Libro Julian Quiroga

ANÀLISIS DE FOURIER

ANÀLISIS DE FOURIER Primera Edición

Julián Quiroga Sepúlveda BOGOTÁ, COLOMBIA

DERECHOS RESERVADOS © 2007 por JULIAN QUIROGA SEPÚLVEDA Bogotá ANÁLISIS DE FOURIER Julián Quiroga Sepúlveda ISBN: 978-958-44-2350-4

CONTENIDO PREFACIO

XI

1. CONCEPTOS BÁSICOS 1.1.

1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.2.

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.3.

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5.

Bases matemáticas

Conjuntos Numéricos Notación de interés Clasificación de conjuntos de acuerdo a su cardinalidad Ínfimo y supremo Funciones

Inyectividad Sobreyectividad Biyectividad Invertibilidad Variable compleja

Números complejos Identidad de Euler (Exponencial Complejo) Operaciones entre complejos Complejo conjugado Funciones Complejas

1 1 1 2 3 3 4 5 5 6 6 6 7 8 10 10 12

1.4.

Resumen

14

1.5.

Ejercicios

15

2. SEÑALES 2.1.

2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.2.

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.3.

2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.4.

Clasificación de señales

Señales continuas y discretas Señales de soporte compacto y acotadas Señales pares e impares Señales periódicas

Señales periódicas de tiempo continuo Suma de exponenciales complejos de TC Señales periódicas de tiempo discreto Suma de exponenciales periódicos de TD Potencia y energía de una señal

Potencia instantánea Energía Potencia promedio

Normas y espacios normados 2.4.1. Norma y espacio L1

17 17 17 19 20 24 24 27 29 32 33 33 34 34 37 37

2.4.2.

2.4.3. 2.4.4. 2.5.

2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4. 2.6.

2.6.1. 2.6.2. 2.7.

2.7.1. 2.7.2.

Norma y espacio L2 Norma y espacio l 1 Norma y espacio l 2

39 41 42

Funciones Singulares

43 43 45 47 47

Función escalón de Heaviside Función impulso Escalón unitario discreto Impulso unitario discreto Convolución lineal

Definición Propiedades de la convolución Sistemas LTI

Sistemas continuos Sistemas discretos

48 48 52 53 53 55

2.8.

Resumen

57

2.9.

Ejercicios

59

3. REPRESENTACIÓN DE SEÑALES

63

3.1.

Descomposición de señales

63

3.2.

Aproximación de un vector

64 64 65

3.2.1. 3.2.2. 3.3.

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3.

Aproximación de un elemento del plano Aproximación de una señal Bases ortogonales

Bases e independencia lineal Ortogonalidad Método de ortogonalización de Gram‐Schmidt

68 68 68 70

3.4.

Representación de señales en un intervalo de tiempo finito

71

3.5.

Teorema de Parseval para un intervalo finito

77

3.6.

Representación de una señal periódica

78

3.7.

Resumen

79

3.8.

Ejercicios

80

4. SERIES DE FOURIER 4.1.

4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4.

Serie exponencial de Fourier

Condiciones de Dirichlet Cálculo de la serie exponencial Espectro de Fourier Teorema de Parseval para la serie exponencial

83 83 83 85 88 90

VIII

4.1.5. 4.2.

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.3.

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3.

Propiedades de la serie exponencial Serie trigonométrica de Fourier

Relación entre la serie trigonométrica y la serie exponencial Serie trigonométrica de Fourier para señales pares e impares Teorema de Parseval para la serie trigonométrica de Fourier Aplicaciones de las series de Fourier

Análisis de señales periódicas Convolución circular continúa Oscilaciones forzadas

92 96 100 103 106 108 108 108 111

4.4.

Resumen

115

4.5.

Ejercicios

116

5. TRANSFORMADA DE FOURIER 5.1.

5.1.1. 5.2.

5.2.1. 5.2.2. 5.3.

5.3.1. 5.3.2.

Deducción de la transformada de Fourier L1

Representación de señales no periódicas Transformada de Fourier L1

Interpretación de la Transformada de Fourier L1 Convergencia de la Transformada de Fourier L1 Propiedad de convolución para la TF

Respuesta de un sistema LTI utilizando la transformada de Fourier Multiplicación de señales en el tiempo

121 121 121 124 127 128 141 143 145

5.4.

Teorema de Parseval para la transformada de Fourier

147

5.5.

Transformada de Fourier L2

148

5.6.

Transformadas de Fourier que implican funciones impulso

152 152 152 154

5.6.1. 5.6.2. 5.6.3.

Transformada de Fourier de la función impulso Transformada de Fourier de un exponencial complejo Transformada de Fourier de señales periódicas

5.7.

Aplicaciones de la transformada de Fourier

156

5.8.

Resumen

157

5.9.

Ejercicios

158

6. ANÁLISIS DE FOURIER PARA SEÑALES DISCRETAS 6.1.

6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5.

Muestreo de señales de tiempo continuo

Muestreo ideal utilizando funciones impulso Efecto del muestreo sobre el espectro Recuperación de la señal original Transformada de Fourier de una señal muestreada Señales muestreadas y señales discretas

163 163 163 165 166 169 169

IX

6.2.

6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. 6.2.6. 6.3.

6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4. 6.3.5. 6.3.7. 6.4.

6.4.1. 6.4.2.

Transformada de Fourier para señales discretas Definición de la transformada de Fourier l 1 Interpretación de la transformada de Fourier l 1

Propiedades de la TF de una señal discreta Transformada de Fourier para señales periódicas discretas Teorema de Parseval para la TF de señales discretas Propiedad de convolución para la TF de señales discretas Transformada discreta de Fourier (DFT)

Efectos del muestreo en frecuencia Definición de la DFT Interpretación de la DFT Visualización de la DFT Propiedades de la DFT Convolución discreta utilizando la DFT Transformada rápida de Fourier (FFT)

Algoritmo FFT de diezmado en el tiempo (Base 2) Aplicaciones de la FFT

170 170 172 173 174 176 176 179 180 182 183 184 186 187 188 188 189

6.5.

Resumen

194

6.6.

Ejercicios

195

7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 7.1.

7.1.1. 7.1.2. 7.1.3.

Conceptos básicos

Clasificación de las EDP’s Solución de una EDP Propiedades de las EDP’s

197 197 198 199 200

7.2.

Ecuación de onda unidimensional

201

7.3.

Solución de la ecuación de onda 1D

205 205 213

7.3.1. 7.3.2. 7.4.

7.4.1. 7.4.2. 7.5.

Separación de variables Solución de D’Alembert Ecuación de calor unidimensional

Alambre finito (Separación de variables) Alambre infinito (Transformada de Fourier) Ejercicios

217 217 222 225

A. ESPACIOS VECTORIALES

227

BIBLIOGRAFÍA

231

X

PREFACIO

La primera edición del libro ANALISIS DE FOURIER recopila los contenidos básicos del análisis de señales y sistemas utilizando la teoría de Fourier. Este libro puede ser usado como texto guía en cursos de ingeniería eléctrica y electrónica en el área de señales y sistemas en los cuales se quieran relacionar los conceptos matemáticos elementales de la teoría de Fourier con problemas sencillos de aplicación en el campo de procesamiento digital de señales y en el estudio de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. El libro reúne las deducciones matemáticas junto a una serie de ejercicios explicativos y de aplicación, los cuales intentan guiar al estudiante en su camino de aprendizaje y de apropiación de las herramientas que ofrece el análisis de Fourier para el estudio de señales y sistemas. Para ello el libro presenta en cada Capítulo las temáticas principales, acompañadas de ilustraciones y ejemplos desarrollados en su totalidad. Adicionalmente, al fin de cada Capítulo se presenta un breve resumen con los conceptos más importantes. Este libro trata de apoyar al estudiante en la comprensión de un tema demandante debido a sus requerimientos matemáticos. Por tal motivo, es de suma importancia que el estudiante realice la lectura de los contenidos temáticos de cada sección, revise los ejemplos resueltos y desarrolle los ejercicios propuestos, con el fin de apropiarse de cada uno de los contenidos. Este libro trata algunos temas complementarios de forma corta, si se desea profundizar en cualquiera de estos contenidos el lector puede consultar la bibliografía aquí relacionada. El libro está organizado como sigue. En el Capítulo 1 se hace una pequeña revisión de los conceptos básicos que el estudiante debe manejar para enfrentar los Capítulos posteriores. Se revisan algunos conceptos de conjuntos numéricos, funciones y variable compleja. En el Capítulo 2 se introduce el concepto de señal y se realiza su clasificación. Posteriormente se estudian las señales periódicas de tiempo discreto y continuo, y se estudia el concepto de frecuencia angular continua y discreta. Con el fin de tomar medidas cuantitativas de las señales se definen potencia y energía. Se realiza una breve revisión de espacios vectoriales, en particular aquellos dotados con norma y se presentan las señales como vectores. Finalmente se estudian los sistemas lineales e invariante en el tiempo (sistemas de convolución), en particular su respuesta a una señal de entrada dada y estabilidad en sentido EASA. En el Capítulo 3 se estudia como un elemento de un espacio vectorial puede ser aproximado en términos de otros elementos del espacio, para ello se introducen los conceptos de producto interno y ortogonalidad. Para la representación de vectores se estudia el concepto de base ortogonal y como caso particular se deduce la forma como una señal puede ser representada por medio de un conjunto de señales más simples.

XI

En el Capítulo 4 se estudian las series de Fourier como caso particular de la representación de señales. Se presenta la serie exponencial de Fourier y se analiza la información frecuencial de la señal contenida en los coeficientes complejos. De forma similar se introduce la serie trigonométrica y se ilustran algunos ejemplos de aplicación. En el Capítulo 5 se define la Transformada de Fourier L1 para la representación señales no periódicas sobre un intervalo infinito del tiempo. Se interpreta la información contenida en la transformada de Fourier, así como algunas de sus propiedades. Se revisan aplicaciones en estimación espectral y estudio de sistemas lineales el tiempo (filtros). De forma corta se deduce la Transformada de Fourier L2 para señales de energía finita. En el Capítulo 6 es dedicado al análisis de Fourier para señales discretas. Se introduce el concepto de muestreo en tiempo y sus efectos sobre las características frecuenciales de la señal. Posteriormente se define la transformada de Fourier para señales discretas y algunas de sus propiedades. Se presenta la transformada discreta de Fourier y el efecto de muestreo en frecuencia sobre la señal en el tiempo. Se desarrollan en Matlab ejemplos de análisis de respuesta en frecuencia de sistemas discreto y de estimación espectral de señales discretas. Finalmente, en el Capítulo 7 se estudian algunas ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, en las cuales son aplicadas la serie y la transformada de Fourier. Se incluye además un apéndice sobre espacios vectoriales. Deseo agradecer especialmente a los estudiantes de mis cursos que sirvieron para probar en las clases buena parte de este material. De igual forma, quiero agradecer a Gabriel Narváez, Juan Pablo Maillane y Carlos Calvera que escribieron en computador parte de este manuscrito. Espero que este libro sea de gran utilidad para el desarrollo de sus cursos en los cuales necesiten la Teoría de Fourier aplicada a señales y sistemas. Agradezco me comuniquen los errores encontrados o cualquier sugerencia para la mejora de este libro.

Julián Quiroga Sepúlveda Bogotá, 2007.

XII

1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1. Bases matemáticas

1.1.1. Conjuntos Numéricos 

Números enteros

El conjunto de los números enteros, denominado Z , está formado por todos los números que pueden ser generados por sumas o restas sucesivas del número 1 . Z = {K , −5, −4 , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,K}

El conjunto de los números naturales, denominado N , esta formado por todos los números enteros no negativos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,K}

Denotaremos como Z + , al conjunto de los números enteros positivos, es decir, los números naturales menos el cero ( N − { 0} ). Z + = {1, 2, 3, 4, 5,K}

Denotaremos como Z* , al conjunto de los números enteros sin el cero (N − { 0} ). * Z = {K , −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5,K}



Números racionales

El conjunto de los números racionales, denominado Q , está formado por todos los números que pueden ser expresados de la forma a/b , donde a y b son números enteros y b es diferente de cero. Cada racional puede ser escrito de infinitas formas, por ejemplo, 4 / 12 = 2/ 6 = 1/ 3. Se dice que un racional está expresado como una fracción irreducible, si a y b son primos relativos, es decir, mcd( a , b) = 1. Cada número racional diferente de cero tiene exactamente una forma de fracción irreducible, con un denominador positivo. 

Números reales

El conjunto de los números reales, denominado R , puede ser informalmente descrito como el conjunto de números que pueden ser expresados por una representación decimal infinita, por ejemplo, 3.14159265... . Los números reales contienen a los

Análisis de Fourier

Conceptos básicos

números racionales y a los irracionales. El conjunto de los números irracionales está formado por todos los números reales que no pueden ser expresados como un racional, por ejemplo, π y √2. Los números reales pueden ser ubicados como puntos sobre una larga línea numérica, conocida como la recta real.

Figura 1.1. La recta real.

+ Denotaremos como R , al conjunto de los números reales positivos, es decir, los ∗ números reales mayores que cero. Denotaremos como R , al conjunto de los números reales sin el cero.



Números complejos

El conjunto de los números complejos, denominado C , está formado por todos los números de la forma a + jb , donde a y b son números reales. En la Sección 1.3 se realizará un estudio más detallado de este conjunto.

1.1.2. Notación de interés A continuación revisaremos algunos símbolos matemáticos, los cuales nos serán útiles para escribir algunos enunciados de forma compacta. x ∈ A ∃ x ∈ A ∃ ! x ∈ A ∀ x ∈ A B = { x ∈ A : Q( x )}

B ⊂ A

⇒,⇔ /, ∋,: ∧, ∨

x pertenece al conjunto A

Existe un elemento del conjunto A Existe un único elemento x de A Para todos los elementos del conjunto A B es el conjunto formado por los elementos de A que cumplen la condición Q B es subconjunto (está contenido) de A

“Entonces”, “Si y sólo si” “Tal que” “y”, “o”

Ejemplo 1.1. 

Si x es un número entero, entonces

es un número real.

x ∈ Z ⇒ x ∈ R 2


Conceptos básicos



B es el conjunto de los números enteros con magnitud menor a 4. B = { x ∈ Z : x < 4} = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}



Existe un único número real tal que la suma con él mismo da el mismo número.

∃ ! x ∈ R / x + x = x 1.1.3. Clasificación de conjuntos de acuerdo a su cardinalidad Los conjuntos pueden clasificarse de acuerdo a su cardinalidad como finitos o infinitos. Por ejemplo, el conjunto del ejemplo anterior, B = { −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} , es un conjunto finito de cardinalidad 7. Todo conjunto finito es contable (enumerable), es decir sus elementos pueden ser ordenados. Los conjuntos infinitos en cambio pueden ser contables o no contables. Por ejemplo los enteros y los reales son conjuntos infinitos, sin embargo los enteros son contables y los reales no. En el caso de los número enteros, sabemos por ejemplo, que después del −2 sigue −1, 0, 1, 2, ... . Sin embargo, para los números reales, ¿después del 0 que número sigue, el 0. 1 , el 0.01 , o 0.001 ?. No importa que número asumamos que sigue al 0 , siempre encontraremos un número entre 0 y éste.

Figura 1.2. Clasificación de conjuntos

1.1.4. Ínfimo y supremo Algunas veces los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto numérico no son suficientes. Por ejemplo, ¿cual es mínimo del conjunto formado por el intervalo ( 0, 1] de la recta real?. La respuesta es que este conjunto infinito no tiene mínimo, pues para cualquier valor que asumamos como mínimo, podemos encontrar un valor más pequeño que también pertenece al conjunto. Definición 1.1. x es una cota superior de un conjunto A , si ∀ y ∈ A se cumple que x ≥ y , es decir, x es mayor o igual a cada uno de los elementos de A . La mínima cota superior de un conjunto A se conoce como supremo ( sup ). Si el supremo pertenece al conjunto, entonces es el máximo , en caso contrario, el conjunto no tiene máximo.

3


Conceptos básicos

Ejemplo 1.2. Para el conjunto [ 0, 10) , encuentre 2 cotas superiores y su supremo. El conjunto tiene máximo? Solución. Como cotas superiores tomemos 11 y 100 . El supremo es 10 y debido a que 10 no pertenece al intervalo, el conjunto no tiene máximo.

Definición 1.2. es una cota inferior de un conjunto A , si ∀ y ∈ A se cumple que ≤ y , es decir, es menor o igual a cada uno de los elementos de A . La máxima cota inferior de un conjunto A se conoce como ínfimo ( inf ). Si el ínfimo pertenece al conjunto, entonces es el mínimo , en caso contrario, el conjunto no tiene mínimo. + Ejemplo 1.3. Para el conjunto A = {1/ n : n ∈ R } , encuentre 2 cotas inferiores y su ínfimo. El conjunto tiene mínimo?

Solución. Como cotas inferiores tomemos −1 y −2 . El ínfimo es 0 y debido a que 0 no

pertenece al intervalo, el conjunto no tiene mínimo. Observación 1.1. No todos los conjuntos de cardinalidad infinita que tienen supremo o ínfimo, tienen máximo o mínimo, respectivamente. Un conjunto que no posee supremo o ínfimo, se conoce como un conjunto no acotado (no tiene cotas). Todos los conjuntos de cardinalita finita tienen máximo y mínimo.

1.2. Funciones

Definición 1.3. f : A → B es una función del conjunto A al conjunto B, si ∀a ∈ A ∃ ! b ∈ B tal que f ( a ) = b , es decir, si a cada elemento de A , f asigna un único elemento del conjunto B . El elemento b se conoce como la imagen de a bajo f . El conjunto A se conoce como el dominio de la función y el conjunto B como el codominio. El rango de f es el conjunto definido como f ( A) = { f ( a ) : a ∈ A} . Ejemplo 1.4. Determine dominio, codominio y rango de las siguientes funciones. 

f : C → R dada por f ( a + jb ) =

a 2 + b2 .

El dominio de f son los complejos, el codominio los reales y el rango de f los reales mayores e iguales a cero. La imagen del elemento 3 + 4 j bajo f , es el elemento 5 . 

f : R → R dada por f ( x ) = sin( x ) .

El dominio y codominio de f son los reales y el rango de f es el intervalo [ −1, 1] de la recta real. La imagen del elemento π / 2 bajo f , es el elemento 1. 4


Conceptos básicos



f : R → R dada por f ( x ) = 5 x + 2 .

El dominio, el codominio y el rango de f son los reales. La imagen del elemento 2 bajo f es el elemento 12 .

1.2.1. Inyectividad f : A → B es una función inyectiva si y sólo si ∀a , b ∈ A ( f ( a ) = f (b ) ⇒ a = b) , es decir, dos elementos diferentes del dominio no pueden tener la misma imagen.

Figura 1.3. Función inyectiva.

Ejemplo 1.5. Demuestre que f : R → R , dada por f ( x ) = 2 x + 1 , es inyectiva.

Solución. Supongamos que f ( a ) = f (b) , entonces 2a + 1 = 2b + 1 , lo cual implica que a = b y por lo tanto f es inyectiva. Ejemplo 1.6. Demuestre que f : R → R , dada por f ( x ) = x , no es inyectiva. 2

2 2 Solución. Supongamos que f ( a ) = f (b) , entonces a = b , lo cual implica que a = ±b y que + b y − b tiene la misma imagen bajo f , por tal motivo la función no es

inyectiva. 1.2.2. Sobreyectividad f : A → B es una función sobreyectiva si y sólo si ∀b ∈ B ( ∃ a ∈ A / f ( a ) = b) , es decir, todo elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio bajo f , lo cual implica que el codominio es igual al rango.

Figura 1.4. Función sobreyectiva no inyectiva.

5


Conceptos básicos

Ejemplo 1.7. Demuestre que f : R → R , dada por f ( x ) = 2 x + 1 , es sobreyectiva.

Solución. Para cada valor b del codominio, se debe encontrar un elemento a del dominio, tal que f ( a ) = 2a + 1 = b . Claramente para cada b ∈ R , la ecuación a = (b − 1) / 2 calcula un a ∈ R que satisface f ( a ) = b . Por tal motivo, la función es

sobreyectiva. Ejemplo 1.8. Demuestre que f : Z → R , dada por f ( x ) = x / 2 , no es sobreyectiva.

Solución. Para un valor b del codominio se debe encontrar un elemento a del dominio tal que f ( a ) = a / 2 = b . Para un b ∈ R la ecuación a = 2b no siempre nos da un entero. Si b = 0.2 entonces a = 0.4 , pero 0.4 no pertenece al dominio de la función.

Por tal motivo la función no es sobreyectiva. 1.2.3. Biyectividad f : A → B es un función biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, es decir, dos

elementos del dominio no pueden tener la misma imagen y todo elemento del codominio es imagen de un elemento del dominio.

Figura 1.5. Función biyectiva.

1.2.4. Invertibilidad es una función invertible si f −1 : B → A es una función. Para esto se requiere que f sea una función biyectiva. f : A → B

1.3. Variable compleja

Los números complejos fueron introducidos con el fin de resolver problemas que no tienen solución en los números reales. Por ejemplo, ningún real es solución a la ecuación x 2 = −1 , pues cualquier real al cuadrado siempre es positivo. A diferencia de los reales que viven en una recta, los complejos viven en un plano (el plano complejo). 6


Conceptos básicos

1.3.1. Números complejos Sea un número complejo, entonces se puede expresar de la forma x = a + jb , donde a y b son números reales y la constante j identifica la parte imaginaria. El número complejo , tiene 2 componentes: una parte real, Re{ x } = a , y una parte imaginaria, Im{ x} = b . La contaste j , que tiene valor √-1, solo es un indicador de la componente imaginaria y no hace parte de ésta. Ejemplo 1.9. Encuentre las componentes real e imaginaria de los siguientes complejos. 

x = 3 − j 4

Re{ x} = 3 , Im{ x} = −4 

x = −2

Re{ x} = −2 , Im{ x} = 0 

x = j

Re{ x} = 0 , Im{ x} = 1

Los complejos pueden ubicarse en el plano utilizando dos sistemas de coordenadas. Coordenadas rectangulares

El número complejo se expresa como la suma de dos componentes, una real y una imaginaria, de la forma x = Re{ x} + j Im{ x} . Su ubicación en el plano se realiza en el punto de intersección de dos rectas, una que corta el eje real en Re{ x} ( a en la Figura 1.6) y la otra que corta el eje imaginario en Im{ x} ( b en la Figura 1.6).

Figura 1.6. Ubicación de un número complejo en el plano

7


Conceptos básicos

Coordenadas polares

El número complejo se expresa mediante magnitud y fase (ángulo), de la forma x = x ∠ x . Su ubicación en el plano es a una distancia | x| del origen ( r en la Figura 1.6) y orientado ∠ ( θ en la Figura 1.6) grados con respecto al eje real.

Cambio de coordenadas De rectangulares a polares:

Magnitud

r =

2 2 Re{ x} + Im{ x} = x

Fase

θ = arctan ⎜

⎛ Im{ x} ⎞ ⎟=∠ Re{ } x ⎝ ⎠

De polares a rectangulares:

Parte Real

Re{ x} = r cos θ

Parte imaginaria

Im{ x} = r sin θ

1.3.2. Identidad de Euler (Exponencial Complejo) La identidad de Euler se establece como e jθ = cos θ + j sin θ El exponencial complejo e jθ , tiene parte real cos θ y parte imaginaria sin θ , adicionalmente su magnitud y fase están dadas como

e jθ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1

⎛ sin θ ⎞ ∠e jθ = arctan ⎜ ⎟ = θ ⎝ cos θ ⎠ Por tal motivo los números de la forma e jθ viven sobre el círculo unitario (radio 1) y forman una ángulo de θ con el eje real, como se ilustra en la Figura 1.7.

8


Conceptos básicos

Figura 1.7. Exponencial complejo

Algunos exponenciales de interés son e j 0 = 1, e jπ / 2 = j y e jπ = −1 . Conociendo que una vuelta al círculo unitario es 2π , el exponencial complejo permanece inalterado si su argumento es desplazado cualquier múltiplo entero de 2π , es decir e j (θ

+ 2π k )

= e jθ

∀k ∈ Z

El exponencial complejo es entonces un fasor, de magnitud 1 y fase θ , lo cual lo hace apropiado para representar complejos en forma polar, de la forma x = x e j∠ x . Ejemplo 1.10. Exprese el número complejo x = 4 e

jπ / 6

en coordenadas rectangulares.

Solución. Dado que x está expresado en coordenadas polares, debemos encontrar primero su magnitud y su fase, las cuales están dadas por r = 4 y θ = π / 6 . Así, se obtiene Re{ x } = 4cos(π / 6) = 3.46 y Im{ x} = 4sen(π / 6) = 2 , por lo cual x = 3.46 + j 2 . Ejemplo 1.11. Exprese el número complejo x = 3 − j 4 en coordenadas polares.

Solución. Re{ x} = 3 y Im{ x} = −4 , entonces r = = −0.9273. Por tal motivo, x = 5e − j 0.9273 .

2 2 3 + 4 = 5 y θ = arctan(-4 / 3)

a

Las funciones sin( x) y cos( x ) pueden expresarse en término de exponenciales complejos, de acuerdo a

sin x =

cos x =

e jx − e − jx 2 j e jx + e − jx 2

9


Conceptos básicos

1.3.3. Operaciones entre complejos Las operaciones entre complejos deben ser tratadas con cautela, pues algunas propiedades válidas para los reales no son aplicables para los complejos. La suma y la diferencia entre números complejos, se realiza por conveniencia en coordenadas rectangulares, mientras la multiplicación y la división entre números complejos, se realiza en coordenadas polares. 

Suma x + y = ( Re{ x} + Re{ y }) + j ( Im{ x} + Im{ y})



Diferencia x − y = ( Re{ x} − Re{ y }) + j ( Im{ x} − Im{ y})



Producto xy = x y e j (∠ x + ∠ y )



División x / y =

x y

e

j (∠ x − ∠ y )

Ejemplo 1.12. Si x = 2e

jπ

, encuentre x −1 = 1 / x .

Solución.

x −1 =

1 x

e j (0 − ∠ x ) =

1 2

e − jπ

Propiedad 1.1. La magnitud de un producto es igual al producto de las magnitudes. De

forma similar, la magnitud de un cociente es igual al cociente de las magnitudes. 1.3.4. Complejo conjugado Sea x = a + jb entonces su complejo conjugado se define como x* = a − jb . Ejemplo 1.13. El conjugado de x = 2 + j es x = 2 − j . *

10


Conceptos básicos

Ejemplo 1.14. Demuestre que si x = x e

jθ

, entonces x* = x e − jθ .

Solución.

x = x cos θ + j x sin θ *

= x cos θ − j x sin θ = x cos ( − θ ) + j x sin ( − θ ) = x e− jθ

El conjugado de un número complejo x tiene la misma magnitud pero fase contraria, como se ilustra en la Figura 1.8. Por tal motivo se tiene que x = x* .

Figura 1.8. Complejo conjugado.

Ejemplo 1.15. Demuestre que xx* = x

2

Solución.

(

)(

)

xx* = x e jθ x e − jθ = x

2

Ejemplo 1.16. Para x = 2 − j 3 encuentre x* y x .

Solución. x * = 2 + j3 x = 2 2 + ( −3) 2 = 13 Ejemplo 1.17. Para x = −a + jb encuentre xx . *

Solución.

11


Conceptos básicos

2

xx* = x = ⎛ ⎜ (− a ) + b 2 ⎞⎟ = a 2 + b 2 2

2

⎝

⎠

= 1/( a + jb) encuentre Re{ x} , Im{ x} , x* y x .

Ejemplo 1.18. Para

Solución. Para encontrar las componentes real e imaginaria, primero hay que la parte

compleja del denominador, por lo cual se debe multiplicar y dividir por su conjugado. x =

1 a − jb a + jb

Re{ x } =

x* = x =

×

a a +b 2

a a +b 2

a − jb

=

2

1 a + jb

=

a2 + b 2

Im{ x} =

2

+j

a − jb

b a +b 2

2

=

=

a a2 + b2

b a2 + b2

a a +b 2 2

a + jb a +b 2

−j

2

=

1 a − jb

1 a 2 + b2

1.3.5. Funciones Complejas Las funciones complejas son aquellas funciones que tienen como codominio el conjunto de los números complejos, es decir f : A → C , donde A es un conjunto arbitrario. Estas funciones se identifican porque poseen el indicador “ j ” o porque su dominio son los números complejos. Las funciones pueden expresarse en coordenadas

Rectangulares: ó Polares:

f ( x) = Re{ f ( x)} + j Im{ f ( x)} f ( x) = f ( x) e jθ ( x )

La relación entre coordenadas rectangulares y polares para funciones complejas es igual que para el caso de los números complejos. Para su visualización, existen 3 posibilidades como se ilustra en las Figuras 1.9‐1.11, para la función f ( x) = 2e jx , donde f : R → C . La primera es un gráfico en 3 dimensiones de la función, con ejes: componente real, componente imaginaria y variable independiente. La segunda opción consiste en visualizar las componentes, real e imaginaria, en gráficos diferentes contra la variable independiente. La última opción y quizás la más utilizada, consiste en realizar un gráfico para la magnitud y otro para la fase de la función, cada uno contra la variable independiente.

12


Conceptos básicos

Figura 1.9. Grafico 3D.

Figura 1.10. Gráficos por componentes: partes real e imaginarias por separado.

Figura 1.11. Gráficos de magnitud y fase.

13

Conceptos básicos


1.4. Resumen

•

Se revisó la definición de algunos conjuntos numéricos como los reales, enteros, racionales e irracionales y se estableció una notación para definir y relacionar elementos de un conjunto.

•

Los conjuntos numéricos se clasifican de acuerdo a su cardinalidad como finitos o infinitos. Los conjuntos infinitos pueden ser contables (enumerables o ordenables) o no contables.

•

Se definió el concepto de cota superior e inferior de un conjunto numérico y a partir de estos los conceptos de supremo (mínima cota superior) e ínfimo (máxima cota inferior). Si el supremo o el ínfimo pertenece al conjunto entonces es el máximo o el mínimo del conjunto, respectivamente.

•

Una función f : A → B es un operador que asigna a cada elemento del conjunto A (dominio) un único elemento del conjunto B (rango). Una función puede ser inyectiva y/o sobreyectiva, y se conocen como biyectiva si cumplen las dos condiciones.

•

Los números complejos viven en plano y pueden representarse en coordenadas rectangulares (parte real e imaginaria) o polares (magnitud y fase).

•

Los exponenciales complejo viven en el circulo unitario (magnitud unitaria) del plano complejo y su fase (ángulo) es igual a su argumento. Un exponencial complejo tiene como parte real un coseno y como parte imaginaria un seno.

•

El complejo conjugado refleja a un número complejo con respecto al eje real y es útil para descomponer fracciones complejas en componentes real e imaginaria, así como para encontrar la magnitud de números complejos.

•

Una función con codomino en los complejos es una función compleja, cuya visualización puede hacer por componentes real e imaginario por magnitud y fase.

14


Conceptos básicos

1.5. Ejercicios Sección 1.1

1. Encuentre los elementos de los conjuntos a. A = { x ∈ Z : −4 ≤ x ≤ 5} b. B = { x ∈ R : x < 10} c. C = { x ∈ Z + : x2 ∈ Z, x ≤ 10} 2. Escriba textualmente lo que significan las expresiones y conteste si son F ó V. a. b. c. d.

∃ x ∈ R / ( x + x = 0) ∀ x ∈ Z ( x2 ∈ Z) x ∈ Z ⇒ x ∈ R R ⊂ Z

3. Ínfimos y supremos a. Mencione 2 cotas superiores del conjunto A y encuentre su supremo. ¿Existe máximo? ¿Cuál es? b. Mencione 2 cotas inferiores del conjunto B y encuentre su ínfimo. ¿Existe mínimo? ¿Cuál es? Sección 1.2

4. Ejemplos de funciones. a. De un ejemplo de una función inyectiva no sobreyectiva. Demuestre. b. De un ejemplo de una función no inyectiva sobreyectiva. Demuestre. c. De un ejemplo de una función biyectiva. Demuestre. 5. Cuales de la siguientes funciones son inyectivas? sobreyectivas? biyectivas? a. f : R → R ; f ( x) = 1 + x 2 b. f : R → R ; f ( x ) =

1 1+

c. f : R + → R ; f ( x ) = x d. f : R → R + ∪ {0}; f ( x ) = 2 x

15


Conceptos básicos

e. f : Z → Z ; f ( x ) = 2 x 6. Determine el domino, el codominio y el rango, de las siguientes funciones. a. f : R → R ; f ( x) =

1 1 + x

b. f : R + → R ; f ( x ) = x c. f : Z → Z ; f ( x ) = 2 x Sección 1.3

7. Encuentre la parte real, la parte imaginaria, el conjugado, la magnitud y la fase de los siguientes números complejos. a. x =

1 2 + j

b. x = e c. x =

− j

π 3

j 3 − 2 j

8. Demuestre que un número complejo y su conjugado, tienen la misma magnitud y fase de signo contrario. 9. Encuentre la magnitud de las siguientes funciones complejas. a. f ( x) = e x e jx b. f ( x ) = xe− j 2 x 10. Considere la función compleja

⎧1 −1 < x < 1

f ( x ) = ⎨

⎩0 otro caso

⎧1 −1 < < 1 ∠ f ( x) = ⎨ ⎩0 otro caso Exprese la función en coordenadas polares y en coordenadas rectangulares. 16

2 SEÑALES Una señal es una abstracción, de cualquier cantidad mesurable, que es función de una o más variables independientes. Ejemplo 2.1. Algunas señales del mundo real.

Las señales pueden modelarse matemáticamente como funciones. En este curso hablaremos indiscriminadamente de señales y funciones. Consideraremos señales unidimensionales, las cuales son funciones de una sola variable independiente, que en la mayoría de los casos será el tiempo t . 2.1. Clasificación de señales

2.1.1. Señales continuas y discretas La señales pueden clasificarse en dos grandes grupos: las señales de tiempo continuo (TC) o señales continuas, que denotaremos como x(t ) , y las señales de tiempo discreto (TD) o señales discretas, que representaremos como xn .


Señales

2.1.1.1.

Señales de tiempo continuo

Las señales de TC toman valor en todos los instantes de tiempo y pueden modelarse como funciones que tienen dominio en los reales ( f : R → ∗ ). El valor de una señal de → R TC se puede conocer en cualquier instante de tiempo. Las señales que son f : R → → C se conocen se conocen como señales de TC reales y las señales que son f : R → como señales de TC complejas. TC complejas.

Figura 2.1. Señales de tiempo continuo: señal real y señal compleja.

2.1.1.2.

Señales de tiempo discreto

Las señales de TD toman valor sólo en un conjunto contable del tiempo y pueden modelarse como funciones con dominio en los enteros ( f : Z → ∗ ). El valor de una señal de TD sólo puede conocerse en algunos instantes de tiempo. Las señales que son f : Z → R se conocen como señales de TD reales y las señales que son f : Z → C se conocen como señales de TD complejas.

Figura 2.2. Señales de tiempo discreto: señal real y señal compleja.

Algunas señales de TD son versiones muestreadas de señales de TC, como sucede al digitalizar una canción o al escanear una fotografía.

18


Señales

2.1.2. Señales de soporte compacto y acotadas 2.1.2.1.

Soporte de una señal

El soporte de una función se define como el subconjunto del dominio dentro del cual la función toma valor distinto de cero. Definición 2.1. El soporte de una señal de TC x(t ) , es el subconjunto cerrado y conexo más pequeño del tiempo, que contiene los valores no nulos de x(t ) .

Figura 2.3. Señales de soporte acotado y no acotado, respectivamente.

Una señal tiene soporte compacto , si su soporte es acotado. Ejemplo 2.2. La señal

2

(t ) = e − t no tiene soporte compacto, pues la señal nunca llega

a ser cero. La señal triangular que ilustra en la Figura 2.4 si tiene soporte compacto.

Figura 2.4. Señal de soporte no acotado y señal de soporte compacto.

2.1.2.2.

Señales acotadas

Definición 2.2. Una señal x(t ) es acotada si existe un valor

∈ R , tal que x(t ) ≤ M .

Es decir, una señal es acotada si tiene supremo e ínfimo reales.

19


Señales

Ejemplo 2.3. La señal x(t ) = arct arctan an((t ) es una señal acotada, con ínfimo y supremo igual a ±π / 2 . La señal x(t ) = 1 / t , no es acotada, como se ilustra en la Figura 2.5.

Figura 2.5. Señal acotada y señal no acotada.

2.1.3. Señales pares e impares Algunas señales cumplen con cierto tipo de simetría con respecto a cero, y de acuerdo a esta simetría se clasifican en señales pares e impares. 2.1.3.1.

Caso Continuo

Una señal de TC x(t ) es par si cumple con x(t ) = x( −t ) , es decir, si al reflejarla con respecto al eje vertical se obtiene la misma señal.

Figura 2.6. Señal continúa par.

Ejemplo 2.4. Demuestre que la señal x(t ) = 1 + t es par. 2

Solución.

x( −t ) = 1 + ( −t )2 = 1 + t 2 = x( t )

Por tal motivo, x(t ) es una señal par. 20


Señales

Una señal de TC x(t ) es impar si cumple con (t ) = − x( −t ) , es decir, si al reflejarla con respecto al eje vertical se obtiene la señal original con signo contrario.

Figura 2.7. Señal de TC impar.

Ejemplo 2.5. Demuestre que la señal x (t ) = t es impar.

Solución.

( −t ) = −t = − x(t )

Por tal motivo, x(t ) es una señal impar. Propiedad 2.1. Si x( t ) es una señal par, entonces

∫

a

x(t )dt = 2

−a

∫

a

0

x( t ) dt

Si x(t ) es una señal impar, entonces

∫

a

x(t )dt = 0 .

−a

2.1.3.2.

Caso Discreto

Una señal de TD xn es par si cumple con xn = x−n . Ejemplo 2.6. Demuestre que la señal x n = e + e n

−n

es par.

Solución. −n

= e − n + en = xn

Por tal motivo, xn es una señal par.

21


Señales

Una señal xn es impar si cumple con xn = − x−n . Ejemplo 2.7 . Demuestre que la señal x n = e − e n

−n

es impar.

Solución. − x− n = e n − en = − xn

Propiedad 2.2. Si

n

es una señal par, entonces a

∑

n =− a

Si

n

a

n

= x0 + 2∑ xn n =0

es una señal impar, entonces a

∑ x

n =− a

2.1.3.3.

n

=0

Componente par e impar

Una señal dada no necesariamente es par o impar, sin embargo, toda señal puede expresarse como la suma de una señal par más una señal impar. 

Caso Continuo

x(t ) = x par (t ) + x imp (t ) , donde x par (t ) =

x imp (t ) =

x(t ) + x(−t ) 2 x(t ) − x(−t ) 2

Ejemplo 2.8. Descomponga x (t ) = 1 + t + t como una señal par más una señal impar. 2

Solución.

x(t ) = x par (t ) + x imp (t )

22


Señales

(t ) =

par

imp

(t ) =

(1 + t + t ) + (1 − t + t ) 2

2

2 (1 + t + t ) − (1− t + t ) 2

2

2

= 1 + t 2 = t

Ejemplo 2.9. Descomponga x(t ) = e como la suma de una señal par más una impar. t

Solución.

x(t ) = x

par

(t ) =

par

imp

(t ) =

(t ) + x

et + e− t 2 t e − e− t 2

imp

(t )

= cosh(t ) = sinh(t )

Observación 2.1. Si x(t ) es una señal par, entonces x (t ) = x(t ) y x x(t ) es una señal impar, entonces x par (t ) = 0 y x imp (t ) = x(t ) . par

imp

(t ) = 0 . Si

Caso Discreto



+ xnimp , donde xn = x par n par

xn

imp

xn

=

xn + x− n

=

xn − x−n

2

2

Ejemplo 2.10. Descomponga xn como la suma de una señal par más una impar.

Figura 2.8. Señal de TD a descomponer.

23


Señales

Solución. Realizaremos la solución de forma grafica.

Figura 2.9.a. Señal reflejada.

Figura 2.9.b. Componente par de la señal.

Figura 2.9.c. Componente impar de la señal.

2.2. Señales periódicas

Una señal periódica es una señal que repite su valor después de un determinado tiempo, denominado periodo. Las señales periódicas son las funciones elegidas para la representación de señales en la teoría de Fourier. 2.2.1. Señales periódicas de tiempo continuo Un valor a ∈ R , es un tiempo de repetición para una señal x(t ) si x(t + a ) = x(t )

es decir, si desplazamos la señal en a instantes de tiempo obtenemos la misma señal. 24


Señales

Observación 2.2. El valor a = 0 es un tiempo de repetición para cualquier señal.

Definición 2.3. El período T de una señal de TC x(t ) , es el mínimo tiempo de repetición positivo. Una señal x(t ) es una señal periódica, si existe T ∈ R + , tal que

x(t + T ) = x(t )

Si una señal x(t ) tiene periodo T , entonces cumple x(t + kT ) = x( t ) ,

donde k ∈ Z

Cada uno de los términos kT , es un tiempo de repetición de la señal. Observe que al desplazar (t ) cualquier múltiplo entero de su periodo T , se obtiene la misma señal. Por tal motivo, conocer la señal (t ) sobre un intervalo de tiempo de longitud T , es suficiente para conocer toda la señal, ya que la señal periódica está formada por copias infinitas de ese intervalo, como se ilustra en la Figura 2.10.

Figura 2.10. Señal periódica de TC.

Observación 2.3. Toda señal periódica tiene soporte no acotado, por lo tanto no compacto, pues la señal debe repetirse desde −∞ hasta ∞ .

Por convención las señales constantes tienen periodo infinito, pues el conjunto de tiempos de repetición de una señal constante no tiene mínimo. Definición 2.4. La frecuencia continua f , se define como el inverso del periodo

f = 1 / T

Si el periodo se expresa en segundos, la frecuencia está en HZ, para el caso de señales sinusoidales, o en ciclos por segundo (cps), para otras señales periódicas. La frecuencia nos da información de cuantas veces se repite una señal en un intervalo de tiempo (tasa de repetición). Conociendo que el periodo de una señal de TC puede 25


Señales

estar en el intervalo (0, ∞ ) , la frecuencia de una señal de TC se encuentra en el intervalo [0, ∞) . Las señales constantes tienen frecuencia cero, pues su periodo es ∞ . Definición 2.5. La frecuencia angular continua Ω , es proporcional a la frecuencia de la

señal e inversa a su periodo, y se define como

Ω = 2π f =

2π T

La frecuencia angular continua Ω se encuentra en el intervalo [0, ∞) . Si la frecuencia se expresa en Hz, la frecuencia angular tiene unidades de rad/seg. La mayoría de señales periódicas pueden descomponerse como la suma de señales periódicas más simples, de diferentes frecuencias. Sin embargo, existen algunas señales periódicas que poseen una única frecuencia y no pueden descomponerse. Estas señales son la base del análisis de Fourier y son: la señal seno sin(Ωt ) , la señal coseno cos(Ωt ) y el exponencial complejo e jΩt = cos(Ωt ) + j sin(Ωt ) . La frecuencia angular Ω , controla la tasa a la cual se repite cada una de estas señales. Si la señal e jΩt es periódica existe un valor T ∈ R + tal que e jΩ ( t +T ) = e jΩt , entonces Ω

e j t e j

ΩT

= e j Ωt

⇒ e jΩT = 1

así, la señal es periódica si ΩT = 2π k , donde k ∈ Z . Por tal motivo, el periodo de las señales e jΩt , sin(Ωt ) y cos(Ωt ) puede ser encontrado a partir de Ω , de acuerdo a T =

2π

Ω

Una señal con frecuencia negativa, es equivalente a la misma señal de frecuencia positiva pero reflejada (tiempo invertido). Por ejemplo, las señales sin( Ωt ) y sin( −Ωt ) , tienen el mismo periodo, pero una corresponde a la reflexión de la otra. Ejemplo 2.11. Encuentre el periodo de las siguientes señales. 

x(t ) = sin( 2t )

En este caso Ω = 2 , por lo cual T = 2π / 2 = π . 

x(t ) = e − jπ t

En este caso Ω = − π , por lo cual T = 2π / π = 2 . 26


Señales

jΩt

Observación 2.4. Para todo Ω ∈ R , las señales sin( Ωt ) , cos(Ωt ) y e periódicas. Además, la amplitud y fase de estas señales no altera su periodo.

son

2.2.2. Suma de exponenciales complejos de TC Supongamos la suma de dos señales de TC periódicas j Ω1t

(t ) = e

+ e jΩ t 2

Si x(t ) es periódica, para algún T ∈ R + debe cumplir x(t + T ) = x(t ) , es decir Ω

+

Ω

+

Ω

Ω

j 1 ( t T ) j 1t 2 t e1442443 + e j 2 (t T ) = e14 + e j3 24 x ( t +T )

jΩ1t

e

e

jΩ1T

x ( t )

+ e jΩ t e jΩ T = e jΩ t + e jΩ t 2

2

1

2

La igualdad anterior se cumple si y sólo si e jΩ T = 1 y e jΩ T = 1 . Por tal motivo, si la señal x(t ) es periódica, se debe cumplir que Ω1T = 2π k 1 y Ω 2T = 2π k 2 , donde k1 , k 2 ∈ Z* . Así, x(t ) es periódica si y sólo si Ω1 / Ω 2 = k 1 / k 2 , es decir, si el cociente Ω1 / Ω 2 es un número racional. Las funciones sin( Ωt ) y cos(Ωt ) pueden expresarse en términos de exponenciales complejos, por lo cual, para la suma de esta clase de señales se mantiene la misma restricción. 1

2

Ejemplo 2.12.Encuentre el periodo de las siguientes señales, en caso de ser periódicas. 

x(t ) = cos(3t ) + sin(5t )

Ω1 = 3, Ω 2 = 5 ⇒ Ω1 Ω 2 = 3 5 ∈ Q , la señal es periódica. Debemos encontrar los valores k1 , k 2 ∈ Z* más pequeños para los que se cumple Ω1T = 2π k 1 y Ω 2T = 2π k 2 . Para nuestra señal se tiene 3T = 2π k 1 y 5T = 2π k 2 . Despejando se tiene 3k 2 = 5k 1 ⇒ k 1 = 3, k 2 = 5 . Por tal motivo T = 2π . 

x(t ) = sin( 2t ) + sin(π t )

Ω1 = 2, Ω 2 = π ⇒ Ω1 Ω 2 = 2 π ∉ Q , la señal no es periódica. Observación 2.5. Si Ω1 / Ω 2 ∈ Q

⇒ Ω 2 / Ω1 ∈ Q .

