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Matemática
1º Básico - Grupo Quiriguá Primer semestre - IGER
MATEMÁTICA 7 Primer semestre
© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico:
[email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos
Código: 1110704201 ISBN 9789992292143
Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.
Índice Índice................................................................................................................................................ I ¡Bienvenida y bienvenido!..................................................................................................... 1
Semana 1 Conjuntos
.......................................................................................................................... 11
¡Para comenzar! Georg Cantor Creador de la Teoría de Conjuntos.......................... 13 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 14 El mundo de la matemática 1. Conjuntos.................................................................................................................................. 15 2. Clases de conjuntos ............................................................................................................. 16 2.1 Conjunto finito................................................................................................................. 16 2.2 Conjunto unitario ........................................................................................................... 16 2.3 Conjunto vacío Ø ........................................................................................................... 17 2.4 Conjunto infinito............................................................................................................. 17 2.5 Conjunto universo U...................................................................................................... 18 Resumen ......................................................................................................................................... 18 Autocontrol................................................................................................................................... 19 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 22 Razonamiento lógico................................................................................................................ 23
Semana 2
Representación de conjuntos.............................................................. 25 ¡Para comenzar! John Venn..................................................................................................... 27 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 28 El mundo de la matemática 1. Representación de conjuntos............................................................................................ 29 1.1 Forma descriptiva........................................................................................................... 29 1.2 Forma gráfica o diagrama de Venn......................................................................... 30 1.3 Forma enumerativa....................................................................................................... 31 a. Representación enumerativa especial............................................................... 32 Resumen ......................................................................................................................................... 33 Autocontrol................................................................................................................................... 34 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 37 Razonamiento lógico................................................................................................................ 38
Matemática − Índice
I
Semana 3
Relaciones entre conjuntos.................................................................... 41 ¡Para comenzar! Las aves......................................................................................................... 43 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 44 El mundo de la matemática 1. Relación de pertenencia
1.1 Relación de no pertenencia
2. Relación de contención
................................................................................................. 45 ................................................................................... 46
.................................................................................................. 47
2.1 Relación de no contención
.................................................................................... 48
Resumen ......................................................................................................................................... 49 Autocontrol................................................................................................................................... 50 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 54 Razonamiento lógico................................................................................................................ 55
Semana 4
El conjunto N de los números naturales............................. 57 ¡Para comenzar! ¿Cómo nacieron los números?.............................................................. 59 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 60 El mundo de la matemática 1. Los números naturales (N).................................................................................................. 61
1.1 Características del conjunto de los números naturales.................................. 61
1.2 Representación del conjunto de números naturales sobre la
semirrecta numérica..................................................................................................... 62
1.3 Comparación de números naturales...................................................................... 63
1.4 Ordenemos series de números naturales............................................................ 64
Resumen ......................................................................................................................................... 65 Autocontrol................................................................................................................................... 66 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 70 Razonamiento lógico................................................................................................................ 71
Semana 5
Operaciones y propiedades en el conjunto de los números naturales (N).............................................................
73
¡Para comenzar! El ábaco.......................................................................................
75
Lenguaje matemático .............................................................................................................. 76 El mundo de la matemática 1. Operaciones en el conjunto de los números naturales (N)................................... 77
II
1.1 Suma de números naturales...................................................................................... 77
1.2 Resta de números naturales...................................................................................... 77
IGER − Quiriguá
1.3 Multiplicación de números naturales.................................................................... 78
1.4 División de números naturales................................................................................. 78
2. Propiedades de las operaciones de los números naturales (N)........................... 79
2.1 Propiedades de la suma.............................................................................................. 79
a. Propiedad conmutativa.......................................................................................... 79 b. Propiedad asociativa............................................................................................... 79 c. Elemento neutro........................................................................................................ 79
En resumen... ........................................................................................................................... 80
2.2 Propiedades de la resta............................................................................................... 80
a. Elemento neutro........................................................................................................ 80
2.3 Propiedades de la multiplicación............................................................................ 81
a. Propiedad conmutativa.......................................................................................... 81
b. Propiedad asociativa .............................................................................................. 81 c. Elemento neutro........................................................................................................ 81 d. Distributiva de la multiplicación respecto a la suma y a la resta .......... 82
En resumen............................................................................................................................... 82
2.4 Propiedades de la división......................................................................................... 84
a. Elemento neutro........................................................................................................ 84 Resumen ......................................................................................................................................... 85 Autocontrol................................................................................................................................... 87 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 92 Razonamiento lógico................................................................................................................ 93
Semana 6 Múltiplos y divisores........................................................................................... 95 ¡Para comenzar! Pitágoras....................................................................................................... 97 El mundo de la matemática 1. Múltiplos de un número natural...................................................................................... 98
1.1 ¿Cómo sabemos si un número es múltiplo de otro?........................................ 99
1.2 Propiedades de los múltiplos de números naturales........................................ 101
2. Divisores de un número natural....................................................................................... 103
2.1 ¿Cómo sabemos si un número es divisor de otro?............................................ 103
2.2 Propiedades de los divisores de números naturales......................................... 105
Resumen ......................................................................................................................................... 106 Investigue en la red................................................................................................................... 106 Autocontrol................................................................................................................................... 107 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 110 Razonamiento lógico................................................................................................................ 111
Matemática − Índice
III
Semana 7
Divisibilidad de números naturales............................................. 113 ¡Para comenzar! El papiro de Rhind. Un documento matemático antiguo............ 115 El mundo de la matemática 1. Divisibilidad de números naturales................................................................................. 116
a. Divisibilidad entre 2........................................................................................................ 116
b. Divisibilidad entre 3........................................................................................................ 117
c. Divisibilidad entre 5........................................................................................................ 118
d. Divisibilidad entre 25...................................................................................................... 118
e. Divisibilidad entre la unidad seguida de ceros
(10, 100, 1000, etc.).......................................................................................................... 118
Resumen ......................................................................................................................................... 119 Autocontrol................................................................................................................................... 120 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 124 Razonamiento lógico................................................................................................................ 125
Semana 8
Repaso semanas 1-7........................................................................................ 127 ¿Cómo sacar provecho de este repaso?.............................................................................. 129 Unas recomendaciones más..................................................................................................... 130 El mundo de la matemática 1. Conjuntos.................................................................................................................................. 131 2. Representación de conjuntos............................................................................................ 133 3. Relaciones entre conjuntos................................................................................................ 135 4. Números naturales (N)......................................................................................................... 137 5. Operaciones y propiedades en el conjunto de los números naturales (N)..... 139 6. Múltiplos y divisores............................................................................................................. 143 7. Divisibilidad.............................................................................................................................. 145 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 148 Razonamiento lógico................................................................................................................ 149
Semana 9
Números primos y números compuestos.......................... 151 ¡Para comenzar! Eratóstenes................................................................................................... 153 El mundo de la matemática 1. Números primos..................................................................................................................... 154 2. Números compuestos.......................................................................................................... 155
2.1 Factorización de números compuestos en factores primos......................... 156
Resumen ......................................................................................................................................... 157
IV
IGER − Quiriguá
Autocontrol................................................................................................................................... 158 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 162 Razonamiento lógico................................................................................................................ 163
Semana 10
Mínimo común múltiplo (mcm)........................................................... 165 ¡Para comenzar! Productos muy especiales....................................................................... 167 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 168 El mundo de la matemática................................................................................................... 169 1. Múltiplos comunes................................................................................................................ 169 2. Mínimo común múltiplo (mcm) ...................................................................................... 170
2.1 Cálculo del mcm por inspección.............................................................................. 170
2.2 Cálculo del mcm por descomposición en factores primos........................... 171
2.3 Problemas que se resuelven aplicando el mcm................................................. 173
Resumen ......................................................................................................................................... 174 Autocontrol................................................................................................................................... 175 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 180 Razonamiento lógico................................................................................................................ 181
Semana 11
Máximo común divisor (MCD)............................................................... 183 ¡Para comenzar! Leonhard Euler............................................................................................ 185 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 186 El mundo de la matemática 1. Divisores comunes................................................................................................................. 187 2. Máximo común divisor (MCD).......................................................................................... 188
2.1 Cálculo del MCD por inspección............................................................................. 188
2.2 Calculo del MCD por descomposición en factores primos........................... 189
Un caso especial............................................................................................................ 191
2.3 Problemas que se resuelven calculando el MCD.............................................. 192
Resumen ......................................................................................................................................... 193 Autocontrol................................................................................................................................... 194 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 198 Razonamiento lógico................................................................................................................ 199
Semana 12
El conjunto Z de los números enteros.................................... 201 ¡Para comenzar! Los números enteros negativos............................................................ 203
Matemática − Índice
V
El mundo de la matemática 1. El conjunto de los números enteros (Z)......................................................................... 205
1.1 Representación de los números enteros en la recta
numérica .......................................................................................................................... 206
2. Valor absoluto de un número entero | |....................................................................... 207 3. Orden de los números enteros......................................................................................... 208
3.1 Comparación de dos números enteros ............................................................... 208
3.2 Ordenar series de números enteros ...................................................................... 208
4. Utilidad de los números enteros...................................................................................... 210
4.1 Medir el tiempo en la historia ................................................................................. 210
4.2 Medir temperaturas ..................................................................................................... 210
4.3 Medir la altura y la profundidad ............................................................................. 210
4.4 Calcular ingresos y gastos ......................................................................................... 211
Resumen ......................................................................................................................................... 212 Autocontrol................................................................................................................................... 213 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 218 Razonamiento lógico................................................................................................................ 219
Semana 13
Suma y resta de números enteros............................................... 221 ¡Para comenzar! Los acontecimientos históricos en el tiempo.................................... 223 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 224 El mundo de la matemática 1. Suma de números enteros.................................................................................................. 225
1.1 Suma de enteros con signos iguales...................................................................... 225
1.2 Suma de enteros con signos diferentes .............................................................. 227
1.3 Suma de más de dos enteros con signos diferentes ...................................... 228
2. El opuesto de un número entero .................................................................................... 229 3. Resta de números enteros.................................................................................................. 230
En resumen .............................................................................................................................. 231
4. El signo menos delante de un signo de agrupación................................................ 232 Resumen ......................................................................................................................................... 234 Autocontrol................................................................................................................................... 235 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 240 Razonamiento lógico................................................................................................................ 241
Semana 14
Multiplicación y división de números enteros............ 243 ¡Para comenzar! El clima de la tierra................................................................................... 245 El mundo de la matemática 1. Multiplicación de números enteros ............................................................................... 246
VI
IGER − Quiriguá
1.1 Multiplicación de números enteros con más de dos factores .................... 248 2. División de números enteros ............................................................................................ 250 En resumen............................................................................................................................... 251 Resumen ......................................................................................................................................... 252 Autocontrol................................................................................................................................... 253 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 256 Razonamiento lógico................................................................................................................ 257
Semana 15
Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones............................................................................................................ 259 ¡Para comenzar! Hipatia........................................................................................................... 261 El mundo de la matemática 1. Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones...................................... 262 2. Operaciones combinadas sin signos de agrupación................................................ 263 3. Operaciones combinadas con signos de agrupación.............................................. 264 Resumen ......................................................................................................................................... 266 Autocontrol................................................................................................................................... 267 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 270 Razonamiento lógico................................................................................................................ 271
Semana 16
Potenciación de números enteros................................................ 273 ¡Para comenzar! René Descartes........................................................................................... 275 Lenguaje matemático .............................................................................................................. 276 El mundo de la matemática 1. Potenciación de números enteros .................................................................................. 277 1.1 ¿Cómo se leen las potencias? .................................................................................. 278 1.2 Desarrollo de una potencia ...................................................................................... 278 2. Reglas de potenciación ....................................................................................................... 279 3. Multiplicación y división de potencias .......................................................................... 280 Resumen ......................................................................................................................................... 282 Autocontrol................................................................................................................................... 283 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 286 Razonamiento lógico................................................................................................................ 287
Semana 17
Repaso semanas 9-16.................................................................................... 289 ¿Cómo sacar provecho de este repaso?.............................................................................. 291 Unas recomendaciones más .................................................................................................... 292
Matemática − Índice
VII
El mundo de la matemática 1. Números primos y números compuestos.................................................................... 293 2. Mínimo común múltiplo (mcm)........................................................................................ 296 3. Máximo común divisor (MCD).......................................................................................... 298 4. Números enteros.................................................................................................................... 300 5. Suma y resta de números enteros................................................................................... 303 6. Multiplicación y división de números enteros............................................................ 306 7. Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones............................................. 309 8. Potenciación............................................................................................................................. 311 Razonamiento lógico................................................................................................................ 313
Claves............................................................................................................................................. 315 Bibliografía............................................................................................................................... 337
VIII
IGER − Quiriguá
¡Bienvenida y bienvenido! Hemos elaborado con mucho cariño e ilusión el nuevo libro de Matemática. Lo más importante ahora es la dedicación y el esfuerzo que usted ponga para aprender. Los conocimientos matemáticos los utilizamos todos los días y casi sin fijarnos; hacemos cuentas al comprar o vender, calculamos distancias y tiempo al salir de casa, etc. El curso de matemática del grupo Quiriguá (1ª fase del ciclo básico) pretende que usted afiance muy bien los temas generales de la materia y que vaya desarrollando estas competencias: •
Leer información, analizarla y utilizarla.
•
Interpretar el lenguaje particular de la matemática y utilizar adecuadamente sus símbolos.
•
Calcular operaciones básicas y combinadas de los conjuntos numéricos con agilidad.
•
Mostrar dominio en la agilidad de cálculo.
•
Identificar estrategias para resolver problemas matemáticos y verificar resultados.
•
Identificar y transformar medidas de longitud, área y volumen.
•
Definir y clasificar figuras en patrones geométricos.
•
Utilizar y verificar las estrategias para su autoaprendizaje.
Durante 34 semanas, el libro de matemática será su fiel compañero, en él podrá leer, comprender y practicar los contenidos. Estas primeras páginas las dedicaremos a conocer cada sección del libro. ¡Iniciemos!
Matemática −¡Bienvenida y bienvenido!
1
Portada: La presentación
4
El conjunto N de los números naturales
—¿Qué dice usted cuando se presenta? —Seguramente saluda y dice su nombre, para que los demás le conozcan. Pues la portada es “la presentación” de cada semana de estudio. Nos saluda, nos da la bienvenida a un nuevo tema y nos indica el número de la semana y el título del tema que se trabajará. Las imágenes de la portada representan las herramientas y elementos con que nos relacionaremos. Compare sus textos de Matemática, Comunicación y Lenguaje y Ciencias Sociales, verá que tienen elementos comunes y elementos diferentes. Con todos ellos, irá construyendo su aprendizaje. Se desenvolverá mejor en el mundo actual y trabajará por el desarrollo de su comunidad.
Logros: ¿Qué vamos a obtener? Los logros son los frutos que usted alcanzará a través del estudio, la práctica y la comprensión del tema de cada semana. Expresan conocimientos y habilidades que le ayudarán a desarrollar las competencias del ciclo básico. Para poder obtener los frutos: • Lea cada logro con atención, compréndalo y hágalo suyo. Propóngase alcanzarlo. • Observe que la lista de logros termina con dos líneas vacías. En ellas usted puede escribir un logro personal. ¿Cuál es el fruto que usted quiere cosechar al terminar la semana?
Los logros que conseguirá esta semana son: Practicar el trazo de los símbolos matemáticos: > (mayor que), < (menor que), = (igual a). Definir y representar sobre una semirrecta numérica el conjunto de los números naturales.
2
IGER − Quiriguá
¿Qué encontrará esta semana? • ¿Cómo nacieron los números?
¡Para comenzar!
La maravillosa historia de los números.
• Símbolos: > (mayor que),
Lenguaje matemático
< (menor que), = (igual a).
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Este apartado es como “el menú” de la semana. En él se presentan los contenidos que degustará en las diferentes secciones del libro.
• Los números naturales (N).
• Tablas de multiplicar del 7 y el 8.
• Problemas matemáticos con las tablas del 1 al 8.
Razonamiento lógico
¡Para comenzar! Iniciemos con buen pie... Para abrir apetito e iniciar la semana “con hambre de aprender” le presentamos una pequeña lectura relacionada con el tema de la semana o le contamos datos y curiosidades de algún matemático famoso.
A la lectura le siguen los ejercicios del ¡a trabajar! que le ayudarán a evaluar su comprensión lectora y a expresar sus ideas por escrito.
¡A trabajar! 1.
2.
¿Cómo nacieron los números?
Hace muchos, muchísimos años, las personas vivían en pequeños grupos, en cuevas donde se escondían de los animales peligrosos y se protegían del mal tiempo. Cazaban animales para alimentarse y para saber cuántos habían atrapado, marcaban un palo con señales.
Según la lectura, ¿cuál fue la
primera forma de ‟contar” del
ser humano?
necesidad o una distracción, como una El conteo de objetos se dio ¿cóm o por casualidad?
Matemática −¡Bienvenida y bienvenido!
3
Lenguaje matemático: La caligrafía matemática En el libro de Comunicación y Lenguaje nos cuentan que la caligrafía es el arte de escribir con letra clara y bien formada. La matemática tiene un lenguaje propio, signos y letras que representan operaciones, que debemos aprender a escribir con “letra clara y bien formada”. Este espacio persigue dos objetivos: • Que conozca el significado de cada signo y lo memorice. • Que practique y mejore el trazo de cada signo. Siga las instrucciones para dibujarlo en forma correcta y practique en la plana. ¡La práctica constante es indispensable!
Lenguaje matemático ¡Siga practicando el lenguaje matemático! Esta semana utilizaremos los símbolos:
>(Mayor que)
< Menor que) (
=(Igual que) o (igual a)
Tome su lapicero y repase cada signo. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
> (Mayor que) > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
B.
< (Menor que) < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <
C.
= (Igual a) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
4
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática: el plato fuerte de cada semana El propósito de esta sección es aprender y practicar los fundamentos de la matemática. En este libro conoceremos especialmente los conjuntos numéricos, sus operaciones y sus propiedades, que serán las bases para caminar con paso firme y seguro por el aprendizaje de la matemática. Cada tema tiene definiciones, ejemplos y ejercicios. Lea con atención las definiciones y pregúntese ¿cómo diría yo esto con mis palabras? Si lo logra con facilidad, lo ha entendido. Repase los ejemplos y realice los ejercicios cuantas veces considere necesarias. Practicar lo aprendido le ayudará a afianzar los contenidos y a corregir errores.
El mundo de la matemática 1. Los números naturales (N) Una herramienta para contar
Usted conoce muy bien los números naturales porque los utiliza siempre desde que aprendió a contar y los sigue utilizando en sus cuentas diarias, ¿verdad? El conjunto de los números naturales está formado por los números que se utilizan para contar. Este conjunto se identifica con la letra mayúscula N. En el principio, el conjunto de los números naturales estaba formado por los números del 1 en adelante. Luego, en el siglo VII d.C., los hindúes inventaron el símbolo que representa el vacío, la nada, ese símbolo es el número cero. A partir de entonces el conjunto de los números naturales está formado por los números del 0 hasta el infinito:
N=
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…
1.1 Características del conjunto de los números naturales El conjunto de números naturales tiene las siguientes características: •
Su primer elemento es el número cero.
•
Es un conjunto infinito. No podemos conocer el último número.
N= •
0, 1, 2, 3,…
Es un conjunto ordenado. Todos los números naturales, menos el cero, tienen un número que va antes, es decir lo antecede y un número que va después, lo sucede.
También encontrará recuadros especiales en la columna de la izquierda o derecha. No pase de largo, léalos con atención porque contienen recordatorios o explicaciones que le ayudarán a comprender mejor el tema de estudio.
Los puntos suspensivo s [...] indican la in finidad del conjunto .
Puede aprovechar el espacio vacío de la columna para hacer anotaciones, escribir ideas importantes o sus propios recordatorios. tar Pregun culo r en el cí . io de estud
Matemática −¡Bienvenida y bienvenido!
5
Ejercicios ¡A practicar lo aprendido! ¿Cómo averiguar si está aprendiendo bien el contenido de la semana? ¡Muy fácil! Después de la explicación y los ejemplos se presentan ejercicios como el que vemos acá. La maestra y el maestro locutor le ayudarán a resolverlos.
Ejercicio 2
iente ¡E sté pend ial! d ra e as cl la de
Localice y escriba, bajo el punto correspondiente, los números de cada conjunto. Algunos números ya están identificados. 1)
A=
0, 3, 5, 11, 13
2)
B=
0, 4, 7, 11
3)
C=
0, 2, 6, 10
4)
D=
0, 5, 9, 13
5)
E=
0, 3, 8, 12
Resumen 1.
Los números naturales forman el conjunto numérico que sirve para contar.
1.1
El conjunto de los números naturales se identifica con la letra mayúscula N. •
El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, porque no se puede conocer el último número. En forma enumerativa se representa así: N=
6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...
1.2
También se puede representar sobre una semirrecta. El punto de origen de la semirrecta corresponde al cero. La punta de flecha al final de la recta indica que el conjunto es infinito.
1.3
Para comparar y ordenar los números naturales utilizamos los símbolos > (mayor que), < (menor que), = (igual a).
IGER − Quiriguá
¡Recapitulemos con pocas palabras! El resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. La lectura del resumen es otra ocasión de comprobar si entendió bien los temas o si aún tiene dudas. Es una buena herramienta para estudiar. Repáselo, estúdielo y haga anotaciones en él.
Autocontrol: Verifico mi aprendizaje Un experto o especialista en cualquier disciplina practica muchas veces lo que hace hasta que lo domina. De la misma manera, un buen estudiante debe ser experto en cada tema que trabaja, por eso debe ejercitarse a diario para comprobar su aprendizaje. El autocontrol le permite evaluar qué tanto ha aprendido del tema. Hágalo después de escuchar la clase radial y estudiar en profundidad el contenido de cada semana. Le sugerimos dividir el trabajo e ir resolviendo algunos ejercicios cada día de la semana. El autocontrol le ayuda a ir por pasos porque está dividido en tres secciones: Actividad 1 La actividad 1 es un repaso de los conceptos y definiciones aprendidas. Al realizar estas actividades, resolverá ejercicios que evalúan la comprensión del tema de la semana. Podrá saber si aprendió bien los contenidos estudiados.
Autocontrol Actividad 1.
Todo número natural, menos el cero, tienen un antecesor y un sucesor. Complete la tabla escribiendo el antecesor y el sucesor de los números dados. Tiene un ejemplo. 100
0)
Actividad 2 La matemática “entra” por el lápiz. Para dominar cada tema hay que resolver de forma ordenada y correcta muchas operaciones, así que ¡a practicar! Es el mo mento de poner en práctica lo aprendido con ejercicios que le ayuden a reflexionar sobre lo estudiado y a aplicar sus conocimientos en diferentes situaciones. Actividad 3 En esta sección puede poner en práctica las habilidades que adquirió y aplicarlas en ejercicios o actividades que requieren que sepa muy bien el contenido y lo combine con su ingenio.
Demuestre lo aprendido.
3)
758
1)
4)
200
2)
Actividad 2.
5)
1,000 1,299 5,600
Practique lo aprendido.
Ordene el nombre de los empleados de acuerdo a su salario mensual. Del salario más alto (mayor) al salario más bajo (menor). Tiene un ejemplo. Empleado
Nombre Salario Irma
2,358
Rubén
2,654
Rubén
Salario 2,654
Lorena 1,849
101
Actividad 3.
Desarrolle nuevas habilidades.
Escriba cómo se leen los conjuntos. Tiene un ejemplo. El conjunto A de los números del 8 al 75
0)
A = { 8, 9, 10,…75 }
1)
B = { 12, 14, 16,…986 }
Matemática −¡Bienvenida y bienvenido!
7
La mente: su mejor herramienta Agilidad de cálculo mental Un atleta profesional, un nadador, tiene que dominar la técnica para nadar, pero si quiere competir y ganar debe adquirir cada día más agilidad. Lo mismo sucede con el cálculo mental, es imprescindible saber multiplicar, dividir, sumar o restar, pero si queremos que nuestro cerebro se desarrolle más y sea capaz de hacer otras conexiones, debemos ganar agilidad mental y hacer las operaciones bien y rápido. El cálculo mental permite que se desarrolle nuestro sentido numérico, la atención y la concentración. Para lograrlo, vamos a entrenar cada semana con una serie de ejercicios.
Agilidad de cálculo mental La única forma de dominar las tablas de multiplicar es practicándolas. Repase y memorice las tablas del 7 y el 8. Cuando ya las domine, realice la actividad 1.
Actividad 1 Después de estudiar las tablas, escriba los resultados de cada multiplicación. Observe que aunque se cambie el orden de los números el resultado sigue siendo igual. Hágalo lo más rápido que pueda.
8
IGER − Quiriguá
1)
7 x 1 =
10)
8 x 10 =
2)
8 x 2 =
11)
8 x 7 =
3)
8 x 5 =
12)
8 x 8 =
4)
7 x 4 =
13)
3 x 7 =
5)
7 x 7 =
14)
4 x 7 =
6)
7 x 3 =
15)
5 x
7 =
7)
8 x 7 =
16)
6 x
7 =
8)
7 x 8 =
17)
8 x
8 =
9)
7 x 9 =
18)
8 x
9 =
Razonamiento lógico Resolución de problemas Resuelva los problemas en su cuaderno. Deje escritas todas la operaciones que realice. 1)
Don Beto tiene 5 camiones y cada uno tiene 8 llantas. a. ¿Cuántas llantas tienen todos sus camiones juntos?
2)
Maritza tiene 3 gallinas. Una gallina pone un huevo diario aproximadamente por 240 días. a. ¿Cuál será la producción total de sus gallinas en 240 días?
Una de las competencias más importantes en el mundo actual, es la habilidad de resolver problemas. En esta sección queremos que se “vaya entrenando” y que aplique los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas. Empezaremos por problemas sencillos e iremos graduando la dificultad en la medida en que avancemos en el curso. ¡Póngase las pilas!
Para resolver un problema debe: • • •
Leerlo con atención y definir la operación u operaciones que debe realizar para encontrar la respuesta. Aplicar el procedimiento. Escribir la respuesta.
Autoevaluación Usted es la primera persona en evaluar su aprendizaje, complete lo que en ella se le pide con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su orientadora u orientador voluntario lo que no pudo superar para que pueda ayudarle.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Identifico y trazo los signos >, <, =. Defino con mis palabras el conjunto N de números naturales. Represento sobre una semirrecta numérica el conjunto N de números naturales. Comparo y ordeno números naturales.
Lea cada aspecto a evaluar. Si no alcanzó algún logro, repase de nuevo e intente descubrir cuál es la dificultad. Anote sus dudas en el siguiente cuadro.
Matemática −¡Bienvenida y bienvenido!
9
Notas: Por último, escriba en este cuadro sus dudas, inquietudes y descubrimientos y compártalo con sus compañeras y compañeros en el círculo de estudio.
Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
o?
ar mejor su estudi
¿Cómo aprovech
gerimos que: Para estudiar le su nte que inación. Es importa m ilu a en bu n co y r cómodo • Busque un luga nes. y de las distraccio se aleje del ruido cucharla cuantas ede grabarla y es Pu al. di ra se cla la e • Escuche siempr necesarias. e er id veces cons la disciplina . La constancia y ar di tu es y jar ba para tra • Elija un horario dio. mpañeras de estu son sus mejores co las instrucciones. s, lea con atención io cic er ej s lo r lve • Antes de reso tador orientadora u orien su s, ro ñe pa m co s das con su edan ayudarle. • Consulte sus du comunidad que pu su de s na rso pe s ra voluntario o con ot cicios, los autoestudiado, los ejer a m te el n co n ió ac mpañe• Asista a la orient mpartir con sus co co de os se de s ho s y muc controles resuelto ras y compañeros. nas! ¡A estudiar con ga . de su aprendizaje imer responsable pr el es d te us e Recuerde qu
10
IGER − Quiriguá
1
Conjuntos
Matemática − Semana 1
11
Los logros que conseguirá esta semana son: Conocer y practicar el símbolo Ø (conjunto vacío). Definir el término conjunto. Diferenciar los términos: conjunto y elemento. Definir y determinar la cardinalidad de un conjunto. Definir y clasificar conjuntos de acuerdo a su cardinalidad. Recordar y practicar las tablas del multiplicar del 1 y el 2. Desarrollar su razonamiento resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
12
IGER − Quiriguá
• Biografía de Georg Cantor
• El signo Ø (conjunto vacío) y su significado • ¿Qué es un conjunto? • ¿Qué es cardinalidad? • Clases de conjuntos • Tablas de multiplicar del 1 y el 2
• Problemas matemáticos
¡Para comenzar! Georg Cantor Creador de la Teoría de Conjuntos Georg Cantor nació en San Petersburgo, Rusia, el 3 de marzo de 1845. Cuando cumplió once años, emigró a Frankfurt, Alemania. En este país se dedicó a estudiar y mostró mucha habilidad matemática; tanta, que a los quince años ya era profesor de esta materia. Cantor inventó junto con Richard Dedekind la Teoría de Conjuntos, base de las matemáticas modernas. Además, construyó una aritmética de los números infinitos. Cantor era una persona muy religiosa e interpretó el infinito como Dios. Fue criticado duramente por sus colegas que no reconocían su trabajo y descalificaban sus conclusiones. Sufrió de depresión y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos.
Georg Cantor (1845-1918) Creador de la teoría de conjuntos.
Hoy día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo y admite que fue un gran salto de calidad en el razonamiento lógico. Texto adaptado de Fundamentos para una teoría general de conjuntos José Domínguez Ferreirós
¡A trabajar! 1.
Según la lectura, ¿cuáles son los aportes de Cantor a la matemática?
2.
Los compañeros de Georg Cantor no reconocieron su esfuerzo, sin embargo él fue perseverante y siguió adelante con su trabajo. Esta actitud de Cantor, ¿a qué le motiva en sus estudios? Escríbalo y guárdelo como un compromiso personal.
Matemática − Semana 1
13
Lenguaje matemático Para expresar las ideas y sentimientos por escrito, utilizamos el abecedario y formamos palabras. De la misma forma, en matemática utilizamos los símbolos matemáticos para expresar ideas y conceptos. Algunos símbolos ya los hemos aprendido en la primaria. Por ejemplo el signo + (más), el signo – (menos), etc. En el grupo Quiriguá, aprenderemos otros símbolos matemáticos y su significado. ¡Iniciemos! ¿Conoce este símbolo? Ø Significa conjunto vacío, sin nada. Para escribir el símbolo una línea encima de él, de arriba hacia abajo. 1.
Ø
(vacío) debe dibujar un círculo y luego
2. 3.
Hágalo por partes. Repase con su lapicero las figuras. Siga la dirección de las flechas.
Ο Ο
Ο Ο Ο Ο Ο Ο
Ο Ο Ο
Ο Ο Ο Ο Ο Ο
A.
B.
Ο
/ / / / / / / / /
/ / / / / / / / / C.
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Este símbolo Ø significa:
14
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Conjuntos
Grupos que comparten características
Nuestra vida cotidiana está rodeada de conjuntos: el conjunto de nuestros familiares, el conjunto de compañeros de trabajo, el conjunto de libros que utilizamos en el grupo Quiriguá... Un conjunto es una agrupación de elementos que poseen una o más características comunes. Veamos las características de un conjunto: Está formado por elementos: cada una de las personas, animales u objetos que lo forman. Se nombra siempre con una letra mayúscula: A, B, C o cualquier letra del alfabeto. Posee cardinalidad. Es el número total de elementos que forman un conjunto. Por ejemplo: El conjunto D de los dedos de la mano. —¿Cuál es el nombre del conjunto? La letra D —¿Qué elementos lo forman? Pulgar, índice, medio, anular, meñique. —¿Cuál es su cardinalidad? 5, porque tiene cinco elementos.
Ejercicio 1 Lea el conjunto, escriba en las líneas los elementos que lo forman y escriba la cardinalidad en el recuadro. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto M de las materias del grupo Quiriguá está formado por:
Matemática , Comunicación y Lenguaje , Ciencias Sociales . Su cardinalidad es: 1)
3
El conjunto P de los puntos cardinales está formado por los elementos:
,
,
,
Su cardinalidad es:
Matemática − Semana 1
15
2. Clases de conjuntos Los animales que tienen dos patas se llaman bípedos, y los que tienen cuatro patas, cuadrúpedos. Esta clasificación agrupa a los animales según el número de patas que poseen. También los conjuntos se clasifican de acuerdo al número de elementos que tienen, es decir, según su cardinalidad. Veamos:
2.1 Conjunto finito
Podemos contar sus elementos
El conjunto H de los huesos del esqueleto tiene 208 elementos. Es un conjunto finito. Conjunto finito: es un conjunto en el que podemos contar todos sus elementos. Son ejemplos de conjuntos finitos: • El conjunto S de los días de la semana, porque tiene 7 elementos. • El conjunto D de los departamentos de Guatemala, porque tiene 22 elementos.
2.2 Conjunto unitario
Con un solo elemento
Cuenta la tradición maya que todo niño que nace viene acompañado de su nahual. El nahual es como su sombra protectora y generalmente es un animal. El conjunto N de los nahuales de un niño está formado por un solo elemento. El conjunto N es un conjunto unitario. El conjunto unitario es aquel que tiene un solo elemento.
Ejercicio 2 Responda a las preguntas. Tiene un ejemplo.
16
0)
Dado el conjunto C de los continentes:
¿Cuál es la cardinalidad de este conjunto?
La cardinalidad del conjunto es 5.
¿Qué clase de conjunto es?
Es un conjunto finito.
1)
Dado el conjunto P de corazones de una persona:
¿Cuál es la cardinalidad de este conjunto?
¿Qué clase de conjunto es?
IGER − Quiriguá
2.3 Conjunto vacío Ø
No tiene elementos
Consideremos el conjunto P de peces que viven en el aire. ¿Cuántos elementos tiene? No tiene elementos, su cardinalidad es cero porque no hay peces que vivan en el aire. P es un conjunto vacío. Lo representamos P = Ø , y se lee: ‟P es igual a un conjunto vacío”. El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Su cardinalidad es cero. Otro ejemplo: El conjunto C de ciudades sin habitantes es un conjunto vacío porque no hay ciudades sin habitantes. C = Ø
2.4 Conjunto infinito
Con infinidad de elementos
¿Cuántos elementos tiene el conjunto E de las estrellas del firmamento? Es imposible llegar a saber cuántas estrellas hay porque no se pueden contar todas. Es un conjunto infinito. Un conjunto infinito es aquel que no podemos llegar a saber cuántos elementos tiene. Su cardinalidad es indeterminada. Otros ejemplos: el conjunto N de números naturales, el conjunto M de múltiplos de un número, el conjunto D de números decimales, etc.
Ejercicio 3 Lea el enunciado y responda a las preguntas. Tiene un ejemplo. 0)
Si consideramos el conjunto I de los números impares divisibles exactamente entre dos, ¿podemos saber cuántos elementos tiene? Sí, tiene cero elementos.
¿Por qué?
exactamente entre dos.
Porque no hay ningún número impar que se pueda dividir
Entonces, ¿qué tipo de conjunto es el conjunto I? Es un conjunto vacío.
1)
Si consideramos el conjunto G formado por los granos de arena del mar, ¿podemos saber cuántos elementos tiene?
¿Por qué?
Entonces, ¿qué tipo de conjunto es el conjunto G? Matemática − Semana 1
17
2.5 Conjunto universo U
Un conjunto que contiene a otros
Todos los conjuntos se obtienen de un conjunto mayor llamado conjunto Universo que se identifica con la letra U. Por ejemplo: El conjunto C formado por los países de Guatemala, El Salvador y Honduras se obtiene de un conjunto mayor U formado por todos los países de Centroamérica. Definamos: El conjunto mayor del que se obtienen otros conjuntos se llama conjunto universo (U).
Resumen 1.
Un conjunto es una agrupación de elementos que poseen una o más características en común.
Características de un conjunto: • Está formado por elementos: cada una de las personas, animales u objetos que lo forman. • Se nombra siempre con una letra mayúscula: A, B, C o cualquier letra del alfabeto. • Posee cardinalidad. La cardinalidad es el número total de elementos que forman un conjunto.
2.
Clases de conjuntos
Por su cardinalidad los conjuntos pueden ser:
2.1 Conjunto finito: se pueden contar todos sus elementos. 2.2 Conjunto unitario: sólo tiene un elemento. 2.3 Conjunto vacío Ø : no tiene elementos. 2.4 Conjunto infinito: no podemos llegar a saber cuántos elementos tiene. Su cardinalidad es indeterminada. 2.5 El conjunto universo es el conjunto mayor del que se obtienen otros conjuntos.
18
IGER − Quiriguá
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Demuestre lo aprendidoDDsu A.
Intente no consultar su libro, compruebe qué aprendió. 1)
Escriba con sus palabras qué idea tiene de conjunto.
2)
Escriba con sus palabras qué es un elemento.
B.
Realice este ejercicio para verificar su comprensión de las clases de conjuntos. Identifique si los conjuntos son vacíos, unitarios, finitos o infinitos. Tiene un ejemplo.
El conjunto A es finito.
0)
El conjunto A de las letras del alfabeto.
1)
El conjunto M de los meses con 28 o 29 días.
2)
El conjunto P de los números pares.
3)
El conjunto S de semanas con 10 días.
4)
El conjunto O de los ojos de una persona.
5)
El conjunto E de los números entre 4 y 5.
C. Escriba en la columna derecha el conjunto Universo del que se obtuvo cada conjunto de la columna izquierda. Tiene un ejemplo. Conjuntos
El conjunto E formado por lapicero, sacapuntas, borrador. El conjunto P formado por los planetas Saturno, Urano, Marte. El conjunto D formado por los departamentos de Escuintla, Petén, Jutiapa. El conjunto P formado por los números pares 2, 4, 6, 8.
Conjunto universo (U)
El conjunto E se obtuvo del conjunto
U de El conjunto P se obtuvo del conjunto
U de El conjunto D se obtuvo del conjunto
U de El conjunto P se obtuvo del conjunto
U de
Matemática − Semana 1
19
Actividad 2. A.
B.
Practique lo aprendido
Escriba dentro del cuadro la cardinalidad de cada conjunto descrito. Si se trata de un conjunto infinito, escriba la letra i. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto V de las letras vocales de la palabra “mariposa”.
1)
El conjunto D de los dedos de la mano.
2)
El conjunto Q formado por sus compañeros y compañeras del grupo Quiriguá.
3)
El conjunto L de las letras del abecedario del idioma español.
4)
El conjunto I de los números impares.
5)
El conjunto C de los granos de arena del desierto.
Escriba sobre la línea cuál es el conjunto U de los conjuntos dados. Tiene un ejemplo. 0)
¿Cuál es el conjunto U del conjunto P formado por los números pares 2, 4, 6 ?
El conjunto U del conjunto P es el conjunto de números pares.
1)
¿Cuál es el conjunto U del conjunto F formado por las frutas papaya, piña y pera?
El conjunto U del conjunto F es
2)
¿Cuál es el conjunto U del conjunto M formado por los meses enero, marzo y diciembre?
El conjunto U del conjunto M es
3)
¿Cuál es el conjunto U del conjunto R formado por los ríos Motagua, Achiguate y Usumacinta?
El conjunto U del conjunto R es
.
.
.
Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades A.
20
3
Lea cada numeral y forme los conjuntos que se le piden. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto C formado por dos utensilios de cocina.
Conjunto C formado por:
1)
El conjunto R formado por dos objetos que le sirven en la clase radial.
Conjunto R formado por: IGER − Quiriguá
olla
, estufa
,
B.
2)
El conjunto I formado por tres herramientas del agricultor.
Conjunto I formado por:
3)
El conjunto C formado por tres partes de una casa.
Conjunto C formado por:
4)
El conjunto N formado por cuatro números menores que 10.
Conjunto N formado por:
,
,
,
,
,
5)
El conjunto F formado por tres clases de flores.
Conjunto F formado por:
,
,
,
,
Lea el enunciado, analice y responda a las preguntas. Tiene un ejemplo. 0)
Si consideramos el conjunto I de las cifras impares en el número 248:
• ¿Cuántos elementos tiene?
• ¿Por qué? Porque todas las cifras del número son pares
• Entonces, ¿qué tipo de conjunto es I?
1)
Si consideramos el conjunto P de presidentes de una nación:
• ¿Cuántos elementos tiene?
• ¿Por qué?
• Entonces, ¿qué tipo de conjunto es P?
2)
Si consideramos el conjunto N de números naturales mayores que 5:
• ¿Cuántos elementos tiene?
• ¿Por qué?
• Entonces, ¿qué tipo de conjunto es N?
Cero elementos
vacío
Matemática − Semana 1
21
Agilidad de cálculo mental Un buen atleta se entrena todos los días. Realiza distintos ejercicios para mantener sus músculos fuertes y este entrenamiento le permite perfeccionar el deporte que practica. ¡Nosotros también tenemos que ser “atletas de alto nivel”! Esta sección le permite entrenarse. Le proponemos distintos ejercicios para practicar y agilizar su habilidad de cálculo mental. ‟Para calentar” ¿qué le parece si iniciamos con las tablas del 1 y el 2? Son muy sencillas, anímese y practíquelas.
Repase las tablas del 1 y del 2 ¡Memorícelas!
Tabla del 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5
Tabla del 2 1 x 6 = 6 1 x 7 = 7 1 x 8 = 8 1 x 9 = 9 1 x 10 = 10
2 2 2 2 2
x x x x x
1 = 2 2 = 4 3 = 6 4 = 8 5 = 10
2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20
Escriba el resultado de las multiplicaciones lo más rápido que pueda. Hágalo con lápiz, así si se equivoca, puede borrar el resultado e intentarlo de nuevo. No utilice la calculadora.
22
1)
1 x 3 =
11)
2 x 4 =
21)
1 x 9 =
2)
2 x 7 =
12)
1 x 2 =
22)
2 x 7 =
3)
2 x 2 =
13)
2 x 6 =
23)
1 x 5 =
4)
1 x 10 =
14)
1 x 5 =
24)
1 x 4 =
5)
2 x 5 =
15)
2 x 9 =
25)
2 x 3 =
6)
1 x 6 =
16)
2 x 1 =
26)
1 x 2 =
7)
1 x 1 =
17)
1 x 4 =
27)
2 x 8 =
8)
2 x 8 =
18)
2 x 10 =
28)
1 x 6 =
9)
2 x 3 =
19)
1 x 8 =
29)
2 x 1 =
10)
1 x 9 =
20)
1 x 7 =
30)
1 x 3 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas
Resolver problemas matemáticos nos ayuda a desarrollar el razonamiento lógico. Esta competencia no se logra de la noche a la mañana, por eso semana a semana, le proponemos una serie de problemas para que vaya aumentando sus habilidades. ¡Comencemos! Para resolver problemas, le recomendamos: 1.
Leer con atención y asegurarse de que comprende el problema.
2.
Reflexionar:
¿Qué me preguntan?¿Qué datos tengo? ¿Qué datos me faltan?
3.
Hacer un planteamiento:
¿Qué operación debo realizar para encontrar la solución?
4.
Operar
Realizar operaciones necesarias
5.
Escribir la respuesta
Ahora le toca a usted resolver los problemas. Hágalo en su cuaderno y aplique los pasos anteriores. 1)
Mariana compró un quintal de frijol a 450 quetzales y dos quintales de azúcar a 250 quetzales cada uno. ¿Cuánto pagó por la compra? ¿Cuánto le sobró si llevaba 1000 quetzales?
2)
¿Cuántas bolsas necesitamos para empacar 1125 aguacates, si en cada bolsa ponemos 15 aguacates?
3)
Ubicada en Roma, la Ciudad del Vaticano es, desde 1929, el Estado independiente más pequeño del mundo. Tiene una extensión territorial de 44 hectáreas y una frontera de 4 kilómetros.
a. ¿Cuántos años de independencia cumplió la Ciudad del Vaticano en el año 2000?
b. ¿En qué año la Ciudad del Vaticano cumplirá 100 años como Estado independiente?
c. Si una hectárea equivale a 10,000 m2, ¿cuál es la extensión territorial de la Ciudad del Vaticano?
d. Si un kilómetro mide 1,000 m, ¿cuántos metros mide la frontera de la Ciudad del Vaticano?
Matemática − Semana 1
23
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Conozco y puedo trazar el signo de conjunto vacío. Expreso qué es un conjunto. Sé lo que significa e identifico los elementos de un conjunto. Logro definir y determino la cardinalidad de conjuntos. Clasifico conjuntos de acuerdo al número de elementos. Practico y aprendo las tablas de multiplicar del 1 y del 2. Encuentro la solución a los problemas matemáticos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
24
IGER − Quiriguá
2
Representación de conjuntos
Matemática − Semana 2
25
Los logros que conseguirá esta semana son: Conocer y practicar el signo
(llaves).
Describir e identificar las formas de representar los conjuntos. Representar conjuntos en forma descriptiva, gráfica y enumerativa. Desarrollar la habilidad de cálculo mental practicando las tablas del multiplicar del 1 al 4. Desarrollar el razonamiento matemático resolviendo problemas. Desarrollar la observación y la atención encontrando todos los cuadrados que forman una figura.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
26
IGER − Quiriguá
• Biografía de John Venn
• El signo
(llaves)
• Representación de conjuntos
• Tablas de multiplicar del 1 al 4
• Problemas matemáticos con operaciones básicas
¡Para comenzar! John Venn
A
• 6
• 7 • 8
• 9
B
John Venn, matemático y lógico inglés, nació en 1834 y murió en 1923. Fue profesor en la Universidad de Cambridge, donde impartió clases de lógica y probabilidad. Este matemático también fue escritor y sus libros más destacados son Lógica simbólica y Los Principios de la lógica empírica.
John Venn (1834 - 1923) Matemático inglés creador de la representación gráfica de conjuntos.
En 1880 Venn introdujo el sistema de representación de conjuntos, que provocó revuelo en el mundo de la lógica formal. Inventó diagramas de círculos para representar conjuntos. En su honor, estos diagramas se conocen como diagramas de Venn. Los diagramas ya se habían usado antes, pero las representaciones de Venn superaban en claridad y sencillez a los anteriores, esto hizo que se convirtieran en un modelo de representación de relaciones lógicas. Adaptación de texto de http://es.wikipedia.org/
¡A trabajar! 1.
Tomando en cuenta la lectura, ¿cuál fue el aporte de John Venn a la matemática y la lógica?
2.
¿Para qué sirven los diagramas de Venn?
3.
Los diagramas ya se habían utilizado antes, ¿por qué los diagramas de Venn se convirtieron en modelo?
Matemática − Semana 2
27
Lenguaje matemático Las llaves son signos de agrupación que sirven para encerrar los elementos de un conjunto. La llave de apertura ( ) la escribimos antes del primer elemento y la llave de cierre ( ), luego del último elemento. Las llaves se trazan de arriba hacia abajo. Fíjese en las flechas. Llave de apertura:
Llave de cierre:
Tome su lapicero y repase cada llave. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
Intente usted el trazo, dibuje las llaves sobre cada línea.
Este signo
28
IGER − Quiriguá
sirve para:
El mundo de la matemática
1. Representación de conjuntos ¿Cómo representaría una manzana? —Hay diferentes formas de hacerlo: • puede llamarla por su nombre: manzana • describirla: fruta redonda hundida por los extremos, de cáscara delgada y lisa, de color rojo, verde o amarillo, con sabor ácido o dulce. • o dibujarla:
Como la manzana, los conjuntos también se pueden representar de diferentes formas. Veamos:
1.1 Forma descriptiva
Un camino más corto
La forma descriptiva es una manera abreviada de representar conjuntos porque solo nombramos una propiedad común a todos los elementos. Para representar conjuntos en forma descriptiva: • Escribimos la letra que representa el nombre del conjunto, seguido de un signo igual. • Dibujamos la llave de apertura, describimos una característica de los elementos y cerramos la llave. Ejemplo: P = { Países del mundo} Se lee : ‟P es igual al conjunto de los países del mundo”.
Ejercicio 1 Exprese en forma descriptiva el conjunto dado. Tiene un ejemplo 0)
El conjunto T de los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
T = { Números pares menores que 22 }
1)
El conjunto N de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
N={ Matemática − Semana 2
29
1.2 Forma gráfica o diagrama de Venn
Los elementos dentro de una figura
Para representar un conjunto de forma gráfica, se utiliza un diagrama de Venn o cualquier figura geométrica simple. Los conjuntos deben tener pocos elementos para que la representación sea clara. Veamos cómo hacerlo: • Dibujamos un óvalo, nuestro diagrama de Venn. • Dentro del diagrama escribimos o dibujamos los elementos del conjunto, colocándoles un punto a la izquierda. Si un elemento está repetido, sólo lo ponemos una vez. • Escribimos el nombre del conjunto fuera de la figura, en otro círculo pequeño. Recuerde que los conjuntos se nombran con una letra mayúscula. Ejemplos: 1) El conjunto V de las letras vocales:
2) El conjunto N de los números del 3 al 7:
V • a
N • 3
• e
• i
• 4
• o
• 6
• u
• 5 • 7
Ejercicio 2 Observe los conjuntos C y P, expresados en forma descriptiva, y luego represente el conjunto P en forma gráfica. Tiene un ejemplo.
0)
C = { Cifras del número 435,534 }
• 4
C
• 3
1)
• norte, •
P = { Puntos cardinales } •
•
30
IGER − Quiriguá
• 5
1.3 Forma enumerativa
Un listado de elementos
Enumerar es contar, hacer listas. La representación enumerativa nombra uno a uno todos los elementos del conjunto. Suele utilizarse para conjuntos con pocos elementos. Para representar conjuntos en forma enumerativa: • Nombramos el conjunto con una letra mayúscula y a continuación escribimos el signo igual. • Dibujamos la llave de apertura, escribimos los elementos separándolos con una coma y cerramos la llave. • Cuando un elemento se repite, solo se escribe una vez. Ejemplos: El conjunto V de las letras vocales.
V = { a, e, i, o, u } Se lee: ‟V es igual al conjunto formado por los elementos a, e, i, o, u”. El conjunto L de las letras de la palabra mapa, en forma enumerativa, se expresa:
L = { m, a, p }
Se lee: ‟L es igual al conjunto formado por los elementos m, a, p”.
Aunque la “a” se repite dos veces en la palabra “mapa”, solo se escribe una vez.
Ejercicio 3 Observe los conjuntos en forma descriptiva y expréselos en forma enumerativa. Tiene un ejemplo. 0)
M = { Números del 3 al 7 }
M = { 3, 4, 5, 6, 7 }
1)
N = { Letras de la palabra ‟roma” }
N={
2)
A = { 3 nombres que inician con A }
A={
Matemática − Semana 2
31
a. Representación enumerativa especial La forma de representación enumerativa especial se utiliza para conjuntos muy numerosos, cuyos elementos tienen un orden establecido. Por ejemplo: las letras del alfabeto, conjuntos numéricos formados por números pares, números impares… etc. Para representar conjuntos en forma enumerativa especial: • Nombramos el conjunto con una letra mayúscula y a continuación escribimos el signo igual. • Entre llaves, escribimos los tres primeros elementos separados por comas, tres puntos suspensivos y el último elemento. Por ejemplo: Los puntos suspensivos […] representan los elementos que faltan.
Conjunto A de las letras del alfabeto.
A = { a, b, c,… z } Se lee: ‟El conjunto A de las letras del alfabeto de la a a la z”.
Ejercicio 4 Ahora le toca a usted. Represente los siguientes conjuntos en la forma enumerativa especial. Tiene un ejemplo.
32
0)
El conjunto P de los números pares del 8 al 456.
P = { 8, 10, 12,... 456
1)
El conjunto L de las letras del abecedario desde la “j” hasta la “w”.
L ={
2)
El conjunto l de los números impares del 1 al 999.
l ={
3)
El conjunto M de los meses del año.
M ={
4)
El conjunto H de los números naturales del 0 al 500.
H ={
IGER − Quiriguá
}
Resumen 1.
Un conjunto puede representarse en tres formas: descriptiva, gráfica y enumerativa.
1.1 Forma descriptiva
La forma de representación descriptiva consiste en escribir dentro de llaves una oración que describe la característica común de todos los elementos del conjunto. Ejemplo:
V = { Letra vocal } 1.2 Forma gráfica o Diagrama de Venn
La representación gráfica consiste en dibujar un diagrama de Venn y, dentro de él, escribir los elementos del conjunto, colocándoles un punto a la izquierda. Si un elemento está repetido, sólo se escribe una vez. El nombre del conjunto se escribe fuera de la figura en otro círculo pequeño. Ejemplo: V • a
• e
• i • o
• u
1.3 Forma enumerativa
La forma de representación enumerativa consiste en escribir todos los elementos del conjunto, sin repetir ninguno,encerrados entre llaves { } y separados por comas. Ejemplo:
V = { a, e, i, o, u } a. Forma enumerativa especial La forma enumerativa especial se utiliza para conjuntos muy numerosos cuyos elementos tienen un orden establecido. Para representarlo: • Se escriben los tres primeros elementos del conjunto. • Luego se colocan puntos suspensivos para representar los elementos que no se escriben y se anota el último elemento del conjunto. Ejemplo:
L = { a, b, c,… z }
Matemática − Semana 2
33
Autocontrol Actividad 1 Demuestre lo aprendido.Demuestre lo aprendidoDDsu A.
