Ljuske

10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

10.1. UVOD UVOD Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju opterećenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni elementi kad je o utoršku materijala reč. U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gaussova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κ (κ α α i κ β β): ): K = κα ⋅ κ β =

1

rα ⋅ r β

, ................................ .............. .................................. ................................. .......................... ......... (10.1)

gde su r α α i r β β poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 321): •

Eliptične površi imaju površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba poluprečnika glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute.

•

Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprečnika glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se pravim izvodnicama.

•

Parabolične površi imaju površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika glavne krivine im je beskonačno velik.

Sl. 321. Površine različite Gauss-ove krivine

Kada je debljina ljuske (h ( h ) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r (r ), ), ljuska se smatra tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih ljuski. Načelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno: z adovoljeno:

269

Betonske konstrukcije – radna verzija - 21. novembar 2010

h r

≤

1 20

. ........................................................................................... (10.2)

Osnovne pretpostavke tehničke teorije tankih ljuski su: •

Smatra se da prava vlakna upravna na srednju površ ljuske ostaju prava i upravna na deformisanu srednju površ, ne menjajući svoju dužinu.

•

Normalni naponi u pravcu normale na srednju površ su zanemarljivi u odnosu na ostale komponentalne napone.

Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu površi ograničenom lini jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreñeni maksimalnim i minimalnim poluprečnicima krivine. U opštem slučaju, postoji deset sila u presečnim površima ljuske: normalne sile N α α i N β β, smičuće sile N αβ αβ i N βα βα , transverzalne sile Q α α i Q β β, momenti savijanja M α α i M β β i momenti torzije M αβ αβ i M βα βα (Sl. 322). Ovih deset veličina, načelno, nije moguće odrediti samo iz uslova ravnoteže (problem nije statički odreñen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeñu napona, deformacija i pomeranja ljuske.

Sl. 322. Sile u presečnim površinama ljuske, opšti slučaj

Opšti problem je, pod odreñenim uslovima, moguće dekomponovati na nezavisne slučajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske. Pretpostavljajući elastično ponašanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se može analizirati na način koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj površi, poput membrane koja ne pruža nikakav otpor savijanju. Od presečnih sila, javljaju se samo normalne sile N α α i N β β, smičuće sile N αβ αβ i N βα βα , a ova vrsta naprezanja se naziva membransko naprezanje ljuski , dok je odgovarajuća teorija proračuna - membranska teorija (Sl. 323a). Membransko stanje naprezanja se može i kod ljuski konačne debljine pod sledećim uslovima: •

270

Granični uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile naprežu ljusku samo u njenoj srednjoj površi. Ovim, mogu biti sprečena samo pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja o slanja (Sl. 323b).

10. Armiranobetonske ljuske •

Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se član z/r u izrazima datim na Sl. 322 može zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i smičućih napona po visini h preseka postaje konstantna: Nα = σ α ⋅ h , N β = σ β ⋅ h , Nαβ = N βα = τ αβ ⋅ h . ...................................... (10.3)

•

Srednja površ mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

•

Opterećenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisanih dejstava.

Sl. 323. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

Sada, kada je broj nepoznatih veličina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz uslova ravnoteže. Konturni uslovi ljuske su najčešće takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku deformaciju kraja – ljuske su po konturi obično kruto vezane (elastično uklještene) za druge elemente (ljuske, ploče, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su „poremećeni“ fleksionim silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle promene debljine ljuske, koncentrisana opterećenja, skokovi u kontinualno promenljivom opterećenju.

Sl. 324. Fleksione sile

Pored membranskih, u presečnim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i torzije, te transverzalne sile (Sl. 324). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i deformacije ljuski uključujući i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila naziva se fleksiona teorija ljuski . Nije ni potrebno posebno naglašavati da je danas uobičajen proračun uticaja u ljuskastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na primeni metode konačnih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao poliedarske površine formirane od površinskih konačnih elemenata, mogućnost apliciranja proizvoljnog opterećenja, mogućnost uticaja na tačnost rezultata gustinom mre271


že, mogućnost proračunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke od nespornih prednosti ovog načina proračuna. Ipak, sa stanovišta inženjerskog razumevanja problema, klasični pristup proračunu je od nemerljivog značaja i dalje. 10.2. ROTACIONE LJUSKE Rotacione (rotaciono-simetrične) ljuske su one čija je srednja površ rotaciona površ nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 325). Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U ravni meridijalnih krivih meri se ugao α , a u ravni kružnica ugao φ . Poluprečnici glavnih krivina su r α i r φ64 .

Sl. 325. Rotaciona ljuska

Pretpostavljajući membranski rad , na elementarnom delu površine rotacione ljuske opterećenom komponentama površinskog opterećenja u pravcima tangente na glavne pravce, te normale na srednju površ (p x, p y, p z) , dolazi se do tri uslova ravnoteže (Sl. 326): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju površ. Pretpostavljajući, dodatno, i rotaciono- distribuciju opterećenja , rotaciono -simetričnu -simetričnu kada je p x jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra – ugla α :

Sl. 326. Membransko stanje rotacionih ljuski

Nφ = − rφ ⋅ ( p z + Nα / r α ) , N αφ = 0 , ........................................................ (10.4)

64

Primetiti da r φ nije poluprečnik kružnice (paralele).

