INTRODUÇÃO À ESTRUTURA
autor do srcinal
MARCO ANTONIO MILAZZO DE ALMEIDA
1ª edição SESES rio de janeiro
2016
Conselho editorial
marco antonio milazzo de almeida
Autor do srcinal Projeto editorial
regiane burger, ivo girotto, roberto paes, gladis linhares
roberto paes
Coordenação de produção Projeto gráfico Diagramação
gladis linhares
paulo vitor bastos bfs media
Revisão linguística
bfs media
Revisão de conteúdo
ivo girotto
Imagem de capa cafe racer | shutterstock.com
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016.
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário Prefácio
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1. O Edifício e a Sua Estrutura
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1.1 O que são Sistemas Estruturais? 1.2 O Caminho das Forças 1.3 A Estrutura e a Forma 1.4 A Estrutura da Natureza 1.4.1 A Libélula 1.4.2 A Árvore 1.4.3 A Palmeira 1.4.4 A Teia 1.4.5 Bolhas e Colmeias
2. História da Estrutura das Edificações 2.1 Pré-História 2.2 Antiguidade 2.3 Arquitetura Grega e Romana 2.4 Idade Média 2.5 Renascimento 2.6 Arquitetura Barroca 2.7 Arquitetura do Século XIX 2.8 Modernismo 2.9 Arquitetura Contemporânea 2.10 Cronologia Arquitetônica Estrutural
11 13 15 17 17 19 21 24 25
33 35 37 39 42 46 47 48 54 55 57
3. Conceitos de Física 3.1 3.2 3.3 3.4
Vetores – Direção, Sentido e Intensidade Forças e Cargas Tensões Materiais Plásticos e Elásticos
4. Condições de Equilíbrio das Estruturas
63 65 71 76 79
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4.1 Superestrutura e Subestrutura 4.2 Condições básicas de uma estrutura 4.3 Vínculos e Conexões 4.4 Equilíbrio Estático Interno 4.4.1 Tração Simples 4.4.2 Compressão Simples 4.4.3 Cortante 4.4.4 Flexão
85 85 86 94 95 95 96 97
4.4.5 Torção 4.5 Considerações Gerais Sobre Esforços
99 102
5. Estrutura e Materiais 5.1 Relação entre os Esforços e os Materiais Construtivos 5.2 Índice de Eficiência 5.3 Pedra 5.4 Concreto 5.5 Aço 5.5.1 Tipos de Proteção do Aço 5.6 Madeira 5.7 Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centroide 5.8 Momento de Inércia
109 111 113 113 114 118 120 122 125 129
6. Padrões Estruturais e Modulação 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Padrões Estruturais e a Forma Modulações simples Modulações modificadoras Adequação de modulações a espaços de grandes vãos Espaços irregulares
6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6 6.5.7 6.5.8
Espaços irregulares com diferentes geometrias Espaços irregulares com diferentes orientações Espaços muito irregulares Formatos irregulares com muitas adições e subtrações Conexão entre modulação radial e modulação retangular Modulações diferenciadas Modulações Paralelas Deslocadas Encontros de Modulações em Esquinas
7. O Sistema de Pilares, Vigas e Lajes 7.1 O sistema de pilares, vigas e lajes 7.1.1 Concreto 7.1.2 Aço 7.1.3 Madeira 7.2 Lajes 7.3 Vigas 7.4 Pilares 7.4.1 Plantas de Forma 7.5 Distribuição de cargas
8. Reações nos Apoios 8.1 Equilíbrio Estático 8.2 Diagrama de Corpo Livre 8.2.1 Momento de uma força
133 135 143 144 147 148 148 151 152 153 154 157 159 161
173 175 175 176 177 177 178 179 179 184
193 195 195 198
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8.3 Introdução ao cálculo de reações em apoios de estruturas isostáticas 8.4 Cálculo de reações nos apoios de vigas biapoiadas isostáticas 8.4.1 Cargas concentradas 8.4.2 Cargas distribuídas 8.4.3 Momentos 8.5 Cálculo de reações nos apoios de vigas em balanço isostáticas
203 210 210 211 212 212
8.5.1 Cargas concentradas 8.5.2 Cargas distribuídas 8.6 Momentos 8.7 Cálculo de reações nos apoios de pórticos isostáticos 8.7.1 Cargas concentradas 8.7.2 Cargas distribuídas 8.7.3 Momentos
213 215 216 217 218 219 220
Prefácio Prezados(as) alunos(as), Dentre os conhecimentos necessários para se produzir ARQUITETURA, precisamos aprender como sustentar as formas e os espaços projetados. A estrutura de uma edificação tem essa função. Um sistema estrutural é um conjunto de elementos que trabalham em conjunto para vencer as forças da natureza e garantir a sustentação de uma edificação. Dentro desse conceito, conheceremos alguns princípios que nortearam arquitetos, engenheiros e construtores a tomar decisões arquitetônicas associadas a soluções estruturais. Veremos que as primeiras construções feitas pelo homem foram inspiradas nas construções encontradas na natureza. Estudando a História das Civilizações, podemos entender como a arquitetura e as estruturas evoluíram conjuntamente, bem como os motivos que levaram ao surgimento de novos materiais e tecnologias. Entenderemos como as estruturas se equilibram e como os elementos resistem aos esforços a que estão submetidos. Também relacionaremos os materiais e as tecnologias construtivas às decisões arquitetônicas e estruturais. Bons estudos!
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1 O Edifício e a Sua Estrutura
Os objetos que existem em nosso planeta estão constantemente sob a ação de diferentes elementos da natureza, como a força da gravidade, os ventos e o clima. Por este motivo, cada objeto assume uma forma diferente, garantindo a sua existência e sua funcionalidade. A estrutura é o que sustenta estes objetos: carros, máquinas, pessoas, edificações. Todos têm sua estrutura, e sem ela a forma destes objetos não pode existir, portanto a forma e a estrutura são intimamente ligadas. Precisamos entender como funcionam os diversos sistemas estruturais existentes e quando cada um deles deve ser utilizado, para conseguir decidir qual é o mais adequado para ser aplicado em nosso projeto arquitetônico.
OBJETIVOS •
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Definir o conceito de sistemas estruturais; Identificar o caminho que as forças percorrem pelos elementos estruturais; Relacionar a forma dos objetos e das edificações com a sua estrutura de sustentação; Analisar o funcionamento da natureza e aplicá-lo em projetos de arquitetura.
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1.1 O que são Sistemas Estruturais? Você já parou para pensar como uma árvore, um prédio ou um ser humano conseguem ficar de pé? Todos os objetos estão submetidos diariamente a diversas forças, e a principal delas é a gravidade, que confere peso aos objetos. Segundo Isaac Newton, os corpos exercem uma atração mútua entre si, o que faz com que os objetos se movimentem em direção a terra e vice-versa (sim, a terra também se move em direção aos objetos!). O objetivo da estrutura de um corpo é dar resistência contra as forças existentes na natureza, assim garantindo a estabilidade da sua forma. Este conceito não só é aplicável para as edificações, como também para tudo o que existe na natureza. É possível analisar como funciona a estrutura de um ser vivo e construir um projeto arquitetônico que funcione da mesma forma, pois ambos precisam ser sustentados por sistemas estruturais. Sistemas estruturais são elementos que trabalham em conjunto para sustentar algum objeto.
Figura 1.1 – A árvore tem uma estrutura ramificada para suportar uma quantidade grande de folhas, que vai se concentrando na base. Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Kucuk_Camlica_06465.jpg
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Figura 1.2 – Os primatas têm ossos que, trabalhando em conjunto, formam um sistema estrutural para suportar o próprio peso e realizar atividades físicas. Fonte: http://commons. wikimedia.org/wiki/Skeleton#/media/File:Primatenskelett-drawing.jpg
CONEXÃO http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&uact=8&ved=0CD8QFjAI&url=http%3A%2F%2Fashui.com%2Fmag%2Fdownloads%2Fdoc_download%2F74-the-evolution-of-designs.html&ei=JSczVc2fBaTdsASUjICQAQ&usg=AFQjCNFEr7zX1M44W CipvUIdNMlNfAVEYg&sig2=z7Qx5bzyX GNu_N6TJqPH9Q&bvm=bv.91071109,d.cWc
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1.2 O Caminho das Forças A principal força que deve ser vencida pelas estruturas é a da gravidade, multiplicada pela massa dos objetos, o que se chama de PESO. É uma força vertical que atua em direção ao centro da Terra. O sistema estrutural de um objeto deve ter a resistência necessária para suportar o seu PESO. O PESO percorre os elementos que compõem o sistema estrutural até atingir o chão. Um sistema estrutural é mais eficiente quanto menor for a trajetória que as forças irão percorrer até chegar ao chão. Idealmente, a estrutura mais simples e eficiente para suportar um objeto seria construir um único bloco maciço, assim transportando verticalmente toda a sua carga para o chão.
Figura 1.3 – Peso de uma pessoa sendo transportada para o chão diretamente por um único bloco. Fonte: Marco Milazzo, adaptado do Yopanan.
Entretanto, esse tipo de estrutura não atende a qualquer situação, pois não permite que as pessoas passem por baixo dele, ou mesmo que possa ser utilizado o seu espaço interior. Poderíamos então propor outras soluções que também possam transportar a carga do objeto até o chão.
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A figura a seguir apresenta uma alternativa que estruturalmente é menos eficiente, pois aumenta o percurso do peso do objeto até chegar ao chão, porém abre um espaço que permite a passagem abaixo do objeto.
Figura 1.4 – Peso de uma pessoa sendo transportada para o chão por dois blocos inclinados. Fonte: Marco Milazzo, adaptado do Yopanan.
Uma terceira alternativa possível aumenta ainda mais o percurso do peso até o chão, pois o peso é desviado horizontalmente. Entretanto, esta proposta cria um espaço abaixo do objeto totalmente livre, podendo ser mais bem aproveitado.
Figura 1.5 – Peso de uma pessoa sendo transportada para o chão por um elemento horizontal e dois elementos verticais. Fonte: Marco Milazzo, adaptado do Yopanan.
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1.3 A Estrutura e a Forma A estética arquitetônica é resultado da forma, do espaço e da estrutura. Os sistemas estruturais viabilizam a forma dos objetos e das edificações. Trabalhar o sistema estrutural de uma edificação não é simplesmente calcular e dimensionar elementos nem especificar materiais e sistemas construtivos. A definição por um tipo de sistema estrutural deve estar intimamente ligada a uma ideia arquitetônica. O sistema estrutural vai influenciar e se relacionar com o conceito arquitetônico, com a composição formal e com o contexto da edificação. A estrutura pode relacionar-se com a arquitetura de três formas diferentes: ficando exposta, escondida ou destacada.
Figura 1.6 – O projeto para o Museu Guggenheim em Bilbao, na Espanha, inaugurado em 1997, foi projetado pelo arquiteto americano Frank Gehry e é um exemplo de estrutura escondida, pois a “pele” de titânio reveste toda a edificação, permitindo total liberdade da forma. Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Guggenheim_Bilbao_may2006.jpg?uselang=pt-br
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Figura 1.7 – O projeto para o Museu de Ciências em Valência, na Espanha, inaugurado em 1998, foi projetado pelos arquitetos espanhóis Santiago Calatrava e Félix Candela e é um exemplo de estrutura destacada, pois a estrutura é o ator principal, que define a forma da arquitetura e cria algo autêntico e único. Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/ Santiago_Calatrava#/media/File:Sciences_museum_of_valencia.jpg
Na prática, essa classificação permite entender como a estrutura responde às intenções arquitetônicas. Cabe ao arquiteto definir o papel que a estrutura terá em seu projeto, ou seja, a relação que haverá entre a forma e a estrutura.
CONEXÃO https://vimeo.com/2629513 https://vimeo.com/79220388 http://www.archdaily.com/422470/ad-classics-the-guggenheim-museum-bilbao-frank-gehry/ http://www.vitruvius.com.br/revistas/read/arquitextos/02.014/867 http://www.guggenheim-bilbao.es/en/the-building/the-architect/ http://www.arcspace.com/features/santiago-calatrava/city-of-arts-and-sciences/
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1.4 A Estrutura da Natureza Os objetos encontrados na natureza têm formas e estruturas intimamente ligadas e eficientes e, por esse motivo, estudar essas formas nos ajuda a criar estruturas para edificações que funcionem de forma similar. Podemos citar diversos exemplos de relações.
CONEXÃO :http://pt.calameo.com/read/0016547619b53413dc1fe http://www.som.com/FILE/20373/nature-structure.pdf
1.4.1 A Libélula A asa de uma libélula é composta por uma malha muito densa de “veias” que vão se concentrando em direção à base da asa. Quanto maior a densidade, menor a espessura de cada veia. Na base da asa, a veia é maior, pois precisa suportar o peso de toda a asa. Este é o princípio do caminho das forças, que vai transportando o peso da asa por toda a malha de veias. Muitos animais têm estruturas similares às da asa das libélulas.
Figura 1.8 – Fotos e desenho de uma libélula – Próximo ao tronco, menor densidade e maior espessura; distante do tronco, maior densidade e menor espessura. Fonte: http://commons. wikimedia.org/wiki/File:Libellula_quadrimaculata_qtl2.jpg e http://en.wikipedia.org/wiki/ Dragonfly#/media/File:Dragonfly.svg
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=5dnWjpdJR04 http://www.oasys-software.com/casestudies/casestudy/the_architecture_ of_the_dragonfly_wing
O mesmo princípio da distribuição de forças das asas de uma libélula foi utilizado pelo engenheiro italiano Pier Luigi Nervi em alguns projetos, entre eles a Fábrica Lanificio Gatti, construída em 1953, em Roma, na Itália. A cobertura da fábrica é sustentada por nervuras que vão se concentrando e aumentando de espessura em direção às colunas da edificação. É nas colunas que o PESO da cobertura se concentra e por onde irão seguir até o chão.
Figura 1.9 – Engenheiro Pier Luigi Nervi. Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Pier_Luigi_ Nervi#/media/File:PNervi1.jpg
Figura 1.10 – Foto interna do Lanificio Gatti e planta de teto refletido mostrando a sua estrutura. Fonte: http://onsomething.tumblr.com/post/57650590623 e https://s-mediacache-ak0.pinimg.com/srcinals/4e/0f/62/4e0f62a144e01f37a67a7e240a8b5c3d.jpg
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CONEXÃO http://aec-analisiecalcolo.it/pubblicazioni/aec/59/150/ https://www.youtube.com/watch?v=GGUw5v6tsIY&list=PLQ8x1YyBhZPi2JBJvIdYz9-HeCUJII-At&index=1 http://www.costruirecorrettamente.org/site/approfondimento/video.php?doc_id=102
1.4.2 A Árvore Na estrutura das árvores, as folhas são presas em uma densa malha de galhos finos que vão se juntando, concentrando-se em galhos maiores, até chegar ao tronco principal, bem mais espesso, pois este precisa suportar todo o peso de todos os galhos menores e das folhas. Também é um exemplo do caminho que as forças percorrem até chegar ao chão. Podemos comparar as folhas das árvores às telhas da cobertura de uma edificação.
Figura 1.11 – Estrutura de uma árvore. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/6/63/Old_Oak_Tree_-_geograph.org.uk_-_1634924.jpg?uselang=pt-br
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O arquiteto Frei Otto foi pioneiro em criar sistemas estruturais baseados em elementos da natureza. Apesar de as estruturas imitando árvores serem muito antigas, datadas do período gótico e também famosas pelas obras do arquiteto Antonio Gaudi, o sistema idealizado por Otto, utilizando estrutura metálica, possibilitou a construção de grandes coberturas com poucas colunas e usando pouco material.
Figura 1.12 – Frei Otto e sua maquete para a estrutura em forma de árvore. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Frei_Otto_ready_1.jpg e http://architecture-blog.pidgeondigital.com/wp-content/uploads/2013/01/Otto-821308-130130.jpg
O terminal 3 de passageiros do aeroporto de Stuttgart, na Alemanha, utiliza o sistema inventado por Frei Otto e foi projetado pelo escritório de arquitetura GMP. Inaugurado em 1991, o sistema estrutural proporcionou uma grande área livre no terminal e, ao mesmo tempo, a ramificação da estrutura consegue servir de apoio para as placas da cobertura.
Figura 1.13 – Esquema dosistema estrutural efoto dointerior doAeroporto de Stuttgart,na Alemanha. Fonte: http://www.gmp-architekten.com/typo3temp/pics/T3_JS4-18_01_1098da6093.jpg e http://www.gmp-architekten.c om/typo3temp/pics/T3_JS4-15_01_5f710e79d6.jpg
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CONEXÃO http://www.uncubemagazine.com/sixcms/detail.php?id=15508949#!/page1 http://www.archdaily.com/tag/frei-otto/ http://www.freiotto.com/ http://www.uni-stuttgart.de/impulse/imp/start.php?id=6&lang=en https://www.youtube.com/watch?v=Z0mtFMoseUk#t=162 https://smiadotexperimentaldotcom.files.wordpress.com/2013/11/tree-like-structures.pdf
1.4.3 A Palmeira As folhas de algumas plantas têm formas que aumentam a sua resistência. As folhas das palmeiras, ao longo de seu comprimento, mantêm a mesma quantidade de material; porém, próximo dos galhos, as folhas são dobradas, ganhando mais resistência, e, nas pontas das folhas, elas ficam esticadas, diminuindo o seu peso e aumentando a área de contato com o sol. C B A
C A
B
Corte A–A
Corte B–B
Corte C–C
Figura 1.14 – Desenho e foto de uma folha de palmeira com cortes ao longo do seu comprimento. Fonte: Marco Milazzo e https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/7/7e/2007-02-28_%2857%29_Palm_leaf%2C_Palmblatt.JPG
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Podemos fazer uma analogia da estrutura da folha das palmeiras com a cobertura de concreto projetada em 1956 pelo arquiteto espanhol Felix Candela na Cidade do México.
Figura 1.15 – Cobertura de concreto armado projetada por Felix Candela. Felix Candela. Fonte: http://structurae.net/photos/87122-imss-band-shell e http://munich.cervantes.es/ FichasCultura/Ficha70431_25_1.htm
CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=X7ox2496urk https://www.youtube.com/watch?v=K1YsNhk3ktQ http://anengineersaspect.blogspot.com.br/2009/06/felix-candela-and-restaurant-los.html
Podemos ver que a superfície de concreto é plana na borda e vai se dobrando em direção ao seu apoio, aumentando a sua resistência no local onde os esforços são maiores e mantendo a área maior onde é necessário proteger as pessoas da chuva e do sol. É fácil verificar como a forma influencia na resistência das superfícies. Segurando uma folha lisa de papel, percebemos que ela não é capaz de segurar o seu próprio peso. Quando criamos dobraduras com a mesma folha, ela passa a adquirir rigidez. Um material aparentemente frágil pode adquirir muita resistência se utilizado da forma correta.
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Figura 1.16 – a) Folha lisa de papel, b) folha sendo segurada, formando uma dobradura em uma de suas arestas. Fonte: Marco Milazzo.
O arquiteto Affonso Eduardo Reidy também trabalhou em alguns de seus projetos com estruturas com cascas de concreto dobradas, como no coreto construído no Parque do Flamengo, no Rio de Janeiro.
Figura 1.17 – Coreto do Parque do Flamengo e foto de Eduardo Affonso Reidy. Fonte: Foto tirada por Marco Milazzo e http://www.urbanamente.net/blog/2009/11/22/ affonso-eduardo-reidy/
A cobertura formada por quatro superfícies triangulares é fina nas bordas da cobertura do coreto e vai se dobrando quando se aproxima da coluna central, que suporta toda a cobertura. As dobras da cobertura são feitas para o lado de cima e só podem ser percebidas pelos rasgos entre as superfícies.
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=Q-aYpHNgFgw http://www.urbanamente.net/blog/2009/11/22/affonso-eduardo-reidy/ http://www.shadesofgreendesign.com.au/biomimicry-structural-efficiency-structural-artists/
1.4.4 A Teia As aranhas têm a capacidade de produzir fios, que irão ajudá-las a construir uma armadilha para prender suas futuras refeições. Para construir uma teia, inicialmente são lançados alguns fios radialmente, que depois serão preenchidos por fios circulares, montando uma malha. Apesar de os fios criados pelas aranhas serem muito finos e frágeis, trabalhando em conjunto aumenta muito sua resistência, conseguem vencer grandes distâncias e pesar muito pouco. Por serem flexíveis, as teias balançam, amortecendo a força dos ventos e dos próprios insetos que ficam presos a ela, sem arrebentar.
Figura 1.18 – Teia de Aranha. Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/ Category:Spider_webs#/media/File:%28180%29_Spider_web.jpg
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As chamadas “estruturas tensionadas” são um exemplo de construção feita pelo homem, similar à geometria das teias das aranhas. Estas estruturas são compostas normalmente de cabos de aço esticados em diferentes direções, onde são apoiados tecidos plásticos de alta resistência. Os cabos e os tecidos são flexíveis e conseguem vencer grandes vãos com o uso de pouco material.
Figura 1.19 – Estrutura de lonas tensionadas do Sidney Myer Music Bowl, Centro de Artes de Melbourne, Austrália, Arquiteto Barry Pattern, 1958. Fonte: https://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/3/36/Myer_music_bowl.jpg
1.4.5 Bolhas e Colmeias A forma das bolhas de sabão é o resultado de tensões superficiais que agem sobre películas formadas por água com detergente. Forças internas e externas criam a estabilidade da superfície. Por serem muito flexíveis, as bolhas adquirem uma forma estruturalmente muito eficiente, que tem a menor relação de área e volume, que são as formas esféricas ou semiesféricas. Quando duas bolhas se tocam, elas criam uma superfície plana entre elas.
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Figura 1.20 – Bolhas de sabão. Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ f0/Bhutan%2C_%22Prayer_Bubbles%22_-_Flickr_-_babasteve.jpg?uselang=it
Portanto, a forma das bolhas é aplicada em diversos tipos de estrutura de edificações, pois torna a construção eficiente e econômica. Em 2003, foi realizado um concurso de arquitetura para escolher o projeto para o Centro Nacional de Esportes Aquáticos na China, para sediar os eventos das Olimpíadas de 2008. O projeto do chamado “Water Cube” – Cubo de Água – foi desenvolvido pelo escritório PTW Arquitetos da Austrália e pela Arup Engenharia Internacional.
Figura 1.21 – Centro Nacional de Esportes Aquáticos – Water Cube. Fonte: http:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/Lascar_The_Beijing_National_Aquatics_ Center_%28Water_Cube%29_%284475631690%29.jpg
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A configuração da fachada seguindo a forma de bolhas, além de fazer referência ao conceito da água e dos esportes aquáticos, criou uma estrutura leve e eficiente para o fechamento da edificação. As bolhas são feitas de tecidos plásticos semitransparentes infláveis, sustentados por uma estrutura leve de perfis de alumínio.
CONEXÃO https://vimeo.com/31704203 https://www.youtube.com/watch?v=x7nxl__qOJ4 http://architectureau.com/articles/practice-23/ http://www.l-a-v-a.net/projects/beijing-watercube/
O arquiteto inglês Nicholas Grimshaw projetou oito grandes domos geodésicos interligados, chamado Eden Project, um conjunto de ambientes artificialmente climatizados para abrigar um grande jardim botânico, simulando climas tropicais e temperados em Cornwall, na Inglaterra. Um domo é uma estrutura esférica que tem a mesma eficiência estrutural de uma bolha de sabão. Cada domo é formado por uma malha geodésica: hexágonos com fechamento em tecido plástico que também são muito eficientes.
Figura 1.22 – Eden Project (2001) e Foto de Nicholas Grimshaw. Fonte: http://grimshawarchitects.com/media/cache/b4/ed/b4ed068fbe75ef9553f5468772f61b83.jpg e http:// www.e-architect.co.uk/images/jpgs/architects/nicholas_grimshaw_e040210_bj.jpg
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=1TeCDPOBNJY http://grimshaw-architects.com/project/the-eden-project/ http://grimshaw-architects.com/project/the-eden-project-the-biomes/ http://www.edenproject.com/
Da mesma forma que as bolhas têm a melhor relação de área e volume, o círculo é a forma geométrica que tem a melhor relação de área e circunferência, sendo a forma mais eficiente para formar uma malha. No entanto, uma malha de círculos deixa espaços vazios entre eles. O hexágono é a forma que mais se aproxima do círculo, sem deixar espaços vazios.
Figura 1.23 – Malha circular com espaços entre os círculos e malha hexagonal sem espaço entre os hexágonos. Fonte: Marco Milazzo
As únicas formas possíveis de serem agrupadas formando malhas são o hexágono, o triângulo e o quadrado. Por este motivo, a estrutura das colmeias é formada por hexágonos, para criar uma estrutura rígida, com aproveitamento de espaço e de fácil construção pelas abelhas. Por este motivo, muitas construções são formadas por “gomos” hexagonais, como no projeto do Eden Project, de Nicholas Grimshaw.
Figura 1.24 – Colmeia. Fonte: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Apis_ mellifera%23Beehive&uselang=pt#/media/File:Apis_mellifera_carnica_comb.jpg
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Podemos verificar que, nos nós formados pelo encontro dos hexágonos, há uma quantidade maior de material, pois estes pontos são importantes para deixar a estrutura mais estável e resistente.
Figura 1.25 – Fachada do prédio Mike & Ophelia Lazaridis Quantum-Nano Centre. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/University_of_Waterloo_ Quantum-Nano_Center.jpg
A estrutura da edificação do Centro de Estudos em computação quântica da Universidade de Waterloo, no Canadá, é formada por uma malha estrutural hexagonal, que fica aparente pelo exterior da edificação. Construído em 2012 pelos arquitetos da KPMB Architects, o prédio tem cinco pavimentos, e a estrutura externa permitiu que internamente não houvesse nenhuma coluna adicional, deixando todos os pavimentos com vãos livres. Podemos verificar, pela foto, que os nós da malha são reforçados e deles surgem os elementos estruturais que atravessam o interior da edificação, segurando os pisos dos pavimentos.
CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=oHuj9TX8ezE http://www.programmingarchitecture.com http://www.vitorlotufo.com.br/imagens/2008/11/geodesicas_cia.pdf http://www.domerama.com/calculators/3v-geodesic-dome-calculator/ https://www.youtube.com/watch?v=F5rWmGe0HBI http://www.theguardian.com/science/1999/aug/26/technology http://www.mathsinthecity.com/sites/efficiency-hexagons-bloomsbury-tour
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ATIVIDADES 01. A arquitetura pode ter uma relação com sua estrutura de três formas: escondida, aparente ou destacada. Vamos tentar determinar em qual destas três classificações cada um dos projetos a seguir se enquadra: a)
Figura 1.26 – Capela da Academia da Força Aérea, Arquiteto Walter Netsch/SOM, Colorado Springs, Estados Unidos, 1962. Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/a/ad/Air_Force_Academy_Chapel%2C_Colorado_Springs%2C_CO_04090u_ srcinal.jpg?uselang=it
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b)
Figura 1.27 – Pavilhão Heidi Weber, Arquiteto Le Corbusier, 1965, Zurique, Suiça. Fonte: http://upload.w ikimedia.org/wi kipedia/comm ons/d/d7/L e_Corbusier%2 C_haus_Heidi_ Weber.JPG?uselang=it
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REFLEXÃO Neste capítulo apresentamos alguns conceitos da relação entre arquitetura e estrutura, buscando dar ferramentas para facilitar a concepção estrutural dos projetos de arquitetura de forma qualitativa. Conhecer projetos e as ideias arquitetônicas por trás de projetos importantes, bem como identificar as soluções estruturais que foram adotadas, ajuda-nos a desenvolver as soluções para nossos próprios projetos. Vimos que as ideias podem surgir através da análise da natureza e de como ela funciona. Contudo, não devemos confundir a simples reprodução das formas da natureza com a reprodução dos seus mecanismos funcionais para aplicá-los na estrutura das construções. Algumas analogias foram apresentadas, mas existem muitas outras que podem ser encontradas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000. p. 21 a 28. CHING, Francis D. K. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010. ENGEL, Heino. Sistemas de estruturas: Barcelona: Editora Gustavo Gili. 2001
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capítulo 1
2 História da Estrutura das Edificações
A história da humanidade é construída a partir de fatos; porém, quanto mais antigo é o período relatado, mais difícil é ter certeza da sua veracidade. Se já é difícil determinar os acontecimentos da história dos seres humanos, de seus hábitos e de como viviam, mais difícil é descobrir como eram feitas suas construções. Portanto, temos muitos mistérios ainda não revelados, muitas obras que não se pode ter certeza de como foram construídas. Não trataremos nesta disciplina de detalhes da história da arquitetura, mas buscaremos analisar estruturas de construções históricas, de forma a enriquecer nosso conhecimento e entender como podem ser resolvidas as necessidades de uma construção.
OBJETIVOS Conhecer arquitetos e projetos arquitetônicos importantes da história da humanidade; Identificar os sistemas estruturais, as técnicas construtivas e os materiais construtivos de diversos períodos históricos; Relacionar a forma arquitetônica com a sua solução estrutural; Relacionar as soluções arquitetônicas e as estruturais adotadas com as necessidades de cada período histórico. •
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capítulo 2
2.1 Pré-História Os primeiros Homo sapiens viviam da caça e da coleta, eram nômades, e por este motivo não se preocupavam em desenvolver construções, abrigavam-se onde era possível, normalmente em cavernas. Durante muitos anos, acreditava-se que as primeiras construções só começaram a ser desenvolvidas quando o homem se tornou sedentário, quando aprendeu a cultivar o solo e criar animais. No entanto, recentemente, foi descoberto o templo de Gobekli Tepe, na Turquia, datado de 9.000 a.C., considerada a construção mais antiga da humanidade descoberta até o momento e anterior ao período chamado neolítico. O templo de Gobekli Tepe é construído principalmente de pedras empilhadas, característica das primeiras construções feitas pelo homem. Suas paredes são de pedra com pilares monolíticos de calcário, com cerca de 10 toneladas cada, em forma de T, com alturas variando até 3 metros, e com 2 pilares maiores no centro, provavelmente para suportar a estrutura de algum tipo de telhado.
Figura 2.1 – Templos de pedra de Gobekli Tepe (9000 a.C.). Fonte: https://upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/G%C3%B6bekli2012-15.jpg
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=eHG9URGDt6s
Apesar do desenvolvimento dessa técnica de construção, o uso de cavernas, escavações em rochas e na terra, para criação de abrigos continuou sendo uma prática comum durante muitos anos. Com o advento da agricultura, a medição do tempo de plantio e colheita passou a ser importante, e as datas eram medidas por meio da observação dos astros, que se tornaram objeto de cultuação. Existiram três tipos de construções destinadas ao culto: o menir, o cromlech e o alinhamento.
Figura 2.2 – Foto das rochas que formam o alinhamento de Carnac, Inglaterra – 1800 a.C. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/Breizh_56_-_Karnag_-_ steutado%C3%B9_ar_vaeneg_08.JPG O menir é uma pedra ereta que marcava uma determinada posição relativa a uma determinada data. O cromlech é um conjunto de blocos dispostos segundo uma determinada organização, normalmente circular. E o alinhamento era um conjunto de blocos que formavam uma avenida. As pedras são muito resistentes à compressão, porém não resistem muito a esforços de tração e flexão. Por este motivo, eram usadas em estruturas de colunas e não eram utilizadas para vencer grandes vãos nem estruturas de telhados.
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2.2 Antiguidade A grande pirâmide de Quéops foi erguida ao longo de 20 anos (2500 a.C.), construída com blocos de granito sobrepostos. Até o século XIX, era a estrutura mais alta do mundo, srcinalmente com 146 metros de altura.
Figura 2.3 – Pirâmide de Quéops, também chamada de Pirâmide de Giza ou A Grande Pirâmide. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/ Giza_pyramid_3Egypt.jpg
CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=iQEzbael1vA
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Catal Huyuk foi um assentamento muito grande encontrado em Anatólia, na Turquia, datado de 7500 a.C., construído em adobe com paredes internas rebocadas. As construções eram cobertas por estruturas de madeira e telhado de palha e barro. Não existiam ruas, e a locomoção era feita de uma casa para a outra pelas suas coberturas, com o auxílio de escadas. A entrada das casas também era feita por escadas pela cobertura.
Figura 2.4 – Reconstituição de uma habitação de Catal Huyuk, Turquia. (7500 a.C.) Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b6/ Catal_H%C3%BCy%C3%BCk_Restoration_B.jpg
CONEXÃO Aprenda Mais: http://www.catalhoyuk.com/links.html https://www.youtube.com/watch?v=Rpfzvka6nY0 https://www.youtube.com/watch?v=pAV8z6NesOA https://vimeo.com/82429326 http://alternativearchaeology.jigsy.com/catal-huyuk
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As coberturas das construções estruturadas por madeira e cobertas com algum tipo de material foram utilizadas por diversas civilizações e ainda são comuns atualmente.
Figura 2.5 – Casas chinesas em Banpo (5000 a.C.) construídas em madeira e cobertura de palha. Fonte: CHING, Francis D.K. Sistemas Estruturais Ilustrados: Padrões, Sistemas e Projeto. Porto Alegre. 2010. Pagina 11. Bookman. Os vãos necessários para criar as aberturas de portas e janelas eram normalmente feitos de peças de pedra ou madeira inteiriça (dintel ou verga). Outra forma de criar estes vãos era com o uso de pedras ou tijolos escalonados uns sobre os outros, criando o chamado falso arco, pois não tem a função estrutural dos arcos verdadeiros, que começaram a ser construídos por volta do ano de 4000 a.C. Os persas foram responsáveis pelo desenvolvimento de diversas técnicas construtivas e construíram uma ponte feita de tijolos sobre o rio Diz composta por diversos arcos verdadeiros no ano de 350 a.C. As pontes em arco eram muito comuns, por serem muito econômicas.
2.3 Arquitetura Grega e Romana Na Grécia, apesar de ser um conjunto de ilhas, o sistema em arco não era comum, pois os gregos se locomoviam muito por meio da navegação, e a maioria de seus rios era muito estreita, não sendo necessário vencer grandes vãos estruturais. Em compensação, foram os grandes desenvolvedores do sistema de vigas com pilares. capítulo 2
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Figura 2.6 – Abóboda falsa da Câmara sepulcral do Tesouro de Atreus, Micenas, Grécia. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Treasury_Atreus.jpg Foram os romanos que efetivamente se apropriaram do uso dos arcos, abóbodas e cúpulas verdadeiras, usando todo o seu potencial estrutural. Enquanto os gregos estavam preocupados apenas com proporções, medidas e harmonia, os romanos buscavam a inovação tecnológica, que permitisse ampliar o seu expansionismo pelo mundo. Ao mesmo tempo, a sua base cultural grega e etrusca vai incorporando as técnicas dos povos que vai conquistando. O Pantheon de Roma temuma cúpula de concreto semiesférica de 43 metros de diâmetro, apoiada em paredes circulares duplas, com espaço entre elas, o que permite pequenas deformações, reforçada com contrafortes. Anéis concêntricos se apoiam um sobre o outro, diminuindo de espessura até chegar ao óculo central, um anel comprimido de pedra que recebe todas as forças e as redistribui, ao mesmo tempo permitindo uma solução eficiente e a entrada de luz.
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Figura 2.7 – Foto interna e planta baixa do Pantheon, Roma, Itália, ano 125 a.C. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Pantheon-Sta-01.jpg e https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Dehio_1_Pantheon_Floor_plan.jpg
Figura 2.8 – Seção e detalhe da seção do Pantheon de Roma, Itália. Fonte: https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/Pante%C3%B3n_de_Roma_alzado.jpg e https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/Pantheon-Roma-detail.jpg
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Durante o império romano se desenvolveu o cristianismo, que utilizava os elementos da construção romana para criar uma nova linguagem arquitetônica. Com o fim do império romano, deu-se início à Idade Média, em que não ocorreram grandes avanços científicos, mas tudo que havia sido criado até o momento foi reorganizado, sendo utilizado de maneira diferente pelos construtores da época.
CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=2WWuuPmGltM https://www.youtube.com/watch?v=P5ZyOaV4V4A https://www.youtube.com/watch?v=DcU7uSt-g60 https://www.youtube.com/watch?v=305niNDG8c4
2.4 Idade Média Havia uma preocupação com economia e funcionalidade, o que foi responsável pelo resultado formal das construções. Vemos, portanto, empobrecimento das soluções arquitetônicas e redução do tamanho das construções. A igreja se tornou a principal promotora da cultura e surgiram naquela época as basílicas, com forte influencia das soluções construtivas romanas.
Figura 2.9 – Interior da Basílica de Santa Maria Maior, Roma, Itália. 352 d.C. (Reconstruída) Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f8/Basilica_Santa_ Maria_Maggiore_2011_5.jpg
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Durante esse período, o oriente demonstrou sua força cultural e houve um aprimoramento muito maior da arquitetura e das técnicas construtivas. O Palácio de Khusrau, no Iraque, apresentava um pórtico de entrada de 28 metros de vão, provavelmente o maior da Antiguidade. Acredita-se que o arco tenha sido construído sem suportes de madeira.
Figura 2.10 – Taq-i Kisra, Palácio de Khusrau, Iraque, 272 d.C. Fonte: CHING, Francis D.K. JARZONBEK, Mark. PRAKASH, Vikramaditya. A Global History of Architecture 2th.ed. 2011. Jonh, Wiley, Sons, Inc.
Figura 2.11 – Detalhe da estrutura de madeira do telhado do templo Foguang, Wutaishan, Shanxi, China. 857 d.C. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/ Foguang_Temple_2011-07.jpg
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Em torno do ano de 1100 d.C. foi construída a Catedral de Durhan, onde pela primeira vez se utilizaram nervuras na cúpula de concreto. Na sua nave lateral foram usados arcos botantes, que travavam o arco principal. A catedral é considerada a transição da arquitetura românica para a gótica.
Figura 2.12 – Catedral de Durham, Inglaterra. (1093-1133 d.C.) Fonte: https://upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Durham.2_crop.jpg Com a adoção dos novos elementos de composição estrutural, o estilo gótico apresentava estruturas mais altas e mais leves. Desde o século XI d.C. já se utilizava o ferro como reforço de estruturas, mas principalmente como material usado em elementos de fixação e emenda durante a Idade Média e no Renascimento.
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Figura 2.13 – Vista lateral da Catedral de Bourges, França, 1195-1250 d.C. Fonte: https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Bourges_Cathedral_exterior_001.JPG
Figura 2.14 – Corte perspectivado da estrutura das catedrais góticas (Adaptado da Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Gothic-wallstructure02.gif
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2.5 Renascimento Em 1420, Filipo Brunelleschi começou a trabalhar na construção da Catedral de Santa Maria del Fiori, em Florença, na Itália. A cúpula proposta por Brunelleschi era tão grande e tão alta que era inviável construí-la com uso de andaimes de madeira, como era comumente feito, e por este motivo desenvolveu uma cúpula formada por círculos de tijolos sobrepostos sem o uso de cimbramento. Também desenvolveu o sistema de cúpulas duplas com as nervuras entre elas, assim possibilitando diferentes formas internamente e externamente.
Figura 2.15 – Catedral de Santa Maria del Fiori, Florença, Itália, 1294-1436. Fonte: https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Florence_Cathedral.jpg
CONEXÃO https://youtu.be/_IOPlGPQPuM https://www.youtube.com/watch?v=kkBaxFuh40E
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A arquitetura do Renascimento não foi tão significativa quanto a evolução das outras artes, sendo caracterizada pela repetição de soluções do passado. No entanto, houve um grande desenvolvimento das ciências, base para o cálculo estrutural moderno. As práticas medievais, juntamente com ideias clássicas, prevaleceram por quase um século. Galileu foi um dos grandes estudiosos da resistência dos materiais, tendo descoberto em 1638 várias características e comportamentos das estruturas e dos materiais construtivos. E, em 1665, Isaac Newton estabeleceu as três leis da dinâmica. O estilo Barroco iniciou-se em Roma, caracterizando a arquitetura dos séculos XVI e XVII, com a valorização dos ornamentos, mas sem inovações estruturais. Uma grande quantidade de edificações religiosas e palácios foi construída nesse período.
2.6 Arquitetura Barroca O século XVIII foi marcado pelas ideias do Iluminismo, da Revolução Francesa e da Revolução Industrial. O Iluminismo era contrário às ornamentações barrocas e pregava o racionalismo, a arquitetura humanista e autêntica, culminando no estilo arquitetônico denominado neoclassicismo. Na Revolução Francesa houve uma grande separação entre a arquitetura e a construção, separando a arte da ciência. Começou uma preocupação muito grande com a técnica, e o papel do arquiteto passou a ser secundário. Com a Revolução Industrial, surgiu a produção em massa de elementos de ferro, que poderiam ser utilizados como material de construção. Também surgiu a necessidade da criação de novas tipologias arquitetônicas, principalmente grandes fábricas, que necessitavam de grandes vãos, possíveis com o uso de estruturas metálicas. O transporte ferroviário exigiu maior quantidade de pontes, e maiores vãos precisavam ser vencidos, o que trouxe a retomada do uso de treliças. Em 1775 começou a ser usado o ferro na construção de treliças para a ponte sobre o Rio Severn, na Inglaterra.
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2.7 Arquitetura do Século XIX Os arquitetos Matthew Boulton and James Watt propuseram uma fábrica de roupas de algodão na Inglaterra com sete pavimentos, onde pela primeira vez se usavam pilares e vigas de ferro para toda a estrutura de uma edificação, que serviram de modelo para várias outras edificações.
Figura 2.16 – Fábrica de Roupas Suffolk Mills, Lowell, Massachusetts, Estados Unidos. 1822. Fonte: CHING, Francis D.K. JARZONBEK, Mark. PRAKASH, Vikramaditya. A Global History of Architecture 2th.ed. 2011. Pag. 687. Jonh, Wiley, Sons, Inc. O Palácio de Cristal, projetado por Joseph Paxton para a primeira feira mundial em Londres, em 1851, foi vencedor de concurso e sua proposta utilizava um sistema de treliças metálicas pré-fabricadas de ferro forjado, tirantes e fechamentos em vidro, criando um espaço interno de 90 mil metros quadrados.
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Figura 2.17 – Ilustrações do Palácio de Cristal de Joseph Paxton. 1851 ( Fontes: https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Crystal_Palace2.jpg e https://upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Crystal_Palace1.jpg Em 1858, Henri Laboustre projetou a Biblioteca de Sainte-Genevieve, em Paris, o primeiro edifício público que usava vigas, pilares e arcos de ferro aparentes. Laboustre tentava fazer uma integração do antigo e do moderno, mas usando referências históricas em pequenos detalhes ao longo das fachadas exteriores do edifício.
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Figura 2.18 – Biblioteca de Saint-Genevieve, Paris, França, 1858. (Fontes: https:// upload.wikimedia.org/ wikipedia/comm ons/c/c1/ Salle_de_lecture_B ibliotheque_SainteGenevieve_n01.jpg?download e https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ cc/Fa%C3%A7ade_de_la_Biblioth%C3%A8que_Sainte-Genevi%C3%A8ve%2C_ sud-est.JPG?download Em 1863, Viollet-Le-Duc publicou o livro “Conferências sobre Arquitetura”, no qual defende a ideia de que a arquitetura deve refletir a realidade do seu tempo, que deveria ser econômica, e defende o uso das estruturas de esqueletos metálicos. Ao contrário de seus colegas, que usavam o ferro para criar rebuscadas estruturas com desenhos góticos, defendia o uso racional e simples do material.
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Em 1876, Boileau e Eiffel projetaram a loja Bom Marché. Pela primeira vez um edifício foi iluminado naturalmente através de grandes panos de vidro estruturados por peças metálicas. Em 1890, o crescimento das grandes cidades, a demanda por habitação e a supervalorização dos terrenos tornou importante a verticalização das edificações. Com a invenção dos elevadores, em 1853, e com as novas tecnologias construtivas em aço, tornou-se viável a construção de grandes arranha-céus, principalmente nos Estados Unidos. A feira mundial de Chicago em 1893 retomou o ecletismo, encerrando o movimento chamado “Escola de Chicago”, movimento criador dos primeiros princípios que dariam a identidade do movimento moderno. Louis Sullivan foi o principal representante deste movimento, tendo criado a célebre frase “a forma segue a função”. Sullivan trabalhou na construtora de William Le Baron, que construiu diversos prédios usando estrutura metálica, entre eles o Edifício Home Insurance, em Chicago, em 1890.
Figura 2.19 – Edifício Home Insurance, Chicago, 1890. Fonte: https://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/3/38/Home_Insurance_Building.JPG
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Em 1899, Eiffel projetou a Torre Eiffel para a Exposição Mundial de Paris, que foi duramente criticada por representar uma construção totalmente funcional sem um ideal estético. Foi a edificação mais alta do mundo até a construção do Edifício Chrysler, em Nova York, em 1930.
Figura 2.20 – Torre Eiffel, Paris, França, 1899. Fonte: https://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/1/13/845-Paris.jpg?download François Coignet foi um industrial francês que, pela primeira vez no mundo, usou o concreto armado, em 1853, em uma casa de quatro andares na Rua Charles Michels 72, nos subúrbios de Paris. Em 1892, o engenheiro francês François Hennebique utilizou o concreto conjugado com o ferro na construção de lajes, vigas e pilares, sistema usado até os dias atuais, ampliando o uso dessa técnica para novas tipologias arquitetônicas. Até 1907, centenas de prédios industriais haviam sido construídos com estrutura de concreto armado. Muitos arquitetos viam no concreto armado a possibilidade de liberdade da forma e, apesar de o avanço tecnológico do seu uso ser inglês, foram a França e a Alemanha os primeiros países a integrar o uso do concreto na prática arquitetônica. A primeira obra significativa em uma edificação pública foi na Igreja Protestante de Garrison, em 1908, do arquiteto Theodor Fischer.
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=x6QSh66mJ50
Figura 2.21 – Igreja de Garrison, Ulm, Alemanha, 1908. Fonte: https://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/c/cb/Ulm_Pauluskirche_von_oben.JPG?download Em 1912, Robert Maillart projetou uma laje apoiada somente em dois pilares, sem o uso de vigas, para uma fábrica na Suíça. O sistema foi posteriormente chamado de laje cogumelo.
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2.8 Modernismo Em Weimar, na Alemanha, foi fundada a escola Bauhaus, por Walter Gropius, com princípios racionalistas, mas foi com Le Corbusier que a estrutura ganhou destaque pelo uso dos pilotis e das plantas livres, que, segundo ele, foram baseados no uso do concreto armado e na produção industrial de elementos arquitetônicos
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Figura 2.22 – Pilares e lajes da estrutura da Dom-ino House, Le Corbusier. 1917. Fonte: CHING, Francis D.K. JARZONBEK, Mark. PRAKASH, Vikramaditya. A Global History of Architecture 2th.ed. 2011. Pag. 720. Jonh, Wiley, Sons, Inc. Entre os arquitetos modernistas, Buckminster Fuller foi o maior representante do uso da tecnologia nos projetos, desenvolvendo vários avanços nos estudos das estruturas e criando o domus geodésico, utilizado em vários projetos pelo mundo. Em 1930, os novos métodos de cálculo estrutural, juntamente com o avanço no uso do concreto armado, permitiram a construção de formas mais ousadas em cascas de concreto, como paraboloides e conoides. Em 1940, o uso dos computadores permitiu cálculos mais complexos, facilitando os projetos de estruturas e permitindo construções mais esbeltas e formas mais variadas.
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Em 1960 foi inaugurada Brasília, com plano-diretor de Lúcio Costa e edificações de Oscar Niemeyer. O Palácio do Planalto, o Palácio da Alvorada e a Suprema Corte representam a monumentalização da arquitetura moderna brasileira, influenciando o desenvolvimento de toda arquitetura moderna no mundo após a Segunda Guerra Mundial. O uso do concreto armado foi levado ao seu limite com os cálculos estruturais realizados por Joaquim Cardoso.
Figura 2.23 – Palácio do Planalto, Brasília, Brasil, 1960. Fonte: https://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/1/12/Palacio_do_Planalto.JPG
2.9 Arquitetura Contemporânea No início da década de 1960, a estrutura se tornou o partido principal para o estilo arquitetônico denominado High-Tech, com as obras do Banco de Hong Kong do arquiteto Norman Foster e o Centro Georges Pompidou, dos arquitetos Renzo Piano e Richard Rodgers. No Centro Georges Pompidou, a estrutura metálica foi projetada para ficar aparente externamente, desconectada dos planos das fachadas.
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Figura 2.24 – Centro Georges Pompidou, Paris, França, 1977. Fonte: Marco Milazzo. Surgiu a linguagem arquitetônica denominada pós-modernismo de Robert Venturi, Aldo Rossi e Phillip Johnson, que retomou os valores dos ornamentos, dos detalhes de fachadas, fazendo releituras de outras épocas arquitetônicas e novamente escondendo ou falseando a real estrutura da edificação. A arquitetura contemporânea é marcada pela coexistência de muitos caminhos, e todas as linguagens são aceitas. Por este motivo, encontramos várias linhas do relacionamento entre arquitetura e estrutura. Encontramos vários exemplos da estrutura aparente, da estrutura em evidência e da estrutura escondida.
Figura 2.25 – Edifícios mais altos do mundo até 2014. Fonte: Adaptado do Jornal Gazeta do Povo de 05/01/2010.
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=nuFy-IEw6sk https://www.youtube.com/watch?v=h4QBUibXHCE
2.10 Cronologia Arquitetônica Estrutural
AC
Primeira Construção descoberta no mundo
9000
Gobekli Tepe
7500
CatalHuyuk
6500
Mehrgarh
Paquistão
CasasdeAdobe
5000
Banpo
China
Cabanascomestruturademadeira
3400
TijolosdeBarroCozido
3000
Casas de Palafita Alvastra
3000
Palha com Lama ReforçanEgito do Adobe
3000
ZiguratedeUr
2600
Harappa e Mohenjo-daro
2500
Pirâmide de Queops
Egito
1600
Cromelech de Stonehenge
Inglaterra
1500
Templo Amon Karnak
Egito
1500
VidroFundido
Egito
1350
FundiçãoBronze
China
1000
Capadócia
500
FundiçãodoFerro
447 400 400
Templo Atena Niké Partenon Invenção dos Arcos e Abóbodas de alvenaria Uso de Betume como argamassa
300
GrandeEstupadeSanchi
300
Concreto comPozolana
Turquia Turquia
CasasdeAdobe
Suméria Escandinávia
Mesopotâmia Paquisão e Índia
Anatólia Turquia
Tijolos cozidos e falsos arcos Estrutura de pedras empilhadas Colunas e vigas de pedra intertravadas
Cidade esculpida em escavações em montanhas
China Grécia Etruscos Babilônios e Assírios India Romanos
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70
Coliseu
Roma,Itália
125
Panteon
Roma,Itália
300
Tikal
Guatemala
460
CavernasYungang
China
537
SantaSofia
Istambul
752
Templo budista Todaiji Nara Índia
1056
Pagode Sakyamuni
1100 1100
DC
Muros da cidadela de Chan China Chan Igreja da Abadia de Saint Toumus Philbert
1300
CatedraldeFlorença
Itália
1615
Basílica de São Pedro
Roma, Itália
1653
TajMahal
Agra,Índia
1797
Tecelagem Ditherington
1851
•
China
Catedral de notre Dame
1824
58
Maior construção de madeira do mundo Pagode de madeira mais antigo do mundo e edificação de madeira mais alta do mundo
1250
1779
Maior cúpula do mundo até o século XVIII
Ponte de Ferro Coalbrookedale Invenção do Concreto Armado Palácio de Cristal Hyde Park
Paris, França
Inglaterra Inglaterra
Inglaterra
1868
Estação Saint Pancras
1881
Padronização de Perfis de E Aço e Rebite
1884
Edifício Home Insurance
Chicago, EUA
1889
TorreEiffel
Paris,França
1896
Pavilhão da Rotunda
Rússia
1898
Piscina Coberta Pública Gebweiler
França
1903
EdifícioIngalls
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Estrutura de aço mais antiga do mundo
Inglaterra UA
EUA
Primeira Estrutura Tensionada por Cabos do mundo
Primeiro Prédio Concreto Armado do mundo
1913
Salão do Centenário Jahrhunderthalle
Breslau
Cúpula de Concreto Armado de 65 metros de diâmetro
1922
Planetário Jena
Alemanha
Primeira cúpula geodésica do mundo
1928
Invenção do Concreto Protendido
1928
Edifício Martinelli
São Paulo
27 andares, 105 metros altura, concreto armado.
