ASIGNATURA
J. LLAURY
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TEORIA ELECTROMAGNETICA
PROPIEDAD INTELECTUAL DE JORGE E. LLAURY PADILLA Material publicado con fines de estudio Primera Edición Huancayo – 2011 2011
J.LLAURY
42
TEORIA ELECTROMAGNETICA
r 2 A . Log e U 1 2. . r 1 A
(75)
o
P
o
1 r
donde las distancias r1A y r2A, vienen dadas por las expresiones anteriores. En forma análoga, Cuando P toma la posición B:
r r D b R r r R b 1
y
1 B
2
2B
2
(76)
2
1
(77)
2
entonces, el potencial del cilindro 2 viene dado por:
r 2 B . Log e U 2 2. . r 1 B
(78)
o
P
o
1 r
donde las distancias r1B y r2B, vienen dadas por (76) y (77), respectivamente. Si la ddp entre los cilindros es igual a U 0, se tiene:
U U U 1
o
(79)
2
Reemplazando (77) y (78) en (79), pero teniendo en cuenta los parámetros “b1” y “b2”, dados por (73) y (74 ), respectivamente, se tiene que la ddp entre los dos cilindros es: 2 2 (80) D2 R12 R22 D R1 R2 1 . Log U 2. . . 2. R1. R2 2. R1 R2 2
2
R 12
o
e
o
1
Ahora, la capacitancia por unidad de longitud viene dada por: C
(81)
U Al reemplazar (80) en (81), se tiene:
o
C
2 . .
o
2 2 2 D R1 R2 Log . 2 . R R 2 1 2
2 R1
e
1
Usando: Log e u
2
D 2 R12 R 22 1 2. R1. R 2
(82)
u 1 Arc Coshu 2
La expresión (82) también puede ser escrita como:
J.LLAURY
3
TEORIA ELECTROMAGNETICA
PRESENTACION TEORIA ELECTROMAGNETICA ELECTROMAGNETICA es una asignatura muy importante dentro de la carrera de Ingeniería Eléctrica, y siendo de necesidad primordial para la buena formación académica de los estudiantes, se ha preparado cuidadosamente el presente material de estudio. La asignatura de Teoría Electromagnética está diseñada específicamente para la carrera de ingeniería eléctrica abarcando, por tanto, los siguientes temas: Leyes de Maxwell en forma integral y diferencial, Campo eléctrico, Potencial Eléctrico y la Ley de Gauss para el campo eléctrico, Teoría de Imágenes y Condiciones de Frontera del campo eléctrico, Coeficientes de potencial y capacitancia de una línea de transmisión, Inducción del campo eléctrico de una línea de transmisión sobre conductores aledaños, Teoría de la conducción eléctrica, Medición de la resistencia eléctrica y la resistividad eléctrica de un terreno, Ecuaciones de Laplace y Poisson, Soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas y cilíndricas, Ferromagnetismo y Circuitos Magnéticos, Enlaces de flujo magnético e inductancia de toroides y solenoides, Inductancia de una línea de transmisión monofásica, La Ley de Inducción de Faraday y Calentamiento de núcleos de transformadores debido a corrientes inducidas. . Ser puede decir, que la carrera de la Ingeniería Eléctrica está la TEORIA soportada por una “columna vertebral”: ELECTROMAGNÉTICA (Teoría de Campos ). En realidad, la carrera de Ingeniería Eléctrica se puede sintetizar en las siguientes partes o ramas:
Generación Transformación Transmisión y Distribución Y cada una de estas comprende el estudio de diversos cursos los cuales requieren de una buena formación en Teoría Electromagnética. A lo largo de mis 22 años de enseñanza del Electromagnetismo, he tratado de diseñar la asignatura orientada a la carrera de Ingeniería Eléctrica. El presente material, si bien es teórico, se complementará – en el desarrollo del ciclo académico, con problemas, de textos de los diferentes autores mencionados en la Bibliografía, los cuales se irán subiendo paulatinamente a la página personal del autor, los cuales serán desarrollados – en su mayoría – en el aula de clases y el resto para trabajos domiciliarios. Agradeceré cualquier sugerencia o crítica a fin de ir mejorando el presente material. Buena suerte y, a estudiar.
