FUNCIÓN DE F(X) = Ln (X) EN LA SERIE DE TAYLOR TAYLOR Y MACLAURIN X0 = 0 PROGRAMACION EN OCTAVE
Daniela Gon!le Mal"ona"o El#in Fo$e$o D%$an &ona'an Ma$'ne Loano Ana M*n"e R%i Gio+anni Ro"$,%e Ga-.oa
Uni+e$/i"a" Cooe$a'i+a "e Colo-.ia Fa1%l'a "e in,enie$a In,enie$a In"%/'$ial An!li/i/ N%-*$i1o
2034
Da+i" Mo$eno
RESULTADO F%n1i5n "e ln (6) /e$ie "e Ta7lo$ 7 Ma1la%$in X0 = 0 −2 ¿
( x )=¿ f ( x )' = 1 = x− f ( x )' ' =− x¿ 1
x
ln ¿ −3
'' '
f ( x ) =2 x f ( x )
v
= 24 x
−4
'v
f ( x ) =−6 x
−5
f ( x )
v '
=120 x
X=0 X0= 683 2
x − x 0 ¿ ¿
3
x − x 0 ¿ ¿ ' ' '
f ( x 0 ) ¿ ' '
f ( x0 ) ¿ '
f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ( x − x 0 ) +¿
2
−1 ¿ ¿
3
−1 ¿ ¿
4
0 + x 0
93
(-1) +
−1 ¿ ¿
−4
6 x 0
−3
2 x 0
−2
x 0
¿ ¿
¿
−¿
−6
2
−1 ¿ ¿ 3 −1 ¿ ¿ 4 −1 ¿ ¿ −4 6 x 0 ¿ −3
2 x 0
¿
−2
x 0 ¿ ∞
∑ 0 + x (−1 )−¿ 0
−1
n=0
n
−1 ¿ ¿ −n x 0 ¿ ¿ ∞
∑¿ n=0
ln
1
( x ) + x ( x − x )− 0
0
0
… … …+
2
( x − x )
1
0
2
x 0
2!
2
+
x 0
3
( x − x ) 0
3
3!
( n −1 ) ! ( x − x ) n ( x − x )n (−1 )n + 0
n ! x0
∞
f ( x )= ln x = ln ( x0 ) + ∑ n=1
−
( x − x )
6
x 0
0
4
4!
4
…………
1
0
=
n
x 0 ∗n
( x − x ) n (−1 )n
+1
0
n
x 0 ∗n
RESUMEN En la siguiente investigación, demostraremos como hallar la función f(x) = ln (x) x 0=0 con la ayuda de la “erie de !aylor" y “#aclaurin"
e dice $ue una función %(x) es anal&tica en x = x0 si %(x) se 'uede 'resentar como una serie de 'otencias en trminos de h = x-x 0 dentro de un radio de convergencia, r l x *x0 l na condición necesaria 'ara $ue una función sea anal&tica es $ue todas sus derivadas sea continuas en x = x0, as& como alguna vecindad alrededor del 'unto i f es anal&tica alrededor de x= x0 se 'uede 'resentar f(x) en la vencida de x = x 0, 'or medio de su serie de !aylor $ue es la serie de 'otencia dada 'or 2
x − x 0 ¿ ¿
3
x − x 0 ¿ ¿ ' ' '
(x )¿ ' ' f ( x ) ¿ ' f ( x )= f ( x ) + f ( x ) ( x − x ) + ¿ f
0
0
0
x − x 0 ¿
0
0
n
¿ n
f ( x 0 ) ¿ ……¿
l momento de desarrollarla de.emos de ingresarla al 'rograma /ctave el cual es un lenguae de alto nivel destinado 'ara el calculo numrico !iene una interfa sencilla, orientada a la l&nea de comandos, $ue 'ermite la resolución de 'ro.lemas numricos, lineales y no lineales, adem2s 'ermite la eecución de scri'ts y 'uede ser usado como lenguae orientado al 'rocesamiento 'or lotes /ctave 'osee una gran cantidad de herramientas $ue 'ermiten resolver 'ro.lemas de alge.ra lineal, c2lculo de ra&ces de ecuaciones no lineales, integración de funciones ordinarias, mani'ulación de 'olinomios, integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales alge.raicas us funciones tam.in se 'ueden extender mediante funciones definidas 'or el usuario escritas en el lenguae 'ro'io de /ctave o usando módulos din2micamente cargados escritos en lenguaes como 3, 3++ y %ortran entre otros l momento de concluir visualiaremos en el 'rograma todas la derivadas de la función f(x) = ln (x) en x 0 = 0
INTRODUCCION travs de la siguiente introducción se 'retende dar a conocer los diferentes as'ectos del tema “erie de !aylor" y “#aclaurin" as& como algunas de las im'licaciones $ue conlleva dicho tema El o.etivo 'rinci'al de otorgar conce'tos .2sicos, tanto de lo $ue es la serie, como lo $ue re'resenta y su 'rinci'al a'licación $ue es la de la a'roximación de funciones reales de varia.les reales 4as series de !aylor son a'roximaciones de funciones mediante las series de 'otencias o suma de 'otencias enteras como, dicha suma se calcula a 'artir de las derivadas de la función 'ara determinar un valor, ca.e recalcar $ue no todas las funciones 'ueden ser re'resentadas en series de !aylor 'or$ue tienen alguna singularidad