1930
EdifícioChrysler
NovaYork
1931
Empire State
Nova York
1960
Palácio dos Esportes
Itália
1961
Arena Olímpica Tóquio
Japão
1972
Arena Aquática Olímpica Munique
Alemanha
1973
Casa de Opera de Sydney
1998
TorresPetronas
Malásia
450metrosdealtura
2004
Taipei101
Taiwan
520metrosdealtura
2010
BurjKalifa
Dubai
750metrosdealtura
2020
Kingdom Tower
Arábia Saudita
1000 metros de altura
DC
Edifício mais alto do mundo até 1972 Cúpula de Concreto Armado Nervurada 100 metros diâmetro Maior estrutura de cobertura suspensa com cabos de aço Uso de Cabos de aço com membranas de lona
Austrália
CONEXÃO http://structurae.net/ http://www.concretenetwork.com/concrete-history/ http://www.metalica.com.br http://www.arthistoryarchive.com/arthistory/architecture/Ancient-Architecture.html
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ATIVIDADE 01. Analisando a figura abaixo das ruínas do Templo Romano de Évora, Portugal, do século I d.C. , temos um exemplo de colunas e capitéis coríntios. Verificamos que todas as construções de templos feitos de pedra possuem capitéis e um número grande de colunas próximas umas das outras. Qual seria o motivo de as construções terem esta configuração?
Figura 2.26 – Fonte: https:/ /upload .wikim edia.o rg/wiki pedia/c ommons/8 /87/ The_Roman_Temple_of_%C3%89vora%2C_Ebora%2C_Lusitania%2C_Portugal_%2812798100864%29.jpg
REFLEXÃO Conhecer as tecnologias e materiais construtivos de cada período histórico nos ajuda a relacionar as necessidades existentes com as soluções arquitetônicas e estruturais que foram desenvolvidas. As necessidades impostas pelos arquitetos para ultrapassar os limites, criar novas edificações com novas formas e conceitos, impulsionam o mercado a desenvolver novas tecnologias, novas técnicas e novos materiais construtivos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A concepção estrutural e a Arquitetura . São Paulo: Zigurate Editora, 2000. CHING, Francis D.K. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010. CHING, Francis D.K. JARZONBEK, Mark. PRAKASH, Vikramaditya. A Global History of Architecture. 2th.ed. 2011. Jonh, Wiley, Sons, Inc. BOS, Samone. Super Structures. 2008. Dorling Kindersley Limited.
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3 Conceitos de Física
Os elementos que compõem um sistema estrutural sofrem diferentes esforços, resultado das cargas atuantes e do seu próprio peso. Diversos cálculos são realizados para identificar a intensidade destes esforços e compatibilizar com a resistência dos materiais utilizados em uma edificação. Para compreender os fenômenos que ocorrem na estrutura de uma edificação, são necessários alguns conhecimentos de física e matemática. Iremos rever alguns conceitos e entender sua relação com a prática do cálculo estrutural.
OBJETIVOS •
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Recordar princípios importantes de matemática e física; Calcular vetores resultantes; Identificar as forças e os esforços que atuam nos sistemas estruturais; Calcular peso de elementos e materiais construtivos; Analisar as características e o comportamento dos materiais utilizados nas estruturas; Calcular cargas e tensões de elementos estruturais.
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3.1 Vetores – Direção, Sentido e Intensidade Para dimensionar os elementos da estrutura de uma edificação, precisamos identificar as cargas que estão atuando sobre ela. Estas cargas surgem de várias formas e podem vir de diferentes direções e sentidos. Por este motivo é importante saber como trabalhar esses conceitos. Quando andamos de um lugar até outro em linha reta, definimos uma DIREÇÃO. Podemos dizer que andamos na direção norte-sul, na direção leste -oeste, na direção Rio-São Paulo, na direção da terra para o mar. O SENTIDO indica se estamos andando para frente ou para trás, positivamente ou negativamente, dentro da mesma direção. Quando dizemos que estamos andando no sentido norte-sul, podemos dizer que o sentido contrário é o sul-norte, mas a direção é a mesma. mesma direção e mesmo sentdo
mesma direção e sendos opostos
diferentes direções
Figura 3.1 – Direção e Sentido. Fonte: Marco Milazzo.
A matemática vetorial trabalha com a direção, o sentido e o respectivo valor ou medida ou intensidade. Valores ou medidas com mesma direção e sentido podem ser somadas diretamente. Valores ou medidas com mesma
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direção e sentidos opostos podem ser subtraídos diretamente, conforme figuras abaixo: +
=
10 metros
10metros
+
20metros
=
10 metros
10metros
0metros
= +10 metros
–10 metros
Figura 3.2 – Operações com Vetores. Fonte: Marco Milazzo.
Quando temos dois vetores com direções diferentes, as operações de soma e subtração podem ser feitas graficamente, conforme figura abaixo: b a
b
+
a
=
= c
c
Figura 3.3 – Operações com Vetores. Fonte: Marco Milazzo.
Para o cálculo de estruturas, podemos simplificar o procedimento, decompondo estes vetores em horizontais e verticais, e assim podemos somar independentemente cada par de vetores. Teremos, assim, um vetor final horizontal e outro vetor final vertical.
a
α
=
b
+
β
a2 = b2 + c2 sen b = cos a = c/a cos b = sen a = b/a
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c
EXEMPLO Qual a resultante vertical e horizontal da soma dos vetores A e B indicados abaixo? A=+8 15° + 45°
B=+5
Para o eixo Horizontal (X): A x cos 45 = 8 x 0,707 = + 5,7 B x cos 15 = 5 x 0,966 = + 4,8 (Os dois valores são positivos, pois estão no mesmo sentido, da esquerda para a direita.) Para o eixo Vertical (Y): A x sen 45 = 8 x 0,707 = +5,7 B x sen 15 = 5 x 0,259 = -1,3 (o valor é negativo por estar em sentido diferente do vetor A) Total no eixo horizontal = 5,7 + 4,8 = + 10,5 (sentido da esquerda a para direita) Total no eixo vertical = 5,7 – 1,3 = + 3,5 (sentido baixo para cima)
Quando temos vetores que formam triângulos não retângulos, utilizamos a lei dos cossenos para calcular o vetor resultante, que é expressa pelas seguintes fórmulas: C
C b a
b
a
B
c
A B
c
A
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
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Para determinar a direção do vetor resultante ou as componentes de um vetor, usamos a lei dos senos: a senA
=
b senB
=
c senC
CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=8Qg4U_eCPzA
EXEMPLO Vamos calcular a força resultante no gancho da figura abaixo, que está sobre a ação de duas forças F1 e F2: 10° F2 = 150N
F1 = 100N 15°
A 150N 10° 115°
65°
360 – 2(65°) = 115° 2
FR
100N
θ
15° 90° – 25° = 65°
Figura 3.4 – Fonte: Hibbeler.
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A partir da extremidade da força F1 traçamos uma reta paralela a F2 e outra linha na extremidade de F2 que seja paralela a F1. A força resultante FR estende-se para onde essas linhas se interceptam no ponto A. As duas incógnitas são a intensidade de FR e o ângulo θ. A
150N FR 115°
φ
100N
θ
15°
A partir do paralelogramo, o triângulo vetorial é construído. Usando a lei dos cossenos: FR2 = 1002 + 1502 – 2(100)(150) cos 115° FR = 212,6 N
Usando a lei dos senos, determinamos o ângulo θ: 150 N sen θ θ
=
2126, N sen115o
sen θ =
150 N 212, 6 N
( sen115o )
= 39,8°
Os resultados parecem razoáveis, visto que F R possui uma intensidade maior que suas componentes e uma direção que está entre elas.
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EXEMPLO Vamos decompor a força horizontal de 600 N, para descobrir as suas componentes ao longo dos braços da estrutura da figura abaixo:
u 30° 30° 600N
v
u Fu 30°
B 30° 120°
30°
A
600N
120° Fv C
v
Fu 30°
30°
Fv 120°
600N
Figura 3.5 – Fonte: Hibbeler. Estendemos uma linha da extremidade da força de 600 N paralela ao eixo v até que ela intercepte o eixo uno ponto B. A seta de A para B representa Fu. Da mesma forma, a linha estendida da extremidade da força de 600 N paralelamente ao eixo u intercepta o eixo v no ponto C, que resulta em Fv. A adição de vetores usando a regra do triângulo é mostrada na figura a seguir. As duas incógnitas são as intensidades de Fu e Fv. Aplicando a lei dos senos:
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Fu
=
sen120o Fm Fv o
sen 30
600 N sen 30o
= 1.039 N
=
Fv
600N sen 30o
= 600N
O resultado para Fu mostra que algumas vezes uma componente pode ter uma intensidade maior do que a resultante.
3.2 Forças e Cargas As três leis de Newton fundamentam o conceito de força, que está ligado à massa dos objetos e do seu movimento. Da mesma forma que o movimento, a força também apresenta direção e sentido. Segundo Newton, a somatória de todas as forças aplicadas em um corpo é nula se ele está em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante (1ª Lei de Newton). A 2ª Lei de Newton define que força é igual à massa multiplicada pela aceleração. F=mxa E a 3ª lei define que, se o corpo A exerce uma força no corpo B, o corpo B também exercerá uma força de mesma intensidade e em sentido oposto sobre o corpo A. Quando exercemos uma força sobre um corpo em repouso, ele se movimentará com aceleração ou se deformará. Chamamos de força da gravidade o efeito magnético que a Terra produz em todos os corpos, atraindo-os para o seu centro, produzindo a força que chamamos de PESO dos objetos. Todos os objetos têm massa e estão submetidos à gravidade, portanto são atraídos para o centro da Terra. O valor da gravidade da Terra é de aproximadamente 9,8 m/s2.
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CONEXÃO https://www.youtube.com/watch?v=hEMnT5P2agI
Quando trabalhamos com cálculo de estruturas de edificações, chamamos as forças de CARGAS. A norma da NBR 6120 da ABNT determina as cargas que devem ser consideradas em um projeto estrutural. Podemos dividir as cargas em permanentes e acidentais. As cargas permanentes fazem parte de toda a vida útil da edificação, enquanto as cargas acidentais são variáveis, não ocorrendo constantemente. CARGAS PERMANENTES Peso próprio da estrutura Peso dos revestimentos e materiais construtivos permanentes Peso das paredes Peso de equipamentos fixos e permanentes
CARGAS ACIDENTAIS (CARGAS ÚTEIS OU SOBRECARGA) Peso das pessoas Peso Peso do de mobiliário veículos e objetos Forças resultantes de movimentação de objetos e veículos Força do vento
Segundo a norma, temos os seguintes pesos específicos de alguns materiais construtivos: MÁRMORES E GRANITOS CIMENTO AMIANTO TIJOLOS CERÂMICOS FURADOS TIJOLOS CERÂMICOS MACIÇOS TIJOLOS DE CONCRETO CONCRETO SIMPLES CONCRETO ARMADO AÇO ALUMÍNIO COBRE CHUMBO VIDRO
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28 kN/m3 20 kN/m3 18 kN/m3 20 kN/m3 22 kN/m3 24 kN/m3 25 kN/m3 78 kN/m3 28 kN/m3 89 kN/m3 114 kN/m3 26 kN/m3
Segundo a norma, os valores recomendados para as cargas acidentais são: QUARTOS, SALAS, COZINHAS E BANHEIROS (RESIDÊNCIAS) ÁREAS DE SERVIÇO, DISPENSAS E LAVANDERIAS (RESIDÊNCIAS) ESCADAS PÚBLICAS ESCADAS PRIVATIVAS ARMAZÉNS ESCRITÓRIOS LOJAS RESTAURANTES
1,5 kN/m2 2 kN/m2 3 kN/m2 2,5 kN/m2 4 kN/m2 2 kN/ m2 4 kN/m2 3 kN/m2
A unidade utilizada pelo sistema internacional para FORÇA é o newton (N). Outra unidade muito utilizada é o quilograma-força, representado por kgf. 10 N = 1 kgf 1 kN = 1000 N 1 kN = 100 kgf As cargas também podem ser classificadas de acordo com a sua distribuição ao longo dos elementos estruturais. Quando a carga é distribuída ao longo de uma superfície, temos as cargas superficiais, contabilizadas pela área onde está aplicada. Por exemplo, quando colocamos um piso cerâmico distribuído no piso de uma sala.
Figura 3.6 – Carga distribuída por área. Fonte: Marco Milazzo.
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Já uma parede distribui a sua carga ao longo de uma linha, por isso é uma carga chamada linear.
Figura 3.7 – Carga distribuída linearmente. Fonte: Marco Milazzo.
E cargas aplicadas em um único ponto são chamadas de cargas concentradas. Pilares apoiados em vigas e vigas apoiadas em outras vigas são exemplos de cargas concentradas.
Figura 3.8 – Carga distribuída pontualmente. Fonte: Marco Milazzo.
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capítulo 3
EXEMPLO 01. Vamos calcular a carga de uma parede de alvenaria de tijolos cerâmicos maciços. A parede tem 14 centímetros de espessura, 3 metros de altura e 5 metros de comprimento. O peso específico do tijolo cerâmico maciço é de 2.000 kgf/m3.
5,00m
3,00m
0,14m
Para realizar esse cálculo, primeiro precisamos encontrar o volume total da parede em metros: 0,14 x 3,00 x 5,00 = 2,10 m3 Em seguida multiplicamos esse valor pelo peso específico do material: 2,10 x 2.000,00 = 4.200,00 kgf Essa é a carga total da parede. Poderíamos também descobrir como essa carga se distribui ao longo do comprimento da parede. Isso seria necessário para saber se a estrutura que está abaixo da parede pode suportar o seu peso. Então devemos dividir o peso total da parede pelo seu comprimento: 4.200,00/5,00 = 840 kgf/m
02. Vamos calcular a carga total por metro quadrado na sala de um apartamento, onde a laje é de concreto armado com 10 cm com revestimento de granito de 3 cm.
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1,00 m 1,00 m
0,03 m 0,10 m
granito 2
γ
= 2.800 kgf/m
γ
concreto = 2.500 kgf/m2
Precisamos primeiro calcular os volumes dos materiais para um único metro quadrado do piso da sala do apartamento. Volume de concreto armado = 0,10 x 1,00 x 1,00 = 0,10 m3 Volume de granito = 0,03 x 1,00 x 1,00 = 0,03 m3 Agora multiplicamos os volumes dos materiais pelos seus respectivos pesos específicos: Concreto armado = 0,10 x 2.500,00 = 250 kgf Granito = 0,03 x 2.800,00 = 84 kgf A carga permanente total em um metro quadrado da sala será de 334 kgf. Agora temos de adicionar a carga acidental, que, para a sala de um apartamento, segundo a norma ABNT NBR 6120, é de 150 kgf/m2. Então, para o cálculo estrutural deste projeto, podemos considerar que a sala do apartamento terá uma carga total de 484 kgf/m2.
3.3 Tensões Outro conceito importante é a TENSÃO, que é a razão entre FORÇA e ÁREA. Quando determinada força é aplicada em um objeto, ela se distribui pela área das seções de cada parte deste objeto. Quanto maior for a área, ou seja, quanto mais material existir em uma seção deste objeto, mais distribuída estará a força e mais resistente será o objeto. Então só conseguimos determinar a resistência de um material, independentemente da sua quantidade, quando calculamos a
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sua TENSÃO. Assim podemos fazer comparações entre as resistências de diferentes materiais. Quando a FORÇA é aplicada perpendicularmente à superfície, é denominada TENSÃO AXIAL ou TENSÃO NORMAL ( σ).
Quando a FORÇA é aplicada paralelamente à superfície, é denominada TENSÃO TANGENCIAL ou TENSÃO DE CISALHAMENTO (τ).
Cada material construtivo apresenta diferentes resistências às tensões normais e às tensões de cisalhamento. Podemos analisar a resistência de diferentes materiais comparando as TENSÕES ADMISSÍVEIS de cada material. Exemplos de tensões de cisalhamento e tensões normais de alguns materiais: Aço T ipo A- 36 •
•
Tensão Normal σ = 1.500 kgf/cm2 Tensão de Cisalhamento τ = 800 kgf/cm2
Madeira Peroba •
Tensão Normal
σ = 90 kgf/cm 2
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•
Tensão de Cisalhamento τ = 12 kgf/cm2
Concreto •
•
Tensão Normal σ = 250 kgf/cm2 Tensão de Cisalhamento τ = 6 kgf/cm2
Uma unidade comum usada em TENSÕES é o Pascal: 1 Pascal = 1 Newton/1 m2 Para verificar se uma estrutura é segura, ou seja, se ela irá resistir à TENSÃO gerada pelas forças que estão sendo aplicadas, devemos comparar essa TENSÃO com a TENSÃO ADMISSÍVEL do material. Essa comparação deve levar em consideração uma margem de segurança, pois os materiais podem ter erros de fabricação ou podem ser materiais heterogêneos. O aço é o material que exige menor coeficiente de segurança, pois é muito homogêneo, por ser fabricado industrialmente. Já a madeira, por ser natural e formada por fibras, pode apresentar diferentes resistências ao longo de suas peças, necessitando, portanto, de um coeficiente de segurança maior.
EXEMPLO Um pilar de concreto de 30 cm por 80 cm está recebendo uma CARGA PONTUAL de 50.000,00 kgf. Qual a TENSÃO NORMAL aplicada na seção transversal deste pilar? 50.000 kgf
0,30 m 0,80 m
σ
A tensão será a CARGA dividida pela ÁREA da seção transversal do pilar, e, portanto: 50.000,00/(30 x 80) = 20,8 kgf/cm2
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Como o concreto tem TENSÃO NORMAL ADMISSÍVEL de 250 kgf/cm 2, este pilar suporta tranquilamente a carga aplicada nele, de 20,8 kgf/cm2.
3.4 Materiais Plásticos e Elásticos Todos os materiais se deformam quando solicitados por alguma TENSÃO. Quanto maior a TENSÃO, maior a DEFORMAÇÃO. Os materiais passam por diferentes fases de deformação até a ruptura total. Enquanto a DEFORMAÇÃO é proporcional às TENSÕES, dizemos que o material está trabalhando no REGIME ELÁSTICO (fase elástica). É uma deformação temporária, e o material voltará ao seu tamanho srcinal se as tensões forem anuladas. Quando as tensões são maiores e os materiais passam a apresentar uma deformação desproporcional às TENSÕES, dizemos que o material está no REGIME PLÁSTICO (Fase Plástica). Nesta fase, as deformações são permanentes, e o material não voltará à sua forma srcinal se as tensões forem anuladas. Existem materiais que se deformam mais do que outros materiais. A deformação é uma característica dos materiais determinada pelo MÓDULO DE ELASTICIDADE (E). Para identificar as características dos materiais, podemos construir os GRÁFICOS de TENSÃO x DEFORMAÇÃO.
)
)
σ
σ
( o ã s n e T
( o ã s n e T
deformação (E)
)
deformação (E)
)
σ
σ
( o ã s n e T
( o ã s n e T
deformação (E)
deformação (E)
Figura 3.9 – Gráficos de Tensão x Deformação de quatro diferentes materiais. Fonte: Marco Milazzo. capítulo 3
•
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Nos quatro gráficos apresentados acima estão apresentadas as TENSÕES e as DEFORMAÇÕES de quatro diferentes materiais. Analisando estes gráficos, podemos identificar as seguintes características: Os gráficos dos materiais A, B e D apresentam no seu início uma linha reta quando a TENSÃO aumenta, significando que, neste trecho, a TENSÃO e a DEFORMAÇÃO são proporcionais, sendo, portanto, a fase ELÁSTICA destes materiais. O material C não tem fase ELÁSTICA, pois, desde o início do gráfico, a relação entre TENSÃO e DEFORMAÇÃO não é proporcional. Isso é identificado por ser uma curva ao invés de uma reta. Na fase PLÁSTICA, o material B se deforma mais que o material D, antes que os materiais sofram ruptura. Os materiais C e D resistem a TENSÕES maiores antes da ruptura que os materiais A e B. Antes da ruptura, o material D é o que menos se deforma, seguido pelo material C, e por último os materiais A e B, que terão a mesma deformação ao se romper. Quanto mais inclinada for a reta da fase ELÁSTICA do material, maior será a sua capacidade de se deformar. Chamamos de módulo de Young, ou módulo de Elasticidade o valor constante que determina essa capacidade, representada pela letra E e medida em kgf/cm 2. O módulo de Elasticidade (E) do aço é 2.100.000 kgf/cm2. O módulo de Elasticidade (E) do concreto é 210.000 kgf/cm2. Na prática isso significa que o aço se deforma 10 vezes mais que o concreto ao aplicarmos a mesma tensão sobre os dois materiais.
CONEXÃO http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6521#.VdEegpc2B7Y http://www.c imm.com.br/portal /material_didatico/ 6539-ensai o-de-tracao-de- materiais-frageis#.VdEet5c2B7Y
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ATIVIDADES 01. Sabemos que as forças têm intensidade, direção e sentido. Por este motivo, usamos a matemática vetorial para equacionar conjuntos de forças aplicadas em uma estrutura. Qual a resultante vertical e horizontal das forças aplicadas no bloco indicado na figura a seguir? 120 kN 30°
90 kN
02. Os gráficos de Tensão x Deformação nos ajudam a conhecer o comportamento dos materiais e saber quando devem ser utilizados. Analisando os gráficos de Tensão x Deformação dos quatro materiais abaixo, qual deles irá romper primeiro se aplicarmos ao mesmo tempo, em todos, a mesma carga, que será aumentada gradativamente?
)
)
σ
σ
o ã s n e T
o ã s n e T
(
(
deformação (E)
deformação (E)
capítulo 3
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)
)
σ
σ
o ã s n e T
o ã s n e T
(
(
deformação (E)
deformação (E)
REFLEXÃO O primeiro passo para iniciar o cálculo estrutural é conhecer quais as FORÇAS que estão aplicadas sobre os elementos do sistema. Estas FORÇAS podem afetar cada elemento de maneira diferente e, dependendo do material construtivo utilizado, as deformações resultantes também são diferentes. As deformações dos elementos podem nos ajudar a entender o que acontece em cada elemento ou no sistema estrutural como um todo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A concepção estrutural e a Arquitetura. São Paulo. 2000. Zigurate Editora.
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4 Condições de Equilíbrio das Estruturas
O conjunto de elementos que compõem um sistema estrutural tem como objetivo final transportar todas as cargas da edificação para o solo. Podemos dividir as estruturas por partes, e cada parte é composta por diferentes elementos conectados entre si. Cada elemento deve ser composto de materiais que sejam suficientemente resistentes para suportar as cargas recebidas. No entanto, para que haja estabilidade no sistema estrutural, as conexões entre os elementos também devem ser escolhidas e dimensionadas para resistirem a estas cargas. Veremos quais são as conexões existentes e como elas funcionam. Alcançando o equilíbrio externo da estrutura, precisamos identificar como os esforços atuam internamente dentro de cada elemento, para posteriormente calcular a quantidade de material necessário para que não haja a sua ruptura.
OBJETIVOS •
Conhecer e identificar as partes que compõem um sistema estrutural;
•
Conhecer e identificar os tipos de conexões existentes entre elementos estruturais;
•
Diferenciar as estruturas hiperestáticas, isostáticas e hipostáticas;
•
Identificar os esforços que podem aparecer internamente nos elementos de uma estrutura;
•
Escolher as soluções formais e os materiais adequados para resistir a cada um dos esforços.
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capítulo 4
4.1 Superestrutura e Subestrutura Todos os projetos arquitetônicos têm elementos que definem e estruturam os espaços e as formas. Estes elementos podem ser divididos em duas partes: a SUPERESTRUTURA e a SUBESTRUTURA. A SUBESTRUTURA ou FUNDAÇÃO é a parte do sistema que distribui todas as cargas da edificação para o solo, podendo ficar aparente ou enterrada. O dimensionamento e o tipo de fundação são escolhidos de acordo com as cargas, com o projeto de arquitetura, com a topografia do terreno e com o tipo de solo encontrado no local. A SUPERESTRUTURA é toda a parte da estrutura que fica acima da SUBESTRUTURA e pode ser subdividida em PELE e ESTRUTURA INTERNA. A PELE é a vedação externa da edificação, composta por paredes, portas e janelas, protegendo a edificação e os espaços internos do ambiente externo. A PELE define as fachadas e a cobertura da edificação. A ESTRUTURA INTERNA sustenta as cargas dos pisos, paredes, objetos, pessoas e também da estrutura da PELE. É a ESTRUTURA INTERNA que transfere as cargas da SUPERESTRUTURA para a SUBESTRUTURA.