272

10. Armiranobetonske ljuske

(10.5) Nα = −  r ⋅ rα ⋅ ( p y ⋅ sin α + p z ⋅ cos α ) dα + C  / ( r ⋅ sin α ) , .......................  ∫



gde je sa r obeležen poluprečnik kružnice (paralele), a integraciona konstanta C se odreñuje iz konturnih uslova. Pod dejstvom rotaciono-simetričnog opterećenja ljuska se deformiše i tačke ljuske dobijaju odgovarajuća pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v , i u pravcu normale na površ, w . Koristeći se vezama izmeñu napona i deformacija (ε ), iz teorije tankih ljuski je poznato: εα

=

1

E ⋅ h

(

⋅ Nα −ν ⋅ N φ

1

) , εφ = E

⋅h

(

⋅ Nφ −ν ⋅ N α

) . ................................. (10.6)

Nakon uvoñenja veza izmeñu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristična pomeranja – izduženje poluprečnika paralele, ∆r , i promena ugla tangente na meridijalnu krivu, χ – naći kao: ∆r = r ⋅ ε φ =

χ =

r E ⋅ h

(

⋅ Nφ −ν ⋅ Nα

) ............................................................

rφ cot α  ⋅  Nα −ν Nφ − ( Nφ −ν Nα ) ⋅ E ⋅ h  rα

(10.7)

 1 d  r φ  ⋅ ( Nφ −ν N α )  . ..... (10.8) − ⋅  α r d E h ⋅    α

Analiza fleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno složenije od membranskog. Za slučaj rotaciono-simetričnog opterećenja polovina presečnih sila je identički jednaka nuli: Nαφ = N φα = 0 , M αφ = M φα = 0 , Qφ = 0 . ............................................... (10.9)

Sl. 327. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrično opterećenih

Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnoteže na elementu površine (Sl. 327). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na površ, te suma momenata, respektivno, daju: d d α

( r ⋅ Nα ) − rα ⋅ Nφ ⋅ cos α − r ⋅ Qα + p y ⋅ r ⋅ rα

r ⋅ Nα + rα ⋅ Nφ ⋅ sin α +

d d α

( r ⋅ Qα ) + p z ⋅ r ⋅ rα

= 0 , ................................. (10.10) 0 , =

i ................................ (10.11)

273


d d α

( r ⋅ M α ) − rα ⋅ M φ ⋅ cos α − r ⋅ rα ⋅ Qα

= 0 .

.......................................... (10.12)

Veze izmeñu dilatacija i pomeranja su: 1  dv 1  v ⋅ cot α + w dw   ε α = ⋅  , χ = ⋅  v − + w  , ε φ =  , .................... (10.13) rα  d α r φ rα  d α   a veze izmeñu presečnih sila i pomeranja su date sa:  1  dv  E ⋅ h  ν Nα = D ⋅   + w  + ( v ⋅ cot α + w)  , D = , ........................ (10.14) 2 α 1 ν r d r −  φ  α    ν  dv  E ⋅ h3  1 + w + , ................. (10.15) Nφ = D ⋅   ( v ⋅ cot α + w) , K = 2 α r d r ν 12 1 ⋅ −   ( ) φ  α   1 d  1   rα dα  rα

 dw   ν  dw   cot − + − α v v  ......................... (10.16)  dα   r r      α φ  dα  

 ν d  1   rα dα  rα

 1  dw   dw   α cot v − + v −  ......................... (10.17)  dα   r r   α d   α φ   

M α = − K 

M φ = − K 

Jednačine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednačina sa deset nepoznatih: pet presečnih sila, dve komponente pomeranja (v i w ) i tri komponente deformacijskih veličina (ε α, ε φ i χ ). Prkatična rešenja će biti razmatrana na primeru pojedinih tipova ljuski. U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotacionosimetričnim opterećenjem, ostvaruje se u većem delu ljuske, osim, najčešće, u okolini konture. Ljuska je najčešće po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi element. Zato, zbog sprečenosti membranskog deformisanja, na konturi se remeti membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji od savijanja (Sl. 328).

Sl. 328. Ivični poremećaji cilindrične ljuske kruto spojene sa drugim elementima

Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremećajni uticaji) su takvi da se relativno brzo prigušuju za uobičajene dimenzije ljuski. Njihova veličina se smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se može smatrati da se poremećajni uticaji na jednom kraju ljuske „ne osećaju“ (ne utiču na deformaciju) na drugom kraju ljuske, takve ljuske nazivaju se dugim . U suprotnom, ljuske su kratke . Na Sl. 329 su, za dugu i kratku cilindričnu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, opterećenu radijalnim horizontalnim linijskim opterećenjem na obe ivice, prikazani oblici dijagrama momenata savijanja M α .

274


Sl. 329. Momenti savijanja poduž izvodnice za dugu i kratku cilindričnu ljusku

Presečne sile kod rotaciono-simetrično opterećenih rotacionih ljuski u sklopu složenije konstrukcije mogu biti odreñene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila odreñuju se superpouicijom membranskog rešenja i uticaja dobijenih fleksionom analizom ivičnih poremećaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju, konstrukcija se dekomponuje, na način da se pretpostavljaju membranski uslovi oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji je samo analizom uslova ravnoteže moguće odrediti membransko rešenje. Na mestu raskinute veze uvode se dve statički nepoznate veličine: horizontalna sila X H (linijsko opterećenje, kN/m’) i moment savijanja X M (linijsko opterećenje, kNm/m’) (Sl. 330).

