FENOMENOS DE TRANSPORTE EN LA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Fundamentos Fundam entos y aplicacione aplicacioness
i
Contenido
Capítulo 1.
...................................7 Introducción a los fenómenos de transporte ...................................7
1.1
........................................7 DEFINICION DE FENOMENOS DE TRANSPORTE ........................................7
1.2
....................................7 MECANISMOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE ....................................7
1.2.1
Transporte de momento lineal.........................................................................7
1.2.2
........................................................................................7 ....................7 Transferencia de calor ....................................................................
1.2.3
.......................................................................................7 ....................7 Transferencia de masa ...................................................................
1.3
................................................................................7 ..............7 TRANSPORTE MOLECULAR ..................................................................
1.3.1
Transporte de momento: Ley de Newton de viscosidad .........................7
1.3.2
Transmisión de energía: Ley de Fourier de calor por conducción ........7
1.3.3
..........................................8 Trasferencia de masa: Ley de Fick de difusión ..........................................8
Capítulo 2.
........................................9 Transferencia de cantidad de movimiento ........................................9
2.1
...................................................................................................9 ...............................9 INTRODUCCION ....................................................................
2.1.1
.............................................................................................9 ..........................9 Mecánica de fluidos ...................................................................
2.1.2
.................................................................................. ............10 Clasificación de fluidos ......................................................................
2.1.3
........................................................................... ......10 Propiedades de los fluidos .....................................................................
2.1.4
..................................................................10 Ramas de la mecánica de fluidos..................................................................
2.2
.......................................................................... ...... 10 REOLOGIA DE LOS FLUIDOS....................................................................
2.2.1
.......................................................................................................... ....................................10 Definición ......................................................................
2.2.2
........................................................ 11 11 Clasificación reológica de los fluidos ........................................................
2.2.2.1
.................................................................................. ............12 Fluidos Newtonianos ......................................................................
2.2.2.2
.......................................................................... ......14 Fluidos No Newtonianos Newtonian os ....................................................................
2.2.3
Ensayos reologicos de fluidos viscoso puros y fluidos plásticos ... 17
2.2.3.1
.......................................................................... ......18 Viscosímetros Viscosímetros Rotatorios ....................................................................
2.2.3.2
................................................................................. ............31 Viscosímetro de tubo .....................................................................
2.2.3.3
................................................................35 Viscosímetro de caída de bola ................................................................
2.3
......................................................................... ......39 HIDROSTATICA DE FLUIDOS ...................................................................
2.3.1
.................................................................................... ..................39 Definiciones de presión ..................................................................
2.3.2
........................................................................................ ..................40 Ecuacion hidrostática ......................................................................
2.4
......................................................................49 HIDRODINAMICA DE FLUIDOS ......................................................................
2
Contenido
Capítulo 1.
...................................7 Introducción a los fenómenos de transporte ...................................7
1.1
........................................7 DEFINICION DE FENOMENOS DE TRANSPORTE ........................................7
1.2
....................................7 MECANISMOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE ....................................7
1.2.1
Transporte de momento lineal.........................................................................7
1.2.2
........................................................................................7 ....................7 Transferencia de calor ....................................................................
1.2.3
.......................................................................................7 ....................7 Transferencia de masa ...................................................................
1.3
................................................................................7 ..............7 TRANSPORTE MOLECULAR ..................................................................
1.3.1
Transporte de momento: Ley de Newton de viscosidad .........................7
1.3.2
Transmisión de energía: Ley de Fourier de calor por conducción ........7
1.3.3
..........................................8 Trasferencia de masa: Ley de Fick de difusión ..........................................8
Capítulo 2.
........................................9 Transferencia de cantidad de movimiento ........................................9
2.1
...................................................................................................9 ...............................9 INTRODUCCION ....................................................................
2.1.1
.............................................................................................9 ..........................9 Mecánica de fluidos ...................................................................
2.1.2
.................................................................................. ............10 Clasificación de fluidos ......................................................................
2.1.3
........................................................................... ......10 Propiedades de los fluidos .....................................................................
2.1.4
..................................................................10 Ramas de la mecánica de fluidos..................................................................
2.2
.......................................................................... ...... 10 REOLOGIA DE LOS FLUIDOS....................................................................
2.2.1
.......................................................................................................... ....................................10 Definición ......................................................................
2.2.2
........................................................ 11 11 Clasificación reológica de los fluidos ........................................................
2.2.2.1
.................................................................................. ............12 Fluidos Newtonianos ......................................................................
2.2.2.2
.......................................................................... ......14 Fluidos No Newtonianos Newtonian os ....................................................................
2.2.3
Ensayos reologicos de fluidos viscoso puros y fluidos plásticos ... 17
2.2.3.1
.......................................................................... ......18 Viscosímetros Viscosímetros Rotatorios ....................................................................
2.2.3.2
................................................................................. ............31 Viscosímetro de tubo .....................................................................
2.2.3.3
................................................................35 Viscosímetro de caída de bola ................................................................
2.3
......................................................................... ......39 HIDROSTATICA DE FLUIDOS ...................................................................
2.3.1
.................................................................................... ..................39 Definiciones de presión ..................................................................
2.3.2
........................................................................................ ..................40 Ecuacion hidrostática ......................................................................
2.4
......................................................................49 HIDRODINAMICA DE FLUIDOS ......................................................................
2
2.4.1
.......................................................................49 Definiciones Definiciones de hidrodinámica .......................................................................
2.4.2
.............................................................................. ............49 Rapidez de flujo de fluidos ..................................................................
2.4.3
.................................................................................. ............49 Ecuación de continuidad ......................................................................
2.4.4
.................................................................................. ............52 Ecuación de movimiento......................................................................
2.4.5
... .. 55 Ecuación de Bernoulli - Ecuación de conservación de la energía. ......
2.4.5.1
......................................................................................... ..................55 Linea de corriente. .......................................................................
2.4.5.2
............................................57 Interpretación de la ecuación de Bernoulli.............................................
2.4.5.3
................................................57 Restricciones a la ecuación de Bernoulli B ernoulli . ................................................
2.4.5.4
57 Procedimiento para la aplicación de la ecuación de Bernoulli .......... 57
2.4.5.5
Aplicaciones de la ecuación de bernoulli en medidores de caudal. 59
2.4.6
.....................................................................63 Flujo laminar y flujo turbulento .....................................................................
2.4.7
........................................................................................ ..................63 Numero de Reynolds ......................................................................
2.4.8
......................................................................................... ..................64 Perfil de velocidades .......................................................................
2.4.9
Ecuaciones características características de flujo a traves de tuberias .......................65
2.4.10
.................................................................69 Fator de Fricción de Fanning ( f ).................................................................
2.4.11
......................................................73 Sistema de línea de tuberias en serie ......................................................
2.4.12
................................................81 Sistema de línea de tuberias en paralelo ................................................
2.4.12.1
........................................................................... ...... 81 Sistemas con dos ramas.....................................................................
2.4.12.2
...............................................86 Sistema con tres o más ramas – redes ...............................................
2.5
............................................................................. ......99 TRANSPORTE DE FLUIDOS .......................................................................
2.5.1
........................................................................................................ ....................................99 Introducción ....................................................................
2.5.2
..................................................................99 Sistema de transporte de fluidos ..................................................................
2.5.3
.......................................................................................................... ........................................ ..... 100 Bombas .......................................................................
2.5.3.1
............................................................................. ..........100 Clasificación Clasificación de bombas ...................................................................
2.5.3.2
Factores que influyen en la elección de una bomba . ......................... 101
2.5.3.3
................................................................104 104 Uso de las bombas centrífugas ................................................................
2.5.3.4
105 Selección de una bomba y evaluacion de su rendimiento ...............105
2.5.3.5
................................................................................................... ..................................116 116 Ventiladores .................................................................
2.5.3.6
.....................................................................116 Clasificacion Clasificacion de ventiladores .....................................................................
2.5.3.7
............................................116 Aplicación Aplicación de los ventiladores centrifugos ............................................
Capítulo 3.
......................................................................... .... 123 Transferencia de calor .....................................................................
3
3.1
..................................123 INTRODUCCIÓN A TRANSFERENCIAS DE CALOR ..................................
3.2
..................................... 123 123 PROPIEDADES TERMICAS DE LOS ALIMENTOS .....................................
3.3
......................................................125 Mecanismos de transferencia de calor ......................................................
3.3.1
......................................................125 Transferencia Transferencia de calor por conduccion......................................................
5.1.1. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION ESTACIONARIO
EN ESTADO 126
5.1.1.1.
CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL
126
5.1.1.2.
CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL
128
5.1.1.3.
PERFIL DE TEMPERATURAS A TRAVES DE SÓLIDOS
131
1.1.1.
.....................................................131 2. Con generación interna de calor .....................................................
1.1.2.
......................................................132 132 1. Sin generación interna de calor ......................................................
1.1.3.
.....................................................132 2. Con generación interna de calor .....................................................
1.1.4.
......................................................133 133 1. Sin generación interna de calor ......................................................
1.1.5.
.....................................................133 2. Con generación interna de calor .....................................................
Capitulo 2. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCION EN ESTADO ESTACIONARIO ¡Error! Marcador n Capitulo 3.
139
5.1.2. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCION EN ESTADO NO 139 ESTACIONARIO 5.2. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION
150
5.2.1. CONVECCION NATURAL O LIBRE
151
5.2.2. CONVECCION FORZADA
153
5.3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION Y CONVECCION
158
5.3.1. Transferencia de calor por conducción y convección en estado 158 estacionario 5.3.2. Transferencia de calor por conducción y convección en estado no 159 estacionario 5.3.3. Penetración de calor
161
5.3.4. TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN
164
5.4. INTERCAMBIADORES DE CALOR
167
5.4.1. DEFINICION
167
5.4.2. APLICACIONES INDUSTRIALES
167
4
5.4.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA INTERCAMBIADOR DE CALOR
DE
CALOR
EN
UN 167
5.4.4. TIPOS DE INTERCAMBIADORES
168
5.4.4.1.
169
Intercambiador de Tubos
5.4.5. Intercambiador de Placas
170
5.4.6. VELOCIDAD DE TRANFERENCIA INTERCAMBIADOR DE CALOR Capitulo 4. 4.1. 7.1.
DE
CALOR
Transferencia de masa
EN
UN 170 184
TRANSFERENCIA DE MASA. .................................¡Error! Marcador no definido.
INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE MASA
Capitulo 5.
Bibliografía
184 224
5
PREFACIO La expresión fenómenos de transporte refiere al estudio sistemático y unificado de la transferencia de cantidad de movimiento, energía y materia a nivel macroscópico, nivel microscópico y nivel molecular. El transporte de estas cantidades guarda fuertes analogías, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que el análisis matemático empleado es prácticamente el mismo. Los fenómenos de transporte pueden dividirse en dos tipos: transporte molecular y transporte convectivo. Muchas operaciones en la industria de los alimentos implican la transferencia de movimiento, calor y masa; por lo para un ingeniero dedicado al diseño de productos, procesos, equipos y plantas agroindustriales es fundamental conocer los fenómenos que ocurren en las diversas operaciones unitarias. Para un ingeniero dedicado a diseño de nuevos productos es importante conocer las propiedades físicas de los alimentos. Por otra parte para un ingeniero agroindustrial dedicado a la operación de la planta y equipos, es muy importante conocer los fenómenos de transporte (la transferencia de calor, masa e impulso) ya que ocurren en muchos tipos de equipos de ingeniería (intercambiadores de calor, bombas, compresores, reactores, humidificadores, enfriadores de aire, secadores, fraccionadores y absorbedores). Es importante que el ingeniero comprenda las leyes de física que gobiernan estos procesos de transporte si desea entender qué ocurre en el equipo y tomar las desiciones adecuadas para su mejor y más económica operación. Para el Ingeniero que diseña equipos de procesos debe predecir las cantidades de calor, masa o impulso a transferir. Esta velocidad de transferencia depende de un parámetro denominado coeficiente de transferencia, que a la vez depende de las dimensiones del equipo, caudal de flujo, propiedades del fluido, etc. Tradicionalmente estos coeficientes se obtienen luego de mediciones lentas y costosas a nivel de laboratorio o planta piloto y correlacionadas a través de ecuaciones empíricas adimensionales. Estas ecuaciones empíricas proveen resultados sobre un determinado rango; no están basadas en teorías y no pueden usarse confiablemente fuera del rango en el cual se realizó la experimentación. El método usado en los fenómenos de transferencia es una forma menos costosa y generalmente más confiable de obtener estos coeficientes que consiste en predecirlos a partir de ecuaciones basadas en las leyes de la naturaleza, confirmando esta predicción a través de investigación ayudada de computador. El objetivo de este texto es ayudar a los estudiantes y profesionales dedicados a la industria de la transformación de alimentos, comprender de manera sencilla los fenómenos que ocurren en las diversas operaciones unitarias. Alejandro Coloma
6
Introducción a los fenómenos de transporte 1.1 DEFINICION DE FENOMENOS DE TRANSPORTE Los fenómenos de transporte con aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia, energía o momento lineal (cantidad de movimiento) a nivel macroscópico, nivel microscópico y nivel molecular. 1.2 MECANISMOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE 1.2.1 Transporte de momento lineal Se refiere a la que se presenta en los materiales en movimiento, como en operaciones unitarias de flujo de fluidos, sedimentación y mezclado. 1.2.2 Transferencia de calor En este proceso fundamental se considera como tal a la transferencia de calor que pasa de un lugar a otro, se presenta en las operaciones unitarias de transferencia de calor, secado, evaporación, destilación y otras. 1.2.3 Transferencia de masa En este caso se transfiere masa de una fase a otra fase diferente, el mecanismo básico es el mismo, ya sea que las fases sean gaseosas, sólidas o liquidas. Este proceso incluye destilación, absorción, extracción liquido-liquido, separación por membranas, adsorción y lixiviación. 1.3 TRANSPORTE MOLECULAR 1.3.1 Transporte de momento: Ley de Newton de viscosidad
dv dy
d v dy
1.3.2 Transmisión de energía: Ley de Fourier de calor por conducción q k
kA
q k
A
dT dx d Cp T dx
7
1.3.3 Trasferencia de masa: Ley de Fick de difusión J AB
D AB
dC A dz
Donde: J = Es el flujo molar del componente A en la dirección Z debido a la difusión molecular (kg-mol/s.m 2) AB
DAB = Coeficiente de difusión de las moléculas de A en B (m 2 /s) z =
J AB
Distancia de difusión en (m).
D AB
d A dz
8
Transferencia de cantidad de movimiento
2.1 INTRODUCCION El transporte de la cantidad de movimiento es una de las áreas donde los ingenieros de diversas especialidades tratan temas comunes. Para el caso de ingenieros Agroindustriales es de suma importancia el conocimiento de los regímenes de flujo, las ecuaciones de distribución de velocidades, calculo de caudal, sea para fluidos newtonianos y no newtonianos, los cuales son aplicados en diversos campos como la transferencia de calor y diseño de reactores (Venegas, 2005). Muchos productos alimenticios se presentan como líquidos en algún punto de su desarrollo y casi todos los productos alimenticios incluyen líquidos en su preparación o procesamiento. Es importante por consiguiente que el Ingeniero Agroindustrial comprenda los principios básicos de la mecánica de fluidos. En general, el manejo de productos fluidos incluye el movimiento de fluidos como salsa de manzana, jugo de manzana, salsa de tomate, leche, melazas, etc., a través de tuberías, ductos o canales. El movimiento de fluidos requiere ingresos de energía para compensar las pérdidas de flujo. Cualquier planta de procesamiento comercial el movimiento de productos fluidos o componente de este, desde una ubicación a otra, es una operación esencial. Se usan sistemas para transporte de los componentes no procesados o materias primas, también como los productos fluidos procesados, para la mayoría de las industrias debido a las necesidades esenciales de sanitización, con el fin de mantener la calidad del producto. Además el sistema se debe diseñar para permitir una limpieza fácil y eficiente. Existen también otras formas para desplazar fluidos, tales como eyectores de vapor o de agua, flujo por gravedad y convección natural. 2.1.1 Mecánica de fluidos La mecánica de fluidos es la ciencia en la cual los principios fundamentales de la mecánica general se aplican en el comportamiento de fluidos, tanto en reposo como en movimiento, y trata de la determinación de las fuerzas que actúan sobre las partículas de un fluido y su respuesta a esas fuerzas. El fluido es toda sustancia que se deforma ante un esfuerzo de corte por más mínimo que este sea. Un cuerpo de fluidos es una masa de partículas con tan pequeña fuerza
9
de cohesión entre ellas, que basta la aplicación de pequeñas fuerzas para hacer cambiar su posición relativa.
2.1.2 Clasificación de fluidos Los fluidos pueden ser líquidos o gases, desde el punto de vista de flujo de fluidos, convienen clasificarlos como fluidos :
Fluido compresible: Es aquel cuya densidad varía directamente con la presión. Con el fin de mantener el flujo, se debe suministrar una fuerza de impulsión continua (por ejemplo P). La energía que suministra esta fuerza se disipa mediante el fluido, por la fricción entre las capas, lo que podría generar un aumento de la temperatura en ciertos casos. Fluido incompresible: Es aquel cuyo volumen específico (o densidad) es independiente de la presión. En realidad no existen estois fluidos, ya que la densidad de todas las substancias se ve afectada en cierto grado por la presión. En la práctica los líquidos con incompresibles, y si los cambios de presión son pequeños, también algunos gases.
2.1.3 Propiedades de los fluidos a) Densidad ( ρ) : Masa por unidad de volumen. Unidades SI [Kg/m3].
Masa
m
V
V
b) Peso específico ( ) : Peso por unidad de volumen. Unidades SI [N/m 3].
Peso V
w V
;
m . g
V
. g
c) Viscosidad ( ): La viscosidad es resistencia interna que ofrece el fluido ante un esfuerzo de corte por mas mínimo que este sea. Es la medida de la dificultad de fluir de un gas o líquido. Unidades SI [Pa.s]. 2.1.4 Ramas de la mecánica de fluidos Las principales ramas de la mecánica de fluidos son: o o o
Reología de fluidos Hidrostática de fluidos Hidrodinámica de fluidos
2.2 REOLOGIA DE LOS FLUIDOS 2.2.1 Definición
10
La Reología se define como la ciencia que estudia el flujo y la deformación de la materia en general, aunque en la práctica la mayor parte de los estudios reológicos se suelen aplicar a sustancias más o menos fluidas.
2.2.2 Clasificación reológica de los fluidos Cuando la materia se encuentra sometida a la acción de fuerzas externas pueden presentarse dos casos extremos de comportamiento: a) Comportamiento elástico. Las aplicación de fuerzas externas provoca una deformación y un cambio de volumen de la materia, realizándose un trabajo que se acumula como energía interna de deformación. Estas deformaciones son reversibles, puesto que las fuerzas externas dejen de actuar, el sistema recupera instantáneamente la forma y dimensiones originales, mientras que la energía acumulada se retorna en forma de trabajo. Ejm. b) Comportamiento plástico. Aquí existe irreversibilidad, aunque se retiren las fuerza externas bajo las cuales se produjeron deformaciones elásticas, el sólido no vuelve exactamente al estado termodinámico y de deformación que tenía antes de la aplicación de las mismas. c) Comportamiento viscoso. La deformación es por acción de fuerzas externas, pero el trabajo realizado se disipa completamente en forma de calor. Por ello, cuando la acción de dichas fuerzas cesa, el estado de deformación permanece. Se produce cuando la velocidad de deformación entra en la ecuación constitutiva, típicamente para deformar con mayor velocidad de deformación es necesario aplicar más tensión que para obtener la misma deformación pero aplicada más tiempo. Los cuerpos en estado sólido se comportan habitualmente de forma elástica por debajo de un cierto valor de la tensión aplicada, mientras que por encima del mismo presenta un comportamiento plástico. Los fluidos en cambio reaccionan de forma diferente según que la fuerza aplicada sea normal o tangencial. Bajo la acción de tensiones normales son materiales elásticos. Sin embargo el comportamiento de los fluidos es viscoso cuando se aplican fuerzas o tensiones tangenciales. Para definir adecuadamente la viscosidad de un fluido, veamos el esquema de la Figura 1.1, en el cual un fluido viscoso se encuentra contenido entre dos placas planas y paralelas inicialmente en reposo, en el instante t=0 la placa superior que está en contacto con el fluido recibe una fuerza de empuje ( F ) a la derecha y se pone en movimiento a una velocidad ( v ). Las "láminas de fluido" alejadas de la placa no se moverán a ésa misma velocidad sino a otra menor; esto se indica con las flechas entre las placas que representan los vectores velocidad, distintos y decrecientes en la medida que se crece.
11
F
A PLACA MOVIL
y
v
d y
FLUIDO
PLACA FIJA
dv
Figura 5.1.1.1.1 Definición de viscosidad La experiencia a demostrado que la fuerza tangencial (Ft), varia directamente proporcional con el área (A) y la velocidad (v) e inversamente con la separación entre las placas (y); todo ello multiplicado por un coeficiente de proporcionalidad (K), la cual está representada del siguiente modo: F t
K A
v y
(5.1.1.1.1)
La relación entre la fuerza tangencial (F T) y el área (A) se le conoce como esfuerzo llamado también como tensión, esfuerzo cortante, flux de momento o de corte ( ), densidad de flujo viscoso de transporte de cantidad de movimiento. El sentido de la fuerza hace la diferencia de la presión, que es la fuerza normal (F N) sobre área (A).
F t
P
A
F N A
(5.1.1.1.2)
(5.1.1.1.3)
Por tanto la ecuación (2.1) puede expresarse como: K
dv dy
(5.1.1.1.4)
2.2.2.1 Fluidos Newtonianos La constante de proporcionalidad ( ) en fluidos newtonianos es la viscosidad del fluido, propiedad física que depende fundamentalmente de la naturaleza, estado físico y temperatura del mismo, entonces la ecuación (2.4) se convierte en:
dv dy
(5.1.1.1.5)
La ecuación (2.5), se conoce como la Ley de viscosidad de Newton , que es una magnitud tensorial, debido a que el movimiento de la lámina superior en la dirección
12
en x , provoca una transmisión de cantidad de movimiento en la dirección y . Desde el punto de vista de los fenómenos de transporte, la viscosidad del fluido, se define como una medida de la deformación del fluido cuando se aplica un esfuerzo de corte. La relación entre la variación de velocidad (dv ) y la variación de la distancia entre las placas (dy ), es la velocidad angular de deformación ( ) llamado también velocidad de corte.
dv dy
(5.1.1.1.6)
Por lo tanto la ecuación (2.5) puede expresarse como:
(5.1.1.1.7)
Existen dos tipos de viscosidad: d) Viscosidad dinámica o absoluta (). Es una propiedad de los fluidos que indica la mayor o menor resistencia que estos ofrecen al movimiento de sus partículas cuando son sometidos a un esfuerzo de corte. Se le conoce también como coeficiente de viscosidad y se define como la relación entre el “esfuerzo de corte” () y la “velocidad angular de deformación” ().
(5.1.1.1.8)
Las unidades de la viscosidad dinámica viene dada en: Sistema MKS: Sistema CGS:
N . s m2
Pa . s
Dina . s cm 2
kg
m . s
Poise
g cm . s
e) Viscosidad cinemática () Es la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad de un fluido.
(5.1.1.1.9)
Las unidades de la viscosidad dinámica viene dada en: Sistema MKS :
m
2
s
Sistema CGS :
cm s
2
Stokes
Los fluidos newtonianos son químicamente puros y físicamente homogéneos. Son los fluidos sencillos o mezclas de ellos, donde la tensión tangencial o esfuerzo de corte ( ) es directamente proporcional a la velocidad de deformación ( ). El coeficiente de
13
viscosidad () es constante, se aumenta o no el esfuerzo de corte ( ) o la velocidad angular de deformación ( ). Ejemplo: leche, miel de abeja, agua, aceites vegetales algarrobina, soluciones azucaradas, etc. Ejemplo 5.1.1.1-1 Con respecto a la figura la distancia entre placas es y = 0.5 cm, v = 10 cm/s y el fluido es alcohol etílico a 273ºK, cuya viscosidad es 1.77 cp (0.0177 g/cm.s). Calcúlese el esfuerzo cortante ( ) y el gradiente de velocidad o de velocidad cortante (dv/dy). v F Placa móvil y
dy dv
Placa fija
Utilizando la Ley de newton de viscosidad:
dv dy
Integrando:
y2 0.5
y1 0
2.2.2.2
dy
v1 v 2 y 2 y1
v2 0
v1 10
0.0177
dv g 10 0 cm / s
dinas
0.354 cm. s 0.5 0 cm cm 2
Fluidos No Newtonianos
Son los fluidos en los que la relación esfuerzo de corte ( ) y la velocidad de deformación () no se ajusta a la Ley de viscosidad de Newton . En estos líquidos se mide mas bien la viscosidad aparente o consistencia , y esta no es constante, varia con la velocidad angular de deformación o el esfuerzo de corte; también puede variar con el tiempo. Estos líquidos no son químicamente puros ni físicamente homogéneos. a
(5.1.1.1.10)
a) Independientes de tiempo a.1) Plásticos de Bingham.- Necesitan un esfuerzo de corte inicial para comenzar a fluir. La pendiente es igual en cualquier punto. Ej. Margarina, mayonesa, ketchup, mostaza. El modelo utilizado para los plásticos Bingham es la siguiente:
14
C
(5.1.1.1.11)
=c+kn a1>a2>a3
e s ) e a l l y e R o s B u l k c i t s l P l á r s c h e e H ( a2
) a P (
, e t r o c e d o z r e u f s E
=c+a a1a2a3
a3
a1
a m g h n i s B i c o t s P l á
a2
a2
=k n a1>a2>a3
a1
n<1 = 1=2=3
a3
i c o t á l p s o u e a2 P s
o a n i n t o w e N 2 d o i u l F
a1
=k n a1<a2<a3
3
n t e t a a l i D
1
n>1 a3
a2
a1
Velocidad de deformación, (s-1)
Figura 5.1.1.1.2 Curvas reológicas de fluidos independientes del tiempo a.2) Dilatantes .El fluido se espesa a altas velocidades de deformación, por lo que la pendiente (a) va en aumento (la gráfica no es lineal). Estos vuelven a su estado original tan pronto como la agitación cesa. Ej. Suspensiones concentradas de almidón. a.3) Pseudoplásticos .- Estos fluidos son menos espesos cuando se someten a altas velocidades de deformación que cuando se cizallan lentamente. La viscosidad aparente disminuye a medida que aumenta la velocidad de deformación. Entre estos alimentos se tiene: emulsiones, salsas, etc. Tanto para fluidos dilatantes y pseudoplásticos se describen mediante la misma ecuación reológica, denominada ley de potencia. k n
(5.1.1.1.12)
15
La ley de potencia se puede linealizar: (5.1.1.1.13)
log log k n log
La viscosidad aparente de un fluido dilatante y pseudoplástico se puede expresar en función de la velocidad de deformación considerando las ecuaciones (2.10) y (2.11). a
n 1
k
(5.1.1.1.14)
b) Dependientes del tiempo
b.1) Tixotrópicos .- A un esfuerzo de corte ( ) o velocidad de deformación ( ) constante, viscosidad aparente ( ) disminuye conforme aumenta el tiempo. Cuando la velocidad angular de deformación ( ) desciende, el producto se espesa lentamente hasta su comportamiento original. En cualquier momento dado un fluido tixotrópico puede ser considerado como pseudoplastico. Algunos tipos de mieles, como la brezo, y geles que se rompen cuando son agitados y se asientan cuando se les deja en reposo exhiben tixotropía. b.2) Reopécticos .- Estos tienen un comportamiento inverso a los tixotrópicos; la viscosidad aparente (a) aumenta con el tiempo a un esfuerzo de corte ( ) o velocidad angular de deformación ( ) constante. En cualquier momento dado un fluido reópectico puede ser considerado como dilatante. Como ejemplo de estos fluidos se tiene a la gelatina recién preparada. b) Fluidos viscoelásticos
Se trata de un caso especial de fluidos con propiedades intermedias entre el comportamiento elástico y el plástico, es decir bajo la acción de fuerzas tangenciales parte del trabajo se disipa en forma de calor (componente viscosa) y parte se almacena como energía interna (componente elástica). Se suele presentar en sustancias de naturaleza polimérica como los geles.
16
) a P (
) a P (
Tixotrópicos
Reopecticos
, e t r o c e d o z r e u f s E
, e t r o c e d o z r e u f s E
-1
-1
Velocidad de deformación, (s )
Velocidad de deformación, (s )
Figura 5.1.1.1.3 Curvas reológicas de fluidos dependientes del tiempo
2.2.3 Ensayos reologicos de fluidos viscoso puros y fluidos plásticos Los aparatos que se utilizan para determinar experimentalmente las propiedades reológicas de los fluidos se denominan viscosímetros. Existen numerosos equipos y procedimientos para la determinación cuantitativa de la consistencia de líquidos basados en métodos más o menos empíricos. En la Figura 2.4 se presenta algunos instrumentos de medición de viscosidad. Tipo Rotacional
Platos Paralelos Cilindro concentrico
Plato y cono Mezclado
Tipo Tubular
Tubo Capilar
Capilar con presión
Tubo
17
Figura 5.1.1.1.4 Instrumentos de medición de viscosidad 2.2.3.1 Viscosímetros Rotatorios En este tipo de instrumentos el líquido el líquido en estudio se situa entre dos superficies sólidas, una de las cuales permanece estacionaria mientras que la otra gira a una determinada velocidad por aplicación de un par de torsión. Las medidas se llevan a cabo variando el par aplicado (T) y registrando la velocidad de giro de la superficie sólida () o viceversa. Dependiendo de la geometría se distinguen diferentes tipos de viscosímetros rotatorios: platos paralelos, cilindros concéntricos, plato y cono, cono-cono, discos, etc. a) Viscosímetros de platos paralelos. En este caso el fluido se encuentra entre las
placas paralelas, la superior gira y la inferior permanece inmóvil. Los elementos cercanos a la placa móvil tendrán una velocidad superior a la que tienen los que se encuentran próximos a la placa fija.
Ejemplo 5.1.1.1-2 Entre un disco circular de 100 mm de diámetro y una placa plana hay una holgura de 0.25 mm está llena de un aceite cuya viscosidad es 0.6 poise. ¿Cuál es el torque necesario para hacer girar el disco a 1800 RPM?
0.6 Poise
0.25 mm
100 mm
SOLUCION: Sabemos que Torque es:
T F . r
Diferenciando:
dT
Por otro lado:
Diferenciando:
dF
Ec. 5.1.1.1.15
r dF
F
A
F . A dA
Ec. 5.1.1.1.16
Sustituyendo (Ec. 2.11) en (Ec. 2.10). dT r . . dA
Ec. 5.1.1.1.17
18
Área del círculo es:
A
Diferenciando:
dA 2 rdr
r 2
dT r (2 rdr ) 2 r 2 dr
Ec. 5.1.1.1.18 Ec. 5.1.1.1.19
Además sabemos que varía con r de acuerdo a la ecuación de la viscosidad de Newton y que la v=w.r
dv v w . r dy y y
Ec. 5.1.1.1.20
Ahora reemplazamos (Ec. 6) en (Ec. 5)
. w . r 2 2 w 3 r dr r dr y y
dT 2
Tenemos finalmente una Ecuación diferencial con una sola variable independiente , integramos:
T
0
dT
2
w
y
r 3 dr
4
T
w r y
2
por otro lado que la velocidad angular:
w
2 N
60
2 N 4 r 2 4 60 Nr
T
2 y
3.142 0.06 T
60 y
kg 1800 rad
m. s 60
50 x10 s
0.25 x10 3 m
m
3 4
4
0.44 N . m
b) Viscosímetro de cilindros concéntricos. Estan constituidos
por dos cilindros coaxiales de radios R1 y R2 de forma que el espacio que queda entre los mismos () esta ocupado por el liquido en estudio. El cilindro rotatorio puede ser el exterior o el interior:
b.1) Viscosímetro de cilindro rotatorio externo. Es el de Coutte – Hatcheck, en donde se obtiene el coeficiente de viscosidad ( ) a partir de la siguiente ecuación de Viscosidad de Newton:
19
Medidor de torsión
Cilindro estable
Muestra de fluido
y
Cilindro giratorio
w
Motor
Figura 5.1.1.1.5 Viscosímetro de cilindros concêntricos Ejemplo 5.1.1.1-3 Un viscosímetro rotacional tiene las dimensiones conocidas que ser muestran en la Figura (a, b, r1, r2, y h) y ademas se conoce la velocidad de rotación (N) en revoluciones por minuto del eje superior siendo estático el recipiente exterior. Deducir una ecuación de torque total que se genera debido al disco (base) y el cilindro (pared lateral) en función de a, b, r 1, r2, N y la viscosidad del fluido .
b
r 2 r 1
h
a
Torque total = Torque lateral + Torque de base T T L
T B
Calculo de TL: T L F . r
dv v F A L A y dy w.r v r T L A L r A L y y
F
1
1
1
20
Donde: A L
w
2 . r 1 . h
2
b
y
N 60
2 r h 2 1
T L
N 60
r 1 r 1
b
2 r 13 h N 15b
Calculo de Tb: Tb = F . r T b
v A .r y
En este caso, debido a que el radio varia a lo largo de la superficie de contacto, cada diferencial del área de la base ejerce un torque distinto desde r = 0 hasta r = r1 diferenciando el torque respecto al área. vr dA dT b y Donde: v y
w.r
2
N
r
Nr
60
30
a
A r 2
dA 2 rdr
N 2 r 2 N r 3 dr 60 dT b r 2 rdr a N
15a
2
dT b
T b
15a
2 N r 1
r dr 3
4
60a
Calculo de total: T
2 r 13 h N 15b
T
2
2 N r 1
4
60a
r 13 N h 15
r 1 b 4a
21
Ejemplo 5.1.1.1-4 Un eje de 50 mm de diámetro gira a razón de 1400 rpm en un punto de cojinete cuya holgura radial es 0.8 cm. El cojinete tiene una longitud de 100 mm; determine: a) El torque cuando la holgura está llena de un aceite cuya viscosidad es 1 poise. b) La potencia necesaria para hacer girar el eje 1400 rpm
a) Del problema anterior T L
2 r 13 .h. N .
15 b
donde:
r
h
N b
1
0.1
cm. s 0.025 m
kg m. s
0.1 m
g
1400 RPM
0.08 m
0.1 0.025 0.11400 3
2
T
P
15 * 0.008
F .v
F .r .w
T .w
T .
0.018 joules
2 N
1.31W .
60
b.1) Viscosímetro de cilindro rotatorio interno. Entre los viscosímetros de cilindro rotatorio interno se tiene los de Searle y Stormer. Este es usado para medir la viscosidad o consistencia de ciertos productos alimenticios, como productos de tomate. La consistencia o viscosidad de la muestra se reporta en términos de viscosidad relativa, la cual se obtiene dividiendo el tiempo requerido por el rotor para dar 100 revoluciones en la muestra problema por el tiempo requerido para dar 100 revoluciones en agua destilada. En lugar de agua destilada se puede utilizar también otro liquido standard, como aceite de resino o glicerol, si el liquido problema tuviera una viscosidad mas allá del rango de la del agua. El procedimiento que se sigue para obtener la ecuación reológica del fluido depende del valor de la relación /R1.
