Momentos Momentos de Inercia: Inercia: Problemas Resueltos
M. Chiumenti
•• II
Pr´ologo Pr o´ logo
E
ST E libro recoge una
parte del programa docente de la asignatura asignatura Mec anica , que se imparte ´
en la Escuela T´ Tecnica e´ cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona,
dentro de las titulaciones de d e Ingenier´ıa ıa Civil e Ingenier´ Ing enier´ıa ıa de la Construcci Con strucci´on. o´ n. Su contenido abarca los temas relacionados con el cc´alculo a´ lculo de los momentos est´ estaticos a´ ticos de primer orden, centroides y momentos de inercias a trav´es es de una amplia colecci´on on de problemas resueltos. Por una parte, se calculan los momentos de inercia de las secciones m as a´ s simples por integracion o´ n y por otra parte, se resuelven muchos problemas de secciones compuestas, secciones de pared delgada y secciones secciones mixtas acero/hormig´ acero/hormig´on. on. Los proble problemas mas se explic explican an paso paso a paso siguie siguiendo ndo la metodol metodolog og´´ıa ıa propuesta propuesta en las clases teoricas o´ ricas de la asignatura.
E
L autor
agradece a todos los profesores de la asignatura la ayuda recibida. Asimismo, se
agradece al Sr. Xavier Agull´o su colaboraci colaboracion o´ n en las tareas de edici´on, on, al Sr. Ra´ul ul Gim´enez, enez,
la delineacion o´ n de las figuras y esquemas de resoluci on o´ n que se incluyen. Por ultimo, u´ ltimo, se agradece el apoyo de la Escuela T´ecnica ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona, a trav´ traves e´ s de su programa de ayudas para la elaboraci elaboracion o´ n de material docente.
Michele Chiumenti Barcelona, Enero de 2012
•• IV
´ Indice general 1. Secciones resueltas por integracio´ n
1
1.1. Secci´on rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. C´alculo del ´area de la secci o´ n rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2. C´alculo del momento de inercia I y de la secci´on rectangular . . . . . . .
2
1.1.3. C´alculo del momento de inercia I x de la secci o´ n rectangular . . . . . . .
3
1.1.4. C´alculo del producto de inercia I xy de la secci´on rectangular . . . . . . .
4
1.2. Secci´on triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1. C´alculo del ´area de la secci o´ n triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2. C´alculo del momento de inercia I y de la secci´on triangular . . . . . . . .
7
1.2.3. C´alculo del momento de inercia I x de la secci o´ n triangular . . . . . . . .
7
1.2.4. C´alculo del producto de inercia I xy de la secci o´ n triangular . . . . . . . .
8
1.3. Secci´on parab´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1. C´alculo del ´area de la secci o´ n parab´olica
. . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2. C´alculo del momento de inercia I y de la secci o´ n parab´olica . . . . . . . .
11
1.3.3. C´alculo del momento de inercia I x de la secci´on parab´olica . . . . . . . .
12
1.3.4. C´alculo del producto de inercia I xy de la secci o´ n parab´olica . . . . . . . .
13
1.4. Secci´on circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.1. C´alculo del a´ rea de la secci´on circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.2. C´alculo de los momentos de inercia de la secci o´ n circular
. . . . . . . .
14
1.5. Cuarto de c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5.1. C´alculo del a´ rea del cuarto de c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5.2. C´alculo de los momentos de inercia del cuarto de c´ırculo . . . . . . . . .
18
•• VI
´ INDICE GENERAL
2. Secciones compuestas
21
2.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
21
2.1.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
25
2.2.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
29
2.3.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n compuesta . . . . . . . . .
33
2.4.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
37
2.5.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.5.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
39
2.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.6.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n compuesta . . . . . . . . .
41
2.6.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.6.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
43
2.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.7.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
44
2.7.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.7.3. C´alculo de los Momentos Principales de Inercia . . . . . . . . . . . . . .
46
2.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.8.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
47
´ INDICE GENERAL
•• VI I
2.8.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
49
2.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.9.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on compuesta . . . . . . . . .
50
2.9.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.9.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
52
2.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.10.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n compuesta . . . . . . . . .
54
2.10.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.10.3. C´a lculo de los Momentos Principales de Inercia . . . . . . . . . . . . . .
57
3. Secciones de pared delgada
59
3.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.1.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.1.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.1.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
61
3.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.2.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
66
3.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
71
3.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.4.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.4.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.4.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
75
3.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.5.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.5.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.5.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
79
•• V III
´ INDICE GENERAL
3.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.6.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.6.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.6.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
83
3.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.7.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.7.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.7.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
86
3.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.8.1. C´alculo del a´ rea y del centroide de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.8.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.8.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
90
3.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.9.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.9.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.9.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
94
3.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.10.1. C´alculo del ´area y del centroide de la secci o´ n . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.10.2. C´alculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.10.3. C´alculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
99
4. Secciones mixtas
101
4.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
4.1.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro de masa de la secci´on mixta . . .
101
4.1.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
102
4.1.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
103
4.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
4.2.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro mec´anico de la secci´on mixta
. .
105
4.2.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
106
4.2.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
107
4.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
4.3.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro mec´anico de la secci´on mixta
. .
109
´ Indice general
•• IX
4.3.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
110
4.3.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
111
4.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.4.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro mec´anico de la secci´on mixta
. .
113
4.4.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
114
4.4.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
115
4.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.5.1. C´alculo del ´area mec´anica y del centro mec a´ nico de la seccio´ n mixta
. .
116
4.5.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
117
4.5.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
118
4.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
4.6.1. C´alculo del ´area mec´anica y del centro mec a´ nico de la seccio´ n mixta
. .
119
4.6.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
120
4.6.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
121
4.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
4.7.1. C´alculo del ´area mec´anica y del centro mec a´ nico de la seccio´ n mixta
. .
122
4.7.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
123
4.7.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
124
4.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
4.8.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro mec´anico de la secci´on mixta
. .
125
4.8.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
126
4.8.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
127
Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
4.9.1. C´alculo del ´area mec´anica y del centro mec a´ nico de la seccio´ n mixta
. .
129
4.9.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
130
4.9.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
131
4.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
4.10.1. C´alculo del a´ rea mec´anica y del centro mec´anico de la secci´on mixta
. .
132
4.10.2. C´alculo de los momentos de inercia mec´anicos . . . . . . . . . . . . . .
133
4.10.3. C´a lculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . .
134
4.9.
•• X
´ Indice general
1
O L U T I ´ P A C 1.1.
Secciones
resueltas
por integraci´ on
Secci´on rectangular
Calcular el a´ rea, los momentos de inercia y el producto de inercia de la secci o´ n rectangular que se muestra a continuaci´on.
Figura 1.1: Seccion ´ rectangular
1.1.1.
Ca´ lculo del a´ rea de la secci o´ n rectangular
Para realizar el c ´alculo del a´ rea de la secci´on dada nos apoyamos a la definici´on de la misma: A =
dA
(1.1)
A
En la figura 1.2 se puede apreciar como el diferencial de a´ rea dA es una franja de espesor dx y altura h de tal manera que: dA = h dx
(1.2)
El a´ rea se calcula como suma de estos diferenciales de a´ rea por x que corre entre 0 y b : b
A =
0
b
h dx = h [ x]0 = b h
(1.3)
•• 2
Secciones resueltas por integracio´ n
Figura 1.2: Esquema del diferencial de area para calcular I y ´ Para calcular la posici´o n del centroide de la secci o´ n es necesario obtener los momentos est´aticos seg´un ambos ejes x y y definidos como: M x
=
M y
=
Y G d A
(1.4a)
X G d A
(1.4b)
A
A
donde X G y Y G definen la posicio´ n del centroide de la franja de a´ rea d A. En ´este caso, valen: X G
= x
Y G
=
y ( x)
2
=
(1.5a)
h
2
(1.5b)
de tal manera que los mementos est´aticos resultan: M x M y
=
A
=
h
2
b
dA =
0
h
2
(h dx ) =
b
x d A =
A
x (h dx ) = h
0
h2
2
[ x ]b0 =
x2
2
b
= 0
b h2
2 b2 h
2
(1.6a)
(1.6b)
Una vez obtenidos los valores de los momentos est´aticos, la posici´on del centroide de la secci´on rectangular se halla como:
1.1.2.
xg
=
yg
=
M y
=
b
2 h = 2 A
A M x
(1.7a)
(1.7b)
Ca´ lculo del momento de inercia I y de la secci o´ n rectangular
El c´alculo del momento de inercia I y (respecto del eje y en definido en la figura 1.1) se realiza f a´ cilmente considerando la subdivisi´on de la secci o´ n seg´un los mismos diferenciales de
•• 3
1.1 Seccio´ n rectangular
a´ rea mostrados en la figura 1.2: I y =
X G2 d A = A
b
2
x (hdx ) = h
0
x3
3
b
1
= b3 h 0
3
(1.8)
Una vez se ha obtenido el momento la inercia respecto al eje y , se puede transportar al eje y g (que pasa por el centroide de la secci o´ n) mediante el teorema de los ejes paralelos (o teorema de Steiner): I yg = I y
1.1.3.
− A
b
2
2
=
1 12
b3 h
(1.9)
Ca´ lculo del momento de inercia I x de la secci o´ n rectangular
Para calcular el momento de inercia I x , es conveniente dividir la secci o´ n en diferenciales de a´ rea de espesor d y, tal y como se muestra en la figura 1.3:
Figura 1.3: Esquema del diferencial de area para calcular I x ´ En este caso, el valor del diferencial de ´area d A resulta: dA = b dy
(1.10)
y la correspondiente posici´on del centroide de cada diferencial de ´area es: X G
=
Y G
=
b
2 y
(1.11a)
(1.11b)
El c a´ lculo del momento de inercia I x se realiza de la siguiente manera: I x =
A
Y G2
h
dA =
0
2
y (b dy ) = b
y3
3
h
1 3
= bh3 0
(1.12)
•• 4
Secciones resueltas por integracio´ n
y aplicando el teorema de los ejes paralelos es posible transportarlo al eje horizontal que pasa por el centroide:
1.1.4.
I xg = I x
2
− A
h
2
=
1 12
bh3
(1.13)
Ca´ lculo del producto de inercia I xy de la secci o´ n rectangular
Para el c´alculo del producto de inercia es conveniente dividir la secci´o n en peque˜nos rect´angulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.4
Figura 1.4: Esquema del diferencial de area ´ para calcular I xy
El diferencial de a´ rea dA es, por lo tanto: dA = dx dy
(1.14)
y el centroide del diferencial de a´ rea se encontrar´a en la posici´on: X G
= x
(1.15a)
Y G
= y
(1.15b)
El producto de inercia I xy se calcula como: I xy
=
xG y G d A =
A
b
=
x
0
=
1 4
b2 h2
y2
2
xy d A =
A
h
dx =
0
b
x
0
h2
2
h
b
x dx =
0
dx =
y dy
0
h2 x2
2
2
b
=
0
(1.16)
•• 5
1.1 Seccio´ n rectangular
El valor del producto de inercia I xg yg respecto de los ejes que pasan por el centroide de la seccio´ n se obtiene como: I xg yg = I xy
− A h2 b2 = 0
(1.17)
•• 6
1.2.
Secciones resueltas por integracio´ n
Secci´on triangular
Calcular el a´ rea, los momentos de inercia y el producto de inercia de la secci´on triangular que se muestra a continuaci o´ n.
Figura 1.5: Seccion ´ triangular
1.2.1.
Ca´ lculo del a´ rea de la secci o´ n triangular
h La secci´on triangular est´a delimitada por la recta y ( x) = x y el eje de las abscisas, por x que b var´ıa entre 0 y b . En la figura 1.6 se muestra el diferencial de a´ rea d A que se usa para el calculo
del ´area de la secci o´ n: dA = y ( x) dx =
La posici´on del centroide del diferencial de a´ rea: X G
= x
Y G
=
h x b
dx
(1.18)
y( x)
2
=
(1.19a)
1h x 2b
(1.19b)
El a´ rea de la secci´on se obtiene integrando en todo el dominio (sumando los diferenciales de a´ rea): b
A =
dA =
A
0
h h x2 x d x = b b 2
b
=
bh
2
0
(1.20)
La posici´on del centroide de la secci´on se obtiene calculando los momentos est´aticos: M x M y
=
A
=
b
Y G d A =
X G d A =
A
h2
x3
2b2
3
b
1h x 2b
0
b
x
0
h x dx b
h x dx b
=
h
x3
b
3
=
b
=
0
0
b2 h
3
=
b h2
6
(1.21a) (1.21b)
•• 7
1.2 Seccio´ n triangular
Figura 1.6: Esquema del diferencial de area para calcular I y ´ de tal manera que:
1.2.2.
xg
=
xg
=
M y A M x A
2 3 1
= b
(1.22a)
= h
(1.22b)
3
Ca´ lculo del momento de inercia I y de la secci o´ n triangular
El valor del momento de inercia I y se obtiene como: I y =
X G2 d A = A
b
h x4
x
h x dx b
2
0
=
4
b
b
1
= b3 h 0
4
(1.23)
y posteriormente, aplicando el teorema de los ejes paralelos, el valor del momento de inercia I yg correspondiente a un eje que pasa por el centroide ( xg yg ) se calcula como: ,
I yg = I y
1.2.3.
2
− 2
A
3
b
=
1 36
b3 h
(1.24)
Ca´ lculo del momento de inercia I x de la secci o´ n triangular
Para calcular el valor de la inercia I x es conveniente descomponer la seccio´ n en diferenciales de a´ rea horizontales d A de espesor d y como se muestra en la figura 1.7. Por un lado, este diferencial de a´ rea vale: y
−
dA = [ b x( y)] dy = b 1
−
h
dy
(1.25)
donde se ha invertido la funci´on y = y ( x) para poder escribir la funci´on x = x( y) y( x) =
h b
x
⇒ x( y) = bh y
(1.26)
•• 8
Secciones resueltas por integracio´ n
Figura 1.7: Esquema del diferencial de area para calcular I x ´ Por otro lado, la posici´on del centroide del diferencial de ´area es la siguiente: X G
= x( y) +
Y G
= y
[ b − x( y)]
2
(1.27a)
(1.27b)
El momento de inercia I x se calcula como: I x
=
A
=
Y G2 d A =
− 1
1
3
4
h
y
− 2
y b 1
0
bh3 =
1
12
h
dy = b
y3
h
b y4
− 3
0
4
h
bh3
h 0
(1.28)
Por u´ ltimo, se transporta el momento de inercia al eje que pasa por el centroide usando el teorema de los ejes paralelos: I xg = I x
1.2.4.
− A
1 3
h
2
=
1 12
bh3
− 181 bh3 = 361 bh3
(1.29)
Ca´ lculo del producto de inercia I xy de la secci o´ n triangular
Para el c´alculo del producto de inercia I xy es conveniente dividir la secci o´ n en peque˜nos rect´angulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.8. El diferencial de ´area se escribe como: dA = dx dy
(1.30)
•• 9
1.2 Seccio´ n triangular
Figura 1.8: Esquema del diferencial de area para calcular I xy ´ El centroide del diferencial de ´area se sit u´ a en la posici´on: X G
= x
(1.31a)
Y G
= y
(1.31b)
El producto de inercia I xy se calcula integrando con ambas variables:
I xy
=
X GY G d A =
A
=
1 h2 2 b2
b
0
3
x dx =
0
y( x)= hb x
b
y d y
0
1 h2 x4 2 b2
b
4
0
b
x d x =
y2
2
0
h b x
x d x 0
1
= b2 h2
(1.32)
8
y transportando el producto de inercia hacia los ejes que pasan por el centroide (teorema de los ejes paralelos), obtenemos: I xG yG = I xy
− − A
2 3
b
1 3
h
=
1
1
8
9
b2 h2 =
1 72
b2 h2
(1.33)
•• 10
1.3.
Secciones resueltas por integracio´ n
Secci´on parab´olica
Calcular el a´ rea, los momentos de inercia y el producto de inercia de la secci´o n que se encuentra entre el eje de las abscisas y la par a´ bola y ( x) = kx 2 , que se muestra a continuacio´ n.
Figura 1.9: Seccion olica ´ parab´
1.3.1.
Ca´ lculo del a´ rea de la secci o´ n parab o´ lica
Para calcular el a´ rea de esta secci´on es conveniente considerar unos diferenciales de a´ rea verticales d A de espesor d x como se muestra en la figura 1.10 .
Figura 1.10: Esquema del diferencial de area ´ para calcular I y
El diferencial de ´area dA resultante es: dA = y( x) dx = kx 2 dx
(1.34)
•• 11
1.3 Seccio´ n parab´olica
y la posici´on del centroide del diferencial de a´ rea es: X G
= x
Y G
=
y ( x)
2
(1.35a) (1.35b)
El a´ rea de la secci´on se obtiene integrando en el dominio respecto a la variable x : a
=
A
dA =
A
= k
a
y( x) dx =
0
3
x
3
a
=
kx2 dx
0
ka
3
3
0
ab
=
3
(1.36)
b
siendo b = ka 2 se ha expresado el valor de k en la forma k =
. a2 Para obtener la posicio´ n del centroide de la secci o´ n es necesario calcular el valor de los
momentos est´aticos M y y M x como se muestra a continuaci´on: M y
=
a
X G d A =
A
= M x
=
ka
4
=
4
A
2
10
x [ y( x) d x] =
0
3
kx dx = k
0
=
ab
x4
4
a 0
4
Y G d A =
k a
a
a b
2 5
=
2
a y( x)
a
[ y( x) dx] =
2
0
(1.37a)
k 2 x4
2
0
dx =
k 2 x5
2
5
a 0
10
(1.37b)
Con estos resultados es posible sacar la posici´on del centroide:
1.3.2.
xg
=
yg
=
M y A M x A
3
= a =
4 3
10
(1.38a)
b
(1.38b)
Ca´ lculo del momento de inercia I y de la secci o´ n parabo´ lica
E c a´ lculo del momento de inercia I y se halla como: I y =
X G2 d A = A
a
x5
a
x
2
2
kx dx = k
0
5
=
0
ka 5
5
1
= a3 b
5
(1.39)
y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos: I yg = I y
2
− − A
3 4
a
=
1
3
5
16
ba3 =
1 80
a3 b
(1.40)
•• 12
1.3.3.