Cuando se realiza la suma de más de dos señales periódicas, el periodo puede ser encontrado para dos señales y el resultado obtenido posteriormente es recalculado con otra señal. Este procedimiento es repetido hasta alcanzar la totalidad de señales. 27


Señales

Ejemplo 2.13. Encuentre el periodo de la siguiente señal, en caso de ser periódica.

x(t ) = cos(t ) + sin(t 2) + cos(t 3) Solución. Tomemos x1 (t ) = cos(t ) + sin(t 2) , así x(t ) = x1 (t ) + cos(t / 3) . Para x1 (t ) se tiene Ω1 = 1 y Ω 2 = 1 / 2 , entonces Ω1 Ω 2 = 2 ∈ Q . Por tal motivo x1 (t ) es periódica y para ella se debe cumplir T 1 = 2π k 1 y T 1 2 = 2π k 2 . Así, 2k 2 = k 1 ⇒ k 1 = 2, k 2 = 1 y el periodo de x1 (t ) es T 1 = 4π y su frecuencia angular es Ω x = 2π 4π = 1 2 . 1

Para x(t ) , se tienen dos señales con frecuencias angulares Ω x = 1 2 y Ω 3 = 1 3 , entonces Ω x Ω 3 = 3 2 ∈ Q . Por tal motivo, (t ) es periódica y para ella se debe cumplir T 2 = 2π k x y T 3 = 2π k 3 . Así , 2k x = 3k 3 y se obtiene k x = 3 y k 3 = 2 . Por tal motivo, x(t ) tiene periodo T = 12π . 1

1

Observación 2.6. Cuando se suma una señal periódica con una señal constante, la señal resultante tiene periodo igual al de la señal periódica. Ejemplo 2.14. Encuentre el periodo de x(t ) = cos (3t ) , en caso de ser periódica. 2

2

Solución. Expresemos el cos (3t ) de forma apropiada para encontrar el periodo de x(t ) . Conociendo la identidad cos 2 α = 12 (1 + cos 2α ) , se tiene que x(t ) = 12 [1 + cos(6t )]. El periodo de la señal coseno es 2π 6 , entonces el periodo de x(t ) es T = π 3 . * Definición 2.6. Una señal con frecuencia angular k Ω , donde k ∈ R , se conoce como un armónico de una señal con frecuencia angular Ω . En este caso Ω se conoce como frecuencia fundamental y la señal con frecuencia Ω como fundamental .

Propiedad 2.3. El periodo de una señal suma de una fundamental de frecuencia angular Ω y sus armónicos, es igual al periodo de la fundamental, es decir, T = 2π Ω . Demostración.

Considere una señal de frecuencia Ω que es sumada con varios de sus armónicos x(t ) = sin( Ωt) + sin( k1Ωt ) + sin( k2 Ωt) + K + sin( k N Ωt) ,

k1, k2 , ..., k N ∈ Z

En este caso la fundamental sin(Ωt ) , tiene periodo 2π / Ω y su i‐ésimo armónico sin( k i Ω) , tiene periodo 2π /( k i Ω ) . Observe que 2π / Ω es un tiempo de repetición para cada uno de los armónicos, pues 2π / Ω es múltiplo de 2π /( k i Ω) de. Por tal motivo, el periodo de la señal total está dado por el periodo de la fundamental. ■ 28


Señales

Ejemplo 2.15. Halle el periodo de la señal

(t ) = cos( 2t ) + 12 cos( 6t ) + 13 cos(8t) , en caso

de ser periódica. Solución. Claramente la señal es periódica, pues corresponde a la suma de la fundamental cos(2t ) con dos de sus armónicos. El periodo de la señal es

T = 2π 2 = π .

2.2.3. Señales periódicas de tiempo discreto Un valor a ∈ Z , es un tiempo de repetición para una señal de TD xn , si xn+ a = xn Definición 2.7. El período N , de una señal de TD xn , es el mínimo tiempo de repetición positivo. Una señal xn es una señal periódica, si existe N ∈ Z + , tal que

xn+ N = xn

Si una señal xn tiene periodo N , entonces cumple xn + kN = xn ,

donde k ∈ Z

Cada uno de los términos kN , es un tiempo de repetición de la señal. Observe que al desplazar xn cualquier múltiplo entero de su periodo N , se obtiene la misma señal. Por tal motivo, conocer la señal n sobre un intervalo de longitud N , es suficiente para conocer toda la señal, ya que la señal periódica está formada por copias infinitas de ese intervalo.

Figura 2.11. Señal de TD periódica.

29


Señales

Definición 2.8. La frecuencia discreta f , se define como el inverso del periodo

f = 1 / N

La frecuencia nos da información de cuantas veces se repite una señal en un intervalo de tiempo. El periodo más pequeño de una señal periódica discreta no constante es 2. Por tal motivo, el periodo de una señal de TD se encuentra en el intervalo [2, ∞ ) . De acuerdo a esto, la frecuencia de una señal de TD está en el intervalo [0,1 2] . Claramente una señal constante discreta tiene periodo 1 . Por tal motivo, las señales constantes tienen frecuencia 1 . Sin embargo, como se demostrará más adelante, las señales constantes discretas también tienen frecuencia 0 , lo cual implica que también tienen periodo infinito; es decir, tienen 2 periodos, 1 y ∞ .

Figura 2.12. Señales de TD: señal constante y señal con periodo 2.

Definición 2.9. La frecuencia angular discreta ω , es proporcional a la frecuencia de la

señal de TD e inversa a su periodo, y se define como ω = 2π f =

2π N

La frecuencia angular discreta se encuentra en el intervalo [0, π ] . Las frecuencias cercanas a 0 se conocen como frecuencias bajas y las frecuencias cercanas a ±π se conocen como frecuencias altas. Al igual que en el caso continuo, nos centraremos en el estudio de tres señales periódicas básicas que permite representar casi cualquier otra señal periódica discreta. Estas señales son: la señal seno sin(ω n) , la señal coseno cos(ω n) y el exponencial complejo e jω n = cos(ω n) + j sin(ω n) . Observación 2.7. No para todo periódicas.

las señales sin(ω n) , cos(ω n ) y e

jω n

son

30


Señales

jω n

Propiedad 2.4. La señal e

es periódica si y sólo si ω es un múltiplo racional de 2π .

Demostración.

Si e jω n es una señal periódica, debe existir N ∈ Z + , tal que e jω ( n+ N ) = e jω n e jω n e jω N = e jω n

Por tal motivo se debe cumplir que e jω N = 1 . Conociendo que los complejos de la forma e jα viven sobre el circulo unitario en plano complejo y forman un ángulo de α con el eje real, se requiere que N sea un múltiplo entero de 2π , es decir N = 2π k , donde k ∈ Z . Por tal motivo, la frecuencia angular debe ser de la forma ω =

2π k N

De forma similar, se puede demostrar que las señales sin(ω n) y cos(ω n) son periódicas sólo si su frecuencia angular ω es un múltiplo racional de 2π . Para encontrar el periodo es necesario expresar como un múltiplo racional de 2π . El periodo corresponde al denominador del múltiplo racional. ■ Ejemplo 2.16.

Determine si las siguientes señales son periódicas y encuentre su

periodo. 

xn = cos[(π 3)n]

En este caso ω = 2π (1 / 6) , entonces xn es una señal periódica con periodo N = 6 . 

xn = e − j 2 n

En este caso ω = 2π (1 / π ) , entonces 

xn = sin ⎡

⎣(

(

n

2π n ⎤

)

⎦

)

En este caso ω = 2π 1 / 2 , entonces 

no es periódica pues (1 / π ) ∉ Q .

n

(

)

no es periódica pues 1 / 2 ∉ Q .

xn = cos[(7 π 3) n]

En este caso ω = 2π ( 7 / 6) , entonces

n

es una señal periódica con periodo N = 6 . 31


Señales

Dos señales con diferente frecuencia angular, como cos[(π 3)n] y cos[(7 π 3)n] , tienen el mismo periodo, situación imposible para señales de TC. Esto se debe a que la frecuencia angular discreta es periódica, con periodo 2π . Por tal motivo, una frecuencia discreta ω 0 , puede también escribirse como ω0 + 2π k , con k ∈ Z . 2.2.4. Suma de exponenciales periódicos de TD Propiedad 2.5. Toda suma de señales de TD periódicas es periódica. Demostración. Si xn y y n son dos señales de TD periódicas, con periodos N y

respectivamente, entonces MN y yn y { n + yn } .

, C M ( M , N ) son tiempos de repetición para xn , ■ ⎛ 2π ⎞ ⎟n ⎝ N ⎠

j ⎜

⎛ 2π ⎞ ⎟n ⎝ M ⎠

j ⎜

Si sumamos de dos exponenciales complejos periódicos xn = e y yn = e , señales con periodo N y , respectivamente, entonces la señal xn + yn tiene periodo K , dado por K = MCM ( M , N )

donde

CM es el mínimo común múltiplo.

Ejemplo 2.17. Encuentre el periodo de las siguientes sumas.



⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ n ⎟ + sin⎜ n⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠

cos⎜

N = 4, M = 5 y mcd ( 4,5) = 1 , entonces K = 4 × 5 = 20 .



⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ n ⎟ + sin⎜ n⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠

cos⎜

N = 4, M = 8 y mcd ( 4, 8) = 4 . Por tal motivo, el periodo de la suma es K = MCM ( 4, 8) = 8 .



⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ n ⎟ + sin⎜ n⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 8 ⎠

cos⎜

N = 6, M = 8 y mcd ( 6,8) = 2 . Por tal motivo, el periodo de la suma es K = MCM (6, 8) = 24 .

32


Señales

2.3. Potencia y energía de una señal

En la mayoría de los casos trabajaremos con señales, continuas o discretas, que corresponden a un voltaje o a una corriente. Por tal motivo, medidas de la señal como la potencia instantánea, la potencia promedio y la energía, son de suma importancia. 2.3.1. Potencia instantánea En un circuito puramente resistivo, como el que se ilustra en la Figura 2.13, la potencia p(t ) sobre el resistor R en un cierto instante de tiempo, es el producto entre la diferencia de potencial v(t ) de los terminales del resistor y la intensidad de la corriente i(t ) que pasa a través del mismo, es decir p(t ) = v(t )i* ( t ) .

Figura 2.13. Circuito resistivo.

Utilizando la ley de Ohm, la potencia instantánea puede expresarse en términos del voltaje v(t ) en los terminales del resistor p(t ) =

v(t )v* ( t ) R

=

v(t )

2

R

o en términos de la corriente i(t ) a través del resistor 2

(t ) = i(t )i * (t ) R = i(t ) R

En ambos casos, la potencia instantánea es proporcional a la magnitud al cuadrado de la señal. Para un resistor R = 1Ω , las ecuaciones toman la misma forma, es decir 2

2

(t ) = v( t ) = i(t ) ,

por lo que es usual referirse a la potencia instantánea de una señal dada (t ) , como (t ) = x(t )

2

33


Señales

2.3.2. Energía La energía total de una señal (t ) , se define como la suma (integral) de su potencia instantánea (t ) 2 y puede ser encontrada como ∞

E =

∫

2

x( t ) dt

−∞

Las señales para las cuales la integral anterior converge se conocen como señales de energía finita. En la práctica, todas las señales tienen energía finita. La energía de una señal x(t ) puede ser encontrada dentro de un intervalo de tiempo (t1 , t 2 ) , para ello t 2

Et1 ,t 2 =

∫

2

x( t ) dt

t 1

2.3.3. Potencia promedio La promedio durante un intervalo de tiempo (t1 , t 2 ) de una señal (t ) , puede ser encontrada si sumamos la potencia sobre el intervalo y dividimos por la longitud del mismo. La potencia promedio P sobre un intervalo (t1 , t 2 ) , se define como P t1 ,t 2 =

t 2

1 t2 − t 1

∫

2

x( t ) dt

t 1

La potencia promedio de la señal se calcula cuando el intervalo se vuelve infinito P = lim T →∞

1

t 2

∫

T t 1

2

x( t ) dt

Si la potencia promedio se mantiene finita, pero no cero, cuando la longitud del intervalo de tiempo T tiende a infinito, la señal x(t ) se denomina señal de potencia. La potencia promedio de una señal periódica puede encontrarse sin evaluar el límite T → ∞ . En este caso, se puede tomar T como el periodo de la señal y calcular la potencia promedio sobre cualquier intervalo de tiempo de longitud T , es decir P =

1

x( t ) T ∫

2

dt

T

Ejemplo 2.18. Para la señal x(t ) = 2e

j 3t

, encuentre la potencia, la energía de la señal y la potencia promedio. La señal es de potencia o de energía? 34


Señales

Solución. 

Potencia instantánea 2

p(t ) = x( t ) = 2e j 3t

2

2

p(t ) = 2 2 e j 3t = 4 

Energía ∞

E =

∞

∫

2

x( t ) dt =

−∞

∫

2e

j 3t

2

∞

dt = 4

−∞

∞

∞

∫

∫

∫

2

e j 3t dt

−∞

E = 4 dt = 8 1dt = ∞ −∞



0

Potencia promedio

P = lim

T →∞

P = lim

T →∞

1 T 4 T

T /2

∫

2

x( t ) dt = lim T →∞

−T / 2 T / 2

∫

−T / 2

dt = lim T →∞

4

T / 2

∫

T −T / 2

2

e j 3t dt

4

[T / 2 − ( −T / 2)] = 4 T

Por tal motivo, (t ) es una señal de potencia. Ejemplo 2.19. Encuentre la potencia, la energía y la potencia promedio de la siguiente

señal. La señal es de potencia o de energía?

Figura 2.14. Señal exponencial decreciente par.

Solución.

35


Señales



Potencia instantánea 2

p(t ) = x( t ) = e

p(t ) = e



−2|t | 2

2

⎧ e4t t < 0 = ⎨ −4t t > 0 ⎩e

−4|t |

Energía ∞

E =

∫

∞ 2

x(t ) dt =

−∞

E =

∫e

−2|t | 2

∫ (e )

∞

dt =

−∞ 4t

∫

dt + e

−∞

∫e

−4|t |

dt

−∞

∞

0



= ( e−2|t | )

−4 t

dt =

0

1 2

Potencia promedio

P = lim T →∞

P = lim T →∞

1 T 2 T

T /2

∫

2

−T / 2 T / 2

∫

e

−4 t

dt = lim

0

T →∞

T /2

−2|t | 2

(e ) →∞ T ∫ −

x( t ) dt = lim T

1

dt = lim T →∞

T /2

1 2T

0

e

−4 t

∫

T −T / 2

−4 t

e

dt

1 − e− ) = 0 ( →∞ 2T

= lim T / 2

1

T / 2

1

2T

T

Por tal motivo, x(t ) es una señal de energía finita. 2.3.4. Caso discreto Potencia instantánea de la señal

Energía en el intervalo ( n1 , n2 ) Energía de la señal

pn = xn

En1 ,n2 = E =

n2

∑x

Potencia promedio

P n1 ,n2 =

2

n

n = n1

∞

∑

n =−∞

Potencia promedio en el intervalo ( n1 , n2 )

2

xn

2

n2

1

( n2

P = lim

N →∞

∑x − n ) +1 n = n1

1

1

N / 2

∑

N n=− N / 2

xn

2

n

2

36


Señales

2.4. Normas y espacios normados Definición 2.10. Un espacio vectorial es una colección de objetos (llamados vectores)

que pueden ser escalados y sumados. Una norma ⋅ , es una función que asigna una longitud o tamaño a cada uno de los vectores del espacio. Un espacio vectorial con norma, se conoce como espacio vectorial normado . 3

Ejemplo 2.20. El espacio euclidiano R , es un espacio vectorial. Cada elemento del espacio o vector, es de la forma x = ( x1 , x2 , x3 ) , donde x1 , x2 , x3 ∈ R , y corresponde a

un punto en el espacio tridimensional. Una norma para este espacio (se pueden definir otras) es la distancia euclidiana del vector al origen, definida como

= x12 + x22 + x32 2.4.1. Norma y espacio L1 La norma L1 de una señal de TC x(t ) , se define como ∞

x(t ) 1 =

∫ x(t ) dt

−∞

L1 es el espacio vectorial formado por todas las señales de TC que tienen norma L1

{

finita (señales integrables en magnitud), es decir, L1 = f : R → C : ∫

∞

−∞

}

f < ∞ .

−3 ≤ t ≤ 3 − ⎩0 ⎧t

Ejemplo 2.21. Encuentre la norma L1 de la señal x(t ) = ⎨

Solución.

Figura 2.15. Señal original y su magnitud. ∞

(t ) 1 =

∫

−∞

3

x(t ) dt =

∫t

dt

−3

37


Señales

x(t ) 1 =

0

3

−3

0

∫ −t dt + ∫ t dt = 9

Esta señal pertenece a L1 , pues su norma L1 es finita.

⎧1 / t

t ≥ 1

⎩0

otro caso


Figura 2.16. La señal original y su magnitud.

∞

x(t ) 1 =

∫

−∞ ∞

∞

∫

x( t ) dt = 1 / t dt 1

∫

x(t ) 1 = 1 t dt = ln( ∞ ) − ln(1) = ∞ 1

Por tal motivo la señal no pertenece a L1 .

⎧1 / t 2 Ejemplo 2.23. Encuentre la norma L1 de la señal x(t ) = ⎨ ⎩ 0

t ≥ 1 otro caso

Figura 2.17. La señal original y su magnitud.

x(t ) 1 =

∞

∞

∫

x( t ) dt = 1 / t 2 dt

−∞ ∞

∫ 1

∞

x(t ) 1 = ∫ 1 t 2 dt = − 1 t 1 = 1 1

38


Señales

Las señales que pertenecen a L1 se conocen como señales integrables en magnitud. ∞

Propiedad 2.6.

∞

∫ x(t ) dt ≤ ∫

−∞

x( t ) dt

−∞

Por tal motivo, si una señal es integrable en magnitud es integrable sin magnitud. La norma L1 de una señal de TC puede calcularse sobre un intervalo finito de tiempo, en ese caso se define como t 2

(t ) 1 (t1 , t2 ) =

∫ x(t ) dt t 1

Definición 2.11. Un espacio de Banach, es un espacio vectorial normado completo, es

decir, un espacio vectorial normado en el cual todas las sucesiones de Cauchy convergen. Definición 2.12. Una sucesión { xn } , en la cual sus elementos se acercan a medida que

avanza la sucesión, es una sucesión de Cauchy . +

Ejemplo 2.24. {1 / n} , donde n ∈ N , es una sucesión de Cauchy.

{1 / n} = {1, 12 , 13 , 14 , ...}

El espacio L1 es completo, por lo cual L1 es un espacio de Banach. 2.4.2. Norma y espacio L2

La norma L2 de una señal de TC x(t ) se define como ∞

(t )

2

=

∫

2

x(t ) dt

−∞

L2 es el espacio vectorial formado por todas las señales de TC que tienen norma L2

{

finita (señales de energía finita), es decir, L2 = f : R → C : ∫

∞

2

−∞

}

f < ∞ .

⎧1 / t

t ≥ 1

⎩0

otro caso


39


Señales

Solución. ∞

x(t )

2

∞

∫

=

x( t )

2

dt =

−∞

∫ 1/ t

∫

dt

1

∞

x(t ) 1 =

2

∞

1 t 2 dt = −1 / t 1 = 1

1

Por tal motivo la señal pertenece a L2 . Note que esta señal no pertenece a L1 . Observación 2.8. Una señal en L1 no necesariamente pertenece a L2 y viceversa.

Las señales que pertenecen a L2 se conocen como señales de energía finita, pues si una señal tiene norma L2 finita también tiene energía finita. La energía de una señal puede ser encontrada a partir de su norma L2 , como E =

( x(t ) )

2

2

Propiedad 2.7. Toda señal acotada y de soporte compacto pertenece a L1 ∩ L2 .

La norma L2 de una señal de TC puede calcularse sobre un intervalo finito de tiempo, en ese caso se define como t 2

∫

x(t ) 2 (t1 , t2 ) =

2

x( t ) dt

t 1

Observación 2.9. Una señal que no tiene soporte compacto puede pertenecer a L1 o L2 . En los ejemplos realizados algunas señales tiene soporte no acotado y algunas de ellas pertenecen a L1 o L2 .

Definición 2.13. Un espacio de Hilbert , es un espacio vectorial normado completo con producto interno, es decir, un espacio de Banach con producto interno.

El producto interno entre x(t ) y y(t ) , dos señales de L2 , se define como ∞

, y =

∫ x(t ) y (t ) dt *

−∞

El producto interno en cierta forma calcula la similitud entre dos señales del espacio. La norma L2 y la energía de una señal se relacionan con el producto interno, mediante 40


Señales

∞

x, x =

∞

∫ x(t ) x (t) dt = ∫ *

−∞

x, x =

(

2

x( t) dt

−∞

x( t )

2

)

2

= E

2.4.3. Norma y espacio l 1 La norma l 1 de una señal de TD xn se define como ∞

xn

= ∑ xn 1 n =−∞

El espacio l 1 , es el espacio vectorial formado por todas las señales de TD que tienen norma l 1 finita. Las señales de l 1 se conocen como señales sumables en magnitud. ∞

Propiedad 2.8.

∑ x

n =−∞

n

≤

∞

∑

n =−∞

xn

Por tal motivo, si una señal es sumable en magnitud es sumable sin magnitud. La norma L1 de una señal de TD puede calcularse sobre un intervalo finito de tiempo, en ese caso se define como

n 1

( n1 , n2 ) =

n2

∑x

n = n1

n

Ejemplo 2.26. Encuentre la norma l 1 de la señal

⎧ j 2n −3 < n < 0 ⎪ xn = ⎨− jn 0 < n ≤ 3 ⎪ 0 otro caso ⎩ Solución. La magnitud de la señal puede escribir se como

⎧2 n ⎪ xn = ⎨ n ⎪ 0 ⎩ xn

1

−2 ≤ n ≤ −1 1≤ n ≤ 3 otro caso

= 2 −2 + 2 − 1 + 1 + 2 + 3 = 12

41


Señales

2.4.4. Norma y espacio l 2 La norma l 2 de una señal de TD xn se define como ∞

n 2

=

∑ x

n =−∞

2

n

El espacio l 2 es el espacio vectorial formado por todas las señales de TD que tienen norma l 2 finita. Las señales que pertenecen a l 2 se conocen como señales de energía finita, pues si una señal tiene norma l 2 finita también tiene energía finita. La energía de una señal de TD puede ser encontrada a partir de su norma l 2 , como E =

( x(t ) )

2

2

⎧n / 2 2 ≤ n ≤ 2

Ejemplo 2.27. Calcule la norma l 2 y la energía de la señal xn = ⎨

⎩ 0

otro caso

.

Solución.

Figura 2.18. Señal original y su magnitud.

xn

2

(

2

=

E = xn

2

∑ n 2 = 1 + 14 + 0 + 14 + 1 = 10 2

n = −2

)

2

2

=5 2

42


Señales

2.5. Funciones Singulares

2.5.1. Función escalón de Heaviside La función escalón de Heaviside o función escalón unitario se define como

⎧0 t < 0 ⎩1 t > 0

u (t ) = ⎨

La función escalón presenta una transición de 0 a 1 en el valor de t para el cual se anula su argumento. El valor de la función en el instante de la transición no está determinado. La función escalón puede trasladarse y reflejarse modificando su argumento, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.28. Obtenga la grafica de las siguientes funciones escalón. 

u (t + 1) : el tiempo de la transición está dado por la ecuación t + 1 = 0 , por lo cual la transición ocurre en t = −1 .

⎧0 t < − 1 u (t + 1) = ⎨ ⎩1 t > − 1



u (−t ) : debido a que la función está reflejada la transición es de uno a cero. El tiempo de la transición se encuentra haciendo −t = 0 , por lo cual t = 0 .

⎧1 t < 0 ⎩0 t > 0

u ( −t ) = ⎨

43


Señales



u (2 − t ) : debido a que la función está reflejada, la transición es de uno a cero. El tiempo de la transición se encuentra haciendo 2 − t = 0 , por lo cual t = 2 .

⎧1 t < 2 u (2 − t ) = ⎨ ⎩0 t > 2

Propiedad separadora

La función escalón es comúnmente utilizada para anular una señal a partir de cierto tiempo y es utilizada junto a otros escalones para seleccionar una región de interés en una señal. Al multiplicar una señal (t ) por un escalón se obtiene

⎧ 0

x(t )u(t − t 0 ) = ⎨

t < t 0

⎩ (t ) t > t 0

Figura 2.19. Señal original y señal multiplicada por un escalón.

Ejemplo 2.29. Grafique la señal t [u (t − 1) − u (t − 3)]

Figura 2.20. Resta de las funciones escalón

44


Señales

Figura 2.21. Señal original y señal multiplicada por las funciones escalón.

2.5.2. Función impulso La función impulso o delta de Dirac está definida como

⎧≠ 0

t = 0

⎩0

otro caso

δ (t ) = ⎨

El impulso tiene amplitud desconocida. El valor 1 de la gráfica se conoce como el peso de la función impulso. La función impulso sólo toma valor diferente de cero en aquel instante del tiempo en el cual su argumento es igual a cero. Por ejemplo, el impulso δ (t ) está ubicado en el origen, pues su argumento es t . No obstante, un impulso puede ubicarse en cualquier instante del tiempo, para lo cual se modifica su argumento. El impulso δ (t − t 0 ) se encuentra ubicado en t = t 0 , ya que al igualar el argumento del impulso a cero se obtiene t − t 0 = 0 . Ejemplo 2.30. Grafique la función δ (t − 3) .

Solución. Igualando el argumento del impulso a cero se tiene t − 3 = 0 , por lo cual el impulso se encuentra ubicado en el tiempo t = 3 .

⎧≠ 0 t = 3 ⎩ 0 t ≠ 3

δ (t − 3) = ⎨

45


Señales

Propiedad de área unitaria

⎧1 si a < t0 < b

b

∫

δ (t − t0 )dt = ⎨

⎩0

a

otro caso

∞

Ejemplo 2.31. Evalúe la integral

∫ [3δ (t + 2) − 2δ (t ) + δ (t −1)] dt

−∞

Solución. La función esta compuesta por 3 impulsos de diferentes pesos, ubicados en los instantes de tiempo t = −2 , t = 0 y t = 1 .

Figura 2.22. Señal formada por tres funciones impulso.

Expresando la integral de la suma como la suma de las integrales se tiene ∞

∞

∫

∫ 2δ (t )dt + ∫ δ (t − 1)dt = 3 − 2 + 1 = 2

3 δ (t + 2) dt − −∞

∞

−∞

−∞

Propiedad de selección

Al multiplicar una señal (t ) por un impulso ubicado en el tiempo t = t 0 , se obtiene un impulso ubicado t = t 0 con peso (t 0 ) , es decir, (t )δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 )

Por tal motivo, al integrar una señal (t ) por un impulso ubicado en el tiempo t = t 0 , se evalúa la señal en el instante de tiempo en el cual vive el impulso. ∞

∫ x(t )δ (t − t )dt = x(t ) 0

0

−∞

46


Señales

Ejemplo 2.32. Evalué las siguientes integrales ∞ 

∫e

cos(t )

δ (t − π )dt = e cos(π ) = e −1

−∞ ∞ 

∫

2

e − x δ ( x) dx = 0

1 100 

∫ log(t)δ (t − 10)dt = log(10) = 1 1

A

2.5.3. Escalón unitario discreto La función escalón unitario discreto se define como

⎧0 n < 0 ⎩1 n ≥ 0

un = ⎨

El escalón presenta su transición de 0 a 1 , en el valor de n que anula su argumento. La función escalón puede trasladarse y reflejarse modificando su argumento. 2.5.4. Impulso unitario discreto La función impulso discreto δ n , está definida como

n=0 ⎧1 δ n = ⎨ ⎩0 otro caso

47


Señales

La función impulso sólo toma valor diferente de cero en aquel instante del tiempo en el cual su argumento es igual a cero. Por ejemplo, el impulso δ n −n se encuentra ubicado en n = n0 , ya que al igualar el argumento a cero se tiene que n − n0 = 0 . 0

Propiedad de selección

Al multiplicar una señal n por un impulso ubicado en el tiempo n = n0 , se obtiene un impulso ubicado n = n0 de altura xn , es decir, 0

xnδ n −n0 = xn0 δ n −n0

Por tal motivo, al sumar una señal n por un impulso ubicado en el tiempo n = n0 , se evalúa la señal en el instante de tiempo en el cual vive el impulso. ∞

∑ x δ n

n =−∞

n − n0

= xn

0

2.6. Convolución lineal

2.6.1. Definición La convolución es un operador que toma dos señales f y g , y produce una tercera señal h , la cual representa la cantidad de traslape (área del producto) entre f y una versión reflejada y trasladada de g . La convolución entre dos señales se define como ∞

h(t ) = [ f ∗ g ]( t ) =

∫

−∞

∞

f (τ ) g( t − τ ) dτ =

∫

f ( t − τ ) g(τ ) dτ

−∞

Ejemplo 2.33. Considere las señales f (t ) y g (t ) que se muestran en la figura,

encuentre la convolución entre ellas.

48


Señales

Solución. La convolución h(t ) entre las señales f (t ) y g (t ) puede encontrarse como ∞

h( t ) =

∫

f (τ ) g ( t − τ ) dτ

−∞

Consideremos la señal g ( −τ ) , que corresponde a una versión reflejada de g (t ) .

Figura 2.23. Señal reflejada.

La variable t se ha cambiado por la variable τ , lo cual no cambia la forma original de la señal. Si la señal reflejada g ( −τ ) es adelantada un valor de t , se obtiene g (t − τ ) , que corresponde a una versión reflejada y desplazada de g (t ) , ver Figura 2.24.

Figura 2.24. Señal reflejada y desplazada.

El pulso original g (t ) tiene soporte en [0, 2] , una vez que la señal es reflejada, el nuevo pulso obtenido tiene soporte en [−2, 0] . El pulso final g (t − τ ) , desplazado en t , tiene soporte en [−2 + t , t ] , como se ilustra en la Figura 2.24. Para computar la convolución h(t ) entre el par de señales debe integrarse la señal f (τ ) g (t − τ ) con respecto a τ , para todos los valores de t . Para un valor de t dado, la señal f (τ ) permanece sin alterarse, ya que es sólo función de la variable τ . Por otro lado, para cada valor de t , la señal g (t − τ ) corresponde a una versión desplazada en t de la señal g ( −τ ) . Por tal motivo, la señal h(t ) contiene la información del traslape entre las señales f (τ ) , la cual se mantiene fija, y la señal g (t − τ ) , que se desplaza de acuerdo al valor de t . Para diferente valores de t , la señal f (τ ) g (t − τ ) toma diferentes valores. A continuación calcularemos h(t ) para tres valores de t .

49


Señales



Para t = 0

∞

∫

h( 0 ) =

f (τ ) g ( −τ ) dτ

−∞

No hay traslape entre las señales, por lo cual h(0) = 0 .



Para t = 1

∞

h(1) =

∫

f (τ ) g (1 − τ ) dτ

−∞

Las señales se traslapan en el intervalo [0,1] , en el cual f (τ ) = τ y g (1 − τ ) = 1, así ∞

h(1) =

∫

1

∫

f (τ ) g (1 − τ ) dτ = τ dτ =

−∞

0

1 2

Observa que h(1) corresponde al área del triangulo del correspondiente traslape. 

Para t = 2

∞

h( 2 ) =

∫

f (τ ) g ( 2 − τ )dτ

−∞

Las señales se traslapan en el intervalo [0, 2] , en el cual g (1 − τ ) = 1. Sobre este intervalo f (τ ) = τ , si 0 < τ < 1 , y f (τ ) = −τ + 2 , si 1 < τ < 2 , por tal motivo 50


Señales

∞

h( 2 ) =

∫

1

2

∫

∫

0

1

f (τ ) g (1 − τ )dτ = τ dτ + ( −τ + 2) dτ = 1

−∞

El valor de h( 2) corresponde al área del triangulo del correspondiente traslape. Con el fin de encontrar la solución completa para h(t ) se debe tomar t por intervalos y no por valores puntuales. 

Para t < 0 , no existe traslape entre las señales, pues el pulso termina en t , el cual es una valor negativo, y el triangulo empieza en cero.

h(t ) = 0



Para 0 < t < 1 , las señales se traslapan en el intervalo [0, t ] , sobre el cual f (τ ) = τ y g (t − τ ) = 1 .

t

∫

h(t ) = τ d τ = 0



t 2

2

Para 1 < t < 2 , las señales se traslapan en el intervalo [0, t ] . El traslape entre 0 y 1 es constante y corresponde al área del triangulo, igual a 1/2. El traslape entre 1 y t , depende de t , sobre este intervalo f (τ ) = −τ + 2 y g (t − τ ) = 1 .

h( t ) =

1 2

t

+ ∫ ( −τ + 2) d τ

h(t ) = 1 −

1

(t − 2)2 2

51


Señales



Para 2 < t < 3 , las señales se traslapan en el intervalo [−2 + t , 2] . El traslape entre 1 y 2 es constante y corresponde al área del triangulo, igual a 1/2. Para el traslape entre −2 + t y 1, las señales son f (τ ) = τ y g (t − τ ) = 1 .

h (t ) =

1 2

1

+

−2 + t

(t − 2) 2

h(t ) = 1 −



∫ τ d τ 2

Para 3 < t < 4 , las señales se traslapan en el intervalo [−2 + t , 2] , sobre el cual f (τ ) = −τ + 2 y g (t − τ ) = 1 .

2

h (t ) =

∫

−τ + 2 d τ

−2 + t

h(t ) =



(t − 4)

2

2

Finalmente, para t > 4 no hay traslape entre las señales y h(t ) = 0 .

Por tal motivo, la convolución entre las señales es una señal a trozos dada por

0 t < 0 ⎧ ⎪ 1 2 t 0 < t < 1 2 ⎪⎪ h(t ) = ⎨1 − 12 (t − 2)2 1 ≤ t ≤ 3 ⎪ 1 (t − 4 ) 2 3 < t < 4 ⎪ 2 0 t > 4 ⎪⎩

2.6.2. Propiedades de la convolución 

Conmutatividad x(t ) ∗ y (t ) = y (t ) ∗ x(t )

52


Señales



Asociatividad x(t ) ∗ [ y (t ) ∗ z (t ) ] = [ x(t ) ∗ y (t ) ] ∗ z (t )



Distributividad (t ) ∗ [ y( t ) + z(t ) ] = x( t ) ∗ y( t ) + x( t) ∗ z( t)



Convolución con impulso (t ) ∗ δ (t − t0 ) = x( t − t0 )

2.6.3. Convolución lineal discreta De forma análoga al caso continuo, la convolución discreta entre dos señales es una tercera señal hn , definida como ∞

yn = [ x ∗ h]n =

∑

k =−∞

n

y yn ,

∞

xk hn −k =

∑x

k =−∞

n −k

hk

2.7. Sistemas LTI

Un sistema es un operador que a cada señal de entrada asigna una señal de salida. Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) son de gran importancia, ya que muchos circuitos eléctricos y electrónicos pueden modelarse como un sistema LTI. Por tal motivo, estudiaremos la respuesta de un sistema LTI a una señal de entrada. 2.7.1. Sistemas continuos Un operador L , es lineal e invariante en tiempo si cumple 

Linealidad: homogeneidad y superposición L [ ax( t ) + by( t )] = aL[ x( t)] + bL[ y( t )]



Invariante en el tiempo Si L [ x(t )] = y( t ) entonces L[ x(t − t0 )] = y( t − t 0 )

Un sistema LTI puede verse como un operador que a cada señal de entrada (t ) le asigna una señal de salida y(t ) = L [ x( t )] , cumpliendo las dos propiedades anteriores. 53


Señales

Figura 2.25. Sistema LTI continuo

Una señal x(t ) puede evaluarse en un instante de tiempo t 0 haciendo ∞

x(t0 ) =

∫ x(t )δ (t − t )dt 0

−∞

En general, la señal x(t ) puede reescribirse utilizando una función impulso, como ∞

x(t ) =

∫ x(τ )δ ( t − τ )dτ = x( t) ∗ δ ( t )

−∞

Observación 2.10. Al realizar la convolución de cualquier señal (t ) con la función impulso δ (t ) se tiene la señal original, es decir, x(t ) ∗ δ (t ) = x (t ) .

Suponga que la señal x(t ) entra a un sistema LTI , entonces la salida es

⎡∞ ⎤ ∞ y(t ) = L[ x( t )] = L ⎢ ∫ x(τ )δ ( t −τ ) dτ ⎥ = ∫ x(τ ) L[δ ( t −τ )] d τ ⎣ −∞ ⎦ −∞ Definamos h(t ) como la respuesta impulso del sistema LTI, es decir h(t ) = L[δ (t )] . Dado que el sistema es invariante en el tiempo se tiene que L[δ (t − τ )] = h(t − τ ) y podemos escribir la respuesta del sistema como ∞

y(t ) =

∫ x(τ )h( t − τ )dτ = x( t) ∗ h( t )

−∞

La respuesta de un sistema LTI a una señal de entrada corresponde a la convolución entre la señal de entrada (t ) y la respuesta al impulso del sistema h(t ) . Por tal motivo, los sistemas LTI son conocidos también como sistemas de convolución y están completamente caracterizados por su respuesta impulso h(t ) , ya que a partir de ella se puede encontrar la respuesta del sistema a cualquier entrada arbitraria.

Figura 2.26. Respuesta de un sistema LTI con respuesta al impulso h(t ).

54


Señales

Ejemplo 2.34. Encuentre la respuesta de un sistema LTI a un exponencial complejo.

Solución. Si x(t ) = e

jΩ 0t

y la respuesta al impulso de sistema es h(t ) , se tiene

∞

∞

∫ x(t − τ )h(τ ) dτ = ∫ e

j Ω0 ( t −τ )

y(t ) =

−∞

h(τ ) dτ = e

−∞

jΩ 0t

⎡∞ ⎤ − jΩ τ jΩ t ( ) h τ e d τ ⎢∫ ⎥ = e H ( Ω0 ) ⎣ −∞ ⎦ 0

0

La respuesta a un exponencial complejo de frecuencia Ω0 es el mismo exponencial multiplicado por una función que depende de la frecuencia Ω0 . Estabilidad en sentido EASA

La estabilidad EASA (Entrada Acotada Salida Acotada) es comúnmente utilizada para indicar la estabilidad de un sistema LTI. Suponga que a un sistema LTI, con respuesta al impulso h(t ) , es aplicada una señal acotada x(t ) . ¿Que condición debe cumplir el sistema para que su salida y(t ) sea también acotada? Consideremos la salida del sistema LTI ∞

∫ x(τ )h(t − τ ) d τ

y(t ) =

−∞ ∞

y(t ) ≤

∫

∞

x(τ ) h( t − τ ) dτ ≤ sup x(τ ) τ ∈R

−∞

∫

h( t − τ ) d τ

−∞

y(t ) ≤ sup x(τ ) h( t ) 1 τ ∈R

Dado que la señal (t ) es acotada, la señal (t ) tiene por supremo un real, entonces para que la señal y(t ) sea acotada se requiere que h(t ) sea integrable en magnitud. Por tal motivo, si la respuesta impulso h(t ) ∈ L1 el sistema es estable en sentido EASA, y el sistema asigna una señal de salida acotada a toda señal de entrada acotada. 2.7.2. Sistemas discretos Un sistema LTI discreto puede verse como un operador que a cada señal de entrada xn le asigna una señal de salida yn , cumpliendo linealidad e invarianza temporal.

Figura 2.27. Sistema LTI discreto

55


Señales

La señal xn puede escribirse, utilizando una función impulso, como xn =

∞

∑ xδ

k =−∞

k

n −k

= xn ∗ δ n

Suponga que la señal xn entra a un sistema (LTI), entonces la salida es

⎡ ∞ ⎤ ∞ yn = L[ xn ] = L ⎢ ∑ xk δ n −k ⎥ = ∑ xk L[δ n −k ] ⎣ k =−∞ ⎦ k =−∞

Definamos hn como la respuesta a un impulso discreto del sistema LTI, es decir hn = L[δ n ] ⇒

L[δ n −k ] = hn −k

Por tal motivo, podemos escribir la respuesta del sistema como yn =

∞

∑xh

k =−∞

k

n −k

= xn ∗ hn

La respuesta de un sistema LTI a una señal de entrada corresponde a la convolución entre la señal de entrada xn y la respuesta al impulso del sistema hn .

Figura 2.28. Respuesta de un sistema LTI con respuesta al impulso h(t ).

Estabilidad en sentido EASA

yn =

∞

∑ x h k =−∞

k

n −k

∞

yn ≤

∑

k =−∞

∞

xk hn − k ≤ sup xk

yn ≤ sup xk hn k ∈Z

k ∈Z

∑

k =−∞

hn −k

1

Por tal motivo, si la respuesta impulso hn ∈ l 1 el sistema es estable en sentido EASA, y el sistema asigna una señal de salida acotada a toda señal de entrada acotada. 56

Señales


2.8. Resumen

• Una señal es una abstracción de cualquier cantidad que puede ser medida. Las señales puede modelarse como funciones y de acuerdo a su dominio se clasifican como señales de tiempo continuo o de tiempo discreto. • Una señal es acotada en valor si su magnitud tiene supremo y una señal tiene soporte compacto si su soporte es acotado. • Una señal es par si al reflejarla se obtiene la misma señal, en cambio una señal es impar si al reflejarla se obtiene la señal con signo negativo. No todas las señales son pares o impares pero todas pueden descomponerse como la suma de una señal par más una señal impar. • Una señal que repite su valor cada determinado tiempo es una señal periódica. El inverso del periodo se conoce como frecuencia y da información de la tasa a la cual se repite una señal periódica. • Las señales de tiempo continuo e jΩt , cos(Ωt ) y sin(Ωt ) son periódicas, con periodo 2π / Ω , para cualquier frecuencia angular continua Ω real. La señal e j Ω t + e j Ω t es periódica sólo si Ω1 / Ω2 ∈ Q . 1

2

• Una señal con frecuencia múltiplo de una frecuencia Ω0 se conocen como armónicos de Ω0 y una señal con frecuencia Ω0 se conocen como fundamental. • Las señales de tiempo discreto e jω n , cos(ω n) y sin(ω n) son periódicas sólo si la frecuencia angular discreta ω es un múltiplo racional de 2π . Toda suma de señales periódicas corresponde a una señal periódica. • La frecuencia angular discreta ω es periódica con periodo 2π . En el intervalo de frecuencias [−π , π ] , las frecuencias altas son la cercanas a ±π y las frecuencias bajas las cercanas a 0 . • Definimos la potencia instantánea como la magnitud al cuadrado de una señal, la energía como la cantidad de potencia en un intervalo dado y la potencia promedio como la energía en un intervalo sobre la longitud de mismo. Una señal es de energía si tienen energía finita y una señal es de potencia si tiene potencia promedio finita no nula. • Un espacio vectorial es un conjunto de elementos que al ser sumados y/o escalados permanecen en el conjunto. L1 es el espacio vectorial formado por las señales integrables en magnitud (norma L1 finita). L2 es el espacio vectorial formado por las señales de energía (norma L2 finita).

57

Señales


•

La función impulso sólo toma valor distinto de cero en el valor de tiempo donde se anula su argumento. Al multiplicar una señal por un impulso se obtiene otro impulso de peso igual a la señal donde vive el impulso. Un impulso tiene área unitaria. La función escalón presenta una transición de 0 a 1 en el tiempo para el cual se anula su argumenta. Su derivada corresponde a la función impulso.

•

La convolución es un operador que calcula el área del producto entre dos señales, una que se deja inalterada y otra que se refleja y se desplaza para cada valor de t .

•

Un sistema es un operador que asigna a cada señal de entrada una única señal de salida. Un sistema que cumple con superposición y homogeneidad es un sistema lineal. Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento de la señal de entrada genera un desplazamiento igual de la señal de salida. Los sistemas lineales e invariantes se conocen como sistemas LTI.

•

Un sistema LTI se caracteriza por su respuesta a impulso, a partir de la cual puede ser encontrada la salida del sistema a cualquier señal de entrada como la convolución entre la respuesta impulso y la señal de entrada. La respuesta de un sistema LTI a un exponencial complejo es el mismo exponencial complejo multiplicado por una función que depende de la frecuencia del exponencial.

•

Un sistema es estable en sentido EASA si a toda entrada acotada asigna una salida acotada. Un sistema LTI es estable si su respuesta impulso pertenece a L1 .

58


Señales


1. Determine si las siguientes señales son de tiempo continuo o discreto. a. b. c. d.

f : R → C f : Z → {0,1} f : Z → R f : R → { x ∈ Z : 0 < x < 255}

2. Determine si las señales del ejemplo anterior son de valor continuo o discreto. Sección 2.4

3. Demuestre que si (t ) y y(t ) son señales impares, entonces z(t ) = x(t ) y (t ) , es una señal par y z(t ) = x( t ) + y( t ) es una señal impar. 4. Demuestre que si (t ) es una señal par, entonces

∫

a

−a

(t )dt = 2

∫

a

0

x(t ) dt

5. Descomponga las siguientes señales como la suma de una señal par más una señal impar. Demuestre que cada componente es par o impar. a. x(t ) = 2 + t + t 2 b. (t ) = e jt c. n = sin( n ) + cos(3n) + n Sección 2.5

6. Encuentre el periodo de las siguientes señales de tiempo continuo, en el caso de ser periódicas. a. x(t ) = sin( 27π t ) + cos( 25π t ) b. x(t ) = sin 2 ( 2t ) + sin 3t c. x(t ) = cos t + cos(π t ) d. x(t ) = sin( Ωt ) + sin( Ω3 t ) + sin( Ω4 t ) e. (t ) = sin( 2t ) + 3 sin( 6t ) + 5 sin(10t ) + 10sin( 20t )

59


Señales

7. Encuentre el periodo de las siguientes señales de tiempo discreto, en el caso de ser periódicas. a. x[n ] = sin(2n ) + cos(π n ) b. x[n] = e

⎛ 2π ⎞ − j ⎜ ⎟n ⎝ 3 ⎠

+e

⎛ 2π ⎞ ⎟n ⎝ 5 ⎠

j⎜

∞

c. x[n] = ∑ sin(3π kn) k =1

8. *Encuentre el periodo de las siguientes señales y ordénelas de acuerdo a su frecuencia angular discreta ω en el intervalo [0, π ] . x1[ n] = e

− jπ n

x2 [ n] = cos( 2π n)

⎛ 7π ⎞ n⎟ ⎝ 4 ⎠

x3[ n] = sin ⎜ −

⎛ 6π ⎞ n⎟ ⎝ 4 ⎠

x4 [ n ] = sin ⎜

9. *Encuentre dos señales discretas x[n ] y y[n] , con periodo 10 y 15 respectivamente, tales que la señal x[ n] + y[ n] tenga periodo 6. Sección 2.6

10. Para la señal (t ) = e j 3t , encuentre a. b. c. d.

La potencia instantánea La energía La potencia promedio La señal (t ) , es una señal de energía o de potencia?