22
T
L
r R1 R2
v
Figura 5.1.1.1.6 Esquema del aparato de viscosímetro de cilindros concéntricos ( /R1 < 0.1). El espacio que ocupa el fluido entre ambos cilindros es demasiado pequeño, por lo que se puede admitir que el perfil de velocidad del fluido es lineal, el decir el gradiente de velocidad es constante en cada medida suponiendo que hay rozamiento entre el líquido y la pared lateral de los cilindros y se cumple:
Viscosímetro de espacio estrecho
Sabemos que torque es:
T
Por otro lado la fuerza tangencial es:
F
Relacionando las ec. (2.16) y (2.17):
La velocidad de deformación:
F . R1
A L
(5.1.1.1.21) 2 . R1 . L
T
2
2 . R1 . L
dv dr
R1
(5.1.1.1.22) (5.1.1.1.23)
(5.1.1.1.24)
Viscosímetro de espacio ancho ( /R1
> 0.1). En este caso el perfil de velocidad no puede considerarse lineal y por tanto, el gradiente de velocidad varía en cada medida de un punto a otro a lo largo de la coordenada radial. Las ecuaciones dependen del tipo de fluido: a) Fluido newtoniano. Para un valor dado de La coordenada radial se cumple:
T 2 r 2 L
(5.1.1.1.25)
23
dv d r dr dr
(5.1.1.1.26)
Igualando las ecuaciones (2.20) y (2.21) y separando variables:
d
r
T
2 dr 2 r . L
d
T
dr
2 . L
r 3
(5.1.1.1.27)
(5.1.1.1.28)
Integrando:
0
d
T 2 . L
R2
dr
(5.1.1.1.29)
3
r
R1
1 1 2 2 2 . L R1 R2 T
(5.1.1.1.30)
De acuerdo esta última expresión la representación grafica -T para un fluido newtoniano ha de ser una línea recta que pasa por el origen y de cuya pendiente se puede obtener la viscosidad del mismo. b) Fluidos pseudoplásticos y dilatantes. Para un valor dado de La coordenada radial se cumple:
T 2
2 r L
(5.1.1.1.31) n
dv rd k k dr dr
n
(5.1.1.1.32)
Igualando las ecuaciones (2.30) y (2.31) y separando variables: n
T rd k 2 r 2 . L dr 1/ n
T d 1 / n k 2 L 1
(5.1.1.1.33)
dr 2
(5.1.1.1.34)
1
r n
Integrando:
24
0
d
n 1/ n
2k
1 1/ n
k
T 2 L
T 2 L
dr
R2
2
R1
1/ n
r n
(5.1.1.1.35)
1
1 1 2/n R22 / n R1
(5.1.1.1.36)
Esta expresión es linealizable tomando logaritmos en ambos miembros, de forma que a partir de la ordenada en el origen y la pendiente de la representación gráfica ln -lnT se pueden obtener los parámetros reológicos k y n, tal como se muestra en la figura.
n 1 1 / n 1 1 ln ln T ln 1/ n 2/n 2/ n n R2 2k 2 . L R1 1
(5.1.1.1.37)
c) Fluidos plásticos Bingham. La ecuación que relaciona la velocidad de giro con el par de torsión depende de si la tensión tangencial aplicada sobrepasa la de fluencia o no en todo el espesor del fluido:
T
2
2 r L
(5.1.1.1.38) C
(5.1.1.1.39)
dv rd C dr dr (5.1.1.1.40) C
Igualando las ecuaciones (2.30) y (2.31) y separando variables: T rd dr 2 r L
C
2
(5.1.1.1.41) 1 T dr C dr d 2 L r 3 r
(5.1.1.1.42) Integrando:
25
T R dr C R dr 2 L R r R r (5.1.1.1.43)
0
d
1
2
2
3
1
1
1 R 1 C ln 2 ; 2 2 R2 R1 4 . L R1 (5.1.1.1.44) T
Si
Si C
T 2
R1 . L 2
1 2 . L C C T ln 2 2 . L R 2 ; T 4 . L R1 C 1 T
T 2
R2 . L 2
C
T 2
R1 . L 2
(5.1.1.1.45) Mientras que la relación -T según la ecuación (2.43) es lineal, en caso de la expresión (2.44) el ajuste de los datos experimentales ha de realizarse mediante método de regresión no lineal. Se puede considerar una modificación de los viscosímetros de cilindros concéntricos en la que el cilindro externo se sustituye por un recipiente suficientemente alejado del cilindro interno como para que su presencia no influya sobre la velocidad de giro de este último. Las ecuaciones aplicadas a viscosímetros de un solo cilindro se pueden derivar de las anteriores haciendo R2=.
Viscosímetro de un solo cilindro.
Ejemplo 5.1.1.1-5 Determine las propiedades reológicas concéntricos. Efecto de la temperatura.
mediante un viscosímetro de cilindros
Las propiedades reológicas de una partída de leche homogenizada se han estudiado mediante un viscosímetro de cilindros concéntricos, en el que gira el cilindro interno, mientras que el cilindro externo permanece estacionario. El cilindro interno posee una longitus efectiva de 10 cm y un radio de 4 cm. La distancia de separación de ambos cilindros es de 1 mm. Los ensayos se han llevado a cabo fijando la velocidad de giro del cilindro interno, midiéndose el par de tosión aplicado expresado Nm. Se han realizado dos series de experimentos a diferentes temperaturas obteniéndose los resultados que se recogen en la siguiente tabla: Temperatura N (rpm) (ºC) 3 -7 T 10 Nm 240 20 ºC
6 510
12 1000
26
30 2600
60 4900
90 7600
10-7 Nm 90 170 360 900 1700 2700 70ºC Determinar la ecuación reológica correspondiente a este alimento, incluyendo la influencia de la temepratura. SOLUCION: Determinación del tipo de viscosímetro utilizado:
R1
0.001 0.04
0.025
El resultado obtenido es inferior a 0.1, lo que nos indica que se trata de un viscosímetro de espacio estrecho. Por tanto los valores de tensión tangencial y velocidad de deformación se pueden calcular mediante las ecuaciones (3.24) y (3.25) respectivamente:
T 2
2 . R1 . L
T 2 .0.04 .0.1 2
994,718T
2 N 2 N R1 0.04 R1 60 60 4.18879 N
0.001
Aplicando estas ecuaciones a los resultados experimentales obtenidos con el viscosímetro se obtiene la siguiente tabla. N (rpm) 3 6 12 30 60 90
T (Nm) a T (Nm) a -1 20ºC 70ºC ) 2,400E-05 9,000E-06 12,5664 5,100E-05 1,700E-05 25,1328 1,000E-04 3,600E-05 50,2656 2,600E-04 9,000E-05 125,664 4,900E-04 1,700E-04 251,328 7,600E-04 2,700E-04 376,992
-2
20ºC 0,024 0,051 0,099 0,259 0,487 0,756
) a
-2
70ºC 0,0090 0,0169 0,0358 0,0895 0,1691 0,2686
) a
Los resultados obtenidos se han representado gráficamente, en donde se observa que los puntos para cada temperatura se aproximan a una línea recta, por lo tanto mediante una regresión lineal se obtiene los valores de viscosidad.
27
0.800 20ºC
0.700
y = 1.989E-03x + 1.831E-04 R² = 9.994E-01
0.600 ) 2
70ºC
0.500
-
m0.400 N (
0.300
y = 7.031E-04x - 5.167E-04 R² = 9.987E-01
0.200 0.100 0.000 0
50
100
150
200
250
300
350
400
(s-1)
20ºC =
0,001989 Kg m-1 s-1
70ºC =
0,000703 Kg m-1 s-1
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Arrhenius se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas: E a 8341* 293
0.001989 0 exp
E 8341 * 343
0.007030 0 exp
a
Resolviendo las dos ecuaciones: E a 17542 J mol 1 0
1.49 106 Kg m 1s 1
Por tanto, la ecuación reológica complete correspondiente a la muestra de leche homogenizada en estudio es la siguiente: E a 17542 6 1.49 10 exp RT RT
0 exp
c) Viscosímetro de plato y cono El viscosímetro de cono y placa es bastante eficaz pero muy caro. En estos, la velocidad de deformación es mayor hacia la periferia de las placas debido a que la velocidad de giro aumenta con la distancia entre las plazas a medida que las mismas se distancias del entro (Muller, 1973). Se construyen de forma que el ángulo 0 sea
28
inferior a 5º, lo que permite considerar que el perfil de velocidad es lineal y que la velocidad de deformación es considerada en cada medida. Por tanto las ecuaciones que conducen son: Sabemos que torque es:
T
F . R
Por otro lado la fuerza tangencial es:
F A L
Relacionando las ec. (2.16) y (2.17):
La velocidad de deformación:
(5.1.1.1.46)
2 . R 2 3
(5.1.1.1.47)
3T
2 . R
dv
dz
3
(5.1.1.1.48)
r
rtg 0
0
(5.1.1.1.49)
Ejemplo 5.1.1.1-6 Determine las propiedades reológicas mediante un viscosímetro de plato y cono. Efecto de la velocidad de deformación sobre la viscosidad aparaente. Se han llevado a cabo una serie de ensayos reológicos con una compota de manzana en un viscosímetro de plato y cono (R=2,4 cm; 0=3º). Los resultados obtenidos obtenidos se recogen en la siguiente tabla: N (rpm) 5 10 20 40 60 3 T 10 (Nm) 2.17 2.37 2.60 2.98 3.24 Determinar el modelo y ecuación reológica que se ajusta mejor a experimentales, representando gráficamente cómo varía la viscosidad alimento con la velocidad de deformación.
80 3.47 estos datos aparente del
SOLUCION: Aplicando las ecuaciones es posible determinar el esfuerzo de corte y la velocidad de deformación que expirimenta el fluido en cada medida:
3T
3T
34529 T
3
1 N 2 N 2 2 N 0 60 3 60 2 360
0
2 0.024
3
2 R
1
Los resultados obtenidos son las siguientes: N (rpm) 5
-2
T (Nm) a 20ºC 2,170E-03 10
-1
)
20ºC 74,95
29
) a
) 1,00
log 0,998
C)
2,370E-03 2,600E-03 2,980E-03 3,240E-03 3,470E-03
10 20 40 60 80
20 40 80 120 160
81,86 89,80 102,93 111,91 119,85
1,30 1,60 1,90 2,08 2,20
1,227 1,394 1,579 1,671 1,739
Representando gráficamente estos datos se puede observar que el comportamiento reológico de la compota de manzana se corresponde con un fluido plástico real al obtenerse una curva que no pasa por el origen de coordenadas. 140.00 120.00 100.00 2 -
m N (
80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0
50
100
150
200
s-1)
Por tanto, el modelo matemático aplicable a este fluido es el modelo general de Herschel y Bulkley. Extapolando la curva reológica a =0, se obtiene el valor de la tensión tangencial crítica. C
65 N m
2
Con dicho valor y reorganicando la ecuacion se llega a la siguiente expresión: c
k
n
(5.1.1.1.50)
La ley de Herschel y Bulkley se puede linealizar: log ( C ) log k n log
30
) C ( g o l
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
y = 0.607x + 0.414 R² = 0.9965
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
log ( )
- C)-log ha de proporcionar log k como ordenada en el origen y n como pendiente. Los resultados son los siguientes: Log k=0,414 k=2,59 N m-2 s-n n=0,607 Por lo tanto, La ecuación reológica del fluido es la siguiente: 65 2,59 0, 607
Teniendo en cuenta dicha expresión y la definición de viscosidad aparente se puede llegar a la expresión:
a
65 2,59
0 , 607
65
2,59
0 , 393
Que permite establecer la relación entre la viscosidad aparente y la velocidad de deformación. 2.2.3.2 Viscosímetro de tubo a) Para fluidos Newtonianos El líquido en estudio se hace circular por el interior del tubo por gravedad o aplicando presión a la entrada (Figura). El ensayo consiste en la realización de diferentes medidas variando el caudal volumétrico de fluido (Q) y registrando en cada una de ellas la perdida de presión que experimenta el fluido al atravesar una detrerminada longitud de tubo. A fin de asegurar que el líquido se desplaza en régimen laminar, se suelen utilizar tubos capilares, de diámetro muy reducidos.
31
1
2
Muestra
L v D
h
Figura 5.1.1.1.7. Viscosímetro de tubo En el tubo capilar las fuerzas que actúan sobre el mismo son de dos tipos: Fuerzas normales originadas por la presión en las bases del cilindro y fuerzas tangenciales de rozamiento sobre la superficie lateral (figura) A L
R
P P dL A L
PA
r
dL
Figura 5.1.1.1.8. Fuerzas que actúan sobre un tubo de fluido de radio r Entonces se puede hacer la sumatoria de fuerzas igual a cero (Fx= 0). PA PA
P L
dL A A L 0
Si observamos en la Figura el área transversal A= r2 y el área lateral A L= 2rdL, reemplazando tenemos:
P L
2
dL ( r
) (2 rdL)
Simplificando y luego despejando el Esfuerzo de corte ( ) tendremos:
dP r dL
2
P r L
2
Por otro lado sabemos que Esfuerzo de corte es igual obtendremos:
dv dr
P r
L
2
Luego la velocidad será:
32
dv dr
, reemplazando
P
dv
2 L
rdr
Integrando esta función se tiene:
v
0
P
dv
v
P
L 2
R
4 L
2
r
rdr R
2
r
Como se sabe que Q=vA; y la A=2 rdr por tanto: Q
P 4 L
R
2
2
r
2 rdr
Integrando obtenemos: Q
Q
Q
P
L 4
R
0
P
2 r R
P R L
r dr 2
R R rdr R r dr 2
2
4 L
2
3
0
0
4
Ecuación de Poiseuille
8
Por tanto la viscosidad es calculada:
Donde: Q P R L
p1
= = = = =
p 2 R 4
8 LQ
Caudal (m3 /seg) Diferencia de presiones entrada-salida (N/m2) Radio de tubo (m) Longitud del tubo (m) Viscosidad absoluta
Rara vez conoce la viscosidad absoluta, ya que para ello se requiere conocer con precisión las constantes del instrumento, tales como longitud y diámetro del tubo; habitualmente se determina la viscosidad relativa. La “viscosidad relativa” expresa la viscosidad de un liquido con respecto a otro patrón.
Viene ha ser la relación entre la viscosidades del liquido problema y la del patrón. 1 2
1
2
x
t 1 t 2
33
Donde: 1 y 1
= viscosidad y densidad de liquido de referencia.
2 y 2
= viscosidad y densidad del liquido problema
t1 y t2 = tiempo que tardan en fluir volúmenes iguales de ambos líquidos. El método del tubo capilar puede utilizarse para medir coeficientes de viscosidad que caigan dentro del rango de 0.01 a 3.5 poises. b) Para fluidos plásticos y dilatantes: Procediendo de forma similar al caso de los fluidos newtonianos pero utilizando la ley de potencia como ecuación reológica se llega a la siguiente expresión: n
P r dv k L 2 dr Luego la velocidad será: 1/ n
P dv 2 kL
r 1 / n dr
Integrando esta función se tiene:
v
0
P dv 2kL 1/ n
v
P 2 L
1/ n
R
r
r 1 / n dr
R r 1 n n 1 n
1 n
n
n
Como se sabe que Q=vA; y la A=2 rdr por tanto:
P Q L 2
1/ n
n nn n R r rdr 1 n
2
1
1
n
Integrando obtenemos: 1/ n
P Q 2 L
1 2 n R 1nn R n R rdr r dr 0 1 n 0
2
n
34
P L 2
1/ n
Q
1 3 n 13n n R n 2 R 1 n 1 3n 2 n n
1/ n
P 2 L
Q
13n R n n 1 3 n
Linealizando:
1 3 n 1 R n log P log Q log 1 3 n n 1/ n L 2 n c) Para fluidos plásticos y dilatantes: El procedimiento matematico a aplicar es análogo al de los fluidos newtonianos, aunque teniendo en cuenta que la integración de la ecuación equivalente a la (xx) se realiza únicamente en la porción de fluído en la que la tensión tangencial excede el valor crítico, obteniéndose la siguiente expresión: Q
Siendo
R 3 0
0 la
0
3
1 4 0
C 4
1 C
3
tensión tangencial de rozamiento en la pared de la tubería: P R
2 L
2.2.3.3 Viscosímetro de caída de bola Método basado en la ley de stokes del descenso de un sólido a través de un liquido:
35
Muestra de fluido D Bola en caida libre
Distancia medida
w
Fr = Fuerza de retardo Fb = Fuerza de flotación
Fig.
Fy=
0;
: Viscosímetro de caída de bola
Fb + Fr – w = 0 w = m g = (V)g = sV = s
D
3
6
Fb = m g = (V)g = f V = f
D
3
6
Fr = 3D Entonces reemplazando tendremos: f
D
3
+ 3D -
s
6
3
=0
6
D
s
f D 2 18v
Donde:
= coeficiente de viscosidad (Poiseville) D = Diámetro de esfera (m) s = Peso específico de la esfera (N/m 3) f = Peso específico del líquido (N/m 3) v = Velocidad a la que se mueve la esfera (m/s)
La viscosidad relativa estaría dada por la relación: 1 2
Donde:
S t x S t 1
1
2
2
t1 y t2 = tiempos que tarda la esfera en recorrer la misma distancia.
Este método se aplica a líquidos con mayor viscosidad que aquellos con los que normalmente se utilizan viscosímetros de tubo. Como esfera se puede usar una bola
36
de acero de 1.5 mm de diámetro. Para líquidos mas viscosos se debe emplear una bola de platino ya que este es más denso que el acero. d) Medidas empíricas Los resultados que se obtienen no se expresan en unidades fundamentales (kg, m, s), sino que dependen del instrumento utilizado. Los resultados no pueden compararse con los obtenidos por otras técnicas pero son útiles. Entre estos viscosímetros se tiene a los de copa o de “orificio”, del tip o Ford, Engler o
Redwood (Muller, 1973). Otro viscosímetro es el Brookfiel, de huso rotatorio, que se sumerge en abundante masa de líquidos. Esta basado en la medida de la resistencia a la rotación de huso sumergido en el material. Con este instrumento se puede medir un rango amplio de viscosidad, pudiendo ser usado para medir la viscosidad de materiales newtonianos como la consistencia de lo no newtonianos. La viscosidad en centipoises se puede leer directamente consultando el factor proporcionado por el instrumento. Asimismo, la consistencia se puede medir diferentes velocidades de corte a fin de clasificar los materiales en newtonianos, tixotropicos, dilatantes, etc. El viscosímetro de Brokfield ha sido usado satisfactoriamente para medir la consistencia de flanes, natillas, productos de tomate, mayonesa, productos lácteos etc.
37
SEMINARIO I VISCOSIDAD 1. Con respecto a la figura la distancia entre placas paralelas es y = 0.00914m, y la placa inferior se desplaza a una velocidad relativa 0.366 m/s mayor que la superior. El fluido usado es aceite de soya con viscosidad 4x10-2 Pa.s. a) Calcúlese el esfuerzo cortante () y el gradiente de velocidad o de velocidad cortante (dv/dy). b) Si se usa glicerol a 293 K, con viscosidad de 1.069 kg/m.s en lugar de aceite de soya. ¿Qué velocidad relativa se necesita con la misma distancia entre las placas para obtener el mismo esfuerzo de corte en la parte (a)? Además ¿Cuál será la nueva velocidad cortante? 2. Se utiliza un tubo capilar para medir la viscosidad de un líquido Newtoniano. El tubo tiene 4 cm de diámetro y una longitud de 20 cm. Calcular el coeficiente de viscosidad del líquido si se necesita una presión de 2.5 kPa para mantener un caudal de 1 Kg/s. La densidad del líquido es de 998 kg/m3. 3. Calcúlese la viscosidad de un fluido que origina un caída de presión de 35 Kpa en una tubería de acero inoxidable de 5 m de longitud y 3.4 in si el caudal es de 0.12 m3 /h y la densidad del fluido es de 1010 kg/m3. 4. Se ha utilizado un viscosímetro de tubo capilar para medir la viscosidad de la miel a 30ºC. El radio del tubo es de 2.5 cm y la longitud 25 cm. Se han obtenido los siguientes datos: Q (cm3 /s) 1.25 1.55 1.80 2.05 2.55
P
(Pa) 10.0 12.5 15.0 17.5 20
Determinar la viscosidad de la miel a partir de estos datos. 5. Se utilizó un viscosímetro rotatorio de cilindro simple de 1 cm de radio y 6 cm de longitud para medir la viscosidad de un líquido. Se obtuvieron las siguientes lecturas del par de torsión a diferentes revoluciones por minuto (rpm) T (x10-3N.cm) 1.2 2.3 3.7 1.2
N (rpm) 3 6 9 12
Calcular la viscosidad del líquido a partir de la información suministrada 6. Las propiedades reológicas de un aceite de semillas se han estudiado mediante un viscosímetro rotatorio en el intervalo de temperaturas 10-60ºC. Para todas las temperaturas se ha observado que el aceite es un fluido
38
newtoniano, obteniéndose los valores de la viscosidad que se recoge en la siguiente tabla: T (ºC) (kg m-1 s-1) 10 2,42 20 1,05 30 0,48 40 0,23 50 0,12 60 0,06
7.
Determine la velocidad de activación y el factor pre-exponencial correspondiente a la variación de viscosidad con la temperatura. Estime la viscosidad del aceite a 0 y 15ºC respectivamente.
39
2.3 HIDROSTATICA DE FLUIDOS 2.3.1 Definiciones de presión La presión ejercida por un sistema es la fuerza por unidad de área sobre las paredes del sistema. Unidades S.I. (1N/m 2 = 1 Pa) P
F
A
Existen diferentes tipos de presión: Presión atmosférica: Se mide con un barómetro, depende de las condiciones ambientales, varía según lugar geográfico. Presión manométrica: Se mide con un manómetro, se usa para indicar la presión existente en un equipo, por ejemplo la presión en el interior de un autoclave, o en un evaporador al vacío. Presión absoluta: Se define según la expresión siguiente. Presión absoluta = Presión atmosférica + Presión manométrica Debido a que la presión atmosférica depende de las condiciones climáticas y de la posición geográfica, por lo tanto se requiere medirla constantemente durante experimentos, por lo que se ha definido una presión atmosférica estándar. Presión atmosférica estándar: Es la presión producida por una columna de 760 mm de mercurio. Presión atmosférica estándar = 760 mm Hg = 14.7 lb f /pulg2 = 101.325 Kpa
40
200
300 a icr
a ivt éf s o
i s
150
250 m
o p
ot a a ci tr al é e d
))
a
200 at
mi
n
e ivt
ói
r s
al o
b
s
p n
er s p
a P I
(
150 er S
S
s s e
Presión atmosferica estandar 1atm =101.325 KPa
0 e d
100 di
P
K(
I
a
er
50
ói
K(
d
a
a
o
p
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c n
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o
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m
100
a
n
di
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U l ai cr
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a p
a o ivt n
- 50 ío
50
a a g m e
c n
n
a ió V s re
0
P
-100
Vacío perfecto
Presión manométrica
Presión absoluta
Fig. : Presión absoluta y presión manométrica
2.3.2 Ecuacion hidrostática Es el estudio de los fluidos en reposo, donde actúan la fuerza y presión y no actúa el esfuerzo de corte. P F y P dy A y Fz
Fx
Fx dy dz Fz
dx
Fy = PA Peso
Si realizamos F y 0 tendremos:
41
PA P
P dy A Peso 0 y
Si por definición conocemos que Peso= m.g entonces tendríamos: PA PA
P dyA m.g 0 y
Simplificando y luego utilizando la definición m= V obtendremos:
P y
dyA g V 0
Conociendo que el peso específico es = g y V= Ady tendremos:
P y
dyA Ady
0
Simplificando tenemos que: dP P
dy
= h
Para resolver problemas de hidrostática es recomendable seguir el siguiente procedimiento: Empiece desde el punto más conveniente donde la presión sea conocida, y escriba esta presión en forma de símbolo (por ejemplo, p A se refiere a la presión en el punto A. Utilizando P= h, escriba expresiones para los cambios de presión que se presentan desde el punto de inicio hasta el punto en el cual la presion se va a medir, teniendo cuidaddo de incluir el signo algebraico correcto para cada término. Iguale la expresión del paso 2 con la presión en el punto deseado. Sustituya los valores conocidos y resuelva para la presión deseada. Ejemplo 5.1.1.1-7 En un manómetro en U se encuentra conectado aun gasómetro que contiene oxígeno, si la presión atmosférica es de 760 mm de Hg. ¿ Cuál es la presión absoluta y manométrica en el interior del estanque?, considere que el líquido manométrico es Hg y que la rama derecha está abierta a la atmósfera.
42
O2
3 0.7 m
1
Datos: Presión atmosférica
0.5 m
2
: 760mm de Hg
Densidad del oxígeno
: 1,3 Kg/m3
Densidad del mercurio
: 13.600 Kg/m3
Densidad del aire
: 1,1 Kg/m3
SOLUCION: Presión en 1: P1 = Poxígeno + (h) oxígeno P3 = (h) aire + Patm P2 = (h)mercurio + P3 = (h) mercurio + (h) aire + Patm Luego se debe aplicar el principio manométrico de que 2 puntos ubicados a la misma altura, indistintamente del fluido en que se encuentra tienen la misma presión. Entonces, por principio manométrico: P1 = P2 Poxígeno + (h) oxígeno = (h) mercurio + (h) aire + Patm Poxígeno = - (h) oxígeno + (h) mercurio + (h) aire + Patm Kg m Kg m kg m P O2 1.3 3 9.8 2 0.7m 13600 3 9.8 2 0.5m 1.1 3 9.8 2 0.2m 760mmHg m s m s m s
760mmHg Pa 133 . 343
P O 66633.24 Pa 2
P O
2
1mmHg
499.7mmHg 760mmHg
Respuesta: P. Absoluta =1259.7 mm Hg; P. Manométrica = 499.7 mm Hg. Ejemplo 5.1.1.1-8 Los recipientes A y B contienen agua a las presiones 2.8 Kg/cm2 y 1.4 Kg/cm2 respectivamente, calcular la diferencia de altura de mercurio.
43
Datos:
Presión atmosférica Densidad del agua Densidad del mercurio
: 760 mm de Hg : 998 Kg/m3 : 13600 Kg/m3
A x
B
y 5m
h 3m
1
2
Presión en 1: P1= PA + (agua) x + (agua) h Presión en 2: P2 = (mercurio) h + (agua) x + PB – (agua) 2 Luego se debe aplicar el principio manométrico (P 1 = P2) PA + (agua) x + (agua) h = (mercurio) h + (agua) x + PB – (agua) 2 PA + (agua) x + (agua) h = (mercurio) h + (agua) x + PB – (agua) 2 h(agua - mercurio) = PB - PA – (agua) 2 P A 2.8
P B 1.4
Kg
m 100cm
9.807 cm s 2
Kg
2
2
Kg
274596 Pa 274596 ms
m 100cm
9.807 cm s 2
1m
2
2
2
Kg
137298 Pa 137298 1m ms 2
Reemplazando valores se tiene: Kg m Kg m Kg h 998 3 13600 3 9.807 2 274596 Pa 137278 Pa 998 3 9.807 2 2m m m s m s
Respuesta: h = 1.27 m
Ejemplo 5.1.1.1-9 Un manómetro de Bourdon se encuentre conectado a una tubería por la cual circula agua, según muestra la figura. Si el manómetro, indica la presión absoluta en la cañería, si la atmosférica es 740 mmHg. Cuál será la presión absoluta en el punto 1 y 2.
44
2
AGUA
0.61m
1
51.72mmHg 740mmHg 3843.2 mmHg 1 psi
P abs1 60 psi
Kg m P abs2 P abs1 hagua 3843.2mmHg 998 3 9.8 2 0.61m m s
1 mmHg 3798.5 mmHg 133.34 Pa
P abs 2 3843.2 mmHg 5966 Pa
Ejemplo 5.1.1.1-10 Un manómetro diferencial se usa para medir la caída de presión entre dos puntos de una línea de proceso que contiene agua. La gravedad específica del fluido manométrico es de 1.05, y los niveles medidos En cada caso se muestran en la figura. Calcular la caída de presión entre los puntos 1 y 2 expresados en dinas/cm 2.
1
2 x
C h
A
B
8mmHg
374 mmHg
sg
fluido agua
kg Kg fluido ( sg ) agua 1.05 998 3 1047.9 3 m m
Caída de presión: P=P1-P2 Aplicando el principio manométrico PA = PB
45
PA= P1 + agua(x)+ agua (h) PB= P2 + fluido(h) + agua(x) Entonces: P1 + agua(x)+
agua (h)
=
fluido(h)
+ agua(x) + P2
P1 - P2= fluido(h) - agua(h) P1 - P2= h (fluido - agua) kg kg N m P 0.008 m 9.8 2 1047.9 3 998 3 3.91 2 m m m s
P 3.91
N 105 dinas
m 2
1 N
2
dinas 3910 cm 100cm 1m
2
Ejemplo 5.1.1.1-11 Un manómetro está unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula agua. Calcular la diferencia de presión entre A y B en Kg/cm 2.
0.6m 1
2
z
A
B
Presión en 1: P1= PA + agua z Presión en 2: P2= mercurio (0.6 m) + agua (0.6 m) + agua z + PB PA - PB = (mercurio + agua )(0.6 m)
P A P B 1047.9
kg m3
998
kg m N 9 . 8 0 . 6 12029 . 89 m m 3 s 2 m2
46
P 12029.89
N 0.1019 Kg f
m 2
2
Kg f 0.122 2 cm 100cm
1 N
1m
Ejemplo 5.1.1.1-12 A través de los tubos A y B vistos en corte fluye agua. En el tubo en forma de U invertidas se tiene aceite, en los otros segmentos del manómetro se tiene mercurio. 2 Determine la deferencia de presiones (P A-PB) en lb /in . f B
3
A 10 in
8 in
4
7
4 in
5 in
3 in
1 2
5
6
DATOS: aceite= agua=
49.42 lbm /ft3
62.4 lbm /ft3
mercurio=
849 lbm /ft3
P1 = P2 P1= PA + agua (10”) P3= P1- mercurio (3”) P3= PA + agua (10”) - mercurio (3”) P5 = P6 P6= P7 + mercurio (5”) P7 = PB + agua (8”) P4 = P5 - aceite (4”) = PB + agua (8”) + mercurio (5”) - aceite (4”) Luego como P3 = P4 PA + agua (10”) - mercurio (3”) = PB + agua (8”) + mercurio (5”) - aceite (4”)
47
PA - PB = agua (8” - 10”) + mercurio (5”+ 3”) - aceite (4”) Kg
P 999.5
m Kg m 1m Kg m 1m 1m 9.8 2 2" 13600 3 9.8 2 8" 791.6 3 9.8 2 4" m s m s 39.37" m s 39.37" 39.37" 3
P 25796.78
N 0.2248lb f
m
1 N
2
lb f 3.74 in 2 39.37in 1m
48
SEMINARIO IV HIDROSTATICA DE FLUIDOS 1. Utilizando la siguiente figura calcule la presión en el punto A. A
Aire a presión atmosférica
4
0.15 m
Agua
1 0.25 m
Mercurio (sg=13.54)
2
3
2. Se tiene Agua en el tubo que se muestra en la figura siguiente. Calcule la presión manométrica en el punto A en kPa. A
100mm
75mm
agua
mercurio sg=13.54
3. Para el manómetro diferencial que se muestra en la figura. Calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad específica del aceite es de 0.85.
B 10"
A Aceite
Agua
32"
9"
49
2.4 HIDRODINAMICA DE FLUIDOS 2.4.1 Definiciones de hidrodinámica
Hidrodinámica. Estudia a los fluidos en movimiento Flujo de fluidos. Movimiento de un fluido Flujo Laminar. Las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias definidas. Flujo turbulento. Las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias irregulares Flujo permanente. Las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambia con el tiempo (dv/d = 0) Flujo no permanente Las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto si cambia con el tiempo (dv/d 0) Flujo Uniforme. El vector velocidad no varía en función de su posición (dv/ds = 0) Flujo no uniforme. El vector velocidad no varía en función de su posición (dv/ds 0) Flujo Ideal. No considera rozamiento y viscosidad, es incompresible. Flujo real. Si considera rozamiento y viscosidad, es incompresible
2.4.2 Rapidez de flujo de fluidos El la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo se puede expresar mediante tres términos:
La rapidez de flujo de volumen: denominada como caudal , que es la velocidad por área de flujo. Unidades SI [m 3 /s]. Q
vA
La rapidez de flujo de peso: Es el peso específico por caudal. Unidades SI [N/s]. W Q
La rapidez de flujo de masa: Llamada también como flujo másico, que es la densidad por caudal. Unidades SI [Kg/s]. Q m
2.4.3 Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad es la ecuación de la conservación de la materia. En esta ecuación no se consideran los términos de generación y consumo, dado que la mecánica de fluidos, se ocupa del transporte de fluido y que durante este proceso, generalmente no ocurre una reacción química. A. COORDENADAS CARTESIANAS
50
La deducción de la ecuación para sistemas no reaccionantes. Consideremos un pequeño elemento de material en un cuerpo sólido, el elemento tiene la forma de un paralelepípedo de forma rectangular con sus lados x , y y z paralelos a los ejes x, Q v A . y, z respectivamente. Considerando que flujo de masa es m
y
v y
y y
v
z
v
v
x
z
x
x
x x
y z
v
x
z z
z
v y
y
x z
Figura 5.1.1.1.9 Esquema para la deducción de la ecuacion de continuidad Balance de materia Masa que ingresa Masa que sale Masa acumulada
Flujo de masa que entra: x m
v x
x
Ax
Flujo de masa que sale: x x m x m
x m
dx
x
Masa Acumulada. Masa acumulada
V
d dt
Haciendo la sumatoria de flujo de masa en las direcciones xyz se tiene: v x x A x v y y A y v z z A z v x x A x
v x x A x x
Simplificando:
51
dx v y y A y
v y y A y y
dy v z z A z
v z z Az z
dz V
dt
v x v y v z dt y z x
La Ecuación () es una de las formas de la ecuación de continuidad , esta ecuación describe la variación de la densidad para un punto fijo, como consecuencia de las variaciones del vector velocidad másica de flujo ̅ . Esta ecuación se puede escribir en notación vectorial como: dt
v
Donde v , se denomina divergencia de la densidad de flujo de masa o flux de masa ( v ) y su divergencia representa la velocidad neta con que disminuye la densidad de flujo de material por unidad de volumen. Asi mismo la divergencia de v , es una magnitude escalar. La ecuación () puede ser modificada usando el concepto de derivada de un producto:
dt
v x x
v x
x
v y y
v y
y
v z z
v z
z
Agrupando: dt
v x
v y v z v v y v z x x y z x y z
Derivada sustancial de
En el caso de un fluido incompresible es constante y por tanto / y iguales a cero, por lo que la ecuación de continuidad adquiere la forma: v x x
v y y
v z
son
0
z
Para una sola dirección, en estado estacionario el término de la derivada respecto del tiempo es cero. 1v1 A1 2 v2 A2 A
( v) t
Un fluido de densidad constante (como los líquidos) se denomina incompresible. A1
v1
Figura
v2
A2
:t uberia de área variable
La ecuación que simplificada de la siguiente manera:
52
(v1 A1 ) (v 2 A2 ) M 1
(Flujo constante)
M 2
Teniendo este tipo de fluido circulando en una tubería que cambia de sección transversal como se muestra en la figura. La Ec. ...1 indicará que el flujo debe ser igual a través de A1 y de A2: Q v1 A1 v2 A2 CONSTANTE
B. COORDENADAS CILINDRICAS 1 r vr 1 v v z 0 dt r r r z
C. CORRDENADAS ESFERICAS dt
1 2
r
v r vr v sen 1 1 0 rsen r rsen 2
Ejemplo 5.1.1.1-13 Una tubería madre de acueducto de 14 cm de diámetro interno (DI) surte agua por tubos de menor diámetro (1.00 cm de DI) a las casas. Si en una de dichas casas se demora para llenarse un balde de 10 litros 20 segundos, cueles son las velocidades medias del agua en el tubo que entra a una casa y la tubería madre. SOLUCION: Caudal en casa:
Q
10 l 20 s
Velocidad en la casa: v
3 l 1m
5 x10 0.5 s 1000l 5 x10
Q
Velocidad en la tubería madre: v 2.4.4
A
s
4
(0.01 / 2)
Q
m3
A
4
2
6.36 m / s
5 x10
4
(0.14 / 2)
2
0.03 m / s
Ecuación de movimiento
A) COORDENADAS CARTESIANAS a. Ecuación de Momento lineal en la dirección x: La ecuación de conservación de cantidad de movimiento, conocido tambien como la ecuación de movimiento, básicamente es la aplicación de la segunda ley de Newton en
53
la dinámica de fluidos. Dicha ecuación general para el elemento de volumen en la dirección en x esta dado por:
xyz,
Velocidad de entrada de momento Velocidad de salida de momento Suma de fuerzas actuando sobre el sistema Velocidad de acumulación de momento
v z v x z
y
x
v y v x y x
yx
y
zx z
xx x
v v x
x
x
v v
v
x
x
x
x x
x
y
p x
p x x z
x
v v z
v y v x
z
x
z
y
x
Figura 5.1.1.1.10 Esquema para la deducción de la ecuacion de transporte de cantidad de movimiento
Flujo convectivo de momento neto x:
Velocidad de entrada y salida del componente x del momento en la cara x y en la dirección x:
v v v v x
x
x
x
x
x x
y z v v x y z x
x
x
Velocidad de entrada y salida del componente x del momento en la cara y y en la dirección y:
v y v x
v v y
y
x
y x
x z
v y v x y
x y z
54
Velocidad de entrada y salida del componente x del momento en la cara z y en la dirección z:
v v v v z
x
z
z
x
x y v v x y z z
z x
x
z
Flujos específicos de momento de origen molecular
Pueden considerarse como esfuerzos cortante y esfuerzos normales
xx x xx x x y z yx y yx y
x
x z
zx z zx z x x y
Fuerza de presión:
p
x
p x x yz
Fuerza gravitacional:
g x x y z Sustituyendo:
v x v x v y v x v z v x xx yx zx p v x x y z x g x t x y z v x v x v x v p v x v y v z x xx yx zx g x x y z x y z x t
Ecuación de Navier-Stokes
55
v v v p v v x v x v x v x v y v z x x x x g x x y z y z x t x 2
2
2
2
2
2
a. Ecuación de Momento lineal en la dirección y:
2.4.5
Ecuación de Bernoulli - Ecuación de conservación de la energía.