Secciones resueltas por integracio´ n
Ca´ lculo del momento de inercia I x de la secci o´ n parabo´ lica
Figura 1.11: Esquema del diferencial de area ´ para calcular I x . Pasando a un diferencial de a´ rea horizontal de espesor d y, como se muestra en la figura 1.11, se puede escribir: dA = [ a x( y)] dy
−
siendo x ( y) =
y la k
(1.41)
funcio´ n inversa que representa la par a´ bola.
La distancia del diferencial de a´ rea desde el eje x , es simplemente: Y G = y
(1.42)
El momento de inercia I x se obtiene resolviendo la siguiente integral: I x
=
A
b
− b
y
y2 a
k
0
3
7
2 y 2 7
0
ab3
2
3
7
b
b3
k
k
=
dy
b
− √ − − y3
= a =
Y G2 d A =
0
1
2
3
7
ab3 =
1 21
ab3
(1.43)
y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos: I xg = I x
2
− A
3 a 10
=
1 21
−
3 100
ab3 =
37 ab3 2100
(1.44)
•• 13
1.3 Seccio´ n parab´olica
Figura 1.12: Esquema del diferencial de area para calcular I xy ´
1.3.4.
Ca´ lculo del producto de inercia I xy de la secci o´ n parabo´ lica
Por ´ultimo, para hallar el valor del producto de inercia, I xy , se escoge un diferencial de ´area dA de lados dx y dy, tal y como puede verse en la figura 1.12 El valor de dA y la posici´on de su centroide se expresan en funci´o n de las variables independientes x e y : dA
= dx dy
X G
= x
(1.45b)
Y G
= y
(1.45c)
(1.45a)
El producto de inercia se obtiene con la siguiente integral doble:
I xy
=
X GY G d A =
a
0
kx2
a
A
=
k 2 x5
2
dx =
y d y
0
x d x =
0
k 2 x6
2
a
a
6
=
0
k 2
12
0
a6 =
1 12
y2
kx2
2
x dx
0
a2 b2
(1.46)
Si se requiere el valor respecto a los ejes que pasan por el centroide de la secci´on, ( xg yg ), se debe ,
aplicar la formula del transporte de Steiner (teorema de los ejes paralelos) como sigue: I xg yg = I xy
− A
3 4
a
3
10
b
=
1
3
− 12 48
a2 b2 =
1 48
a2 b2
(1.47)
•• 14
1.4.
Secciones resueltas por integracio´ n
Secci´on circular
Calcular el a´ rea, los momentos de inercia y el producto de inercia de la secci´on circular que se muestra a continuacio´ n.
Figura 1.13: Secci´ on circular
1.4.1.
Ca´ lculo del a´ rea de la secci o´ n circular
En este caso, teniendo en cuenta la simetr´ıa radial de la secci o´ n, es conveniente considerar un ´ diferencial de a´ rea (aros de espesor d r ) como lo que se muestra en la figura 1.14. Este diferencial de ´area vale: dA = 2π r dr
(1.48)
Integrando entre 0 y R , se obtiene el a´ rea de la secci´on: R
A =
dA =
A
1.4.2.
2π r dr = 2π
0
r 2
R
2
= π R2
(1.49)
0
Ca´ lculo de los momentos de inercia de la secci o´ n circular
Lo m´as sencillo de calcular es el momento polar de inercia, como se muestra a continuaci´on: I o =
A
2
R
r dA =
3
2π r dr = 2π
0
r 4
R
4
= 0
1 4 π R 2
(1.50)
Teniendo en cuenta que I o = I x + I y y que por la doble simetr´ıa de la secci´on I x = I y , se puede calcular el momento de inercia: I x = I y =
I o
2
=
1 4
4
π R
(1.51)
•• 15
1.4 Seccio´ n circular
Figura 1.14: Esquema del diferencial de area ´ Una forma alternativa de calcular el momento de inercia de la secci o´ n circular es trabajando en coordenadas polares.
Figura 1.15: Esquema del diferencial de area. ´ En este caso, el diferencial de ´area, dA, que resulta interesante utilizar consiste en un pequen˜ o rect´angulo de espesor d r y longitud rd θ como se muestra en la figura 1.15: dA = ( rd θ ) dr
(1.52)
La posici´on del centroide del diferencial de a´ rea se encuentra en: X G
= r cos θ
(1.53a)
Y G
= r sin θ
(1.53b)
•• 16
Secciones resueltas por integracio´ n
Utilizando las coordenadas polares, la integral sobre el dominio de la secci´on para el c´alculo del momento de inercia, I x , se resuelve como sigue: I x
=
A
=
Y G2 d A =
R4
4
2π
sin
2
2π
R
3
2
r dr sin
0
θ
d θ =
0
d θ =
R4
0
4
r 4
2π
θ
4
0
− θ
sin2θ
2
4
2π
= 0
R
1 4
π R
dr sin2 θ d θ
0
4
(1.54)
Por razones de simetr´ıa, el producto, I xy , tiene que ser nulo y efectivamente: I xy
=
2π
X GY G d A =
A
=
R4
4
sin2 θ
2π
2
0
R
0
=0
r 3 dr sin θ cos θ d θ
0
(1.55)
•• 17
1.5 Cuarto de c´ırculo
1.5.
Cuarto de c´ırculo
Calcular el a´ rea, los momentos de inercia y el producto de inercia de la secci´on que se muestra a continuaci´on.
Figura 1.16: Cuarto de c´ ırculo
1.5.1.
Ca´ lculo del a´ rea del cuarto de c´ırculo
En este caso, lo m´as co´ modo es trabajar en coordenadas polares, utilizando el radio r y el a´ ngulo θ como variables de integraci´on. El diferencial de a´ rea, d A, que resulta interesante usar, consiste en un peque˜no rect´angulo de espesor d r y longitud rd θ como se muestra en la figura 1.17 . dA = ( rd θ ) dr
(1.56)
La posici´on del centroide del diferencial de ´area se encuentra en: X G
= r cos θ
(1.57a)
Y G
= r sin θ
(1.57b)
El a´ rea del cuarto de c´ırculo se calcula integrando en todo el dominio utilizando las coordenadas polares: π
A =
R
dA =
A
0
π
R
2
2
r dr d θ =
0
0
r 2
2
0
d θ =
R2
2
π
[θ ]02 =
π R
4
2
(1.58)
•• 18
Secciones resueltas por integracio´ n
Para calcular la posici´on del centroide de la secci´on, es necesario obtener el valor de los momentos est´aticos:
=
M x
A
= =
M y
π
Y G d A =
R3
3
π
2
R
2
0
sin θ d θ = π
X G d A
A
2
r dr sin θ d θ =
0
0
π
R
R3
3
[− cos θ ]0 = 2
2
0
r 2 dz
2
0
π
R3
R
r 3
3
sin θ d θ 0
3
cos θ d θ =
0
R3
3
(1.59a) R3
π
[sin θ ]02 =
3
(1.59b)
de tal manera que:
1.5.2.
X G
=
Y G
=
M y
=
4 R
(1.60a)
3 π 4 R = 3 π A
A M x
(1.60b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia del cuarto de c ´ırculo
Figura 1.17: Esquema del diferencial de area. ´
El momentos de inercia respecto del eje de las abscisas, I x , se obtiene resolviendo la siguiente integral: I x =
A
π
Y G2 d A =
R
2
0
3
2
r dr sin
0
θ
d θ =
R4
4
− θ
sin2θ
2
4
π
2
0
=
π R4
16
(1.61)
Por un lado se puede observar como el valor del momento de inercia es justamente la cuarta parte del momento de inercia del c´ırculo. Por otro lado, la simetr´ıa impone I x = I y .
•• 19
1.5 Cuarto de c´ırculo
Finalmente, utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos mover el momento de inercia , I x , hacia el eje que pasa por el centroide de la secci o´ n: I xg = I x
− 4 R
A
3 π
2
4
=
π R
16
4
− 49 Rπ
(1.62)
El c a´ lculo del producto de inercia I xy se realiza de forma similar: I xy
=
π
X G Y G d A =
A
=
R4 sin2 θ
4
π
2
R
2
0
2
=
0
r 3 dr sin θ cos θ d θ
0
R4
8
(1.63)
y utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos movernos al eje que pasa por el centroide de la seccio´ n: I xg yg = I xy
− A
4 R
4 R
3 π
3 π
=
R4
8
4
− 49 Rπ
(1.64)
•• 20
Secciones resueltas por integracio´ n
2
O L U T I ´ P A C 2.1.
Secciones compuestas
Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on compuesta de figura 2.1a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.1: Problema 1: (a) Seccion ´ propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece de la seccion ´ compuesta
2.1.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Para resolver el problema, primero se procede al despiece de la secci o´ n compuesta en dos rect´angulos, ( 1) y ( 2), tal y como se muestra en la figura 2.1b. En primer lugar se calculan las ´areas de los dos rect a´ ngulos descritos y el ´area total, A T : A(1)
= 5 l2
(2.1a)
A(2)
= 3l 2
(2.1b)
= A(1) + A(2) = 8l 2
(2.1c)
AT
•• 22
Secciones compuestas
En segundo lugar, se calculan los momentos est´aticos (respecto de los ejes de figura 2.1b) como paso previo al c´alculo del centroide de la secci o´ n compuesta: M x M y
5l
l
2 l A(1) 2
2
= A(1) ( ) + A(2) ( ) = 14l 3 =
5l
+ A(2)
2
(2.2a)
= 10l 3
(2.2b)
Finalmente, la posicio´ n del centroide se obtiene con las siguientes expresiones: xg yg
2.1.2.
=
M y
5l
= 1 25 l 4 7l = = = 1 75 l 4 AT AT M x
=
,
(2.3a)
,
(2.3b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia I x e I y , el producto I xy y el momento polar I o respecto a los ejes x G e y G ( ver figura 2.2a) que pasan por el centroide de la secci´on compuesta. (i)
El momento de inercia I x de cada rect´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
(1)
I x
(2)
I x
= =
1 3 l ( 5 l ) + A(1) 12 1 12
3
3l ( l ) + A
(2)
− − 5l 2
l
2
2
(2.4a)
yg
2
(2.4b)
yg
El valor del momento de inercia de la seccio´ n compuesta se obtiene sumando las contribuciones de las diferentes partes del despiece: (1)
(2)
I x = I x + I x
= 18 16 l 4
(2.5)
,
(i)
De la misma forma, se procede con el c´alculo de los momentos de inercia, I y : (1)
I y
(2)
I y
= =
1 12
3
(1)
(5l ) l + A
1 l ( 3l )3 + A(2) 12
2
− − l
2
5l 2
(2.6a)
xg
xg
2
(2.6b)
•• 23
2.1 Problema 1
y calcula el momento de inerciade la secci´on compuesta, I y , sumando las inercias del despiece: (1)
(2)
I y = I y + I y
= 10 16 l 4 ,
(2.7)
Se sigue la misma metodolog´ıa en el c´alculo del producto de inercia: (1)
= 0 + A
I xy
(2)
− − − − l
(1)
2
5l
= 0 + A(2)
I xy
(1)
5l 2
xg
l
xg
2
2
yg
(2.8a)
yg
(2.8b)
(2)
= I xy + I xy = −7 5 l 4
I xy
(2.8c)
,
Por u´ ltimo, el valor del momento polar de inercia, I o , respecto al centroide se calcula f a´ cilmente sumando I x e I y
.
I o = I x + I y = 28 33 l 4
(2.9)
,
2.1.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.2b los momento principales de inercia inercias (m a´ ximo y m´ınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula ( I xy = 0) , una situaci´on que corresponde a la intersecci o´ n del c´ırculo Mohr con el eje horizontal. El centro, I m , y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se obtienen: I m R
= =
I x + I y
= 14 16 l 4
(2.10a)
,
2
− I y
I x
2
2 2 = 8 5 l 4 + I xy ,
(2.10b)
de tal manera que los momento principales de inercia inercias, I max e I min, resultan: I max
= I m + R = 22 67 l 4
(2.11a)
I min
= I m − R = 5 67 l 4
(2.11b)
,
,
Para finalizar, la rotaci´on de ejes, θ , necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.2b ) se calcula como: θ = 0,5 arctan
2 I xy
I y − I x
= 30 9o ,
(2.12)
El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotaci´on de ejes en sentido antihorario, o bien (manteniendo los ejes fijos) a una rotaci´on horaria de la seccio´ n.
•• 24
Secciones compuestas
a)
b)
Figura 2.2: Problema 1: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 25
2.2 Problema 2
2.2.
Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia de la secci o´ n compuesta de figura 2.3a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.3: Problema 2: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.2.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
La seccio´ n dada se puede considerar como la suma de los cuatro tri´angulos (1), (2), (3) y (4), como se muestra en figura 2.3b. Las a´ reas de los tri´angulos descritos son las siguientes: 3l 2
A(1)
= (2 l )( ) = 3 l 2
(2.13a)
A(2)
= A(1)
(2.13b)
A(3)
= (2 l )( ) = 3 l 2
(2.13c)
A(4)
= A(3)
(2.13d)
3l 2
Sumando estas a´ reas se obtiene el ´area, A T , de la seccio´ n compuesta: AT = A (1) + A(2) + A(3) + A(4) = 12 l 2
(2.14)
•• 26
Secciones compuestas
Debido a la doble sim´etria de la secci´on compuesta, su centroide se sit´ua en la intersecci´o n de estos ejes de simetria:
2.2.2.
xg
= 0
(2.15a)
yg
= 0
(2.15b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia I x e I y , el producto de inercia I xy y el momento polar de inercia, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centroide de la secci´on compuesta ( vease figura 2.4a). El valor del momento de inercia de la seccio´ n compuesta, I x , se obtiene sumando las (i)
contribuciones, I x , de las diferentes partes del despiece: (1)
I x
(2)
I x
=
(1)
=
(4)
=
I x
36
(2 l )(3 l )3 + A(1) (l )2 =
= I x =
(3)
I x
1
9 l4
2
9 l4
(2.16a)
2
1 9 l4 2 (3) 3 (2 l )(3 l ) + A ( l ) = 36 2 4 9l (3) I x = 2
−
(2.16b)
(2.16c) (2.16d)
Se puede observar como el primero termino corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, G(i) , de cada parte del despiece, mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci o´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner). La suma de los cuatro momentos de inercias parciales permite obtener el valor, I x , de la secci´on compuesta: (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + I x + I x + I x
= 18 l 4
(2.17)
De la misma manera se procede con el c a´ lculo de, I y . Primero se calculan las inercias parciales
•• 27
2.2 Problema 2
y despu´es, sum´andolas, se obtiene el valor del momento de inercia, I y , de la secci´on compuesta: (1)
I y
(2)
I y
= =
1
3
36
(3 l )(2 l ) + A
2
−
1 (3 l )(2 l )3 + A(1) 36
2l 3
= 2 l 4
2l
(2)
= I y = 2 l 4
(4)
= I y = 2 l 4
I y
= I y + I y + I y + I y = 8 l 4
I y
2
3
(3)
I y
(2)
= 2 l 4
(2.18b) (2.18c)
(1) (1)
(2)
(2.18a)
(2.18d) (3)
(4)
(2.18e)
El producto de inercia, I xy = 0 debido a la doble simetr´ıa de la secc´ıon. Esto se puede comprobar siguiendo exactamente el mismo procedimiento anterior: (1)
1
2
2
− − − − 2l
(1)
=
− 72 (2 l ) (3 l )
(2)
=
1 (2 l )2 (3 l )2 + A(2) 72
(3)
=
− 721 (2 l )2(3 l )2 + A(3)
(4)
=
1 (2 l )2 (3 l )2 + A(4) 72
I xy
= I xy + I xy + I xy + I xy = 0
I xy I xy I xy I xy
(1)
(2)
+ A
(3)
3
2l 3
2l 3
2l 3
(l )
(2.19a)
(l )
(2.19b)
( l)
( l)
(4)
(2.19c) (2.19d) (2.19e)
Por u´ ltimo, el valor del momento polar de inercia, I o , se obtiene sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 26 l 4
2.2.3.
(2.20)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el c´alculo de los momentos de inercia son ejes principales de inercia ( I xy = 0). De ese modo resulta: I max
= I x = 18 l 4
(2.21a)
I min
= I y = 8 l 4
(2.21b)
•• 28
Secciones compuestas
a)
b)
Figura 2.4: Problema 2: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 29
2.3 Problema 3
2.3.
Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia de la secci o´ n compuesta de figura 2.5a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.5: Problema 3: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.3.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Si se analiza la geometr´ıa de la secci o ´ n copuesta propuesta ( figura 2.5a), se observa como e´ sta se puede ver como una secci o´ n rectangular ( 1) a la cual se restan los tri a´ ngulos (2) y ( 3). De esta forma, el a´ rea de la secci´on compuesta, A T , resulta: A(1) (2)
= (4 l )(4 l ) = 16 l 2 3l
3 l2
2 4l
2
A
= l ( ) =
A(3)
= l ( ) = 2 l 2
AT
(2.22a)
(2.22b) (2.22c)
2
= A
(1)
(2)
− A − A
(3)
=
25 l 2
2
(2.22d)
Los momentos est´aticos respecto de los ejes de figura 2.5b se obtienen con las siguientes expresiones: M x
=
M y
=
2l l3 = 0 167 l 3 A (0) A ( l ) A ( ) = 3 6 5l 5 l3 (1) (2) 5 l (3) A (0) A ( ) A ( ) = = 0 83 l 3 3 3 6 (1)
− −
(2)
− −
−
(3)
,
−
,
(2.23a) (2.23b)
•• 30
Secciones compuestas
de tal manera que el centroide de la secci´on compuesta se encuentra en la siguiente posici´on (vease figura 2.6a):
=
yg
2.3.2.