Sl. 330. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statički nepoznate

Veličine statički nepoznatih veličina odreñuju se iz uslova-pretpostavke da nema meñusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meñusobne promene nagiba tangente. Skraćeno, krajevi ljuski spojenih u čvoru imaju jednako horizontalno pomeranje ∆r i obrtanje χ . Uslovne jednačine virtualnog rada, kojima se sumiraju ovi uslovi imaju poznat oblik, a broj ovih jednačina, N , odgovara broju statički nepoznatih veličina: X 1 ⋅ δ11 + X 2 ⋅ δ12 + ... + δ 10 = 0 X 1 ⋅ δ 21 + X 2 ⋅ δ 22 + ... + δ 20 = 0 ...

. ......................................................... (10.18)

X 1 ⋅ δ N 1 + X 2 ⋅ δ N 2 + ... + δ N 0 = 0

Pri tome, svaki koeficijent δ ij čine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovara jućih pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi: δ ij = δ ij′ + δ ij′′ . ................................................................................... (10.19)

275


Koeficijenti δ i0 se odreñuju kao odgovarajuća pomeranja u osnovnom sistemu u pravcu i smeru usvojenih statički nepoznatih od spoljašnjih opterećenja. I oni predstavljaju zbir odgovarajućih koeficijenata sa dva u čvoru vezana elementa. Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreñivanja statički nepoznatih se znatno pojednostavljuje. Uvoñenjem pretpostavke da se ivični poremećaji na jednom kraju ljuske „ne osećaju“ na drugom, čini odgovarajuće δ ij koeficijente jednakima nuli. Za posledicu, umesto jednog sistema jednačina, problem se dekomponuje na više manjih sistema jednačina (na primer, četiri puta statički neodreñen sistem na Sl. 330, uz cilindričnu ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta statički neodreñen – nezavisno je moguće odrediti statički nepoznate u gornjoj vezi od onih u donjoj). U slučaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) opterećenja na ljusku, problem se rešava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 331. Pri tome je nebitno da li se samo opterećenje „pripisuje“ gornjoj ili donjoj ljuski, ili se „deli“. Slično se postupa i u slučajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 332).

Sl. 331. Dekompozicija na mestu koncentrisanog opterećenja

Sl. 332. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

Treba imati na umu da statički nepoznate veličine izazivaju u presecima ljuske, ne samo momente savijanja (M α i M φ) i transverzalne sile (Q α) , nego i aksijalne sile N α i N φ, zbog čega se rezultujuće aksijalne sile odreñuju superpozicijom njihovih membranskih i fleksionih vrednosti. Ljuske se, u opštem slučaju, dimenzionišu u dva ortogonalna glavna pravca na složeno savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravougaonog poprečnog preseka širine 1m na granične vrednosti uticaja M φ i N φ, dok se meridijalna armatura odreñuje iz odgovarajućih graničnih uticaja M α i N α. Pri tome, treba voditi računa o različitim statičkim visinama u dva upravna pravca, te o minimalnim količinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploče.

276


10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOL (KUPOLE) E) Sferne kupole su najčešće konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine. Primenu kao armiranobetonske pronalaze još na početku XX veka, uglavnom kao krovne konstrukcije nad kružnim osnovama, zahvaljujući sposobnosti da premošćavaju velike raspone sa malim debljinama. U pogledu utroška materijala ovo ih svrstava u red najracionalnijih konstrukcija. Sa druge strane, racionalnost njihove primene je limitirana pogodnošću i cenom izvoñenja (skupa oplata). Najčešće, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala kružne osnove i većih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 333). U konstrukcijama se javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim nosačima, pločama, drugim ljuskama...

Sl. 333. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

Uobičajene debljine kupola su vrlo male – za krovne konstrukcije su izmeñu 5 i 14cm, a za raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnuti, ovi elementi mogu biti podložni gubitku stabilnosti, zbog čega je preporuka usvajati debljinu ljuske na način da se membranskim radom iazazvani normalni naponi ograniče na manju vrednost od dopuštenih (preporuka je 50% dopuštenih) 65. Još jedna preporuka u pravcu obezbeñenja od suviše malih debljina ljuske je ona kojom bi debljinu valjalo ograničiti sa donje strane u funkciji poluprečnika krivine na sledeći način: d / r ≥ 0.0015 (približno 1/600!). S obzirom da su kupole opterećene uglavnom mirnim kontinualnim opterećenjem (sopstvena težina, izolacija, sneg, tečnost...), to one rade pretežno membranski. Samo u području oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najčešće preko prstenastog nosača) javljaju se fleksioni poremećaji. Moguće neravnomerno opterećenje vetrom redovno nije od velikog značaja budući je malo u odnosu na ostala. Otud, kupole se mogu približno proračunavati kao rotaciono-simetrično opterećene. Često se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu. U tom slučaju gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojačanje na koje se pričvršćuju elementi svetlosne lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakteriše fleksionim uticajima. Kako su kod sferne ljuske poluprečnici glavnih krivina jednaki: rα = rφ = a , r = a ⋅ sin α , ................................................................... (10.20)

Dopušteni naponi su „zaostatak“ ranije primenjivane logike proračuna armiranobetonskih konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktičn o validna. 65

277


to se presečne sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)): Nα = −

1

a ⋅ sin α

⋅  a ⋅ sin α ⋅ p y ⋅ sin α + pz ⋅ cos α d α  ,

 ∫

(

2

)

 ...................... (10.21)

Nφ = − a ⋅ ( p z + Nα a ) . ..................................................................... (10.22)

Karakteristična pomeranja su: ∆r =

χ

=

−a ⋅ sin α

E ⋅ h

(

⋅ a ⋅ p z + (1 +ν ) ⋅ Nα

) , i ................................................ (10.23)

 dp z  − (1 +ν ) ⋅ p y  ............................................................. (10.24) E ⋅ h  d α  a

⋅

U nastavku je, u formi specifičnog slučaja, analizirano membransko dejstvo sopstvene težine sferne kupole. Kako je: p y = g ⋅ sin α i p z = g ⋅ cos α , to se aksijalne sile dobijaju: N α = −

1   i Nφ = a ⋅ g ⋅  − cos α  . 1 + cos α  1 + cos α 

a⋅g

Raspored i veličina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 334. Primetiti da za ugao kupole veći od 51.49º prstenaste sile N φ prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoñe, interesantno je primetiti i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.