4.2 Condições básicas de uma estrutura Os sistemas estruturais devem ser projetados para satisfazer três condições básicas:
Figura 4.1 – Resistencia dos materiais contra a ruptura – Cada material apresenta uma diferente resistência aos esforços, e devemos verificar se o tipo e a quantidade de material escolhido é suficiente para resistir às cargas aplicadas. Fonte: Marco Milazzo.
capítulo 4
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Figura 4.2 – Rigidez contra deformações excessivas – As estruturas têm uma flexibilidade que deve ser limitada de acordo com o uso a que se destina. Podemos aceitar maiores deformações na cobertura de um galpão do que em um piso de um pavimento de uma casa ou prédio. Fonte: Marco Milazzo.
Figura 4.3 – Estabilidade contra o colapso – Os elementos que compõem um sistema estrutural devem estar conectados entre si de maneira que o conjunto não perca a sua estabilidade e possa desabar. Fonte: Marco Milazzo.
Vamos analisar primeiramente como podem ser as conexões entre os elementos estruturais para garantir a sua estabilidade. Estas conexões também podem ser chamadas de vínculos estruturais. As cargas se transferem de um elemento para o outro, passando por estes vínculos e chegando até as fundações.
4.3 Vínculos e Conexões Existem diferentes tipos de conexões entre os elementos de um sistema estrutural. A conexão entre os elementos estruturais pode ser: PONTUAL, através de pregos ou parafusos; LINEAR, através de soldas; ou PLANA, através de placas coladas, aparafusadas ou pregadas.
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capítulo 4
Pontuais: conexões parafusadas
Em linha: conexões soldadas
Planas: conexões coladas
Figura 4.4 – Tipos de conexões entre elementos estruturais. Fonte: CHING, Francis D.K. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman,
2010. p. 36.
Os vínculos entre os elementos também podem ser classificados de acordo com a resistência ou a liberdade de movimentação e rotação.
Juntas arculadas
Juntas de pino
com roletes
Juntas rígidas
Figura 4.5 – Tipos de conexões entre elementos estruturais. Fonte: CHING, Francis D.K. CHING, Francis D.K. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010. p. 36.
Os vínculos entre os elementos estruturais podem ser móveis ou fixos, e engastados ou rotulados. Os vínculos móveis permitem o deslocamento de uma peça em relação à outra, e os vínculos rotulados permitem a rotação de uma peça em relação à outra.
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viga
viga
rolete
pilar
pilar
viga
viga
placa de neoprene
pino em base metálica
pino de encaixe
pilar
pilar
viga
rolete
pilar
Figura 4.6 – Exemplos reais de vínculos entre elementos estruturais. Engastado; rotulado fixo com rolete, rotulado fixo com pino, rotulado fixo com eixo, rotulado móvel com rolete. Fonte: Marco Milazzo.
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Figura 4.7 – Exemplo de conexão de dois pilares de madeira em dois apoios rotulados fixos de aço. Projeto do Centro Cultural Jean Marie Tjibaou em Nouméa, Nova Caledônia. Arquiteto Renzo Piano. Fonte: http://www.rpbw.com
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Figura 4.8 – Estrutura de concreto armado moldado “in loco”. A conexão entre as vigas e o pilar é moldada de tal forma que cria uma conexão considerada engastada e fixa. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/CONCRETE_COLUMN-BEAM_ DETAIL._VIEW_T O_WEST._-_Commercial_and_Industrial_Buildings%2C_McFadden_ Coffee_and_Spic e_Company%2C_Factory_and_Warehouse%2C_145_First_Street%2C_ Dubuque%2C_Dubuque_HABS_IOWA%2C31-DUBU%2C13-H-14.tif
Com o objetivo de simplificar os desenhos quando queremos representar uma estrutura que deverá ser calculada, os elementos estruturais e seus vínculos são representados por uma das possibilidades abaixo: Vínculo articulado móvel – Vínculo de primeira ordem – Apresenta resistência ao deslocamento vertical, mas permite a rotação e o deslocamento horizontal.
Vínculo articulado fixo – Vínculo de segunda ordem – Apresenta resistência ao deslocamento vertical e ao deslocamento horizontal, mas permite a rotação.
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capítulo 4
Vinculo engastado fixo – Vínculo de terceira ordem – Apresenta resistência ao deslocamento vertical ao deslocamento horizontal e à rotação.
Os elementos estruturais devem estar conectados entre si, através de diferentes tipos de vínculo, que garantam a estabilidade do conjunto. Quando não conseguimos essa estabilidade, chamamos a estrutura de HIPOSTÁTICA. A estrutura ilustrada a seguir é um elemento estrutural horizontal preso a um bloco por um vínculo articulado fixo. Esta estrutura é HIPOSTÁTICA, pois não consegue manter o elemento na horizontal.
Figura 4.9 – Exemplo de estrutura hipostática – Representação real e representação esquemática. Fonte: Marco Milazzo.
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Na tentativa de estabilizar essa estrutura, podemos resolver de diferentes formas. No exemplo a seguir, trocamos o vínculo articulado por um vínculo engastado, assim a estrutura tem capacidade de se manter estável. Toda estrutura que apresenta o mínimo de condições necessárias para estabilização é denominada ISOSTÁTICA.
Figura 4.10 – Exemplo de estrutura isostática – Representação real e representação esquemática. Fonte: Marco Milazzo.
Entretanto, se, além de engastarmos o vínculo também colocarmos um apoio no final da barra, conforme imagem a seguir, estaremos com mais condições do que seria necessário para garantir a estabilidade do elemento estrutural. Esse tipo de estrutura é denominado de HIPERESTÁTICA.
Figura 4.11 – Exemplo de estrutura hiperestática – Representação real e representação esquemática. Fonte: Marco Milazzo.
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capítulo 4
Na arquitetura e na construção civil, trabalhamos normalmente com estruturas ISOSTÁTICAS e HIPERESTÁTICAS. Contudo, quando devemos escolher utilizar uma estrutura HIPERESTÁTICA ou uma estrutura ISOSTÁTICA? Quais as vantagens e desvantagens de cada uma destas estruturas? Vamos analisar as duas estruturas a seguir:
δ2
δ2
Figura 4.12 – Estrutura composta por uma viga contínua apoiada em 4 pilares. Fonte: Marco Milazzo.
δ1
δ1
Figura 4.13 – Estrutura composta por quatro vigas independentes apoiadas em 4 pilares. Fonte: Marco Milazzo.
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As duas estruturas podem ser utilizadas para a mesma necessidade arquitetônica, com as mesmas dimensões, porém com tipos de vínculos diferentes. A primeira estrutura é HIPERESTÁTICA, pois, se retirarmos qualquer um dos pilares, a viga se mantém estática. A segunda estrutura é ISOSTÁTICA, pois, se retirarmos qualquer um dos quatro pilares, duas das vigas irão cair. Isso torna a estrutura HIPERESTÁTICA mais segura. Quando aplicamos uma carga igual na mesma posição nas duas vigas, cada uma apresentará uma deformação diferente. Na estrutura ISOSTÁTICA, apenas a viga onde foi aplicada a carga irá se deformar, sem transmitir essa deformação para o resto da estrutura, e na estrutura HIPERESTÁTICA a deformação será distribuída ao longo de toda a viga. Em compensação, na estrutura HIPERESTÁTICA, as deformações serão menores. Portanto, as estruturas HIPERESTÁTICAS consomem menos materiais quando analisamos a estrutura como um todo. As estruturas ISOSTÁTICAS são mais fáceis de ser calculadas, propagam menos o ruído e as vibrações e são mais fáceis de ser executadas. Sua aplicação é mais comum em estruturas pré-moldadas, de aço e de madeira. As estruturas de concreto armado “in loco” normalmente são HIPERESTÁTICAS, pois as peças ficam engastadas quando concretadas simultaneamente.
4.4 Equilíbrio Estático Interno Aprendemos a resolver o equilíbrio estático externo, através da composição dos elementos e de como eles se conectam entre si. Agora temos de equilibrar internamente cada elemento, evitando que haja a ruptura da sua seção, ou seja, evitar que haja algum tipo de deslocamento entre partes de um mesmo elemento. Quando aplicamos uma carga (força) sobre um elemento, dizemos que internamente ele está sofrendo algum tipo de ESFORÇO. Estes esforços causarão TENSÕES NORMAIS e TENSÕES TANGENCIAIS nestes elementos. Quando aparece somente um único esforço dentro do elemento, chamamos de ESFORÇO SIMPLES e, quando aparece mais de um ESFORÇO, chamamos de COMPOSTO. Os ESFORÇOS podem causar diferentes mudanças na forma dos elementos, chamadas de DEFORMAÇÕES.
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4.4.1 Tração Simples Denominamos TRAÇÃO SIMPLES quando uma força é aplicada paralelamente ao eixo de um elemento, fazendo com que esse elemento tenha aumento do seu comprimento, sem o aparecimento de TENSÕES DE CISALHAMENTO. A ruptura do elemento durante a TRAÇÃO ocorre quando é atingido o limite da resistência do material. A forma do elemento não influencia na sua resistência. Comparando diversos elementos com formas diferentes, porém com a mesma área de seção transversal, a resistência é a mesma. Em contrapartida, quanto menos espaço o elemento ocupar, melhor será visualmente e funcionalmente para o projeto e, portanto, a seção circular é a mais indicada.
Figura 4.14 – Elemento tracionado. Fonte: Marco Milazzo.
4.4.2 Compressão Simples Denominamos COMPRESSÃO SIMPLES quando uma força é aplicada paralelamente ao eixo de um elemento, no sentido de fora para dentro, fazendo com que esse elemento tenha diminuição do seu comprimento, sem o aparecimento de TENSÕES DE CISALHAMENTO. Na COMPRESSÃO SIMPLES, os elementos podem se romper pelo esmagamento do material, mas também por outro fenômeno chamado FLAMBAGEM. A FLAMBAGEM ocorre pela instabilidade lateral do elemento estrutural e depende da intensidade da força aplicada, da elasticidade do material e da proporção entre largura, espessura e comprimento. Para aumentar a resistência do elemento à FLAMBAGEM, podemos aumentar o tamanho da sua seção transversal sem aumentar a quantidade de material. Devemos distribuir o material de forma que fique o mais afastado possível do CENTRO DE GRAVIDADE do elemento. Os elementos com seções vazadas são os mais adequados nesse sentido.
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Devido à FLAMBAGEM, os elementos que sofrem TRAÇÃO sempre serão mais esbeltos que os elementos que sofrem COMPRESSÃO.
Figura 4.15 – Elemento comprimido. Fonte: Marco Milazzo.
4.4.3 Cortante O CORTANTE ocorre paralelamente ao elemento e é similar ao corte por uma faca (a FORÇA CORTANTE provoca internamente nos elementos uma TENSÃO DE CISALHAMENTO). Quando aplicamos uma força perpendicularmente a um elemento, aparece a TENSÃO DE CISALHAMENTO. Se imaginarmos este elemento composto de várias fatias, com o aparecimento desta força uma fatia iria se deslizar em relação à outra fatia. Para que não haja este deslizamento, as duas fatias precisam estar conectadas ou coladas entre si. Esta conexão deve ser resistente o suficiente para aguentar esta TENSÃO a que está sendo submetida. F
Figura 4.16 – Viga biapoiada com aplicação de carga concentrada no meio do seu vão. Fonte: Marco Milazzo.
Figura 4.17 – Viga dividida em pedaços que se deslizam entre si, e colocação de barras de ferro que irão resistir a esse deslizamento – Força cortante. Fonte: RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000.
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4.4.4 Flexão Quando aplicamos uma força perpendicularmente a um elemento estrutural, além do aparecimento do CORTANTE, há o aparecimento de um MOMENTO causado pela força multiplicada pela distância até os pontos onde a estrutura está apoiada. Este momento é chamado de MOMENTO FLETOR, o que causa deformação no elemento ao longo da barra com formato curvo. Esta deformação é chamada de FLECHA (δ). O resultado visual da deformação é similar ao formado pela FLAMBAGEM, porém as causas são diferentes.
δ1
δ1
Figura 4.18 – Elemento flexionado. Fonte: Marco Milazzo.
Se verificarmos o comportamento de diversas seções do elemento flexionado, perceberemos na imagem a seguir que as seções se aproximam na parte superior e se afastam na parte inferior. compreção
tração
Figura 4.19 – Elemento flexionado dividido em fatias. Fonte: Marco Milazzo.
Dentro do elemento aparece um binário TRAÇÃO-COMPRESSÃO. Na parte superior aparece a COMPRESSÃO e, na parte inferior, aparece a TRAÇÃO. No CENTRO DE GRAVIDADE da seção do elemento não há nenhum esforço, e por
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isso chamamos a linha que atravessa o elemento pelo CENTRO DE GRAVIDADE de LINHA NEUTRA.
F
flecha
C
T
Q = força cortante M
Binário R, Q Binário C, T
R= reação
M = Momento Fletor
Figura 4.20 – Elemento flexionado dividido em fatias, aparecimento de forças cortantes e binários tração-compressão nas suas seções. Fonte: RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000
A forma da seção de um elemento submetido à FLEXÃO deve ser aquela que concentra a maior quantidade de material afastada do CENTRO DE GRAVIDADE e próxima da parte superior e da parte inferior do elemento, onde aparecem os esforços que devem ser anulados. Por este motivo, a altura de uma VIGA é muito mais importante que a sua largura. b b C1
C2
h Z1
T1
T2
M
Z2 M
material de ser menos resistente
material deve ser mais resitente bh3 momento de J = 12 inércia da seção
h
J bh2 W = h/2 = b
módulo de residêncial da seção
Figura 4.21 – Elemento flexionado – Comparação da resistência de dois elementos com alturas diferentes. Fonte: RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000
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4.4.5 Torção A TORÇÃO é um giro do elemento ao longo do seu eixo. Diferentemente da FLEXÃO, o elemento não apresenta FLECHA, e sua ruptura se deve ao esmagamento das seções do material por conjuntos de TRAÇÕES e COMPRESSÕES que aparecem internamente entre seções do elemento torcido. Seções diferentes do elemento se torcem com intensidades diferentes e, quando estas seções se aproximam ou se afastam, pode ocorrer a ruptura. modelo de uma barra
submeda a torção
momento torçor
eix o
Figura 4.22 – Elemento Torcido. Analogia com a rotação de um conjunto de folhas de papel enroladas. Fonte: RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000
Quanto mais afastados estivermos do eixo de rotação da TORÇÃO, maior será a sua intensidade. Por este motivo, os elementos que concentram maior quantidade de material longe deste eixo de rotação serão os mais adequados
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para resistir a esse esforço. Se o eixo de rotação estiver coincidindo com o CENTRO DE GRAVIDADE do elemento, poderemos assumir que o perfil cilíndrico é o mais adequado para resistir à TORÇÃO.
antes da torção
depois da torção
Mt
tensões de cisalhamento
Mt = momento torçor
Mt
Mt
mesmas distancias
Figura 4.23 – Diferentes tipos de elementos submetidos à torção. Fonte: RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000
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Como resultado de uma TORÇÃO aparecem os esforços de COMPRESSÃO, TRAÇÃO e CISALHAMENTO. Na prática, a TORÇÃO está quase sempre associada a outros esforços e raramente aparece sozinha (TORÇÃO PURA ou TORÇÃO SIMPLES). A TORÇÃO pode aparecer quando temos uma viga apoiada em outra viga, fazendo uma alavanca, ou em lajes em balanço fixadas em uma viga (varandas e marquises).
τ
τ
T
Figura 4.24 – Aparecimento de esforços de cisalhamento em um elemento torcido. Fonte: Marco Milazzo.
T
Figura 4.25 – Aparecimento de esforços de compressão e tração em um elemento torcido. Fonte: Marco Milazzo.
T
Figura 4.26 – Aparecimento de fissuras em um elemento torcido. Fonte: Marco Milazzo.
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4.5 Considerações Gerais Sobre Esforços Os cinco esforços apresentados são uma forma mais didática de entender o comportamento interno das estruturas, mas, em resumo, todos os esforços são conjuntos de TENSÕES NORMAIS e de CISALHAMENTO. Se formos criar uma hierarquia dos esforços, temos a TRAÇÃO SIMPLES como o esforço que exige menor quantidade de material no elemento, sendo, portanto, mais econômico e visualmente mais interessante. A COMPRESSÃO SIMPLES já exige uma quantidade de material maior e/ou uma distribuição mais eficiente para vencer à FLAMBAGEM, e por este motivo resulta em uma estrutura mais pesada. Na FLEXÃO e na TORÇÃO, temos sempre o binário de COMPRESSÕES e TRAÇÕES e também o CORTANTE. São esforços, portanto, que exigirão maior consumo de material, materiais mais resistentes e ainda uma distribuição adequada que aumente sua resistência. Na prática, é impossível criar uma construção onde apareça somente a TRAÇÃO SIMPLES, que seria a estrutura mais econômica possível. Temos sempre um conjunto de esforços acontecendo ao mesmo tempo. No entanto, temos sempre de tentar minimizar o aparecimento de FLEXÕES e tentar ao máximo fazer com que apareçam esforços de TRAÇÃO.
ATIVIDADES 01. Analise as fotos das estruturas a seguir e identifique quais os tipos de vínculos construídos. a)
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b)
c)
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d)
02. Classifique as estruturas abaixo em hiperestática, isostática e hipostática. a)
b)
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c)
d)
e)
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f)
g)
REFLEXÃO Os sistemas estruturais das edificações precisam ter as condições mínimas de equilíbrio internas e externas atendidas. Externamente, os vínculos entre os elementos garantem que o sistema não desabe, independentemente dos materiais e da resistência individual de cada elemento. Internamente, precisamos descobrir quais esforços estão ocorrendo para calcular a quantidade de material necessária para que cada elemento não se rompa.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000. CHING, Francis D.K.Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010.
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5 Estrutura e Materiais
O conhecimento dos materiais construtivos é fundamental para a escolha correta que se adapte a cada sistema estrutural e a cada projeto arquitetônico. Cada material apresenta características que determinam sua resistência diante cada tipo de esforço interno que possa aparecer. No entanto, a escolha do material que será utilizado em um projeto não depende somente da sua resistência: a escolha pode ser feita por motivos estéticos, pela disponibilidade e pelo custo dos materiais ou pelo tempo que será gasto na obra para sua execução.
OBJETIVOS •
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Conhecer as características dos materiais construtivos; Aplicar os materiais em elementos estruturais e projetos; Recordar os conceitos de centro de gravidade e momento de inércia; Calcular o centro de gravidade e o momento de inércia de seções compostas; Analisar a relação do momento de inércia com a resistência de perfis estruturais.
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5.1 Relação entre os Esforços e os Materiais Construtivos Cada material construtivo tem características próprias e apresenta alguma resistência. Para o uso em sistemas estruturais, procuramos utilizar materiais que tenham grande resistência e também materiais que possam ser confiáveis. Encontramos materiais fabricados de diferentes formas, influenciando na sua resistência e confiabilidade. Isso também faz com que cada material apresente diferentes resistências, de acordo com cada esforço interno que possa aparecer nos elementos estruturais. Alguns materiais são fabricados industrialmente, como o aço e o alumínio, tendo uniformidade em sua composição molecular, apresentando a mesma resistência em qualquer direção e em qualquer ponto, sendo um material muito confiável. Outros materiais apresentam diferentes resistências, dependendo do ponto ou da direção analisada, como a madeira e o concreto. Podemos classificar os materiais de acordo com a sua composição da seguinte forma: Isótropos – Materiais Que Apresentam As Mesmas Propriedades Em Qualquer Direção; Ortótropos – Materiais Que Apresentam As Mesmas Propriedades Em Apenas Duas Direções; Anisótr opos – Materiais Que Apresentam Diferentes Propriedades Em Todas As Direções; Homogêneos – Materiais Que Apresentam As Mesmas Propriedades Em Qualquer Ponto; Heterogêneos – Materiais Que Apresentam Diferentes Propriedades Em Diferentes Pontos; A madeira é um material natural e composto por fibras lineares, portanto pode apresentar falhas em sua composição e resistências muito diferentes para cada direção que possa ser solicitada. Isso faz com que a madeira seja um material pouco confiável.
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Como nenhum material é totalmente confiável, ao calcularmos a quantidade de material necessária em um elemento para que ele resista a algum esforço, aplicamos um coeficiente de segurança. Quanto mais confiável for o material, menor é o coeficiente de segurança necessário. Os cálculos feitos com o uso de madeira exigem coeficiente de segurança muito maior que os cálculos feitos com o uso do aço. Outra característica importante dos materiais é a DUCTILIDADE, que indica qual a capacidade que cada material tem de se deformar antes de se romper. Um material muito dúctil se deforma muito, o que não quer dizer que se quebre com facilidade. O vidro é um material com grande resistência à tração e compressão e ainda tem a vantagem de ser industrializado, e por isso homogêneo, mas não é prático para ser utilizado em elementos estruturais, pois é muito FRÁGIL (contrário de DÚCTIL), quebrando-se repentinamente, com pouca deformação. Há pesquisadores que estão desenvolvendo os vidros metálicos: por meio de tratamentos térmicos, estão conseguindo criar vidros mais maleáveis. Por ser um material heterogêneo, composto de pequenas pedras coladas entre si pelo cimento, o CONCRETO tem uma boa resistência à compressão, mas não resiste à tração. Ao ser tracionado, as pedras tendem a se “descolar”. Para resolver este problema, podemos fazer uma associação de diferentes materiais que tenham resistências diferentes para cada tipo de esforço. Associamos o CONCRETO com o AÇO e criamos o CONCRETO ARMADO. O AÇO tem boa resistência em qualquer direção e, por isso, resiste bem a qualquer esforço. Esta associação permite que, quando uma peça de CONCRETO esteja submetida à tração, o AÇO seja o responsável por resistir a esse esforço. Como o aço é mais resistente que o concreto para qualquer esforço, poderíamos usar elementos maciços de AÇO, em vez de CONCRETO ARMADO, porém o CONCRETO é mais econômico para resistir aos esforços de compressão que o AÇO, além de ser mais resistente ao fogo e à oxidação. A combinação de diferentes materiais pode agregar os benefícios de cada um deles no mesmo sistema estrutural.
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5.2 Índice de Eficiência Para determinar o desempenho de um material, podemos adotar o ÍNDICE DE EFICIÊNCIA, definido pela fórmula: K = σ/ γ Em que: σ é a tensão de resistência do material; γ é o peso específico do material.
Essa fórmula indica que os melhores materiais são aqueles que têm maior resistência às tensões com o menor peso. MATERIAL CONCRETO AÇO MADEIRA CONÍFERA MADEIRA DICOTILEDÔNEA
DENSIDADE(G/CM 3)
RESISTENCIA (MPA)
2,4
1920
ÍNDICE DE EFICIÊNCIA 8
7,8
234000
32
0,6
600
83
0,9
630
83
Tabela 5.1 – Quadro comparativo de índices de eficiência de diferentes materiais (Fonte: Ca/il Jr. e Dias (1997))
Analisando o quadro comparativo acima, verificamos que a resistência do aço é muito superior à dos outros materiais; porém, como a densidade das madeiras é muito baixa, o seu índice de eficiência acaba sendo superior ao do aço.
5.3 Pedra As pedras foram o primeiro material a ser utilizado como elemento estrutural. Têm grande durabilidade e grande resistência à compressão. Encontramos pedras com resistências à compressão entre 800 kgf/cm2 a 2.000 kgf/cm2. A limitação do seu uso se deve por ser um material natural que precisa ser extraído, cortado e lapidado com extrema dificuldade. Existem três tipos de rochas usadas na construção civil que ocorrem naturalmente:
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Rochas ígneas – Rochas duras e não porosas formadas a partir do resfriamento lento ou rápido do magma derretido. O melhor exemplo é o granito. Rochas sedimentares – Rochas fracas e bastante porosas formadas a partir da compactação de depósitos de rochas erodidas ao longo do tempo, que se instalaram em camadas, principalmente sobre os fundos marinhos. Os melhores exemplos são o arenito e o calcário. Rochas metamórficas – Rochas duras e não porosas formadas a partir de
rochas preexistentes e que tenham sido alteradas pelo calor ou por pressão intensa. Os melhores exemplos são os mármores e as ardósias. O granito, o arenito e o calcário podem ser usados para a construção de muros, mas a ardósia só é adequada para telhados e pisos. O arenito pode ser muito poroso e frágil, não sendo indicado para estruturas de suporte de carga. A compreensão de como a rocha foi formada pode revelar como ela pode ser usada em um edifício, quais são as suas limitações e como irá se comportar ao longo do tempo.
5.4 Concreto O CONCRETO pode ser entendido como uma tentativa de se produzir uma pedra artificial. Em sua composição, temos pedras de diversos tamanhos, água, cimento e areia. A água e o cimento funcionam como uma cola que conecta as pedras e a areia, que têm uma grande resistência, mas tamanho limitado. Outra característica específica do concreto é que a mistura de seus componentes produz um material líquido, que ganha resistência e solidez após um certo período. Assim, o concreto permite que sejam construídos elementos com qualquer forma, principalmente elementos orgânicos. Em 1756, o engenheiro britânico John Smeaton foi contratado para construir um farol em Eddystone, Inglaterra. Para desenvolver uma argamassa que poderia suportar a agressividade da água do mar, Smeaton combinou vários materiais provenientes de várias partes da Inglaterra e do continente. Ele alcançou o sucesso quando combinou uma pedra calcária de Gales do Sul e uma Pozolana italiana. Esta combinação produziu o primeiro cimento de alta qualidade desde a queda do Império Romano.