11. Para la señal (t ) = et u( −t ) , encuentre a. b. c. d.

La potencia instantánea La energía La potencia promedio La señal (t ) , es una señal de energía o de potencia?

12. Para la señal (t ) = t , encuentre

60


Señales

a. b. c. d.

La potencia instantánea La energía La potencia promedio La señal x(t ) , es una señal de energía o de potencia?

13. *Por qué la energía de una señal periódica es infinita? Por qué su potencia promedio puede calcularse sobre un intervalo de longitud T ? Sección 2.7

14. *Conteste falso ó verdadero. a. b. c. d.

Una señal x(t ) , acotada y de soporte compacto pertenece a L1 y a L2. Toda señal x(t ) ∈ L1 pertenece también a L2. Si x(t ) ∈ L2 entonces tiene energía finita y soporte compacto. La única señal con x n 1 = 0 es la señal cero.

e. Si x n ∈ (l1 ∩ l2), entonces xn tiene energía finita y

∑

∞

x n ∈ R .

n = −∞

15. Encuentre la norma ele 1, la norma ele 2 y la energía de las siguientes señales. − t

a. (t ) = e b. x(t ) = t 2 [u(t ) − u(t − 3)] c. [n] = 0.5− n un (t ) = e −t e j10 t u( t )

d. Sección 2.8

16. Considere la señal x(t ) = u(1 − t )u( t + 2) . a. Dibuje (t ) b. Dibuje ( 2t ) c. Dibuje ( 2 − t ) 17. Dibuje la señal x(t ) = δ (t + 2) + 3δ ( −t ) − δ ( t − 3) . Evalué la integral

∫

∞

−1

(t )dt .

18. Evalué las siguientes expresiones ∞

a.

∑ δ [n − 3]e

( n − 3 )2

n =−∞

61


Señales

∞

∫ δ (2t − 1)4

t

b.

dt

−∞

Sección 2.9

19. *Encuentre g (t ) ∗ g ( t ) , si

20. Encuentre la convolución e− t u(t ) ∗ e−2t u( t ) . 21. Considere la señal del ejercicio 19. Dibuje la señal x(t ) = g (t ) ∗ δ (t − 3) . 22. Demuestre que si x(t ) y y(t ) pertenecen a L1 , entonces x(t ) ∗ y(t ) también. Sección 2.10

23. *Defina sistema causal y sistema con memoria. 24. Determine si el sistema y(t ) = x(t − 2) + x( 2 − t ) es a. b. c. d.

Lineal Invariante en el tiempo Causal Con memoria.

25. *Encuentre la respuesta de un sistema LTI a la señal (t ) = A cos( Ω0t ) . 26. *Un sistema LTI con respuesta impulso h(t ) = e−t u( t ) es estable? Justifique. 27. *Argumente por qué la transformada de Laplace de la respuesta impulso h(t ) de un sistema estable en sentido EASA, tiene todo su polos en el semiplano izquierdo. 28. *Que son los valores y vectores propios? De acuerdo a esto, por qué los exponenciales complejos se conocen como funciones propias de los sistemas LTI? 29. *En el estudio de sistemas LTI, para que puede ser útil descomponer una señal como la suma de exponenciales complejos. 62

3 REPRESENTACIÓN DE SEÑALES 3.1. Descomposición de señales

Sin perdida de generalidad, considere una señal x(t ) con soporte en [t 1 , t 2 ]

Figura 3.1. Señal de soporte compacto.

Se desea expresar x(t ) en el intervalo de tiempo [t1 , t 2 ] como una combinación lineal de señales más simple, es decir (t ) =

∑ a φ (t )

t1 < t < t2

n n

n

donde los coeficientes constantes a n ∈ C y los términos φ n (t ) son señales, en general complejas, las cuales se conocen como señales base. Los coeficientes a n son independientes del tiempo y nos brindan información importante sobre la señal. Suponga que una señal arbitraria (t ) puede descomponerse como la suma de N exponenciales complejos, de acuerdo a j Ω1t

(t ) = a1e

+ a2 e j Ω t + ... + a N e jΩ 2

N t

Si la señal (t ) es aplicada a un sistema LTI, la respuesta del sistema puede ser encontrada de forma sencilla al encontrar la respuesta individual del sistema a cada una de las componentes de (t ) , como se ilustra en la Figura 3.2.

Figura 3.2. Respuesta de un sistema LTI a la descomposición de la señal.


Representación de señales

La función H (Ω) depende de la respuesta impulso h(t ) y de la frecuencia Ω , y esta definida en el Ejemplo 2.34 de la sección anterior. El modelo descrito en la Figura 3.2 permite encontrar de forma sencilla la respuesta de un SLIT a una señal arbitraria que puede descomponerse como una suma ponderada de exponenciales complejos. Con veremos en Capítulos posteriores esta representación además permite conocer información sobre la componentes de frecuencia presentes en la señal. En este Capítulo estudiaremos bajo que condiciones una señal puede descomponerse como una suma de señales más simples y como se realiza dicha descomposición. 3.2. Aproximación de un vector

Consideremos la tarea de aproximar un elemento de un espacio vectorial dotado con producto interno en términos de otro elemento cualquiera del espacio. Para este fin, definamos la notación ., . como el producto interno del espacio vectorial. 3.2.1. Aproximación de un elemento del plano Sean x = ( 1 , x2 ) y f = ( f1 , f 2 ) los elementos de R 2 que se ilustran en la Figura 3.3. En el espacio R 2 (parejas de reales) el producto interno entre dos vectores x y f se define como x,f = x1 f1 + x2 f2 . Se desea aproximar el vector f en términos del vector x , para lo cual existen diversas posibilidades como se ilustran en la Figura 3.4. Se pretende obtener la mejor representación posible de f en términos del vector x . Si los vectores f y x son colineales, la aproximación llega a ser una representación, en caso contrario (caso de la Figura 3.3) la aproximación tiene un error asociado.

2

Figura 3.3. Dos vectores en R .

f = c1 x + e1

f = c2 x + e2

f = c2 x + e2

Figura 3.4. Algunas posibilidades para la aproximación de f en términos de x .

64



Claramente el mínimo error ocurre cuando la aproximación corresponde a la proyección del vector f sobre el vector x , caso en el cual el error e2 es perpendicular a la aproximación c2 x . Por tal motivo, la mejor aproximación es obtenida haciendo f ≈ copt x

donde el escalar copt corresponde a la componente (sombra) de f sobre x , definida en términos del producto interno del espacio vectorial como f, x

copt =

⇒

x, x

f ≈

f, x x, x

x

3.2.2. Aproximación de una señal Consideremos el conjunto de señales con energía finita en el intervalo [t1 , t 2 ] , dado por

{

S[t1 , t2 ] = f : R → C :

∫

t 2

t 1

}

f < ∞

Se puede demostrar que S forma un espacio vectorial euclídeo. El producto interno entre x1 (t ) y x2 (t ) , dos elementos de S[t1 , t 2 ] , se define como t 2

∫

x1 (t ), x2 ( t ) = x1 ( t ) x2* ( t ) dt t 1

Sean x(t ) y f (t ) dos elementos de S[t1 , t 2 ] , se desea aproximar la señal f (t ) en términos de la señal x(t ) en el intervalo [t1 , t 2 ] , es decir f (t ) ≈ cx( t )

t1 < t < t 2

Se pretende encontrar el valor más apropiado para la constante c , con el fin de obtener la representación óptima (en algún sentido) de la señal f (t ) . Definamos la señal ε (t ) como el error entre la señal f (t ) y su aproximación, es decir ε (t ) = f (t ) − cx (t )

Sea E ε la energía del error en el intervalo [t1 , t 2 ] , definida como t 2

Eε =

∫

2

f (t ) − cx( t ) dt

t 1

65



La energía del error puede escribirse de forma apropiada como t2

∫

Eε =

t 2

∫ [ f (t) − cx( t)][ f ( t) − cx( t)]

2

f (t ) − cx( t ) dt =

t1

∫

dt

t 1

t2

Eε =

*

t2

t2

∫

2

∫

f (t ) dt − c f ( t ) x( t ) dt − c f ( t) x ( t) dt + c

t1

*

t1

*

2

t1

t2

∫ x( t) t1

t 2

∫

t2

∫

2

dt

2

Eε = E f − c f * ( t ) x( t ) dt − c f ( t) x* ( t) dt + c E x t1

(3.1)

t 1

Donde las constantes E f y E x son las energías de las señales f (t ) y x(t ) en el intervalo [t1,t 2 ] , respectivamente. La ecuación (3.1) puede reescribirse como

Eε = E f − c Ex −

1

2

t2

∫ f (t) x ( t) dt E *

x t1

−

1

2

t 2

f ( t) x ( t) dt E ∫ *

2 x t 1

En esta expresión el único término que depende de c es el segundo, por tal motivo el valor de c que minimiza la energía del error es el encontrado como t 2

∫ f (t ) x (t )dt *

copt =

1 E x

t 2

∫

f (t ) x* (t ) dt =

t 1 t 2

∫

t 1

2

(t ) dt

t 1

La ecuación anterior puede escribirse en términos del producto interno en S como copt =

f (t ), x(t ) x(t ), x(t )

Este resultado concuerda con el resultado obtenido en la Sección 3.1.2. Para el caso en el cual las señales f (t ) y (t ) son reales, la constante c es un real también y la ecuación (3.1) puede escribirse como t 2

∫

Eε = E f − 2c f (t ) x( t ) dt + c2 E x t 1

El valor de c que minimiza la energía del error puede ser encontrado haciendo d Eε / dc = 0 y despejando c , para lo cual se obtiene 66



d E ε dc

t 2

= −2∫ f (t )x( t ) dt + 2cE x = 0 t 1

Al despejar c de esta ecuación se obtiene el mismo valor óptimo que para el caso complejo. Por tal motivo, de forma general, si se desea aproximar una señal f (t ) ∈ S en términos de otra señal x(t ) ∈ S , lo mejor que puede hacerse es f (t ) ≈

f (t ), x(t ) x(t ), x(t )

t1 < t < t 2

x( t )

Ejemplo 3.1. Aproxime la señal f (t ) que se ilustra en la figura, utilizando la señal

x(t ) = sin(t ) , en el intervalo de tiempo [0, 2π ] .

⎧ 1 0 < t < π ⎩−1 π < t < 2π

f (t ) = ⎨

Solución. La señal puede aproximarse como

f (t ) ≈

f (t ), x(t ) x(t ), x( t )

0 < t < 2π

sin(t )

2π

f (t ), x(t ) =

∫

π

∫

f ( t ) x( t ) dt = sin( t ) dt −

0

0

2π

x(t ), x(t ) =

4 π

∫ sin( t) dt = 4

π

2π

1

π

∫ x ( t)dt = ∫ sin ( t) dt = 2 ∫ ⎡⎣1 − cos ( t) ⎤⎦ dt = π 2

0

f (t ) ≈

2 π

sin(t )

2

0

2

0

0 < t < 2π

En general, si se desea obtener una mejor aproximación de un vector dado es necesario expresarlo como una combinación lineal de varios elementos del espacio vectorial, cada uno de los cuales debe realizar una contribución óptima. 67



3.3. Bases ortogonales

3.1.1. Bases e independencia lineal Considere un espacio vectorial euclídeo V con campo F . Un conjunto de vectores {φ1 , φ2 ,..., φ N } de V genera el espacio vectorial si cualquier elemento del espacio puede expresarse como una combinación lineal de dichos vectores, es decir si

∀v ∈ V

v = α1φ1 + α2φ2 + ... + α N φN

donde α i ∈ F , para i = 1, 2,..., N . Si adicionalmente los vectores {φ1 , φ2 ,..., φ N } son linealmente independientes, entonces son una base del espacio V . Definición 3.1. Un conjunto de vectores {φ1 , φ2 ,..., φ N } es linealmente independiente si

y sólo si α1φ1 + α 2φ2 + ... + α N φN = 0 implica α1 = α 2 = ... = α N = 0 . Si un conjunto de vectores {φ1 , φ2 ,..., φ N } es lineal linealmente independientes y genera el espacio V (base del espacio), cada elemento v ∈ V tiene una representación única en términos de dichos vectores. 3.1.2. Ortogonalidad Dos vectores v1 y v2 son ortogonales si su producto interno es cero, es decir, si v1 , v2 = 0 . Un conjunto de vectores {v1 , v2 ,..., v N } forma un sistema ortogonal (mutuamente ortogonales) si vm , vn = 0 para m ≠ n . Un conjunto de vectores {v1 , v2 ,..., v N } forma un sistema normalizado (norma unitaria) si vm , vm = 1 para m = 1, 2,..., N . Un conjunto de vectores que forma un sistema ortogonal y normalizado se conoce como un sistema ortonormal . Definición 3.2. φ 1 (t ) y φ 2 (t ) son señales ortogonales en el intervalo [t 1 , t 2 ] si t 2

∫

φ1 (t ), φ2 (t ) = φ1 (t )φ2* ( t ) dt = 0 t 1

Un conjunto contable de señales {φn (t )} = {φ1 (t ), φ2 (t ), K, φN (t )} forma un sistema ortogonal en [t 1 , t 2 ] si

⎧0 φm (t ), φn (t ) = φm (t )φn*( t ) dt = ⎨ ⎩ En t t 2

∫ 1

m≠n m=n

68



donde E n , es la energía de la señal φ n (t ) en el intervalo de tiempo [t 1 , t 2 ] . Las señales del conjunto {φ n (t )} forman un sistema normalizado en [t 1 , t 2 ] , si cada una de ellas tiene energía 1 en el intervalo, es decir, si t2

t 2

φn (t ), φn (t ) = φn (t )φ ( t ) dt =

∫

∫

t1

t 1

* n

2

φn ( t ) dt = 1

para toda señal φ n (t ) del conjunto. Es decir, su energía en [t 1 , t 2 ] es la unidad. Ejemplo 3.2. Pruebe que el conjunto de señales {φ n (t )}, donde φ n (t ) = e y Ω ∈ R * , es un sistema ortogonal en intervalo [0, 2π Ω] .

jnΩt

, con n ∈ Ζ

Solución. El conjunto de señales dado, es de la forma

{φ n (t )} = {K , e − jΩ 2 t , e − jΩ t , 1 , e jΩ t , e jΩ 2 t ,K}

Verifiquemos si el sistema es ortogonal, para ello debe cumplir t2

∫ φ (t )φ (t )dt = ∫ e n

2π / Ω

t 2

∗

jntΩ − jmtΩ

e

m

t1

dt =

t 1

∫

e

j ( n− m ) Ω t

dt

0

Si n ≠ m 2π / Ω

∫

j ( n − m ) Ωt

2π / Ω

e dt = j ( n − m)Ω 0

j ( n − m ) Ωt

e

0

j ( n− m ) 2π −1 e = j ( n − m) Ω

Dado que ( n − m) ∈ Z entonces e j ( n− m ) 2π = 1 y t 2

∫ φ (t )φ (t )dt = 0 ∗

n

m

t 1

Si n = m 2π / Ω

∫

2π / Ω

e

j ( n − m ) Ωt

dt =

0 t 2

∫ t 1

∫ 0

2

φ n (t ) dt =

2 π / Ω

e dt = j0

∫ 0

2π / Ω

dt = t 0

=

2π

Ω

2π

Ω

Por tal motivo el sistema es ortogonal. 69



Definición 3.3. Un conjunto de señales {φn (t )} = {φ1 (t ), φ2 (t ), K , φN (t )} forma un sistema ortonormal si forma un sistema ortogonal y normalizado. Si el sistema ortonormal {φn (t )} = {φ1 (t ), φ2 (t ), K, φN (t )} es una base de cierto espacio vectorial, entonces se conoce como una base ortonormal .

Un conjunto de vectores mutuamente ortogonal es linealmente independiente. Por tal motivo, si un conjunto de señales {φn (t )} = {φ1 (t ), φ2 (t ), K, φN (t )} forma un sistema ortogonal, entonces el conjunto de señales es linealmente independiente. Ejemplo 3.3. Las tres señales que se muestran en la Figura 3.5 forman un sistema ortonormal en [0, 3] , ya que son mutuamente ortogonales y todas tienen energía 1 .

Adicionalmente, las tres señales son linealmente independientes.

Figura 3.5. Tres señales ortonormales.

3.1.3. Método de ortogonalización de Gram‐Schmidt Dado un conjunto de vectores {φ1 , φ2 ,K , φ N } se puede construir un sistema ortonormal {u1 , u2 ,K, u N } , usando el siguiente esquema w1 = φ 1 u1 = w1 / w1 w2 = φ2 − φ 2 , u1 u1 u2 = w2 / w2 w3 = φ3 − φ3 , u1 u1 − φ 3 , u2 u2 u3 = w3 / w3

M 70



wi = φi −

∑

i −1

φ i , uk uk

k =1

ui = wi / wi

Este método es conocido como el procedimiento de Gram‐Schmidt. Es fácil ver que el resultado no es único, pues un reordenamiento de los vectores {φ i } antes de la otrogonalización resulta en un conjunto {ui } diferente. Adicionalmente, si {φ1 , φ2 ,K , φ N } es una base de un espacio vectorial entonces el procedimiento de Gram‐Schmidt construye una base ortonormal {u1 , u2 ,K, u N } para el mismo espacio. 3.4. Representación de señales en un intervalo de tiempo finito

Una señal x(t ) con energía finita en un intervalo [t1 , t 2 ] se puede representar de forma única por medio de una base de S[t1 , t 2 ] . Si queremos aproximar la señal x(t ) en dicho intervalo, en términos de N señales arbitrarias {φ1 (t ), φ2 (t ), K , φ N (t )} , debemos hacer N

∑ a φ (t )

(t ) ≈

n =1

t1 < t < t2

n n

donde ai ∈ C , para i = 1, 2,.., N . Definamos ε como el error entre la señal (t ) y su aproximación, entonces la energía del error en el intervalo [t1 , t 2 ] viene dada como t 2

Eε =

2

N

∫ x(t ) − ∑ a φ (t ) t 1

n =1

n n

dt

Se desea minimizar la energía del error E ε mediante la elección apropiada de los coeficientes an , con el fin de que la aproximación sea los más ajustada a la señal x(t ) . La elección de los coeficientes an óptimos puede ser una tarea bastante difícil si el conjunto de señales {φ1 (t ), φ2 (t ), K , φ N (t )} no es linealmente independiente, pues en este caso la aproximación óptima puede no ser única. Si el conjunto de señales es linealmente independiente, los coeficientes an pueden ser encontrados utilizando algún método de mínimos cuadrados. Sin embargo, si el conjunto de señales {φ1 (t ), φ2 (t ), K, φ N (t )} forma un sistema ortogonal, caso considerado en esta Sección, la obtención de los coeficientes an es una tarea sencilla. 2

2

Propiedad 3.1. x − y = x − xy − x y + y *

*

2

Demostración. 2

x − y = ( x − y)( x − y)* = ( x − y)( x* − y* ) 2

x − y = xx* − xy* − x* y + yy*

■ 71



Utilicemos la Propiedad 3.1 para expandir nuestra función de error, como t2

Eε =

∫ x(t )

2

t2

∫

dt − x( t )

t1

t2

N

t2

N

t1

n =1

2

∑ a φ ( t) dt − ∫ x ( t)∑ a φ ( t) dt + ∫ ∑ a φ ( t) n =1

t1

N

* * n n

*

n n

n =1

t1

dt

n n

Consideremos el último término de la función de error, entonces t2

2

*

t2

t 2

N N ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ = = ( ) ( ) ( ) a φ t a φ t a φ t dt anφn ( t ) am* φm* ( t) dt ∑∑ n n ⎜∑ n n ⎟⎜∑ n n ⎟ ∫t ∑ ∫ ∫ n =1 ⎠ ⎝ n =1 ⎠ t ⎝ n =1 t n =1 m =1 N

1

1

1

Intercambiando el orden de las sumatorias y la integral, se tiene t2

N

∫ ∑ a φ (t )

2

N

t 2

N

= ∑∑ an a ∫ φn (t )φ m* ( t )dt * m

n n

t1 n =1

n =1 m =1

t 1

El conjunto de señales {φ n (t )} forman un sistema ortogonal, por lo cual

⎧⎪ an 2 En an a ∫ φn ( t )φ (t ) dt = ⎨ ⎪⎩ 0 t t 2

* m

n=m

* m

n≠m

1

t 2

N

∫ ∑ a φ (t )

2

n n

N

= ∑ an En

t 1 n =1

2

n =1

Reemplazando este resultado en la función de error expandida, se tiene t2

Eε =

∫

t2

∫

2

x(t ) dt − x( t )

t1

N

∑

t 2

∫

a φ ( t ) dt − x* ( t) * * n n

n =1

t1

N

∑

anφ n ( t) dt +

∑a

n =1

t 1

N

2

n

E n

n =1

La función de error puede reescribirse de forma apropiada como t2

Eε =

∫ x(t )

2

dt +

N

∑E n =1

t1

12 n

an −

1

∫ x( t)φ

12 n t1

E

2

t2

* n

(t) dt −

N

1

2

t 2

∑ E ∫ x( t)φ (t) dt n =1

12 n t 1

* n

El único término de la expresión anterior que se puede modificar, es el de los coeficientes an , entonces el valor de an que minimiza la energía del error es aquel que anula el segundo término de la ecuación anterior, es decir E an − 12 n

1

t 2

∫ x(t)φ (t) dt = 0

12 n t 1

E

* n

72



Por tal motivo, el valor óptimo para los coeficientes an es an =

1

t 2

x(t )φ (t ) dt E ∫ * n

n t 1

Cada coeficiente an representa en cierto sentido, la similitud entre la señal x(t ) y la señal φ n (t ) utilizada para su aproximación. De esta forma, cada coeficiente an indica la contribución óptima de la señal φ n (t ) , en la aproximación de x(t ) . Reemplazando el valor de la energía E n de la señal φ n (t ) , en la ecuación anterior, se tiene t 2

x(t )φ (t ) dt ∫ = = ∫ φ (t )φ (t) dt * n

t 1

an

t 2

t 1

* n

* n

x(t ), φ n (t ) φn (t ), φ n (t )

Utilizando este resultado en la energía del error obtenemos

⎞⎛ t * ⎞ Eε = ∫ x(t ) dt − ∑ 1 2 ⎜ ∫ x( t )φ (t) dt ⎟⎜ ∫ x ( t)φ n (t) dt ⎟ ⎜t ⎟⎜ t ⎟ n =1 E n t ⎝ ⎠⎝ ⎠ t2

t 1 ⎛2

N

2

1

t2

Eε =

∫ t1

2

* n

1

2

x(t ) dt −

N

1

∑ E n =1

1

(

t 2

) ∫

( En an ) En an* =

n

t 1

2

x( t ) dt −

N

∑E

n

an

2

n =1

Entre más señales φ n (t ) se tomen para aproximar la señal deseada, se espera obtener una aproximación mejor. Si el conjunto de señales base {φ n (t )} es tal que el E ε = 0 cuando N → ∞ (un número infinito de señales), se dice que {φ n (t )} es completo en [t1 , t 2 ] y el conjunto {φ n (t )} es una base de S[t1 , t 2 ] . En este caso, la señal x(t ) puede representarse de forma única en el intervalo [t1 , t 2 ] como x(t ) =

∞

∑ a φ (t ) n n

t1 < t < t 2

n =1

Observación 3.1. La representación converge a la señal sólo en el intervalo [t1 , t 2 ] , fuera de éste no se puede garantizar la igualad entre la serie y su representación. Ejemplo 3.4. Considere las siguientes señales

φ 0 (t ) = 1

φ 1 (t ) = t

φ 2 (t ) = 32 t 2 − 12

Demuestre que las señales son mutuamente ortogonales en el intervalo [−1,1] y represente la señal x(t ) = t en el intervalo [−1,1] usando el conjunto de señales. 73



Solución. 1

1

∫ φ (t )φ (t )dt = ∫ t dt = 0 * 1

0

−1

−1

1

1

∫ φ (t )φ (t )dt = ∫ ( * 2

0

−1

1

3 2

t − 2

1 2

−1

1

) dt = ∫ ( 3t

∫ φ (t )φ (t )dt = ∫ ( 1

−1

− 1) dt = 0

0

1

* 2

2

1

3 2

)

t − t dt = 3

1 2

3 2

−1

∫t

1

3

dt −

1 2

−1

∫ t dt = 0

−1

Las señales son mutuamente ortogonales en [−1,1] y el conjunto {φ0 (t ), φ1 (t ), φ 2 (t )} forma un sistema ortogonal. La señal x(t ) puede ser aproximada haciendo x(t ) ≈ a0φ0 ( t ) + a1φ1 ( t ) + a2φ 2 ( t )

Donde los coeficientes a0 , a1 y a2 , son encontrados como 1

a0 =

−1

1

0

−1 1

a1 =

−1

1

1

* 1

1

1

1

1

2

* 2

∫

=

0

2

1 dt

1

−1

t t dt

1

1 2

−1

0

1

−t 2 dt + ∫ t 2 dt ∫ 0 = −1 =0 2/3

t 2 dt

1

∫ ∫ ( = − = − ∫− φ (t )φ (t) dt ∫− ( x(t )φ 2* (t ) dt

=

1

2 t dt

−1

∫ ∫ = ∫ φ (t )φ (t ) dt ∫ 1

t dt

−1

* 0

x(t )φ 1* (t ) dt

−1

a2

1

∫ ∫ = ∫ φ (t)φ (t ) dt ∫ x(t )φ 0* (t ) dt

1 1

3 2

1

3 2

) )

t 2 − 12 t dt t 2 − 12

2

1

∫ ( 3t =

dt

0

3

− t ) dt 1 / 4 5 = =

2/5

2/ 5

8

La señal puede aproximarse como 15 2 x(t ) ≈ 12 φ0 ( t ) + 85 φ 2 (t ) = 163 + 16 t

Figura 3.6. Señal original y su aproximación utilizando el conjunto de señales dadas.

74



Ejemplo 3.5. Considere la señal

⎧ 1 0 < t < 1 ⎩−1 1 < t < 2

x(t ) = ⎨

Se desea aproximar (t ) en el intervalo [0, 2] empleando el conjunto de señales base φ n = sin( nπ t ) , donde n ∈ Z . Solución. Verifiquemos que {φ n( t )} forma un sistema ortogonal en [0, 2] , para ello t 2

∫ φ (t )φ n

t 1

2

∗

m

∫

(t )dt = sin(nπ t )sin(mπ t )dt 0

Propiedad 3.2. Identidad sin( x )sin( y) =

2

1

1 2

[cos( x − y) − cos( x + y)] .

2

1

2

∫ sin( nπ t )sin( mπ t) dt = 2 ∫ cos[( n − m)π t]dt − 2 ∫ cos[( n + m)π t] dt 0

0

0

Si n = m 2

1

2

1

2

t

∫ sin( nπ t )sin( mπ t) dt = 2 ∫ dt − 2 ∫ cos( 2nπ t) dt = 2 0

0

2

∫

sin( nπ t ) sin( mπ t ) dt = 1−

0

0

1 ⎡ sin( 4nπ ) 2 ⎢⎣

2nπ

2

− 0

1 sin( 2nπ t ) 2

2nπ

2

0

⎤ − 0⎥ = 1 ⎦

Por tal motivo k n = 1 . Recuerde que si k ∈ Z , entonces sin( k 2π ) = 0 . Si n ≠ m 2

1

2

1

2

∫ sin(nπ t )sin( mπ t )dt = 2 ∫ cos[( n − m)π t] dt − 2 ∫ cos[( n + m)π t] dt 0

0

0

75



1 sin[( n − m)π t ]

2

∫ sin(nπ t )sin( mπ t )dt = 2

( n − m)π

0

2

− 0

1 sin[( n − m) 2π ]

2

∫ sin(nπ t ) sin( mπ t )dt = 2

( n − m )π

0

2

−

1 sin[( n + m)π t] ( n + m)π

2

1 sin[( n + m) 2π ] ( n + m)π

2

0

=0

Así queda demostrado que el conjunto {sin( nπ t )} forma un sistema ortonormal ( E n = 1 ). En particular forma un sistema ortogonal. Por tal motivo, podemos representar (t ) como una suma de señales {sin( nπ t )} , con coeficientes dados por an =

1 E n

t 2

∫

2

∫

(t )φ (t )dt = x( t )sin( nπ t ) dt *

t 1

0

1

2

∫

∫

0

1

a n = sin( nπ t )dt − sin( nπ t )dt == an =

1 nπ

cos( nπ t )

nπ

0

2

+ 1

cos( nπ t )

nπ

1

[1 − cos( nπ ) + cos( 2nπ ) − cos( nπ )]

si n es par ⎧ 0 ⎪ an = [1 − cos( nπ )] = ⎨ 4 nπ ⎪⎩ nπ si n es impar 2

Utilizando la ecuación general de la representación, podemos escribir x(t ) como x(t ) =

4 π

∞

∑ n =1 n impar

1 n

sin( nπ t ) =

4

∞

1

∑ ( 2n − 1) sin[( 2n − 1)π t ] π n =1

Expandiendo algunos términos de la suma se tiene x(t ) =

4⎡ 1 1 ⎤ + + + sin( ) sin( ) sin( ) ... π t 3 π t 5 π t ⎥ π ⎢⎣ 3 5 ⎦

Figura 3.7. Representación de la señal utilizando 3 y 100 términos de la serie, respectivamente.

76



Observación 3.2. A medida que se aumentan los términos de la representación disminuye el error entre la señal original y su aproximación.

La representación de la señal (t ) en el intervalo [0, 2] , puede realizarse con cualquier conjunto de señales que base que formen un sistema ortogonal en [0, 2] . Más adelante estudiaremos otros conjuntos de señales base.

3.5. Teorema de Parseval para un intervalo finito

Para una señal x(t ) del espacio S[t1 , t 2 ] y un conjunto de señales {φ n (t )} completo en el intervalo [t1 , t 2 ] (base de S[t1 , t 2 ] ), se cumple t 2

∞

∫ x(t ) dt = ∑ a 2

2 n

E n

n =1

t 1

La energía de la señal en el intervalo [t1 , t 2 ] es proporcional al cuadrado de la norma l 2 de los coeficientes an utilizados para su representación en ese intervalo. Demostración . t2

∫ t1

t2

*

t 2

⎡∞ ⎤ (t ) dt = ∫ x(t )x (t )dt = ∫ x (t ) ⎢ ∑ a nφ n (t )⎥ dt ⎣ n=1 ⎦ t t 2

*

1

1

Intercambiando el orden entre la sumatoria y la integral, se tiene t2

∫ t1

∞ ⎡t ⎤ ∞ * 2 * (t ) dt = ∑ a ⎢ ∫ x(t )φ n (t )dt ⎥ = ∑ an ( Enan ) = ∑ a n En n =1 n =1 ⎣⎢ t ⎦⎥ n=1 ∞

2

2

* n

1

(t ) = t del Ejemplo 3.4 a partir de los

Ejemplo 3.6. Aproxime la energía de la señal

coeficientes de su representación, para ello utilice el teorema de Parseval. Solución. Los coeficientes encontrados para la aproximación de la señal utilizando las tres señales base son a0 = 1 / 2 , a1 = 0 y a3 = 5 / 8 , por lo cual 2

2

2

2

⎛1⎞ ⎛5⎞ ⎛1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 21 E ≈ ∑ an kn = ⎜ ⎟ k0 + ⎜ ⎟ k 2 = ⎜ ⎟ 2 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ ⎝8⎠ ⎝2⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 32 n =1 3

2

77



3.6. Representación de una señal periódica

Una señal puede representarse en un intervalo [t1 , t 2 ] si tiene energía finita en éste. Sin embargo, si el soporte de la señal contiene al intervalo [t1 , t 2 ] , no se puede garantizar la representación de la señal por fuera de este intervalo. Una señal periódica no tiene soporte compacto, no obstante un solo periodo (el cual si tiene soporte compacto) es necesario para su representación. Si (t ) = x(t + T ) , entonces la señal x(t ) tiene periodo T y puede obtenerse una representación de la señal hallando los coeficientes an , sobre un intervalo de longitud T , como an =

1

E ∫

*

(t )φ (t )dt

n T

Si la señales {φ n (t )} son periódicas, con periodo T , entonces la representación de la señal corresponde con la señal periódica por fuera del intervalo [0, T ] . Para esto se debe cumplir que

∫ x(t ) dt ∈ R

ó

x( t ) ∈ S[0, T ]

T

En este caso, la señal periódica es representada por la sumatoria sobre todo el eje real (para todos los instantes de tiempo), es decir x(t ) =

∞

∑ a φ (t ) n n

−∞ < t < ∞

n =1

Figura 3.8. Representación de una versión periódica de la señal del Ejemplo 3.5 utilizando 20 términos

de la serie.

78



3.7. Resumen

• Descomponer una señal como suma de exponenciales complejos permite encontrar la respuesta de un sistema a LTI a dicha señal como la suma de las respuestas individuales a cada uno de los exponenciales complejos. • Un espacio vectorial euclídeo es un espacio dota con producto interno. El producto interno calcula en cierto sentido la similitud entre dos vectores. • La mejor aproximación de un elemento de un espacio vectorial euclídeo en términos de otro elemento del espacio es obtenida al realizar la proyección ortogonal, la cual se calcula a partir del producto interno entre los vectores. • Las señales con energía finita en un intervalo dado forman un espacio vectorial euclídeo. Al aproximar una señal en términos de otra por medio de una proyección ortogonal se minimiza la energía del error entre la señal y su aproximación. • Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es una base del espacio si son linealmente independientes y si cualquier vector del espacio puede expresarse como una combinación lineal de dichos elementos. • Dos vectores son ortogonales si su producto interno es cero. Dos vectores son ortonormales si son ortogonales y su auto‐producto interno es la unidad. Una base ortogonal es una base del espacio formada por vectores mutuamente ortogonales. • Dos señales son ortogonales si su producto interno es cero. Dos señales son ortonormales si son ortogonales y la energía de cada una de ellas es la unidad. • Una señal puede aproximarse por medio de un conjunto de señales ortogonales realizando la proyección ortogonal sobre cada una de ellas, este procedimiento minimiza la energía del error entre la señal y su aproximación. • Si el conjunto de señales utilizadas para la aproximación forma una base ortogonal el error es cero y la aproximación llega a ser una representación de la señal. • Para aproximar/representar una señal utilizando un conjunto de señales otrogonales/base ortogonal los coeficientes óptimos de la aproximación/ representación son encontrados realizando proyecciones ortogonales sobre cada uno de las señales del conjunto. • Los coeficientes resultantes de una aproximación/representación de una señal contienen información importante de la misma y permiten encontrar su energía de la misma utilizando el teorema de Parseval. 79




1. Se tienen dos señales φ 1 (t ) = e

− t

φ 2 (t ) = 1 − Ae

−2 t

a. Determine la constante A para que φ 1 (t ) y φ 2 (t ) sean ortogonales en el intervalo ( −∞,+∞) . b. Repita a. para el intervalo [‐1,1]. c. Las señales son ortonormales? 2. Determine un valor de τ ≠ 0 para el cual el conjunto de señales {φ n } = {e jnΩt } , con n ∈ Z y Ω ∈ R * , sea ortogonal en el intervalo [0,τ ] . Sección 3.3

3. Considere las siguientes señales φ 0 (t ) = 1

φ 1 (t ) = t

φ 2 (t ) = 32 t 2 − 12

a. Muestre que son mutuamente ortogonales en el intervalo [‐1,1]. b. Usando este conjunto de señales ortogonales, represente en el intervalo [‐1,1], la señal

⎧−1 −1 < t < 0 ⎩ 1 0 < t < 1

x(t ) = ⎨

4. Considere la señal

⎧e−t 0 < t < τ x(t ) = ⎨ ⎩ 0 otro caso a. Aproxime x(t ) en el intervalo [0,τ ] , para el valor de τ encontrado en el Punto 2, utilizando las señales base φ n = e jnΩt como x(t ) =

∞

∑ d φ (t ) n

n

0 < t < τ

n = −∞

80



b. Obtenga el grafico de la señal aproximada, utilizando sólo las señales base que cumplen con n ≤ 10 . 5. Considere el conjunto de señales ortogonales, dado por

Utilice estas tres señales para aproximar la siguiente señal en el intervalo [0, 3] .

6. Considere el conjunto de señales 1

(t ) = e − t u(t )

x2 (t ) = e−2t u( t )

x3 (t ) = e− t u( t )

a. Utilice el método de ortogonalización de Gram‐Schmidt, para generar un conjunto de señales ortonormales φ i a partir de xi (t ) , i = 1, 2, 3 . b. Aproxime la señal x(t ) = 3e−4t u( t ) utilizando las señales φ i , i = 1, 2, 3 . c. Calcule el error cuadrático medio entre la señal x(t ) y su aproximación. Sección 3.4

7. Utilice el Teorema de Parseval para aproximar la energía de la señal triangulo del Punto 5, para ello utilice los coeficientes encontrados para su representación.

81



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82

4 SERIES DE FOURIER 4.1. Serie exponencial de Fourier

La serie exponencial de Fourier es un caso particular de representación señales periódicas, en el cual el conjunto de señales es una familia de exponenciales complejos de la forma φ n (t ) = e jnΩ t , donde n ∈ Z . Se puede demostrar que {φ n (t )} = {e jnΩ t } es una base ortogonal en [0, 2π / Ω0 ] . La elección de está familia de señales base complejas permite la representación de señales reales y complejas. 0

0

Definición 4.1. La serie exponencial de Fourier de una señal periódica

(t ) , con

periodo T , está dada por x(t ) =

∞

∑ c e n =−∞

jnΩ0t

n

donde la constante Ω0 se conoce como frecuencia fundamental de la señal x(t ) y está definida como Ω0 = 2π / T . Los coeficientes cn se conocen como coeficientes complejos de Fourier y pueden ser encontrados de acuerdo a cn =

1

x( t )e T ∫

− jnΩ0t

dt

T

Propiedad 4.1. Los coeficientes cn de la serie exponencial, pueden ser encontrados

tomando cualquier intervalo de tiempo de longitud T . Por tal motivo cn =

∫

a +T

a

− x( t )e

jnΩ 0t

dt para cualquier a ∈ R .

4.1.1. Condiciones de Dirichlet Las condiciones bajo las cuales una señal periódica (t ) , con periodo T , puede ser representada como una serie exponencial de Fourier se conocen como condiciones de Dirichlet y están dadas por: i. x(t ) tiene un número finito de máximos y mínimos sobre un periodo. ii. x(t ) tiene un número finito de discontinuidades sobre un periodo, es decir, es continua a trozos. iii. x(t ) es integrable en magnitud sobre un periodo, es decir,


Series de Fourier

∫ x(t ) dt ∈ R . T

Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, la serie de Fourier converge a la señal x(t ) en todos los puntos de continuidad, y en los valores de t en los cuales (t ) es discontinua, la serie converge al promedio de la discontinuidad, es decir, al promedio entre (t − ) y x(t + ) , como se ilustra en la Figura 4.1.

Figura 4.1. Convergencia de la serie en los puntos de discontinuidad.

Propiedad 4.2. Las condiciones de Dirichlet se cumple si la señal

(t ) tiene energía

finita sobre un periodo ( (t ) ∈ S[0, T ] ), es decir, si

∫

2

x(t ) ∈ R

T

Por tal motivo, si una señal periódica tiene energía finita a lo largo de cada periodo, entonces puede ser representada como una serie exponencial de Fourier. La gran mayoría de señales periódicas cumplen esta condición.

Ejemplo 4.1. Demuestre que si una señal x(t ) cumple la condición iii) de Dirichlet,

entonces los coeficientes cn de su serie exponencial de Fourier tienen magnitud finita. Solución.

cn =

1

T

x(t )e T∫

− jnΩ0t

dt ≤

0

cn ≤

1

T

1

T

x (t ) e T ∫

1

T

x( t ) e T ∫

− jnΩ0 t

dt

0

− jnΩ 0t

dt

0

cn ≤

∫ x ( t ) dt ∈ R

T 0

84


Series de Fourier

4.1.2. Cálculo de la serie exponencial Ejemplo 4.2. Encuentre la serie exponencial de Fourier de la señal periódica que se

ilustra en la Figura.

π ⎧ A π t − − ≤ ≤ − ⎪ 2 ⎪ π π ⎪ − ≤ t ≤ x(t ) = ⎨ A 2 2 ⎪ π ⎪ ≤ t ≤ π ⎪− A 2 ⎩

Solución. Claramente

(t ) cumple con las condiciones de Dirichlet, entonces la señal

puede ser representada como una serie exponencial de Fourier. El periodo de la señal es 2π , por lo cual Ω 0 = 1 y los coeficientes de la serie son encontrados como cn =

1

T / 2

∫

T −T / 2

x( t )e

− jnΩ 0t

dt =

1

π

x( t ) e 2π ∫

− jnt

dt

− π

−π / 2 1 ⎡

⎤ − jnt Ae dt − ⎢ ⎥ ∫ ∫ 2π ⎣ −∫π π / 2 −π / 2 ⎦ π /2 π −π / 2 A ⎡ − jnt − jnt − jnt ⎤ − + − cn = e dt e dt e dt ⎥ ⎢ ∫ ∫ 2π ⎣ −∫π π / 2 −π / 2 ⎦ cn =

π /2

− Ae

− jnt

dt +

π

Ae

− jnt

dt +

Los coeficientes cn son infinitos, por lo cual deben ser encontrados en función de n . Al realizar la integral el término nt pasa a dividir y para el caso n = 0 se tiene un coeficiente de valor infinito. Por tal motivo algunos valores de n , en este ejemplo n = 0 , deben ser tratados por aparte, para evitar coeficientes de valor infinito. Caso 1: n = 0

⎤ dt dt dt − + − ⎢ ⎥ ∫ ∫ 2π ⎣ −∫π π / 2 −π / 2 ⎦ A ⎡ π π π π ⎤ + + − − − π ⎥ = 0 c0 = π 2π ⎢⎣ 2 2 2 2 ⎦ c0 =

A ⎡

−π / 2

π /2

π

Caso 2: n ≠ 0

85


Series de Fourier

cn =

A ⎡ e − jnt

⎢ ⎣

2π ⎢ jn

−π / 2

+ −π

e− jnt jn

−π / 2

π /2

⎤ ⎥ + jn π / 2 ⎥ ⎦ e− jnt

π

π π π jn − jn − jn ⎤ ⎡ jn π2 jnπ − jnπ 2 2 cn = +e −e 2⎥ ⎢e − e + e − e 2π jn ⎣ ⎦ π π − jn ⎤ A ⎡ jn 2 jnπ 2 − − + e− jnπ ⎥ cn = 2 e e 2 e ⎢ 2π jn ⎣ ⎦ π − jn ⎡ jn π2 ⎤ A ⎢ 2e − 2e 2 e− jnπ − e jnπ ⎥ + cn = ⎥ π n ⎢ 2j 2j ⎣⎢ ⎦⎥

A

cn =

A ⎡

⎛ nπ 2 sin ⎜ ⎢ πn ⎣ ⎝ 2

⎤ 2 A ⎛ nπ ⎞ ⎞ ⎟ − sin ( nπ ) ⎥ = nπ sin ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

Recuerde que si n ∈ Z , entonces sin( nπ ) = 0 . Los coeficientes están dados por

⎧ 2 A ⎛ π ⎞ ⎪ sin ⎜ n ⎟ n impar cn = ⎨ nπ ⎝ 2⎠ ⎪ 0 n par ⎩ Por tal motivo la serie exponencial puede escribirse como x(t ) =

∞

∑ n =−∞ n impar

2 A nπ

⎛ nπ ⎞ jnt ⎟e ⎝ 2 ⎠

sin ⎜

Ejemplo 4.3. Considere el tren de pulsos de ancho 2τ , que se ilustra en la Figura.

Represente la señal utilizando la serie exponencial de Fourier. Considere τ como un número real en el intervalo (0, π ) .