Daniel Bernoulli, en 1738, demostró un teorema general, referente al movimiento de los fluidos, que es probablemente el más importante de la hidráulica. Toda la hidrodinámica reposa en dicho teorema; y gran número de problemas hidráulicos son resueltos con la ayuda de este teorema. 2.4.5.1 Linea de corriente.
Para los efectos de demostración, vamos a considerar un flujo ideal, incompresible, permanente y unidimensional; en el que, analizaremos una línea de corriente, que coincida con el eje de un filete o tubo de corriente, en la que consideramos un elemento diferencial de fluido, como se muestra en la figura.
z ds s
( P
P s
ds ) dA
dz Peso
PdA
Figura 5.1.1.1.11 Esquema para la deducción de la ecuacion de Bernoulli En la vena líquida considerada, ésta tiene un elemento diferencial de área (dA) y un elemento longitudinal (ds), por lo que el peso de ella será ( dAds). La fuerza que
56
produce la presión en la base inferior del filete será: (PdA) y en el incremento ds la fuerza que produce la presión en la base superior será: ( P P ds) dA s
Entonces se puede hacer la sumatoria de fuerzas a través del eje “s” considerando, y
aplicando la segunda ley de Newton: F=ma
PdA P
P ds dA Peso.Cos m.a s
Si sabemos que g
m V
g
Peso V
Peso dA ds
entonces peso = dAds y la masa
= dAds podemos obtener: P ds dA dAds . Cos dAds . a s
PdA PdA
Simplificando tendremos:
dP ds
. cos . a
Por otro lado la aceleración en un flujo permanente es a=v(dv/ds) y viendo la figura cos =dz/ds, reemplazando tendremos estas definiciones tendremos: dP
ds
dz ds
. v
dv ds
Simplificando y igualando a cero: dP dz vdv 0
Dividiendo entre el dP
dz
vdv g
0
Ecuación de Euler
Integrando tendremos: P
z
v2 2 g
C 1
Ecuación de Bernoulli
la unidades de cada termino están dadas en unidades de longitud, el metro (m) o el pie. Por tanto, los términos de la ecuación de Bernoulli se conocen, a menudo como “cabezas”, refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El termino P/ se conoce como cabeza de presión; a z se le llama cabeza elevación; y al termino v 2 / 2g se le conoce como cabeza de velocidad . La suma de las tres se le conoce como cabeza total .
57
2.4.5.2 Interpretación de la ecuación de Bernoulli. P
Es el trabajo de flujo por unidad de Peso (Energía de presión).
Si sabemos que trabajo de flujo es
W F
PV ,
luego introducimos el concepto de
V=m/, dividido y multiplicado por g tendremos que el finalmente se tiene:
W F
W F
m g Peso P P , g
P
Peso
z = Es la energía Potencial por unidad de peso (Energía Potencial) Si la energía potencial es E P = Peso. z , entonces z v
E P Peso
2
2 g
Es la Energía cinética por unidad de peso (Energía cinética)
Si la energía cinética tendremos que:
Ec
1
2
v
Peso
Ec
mv
2
, luego introducimos el concepto de m
Peso
g
,
2
2 g
2.4.5.3 Restricciones a la ecuación de Bernoulli . La ecuación de Bernoulli es aplicable para solucionar gran cantidad de problemas prácticos, pero existen algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de manera correcta:
Es válida solamente para fluidos incompresibles. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema. No puede haber transferencias de calor hacia o fuera del fluido. No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.
2.4.5.4 Procedimiento para la aplicación de la ecuación de Bernoulli 1. 2. 3. 4. 5.
Determine qué elementos son conocidos y qué se va encontrar. Elija dos secciones del sistema y escriba la Ec. de Bernoulli. Simplifique la Ecuación, si es posible mediante la cancelación de los términos. Resuelva la Ecuación algebraicamente para el termino deseado. Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado, tome precaución de asegurar el uso de unidades consistentes a los largo del cálculo.
58
59
2.4.5.5 Aplicaciones de la ecuación de bernoulli en medidores de caudal. a) Definiciones:
Coeficiente de velocidad. Cv
vt
velocidad real velocidad teórica
Coeficiente de contracción C c
v r
A2 Ao
Area de chorro Area de orificio
Coeficiente de descarga C d
C v .C c
b) Medidor de orificio de un recipiente
Aplicando Ec. de Bernoulli entre los puntos 1 y 2: p1
z 1
v1
2
2 g
p2
z 2
v2
2
2 g
Sustituyendo valores: 0 0 z 1
v22
2 g
0 z 2
Despejando tenemos: v2
2 g ( z 2 z 1 )
2 gH
Si consideramos que v 2 = vt entonces tendríamos que:
60
vr
C v .vt
C v
2 gH
Luego que Qr = vr Ar y además que Ar = A2 = Cc.Ao entonces tendríamos: Qr C v
2 gH
Qr C d . Ao
C c Ao
2 gH
c) Medidor de orificio de una tuberia
DO
D1
D2
P P P 1
2
Considerando un punto 1 y otro 2 para la ecuación de Bernoulli: p1
v1
2
p2
2 g
v2
2
2 g
Por la ecuación de continuidad y aplicando que Ar = A2 = Cc.Ao D D v v 4 4 2
2
0
1
1
2
Despejando vr tenemos:
D 2 v2 2 D1 o
v1
Reemplazando se tiene: v p
2
1
Do D
2
2
1
2 g
2
p v 2
2 2
2 g
Despejando v2:
61
2 g
v2
P P 1
2
Do 1 D
4
1
Si consideramos que v 2 = vt entonces tendríamos que:
2 g
v r C v
P P 1
2
Do 1 D
4
1
Luego que Qr = vr Ar y además que Ar = A2 = Cc.Ao entonces tendríamos: 2 g
P P 1
2
Qr C v 1
Do D
4
x C c Ao
1
Finalmente se tiene: 2 g
Qr C d Ao
P P 1
2
Do 1 D
4
1
Ejemplo 5.1.1.1-14 Está fluyendo agua a 10ºC de la sección 1 a la sección 2. La sección 1, tiene 25mm de diámetro, la presión manométrica es de 345Kpa y la velocidad de flujo es de 3 m/s. La sección2, tiene 50mm de diámetro, está a 2 m sobre la sección1, suponiendo que no hay perdidas de energía en el sistema, calcule la presión P 2.
62
Cabeza total
v2
2 g
Cabeza de velocidad
v1
2
P 2
2
2 g
v2
2
z2
Cabeza de presión
v1
P 1
Cabeza de elevación
1
z1 Nivel de referencia
Datos: D1= 25 mm D2= 50 mm P1 = 345 Kpa P2 = ?? v1 = 3 m/s v2 = ?? z1 = 0 z2 = 2 m Propiedades del agua a 10ºC: =1000 Kg/m3; g=9.81 m/s; =9.81 KN/m2. Aplicando la Ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2: P 1
z 1
v1
2
2 g
P 2
z 2
v2
2
2 g
Despejando v1 2 v 2 2 P 2 P 1 ( z 1 z 2 ) 2 g
Calculo de v2: Por continuidad Q1 = Q2 , por lo tanto v1A1 = v2A2
v2
D1 2 2 2 A1 D1 m 25mm m 4 v1 3 v1 v1 0.75 2 s 50mm s D A2 D2 2 4
Reemplazando datos: P 2
2 2 2 m ( 3 0 . 75 ) 2 KN s 345 KPa 9.81 3 (0 2)m 329 KPa m m 2(9.81) 2 s
63
Ejemplo 5.1.1.1-15 Se bombea agua a 20ºC, mediante una cañería de 4 cm de diámetro, a un flujo másico de 1.5 kg/s. Calcule la velocidad lineal promedio de agua en esta cañería determine la nueva velocidad si ahora el diámetro cambia a 8 cm. - Flujo másico - Diámetro de la cañería - densidad del agua a 20ºC A
M
R
4
4
1.257 x10
3
m
2
. A.v 1.5
v
0.04
2
D 2
2
(m) = 1,5 kg/s (D) = 4 x 10 -2 m. ( ) = 998,2 kg/m 3
kg s
998.2
kg m
x1.257 x10 3
3
1.195
m2
m s
Si ahora D = 8 cm. A
R
D
2
2
4
1.5
v
0.08
2
998.2
kg m
2.4.6
3
5.027 x10
0.299
3
m
2
4
kg s
x5.027 x10
3
m2
m s
Flujo laminar y flujo turbulento
Flujo laminar (tranquilo): está caracterizado porque las partículas se deslizan suavemente a los largo de direcciones paralelas.
Flujo turbulento: está caracterizado porque las partículas del fluido se mueven con un movimiento al azar, desarreglo, agitado.
2.4.7 Numero de Reynolds La forma en la que un fluido a través de un sistema dado depende de varios parámetros que incluyen: viscosidad del fluido, densidad del fluido, velocidad del fluido, dimensiones y forma de la tubería o del conducto y de la aspereza de las superficies en contacto con el fluido.
64
Para saber que tipo de flujo se tiene se utiliza un número adimensional llamado Número de Reynolds, definido por: Re
Donde:
D.v.
D = Diámetro del tubo (m) v = Velocidad del fluido en el tubo (m/s)
= Densidad del fluido (kg/m3)
= Viscosidad dinámica (N s/m2)
Experimentalmente se ha comprobado que: Re < 2000
Régimen laminar
2000 < Re < 4000 Zona crítica Re > 4000
Régimen turbulento
2.4.8 Perfil de velocidades Si se considera el flujo del fluido a través de una tubería, se puede observar que la velocidad del fluido es mayor en el centro y disminuye hacia las paredes de la tubería en donde la velocidad de las partículas del fluido es cero. Esto es válido para los flujos laminar como turbulento.
Perf il de veloc idad laminar
Perf il de velocidad turbulenta
Ejemplo 5.1.1.1-16 Se tiene leche fluyendo a 30 gal/min, en una cañería de 1” de diámetro. La temperatura de la leche es de 70ºF. ¿Frente a que tipo de flujo se encuentra Ud?. Para Tº = 70ºF, se obtiene y de tabla o gráfico. = 64.3
lb pie 3
= 0.0014
lb pie. s
D = 1 pulg = 1/12 pie = 0.8333 pie.
65
Area transversal de la tubería: A
4
x (0.0833) 2 pie 2
0.0055 pie2
Velocidad de flujo (Q): 30
gal min
x
1 pie
3
x
6.229 gal
1 min
0.08
pie
60 s
3
s
Velocidad lineal (v):
v
0.08
caudal
area
pie
3
s 2 0.0055 pie
14.54
pie s
Calculo de número de Reynolds:
Re
0.0833 pie x 14.54
D.v.
0.0014
pie s lb
x 64.3
lb pie 3
pie. s
Re = 55.628 Como Re calculado es >4.000, entonces nos encontramos frente a un flujo turbulento.
2.4.9 Ecuaciones características de flujo a traves de tuberias a) FLUJO LAMINAR Flujo unidireccional Flujo permanente Flujo incompresible Flujo a lo largo de una tubería recta de sección circular A L
R r
PA
P P dL A L
dL
Entonces se puede hacer la sumatoria de fuerzas igual a cero (Fx= 0).
66
PA PA
P L
dL A A L 0
Si observamos en la Figura el área transversal A= r2 y el área lateral A L= 2rdL, reemplazando tenemos:
P L
dL ( r 2 ) (2 rdL)
Simplificando y luego despejando el Esfuerzo de corte ( ) tendremos:
dP r
dL
2
Por otro lado sabemos que Esfuerzo de corte es igual
dv dr
obtendremos:
dv dr
dP r
dL 2
Luego la velocidad será: dv
dP 1
rdr
dL 2
Integrando esta función se tiene: v
dP r 2 dL 4
C
Ecuación general de velocidad para flujo laminar
Tomando los límites de frontera:
Perfil de velocidades
Cuando r = R Por lo tanto
C
v=0 dP R
2
dL 4
67
, reemplazando
Sustituyendo a la ecuación anterior obtenemos: 2
v
dP r
dP R
dL 4
2
dL 4
Expresado de otra manera es: v
P
1
L
4
R
Cuando r = 0 vmax
r 2
2
vmax
P
1
L
4
R 2
Considerando velocidad promedio: _
v
1 A
vdA
Reemplazando velocidad y dA=2 rdr tenemos: _
v
1 P ( R 2 r 2 )
A L
4
2 rdr
Reacomodando obtenemos: _
v
1 P 2
R
R rdr r dr 4
A L
2
3
r
Integrando se tiene: 1 P R 4 R 4 v A L 2 2 4
_
Si el área transversal de la tubería A=R2, luego tenemos: _
v
1 R
2
4 P R L 2 4
Simplificando, finalmente se tiene: _
v
P R
2
L 8
Como se sabe que Q=vA; y la A= R2 por tanto:
68
P R R Q L 8 2
2
Multiplicando obtenemos: Q
P R
4
8
L
Expresado de otra manera en función al diámetro sería: Q
P D 4
Ecuación de Poiseuille
L 128
b) FLUJO TURBUULENTO TURBUULENTO A L R
P P dL A L
PA
dL 1
2
Para flujo turbulento el Esfuerzo de corte está dado como:
P R
L 2
Por otro lado existe una relación empírica del Esfuerzo de corte con el factor de fricción de Faning (f ), ), que se expresa de la siguiente manera:
Donde:
v
2
2
f 4
f v 2 Por tanto: 4
2
Igualando las dos ecuaciones de esfuerzo de corte tendremos: P R L
2
f v 2 4
2
69
Despejando P y introduciendo el concepto = /g /g tendremos: tendremos: f
P
4
g
v2
L R
Reordenando se tiene: 2
P
fv L
4 gR
2
fv L 2 gD
Por otro lado si aplicamos la Ec. de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la figura tendremos P 1
z 1
v1
2
2 g
P 2
z 2
v2
2
2 g
hf 1
2
Si no hay diferencia de alturas y velocidades la ecuación queda como: P
hf 1 2
Entonces podemos igualar las dos ecuaciones: L v 2 hf 1 2 f D 2 g
Ecuación de Darcy-Weisbach
2.4.10 Fator de Fricción de Fanning (f ) Es un factor adimensional que depende de la velocidad de flujo, diámetro de la tubería, densidad, viscosidad del fluido y ciertas características rugosas de la tubería. Es independiente de la presión. = f (v,D, , , e, e’, m) f = f = f = f (Re, e/D, e’/D, m)
Las características de rugosidad de la tubería son: e = Representa el tamaño de las proyecciones rugosas, tiene dimensiones de longitud. e’ = Es una medida de la localización de los elementos rugosos..
m = Es un factor de forma de proyecciones rugosas es adimensional e/D = rugosidad absoluta. e’/D = rugosidad relativa
70
a) Factor de fricción en flujo laminar Si partimos de la ecuación de Poisiville: Q
P D
L
4
128
Luego introducimos el concepto de Q = vA = v
D
2
4
D 2 v 4 .128. L v .32. L P 4 2 D
D
Si dividimos a ambos miembros por tendremos P
v .32. L D 2
Si = g y luego multiplicamos y dividimos con 2v tendríamos: hf 12
v .32. L 2v D 2 g 2v
Reordenando y reemplazando con la ec. de Darcy obtenemos L v 2
64 Lv 2
f D 2 g D v D 2 g Simplificando tenemos que: f
64 Re
Cuando el flujo flujo es laminar, el factor de fricción está en función del Número Número de Reynolds y es independiente de la característica de rugosidad de la tubería b) Factor de fricción en flujo turbulento turbulento En flujo turbulento, a diferencia de flujo laminar no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para determinar el factor de fricción. El valor de factor de fricción se obtiene mediante resultados experimentales que dan ciertas relaciones matemáticas. Entre ellas:
71
b.1) EN TUBERISAS LISAS : Están en función al Numero de Reynolds.
Ecuación de Blascou f
0.31 6
Re
1/ 4
Ecuación de Von Kerman, modicado por Prandtl 1 1/ 2
f
2 log (Re. f 1 / 2 ) 0.8
b.2) EN TUBERÍAS RUGOSAS: RUGOSAS: El factor de fricción está en función al número de Reynolds (Re) y Rugosidad relativa (e/D).
Ecuación de Karman – Prandtl 1 D 2 log 3.7 f 1 / 2 e
Para Re = constante
Ecuación de Nikaradse 1 1/ 2
f
e 1.14 0.86 ln D
Para Re>105
Ecuación de ColebrooK 1 e 2.51 2 log 1/ 2 f 1 / 2 3.7 D Re . f
Ecuación de Swamee y Clain f
0.25
5.74 1 log 0.9 3.7 D / e Re
Para
2
D/e= 103 - 106 y Re= 5x103 -108
Debido a que la solución de estas ecuaciones es muy laboriosa se dispone de diagramas que expresan la relación entre f,Re,e/D. El principal es el diagrama de Moody. Ejemplo 5.1.1.1-17 Determinar la energía requerida para forzar 50 l/min de leche a través de 200 m de una tubería de acero inoxidable sanitario, horizontal, con 3.5 cm de diámetro interno. La temperatura de la leche es de 20 ºC.
Datos:
72
3 l 1 m 1 min
m3
8.33 x10 4 Q 50 min 1000l 60 s s
D
1 m 0.035 m 3.5 cm 100 cm
L = 200 m Propiedades de la leche a 20ºC: =1028 Kg/m3; =2.12x10 -3 kg/m.s
Solución: El área de la sección transversal de la tubería es: A
2 D
4
0.035
2
4
9.6 x10 m 4
2
La velocidad del fluido es:
v
Q A
8.33 x 10
4
m3
s 0.868 m 4 2 s 9.6 x10 m
El número de Reynolds es: Kg
1028 Re
m
3
m 0.035m 0.868
2.12 x10
s
3
1.47 x10
4
El valor de e/D =0.000043 Desde el diagrama de Moody, encontramos f =0.028, la formula de Darcy da: 2
m 0.868 200 m N .m s hf 1 2 0.028 x 60.27 60.27 J 0.035m kg kg .m 2 1 2 N . s
Así, deben ser suministrados 60.27 J de energía por cada kilogramo de fluido para compensar las pérdidas por fricción. Esta podría ser en forma de diferencia de altura entre la entrada y la salida de la bomba que podría suministrar la diferencia de presión.
73
2.4.11 Sistema de línea de tuberias en serie a) CASO I Datos: Q, L, D, , e, Incógnita: hf Por la ecuación de Darcy se conoce que: hf f
Por otro lado: v
Q
A
L v 2
D 2 g
4Q
D 2 Re
Ahora la incógnita es f sin embargo es posible encontrar a partir de : f =
vD
e D
b) CASO II Datos: hf, L, D, , e, Incógnita: Q Partimos de la Ecuación de Darcy: hf f
Por otro lado: v
Q A
L v 2
D 2 g
4Q D
2
Despejando velocidad: v
hf D 2 g f L
Tenemos dos incógnitas v y f entonces la solución es por aproximación sucesiva por métodos iterativos: 1. 2. 3. 4.
Se asume un valor de f = f 1 Con ese valor de f 1 se calcula v1 Con ese valor de v 1 se calcula el NRe Con el NRe y e/D encontramos f calculada: Re
vD
e D
5. Si f c f 1 se repite el proceso 6. Si f c f 1 se acepta y luego se calcula el caudal c) CASO III Datos: Q, hf, L, Incógnita: D
, e,
74
f c
Partimos de la Ecuación de Darcy: hf f
Por otro lado: v
Q
A
L v 2
D 2 g
4Q
D 2
Reemplazando velocidad en la Ecuación de Darcy: 4Q 8 f L Q L D hf f 2
2
2
D
2 g
5 2 D g
Despejando D se tiene: D
5
8 f L
Q2
D 5 2 g
Tenemos dos incógnitas D y f entonces la solución es por aproximación sucesiva por métodos iterativos: 1. Se asume un valor de f = f 1 2. Con ese valor de f 1 se calcula D1 3. Con ese valor de D 1 se calcula el v 1: v
Q
A
4. Con ese valor de v 1 se calcula el Nre 5. Con el NRe y e/D encontramos f calculada: Re
4Q 2 D
vD
e
f c
D
6. Si f c f 1 se repite el proceso 7. Si f c f 1 se acepta y luego se calcula el D. Ejemplo 5.1.1.1-18. CASO 1 En la figura siguiente se muestra una porción de circuito hidráulico. La presión en el punto B debe ser 200 lb. /plg2 relativa, cuando la velocidad de flujo de volumen es de 60 gal/min. El fluido hidráulico tiene una gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 6.0x 10 -5 lb-s/pie2. La longitud total de tubería entre A y B es de 50 pies. Los codos son estándar. Calcule la presión en la salida de la bomba en A. DATOS
75
PB = 200 lb/plg 2 Q = Vol = 60 gal/min. = 0.13368 pie 3/s G.E. = 0.90 = 6.0x10-5 lb-s/ pie2 = 6.0x10-5 slugs/s-pie L = 50 pies PA = ? Z = 25 pies De = 2 plg Di = 0.1723 pie
B Tubería de acero calibre 40
25 pies
Válvula de control K=6.5 A
Por tablas: aceite de petróleo
Bomba
= 56.16 lb/ pie3 = 1.65 slugs / pie 3
SOLUCION Aplicando la Ecuación de Bernoulli: p a p a
z a
pb
va
2
2 g
pb
z b
vb
2
2 g
hf a b
z a z b hf ab
hf ab hf tubo 2" hf valvula 2" 2 hf codos90º hf ab
hf ab
Leq v 2" L2" v 2" Leq v 2" f 2" K 2 f 2" Deq 2 g D2" 2 g Deq 2 g Leq V L 2" f 2" 2" K 2 f 2" 2 g Deq D2"
Reemplazamos la ecuación de perdidas en los accesorios en la ecuación de perdidas de presión: p a
Q
pb
v D
4
Leq v 2" L2" f 2" K 2 f 2" 2 g D2" Deq
z a z b 2
, v
4Q
D
2
3
;
v
4 * 0.1337 pie / s
*
0.1723 pie2
Calcular del Numero de Reynolds:
76
5.7342 pie / s
Nre
v * D *
3
5.7342 pie / s * 0.1723 pie / s *1.65 slugs / pie
6.0 x10
3
27170.0732
5
slugs / pie s
Calcular el factor de Fanning: = 4.6 x10-5m D = 0.1723 pie = 0.0525m f
0.25
5.74 log 0.9 3 . 7 * D Nre
2
0.25
4.6 x10 5.74 log 3.7 * 0.0525 27170.07320.9 -5
2
0.02627
Calcular la perdida en la tubería: hf tubo 2" f 2"
L2" V 2"
2
f=0.02627
D2" 2 g
Válvula de control: K = 6.5 , Perdida en los accesorios para codo de 90º: Calcule la presión en el punto B. pb
200
lb p lg 2
*
pie3
56.16 lb
pie3
3.5613 p lg 2
L/D = 30
512.8205pie
Calcule la presión en la salida de la bomba en A, reemplazamos datos en la ecuación: p a v 50 pies 6.5 2 * 0.02627* 30 512.8205 pies 25 pies 2" 0.02627* 2 g 0.1723 pies pa
p a
p a
pa
537.8205 pies
v2" 2 g
7.6233 6.5 1.58
537.8205 pies 15.7033*
5.7342 pie / s
2
v 2 g
537.8205 pies 15.7033*
2 * 32.185 pie / s
2
537.8205 pies 8.0214 pies 545.8419 pies
545.8419 pies * 56.16
lb pie3
lb 30654.4841 pie 2
212.87
lb p lg 2
Ejemplo 5.1.1.1-19. CASO 2 Esta fluyendo agua desde un depósito a través de 3 tubos en contracción tal como se muestra en la figura. El tamaño de las proyecciones rugosas es 8.5x10 -4 pies, la viscosidad de agua 9.996x10 -4 Kg.m-1.s-1, densidad del agua 1000 kg.m-3. Determine el caudal.
77
DATOS: e=8.5x10 -4 pies =9.996x10 -4 Kg.m-1.s-1 =1000
60 m
K=0.5
K=0.076 K=0.123
kg.m-3
D= 20, 15, 10 cm
D=20 cm
D=15 cm
D=10 cm
L=20 m
L=30 m
L=30 m
L = 20, 30, 30 m Q =??? SOLUCION Aplicando la Ec. De Bernoulli (1-3): P 1
z 1
v1
2
2 g
P 3
z 3
v3
2
2 g
hf 1 3
En el punto 1 es muy grande en comparación con el punto 3 por tanto v 1=0 y P1 = 0 y P2=0 por estar expuesto ala atmósfera.
z 1 z 3
v3
2
hf 13
2 g
Por otro lado la pérdida de carga:
hf 1 3
hf 1 3
hf 1 3
z
1
hf ent 1hf tub1
f L v1 D K 1
z 3
2
2 g
v1
2
2 g
v3
f 1 L1 v1 D1
D1
K 1
2
2 g
f L v 2 D
2
2 g
v1
hf ent 2hf tub2
2
2 g
f 1 L1 v1
2
2 g
K 2
v2
D1
2 g 2
2 g
f 1 L1 v1
2
hf ent 3hf tub3
f 2 L2 v1 D2
D2
K 2
v2
2
2 g
f 2 L2 v1
2
2 g
2
2 g 2
2 g
K 3
D v3
D2
Q1 = Q2 = Q3 v1A1 = v2A2 = v3A3
D3 2 D1 2 D2 2 v1 4 v 2 4 v3 4 0.22 0.152 0.12 v3 v1 4 v2 4 4
2
2 g 2
2 g
f 2 L2 v1
Así mismo :
78
f L v3
D3
D3
K 3
v3
2
2 g
f 3 L3 v3
2
2 g
f 3 L3 v3
2
2 g 2
2 g
f 3 L3 v3 D3
2
2 g
0.0314 v1
0.01767 v2
0.00785 v3
Despejando: v v
2
3
1.77
4
v
1
v
1
Reemplazando: 4 v 1.77 v v f 20 v 0.5 0.076 0.2 2 9.8 2 9.8 2 9.8 2 9.8 2
60
2
1
60 0.816 v
1
60 v1
2
2
1
2
0.025 v1
1
2
2
1
f 1 v1
5.1
2
1
0.012
v1
2
30 1.77 v 0.15 2 9.8
2
f 2
f 2 v1
31.97
1
2
0.1
0.953 5.1 f 1 31.97 f 2 244.9 f 3
Para encontrar los valores de f se asume v1=0.5 m/s
0.50.21000 5 Re1 9.996 10 4 1 10 0.0235 f 1 0.00085 pie e 0.00129 D 1 pie 1 0.2 m m 0 . 3048 1.77 0.50.151000 5 Re1 1 . 33 10 4 9.996 10 0.024 f 2 0.00085 pie e 0.00172 D 1 pie 1 0.15 m 0.3048 m 4 0.50.11000 6 Re1 2 10 4 9.996 10 0.025 f 3 0 . 00085 pie e 0.00259 D 1 0.1 m 1 pie m 0 . 3048 Reemplazando:
60 v1
2
0.953 5.1 0.0235 31.97 0.024 244.9 0.025
79
v1
2
4 v f 30 4 v 0.1 2 9.8 29.8 2
0.123
244.9 f 3 v1
1
2
2
3
1
60
v1
7.963
2.74
……………….. es diferente a lo asumido v 1= 0.5 m/s
Ahora asumiendo v 1= 2.8 m/s
2.80.21000 5 Re1 5.6 10 4 9.996 10 0.0215 f 1 0 . 00085 pie e 0.00129 D 1 0.2 m 1 pie m 0 . 3048 1.77 2.80.151000 7.4 10 5 Re1 4 9.996 10 0.023 f 2 0.00085 pie e 0.00172 D 1 pie 1 0.15 m 0.3048 m 4 2.80.11000 6 Re1 1.2 10 4 9.996 10 0.025 f 3 0.00085 pie e 0.00259 D 1 0.1 m 1 pie 0.3048 m 60 v1
v1
2
0.953 5.1 0.0215 31.97 0.023 244.9 0.025 60 7.92
2.75
……………….. es similar a lo asumido v 1= 2.8 m/s
Por tanto: Q=2.8 x 0.0314 =0.0879 m 3 /s l.q.q.d. Ejemplo 5.1.1.1-20. CASO 3 Va a fluir agua a 60 °F por gravedad entre 2 puntos ubicados a 2 millas uno del otro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130pies más alto que el extremo inferior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere? Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable.
80
DATOS: T = 60°F L = 2 millas = 10560 pies Q = 13500 gal/min = 30.078 pie 3 / s z = 130 pies D=? Pa = Pb = 0 =1.21 x 10-5 pie2/s
AGUA
za=130 pies
SOLUCION pa
z a
va
2
pb
2 g
z b
vb
2
2 g
hf a b
Por consiguiente la ecuación se simplifica en: z a z b hf ab 130 pies hf ab 4Q
La velocidad es igual a: v
Reemplazando la velocidad en la perdida de carga del tubería: hf a
b
D 2
L v 2 L 16Q 2 * * f f D 2 g D 2 D 4 2 g
Reemplazando datos y despejando D : 2 L 16Q 130 pies f * 2 4 D D 2 g
D
5
fLQ
2
8
2
g *130 pies f *10560 pies * 30.078 pie3 / s
2
D 5
D
5
2
*8
2
32.1850 pie / s * 130 pies 5
1850.7817 pies *
f
Se asume que f 0.02 0 D 2.0591 pie s
Determinamos el numero de Reynolds:
81
2 millas
N Re
D f
* D *
4 * 30.078 pie3 / s 5
2
* 2.0591 pies *1.21 x10 pie / s
1537079.267
Determinamos el factor de fanning:
4*Q
0.0018
Dato de tablas
0.25
5.74 log 3.7 * Di N 0.9 Re
2
0.25
0.0018 5.74 log 0.9 1537079.267 3.7
2
0.02296
Reemplazamos datos en las formulas de D, NRe para Empezar a Iterar hasta llegar a obtener f sea constante: D= 2.0591 pies NRe =1537079.267 Cuando f=0.02000 Cuando f=0.02296
D=
2.1167 pies
NRe =1495252.005
Cuando f=0.02297
D=
2.1169 pies
NRe =1495110.737
Cuando f=0.02297
D=
2.1169 pies
NRe =1495110.737
Como podemos observar f esta constante por lo cual el diámetro (D) 2.12 pies
2.4.12 Sistema de línea de tuberias en paralelo El análisis de sistemas de línea de tubería paralelos requieren el uso de la ecuación general de la energía junto con las ecuaciones que relacionan las velocidades de flujo de volumen en las diferentes ramas del sistema y las expresiones para las pérdidas de cabeza a lo largo del sistema. 2.4.12.1 Sistemas con dos ramas En la siguiente figura se puede ilustrar el análisis del flujo en dos ramas. X
Q1
Q2
Qa
2
hf a
X
Qb Q1
hf 1
Qa
1
2
Q2
hf b Qb
Método de resolución para sistemas con dos ramas cuando se conoce la velocidad de flujo total y la descripción de las ramas: 1. Iguale la velocidad de flujo total y la suma de las velocidades de flujo en las dos ramas.
82
Q1
Q2
Qa
Qb
2. Después exprese los flujos ramales como el producto del área de flujo y la velocidad promedio. Qa
y
v a Aa
Qb
vb Ab
3. Exprese la perdida de cabeza en cada rama en términos de la velocidad de flujo en esa rama y del factor de fricción. Incluya todas las perdidas significativas debido a las pérdidas por fricción y a las pérdidas secundarias. 4. Calcule la rugosidad relativa D/e para cada rama, estime el valor del factor de fricción para cada rama y complete el cálculo de la pérdida de cabeza en términos de las velocidades desconocidas. 5. Iguale las expresiones de las perdidas de cabeza en las dos ramas entre ellas. hf 1
2
hf a
hf b
6. Ponga una velocidad en términos de la otra de la ecuación en el paso 5. 7. Sustituya el resultado del paso 6 en la ecuación de velocidad de flujo desarrollada en el paso 1, y despeje una de las velocidades desconocidas. 8. Despeje la segunda velocidad desconocida de la relación que se desarrolló en el paso 6. 9. Si existiera dada en cuanto a la exactitud del valor del factor de fricción utilizado en el paso 2, calcule el número de Reynolds para cada rama y calcule de nuevo el factor de fricción del diagrama Moody o calcule los valores de los factores de fricción. 10. Si los valores del factor de fricción cambian en forma significativa, repita los pasos 3 - 9, utilizando los nuevos valores para el factor de fricción. 11. Cuando de logre una precisión satisfactoria, utilice la velocidad conocida en cada rama para calcular la velocidad de flujo de volumen para esa rama. Verifique la suma de las velocidades de flujo de volumen para asegurarse que es igual al flujo total en el sistema. 12. Utilice la velocidad en cualquier rama para calcular la perdida de cabeza a lo largo de esa rama, empleando la relación adecuada del paso 3. Esta pérdida de cabeza es también igual a la pérdida de cabeza a lo largo del sistema de ramificación completo. Puede calcular, si desea, la caída de presión a lo largo del sistema utilizando la relación p= hf 1-2. Ejemplo 5.1.1.1-21. En el sistema de tuberías ramificado que se muestra en la Figura, se encuentra fluyendo 0.0852 m 3 s-1 de benceno (sg=0.87) a 140ºF en una tubería de 8 pulg. Calcular la velocidad de flujo de volumen en las tuberías de 2 y 6 pulg. Utilizando la técnica de Hardi Cross. Todas las tuberías son de acero calibre 40 estándar.