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Figura 5.1 – Construção de laje de concreto moldada “in loco” (https://commons.wikimedia. org/wiki/File:Concrete_pouring_0020.jpg
Podemos utilizar o concreto da mesma forma que as pedras, em pequenos elementos e em situações em que haja esforços de compressão e baixa tração. Como o concreto é composto de pedras coladas, os esforços de tração fazem com que haja descolamento entre as pedras e o cimento. Mesmo assim, sua composição é caracterizada como ISÓTROPA e HOMOGÊNEA, apresentando praticamente a mesma resistência em qualquer ponto e qualquer direção. Para permitir o uso do concreto em peças que estejam submetidas aos esforços de flexão e tração, podemos associá-lo a barras de aço, obtendo o CONCRETO ARMADO.
Figura 5.2 – Foto mostrando a composição heterogênea do concreto. (https://commons. wikimedia.org/wiki/File:Concrete_aggregate_grinding.JPG
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O edifício mais controverso da Exposição Mundial de 1958 foi totalmente construído de concreto armado. Chamado de pavilhão Philips, do arquiteto Le Corbusier, foi uma provocação aos antigos hábitos de visualização modernistas graças à sua forma completamente assimétrica. Le Corbusier trabalhou em conjunto com o músico Edgar Varèse e o designer Iannis Xenakis, O prédio consistia em vários suportes de concreto montados no solo, intercalados com hastes cruciformes de aço. Em seguida, foram dispostas sobre estes elementos redes metálicas curvas. Nestas redes foram apoiados elementos pré-moldados de concreto. Por último, toda estrutura foi pintada com tinta prateada.
Figura 5.3 – Pavilhão Philips da Expo de 1958, do arquiteto Le Corbusier. Fonte: https:// commons.wikimedia.org/wiki/File:Expo58_building_Philips.jpg
Como a forma inicial do concreto é líquida, é necessário que sejam construídas fôrmas que possam servir como molde e suporte, até que o concreto esteja completamente seco. Normalmente, estas formas são feitas de madeira, plástico ou alumínio, mas teoricamente podem ser construídas de qualquer material.
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Após algumas horas, o concreto já adquire alguma resistência, que irá aumentando ao longo dos anos. Normalmente, o concreto apresenta resistências à compressão que variam de 150 kgf/cm2 (15 Mpa) até 500 kgf/cm2 (50 Mpa), muito abaixo da resistência das pedras naturais. Para conseguir a resistência necessária que atenda às necessidades do projeto, utilizamos misturas específicas de pedras, cimento e areia. Estas misturas são denominadas TRAÇO DO CONCRETO. O concreto pode ser produzido IN LOCO, ou seja, na própria obra, ou podemos comprar o concreto em usinas, que serão transportados até a obra por meio de betoneiras.
Figura 5.4 – Betoneira de concreto. Fonte: File:Kurpfalz_Beton_Mischer.JPG?uselang=pt-br
https://commons.wikimedia.org/wiki/
Como o concreto tem uma fabricação muito “artesanal” e, portanto, variável, criou-se o termo FCK, que define a resistência de um determinado concreto através da medição de várias amostras, para garantir uma resistência mínima do concreto que está sendo utilizado em uma obra.
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5.5 Aço O AÇO é um material industrial produzido em usinas, composto basicamente de carbono e minério de ferro. É um material caro, porém com grande resistência a todos os esforços. Um dos problemas que podemos encontrar no AÇO é a sua oxidação com a ação da umidade (corrosão). Todos os aços contêm pequenas quantidades de carbono, manganês, silício, fósforo ou enxofre, seja porque estes integravam as matérias-primas com que foram fabricados, seja porque lhes foram adicionados, para lhes conferirem determinadas propriedades. De modo geral, as adições são pequenas, de no máximo 0,5% a 0,7% da massa total do metal. As pequenas variações de composição que inevitavelmente ocorrem durante o processo de fabricação do metal tampouco afetam significativamente suas características. Aços com maior quantidade de carbono são mais resistentes, porém pouco dúcteis e muito quebradiços. Aços com menos carbono são mais dúcteis e com menor resistência. Sua composição é muito HOMOGÊNEA, e o controle da sua produção é muito rigoroso. Podemos usar um coeficiente de segurança muito baixo no cálculo de estruturas metálicas.
Figura 5.5 – Cabos de aço. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ 7/7a/Steel_wire_rope.png
O aço apresenta a mesma resistência para os esforços de tração e compressão. Quando usamos perfis metálicos em elementos sujeitos à compressão, devemos ter muito cuidado com o aparecimento da FLAMBAGEM.
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Quando usamos o AÇO no CONCRETO ARMADO, devemos aplicar o aço principalmente nos locais onde ocorra o esforço de tração e nos locais onde os esforços sejam MÁXIMOS, aproveitando melhor o uso do material. Denominamos Fyk a sigla para representar o valor da resistência do aço. Existem no mercado brasileiro os seguintes tipos de aço em barras para o concreto armado: CA25 – Categoria A – Aço com superfície lisa – Fyk = 2.500 kgf/cm2 CA50 – Categoria A – Aço com superfície rugosa – Fyk = 5.000 kgf/cm2 CA60 – Categoria B – Aço com superfície rugosa – Fyk = 6.000 kgf/cm2 Além do tipo de aço, são fabricadas barras de diversas espessuras, conforme tabela abaixo: MILÍMETROS POLEGADAS ÁREA EM MM2
5
6,3
8
10
12,5
16
20
22,2
25
3/16
1/4
5/16
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
20
31
50
79
123
201
314
387
491
As barras lisas são indicadas para amarração de barras entre si, e as barras rugosas são indicadas para uso efetivo na resistência dos elementos estruturais. Para a construção de estruturas metálicas, vamos encontrar uma variação grande de tipos de perfis, com diferentes tipos de geometria, espessura, fabricação e com indicação de uso diferenciado, além de maior ou menor resistência mecânica e composição química. Normalmente, as usinas fornecem catálogos e tabelas com a descrição dos produtos que são fabricados. Os perfis estruturais podem ser fabricados de três formas diferentes: perfis laminados, chapas soldadas ou chapa dobrada. Para resistir aos esforços de tração, os cabos e os fios são as melhores opções, pois ocupam o menor espaço com a maior área de seção possível. Para a compressão, como no caso de pilares, a melhor seção de aço são os tubos cilíndricos, que são totalmente simétricos, resistindo à flambagem em qualquer direção. Perfis tubulares com outras seções são também muito usados, principalmente os retangulares, que podem ser fabricados com chapas dobradas, barateando o material. Para o uso de elementos submetidos à flexão, como no caso das vigas, a melhor opção é a utilização dos perfis I, pois a sua forma distribui a maior parte de material nas áreas onde há mais tração e compressão.
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5.5.1 Tipos de Proteção do Aço A empresa norte-americana United States Steel Corporation, no início da década de 1930, desenvolveu um aço cujo nome comercial era Cor-Ten. O aço CorTen foi desenvolvido srcinalmente para a indústria ferroviária, e sua grande virtude aparente era permitir a construção de vagões mais leves. Todavia, o aço apresentou a propriedade de resistir à corrosão por casualidade. Em 1964, o arquiteto norte-americano Eero Saarinen utilizou-o na construção da sede da empresa Deere & Company, em Moline, no estado de Illinois. O aço foi deixado aparente nessa obra, tendo o arquiteto considerado que a ferrugem que sobre ele se formava constituía por si mesma um revestimento aceitável e atraente.
Figura 5.6 – Deere & Company World Headquarters, Moline, Illinois, USA, 1964, Arquiteto Eero Saarinen. Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/ Deere_%26_Company_World_Headquarters.jpg?download
Os aços de baixa liga e alta resistência mecânica resistentes à corrosão atmosférica são aços que têm em sua composição certos elementos químicos que alteram as características da ferrugem formada, propiciando a formação de uma película de óxidos protetores chamados de pátina, e por este motivo são denominados aços patinados. A forma mais tradicional de proteger os aços contra a corrosão é utilizando a pintura. No entanto, é difícil proteger uma estrutura metálica através da pintura se ela for inadequadamente projetada. Quanto mais simples a forma dada à construção, maiores as chances de que uma boa proteção contra a corrosão
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seja alcançada. Os projetos devem também prever soluções para afastar ao máximo a umidade da estrutura metálica. PROBLEMA UNIDADE E SUJEIRA PODEM SE ACUMULAR NA FENDA
CORROSÃO POTENCIAL (FRESTA)
SOLUÇÃOTÍPICA
PROBLEMA
UTILIZE PERFIL T OU OUTRA GEOMETRIA
UMIDADE PENETRA NA FENDA
UTILIZE CORDÃO DE SOLDA OU SELANTE
ELIMINE A FENDA POR SOLDAGEM OU SELANTE (EPOXI OU POLIURETANO)
CONDIÇÃO DESFAVORÁVEL
CONDIÇÃO FAVORÁVEL
REFORÇOS CRIAM, ACÚMULO DE ÁGUA E SUJEIRA
ELIMINE O ACÚMULO DE ÁGUA E SUJEIRA
CANTOS VIVOS E SOLDA CANTOS ARREDONDADOS DESCONTÍNUA E SOLDA CONTÍNUA
SOLUÇÃOTÍPICA
CRIE SITUAÇÕES QUE CUIDADO COM O ACÚMUEVITEM O ACÚMULO DE LO DE ÁGUA E SUJEIRA SUJEIRA E ÁGUA
Tabela 5.2 – Soluções para projetos em estrutura metálica. Fonte: Gerdau.
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O Brasil não tem uma grande tradição no uso do aço, como outros países do mundo. Como o aço é mais caro que o concreto armado, dificilmente era uma opção economicamente viável. Contudo, a execução de estruturas de concreto armado é mais lenta que a execução de estruturas metálicas. Com a especialização e o aumento do custo da mão de obra no Brasil, as construções mais rápidas passaram a ser economicamente mais importantes que os custos dos materiais de construção, e, por este motivo, o uso das estruturas metálicas teve um grande crescimento no Brasil.
5.6 Madeira A madeira é um material natural e orgânico, cujas características estão sujeitas a uma série de variações. Mesmo quando analisamos árvores da mesma espécie, elas apresentam diferenças grandes devido a sua formação. Também encontramos diferenças devido à idade com que a árvore foi cortada e ao seu tratamento e condicionamento. A umidade que pode ser encontrada dentro da madeira afeta muito o seu desempenho. A madeira também tem os inconvenientes de ser um material combustível e ser suscetível ao ataque de microrganismos e insetos. Essa variabilidade exige que o coeficiente de segurança nos cálculos com estrutura de madeira seja muito alto. Entretanto, a madeira tem outras vantagens, como a facilidade no uso, no corte, na construção de detalhes de encaixes e fixações. Além disso, é um material renovável, e por este motivo sustentável. Em relação aos esforços nos elementos de madeira, as madeiras são materiais HETEROGÊNEOS e ANISÓTROPOS, por isso as fibras da madeira devem estar alinhadas com os esforços de TRAÇÃO e COMPRESSÃO. Quando precisamos conectar dois elementos de madeira, normalmente é necessário usar elementos metálicos. A madeira também apresenta uma boa resistência à flexão quando resolvemos os problemas das conexões. A Associação Brasileira de Normas Técnicas desenvolveu a norma NBR 7190, que estabelece condições gerais que devem ser seguidas para um adequado projeto utilizando a madeira, incluindo critérios de dimensionamento, construção e manutenção adequadas. A norma cria uma padronização
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das propriedades das madeiras, para estabelecer a resistência que cada uma tem. Esta padronização divide as árvores em Coníferas e Folhosas, seguindo esta tabela:
CLASSES C20 C25 C30
CONÍFERAS (VALORES NA CONDIÇÃO-PADRÃO DE REFERÊNCIA U = 12%) FC0, K EC0, M Ρ APARENTE FC0K KG/M3 MPA MPA 20 25 30
45 6
3.500 8.500 14.500
500 550 600
Tabela 5.3 – Classes de resistência das Coníferas.
CLASSES D20 D30 D40 D50 D60
CONÍFERAS (VALORES NA CONDIÇÃO-PADRÃO DE REFERÊNCIA U = 12%) FC0, K EC0, M Ρ APARENTE FC0K KG/M3 MPA MPA 20 30 40 50 60
4 5 6 7 8
9.500 14.500 19.500 22.000 24.500
500 800 950 970 1.000
Tabela 5.4 – Classes de resistência das Folhosas.
Na construção de elementos estruturais formados com diversas peças, como o caso das treliças, ou quando há dificuldade de obter peças comerciais de grandes dimensões, é necessária a execução de ligações. Comercialmente, as peças de madeira são vendidas com comprimento máximo de 7 metros. É possível utilizar madeiras laminadas, peças de madeiras combinadas ou madeiras reconstituídas como peças estruturais. Emendas longitudinais
Emenda de borda
Lâmina de cola
Lâmina
Figura 5.7 – Madeira laminada.
capítulo 5
•
123
mesas almas
seção I seção caixão
seção duplo caixão
seção dupla I
Figura 5.8 – Peças compostas de madeira.
Cada elemento de madeira vendido comercialmente tem uma denominação diferente: ripa
sarrafo 1,5
5,0
caibro 1,5
pontalete 4,5
7,5
5,0 e 10,0 5,0 taboa
7,5
prancha viga
20,0 30,0
2,5
10,0
4,0
12,0 16,0 6,0
Figura 5.9 – Tipos de seção de madeira vendidos comercialmente.
A composição de diferentes peças pode ser feita com o uso de pregos, parafusos, chapas metálicas ou cola. O uso da madeira no Brasil é muito limitado às pequenas construções, principalmente pela falta de mão de obra especializada.
124
•
capítulo 5
5.7 Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centroide O CENTRO DE GRAVIDADE de um objeto é o ponto no espaço onde se localiza a resultante dos pesos de cada pedaço deste objeto. É o ponto onde o objeto se equilibra. O CENTRO DE MASSA de um objeto é um conceito similar ao Centro de Gravidade, mas que também considera as forças externas e a aceleração do corpo. O conceito de CENTROIDE é entendido como sendo o centro geométrico de um corpo. Por esse motivo, se estivermos trabalhando com um campo gravitacional uniforme, o CENTRO DE GRAVIDADE e o CENTRO DE MASSA serão no mesmo ponto. E, se o corpo for uniforme e homogêneo, este ponto também coincidirá com o CENTROIDE. Curiosamente, o centro de massa e o centro de gravidade de um corpo podem estar em um ponto fora do objeto, onde não existe nenhuma massa. Este é o caso, por exemplo, de objetos cilíndricos ou esféricos, ou mesmo de objetos assimétricos e compostos por várias partes. Identificar a posição do CENTRO DE GRAVIDADE de um objeto é importante, principalmente para calcularmos depois o MOMENTO DE INÉRCIA de uma seção. O CENTRO DE GRAVIDADE de qualquer forma pode ser encontrado através do Cálculo Integral, mas para formas simples podemos utilizar métodos geométricos simples para encontrar este ponto: PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ELEMENTOS DE LINHA E ÁREA POSIÇÃO DO CENTROIDE y
L = 2θr r θ
y
A = θr2 r
θ
x
C
θ
r siθ θ
Segmento de arco de circunferência
MOMENTO DE INÉRCIA (ÁREA)
POSIÇÃO DO CENTROIDE
θ
C
x
2 r siθ 3 θ
Ix
=
1 r 4
Ix
=
1 r 4
1 θ sen 2 1 4 θ +sen 2 4
2θ
2θ
Área de setor circular
capítulo 5
•
125
y
L = πr 2 r
C
2r
C
r
r
π
a
A= 1 2 h ( a+ b )
C
x
a
A=
Ix
x
Ix
2 ab 3 r
Área semiparabólica
=
r4
π
4
1 4 πr 12 1 4 Iy = πr 12 Ix
x
=
A = bh
y
I
3a 4 a Área sob curva parabólica
r
Área do círculo
A = 1 ab 3 3 b 10
π 4
1
A = πr2
C
C
8
y
3b 8
b
=
Área de semicírculo
3a 5
C
=
1
4r 3π
r C
Área do trapézio b
1 4 πr 16 1 4 Iy = πr 16 Ix
2 πr A= 2
y
1 2a + b h 3 a+b
b
C
4r 3π Área de quarto de círculo
Arcos de quato de circunferênsia e semicircunferência
h
A= 1 πr2 4 4r 3π x
L = πr
h
x
C
1 =
x
Ix
b
r4
π
8 1 =
r4
π
4
Área do retângulo
a b
A=
C A = 4 ab 3
2 a 5
C
h
b
1 bh 2 x
Ix
1 =
br3
36
1 h 3
Área parabólica
Tabela 5.5 – Posição do centro geométrico e momento de inércia de formas geométricas básicas. Fonte: Hibbeler “Estática”.
Quando precisamos encontrar o CENTRO DE GRAVIDADE de formas mais complexas, podemos decompor estas formas em pedaços mais simples, cujo CENTRO DE GRAVIDADE já seja conhecido.
126
•
capítulo 5
O processo consiste nos seguintes passos: a) Desenhar o objeto dividido em pedaços cujos centros de gravidade sejam conhecidos; b) Se o objeto tiver um furo no meio, precisamos também trabalhar este furo como um elemento e encontrar seu centro de gravidade. Esta geometria será diminuída do centro de gravidade resultante; c) Determine as coordenadas X, Y e Z dos centros de gravidade de cada pedaço; d) Determine a área de cada parte e a área total do conjunto; e) A coordenada final X, Y e Z do centro de gravidade do conjunto será igual à somatória da área de cada parte, multiplicada pela distância da coordenada de cada parte, dividida pela área total do conjunto: X = (A1 x X1 + A2 x X2 + A3 x X3 ... Na x Xn) / A Y = (A1 x Y1 + A2 x Y2 + A3 x Y3 ... Na x Yn) / A Z = (A1 x Z1 + A2 x Z2 + A3 x Z3 ... Na x Zn) / A Pode ser feita uma tabela para ajudar nos cálculos.
EXEMPLO Localize o centroide da área da placa mostrada na figura 5.10 e 5.11. y
2m 1m x 1m
2m
3m (a)
Figura 5.10 –
capítulo 5
•
127
y y
2,5m 3 2 1,5m
1
2m 1m x
x (b)
1,5m 1m
Figura 5.11 – Solução:
Partes compostas A placa é dividida em três segmentos conforme mostra a Figura 5.11. Aqui, a área do pequeno retângulo (3) é considerada 'negativa', pois precisa ser subtraída do maior (2). Braços do momento O centro i de cada segmento está localizado conforme indica a figura. Observe que as coordenadas x de (2) e (3) são negativas. Somatórios
Tomando os dados da figura 5.11, os cálculos são tabulados da seguinte forma: 3 SEGMENTO A(M2) X(M) Y(M) XA(M3) YA(M ) 1
1
2
2 3
( 3)( 3)
(3)(3)=9 2(2) –(1) = – 2,5 –
1
4 5,
–1,5
1 1,5
2
–13,5 5
11,5= ΣΑ
4,5
Σ
4,5 13,5
4– xA = – 4
ΣyA = 14
Tabela 5.6 – Assim, X=
∑ XA = ∑A
4 115 ,
= 0, 348 m
∑ YA 14 Y = ∑ A = 115 , m , = 122 Nota: Se esses resultados forem representados na figura 5.10, a localização do ponto C parece ser razoável. Fonte: Hibbeler “Estática”.
128
•
capítulo 5
5.8 Momento de Inércia Quando aplicamos cargas em um objeto, estas cargas podem se distribuir nas seções do objeto de forma variável. A distribuição desta carga, em relação a algum eixo, é o que chamamos de MOMENTO DE INÉRCIA (I). O MOMENTO DE INÉRCIA (I) estabelece a resistência da forma de uma seção do objeto em relação a um eixo. Quanto maior for a distância do objeto até o eixo, maior será o MOMENTO DE INÉRCIA (I). Para determinar o MOMENTO DE INÉRCIA (I) de uma área plana (seção de um objeto), é necessário usar o Cálculo Integral. Por este motivo vamos usar fórmulas de MOMENTO INÉRCIA (I) já calculadas para formas geométricas simples, conforme a figura 5.5. No entanto, estas fórmulas apenas determinam o MOMENTO DE INÉRCIA (I) em relação ao CENTRO DE GRAVIDADE das respectivas formas. Para calcular o MOMENTO DE INÉRCIA (I) destas formas em relação a um eixo em qualquer posição no espaço, precisamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que determina: I = I’ + Ad2 Ou seja, o MOMENTO DE INÉRCIA para um eixo afastado pela distância
d é igual ao MOMENTO DE INÉRCIA no Centro de Gravidade somado com a
Área da seção, multiplicado pelo quadrado da distância perpendicular entre os eixos. Para encontrarmos o MOMENTO DE INÉRCIA de seções geométricas mais complexas, precisamos decompor a geometria em elementos mais simples, cujos MOMENTOS DE INÉRCIA sejam conhecidos, e, aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos, transportar estes MOMENTOS DE INÉRCIA para o local onde se deseja calcular o MOMENTO DE INÉRCIA final, e posteriormente somar todos os MOMENTOS DE INÉRCIA das partes que foram criadas. Se houver um buraco na seção, calculamos a sua área e o seu momento de inércia e, em vez de somarmos, subtraímos o seu valor no cálculo do MOMENTO DE INÉRCIA final.
capítulo 5
•
129
EXEMPLO Determine o momento de inércia da área mostrada na Figura 5.11 em relação ao eixo x. Solução:
Partes compostas A área pode ser obtida subtraindo o círculo do retângulo mostrado na figura 5.11. O centroide de cada área está localizado na figura. 100 mm
100 mm
25 mm
75 mm
75 mm
25 mm
75 mm
75 mm
x
x
Figura 5.12 – Teorema dos eixos paralelos Os momentos de inércia em relação ao eixo x são determinados usando o teorema dos eixos paralelos e os dados na tabela 5.5. Círculo IA =I =
+ x ’ Ad
2 y
1 4 2 π ( 25 ) + π( 25) ( 75 ) 4
2
114 ,10( =
6
)mm4
Retângulo Ix =I =
+ x ’ Ad
2 y
1 3 (100 ) + (150 ) + 100 ( )(150)( 7 )5 12
Somatório O momento de inércia da área é, portanto: Ix = – 11,4 (106) + 112,5 (106) = 101 (106) mm4 Fonte: Hibbeler “Estática”.
130
•
capítulo 5
2
1125 ,10( =
6
)mm4
ATIVIDADES 01. Encontre a posição do CENTRO DE GRAVIDADE, o MOMENTO DE INÉRCIA em relação aos eixos na figura e o MOMENTO DE INÉRCIA em relação ao CENTRO DE GRAVIDADE das figuras a seguir. y
150 mm 150 mm
50 mm
300 mm
x
25 mm
25 m m
REFLEXÃO Cada material construtivo tem características, vantagens e limitações. É fundamental conhecer bem cada um destes materiais para que possamos escolher adequadamente qual funciona com o sistema estrutural e com a arquitetura projetada. Sem este conhecimento estaremos sempre limitados, na mão dos construtores e engenheiros, que irão propor sempre a solução mais prática, porém nem sempre a mais adequada. A resistência e a quantidade de material não são a única resposta para construir elementos que resistam aos esforços. Podemos ver, pelo estudo do Momento de Inércia, que a forma e como o material é distribuído nos elementos influenciam muito na sua resistência.
capítulo 5
•
131
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000. BOTELHO, M.H.C. Concreto Armado Eu te Amo para Arquitetos. Edgard Blucher Editora, 2006. HIBBELER, R.C. Estática. Editora Pearson, 2011.
132
•
capítulo 5
6 Padrões Estruturais e Modulação
Um PADRÃO ESTRUTURAL é a forma como diferentes elementos horizontais ou verticais podem ser distribuídos bidimensionalmente ou tridimensionalmente ao longo da volumetria de um projeto arquitetônico, implicando em sua funcionalidade e volumetria. Uma MODULAÇÃO ou GRELHA é uma malha que ajuda a definir o PADRÃO ESTRUTURAL, mas que também pode ser definido por ele. A MODULAÇÃO de elementos durante muito tempo foi usada para facilitar o desenho de projetos arquitetônicos, o cálculo estrutural e todos os outros projetos e cálculos complementares, pois, com a repetição contínua de elementos, todas as práticas de desenho e cálculo podiam ser repetidas. Atualmente, com o uso dos computadores, esta necessidade deixou de ser tão importante, pois os processos foram muito automatizados. Entretanto, na produção de elementos construtivos e no canteiro de obras, a modulação ainda é importante. Para o projeto arquitetônico, os PADRÕES ESTRUTURAIS se tornam interessantes para ajudar a organizar a volumetria da edificação, os ambientes e circulações, criam um diálogo mais fácil com os sistemas estruturais, facilitam a execução da obra e o uso dos sistemas de vedação (paredes e divisórias). Alguns sistemas necessariamente precisam se encaixar em MODULAÇÕES padronizadas para que possam ser viáveis, como os prédios com estrutura de alvenaria portantes e as estruturas pré-moldadas de concreto.
OBJETIVOS •
Conhecer elementos construtivos estruturais;
•
Analisar como diferentes elementos estruturais se relacionam e se conectam;
•
Identificar padrões e modulações estruturais;
•
Aplicar padrões e modulações estruturais em projetos arquitetônicos.
134
•
capítulo 6
6.1 Padrões Estruturais e a Forma As vigas são elementos estruturais horizontais e lineares que, apoiados em dois pilares, sustentam um volume arquitetônico, criando uma superfície aberta, permitindo a integração entre dois ambientes, permitindo a passagem entre eles. A viga tem uma superfície de sustentação linear, sendo ideal para sustentar cargas distribuídas linearmente, como paredes e lajes. Superfcies de apoio estrutural
Pilares e vigas
Figura 6.1 – Sistema estrutural de sustentação com pilares e vigas. Fonte: Ching.