⎧ A −τ < t < τ x(t ) = ⎨ ⎩ 0 otro caso

Solución. El periodo de la señal es 2π , por lo cual Ω 0 = 1 . La serie exponencial puede

escribirse como

86


Series de Fourier

∞

∑

(t ) =

jnΩ 0 t

cn e

∞

∑ce

=

n =−∞

jnt

n

n =−∞

donde los coeficientes cn pueden encontrarse de acuerdo a cn =

T / 2

1

∫

T −T / 2

x( t )e

− jnt

dt =

1

π

x( t ) e 2π ∫

− jnt

dt

− π

En el intervalo [−π , π ] la señal sólo toma valor en [−τ ,τ ] , entonces cn =

τ

1

∫ Ae

2π

− jnt

dt =

−τ

A

τ

e 2π ∫

− jnt

dt

−τ

Caso 1: n = 0

⎡ τ ⎤ A τ ⎡ t ⎤ = Aτ c0 = ⎢ ∫ dt ⎥ = 2π ⎣ −τ ⎦ 2π ⎣ −τ ⎦ π Caso 2: n ≠ 0 τ − A ⎡ − e jnt ⎤

cn =

⎢ 2π ⎢ jn ⎣

cn =

A nπ

A

⎡⎣ e jnτ − e− jnτ ⎤⎦ ⎥= 2π jn −τ ⎥ ⎦

sin( nτ )

La serie exponencial de la señal puede escribirse como

(t ) =

Aτ π

∞

+ ∑ n =−∞ n≠0

A nπ

sin( nτ )e jnt

(t ) = 2 cos 2 (t ) + 4 sin( 4t ) como una serie exponencial de Fourier y encuentre los coeficientes cn . Ejemplo 4.4. Represente la señal

2 Solución. Conociendo que cos (t ) = 12 + 12 cos(2t ) , la señal puede reescribirse como

⎛ e j 2t + e − j 2 t x(t ) = 1 + cos( 2t ) + 4 sin( 4t ) = 1 + ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎛ e j 4 t − e− j 4 t ⎞ ⎟ + 4⎜ ⎟ 2 j ⎠ ⎝ ⎠

87


Series de Fourier

x(t ) = 1 +

1 2

e j 2t +

1 2

e

− j 2t

2

2

j

j

+ e j 4t − e− j 4 t

En esta expresión la señal x(t ) se encuentra expresada como una serie exponencial, ya que corresponde a una suma de exponenciales complejos. El período de la señal es π , por lo cual Ω0 = 2 . Con el fin de identificar los coeficientes de esta serie exponencial es necesario recordar que el coeficiente cn acompaña al término e jnΩ t en la serie. Para este caso, el coeficiente cn acompaña al término e jn 2t , por lo cual c0 = 1 , c1 = 1 / 2 , c−1 = 1 / 2 , c2 = −2 j y c−2 = 2 j ; los demás coeficientes son cero. 0

4.1.3. Espectro de Fourier Los coeficientes cn de la serie exponencial de Fourier pueden ser interpretados como una representación frecuencial de (t ) , pues cada coeficiente cn indica la contribución de la frecuencia nΩ0 a la señal x(t ) . Así, si para algún n el coeficiente cn es cero, la señal x(t ) no tiene componente de frecuencia nΩ0 ; por ejemplo, c0 representa el nivel DC de la señal. Debido a que la señal x(t ) es periódica con periodo T , sus componentes de frecuencias son múltiplos de la frecuencia fundamental Ω 0 El espectro de Fourier es un gráfico que muestra que componentes de frecuencia están presentes en la señal y en que proporción, para ello se ilustran los coeficientes de la serie exponencial junto a su frecuencia respectiva. Debido a que los coeficientes cn en general pueden ser complejos, el espectro de Fourier se grafica cn vs nΩ0 . En el eje horizontal se ubica la frecuencia angular Ω , en radianes sobre segundo, mientras que en el eje vertical se indica el aporte de esta frecuencia a la señal. Ejemplo 4.5. Para el Ejemplo 4.3, lo coeficientes de la serie exponencial son c0 = Aτ / π

y para n ≠ 0 , cn = ( A / nπ ) sin( nτ ) . Si tomamos A = 1 y τ = π / 6 se obtiene la señal

y su respectivo espectro de Fourier

88

Series de Fourier


Si tomamos A = 1 y τ = π / 6 se obtiene la señal

y su respectivo espectro de Fourier

El espectro de Fourier del tren de pulsos se modifica al cambiar el ancho τ de los pulsos. Para un pulso angosto, τ = π / 6 , un mayor número de frecuencia tienen participación; además las frecuencia altas tienen un aporte importante y el nivel DC de la señal no es muy grande. Por otro lado, para un pulso más ancho, τ = 3π / 4 , un número menor de frecuencias tiene aporte significativo; además el nivel DC de la señal es mucho mayor y la participación de las componentes de alta frecuencia es muy poco. (t ) = 1 + cos( 2t ) + 4 sin( 4t ) del Ejemplo 4.4, los coeficientes de la serie exponencial de Fourier son c0 = 1 , c1 = 1 / 2 , c−1 = 1 / 2 , c2 = −2 j y c−2 = 2 j , con Ω0 = 2 . El espectro de Fourier de x(t ) se ilustra en la Figura 4.2. Ejemplo 4.6. Para la señal

89


Series de Fourier

Figura 2.4. Espectro de Fourier de la señal periódica.

Observe que sólo existen 2 componentes de frecuencias en la señal, las frecuencias 2 y 4, y un nivel de DC de valor 1. Recuerde que las frecuencias negativas y positivas corresponden a la misma componente de frecuencia. Por tal motivo, las señales jnΩ t y c− n e− jnΩ t conforman la componentes de frecuencia nΩ0 , para cualquier n . cn e 0

0

4.1.4. Teorema de Parseval para la serie exponencial El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio de una señal periódica con el cuadrado de la norma l 2 de los coeficientes cn de su serie exponencial, mediante P =

T

1

x( t ) T ∫

2

∞

dt =

0

∑

cn

2

n =−∞

Demostración.

P =

1

T

x(t ) T∫

2

dt =

0

1 ⎡

P =

1 ⎡

n =−∞

1 ⎡

∞

jnΩ0t

n

∫ ∑∑ ∞

∑ ∑ c c

* n m

n =−∞ m =−∞

⎤⎡ ∞ jnΩ t ⎤ c e ∑ n ⎥⎢ ⎥ dt ⎦ ⎣ n=−∞ ⎦ 0

⎤ ⎡ ∞ * − jnΩ t ⎤ ⎥ ⎢ ∑ cn e ⎥ dt ⎦ ⎣ n=−∞ ⎦

∞

T 0 ⎢⎣ n =−∞ m=−∞ ∞

P =

n

∑ce T ∫ ⎢⎣ T

P =

jnΩ0t

∞

0

*

*

∫ ∑ce

T 0 ⎢⎣ n =−∞ T

P =

x( t ) x ( t ) dt T ∫ 0

∞

T

T

1

0

jnΩ0t * − jmΩ0 t m

cn e 1

T

c e

e T ∫

⎤ ⎥ dt ⎦

j ( n − m ) Ω0t

dt

0

Las señales {e jnΩ t } , con n ∈ Z , son ortogonales en [0, T ] , entonces 0

90


Series de Fourier

1 T

T

∫

⎧1 n = m ⎩0 n ≠ m

j ( n − m ) Ω 0t

dt = ⎨

e

0

Por tal motivo, de la doble sumatoria sólo sobreviven los términos para los cuales n = m , entonces P =

∞

∑

∞

∑

cn cn* =

n =−∞

cn

2

n =−∞

2

(t ) es la potencia instantánea de la señal. Si sumamos la potencia en un intervalo de longitud T y dividimos por T , encontramos el promedio de la potencia P de la señal periódica (t ) . Observación 4.1. Recuerde que

Ejemplo 4.7. Encuentre la energía promedio de la señal

(t ) = sin(t ) + cos( 2t ) ,

utilizando el teorema de Parseval. Solución. La señal puede escribirse como − e jt − e jt

x(t ) = (t ) =

2 j j 2

e

− jt

− e j 2 t + e j 2 t

+

2 j 1 1 − e jt + e j 2t + e− j 2 t 2 2 2

La potencia promedio puede ser encontrada como P =

∞

∑

cn

1

1

1

4

4

n =−∞

P =

4

2

+ +

=

j

2

2

+

1 4

+

−j

2

+

2

1

2

2

+

1

2

2

=1

Ejemplo 4.8 . Encuentre la energía promedio de la señal sinusoidal x(t ) = A sin(Ωt ) , donde Ω ∈ R * , usando el teorema de Parseval.

Solución. La señal puede escribirse como

(t ) = A sin( Ωt ) = − j

A 2

ej

Ωt

+j

A 2

e

− j Ωt

La potencia promedio puede ser encontrada como

91


Series de Fourier

P =

∞

∑

n =−∞

cn

2

= −j

A

2

+ j

2

A

2

2

A2 A2 A2 P + = 4 4 2 Observación 4.2. La energía promedio de un sinusoide depende exclusivamente de su amplitud. Dos sinusoides de igual amplitud y de diferente frecuencia tienen la misma potencia promedio.

4.1.5. Propiedades de la serie exponencial Sea SF la función que calcula los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de una señal, es decir, SF [ x( t)] = cn . 4.1.5.1.

Linealidad: SF [ Ax(t ) + By (t )] = A(SF [ x (t ) ]) + B(SF [ y (t ) ])

Un operador es lineal si cumple con superposición y homogeneidad. Superposición: un operador cumple con superposición si su respuesta a la suma de elementos es igual a la suma de las respuestas individuales a cada una de los elementos. Suponga que x(t ) y y(t ) son señales periódicas con periodo T , entonces los coeficientes de la señal (t ) + y (t ) corresponden a la suma de los coeficiente de la señal x(t ) más los coeficientes de la señal y(t ) . A probar: SF [ x( t ) + y( t )] = SF [ x( t) ] + SF [ y( t) ]

SF [ x( t ) + y( t )] =

1

T

1

T

[ x( t) + y( t)] e T ∫

− jnΩ 0t

dt

0

SF [ x( t ) + y( t )] =

x( t ) e T∫ 0

− jnΩ0t

dt +

1

T

y( t) e T ∫

− jnΩ0 t

dt = SF [ x( t) ] + SF [ y( t) ]

0

SF [ x( t ) + y( t )] = SF [ x( t)] + SF [ y( t) ]

Homogeneidad: un operador L es homogéneo si para toda señal x(t ) y toda constante real c se cumple L{cx(t )} = cL{ x(t )} .

92


Series de Fourier

Suponga que (t ) es una señal con periodo T entonces los coeficientes de la señal Ax(t ) corresponden a los coeficientes de la señal x(t ) multiplicados por A . A probar: SF [ Ax( t )] = A ⋅ SF [ x( t) ]

SF [ Ax( t )] =

1

T

Ax( t) e T ∫

− jnt Ω0

dt

0

⎛ 1 T − jnΩ t ⎞ SF [ Ax( t )] = A ⎜ ∫ x( t) e dt ⎟ = A ⋅ SF [ x( t) ] T ⎝ 0 ⎠ 0

Complejo conjugado: SF ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦ = c− n *

4.1.5.2.

1

SF ⎡⎣ x (t ) ⎤⎦ = T *

T

∫

*

x ( t )e

− jnΩ 0t

dt =

0

1

*

T

*

⎡⎣ x( t) e jnΩ t ⎤⎦ dt ∫ T 0

0

*

*

⎛ 1T ⎞ ⎛ 1 T − j ( − n )Ω t ⎞ jnΩ t * ( ) ( ) SF ⎡⎣ x (t ) ⎤⎦ = ⎜ x t e dt x t dt ⎟ = c−* n = ⎟ ⎜ ∫ ∫ ⎝ T0 ⎠ ⎝ T 0 ⎠ 0

Reflexión: SF [ x( − t)] = c− n

4.1.5.3.

SF [ x( −t )] =

0

1

T ∫

t

0

x( −t ) e

− jnΩ 0t

dt

Si realizamos la sustitución u = − t entonces du = − dt y se tiene SF [ x( −t )] =

1 T

−T

∫ x(u)e

jnΩu

( − du) =

1

0

x( u) e T ∫

jnΩu

du

− T

0

La integral de [−T , 0] puede cambiarse por una integral de [0, T ] , por lo cual SF [ x( −t )] =

1

T

x( u) e T ∫

− j ( − n )Ωu

du = c− n

0

4.1.5.4.

Simetría

Si x(t ) es real, se tiene cn =

1 T

T

∫ x( t )e 0

− jnΩ 0t

dt =

1

T

∫ x( t) [cos( − nΩ t) + j sin( − nΩ t)] dt

T 0

0

0

93


Series de Fourier

cn = cn =

1

T

∫ [ x(t )cos( nΩ t)dt − jx( t) sin( nΩ t)]dt 0

T 0 1

T

T

∫ x(t )cos( nΩ t) dt − j ∫ x( t)sin( nΩ t) dt 0

T 0

1

T

∫ x(t )cos( nΩ t )dt

1

T

∫ x(t ) sen( nΩ t) dt 0

T 0

Re {cn } es una señal par

Re {c− n } =

1 T

T

1

T

∫ x(t ) cos(−nΩ t )dt = T ∫ x( t)cos( nΩ t)dt = Re { c } 0

0

0

n

0

Im {cn } es una señal par

Im {c− n } = −



0

T 0

Im {cn } = −



0

0

Re {cn } =



0

T

1

1

T

∫ x(t ) sen( −nΩ t) dt = T ∫ x( t) sen( nΩ t )dt = − Im { c } 0

T

0

0

n

0

cn es una señal par 2

2

2

2

cn = Re {c n} + Im {cn } = Re{ c− n } + Im{ c− n} = c− n 2

Re{cn } es una señal par, pues el producto de dos señales pares es otra señal par. 2 Im{cn } es una señal par, pues el producto de dos señales impares es una señal par.

La suma de dos señales pares es una señal par y la raíz cuadrada de una señal par es par también; por lo cual | cn | es una señal par. 

∠cn es una señal impar

⎛ Im{c− n } ⎞ ⎛ − Im{cn } ⎞ ⎛ Im{ cn } ⎞ ∠c− n = arctan ⎜ ⎟ = arctan ⎜ ⎟ = − arctan ⎜ ⎟ = −∠cn ⎝ Re{c− n } ⎠ ⎝ Re{cn } ⎠ ⎝ Re{cn } ⎠ 

cn* = c− n

Dado que x(t ) es real se tiene que

*

(t ) = x(t ) , por lo cual

94


Series de Fourier

*

T ⎛1T ⎞ 1T * 1 − jnΩ t − j ( − n )Ω t jnΩ t c = ⎜ ∫ x(t )e dt ⎟ = ∫ x ( t) e dt = ∫ x( t) e dt = c− n T T T 0 0 ⎝ 0 ⎠ * n

0

0

Si x(t ) es real y par, entonces



Im {Cn } = −

cn =

0

T / 2

1

∫

x(t ) sin( nΩ0 t )dt = 0

T −T / 2

T / 2

1

∫

T −T / 2

x(t )cos( nΩ 0 t )dt = c− n

cn = Re {cn } =

2

T / 2

∫

T

x(t )cos( nΩ 0 t )dt

0

La integral de la parte imaginaria es cero, pues el producto (t )sin( nΩ 0t ) es una señal impar. Por tal motivo los coeficientes cn son reales y pares. 

Si x(t ) es real e impar, entonces

Re {Cn } =

cn = − j

1

1

T / 2

∫

T −T / 2

x(t )cos( nΩ0 t )dt = 0

T / 2

∫

T −T / 2

x( t ) sin( nΩ0 t )dt = − c− n

cn = Im {cn } = − j

2 T

T / 2

∫

x( t )sin( nΩ0 t )dt

0

La integral de la parte real es cero, pues el producto x(t )cos( nΩ0 t ) es una señal impar. Por tal motivo, los coeficientes cn son imaginarios e impares. Señal Periódica

Coeficientes de la SEF

(t ), y( t ) Ax(t ) + By (t ) x * (t ) x( −t ) (t ) real (t ) real (t ) par (t ) real y par

cn , d n Ac n + Bd n c−n c−n Re{cn } par y Im{cn } impar cn* = c− n cn par cn real y par

Tabla 4.1. Algunas propiedades de la serie exponencial de Fourier

95


Series de Fourier

4.2. Serie trigonométrica de Fourier

Si se conoce que x(t ) es una señal real, es decir Im{ x( t )} = 0 , existe una forma equivalente de representar x(t ) como una serie de Fourier utilizando sólo señales reales que forman una base ortogonal. Sea x(t ) una señal real con periodo T , , entonces x(t ) =

∞

∑ c e

jnΩ0t

n

n =−∞

Propiedad 4.3. Re { (t ) y (t )} = Re { x( t )} Re{ y( t )} − Im{ x( t )} Im{ y( t )} Demostración. Para toda función o variable x se cumple que

x = Re{ x} + j Im{ x}

(1)

x ∗ (t ) = Re{ x} − j Im{ x}

(2)

■

Utilizando (1) y (2) para despejar Re{ x} y Im{ x} se tiene Re{ } = Im{ x} =

1

(x + x ) 2 *

1

(3)

(x − x ) 2 j *

(4)

Utilizando (3) para el producto y , se tiene Re{ y } =

1

1

⎡⎣ xy + ( xy)* ⎤⎦ = ( xy + x* y* ) 2 2

Ahora, utilizando las definiciones (1) y (2) sobre esta última ecuación se tiene Re{ y } =

1

⎡( Re{ x } + j Im{ x}) ( Re Re{ y } + j Im{ y })

2⎣

+ ( Re{ } − j Im{ x}) ( Re{ y } − j Im{ y }) ⎤⎦ Re{ y } = Re{ x }Re }Re{ y } − Im{ x }Im }Im{ y }

Representemos sólo la parte real de la señal x(t ) , para ello

96


Series de Fourier

∞ ⎧ ∞ jnΩ t ⎫ jnΩ t Re{ x(t )} = Re ⎨ ∑ cn e ⎬ = ∑ Re{cn e } ⎩ n = −∞ ⎭ n = −∞ 0

0

Utilizando la Propiedad 4.3, se tiene ∞

∑ ( Re{c } Re{e

Re{ x(t )} =

jnΩ0t

n

n = −∞

) ∑ ( Im{c } Im{e

} −

∑

jnΩ0 t

n

n = −∞

∞

Re{ x(t )} =

∞

}

)

∞

n = −∞

Re{cn } cos( nΩ0 t ) −

∑ Im{c } sin( nΩ t ) n

n = −∞

0

Utilizando (3) y (4) se tiene Re{ x(t )} =

1

∞

∑ (c 2 n = −∞

n

+ c ) cos( nΩ0 t ) − * n

1

∞

∑ (c 2 j n = −∞

n

− cn* ) sin( nΩ0 t )

Dado que (t ) es real, Re{ (t )} = x(t ) y cn* = c− n , por lo cual (t ) =

1

∞

∑

2 n = −∞

( cn + c− n ) cos( nΩ0t ) −

1

∞

∑ (c

2 j n= −∞

n

− c− n ) sin( nΩ0 t)

El término cn + c− n es par con respecto a n , pues si hacemos tn = cn + c− n se cumple tn = t − n . Por otro lado, el término cn − c− n es impar con respecto a n , pues si hacemos tn = cn − c− n se cumple tn = −t − n ; por tal motivo (t ) =

1

∞

j

∑

∞

∑

cn + c− n ) cos( nΩ 0 t ) + cn − c− n ) sin( nΩ0 t) (14 (14 442444 244 4 3 2 n= −∞ 144 442444 2444 3 2 n = −∞ 144 par

par

pues el cos( nΩ 0t ) y sin( nΩ0t ) son par e impar con respecto a n , respectivamente. La sumatoria de −∞ a ∞ de una señal par es igual a dos veces la sumatoria de 1 a ∞ más el término cero. De acuerdo a esto podemos reescribir x(t ) , como (t ) = c0 +

∞

∑ (c

n

n =1

∞

+ c− n ) cos( nΩ0 t ) + j ∑ ( cn − c− n ) sin( nΩ0 t) n =1

Definamos los coeficientes de la serie trigonométrica, de acuerdo a a0 = c0

an = cn + c− n

bn = j( cn − c− n )

97


Series de Fourier

Observación 4.3. Dado que x( t ) es real an = cn + c− n = cn + cn = 2 Re{ cn } y bn = j( cn − c− n ) = j( cn − cn* ) = −2 Im{ cn } , para todo n ∈ Z + . A partir de este hecho y utilizando la definición de cn pueden ser encontrados ser encontrados lo coeficientes an y bn . *

Definición 4.2. La serie trigonométrica de Fourier de una señal real (t ) , esta dada por

(t ) = a0 +

∞

∑a n =1

n

cos( nΩ0 t ) +

∞

∑ b sin( nΩ t) n =1

n

0

donde a0 =

an =

bn =

1

∫ x(t )dt

T T 2

∫ x(t ) cos( nΩ t)dt

∫ x(t ) sin( nΩ t) dt

T T 2

T T

0

0

Observación 4.4. Los coeficientes a0 , an y bn de la serie trigonométrica son reales. .., ∞ . Los coeficientes an y bn sólo toman valor para para n = 1, 2, . ..

Ejemplo 4.9. Represente la señal x(t ) utilizando la serie trigonométrica de Fourier.

⎧ M ⎪( t + 2 ) 2 ⎪⎪ x(t ) = ⎨ t 2 ⎪( t − 2 ) 2 ⎪ ⎪⎩ M

M

−2 < t < 0 0 < t < 2 2 < t < 4 M

Solución. La señal x(t ) tiene periodo T = 2 , por lo tanto Ω 0 = π . Para la

representación de una señal periódica se puede tomar cualquier segmento de la señal con longitud T . . Se tomará por facilidad el intervalo (0, 2) . 98


Series de Fourier

Para el coeficiente a0 o valor medio de la señal, se tiene a0 =

1

T

∫

T 0

x(t )dt =

1

T

∫

20

t dt = 2

t 3 6

2

= 0

4 3

Para los coeficientes an , se tiene an =

2

T

2

x( t ) cos( nΩ t ) dt = ∫ t T ∫

2

0

0

cos( nπ t ) dt

0

Integrando por partes

⎧ u = t 2 dv = cos( n π t ) ⎪ ⎨ sin( n π t ) ⎪ du = 2 tdt v = n π ⎩ 2

2

2

sin( nπ t ) 2 ⎛ sin( nπ t ) ⎞ sin( nπ t )t dt −∫ an = ⎜ t 2 2t dt = − ⎟ ∫ n π n π n π ⎝ ⎠0 0 0

Integrando por partes nuevamente, se tiene dv = sin( nπ t ) ⎧u = t ⎪ ⎨ − cos( nπ t ) d u dt d t v = = ⎪⎩ nπ 2 −2 ⎡⎛ −t cos( nπ t ) ⎞ 2 cos( nπ t ) ⎤ an = ⎢⎜ ⎟ + ∫ nπ dt ⎥ nπ ⎢⎝ nπ ⎠0 0 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎡ ⎤ 4 −2 ⎢ −2 sin( nπ t ) ⎥ + = an = 2 ⎥ ( nπ )2 nπ ⎢ nπ nπ ) ( 0⎦ ⎣

Para lo coeficientes bn , se tiene bn =

2

T

2

x(t ) cos( nΩ t ) dt = ∫ t T ∫ 0

0

2

sin( nπ t ) dt

0

Integrando por partes

99


Series de Fourier

⎧u = t 2 dv = sin( nπ t ) ⎪ ⎨ cos( nπ t ) ⎪du = 2tdt v = − nπ ⎩ 2

2 2 cos( nπ t ) cos( nπ t ) 4 cos( n2π ) ⎛ 2 cos( nπ t ) ⎞ +∫ + 2∫ bn = ⎜ −t 2t dt = − t dt ⎟ nπ nπ n π ⎝ ⎠ 0 0 nπ 0

Integrando por partes nuevamente, se tiene dv = cos( nπ t ) ⎧u = t ⎪ ⎨ sin( nπ t ) ⎪⎩du = dt v = nπ

⎡ t sin( nπ t ) 2 2 sin( nπ t ) ⎤ 4 +2⎢ −∫ bn = − dt ⎥ = − nπ nπ nπ ⎢⎣ nπ ⎥⎦ 0 0 4

La serie trigonométrica de Fourier para x(t ) viene dada por x(t ) =

4 3

+

4 π2

∞

1

∑n n =1

cos( nπ t ) − 2

4

∞

∑

1

π n =1 n

sin( nπ t )

Figura 4.3. Representación de x(t ) utilizando los primeros 15 términos de la

serie trigonométrica de Fourier.

4.2.1. Relación entre la serie trigonométrica y la serie exponencial Una vez que una señal real x(t ) ha sido representada como una serie trigonométrica de Fourier, los coeficientes de la serie exponencial pueden ser encontrados de forma directa a partir de los coeficientes de la serie trigonométrica. De forma similar, si se conocen los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de una señal real, los coeficientes de la serie trigonométrica pueden ser calculados a partir de estos. 100


Series de Fourier

Si queremos encontrar los coeficientes de la serie exponencial a partir de los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier, es decir, {cn } → {a0 , an , bn } , se hace a0 = c0 an = 2 Re{cn }, bn = −2 Im{cn },

n = 1, 2, 3... n = 1, 2, 3...

Si queremos encontrar los coeficientes de la serie trigonométrica a partir de los coeficientes de la serie exponencial de Fourier, es decir {a0 ,an , bn } → {cn } , se hace c0 = a0 cn = 12 ( an − jbn ), n = 1, 2, 3, ...

Para encontrar los coeficientes cn para valor negativos de n , se hace c− n = cn* . Ejemplo 4.10. Encuentre los coeficientes de la serie exponencial del Ejemplo 4.9.

Solución.

c0 = a0 =

4 3

Los coeficientes cn para n positivo, n = 1, 2, 3,... , son cn = cn =

1⎡

1

4

+ [ a n − jbn ] = ⎢ 2 2 ( nπ )2 ⎣

2 ( nπ )

2

(1 + jnπ ) ,

j

4 ⎤

⎥

nπ ⎦

n = 1, 2, 3...

Los coeficientes cn , para n negativo, se encuentran como c− n = cn* =

2 ( nπ )2

(1 − jnπ ), n = 1, 2, 3, ...

Por tal motivo los coeficientes de la serie exponencial, están dados por 4/3 n=0 ⎧ ⎪ cn = ⎨ 2 ⎪ ( nπ )2 (1 + jnπ ) n ≠ 0 ⎩

101


Series de Fourier

y la serie exponencial para la señal es x(t ) =

⎛ 1 + jnπ ⎞ jnπ t ⎟e 3 π 2 n =−∞ n2 ⎠ 4

+

2

∞

∑ ⎝⎜ n≠0

Ejemplo 4.11. Encuentre los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier para la

señal del Ejemplo 4.3. Solución.

a0 = c0 =

Aτ π

an = 2 Re{cn } =

2 A

nπ bn = −2 Im{cn } = 0

sin( nτ )

Ejemplo 4.12. Encuentre la serie trigonométrica de

(t ) = cos 2 (t ) + sin( t ) + cos( 3t ) .

Identifique los coeficientes de la serie trigonométrica y encuentre por medio de estos los coeficientes cn de la serie exponencial de Fourier. Solución. Conociendo que cos α = 12 (1 + cos 2α ) , podemos reescribir la señal como 2

x(t ) =

1 2

1

+ cos( 2t ) + sin( t ) + cos(3t ) 2

Es expresión corresponde a la serie trigonométrica de Fourier de la señal, pues es una suma de senos y cósenos. Para identificar los coeficientes de la serie primero se debe encontrar el periodo de la señal. La señal (t ) tiene T = 2π , por lo cual Ω 0 = 1 . El término independiente corresponde al valor medio o nivel DC de la señal, entonces a0 = 1 / 2

El coeficiente an acompaña al cos( nΩ 0t ) en la serie trigonométrica. Para nuestra señal el coeficiente an acompaña al cos( nt ) , por lo cual 1 2

cos( 2t ) ⇒

cos(3t )

n=2 ⇒

⇒ n=3 ⇒

a2 = 1 / 2 a3 = 1

De forma similar, el coeficiente bn acompaña al cos( nΩ 0t ) en la serie trigonométrica. Para nuestra señal el coeficiente bn acompaña al sin( nt ) , por lo cual

102


Series de Fourier

sin(t )

⇒ n = 1 ⇒ b1 = 1

Por tal motivo los coeficientes de la serie trigonométrica son a0 = 1 / 2 , a2 = 1 / 2 , a3 = 1 y b1 = 1 ; los demás coeficientes son cero. Los coeficientes de la serie exponencial se encuentran a partir de los de la serie trigonométrica. Para el valor medio se tiene que c0 = a0 = 1 / 2 . Dado que cn = 12 (an − jbn ), para n > 0 , entonces c1 = − j / 2 , c2 = 1 / 4 y c3 = 1 / 2 . Además c− n = cn* , para n > 0 , entonces c−1 = j / 2 , c−2 = 1 / 4 y c3 = 1 / 2 . Los demás coeficientes son cero. 4.2.2. Serie trigonométrica de Fourier para señales pares e impares Conocer que una señal es par o impar es útil para agilizar el cálculo de los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier cuando se toma el intervalo [−T / 2, T / 2] . En este caso la serie puede reducirse dependiendo si x(t ) es par o impar. 4.2.2.1.

(t ) par

En este caso, el producto x(t )sin( nΩ0 t ) es impar y los coeficientes bn son cero. bn =

2

T / 2

∫

x(t )sin( nΩ 0 t ) dt = 0 4244 3 T −T / 2 14 impar

El producto x(t )cos( nΩ0 t ) es par, por lo cual an =

2 T

T /2

∫

−T / 2

x( t )cos( nΩ t ) dt =

0 144244 3 par

4

T / 2

T

∫

x( t )cos( nΩ0 t) dt

0

Finalmente, dado que la señal (t ) es par, su valor medio puede encontrarse como a0 =

1 T

T /2

∫

x(t ) dt = {

− T / 2 par

2 T

T / 2

∫

x( t ) dt

0

Por tal motivo, para una señal par la serie trigonométrica de Fourier es de la forma ∞

x(t ) = a0 +

∑a n =1

n

cos( nΩ0t )

103


Series de Fourier

4.2.2.2.

x(t ) impar

El producto (t )cos( nΩ 0t ) es impar y los coeficientes a n son cero. an =

2

T / 2

∫

T −T / 2

x(t )cos( nΩ 0 t ) dt = 0

El producto (t )sin( nΩ 0t ) es par, por lo cual bn =

2 T

T /2

∫

− T / 2

x(t )sin( nΩ t ) dt =

0 1442443 par

4

T / 2

T

∫

x( t) sin( nΩ0 t) dt

0

Dado que la señal es impar, su valor medio es cero. a0 =

1

T / 2

∫

x(t ) dt = 0 T −T / 2 impar {

Así, para una señal impar la serie trigonométrica de Fourier como es de la forma ∞

x(t ) =

∑ b sin(nΩ t ) n =1

n

0

Observación 4.5. Para representar señales pares sólo se necesitan lo coeficientes an , los cuales ponderan cada uno de los cósenos de la serie, pues la serie corresponde a una señal par y sólo se necesitan señales pares para su representación. De forma similar para representar una señal impar sólo se necesitan las señales seno, por lo cual sólo interviene los coeficientes bn . Ejemplo 4.13. Encuentre la serie trigonométrica de Fourier de la señal.

⎧ π ⎪⎪t + 2 − π < t < 0 x(t ) = ⎨ ⎪− t + π 0 < t < π ⎪⎩ 2

104


Series de Fourier

Solución. Para esta señal T = 2π , por lo cual Ω 0 = 1 . Se sabe que x (t ) es par, entonces los coeficientes bn son cero y los demás coeficientes pueden encontrarse como π

1 ⎛ 1 ⎛ t 2 π ⎞ π ⎞ a0 = x(t ) dt = ⎜ − t + ⎟dt = ⎜⎜ − + ⎟⎟ = 0 T 0 π 0 ⎝ 2 ⎠ π ⎝ 2 2 ⎠ 0 an =

an =

2

T / 2

4

T / 2

π

∫

T

∫ 0

∫

π

2 ⎛ π ⎞ x(t )cos( nt ) dt = −t + ⎟ cos( nt ) dt ⎜ π 0 ⎝ 2⎠

∫

−2 π π

⎧u = t dv = cos( nt ) dt ⎪ ⎨ sin( nt ) ⎪⎩du = dt v = n

π

∫ t cos(nt )dt + ∫ cos( nt )dt 0

0

π π ⎤ sin( nt ) π 1 −2 ⎡ t sin( nt ) − ∫ sin( nt )dt ⎥ + an = ⎢ π ⎣⎢ n n0 n 0 0 ⎦⎥ π −2 ⎡ cos( nt ) ⎤ −2 an = [cos( nπ ) − cos(0)] ⎢ ⎥= π ⎢⎣ n 2 .0 ⎥⎦ n 2π ⎧ 4 n impar 2 ⎪ an = 2 [1 − cos( nπ )] = ⎨ n 2π n π ⎪⎩0 n par

La serie trigonométrica puede escribirse como (t ) =

4 π

∞

∑

n =1 n impar

1 n2

cos( nt ) =

4

∞

1

∑ (2n − 1) π n =1

2

cos [ (2n − 1)t ]

Ejemplo 4.14. Encuentre la serie trigonométrica de Fourier de la señal

π ⎧ ⎪⎪−1 − 2 < t < 0 x(t ) = ⎨ ⎪ 1 0 < t < π ⎪⎩ 2

105


Series de Fourier

Solución. Para esta señal T = π por lo cual Ω0 = 2 . Dado que x(t ) es impar entonces los coeficientes an y a0 son cero. Los coeficientes bn pueden encontrarse como

bn = bn =

T / 2

4

∫

T

x( t )sin( nΩ 0 t ) =

0

4 ⎡ − cos( n 2t )

⎢ π ⎣⎢

2n

π / 2

0

π / 2

4

∫ sin( n2t)

π

0

⎤ 2 [ − cos( nπ ) + cos(0)] ⎥= n π ⎦⎥

⎧ 4 n → impar ⎪ bn = [1 − cos( nπ )] = ⎨ nπ nπ ⎪⎩0 n → par 2

La serie trigonométrica puede escribirse como: ∞

4

∑

x(t ) =

n =1 n impar

nπ

sin( n2t ) =

∞

4

∑ π

sin [( 2n − 1) 2t ]

2n − 1

n =1

4.2.3. Teorema de Parseval para la serie trigonométrica de Fourier La potencia promedio de una señal periódica puede ser encontrada utilizando los coeficientes de la serie exponencial de Fourier. Conociendo la relación entre los coeficientes de la serie exponencial y la serie trigonométrica, podemos encontrar la potencia promedio de la señal por medio de esta última, como P =

1

T

x(t ) T ∫

2

dt = a + 2 0

0

1

∞

∑(a 2 n =1

n

2

+ bn 2 )

Demostración.

P =

∞

∑c

2

n

=

n =−∞

−1

∑

2

2

cn + c0 +

n =−∞

∞

∑c

2

n

n=1

Dado que x(t ) es real se tiene que cn* = c− n . Todo número complejo tiene magnitud igual a su conjugado, por lo cual cn = cn* = c− n ; así podemos reescribir P =

−1

∑

n =−∞ 2

2

2

c− n + c0 +

P = c0 + 2

∞

∑c n =1

∞

∑ n =1

cn

2

2

n

106


Series de Fourier

Conociendo que c0 = a0 y cn = 12 ( an − jbn ) , para n > 0 , se tiene 2

P = a0 + 2 2

P = a0 +

∞

∑ n =1

1 2

2

∞

1

∑( 2

an2 + bn2

n =1

)

∞

∑

2

( an − jbn ) = a0 + 2

n =1

1 4

an − jbn

2

2

2

El valor medio de la señal real (t ) es un valor real, por lo cual a0 = a0 2 y la potencia promedio puede escribirse como P = a0 + 2

1

∞

∑(a 2

2 n

n =1

+ bn2 )

■

Ejemplo 4.15. Encuentre, utilizando el teorema de Parseval para la serie trigonomé‐ trigonomé‐ 1 1 c os( 3t ) . trica, la potencia promedio de la señal (t ) = 2 + 2 cos( 2t ) + sin(t ) + co

Solución. La señal ya se encuentra expresada como una serie trigonométrica, entonces

P = a0 + 2

1

∞

∑(a 2 n =1

2 n

+ bn2 )

2 2 ⎤ 11 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎡⎛ 1 ⎞ P = ⎜ ⎟ + ⎢⎜ ⎟ + 12 + 12 ⎥ = ⎝ 2 ⎠ 2 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 8

Ejemplo 4.16. Encuentre la energía promedio de la señal sinusoidal (t ) = A sin(Ωt ) , donde Ω ∈ R * , usando el teorema de Parseval para la serie trigonométrica de Fourier.

Solución. Para este caso el valor medio de la señal es cero y Ω0 = Ω , por lo cual sólo existe el coeficiente b1 = A de la serie trigonométrica. La potencia promedio es

P = a0 + 2

P =

1 2

1

∑(a 2

b = 2 1

∞

n =1

2 n

+ bn2 )

A2 2

Este resultado concuerda con el obtenido utilizando el teorema de Parseval para la serie exponencial, para la potencia promedio de la señal sinusoidal.

107


Series de Fourier

4.3. Aplicaciones de las series de Fourier

4.3.1. Análisis de señales periódicas Una señal periódica, que cumple las condiciones de Dirichlet, puede representarse como una serie exponencial de Fourier y en el caso de ser real también puede representarse como una serie trigonométrica. La serie de Fourier brindan información importante acerca de la señal periódica. Valor medio o promedio de la señal



V M = c0 = a0

Espectro de Fourier



Grafico de cn vs nΩ 0 El espectro da información acerca de las componentes de frecuencia presentes y su participación en la señal. Potencia promedio



En el caso en el cual la señales corresponden a señales de voltaje o corriente, los coeficientes de la serie de Fourier nos dan información sobre la cantidad de potencia de la señal por unidad de tiempo. P =

∞

∑c n = −∞

n

2

=a + 2 0

1

∞

∑ (a 2 n =1

2 n

+ bn2 )

4.3.2. Convolución circular continúa , entonces la Definición 4.3. Sean x(t ) y y(t ) dos señales periódicas, de periodo T , convolución circular entre ellas se define como h(t ) = [ x ⊗ y ] ( t ) =

1 T

T

1

T

∫ x(τ ) y( t − τ ) dτ = T ∫ x( t − τ ) y(τ ) dτ 0

0

La convolución circular h(t ) , también una señal con periodo T , , indica la cantidad de traslape entre la señal x(t ) y una versión reflejada y trasladada de y(t ) , sobre un intervalo de longitud T . . Debido a que las señales (t ) y y(t ) son periódicas, a medida que una de las señales se desplaza sobre la otra el traslape entre las señales es periódico, con periodo T . . Recuerde que al desplazar una señal de periodo T una 108


Series de Fourier

cantidad de tiempo τ que es múltiplo entero de T , , se obtiene exactamente la misma señal y por ende el mismo traslape. Ejemplo 4.17. Consideremos dos señales periódicas x( t ) y y (t ) , de periodo T . . Una

señal triangular y un tren de pulsos, como se ilustra en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Señales periódicas.

La señal y (−τ ) corresponde a un versión reflejada de la señal y τ y ( τ ) .

y(t ). ). Figura 4.5. Versión reflejada de la señal y(

La convolución circular h(t ) indica la cantidad de traslape, en un intervalo de longitud T , , entre la señal x τ x( τ ) y una versión desplazada en t de la señal y ( −τ ) , como se ilustra en la figura. El traslape en cualquier intervalo de longitud T es el mismo.

Figura 4.6. Traslape entre las señales periódicas (en gris).

Conociendo que la convolución circular h(t ) entre dos señales (t ) y y (t ) , de periodo T , , es también una señal periódica con periodo T , , puede expresarse como 109


Series de Fourier

∞

∑ r e

h(t ) =

jnΩ 0t

n

n = −∞

donde Ω 0 =

r n =

2π

y los coeficientes de la serie exponencial pueden encontrarse como

T 1

T

h(t )e T ∫

− jnΩ 0t

dt

0

Para esta representación es necesario conocer la señal h(t ) . No obstante, los coeficientes r n pueden encontrarse de forma directa si se conocen los coeficientes de la series exponenciales de las señales (t ) y y (t ) . Propiedad 4.4. Los coeficientes de la serie exponencial de la convolución circula h(t ) pueden encontrarse como rn = cn d n , donde cn y d n son los coeficientes de las series exponenciales de la señales (t ) y y (t ) , respectivamente. Demostración. Las señales x (t ) y y (t ) al ser periódicas pueden expresarse como

x(t ) =

∞

∑c e

jnΩ 0t

n

con

cn =

n = −∞

y (t ) =

1

T

x (t )e T ∫

− jnΩ 0t

dt

0

∞

∑ d e

jnΩ 0t

n

con

d n =

n =−∞

T

1

y (t )e T ∫

− jnΩ 0t

dt

0

Por tal motivo podemos reescribir h(t ) como h (t ) =

1

T

∫

T

x(t − τ ) y(τ ) dτ =

0

T

∞

0

n =−∞

1 ⎡

∑ce T ∫ ⎢⎣

jnΩ0 ( t −τ )

n

⎤ ⎥ y(τ ) dτ ⎦

⎡ 1 T ⎤ jnΩ t − jnΩ τ h(t ) = ∑ ⎢ ∫ y(τ ) e dτ ⎥ cn e n =−∞ ⎣ T 0 ⎦ ∞

0

h (t ) =

∞

∑cde

jnΩ0t

n

n

0

⇒ rn = cn dn

■

n =−∞

Ejemplo 4.18. Encuentre la convolución circular entre las señales x( t ) = sin( t ) y

y(t ) = 1 + cos( t ) . Solución. Las señales x(t ) y y(t ) tiene periodo T = 2π , por lo cual Ω0 = 1 . La señal (t ) puede expresarse como una serie exponencial, de acuerdo a

110


Series de Fourier

(t ) = sin(t ) =

− j 2

e jt +

j 2

e− jt

cuyos coeficientes son c1 = − j / 2 y c−1 = j / 2 . La señal y(t ) puede expresarse también como una serie exponencial, de la forma y(t ) = 1 + cos(t ) = 1 +

1 2

e jt +

1 2

e

− jt

cuyos coeficientes son d 0 = 1, d1 = 1/ 2 y d −1 = 1/ 2 . La serie exponencial de la convolución circular entre las señales periódicas es h( t ) =

∞

∑ r e n =−∞

jnt

n

donde r n = cn d n . Utilizando los coeficientes obtenidos para x(t ) y y (t ) se tiene r 0 = c0 d 0 = 0 r1 = c1d1 = − j / 4 r−1 = c−1d−1 = j / 4

Por tal motivo, la convolución circular puede obtenerse como h(t ) = r1e jt + r−1e− jt = h (t ) =

− 1 ⎡ e jt − e jt ⎤

⎢ 2⎣

2 j

− j 4

e jt +

j 4

e− jt

1

⎥ = 2 sin(t ) ⎦

4.3.3. Oscilaciones forzadas Considere un sistema masa‐resorte, al cual le es aplicada un fuerza externa F (t ) .

Figura 4.7. Sistema masa‐resorte amortiguado.

111


Series de Fourier

El término k es la constante del resorte, c la constante de fricción de la superficie, m la masa del objeto y x su posición horizontal. La sumatoria de fuerza en el sistema físico debe ser igual a cero, por lo cual fuerza externa aplicada F (t ) debe ser igual a la fuerza del objeto, más la fuerza de fricción de la superficie, más la fuerza de oposición del resorte al movimiento. La fuerza que actúa sobre un objeto es directamente proporcional a su masa y a su aceleración. La fuerza de fricción es directamente proporcional al coeficiente de fricción y a la velocidad del objeto. La fuerza en el resorte es directamente proporcional a su constante por su desplazamiento. Así, la sumatoria de fuerzas del sistema puede expresarse en función de la posición del objeto, (t ) , como ..

.

m x(t ) + c x( t ) + kx( t ) = F ( t)

donde cada punto representa una derivada con respecto al tiempo. Si la fuerza externa F (t ) es periódica y la constante de fricción no es cero, la respuesta del sistema en estado estable es oscilatoria con frecuencia igual a la frecuencia fundamental de F (t ) . Suponga que la fuerza externa aplicada corresponde a una señal sinusoidal, entonces ..

.

m x(t ) + c x( t ) + kx( t ) = D cos( Ω t)

La solución x(t ) del sistema esta formada por dos soluciones, x(t ) = x H ( t ) + xP ( t ) . La solución x H (t ) es la solución homogénea (solución transitoria) y corresponde a la solución diferencial homogénea ..

.

m x(t ) + c x( t ) + kx( t ) = 0

La solución general de esta ecuación es de la forma son las raíces de la ecuación característica

(t ) = c1e 1 + c2 e 2 , donde r 1 y r 2 rt

H

rt

mr 2 + cr + k = 0

Las raíces de este polinomio están dadas por r 1,2 =

−c ± c 2 − 4 mk 2m

Motivo por el cual, las raíces r 1 y r 2 se encuentran en alguno de estos dos casos 

Ambas negativas ( r1 , r 2 < 0 ). 112


Series de Fourier



Complejas conjugadas con parte real negativa.

En cualquiera de los casos, lim x H (t ) = 0 , entonces lim (t ) = x P (t ) . t →∞

t →∞

Por tal motivo, en estado estable (t ) es igual a la solución particular. La solución particular P (t ) se escoge de acuerdo a la ecuación en particular, en este caso de acuerdo a la fuerza externa F (t ) . Dado que la fuerza externa es una función sinusoidal x (t ) debe serlo también, pues su derivadas debe ser iguales a D cos(Ωt ) , por lo cual se la solución particular tiene la forma (t ) = A cos( Ωt ) + B sin( Ωt )

P

Las constantes A y B pueden encontrarse haciendo ..

.

m x P (t ) + c x P ( t ) + kx P ( t ) = D cos( Ω t)

de lo cual se obtiene A =

B =

D( k − mΩ 2 ) ( k − mΩ 2 )2 + ( cΩ) 2

DΩc 2 2 2 ( k − mΩ ) + ( cΩ)

Conociendo la solución particular se tiene que la solución del sistema es (t ) = A cos( Ωt ) + B sin( Ωt )

Si la fuerza externa F (t ) es periódica, puede expresarse como una serie trigonométrica ∞

F (t ) = a0 +

∑a n =1

n

∞

cos( nΩ0 t ) +

∑ b sin( nΩ t ) n =1

n

0

Dado que ya conocemos la solución del sistema si la fuerza externa es una función sinusoidal, la solución general del sistema ante cualquier fuerza externa periódica puede ser encontrada, la solución a cada una de las componentes de F (t ) y posteriormente realizar su superposición.

113


Series de Fourier

masa‐resorte con m = 1gr , c = 0.02 gr / s y Ejemplo 4.19. Considere un sistema masa‐ 2 k = 25 gr / s . Encuentre la posición del objeto, x(t ) , en estado estable si la fuerza externa aplicada es la que se ilustra en la Figura.

π ⎧ + t ⎪⎪ 2 F ( t ) = ⎨ ⎪ − t + π ⎩⎪ 2

− π < t < 0 0 < t < π

Solución. La ecuación para este sistema es ..

.

x(t ) + 0.02 x(t ) + 25 x( t ) = F ( t )

La fuerza externa F (t ) tiene periodo T = 2π , por lo cual Ω 0 = 1 , y puede expresarse cono una serie trigonométrica de la forma F (t ) =

4 π

∞

∑

n =1 n = impar impar

1 n2

cos( nt ) =

4⎛

1 1 ⎞ + + c o s ( ) c o s ( ) c o s ( ) . . . t 3 t 5 t ⎜ ⎟ π ⎝ 9 25 ⎠

Encontremos la solución de la ecuación del sistema para cada una de las componentes de la fuerza F (t ) , cada una de las cuales es de la forma 4 cos( nt )/ n 2π , , con n impar. Consideremos las ecuaciones diferenciales de la forma ..