83
Datos adicionales: =871.03 kg m -3 =3.8304 x 10 -4 N .s m-2
6'
’
Válvula de globo Totalmente abierta
Válvula Check Tipo columpio
X
En la línea de 6 pulg. L=152.4 m Di = 0.1541 m Le D-1 para la válvula de globo totalmente abierta = 340, f =0.015 Le D-1 para la válvula check tipo columpio = 100, f = 0.015 Le D-1 para los codos = 30, f =0.015
X
8'
8'
’
Q1
’
1
2 500 pies
2'
’
En la línea de 2 pulg. L= 152.4 m Di=0.0525 m Le D-1 para los codos = 30, f =0.019
SOLUCION:
Da 2 Db 2 Q1 Qa Qb v a Aa vb Ab va 4 vb 4 0.0852 0.15412 0.05252 vb 0.0852 va 4 4 0.01865va 2.1647103 vb 0.0852
1. Calculo de pérdida de carga: hf 1 2 hf a hf b
En la tubería a: hf a
2 hf codo
hf valvula de globo
hf Valvula
check
hf tuberia
L v L v L v L v hf a 2 f c e a f vg e a f vc e a f t a a Da 2 g D 2 g D 2 g D 2 g 2
2
2
2
En la línea de 6 pulg. L=152.4 m Di = 0.1541 m Le D-1 para la válvula de globo totalmente abierta = 340, f =0.015
84
Q2
Le D-1 para la válvula check tipo columpio = 100, f = 0.015 Le D-1 para los codos = 30, f =0.015 2 v a Le Le Le La 2 f c hf a D f vg D f vc D f t D 2 g a
va 2
hf a
hf a
0.015340 0.015100 f t
2 0.015 30
2 g
va
153.4
0.1541
2
2 g
7.5 995.457 f t
En la tubería b: hf b
2 hf codo hf tubería
L v L v v L L hf b f c e b f t b b b f c e f t b Db D 2 g Db 2 g 2 g D 2
2
2
En la línea de 2 pulg. L= 152.4 m Di=0.0525 m Le D-1 para los codos = 30, f =0.019 2
v 152.4 hf b b 0.019(30) f t 2 g 0.0525 hf b
vb
2
2 g
0.57 2902.85 f t
2. Asumiendo un valor de f t : Por tabla para una tubería de Calibre 40 de 6 pulg: f t = 0.015 Por tabla para una tubería de Calibre 40 de 2 pulg: f t = 0.019 Reemplazando: hf a
va
2
2 g
7.5 995.457 0.015 22.43
85
va
2
2 g
hf b
vb
2
2 g
0.57 2902.850.019 55.72
vb
2
2 g
Por otro lado: hf a va
hf b
2.48 vb
……………………………………….. (1)
Por consiguiente: Q1
Qa
Qb
0.01865va
3
2.164710 vb 0.0852 ……… (2)
Reemplazando (1) a (2): 0.018652.48v2 2.1647 103 vb 0.0852 vb
va
1.76 m / s 4.36 m / s
Cálculo de número de Reynolds: Re a
Re b
v a Da vb Db
871.034.360.1541
3.8304
10
4
871.031.760.0525
3.8304
10
4
1.53 10
2.1 10
6
5
Calculo del valor de D/e: D a
e Db e
0.1541m 4.6 10 5 m
3350
0.0525m
4.6 10
5
m
1141.3
Calculo de factor de fricción de Faning: f a
f b
0.25
1 5.74 log 0.9 6 3.7 3350 1.53 10
2
0.015
2
0.020
0.25
1 5.74 log 0.9 5 3.7 1141.3 2.1 10
Debido a que los valores asumidos f a y f b son similares a los calculados entonces aceptamos y luego calculamos los caudales:
86
Qa v a Aa 4.360.01865 0.081
Qb vb Ab 1.76 2.1647 10
3
m3 s
0.0038
m3 s
2.4.12.2 Sistema con tres o más ramas – redes Cuando tres o más ramas se presentan en un sistema de flujo de tubería, se le llama red. Las redes son indeterminadas debido a que existen más factores desconocidos que ecuaciones independientes que relaciones a estos factores. Por ejemplo, en la figura siguiente hay tres velocidades desconocidas, una en cada tubería. Las ecuaciones disponibles para describir el sistema son: Qa
Q1
hf 1
2
Q2
ha
Qa
hb
Qb
Qc Q1
hc
1
Qb
2
Qc
Método de “Hardi Cross”: 1. Expresar las ecuaciones de pérdida de energía en forma de ecuaciones que tiene la siguiente forma: hf kQ n
2. Asuma un valor de velocidad del flujo en cada tubería tal que el flujo en cada unión sea igual al flujo de salida de la unión. 3. Divida la red en una serie de circuitos de lazo cerrado. 4. Para cada tubería calcule la perdida de cabeza h=kQ2, utilizando el valor asumido Q. 5. Procediendo alrededor de cada circuito, sume en forma algebraica todos los valores de h utilizando la siguiente convención de signos: Si el flujo es en el sentido de las manecillas del reloj, h y Q son positivas. Si el flujo es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, h y Q son negativas. La suma resultante se denomina
h
6. Para cada tubería, calcule 2kQ 7. Sume todo los valores de 2kQ para cada circuito, asumiendo que todos son positivos. Esta se conoce como (2kQ) 8. Para cada circuito, calcule el valor de Q de:
87
Q2
Q
h 2kQ
9. Para cada tubería, calcule un nuevo valor estimado para Q de: Q ' Q Q 10. Repita los pasos 4-8 hasta que Q del paso 8 haga considerablemente pequeño. El valor de Q’ se utiliza en el siguiente ciclo de iteración.
Ejemplo 5.1.1.1-22. Para el sistema mostrado determine la velocidad de flujo de volumen del agua a 15ºC a través de cada rama a 600 L/min (0.01 m 3 /s) están fluyendo hacia dentro y fuera del sistema a través de las tuberías de 2 pulgadas La pérdida de cabeza en cada tubería deberá expresarse en la forma h=kQ 2 como paso 1 del procedimiento. Considere primero la rama a y escriba la expresión para la pérdida de cabeza ha. Datos adicionales: Tubería de entrada y salida: calibre 40 de pulg Tubería de ramificación a, b y c: calibre 40 de 1 pulg. Los codos son estándar 6m
Qa K=4 3m Q1
1
Qb
Q2
2
K=8 3m
Qc K=12
SOLUCION: Q1
Q2
Qa
Qb
Q Qa a 3.238 10 Aa 0.0266 2
va
2
2
2
4
vb 3.238 10 6 Qb 2
2
2
2
vc
Qc =0.01 m3 /s
3.238 10
6
Qc
6
Qa
2
2
2
1. Calculo de pérdida de carga y luego expresamos en forma de h=kQ 2: hf 1
2
hf a
hf b
hf c
En la tubería a:
88
hf a
2 hf codo
hf valvula
hf tubería
Le v a 2 v a 2 La v a 2 hf a 2 f c k f t D 2 g 2 g Da 2 g Para codo estándar de 90º y 1 pulg de diámetro, Le /D =30 y f c = 0.023 entonces tendremos: 2 La va Le hf a 2 f c k f t D D 2 g a
hf a
3.238 10
6
2 Qa
12 2 0.02330 4 f t 0.0266
2 9.81
hf a 1.65 105 Qa
2
5.38 451.13 f t
En la tubería b: hf b
hf valvula
hf tubería
vb 2 Lb vb 2 vb 2 Lb hf b k f t k f t g D g g D 2 2 2 b b hf b
1.65 10
5
Qb
2
3.238 10
6
2 9.81
2
Qb
8
6 0.0266
f t
8 225.6 f t
En la tubería c: hf c
2 hf codo
hf valvula
hf tubería
Le vc 2 vc 2 Lc vc 2 hf c 2 f c k f t D g 2 2 g Dc 2 g Para codo estándar de 90º y 1 pulg de diámetro, Le /D =30 y f c = 0.023 luego tendremos: Lc Lc 2 f c k f t 2 g D Dc 2 6 3.238 10 Qc 12 hf c 2 0 . 023 30 12 f t 0.0266 2 9.81 hf c
hf c
2 vc
1.65 10
5
Qc
2
12.38 451.13 f t
2. Asumiendo un valor de velocidad de flujo en cada tubería:
89
Q1 Qa Qb Qc =0.01 m3 /s
Qa= 0.0033 m3 /s
Qb= 0.0036 m3 /s
Qc= 0.0031 m3 /s
Cálculo de número de Reynolds: Re a
v a Da
Re b
vb Db
Re c
vc Dc
v a Da
vb Db
v v vc Dc
Qa Da
Qb Db
v
Aa v Ab v Qc Dc
Ac v
0.00330.0266
5.574 10 1.15 10 4
0.00360.0266
5.574 10 1.15 10 4
6
0.00310.0266
5.574
10
4
1.15
Calculo del valor de D/e: D
e
0.02664m 4.6 10
5
579
m
Calculo de factor de fricción de Faning: f a
f b
f c
6
0.25
1 5.74 log 0.9 5 3.7 579 1.37 10
2
0.25
1 5.74 log 5 0.9 3 . 7 579 1.49 10
2
0.25
1 5.74 log 0.9 5 3.7 579 1.29 10
2
3. División de la red en circuitos:
90
0.0241
0.0240
0.0242
10
6
1.37 10 5 1.50 10 5
1.29 105
a Qa
1
+
b Qb
2
Qc
+
c
4. Cálculo de pérdida de carga de cabeza: hf kQ
2
Reemplazando e igualando: hf a
1.65 10
5
Qa
2
5.38 451.13 0.0241 2.68 10
6
Qa
2
k a Qa
2
ka = 2.68x106 hf a 2.68 106 0.0033 29.23 2
hf b 1.65 105 Qb 8 2.25.60.0240 2.21 106 Qb k b Qb 2
2
2
kb=2.21x106 hf b hf c
2.21 10
1.65 10
5
Qc
2
6
0.0036
2
28.70
12 .38 451.130.0242 4.011 10
6
Qc
2
k c Qc
2
kc=4.011x10 6 hf c
5. Cálculo de
3.99 10
6
0.0031
2
38.54
h:
Para el circuito 1:
h
ha hb 29.23 28.70 0.53
Para el circuito 2:
h
hb hc 28.70 38.54 9.85
1
2
6. Cálculo 2kQ: 2k a Qa 2 2.68 106 0.0033 17715
2k b Qb 2 2.21 106 0.0036 15943 2k c Qc 2 4.01 106 0.0031 24867
7. Cálculo de la sumatoria de los valores 2kQ:
91
Para el circuito 1:
2kQ1 17715 15943 33658
Para el circuito 2:
2kQ
8. Cálculo de la
2
15943 24867 40810
Q :
Para el circuito 1:
h 2kQ h 2kQ 1
Q1
0.53
33658
1
Para el circuito 2:
Q2
2
2
1.58 10 5
9.85 40810
2.41 10 5
9. Cálculo de nuevo valor estimado Q: Q' a Qa Q'c
5
Q1 0.0033 1.58 10
3
0.00328 m / s
Qc Q2 0.0031 (2.4110
4
) 0.00286 m3 / s
La tubería b se encuentra en cada circuito: Para el circuito 1: Q'b Qb Q1 0.0036 1.58 10 5 Para el circuito 2: Q'b Qb
Q2 0.0036 (2.41 10
4
)
Por lo tanto Qb es realmente incrementado en valor absoluto por la suma de y Q . Esto es: Q 1
2
Q'b 0.0036 1.58 10
5
4
2.41 10
3
0.00386 m / s
Recuerde que la suma de los valores absolutos de las velocidades de flujo en las tres tuberías es igual a 0.01 m 3 /s. Podemos proseguir utilizando Q’ a, Q’ b, Q’ c como los nuevos valores estimados
para las velocidades de flujo y repetir los pasos 4-8. Los resultados de iteración se resume en la siguiente tabla hechos en un programa de computadora EXCEL.
92
Ensayo 1
Circuito uberí 1
2kQ
2.684E+06
29.23
17715
0.48
2.214E+06
-28.70
15943
-0.44
0.02401
2.214E+06
28.70
15943
0.02421
4.011E+06
-38.54
24867
-9.85
4 0810
NRe
f
a
3.300E-03
1.37E+05
0.02413
b
-3.600E-03
1.50E+05
0.02401
b
3.600E-03
1.50E+05
c
-3.100E-03
1.29E+05
k
Suma de h y 2kQ 2
0.53
Suma de h y 2kQ 2
1
3.284E-03
1.37E+05
0.02413
2.685E+06
28.96
17634
b
3.857E-03
1.61E+05
0.02393
2.211E+06
-32.90
17058
-3.94
1
1
-6.70 7.78 -2.41E-04
-3.46 -2.95 -1.14E-04
3.857E-03
1.61E+05
0.02393
2.211E+06
32.90
17058
0.03
1.19E+05
0.02433
4.019E+06
-32.85
22981
-0.04
0.05
4 0039
1.22E-06
a
3.398E-03
1.41E+05
0.02409
2.681E+06
30.96
18221
-0.03
b
3.742E-03
1.56E+05
0.02397
2.213E+06
-30.99
16560
-0.02
b
3.742E-03
1.56E+05
0.02397
2.213E+06
30.99
16560
-1.28
c
-2.860E-03
1.19E+05
0.02433
4.019E+06
-32.88
22991
1.67
-1.89
3 9551
-0.03
3 4781
-8.84E-07
-4.78E-05
a
3.399E-03
1.41E+05
0.02409
2.681E+06
30.97
18226
-0.66
b
3.789E-03
1.58E+05
0.02395
2.212E+06
-31.76
16763
-0.59
b
3.789E-03
1.58E+05
0.02395
2.212E+06
31.76
16763
c
-2.812E-03
1.17E+05
0.02435
4.021E+06
-31.80
22617
-0.04
3 9380
Suma de h y 2kQ 2
1.58E-05
-2.859E-03
Suma de h y 2kQ 4
% cambio
c
Suma de h y 2kQ 2
3 4691
Q
b
Suma de h y 2kQ 3
3 3658
a
Suma de h y 2kQ 2
2
h=kQ
Q
Suma de h y 2kQ
93
-0.79
3 4989
-2.25E-05 -0.03 0.04 -1.06E-06
PROBLEMA 2: Encuentre la velocidad de flujo en cada tubería de la figura siguiente:
Q
Ensayo
Circuito
Tubería
Q
NRe
f
k
h=kQ2
2kQ
1
1
a
0.01415
249942.28
0.01977
25731.48
5.15
728.20
b
-0.01983
350272.47
0.0194
25248.33
-9.93
1001.35
0.1266
c
0.003
52991.30
0.0232
18101.09
0.16
108.61
-0.8366
Suma de h y 2kQ
-4.61
1838.16
c
-0.003
52991.30
0.0232
18101.09
-0.16
108.61
0.4508
d
0.01115
196950.99
0.0201
26152.95
3.25
583.21
-0.1213
e
-0.014335
253210.08
0.0198
25710.54
-5.28
737.12
0.0943
f
0.002655
46897.30
0.0236
18438.01
0.13
97.91
-0.5094
-2.06
1526.84
2
Suma de h y 2kQ 2
1
2
1
2
1
2
-2.51E-03 -0.3858
-1.35E-03
0.0166598
294275.17
0.0196
25482.39
7.07
849.06
b
-0.01732
305939.58
0.0195
25427.44
-7.63
880.82
0.0079
c
0.0041575
73436.28
0.0222
17308.39
0.30
143.92
-0.0329
Suma de h y 2kQ
-0.26
1873.80
-0.0082
-1.37E-04 0.0161
c
-0.004157
73436.28
0.0222
17308.39
-0.30
143.92
0.0489
d
0.0125024
220838.89
0.0199
25941.38
4.05
648.66
-0.0163
e
-0.012983
229322.17
0.0199
25875.45
-4.36
671.86
0.0157
f
0.0040074
70785.21
0.0223
17390.33
0.28
139.38
-0.0508
-0.33
1603.82
25470.70
7.19
855.64
a
0.0196
-2.03E-04
0.0167965
296689.83
b
-0.017183
303524.93
0.0195
25438.51
-7.51
874.24
0.0011
c
0.0040907
72257.29
0.0222
17344.24
0.29
141.90
-0.0046
Suma de h y 2kQ
-0.04
1871.78
c
-0.004091
72257.29
0.0222
17344.24
-0.29
141.90
0.0047
d
0.0127058
224432.54
0.0199
25912.92
4.18
658.49
-0.0015
e
-0.012779
225728.53
0.0199
25902.85
-4.23
662.03
0.0015
f
0.0042108
74378.85
0.0221
17280.38
0.31
145.53
-0.0045
-0.03
1607.95
Suma de h y 2kQ 4
-0.1774
a
Suma de h y 2kQ 3
% cambio
-0.0011
-1.88E-05 0.0001
-1.91E-05
a
0.0168153
297021.69
0.0196
25469.11
7.20
856.54
b
-0.017165
303193.06
0.0195
25440.04
-7.50
873.34
0.0001
c
0.0040904
72252.49
0.0222
17344.39
0.29
141.89
-0.0005
Suma de h y 2kQ
0.00
1871.78
c
-0.00409
72252.49
0.0222
17344.39
-0.29
141.89
0.0006
d
0.0127249
224769.20
0.0199
25910.30
4.20
659.41
-0.0002
e
-0.01276
225391.86
0.0199
25905.46
-4.22
661.11
0.0002
f
0.0042299
74715.51
0.0221
17270.52
0.31
146.10
-0.0005
0.00
1608.52
Suma de h y 2kQ
94
-0.0001
-1.93E-06 0.0001
-2.29E-06
SEMINARIO V HIDRODINAMICA 1. En la figura se muestra un sifón que se utiliza para sacar agua de una alberca. El conducto que conforma el sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y determina una boquilla de 25 mm de diámetro. Suponiendo que no hay perdidas de energía en el sistema. Calcule la rapidez de flujo de volumen a través del sifón y la presión en los puntos B, C, D, y E. C 1.2 m
A
B
D Conducto 40 mm Diámetro interno
Flujo
1.8 m
25 mm de diámetro
E
1.2 m
F
2. Determine la perdida de carga que se produce al circular 0.566 m 3 /s de aceite de viscosidad igual a 9.29 E-5 m2 /s a través del sistema de tuberías mostrado en la figura. La tubería y los accesorios son de acero comercial (ε = 0.00004572 m).
datos adicionales: D1 = 0.1016 m, D2 = 0.0508 m, L1 = 60.96 m, L2 = 30.48 m. Válvula compuerta Contracción brusca
1
2
L1
L2
3. ¿En cuanto tiempo se llenara el reservorio que tiene una capacidad de 1000m 3? D=0.0762m k1=0.6 k2=0.4 L=20 m
µ= 1 cp
ε = 0.00004572 m
P=2 kgf/cm2
95
=1000
kg/m3
1
L k1
L
40
20
k2
30º
L
L
2
4. A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2” y un grosor de la pared de 0.083” se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presión
de 68 kpa, se observa entre dos puntos en la tubería situadas a 30m entre si. El aceite tiene una gravedad especifica 0.90 y una viscosidad dinámica de3.0x10 -3 Pa.s . Asuma que la rugosidad en la pared de la tubería es de 3x10 -5m. Calcule la velocidad de fluido de aceite A
B
5. Se encuentra fluyendo aceite con una gravedad especifica de 0.93 y una viscosidad dinámica de 9.5x10 -3 Pa-s hacia el tanque abierto mostrado en la figura. La longitud total de la tubería de 2 pulg es de 30 m. Para la tubería de 4 pulg, la longitud total es de 100 m. los codos son estándar. Determine la velocidad de flujo de volumen en el tanque, sabiendo que la presión en el punto A es de 175 kPa. Además ε = 0.00015 m. B
4.5 m
DB=4" A
D A=2"
K=0.52
6. El medidor Venturi mostrado en la figura lleva agua a 60ºC. el peso especifico del fluido manometrito del medidor de presión es de 12.26 kN/m 3. Calcule la velocidad de flujo en la sección A y la rapidez de flujo de volumen del agua. (peso especifico del agua a 60ºC=9.65 kN/m 3).
96
200 mm de diametro interior B 0.46 m Flujo A
300 mm de diametro interior
1.18 m
7. Se dispone de una vuelta en U tal como se muestra en la figura por el accesorio circula un fluido diferente al agua. Se han calculado las caídas de presión entre 1 y 2 siendo de 0.5 m de agua y entre los puntos 2 y 3 de 0.85 m de agua. Determine la longitud equivalente de la vuelta en U y la perdida de carga en el accesorio. Peso especifico del agua = 1000 kgf/m 3 Peso especifico del fluido = 1028 kgf/m 3 L1 = 4 m L2 = 1 m L3 = 3 m L1
L2
1
2
0.65 m
3
L3
8. Determine el caudal de agua que circula por la tubería si el nivel de agua en los tanques 1 y 2 se mantienen constantes. Considere: Tubería acero comercial de diámetro 0.1m (e = 0.000046 m), codos estándar, densidad del fluido = 1000 kg/m3 y viscosidad del fluido = 1 x 10 -2 N-s/m2.
97
6m
2m
4m 1 0.5 m
2 Tanque 1
0.5 m
Tanque 2
9. Fluye agua desde un depósito a través del sistema mostrado en la figura. Determine el caudal. Considere: Densidad = 1000 kg/m 3 y viscosidad = 9.996x10 -4Pa-s D1=20 cm, L1=20m, D2 = 10 cm, L2 = 30m , L3 = 5m. Rugosidad relativa: 0.00026 m.
60 m L1 L2 L3
10. Fluye agua desde un depósito a través de tres tubos en serie mostrado en la Figura. ¿Determine el caudal? Densidad = 1000 kg/m 3 y viscosidad = 9,996x10 -4 Pa-s Rugosidad relativa: 0.00026m
K=0.0766 60 m
=
20 cm
=
15 cm
= 10 cm
K=0.5 K=0.1235
20 m
30 m
98
30 m
11. La figura siguiente muestra un sistema con ramas en el cual la presión en A es de 700 kPa y la presión en B es de 550 kPa. Cada rama tiene una longitud de 60 m. Desprescie las pérdidas d¡en las uniones, pero tome es cuenta todos los codos. Si el sistema transporta aceite con un peso específico de 8080 kN/m 2, calcule la velocidad del flujo de volumen total. Elaceite tiene una viscosidad cinemática de 4.8 x10 -6 m2 /s. 6'
’
Válvula de globo Totalmente abierta
Válvula Check Tipo columpio
X
X
8'
8'
’
Q1
’
1
2
Q2
500 pies
2'
’
12. En la figura siguiente se representa un sistema rociador en el cual se encuentra fluyendo agua a 15ºC. todas las tuberías son de cobre tipo K de tres pulg. Determine la velocidad de flujo en cada tubería. 6000 L/min 10 m 8m 15 m
1500 L/min
15 m 6m
10 m 6m
15 m
1500 L/min
8m 15 m
1500 L/min
1500 L/min
99
2.5 TRANSPORTE DE FLUIDOS 4.1. 2.5.1 Introducción La elección correcta de la potencia de los motores en los accionamientos industriales tiene una enorme significación para la economía nacional, determinando en mucho el costo de explotación de las instalaciones. El empleo del motor de potencia insuficiente, altera el funcionamiento del mecanismo, reduce la productividad y aumenta las probabilidades de fallos. A su ves, el uso de los motores de potencia superior a la necesaria, empeora los índices económicos de la instalación al aumentar el costo inicial, aumentando también las pérdida de energía debido al descenso del rendimiento del motor, y en las instalaciones de corrientes alternas, se empeora el factor de potencia, cuya magnitud influye directamente en las cargas improductivas de las redes distribuidoras y de los generadores de los centrales eléctricos que producen energía. En este capitulo se estudia, fundamentalmente, la selección de los motores eléctricos para el área Agroindustrial y dentro de los equipos seleccionados se encuentran: bombas, ventiladores, compresores, con el objetivo de realizar un análisis preliminar de la selección de motores eléctricos en algunos accionamientos industriales.
2.5.2 Sistema de transporte de fluidos El típico sistema de transporte de fluidos consiste de 4 componentes básicos: 1. El fluido deberá estar contenido en un recipiente adecuado a su naturaleza gas o líquido, previo al transporte y también se requerirá un segundo recipiente o depósito después de lograr el transporte deseado. 2. Entre ambos depósitos está el conducto o cañería para el flujo de fluido.
valvula
deposito
tuberia deposito
bomba
Figura 5.1.1.1.12 Esquema de un sistema de bombeo para alimentos líquidos
100
3. A menos que el flujo se obtenga por gravedad, el tercer componente básico de la bomba o compresor, donde se usa la energía mecánica para mejorar el transporte del producto. 4. El cuarto componente del sistema es la válvula usada para controlar o dirigir el flujo. 2.5.3 Bombas La bomba es una máquina que absorbe energía mecánica que puede provenir de un motor eléctrico, térmico, etc., y la transforma en energía que la transfiere a un fluido como energía hidráulica la cual permite que el fluido pueda ser transportado de un lugar a otro, a un mismo nivel y/o a diferentes niveles y/o a diferentes velocidades. 2.5.3.1 Clasificación de bombas Se pueden considerar dos grandes grupos: Dinámicas (Centrífugas, Periféricas y Especiales) y de Desplazamiento Positivo (Reciprocantes y Rotatorias). a) BOMBAS DINÁMICAS. a. Bombas centrifugas. Son aquellas en que el fluido ingresa a ésta por el eje y sale siguiendo una trayectoria periférica por la tangente.
b. Bombas periféricas. Son también conocidas como bombas tipo turbina, de vértice y regenerativas, en este tipo se producen remolinos en el líquido por medio de los álabes a velocidades muy altas, dentro del canal anular donde gira el impulsor. El líquido va recibiendo impulsos de energía No se debe confundir a las bombas tipo difusor de pozo profundo, llamadas frecuentemente bombas turbinas aunque no se asemeja en nada a la bomba periférica. La verdadera bomba turbina es la usada en centrales hidroeléctricas tipo embalse llamadas también de Acumulación y Bombeo, donde la bomba consume potencia; en determinado momento, puede actuar también como turbina para entregar potencia.
101
b) BOMBAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO. Estas bombas guían al fluido que se desplaza a lo largo de toda su trayectoria, el cual siempre está contenido entre el elemento impulsor, que puede ser un embolo, un diente de engranaje, un aspa, un tornillo, etc., y la carcasa o el cilindro. “El movimi ento del desplazamiento positivo” consiste en el movimiento de un fluido
causado por la disminución del volumen de una cámara. Por consiguiente, en una máquina de desplazamiento positivo, el elemento que origina el intercambio de energía no tiene necesariamente movimiento alternativo (émbolo), sino que puede tener movimiento rotatorio (rotor). Sin embargo, en las máquinas de desplazamiento positivo, tanto reciprocantes como rotatorias, siempre hay una cámara que aumenta de volumen (succión) y disminuye volumen (impulsión), por esto a éstas máquinas también se les denomina Volumétricas. a. Bombas reciprocantes.- Llamadas también alternativas, en estas máquinas, el elemento que proporciona la energía al fluido lo hace en forma lineal y alternativa. La característica de funcionamiento es sencilla. b. Bomba rotatoria.- Llamadas también rotoestáticas, debido a que son máquinas de desplazamiento positivo, provistas de movimiento rotatorio, y son diferentes a las rotodinámicas. Estas bombas tienen muchas aplicaciones según el elemento impulsor. El fluido sale de la bomba en forma constante, puede manejar líquidos que contengan aire o vapor. Su principal aplicación es la de manejar líquidos altamente viscosos, lo que ninguna otra bomba puede realizar y hasta puede carecer de válvula de admisión de carga.
2.5.3.2 Factores que influyen en la elección de una bomba La bomba es el “corazón” del proceso de transferencia del fluido y, si no se halla
adecuadamente adaptada la operación de bombeo puede ser ineficaz e incluso causar daño a los productos y paradas que resultan caras. Entre los factores que deben ser tenidos en cuenta a la hora de seleccionar una bomba, para una función determinada, cabe citar: 1. El flujo volumétrico (caudal) de líquido a transferir, Influye en el tipo y en el tamaño de la bomba a usar. Para grandes capacidades puede necesitarse más de una bomba.
102
2. La carga total del sistema contra la que se va a bombear el líquido. Está determinada por la combinación de diversos factores, entre los que se encuentran: a. La velocidad del líquido en el sistema de tubería funcionando al caudal preciso. b. La elevación vertical precisa. c. La presión del sistema d. Las pérdidas de energía por fricción y choque. La carga de la bomba HB, a través del sistema, bajo las condiciones de funcionamiento precisas, vienen dadas por: HB
P
z
v
2
2 g
hf 1 2
Las pérdidas de carga debida a la fricción se pueden determinar sustituyendo la longitud equivalente total, para el sistema de tuberías junto con el coeficiente de fricción adecuado. Ejemplo 5.1.1.1-23. Se bombea agua desde un almacén grande hasta un dispositivo a través de un sistema de tuberías tal como se indica en la Figura. La bomba es de 150 HP y tiene una eficiencia de 80%. Que presión se tendrá disponible a la entrada del dispositivo si el flujo volumétrico es de 10 pies 3 /s con agua a 60ºC, densidad 62.35 lb/pie3, viscosidad 2.088x10 -5 lb/pie-seg.
1
200 pies 2
150 pies
D = 8 pulg
70 pies
200 pies
Aplicando Ec. Bernoulli entre los puntos 1 y 2 P 1
P 2
z 1
v1
2
2 g
HB
z z 1
2
v2
P 2
z 2
v2
2
2 g
hf 1 2
2
2 g
hf 1 2
HB
103
Calculo de HB: 150 HP x 0.8 = 120 HP HP
Q HB lb pie
500
HP . s
Reemplazando: 3
120 HP
10 pie HB 62.35 lb / pie 500
3
lb pie HP . s
HB= 105.85 pies Calculo de hf 1-2 : hf 1
2
hf ent hf tub
v2
2
2hf codo 2
2
L v2 Le v2 hf 1 2 K f 2 f 2 g D 2 g D 2 g
v2 470 pies 0.05 f hf 12 2(0.014)(30) 8 2 g pies 12 2
hf 12
v2
2
2 g
0.05 705 f 0.084
Calculo de v2: v2
10 pie / s
8
28.647 pie / s
2
pie 4 12
2
Calculo de f:
28.6462.358 / 12 5.7 10 7 5 Re 2.088 10 f 0.023 0.00015 e 0.0002 D 8 / 12
104
Reemplazando: hf 12
P 2
(28.647) 2 2(32.18)
0.05 7050.023 0.084 208 .465pies
28.6472 150 70 208.465 105 .85 35.37 pies 232.18
2.5.3.3 Uso de las bombas centrífugas Las bombas centrífugas, debido a sus características, son las bombas que más se aplican en la industria. Las razones de estas preferencias son las siguientes:
Son aparatos giratorios. No tienen órganos articulados y los mecanismos de acoplamiento son muy sencillos. La impulsión eléctrica del motor que la mueve es bastante sencilla. Para una operación definida, el gasto es constante y no se requiere dispositivo regulador. Se adaptan con facilidad a muchas circunstancias.
Aparte de las ventajas ya enumeradas, se unen las siguientes ventajas económicas:
El precio de una bomba centrífuga es aproximadamente ¼ del precio de la bomba de émbolo equivalente. El espacio requerido es aproximadamente 1/8 del de la bomba de émbolo equivalente. El peso es muy pequeño y por lo tanto las cimentaciones también lo son. El mantenimiento de una bomba centrífuga sólo se reduce a renovar el aceite de las chumaceras, los empaques del presa-estopa y el número de elementos a cambiar es muy pequeño.
Los elementos auxiliares relativos a la instalacion de bombas centrífugas 1. Alineación bomba – motor. Es necesario conseguir la correcta alineación de los ejes del motor y de la bomba. Estos ejes se unen generalmente mediante manguitos de acoplamientos elásticos, por lo que las paredes de estos acoplamientos son unas buenas referencias para la alineación siendo necesario lograr una separación constante entre los platos a lo largo de todo su perímetro y la correcta alineación de las paredes de los mismos en todos sus puntos. La alineación debe ser verificada antes de la puesta en marcha del equipo, incluso en el caso de haber recibido bomba y motor acoplados del fabricante. En el caso de bombas que trabajan con fluidos calientes, la alineación, así como la separación de las mitades de los manguitos ha de verificarse a la temperatura de trabajo. Asimismo debe verificarse la alineación después de haber acoplado la bomba a la tubería para corregir posibles desviaciones causadas por la influencia de esfuerzos originados por deficiencias en la instalación de las tuberías.