Os pilares são elementos de distribuição vertical de carga que possuem superfície de contato pontual, sendo ideal para receber cargas concentradas. Superfcies de apoio estrutural
Uma série de pilares
Figura 6.2 – Sistema estrutural de sustentação com pilares. Fonte: Ching.
capítulo 6
•
135
Quando a distância entre os pilares é reduzida, de forma que se tornem um elemento contínuo, temos as paredes estruturais, que transferem as cargas horizontalmente e verticalmente ao mesmo tempo, porém se tornam um obstáculo, dividindo os espaços. Superfcie de apoio estrutural
Parede portante
Figura 6.3 – Sistema estrutural de sustentação com paredes estruturais. Fonte: Ching.
Em um projeto arquitetônico podemos ter esses três tipos de estruturas simultaneamente. O conjunto de sistemas de sustentação suportará superfícies horizontais: pisos e coberturas, que, juntamente com as vedações verticais, estabelecerão o ambiente construído. Os elementos que irão conectar os diversos elementos de sustentação serão definidos pelo sistema construtivo escolhido e pelas cargas existentes sobre a construção. O vencimento dos vãos pode ser feito de diversas formas, mas normalmente é feito em uma única direção ou em duas direções. Quando o vão em uma direção é maior que o dobro do vão da outra direção, normalmente é utilizado um sistema unidimensional. Quando um sistema apresenta elementos apenas em uma direção, obtemos um espaço livre aberto na outra direção, enquanto que, nos sistemas bidirecionais nas duas direções, teremos elementos marcando e dividindo os espaços.
136
•
capítulo 6
Figura 6.4 – Exemplos de sistemas unidirecionais e bidirecionais. Fonte: Ching.
capítulo 6
•
137
As MODULAÇÕES ou GRELHAS são formadas por conjuntos de linhas espaçadas, orientando e ordenando a posição dos elementos estruturais e dos elementos arquitetônicos.
Figura 6.5 – Fonte: Ching.
A criação de uma modulação deve levar em consideração as ideias arquitetônicas pretendidas, as funções e os espaços necessários, o sistema construtivo e o sistema estrutural que serão adotados. A partir dessas necessidades, a modulação pode ter variações de proporção, de escala e de dimensões. A modulação não precisa ser simétrica ou constante. Modulações diferentes podem se interceptar.
138
•
capítulo 6
Sistema unidirecional de vencimento de vãos. Apoios em paredes portantes. Quando as paredes são necessárias de um ponto de vista funcional, talvez o ideal seja usá-las como elementos portantes.
capítulo 6
•
139
Uma grelha de pilares oferece flexibilidade, permite leituras múltiplas dos volumes espaciais e estabelece um ritmo e uma escala para a leitura das dimensões especiais. Sistema unidirecional de vencimento de vãos. Estrutura arquitravadas (pilar e viga).
Sistema bidirecional de vencimento de vãos. Estrutura arquitravada (pilar e viga).
140
•
capítulo 6
Laje plana bidiresional. Apoio sobre pilares.
Lajes unidirecionais. Estrutura arquitravada (pilares e vigas).
Laje plana bidirecional. Apoio sobre pilares.
capítulo 6
•
141
Lajes bidirecionais. Estrutura arquitravada (pilares e vigas).
Laje plana bidirecional ou treliça espaciel. Apoio sobre pilares.
142
•
capítulo 6
Sistemas unidirecionais para o vencimento de grandes vãos. Figura 6.6 – Fonte: Ching.
6.2 Modulações simples As modulações regulares, com vãos que se repetem, permitem a adoção de sistemas estruturais também repetidos, facilitando o cálculo e o desenho. Grelhas quadradas permitem a adoção dos mesmos elementos nas duas direções, criando uma arquitetura mais homogênea. Apesar disso, podem ser usadas com sistemas armados nas duas direções ou apenas em uma única direção. Grelhas retangulares possuem dois vãos diferentes a serem vencidos, e normalmente a estrutura é armada na direção do menor vão, mas elas podem também trabalhar armadas nas duas direções. Quanto maior for a diferença entre os dois vãos, maiores serão as vantagens em se trabalhar armado somente na direção do menor vão.
capítulo 6
•
143
Figura 6.7 – Fonte: Ching.
Grelhas radiais têm uma distribuição radial partindo de um centro. Os elementos estruturais principais podem seguir a direção dos eixos ou de círculos formados a partir do centro da distribuição da grelha.
Figura 6.8 – Fonte: Ching.
6.3 Modulações modificadoras
Podemos alterar as modulações simples para conseguir atender a construções mais irregulares. As modulações modificadas podem resultar em uma variação de vãos, o que também irá resultar em elementos estruturais com dimensões variáveis.
144
•
capítulo 6
Podemos modificar as modulações simples com adições e subtrações.
Figura 6.9 – Fonte: Ching.
A modulação pode ser interrompida para permitir a passagem ou para a criação de áreas e pátios internos: C
a
m
in ho
o
u
ca ra ct e rí s
ca
d o
te rr
e n o
Figura 6.10 – Fonte: Ching.
capítulo 6
•
145
As modulações podem também ter variações com trechos com vãos maiores em uma ou duas direções:
Figura 6.11 – Fonte: Ching.
Figura 6.12 – Fonte: Ching.
Uma modulação simples pode ser recortada para acomodar outra modulação diferente:
Figura 6.13 – Fonte: Ching.
146
•
capítulo 6
6.4 Adequação de modulações a espaços de grandes vãos Diversas situações de projeto exigem a interação de espaços com grandes vãos, como auditórios, teatros e ginásios, com modulações simples. Espaços de grandes vãos exigem sistemas estruturais diferenciados e podem resultar em pilares de maiores dimensões. O sistema estrutural simples pode ajudar a estabilizar o sistema estrutural do espaço com grandes vãos. A primeira solução seria coincidir o espaço com a malha simples:
Figura 6.14 – Fonte: Ching.
capítulo 6
•
147
Outra possível solução é projetar o espaço fora da malha simples e conectar as duas malhas:
Figura 6.15 – Fonte: Ching.
6.5 Espaços irregulares 6.5.1 Espaços irregulares com diferentes geometrias Podemos conectar dois espaços com geometrias diferentes, cada uma possuindo sua própria malha estrutural. Esta conexão pode acontecer de três formas diferentes:
Uma das geometrias contrastantes internaliza a outra.
Geometrias contrastantes que se interceptam ou sobrepõem.
148
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capítulo 6
Geometrias contrastantes separadas, mas conectadas por uma terceira estrutura.
Geometria contrastantes distintas, mas conectadas.
Geometria retangular dentro de uma geometria circular.
Geometrias sobrepostas.
capítulo 6
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149
Geometria retangular dentro de uma geometria circular.
Geometria circular internalizada a uma geometria retangular.
Geometria retangular internalizada a uma geometria circular. (Fonte: Ching)
150
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capítulo 6
6.5.2 Espaços irregulares com diferentes orientações Outra possibilidade de conexão pode acontecer entre malhas com diferentes orientações.
Figura 6.16 – Fonte: Ching.
Quando temos duas malhas com diferentes orientações se conectando, uma das duas pode ser preponderante à outra:
Figura 6.17 – Fonte: Ching.
capítulo 6
•
151
É interessante conseguir conectar duas malhas de forma que haja pontos em comum entre elas.. Uma opção de conexão entre as duas malhas é criar uma terceira volumetria, sobrepondo as duas malhas que se deseja conectar.
Figura 6.18 – Fonte: Ching.
6.5.3 Espaços muito irregulares O projeto arquitetônico pode também ter uma volumetria muito irregular, impossibilitando a construção de uma malha simples, ou mesmo conectando malhas diferentes entre si. O exemplo abaixo mostra três possibilidades de criar uma modulação estrutural para a volumetria apresentada:
Figura 6.19 – Fonte: Ching.
A possibilidade abaixo cria uma malha regular com grandes vãos, em que a volumetria da edificação fica independente, pendurada ou apoiada na malha.
Figura 6.20 – Fonte: Ching.
152
•
capítulo 6
A segunda possibilidade é adaptar uma modulação simples, criando elementos adicionais e retirando elementos da modulação. A terceira possibilidade cria uma malha totalmente adaptada na volumetria, criando elementos totalmente diferentes, sem um padrão definido.
Figura 6.21 – Fonte: Ching.
6.5.4 Formatos irregulares com muitas adições e subtrações Os projetos arquitetônicos constantemente necessitam de diversas adições e subtrações em sua volumetria para se adequar ao programa de necessidades, ao formato do terreno, à volumetria desejada pelo arquiteto etc. Vamos analisar os exemplos abaixo e as possíveis soluções de modulação:
Figura 6.22 – Fonte: Ching.
Figura 6.23 – Fonte: Ching.
capítulo 6
•
153
Figura 6.24 – Fonte: Ching.
Figura 6.25 – Fonte: Ching.
6.5.5 Conexão entre modulação radial e modulação retangular A conexão entre partes curvas e retas de um mesmo projeto pode ser feita de diversas formas, de acordo com as necessidades de projeto ou com o resultado formal desejado.
Figura 6.26 – Fonte: Ching.
Na primeira opção, temos a malha da parta curva com espaçamentos iguais, e a malha da parte retangular é resultado do cruzamento da forma com essa malha.
154
•
capítulo 6
Figura 6.27 – Fonte: Ching.
Na opção abaixo usamos uma malha regular na volumetria retangular e prolongamos para a parte curva.
Figura 6.28 – Fonte: Ching.
No exemplo abaixo, para encontrar uma malha adequada para o encontro de uma superfície curva com uma superfície reta, uma das possibilidades é encontrar o centro dos arcos que compõem a superfície curva e utilizar raios com ângulos iguais, como os elementos geradores da modulação. O encontro destes raios com a superfície reta pode definir onde serão lançados os pilares.
capítulo 6
•
155
Figura 6.29 – Fonte: Ching.
Outra possibilidade é usar uma malha simples ortogonal gerada pela forma reta e prolongar essa malha até interceptar a curva. Nesta opção, sobrarão pequenos espaços entre a superfície curva e os elementos retos, e teremos diferentes vãos entre a parte reta e a superfície curva.
Figura 6.30 – Fonte: Ching.
156
•
capítulo 6
Para padronizar os vãos estruturais, podemos criar uma malha com subtrações e adições, buscando se adaptar o melhor possível à forma curva. Com essa solução, temos uma área menor do projeto que não estará seguindo uma repetição dos vãos.
Figura 6.31 – Fonte: Ching.
6.5.6 Modulações diferenciadas Os projetos podem não se enquadrar em malhas com elementos paralelos ou malhas radiais, conforme apresentado nas Modulações Simples. Na estrutura apresentada abaixo, a malha foi resolvida através da criação de um eixo de simetria e da divisão do contorno da volumetria em pontos com espaçamentos regulares, que se conectam entre si. Este eixo também permite que as duas partes simétricas sejam deslocadas.
Figura 6.32 – Fonte: Ching.
Outra possível solução é criar uma malha ortogonal que é limitada pela borda da volumetria. A quarta possibilidade está trabalhando com uma laje plana de concreto apoiada em pilares que podem ser espalhados com espaçamentos
capítulo 6
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157
com distâncias aproximadamente iguais, sem seguir uma malha ou modulação regular.
Figura 6.33 – Fonte: Ching.
Formas com arestas retas e não perpendiculares podem ter uma malha definida apenas por uma de suas arestas. A partir dessa aresta, são criados elementos paralelos e limitados pelas outras bordas da volumetria. Os pontos definidos por esta malha podem também servir para criar um segundo conjunto de elementos em direções diferentes, assim definindo outra malha. Podemos ver que as duas direções da malha não são perpendiculares, mas criam vãos iguais entre os pilares.
Figura 6.34 – Fonte: Ching.
Uma terceira possibilidade de modulação para essa volumetria pode ser feita usando-se elementos paralelos, perpendiculares a uma das arestas, e nas
158
•
capítulo 6
partes que essa modulação não pode ser utilizada, cria-se uma segunda malha complementar.
Figura 6.35 – Fonte: Ching.
6.5.7 Modulações Paralelas Deslocadas Em um projeto de arquitetura, em que duas partes apresentam diferentes características, pode ser necessário deslocar parte de uma modulação ou trabalhar com duas modulações diferentes que se conectam. Quando deslocamos parte da modulação, poderemos dar continuidade ao sistema estrutural se os pontos de encontro entre as duas modulações continuarem coincidentes.
Figura 6.36 – Fonte: Ching.
capítulo 6
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159
Se cada parte da modulação tiver vãos diferentes, pode ser impossível coincidir todos os pontos, porém é interessante que haja o máximo de pontos em comum. Nessa situação, teremos uma viga em comum na qual as duas modulações irão se apoiar. Quando as modulações possuem vãos múltiplos uma da outra, os pontos de coincidência entre as malhas são maiores.
Figura 6.37 – Fonte: Ching.
Quando as duas modulações são muito diferentes e não é possível conectá-las diretamente, podemos introduzir uma terceira malha intermediária que possa ajudar nessa conexão.
Figura 6.38 – Fonte: Ching.
160
•
capítulo 6
6.5.8 Encontros de Modulações em Esquinas Os projetos arquitetônicos nos quais há o encontro de dois volumes podem gerar quinas, que têm um caráter volumétrico muito significativo e devem ser resolvidos estruturalmente como o encontro de duas modulações iguais ou diferentes. Estes encontros podem ser resolvidos estruturalmente de diversas formas, de acordo com a resposta volumétrica pretendida, ou para atender a questões funcionais do projeto. Quando desejamos um tratamento uniforme das fachadas, com os lados apresentando a mesma importância, as duas modulações das partes podem ser unidirecionais, usando uma modulação simples, que, quando se encontram na esquina, formam um módulo único bidimensional com vãos resultantes dos vãos individuais de cada parte. Mesmo que seja necessário que uma das direções seja dominante em relação à outra, ao compartilhar os mesmos pontos de apoio, as fachadas podem ser uniformes.
Lados equivalentes
Figura 6.39 – Fonte: Ching.
Quando volumetricamente se deseja que um dos lados seja dominante em relação ao outro lado, também podemos adotar um encontro simples entre duas malhas, com a mudança do módulo da esquina, que se adapta às duas modulações.
capítulo 6
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161
Um lado dominante
Figura 6.40 – Fonte: Ching.
Outra opção é prolongar uma das duas modulações até o final da esquina, e a outra modulação é interrompida. Assim, a modulação que se prolonga define a esquina.
Figura 6.41 – Fonte: Ching.
Quando queremos destacar a esquina das duas fachadas, podemos interromper as duas modulações e criar um terceiro módulo diferente.
162
•
capítulo 6
Esquina enfatzada
Figura 6.42 – Fonte: Ching.
Esse terceiro módulo pode ser maior, pode ser inclinado ou ter uma forma completamente diferente. Teremos elementos que conectarão estes três módulos. Em alguns casos, pode ser necessário criar apoios adicionais que façam a relação entre esses volumes.
Figura 6.43 – Fonte: Ching.
No caso de esquinas com curvas acentuadas, as modulações perpendiculares e regulares podem transformar-se na esquina em uma modulação radial. Podemos ter o centro do arco como ponto de apoio em comum entre todas as volumetrias.
capítulo 6
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163
Esquina curva
Figura 6.44 – Fonte: Ching.
Quando o arco é mais acentuado, formando dois diferentes arcos, um interno e outro externo, teremos mais apoios na parte curva.
Figura 6.45 – Fonte: Ching.
Podemos enfatizar a esquina criando um vazio, uma interrupção. Essa interrupção pode resultar em duas modulações que se conectam por um terceiro módulo diferenciado, que cria esse vazio.
164
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capítulo 6
A esquina como um vazio
Figura 6.46 – Fonte: Ching.
Podemos também interromper ambas as volumetrias mas deixando apenas um ponto em comum que ainda permita a conexão dos volumes. E podemos separar completamente as modulações, deixando-as desconectadas na esquina.
Figura 6.47 – Fonte: Ching.
ATIVIDADES 01. Vamos analisar alguns projetos e identificar as modulações utilizadas pelos arquitetos nos projetos a seguir:
capítulo 6
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165
a)
Figura 6.48 – Fonte: http://www.domusweb.it/content/dam/domusweb/en/architecture/ 2013/03/13/seasons-of-life/gallery/big_407899_9141_Senza-titolo-47.gif
166
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capítulo 6
b)
Figura 6.49 – Fonte: https://interlab100.files.wordpress.com/2014/11/dre.png
capítulo 6
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167
c)
Figura 6.50 – Fonte: http://i.imgur.com/DiT9n.jpg
168
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capítulo 6
d)
Figura 6.51 – Fonte: http://www.uncubemagazine.com/sixcms/media.php/1323/FII%20 Plan_1_no%20numbers.jpg
capítulo 6
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169
e)
Figura 6.52 – Fonte:
http://adbr001cdn.archdaily.net/wp-content/uploads/2012/04/
1333858417_1260973861_ground_floor_plan.jpeg
170
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capítulo 6
REFLEXÃO No estudo de modulações e grelhas estruturais, o entendimento da relação entre forma e estrutura fica muito mais evidente. O primeiro passo para criar um projeto com boa solução estrutural é definir uma organização espacial que permita adequar o projeto a uma modulação. A partir desta modulação, definimos quais sistemas estruturais e quais elementos serão aplicados no projeto arquitetônico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHING, Francis D.K.Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010.
capítulo 6
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171
172
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capítulo 6
7 O Sistema de Pilares, Vigas e Lajes
Existem muitos sistemas estruturais, cada um com diferentes características. O sistema mais comum utilizado em edificações é a tríade Laje, Viga e Pilar, por conjugar uma série de benefícios, principalmente a facilidade construtiva. É importante conhecer e representar corretamente uma estrutura usando estes elementos, através de plantas baixas, cortes e detalhamentos. Há também normas e nomenclaturas específicas que devem ser compreendidas e aplicadas.
OBJETIVOS •
Projetar estruturas de lajes, vigas e pilares;
•
Calcular cargas totais e parciais em vigas, lajes e pilares;
•
Conhecer as melhores estratégias de lançamento estrutural;
•
Conhecer as normas e procedimentos adequados de desenho estrutural.
174
•
capítulo 7
7.1 O sistema de pilares, vigas e lajes O sistema de vigas, lajes e pilares é o mais convencional e utilizado no mundo. Este sistema pode ser executado com elementos de aço, concreto e madeira. No Brasil, o sistema que utiliza concreto armado é o mais tradicional. Por este motivo é um sistema muito estudado. As lajes são elementos planos horizontais que recebem a maior parte das cargas de uma edificação. As lajes transferem estas cargas para as vigas, elementos horizontais lineares, que depois descarregam as cargas para os pilares. Os pilares são elementos verticais pontuais, que acumulam as cargas de todos os pavimentos e transferem para as fundações no nível do solo. Os elementos horizontais podem ser vencidos por lajes praticamente homogêneas de concreto armado ou por camadas hierárquicas de vigas de aço ou madeira que sustentam lâminas estruturais.
7.1.1 Concreto As estruturas de concreto podem ser moldadas na própria obra. São montadas formas, normalmente de madeira, onde são colocadas as ferragens de aço e depois é lançado o concreto líquido. As lajes de piso de concreto moldado “in loco” são classificadas de acordo com o vão e o formato. Outra possibilidade de construção é utilizar elementos pré-moldados ou pré-fabricados de concreto. As peças são todas concretadas individualmente e depois montadas no local da construção. As peças podem ser pré-moldadas na própria obra ou podem ser compradas em empresas específicas. Os painéis de concreto pré-moldado podem ser sustentados por vigas ou paredes portantes.
Figura 7.1 – Perspectivas de sistemas estruturais utilizando concreto. Fonte: Ching. capítulo 7
•
175
7.1.2 Aço As vigas de aço podem sustentar lajes de concreto armado moldadas “in loco” com o uso de formas incorporadas, também denominadas “formas perdidas”. O sistema chamado “steel deck” utiliza telhas de aço galvanizado como forma incorporada. Também é possível construir sobre vigas metálicas painéis de concreto pré-moldado ou painéis e tábuas estruturais de madeira ou aço. As vigotas treliçadas (pequenas treliças de aço) ou vigotas leves pouco espaçadas podem ser sustentadas por vigas principais ou paredes portantes.
Figura 7.2 – Perspectivas e detalhes de sistemas estruturais com vigas e pilares metálicos. Fonte: Ching e MacDonald.
176
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capítulo 7
7.1.3 Madeira As vigas de madeira sustentam painéis ou tábuas estruturais. As cargas concentradas e as aberturas nos pisos podem exigir reforço estrutural. A parte inferior das estruturas de piso pode ficar exposta; o uso de forros é opcional. Os acabamentos de tetos (forros) e pisos vencem vãos relativamente curtos.
Figura 7.3 – Perspectivas de sistemas estruturais com peças de madeira. Fonte: Ching.
7.2 Lajes As lajes definem os pisos dos ambientes e recebem a maioria das cargas em uma edificação. Uma modulação com vãos similares ou iguais resulta no uso de elementos também similares, com as mesmas dimensões, facilitando muito a execução. No caso do concreto armado, o benefício é ainda maior, pois a utilização de vãos similares permite que todas as lajes sejam concretadas com as mesmas espessuras. No dimensionamento de lajes de concreto armado, devemos respeitar espessuras mínimas definidas pela norma brasileira NBR 6118 (ABNT 2003): Lajes de cobertura: 5 cm; Lajes de piso: 7 cm; Lajes para veículos com menos de 30 kN: 10 cm; Lajes para veículos com mais de 30 kN: 12 cm; •
•
•
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capítulo 7
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177
A decisão da espessura da laje normalmente não está associada à sua ruptura, e sim para que as FLECHAS resultantes das deformações estejam dentro do que pode ser admitido pela função do ambiente. Nas lajes de concreto armado, devemos também seguir estas regras: Não utilizar barras de aço na armadura da laje com espessuras maiores que 10% da espessura da laje. Na região central das lajes, as barras não podem estar espaçadas mais de 20 cm umas das outras.
7.3 Vigas As vigas devem ser projetadas para que os panos de laje sejam similares, assim permitindo que todas as espessuras sejam iguais. As vigas devem ser projetadas para criar lajes com dimensões adequadas. Lajes muito grandes e muito pequenas são antieconômicas. As lajes são calculadas permitindo pequenas deformações, chamadas de FLECHAS da laje. No entanto, se existirem paredes sobre as lajes ou abaixo delas, elas podem trincar quando ocorrerem essas deformações. As vigas, por se deformarem menos que as lajes, devem ser também utilizadas abaixo e sobre as paredes. É aceitável que paredes sejam projetadas afastadas das vigas em até ¼ do vão total da laje. Também é possível projetar vigas invertidas, que irão aparecer sobre as lajes e terão uma interferência menor esteticamente nos tetos. Essas vigas são calculadas e irão trabalhar da mesma forma que as vigas tradicionais. As vigas de aço com perfil I conseguem vencer vãos de até 20 metros de comprimento. A altura da viga será em torno de 1/17 do vão a ser vencido. As vigas de seção retangular de madeira maciça ou de concreto armado conseguem vencer vãos de até 12 metros de comprimento. A altura das vigas de madeira terão dimensão em torno de 1/18 do vão a ser vencido e, no caso das estruturas de concreto armado, essa relação passa a ser de 1/12.
178
•
capítulo 7
7.4 Pilares Os pilares apoiam as vigas e devem ser distribuídos para que os vãos resultem em vigas e lajes similares. Para uma estrutura econômica, devem-se evitar diferenças maiores de 20% entre os vãos. Vigas podem também se apoiar em outras vigas. Sempre que possível, a criação de pequenos balanços de lajes e vigas contínuas pode fazer descarregar o vão central, tornando a estrutura mais econômica. Os pilares devem ser contínuos do primeiro ao último pavimento, evitando vigas de transição, que são muito caras. Os pilares podem “morrer”, ou seja, deixar de existir, se forem necessários apenas nos primeiros pavimentos ou se os pavimentos superiores forem menores ou menos carregados.
7.4.1 Plantas de Forma O lançamento de vigas, lajes e pilares é o termo utilizado para o projeto das plantas baixas que determinam as posições destes elementos. Estas plantas devem ser desenvolvidas sobre as plantas dos projetos de arquitetura. Contudo, devemos observar que uma planta baixa de arquitetura é a representação do que enxergamos quando cortamos a construção e olhamos para os elementos ABAIXO do corte. Os elementos acima do corte e escondidos ficam tracejados. A planta baixa estrutural, também denominada PLANTA DE FORMA, é a representação do que enxergamos quando cortamos a construção e olhamos PARA CIMA, portanto enxergando com linha cheia as vigas. Elementos no chão ou escondidos são representados com linha tracejada. Vazios, furos e buracos nas lajes são indicados com um X. Devido à complexidade do desenho de certos elementos estruturais, temos uma representação simplificada, utilizada para os estudos iniciais dos projetos e para o cálculo estrutural. Posteriormente, podemos desenvolver um projeto executivo com cortes, vistas e detalhamento, em que a representação dos elementos pode ser real.
capítulo 7
•
179
O arquiteto deve saber ler as plantas de formas estruturais para verificar se todos os elementos estão compatíveis com o projeto de arquitetura e com os demais projetos da edificação. Esse processo é denominado COMPATIBILIZAÇÃO DE PROJETOS. Como as vigas podem ajudar a suportar as paredes do piso superior e podem estar alinhadas com as paredes do piso inferior, cada PLANTA DE FORMA deve ser compatibilizada com seus respectivos pavimentos de arquitetura superior e inferior. As plantas de arquitetura e estrutura que devem ser projetadas e desenhadas estão no exemplo da figura 7.4. Planta de arquitetura da cobertura Planta de forma do terceiro paviamento Planta baixa de arquitetura do terceiro paviamento Planta de forma do segundo paviamento Planta baixa de arquitetura do segundo paviamento Planta de forma do paviamento térreo Planta baixa de arquitetura do paviamento térreo Planta de forma das cintas Planta de forma das fundações
Figura 7.4 – Corte de edificação indicando as respectivas seções de corte das plantas baixas de arquitetura e plantas de forma de estrutura. Fonte: Milazzo.
