Exercícios 1) A figura abaixo representa um diagrama simplificado de um veículo, rodando numa estrada acidentada, com uma velocidade de 100 km/h. Determinar a amplitude de deslocamento do veículo. Dados: massa do veículo m = 1200 kg, constante de rigidez k = 400 kN/m, fator de amortecimento ζ = 0,5, um ciclo = 6 m e Y = 0,05 m.
2) Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 8000 kN/m, e a outra de rigidez igual a 2500 kN/m, e um absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o compressor. 3) Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo da estrada entre dois picos é 35 m. Se a freqüência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de 60 km/h. 4) Um oscilador harmônico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida. 5) A fim de diminuir o movimento vibratório transmitido para os instrumentos, os painéis de instrumentos são montados em isoladores como acontece nos aviões. Se o isolador, tendo muito pequeno amortecimento, abaixa 3,175 mm sob um peso de 222,4 N, calcular a percentagem de movimento transmitido ao painel de instrumentos se a vibração do avião ocorre a 2000 rpm. 6) Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento ζ = 0,05. O suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar: (a) a amplitude da vibração resultante; (b) A amplitude da força transmitida. 7) Considere o caso do sistema excitado pela base como mostrado na figura. Fazendo y( t ) = Y sen( w b t ) ;
a- encontre uma expressão para a força transmitida para o suporte no estado estacionário (resposta permanente) b- para m=1kg, k=9N/m, c=0,6Ns/m, Y=0,01m e w b=10 rad/s, encontre o valor da transmissibilidade de deslocamento (Y/X). resposta: FT=0,0006579cos(10t+3,0758), X/Y=0,0658
8) Um sistema mecânico de 200kg é colocado sobre bases de borracha que defletem 2mm com o peso do sistema. a- determinar o movimento vertical do sistema x(t) se o mesmo é submetido a um esforço externo F(t) = 200 cos 15t. Considere o sistema sem amortecimento e com as condições iniciais nulas x(0) = 0 e v(0) = 0,1 m/s. b- encontre a resposta (x(t)) na ressonância considerando uma força externa com a mesma amplitude do caso anterior, e considere as mesmas condições iniciais. resposta: x(t) = -0,000233 cos70t+0,01428sen70t+0,000233cos25t; x(t)= (1/70)sen70t+(200/(2x70))tsent70t 9) Uma máquina tem freqüência de ressonância em 400 rpm quando suportada por 4 molas de aço para as quais o fator de amortecimento pode ser desprezado. Em 1200 rpm a amplitude do movimento é 0,5mm. Qual a amplitude do movimento se as quatro molas são trocadas por 4 isoladores de borracha com fator de amortecimento igual a 0,25. A freqüência de ressonância não é alterada resposta: X = 0,00049m 10) Um veículo modelado como um sistema massa-mola, rodando em uma estrada cujo perfil é modelado como uma função senoidal y(t) = Y sen (wt). O comprimento de onda do perfil da via é L e a velocidade do veículo v. Determinar a equação para a amplitude do movimento do corpo de peso W como função da velocidade e determinar a velocidade crítica. resposta: x p ( t ) =
kY
⎛ 2πv ⎞ k − m⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
2
⎛ 2πv t ⎞ e ⎟ ⎝ L ⎠
sen ⎜
v=
L
k
2π
m
11) Uma máquina industrial com peso de 500kg é suportada por molas com uma deflexão estática de 0,05m. Se a máquina tem um desbalanceamento rotativo de 100 kg.m, determinar: (a) a força transmitida para o piso a 1200 rpm, (b) a amplitude do movimento nesta velocidade (c) Se esta máquina for montada sobre um grande bloco de concreto de 1000 kg, e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco for aumentada de
modo que a deflexão estática ainda seja de 0,05m, qual será a amplitude do movimento? (desconsidere o amortecimento). resposta: Ft = 19887 N, X = 0,2025 m, X = 0.0675m 12) Um transmissor de rádio de avião, pesando 14 kg, é montado sobre quatro molas que defletem 0,65cm, quando o transmissor é colocado sobre elas. Calcular a porcentagem de vibração do motor recebida pelo tra nsmissor, para rotações do motor de 1000, 2000 e 3000 rpm. Admitir que não haja amortecimento. resposta: 16, 3.5 e 1.5% 13) Considere um sistema com desbalanceamento de rotação como mostra a figura 1 (da teoria). Adeflexão na ressonância é 0.05 m e a razão de amortecimento é medida como ξ = 0,1. A massa desbalanceada é estimada em 10%. Localize a massa desbalanceada estimando “ e ”. 14) Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×10 6 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento ζ = 0,05, e uma massa desbalanceada me = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração. 15) Um motor elétrico de velocidade variável, desbalanceado, é montado sobre um isolador. Quando é dada partida ao motor, observou-se que as amplitudes de vibração são de 1,4 cm na ressonância e 0,4 cm bem acima da ressonância. Determinar o fator de amortecimento do isolador. 16) Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática resultante é 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar: (a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e (b) a força transmitida para a base nesta velocidade. 17) Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 6000 N/m cada, associadas em paralelo, com amortecimento ζ = 0,2. Determinar a máxima excentricidade permissível para o rotor, de forma que a amplitude de regime permanente se limite a 5 mm pico a pico.
18) Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com amortecimento crítico, determinar: (a) a amplitude de vibração vertical; (b) a força transmitida para o veículo. 19) Um corpo com massa de 300 kg é montado sobre um sistema suspensivo com uma mola de rigidez de 40 kN/m e um amortecedor com coeficiente de amortecimento desconhecido. Observa-se que o corpo vibra com 10 mm de amplitude enquanto o suporte tem uma amplitude máxima de vibração de 2,5 mm (na ressonância). Calcule a constante de amortecimento e a amplitude da força no suporte. resposta: ξ= 0.129 e FT = 400N.