Sl. 334. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za ravnomerno podeljeno opterećenje po osnovi, kakvo je opterećenje snegom, na primer, važi: p y = p ⋅ sin α ⋅ cos α i p z = p ⋅ cos 2 α , te aksijalne sile u obliku (Sl. 335): N α = −

a⋅ p 2

, N φ = −

a⋅ p 2

⋅ cos ( 2 ⋅ α )

Sl. 335. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog opterećenja po osnovi

278


Za karakteristične slučajeve opterećenja (Sl. 336) izrazi za presečne sile se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karakteristična pomeranja.

Sl. 336. Neki karakteristični slučajevi opterećenja kupole

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz odreñena zanemarenja malih veličina i konstatovanjem da je p y = p z = 0, svode na dve nezavisne diferencijalne jednačine oblika (k – koef. prigušenja): ∂

4

χ 4 + 4 ⋅ k ⋅ χ = 0 , 4 ∂α

∂Qα ∂α

+ 4 ⋅ k ⋅ Qα = 0 , k = 4

a h

⋅

3 ⋅ (1 − ν

2

) . ............. (10.25)

Sl. 337. Oznake uglova na ivicama kupole

Uz oznake kao na Sl. 337, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), rešenje diferenci jalne jednačine se nalazi u obliku: − k ⋅w ⋅ cos ( k ⋅ wn + ψ ) , .......................................................... (10.26) Qα = C ⋅ e n

gde su C i ψ integracione konstante odreñene uslovima na konturi. Izrazi za sile u presecima, te integracione konstante za slučajeve ivičnog opterećenja horizonztalnim silama i momentima, dati su na Sl. 338.

Sl. 338. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja

Dati izrazi se odnose na duge ljuske – one kod kojih je zadovoljeno: k ⋅ (α 2 − α 1 ) ≥ 6 i α n ≥ 30° . .............................................................. (10.27)

279


U praksi je, i za fleksione poremećaje, uobičajena primena tabulisanih izraza za sile i pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo slučajeve prikazane na Sl. 338. U najvećem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom delu svodi na analizu centrično pritisnutog ili centrično zategnutog pravougaonog preseka jedinične širine. U ivičnim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se dimenzionišu na složeno savijanje, prema M α i N α . U zoni prostiranja poremećajnih uticaja obično se ljuska kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu je najčešće prihvaćen već podeonom armaturom. Ljuska se u većem delu armira mrežom u sredini debljine (za ljuske debljine manje od 7cm) ili simetričnim mrežama na oba lica (za debljine preko 7cm). U zoni ojačanja, obostrano armiranje se u meridijalnom pravcu najčešće postiže šipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u obe zone ima karakter podeone (Sl. 339).

Sl. 339. Armiranje ivičnih delova kupole

10.2.2. KONUSNE LJUSKE Konusne ljuske se najčešće koriste (Sl. 340) za levkove silosa i bunkera, kod rezervoarskih konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se izvoditi kao klasične armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najčešće u horizontalnom pravcu. Kod konusnih ljuski, glavni poluprečnik krivine r α ima beskonačnu dužinu, izvodnica u meridijalnom pravcu je prava linija.

Sl. 340. Primeri primene konusnih ljuski

Sl. 341. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

280


Uvoñenjem veza (Sl. 341): rφ = y ⋅ cot α , dy = rα ⋅ dα , r = y ⋅ cos α , Nα → N y , ............................ (10.28) mogu se odrediti vrednosti presečnih sila i pomeranja po membranskoj teoriji: N y =

− cos α ⋅

∫ ( p

y

)

⋅ sin α + p z ⋅ cos α ⋅ y ⋅ dy

y ⋅ sin α ⋅ cos α

, ...................................... (10.29)

Nφ = − y ⋅ p z ⋅ cot α , ......................................................................... (10.30) ∆r =

χ

=

− y ⋅ cos α

E ⋅ h

(y⋅ p

z

⋅ cot α + ν ⋅ N y

),

................................................ (10.31)

 cot α  d 2 α ν cot + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ N y p y p ( ) z y .  y E ⋅ h  dy 

.................................... (10.32)

Za slučaj dejstva sopstvene težine (Sl. 342), komponente opterećenja su: p y = g ⋅ sin α , p z = g ⋅ cos α , a vrednosti presečnih sila su: N y =

−g ⋅ y

2 ⋅sin α

, Nφ = − g ⋅ y ⋅ sin α ⋅ cot 2 α

Sl. 342. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi (Sl. 343) biće: 1

3

cos α

p y = p ⋅ sin α ⋅ cos α , p z = p ⋅ cos α , N y = − ⋅ p ⋅ y ⋅ cot α , Nφ = − p ⋅ y ⋅ 2 sin α 2

Sl. 343. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi

Sl. 344. Neki karakteristični slučajevi opterećenja konusne ljuske

Za karakteristične slučajeve opterećenja (poput onih datih na Sl. 344) izrazi za presečne sile se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karakteristična pomeranja. 281


Neporemećeno membransko stanje je moguće samo ako je ivica ljuske oslonjena na način da reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske završava obodnim prstenom, koji uzrokuje ivične poremećaje. Spoj ljuske i prstena može biti zgloban ili krut (Sl. 345).