El responsable de la asignatura J.LLAURY
4
TEORIA ELECTROMAGNETICA
INDICE Pág 3 4
PRESENTACION INDICE PRIMERA UNIDAD: LEYES DE MAXWELL
9
CAPITULO 1.- LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL
9
1.1. CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL 1.2. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 1.3. FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL
9 10 11
a) LA LEY DE FARADAY:
11
b) LA LEY DE AMPERE:
11
c) LA LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS
11
d) LA LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO
13
1.4. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 1.5. TEOREMA DE STOKES 1.6. FORMA DIFERENCIAL DE LAS LEYES DE MAXWELL
14 14 14
SEGUNDA UNIDAD: EL CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS
17
CAPITULO 2.- CAMPO ELECTRICO, POTENCIAL ELECTRICO Y LA LEY DE GAUSS – APLICACIONES A ESFERAS Y LINEAS DE CARGA 17 2.1. EL CAMPO ELECTRICO 17 2.2. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A CILINDROS Y ESFERAS DE CARGA 20 2.3. CAMPO ELECTROSTATICO PARA UNA DISTRIBUCION DE CARGA ESPACIAL (VOLUMETRICA) 26 2.4. EL POTENCIAL ELECTROSTATICO Y TRABAJO.- RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTROSTATICO Y EL POTENCIAL 26 2.5. POTENCIAL Y CAMPO ELECTRICO DE DOS LINEAS DE CARGA PARALELAS 30
TERCERA UNIDAD: TEORIA DE IMÁGENES CAPITULO 3.- TEORIA DE IMÁGENES CONTORNO DEL CAMPO ELECTRICO
34 Y
CONDICIONES
DE 34
3.1. DISCONTINUIDAD DEL CAMPO ELECTRICO A TRAVES DE UNA LAMINA DE CARGA SUPERFICIAL 34 3.2. CONSIDERACIONES GENERALES ACERCA DE LAS IMÁGENES ELECTROSTATICAS 35 J.LLAURY
TEORIA ELECTROMAGNETICA
3.3. LINEA DE CARGA CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR 3.4. LINEA DE CARGA Y CILINDRO 3.5. LINEA BIFILAR
3.6. 3.7. 3.8. 3.9.
5
36 37 39
a) CARGAS IMAGEN
39
b) CAPACITANCIA POR UNIDAD DE LONGITUD
41
CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONECTADA A TIERRA CARGA PUNTIFORME PROXIMA A UN PLANO A TIERRA ESFERA CON CARGA CONSTANTE ESFERA CON VOLTAJE CONSTANTE
46 48 50 51
CUARTA UNIDAD: CAPACITANCIA E INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO 52 CAPITULO 4.- COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACITANCIA 52 4.1. COEFICIENTES DE POTENCIAL. CAPACITANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION 52 4.2. LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Y LA CAPACITANCIA 55 CAPITULO 5: INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO
64
5.1. FUNCION POTENCIAL EN UN PUNTO CUALQUIERA 64 5.2. CONDICIONES DE FRONTERA 66 5.3. INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA DE TRANSMISION SOBRE CONDUCTORES ALEDAÑOS 72
QUINTA UNIDAD: CONDUCCION ELECTRICA (Electrodinámica de conducción 74 CAPITULO 6.- TEORIA DE DEBYE DE LA CONDUCCION ELECTRICA 74 6.1. CONSERVACION DE LA CARGA 74 6.2. MODELO DE CONDUCCION EN GASES CARGADOS. LEY DE OHM PUNTUAL 77 a) Ecuaciones 77 b) Conducción arrastre – difusión 79 c) La Ley de Ohm 82 6.3. CONDICIONES DE FRONTERA DE LOS CAMPOS E y D, y LA DENSIDAD DE CORRIENTE J 82 6.4. RESISTENCIA ELECTRICA 84 a) FORMULA GENERALIZADA DE LA RESIST. ELECTRICA 84 b) RESISTOR DE PLACAS PARALELAS 85 J.LLAURY
6
TEORIA ELECTROMAGNETICA
c) RESISTOR COAXIAL
87
d) RESISTOR ESFERICO
88
6.5. CAPACITANCIA
89
a) CAPACITANCIA PARA CUALQUIER GEOMETRIA
89
b) RELACIÓN ENTRE LA CAPACITANCIA Y LA RESISTENCIA PARA DISPOSITIVOS DE LA MISMA GEOMETRÍA 89 c) CAPACITOR PLANO PARALELO
90
d) CAPACITOR COAXIAL
90
e) CAPACITOR ESFERICO
90
6.6. LA TIERRA Y SU ATMOSFERA COMO UN CAPACITOR ESFERICO CON PERDIDAS 90 CAPITULO 7: RESISTENCIA ELECTRICA Y LA RESISTIVIDAD ELECTRICA DE UN TERRENO (para cálculos de puesta a tierra) 93 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.