Analisando o exemplo a seguir, temos uma estrutura de um piso de uma edificação, formada por vigas treliçadas, apoiadas em duas vigas principais metálicas, apoiadas em quatro pilares metálicos. Podemos analisar esta estrutura considerando todas as conexões rotuladas.
180
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capítulo 7
C
B
D
viga vigota laje
A coluna
planta da estrutura idealizada
Figura 7.5 – Perspectiva e planta de forma da estrutura. Fonte: Hibbeler.
A representação desta estrutura em planta baixa pode ser feita simplificadamente, conforme indicado acima. As linhas pretas representam as vigas, e elas não encostam umas nas outras, para indicar que as conexões entre os elementos são rotuladas. Uma estrutura similar em concreto armado, com duas bordas da laje com vigas e duas bordas da laje sem vigas, é representada conforme a figura a seguir: P1–20x40
V1–20x40
P2–20x40
L1 h = 10 cm
P3 – 20x40
V2 – 20x40
P4 – 20x40
Figura 7.6 – Perspectiva e planta de forma da estrutura. Fonte: Marco Milazzo.
capítulo 7
•
181
Os pilares são indicados pela letra P, vigas com V e lajes com L. A numeração dos elementos é feita da esquerda para a direita e de cima para baixo. As dimensões das peças ficam indicadas ao lado da numeração. A espessura das lajes está indicada pela letra h. O exemplo da figura a seguir apresenta quatro lajes. A viga V3 tem um único vão, e as vigas V1, V2, V4 e V5 são contínuas com dois vãos. Nas vigas contínuas, a numeração é a mesma ao longo de toda a viga, mas cada trecho recebe uma letra para indicar cada vão. A laje L4 não tem vigas e é continua à laje L3 e L2. Podemos dizer que a laje L4 está em balanço.
Figura 7.7 – Perspectiva da estrutura. Fonte: Marco Milazzo. P1 – 20x40
P2 – 20x40
V1b – 20x40
V1a – 20x40
L1 h = 10 cm
0 4 x 0 2 – b 4 V
V2a – 20x40
L2 h = 10 cm
P5 – 20x40
0 4 x 0 2 – b 5 V
P6 – 20x40
V2b – 20x40
P4 – 20x40 A
P2 – 20x40
0 4 x 0 2 – a 4 V
L3 h = 10 cm
A
0 4 x 0 2 – a 5 V
L4 h = 8 cm
V3 – 20x40 P7–20x40
P8–20x40
Figura 7.8 – Planta de forma da estrutura. Fonte: Marco Milazzo.
182
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capítulo 7
P4
V 2 a–2 0 x 4 0
V 2 b–2 0 x 4 0
P5
P6
V4
V5
Figura 7.9 – Corte AA da estrutura. Fonte: Marco Milazzo.
EXEMPLO No exemplo a seguir, lançamos as vigas V5 e V6, com alturas menores que as demais vigas, que irão reduzir os vãos das lajes e diminuir as suas deformações. Estas vigas estão apoiadas nas vigas V1, V2 e V3 em vez de estarem apoiadas em pilares. Também foi projetada uma viga invertida numerada como V7. Mostramos a seguir a representação em planta baixa dessa configuração.
Figura 7.10 – Perspectiva da estrutura. Fonte: Marco Milazzo. P1 – 20x40
P2 20x40 –
V1b – 20x40
V1a – 20x40 0 4 x 0 2 – b 4 V
L1 h = 10 cm
L2 h = 10 cm
V2a–20x40 P4 – 20x40
P3 20x40 – V1c – 20x40
0 4 x 0 2 – 5 V
0 4 x 0 2 – b 7 V
L3 h = 10 cm
V2c–20x40
V2d–20x40 P6 – 20x40
V2b – 20x40
P5 – 20x40 0 4 x 0 2 – a 4 V
L4 h = 10 cm
A1 V3a – 20x40
0 4 x 0 2 – 6 V
L5 h = 10 cm
0 4 x 0 2 – a 7 V
A1 V3b – 20x40
P7 – 20x40
P8 – 20x40
Figura 7.11 – Planta de forma da estrutura. Fonte: Marco Milazzo. capítulo 7
•
183
Com a criação das vigas V5 e V6, as vigas V1, V2 e V3 foram subdivididas em mais trechos. Essas vigas recebem as cargas distribuídas das lajes e redirecionam essas cargas como cargas pontuais em cima das vigas onde estão apoiadas. A viga V7, por estar invertida, é representada com linha tracejada. Na planta baixa de forma, quando indicamos a altura das vigas, sempre consideramos incorporada a espessura da laje. Portanto, quando temos uma viga indicada em planta com 50 cm apoiando uma laje de 10 cm, enxergamos abaixo da laje apenas 40 cm de viga, conforme o corte da estrutura indicado na figura 7.2. V7 0 4
V6
V4
0 3
0 1
0 1 0 3
0 2
0 3
V3
P8
0 4
P7
Figura 7.12 – Corte AA da Estrutura. Fonte: Marco Milazzo.
7.5 Distribuição de cargas Após o lançamento da estrutura, devemos determinar todas as cargas que atuam sobre ela. Novamente utilizamos modelos de representação simplificados para facilitar os cálculos. No exemplo da figura 7.13, temos uma laje de concreto apoiada em três vigas de aço. É um sistema unidirecional, pois só existem vigas em uma direção. Assim devemos dividir a laje em quatro partes. A viga central receberá a carga das duas partes centrais, e as vigas de bordo receberão as cargas de apenas ¼ da laje. Se uma carga uniforme de 4,8 kN/m2 é colocada sobre a laje, então a viga CD recebe uma distribuição linear de carga de (4,8 kN/m2) x (1,5 m) = 7,2 kN/m, mostrada na viga idealizada na figura 7.13c.
184
•
capítulo 7
A 4,8 kN/m2
C
B
E
1,5 m 3m
D F
1,5 m
A
B 0,75 m 0,75 m
C
D
0,75 m 0,75 m
E
F planta da estrutura idealizada
7,2 kN/m B
A
D
C
10,8 kN
5,4 kN
5,4 kN D
C
3m 10,8 kN
10,8 kN viga idealizada
1,5m
1,5m
viga mestra idealizada
Figura 7.13 – Estrutura e planta esquemática. Fonte: Hibbeler.
No exemplo a seguir, temos uma laje de concreto armado nas duas direções, pois existem vigas nas quatro bordas da laje. Nesse caso, por ser uma estrutura simétrica, temos de dividir a carga da laje em quatro partes iguais. Usamos o método das bissetrizes para encontrar qual parte de cada laje descarregará as cargas nas respectivas vigas da estrutura.
capítulo 7
•
185
Portanto, se uma carga uniforme de 4,8 kN/m 2 é aplicada à laje, uma intensidade máxima de (4,8 kN/m 2)(1,5 m) = 7,2 kN/m será aplicada ao centro da viga AB, resultando em uma distribuição de carga triangular mostrada na figura 7.14c. A 3m 4,8 kN/m2 B
C
3m D
3m
A
45°
A 45°
1,5 m 3m
7,2 kN/m A
C
D
planta de estrutura idealizada
B 1,5m
1,5m
viga idealizada
Figura 7.14 – Estrutura, planta de forma e viga AB. Fonte: Hibbeler.
Para outras geometrias com distribuição bidimensional, um procedimento similar pode ser usado. Por exemplo, na estrutura retangular da figura 7.15, uma carga de 4,8 kN/m2 colocada sobre a laje produzirá cargas distribuídas trapezoidais e triangulares sobre os membros AB e AC, figuras 7.15b e 7.15c.
186
•
capítulo 7
4,5 m A
B 45°
1,5 m
45° 3m
C
D 1,5m
1,5m
1,5m
planta de estrutura idealizada
7,2 kN/m
7,2 kN/m
B
A 1,5m
1,5m
1,5m
viga idealizada
A
C 1,5m
1,5m
viga idealizada
Figura 7.15 – Planta de forma retangular e vigas AB e AC. Fonte: Hibbeler.
Para predeterminar as cargas que serão distribuídas nos pilares, podemos usar o método de áreas de influência, obtidas pelas linhas médias entre os vãos das lajes. No exemplo a seguir está hachurada a área das lajes que devemos considerar para achar a carga total que está sendo descarregada no pilar P5.
capítulo 7
•
187
P1–20x40
P12–20x40
P3–20x40 L2
L1
h=10 cm
h = 10 cm
P6 – 20x40 P4 – 20x40
P5 – 20x40 L4 h = 8 cm L3 h = 10 cm P7 – 20x40
P8 – 20x40
Figura 7.16 – Planta de forma com distribuição das cargas nos pilares. Fonte: Marco Milazzo.
EXEMPLO Vamos dividir as cargas da estrutura apresentada na Figura 7.11:
0 4 x 0 2 – b 7 V
P6 – 20x40
0 4 x 0 2 –
0 4 x 0 2 –
a 4 V
a 7 V
P7 – 20x40
188
•
capítulo 7
P8 – 20x40
V1a–20x40 P1
V1b–20x40 P2
V1c–20x40 P3
Figura 7.17 – Planta de forma com distribuição das cargas nos pilares e esquema da viga V1. Fonte: Marco Milazzo. A viga V1 está apoiada nos pilares P1, P2 e P3 e tem três segmentos. Para cada segmento há uma carga distribuída diferente aplicada, resultado das áreas correspondentes das lajes. Além disso, como há uma viga apoiada na viga V1, surge no desenho esquemático uma carga concentrada. Na laje L1 não há viga na borda lateral esquerda, e por este motivo a distribuição da carga foi feita para as vigas V1a e V2a. Para formatos de lajes diferentes da quadrada e retangular, o método é similar, sempre com a criação de linhas usando a bissetriz dos ângulos, similar ao procedimento de construção de desenhos de telhados. Quando há duas ou mais cargas simultaneamente na mesma viga, como é o caso das vigas V4b, V2b, V2c e V2d, deve ser feita a sobreposição dos desenhos das cargas, ou seja, a soma dos valores das cargas.
ATIVIDADES 01. Um piso deve ser suportado pelas vigas treliçadas mostradas na figura a seguir. Cada viga tem 4,5 m de comprimento e está espaçada 0,75 m nos centros. O piso em si deve ser feito de concreto leve, com uma espessura de 100 mm. Despreze o peso das vigas e da plataforma de metal corrugado e determine a carga que atua ao longo de cada viga.
capítulo 7
•
189
Figura 7.18 – Fonte: Hibbeler.
02. A estrutura do edifício na foto a seguir foi projetada para suportar uma carga total de 2 kN/m2 sobre a sua superfície. Determine a carga na região ABCD que é transmitida para a viga BC. As dimensões são mostradas na figura a seguir:
4 kN/m
B 1,5 m
4m D
C
A
B
1,5 m
2m
1,5 m
m 2
Figura 7.19 – Fonte: Hibbeler.
190
•
capítulo 7
m 2
C 2m
1,5 m
REFLEXÃO Vimos com mais detalhes o sistema de VIGAS, LAJES E PILARES, usado na maioria das edificações, que pode ser constituído por elementos e materiais diferentes. Cada composição pode ser representada esquematicamente para ser utilizada nos cálculos estruturais, e os desenhos das plantas de formas serão utilizados para compatibilizar com o projeto de arquitetura. Após desenhar a representação esquemática das vigas e identificar as cargas nelas aplicadas, o próximo passo é calcular a reação em cada apoio que as sustenta. Esses apoios podem ser outras vigas, paredes, pilares ou outros elementos estruturais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A concepção estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000. BOTELHO, M.H.C. Concreto armado eu te amo para arquitetos. Editora Edgard Blucher, 2006. HIBBELER C.H. Análise das estruturas. Editora Pearson, 2013. CHING, Francis D.K. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, sistemas e projeto. Porto Alegre: Bookman, 2010. MACDONALD, Angus. Structural Design for Architecture. Architectural Press, 1998.
capítulo 7
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191
192
•
capítulo 7
8 Reações nos Apoios
A distribuição das cargas pelas estruturas se inicia pelas cargas nas lajes que seguem para as vigas e por fim descarregam nos apoios, normalmente pilares. Dependendo do tipo de conexão entre os apoios e as vigas, surgirão diferentes reações. Veremos o primeiro passo para o cálculo estrutural de vigas e pilares: identificar quais as forças e os momentos gerados nos apoios que sustentam essas vigas.
OBJETIVOS •
•
•
•
•
Identificar cargas, apoios e reações em vigas isostáticas; Calcular as reações nos apoios em estruturas isostáticas; Calcular as reações nos apoios em vigas biapoiadas; Calcular as reações nos apoios em vigas em balanço; Calcular as reações nos apoios em pórticos.
194
•
capítulo 8
8.1 Equilíbrio Estático Uma estrutura está em equilíbrio quando ela tem equilíbrio de forças e momentos. Isso exige que a somatória de todas as forças e de todos os momentos seja nula. ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 ΣM = 0 Quando todas as forças em uma estrutura podem ser determinadas a partir dessas equações, a estrutura é conhecida como estaticamente determinada. Estruturas que têm mais reações desconhecidas do que equações de equilíbrio são chamadas de ESTATICAMENTE INDETERMINADAS. No caso de estruturas planas (bidimensionais), teremos para cada elemento três equações. Por esse motivo, se o número de incógnitas for igual a três a estrutura é ESTATICAMENTE DETERMINADA e ISOSTÁTICA. Se o número de incógnitas for menor que três, a estrutura será HIPOSTÁTICA. Se o número de incógnitas for maior que três, a estrutura será ESTATICAMENTE INDETERMINADA e HIPERESTÁTICA. Essa regra nem sempre funciona. Uma estrutura pode ter três reações e ser HIPOSTÁTICA se todas as reações forem paralelas ou se todas as reações forem concorrentes no mesmo ponto. Por isso, algumas estruturas precisam ser analisadas com mais cuidado.
8.2 Diagrama de Corpo Livre O Diagrama de Corpo Livre é um diagrama que mostra todas as forças que estão sendo aplicadas em um objeto. Para que o corpo esteja em equilíbrio, a somatória de todas as forças apresentadas nesse diagrama deverá ser nula. Para traçar este diagrama, devemos desenhar esquematicamente cada objeto separadamente, indicar todas as forças e reações com as direções e valores conhecidos.
capítulo 8
•
195
EXEMPLO 01. Observando o sistema abaixo, vamos considerar o peso da esfera de 58,9 N e desenhar o Diagrama de Corpo Livre da esfera, da corda CE e do nó C: B k 60° C
45°
D
E
A
FCE (Força da corda CE que age sobre a esfera)
FEC (Força do nó que age sobre a corda CE)
58,9N (Peso ou gravidade atuando sobre a esfera)
FCE (Força da esfera que age sobre a corda CE)
FCBA (Força da corda CBA que age sobre o nó)
60°
C FCD (Força da mola que age sobre o nó)
FCE (Força da corda CE que age sobre o nó)
Figura 8.1 – Fonte: Hibbeler Para determinar todas as cargas aplicadas em um objeto, quando estivermos trabalhando somente em duas dimensões (X e Y), podemos decompor todas as forças em componentes seguindo os eixos horizontal e vertical e somá-las separadamente. Para o corpo em equilíbrio, a soma dessas forças deverá ser sempre nula.
196
•
capítulo 8
02. Vamos determinar as trações nos cabos da estrutura abaixo para sustentar a esfera com massa de 60 kg: C
A
5
3
TBD = 60(9,81) N
4
45° B
D
60(9,81) N
y
TC
TA 3
5 45°
4
x
B TBD = 60(9,81) N
Figura 8.2 – Fonte: Hibbeler. Equações de equilíbrio
Aplicando-se as equações de equilíbrio ao longo dos eixos x e y, temos: +
→ ∑ Fx = 0; ↑ +=
∑ Fy
0;
cos TC T+sen C
4 45o TA = 0 ) ( 1 5 3 45o T A 60 ( , 9)N 81 0= ( ) 2 5
A Equação 1 pode ser ser escrita como TA = 0,8839 TC. Subtraindo TA na equação 2 resulta: Tsen C
45o + 3 08 T ( , 839 5
C
)N 1 ) 60(,98
0=
De modo que: TC = 475,66 N = 476 N Sendo assim, Ta = 420N
capítulo 8
•
197
8.2.1 Momento de uma força Quando aplicamos uma força em um corpo, ele poderá rotacionar em torno de algum ponto fora do eixo onde foi aplicada a força. Podemos chamar essa rotação de MOMENTO. A intensidade do MOMENTO será igual à FORÇA aplicada multiplicada pela distância até o centro da rotação. M=Fxd Z Z
0
d 0
F
Figura 8.3 – Fonte: Hibbeler.
Quando aplicamos uma força em uma alavanca, ela tenderá a rotacionar ao redor do ponto O, com intensidade M = F x d. Se aplicarmos uma força na chave alinhada com o ponto O, a chave não irá rotacionar, pois a distância da alavanca é zero. Quando temos várias forças aplicadas no mesmo objeto, teremos vários momentos que podem ser diretamente somados. Os momentos podem ser arbitrados como positivos, se estiverem no sentido anti-horário, e negativos, se estiverem no sentido horário.
198
•
capítulo 8
EXEMPLO Vamos calcular os momentos resultantes das estruturas abaixo: 100 N
0
2 m
Figura 8.4 – Fonte: Hibbeler M = 100 x 2 = 200 Nm 2m
0 0,75 m 50 N
Figura 8.5 – Fonte: Hibbeler. M = 50 x 0,75 = 37,5 Nm 2m
30°
0
4m
40 kN
2 cos 30° m
Figura 8.6 – Fonte: Hibbeler.
capítulo 8
•
199
M = 40 x (4 + 2 x cos 30) = 229 kNm 3m
0 1m
1 sen 45° m
45°
60 kN
Figura 8.7 – Fonte: Hibbeler. M = 60 x (1 x sen 45) = 42,4 kNm 2 m
1 m 7 kN
4 m
0
Figura 8.8 – Fonte: Hibbeler. M = 7 x (4 – 1) = 21 kNm y 50 N 2 m
2 m 60 N 30°
0
20 N
3m
40 N
Figura 8.9 – Fonte: Hibbeler.
200
•
capítulo 8
x
M = -50 x 2 + 60 x 0 + 20 x (3 x sem 30) – 40 x (4 + 3 x cos 30) M = -334 Nm
Quando um corpo está sujeito a um carregamento distribuído, precisamos transformá-lo em uma carga equivalente concentrada, que irá facilitar o cálculo deste momento. Para cada tipo de carga teremos uma força e uma distância equivalentes diferentes. A força é determinada pela área da carga, e a distância é medida a partir do centro de gravidade da área da carga.
EXEMPLO 01. A estrutura a seguir tem uma carga triangular que é equivalente à força concentrada indicada ao lado. 1440 N/m
x
9m FR = 6,48 kN
3m
C
Figura 8.10 – Fonte: Hibbeler. Solução
A intensidade do carregamento é de 1440 N/m. A intensidade da força resultante é equivalente à área do triângulo. FR = 1/2 (9)(1440) = 6480 N = 6,48 kN capítulo 8
•
201
A linha de ação de FR passa pelo centroide C desse triângulo. Logo, x = 9 – 1/3 (9) = 6 m 02. A carga abaixo é trapezoidal. Para encontrar as cargas equivalentes, podemos usar a fórmula de centro de gravidade de um trapézio ou dividir a carga trapezoidal em uma carga retangular F2 somada com uma carga triangular F1, como indicado nas figuras abaixo: 100 kN/m
A
50 kN/m B 9m
F1
50 kN/m 50 kN/m
F2
A B
x1 x2
9m
Figura 8.11 – Fonte: Hibbeler. F1 = (9 m)(50 kN/m) = 225 kN F2 = (9 m)(50 kN/m) = 450 kN FR = 225 + 450 = 675 kN A linha de ação dessas forças age através do centroide de suas áreas e, portanto, interceptam a viga em: X1= 1/3 (9 m) = 3m X = 1/2 (9 m) = 4,5 m 2
Podemos determinar a posição de FR com referência ao ponto A, usando o momento resultante: x(675) = 3(225) + 4,5(450) = 4m
202
•
capítulo 8
8.3 Introdução ao cálculo de reações em apoios de estruturas isostáticas No capítulo 7 vimos como as cargas se distribuem pelas lajes e se transmitem para as vigas. Agora veremos como essas cargas se transmitem até os apoios que sustentam as vigas. Para isso, é necessário determinar a estabilidade da estrutura. Essa estabilidade depende dos tipos de conexões ou apoios que sustentam a viga. Se um apoio impede o movimento de um corpo em uma determinada direção, então uma força é desenvolvida nessa direção. Se a rotação é impedida no apoio, surge um momento de binário sobre o corpo. Na figura a seguir, o apoio com rolete impede o deslocamento vertical, mas permite o deslocamento horizontal e a rotação. Por este motivo, aparece uma única força de reação vertical no apoio (F).
rolete
F
Figura 8.12 – Fonte: Hibbeler.
Na figura abaixo, o apoio com pino impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação. Consequentemente, aparecem uma força de reação vertical e uma horizontal no apoio (Fx e Fy ou F inclinada).
pino
F ou
Fx Fy
apoio fixo
Figura 8.13 – Fonte: Hibbeler.
capítulo 8
•
203
Na figura a seguir, o apoio engastado (apoio fixo) impede o deslocamento vertical, horizontal e a rotação, e consequentemente aparecem uma força de reação vertical, uma força de reação horizontal e uma reação de momento no apoio (M, Fx e Fy). M Fx
θ
Fy
cabo
Figura 8.14 – Fonte: Hibbeler.
Na tabela abaixo, estão relacionados diversos tipos de apoios com suas respectivas reações e número de incógnitas que precisam ser calculadas: TIPOSDECONEX ÃO
REAÇÃO
θ
NÚMERODEINCÓGNITAS Uma incógnita. A reação é uma força de tração que atua para fora do membro na direção do cabo.
θ F
cabo
θ
θ
ou
Uma incógnita. A reação é uma força que atua ao longo do eixo e ligação.
θ
F
F
ligação sem peso
θ
Uma incógnita. A reação é uma força que atua perpendicularmente à superfície no ponto de contato.
θ F
rolete
θ ou F
rolete ou pino confinado em ranhura lisa
204
•
capítulo 8
θ
F
θ
Uma incógnita. A reação é uma força que atua perpendicularmente a ranhura.
θ
Uma incógnita. A reação é uma força que atua perpendicularmente à superfície no ponto de contato.
θ
apoio oscilante
F
Uma incógnita. A reação é uma força que atua perpen-
θ θ
superficie de contato lisa
dicularmente à superfície no ponto de contato.
F
Uma incógnita. A reação é uam força que atua perpendicularmente à barra.
θ ou
θ
membro conectado por pino à um anel sobre haste lisa
θ
F
F
Fy
θ
ou
θ
Duas incógnitas. As reações são duas componentes da força, ou a intensidade e a direção θ da força resultante. Note que θ
e θ não são necessariamente iguais (normalmente não, a menos que a barra mostrada seja uma ligação como em 2).
Fx
pino liso ou dobradiça
Duas incógnitas. As reações são o momento de binário e a força que age perpendicularmente à barra.
M
membro fixo conectado ao colar em haste lisa
F
Fy
F θ
ou
apoio fixo ou engaste
M
Fx
M
Três incógnitas. As reações são o momento de binário e as duas componentes da força, ou o momento de binário e intensidade e direção θ da força resultante.
Tabela 8.7 – Fonte: Hibbeler.
capítulo 8
•
205
Figura 8.15 – Cabo conectado por pino (Tipo de Conexão 1) e apoio oscilante (Tipo de Conexão 5). Fonte: Hibbeler.
Figura 8.16 – Viga de concreto apoiada em consolo do pilar (tipo de conexão 6) e apoio por pino (tipo de conexão 8). Fonte: Hibbeler.
Figura 8.17 – conexões fixas por elementos soldados de aço (tipo de conexão 10). Fonte: Hibbeler.
206
•
capítulo 8
EXEMPLO Classifique cada uma das vigas abaixo como estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada e indique o número de graus de indeterminação. Vigas compostas por membros ligados por pinos precisam ser desmontadas. Observe que, nestes casos, as forças reativas desconhecidas atuando entre cada membro têm de ser mostradas em pares iguais, mas opostos.
r=3,n=1,3=3(1)
r = 5 n = 1,5 > 3 (1)
Estaticamentedeterminada
Estaticamente indeterminada de segundo grau.
r = 6, n = 2,6 > 3 (2) Estaticamente determinada.
r = 10, n = 3,10 > 3 (3)
Estaticamente indeterminada de primeiro grau.
(Fonte: Hibbeler)
capítulo 8
•
207
r =7, n = 2, 7 > 6 Estaticamente indeterminada de primeiro grau.
r =9, n = 2, 9 = 9 Estaticamente determinada.
r =10, n = 2, 10 > 6 Estaticamente indeterminada de quarto grau.
r =9, n = 3, 9 = 9 Estaticamente determinada.