Sl. 345. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz odreñena uprošćenja, svode na diferencijalnu jednačinu četvrtog reda po nepoznatoj promeni ugla obrtanja (k – koef. prigušenja): ∂

4

χ

∂ y

4

+ 4 ⋅ k ⋅ χ = 0 , k = 4

tan α

y ⋅ h

⋅

3 ⋅ (1 − ν

2

) ........................................ (10.33)

Sl. 346. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake kao na Sl. 346, rešenje jednačine se može napisati u obliku: − k ⋅d = C ⋅e ⋅ cos ( kn ⋅ d n + ψ ) , .......................................................... (10.34) n

n

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti presečnih sila i karakterističnih pomeranja su date na Sl. 347. Izrazi važe za duge ljuske, kod kojih je zadovoljeno: k ⋅ ( y2 − y1 ) ≥ 6 ................................................................................ (10.35)


Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentričnim krugovima. Broj šipki koje se pružaju po izvodnicama, po jedinici dužine se smanjuje sa približava282


njem ivici, što valja nadomestiti ubacivanjem meñu-šipki. Ljuske deblje od 8cm se armiraju u dve zone celom površinom. Uz prsten, ljuska se dimenzioniše na ekscentrični pritisak u pravcu izvodnice. 10.2.3. CILINDRIČNE LJUSKE Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera kružne osnove (Sl. 348). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kružnom pločom, koja je najčešće kruto spojena s cilindrom, ali je moguće i rešenje sa plivajućom varijantom. Sa gornje strane, cilindar se zatvara ili kružnom pločom ili ljuskom, preko kružnog prstenastog nosača. Kod vodotornjeva, cilindri se projektu ju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u cilju formiranja pogodne geometrije. Kod silosa, ćelije kružne osnove su dugački cilindri u dnu najčešće vezani s konusnom ljuskom levka. U svim ovim slučajevima, opterećenje na površinu cilindra je po pravilu rotaciono simetrično (pritisak tečnosti, zrnastog materijala ili tla).

Sl. 348. Primeni primene cilindričnih rotacionih ljuski

Kod cilindrične ljuske je glavni poluprečnik rα beskonačne dužine, a ugao α je 90º, što meridijalnu krivu transformiše u vertikalnu pravu izvodnicu.

Sl. 349. Membranski uslovi oslanjanja cilindrične ljuske i geometrijske oznake

Uvoñenjem veza: rφ = a , dy = rα ⋅ d α , Nα → N y , ........................................................ (10.36) izrazi za membranske sile i pomeranja postaju: N y =

∫ p

y

⋅ dy ,

................................................................................ (10.37)

Nφ = −a ⋅ p z (kotlovska formula), .................................................... (10.38) ∆r =

χ

=

−a

E ⋅ h

(

)

⋅ a ⋅ p z + ν ⋅ N y ,



dp z

E ⋅ h 

dy

a

⋅ a ⋅



−ν ⋅ p y  .



............................................................... (10.39) ............................................................... (10.40) 283


Za slučaj delovanja sopstvene težine (Sl. 350a) biće: N y = − g ⋅ y , N φ = 0 , ∆r =

ν ⋅ a ⋅ g ⋅ y E ⋅ h

, χ =

−ν ⋅ a ⋅ g

E ⋅ h

.

Sl. 350. Dejstvo sopstvene težine i tečnosti

Za dejstvo tečnosti (Sl. 350b) biće: N y = 0 , N φ =

p ⋅ a ⋅ y L

2

, ∆r =

a ⋅ p⋅ y E ⋅ h ⋅ L

2

, χ =

−a ⋅ p

E ⋅ h ⋅ L

.

Za druge slučajeve opterećenja (poput onih na Sl. 351) izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata.

Sl. 351. Karakteristični slučajevi opterećenja

Jednačine fleksione teorije se, uz (10.36) i: Qα → Q y , M α → M y , h = const . , .................................................... (10.41) svode na jednu diferencijalnu jednačinu četvrtog stepena: 4

d w dy 4

4

+ 4⋅ k ⋅ w+

p z K

3 ⋅ (1 −ν

2

= 0 , k =

a⋅h

)

. ....................................... (10.42)

U opštem slučaju, rešenje je oblika: w = w0 + e

− ky

( C1 cos ky + C2 sin ky ) + e ky ( C3 cos ky + C4 sin ky ) , ............... (10.43)

gde je w 0 partikularno rešenje, a integracione konstante se odreñuju iz konturnih uslova. Za duge ljuske , kod kojih je: k ⋅ L ≥ 6 , ........................................................................................ (10.44)

ivični poremećaji se odreñuju iz rešenja homogenog dela diferencijalne jednačine, koja se odnosi na ljusku bez površinskog opterećenja, a za opterećenje samo po konturi: 4

d w dy

4

+ 4⋅k ⋅ w = 0 . 4

.......................................................................... (10.45)

Rešenje jednačine: w = e− 284

ky

( C1 cos ky + C2 sin ky ) + eky ( C3 cos ky + C4 sin ky ) ....................... (10.46)


predstavlja zbir dve prigušene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jednog kraja se ne prenose na drugi, pa se rešenje svodi na oblik s dve integracione konstante: − ky w = e ( C1 cos ky + C2 sin ky ) . .......................................................... (10.47)

Sl. 352. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake sa Sl. 352, rešenje se može napisati u obliku: − k ⋅d ⋅ cos ( k ⋅ dn + w = C ⋅e ψ ) , ............................................................ (10.48) n

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i karakterističnih pomeranja su date na Sl. 353.