UN ELECTRODO HEMISFERICO AISLADO DOS ELECTRODOS HEMISFERICOS PROXIMOS RESISTIVIDAD DE UN TERRENO RESISTENCIA DE UN TERRENO
93 94 96 96
SEXTA UNIDAD: ECUACION DE POISSON Y SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE 99 CAPITULO 8.- SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE
99
8.1. CAMPOS ELECTRICOS CONSERVATIVOS (CUASI ESTACIONARIOS) 99 8.2. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS RECTANGULARES a) SOLUCIONES
CON CONSTANTE DIFERENTE DE CERO b) SOLUCIONES CON CONSTANTE DIFERENTE DE CERO
100
DE DE
SEPARACION 101 SEPARACION 105
8.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS CILINDRICAS
109
a) CONDENSADOR VARIABLE DE PLACAS CONDUCTORAS INCLINADAS 110 b) SOLUCIONES TRIDIMENSIONALES 112 c) BOQUILLA AISLADORA DE ALTO VOLTAJE 115
SEPTIMA UNIDAD: CAMPO MAGNETICO
117 J.LLAURY
7
TEORIA ELECTROMAGNETICA
CAPITULO 9.- CAMPO MAGNETOSTÁTICO MAGNETOSTÁTICO 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.
117
DESCUBRIMIENTO DE HANS CHRISTIAN OERSTED
117
FUERZA DE LAPLACE (LORENTZ) VEHICULO DE MOTOR LINEAL LEY DE BIOT – SAVART
118 120
APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT – SAVART
122 123
a) LINEA INFINITA DE CORRIENTE
123
b) LAMINA DE CORRIENTE CORRIENTE SUPERFICIAL
124
c) ESPIRA DE CORRIENTE CORRIENTE
125
d) BOBINA DE HELMHOLTZ
126
e) CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENOIDE
127
CAPITULO 10: APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
130
10.1. CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE 130 10.2. CAMPO MAGNETICO INTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE 131 10.3. CAMPO MAGNETICO EXTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE 132 CAPITULO 11: EL POTENCIAL VECTORIAL
134
11.1. EL POTENCIAL VECTOR DE UNA DISTRIBUCION DE CORRIENTE 134 11.2. EL POTENCIAL VECTORIAL Y EL FLUJO MAGNETICO 134 11.3. APLICACIONES DEL POTENCIAL VECTORIAL 134 a) LINEA DE CORRIENTE CORRIENTE DE LONGITUD FINITA
134
b) EL POTENCIAL VECTORIAL, EL FLUJO MAGNETICO Y LA INDUCTANCIA DE UNA ESPIRA RECTANGULAR DE CORRIIENTE 136
OCTAVA UNIDAD: MATERIALES MAGNETICOS Y CIRCUITOS MAGNETICOS 139 CAPITULO 12.MAGNETICOS 12.1. 12.2. 12.3.
HISTERESIS
FERROMAGNETICA
Y
CIRCUITOS 139
FERROMAGNETISMO: MATERIALES FERROMAGNETICO FERROMAGNETICOS S CURVAS DE MAGNETIZACION
139 141
MATERIALES FERROMAGNETICOS USADOS COMO NUCLEOS J.LLAURY
TEORIA ELECTROMAGNETICA 12.4. 12.5.