105
2. Esfuerzos y momentos sobre bridas. Cuando una bombas está transportando líquidos a altas o bajas temperaturas, en que las tuberías a conectar en las bridas de las bombas van a transmitir esfuerzos sobre éstas, debido a las tensiones producidas por los cambios térmicos, habrá que delimitar estas fuerzas para evitar la rotura de las bridas y para que el momento resultante de los esfuerzos sobre la bomba no produzca un desalineamiento entre el cuerpo de bomba y eje, y que las tolerancia de las partes móviles respectos a fijas permanezcan dentro de límites razonables. Por otro lado, un ligero desplazamiento lateral de la bomba respecto a su accionamiento provocará una deflexión en el acoplamiento con las consiguientes concentraciones de tensiones nocivas para el sistema. El constructor da unos esfuerzos admisibles en bridas, así como unos momentos totales máximos referidos a unos ejes principales que pasan por la bomba. La tuberías a conectar han de tener un diseño de instalación tal que en ningún instante ejerzan sobre bridas y cuerpo de bombas unos esfuerzos y momentos, respectivamente, que superen a los requeridos por el constructor de la máquina. 3. Válvula de pie. Cuando la bomba aspira de un fluido situado por debajo del nivel de su eje es necesario instalar válvula de pie a la entrada de la tubería de aspiración para evitar el descebado en los períodos de paro. Hay que poner atención a las pérdidas de carga en dichas válvulas, ya que pueden reducir importantemente el NPSH disponible. 4. Válvula de retencion. Es colocada en la impulsión de la bomba evita que pueda circular fluido en sentido contrario y posibilitan la instalación de bombas en paralelos sin temor a flujos inversos. 5. Manómetros. Deben instalarse en los puntos donde nos interese conocer la presión; son interesante a la entrada y salida de la bomba, para poder controlar la entrada y salida manométrica que nos está generando. Hay que cuidar la colocación de estos elementos y hay que asegurarse que marcan realmente la presión estática. 6. Purgas. Para poner en marcha la instalación hay que poder llenar de fluido la bomba y toda la aspiración, y para ello hace falta poder dejar salir el aire existente en el interior; además, si por alguna causa entrara aire a la bomba durante el funcionamiento, hay que poder sacarlo. Por ello, se instala tapones de purga en la parte alta de la voluta de la bomba, y si se considera conveniente, en los puntos altos de la instalación. 7. Drenajes. En el caso de ser necesario, ha de ser fácil vaciar la instalación. Debe preverse cómo hacerlo y cómo canalizar el fluido saliente. Lo más usual son válvulas o tapones roscados en los puntos más bajos de la instalación, con accesorios para acoplar mangueras o tuberías que conduzcan al fluido a sumideros 8. Cebado. Es absolutamente necesario poder llenar de fluido la bomba para poner la instalación en marcha. Se ha de prever el suministro del fluido y el punto de introducción en la instalación. Evidentemente esto no es necesario en bombas sumergidas o autocebantes. 2.5.3.4 Selección de una bomba y evaluacion de su rendimiento a) Curvas características de una bomba centrifuga El desempeño de una bomba, para una velocidad de rotación del impulsor y la viscosidad del líquido dado, involucra tres parámetros básicos:
106
1. Capacidad de la bomba (Q). 2. Cabeza total (HB). Llamado también carga de la bomba, se expresa en unidades de longitud de una de líquido a ser bombeado. 3. Velocidad a la cual opera la bomba (RPM). Normalmente, el desempeño o las características de una bomba son presentados en forma de curvas como las que se muestra en la siguiente Figura. ) m ( B H , l a t o t l a z e b a C
-Q
HB-Q
, a i c n e i c i f E
) W k ( P H B
BHP-Q QBEP Qmax Caudal, Q
b) Potencia de la Bomba. La amplia divulgación de las bombas centrífugas ha sido posible únicamente a base del empleo de energía eléctrica y, en particular, al utilizar el motor eléctrico de corriente alterna trifásica. Energía Eléctrica
HP e BHP
HP
1. Potencia que la bomba entrega al fluído (HP). Es igual al producto del peso específico por flujo de operación por cabeza total entre la gravedad. HP Q HB
HP
Q HB lb pie
500
HP . s
2. Potencia al freno (BHP). La potencia requerida para mover el motor de la bomba, y esta definida: BHP
*T
Donde:
= Velocidad angular de la flecha
T = Torque aplicado.
107
Si no hubiera ningún tipo de pérdidas, HP y BHP serían iguales, pero es obvio que HP < BHP. 3. Potencia eléctrica (HPe). En la potencia de la energía eléctrica suministrada al motor eléctrico. c) Eficiencia de la Bomba. 1. Eficiencia del motor motor
BHP
HPe
2. Eficiencia al freno freno
HP
BHP
Esta eficiencia está compuesta, a su vez, por tres tipos de eficiencia : 3. Eficiencia volumétrica V
Q
Q Q L
Donde: QL es el flujo perdido por fugas en la bomba. 4. Eficiencia hidráulica V
1 h
HB
Donde: h es una pérdida de cabezal, debido a imperfecciones hidrodinámicas de las partes de la bomba. 5. Eficiencia Mecánica m
1 P F
BHP
Donde: PF es la potencia perdida por fricción mecánica en baleros y otros puntos de contacto en la máquina. 6. Eficiencia al freno total: T freno
v h m
7. Eficiencia total de la Bomba TOTAL
motor freno
BHP
HP
HP
HPe BHP HPe
108
d) Carga neta positiva de aspiración (NPSH) Otro parámetro que requiere especial atención en el diseño de bombas es e denominado carga neta positiva de aspiración, la cual es la diferencia entre la presión existente a la entrada de la bomba y la presión de vapor del líquido que se bombea. Esta diferencia es la necesaria para evitar la cavitación. La cavitación produce la vaporización súbita del líquido dentro de la bomba, reduce la capacidad de la misma y puede dañar sus partes internas. En el diseño de bombas destacan dos valores de NPSH, el NPSH disponible y el NPSH requerido. El NPSH requerido es función del rodete, su valor, determinado experimentalmente, es proporcionado por el fabricante de la bomba. El NPSH requerido corresponde a la carga mínima que necesita la bomba para mantener un funcionamiento estable. Se basa en una elevación de referencia, generalmente considerada como el eje del rodete. El NPSH disponible es función del sistema de aspiración de la bomba, se calcula en metros de agua, mediante la siguiente fórmula: NPSHA = hsp ±ha - hf - hvp Donde: hsp cabeza de presión estática (absoluta) aplicada al fluído, expresada en m (o pies) del líquido. hs diferencia de elevación desde el nivel del fluído en el depósito hacia la entrada de la bomba, expresada en metros o pies. Si la bomba está debajo del depósito, h s es positiva Si la bomba está arriba del depósito, h s es negativa hf es la pérdida de carga por fricción en la tubería de succión, expresada en
metros (o pies)
hvp es la presión de vapor del líquido a la temperatura de bombeo en m (pies) del líquido.
109
Ejemplo 5.1.1.1-24 Determine la NPSH disponible para el sistema que se muestra en la figura. El depósito del fluido es un tanque cerrado con una presión de -20 kPa sobre el agua a 70ºC. la presión atmosférica es de 100.5 kPa. El nivel de agua en el tanque es de 20.5 m sobre la entrada de la bomba. La tubería es Calibre 40 de 12 pulg con una longitud total de 12 m. El codo es estándar y la válvula de globo, totalmente abierta. La velocidad de flujo es de 95 L/min.
hf debido a pérdidas en la línea de succión Flujo
hsp =Presión atmósferica con el tanque abierto
-hs
hvp =liquido con presión de vapor
SOLUCION: Calculo de cabeza de presión estática (absoluta): Pr esión absoluta
P abs
h sp
presión at mósferica - presión del tanque
100.5 kPa - 20 kPa
P abs
80.5 10
9.59 10
3
3
80.5 kPa
N / m 2 N / m 3
8.39 m
Calculo de la deferencia de elevación: h s
2.5
m
Calculo de pérdida de carga por fricción: v
Q A
N Re
95 L / min
1 m3 / s
1.314 103 m 2 60000 N / m3 vD 1.210.0409 5 1.20 10 7 4.11 10
1.21 m / s
f
D e
0.0409 m 4.6 10
5
889
m
Por tabla f T = 0.021, ahora se tiene: hf hf tub
hf codos
hf válvula
hf entrada
110
0.0225
2
2
2
2
L v v v v 2 f f 1.0 hf f T 30 T 340 2 g 2 g 2 g D 2 g v 2 L hf f 2 f T 30 f T 340 1.0 2 g D
1.21m / s
12 0.0225 20.02130 0.021340 1.0 1.19 m 2 29.81 m / s 0.0409 2
hf
Calculo de presión de vapor del líquido: Por tabla la presión de vapor del agua a 70ºC = 31.19 N/m 2 P vp
31.19 KN / m 2 9.81 m / s 2 1000 kg / m3
3.18 m 3.20 m
Calculo de NPSHa: NPHS a
8.39 m 2.5 m 1.19 m 3.2 m
6.50 m
Ejemplo 5.1.1.1-25 Una bomba toma benceno a 25ºC de un tanque cuyo nivel es de 2.6 m sobre la entrada de la bomba, la línea tiene una pérdida de cabeza de 0.8 m, la presión atmosférica medida es de 98.5 Kpa absoluto. Determinar la NPSH disponible si la presión de vapor de benceno es de 13.3 Kpa y su peso específico de 8.59 Kn/m 3. Carga estática del fluido:
h s p
P atm
98.5
kPa
8.59 KN / m
3
11.47
m
Presión absoluta: hs = 2.6 m 13.3 kPa
Presión de vapor del fluido:
hvp
Pérdida de carga por fricción:
hf = 0.8 m
8.59 kN / m 3
1.55 m
NPSH = 11.47+2.6-1.55-0.8 = 11.72 m Ejemplo 5.1.1.1-26 La bomba lleva agua del recipiente inferior al superior con una rapidez de 2.0 pies 2 /s. La perdida de energía entre la entrada del conducto de succión y la bomba es de 6 lbpies/lb y entre la salida de la bomba y el recipiente superior es de 12 lb-pies/lb. Ambos conductos son de acero de 6 pug. Calibre 40. Calcule: a) La presión en la entrada de la bomba. b) La presión a la salida de la bomba. c) La cabeza total de la bomba
111
d) La potencia total transmitida e) La potencia transmitida por la bomba al agua. f) Calculo de NPSH disponible para la bomba si el agua esta a 80ºF y a una presión atmosférica de 14.4 lb/pul 2 Absoluta. Datos : -
D
Tipo de fluido : Agua a 80ºF Peso especifico : 62.2 lb/pie3 Densidad : 1.93 Viscosidad dinámica : 1.77x10-3 Viscosidad cinemática: 9.15x10-6 Diámetro : 0.5054 pies
40 pies Válvula de control B
Flujo
C
Bomba
10 pies A
SOLUCION: a) La presión en la entrada de la bomba. Balance de energía en los tramos A –B P A
z A
v A
2
2 g
P B
z B
v B
2
2 g
hf A B
2 v B P B z A z b hf A B 2 g
Calculo de velocidad v
Q A
2 pies3 / s
0.5154 pies
2
9.969 pies / s
4
Reemplazando lb lb pie lb 9.969 pie / s 2 P B 62.2 0 10 pies 6 1091 . 24 lb pie 3 232.18 pie / s 2 pie 2
El signo negativo indica que el ingreso del fluido causa presión al sistema b) La presión a la salida de la bomba. Balance de energía en los tramos C –D
112
P C
2
z C
vC
2 g
HB
P D
z D
v D
2
2 g
hf C D
v P C z D z C C hf C D HB 2 g 2
Calculo de energía añadida “HB” mediante los puntos A y D.
P A
z A
v A
2
2 g
HB
P D
z D
v D
2
2 g
hf A D
lb pie lb pie 12 68 pies lb lb
HB z D z A hf A D 50 pies 0 6
Remplazando: P C 62.2
lb
9.969 pies / s
2
12 40 pies 10 pies 2 2 32.18 pies / s pie 3
lb pie lb
68 pies
Pc = - 1732.4 lb/pies 2
El signo negativo indica que el ingreso del fluido causa presión al sistema c) La cabeza total de la bomba. Balance de energía en los tramos B y C. P B
z B
HB
v B
2
2 g
P C P B
HB
P C
z C
vC
2
2 g
1091.21 lb / pie2 1732.4 lb / pie 2 62.2 lb / pie3
10.3085 pies =3.142 m
HB = 3.142 N.m/N
La bomba transmite 3.142 N.m de energía a cada cantidad de agua que fluye por la tubería d) La potencia total transmitida. HP = HB x x Q HP = 10.31 pies x 62.2 lb/pies 3 x 2 pies2 /s HP = 1282.564 lb-pies/s
113
HP = 1738. 925 W HP = 1.738925 kW e) Calculo de NPSH disponible para la bomba si el agua esta a 80ºF y a una presión atmosférica de 14.4 lb/pul 2 Absoluta. 1. Calculo de cabeza de presión estática (absoluta): Pabs = presión atmosférica + presión de los recipientes Pabs = 14.4 lb/pulg 2 + 0 Pabs = 14.4 lb/pulg2 Cabeza de presion estatica. h sp
P abs
14.74 lb / pu lg 2 62.2 lb / pu lg 3
0.2315 pu lg
2. Diferencia de elevación a la bomba. hs = - 10 pies 3. Perdidas de energía en el sistema. hf = 6 lbpies/lb + 12 lb-pies/lb = 18 lb-pies/lb 4. Presión del vapor del liquido a la temperatura de bombeo; por tablas la presión de vapor del agua a 80ºF es de 0.5m. 5. calculo de NPSH NPSH = 0.2315 pulg – 10pies – 18pies – 0.5 m NPSH = 0.0193pies – 10pies – 18pies – 1.640pies NPSH = - 29.62071 pies La bomba operando en este sistema debe tener un NPSH mayor a 9.03 m
e) Leyes de afinidad El rendimiento de las bombas centrifugas a diferentes velocidades del rodete viene dado por una serie de formulas conocidas como leyes de afinidad: a) El caudal varía directamente con la velocidad
114
Q1 Q2
N 1 N 2
b) La carga de la bomba es proporcional al cuadrado de la velocidad. HB1
N N
2
HB2
1
2
2
c) La potencia de la bomba es proporcional al cubo de la velocidad
N N
3
HP 1
1
3
HP 2
2
En caso de que la bomba trabaja a velocidad constate y el diámetro del impulsor variable viene dado de la siguiente manera: a) El caudal varía proporcionalmente con el cubo del diámetro del impulsor Q2
D D
3
Q1
1
3
2
b) La carga de la bomba varía proporcionalmente con el cuadrado del diámetro del impulsor. HB1
D D
2
HB2
1
2
2
c) La potencia de la bomba es proporcional con el diámetro a la quinta. HP 1 HP 2
D D
5
1
5
2
Ejemplo 5.1.1.1-27 Una bomba centrifuga opera en las siguientes condiciones: Caudal volumétrico= 5 m3 /s, carga total =10 m, potencia = 2 kW, velocidad del rodete=1750 rpm. Calcular el rendimiento de la bomba si opera a 3500 rpm. SOLUCION: Q2 Q1
3500 rpm 10 m 3 / s 5 m 3 / s N 1 1750 rpm
N 2
2
HB2 HB1
2
3500 rpm N 40 m 10 m rpm 1750 N 2
2
1
3
HP 2
3500 rpm N 2 3 16 kW HP 1 2 kW 3 1750 rpm N 1
115
f) Acoplamiento de bombas 1. Acoplamiento en serie. Cuando se desea aumentar la carga de la bomba.
2. Acoplamiento en paralelo. Cuando se desea aumentar el caudal de la bomba.
Dos bombas en serie
B H , l a t o t l a z e b a C
B H , l a t o t l a z e b a C
Una sola bomba
Caudal, Q
Dos bombas en paralelo
Una sola bomba
Caudal, Q
g) VENTILADORES, SOPLADORES, COMPRESORES Y EL FLUJO DE GASES Los ventiladores, sopladores y compresores se utilizan para incrementar la presión y generar el flujo de aire y otros gases en un sistema de flujo de gas. Su función es similar a la de las bombas.
Entre los dispositivos que transportan gases podemos encontrar :
Ventiladores operan a presiones menores que 1 lb/pulg 2 Sopladores operan a presiones menores que 35 lb/pulg 2 Compresores operan a presiones mayores que 35 lb/pulg 2
116
2.5.3.5 Ventiladores Son dispositivos que se utilizan para transportar gases, estos operan a presiones menores que 1 lb/pulg 2. Los ventiladores se aplican en:
Sistemas de aire acondicionado Sistemas de refrigeración y congelación. Sistemas de secado, para impulsar el aire caliente. Transporte de sólidos en suspensión (mezclas de aire - harina)
2.5.3.6 Clasificacion de ventiladores a) Ventiladores centrífugos. En estos ventiladores ocurre un movimiento circular del fluido en el interior y luego en el exterior del ventilador. Estos pueden ser: Aspas rectas Aspas curvadas hacia delante Aspas curvadas hacia atrás. b) Ventiladores axiales. El fluido de mueve en forma paralela a la flecha del ventilador. 2.5.3.7 Aplicación de los ventiladores centrifugos De aspas rectas: Son útiles para manejar sólidos en suspensión, porque la fuerza centrifuga mantiene limpia las aspas. Son de eficiencia media Trabajan a baja velocidad y con volumen de aire relativamente grandes De aspas curvadas hacia adelante:
Son útiles para manejar sólidos en suspensión, porque la fuerza centrifuga mantiene limpia las aspas. Son de eficiencia media Trabajan a baja velocidad y con volumen de aire relativamente bajas. De aspas curvadas hacia atrás:
Son útiles para gases limpios. Son de eficiencia alta Trabajan a altas velocidades
CALCULO DE POTENCIA DEL VENTILADOR
117
1
2
Aplicando la Ecuación de Bernoulli:
P 1
z 1
Hv
v1
2
2 g
Hv
P 2
z 2
v2
2
2 g
hf 1 2
P 2 P 1
Ejemplo 5.1.1.1-28 Se utiliza un ventilador centrífugo para extraer gases de combustión a una presión de 29.9 pulg de Hg y a una temperatura de 200ºF y es descargada a una presión de 30.1 pulg de Hg con una velocidad de 150 pie/s. Calcular la potencia al freno para extraer 13.7 lb/s del mismo gas si el rendimiento del ventilador es del 65%. Considerar la densidad en el punto 1 de 0.0629 lb/pie 3 y la densidad en el punto 2 de 0.0635 lb /pie3. la aceleración de la gravedad 32.2 pies/s2 en este caso la densidad es igual al peso específico. SOLUCION: 1
2
Aplicando la Ecuación de Bernoulli: P 1
z 1
Hv
v1
2
2 g
P 2 P 1
Hv
v2
P 2
z 2
v2
2
2 g
hf 1 2
2
2 g
Calculo de peso específico promedio:
0.0629 0.0653
2
lb 0.0641 pie3
Remplazando: 2
0.4912 lb / pu lg 2 12 pu lg 30.1 pu lg Hg 29.9 pu lg Hg 1 pu lg Hg 1 pie 150 pie / s 2 Hv 2 lb 0.0641 3 32.2 pie / s 2 pie
118
2 32.2 pie / s
H v 356.23 pies
Calculo de HP: 13.7 lb / s
HP
Q H v lb pie
0.0641 lb / Pie
550.
3
356.23 pies 0.0641 lb / Pie
550
HP s BHP HP
HP s
16.95 0.65
lb pie
26.07
119
3
16.95
SEMINARIO VI TRANSPORTE DE FLUIDOS 1. Para la configuración de medición de prueba de una bomba que se muestra en la figura, determine la eficiencia mecánica de la bomba ( la entrada de potencia es de 2.87 kW) cuando se encuentra bombeando aceite con un flujo de volumen de 3.15 E-2 m3 /s. peso especifico del aceite = 8.97 kN/m 3 ( peso especifico del mercurio = 132.28 kN/m3. Flujo
Diam: 0.1524 m
Diam: 0.1016 m 1
Bomba
2
aceite mercurio
0.52 m
2. Se bombea un zumo de manzana de 20 ºBrix a 27ºC desde un tanque abierto a través de una tubería sanitaria de 1 pulg de diámetro nominal a un segundo tanque situado a un nivel superior, tal como se muestra en la figura. El caudal másico es de 1 kg/s y circula a través de una tubería recta de 30 m con 2 codos estándar de 90º y una válvula en ángulo. El tanque suministrador mantiene un nivel de líquido de 3 m y el zumo de manzana abandona el sistema a una altura de 12 m que el nivel del suelo. Calcular la potencia de la bomba.
2.1 10 3 Pa. s 997.1 kg / m
3
2
12 m
1
3m
Bomba
3. Calcular la potencia real de una bomba que sirve para transportar 0.006314 m 3 /s de aceite de soya a través de un sitema de tuberías de acero comercial(e=0.00004572 m) de 5.08 cm de diámetro, la eficiencia de la bomba es 80% y la densidad es 800.89 kg/m 3 y la viscosidad 0.00402 Kg/m.s no considera las perdidas de cargas en entradas y salidas.
120
200'
15' B
115'
25' X A
10'
X Válvulas de compuerta completamente abiertas
5'
25'
4. Especifique un tamaño de tubería apropiado para la entrega de 500 cfm (aire libre) a 100 lb/pulg2 relativas a 80ºF a una máquina de automatización. La longitud total de la tubería recta requerida entre el compresor y la máquina es de 140 pies. La línea también contiene dos válvulas de compuerta de abertura total, seis estándar y dos Tes estándar, en los cuales el flujo pasa a través de la T. Después, analice la presión que se requiere en el compresor para asegurar que la presión en la máquina no sea menor que 100 lb/pulg 2 relativas. 5. Mediante el uso de una bomba se desea transportar 0.0253 m 3 /s de agua desde un pozo a un tanque elevado. La diferencia de alturas entre las superficies libres del reservorio y el tanque elevado es de 5 m. las tuberías de succión y de descarga son de 7.6 cm de diámetro y la perdida de carga entre los puntos de succión y descarga es de 6.1 cm de agua. Determine la carga y la entrada de potencia al sistema (transmitida al fluido). Si tiene un esencia de 80%. 6. Se bombea agua residual desde un silo hasta un filtro a través del sistema de tuberías mostrado en la figura cuya rugosidad es de 0.00004572 m. la Potencia sumistrada a la bomba (potencial eje) es de 150 HP y tiene una eficiencia de 80% ¿Qué presión se tendrá disponible a la a la entrada del filtro, si el flujo volumétrico es de 0.283 m 3 /s? ρagua = 977 kg/m3, µagua = 8.91x10 -4 Pa.s, kentrada = 0.05 kcodos = 0.26 y el diámetro de las tuberías es de 15 cm.
30 m 45 m
Silo
Filtro
20 m 30 m 60 m
7. Calcule la potencia suministrada a la bomba que sirve para transportar 100 gal/min. de aceite de soya a través de un sistema de tuberías de acero comercial (ε = 0.00015 pies) de 2 pulg de diámetro (ver figura). La eficiencia de la bomba es de 80% y las ca racterísticas del aceite son: ρ = 50 lb/pie 3, µ=0.0027 lb/pie–s (Despreciar las perdidas de carga en las entradas y salidas).
121
200' 15' 20'
10'
Válvula compuerta abierta
10'
25'
115'
Válvula de retención Completamente abierta
8. Una bomba conduciendo una pasta de tomate desde la parte superior del desaereador. El nivel de fluido en el desaereador es 10 m arriba del nivel de la bomba. El desaereador esta siendo operado a un vacío de 49 Kpa. La tubería que conecta la bomba con el desaereador tiene un diámetro de 0.06019 m es de acero comercial y tiene una longitud de 8m. el sistema cuenta con un codo de 90º (longitud equivale =2.10665 m ). La densidad de la pasta de tomate es de 1130 Kg/m3, si índice de consistencia (K) de 10.5 Pa s n y su índice realogico (n) de 0.45. si la velocidad de flujo es de 6.6666x10 -4 m 3 /s. calcular la presión a la entrada de la bomba. Para el cálculo de Numero Reynold utilice la expresión: 8V 2 n R n
Re
K (3n 1) / n
2
P1=0.5 kf/cm (vacuum) V1=0 H1= 10 m
10 m
H2=0 Q=40l/min
P2 =?
8m
9. La bomba del ejemplo anterior descarga a un intercambiador de calor y luego a un filtro. El lado de descarga de la bomba consiste de una tubería de acero de 0.03561 m de diámetro y 12 m de longitud y dos codos (le=1.24635m). al lado de esta tubería se encuentra el intercambiador de calor el cual consiste de 20m de tubería enchaquetada de 0.02291m de diámetro con dos vueltas en U (Le = 1.6037 m). El intercambiador esta unido al filtro a través de 20 m de tubería
122
de acero de 0.03561 m con dos codos (Le = 1.24635m) desde donde se descarga a una presión absoluta de 1.01x10 5 Pa. El sistema de tuberías antes de la bomba y la velocidad de flujo son las mismas que las del ejemplo anterior. Calcular la potencia requerida por el sistema. 20 m
2 - 90º elbows
2
P1=0.5 kf/cm (vacuum) V1=0 H1= 10 m Heat Exchanger 2 U – bends 20 m 10 m P2= atm
Filter
3m
12 m 2 - 90º elbows
Pump 8 m long pipe one - 90º elbows
123
Transferencia de calor 3.1 INTRODUCCIÓN A TRANSFERENCIAS DE CALOR Los procesos de transferencia de calor operan en innumerables tipos de industrias, como por ejemplo, plantas químicas, procesamiento de alimentos, agroindustria, aire acondicionado, generación de energía, entre otros. Ellos han avanzado en forma impresionante en los últimos treinta años, debido a los desarrollos de las industrias aero espacial, nuclear y de generación. En todos estos campos y muchos otros, los intercambios de calor tendrán una importancia preponderante en los años venideros. Por ello, es necesario que el alumno tenga un conocimiento del funcionamiento de este tipo de equipos. 3.2 PROPIEDADES TERMICAS DE LOS ALIMENTOS 3.2.1 Calor específico Es la cantidad de energía térmica (calor), que se necesita para aumentar un grado la temperatura de una sustancia por unidad de masa, sin que haya cambio de estado. Cp
Donde:
q mT
q = es el calor ganado o perdido en Julios o Kilojulios (KJ) m = es la masa (Kg) T
= es el cambio en la temperatura (ºC ó K)
Cp = es el calor específico (KJ/KgºC) ó (J/KgºC). El subíndice p significa "a presión constante". En la práctica, sólo cuando se trabaja con gases es necesario distinguir entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante Cv. El calor específico puede obtenerse de multitud de tablas, pero también se puede calcular por medio de infinitas ecuaciones empíricas. Para productos de composición conocida puede usarse la siguiente expresión: Cp 1.424 mc 1.549 m p 1.675 m f 0.837 ma 4.187 mm
124
Donde:
mc = fracción en peso de carbohidratos mp = fracción en peso de proteínas mf = fracción en peso de grasa ma = fracción en peso de ceniza mm = fracción en peso de humedad
3.2.2 Conductividad térmica (k ) Es la medida de la capacidad para conducir calor de un material cuando este se calienta o se enfría. Se define como la cantidad de calor (q) que se transmite por conducción a través de una unidad de área (A), en una unidad de tiempo ( ), de una capa de producto de un espesor dado (dx) por cada grado de temperatura de diferencia (dT) entre dos puntos. k
qk dx A dT
Para alimentos depende principalmente de su composición. Sin embargo tienen también influencia factores como sus espacios vacíos (forma, tamaño y orientación), su homogeneidad, etc. Para productos de composición conocida puede usarse la siguiente expresión: k 0.25 mc 0.155 m p 0.16 m f 0.135 ma 0.58 mm
Donde:
mc = fracción en peso de carbohidratos mp = fracción en peso de proteínas mf = fracción en peso de grasa ma = fracción en peso de ceniza mm = fracción en peso de humedad
3.2.3 Difusividad térmica (α) Es la velocidad de propagación del calor en el sólido durante la variación de la temperatura con el tiempo. La difusividad térmica es la conductividad térmica dividida por el producto del calor específico y la densidad. Sus unidades SI son m2 /s.
k
C p
125
3.3 Mecanismos de transferencia de calor Existen tres mecanismos de transferencia de calor: a) Conducción. La conducción es un proceso mediante el cual el calor fluye desde la región de alta temperatura a otra de baja temperatura a través de un medio (sólido. Líquido ó gaseoso) o entre medios diferentes en contacto físico directo. En el flujo de calor por conducción, la energía se transfiere por comunicación molecular directa, sin el desplazamiento apreciable de las moléculas, para un elemento de materia, mientras más rápido se mueven sus moléculas, mayor será su temperatura y por ende su energía interna. b) Convección. Es un proceso de transferencia de calor por la acción combinada de conducción de calor, almacenamiento de energía y movimiento. c) Radiación. La radiación es un proceso por el cual fluye calor desde un cuerpo de alta temperatura a una cuerpo de baja temperatura, cuando éstos están separados por un espacio, inclusive el vacío absoluto. 3.4 Transferencia de calor por conducción Es el proceso en el cual fluye el calor de una región de alta temperatura u una región de baja temperatura a través de un medio o a través de diferentes medios siempre que estos se encuentren en contacto físico. Por ejemplo al asar una hamburguesa sobre una plancha caliente existe una diferencia de temperaturas entre ellas; las moléculas de mayor energía de la superficie de la plancha transfieren energía por colisiones a las de la hamburguesa. Cuanto mas caliente esté una sustancia, mayor será la energía cinética de sus moléculas.. El proceso de conducción ocurre entonces cuando la energía térmica se mueve a través del material como resultado de la colisión entre sus moléculas.
T1
-
T
T2
x1
x2
+ x
Fig. 5.1. Conducción de calor unidireccional El flujo de calor por conducción es directamente proporcional al Área y gradiente de temperaturas e inversamente proporcional al espesor de la pared.
126
Ley de Fourier de conducción: qk
kA
dT dx
Donde: qk = Flujo de calor por conducción en la dirección x (W) k = Conductividad térmica (W/mºK) A = Área perpendicular al flujo de calor (m 2) T = Diferencia de temperaturas (ºK) T = Espesor (m) El signo negativo da a entender que el calor fluye de la temperatura mas alta a la mas baja. 3.4.1 Transferencia de calor por conducción en estado estacionario 3.4.1.1 Conducción estacionaria unidimensional A. Conducción a traves de una placa Tenemos la Ec. Fourier: q k
kA
q k
Integrando: q k A
A
Tº
dT dx
x2
T 2
x1
T 1
dx k dT T1
k T 1 T 2
A
qk T2
x 2 x1 x1
x2
x
B. Conducción a través de un cilindro hueco Tenemos la Ec. Fourier: q k
kA
dT dr
r 2
Reemplazando el Área lateral del cilindro: q k
k 2 r L
qk
r 1
dr r
T1
dT
T 2 L
dr
Luego tendremos:
Integrando: r 2
r1
q k
T 2
2 L k dT
qk
T 1
127
2 L k T 1 T 2 r ln 2 r 1
C. CONDUCCION A TRAVES DE CAPA ESFERICA Tenemos la Ec. Fourier: q k
kA
dT r 2
dr r 1
T1
Reemplazando el Área lateral del cilindro: q k
T2
dT k 4 r 2
dr
Integrando: r 2
q k
qk
dr
r
2
Luego tendremos:
T 2
4 k dT
r 1
qk
T 1
4
k T 1 T 2
1 1 r r 1
2
D. CONDUCCION A TRAVES DE PAREDES COMPUESTAS PARED A:
Tº
T T B k A A x x 1
qk A
2
1
qk
T 1 T B
qk A x2 x1
T1
k B A
T B x
T C
x1
x2
qk B x3 x2
T C
PARED C:
qk C
k B A
T k C A C x 4
T C T 2
kC x3
x4
x
T 1
T 2
T 1 T B T B T C T C T 2
T 2
x3
Luego tendremos:
qk C x4 x3 k C A
T2
De la condición de estado estacionario: qk A qk B qk C qk
TC
kB x2
Area
C
Conducción Total:
TB k A
3
T B
B
k A A
PARED B:
qk B
A
T 1 T 2
128
q k x2 x1
A
k A
x3 x2 x4 x3 k B
k C
E. CONDUCCION A TRAVES DE CILINDROS COMPUESTOS
CAPA A:
q k A T 1 T B
r 2 r 1
ln
2 k A L
CAPA B:
q k B T B T C
r 3 r 2
ln
r 2 r 1 A
B
A
r 4
r 3 qk
T1
TB
2 k B L
CAPA C:
r 4 r 3
T2
De la condición de estado estacionario:
qk A
q k C ln T C T 2
2 k C L
TC
qk B
qk C
qk
Luego tendremos:
r 2 r 4 r 3 ln ln ln r r qk r 1 T 1 T 2 2 3 2 L k A k B k C
3.4.1.2 Conducción estacionaria multidimensional La ecuación general de conducción de calor se deduce a partir de balance de energía. BALANCE DE ENERGIA: Energ ía que ingresa Energ ía generada Energ ía que sale Energía acumulada
Energía generada. Es el calor generado por el volumen del sistema. E º generada q º V
Energía Acumulada. Es la variación de la energía interna E º acumulada
mCp
dT d
129
D. COORDENADAS CARTESIANAS Consideremos un pequeño elemento de material en un cuerpo sólido, el elemento tiene la forma de un paralelepípedo de forma rectangular con sus lados dx , dy y dz paralelos a los ejes x, y, z respectivamente.
y
q y dy
q y
qy
dy
y
q z
q x dx
q x
q x
qx x
dx
dy dz dx
q z dz q z
qz z
dz
q y
x z
q x k x A x
T T k x dy dz x x
q y k y A y
T T dx dz k y y y
q z k z A z
T T k z dx dy z z
Realizando un balance de energía para el elemento en un tiempo pequeño d .
q x
q y q z q º V
q x
q x x
dx q y
q x x
dx q z
Simplificando y reemplazando q x, qy, qz; así mismo m
130
q x x
dx mCp
V tenemos:
T
T T T k k x k z y y T x z q V dx dy dz dx dy dz dx dy dz V Cp x y z º
Si dx dy dz V
qº k x
2
T
x
2
k y
2
T
y
2
k z
2
T
Cp
2
z
T
Ec. General T. C. por conducción con
propiedades térmicas variables
Si las propiedades térmicas son constantes k=kx=ky=kz
2
T
x
2
2
T 2
x
2
T
y
2
2
2
T 2
qº
2
2
Cp T
k
z
T
y
T
2
1 T
k
z
propiedades térmicas constantes
k
qº
Ec. General T. C. por conducción con
E. COORDENADAS CILINDRICAS
2
T 2
r
1 T
r
r
1 2
r
2
T 2
2
T 2
z
qo k
1 T
F. CORRDENADAS ESFERICAS
T 2T q o 1 T 1 2 T 1 1 sen 2 2 r r sen 2 k r 2 r r r 2 sen
131
5.1.1.1. PERFIL DE TEMPERATURAS A TRAVES DE SÓLIDOS A) PARED PLANA INFINITA 1. Sin generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, sin generación interna de calor, con propiedades térmicas constantes tendremos:
2
T
x
2
Tº
0
A
qk T1
T
Integrando sucesivamente:
dT 0 dx
d
dT C 1
dx
dT
dx
0 x L
C 1
Condiciones de frontera: T
= T1
x=L
T
= T2
x
Reemplazando:
T C 1 x C 2
Cuando x=0
T2
C2 =
T 1
C 1 (0) C 2
T 2
C 1 ( L) C 2
Resolviendo:
T
T
2
T 1
C 1
x L
T1
T 2
T 1
L
T 1
2. Con generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, con generación interna de calor, con propiedades térmicas constantes tendremos:
2
T
x
2
qo k
T
qo
x 2 2k
C 1 x C 2
Condiciones de frontera: 0
Integrando sucesivamente:
Cuando x=0
T
= T1
x=L
T
= T2
Reemplazando y resolviendo:
qo dT d dx k dx
o 2 q L x
x T T 1 T 2 T 1 L 2k L L x
qo
dT k x dx C dx 1
132
2
B) CILINDRO HUECO INFINITO 1. Sin generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, sin generación interna de calor, con propiedades térmicas constantes tendremos: 2T 1 T 0 r 2 r r Multiplicando por r. 2
r
d T dr 2
dT dr
T2
Condiciones de frontera: Cuando r=r1 T = T1 r=r2 T = T2
d 2T
dT dr 0 r 2 dr dr dr
Aplicando la regla de derivación. d dT r 0 dr dr Integrando sucesivamente: dT dT C 1 0 r d r dr dr dr
1
T1
0
Multiplicando y dividiendo por dr.
dT C
r 2 r 1
Reemplazando: T 1
C 1 ln r 1
T 2
C 1 ln r 2
C 2
…………. (1) …………. (2)
Resolviendo: T 2 T 1 r ln T T 1 r 1 r 1 ln r 2
T C 1 ln(r ) C 2
r
C 2
2. Con generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, con Condiciones de frontera: generación interna de calor, con propiedades Cuando r=r1 T = T1 térmicas constantes tendremos: r=r2 T = T2
2
T 2
r
1 T
r r
qº
Reemplazando:
0
k
Transformando. 1 d dT qº r r dr dr k Integrando sucesivamente: qº dT dT d r dr k rdr r dr
dT
q 2 r 2 k
2 q dr qº r rd r C 1 T 2 k r 4k
T 1
T 2
qº r 1
2
4k 2 q º r 2 4k
C 1 ln r 1 C 2 ...