(Fonte: Hibbeler) Os pórticos consistem de membros que estão ligados por nós rígidos. Na figura abaixo, os pontos ABCD formam um quadro fechado. Para analisar a estrutura, é necessário “cortar” o quadro e cada parte ser analisada separadamente. B
C
A
D
r = 9, n = 2, 9 > 6,
208
•
capítulo 8
Estaticamente indeterminada de terceiro grau.
r = 18, n = 3, 18 > 9, Estaticamente indeterminada de nono grau.
r = 9, n = 1, 9 > 3, Estaticamente indeterminada de sexto grau.
r = 18, n = 4, 18 > 12, Estaticamente indeterminada de sexto grau. (Fonte: Hibbeler)
Concluímos que, para determinar as reações nos apoios e nos nós, devemos: Traçar um diagrama de corpo livre de cada membro da estrutura; Contar o número total de incógnitas para verificar a estabilidade; A equação de somatório de momentos pode identificar diretamente alguma das incógnitas; Decompor as forças nos eixos X e Y; •
•
•
•
capítulo 8
•
209
Se a solução das equações de equilíbrio produz um valor negativo para uma força ou momento desconhecidos, o seu sentido de direção de seta é oposto àquele que foi presumido no diagrama de corpo livre. •
8.4 Cálculo de reações nos apoios de vigas biapoiadas isostáticas As vigas biapoiadas isostáticas apresentam um apoio articulado móvel (uma reação vertical VC) e um apoio articulado fixo (uma reação vertical VA e uma reação horizontal HA).
8.4.1 Cargas concentradas
EXEMPLO 01. 60 kN A
C
B
2m
4m
60 HA
VA
VC
Vamos fazer o somatório de momentos no ponto A, assim teremos o resultado direto do valor da reação VC: 6VC = 120 VC = +20 kN ΣM = - 2 x 60 + 6 x VC = 0 HA= 0 ΣFh = HA = 0 ΣFv = VA + VC – 60= 0 VA = 60 – 20 VA = +40 kN
210
•
capítulo 8
02. 60 kN
k N4 0
k N2 0
60 kN
30 kN D
A
B
2m
C
m2
M = - 2 x 60 – 4 x 30 + 6 x VD = 0 ΣFh = HA = 0 ΣFv = VA + VD – 60 – 30 = 0
m2
6VD = 240 HA = 0 VA = 90 – 40
Σ
VD = +40 kN VA = +50 kN
03. 60 kN D
A
B
2m
M = -2 x 60 + 4 x 60 + 6 x VA = 0 Fh = HA = 0 ΣFv = VA + VD – 60 + 60 = 0 Σ Σ
C 60 kN
m2
m2
6VA = -120 HA = 0 VD = 0 – (-20)
VA = -20 kN VD = +20 kN
8.4.2 Cargas distribuídas Quando a estrutura está submetida à carga distribuída, é necessário fazer a carga concentrada equivalente e substituir na posição do meio da carga: 30 kN/m A 60 kN 4m
B
C 2m
capítulo 8
•
211
Substituímos a carga q = 30 kN/m por uma carga concentrada com intensidade de Q = 30 x 4 = 120 kN, posicionada 2 metros de distância do ponto A. ΣM = -30x4x2 + 4x60 + 6xVD = 0 6VD = 0 VD = 0 kN HA = 0 ΣFh = HA = 0 VA = +120 – 60 – 0 VA = +60 kN ΣFv = VA + VD – 30x4 + 60 = 0
8.4.3 Momentos Quando um momento está aplicado diretamente na estrutura, somamos este momento diretamente na equação da somatória dos momentos: 120 kN.m 60 kN A
B 2m
D
C 2m
ΣM = - 2x60 -120 + 6xVD = 0
6VD = +240
ΣFh = HA = 0 ΣFv = VA + VD – 60 = 0
HA = 0 VA = + 60 - 40
2m
VD = +40 kN VA = +20 kN
8.5 Cálculo de reações nos apoios de vigas em balanço isostáticas As vigas em balanço isostáticas (engastadas) apresentam um único apoio fixo, que apresentará reações vertical (Rv), horizontal (Rh) e de momento (M).
212
•
capítulo 8
8.5.1 Cargas concentradas
EXEMPLO 01. 20 kN
A
B m 2
C 20 kN 4m
20
M*
HA VA
20
M = M - 4x20 -2x20 = 0 ΣFh = HA -20 = 0 ΣFv = VA – 20 = 0 Σ
M = +80 + 40 HA = + 20 kN VA = + 20 kN
M = +120 kN
120 kNm
20 kN 20 kN
capítulo 8
•
213
02. 10 kN A m 2
20 kN 9
C
B
D
m 2
30 kN
2m
E 2m
160 kNm 20 kN 20 kN
M = M + 10x2 +20x4 + 30x2 = 0 M = –160 kN ΣFh = HD –20 = 0 ΣFv = VD – 20 = 0 Σ
214
•
capítulo 8
M = –20 – 80 – 60 HD = + 20 kN VD = + 20 kN
8.5.2 Cargas distribuídas
EXEMPLO 01. 20 kN/m
A
B
2m
C
2m
M*
VC
ΣM = M + 2x20x3 = 0
HC
M = – 120 kNm HC = 0 kN VC = + 40 kN
ΣFh = HC = 0 ΣFv = VC – 20x2 = 0
02. 40 kN
1m
1m
2m
120 kNm
20 kN/m
0
40 kN
capítulo 8
•
215
04. 20 kN/m A
B
C 20 kN/m
2m
2m
80 kNm
M = M + 2x20x3 – 2x20x1 = 0 ΣFh = HA = 0 ΣFv = VA – 20x2 + 20x2= 0
M = - 120 + 40 = – 80 kNm HA = 0 kN VA = 0 kN
Σ
8.6 Momentos EXEMPLO 01. 40 kN.m A
B
4m
M = M + 40 = 0 Fh = HA = 0 ΣFv = VA = 0 Σ Σ
216
•
capítulo 8
M = – 40 kNm HA = 0 kN VA = 0 kN
02. 20 kN
B
C 60 kN m 2
A
10 kN
2m
2m
10 kN
20 kN
M = M – 60 + 20x4 – 10x2 = 0 Fh = HC +10 = 0 ΣFv = VC -20 = 0 Σ Σ
M = + 60 – 80 + 20 = 0 kNm HC = - 10 kN VC = + 20 kN
8.7 Cálculo de reações nos apoios de pórticos isostáticos Os pórticos são conjuntos de pilares e vigas com nós fixos. Os pórticos isostáticos apresentam um apoio articulado móvel (uma reação vertical VC) e um apoio articulado fixo (uma reação vertical VA e uma reação horizontal HA).
capítulo 8
•
217
8.7.1 Cargas concentradas
EXEMPLO 01. 80 kN
A
B
C m 2
E
D
m2
m2
80
HD
VE
VD
M = + VE x 4 - 80x2 = 0 ΣFh = HD = 0 ΣFv = VD + VE -80 = 0
4VE = 160 VE = +40 kN HD = 0 kN VD = + 80 – (40) VD = +40 kN
Σ
80 kN
0
40 kN
218
•
capítulo 8
40 kN
02. 80 kN 40 kN A
B
C m 2
E
D
m2
m2
40 kN
60 kN
20 kN
M = + VE x 4 – 80x2 – 40x2 = 0 Fh = HD – 40 = 0 ΣFv = VD + VE –80 = 0 Σ Σ
4VE = 240 VE = +60 kN HD = +40 kN VD = + 80 – (60) VD = +20 kN
8.7.2 Cargas distribuídas 20 kN/m 20 kN/m A
B m 2
D
C 4m
capítulo 8
•
219
40 kN
k 3N 0
k 5N 0
M = VC x 4 + 20x2x1 – 20x4x2 = 0 Fh = HD – 20x2 = 0 ΣFv = VD + VC -20x4 = 0
4VC = 120 VC = +30 kN HD = +40 kN VD = + 80 – (30) VD = +50 kN
Σ Σ
8.7.3 Momentos Quando um momento está aplicado diretamente na estrutura, somamos este momento diretamente na equação da somatória dos momentos. O resultado das reações nos apoios das três estruturas apresentadas é sempre o mesmo, pois não importa a posição do momento aplicado, as reações serão sempre as mesmas. 120 kN.m A
B m 2
C
D
m2
220
•
capítulo 8
m2
120 kN.m A
B m 2
C
D
4m
A
B
120 kN.m
m 1
C
E
D
m 1
4m
M = VD x 4 - 120 = 0
4VD = 120
VD = +40 kN
Fh = HC = 0 Fv = VD + VC = 0
HC = 0 kN VC = 0 – (40)
VD = –40 kN
Σ Σ Σ
ATIVIDADES 01. A caixa tem um peso de 2,75 kN. Determine a força em cada cabo de sustentação. C 5
3
4 30° A D
capítulo 8
•
221
02. A viga tem um peso de 3,5 kN. Determine o cabo mais curto ABC que pode ser usado para levantá-la se a força máxima que o cabo pode suportar é 7,5 kN.
B
θ
θ A
C
3m
03. Calcule o momento resultante agindo sobre a viga no ponto A: 400 N
400 N
A
200 N 0,2 m 200 N m 3
m 2
300 N
300 N
04. Dtermine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do ponto A. 3 kN/m
B
A
1,8 m
222
•
capítulo 8
2,4 m
05. Calcule as forças resultantes nos apoios das estruturas isostáticas a seguir: 30 kN
A
C
B 60 kN m
4
m
2
80 kN
20 kN/m B
A m 1
20 kN/m
m 1
C
D 2m
5m
20 kN/m A
80 kN B
5m
2m
C
3m
REFLEXÃO O cálculo das reações nos apoios das estruturas isostáticas não analisa o comportamento dos esforços internamente nos elementos. Isso pode ser comprovado quando verificamos que o resultado dos cálculos feitos até agora não dependem da forma desses elementos. Esse é o próximo passo importante do cálculo estrutural, que definirá quais partes de cada elemento estão sendo mais solicitadas.
capítulo 8
•
223
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RABELLO, Yopanan Conrado Pereira.A concepção estrutural e a Arquitetura. São Paulo: Zigurate Editora, 2000.. HIBBELER, C.H. Análise das estruturas. Editora Pearson, 2013. HIBBELER, C.H. Estática. Editora Pearson, 2011. BOTELHO, M.H.C. Concreto armado eu te amo para arquitetos. Editora Edgard Blucher, 2006.
GABARITO Capítulo 1 01. a) Podemos verificar que a capela é bem monumental, com uma forma geometricamente bem definida, com o uso da repetição contínua de “V” invertido. Não podemos dizer que a estrutura é escondida, pois enxergamos claramente os elementos estruturais externamente. Podemos classificar o projeto como estrutura destacada, pois a estrutura, além de estar aparente, é quem determina a forma da capela. b) No pavilhão Heidi Weber, a estrutura fica totalmente aparente, porém não podemos classificá-la como estrutura em destaque, pois o arquiteto quis destacar vários elementos geométricos, cores e volumes da construção. A estrutura é apenas um dos componentes que fazem parte da composição. E, na verdade, as formas escolhidas para os elementos estruturais poderiam ser mais eficientes, indicando que a geometria dos elementos estruturais é resultado das necessidades estéticas da arquitetura. É, portanto, uma estrutura aparente.
Capítulo 2 01. Os capitéis são peças que têm área maior que as colunas, criando uma transição da pedra de vigamento para coluna, funcionando como uma “mão francesa” para segurar as pedras. As pedras não apresentam boa resistência à flexão, os vãos entre pilares não podem ser grandes, as pedras não resistiriam ao esforço e quebrariam, havendo necessidade de muitas colunas.
224
•
capítulo 8
Capítulo 3 01. Temos duas forças aplicadas no bloco estrutural da figura: a força de 90 kN é vertical, e a força de 120 kN é inclinada. Podemos decompor as forças inclinadas em duas forças, uma vertical e outra horizontal, assim respondendo ao enunciado do problema. Sabendo que o ângulo que a força faz com o eixo horizontal é de 30 graus, fazemos um triângulo retângulo, em que os catetos serão as forças horizontal e vertical decompostas da hipotenusa, que é a força de 120 kN. E posteriormente teremos as seguintes relações: Força decomposta vertical = 120 x sen 30 = 60 kN Força decomposta horizontal = 120 x cos 30 = 103,92 kN A resultante horizontal final é 103,92 kN da direita para a esquerda. Para a resultante vertical final, devemos somar a força decomposta, que encontramos de 60 kN, com a outra força existente no sistema, de 90 kN. Como elas são forças opostas, uma subtrai da outra, resultando em 30 kN de baixo para cima. 02. Os gráficos apresentam diferentes curvas, pois cada material muda de comportamento de acordo com a intensidade da força aplicada sobre eles. Independentemente da forma da curva, o ponto onde há a ruptura do material é quando a curva termina. Quando mais acima do eixo Y estiver o ponto onde a curva termina, maior será a tensão necessária para rompê-lo, e portanto o material C é o que resiste a maiores tensões, e o material A é o que resiste a menores tensões. Analisando as curvas no eixo X, verificamos que, ao se romper, o material B é o material que terá se deformado mais antes de romper, e o material D é o material que menos se deformará antes de romper.
Capítulo 4 01. a) A foto apresenta cabos presos na parede da edificação através de pinos aparafusados, portanto permitindo a rotação. Entretanto, a base onde os cabos estão fixados está aparafusada na parede, impedindo o deslocamento. Então este vínculo é rotulado fixo. b) A foto apresenta uma estrutura pré-moldada de concreto. Uma viga de concreto apoiada em um pilar de concreto. Duas peças separadas, portanto permitindo a rotação. Não conseguimos enxergar se existe algum pino fixando a viga ao pilar e, portanto, o apoio pode ser fixo ou móvel.
capítulo 8
•
225
c) A foto apresenta pedras apoiadas umas nas outras, formando arcos. A separação entre as pedras permite a rotação, mas provavelmente há um pino entre cada dupla de pedras, impedindo o deslocamento. Portanto, os vínculos são rotulados fixos. d) A foto apresenta vigas de concreto paralelas moldadas e presas em uma viga maior ao fundo. Estas vigas seguram uma laje de concreto. Tudo foi moldado conjuntamente e, portanto, as peças estão engastadas entre si. 02. a) Analisando a estrutura, temos um apoio rotulado fixo e um apoio rotulado móvel, e os elementos do sistema estão conectados entre si por rótulas. O trecho da direita, por apresentar um apoio móvel, irá se deslocar horizontalmente, e a rótula acima permitirá que o elemento se desloque, por ser rotulado. Portanto, essa estrutura é HIPOSTÁTICA. b) Analisando a estrutura, temos um apoio engastado e um apoio rotulado fixo. Se retirarmos o pilar da direita onde a viga se apoia, a estrutura cai, mas, se apenas trocarmos o tipo de apoio de engastado para rotulado fixo ou rotulado móvel, estaremos liberando a rotação e/ou o movimento deste apoio, e o sistema continuará estável. Portanto, a estrutura é HIPERESTÁTICA. c) Analisando a estrutura, temos dois apoios engastados e os elementos rotulados entre si. Se trocarmos um dos apoios engastados por um apoio rotulado fixo, a estrutura continuará estável, portanto a estrutura é HIPERESTÁTICA. d) Analisando a estrutura, temos um apoio engastado e um apoio rotulado móvel e os elementos rotulados entre si. A estrutura tem o seu membro direito solto, podendo se deslocar livremente, pois a rótula acima permite que o apoio se desloque horizontalmente, portanto a estrutura é HIPOSTÁTICA. e) Se, na estrutura anterior, no vínculo entre o elemento da direita e o elemento superior, em vez de uma rótula tivermos o vínculo engastado, o elemento da direita não conseguirá mais se mover, portanto a estrutura ficará estável. Esta estrutura é ISOSTÁTICA. f) Se, na estrutura anterior, no vínculo entre o elemento da esquerda e o elemento superior, em vez de uma rótula tivermos o vínculo engastado, estaremos diminuindo o grau de liberdade do sistema, mais do que o necessário para conseguir a estabilidade. Portanto, esta estrutura é HIPERESTÁTICA. g) Se, na estrutura anterior, no apoio da esquerda, em vez de um engaste o vínculo for rotulado, estaremos novamente aumentando o grau de liberdade do sistema e ficando com as mínimas condições necessárias para a estabilidade da estrutura. Portanto, esta estrutura é ISOSTÁTICA.
226
•
capítulo 8
Capítulo 5 Como a figura é simétrica, o centro de gravidade no eixo X é no meio do objeto, onde está localizado o eixo Y. O cálculo do centro de gravidade no eixo Y pode ser feito pela seguinte equação: y=
)] +325 [ ( 50)]30 0 ∑ yA = 150 [300( 50 37 = 25 , mm A 300 ( 50 ) + 50 ( ) 300 ∑
Para calcular o Momento de Inércia, precisamos dividir a geometria em partes mais simples, que possamos usar as fórmulas tabeladas de Momentos de Inércia. Vamos dividir o perfil T em A e B, conforme imagem abaixo: y
150 mm 150 mm
50 mm
A
25 mm
cg
300 mm
B
237,5 mm
150 mm x
25 mm
25 mm
Cada forma possui seu próprio centro de gravidade, facilmente encontrado por serem dois retângulos. Em seguida precisamos calcular as áreas, os momentos de inércia e as distâncias dos centros de gravidade das figuras A e B. Utilizamos uma tabela para facilitar os cálculos: Momento de Inércia no Eixo X: ÁREA X MOMENTO DIMENSÃO DIMENSÃO MOMENTO DE DISTÂNCIA FORMA ÁREA DISTÂNCIA DE INÉRCIA X Y INÉRCIA DO CG DO CG TRANSFERIDO 50 300 112.500.000 15 0 0 112.500.000 A
B
300
50
3.125.000
15
0
0
3.125.000
Momento de Inércia Final no Eixo X = 112.500.000 + 3.125.000 = 115.625.000 mm4
capítulo 8
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227
A posição dos centros de gravidade de A e B no eixo X coincidem com o centro de gravidade do conjunto, portanto as distâncias dos centros de gravidade são nulos, e consequentemente o momento de inércia transferido é igual ao momento de inércia srcinal de cada elemento. Momento de Inércia no Eixo Y:
FORMA
DIMENSÃO X
A B
DIMENSÃO Y
MOMENTO DE
ÁREA
INÉRCIA
DISTÂNCIA DO CG
ÁREA X DISTÂNCIA DO CG
MOMENTO DE INÉRCIA TRANSFERIDO
300
50
3.125.000
15
87,5
114.843.750 117.968.750
50
300
112.500.000 15
87,5
114.843.750 227.343.750
Momento de Inércia Final no Eixo Y = 117.968.750 + 227.343.750 = 345.312.500 mm4 Nesse perfil, podemos verificar visualmente que o momento de inércia no eixo Y é maior que o momento de inércia no eixo X, pois a quantidade de área do perfil está muito próxima do eixo Y e afastada do eixo X. Isso significa que este perfil apresenta resistência muito maior quando flexionado no eixo Y. Para calcular o momento de inércia do perfil na sua base (onde está indicado o eixo X), só precisamos recalcular o momento de inércia em Y, pois o momento de inércia em X não se altera. E a única diferença no cálculo será a mudança da distância dos centros de gravidade: Momento de Inércia no Eixo Y:
FORMA A B
DIMENSÃO X
DIMENSÃO Y
MOMENTO DE INÉRCIA
ÁREA
DISTÂNCIA DO CG
ÁREA X DISTÂNCIA DO CG
MOMENTO DE INÉRCIA TRANSFERIDO
300
50
3.125.000
15
150
337.500.000
50
300
112.500.000 15
325
1.584.375.000 1.587.500.000
450.000.000
Momento de Inércia Final no Eixo Y = 450.000.000 + 1.587.500.000 = 2.037.500.000 mm4 Quando deslocamos o ponto do cálculo para fora do CG o momento de inércia aumenta muito. Isso significa que se as cargas forem aplicadas fora do CG, aumentamos muito a resistência dos perfis.
228
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capítulo 8
Capítulo 6 01. a) O projeto da escola apresentado acima foi desenvolvido pelo arquiteto Pier Paolo Tamburelli e conecta duas diferentes modulações. Uma parte é organizada radialmente, permitindo a criação de um pátio vazio interno, iluminando e permitindo a ventilação cruzada das salas de aula. A outra parte tem modulação retangular, que permite melhor organização para as áreas de serviço.
b) O projeto acima é o Museu do Holocausto de Berlim, projetado pelo Arquiteto Daniel Liebeskind. A forma irregular tem uma lógica estrutural. As paredes ao longo da forma têm vão constante, permitindo o uso do mesmo sistema estrutural com elementos com dimensões similares ao longo do seu comprimento. Temos várias modulações simples retangulares se conectando por módulos de quina que apresentam forma irregular.
capítulo 8
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229
c) O projeto acima, dos arquitetos Jesse Williamson e Julia Song, apresenta um módulo hexagonal que se repete, criando uma malha estrutural específica. Apesar da aparente irregularidade da forma, temos os mesmos vãos estruturais e todos os elementos com as mesmas dimensões.
d) Analisando a planta baixa do Hotel projetado por Saunders Architecture no Canadá podemos identificar duas volumetrias que se interceptam e uma terceira volumetria separada. Para estruturar o projeto, duas modulações diferentes também se interceptam usando pontos em comum de comunicação.
230
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capítulo 8
e) Mesmo em formas que aparentemente são muito complexas, podemos identificar padrões que determinam possíveis modulações estruturais, como no Projeto do Museu MAXXI de Zaha Hadid, em Roma, na Itália.
capítulo 8
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Capítulo 7 01. A laje de concreto tem um peso total de: 100 x 0,015 kN/m2 = 1,50 kN/m2 Vamos trabalhar com sobrecarga para uma sala de aula de 1,92 kN/m2. A carga de piso total é de 1,50 kN/m2 + 1,92 kN/m2 = 3,42 kN/m2 Para o sistema de piso, L1 = 0,75 m e L2 = 4,5 m. Tendo em vista que L2 /L1 > 2, a laje de concreto é tratada como uma laje unidirecional. A área de cada viga é mostrada na figura a seguir. Portanto, a carga uniforme ao longo do seu comprimento é: 3,42 kN/m2 (0, 75 m) = 2,57 kN/m2 5m 0,7
4,5 m
2,57 kN 5,78 kN
5,78 kN
Figura 8.18 – Fonte: Hibbeler. 02. Temos uma laje bidirecional. A carga ao longo de cada viga de borda é apresentada na figura, em que a área trapezoidal é transmitida ao membro BC. A intensidade máxima desta carga é (2 kN/m2) x (2 m) = 4 kN/m. A distribuição da carga ao longo de BC é mostrada na figura. Esse processo de transmissão de carga também deve ser calculado para a região à direita de BC, mostrada na foto, e esta carga também deve ser colocada sobre BC.
Capítulo 8
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capítulo 8
01. 4 F =F cos 30o 0 5 AC AB 3 30o 0 ↑+ =∑ Fy + 0; FAC FA=Bsen 5 FAB = 2, 3 9 kN +∑ = Fx
−0;
FAC = 2, 59 kN
02. ↑+
∑= −Fy
0; 2 7( 5,+)sen , 0 = θ3 5 θ = 13, 5o
15 , m L AB = 2 = 3, 09m o cos13, 5
Faremos o somatório das forças verticais igual a zero. Temos o peso da viga para baixo e a força que o cabo suporta inclinado pelo ângulo a para cima (multiplicado por dois, por serem dois apoios). Encontrando o valor do ângulo a, podemos determinar o comprimento do cabo. 03. M = 400 x 3 – 400 x 5 + 200 x 0 + 200 x 0,2 + 300 x 5 + 300 x 0 = 0 M = 1200 – 2000 + 40 + 1500 = 0 M = + 740 Nm 04. O trecho de 1,8 metros apresenta carga triangular, portanto: 1,8 x 3 x 0,5 = 2,7 kN E a posição da resultante desta carga fica 2/3 a partir do ponto A: 1,8 x 2 / 3 = 1,2 m O trecho de 2,4 metros apresenta carga retangular, portanto: 2,4 x 3 = 7,2 kN E a posição da resultante fica no meio desta carga, a partir do ponto A: 2,4 / 2 + 1,8 = 3 m A Força Resultante é igual à 9,9 kN A posição da força resultante é: ( 2,7 x 1,2 + 7,2 x 3 ) / 9,9 = (3,24 + 21,6) / 9,9 = 2,51 m
capítulo 8
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233
M (No ponto A) = – 4 x 60 + 4 x 2 x 30 – 6 x Vc = 0 6Vc = 240 – 240 Vc = 0 kN
05. Σ
Fh = Ha = 0 Ha = 0 ΣFv = Va + Vc – 4 x 30 + 60 = 0 Σ
Va + 0 – 120 + 60 = 0 Va = 60 kN M (No ponto D) = 20 x 1 x 0,5 – 80 x 5 – 20 x 7 x 3,5 + 7 x Vc = 0 7Vc = - 10 + 400 + 490 = 0 Vc = + 125,7 kN ΣFh = Hd + 20 x 1 = 0 Hd = - 20 kN ΣFv = Vc + Vd – 80 - 20 x 7 = 0 Vd = - 125,7 + 80 + 140 = 0 Vd = + 94,3 kN
06. Σ
M (No ponto C) = Mc – 80 x 3 – 20 x 5 x 7,5 = 0 Mc = + 240 + 100 = 0 Mc = + 340 kNm ΣFh = Hc = 0 Hc = 0 kN ΣFv = Vc – 80 - 20 x 5 = 0 Vc = +80 + 100 = 0 Vc = + 180 kN
07. Σ
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capítulo 8
ANOTAÇÕES
capítulo 8
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235
ANOTAÇÕES
236
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capítulo 8
ANOTAÇÕES
capítulo 8
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237
ANOTAÇÕES
238
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capítulo 8
ANOTAÇÕES
capítulo 8
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239
ANOTAÇÕES
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capítulo 8
