Libro de Topografia

CAPÍTULO 1.- GENERALIDADES.

1.1.

Definición e importancia de la Topografía.

La topografía es una ciencia aplicada que se encarga de estudiar las posiciones de un terreno o lugar de la tierra en forma relativa o absoluta. Esta ciencia estudia los métodos y procedimientos para realizar mediciones sobre terrenos relativamente pequeños y plasmarlos en forma gráfica y a escala en un plano, con todas las características necesarias para proyectar obras de arquitectura y de ingeniería civil. Aprender topografía es de suma importancia para todas las personas que requieran realizar estudios de ingeniería civil, arquitectura, o cualquier carrera de ingeniería que sea afín a las obras de construcción.

1.2.

Tipos de Levantamientos.

Estos pueden ser Topográficos o Geodésicos. Topográficos: Son aquellos que por abarcar superficies reducidas pueden hacerse despreciando la curvatura de la tierra, sin error apreciable. Geodésicos: Son levantamientos en grandes extensiones que hacen necesario considerar la curvatura de la tierra. Los levantamientos topográficos son los más comunes y los que más nos interesan en este curso. Los geodésicos son motivo de estudio especial al cual se dedica la Geodesia. Dentro de los levantamientos Topográficos se encuentran: Levantamientos de terrenos en general: Tienen por objeto marcar linderos o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores, o proyectar obras y construcciones. Topografía de vías de comunicación: Es la que sirve para estudiar y construir caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.

1

Topografía de Minas: Tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. Levantamientos Catastrales: Son los que se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijar linderos o estudiar las obras urbanas. Levantamientos Aéreos: Son los que se hacen por medio de la fotografía, generalmente desde aviones, y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las otras clases de levantamientos. La Fotogrametría se dedica especialmente al estudio de estos trabajos.

1.3. Aplicación de la topografía. La teoría de la Topografía se basa esencialmente en la Geometría Plana, Geometría del espacio, Trigonometría y Matemáticas en general. Además del conocimiento de estas materias, se hacen necesarias algunas cualidades personales, como por ejemplo: Iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en sí mismo y buen criterio general. Precisión: Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo de ellos; por lo tanto ninguna medida en topografía es exacta, y es por eso que la naturaleza y magnitud de los errores deben se comprendidas para obtener buenos resultados. Comprobaciones: Siempre en todo trabajo de Topografía, se debe buscar la manera de comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión obtenida. Notas de campo: Es la parte más importante del trabajo de campo en Topografía. Las notas de campo deben tomarse siempre en libretas especiales de registro, y con toda claridad para evitar el tener que pasarlas posteriormente, es decir, se toman en limpio, y consecuentemente no se pasan en limpio.

2

Deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar confusiones o malas interpretaciones, ya que es muy común que los cálculos o dibujos los hagan personas diferentes a las encargadas del trabajo de campo.

1.4. Poligonal y tipos de poligonales. La poligonal es una figura geométrica que contiene como elementos ángulos y distancias. Una poligonal puede ser cerrada o abierta, estas pueden contener lados rectos y curvos. Poligonales cerradas. En topografía las poligonales cerradas se utilizan para determinar límites de terrenos de propiedad, que plasmados en un plano llevarán todos los datos necesarios para su identificación y de esa manera poder realizar cualquier tipo de proyecto y construcción. La figura 1.4.1. muestra un ejemplo de una poligonal cerrada, que para efectos de convertirse en un levantamiento, deberá llevar datos adjuntos, tales como: ángulos interiores o exteriores, rumbos magnéticos o astronómicos, distancias de los lados, coordenadas, superficie, ubicación y localización, etc. Figura 1.4.1. Plano de levantamiento topográfico. 2 E 105°36'

S

5 M² M 620.8 35.02 SUP: RO: 1 T E PERIM

57 ° 38

35 '

33 "E

24

4

36°3 2'

15

S 85° 52' 05" W

5'

°3

,02

32

38

°4 2'

N 90

1

4

" 00

99°23'

N

0'

"W 15 20

S 03° 26' 10" E

0 8°

29°11'

5

3

3

Poligonales

abiertas.

Normalmente

son

líneas rectas quebradas,

utilizadas en topografía para realizar estudios y proyectos de construcción como vías de comunicación: carreteras, calles, avenidas, caminos, líneas de alcantarillado, de agua potable, de transmisión (eléctrica, teléfono, fibra óptica, cable, etc.), aeropuertos, puertos. Estas poligonales tienen como característica principal un origen y un destino, y nunca cierran sobre si mismas. Para fines de levantamiento topográfico deberán contar con todos los datos necesarios tales como: orientación magnética o astronómica de cada uno de sus lados, coordenadas ecuatoriales de sus vértices, ángulos de deflexión, distancias de sus lados, etc. La figura 1.4.2. muestra un ejemplo de una poligonal abierta, que pudiera ser utilizada para cualquier tipo de proyecto de construcción de obra civil o arquitectónica.

4

1.5. Errores. Orígenes de los errores: Pueden ser instrumentales, personales y/o naturales. Los errores se dividen en dos clases: Sistemáticos y accidentales. Sistemáticos: Son los que, para condiciones de trabajo fijas en el campo, son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, por ejemplo: en medidas de ángulos, aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en los tránsitos; en medidas de distancias y desniveles, cintas o estadales mal graduados, catenaria, cinta inclinada, mala alineación, error por temperatura, etc.. Accidentales: Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o en otro, y por tanto es igualmente probable que tengan signo positivo o negativo. Ejemplo: en medidas de ángulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la señal; en medidas de distancias, colocación de marcas en el terreno, variaciones en la tensión de la cinta, apreciación de fracciones, etc. Muchos de estos errores se eliminan porque se compensa. El valor más probable de una cantidad medida varias veces, es el promedio de las medidas tomadas, o media aritmética. Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.

1.6. Medidas de distancias. Las medidas de distancias pueden hacerse: - Directas (con cinta). - Indirecta (con Telémetros). Medidas directas. Logómetros (cintas de acero, cintas de lienzo, cintas de fibra de vidrio, cadenas). Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos, siempre son horizontales.