C 1
ln r 2
C 2 ...
Resolviendo:
C 1
C 1 ln(r ) C 2
T 2 T 1 q º r 2 2 r 1 2 qº ln r 4k r 1 2 r 2 T T 1 r 1 r 1 4k ln r 2
133
(1) (2)
C) ESFERA HUECA INFINITA 1. Sin generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, sin generación interna de calor, con propiedades r térmicas constantes tendremos: r dT 1 d r 0 T T r dr dr Integrando sucesivamente: dT dT r C d r 0 dr dr Reemplazando: 2
1
2
2
1
2
2
dr
dT C r 1
2
T
C 1 r
1
C 2
Condiciones de frontera: Cuando r=r1 r=r2
2
T = T1 T = T2
T 1
T 2
C 1
r 1 C 1
C 2
…………. (1)
C 2
…………. (2)
r 2
Resolviendo: T
r r T r T r 1 1 r r
1
r 1
2
r
1 1
2
1
2
2
1
2. Con generación interna de calor Si el proceso es estable, unidireccional, con Condiciones de frontera: generación interna de calor, con propiedades Cuando r=r1 T = T1 térmicas constantes tendremos: r=r2 T = T2 qº 1 d 2 dT 0 r Reemplazando: 2 r dr dr k q º r 1 T C C ... (1) Transformando. r 6k dT qº 1 d r q º r 1 T C C ... (2) k r dr dr 6k r Integrando sucesivamente: 2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
qº dT d r dr k r dr 2
dT
2
r 2 dT dr
q dr q º r 2 r dr C 1 T 3k 6k r 2
q 3k
1 r
Resolviendo: 3
r
C 1
C 1 C 2
T T q º r 2 r 2 1 2 1 2 1 1 qº 2 6k T T 1 r 1 r 2 r r 6k 1 1 1 r r 2 1
134
Ejemplo 3-1 Calcular la temperatura a 0.5 cm de la superficie mantenida a 110ºC, si el flujo de calor es 34000 W/m2 y la conductividad del material es 17 W/mºC. el espesor del material es 1 cm. 110ºC 90ºC T=??
0.5 cm
0.5 cm
DATOS: Posición = 0.5 cm = 0.005 m Flujo de calor, qk /A = 34000 W/m2 Conductividad termica, k=17 W/mºC Espesor de la lámina = 1 cm = 0.01m Temperatura en la cara caliente= 110ºC Temperatura en la cara fría = 90ºC SOLUCION: A partir de la ecuación de conducción de calor a través de una placa: qk A
k T 1
T 2
x 2 x1
Reemplazando
W
34000
m
2
W 17 110º C T º m C 0.005 m 0 m
T = 100ºC Ejemplo 3-2 Se transporta vapor desde un caldero hasta un equipo de proceso a través de una tubería de acero con conductividad térmica de 43 W/mºC, 6 cm de diámetro interior, 1 cm de espesor y 40 m de longitud. La superficie interior está a 115ºC y la exterior a 90ºC. Calcular la perdida de calor hacia el exterior.
135
115ºC 90ºC
1 cm
1 cm
6 cm
DATOS: Espesor de la tubería= 1 cm = 0.01 m Diámetro interior = 6 cm= 0.06 m Longitud, L= 40 m Conductividad termica, k=43 W/mºC Temperatura interior, T1= 115ºC Temperatura exterior, T2 = 90ºC SOLUCION: A partir de la ecuación de conducción de calor a través de un cilindro: qk
2 L k T 1 ln
T 2
r 2 r 1
Reemplazando q k
2 40
m 43 W / m º C 115 90º C
0.04
939.15 kW
ln
0.03
Ejemplo 3-3 La pared de una cámara frigorífica que debe ser mantenida a -18ºC, está forrada por 11 cm de ladrillo, 7.5 cm de cemento y por último de 10 cm de corcho. La temperatura de la superficie exterior es de 18ºC. Calcular la velocidad de transferencia de calor a través de la pared y la temperatura en la interfase entre las capas de cemento y corcho. Las conductividades térmicas del ladrillo, cemento y corcho son: 0.69, 0.76 y 0.043 W/mºC respectivamente.
136
t o r i l l o m e n o r h c o d a L C e C qk/A T1=18ºC T2= -18ºC
Tx=?
11 cm 7.8 cm 10 cm
DATOS: Espesor de ladrillo, el = 11 cm = 0.11 m Espesor de cemento, ec = 7.5 cm = 0.075 m Espesor de corcho, e ch = 10 cm = 0.10 m Conductividad térmica del ladrillo, k l = 0.69 W/mºC Conductividad térmica del cemento, k c = 0.76 W/mºC Conductividad térmica del corcho, k ch = 0.043 W/mºC Temperatura interior, T1= 18ºC Temperatura exterior, T2 = -18ºC SOLUCION: A partir de la ecuación de conducción de calor a través de paredes compuestas: T 1 T 2
q k x 2 x1
A
k A
x x x x 3
2
k B
4
3
k C
Despejando y reemplazando: qk A
T 1 T 2
el ec ech k l k c k ch
18 (18) º C m 0.11 0.075 0.10 0.69 0.76 0.043 W / m º C
13.93
W m2
Calculo de temperatura en la interfase entre las capas de cemento y corcho utilizando la ecuación de conducción de calor a través de una placa: qk A
k T 1 T 2 x 2 x1
Despejando y reemplazando:
137
T x T 2
qk ech A k ch
18 13.93W / m 2
0.10 m 0.043W / m º C
14.39 º C
Ejemplo 3-4 Se desea utilizar una tubería de acero inoxidable (k= 15 W/mºK) para transportar aceite caliente a 125ºC. La temperatura en la cara exterior de la tubería es 120ºC, siendo sus dimensiones: 5 cm de diámetro interior y 1 cm de espesor. Para mantener la perdida de calor por conducción por debajo de 25 W/m se tubería es necesario aislarla; pero existe limitación de espacio y solo es posible instalar una capa aislante de cómo máximo 5 cm de espesor. La superficie exterior debe estar en todo caso a una temperatura superior a 20ºC, a fin de evitar condensaciones sobre ella. Calcular la conductividad térmica del aislante.
r 2
r 3
r 1 120ºC 21ºC
5 cm 1 cm
5 cm
1 cm 5 cm
DATOS: Conductividad térmica del acero, k=15 W/mºC Temperatura del aceite = 125ºC Temperatura de cara interior de la tubería = 120ºC Diámetro interior de la tubería = 0.05 m Espesor de la tubería = 0.01 m Perdidas de calor admisibles en 1 m de tubería =25 W Espesor de aislamiento = 0.05 m Temperatura en la superficie exterior > 20ºC =21 ºC SOLUCION: A partir de la ecuación de conducción de calor a través de un cilindro compuesto:
138
r 2 r 3 ln ln r q k r 1 T 1 T 2 2 k B 2 L k A
Reemplazando y despejando: 3.5 ln 25 W 2.5 120º C 21º C 2 1 m 15 W / m º C
8.5 3.5 k B
ln
kB= 0.0357 W/m ºC Ejemplo 3-5 Calcular la intensidad del paso de calor por metro lineal de un conducto cilíndrico de diámetro interior de 5 y 12 cm respectivamente, si la temperatura de la cara interna es de 200°C y de la cara externa 60°C. La conductividad del material a 200°C y a 60°C es 0.6 y 0.4 Kcal/m (h)°C que la conductividad del material varía linealmente con la temperatura (k= a + b T). DATOS: Diámetro interior de la tubería = 0.05 m Diámetro exterior de la tubería = 0.12 m Temperatura interior de la tubería = 200ºC Temperatura exterior de la tubería = 60 ºC La conductividad termica del matrial a 200ºC = 0.6 Kcal/m (hr)ºC La conductividad termica del matrial a 60ºC = 0.4 Kcal/m (hr)ºC La conductividad tiene función lineal con la Temperatura: k=a+bT SOLUCION: Hallamos los coeficientes a y b: (-)
0.6 = a + b (200) 0.4 = a + b (60) 0.2= 140 b
(1) (2) b = 0.00143 kcal/m.hr.ºC 2 a = 0.314 kcal/m (hr)ºC
Partimos de la Ec. De Fourier: q k kA
139
dT dr
Reemplazando el Área lateral del cilindro y k: q k
a bT 2 r L
dT dr
Integrando: r 2
q k 2 L
r 1
dr r
T 2
a bT dT T 1
b T 1 T 2 T 12 T 2 2 2
2 L a
q k
ln
r 2 r 1
Reemplazando:
2 1 m
q k
0.314200 60
0.00143
2
200
60 2 502.29 kcal
2
6
ln
hr
2.5
3.4.2 Transferencia de calor por condución en estado no estacionario Hasta ahora se han estudiado situaciones en las que tanto la temperatura como el flujo de calor en todo punto eran constantes al transcurrir el tiempo, en estado no estacionario el perfil de temperatura en el sólido cambia con la posicion. A) PARA UNA PLACA INFINITA: T
2
T
x
2
Simplificando de la ecuación de general de T.C.
Solución analítica T T 1 T o T 1
2
(1)n
n 1
n
y cos n e b
n
2
2 b
Donde: L es el semiespesor de la placa y “x” es la distancia de un punto 1 medida desde el eje central y n n
Solución gráfica
140
2
Centro de la lámina
Superficie de la lámina 0
b
2
T T 1 T o T 1
0.5
1.0 0
0.5
1.0
y b
B)
PARA UN CILINDRO INFINITO: Simplificando de la ecuación de general de T.C. 2T 1 T 1 T r 2 r r
Solución analítica T T 1
T 1
T o
2 n o
J o
n J 1 ( n )
( n
r R
)e
n
2
/ R
2
Donde: R es el radio del cilindro y x es la distancia de un punto medida desde el eje central.
n
1 n 2
J o n
Solución gráfica
141
0
Centro de la lámina
Superficie de la lámina 0
b
2
T 1 0.5
T 1
T
T o
1.0 0
0.5
1.0
r R
C) PARA UNA ESFERA: Simplificando de la ecuación de general de T.C. 1 2
r
T 1 T r r r 2
Solución analítica T T 1 T o T 1
2 R
r n 1
(1) n 1 n
e(
n 2 2 / R 2 )
sin(n
r R
)
Donde: R es el radio de la esfera y r es la distancia de un punto medida desde su centro.
n n T T 1 T o
T 1
2 (1)
n 1
e
2
( n / R 2 )
sin( n
n 1
n
142
r R
r
R
)
Solución gráfica Centro de la lámina
Superficie de la lámina 0
b
2
T 1 0.5
T 1
T
T o
1.0 0
0.5
1.0
r R
D) CILINDRO FINITO El cilindro finito, se genera por intersección de un cilindro infinito con una lámina infinita, infinita , las dimensiones de de este cilindro finito finito son: Radio=R y Altura=2b
R
b 2
Expresión de Newman: Newman :
T 1 T T T T T 1 1 T T T T T T min a Cilindro Cilindro 1 0 finito 1 0 inf inito 1 0 Lá inf inita E) PARALELEPIPEDO FINITO Geométricamente es generado por la intersección de tres láminas infinitas
143
Expresión de Newman: Newman :
T 1 T T T T T T T 1 1 1 Lámina Lámina Lámina T T T T T T T T Paralelepí pedo 1 0 finito 1 0 infinita 1 0 infinita 1 0 infinita (ancho)
(largo)
(altura )
Ejemplo 3-6 Se desea unir entre entre si dos laminas de un material sólido, el espesor de cada una de ellas es 0,77cm. para ello, se utiliza una delgada capa de un material termoplástico que se funde a 160°C y da lugar a buena unión. Las dos láminas se colocan en una prensa, cuyas platinas se mantienen a una temperatura constante de 220°C. ¿Qué tiempo deben permanecer las laminas en la prensa, si su temperatura inicial es de 20°C?. la difusividad térmica de las laminas 4.2x10 -7 cm2 /s. To160ºC
T1=220ºC 0.77 cm 0.77 cm
T160ºC
??
T1=220ºC
DATOS: Longitud característica, b = 0.77 cm Temperatura de la superficie, T1=220ºC Temperatura Temperatura inicial, T0=20ºC Temperatura del centro en tiempo ( ), T=160ºC SOLUCION: Se trata del centro de la lámina:
y b
0
0
0.77
b
Temperatura adimensional: T
1
b
2
0.6 0.77cm 4.2 x10
3
T
220
T o
220
84.7 s
1.41
T 1
0.6
160
20
2
0.6
0.3
2
cm 2 / s
min
Ejemplo 3-7 Una esfera de un cierto material y de diámetro 2,5 cm, posee las siguientes propiedades: = 6,98 g/cm 3, K = 44,7 Kcal/hm°C y Cp = 0,12 Kcal/Kg°C. la esfera inicialmente se encuentra a 21°C. a) Si la esfera se sumerge bruscamente en una gran masa de fluido cuya temperatura es 132°C. ¿ Que tiempo tardara para que el centro de la esfera alcance 53,3°C ?
144
b) Una esfera del mismo tamaño que esta en la misma temperatura inicial, pero de distinto material necesita el doble de tiempo para que su centro alcance 53,3°C. ¿Cual es la difusividad térmica de este material? DATOS: Longitud característica, R = 2.5/2=1.25 cm Temperatura de la superficie, T1=132 ºC Temperatura Temperatura inicial, T0= 21 ºC Temperatura del centro en tiempo ( ), T=53.3 ºC SOLUCION: Calculo de difusividad térmica:
k Cp
44.7 Kcal Kcal / hr .m.º C
6.98 10 kg / m 0.12 kcal / kg º C 3
3
0.0534 m 2 / hr
a) Tiempo que tardará para que el centro de la esfera alcance 53.3 °C. °C . 0
r
Se trata del centro de la esfera:
0
2.5
R
F o
Temperatura adimensional:
0.1 R
2
T 1 T 1
T
132
T o
0.1 1.25 10
2
m
132
53.3
21
R
2
0 .1
0.7
2
2
0.0534 m / hr
2.93 10
4
hr 1.0534 s
b) Difusividad Difusivi dad térmica de otro material que demore el doble del tiempo para que el centro alcance 53.3 °C. 2 2.93 10
0.1 D 2
4
5.86 10 4 hr
0.1 1.25 10 2 m
2
4
5.86 10 hr
0.0267 m 2 / hr
Ejemplo 3-8 Calcular la temperatura mínima del alimento contenido en un lote de 8,1 cm de diámetro y 11 cm de altura, que ha sido expuesto durante 30 minutos en agua a 100°C. Se supone que el alimento solo se calienta y enfría por conducción. La 3 90 0 kg / m K= temperatura inicial del alimento es 35°C y sus propiedades son: 900 0,34 W/m°C; Cp = 3,5 KJ/Kg°C
145
8.1 cm
T1= 100ºC 11 cm
To= 35ºC
DATOS: Diámetro = 8.1 cm
R
Altura = 11 cm
b
= 4.05 cm = 5.5 cm
Tiempo = 30 min =1800 s Temperatura de la superficie, T1=100 ºC Temperatura Temperatura inicial, T0= 35 ºC T=?? SOLUCION: La k del material del bote es mucho mayor que la k del alimento, entonces se considera el bote no se considera como un factor de resistencia a la transferencia de calor. Por tanto, solamente se incluirá en los cálculos la k del alimento. Calculo de de difusividad térmica.
0.34 W / m.º C
k
Cp
2
900 kg / m 3.5 kJ / kg º C 3
1.079 m / s
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita: Para en centro:
y b
0
5.5
0
T 1 T 0.98 lá min a T 1 T o inf inita F o
b
2
1.079 10
5.5
7
2
1800 s m
m / s
10
2
2
0.1184
Calculo de relación de temperaturas para cilindro infinito:
Para en centro:
r R
0
0
4.05
146
T 1 T 0.8 cilindro T T o 1 inf inito F o
R 2
1.079 10 m / s 1800 s 0.1184 4.05 10 m 7
2
2
2
Calculo de temperatura para cilindro finito: T 1 T T T T T 1 1 0.980.8 0.78 T T T T T T cilindro lá cilindro min a 1 o finito 1 o inf inita 1 o inf inito
100 T 100 35 0.78 ------------ T=49.3 ºC Ejemplo 3-9 Una hojalata de forma cilíndrica de 6 cm de diámetro y 10 cm de altura contiene puré de papa a 20° C, cuya difusividad térmica es 1,3 x 10 -7 m2 /s. esta hojalata es sumergida bruscamente en una corriente de vapor saturado que esta a 118° C. se colocan termopares sobre el eje de la hojalata a 1 cm de la tapa superior, 1 cm de la tapa inferior y en el centro. ¿Qué temperatura indicaran los termopares al cabo de 10 minutos? 6 cm
T1= 118ºC To= 20ºC
10 cm
DATOS: Diámetro = 6 cm R = 3 cm b = 5 cm Altura = 10 cm Tiempo = 10 min =600 s Difusividad térmica, a=1.3x10 -7 m2 /s Temperatura de la superficie, T1=118 ºC Temperatura inicial, T0= 20 ºC T=?? SOLUCION:
Temperatura a 1 cm de la tapa superior o inferior al cabo de 10 min. Calculo de relación de temperaturas para cilindro infinito:
147
0
r
En eje del cilindro:
0
3
R
T 1 T 0.9 T 1 T o cilindro inf inito F o
R
2
1.3
10
3
7
m
10
2
m
/ s
2
600 s
2
0.086
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita: A 1 cm de la tapa:
y
4
b
5
0.8
T 1 T 0.64 a T 1 T o láinf min inita F o
b
2
1.3 10 m / s 600 s 0.0312 5 10 m 7
2
2
2
Calculo de temperatura para cilindro finito: T 1 T T T T T 1 1 0.90.64 0.78 cilindro lá cilindro min a T T T T T T 1 o finit o 1 o inf inita 1 o inf inito 118 T 118 20 0.576
------------ T=61.55 ºC
Temperatura en el centro geométrico del cilindro al cabo de 10 min. Calculo de relación de temperaturas para cilindro infinito: En eje del cilindro:
0
r
R
3
0
T 1 T 0.9 cilindro T 1 T o inf inito F o
R
2
1.3
10
3
7
m
m 2 / s
10
2
600
s
2
0.086
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita: A 1 cm de la tapa:
y
0
b
0
5
T 1 T 1 a T 1 T o láinf min inita F o
b
2
1.3
10
5
7
m
10
2
m
/ s
2
600 s 2
0.0312
118 T 118 20 0.9 1 ------------ T=29.8 ºC en el centro geométrico
148
Ejemplo 3-10 Se desea enfriar pure de manzana en bandejas de un refrigerador, mediante aire a 2°C que circula a elevada velocidad por encima del producto. La profundidad del producto en las bandejas es de 30 mm y su temperatura inicial 95 °C; además el ancho y el largo de la bandeja son 250 y 300 mm respectivamente. La conductividad térmica del producto es 0.37 W/m°K, el Cp = 3.7 KJ/Kg°K y la = 1000 Kg/m3. Calcular la temperatura en el centro del producto al cabo de 30 minutos de enfriamiento, suponga que la resistencia a la transferencia de calor en la superficie es despreciable. DATOS: Altura = 30 mm Ancho = 250 mm Largo = 300 mm Tiempo = 130 min =1800 s Temperatura de la superficie, T1=2 ºC Temperatura inicial, T0= 95 ºC Propiedades térmicas: k = 0.37 W/m°K; Cp = 3.7 KJ/Kg°K; = 1000 Kg/m3. T=?? SOLUCION: Calculo de difusividad térmica:
k
Cp
0.37 W / m.º C
1000 kg / m 3.7 kJ / kg º C 3
1 10
7
m2 / s
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita (altura): En el centro:
y b
0
1.5
0
T 1 T 0.2 a T 1 T o láinf min inita F o
b
2
10
7
m
1.5
2
/ s
10
1800 s
2
m
2
0.8
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita (ancho): y
En el centro:
b
0
T 1 T 1 a T 1 T o láinf min inita F o
b
2
10 m 12.5 7
2
/ s
10
1800 s
2
m
2
0.0115
Calculo de relación de temperaturas para lámina infinita (largo):
149
En el centro:
y b
0
T 1 T 1 a T 1 T o láinf min inita F o
b
2
10
7
2
m / s
15
10
1800 s
2
m
2
0.008
Calculo de temperatura en el centro del paralelepípedo: 2 T 2 95 0.2 1 1 1
------------ T=20.6 ºC
150
3.5 Transferencia de calor por convección Cuando un fluido circula alrededor de un sólido, existiendo una diferencia de temperatura entre ambos tiene lugar un intercambio de calor entre ellos. En la figura siguiente se muestra una placa plana, con temperatura superficial Ts , que está rodeada por un fluido de temperatura T .
T
Ts
Fig. Perdida de calor mediante confección desde una placa plana Cualquiera que sea la condición de movimiento del fluido respecto de la placa, su velocidad en la superficie de ella es cero por efecto de su viscosidad; existe entonces siempre una delgada capa de frontera en la que, por estar quieta, se transmite calor mediante el mecanismo de conducción. Un poco mas lejos de la placa se producen desplazamientos de fluido calentado o enfriado por efecto de la placa , ocasionando una acción de mezclado de las partes del fluido. Mientras exista una diferencia de temperaturas entre la placa y el fluido, persistirá este fenómeno de mezcla de partes de este último presentándose a la vez un flujo de calor desde lo mas caliente a lo mas frío del conjunto. Este mecanismo de transferencia de calor se denomina convección y la ecuación que lo cuantifica es:
Ley de Newton: qc
Donde:
hA(T
T 1 )
qc = Flujo de calor por convección h = Coeficiente convectivo (W/m 2ºC) T = Temperatura media del fluido (ºC) T1=Temperatura de la superficie (ºC) A = Área (m2)
151
Las correlaciones para determinar el coeficiente convectivo de transferencia de calor depende de la variación de temperaturas, geometría del sólido, propiedades del fluido (, , Cp, K) y Régimen de flujo (laminar o turbulento) 3.5.1 Conveccion natural o libre Cuando existe un movimiento de fluido como resultado de una diferencia de densidades debido a la variación de temperatura. La convección implica un movimiento molecular inminente. Moléculas frías
Tc
Moléculas calientes
Tf
Para transferencia de calor, en la película adyacente de la pared, el calor va ha fluir únicamente por conducción por que las partículas están estacionarias respecto a la frontera. Conforme nos alejamos de la pared, el movimiento del fluido ayuda al transporte de energía. Capa turbulento
T
Capa separadora
Ts
Subcapa laminar
dT
Capa laminar:
qsup .
Capa turbulento.
qsup. fluído hA(T T s )
fluído
k f A
dx
Igualando y poniendo en su forma adimensional. hL k
k f A
dT
dx hAT T s
gradiente de temperatur a en contacto inmediato con la sup erficie gradiente de la temperatur a de referencia
L
Luego a este número adimensional se denomina número de Nusselt
Numero de Nusselt
Nu
hL
k
b
a Gr . Pr
152
Por otro lado haciendo uso de las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energía calórica en la frontera se tiene: v x
v x
dv dx
dT dx
v y
v y
dv dy
dT dy
v z
dv
d 2 v
dz dy
v z
dT dz
Ecuación de continuidad
2
d 2T
Ecuación de energía calórica
dy 2
Las dos ecuaciones son similares, luego una solución para la distribución de velocidad v(x,y) es también una solución para la distribución de temperatura T(x,y), si / para una temperatura de placa Ts constante. La relación / corresponde a un número adimensional denominado, número de Prandtl siendo k .
Cp
Igualando k
Cp
Numero de Prandtl: Pr Numero de Rayleigh: Numero de Grashof:
Cp k
Ra
Gr
difusividad de la cantidad de movimiento difusividad termica del fluido
Gr . Pr
D 3 2 g T 2
Donde: L = Longitud =
Densidad del fluido
g = aceleración de la gravedad =
coeficiente de dilatación volumétrica
Tabla. Valores de los parámetros a y b para convección natural
PLATOS VERTICALES
Y
Gr.Pr
a
b
<104
1.36
1/5
CILINDROS
Longitud >1 m Laminar
153
Laminar
104< Gr.Pr<109
0.59
1/4
Turbulento
>109
0.13
1/3
Laminar
103< Gr.Pr<109
0.53
1/4
Turbulento
>109
0.13
1/3
105< Gr.Pr<2x107
0.54
1/4
2x107< Gr.Pr<3x109
0.55
1/3
3x105< Gr.Pr<3x1010
0.27
1/4
CILINDROS HORIZONTALES Diámetro <0.2 m
PLATOS HORIZINTALES (calentado hacia arriba, enfriado hacia abajo) Laminar Turbulento
(calentado hacia arriba, enfriado hacia abajo) Laminar
3.5.2 Convección forzada En convección forzada el fluido circula alrededor de un objeto obligado por fuerzas mecánicas externas tales como ventiladores, bombas o agitadores. La forma general de todas las correlaciones incluye los números adimensionales: Nu, Re y Pr.
Nu f (Re, Pr) 1. Flujo laminar (Re<2100): D Para: Re Pr 100 L
154
0.085 Re Pr Nu
3.66
D
L
D 1 0.045 Re Pr L
0.66
b w
0.14
D Para: Re Pr 100 L
Nu 1.86
D Re Pr L
0.33
b w
0.14
2. Flujo transitorio (2100
Nu 0.116 Re
0.66
125
D 1 L
3. Flujo turbulento (Re>10 4) b Nu 0.023 Re Pr w 0.8
0.66
b w
0.14
0.14
0.33
Ejemplo 3-11 Calcular el coeficiente convectivo de transferencia de calor de una tubería de 10 cm de diámetro interior, a través de la cual circula vapor, la superficie de la tubería está a 130 ºC y la del aire exterior a 30ºC. T = 30 ºC
T = 130 ºC
10 cm
L
Propiedades del aire a temperatura promedio 80ºC. =
0.968 kg/m3
=
2.83 x 10 -3 K-1
Cp = 1.019 kJ/kg K k= 0.0293 W/mK =
20.790 N s /m2
155
Calculo de número de Prandtl:
Pr
Cp
kJ 1000 J 6 N s 20.79 10 1.019 2 1 kg K kJ m
k
W
0.0293
0.72
m º C
Calculo de número de Grashof: Gr
D 3 2 g T 2
10 10
2
m 0.968 kg / m 3
9.8 m / s 2.8310 20.79 10 Pa. s
3
2
2
3
K 1 130 30º K
2
6
5.92 10
Calculo de Pr.Gr = 5.92 x 10 6 x 0.72 = 6.21x106 -- Por tabla: a= 0.53 y b=1/4 Calculo de número de Nusselt: Nu
a Gr . Pr
b
0.53 0.72 5.92 10
6 1/ 4
24.08
Calculo de coeficiente convectivo: Nu
hD
K
--------
h
Nu K D
24.08 0.0293
10 10
2
7.055
W m º C
Ejemplo 3-12 El caudal másico de 0.02 Kg/s de agua se calienta por el interior de una tubería desde 20 hasta 60ºC (diámetro interior=2.5 cm). La superficie interior de la tubería se mantiene a 90ºC. Calcular el coeficiente convectivo si la tubería tiene 1 m de longitud. T = 90 ºC
0.02Kg/s
0.02Kg/s 2.5 cm Ts = 60 ºC
Te =20 ºC
1m
Propiedades del agua a 40ºC. Cp = 4.183 kJ/kg K k= 0.63 W/mK 40ºC =
0.662x10-3 N s /m2
90ºC =
0.3215x10-3 N s /m2
Calculo de Re:
156
6
Re
vD
mº D A
0.02
kg / s
2.5 10 m 2
1538.7
2.5 10 m 2
2
4
F. laminar
3 kg 0.662 10 m s
Calculo de Pr: 0.662 10 Pr
Cp
3
k
kJ s 4.183 kgK m 4.4 N 2
0.63
W
mK
Calculo de (Re x Pr x D/L): Re Pr
D L
1538.7 4.4
2.5 10 2 m 1m
169.3
Caculo de Nu: Nu 1.86
D Re Pr L
0.33
b w
0.14
0.662 10 3 3 0 . 3215 10
1.86169.3
0.33
0.14
11.19
Caculo de h: Nu
hD
K
--------
h
Nu K D
11.19 0.63
2.5 10
2
281.9
W mº C
Ejemplo 3-13 Si para el ejemplo anterior se eleva el caudal a 0.1 y 0.2 kg/s, manteniendo constante las otras condiciones. Calcular los coeficientes convectivos de transferencias de calor. mº1= 0.1 kg/s (caso A) mº2= 0.2 kg/s (caso B) Caso A: Cálculo de Re: Re
D
vD
2.5 10
mº D A
0.1 kg / s 2.5 10 2 m 2.5 10 m 3 kg 0.662 10 4 m s 2
2
2
L
Cálculo de Nu: sustituyendo valores en la ecuación
157
7693.5 F. turbulento
Nu 0.116 Re
0.66
D 125 1 L
0.66
b w
0.14
Nu=33.36 Caculo de h: Nu
hD
K
--------
h
W
840.63
mº C
Caso B: Cálculo de Re: 0.2 kg / s 2.5 10 2 m 15387 F. turbulento Re 2 A 2.5 10 2 m kg 3 0.662 10 4 m s vD
mº D
Cálculo de Nu: sustituyendo valores en la ecuación
Nu 0.116 Re
0.66
D 125 1 L
0.66
b w
Nu=92.84 Caculo de h: Nu
hD
K
--------
h
2339.5
W m º C
158
0.14
3.6 Transferencia de calor por conduccion y conveccion 3.6.1 Transferencia de calor por conducción y convección en estado estacionario Aplicando una combinación de conducción y convección se puede obtener Coeficiente global de transmisión de calor (U): Para calcular el coeficiente global de transmisión de calor se considera tres fases de transmisión de calor; convección externa, conducción y convección interna.
FLUIDO
FLUIDO T8 h8
q T1
Ti hi T8 h8 T1
Placa plana
Mecanismos de T.C.
q
FLUIDO
T2
FLUIDO T8 h8 FLUIDO T2
Ti hi
Cilindro hueco
Para placa plana: qce
h A T T 1
Para cilindro hueco: qc
e
h A2 T
T 1
Convección externa
Conducción
qk kA
q ci
(T 1 T 2 )
qk k (2 L)
T i
qc
i
hi A1 T 2
Convección interna COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR (U)
159
r 2 r 1
ln
x
hi AT 2
(T 1 T 2 )
T i
PLACA PLANA
CILINDRO HUECO
Sumando variación de temperaturas: Sumando variación de temperaturas: T T i
q 1
1
x
A h k hi
T
Sabiendo que:
T i
1 x 1 U h k hi
1 UA1
Por tanto:
ln
r 2 r 1
k ( 2 L)
1 hi A1
Sabiendo que:
1
q UA(T
1 q h A2
1 h A2
ln
r 2 r 1
k ( 2 L)
1 hi A1
Por tanto:
T i )
q
UA1 (T
T i )
3.6.2 Transferencia de calor por conducción y convección en estado no estacionario Hasta ahora se han estudiado situaciones en las que tanto la temperatura como el flujo de calor en todo punto eran constantes al transcurrir el tiempo. Ecuación general Cuando un sólido de temperatura uniforme se sumerge en un fluido de temperatura diferente aparece en él un perfil de temperatura variable en el tiempo. Agitador
Fluído
Sólido
T T
T1
q
La transferencia de calor desde el fluido hacia el sólido está dada por: qc
hA(T
T 1 )
La evolución de la temperatura con el tiempo, T(posición, ), es la solución de la ecuación diferencial para tres dimensiones, coordenadas cartesianas.