Complete el diagrama escribiendo las formas de representación de un conjunto.
Los conjuntos se pueden representar en forma:
B.
Identifique las formas de representación de los conjuntos. Rellene el cuadro que corresponde a la respuesta correcta. 0)
¿Cuál es la forma de representar un conjunto en la que se hace una lista de sus elementos?
gráfica descriptiva enumerativa
1)
gráfica
¿En qué forma está representado el conjunto A = { Números mayores que 7 }?
descriptiva enumerativa
2)
¿En qué forma está representado el conjunto R = { a, m, d }?
gráfica enumerativa por comprensión
B 3)
¿En qué forma está representado el conjunto
• 5 • 7
?
gráfica descriptiva enumerativa
34
IGER − Quiriguá
Actividad 2 Practique lo aprendido.uDDsu A.
B.
Represente los conjuntos en forma descriptiva. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto C formado por Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa Rica y Panamá.
C = { Países de Centroamérica
1)
El conjunto E formado por lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo.
E={
2)
El conjunto F formado por los números impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
F={
3)
El conjunto D formado por los números divisores de 10: 1, 2, 5, 10.
D={
4)
El conjunto L formado por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
L={
}
Represente en forma gráfica los conjuntos. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto L formado por las letras de la palabra ‟escolar”.
L
• e • c • l
• s • o • r • a
1)
El conjunto D de los números que dividen a 8.
2)
El conjunto N de los números naturales menores que 10.
Matemática − Semana 2
35
C.
Represente los conjuntos en forma enumerativa. 0)
El conjunto N formado por los números pares entre 9 y 21.
N = { 10, 12, 14, 16, 18, 20
1)
El conjunto M formado por los meses del año con 31 días.
M={
2)
El conjunto F formado por el nombre de las fases de la Luna.
F={
3)
El conjunto V formado por las letras vocales de la palabra ‟murciélago”
V={
4)
El conjunto S formado por las sílabas de la palabra ‟tetera”
S={
Actividad 3 A.
}
Desarrolle nuevas habilidades.u
Escriba cómo se leen los conjuntos. Tiene un ejemplo. 0)
A = { 8, 9, 10,…75 }
El conjunto A de los números del 8 al 75
1)
B = { 12, 14, 16,…986 }
2)
C = { Números mayores que 18
}
B.
36
Escriba en forma enumerativa especial los siguientes conjuntos. 1)
El conjunto N formado por los números del 18 al 574.
N={
2)
El conjunto M formado por los meses del año.
M={
3)
El conjunto L formado por las letras desde la m hasta la z.
L={
IGER − Quiriguá
Agilidad de cálculo mental Para ganar agilidad mental y rapidez, hay que practicar constantemente. Repase las tablas del 3 y del 4 y cerciórese de que las sabe de memoria. Si usted ya las domina, realice la actividad 1 directamente. ¡De memoria!
Tabla del 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x
1 = 3 2 = 6 3 = 9 4 = 12 5 = 15
Tabla del 4 3 3 3 3 3
x 6 = 18 x 7 = 21 x 8 = 24 x 9 = 27 x 10 = 30
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x
1 = 4 2 = 8 3 = 12 4 = 16 5 = 20
4 4 4 4 4
x x x x x
6 7 8 9 10
= 24 = 28 = 32 = 36 = 4 0
Actividad 1 Escriba el resultado de las multiplicaciones lo más rápido que pueda. No utilice calculadora. Escriba con lápiz. Así, si se equivoca, puede borrar. Tiene un ejemplo. 0)
3 x 2 = 6
10) 2 x 7 =
20) 2 x 2 =
1) 1 x 4 =
11) 3 x 6 =
21) 3 x 1 =
2) 2 x 5 =
12) 3 x 5 =
22) 4 x 6 =
3) 3 x 7 =
13) 2 x 6 =
23) 4 x 4 =
4) 4 x 2 =
14) 1 x 9 =
24) 4 x 3 =
5) 2 x 3 =
15) 3 x 6 =
25) 3 x 9 =
6) 4 x 8 =
16) 1 x 5 =
26) 2 x 8 =
7) 2 x 1 =
17) 3 x 4 =
27) 3 x 7 =
8) 2 x 9 =
18) 4 x 5 =
28) 1 x 9 =
9) 1 x 8 =
19) 1 x 3 =
29) 4 x 7 = Matemática − Semana 2
37
Razonamiento lógico Resolución de problemas A.
Recuerde que para comprender el problema y encontrar la respuesta debe leerlo con atención. 1)
Si cada papaya cuesta 9 quetzales, ¿cuánto costarán 3 papayas? Si paga con un billete de Q50.00, ¿cuánto vuelto recibe?
2)
María vende chuchitos los fines de semana. El sábado vendió 12 y el domingo 15. Si cada uno vale 2 quetzales, ¿qué cantidad de dinero reunió en total?
3)
Mario compró un lápiz que le costó 3 quetzales, un cuaderno que le costó 6 quetzales y una caja de marcadores de 14 quetzales.
a. ¿Cuánto tuvo que pagar en total?
b. Si pagó con un billete de 100 quetzales, ¿cuánto le devolvieron?
4)
38
Si una caja de 24 jugos en lata me cuestan 96 quetzales,
a. ¿cuántas cajas puedo comprar con 768 quetzales?
b. ¿Cuál es el valor individual de cada lata de jugo?
5)
Marta gastó 136 quetzales para hacer 68 rellenitos. ¿Cuál es su ganancia si vende a 3 quetzales cada rellenito?
6)
Romeo compró un televisor para pagarlo en 12 cuotas. Si cada cuota era de 125 quetzales,
a. ¿cuánto pagó por el televisor?
b. El precio del televisor era de 1350 quetzales al contado. Si lo hubiera pagado así, ¿cuánto habría ahorrado?
7)
Pedro pagó 48,000 quetzales por un terreno de 120 varas cuadradas. Si decide venderlo a 450 quetzales la vara cuadrada, ¿cuánto gana en el negocio?
8)
El lunes, Rocío tardó 3 horas con 22 minutos para recorrer 222 kilómetros en su carro. Si el martes tardó 2 horas con 55 minutos, ¿qué tiempo ahorró?
9)
27 estudiantes del grupo Quiriguá formaron una biblioteca. Cada estudiante reunió 3 libros.
a. ¿Cuántos libros reunieron los estudiantes en total?
b. Si la municipalidad aportó otros 48 libros, ¿cuántos libros hay en la biblioteca?
IGER − Quiriguá
B.
Juego lógico
¿Cuántos cuadrados hay?
Este juego le ayudará a mejorar su atención porque tendrá que concentrarse en las formas de las figuras. Los inventores y creadores desarrollan una gran capacidad de concentración que les permite sentir su idea de forma intensa.
¡Ejercite su mente realizando este ejercicio para convertirse en un gran creador!
No todo es lo que parece. Observe con atención y encuentre todos los cuadrados posibles en la siguiente figura. Marque cada cuadrado con un color diferente.
¿Cuántos cuadrados encontró?
Matemática − Semana 2
39
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Identifico y puedo dibujar el signo de llaves. Comprendo las diferentes formas de representar conjuntos. Puedo representar los conjuntos en diferentes formas. Practico las tablas de multiplicar del 1 al 4, realizando los ejercicios propuestos. Conozco y utilizo correctamente las tablas de multiplicar del 1 al 4. Resuelvo los problemas planteados. Desarrollo atención y observación encontrando por lo menos 11 cuadrados.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
40
IGER − Quiriguá
3
Relaciones entre conjuntos
Matemática − Semana 3
41
Los logros que conseguirá esta semana son: Conocer y practicar los símbolos matemáticos: (pertenece), (no pertenece), (contenido) y (no contenido). Describir e identificar las relaciones de conjuntos: pertenencia y contención. Asociar las relaciones de pertenencia y contención a situaciones cotidianas. Construir ejemplos de relaciones de pertenencia y contención. Agilizar el cálculo mental practicando las tablas de multiplicar del 1 al 6. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
42
IGER − Quiriguá
• Las aves Philip Whitfield • Los signos (pertenece), (no pertenece), (contenido) y (no contenido) • Relación de conjuntos: Pertenencia Contención • Tablas de multiplicar del 1 al 6
• Problemas matemáticos con operaciones básicas
¡Para comenzar! Las aves Las aves son un grupo de animales que se ha adaptado muy bien a los cambios del entorno. Han conquistado el aire, la tierra, el agua y se encuentran en todo el planeta, incluso en las heladas tierras de la Antártida. Hay unas 9,000 especies de aves distintas, con tamaños que van desde el diminuto colibrí hasta los grandes avestruces. A pesar de sus diferencias, todas las aves se reproducen a través de huevos. La cría en desarrollo está protegida en el interior del huevo de cáscara dura y suele ser incubada por los padres en un nido. La incubación dura entre 10 y 12 días en aves pequeñas y puede prolongarse hasta 84 días en el caso de aves grandes, como el albatros. Todas las aves tienen dos patas, un par de alas y el cuerpo cubierto con plumas. Vea en la tabla algunas clases de aves y las especies que pertenecen a ellas. Clase
Algunas especies
terrícolas
pavo real, gallo, faisán, chompipe, avestruz
zancudas
cisne, grulla, flamenco, garza
marinas
gaviota, pelícano, pingüino
rapaces
lechuza, búho, zopilote, águila
pájaros
colibrí, golondrina, cenzontle, mirlo, quetzal Texto adaptado de La enciclopedia de los animales. Philip Whitfield.
¡A trabajar! 1.
Escriba dos características de las aves que se mencionan en la lectura.
2.
Complete las oraciones con la ayuda de la información de la tabla. Tiene un ejemplo.
• La lechuza es un ave que pertenece a la clase...
• El pavo real es un ave que pertenece a la clase...
• El pelícano es un ave que pertenece a la clase...
rapaces
Matemática − Semana 3
43
Lenguaje matemático ¿Recuerda estos símbolos?
y
significa pertenece. Tiene forma de peine. Cuando el símbolo ¡Practíquelos!
lleva una línea encima como si lo tachara
, quiere decir no pertenece.
Tome su lapicero y repase cada símbolo. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
(pertenece)
B.
(no pertenece)
El símbolo
significa contenido en. Parece una ‟c” achatada. El símbolo
significa no contenido.
Tome su lapicero y repase cada símbolo. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
(contenido en)
B.
(no contenido)
44
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Relación de pertenencia En la lectura anterior vimos que el cisne forma parte del conjunto de las aves zancudas. La relación que se establece entre un elemento con uno o más conjuntos de los cuales forma parte se llama relación de pertenencia. La relación de pertenencia se representa con el símbolo
y se lee: ‟pertenece a”.
Tomemos de la lectura otro ejemplo de relación de pertenencia. Consideremos: R = { aves rapaces } —¿El águila pertenece al conjunto R? Después de revisar la lectura podemos afirmar que sí pertenece. Esta relación se simboliza:
águila
R
Se lee: ‟El elemento águila pertenece al conjunto R de las aves rapaces”. La relación de pertenencia se establece siempre entre un elemento y uno o más conjuntos.
Ejercicio 1 Considere el conjunto P = { pájaros
}
Establezca en cada inciso la relación de pertenencia escribiendo el símbolo 0)
colibrí
P
5) gorrión
P
1)
loro
P
6) jilguero
P
2)
mirlo
P
7)
ruiseñor
P
3) canario P
8)
cenzontle
P
4) quetzal P
9)
golondrina
P
. Tiene un ejemplo.
Matemática − Semana 3
45
1.1 Relación de no pertenencia En la lectura también vimos que el avestruz no forma parte del conjunto P de pájaros. Entre el elemento avestruz y el conjunto P existe una relación de no pertenencia. La no pertenencia es la relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte. Para representar esta relación se utiliza el símbolo:
y se lee: ‟no pertenece a”.
Veamos otro ejemplo de relación de no pertenencia. Consideremos el conjunto I de números dígitos impares: I = { 1, 3, 5, 7, 9 el elemento 8.
}y
Vemos que el elemento 8 no pertenece al conjunto I. Esta relación se simboliza: I
8
Se lee: ‟El elemento 8 no pertenece al conjunto I .”
Ejercicio 2 A.
Considere el conjunto de M = { aves marinas
Establezca en cada inciso la relación de no pertenencia escribiendo el símbolo . Tiene un ejemplo. 0) gallo
M
1) grulla B.
M
}
2)
garza
M
4) faisán
M
3)
búho
M
5) águila
M
Considere el conjunto L = { letras del alfabeto castellano Escriba en el espacio de cada inciso el símbolo corresponda. Tiene un ejemplo. 0)
C.
a
L
3)
$
L
1) m
L
4)
b
L
2) &
L
5)
#
L
}
(pertenece) o
(no pertenece), según
6)
Ω
L
7)
V A
L
8)
Exprese en lenguaje matemático lo que se indica en cada numeral. Utilice los signos (pertenece) y (no pertenece). 1)
El número 6 pertenece al conjunto D de los números dígitos.
2)
El número 25 no pertenece al conjunto D de los números dígitos.
46
L
IGER − Quiriguá
2. Relación de contención Formando parte de otro En la semana 1, estudiamos que del conjunto U (conjunto universo) se pueden obtener otros conjuntos más pequeños. Entre esos conjuntos más pequeños y el conjunto mayor o conjunto universo existe una relación de contención. La contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos de un conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor. Por ejemplo: Todos los elementos del conjunto A formado por las aves están incluidos en el conjunto U formado por los animales. Por eso podemos afirmar que el conjunto A de aves está contenido en el conjunto U de animales. Esta relación se simboliza: A
U
Se lee: ‟El conjunto A de aves está contenido en el conjunto U de animales”. Otro ejemplo: Consideremos el conjunto de números dígitos: D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } P = { 0, 2, 4, 6, 8 }
Y el conjunto de números dígitos pares:
Comprobemos que la relación de contención entre P y D se cumple. Como todos los elementos de P están incluidos en D, decimos que P
D
Se lee: ‟El conjunto P está contenido en el conjunto D.” Esta relación se representa en forma gráfica así:
P D
• 1
• 2 • 4 • 0 • 6 • 8 • 5
• 3
El conjunto P está dentro del conjunto D.
• 9 • 7
La relación de contención se establece solo entre conjuntos.
Ejercicio 3 Considere los conjuntos M = { letras consonantes del alfabeto castellano }; A = {b, c, m, x, z }; B = { d, f, g, h } y C = { c, f, g, h, m } y establezca en cada inciso la relación de contención escribiendo el símbolo . Tiene un ejemplo. 0)
A
M
1)
B
M
2) C
M
Matemática − Semana 3
47
2.1 Relación de no contención El conjunto de las aves marinas no está incluido en el conjunto de las aves rapaces. Entre estos dos conjuntos existe una relación de no contención. Ningún ave marina es rapaz y ningún ave rapaz es marina. La no contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de uno no están incluidos en el otro conjunto.
La relación de no contención se simboliza:
Se lee: ‟no está contenido en...”
Por ejemplo: Consideremos los conjuntos: L = { Letras consonantes del alfabeto castellano } y V = { a, e, i, o, u
}
Ningún elemento de V está incluido en L porque ninguna vocal es consonante. Esta relación se simboliza así: V
L
Se lee: ‟El conjunto V de vocales no está contenido en el conjunto L de consonantes.”
Ejercicio 4 A.
Considere los conjuntos:
V = { a, e, i, o, u }; E = { b, m, t }; F = { c, d, f, g
Establezca en cada inciso la relación de no contención escribiendo el símbolo ejemplo. 0) E
V
1)
F
} y G = { n, x, y }
V
2) G
B.
Considere los conjuntos:
P = { números pares menores que 18 }; H = { 10, 14 }; I = { 1, 3, 5, 7 };
J = { 10, 12, 14, 16
Escriba en el espacio de cada inciso Tiene un ejemplo. 0) H
48
P
(contenido) o
(no contenido), según corresponda.
3)
K
P
6)
I
K
7)
K
I
8)
K
J
P
4)
H
I
2)
P
5)
H
J
IGER − Quiriguá
V
} y K = { 1, 3 , 5 }
1) I J
. Tiene un
Resumen Relaciones entre conjuntos: 1. Pertenencia
La pertenencia es la relación entre un elemento con uno o más conjuntos de los cuales forma parte. Para establecer esta relación se utiliza el símbolo que se lee: ‟pertenece a”.
Ejemplo:
Si el conjunto A = { a, e, i, o, u }, podemos decir que e
A
1.1 No pertenencia
La no pertenencia es la relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte. Se indica con el símbolo que se lee: "no pertenece a..."
Ejemplo:
Si el conjunto B = { m, o, r, a }, decimos que el elemento b
Las relaciones de pertenencia y no pertenencia solo se establecen entre elementos y conjuntos.
2. Contención
B
La contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos de un conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor. La contención se representa con el símbolo y se lee ‟está contenido en”.
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = { c, a, f, e
} y B = { a, e } decimos que B
En forma gráfica esta relación se representa:
B A
2.1 No contención
A
• c • f
• a
• e
La no contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de uno no están incluidos en el otro. La relación de no contención se simboliza y se lee: ‟no está contenido en”.
Ejemplo:
Dados los conjuntos: V = { 2, 3 } y W = { 2, 5, 7 } decimos que V
W
Las relaciones de contención y no contención solo se establecen entre conjuntos.
Matemática − Semana 3
49
Autocontrol Actividad 1. A.
B.
Escriba el signo que representa cada relación de conjuntos. 1) Pertenencia
3) Contención
2)
4)
No pertenencia
No contención
Escriba el nombre de la relación de conjuntos que se define en la columna izquierda. Tiene un ejemplo. 0)
C.
Demuestre lo aprendido. fina su aprendizaje.
Relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de un conjunto no están incluidos en el otro.
1)
Relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte.
2)
Relación que se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos de un conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor.
3)
Relación que se establece entre un elemento con uno o varios conjuntos de los cuales forma parte.
Observe los elementos del conjunto A. Escriba en el espacio según corresponda. Tiene un ejemplo.
Relación de no contención
(pertenece) ó
(no pertenece),
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29 }
50
0) 2
A
4)
1) 3
A
2) 4 3) 5 IGER − Quiriguá
A
8) 23
A
5) 12
A
9) 25
A
A
6) 15
A
10) 29
A
A
7) 16
A
11) 30
A
6
Actividad 2. A.
Practique lo aprendido.
Lea el texto con atención. Francisco es un joven estudiante que vive en el departamento de Huehuetenango. Es miembro de la familia Gómez, tiene tres hermanas y un hermano. Es un buen jugador de fútbol. Entrena todos los sábados y domingos con su equipo “Los Poderosos”.
Considerando la información y los conjuntos dados, escriba si Francisco pertenece) a los conjuntos. Hay un ejemplo. G = { Ciudadanos guatemaltecos }
(no
K = { Jugadores del equipo Xinabajul }
H = { Pobladores de Huehuetenango }
B = { Jóvenes }
E = { Estudiantes }
L = { Hombres }
J = { Jugadores de básquetbol }
F = { Familia Gómez }
0) Francisco
G
3)
Francisco
J
6) Francisco
B
1)
H
4)
Francisco
K
7) Francisco
F
E
5)
Francisco
L
Francisco
2) Francisco B.
(pertenece) o
Determine en cada inciso si el elemento pertenece o no pertenece al conjunto B. Escriba sobre la línea el símbolo o según corresponda. Tiene un ejemplo. B = { Letras del alfabeto castellano } 0) &
B 9) ?
B
18) j
B
1) m
B
10) a
B
19) z
B
2) t
B
11) ¿
B
20) %
B
3) 5
B
12) u
B
21) n
B
4) d
B
13) k
B
22)
π
B
5) 7
B
14) <
B
23)
y
B
6) >
B
15) t
B
24)
B
7) e
B
16)
B
25)
z
B
8)
B
17) x
B
26)
Ω
B
Matemática − Semana 3
51
C.
Determine si la relación que se establece entre los conjuntos de cada numeral es de contención ( ) o de no contención ( ). Escriba el símbolo correspondiente sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0)
E = { 3, 7, 9, 11 } y F = { 3, 4, 7, 9, 10, 11 }
E
F
1)
N = { 2, 4, 7, 10 } y M = { Números pares }
N
M
2)
V = { perro, gato, vaca } y S = { Animales de 4 patas }
V
S
3)
Q = { 2, 4, 5, 9 } y P = { Números naturales pares }
Q
P
4)
W = { 10, 15, 20 } y M = { Múltiplos de 5 }
W
Z
5)
D = { Petén, Quiché, Sonsonate } y
K = { Departamentos de Guatemala }
D
K
6)
B = { 0, 5, 8 } y P = { Números dígitos pares }
B
P
7)
R = { a, e, d } y L = { e, s, p, a d }
R
L
8)
G = { manzana, piña, pera } y F = { frutas }
G
F
9)
I = { norte, este, oeste } y H = { Puntos cardinales }
I
H
S
M
10) S = { 13, 15, 17, 19
}
Represente gráficamente la contención de los conjuntos. 1)
52
M = { Números impares menores que 15 }
D.
M = { 6, 8, 10 } 2) C = { Ana, Luis }
N = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } D = { Ana, Pepe, Luis, Luz }
M
N C
IGER − Quiriguá
D
3)
A = { m, n, r, t } 4) E = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
B = { n, r } F = { 2, 6, 10, 12 }
B
A F
Actividad 3. A.
Desarrolle nuevas habilidades
Tomando en cuenta los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B.
E
B= { 2, 4 }
C = { 1, 3, 5 }
R = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
}
Escriba un ejemplo de cada una de las relaciones aprendidas esta semana. Pertenencia
No pertenencia
Contención
No contención
Tome en cuenta el conjunto de los números pares y escriba un elemento que haga verdadera cada expresión. Tiene un ejemplo. P = { Números pares } 0)
2
P
4)
P 8)
P
1)
P 5) P
2)
P 6) P 10) P
3)
P 7) P 11) P
9)
P
Matemática − Semana 3
53
Agilidad de cálculo mental ¿Ya memorizó las tablas del 1 al 4? Cada semana tiene la oportunidad de practicar y agilizar el cálculo mental. Su esfuerzo y constancia le garantizarán buenos resultados. Le proponemos que practique las tablas del 5 y del 6 ¡Manos a la obra! ¡Memorícelas!
Tabla del 5 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x
Tabla del 6
1 = 5 2 = 10 3 = 15 4 = 20 5 = 25
5 5 5 5 5
x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
= 30 = 35 = 40 = 45 = 50
6 6 6 6 6
x x x x x
1 = 6 2 = 12 3 = 18 4 = 24 5 = 30
6 x 6 = 36 6 x 7 = 42 6 x 8 = 48 6 x 9 = 54 6 x 10 = 60
Actividad 1 Compruebe si aprendió las tablas. Escriba el resultado de las multiplicaciones, procure no copiar.
54
0)
5 x 1 =
1)
5
10)
4 x 1 =
20)
5 x 10 =
4 x 2 =
11)
4 x 8 =
21)
3 x 9 =
2)
5 x 8 =
12)
4 x 3 =
22)
6 x 4 =
3)
5 x 4 =
13)
3 x 5 =
23)
2 x 8 =
4)
5 x 5 =
14)
4 x 9 =
24)
5 x 6 =
5)
5 x 7 =
15)
6 x 3 =
25)
4 x 7 =
6)
4 x 4 =
16)
6 x 5 =
26)
3 x 6 =
7)
5 x 9 =
17)
6 x 8 =
27)
6 x 6 =
8)
4 x 6 =
18)
6 x 9 =
28)
3 x 8 =
9)
5 x 2 =
19)
6 x 10 =
29)
6 x 7 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas Semana a semana le proponemos el reto de resolver problemas para desarrollar el pensamiento lógico. Trabaje en su cuaderno con orden y limpieza. Deje escritas todas las operaciones que realice para que su orientador voluntario pueda revisarlas.
Tome en cuenta que para resolver un problema debe: 1.
Leer con atención y asegurarse de que comprende el problema.
2.
Reflexionar.
3.
Hacer un planteamiento.
4.
Operar.
5.
Escribir la respuesta.
1)
¿Cuántos días hay en 6 semanas?
2)
Si una docena es el doble de media docena, ¿cuántas medias docenas hay en 6 docenas?
3)
Si en una competencia ciclística participan 9 grupos de cuatro ciclistas, ¿cuántos ciclistas participan en total?
4)
Ayer fuimos al mercado y compramos 9 docenas de limones, 4 docenas de mandarinas y 3 docenas de naranjas. ¿Cuántas frutas compramos en total?
5)
Margarita borda 5 flores diarias. Si su güipil tiene 45 flores,
a. ¿en cuántos días terminará 1 güipil?
b. ¿en cuántos días terminará 6 güipiles?
6)
Un comerciante dispone de un terreno de 2,500 m2 para construir una tienda de autoservicio, con área de estacionamiento. Si la tienda ocupó 1,720 m2,
a. ¿qué área quedó disponible para el estacionamiento? b. ¿cuántos carros pueden parquear si la normativa obliga calcular 10 m2 por carro?
7)
Dos obreros trabajaron 30 días y ganaron 4,500 quetzales entre los dos. Si uno de ellos ganaba 90 quetzales diarios, ¿cuál era el jornal diario del otro?
8)
Andrea tiene 3 años y su hermano tiene el doble de edad. Si el papá de Andrea tiene 24 años más que su hijo, ¿qué edad tiene el papá?
Matemática − Semana 3
55
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Identifico y trazo los signos matemáticos
,
,
y
en no logrado proceso logrado
.
Comprendo y determino relaciones de pertenencia. Comprendo y determino relaciones de contención. Construyo correctamente ejemplos de relaciones de pertenencia y contención. Asocio relaciones de pertenencia y contención a situaciones cotidianas. Resuelvo correctamente los ejercicios de las tablas de multiplicar. Resuelvo con éxito los problemas.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
56
IGER − Quiriguá
4
El conjunto N de los números naturales
Matemática − Semana 4
57
Los logros que conseguirá esta semana son: Practicar el trazo de los símbolos matemáticos: > (mayor que), < (menor que), = (igual a). Definir y representar sobre una semirrecta numérica el conjunto de los números naturales. Comparar y ordenar números naturales. Recordar y practicar las tablas del multiplicar del 1 al 8. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
58
IGER − Quiriguá
• ¿Cómo nacieron los números? La maravillosa historia de los números • Símbolos > (mayor que), < (menor que), = (igual a)
• Los números naturales (N)
• Tablas de multiplicar del 7 y el 8
• Problemas matemáticos con las tablas del 1 al 8
¡Para comenzar! ¿Cómo nacieron los números?
Hace muchos, muchísimos años, las personas vivían en pequeños grupos, en cuevas donde se escondían de los animales peligrosos y se protegían del mal tiempo. Cazaban animales para alimentarse y para saber cuántos habían atrapado, marcaban un palo con señales. Pasaron muchos años para cambiar la forma de vida: las personas se organizaron en tribus, se dividieron el trabajo entre sus miembros, etc. Los pastores, por ejemplo, se encargaron de guardar los rebaños, recoger la lana de las ovejas y su leche. Y estos pastores, ¿cómo hacían para contar las ovejas? Probablemente, según salía cada animal a pastar al campo, el pastor metía una piedra en su morral. Comparando cantidades, la humanidad construyó el concepto de número. Para los primitivos, el hecho de contar debía de estar muy relacionado con piedras, palos, marcas, dedos, etc. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad de contar objetos. Texto adaptado de “La maravillosa historia de los números”. Museo virtual de la ciencia. Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), España.
¡A trabajar! 1.
Según la lectura, ¿cuál fue la primera forma de ‟contar” del ser humano?
2.
El conteo de objetos se dio ¿cómo una distracción, como una necesidad o por casualidad?
Matemática − Semana 4
59
Lenguaje matemático ¡Siga practicando el lenguaje matemático! Esta semana utilizaremos los símbolos:
> (Mayor que)
< (Menor que)
= (Igual que) o (igual a)
Tome su lapicero y repase cada signo. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
> (Mayor que) > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
B.
< (Menor que) < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <
C.
= (Igual a) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
60
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Los números naturales (N) Una herramienta para contar
Usted conoce muy bien los números naturales porque los utiliza siempre desde que aprendió a contar y los sigue utilizando en sus cuentas diarias, ¿verdad? El conjunto de los números naturales está formado por los números que se utilizan para contar. Este conjunto se identifica con la letra mayúscula N. En el principio, el conjunto de los números naturales estaba formado por los números del 1 en adelante. Luego, en el siglo VII d.C., los hindúes inventaron el símbolo que representa el vacío, la nada, ese símbolo es el número cero. A partir de entonces el conjunto de los números naturales está formado por los números del 0 hasta el infinito: N=
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…
1.1 Características del conjunto de los números naturales
La civilización maya, alrededor de 1000 años a.C. también inventó el número cero. Utilizaron como símbolo la concha.
(cero)
El conjunto de números naturales tiene las siguientes caracterísitcas: • Su primer elemento es el número cero. • Es un conjunto infinito. No podemos conocer el último número. N=
0, 1, 2, 3,…
• Es un conjunto ordenado. Todos los números naturales, menos el cero, tienen un número que va antes, es decir lo antecede y un número que va después, lo sucede.
Los puntos suspensivos [...] indican la infinidad del conjunto.
Ejercicio 1 A.
Escriba una característica del conjunto de números naturales.
B.
Escriba el número que antecede y el que sucede a los siguientes números naturales. Tiene un ejemplo.
17 , 18,
19
, 105,
, 1279,
Matemática − Semana 4
61
1.2 Representación del conjunto de números naturales sobre la semirrecta numérica Todos tienen su lugar Al igual que una fotografía es la representación de una persona, los números naturales se pueden representar por medio de puntos sobre una semirrecta.
Semirrecta: cada una de las partes en que queda dividida una recta. Tiene un punto de origen y, por otra parte se extiende hacia el infinito.
Conozcamos la forma de representarlos: • Dibujamos una semirrecta.
• Marcamos un punto que indica el inicio de la semirrecta en el lado izquierdo, y hacia la derecha marcamos puntos equidistantes1.
La punta de flecha indica que el conjunto de números naturales es infinito.
• Se escribe cero (0) debajo del primer punto y a su derecha los números consecutivos. 0
1
2
3
4
5
6...
Ejercicio 2 Localice y escriba, bajo el punto correspondiente, los números de cada conjunto. Algunos números ya están identificados. 1)
A=
0, 3, 5, 11, 13
2)
B=
0, 4, 7, 11
3)
C=
0, 2, 6, 10
4)
D=
0, 5, 9, 13
5)
E=
0, 3, 8, 12
1 Puntos
62
IGER − Quiriguá
0
3
0
5 7
0
10
0
9 3
12
equidistantes: puntos sobre una recta ubicados a la misma distancia unos de otros.
1.3 Comparación de números naturales Para comparar los números entre sí, utilizamos los símbolos de comparación: > (mayor que), = (igual que) y < (menor que). Veamos el ejemplo: La familia Pérez tiene 4 hijos. En la tabla tenemos el nombre y la edad de cada uno. Nombre
Carlos Emilia René Rosario
Edad
17 15 15 12 Un truco para no confundir los signos mayor y menor: Mano derecha signo > (mayor que).
Al comparar la edad de algunas parejas de hermanos tenemos: • Carlos es mayor que Emilia porque 17 es mayor que 15. Matemáticamente lo expresamos: 17 > 15 Se lee: ‟17 es mayor que 15”
• Rosario es menor que René porque 12 es menor que 15.
Mano izquierda signo < (menor que).
Matemáticamente lo expresamos: 12 < 15 Se lee: ‟12 es menor que 15”
• Emilia tiene la misma edad que René porque 15 es igual a 15. Matemáticamente lo expresamos: 15 = 15 Se lee: ‟15 es igual a 15”
Ejercicio 3 Compare cada pareja de números y escriba el símbolo > , < ó =, según corresponda. Tiene un ejemplo. 0) 5
>
3
4) 18
13
1) 7
11
5) 99
2) 15
10
3) 18
18
8)
875
857
100
9) 5342
5375
6) 67
57
10) 9485
9358
7) 89
98
11) 2001
2011
Matemática − Semana 4
63
1.4 Ordenemos series de números naturales Del menor al mayor o del mayor al menor El conjunto de números naturales (N) es un conjunto ordenado. Por lo tanto, podemos ordenar los números de forma ascendente (de menor a mayor) y de forma descendente (de mayor a menor). Veamos un ejemplo: En la Tierra, hay catorce montañas que superan los 8,000 metros de altitud. Una alpinista tiene planeado subir a cuatro de estas montañas, durante los próximos cinco años. Piensa hacerlo de forma ascendente, de la montaña más baja a la más alta. Ayudémosle a ordenar su ruta:
Montaña
Altura
Cho Oyu
8,201 m
Monte Everest
8,848 m
Manaslu
8,163 m
Kanchenjunga
8,586 m
Para ordenar una serie de menor a mayor (orden ascendente): • Primero hacemos una lista de las alturas de las montañas, luego identificamos la montaña más baja y la señalamos: 8,201 – 8,848 – 8,163 – 8,586 • Escribimos la menor altura (8,163) para iniciar la serie. Luego escribimos a la derecha y en orden de valor, las alturas mayores: 8,163 – 8,201 – 8,586 – 8,848 El recorrido de la alpinista será: Manaslu (8,163 m), Cho Oyu (8,201 m), Kanchenjunga (8,586 m) y Everest (8,848 m). Pero, ¿qué pasaría si la alpinista hiciera su recorrido al revés? Veamos: Para ordenar una serie de mayor a menor (orden descendente): • Hacemos la lista de la altura de las montañas, luego identificamos la montaña más alta y la señalamos: 8,201 – 8,848 – 8,163 – 8,586 • Escribimos la mayor altura (8,848) para iniciar la serie. Luego escribimos a la derecha y en orden de valor, las alturas menores: 8,848 – 8,586 – 8,201 – 8,163 ¡Listo! Como ve es muy fácil ordenar una serie de números de forma ascendente o descendente.
64
IGER − Quiriguá
Ejercicio 4 A.
B.
C.
Observe cada serie y luego escriba sobre la línea si está ordenada en forma ascendente o descendente. 1)
7499 – 7518 – 7526
2)
5675 – 5599 – 5585
3)
2765 – 2724 – 2688
Observe cada serie, identifique el número menor y luego ordénela de forma ascendente. 1)
175 – 342 – 198 – 411 – 61 – 111
,
,
,
,
2)
741 – 516 – 785 – 806 – 556
,
,
,
,
,
Observe cada serie, identifique el número mayor y luego ordénela de forma descendente. 1)
23 – 17– 56 – 67 – 124 – 41
,
,
,
,
2)
11 – 15 – 8 – 10 – 14
,
,
,
,
3)
285 – 141 – 185 – 102 – 237
,
,
,
,
,
Resumen 1.
Los números naturales forman el conjunto numérico que sirve para contar.
1.1 El conjunto de los números naturales se identifica con la letra mayúscula N. •
El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, porque no se puede conocer el último número. En forma enumerativa se representa así: N=
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...
1.2 También se puede representar sobre una semirrecta. El punto de origen de la semirrecta corresponde al cero. La punta de flecha al final de la recta indica que el conjunto es infinito. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.3 Para comparar y ordenar los números naturales utilizamos los símbolos > (mayor que), < (menor que), = (igual a).
Matemática − Semana 4
65
Autocontrol Actividad 1 A.
Demuestre lo aprendido fina su aprendizaje.
Los números naturales forman un conjunto numérico con ciertas características. Escriba dos características. 1) 2)
B.
Defina el conjunto de números naturales con sus palabras.
C.
Todo número natural, menos el cero, tienen un antecesor y un sucesor. Complete la tabla escribiendo el antecesor y el sucesor de los números dados. Tiene un ejemplo. 100
99
0)
758
1)
200
2)
399
3) D.
66
101
4)
5)
6)
7)
1,000 1,299 5,600 7,999
Localice y escriba bajo el punto correspondiente los números de cada conjunto. 1)
A=
0
2)
B=
0
3)
C=
0
1, 7, 9 11
2, 5, 8, 12, 13
1, 3, 7, 11
IGER − Quiriguá
E.
4)
D=
0
5)
E=
0
2, 4, 9, 11
5, 7, 8, 10
Escriba dentro del cuadro, el número natural que representa el punto señalado. Tiene un ejemplo. 1)
4 2)
3)
4)
5)
F.
Compare cada pareja de números y escriba sobre la línea el símbolo > , < ó = , según corresponda. Tiene un ejemplo. 1) 8
>
5
7)
85
23 99
2) 16
21
8) 100
3) 43
51
9) 576
567
4) 76
64
10) 765
765
5) 15
17
11) 2,308 2,380
6) 43
41
12) 2,111 2,221
Matemática − Semana 4
67
Actividad 2 1)
Piense y aplique lo que aprendió
Ordene los siguientes departamentos de Guatemala de mayor a menor según el número de habitantes. Tiene un ejemplo. Departamentos
Cantidad de habitantes
Petén
538,771
Alta Verapaz
983,479
Quetzaltenango 721,177 Chiquimula 341,041 Escuintla
639,803
Departamentos
No. habitantes
Alta Verapaz
2)
983,479
Ordene los acontecimientos históricos que se presentan, del más antiguo (1519) al más reciente (1991). El ejemplo es el acontecimiento más antiguo. Hechos históricos
Teoría atómica de la materia (1803) Primera transfusión de sangre (1625) Desaparece la URSS (1991) Primer hombre en el espacio (1961) Muere Leonardo Da Vinci (1519) Graham Bell inventa el teléfono (1807) Newton formula la Ley de Gravitación (1687) Hechos históricos
Muere Leonardo Da Vinci
68
IGER − Quiriguá
Año
1519
3)
Atendiendo a la extensión territorial, ordene los países de Centro América del territorio menos extenso (menor) al territorio más extenso (mayor). Tiene un ejemplo País
Extensión territorial en km2
Guatemala
108,889
Belice
22,966
El Salvador
21,041
Honduras 112,492 Nicaragua
120,340
Costa Rica
51,100
Panamá
75,517 Tomado de: www.wikipedia.org
Países
El Salvador
4)
Extensión en km2
21,041
Ordene el nombre de los empleados de acuerdo a su salario mensual. Del salario más alto (mayor) al salario más bajo (menor). Tiene un ejemplo. Nombre Salario
Irma
2,358
Rubén
2,654
Lorena 1,849 Jorge Empleado
Rubén
1,990 Salario
2,654
Matemática − Semana 4
69
Agilidad de cálculo mental La única forma de dominar las tablas de multiplicar es practicándolas. Repase y memorice las tablas del 7 y el 8. Cuando ya las domine, realice la actividad 1.
Tabla del 7 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x
1 = 7 2 = 14 3 = 21 4 = 28 5 = 35
Tabla del 8 7 7 7 7 7
x 6 = 42 x 7 = 49 x 8 = 56 x 9 = 63 x 10 = 70
8 x 8 x 8 x 8 x 8 x
1 = 8 2 = 16 3 = 24 4 = 32 5 = 4 0
8 8 8 8 8
x x x x x
6 7 8 9 10
= 4 8 = 56 = 6 4 = 72 = 80
Actividad 1 Después de estudiar las tablas, escriba los resultados de cada multiplicación. Observe que aunque se cambie el orden de los números el resultado sigue siendo igual. Hágalo lo más rápido que pueda.
70
1)
7 x 1 =
11)
8 x 7 =
21)
1 x 7 =
2)
8 x 2 =
12)
8 x 8 =
22)
8 x 1 =
3)
8 x 5 =
13)
3 x 7 =
23)
8 x 6 =
4)
7 x 4 =
14)
4 x 7 =
24)
8 x 3 =
5)
7 x 7 =
15)
5 x 7 =
25)
4 x 8 =
6)
7 x 3 =
16)
6 x 7 =
26)
8 x 5 =
7)
8 x 7 =
17)
8 x 8 =
27)
6 x 8 =
8)
7 x 8 =
18)
8 x 9 =
28)
8 x 7 =
9)
7 x 9 =
19)
9 x 7 =
29)
7 x 4 =
10)
8 x 10 =
20)
10 x 7 =
30)
7 x 6 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas A.
Resuelva los problemas en su cuaderno. Deje escritas todas la operaciones que realice. 1)
Don Beto tiene 5 camiones y cada uno tiene 8 llantas. a. ¿Cuántas llantas tienen todos sus camiones juntos? b. Si cada llanta cuesta Q.500, ¿cuánto dinero necesita para poner llantas nuevas a un camión?
2)
Maritza tiene 3 gallinas. Una gallina pone un huevo diario aproximadamente por 240 días. a. ¿Cuál será la producción total de sus gallinas en 240 días? b. Si compra 2 gallinas más, ¿cuál será su producción total de huevos en el mismo tiempo?
3)
En la maquila se empacan 7 docenas de pantalones por caja. a. ¿Cuántos se empacan en 1 caja? b. ¿Cuántos se empacan en 5 cajas? c. ¿Cuántos se empacan en 8 cajas?
4)
Se prepararon bolsas de dulces para los niños y las niñas de la comunidad. Cada bolsa tiene 8 caramelos, 3 paletas y 6 chicles. a. ¿Cuántas paletas se empacaron en 10 bolsas? b. ¿Cuántos caramelos hay en 7 bolsas? c. ¿Cuántos chicles hay en 8 bolsas?
5)
En el mercado hay 85 puestos de venta. Cada puesto paga 8 quetzales por la extracción de basura. a. ¿Cuánto pagan en total todos los puestos? b. Si se agregan 15 puestos más, ¿cuál será el total que deben pagar?
6)
El calendario agrícola de los mayas se dividía en 18 meses de 20 días cada uno, más un período de 5 días. ¿Cuántos días tenía en total el calendario agrícola de los mayas?
7)
Se reparte una colección de discos entre tres ganadores de un premio. A cada ganador se le entregan 15 discos y sobran 2. ¿Cuántos discos había en la colección?
8)
Alicia compró un equipo de sonido en 8 cuotas de 233 quetzales cada una. a. ¿Cuánto tendrá que pagar en total por el equipo de sonido? b. Si le descuentan 23 quetzales en cada pago, ¿cuál es el precio final?
9)
Un albañil coloca 7 filas de 12 ladrillos en una hora. ¿Cuántas filas y cuántos ladrillos coloca en 5 horas?
10) Si cada una de las 25 escuelas primarias (de 1º a 6º) de un municipio necesita 40 escritorios por grado, ¿cuántos escritorios necesita en total el municipio?
Matemática − Semana 4
71
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Identifico y trazo los signos >, <, =. Defino con mis palabras el conjunto N de números naturales. Represento sobre una semirrecta numérica el conjunto N de números naturales. Comparo y ordeno números naturales. Desarrollo mi agilidad de cálculo mental practicando las tablas del 1 al 8. Resuelvo problemas matemáticos en los que aplico los conocimientos adquiridos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
72
IGER − Quiriguá
5 Operaciones y propiedades en el conjunto de los números naturales (N)
Matemática − Semana 5
73
Los logros que conseguirá esta semana son: Practicar los signos = (igual) y ≠ (no igual). Recordar y practicar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en el conjunto de los números naturales (N). Reconocer e identificar las partes de las operaciones en el conjunto de los números naturales (N). Definir y aplicar algunas propiedades de las operaciones en el conjunto de los números naturales. Desarrollar la habilidad del cálculo mental, practicando las tablas de multiplicar del 9 y el 10. Desarrollar su razonamiento matemático resolviendo problemas.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
74
IGER − Quiriguá
• El ábaco
• El signo = (igual) y ≠ (no igual) • Operaciones básicas y propiedades en el conjunto de los números naturales (N) • Tablas de multiplicar del 9 y el 10 • Problemas matemáticos de aplicación de operaciones básicas con el conjunto de números naturales (N)
¡Para comenzar! El ábaco
CM DM 4 5
UM 6
C 7
D 8
U 9
El ábaco es considerado como el más antiguo instrumento de cálculo, adaptado y apreciado en diversas culturas. Se utiliza para realizar sumas, restas y multiplicaciones sencillas. Generalmente, el ábaco está formado por un cuadro de madera atravesado por diez varillas paralelas, con diez bolas móviles cada una. En las varillas del ábaco podemos representar: unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades de millar (UM), etc. Esta disposición permite calcular con facilidad y rapidez. La palabra cálculo viene del latín “calculus” que significa piedra. En los primeros ábacos, las bolas móviles eran de piedra. En la actualidad, el uso de ábaco es común en China y en Japón. Los usuarios expertos son capaces de realizar operaciones más rápidamente que con una calculadora electrónica moderna.
Adaptado de Microsoft Encarta 2007
¡A trabajar! 1.
¿Para qué sirve el ábaco?
2.
Observe qué cantidad se representa en el ábaco de abajo. Luego, rellene el cuadro de la opción que indica la cantidad correcta. Si tiene duda, compare con el ábaco de la ilustración de la lectura.
234,567 765,432 275,673 CM DM UM
C
D
U
Matemática − Semana 5
75
Lenguaje matemático Hoy recordaremos los signos: = (igual) y ≠ (no igual). El signo = (igual) establece la relación de igualdad entre dos números, dos operaciones, etc. El signo ≠ (no igual) establece la relación de desigualdad entre dos números o dos operaciones. Observe los ejemplos:
2+3=5
1+3≠ 5
Tome su lapicero y repase cada signo. Siga la dirección que le indican las flechas. A.
=
El signo (igual) está formado por dos líneas horizontales paralelas que se trazan de izquierda a derecha:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Dibuje el signo igual en cada línea. El signo
B.
= significa:
≠
El signo (no igual) está formado por dos líneas horizontales paralelas y tachado con una línea inclinada.
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ Dibuje el signo no igual en cada línea. El signo
76
≠ significa:
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Operaciones en el conjunto de los números naturales (N) Las operaciones suma, resta, multiplicación y división, son viejas conocidas. Las hemos practicado durante toda la primaria y podemos resolverlas con facilidad. Esta semana las recordaremos.
1.1 Suma de números naturales Reunión de cantidades
La suma o adición es la operación que reúne varias cantidades en una sola. En lenguaje matemático se expresa:
a+b=c Las cantidades que se reúnen se llaman sumandos y la cantidad que resulta es la suma o total. sumandos
a +b c Ejemplo:
4 +3 7
a+b=c suma o total
4+3=7
1.2 Resta de números naturales
Diferencia entre dos cantidades
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma. Se utiliza para hallar la diferencia entre dos cantidades. En lenguaje matemático se expresa:
a–b=c El minuendo es el número mayor, al que se le resta otra cantidad. El sustraendo es el número menor, es la cantidad restada. El resultado es la diferencia. minuendo
a –b c Ejemplo:
8 –2 6
sustraendo
a–b=c
diferencia
8–2=6 Matemática − Semana 5
77
1.3 Multiplicación de números naturales
Producto de cantidades
La multiplicación es la operación que consiste en aumentar un número (multiplicando) tantas veces como indica el multiplicador, para obtener un resultado o producto. En lenguaje matemático se expresa: Al multiplicando y al multiplicador se les conoce también como factores.
axb=c El multiplicando es el número que se repite y el multiplicador es el número que indica cuántas veces se repite. El resultado se llama producto.
multiplicando
a xb c
Ejemplo:
27 x5 135
multiplicador
axb=c
producto
27 x 5 = 135
1.4 División de números naturales
Reparto en partes iguales
La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en repartir una cantidad en partes iguales. En lenguaje matemático se expresa:
D÷d=c El dividendo es la cantidad que se reparte y el divisor es la cantidad que indica en cuántas partes se divide. El resultado se llama cociente.
c d D
Ejemplo:
8 3 24 24 ––
cociente dividendo
D÷d=c
divisor
24 ÷ 3 = 8
Ejercicio 1 Resuelva mentalmente y escriba el resultado. Tiene un ejemplo en cada columna.
78
suma 5 + 6 = 11
resta 11 – 6 = 5
multiplicación 8 x 3 = 24
división 24 ÷ 8 = 3
9+8=
17 – 8 =
9x5=
45 ÷ 9 =
3+7=
10 – 7 =
7x4=
28 ÷ 7 =
IGER − Quiriguá
2. Propiedades de las operaciones de los números naturales (N) Una propiedad es una característica, una cualidad esencial. Las propiedades matemáticas nos permiten agilizar las operaciones y saber qué resultados podemos esperar.
2.1 Propiedades de la suma a. Propiedad conmutativa
Cambiando el orden
La propiedad conmutativa expresa que el orden de los sumandos no altera el resultado. En lenguaje matemático se expresa:
a+b=b+a
Ejemplo:
18 + 12 = 12 + 18
Conmutativa viene de la palabra conmutar que significa intercambiar o cambiar una cosa por otra.
b. Propiedad asociativa
Formando grupos
La propiedad asociativa afirma que no importa cómo se agrupen los sumandos para operarlos, el resultado es el mismo. En lenguaje matemático se expresa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Asociativa viene de la palabra asociar que significa juntar o asociar cosas o ideas.
Ejemplo: (9 + 8) + 2 = 9 + (8 + 2)
17 + 2 = 9 + 10
19 = 19
c. Elemento neutro El elemento neutro es aquel que al sumarlo a cualquier número natural, da como resultado el mismo número. El elemento neutro de la suma es el 0. En el lenguaje matemático se expresa:
a + 0 = a
Ejemplo: 14 + 0 = 14 Matemática − Semana 5
79
En resumen... Le presentamos un cuadro de resumen con las propiedades de la suma. Propiedades de la suma de los números naturales:
Se expresa en lenguaje matemático:
Ejemplo:
a+b=b+a
6+7=7+6
Conmutativa Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c) (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6)
Elemento neutro (0)
a+0=a
9 + 0=9
2.2 Propiedades de la resta a. Elemento neutro La resta solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 0 ocupe la posición del sustraendo. En lenguaje matemático se expresa:
a–0=a Ejemplo: 7 – 0 = 7
Ejercicio 2 Complete las operaciones y compruebe que se cumpla la propiedad conmutativa de la suma. Tiene un ejemplo. 0)
5+2=2+5
B.
7 =
8+
(7 + 4) + 2 = 7 + (4 + 2)
=7+
2)
=
6+
=2+ =
1) (5 + 9) + 6 = 5 + (9 + 6)
11 + 2 = 7 + 6
80
1)
Complete la operación y compruebe que se cumple la propiedad asociativa de la suma. Tiene un ejemplo. 0)
C.
7
13 = 13
+
=
+
=
Aplique la propiedad del elemento neutro para completar las sumas. Tiene un ejemplo. 0)
169 +
1)
24 +
IGER − Quiriguá
0
A.
= 169 = 24
2)
+ 0 = 200
3)
+ 0 = 345
2.3 Propiedades de la multiplicación a. Propiedad conmutativa
El orden no cambia el resultado
La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que el orden de los factores no altera el producto. En lenguaje matemático se expresa:
axb=bxa Ejemplo: 5x8=8x5
40 = 40
b. Propiedad asociativa
Haciendo grupos
La propiedad asociativa de la multiplicación dice que la manera en que se agrupan los factores no altera el producto. En lenguaje matemático se expresa:
(a x b) x c = a x (b x c) Ejemplo:
(4 x 2) x 5 = 4 x (2 x 5) 8 x 5 = 4 x 10 40 = 40
La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite agrupar los factores de la forma más conveniente para facilitar la operación.
Otro ejemplo:
5 x (3 x 2) = (5 x 3) x 2
5 x 6 = 15 x 2
30 = 30
c. Elemento neutro
No se altera el producto
El elemento neutro de la multiplicación es la unidad, el 1. Multiplicar cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural. En lenguaje matemático se expresa:
ax1=a
Ejemplo: 7x1=7
Matemática − Semana 5
81
d. Distributiva de la multiplicación respecto a la suma y a la resta La propiedad distributiva expresa que para multiplicar un número natural por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o se restan los resultados. En lenguaje matemático se expresa: Propiedad distributiva respecto a la suma: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Propiedad distributiva respecto a la resta: a x (b – c) = (a x b) – (a x c) Observe los siguientes ejemplos: 1) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:
7 x (3 + 2) = (7 x 3) + (7 x 2)
7 x 5 = 21 + 14
35 = 35
2) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la resta:
9 x (8 – 3) = (9 x 8 ) – (9 x 3)
9 x 5 = 72 – 27 45 = 45
En resumen... Propiedades de la multiplicación de los números naturales:
Conmutativa Asociativa Elemento neutro (1)
Se expresa en lenguaje matemático:
Ejemplo:
axb=bxa
6x7=7x6
(a x b) x c = a x (b x c)
(5 x 2) x 6 = 5 x (2 x 6)
ax1=a
9x1=9
Distributiva respecto a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 4 x (3 + 5) = (4 x 3) + (4 x 5) a la suma Distributiva respecto a x (b – c) = (a x b) – (a x c) 4 x (5 – 3) = (4 x 5) – (4 x 3) a la resta
82
IGER − Quiriguá
Ejercicio 3 A.