5

Por tanto, las distancias siempre que se puede, se miden horizontales o se convierten a horizontales con datos auxiliares (ángulo vertical o pendiente). Empleo de la cinta en medida de distancias. -Terreno horizontal. Se va poniendo la cinta paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos clavando estacas o “fichas”, o pintando marcas en el terreno en forma de cruz. (Ver la figura 1.6.1.).

Figura 1.6.1.

Al medir con longímetro es preferible que éste no toque el terreno, pues los cambios de temperatura al arrastrarlo, o al contacto simple, influye sensiblemente en las medidas. Las cintas de acero en general están hechas para que con una tensión de aproximadamente 4 kgs. por cada 20 mts. de longitud, den la medida marcada. Esta tensión se mide con dinamómetro en medidas de precisión, y las cintas deben compararse con la medida patrón. Para trabajos ordinarios con cinta de 20 o 30 metros, después de haber experimentado la fuerza que se necesita para tensarla con 4 ó 5 kgs. No es necesario el uso constante del dinamómetro.

6

-Terreno inclinado.- Pendiente constante. Puede ponerse la cinta paralela al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o pendiente para después calcular la proyección horizontal. (Ver la figura 1.6.2.). Figura 1.6.2. Terreno inclinado.

También puede medirse por tramos, poniendo la cinta horizontal a ojo. (Ver figura 1.6.3.).

Figura 1.6.3. Terreno inclinado medido con cinta y plomada.

hilo con plomada

7

-Terreno irregular. Siempre se mide en tramos horizontales para evitarse el exceso de datos de inclinaciones de la cinta en cada tramo. (Ver figura 1.6.4.).

Figura 1.6.4. Terreno irregular.

El alineamiento de los puntos intermedios entre los extremos de una línea, puede hacerse: a ojo (con balizas o con hilo y plomada) o empleando aparato (tránsito). Ver la figura 1.6.5 de una baliza.

Figura 1.6.5. Baliza.

BALIZA 2, 2.50 0 3 m.

regatón metálico

8

PRACTICA No. 1. Levantar una perpendicular a una línea a un punto dado (A) de ésta.( Método de la regla 3,4,5).

PROCEDIMIENTO: Paso 1. Se traza y se mide la línea base. (Ver figura 1.6.6.).

Paso 2. Sobre la línea base se posiciona un punto (A) clavando una estaca; de este punto se levantará la línea perpendicular. (Ver figura 1.6.7.).

Paso 3. Con una sola cinta se forma un triángulo rectángulo. Se emplean lados de 3, 4 y 5 metros o múltiplos de ellos. Con una sola cinta se puede formar el triángulo, sostenida por tres personas, una en la marca (3), otra en la (7) y otra juntando la (0) y la (12). (Ver figura 1.6.8.).

9

Figura 1.6.8. (7)

5

4

(3)

(12) (0)

3

A

MATERIAL Y/O EQUIPO: - Cinta métrica topográfica de 30 metros. - Hilo fluorescente de albañil. - Estacas de fierro o madera. - Cintilla topográfica fluorescente. - Marro de 4 libras.

PRACTICA No. 2. Levantar una perpendicular a una línea a un punto dado (A) de ésta. (Método del compás).

PROCEDIMIENTO: Paso 1. Midiendo distancias iguales cualesquiera a ambos lados del punto A, hacia los puntos B y C. (Ver figura 1.6.9.).

10

Paso 2. Posicionarse en cada uno de los puntos B y C y abrir un compás hacia cada punto, del mismo tamaño del lado o mayor de la mitad, trasladando el compás hacia arriba o hacia abajo. (Ver figura 1.6.10.).

Paso 3. Donde se intersequen ambos arcos, esa será la perpendicular de la línea base, trazada desde el punto A. (Ver figura 1.6.11.).

11

MATERIAL Y/O EQUIPO: - Cinta métrica topográfica de 30 metros. - Hilo fluorescente de albañil. - Estacas de fierro o madera. - Cintilla topográfica fluorescente. - Marro de 4 libras.

PRACTICA No. 3. Trazar un alineamiento entre dos puntos invisibles uno de otro. PROCEDIMIENTO: Paso 1. Fuera del obstáculo se traza AP y se mide, y su perpendicular por (B), y también se miden: A-1, A-2, A-3, etc., donde convenga situarlos. Paso 2. De aquí se calculan las distancias 1-1’, 2-2’, 3-3’ normales a la línea auxiliar. Paso 3. Levantando normales en 1, 2, 3 y 4, y con sus longitudes conocidas, se fijan 1’, 2’, 3’ y 4’ que están sobre la línea AB. Nota: Para todos los pasos anteriores ver la figura 1.6.11. Figura 1.6.11.

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MATERIAL Y/O EQUIPO: -

Cinta métrica topográfica de 30 metros.

-

Hilo fluorescente de albañil.

-

Estacas de fierro o madera.

-

Cintilla topográfica fluorescente.

-

Marro de 4 libras.

Ejercicio 1.1. (Resuelto) Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos invisibles e inaccesibles con los datos siguientes: Acotación metros A-P=35, P-B=27, A-1=5, A-2=15, A-3=20, A-4=25 Desarrollo: de la fórmula de relación de triángulos, calcular cada uno de los datos faltantes. P  B 1  1´ , sustituyendo datos y despejando 1-1', se obtiene:  A  P A 1 27 1  1´  ; 1-1´=3.9m para los datos faltantes se sigue el mismo 35 5

procedimiento. 27 2  2´  ; 2-2´=11.6m 35 15

27 3  3´  ; 3-3´=15.4m 35 20

27 4  4´  ; 35 25

4-4´=19.3m

Ejercicio 1.2. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos invisibles e inaccesibles con los datos siguientes: Acotación metros A-P=50, P-B=45, A-1=10, A-2=25, A-3=33, A-4=40 Ejercicio 1.3. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos invisibles e inaccesibles con los datos siguientes: Acotación metros A-P=70, P-B=60, A-1=20, A-2=36, A-3=44, A-4=52

13

CAPÍTULO 2.- PLANIMETRÍA. 2.1. Levantamientos con cinta, medida de ángulos. En todo trabajo de levantamiento lo primero que debe hacerse es un reconocimiento de la zona donde se trabajará, para definir vértices del polígono, visibilidad, aparatos e instrumentos necesarios, personal, tiempo, etc. Es conveniente comentar que para los levantamientos con el uso exclusivo de la cinta, se debe adquirir cierta habilidad del topógrafo, además de considerar que estos levantamientos no son de gran precisión, por lo tanto, solo deben de tomarse en cuenta solo para trabajos preliminares y de reconocimiento. Entre los métodos de levantamientos de terrenos con cinta, se encuentran los siguientes: base triangulado (triangulaciones), lado de liga, coordenadas, radiaciones, entre otros.

METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA EXCLUSIVAMENTE. a.) Polígono de base triangulado. Sea un perímetro cualquiera irregular: Se traza un polígono de apoyo o poligonal, por ejemplo A, B, C, D, E, F, A. El polígono debe tener el menor número de lados posible, y ser cerrado. (Ver figura 2.1.1.).

14

Figura 2.1.1.

C A

D

B

E F Es indispensable que en cada punto sea visible el anterior y el que le sigue. El polígono debe seguir aproximadamente el perímetro. Conviene trazarlo de tal modo que las distancias del perímetro por levantar, a sus lados y vértices, no sean mayores que la longitud de la cinta de que se dispone. Para transformar el polígono en una figura rígida se sigue el procedimiento de Triangulación. Se miden longitudes (lados y diagonales). Los triángulos deben ser bien conformados, es decir, lo más cerca posible del Equilátero. Debe evitarse ángulos menores de 20.

PRACTICA No. 4. Levantamiento con cinta de un polígono cerrado con el método Base Triangulado.

PROCEDIMIENTO: Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método.

15

Paso 2. Se traza y se mide los lados y diagonales de la poligonal, formando triángulos. (Ver figura 2.1.2.).

figura 2.1.2 A

lado

s

on ag di

diagonales

es al

E

B

C D

Paso 3. Levantamiento de detalles con relación al polígono, dentro o fuera del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ríos, canales, o cualquier objeto que no sea fácil de remover. Con los detalles y las referencias se formarán triángulos. (Ver figura 2.1.3).

figura 2.1.3 A

dist

MONUMENTO

dist

B E CONSTRUCCION

dis

dis

t

t

dis

t

C

D

Paso 4. En gabinete se calculan los ángulos interiores de los triángulos del polígono y de los detalles. Los ángulos interiores se utilizan para dibujar lo levantado. 16

Paso 5. Se calcula la superficie. Paso 6. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos mínimos necesarios tales como: orientación, plano de localización, detalles, referencias, ángulos y distancias. (Ver figura 2.1.4.).



2

N

°0

0'

m 15

E 105°36'mts

ts

S 99°23'mts

57

38

5 M² 620.8 135.02 M : SUP: ETRO PERIM

°3

mts

5'

33

"E

4

36°32'

mts

1

48

" 00

24mts

3

S 85° 52' 05" W °4 90

mts

°3

,02

32

38

2'm ts

N "W

15 20mts

S 03° 26' 10" E

5' 29

ts °11'm

COORDENADAS PUNTO

X

Y

1

0.00

32.02

2

11.15

42.05

3

43.23

21.69

4

19.27

19.96

5

20.47

0.00

5

TERRENO PROPIEDAD DEL Sr. Sánchez UBICADO EN LA COLONIA CHULA VISTA MANZANA 14, LOTE C NOROESTE

06

LEVANTAMIENTO LEVANTO, DIBUJO Y CALCULO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES

Ing. Refugio Soto Jocobi

ARTURO MORALES QUINTERO

Lugar: Nogales, Sonora, México. Fecha: 20 de Abril del 2005 Acotación: Metros

ING. REFUGIO SOTO JOCOBI ESC. SIN ESCALA H. NOGALES, SONORA

DIBUJO EN INGENIERIA CIVIL

ACOTACION : METROS FECHA: 24 / SEPTIEMBRE / 2007



-


-


-


-

Marro de 4 libras.

17

Fórmulas para calcular los ángulos y superficie de los triángulos. La suma de las superficies de los triángulos será el total de la superficie del polígono.

A sen cos tan

A 2 =

(s-b) (s-c) bc s(s-a) bc

A = 2

s= a+b+c 2

c

b C

a

B

(s-b) (s-c) A = 2 s(s-a)

superficie = s( s  a)( s  b)( s  c) ; donde "s" es el semiperímetro y a, b, y c son los lados del triángulo. Dentro de cada triángulo, y en el polígono total, la suma de ángulos interiores debe ser: ángulos interiores = 180 (n-2); n = número de lados o

ángulos.

Ejercicio 2.1.(resuelto) Calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros). A

b

C

c

a

B

a  25.50 , b  26.80, c  27.40

18

Desarrollo: Se calcula: a  b  c 25.50  26.80  27.40 ; ; s  39.85m 2 2

-El semiperímetro, s 

-Los ángulos interiores del triángulo, en este caso utilizaremos la fórmula de senos: ( s  b)( s  c) (39.85  26.80)(39.85  27.40)   bc (26.80)(27.40)

sen A  2

(13.05)(12.45) = 734 .32

162 .4725 1  0.221255  0.47038  A  sen (0.47038 ) 2 734 .32



A 2  28

O

A  56

O

'

''

3 31.37 '

 A  (28

O

''

7 3.75

( s  a)( s  c)  ac

sen B  2

3 ' 31.37 ' ' )2

(39.85  25.50)(39.85  27.40)  (25.50)( 27.40)

(14.35)(12.45)  698 .70

178 .6575 1  0.2557  0.50567  B  sen (0.50567 ) 2 698 .70



O '' O '' ' ' B   B  (30 22 32.48 )2 2 30 22 32.48

B  60

O

sen C  2

 C

''