Don"e n5 es el factorial de n f (n)(a) denota la n-sima derivada de f 'ara el valor a de la varia.le res'ecto de la cual se deriva En la 'arte del dominio de f donde tal serie convera in em.argo, la situación real no es tan satisfactoria
Ven'a:a/
!anto la derivación como la integración de estas series se 'ueden realiar trmino a trmino, $ue resultan o'eraciones triviales e 'ueden utiliar 'ara calcular valores a'roximando de funciones re$ueridas Es 'osi.le calcular la o'timiación de la a'roximación
Al1an1e/ 6ermite convertir cual$uier funciona un 'olinomio 'ara un maneo m2s f2cil de estas 6ermite $ue la función 'ueda ser utiliada en las diferentes a'licaciones de la ingenier&a de manera m2s f2cil
Li-i'a1ione/ l ser una serie infinita nunca se lograra un resultado con el 1007 de exactitud #ientras m2s com'licada sea la función mayor grado de error tendr2 de.ido a dicha dificultad
SERIE DE MACLARIN En matem2ticas, la serie de !aylor de una función f(x) infinitamente deriva.le (real o com'lea) definida en un intervalo a.ierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma8 sin(x) y a'roximaciones de !aylor centradas en 0, con 'olinomios de grado 1, 9, :, ;, <, 11 y 19 f(x) = sum>?n=0@A?infin@ frac?fA(n)(a)@?n5@ (x-a)A?n@ $u&, n5 es el factorial n y f (n)(a) indica la n-sima derivada de f en el 'unto a i esta serie converge 'ara todo x 'erteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama anal&tica 6ara com'ro.ar si la serie
converge a f(x), se suele utiliar una estimación del resto del teorema de !aylor na función es anal&tica si y solo si se 'uede re'resentar con una serie de 'otenciasB los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de !aylor i a = 0, a la serie se le llama serie de #aclaurin Esta re'resentación tiene tres ventaas im'ortantes8 4a derivación e integración de una de estas series se 'uede realiar trmino a trmino, $ue resultan o'eraciones triviales e 'uede utiliar 'ara calcular valores a'roximados de la función Es 'osi.le demostrar $ue, si es via.le la transformación de una función a una serie de !aylor, es la ó'tima a'roximación 'osi.le
CONCLUSIONES e o.serva $ue las series de !aylor 'ueden utiliarse 'ara generar es$uemas de diferencias infinitas Estos es$uemas se utilian 'ara a'roximar la derivada de una función alrededor del 'unto e 'uede concluir $ue las series de !aylor son infinitas, y s olo se utilian los 'rimeros términos 'ara generar un es$uema de diferencias finitas 4a ca'acidad de almacenamiento o 'silon de la ma$uina no 'ermite calcular el valor mas a'roximado de la función, solo 'ermite tra.aar con dos cifras decimales o hasta interacciones
;I;LIOGRAFIA htt'8CCesimecu-anumerico.logs'otcomcoCD011C0:Cseries-de-taylor-maclaurinhtml matematicasvisualescomChtmlCanalisisCtaylorCex'!aylorhtml mathorldolframcomCMa1la%$inSe$ie/html htt'8CC.uenastareascomCensayosC6a'er-eries-Fe-!aylorC;G;DDDD0html
http://softlibre.unizar.es/manuales/aplicaciones/octave/octave.pdf http://www.lawebdelprogramador.com/foros/Matlab/138631!serie!de!ta"lor! para!cual#uier!funcion.html https://www."outube.com/watch$v%&gd'1g(m)#* https://www."outube.com/watch$v%'+++,++-fM http://ciencias.udea.edu.co/programas/pregrado/M! 0/andes/docs/octave.pdf http://computacion1! soler.wi*ispaces.com/2le/view/ntroduccion4a45(ctave.pdf