Aplique la propiedad conmutativa de la multiplicación y compruebe que el resultado no cambia. Tiene un ejemplo. 0)
7x 5 =5x7
1)
1x
2)
35 = 35 = 14 x =
x4=
3)
x3
=
8x2=
x
=
B.
Aplique la propiedad asociativa de la multiplicación y compruebe que el resultado no cambia. Tiene un ejemplo. 2) (2 x 3) x 6 = 2 x (3 x 6) 0) 3 x (2 x 5) = (3 x 2) x 5 = 3 x 10 = 6 x 5
1)
C.
30 = 30
=
3)
(8 x 2) x 1 = 8 x (2 x 1)
7 x (5 x 8) = (7 x 5) x 8
=
=
=
=
Aplique la propiedad del elemento neutro para completar las multiplicaciones. Tiene un ejemplo. 0)
89 x 1 = 89
1)
x 46 = 46
2)
47 x 1 =
D. Aplique la propiedad distributiva y resuelva las siguientes operaciones. Tiene un ejemplo. 0)
2 x (3 + 2) = (2 x 3) + (2 x 2)
1)
2)
3 x (6 + 3) = (3 x 6) + (3 x 3)
2 x 5 = 6 + 4
=
10 = 10
=
5 x (10 – 2) = (5 x 10) – (5 x 2)
3)
5 x (5 – 2) = (5 x 5) – (5 x 2)
=
=
=
=
Matemática − Semana 5
83
2.4 Propiedades de la división a. Elemento neutro La división solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 1 ocupe la posición del divisor. En lenguaje matemático se expresa:
a ÷ 1 = a
Veamos un ejemplo:
7÷1=7
Ejercicio 4 A.
Escriba un ejemplo de cada una de las propiedades de la multiplicación que estudiamos. Le ayudamos con la propiedad conmutativa. Propiedades de la multiplicación de los números naturales:
Se expresa en lenguaje matemático:
Conmutativa
(a x b) x c = a x (b x c)
Elemento neutro (1)
a x 1 = a
Distributiva respecto a la suma
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Distributiva respecto a la resta
a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
Complete los datos en cada columna. Guíese por el ejemplo. Operación
C.
0)
24 ÷ 3 =
1)
30 ÷ 6 =
2)
100 ÷ 20 =
3)
86 ÷ 2 =
D
d
c
24
3
8
Compruebe que el 1 es el elemento neutro de la división cuando ocupa el lugar del divisor. Tiene un ejemplo. 0) 24 ÷ 1 1) 204 ÷
84
5x6=6x5
axb= bxa
Asociativa
B.
Ejemplo:
IGER − Quiriguá
= 24 = 204
2) 3)
503 ÷ 1 = ÷ 1 = 726
Resumen 1. Operaciones en el conjunto de los números naturales Operaciones y sus partes 1.1 Suma (reunión de cantidades)
La suma es la operación que reúne varias cantidades en una sola.
a + b c
sumandos suma o total
1.2 Resta (diferencia entre dos cantidades)
La resta es la operación inversa a la suma. Se utiliza para hallar la diferencia entre dos cantidades.
a – b c
minuendo
a x b c
multiplicando
sustraendo diferencia
1.3 Multiplicación (producto de cantidades)
La multiplicación es la operación que consiste en aumentar un número (multiplicando) tantas veces como indica el multiplicador, para obtener un resultado o producto. Al multiplicando y al multiplicador también se les llama factores.
La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en repartir una cantidad en partes iguales.
producto
c d D
1.4 División (reparto en partes iguales)
multiplicador
cociente dividendo
divisor
2. Propiedades de las operaciones de los números naturales 2.1 Propiedades de la suma La suma cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y elemento neutro. a.
Conmutativa
El orden de los sumandos no altera el resultado.
b.
Asociativa
No importa cómo se agrupen los sumandos para operarlos, el resultado es el mismo.
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
Matemática − Semana 5
85
c.
Elemento neutro
El elemento neutro de la suma es el 0. Cualquier número sumado a cero, da como resultado el mismo número.
a+0=a
2.2 Propiedades de la resta a.
Elemento neutro
La resta solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 0 ocupe la posición del sustraendo.
a–0=a
2.3 Propiedades de la multiplicación La multiplicación cumple las propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva con respecto a la suma y a la resta. a.
Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
b.
Asociativa
La forma en que se agrupan los factores no altera el producto.
c.
Elemento neutro
El elemento neutro de la multiplicación es la unidad, el 1.
Multiplicar cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural.
d.
Distributiva con respecto a la suma y a la resta
Para multiplicar un número natural por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o se restan los resultados.
axb=bxa
a x (b x c) = (a x b) x c
ax1=a
Distributiva respecto a la suma:
ax(b + c) = (a x b) + (a x c)
Distributiva respecto a la resta:
ax(b – c) = (a x b) – (a x c)
2.4 Propiedades de la división a.
Elemento neutro
La división cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 1 ocupe la posición del divisor.
86
IGER − Quiriguá
a÷1=a
Autocontrol Actividad 1
Demuestre lo aprendido fina su aprendizaje.
A.
Escriba las partes de cada operación. Tiene un ejemplo.
Suma: 3416 +4890 8306
Resta: 3467 – 1234 2233
sumandos
Multiplicación:
División:
484 x 3 1452 Al multiplicando y multiplicador también
2 0 17 3 4 0 34 ––0
se les llama:
B.
Lea cada concepto y escriba una frase u otras palabras que signifiquen lo mismo. Tiene un ejemplo.
multiplicar:
aumentar un número, suma abreviada
sumar: restar: dividir: C.
Escriba el nombre de la propiedad que se aplica en cada operación. Tiene un ejemplo. 0)
15 + 0 = 15
1)
14 + 2 = 2 + 14
2)
(4 + 6) + 8 = 4 + (6 + 8)
3)
54 x 1 = 54
4)
(2 x 3) x 2 = 2 x (3 x 2)
5)
8 x 3 = 3 x 8
6)
0 + 101 = 101
Elemento neutro de la suma
Matemática − Semana 5
87
D.
Complete la tabla escribiendo el nombre de cada propiedad de la suma y un ejemplo. Propiedades de la suma de los números naturales:
Se expresa en lenguaje matemático:
Ejemplo:
a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a+0=a
Actividad 2 A.
Practique lo aprendido
Resuelva mentalmente y escriba el resultado. Tiene un ejemplo en cada columna. suma 20 + 7 =
resta
27
58 – 7 =
multiplicación
51
8x4=
división
32
10 ÷ 2 =
14 + 5 =
24 – 4 =
9x5=
20 ÷ 4 =
16 + 4 =
19 – 7 =
14 x 1 =
14 ÷ 2 =
25 + 1 =
40 – 6 =
6x5=
36 ÷ 3 =
54 + 9 =
66 – 7 =
100 x 8 =
75 ÷ 3 =
81 + 8 =
75 – 12 =
200 x 5 =
150 ÷ 5 =
5
B.
Complete cada operación y compruebe que se cumpla la propiedad conmutativa de la suma. Tiene un ejemplo.
0)
3 + 7 = 7 + 3
3) 14 + 7 =
10 = 10 1)
5+
2)
12 +
88
IGER − Quiriguá
=7+ = =3+ =
=
4) 17 + 6 =
+
5)
50 +
+
= = 25 + =
C.
Complete cada operación y compruebe que se cumpla la propiedad conmutativa de la multiplicación. Tiene un ejemplo. 0) 3 x 9 = 9 x 3
2)
5x8=
27 = 27 1)
x
= 8 x 6
D.
E.
=
0)
2 + 3 + 4 + 5 =
1)
5 + 6 + 1 + 3 =
2)
12 + 12 + 3 + 8 =
3)
16 + 4 + 12 + 8 =
3)
12 x
=5x
=
(2 + 3 ) + (4 + 5) = 5 + 9 = 14
Aplique la propiedad asociativa de la multiplicación para resolver los ejercicios. Guíese por el ejemplo. (7 x 3) x 2 = 7 x (3 x 2)
1)
2)
(8 x 2) x 5 = 8 x (2 x 5)
21 x 2 = 7 x 6
G.
=
Aplique la propiedad asociativa de la suma para resolver los ejercicios. Guíese por el ejemplo.
0)
F.
x
=
42 = 42
5 x (2 x 3) = (5 x 2) x 3
3)
= 5 x (2 x 4) = (5 x 2) x 4
=
=
=
=
Aplique la propiedad del elemento neutro de la suma para completar los ejercicios. Tiene un ejemplo. 0)
42 +
1)
987 +
0
= 42 = 987
2) 3)
+ 521 = 521 850 +
= 850
Aplique la propiedad del elemento neutro de la multiplicación para completar los ejercicios. Tiene un ejemplo. 0) 1)
678 x
1
= 678
x 65 = 65
2) 3)
x 1 x 1005 =
= 81
Matemática − Semana 5
89
H.
Compruebe que se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Tiene un ejemplo. 0)
3 x (2 + 5) = (3 x 2) + (3 x 5)
1)
2)
(5 + 3) x 2 = (5 x 2) + (3 x 2)
3 x 7 = 6 + 15
=
21
=
= 21
7 x (2 + 3) = (7 x 2) + (7 x 3)
3)
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4)
=
=
=
=
I.
Compruebe que se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta. Tiene un ejemplo. 0)
12 x (3 – 2) = (12 x 3) – (12 x 2)
1)
2)
100 x (17 – 9) = (100 x 17) – (100 x 9)
12 x 1 = 36 – 24
=
12 = 12 = x (8 – 2) = (10 x 8) – (10 x 2)
3)
59 x (10 – 5) = (59 x 10) – (59 x 5)
=
=
=
=
Actividad 3
Desarrolle nuevas habilidades
Lea detenidamente cada enunciado y responda a las preguntas: 1)
Para la siembra se usaron 100 sacos de fertilizante la primera semana, 49 la segunda semana y 61 la tercera semana. ¿Cuántos sacos de fertilizante se usaron en total?
a. La operación se puede efectuar
100 61 + 49
90
ó
+
b. ¿Qué propiedad permite alterar el orden de los sumandos?
c. En total se usaron
2)
Alberto y Sofía quieren determinar quién opera con más facilidad: 23 + 21 + 7 + 9
Alberto sumó (23 + 21) + (7 + 9) = 44 + 16 = 60 Sofía sumó (23 + 7) + (21 + 9) = 30 + 30 = 60
a. ¿Qué propiedad o propiedades aplicaron cada uno?
b. ¿Quién de los dos aplicó la forma más práctica?
c. ¿Por qué? IGER − Quiriguá
sacos de fertilizante.
3)
Dos grupos de estudiantes hicieron la siguiente multiplicación: 15 x 2346. El grupo A operó
El grupo B operó
15 x 2346 90 60 45 30 35190
2346 x 15 11730 2346 35190
a. ¿Quién operó en forma más práctica?
b. ¿Por qué fue más práctico?
c. ¿Qué propiedad se aplicó?
4)
Si usted debe calcular mentalmente 24 + 15 + 6 + 5 =,
¿qué camino escoge? Rellene el cuadro que corresponde a su respuesta.
24 + 15 + 6 + 5
(24 + 6) + (15 + 5)
a. ¿En qué propiedad o propiedades se apoyó para elegir ese camino?
b. ¿Cuál es el resultado?
5)
En una clase con 24 mujeres y 23 hombres, cada uno tiene 3 cuadernos. Si queremos averiguar cuántos cuadernos tienen en total, lo podemos plantear de dos formas:
3 x (24 + 23) ó (3 x 24) + (3 x 23)
porque: 3 x (24 + 23) = (3 x 24) + (3 x 23)
a. ¿Qué propiedad hemos aplicado?
b. ¿Qué nos dice esta propiedad?
c. ¿Cuántos cuadernos hay en la clase? Realice su operación usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Matemática − Semana 5
91
Agilidad de cálculo mental En las semanas anteriores hemos trabajado las tablas del 1 al 8, ¿ya las aprendió? Las tablas son una herramienta importante y debemos saberlas de memoria. Si hacemos cada semana el esfuerzo de trabajarlas, mejoraremos nuestra habilidad de cálculo mental. Esta semana le proponemos estudiar las tablas del 9 y el 10.
Tabla del 9 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x
Tabla del 10
1 = 9 2 = 18 3 = 27 4 = 36 5 = 45
9 9 9 9 9
x 6 = 54 x 7 = 63 x 8 = 72 x 9 = 81 x 10 = 90
10 x 1 = 10 10 x 2 = 20 10 x 3 = 30 10 x 4 = 40 10 x 5 = 50
10 x 6 = 60 10 x 7 = 70 10 x 8 = 80 10 x 9 = 90 10 x 10 = 100
Actividad 1 Resuelva las multiplicaciones. Trate de no consultar las tablas. Es muy importante que las memorice. 1)
8 x 9 =
11) 9 x 10 =
21) 4 x 9 =
2)
7 x 9 =
12) 10 x 5 =
22) 8 x 2 =
3)
5 x 9 =
13) 9 x 1 =
23) 6 x 3 =
4)
3 x 9 =
14) 7 x 2 =
24) 7 x 4 =
5)
7 x 10 =
15) 5 x 3 =
25) 9 x 5 =
6)
4 x
9 =
16) 3 x 4 =
26) 3 x 6 =
7)
3 x 10 =
17) 2 x 5 =
27) 6 x 7 =
8)
2 x
9 =
18) 3 x 6 =
28) 8 x 10 =
9) 9 x 9 =
19) 9 x 7 =
29) 6 x 9 =
20) 3 x 8 =
30) 10 x 4 =
10)
92
10 x 2 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas A.
Resuelva los problemas en su cuaderno. Deje escritas todas la operaciones que realice. 1)
Reunimos en la colecta 38 billetes de 10 quetzales y 43 billetes de 5 quetzales. ¿Cuánto dinero reunimos en total?
2)
Lorena compró 14 cuadernos empastados a 9 quetzales cada uno. a. ¿Cuánto pagó?
3)
b. Si pagó con 2 billetes de 100 quetzales, ¿cuánto vuelto recibe?
Carlos recorre diariamente 30 kilómetros en su moto. Si la moto consume un galón por cada 90 kilómetros, ¿cuántos galones gastará en 30 días?
4) En la avícola empacan 30 huevos por cartón y cada cartón cuesta Q24.00. a. ¿Cuántos huevos se empacarán en 5 cartones y cuánto costarán? 5)
Un pastel lleva los siguientes ingredientes: una barra de margarina (3 quetzales), 6 huevos (1 quetzal cada huevo), 1 taza de azúcar (3 quetzales), 3 tazas de harina (6 quetzales), 1 cucharadita de royal y un vaso de leche (3 quetzales el royal y la leche). a. ¿Cuál es el precio de costo de un pastel?
6)
b. ¿Cuántos huevos se empacarán en 9 cartones y cuánto costarán?
b. ¿Cuánto dinero necesitaré para hacer 9 pasteles?
En la biblioteca municipal hay 2,100 libros colocados en 14 libreras. Si cada librera tiene la misma cantidad de libros, a. ¿cuántos hay en cada librera? b. Si cada librera tiene 5 estantes, ¿cuántos hay que poner en cada estante para que queden distribuidos uniformemente?
7)
En un bosque que está dividido en 18 secciones se plantaron 8,496 árboles en partes iguales. a. ¿Cuántos árboles se plantaron en cada sección?
8)
b. Si cada árbol costó 7 quetzales, ¿cuánto se invirtió en la siembra?
Juan nació en 1983. Tiene dos hermanas, Carolina que nació en 1990 y Renata en 1998. Cuando Juan nació su madre tenía 29 años y su padre 32.
a. ¿Cuántos años mayor es Juan que Carolina?
b. ¿Cuántos años después de Juan nació Renata?
c. ¿Cuántos años tenía la madre, cuando nació Carolina?
d. ¿Cuántos años tiene Juan?
e. ¿En qué año cumplirá Juan 32 años?
f. ¿En que año calendario cumpliría Renata la mayoría de edad (18 años)?
Matemática − Semana 5
93
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Recuerdo y realizo operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números naturales. Reconozco e identifico las partes de las operaciones. Comprendo y aplico algunas propiedades de las operaciones con números naturales. Resuelvo correctamente los ejercicios de las tablas de multiplicar. Resuelvo con éxito los problemas matemáticos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
94
IGER − Quiriguá
6
Múltiplos y divisores
Matemática − Semana 6
95
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir los conceptos de múltiplo y divisor de un número natural. Identificar múltiplos y divisores de un número natural. Formar conjuntos con los primeros múltiplos y con todos los divisores de un número natural. Identificar las propiedades de los múltiplos y de los divisores. Aplicar el concepto de múltiplo a situaciones cotidianas. Desarrollar la agilidad de cálculo mental con la práctica de las tablas de multiplicar y dividir. Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• Biografía de Pitágoras
El mundo de la matemática
• Múltiplos y divisores
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
96
IGER − Quiriguá
• Tablas de multiplicar del 1 al 10 • Encontrar divisor • Problemas matemáticos con operaciones básicas de los números naturales
¡Para comenzar! Pitágoras Pitágoras nació en la isla de Samos, la actual Grecia. Fue filósofo y matemático. Hacia el año 530 a. C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, allí fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. Los pitagóricos aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis.
Pitágoras (582 a.C – 500 a.C) Matemático y filósofo griego.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos, se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados. En aritmética, desarrollaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría, el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como Teorema de Pitágoras. El pitagorismo acabó por convertirse en una fuerza política que despertó hostilidad, lo que originó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida privado de la libertad. Texto adaptado de Biografía de Pitágoras. centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/biopit.htm
¡A trabajar! 1.
Mencione tres aportes que los pitagóricos hicieron a la matemática:
a.
b.
c.
2.
¿Qué significaba el concepto de número para los pitagóricos?
Matemática − Semana 6
97
El mundo de la matemática
1. Múltiplos de un número natural Los múltiplos de un número natural son los números que se obtienen al multiplicar dicho número por otros números naturales: 0, 1, 2, 3… Durante varias semanas, hemos practicado las tablas de multiplicar. Los resultados que ha memorizado son ejemplos de múltiplos.
7 7 7 7 7
x x x x x
1 = 7 2 = 14 3 = 21 4 = 28 5 = 35
7 7 7 7 7
x 6 = 42 x 7 = 49 x 8 = 56 x 9 = 63 x 10 = 70
Los resultados o productos 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 y 70 son múltiplos de 7. El conjunto de múltiplos se nombra con la letra M mayúscula y entre paréntesis se escribe el número del cual enumeramos los múltiplos.
M(7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70... } Obtengamos los primeros múltiplos de 3 y 4. Para hacerlo, multiplicamos el 3 y el 4 por cada uno de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4.
3x
0= 0
0= 0
1= 3
1= 4
2= 6
4x
2= 8
3= 9
3 = 12
4 = 12
4 = 16
M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12… }
M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16… }
Generalmente calculamos los primeros múltiplos de un número, pero ¿podríamos calcular todos los múltiplos de un número? No, porque como ya estudiamos, el conjunto de los números naturales es infinito, por lo tanto, el conjunto de múltiplos también es infinito.
98
IGER − Quiriguá
1.1 ¿Cómo sabemos si un número es múltiplo de otro? Para averiguar si un número es múltiplo de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. • Si la división es exacta, el número es múltiplo. • Si la división es inexacta, el número no es múltiplo. Ejemplo:
¿Es 15 múltiplo de 3 y de 6? Para saberlo, dividimos 15 entre 3 y 6:
5 3 15 – 15 0
2 6 15 – 12 3
La división es exacta. Por lo tanto, 15 es múltiplo de 3.
La división es inexacta. Por lo tanto, 15 no es múltiplo de 6.
Ejercicio 1 A.
Obtenga los primeros cinco múltiplos de los números dados. Para hacerlo multiplique el número que está en el centro por cada uno de los números: 0, 1, 2, 3, 4. Luego represéntelos en forma de conjunto. Le ayudamos con el inicio.
1)
6x
0= 0 1= 2= 3= 4=
M(6) = { 0 ,
2)
2x
M(
3)
8x
,
,
}
,
M(
0= 0 1= 2= 3= 4= )={ 0 ,
4)
9x
,
,
,
}
M(
0= 1= 2= 3= 4= )={
,
,
,
,
}
,
,
,
,
}
0= 1= 2= 3= 4= )={
Matemática − Semana 6
99
B.
1)
¿14 es múltiplo de 2?
3)
¿17 es múltiplo de 3?
2 14 –
3 17 –
Responda:
Responda:
2)
4)
¿25 es múltiplo de 5?
¿32 es múltiplo de 6?
5 25 –
6 32 –
Responda: C.
Responda:
Piense y escriba su respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo.
0) 24 es múltiplo de 3 porque 24 = 3 x
8
1) 25 es múltiplo de 5 porque 25 = 5 x 2) 14 es múltiplo de 7 porque 14 = 7 x 3) 70 es múltiplo de 10 porque 70 = 10 x 4) 100 es múltiplo de 10 porque 100 = 10 x 5) 65 es múltiplo de 5 porque 65 = 5 x 6) 16 es múltiplo de 4 porque 16 = 4 x D.
Lea la pregunta y rellene el cuadro de la respuesta correcta. ¿Es
posible escribir todos los múltiplos de un número?
No, es imposible porque son infinitos. Sí, basta con multiplicar el número por todos los números naturales. No, porque sería muy cansado multiplicar un número por todos los números naturales.
100
IGER − Quiriguá
1.2 Propiedades de los múltiplos de números naturales Las reglas de los múltiplos Los múltiplos de los números naturales cumplen con algunas propiedades. El cero es el primer múltiplo de todo número natural.
Ejemplos:
0 = 3 x 0
0 = 15 x 23 x 0
Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad (1).
Ejemplos:
3=1x3 y 3=3x1
723 = 1 x 723 y 723 = 723 x 1
El resultado de multiplicar dos o más números es múltiplo de dichos números.
Ejemplo:
42 = 2 x 3 x 7
42 es múltiplo de 2, 3 y 7 porque:
42 = 2 x 21
42 = 3 x 14
42 = 7 x 6
La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número. Ejemplo 21 y 35 son múltiplos de 7 porque:
21 = 7 x 3
35 = 7 x 5
La suma de 21 + 35 también es múltiplo de 7.
21 + 35 = 56
56 = 7 x 8
Otro ejemplo, 15 y 45 son mútiplos de 5 porque:
15 = 5 x 3
45 = 5 x 9
La suma de 15 + 45 también es múltiplo de 5.
15 + 45 = 60
60 = 5 x 12
Matemática − Semana 6
101
Ejercicio 2 A.
Responda a las preguntas y justifique su respuesta apoyándose en las propiedades de los múltiplos. Tiene un ejemplo. 0) 1)
¿Cuál es el primer múltiplo de 456?
El 0, porque el 0 es el primer múltiplo de todo número natural. ¿El número 1454 es múltiplo de sí mismo?
2)
¿El número 589 es múltiplo del número 1?
3)
90 = 2 x 15 x 3 ¿El número 90 es múltiplo de 2?
B.
Opere para comprobar que el resultado de multiplicar dos o más números es múltiplo de dichos números. Tiene un ejemplo. 0)
54 = 9 x 2 x 3
El número 54 es múltiplo de 9, 2 y 3. Comprúebelo:
54 = 9 x 6
54 = 2 x 27
54= 3 x 18
C.
Por lo tanto, 54 es múltiplo de 9, 2 y 3.
1)
40 = 4 x 5 x 2
El número 40 es múltiplo de 4, 5 y 2. Comprúebelo:
40 =
4
x
40 =
5
x
40 =
2
x
Por lo tanto,
Opere para comprobar que la suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número. 12 y 36 son múltiplos de 6 porque:
6
x
= 12 y
La suma de 12 + 36 también es múltiplo de 6 porque. 12 + 36 = 48 =
102
6
x
IGER − Quiriguá
Por lo tanto,
6
x
= 36
2. Divisores de un número natural En la semana cinco recordamos que: un divisor es el número que divide a otro un número exacto de veces.
12 ÷ 2 = 6
D ÷ d = c
Para determinar el conjunto de divisores empezamos a dividir sucesivamente el número entre 1, 2, 3,… Si la división es exacta, lo anotamos como divisor. Todos los números que dividen exactamente a otro número forman el conjunto de sus divisores. Ejemplo:
4 1 4 –4 0
2 2 4 –4 0
1 3 4 –3 1
1 4 4 –4 0
Los números 1, 2, y 4 forman el conjunto de los divisores de 4. Lo escribimos así: D(4) = { 1, 2, 4 } El conjunto de divisores se nombra con la letra D mayúscula, luego entre paréntesis se coloca el número del cual enumeramos los divisores. A diferencia del conjunto de los múltiplos que son infinitos, los divisores sí pueden determinarse, por lo tanto forman un grupo finito.
2.1 ¿Cómo sabemos si un número es divisor de otro? Para averiguar si un número es divisor de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. • Si la división es exacta, el número menor es divisor. • Si la división es inexacta, el número menor no es divisor. Comprobemos si 3 y 9 son divisores de 24. Dividimos:
8 2 3 24 9 24 – 24 – 18 0 6 La división es exacta. Por lo tanto 3 es divisor de 24
La división es inexacta. Por lo tanto 9 no es divisor de 24 Matemática − Semana 6
103
Veamos un caso práctico de divisores: ¿De qué forma puedo empacar 8 latas de jugo, sin que me sobre ninguna lata? Puedo agruparlas en formas diferentes: • 8 ÷ 1 = 8, tendría 1 grupo de 8 latas
• 8 ÷ 2 = 4, tendría 2 grupos de 4 latas
• 8 ÷ 4 = 2, tendría 4 grupos de 2 latas
• 8 ÷ 8 = 1, tendría 8 grupos de 1 lata
Ejercicio 3 A.
Obtenga el conjunto de divisores de 14 y 10. Luego, represéntelos en forma enumerativa. Le ayudamos con el inicio. 1)
Divisores del número 14:
14 ÷
2)
Divisores del número 10:
= 14
10 ÷
= 10
14 ÷
=7
10 ÷
=5
14 ÷
=2
10 ÷
=2
14 ÷
= 1
10 ÷
=1
1
D(14) = { 1 , B.
104
,
,
}
D(10) = {
,
,
,
}
Determine si los números marcados en negrita son divisores de 16. 1)
16 ÷ 8 =
La división es
8 es
IGER − Quiriguá
con residuo
de 16
2)
16 ÷ 3 =
La división es
3 no es divisor de 16
con residuo
2.2 Propiedades de los divisores de números naturales Los divisores de los números naturales cumplen con algunas propiedades. a. El número 1 es divisor de todos los números. El resultado de cualquier número dividido entre uno es igual al mismo número. Ejemplos 9 ÷ 1 = 9
798 ÷ 1 = 798
b. Todo número es divisor de sí mismo. Todo número dividido entre sí mismo, da como resultado 1. Ejemplos: 8 ÷ 8 = 1
521 ÷ 521 = 1
Ejercicio 4 A.
B.
El conjunto de divisores de un número es finito. Obtenga todos los divisores de los números dados. Ya tiene algunos divisores escritos. 1)
D(15) = { 1,
2)
D(12) = {
3)
D(8) = { 1,
}
, 5, , ,
, 3,
,
,
}
, 12 }
Rellene el cuadro de la respuesta correcta. 1)
¿Qué operación ejemplifica la propiedad ‟El 1 es divisor de todos los números”?
9÷9=1
0÷4=0
57 ÷ 1 = 57 2)
¿Cuál es el primer divisor del conjunto de divisores de 1,536?
1
0
1,536
Matemática − Semana 6
105
Resumen 1.
Múltiplos de un número natural
Los múltiplos de un número natural son los números que se obtienen al multiplicar dicho número por otros números naturales: 0, 1, 2, 3...
El conjunto de múltiplos se nombra con la letra M mayúscula y entre paréntesis se escribe el número del cual enumeramos los múltiplos.
1.1 El conjunto de múltiplos es infinito porque el conjunto de números naturales también lo es.
Para averiguar si un número es múltiplo de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. Si la división es exacta, el número es múltiplo.
1.2 Propiedades de los múltiplos:
• El cero es el primer múltiplo de todo número natural.
• Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
• El resultado de multiplicar varios números es múltiplo de dichos números.
• La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número.
2.
Divisores de un número natural
Un divisor es el número que divide a otro un número exacto de veces.
El conjunto de divisores se nombra con la letra D mayúscula. Luego, entre paréntesis se coloca el número del cual enumeramos los divisores.
A diferencia de los múltiplos que son infinitos, el conjunto de divisores es finito.
2.1 Para averiguar si un número es divisor de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. Si la división es exacta, el número menor es divisor.
Todos los números que dividen exactamente a otro número forman el conjunto de sus divisores.
2.2 Propiedades de los divisores
• El primer elemento de todo conjunto de divisores es 1.
• Todo número es divisible dentro de sí mismo.
Investigue en la red... Si quiere conocer más de este tema, puede visitar esta página en Internet: www.gobiernodecanarias.org/.../multiplosydivisores_p.html–
106
IGER − Quiriguá
Autocontrol Actividad 1 A.
Demuestre lo aprendido. f
Escriba con sus palabras una definición de múltiplo.
B.
Escriba con sus palabras una definición de divisor.
Actividad 2 A.
Practique lo aprendido
Escriba los cinco primeros múltiplos de 5, 2, 9 y 3. Luego escriba el conjunto de múltiplos que se formó. Guíese con el ejemplo. 0)
5x
0= 1= 2= 3= 4=
2)
0 5 10 15 20
2x
M( 5 ) = { 0 , 5 , 10 , 15 , 20
1)
9x
M( B.
0= 1= 2= 3= 4= )={
}
M( 3)
3x
,
,
,
}
,
M(
0= 1= 2= 3= 4= )={ 0 ,
,
,
,
}
,
,
,
}
0= 1= 2= 3= 4= )={
,
Escriba el conjunto de todos los divisores de los números indicados. Tiene un ejemplo. 0)
D(4) = {
1)
D(5) = {
1, 2, 4 }
2)
D(6) = {
3)
D(7) = {
Matemática − Semana 6
107
C.
Escriba dentro de cada cuadro v si la expresión es verdadera y f, si la expresión es falsa. Justifique su respuesta. Tiene un ejemplo. 0)
8 es múltiplo de 3
f ¿Por qué?
porque no hay ningún número
natural multiplicado por 3 que dé como resultado 8.
1)
15 es múltiplo de 5
¿Por qué?
24 es múltiplo de 8
¿Por qué?
35 es múltiplo de 7
¿Por qué?
2) 3) D.
Rellene el cuadro que corresponde a la respuesta correcta. Tiene un ejemplo 0)
¿De qué número es múltiplo el 28?
4 5 8
1)
¿De qué número es divisor el 16?
16 26 46
2)
¿Cuál es el primer elemento del conjunto de los múltiplos de 5?
0 1 5
3)
¿Cuál es el divisor más grande del conjunto de los divisores de 100?
0 100 infinito
4)
¿De qué número son divisores los números 2, 5 y 10?
10 25 35
108
IGER − Quiriguá
Actividad 3 A.
Desarrolle nuevas habilidades
Lea la información y responda las preguntas explicando el porqué de su respuesta. 1)
En la tienda de mayoreo, algunos productos son empacados en grupos.
• Los yogures se venden en paquetes de 4.
a.
¿Puedo comprar 6 yogures?
b.
¿Puedo comprar 8 yogures?
• Los huevos solo se venden en paquetes de 6. c.
¿Qué cantidad de huevos puedo comprar? Dé al menos dos ejemplos.
2)
Si un cajero automático solo da dinero en múltiplos de 100, ¿puedo sacar del cajero 142 quetzales?
B.
Realice las actividades. 1)
Escriba cinco números que sean múltiplos de 3 y de 5 a la vez.
2)
Escriba los diez primeros múltiplos de 7 que sean pares.
3)
Escriba los diez primeros múltiplos de 3 que no sean pares.
4)
Escriba todos los múltiplos de 6 mayores que 80 y menores que 120.
C
Responda a las preguntas. Tenga presente las propiedades de los múltiplos y las propiedades de los divisores. 1)
¿Cuál es el mayor divisor de 784?
2)
¿Cuál es el menor divisor de 1516?
3)
¿Cuál es el primer múltiplo de 456?
4)
¿Cuántos múltiplos tiene un número? Matemática − Semana 6
109
Agilidad de cálculo mental A.
B.
Resuelva las operaciones sin consultar las tablas. Hágalo lo más rápido que pueda. Tiene un ejemplo. 0)
1x7=
7
4)
5x7=
8)
9 x 3 =
1)
2x8=
5)
6x6=
9)
10 x 2 =
2)
3x9=
6)
7x5=
10)
9 x 6 =
3)
4x8=
7)
8x4=
11)
8 x 7 =
Multiplique cada número del 1 al 10 por el número que tiene al centro y escriba el resultado en los círculos externos. Para multiplicar siga el sentido de las agujas del reloj. El punto rojo indica la multiplicación por 1. La rueda del 6 le sirve de ejemplo.
60
6
7
12
54
18 6
7
48
110
8
24 42
C.
8
14
36
30
Encuentre el divisor para que cada división sea correcta. Tiene un ejemplo. 0) 50 ÷ 10
= 5 6)
72 ÷
=8
1) 72 ÷
= 9 7)
45 ÷
=9
2) 45 ÷
= 5 8)
54 ÷
=6
3) 10 ÷
= 5 9)
16 ÷
=4
4) 25 ÷
= 5
10) 18 ÷
=9
5) 35 ÷
= 7
11) 64 ÷
=8
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas Resuelva en su cuaderno los problemas. Enseñe a su orientador(a) voluntario(a) sus procedimientos para que pueda revisarlos. Tome en cuenta que algunos problemas necesitan más de una operación. 1)
Juan tiene un rollo de 185 yardas de tela que debe repartir en partes iguales entre las 5 tiendas que administra. ¿Cuántas yardas debe mandar a cada tienda?
2)
Ana María compró 7 libras de manzanas por 56 quetzales. Al contar las manzanas, encontró que tenía 28 manzanas. ¿Cuánto le costó cada una?
3)
César recogió 65 huevos de su granja. Si ha vendido 4 docenas, ¿cuántos huevos le sobran?
4)
En un fin de semana, Rita vendió en su tienda 3 quesos de 2 libras cada uno. Si el precio por libra es de 25 quetzales, ¿cuánto recaudó por la venta de los quesos?
5)
Un pintor está pintando las ventanas de un edificio de dos pisos que tiene 40 ventanas en cada piso. Si en un día pintó 5 ventanas de cada piso, ¿cuántas ventanas le faltan para terminar?
6)
El dueño de un almacén compró 26 cámaras fotográficas por un total de 13,520 quetzales. Si vendió 4 cámaras al precio que le costaron, ¿a cuánto debe vender las cámaras restantes si desea obtener un beneficio total de 880 quetzales?
7)
La dueña de una tienda deportiva compró 31 pelotas de fútbol a 125 quetzales cada una. Vendió 8 pelotas a 140 quetzales cada una y el resto las vendió al precio que las compró. ¿Cuánto ganó por la venta de todas las pelotas?
8)
Don Beto, el dueño de un depósito, vendió 821 paquetes de galletas el sábado. Si por 31 docenas y media de paquetes recibió 756 quetzales, ¿cuál fue la recaudación por la venta de todos los paquetes?
9)
Tomasa tiene en un corral 5 conejos y 12 gallinas. Si vende 3 conejos a 35 quetzales cada uno, 2 conejos a 47 quetzales cada uno, y las gallinas a 53 quetzales cada una, ¿cuánto dinero recauda en total?
10) El círculo de estudio de Villa Hermosa tiene la siguiente cantidad de estudiantes: El grupo Quiriguá tiene 26 estudiantes, el grupo Utatlán, 19 y el grupo Zaculeu, 14. Si se pidieron 6 latas a cada estudiante para una campaña de reciclaje, ¿cuántas latas reunieron en total?
Matemática − Semana 6
111
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Defino qué es un múltiplo y qué es un divisor de un número natural. Identifico múltiplos y divisores de un número natural. Formo conjuntos de múltiplos y divisores de un número dado. Identifico las propiedades de los múltiplos y de los divisores de números naturales. Aplico a situaciones cotidianas el concepto de múltiplo de un número natural. Resuelvo correctamente los ejercicios de las tablas de multiplicar. Resuelvo con éxito problemas matemáticos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
112
IGER − Quiriguá
7
Divisibilidad de números naturales
Matemática − Semana 7
113
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir la divisibilidad. Definir, explicar, diferenciar y aplicar los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5, 25 y la unidad seguida de ceros. Desarrollar la habilidad de cálculo mental, practicando las tablas del multiplicar del 1 al 9. Desarrollar su razonamiento resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• El papiro de Rhind
• Definición de divisibilidad
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
114
IGER − Quiriguá
• Criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5, 25 y la unidad seguida de ceros
• Tablas de multiplicar del 1 al 10
• Problemas matemáticos de sumas y restas utilizando tablas del 1 al 6
¡Para comenzar! El papiro de Rhind Un documento matemático antiguo
En 1858, el egiptólogo1 escocés A. Henry Rhind compró en Egipto el papiro2 que actualmente se conoce como papiro de Rhind o de Ahmes. El papiro fue escrito por el escriba3 Ahmes aproximadamente en el año 1650 a.C. El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre aritmética básica, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento utilizado para la enseñanza, o el cuaderno de notas de un alumno. Representa una guía de las matemáticas del antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos. Texto adaptado de “La tierra de los Faraones”. www. Egiptología.org.
¡ A trabajar! 1.
Mencione tres temas de Matemática tratados en el papiro de Rhind.
2.
Según la lectura, ¿cuál podría ser el objetivo del papiro?
1 Egiptólogo:
persona especializada que estudia las artes y los monumentos antiguos de Egipto. papel para escribir hecho con el tallo de una planta del mismo nombre. Lo utilizaban los antiguos egipcios. 3 Escriba: entre los egipcios y otros pueblos de la antigüedad, persona que tenía por oficio escribir lo que le dictaban o copiar los textos de otras personas. 2 Papiro:
Matemática − Semana 7
115
El mundo de la matemática
1. Divisibilidad de números naturales Cuando la división entre dos números es exacta, decimos que hay entre ellos una relación de divisibilidad. Por ejemplo:
30 ÷ 6 = 5 Entre los números 30 y 6, hay una relación de divisibilidad porque el resultado de la división, 5, es exacto. Es fácil deducirlo porque son números pequeños y nosotros conocemos las tablas de multiplicar. –¿Pero cómo averigüamos si 248 es divisible entre 2? Un camino es realizar la división:
248 ÷ 2 = 124 Como la división es exacta, sabemos que 248 es divisible entre 2, pero hay un camino más corto que consiste en aplicar un criterio de divisibilidad. Los criterios de divisibilidad son reglas fijas que nos permiten reconocer, si un número es divisible entre otro, sin realizar la división. Esta semana conoceremos los criterios de divisibilidad entre los números 2, 3, 5, 25 y la unidad seguida de ceros.
a. Divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2 o tiene mitad, cuando la cifra de las unidades es cero o cifra par: 2, 4, 6, 8.
Recuerde la ubicación de unidades, decenas y centenas.
Retomando el ejemplo anterior (248), con solo observar que la cifra de las unidades, o sea la última cifra, es par, sabemos que 248 es divisible entre 2.
C D U
4 5 8
Veamos otros ejemplos de números divisibles entre 2:
40, 452, 774, 1636, 897,558
Ejercicio 1 Rodee con una línea los números que son divisibles entre 2. Tiene un ejemplo.
116
8
546
345
706
342
403
181
876
196
135
236
105
685
231
434
230
506
344
903
545
126
987
870
805
IGER − Quiriguá
b. Divisibilidad entre 3 Un número es divisible entre 3 o tiene tercera parte, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Ejemplos: 1)
54 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Vea:
54
5+4=9 2)
9=3x3
486 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3:
486 4 + 8 + 6 = 18 18 = 3 x 6
3)
16 no es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras no es múltiplo de 3:
16
1+6=7
7
No hay ningún número que multiplicado por 3 dé 7.
Ejercicio 2 A.
Determine si cada número dado es divisible entre 3. Para hacerlo sume las cifras y si el resultado es múltiplo de 3, el número es divisible entre 3. Indique la divisibilidad escribiendo Sí o No en la casilla correspondiente. Tiene un ejemplo. Número
0)
27
1)
139
2)
56373
3)
131457
4)
654328
5)
723452
Suma de las cifras
¿Es divisible entre 3?
2+7=9
Sí
Matemática − Semana 7
117
c. Divisibilidad entre 5 Un número es divisible entre 5 o tiene quinta parte, cuando la cifra de sus unidades es 0 ó 5. Como ejemplo de números divisibles entre 5 tenemos:
70,
325,
4630, 346785, 478235, 3456720
d. Divisibilidad entre 25 Un número es divisible entre 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 25: 25, 50, 75. Como ejemplos de números divisibles entre 25 tenemos:
2700,
8350, 897656775,
87898789300
e. Divisibilidad entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.) Un número es divisible entre 10 cuando termina en cero; entre 100, si termina en dos ceros; entre 1000, si termina en tres ceros y así sucesivamente. Por ejemplo son números divisibles entre 10: 340, 4560, 98760, 568780, 2345650, 2348786540 Por ejemplo son números divisibles entre 100:
7800, 56400, 75911200, 98765654300, 4536700 Por ejemplo son números divisibles entre 1000:
3000, 50000, 100000, 83000
Ejercicio 3 A.
Encierre los números que sean divisibles entre 5. Recuerde que la cifra de las unidades debe ser 0 ó 5. Tiene un ejemplo. 552 – 3120 – 444675 – 8756 – 55559 – 4461125 – 6765431
B.
Encierre los números que sean divisibles entre 25. Tiene un ejemplo. 35475
118
–
IGER − Quiriguá
83455
–
43350
–
758970
–
3632300
C. Escriba un cheque () si el número dado es divisible entre el número que indica cada columna, o escriba una (x) si no lo es. Tiene un ejemplo. Número
0)
8700
1)
345000
2)
7780
3)
593400
4)
843000
5)
567800
6)
123450
Divisible entre 10
Divisible entre 100
Divisible entre 1000
x
Resumen Cuando la división entre dos números es exacta, decimos que hay entre ellos una relación de divisibilidad. Los criterios de divisibilidad son reglas fijas que permiten reconocer, sin realizar la división, si un número es divisible entre otro. a. Divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2 o tiene mitad, cuando la cifra de las unidades es cero o es cifra par: 2, 4, 6, 8. b. Divisibilidad entre 3 Un número es divisible entre 3 o tiene tercera parte, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. c. Divisibilidad entre 5 Un número es divisible entre 5 o tiene quinta parte, cuando la cifra de sus unidades es 0 ó 5. d. Divisibilidad entre 25 Un número es divisible entre 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 25: 25, 50, 75. e. Divisibilidad entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.) Un número es divisible entre 10 si termina en cero; entre 100, si termina en dos ceros; entre 1000, si termina en tres ceros y así sucesivamente.
Matemática − Semana 7
119
Autocontrol Actividad 1 A.
Demuestre lo aprendido fina su aprendizaje.
Defina con sus palabras los siguientes conceptos. 1)
Relación de divisibilidad:
2)
Criterios de divisibilidad:
3)
Divisibilidad entre 2:
4)
Divisibilidad entre 3:
5)
Divisibilidad entre 5:
B.
Responda con sus palabras a las preguntas. 1)
¿Cómo determinamos si un número es divisible entre 25?
2)
¿Cómo determinamos si un número es divisible entre 10?
3)
¿Cómo determinamos si un número es divisible entre 100?
Actividad 2 A.
Practique lo aprendido
Rellene el cuadro que completa correctamente cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0)
El número 18 es divisible…
sólo entre 2 sólo entre 3 entre 2 y 3
1)
Un número divisible entre 2, 3 y 5 es…
18 20 30
120
IGER − Quiriguá
2)
El número 5 es divisor de…
553 318 115
3)
Un número divisible entre 3 es…
2431 6345 7753
4)
Un número divisible entre 25 es…
7835 9475 5210
5)
El número 45600 es divisible…
solo entre 10 entre 10 y 100 entre 10, 100 y 1000
6)
El número 55475 es divisible entre…
2 3 25
7)
El número 5 es divisor de…
5553 3335 2009
8)
Los números 2 y 3 dividen al número…
5772 3458 2009
9)
Un número no divisible entre 3 es…
186 368 222
B.
Realice las actividades. 1)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 2.
83 – 56 – 128 – 229 – 530 – 956 – 1232 – 2338
2)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 3.
312 – 418 – 516 – 4572 – 1253 – 38751 – 98675
Matemática − Semana 7
121
3)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 5.
320 – 645 – 5553 – 77815 – 45672 – 89765
4)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 25.
345 – 575 – 3450 – 7395 – 5825 – 8935
5)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 10.
520 – 310 – 523 – 5900 – 781 – 56740
6)
Observe los siguientes números y encierre los que sean divisibles entre 100.
500 – 820 – 7500 – 94800 – 786790 – 346700
Actividad 3 A.
Escriba dentro del cuadro una cifra que forme un número divisible entre 2. Tiene un ejemplo. 3 3 2
B.
4 5 3
8 1 9 4
3 4
2 1 6
1 2 3
5 1
3 3 6 7
4 5 3
Realice las actividades aplicando los criterios de divisibilidad. 1)
Escriba cinco números que sean divisibles entre 2.
,
2)
,
3)
,
,
,
,
,
Escriba cinco números que sean divisibles entre 5.
,
4)
,
Escriba cinco números que sean divisibles entre 3.
,
,
,
Escriba cinco números que sean divisibles entre 25.
122
5 1 7
5 6 7
5 4 3 2
Escriba dentro de los cuadros dos cifras que formen un número divisible entre 25. Tiene un ejemplo. 3 4 7 5
D.
2 8 5
Escriba dentro del cuadro una cifra que forme un número divisible entre 5. Tiene un ejemplo. 8 1 0
C.
Desarrolle nuevas habilidades
, IGER − Quiriguá
,
,
,
8 9 7 6
5) 6)
Escriba cinco números que sean divisibles entre 10. ,
,
,
Escriba tres números que sean divisibles entre 100.
F.
,
,
,
Escriba un cheque () si el número es divisible entre el número indicado o una (x) si no lo es. Tiene un ejemplo. Número
Divisible entre 2
Divisible entre 3
Divisible entre 5
x
18 42 60 88 168 273 407 2310 3240 1309 1725 G.
Aplique el criterio de divisibilidad entre 3 y complete la tabla. Tiene un ejemplo. Números
0)
75
1)
83
2)
123
3)
222
4)
341
5)
534
6)
1049
7)
2009
8)
3642
9)
4135
10)
9873
Suma de cifras
¿Divisible entre 3?
7 + 5 = 12
Sí
Matemática − Semana 7
123
Agilidad de cálculo mental A.
B.
Escriba el resultado de las multiplicaciones o el número que falta para que la multliplicación sea correcta. Trate de hacerlo lo más rápido posible y mida cuánto tiempo tarda. Propóngase hacerlo cada vez más rápido. 1)
5 x 9 =
11)
7 x 5 =
21) 7 x
2)
8 x 5 =
12)
6 x 7 =
22)
3)
5 x 7 =
13)
7 x 7 =
23)
4)
6 x 5 =
14)
8 x 7 =
24)
5)
5 x 5 =
15)
7 x 9 =
25) 5 x
6)
9 x 6 =
16)
5 x 8 =
26)
7)
6 x 8 =
17)
8 x 6 =
27)
8)
7 x 6 =
18)
7 x 8 =
28) 4 x
9)
6 x 6 =
19)
8 x 9 =
29)
x 9 = 54
10)
5 x 6 =
20)
4 x 8 =
30)
x 8 = 56
x 8 = 72 5 x 7 = x 6 = 48 = 45 x 7 = 42 9 x 3 = = 28
Escriba el número que falta para que la división sea correcta. Aplique las tablas de multiplicar para encontrar el resultado. Recuerde que la división es la operación contraria a la multiplicación. Tiene un ejemplo.
6
=4
6) 48 ÷
=6
1) 35 ÷
=7
7) 21 ÷
=3
2) 42 ÷
=7
8) 54 ÷
=9
3) 72 ÷
=9
9) 28 ÷
=7
4) 32 ÷
=4
10) 64 ÷
=8
5) 49 ÷
=7
11) 80 ÷
=8
0) 24 ÷
124
= 63
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas 1)
¿Será posible repartir exactamente 147 libros entre 3 escuelas? Para responder aplique el criterio de divisibilidad entre tres.
2)
¿Es posible repartir exactamente 485 botes de jugo en 5 cajas? Explique su respuesta apoyado en el criterio de divisibilidad entre 5.
3)
Si la docena de duraznos cuesta 24 quetzales, ¿cuánto valdrán 9 docenas?
4)
Pedro y Marta fueron a la fiesta infantil de la municipalidad. Pedro recogió 43 dulces y Marta 37. Si los quieren repartir entre sus cuatro hermanos, ¿cuántos recibe cada uno?
5)
¿Entre cuántas personas pueden repartirse 12 vasos de vidrio dando a todos la misma cantidad y sin que sobre ninguno?
6)
Alberto antes de comprar una estufa a plazos, preguntó precios en varios almacenes. Las opciones que tiene son las siguientes:
1. Almacén “El Esfuerzo”: 12 pagos de 375 quetzales
2. Almacén “Todo Crédito”: 14 pagos de 325 quetzales
Si toma en cuenta la cantidad total de dinero que pagará, ¿cuál es la opción que le conviene más?
7)
La joyería ‟El brillante” vende pulseras a 135 quetzales cada una.
a. ¿Cuánto ingresará por la venta de media docena de pulseras?
b. ¿Cuánto ingresará por la venta de docena y media de pulseras?
8)
Tomasa conduce su carro a 60 kilómetros por hora.
a. ¿Qué distancia recorrerá en 4 horas?
b. ¿Qué cantidad de gasolina gasta para recorrer la distancia anterior, si consume un galón por cada 40 kilómetros recorridos?
a. Si cada galón cuesta 24 quetzales, ¿cuánto gastará Tomasa?
9)
Un carpintero debe colocar 7 puertas a cada una de las 35 casas nuevas de una colonia.
a. ¿Cuántas puertas colocará en total?
b. ¿Cuánto recibirá de pago si cobra 75 quetzales por colocar cada puerta?
Matemática − Semana 7
125
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Defino los conceptos: divisibilidad y criterios de divisibilidad. Explico y aplico los criterios de divisibilidad. Resuelvo ejercicios con agilidad de las tablas de multiplicar del 1 al 9. Resuelvo con éxito los problemas matemáticos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
126
IGER − Quiriguá
8
Repaso Semanas 1-7
Matemática − Semana 8
127
Los logros que conseguirá esta semana son: Afianzar los contenidos de la semana 1 a la 7: • Definir un conjunto, identificar sus elementos y clasificarlo según su cardinalidad. • Representar conjuntos en forma descriptiva, enumerativa y gráfica. • Establecer e identificar relaciones de pertenencia, no pertenencia, contención y no contención. • Comparar y ordenar números naturales. • Comprender y aplicar las propiedades de las operaciones en el conjunto de números naturales. • Identificar múltiplos y divisores de un número natural. • Formar conjuntos de los primeros múltiplos y detodos los divisiores de un número natural. • Diferenciar y aplicar los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5, 25 y la unidad seguida de ceros. Desarrollar habilidades de cálculo mental. Desarrollar el razonamiento matemático resolviendo problemas.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• ¿Cómo aprovechar este repaso?
El mundo de la matemática
• Conjuntos • Representación de conjuntos • Relación entre conjuntos • El conjunto N de los números naturales • Operaciones y propiedades con el conjunto de los números naturales • Múltiplos y divisores • Divisibilidad de los números naturales
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
128
IGER − Quiriguá
• Tablas de multiplicar y divisores
• Problemas matemáticos
¡Para comenzar! ¿Cómo sacar provecho de este repaso? Querida y querido estudiante: Se aproxima la primera evaluación y tenemos que prepararnos adecuadamente. Para ello, repasaremos los contenidos de las semanas 1 a la 7. Encontrará el resumen de cada tema y ejercicios para practicar. Estudie con atención y resuelva todos los ejercicios que se le presentan. Para aprovechar mejor este repaso le recomendamos: 1. Busque un lugar tranquilo para estudiar. 2. Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. Escribir sus conocimientos le ayudará a retenerlos mejor. 3. Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunas actividades. 4. Anote los contenidos que no le hayan quedado claros. No se quede con dudas. Su orientadora u orientador voluntario le explicará con gusto. También puede consultar con nosotros por correo electrónico. Nuestra dirección es:
[email protected] 5. Compruebe que sus autocontroles están bien hechos. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas. En ella encontrará más explicaciones y ejemplos. 6. Trabaje con lápiz. Si se equivoca, puede borrar y hacer varios intentos. 7. Estudie un poquito cada día. Mantenga su estudio diario como en las semanas anteriores. 8. Cuando esté seguro de que domina el tema, pase al siguiente aunque no haya completado todos los ejercicios. 9. Lea las indicaciones para la prueba parcial de la página siguiente y acuda al examen con seguridad y confianza. Ánimo y éxitos en su evaluación
Matemática − Semana 8
129
Unas recomendaciones más... ¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los trabajamos semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. Es imprescindible que sepa las tablas de multiplicar de memoria. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las siete semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:
responder preguntas,
rellenar el cuadro de la opción correcta,
completar tablas y mapas conceptuales,
resolver operaciones y
resolver problemas.