M y
AT M x
=
l
= 0 067 l 15 l = = = 0 013 l 75 AT
xg
,
,
(2.24a)
(2.24b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia I x e I y , el producto I xy y el momento polar I o respecto a los ejes x G e y G ( ver figura 2.6a) que pasan por el centroide de la secci´on compuesta. (i)
El momento de inercia, I x , de cada secci o´ n del despiece se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.5b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
= = =
1
(4 l ) (4 l )3 + A(1) (− yg )2
(2.25a)
12 1 (l )(3 l )3 + A(2) ( l 36
− − yg)2
1 (l )(4 l )3 + A(3) 36
2l 3
− yg
(2.25b) 2
(2.25c)
El momento de inercia, I x , de la secci´on compuesta se c´alcula restando a la inercia generada (1)
(2)
(3)
por la seccio´ n rectangular I x , las que generan los dos tri´angulos I x (1)
I x = I x
y I x :
− I x(2) − I x(3) = 16 4 l 4
(2.26)
,
El c´alculo de la inercia I y sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuaci´on: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= = =
1 (4 l ) (4 l )3 + A(1) ( xg)2 12 1 5l (l )3 (3 l ) + A(2) xg 36 3
(2.27a)
−
1 36
(3)
(l ) (4 l ) + A
(1)
= I y
3
2
− − − 5l 3
− I y(2) − I y(2) = 11 3 l 4 ,
(2.27b)
2
xg
(2.27c) (2.27d)
•• 31
2.3 Problema 3
y de la misma manera, para el producto de inercia, I xy : (1)
I xy
= 0 + A(1) (− xg ) (− yg )
(2)
=
(3)
=
I xy I xy
I xy
1 (l )2 (3 l )2 + A(2) 72 1 72
(l )2 (4 l )2 + A(3)
(1)
= I xy
− − − − − − 5l 3
xg ( l
5l
2l
xg
3
yg )
3
yg
− I xy(2) − I xy(3) = 4 3 l 4
(2.28a) (2.28b)
(2.28c) (2.28d)
,
Por u´ ltimo, se obtiene el momento polar de inercia, I o , cono la suma de I x e I y . I 0 = I x + I y = 27 7 l 4
(2.29)
,
2.3.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr en la figura 2.6b resultan: I m R
= =
I x + I y
2
= 13 9 l 4
(2.30a)
,
− I y
I x
2
2 2 = 5 04 l 4 + I xy ,
(2.30b)
y los correspondientes momentos de inercia I max e I min tienen por lo tanto el siguiente valor:
Para finalizar, el a´ ngulo,
θ ,
I max
= I m + R = 18 9 l 4
(2.31a)
I min
= I m − R = 8 8 l 4
(2.31b)
,
,
que corresponde a la rotaci o´ n de ejes necesaria para que e´ stos
coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.6a) vale:
2 I xy 1 θ = arctan 2 I y I x
−
= −29 9o ,
(2.32)
•• 32
Secciones compuestas
a)
b)
Figura 2.6: Problema 3: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 33
2.4 Problema 4
2.4.
Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia de la secci o´ n compuesta representada en la figura 2.7a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.7: Problema 4: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.4.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Si se analiza la geometr´ıa de la seccio´ n propuesta, se observa como e´ sta se puede ver como una secci´on rectangular ( 1) a la cual se resta un tri´angulo ( 2) y un cuarto de c´ırculo ( 3) como se muestra en la figura 2.7b. De esta forma, el ´area de la secci o´ n compuesta, A T , resulta: A(1)
= (8 l )(6 l ) = 48 l 2
A(2)
= (4 l )( ) = 6 l 2
A(3)
1 2 2 π (3 l ) = 7 07 l 4 = A(1) A(2) A(3) = 34 93 l 2
AT
(2.33a)
3l
(2.33b)
2
=
(2.33c)
,
−
−
(2.33d)
,
El valor de los momentos est´aticos se calculan como: M x
= A(1) (3l ) − A(2) (l ) − A(3) (6l −
M y
= A(1) (4l ) − A(2) (8l −
4l 3
4
( 3l )) = 104 6 l 3 ,
3π 4 A(3) ( 3l ) = 143 l 3 3π
) −
(2.34a) (2.34b)
•• 34
Secciones compuestas
y la posici´on del centroide (que se muestra en la figura 2.8a) se obtiene como :
2.4.2.
xg
=
yg
=
M y
= 4 1 l
,
AT M x
= 3 l
AT
(2.35a)
(2.35b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calcula los momentos de inercia, I x e I y , el producto de inercia, I xy y el momento polar, I o , respecto a ejes que pasan por el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta. ,
El momento de inercia de la secci o´ n compuesta, I x se calcula restando a la inercia generada (1)
(2)
por el rect´angulo, I x , la que corresponde al tri´angulo, I x
(3)
y al cuarto de c´ırculo, I x .
(i)
El momento de inercia, I x , de cada secci´on del despiece se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.7b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del ,
transporte de Steiner). Observese que en el caso del cuarto de c ´ırculo es necesario aplicar la formula del transporte dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto del centro del c´ırculo hacia el centroide del c´ırculo y una segunda vez hacia el centroide de la secci´on compuesta: 1 (8 l )(6 l )3 + A (1) (3 l yg )2 12 1 (4 l )(3 l )3 + A (2) (l yg )2 36 1 1 4 (3 l ) 2 ( π ( 3l )4 ) A(3) ( ) + A(3) (6 l 4 4 3π
(1)
=
(2)
=
(3)
=
I x
= I x
I x I x I x
(2.36a)
−
(2.36b)
−
−
(1)
− 4 3(π 3 l ) − yg)2
(2.36c)
− I x(2) − I x(3) = 91 4 l 4
(2.36d)
,
El c a´ lculo de la inercia I y sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuaci o´ n: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= = =
1 12 1
(6l )(8l )3 + A(1) (4 l − xg )2 (3 l )(4 l )3 + A(2) (8 l −
36 1 1
(
4 4 (1)
= I y
π (3 l )
4
) − A(3) (
4 3l
·
3π
4l 3 xg
−
)2
)2 + A(3) (
− I y(2) − I y(3) = 150 7 l 4 ,
(2.37a) (2.37b) 4 3l
· − x ) g 3π
(2.37c) (2.37d)
•• 35
2.4 Problema 4
y de la misma manera, para el producto de inercia, I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
= 0 + A(1) (4 l − xg ) ( 3 l − yg ) =
1 4l xg ) ( l xg ) (4 l )2 (3 l )2 + A(2) (8 l 72 3 1 4 (3 l ) 2 4 (3 l ) xg )(6 l (3 l )4 A(3) ( ) + A(3) ( 8 3π 3π
− −
−
(3)
=
I xy
= I xy
I xy
(1)
−
−
− I xy(2) − I xy(3) = 61 9 l 4
−
− 4 3(π 3 l ) − yg)
(2.38a) (2.38b) (2.38c) (2.38d)
,
Por u´ ltimo, para obtener el momento polar de inercia se debe sumar las inercias I x e I y . I 0 = I x + I y = 242 16 l 4
(2.39)
,
2.4.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.8b los momento principales de inercia inercias (m a´ ximo y m´ınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula ( I xy = 0) , una situaci´on que corresponde a la intersecci o´ n del c´ırculo Mohr con el eje horizontal. El centro, I m , y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se obtienen: I m R
= =
I x + I y
2
= 121 l 4
− I y
I x
2
(2.40a)
2 2 = 68 68 l 4 + I xy ,
(2.40b)
de tal manera que los momento principales de inercia inercias, I max e I min, resultan: I max
= I m + R = 189 7 l 4
(2.41a)
I min
= I m − R = 53 4 l 4
(2.41b)
,
,
Para finalizar, la rotaci´on de ejes, θ , necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.8b ) se calcula como: θ =
1 2
arctan
2 I xy
I y
− I x
= 32 2o ,
(2.42)
El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotaci o´ n de ejes en sentido antihorario, o bien (manteniendo los ejes fijos) a una rotaci´on horaria de la secci´on.
•• 36
Secciones compuestas
a)
b)
Figura 2.8: Problema 4: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 37
2.5 Problema 5
2.5.
Problema 5
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on compuesta representada en la figura 2.9a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.9: Problema 5: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.5.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Si se analiza la geometr´ıa de la seccio´ n propuesta, se observa como e´ sta se puede ver como una secci´on rectangular ( 1) a la cual se restan dos secciones cuadradas, ( 2) y ( 3), tal y como se muestra en la figura 2.9b. De esta forma, el ´area de la secci o´ n compuesta, A T , resulta: A(1)
= (3 l )(3 l ) = 9 l 2
(2.43a)
A(2)
= l2
(2.43b)
A(3)
= A(2) = l 2
(2.43c)
= A(1) − A(2) − A(3) = 7 l 2
(2.43d)
AT
Los momentos est´aticos tienen el siguiente valor: M x M y
(1)
= A =
(1)
A
− − − − 3l 2
3l 2
A
(2)
A
(2)
2l +
2l +
l
2 l
2
A
(3)
A
l
2
(3)
l
2
21 l 3 = = 10 5 l 3 2
(2.44a)
21 l 3 = = 10 5 l 3 2
(2.44b)
,
,
•• 38
Secciones compuestas
ya posici´on del centroide de la secci´on compuesta (vease figura 2.10a) es la siguiente:
2.5.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
3l
=
2 3l
=
2
= 1 5 l
(2.45a)
= 1 5 l
(2.45b)
,
,
Ca´ lculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la secci o´ n compuesta, I x se calcula restando a la inercia generada (1)
(2)
por el rect´angulo, I x , las que corresponden a los cuadrados, I x
(3)
y I x .
(i)
El momento de inercia, I x , de cada secci´on del despiece se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) (vease figura 2.9b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o ,
formula del transporte de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
I x
= = =
1 12 1 12
(3 l )4 4
(2.46a)
( l ) + A
1 (l )4 + A(3) 12 (1)
= I x
− −
(2)
2l +
l
2
l
2
(2.46b)
yg
2
2
(2.46c)
yg
− I x(2) − I x(3) = 4 58 l 4
(2.46d)
,
El c a´ lculo de la inercia I y sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuaci o´ n: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= = =
1 12
4
( 3 l ) + A
3l
2l +
1
l
12
(l ) + A
(1)
= I y
(3)
2
(2.47a)
xg
2
1 ( l )4 + A(2) 12 4
2
− − −
(1)
l
xg
2
2
(2.47b)
2
xg
− I y(2) − I y(3) = 4 58 l 4 ,
(2.47c) (2.47d)
•• 39
2.5 Problema 5
y de la misma manera, para el producto de inercia, I xy (en este caso el primer termino es nulo por ser todas secciones simetricas): (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
= 0 + A (1) = 0 + A (2) = 0 + A(3) (1)
= I xy
− − − − − · − 3l 2
2l + l
3l
xg l
2
l
xg
2
2l +
xg
2
yg
2
l
2
yg
yg
− I xy(2) − I xy(3) = −2 l 4
(2.48a) (2.48b) (2.48c) (2.48d)
Finalmente, el momento polar de inercia se calcula como suma de I x e I y : I 0 = I x + I y = 9 16 l 4
(2.49)
,
2.5.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.10b los momento principales de inercia inercias (m´aximo y m´ınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula ( I xy = 0) , una situacio´ n que corresponde a la intersecci´on del c´ırculo Mohr con el eje horizontal. El centro, I m , y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se obtienen:
I m R
= =
I x + I y
2
=
55l 4 12
− I y
I x
= 4 58 l 4
(2.50a)
2 = 2 l 4 + I xy
(2.50b)
,
2
2
Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores:
I max
= I m + R = 6 58 l 4
(2.51a)
I min
= I m − R = 2 58 l 4
(2.51b)
,
,
Para finalizar, la rotaci´on de ejes, θ , necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.10b ) se calcula como:
2 I xy 1 θ = arctan 2 I y I x
−
= −45o
(2.52)
•• 40
Secciones compuestas
a)
b)
Figura 2.10: Problema 5: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 41
2.6 Problema 6
2.6.
Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on compuesta representada en la figura 2.11a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.11: Problema 6: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.6.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Como se puede observar en la figura 2.11b la secci´on est´a definida por un cuadrado, ( 1), de lado 3l al cual se le han sacado otors dos cuadrados, ( 2) y (3), de lado l . De esta forma, el ´area de la secci´on compuesta, A T , resulta: A(1)
= (3 l )(3 l ) = 9 l 2
(2.53a)
A(2)
= l2
(2.53b)
A(3)
= A(2) = l 2
(2.53c)
= A(1) − A(2) − A(3) = 7 l 2
(2.53d)
AT
El centroide se encuentra en la origen de los ejes elejidos debido a la doble simetr ´ıa de la seccio´ n. Esto se puede verificar calculando los correspondientes momentos estatico de la secci o´ n,
•• 42
M x y M y :
Secciones compuestas
M x
= A(1) (0) − A (2) (0) − A (3) (0) = 0
(2.54a)
M y
=
(2.54b)
A(1) (0)
− A(2) (l ) − A(3) (−l ) = 0
as´ı que resulta:
2.6.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
=0
(2.55a)
=0
(2.55b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la secci´on compuesta, I x se calcula restando a la inercia generada (1)
(2)
por el rect´angulo, I x , las que corresponden a los cuadrados, I x (1)
I x
(2)
I x
= =
1 12 1
(3 l )4
(2.56a)
( l )4
(2.56b)
12 1 (l )4 12
(3)
=
I x
= I x
I x
(3)
y I x :
(1)
(2.56c)
− I x(2) − I x(3) = 6 58 l 4 ,
(2.56d)
Para calcular la I y se procede exactamente de la misma forma. En este caso, el momento de (i)
inercia, I y , de cada seccio´ n del despiece se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.11b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
( xg yg ) de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner): ,
1 ( 3 l )4 12 1 ( l )4 + A(2) (l )2 12 1 (l )4 + A(3) ( l )2 12
(1)
=
(2)
=
(3)
=
I y
= I y
I y I y I y
(2.57a) (2.57b) (2.57c)
−
(1)
− I y(2) − I y(3) = 4 58 l 4 ,
(2.57d)
y de la misma manera, para el producto de inercia, I xy (en este caso el primer termino es nulo por ser todas secciones simetricas):
•• 43
2.6 Problema 6
(1)
= 0+0
(2)
= 0 + A (2) (l ) (0)
(3)
= 0 + A(3) (−l ) · (0)
I xy
= I xy
I xy I xy I xy
(1)
(2.58a) (2.58b)
− I xy(2) − I xy(3) = 0
(2.58c) (2.58d)
Observese que el resultado final es I xy = 0 debido a la doble simetr´ıa de la secci o´ n compuesta propuesta. Finalmente, el momento polar de inercia, I 0 , se calcula sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 11 16 l 4
(2.59)
,
2.6.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se vi´o en el apartado anterior el producto de inercia de la secci o´ n compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
a)
I max
= I x = 6 58 l 4
(2.60a)
I min
= I y = 4 58 l 4
(2.60b)
,
,
b)
Figura 2.12: Problema 6: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 44
2.7.
Secciones compuestas
Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on maciza representada en la figura 2.13a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.13: Problema 7: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece.
2.7.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Como se puede observar en la figura 2.13b la secci´on est´a compuesta por un rect´angulo ( 1) y un cuadrado (2) a los cuales se le ha substraido el c´ırculo (3). De esta forma, el ´area de la secci o´ n compuesta, A T , resulta: A(1)
= (8 l )(4 l ) = 32 l 2
(2.61a)
A(2)
= (4 l )(4 l ) = 16 l 2
(2.61b)
A(3)
=
AT
π l
2
= π l 2
(2.61c)
= A(1) + A(2) − A(3) = 48 l 2 − π l 2 = 44 86 l 2
(2.61d)
,
Los momentos est´aticos de la secci´on compuesta resultan: M x
= A(1) (2 l ) − A (2) (4 l + 2 l ) − A (3) (4 l + 2 l ) = 160 l 3 − 6π l 3 = 141 15 l 3 (2.62a)
M y
= 0
,
(2.62b)
•• 45
2.7 Problema 7
Por lo que la posici´on del centroide es la siguiente:
2.7.2.
xg
=
yg
=
M y
=0
AT M x
=
AT
160 l 3
− 6π l 3 = 3 14 l 48 l 2 − π l 2
,
(2.63a) (2.63b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la secci o´ n compuesta, I x se calcula restando a la inercia generada (1)
(2)
por el rect´angulo, I x , las que corresponden a los cuadrados, I x
(3)
y I x .
(i)
El momento de inercia, I x , de cada secci´on del despiece se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) (vease figura 2.13b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o ,
formula del transporte de Steiner): 1 (8 l ) (4 l )3 + A (1) (2 l yg )2 12 1 ( 4 l )4 + A(2) (6 l yg )2 12 1 (3) 4 2 π (l ) + A (6 l yg ) 4
(1)
=
(2)
=
(3)
=
I x
= I x
I x I x I x
·
(2.64a)
−
(2.64b)
−
(2.64c)
−
(1)
− I x(2) − I x(3) = 210 l 4
(2.64d)
El c´a lculo de la inercia, I y , sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuaci´on: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= = =
1 12 1 12 1 4
( 4 l ) · (8 l )3
(2.65a)
( 4 l )4
(2.65b)
π (l )
(1)
4
(2.65c)
(2)
= I y + I y
− I y(3) = 191 2 l 4
(2.65d)
,
El producto de inercia, I xy , se anula por la simetr´ıa de la secci o´ n compuesta respecto del eje de ordenadas, como se muestra a continuaci´on: (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
= 0 + A(1) · (0) · (2 l − yg ) = 0 + A (2) (0) (6 l − yg )
= 0 + A(3) (0) · (6 l − yg ) (1)
(2)
= I xy + I xy
− I xy(3) = 0
(2.66a) (2.66b)
(2.66c) (2.66d)
•• 46
Secciones compuestas
El c´alculo del momento polar de inercia, I o , se obtiene sumando I x e I y :
2.7.3.
I 0 = I x + I y = 401 2 l 4
(2.67)
,
Ca´ lculo de los Momentos Principales de Inercia
Como se vi´o en el apartado anterior el producto de inercia de la secci´on compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el la figura 2.14), de tal manera que:
a)
I max
= I x = 210 l 4
(2.68a)
I min
= I y = 191 2 l 4
(2.68b)
,
b)
Figura 2.14: Problema 7: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 47
2.8 Problema 8
2.8.