( s  a)( s  b)  ab

(39.85  25.50)(39.85  26.80  (25.50)( 26.80)

(14.35)(13.05)  683 .40

187 .2675 1  0.27402  0.52347  C  sen (0.52347 ) 2 683 .40

 31

O

2

'

45 4.96

C  63

O

33 55.65  C  (31 33 55.65 )2 '

''

'

O

'

''

''

7 51.29

La sumatoria de los ángulos del triángulo:

56 7 3.75  60 45 4.96  63 7 51.29  180 00 00 O

'

''

O

'

''

O

19

'

''

O

'

''

-La superficie:

Superficie  s( s  a)( s  b)( s  c)  (39.85)(39.85  25.50)(39.85  26.80)(39.85  27.40)

 (39.85)(14.35)(13.05)(12.45)  92909 .49 Superficie  304 .81 m

2

Ejercicio 2.2. (Resuelto). Calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros). A

b

C

c

a

B

a  54.90, b  48.60, c  60.90

Desarrollo: Se calcula: -El semiperímetro, s 

abc 2

s

54.90  48.60  60.90 2

s  82.20m

-Los ángulos interiores del triángulo, en este caso utilizaremos la fórmula de cosenos: cos A  2 

s( s  a) (82.20)(82.20  54.90) (82.20)(27.30)    bc (48.60)(60.90) 2959 .74 2244 .06 1  0.758195  0.87074  A  cos (0.87074 ) 2 2959 .74

20

O ' '' O ' '' A   A  (29 27 17.27 )2 2 29 27 17.27

A  58

O

cos B  2 

'

''

54 34.54

s ( s  b) (82.20)(82.20  48.60) (82.20)(33.60)    ac (54.90)(60.90) 3343 .41 2761 .92 1  0.8268  0.90889  B  cos (0.90889 ) 2 3343 .41

' '' ' '' O O B   B  (24 38 51.96 )2 2 24 38 51.96

B  49

O

'

''

17 43.91

cosC  2

s ( s  c) (82.20)(82.20  60.90) (82.20)(21.30)    ab (54.90)(48.60) 2668 .14



1750 .86 1  0.65621  0.81007  C  cos (0.81007 ) 2 2668 .14

C

 35

O

2

53 50.78  C  (35 53 50.78 )2 '

C  71

O

''

'

O

'

''

''

47 41.55


58 54 34.54  49 17 43.91  71 47 41.55  180 00 00 O

'

''

O

'

''

O

'

''

O

-La superficie:

Superficie  s( s  a)( s  b)( s  c)  (82.20)(82.20  54.90)(82.20  48.60)(82.20  60.90)

 (82.20)(27.30)(33.60)(21.30)  1606028 .86 Superficie  1267 .292 m

2

21

'

''

Ejercicio 2.3.(Resuelto). Calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros). A

b

c

a

C

B

a  76.60, b  78.50, c  80.90

Desarrollo: Se calcula: -El semiperímetro, s 

abc 76.60  78.50  80.90 =s   s  118 .00 m 2 2

-Los ángulos interiores del triángulo, en este caso utilizaremos la fórmula de tangente:

tan A  2



( s  b)( s  c) (118.00  78.50)(118.00  80.90) (39.50)(37.10)    s ( s  a) (118.00)(118.00  76.40) (118.00)(41.60)

1465 .45 1  0.2985  0.5464  A  tan (0.5464 ) 2 4908 .80

O ' '' O ' '' A   A  (28 39 5.32 )2 2 28 39 5.32

A  57

O

tan B  2 

'

''

1810.65

( s  a)( s  c) (118.00  76.40)(118.00  80.90) (41.60)(37.10)    s ( s  b) (118.00)(118.00  78.50) (118.00)(39.50) 1543 .36 1  0.33112  0.5754  B  tan (0.5754 ) 2 4661 .00

O ' '' O ' '' B   B  (29 55 3.01 )2 2 29 55 3.01

22

B  57

O

tan C  2  C

''

( s  a)( s  b) (118.00  76.40)(118.00  78.50) (41.60)(39.50)    s ( s  c) 118.00(118.00  80.90) (118.00)(37.10) 1643 .20 1  0.3753  0.61266  C  tan (0.61266 ) 2 4377 .80

 31

O

2

'

50 6.02

29 38.41  C  (31 29 38.41 )2 '

C  62

O

''

'

O

'

''

''

5916.81


57 1810.65  59 50 6.02  62 5916.81  180 00 00 O

'

''

O

'

''

O

'

''

O

'

''

-La superficie: Superficie  s( s  a)( s  b)( s  c)   118.00(118.00  76.40)(118 .00  78.50)(118.00  80.90

 (118.00)(41.60)(39.50)(37.10)  7193600 .96  Superficie  2682 .089 m

2

Ejercicio 2.4. Utilizando la fórmula de los senos, calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros).

A

b

c

C

B a

a  15.62, b  17.32, c  14.29

23

Ejercicio 2.5. Utilizando la fórmula de los cosenos, calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros). A

b

C

c

B

a

a  33.99, b  38.11, c  35.21

Ejercicio 2.6. Utilizando la fórmula de la tangente, calcular ángulos interiores y superficie del triángulo con los datos siguientes: (acotación en metros).

A

b

c

B C

a  75.23,

a

b  69.54, c  71.96

24

b.) Polígono con lado de liga. Cuando no pueden medirse todas las diagonales, puede emplearse el método lado de liga. (Ver figura 2.1.5). Figura 2.1.5.

C

A a A

c a

A

b

b c

B

H

D F G lados de liga

E

Se miden a, b, c, en cada vértice; (b es el “lado de liga”). Si se miden dos lados iguales, el de liga resulta una cuerda de círculo de radio "a", y el ángulo se calcula así: 1 b   A  2 sen ( ) 2a  

En esta forma quedan definidos los ángulos del polígono de apoyo. La superficie dentro del polígono se calcula sumando la de todos los triángulos.

PRACTICA No. 5. Levantamiento con cinta de un polígono cerrado con el método lado de liga.