• Cuando resuelva ejercicios y problemas, es necesario que deje constancia de su trabajo. Escriba todas las operaciones que realice en las páginas de su evaluación. Se toma en cuenta el proceso y la respuesta. • Muy importante: Cada serie de la prueba contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. • Si encuentra una serie que no sabe cómo realizar o que le está llevando mucho tiempo, continúe su prueba y regrese a ella después de haber terminado las otras series. Recuerde que tiene un tiempo límite para resolver su prueba. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.
130
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Conjuntos Empezamos nuestro trabajo definiendo los conjuntos y sus clases: 1.1 Un conjunto es una agrupación de elementos que poseen una o más características en común. Cacterísticas de un conjunto: • Está formado por elementos: personas, animales u objetos. • Se nombra siempre con una letra mayúscula: A, B, C o cualquier letra del alfabeto. • Posee cardinalidad. La cardinalidad es el número total de elementos de un conjunto. 2.
Clases de conjuntos
Por su cardinalidad los conjuntos pueden ser: 2.1 Conjunto finito: se pueden contar todos sus elementos. 2.2 Conjunto unitario: sólo tiene un elemento. 2.3 Conjunto vacío Ø: no tiene elementos. 2.4 Conjunto infinito: no es posible saber cuántos elementos tiene. 2.5 Conjunto universo: conjunto mayor del que se obtienen otros conjuntos.
Ejercicio 1. Identifique los elementos de un conjunto y su cardinalidad. A.
Lea el conjunto, escriba sus elementos y escriba la cardinalidad en el cuadro. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto S de los órganos de los sentidos.
S={
1)
El conjunto O de las operaciones básicas de los números naturales.
O={
2)
El conjunto I de los números impares entre 0 y 20.
I={
ojos ,
nariz ,
boca , oídos ,
,
,
,
piel
}
5
,
,
,
,
}
,
,
,
,
,
}
Matemática − Semana 8
131
B.
C.
3)
El conjunto P de los números pares entre 5 y 25.
P={
4)
El conjunto D de los días de la semana.
D={
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0)
El conjunto M de los meses de 31 días.
1)
El conjunto R de las letras de la palabra IGER.
2)
El conjunto S de las semanas de 8 días.
3)
El conjunto J de cerebros de una persona.
El conjunto E formado por lapicero, sacapuntas, borrador.
2)
El conjunto R formado por blusa, falda, corte, vestido y medias.
3)
El conjunto J formado por arete, pulsera y collar.
El conjunto M formado por mesa, cama 4) y silla.
132
,
,
}
,
}
M es un conjunto finito
Escriba en la columna de la derecha el conjunto universo del que se obtuvo el conjunto de la columna izquierda. Guíese por el ejemplo.
El conjunto D formado por los departa1) mentos de Quiché, Huehuetenango y San Marcos.
5)
,
Identifique si los conjuntos son vacíos, unitarios, finitos o infinitos. Tiene un ejemplo.
Conjuntos
0)
,
El conjunto P formado por sábana, sobrefunda y cubrecama.
IGER − Quiriguá
Conjunto universo (U)
El conjunto E se obtuvo del conjunto
U de los útiles escolares. El conjunto D se obtuvo del conjunto
U de El conjunto R se obtuvo del conjunto
U de El conjunto J se obtuvo del conjunto
U de El conjunto M se obtuvo del conjunto
U de El conjunto P se obtuvo del conjunto
U de
2. Representación de conjuntos Un conjunto puede representarse en tres formas: descriptiva, gráfica y enumerativa. 2.1 Forma descriptiva La forma descriptiva consiste en escribir dentro de llaves una característica común de todos los elementos del conjunto. Ejemplo:
V = { Letra vocal } 2.2 Forma gráfica o Diagrama de Venn La representación gráfica consiste en dibujar un diagrama de Venn y, dentro de él, escribir los elementos del conjunto, colocándoles un punto a la izquierda. Si un elemento está repetido, sólo se escribe una vez. El nombre del conjunto se escribe fuera de la figura en otro círculo pequeño. Ejemplo:
V • a
• e
• i • o
• u
2.3 Forma enumerativa La forma de representación enumerativa consiste en escribir todos los elementos del conjunto, sin repetir ninguno,encerrados entre llaves { } y separados por comas. Ejemplo:
V = { a, e, i, o, u } a. Forma enumerativa especial La forma enumerativa especial se utiliza para conjuntos muy numerosos cuyos elementos tienen un orden establecido. Para representarlo: • Se escriben los tres primeros elementos del conjunto. • Luego se colocan puntos suspensivos para representar los elementos que no se escriben y se anota el último elemento del conjunto. Ejemplo:
L = { a, b, c,… z } Matemática − Semana 8
133
Ejercicio 2. Represente conjuntos. A.
B.
C.
Represente los conjuntos en forma descriptiva. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto C formado por Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa Rica y Panamá.
C = { Países de Centroamérica
1)
El conjunto D formado por los dedos meñique, anular, medio, índice y pulgar.
D={
} }
Represente los conjuntos en forma enumerativa. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto I formado por los números pares entre 12 y 28.
I = { 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26
1)
El conjunto M formado por los meses del año que no tienen 31 días.
M={
}
Represente los conjuntos en forma gráfica. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto L formado por las sílabas de la palabra ‟camarón”.
1)
El conjunto S de sílabas de la palabra ‟Comunicación”.
L • ca
• ma • rón
D.
134
Escriba los conjuntos en forma enumerativa especial. Tiene un ejemplo. 0)
El conjunto E formado por los meses del año.
E = { enero, febrero, marzo… diciembre
1)
El conjunto F formado por las letras del abecedario.
F={
2)
El conjunto G formado por los números naturales menores de 1000.
G={
IGER − Quiriguá
}
3. Relaciones entre conjuntos 3.1 Pertenencia
La pertenencia es la relación entre un elemento con uno o más conjuntos de los cuales forma parte. Para establecer esta relación se utiliza el símbolo que se lee: ‟pertenece a”.
Ejemplo:
Si el conjunto A = { a, e, i, o, u }, podemos decir que e
A
3.2 No pertenencia
La no pertenencia es la relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte. Se indica con el símbolo que se lee: "no pertenece a..."
Ejemplo:
Si el conjunto B = { m, o, r, a }, decimos que b
Las relaciones de pertenencia y no pertenencia solo se establecen entre elementos y conjuntos.
3.3 Contención
B
La contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos de un conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor. La contención se representa con el símbolo y se lee ‟está contenido en”.
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = { c, a, f, e
En forma gráfica:
A
B A
3.4 No contención
} y B = { a, e } decimos que B
• c • f
• a
• e
La no contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de uno no están incluidos en el otro. La relación de no contención se simboliza y se lee: ‟no está contenido en”.
Ejemplo:
Dados los conjuntos: V = { 2, 3 } y W = { 2, 5, 7 } decimos que V
W
Las relaciones de contención y no contención solo se establecen entre conjuntos.
Matemática − Semana 8
135
Ejercicio 3 A.
Lea el texto con atención. Juan Tzoc y Marina Fuentes nacieron en el departamento de Quiché. Allí se casaron y tuvieron tres hijos: Elvira, Lucas y Matilde. Viven en la montaña y cultivan maíz. Elvira, la hija mayor estudia en el iger en el grupo Quiriguá y los otros dos hermanos están en la escuela primaria.
B.
Considerando la información y los conjuntos dados, escriba si cada uno de los elementos pertenece ( ) o no pertenece ( ) a los conjuntos. Hay un ejemplo. E = { Estudiantes del iger }
Z = { Cultivadores de maíz }
C.
S = { quichelense }
V = { mujeres }
T = { Estudiante de primaria } W = { apellido Fuentes }
0)
Juan
S 2) Elvira
E 4) Matilde
T
1)
Marina
W 3) Lucas
V 5) Juan
Z
Considere el conjunto P = { Números pares hasta 1,000 } y escriba en el espacio de cada inciso el símbolo (pertenece) o (no pertenece) según corresponda. Hay un ejemplo. 0)
1
P
3)
86
P
6)
50
P
1)
5
P
4)
17
P
7)
100
P
2)
4
P
5)
C
P
8)
14
P
D. Considere los conjuntos: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } y V = { a, b, c,… z }
136
Luego, establezca en cada inciso la relación de contención escribiendo el símbolo tención) o (no contención). Tiene un ejemplo.
(con-
0)
¿M = { 2, 4, 6, 8, 10 } está contenido en N?
M
1)
¿L = { 5, 10, 15, 20 } está contenido en N?
L
N
2)
¿A = { letras de la palabra ambulancia } está contenido en V?
A
V
3)
¿R = { 1, a, 2, b, 3, c, 4, d, 5, e } está contenido en N?
R
N
4)
¿G = { a, e, i, o, u } está contenido en V?
G
V
5)
¿S = { l, m, ñ, o, p } está contenido en V?
S
V
IGER − Quiriguá
N
4. Números naturales (N) •
Los números naturales forman el conjunto numérico que sirve para contar.
•
El conjunto de los números naturales se identifica con la letra mayúscula N.
•
El conjunto de los números naturales es infinito, porque no se puede conocer el último número. En forma enumerativa se representa así: N=
•
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...
También se puede representar sobre una semirrecta. El punto de origen de la semirrecta corresponde al cero. La punta de flecha al final de la recta indica que el conjunto es infinito. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
•
Para comparar y ordenar los números naturales utilizamos los símbolos > (mayor que), < (menor que), = (igual a).
Ejemplo:
4 < 8 (4 es menor que 8)
10 > 2 (10 es mayor que 2)
Ejercicio 4. Identifique y ordene números naturales.prendizaje. A. Todo número natural, menos el cero, tiene un antecesor y un sucesor. Complete la tabla escribiendo el antecesor y el sucesor de los números dados. Tiene un ejemplo. 5
4
0)
101
1) B.
6
4765
2)
6341
3)
Localice y escriba bajo el punto correspondiente los números de cada conjunto. Tiene un ejemplo: 0)
J=
0
1)
K=
0
2)
L=
0
2, 4, 6, 8, 10
2
4
6
8
10
3, 6, 9, 12
7, 8, 9, 10
Matemática − Semana 8
137
C.
Compare cada pareja de números y escriba sobre la línea el símbolo >, <, ó =, según corresponda. Fíjese en el ejemplo. 0) 9
<
14 4) 651 651
1) 23
19 5) 812 802
2) 54
89 6) 3899 3988
3) 92
89 7) 7412 7413
D.
Ordene los nombres de acuerdo a las notas obtenidas. Hágalo de la nota más alta (mayor) a la nota más baja (menor). Tiene un ejemplo.
Nombre nota Luisa 89 Fernando 65 Irma 75 Francisco 54 Fabiola 97
E.
Ordene los países de acuerdo al número de habitantes. Hágalo del que tiene menor población al de mayor población. Tiene un ejemplo.
Nombre
Fabiola
País Millones de habitantes Pakistán 154 Alemania 82 Japón 127 Rusia 144
F.
97
País
Alemania
Millones de habitantes
82
Ordene de mayor a menor los departamentos de Guatemala según la superficie territorial. Departamento
Superficie (km2)
Huehuetenango
7,400
Quiché
8,378
Escuintla
4,383
Sacatepéquez Petén
138
nota
465 35,854
San Marcos
3,791
Chiquimula
2,376
Santa Rosa
2,935
Izabal
9,030
IGER − Quiriguá
Departamento
Superficie (km2)
5. Operaciones y propiedades en el conjunto de los números naturales (N) 5.1 Operaciones y sus partes a. Suma (reunión de cantidades)
La suma es la operación que reúne varias cantidades en una sola.
a + b c
sumandos suma o total
b. Resta (diferencia entre dos cantidades)
La resta es la operación inversa a la suma. Se utiliza para hallar la diferencia entre dos cantidades.
a – b c
minuendo
a x b c
multiplicando
sustraendo diferencia
c Multiplicación (producto de cantidades)
La multiplicación consiste en aumentar un número (multiplicando) tantas veces como indica el multiplicador, para obtener un resultado o producto. Al multiplicando y al multiplicador también se les llama factores.
d. División (reparto en partes iguales)
La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en repartir una cantidad en partes iguales.
c d D
multiplicador producto
cociente dividendo
divisor
5.2 Propiedades de las operaciones de los números naturales a
Propiedades de la suma La suma cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y elemento neutro.
a.1 Conmutativa
El orden de los sumandos no altera el resultado.
a+b=b+a
a.2 Asociativa
No importa cómo se agrupen los sumandos para operarlos, el resultado no cambia.
(a + b) + c = a + (b + c)
Matemática − Semana 8
139
a.3 Elemento neutro
El elemento neutro de la suma es el 0. Cualquier número sumado a cero, da como resultado el mismo número.
b
Propiedades de la resta
a+0=a
b.1 Elemento neutro La resta solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 0 ocupe la posición del sustraendo. c
a–0=a
Propiedades de la multiplicación La multiplicación cumple las propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva con respecto a la suma y a la resta.
c.1 Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
axb=bxa
c.2 Asociativa
La forma en que se agrupan los factores no altera el producto.
a x (b x c) = (a x b) x c
c.3 Elemento neutro
El elemento neutro de la multiplicación es la unidad, el 1.
Multiplicar cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural.
ax1=a
c.4 Distributiva con respecto a la suma y a la resta
Para multiplicar un número natural por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o se restan los resultados.
Distributiva respecto a la suma:
ax(b + c) = (a x b) + (a x c)
Distributiva respecto a la resta:
ax(b – c) = (a x b) – (a x c)
d
Propiedades de la división
d.1 Elemento neutro La división cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 1 ocupe la posición del divisor.
140
IGER − Quiriguá
a÷1=a
Ejercicio 5 A.
B.
Escriba el nombre de la propiedad que se aplica en cada operación. Tiene un ejemplo.
propiedad conmutativa de la suma
0)
24 + 5 = 5 + 24
1)
(32 + 8) + 5 = 32 + (8 + 5)
2)
101 + 0 = 101
3)
(2 x 7) x 4 = (2 x 7) + (2 x 4)
4)
34 x 1 = 34
Complete el número que corresponde en cada operación y compruebe que se cumple la propiedad conmutativa de la suma. Tiene un ejemplo. 0)
6
14 + 6 =
+ 14
2)
24 + 6 + 10 = 10 +
20 = 20
7
1)
+5=5+
C.
=
3)
=
12 +
=3+
=
Complete con el número que corresponde en cada operación y compruebe que se cumple la propiedad conmutativa de la multiplicación. Tiene un ejemplo. 0)
7x5=
1)
5
7
x
2)
24 x
35 = 35
12 x 5 =
D.
+
=
x
=2x =
3) x5=
x
= 100
Aplique la propiedad asociativa de la multiplicación para resolver los ejercicios. Tiene un ejemplo. 0)
(7 x 3) x 2 = 7 x (3 x 2)
(8 x 2) x 5 = 8 x (2 x 5)
21 x 2 = 7 x 6
1)
2)
=
42 = 42
5 x (2 x 3) = (5 x 2) x 3
3)
= 5 x (2 x 4) = (5 x 2) x 4
=
=
=
=
Matemática − Semana 8
141
E.
F.
Compruebe que se cumple la propiedad del elemento neutro de la suma en los siguientes ejercicios. Tiene un ejemplo. 0)
42 +
1)
987 +
678 x
1)
H.
= 987
2) 3)
+ 521 = 521 850 +
= 850
1
= 678
x 65 = 65
2) 3)
x
= 81
1 x 1005 =
Aplique la propiedad asociativa de la suma o de la multiplicación para resolver los ejercicios. Guíese por el ejemplo. 0)
5+2+3+5=
1)
21 x 2 x 2 =
2)
24 + 21 + 6 + 9 =
3)
6 x 2 x 12 =
4)
4x5x5x2=
(5 + 2) + (3 + 5) = 7 + 8 =15
Aplique la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta. Tiene un ejemplo. 0)
(10 + 7) x 5 = (10 x 5) + (7 x 5)
4)
8 x (10 – 4) = (8 x 10) – (8 x 4)
17 x 5 = 50 + 35
=
=
1)
85 = 85
200 x (5 – 3) = (200 x 5) – (200 x 3)
5)
100 x (9 + 2) = (100 x 9) + (100 x 2)
=
=
=
=
2)
6 x (7 + 2) = (6 x 7) + (6 x 2)
6)
7 x (4 + 3) = (7 x 4) + (7 x 3)
=
=
=
=
3)
142
= 42
Compruebe que se cumple la propiedad del elemento neutro de la multiplicación en los siguientes ejercicios. Tiene un ejemplo. 0)
G.
0
3 x (7 – 4) = (3 x 7) – (3 x 4)
7)
5 x (8 – 2) = (5 x 8) – (5 x 2)
=
=
=
=
IGER − Quiriguá
6. Múltiplos y divisores 6.1 Múltiplos de un número natural
Los múltiplos de un número natural son los números que se obtienen al multiplicar dicho número por otros números naturales: 0, 1, 2, 3...
El conjunto de múltiplos se nombra con la letra M mayúscula y entre paréntesis se escribe el número del cual enumeramos los múltiplos. El conjunto de múltiplos es infinito porque el conjunto de números naturales también lo es.
Para averiguar si un número es múltiplo de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. Si la división es exacta, el número es múltiplo. a
Propiedades de los múltiplos:
• • • •
El cero es el primer múltiplo de todo número natural. Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. El resultado de multiplicar varios números es múltiplo de dichos números. La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número.
6.2 Divisores de un número natural
Un divisor es el número que divide a otro un número exacto de veces.
Para averiguar si un número es divisor de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. Si la división es exacta, el número menor es divisor.
Todos los números que dividen exactamente a otro número forman el conjunto de sus divisores.
El conjunto de divisores se nombra con la letra D mayúscula. Luego, entre paréntesis se coloca el número del cual enumeramos los divisores.
A diferencia de los múltiplos que son infinitos, el conjunto de divisores es finito. a
Propiedades de los divisores
• •
El primer elemento de todo conjunto de divisores es 1 . Todo número es divisible dentro de sí mismo.
Ejercicio 6 A.
Escriba el conjunto de los seis primeros múltiplos de los números dados. Observe el ejemplo. 0)
M(5) = {
1)
M(3) = {
0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 } ,
,
,
,
,
} Matemática − Semana 8
143
2)
M(10) = {
3)
M(2) = {
,
,
,
,
,
,
,
,
}
,
}
,
B. Marque en los conjuntos a la izquierda los números que pertenezcan a los conjuntos de divisores de la derecha y luego complete el conjunto de divisores. Tiene un ejemplo.
C.
0)
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
D(5) = { 1 , 5
1)
B = { 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 }
D(9) = {
2)
C = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 18, 20 }
D(18) = {
3)
D = { 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18 }
D(6) = {
4)
E = { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 15, 14 }
D(14) = {
,
,
,
5)
F = { 1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20 }
D(20) = {
,
,
,
}
, ,
,
, ,
,
,
,
}
,
}
}
,
} ,
Obtenga los primeros cinco múltiplos de los números dados. Para hacerlo multiplique el número que está en el centro por cada uno de los números: 0, 1, 2, 3, 4. Luego represéntelos en forma de conjunto. Le ayudamos con el inicio.
0= 0 1= 2= 3= 4=
1)
3x
M(3) = { 0 ,
5x
M(
3)
4x
,
,
}
,
M(
0= 1= 2= 3= 4=
2)
144
,
}
)={
IGER − Quiriguá
4)
6x
,
,
,
,
}
M(
0= 1= 2= 3= 4= )={
,
,
,
,
}
,
,
,
,
}
0= 1= 2= 3= 4= )={
7. Divisibilidad Cuando la división entre dos números es exacta, decimos que existe entre ellos una relación de divisibilidad. Los criterios de divisibilidad son reglas fijas que permiten reconocer si un número es divisible entre otro, sin realizar la división. 7.1 Divisibilidad entre 2
Un número es divisible entre 2 o tiene mitad, cuando la cifra de las unidades es cero o es cifra par: 2, 4, 6, 8.
7.2 Divisibilidad entre 3
Un número es divisible entre 3 o tiene tercera parte, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
7.3 Divisibilidad entre 5
Un número es divisible entre 5 o tiene quinta parte, cuando la cifra de sus unidades es 0 ó 5.
7.4 Divisibilidad entre 25
Un número es divisible entre 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 25: 25, 50, 75.
7.5 Divisibilidad entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.)
Un número es divisible entre 10 si termina en cero; entre 100, si termina en dos ceros; entre 1000, si termina en tres ceros y así sucesivamente.
Ejercicio 7 A.
Encierre los números que sean divisibles entre 5. Recuerde que la cifra de las unidades debe ser 0 ó 5. Tiene un ejemplo. 558 – 3120 – 412675 – 9756 – 23559 – 581125 – 9865431 – 9865000
B.
Encierre los números que sean divisibles entre 25. Tiene un ejemplo. 25475
C.
–
89655
–
46550
–
897970
–
2365300
–
5678975
Encierre los números que sean divisibles entre 3. Tiene un ejemplo. 663
–
712
–
96321
–
843222
–
738241
–
777656
–
689745
Matemática − Semana 8
145
D.
Escriba un cheque () si el número es divisible entre el número indicado o una equis (X) si no lo es. Tiene un ejemplo. Número
Divisible entre 2
Divisible entre 3
Divisible entre 5
Divisible entre 10
x
x
15 66 90 102 299 459 500 1236 3000 E.
Realice las actividades aplicando los criterios de divisibilidad. Tiene un ejemplo. 1) 2) 3)
F.
Escriba cinco números divisibles entre 5.
150
,
,
,
,
Escriba cinco números divisibles entre 3.
324
,
,
,
,
Escriba cinco números divisibles entre 2.
2036 ,
,
,
,
Afiance los temas de las semanas 1 a 7.
Rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)
¿Cómo llamamos al conjunto numérico que sirve para contar?
números múltiplos números divisores números naturales
1)
¿Qué propiedad nos permite asociar las operaciones de formas distintas?
distributiva conmutativa asociativa
2)
¿Qué propiedad nos permite cambiar el orden de los factores sin alterar el resultado?
distributiva conmutativa asociativa
146
IGER − Quiriguá
3)
¿Por qué número debemos multiplicar 12 para obtener como resultado 12?
cero uno doce
4)
¿Qué clase de conjunto es el conjunto de los divisores de un número natural?
finito infinito vacío
5)
¿Cuál es el elemento neutro de la suma?
10 1 0
6)
¿Cuál es el primer múltiplo del conjunto de múltiplos de 12?
12 1 0
7)
¿De qué número es divisor el número 3?
13 43 51
8)
¿Un número divisible entre 3, 5 y 10 es?
150 40 15
9)
¿El número 789000 es divisible?
solo entre 10 entre 10 y 100 entre 10, 100 y 1000
10) Todos los números pares son divisibles entre...
2 4 8
Matemática − Semana 8
147
Agilidad de cálculo mental Actividad 1 Realice las operaciones mentalmente y escriba el resultado dentro del cuadro. Hágalo lo más rápido que pueda. Si no sabe la respuesta, no se detenga y pase a la siguiente operación. Tome su tiempo, debe realizarla en un máximo de 3 minutos. 0) 2 x 3 =
6
11)
7 x 6 =
22) 8 x 9 =
1) 3 x 4 =
12)
6 x 7 =
23) 9 x 9 =
2) 4 x 2 =
13)
5 x 8 =
24) 6 x 4 =
3) 5 x 5 =
14)
4 x 9 =
25) 5 x 7 =
4) 6 x 5 =
15)
3 x 9 =
26) 4 x 8 =
5) 7 x 5 =
16)
2 x 8 =
27) 7 x 7 =
6) 8 x 4 =
17)
8 x 8 =
28) 8 x 6 =
7) 9 x 4 =
18)
7 x 9 =
29) 9 x 3 =
8)
10 x 5 =
19)
9 x 5 =
30) 3 x 8 =
9) 9 x 6 =
20)
6 x 6 =
31)
10) 8 x 7 =
21)
4 x 7 =
32) 9 x 10 =
10 x 10 =
Actividad 2 Escriba el número que falta para que la división sea correcta. Aplique las tablas de multiplicar. Tiene un ejemplo. 0)
40 ÷
1)
= 5 7)
÷ 3 = 7
14)
28 ÷
=7
30 ÷
= 6 8)
÷ 9 = 8
15)
48 ÷
=6
2)
18 ÷
= 9 9)
÷ 7 = 7
16)
42 ÷
=7
3)
14 ÷
= 2
10)
17)
72 ÷
=9
4)
25 ÷
= 5
11)
18)
32 ÷
=4
5)
20 ÷
= 4
12)
64 ÷
= 8
19)
49 ÷
=7
13)
90 ÷
= 10
20)
6)
148
8
IGER − Quiriguá
÷ 8 = 8
100 ÷
= 10 ÷ 9 = 9
÷5=2
Razonamiento lógico Resolución de problemas Para resolver con éxito los problemas, debe leerlos con atención y comprender lo que se le pide. 1)
El premio mayor de una lotería era de 36,900 quetzales. Si debe dividirse entre 5 ganadores, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
2)
Juana borda 9 flores cada hora. Si trabaja 8 horas al día, ¿cuántas flores bordará en 9 días?
3)
¿Cuáles son los diez primeros múltiplos de 5?
4)
Compré un libro que me costó 175 quetzales y otro de 156 quetzales para la Biblioteca. Si contábamos con un fondo de 500 quetzales para la compra de libros, ¿cuánto dinero del fondo me queda disponible?
5)
Cada uno de seis hermanos, recibió una herencia de 1,500 quetzales más que el anterior por orden de edad. Si el segundo recibió 3,500 quetzales, ¿cuánto recibió cada uno?
6)
¿Cuál es la población de un país constituido por tres regiones, sabiendo que la región occidental tiene 52,642 habitantes más que la región central; la región central tiene 309,845 habitantes y la región oriental tiene 169,834 más que la región occidental?
7)
Un comerciante pide 3,000 libras de mercadería. Primero le mandan 854 libras, más tarde 123 libras menos que la primera vez y después 754 libras. ¿Cuánto deben mandarle en el último envío para completar el pedido?
8)
En un bus viajan 24 personas entre hombres y mujeres. Si bajaran 3 hombres, quedarían en el bus el doble de mujeres que de hombres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres quedan en el bus?
9)
La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es 46. ¿Cuál es el número menor?
10) Un sastre tiene 26 yardas de tela y cada día corta 2 yardas de la misma. ¿Al cabo de cuántos días habrá cortado completamente la pieza de tela?
Matemática − Semana 8
149
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Defino qué es un conjunto, identifico sus elementos y su cardinalidad. Represento conjuntos en forma descriptiva, gráfica y enumerativa. Establezco relaciones de pertenencia, no pertenencia, contención y no contención. Comparo y ordeno números naturales. Comprendo y aplico las propiedades vistas de los números naturales. Identifico múltiplos y divisores. Defino y aplico criterios de divisibilidad. Domino las tablas de multiplicar e identifico la división como la operación contraria a la multiplicación. Resuelvo con agilidad problemas matemáticos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
150
IGER − Quiriguá
9
Números primos y números compuestos
Matemática − Semana 9
151
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir números primos y números compuestos. Identificar números primos y números compuestos. Escribir ejemplos de números primos y números compuestos. Expresar un número compuesto como producto de sus factores primos. Desarrollar la agilidad de cálculo mental. Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• Biografía de Eratóstenes.
El mundo de la matemática
• Números primos y números compuestos. • Descomposición factorial.
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
152
IGER − Quiriguá
• Multiplicaciones, divisiones y sumas.
• Problemas matemáticos.
¡Para comenzar! Eratóstenes Eratóstenes, matemático griego, nació en Cierne (actual Libia), en el norte de África. Era un hombre sabio y culto. Durante su juventud, la biblioteca de Alejandría era la más famosa de todas y él fue su segundo bibliotecario principal. Realizó la primera medición correcta de la circunferencia de la Tierra e inventó la Criba1 de Eratóstenes, un método ordenado de operaciones que permite encontrar números primos. Además dibujó un mapa del “mundo entero”. El mapa sólo mostraba las partes del planeta que conocían los griegos en ese entonces, pero fue el mejor mapa de su época. También diseñó un calendario que incluía años bisiestos2.
Eratóstenes (276 a.C – 194 a.C) Matemático griego
Lamentablemente solo unos pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron hasta nuestros días. Eratóstenes murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.
¡A trabajar! 1.
Mencione tres aportes de Eratóstenes:
a.
b.
c.
2.
¿Qué es la Criba de Eratóstenes?
1 Criba:
colador metálico que separa objetos de distinto tamaño. Los albañiles, por ejemplo, utilizan una criba para separar la arena de las piedras. 2 Bisiesto: año que tiene 366 días, es decir, un día más que el resto, que se añade al mes de febrero. Se repite cada cuatro años. Matemática − Semana 9
153
El mundo de la matemática
1. Números primos Números con dos divisores Hay algunos números que solo tienen dos divisores, por ejemplo:
El 3 solo puede dividirse entre 1 y 3
El 7 solo puede dividirse entre 1 y 7
Los números como 3 y 7 que solo tienen dos divisores se llaman números primos. Un número natural es primo cuando sus únicos divisores son el mismo número y la unidad. Todos los números primos que hay entre los primeros cien números son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Los números primos tienen características especiales que grandes matemáticos han estudiado desde hace muchos años. Veamos algunas: • Todos los números primos, excepto el 2, son impares. • Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. • El conjunto de los números primos es infinito. ¿Cómo reconocemos un número primo mayor que 100? — No hay ninguna fórmula que lo diga. Hay que ensayar y aplicar las reglas de divisibilidad. Si no es divisible, entonces se trata de un número primo. El número 1 no se considera un número primo. Se conoce como elemento unitario porque solo se divide entre sí mismo.
154
IGER − Quiriguá
2. Números compuestos Todo número natural es compuesto cuando tiene otros divisores además de él mismo y de la unidad. Observe el conjunto de divisores de los números 3, 10 y 12:
D(3) = { 1, 3 }
D(10) = { 1, 2, 5, 10 }
D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
—De los números 3, 10 y 12, ¿cuáles son primos? — ¡Muy bien! Solo el número 3 es primo. — ¿Qué números tienen más de dos divisores? —Los números 10 y 12 tienen más de dos divisores, son números compuestos. Todos los números que no son primos son compuestos. Otros ejemplos de números compuestos: Números compuestos
Divisores
4
1, 2, 4
16
1, 2, 4, 8, 16
18
1, 2, 3, 6, 9, 18
Ejercicio 1 Escriba en la tabla todos los divisores de cada número y marque con una ‟X” si es primo o compuesto. Tiene un ejemplo. número
0)
12
1)
3
2)
4
3)
10
4)
16
5)
18
divisores
1, 2, 3, 4, 6, 12
primo
compuesto
x
Matemática − Semana 9
155
2.1 Factorización de números compuestos en factores primos Factorizar un número compuesto es expresarlo como producto de sus factores primos. Para ello, dividimos el número compuesto entre los números primos, de menor a mayor, hasta que el cociente de la división sea la unidad. Veamos un ejemplo: Expresemos el número 18 como producto de sus factores primos.
Las reglas de divisibilidad nos facilitan la factorización.
• Escribimos el número 18 y a su derecha trazamos una línea vertical.
18
• Dividimos 18 entre el menor factor primo, que es 2, lo escribimos a la derecha de la línea y a la izquierda escribimos el cociente (9) debajo de 18.
18 2 9 18 2 9 3 3
• Dividimos 9 entre 3 y escribimos el resultado (3) abajo. • Seguimos dividiendo cada cociente entre el menor factor primo hasta que el cociente sea 1.
18 2 9 3 3 3 1
Los números que han quedado a la derecha de la línea: 2, 3 y 3 son los factores primos de 18. Si los multiplicamos todos, nos dará 18.
18 2 9 3 3 3 1
El resultado de expresar 18 como producto de sus factores primos es:
18 = 2 x 3 x 3
Otro ejemplo: Expresemos el número 30 como producto de sus factores primos. • Iniciamos dividiendo entre 2, que es el menor número primo, y seguimos dividiendo entre el menor factor primo de cada cociente hasta obtener 1.
30 2 15 3 5 5 1
El resultado de expresar 30 como producto de sus factores primos es: 30 = 2 x 3 x 5
156
IGER − Quiriguá
Ejercicio 2 Descomponga los números en factores primos y expréselos como producto. Tiene un ejemplo. 0)
40 2 2) 36 12 2 1) 20 6 2 10 2 3 3 5 1 1 1
12 = 2 x 2 x 3
40 =
36 =
Resumen 1.
Números primos
Un número natural es primo cuando sus únicos divisores son: el mismo número y la unidad.
Son ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13...
2.
Números compuestos
Todo número natural es compuesto cuando tiene otros divisores además de él mismo y de la unidad. Son ejemplos de números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12...
2.1 Factorización de números compuestos en factores primos
Factorizar un número compuesto es expresarlo como producto de sus factores primos.
Para descomponer un número en sus factores primos: •
Escribimos el número y trazamos una línea vertical al lado derecho.
•
Dividimos el número compuesto entre los números primos de menor a mayor hasta que el cociente de la división sea la unidad.
Ejemplo: Expresar 24 como producto de sus factores primos.
24 2 12 2 6 2 3 3 1
24 = 2 x 2 x 2 x 3
Si multiplicamos todos los factores primos, obtenemos el número factorizado. Matemática − Semana 9
157
Autocontrol Actividad 1. A.
Demuestre lo aprendido. fina su aprendizaje.
Defina con sus palabras los siguientes conceptos. 1)
Números primos:
2)
Números compuestos:
3)
Factores primos:
Actividad 2. A.
Practique lo aprendido.
Encierre en un círculo solo los números primos. Tiene un ejemplo. 2
26
13
18
19
941 B.
158
1000
11 231
929
655 825
Aplique las reglas de divisibilidad y escriba si cada número dado es primo o compuesto. Tiene un ejemplo. 0) 3
C.
17
primo
3) 15
6) 21
1) 6
4) 17
7) 24
2) 11
5) 19
8) 29
Observe las siguientes series de primos y escriba sobre la línea el que falta o los que faltan. 1)
2, 3, 5,
2)
13,
3)
31, 37,
4)
11,
5)
17, 19,
IGER − Quiriguá
, 11 , 19,
, 29
, 43, ,
, 19 ,
, 53
D.
E.
Encuentre los divisores de cada número y marque con una X si es número primo o compuesto. Tiene un ejemplo. número
divisores
0)
8
1, 2, 4, 8
1)
11
2)
12
3)
17
4)
21
5)
23
6)
28
7)
29
8)
30
9)
33
10)
35
11)
41
12)
45
13)
48
14)
51
15)
53
primo
compuesto
x
Rellene el cuadro que completa correctamente cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0)
Entre los siguientes números, un número primo es…
4 7 9
1)
El número primo más pequeño del conjunto de números naturales es…
0 1 2 Matemática − Semana 9
159
2)
El primer número compuesto del conjunto de números naturales es…
4 3 2
3)
Entre los siguientes números, un número compuesto es…
11 14 17
4)
La cantidad de divisores de un número primo es…
uno dos tres
5)
La suma de los números primos entre 10 y 15 es…
36 25 24
6)
El conjunto de los números primos es…
finito infinito compuesto
F.
160
Descomponga los siguientes números en sus factores primos y expréselos como producto de los mismos. 1)
20
20 = IGER − Quiriguá
2)
45
45 =
3)
64
64 =
5)
160
160 =
7)
120
120 =
4)
96
96 =
6)
341
341 =
8)
780
780 =
Matemática − Semana 9
161
Agilidad de cálculo mental A.
Busque el factor o factores que completan cada producto. Tiene un ejemplo.
B.
C.
9
x 5 = 45
5)
9x
= 81
10)
x
= 72
1)
x 9 = 72
6)
8x
= 56
11)
x
= 56
2)
x 7 = 63
7)
3x
= 27
12)
x
= 63
3)
x 4 = 32
8)
6x
= 24
13)
x
= 24
4)
x 9 = 45
9)
7x
= 49
14)
x
= 70
0)
Escriba el número que falta para que la división sea correcta. Tiene un ejemplo.
9
=5
5)
56 ÷
=8
63 ÷
=7
6)
72 ÷
=9
2)
35 ÷
=7
7)
32 ÷
=4
3)
48 ÷
=6
8)
40 ÷
=8
4)
81 ÷
=9
9)
42 ÷
=6
0)
45 ÷
1)
Realice mentalmente las siguientes sumas, luego escriba el resultado. Tiene un ejemplo. 0) 4 + 2 + 3 =
162
9
5) 8 + 3 + 2 =
1) 7 + 3 + 2 =
6) 9 + 2 + 1 =
2) 2 + 4 + 2 =
7) 2 + 2 + 2 =
3) 6 + 5 + 2 =
8) 5 + 3 + 5 =
4) 3 + 3 + 3 =
9) 7 + 3 + 2 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas Resuelva los problemas a partir de la información dada.
Floristería Los Rosales
Precio por docena
Claveles 10 quetzales Rosas 15 quetzales Anturios
20 quetzales
Girasoles
22 quetzales
Aves del Paraíso 40 quetzales Orquídeas
1)
60 quetzales
¿Cuántas docenas de flores y qué tipo de flores puedo comprar si gasto...?
a.
110 quetzales
b.
30 quetzales
c.
20 quetzales
2)
¿Cuánto más cuestan 3 docenas de aves del paraíso que 3 docenas de rosas?
3)
¿Cuánto menos cuestan 7 docenas de claveles, que 5 docenas de anturios?
4)
Si tengo 180 quetzales,
a. ¿cuántas docenas de girasoles puedo comprar?
b. ¿Me sobra dinero?
5)
¿Cuánto debo pagar si llevo una docena de cada flor?
6)
Quiero hacer un ramo de flores con cuatro rosas, media docena de claveles, tres aves del paraíso y una orquídea. ¿Cuánto me cuesta el ramo?
7)
Calcule cuánto dinero recibe el dueño de la floristería si vende:
a. 1 docena de girasoles y 1 docena de rosas.
b. 3 docenas de claveles y 1 docena de anturios.
c. 2 docenas de anturios y 1 docena de aves del paraíso.
d. 5 docenas de rosas y 2 docenas de claveles.
e. 7 docenas de orquídeas.
Matemática − Semana 9
163
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Diferencio los números primos y compuestos. Escribo ejemplos de los números primos y compuestos. Puedo descomponer un número en sus factores primos. Expreso un número compuesto como producto de sus factores primos. Realizo y resuelvo mentalmente ejercicios de multiplicación, división y suma. Resuelvo correctamente los problemas propuestos.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
164
IGER − Quiriguá
10
Mínimo común múltiplo (mcm)
Matemática − Semana 10
165
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir y obtener múltiplos comunes. Definir y calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más cantidades. Aplicar el mínimo común múltiplo (mcm) a la resolución de problemas Mejorar su capacidad de cálculo mental. Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
166
IGER − Quiriguá
• Productos muy especiales.
• Escritura de productos (potencias).
• Múltiplos comunes. • Mínimo común múltiplo (mcm).
• Multiplicaciones, divisiones y sumas.
• Problemas matemáticos aplicando el mínimo común múltiplo.
¡Para comenzar! Productos muy especiales Una potencia es la forma abreviada de expresar una multiplicación de un número por sí mismo. En las tablas de multiplicar que hemos repasado, hay algunos ejemplos de números que se multiplican por sí mismos y que podemos expresar como potencias. Veamos algunos:
3x3=
32
4x4=
42
7x7=
72
8x8=
82
9x9=
92
Una potencia se compone de dos partes: base y exponente.
42 —¿Qué número se multiplica por sí mismo? —El número 4 —¿Cuántas veces se multiplica? —2 veces El 4 es la base, el número que se multiplica. El 2 es el exponente, el número de veces que se multiplica la base por sí misma. Comprender las potencias nos servirá para trabajar el tema de esta semana.
¡A trabajar! ¿Qué es una potencia en matemática?
Matemática − Semana 10
167
Lenguaje matemático base
82
exponente
Tome su lapicero y repase las potencias. Ponga atención al lugar y al tamaño del exponente porque se escribe en la esquina superior derecha y es un número más pequeño. Por último, escriba la potencia que repasó.
5
52
52
52
52 52
5
52
52
52
52
4 3
43
43
43
43 43
4
3
4
3
4
4
4
7
74
74
74
74 74
7
74
74
74
74
6
65
65
65
65 65
6
65
65
65
65
9
96
96
96
96 96
9
96
96
96
96
2
2
3
4
4
5
5
6
6
168
IGER − Quiriguá
3
3
El mundo de la matemática
1. Múltiplos comunes Números repetidos en conjuntos de múltiplos Los múltiplos comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de múltiplos. Veamos un ejemplo: Estela tiene un huerto sembrado con zanahoria y tomate. Estela riega la zanahoria cada 2 días, y el tomate cada 3 días. ¿Qué días debe regar a la vez los dos cultivos a lo largo del mes? Para averiguarlo, hemos marcado en el calendario los días que riega cada uno. Suponemos que empieza a regar las zanahorias el día 2 del mes y los tomates el día 3 del mes. horias
Riego de zana (cada 2 días)
Recuerde que un múltiplo es el resultado de multiplicar un número natural por otro.
Riego de tomate (cada
3 días) 5 6 7 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 12 13 14 8 9 10 11 8 9 10 11 12 13 14 20 21 19 18 17 16 15 15 16 17 18 19 20 21 27 28 26 25 24 23 22 22 23 24 25 26 27 28 29 30 29 30 Hemos marcado en rojo los días en que coincide el riego de zanahorias, con el de tomates.
Observe: • En el calendario de riego de las zanahorias, se han marcado los múltiplos de 2. El conjunto de múltiplos de 2 es:
M(2) = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 } • En el calendario de riego de los tomates, se han marcado los múltiplos de 3. El conjunto de múltiplos de 3 es:
M(3) = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 } Estela riega los dos cultivos a la vez los días: 6, 12, 18, 24 y 30. Estos números son los múltiplos comunes de 2 y 3.
Matemática − Semana 10
169
2. Mínimo común múltiplo (mcm)
El menor múltiplo común
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño, distinto de cero. El mínimo común múltiplo se representa con las iniciales minúsculas mcm. Aprenderemos a calcular el mcm de dos formas: por el método de inspección y por descomposición en factores primos.
2.1 Cálculo del mcm por inspección El método de inspección consiste en reconocer el mcm a simple vista. Vea el ejemplo: Determinemos el mcm de 6 y 9. Para hacerlo, calculemos los seis primeros múltiplos de 6 y 9, diferentes de cero.
1= 6 2 = 12 3 = 18 9x 4 = 24 5 = 30 6 = 36
6x
M(6) = { 6, 12, 18, 24, 30, 36 }
1= 9 2 = 18 3 = 27 4 = 36 5 = 45 6 = 54
M(9) = { 9, 18, 27, 36, 45, 54 }
Los primeros múltiplos comunes, diferentes de cero, son: 18 y 36. • De los múltiplos comunes, ¿cuál es el menor? El menor es 18 Entonces, el mínimo común múltiplo (mcm) de 6 y 9 es 18.
Ejercicio 1 Multiplique 2, 4 y 8 por los números naturales del 1 al 5. Luego escriba el conjunto de múltiplos e identifique, por inspección, el mcm de los tres números.
2x
1= 2= 3= 4= 5=
4x
M(2) = {
mcm (2, 4 y 8) =
170
,
IGER − Quiriguá
,
,
,
} M(4) = {
1= 2= 3= 4= 5= ,
8x
,
,
,
} M(8) = {
1= 2= 3= 4= 5= ,
,
,
,
}
2.2 Cálculo del mcm por descomposición en factores primos Un camino más corto La descomposición en factores primos es la forma más práctica de encontrar el mcm de cualquier grupo de números. Para calcularlo, se siguen estos pasos: • Descomponer cada número en sus factores primos. • Escribir cada número como producto de sus factores primos y, cuando se pueda, como potencia. • Multiplicar los factores, comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplo: Calculemos el mcm de 6 y 9.
6 2 3 3 1
9 3 3 3 1
6 = 2 x 3
9 = 3 x 3 = 32
• Descomponemos los números 6 y 9 en sus factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos: • Multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
• Escribimos la respuesta:
Observe que con lo dos métodos (inspección y descomposición en factores primos) llegamos al mismo resultado.
2 x 32 = 18 2 x 9 = 18 mcm (6 y 9) = 18
Ejercicio 2 Calcule el mcm de 6 y 8 por el método de inspección y por descomposición en factores primos. Por inspección:
Por descomposición en factores primos:
M(6) = { 6 , 12 ,
,
M(8) = { 8 , 16 ,
,
mcm (6 y 8) =
}
, ,
}
8 2 4 2 2 2 1
6 2 3 3 1 6 = 2 x 3
8 = 23
3 x 23 = mcm (6 y 8) =
Matemática − Semana 10
171
Otro ejemplo: Calculemos el mcm de 12 y 20.
12 2 6 2 3 3 1
• Descomponemos ambos números en factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
20 2 10 2 5 5 1
12 = 22 x 3
20 = 22 x 5
22 x 3 x 5 = 60
• Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:
mcm (12 y 20) = 60
• Escribimos la respuesta: ¡Un ejemplo más! Calculemos el mcm de 8 y 30. • Descomponemos ambos números en factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
8 2 4 2 2 2 1 8 = 23
30 = 2 x 3 x 5
23 x 3 x 5 = 120
• Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: • Escribimos la respuesta:
30 2 15 3 5 5 1
mcm (8 y 30) = 120
Ejercicio 3
Calcule el mcm de 18 y 24. Descomponga 18 y 24 en factores primos:
172
• Escriba 18 y 24 como producto de sus factores primos y, si se puede como potencia: 18 = • Multiplique los factores comunes y no comunes con el mayor exponente: • Escriba la respuesta:
IGER − Quiriguá
24 2 12 6 2 3 1
18 2 9 3 1
24 =
= R/ mcm (18 y 24) =
2.3 Problemas que se resuelven aplicando el mcm Aplicamos el mcm para resolver problemas en los que se pide hallar la menor cantidad que sea común a dos o más números dados. Por ejemplo: • Cuál es la menor cantidad de tiempo que debe pasar para que coincidan personas, transportes o acontencimientos en un lugar o en un horario. • Cuál es la menor longitud en la que podemos cortar o repartir varios trozos de tela, alambre, lana, etc. • Cuál es la menor cantidad que podemos comprar de dos o más productos que se venden en empaques o cantidades distintas. Veamos un ejemplo: ¿Cuál es el menor número de paquetes de salchichas y de pan que Carmen debe comprar sin que le sobre nada, si las salchichas se venden en paquetes de 12 unidades y los panes en paquetes de 10 unidades? Para resolver el problema debemos calcular el mcm de 12 y 10. • Descomponemos los números 12 y 10 en sus factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos:
12 2 6 2 3 3 1
10 2 5 5 1
12 = 22 x 3
10 = 2 x 5
• Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
22 x 3 x 5 = 60
¡Atención! con el mcm (60) obtenemos el número total de salchichas y panes, pero no hemos respondido a la pregunta del problema: ¿Cuántos paquetes de salchichas y cuántos paquetes de pan debe comprar? Para averiguarlo, dividimos 60 (el mcm) entre el número de salchichas y el número de panes que tiene cada paquete.
60 ÷ 12 = 5 60 ÷ 10 = 6 • Ahora sí, escribimos la respuesta al problema: Carmen debe comprar 5 paquetes de salchichas y 6 paquetes de pan para que no le sobre nada. Matemática − Semana 10
173
Ejercicio 4 En la terminal de autobuses hay dos líneas de camionetas hacia destinos diferentes. La camioneta que viaja de la Capital a Cobán sale cada 4 horas y la que viaja de la Capital a San Marcos sale cada 6 horas. Si ambas realizan su primera salida a las 6 de la mañana, ¿dentro de cuántas horas volverán a salir juntas de la terminal? • Descomponemos los números 4 y 6 en sus factores primos:
4 2 2 2 1
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos:
4=
• Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: R/ Las caminonetas volverán a coincidir dentro de
6 2 3 3 1
6=
=
horas, es decir a las 6 de la tarde.
Resumen 1.
Múltiplos comunes Los múltiplos comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de múltiplos.
2.
Mínimo común múltiplo (mcm) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño, distinto de cero. Puede obtenerse de dos formas:
2.1 Por inspección Obtenemos los conjuntos de múltiplos de los números dados y luego elegimos el múltiplo común más pequeño. 2.2 Por descomposición en factores primos • Descomponemos cada número en sus factores primos. • Escribimos cada número como producto de sus factores primos. • Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 2.3 Problemas Aplicamos el mcm para resolver problemas en los que se pide hallar la menor cantidad que sea común a dos o más números dados.
174
IGER − Quiriguá
Autocontrol Actividad 1. A.
Demuestre lo aprendido. fina su aprendizaje.
Defina con sus palabras los siguientes conceptos. 1) Múltiplos: 2)
Múltiplos comunes:
3)
Mínimo común múltiplo (mcm):
B.
Indique la secuencia que debe seguir para encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números. Hágalo escribiendo los números del 1 al 4 según corresponda. Le ayudamos con el primer número. Descomponer cada número en sus factores primos. Escribir cada número como producto de sus factores primos.
1
Colocar los números de los cuales se sacará el mcm en forma horizontal y a la par una línea vertical Multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Actividad 2. A.
Practique lo aprendido.
Encuentre múltiplos de cada pareja de números y luego marque los múltiplos comunes. Tiene un ejemplo.
1=
0)
5
1 = 10
2 = 10 5x
3 = 15 4 = 20
2 = 20 10 x
3 = 30 4 = 40
5 = 25
5 = 50
6 = 30
6 = 60 Matemática − Semana 10
175
1=
1)
1=
2= 3=
2x
B.
4=
Múltiplos de 2 Múltiplos de 4 Múltiplos de 5 Múltiplos de 6
3= 4=
5=
5=
6=
6=
2
4
6
4
8
12
5
10
6
1)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y de 5?
2)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y de 6?
3)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y de 4?
4)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y de 6?
5)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y de 5?
6)
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 5 y de 6?
Encuentre el mínimo común múltiplo (mcm) de los números dados. Tiene un ejemplo.
0)
mcm (4 y 15) =
4 2 15 3 2 2 5 5 1 1
4 = 2 x 2 = 22
176
6x
Complete estas tablas con los primeros diez múltiplos de cada número, distintos de cero. Le ayudamos con los primeros.
C.
2=
15 = 3 x 5
22 x 3 x 5 = 60
R/ mcm (4 y 15) = 60 IGER − Quiriguá
1)
mcm (5 y 16) =
5=
16 =
R/ mcm (5 y 16) =
2)
mcm (12 y 15) =
12 =
15 =
mcm (3, 6 y 11) =
3=
6=
11 =
R/ mcm (12 y 15) =
4)
mcm (21 y 35) =
21 =
35 =
R/ mcm (3, 6 y 11) =
5)
mcm (9, 10 y 15) =
9=
10 =
15 =
R/ mcm (21 y 35) =
6)
mcm (48 y 24) =
48 =
3)
24 =
R/ mcm (9, 10 y 15) =
7)
mcm (6, 15 y 18) =
6=
15 =
18 =
R/ mcm (48 y 24) =
R/ mcm (6, 15 y 18) = Matemática − Semana 10
177
8)
mcm (4, 12 y 15) =
4=
12 =
9)
15 =
6=
9=
R/ mcm (6, 9 y 18) =
10) mcm (10, 25 y 100) =
11) mcm (12, 15 y 20) =
10 =
25 =
100 =
R/ mcm (10, 25 y 100) =
125 =
500 =
12 =
15 =
R/ mcm (12, 15 y 20) = 13) mcm (125 y 150) =
125 =
150 =
R/ mcm (125 y 500) = IGER − Quiriguá
20 =
12) mcm (125 y 500) =
18 =
R/ mcm (4, 12 y 15) =
178
mcm (6, 9 y 18) =
R/ mcm (125 y 150) =
Actividad 3. A.
Desarrolle nuevas habilidades.
Calcule en su cuaderno el mcm de los números de la columna de la izquierda. Luego, relacione por medio de una línea cada grupo con su respectivo mcm en la columna de la derecha. Tiene un ejemplo. 0)
mcm (12, 18 y 24) = •
• mcm = 12
1)
mcm (18 y 30) =
•
• mcm = 30
2)
mcm (4 y 6) =
•
• mcm = 720
3)
mcm (3, 5 y 10) =
•
• mcm = 72
4)
mcm (16, 18 y 20) = •
• mcm = 90
¡Para no olvidar los divisores! B.