Problema 8
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on compuesta representada en la figura 2.15a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.15: Problema 8: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.8.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Como se puede observar en la figura 2.15b la secci o´ n est´a compuesta por un semic´ırculo (1) y un tri´angulo ( 2). De esta forma, el a´ rea de la secci´on compuesta, A T , resulta: A(1)
=
A(2)
=
AT
1 2 π l 2 (3l ) (2l ) 2
= A
(1)
(2)
+ A
(2.69a)
=
π l
2
2
+ 3l 2 = 4 57l 2 ,
(2.69b) (2.69c)
El valor de los momentos est´aticos se obtienen con las siguientes expresiones: A(1)
M x
=
M y
= 0
4 l
3π
+ A(2) (−l ) = −2 3 l 3 ,
(2.70a) (2.70b)
•• 48
Secciones compuestas
de tal manera que la posici´on del centroide es:
2.8.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
=0
(2.71a)
= −0 51l
,
(2.71b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la secci o´ n compuesta, I x , se calcula sumando a la inercia generada (1)
(2)
por el semic´ırculo, I x , la que corresponde al tri´angulo, I x . (i)
El momento de inercia, I x , de cada secci o´ n del despiece se obtiene sumando dos t e´ rminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) (vease figura 2.15b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o ,
formula del transporte de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
I x
−
=
1
1
2
4
1
=
36
π l
4
A
2
4 l
(1)
+ A
3π
(1)
4 l
− yg
3π
2
(2.72a)
(2l ) (3l )3 + A(2) (−l − yg )2
(1)
(2.72b)
(2)
= I x + I x = 3 7 l 4
(2.72c)
,
El c´a lculo de la inercia, I y , sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuaci´on: (1)
I y
(2)
I y
I y
=
1 2
= 2
1 4
π l
1
36
(1)
4
π l
+ 0 = 3
(3l ) l +
4
8
A (2)
2
l
3
2
=
l4
2
(2)
= I y + I y = 0 9 l 4 ,
(2.73a)
(2.73b) (2.73c)
El producto de inercia, I xy = 0 por la simetr´ıa de la secci´on compuesta respecto del eje de ordenadas. Finalmente, el valor del momento polar de inercia se obtiene: I 0 = I x + I y = 4 6 l 4 ,
(2.74)
•• 49
2.8 Problema 8
2.8.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se vi´o en el apartado anterior el producto de inercia de la secci o´ n compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el la figura 2.16), de tal manera que:
a)
I max
= I x = 3 7 l 4
(2.75a)
I min
= I y = 0 9 l 4
(2.75b)
,
,
b)
Figura 2.16: Problema 8: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 50
2.9.
Secciones compuestas
Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia de la secci o´ n compuesta representada en la figura 2.17a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.17: Problema 9: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.9.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Para resolver el problema primero se procede al despiece de la secci´on en un cuadrado ( 5) y cuatro tri´angulos (1), (2), (3) y (4) tal y como se muestra en la figura 2.17b. De esta forma, el ´area de la secci´on compuesta, A T , resulta: (1)
A
=
3l 2 2
3l 2 A = A = 2 3l 2 A(3) = A(1) = 2 3l 2 A(4) = A(1) = 2 (2)
(1)
(2.76a)
(2.76b)
(2.76c)
(2.76d)
A(5) = 9l 2 AT = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5) = 15 l 2
(2.76e) (2.76f)
•• 51
2.9 Problema 9
La posici´on del centroide coincide con la origen de los ejes elegidos debido a la simetr´ıa de la seccio´ n. Este resultado lo podemos comprobar verificando como se anulan ambos momentos est´aticos: (1)
M x
=
M y
= A(1)
A
− − − − − − − − − 3l 2
l
+
3
+ A (2)
3l + 1 + A(2) 2
3l
l
2
3
3l
3l
+ A (3)
2
3l 1 + 2 3
l + A(3)
2
3l
1 + A(4)
2
0) = 0 + 1 + A (5) ((2.77a)
3l 2
+ A(4)
l
3
0) = 0 + A(5) ((2.77b)
de tal manera que:
2.9.2.
xg
=
yg
=
M y A M x AT
=0
(2.78a)
=0
(2.78b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la secci´on compuesta, I x se calcula sumando a la inercia generada (5)
(1)
(2)
(3)
(4)
por el cuadrado, I x , las que corresponden a los cuatro tri´angulos, I x , I x , I x y I x . (i)
El momento de inercia, I x , de cada tri´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.17b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o ,
formula del transporte de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
(4)
I x
(5)
I x
I x
=
1 36
3
3l (l ) + A
(1)
= I x = =
1 36
= I x = =
3l 2
41l 4
+
l
2
3
3
(3)
9l 4
− 3l 2
2
1
=
(3)
9l 4
8
(5)
= I x + I x + I x + I x + I x
(2.79c) (2.79d)
(4)
(2.79a) (2.79b)
8
(2)
8
1 27l 4 4 (3l ) = 12 4 (1)
=
41l 4
8
l (3l ) + A
(3)
(1)
(2.79e)
77l 4 = = 19 25 l 4 4 ,
(2.79f)
•• 52
Secciones compuestas
Con un procedimiento an´alogo se calcula el momento de inercia, I y y el producto de inercia, I xy :
(1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
(4)
I y
1
=
36
l (3l ) + A
(1)
= I y = 1
=
36
(1)
3
9l 4
2
=
1
3l
(3)
2
41l 4
+
l
2
3
=
8
(2.80c)
8
=
I y
= I y + I y + I y + I y + I y =
(2)
(2.80a) (2.80b)
41l 4
1 27l 4 4 (3l ) = 12 4 (1)
8
(5)
I y
9l 4
8 3
= I y =
3l
2
(3l )l + A
(3)
− −
(3)
(2.80d)
(4)
77l 4
(5)
4
(2.80e)
= 19 25 l 4
(2.80f)
,
Es importante observar que por razones de simetr´ıa resulta: I y = I x y como se demuestra a continuaci´on: I xy = 0.
=
3l l + 2 3
=
−1 ( 3l )2l 2 + A(2)
3l 2
(3)
=
1 2 l (3l )2 + A(3) 72
(4)
=
1 2 l (3l )2 + A(4) 72
I xy
(2)
I xy I xy I xy
72
2
72
3l 2
1
3l l + 2 3 3l 2
3l 2
3
= 0
I xy
= I xy + I xy + I xy + I xy + I xy = 0
(1)
l
3
(2.81a)
=
3l 4 2
(2.81b)
1
3l 4 = 2
3l +1 2
l
(5)
I xy
=
3l 4 2
− − − − − − − − −
−1 ( 3l )2l 2 + A(1) −3l + 1
(1)
=
3l 4 2
(2.81c)
(2.81d) (2.81e)
(2)
(3)
(4)
(5)
(2.81f)
El momento de inercia polar se calcula como la suma de I x e I y . I 0 = I x + I y =
2.9.3.
77l 4 2
= 38 5 l 4 ,
(2.82)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Como se vi´o en el apartado anterior el producto de inercia de la secci o´ n compuesta es nulo. Adem´as tenemos que I x = I y de tal manera que el c´ırculo de Mohr se reduce a un punto como
•• 53
2.9 Problema 9
se muestra en la figura 2.18b. Esto significa que los ejes elegidos son principales de inercia y los momentos principales de inercia tienen el mismo valor: I max = I min = I x = I y = 19 25 l 4 ,
a)
(2.83)
b)
Figura 2.18: Problema 9: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 54
2.10.
Secciones compuestas
Problema 10
Calcular los momentos principales de inercia de la secci´on compuesta representada en la figura 2.19a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 2.19: Problema 10: (a) Secci´ on compuesta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
2.10.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n compuesta
Para resolver el problema primero se procede al despiece de la secci o´ n en dos tri´angulos ( 1) y ( 2) a los cuales sumamos un cuarto de c´ırculo ( 3) y una u´ ltima secci´on que calculamos como un cuadrado ( 4) menos el cuarto de c´ırculo ( 5), tal y como se muestra en la figura 2.19b. De esta forma, el a´ rea de la secci´on compuesta, A T , resulta: l2
A(1)
=
A(2)
=
A(3)
=
A(4)
= l2
A(5)
=
AT
=
2 l2 2 π l
(2.84a)
(2.84b)
2
4 π l
(2.84c) (2.84d)
2
4 A(1) + A(2) + A(3) + A(4)
− A(5) = 2l 2
(2.84e) (2.84f)
•• 55
2.10 Problema 10
Para situar el centroide, se debe calcular los momentos est a´ ticos de la secci´on: A(1)
M x
=
M y
= A(1)
− − − − − − − − − l
3
l
3
+ A (2)
l
3
l
+ A (2)
4l 3π
+ A(3)
4 l
+ A (3)
3
l
+ A(4)
2
l
+ A(4)
3π
A(5)
A(5)
2
4l 3π
l
l+
4l
3π
= 0 28 (2.85a) l 3 ,
(2.85b) l 3 = 0 28 ,
La posici´on del centro de masas resultante es la siguiente:
2.10.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 0 14 l
,
= −0 14 l
(2.86a)
,
(2.86b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia, I x e I y , el producto de inercia, I xy , y el momento polar de inercia, I o , respecto a los ejes que pasan por el centroide ( xg yg ) de la secci o´ n ,
compuesta. Seg´un el despiece propuesto, el momento de inercia I x se consigue sumando las contribuciones (i)
de todas las seccio´ nes que forman el ´area compuesta. En particular, cada momento de inercia, I x , se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.19b), mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide ( xg yg ) de la secci´on compuesta ,
(teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
(4)
I x
(5)
I x
= = = = =
2
− − − − − − − − − − 1 3 l (l ) + A(1) 36 1
36
l
l (l ) + A
1
1
4
4
π l
A
1
1
4
4
π l
(3)
2
4 l
+ A
3π
4l 3π
(3)
2
(2.87c)
yg
2
l
(2.87d)
yg
2
(5)
4
(2.87b)
yg
3
4
1 4 l + A(4) 12
2
l
(2)
3
(2.87a)
yg
3
A
4l
3π
2
(5)
+ A
l
4l
3π
yg
2
(2.87e)
de tal manera que el valor de I x , resulta: (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + I x + I x + I x
− I x(5) = 0 34 l 4 ,
(2.88)
•• 56
Secciones compuestas
Observese que en el caso del cuarto de c´ırculo es necesario aplicar la formula del transporte dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto del centro del c´ırculo hacia el centroide del c´ırculo; y una segunda vez hacia el centroide de la secci´on compuesta: De forma similar el momento de inercia, I y se calcula como: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
(4)
I y
2
− − − − − − − − − − 1
=
3
(l ) l + A
36
l
(1)
1 (l ) l 3 + A(2) 36
= =
1
1
4
4
1
=
π l
4
4
12
(l ) + A
1 4
1 4 π l 4
(1)
(2)
(3)
+ A
3π
(2.89c)
xg
3π
(2.89d)
xg
2
4 l 3π
=
I y
= I y + I y + I y + I y
(5)
(3)
2
4 l
2
l
(4)
A
2
4 l
(3)
(2.89b)
xg
3
(5)
I y
2
l
A
(2.89a)
xg
3
(4)
2
(5)
+ A
4l l+ 3π
− I y(5) = 0 34 l ,
2
xg
(2.89e)
(2.89f)
Siguiendo exactamente el mismo proceso, el producto de inercia, I xy , resulta: (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
(4)
I xy
= = =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1
72
2 2
l l + A
(1)
l
3
1 2 2 l l + A(2) 72 1 8
l
(3)
4
A
l
= A(4)
1 4 l 8
l
3
I xy
= I xy + I xy + I xy + I xy
(1)
(2)
A
(3)
l
4 l
3π
xg
4l
l
3π
(2.90b)
yg
(2.90c)
2
(4)
(2.90a)
yg
3
yg
2
4 l 3π
yg
+ A(3)
l
=
I xy
3
2
4 l
(5)
(5)
l
xg
3π
xg
2
xg
+ A(5)
l+
4l 3π
− I xy(5) = −0 0072 l 4 ,
xg
l
4l 3π
yg
(2.90d)
(2.90e) (2.90f)
Finalmente, para calcular el momento polar de inercia, I o , hay que sumar los valores de I x e I y : I 0 = I x + I y = 0 68 l 4 ,
(2.91)
•• 57
2.10 Problema 10
2.10.3.
Ca´ lculo de los Momentos Principales de Inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.20b los momento principales de inercia inercias (m´aximo y m´ınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula ( I xy = 0) , una situaci´on que corresponde a la intersecci o´ n del c´ırculo Mohr con el eje horizontal. El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se obtienen: I m R
= =
I x + I y
2
= 0 34 l 4
(2.92a)
,
− I y
I x
2
2 2 = 0 0072 l 4 + I xy ,
(2.92b)
Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores: I max
= I m + R = 0 347 l 4
(2.93a)
I min
= I m − R = 0 333l 4
(2.93b)
,
,
Para finalizar, la rotaci o´ n de ejes, θ , necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia (vease figura 2.20) se calcula como:
2 I xy 1 θ = arctan 2 I y I x
−
a)
= −45o
(2.94)
b)
Figura 2.20: Problema 10: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 58
Secciones compuestas
3
O L U T I ´ P A C 3.1.
Secciones
de
pared
delgada
Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia para la secci´on de pared delgada que se presenta en la figura 3.1a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.1: Problema 1: (a) Secci´ on de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.1.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
El primer paso para la soluci´on del problema consiste en el despiece de la secci´on original en tres ´areas rectangulares de pared delgada, como se muestra en la figura 3.1b. Se procede al c a´ lculo del a´ rea de cada rect´angulo que forma la secci´on: A(1)
= 5 tl
(3.1a)
A(2)
= 4 tl
(3.1b)
A(3)
= 5 tl
(3.1c)
•• 60
Secciones de pared delgada
El a´ rea total, A T , se obtiene sumando las diferentes contribuciones obtenidas con el despiece: AT = A(1) + A(2) + A(3) = 14 tl
(3.2)
Los momentos est´aticos, M x y M y , se calculan de forma an´aloga en funci´on de la posici´on de los centroides de los diferentes rect a´ ngulos que forman la secci o´ n propuesta respecto de los ejes cartesianos de referencia que se muestran en la figura 3.1b: 3l
M x
= A(1) (
M y
= A(1) (2l ) + A(2) (0) + A(3) ( ) =
2
+ l ) + A(2) (2l ) + A(3) (2l ) = 3l 2
61 2
tl 2 = 30 5 tl 2
(3.3a)
,
35 2 tl = 17 5 tl 2 2
(3.3b)
,
Finalmente, la posicio´ n del centroide de la secci o´ n (vease figura 3.2a) se obtiene como:
3.1.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 1 25 l ,
(3.4a)
= 2 18 l
(3.4b)
,
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.2a) que pasan por el centroide de la secci o´ n. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.1b), mientras el segundo t´ermino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
secci´on propuesta: (1)
=
(2)
=
(3)
=
I x I x I x
1 (1) 3l 2 + 1 yg A (3 l ) + A(1) 12 2 1 (2) 2 A (4l )2 + A(2) (2 l yg ) 12 1 (3) 2 A (4 l )2 + A(3) (2 l yg ) 12
−
2
(3.5a)
−
(3.5b)
−
(3.5c)
de tal manera que el momento de inercia, I x , sumando las diferentes contribuciones del despiece: (1)
(2)
(3)
I x = I x + I x + I x
= 16 5 tl 3 ,
(3.6)
•• 61
3.1 Problema 1
(i)
De forma an´aloga se procede con el c´alculo de los momento de inercia, I y : 1
(1)
=
(2)
= 0 + A(2) (− xg )2
I y I y
(3)
A(1) (4l )2 + A(1) (2 l 12
(3.7a) (3.7b)
1
A(3) (3l )2 + A(3) 12
=
I y
− xg)2
3l 2
− xg
(3.7c)
y del correspondiente momento de inercia, I y , de la secci o´ n: (1)
(2)
(3)
I y = I y + I y + I y
= 19 8 t l 3
(3.8)
,
(i)
A continuaci´on se calculan las diferentes contribuciones, I xy , necesarias para el c´alculo del producto de inercia, I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
=
1
− 12 A
(1)
(4l )(3l ) + A
(1)
= 0 + A(2) (− xg ) (2 l − yg ) =
1
A(3) (3l )(4l ) + A(3) 12 (1)
(2)
(3)
(2 l − xg)
3l 2
+ 1 − yg
− 3l 2
xg (2 l
− yg)
= I xy + I xy + I xy = 1 87 tl 3
(3.9a) (3.9b)
(3.9c) (3.9d)
,
Finalmente, el momento polar de inercia, I o , calculado con respecto al centroide de la secci´on (polo), se obtiene sumando de los momento de inercia inercias I x y I y : I o = I x + I y = 36 3 tl 3
(3.10)
,
3.1.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.2b se muestra el c´ırculo de Mohr relativo a la secci´o n de pared delgada propuesta. Como se puede observar en esta figura los momentos principales de inercia se obtienen cuando se anula el producto de inercia. El centro del c´ırculo de Mohr est´a definido por el momento de inercia medio, I m : I m =
I x + I y
= 18 2 tl 3
(3.11)
,
2
mientras su radio, R , se puede calcular como:
R =
− I y
I x
2
2 2 = 2 47 tl 3 + I xy ,
(3.12)
•• 62
Secciones de pared delgada
Los momentos principales de inercia, I max y I min, se encuentran en los extremos del di´ametro horizontal ( I xy = 0) y se calculan f a´ cilmente como: I max
= I m + R = 20 6 tl 3
(3.13a)
I min
= I m − R = 15 7 tl 3
(3.13b)
,
,
El c´ırculo de Mohr nos indica adem a´ s la rotaci o´ n de ejesnecesaria para que e´ stos coincidan con los ejes principales de inercia como se muestra en las figuras 3.2a-b. En el plano de Mohr, las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del a´ ngulo, θ , necesario para que los ejes originales de la secci o´ n, ( x y), coincidan con los ejes principales de ,
inercia, x y . Esta rotaci´on se puede calcular como: ,
θ = 0,5 arctan
2 I xy
I y
− I x
= 24 6o ,
(3.14)
Finalmente, se puede observar que, en lugar de mover los ejes de referencia y mantener fija la posici´on de la secci´on, se consigue el mismo resultado manteniendo los ejes de referencia fijos y rotando la seccio´ n en sentido horario .