Za delovanje samo horizontalne sile X H na konturi, integracione konstante su: 2

C=

2 ⋅ a ⋅ k

E ⋅ h

⋅ X H ,

i ψ = 0 , ............................................................... (10.49)

dok je za delovanje samo momenta savijanja X M: 2

C=

2

4 ⋅ a ⋅ k

2 ⋅ E ⋅ h

⋅ X M ,

ψ =

π 4

. .............................................................. (10.50)

Puno uklještenje cilindričnog zida u temelj (Sl. 354a) rezultira većim poremećajnim momentima M y i manjim aksijalnim silama N φ u odnosu na slučaj elastičnog uklještenja dna cilindra (Sl. 354b).

Sl. 354. Puno i elastično uklještenje dna cilindričnog zida 285


Sl. 355. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonačkim elementima

Rotaciono simetrične cilindrične ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzionišu i armiraju na centrični pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su opterećeni na složeno savijanje (momenti M y i aksijalne sile N y) . Zatežuće prstenaste sile N φ se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravilu, postavlja sa unutrašnje strane, budući da ne prihvata momente savijanja. U vertikalnom pravcu, krak unutrašnjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne armature kao spoljašnja. Na Sl. 355 prikazan je detalj armiranja cilindra za slučaj punog i elastičnog uklještenja. 10.3. LJUSKASTI I KROVOVI Tanke ljuske se danas uspešno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona, kod hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omogućava značajno smanjenje težine. Mogu biti prizmatične (cilindrične), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti ili naborane konstrukcije. 10.3.1. PRIZMATIČNE (CILINDR (CILINDRIČNE) IČNE) KROVNE LJUSKE Prizmatičnim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po dvema identičnim voñicama, najčešće u obliku elipse, parabole ili kružnice. Gaussova krivina ovih ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadržale oblik pod opterećenjem, moraju završavati krutim dijafragmama (Sl. 356a). Kako su, iz uslova na konturi, meridijalne sile N φ jednake nuli na podužnim ivicama, to se opterećenje ljuske može prenositi samo savijanjem.

Sl. 356. Elementi prizmatične krovne konstrukcije i membranske presečne sile

286


Sl. 357. Poprečni i podužni presek kroz prizmatičnu ljuskastu krovnu konstrukciju

U podužnom pravcu, grubo, ljuska se ponaša kao gredni element raspona l 1, a savojna krutost ovakve „grede“ se uvećava projektovanjem ivičnih elemenata (Sl. 356, Sl. 357). Ovakve ljuske se najčešće projektuju kao višetalasne, reñanjem jedne uz drugu na način da dve susedne imaju zajednički ivilni element. Kod srednjih ivičnih elemenata ovo rezultira poništavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila N φ. Kod srednjih ljuski je, ovim, savijanje u poprečnom pravcu značajno redukovano, a u podužnom pravcu raspodela normalnih sila N x približno odgovara onoj kod grednih elemenata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju složeniji (momentni) proračunski tretman u oba pravca. Alternativa je dodatno ukrućenje krajnjih ljuski poprečnim dijafragmama u cilju minimiziranja poprečnih deformacija. Na Sl. 358, za jednorasponsku ljusku, prikazan je uticaj poprečnog ukrućenja na deformaciju ljuske.

Sl. 358. Deformacija ljuske, opterećene sopstvenom težinom, bez i sa poprečnim ukrućenjem

I u podužnom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao višerasponske. Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika većeg dela površine ljuske (bar kad je o opterećenjima od sopstvene težine ili snega reč), na spoju ljuske sa dijafragmama i ivičnim elementima ono je neminovno narušeno i, na ovim mestima, javlja ju se poremećajni uticaji. Njihovo proračunsko odreñivanje je moguće samo korišćenjem klasične momentne teorije ljusaka ili, danas je to uobičajena praksa, primenom softvera baziranih na metodi konačnih elemenata. Ljuske kod kojih je odnos raspona l 2 prema l 1 veći od 1 (redovno izmeñu 3 i 4) nazivaju se dugim . Njihov rad u podužnom pravcu je blizak grednom elementu raspona l 1 i poprečnog preseka koji formiraju ljuska i ivični elementi. Raspon dugih ljuski u podužnom pravcu je uobičajeno izmeñu 20 i 30m. Strela svoda, f , zajedno sa visinom ivičnog elementa, usvaja se većom od desetine podužnog i šestine poprečnog raspona. Ivični elementi (Sl. 359; date su i uobičajene dimenzije) mogu biti projek287


tovani različitih oblika, zavisno od intenziteta pojedinih uticaja, te potrebe prijema horizontalnih i/ili vertikalnih opterećenja s ljuske.

Sl. 359. Mogući oblici poprečnog preseka ivičnih elemenata

Sl. 360. Dijafragme i ivični elementi višetalasnih ljuski

Oslonačke dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosači, rešetkasti, lučni (sa zategom) ili okvirni. Na Sl. 360 prikazani su neki oblici oslonačkih dijafragmi i poprečni preseci ivičnih elemenata višetalasnih ljuski. Približni proračun dugih ljuski, za srednja polja višetalasnih dispozicija, može odgovarati proračunu grednih elemenata čiji poprečni presek formiraju preseci ljuske i ivičnih elemenata. Položaj neutralne linije odreñuje se za ovako pretpostavljeni homogen presek. Dodatna aproksimacija može biti pretpostavka linearne raspodele normalnih napona po visini preseka, kako je na Sl. 361 prikazano za presek ljuske bez ivičnih elemenata.