Encuentre el menor divisor de los siguientes números sin contar el número 1. Tiene un ejemplo. 0) 24
2
5) 9
1) 15
6) 3
2) 16
7) 32
3) 25
8) 81
4) 12
9) 105
•
Explique con sus palabras, ¿cómo encontró el menor divisor?
C.
Encuentre el mayor divisor de los siguientes números sin contar el mismo número. Tiene un ejemplo. 0) 27
9
6) 21
1) 30
7) 50
2) 75
8) 130
3)
9) 112
100
4) 16 •
10) 214
Explique con sus palabras, ¿cómo encontró el mayor divisor?
Matemática − Semana 10
179
Agilidad de cálculo mental A.
Refuerce la multiplicación. Busque el factor que completa cada producto. Tiene un ejemplo. 0)
B.
C.
180
8
x 5 = 40 6)
x 8 = 48
12)
x 6 = 54
1)
x 9 = 72 7)
x 3 = 24
13)
x 8 = 80
2)
x 7 = 56 8)
x 6 = 42
14)
x 7 = 70
3)
x 5 = 35 9)
x 8 = 64
15)
x 8 = 32
4)
x 9 = 27
10)
x 9 = 54
16)
x 3 = 30
5)
x 5 = 25
11)
x 5 = 40
17)
x 5 = 20
Escriba el divisor correcto. Tiene un ejemplo. 0)
30 ÷
1)
6
=5
5) 90 ÷
=9
42 ÷
=7
6) 100 ÷
= 10
2)
35 ÷
=7
7) 80 ÷
=8
3)
60 ÷
= 10
8) 20 ÷
=5
4)
70 ÷
= 10
9) 10 ÷
=2
Realice mentalmente las siguientes sumas. Luego escriba el resultado. Tiene un ejemplo. 0)
7+3=
1)
10
5)
4+2=
9+2=
6)
8+1=
2)
5+2=
7)
7+2=
3)
6+2=
8)
6+5=
4)
6+3=
9)
5+2=
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas Aplique lo aprendido y resuelva en su cuaderno o en hojas los siguientes problemas. 1)
¿Cuál es la menor distancia que puede medirse con exactitud con cintas de 4 y 8 metros de largo?
2)
Tres buses salen de Cobán. El bus A sale cada 6 horas, el bus B sale cada 8 horas y el bus C sale cada 12 horas. Si todos empiezan su recorrido a la misma hora, ¿en cuántas horas vuelven a salir juntos?
3)
¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de libras de manzana de 4 quetzales, 6 quetzales y 9 quetzales cada libra?
4)
Luisa y José quieren comprar paletas para el cumpleaños de su sobrina. A la reunión es posible que lleguen 6 u 8 niños. ¿Cuántas paletas deben comprar para que todos los niños reciban la misma cantidad y no sobre ninguna paleta?
5)
Tres barcos salen del mismo puerto. El primero sale cada 15 días, el segundo cada 12 días y el tercero cada 20 días. Hoy salen los tres juntos. ¿Cuántos días tendrán que pasar para que vuelvan a salir juntos?
6)
Los tres hijos de doña Susana son agentes viajeros. El mayor vuelve a casa cada 8 días, el mediano cada 10 días y el menor cada 12 días. Si el día de Navidad lo pasan los tres con sus padres, ¿cuántos días tendrán que pasar para que se junten otra vez en casa de sus padres?
7)
Cuatro fincas de cultivo de durazno han recolectado y empacado su primer corte. La finca ‟Las Palmas” recolectó 1,440 duraznos y los colocó en empaques de 6 duraznos; la finca ‟Los Juncos” recolectó 960 duraznos y los colocó en empaques de 8 duraznos; la finca ‟La Esperanza“ recolectó 840 duraznos y los colocó en empaques de 10; y la finca ‟El Porvenir” recolectó 1,680 duraznos y los colocó en empaques de 12. Todas se unieron para vender sus duraznos al mismo exportador y deben encargar cajas que puedan usar todos.
a. ¿De cuántos duraznos debe ser cada caja?
b. ¿Cuántas cajas necesita cada finca?
8)
Una cadena de televisión emite documentales sobre naturaleza cada 6 horas y otra cadena los emite cada 4 horas. ¿Cada cuántas horas se transmiten, a la vez, documentales de la naturaleza en las dos cadenas?
Matemática − Semana 10
181
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Defino y obtengo múltiplos comunes. Determino el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números. Aplico el mcm en la resolución de problemas. Agilizo mi habilidad de cálculo mental practicando multiplicaciones, divisiones y sumas. Resuelvo problemas matemáticos aplicando el mcm.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
182
IGER − Quiriguá
11
Máximo común divisor (MCD)
Matemática − Semana 11
183
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir y obtener divisores comunes de dos o más números. Definir y obtener el máximo común divisor (MCD) de dos o más números. Aplicar el máximo común divisor (MCD) a la resolución de problemas. Mejorar la destreza de cálculo mental. Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
184
IGER − Quiriguá
• Biografía Leonhard Euler.
• El signo ∑ (sumatoria).
• Divisores comunes. • Máximo Común Divisor (MCD).
• Multiplicaciones, divisiones y sumas.
• Problemas matemáticos en los que se aplica el MCD.
¡Para comenzar! Leonhard Euler Leonhard Euler fue un respetado matemático y físico. Nació en 1707 en Basilea, Suiza, y murió en 1783 en San Petersburgo, Rusia. Se le considera el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias de los 100 primeros números primos. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos resolvían con dificultad sobre el papel.
Leonhard Euler (1707 – 1783) Matemático y físico
Trabajó prácticamente en todas las áreas de la matemática: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más fecundos de la historia. Aunque se quedó casi ciego antes de cumplir 30 años, produjo numerosas obras matemáticas y su nombre se encuentra en todas las ramas de las matemáticas: hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. Tomado y adaptado de www.wikipedia.org y www.astronomía.com
¡A trabajar! 1.
¿Cuántos años tenía Euler al morir?
2.
¿En qué áreas de las matemáticas trabajó Euler? Enumérelas:
a.
b.
c.
d.
e.
3.
Escriba algunos ejemplos de los trabajos realizados por Euler que llevan su nombre:
Matemática − Semana 11
185
Lenguaje matemático El signo ∑ representa a la letra griega sigma que es una ‟S” mayúscula. En lenguaje matemático se conoce como sumatoria e indica la suma de varios elementos. El uso de este signo se debe a Leonhard Euler el matemático y físico suizo que conocimos en la sección ¡Para comenzar! Para trazar el signo de sumatoria, siga el sentido de las flechas:
∑ Tome su lapicero y repase cada signo. Siga la dirección que le indican las flechas.
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Trace el signo de sumatoria sobre cada línea.
Este signo ∑ se llama
186
IGER − Quiriguá
e indica:
El mundo de la matemática
1. Divisores comunes Los divisores comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de divisores. Leamos un ejemplo: Isabel tiene 6 rosas y 9 claveles. Quiere hacer el mismo número de ramos combinando las rosas y los claveles. Veamos cómo lo puede hacer. Para ello obtenemos todos los divisores de 6 y de 9: Divisores de 6:
Divisores de 9:
6÷1=6
9÷1=9
6÷2=3
9÷3=3
6÷3=2
9÷9=1
6÷6=1
Para que Isabel tenga el mismo número de ramos, debe dividir las flores entre un divisor común a 6 y 9. Revisemos en los conjuntos de divisores cuáles son los divisores repetidos: D(6) = { 1, 2, 3, 6 }
D(9) = { 1, 3, 9 }
Los divisores comunes de 6 y 9 son 1 y 3. Así que Isabel puede hacer un solo ramo con todas las flores o puede hacer tres ramos. Para saber cuántas flores deben ir en cada ramo, divide el número de rosas y el número de claveles entre el divisor común. Así: 6 ÷ 3 = 2 y 9 ÷ 3 = 3.
Cada ramo tiene dos rosas y tres claveles Matemática − Semana 11
187
2. Máximo común divisor (MCD) El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que puede dividir exactamente a esos números. El máximo común divisor se representa con las iniciales mayúsculas MCD. Aprenderemos a calcular el MCD por el método de inspección y por el método de descomposición en factores primos.
2.1 Cálculo del MCD por inspección El método de inspección consiste en reconocer el MCD a simple vista en los conjuntos de divisores de dos o más números. Vea el ejemplo. Determinemos el MCD de 10 y 15. • Obtenemos los conjuntos de divisores de 10 y 15 y señalamos los comunes a los dos conjuntos.
D(10) = { 1, 2, 5, 10 }
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
Los divisores comunes de 10 y 15 son 1 y 5. De los divisores comunes, el mayor es 5. El máximo común divisor (MCD) de 10 y 15 es 5. MCD (10 y 15) = 5 Otro ejemplo: Determinemos el MCD de 20 y 30 • Obtenemos los conjuntos de divisores de 20 y 30 y señalamos al mayor divisor común.
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
El MCD de 20 y 30 es 10.
MCD (20 y 30) = 10
Ejercicio 1 Escriba los divisores que faltan en cada conjunto e identifique por inspección el MCD de 24 y 36. D (24) = { 1, 2, 3,
, 6,
D (36) = { 1, 2, 3,
, 6, 9,
MCD (24 y 36) =
188
IGER − Quiriguá
, 12, , 18, 36 }
}
2.2 Cálculo del MCD por descomposición en factores primos La forma más práctica de hallar el MCD es aplicar la descomposición en factores primos. Para hacerlo seguimos estos pasos: • Descomponer cada número en sus factores primos. • Escribir cada número como producto de sus factores primos y, cuando se pueda, como potencia. • Multiplicar solo los factores repetidos con el menor exponente. Hagámoslo con un ejemplo: Calculemos el MCD de 20 y 30.
20 2 10 2 5 5 1
• Descomponemos cada número en sus factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos:
30 2 15 3 5 5 1
20 = 22 x 5
• Multiplicamos solo los factores que se repiten con el menor exponente: • Escribimos la respuesta:
30 = 2 x 3 x 5
Observe que por los dos métodos, (inspección y descomposición en factores primos) hemos llegado al mismo resultado.
5 x 2 = 10 MCD (20 y 30) = 10
Ejercicio 2 Calcule el MCD de 18 y 45 por el método de inspección y por descomposición en factores primos. Por inspección:
Por descomposición en factores primos:
D(18) = { 1, 2,
,
,
,
}
D(45) = { 1, 3,
,
,
,
}
18 2 9 3 3 3 1
MCD (18 y 45) =
18 = 2 x 32
45 3 15 3 5 5 1 45 = 32 x 5
= MCD (18 y 45) =
Matemática − Semana 11
189
Veamos algunos ejemplos: 1) Calculemos el MCD de 18 y 36. • Descomponemos cada número en sus factores primos:
18 2 9 3 3 3 1
36 2 18 2 9 3 3 3 1
• Expresamos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
18 = 2 x 32
36 = 22 x 32
• Multiplicamos solo los factores comunes con el menor exponente para obtener el MCD:
• Escribimos la respuesta:
2 x 32 = 18
MCD (18 y 36) = 18
2) Calculemos el MCD de 45 y 60.
45 3 15 3 5 5 1
• Descomponemos cada número en sus factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
60 2 30 2 15 3 5 5 1
45 = 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5
5 x 3 = 15
• Escribimos la respuesta:
MCD (45 y 60) = 15
• Multiplicamos solo los factores comunes con el menor exponente para obtener el MCD:
Ejercicio 3 1)
Calcule el MCD de 20, 24 y 28. • Descomponga cada número en sus factores primos:
190
20 2 10 5 1
• Escriba cada número como producto de sus factores primos:
20 =
• Multiplique solo los factores comunes con el menor exponente:
2x2=
• Escriba la respuesta:
MCD (20, 24 y 28) =
IGER − Quiriguá
28 2 2 7 1
24 12 2 2 3 1
24 =
28 =
Un caso especial... En algunos casos, dos o más números no tienen factores primos comunes. Cuando esto sucede, el MCD de esos números es la unidad. Veamos un ejemplo. Obtengamos el MCD de 8 y 9. • Descomponemos ambos números en sus factores primos:
8 2 4 2 2 2 1
9 3 3 3 1
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos:
8 = 2 3
9 = 32
Los números 8 y 9 no tienen factores comunes. Por lo tanto, su MCD es la unidad (1). • Escribimos la respuesta:
MCD (8 y 9) = 1
Ejercicio 4 1)
Calcule el MCD de 8 y 15. • Descomponga cada número en sus factores primos:
• Escriba cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
15 1
8 1 8=
15 =
• Estos dos números, ¿tienen algún factor en común? • Escriba la respuesta: 2)
MCD (8 y 15) =
Calcule el MCD de 12 y 25. • Descomponga cada número en sus factores primos:
• Escriba cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia:
25 5 1
12 6 3 1
12 =
25 =
• Estos dos números, ¿tienen algún factor en común? • Escriba la respuesta:
MCD (12 y 25) = Matemática − Semana 11
191
2.3 Problemas que se resuelven calculando el MCD Aplicamos el MCD para resolver problemas en los que se pide hallar la mayor cantidad que divida de manera exacta a dos o más números dados. Por ejemplo: • Partir un material (hierro, lana, tela, tabla, lazo, etc) en trozos iguales y de la mayor longitud posible. • Formar grupos iguales con distinto número de personas, distinto número de productos, etc. • Fraccionar terrenos de distinto tamaño para obtener lotes iguales y de la mayor superficie posible. Veamos un ejemplo: Un albañil ha comprado hierro en varillas de dos tamaños: de 18 y 24 metros. Quiere cortarlas en trozos iguales y de la mayor longitud posible para no desperdiciar material. a.
¿Qué longitud tendrá cada trozo?
b.
¿Cuántas varillas obtendrá?
Para resolver el problema, calculamos el MCD de 18 y 24.
18 2 9 3 3 3 1
• Descomponemos ambos números en factores primos:
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos:
18 = 2 x 32
• Multiplicamos solo los factores comunes con el menor exponente.
24 2 12 2 6 2 3 3 1 24 = 23 x 3 2x3=6
MCD (18 y 24) = 6
• Escribimos la respuesta del inciso a:
R/ El albañil debe cortar las varillas en trozos de 6 metros de largo. Para responder la pregunta del inciso b, dividimos la longitud de cada varilla entre el MCD y sumamos las dos cantidades.
18 ÷ 6 = 3 24 ÷ 6 = 4
• Escribimos la respuesta:
R/ El albañil obtendrá 7 varillas en total.
192
IGER − Quiriguá
3+4=7
Ejercicio 5 Resuelva el problema. Berta quiere dividir en lotes iguales y de la mayor superficie posible, dos terrenos que miden 315 varas cuadradas y 750 varas cuadradas respectivamente. ¿Cuál será la superficie de cada lote? • Descomponga los números 315 y 750 en sus factores primos:
• Escriba cada número como producto de sus factores primos:
750 2 375 3 125 5 25 5 5 5 1
315 3 105 3 35 5 7 7 1 315 =
• Multiplique solo los factores comunes con su menor exponente: • Escriba la respuesta: R/ La superficie de cada lote es de
750 =
=
varas cuadradas.
Resumen 1.
Divisores comunes Los divisores comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de divisores.
2.
Máximo común divisor (MCD) El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que puede dividir exactamente a esos números. Se representa por MCD. Hay dos formas de calcular el MCD:
2.1 Por inspección: Obtenemos los conjuntos de divisores de los números dados y elegimos el mayor divisor común. 2.2 Por descomposición en factores primos: • Descomponemos cada número en sus factores primos. • Expresamos cada número como producto de sus factores primos utilizando potencias. • Multiplicamos solo los factores repetidos con su menor exponente. Cuando dos o más números no tienen factores primos comunes, su MCD es la unidad. 2.3 Problemas Aplicamos el MCD para resolver problemas en los que se pide hallar la mayor cantidad que dividida de manera exacta a dos o más números dados. Matemática − Semana 11
193
Autocontrol Actividad 1. A.
Demuestre lo aprendido.Dfina su aprendizaje.
Defina con sus palabras los siguientes conceptos. 1) Divisores: 2)
Divisores comunes:
3)
Máximo Común Divisor (MCD):
B.
Indique la secuencia que debe seguir para encontrar el MCD de dos o más números. Hágalo escribiendo los números del 1 al 3 según corresponda. Le ayudamos con el primer número.
1
Descomponer cada número en sus factores primos. Multiplicar solo los factores repetidos con su menor exponente.
Expresar cada número como producto de sus factores primos, utilizando potencias.
Actividad 2. A.
194
Practique lo aprendido.u f
Encuentre el conjunto de divisores de cada pareja de números y luego rodee los divisores comunes. Tiene un ejemplo. 0)
D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
}
D(48) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
}
1)
D(16) = {
}
D(24) = {
}
2)
D(15) = {
}
D(18) = {
}
IGER − Quiriguá
B.
C.
Escriba los divisores de cada número, luego compare y rodee el MCD. Tiene un ejemplo. 0)
6, 12 y 24
D(6) = { 1, 2, 3, 6
D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
MCD (6, 12 y 24) = 6
2)
12, 16 y 20
D(12) = {
}
D(16) = {
}
D(15) = {
}
D(20) = {
}
D(18) = {
}
MCD (12, 16 y 20) =
} }
1)
7 y 14
D(7) = {
}
}
D(14) = {
}
3)
MCD (7 y 14) =
9, 15 y 18 D(9) = {
}
MCD (9, 15 y 18) =
Realice las operaciones y rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)
¿Cuál es el MCD de 9 y 3?
3 9 27
1)
¿Qué números son divisores comunes de 16 y 8?
2, 4 y 6 2, 4 y 8 4, 6 y 8
2)
¿Cuál es el MCD de 8 y 16?
2 4 8
3)
¿Qué números son divisores comunes de 20 y 30?
2, 5 y 10 2, 4, 5 y 10 2, 3, 5, 6 y 10 Matemática − Semana 11
195
D.
Calcule el máximo común divisor (MCD) de: 0)
MCD (30 y 36) =
30 2 15 3 5 5 1
MCD (6, 12 y 18) =
36 2 18 2 9 3 3 3 1
30 = 2 x 3 x 5 36 = 22 x 32 2x 3 = 6
196
1)
6
MCD (30 y 36) =
2)
MCD (10 y 15) = 3) MCD (6, 15 y 18) =
MCD (10 y 15) =
4)
MCD (66 y 90) = 5) MCD (32, 40 y 56) =
MCD (66 y 90) =
6)
MCD (9, 45 y 69) = 7) MCD (25, 50 y 75) =
MCD (9, 45 y 69) = IGER − Quiriguá
MCD (6, 12 y 18) =
MCD (6, 15 y 18) =
MCD (32, 40 y 56) =
MCD (25, 50 y 75) =
8)
MCD (16 y 64) = 9) MCD (28 y 91) =
MCD (16 y 64) =
MCD (28 y 91) =
10) MCD (60 y 240) = 11) MCD (126 y 378) =
E.
MCD (60 y 240) =
MCD (126 y 378) =
Determine el MCD de cada grupo de números de la columna de la izquierda. Cuando termine, relacione por medio de una línea cada grupo de números con su respectivo MCD de la columna derecha. Tiene un ejemplo. 0)
MCD (6, 9) =
•
• MCD = 2
1)
MCD (10, 15 y 20) = •
• MCD = 3
2)
MCD (18, 27) =
•
• MCD = 5
3)
MCD (4, 6 y 8) =
•
• MCD = 6
4)
MCD (12, 18 y 24) = •
• MCD = 9 Matemática − Semana 11
197
Agilidad de cálculo mental A.
Busque el factor que completa cada producto.
7
x 5 = 35 7)
x 7 = 28
14)
x 10 = 100
1)
x 9 = 54 8)
x 4 = 32
15)
x 8 = 48
2)
x 7 = 49 9)
x 9 = 90
16)
x 6 = 30
3)
x 4 = 36
10)
x 6 = 36
17)
x 7 = 21
4)
x 9 = 45
11)
x 8 = 40
18)
x 10 = 60
5)
x 5 = 50
12)
x 3 = 30
19)
x 5 = 10
6)
x 9 = 81
13)
x 6 = 48
20)
x 10 = 90
0)
B.
C.
198
Escriba el divisor que completa correctamente las divisiones. Tiene un ejemplo. 0)
28 ÷
1)
4
= 7
5) 40 ÷
= 8
10)
48 ÷
= 8
32 ÷
= 8
6)
100 ÷
= 1 0
11)
36 ÷
= 9
2)
90 ÷
= 10
7) 21 ÷
= 3
12)
81 ÷
= 9
3)
50 ÷
= 5
8) 48 ÷
= 6
13)
24 ÷
= 8
4)
49 ÷
= 7
9) 54 ÷
= 9
14)
30 ÷
= 10
Realice mentalmente las sumas. Luego escriba el resultado. Tiene un ejemplo. 0)
4 + 5 + 3 = 12
5)
8+7+2 =
1)
7+6+2 =
6)
9+5+1 =
2)
2+7+2 =
7)
2+3+2 =
3)
6+8+2 =
8)
5+6+5 =
4)
3+9+3 =
9)
7+4+2 =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas Aplique lo aprendido y resuelva en su cuaderno o en hojas los siguientes problemas. 1)
¿Se pueden dividir tres varillas de 18, 36 y 48 centímetros en pedazos de igual longitud, sin que sobre ni falte material? ¿De qué longitud deben ser?
2)
Queremos dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible dos tiras de plástico de 28 y 35 metros de longitud. ¿Cuál debe ser la longitud de cada pedazo?
3)
Se quieren dividir tres lazos de 40, 25 y 20 metros en partes iguales y de la mayor longitud posible,
a. ¿cuánto medirá cada pedazo?
b. ¿cuántas partes quedan en cada lazo?
c. ¿cuántas pedazos se reúnen en total de los tres lazos?
4)
Se quiere cubrir un patio de 840 centímetros de largo y 510 centímetros de ancho con pisos cuadrados del mayor tamaño posible. ¿Cuál será la longitud del lado de cada piso?
5)
Tres tiendas entregaron paquetes de billetes en su corte de caja. En la tienda A hay 4,500 quetzales en la tienda B hay 5,240 quetzales y en la C hay 6,500 quetzales. Si todos los billetes son del mismo valor,
a. ¿cuál es el valor de cada billete?
b. ¿cuántos billetes hay en cada paquete?
6)
Se recibió un embarque de aceite en tres entregas: la primera de 161 galones, la segunda de 253 galones y la tercera de 207 galones. Se quiere envasar el aceite de modo que los envases tengan la misma medida y sean del mayor tamaño posible.
a. ¿de cuántos galones debe ser cada envase?
b. ¿cuántos envases se necesitan para cada entrega?
7)
La bodega de una imprenta tiene 475 libros de Matemática y 375 libros de Ciencias Sociales. Se quieren empacar en cajas que tengan la mayor cantidad posible de libros, sin que sobren ni falten. En cada caja debe haber libros de una sola materia.
a. ¿cuántos libros se deben empacar en cada caja?
b. ¿cuántas cajas se necesitan?
8)
¿Cuál es la mayor longitud de una cinta con la que se puede medir el largo y ancho de un terreno que tiene 2,280 m de largo y 1,700 m de ancho?
9)
Horacio trabajó en dos obras como ayudante y ganó en total 2,050 quetzales. Si en la primera obra recibió 1,500 quetzales y en las dos le pagaron igual el día de trabajo,
a. ¿cuánto le pagaron por día?
b. ¿cuántos días trabajó?
Matemática − Semana 11
199
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Defino y obtengo divisores comunes. Defino y obtengo el máximo común divisor (MCD) de dos o más números. Aplico el máximo común divisor (MCD) a la resolución de problemas. Desarrollo destrezas de cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando el MCD.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
200
IGER − Quiriguá
12
El conjunto Z de los números enteros
Matemática − Semana 12
201
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir, representar, comparar y ordenar números enteros. Determinar el valor absoluto de números enteros. Mejorar la capacidad de cálculo mental. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• Los números enteros negativos.
El mundo de la matemática
• El conjunto de los números enteros (Z). • Representación de los números enteros en la recta numérica. • Valor absoluto de números enteros. • Comparación y ordenamiento de números enteros.
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
202
IGER − Quiriguá
• Multiplicaciones, divisiones y sumas.
• Problemas matemáticos con números enteros.
¡Para comenzar! Los números enteros negativos Los números enteros no existieron siempre. A medida que el ser humano fue evolucionando, el conjunto de los números naturales fue insuficiente para resolver las situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, ¿cómo calcular las pérdidas en un negocio, si el valor menor que se conocía era el cero?
Los números negativos aparecieron por primera vez en el siglo VII en un libro escrito por el matemático hindú, Brahmagupta. En este libro se hacía distinción entre los bienes, las deudas y la nada, refiriéndose a los números positivos, negativos y el cero.
En el siglo XIV, los chinos utilizaron los números negativos en el ábaco. Las bolas rojas representaban números negativos y las negras, números positivos. De este hecho se originó la expresión "estar en números rojos", que significa tener deudas.
El uso de los signos más (+) y menos (–) apareció en el siglo XV, en el trabajo de algunos matemáticos. Pero fue en el siglo XVII cuando los números negativos tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos.
En la siguiente página veremos un ejemplo del uso de los números enteros.
Matemática − Semana 12
203
La recta numérica representa la profundidad bajo el nivel del mar o la altura sobre el nivel del mar en la que pueden habitar distintos animales.
+
... El yak vive en el Himalaya, en Asia, a 4800 metros de altura.
5000 4500
Sobre el nivel del mar
4000
El oso panda vive en el Tibet, en Asia, a 3500 metros de altura.
3500 3000 2500 2000 1500 El hipopótamo vive en los lagos saharianos, África, a 675
1000
metros de altura.
500 La ballena vive en la superficie de los océanos y baja hasta
Bajo el nivel del mar
0
–
los 500 metros.
–500 –1000 El cachalote vive bajo el agua a unos 900 metros
–1500
de profundidad.
–2000 ...
¡A trabajar! Observe la gráfica y escriba en números a qué altura o a qué profundidad viven los siguientes animales. Tiene un ejemplo.
204
•
El yak
• •
+ 4800 m
•
El oso panda
La ballena
•
El cachalote
El hipopótamo
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. El conjunto de los números enteros (Z) Números positivos y negativos Los números enteros nos permiten contar y ordenar otros números que no están incluidos en el conjunto de los números naturales. El conjunto de los números enteros se identifica con la letra Z mayúscula. Está formado por los números enteros positivos (números naturales) y los números enteros negativos. Se llaman enteros porque estos números, ya sean positivos o negativos, siempre representan una cantidad de unidades que no se pueden fraccionar.
Z
Números enteros
Z–
Z+
Enteros negativos
Enteros positivos o números naturales (N)
En forma enumerativa, el conjunto de los números enteros se expresa:
Z = { –…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …+ } Se lee: ‟El conjunto de los números enteros es igual a todos los números enteros desde menos infinito hasta más infinito.” Los números positivos pueden llevar o no antepuesto el signo más (+). Los conocemos como números naturales y los utilizamos para contar. Los números negativos llevan antepuesto el signo menos (–). Sirven para representar valores por debajo de cero y para realizar operaciones en las que el conjunto de los números naturales es insuficiente. Por ejemplo: Juan quiere comprar un terreno que cuesta 10,000 quetzales, pero sólo tiene 6,000 quetzales en el Banco. Ha decidido pedir un préstamo a su hermana Rosa por los 4,000 quetzales que le faltan. Podemos expresar lo que tiene y lo que debe Juan por medio de los números enteros: tiene
debe
+ 6,000
– 4,000 Matemática − Semana 12
205
1.1 Representación de los números enteros en la recta numérica Recta: línea formada por una sucesión de puntos. Semirrecta: una porción en que se divide una recta.
En la semana 4 aprendimos a representar los números naturales sobre una semirrecta que tenía un punto inicial, el punto cero, y quedaba abierto por la derecha con una punta de flecha. Esta semana, representaremos los números enteros, para lo cual utilizaremos la recta numérica. Veamos cómo hacerlo: • Dibujamos una línea horizontal, con puntas de flecha a ambos lados. Ubicamos el centro, ese será el punto del número entero cero. Finalmente, marcamos una serie de puntos a la derecha e izquierda del cero, todos a la misma distancia. –
+
0
• Los puntos a la derecha del cero representan a los enteros positivos y los de la izquierda a los enteros negativos. –
... –6 –5 –4 –3 –2 –1
+ 0 1 2 3 4 5 6 ...
La recta numérica permite ver mejor algunas relaciones de los números enteros: • El conjunto de los números enteros es infinito, en los números enteros no existe un primer elemento. • A la derecha del cero se extienden indefinidamente los enteros positivos, a la izquierda los negativos. El cero no es positivo ni negativo. • Entre un número entero y el siguiente no existe otro número entero.
Ejercicio 1 Localice y escriba, bajo el punto correspondiente, los números de cada conjunto. Algunos números ya están identificados.
206
1)
A = { – 2, 3, –6, 5 }
2)
B = { 2, –3, –5, 4, 6 }
IGER − Quiriguá
–2
–3
0
0
3
4
2. Valor absoluto de un número entero | |
Distancia entre un número y el cero
El valor absoluto de un número entero representa la distancia que separa a ese número del cero, sin tomar en cuenta el signo.
–3 –2 –1
0 1
2
3
distancia: 3 unidades
Si observamos la gráfica, vemos que: • La distancia de 0 a 3 es la misma que de 0 a –3: 3 unidades. • Por tanto, podemos decir que 3 es el valor absoluto de +3 y –3. El valor absoluto de un número se representa encerrando ese número entre barras verticales.
| +3 | = | –3 | = 3
Por ejemplo: | 7 | = 7
Se lee: ‟El valor absoluto de 7 es 7”
| –18 | = 18 Se lee: ‟El valor absoluto de –18 es 18”
El valor absoluto de un número siempre es positivo.
Ejercicio 2 Determine el valor absoluto de los siguientes números. Tiene un ejemplo. 0)
|2|=
1)
| –23 | =
2)
| 67 | =
3)
| –89 | =
2
4)
| 18 | =
5)
| –14 | =
6)
| 76 | =
7)
| –123 | =
Matemática − Semana 12
207
3. Orden de los números enteros
Del menor al mayor o del mayor al menor
El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, igual que el conjunto de los números naturales. Por lo tanto, podemos comparar dos números y establecer cuál es el menor o cuál es el mayor. También podemos ordenar una serie de números en forma ascendente (de menor a mayor) y en forma descendente (de mayor a menor).
3.1 Comparación de dos números enteros Para comparar dos números enteros debemos identificar cuál es el mayor (>) y cuál es el menor (<). Seguimos estas reglas: • En los números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
7 > 4 se lee: ‟siete es mayor que cuatro”. • En los números negativos, es mayor el de menor valor absoluto.
–3 > –8 se lee: ‟menos 3 es mayor que menos 8”.
Veamos un ejemplo: Juan y Marta tienen el mismo salario (Q3,000). Si Juan debe seiscientos quetzales (–Q600) y Marta debe trescientos (–Q300), al final Marta tendrá más dinero, porque debe menos. Entonces:
–300 > –600
3.2 Ordenar series de números enteros Podemos ordenar los números enteros de forma ascendente (de menor a mayor) y de forma descendente (de mayor a menor) a.
Orden ascendente < (de menor a mayor)
Ordenemos de menor a mayor la serie –11, 14, 5, –18, –6, 9 • Clasificamos los números en negativos y positivos.
Negativos: –11, –18, –6
Positivos: 14, 5, 9
• Escribimos el menor de los negativos y a su derecha seguimos ordenándolos de menor a mayor, hasta llegar al número mayor de la serie.
208
IGER − Quiriguá
–18 < –11 < –6 < 5 < 9 < 14
b.
Orden descendente > (de mayor a menor)
Ordenemos de mayor a menor la serie 8, –3, –15, 10, –9, –5 • Clasificamos los números en positivos y negativos.
Positivos: 8, 10 Negativos: –3, –15, –9, –5 • Escribimos el mayor de los positivos y a su derecha seguimos colocando los de menor valor, hasta llegar al menor de la serie.
10 > 8 > –3 > –5 > –9 > –15
En conclusión:
Los números enteros positivos y el cero siempre son mayores que los números negativos. Además, todo número negativo es menor que cero y menor que todos los números positivos.
Ejercicio 3 A.
Compare las siguientes parejas de números enteros escribiendo sobre la línea el símbolo > (mayor que) o el símbolo < (menor que). Tiene un ejemplo. 0) –5 < 1) 3 2) –100
B.
C.
–2
–4
98
3)
–6
4)
–15
5)
0
–8 –3 –10
6)
–98
–16
7)
4
–14
8)
0
5
Ordene las siguientes series de números en forma ascendente. Tiene un ejemplo. 0)
8, –8, 9, 12, –4, –5
1)
–200, –45, 32, 104, –7, 56
2)
14, –56, –23, 96, 32, –1
–8
–5
–4
8
9
12
Ordene las siguientes series de números en forma descendente. Tiene un ejemplo. 0)
–16, –45, –110, 34, 56, 39
1)
–501, 403, 203, –107, –96, 34
2)
430, 659, –780, 456, 109, 200
56
39
34
–16
–45
–110
Matemática − Semana 12
209
4. Utilidad de los números enteros Los números enteros permiten contar y ordenar el tiempo en la historia, la temperatura, la altura y la profundidad o las deudas y los bienes, entre otras actividades.
4.1 Medir el tiempo en la historia Antes o después de Cristo Las diferentes civilizaciones reconocen el nacimiento de Cristo como año cero. Este acontecimiento divide la historia en dos períodos: todos los hechos sucedidos antes del nacimiento de Cristo se identifican como a.C. (antes de Cristo) y se representan con los números negativos. Todo lo sucedido después del año cero se identifica como d.C. (después de Cristo) y se representa con los números positivos. Ejemplo: La Gran Muralla China se empezó a construir en el año 221 a.C (–221). Fue declarada Patrimonio de la Humanidad en el año 1987 d.C. (+1987).
4.2 Medir temperaturas Sobre cero o bajo cero La congelación del agua se considera el punto cero para medir temperaturas. Las temperaturas inferiores a cero grados centígrados (0 ºC) se expresan con números negativos y las temperaturas superiores a cero grados centígrados se expresan con números positivos. Ejemplo: En enero, las temperaturas mínimas del área de Los Cuchumatanes pueden bajar hasta 10 grados centígrados bajo cero (–10 ºC) y en el área de la ciudad Capital se pueden registrar temperaturas mínimas de 5 grados centígrados (5 ºC).
4.3 Medir la altura y la profundidad Sobre o bajo el nivel del mar Como vimos en la sección ¡Para comenzar!, el nivel del mar se toma como valor cero (0); así, la profundidad bajo el nivel del mar se expresa con números negativos y la altura sobre el nivel del mar con números positivos.
210
IGER − Quiriguá
4.4 Calcular ingresos y gastos En la lectura inicial, nos contaban que los antiguos chinos representaban los ingresos con las bolas negras del ábaco y las deudas con las bolas rojas y que de ahí venía la expresión ‟estar en números rojos”. Actualmente, expresamos los ingresos o entradas con números positivos y los gastos, deudas o egresos con números negativos. Ejemplo: La familia Caal elabora su presupuesto familiar. Tiene unos ingresos de 5,100 quetzales (+5,100) mensuales y unos gastos de 4,400 quetzales (–4,400) al mes.
Ingresos
Sueldos Gastos
Egresos
Q 5 1 0 0
– Q 4 4 0 0
Ejercicio 4 Identifique los números enteros que se mencionan en cada párrafo y escríbalos en la línea de abajo. Utilice el signo correspondiente para cada número. Tiene un ejemplo. A.
En el año 300 a.C los antiguos mayas iniciaron la construcción de las grandes ciudades en la Cuenca de El Mirador, ubicada en el norte de Petén y en el año el 300 d.C perfeccionaron el calendario que utilizaban.
B.
–300, Tikal es la ciudad más grande del período clásico maya. Se cree que fue ocupada entre los años 800 a.C y 900 d.C. El templo de La serpiente Bicéfala es el más alto, mide 64 metros. Se contruyó en el año 741 a.C y se cree que era el lugar de descanso del gobernador Coon Chac. Desde su cúspide se aprecian maravillosamente el parque y la selva.
C.
El punto más alto de la Tierra se encuentra en la cima del Monte Everest a 8850 metros sobre el nivel del mar. El punto más bajo en tierra firme se encuentra en el Mar Muerto a 417 metros bajo el nivel del mar.
Matemática − Semana 12
211
Resumen 1.
Números enteros Z El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos (números naturales) más los números negativos. En forma enumerativa el conjunto se expresa:
Z = { –,... –3, –2, –1, –0, 1, 2, 3...+ }
Representación en la recta numérica Los puntos a la derecha del cero representan los números enteros positivos y los puntos a la izquierda representan los números enteros negativos. El cero no es positivo ni negativo. – ... –5 –4 –3 –2 –1 2.
0
1
2
3
4
5 ... +
Valor absoluto El valor absoluto de un número representa la distancia que separa a ese número del cero, sin tomar en cuenta el signo. El valor absoluto es siempre positivo. Para indicar el valor absoluto de un número se encierra en barras verticales. Ejemplo: | +5 | = | –5 | = 5
3.
Orden de los números enteros
3.1 Comparación de dos números enteros • En los números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. • En los números negativos, es mayor el de menor valor absoluto. 3.2 Ordenar series de los números enteros a. Orden ascendente (de menor a mayor) • Escribimos el menor de los negativos y a su derecha seguimos ordenándolos de menor a mayor, hasta llegar al número mayor de la serie. Ejemplo: –8 < –6 < 0 < 7 < 9 b. Orden descendente (de mayor a menor) • Escribimos el mayor de los positivos y a su derecha seguimos colocando los de menor valor, hasta llegar al menor de la serie. Ejemplo: 14 > 5 > 0 > –3 > –8 4.
Utilidad de los números enteros Los números enteros se utilizan para:
4.1 Medir el tiempo en la historia 4.2 Medir temperaturas 4.3 Medir la altura y la profundidad respecto al nivel del mar 4.4 Calcular ingresos y gastos
212
IGER − Quiriguá
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido. Demuestre lo aprendidoDDsu Intente no consultar su libro, compruebe qué aprendió. 1)
Defina con sus palabras el conjunto de los números enteros.
2)
Defina con sus palabras ‟valor absoluto de un número”.
Actividad 2. Practique lo aprendido. A.
Localice sobre cada recta los números enteros de cada conjunto. Tiene un ejemplo. 1)
A = { –4, 2, 6, –5 }
2)
0
2
B = { 4, –6, –1, 2, 6 }
0
Ahora inténtelo sin la ayuda de los colores. 3)
C = { 1, –4, 2, –3, –2, –1 }
4)
0 D = { –5, –3, 2, 4, –4, –1 }
B.
0 Determine el valor absoluto de los números dados. Tiene un ejemplo. 0) | –3 | =
3
4) | 56 | =
1) | 18 | =
5)
2) | – 47 | =
6) | –99 | =
3) | –89 | =
7) | 500 | =
| –786 | =
Matemática − Semana 12
213
C.
D.
Compare las siguientes parejas de números enteros escribiendo sobre la línea el símbolo > (mayor que) o el símbolo < (menor que). Tiene un ejemplo. 0) –1 >
–10
4) 100
–14 8) –25
–100
1) 8
3
5) –6
0
–6
2) –6
–2
6) –56
11
10)
–67
–18
3)
–15
7)
–19
11) –3
– 45
– 18
17
–10
85
–8
–30
41
–19
56
–31
85
2)
Ordene la serie de menor a mayor. Le ayudamos con el primero. 18
–45
–76
29
43
–19
–76
214
–12
Ordene la serie de mayor a menor. Le ayudamos con el primero. –16
Realice las actividades. 1)
E.
9) 0
Escriba el número entero que corresponde a cada cantidad. Tiene un ejemplo. Cantidades 0)
Juan debe 15 quetzales.
1)
El valor de la revista es 12 quetzales.
2)
El túnel se encuentra a 4 metros bajo el suelo.
3)
El termómetro marca 5 grados bajo cero.
4)
La altura de la torre es 25 metros.
5)
El avión vuela a 1,500 metros de altura.
6)
Pedro tuvo una pérdida de 500 quetzales.
IGER − Quiriguá
Número positivo Número negativo
–15
Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades. A.
Lea cada pregunta y rellene el cuadro de la opción correcta. Tiene un ejemplo.
Considere la recta numérica: cero
r
m
0
c
e
¿Qué número entero representa la letra m?
0)
–1 –3 1
¿Qué número entero representa la letra e?
1)
2 4 1
¿Qué número entero representa la letra r?
2)
–6 –3 6
¿Qué número entero representa la letra c?
3)
2 –2 6
B.
Ordene de menor a mayor las temperaturas mínimas de las siguientes ciudades, registradas en diciembre y responda la pregunta.
Ciudad
París Guatemala Moscú
Temperatura mínima
–6º 4º –15º
La Habana
10º
Londres
–9º
¿En qué ciudad hubo más frío? R/
Matemática − Semana 12
215
C.
Ordene de mayor a menor las ganancias y las pérdidas del almacén “La Flor” registradas en los últimos meses.
Mes
D.
Resultados del almacén
enero
4,500
febrero
–200
marzo
7,000
abril
1,000
mayo
–5,000
junio
2,000
1)
R/ 2)
Los números enteros sirven para señalar el número de plantas de un edificio. Tome en cuenta la información del recuadro y escriba a la par de cada oración el número entero que le corresponde. Tiene un ejemplo.
0)
Juan va al tercer piso.
1)
Julia va a la planta baja.
2)
Sergio va al segundo piso.
3)
Luisa va al sótano dos.
4)
Lucía va al sótano tres.
sótano 1
5)
Sara vive en el cuarto piso.
sótano 2
6)
Clara va al sótano uno.
sótano 3
7)
Sofía vive en el primer piso.
tercer piso segundo piso primer piso planta baja
+3
Escriba en la última columna el número entero que corresponde a la altitud, con relación al nivel del mar, de cada lugar. Tiene un ejemplo.
216
¿Cuál fue el mes de mayor pérdida?
R/
cuarto piso
E.
¿Cuál fue el mes de mayor ganancia?
Lugar
Altitud
Ciudad de Bogotá, Colombia
2,660 metros de altura
Ciudad de La Paz, Bolivia
3,670 metros de altura
Mar de Galilea, Israel
208 metros bajo el nivel del mar
Las colinas de Chocolate, Filipinas
120 metros de altura
Ciudad de Guatemala, Guatemala
1,499 metros de altura
Lago Enriquillo, República Dominicana
46 metros bajo el nivel del mar
El aereopuerto de Holanda
5 metros bajo el nivel del mar
IGER − Quiriguá
+2,660 m
F.
Ordene de mayor a menor las alturas y las profundidades que escribió en el ejercicio anterior. Cópielas en la tabla. Le ayudamos con el primero.
3,670
1) ¿Qué lugar es el más alto? 2) G.
¿Qué lugar es el más profundo?
Escriba en la última columna el número entero que corresponde al año del nacimiento de los matemáticos célebres que se presentan. Matemáticos célebres
John Neper, matemático escocés
1550 d.C
Diofanto, matemático griego
325 d.C.
Thales de Mileto, matemático griego
640 a.C.
Albert Einstein, matemático y físico alemán
1879 d.C.
René Descartes, matemático francés
1596 d.C.
Euclides, matemático griego Leonhard Euler, matemático suizo Pitágoras, matemático griego Fibonacci, matemático italiano Ptolomeo, matemático y astrónomo griego H.
Año de nacimiento
+1550
365 a.C. 1710 d.C. 585 a.C. 1175 d.C. 100 d.C.
Ordene de menor a mayor los años de nacimiento que escribió en el ejercicio anterior. Cópielos en la tabla. Le ayudamos con el primero.
–640
1)
Según la fecha de nacimiento, ¿qué matemático es el más antiguo?
R/
Según la fecha de nacimiento, ¿qué matemático es el más moderno?
2)
R/
Matemática − Semana 12
217
Agilidad de cálculo mental A.
B.
C.
D.
Refuerce la multiplicación. Escriba el factor que completa cada producto. Tiene un ejemplo. 0)
5x
1)
5
= 25
5)
6x
= 36
9x
= 54
6)
5x
= 40
2)
7x
= 49
7)
6x
= 30
3)
7x
= 35
8)
6x
= 48
4)
5x
= 45
9)
9x
= 63
Escriba el divisor o el dividendo que completan la operación de forma correcta. Tiene un ejemplo. 0)
32 ÷
1)
8
= 4
5)
÷9=8
64 ÷
=8
6)
÷7=5
2)
56 ÷
= 7
7)
÷5=9
3)
45 ÷
= 5
8)
÷6=7
4)
63 ÷
= 7
9)
÷9=9
Realice mentalmente las siguientes sumas. Tiene un ejemplo. 0)
2 + 3 + 6 = 11
5)
9+5=
1)
5+2=
6)
3+3+7=
2)
6+5=
7)
4+3+8=
3)
7+2=
8)
5+3+9=
4)
8+8=
9)
3+3+4=
Resuelva mentalmente los problemas y escriba el resultado. Tiene un ejemplo. 0)
Ismael tiene 7 canicas y su hermano Marcos, 2 canicas y 12 cromos, ¿cuántas canicas poseen entre los dos? R/
1)
Verónica dispone de 100 centavos en una moneda de quetzal. Si gasta 52 centavos, ¿cuántos le quedan? R/
218
9 canicas
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas 1)
Sonia es guía de turistas y gana 125 quetzales por hora.
a. ¿Cuánto le pagarán por 5 horas de trabajo?
b. ¿Cuánto le pagarán por 7 horas de trabajo?
c. ¿Sus respuestas son números enteros negativos o positivos?
2)
Ovidio compró 3 libras de carne de res a 31 quetzales cada libra y 4 libras de pollo a a 17 quetzales cada libra.
a. ¿Cuánto gastó en total?
b. ¿Cuánto recibirá de vuelto si paga con dos billetes de 100 quetzales?
3)
Zoila compró un carro en 25,000 quetzales y gastó 5,000 quetzales para arreglarlo. Al venderlo ganó 8,000 quetzales.
a. ¿En cuánto lo vendió?
b. ¿Con qué número entero se representa lo que gastó en reparar el carro?
4)
Don Neto es padre de tres hijos. Su edad es la suma de los años de sus tres hijos. Pedro, el menor, tiene 15 años; Luisa, la que sigue, tenía dos años cuando Pedro nació y Abel es 3 años mayor que la suma de sus dos hermanos. ¿Qué edad tiene cada uno?
5)
Doña Paquita adquirió 50 cajas de lapiceros a 27 quetzales la docena. Si cada caja tiene 10 docenas, ¿cuánto pagó por todo?
6)
Ramiro pintó 240 metros cuadrados en cada una de 7 casas. Cada día cubría 80 metros cuadrados y cobraba a 8 quetzales el metro cuadrado.
a. ¿En cuántos días pintó las 7 casas?
b. ¿Cuánto le cancelaron por pintar las 7 casas? ¿Con qué número entero se representa esta cantidad?
7)
En una granja hay 200 animales entre gallinas y conejos. Si hay 20 conejos y el número de gallinas es nueve veces más que el número de conejos, ¿cuántos gallinas hay en la granja?
8)
Un submarino se sumerge 300 metros bajo el nivel del mar. Luego sube 180 metros y finalmente baja 200 metros. Escriba con el signo correspondiente el número entero con que se representa cada cantidad.
9)
Se compraron 15 redes de naranjas a 60 quetzales cada red y se vendieron ganando 20 quetzales en cada red. ¿Cuánto se ganó en el negocio?
Matemática − Semana 12
219
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Defino, identifico y diferencio números enteros positivos y negativos. Localizo números enteros sobre la recta numérica. Comparo y ordeno números enteros. Calculo mentalmente los resultados de multiplicaciones, divisiones y sumas. Resuelvo problemas matemáticos con éxito.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
220
IGER − Quiriguá
13
Suma y resta de números enteros
Matemática − Semana 13
221
Los logros que conseguirá esta semana son: Realizar sumas y restas con números enteros. Conocer y utilizar la ley de signos para sumar y restar números enteros. Definir e identificar números opuestos. Desarrollar la habilidad del cálculo mental practicando la suma y resta de enteros, la multiplicación y la división. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos de sumas y restas de números enteros.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
Lenguaje matemático
El mundo de la matemática
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
222
IGER − Quiriguá
• Los acontecimientos históricos en el tiempo • Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves
• Suma y resta de números enteros
• Multiplicación y división • Suma de números enteros • Problemas matemáticos de suma y resta de números enteros
¡Para comenzar! Los acontecimientos históricos en el tiempo Los historiadores establecieron una división del tiempo para poder estudiar mejor la evolución del ser humano desde su aparición hasta la actualidad. La primera gran división es la Prehistoria y la Historia. La Prehistoria comprende el período de tiempo transcurrido desde la aparición del primer ser humano hasta la invención de la escritura, 900 años a.C. A partir de la invención de la escritura comenzó la Historia, que se divide en cuatro edades. •
Edad Antigua de 900 años a.C. a 476 d.C. Aparecen las primeras grandes civilizaciones: Mesopotamia, Egipto, Grecia, India, China y Roma.
•
Edad Media de 476 d.C. a 1492 d.C. Desarrollo de las primeras ciudades y de los grandes Feudos. Este periodo terminó con el descubrimiento de América.
•
Edad Moderna de 1492 d.C. a 1789 d.C. Época de los grandes descubrimientos, de la ciencia y el progreso. Terminó con la Revolución Francesa.
•
Edad Contemporánea de 1789 d.C hasta nuestros días. Acelerado progreso científico y tecnológico. año 0
Nacimiento de Cristo
900 a.C.
1492 d.C.
476 d.C. Edad Media
Edad Antigua
1789 d.C.
Edad Moderna
Edad Contemporánea
¡A trabajar! Marque en la recta numérica las distintas edades de la Historia: Antigua, Media, Moderna y Contemporánea. Tome en cuenta que cada punto de la recta mide 100 años. Le ayudamos con la Prehistoria. 900 a.C.
año 0
Prehistoria
Matemática − Semana 13
223
Lenguaje matemático Signos de agrupación Los paréntesis ( ), en matemática, se utilizan normalmente para agrupar términos. Esta semana utilizaremos paréntesis para separar el signo de una operación de un número negativo. Por ejemplo:
4 + (–7) = Con la misma función del paréntesis también se utilizan corchetes [ ] y llaves { }. Estos signos de agrupación se emplean en operaciones combinadas para separar los términos y evitar confusiones. Por ejemplo:
{ (–3) – [ 5 + 4 ] + 2 } = Tome su lapicero y repase cada signo. Siga la dirección de las flechas.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[]
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ } { }
{}
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ } { }
{}
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ } { }
{}
Intente usted el trazo. Dibuje los corchetes en la primera línea y las llaves en la segunda.
224
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Suma de números enteros Sumar es reunir varios valores en uno solo. Como estamos acostumbrados a resolver sumas de números naturales, esperamos que el resultado de la suma sea un número mayor que los sumandos, pero con los números enteros no es siempre así, todo depende de los signos de los sumandos. Veamos:
1.1 Suma de enteros con signos iguales Todos del mismo grupo Para sumar dos o más números enteros con el mismo signo, se suman los valores absolutos y se conserva el signo de los sumandos. Ejemplo: Ana quiere averiguar la altura de un
12
árbol. Para hacerlo, tiene que sumar 5 pies del tronco y 12 pies de la copa.
5
Como las dos cantidades son números positivos, se resuelve así: Sumamos los valores absolutos y al resultado le ponemos el signo de los sumandos. En el ejemplo, el signo es más.
5 + 12 = 17 El árbol mide 17 pies.
No es necesario anteponer el signo más cuando los números son positivos: (+5 + 12) = (5 + 12)
Otro ejemplo: Delia debe 4 quetzales y pide prestado otros 3. ¿Cuánto debe? Como las dos cantidades son números negativos: Sumamos los valores absolutos. Para no confundirnos, encerramos entre paréntesis la suma y escribimos delante el signo menos para indicar que el resultado es un número negativo.
(–4) + (–3) = – (4 + 3) = –7 Delia debe siete quetzales. Tome nota: De ahora en adelante, vamos a escribir los números enteros negativos entre paréntesis para no confundirlo con el signo de la operación. Matemática − Semana 13
225
Un ejemplo más de suma de dos números negativos: En diciembre la temperatura en la ciudad de Quetzaltenango llegó a 2 grados bajo cero (–2). En enero la temperatura bajó 3 grados más (–3). ¿A qué temperatura llegó la ciudad de Quetzaltenango en enero? Las temperaturas bajo cero se representan con números negativos. Entonces resolvemos así: Sumamos los valores absolutos y encerramos entre paréntesis la suma, antecediendo el signo menos para indicar que el resultado es un número negativo.