.

x(t ) + 0.02 x( t ) + 25 x( t ) =

4 n 2π

cos( nt )

El lado derecho de esta ecuación corresponde a nuestra función sinusoidal general para D = 4 / n 2π y Ω = n . La solución para un valor de n dado es xn (t ) = An cos( nt ) + Bn sin( nt )

donde

114


Series de Fourier

An =

Bn =

( 25 − n 2 )

4

n 2π ( 25 − n 2 )2 + ( 0.02n) 2 4

0.02n

n 2π ( 25 − n 2 )2 + ( 0.02n) 2

Entonces, la respuesta general del sistema puede escribirse como (t ) =

∞

∑

n =1 n =impar

xn (t ) =

∞

∑

An cos( nt ) + Bn sin(nt n t)

n =1 n =impar

4.4. Resumen

• Los exponenciales complejos forman las bases ortogonales elegidas en la representación de señales en la teoría de Fourier. Al realizar la descomposición de una señal en términos de exponenciales complejos se pueden conocer las componentes de frecuencia presentes y la respuesta de un sistema LTI. • La representación de una señal utilizando un conjunto contable de exponenciales complejos se conoce como serie exponencial de Fourier. • Un conjunto de exponenciales de la forma e jnΩ t , con n ∈ Z , son mutuamente ortogonales en un intervalo [t1 , t 2 ] si Ω 0 = 2π /(t2 − t 1 ) . Dicho conjunto de exponenciales complejos forma una base ortogonal para el espacio vectorial formado por las señales con energía finita en dicho intervalo (finito). 0

• Para expresar una señal periódica como una serie exponencial de Fourier es suficiente representar un intervalo de longitud el periodo, de esta forma la serie converge a la señal para todos los valores de tiempo. • Los coeficientes de la serie exponencial de Fourier dan información de las componentes de frecuencia presentes en la señal. El coeficiente cn da información de la frecuencia nΩ0 en la señal y pondera la participación del exponencial e jnΩ t en la representación de la misma. 0

• El grafico de la magnitud de los coeficientes contra la frecuencia se conoce como Espectro de Fourier. Esta visualización permite conocer las componentes de frecuencia presentes en la señal.

115


Series de Fourier

•

El teorema de Parseval para la serie exponencial establece que la potencia promedio de una seña periódica puede ser encontrada sumando los coeficientes de la serie exponencial en magnitud al cuadrado.

•

Si se desea representar una señal real es suficiente utilizar una base ortogonal formada por señales reales. La señales de la forma cos( nΩ 0t ) y sin( nΩ0t ) , con n ∈ Z , son mutuamente ortogonales en un intervalo [t1 , t 2 ] si Ω0 = 2π /(t2 − t 1 ) . Dicho conjunto de señales forma una base ortogonal para el espacio vectorial formado por las señales con energía finita en dicho intervalo (finito).

•

La representación de señales en términos de funciones seno y coseno se conoce como serie trigonométrica de Fourier. Si la señal es par son sólo necesaria las señales coseno para su representación, en cambio, si la señal es impar es solo necesario utilizar las señales seno para su representación.

4.5. Ejercicios Sección 4.1‐4.3

1. Encuentre los coeficientes de la serie exponencial de Fourier, de la señal periódica

2. Usando la serie exponencial de Fourier represente la señal periódica

(t ) = e

− t

0 < t < 1

3. Usando la serie trigonométrica de Fourier, represente la señal de salida de un rectificador de media onda ( y(t ) en la siguiente figura), si la señal de entrada es x(t ) = sin(t ) .

116


Series de Fourier

y(t ) = sin( t )

0 < t < 1

4. Obtenga la serie exponencial de Fourier de la secuencia de impulsos de peso unitario, que se ilustra en la figura.

5. Exprese la señal x(t ) = 12 + sin 2 t − cos 2 t + 2 sin t + 3 cos(3t ) como una serie exponencial de Fourier e identifique los coeficientes de Fourier. Determine el valor medio de la señal. 6. La serie exponencial de una señal x(t ) , con periodo T , en un intervalo [0, T ] es x(t ) =

∞

⎡

n =−∞

⎤

3

∑ ⎣⎢ 4 + (π n)

2

e jnπ t ⎥

⎦

a. Determine el valor de T b. ¿Cual es el valor medio de x(t ) ? c. La componente de x(t ) en cierta frecuencia puede expresarse como a cos(3π t ) . Determine el valor de a . 7. Encuentre la componente de frecuencia 5π , de la señal periódica del Punto 1.

Sección 4.4

8. Grafique el espectro de Fourier de la señal del Punto 5. 9. Utilizando Matlab, grafique el espectro de Fourier de la señal de salida del rectificador de media onda (Punto 3), para ello tome sólo los coeficientes cn con n ≤ 20 . Grafique la señal utilizando sólo estos coeficientes en la serie exponencial. 117

Series de Fourier


Sección 4.5

10. Utilizando el Teorema de Parseval para la serie exponencial, encuentre la potencia promedio de la señal periódica del Punto 5. 11. Aproxime la potencia promedio de la señal periódica del Punto 2 utilizando los coeficientes de la serie exponencial con n ≤ 10 . A qué porcentaje de la verdadera potencia promedio de la señal corresponde esta aproximación? 12. Que porcentaje de la potencia promedio de la señal periódica del Punto 2, se encuentra contenido en las componentes de la señal con frecuencia menor igual a 10π rad/s? 13. Suponga que un señal periódica tiene coeficientes de la serie exponencial de n Fourier dados por cn = 0.5 . Encuentre la potencia promedio de la señal.

Sección 4.6

14. Demuestre que si para x(t ) se tiene los coeficientes c n para la serie exponencial de Fourier entonces para x * (t ) se tienen los coeficientes c−* n . 15. Demuestre que si x(t ) es real entonces cn* = c−n . 16. Demuestre que si x(t ) real entonces Re{cn } es par y Im{cn } es impar

Sección 4.7

17. Usando la serie trigonométrica de Fourier represente la señal de salida de un rectificador de onda completa ( y(t ) en la Figura), si la entrada es x(t ) = sin(π t ) .

18. Usando la serie trigonométrica de Fourier, represente la siguiente señal periódica

118

Series de Fourier


19. Encuentre los coeficientes de la serie trigonométrica de la señal periódica del Punto 1. 20. Encuentre la serie trigonométrica de Fourier de la señal periódica del Punto 2. 21. Encuentre la serie trigonométrica de Fourier de la señal del Punto 5.

Sección 4.8

22. Represente la señal (t ) = sin(2t ) + cos( 4t ) + 2 sin( −8t ) como una serie exponencial de Fourier. Identifique los coeficientes cn y a partir de ellos obtenga los coeficientes de la serie trigonométrica. 23. Represente la señal (t ) = sin 2 ( 2t ) − cos( 3t ) + cos(t ) como una serie trigonométrica de Fourier, identifique los coeficientes y a partir de ellos obtenga los coeficientes de la serie exponencial.

Sección 4.10

24. Utilizando el Teorema de Parseval para la serie trigonométrica, encuentre la potencia promedio de la señal periódica del Punto 5. 25. Aproxime la potencia promedio de la señal periódica del Punto 2 utilizando los coeficientes de la serie trigonométrica con n ≤ 10 . A qué porcentaje de la verdadera potencia promedio de la señal corresponde esta aproximación?

119

Series de Fourier


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120

5 TRANSFORMADA DE FOURIER 5.1. Deducción de la transformada de Fourier L1

Hasta este punto hemos podido representar una señal (t ) sobre un intervalo de longitud finita [t1 , t 2 ] , utilizando la serie exponencial de Fourier, mediante (t ) =

∞

∑ce

n =−∞

jnΩ0t

t1 < t < t2

n

donde las funciones {e jnΩ t } forman una base ortogonal en [t1 , t 2 ] y los coeficientes cn pueden ser encontrados de acuerdo a 0

cn =

1 t 2 − t1

t 2

∫ t 1

x(t )e

− jn Ω 0 t

dt ,

Ω0 =

2π t 2 − t1

En este caso la serie converge a la señal x(t ) en el intervalo [t1 , t 2 ] (en los puntos de discontinuad de x(t ) converge al promedio de la discontinuidad). Sin embargo, por fuera de este intervalo, la serie no necesariamente converge a x(t ) . Si la señal x(t ) es periódica y el intervalo [t1 , t 2 ] se elige de longitud igual al periodo T de la señal, la serie converge a la señal para todos los instantes de tiempo. 5.1.1. Representación de señales no periódicas Suponga que se quiere representar una señal no periódica x(t ) como una suma de exponenciales complejos en el intervalo ( −∞, ∞) . En este caso no se puede utilizar de forma directa la serie exponencial de Fourier, pues t2 − t 1 = ∞ y Ω0 = 0 . Sin perdida de generalidad suponga que la señal x(t ) tiene soporte compacto. Generamos a partir de x(t ) una señal periódica xT (t ) , la cual es forzada a repetirse, de forma simétrica con respecto al origen, cada intervalo de tiempo T .

Figura 5.1. Señal no periódica.


Transformada de Fourier

Figura 5.2. Señal periódica.

La señal original (t ) puede recuperarse a partir de la señal periódica haciendo lim xT = x(t ) T →∞

Cuando el periodo T tiende a infinito, los vecinos de la señal original se desplazan al infinito y se obtiene la señal no periódica x(t ) . La señal xT (t ) , por ser periódica, tiene serie exponencial de Fourier dada por ∞

xT (t ) =

∑ c e n =−∞

jnΩ0t

n

donde cn =

1 T

T / 2

∫

xT (t )e

− jnΩ0t

dt ,

− T / 2

Para una señal periódica

T

Ω0 =

2π T

(t ) en particular, se tiene su espectro de Fourier.

Figura 5.3. Espectro de Fourier de una señal periódica.

Definamos las funciones Ω n = nΩ0 y X (Ω n ) = Tcn , entonces la serie de Fourier de la señal periódica xT (t ) puede reescribirse como 122



T

(t ) =

X ( Ω n )

∞

∑

T

n =−∞

j Ω nt

e

donde T / 2

X ( Ω n ) =

∫

xT ( t )e

− jΩ nt

dt

−T / 2

Sea ∆Ω el espaciamiento entre las componentes de frecuencia presentes en la señal xT (t ) . El espaciamiento ∆Ω es igual a la frecuencia fundamental Ω 0 , pues las componentes de frecuencia presentes en la señal periódica son de la forma nΩ0 . Por tal motivo, ∆Ω = 2π / T y reemplazando en la serie exponencial, se tiene ∞

xT (t ) =

X ( Ω n )

∑ 2π / ∆Ω e

jΩ n t

n =−∞

=

1

∞

∑ X ( Ω )e 2π

jΩ n t

n

n =−∞

∆Ω

Al hacer T muy grande, ∆Ω se hace muy pequeño y el espectro de Fourier de la señal xT (t ) se vuelve más denso, como se ilustra en la Figura 5.4.

Figura 5.4. Espectro de Fourier de la señal periódica para T grande.

En el límite cuando T → ∞ , la señal xT (t ) llega a ser la señal x(t ) , por lo cual x(t ) = lim xT (t ) = lim T →∞

T →∞

1

∞

∑

2π n=−−∞

jΩ nt

X ( Ωn ) e

∆Ω

En el limite cuando T → ∞ el espaciamiento entre frecuencias ∆Ω → 0 y las componentes discretas del espectro de Fourier se unen y forman un continuo. Por tal motivo la variable discreta Ω n llega a ser la variable continua Ω y la suma discreta, con diferencial ∆Ω , llegar a ser una suma continua (integral) de la forma

123



x(t ) =

∞

1

X ( Ω )e 2π ∫

j Ωt

d Ω

−∞

donde ∞

∫ x(t )e

X ( Ω ) =

− jΩt

dt

−∞

De esta forma pudimos representar nuestra señal x(t ) para todos los valores del tiempo. La señal X ( Ω) se conoce como la transformada de Fourier L1 de (t ) .

5.2. Transformada de Fourier L1

Sea x(t ) ∈ L1 , entonces su transformada de Fourier puede ser encontrada como ∞

ℑ{ (t )} = X ( Ω) =

∫ x(t)e

− jΩt

dt

−∞ ∞

donde ℑ{⋅} = ∫ ⋅ e− jΩt dt , es el operador que calcula la transformada de Fourier. −∞

Si la transformada de Fourier X (Ω) de una señal pertenece a L1 entonces la señal puede expresarse como una suma continua de exponenciales complejos de la forma −1

ℑ { X ( Ω)} = x(t ) =

1

∞

X ( Ω) e 2π ∫

j Ωt

d Ω

−∞

Esta ecuación se conoce como la transformada inversa de Fourier L1 y permite recuperar una señal a partir de su transformada. El operador ℑ−1{⋅} =

1 2π

∫

∞

−∞

⋅ e jΩt dt , calcula la transformada inversa de Fourier de una

transformada X ( Ω) que pertenece a L1 . Observación 5.1. Las integrales anteriores permiten encontrar la transformada y la transformada inversa de Fourier, respectivamente, de señales en L1 . Las integrales anteriores no necesariamente convergen para señales que no pertenecen a L1 .

Ejemplo 5.1. Encuentre la TF de la señal x( t ) = e

− at

+ u( t ) , donde a ∈ R .

124



t < 0

⎧ 0

x(t ) = ⎨

⎩e

− at

t > 0

Solución. Primero se debe verificar que la señal pertenece a L1 . ∞

(t ) 1 =

∫

∞

∫

x( t ) dt = e− at dt =

−∞

0

e− at a

0

= ∞

1

1

⎡⎣1 − e−∞ ⎤⎦ = ∈ R ⇒ x( t) ∈ L1 a a

La señal pertenece a L1 , entonces su transformada de Fourier es encontrada como ∞

X ( Ω) =

∫ x( t ) e

∞ − jΩt

∫

∞ − at − jΩt

dt = e

−∞

0

e

∫

− t ( a + jΩ )

dt = e 0

dt =

− t ( a + jΩ ) 0

a + jΩ ∞

=

1 a + jΩ

Figura 5.5. Transformada de Fourier de la señal: grafico complejo y magnitud.

Ejemplo 5.2. Encuentre la transformada de Fourier de un pulso de ancho 2 a , donde

a ∈ R + , centrado en el origen.

⎧1 − a < t < a

x(t ) = ⎨

⎩0

otro caso

125



Solución. Primero se debe verificar que la señal pertenece a L1 . ∞

a

∫

x(t ) 1 =

x( t ) dt =

−∞

∫ dt = 2a ∈ R

⇒

x( t ) ∈ L1

−a

La señal pertenece a L1 , entonces su transformada de Fourier es encontrada como ∞

a

∫

X ( Ω ) =

x( t )e

− jΩt

dt =

−∞

X ( Ω ) = X ( Ω ) =

∫

− jΩ t

e

dt =

−a

2

eΩ ( 2 jΩ

j a

− e − j Ωa ) =

2a sin( Ωa ) aΩ

2

Ω

e− jΩt jΩ

−a

1

eΩ ( jΩ

= a

j a

− e− jΩa )

[sin( Ωa)]

= 2a sinc( Ωa)

Figura 5.6. Transformada de Fourier de la señal.

La señal sinc(t ) se define como el seno sobre su argumento, es decir sinc(t ) =

sin(t )

t

La señal sinc(t ) presenta su máximo para t = 0 y posteriormente cae oscilando a medida que la magnitud del tiempo aumenta. La frecuencia de oscilación de la señal sinc(t ) , puede variarse modificando su argumento, de la forma sinc( at ) . En este caso, la señal corta el eje horizontal en los valores del tiempo dados por t = ( nπ / a ) , donde n ∈ Z* . El máximo de la señal sinc( at ) está dado como lim sinc( at ) = lim t →0

t →0

sin( at )

at

= lim t → 0

a cos( at ) a

=1

126



Ejemplo 5.3. Encuentre la transformada inversa de Fourier de la señal

X (Ω) = Ω [u (Ω + 3) − u (Ω − 3)]

Solución. Encontremos primero la norma L1 de X (Ω) ∞

X ( Ω) 1 =

∫

3

X (Ω) d Ω =

−∞

3

∫ Ω d Ω = 2∫ ΩdΩ = 9

−3

⇒

X ( Ω) ∈ L1

0

La transformada inversa de Fourier de X (Ω ) puede ser encontrada como

x(t ) =

x(t ) =

1 2π

∞

∫ X ( Ω)e

j Ωt

dΩ =

−∞

1 ⎛ Ωe jΩt

⎜ 2π ⎜ jt ⎝ 1 ⎡3

3

3

−∫ −3

−3

3

1

∫ Ωe

2π −3

d Ω

du = d Ω ⎧ u=Ω ⎪ Ω e j t ⎨ jΩt v= ⎪dv = e jt ⎩

3 ⎞ 1 ⎡1 e j 3t ⎤ − j 3t j 3t ⎢ ( 3e + 3e ) + 2 ⎥ dΩ ⎟ = ⎟ 2π ⎢ jt jt t −3 ⎥ ⎠ ⎣ ⎦

e j Ωt

+ e − j 3t ) +

1

x(t ) =

⎢ (e 2π ⎣ jt

x(t ) =

j ⎡ 1 3 ⎤ sin( ) cos( ) 3 t 3 t − 2 ⎥ π ⎢⎣ t t ⎦

j 3t

jΩ t

t

2

(e

j 3t

⎤ 1⎡3 ⎤ j − e− j3 t ) ⎥ = ⎢ cos(3t) + 2 sin(3t ) ⎥ t ⎦ π ⎣ jt ⎦

5.2.1. Interpretación de la Transformada de Fourier L1 La magnitud de X ( Ω) indica que componentes de frecuencia, de la forma e jΩt , se encuentran presentes en la señal x(t ) y en que proporción. Para cada valor de Ω , la señal X ( Ω) contiene la información resultante de la comparación entre señal (t ) y un exponencial complejo de frecuencia Ω , como se ilustra en la Figura 5.7. La línea 127



continúa corresponde a la señal (t ) y la línea punteada a la parte real del exponencial complejo de frecuencia Ω .

Figura 5.7. Comparación de la señal x(t ) y la parte real del exponencial complejo.

Si en algún intervalo de tiempo la señal (t ) y el exponencial complejo e− jΩt oscilan con la misma frecuencia, entonces tienen una fase mutua constante, y hacen una contribución no nula a X ( Ω) . Por tal motivo, para un valor dado de Ω , X ( Ω) indica “que tanto” de esa frecuencia se encuentra presente en la señal. Dado que X ( Ω) se define para todo valor real de Ω , podemos conocer que frecuencias se encuentra presentes en la señal bajo análisis. Por otro lado, conociendo la participación de cada frecuencia podemos expresar la señal x(t ) , como una suma de componentes frecuenciales de la forma x(t ) =

1

∞

X (Ω) e 2π ∫

j Ωt

d Ω

−∞

donde X ( Ω) pondera el aporte del exponencial de frecuencia Ω a la señal.

5.2.2. Convergencia de la Transformada de Fourier L1 En la definición de la transformada y la transformada inversa de Fourier L1 , se indicó que su utilización se restringe a señales que pertenecen al conjunto L1 . A continuación revisaremos el por qué de esta restricción. Propiedad 5.1. Si x(t ) ∈ L1 entonces la integral de la transformada de Fourier L1

converge para cualquier valor de Ω .

128



Demostración. ∞

X ( Ω) =

∞

∫ x(t )e

− jΩt

dt ≤

−∞

∞

∫ x( t)e

− jΩ t

dt ≤

−∞

∫

∞ − jΩ t

dt =

x( t) e

−∞

∫

x( t) dt = x( t )

−∞

1

Para todo valor de Ω se cumple que X (Ω ) ≤ x(t ) 1 . Por tal motivo, la magnitud de la ■

transformada de Fourier está acotada por la norma L1 de la señal.

Propiedad 5.2. Si X (Ω) ∈ L1 entonces la integral de la transformada inversa de Fourier

L1 converge para cualquier valor de t . Demostración.

x(t ) =

1 2π

∞

∫ X ( Ω)e

j Ωt

dΩ ≤

−∞

1 2π

∞

∫

X ( Ω) e

jΩt

dΩ =

−∞

Para todo valor de t se cumple que x(t ) ≤

1 2π

∞

∫

X ( Ω) d Ω =

−∞

1 2π

X ( Ω)

1

X ( Ω) 1 .

1 2π

■

Queda demostrado así que las integrales de Fourier pueden ser utilizadas para señales en L1 con certeza absoluta de su convergencia. Observación 5.2. Si (t ) ≠ L1 entonces x(t )

= ∞ y la desigualdad X (Ω ) ≤

(t ) 1 no tiene sentido. Por tal motivo, no se puede garantizar que las integrales de Fourier convergen para señales no pertenecientes a L1 . 1

5.2.3. Propiedades de la transformada de Fourier L1 El conocimiento de las propiedades de la transformada de Fourier permite obtener información importante en el análisis de una señal. En primer lugar, se puede observar como se comportan las propiedades frecuenciales ante diferentes modificaciones temporales sobre la señal original. En segundo lugar, se puede calcular de forma más sencilla la transformada de Fourier de señales que corresponden a la modificación de una señal cuya transformada ya es conocida. Finalmente, las propiedades permiten relacionar la información en tiempo y frecuencia de una señal. 5.2.3.1.

Linealidad: Superposición y homogeneidad ∞

∞

ℑ{ax(t ) + by( t )} = ∫ [ ax( t) + by( t)]e

− jΩt

−∞

dt = a

∞

∫ x( t) e

−∞

− jΩ t

dt + b

∫

− Ω y( t) e j t dt

−∞

129



ℑ{ax (t ) + by( t )} = aℑ{ x( t)} + bℑ{ x( t)} = aX ( Ω) + bY( Ω) 5.2.3.2.

Complejo conjugado

⎡∞ ⎤ j Ωt − jΩt * * ℑ{ x (t )} = ∫ x (t )e dt = ∫ ⎡⎣ x( t ) e ⎤⎦ dt = ⎢ ∫ x( t) e jΩt dt ⎥ −∞ −∞ ⎣−∞ ⎦ ∞

∞

*

*

*

⎡∞ ⎤ * ℑ{ x (t )} = ⎢ ∫ x( t )e− j ( −Ω )t dt ⎥ = X * ( −Ω) ⎣ −∞ ⎦ Observación 5.3. La magnitud de la transformada de una función real es par, pues (t ) = x* (t ) y por ende ℑ{ * (t )} = ℑ{ x(t )} y X ( −Ω ) = X ( Ω) .

5.2.3.3.

Simetría

La transformada de Fourier puede expresarse como ∞

X ( Ω ) =

∞

∫ x(t ) cos(Ωt) dt − j ∫ x( t)sin( Ωt) dt −∞

−∞

Supongamos que (t ) es real, entonces ∞

∫ x(t )cos(Ωt )dt

Re{ X (Ω )} =

−∞

∞

∫ x(t ) sin( Ωt) dt

Im{ X ( Ω)} = −

−∞



Re{ X (Ω)} es par ∞

Re{ X (Ω)} =

∞

∫ x(t )cos(Ωt )dt = ∫ x(t) cos( −Ωt) dt = Re{ X ( −Ω)}

−∞



−∞

Im{ X ( Ω)} es impar ∞

Im{ X ( Ω)} = −

∫ x(t ) sin( Ωt) dt = ∫ x( t) sin( −Ωt) dt = −Im{ X ( −Ω)}

−∞



∞

−∞

X (Ω ) es par

130



X ( Ω ) = Re{ X (Ω)}2 + Im{ X (−Ω)}2

Las funciones Re{ X (Ω )}2 y Im{ X ( Ω)}2 son pares, la suma de señales pares es par y la raíz cuadrada de una señal par es par. 

∠ X ( Ω) es impar

⎛ Im { x( −Ω)} ⎞ ⎛ − Im { x( Ω)} ⎞ ∠ X ( −Ω) = tan −1 ⎜ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎜ Re { x( −Ω )} ⎟ ⎜ Re { x(Ω)} ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ Im { x( Ω)} ⎞ ∠ X ( −Ω) = − tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟ = −∠ X ( Ω) Re ( ) Ω x { } ⎝ ⎠ 

Si (t ) es par entonces ∞

∞

x(t )cos( Ωt ) dt = 2 ∫ x( t )cos( Ω t ) dt ∫ 14243

Re{ X (Ω )} =

−∞

par

0

∞

x( t ) sin( Ωt ) dt = 0 ∫ 14243

Im{ X ( Ω)} = −

−∞

impar

En este caso la transformada es un señal real y puede encontrase como ∞

∫

X ( Ω) = 2 x( t )cos( Ωt ) dt 0



Si (t ) es impar entonces ∞

Re{ X (Ω )} =

x(t )cos( Ωt ) dt = 0 ∫ 14243

−∞

impar

∞

Im{ X ( Ω)} = −

∞

x( t )sin( Ωt) dt = −2 ∫ x( t)sin( Ωt) dt ∫ 14243

−∞

par

0

En este caso la transformada es un señal imaginaria y puede encontrase como ∞

∫

X ( Ω) = −2 j x( t )sin( Ωt )dt 0

131



5.2.3.4.

Dualidad

Si la transformada de Fourier de una señal en el tiempo (t ) es la señal X ( Ω) , entonces la transformada de la señal en el tiempo X (t ) es la señal 2π x( −Ω) . { x(t )} = X (Ω ) , entonces Suponga que ℑ x(t ) =

1

∞

X ( Ω) e 2π ∫

j Ωt

d Ω

−∞

Ahora, intercambiando las variables Ω y t se tiene x( Ω) =

∞

1

X (t )e 2π ∫

j Ωt

dt

−∞

Reemplazando Ω por −Ω , está ecuación puede reescribirse como ∞

2π x( −Ω ) =

∫ X ( t )e

− jΩt

dt

−∞

El lado derecho de esta ecuación corresponde a la transformada de Fourier de la señal X (t ) , por tal motivo,

ℑ{ X (t )} = 2π x(−Ω )

Figura 5.8. La transformada de un pulso es una señal sinc.

Figura 5.9. La transformada de una señal sinc es un pulso.

132



Esta propiedad es de gran utilidad para encontrar la transformada de Fourier de señales que no pertenecen a L1 , como veremos más adelante. Ejemplo 5.4. Encuentre la transformada de Fourier de la señal x(t ) = 1 /( 2 + jΩ) .

Solución. Conociendo que ℑ{e

−2 t

u(t )} = 1/( 2 + jΩ) y utilizando la propiedad de

dualidad para (t ) = e −2t u(t ) y X (Ω) = 1 /( 2 + jΩ) , se tiene que

ℑ{1 /( 2 + jΩ)} = 2π x( −Ω) = 2π e2Ω u( −Ω) 5.2.3.5.

Escalamiento

La compresión o expansión de una señal afecta su transformada de Fourier de forma inversa. Una señal que se comprime sufre una expansión de su transformada de Fourier, es decir presenta componentes de frecuencia más altos. Por otro lado, una señal que es expandida sufre una compresión de su transformada de Fourier y por lo tanto una compresión de las frecuencias presentes en la señal.

Original

Compresión

Expansión

Figura 5.10. Expansión y compresión de una señal

Consideremos la transformada de Fourier de un señal escalada ∞

ℑ{ x( at )} =

⎧u = at − Ω x( at ) e j t dt ⎨ ⎩du = adt −∞

∫

⎛u⎞ ⎧ 1∞ − jΩ⎜ ⎟ ⎪ ∫ x(u )e ⎝ a ⎠ si a > 0 ⎪ a ℑ{ x( at )} = ⎨ −∞ ⎛u⎞ −∞ − jΩ ⎜ ⎟ ⎪1 ⎝a⎠ du si a < 0 ⎪ a ∫ x(u )e ⎩ ∞

133



⎧ 1 ⎛Ω⎞ ⎪ a X ⎜ a ⎟ si a > 0 ⎪ ⎝ ⎠ ℑ{ x( at )} = ⎨ ⎪− 1 X ⎛ Ω ⎞ si a < 0 ⎪⎩ a ⎜⎝ a ⎟⎠ Por tal motivo,

ℑ{ x( at )} =

1 a

⎛Ω⎞ ⎟ ⎝a⎠

X ⎜

En las Figuras 5.11 y 5.12 se ilustra el efecto del escalamiento de un pulso centrado en el origen y ancho 2a . Si el pulso se comprime, su transformada de Fourier (señal sinc) se ensancha, lo que indica que la señal comprimida presenta frecuencias más altas que la señal original. Si el pulso se expande, su transformada se comprime, lo que indica que la señal expandida presenta frecuencias más bajas que la señal original.

Figura 5.11. Comprensión en tiempo expansión en frecuencia.

Figura 5.12. Expansión en tiempo compresión en frecuencia.

Ejemplo 5.5. La transformada de Fourier de una señal x(t ) es X ( Ω) = 1/(1 + Ω ) . 2

Encuentre la transformada de Fourier de la señal x( −t / 2) . Solución. Utilizando la propiedad de escalamiento se tiene que ℑ{ x( −t / 2)} = 2 X ( 2Ω)

y por lo tanto ℑ{ x( −t / 2)} = 2 / (1 + 4Ω2 ) .

134



5.2.3.6.

Desplazamiento temporal

Si una señal se retraza en el tiempo en t 0 , la magnitud de su transformada no se altera y a cada componente de frecuencia se le agrega una fase negativa de valor −Ωt 0 .

Figura 5.13. Desplazamiento temporal de una señal.

Consideremos la transformada de Fourier de una señal desplazada

⎧u = t − t 0 − Ω x( t − t0 )e j t dt ⎨ ⎩du = dt −∞ ∞

ℑ{ x(t − t0 )} =

∫

∞

ℑ{ x(t − t0 )} =

∫

x( u) e

− jΩ ( u + t 0 )

du

−∞ ∞

ℑ{ x(t − t0 )} = e

− jΩt 0

∫ x( u)e

− jΩu

du

−∞

Por tal motivo,

ℑ{ x(t − t0 )} = X ( Ω)e− jΩt

0

Observación 5.4. ℑ{ x( t − t0 )} = X (Ω )e

5.2.3.7.

− jΩt 0

= X (Ω) = ℑ{ x( t )}

Desplazamiento en Frecuencia (Modulación de amplitud)

Cuando una señal x(t ) es multiplicada en el tiempo por un exponencial complejo de frecuencia Ω0 , su transformada de Fourier X (Ω ) se desplaza hasta Ω0 . Consideremos la TF de una señal multiplicada por un exponencial complejo ∞

ℑ{ x(t )e

j Ω0 t

} = ∫ x( t)e

jΩ 0t − jΩt

e

dt

−∞

135



∞

ℑ{ (t )e

} = ∫ x(t )e

j Ω0 t

− j ( Ω −Ω0 ) t

dt

−∞

Por tal motivo,

ℑ{ x(t )e jΩ t } = X ( Ω − Ω0 ) 0

En Figuras 5.14 y 5.15 se ilustra el efecto de multiplicar un pulso centrado en el origen y ancho 2a , por un exponencial complejo de frecuencia Ω0 .

Figura 5.14. Señal pulso multiplicada por un exponencial complejo.

Figura 5.15. Desplazamiento de la señal sinc hasta la frecuencia Ω 0 .

Ejemplo 5.6. El proceso de modificar la amplitud de una señal armónica de alta frecuencia se conoce como modulación de amplitud .

Figura 5.16. Modulación de amplitud.

136



La amplitud de la señal (t ) modifica (modula) la amplitud de la señal cos(Ω 0 )t de forma tal que la información de la señal x(t ) , que estaba contenida en componentes de frecuencia bajas, ahora está contenida en una señal de alta frecuencia. Analicemos el efecto de multiplicar una señal arbitraria por la señal cos(Ω 0 )t . 1

1

ℑ{ x(t )cos( Ω0t )} = ℑ{ x(t )e jΩ t } + ℑ{ x( t ) e− jΩ t } 0

2

ℑ{ x(t ) cos( Ω0t )} =

1 2

0

2

X ( Ω − Ω0 ) +

1 2

X ( Ω + Ω0 )

Al multiplicar la señal por el cos(Ω 0t ) , la mitad de de su transformada de Fourier − X ( Ω) se traslada hasta −Ω 0 y la otra mitad hasta Ω0 . Suponga que x(t ) = e t u( t ) , entonces X (Ω) = 1 /(1 + jΩ) . Si modulamos la señal con el cos(10t ) se tiene que

⎞ 1⎛ 1 1 ℑ{e −t u(t )cos(10t )} = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ 1 + j ( Ω − Ω0 ) 1 + j (Ω + Ω0 ) ⎠ En las Figuras 5.17 y 5.18 se ilustra el efecto de la modulación sobre la señal original.

Figura 5.17. Señal original y la magnitud de su transformada de Fourier.

Figura 5.18. Señal modulada y la magnitud de su transformada de Fourier.

137



5.2.3.8.

Diferenciación

Si conocemos la transformada de una señal (t ) ∈ L1 podemos encontrar la transformada de d (t ) / dt ∈ L1 , y en general la de cualquiera de sus derivadas. Si X (Ω) pertenece a L1 , entonces x(t ) =

∞

1

X ( Ω)e 2π ∫

j Ωt

d Ω

−∞

Derivando a ambos lados de la igualdad con respecto a t se tiene d x(t ) dt

=

1

∞

jΩX ( Ω)e 2π ∫

j Ωt

− d Ω = ℑ 1{ jΩX ( Ω)}

−∞

Por tal motivo, si transformamos ambos lados de la igualdad obtenemos

⎧ d x(t ) ⎫ ℑ⎨ ⎬ = jΩX ( Ω) ⎩ dt ⎭ Similarmente, se puede demostrar que para una derivada de orden superior se cumple

⎧ d n x(t ) ⎫ ℑ ⎨ n ⎬ = ( jΩ)n X ( Ω) ⎩ d t ⎭ Ejemplo 5.7. Suponga que la transformada de Fourier de cierta señal x(t ) es la función X ( Ω) = 1/(1 + Ω2 ) . Encuentre la transformada de Fourier de la señal d 2 (t ) / dt 2 .

⎧ d 2 x(t ) ⎫ Ω2 2 = ( jΩ) X ( Ω) = − Solución. ℑ ⎨ 2 ⎬ d t 1 + Ω2 ⎩ ⎭ 5.2.3.9.

Propiedades derivadas de la integrabilidad en magnitud

La siguientes propiedades se basan en el hecho de que la señal (t ) pertenece a L1 . 

Si x(t ) ∈ L1 entonces X (Ω) es acotada, pues se puede demostrar que ∞

X (Ω ) ≤

∫ −∞

∞

x( t ) e

− jΩt

dt =

∫ −∞

x( t ) dt = x( t )

1

138



De forma similar si X (Ω) ∈ L1 , entonces x(t ) es acotada, pues x(t ) ≤



1 2π

∞

∫

j Ωt

X ( Ω )e

dΩ =

−∞

1 2π

∞

∫

X ( Ω) d Ω =

−∞

1 2π

X ( Ω)

1

Continuidad

Si X (Ω) ∈ L1 entonces X (Ω) es una señal continua. Una función f ( x) es continua si lim f ( x + h) − f ( x) = 0

∀x ∈ R

h→0

Para la transformada de Fourier se tiene que ∞

X ( Ω + h) − X ( Ω) =

∞

∫ x( t) e

− j ( Ω+ h )t

dt −

−∞ ∞

X ( Ω + h) − X ( Ω) =

∫ x( t) e

− jΩt

dt

−∞

∫ x( t) e

− jΩt

⎡⎣ e− jht − 1⎤⎦ dt

−∞

Se debe demostrar que el lim [ X ( Ω + h) − X ( Ω)] = 0 . Sea { hn } una sucesión que h →0

tiende a cero a medida que n → ∞ , entonces basta comprobar que el lim [ X ( Ω + hn ) − X ( Ω) ] = 0 . Para ello se tiene que n →∞

∞

lim [ X (Ω + hn ) − X ( Ω) ] = lim n →∞

n→∞

∫ x( t) e

− jΩt

−∞

⎡⎣ e− jh t − 1⎤⎦ dt n

La señal x(t )e− jΩt [ e− jht − 1] pertenece a L1 , entonces utilizando el Teorema de la convergencia dominada de Cauchy se puede intercambiar el orden entre la integral y el límite, para lo cual se tiene que ∞

lim [ X (Ω + hn ) − X ( Ω) ] = n →∞

∫ lim x( t) e

− jΩt

−∞

n→∞

⎡⎣ e− jh t − 1⎤⎦ dt = 0 n

■

Observación 5.5. Toda señal en L1 debe tener transformada de Fourier continua. Por tal motivo, la señal sinc(t ) no pertenece a L1 , pues su transformada de Fourier es una señal pulso, la cual no es una señal continua (presenta discontinuidades).

139





Teorema de Riemann‐Lebesgue

Si x(t ) ∈ L1 entonces su TF tiende a cero a medida que Ω crece, es decir, lim X ( Ω) = lim X ( Ω) = 0 Ω→∞

Ω→−∞

Si una señal x(t ) se retrasa en el tiempo un valor t 0 , su transformada de Fourier X (Ω) presenta una fase adicional de valor −Ωt 0 . Si a la transformada se le resta una fase de valor π , entonces la señal x(t ) se retrasó en el tiempo π / Ω . Por tal motivo, ∞

− X (Ω) = X ( Ω)e

− jπ

=

∫ x( t − π / Ω)e

− jΩt

dt

−∞

De acuerdo a esta ecuación, se puede escribir ∞

2 X ( Ω) =

∞

∫ x( t ) e

− jΩt

−∞

dt −

∞

∫ x( t − π / Ω) e

− jΩ t

dt =

14 4244 3 −∞ 144424443 X ( Ω )

∫ [ x( t) − x( t − π / Ω) ] e

− jΩ t

dt

−∞

− X ( Ω )

y por tal motivo, ∞

X ( Ω ) = 0.5

∫ [ x(t ) − x( t − π / Ω)] e

− jΩt

dt

−∞ ∞

X (Ω ) ≤ 0.5

∫

x( t ) − x( t − π / Ω) dt

−∞

Se puede demostrar que si (t ) ∈ L1 entonces ∞

lim δ → 0

∫ g (t + δ ) − g(t ) dt = 0

−∞

por lo cual ∞

lim

Ω→±∞

∫ x(t ) − x( t − π / Ω) dt = 0 −∞

y por ende si Ω → ± ∞ entonces X ( Ω) = 0 . Observación 5.6. Ninguna señal en L1 puede tener como transformada de Fourier una señal constante.

140



5.3. Propiedad de convolución para la TF

La convolución entre dos señales es x(t ) y y (t ) se define como ∞

[ x(t ) ∗ y (t )](t ) =

∫ x(t − τ ) y(τ )d τ

−∞

Sea X (Ω) = ℑ{ x(t )} y Y (Ω) = ℑ{ y (t )} , entonces

⎡∞ ⎤ ℑ{ x(t ) ∗ y( t )} = ∫ ⎢ ∫ x( t − τ ) y(τ ) dτ ⎥ e− jΩt dt −∞ ⎣ −∞ ⎦ ∞

Cambiando el orden de integración se tiene ∞ ⎡∞ ⎤ ⎡∞ ⎤ − jΩt ℑ{ x(t ) ∗ y( t )} = ∫ ⎢ ∫ x( t − τ ) y(τ ) e dt ⎥ dτ = ∫ y(τ ) ⎢ ∫ x( t − τ ) e− jΩt dt⎥ d τ −∞ ⎣ −∞ −∞ ⎦ ⎣−∞ ⎦ ∞

Como ℑ{ x(t − τ )} = X ( Ω) e− jΩτ , entonces ∞

ℑ{ x(t ) ∗ y (t )} =

∞

∫ y(τ ) X ( Ω) e

− jΩτ

−∞

∫ y(τ ) e

− jΩτ

dτ = X ( Ω)

d τ

−∞

Por tal motivo

ℑ{ x(t ) ∗ y( t )} = X ( Ω)Y ( Ω) −1

x(t ) ∗ y( t ) = ℑ

{ X ( Ω)Y ( Ω)}

Observación 5.7. La convolución en el tiempo de dos señales implica la multiplicación de sus transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Ejemplo 5.8 . Encuentre la transformada de Fourier de la convolución x(t ) ∗ x (t ) ,

donde

Figura 5.19. Señal pulso de ancho 2a.

141



Solución. Utilizando al propiedad de convolución se tiene que

ℑ{ x(t ) ∗ x(t )} = X 2 ( Ω) a

X ( Ω ) =

∫

e

− jΩt

dt = 2 a sinc( aΩ)

−a

ℑ{ (t ) ∗ x(t )} = 4a 2 sinc 2 ( aΩ)

Figura 5.20. Transformada de la convolución de un par de pulsos.

Propiedad 5.3. Si las señales x(t ) y y(t ) pertenecen a L1 , entonces su convolución (t ) ∗ y(t ) también pertenece a L1 . ∞

∫ x(t ) ∗ y(t ) dt ∈ R

Demostración. A probar que

−∞

∞

∫

∞

(t ) ∗ y (t ) dt =

∞

∫ ∫ x( t − τ ) y(τ ) dτ dt

−∞

−∞ −∞

∞

∞ ∞

∫

(t ) ∗ y(t ) dt ≤

−∞

∫∫

x( t − τ ) y(τ ) dτ dt

−∞ −∞

Intercambiando el orden de integración se tiene ∞

∫

∞

(t ) ∗ y (t ) dt ≤

−∞

∫

∞

∫

y(τ )

−∞

x( t − τ ) dt dτ

−∞

14 4244 3 x ( t ) 1

∞

∫ −∞

∞

(t ) ∗ y(t ) dt ≤ x( t ) 1

∫

y(τ ) dτ

−∞

Por tal motivo (t ) ∗ y(t ) 1 ≤ x( t ) 1 y( t ) 1

■ 142



5.3.1. Respuesta de un sistema LTI utilizando la transformada de Fourier La convolución entre la señal de entrada y la respuesta al impulso del sistema puede ser realizada utilizando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de la salida del sistema LTI puede ser encontrada como

ℑ{ y(t )} = ℑ{ x( t ) ∗ h( t )} = X ( Ω) H ( Ω) donde X ( Ω) es la transformada de Fourier de la señal de entrada (t ) y H ( Ω) corresponde a la transformada de la respuesta al impulso del sistema h(t ) .

Fig. Respuesta de un sistema LTI con respuesta en frecuencia H (Ω).

La función H (Ω ) se conoce como respuesta en frecuencia del sistema, pues indica en que forma el sistema modifica las características frecuenciales de la señal de entrada. − t

Ejemplo 5.9. La señal x(t ) = e u( t ) es aplicada a un sistema LTI que tiene respuesta al

impulso h(t ) = sinc(t ) . Encuentre la transformada de Fourier de la salida. Solución. La transformada de Fourier de la señal de entrada es

X ( Ω) = ℑ{ x( t )} =

⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟− 1 + jΩ ⎝ 1 + Ω2 ⎠ 1

⎛ Ω ⎞ 2 ⎟ ⎝ 1+ Ω ⎠

j⎜

La respuesta en frecuencia del sistema LTI está dada por

⎧π −1 < Ω < 1 H ( Ω) = ℑ{ h(t )} = ⎨ ⎩ 0 otro caso

Figura 5.21. Magnitud de la transformada de Fourier de la señal y respuesta en frecuencia del sistema.

143



El sistema se comporta como un filtro que sólo lo deja pasar las frecuencias bajas, contenidas entre ‐0.5 y 0.5 radianes sobre segundo. La transformada de Fourier de la salida puede encontrarse como Y (Ω) = X ( Ω) H ( Ω) . La señal X ( Ω) es compleja, por lo cual la señal Y (Ω) también lo es. La señal H ( Ω) es real, por tal motivo su fase es cero y no altera la fase de X ( Ω) . De acuerdo a esto, la fase de Y ( Ω) viene dada por

⎛ Im{ X ( Ω)} ⎞ ∠Y ( Ω) = ∠X ( Ω) = arctan ⎜ ⎟ ⎝ Re{ X (Ω )} ⎠ ∠Y ( Ω) = − arctan ( Ω ) La magnitud de Y ( Ω) puede encontrarse como

⎧π X (Ω) Y ( Ω) = ⎨ ⎩ 0 ⎧ π ⎪ Y ( Ω) = ⎨ 1 + Ω 2 ⎪ 0 ⎩

−1 < Ω < 1 otro caso

−1 < Ω < 1 otro caso

Figura 5.22. Transformada de Fourier de la salida: magnitud y fase.

Una señal puede descomponerse como la suma continúa de exponenciales complejos de diferentes frecuencias, por tal motivo, la respuesta de un sistema LTI ante una señal puede verse actuando de forma separada sobre cada componente de frecuencia de la señal, atenuando, amplificando o dejando inalterada cada componente. Un sistema LTI puede ser diseñado para modificar las propiedades frecuenciales de una señal de entrada. Por ejemplo un sistema LTI que sólo deja pasar las componentes de baja frecuencia de una señal se conoce como un filtro pasa bajas.

144



5.3.2. Multiplicación de señales en el tiempo Cuando dos o mas señales se multiplican en el tiempo su características frecuenciales se modifican. El efecto que tiene una multiplicación en el tiempo es importante de analizar, pues este procedimiento es comúnmente utilizado en el análisis de señales. Propiedad 5.4. La multiplicación de dos señales en el tiempo implica la convolución de

sus transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia.

ℑ{ x(t ) y(t )} =

1 2π

[ X (Ω) ∗ Y ( Ω) ]

Demostración. ∞

ℑ{ x(t ) y(t )} = ∫ [ x( t ) y( t)]e− jΩt dt −∞

La señal y(t ) puede expresarse utilizando la formula de la transformada inversa, como

⎡ 1 ∞ ⎤ − j Ωt jτ t ( ) Y τ e d τ ℑ{ x(t ) y(t )} = ∫ x( t ) ⎢ ⎥ e dt ∫ 2 π −∞ ⎣ −∞ ⎦ ∞

Cambiando el orden de integración se tiene

⎡∞ − j ( Ω−τ )t ⎤ ( ) ( ) Y τ x t e dt ⎥ d τ ℑ{ x(t ) y(t )} = ∫ ⎣⎢−∞∫ 2π −∞ ⎦ 1

ℑ{ x(t ) y(t )} =

1 2π

∞

∞

∫ −∞

Y (τ ) X ( Ω − τ ) dτ =

1 2π

[Y ( Ω) ∗ X ( Ω) ]

■

Observación 5.8. La convolución en el tiempo implica multiplicación en frecuencia (producto de transformadas). Una multiplicación de dos señales implica convolución en la frecuencia (convolución de sus transformadas). Ejemplo 5.10. Suponga que se nos pide estudiar las componentes de frecuencia de una

señal de ECG (electrocardiografía) con el fin de monitorear la salud de un paciente. Para ello se emitirá un reporte de la actividad cardiaca del paciente cada dos segundos. Con el fin de obtener el fragmento que nos interesa, de longitud dos segundos, multiplicamos la señal x(t ) por una ventana v(t ) , con el fin de aislar el segmento a estudiar. El tipo de ventana elegida, determina la distorsión de la transformada de Fourier X ( Ω) . 145



Figura 5.23. Señal original de ECG y su transformada de Fourier (suposición).