Sl. 361. Aproksimacija raspodele normalnih i smičućih napona po visini preseka ljuske

Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i horizontalno i vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne može biti efikasno primenjena. Presek dugih ljuski se dimenzioniše prema dijagramu normalnih napona σ x , glavnih kosih napona po vrednosti jednakih smičućim τ xφ i napona od poremećajnih momenata savijanja. Zatežuće normalne napone u celini prihvata armatura, čija se potrebna površina odreñuje iz rezultantne sile zatezanja. Za kružni cilindar Sl. 361, biće: Z u =

288

2 ⋅ r ⋅ h ⋅ σ xg

y g

⋅  r ⋅ sin α 0 − α 0 ⋅ r − y g



(

) . .......................................... (10.51)


Smičući naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se odreñuju iz globalne smičuće sile, T u, na poznat način, usvajajući za širinu preseka dvostruku debljinu ljuske (S – statički moment površine preseka iznad težišta): τ x

=

Tu ⋅ S I ⋅ 2 ⋅ h

. ................................................................................... (10.52)

Na dijafragme se opterećenje s ljuske prenosi preko sila S x , koje tangiraju srednju površ ljuske (Sl. 362), a odreñuju se iz smičućih napona u ljusci na osloncu.

Sl. 362. Opterećenje dijafragme

Uz ovo, dijafragme su, naravno, opterećene i sopstvenom težinom. Podužna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentriše u dno ivičnog elementa (na maksimalnom kraku) i, načelno, njena količina opada od sredine raspona ka osloncima (Sl. 363).

Sl. 363. Armiranje preseka ivičnog elementa

Ljuska se armira mrežom, u podužnom i poprečnom pravcu, po celoj površini, a ljuske debljine veće od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivične elemente i uz dijafragme, potreba za armaturom se odreñuje i na osnovu intenziteta poremećajnih uticaja, kada je ljuska opterećena na savijanje sa aksijalnom silom. Kratke ljuske su one sa podužnim rasponom manjim od poprečnog. Podužni rasponi Kratke su uobičajeno u granicama izmeñu 5 i 12m, poprečni idu i do 30m, strela luka se usvaja većom od sedmine poprečnog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u granicama izmeñu 6 i 12cm. Ovakve ljuske prostorno prenose opterećenje i aproksimacije komentarisane kod dugih ljuski ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smičućih napona koji tangiraju srednju površ prenosi opterećenje na dijafragme (samo 4-5% opterećenja ljuske se na dijafragme prenese preko poprečnih poremećajnih sila). Približno, zategnuta armatura u ivičnim elementima može se odrediti usvajanjem kraka unutrašnjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka: 289


Z u

Aa =

σv

=

2

M u z ⋅ σ v

=

q ⋅ l2 ⋅ l1 8⋅ 2

1

⋅

0.55 ⋅ ( f + a ) ⋅ σ v

2

=

q ⋅ l2 ⋅ l1

9 ⋅ σ v ⋅ ( f + a )

. ................ (10.53)

Sl. 364. Kratka prizmatična ljuska

Ljuska se armira lakom mrežom (na primer prečnikom Ø6 na razmaku 12 ili 15cm), a maksimalni razmak žica ne sme biti veći od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad dijafragmi i na spoju ljuske sa ivičnim elementima postavlja se dopunska armatura za prijem momenata savijanja. Dijafragma kratkih ljuski opterećena je smičućim silama koje deluju tangencijalno na srednju površ ljuske. U tom, poprečnom, prqavcu, ljuska je pritiskujuće napregnuta, a za maksimalnu silu pritiska dovoljno je tačno odrediti: Nφ = − q ⋅ r , .................................................................................... (10.54) gde je q ukupno opterećenje, a r poluprečnik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila pritiska za krajnju i za srednju dijafragmu (podužni pravac) iznosi: N =

1 2

⋅ q ⋅ r ⋅ l1 , N = q ⋅ r ⋅ l1 .

............................................................... (10.55)

Kako ivični elementi ne mogu primiti pritiskujuće sile poprečnog pravca, Nφ, to se ove postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Zakon ove promene se može aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 365): N x = N x =

2 ⋅ q ⋅ r ⋅ l1 2

l2

4 ⋅ q ⋅ r ⋅ l1 2

l2

⋅ ( l2 − x ) ⋅ x .

za krajnju, i .............................................. (10.56)

⋅ ( l2 − x ) ⋅ x ,

za srednju dijafragmu. ............................ (10.57)

Sl. 365. Kvadratna parabola

Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rasom tangencijalnih sila: 290


T x =

dN x

=

4 ⋅ q ⋅ r ⋅ l1

dx

2

l2

⋅ ( l2 − 2 ⋅ x ) .

........................................................ (10.58)

Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, biće: T max =

2 ⋅ q ⋅ r ⋅ l1

l2

, i T max

=

4 ⋅ q ⋅ r ⋅ l1

l2

. ................................................... (10.59)

Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za opterećenje dijafragme su slični, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu: T max =

π ⋅ q ⋅ r ⋅ l1 2 ⋅ l2

, i T max

=

π ⋅ q ⋅ r ⋅ l1 l2

. .................................................. (10.60)

10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTI Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojačane rebrima u vidu rebrastih kupola . Rebra se pružaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. Pri dnu kupole, rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena, koji prima razupiruće sile meridijalnih rebara. Često se izvode od montažnih elemenata.