(– 2) + (–3) = – (2 + 3) = –5
En enero la temperatura en la ciudad de Quetzaltenango llegó a –5 grados
Ejercicio 1 A.
Realice las siguientes sumas. Tiene dos ejemplos.
b)
(–9) + (–3) = –(9 +3) = –12
7 + 6 =
5)
(–8) + (–3) =
=
2) 6 + 8 =
6)
(–14) + (–7) =
=
3) 23 + 16 =
7)
(–11) + (–3) =
=
4) 30 + 12 =
8)
(–16) + (–8) =
=
a) 4 + 6 = 10 1)
B.
Resuelva el ejercicio aplicando la suma de enteros con signos iguales. Un buzo se sumergió 15 metros bajo el nivel del mar (–15). Después de un descanso bajó otros 13 metros (–13). ¿A qué profundidad llegó el buzo? Como las dos cantidades son números negativos:
Sume los dos valores absolutos. Recuerde que debe encerrar entre paréntesis la suma y anteceder el signo menos para indicar que el resultado es un número negativo. (–15) + (–13) = – (
226
IGER − Quiriguá
+
)=
1.2 Suma de enteros con signos diferentes Sumando diferentes grupos Para sumar dos números enteros con signos diferentes debemos restar los valores absolutos (el mayor menos el menor) y copiar el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: 8 + (–3) = • Restamos los valores absolutos (el mayor menos el menor) • El resultado tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. Como el mayor es 8, entonces el resultado es positivo.
8–3=5 8 + (–3) = 5
Otro ejemplo: 5 + (–7) = • Restamos los valores absolutos (el mayor menos el menor).
– (7 – 5) = –2
• El signo del resultado es el signo del número con mayor valor absoluto. Como el mayor es –7, el resultado es negativo.
5 + (–7) = –2
¡Un ejemplo más! (–5) + 2 = • Restamos los valores absolutos (el mayor menos el menor)
– (5 – 2) = –3
• El signo del resultado es el signo del número con mayor valor absoluto. Como el mayor es –5, el resultado es negativo.
(–5) + 2 = –3
Con un poco de práctica, podemos hacer estas sumas directamente, siguiendo mentalmente el razonamiento propuesto en los ejemplos.
Ejercicio 2 Realice las sumas de enteros con diferente signo. Tiene un ejemplo. 0) 5 + (–8) = –(8 – 5) = –3
3)
14 + (–6)
=
1) (–9) + 6 =
=
4)
(–24) + 12
=
2) (–18) + 5 =
=
5)
(–5) + 9
=
Matemática − Semana 13
227
1.3 Suma de más de dos enteros con signos diferentes Cuando tenemos más de dos números enteros con signo diferente: • sumamos por un lado los positivos, • sumamos por otro lado los negativos y • restamos los resultados anteriores, colocando el signo del número con mayor valor absoluto. Observe el proceso en este ejemplo: 8 + (–20) + 16 + (–2) = Recuerde: Todos los números que no tienen signo son positivos.
8 + 16 = 24
• Sumamos los positivos: • Sumamos los negativos. Recuerde encerrar la suma entre paréntesis, antecediendo el signo negativo.
– (20 + 2) = –22
• Restamos los dos resultados obtenidos y al resultado final le ponemos el signo del número con mayor valor absoluto.
24 – 22 = 2
Otro ejemplo: (–12) + 14 + 16 + (–21) + (–11) =
14 + 16 = 30
• Sumamos los positivos:
– (12 + 21 + 11) = –44
• Sumamos los negativos: • Restamos los dos resultados obtenidos y al resultado final le ponemos el signo del número con mayor valor absoluto.
– (44 – 30) = –14
Ejercicio 3 Realice las sumas de números enteros, siguiendo los pasos que hemos aprendido. Tiene un ejemplo.
228
0)
28 + (–34) + 12 + (–3) =
positivos:
negativos: – (34 + 3) = – 37 negativos:
resultado: 40 – 37 = 3
IGER − Quiriguá
28 + 12 = 40
1)
37 + (–23) + 21 + (–16) =
positivos:
resultado:
2. El opuesto de un número entero El opuesto de un número es el mismo número, pero con signo contrario. Un número entero y su opuesto se encuentran a la misma distancia del cero. Ejemplos: • El opuesto de 5 es – 5 –5 0 5 5 unidades
5 unidades
• El opuesto de – 8 es 8
–8 0 8 8 unidades
8 unidades
La suma de cualquier número entero con su opuesto da como resultado cero. Ejemplos:
7 + (– 7) = 0
(– 10) + 10 = 0
Es importante que comprendamos el concepto de número opuesto porque nos servirá para restar números enteros.
Ejercicio 4 A.
B.
Complete las siguientes expresiones. Tiene un ejemplo.
(–18)
3)
El opuesto de (–25) es
El opuesto de (–45) es
4)
El opuesto de 56 es
El opuesto de 100 es
5)
El opuesto de (–120) es
0)
El opuesto de 18 es
1) 2)
Complete las sumas aplicando el concepto de número opuesto. Tiene un ejemplo. 0)
10 + (–10) = 0
3)
+ (–11) = 0
1)
(–33) +
= 0
4)
+ 45 = 0
2)
88 +
=0
5)
22 + (–22) =
Matemática − Semana 13
229
3. Resta de números enteros
Quitando cantidades positivas y negativas
Recordemos las partes de la resta que estudiamos en la semana 5: minuendo sustraendo
8–2=6
diferencia
En la semana 5 aprendimos que la resta es la operación inversa a la suma. Por lo tanto, restar un número es igual que sumar su opuesto. Para restar números enteros, sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo. Vamos a hacerlo paso a paso, separando las distintas partes de la resta en una tabla. Fíjese en el ejemplo: Restemos: 8 – (–4) = resta
minuendo
sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
8 – (–4) =
8
(–4)
4
8+4=
12
Sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo.
Veamos otros ejemplos: resta
No confunda el signo de operación con el signo del número.
minuendo sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
(–11) – 7 =
(–11)
7
(–7)
(–11) + (–7) =
–18
10 – 20 =
10
20
(–20)
10 + (–20) =
–10
(–16) – (–4) =
(–16)
(–4)
4
(–16) + 4 =
–12
(100) – (15) =
100
15
(–15)
(100) + (–15) =
85
Utilizar la tabla evita que nos confundamos, pero para agilizar el procedimiento podemos hacer estas restas directamente. Vea el ejemplo: Restemos: • Sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo. • Seguimos el procedimiento de la suma de dos números con distinto signo. (Restamos valores absolutos y ponemos el signo del mayor).
230
IGER − Quiriguá
(–21) – (–10) =
(–21) + 10 = = –11
(–30) – 15 =
Otro ejemplo: • Sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.
(–30) + (–15) =
• Seguimos el procedimiento de la suma de dos números con igual signo.
= –45
En resumen... La resta de números enteros es una suma con el signo del sustraendo cambiado. Debemos tener claro que la clave es cambiar el sustraendo por su opuesto. Luego de este paso, resolvemos tal y como hemos aprendido en la suma de números enteros.
Ejercicio 5 A.
Realice las restas. Hágalo con la ayuda de la tabla. Tiene un ejemplo.
¡Cuidado con el signo menos! minuendo
sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
10 – 4 =
10
4
(–4)
10 + (–4)
6
10 – (–4) =
10
(–4)
4
10 + 4
(–10)
4
(–4)
resta
(–10) – 4 = B.
(–10) – (–4) = Realice las restas. Recuerde que al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo. Tiene un ejemplo.
(–14) + 8
0)
(–14) – (–8) =
1)
11 – 15
=
=
2)
(–7) – (–10) =
=
3)
(–18) – 20 =
=
4)
(–16) – 8
=
=
5)
(–9) – (–6) =
=
6)
(12) – 8
=
=
=
–6
Matemática − Semana 13
231
4. El signo menos delante de un signo de agrupación ¡Lo cambia todo! Hasta ahora solo hemos utilizado el paréntesis para separar el signo de operación de un número negativo. Pero el paréntesis es además un signo de agrupación, junto con los corchetes y las llaves. En este apartado resolveremos sumas y restas agrupadas, para lo cual utilizaremos los signos de agrupación y tendremos en cuenta lo siguiente: Un signo menos delante de un signo de agrupación, cambia los signos de todos los números que están dentro de él. Debe memorizar esta regla porque le servirá de ahora en adelante. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Resolvamos la siguiente operación. • El primer paso es eliminar el paréntesis. Como delante del paréntesis hay un signo menos, cambia el signo de todos los números que están dentro.
10 – (7 – 5 + 3) – 2 =
10 – 7 + 5 – 3 – 2 =
Eliminados los paréntesis, aplicamos las mismas reglas que en la suma de más de dos números enteros: • Sumamos los positivos. • Sumamos los negativos. • Restamos los resultados parciales y ponemos el signo del mayor. ¡Otro ejemplo! • Eliminamos los paréntesis cambiando de signo los números que están dentro de él. • Sumamos los positivos. • Sumamos los negativos. • Restamos los resultados parciales y ponemos el signo del mayor.
232
IGER − Quiriguá
10 + 5 = 15 – (7 + 3 + 2) = –12 15 – 12 = 3 32 – (9 – 7) – (6 + 2) = 32 – 9 + 7 – 6 – 2 = 32 + 7 = 39 – (9 + 6 + 2) = –17 39 – 17 = 22
Ejercicio 6 Ejercite la eliminación de signos de agrupación con el signo menos delante y resuelva las siguientes operaciones. Recuerde que el signo menos delante de un signo de agrupación cambia los signos de todos los números que están dentro. Tiene un ejemplo. 0)
5 – (– 3 + 7 + 2) =
Elimine el paréntesis:
Sume los positivos:
Sume los negativos:
– (7 + 2) = –9
Reste los dos resultados:
– (9 – 8) = –1
1)
7 – (3 + 1) =
Elimine el paréntesis:
Sume los positivos:
Sume los negativos:
Reste los dos resultados:
2)
9 – (–4 + 3) =
Elimine el paréntesis:
Sume los positivos:
Sume los negativos:
Reste los dos resultados:
3)
15 – (7 + 2) =
Elimine el paréntesis:
Sume los positivos:
Sume los negativos:
Reste los dos resultados:
5+3–7–2=
5+3=8
Matemática − Semana 13
233
Resumen Suma y resta de números enteros 1.1 Suma de enteros con signos iguales
Se suman los valores absolutos de las cantidades y se conserva el signo de los sumandos.
7 + 5 = 7 + 5 = 12
Ejemplos:
(–4) + (– 6) = – (4 + 6) = –10 1.2 Suma de enteros con signos diferentes Se restan los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del mayor. Ejemplo:
8 + (–12) = – (12 – 8) = –4
1.3 Sumas con más de dos cantidades con signos diferentes: Cuando tenemos más de dos números enteros con signo diferente: • sumamos por un lado los positivos, • sumamos por otro lado los negativos y • restamos los resultados anteriores, colocando el signo del número con mayor valor absoluto. 2.
Números opuestos El opuesto de un número es el mismo número, pero con signo contrario. Por ejemplo:
3.
El opuesto de 18 es (–18)
Resta de enteros Sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo. Ejemplo: (–10) – 12 = (–10) + (–12) = – (10 + 12) = –22
4.
El signo menos delante de un signo de agrupación Un signo menos delante de un signo de agrupación cambia los signos de todos los números que están dentro de él. Ejemplo:
234
IGER − Quiriguá
– (6 + 3 – 4) = –6 – 3 + 4 = –9 + 4 = –5
Autocontrol Actividad 1. A.
Demuestre lo aprendido.
Escriba con sus palabras: 1)
¿Cómo se suman números enteros con signos iguales?
2)
¿Cómo se suman números enteros con signos diferentes?
3)
¿Cómo se restan números enteros?
B.
Realice las operaciones y rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)
¿Cuál es el resultado de 28 + (–34)?
6 –6 62
1)
¿Cuál es el resultado de (–6) + (–7)?
–13 13 –1
2)
¿Cuál es el resultado de 3 – 8?
5 –5 –11
3)
¿Cuál es el resultado de (–5) + 3?
–2 2 –8
4)
¿Cuál es el resultado de (–2) – 3?
–1 5 –5 Matemática − Semana 13
235
Actividad 2. Practique lo aprendido A.
Realice las operaciones. Tiene un ejemplo. 0)
12 + 45 =
1)
46 + 108 =
2)
(–14) + (–54) =
45 + 12 57
B.
R/ 57
R/
3)
(–333) – 9987 =
(–128) + 3910 =
R/
R/
5)
4108 – 366 =
R/
Realice las restas. Hágalo con la ayuda de la tabla. Tiene un ejemplo.
resta
14 – (–6) =
12 – (–6) = 19 – (–3) = 25 – 15 = 25 – (–15) = (–25) – 15 = (–25) – (–15) = (–12) – (–6) =
236
4)
R/
IGER − Quiriguá
minuendo
sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
14
(–6)
6
14 + 6 =
20
C.
Realice las operaciones de varias cantidades. Recuerde agrupar en números positivos y negativos. 0)
(–200) + 100 + (–400) =
3)
(–5) + (–3) + (–4) + (–8) + (–9) =
– (200 + 400) = –600
(–600) + 100 = –500
D.
1)
43 + 12 – 51 =
4)
(–786) + (–214) + (908) + (–632) =
2)
9007 + 3000 – 1100 =
5)
9 + (–12) + (–19) + 8 + (–10) =
Ejercite la eliminación de signos de agrupación con un signo menos delante. Trabaje en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0)
– (79 – 2 + 12 –33) =
Elimine los paréntesis:
–79 + 2 – 12 + 33 =
Sume los positivos:
Sume los negativos: –79 – 12 = –91
Resultado: – (91 – 35) = –56
1)
– 5 – (4 + 3) =
2)
7 + 3 – (–8 + 9) + 1 =
3)
6 + 11 – (10 – 15 + 4) + 8 =
4)
100 – (40 – 30) – 3 – (–5 – 3) =
5)
–2 – (–2 + 3) – (10 – 15) + 40 =
2 + 33 = 35
Matemática − Semana 13
237
Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades A.
B.
Complete las columnas que hacen falta. Sume primero los números de la columna a y b y al resultado, réstele el número de la columna c. Tiene un ejemplo. a
b
c
a+b–c
respuesta
0)
90
5
2
90 + 5 – 2 =
93
1)
70
6
10
2)
100
7
4
3)
40
8
8
4)
125
9
5
5)
500
10
25
Complete el presupuesto de Rosa. Recuerde que el dinero que recibe son los números positivos y el que paga o debe son los negativos. Indique con cuánto dinero cuenta actualmente Rosa. Le ayudamos colocando los primeros datos. •
Rosa abrió su cuenta de banco con 2,000 quetzales.
•
Pagó el alquiler por 800 quetzales.
•
Le pagaron una quincena de 1,000 quetzales.
•
Sacó 400 quetzales del banco para comprar víveres.
•
Pagó un préstamo de 435 quetzales.
•
Pagó 125 quetzales por una cuota de la televisión.
Ingresos
Egresos
apertura de cuenta
2 0 0 0 pago de alquiler
8 0 0
salario de quincena
1 0 0 0 compra de víveres
4 0 0
Total
pago de préstamo cuota de televisión Total
Total ingresos: Total egresos: Disponible:
238
IGER − Quiriguá
C. El presupuesto es un plan de ingresos y gastos que nos trazamos para utilizar nuestro dinero. El presupuesto nos ayuda a: • Saber en qué gastaremos nuestro dinero. • Conocer cuánto dinero necesitamos para satisfacer nuestras necesidades. • Planificar la distribución de ingresos para poder cumplir con nuestras obligaciones. Cuando realizamos un presupuesto ajustamos nuestros gastos a los ingresos que tenemos, evitando gastar más y adquirir deudas que después tal vez no podremos pagar.
Realice su presupuesto familiar. •
¿Cuánto dinero recibe? Esos son sus ingresos. Escriba en la columna de ingresos de dónde provienen y la cantidad. Si hay varias entradas, anote todas.
•
¿Qué gastos debe hacer? Esos son sus egresos. Escriba en la columna de egresos el nombre del gasto y la cantidad. Ingresos
Egresos
Total ingresos: Total egresos: Disponible: Matemática − Semana 13
239
Agilidad de cálculo mental A.
B.
Encuentre el producto o el factor que falta. Tiene un ejemplo. 0)
9 x 8 = 72 5) 5 x
= 35
10)
x 2 = 18
1)
5x7=
6) 8 x
= 8
11)
x 5 = 45
2)
6x4=
7) 7 x
= 63
12)
x 8 = 56
3)
2x3=
8) 7 x
= 49
13)
x 5 = 40
4)
8x3=
9) 9 x
= 54 14)
x 7 = 42
Encuentra el divisor o el cociente que falta.
8 5)
32 ÷
= 8 10)
54 ÷
=6
70 ÷ 10 =
6)
24 ÷
= 4 11)
63 ÷
=9
2) 8 ÷ 1 =
7)
24 ÷
= 3 12)
72 ÷
=8
3) 3 ÷ 1 =
8)
27 ÷
= 9 13) 60 ÷
=6
4)
9)
35 ÷
= 7 14) 35 ÷
=7
0) 56 ÷ 7 = 1)
C.
48 ÷ 6 =
Realice las sumas de números enteros. Tiene un ejemplo. 0) (–4) +
D.
240
2 = –2
4)
(–4) + 5 =
8)
(–1) + 5 =
1) (–9) + (–4) =
5)
(–5) + 8 =
9)
(–2) + 5 =
2) (–5) + ( – 6) =
6)
(–9) + 5 =
10)
(–8) + 5 =
3) (–6) + (–9) =
7)
(–6) + 4 =
11)
(–3) + 5 =
Realice mentalmente los problemas: 1)
Antonio tiene 7 monedas de 25 centavos y 5 de 10 centavos. ¿Cuántas monedas tiene en total?
2)
Laura compra un libro de 160 páginas. Si el primer día lee 50 páginas, ¿cuántas le quedan por leer?
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas 1)
El municipio de La Libertad tenía una población de 24,500 habitantes en enero de 2009. Si en el transcurso del año hubo 601 nacimientos y 214 defunciones. ¿Cuántos pobladores había al final del año?
2)
Un bus inicia su recorrido con 27 personas. En la primera parada suben 5 personas y bajan 3 personas; en la segunda parada suben 17 personas y bajan 9; en la penúltima parada bajan 15 personas y en la última parada bajan 11 personas. ¿Cuántos pasajeros llegaron a la terminal?
3)
Ubicada en Roma, la Ciudad del Vaticano es, desde 1929, el Estado independiente más pequeño del mundo. ¿En qué año la Ciudad del Vaticano cumplirá 100 años como Estado independiente?
4)
Un helicóptero se encuentra a 45 metros sobre el suelo. Inicialmente baja 7 metros; luego sube 15 metros; a continuación baja 11 metros y finalmente sube 4 metros. ¿A qué altura se encuentra el helicóptero?
5)
Josefa inició el año con 221 quetzales ahorrados. En enero ahorró 47 quetzales, en febrero retiró 29 quetzales, en marzo ahorró 75 quetzales y en abril retiró 35 quetzales. ¿Qué cantidad tiene ahorrada en el mes de abril?
6)
Una persona se encuentra en el piso 55 de un edificio y baja 12 pisos. a) ¿En qué piso se encuentra? b) Si después quiere llegar al piso 44, ¿cuántos pisos debe subir o bajar?
7)
El equipo "Jaguares" obtuvo en el primer partido 4 goles en contra. En el segundo partido obtuvo 5 goles en contra y en el tercero, 1 gol en contra.
a. ¿Cuántos goles en contra tuvo el equipo de los Jaguares? Exprese su respuesta en números negativos.
b. Si el equipo anotó 11 goles en los tres partidos, ¿cuántos goles hay de diferencia?
c. ¿La diferencia es a favor o en contra de los Jaguares?
8)
En el año 220 antes de Cristo, Eratóstenes sostenía la teoría de que la Tierra era redonda. En el año 476 de nuestra era se produjo la Caída del Imperio Romano de Occidente. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre los dos hechos?
9)
Una cigüeña se encontraba en Portugal, Europa, y emigró hacia el Sahara, África. Si la temperatura en Portugal ese día era de –3 ºC y la temperatura en el Sahara era de 18 °C, ¿qué variación de temperatura notó la cigüeña?
10) Antonia tiene 500 quetzales. Compra víveres por 250 quetzales y materiales de costura por 75 quetzales. Luego vende una blusa por 50 quetzales, un vestido en 75 quetzales y un pantalón en 85 quetzales. ¿Cuánto dinero tiene ahora Antonia?
Matemática − Semana 13
241
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Resuelvo sumas y restas de números enteros. Manejo el uso de signos al operar sumas y restas. Defino e identifico números opuestos. Calculo con agilidad multiplicaciones, divisiones y sumas. Resuelvo con éxito problemas matemáticos de suma y resta de números enteros.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
242
IGER − Quiriguá
14
Multiplicación y división de números enteros
Matemática − Semana 14
243
Los logros que conseguirá esta semana son: Memorizar y aplicar la ley de signos para la multiplicación y la división de números enteros. Multiplicar y dividir números enteros. Desarrollar la habilidad del cálculo mental realizando multiplicaciones y divisiones de números enteros. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas de números enteros.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• El clima de la Tierra
El mundo de la matemática
• Multiplicación de números enteros • Multiplicación con más de dos factores • División de números enteros • Ley de signos para la multiplicación y la división de enteros
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
244
IGER − Quiriguá
• Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones de enteros • Problemas matemáticos de operaciones básicas con números enteros
¡Para comenzar! El clima de la Tierra —¿Ha visto en periódicos o revistas paisajes con nieve? —La nieve es una manifestación del clima que se da en otras partes del mundo. Esto sucede porque los rayos del sol no llegan con la misma fuerza a todas partes debido a la forma redonda de la Tierra. Este fenómeno produce zonas frías, templadas y tropicales.
Zona fría Zona templada
Las zonas frías permanecen con hielo, nieve y frío intenso durante todo el año. Las temperaturas nunca superan los 10 ºC y en invierno bajan hasta los –50 ºC.
Zona tropical Zona templada
Las zonas templadas tienen una temperatura que varía regularmente a lo largo del año. Mantienen una temperatura media de 23º C, en los meses más cálidos y de –10º C, en los meses fríos.
Zona fría
Zonas climáticas de la Tierra.
Los países que están ubicados en la zona tropical tienen temperaturas muy altas durante el año. La temperatura promedio en los meses más cálidos es de 30 ºC y de 16 ºC en los meses menos cálidos. –50
–40
–30
–20
–10
0 ºC
10
16
23
30
20
40
50
Zonas frías Zonas templadas Zona tropical
¡A trabajar! Marque en la recta numérica las temperaturas de las zonas frías, de las zonas templadas y de la zona tropical del mundo. Tome en cuenta que cada punto de la recta numérica mide 10º de la temperatura. Le ayudamos con la zona tropical. –50
–40
–30
–20
–10
0 ºC
10
16 20
30
40
50
Zona tropical
Matemática − Semana 14
245
El mundo de la matemática
1. Multiplicación de números enteros Multiplicar números enteros es muy sencillo, solo tenemos que respetar la ley de signos que dice: • El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo. • El producto de dos números enteros con diferente signo es un número entero negativo. Mire atentamente en el cuadro los principios de la ley de signos con un ejemplo. Ley de signos:
+ x + = +
Más por más es igual a más
3 x 7 = 21
–
– = +
Menos por menos es igual a más
(–3) x (–7) = 21
+ x – = –
Más por menos es igual a menos
3 x (–7) = –21
–
Menos por más es igual a menos
(–3) x 7 = –21
x
x
+ = –
Su primera tarea es aprender de memoria la ley de signos para multiplicar correctamente.
Ejercicio 1 Escriba el signo que completa correctamente la ley de signos y complete cada enunciado. Tiene un ejemplo. Ley de signos:
246
IGER − Quiriguá
+ x + = +
más por más es igual a más
– x – =
menos por menos es igual a
+ x – =
más por menos es igual a
– x + =
menos por más es igual a
Vea algunos ejemplos de multiplicación de números enteros: Manuela ahorra cada día 3 quetzales. ¿Cuánto ahorra en 7 días? Para averiguar la cantidad, realizamos una multiplicación de números enteros. Fíjese:
Cada día ahorra 3 quetzales
+3
Ahorra durante 7 días
+7
Resolvemos la multiplicación: • Primero aplicamos la ley de signos: más por más es igual a más. • Luego multiplicamos los valores absolutos: tres por siete es igual a veintiuno.
+3 x +7 = +21
Manuela ahorra 21 quetzales en una semana (+21). Otro ejemplo Lucía pide a su hermano que le preste el dinero para los pasajes de esta semana. Si gasta 4 quetzales diarios, ¿cuánto le debe a su hermano después de 5 días? Observe:
Cada día gasta 4 quetzales
(–4)
Viaja durante 5 días
+5
Resolvemos: • Aplicamos la ley de signos: menos por más es igual a menos. • Multiplicamos los valores absolutos: cuatro por cinco es igual a veinte.
(–4) x +5 = –20 Lucía tiene una deuda de 20 quetzales (–20).
Ejercicio 2 Resuelva las multiplicaciones o encuentre el factor que falta. Aplique la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 6 x 8 = 48
5) (–6) x 2 =
10) 7 x
= 21
1) 3 x 7 =
6)
(–5) x 10 =
11) 8 x
= –16
2) 4 x 2 =
7) (–4) x (–3) =
12) 4 x
= 28
3) 5 x (–4) =
8)
(–5) x (–6) =
13)
(–6) x
= 30
4) 7 x (– 7) =
9)
(–3) x (–5) =
14) (–3) x
= 18
Matemática − Semana 14
247
1.1 Multiplicación de números enteros con más de dos factores La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la ley de signos. Vea los pasos que hay que seguir con el ejemplo:
(–3) x 2 x (–1) =
1) Multipliquemos: • Asociamos y multiplicamos los números enteros en parejas.
[ (–3) x 2 ] x (–1) =
• Multiplicamos primero los signos y luego los valores absolutos.
(–6) x (–1) = 6
• Por último multiplicamos el resultado parcial con el otro factor para encontrar el resultado final.
Recuerde la propiedad asociativa de la multiplicación que aprendimos en la semana 5: "La manera en que se agrupan los factores no altera el producto". Comprobémoslo en el ejemplo anterior.
(–3) x 2 x (–1) =
2) Multipliquemos • Asociamos los números enteros
(–3) x [ 2 x (–1) ] =
en parejas. • Multiplicamos los valores asociados. • Por último multiplicamos el resultado parcial con el otro factor
(–3) x (–2) = 6
para encontrar el resultado final. Comprobamos que la forma en que se asocian los factores no altera el resultado:
[ (–3) x (2) ] x (–1) = (–3) x [ (2) x (–1) ] 6=6
248
IGER − Quiriguá
Veamos otro ejemplo:
(–2) x (–4) x (–3) x (–1) =
Multipliquemos: • Asociamos los números enteros en parejas. En este caso asociamos los dos primeros números y los dos últimos. • Multiplicamos los valores asociados para obtener los resultados parciales.
[ (–2) x (–4) ] x [ (–3) x (–1) ] = [8]
x
[3]=
24
• Luego multiplicamos los resultados parciales para encontrar el resultado final. Un ejemplo más:
(–2) x (–4) x (–5) =
Multipliquemos: • Asociamos los dos primeros números y obtenemos el resultado parcial.
[ (–2) x (–4) ] x (–5) = (8) x (–5) =
• Finalmente multiplicamos el resultado parcial con el otro factor que no asociamos.
–40
Con la práctica, puede ir haciendo estos pasos mentalmente.
Ejercicio 3 Realice las multiplicaciones siguiendo los pasos que estudió: asocie los números en parejas, obtenga los resultados parciales y luego multiplique para obtener el resultado final. Tiene un ejemplo. 0) [ (–2) x ( –3) ] x 2 =
+6 x 2 = 12
3) (–2) x (–3) x (–1) x 2 =
x =
1) (–5) x ( –1) x 5 = x =
4)
2) 7 x 2 x (–1) = x
5) (–1) x (–4) x 2 x 3 = =
5 x 3 x 2 x (–5) =
x
x
=
=
Matemática − Semana 14
249
2. División de números enteros La división de dos números enteros es otro número entero que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la ley de los signos. La ley de signos para la división es la misma que para la multiplicación, solo cambia la operación. Ley de signos:
+ ÷ + = +
Más dividido más es igual a más
21 ÷ 7 = 3
– ÷ – = +
Menos dividido menos es igual a más
(–21) ÷ (–7) = 3
+ ÷ – = –
Más dividido menos es igual a menos
21 ÷ (–7) = –3
– ÷ + = –
Menos dividido más es igual a menos
(–21) ÷ 7 = –3
Vamos a practicar la división de enteros con algunos ejemplos: Al final del mes, los 3 socios de la empresa “La luz” se reparten los beneficios. Si este mes los beneficios del negocio son de 6,000 quetzales, ¿cuánto le corresponde a cada uno? Para averiguar la cantidad, realizamos una división de números enteros. Fíjese:
El total de beneficios:
Número de socios:
+6,000 +3
Resolvemos la división: • Aplicamos la ley de signos: más dividido más es igual a más. • Dividimos los valores absolutos:
6,000 ÷ 3 = 2,000 Cada socio recibe 2,000 quetzales de beneficios (+2,000).
250
IGER − Quiriguá
Sigamos con el ejemplo anterior: Al mes siguiente, las ventas de la empresa “La luz” bajaron y el negocio reportó 900 quetzales de pérdidas, ¿qué cantidad le toca asumir a cada socio?
Pérdidas del mes:
(–900)
Número de socios:
+3
Resolvemos con una división: • Aplicamos la ley de signos: menos dividido más es igual a menos. • Dividimos los valores absolutos:
(–900) ÷ 3 = –300 Cada socio asume 300 quetzales de pérdidas (–300).
En resumen... • La división de dos números enteros de signos iguales es un número positivo.
30 ÷ 6 = 5
(–30) ÷ (–6) = 5
• La división de dos números enteros con signo diferente es un número negativo.
30 ÷ (–6) = (–5)
(–30) ÷ 6 = (–5)
Ejercicio 4 Realice la división que se indica en cada inciso. Recuerde aplicar primero la ley de signos y luego dividir los valores absolutos. Tiene un ejemplo. 0) 12 ÷ 12 =
5) 100 ÷ (–10) =
1) 40 ÷ 20 =
6) (–60) ÷ 10
=
2) 28 ÷ 4 =
7)
(–10) ÷ (–5)
=
3) 30 ÷ 6 =
8) (–18) ÷ (–2)
=
4) 15 ÷ (–5) =
9) (–48) ÷ (–6) =
Matemática − Semana 14
251
Resumen 1.
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros: •
Multiplicamos primero los signos, aplicando la ley de signos.
•
Multiplicamos los valores absolutos de las cantidades. Ley de signos:
+ x + = +
3 x 7 = 21
–
– = +
(–3) x (–7) = 21
+ x – = –
3 x (–7) = –21
–
(–3) x 7 = –21
x
x
+ = –
1.1 Multiplicación de números enteros con más de dos factores
Para multiplicar números enteros con más de dos factores: •
Asociamos los números enteros en parejas.
•
Multiplicamos primero los signos y luego los valores absolutos de los números.
2.
División de números enteros
Para dividir números enteros: •
Dividimos primero los signos, aplicando la ley de signos.
•
Dividimos los valores absolutos de las cantidades. Ley de signos:
252
IGER − Quiriguá
+ ÷ + = +
21 ÷ 7 = 3
– ÷ – = +
(–21) ÷ (–7) = 3
+ ÷ – = –
21 ÷ (–7) = –3
– ÷ + = –
(–21) ÷ 7 = –3
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido. Demuestre lo A.
Complete correctamente las tablas de la ley de signos de la multiplicación y de la división. Tiene un ejemplo. Multiplicación + x – =
División – ÷ + = –
–
+ x + =
– ÷ – =
– x – =
+ ÷ – =
– x + =
+ ÷ + =
B.
Complete el enunciado con las palabras correctas.
Cuando multiplicamos o dividimos cantidades con signos iguales, el signo del resultado es , y cuando multiplicamos o dividimos cantidades con signos diferentes, el signo del resultado es
.
Actividad 2. Practique lo aprendido. A.
Resuelva las multiplicaciones y las divisiones. No olvide aplicar la ley de signos para su respuesta. Tiene un ejemplo. 0) 9 x (–7) = –63
5) (–10) x 3 =
1) 9 x (–5) =
6)
( – 40) ÷ 8 =
2) 10 x (–7) =
7)
( –70) ÷ (–7) =
3) 36 ÷ (–6) =
8)
(–12) x (– 4) =
4) 72 ÷ (–9) =
9) (–63) ÷ (–7) = Matemática − Semana 14
253
B. Realice cada multiplicación y relacione la operación con su resultado por medio de una línea. Tiene un ejemplo.
C.
12 x 5 = •
• 60
8
x (–40) = •
• 52
(–6) x 15 = •
• –90
(–4) x (–13) = •
• –320
(–2) x (–15) = •
• 30
Realice cada división y relacione la operación con su resultado por medio de una línea. Tiene un ejemplo. 12
D.
÷ 2 = •
• 9
(–40) ÷ 8 = •
• –6
(–60) ÷ 10 = •
• 6
(–54) ÷ (–6) = •
• –5
15
• –3
÷ (–5) = •
Realice las multiplicaciones de números enteros con más de dos factores. Tiene un ejemplo. 0) [ (–2) x 3 ] x [ (–7) x (–1) ] = 3) 2 x 5 x 3 x (–1) = x = –6 x 7 = –42
254
1) 5 x 6 x (–1) x 2 = x =
4) (–10) x (–5) x 2 x 2 =
2) (–2) x (–3) + x 9 =
5) 7 x (–3) x (–1) x 10 =
x IGER − Quiriguá
=
x
x
=
=
Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades. A.
Exprese los números 12, 30 y –50 como producto de dos números enteros. Hágalo de todas las formas posibles. Tiene un ejemplo. Si no le cabe, hágalo en su cuaderno. 0)
B.
12 = 4 x 3 = 12
1 x 12 = 12
(–2) x (–6) = 12
3 x 4 = 12
12 x 1 = 12
(–6) x (–2) = 12
2 x 6 = 12
(–4) x (–3) = 12
(–12) x (–1) = 12
6 x 2 = 12
(–3) x (–4) = 12
(–1) x (–12) = 12
1)
30 =
2)
–50 =
Divida el número de la columna del dividendo entre el número de la columna del divisor para obtener el cociente. Recuerde aplicar primero la ley de signos y luego dividir los valores absolutos. Tiene un ejemplo.
C.
dividendo
divisor
cociente
0)
18
–3
–6
1)
–60
10
2)
12
4
3)
–20
–5
4)
–30
–6
Rellene el cuadro que complete correctamente las expresiones. Tiene un ejemplo. Considere la tabla de enteros: a b c d –8 4 2 3 0)
El resultado de a x b es…
1)
8
4
6
–4
6
–4
–2
–4
El resultado de c x d es…
3)
32
El resultado de a ÷ c es…
2)
–32
4
El resultado de a ÷ b es…
2
Matemática − Semana 14
255
Agilidad de cálculo mental A.
B.
256
Resuelva las multiplicaciones de números enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 4 x 4 =
10) 3 x (–2) =
20) (–9) x 7 =
1)
5 x 5 =
11) 6 x (–9) =
21) (–6) x 9 =
2) 7 x 7 =
12) 8 x (–5) =
22) (–5) x (–9) =
3) 3 x 7 =
13) 2 x (–7) =
23) (–6) x (–2) =
4)
8 x 9 =
14) 8 x (–10) =
24) (–4) x (–3) =
5)
5 x 6 =
15) 9 x (–10) =
25) (–3) x (–3) =
6) 6 x (–3) =
16) (–8) x 5 =
26) (–4) x (–6) =
7) 3 x (–8) =
17)
(–8) x 7
=
27) (–2) x (–5) =
8) 2 x (–6) =
18)
(–4) x 8
=
28)
9)
19) (–9) x 9 =
4 x (–5) =
(–4) x (–6) =
29) (–6) x (–3) =
Resuelva las divisiones de números enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
40 ÷ 5 =
8
10)
12 ÷ (–3) =
20)
1)
16 ÷ 4 =
11)
12 ÷ (–2) =
21) (–54) ÷ (–9) =
2)
56 ÷ 7 =
12)
18 ÷ (–3) =
22)
(–70) ÷ (–10) =
3)
30 ÷ 6 =
13)
24 ÷ (–8) =
23)
(–90) ÷ (–10) =
4)
72 ÷ 9 =
14)
12 ÷ (–6) =
24) (–20) ÷ (–5) =
5)
36 ÷ 6 =
15)
20 ÷ (–5) =
25) (–56) ÷ (–8) =
6)
81 ÷ 9 =
16)
14 ÷ (–7) =
26) (–40) ÷ (–5) =
7)
63 ÷ 7 =
17)
18 ÷ (–3) =
27) (–45) ÷ (–9) =
8)
70 ÷ 7 =
18)
16 ÷ (–2) =
28) (–28) ÷ (–7) =
9)
63 ÷ 9 =
19)
24 ÷ (–6) =
29)
IGER − Quiriguá
(–18) ÷ (–3) =
(–48) ÷ (–8) =
Razonamiento lógico Resolución de problemas 1) Una cisterna pierde 3 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros perderá en 5 minutos? 2) Entre 5 amigos compraron un televisor con un valor de 1,500 quetzales. ¿Cuánto dinero menos tendrá cada uno si se le descuenta de su sueldo la parte que le toca? 3) Adriana es una alpinista que se ha propuesto subir a una montaña de 2,000 metros sobre el nivel del mar. Si sube a la montaña a razón de 200 metros diarios,
a. ¿cuántos días tardará en escalar la montaña que se ha propuesto?
b. Si sale el 10 de abril, ¿en qué fecha terminará?
4) ¿Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio Cesar (año 44 a.C.) hasta la Caída del Imperio Romano de Occidente (año 476 d.C.)? 5) Jaime sembró 2,500 árboles repartidos en 5 parcelas. Luego de algunos años, tuvo que cortar 10 árboles de cada parcela porque habían crecido demasiado. Si había sembrado la misma cantidad de árboles en cada parcela,
a. ¿cuántos árboles había en cada parcela antes del corte?
b. ¿cuántos árboles hay en cada parcela después del corte?
c. ¿cuántos árboles hay en total en las cinco parcelas después del corte?
6) Maritza ha gastado en los tres meses anteriores 50 quetzales más de lo que recibe mensualmente, sacándolos de sus ahorros. ¿Cuánto dinero tiene actualmente en sus ahorros, si hace tres meses contaba con 1,000 quetzales? 7) En un tanque hay 24,320 litros de agua. Si se usan 825 litros por hora para el lavado de café, ¿cuántos litros hay después de 5 horas de lavado de café? 8) Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta –15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos? 9) Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 metros de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar –15 ºC, si en el punto de partida la temperatura es de 5 ºC y este está a una altitud de 300 m?
Matemática − Semana 14
257
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Conozco y aplico la ley de signos para la multiplicación y división. Comprendo y realizo multiplicaciones con números enteros. Comprendo y realizo divisiones con números enteros. Realizo mentalmente multiplicaciones y divisiones de uno y dos dígitos. Resuelvo problemas aplicando la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
258
IGER − Quiriguá
15
Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones
Matemática − Semana 15
259
Los logros que conseguirá esta semana son: Definir el orden en que se debe realizar una operación combinada. Resolver operaciones combinadas aplicando la jerarquía de operaciones. Desarrollar la agilidad de cálculo mental. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• Biografía de Hipatia
El mundo de la matemática
• Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
260
IGER − Quiriguá
• Operaciones básicas con números enteros • Problemas matemáticos de operaciones básicas con números enteros
¡Para comenzar! Hipatia Hipatia nació en Alejandría, Egipto, a mediados del siglo IV. Fue filósofa y maestra. Destacó en los campos de la Matemática y la Astronomía. Llevó una vida austera1 y se centró en los estudios lógicos y las ciencias exactas. Es reconocida como la primera mujer matemática de la historia de la humanidad. Escribió libros sobre geometría, álgebra y astronomía y mejoró el diseño de los primitivos astrolabios (dispositivos mecánicos que simulaban el movimiento de los planetas) e inventó un hidrómetro2.
Hipatia (370 - 415) Filósofa y maestra griega
Estudió también historia de las diferentes religiones conocidas entonces, oratoria, el pensamiento de los filósofos y principios de la enseñanza. Viajó a Atenas y a Roma, siempre con el afán de aprender y de enseñar. Tomado y adaptado de: www.wikipedia.org y www.mate.uprh.edu
¡A trabajar! Escriba los datos y cualidades de Hipatia para completar el esquema. Extráigalos de la lectura. Le ayudamos con la idea principal. Nació y vivió en:
Su profesión fue:
Destacó en:
Hipatia
Otro dato:
Primera mujer matemática
Inventó el:
Escribió libros sobre:
1 Austera:
persona moderada en sus palabras y acciones, que carece de adornos superfluos y que vive solo con lo necesario. instrumento que permite medir el caudal, la velocidad o la fuerza de los líquidos que se encuentran en movimiento.
2 Hidrómetro:
Matemática − Semana 15
261
El mundo de la matemática
1. Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones ¿Quién va primero? Una operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. En una operación combinada pueden aparecer sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Fíjese en los ejemplos:
6 x 3 + 2 – 15 ÷ 3 = 12 – [ 5 + (6 x 2) ] = Para resolver correctamente estas operaciones, debemos aplicar la jerarquía de las operaciones. La jerarquía de las operaciones, como su nombre indica, establece el orden y la forma en que se deben realizar las operaciones. Para resolver correctamente un ejercicio se deben seguir estas reglas: Regla 1. Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia fuera.
{[()] }
Regla 2. En segundo lugar, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
x ÷
Regla 3. Por último, se resuelven las sumas y restas, también en el orden en que se presenten, de izquierda a derecha.
+ –
Si dos operaciones son de la misma categoría, se realizan en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
Ejercicio 1 Complete. •
Operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. Pueden aparecer
•
262
,
,
La jerarquía de operaciones establece el se deben realizar las operaciones combinadas.
IGER − Quiriguá
y divisiones. y la
en que
2. Operaciones combinadas sin signos de agrupación Para resolver operaciones combinadas sin signos de agrupación, aplicaremos las reglas 2 y 3 de la jerarquía de operaciones. Como siempre, lo entenderemos mejor con unos ejemplos. Resolvamos el ejercicio:
10 ÷ 2 + 5 x 3 =
• Regla 2, realizamos en primer lugar la división y la multiplicación. • Regla 3, resolvemos la suma que quedó del paso anterior.
10 ÷ 2 + 5 x 3 = 5 + 15 = 20
Otro ejercicio para reforzar nuestro aprendizaje: 9 ÷ 3 + 9 – 4 x 5 + 2 = • Regla 2, realizamos en primer lugar la división y la multiplicación. • Regla 3, resolvemos las sumas y restas que nos quedaron del paso anterior.
9÷3+9–4x5+2= 3 + 9 – 20 + 2 = 12 – 20 + 2 = –8 + 2 = –6
¡Un ejemplo más! • Regla 2: efectuamos las multiplicaciones y la división. • Regla 3: Resolvemos sumas y restas, de izquierda a derecha, tal como aparecen.
También podemos sumar y restar como aprendimos en la semana 13. Sumamos positivos y negativos por separado. Restamos resultados parciales y ponemos el signo del mayor: 3 + 9 + 2 = 14 –20 – (20 – 14) = –6
3 x 2 – 5 + 4 x 3 – 8 + 15 ÷ 3 = 3 x 2 – 5 + 4 x 3 – 8 + 15 ÷ 3 = 6 – 5 + 12 – 8 + 5 = 1 + 12 – 8 + 5 = 13 – 8 + 5 = 5+5= 10
Con la práctica, podrá resolver estas sumas y restas mentalmente.
Matemática − Semana 15
263
3. Operaciones combinadas con signos de agrupación Tal como indica la regla 1, ante una serie de operaciones combinadas con signos de agrupación, el primer paso ha de ser eliminarlos. ¿Cómo? De adentro hacia fuera: primero los paréntesis ( ), después los corchetes [ ] y, por último, las llaves { }. Resolvamos un ejercicio. Fíjese en los pasos.
4 – { 12 – [ 8 – (14 ÷ 2) ] + 3 } = • Eliminamos primero el paréntesis, para lo cual resolvemos la división que está dentro. El resto lo copiamos como está. Recuerde que un signo menos delante del paréntesis nos indica que debemos cambiar el signo al resultado.
4 – { 12 – [ 8 – (14 ÷ 2) ] + 3 } = • Después eliminamos los corchetes. Como también se ven afectados por el signo menos, cambiamos los signos del interior.
4 – { 12 – [ 8 – 7 ] + 3 } =
• Eliminamos las llaves. Cambiamos el signo a todos los números que están dentro de las llaves. • Para finalizar, sumamos y restamos, de izquierda a derecha.
Otro ejemplo: • Resolvemos la multiplicación dentro del paréntesis y eliminamos el paréntesis. • Eliminamos el corchete, cambiando el signo a todos los números que están dentro de él. • Finalmente restamos y sumamos.
4 – { 12 – 8 + 7 + 3 } = 4 – 12 + 8 – 7 – 3 = –8 + 8 – 7 – 3 = 0–7–3= –10
2 – [ 3 + (5 x 2) ] –3 = 2 – [ 3 + (5 x 2) ] – 3 = 2 – [ 3 + 10 – 3 ] = 2 – 3 – 10 + 3 = – 1 – 10 + 3 = – 11 + 3 = –8
264
IGER − Quiriguá
Ejercicio 2 A. Resuelva las operaciones combinadas. Aplique las reglas de la jerarquía de operaciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)
4+2x3+7=
4+2x3+7=
• Realice primero la multiplicación.
4+6+7=
• Sume de izquierda a derecha.
10 + 7 = 1)
17
12 + 5 x (–3) + 63 ÷ (–7) =
12 + 5 x (–3) + 63 ÷ (–7) =
• Resuelva la multiplicación y la división. • Resuelva sumas y restas de izquierda a derecha.
12 +
+
–3–
2)
=
9 – [ (8 x 2) + (54 ÷ 9) ] = • Elimine paréntesis resolviendo la multiplicación y la división. • Elimine corchetes. Tenga en cuenta el signo menos. • Resuelva las sumas y restas finales.
B.
=
9 – [ (8 x 2) + (54 ÷ 9) ] =
–[
+
]= = =
¡Ahora le toca a usted! 1)
5+2x8+4=
2)
10 – { 3 – [ 6 + (7 x 2) ] – 5 } =
Matemática − Semana 15
265
Resumen 1.
Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones
Las operaciones combinadas reúnen varias operaciones en una sola, es decir, son operaciones que combinan sumas, restas, multiplicaciones o divisiones.
La jerarquía de operaciones establece el orden y la forma de realizar las operaciones.
Para resolver correctamente una operación combinada se deben seguir estas reglas:
Regla 1
Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia fuera.
Regla 2
En segundo lugar, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
Regla 3
Por último, se resuelven las sumas y restas, también en el orden en que se presenten, de izquierda a derecha.
2.
Operaciones combinadas sin signos de agrupación
{[()] }
x ÷ + –
• Estas operaciones las resolvemos siguiendo el orden establecido en la jerarquía de las operaciones. • Si las operaciones son de la misma categoría, se realizan en el orden que aparecen, de izquierda a derecha. 3.
Operaciones combinadas con signos de agrupación • Eliminamos primero los signos de agrupación de dentro hacia fuera: paréntesis, corchetes y llaves. • Aplicamos después las reglas 2 y 3 de la jerarquía de operaciones.
266
IGER − Quiriguá
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido. Demuestre lo A.
Rellene el cuadro de la respuesta correcta. 1)
¿Qué nos indica la jerarquía de operaciones?
El orden en que deben realizarse las operaciones.
La ley de signos de la multiplicación y división.
La ley de signos de la suma y la resta.
2)
¿En qué orden deben eliminarse los signos de agrupación?
Corchetes, paréntesis, llaves.
Llaves, corchetes, paréntesis.
Paréntesis, corchetes y llaves.
3)
¿Cómo se eliminan los signos de agrupación?
De derecha a izquierda.
De afuera hacia adentro.
De dentro hacia fuera.
4)
¿Qué sucede cuando delante de un paréntesis hay un signo negativo?
Cambia el signo de todos los números que están dentro del paréntesis.
Quedan igual los signos de los números que están dentro del paréntesis.
No se puede operar.
5)
Si no hay signos de agrupación y las operaciones son de la misma importancia, ¿en qué orden hay que realizar los cálculos?
En el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
En el orden en que aparecen de derecha a izquierda.
No importa el orden. Matemática − Semana 15
267
Actividad 2. Practique lo aprendido. A.
B.
Realice las operaciones en el orden propuesto hasta llegar a la solución final. Tiene un ejemplo. 0) [ (2 x 5) + (3 x 7) – (6 x 4) ] = [ 10 + 21 – 24 ] = 31 – 24 = 7
4) [ 2 x (8 x 2) ] + [ (4 x 5) ] = ]+[ ]= [ 2 x + =
1) [ 2 x (5 + 3) ] – [ 3 x (5 – 2) ] = ]–[3x ]= [ 2 x – =
5) [ 9 x (7 – 3) ] – [ 2 x (7 + 5) ] = ]–[2x ]= [ 9 x – =
2) [ (7 + 3) x (4 + 5) ] = x =
6) [ (2 + 3) x (9 – 5) ] = x =
3) [ 6 x (2 x 2) ] + [ (2 + 5) – 1 ] = + –1]= [ 6 x + =
7) [ (9 ÷ 3) + (8 ÷ 2) ] x 5 = + ]x5= [ x5=
Resuelva las operaciones combinadas. Respete la jerarquía de operaciones. Tiene un ejemplo. 0)
[ 9 x (7 – 3) ] – [ 2 x (7 – 5) ] =
[ (4 x 3) + (2 x 5) ] – (6 x 3) =
[9x4]–[2x2]=
268
3)
36 – 4 = 32
1)
(7 + 8) x 4 – 3 =
4)
2 x (3 + 4) – 3 x (7 – 4) =
2)
17 – 3 x 2 + 5 =
5)
24 ÷ 6 + 2 x 10 =
IGER − Quiriguá
C.
6)
42 ÷ 7 + 8 – (3 x 2) = 9)
28 – 5 x 4 + 16 =
7)
55 + 4 x 3 – 5 x 7 =
10)
[ (9 x 7) + (7 – 3) – 2 x (7 + 5) ] =
8)
[ (5 x 4) – (16 – 12) ] x 2 =
11)
[ (12 x 3) – 6 ] ÷ [ (6 x 5) – (4 x 5) ] =
Realice las operaciones y rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tome en cuenta la ley de signos y la jerarquía de operaciones. Tiene un ejemplo. 0)
2 x 4 + 3 – 8 =
3)
350 + (150 ÷ 5) – 50 =
8 + 3 – 8 = 11 – 8 = 3
3 330
6
1)
9 – [ (2 x 5) x 1 ] – 3 =
4)
40 9 – (8 – 7) =
–105
–6
–4
8
2)
[ (2 x –9) + 24 ] ÷ [ (–8 ÷ 4) ] =
5)
[ 2 + (3 x 4) ] x (49 ÷ 7) =
15
98
–3
196 Matemática − Semana 15
269
Agilidad de cálculo mental A.
B.
C.
270
Resuelva las sumas y restas de números enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
4 + 6 = 10
1)
7 + 8 =
2)
5)
–3 + 2 =
10)
–8 + 3 =
6)
–4 – 2 =
11)
–5 – 4 =
3 – 5 =
7)
–2 + 5 =
12)
–1 + 5 =
3)
4 – 4 =
8)
–3 – 6 =
13)
–9 – 6 =
4)
9 + 8 =
9)
–4 + 2 =
14)
–6 + 7 =
Resuelva las multiplicaciones de enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
4 x 6 = 24
5)
6 x (–8) =
10)
(–7) x (–3) =
1)
9 x 7 =
6)
7 x (–5) =
11)
(–4) x (–5) =
2)
5 x 2 =
7)
2 x (–3) =
12)
(–9) x (–3) =
3)
3 x 8 =
8)
8 x (–7) =
13)
(–5) x (–6) =
4)
4 x 9 =
9)
9 x (–6) =
14)
(–3) x (–8) =
Resuelva las divisiones de enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
24 ÷ 6 =
1)
42 ÷ 7 =
2)
4
5)
27 ÷ (–3) =
10)
(–40) ÷ (–8) =
6)
32 ÷ (–8) =
11)
(–63) ÷ (–9) =
81 ÷ 9 =
7)
18 ÷ (–9) =
12)
(–42) ÷ (–6) =
3)
56 ÷ 8 =
8)
25 ÷ (–5) =
13)
(–25) ÷ (–5) =
4)
45 ÷ 5 =
9)
64 ÷ (–8) =
14)
(–36) ÷ (–4) =
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas A. 1)
B.