Si elegimos como función una ventana rectangular (pulso), la transformada de Fourier de la señal de ECG se convoluciona con una señal sinc, en el dominio de la frecuencia.

Figura 5.24. Señal ventana rectangular y la señal de ECG ventaneada.

Si la ventana rectangular es ancha, su transformada es un sinc angosto y la distorsión sobre la transformada original es poca, Figura 5.25. En cambio, si la ventana rectangular es angosta, su transformada es una señal ancha y la transformada de Fourier de la señal original se ve distorsionada en mayor grado, Figura 5.26.

Figura 5.26. Transformada de la ventana rectangular ancha y su efecto en la transformada de la señal

de ECG.

Figura 5.26. Transformada de la ventana rectangular angosta y su efecto en la transformada de la señal

de ECG.

146



5.4. Teorema de Parseval para la transformada de Fourier

La energía de una señal se define como ∞

E =

∫

∞ 2

x( t ) dt =

−∞

∫ x(t) x ( t) dt *

−∞

Si x(t ) ∈ L2 entonces tiene energía finita. Supongamos que X (Ω) ∈ L1 , entonces utilizando la formula de la transformada inversa para x* (t ) podemos escribir

⎡ 1 ∞ * ⎤ − jΩt Ω Ω ( ) E = ∫ x( t ) ⎢ X e d ⎥ dt ∫ 2 π −∞ −∞ ⎣ ⎦ ∞

Intercambiamos el orden de integración, se tiene

⎡∞ − jΩt ⎤ Ω ( ) ( ) E = X x t e dt ⎥ d Ω ⎢∫ ∫ 2π −∞ ⎣ −∞ ⎦ 1

E =

1

∞

*

∞

X 2π ∫

*

( Ω) X ( Ω) d Ω

−∞

Por tal motivo al energía de la señal puede ser encontrada utilizando su transformada de Fourier X ( Ω) , de acuerdo a E =

1

∞

∫

2

2π −∞

X (Ω) d Ω

La norma L2 de la señal x(t ) es directamente proporcional a la norma L2 de su transformada X ( Ω) y esta relacionadas por la ecuación x(t )

2

=

1 2π

X ( Ω)

2

Observación 5.9. Si una señal pertenece a L2 entonces su transformada de Fourier también pertenece a L2 . Por tal motivo, la transformada de Fourier puede verse como una función de L2 a L2 . Por ejemplo, la transformada un pulso es la función sinc. Dado que el pulso pertenece a L2 entonces el sinc también pertenece a L2 .

La función X (Ω) 2 se conoce como densidad espectral de energía y da información de cómo está repartida la energía de la señal en las diferentes frecuencias. El área de la densidad espectral de energía en un intervalo dado nos indica la cantidad de energía de la señal que se encuentra en ese rango de frecuencias. 147



Observación 5.10. La energía de una señal puede ser encontrada en el domino del tiempo, utilizando x(t ) o en el de la frecuencia (Parseval), utilizando X ( Ω) . Ejemplo 5.11. Calcule la energía de la señal

− at (t ) = e u ( t ) , donde a > 0 , tanto en el

dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Solución.

Tiempo ∞

E =

∫

∞ 2

x(t ) dt =

−∞

0

∞

∫

E = e− a 2t dt = 0

E =

− at 2

∫ ( ) dt e

e− a 2t 2a

0

∞

1 2a

Frecuencia E =

1

∞

2π ∫

2

X ( Ω) d Ω

−∞

ℑ{ x(t )} = X ( Ω) = ∞

1 a + jΩ

⇒

a 2 + Ω2 ∞

⎛ Ω ⎞⎤ tan ⎜ ⎟ ⎥ E = d Ω = ⎢ 2 2 ∫ 2π −∞ a + Ω 2π ⎣ a ⎝ a ⎠ ⎦ −∞ 1

E =

1

1 ⎡1

1

X ( Ω) = −1

1 2a

Hasta este punto sólo podemos encontrar la transformada de Fourier de una señal en L1 . Por tal motivo, es necesario definir la transformada de Fourier para señales de energía finita (señales en L2 ) que no necesariamente pertenezcan a L1 .

5.5. Transformada de Fourier L2

El espacio L2 y su norma . 2 forman un espacio de Hilbert, es decir, un espacio normado completo con producto interno. Sean (t ) y y(t ) señales pertenecientes a L2 , entonces el producto interno en L2 se define como

148



x, y =

∫

∞

−∞

x( t ) y* ( t ) dt

La energía de una señal (t ) ∈ L2 , se relaciona con su producto interno, mediante E = x, x =

∫

∞

−∞

x( t ) x* ( t ) dt =

∫

∞

−∞

2

x( t) dt = x( t )

2 2

Si (t ) ∈ L1 ∩ L2 , su transformada de Fourier puede ser encontrada utilizando la integral de Fourier para señales en L1 . Sin embargo si x(t ) ∈ L2 ∩ L1 , la formula de la transformada de Fourier L1 no necesariamente converge. Definición 5.1. Un conjunto A es denso en un conjunto B , si para todo elemento b ∈ B , cualquier vecindario de b contiene por lo menos un elemento a ∈ A . Ejemplo 5.12. El conjunto de los números racionales es denso en los reales. Al abrir un

intervalo, sin importar que tan pequeño sea, sobre cualquier número real, siempre habrá por los menos un número racional dentro de este intervalo. Así, cualquier número real puede aproximarse tan bien como se quiera por un número racional. El espacio L1 ∩ L2 es denso en L2 , por lo cual cualquier señal de L2 puede ser aproximada tan bien como se quiera por una señal de L1 ∩ L2 . Recordemos que las señales en L1 ∩ L2 tiene transformada de Fourier L1 . Por tal motivo para (t ) ∈ L2 se puede encontrar una familia de señales { x N (t )} , donde N ∈ Z , que pertenecen a L1 ∩ L2 y que convergen en L2 a la señal x(t ) , es decir lim x( t ) − x N ( t )

N →∞

2

=0

Sea (t ) ∈ L2 y N ∈ Z + . Consideremos versiones truncadas de x(t ) , definidas como N

(t ) = x( t )[u( t + N ) − u( t − N )]

Figura 5.27. Señal original de energía finita y su versión truncada.

149



Para cada N ∈ Z + , la señal x N (t ) ∈ ( L1 ∩ L2 ) , por tal motivo su transformada de Fourier puede ser encontrada como X N ( Ω) =

N

∫

− N

x( t )e− jΩt dt

Teorema de Parseval (General). Sean f , g ∈ ( L1 ∩ L2 ) entonces la transformada de

Fourier preserva el producto interno, es decir, f (t ), g ( t ) =

1 2π

F ( Ω), g ( Ω)

Teorema de Plancherel (Caso particular). Sea x ∈ ( L1 ∩ L2 ) entonces

x(t )

2

=

1 2π

X (Ω)

2

De acuerdo al teorema de Plancherel, para cada N ∈ Z + la señal X N (Ω) ∈ L2 . Se puede demostrar que { x N (t )} es una sucesión de Cauchy en L2 , es decir, x N (t ) − xN ( t ) 2 es arbitrariamente pequeño si N 1 y N 2 son lo suficientemente grandes. Utilizando el teorema de Plancherel se tiene 1

2

x N1 (t ) − xN2 ( t )

= 2

X N1 ( Ω) − X N 2 ( Ω)

1 2π

2

por lo cual { X N (Ω)} es también una sucesión de Cauchy en L2 . Dado que L2 es un espacio completo, la sucesión { X N (Ω)} converge a un elemento del espacio L2 . Sea X (Ω ) ∈ L2 la señal tal que lim X ( Ω) − X N ( Ω)

N →∞

2

=0

entonces X ( Ω) es la transformada L2 de (t ) , definida como

X (Ω ) = lim

N →∞

N

∫

− N

x( t ) e− jΩt dt

De forma similar, la transformada inversa de Fourier L2 se define como

(t ) =

1 2π

lim

N →∞

N

∫

− N

X ( Ω)e jΩt d Ω

150



Ejemplo 5.13. Demuestre que la señal sinc(t ) es integrable, es decir N

lim

N →∞

∫ sinc(t ) dt = π

− N

∞

∫

Solución. A probar que

sin(t )

t

−∞

dt = π . ∞

La señal sinc(t ) es par, por tal motivo basta probar que

∫

sin(t )

0

t

dt =

π 2

. Definamos la

señal ∞

sin(t )

∫

G( x ) = e− tx

dt

t

0

entonces G '( x) =

dG ( x ) d x

∫

− tx

0

G '( x) =

= − ∫ e− tx sin( t ) dt 0

∞

G '( x) = − e

∞

∞ ⎡ e − e − jt ⎤ 1 − t ( x− j ) − e− t ( x+ j ) ⎤⎦ dt ⎢ 2 j ⎥ dt = − 2 j ∫ ⎡⎣ e ⎣ ⎦ 0 jt

1 ⎡ e−t ( x− j )

⎢

2 j ⎣ x − j

G '( x) = −

−

e− t ( x + j ) ⎤

∞

1 ⎛ 1 1 ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎥ x + j ⎦0 2 j ⎝ x + j x − j ⎠

1 x 2 +1

Integrando la señal G '( x) encontramos G( x ) , de acuerdo a G( x ) = −

∫ x

Tomando el límite

1 2

+1

dx = − arctan( x) + c

→ ∞ sobre las dos expresiones de G( x ) , se tiene

lim G( x) = lim [ − arctan( x) + c] = −

x →∞

x →∞

∞

∫

lim G( x) = lim e−

x →∞

x →∞

0

tx

sin(t )

t

π 2

+c

dt = 0

151



Por tal motivo, la constante de integración es c = π / 2 . Evaluando el límite x → 0

⎡ x→∞ ⎣

lim G( x) = lim ⎢ − arctan( x) +

x →∞

∞

∫

lim G( x) = lim e x → 0

x→ 0

0

− tx

sin(t )

t

π⎤

π

= 2 ⎥⎦ 2 ∞

dt =

∫

sin(t )

0

t

dt = π / 2

Por tal motivo, ∞

∫

−∞

sin(t )

t

dt = π

5.6. Transformadas de Fourier que implican funciones impulso

5.6.1. Transformada de Fourier de la función impulso Utilizando la propiedad de selección sobre la integral de Fourier L1 , se tiene ∞

ℑ{δ (t − t0 )} =

∫ δ (t − t )e 0

− jΩt

dt = e

− jΩt 0

−∞

Por tal motivo, la transformada de Fourier de un impulso ubicado en t 0 corresponde a un exponencial complejo en el domino de la frecuencia, de frecuencia −t 0 . Ejemplo 5.14. Encuentre la TF de la señal x(t ) = 3δ (t − 3) + 2δ (t ) − δ (t + 1) .

Solución.

ℑ{ x(t )} = 3ℑ{δ (t − 3)} + 2ℑ{δ (t )} − ℑ{δ ( t + 1)} ℑ{ x( t)} = 3e− j 3Ω + 2e− j 0Ω − e jΩ ℑ{ x( t)} = 2 − e jΩ + 3e− j 3Ω Observación 5.11. La función impulso no pertenece a L1 , pues su transformada de Fourier no tiende a cero a medida que Ω → ± ∞ .

5.6.2. Transformada de Fourier de un exponencial complejo Un exponencial complejo es una señal periódica, por tal motivo no pertenece a L1 y su transformada de Fourier no puede ser encontrada utilizando la integral para L1 . En la Sección 5.9.1 se encontró que la transformada de un impulso corresponde a un 152



exponencial complejo en el dominio de la frecuencia. De esta forma, utilizando la propiedad de dualidad se tiene que si ℑ{δ (t − t0 )} = e− jΩt , entonces 0

ℑ{e − jΩ t } = 2πδ ( −Ω − Ω0 ) = 2πδ (Ω + Ω0 ) 0

Por tal motivo

ℑ{ e j Ω t } = 2πδ ( Ω − Ω 0 ) 0

Figura 5.28. Señal exponencial complejo y su transformada de Fourier.

Observación 5.12. El exponencial complejo posee una única componente de frecuencia de valor Ω 0 . Ejempl o 5.15. Encuentre la transformada de Fourier de la señal x( t ) = cos(Ω 0t )

Solución.

⎧ e jΩ t + e− jΩ t ⎫ 1 − jΩ t j Ω t ℑ{ x(t )} = ℑ{cos(Ω 0 t )} = ℑ ⎨ } ⎬ = ℑ{e + e 2 2 ⎩ ⎭ 0

0

0

1

0

1

ℑ{ x(t )} = ⎡⎣ ℑ{ e jΩ t } + ℑ{ e− jΩ t }⎤⎦ = [ 2πδ ( Ω − Ω0 ) + 2πδ ( Ω + Ω0 )] 2 2 0

0

ℑ{ x(t )} = π [δ ( Ω − Ω0 ) + δ ( Ω + Ω0 )]

Figura 5.29. Transformada de Fourier de la señal cos(Ω0t).

153



Ejemplo 5.16. Encuentre la transformada de Fourier de la señal constante x( t ) = c .

Solución.

ℑ{c} = ℑ {ce j 0t } = cℑ{e j 0t } = 2π cδ (Ω)

Figura 5.30. Señal constante y su transformada de Fourier.

Observación 5.13. La información sobre el nivel DC de una señal se encuentra en la transformada de Fourier evaluada en Ω = 0 , es decir , X ( 0) .

La transformada del exponencial complejo es la clave para encontrar la transformada de Fourier de cualquier señal periódica. 5.6.3. Transformada de Fourier de señales periódicas Si x(t ) es una señal periódica, con periodo T , entonces (t ) ∉ L1 y la señal periódica puede expresarse por medio de una serie exponencial de Fourier, como ∞

x(t ) =

∑Ce

jnΩ0t

n

Ω0 =

,

2π

n =−∞

T

∞ ⎧ ∞ ⎫ ∞ ℑ{ x(t )} = ℑ ⎨ ∑ cn e jnΩ t ⎬ = ∑ ℑ{ cn e jnΩ t } = ∑ cn ℑ{ e jnΩ t } n =−∞ ⎩ n=−∞ ⎭ n=−∞ 0

ℑ{ x(t )} =

∞

∑ c ℑ{e

jnΩ0t

n

n =−∞

ℑ{ x(t )} = 2π

0

}=

0

∞

∑ c 2πδ (Ω − nΩ ) n

0

n =−∞

∞

∑ c δ (Ω − nΩ )

n =−∞

n

0

Por tal motivo, si se conocen los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de una señal periódica, su transformada de Fourier puede ser encontrada directamente, ubicando una función impulso en la frecuencia correspondiente al coeficiente cn , de peso 2π cn . Claramente, una señal periódica no pertenece a L1 , pues su transformada de Fourier esta formada por una serie de impulsos, por lo cual no es continua.

154



Observación 5.14. Todas las frecuencias presentes en una señal periódica son múltiplos de la frecuencia fundamental Ω0 . La transformada de Fourier de una señal periódica está formada por un conjunto de impulsos y no puede ser encontrada utilizando la ecuación de la transformada de Fourier L1 . Ejemplo 5.17 . Una señal periódica tiene los coeficientes cn que se muestran en la

Figura 5.31, encuentre la señal y su transformada de Fourier, si Ω0 = 3 .

Figura 5.31. Coeficientes de Fourier para la señal periódica.

Solución. El coeficiente cn se encuentra ubicado en la frecuencia nΩ 0 , por lo cual, los coeficientes son c−2 = 2 , c−1 = 4 , c0 = 4 , c1 = 4 y c2 = 2 . Conociendo que en la serie de Fourier el coeficiente cn acompaña al término e jn 3t , se tiene

(t ) = 4e

j 0t

+ 4e j 3t + 4e − j3t + 2e j 6 t + 2e − j6 t

(t ) = 4 + 2 cos( 3t ) + cos( 6t )

La transformada de Fourier puede encontrarse como

ℑ{ x(t )} = 4ℑ{e j 0t } + 4ℑ{e j 3t } + 4ℑ{ e− j 3t } + 2ℑ{ e j 6 t } + 2ℑ{ e− j 6 t } ℑ{ x( t )} = 4π [2δ ( Ω) + 2δ ( Ω − 3) + 2δ ( Ω + 3) + δ ( Ω − 6) + δ ( Ω + 6)]

Figura 5.32. Transformada de Fourier de la señal periódica.

155



5.7. Aplicaciones de la transformada de Fourier

5.7.1. Estimación espectral La transformada de Fourier de una señal nos da información de sus componentes frecuenciales. La función X (Ω) o espectro de Fourier, nos indica que componentes de frecuencia están presentes en la señal x(t ) y en que proporción. La función 2 X ( Ω) o densidad espectral de energía, nos indica como se encuentra repartida la energía de señal en las diferentes componentes de frecuencia. 5.7.2. Análisis de sistemas LTI La transformada de Fourier nos permite encontrar la respuesta en frecuencia H (Ω) de un sistema LTI a partir de su respuesta a impulso h(t ) . A partir de la función H (Ω) podemos analizar de qué forma se comporta nuestro sistema ante diferentes componentes de frecuencia. Adicionalmente utilizando la función H ( Ω) se puede encontrar la respuesta del sistema, y(t ) , ante cualquier señal de entrada (t ) . Para ello se hace Y (Ω) = X ( Ω) H ( Ω) , donde X (Ω) y Y ( Ω) , corresponde a las transformadas de Fourier de (t ) y y(t ) , respectivamente. Posteriormente la señal de salida del sistema puede ser encontrada como y(t ) = ℑ−1{ y( t )} = ℑ−1{ X ( Ω) H ( Ω)} . 5.7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales Utilizando la propiedad de diferenciación, dada por

⎧ d n x(t ) ⎫ n F ⎨ ⎬ = ( jΩ) X ( Ω) n ⎩ dt ⎭ una ecuación diferencial ordinaria o parcial, puede ser resuelta en el dominio de la frecuencia. A continuación se presenta un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria. Las ecuaciones diferenciales parciales se estudiarán detenidamente en una sección posterior. Ejemplo 5.18 . Utilizando la transformada de Fourier, resuelva la ecuación diferencial ..

.

x(t ) + a x(t ) + bx(t ) = y (t ) , donde y(t ) es una señal arbitraria. Solución. Primero se transforman ambos lados de la igualdad.

⎧ .. ⎫ ⎧. ⎫ ℑ ⎨ x(t )⎬ + aℑ ⎨ x( t ) ⎬ + bℑ{ x( t)} = ℑ{ y( t )} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( jΩ) X ( Ω) + ajΩX (Ω ) + bX ( Ω) = Y ( Ω) 2

156



Ahora se despeja el término X ( Ω) y se computa la transformada inversa de Fourier para encontrar la solución (t ) . X ( Ω) ⎡⎣ −Ω2 + ajΩ + b ⎤⎦ = Y ( Ω) X ( Ω) =

Y ( Ω ) (b − Ω 2 ) + ajΩ

x(t ) = ℑ−1 { X ( Ω)}

5.7.4. Diseño de filtros analógicos Conociendo como se comporta un sistema LTI en el dominio de la frecuencia es posible diseñar en circuito (filtro) que realice una función deseada sobre una señal de entrada. Para ello se establece la respuesta en frecuencia que se desea y posteriormente se diseña un circuito analógico que tenga dicha respuesta en frecuencia.

5.8. Resumen

• La serie exponencial no permite representar señales no periódicas sobre un intervalo de tiempo infinito por lo cual es necesario utilizar un conjunto no contable de exponenciales para obtener dicha representación. • La transformada de Fourier X (Ω ) de una señal x(t ) es obtenida al comprar la señal con un conjunto no contable de exponenciales complejos de diferentes frecuencias. La transformada de Fourier converge sólo para señales de L1 . • X (Ω) da información de la componente de frecuencia Ω en la señal, por tal motivo, el gráfico de la magnitud de X (Ω ) contra la frecuencia visualiza las componentes de frecuencia presentes en la señal. La función X (Ω) puede verse como una representación en el domino de la frecuencia de una señal. •

X (Ω) es una función par y ∠ X ( Ω ) es una función impar. Si se conoce que X ( Ω) es la transformada de Fourier de una señal (t ) la transformada de X (t ) es encontrada como 2π x( −Ω ) . Una compresión/expansión de una señal en el tiempo

implica una expansión/compresión de su transformada de Fourier.

• Si una señal se desplaza en el tiempo su transformada se multiplica por un exponencial complejo, mientras que si una señal se multiplica por un exponencial complejo su transformada se desplaza hasta la frecuencia de dicho exponencial. 157



•

Si una señal pertenece a L1 entonces su transformada de Fourier es acotada, continua y decrece con la magnitud de la frecuencia. La energía de una señal es proporcional a la energía de su transformada de Fourier. Por tal motivo, la transformada de Fourier es una función de L2 a L2 .

•

La transformada de Fourier de una convolución corresponde al producto de las transformadas. Por tal motivo, la salida de un sistema LTI puede ser encontrada al tomar la transformada inversa del producto entre la transformada de la señal de entrada y la transformada de la respuesta impulso del sistema.

•

La transformada de Fourier de la respuesta impulso de un sistema se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema, pues ésta indica como responde el sistema a cada componente de frecuencia de entrada. Si un exponencial complejo es aplicado a un sistema LTI la salida corresponde al mismo exponencial multiplicado por la respuesta en frecuencia evaluada en la frecuencia del exponencial.

•

La transformada de Fourier de un exponencial complejo corresponde a un impulso ubicado en la frecuencia del exponencial. La transformada de Fourier de una señal periódica está formada por un conjunto de impulsos.


1. Determine la transformada de Fourier de la señal x(t ) = e

− t

.

2. Determine la transformada de Fourier de la señal x(t ) de la figura. Exprese el resultado en función de sinc .

3. Determine la transformada de Fourier de x(t ) = e − at cos(Ω 0 t )u (t ) , donde a > 0 . 4. Determine la transformada de Fourier de la señal x(t ) = e −t u (t ) ∗ e −2t u (t ) , efectuando primero la convolución y transformando el resultado y tomando la transformada de cada término y después multiplicando. 158



5. Halle la transformada de Fourier de la señal x(t ) = 2δ (t + 2) − 2δ (t − 2) . 6. Consideremos la señal “Campana de Cauchy” dada por x(t ) = 1 (1 + t 2 ) . a. Demuestre que x(t ) ∈ L1 b. Encuentre la transformada de Fourier de x(t ) Tenga en cuenta que

7. La señal x(t ) =

∫a

dx 2

1 σ 2π

+ b 2 x 2 −

e

1

=

ab

⎛ bx ⎞ ⎟. ⎝ a ⎠

tan −1 ⎜

t 2

2σ 2

, se conoce como señal gaussiana.

a. Encuentre su norma L1 , en función de σ ( σ ≠ 0 ). b. Halle su transformada de Fourier, en función de σ . ∞

Para a. y b. tenga en cuenta que

∫

2

e −u du = π .

−∞

8. Determina la señal x(t ) cuya transformada de Fourier se ilustra en la figura.

Sección 5.5

9. Si ℑ{ x(t )} = X (Ω) , determine la transformada de fourier de a. x(1 − t ) b. x[(t / 2) − 2] c. d.

dx(t )

cos t dt d [ x(−2t )] dt 159



10. Una señal x(t ) tiene transformada de Fourier dada por

X (Ω) =

1

Ω +1 2

e

⎛ 2 Ω 2 ⎞ −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ Ω +1 ⎠

Usando las propiedades de la transformada de Fourier, escriba las transformadas de a. x(2t ) b. x(t − 2)e jt c. 4

dx(t ) dt

11. Use la propiedad de modulación para encontrar la señal x(t ) cuya transformada de Fourier se encuentra en la figura.

12. Determine la transformada de Fourier de la señal x(t ) = senc(t ) .

Sistemas 5.6

13. Se conoce que dos señales x(t ) y y (t ) , satisfacen la ecuación ∞

∫

y (t ) = x(t − s) y ( s) ds + δ (t ) −∞

a. Si ℑ{ x(t )} = X (Ω) y ℑ{ y (t )} = Y (Ω) , halle la relación entre X (Ω) y Y (Ω) . b. Si x(t ) = e −2t u (t ) , halle y (t ) . 14. Demuestre utilizando la transformada de Fourier, que si h(t ) = x(t ) ∗ y (t ) entonces a. x(t )e jΩ t ∗ y (t )e jΩ t = h(t )e jΩ t 0

0

0

b. x(t − t 1 ) ∗ y (t − t 2 ) = h[t − (t 1 + t 2 )] 160



Sección 5.7 −Ω

15. La transformada de Fourier de cierta señal x(t ) es X (Ω) = π e . Calcule el porcentaje de energía total de x(t ) proporcionada por los componentes de frecuencia hasta 1 radian por segundo. 16. Determine el valor numérico de la constante real positiva a , si la mitad de la energía de la señal x(t ) = e − at u (t ) está en el rango espectral de 0 a 1 Hz. 17. Evalué las siguientes integrales utilizando el teorema de Parseval. ∞

2

⎛ sin t ⎞ ∫−∞⎜⎝ t ⎠⎟ dt

a.

∞

b.

⎛ 1 ⎞ ∫−∞⎜⎝ a 2 + t 2 ⎠⎟dt

Sección 5.7

18. Obtenga la transformada de Fourier de la señal x(t ) = cos( Ω0t ) , donde Ω0 ∈ R . 19. Obtenga la transformada de Fourier de la secuencia de impulsos de peso unitario, que se ilustra en la figura.

20. Encuentre la transformada de Fourier de la señal de salida de un rectificador de onda completa ( y(t ) en la figura), si la entrada es (t ) = sin(π t ) .

161

6 ANÁLISIS DE FOURIER PARA SEÑALES DISCRETAS Las ventajas del procesamiento digital de señales han hecho que las técnicas de procesamiento analógico queden un poco rezagadas. Por tal motivo, es sumamente importante conocer y utilizar las herramientas que ofrece el análisis de Fourier para el estudio y análisis de señales y sistemas de tiempo discreto. 6.1. Muestreo de señales de tiempo continuo

6.1.1. Muestreo ideal utilizando funciones impulso Muchas señales de TC deben ser muestreadas para ser procesadas utilizando técnicas digitales. Como la señal de TC toma valores en todos los instantes de tiempo, es imposible almacenar y procesar todo esa cantidad de información. Por tal motivo, el primer paso en el procesamiento digital de una señal continúa, es tomar un conjunto de muestras de la señal, con el fin de que éstas sean analizadas y/o procesadas. El proceso de tomar un conjunto de muestras de una señal de TC x(t ) , se denomina muestreo . Suponga que una señal de TC x(t ) es muestreada cada T m segundos.

Figura 6.1. Muestreo de una señal de TC.

El término T m , se conoce como tiempo de muestreo y su inverso f m = 1 / T m , se conoce como frecuencia de muestreo . Es claro en este punto, que entre más muestras se tome de una señal, más similar será la imagen muestreada de la versión continua. Entre más pequeño sea T m , mayor número de muestras se tendrá de la señal por unidad de tiempo y mayor será la frecuencia de muestreo. Podemos imaginarnos que la señal de TC se hace pasar por un dispositivo, que se cierra cada T m segundos para obtener la muestra x( nT m ) . En los demás instantes de tiempo, la salida del dispositivo es cero. Este procedimiento puede ser modelado multiplicando nuestra señal de TC x(t ) , por un tren de impulsos igualmente espaciados un distancia T m , definidos como


Análisis de Fourier para señales discretas

∞

p(t ) =

∑ δ (t − nT ) m

n =−∞

La señal muestreada xm (t ) , es obtenida como xm (t ) = x( t ) p( t ) = x( t)

∞

∑ δ ( t − nT ) m

n =−∞

∞

xm (t ) =

∑ x(t )δ (t − nT ) m

n =−∞

Recordemos que al multiplicar una señal (t ) por un impulso ubicado en t = t 0 , se obtiene el mismo impulso de peso la señal en t 0 , es decir, (t )δ (t − t0 ) = x( t0 )δ (t − t0 ) . Por tal motivo, nuestra señal muestreada puede ser expresada como xm (t ) =

∞

∑ x( nT )δ ( t − nT )

n =−∞

m

m

Figura 6.2. Señal de TC y tren de impulsos.

La señal de TC xm (t ) , toma el valor de la señal (t ) en los múltiplos del tiempo de muestreo T m y el valor cero en cualquier otro instante de tiempo.

Figura 6.3. Señal muestreada obtenida.

164



6.1.2. Efecto del muestreo sobre el espectro La señal muestreada puede expresarse como

= x( t ) m (t )

∞

∑ δ (t − nT ) m

n =−∞

Si tomamos la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, encontramos la transformada de un producto, la cual corresponde a la convolución de las transformadas de cada uno de lo términos de acuerdo a ∞ ⎧ ⎫ X m ( Ω) = ℑ ⎨ x( t ) ∑ δ ( t − nT m ) ⎬ n =−∞ ⎩ ⎭ 1 ⎧ ∞ ⎫ X m ( Ω) = X ( Ω) ∗ ℑ ⎨ ∑ δ ( t − nT m ) ⎬ 2π ⎩ n=−∞ ⎭

donde X (Ω ) corresponde a la transformada de Fourier de la señal original x(t ) . Para computar la transformada del tren de impulsos (t ) , encontraremos primero su serie exponencial de Fourier, pues la señal es periódica, con periodo T m . La señal tren de impulsos tiene serie exponencial de Fourier dada por xi (t ) =

∞

∑

n =−∞

jnΩ mt

cn e

,

Ωm =

2π T m

donde los coeficientes cn , pueden ser encontrados como Tm / 2

1 ⎡ ∞ ⎤ − jnΩ t cn = δ (t − nTm ) ⎥ e dt = ∑ ⎢ ∫ Tm −T / 2 ⎣ n=−∞ T m ⎦ 1

m

m

⎡ T / 2 ⎤ − jnΩ t ( ) δ t nT e dt − ⎢ ⎥ ∑ m ∫ n =−∞ ⎢ −T / 2 ⎣ ⎦⎥ ∞

m

m

m

La ecuación anterior comprende infinitas integrales evaluadas en el intervalo [ −Tm / 2, T m / 2] , de impulsos ubicados en nT m . Claramente el impulso ubicado en t = 0 es el único que vive dentro del intervalo de integración, por tal motivo las integrales para n ≠ 0 son cero y la ecuación anterior puede reescribirse como cn =

1 Tm

T m / 2

∫

−T m / 2

δ (t ) e

− jnΩ mt

dt =

1 Tm

− jnΩ 0 ( 0 )

e

=

1 T m

Por tal motivo, la serie exponencial del tren de impulsos unitario con periodo T m , puede escribirse como

165



p(t ) =

∞

1

∑T

n =−∞

jnΩ mt

e

2π

Ωm =

,

T m

m

La transformada de Fourier puede ser encontrada utilizando la ecuación de la transformada para señales periódicas, con la cual se obtiene que P(Ω ) =

∞

2π

∑T

n =−∞

δ ( Ω − nΩ m ),

Ωm =

m

2π T m

Por lo tanto, la transformada de Fourier X m ( Ω) de la señal muestreada, corresponde a la convolución entre la transformada de la señal y un tren de impulsos igualmente espaciados una distancia Ω m y de peso 2π / T m . Por tal motivo se obtiene X m ( Ω ) =

1 2π

⎡

[ X ( Ω) ] ∗ ⎢

∞

2π

∑T

⎣ n =−∞

⎤

1

⎦

T m

δ ( Ω − nΩm ) ⎥ =

m

∞

∑ [ X ( Ω) ∗δ ( Ω − nΩ )] m

n =−∞

Propiedad 6.1. X ( Ω) ∗ δ ( Ω − Ω0 ) = X ( Ω − Ω0 ) Demostración. ∞

X ( Ω ) ∗ δ ( Ω − Ω0 ) =

∫ X (τ )δ [( Ω − Ω ) −τ ] dτ = X ( Ω − Ω ) 0

0

■

−∞

Utilizando la Propiedad 6.1, la transformada de Fourier X m ( Ω) , puede escribirse como X m ( Ω) =

1 T m

∞

∑ X (Ω − nΩ

n =−∞

m

)

Observación 6.1. La señal X m ( Ω) corresponde a una versión periódica, con periodo Ω m , de la transformada de Fourier X (Ω) de la señal original (t ) , escalada en amplitud por el factor 1 / T m , como se ilustra en la Figuras 6.4 y 6.5.

6.1.3. Recuperación de la señal original Consideremos una señal de TC (t ) perteneciente a L1 y cuya componente de frecuencia más alta es Ω a rad/seg, como se ilustra en la Figura 6.4. Definición 6.1. Una señal

(t ) tiene ancho de banda limitado si su transformada de

Fourier X (Ω) tiene soporte compacto, como se ilustra en la Figura 6.4. 166



Figura 6.4. Transformada de Fourier de la señal de TC de banda limitada.

Cuando la señal de TC (t ) se muestrea cada T m segundos, se obtiene la señal de TC xm (t ) , cuya transformada de Fourier X m ( Ω) , corresponde a una serie de copias escaladas de la señal X (Ω) , espaciadas Ω m , como se ilustra en la Figura 6.5. Por tal motivo, la señal muestreada m (t ) no tiene ancho de banda limitado (a diferencia de x(t ) ) y presente componentes en infinitas banda de frecuencia.

Figura 6.5. Transformada de Fourier de la señal muestreada.

Con el fin de reconstruir la señal original x(t ) a partir de sus muestras, se debe filtrar la señal muestreada xm (t ) , para eliminar las copias redundantes de X ( Ω) en X m ( Ω) . Para ello, se debe ajustar un filtro ideal pasa‐bajas con respuesta en frecuencia H ( Ω) tal que sólo permita el paso de la copia central de X ( Ω) y elimine las copias redundantes, como se ilustra en la Figura 6.6.

Figura 6.6. Eliminación de las copias redundantes.

167



La señal x(t ) es perfectamente reconstruida si se tiene un filtro ideal con frecuencia de corte Ωc ajustado para contener la copia central de X ( Ω) , ver Figura 6.7.

Figura 6.7. Reconstrucción de la señal original.

Observación 6.2. El filtro ideal H ( Ω) , implica un sistema que tiene por respuesta al impulso la función sinc, es decir, h(t ) = sinc(t ) . En la práctica es imposible obtener un sistema con esta respuesta al impulso, pues se requiere que el sistema no sea causal y que su respuesta impulso tenga soporte infinito. Por tal motivo, en la práctica es imposible reconstruir de forma exacta la señal original.

Para reconstruir (t ) a partir de m (t ) de forma correcta, se necesita que las copias de X (Ω) en X m ( Ω) no se traslapen. Si las copias se traslapan, al realizar el filtrado ideal obtendremos una versión distorsionada de X ( Ω) y por lo tanto también una de (t ) .

Figura 6.8. Traslape entre las copias de la transformada original.

Para evitar el traslape entre copias se debe garantizar que Ω a < Ω m − Ω a , es decir, 2Ω a < Ωm =

2π T m

Si la frecuencia en Hz más alta de la señal es f a = Ω a / 2π , entonces se debe cumplir f m > 2 f a

Esta condición se conoce como tasa de Nyquist . 168



6.1.4. Transformada de Fourier de una señal muestreada Para una señal de TC x(t ) ∈ L1 , su transformada de Fourier puede encontrarse como ∞

X ( Ω) =

∫ x( t ) e

− jΩt

dt

−∞

Si se muestrea x(t ) cada T m segundos, utilizando un tren de impulsos, se obtiene xm (t ) , cuya transformada de Fourier puede ser encontrada mediante ∞

X m ( Ω) =

∫x

m

( t )e

− jΩt

dt

−∞

Utilizando la definición de la señal muestreada xm (t ) , podemos reescribir ∞

⎡ ∞ ⎤ X m ( Ω) = ∫ ⎢ ∑ x( nTm )δ ( t − nTm ) ⎥ e− jΩt dt ⎦ −∞ ⎣ n =−∞ Intercambiando el orden entre la integral y la sumatoria, se tiene X m ( Ω) =

∞

∞

∑ x( nT ) ∫ δ ( t − nT ) e

n =−∞

− jΩt

m

dt

m

−∞

Utilizando la propiedad de selección del la función impulso, se tiene X m ( Ω) =

∞

∑ x( nT )e

− jΩnT m

m

n =−∞

6.1.5. Señales muestreadas y señales discretas La señal muestreada xm (t ) sólo contiene información importante en aquellos tiempo de muestreo, en los otros instantes del tiempo es cero. Por tal motivo, es suficiente almacenar la información de la señal de TC x(t ) en un señal de TD n que contenga sólo los valores muestreados. Definamos x n como la señal de tiempo discreto dada por xn = x( nT m ) . Para un valor dado de n , la señal xn indica el valor de la señal de TC x(t ) , en el tiempo t = nT , donde n ∈ Z . Por tal motivo, toda señal discreta puede verse como una señal de tiempo continuo que ha sido muestreada.

169



Figura 6.9. Señal de TD obtenida.

Al visualizar una señal de TD, sólo se presentan las muestras y no el tiempo en el cual éstas fueron tomadas. Sin embargo, la información del tiempo de muestreo siempre debe ser conocida para el análisis de la señal y para su correcta visualización en una escala temporal. Adicionalmente, en la Sección 6.2 se muestra que el tiempo de muestreo T m es de suma importancia para relacionar la frecuencia angular discreta ω con la frecuencia angular continua Ω . Observación 6.3. Dos señales de TC pueden generar la misma señal de TD al ser muestreadas, por lo cual es importante especificar el tiempo de muestreo. Ejemplo 6.1. Consideremos dos señales sinusoidales de TC, de diferente frecuencia.

Las dos señales son muestreadas de tal forma que se toman 4 muestras por cada periodo de la señal: máximo, mínimo y cruces por cero. En este caso, la señal de TD obtenida es la misma, como se ilustra en la señal derecha de la Figura 6.10.

(a) (b) (c) Figura 6.10. Señales de TC que generan una misma señal de TD. (a) y (b) señales de TC y (c) señal de TD.

6.2. Transformada de Fourier para señales discretas

6.2.1. Definición de la transformada de Fourier l 1 La transformada de Fourier de una señal muestreada ∞

X m ( Ω ) =

∑ x( nT )e n =−∞

m

(t ) , esta dada por

− jΩnT m

m

170



Definamos como la frecuencia angular discreta, dada por ω = ΩT m . Conociendo que la señal de TD n se relaciona con la señal de TC x(t ) , por medio de xn = x( nT m ) , podemos definir la transformada de Fourier para una señal de TD xn , de acuerdo a ∞

ℑ{ xn } = X (ω ) = ∑ xn e− jω n n =−∞

Observación 6.4. La transformada de Fourier X m ( Ω) , de la señal muestreada (t ) , y la Transformada de Fourier X (ω ) , de la señal de TD n se relacionan por la m variable ω = ΩT m . Si se quiere encontrar X (ω ) a partir de X m ( Ω) , se hace X (ω ) = X m ( Ω) para Ω = ω / T m .

⎧1 si n ∈ {− 1,0,1} . ∉ − { } 0 si n 1 , 0 , 1 ⎩

Ejemplo 6.2. Encuentre la TF de la señal x n = ⎨

Solución. La señal corresponde a un pulso de TD, como se ilustra en la Figura 6.11.

Figura 6.11. Señal pulso de TD de ancho 2.

X (ω ) =

∞

∑xe

n =−∞

X (ω ) = e

jω

− jω n

n

+1+ e

=

1

∑e

− jω n

n =−1

− jω

= 1 + 2 cos(ω )

Figura 6.12. Transformada de Fourier de la señal pulso de TD.

171



Propiedad 6.2. Si

n

∈ l 1 , entonces X (ω ) es acotada.

Demostración.

X (ω ) =

∞

∑xe

− jω n

n

≤

n =−∞

∞

∑

− jω n

xn e

n =−∞

∞

X (ω ) ≤

∑ n =−∞

xn = xn

■

1

Propiedad. 6.3. La transformada X ( ) siempre es periódica, con periodo 2π . Demostración. Evaluemos un corrimiento 2π k , donde k ∈ Z , en X ( ) .

X (ω + 2π k ) =

∞

∑

xn e

− j ( ω + 2π k ) n

n =−∞

X (ω + 2π k ) =

∞

∑xe

− jωn − j 2π kn

n

e

n =−∞

∞

∑xe

n =−∞

=

n

− jω n

= X (ω )

■

La Propiedad 6.3 también puede demostrarse a partir de la Observación 6.4.

6.2.2. Interpretación de la transformada de Fourier l 1 Para un valor dado de ω 0 , la magnitud de X (ω 0 ) da información de la participación de la componente de frecuencia ω 0 en la señal n . Conociendo que la frecuencia discreta es periódica, tiene sentido que la transformada de Fourier de una señal periódica también lo sea. Por tal motivo, si se conoce X (ω ) sobre un intervalo de longitud 2π se pueden conocer las componentes de frecuencia presentes en una señal. Recordemos que la frecuencia más alta es ±π y la más baja es 0 , por lo cual las frecuentas altas son las cercanas a ±π y las frecuencias bajas las cercanas a 0 .La Figura 6.13 ilustra las componentes de frecuencias de la señal del Ejemplo 6.2.

Figura 6.13. Espectro de Fourier de la señal del Ejemplo 6.2.

172



Una vez es obtenida la transformada de Fourier X (ω ) , de una señal de TD xn ∈ l 1 , la señal puede ser recuperada utilizando la transformada inversa de Fourier. Observe que X (ω ) es una señal periódica, con periodo 2π , y corresponde a una serie exponencial de Fourier, con coeficientes dados por n y señales base e− jω n . Los coeficientes de la serie exponencial (señal n ) pueden ser encontrados utilizando la formula de los coeficientes cn de la serie exponencial de Fourier, a partir de lo cual se tiene

ℑ-1{ X (ω )} = xn =

1

X (ω ) e 2π ∫

jω n

d ω

2π

A partir de esta ecuación, es claro que X (ω ) pondera una suma continua (integral) de exponenciales complejos de distintas frecuencias con el fin de obtener la señal n . 6.2.3. Propiedades de la TF de una señal discreta



Linealidad

ℑ{axn + byn } = aX (ω ) + bY ( ω ) 

Desplazamiento en el tiempo

ℑ{ xn −n } = X (ω )e− jω Ω

o

0



Modulación

ℑ{ xn e jω n } = X (ω − ω 0 ) 0



Multiplicación

ℑ{ n yn } = X (ω ) ⊗ Y (ω ) =

∫ X (τ )Y (ω − τ ) d τ

2π



Periodicidad X (ω + 2π ) = X (ω )



Simetría X (ω ) es par y ∠ X (ω ) es impar 173



6.2.4. Transformada de Fourier para señales periódicas discretas Las señales periódicas discretas no pertenecen a l 1 por lo cual su transformada de Fourier no puede ser encontrada por medio de la sumatoria. De forma análoga al caso continuo, se quiere representar una señal periódica discreta como una combinación de armónicos de su frecuencia fundamental. Sea n una señal con periodo N , entonces su frecuencia angular es ω0 = 2π N y la señal puede escribirse como xn =

∞

∑ c e

jkω 0 n

k =−∞

k

donde cada coeficientes complejo ck controla el aporte del k ‐ésimo armónico en la representación de la señal. jkω 0 n

Propiedad 6.4. Sólo hay N señales distintas de la forma e

.

Demostración. j ( k + N )ω0 n

e

= e jkω n e jN ω n = e jk ω n 0

0

0

■

Por tal motivo, la señal puede representarse utilizando sólo N armónicos de su frecuencia fundamental, de acuerdo a xn =

N −1

∑c e

jkω 0 n

k = 0

k

Está representación se conoce como la serie exponencial de Fourier para una señal discreta y a diferencia del caso continuo, la señal n se expresa en función de un conjunto finito de exponenciales. Para encontrar los coeficientes ck cambiemos el índice de la sumatoria por m y multipliquemos a ambos lados por un exponencial xn e xn e

− jkω0 n

N −1

= ∑ ck e jmω n e− jkω n 0

0

m= 0

− jkω0 n

N −1

= ∑ ck e j ( m − k )ω n 0

m= 0

Sumando sobre los valores de n en intervalo [0, N − 1] se tiene N −1

∑

xn e

n =0

− jkω0 n

⎧ Nc m = k = ∑ ck ∑ e j ( m− k )ω n = ⎨ k m=0 n= 0 ⎩ 0 m ≠ k N −1

N −1

0

174



Por tal motivo, los coeficientes de la serie exponencial pueden encontrarse como

ck =

1

N −1

∑x e N

− jkω 0 n

n

n =0

k = 0,1, ..., N − 1

,

Suponga que una señal tiene transformada de Fourier X (ω ) =

∞

∑ 2πδ (ω − ω

k =−∞

0

− k 2π )

Encontremos a que señal pertenece esta transformada, para ello se hace ∞ ⎧ ∞ ⎫ 1 2πδ (ω − ω0 − k 2π )e jω n dω = ℑ ⎨ ∑ 2πδ (ω − ω0 − k 2π ) ⎬ = ∑ ∫ ⎩ k =−∞ ⎭ 2π 2π k =−∞ −1

n

n

=

2π

1

2πδ (ω − ω )e 2π ∫

jω n

0

dω = e

jω 0 n

0

Por tal motivo, la transformada de Fourier de un exponencial complejo de frecuencia ω 0 es un conjunto impulsos de periodo y peso 2π , ubicados en las frecuencias ω0 + 2π k , con k ∈ Z . Así, para un exponencial complejo de frecuencia ω 0 se tiene

ℑ{e

jω 0 n

∞

∑ 2πδ (ω − ω

}=

k =−∞

0

− k 2π )

Esta ecuación es la clave para encontrar la transformada de Fourier de cualquier señal periódica. Consideremos la transformada de Fourier de una señal periódica discreta expresada como una serie exponencial de Fourier

⎧ N −1 jkω n ⎫ N −1 jkω n } X (ω ) = ℑ{ xn } = ℑ ⎨∑ ck e ⎬ = ∑ ck ℑ{ e ⎩ k =0 ⎭ k = 0 0

X (ω ) =

N −1

0

∞

∑ 2π c ∑ δ (ω − kω k

k =0

0

− m2π )

m =−∞

175



La función X (ω ) está formada por un conjunto de N impulsos ubicados en el intervalo [0, 2π ] , cada uno de los cuales se repite cada 2π . Observación 6.5. Si la transformada X (ω ) es un conjunto de impulsos entonces la señal n es periódica. Por otro lado, si la transformada X (ω ) es una función continua (no presenta discontinuidades) entonces la señal xn ∈ l 1 .