•• 63
3.1 Problema 1
a)
b)
Figura 3.2: Problema 1: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 64
3.2.
Secciones de pared delgada
Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.3a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.3: Problema 2: (a) Seccion ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.2.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
Para la resoluci´on del problema planteado, se proceder´a en primer lugar al despiece de la secci´on en cuatro ´areas rectangulares tal y como se muestra en la 3.3b. Las ´areas de los diferentes rect´angulos valen: A(1)
= 2 tl
(3.15a)
A(2)
= 2 tl
(3.15b)
A(3)
= tl
(3.15c)
A(4)
= tl
(3.15d)
Por un lado, el a´ rea total, A T , se obtiene sumando las diferentes contribuciones obtenidas en el despiece: AT = A(1) + A(2) + A(3) = 14 tl
(3.16)
Por otro lado, debido a la simetr´ıa, el centroide coincide con el origen de los ejes elegidos, que se muestran en la misma figura 3.3b.
•• 65
3.2 Problema 2
3.2.2.
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.4a) que pasan por el centroide de la secci´on. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.3b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos ) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
seccio´ n propuesta: (1)
I x
(2)
I x
= 0 + A
(1)
= 0 + A
(2)
(3)
=
(4)
=
I x I x
2
− l
2
l
tl 3
= 2
=
2
2 t l 3
(3.17a)
2
1 (3) 2 tl 3 A l = 12 12 1 (4) 2 t l 3 A l = 12 12
(3.17b)
(3.17c)
(3.17d)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales ( 1) y ( 2), solo se considera el t´ermino de transporte. El momento de inercia, I x , de la seccio´ n resultante es: (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + I x + I x + I x
7 tl 3 = 1 16 t l 3 6
=
(3.18)
,
An´alogamente, se procede al c a´ lculo del momento de inercia, I y . En este caso son la secciones verticales ( 3) y ( 4), las que se calculan utilizando s´olo el t´ermino de transporte: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
(4)
I y
I y
= =
1 (1) 2 A (2 l ) + A(1) 12 1 12
A
(2)
(2 l ) + A
= 0 + A
(3)
= 0 + A
(4)
(1)
2
− l
(2)
l
2
=
2
(2)
(3)
l
2
l
=
2
=
2
=
2
2
2
−
7 tl 3 6
7 tl 3
6
tl 3
4
tl 3
4 (4)
= I y + I y + I y + I y =
17 6
tl 3 = 2 84 tl 3 ,
(3.19a) (3.19b) (3.19c) (3.19d) (3.19e)
•• 66
Secciones de pared delgada
(i)
A continuaci´on se calculan las diferentes contribuciones, I xy , necesarias para el c´alculo del producto de inercia, I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
(4)
I xy
I xy
= 0 + A
(1)
= 0 + A(2) = 0 + A(3) = 0 + A(4) (1)
− − − · · l
l
2
2
l
l
2
2
l
2
(2)
=−
2 tl 3
2
0 = 0
2
l
=−
tl 3
(3.20a)
(3.20b) (3.20c)
0 = 0
(3)
(3.20d)
(4)
= I xy + I xy + I xy + I xy = −tl 3
(3.20e)
Finalmente, el momento polar de inercia, I 0 , calculado respecto al centroide de la secci o´ n (polo), se consigue sumando los valores de I x e I y : I 0 = I x + I y = 4 tl 3
3.2.3.
(3.21)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.4b semuestra el c´ırculo de Mohr relativo a la seccio´ n de pared delgada propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de inercia, I xy , se anula. El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se calculan como: I m R
= =
I x + I y
2
= 2 tl 3
− I y
I x
2
(3.22a)
2 2 = + I xy
√
61tl 3 6
= 1 3 tl 3 ,
(3.22b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, I max y I min , se calculan f´acilmente como: I max
= I m + R = 3 3 tl 3
(3.23a)
I min
= I m − R = 0 67 tl 3
(3.23b)
,
,
El C´ırculo de Mohr tambi´en nos indica la rotaci´on de ejes necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia como se muestra en la figura 3.4a. En el plano de Mohr las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del a´ ngulo,
θ ,
•• 67
3.2 Problema 2
necesario para que los ejes originales de la secci´on, ( x y), coincidan con los ejes principales de ,
inercia, x y . Esta rotacio´ n se puede calcular como: ,
θ =
1 2
arctan
2 I xy
I y
− I x
= −25o
(3.24)
Finalmente, es interesante observar que, manteniendo los ejes de referencia fijos, podemos girar la secci o´ n, seg´un sus ejes principales de inercia, aplicando una rotaci o´ n, θ , positiva horaria .
•• 68
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.4: Problema 2: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 69
3.3 Problema 3
3.3.
Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.5a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.5: Problema 3: (a) Secci´ on de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.3.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
Para facilitar la resoluci o´ n del problema planteado, se procede al despiece de la secci o´ n en dos rect´angulos, tal y como se observa en la figura 3.5b. En primer lugar, se calcula el ´area de cada rect a´ ngulo y el de la seccio´ n global:
√ √
A(1)
= 2 tl 2
A(2)
= tl 2
AT
(3.25a) (3.25b)
√
= A(1) + A(2) = 3 2 tl
(3.25c)
Para situar el centroide de la secci´on, se calculan previamente los momentos est´aticos, M x y M y , respecto a los ejes de referencia representados en la figura 3.5b: M x M y
= =
A(2) l
2 A(2) l
2
= =
√
tl 2 2
2
√
tl 2 2
2
= 0 71 tl 2
(3.26a)
= 0 71 tl 2
(3.26b)
,
,
•• 70
Secciones de pared delgada
de tal manera que el centroide se situa en (vease figura 3.6a): AT M x
=
l
= 0 1667 l 6 l = = = 0 1667 l 6 AT
yg
3.3.2.
M y
=
xg
,
,
(3.27a)
(3.27b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.6a) que pasan por el centroide de la secci o´ n. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los dos rect´angulos (i)
del despiece que forman la secci o´ n propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, G i , (ver figura figura 3.5b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos ) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la secci o´ n propuesta: ,
(1)
=
I x
(2)
=
I x
1 (1) 2 2 A (2 l ) + A(1) ( yg ) 12 2 1 (2) 2 1 (2) A l + A yg 12 2
−
(3.28a)
−
(3.28b)
El valor total dedel momento de inercia, I x , se calcula como la suma de las inercias parciales, (i)
I x : (1)
(2)
I x = I x + I x
= 1 3 tl 3
(3.29)
,
An´alogamente, se procede al c a´ lculo del momento de inercia, I y : (1)
=
I y
1 (1) 2 2 A (2 l ) + A(1) ( xg ) 12 2 1 (2) 2 (2) l A l + A xg 12 2
−
(3.30a)
−
(3.30b)
(2)
=
I y
= I y + I y = 1 2964 tl 3
I y
(1)
(2)
(3.30c)
,
y del producto de inercia I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
I xy
= =
− 121 A(1) (2 l ) (2 l ) + A(1) (− xg) (− yg) 1 12
A(2) (l ) (l ) + A(2)
(1)
(2)
= I xy + I xy = −0 6 tl 3 ,
− − 1 2
xg
1 2
yg
(3.31a)
(3.31b) (3.31c)
•• 71
3.3 Problema 3
Finalmente, el valor del momento polar de inercia, I 0 , se obtiene sumando los momentos de inercia, I x e I y : I 0 = I x + I y = 2 6 tl 3
(3.32a)
,
3.3.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.6b se muestra el c´ırculo de Mohr relativo a la seccio´ n de pared delgada propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de inercia, I xy , se anula. El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se calculan como: I m R
I x + I y
=
2
= 1 3 tl 3
I y
=
(3.33a)
,
− I x
2
2 2 = 0 6 tl 3 + I xy ,
(3.33b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, I max y I min, se calculan f´acilmente como: I max
= I m + R = 1 9 tl 3
(3.34a)
I min
= I m − R = 0 7 tl 3
(3.34b)
,
,
El C´ırculo de Mohr tambi´en nos indica la rotaci´on de ejes necesaria para que ´estos coincidan con los ejes principales de inercia, como se muestra en la figura 3.6a. En el plano de Mohr las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del a´ ngulo,
θ ,
necesario para que los ejes originales de la secci o´ n, ( x y), coincidan con los ejes principales de ,
inercia, x y . Esta rotacio´ n se puede calcular como: ,
θ =
1 2
arctan
2 I xy
I y
− I x
= −45o
(3.35)
•• 72
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.6: Problema 3: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 73
3.4 Problema 4
3.4.
Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.7a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.7: Problema 4: (a) Secci´ on de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.4.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
El primer paso a realizar en la resoluci o´ n del problema planteado consiste en separar la secci o´ n en diferentes ´areas rectangulares como se muestra en la figura 3.7b. El a´ rea de la secci o´ n delgada propuesta resulta: A(1)
= 4 tl
(3.36a)
A(2)
= 4 tl
(3.36b)
A(3)
= tl
(3.36c)
A(4)
= tl
(3.36d)
A(5)
=
A(6)
=
AT
√ 17 t l √ 17 t l
= 18 24 t l ,
(3.36e)
(3.36f)
(3.36g)
Por razones de simetr´ıa el centroide de la secci o´ n coincide con el origen de los ejes de referencia.
•• 74
3.4.2.
Secciones de pared delgada
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.8a) que pasan por el centroide de la secci o´ n. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.7b), mientras el segundo t´ermino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
secci´on propuesta: (1)
I x
(2)
I x
= 0 + A
(1)
= 0 + A
(2)
(3)
=
(4)
=
I x I x
(5)
I x
(6)
I x
= =
2
− l
= tl 3
2
l
2
(3.37a)
2
= tl 3
(3.37b)
1 (3) 2 1 3 A l + 0 = tl 12 12 1 3 (3) I x = tl 12 1 (5) 2 17 3 A l + 0 = tl 12 12 17 3 (5) I x = tl 12
(3.37c) (3.37d)
√
(3.37e)
√
(3.37f)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales ( 1) y ( 2), solo se considera el t´ermino de transporte. El momento de inercia, I x , de la seccio´ n resultante es: (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
I x = I x + I x + I x + I x + I x + I x
= 2 8 tl 3 ,
(3.38)
An´alogamente, se procede al c´alculo del momento de inercia, I y . En este caso son las secciones verticales (3) y (4) donde se considera unicamente el t´ermino de transporte:
•• 75
3.4 Problema 4
(1)
=
I y
(2)
1 (1) 2 A (4 l ) + 0 = 5 3 tl 3 12 ,
(1)
= I y = 5 3 tl 3
I y
(3.39b)
,
(3)
= 0 + A (3) (−2 l )2 = 4 tl 3
I y
(4)
(3.39c)
= 0 + A(4) (2 l )2 = 4 tl 3
I y
(5)
=
I y
(6)
1
(3.39d)
2
A(5) (4 l ) + 0 = 5 5 l 3 12
(3.39e)
,
(5)
= I y = 5 5 l 3
I y
(3.39f)
,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
= I y + I y + I y + I y + I y + I y = 29 6 tl 3
I y
(3.39a)
,
(3.39g)
Por razones de simetr´ıa el producto de inercia, I xy , debe ser nulo. Esto se comprueba a continuacio´ n: (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
(4)
I xy
(5)
I xy
−
1 = 0 + A(1) (0) 2
= 0 + A(2) (0)
l
2 l
2
=0
(3.40a)
=0
(3.40b)
= 0 + A(3) (−2l )(0) = 0 = 0 + A(4) (2l )(0) = 0 =
(3.40c) (3.40d)
√
1
17 3 A(5) (4 l ) (l ) + 0 = tl 12 3 1 (6) 17 3 A (4 l ) (l ) + 0 = tl 12 3
√
(6)
=
I xy
= I xy + I xy + I xy + I xy + I xy + I xy = 0
I xy
−
−
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(3.40e) (3.40f) (3.40g)
Una vez se tienen los momentos de inercias, I x e I y , se puede calcular el momento polar de inercia, I 0 , como sigue: I 0 = I x + I y = 32 5 tl 3 ,
3.4.3.
(3.41)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el c a´ lculo de los momentos de inercia son ejes principales de inercia ( I xy = 0). De ese modo resulta: I max
= I y = 29 6 tl 3
(3.42a)
I min
= I y = 2 8 tl 3
(3.42b)
,
,
•• 76
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.8: Problema 4: (a) Posicion ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 77
3.5 Problema 5
3.5.
Problema 5
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.9a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.9: Problema 5: (a) Secci´ on de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.5.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
El primer paso para la resoluci´on del problema consiste en el despiece de la secci´on en tres a´ reas rectangulares como se muestra en la figura 3.9b. A continuaci o´ n se procede a calcular el ´area de cada rect´angulo:
√ 17 tl √
A(1)
=
A(2)
=
A(3)
= tl
17 tl
(3.43a)
(3.43b)
(3.43c)
El a´ rea total ser´a la suma de las a´ reas calculadas: AT = A(1) + A(2) + A(3) = 9 24 tl
,
(3.44)
Para situar el centroide de la secci´on, primero es necesario calcular los momentos est´aticos, M x y M y , respecto a los ejes cartesianos de referencia que se muestran figura 3.9b: M x
= A
M y
=
(1)
1 2
+ A (2)
1 2
+ A (3) (0) = 0
A(1) (2l ) + A (2) (2l ) + A(3) (2l ) = 18 5 tl 2 ,
(3.45a) (3.45b)
•• 78
Secciones de pared delgada
La posici´on del centroide de la secci´on se obtiene como:
3.5.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 2 l
(3.46a)
=0
(3.46b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.10a) que pasan por el centroide de la secci o´ n. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.9b), mientras el segundo t´ermino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
secci´on propuesta: (1)
I x
(2)
I x
1 (1) 2 A ( l ) + A(1) 12
=
1
=
(2)
2
A ( l ) + A 12 1 (3) 2 A ( l ) 12
(2)
2
− l
l
=
I x
= I x + I x + I x = 2 8 tl 3
(1)
(2)
2
2
(3)
I x
(3.47a)
2
(3.47b) (3.47c)
(3)
(3.47d)
,
An´alogamente, se procede al c a´ lculo del momento de inercia, I y : (1)
I y
=
1 12
2
A(1) (4l ) + A(1) (2 l
− xg)2
(3.48a)
(3.48b)
(2)
= I y
(3)
= 0 + A(3) (2 l − xg )2
(3.48c)
I y
= I y + I y + I y = 11 tl 3
(3.48d)
I y I y
(1)
(1)
(2)
(3)
Como se comprueba a continuaci´on, por razones de simetr´ıa, el producto de inercia, I xy , debe
•• 79
3.5 Problema 5
ser nulo: (1)
I xy
(2)
I xy
= =
1
− 12 A 1 12
(1)
(4l ) (l ) + A
(1)
(2 l xg )
A(2) (4l ) (l ) + A (2) (2 l
(3)
= 0 + A(3) (2l − xg ) (0) = 0
I xy
= I xy + I xy + I xy = 0
I xy
(1)
(2)
− − − xg )
(3)
l
2 l
2
(3.49a)
(3.49b) (3.49c) (3.49d)
Por u´ ltimo, el valor del momento polar de inercia respecto al centroide se calcula f`acilmente sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 13 8 tl 3 ,
3.5.3.
(3.50)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el c a´ lculo de los momentos de inercia son ejes principales de inercia ( I xy = 0). De ese modo resulta: I max
= I y = 11 tl 3
(3.51a)
I min
= I y = 2 8 tl 3
(3.51b)
,
•• 80
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.10: Problema 5: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 81
3.6 Problema 6
3.6.
Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.11a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.11: Problema 6: (a) Seccion on de los centroides ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ considerados en el despiece
3.6.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
En este caso, se puede observar c´o mo se nos presenta una secci´o n formada por tres rect´angulos de secci´on delgada. El primer paso consiste, por lo tanto, en calcular las a´ reas de cada rect´angulo, A(i) , as´ı como el a´ rea total, A T :
√
A(1)
=
A(2)
= tl
A(3)
=
AT
=
2 tl
(3.52a)
(3.52b)
2 A(1) + A(2) + A(3) = 2 9 tl
(3.52c)
tl
,
(3.52d)
Para situar el centroide de la secci o´ n, primero es necesario calcular los momentos est´aticos, M x y M y , respecto a los ejes cartesianos de referencia que se muestran figura 3.11b: M x M y
(1)
= A
(1)
= A
(0) + A
(2)
(0) + A
(2)
tl 2
0 + A l
2
(3)
l
2
+ A
(3)
= l
4
4
= 0 25 tl 2 ,
5 tl 2 = = 0 625 tl 2 8 ,
(3.53a) (3.53b)
•• 82
Secciones de pared delgada
Con los momentos est´aticos y el a´ rea total se calcula la posici´on del centroide:
3.6.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 0 21 l
,
= 0 085 l
(3.54a)
,
(3.54b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.12a) que pasan por el centroide de la secci´on. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci o´ n propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.11b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
secci´on propuesta: (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
1
=
A(1) (l ) + A(1) ( yg ) 2
−
2
(3.55a)
12 1 (2) 2 2 A (l ) + A(2) ( yg ) 12 2 (3) l 0 + A yg 2
=
(3.55b)
−
−
=
(3.55c)
El momento de inercia, I x , resultante es: (1)
(2)
(3)
I x = I x + I x + I x
= 0 3 tl 3
(3.56)
,
y an´alogamente: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
=
1 12
2
(2)
= 0 + A =
1 12
2
A(1) (l ) + A(1) ( xg )
A
(1)
−
2
− − l
l
2
(2)
(3.57b)
xg
2
(3)
(3.57a)
2
+ A
(3)
l
4
2
xg
(3)
= I y + I y + I y = 0 275 tl 3 ,
Para el c´alculo de el producto de inercia se sigue tambi´en la misma metodolog´ıa:
(3.57c) (3.57d)
•• 83
3.6 Problema 6
(1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
− 121 A(1) ( l ) (l ) + A(1) (− xg) (− yg)
=
= 0 + A(2) = 0 + A(3) (1)
− − − − l
xg ( yg )
2
l
l
xg
4
(2)
yg
2
(3.58a) (3.58b)
(3)
= I xy + I xy + I xy = −0 11 tl 3 ,
(3.58c) (3.58d)
Por u´ ltimo, el momento polar de inercia, I 0 , se obtiene sumando las inercias, I x e I y calculadas: I 0 = I x + I y = 0 575 tl 3 ,
3.6.3.