Jesús consulta los últimos movimientos en su cuenta de ahorro. Al inicio del mes tenía 2,500 quetzales. Sacó 450 quetzales para la compra de víveres y 325 quetzales para el pago de luz, agua y teléfono. Por último, ingresó 1,000 quetzales. ¿Cuánto dinero le queda en la cuenta? Se puede averiguar de dos formas: a. 2,500 – 450 – 325 + 1,000 = b. 2,500 – (450 + 325) + 1,000 = Compruebe si el resultado es el mismo.
2)
Si a los 52 domingos del año le agregamos 12 días festivos, ¿cuántos días laborables quedan?
3)
El bus azul tuvo el siguiente movimiento de pasaje: salió de la estación con 21 personas. En la primera parada bajaron 7 y subieron 6. En la segunda parada bajaron 13 personas y subieron 5. En la tercera parada bajaron 12 y no subió nadie. ¿Cuántas personas viajan en el bus hacia la cuarta parada?
4)
¿A qué edad murió una persona que nació en el año 36 a. C. y murió en el 37 d. C.?
5)
¿Cuántos años vivió el filósofo griego Sócrates si nació en el año 470 a. C. y murió en el año 399 a. C.?
Lea atentamente los problemas 1 a 3 y resuélvalos utilizando una sola operación combinada. Tenga especial cuidado en traducir correctamente el enunciado al lenguaje matemático, respetando la jerarquía de las operaciones y haciendo uso correcto de los paréntesis. 1)
La biblioteca municipal decide comprar cuatro obras literarias que cuestan 68 quetzales cada una. Si en caja disponen de 575 quetzales para esta partida, ¿cuánto dinero sobrará después de realizar la compra?
2)
A María y Orlando les gusta comer hongos de San Juan. El domingo van a buscarlos al bosque. María encuentra 26 hongos y Orlando 22. Al regresar a casa, sus dos hijos los esperan hambrientos y cuando ya están sentados en la mesa, María pregunta: ¿Cuántos hongos de San Juan nos tocan a cada uno?
3)
Luisa y Joaquín se levantan muy temprano para comprar 12 ‟semitas” recién hechas en la panadería. Cada unidad cuesta 80 centavos y al pagar, el panadero les sorprende: ‟Hoy es el aniversario del negocio y voy a rebajar 5 centavos a cada semita”. ¿Cuánto pagan por todo?
Matemática − Semana 15
271
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Defino el orden en que debe realizarse una operación. Comprendo el orden en que deben realizarse las operaciones. Realizo con éxito operaciones combinadas aplicando la jerarquía de operaciones. Desarrollo con facilidad y en forma mental operaciones con números enteros. Resuelvo con agilidad divisiones y multiplicaciones de números enteros. Resuelvo problemas matemáticos de números enteros.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
272
IGER − Quiriguá
16
Potenciación de números enteros
Matemática − Semana 16
273
Los logros que conseguirá esta semana son: Identificar la potenciación como una multiplicación abreviada. Leer y escribir potencias correctamente. Memorizar y aplicar las reglas para calcular potencias de números enteros. Multiplicar y dividir potencias de números enteros. Mejorar la capacidad de cálculo mental. Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos con potencias de números enteros.
¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!
• Biografía de René Descartes
El mundo de la matemática
• Potenciación • Multiplicación y división de potencias de enteros
Agilidad de cálculo mental
Razonamiento lógico
274
IGER − Quiriguá
• Operaciones básicas con números enteros • Problemas matemáticos de operaciones básicas con números enteros
¡Para comenzar! René Descartes René Descartes nació en Poitiers (Francia) en 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) en 1649. Se dedicó a estudiar Filosofía, Matemática y otras áreas del conocimiento. En 1616 se graduó en leyes, en la Universidad de Poitiers. Al año siguiente se dedicó a viajar y a estudiar “el libro del mundo”, deseando aprender a distinguir lo verdadero de lo falso. En 1619 empezó a elaborar su filosofía. Algunas de sus obras
René Descartes (1596 – 1649) Filósofo y matemático francés.
son: El discurso del método (1637) y Teoría del conocimiento. Muchos fueron los aportes filosóficos de Descartes y como matemático no se quedó atrás. Descartes mejoró los trabajos de los babilonios y los griegos acerca de la multiplicación abreviada al plantear la notación de bases y exponentes como parte esencial de la potenciación. Tomado de: Enciclopedia Hispánica, Enciclopedia Británica Publishers. Inc.
¡A trabajar! Complete la línea del tiempo con los hechos de la vida de Descartes que le proporcionan en la lectura. Tiene un ejemplo.
René Descartes 1596
1616
1619
1637
1649
Nació en Francia.
Matemática − Semana 16
275
Lenguaje matemático Esta semana practicaremos la lectura y la escritura de potencias. Una potencia está formada por dos partes: base y exponente. La base se escribe con un número de tamaño normal y el exponente se escribe con un número más pequeño, en la esquina superior derecha de la base.
Pronuncie en voz alta cómo se lee cada potencia, mientras repasa con su lapicero cómo se escribe.
23 Se lee: "dos elevado a la tres" o "dos elevado al cubo". 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 32 Se lee: "tres elevado a la dos" o "tres elevado al cuadrado". 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 45 Se lee: "cuatro elevado a la cinco". 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 Se lee: "cinco elevado a la cuatro". 54 54 54 54 5 4 54 54 54 54 54 5 4 54 87 Se lee: "ocho elevado a la siete". 8 7 87 87 87 87 87 8 7 87 87 87 87 87 276
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Potenciación de números enteros ¡Acortemos la multiplicación! Como vimos en la lectura, gracias a Descartes tenemos una forma rápida de escribir un número que se multiplica varias veces por sí mismo. Esta operación es la potenciación. Veamos cómo se define: Una potencia es la forma abreviada de expresar una multiplicación de un número por sí mismo. Una potencia está formada por dos partes: • La base es el número que se multiplica dos o más veces por sí mismo. • El exponente indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.
2
exponente
3
base
23 = 2 x 2 x 2
Por ejemplo: Para expresar el producto 3 x 3, escribimos:
32
Para expresar el producto 4 x 4 x 4 x 4 x 4, escribimos:
45
Todo número está elevado a la potencia 1, pero normalmente no lleva el exponente 51 = 5.
Ejercicio 1 Escriba la potencia, la base y el exponente de los productos dados. Tiene un ejemplo. Producto
0) 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Potencia
Base
Exponente
35
3
5
1) 12 x 12 x 12 2) 5 x 5 x 5 x 5 3) 10 x 10 x 10 x 10 x 10
Matemática − Semana 16
277
1.1 ¿Cómo se leen las potencias? En general para leer una potencia, primero se menciona la base, luego la expresión ‟elevado a la” y, por último, el exponente. Cuando el exponente es 2 se dice ‟elevado al cuadrado” y cuando el exponente es 3, ‟elevado al cubo”. Ejemplos:
45 Se lee: ‟cuatro elevado a la cinco”.
52 Se lee: ‟cinco elevado al cuadrado”.
63 Se lee: ‟seis elevado al cubo”.
39 Se lee: ‟tres elevado a la nueve”.
1.2 Desarrollo de una potencia La potenciación consiste en multiplicar el número por sí mismo. ¡No lo olvide! 32 no es igual que 3 x 2.
Desarrollar una potencia es calcular el resultado de la multiplicación que expresa. Para hacerlo: • Multiplicamos la base tantas veces como indique el exponente. Veamos unos ejemplos de desarrollo de potencias:
32 ≠ 3 x 2
32 = 3 x 3 = 9
32 = 3 x 3 = 9
53 = 5 x 5 x 5 = 125 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Ejercicio 2 A.
Escriba cómo se leen las potencias. Tiene un ejemplo.
Ocho elevado a la nueve.
0) 89 se lee: 1) 72 se lee: 2) 253 se lee: 3) 67 se lee: B.
Desarrolle las potencias. Guíese por el ejemplo. 0) 73 = 1) 54 = 2) 27 = 3) 33 =
278
IGER − Quiriguá
7 x 7 x 7 = 343
2. Reglas de potenciación Para calcular potencias con números enteros deben tomarse en cuenta las siguientes reglas: Regla 1 • Si la base es positiva, el resultado es positivo.
42 = 4 x 4 = 16
• Si la base es negativa, se pueden dar dos casos:
(–3)2 = (–3) x (–3) =
a) Si el exponente es par, el resultado es positivo.
b) Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
(9) (–2)3 = (–2) x (–2) x (–2) =
4
x (–2) =
(–8) Regla 2 • Todo número entero elevado al exponente 0 da como resultado 1.
40 = 1 (–2)0 = 1
Regla 3 • Todo número entero elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número.
91 = 9 (–3)1 = –3
Ejercicio 3 Resuelva los ejercicios aplicando las reglas de potenciación. Tiene un ejemplo. Regla 1 0)
11³ = 11 x 11 x 11 = 1331
1) 2⁴ =
2) (–5)³ =
3) (–4)⁴ =
Regla 2 0)
10⁰ =
1
1) 9⁰ =
2)
(–34)⁰ =
4)
525⁰ =
3) 100⁰ =
5)
999⁰ =
1)
2)
101¹ =
Regla 3 0)
8¹ =
8
(–25)¹ =
Matemática − Semana 16
279
3. Multiplicación y división de potencias Hay cuatro reglas para multiplicar y dividir potencias de forma sencilla y rápida. Estas reglas son: a. Multiplicación de potencias con igual base Para multiplicar potencias con igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Por ejemplo:
32 x 33 = 32 + 3 = 35 65 x 67 = 65 + 7 = 612 b. Multiplicación de potencias con diferente base y exponentes iguales Para multiplicar potencias de bases diferentes y exponentes iguales, se multiplican las bases y se copia el exponente. Por ejemplo:
23 x 43 = (2 x 4)3 = 83 35 x 55 = (3 x 5)5 = 155
Ejercicio 4 Complete la regla y resuelva los ejercicios. Exprese el resultado como potencia. Tiene un ejemplo. A. Para multiplicar potencias con igual base, se los exponentes.
B.
0)
7⁶ x 7⁸ =
1) 2)
3)
15⁷ x 15⁵ =
2² x 2⁶ =
4)
87¹ x 87⁴ =
9³ x 9⁴ =
5)
47⁸ x 47⁵ =
Para multiplicar potencias de bases diferentes y exponentes iguales,
se
280
76 + 8 = 714
la base y se
las bases y se
(7 x 4)4 = 284
0)
7⁴ x 4⁴ =
1)
6⁴ x 3⁴ =
4) 128 x 28 =
2)
9⁵ x 2⁵ =
IGER − Quiriguá
el exponente. 3)
5)
10² x 2² =
10⁷ x 1⁷ =
c. División de potencias con igual base Para dividir potencias con igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Por ejemplo:
25 ÷ 22 = 25 – 2 = 23 46 ÷ 43 = 46 – 3 = 43
d. División de potencias con diferente base y exponentes iguales
Para dividir potencias de bases distintas y exponentes iguales, se dividen las bases y se copia el exponente.
Por ejemplo:
62 ÷ 32 = (6 ÷ 3)2 = 22 154 ÷ 54 = (15 ÷ 5)4 = 34
Ejercicio 5 Complete la regla y resuelva los ejercicios. Exprese el resultado como potencia. Tiene un ejemplo. A.
Para dividir potencias con igual base, se
B.
la base y se
los exponentes. 0)
78⁵ ÷ 78¹ =
1)
78 5 – 1 = 78 4
4)
65¹⁶ ÷ 65² =
9¹² ÷ 9⁶ =
5)
99² ÷ 99¹ =
2)
7⁸ ÷ 7² =
6)
103⁷ ÷ 103² =
3)
14⁷ ÷ 14¹ =
7)
298⁸ ÷ 298³ =
Al dividir potencias con bases distintas y exponentes iguales, se las bases y se 0)
18⁵ ÷ 2⁵ =
1)
63¹ ÷ 7¹ =
2)
el exponente.
(18 ÷ 2)5 = 95
5)
49² ÷ 7² =
6)
25⁷ ÷ 5⁷ =
35² ÷ 5² =
7)
18⁶ ÷ 3⁶ =
3)
12² ÷ 2² =
8)
54² ÷ 6² =
4)
81⁸ ÷ 9⁸ =
9)
90³ ÷ 9³ =
Matemática − Semana 16
281
Resumen 1.
Potenciación de números enteros Una potencia es una multiplicación abreviada de un número por sí mismo. Una potencia está formada por dos partes:
base
23
exponente
1.1 Lectura de potencias
Para leer una potencia, primero se menciona la base, luego la expresión ‟elevado a la” y por último el exponente. El exponente 2 se lee ‟al cuadrado” y el exponente 3 se lee ‟al cubo”. Ejemplos:
72 se lee: ‟siete al cuadrado”
33 se lee: ‟tres al cubo”
1.2 Desarrollo de una potencia
Desarrollar una potencia es calcular el resultado de la multiplicación que expresa.
Ejemplo:
2.
Reglas de potenciación
Regla 1 • Si la base es positiva, el resultado es positivo. 52 = 25
103 = 10 x 10 x 10 = 1000
•
Si la base es negativa, pueden darse dos casos:
a) Si el exponente es par, el resultado es positivo. (–6) 2 = 36
b) Si el exponente es impar, el resultado es negativo. (–6) 3 = –216
Regla 2 Todo número elevado al exponente 0 da como resultado 1. (–15)0 = 1
Regla 3 Todo número entero elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número. 631 = 63
3.
Multiplicación y división de potencias
282
a.
Multiplicación de potencias con igual base
Se copia la base y se suman los exponentes. 63 x 62 = 63 + 2 = 65
b.
Multiplicación de potencias con diferentes bases y exponentes iguales
Se multiplican las bases y se copia el exponente.
c.
División de potencias con igual base
Se copia la base y se restan los exponentes.
d.
División de potencias con diferente base y exponentes iguales
Se dividen las bases y se copia el exponente.
IGER − Quiriguá
37 x 57 = (3 x 5)7 = 157 85 ÷ 83 = 85 ‒ 3 = 82
143 ÷ 73 = (14 ÷ 7)3 = 23
Autocontrol Actividad 1 A.
B.
C.
Demuestre lo aprendido fina su aprendizaje.
Exprese en forma de potencia los siguientes productos. 1)
5x5x5x5=
4)
8x8x8x8x8x8x8x8=
2)
7x7x7x7x7x7=
5)
12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 =
3)
10 x 10 x 10 =
6)
117 x 117 x 117 x 117 =
Escriba la base y el exponente de cada potencia para completar las tablas. Tiene un ejemplo. Potencia
Base
Exponente
Potencia
75
7
5
810
93
117
94
852
1215
309
237
1003
Base
Exponente
Escriba cómo se leen las potencias dadas. Tiene un ejemplo. 0) 67 se lee:
seis elevado a la siete
1) 615 se lee: 2) 412 se lee: 3) 17100 se lee: 4) 3124 se lee: 5) 875 se lee: 6) 15105 se lee: 7) 19232 se lee: 8) 45143 se lee: Matemática − Semana 16
283
D.
Rellene el cuadro que completa correctamente cada enunciado. 1)
Para multiplicar potencias con igual base, se copia la base y los exponentes…
se suman
se restan
se multiplican
2)
Para multiplicar potencias con diferente base y exponentes iguales...
se suman las bases y se multiplican los exponentes
se multiplican las bases y se copia el exponente
se restan las bases y se copia el exponente
3)
Para dividir potencias con igual base, se copia la base y los exponentes...
se suman
se restan
se multiplican
4)
Para dividir potencias con diferente base y exponentes iguales, se dividen las bases y…
se copia el exponente
se dividen los exponentes
se restan los exponentes
Actividad 2. Practique lo aprendido. A.
B.
Aplique las reglas de potenciación y calcule las siguientes potencias. Tiene un ejemplo. 0) 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
5) (–6)2 =
1) 91 =
6) (–6)0 =
2) 35 =
7) (–3)3 =
3) 50 =
8) (–12)1 =
4) 82 =
9) (–5)4 =
Escriba el resultado de multiplicar las siguientes potencias con igual base. Tiene un ejemplo. 0) 25 x 24 =
284
25 + 4 = 29
4) 26 x 28
1) 35 x 36 =
5) 48 x 43 =
2) 58 x 56 =
6) 129 x 126 =
3) 65 x 62 =
7) 104 x 107 =
IGER − Quiriguá
=
C.
D.
Escriba el resultado de dividir las siguientes potencias con igual base. Tiene un ejemplo. 0) 45 ÷ 44 = 4 5 – 4 = 4 1 = 4
5) 148 ÷ 143 =
1) 312 ÷ 36 =
6) 1218 ÷ 129 =
2) 58 ÷ 56 =
7) 1014 ÷ 107 =
3) 65 ÷ 62 =
8) 184 ÷ 182 =
4) 28 ÷ 25 =
9) 119 ÷ 117 =
Multiplique las potencias y exprese el resultado también como potencia. Tiene un ejemplo. = 7 13 6) 79 x 73 =
=
1) 47 x 67 =
=
7) 45 x 95 =
=
2) 910 x 710 =
=
8) 510 x 710 =
=
3) 65 x 63 =
=
9) 83 x 87 =
=
4) 42 x 44 =
=
10) 93 x 95 =
=
5) 83 x 87 =
=
11) 6 x 6⁸ x 67 =
=
0) 79 x 74 =
E.
79 + 4
Divida las potencias y exprese el resultado también como potencia. Tiene un ejemplo.
87 – 3
=
84
4)
12¹² ÷ 12⁶ =
=
7⁹ ÷ 7³ =
=
5)
35¹⁰ ÷ 7¹⁰ =
=
2)
9⁵ ÷ 9⁵ =
=
6)
12³ ÷ 4³ =
=
3)
8¹⁸ ÷ 8³ =
=
7)
15³ ÷ 3³ =
=
0)
8⁷ ÷ 8³ =
1)
Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades. A.
Escriba dentro del cuadro el exponente que falta para que el resultado sea correcto. Tiene un ejemplo. 0) 7
3
x 7² = 7⁵
3)
4⁸ ÷ 4
1) 9
x 9⁵ = 9¹⁰
4)
9¹⁴ ÷ 9
2) 7
x 3⁴ = 21⁴
5)
6
= 4⁵ = 9²
÷ 6⁴ = 6¹⁸ Matemática − Semana 16
285
Agilidad de cálculo mental A.
B.
C.
D.
286
Realice las siguientes multiplicaciones de números enteros. Aplique la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
(–6) x 9 = –54
5)
7 x (–3) =
10)
(–2) x (–5) =
1)
(–7) x 7 =
6)
4 x (–6) =
11)
(–3) x (–8) =
2)
(–2) x 8 =
7)
3 x (–9) =
12)
(–4) x (–6) =
3)
(–8) x 5 =
8)
7 x (–6) =
13)
(–9) x (–9) =
4)
(–5) x 6 =
9)
5 x (–8) =
14)
(–4) x (–7) =
Realice las siguientes divisiones de números enteros. Aplique la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
63 ÷ 9 =
7
5)
27 ÷ (–3) =
10)
(–20) ÷ 5 =
1)
35 ÷ 7 =
6)
42 ÷ (–6) =
11)
(–32) ÷ 8 =
2)
72 ÷ 8 =
7)
36 ÷ (–9) =
12)
(–54) ÷ 6 =
3)
81 ÷ 9 =
8)
48 ÷ (–6) =
13)
(–72) ÷ (–9) =
4)
54 ÷ 6 =
9)
16 ÷ (–8) =
14)
(–14) ÷ (–2) =
Multiplique potencias con igual base, recuerde que debe colocar la base y sumar las potencias, agilice su cálculo, realice la suma mentalmente. 0) 36 x 33 =
39
5) 114 x 113 =
1) 45 x 46 =
6) 153 x 1511 =
2) 72 x 74 =
7) 124 x 126 =
3) 32 x 35 =
8) 148 x 146 =
4) 62 x 64 =
9) 105 x 102 =
Realice mentalmente los problemas. 1)
Un comerciante ha recibido 650 libras de fruta. Si por la mañana vende 230 libras y por la tarde 120, ¿cuánto vende en total?
2)
Un ganadero que posee 749 yeguas y 327 caballos, vende 27 caballos. ¿Cuántas yeguas le quedan?
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas 1)
En la biblioteca hay 7 libreras con 7 estantes y cada estante tiene 7 libros. ¿Cuántos libros hay en total? Exprese su resultado como potencia.
2)
Una gruesa es una docena de docenas. ¿Cómo se representa con potencias? ¿Cuántos objetos tiene media gruesa?
3)
¿Cuántos segundos hay en 60 horas?
4)
En un jardín hemos preparado 5 arriates y en cada arriate se sembraron 5 flores. ¿Cuántas flores hay en total? Exprese su respuesta como potencia.
5)
En un condominio de 5 pisos hay 5 apartamentos en cada piso. Si cada piso tiene 5 habitaciones, ¿cuántas habitaciones hay en todo el edificio?
6)
Para subir de un nivel a otro hay 8 escalones, si el edificio tiene 8 niveles, ¿cuántos escalones hay desde el sótano hasta el último piso? Exprese su resultado como potencia.
7)
Marta es enfermera y está haciendo el inventario de la medicina. Cuenta 7 paquetes con 7 cajas cada uno. Cada caja tiene 7 bolsas con 7 jeringas en cada una. ¿Cuántas jeringas contó Marta?
8)
Estela es técnica forestal y cuenta el número de árboles que hay en un área protegida. Divide el terreno en 8 secciones y cuenta 8 árboles en cada una. ¿Cuántos árboles contó Estela?
9)
En un criadero de conejos, 6 conejas paren 6 crías hembras cada una. Después de tres meses estas tienen a su vez 6 crías cada una. ¿Cuántos conejos hay?
10) Una fábrica de dulces empaca los pizarrines en bolsas de una decena, se colocan 10 bolsas en una caja para facilitar su entrega a las tiendas y se empacan 10 cajas pequeñas en una caja grande.
a. ¿Cuántos pizarrines contiene una caja pequeña?
b. ¿Cuántos pizarrines hay en una caja grande?
c. Si un camión transporta 10 cajas grandes, ¿cuántos pizarrines lleva el camión?
Matemática − Semana 16
287
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Identifico la potenciación como una multiplicación abreviada. Leo y escribo potencias correctamente. Sé de memoria y aplico las reglas para calcular potencias de números enteros. Multiplico y divido correctamente potencias de números enteros. Resuelvo con agilidad divisiones y multiplicaciones de números enteros. Resuelvo con éxito problemas matemáticos aplicando las potencias de números enteros.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
288
IGER − Quiriguá
17
Repaso Semanas 9-16
Matemática − Semana 17
289
Los logros que conseguirá esta semana son: Afianzar los contenidos de la semana 9 a la 16: • Identificar y diferenciar números primos y compuestos. • Comprender y realizar la descomposición factorial de dos o más números. • Identificar y establecer el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD). • Identificar el conjunto de números enteros y su utilidad. • Comparar y ordenar números enteros. • Realizar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) en el conjunto de los números enteros. • Realizar operaciones combinadas aplicando la jerarquía de operaciones. • Comprender y resolver ejercicios de potenciación. Desarrollar el razonamiento lógico, resolviendo problemas.
¿Qué encontrará esta semana?
290
¡Para comenzar!
• ¿Cómo sacar provecho a este repaso?
El mundo de la matemática
• Números primos y compuestos • Descomposición factorial • Mínimo común múltiplo • Máximo común divisor • Operaciones básicas con el conjunto de números enteros • Jerarquía de operaciones • Potenciación
Razonamiento lógico
• Problemas matemáticos
IGER − Quiriguá
¡Para comenzar!
¿Cómo sacar provecho de este repaso? Querida y querido estudiante:
A punto de finalizar el primer semestre, ha llegado el momento de prepararse para la segunda evaluación. Esta semana repasaremos los contenidos de la semana 9 a la 16. Para aprovechar mejor este repaso le recomendamos: 1. Busque un lugar tranquilo y apropiado para estudiar. 2. Lea, comprenda y memorice cada resumen. Repase los conceptos escribiéndolos en su cuaderno. Escribir le ayudará a retener mejor la información. 3. Después de estudiar cada resumen, intente resolver todos los ejercicios. 4. Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en el repaso y le ayudarán a resolver las actividades. 5. Anote todo lo que no le haya quedado claro. No se quede con dudas. Su orientadora u orientador voluntario le explicará con gusto. También puede consultarnos por correo electrónico. Nuestra dirección es
[email protected] 6. Compruebe que sus ejercicios están bien hechos. Si tiene dudas vuelva a leer las semanas. En ella encontrará más explicaciones y ejemplos. 7. Trabaje con lápiz, así, si se equivoca, puede borrar y hacer varios intentos. 8. Organice su estudio diario, dedicando un tiempo cada día. 9. Cuando esté seguro de que domina un tema, pase al siguiente aunque no haya completado todos los ejercicios. 10. Lea las indicaciones para la prueba parcial de la página siguiente y acuda al examen con seguridad y confianza.
Matemática − Semana 17
291
Unas recomendaciones más... ¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma como los ha estudiado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental para medir su destreza y rapidez en resolver operaciones básicas, en un tiempo límite de tres minutos. Si todavía no sabe las tablas de memoria, está a tiempo en esta semana. • Diferentes ejercicios que evalúan el contenido de las ocho semanas (9 a 16). Estos ejercicios serán semejantes a los que ya realizó cada semana en las actividades y en el autocontrol. Se le pedirá:
responder preguntas,
rellenar el cuadro con la opción correcta,
completar enunciados, tablas y mapas conceptuales,
resolver operaciones: descomposición de números en factores primos, mcm y MCD,
relacionar preguntas y respuestas, mediante una línea,
resolver problemas.
• Deje escritas todas las operaciones que realice en los espacios asignados. La calificación comprende el procedimiento y el resultado. • Muy importante: Cada serie de la prueba contiene instrucciones exactas de lo que debe hacer en cada apartado, así como la valoración asignada. Léalas con atención. • Si no sabe resolver un ejercicio o una serie, continúe con la siguiente y regrese después de haber terminado el resto. Recuerde que tiene 60 minutos para resolver la prueba. Si se prepara, dedicando tiempo para repasar y ejercitar, el resultado será satisfactorio.
292
IGER − Quiriguá
El mundo de la matemática
1. Números primos y números compuestos 1.
Números primos
Un número natural es primo cuando sus únicos divisores son: el mismo número y la unidad.
Son ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13...
2.
Números compuestos
Todo número natural es compuesto cuando tiene otros divisores además de él mismo y de la unidad. Son ejemplos de números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12...
El número 1 no se considera primo.
2.1 Factorización de números compuestos en factores primos
Factorizar un número compuesto es expresarlo como producto de sus factores primos.
Para descomponer un número en sus factores primos: •
Escribimos el número y trazamos una línea vertical al lado derecho.
•
Dividimos el número compuesto entre los números primos de menor a mayor hasta que el cociente de la división sea la unidad.
Ejemplo: Expresar 24 como producto de sus factores primos.
24 2 12 2 6 2 3 3 1
24 = 2 x 2 x 2 x 3
Si multiplicamos todos los factores primos, obtenemos el número factorizado.
Ejercicio 1. A.
Escriba el nombre de cada concepto que se describe. Tiene un ejemplo. 0)
Número natural que solo tiene dos divisores: el 1 y el mismo número.
1)
Número natural que tiene otros divisores además de la unidad y de sí mismo.
2)
Operación que consiste en descomponer un número en sus factores primos.
número primo
Matemática − Semana 17
293
B.
Encuentre todos los divisores de cada número y marque con una ‟x” si el número dado es primo o compuesto. Tiene un ejemplo.
número
0)
21
1)
36
2)
83
3)
96
4)
175
5)
257
6)
388
divisores
primo
compuesto
1, 3, 7, 21
x
Ejercicio 2. Factorización de números compuestos. Descomponga cada número en factores primos y expréselo como producto. Tiene un ejemplo. 0)
108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1
108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3
3) 137
294
137 =
IGER − Quiriguá
1) 46
46 =
4) 64
64 =
2) 99
99 =
5) 76
76 =
Ejercicio 3. Rellene el cuadro que completa las expresiones. Tiene un ejemplo. 0)
4
Entre los siguientes números, ¿cuál es un número primo?
7 9
1)
1
De los siguientes números, ¿cuál no es un número primo?
17 59
2)
Del conjunto de los números naturales, ¿cuál es el número primo más pequeño?
0 1 2
3)
De los siguientes números, ¿cuál es un número compuesto?
61 63 67
4)
¿Cuáles son los factores del número 11?
0y1 2 y 11 1 y 11
5)
¿Cuál es el resultado de sumar los números primos menores que 10?
15 17 19
6)
En la serie: 2, 3, 4, 5, ¿cuál es el resultado de sumar los números compuestos?
4 6 7
Matemática − Semana 17
295
2. Mínimo común múltiplo (mcm) 1.
Múltiplos comunes Los múltiplos comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de múltiplos.
2.
Mínimo común múltiplo (mcm) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño, distinto de cero. Puede obtenerse de dos formas:
2.1 Por inspección Obtenemos los conjuntos de múltiplos de los números dados y luego elegimos el múltiplo común más pequeño. 2.2 Por descomposición en factores primos • Descomponemos cada número en sus factores primos. • Escribimos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia. • Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 2.3 Problemas Aplicamos el mcm para resolver problemas en los que se pide hallar la menor cantidad que sea común a dos o más números dados.
Ejercicio 4. A.
Escriba los cinco primeros múltiplos de cada pareja de números y rodee los comunes. 1)
1=
1=
2= 3x
2)
2=
3=
6x
4=
4=
5=
5=
1=
1=
2= 4x
296
IGER − Quiriguá
3=
3=
2= 10 x
3=
4=
4=
5=
5=
B.
Complete esta tabla escribiendo los diez primeros múltiplos de cada número, distintos de cero. Le ayudamos con los primeros.
Múltiplos de 3 Múltiplos de 5 Múltiplos de 6
C.
D.
3
6
9
5 6
Tomando en cuenta los datos de la tabla del inciso B, complete: 1)
¿Cuáles son los múltiplos comunes entre 3 y 5?
2)
¿Cuáles son los múltiplos comunes entre 5 y 6?
3)
¿Cuáles son los múltiplos comunes entre 3 y 6?
4)
¿Cuál es el mcm de 3 y 6?
5)
¿Cuál es el mcm de 5 y 6?
6)
¿Cuál es el mcm de 3, 5 y 6?
Encuentre el mcm de los números dados. Tiene un ejemplo. 0)
mcm (12 y 16) =
12 2 16 2 6 2 8 2 3 3 4 2 1 2 2 1
1)
mcm (65 y 80) =
12 = 22 x 3
16 = 24 65 =
mcm = 24 x 3 = 16 x 3 mcm =
R/ mcm (12 y 16) =
2)
mcm (18 y 22) =
18 =
mcm =
R/ mcm (18 y 22) =
80 =
48 R/ mcm (65 y 80) =
22 =
3)
mcm (110 y 130) =
110 =
130 =
mcm =
R/ mcm (110 y 130) =
Matemática − Semana 17
297
3. Máximo común divisor (MCD) 1.
Los divisores comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de divisores.
2.
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que puede dividir exactamente a esos números. Se representa por MCD. Hay dos formas de calcular el MCD:
2.1 Por inspección:
Obtenemos los conjuntos de divisores de los números dados y elegimos el mayor divisor común.
2.2 Por descomposición en factores primos: • Descomponemos cada número en sus factores primos. • Expresamos cada número como producto de sus factores primos y, si se puede, como potencia. • Multiplicamos solo los factores repetidos con su menor exponente.
Cuando dos o más números no tienen factores primos comunes, su MCD es la unidad.
2.3 Problemas
Aplicamos el MCD para resolver problemas en los que se pide hallar la mayor cantidad que dividida de manera exacta a dos o más números dados.
Ejercicio 5. Encontrar el máximo común divisor. A.
Encuentre el conjunto de divisores de cada pareja de números y luego rodee los divisores comunes. Tiene un ejemplo.
298
0)
D(15) = { 1, 3, 5, 15
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18
1)
D(14) = {
}
D(24) = {
}
D(28) = {
} D(40) = {
}
2)
D(12) = {
}
D(22) = {
}
D(18) = {
} D(44) = {
}
IGER − Quiriguá
}
D(25) = {
}
} D(20) = {
}
3)
4)
5)
B.
Encuentre el máximo común divisor (MCD) de los siguientes números. Tiene un ejemplo. 0)
MCD (75 y 80) =
1)
MCD (14 y 15) =
75 3 25 5 5 5 1
75 = 3 x 52
Factores comunes Factores comunes
con menor exponente:
5
con menor exponente:
MCD (75 y 80) =
5
MCD (14 y 15) =
2)
MCD (12 y 18) =
12 =
Factores comunes Factores comunes
MCD (12 y 18) =
4)
MCD (24 y 36) =
24 =
Factores comunes Factores comunes
MCD (24 y 36) =
80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1 80 = 24 x 5
3)
18 =
con menor exponente:
15 =
MCD (39 y 45) =
39 =
con menor exponente:
14 =
45 =
con menor exponente:
MCD (39 y 45) = 5)
36 =
MCD (49 y 63)
49 =
63 =
con menor exponente:
MCD (49 y 63) =
Matemática − Semana 17
299
4. Números enteros 1.
Números enteros Z El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos (números naturales) más los números negativos.
Z = { –,... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...+ }
En forma enumerativa el conjunto se expresa: Representación en la recta numérica
Los puntos a la derecha del cero representan los números enteros positivos y los puntos a la izquierda representan los números enteros negativos. El cero no es positivo ni negativo. – ... –5 –4 –3 –2 –1 2.
0
1
2
3
4
5 ... +
Valor absoluto El valor absoluto de un número representa la distancia que separa a ese número del cero, sin tomar en cuenta el signo. El valor absoluto es siempre positivo. Para indicar el valor absoluto de un número se encierra en barras verticales. Ejemplo: | +5 | = | –5 | = 5
3.
Orden de los números enteros
3.1 Comparación de dos números enteros • En los números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. • En los números negativos, es mayor el de menor valor absoluto. 3.2 Ordenar series de números enteros a. Orden ascendente (de menor a mayor) • Escribimos el menor de los negativos y a su derecha seguimos ordenándolos de menor a mayor, hasta llegar al número mayor de la serie. Ejemplo: –8 < –6 < 0 < 7 < 9 b. Orden descendente (de mayor a menor) • Escribimos el mayor de los positivos y a su derecha seguimos colocando los de menor valor, hasta llegar al menor de la serie. Ejemplo: 14 > 5 > 0 > –3 > –8 4.
Utilidad de los números enteros Los números enteros se utilizan para:
4.1 Medir el tiempo en la historia 4.2 Medir temperaturas 4.3 Medir la altura y la profundidad respecto al nivel del mar 4.4 Calcular ingresos y gastos
300
IGER − Quiriguá
Ejercicio 6. A. Complete el mapa conceptual del conjunto de los números enteros.
Z Z+
Z–
B.
Localice los números de cada conjunto en la recta numérica y escríbalos bajo el punto correspondiente. Algunos números ya están identificados. 0)
1)
A = { –7, –4, –2, 0, 2, 6 }
–7
–4
–2
0 C = { –6, –3, –2, 0, 1, 7 }
C.
6
B = { –5, –3, –1, 0, 2, 3}
2)
2
0
0
Determine el valor absoluto de los números dados. Tiene un ejemplo. 0)
| –9 | =
9
2)
| –104 | =
1)
| 89 | =
3)
| 675 | =
4)
| –1234 | =
5)
| 9870 | =
Ejercicio 7. A.
Compare las siguientes parejas de números enteros, escribiendo sobre la línea el símbolo > (mayor que) o el símbolo < (menor qué). Tiene un ejemplo. 0) –8 > –20
3)
0
8
6)
1) 16
–16
4)
–15
16
7)
–9
0
2) –43
43
5)
93
64
8)
8
–1
7
–5
Matemática − Semana 17
301
B.
Lea la siguiente información.
Altura y temperatura promedio de algunos departamentos del Occidente de Guatemala
(sobre el nivel del mar)
Altura
Temperatura máxima registrada
San Marcos
2,398 m
23 grados
1 grado
Quiché
2,021 m
19 grados
1 grado bajo cero
Huehuetenango
2,000 m
22 grados
2 grados bajo cero
Totonicapán
2,495 m
18 grados
5 grados bajo cero
Quetzaltenango
2,333 m
22 grados
6 grados bajo cero
Sololá
2,113 m
22 grados
4 grados
Departamento
C.
Ordene en forma ascendente los departamentos por su altura. Tiene un ejemplo. Departamento
Altura
(sobre el nivel del mar)
Huehuetenango
D.
302
Temperatura mínima registrada
2000 m
Ordene en forma descendente los departamentos por sus temperaturas mínimas y exprése los grados como números enteros. Tiene un ejemplo.
IGER − Quiriguá
Departamento
Temperatura mínima
Grados en números enteros
Sololá
4 grados
+4
5. Suma y resta de números enteros 1.1 Suma de enteros con signos iguales
Se suman los valores absolutos de las cantidades y se conserva el signo de los sumandos. Ejemplos:
7 + 5 = 12 (–4) + (– 6) = – (4 + 6) = –10
1.2 Suma de enteros con signos diferentes Se restan los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo de la cantidad con mayor valor absoluto. Ejemplo:
8 + (–12) = – (12 – 8) = –4
1.3 Sumas con más de dos cantidades con signos diferentes: Cuando tenemos más de dos números enteros con signo diferente: • sumamos por un lado los positivos, • sumamos por otro lado los negativos y • restamos los resultados anteriores, colocando el signo del número con mayor valor absoluto. 2.
Números opuestos El opuesto de un número es el mismo número, pero con signo contrario. Por ejemplo:
3.
El opuesto de 18 es (–18)
Resta de enteros Sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo. Ejemplo: (–10) – 12 = (–10) + (–12) = – (10 + 12) = –22
4.
El signo menos delante de un signo de agrupación Un signo menos delante de un signo de agrupación cambia los signos de todos los números que están dentro de él. Ejemplo:
– (6 + 3 – 4) = –6 – 3 + 4 =
–9+4=
– (9 – 4) = –5 Matemática − Semana 17
303
Ejercicio 8. A.
B.
C.
304
Realice las sumas de números enteros con el mismo signo. Recuerde que debe sumar los valores absolutos y colocar el mismo signo. Tiene un ejemplo. 0)
(–6) + (–8) = – (6 + 8)
= –14
4) 12 + 8 =
=
1)
(–3) + (–2) =
=
5)
(–2) + (–16) =
=
2)
(–9) + (–4) =
=
6) 13 + 4 =
=
3) 7 + 2 =
=
7)
=
(–6) + (–5) =
Realice las operaciones con signo diferente. Tiene un ejemplo. 0)
12 – 4 =
8 6) 19 + (–3) =
1)
16 – 8 =
7) 14 + (–4) =
2)
10 – 9 =
8) 15 + (–9) =
3) 9 – 12 =
9)
(–7) + 3 =
4) 8 – 15 =
10)
(–4) + 8 =
5) 6 – 10 =
11)
(–6) + 7 =
Realice las operaciones de varias cantidades. Tiene un ejemplo. 0)
(–435) + 89 (–43) =
positivos: 89 positivos:
negativos: (–435) + (–43) = (–478)
negativos:
resultado: (–478) + 89 = (–389)
resultado:
2)
35 + 56 + (–32) + (–89) + (–72) =
3)
positivos:
positivos:
negativos:
negativos:
resultado:
resultado:
IGER − Quiriguá
1)
45 + (–76) + (–89) + (–102) + 34 =
(–57) + (–342) + 645 =
Ejercicio 9. A.
Realice las restas. Hágalo con la ayuda de la tabla. Tiene un ejemplo. resta
minuendo
sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
12
(–6)
6
12 + 6 =
18
12 – (–6) = (–14) – 7 = 18 – 9 = (–4) – (–6) = 11 – (–3) = B.
Realice las restas. Sume al minuendo el opuesto del sustraendo. Tiene un ejemplo. = –6
3)
(–5) – (–12) =
=
1) 19 – 20 =
=
4)
(–3) – 9 =
=
2)
(–22) – 12 =
=
5) 15 – (–3) =
=
3) 9 – (–4) =
=
6)
=
0)
C.
(–14) – (–8) =
(–14) + 8
(–7) – (–14) =
Realice las sumas y restas. Inicie eliminando signos de agrupación. Recuerde que un signo menos delante, cambia todo lo que está dentro. Tiene un ejemplo. 0)
5 – (–3 + 7 + 2) = 5 + 3 – 7 – 2
5+3=8 –7 – 2 = –9 – (9 – 8) = –1
1)
2)
3)
–8 – (3 + 5 + 6) + 2 =
7 – (–4 – 6 – 9 + 6) =
4)
–4 + (6 + 2 – 3) =
5 – [ (–4) + 2 ] =
5)
2 – (7 + 5 – 6 ) =
Matemática − Semana 17
305
6. Multiplicación y división de números enteros 1.
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros: •
Multiplicamos primero los signos, aplicando la ley de signos.
•
Multiplicamos los valores absolutos de las cantidades. Ley de signos:
+ x + = +
3 x 7 = 21
–
– = +
(–3) x (–7) = 21
+ x – = –
3 x (–7) = –21
–
(–3) x 7 = –21
x
x
+ = –
1.1 Multiplicación de números enteros con más de dos factores
Para multiplicar números enteros con más de dos factores: •
asociamos los números enteros en parejas.
•
multiplicamos primero los signos y luego los valores absolutos de los números.
2.
División de números enteros
Para dividir números enteros: •
dividimos primero los signos, aplicando la ley de signos.
•
dividimos los valores absolutos de las cantidades. Ley de signos:
306
IGER − Quiriguá
+ ÷ + = +
21 ÷ 7 = 3
– ÷ – = +
–21 ÷ (–7) = 3
+ ÷ – = –
21 ÷ (–7) = –3
– ÷ + = –
(–21) ÷ 7 = –3
Ejercicio 10. A.
Rellene el cuadro que completa cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0)
El resultado de 4 x 8 es...
32 –24 2
1)
Cuando multiplicamos dos cantidades con signo positivo el resultado es...
más (positivo) menos (negativo) igual
2)
Cuando dividimos dos cantidades con diferente signo, el resultado es...
más (positivo) menos (negativo) igual
3)
El resultado de 18 ÷ (–2) es...
–9 9 8
4)
El resultado de (–16) ÷ 4 es...
–4 3 4
5)
El resultado de (–6) x 7 es...
–42 42 56
6)
El resultado de (–90) ÷ (–9) es...
–10 10 56
7)
La ley de signos es igual para la multiplicación y la división...
nunca a veces siempre
Matemática − Semana 17
307
B.
C.
Multiplique y divida números enteros. Tenga en cuenta la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0)
(–2) x 7 = (–14)
5) 35 ÷ (–7) =
1)
23 x 2 =
6) 49 ÷ (–7) =
2) 5 x (–3) =
7)
3)
(–8) ÷ 2 =
8) 36 ÷ (–6) =
4)
(–8) x (–3) =
9) 8 x (–5) =
(–72) ÷ (–8) =
Realice las operaciones siguiendo los pasos que estudió: asocie los números en parejas, obtenga resultados parciales y luego multiplique o divida para obtener el resultado final. Tiene un ejemplo. 0)
[ 5 x (–2) ] x 3 = 7)
–10 x 3 = –30
308
[ (–3) x (–8) ] ÷ [ (–2) x 2 ] =
1)
(–4) x (–2) x 5 = 8)
( 8 ÷ 2 ) x [ 3 x (–2) ] =
2)
6 x 7 ÷ (–1) = 9)
[ 63 ÷ (–9) ] x [ (–4) x (–2) ] =
3)
9 x 8 ÷ (–4) =
10)
(–1) x (–5) x 9 ÷ 3 =
4)
[ 3 x (–5)] x (–3) =
11)
[ 2 x (–3) ] x [ 4 x (–3) ] =
5)
[ 36 ÷ (–6) ] x 7 =
12)
[ 9 ÷ (–3) ] x [ (–1) x 7 ] =
6)
(–63) ÷ (–9) x (–5) =
13)
[ 14 ÷ (–7) ] x [ 81 ÷ (–9) ] =
IGER − Quiriguá
7. Operaciones combinadas y jeraquía de operaciones 1.
Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones
Las operaciones combinadas reúnen varias operaciones en una sola, es decir, son operaciones que combinan sumas, restas, multiplicaciones o divisiones.
La jerarquía de operaciones establece el orden y la forma de realizar las operaciones.
Para resolver correctamente una operación combinada se deben seguir estas reglas:
Regla 1
Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupa-
{[()] }
ción: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia fuera.
Regla 2
En segundo lugar, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones
x ÷
en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
Regla 3
Por último, se resuelven las sumas y restas, también en el
+ –
orden en que se presenten, de izquierda a derecha. 2.
Operaciones combinadas sin signos de agrupación • Estas operaciones las resolvemos siguiendo el orden establecido en la jerarquía de las operaciones. • Si las operaciones son de la misma categoría, se realizan en el orden que aparecen, de izquierda a derecha.
3.
Operaciones combinadas con signos de agrupación • Eliminamos primero los signos de agrupación de dentro hacia afuera: paréntesis, corchetes y llaves. • Aplicamos después las reglas 2 y 3 de la jerarquía de operaciones.
Matemática − Semana 17
309
Ejercicio 11. Practique las operaciones combinadas. Tenga en cuenta la jerarquía de operaciones. Fíjese en el ejemplo. 0)
[ (–6) + 4 x 2 + 3 ] + [ (–2) x 5 + (–4) ]
7)
[ (16 ÷ 2) x (12 ÷ 6) ] =
[ (–6) + 8 + 3 ] + [ (–10) + (–4) ] = [ 2 + 3 ] + (–14) = 5 + (–14) = –9
310
1)
5 + (–12) ÷ 3 =
8)
[ 18 ÷ (–3) ] x [ 5 + (–15) ] =
2)
2+6÷2=
9)
(–6) + 9 + (–3) + 25 ÷ 5 =
3)
36 ÷ 18 x 6 =
10)
(–6) + 4 x 1 + 3 + (–5) =
4)
5 – [ (4 + 3) x (7 – 4) ] =
11)
[ (4 x 5) – (3 + 6 ) ] =
5)
65 + [ (14 ÷ 7) x 3 ] =
12)
7 + [ (18 – 15) x (3 + 2) ] =
6)
6 x (–4) + 25 ÷ 5 + (–1) =
13)
5 x [ (–10) ÷ 5 ] + [ 8 ÷ (–4) ] =
IGER − Quiriguá
8. Potenciación 1.
Potenciación de números enteros Una potencia es una multiplicación abreviada de un número por sí mismo. Una potencia está formada por dos partes:
base
1.1 Lectura de potencias
23
exponente
Para leer una potencia, primero se menciona la base, luego la expresión ‟elevado a” y por último el exponente. El exponente 2 se lee ‟al cuadrado” y el exponente 3 se lee ‟al cubo”. Ejemplos:
72 se lee: ‟siete al cuadrado”
33 se lee: ‟tres al cubo”
1.2 Desarrollo de una potencia
Desarrollar una potencia es calcular el resultado de la multiplicación que expresa.
Ejemplo:
2.
Reglas de potenciación
Regla 1 • Si la base es positiva, el resultado es positivo. 52 = 25
103 = 10 x 10 x 10 = 1000
•
Si la base es negativa, pueden darse dos casos:
a) Si el exponente es par, el resultado es positivo. (–6) 2 = 36
b) Si el exponente es impar, el resultado es negativo. (–6) 3 = –216
Regla 2 Todo número elevado al exponente 0 da como resultado 1. (–15)0 = 1
Regla 3 Todo número entero elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número. 631 = 63
3.
Multiplicación y división de potencias a.
Multiplicación de potencias con igual base
Se copia la base y se suman los exponentes. 63 x 62 = 63 + 2 = 65
b.
Multiplicación de potencias con diferentes bases y exponentes iguales
Se multiplican las bases y se copia el exponente.
c.
División de potencias con igual base
Se copia la base y se restan los exponentes.
d.
División de potencias con diferente base y exponentes iguales
Se dividen las bases y se copia el exponente.
32 x 52 = (3 x 5)2 = 152
85 ÷ 83 = 85 ‒ 3 = 82
143 ÷ 73 = (14 ÷ 7)3 = 23 Matemática − Semana 17
311
Ejercicio 12. A.
Escriba en forma de potencia las siguientes multiplicaciones. Guíese por el ejemplo. 3 x 3 = 32
0) B.
1)
5x5x5x5=
4x4x4x4x4x4
3) 78 =
Complete los espacios vacíos de la tabla. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)
249
1)
15²
2)
9⁶
3)
E.
Base
Potencia
24
9
veinticuatro elevado a la potencia nueve
5
8
cinco elevado a la potencia ocho
Se lee
Desarrolle cada potencia. Tenga en cuenta las reglas de potenciación. Tiene un ejemplo. 0) (–4)2 = (–4) x (–4)
= 16
4) (–3)3 =
=
1) 32 =
=
5) (–6)2 =
=
2) 170 =
=
6)
113 =
=
3) 141 =
=
7)
23 =
=
Realice las operaciones de potencias y exprese el resultado como potencia. Tiene un ejemplo. 0) 810 ÷ 88 =
312
9x9x9x9x9x9x9=
2) 392 =
1) 163 =
D.
2)
Exprese cada potencia como producto. Guíese por el ejemplo. 0) 46 =
C.
8 10 – 8
=
8 2 8) 186 ÷ 36 =
1) 26 x 22 =
=
9) 34
2) 33 x 34 =
=
3) (–7)2 x (–3)2 =
=
4)
59 x 53 =
=
÷ 32 =
=
10) 244 ÷ (–3)4 =
=
11) 818 ÷ 98 =
=
=
12) 272 ÷ 92 =
=
5) 44 x 24 =
=
13) 355 ÷ 75 =
=
6) 34 x 32 =
=
14) 248 ÷ 244 =
=
7) 85 x 25 =
=
15) (–6)4 x (–2)4 =
=
IGER − Quiriguá
Razonamiento lógico Resolución de problemas La prueba de evaluación contiene problemas relacionados con los temas de estas ocho semanas. Recuerde leer atentamente cada problema, tomar en cuenta los datos que le dan y responder a lo que le piden. Además de repasar los problemas de cada semana, resuelva los que vienen a continuación: 1)
Lea los movimientos de la cuenta bancaria de Marisela y averigüe cuánto dinero le queda en su cuenta:
a. Tenía 2,500 quetzales ahorrados en su cuenta del Banco.
b. Sacó 850 quetzales para pagar el alquiler de la casa.
c. Depositó 1,500 quetzales del salario de la quincena.
d. Sacó 950 quetzales para la compra de víveres y útiles escolares.
2)
Carmen recibe 3 libras de frijol a la semana, durante 8 semanas. La primera semana consume 1, la segunda consume 3, la tercera 2, la cuarta 1, la quinta 1, la sexta consume 2, la séptima consume 3 y la octava consume 2. ¿Cuántas libras de frijol le quedan?
3)
Tres barcos salen del mismo puerto. El primero sale cada 10 días, el segundo cada 12 días y el tercero cada 15 días. Si hoy salen los tres juntos, ¿cuántos días tienen que pasar para que vuelvan a salir juntos?
4)
Margarita quiere dividir en partes iguales tres piezas de tela que miden 12, 15 y 21 yardas. ¿Cuántas pedazos puede cortar de cada pieza de tela? y ¿cuántos pedazos tiene en total?
5)
Tres hermanos recibieron como herencia un terreno valorado en 210,000 quetzales. Para poder venderlo y repartir el dinero, deben pagar una hipoteca de 12,876 quetzales. Mercedes, la hermana mayor, adelantará el dinero para el pago de la hipoteca y lo recobrará cuando se venda el terreno.
a. ¿Cuánto debe aportar cada hermano para pagar la hipoteca?
b. ¿Cuánto recibirá cada uno, descontando el pago que deben hacer?
c. ¿Cuánto recibirá Mercedes en total, incluido el pago del préstamo?
6)
Se empacaron borradores en bolsas de 24 borradores cada una. En cada caja caben 24 bolsas.
a. ¿Cuántos borradores hay en una caja? Exprese el resultado como potencia.
b. ¿Cuántos borradores hay en 24 cajas? Exprese el resultado como potencia.
Matemática − Semana 17
313
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Identifico números primos y compuestos. Comprendo y realizo la descomposición factorial de dos o más números. Identifico los múltiplos de un número, encontrando por inspección los comunes. Identifico y encuentro el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números. Identifico y encuentro el máximo común divisor (MCD) de dos o más números. Identifico el conjunto de números enteros y su utilidad. Ordeno y comparo números enteros. Realizo las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), con el conjunto de números enteros. Realizo operaciones combinadas aplicando la jerarquía de operaciones. Resuelvo ejercicios de potenciación. Resuelvo problemas de aplicación de los temas vistos en las semanas 9 a 16.
Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.
314
IGER − Quiriguá
Claves
Matemática − Claves
315
Semana 1
Semana 2
¡Para comenzar!