160
2
T
x
2
2
T
y
2
2
T 2
z
1 T
La solución analítica de las ecuaciones anteriores depende de la importancia relativa de las resistencias interna y externa al flujo de calor. Número de Biot ( Bi)
Re sistencia int erna Re sistencia externa
L / k 1/ h
hL k
k es la conductividad térmica del cuerpo y L una dimensión característica (el radio
para una esfera). Esta relación, denominada Número de Biot, indica, para valores superiores a 100, una resistencia externa despreciable, mientras que, para valores menores de 0.1, una resistencia interna mínima. Un Bi entre 0.1 y 100 implica órdenes de magnitud semejantes para ambas resistencias. A. Resistencia interna-conductiva a la transferencia de calor despreciable (Bi< 0.1 )
La situación de resistencia interna mínima aparece cuando se calientan o enfrían materiales de alta conductividad térmica como los metales en fluidos bien agitados. En este caso el balance térmico en un diferencial de tiempo es: Ecuación Básica: C alor del fluido
Calor del sólido
hA(T T ) V C p hA
t
VCp 0 t
T
d
T
T o
T T T o T
dT dt
dT
T
hA exp T T o VC p T T
En las ecuaciones, To es la temperatura inicial del cuerpo sumergido en el fluido, T es la temperatura del cuerpo en el tiempo t (que no depende de la coordenada espacial pues en un cuerpo de alta conductividad térmica todos sus puntos estarán a una misma temperatura en un tiempo dado), la densidad, V el volumen y C p el calor específico medio del cuerpo. B. Resistencia interna-conductiva a la transferencia de calor apreciable (Bi> 0.1 )
Para una placa infinita
161
T T
x 2 cos n e T o T L n 1 n sen n cos n n es
n
la raíz de la ecuación : n tan n
2 t 2
L
hL
k
Bi
Para un cilindro infinito T T T o
T
Jo(
sen( n )
o)
2
( sen n n cos n )
n o
n sen n cos n
J o ( n
r R
) e
2 n t / R 2
=0
Para una esfera T T T o T
n es
2( sen n n cos n ) x ( n 2 t / R 2 ) n e n sen n cos n R n 1
la raíz de la ecuación:
n cot n
1
hR
k
Solución gráfica
1.0
m
T
T
1
Bi
T
T o
0.01 0.0
3.5
2
L
C. Penetración de calor
log
T T T o
T
n
2
t
2.303 R 2
2( sen cos ) log cos sen n
n
n
n
n
162
n
n
x
R
CASO DE UN CILINDRO: La Ecuación que rige el proceso de calentamiento o enfriamiento se puede describir de la siguiente forma: j
f
(2 sen n n cos n ) x n n sen n cos n R 2.303
log
2
n
r 2
(T T )
(T o T )
log(T a T )
Donde:
t
f
t f
log j
log( j (T o T ))
T = Temperatura del medio que rodea To = Temperatura inicial del producto Ta = Temperatura de calentamiento o enfriamiento pseudoinicial t = tiempo
Ejemplo 3-14 Calcular la temperatura alcanzada en 5 min por el zumo de tomate ( = 980 Kg/m3) contenido en una olla semiesférica con camisa de vapor. El radio de la olla es 0.5 m, el coeficiente de convección es 5000 W/m 2°K, la temperatura en la superficie interior de la olla es 90°C y la temperatura inicial del zumo es 20°C. Suponer el calor específico del zumo igual a 3.95 kJ/Kg°C. Solución calentamiento: T T T T o
e
hA Cp V
T T h L Bi Fo 2 T T L o
ln 2
V
Cálculo de área:
A 2 r 2 2 0.5 1.57 m 2
3
r 3
2
Cálculo de Volumen:
3
0.5 0.26 m 3 3
2
163
W 5000 2 1.57 m 2 300 s m ºC kg J 3 3 980 m3 3.9510 kg ºC 0.26 m
90 T
Cálculo de temperatura: Respuesta:
90 20
e
T= 83.25 ºC
Ejemplo 3-15 Una esfera de acero con radio de una pulg tiene una temperatura de 800°F, esta esfera se sumerge repentinamente en un medio cuya temperatura se mantiene constante a 250°F, suponiendo un coeficiente convectivo de 2 BTU/hr pie 2 °F. Calcúlese la temperatura de la esfera después de 1 hora, K= BTU/hr pie °F; C p= 0.11BTU/lb°F; = 7849 Kg/m3. Solución enfriamiento: T T T o T
e
hA Cp V
Cálculo de Volumen: 3
1 pie 4 2 0.001212 pie 3 V r 3 1 pu lg 3 3 12 pu lg 2
Cálculo de área:
1 pie 2 0 . 0436 A 4 r 2 1 pu lg pie 12 pu lg 2
Cálculo de temperatura: BTU 2 0.0436 pie2 1 hr hr pie F º 3 2.2046 lb 1m kg BTU 3 7849 3 0.11 0.001212 pie lb º F m 1 kg 3.28 pie
T 250 800 250
Respuesta:
e
T= 394.9 ºF
Ejemplo 3-16
Un corte plano de carne de 2.54 cm de espesor, sometido originalmente a una temperatura de 10 °C se vá a cocinar por ambos lados hasta que el centro alcance a
164
una temperatura de 121°C en un horno que está a 177°C puede suponerse que el coeficiente convectivo es constante e igual a 25.6 W/m 2°K. Despréciense los cambios de calor latente y calcúlense el tiempo requerido. La conductividad térmica es 0.69 W/m°K y la difusividad térmica 5.85 x 10 m - 4 /h. Úsese la grafica de Heisler. Cálculo de número de Biot:
Bi
hL
1 m W 25.6 2 1.27 cm cm 100 m K W
0.69
0.47
m K
Cálculo de m:
m
1
1
Bi
2.12 7
2.13
0.47
F o
Calculo de temperaturas:
T T
T o
T
121 177 10 177
L2
3.1
0.335
2 2 1.27 10 m 0.859 hr 51.54 min L Calculo de Tiempo: 3.1 3.1 2 4 m 5.82 x10 hr 2
3.7
Transferencia de calor pro radiación
Este mecanismo consiste en una transferencia de energía de un cuerpo caliente a otro mas frío mediante ondas electromagnéticas. Para el caso de los alimentos este mecanismo es importante en las operaciones de horneado por radiación térmica o microondas. 3.7.1 Leyes de la radiación Cuando un cuerpo produce ondas electromagnéticas lo hace generalmente emitiendo un amplio espectro que depende de lo " caliente" que se halle . Un buen ejemplo es una placa de hierro que se coloca en un extremo de un mechero. En un sistema cerrado los cuerpos intercambian energía por radiación hasta que su temperatura se iguale. El tipo de superficie de un cuerpo es importante en este intercambio. Como todo material, cuando un alimento es expuesto a ondas, parte de ellas se absorben y transforman en calor, otra parte se refleja y otra parte se transmite a través de él:
165
Radiacion incidente
Radiación reflejada (r)
ALIMENTO Radiación absorvida (a)
Radiación Transmitida (t)
Desdoblamiento de la energía electromagnética incidente en un alimento Si se iguala a 1 la energía que incide en la muestra, se cumplirá que: a r t 1 absorbancia reflec tan cia transmitan cia
En alimentos prácticamente no existe la transmitancia ( a menos que sean muy delgados), y, a r 1
La absorbancia de un alimento depende de su naturaleza química, color y estado de su superficie, además de las característica del emisor (la discriminación de las ondas electromagnéticas que emite, o distribución espectral de su radiación). Mientras mas agua contenga, mejor absorbente es; otros constituyentes que absorben energía en los alimentos son las proteínas, los azúcares y los lípidos. Todos los cuerpos también emiten energía. A una misma temperatura , y en equilibrio con los alrededores, el valor de la emisividad y la absorbancia de un cuerpo son los mismos: a
Un cuerpo negro se define como aquel que absorbe toda la energía que recibe ( a = 1)
Para un cuerpo negro se tendrá una emisividad de uno ( e = 1). La potencia emitida por él está dada por: q r
AT 4
Todos los cuerpos reales, incluidos por supuesto los alimentos, tienen emisividades menores que 1 (cuerpos grises) . Para ellos se tiene:
166
qr
AT 4
Donde: A = es el área en m 2 =
es una constante igual a 5.6732x10
=
Factor de emisividad
– z
W / m2 (ºK)4
T = es la temperatura del cuerpo negro en ºK Ejemplo 3-17 Calcular el flujo de energía emitida por una superficie de 100 m 2 de hierro pulido (emisividad=0.06) si su temperatura es de 37ºC. q r
5.6732 10
2
W 2
m K
4
0.06(100m 2 )310 K 4
167
3141W
3.8 INTERCAMBIADORES DE CALOR 3.8.1 Definición Un intercambiador de calor es un dispositivo diseñado para transferir calor de un fluido a otro, sea que estos estén separados por una barrera sólida o que se encuentren en contacto. Son parte esencial de los dispositivos de refrigeración, acondicionamiento de aire, producción de energía y procesamiento químico. Un intercambiador típico es el radiador del motor de un automóvil, en el que el fluido refrigerante, calentado por la acción del motor, se refrigera por la corriente de aire que fluye sobre él y, a su vez, reduce la temperatura del motor volviendo a circular en el interior del mismo. Simon Singh (1998) describe los diferentes tipos de intercambiadores de calor. 3.8.2 Aplicaciones industriales Son prácticamente innumerables dada su tipología. Entran a formar parte de cualquier proceso donde se requiera intercambio térmico. Cabría destacar:
Industria alimentaria: enfriamiento, termización y pasteurización de leche, zumos, bebidas carbonatadas, salsas, vinagres, vino, jarabe de azúcar, aceite, etc. Industria química y petroquímica: producción de combustibles, etanol, biodiésel, disolventes, pinturas, pasta de papel, aceites industriales, plantas de cogeneración, etc. Industria del aire acondicionado: cualquier proceso que implique enfriamiento o calentamiento de los gases. Calefacción y energía solar: producción de agua caliente sanitaria, calentamiento de piscinas, producción de agua caliente mediante paneles solares, etc. Industria marina: enfriamiento de motores y lubricantes mediante el empleo del agua del mar.
3.8.3 Mecanismos de transferencia de calor en un intercambiador de calor
Transmisión de calor por conducción
La conducción de calor es un proceso de transferencia de energía térmica que tiene lugar en los medios materiales entre regiones de diferente temperatura. Cuando las moléculas absorben energía térmica vibran alrededor de sus posiciones medias, aumentan la amplitud de la vibración y, por lo tanto, aumentan su energía cinética. La conducción puede darse en cualquier estado de agregación de la materia, pero no en el vacío.
168
q k
kA
dT dx
Una teoría ampliamente aceptada sugiere que la transferencia de calor por conducción es debida, por una parte a la transmisión de las vibraciones entre moléculas adyacentes, y por otra parte al movimiento de los electrones libres, transportando energía. Esta teoría es acorde con que los materiales que son buenos conductores del calor, también suelen ser buenos conductores eléctricos.
Transmisión de calor por convección
Cuando un fluido circula en contacto con un sólido, por ejemplo por el interior de una tubería, existiendo una diferencia de temperatura entre ambos, tiene lugar un intercambio de calor. Esta transmisión de calor se debe al mecanismo de convección. El calentamiento y enfriamiento de gases y líquidos son los ejemplos más habituales de transmisión de calor por convección. Dependiendo de si el flujo del fluido es provocado artificialmente o no, se distinguen dos tipos: convección forzada y convección libre (también llamada natural). La convección forzada implica el uso de algún medio mecánico, como una bomba o un ventilador, para provocar el movimiento del fluido. Ambos mecanismos pueden provocar un movimiento laminar o turbulento del fluido. qc
h A T
3.8.4 Tipos de intercambiadores Dada la multitud de aplicaciones de estos dispositivos, se puede realizar una clasificación dependiendo de su construcción. Para la elección del mismo se consideran aspectos como tipo de fluido, densidad, viscosidad, contenido en sólidos, límite de temperaturas, conductividad térmica, etc.
Tubulares: formados por un haz de tubos corrugados o no, realizado en diversos materiales. El haz de tubos se ubica dentro de una carcasa para permitir el intercambio con el fluido a calentar o enfriar. De placas: formados por un conjunto de placas de metal corrugadas (acero inoxidable, titanio, etc.) contenidas en un bastidor. El sellado de las placas se realiza mediante juntas o bien pueden estar soldadas. Tubo aleteado: se compone de un tubo o haz de tubos a los que se sueldan aletas de diferentes tamaños y grosores para permitir el intercambio entre fluidos y gases. P. ej., radiador de un vehículo.
169
Superficie rascada: muy similar al tubular, con la particularidad de ubicar dentro del tubo un dispositivo mecánico helicoidal que permite el paso del fluido que, por sus características, impide un trasiego normal con los medios de bombeo habituales.
3.8.5 Intercambiador de Tubos a)Tubos concéntricos Existen de dos tipos: flujo en paralelo y flujo en contracorriente. El flujo en contracorriente es más efectivo que el flujo en corrientes paralelas a igualdas de todos los otros factores. a.1) flujo paralelo FCi FFi
FFs
FCs
a.2) flujo en contracorriente
FCi FFs
FFi
FCs
b) De coraza y tubos. Son de mayor aplicación en la industria, por lo que permite un flujo continuo. Existen de diferentes tipos: b.1) Intercambiador 1-1
170
Salida de
Entrada de
los tubos
la carcasa
Deflectores
Salida de la carcasa
Entrada de los tubos
b.1) Intercambiador 1-2
Entrada de la carcasa
Deflectores
Entrada de los tubos Salida de los tubos
Salida de la carcasa
3.8.6 Intercambiador de Placas Producto
Producto Condensado
3.8.7 VELOCIDAD DE TRANFERENCIA DE CALOR EN UN INTERCAMBIADOR DE CALOR La velocidad de transferencia de calor en un intercambiador de calor 1-1, se expresa mediante la siguiente ecuación:
171
Q UAT La velocidad de transferencia de calor 1-2, 2-4 la ecuación de transferencia de calor esta dado de la siguiente forma:
Q UAT F Donde: Q es la velocidad de transferencia de calor A Área efectiva de transferencia de calor F Factor de corrección que depende del tipo de intercambiador de calor y de
las temperaturas del fluido T Diferencia de temperaturas
La diferencia entre las temperaturas de los fluidos frío y caliente a través de la pared del intercambiador, no es la misma en cualquier lugar del aparato. En consecuencia, es necesario determinar una apropiada DT para emplearla en los cálculos de transferencia de calor. Esta DT adecuada, es la diferencia de temperaturas media logarítmica (LMDT ). THi TCo
LMDT
TCi THo
T Hi T Co
T Ho T C i
T Hi T Co Ln T Ho T C i
El factor de corrección F se puede calcular en función de dos parámetros que llamaremos X y Z de la siguiente forma: F
f X , Z
Los parámetros X y Z se definen en función de las temperaturas de entrada y salida de ambos fluidos de la siguiente forma:
X
T C o T C i T H i T C i
Z
T H i
T H o
T C o
T C i
La forma analítica de las funciones que permiten calcular F en cada caso es
172
bastante complicada e inadecuada para cálculos manuales, aunque se usa programas de cálculo. En general resulta mas fácil usar las gráficas elaboradas a partir de esas funciones.
1.0
F
Z
0.0 0.0
1.0
X
Ejemplo 3-18 Calcular la MLTD para las siguientes condiciones: temperatura de entrada del fluido caliente: T1=300; temperatura de salida del fluido caliente: T 2=200; temperatura de entrada del fluido frío= t 1=100; temperatura de salida del fluido frío: t 2=150 Solucion: a) Equicorrientes: t 2 T 1 t 1 300 100 200 t 1 T 2 t 2 200 150 50
MLDT
t 2 t 1 200 50 108 200 t 2 ln ln 50 t 1
b) Contracorrientes t 2 T 1 t 1
300 150 150
t 1 T 2 t 2
200 100 100
173
MLDT
t 2 t 1
ln
t 2
150 100 ln
150
123.5
100
t 1
Ejemplo 3-19 Un intercambiador de 1-2 por una pasada por la coraza y 2 pasadas por los tubos vana calentar un fluido de 100 a 250ºF mediante un fluido caliente que ingresa a 600ºF y sale a 300ºF. Calcular la diferencia de temperaturas media logarítmica y estimar el factor de corrección. SOLUCION: Calculo de temperatura media logaritmica: LMDT
T T Hi
Co
T Ho
T C i
T Hi T Co T Ho T C i
600 250 300 100 600 250 Ln 300 100
Ln
268.04
Calculo de para metros X y Z: X
Z
T C o T C i T H i T C i T H i T H o T C o T C i
250 100 600 100 600 300 250 100
0.3
2.0
1.0
0.9
Z = 2
F
0.0 0.0
0.3
1.0
X
LMDT T LM 268.04 0.9 241.23º F
174
Ejemplo 3-20 Por una tubería refrigerada de 2.5 cm de diámetro interno fluye leche a una velocidad de 0.4 kg/s. Si su temperatura inicial es de 49ºC y se desea que se enfrie hasta 18ºC utilizando un baño agitado por cuyo exterior circula agua a 10ºC, calcular la longitud de tubería necesaria. Suponer que el coeficiente global de transmisión de calor del serpentin a la leche es de 900 J(m 2sºC), y que el calor específico de la leche es de 3890 J/kgºC. SOLUCION: Q mCpT 1 T 2 0.4
kg J J 3890 49 18º C 48.24 s kg º C s
Q UAT LM
T LM
T 2 T 1 49 10 18 10 19.6º C T 2 49 10 ln ln T 1 18 10
Remplazando: 48.24
J s
A
A
900
2.73 m
J 2
m s º C
A 19.6º C
2
DL -------- L
A D
2.73m 2 2.5 10 2 m
34.8 m
Ejemplo 3-21 Calcular el área de transferencia de calor de un intercambiador de tubos de 1.5 pulgadas de diámetro exterior, que es utilizada para enfriar 90,000 lbm/hr. De una solución (Cp = 0.27 BTU/lbm. - ºF) de 150 ºF a 105 ºF usando 80000 lbm /hr de agua disponible a 50 ºF. El coeficiente total de transferencia de calor, basado en el área exterior, es de 100 BTU / hr-pie 2-ºF. Considerar cada una de las disposiciones siguientes: a) Flujo en paralelo en tubo y región anular. b) Flujo en contracorriente en tubo y región anular c) Intercambiador de calor de dos pasos en la corasa y 72 tubos que se encuentran distribuidos en 4 pasos. Ecuación de transferencia de calor para el intercambiador:
175
TML
q
VeAc
q
W sol .Cp.T
q
-------------------------------------------------------(1)
Donde:
90,000
lbm hr
x 0.27
BTU
x (150 105)º F lbm º F
q = 1 093,500BTU/hr Ve = 100 BTU/hr – pie2 - ºF T ML
Tm
Ln
Tm
Tm Tm
No puede calcularse Tm pues no se conoce Tm ya que es desconocida la temperatura de salida del agua puede calcularse en base a un balance de energía entre los dos líquidos. Qso1 = q H2O = q 1'093,500
x
x
BTU hr
1'093,500 80,000
80,000
1n, m hr
x
x( x 1lbmº F
50 63.67º F
64º F
Por lo tanto: TM = 150 – 50 = 100ºF TM = 105 – 64 = 41 ºF T ML
T ML
100 41 59 x º F 100 ln(2.44) ln 41 59
1 BTU
66.29
0.89
TML = 66ºF
176
50)º F
En la ecuación (1):
A
1'093,500
q
U eT ML
100
BTU hr
BTU
x66º F hr pie 2 º F
A = 165.7 pie 2
rpta
a)
b) de la ecuación de transferencia de calor, se obtiene. Ae
q
------------------------------------------------------------ (2)
U e
Donde : q = 1’093,500 BTU / hr
Ue = 100 BTU / hr – pie2 - ºF
T ML
TM
Ln
TM
TM TM
T ML
T ML
(150 64) (105 50) 150 64 Ln 105 50 86
Ln
55
86
31
Ln1.56
31
0.445
55
TML = 70ºF Reemplazando valores en Ao
(2)
1'093,500 BTU / hr BTU 100 x70º F hr pie 2 º F
Ae =156.2 pie2 Ecuación de transferencia de calor característica: Q = Ue Ae TML x FT -----------------------------------------------------(3) FT = Factor de correcciòn Es hallado en el grafico correspondiente , en base a valor de R y S, donde :
177
R
S
T 1
t 2
t 2
t 2
T 2
t 1
150
t 1 t 1
64
64
150
105 50
50
50
45
14
14
100
3.21
0.14
Del grafico correspondiente F T = 0.99 Remplazando valores en formula (3) y despejando para Ae: Ae
Ae
q Ue.T ml . f T 1'093,500 BTU / hr
100
BTU
x70º Fx0.99 hr pie 2 º F
A = 158 pie2
Rpta c)
178
SEMINARIO VII
TRANFERENCIA DE CALOR
TRANSFERENCIA ESTACIONARIO.
DE
CALOR
POR
CONDUCCIÓN
EN
ESTADO
1. Calcular la temperatura a 0.5 cm de la superficie mantenida a 110°C, si el flujo de calor es 34000 W/m 2 y K del material es 17 W/m°C. El espesor del material es 1cm. 2. Se transporta vapor desde un caldero hasta un equipo de proceso a través de una tubería de acero con conductividad térmica de 43 W/m°C, 6 cm de diámetro interior, 1 cm de espesor y 40 m de longitud. La superficie interior está a 115°C y la exterior a 90°C. Calcular la perdida de calor hacia el exterior. 3. Una pequeña esfera a 1000°F, con un diámetro de 2 pulg. está aislada del medio ambiente a 90°C con una envoltura de cuerpo negro con un espesor 0.5 pulg. El calor radiante que pierde la esfera gris es 3870 Btu/hr Pie 2. Calcular la conductividad térmica de la envoltura. 4. La pared de una cámara frigorífica que debe ser mantenida a –18°C, está forrada por 11 cm de ladrillo, 7.5 cm de cemento y por último de 10 cm de corcho. La temperatura de la superficie exterior es de +18°C. Calcular la velocidad de transferencia de calor a través de la pared y la temperatura en la interfase entre las capas de cemento y corcho. Las conductividades térmicas del ladrillo, cemento y corcho son: 0.69, 0.76, 0.043 W/m°C respectivamente. 5. Calcular la intensidad del paso de calor por metro lineal de un conducto cilíndrico de diámetro interior de 5 y 12 cm respectivamente, si la temperatura de la cara interna es de 200°C y de la cara externa 60°C. la conductividad del material a 200°C y a 60°C es 0.6 y 0.4 Kcal/m (h)°C. que la conductividad del material varía linealmente con la temperatura (K= a + b T). 6. Se desea utilizar una tubería de acero inoxidable ( K=15W/m°K) para transportar aceite caliente a 125°C, la temperatura en la cara interior de la tubería es 120°C, siendo sus dimensiones: 5 cm de diámetro interior y 1 cm de espesor. Para mantener la perdida de calor por conducción por debajo de 25 W/m de tubería es necesario aislarla pero existe limitación de espacio y solo es posible instalar una capa de aislante de, como máximo 5 cm de espesor. La superficie exterior debe estar en todo caso a temperatura superior a 20°C (temperatura de rocío del aire exterior) para evitar condensaciones sobre ella. Calcular la conductividad térmica del aislante a instalar. 7. Para el siguiente cilindro macizo con generación interna y con superficie exterior aislada hallar:
179
a) El flujo de calor en x=0 y en x=3 m b) La temperatura máxima y su ubicación
T1=400ºC
T2=0ºC qk
D = 2 cm
3m x=0
x=3
8. Calcular el flujo de calor en una esfera cuando la conductividad térmica es k=k0(1+BT) r 1 r 1 r
9. Calcular el flujo de calor que transfiere una esfera cuando la conductividad térmica es k=k0 (1+BT+CT2) TRANFERENCIA ESTACIONARIO
DE
CALOR
POR
CONDUCCIÓN
EN
ESTADO
NO
10. Se desea unir entre si dos laminas de un material sólido, el espesor de cada una de ellas es 0,77cm. para ello, se utiliza una delgada capa de un material termoplástico que se funde a 160°C y da lugar a buena unión. Las dos láminas se colocan en una prensa, cuyas platinas se mantienen a una temperatura constante de 220°C. ¿Qué tiempo deben permanecer las laminas en la prensa, si su temperatura inicial es de 20°C?. la difusividad térmica de las laminas 4.2x10 -7 cm2 /s. 11. Una esfera de un cierto material y de diámetro 2,5 cm, posee las siguientes propiedades: = 6,98 g/cm3, K = 44,7 Kcal/hm°C y Cp = 0,12 Kcal/Kg°C. la esfera inicialmente se encuentra a 21°C. a. Si la esfera se sumerge bruscamente en una gran masa de fluido cuya temperatura es 132°C. ¿ Que tiempo tardara para que el centro de la esfera alcance 53,3°C ? b. Una esfera del mismo tamaño que esta en al misma temperatura inicial, pero de distinto material necesita el doble de tiempo para que su centro alcance 53,3°C. ¿ Cual es la difusividad térmica de este material ? 12. Calcular la temperatura mínima del alimento contenido en un lote de 8,1 cm de diámetro y 11 cm de altura, que ha sido expuesto durante 30 minutos en agua a 100° C. se supone que el alimento solo se calienta y enfría por conducción. La temperatura inicial del alimento es 35° C y sus propiedades son: K = 0,34 W/m°C; Cp = 3,5 KJ/Kg°C 13. Una hojalata de forma cilíndrica de 6 cm de diámetro y 10 cm de altura contiene puré de papa a 20° C, cuya difusividad térmica es 1,3 x 10 -7 m2 /s. esta hojalata es sumergida bruscamente en una corriente de vapor saturado que esta a 118° C. se colocan termopares sobre el eje de la hojalata a 1 cm de
180
la tapa superior, 1 cm de la tapa inferior y en el centro. ¿Qué temperatura indicaran los termopares al cabo de 10 minutos? 14. Se desea enfriar pure de manzana en bandejas de un refrigerador, mediante aire a 2° C que circula a elevada velocidad por encima del producto. La profundidad del producto en las bandejas es de 30 mm y su temperatura inicial 9° C; además el ancho y el largo de la bandeja son 300 y 250 mm respectivamente. La conductividad térmica del producto es 0.37 W/m°K, el Cp = 3.7 KJ/Kg°K y la = 1000 Kg/m3. calcular la temperatura en el centro del producto al cabo de 30 minutos de enfriamiento, suponga que la resistencia a la transferencia de calor en la superficie es despreciable.
181
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN Y CONVECCIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO 15. Calcular la temperatura alcanzada en 5 min por el zumo de tomate ( = 980 Kg/m3) contenido en una olla semiesférica con camisa de vapor. El radio de la olla es 0.5 m, el coeficiente de convección es 5000 W/m 2°K, la temperatura en la superficie interior de la olla es 90°C y la temperatura inicial del zumo es 20°C. Suponer el calor específico del zumo igual a 3.95 kJ/Kg°C 16. Una esfera de acero con radio de una pulg tiene una temperatura de 800°F, esta esfera se sumerge repentinamente en un medio cuya temperatura se mantiene constante a 250°F, suponiendo un coeficiente convectivo de 2 BTU/hr pie2 °F. Calcúlese la temperatura de la esfera después de 1 hora, K= BTU/hr pie °F; C p= 0.11BTU/lb°F; = 7849 Kg/m3. 17. Un corte plano de carne de 2.54 cm de espesor, sometido originalmente a una temperatura de 10 °C se vá a cocinar por ambos lados hasta que el centro alcance a una temperatura de 121°C en un horno que está a 177°C puede suponerse que el coeficiente convectivo es constante e igual a 25.6 W/m 2°K. Despréciense los cambios de calor latente y calcúlense el tiempo requerido. La conductividad térmica es 0.69 W/m°K y la difusividad térmica 5.85 x 10 m - 4 /h. Úsese la grafica de Heisler. 18. Considerando las siguientes propiedades físicas para el enfriamiento de res en carcasa de densidad 1.073 Kg/m3, Cp = 3.48 KJ/kgK y K= 0.498 W/m°K, se desea enfriar un corte grande de 0.203 m de espesor que está inicialmente a una temperatura uniforme de 37.8°C de tal manera que la temperatura del centro sea 10°C, se usa aire de enfriamiento a 17°C temperatura que se pone constante y cuyo valor de coeficiente convectivo es 39.7 W/m 2K ¿Calcular el tiempo necesario? 19. Calcular el tiempo necesario para que la temperatura en el centro de una manzana de 6 cm de diámetro, mantenida en el seno de una corriente de agua a 2°C, alcance los 3°C. la temperatura inicial uniforme de la manzana es 15°C. El coeficiente de convección en el agua es de 50 W/m 2°C Y las propiedades de la manzana son: K=0.355 W/m°C; Cp=3.6 KJ/Kg°C; = 820 Kg/m3. 20. En la zona de cultivo de naranjas el congelamiento de frutas en árboles durante las noches frías tienen gran importancia económica, si la naranja se encuentra inicialmente a una temperatura de 21.1°C Calcular la temperatura en el centro de la naranja, cuando se expone al aire que está a una temperatura de 3.9°C y durante 6 horas. Las naranjas tienen 102 mm de diámetro, se estima que el coeficiente convectivo es 11.4 W/m 2K, la conductividad térmica de la naranja es 0.431 W/m°C, la difusividad térmica 4.65 x 10 – 4 m2 /hr. Desprecie los calores latentes. 21. Se está utilizando un autoclave que se mantiene a 121.1°C para procesar carne de salchichas de 101.6 mm de diámetro y 6.1 m de de longitud, que están originalmente a 21.1°C, después de 2 horas, la temperatura del centro es 98.9°C. Si el diámetro aumenta a 139.7 mm. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el centro llegue a una temperatura de 98.9°C?. El coeficiente de transferencia de calor a la superficie es 1100 W/m 2K, un valor muy elevado, por lo que se puede considerar que la resistencia superficial es despreciable (demuestre esto). Despréciese la Transferencia de calor en los dos extremos del cilindro. La conductividad térmica es K = 0.485 W/mK. 22. Una varilla de acero de 0.305 m de diámetro sometida en un principia a una temperatura de 588 K se sumerge en un baño de aceite que se mantiene a 311°K. El coeficiente convectivo superficial es 125 W/m 2K. Calcúlese la
182
temperatura en el centro de la varilla después de 1 hora las propiedades físicas promedio del acero con K = 38W/mK y = 0.0381 m2 /h. 23. Se quiere procesar salchichas cilíndricas con el 0.092 m de largo y 0.022 m de diámetro en un horno las salchichas inicialmente a 16°C de temperatura, El horno se mantiene constante a 80°C el coeficiente de transferencia de calor entre la superficie y el aire 18 W/m 2K, la salchicha tiene conductividad térmica 0.8 W/mK, un densidad 900 kg/m3, Cp = 1.8 Kj/Kg K. ¿Cuánto tiempo debe permanecer la salchicha en el horno a fin de alcanzar una temperatura en el centro de 65°C. 24. Calcular la temperatura en el centro de un alimento contenido en un bote de 8.1 x 11 cm es puesto durante 30 min en agua a 100°C. La temperatura inicial del alimento es 35°C y sus propiedades son: K=0.34 W/m°C; Cp=3.5 KJ/Kg°C; = 900 Kg/m3. El coeficiente de convección en el agua se estimó en 2000 W/m2°C. 25. Papas fritas inicialmente con 15°C se fríen en aceite vegetal caliente a 160°C. las dimensiones de cada papita son 1 x 1 x 10 cm , el calor específico es 3.5 KJ/Kg°K, la K = 0.3 W/mK y = 1093 Kg/m3, el coeficiente de transferencia de calor entre la papita y el aceite ( coeficiente de transferencia de calor por convección) se estima 600 W/m 2K. Cual será la temperatura en el centro de pedazo de papa después de 60 seg. introducido en el aceite. 26. Las propiedades termales de la carne son: = 1073 kg/m3, cp = 3.48 kJ/kg.K, K = 0.498 W/m.K. se desea enfriar un corte grande de 0.210 m de espesor, que se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 25 ºC, de tal manera que la temperatura del centro alcance 8ºC. Para el efecto se utilizará aire como medio de enfriamiento (2ºC de temperatura constante) y cuyo valor de h = 39.7 W/m2.K. Calcular el tiempo necesario. 27. Se esta procesando una lata de conservas de 7.5 cm de altura y 2.5 cm de radio. La temperatura del medio de calentamiento es de 115 ºC, la temperatura inicial de la lata es 20 ºC. Valor de h = 7.6 W/m2.K, la densidad del producto 1050 kg/m 3, cp = 3270 J/kg.K, K = 0.4763 W/m.K. Cuanto tiempo debe transcurrir para que la temperatura en el centro de la lata 105 ºC. INTERCAMBIADORES DE CALOR 28. Se desea elevar la temperatura de una corriente de aceite que fluye a razon de 1kg/s de 15ºC a 70ºC. Se cuenta con una corriente de 0.3kg/s de agua a 95ºC.¿Bastar´a la cantidad de agua para calentar el aceite? 29. Se desea que cierta caldera genere 3kg/s de vapor de agua a una presion de 0.13MPa. Una parte del calor desperdiciado se recupera en la forma de 40 kg/s de gases de escape a 300ºC. ¿Bastará esta energía para producir el vapor? Tomar Cp=1180 J/kg K para los gases de escape. 30. Se calienta aire desde la temperatura TFE=20ºC hasta la TFS=210ºC, con gases calientes que evolucionan desde una temperatura inicial TCE=410ºC hasta TCS=250ºC. Calcular la DTLM para el caso de un intercambiador doble tubo en corrientes paralelas, en contracorriente, para un intercambiador en corrientes entrecruzadas en donde ambas corrientes estan sin mezclar, y por último para otro en que ambas están mezcladas 31. Una corriente de vapor saturado a 0.115Mpa entra en un calentador de aire y se condensa sobre tubos horizontales de latón de una pulgada, calibre 18, de 0.7m de longitud. Los tubos están colocados en una disposición alternada de 4 filas de 15 tubos cada una, con una separación de 4cm entre los centros. Una corriente de aire entra en los tubos a 1 atm, 285K y a una velocidad de 2m/s.
183
Determinar la temperatura de la salida del aire, la velocidad de consumo de vapor y la caída de presión del lado aire. 32. Por el interior de un tubo de cobre circula agua que se enfría desde 370K a 350K con un caudal volumétrico de 1.8 m 3 /h. Al mismo lo ataca una corriente transversal de aire a 300K a una velocidad de 20m/s. El diámetro exterior del caño es de 25mm con 1mm de espesor de pared. Calcular la longitud necesaria de tubo desnudo para producir dicho enfriamiento. Rehacer los cálculos para un tubo con aletas circunferenciales de aluminio de 50mm de diámetro exterior, 0.8mm de espesor y una separación entre aletas de 9.5mm (tubo desnudo).
184
Transferencia de masa 4.1 INTRODUCCIÓN Dentro de los tres fenómenos de transferencia estudiados, cantidad de movimiento, calor y masa, este último se caracteriza e identifica al Ingeniero Agroindustrial, mientras que los otros fenómenos de transferencia, no solamente es dominio de la Ingeniería Agroindustrial, sino también, es del dominio de otras ciencias de la ingeniería. Este capitulo, nos permite tener un conocimiento adecuado del fenómeno de transferencia de materia en operaciones industriales tales como la destilación, absorción, adsorción, secado, extracción y otros ampliamente difundidos en la Ingeniería Agroindustrial.
7.1.
MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE MASA a) Transferencia de masa por difusión. Es el movimiento individual de las moléculas de los diferentes componentes, sin que exista un movimiento neto de la masa del fluido. b) Transferencia de masa por convección. Es el transporte de componentes debido a un desplazamiento global de la masa del fluido.
7.2.
TRANFERENCIA DE MASA POR DIFUSIÓN La transferencia de materia por difusión es un mecanismo similar a la transferencia de calor por conducción. La difusión de las moléculas es debido a la gradiente de concentración.
7.2.1.
LA LEY DE FICK PARA DIFUSIÓN MOLECULAR
La ley general de Fick puede ser escrita como sigue, para una mezcla binaria de los componentes A y B:
185
J
*
Az
D AB
dC A
dz
Donde: J*Az = Es el flujo molar del componente A en la dirección Z debido a la difusión molecular (kg-mol/s.m 2) DAB = Coeficiente de difusión de las moléculas de A en B (m 2 /s) z =
Distancia de difusión en (m).
Concentración. Es la cantidad de soluto por una cantidad fija de disolvente o solución en una mezcla de dos o más componentes. Las unidades de concentración que se utilizan frecuentemente es la molaridad (M), moles de soluto por litro de solución.
C
M
n
V
Fracción mol ( x A). Es el número moles de A entre el número de moles totales .
x A
n A nT
C A C
Si C es constante, entonces C A = C x A
dC ) = C dx A = d (C x A A
Sustituyendo a la ley de Fick tenemos:
J * Az C D AB
dx A dz
186
Presión parcial. Es la presión que se ejercería por este componente si sólo él estuviese presente en el mismo volumen y a igual temperatura que la mezcla.
PV
nRT
C
n V
P RT
C A
n A
V
p A RT
dC A
dp A RT
Sustituyendo a la ley de Fick tenemos:
J * Az
D AB dp A RT dz
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Una tubería contiene una mezcla de He y N 2 gaseoso a 298K y 1 atm de presión total, que es constante en toda la extensión del tubo. En uno de los extremos del tubo, punto 1, la presión parcial p A1 del He es 0.60 atm y en el otro extremo, a 20 cm, pA2 es 0.20 atm. Calcule el flujo específico de He estado estable en unidades de SI cuando el valor de D AB de la mezcla He-N2 es 0.687 cm2 /seg. SOLUCION:
J * Az
D AB dp A RT dz
Integrando:
J * Az
D AB ( p A1 p A1 ) RT
z 2 z 1
Remplazando:
187
J * Az
0.687 cm
2
/ s
(0.60 atm 0.20 atm)
20 cm 0 cm
atm cm 3 82.057 298 K kg mol K
188
5.63 10 7
mol kg A s cm 2
7.2.2.
DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES
7.2.2.1.
CONTRADIFUSIÓN EQUIMOLAR EN GASES. Sean dos gases que se encuentran en dos recintos, unidos por una tubería, como se muestrea en la Figura 1.
P A1
1
PB1
2
P A2 PB2
J A* JB* z
Fig. 1: Contradifusión equimolar
Donde:
p A1 + pB1 = p A2 + pB2 = P
Si graficamos la variación de la presión con respecto a la distancia:
P
PT P A1
PB1
PB1
P A2
Z
Si cumple que : J* AZ = - J*BZ
Escribiendo la ecuación de la ley de fick para B,
189
J * B D BA
dC B dZ
Si P = P A + P B = constante por la ley de las presiones parciales y concentraciones parciales de Dalton.