8
HISTERESIS FERROMAGNETICA FERROMAGNETICA 144 CIRCUITOS MAGNETICOS Y CALCULO DE LOS PARÁMETROS GEOMÉTRICOS Y OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS MAGNETICOS MEDIANTE TABULACION 145
NOVENA UNIDAD: ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIA DE LINEAS DE TRANSPORTE 147 CAPITULO 13.- INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION MONOFASICA 147 13.1. INDUCTANCIA DE SOLENOIDES Y TOROIDES. ENLACES DE FLUJO MAGNETICO E INDUCTANCIA INTERNA Y EXTERNA DE UNA LINEA DE TRANSMISION 147 13.2. INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE DE SECCION CIRCULAR 148 149 13.3. INDUCTANCIA DE UN TOROIDE DE SECCION CIRCULAR 13.4. INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANS. MONOFASICA 149 a) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO INTERNO 150 b) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO EXTERNO 151 c) ENLACE O ACOPLAMIENTO TOTAL DE FLUJO 152 d) LINEA MONOFASICA 152 CAPITULO 14: LEY DE INDUCCION DE FARADAY
154
14.1. LA LEY DE INDUCCION DE FARADAY 154 14.2. LA LEY DE LENZ 155 14.3. INDUCCION DEL CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE SOBRE UN CIRCUITO ALEDAÑO 156 14.4. POTENCIAL EN UN NIVEL “P” DEBIDO AL CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE UNIFILAR 158 CAPITULO 15: CORRIENTES INDUCIDAS EN LOS NUCLEOS DE LAS BOBINAS Y TRANSFORMADORES TRANSFORMADORES 161 15.1. CORRIENTES INDUCIDAS
161
15.2. RANURACIONES 15.3. NUCLEO MACIZO CON GEOMETRIA RECTANGULAR
162 163
TEMA OPCIONAL: FUNDAMENTO ELECTRODINAMICO DE LA LEVITACION MAGNETICA (MAGLEV) 165 1) LA ECUACION DE DIFUSION MAGNETICA 165 2) MAQUINA DE INDUCCION LINEAL 165 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 169 J.LLAURY
9
TEORIA ELECTROMAGNETICA
PRIMERA UNIDAD
LEYES DE MAXWELL CAPITULO 1 LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL 1.1. CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL Sea A un campo vectorial arbitrario, la circulación C de dicho campo, viene dada por la integral de línea de A, para un trayecto cerrado, es decir:
C A.d L A
(1)
C
Sentido de la circulación
Fi . 1 1..- Circula Circulación ción de un cam cam o vect vectoria oriall
Nota: Cuando el campo vectorial A no es perpendicular al plano del lazo cerrado, la circulación viene dada por:
C
A.Cos .dL
(2)
Siendo el ángulo que forman los vectores A y el desplazamiento diferencial dL . J.LLAURY
10
TEORIA ELECTROMAGNETICA
1.2. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL El flujo , para una superficie abierta tal como la mostrada en la Fig. 2, para un campo vectorial arbitrario, tal como A, viene dado por la siguiente expresión:
A.Cos .dS
A.d S
(3)
donde es el ángulo que forman los vectores A y dS. Pero cuando el campo vectorial A atraviesa una superficie cerrada, que contiene un volumen V, el flujo neto del campo vectorial puede ser:
Nulo (Fig. 3)
Positivo (Fig. 4) ó
Negativo (Fig. 5)
dS = dS un
A
un
S Fi . 2.- Flu o de un cam o vectorial
Entendiéndose por flujo neto a la suma algebraica de los flujos de entrada al volumen ó de salida del volumen. FLUJO ENTRANTE
=
FLUJO SALIENTE
Fig. 3.- Flujo neto nulo FLUJO ENTRANTE
FLUJO SALIENTE
<
FUENTE
Fig. 4.- Flujo neto positivo (fuente en el interior) FLUJO ENTRANTE
>
FLUJO SALIENTE
RESUMIDERO
Fig. 5.- Flujo neto negativo (resumidero en el interior) J.LLAURY
11
TEORIA ELECTROMAGNETICA
1.3. FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL a) LA LEY DE FARADAY En (1), haciendo el vector A igual al campo eléctrico E, se tiene que la circulación de este es:
C E .d L
0
(4)
Cuando E es un campo conservativo, es decir que depende del gradiente de un escalar. Además, en este caso, E no varía en el tiempo. Para un campo eléctrico que varía en el tiempo: E = E(r,t), se tiene:
C E .d L
FEM ind d m
(5)
dt
donde, m es el flujo magnético variable en el tiempo. Es decir, un campo eléctrico variable en el tiempo puede inducir un campo magnético también variable en el tiempo cuando los circuitos están próximos, ó viceversa. b) LA LEY DE AMPERE: En forma análoga, cuando en (1) se reemplaza el vector
J.LLAURY