6.2.5. Teorema de Parseval para la TF de señales discretas La energía de una señal discreta se define como E =

∞

∑

xn

n =−∞

2

=

∞

∑xx

n =−∞

∗

n n

Utilizando la ecuación de transformada inversa de Fourier de TD, se tiene

⎛ 1 E = ∑ xn ⎜ n =−∞ ⎝ 2π

∗

∞

∫ 2π

⎞ ⎛ ⎞ 1 ∞ ∗ − jω n jω n ( ) X (ω )e dω ⎟ = x X ω e d ω ⎟ ∑ n⎜∫ ⎠ 2π n =−∞ ⎝ 2π ⎠

Intercambiando el orden entre la integral y la suma, se tiene E =

1 2π

∫ 2π

⎛ ∞ ⎞ 1 − ∗ X (ω ) ⎜ ∑ xn e jω n dω ⎟ = X (ω ) X (ω ) d ω ∫ ⎝ n =−∞ ⎠ 2π 2π ∗

Por tal motivo, la energía de la señal discreta puede encontrarse como

E =

1

∫

2π 2π

2

X (ω ) d ω

6.2.6. Propiedad de convolución para la TF de señales discretas La convolución discreta entre xn y hn se define como: ∞

xn ∗ hn =

∑x k =−∞

n −k

hk

Utilizando la ecuación de transformada inversa de Fourier podemos escribir xn −k como 176



⎡ 1 2π ⎤ jω ( n − k ) ( ) X ω e d ω ∗ hn = ∑ ⎢ ⎥ hk n ∫ π 2 k =−∞ ⎣ 0 ⎦ ∞

Intercambiando el orden entre la integral y la suma, se tiene h n ∗ n =

∗ hn = n

1

∫

2π 2π

⎛

∞

e ∑ ⎝

X (ω )e jω n ⎜

1

− jω k

⎠

n =−∞

[ X (ω )H( ω ) ] e 2π ∫

jω n

⎞

hk ⎟ dω

dω

2π

− xn ∗ hn = ℑ 1{ X (ω ) H (ω )}

Por tal motivo, la transformada de una convolución puede encontrarse como

ℑ{ xn ∗ hn } = X (ω ) H (ω ) donde X (ω ) = ℑ{ xn } y H (ω ) = ℑ{ hn } . Los sistemas discretos lineales e invariante en el tiempo se caracterizan por su respuesta impulso hn y la respuesta del sistema a cualquier señal de entrada xn puede encontrarse como xn ∗ hn . Utilizando la propiedad de convolución es posible encontrar la transformada de Fourier de la salida del sistema como se ilustra en la Figura 6.14.

Figura 6.14. Análisis de un sistema LTI discreto utilizando la transformada de Fourier

La transformada de Fourier H (ω ) de la respuesta impulso hn se conoce como respuesta en frecuencia del sistema, pues está función indica como responde al sistema a cada componente de frecuencia de entrada. Observe que la información frecuencial de la señal de salida está contenida en la transformada Y (ω ) , la cual se obtiene multiplicando X (ω ) (que contiene la información frecuencial de la señal d entrada) con H (ω ) . Por tal motivo graficando la magnitud de H (ω ) (sobre un intervalo de longitud 2π ) se puede observar que componentes de frecuencia se atenúan, se amplifican o no se alteran al pasar a través del sistema. 177



Ejemplo 6.3. Encuentre la respuesta del sistema LTI discreto que tiene la respuesta

∈ Z+ .

impulso que se ilustra en la siguiente Figura, donde

⎧ 1 n ∈ {− M ,..., M } ⎪ hn = ⎨ 2 M + 1 ⎪⎩ 0 otro caso

Solución. La respuesta en frecuencia del sistema puede encontrase como M ⎛ −1 j ω n j ωn ⎞ e 1 e + + ∑ ∑ ∑ ∑ ⎜ ⎟ 2 M + 1 n =− M 2M + 1 ⎝ n=− M n =−∞ n=1 ⎠ ∞ 1 ⎡ M jωn − jω n − jω n ⎤ = + + H (ω ) = ∑ xn e 1 e e ( )⎥ ∑ 2 M + 1 ⎢⎣ n =1 n =−∞ ⎦ 1 ⎡ M ⎤ cos( ) H (ω ) = 1 2 n ω + ∑ ⎥ 2 M + 1 ⎢⎣ n =1 ⎦

H (ω ) =

∞

xn e− jω n =

1

M

e− jωn =

1

La magnitud de la respuesta en frecuencia se ilustra en la Figura 6.15, para diferentes valores de . Claramente el sistema se comporta como un filtro que de pasar las componentes de baja frecuencia y atenúa las de alta frecuencia ( filtro pasa‐bajas), y cuya selectividad aumenta a medida que crece (crece el soporte de hn ).

Figura 6.15. Respuesta en frecuencia del sistemas para M = 1, M = 3 y M = 10, respectivamente.

La salida del sistema a una entrada arbitraria xn puede expresarse como 1 ⎛ 1 ⎞ N yn = xn ∗ hn = ⎜ xn = ( x− N + ... + x0 + ... + xN ) ∑ ⎟ 2M + 1 ⎝ 2 M + 1 ⎠ n =− N

178



6.3. Transformada discreta de Fourier (DFT)

La transformada de Fourier X (ω ) de una señal discreta es una función de tiempo continuo, por lo cual su cálculo implica tener en cuenta todos los posibles valores de la variable real ω . Dado que X (ω ) es una función con periodo 2π bastaría con computar X (ω ) en el intervalo [0, 2π ] , sin embargo, ω toma un número infinito de valores en este intervalo finito. Este aspecto hace que sea imposible encontrar exactamente X (ω ) utilizando un procesador digital, pues se necesitarían infinitas posiciones de memoria y computar infinitos productos y sumas. Con el fin de solucionar este problema se calculará X (ω ) sólo sobre un conjunto de N valores de frecuencia (muestras de frecuencia) igualmente espaciados en el intervalo [0, 2π ] , como se ilustra en la Figura 6.16.

Figura 6.16. Muestreo de la transformada de Fourier.

Las N muestras de frecuencia se toman igualmente espaciadas, en los valores 2π ( N − 1) ⎫ ⎧ 2π 2π ( 2) , ..., ⎨0 , , ⎬ N N ⎩ N ⎭

De esta forma podemos calcular X (ω ) sólo sobre las frecuencias ωk = 2π k / N , con k = {0,1, ..., N − 1} , de acuerdo a X (ω k ) =

∞

∑xe

− jω k n

n

n =−∞

,

k = 0,1, ..., N − 1

En la práctica todas las señales tiene longitud finita (soporte compacto), entonces la ecuación anterior puede escribirse para una señal causal (toma valor 0 para n < 0 ) de longitud L como X (ω k ) =

L −1

∑x e n=0

n

− jω k n

,

k = 0,1, ..., N − 1

179



6.3.1. Efectos del muestreo en frecuencia Es claro en este punto que X (ω ) corresponde a la representación en el domino de la frecuencia de una señal discreta xn , es decir, X (ω ) = ℑ{ xn } . Sin embargo, como se mencionó anteriormente, en algunos casos es imposible calcular X (ω ) para todos los valores de ω y lo mejor que puede hacerse es calcular X (ω ) para un conjunto finitos de N valores de frecuencia en el intervalo [0, 2π ] . Este procedimiento equivale a tomar N muestras de la función X (ω ) en el intervalo [0, 2π ] . Suponga que una señal discreta n tiene transformada de Fourier X (ω ) y dicha transformada es muestreada utilizando un conjunto de N impulsos igualmente espaciados sobre cada intervalo de longitud 2π . Definamos la función X m (ω ) como la versión muestreada de la transformada X (ω ) , es decir

⎡ 2π X m (ω ) = X (ω ) ⎢ ⎣ N

∞

∑ k =−∞

⎤

2π k ωk = N

δ (ω − ωk ) ⎥ ,

⎦

La pregunta a responder ahora es de que señal discreta es transformada X m (ω ) ?, o lo que es lo mismo, X m (ω ) corresponde a la representación frecuencial de que señal? Para responder esta pregunta encontremos la transformada inversa de X m (ω ) como ∞ ⎡ ⎤ jω n ( ) ( ) ω 2 π δ ω ω ℑ { X m (ω )} = − X e d ω ∑ k ⎥ ⎢ 2π 2∫π ⎣ k =−∞ ⎦

1

−1

⎡ N −1

2π

∫

−1

ℑ { X m (ω )} =

⎤

δ (ω − ω ) ⎥ e ∑ ⎣ ⎦

X (ω ) ⎢

0

k

k = 0

jω n

d ω

2π N −1 ⎤ ⎪⎧ ⎪⎫ jω n ⎡ ℑ { X m (ω )} = ∑ ⎨ ∫ X (ω )e ⎢ ∑ δ (ω − ωk ) ⎥ d ω ⎬ ⎪⎭ k =0 ⎪ ⎣ k =0 ⎦ ⎩0

−1

N −1

N −1

ℑ { X m (ω )} = ∑ X (ω k )e jω n −1

k

k = 0

Por tal motivo, la transformada inversa de X m (ω ) corresponde a la serie exponencial Fourier de una señal de periodo N , cuyos coeficientes complejos de Fourier son los valores X (ω k ) , los cuales pueden ser encontrados como X (ω k ) =

1 N −1

∑x e N n =0

p n

− jω k n

donde la señal pn corresponde a una versión periódica (de periodo N ) de la señal xn , como se ilustra en la Figura 6.17 para una señal de longitud 4 y para N = 4. 180


Figura 6.17. Señal discreta de longitud


4 y su versión periódica, de periodo 4.

La función X m (ω ) es la representación en el dominio de la frecuencia de una versión periódica de la señal discreta xn , es decir, X m (ω ) = ℑ{ x pn } . El periodo de la señal x pn es igual a número de muestras que se toman de X (ω ) en el intervalo [0, 2π ] . Cual debe ser el número de muestras que deben tomarse de X (ω ) en [0, 2π ] para obtener una buena representación frecuencial de la señal discreta n por medio de X m (ω ) ? Consideremos la señal n de longitud 4 de la Figura 6.17, a la cual se le calcula X m (ω ) para N = 2 , N = 4 y N = 8 . La señal representada en el dominio de la frecuencia por X m (ω ) para N = 2 es la señal periódica que se ilustra en la Figura 6.18, que corresponde a una versión de periodo 2 de xn . Para N = 4 , X m (ω ) representa a la señal de periodo 4, x pn , que se ilustra en la Figura 6.17. Finalmente, para N = 6 la señal representada por X m (ω ) es la señal de periodo 6 que se ilustra en la Figura 6.19. Claramente, la señal representada en el dominio de la frecuencia por X m (ω ) para un valor de N dado, corresponde con la señal n en el intervalo de tiempo [0, N − 1] . Entre mas muestra se tomen en frecuencia (más grande el valor de N ) más similar es la transformada X m (ω ) a X (ω ) y mejor es la representación en el domino de la frecuencia dada por X m (ω ) de la señal discreta xn .

Figura 6.18. Señal discreta representada por X m(ω) para N = 2.

Figura 6.19. Señal discreta representada por X m(ω) para N = 6.

181



Observación 6.6. Para obtener una buena representación en el domino de la frecuencia de una señal discreta de longitud L es necesario que el número de muestras en frecuencia cumpla N ≥ L , caso contrario, la señal representada es una versión truncada periódica de la seña discreta, como se ilustra en la Figura 6.18. Para N > L la señal es rellenada con ceros hasta alcanzar la longitud N .

6.3.2. Definición de la DFT Sea xn una señal discreta de longitud L entonces la DFT (transformada discreta de Fourier) de N puntos se define como

X k =

1

L −1

∑x e N

− jω k n

n

n =0

k = 0,1, ..., N − 1

,

donde, ω k son las N muestras de frecuencia definidas como ωk = 2π k / N . La DFT de N puntos corresponde a un vector de N posiciones, de la forma X k = [ X 0 , X1 , ..., X N −1 ] Observación 6.7. La función X k es periódica, con periodo N , pues corresponde a una versión muestreada de la función periódica X (ω ) que tiene periodo 2π . Ejemplo 6.4. Encuentre la DFT de 3 puntos de la señal xn = {1, 2, 3} .

Figura 6.20. Señal discreta de longitud 3.

Solución. En este caso L = 3 y la DFT de 3 puntos es

X k = X k =

1 N −1

∑x e N n =0

1⎡

⎛ 2π ⎞ − j ⎜ k ⎟ n ⎝ N ⎠

n

−j

∑x e 3

− j

2π 3

k

−j

+ x2 e

2π 3

kn

n

n =0

⎢ x0 + x1 e

3⎣

=

2

1

4π 3

k

⎤ ⎥ ⎦ 182



X 0 =

1 3

[ x0 + x1 + x2 ] = 2

1⎡

⎤ + 3e 3 ⎥ = −0.5 − j 0.2887 ⎢ x0 + 2e 3⎣ ⎦ 4π 8π − j −j ⎤ 1⎡ 3 + 3e 3 ⎥ = −0.5 + j 0.2887 X 2 = ⎢1 + 2e 3⎣ ⎦ X 1 =

− j

2π

−j

3

4π

Por tal motivo, la DFT puede escribirse como X k = [2,

−0.5 + j 0.2887, −0.5 + j 0. 2887]

6.3.3. Interpretación de la DFT Para cada valor de k la función X k da información sobre la participación de la componente de frecuencia ω k en una versión periódica (de periodo N ) de la señal n . Por ejemplo, el término X 0 da información del valor medio (nivel DC) de la señal, pues X 0 =

1

N −1

∑x

n

N n= 0

A partir de la DFT de N puntos es posible recuperar la señal discreta de longitud L si N ≥ L de acuerdo a

xn =

N −1

∑X e

jω k n

k

k = 0

,

n = 0,1, ..., L − 1

De la ecuación de la DFT inversa es claro que la función X k pondera la participación de cada exponencial complejo de frecuencia ω k en la representación de la señal xn .

Ejemplo 6.5. Encuentre la señal discreta que tiene por DFT la función

X k = {0, 1,

2,

0,

0,

0, 2 , 1}

Solución. La función X k corresponde a una DFT de 8 puntos ( N = 8 ), la señal discreta

puede obtenerse como xn =

N −1

∑ k =0

⎛ 2π k ⎞ ⎟n ⎝ N ⎠

j ⎜

Xke

7

= ∑ X k e

j

2π 8

kn

n=0

183



Solo X 1 , X 2 , X 6 y X 7 son diferentes de cero, por lo cual j

2π (1)

xn = X 1e j

2π

xn = e

8

n

8

n

+ X 2e

+ 2e

j

4π 8

n

j

2 π( 2) 8

j

+ 2e

n

+ X 6e

12 π 8

n

+e

j

2π ( 6)

j

8

14 π 8

n

+ X7 e

j

2π ( 7 ) 8

n

n

La frecuencia discreta tiene periodo 2π , por lo cual ω6 =

12π 8

− 2π = −

4π

y ω7 =

8

14π 8

− 2π = −

2π 8

La señal discreta puede escribirse como j

2π

xn = e

8

n

+ 2e

j

4π 8

n

+ 2e

−j

4π 8

n

+e

−j

2π 8

n

xn = 2 cos( 28π n) + 4 cos( 24π n) Propiedad 6.5. La señal de TD periódica, con periodo N .

n

obtenida a partir de la DFT inversa es una señal

Demostración.

xn+ N = xn+ N =

N −1

∑X e k =0

k

N −1

k

N −1

= ∑ Xk e k = 0

⎛ 2π k ⎞ ⎟n ⎝ N ⎠

j ⎜

∑X e k = 0

⎛ 2π k ⎞ ⎟( n + N ) ⎝ N ⎠

j ⎜

= xn

⎛ 2π k ⎞ ⎟n ⎝ N ⎠ j 2π kn

j⎜

e

■

6.3.4. Visualización de la DFT La DFT da información de las componentes de frecuencia presentes en una señal discreta, por tal motivo la visualización de la función X k permite conocer la información frecuencial de la señal. Debido a que X k en general puede ser una función compleja es necesaria visualizar en magnitud, dicho gráfico se conoce como el espectro de frecuencias de la señal discreta. La función X k se puede graficar básicamente de dos formas: contra las muestras de frecuencia discreta ω k , o si se conoce el periodo de muestreo, contra la frecuencia continua Ω . En el primer caso, simplemente se ubica la magnitud de X k contra su respectiva frecuencia discreta ω k , como se ilustra en la Figura 6.21.

184



Figura 6.21. DFT contra frecuencia angular discreta.

Para mejorar la interpretación, los valores de X k con frecuencia discreta superior a π son ubicados en frecuencias negativas, para esas frecuencias se hace ωk = ωk − 2π . De esta forma se ilustran las N muestras de X (ω ) en el intervalo [−π , π ] , Figura 6.22.

Figura 6.22. Visualización alternativa de la DFT contra frecuencia discreta.

Si se conoce T m , se puede convertir cada muestra de frecuencia discreta ω k , en una muestra de frecuencia continua Ω k , mediante Ω k = ωk / Tm = 2π k / T m , ver Figura 6.23. Si se desea el gráfico en Hz, se encuentra cada muestra como f k = k / T m .

Figura 6.23. DFT contra frecuencia angular continua.

185



6.3.5. Propiedades de la DFT 

Linealidad DFT{ axn + byn } = aX k + bYk



Simetría: si x pn (extensión periódica de X k es par , ∠ X k es impar y X k =



L −1

∑x

N n= 0

n

cos(ω k n) .

− jω k n0

Modulación jω l n

DFT{ xn e 

) es par entonces

Desplazamiento en el tiempo DFT{ xn − n0 } = X k e



1

n

} = X k −l

Multiplicación DFT{ xn yn } = X k ⊗ Y k

donde ⊗ representa la convolución discreta, la cual se define en la Sección 6.3.7.

6.3.6. Teorema de Parseval para DFT ( N = L ) P =

1 N −1 N

∑x

n

n =0

2

*

⎛ N −1 ⎞ = ∑ xn xn = ∑ xn ⎜ ∑ X k e jω kn ⎟ N n=0 N n= 0 ⎝ k =0 ⎠ 1

N −1

∗

1

N −1

⎛ N −1 * − jωkn ⎞ 1 N −1 N −1 = ∑∑ ( xn X k* e− jω kn ) P = ∑ xn ⎜ ∑ X k e ⎟ N n =0 ⎝ k = 0 ⎠ N n = 0 k = 0 1 N −1

N −1

⎛ 1 N −1 − jω kn ⎞ N −1 ∗ P = ∑ X ⎜ ∑ xn e ⎟ = ∑ X k X k N = k =0 n 0 ⎝ ⎠ k = 0 * k

Por tal motivo, la potencia promedio de la señal discreta puede encontrarse como

P =

N −1

∑

X k

2

k = 0

186



6.3.7. Convolución discreta utilizando la DFT 

Propiedad de convolución circular discreta

La convolución circular discreta se define para dos señales de TD periódicas x n y y n , ambas señales con periodo N , como

⎛ N −1 ⎞ ⊗ yn = ∑ xn −s yn = ∑ ⎜ ∑ X k e jω ( n −s ) ⎟ ys n N s =0 N s = 0 ⎝ k =0 ⎠ 1 N −1

xn ⊗ yn =

1

1 N −1

N −1

k

N −1

∑ X e ∑Y e N k =0

− jω k s

jωk n

k

s=0

s

N −1

⊗ yn = ∑ X k Yk e jω n = DFT -1{ X k Y k } n k

s = 0

Por tal motivo, la DFT de una convolución circular discreta esta dada por DFT{ xn ⊗ yn } = X k Y k 

Convolución lineal discreta utilizando la DFT

Para realizar la convolución lineal de dos señales de longitud finita utilizando la DFT es necesario que la convolución circular iguale a la convolución lineal en el intervalo de interés. Sean n y hn señales discretas causales de longitud M y L, respectivamente, entonces la señal n ∗ hn (convolución lineal entre xn y hn ) es también causal y tiene + L − 1 . De acuerdo a esto se requiere que la convolución circular se longitud + L − 2 . Para ello se hace equivalente a la convolución lineal en el intervalo de 0 a 1. Se calculamos la DFT de N ( N = M + L − 1 ) puntos de las señales n y hn para obtener las funciones X k y H k , respectivamente. 2. Se computa el producto entre DFT’s, es decir, se realiza X k H k , lo cual equivale a realizar la convolución circular en el tiempo de las señales periódicas pn y hn p (versiones de periodo N de las señales n y hn , respectivamente). 3. Finalmente la convolución es obtenida realizando la DFT inversa de la función X k H k de acuerdo a xn ∗ yn = DFT -1{ X k H k }

n = 0, 1, ..., M + L − 2

Observación 6.7. Esta propiedad es útil para computar convolución lineal en el domino de la frecuencia, reduciendo así el tiempo de cómputo. Por ejemplo, puede utilizarse para encontrar la respuesta al aplicar un filtro dado hn , a una señal xn .

187



6.4. Transformada rápida de Fourier (FFT)

Para computar la DFT de N puntos de una señal discreta de longitud L es necesario realizar L − 1 sumas de L productos para cada uno de los valores X k . Dado que deben encontrarse N elementos de X k , el cómputo de la DFT requiere un total de NL multiplicaciones, lo que hace que esta tarea se computacionalmente demandante, tanto en tiempo de proceso como en posiciones de memoria, para señales de gran longitud o para un número elevado de muestras en frecuencia. Ejemplo 6.5. Se quiere obtener la DFT de 10000 de una señal de longitud 10000 . Para esta señal se requiere un total de 100 ' 000. 000 de multiplicaciones.

Los algoritmos FFT (Fast Fourier Transform) son un conjunto de rutinas que calculan la DFT de una señal discreta de una forma más eficiente, sin requerir el número de multiplicaciones antes mencionado. Por ejemplo, algunas versiones de FFT requieren sólo N log 2 N multiplicaciones, para el caso N = L y N una potencia de 2. Ejemplo 6.6. Para la misma señal del Ejemplo 6. se requieren 10000 log 2 10000

≈ 132877 multiplicaciones. Suponga que en una tarjeta de procesamiento digital de señales una multiplicación en punto flotante tarda 1ns , entonces para computar la DFT utilizando la formula convencional se requiere 1 s . Por otro lado, para computar la DFT utilizando el algoritmo de la FFT sólo se requerirían 1.32ms Existen diferentes algoritmos FFT, a continuación revisamos las versión más sencilla del Algoritmo de Cooley‐Tukey, para tener una idea general de su funcionamiento. 6.4.1. Algoritmo FFT de diezmado en el tiempo (Base 2) Este algoritmo FFT divide la señal original n , de longitud N = 2 p , en dos señales: la = x2 n = { x0 , x2 , ..., xN − 2 } y la señal de muestras señal de muestras pares par x par n imp impares xn = x2n +1 = { x1 , x3 , ..., xN −1 } . El algoritmo computa la DFT para las señales par y par , y después las combina para obtener la DFT de la señal original n . n n Observación 6.8. Con sólo dividir la señal en dos, se está reduciendo la complejidad del algoritmo de N 2 multiplicaciones a N 2 / 2 multiplicaciones.

Definamos M = N / 2 , entonces la DFT de la seña original xn , puede escribirse como X k =

1 N −1

∑x e

N n =0

⎛ 2π k ⎞ − j ⎜ ⎟n ⎝ N ⎠

n

188



X k =

X k =

1 N

( N / 2 ) −1

∑

+

m =0

1 M −1 N

x2 m e

⎛ 2π k ⎞ − j ⎜ ⎟( 2 m ) ⎝ N ⎠

∑x m =0

par m

e

⎛ 2π k ⎞ − j ⎜ ⎟m ⎝ M ⎠

+

1

1

( N / 2 ) −1

∑

N

x2 m+1 e

m=0

M −1

∑x

N m =0

⎛ 2π k ⎞ − j⎜ ⎟ ( 2 m+1) ⎝ N ⎠

imp m

⎛ 2π k ⎞ ⎛ 2 π k ⎞ − j⎜ ⎟ m − j⎜ N ⎟ M ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e

e

De acuerdo a esto, podemos encontrar la DFT como ⎛ 2π k ⎞ ⎧ − j ⎜ ⎟ par imp ⎪ X k + e ⎝ N ⎠ X k X k = ⎨ ⎡ 2π ( k − M ) ⎤ − j ⎢ ⎥ ⎪ par N ⎣ ⎦ X kimp −M ⎩ X k −M − e

si k < M si k ≥ M

donde X k par es la DFT de la señal par y X k imp es la DFT de la señal xnimp . Para el n cómputo X k par y X k imp , las señales x par y par pueden ser divididas en dos. El n n algoritmo se repite de forma secuencial, hasta obtener señales de longitud dos que no pueden ser dividas. 6.4.2. Aplicaciones de la FFT Diversos programas de computación contienen rutinas muy eficientes de FFT, las cuales pueden ser usadas en esta sección, dedicada a las aplicaciones. Entre ellos Matlab, en sus diferentes versiones, que incorpora la función FFT, la cual permite computar la DFT de una señal de cualquier longitud de forma eficiente y sencilla. 6.4.2.1.

Análisis espectral de señales y sistemas TD discretos

La FFT nos permite estimar las componentes de frecuenciales de una señal discreta de longitud finita, como se ilustra en el Ejemplo 6.7.

189



Ejemplo 6.7. Obtenga el espectro de frecuencias de una señal de ECG que ha sido

muestreada a una tasa de 250 muestras por segundo. Para ello, implemente un programa en Matlab y utilice para el cálculo de la DFT la función FFT para 512 puntos. Grafique la función de ECG en el tiempo y su correspondiente espectro, en HZ. Solución. Se implemento la siguiente función en Matlab. function espectro(x,Np,fm);

% % %

x Np fm

--- señal discreta de entrada --- número de puntos de la DFT --- frecuencia de muestreo

L=length(x); Tm=(1/fm); Mp=ceil(Np/2); wd=0:2*pi/Np:2*pi*(Np-1)/Np; wdo=zeros(1,Np); fc=zeros(1,Np); z=abs(fft(x,Np)); zo=zeros(1,Np); t=0:Tm:Tm*(L-1);

% % % % % % % % %

Longitud de la señal Tiempo de muestreo Mitad de puntos de la FFT Vector de Frec. discreta Vector de Frec. disc. org. Vector de Frec. cont. Hz Magnitud de FFT de la señal Vector para reorganizar la FFT Vector de tiempo

% Reorganización de frecuencias wdo(Np-Mp+1:end)=wd(1:Mp); wdo(1:Np-Mp)=wd(Mp+1:end)-2*pi; % Frecuencia continua en Hz fc=wdo/(2*pi*Tm); % Reorganización de la FFT zo(Np-Mp+1:end)=z(1:Mp); zo(1:Np-Mp)=z(Mp+1:end); % Visualización plot(t,x); title('Señales de ECG'); xlabel('Tiempo (seg)'); figure; plot(wdo,zo); title('Magnitud de la DFT') xlabel('Frecuencia discreta (rad)') figure; plot(fc,zo); title('Magnitud de la DFT') xlabel('Frecuencia (Hz)')

Utilizando la función espectro se obtiene la señal en el tiempo y su espectro de frecuencias, como se ilustra en las Figura 6.24.

190



Figura 6.24. Señal de ECG y su espectro (utilizando la FFT).

La FFT nos permite conocer la respuesta en frecuencia de un sistema discreto. Ejemplo 6.8. Obtenga la respuesta en frecuencia de los sistemas discretos respuesta a impulso hn = {0. 1, 0.2, 0. 4, 0.2, 0. 1} y g n = {1, − 2, 1,} .

con

Solución. Utilizando la función espectro podemos encontrar la respuesta en frecuencia

del sistema. Para ello, la respuesta a impulso es utilizada como la señal de entrada y se configura una FFT de 512 puntos.

Figura 6.25. Respuesta en frecuencia de los sistemas discretos.

El sistema hn , se comporta como un filtro pasa‐bajas, pues deja pasar las frecuencias cercanas a 0 y atenúa las frecuencias cercanas a ±π . El sistema g n , se comporta como un filtro pasa‐altas, pues deja pasar las frecuencias cercanas a ±π y atenúa las frecuencias cercanas a 0 .

Observación 6.9. La frecuencia continua de corte de los filtros depende del tiempo de muestreo del sistema discreto, dado que Ω = ω / T m .

191



6.4.2.2.

Convolución lineal vía FFT

La respuesta de un sistema LTI puede ser encontrada realizando la convolución entre su respuesta a impulso y la señal de entrada. La FFT permite realizar esta operación de una forma sencilla y eficiente. Para ello, se obtiene la FFT de ambas señales y se realiza el producto. La FFT inversa de este producto corresponde a al convolución. Ejemplo 6.9. Aplique los filtros del ejemplo anterior a la señal de ECG y observe la

señal filtrada, tanto en el tiempo como en la frecuencia. Solución. Utilizando la función convFFT se puede realizar la convolución entre dos

señales en el dominio de la frecuencia. Para encontrar la respuesta del sistema a al señal de ECG, se introduce la señal de ECG como la señal 1 y la respuesta a impulso del sistema como la señal 2. Las componentes de frecuencia de las señales filtradas son encontradas utilizando la función espectro. Además, se encuentra la respuesta en frecuencia continua de los dos sistemas, para una frecuencia de muestreo f m = 250 . function xy=convFFT(x,y,fm);

% % %

x y fm

--- señal discreta de entrada 1 --- señal discreta de entrada 2 --- frecuencia de muestreo

L1=length(x); L2=length(y); Tm=(1/fm); t=0:Tm:Tm*(L1-1);

% % % %

Longitud señal 1 (entrada) longitud señal 2 (sistema) Tiempo de muestreo Vector de tiempo

% Longitud máxima entre las señales L=max(L1,L2); % Convolución via FFT z1=fft(x,L); z2=fft(y,L); z=z1.*z2; xy=ifft(z); % Visualización plot(t,x); title('Señal de entrada'); xlabel('Tiempo (seg)'); figure; plot(t,xy); title('Señal filtrada'); xlabel('Tiempo (seg)');

192



Figura 6.26. Señal original de ECG y su espectro.

Figura 6.27. Respuesta en frecuencia continua de los sistemas discretos.

Figura 6.28. Señal de ECG filtrada con el filtro pasa‐bajas y su espectro.

Figura 6.29. Señal de ECG filtrada con el filtro pasa‐altas y su espectro.

193



6.5. Resumen

•

Una señal de tiempo continuo toma valor para cualquier instante de tiempo. Por tal motivo, es imposible almacenar y/o procesar todo esta cantidad de información y es necesario tomar un conjunto de muestra cada determinado tiempo, denominado tiempo de muestreo.

•

El muestreo ideal de una señal de tiempo continuo se realiza multiplicando la señal por un tren de impulsos ubicados en los tiempos de observación deseados. El muestreo de una señal hace que su espectro llegue a ser periódico.

•

Si la frecuencia de muestreo es por lo menos dos veces mayor a la frecuencia más alta de la señal las copias en el espectro de la señal muestreada no se traslapan y la señal de tiempo continuo puede recuperarse utilizando un filtro pasa‐bajas ideal.

•

Una señal discreta es una señal que toma valor sólo en un conjunto contable del tiempo y puede verse como una señal de tiempo continuo muestreada.

•

La transformada de Fourier X (ω ) de una seña discreta puede ser encontrada al compara la señal con un conjunto contable de exponenciales complejos. La transformada de Fourier converge sólo para señales de l 1 .

• X (ω ) de información de la componente de frecuencia ω en la señal, por tal motivo, el gráfico de X (ω ) en magnitud visualiza las componentes de frecuencia presentes en la señal. La función X (ω ) es periódica y tiene periodo 2π . •

La transformada de Fourier es una seña continua para señal en l 1 y es un conjunto de impulsos para una señal periódica. Las señales periódicas no pertenecen a l 1 por lo que su transformada debe ser encontrada utilizando la serie exponencial de Fourier y la transformada de Fourier para exponenciales complejo.

•

Para conocer las componentes de frecuencia de una señal discreta es suficiente conocer X (ω ) en el intervalo [0, 2π ] . Dado que X (ω ) toma infinitos valores sobre este intervalo es imposible calcular esta función utilizando un computador.

•

En vez de calcular X (ω ) para todo ω en [0, 2π ] se calcula sólo para N valores de frecuencia igualmente espaciados en este intervalo. Esta transformada se conoce como transformada discreta de Fourier (DFT) de N puntos y se nota como X k .

•

El muestreo en frecuencia de la función X (ω ) implica que la señal que es representada por la función X k corresponde a una versión periódica de la señal discreta n . Los algoritmos FFT permite calcular de forma rápida y eficientes la DFT de N (potencia de 2) puntos de una señal discreta de longitud finita. 194




1. Suponga que la señal (t ) = e− t u( t ) , es muestreada cada T = 1 instantes de tiempo. a. Encuentre la expresión de la señal muestreada y de la señal de TD. b. Repita a. para un tiempo de muestreo T = 3 . 2. Encuentre la transformada de Fourier de la señal muestreada del Punto 1.a.

Sección 6.2

3. Para la señal de tiempo discreto obtenida del Punto 1.a. a. Encuentre la transformada de Fourier. b. Grafique la magnitud de la transformada para −5π < ω < 5π . c. Compare este grafico con la magnitud de la transformada de la señal original de tiempo continuo x(t ) = e− t u( t ) . 4. Para la señal de tiempo discreto

⎧n + 4 −3 ≤ n ≤ −1 ⎪ x( n) = ⎨ 4 − n 0≤ n≤3 ⎪ 0 otro caso ⎩ a. Encuentre la transformada de Fourier. b. Grafique la magnitud y la fase de la transformada. 5. Demuestre las siguientes propiedades de la transformada de Fourier a. ℑ{axn + byn } = aX (ω ) + bY ( ω ) b. ℑ{ xn− n } = X (ω )e− jω n

0

0

c. ℑ{ xn e jω n } = X (ω − ω 0 ) 0

6. Utilice el Teorema de Parseval para calcular a. La energía de la señal de Punto 3. b. La energía de la señal de Punto 4.

195



Secciones 6.3 y 6.4

7. Obtenga la DFT de las siguientes señales a. xn = {1, −1, 0,1, −1}

⎛ 3π ⎞ n⎟ b. xn = cos ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 2π c. xn = 4 cos ⎜ ⎝ 3

⎞ ⎠

⎛ π n ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

n ⎟ sin ⎜

8. Determine la señal de TD que corresponde cada una de las siguientes transformadas. a. X k = [1, 0, −1, 0,1] 1 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ b. X k = 1 + cos ⎜ k ⎟ + 2 cos ⎜ k ⎟ , 2 ⎝2 ⎠ ⎝4 ⎠

c. X k = e

− j

0 ≤ k ≤ 8

π k 4

,

0 ≤ k ≤ 7

9. Demuestre las siguientes propiedades de la DFT. a. DFT{ axn + byn } = aX k + bYk

b. DFT{ xn −n } = X k e− jω n

k 0

0

10. Suponga que un sistema LTI discreto tiene respuesta impulso hn = ( 12 )n un . Obtenga la DFT de la señal de salida del sistema, si la señal de entrada es xn = {1, −1, 0,1, −1} . 11. Utilizando Matlab y un micrófono, grabe su nombre y realice a. b. c. d.

Visualice el segmento de audio. Obtenga la FFT de 512 puntos, del segmento de audio. Visualice las componentes de frecuencia del segmento de audio. Convolucione el segmento de audio con una señal constante de valor 1/N y de longitud N. e. Reproduzca el segmento de audio original y el segmento convolucionado, para diferentes valores de N. Que sucede al realizar la convolución? f. Visualice las componentes de frecuencia del segmento convolucionada. Que le sucede a las componentes de frecuencia? Que efecto tiene variar N?

196

7 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 7.1. Conceptos básicos Definición 7.1. Una derivada parcial es una derivada de una función de dos o más

variables independientes, con respecto a una de ellas. Ejemplo 7.1. Algunas derivadas parciales.

f ( x, y, z ) = xyz , f ( x, t ) = tx 2 + t 2 ,

∂ f ( x, y , z ) = xz = f y ∂ y ∂ f ( x, t ) = zx = f xt ∂ x∂t

Definición 7.2. Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación con una o más

derivadas parciales de una función (desconocida) de 2 o más variables independientes. El orden de la derivada parcial más alta de una EDP es denominado el orden de la EDP. En esta sección nos centraremos en ecuaciones diferenciales de segundo orden, es decir, en ecuaciones cuya derivada parcial más alta es de segundo orden. Ejemplo 7.2. Algunas ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden 

Ecuación de onda unidimensional ( u( x, t ) ) 2 ∂ 2u 2 ∂ u = c ∂t 2 ∂ x 2



Ecuación de calor unidimensional ( u ( x, t ) )

∂u ∂ 2u = c2 2 ∂t ∂ x 

→ u tt = c 2 u xx

→ ut = c 2 u xx

Ecuación de Laplace bidimensional ( u( x, y ) ).

∂ 2u ∂ 2u + = 0 → u xx + u yy = 0 ∂ x 2 ∂ y 2 En estas ecuaciones, c es una constante real, t es la variable tiempo y ( , y , z ) son las coordenadas espaciales.

Ecuaciones diferenciales parciales


7.1.1. Clasificación de las EDP’s Toda EDP de segundo orden puede escribirse de forma general como Para u ( x, y ) :

Au xx + 2 Buxy + Cuyy = F( x, y, u, u x , uy )

Para u ( x, t ) :

Au xx + 2 Buxt + Cutt = F ( x, t, u, u x , ut )

De acuerdo a esta forma general, las EDP’s de segundo orden se clasifican en: i. Elípticas si ii. Parabólicas si iii. Hiperbólicas si

AC − B 2 > 0 AC − B 2 = 0 AC − B 2 < 0

Ejemplo 7.3. Clasifique las ecuaciones de onda, calor y laplace, utilizando las clases

definidas anteriormente. Solución. 

Ecuación de onda unidimensional c 2u xx − utt = 0 A = c 2 , B = 0, C = −1 y F = 0 AC − B 2 = − c 2 < 0

Por tal motivo, la ecuación de onda 1D es hiperbólica. 

Ecuación de calor unidimensional c 2u xx = ut A = c 2 , B = 0, C = 0 y F = ut AC − B 2 = 0

Por tal motivo, la ecuación de onda 1D es hiperbólica. 

Ecuación de Laplace bidimensional u xx + u yy = 0 A = 1, B = 0, C = 1 y F = 0 AC − B 2 = 1

Por tal motivo, la ecuación de Laplace 2D es hiperbólica. 198



7.1.2. Solución de una EDP Definición 7.3. Una función u es solución de una EDP en alguna región R del espacio de las variables independientes, si la función u tiene todas las derivadas en R y satisface la EDP sobre todo R .

En general el conjunto de soluciones de una EDP es muy grande. Una EDP puede tener múltiples soluciones, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.4. Verifique que las funciones u = x − y , u = e cos( y ) y u = ln( x + y ) , 2

2

x

2

2

son solución a la ecuación de Laplace bidimensional. Solución. A verificar que u xx + u yy = 0 . 

u = x 2 − y 2 u x = 2 x

uxx = 2

u y = −2 y

u yy = −2

u xx +u yy = 2 − 2 = 0 

u = e x cos( y ) u x = e x cos( y )

uxx = ex cos( y)

u y = −e x sin( y)

u yy = − ex cos( y)

u xx +u yy = e x cos( y ) − ex cos( y) = 0 

u = ln( x 2 + y 2 ) u x = u y =

2

u xx =

x 2 + y 2 2 y

u yy =

x 2 + y 2

u xx +u yy =

−2 x 2 + 2 y 2

( x

( x

+y

2

)

+ y2 )

2

−2 y 2 + 2 x2

( x

−2 x 2 + 2 y 2 2

2

2

2

+

+ y2 )

2

− 2 y 2 + 2 x2

(x

2

+y

2

)

2

=0

Muchos sistemas físicos pueden ser modelados por medio de una EDP. Con el fin de obtener una solución única del sistema, se debe tener en cuenta información del 199



problema en particular y agregar esta información en el planteamiento de la EDP, por medio de condiciones de frontera y condiciones iniciales. Condiciones de frontera

Dan información del valor de la solución en la frontera de algún dominio. u( x0 , t ) = c u ( 0, t ) = c Condiciones iniciales

Dan información del valor de la solución en t = 0 . u( x, 0) = c

7.1.3. Propiedades de las EDP’s Se dice que una EDP está “bien planteada”, si: Tiene solución. La solución es única. La solución es continua en las variables.

i. ii. iii.

Definición 7.4. Una EDP, es lineal si la variable dependiente u y cada una de sus

derivadas aparecen en una forma lineal, es decir, aparecen a la potencia 1, y no hay productos o funciones de la variable dependiente. Ejemplo 7.5. Identifique si las siguientes EDP’s son lineales. 

u xx + u yy = u

La ecuación es lineal. 

( )

u xx + u yy

2

=u

La ecuación no es lineal, el término u yy está la cuadrado. Definición 7.5. Una EDP es homogénea si cada término de la ecuación es la variable dependiente u o alguna de sus derivadas.

200



Ejemplo 7.6. Identifique si las siguientes EDP’s son homogéneas. 

u xx + u yy = 0

La ecuación es homogénea. 

u xy − sin( y ) = 0

No homogénea, pues sin( y ) no es la variable dependiente ni una de sus derivadas. 

u xx + u t + 3 = 0

No homogénea, pues 3 no es la variable dependiente ni una de sus derivadas. 7.1.4. Teorema fundamental de las EDP’s Si u1 y u 2 son soluciones de una EDP lineal y homogénea en una región, entonces u = c1u1 + c2 u 2

también es solución a la ecuación en esa región, donde c1 y c2 son constantes. Observación 7.1. Toda combinación lineal de soluciones una EDP es también una solución de la EDP. Ejemplo 7.7. Demuestre que si las funciones v y w son solución a la ecuación de calor

1D, entonces u =c1 v + c 2 w , donde c1 y c2 son constantes, es solución también. Solución. A probar que ut = c u xx . Dado que v y w son solución a la ecuación de calor cumplen vt = c 2 vxx y wt = c 2 wxx , respectivamente. Por tal motivo 2

ut = c1vt + c2 wt

(

)

(

ut = c1 c 2 vxx + c2 c2 wxx

)

ut = c 2 ( c1vxx + c2 wxx ) = c 2u xx 7.2. Ecuación de onda unidimensional

Considere una cuerda vibrante extendida a una longitud L y fijada en los extremos.

201



Figura 7.1. Cuerda vibrante de longitud L.

Suponga que la cuerda es distorsionada y después en cierto instante ( t = 0 ) se suelta y se deja vibrar libremente. El problema es determinar la deflexión de la cuerda u( x, t ) , que corresponde a la distorsión de la cuerda en la posición en un tiempo t .

Figura 7.2. Deflexión de la cuerda en la posición x en el tiempo t .

Para encontrar la deflexión de la cuerda u ( x, t ) , se debe asumir: La masa de la cuerda es constante por unidad de longitud ( ρ constante) y no presenta resistencia al doblarse. ii. La tensión causada al estirar la cuerda ( T H ) antes de atarla a los extremos es tan alta que la fuerza de gravedad es despreciable. iii. El movimiento de la cuerda es únicamente vertical, es decir, cada partícula de la cuerda se mueve sólo verticalmente. i.

Para obtener la ecuación diferencial del sistema consideremos las fuerzas que actúan sobre una pequeña porción de la cuerda. Dado que la cuerda no ofrece resistencia al doblaje, la tensión es a la curva de la cuerda en cada punto.

Figura 7.3. Fuerzas que actúan sobre una pequeña porción de la cuerda.

202



Sean T 1 y T 2 las tensiones sobre los puntos P y Q de la porción de la cuerda, respectivamente. Como no hay movimiento horizontal, las componentes horizontales de las tensiones T 1 y T 2 deben ser iguales para que se anulen entre ellas, es decir, T1 cos(α ) = T2 cos( β ) = T H

LaT tensión horizontal de la cuerda T H , es una constante que depende de tensión inicial 1 con la cual la cuerda fue fijada a los extremos. En la componente vertical se tienen 2 fuerzas, una hacia abajo T 1 sin(α ) y otra hacia arriba T 2 sin( β ) . De acuerdo a la segunda Ley de Newton, la relación entre la masa de un objeto m , su aceleración a y la fuerza aplicada F , es F = ma . El objeto en nuestro caso, es la porción de la cuerda, que tiene masa proporcional a ∆ x . La aceleración de la porción de cuerda es al segunda derivada de su deflexión. La fuerza sobre la porción de cuerda es solamente la resultante entre las componentes verticales de las tensiones, pues las componentes horizontales se encuentran en equilibrio. Por tal motivo, podemos escribir

(

T2 sin( β ) − T1 sin(α ) = ( ρ ∆x ) ∂ 2 u / ∂t 2

144424443

)

123 1424 3

F

m

a

donde ρ es la densidad lineal de la cuerda (masa por unidad de longitud). Dividiendo la ecuación anterior por la tensión horizontal T H , se tiene T2 sin( β ) T2 cos( β )

−

T 1 sin(α ) T1 cos(α )

tan( β ) − tan(α ) =

=

ρ ∆ x T H

ρ ∆x T H

( ∂ u / ∂t ) 2

2

( ∂ u / ∂t ) 2

2

Los valores tan(α ) y tan( β ) , corresponde a las pendientes de la cuerda en los puntos P y Q , respectivamente, por lo cual tan(α ) =

∂u ∂ x = x

tan( β ) =

∂u ∂ x x = x +∆ x

Reemplazando este hecho en la ecuación de la porción de cuerda, se tiene

⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ρ ∆x 2 ∂ u / ∂t 2 ) ( ⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎝ ∂ x x = x +∆x ⎠ ⎝ ∂x x = x ⎠ T H 203



Sea f ( x ) =

∂u , entonces podemos escribir ∂ x

f ( x + ∆x) − f ( x + ∆x) =

ρ ∆ x T H

( ∂ u / ∂t ) 2

2

La porción de cuerda se supone muy pequeña, por lo cual ∆ x → 0 . Bajo esta condición se el diferencial, ∆ se pasa a dividir la expresión de la izquierda, se tiene

⎡ f ( x + ∆x) + f ( x) ⎤ df ( x) ∂ 2 u lim ⎥⎦ = dx = ∂x2 ∆ x →0 ⎢ ∆ ⎣ y la ecuación de la cuerda puede reescribirse como

∂ 2 u / ∂x 2 =

ρ T H

( ∂ u / ∂t ) 2

2

Finalmente, si definimos c 2 = T H / ρ , obtenemos la ecuación de onda unidimensional que gobierna la deflexión de la cuerda, dada por 2 ∂ 2u 2 ∂ u =c 2 ∂ 2 ∂t

Condiciones de frontera

Debido a que la cuerda está sujeta a los extremos x = 0 y x = L , se tiene que u ( 0, t ) = 0 u ( L, t ) = 0 Condiciones iniciales

La forma de movimiento de la cuerda, depende de la flexión inicial y de la velocidad. Denotemos f ( x) como la deflexión inicial, es decir, la distorsión de la cuerda para t = 0 , y g ( x) como la velocidad inicial. Entonces las condiciones iniciales son: u ( x, 0 ) = f ( x )

∂u = g ( x) ∂t t = 0 204



7.3. Solución de la ecuación de onda 1D

7.3.1. Separación de variables Los siguientes son los pasos para encontrar la solución a la ecuación de onda por medio del método de separación de variables: Se plantean 2 ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando la separación de variables. ii. Se encuentran soluciones a las ecuaciones de tal forma que cumplan con las condiciones de frontera. iii. Luego se reúnen las soluciones para formar una solución general que satisfaga las condiciones iniciales. i.