C = C A + C B
Diferenciando,
dC = dC A + dC B
dC A = - dC B
Igualando,
Entonces:
7.2.2.2.
D AB
D AB
dC B dz
( ) D BA
dC B dz
D BA
DIFUSIÓN DE UN GAS “A” TRAVES DE UN GAS “B” QUE NO SE DIFUNDE (ESTANCADO) El flujo de masa (J*) puede ser convertido a velocidad de difusión de A:
m kg mol 3 s m
J * Az (kg mol / s. m 2 ) v Ad C A
190
Donde : v Ad = velocidad de difusión de A (m/s)
La velocidad molar promedio del fluido total relativo a un punto estacionario es v M (m/s). Expresado matemáticamente, la velocidad relativa de “A” a un punto estacionario es la suma de la velocidad de difusión (v Ad ) y de la velocidad convectiva o promedio (v M ).
v A = v ad + v M
Donde v A es la velocidad relativa de A en un punto estacionario. Expresado gráficamente: v A v Ad
v M
Multiplicando por C A
C A v A = C A v Ad + C A v M
Donde C Av A : Representa el flujo total a un punto estacionario (kg-mol/ s m2) C Av Ad : es el término J* A, el flujo relativo de difusión al movimiento
del fluido. C Av M : el flujo de convección de A relativo a un punto estacionario.
N A = J* A + C Av M
Si N es el flujo de convección total de una corriente total relativa a un punto estacionario. Entonces:
191
N = N A + N B = C v M
v M
N A
N B
C
Sustituyendo: N A N B C
N A = J* A + C A
dC A
N A
D AB
N A
CD AB
dz
dx A dz
C A C
N N
C A C
A
B
N N A
B
Caso especial para un componente A difundiéndose a través de una capa estancada de un componente B. El valor de N B = 0
N A C D AB
dx A dz
CA C
( N A 0)
Aire (B)
P A1
2
Z2-Z1
N A
1
Benceno (A)
1
Z2-Z1
P A1
NH 3 (A) Agua (B)
N A
2 Agua líquida (B)
(a)
(b)
Fig. 2: Difusión del componente A a tr avés de una capa es tancada de un c omponente B: (a) Benceno evaporandose en el aire; (b) Amino en el aire siendo absorbido en el agua
192
Sabiendo que: C
N A
D AB dp A RT dz
n
P
V
RT
p A
; p
A
= x A P
y
C A C
p A P
N A
P
Reagrupando: N A
p A P
N A
D AB dp A RT dz
D AB dp A P p A N A RT dz P N A
D AB P dp A
RT dz P p A
Reordenando e integrando: N A
z 2
z 1
dz
N A
D AB P RT
p A 2
p A1
D AB P RT z 2 z 1
ln
dp A P p A
P p A2 P p A1
Es la expresión final adecuada para calcular el flujo de A. Sin embargo, con frecuencia se escribe en otra forma. Primero se define un valor media logarítmica de B inerte. Puesto que P p A p B p A p B , 1
p B1
p BM
P p A1 p B 2
p B 2 ln
N A
p B1
p B 2
P p A2
p A1 p A2 P p A2
p B1
ln
P p A1
D AB P
( p A1 p A2 )
RT ( z 2 z 1 )
P MB
193
1
2
2
7.2.2.3.
COEFICIENTE DE DIFUSIÓN PARA GASES Para encontrar la difusividad de la mezcla de gases existen tres métodos:
1. Determinación experimental de coeficiente de difusión. Uno de los métodos consiste en evaporar un líquido puro en un tubo estrecho haciendo pasar un gas sobre el extremo superior, luego se mide la disminución del nivel del líquido con respecto al tiempo. El otro procedimiento, dos gases puros a presiones iguales se encierran en secciones independientes de un tubo largo, separados por una división que se retira con lentitud para iniciar la difusión. Transcurrido cierto tiempo se vuelve a introducir la división y se analiza el gas de cada sección. 2. Datos experimentales de difusividad. Se utiliza tablas preestablecidas. 3. Predicción de la difusividad de gases. Para predecir la difusividad de los gases la mas utilizada es la Ecuación de Fuller y colaboradores:
D AB
Donde:
1 1 1 x10 7 T 1.75 M M B A
P
A
1/ 3
A
1/ 2
1/ 3 2
B
= suma de incrementos de volúmenes estructurales
194
7.2.2.4.
PROBLEMAS DE DIFUSION MOLECULAR DE GASES
PROBLEMA1: Contradifusión equimolar de gases
En un tubo uniforme de 0.10 m de largo se difunde amoniaco gaseoso (A) en N2 gaseoso (B) a 1 .0132 x 10 5 Pa de presión y 298 K. En el punto 1, p A1 = 1.013 X 104 Pa y en el punto 2, p A2 0.507 X 104 Pa. La difusividad D AB es 0.230 x 10-4 m2 /s.
a) Calcule el flujo específico J* A en estado estacionario. b) Repita para J*B
SOLUCION: 1
2
0.10 m 4
4
p A1=1.013x10 Pa
p A2=0.507x10 Pa
5
4
5
J * Az
4
4
pB2=1.0132x10 Pa -0.507x10 Pa=9.625x10 Pa
4
pB1=1.0132x10 Pa -1.013x10 Pa=9.119x10 Pa
D AB ( p A1 p A1 ) RT
z 2 z 1
Remplazando: J * A
0.230 10 4 m 2 / s
(1.013 10 Pa 0.507 10 Pa)
3 Pa m 8314 298 K kg mol K
0.10 m 0 m
5
4
4.70 10 7
mol kg A s m
2
Para el componente B
0.230 10 m / s
(9.119 10 4 Pa 9.625 10 4 Pa)
Pa m 3 8314 298 K kg mol K
0.10 m 0 m
4
J * B
2
195
4.70 10 7
mol kg B s m 2
PROBLEMA 2: Difusión de A a través de B estacionario El agua está en el fondo de un tubo metálico estrecho se mantiene a temperatura constante a 293 K. La presión total del aire es 1 atm y la temperatura es 293 K. El agua se evapora y se difunde a través del aire en el tubo y la trayectoria de difusión es 6 pulg de longitud. Calcular la velocidad de evaporación en estado estable en mol kg/ s. m2. La difusividad del vapor de agua a 293°C y 1 atm de presión es 0.250 x 10 – 4 m2 /seg. Presión de vapor del agua a 20°C es 17.54 mm Hg.
196
SOLUCION:
p A2 = 0 atm
Aire
pB2= P- p A2 = 1 atm – 0 atm = 1 atm
N A
6 pulg
p A1=0.0231 atm pB1= P- p A1 = 1 atm - 0.0231 atm = 0.9769 atm
Agua
N A
PD AB RT z 2
p A1
z 1
p A 2
p BM
Calculo de pBM:
p BM
p B 2 ln
p B1 p B 2
1 atm 0.9769 atm ln
1 atm
0.988 atm
5
1.001 10
Pa
0.9769 atm
p B1
Reemplazando:
Pa 0.250 10
5
N A
1.01325 10 8314
Pa m
4
m2 / s
3
kg mol K
2.341
3
10
5
293 K 0.1524 m
1.001 10
0
Pa
Pa
1.595 10
7
kg mol m2 s
PROBLEMA 2: Estimación de difusividad de una mezcla gaseosa
A través de aire (B) a 1 atm abs, se está difundiendo butanol normal (A), usando el método Fuller y colaboradores, estímense las difusividades D AB a una temperatura de 0ºC y compare con los datos experimentales.
SOLUCION:
197
Calculo volúmenes de difusión atómica para butanol (C 4H9OH) y aire
A 416.5 101.98 191.28 91.28
B
20.1
Remplazando: 1 x10 D AB
7
273
1.75
1 1 74.1 29
20.1
P 91.28
1/ 3
1/ 3 2
1/ 2
7.76 10 6 m 2 / s
Este valor se desvía en un 10% de dato experimental de 7.03x10 -4 m2 /s
198
7.2.3.
DIFUSIÓN MOLECULAR EN LIQUIDOS La difusión de solutos en líquidos es muy importante en muchas industrias de proceso, en especial en las operaciones de separación como extracción líquidolíquido o extracción con disolventes, en la absorción de gases y en la destilación. La difusión en líquidos también es una situación frecuente en la naturaleza, como en casos de oxigenación de ríos, lagos y la difusión de sales en la sangre.
7.2.3.1.
Ecuaciones para la Difusión en líquidos A partir de la ecuación de la difusión molecular en gases podemos deducir considerando las siguientes definiciones: x BM
C A1
p BM P n A1
V
C A2
n A 2 V
p A1 RT p A 2 RT
p BM
p A1
p A2
Remplazando,
N A
N A
N A
N A
D AB P RT ( z 2
(C A1 RT C A2 RT )
z 1 )
x BM P
D AB
(C A1 C A2 )
( z 2 z 1 )
x BM
D AB C ( x A1 x A2 ) ( z 2 z 1 )
x BM
D AB C prom ( x A1 x A2 ) ( z 2 z 1 )
x BM
199
x BM P
C A1 RT
C A2 RT
Cprom se define como: C prom 1 2 M 1 M 2
x BM
x B 2
ln
x B1
x B 2 x B1
x A1 x B1 x A2
2
x B 2
1
1
200
7.2.3.2.
Coeficientes De Difusión para líquidos Para encontrar la difusividad de la mezcla de líquidos existen tres métodos:
1. Determinación experimental de difusividades. Uno de los métodos consiste en una difusión en un estado inestable en un tubo capilar y se determina la difusividad en base al perfil de concentraciones. El otro método bastante común se usan una solución relativamente diluida y otra más concentrada que se introducen en cámaras ubicadas en lados opuestos a una membrana porosa de vidrio sinterizado, la difusión molecular se verifica a través de pequeños canales de los poros del vidrio sinterizado, mientras se agitan ambos compartimientos. 2. Datos experimentales de difusividad. Se utiliza tablas preestablecidas. 3. Predicción de la difusividad en líquidos. Para predecir la difusividad de los líquidos se utiliza la Ecuación de Wilke-Chang: D AB 7.4 10 12 M B
T
1/ 2
B V A
0.6
Donde: MB es el peso molecular del disolvente B, B es la viscosidad de B en cp, VA es el volumen molar del soluto al punto de ebullición que puede obtenerse de la tabla y es un parámetro de asociación del disolvente: 2.6 para el agua, 1.9 para el metanol, 1.5 para el etanol, 1.0 para el benceno, 1.0 para el heptano, 1.0 para el éter y 1.0 para los disolventes sin asociación
D AB 7.4 10 12 M B
7.2.3.3.
1 2
T B V A
0.6
PROBLEMAS DE DIFUSION MOLECULAR EN LIQUIDOS
PROBLEMA 1: Difusión de Etanol a Través de Agua
201
Una solución de etanol (A)- agua (B) en forma de película estacionaria de 2 mm de espesor a 293 K, está en contacto con la superficie de un disolvente orgánico en el cual el etanol es soluble, pero el agua no. En el punto 1, la concentración del etanol es 16.8% en peso y la solución tiene una densidad de 972.8 Kg/m 3. En el punto 2, la concentración del etanol es 6.8% en peso y la densidad es 988.1 Kg/m 3. La difusividad del etanol es 2.87 x 10 –5 Pie2 /hr. Calcular el flujo de etanol en estado estable. Considere el Peso molecular de etanol 46.05 y del agua 18.02
SOLUCION:
N A
D AB C prom x A1 x A2
z 2 z 1
x BM
202
Calculo de fracción mol:
w A1 x A1
n A
n A1
nT
PM A1 w A1 w B1
n A1 n B1
16.8
PM A1
46.5 0.0277 16.8 83.2
PM B1
46.05
w A2 x A 2
n A nT
n A2
n A2 n B 2
PM A2
18.02
6.8
PM A 2 w A2 w B 2
46.05 0.0732 6.8 93.2
PM B 2
46.05
18.02
Calculo de M1 y M2
M 1
w1
100
nT
16.8 46.05
M 2
w2 nT
83.2
20.07
46.05
kg mol
18.02
100 6.8
kg
93.2
kg
18.79
kg mol
18.02
Calculo de Cprom:
1
C prom
M 1
2
M 2
2
972.8
20.07
988.1
18.79
2
50.52
Calculo de xBM:
x B1
1
x A1
1 0.0732
0.927
203
kg mol m3
x B 2
x BM
1
x A2
x B 2
1 0.0277
x B1
ln
x B 2
0.973
0.973 0.927 ln
0.973
0.94
0.927
x B1
Remplazando: 2.87 10
N A
5
m 2 mol kg 50.52 s m 3
0.073 0.027
2 10 m 3
0.94
204
3.29 10 3
mol kg m 2 hr
PROBLEMA 2: Predicción de la difusividad líquida
Predecir el coeficiente de difusión de Acetona en agua a 25°C y 50°C utilizando la ecuación de Wilke Chang. Comparar los resultados con el valor Experimental que es igual a 1.28 x 10 –9 m2 /s. Datos adicionales:
Viscosidad del agua a 20°C = 0.8937 cp Viscosidad del agua a 50°C = 0.5494 cp
SOLUCION:
D AB
7.4 10
12
M B
1 2
T B V A
0.6
Considerando que,
agua =
2.6
Magua =18.02
Calculo de volumen atómico de acetona (CH 3COCH3): 3C + 6H + 1O
V A
314.8 63.7 17.4 74 cm3 / mol g
Remplazando:
D AB 20ºC
7.4 10
12
2.6
18.02
298
1 2
0.893774
0.6
205
1.27 10
9
2
m /s
D AB 50ºC 7.4 10 12 2.6 18.02
7.2.4.
1 2
298
0.549474
0.6
2.24 109 m 2 / s
DIFUSIÓN MOLECULAR EN SOLUCIONES Y GELES BIOLOGICOS La difusión de moléculas de solutos, especialmente las macromoléculas (por ejemplo, las proteínas) en soluciones acuosas, es un mecanismo de gran importancia en la preparación y almacenamiento de sistemas biológicos y en los procesos vitales de microorganismos, animales y plantas. El procesamiento de alimentos es un campo de trascendental importancia en el que la difusión juega un papel muy relevante. El proceso de secado de soluciones líquidas de jugos de frutas, café y té, extrae el agua (y algunas veces) los constituyentes volátiles del sabor o del aroma. Estos constituyentes se difunden a través del líquido durante la evaporación.
Para predecir la difusividad de un soluto pequeño puro en solución acuosa, cuando los pesos moleculares son inferiores a 1000 o los volúmenes molares del soluto no pasan de unos 500 cm 3 /mol g. se utiliza:
D AB
7.4 10
11
1
M B 2
T B V A
0.6
,
Para solutos mayores con pesos moleculares superiores a 1000 se utiliza la Ecuación de Poison:
D AB
9.40 10
12
T
M A
1/ 3
Donde MA es el peso molecular de una molécula grande A.
7.2.5.
DIFUSIÓN MOLECULAR EN SÓLIDOS La difusión molecular de sólidos obedecen a la ley de Fick por lo que se emplean las ecuaciones simplificadas para transferencia de masa:
206
N A
D AB
dC A dz
C A C
N N A
B
El termino de flujo total, ( C A /C )(N A+N B), suele ser pequeño cuando está presente, pues C A /C o x A es un factor muy bajo. Por consiguiente, siempre se desprecia. Además que c es constante para la difusión en sólidos, con lo que se obtiene:
N A
D AB
dC A dz
Integrando para una placa sólida con estado estable:
N A
D AB
C A1 C A2 z 2 z 1
Para el caso de una difusión radial a través de la pared de un cilindro de radio interno r 1 y radio externo r 2 con longitud L,
N A 2 r L
D AB
dC A dr
Integrando: N A
7.2.5.1.
D AB C A1
C A 2
L 2
ln r 2 / r 1
SOLUBILIDAD El coeficiente de difusión D AB en el sólido no depende de la presión del gas o del líquido en la superficie del sólido. Por ejemplo, si en el exterior de una placa de caucho hay CO2 gaseoso que se difunde a través del sólido, D AB es independiente de p A, esto es, la presión parcial del CO 2 en la superficie. Sin embargo, la solubilidad del CO 2 en el sólido es directamente proporcional a p A.
207
Esto es similar al caso de la solubilidad del 0 2 en el agua, que también es directamente proporcional a la presión parcial del O 2 en el aire, de acuerdo con la ley de Henry.
La solubilidad de un gas soluto (A) en un sólido, por lo general se expresa como S en m 3 de soluto (a TPE de 0ºC y 1 atm) por m 3 de sólido por atm de presión parcial de (A). Además, S = cm 3 (TPE)/ atm * cm3 de sólido en el sistema cgs. Para convertir esto a concentración C A en el sólido en kg mol/m3 de sólido en unidades SI.
C A
S p A kg mol A p A atm 22.414 m3 sólido 22.414 m PTE / kg mol A S m 3 PTE / m3 sólido atm 3
En unidades cgs,
C A
7.2.5.2.
S p A g mol A
22414 m
3
sólido
PERMEABILIDAD.
En muchos casos, los datos experimentales de difusión de gases en sólidos no se dan como difusividades y solubilidades, sino como permeabilidades, P M en m3 de gas soluto A a TPE (0 ºC y 1 atm presión) que se difunden por segundo por m2 de área de corte transversal, a través de un sólido de 1 m de espesor con una diferencia de presión de 1 atm. Esto puede relacionarse con la ecuación de Fick como sigue:
N A
D AB C A1 z 2
C A 2
z 1
Sustituyendo por : C A1
S p A1 22.414
C A2
208
S p A2 22.414
N A
D AB S p A1 p A2
22.414 z 2 z 1
P M p A1
; 22.414 z z p A 2 2
1
kg mol s m 2
Donde la permeabilidad P M es 3
P M
D AB S
;
m TPE 2
s m C .S . atm / m
Cuando se trata de varios sólidos 1, 2, 3,…, en serie, y L1 , L2,….. representan los espesores de cada uno y la ecuación se transforma en: p A1 p A 2 1 N A L3 L2 22.414 L1 P P P ..... M 2 M 3 M 1
7.2.5.3.
DIFUSIÓN EN SÓLIDOS POROSOS En la sección anterior se aplicó la ley de Fick considerando al sólido como un material de tipo homogéneo y usando una difusividad experimental D AB. En esta sección interesan los sólidos porosos que tienen canales o espacios vacíos interconectados que afectan a la difusión. En caso de que los espacios vacíos estén totalmente llenos de agua líquida, la concentración de sal en agua en el punto 1 es CA1 y en el punto 2 es C A2. Al difundirse en el agua por los conductos vacíos, la sal sigue una trayectoria sinuosa desconocida que es mayor que (z 2 – z1) por un factor , llamado sinuosidad. (En el sólido inerte no hay difusión.).
N A
D AB C A1 C A2 z 2 z 1
donde es la fracción de espacios vacíos, D AB es la difusividad de la sal en agua y T es un factor de corrección de la trayectoria más larga que (z 2 – z1). En sólidos de tipo inerte, z varía desde 1.5 hasta 5. En muchos casos es conveniente combinar los términos en una expresión de difusividad efectiva:
209
D A ef 7.2.5.4.
D AB
PROBLEMAS DE DIFUSION MOLECULAR EN SÓLIDOS
PROBLEMA 1: Difusión de H2 a través de una Membrana de Neopreno
A través de una membrana de Neopreno vulcanizado de 0.5 mm de espesor se está difundiendo H 2 gaseoso a 17°C y 0.010 atm de presión parcial. La Presión de H2 del otro lado de la membrana es cero. Calcular el Flujo específico en estado estable asumiendo que la única resistencia de la difusión la constituye la membrana de neopreno. Considerar la solubilidad del H 2 en neopreno a 17°C igual a 0.051 m 3 gas/m3 sólido x atm y una difusividad igual a 1.03 x 10 -10 m2 /s.
SOLUCION:
Calculo de CA1: C A1
S p A1 22414
0.051 0.010
22.414
2.28 10
5
kg mol H 2 m 3 sólido
Fulo específico en estado estable: N A
1.03 10
5
m2 / s
2.2810
5
0 kg mol / m3
0.5 10 m 0 m 3
4.69 1012
mol kg H 2 s m 2
PROBLEMA 2: Difusión a través de una película de empaque
Se tiene a prueba una película de polietileno de 0.15 mm de espesor para empacar un producto farmacéutico a 30 ºC. Si la presión parcial del O 2 en el exterior es 0.21 atm y en el interiores 0.01 atm, calcule el flujo de difusión del 0 2 en estado estable. La permeabilidad 4.17x10-5 cc soluto (TPE)/(s . cm2 . atm/cm). Suponga que las resistencias a la difusión en el exterior y en el interior de la película son despreciables en comparación con la resistencia de la propia película.
SOLUCION:
210
N A
4.17 105 0.21atm 0.01atm 22.414 0.015 cm 0 cm
2.48 1011
211
mol g O2 s cm2
7.2.6.
TRANSFERENCIA DE MASA DE ESTADO INESTABLE Se ha visto que cuando un fluido fluye a través de una superficie sólida, en condiciones en las cuales por lo general prevalece la turbulencia, hay una región inmediatamente contigua a la superficie en donde el flujo es predominantemente laminar. Al aumentar la distancia de la superficie, el carácter del flujo cambia de modo gradual y se vuelve cada vez más turbulento, hasta que en las zonas más externas del fluido, prevalecen completamente las condiciones de flujo turbulento.
7.2.6.1.
Deducción de la Ecuación Básica
N A y y
y
N A z
N A x x
N A x dy dz N A z z
dx
N A y
x z
Balance de materia en estado inestable:
Velocidad de entrada Velocidad de salida Velocidad Acumulada
N A x N A y N A z N A x x N A y y N A z z N A acumulada
La velocidad de entrada y la velocidad de salida en mol kg de A/seg son:
212
Velocidad de entrada= N
D AB
A x
Velocidad de salida = N
A x x
dC A dz
N A x
N A x D AB x
dC A dx
dC D AB A dx x
La velocidad de acumulación para el volumen x y z m3 se obtiene como sigue:
Velocidad de acumulación = x y z
C A t
Sustituyendo y dividiendo entre x y z:
N A x
N A y N A z N A x
N A x x
N A y
N A y x
N A z
N A z x
C A t
Remplazando:
dC A dC A dC A D AB D AB D AB dy dx dz C A 0 x y z t
C A C A C A C A D AB x t y z 2
2
2
2
2
2
213
Ec. general de transferencia de masa en estado inestable
7.2.6.2.
Difusión en una Placa Plana con Resistencia Superficial Despreciable Para ilustrar el método analítico, deduciremos la respuesta para la difusión inestable en la dirección x en una placa de espesor 2x 1 , tal como se muestra en la siguiente figura. Para la difusión en una dirección. C A C A x t
D AB
2
2
Las condiciones iniciales y límite son:
Cuado t=0, C=C 0 , x=x 1 Y
C 1
C o
C 1
C o
C
1
Cuado t=t, C=C 1 , x=0 C C 1 0 Y 1 C 1 C o Cuado t=t, C=C 1 , x=2x 1 C C 1 0 Y 1 C 1 C o
C C1
C1
0
x1
2x1
x
Solución analítica: 12 2 X 3 2 2 X 5 2 2 X C 4 1 1 x 1 3 x 1 5 x exp exp exp ... sen sen sen 4 2 x1 3 4 2 x1 5 4 2 x1 1 C 1 C C 1
o
214
Solución gráfica:
7.2.6.3.
Difusión de Estado Inestable en diversas Geometrías En el caso anterior no se considera la resistencia convectiva en la superficie. Sin embargo, en muchos casos cuando un fluido está en el exterior de un sólido hay transferencia convectiva de masa en la superficie. El coeficiente convectivo de transferencia de masa kc, similar al coeficiente convectivo de transferencia de calor, se define como sigue:
N A
k c C L1
C Li
215
La concentración CLi en el líquido adyacente al sólido y la concentración Ci en la superficie del sólido están en equilibrio y también son iguales. No obstante, y a diferencia de la transferencia de calor donde las temperaturas son iguales, las concentraciones están en equilibrio y se relacionan por medio de la expresión: K
C Li
C i
Donde K es el coeficiente de distribución de equilibrio
Cuando Cuando Cuando Cuado
CLi =Ci CLi >Ci CLi Ci
K=1 K>1 K<1 K>1 y kc=
C
CL1 Ci CLi
kc
C
x
0
7.2.6.4.
PROBLEMAS DE ESTACIONARIO
TRANSFERENCIA
DE
MASA
EN
ESTADO
NO
PROBLEMA 1: Se están secando granos de trigo en forma cilíndrica cuya humedad inicial es de 18 % en base húmeda. Después de 7 horas de secado, pero únicamente por las caras laterales La Humedad media fue de 11% en base húmeda. Considerar una humedad de equilibrio igual 9%. Encontrar la humedad después de haber secado el mismo producto durante 2 horas. Asumir que el secado se realiza a través del cuerpo. Las dimensiones del grano son: 0.9 cm de largo por 0.4 cm de espesor.
DATOS: Co =18 % C= 11% =7 hr C1= 9 % SOLUCIÓN:
Calculo de relación de concentraciones:
216
C
C o
C 1
C 1
11
9
18
9
0.22
Calculo de DAB:
Por el grafico difusión en estado estacionario se tiene: D AB a
2
0.21
Reemplazando: D AB
0.21 a 2
0.21 0.2 cm
2
7 hr
1.7 10
3
cm 2 hr
Secado a través de todo el cuerpo: D AB
3
cm 2 / hr 2 hr
0.2 cm
a2 D AB
2
1.7 10 cm 3
2
/ hr 2 hr 2
0.45 cm
c2 E ac
1.7 10
E ac
0.590.98
C 9 18 9
0.06
E a
0.59
0.01185
E c
0.98
0.5782
0.5782
C=14.2%
PROBLEMA 2: En el proceso de secado de papas por difusión, el contenido de humedad inicial es de 40% se realizan una prueba cortando las papas en formas de paralelepípedos regulares de 8x2x2 cm. Estas papas se exponen a aire caliente y con el objetivo de calcular la difusividad se sellan las caras laterales planas. El secado es por difusión interna del agua hacia la superficie donde se evapora, el contenido de agua en la superficie permanece constante en 5% en base húmeda, al cabo de 6 horas el contenido del producto disminuyó a 20%. Calcular la difusividad del agua del producto hacia la superficie. Calcular la humedad que quedará en el producto y la que es extraído si el secado se realiza por seis caras.
217
DATOS: Co = 40 % C1= 5 % C= 20% =6 hr
SOLUCIÓN: 2c 2 cm
2a
2 cm 2b 8 cm
Calculo de relación de concentraciones: C C o
C 1
C 1
20
5
40
5
0.428
Calculo de DAB:
Por el grafico difusión en estado estacionario se tiene: D AB a2
0.25
Reemplazando: D AB
0.21 a 2
0.25 1 cm
2
6 hr
0.0416
cm 2 hr
Secado a través de todo el cuerpo:
D AB a
2
0.0416 cm
2
/ hr 6 hr 2
1 cm
0.2496
218
E a
0.45
D AB
2
/ hr 6 hr 0.2496 2
1 cm
b2 D AB c
0.0416 cm 0.0416 cm
2
/ hr 6 hr 0.0156 2
4 cm
2
E b
0.45
E c
0.9
E abc 0.450.450.9 0.1823
E abc
7.2.7.
C 5 40 5
0.1823
C=11.38%
TRANSFERENCIA DE MASA POR CONVECCION El estudio de la transferencia de materia por convección entre dos fases se aborda, de forma similar a la transferencia de calor, mediante la utilización utiliz ación de los coeficientes individuales y globales de transferencia de materia, relacionados respectivamente con las resistencias ofrecidas por cada fase independiente y con la resistencia total ofrecida por ambas fases a la transferencia de materia.
7.2.7.1.
Coeficiente de transferencia de masa El enfoque utilizado para deducir las ecuaciones de difusión turbulenta es similar al que se usó para difusión molecular. Para la transferencia turbulenta de masa. J * A
D AB M
dC A dz
Donde J A es el flujo específico de A, D AB es la difusividad molecular en m 2 /s y M es la difusividad de masa de remolinos en m 2 /s. El valor de M es variable, cercano a cero en la interfase o en la superficie y va en aumento a medida que incrementa la separación de la pared. Se usa un valor promedio de . *
1
M
Integrando:
219
J * A1
D AB
M
C A
1
z 2 z 1
C A2
El flujo J se basa en el área superficial A1, pues la sección transversal puede variar. Por lo general, no se conoce el valor de z 2-z1, esto es, la longitud de la trayectoria. De esta forma, la Ecuación se simplifica y se escribe con un coeficiente convectivo de transferencia de masa k c . *
A1
'
J * A1
7.2.7.2.
k 'c C A1
C A2
Coeficiente de transferencia de masa para contradifusión equimolar El valor que casi siempre nos interesa es el N A, esto es, el flujo específico de A con respecto a las coordenadas estacionarias.
N A
k ' c C A1
C A2
Para gases: N A k 'c C A1 C A2 k 'G C A1 C A2 k ' y y A1 y A2 Para líquidos:
N A
k ' c C A1
C A 2
k ' L C A1
C A 2
k ' x x A1
x A 2
Donde y A es la fracción mol de una fase gaseosa y x A es una fase líquida. Sustituyendo por y A1 C A1 / C y y A C A / C 2
2
C A1 C A2 k ' y C A1 C A2 C C C
N A k ' c C A1 C A2 k ' y y A1 y A2 k ' y
Por lo que: k 'c
k ' y C
220
7.2.7.3.
Coeficiente de transferencia de masa de A a través de B estacionario Para el caso de A difundiéndose a través de B estacionario, estacionari o, donde NB=0 la ecuación nos dá:
N A
k ' c
x BM
Para gases: N A
C A
1
k c
Para líquidos:
C A 2
C A
1
N A
k c C A1
C A 2
C A2 k G
k c C A1
C A
C A 2
1
C A2
k L C A1
k y y A1 y A2 C A 2
k x x A1
x A2
Conversiones para coeficientes de transferencia de masa
Para gases:
k c C k c '
Para líquidos:
7.2.7.4.
'
P RT
k ' c C
k c
p BM RT
k ' L C
k c P k G p BM '
k L x BM C
k y y BM
k y
k ' L / M k ' x
'
k c y BM C k G y BM P
k x x BM
Métodos para determinar coeficientes de transferencia de masa El coeficiente de transferencia de masa k c se define como la velocidad de transferencia de materia por unidad de área y por unidad de diferencia de concentración.
k c
N A C A1
C A 2
m A A C A1 C A 2
Donde m es el caudal másico, kg/s; C es la concentración del componente A, bien en masa por unidad de volumen o moles por unidad de volumen, kg/m 3 o kmol/m3; A es el área, m2. Las unidades de k c son (m3 /m2).s-1 o m/s A
221
Los coeficientes coeficient es de tranferencia tranferenci a de materia pueden calcularse utilizando el análisis adimensional
Numero de Reynold,
Re
Número de Schmidt,
Sc
Número de Sherwood,
Número de Lewis, Le
vD
vL
Sh
D AB k c D
D AB
k
Cp D AB
PROBLEMA 1: Transferencia convectiva de masa
Un gran volumen del gas B puro a 2 atm de presión fluye sobre una superficie de la cual se vaporiza A puro. El líquido A moja completamente la superficie, que es papel secante. Por tanto, la presión parcial de A en la superficie corresponde a su presión parcial a 298 K, que es 0.20 atm. Se estima que el valor de ki es 6.78 x 10m5 mol kg/s . m2. frac mol. Calcule NA, la velocidad de evaporación y los valores k Y y k GG . Y y
DATOS: p A1 = 0.20 atm p A2 = 0
yA1 = P A1 /P /P = 0.20/2.0 = 0.10 yA2 = 0
222
SOLUCION:
N A k y y A1 y A2 k G p A1 p A2
Calculo de yBM:
y B1
1
y A1
y B 2
1
y A2
y BM
1 0.10 1
0
0.9
1
y B 2 y B1 1 0.9 0.95 y B 2 1 ln
ln
0.9
y B1
Cálculo de ky:
k y y BM
k y '
k y
k ' y y BM
6.78 10
5
0.95
7.138 10
5
mol kg / s m 2 frac mol
Cálculo de kG:
k G y BM P k y y BM
k G
k y P
7.138 10 2.0 atm
5
3.569 10
5
mol kg / s m 2 atm
Cálculo de NA:
N A
k y y A1 y A 2 7.138 10
5
0.10
223
0
7.138 10
6
mol kg / s m 2
N A k G p A1 p A2 3.569 105 0.20 0 7.138106 mol kg / s m 2
224
SEMINARIO
TRANSFERENCIA DE MASA
1. Una corriente de metano gaseoso se esta difundiendo en un tubo recto de 0.1 m de longitud que contiene helio a 298 K y a presión total de 1.01325 x 10 5 Pa. La presión parcial de CH 4 en un extremo es 1,400 x10 4 Pa y en el otro extremo es 1.333x104 Pa. El helio es insoluble en uno de los límites, por lo que es un material de reposo que no se difunde. La difusividad es 0.675 cm2 /s. Calcúlese el flujo de metano en mol kg/seg.m 2 en estado estable. 2. Por un canal de irrigación subterráneo fluye agua a 25ºC. Cada 100 pies hay una línea de ventilación de 1.0 plg de diámetro interior y 1.0 pie de longitud, que sale a la atmósfera a 25 ºC. Hay 10 líneas de ventilación en el canal de 1000 pies. Se puede suponer que el aire exterior esta seco. Calcúlese la perdida total de agua por evaporación en lb m /d. supóngase que la presión parcial de vapor de agua en la superficie de la misma es su presión de vapor, 23.76 mm Hg a 25ºC. La difusividad de Aire-agua es 0.260 cm 2 /s. 3. El soluto HCl (A) se esta difundiendo a través de una película delgada de agua (B) de 2.00 mm de espesor a 283 K. La concentración de HCl en el punto 1, es uno de los limites de la película, es 12.0 % de HCl en peso (densidad 1 = 1060.7 kg/m3), y en el otro limite, en el punto 2, es 6.0 % de HCl en peso ( 2 = 1030.3 kg/m3). El coeficiente de difusión de HCl en agua es 2.5 x 10-9 m2 /seg. Suponiendo estado estable y uno de los límites impermeables al agua, calcúlese el flujo específico de HCl en mol kg/seg.m 2. 4. Una corriente de hidrógeno gaseoso se esta difundiendo a través de una lámina de caucho vulcanizado de 20 mm de espesor a 25 ºC. La presión parcial del H 2 en el interior es 1.5 atm y en el exterior es 0. La permeabilidad es 0.342x10 -6 cc soluto (TPE)/ (seg. Cm 2 . atm/cm) y la solubilidad 0.040 cc soluto (TPE)/ (cc sólido . atm) Calcúlese lo siguiente: a) La difusividad DAB a partir de la permeabilidad PM y la solubilidad S b) El flujo especifico NA de H2 de estado estable. 5. Un cilindro húmedo de gel de agar a 278 K y que contiene una concentración uniforme de urea de 0.1 mol kg/m 3, tiene un diámetro de 30.48 mm y longitud de 38.1 mm, con extremos planos paralelos. La difusividad vale 4.72x10 -10 m2 /seg. Calcúlese la concentración en el punto medio del cilindro después de 100 hr para los siguientes casos, cuando el cilindro se sumerge repentinamente en agua pura turbulenta. a) Únicamente para difusión radial. b) La difusión se verifica radial y axialmente
Capitulo 1.
Bibliografía
225