Sl. 366. Rebraste kupole

Proračun rebrastih kupola je relativno komplikovan već i za rotaciono simetrično opterećenje, zbog visokog stepena statičke neodreñenosti. Plitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili kružnice po ljuske dvema voñicama koje su takoñe u obliku parabole, elipse ili kružnice. Mogu se zamisliti kao isečak kupole nad ne-kružnom (pravougaonom, trougaonom...) osnovom. Poput ostalih ljuski s pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom krutošću, a opterećenje prenose u dva smera. Otud, njihova primena je karakteristična za velike raspone i površine i u tom smislu su u prednosti nad prizmatičnim (izmeñu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se nazivaju one ljuske kod kojih odnos strele prema kraćem rasponu nije veći od 1/5. Mogu biti jednotalasne i višetalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podužnom pravcu najčešće naležu na dijafragme, a u poprečnom na ivične elemente (Sl. 367a). Krajevi ljuske, uz spoj sa oslonačkim elementima, se postepeno zadebljavaju do

291


debljine 2 do 2.5 puta veće od one u središnjem delu, na širini od približno petnaestine do desetine odgovarajućeg raspona.

Sl. 367. Plitke ljuske

I eksperimentalna ispitivanja potvrñuju membranski rad središnjeg dela ljuske – središnji deo je izložen dvoosnom aksijalnom pritisku, što implicira konstruktivno armiranje. Podužne zatežuće sile, kao i momenti savijanja u poprečnom pravcu, se javljaju u zoni ivičnih elemenata. Smičuće sile su koncentrisane u uglovima ljuske i prihvataju se ivičnim ojačanjima.

Sl. 368. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske opterećene sopstvenom težinom

Plitke ljuske se mogu proračunavati samo približno po teoriji ljuski, ali se danas uspešno proračunavaju primenom numeričkih metoda (MKE). Problematičnost egzaktnog proračunskog tretmana posebno je izražena u aspektu kontrole izbočavanja, zbog čega ovde valja biti konzervativan. Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mrežom koja se postavlja po celoj površini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko. Konoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voñicama, od kojih ljuske je prva prava, a druga je kriva (generalno, i prava je specijalni slučaj krive). Kako kriva voñica može biti različitih oblika, to je i velik broj mogućnosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje površina najpogodnije su one konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiperbolični paraboloid, Sl. 369a) ili parabola (konoid, Sl. 369b).

Sl. 369. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolični paraboloid i konoid

292


Hiperbolični paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je konveksan, drugi konkavan), što je čini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu, ali se oplata može formirati od pravih dasaka, što značajno pojednostavljuje izvoñenje (Sl. 370).

Sl. 370. Konkavni i konveksni pravac hiperboličnog paraboloida i prave izvodnice

Može biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru niže uglove, potrebno je izmeñu stubova projektovati zategu (Sl. 371b). Ako su poduprti viši uglovi, poželjno je projektovati razupirač, kako je pokazano na Sl. 371a.

Sl. 371. Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stuba

Krovnu konstrukciju je moguće formirati i kombinovanjem više hiperboličnih paraboloida (Sl. 372).

Sl. 372. Kombinovani krovovi od hiperboličnih paraboloida

Vertikalno opterećen (ravnomerno po osnovi) hiperbolični paraboloid se može jednostavno proračunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak nuli). Jednačina srednje površi je (Sl. 373): z = C ⋅ x ⋅ y ...................................................................................... (10.61)

Sl. 373. Proračunski model hiperboličnog paraboloida 293


Smičuće sile u presecima paralelnim s ivicama se odreñuju prema: N xy = Z ( 2 ⋅ C ) = G ( 2 ⋅ C ) , za Z = G , .............................................. (10.62) a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su: N x = N y = 0 , N1 = − N 2 = N xy . ........................................................... (10.63) Na ivicama ljuske smičuće sile moraju preuzeti ivični elementi ili dijafragme. Hiperbolični paraboloidi su zbog svoje statičke i konstrukcijske jednostavnosti, te zbog vizuelnog efekta, vrlo provlačne za primenu. Meñutim, valja biti oprezan kad su njihove mane u pitanju (negativna Gauss-ova krivina čini ove ljuske vrlo osetljivim na promenljiva lokalna i na koncentrisana opterećenja, kao i na promenne oblika usled, na primer, izduženja zatege). Armiraju se ortogonalnom mrežom u jednom ili dva reda, a izmeñu njih se postavlja kosa armatura za prihvat smičućih sila.

Sl. 374. Isečak konoidne ljuske kao šed-krov

Konoid je racionalna ljuska pretežno naprezana membranskim uticajima, a pogodna za šed krovne konstrukcije (Sl. 374). U donjem delu konoida se javljaju zatežuće sile i potreba za zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u području pritiska, a u zategnutoj zoni se može armirati jednostrukom mrežom. Izmeñu dva sloja armature, u uglovima ploče treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glavnih kosih napona zatezanja. 10.3.3. NABORANE KROVNE KONSTRUKCIJE Šatoraste ko konstrukcije nstrukcije su nstrukcije poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih trapeznih i trougaonih ploča okrenutih vrhom nagore, najčešće oslonjene u uglovima na stubove (Sl. 375).

Sl. 375. Šatorasti krovovi

Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome minimalno armirane.

294

Ljuske

Recommend Documents