¡Para comenzar!
1) • La teoría de conjuntos. • Aritmética de los números infinitos. 2) La redacción variará según su compromiso.
1) Introdujo el sistema de representación de conjuntos, utilizando los diagramas de Venn. 2) Para representar conjuntos. 3) Porque superaban a los anteriores en claridad y sencillez.
Lenguaje matemático conjunto vacío
Lenguaje matemático
Ejercicio 1
encerrar los elementos de un conjunto.
0) matemática, comunicación y lenguaje, ciencias sociales. Cardinalidad 3 1) norte, sur, este, oeste. Cardinalidad 4
Ejercicio 2 0) La cardinalidad de este conjunto es 5 Es un conjunto finito 1) La cardinalidad de este conjunto es 1 Es un conjunto unitario
Ejercicio 3 0) Sí, tiene cero elementos. ¿Por qué? Porque no hay ningún número impar que se pueda dividir exactamente entre dos. El conjunto I es un conjunto vacío. 1) No, ¿Por qué? Porque no podemos contar todos los granos de arena del mar. El conjunto G es un conjunto infinito.
Ejercicio 1 0) T = { Números pares menores que 22 } 1) N = { Números dígitos } Ejercicio 2 0)
C
•4 •3
1)
P
•5
• norte • sur
• este
• oeste
Ejercicio 3 0) M = { 3, 4, 5, 6, 7 } 1) N = { r, o, m,a } Puede ser: 2) A = { Álvaro, Ana, Alejandro }
Ejercicio 4 0) P = { 8, 10, 12,... 456 } 1) L = { j, k, l,... w } 2) I = { 1, 3, 5,... 999 } 3) M = { enero, febrero, marzo,... diciembre } 4) H = { 0, 1, 2,... 500 }
316
IGER − Quiriguá
Semana 3
Semana 4
¡Para comenzar!
¡Para comenzar!
1) Pueden ser dos de las siguientes: • Cuerpo cubierto con plumas • Se reproducen por medio de huevos • Tienen 2 patas • Tienen un par de alas • Su incubación dura entre 10 y 12 días y algunas pueden prolongarse hasta 84 días. 2) • rapaces • terrícolas • marinas
1) Marcaban con señales. 2) Como una necesidad de contar
Ejercicio 1 0) colibrí 1) loro 2) mirlo 3) canario
P 4) quetzal P 7) ruiseñor P P 5) gorrión P 8) cenzontle P P 6) jilguero P 9) golondrina P P
Ejercicio 2 A. 0) gallo M 1) grulla M B. 0) a L 1) m L 2) & L
2) garza M 3) búho M 3) $ L 4) b L 5) # L
4) faisán M 5) águila M
Ejercicio 2 1) 2)
4) 5)
6) Ω L 7) A V L 8) L
0
3 4
0 0
11
5
11
7
2
6
10
5
0 0
13
13
9 8
3
12
Ejercicio 3 0) 5 1) 7 2) 15 3) 18 4) 18 5) 99
Ejercicio 3 M M M
> 3 < 11 > 10 = 18 > 13 < 100
6) 67 > 57 7) 89 < 98 8) 875 > 857 9) 5342 < 5375 10) 9485 > 9358 11) 2001 < 2011
Ejercicio 4 A. 1) ascendente 2) descendente 3) descendente
Ejercicio 4 A. 0) E
A. Puede ser una de las siguientes: • Su primer elemento es el cero. • Es un conjunto infinito. • Todo número, menos el cero, tienen un número que lo antecede y uno que lo sucede. B. 104, 105, 106 1278, 1279, 1280
3)
C. 1) 6 D 2) 25 D
0) A 1) B 2) C
Ejercicio 1
V
1) F V
2) G
B. 0) H P 1) I P 2) J P
3) K P 4) H I 5) H J
6) I K 7) K I 8) K J
V
B. 1) 61, 111, 175, 198, 342, 411 2) 516, 556, 741, 785, 806 C. 1) 124, 67, 56, 41, 23, 17 2) 15, 14, 11, 10, 8 3) 285, 237, 185, 141, 102
Matemática − Claves
317
Semana 5 ¡Para comenzar! 1) Sirve para facilitar cálculos sencillos de sumas, restas y multiplicaciones. 2) 234,567
Lenguaje matemático = igual ≠ no igual
Ejercicio 1 suma resta multiplicación división 5 + 6 = 11 11 – 6 = 5 8 x 3 = 24 24 ÷ 8 = 3 9 + 8 = 17 17 – 8 = 9 9 x 5 = 45 45 ÷ 9 = 5 3 + 7 = 10 10 – 7 = 3 7 x 4 = 28 28 ÷ 7 = 4
Ejercicio 2 A. 0) 5 + 2 = 2 + 5 2) 6 + 2 = 2 + 6 7 = 7 8 = 8 1) 8 + 7 = 7 + 8 15 = 15 B. 0) (7 + 4) + 2 = 7 + (4 + 2) 11 + 2 = 7 + 6 13 = 13 1) (5 + 9) + 6 = 5 + (9 + 6) 14 + 6 = 5 + 15 20 = 20 C. 0) 169 + 0 = 169 1) 24 + 0 = 24 2) 200 + 0 = 200 3) 345 + 0 = 345
Ejercicio 3 A. 0) 7 x 5 = 5 x 7 2) 3 x 4 = 4 x 3 35 = 35 12 = 12 1) 1 x 14 = 14 x 1 3) 8 x 2 = 2 x 8 14 = 14 16 = 16 B. 0) 3 x (2 x 5) = (3 x 2) x 5 3 x 10 = 6 x 5 30 = 30
318
IGER − Quiriguá
1) (8 x 2) x 1 = 8 x (2 x 1) 16 x 1 = 8 x 2 16 = 16 2) (2 x 3) x 6 = 2 x (3 x 6) 6 x 6 = 2 x 18 36 = 36 3) 7 x (5 x 8) = (7 x 5) x 8 7 x 40 = 35 x 8 280 = 280 C. 0) 89 x 1 = 89 1) 1 x 46 = 46 2) 47 x 1 = 47 D. 0) 2 x (3 + 2) = (2 x 3) + (2 x 2) 2 x 5 = 6 + 4 10 = 10 1) 5 x (10 – 2) = (5 x 10) – (5 x 2) 5 x 8 = 50 – 10 40 = 40 2) 3 x (6 + 3) = (3 x 6) + (3 x 3) 3 x 9 = 18 + 9 27 = 27 3) 5 x (5 – 2) = (5 x 5) – (5 x 2) 5 x 3 = 25 – 10 15 = 15
Ejercicio 4 A. Los números variarán. Verificar que el ejemplo ilustre la propiedad. Propiedad Conmutativa Asociativa Elemento neutro Distributiva respecto a la suma Distributiva respecto a la resta
B. 0) 1) 2) 3)
D 24 30 100 86
C. 0) 24 ÷ 1 = 24 1) 204 ÷ 1 = 204
d 3 6 20 2
Ejemplo: 10 x 5 = 5 x 10 (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 10 x 1 = 10 5 x (1 + 3) = (5 x 1) + (5 x 3) 10 x (5 – 2) = (10 x 5) – (10 x 2)
c 8 5 5 43 2) 503 ÷ 1 = 503 3) 726 ÷ 1 = 726
Semana 6 ¡Para comenzar! 1) Puede escribir tres de los siguientes aportes: • Estudio de los números pares e impares • Estudio de los números primos • Estudio de los cuadrados • El Teorema de Pitágoras o de la hipotenusa 2) Era el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.
Ejercicio 1 A. 1)
6x
M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24 }
2) 2x
0 = 0 3s) 1 = 6 2=1 2 8x 3 = 18 4 = 24
M(8) = { 0, 8, 16, 24, 32 }
0 = 0 4) 1 = 2 9x 2 = 4 3 = 6 4 = 8
M(2) = { 0, 2, 4, 6, 8 }
0 = 0 1 = 8 2 = 16 3 = 24 4 = 32 0 = 0 1 = 9 2 = 18 3 = 27 4 = 36
M(9) = { 0, 9, 18, 27, 36 }
B. 1)
7 2 14 – 14 0
3)
No, es imposible porque son infinitos
Ejercicio 2 A. 0) El 0, porque 0 es el primer múltiplo de todo número natural. 1) Sí, es múltiplo de sí mismo porque 1454 = 1454 x 1 2) Sí, es múltiplo del número uno porque 589 = 1 x 589 3) Sí, porque el resultado de multiplicar varios números, es múltiplo de dichos números. B. 1) 40 = 4 x 10 40 = 5 x 8 40 = 2 x 20 Por lo tanto, 40 es múltiplo de 4, 5 y 2. C. 12 y 36 son múltiplos de 6 porque 6 x 2 = 12 y 6 x 6 = 36 12 + 36 = 48 48 = 6 x 8 Por lo tanto, 48 es múltiplo de 6.
Ejercicio 3
5 5 25 – 25 0 Responda: sí, porque 5 x 5 = 25.
A. 1) 14 ÷ 1 = 14 14 ÷ 2 = 7 14 ÷ 7 = 2 14 ÷ 14 = 1
5 3 17 – 15 2 Responda: No, porque la división es inexacta.
5 6 32 – 30 2
Responda: No, porque la división es inexacta.
4)
D.
Responda: sí, porque 2 x 7 = 14 2)
C. 0) 24 es múltiplo de 3 porque 24 = 3 x 8 1) 25 es múltiplo de 5 porque 25 = 5 x 5 2) 14 es múltiplo de 7 porque 14 = 7 x 2 3) 70 es múltiplo de 10 porque 70 = 10 x 7 4) 100 es múltiplo de 10 porque 100 = 10 x 10 5) 65 es múltiplo de 5 porque 65 = 5 x 13 6) 16 es múltiplo de 4 porque 16 = 4 x 4
D(14) = { 1, 2, 7, 14 }
2) 10 ÷ 1 = 10 10 ÷ 2 = 5 10 ÷ 5 = 2 10 ÷ 10 = 1 D(10) = { 1, 2, 5, 10 }
Matemática − Claves
319
Semana 7 B. 1) 16 ÷ 8 = 2 con residuo 0 La división es exacta 8 es divisor de 16 2) 16 ÷ 3 = 5 con residuo 1 La división es inexacta 3 no es divisor de 16
Ejercicio 4 A. 1) D(15) = { 1, 3, 5, 15 } 2) D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } 3) D(8) = { 1, 2, 4, 8 } B. 1) 2)
¡Para comenzar! 1) Puede ser: aritmética básica, fracciones, progresiones, reparto proporcional, regla de tres, trigonometría, problemas matemáticos, ecuaciones, medición de áreas y volúmenes. 2) Un documento para enseñar o un cuaderno de notas de un alumno.
Ejercicio 1 8
546
345
706
342
403
181
876
196
135
236
105
685
231
434
230
506
344
903
545
126
987
870
805
Ejercicio 2 A.
Números
57 ÷ 1 = 57 1
0)
27
1)
139
2)
56373
Suma de las cifras
¿Es divisible entre 3?
2+7=9
Sí
1 + 3 + 9 = 13
No
5 + 6 + 3 + 7 + 3 = 24
Sí
3)
131457
1 + 3 + 1 + 4 + 5 + 7 = 21
Sí
4)
654328
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 8 = 28
No
5)
723452
7 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 = 23
No
Ejercicio 3 A. 552 – 3120 – 444675 – 8756 – 55559 – 4461125 – 6765431 B. 35475 – 83455 – 43350 – 758970 – 3632300 C. Número Divisible entre 10 Divisible entre 100 Divisible entre 1000
0) 1) 2) 3) 4) 5) 6)
320
IGER − Quiriguá
8700 345000 7780 593400 843000 567800 123450
x x
x x x x x
Semana 8 El mundo de la matemática Ejercicio 1 A. 0) S = { ojos, nariz, boca, oídos, piel }
5
1) O = { suma, resta, multiplicación y división }
4
2) I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }
10
3) P = { 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 }
10
4) D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }
7
Ejercicio 3 B. 0) Juan S 1) Marina W 2) Elvira E
3) Lucas V 4) Matilde T 5) Juan Z
C. 0) 1 1) 5 2) 4
P P P
3) 86 4) 17 5) C
P P P
6) 50 7) 100 8) 14
D. 0) M 1) L
N N
2) A 3) R
V N
4) G 5) S
B. 0) M es un conjunto finito 1) R es un conjunto finito 2) S es un conjunto vacío 3) J es un conjunto unitario
Ejercicio 4 A. 0)
4
5
6
C. La redacción variará pero debe mantener la idea central.
1)
100
101
102
0) los útiles escolares 1) los departamentos de Guatemala 2) la ropa de mujer 3) accesorios de belleza 4) de muebles 5) de ropa de cama
2) 4764
4765
4766
3) 6340
6341
6342
Ejercicio 2 A. 0) C = { Países de Centro América } 1) D = { Nombres de los dedos de la mano }
1)
B. 0)
B. 0) I = { 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 } 1) M = { febrero, abril, junio, septiembre, noviembre } C. 0)
1)
L
S
• ca • ma • rón
• co • mu • ca • ni • ción
D. 0) E = { enero, febrero, marzo…, diciembre } 1) F = { a,b,c…,z } 2) G = { 0,1,2…,999 }
2)
0
2
0
4 3
6 6
8
P P P V V
10 9
12
7 8 9 10
0
C. 0) 9 < 14 1) 23 > 19 2) 54 < 89 3) 92 > 89 4) 651 = 651 5) 812 > 802 6) 3899 < 3988 7) 7412 < 7413 D. Nombre Fabiola Luis Irma Fernando Francisco
Nota 97 89 75 65 54 Matemática − Claves
321
E. País Alemania Japón Rusia Pakistan
Millones de habitantes 82 127 144 154
F. Departamento Petén Izabal Quiché Huehuetenango Escuintla San Marcos Santa Rosa Chiquimula Sacatepéquez
Superficie (km2) 35,854 9,030 8,378 7,400 4,383 3,791 2,935 2,376 465
Ejercicio 5 A. 0) propiedad conmutativa de la suma 1) propiedad asociativa de la suma 2) propiedad elemento neutro de la suma 3) propiedad distributiva respecto a la suma 4) propiedad elemento neutro de la multiplicación B. 0) 14 + 6 = 6 + 14 20 = 20 1) 7 + 5 = 7 + 5 12 = 12 2) 24 + 6 + 10 = 10 + 24 + 6 40 = 40 3) 12 + 3 = 3 + 12 15 = 15 C. 0) 7 x 5 = 5 x 7 2) 24 x 2 = 2 x 24 35 = 35 48 = 48 1) 12 x 5 = 5 x 12 3) 20 x 5 = 5 x 20 60 = 60 100 = 100 D. 0) (7 x 3) x 2 = 7 x (3 x 2) 21 x 2 = 7 x 6 42 = 42
322
IGER − Quiriguá
1) 5 x (2 x 3) = (5 x 2) x 3 5 x 6 = 10 x 3 30 = 30
2) (8 x 2) x 5 = 8 x (2 x 5) 16 x 5 = 8 x 10 80 = 80
3) 5 x (2 x 4) = (5 x 2) x 4 5 x 8 = 10 x 4 40 = 40
E. 0) 42 + 0 = 42 1) 987 + 0 = 987
2) 0 + 521 = 521 3) 850 + 0 = 850
F. 0) 678 x 1 = 678 1) 1 x 65 = 65
2) 1 x 81 = 81 ó 81 x 1 = 81 3) 1 x 1005 = 1005
G. 0) 5 + 2 + 3 + 5 = (5 + 2) + (3 + 5) = 7 + 8 = 15 1) 21 x 2 x 2 = 21 x (2 x 2) = 21 x 4 = 84 ó (21 x 2) x 2 = 42 x 2 = 84 2) 24 + 21 + 6 + 9 = (24 + 6) + (21 + 9) = 30 + 30 = 60 3) 6 x 2 x 12 = 6 x (2 x 12) = 6 x 24 = 144 ó (6 x 2) x 12 = 12 x 12 = 144 4) 4 x 5 x 5 x 2 = (4 x 5) x (5 x 2) = 20 x 10 = 200 H. 0) (10 + 7) x 5 = (10 x 5) + (7 x 5) 17 x 5 = 50 + 35 85 = 85 1) 200 x (5 – 3) = (200 x 5) – (200 x 3) 200 x 2 = 1000 – 600 400 = 400 2) 6 x (7 + 2) = (6 x 7) + (6 x 2) 6 x 9 = 42 + 12 54 = 54 3) 3 x (7 – 4) = (3 x 7) – (3 x 4) 3 x 3 = 21 – 12 9=9 4) 8 x (10 – 4) = (8 x 10) – (8 x 4) 8 x 6 = 80 – 32 48 = 48 5) 100 x (9 + 2) = (100 x 9) + (100 x 2) 100 x 11 = 900 + 200 1100 = 1100 6) 7 x (4 + 3) = (7 x 4) + (7 x 3) 7 x 7 = 28 + 21 49 = 49 7) 5 x (8 – 2) = (5 x 8) – (5 x 2) 5 x 6 = 40 – 10 30 = 30
Ejercicio 6 A. 0) M(5) = { 0, 5, 10, 15, 20, 25 } 1) M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15 } 2) M(10) = { 0, 10, 20, 30, 40, 50 } 3) M(2) = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } B. 0) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
D. Números
D(5) = { 1, 5 }
1) B = { 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 } D(9) = { 1, 3, 9 } 2) C = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 18, 20 }
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
3) D = { 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, }
D(6) = { 1, 2, 3, 6 }
4) E = { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 15, 14 }
D(14) = { 1, 2, 7, 14 }
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
5) F = { 1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20 } C. 1) 3x
M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12 }
2) 5x
0 = 0 3) 1 = 3 2 = 6 4x 3 = 9 4 = 12
M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16 }
0 = 0 4) 1 = 5 6x 2=1 0 3=1 5 4=2 0
M(5) = { 0, 5, 10, 15, 20 }
0 = 0 1 = 4 2 = 8 3 = 12 4 = 16
0 = 0 1 = 6 2 = 12 3 = 18 4 = 24
M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24 }
Ejercicio 7 A. 558 – 3120 – 412675 – 9756 – 23559 – 581125 – 9865431 – 9865000 B. 25475 – 89655 – 46550 – 897970 – 2365300 – 5678975 8 C. 663 – 712 – 96321 – 843222 – 738241 – 777656 – 689745 es múltiplo de 3 f
15 66 90 102 299 459 500 1236 3000
Divisible Divisible Divisible Divisible entre 2 entre 3 entre 5 entre 10
x x x
x x
x
x x
x x x
x x x
x
x
E. 1) Los números pueden variar. Verificar que la última cifra de los números sea 0 ó 5 2) Los números pueden variar. Verifique que la suma de las tres cifras sea un múltiplo de 3. 3) Los números pueden variar. Verifique que los números usados sean pares. F. 0) números naturales 6) 0 1) asociativa 7) 51 2) conmutativa 8) 150 3) uno 9) entre 10, 100 y 1000 4) finito 10) 2 5) 0
Agilidad de cálculo mental Actividad 1 0) 6 9) 54 1) 12 10) 56 2) 8 11) 42 3) 25 12) 42 4) 30 13) 40 5) 35 14) 36 6) 32 15) 27 7) 36 16) 16 8) 50
17) 64 18) 63 19) 45 20) 36 21) 28 22) 72 23) 81 24) 24
25) 35 26) 32 27) 49 28) 48 29) 27 30) 24 31) 100 32) 90
Actividad 2 0) 8 6) 64 1) 5 7) 21 2) 2 8) 72 3) 7 9) 49 4) 5 10) 10 5) 5
11) 81 12) 8 13) 9 14) 4 15) 8
16) 6 17) 8 18) 8 19) 7 20) 10
Matemática − Claves
323
Razonamiento lógico
7) 854 – 123 731
1) 7380 5 36900 – 35 19 – 15 40 – 40 0
8) 24 – 3 = 21 21 ÷ 3 = 7
3) R/ M(5) = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 } 4) 175 500 + 156 – 331 331 169 R/ Me quedan 169 quetzales disponibles. 5) Primero: 3500 – 1500 2000 Segundo: 3500
Cuarto:
5000 + 1500 6500
Quinto:
6500 + 1500 8000
Sexto:
3500 + 1500 5000
8000 + 1500 9500
6) Región central = 309 845
Región occidental:
309,845 + 52,642 362,487
Población del país: 309,845 362,487 + 532,321 1,204,653
Región oriental:
362,487 + 169,834 532,321
R/ El país tiene 1,204,653 habitantes.
324
IGER − Quiriguá
R/ Quedan 7 hombres y 14 mujeres. 9) 46 150 x 2 – 92 92 58 R/ El número menor es 58.
2) 9 72 x 8 x 9 72 648 R/ Bordará 648 flores.
Tercero:
3000 – 2339 661
R/ Le deben mandar 661 libras.
R/ A cada uno corresponde 7380 quetzales.
854 731 + 754 2339
10) 26 ÷ 2 = 13 R/ Habrá cortado toda la tela en 13 días.
Semana 9
Semana 10
¡Para comenzar!
¡Para comenzar!
Puede ser: 1) • Realizó la primera medición correcta de la circunferencia de la Tierra. • Inventó la Criba de Eratóstenes. • Dibujó un mapa del ‟mundo entero”. • Diseñó un calendario que incluía años bisiestos. 2) Un método para encontrar números primos.
La redacción puede variar. Verifique que la idea central sea: Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación de factores iguales.
Ejercicio 1
2x
0) 1) 2) 3) 4) 5)
número 12 3 4 10 16 18
divisores primo compuesto 1, 2, 3, 4, 6, 12 x 1, 3 x 1, 2, 4 x 1, 2, 5, 10 x 1, 2, 4, 8, 16 x 1, 2, 3, 6, 9, 18 x
Ejercicio 2
M(2) = { 2, 4, 6, 8, 10 }
8x
M(4) = { 4, 8, 12, 16, 20 }
1 = 8 2 = 16 3 = 24 4 = 32 5 = 40
M(8) = { 8, 16, 24, 32, 40 }
mcm (2, 4 y 8) = 8
M(8) = { 8, 16, 24, 32, 40 } mcm (6 y 8) = 24
12 = 2 x 2 x 3
Por descomposición en factores primos: 3 x 23 = 24 mcm (6 y 8) = 24
Ejercicio 3 1) 18 2 9 3 3 3 1
40 = 2 x 2 x 2 x 5
2) 36 2 18 2 9 3 3 3 1
4x
1 = 4 2 = 8 3 = 12 4 = 16 5 = 20
Por inspección: M(6) = { 6, 12, 18, 24, 30 }
1) 40 2 20 2 10 2 5 5 1
1 = 2 2 = 4 3 = 6 4 = 8 5 = 10
Ejercicio 2
0) 12 2 6 2 3 3 1
Ejercicio 1
24 2 12 2 6 2 3 3 1
18 = 2 x 32 24 = 23 x 3 3 2 2 x 3 = 72 mcm (18 y 24) = 72
36 = 2 x 2 x 3 x 3
Ejercicio 4
4 = 22 6=2x3 22 x 3 = 12 R/ Las camionetas volverán a coincidir dentro de 12 horas, es decir a las 6 de la tarde.
Matemática − Claves
325
Semana 11 ¡Para comenzar!
Ejercicio 4
1. 1783 – 1707 = 76 2. a. geometría b. cálculo c. trigonometría d. álgebra e. teoría de números 3. Pueden ser cualquiera de las siguientes: Fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eurelianas y líneas de Euler.
1) 8 2 4 2 2 2 1
Lenguaje matemático
2) 12 2 6 2 3 3 1
El signo ∑ se llama sumatoria e indica la suma de varios elementos.
Ejercicio 1 D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
15 3 5 5 1
• 8 = 23 15 = 3 x 5 • No tienen factores comunes. • MCD (8 y 15) = 1 25 5 5 5 1
• 12 = 22 x 3 25 = 52 • No tienen factores comunes. • MCD (12 y 25) = 1
MCD (24 y 36) = 12
Ejercicio 5
Ejercicio 2
• 315 = 32 x 5 x 7 3 x 5 = 15
Por inspección: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } D(45) = {1, 2, 3, 5, 9, 15, 45 }
R/ La superficie de cada lote es 15 varas cuadradas.
MCD (18 y 45) = 9 Por descomposición en factores primos: 32 = 9 MCD (18 y 45) = 9
Ejercicio 3 1) 20 2 10 2 5 5 1
24 2 12 2 6 2 3 3 1
28 2 14 2 7 7 1
24 = 23 x 3
28 = 22 x 7
20 = 22 x 5
22 = 4
MCD (20, 24 y 28) = 4
326
IGER − Quiriguá
750 = 2 x 3 x 53
Semana 12
Semana 13
¡Para comenzar!
¡Para comenzar!
• • • • •
El yak + 4300 m La ballena – 500 m El hipopótamo + 675 m El oso panda + 3500 m El cachalote – 900 m
900 a.C.
Prehistoria
–6
–2
1)
–5
–3
0
5
3 2
0
4
6
3) –6 > –8 4) –15 < –3 5) 0 > –10
6) –98 < –16 7) 4 > –14 8) 0 < 5
b) – (9 + 3) = –12 5) – (8 + 3) = –11 6) – (14 + 7) = –21 7) – (11 + 3) = –14 8) – (16 + 8) = –24
0) – (8 – 5) = –3 1) – (9 – 6) = –3 2) – (18 – 5)= –13 3) (14 – 6) = 8 4) – (24 – 12)= –12 5) (9 – 5)= 4
Ejercicio 3
B. –5
–4
8
9
12
1) –200 –45
–7
32
56
104
2) –56 –23
–1
14
32
96
39
34
–16 –45 –110
1) 403 203
34
–96 –107 –501
0) positivos: 28 + 12 = 40 negativos: – (34 + 3) = –37 resultado: 40 – 37 = 3 1) positivos: 37 + 21 = 58 negativos: – (23 + 16) = –39 resultado: 58 – 39 = 19
C. 0) 56
A. a) 10 1) 13 2) 14 3) 39 4) 42
Ejercicio 2
Ejercicio 3
0) –8
1789 d.C.
Edad Moderna
B. (–15) + (–13) = – (15 + 13) = –28
4) 18 5) 14 6) 76 7) 123
A. 0) –5 < –2 1) 3 > –4 2) –100 < 98
Edad Media
Ejercicio 1
Ejercicio 2 0) 2 1) 23 2) 67 3) 89
1492 d.C.
476 d.C.
Edad Contemporánea
Ejercicio 1 0)
año 0
Edad Antigua
Ejercicio 4
2) 659 456 430 200 109 –780
Ejercicio 4 A. –300, +300 B. –800, +900, +64, –741
A. 0) (–18) 1) 45 2) (–100)
3) (25) 4) (–56) 5) 120
B. 0) 10 + (–10) = 0 1) (–33) + 33 = 0 2) 88 + (–88) = 0
3) 11 + (–11) = 0 4) (–45) + 45 = 0 5) 22 + (–22) = 0
C. 8,850, –417
Matemática − Claves
327
Semana 14 Ejercicio 5
¡Para comenzar!
A.
-50 resta
minuendo
sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
10
4
(–4)
1 0 + (–4) =
6
10 – (–4) =
10
(–4)
4
10 + 4 =
14
(–10) – 4 =
(–10)
4
(–4)
(–10) + (–4) =
–14
(–10) – (–4) =
(–10)
(–4)
4
(–10) + 4 =
–6
B. 0) (–14)+ 8 = –6 1) 11 + (– 15) = – 4 2) (–7) + 10 = 3 3) – (18 + 20) = –38 4) – (16 + 8) = –24 5) (–9) + 6 = –3 6) (12 – 8) = 4
Ejercicio 6 0) 5 + 3 – 7 – 2 = 5+3=8 –7 – 2 = –9 – (9 – 8) = –1 1) 7 – 3 – 1 = 7 –3 – 1 = –4 7–4=3 2) 9 + 4 – 3 = 9 + 4 = 13 –3 13 – 3 = 10 3) 15 – 7 – 2 = 15 –7 – 2 = –9 15 – 9 = 6
-30
-10
-20
0 ºC
10 16
40
50
Zona templada Zona tropical
Ejercicio 1 Ley de signos: + x += + – x–=+ +x– =– – x += –
más por más es igual a más menos por menos es igual a más más por menos es igual a menos menos por más es igual a menos
Ejercicio 2 0) 6 x 8 = 48 8) (–5) x (–6) = 30 1) 3 x 7 = 21 9) (–3) x (–5) = 15 2) 4 x 2 = 8 10) 7 x 3 = 21 3) 5 x (–4) = –20 11) 8 x –2 = –16 4) 7 x (–7) = – 49 12) 4 x 7 = 28 5) (–6) x 2 = –12 13) (–6) x (–5) = 30 6) (–5) x 10 = –50 14) (–3) x (–6) = 18 7) (–4) x (–3) = 12
Ejercicio 3 Le presentamos esta asociación, usted puede asociar de forma distinta pero el resultado debe ser el mismo. 0) [ (–2) x (–3) ] x (2) = +6 x 2 = 12 1) [ (–5) x (–1) ] x (5) = +5 x 5 = 25 2) [ (7) x (2) ] x (–1) = 14 x –1 = –14
4) [ (5) x (3) ] x [ (2) x (–5) ] = 15 x –10 = –150 5) [ (–1) x (–4) ] x [ (2) x (3) ] = 4 x 6 = 24
IGER − Quiriguá
30
Zona fría
3) [ (–2) x (–3) ] x [ (–1) x (2) ] = 6 x –2 = –12
328
23
20
resultado
4 =
10 –
-40
Semana 15 Ejercicio 4
¡Para comenzar!
0) 12 ÷ 12 = 1 1) 40 ÷ 20 = 2 2) 28 ÷ 4 = 7 3) 30 ÷ 6 = 5 4) 15 ÷ (–5) = –3 5) 100 ÷ (–10) = –10 6) (–60) ÷ 10 = –6 7) (–10) ÷ (–5) = 2 8) (–18) ÷ (–2) = 9 9) (–48) ÷ (–6) = 8
Su profesión fue: Filósofa y maestra
Nació y vivió en:
Alejandría, Egipto
Otro dato: Estudió las diferentes religiones.
Hipatia Primera mujer matemática.
Destacó en: En los campos de la Matemática y la Astronomía
Escribió libros sobre: Geometría, álgebra y astronomía
Inventó el: hidrómetro
Ejercicio 1 • Operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola: sumas, restas, multiplicaciones, y divisiones. • La jerarquía de operaciones establece el orden y la forma en que se deben realizar las operaciones combinadas.
Ejercicio 2
A. 0) 4 + 2 x 3 + 7 = 4 + 6 + 7 = 10 + 7 = 17 1) 12 + 5 x (–3) + 63 ÷ (–7) = 12 + (–15) + (–9) = (–3) + (–9) = –12 2) 9 – [ (8 x 2) + (54 ÷ 9) ] = 9 – [ 16 + 6 ] = 9 – 16 – 6 = 9 – 22 = –13 B. 1) 5 + 2 x 8 + 4 = 5 + 16 + 4 = 21 + 4 = 25 2) 10 – { 3 – [ 6 + (7 x 2) ] – 5 } = 10 – { 3 – [ 6 + 14 ] – 5 } = 10 – { 3 – 6 – 14 – 5 } = 10 – 3 + 6 + 14 + 5 = 7 + 6 + 14 + 5 = 13 + 14 + 5 = 27 + 5 = 32
Matemática − Claves
329
Semana 16 ¡Para comenzar!
Ejercicio 4
René Descartes 1596
1619
1616
Nació en
Empezó a
Se graduó
Francia.
elaborar su
en leyes.
filosofía.
1637 Publicó la obra “El
1649 Murió en Estocolmo.
discurso del método”.
Ejercicio 1 Potencias
Base
Exponente
0)
35
3
5
1)
123
12
3
2)
5
4
5
4
3)
105
10
5
Ejercicio 2
A. 0) 89 se lee: ocho elevado a nueve. 1) 72 se lee: siete elevado al cuadrado o siete elevado a dos. 2) 253 se lee: veinticinco elevado al cubo o veinticinco elevado a tres. 3) 67 se lee: seis elevado a siete B. 0) 73 = 7 x 7 x 7 = 343 1) 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 2) 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 3) 33 = 3 x 3 x 3 = 27
Ejercicio 3 Regla 1 0) 11³ = 11 x 11 x 11 = 1331 1) 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 2) (–5)³ = (–5) x (–5) x (–5) = –125 3) (–4)⁴ = (–4) x (–4) x (–4) x (–4) = 256 Regla 2 0) 10⁰ = 1 1) 9⁰ = 1 2) (–34)⁰ = 1 Regla 3 0) 8¹ = 8 1) (–25)¹ = –25
330
IGER − Quiriguá
3) 100⁰ = 1 4) 525⁰ = 1 5) 999⁰ = 1 2) 101¹ = 101
A. Para multiplicar potencias con igual base, se copia la base y se suman los exponentes. 0) 7⁶ x 7⁸ = 76 + 8 = 7¹⁴ 1) 2² x 2⁶ = 22 + 6 = 2⁸ 2) 9³ x 9⁴ = 93 + 4 = 9⁷ 3) 15⁷ x 15⁵ = 157 + 5 = 1512 4) 87¹ x 87⁴ = 871 + 4 = 87⁵ 5) 47⁸ x 47⁵ = 478 + 5 = 47¹³ B. Par multiplicar potencias con bases diferentes y exponentes iguales, se multiplican las bases y se copia el exponente. 0) 7⁴ x 4⁴ = (7 x 4)⁴ = 28⁴ 1) 6⁴ x 3⁴ = (6 x 3)⁴ = 18⁴ 2) 9⁵ x 2⁵ = (9 x 2)⁵ = 18⁵ 3) 10² x 2² = (10 x 2)2 = 20² 4) 128 x 28 = (12 x 2)8 = 248 5) 10⁷ x 1⁷ = (10 x 1)7 = 10⁷
Ejercicio 5 A. Para dividir potencias con igual base, se copia la base y se restan los exponentes. 0) 78⁵ ÷ 78¹ = 785 –1 = 784 1) 9¹² ÷ 9⁶ = 912 – 6 = 9⁶ 2) 7⁸ ÷ 7² = 78 – 2 = 7⁶ 3) 14⁷ ÷ 14¹ = 147 – 1 = (14)⁶ 4) 65¹⁶ ÷ 65² = 6516 – 2 = 6514 5) 99² ÷ 99¹ = 992 – 1 = 991 = 99 6) 103⁷ ÷ 103² = 1037 – 2 = 1035 7) 298⁸ ÷ 298³ = 2988 – 3 = 2985 B. Al dividir potencias con bases distintas y exponentes iguales, se dividen las bases y se copia el exponente. 0) 18⁵ ÷ 2⁵ = (18 ÷ 2)5 = 9⁵ 1) 63¹ ÷ 7¹ = (63 ÷ 7)1 = 9¹ = 9 2) 35² ÷ 5² = (35 ÷ 5)2 = 7² 3) 12² ÷ 2² = (12 ÷ 2)² = 6² 4) 81⁸ ÷ 9⁸ = (81 ÷ 9)8 = 9⁸ 5) 49² ÷ 7² = (49 ÷ 7)2 = 7² 6) 25⁷ ÷ 5⁷ = (25 ÷ 5)7 = 5⁷ 7) 18⁶ ÷ 3⁶ = (18 ÷ 3)6 = 6⁶ 8) 54² ÷ 6² = (54 ÷ 6)2 = 9² 9) 903 ÷ 93 = (90 ÷ 9)3 = 103
Semana 17 El mundo de la matemática Ejercicio 1 A. 0) número primo 1) número compuesto 2) Factorización (descomposición en factores primos) B. número
0) 1) 2) 3) 4) 5) 6)
21 36 83 96 175 257 388
divisores
1, 3, 7, 21 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 1, 83 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 1, 5, 7, 25, 35, 175 1, 257 1, 2, 4, 97, 194, 388
primo compuesto
x x
Ejercicio 4 A. 1)
3x 2)
x x x x x
4x
1 = 3 2 = 6 3 = 9 4 = 12 5 = 15 1 = 4 2 = 8 3 = 12 4 = 16 5 = 20
6x
10 x
1 = 6 2=1 2 3=1 8 4=2 4 5 = 30 1 = 10 2 = 20 3 = 30 4 = 40 5 = 50
B.
Ejercicio 2 Múltiplos 3 46 2 de 3 0) 108 2 1) 23 23 54 2 Múltiplos 5 1 27 3 de 5 9 3 Múltiplos 6 3 3 de 6 1 C. 108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 46 = 23 x 2 1) 15 y 30
6
9
12 15 18 21 24 27 30
10 15 20 25 30 35 40 45 50 12 18 24 30 36 42 48 54 60
4) 6 2) 30 5) 30 2) 99 3 3) 137 137 3) 6, 12, 18, 24 y 30 6) 30 33 3 1 D. 11 11 16 2 0) 12 2 1 6 2 8 2 99 = 3 x 3 x 11 137 = 137 x 1 3 3 4 2 1 2 2 4) 64 2 5) 76 2 1 32 2 38 2 2 16 = 24 12 = 2 x 3 16 2 19 19 4 mcm = 2 x 3 = 16 x3 8 2 1 R/ mcm (12 y 16) = 48 4 2 2 2 80 2 1) 65 5 1 40 2 13 13 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 76 = 2 x 2 x 19 20 2 1 10 2 Ejercicio 3 5 5 0) 7 4) 1 y 11 1 1) 1 5) 17 65 = 5 x 13 80 = 24 x 5 2) 2 6) 4 4 mcm = 2 x 5 x 13 3) 63 R/ mcm (65 y 80) = 1040
Matemática − Claves
331
2) 18 2 9 3 3 3 1
22 2 11 11 1
18 = 2 x 32 22 = 2 x 11 mcm = 2 x 32 x 11 = 2 x 9 x 11
R/ mcm (18 y 22) = 198 3) 110 2 55 5 11 11 1
130 2 65 5 13 13 1
110 = 2 x 5 x 11 136 = 2 x 5 x 13 mcm = 2 x 5 x 11 x 13
14 = 2 x 7 15 = 3 x 5 Factores comunes con menor exponente: 1 R/ MCD (14 y 15) = 1 2) 12 2 6 2 3 3 1
18 2 9 3 3 3 1
12 = 22 x 3 18 = 2 x 32 Factores comunes con menor exponente: 2 x 3 = 6
R/ MCD (12 y 18) = 6 45 3 15 3 5 5 1
R/ mcm (110 y 130) = 1430
3) 39 3 13 13 1
Ejercicio 5 A. 0) D(15) = { 1, 3, 5, 15 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
2) D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
4) 24 2 12 2 6 2 3 3 1
4) D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }
24 = 23 x 3 36 = 22 x 32 Factores comunes con menor exponente: 22 x 3 = 4 x 3 = 12 R/ MCD (24 y 36) = 12
1) D(14) = { 1, 2, 7, 14 } D(28) = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
3) D(25) = { 1, 5, 25 } D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
5) D(22) = { 1, 2, 11, 22 } D(44) = { 1, 2, 4, 11, 22, 44 } B. 0) 75 3 25 5 5 5 1
80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1
75 = 3 x 52 80 = 24 x 5 Factores comunes con menor exponente: 5 R/ MCD (75 y 80) = 5 1) 14 2 7 7 1
332
15 3 5 5 1
IGER − Quiriguá
39 = 3 x 13 45 = 32 x 5 Factores comunes con menor exponente: 3 R/ MCD (45 y 39) = 3
5) 49 7 7 7 1
36 2 18 2 9 3 3 3 1
63 3 21 3 7 7 1
49 = 72 63 = 32 x 7 Factores comunes con menor exponente: 7 R/ MCD (49 y 63) = 7
Ejercicio 6 A.
Ejercicio 8 A. 0) – (6 + 8) = –14 1) – (3 + 2) = –5 2) – (9 + 4) = –13 3) 7 + 2 = 9
Z Enteros
B. 0)
Z–
Z+
Enteros negativos
Enteros positivos
–7
–4
–2
0
2
6
1)
–5
–3
–1 0
2 3
2) –6 C. 0) 9 1) 89 2) 104
–3 –2
0 1
7
Huehuetenango Quiché Sololá Quetzaltenango San Marcos Totonicapán
5) 93 > 64 6) 7 > –5 7) –9 < 0 8) 8 > –1
3) (–57) + (–342) + 645 = positivos: + 645 negativos: (–57) + (–342) = (–399) resultado: 645 – 399 = 246
Altura
Ejercicio 9 A.
(sobre el nivel del mar)
2000 m 2021 m 2113 m 2333 m 2398 m 2495 m
resta
D. Departamento
Sololá San Marcos Quiché Huehuetenango Totonicapán Quetzaltenango
C. 0) (–435) + 89 – (43) = positivos: 89 negativos: (–435) + (–43) = –478 resultado: – (478 – 89) = –389
2) 35 + 56 + (–32) + (–89) + (–72) = positivos: 35 + 56 = 91 negativos: (–32)+ (–89) +(–72) = (–193) resultado: – (193 – 91) = –102
C. Departamento
B. 0) 8 6) 16 1) 8 7) 10 2) 1 8) 6 3) (–3) 9) (–4) 4) (–7) 10) 4 5) (–4) 12) 1
1) 45 + (–76) + (–89) + (–102) + 34 = positivos: 45 + 34 = 79 negativos: (–76) + (–89) + (–102) = (–267) resultado: – (267 – 79) = –188
3) 675 4) 1234 5) 9870
Ejercicio 7 A. 0) –8 > –20 1) 16 > –16 2) –43 < 43 3) 0 < 8 4) –15 < 16
4) 12 + 8 = 20 5) – (2 + 16) = –18 6) 13 + 4 = 17 7) – (6 + 5) = –11
Temperaturas mínimas
4 grados 1 grado 1 grado bajo cero 2 grados bajo cero 5 grados bajo cero 6 grados bajo cero
Grados en números enteros
+4 +1 –1 –2 –5 –6
minuendo sustraendo
opuesto del sustraendo
resolución
resultado
12 – (–6) =
12
(–6)
6
12 + 6 =
18
(–14) – 7 =
(–14)
7
(–7)
(–14) + (–7) =
(–21)
18 – 9 =
18
9
(–9)
18 + (–9) =
9
(–4) – (–6) =
(–4)
(–6)
6
(–4) + 6 =
2
11 – (–3) =
11
(–3)
3
11 + 3 =
14
B. 0) (–14) + 8 = –6 1) 19 + (–20) = –1 2) (–22) + (–12) = –34 3) 9 + 4 = 13
4) (–5) + 12 = 7 5) (–3) + (–9) = –12 6) 15 + 3 = 18 7) (–7) + 14 = 7
Matemática − Claves
333
C. Puede sumar y restar de izquierda a derecha en todos los ejercicios. Acá separamos positivos y negativos. 0) 5 + 3 – 7 – 2 5+ 3 =8 –7 – 2 = –9 – (9 – 8 ) = –1
3) 9 x 8 ÷ (–4) = 72 ÷ – 4 = –18
1) 7 + 4 + 6 + 9 – 6 7 + 4 + 6 + 9 = 26 –6 26 – 6 = 20
6) (–63) ÷ (–9) x (–5) = 7 x –5 = –35
2) 5 + 4 – 2 9–2=7
8) [ 8 ÷ 2 ] x [ 3 x (–2) ] = 4 x – 6 = –24
3) –8 – 3 – 5 – 6 + 2 +2 –8 – 3 – 5 – 6 = –22 – (22 – 2) = –20
9) [ 63 ÷ (–9) ] x [ (–4) x (–2) ] = (–7) x 8 = –56 10) (–1) x (–5) x 9 ÷ 3 = 5x9÷3= 45 ÷ 3 = 15 11) [ 2 x (–3) ] x [ 4 x (–3) ] = (–6) x (–12) = 72 12) [ 9 ÷ (–3) ] x (–1) x 7 ] = (–3) x (–7) = 21
5) 2 – 7 – 5 + 6 2+6=8 –7 – 5 = –12 – (12 – 8) = –4 Ejercicio 10 A. 0) 32 4) –4 1) más 5) –42 2) menos 6) 10 3) –9 7) siempre
C. 0) [ 5 x (–2) ] x 3 = –10 x 3 = –30 1) (– 4) x (–2) x 5 = 8 x 5 = 40 2) 6 x 7 ÷ (–1) = 42 ÷ –1 = –42
334
IGER − Quiriguá
5) [ 36 ÷ (–6) ] x 7 = –6 x 7 = –42
7) [ (–3) x (–8) ] ÷ [ (–2) x 2 ] = 24 ÷ – 4 = –6
4) –4 + 6 + 2 – 3 6+2=8 –4 – 3 = –7 8–7=1
B. 0) (–2) x 7 = –14 1) 23 x 2 = 4 2) 5 x (–3) = –15 3) (–8) ÷ 2 = –4 4) (–8) x (–3) = 24
4) [ 3 x (–5) ] x (–3) = (–15) x (–3) = 45
5) 35 ÷ (–7) = –5 6) 49 ÷ (–7) = –7 7) (–72) ÷ (–8) = 9 8) 36 ÷ (–6) = –6 9) 8 x (–5) = –40
13) [ 14 ÷ (–7) ] x [ 81 ÷ (–9) ] = (–2) x (–9) = 18 Ejercicio 11 0) [ (–6) + 4 x 2 + 3 ] + [ (–2) x 5 + (–4) ] = [ (–6) + 8 + 3] + [ (–10) + (–4) ] = [ 2 + 3 ] + (–14) = 5 + (–14) = –9 1) 5 + (–12) ÷ 3 = 5 + (–4) = 1 2) 2 + 6 ÷ 2 = 2 + 3 = 5 3) 36 ÷ 18 x 6 = 2 x 6 = 12 4) 5 – [ (4 + 3) x (7 – 4) ] = 5–[7x3]= 5 – [ 21 ] = 5 – 21 = –16 5) 65 + [ (14 ÷ 7) x 3 ] = 65 + 2 x 3 = 65 + 6 = 71
D. 0) (–4) x (–4) = 16 1) 3 x 3 = 9 2) = 1 3) = 14
6) 6 x (–4) + 25 ÷ 5 + (–1) = –24 + 5 – 1 = –25 + 5 = –20 7) [ (16 ÷ 2) x (12 ÷ 6) ] = 8 x 2 = 16
4) (–3) x (–3) x (–3) = –27 5) (–6) x (–6) = 36 6) 11 x 11 x 11 = 1331 7) 2 x 2 x 2 = 8
E. 0) 810 – 8 = 82 8) (18 ÷ 3)6 = 66 1) 26 + 2 = 28 9) 34 – 2 = 32 2) 33 + 4 = 37 10) [ 24 ÷ (–3) ]4 = (–8)4 2 2 3) [ (–7) x (–3) ] = 21 11) (81 ÷ 9)8 = 98 9+3 12 4) 5 =5 12) (27 ÷ 9)2 = 32 4 4 5) (4 x 2) = 8 13) (35 ÷ 7)5 = 55 4+2 6 6) 3 =3 14) 248 – 4 = 244 5 5 7) (8 x 2) = 16 15) [ (–6) x (–2) ]4 = 124
8) [ 18 ÷ (–3) ] x [ 5 + (–15) ] = [ –6 ] x [ 5 – 15 ] = (–6) x (–10) = 60 9) (–6) + 9 + (–3) + 25 ÷ 5 = (–6) + 9 + (–3) + 5 = 3 + (–3) + 5 = 5 10) (–6) + 4 x 1 + 3 + (–5) = (–6) + 4 + 3 + (–5)= –6 – 5 = –11 4+3=7 –11 + 7 = –4
Razonamiento lógico 1)
Concepto
Ingresos
Concepto
Egresos
2 5 0 0 Pago de casa Víveres y útiles Salario de la quincena 1 5 0 0 escolares
8 5 0
Cuenta bancaria
11) [ (4 x 5) – (3 + 6) ] = 20 – 9 = 11
Total
9 5 0 Total 1 8 0 0
4 0 0 0
12) 7 + [ (18 – 15) x (3 + 2) ]= 7+[3x5]= 7 + 15 = 22
Ingresos 4000 Egresos – 1800 Disponible 2200
13)
R/ A Marisela le quedan 2200 quetzales en la cuenta.
5 x [ (–10) ÷ 5 ] + [ 8 ÷ (– 4)] = 5 x [ –2 ] + [ –2 ] = (–10) + (–2) = – (10 + 2) = –12
2) Puede resolverse de dos formas: a. compra: 3 x 8 = 24 consume: 1 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 = 15 24 – 15 = 9
Ejercicio 12 A. 0) 32 1) 54 2) 97
b. (3 – 1) + (3 – 3) + (3 – 2) + (3 – 1) + (3 – 1) + (3 – 2) + (3 – 3) + (3 – 2) = 2+0+1+2+2+1+0+1=9 R/ Le quedan 9 libras de frijol.
B. 0) 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 1) 16 x 16 x 16 2) 39 x 39 3) 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 C. 0) 1) 2) 3)
249 152 96 58
Base Potencia Se lee 24 9 veinticuatro elevado a la potencia nueve 15 2 quince elevado a la potencia dos o al cuadrado 9 6 nueve elevado a la potencia seis 5 8 cinco elevado a la potencia ocho
3) 10 2 5 5 1
12 2 6 2 3 3 1
15 3 5 5 1
10 = 2 x 5 12 = 22 x 3 2 mcm = 2 x 3 x 5 = 60 mcm (10, 12 y 15) = 60
15 = 3 x 5
R/ Tendrán que pasar 60 días para que vuelvan a salir juntos los tres barcos.
Matemática − Claves
335
4) 12 2 6 2 3 3 1
15 3 5 5 1
21 3 7 7 1
12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 factor común: 3 MCD (12, 15 y 21) = 3
21 ÷ 3 = 7 15 ÷ 3 = 5 12 ÷ 3 = 4
21 = 3 x 7
7 + 5 + 4 =16
R/ • De la pieza de 21 yardas, puede cortar 7 pedazos, • de la pieza de 15 yardas, puede cortar 5 pedazos y • de la pieza de 12 yardas, puede cortar 4 pedazos de tela. En total tiene 16 pedazos. 5) a. 4292 3 12876 12 -- 8 6 27 27 -- 6 6 R/ Cada hermano debe pagar 4292 quetzales para el pago de la hipoteca.
b.
70000 3 210000 21 -- 0
70000 – 4292 65708
R/ Cada hermano recibirá 65708 quetzales, ya descontado el pago de la hipoteca. c. 4292 4292 + 70000 78584 R/ Mercedes recibirá 78584 quetzales.
336
IGER − Quiriguá
6) a. 24 x 24 96 48 576 R/ 242 = 24 x 24 = 576 En una caja hay 576 borradores.
b.
R/ 24³= 24 x 24 x 24 = 13824 En 24 cajas hay 13824 borradores.
576 24 2304 1152 13824 x
Bibliografía ARREGUÍN PÉREZ, J. E. Matemáticas, cuaderno de ejercicios. Ediciones Larousse, México, 2000. BALDOR, A. Álgebra de Baldor. Grupo Editorial Patria, México, 2007. BALDOR, A. Aritmética de Baldor. Grupo Editorial Patria, México, 2007. CZECH, H. Matemática primero básico. Editorial Kamar, Guatemala, 1994. ENCARTA 2007. Biblioteca Premium. Microsoft® Encarta® 2007. © 1993-2006 Microsoft Corporation. FERREIROS, J. Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta. Editorial Crítica, 2005. FIGUEROA ESCALÓN, J. G. Matemática. Ediciones ESE, El Salvador, 2004. IGER. Cimientos 1. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2005. IGER. Cimientos 2. Tomos 1 y 2. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. IGER. Matemática 1. Programa de actualización para maestros de primaria. Tomos 1 y 2. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2000. IGER. Matemática Quiriguá. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. IGER. Matemática Tikal. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2009 IGER. Matemática Zunil. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. LONDOÑO, N y BEDOYA, H. Matemática progresiva. Grupo editorial Norma, Colombia, 1999. MOLINER, M. Diccionario del uso del español. Gredos, España, 1998. PADILLA CHASING, S. Matemáticas con énfasis en competencias. Editorial Horizontes, Colombia, 2001. RAE. Diccionario de la lengua española. España-Calpe, España, 1992. SM. Diccionario clave. S.M, España, 1998. VARIOS AUTORES. Enciclopedia Juvenil Océano. Tomos 1, 3 y 5. Grupo editorial Océano. España, 1997. VARIOS AUTORES. La enciclopedia de los animales. SM Saber, Alemania, 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 4. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 5. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 6. Prentice-Hall, Colombia 1999.
Páginas Web consultadas: descartes.cnice.mec.es roble.pntic.mec.es www.disfrutalasmatematicas.com www.gobiernodecanarias.org/educacion/.../eltanque www.ite.educacion.es/w3/eos/...3/numeros_enteros www.profes.net www.rena.edu.ve www.rinconsolidario.org www.sociedadytecnologia.org/ www.wikipedia.com
Bibliografía − Matemática
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