita, 140 de los Cuantificadores Generaliza formal, 140 dos, xx función / , 196, 257 de Modelos Abstracta, 277 de Representación de Discursos, un solo, 193, 206 xx, xxii, 278, 330, 371 un(a), 193, 206 de Significado de Grice, 2 unión, xxiv de significado es uso, 2 universales semánticos, 281, 300 de Tipos, xix, xx, xxii, 285, 322 de Tipos Di-sorteada, xxii, 51 va a ser, 40 de Tipos Intensional, 146, 148, 149, validez 151-153, 157, 163-166 en un marco, 42 verbal intransitivo, 189, 196 verbal transitivo, 207 sintaxis categorial, 188 sistema lógico extensional, 7, 182 t intensional, 157, 182 sospechar, véase actitudes proposicio nales
en un modelo, 30 teorema, xxiv universal, xxiv, 155 valuación, xxiv variable libre, 128, 130 meta-, xxiii sintáctica, 190, 258 verbo extensional, 222 verdad relativa, 155 VI, 189, 196 VT, 207 vocabulario, 100 Vorstellungen (Frege), 10 yo, 83
E s t e libro fue compuesto en caracteres Times New Román de 11 puntos, impreso sobre papel bond de 75 gramos y encuadernado con método Hot Melt, en el mes de abril de 2010, en Bogotá, D .C ., Colombia.