(3.59a)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.12b se muestra el c´ırculo de Mohr relativo a la secci´on de pared delgada propuesta. Como se puede observar en esta figura los momentos principales de inercia se obtienen cuando se anula el producto de inercia. El centro del c´ırculo de Mohr est´a definido por el momento de inercia medio, I m : I m =
I x + I y
= 0 29 tl 3
(3.60)
2 = 0 11 tl 3 + I xy
(3.61)
,
2
mientras su radio, R , se puede calcular como:
R =
− I y
2
I x
2
,
Los momentos principales de inercia, I max y I min , se encuentran en los extremos del di´ametro horizontal ( I xy = 0) y se calculan como: I max
= I m + R = 0 4 tl 3
(3.62a)
I min
= I m − R = 0 18 tl 3
(3.62b)
,
,
Por u´ ltimo, la rotacio´ n de ejes (positiva en sentido antihorario) necesaria para que e´ stos
coincidan con los ejes principales de inercia, x y , se calcula como (ver figuras 3.12): θ =
1 2
arctan
,
2 I xy
I y
− I x
= 41o
(3.63)
•• 84
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.12: Problema 6: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 85
3.7 Problema 7
3.7.
Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.13a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.13: Problema 7: (a) Seccion ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.7.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
Se puede observar como se nos presenta una secci´o n compuesta por tres rect´a ngulos de secci´on delgada. El despiece de la seccio´ n se muesta en la figura 3.13b. El a´ rea de la secci´on resulta: A(1)
= 2 tl
A(2)
= 2 5 t l
A(3)
= 2 tl
AT
√
= 8 47 tl ,
(3.64a)
(3.64b) (3.64c)
(3.64d)
mientras su centroide coincide con el origen de los ejes de referencia por razones de simetr´ıa.
3.7.2.
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado se calcular´an los momentos de inercia I x e I y , el producto, I xy y el momento polar de inercia, I 0 , respecto a los ejes que pasan por el centroide de la secci´on (vease figura 3.14a).
•• 86
Secciones de pared delgada
(i)
El momento de inercia, I x , relativo a cada rect´angulo del despiece resulta: (1)
=
(2)
=
(3)
=
I x I x I x
1 (1) 2 A (2l ) 12 1 (2) 2 A (2l ) 12 1 (1) 2 I x = A(3) (2l ) 12
(3.65a) (3.65b) (3.65c)
de tal manera que el momento de inercia de la secci o´ n, I x , se calcula sumando las contribuciones de cada rect´angulo: (1)
(2)
(3)
I x = I x + I x + I x
= 2 8 tl 3
(3.66)
,
y an´alogamente: (1)
I y
(2)
I y
= 0 + A (1) (−2 l )2
(3.67a)
=
(3.67b)
1 (2) 2 A (4l ) 12
(3)
= 0 + A (3) (2l )2
I y
= I y + I y + I y = 21 9 tl 3
I y
(1)
(2)
(3.67c)
(3)
(3.67d)
,
El c´alculo del producto de inercia, I xy , sigue la misma metodolog´ıa: (1)
I xy
(2)
I xy
= 0 + A(1) (−2l )(0) =
1 (2) A ( 2l ) (4l ) 12
(3)
= 0 + A(3) (2l )(0)
I xy
= I xy + I xy + I xy = 3 tl 3
I xy
(1)
(2)
(3)
(3.68a) (3.68b) (3.68c) (3.68d)
Finalmente, el momento polar de inercia, I 0 , resulta: I 0 = I x + I y = 24 7 tl 3 ,
3.7.3.
(3.69)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.14b se muestra el c´ırculo de Mohr relativo a la secci o´ n de pared delgada propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de inercia, I xy , se anula. El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se calculan como: I m R
= =
I x + I y
2
= 12 4 tl 3 ,
− I y
I x
2
(3.70a)
2 2 = 10 tl 3 + I xy
(3.70b)
•• 87
3.7 Problema 7
de tal manera que los momentos principales de inercia, I max y I min, se calculan f´acilmente como: I max
= I m + R = 22 4 tl 3
I min
= I m − R = 2 4 tl 3
,
(3.71a) (3.71b)
,
Por u´ ltimo, la rotacio´ n de ejes (positiva en sentido antihorario) necesaria para que e´ stos
coincidan con los ejes principales de inercia, x y , se calcula como (ver figuras 3.14): θ =
a)
1 2
arctan
,
2 I xy
I y
− I x
= 8 6o
(3.72)
,
b)
Figura 3.14: Problema 7: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 88
3.8.
Secciones de pared delgada
Problema 8
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.15a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.15: Problema 8: (a) Seccion on de los centroides ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ considerados en el despiece
3.8.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
El primer paso para la resoluci´on del problema planteado consiste en romper la secci´on propuesta en cuatro a´ reas rectangulares tal y como se muestra en figura 3.15b. Eel ´area de cada rect a´ ngulo, A (i) , as´ı como el ´area total resultante, A T : A(1)
= 2 tl
(3.73a)
A(2)
= 2 tl
(3.73b)
A(3)
= tl
A(4)
= 3 tl
AT
(3.73c)
= A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = 8 tl
(3.73d)
(3.73e)
•• 89
3.8 Problema 8
Para situar el centroide de la secci´on es necesario calcular los momentos est´aticos, M x y M y : M x M y
=
A
(1)
(2)
(3 l ) + A
(0) + A
= A(1) l + A(2) l + A (3)
(3)
l
2
3l 2
3l 2
+ A(4)
+ A(4) (0) =
= 12 tl 2
9 l 2t = 4 5 tl 2 2
(3.74a) (3.74b)
,
de tal manera que la posici´on del centroide resulta como:
3.8.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
9
=
16 3l
=
l = 0 56 l
2
,
= 1 5 l
(3.75a)
,
(3.75b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.16a) que pasan por el centroide de la secci´on. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.15b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos ) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
secci´on propuesta: (1)
I x
(2)
I x
= 0 + A(1) (3 l − yg )2 = 0 + A(2) (− yg )2
(3)
= 0 + A(3)
(4)
1
I x I x
=
12
A
(4)
3l 2
(3.76a) (3.76b)
− yg
2
(3l ) + A
(4)
3l 2
− yg
(3.76c)
(3.76d)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales ( 1), ( 2) y ( 3), solo se considera el t´ermino de transporte. El momento de inercia, I x , de la secci o´ n resultante es: (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + I x + I x + I x
= 11 25 tl 3 ,
(3.77)
An´alogamente, se procede al c a´ lculo del momento de inercia, I y . En este caso la secci o´ n
•• 90
Secciones de pared delgada
vertical (4) es la que se calcula utilizando s´olo el t´ermino de transporte: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
=
1 12
A(1) (2l ) + A(1) (l 2
− xg)2
(1)
= I y =
1 12
A
(3.78a)
(3)
2
(3)
(l ) + A
− l
(3.78b) 2
(4)
= 0 + A(4) (− xg )2
I y
= I y + I y + I y + I y = 3 15 tl 3
I y
(1)
(2)
(3.78c)
xg
2
(3.78d)
(3)
(4)
(3.78e)
,
El c´alculo del producto de inercia, I xy , sigue la misma metodolog´ıa: (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
(4)
I xy
I xy
= 0 + A(1) (l − xg ) (3 l − yg )
= 0 + A(2) (l − xg ) (− yg ) = 0 + A(3)
2
3l
xg
3l
(2)
(3)
2
(3.79b)
yg
2
= 0 + A(4) ( xg ) (0) (1)
− − − − l
(3.79a)
yg
(4)
= I xy + I xy + I xy + I xy = 0
(3.79c) (3.79d) (3.79e)
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I 0 , sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 14 4 tl 3 ,
3.8.3.
(3.80)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En este problema, los ejes que hemos utilizado para el c´alculo de los momentos de inercia son ejes principales de inercia ( I xy = 0). De ese modo resulta: I max
= I x = 11 25 tl 3
(3.81a)
I min
= I y = 3 15 tl 3
(3.81b)
,
,
•• 91
3.8 Problema 8
a)
b)
Figura 3.16: Problema 8: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 92
3.9.
Secciones de pared delgada
Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia para la secci o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.17a respecto de su centroide.
a)
b)
Figura 3.17: Problema 9: (a) Seccion ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
3.9.1.
Ca´ lculo del a´ rea y del centroide de la secci o´ n
Para la resolucio´ n del problema planteado, se proceder´a en primer lugar al despiece de la secci´on en cuatro a´ reas rectangulares tal y como se muestra en la 3.17b. Las ´areas de los diferentes rect´angulos valen:
√ 5 tl √
A(1)
=
A(2)
=
A(3)
= tl
A(4)
= 2 tl
5 tl
(3.82a)
(3.82b)
(3.82c)
(3.82d)
El ´area total A T ser´a por lo tanto: AT = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = 7 47 tl ,
(3.83a)
•• 93
3.9 Problema 9
Una vez calculada el a´ rea, se procede a situar el centroide de la secci´on. Para ello se calculan los momentos est´aticios, M x y M y : A(1)
2l +
l
+ A (2)
l
+ A (3) l +
l
+ A(4) l = 10 2 tl 2
M x
=
M y
= A(1) l + A(2) l + A(3) (0) + 2 A(4) (2 l ) = 8 47 tl 2
2
2
2
(3.84a)
,
(3.84b)
,
El centroide de la secci´on se situa en:
3.9.2.
xg
=
yg
=
M y A M x AT
= 1 13 l ,
(3.85a)
= 1 36 l
(3.85b)
,
Ca´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y , el producto de inercia I xy as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.18a) que pasan por el centroide de la secci o´ n. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, I x , de los diferentes (i)
rect´angulos del despiece que forman la secci´on propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene sumando dos t´erminos: el primero t´ermino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, Gi , (ver figura figura 3.17b), mientras el segundo t e´ rmino corresponde al transporte ( teorema de los ejes paralelos ) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la ,
seccio´ n propuesta: (1)
I x
(2)
I x
= =
(3)
=
(4)
=
I x I x
1
(1)
A 12
1 12 1
A
(2)
(3)
2
(1)
(l ) + A 2
2
− − − 5l
(2)
(l ) + A
2
l
(3.86b)
yg
2
(l )2 + A(3)
(3.86a)
yg
2
3l
A yg 12 2 1 (4) 2 2 A (2 l ) + A(4) (l yg ) 12
−
2
(3.86c) (3.86d)
El momento de inercia, I x , de la secci´on propuesta es: (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + I x + I x + I x
= 5 96 tl 3 ,
(3.87)
•• 94
Secciones de pared delgada
An´alogamente, se procede al c a´ lculo del momento de inercia, I y : (1)
I y
=
1 12
2
A(1) (2l ) + A(1) (l
(2)
= I y
(3)
= 0 + A(3) (0 − xg )2
I y I y
(4)
I y
I y
− xg)2
(1)
(3.88a)
(3.88c)
= 0 + A(4) (2 l − xg )2 (1)
(2)
(3.88b)
(3)
(3.88d) (4)
= I y + I y + I y + I y = 4 35 tl 3
(3.88e)
,
El c´alculo del producto de inercia, I xy , sigue la misma metodolog´ıa:
(1)
=
1 (1) 2 A ( 2l ) + A(1) (l 12
(2)
=
1 (2) 2 A (2l ) + A(2) (l − xg ) − 12
I xy I xy
(3)
I xy
(4)
I xy
I xy
= 0 + A(3) (− xg )
− xg)
− 3l
− − 5l 2
l
2
(2)
(3)
(3.89a)
yg
yg
2
= 0 + A(4) (2 l − xg ) (l − yg ) (1)
yg
(4)
= I xy + I xy + I xy + I xy = −0 86 tl 3 ,
(3.89b) (3.89c) (3.89d) (3.89e)
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I 0 , sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 10 3 tl 3
(3.90)
,
3.9.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.18b se muestra el c´ırculo de Mohr relativo a la secci o´ n de pared delgada propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de inercia, I xy , se anula. El centro, I m y el radio, R , del c´ırculo de Mohr se calculan como: I m R
= =
I x + I y
2
= 5 15 tl 3
(3.91a)
,
− I y
I x
2
2 2 = 1 18 tl 3 + I xy ,
(3.91b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, I max y I min, se calculan f´acilmente como: I max
= I m + R = 6 33 tl 3
(3.92a)
I min
= I m − R = 3 97 tl 3
(3.92b)
,
,
•• 95
3.9 Problema 9
El c´ırculo de Mohr nos indica adem a´ s la rotaci´on de ejes necesaria para que e´ stos coincidan con los ejes principales de inercia, como se muestra en las figuras 3.18a-b. En el plano de Mohr, las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del a´ ngulo,
θ ,
necesario para que los ejes originales de la secci o´ n, ( x y), coincidan con los ejes principales de ,
inercia, x y . Esta rotaci´on se puede calcular como: ,
θ =
1 2
arctan
2 I xy
I y
− I x
= 23 6o ,
(3.93)
Finalmente, se puede observar que, en lugar de mover los ejes de referencia y mantener fija la posici´on de la secci´on, se consigue el mismo resultado manteniendo los ejes de referencia fijos y rotando la seccio´ n en sentido horario .
•• 96
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.18: Problema 9: (a) Posici´ on del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
•• 97 97
3.10 Problema 10
3.10 3.10..
Prob Pr oble lema ma 10
Calcular los momentos principales de inercia para la secci on o´ n de pared delgada que se presenta en la figura 3.19a respecto respecto de su centroide. centroide.
a)
b)
Figura 3.19: Problema 10: (a) Seccion ´ de pared delgada propuesta; (b) Posici´ Posicion ´ de los centroides considerados en el despiece
3.10 3.10.1 .1..
Calculo a´ lculo del area a´ rea y del centroide de la secci on o´ n
En primer lugar, se realiza el despiece de la secci´on on original en tres areas a´ reas rectangulares de pared delgada segun u´ n se muestra en la figura 3.19b. A continuaci on o´ n se procede con el c´ calculo a´ lculo del area a´ rea de cada rect´angulo, angulo, A (i) , as´ı como co mo al c alculo a´ lculo del area a´ rea total, A T : A(1)
= 3 tl
A(2)
=
A(3)
=
AT
√ 5 t l √ 2 t l
t l = A(1) + A(2) + A(3) = 6 65 tl ,
(3.94a)
(3.94b)
(3.94c)
(3.94d)
Los momentos est´aticos, aticos, M x y M y , se calculan de forma an´aloga aloga en funci´on on de la posici´on on de los centroides de los diferentes rect angulos a´ ngulos que forman la secci on o´ n propuesta respecto de los ejes
•• 98 98
Secciones de pared delgada
cartesianos de referencia que se muestran en la figura 3.19b: (1)
3l 2
M x
=
M y
= A(1) (l ) + A (2)
A
+ A
(2)
l
(3)
(2 l ) + A
l
2
2
l
+ A (3)
= 9 68 tl 2 ,
= 4 82 tl 2
2
(3.95a) (3.95b)
,
Finalmente, Finalmente, la posici´on on del centroide de la secci´on on (vease figura 3.20a) se obtiene como:
3.10. .10.2 2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 0 72 l ,
(3.96a)
= 1 45 l
(3.96b)
,
Calculo a´ lculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia I x y I y, el producto de inercia I xy as´ as´ı como el momento polar de inercia I o respecto de los ejes x G e y G (ver figura 3.20a) que pasan por el centroide de la secci´on. on. (i)
El momento de inercia, I x , se calcula sumando las contribuciones, contribuciones, I x , de los tres rect´angulos angulos (i)
del despiece que forman la secci on o´ n propuesta. Cada momento de inercia I x se obtiene obtiene sumando sumando dos t´ terminos: e´ rminos: el primero t´ termino e´ rmino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan por su propio centroide, centroide, G i , (ver figura figura 3.19b), mientras el segundo t´ermino ermino corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos ) hacia el centroide, G ( xg yg ), de la secci on o´ n propuesta: ,
(1)
=
(2)
=
I x I x
(3)
−
−
−
=
I x
1 (1) 3l 2 A (3 l ) + A(1) yg 12 2 1 (2) 2 2 A (2l ) + A(2) (2 l yg ) 12 2 1 (3) 2 (3) l A l + A yg 12 2
2
(3.97a) (3.97b) (3.97c)
El momento de inercia, inercia, I x , de la seccion o´ n propuesta es: (1)
(2)
(3)
I x = I x + I x + I x
= 5 1 t l 3
(3.98)
,
De igual forma se procede con el c alculo a´ lculo de I y : (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= 0 + A(1) (l − xg )2 = =
1 (2) 2 A l + A(2) 12 1 12
A
(1)
(3) 2
l + A
(2)
(3)
(3)
(3.99a) 2
− − l
(3.99b)
xg
2 l
2
xg
= I y + I y + I y = 0 71 t l 3 ,
2
(3.99c) (3.99d)
•• 99 99
3.10 Problema 10
y an´alogamente alogamente con el producto de inercia, I xy : (1)
(1)
= 0 + A
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
(l − xg )
1
3l 2
− yg l
A(2) (l ) (2l ) + A(2) 12
=
− 121 A(3) (l ) (l ) + A(3) (2)
(3)
− − − −
=
(1)
2
l
2
xg (2 l xg
yg )
l
2
yg
(3.100b)
(3.100c)
= I xy + I xy + I xy = 0 32 tl 3
I xy
(3.100a)
(3.100d)
,
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I 0 , sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 5 8 tl 3
(3.101)
,
3.10 3.10.3 .3..