PROCEDIMIENTO: Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Se traza y se mide los lados del polígono.(Ver figura 2.1.5).

25

Paso 3. Se traza y se mide los lados de liga. (Ver figura 2.1.5). Paso 4. Levantamiento de detalles con relación al polígono, dentro o fuera del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ríos, canales, o cualquier objeto que no sea fácil de remover. Con los detalles y las referencias se formarán triángulos. (Ver figura 2.1.3). Paso 5. Con los datos obtenidos de los lados de liga, se calcula los ángulos interiores del polígono. Paso 6. Con los ángulos interiores y las distancias de los lados, se dibuja el polígono. En el dibujo a escala se traza y se mide diagonales, con las cuales se forman triángulos. Paso 7. Se calcula

la superficie de cada triángulo formado,

con el

método de base triangulado. La superficie total será la suma de todos los triángulos. Paso 8. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos mínimos necesarios tales como: orientación, plano de localización, detalles, referencias, ángulos y distancias. (Ver figura 2.1.4).



-


-


-


-

Marro de 4 libras.

Ejercicio 2.7 (resuelto). Calcular los ángulos interiores del polígono con la fórmula del método lado de liga, con los datos siguientes:

26

5

5 7.94 5 6.62

5

E5

B

5

8.80

8.75 5

8.02 5

5

C

5

-Calcular el ángulo A: 1  7.94  1  7.94  1 A  2 sen   2 sen   2 sen 0.794   2(52.56090491)     10   2(5) 

A  105

O

'

''

07 18.52

-Calcular el ángulo B: 1  6.62  1  6.62  1 B  2 sen   2 sen   2 sen 0.662   2(41.45258311)     10   2(5) 

B  82

O

'

''

5418.6

-Calcular el ángulo C: 1  8.76  1  8.76  1 C  2 sen   2 sen   2 sen 0.876   2(61.16354711)     10   2(5) 

C  122

O

'

''

05 23.82

-Calcular el ángulo D: 1  8.02  1  8.02  1 D  2 sen   2 sen   2 sen 0.802   2(53.32151496 )     10   2(5) 

D  106

O

'

''

38 34.90

27

-Calcular el ángulo E: 1  8.80  1  8.80  1 E  2 sen   2 sen   2 sen 0.880   2(61.64236343 )     10   2(5) 

E  123

O

'

''

17 5.02

Ejercicio 2.8 (resuelto). Calcular los ángulos interiores del polígono con la fórmula del método lado de liga, con los datos siguientes:

7

A

7

B

7

13.44 9.56

7

7

7

C

13.03

7

13.82

F7

7

9.82 7

D

10.61 7

7

-Calcular el ángulo A: 1  9.56  1  9.56  1 A  2 sen   2 sen   2 sen 0.6829   2(43.0673)     14   2(7) 

A  86

O

'

''

08 4.56

-Calcular el ángulo B: 1 13.44  1 13.44  1 B  2 sen   2 sen   2 sen 0.96  2(73.7398)     14   2(7) 

B  147

O

'

''

28 46.5

28

-Calcular el ángulo C: 1 13.03  1 13.03  1 C  2 sen   2 sen   2 sen 0.9307   2(68.5464 )     14   2(7) 

C  137

O

'

''

05 34.33

Calcular el ángulo D: 1  9.82  1  9.82  1 D  2 sen   2 sen   2 sen 0.70143   2(44.5417 )     14   2(7) 

D  89

O

'

''

05 0.46

Calcular el ángulo E: 1 10.61  1 10.61  1 E  2 sen   2 sen   2 sen 0.75786   2(49.27565 )     14   2(7) 

E  98

O

'

''

33 4.69

Calcular el ángulo F: 1 13.82  1 13.82  1 F  2 sen   2 sen   2 sen 0.9871  2(80.80236 )     14   2(7) 

F  161

O

'

3617

''

Ejercicio 2.9. Calcular los ángulos interiores del polígono con la fórmula del método lado de liga, con los datos siguientes:

9

9 11.23

F

9

9

17.04

B

15.44 9

9

9 13.51

9

14.20

9 9

14.26 9

9

29

C

D

Ejercicio 2.10. Calcular los ángulos interiores del polígono con la fórmula del método lado de liga, con los datos siguientes:

10

10

17.41

G

10

10 14.76

9.37

10

10 9.34

10

F 18.21

10

E

10

8.23

B 10

10

10

C

19.01 10

D

10

2.2. Concepto de azimut, rumbo y declinación magnética.

Direcciones de las líneas y ángulos horizontales. La dirección de una línea se puede definir por el Rumbo o por su Azimut. Ambos pueden ser magnéticos o astronómicos. Los datos astronómicos se consideran invariables, y también se les llama verdaderos. Rumbo es el ángulo que forma una línea con el eje Norte-Sur, contado de cero a 90, a partir del Norte o a partir del sur, hacia el Este o hacia el Oeste. (Ver figura 2.2.1.).

30

Figura 2.2.1. N

N W

E

B AB cto ire o d º53' b 8 m 3' Ru E 4 48º5 N SW

P

S

NE

NW

A

W

E SE

73º 00'

SW

C

D

S

Tomando la línea AB, su rumbo directo es el que se obtiene, estacionándose en A y visando el punto B. El rumbo inverso es el que tiene el sentido opuesto, o sea el de BA. Azimut es el ángulo que forma una línea con la dirección Norte-sur, medido de 0º a 360º a partir del norte, en el sentido del movimiento del reloj. Únicamente en el primer cuadrante coinciden el Rumbo y el Azimut en valor numérico. Las direcciones magnéticas se obtienen con brújula. La figura 2.2.2. muestra como se mide el azimut de las líneas. Figura 2.2.2. N