El método de separación de variables propone plantear la solución de la ecuación diferencial como el producto de dos funciones de una única variables, es decir, u ( x, t ) = F ( x)G( t)

donde F es sólo función de la distancia e independiente del tiempo t , y G es sólo función del tiempo t e independiente de la distancia x . De acuerdo a esto, podemos escribir las derivadas parciales de u( x, t ) como d 2 G( t ) ∂ 2 u ( x, t ) = F ( x) = F ( x)G'' ( t ) 2 2 ∂t dt d 2 F ( x) •• ∂ 2 u ( x, t ) = G (t ) ⋅ = F ( x)G( t ) ∂ x 2 dx 2

donde cada comilla denota una derivada con respecto a t y cada punto una derivada con respecto a .La ecuación de onda puede escribirse como ••

F ( x )G '' (t ) = c 2 F ( x)G( t ) •• 2

Dividiendo la ecuación de onda por el término c F ( x ) G( t ) , se tiene •• ''

G (t ) c 2 G (t )

=

F ( x) F ( x)

El lado izquierdo de la ecuación corresponde a una función que depende sólo de t , mientras el lado derecho corresponde a una función que depende sólo de . Debido a 205



la igualdad, ambas funciones deben ser constantes, para evitar que una variación en una de ellas implique lo mismo en la otra. Por tal motivo, se puede afirmar que G '' (t ) c 2G (t )

••

=

F ( x) F ( x)

= k , k ∈ R

A partir de esta ecuación podemos plantear dos ecuaciones diferenciales ordinarias ••

F − Fk = 0

(a)

G '' − Gkc 2 = 0

(b )

Solución de ( a )

Revisando las condiciones de frontera u(0, t ) = 0 y u ( L, t ) = 0 , se tiene que u ( 0, t ) = F ( 0)G( t ) = 0 u ( L, t ) = F ( L )G (t ) = 0

Claramente, G (t ) no puede ser cero, pues ello implicaría u ( x, t ) = 0 , por lo cual se debe cumplir que F (0) = 0 y F ( L) = 0 . Utilizando estas restricciones sobre F , encontremos la solución de la ecuación ( a ) , que puede escribirse como d 2 F ( x) d x 2

− kF ( x) = 0

La ecuación característica está dada por m 2 − k = 0 , por lo cual m1,2 = ± k . El valor de k controla la forma de la solución de ( a ) . Dado que no conocemos el valor de k , se debe analizar los posibles valores que la constante k puede tomar. 

Si k = 0 , entonces m1 = m2 = 0 y las raíces son reales e iguales. En este caso, la solución de la ecuación ( a ) es de la forma F ( x ) = Axe m1x + Bem2 x F ( x ) = Ax + B

La solución debe satisfacer F (0) = 0 y F ( L) = 0 , entonces F ( 0) = B = 0 ⇒ F ( L) = AL = 0 ⇒

B=0 A=0 206



La función F ( x) = Ax + B no es una solución valida, pues para satisfacer la condición de frontera requiere A = B = 0 , por lo cual F ( x) = 0 y u( x, t ) = 0 . 

Si k = q 2 ( k > 0 ), entonces m1 = q y m2 = − q , y las raíces son reales y diferentes. En este caso, la solución de la ecuación ( a ) es de la forma F ( x ) = Ae m1x + Bem2 x − F ( x ) = Aeqx + Be qx

La solución debe satisfacer F (0) = 0 y F ( L) = 0 , entonces F ( 0) = A + B = 0 ⇒

(

A = −B

)

− F ( L ) = A eqL − Ae qL = 0 ⇒

A=0

La función F ( x) = Aeqx + Be− qx no es una solución valida, pues para satisfacer la condición de frontera requiere A = B = 0 , por lo cual F ( x) = 0 y u( x, t ) = 0 . 

Finalmente, si k = − q 2 ( k < 0 ), entonces m1 = jq y m2 = − jq , y las raíces complejas conjugadas. En este caso, si la raíces son de la forma m = p ± jq , la solución de la ecuación es de la forma F ( x ) = e px [ A cos( qx) + B sin( qx) ]

Como la parte real de las raíces es cero, la solución puede escribirse como F ( x ) = A cos( qx) + B sin( qx)

La solución debe satisfacer F (0) = 0 y F ( L) = 0 , entonces F ( 0) = A = 0 ⇒

A=0

F ( L ) = B sin( qL) = 0 ⇒ sin( qL) = 0

Para garantizar la restricción, se requiere que qL = nπ , donde n ∈ Z , por lo cual q=

nπ L

y podemos escribir la solución como

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

F ( x ) = B sin ⎜

207



Asignado B = 1 , obtenemos infinitas solución para la ecuación ( a ) (una diferente para cada valor de n ) a las cuales llamaremos F n y escribiremos como

⎛ nπ ⎞ x⎟ L ⎝ ⎠

Fn ( x) = sin ⎜

Ejemplo 7.8 . Tres soluciones de ( a ) que satisfacen las condiciones de frontera.

⎛ π ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

F1 ( x) = sin ⎜

⎛ 2π ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

F2 ( x ) = sin ⎜

⎛ 8π ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

F8 ( x ) = sin ⎜

Solución de (b) 2

⎛ nπ ⎞ Dado que q = , se tiene que k = −⎜ ⎟ y podemos escribir (b) como L L ⎝ ⎠ nπ

d 2G ( t ) dt 2

2

⎛ nπ ⎞ + c ⎜ ⎟ G(t ) = 0 ⎝ L ⎠ 2

Definamos λn = cnπ / L , entonces podemos escribir (b) como G '' (t ) + λ n2G( t ) = 0 . La 2 ecuación característica de (b) es m 2 + λ n = 0 , con raíces m1 = jλ n y m 2 = − jλ n . Así, para cada n , la ecuación (b) tiene una solución diferente, de la forma Gn (t ) = An cos(λ n t ) + Bn sin(λ n t )

Por tal motivo, las funciones un ( x, t ) = Fn ( x)Gn ( t) , escritas como

208



⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

un ( x, t ) = [ An cos(λn t ) + Bn sin( λ n t ) ] sin ⎜

son solución a la ecuación de onda y satisfacen las condiciones de frontera. Ejemplo 7.9. Para cada valor de n , la función un ( x, t ) puede verse como

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

un ( x, t ) = Ampn (t ) sin ⎜

donde la función Ampn (t ) = An cos(λn t ) + Bn sin( λ n t ) , varia con el tiempo y modifica la amplitud de la función sin( nπ x / L) . Como se ilustra en la figura para n = 3 .

Figura 7.4. Comportamiento de la solución para diferentes tiempos.

Una sola solución un ( x, t ) no necesariamente satisface las condiciones iniciales. Dado que la ecuación de onda 1D es lineal y homogénea, podemos utilizar el Teorema Fundamental de EDP’s para reunir varias soluciones un ( x, t ) , con el fin de cumplir las condiciones iniciales. Consideremos la suma de infinitas soluciones, la cual también es solución de la ecuación de onda, dada por ∞

u ( x, t ) =

∑ u ( x, t ) n =1

n

Note que u ( x, t ) satisface las condiciones de frontera, pues cada solución un ( x, t ) las satisface. Podemos escribir la nueva solución como ∞

u ( x, t ) =

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

∑ [ An cos(λn t ) + Bn sin(λ n t)]sin ⎜ n =1

La nueva solución debe satisfacer la condición inicial u( x, 0) = f ( x) , para ello u ( x, 0 ) =

∞

⎛ nπ ⎞ x ⎟ = f ( x) ⎠

∑ A sin ⎜⎝ L n

n =1

209



Esta sumatoria corresponde a la serie de Fourier de la señal f ( x) , que debe ser periódica. Como la serie contiene sólo funciones sin( nΩ0 x) , la señal f ( x ) debe ser impar. La frecuencia fundamental de la serie es Ω 0 = π / L , por lo cual la señal f ( x ) tiene periodo T = 2 / L . Los coeficientes An de la serie, pueden ser encontrados para cualquier deflexión inicial f ( x ) de la cuerda, utilizando la ecuación de los coeficientes para la serie trigonométrica de Fourier de una señal impar, dados por An = An =

T / 2

4 T 2 L

∫

f ( x )sin( nΩ 0 x) dx

0 L

∫

⎛ nπ ⎞ x ⎟ dx L ⎝ ⎠

f ( x)sin ⎜

0

La nueva solución u( x, t ) , debe satisfacer también la condición inicial de velocidad ' u ( x, 0) = g ( x) , para ello

∂u( x, t ) ∞ ⎛ nπ ⎞ x⎟ = ∑ [ Bn λn cos(λn t ) − An λn sin(λn t )] sin ⎜ ∂t ⎝ L ⎠ n =1 ∞ ∂u( x, t ) ⎛ nπ ⎞ = ∑ Bn λ n sin ⎜ x ⎟ = g ( x) ∂t t =0 n=1 ⎝ L ⎠

De nuevo la serie corresponde a una señal impar con Ω 0 = π / L y periodo T = 2 / L . Los coeficientes de la serie pueden ser encontrados como Bn λ n =

2 L

L

⎛ nπ ⎞ x ⎟ dx ⎝ L ⎠

∫

g ( x)sin ⎜

0

Despejando los coeficientes Bn se tiene Bn =

2 Lλ n

L

∫

⎛ nπ ⎞ x ⎟dx ⎝ L ⎠

g ( x) sin⎜

0

Dadas unas condiciones iniciales f ( x) y g ( x) , los coeficientes An y Bn pueden ser encontrados, para garantizar que la solución u( x, t ) , que ya satisface la ecuación de onda y las condiciones de frontera, satisfaga también las condiciones iniciales. Por simplicidad, asumamos que la velocidad inicial de la cuerda g ( x ) es cero, por lo cual los coeficientes Bn son cero y la solución general puede escribirse como u ( x, t ) =

∞

⎡

cnπ ⎛ nπ ⎞ ⎤ x ⎟ ⎥, λ n = L ⎠⎦

∑ ⎢⎣ A cos(λ t ) sin ⎜⎝ L n =1

n

n

210



Interpretación de la solución

u ( x, t ) =

∞

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎠

∑ A cos(λ t ) sin ⎝⎜ L n

n

n =1

Conociendo que cos α sin β = 12 [sin(α − β ) + sin(α + β )] , podemos escribir 1⎧

⎡ nπ ⎤ ∞ ⎡ nπ ⎤⎫ ( x − ct ) ⎥ + ∑ An sin ⎢ ( x + ct) ⎥ ⎬ u ( x, t ) = ⎨∑ An sin ⎢ 2 ⎩ n =1 ⎣ L ⎦ n =1 ⎣ L ⎦⎭ ∞

∞

⎛ nπ ⎞ Dado que f ( x ) = ∑ An sin ⎜ x ⎟ , podemos escribir u ( x, t ) como ⎝ L ⎠ n =1 u ( x, t ) =

1 2

[ f E ( x − ct ) +

fE ( x + ct) ]

donde f E ( x) es una extensión impar y periódica, con periodo 2 L , de la función f ( x) , como se ilustra en la Figura 7.6. La respuesta general u( x, t ) consiste de 2 versiones de f ( x ) que se trasladan en el tiempo, en dirección contraria, y se superponen.

Figura 7.5. Deflexión inicial de la cuerda.

Figura 7.6. Extensión periódica e impar de la deflexión inicial.

211



Ejemplo 7.10 . Una cuerda de longitud L y con c = 1 , es distorsionada de acuerdo a

⎛ 3π ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

f ( x ) = sin ⎜

Encuentre la deflexión u ( x, t ) de la cuerda, si la velocidad inicial es cero. Solución. Primero se deben encontrar los coeficientes An , para ello L

⎛ nπ An = ∫ f ( x )sin ⎜ L 0 ⎝ L 2

L

2 ⎞ ⎛ 3π x ⎟ dx = ∫ sin ⎜ L0 ⎠ ⎝ L

⎞ ⎠

⎛ nπ ⎞ x ⎟ dx L ⎝ ⎠

x ⎟ sin ⎜

Conociendo que sin(α ) sin( β ) = 12 [cos(α − β ) − cos(α + β )] , se tiene 1 ⎧ ⎡ π x ⎤ ⎡ xπ ⎤⎫ An = ⎨cos ⎢ ( n − 3)⎥ − cos ⎢ ( n + 3) ⎥⎬ dx L 0 ⎩ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦⎭ L

∫

Para n = 3 L

sin ( 6π x / L) 1 ⎡ ⎛ 6π ⎞ ⎤ cos A3 = 1 x dx 1 − = − =1 ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ L 0 ⎣ L 6 π ⎝ ⎠⎦ 0 L

∫

Para n ≠ 3 L

⎧⎪ sin [ π x ( n − 3) / L] sin [ π x( n+ 3) / L]⎫⎪ An = ⎨ − ⎬ =0 π ( n − 3) π ( n + 3) ⎪⎩ ⎪⎭0 Solo hay un coeficiente de la serie que no es cero, el coeficiente A3 . Por tal motivo, la deflexión de la cuerda está dada por

⎛ 3π ⎝ L

u ( x, t ) = A3 cos ⎜

⎞ ⎠

⎛ 3π ⎝ L

t ⎟ sin ⎜

⎞ ⎠

⎛ 3π ⎝ L

x ⎟ = cos ⎜

⎞ ⎠

⎛ 3π ⎝ L

t ⎟ sin ⎜

⎞ ⎠

x⎟

212



7.3.2. Solución de D’Alembert La solución de D’Alembert se basa en el transformada de Fourier (TF) para solucionar la ecuación de onda 1D. Encontremos la TF con respecto a de u ( x, t ) . ∞

ℑ x {u( x, t )} =

∫ u( x, t )e

− jΩx

dx = U ( Ω, t)

−∞

Utilizando la propiedad de diferenciación de la TF, se tiene

ℑ x {ux ( x, t )} = jΩ U ( Ω, t ) ℑ x {uxx ( x, t )} = −Ω2 U ( Ω, t ) Para encontrar la TF con respecto a x de ut ( x, t ) no se puede utilizar esta propiedad, pues la transformada y la derivada son con respecto a diferentes variables. Para este caso se tiene ∞

∞ ∂u( x, t ) − jΩx u( x, t + h) − u( x, t) ⎤ − jΩx ⎡ e dx = ∫ ⎢lim ℑ x {ut ( x, t )} = ∫ ⎥⎦ e dx h →0 ∂ t h ⎣ −∞ −∞

⎧ 1⎪

⎪⎫ ℑ x {ut ( x, t )} = lim ⎨ ∫ [u( x, t + h) − u( x, t)] e− jΩx dx⎬ h →0 h ⎪⎩ −∞ ⎪⎭ ∞

1

ℑ x {ut ( x, t )} = lim ⎡⎣ ℑx {u( x, t + h)} − ℑx {u( x, t)} ⎤⎦ h →0 h ℑ x {ut ( x, t )} = lim h →0

1 h

[U (Ω , t + h) − U ( Ω, t )]

Por tal motivo, podemos escribir

ℑ x {ut ( x, t )} =

∂U (Ω, t ) = U t (Ω, t ) ∂t

Así, la TF con respecto a x de una derivada con respecto a t es igual a la derivada con respecto a t de la TF con respecto a x . De forma similar para una segunda derivada

∂ 2U (Ω, t ) ℑ x {utt ( x, t )} = = U tt (Ω, t ) ∂t 2 De acuerdo a esto resultados, si tomamos la TF de la ecuación de onda, se tiene

ℑ x {utt } = ℑ x {c 2uxx } 213



∂ 2U (Ω, t ) = −c 2 Ω2 U ( Ω, t ) 2 ∂t ∂ 2U (Ω, t ) 2 2 + c Ω U (Ω, t ) = 0 ∂t 2 La idea es solucionar esta EDO de segundo orden, para encontrar U (Ω, t ) y después utilizando la transformada inversa de Fourier, encontrar la deflexión de la cuerda u ( x, t ) . La ecuación característica de la EDO es m 2 + c 2 Ω2 = 0 , por lo cual sus raíces son m1, 2 = ± jcΩ . Para cada valor de Ω , las raíces cambian y por ende la solución de la EDO también. Como las raíces del ecuación características son complejas conjugadas la solución de la EDO, que en general puede ser compleja, es de la forma U ( Ω, t) = H (Ω) e j

Ωct

+ G( Ω)e− jΩct

donde H (Ω) y G(Ω) son funciones sólo de Ω (constantes con respecto a t ). La deflexión de la cuerda u( x, t ) , puede ser encontrada a partir de U (Ω, t ) , como u ( x, t ) = ℑ x

−1

{U (Ω, t )} =

∞

1

U ( Ω, t )e 2π ∫

j Ωx

d Ω

−∞

u ( x, t ) =

1

∞

( H ( Ω) ⋅ e 2π ∫

j Ωct

+ G( Ω) ⋅ e− jΩct ) e jΩx d Ω

−∞

u ( x, t ) =

∞ 1 ⎡

⎢∫

2π ⎣ −∞

∞ jΩ ( x + ct )

H ( Ω) e

dΩ +

∫

− Ω G( Ω) e j

−∞

( x − ct )

⎤

d Ω ⎥

⎦

Suponga que existe un h( x ) y g ( x ) corresponden a la transformada inversa de Fourier de las funciones H (Ω) y G(Ω) , es decir, h( x ) = ℑ x

−1

{ H ( Ω)} =

g ( x) = ℑ x −1 {G( Ω)} =

1

∞

H ( Ω) e 2π ∫ 1

j Ωx

dΩ

−∞ ∞

G( Ω) ⋅ e 2π ∫

j Ωx

d Ω

−∞

De acuerdo a esto, podemos escribir la deflexión de la cuerda como u( x, t ) = h( x + ct ) + g (x − ct )

Las funciones h y son encontradas utilizando las condiciones iniciales y las condiciones de frontera.

214



Condiciones Iniciales 

Deflexión inicial: u( x, 0) = f ( x) u ( x,0) = h( x) + g ( x) = f ( x)



(1)

Velocidad inicial: u ' ( x, 0) = g ( x) ut ( x, t ) = ch' ( x + ct) − cg ' ( x + ct) ut ( x, 0) = ch' ( x) − cg ' ( x) = 0 ut ( x, 0) = c ⎡⎣ h' ( x) − g ' ( x) ⎤⎦ = 0 ⇒

h' ( x) − g' ( x) = 0

h( x ) = g ( x) + k , k ∈ R

( 2)

Despejando h( x ) en (1) e igualando con ( 2) , se tiene que f ( x ) − g ( x ) = g ( x ) + k . Despejando, se encuentra g ( x) = 12 [ f ( x) − k ] y reemplazando en ( 2) se tiene que h( x ) = 12 [ f ( x) + k ] . Por tal motivo, la deflexión de la cuerda pues escribirse como u( x, t ) =

1 2

[ f ( x + ct ) +

f ( x − ct) ]

Condiciones de Frontera 

u(0, t ) = 0 u ( 0, t ) =

1

[ f (ct ) + f ( −ct )] = 0 2 f ( ct ) = − f ( −ct ) Por tal motivo, la función f ( x ) es impar. 

u ( L, t ) = 0 u ( L, t ) =

1

[ f ( L + ct ) + f ( L − ct) ] = 0 2 f ( L + ct ) = f ( L − ct ) Por tal motivo, la función f ( x ) tiene periodo 2 L . Observación 7.2. La solución de D’Alembert concuerda con la solución obtenida por el método de separación de variables. La TF permite solucionar de manera sencilla otras ecuaciones diferenciales parciales.

215



Ejemplo 7.11. Resuelva la ecuación au x + ut = 0 , utilizando la transformada de Fourier,

donde a es una constante real y u( x, 0) = f ( x) . Solución. Tomando la TF con respecto a x , se tiene

aℑ x {ux } + ℑx {ut } = 0 ajΩU ( Ω, t ) +

∂U (Ω, t ) =0 ∂t

La EDO de primer orden puede ser resulta haciendo

∂U (Ω, t ) = −ajΩ ∂t U ( Ω, t ) Ahora se debe integrar a ambos lados de la igualdad. Al integrar el lado izquierdo de la expresión, se obtiene la función −ajΩt más una constante de integración H ( Ω) , que depende del valor de y es constante con respecto a t . ) ln[U (Ω, t )] = − jaΩt + H (Ω U ( Ω, t ) = H ( Ω )e

− at

La solución de la ecuación debe cumplir u( x, 0) = f ( x ) , por lo cual si tomamos la TF

ℑ{u( x, 0)} = ℑ x { f ( x)} U ( Ω, 0) = F ( Ω)

Utilizando esta restricción, se encuentra que H (Ω) = F (Ω ) y que U (Ω, t ) = F (Ω)e − at . La función u( x, t ) es encontrada tomando la transformada inversa de Fourier −

−

− at

u ( x, t ) = ℑ x 1{U ( Ω, t )} = ℑx 1{ F ( Ω)e

}

Conociendo que si ℑ{ f ( x )} = F ( Ω ) entonces ℑ{ f ( x − x0 )} = F ( Ω)e− jΩx , podemos encontrar la solución de la EDP, como 0

u( x , t ) = f ( x − at )

216



7.4. Ecuación de calor unidimensional

El flujo de calor de un material homogéneo está gobernado por la ecuación de calor: K ∂u 2 2 = c ∇ u , c2 = σρ ∂t

Donde u ( x, y, z , t ) es la temperatura del cuerpo, K es la conductividad térmica, σ es el calor específico y ρ es la densidad del material. La función ∇ 2u es el Laplaciano de u con respecto a las coordenadas ( , y, z ) , definido como

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ u= 2 + 2 + 2 ∂ x ∂ y ∂ z 2

Consideremos la temperatura en una barra delgada ó alambre, de sección transversal constante y de material homogéneo. El alambre está orientado a lo largo del eje x y está perfectamente aislado, para que el calor fluya solamente en la dirección x .

Figura 7.7. Barra delgada orientada a lo largo del eje x.

En este caso, u depende sólo de y de t , por lo cual las derivadas parciales con respecto a y y a z , del Laplaciano de u , son cero. Por tal motivo, la ecuación de calor unidimensional se plantea como 2 ∂u 2 ∂ u =c ∂t ∂ x 2

7.4.1. Alambre finito (Separación de variables) Consideremos un alambre de longitud finita L , y supongamos que sus extremos son mantenidos a temperatura cero:

Figura 7.8. Barra delgada de longitud L.

217



Condiciones de frontera

La temperatura en los extremos del alambre es cero. u ( 0, t ) = 0 u ( L , t ) = 0 Condición inicial

La temperatura inicial del alambre está dada por u( x,0) = f ( x)

La idea es encontrar la función u ( x, t ) que satisface la ecuación de calor 1D y que satisfaga las condiciones de frontera y la condición inicial. Para ello se utilizará el método de separación de variables para solucionar la ecuación ut = c 2uxx . Suponga que la solución de la EDP es de la forma u( x, t ) = F ( x )G (t ) , entonces podemos reescribir la ecuación de calor como ••

F ( x )G' ( t ) = c2 F ( x) G( t )

Separando las variables

y t , se tiene

••

G ' (t ) c 2G(t )

=

F ( x) F ( x)

= k , k ∈ R

A partir de esta ecuación se puede plantear las dos siguientes EDO’s ••

F ( x ) − kF ( x) = 0 ' G − kc 2 G = 0

(a) (b )

Solución de ( a )

Revisando las condiciones de frontera u(0, t ) = 0 y u ( L , t ) = 0 , se tiene que u ( 0, t ) = F ( 0)G( t ) = 0 u ( L, t ) = F ( L)G(t ) = 0

218



Claramente, G (t ) no puede ser cero, pues ello implicaría u ( x, t ) = 0 , por lo cual se debe cumplir que F (0) = 0 y F ( L) = 0 . La ecuación ( a ) puede escribirse como d 2 F ( x ) d x 2

− kF ( x) = 0

cuya ecuación característica está dada por m2 − k = 0 , con raíces m1,2 = ± k . La solución de la ecuación depende del valor de k . De forma similar que en el caso de la ecuación de onda, se puede demostrar que para k ≥ 0 la solución de ( a ) que satisface las condiciones F (0) = 0 y F ( L) = 0 es f ( x ) = 0 , lo cual implica u( x, t ) = 0 . Por tal motivo, se puede asumir que k = − q 2 ( k < 0 ) y la ecuación característica tiene raíces complejas conjugadas m1 = jq y m2 = − jq . La solución de ( a ) es de la forma F ( x ) = A cos( qx) + B sin( qx)

La solución debe satisfacer F (0) = 0 y F ( L) = 0 , entonces F ( 0) = A = 0 ⇒

A=0

F ( L ) = B sin( qL) = 0 ⇒ sin( qL) = 0

Para garantizar la restricción, se requiere que qL = nπ , donde n ∈ Z , por lo cual q=

nπ L

y podemos escribir la solución como

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

F ( x ) = B sin ⎜

Asignado B = 1 , obtenemos infinitas solución para la ecuación ( a ) (una diferente para cada valor de n ) a las cuales llamaremos F n y escribiremos como

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

Fn ( x ) = sin ⎜ Solución de (b) 2

⎛ nπ ⎞ Dado que q = , se tiene que k = −⎜ ⎟ y podemos escribir (b) como L L ⎝ ⎠ nπ

219



2

⎛ nπ ⎞ + c ⎜ ⎟ G(t ) = 0 dt ⎝ L ⎠

dG (t )

2

Definamos λn = cnπ / L , entonces podemos escribir (b) como G ' (t ) + λ n2G(t ) = 0 . La ecuación de primer orden puede ser resuelta por separación, haciendo

∫

dG(t ) G (t )

= ∫ −λ n 2 dt

Para cada valor de n , la constante de integración de la expresión de la izquierda cambia, por tal motivo se obtiene la función An , que es independiente de t . ln[G (t )] = − λ n t + K n 2

Así, para cada n , la ecuación (b) tiene una solución diferente, de la forma Gn (t ) = An e

− λ n 2 t

Por tal motivo, las funciones un ( x, t ) = Fn ( x)Gn ( t) , escritas como un ( x, t ) = An e

− λ n2t

⎛ nπ ⎞ x⎟ L ⎝ ⎠

sin ⎜

son solución a la ecuación de calor y satisfacen las condiciones de frontera. Una sola solución u n ( x, t ) no necesariamente satisface la condición inicial f ( x ) . Consideremos la suma de infinitas soluciones, la cual también es solución de la ecuación de calor, dada por ∞

u ( x, t ) =

∑ u ( x, t ) n =1

n

Note que u ( x, t ) satisface las condiciones de frontera, pues cada solución un ( x, t ) las satisface. Podemos escribir la nueva solución como ∞

u ( x, t ) =

∑ n =1

An e

− λ n2t

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

sin ⎜

La nueva solución debe satisfacer la condición inicial u( x, 0) = f ( x ) , para ello

220



u ( x, 0 ) =

∞

⎛ nπ ⎞ x ⎟ = f ( x) ⎠

∑ A sin ⎜⎝ L n =1

n

Esta sumatoria corresponde a la serie de Fourier de la señal f ( x) , que debe ser periódica. Como la serie contiene sólo funciones sin( nΩ0 x) , la señal f ( x ) debe ser impar. La frecuencia fundamental de la serie es Ω0 = π / L , por lo cual la señal f ( x ) tiene periodo T = 2 / L . Los coeficientes An de la serie, pueden ser encontrados para cualquier deflexión inicial f ( x ) de la cuerda, utilizando la ecuación de los coeficientes para la serie trigonométrica de Fourier de una señal impar, dados por

An =

2 L

L

∫

⎛ nπ ⎞ x ⎟ dx ⎝ L ⎠

f ( x)sin ⎜

0

Ejemplo 7.12. Considere una alambre de longitud π y con c = 1 . El alambre presenta

una temperatura inicial dada por

⎧ x f ( x) = ⎨ ⎩π − x

si 0 < x < π / 2 si π / 2 < x < π

Encuentre la temperatura u( x, t ) del alambre. Solución. Los coeficientes An de la solución pueden ser encontrados como π /2 π ⎤ 2⎡ ⎛ nπ ⎞ An = ∫ f ( x )sin ⎜ x ⎟ dx = ⎢ ∫ x sin ( nx) dx + ∫ (π − x) sin ( nx) dx⎥ L 0 π ⎣ 0 ⎝ L ⎠ π / 2 ⎦

2

L

⎤ ⎢ ∫ x sin ( nx ) dx + π ∫ sin ( nx ) dx − ∫ x sin ( nx) dx⎥ π ⎣ 0 π /2 π / 2 ⎦ 2⎧1 π π / 2 π An = ⎨ 2 [sin( nx) − nx cos( nx)]0 − cos( nx) π / 2 π ⎩ n n 1 π ⎫ − 2 [sin( nx) − nx cos( nx)]π / 2 ⎬ n ⎭ 2⎧1 ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ π ⎡ ⎛ π ⎞⎤ An = ⎨ 2 ⎢sin ⎜ n ⎟ − ⎜ n ⎟ cos ⎜ n ⎟⎥ − ⎢cos( nπ ) − cos ⎜ n ⎟⎥ π ⎩ n ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ n ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ¨ ⎫ 1 ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ − 2 ⎢ −nπ cos( nπ ) − sin ⎜ n ⎟ + ⎜ n ⎟ cos ⎜ n ⎟⎥ ⎬ n ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎭ An =

π /2 2⎡

π

π

221



( n −1) ⎧ 4 4 ⎛ nπ ⎞ ⎪ 2 ( −1) 2 An = ⎜ ⎟ = ⎨ π n π n 2 sin ⎝ 2 ⎠ ⎪ 0 ⎩

n impar n par

La temperatura de la alambre está dada por u ( x, t ) =

∞

4

∑ πn n =1

sin( nx) e− t − 2

n =n + 4

∞

4

∑ π n n =3

2

sin( nx) e− t

n= n+ 4

7.4.2. Alambre infinito (Transformada de Fourier) Suponga ahora que el alambre es infinito, de esta manera, no existen condiciones de frontera y la solución de la ecuación de calor solo se debe satisfacer la condición inicial u ( x,0) = f ( x ) . Bajo estas condiciones, la transformada de Fourier es la herramienta apropiada para resolver la EDP. Consideremos la TF de cada término de la ecuación

ℑ x {u( x, t )} = U ( Ω, t ) ℑ x {c 2uxx } = c2 ℑx {uxx } = −c2 Ω2 U ( Ω, t ) ℑ x {ut } =

∂U (Ω, t ) = U t (Ω, t ) ∂t

Así, la TF de la ecuación de calor puede escribirse como

∂U (Ω, t ) = −c 2 Ω2U ( Ω, t ) ∂t La idea es solucionar la EDO de primer orden, para hallar U (Ω, t ) y posteriormente utilizando la transformada inversa de Fourier encontrar la temperatura u( x, t ) . La ecuación de primer orden se soluciona separando variables, haciendo

∂U (Ω, t ) 2 2 ∫ U (Ω, t ) = ∫ −c Ω ∂t ln [U (Ω, t )] = −c Ω t + H ( Ω ) 2

2

2

2

U (Ω, t ) = H (Ω )e − c Ω t

La función H ( Ω) puede ser encontrada utilizando la condición inicial u( x, 0) = f ( x) . Para ello, si tomamos la TF de la temperatura inicial se tiene

222



ℑ x {u( x, 0)} = ℑ x { f ( x)} U (Ω, 0) = F ( Ω)

⇒ H ( Ω) = F ( Ω)

Por tal motivo, podemos escribir U ( Ω, t ) = F ( Ω)e

− c 2 Ω2t

Tomando la transforma inversa de Fourier, se tiene −1

u ( x, t ) = ℑ x {U ( Ω, t )} =

1

∞

U ( Ω, t )e 2π ∫

j Ωx

d Ω

−∞

u ( x, t ) =

1

∞

2π ∫

−c 2Ω 2t

F ( Ω)e

Ω

e j x d Ω

−∞

2 2

Definamos la función G(Ω, t ) = e−Ω c t , entonces u ( x, t ) =

1

∞

F ( Ω)G( Ω, t )e 2π ∫

jΩx

−

d Ω = ℑ x 1{ F ( Ω) G( Ω, t)}

−∞

La TF de una convolución corresponde a un producto, por lo cual la transformada inversa de un producto, corresponde a una convolución en el tiempo. Por tal motivo, −

−

u ( x, t ) = ℑ x 1{ F ( Ω)} ∗ ℑx1{G( Ω, t )} u ( x, t ) = f ( x) ∗ g ( x, t ) 2 2

donde g ( x, t ) = ℑ x −1{G( Ω, t )} = ℑx −1{ e−Ω c t } . La función g ( x, t ) es encontrada como g ( x, t ) =

g ( x , t ) =

1 2π

1

∞

∫

e

−Ω2 c 2t

e

j Ωx

dΩ =

−∞

∞

∫e

⎛ Ω x ⎞ − c 2 t ⎜⎜ Ω2 + 2 ⎟⎟ jc t ⎠ ⎝

2π −∞

1

∞

∫

2π −∞

−Ω2 c2 t + jΩx

e

d Ω

d Ω

Completando cuadrados, se tiene

g ( x, t ) =

1

∞

∫e

2π −∞

2 2⎤ ⎡⎛ Ω x ⎛ x ⎞ ⎞⎟ ⎛ x ⎞ ⎥ − c 2 t ⎢⎜ Ω 2 + 2 + ⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎜ jc t ⎝ j 2 c2 t ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ j 2 c2 t ⎟⎠ ⎥ ⎠ ⎣⎝ ⎦

d Ω

223



g ( x, t ) =

∞

1

∫e

2 ⎤ ⎡⎛ 2 Ω x ⎛ x ⎞ ⎞⎟ ⎥ ⎞ 2 ⎛ x − c 2 t ⎢⎜ Ω 2 + 2 + ⎜⎜ ⎟ c t ⎜⎜ ⎟ ⎢⎜ 2 ⎟ jc t ⎝ j 2 c2 t ⎟⎠ ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣⎝ ⎝ j 2 c t ⎠

e

2π −∞

⎛ x ⎞ ⎜ j 2 c 2t ⎟⎟ ⎝ ⎠

2

c 2t ⎜

g ( x, t ) =

e

∞

∫e

2π

2 ⎤ ⎡⎛ Ωx ⎛ x ⎞ ⎞⎟ ⎥ − c 2 t ⎢⎜ Ω 2 + 2 + ⎜⎜ ⎟ ⎢⎜ jc t ⎝ j 2 c2 t ⎟⎠ ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣⎝

d Ω

d Ω

−∞

⎛ x ⎞ Realizando la sustitución u = c t ⎜ Ω + y ⎟ se tiene du = c t d Ω 2 jc 2t ⎠ ⎝ ⎛ x ⎞ ⎜ j 2 c 2t ⎟⎟ ⎝ ⎠

2

c 2t ⎜

g ( x, t ) =

g ( x, t ) =

e

2π

e

∞

∫

e

−∞

−u 2

⎛ x ⎞ ⎜ j 2 c 2 t ⎟⎟ ⎝ ⎠

2

c2t ⎜

du

=

e

c t

∞

∫

c t 2 π

e

−u2

du

−∞

⎛ x 2 ⎞ −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 4 c t ⎠

2c π t

La solución a la ecuación de calor 1D puede escribir como u ( x, t ) = f ( x) ∗ g( x, t ) = f ( x) ∗

u ( x, t ) =

1

∞

∫

2c π t −∞

f (τ )e

e

(

)

− x2 / 4 c 2t

2c π t

− ⎡⎣( x −τ )2 / 4 c 2t ⎤⎦

dτ

Interpretación de la solución

Para valores pequeños de t ( t → 0 ), la función g ( x, t ) corresponde a una campana muy angosta, por lo cual, la convolución entre la campana y la temperatura inicial f ( x) , es prácticamente la función f ( x ) . A medida que el tiempo pasa, la campana dada por la función g ( x, t ) , se empieza a ensanchar y la convolución entre f ( x ) y g ( x, t ) corresponde a un versión distorsionada de la temperatura inicial f ( x ) .

224




1. Verifique que las siguientes funciones son solución a la ecuación de Laplace 2D. a. u( x, y ) = 2 xy b. u( x, y ) = x3 − 3 xy2 2. Verifique que la función u( x, y , z ) =

1 2

+ y + z 2

2

satisface la ecuación

∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2 u ∇ u= 2 + 2 + 2 =0 ∂ x ∂y ∂z 2

3. Verifique que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de calor para algún c . c. u( x, t ) = e−2t cos( x) d. u( x, y ) = e− t sin(3 x) 4. Verifique que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda. a. u( x, t ) = x2 + 4t 2 b. u( x, t ) = sin(Ωct )sin( Ωx) 5. Demuestre que u( x, t ) = v( x + ct ) + w(x − ct ) , donde v y w son funciones derivables de y t , es solución a la ecuación de onda. 6. Encuentre la función u( x, y ) , solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. a. u y + 2 yu = 0 b. u x = 2 xyu c. u xx + 4u = 0 Sección 7.2 y 7.3

7. Cuales de la siguientes funciones puede ser una condición inicial de una cuerda vibrante de longitud L = 1 . Justifique su respuesta.

225



a. b. c. d.

f ( x ) = sin(π x) f ( x ) = x 2 f ( x ) = sin(3π x) sin( 5π x) f ( x ) = cos(3π x )cos(5π x )

7. Encuentre la deflexión de la cuerda que tiene L = π y c = 1 , y que presenta las condiciones iniciales g ( x) = 0 y f ( x ) =

3

∑ k =1

1 k

sin( kx)

8. Encuentre la deflexión de la cuerda que tiene L = π y c = 1 , y que presenta las condiciones iniciales g ( x) = 0 y f ( x ) = sin( 2 x)cos( x − π 2 )

9. Encuentre la deflexión de la cuerda que tiene L = π y c = 1 , y que presenta las condiciones iniciales g ( x) = 0 y f ( x) =

3

∑ [ k sin( x) + sin( kx) ] . k =1

10. Encuentre u( x, y ) para la ecuación u x − au y = 0 utilizando el método de separación de variables. 11. Encuentre u( x, t ) para la ecuación la ecuación au x + ut = 0 , utilizando la transformada de Fourier. Sección 7.4

12. Encuentre la temperatura de una barra de longitud 10 y c = 1 . Sus terminaciones son mantenidas a cero grados y su temperatura inicial es f ( x ) = sin(0.2π x ) . 13. Encuentre la temperatura de una barra de longitud 10 y c = 1 . Sus terminaciones son mantenidas a cero grados y su temperatura inicial es f ( x ) = x(10 − x) .

226

Apéndice A

ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial o lineal es una colección de objetos, denominados vectores, que pueden ser sumados y escalados. Para realizar una definición más formal se necesitan algunas definiciones previas. A.1. Grupos, anillos y campos Definición A.1. Un grupo (G , *) es un conjunto G junto a una operación binaria ∗ que

cumplen i.

Clausura:

Si a, b ∈ G ⇒ a ∗ b ∈ G “ G es cerrado bajo ∗ ”.

ii. Asociatividad:

∀a, b, c ∈ G ⇒ a ∗ ( b ∗ c) = ( a ∗ b) ∗ c

iii. Identidad:

∀a ∈ G ( a ∗ e = e ∗ a = a) “ e : identidad”

iv. Inversa:

∀a ∈ G ∃a ' ∈ G / a ∗ a ' = a '∗ a = e

Si además ∀a, b ∈ G ( a ∗ b = b ∗ a) (conmutativo).

entonces el grupo

(G , *)

es abeliano

Ejemplo A.1. (Z, + ) y (R, + ) son grupos abelianos con identidad 0. (R ,×) es un grupo abeliano con identidad 1. (Z, ×) no es un grupo pues existen elementos sin inversa. (R,×) no es un grupo pues el elemento 0 no tiene inversa. El par (R, ×) se conoce como monoide. *

Definición A.2. (G , *) es un monoide si cumple las propiedades de clausura,

asociatividad e identidad de la Definición A.1. Definición A.3. Un anillo ( R, + , × ) es un conjunto R junto a la adición + y a la

multiplicación × , que cumplen i.

( R , + ) es un grupo abeliano con identidad 0 .

ii. ( R, ×) es un monoide con identidad 1 . iii. La multiplicación distribuye la adición ∀a , b, c ∈ R

a × (b + c) = a × b + a × c .

Definición A.4. Un campo ( F , +, ×) es un conjunto F junto a la adición + y a la

multiplicación × , que cumplen


Espacios vectoriales

i.

( F , + ) es un grupo abeliano con identidad 0 .

ii. ( F * , ×) es un grupo abeliano con identidad 1. iii. La

multiplicación

distribuye

a

la

adición

∀a, b, c ∈ R a × ( b + c ) = a × b + a × c . Los elementos de un campo se conocen como escalares. Ejemplo A.2. (R, + , ×) y (C, +, ×) son anillos y campos.

A.2. Definición de espacio vectorial

Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un campo ( F , +, ×) si i.

(V , + ) es un grupo abeliano con identidad 0 .

ii. ∀a ∈ F y ∀ v, w ∈ V :

a × (v + w) = a × v + a × w

iii. ∀a, b ∈ F y ∀ v ∈ V :

( a + b ) × v = (a × v) + (b × v)

iv. ∀a, b ∈ F y ∀ v ∈ V :

( a × b ) × v = a × (b × v)

v.

∀ v ∈ V :

1× v = v “ 1 es la identidad multiplicativa de F ”

vi. ∀a ∈ F y ∀ v ∈ V :

a v ∈ V

Los elementos de un espacio vectorial se conocen como vectores. Ejemplo A.3. Demuestre que los siguientes conjuntos son espacios vectoriales. Para

ello verifique que los elementos del campo pueden ser escalados y sumados.

•

V = R n con F = R

Si x ∈ R n entonces x = ( x1 , x2 , ..., xn ) con x1 , x2 , ..., xn ∈ R n . Escalados. Si a ∈ R y x ∈ R entonces a x = (ax1 , ax2 , ..., axn ) ∈ R . n

n

Sumados. Si x, y ∈ R entonces x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) ∈ R . n

•

n

V = L1 con F = C ∞

Si x(t ) ∈ L1 entonces

∫ x(t ) dt < ∞ . −∞

228



∞

Escalados. Si a ∈ C y x( t ) ∈ L1 entonces

∫

∞

−∞

x( t ) dt < ∞ .

−∞

∞

Sumados. Si x( t ), y( t ) ∈ L1 entonces

∫

ax( t ) dt = a ∞

∫ x(t ) + y( t ) dt ≤ ∫ −∞

∞

x( t ) dt +

−∞

∫

y( t) dt < ∞ .

−∞

A.3. Norma de un espacio vectorial

Una norma ⋅ es una “medida”, que se le asigna a cada elemento (vector) de un espacio vectorial V , que debe cumplir i.

∀ v ∈ V :

v ≥0 y

v =0⇔ v=0

ii. ∀a ∈ F y ∀ v ∈V :

av = a v

iii. ∀ v, w ∈ V :

v+ w ≤ v + w

Por tal motivo, una norma es una función del espacio vectorial a los números reales mayores iguales a cero, es decir, ⋅ : V → [0, ∞) . Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial dotado con norma. n

Ejemplo A.4. R y L1 son espacios vectoriales normados.

•

Si x ∈ R n entonces x = x12 + x22 + ... + xn2 ∞

•

Si (t ) ∈ L1 entonces x(t ) =

∫

x( t ) dt

−∞

Definición A.5. Una métrica ρ es una “medida de distancia”, entre dos vectores de un

espacio vectorial, que debe cumplir i.

∀ v, w ∈ V :

ρ (v,w) ≥ 0 y ρ (v, w) = 0 ⇔ v = w

ii. ∀ v, w ∈ V :

ρ (v, w) = ρ (w, v)

iii. ∀ v,w,z ∈ V :

ρ (v, z) ≤ ρ (v, w) + ρ (w, z)

Por tal motivo, una métrica es una función que toma dos elementos del espacio vectorial y asigna un número real mayor igual a cero, es decir, ρ : V × V → [0, ∞) . Un espacio vectorial métrico es un espacio vectorial dotado con métrica.

229



Observación A.1. Todo espacio vectorial normado es también un espacio métrico, con métrica definida como ρ (v, w) = v − w . n

Ejemplo A.5. R y L1 son espacios vectoriales métricos.

•

Si x, y ∈ R n entonces ρ (x, y) = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + ... + ( xn − yn )2 ∞

•

∫

Si x(t ), y( t ) ∈ L1 entonces ρ [ (t ), y(t )] =

x( t ) − y( t ) dt

−∞

A.4. Producto interno

El producto interno ⋅, ⋅ se define para dos elementos de un espacio vectorial V con campo F y debe cumplir ∀ v, w ∈ F y ∀a ∈ F con i.

v, v > 0 y

v, v ⇔ v = 0

ii.

v, w = w, v

iii.

v1 + v 2 , w = v1 , w + v2 , w

iv.

a v, w = a v, w

*

y

v, w1 + w 2 = v, w1 + v, w 2

y

v, a w = a* v, w

Por tal motivo, el producto interno es una función que toma dos elementos del espacio vectorial y un elemento del campo, es decir, ρ : V × V → F . Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial dotado con producto interno. Observación A.2. Todo espacio vectorial euclídeo es también un espacio normado, con norma definida como x = √ x, x . n

Ejemplo A.5. R y L2 son espacios vectoriales con producto euclídeo.

•

Si x, y ∈ R n entonces x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ∞

•

Si x(t ), y(t ) ∈ L2 entonces x(t ), y(t ) =

∫ x(t) y ( t) dt *

−∞

Adicionalmente, L2 es un espacio vectorial normado, con norma definida como ∞

(t ) =

∞

∫ x(t ) x (t )dt = ∫ *

−∞

2

x( t ) dt

−∞

230

Libro Julian Quiroga

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