Calculo a´ lculo de los momentos principales de inercia
En la figura figura 3.20b 3.20b se muestr muestraa el c´ırculo ırculo de Mohr relati relativo vo a la secci´ secci´on on de pared delgada propuesta. El centro de este circulo est a´ definido por el momento de inercia medio, I m (centro del c´ırculo) ırculo ) y por p or su radio, R : I m R
I x + I y
=
2
= 2 9 t l 3
− I y
=
(3.102a)
,
I x
2
2
2 = 2 2 t l 3 + I xy
(3.102b)
,
Los momentos principales de inercia, I max calculan como: max y I min min , se calculan I max max
= I m + R = 5 1 tl 3
(3.103a)
I min min
= I m − R = 0 7 tl 3
(3.103b)
,
,
Por ultimo, u´ ltimo, la rotacion, o´ n, θ , necesaria para que los ejes originales originales de la secci´ seccion, o´ n, ( x y), sean ejes ,
principales de inercia, x y , se muestra en la figura 3.20b (rotaci´on on positiva antihoraria): ,
θ =
1 2
arctan
2 I xy
I y
− I x
= −4 2o ,
(3.104)
•• 100
Secciones de pared delgada
a)
b)
Figura 3.20: Problema 10: (a) Posici on ´ del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.
4
O L U T I ´ P A C 4.1.
Secciones mixtas
Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.1a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.1: Problema 1: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.1.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro de masa de la secci o´ n mixta
Para el c´alculo del area ´ mec´a nica y centro de mec´a nico de la secci´o n mixta propuesta, el primer paso consiste en el despiece de la secci´on original en ´areas m´as simples: en este caso se considera un rect´angulo ( 1) en hormig´on al que se resta el semic´ırculo ( 3) de radio R = l y otro rect´angulo
(2) en acero al que se resta el semic ´ırculo (4) tambi´en de radio R = l , como se muestra en la figura 4.1b.
•• 102
Secciones mixtas
Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= 8 l2
(4.1a)
A(2)
= 8l 2
(4.1b)
A(3)
=
A(4)
=
π l 2
2 2 π l 2
(4.1c)
(4.1d)
El a´ rea mec´anica, A T , de la secci o´ n mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece multiplicando las a´ reas de acero por el coeficiente de equivalencia mec´anico acero-hormig´on, n = 10:
=
AT
(1)
A
−A
(3)
+ n A
(2)
(4)
−A
= A(1) + n A(2) − A(3) − n A(4) = 70 7 l 2
(4.2a) (4.2b)
,
Para encontrar el centro mec´a nico de la secci´on, es preciso hallar en primer lugar el valor de los momentos est´aticos mec´anicos (las a´ reas de acero se multiplican por el coeficiente de equivalencia mec´anico acero-hormigo´ n): (1)
M x
= A
M y
= 0
(2)
(l ) + n A
(−l ) − A
(3)
− − 4 l
n A(4)
3π
4l
3π
= −66 l 3
(4.3a) (4.3b)
La posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura 4.2): ,
4.1.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
=0
(4.4a)
= −0 93 l ,
(4.4b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la secci´on mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect a´ ngulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
•• 103
4.1 Problema 1
de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
(4)
I x
El
= = = =
1 12 1 12
(4 l ) (2 l )3 + A(1) (l − yg )2 (4 l ) (2 l )3 + A(2) (−l − yg )2
(4.5b)
− − − − − 1
1
2
4
1
1
2
4
π l
4
π l
4
4 l
(3)
A
2
3π 4 l
(4)
A
+ A
(3)
+ A
(4)
2
4 l
3π
2
3π
(4.5a)
4 l
3π
(4.5c)
yg
2
yg
(4.5d)
momento de inercia mec´anico, I x , de la secci´o n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de equivalencia mec´anico, n : (1)
(2)
I x = I x + n I x
− I x(3) − n I x(4) = 51 4 l 4
(4.6)
,
El c´alculo del momento de inercia mec´anico, I y , sigue el mismo procedimiento: (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
=
1 12
(2 l ) (4 l )3
(1)
= I y =
1 2
1 4
π l
4
(4)
= I y
I y
= I y + n I y
I y
(4.7a)
(3) (1)
(4.7b)
(2)
− I y(3) − n I y(4) = 113 l 4
(4.7c) (4.7d) (4.7e)
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, el momento polar de inercia mec´anico, I o , se obtiene: I o = I x + I y = 164 4 l 4 ,
4.1.3.
(4.8)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la secci o´ n es nulo, los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que: I max
= I y = 113 l 4
(4.9a)
I min
= I x = 51 4 l 4
(4.9b)
,
•• 104
Secciones mixtas
Figura 4.2: Posicion del centro de gravedad.
•• 105
4.2 Problema 2
4.2.
Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia mec´anicos de la secci´on mixta que se presenta en la figura 4.3a respecto de su centro mec a´ nico.
a)
b)
Figura 4.3: Problema 2: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.2.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
Para el c´alculo del a´ rea mec´anica y centro mec´anico de la secci´on mixta propuesta, el primer paso consiste en el despiece de la secci o´ n original en ´areas m´as simples: en este caso, un cuadrado ´ que por una parte tiene un foro circular ( 3) de radio R = l y por otra parte, tiene (1) en hormigon un refuerzo cuadrado en acero, como se muestra en la figura 4.3b. Las ´areas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= l2
A(2)
=
A(3)
=
l
(4.10a)
2
4 2 π r
(4.10b) (4.10c)
El a´ rea mec´anica, AT , de la secci o´ n mixta se calcula sumando todas las contribuciones del despiece: AT = A(1) + (n
− 1) A(2) − A(3) = 3 2 l 2 ,
(4.11)
•• 106
Secciones mixtas
El a´ rea ( 2) se ha multiplicado por el factor, ( n
− 1), siendo, n , el coeficiente de equivalencia
mec´anico acero-hormigo´ n. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de hormig´on el a´ rea ( 2) y despu´es hay que volver a sumar el a´ rea (2) en acero. Por lo tanto esta operaci´on es equivalente a multiplicar el a´ rea ( 2) por el el factor, ( n n = 10.
− 1). En este problema he ha tomado
Para determinar el centro mec´anico, se deben obtener previamente los momentos est´aticos mec´anicos: M x
= A(1)
M y
= A(1)
l
2 l
2
+ (n − 1) A(2) + (n − 1) A(2)
− − 3 l 4
l
A(3)
4
l
A(3)
4
3 l 4
= 2 17 l 3
(4.12a)
= 1 03 l 3
(4.12b)
,
,
La posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura 4.4): ,
4.2.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
= 0 32 l ,
(4.13a)
= 0 68 l
(4.13b)
,
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la secci´on mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect a´ ngulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
El
= = =
1 12 1 12
2
− − − 4
l + A l
2
(1)
l
2
4
+ A
1 4 (3) π r + A 4
(2)
3 l
yg
4
l
4
(4.14a)
yg
2
(4.14b)
2
yg
(4.14c)
momento de inercia mec´anico, I x , de la secci´o n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
•• 107
4.2 Problema 2
equivalencia mec´anico, n : (1)
I x = I x + (n
− 1) I x(2) − I x(3) = 0 164 l 4 ,
(4.15)
El c a´ lculo del momento de inercia mec a´ nico, I y , sigue el mismo procedimiento: (1)
=
I y
(2)
1
=
I y
12
2
− − −
1 4 l + A(1) 12
l
4
l
+ A
1 4 (3) π r + A 4
I y
= I y + (n − 1) I y
(1)
(2)
(4.16b)
2
3 l 4
=
2
xg
4
(3)
I y
l
(2)
2
(4.16a)
xg
2
(4.16c)
xg
− I y(3) = 0 164 l 4
(4.16d)
,
y analogamente para el producto de inercia mec´anico, I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
= 0 + A
(1)
− − − − − − l
2
= 0 + A(2) = 0 + A(3) (1)
l
xg
l
3 l 4
xg
4
3 l
l
xg
4
(2)
= I xy + (n − 1) I xy
yg
2
4
(4.17a)
yg
(4.17b)
yg
(4.17c)
− I xy(3) = −0 034 l 4 ,
(4.17d)
Por u´ ltimo, el momento polar de inercia mec´anico, I o , se calcula sumando I x e I y : I o = I x + I y = 0 328 l 4
(4.18a)
,
4.2.3.
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Los momentos principales de inercia se pueden calcular en funci o´ n de los valores del centro y del radio del c´ırculo de Mohr, I m y R , respectivamente: I m R
= =
I x + I y
= 0 164 l 4
(4.19a)
,
2
− I y
I x
2
2 2 = 0 034 l 4 + I xy ,
(4.19b)
de tal mamera que: I max
=
I min
=
I 0
+ R = 0 12 l 4
(4.20a)
− R = 0 13 l 4
(4.20b)
2 I 0 2
,
,
•• 108
Secciones mixtas
Finalmente, el valor de la rotaci´on (positiva antihoraria ) necesaria para que los ejes de la
−
secci´on coincidan con los ejes principales de inercia, x y , se puede calcular como: θ = 0,5 arctan
2 I xy
I y
− I x
,
= 45o
Figura 4.4: Posicion del centro de gravedad.
(4.21)
•• 109
4.3 Problema 3
4.3.
Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.5a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.5: Problema 3: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.3.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
Para el c´alculo del a´ rea mec´anica y centro mec´anico de la secci´on mixta propuesta, el primer paso consiste en el despiece de la secci´o n original en ´a reas m´a s simples: en este caso, un rect´angulo
(1) en hormig´on reforzado con tres barras circulares (2), (3) y ( 4) en acero de radio R = l , como se muestra en la figura 4.5b. Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= 80 l 2
A(2)
=
π l
2
(4.22b)
A(3)
=
π l
2
(4.22c)
A(4)
=
π l
2
(4.22d)
(4.22a)
El a´ rea mec´anica, AT , de la secci o´ n mixta se calcula sumando todas las contribuciones del despiece: AT = A(1) + (n
− 1) A(2) + (n − 1) A(3) + (n − 1) A(4) = 164 8 l 2 ,
•• 110
Secciones mixtas
Las a´ reas ( 2), ( 3) y ( 4) se han multiplicado por el factor, ( n
− 1), siendo, n , el coeficiente de
equivalencia mec´anico acero-hormigo´ n. Esto se debe a que es necesario restar al dominio ( 1) de
hormig´o n las a´ reas (2), (3) y ( 4). Despu´es hay que volver a sumar las a´ reas (2), ( 3) y (4) en acero. Por lo tanto esta operaci o´ n es equivalente a multiplicar las a´ reas ( 2), (3) y (4) por el el factor, ( n
− 1). En este problema he ha tomado n = 10.
M x
6 l 3 = A(1) (0) + (n − 1) A(2) (−2 l ) + (n − 1) A(3) (−2 l ) + (n − 1) A(4) (−2 l ) = −169(4.23a)
M y
= 0
,
(4.23b)
La posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura 4.6): ,
4.3.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
=0
(4.24a)
= − l
(4.24b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la secci´on mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect a´ ngulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
(1)
I x
(2)
I x
=
1 12 1 4
(3)
= I x
(4)
= I x
I x I x
El
=
(10 l ) (8 l )3 + A(1) (− yg )2
π l
(2) (2)
4
+ A(2) (−2 l − yg )2
(4.25a) (4.25b)
(4.25c)
(4.25d)
momento de inercia mec´anico, I x , de la seccio´ n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece:
•• 111
4.3 Problema 3
(1)
I x = I x + (n
− 1) I x(2) + (n − 1) I x(3) + (n − 1) I x(4) = 612 5 l 4 ,
Analogamente para el momento de inercia mec´anico, I y : (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
= = =
1 12 1 4 1 4
(8 l ) (10 l )3
π l
4
π l
4
(4.27a) (4.27b)
+ A(3) (−3 l )2
(4.27c)
(4)
= I y
I y
= I y + (n − 1) I y + (n − 1) I y + (n − 1) I y = 1196 8 l 4
I y
(3) (1)
(4.26)
(2)
(3)
(4.27d) (4)
,
(4.27e)
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , se obtiene sumando I x e I y : I o = I x + I y = 1809 3 l 4 ,
4.3.3.
(4.28)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la secci o´ n es nulo, los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que: I max
= I y = 1196 8 l 4
(4.29a)
I min
= I x = 612 5 l 4
(4.29b)
,
,
•• 112
Secciones mixtas
Figura 4.6: Posicion del centro de gravedad.
•• 113
4.4 Problema 4
4.4.
Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.7a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.7: Problema 4: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.4.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
La seccio´ n mixta propuesta est´a formada por un rect a´ ngulo (1) de hormig´o n en lo que se inserta una secci´on de pared delgada en acero. Esta ´ultima se puede descomponer a su vez en tres l , 100
secciones rectangulares de pared delgada ( 2), ( 3) y ( 4) con espesor t =
como se muestra en
la figura 4.7b. Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= 24 l 2
A(2)
= 4 tl
(4.30b)
A(3)
= 2 tl
(4.30c)
A(4)
= 2 tl
(4.30d)
(4.30a)
•• 114
Secciones mixtas
El a´ rea mec´anica, A T , de la secci´on mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece multiplicando las a´ reas de acero por el coeficiente de equivalencia mec a´ nico acero-hormig´on, n = 10:
AT = A(1) + (n
− 1) A(2) + (n − 1) A(3) + (n − 1) A(4) = 24 72 l 2 ,
(4.31)
Por razones de simetr´ıa la posicio´ n del centro mec´anico, G ( xg yg ) coincide con el origen de ,
los ejes de referencia (ver figura 4.8):
4.4.2.
xg
= 0
(4.32a)
yg
= 0
(4.32b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec´anico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la seccio´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
1
(4 l ) (6 l )3
(4.33a)
A(2) (4 l )
2
(4.33b)
(3)
= 0 + A(3) (2 l )2
(4.33c)
(4)
= I x
I x
(2)
I x I x I x
= =
12 1 12 (3)
(4.33d)
de tal manera que el momento de inercia mec´anico, I x , de la secci´on mixta resulta: (1)
I x = I x + (n
− 1) I x(2) + (n − 1) I x(3) + (n − 1) I x(4) = 73 9 l 4 ,
(4.34)
Analogamente para el momento de inercia mec a´ nico, I y : (1)
I y
=
1 12
(6 l ) (4 l )3
(4.35a)
(2)
= 0+0
(3)
=
(4)
= I y
I y
= I y + (n − 1) I y + (n − 1) I y + (n − 1) I y = 32 1 l 4
I y I y I y
(4.35b)
1 (3) 2 A (2 l ) + 0 12
(4.35c)
(3) (1)
(2)
(3)
(4.35d) (4)
,
(4.35e)
•• 115
4.4 Problema 4
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , se obtiene sumando I x e I y : I o = I x + I y = 106 l 4
4.4.3.
(4.36)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la secci o´ n es nulo, los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que: I max
= I x = 73 9 l 4
(4.37a)
I min
= I y = 32 1 l 4
(4.37b)
,
,
Figura 4.8: Posicion del centro de gravedad.
•• 116 116
4.5. 4.5.
Secciones mixtas
Prob Pr oble lema ma 5
Calcular los momentos principales de inercia mec anicos a´ nicos de la secci on o´ n mixta que se presenta en la figura 4.9a respecto de su centro mec´anico. anico.
a)
b)
Figura 4.9: Problema 5: (a) Seccion Posicion ´ mixta propuesta; (b) Posici´ ´ de los centroides considerados en el despiece
4.5.1.
Calculo a´ lculo del area a´ rea mecanica a´ nica y del centro mec anico a´ nico de la secci on o´ n mixta
La secci´on on mixta propuesta est´a formada por un rect´angulo angulo ( 1) de hormig´on on y una secci´on on de pared delgada en acero. Esta ´ultima ultima se puede descomponer a su vez en tres secciones rectangulares de pared delgada (2), ( 3) y (4) con espesor t = =
l , 100
como se muestra en la figura 4.9b.
Las ´ Las ´areas, areas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= 5 l2
A(2)
= 3 t l
(4.38b)
A(3)
= 2 t l
(4.38c)
A(4)
= 2 t l
(4.38d)
(4.38a)
El area a´ rea mec´anica, anica, A T , de la secci´on on mixta se calcula calcula sumando las contribuciones contribuciones del despiece despiece ´ reas de acero por el coeficiente de equivalencia mec anico multiplicando las aareas a´ nico acero-hormi acero-hormig gon, o´ n, n = 10: AT = A
(1)
(2)
+ n A
+ A
(3)
A
(4)
= 5 7 l 2 ,
(4.39)
•• 117 117
4.5 Problema 5
Para determinar el centro mec´anico, anico, se deben obtener previamente los momentos est´aticos aticos mec´ mecanicos: a´ nicos: M x
= A(1)
M y
= 0
l
2
+ n A(2)
− 3 l
2
+ n A(3) (0) + n A(4) (−3 l ) = 1 450 l 3 ,
(4.40a) (4.40b)
La posicion o´ n del centro mec´ mecanico, a´ nico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura 4.10): ,
4.5.2.
xg
=
yg
=
M y AT M x AT
=0
(4.41a)
= 0 254 l
,
(4.41b)
Calculo a´ lculo de los momentos de inercia mec anicos a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´ mecanico, a´ nico, I xy y el momento polar de inercia mec anico, a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, anico, G ( xg yg ), de la secci´on on mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect angulo a´ ngulo se obtiene sumando dos t´ terminos: e´ rminos: el primero primero corres correspond pondee al valor valor del momento momento de inerci inerciaa respec respecto to a unos ejes que pasan pasan por su propio propio centroide, G (i) , mientras el segundo t ermino e´ rmino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci´on on compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
(4)
I x
El
= =
1 (5 l ) ( l )3 + A(1) 12 1 12
A
(2)
2
(3 l ) + A
= 0 + A(3) (− yg )2
2
− − − l
2
3 l
(2)
(4.42a)
yg
2
yg
2
(4.42b) (4.42c)
= 0 + A(4) (−3 l − yg )2
(4.42d)
mome moment nto o de ine inercia rcia mec´ mec´anico, anico, I x , de la secci´on o n mixt mixtaa se obti obtien enee suma sumand ndo o las las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de equivalencia mec´ mecanico, a´ nico, n : (1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + n I x + I x + I x
= 4 l 4
(4.43)
•• 118 118
Secciones mixtas
El c´alculo alculo del momento de inercia, I y sigue el mismo procedimiento: (1)
I y
=
1 12
(l ) (5 l )3
(2)
= 0+0
(3)
=
(4)
= I y
I y I y I y
I y
(4.44a) (4.44b)
1 (3) 2 A (2 l ) + 0 12
(4.44c)
(3) (1)
(2)
(3)
(4)
= I y + n I y + I y + I y
(4.44d)
= 10 5 l 4 ,
(4.44e)
El producto de inercia mecanico a´ nico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ simetr´ıa ıa de la seccion o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, Finalmente, el momento polar de inercia inercia mec´anico, anico, I o , se obtiene sumando sumando I x e I y : I o = I x + I y = 14 5 l 4 ,
4.5.3.