W

A E

B S

31

Declinación Magnética es el ángulo formado entre la dirección NorteAstronómica y la Norte-Magnética. Cada lugar de la Tierra tiene una Declinación que puede ser hacia el Este o hacia el Oeste, según se desvía la punta norte de la aguja magnética. El meridiano de un lugar de la Tierra sigue la dirección Norte-Sur Astronómica. La declinación magnética en un lugar puede obtenerse determinando la dirección astronómica y la magnética de una línea; también se puede obtener de tablas de posiciones geográficas que dan la declinación de diversos lugares y poblaciones, o mediante planos de curvas isogónicas. La declinación sufre variaciones que se clasifican en: seculares, anuales, diurnas e irregulares. Las tres primeras son variaciones que sufre con el tiempo, y por eso es importante cuando se usa orientación magnética, anotar la fecha y la hora en que se hizo la orientación. Las variaciones irregulares no se pueden determinar, pues se deben a atracciones locales o tormentas magnéticas y pueden ser variaciones muy grandes. BRÚJULA. Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripié, o en un bastón, o en una vara cualquiera. Las letras E y W de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. Las pínulas sirven para dirigir la visual, a la cual se va a medir el Rumbo. Para leer el rumbo directo de una línea se dirige el Norte de la caja al otro extremo de la línea, y se lee el rumbo con la punta norte de la caja.( Ver figura 2.2.3.).

32

o ian rid ico me gnét ma

visual

Figura 2.2.3.

pínula N

E

W

S pínula

Condiciones que debe reunir una brújula. -La línea de los ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la visual definida por las pínulas. Si esto no se cumple, las líneas cuyos rumbos se miden quedarán desorientadas, aunque a veces se desorienta a propósito para eliminar la declinación. La recta que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación, es decir, la aguja en sí debe ser una línea recta. Se revisa observando si la diferencia de las lecturas entre las dos puntas es de 180º, en cualquier posición de la aguja. Se corrige enderezando la aguja. El eje de rotación debe coincidir con el centro geométrico de la graduación. Se revisa observando si la diferencia de lecturas de las dos puntas es de 180º en alguna posición y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de giro de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando el pivote convenientemente, en el sentido normal a la posición de la aguja que acuse la máxima diferencia a 180º.

33

Nota: Los ajustes que se le hagan a la brújula, conviene que se le hagan en taller, para evitar que la aguja se desmagnetice. La aguja debe quedar apretada cuando no se usa, para que no se golpee al transportarla y se doble el pivote.

USOS DE LA BRÚJULA. Se

emplea

para

levantamientos

secundarios,

reconocimientos

preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos, etc. No debe emplearse la brújula en zonas donde queda sujeta a atracciones locales (poblaciones, líneas de transmisión eléctrica, etc.).

REGISTRO DE CAMPO Trabajo:______________

Lugar:_________________

Fecha:___________________ Punto visado Rumbo Estación

Longitud

Observaciones

Magnético observado

A

B

NE 51 1/4

123.50

A.

mojonera

de De concreto A

H

SE 21 1/2

Rumbo Leído A las 9:30

B

C

B

A

C

D

34

REGISTRO DE GABINETE Rumbo magnético

ANGULOS

calculado

Nótese que los ángulos sólo se leen con aproximación de ½ o de ¼ de grado a lo sumo, estimado a ojo. Para levantamientos muy rápidos, de poca precisión, pueden tomarse rumbos saltando las estaciones pares, o las impares. El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los vértices, rumbos directos e inversos de los lados que allí concurran, pues así por diferencia de rumbos se calculan en cada punto el valor del ángulo interior, correctamente, aunque haya alguna atracción local. Con esto se logra obtener los ángulos interiores del polígono, verdaderos, a pesar de que haya atracciones locales, que en caso de existir, sólo producen desorientación de las líneas.

PRACTICA No. 5. Levantamiento topográfico de un polígono con brújula y cinta por el método de itinerarios.

PROCEDIMIENTO: 1. Se miden rumbos hacia atrás y hacia delante en cada vértice. (rumbos observados). Se miden distancias de los lados.( Ver figura 2.2.4.). 35

Figura2.2.4. B

A C

D

H G sentido en que se recorre el polígono

E F

2. A partir de estos rumbos, se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos, en cada vértice. 3. Se escoge un rumbo base (que puede ser el de un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor). 4. A partir del rumbo base, con los ángulos interiores calculados se calculan nuevos rumbos para todos los lados, que serán los rumbos calculados. En el inciso (4) debe verificarse que:  ángulos interiores = 180 (n-2) Si hay error, este no deberá exceder la tolerancia, que para este caso es: T =  a n =  ½º n En esta fórmula "a" es la aproximación del aparato que se considera de  1/2º, y (n) el número de ángulos medidos. 5. Calcular la superficie del polígono por el método base triangulado. 6. Dibujar lo levantado con todos los datos y especificaciones.

36

MATERIAL Y/O EQUIPO: - Brújula de reflexión - Cinta métrica topográfica de 30 metros. - Hilo fluorescente de albañil. - Estacas de fierro o madera. - Cintilla topográfica fluorescente. - Marro de 4 libras.

Ejercicios para aprender a obtener rumbos y azimuts a partir de ángulos interiores y exteriores y un rumbo o azimut como base. También obtener ángulos con los rumbos o azimuts de todos los lados.

Ejercicio 2.11. A partir del rumbo de la línea AB y los ángulos interiores del polígono, obtener los rumbos faltantes.

      

B

55°22'

71°2'

A

53°36'

C

-Calcular el rumbo del lado BC: Haciendo estación en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW30°06´. Con el ángulo interior B=56°22´ y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo directo BC. rumboBC 

55 22  30 06  O

O

'

rumboBC  SE 25

O

'

'

16

37

-Calcular el rumbo del lado CA: Haciendo estación en C, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW25°16´. Con el ángulo interior C=53°36´ y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo directo CA. rumboCA 

25 16  53 36  O

'

rumboCA  NW 78

O

O

'

'

52

Ejercicio 2.12. A partir del rumbo de la línea AB y los ángulos interiores del polígono, obtener los rumbos faltantes.

-Calcular el rumbo del lado BC: Haciendo estación en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW49°49´. Con el ángulo interior B=89°23´ y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo directo BC. rumboBC 

89 23  49 49  O

'

rumboBC  SE 39

O

O

'

'

34

38

-Calcular el rumbo del lado CD: Haciendo estación en D, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW39°34´. Con el ángulo interior C=73°56´ y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo directo CD. rumboCD  180  O

39 34  73 56  O

'

rumboCD  180 113

30

O

O

rumboCD  SW 66

O

O

'

'

'

30

-Calcular el rumbo del lado DA: Haciendo estación en D, se obtiene el rumbo indirecto de CD=NE66°30´. Con el ángulo interior D=104°23´ y el rumbo indirecto CD, se calcula el rumbo directo DA. rumboDA 

104 23  66 30  O

'

rumboDA  NW 37

O

O

¡

'

53

Ejercicio 2.13 (no resuelto). A partir del rumbo de la línea AB y los ángulos interiores del polígono, obtener los rumbos faltantes.

39

Ejercicio 2.14 (no resuelto). A partir del rumbo de la línea AB y los ángulos interiores del polígono, obtener los rumbos faltantes.

40

2.3. Descripción del teodolito mecánico, electrónico y estación total.

Teodolito mecánico. El teodolito, es el aparato universal para la Topografía, debido a la gran variedad de usos que se le dan. Puede usarse para medir y trazar ángulos horizontales y direcciones, ángulos verticales, y diferencias en elevación; para la prolongación de líneas; y para determinación de distancias. Aunque debido a la variedad de fabricantes de teodolitos, éstos difieren algo en cuanto a sus detalles de construcción, en lo que respecta a sus características, esencialmente son sumamente parecidos. Es un instrumento de medición mecánico-óptico universal, que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles. Es portátil y manual, está hecho con fines topográficos e ingenieriles, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede medir distancias. Básicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con ayuda de lentes. (Ver figura 2.3.1). Figura 2.3.1. Teodolito mecánico.

41

Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores, reiteradores y teodolitos-brújula. Los teodolitos repetidores han sido fabricados para la acumulación de medidas sucesivas de un mismo ángulo horizontal en el limbo, pudiendo asi dividir el ángulo acumulado y el número de mediciones. Los teodolitos reiteradores llamados también direccionales tienen la particularidad de poseer un limbo fijo y solo se puede mover la alidada. Los teodolitos-brújula, como dice su nombre, tiene incorporada una brújula de características especiales. La brújula es imantada en la misma dirección al círculo horizontal. La graduación es de 0-180° con gran precisión. El teodolito tiene tres ejes principales y dos secundarios. Ejes principales. -Eje vertical de rotación instrumental S-S (EVRI). -Eje horizontal de rotación del anteojo K-K (EHRA). -Eje óptico Z-Z (EO). El eje vertical de rotación instrumental es el eje que sigue la trayectoria del cenit-nadir, también conocido como la línea de la plomada, y que marca la vertical del lugar. El eje óptico es el eje donde se enfoca a los puntos. El eje principal es el eje donde se miden ángulos horizontales. El eje que sigue la trayectoria de la línea visual debe ser perpendicular al eje secundario y este debe ser perpendicular al eje vertical. Los discos son fijos y la alidada es la parte m vil. l eclímetro también es el disco vertical. El eje horizontal de rotación del anteojo o eje de muñones es el eje secundario del teodolito, en el se mueve el visor. En el eje de muñones hay que medir cuando utilizamos métodos directos, como una cinta de medir, y así obtenemos la distancia geométrica elevada y si medimos directamente al suelo obtendremos la distancia geométrica semielevada; las dos se miden a partir del eje de muñones del teodolito.

42

El plano de colimación es un plano vertical que pasa por el eje de colimación que está en el centro del visor del aparato; se genera al girar el objetivo.( Ver figura 2.3.2.).

Figura 2.3.2. Ejes principales de un teodolito.

Ejes secundarios. -Línea de fe. -Línea de índice.

Partes principales. -Niveles: El nivel es un pequeño tubo cerrado que contiene una mezcla de alcohol y éter, una burbuja de aire; la tangente de la burbuja de aire será un plano horizontal. Se puede trabajar con los niveles descorregidos.

43

-Precisión: Depende del tipo de teodolito que se utilice. Existen desde los antiguos que varían entre el minuto y medio minuto, los modernos que tienen una precisión de entre 10˝, 6˝, 1˝ y hasta 0.1˝. -Nivel esférico: Caja cilíndrica tapada por un casquete esférico. Cuanto menor sea el radio de curvatura serán menos sensibles; sirven para obtener de forma rápida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un círculo, hay que colocar la burbuja adentro del círculo para hallar un plano horizontal bastante aproximado. Tienen menor precisión que los niveles tóricos, su precisión está en 1´ como máximo aunque lo normal es de 10´ o 12´. -Nivel tórico: Si está descorregido nos impide medir. Hay que calarlo con los tornillos que lleva el aparato. Para corregir el nivel hay que bajarle un ángulo determinado y después estando en el plano horizontal con los tornillos se nivela el ángulo que hemos determinado. Se puede trabajar descorregido, pero hay que cambiar la constante que da el fabricante. Para trabajar descorregido necesitamos un plano paralelo. Para medir hacia el norte geográfico (se miden azimuts, si no se tienen orientaciones) utilizando el movimiento general y el movimiento particular. Sirven para orientar el aparato y si se conoce el acimutal se sabrán las direcciones medidas respecto al norte. -Plomada: Se utiliza para que el teodolito esté en la misma vertical que el punto del suelo. -Plomada de gravedad: Bastante incomodidad en su manejo, se hace poco precisa sobre todo los días de viento. Era el método utilizado antes de aparecer la plomada óptica. -Plomada óptica: Es la que llevan hoy en día los teodolitos, por el ocular se ve el suelo, y así se pone el aparato en la misma vertical que el punto buscado.