(4.45)
Calculo a´ lculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la secci´on on es nulo, los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que: I max max
= I y = 10 5 l 4 ,
(4.46a)
I min min
= I x = 4 l 4
(4.46b)
Figura 4.10: Posicion del centro de gravedad.
•• 119
4.6 Problema 6
4.6.
Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.11a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.11: Problema 6: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.6.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
La seccio´ n mixta propuesta est´a formada por un aro ( 1) de hormig´on y unos radios de pared l , 100
delgada ( 2), ( 3) y ( 4) en acero, con espesor t =
como se muestra en la figura 4.11b.
Las ´areas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: 2
− π (3 l )2 = 7π l 2
A(1)
=
A(2)
= (6 l ) t
A(3)
= A(2)
(4.47c)
A(4)
= A(3)
(4.47d)
π (4 l )
(4.47a)
(4.47b)
El a´ rea mec´anica, A T , de la secci´on mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece multiplicando las a´ reas de acero por el coeficiente de equivalencia mec a´ nico acero-hormig´on, n = 10: AT = A
(1)
+ n A
(2)
(3)
+ A
(4)
A
= 23 8 l 2 ,
(4.48)
•• 120
Secciones mixtas
Por razones de simetr´ıa la posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ) coincide con el origen de ,
los ejes de referencia (ver figura 4.12):
4.6.2.
xg
= 0
(4.49a)
yg
= 0
(4.49b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec´anico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la seccio´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
1
4
π (4 l )
4
(2)
= 0+0
(3)
=
(4)
= I x
I x I x I x
El
=
1
4
− 4 π (3 l )
+0
(4.50a) (4.50b)
1 (3) 2 A [(6 l ) cos (30o )] 12 (3)
(4.50c)
(4.50d)
momento de inercia mec´anico, I x , de la seccio´ n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de equivalencia mec´anico, n :
(1)
(2)
(3)
(4)
I x = I x + n I x + I x + I x
= 140 15 l 4 ,
(4.51)
El c´alculo del momento de inercia, I y sigue el mismo procedimiento:
=
(2)
=
(3)
=
(4)
= I y
I y I y I y I y
I y
1 1 4 4 +0 π (4 l ) π (3 l ) 4 4 1 (2) 2 A (6 l ) + 0 12 1 (3) 2 A [(6 l ) cos (60o )] + 0 12
(1)
−
(3) (1)
(4.52a) (4.52b) (4.52c)
(2)
(3)
(4)
= I y + n I y + I y + I y
(4.52d)
= 140 15 l 4 ,
•• 121
4.6 Problema 6
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , se obtiene sumando I x e I y : I o = I x + I y = 280 3 l 4 ,
4.6.3.
(4.53a)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la secci´on es nulo, los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que: I max = I min = I x = I y = 140 15 l 4 ,
Figura 4.12: Posicion del centro de gravedad.
(4.54)
•• 122
4.7.
Secciones mixtas
Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.13a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.13: Problema 7: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.7.1.
Ca´ lculo del a´ rea meca´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
Para el c´alculo del a´ rea mec´anica y centro de mec a´ nico de la seccio´ n mixta propuesta, el primer paso consiste en el despiece de la secci´on original en a´ reas m´as simples: en este caso, un aro rectangular de acero (1) y una seccio´ n rectangular de hormigo´ n (2) a la cual se resta un c´ırculo
(3) de radio R = 3l , como se muestra en la figura 4.13b. Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1) A(2) A(3)
= (16 l )(12 l ) − (14 l )(10 l ) = 52 l 2 = (14 l )(10 l ) = 140 l 2 =
2
π r
(4.55) (4.56)
= π (3 l )2
(4.57)
El a´ rea mec´anica, A T , de la secci´on mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece multiplicando las a´ reas de acero por el coeficiente de equivalencia mec a´ nico acero-hormig´on, n = 10: AT = n A(1) + A(2)
− A(3) = 631 7 l 2 ,
(4.58)
•• 123
4.7 Problema 7
Por razones de simetr´ıa la posici o´ n del centro mec´anico, G ( xg yg ) coincide con el origen de ,
los ejes de referencia (ver figura 4.14):
4.7.2.
xg
= 0
yg
= 0
(4.59a) (4.59b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec a´ nicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec´anico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la secci o´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect a´ ngulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t e´ rmino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci´on compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
El
= = =
1 12 1 12 1 4
(16 l )(12 l )3 −
1 12
(14 l )(10 l )3
( 14 l ) ( 10 l )3
(4.60a) (4.60b)
4
π (3l )
(4.60c)
momento de inercia mec´anico, I x , de la secci´o n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de equivalencia mec´anico, n : (1)
(2)
I x = n I x + I x
− I x(3) = 12476 l 4
(4.61)
Analogamente para el c a´ lculo del momento de inercia, I y : (1)
I y
(2)
I y
(3)
I y
I y
= = =
1 12 1 12 1 4
(12 l )(16 l )3 −
1 12
(10 l )(14 l )3
( 10 l ) ( 14 l )3 4
π (3l )
(1)
(4.62a) (4.62b) (4.62c)
(2)
= n I y + I y
− I y(3) = 20316 l 4
(4.62d)
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
•• 124
Secciones mixtas
Finalmente, el momento polar de inercia mec´anico, I o , se obtiene sumando I x e I y :
4.7.3.
I 0 = I x + I y = 32792 l 4
(4.63)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Al ser los ejes ( xG yG ) principales de inercia ( I xy = 0), los momentos principales de inercias ,
coinciden con los valores calculados anteriormente:
I max
= I y = 20316 l 4
(4.64a)
I min
= I x = 12476 l 4
(4.64b)
Figura 4.14: Posicion del centro de gravedad.
•• 125 125
4.8 Problema 8
4.8. 4.8.
Prob Pr oble lema ma 8
Calcular los momentos principales de inercia mec´anicos anicos de la secci´on on mixta que se presenta en la figura 4.15a respecto de su centro mec anico. a´ nico.
a)
b)
Figura 4.15: Problema 8: (a) Seccion Posicion ´ mixta propuesta; (b) Posici´ ´ de los centroides considerados en el despiece despiece
4.8.1.
Calculo a´ lculo del area a´ rea mec anica a´ nica y del centro mec anico a´ nico de la secci on o´ n mixta
La seccion o´ n mixta propuesta est´ esta´ formada por un rect angulo a´ ngulo ( 1) de hormigon, o´ n, que se refuerza con dos tri´angulos angulos (2) y (3) en acero, como se muestra en la figura 4.15b. Las areas, a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
= (6 l ) (9 l ) = 54 l 2
A(2)
=
A(3)
=
1 (6 l ) (3 l ) = 9 l 2 2 A(2)
(4.65a) (4.65b) (4.65c)
El ´ El ´area area mec´ mecanica, a´ nica, AT , de la seccion o´ n mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece: AT = A(1) + (n
− 1)
A(2) + A(3) = 216 l 2
(4.66)
•• 126 126
Secciones mixtas
Las areas a´ reas (2) y (3) se han multiplicado por el factor, (n
− 1), siendo, n, el coeficiente de
equivalencia mec´ mecanico a´ nico acero-hormigon. o´ n. Esto se debe a que es necesario restar al dominio ( 1) de hormig´on on las areas a´ reas ( 2) y ( 3) y despu´es es hay que volver a sumar las mismas areas a´ reas en acero. Por lo tanto esta operacion o´ n es equivalente a multiplicar las ´ las ´areas areas (2) y (3) por el el factor, (n problema problema he ha tomado n = 10.
− 1). En este
Para determinar el centro mec anico, a´ nico, se deben obtener previamente los momentos est est´aticos a´ ticos mec´anicos: anicos: (1)
−
(0) + (n − 1) A
(2)
M x
= A
M y
= A(1) (0) + (n − 1) A (2)
(9 l ) 2
−
(6 l ) 2
(3 l )
+
3
(6 l ) 3
− (3)
+A
+ A(3)
(9 l ) 2
(6 l ) 2
+
(3 l ) 3
− (63 l )
(4.67a)) = 0 (4.67a (4.67b) = 0 (4.67b)
as´ as´ı que la posicion o´ n del centro mec´ mec anico, a´ nico, G ( xg yg ) coincide con el origen de los ejes de referencia ,
(ver figura 4.16):
4.8.2.
xg
= 0
(4.68a)
yg
= 0
(4.68b)
Calculo a´ lculo de los momentos de inercia mec anicos a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, anicos, I x e I y, el producto de inercia mec´ mecanico, a´ nico, I xy a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan xy y el momento polar de inercia mec anico, por el centro mec´ mecanico, a´ nico, G ( xg yg ), de la seccion o´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect´angulo angulo se obtiene sumando dos t´erminos: erminos: el primero primero corres correspond pondee al valor valor del momento momento de inerci inerciaa respec respecto to a unos ejes que pasan pasan por su propio propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccion o´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
(1)
I x
(2)
I x
(3)
I x
El
= = =
1 12 1 36
( 6 l ) (9 l )3 + 0 3
(4.69a) (2)
( 6 l ) (3 l ) + A
1 ( 6 l ) (3 l )3 + A(3) 36
2
− − 9 l
3 l
2
3
9 l 3 l + 2 3
(4.69b) 2
(4.69c)
mome moment nto o de iner inerccia mec´ mec´anico, anico, I x , de la secci´on o n mixt mixtaa se obti obtien enee suma sumand ndo o las las
contribuciones de cada parte del despiece:
•• 127 127
4.8 Problema 8
(1)
I x = I x + (n
− 1)
(2)
(3)
I x + I x
= 2430 l 4
De forma equivalente para el momento de inercia mec´anico, anico, I y : (1)
1
=
I y
(2)
(3)
1
=
I y
(4.71a)
12 1 ( 3 l ) (6 l )3 + A(2) 36
=
I y
( 9 l ) (6 l )3 + 0
36
( 3 l ) (6 l ) + A
(1)
6 l 3 l + 2 3
(3)
(2)
6 l
3 l
2
3
(3)
(4.71b)
2
(4.71c)
= 1134 l 4
= I y + (n − 1) I y + I y
I y
2
− −
3
(4.70a)
(4.71d)
y para el producto e inercia mec´anico, anico, I xy : (1)
I xy
(2)
I xy
(3)
I xy
I xy
= 0 = =
1 72 1 72
(4.72a)
− − − − 6 l
(3 l )2 (6 l )2 + A(2) (3 l )2 (6 l )2 + A(3)
(1)
(2)
2
+
3 l
9 l
3
2
6 l
3 l
9 l
2
3
2
(3)
= I xy + (n − 1) I xy + I xy
= 1053 l 4
− 33 l +
3 l 3
(4.72b)
(4.72c) (4.72d)
Finalmente, Finalmente, el momento polar de inercia inercia mec´anico, anico, I o , se obtiene sumando sumando I x e I y : I o = I x + I y = 3564 l 4
4.8.3.
(4.73a)
Calculo a´ lculo de los momentos principales de inercia
Los momentos principales de inercia se pueden calcular en funci´on on de los valores del centro y del radio del c´ c´ırculo ırculo de Mohr, I m y R, respectivamente: I m R
= =
I x + I y
2
= 1782 l 4
− I y
I x
2
(4.74a)
2 2 = 1236 4 l 4 + I xy ,
(4.74b)
de tal mamera que: I max max
= I m + R = 3018 4 l 4
(4.75)
I min min
= I m − R = 545 6 l 4
(4.76)
,
,
•• 128
Secciones mixtas
Finalmente, el valor de la rotaci´on (positiva antihoraria ) necesaria para que los ejes de la
secci´on coincidan con los ejes principales de inercia, x y , se puede calcular como ( ver figura 4.16):
θ = 0,5 arctan
2 I xy
I y
− I x
,
= 29 2o ,
Figura 4.16: Posicion del centro de gravedad.
(4.77a)
•• 129
4.9 Problema 9
4.9.
Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.17a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.17: Problema 9: (a) Seccion on de los centroides considerados ´ mixta propuesta; (b) Posici´ en el despiece
4.9.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
La seccio´ n mixta propuesta est´a formada por un aro circular (1) de acero y un semic´ırculo (2) en hormig´on, como se muestra en la figura 4.17b. Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: 2
− π (5 l )2
A(1)
=
π (6 l )
A(2)
=
1 2 π (5 l ) 2
(4.78a) (4.78b)
El a´ rea mec´anica, AT , de la secci o´ n mixta se calcula sumando las contribuciones del del despiece multiplicando el a´ rea de acero por el coeficiente de equivalencia mec´anico acerohormig´on, n = 10: AT = n A(1) + A(2) = 384 8 l 2 ,
(4.79)
•• 130
Secciones mixtas
Para determinar el centro mec´anico, se deben obtener previamente los momentos est´aticos mec´anicos, M x y M y : M x
= n A(1) (0) + A (2)
M y
= 0
−
4
( 5 l ) = −83 3 l 3
3π
(4.80a)
,
(4.80b)
La posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura 4.18): ,
4.9.2.
xg
=
yg
=
M y
=0
A M x
(4.81a)
= −0 216 l
,
AT
(4.81b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec´anico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la seccio´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
El
= =
1 4 1 8
4
π ( 6 l )
π ( 5 l )
4
1
4
− 4 π ( 5 l ) − A
(2)
4 3π
+0
(4.82a)
− 2
(2)
(5 l )
+ A
4 3π
(5 l ) − yg
2
(4.82b)
momento de inercia mec´anico, I x , de la seccio´ n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece: (1)
(2)
I x = n I x + I x
= 5481 2 l 4
(4.83)
,
De forma equivalente para el momento de inercia mec´anico, I y : (1)
I y
(2)
I y
I y
= =
1
1 8
4
4
π ( 6 l )
1
4
− 4 π ( 5 l )
4
π ( 5 l )
(1)
+0
(4.84a) (4.84b)
(2)
= n I y + I y = 5515 5l 4 ,
(4.84c)
•• 131
4.9 Problema 9
El producto de inercia mec´anico es nulo, I xy = 0, debido a la simetr´ıa de la secci o´ n respecto de los ejes ( xG yG ) que por lo tanto son ejes principales de inercia. ,
Finalmente, el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , se obtiene sumando I x e I y : I 0 = I x + I y = 10996 7 l 4 ,
4.9.3.
(4.85)
Ca´ lculo de los momentos principales de inercia
Al ser los ejes ( xG yG ) principales de inercia ( I xy = 0), los momentos principales de inercias ,
coinciden con los valores calculados anteriormente: I max
= I y = 5515 5 l 4
(4.86a)
I min
= I x = 5481 2 l 4
(4.86b)
,
,
Figura 4.18: Posicion del centro de gravedad.
•• 132
4.10.
Secciones mixtas
Problema 10
Calcular los momentos principales de inercia mec a´ nicos de la secci o´ n mixta que se presenta en la figura 4.20a respecto de su centro mec´anico.
a)
b)
Figura 4.19: Problema 10: (a) Secci´ on mixta propuesta; (b) Posici´ on de los centroides considerados en el despiece
4.10.1.
Ca´ lculo del a´ rea mec a´ nica y del centro mec a´ nico de la secci o´ n mixta
La secci´on mixta propuesta est´a formada por una secci´on semicircular (1) en hormig´o n de radio R (1) = 4l , reforzada con otro semic´ırculo (2) en acero de radio R (2) = l , como se muestra en la figura 4.20b. Las a´ reas, A (i) , correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes: A(1)
=
A(2)
=
1 2 1 2
2
π (4 l )
(4.87a)
2
(4.87b)
π l
El a´ rea mec´anica, AT , de la secci´on mixta se calcula sumando las contribuciones del del despiece: AT = A(1) + (n
− 1) A(2) = 39 27 l 2
El a´ rea ( 2) se ha multiplicado por el factor, ( n
,
(4.88a)
− 1), siendo, n , el coeficiente de equivalencia
mec´anico acero-hormigo´ n. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de hormig´on
•• 133
4.10 Problema 10
el a´ rea (2) y despu´es hay que volver a sumar el a´ rea (2) en acero. Por lo tanto esta operaci´on es equivalente a multiplicar el a´ rea ( 2) por el el factor, ( n n = 10.
− 1). En este problema he ha tomado
Para determinar el centro mec´anico, se deben obtener previamente los momentos est´aticos mec´anicos, M x y M y : (1)
M x
=
M y
= 0
A
4
(2)
( 4 l ) + (n − 1) A
3π
4 l
3π
= 48 67 l 3
(4.89a)
,
(4.89b)
La posici´on del centro mec´anico, G ( xg yg ), se halla como (ver figura ?? ): ,
4.10.2.
xg
=
yg
=
M y A M x AT
=0
(4.90a)
= 1 24 l
,
(4.90b)
Ca´ lculo de los momentos de inercia mec a´ nicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mec´anicos, I x e I y , el producto de inercia mec´anico, I xy y el momento polar de inercia mec a´ nico, I o , respecto a los ejes x G e y G que pasan por el centro mec´anico, G ( xg yg ), de la secci o´ n mixta. ,
(i)
El momento de inercia, I x , de cada rect´angulo se obtiene sumando dos t´erminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G (i) , mientras el segundo t´ermino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la secci o´ n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner): (1)
I x
(2)
I x
El
= =
1 8
π l
4
2
− − −
1 4 π ( 4 l ) 8
(1)
A
(2)
A
4 (4 l ) 3π
4 l
2
3π
+ A
(2)
+ A
4 l
3π
(1)
4 (4 l ) yg 3π
−
2
yg
2
(4.91a) (4.91b)
momento de inercia mec´anico, I x , de la secci´o n mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece: (1)
I x = I x + (n
− 1) I x(2) = 43 7 l 4 ,
(4.92)
De forma equivalente para el momento de inercia mec´anico, I y : (1)
I y
=
1
4
π ( 4 l )
(4.93a)
8 1 4 π l 8
(2)
=
I y
= I y + (n − 1) I y = 104 l 4
I y
(1)
(4.93b) (2)
(4.93c)