44

-Limbos: Discos graduados que permiten determinar ángulos. Están divididos de de 0 a 360 grados sexagesimales, o de 0 a 400 grados centesimales. En los limbos verticales se pueden ver diversas graduaciones (limbos cenitales). Los limbos son discos graduados, tanto verticales como horizontales. Los teodolitos miden en graduación normal (sentido dextrógiro) o graduación anormal (sentido levógiro o contrario a las agujas del reloj). Se miden ángulos cenitales (distancia cenital), ángulos de pendiente (altura de horizonte) y ángulos nadirales. -Nonius: Mecanismo que nos permite aumentar o disminuir la precisión de un limbo. Se dividen las "n" divisiones del limbo entre las "n" divisiones del nonio. La sensibilidad del nonio es la diferencia entre la magnitud del limbo y la magnitud del nonio. Micrómetro: Mecanismo óptico que permite hacer la función de los nonios pero de forma que se ve una serie de graduaciones y un rayo óptico mediante mecanismos, esto aumenta la precisión.

Partes accesorias. -Trípodes: Se utilizan para trabajar mejor, tienen la misma X y Y pero diferente Z ya que tiene una altura; el más utilizado es el de meseta. Hay unos elementos de unión para fijar el trípode al aparato. Los tornillos nivelantes mueven la plataforma del trípode; la plataforma nivelante tiene tres tornillos para conseguir que el eje vertical sea vertical. -Tornillo de presión (movimiento general): Tornillo marcado en amarillo, se fija el movimiento particular, que es el de los índices, y se desplaza el disco negro solidario con el aparato. Se busca el punto y se fija el tornillo de presión. Este tornillo actúa en forma radial, o sea hacia el eje principal. -Tornillo de coincidencias (movimiento particular o lento): Si hay que visar un punto lejano, con el punto no se puede, para centrar el punto se utiliza el tornillo de coincidencia.

45

Con este movimiento se hace coincidir la línea vertical de la cruz filar con la vertical deseada, y este actúa en forma tangencial. Los otros dos tornillos mueven el índice y así se pueden mover ángulos o lecturas acimutales con esa orientación.

Movimientos del teodolito. Este instrumento, previamente instalado sobre el trípode en un punto del terreno que se denomina estación, realiza los movimientos sobre los ejes principales. Movimiento de la alidada: Este movimiento se realiza sobre el eje vertical (S-S), también presente en los instrumentos de todas las generaciones de teodolito. Permite al operador girar el anteojo horizontalmente, en un rango de 360°. Movimiento del anteojo: Este movimiento se realiza sobre el eje horizontal (K-K) y permite al operador girar desde el punto de apoyo hasta el cenit, aunque estos casos son muy raros ya que mayormente se abarca un rango promedio de 90°.

Características constructivas fundamentales. Para realizar un buen levantamiento topográfico se deben considerar las siguientes condiciones: -Cuando el teodolito se encuentre perfectamente instalado en una estación, el eje vertical (o eje principal S-S) queda perfectamente vertical. -El eje de colimación (Z-Z) debe ser perpendicular al eje horizontal (K-K). -El eje horizontal (K-K) debe ser perpendicular al eje vertical (S-S).

46

Teodolito electrónico. Es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para hacer las lecturas del círculo horizontal y vertical, desplegando los ángulos en una pantalla eliminando errores de apreciación, es más simple en su uso, y por requerir menos piezas es más simple en su fabricación y en algunos casos su calibración. Las principales características que se deben observar para comparar estos equipos hay que tener en cuenta la precisión, el número de aumentos en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrónico. ( Ver figura 2.3.3.).

Figura. 2.3.3. Teodolito electrónico

47

Estación total. Se denomina estación total

a un aparato electro-óptico utilizado en

topografía, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica. Consiste en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico. (Ver figura 2.3.4.). Algunas de las características que incorpora,, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos, iluminación independiente de la luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla posteriormente en ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo, replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias.

Funcionamiento. Vista como un teodolito, una estación total se compone de las mismas partes y funciones. El estacionamiento y verticalización son idénticos, aunque para la estación total se cuenta con niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y sus errores asociados también están presentes, el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su influencia sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación del eje secundario, con el mismo comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser corregido por software, mientras que en el segundo la corrección debe realizarse por métodos mecánicos. El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancias se realizan mediante una onda electromagnética portadora con distintas frecuencias que rebota en un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el instrumento el desfase entre las ondas.

48

Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a sólido", lo que significa que no necesita un prisma reflectante. Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local o arbitrario, como también a sistemas definidos y materializados. Para la obtención de estas coordenadas el instrumento realiza una serie de lecturas y cálculos sobre ellas y demás datos suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este instrumento son las de ángulos verticales, horizontales y distancias. Otra particularidad de este instrumento es la posibilidad de incorporarle datos como coordenadas de puntos, códigos, correcciones de presión y temperatura, etc. La precisión de las medidas es del orden de la diezmilésima de gonio en ángulos y de milímetros en las distancias, pudiendo realizar medidas en puntos situados entre 2 y 5 kilómetros según el aparato y la cantidad de prismas usada. Genéricamente se les denomina estaciones totales porque tienen la capacidad de medir ángulos, distancias y niveles, lo cual requería previamente de diversos instrumentos. Estos teodolitos electro-ópticos hace tiempo que son una realidad técnica accesible desde el punto de vista económico. Su precisión, facilidad de uso y la posibilidad de almacenar información para descargarla después en programas de CAD ha hecho que desplacen a los teodolitos, que actualmente están en desuso. Por otra parte, desde hace ya varios años las estaciones totales se están viendo desplazadas por equipos GNSS (Sistema Satelital de Navegación Global, por sus siglas en inglés) que abarca sistemas como el GPS, antes conocido como Navstar, de E.E.U.U., el GLONASS, de Rusia, El COMPAS de China y el GALILEO de la Unión Europea.

49

Las ventajas del GNSS topográfico con respecto a la estación total son que una vez fijada la base en tierra no es necesario mas que una sola persona para tomar los datos, mientras que la estación total requería de dos, el técnico que manejaba la estación y el operario que situaba el prisma; y aunque con la tecnología de Estación Total Robótica, esto ya no es necesario, el precio de los sistemas GNSS ha bajado tanto que han ido desplazando a aquellas en campo abierto. Por otra parte, la estación total exige que exista una línea visual entre el aparato y el prisma (o punto de control), lo que es innecesario con el GNSS, aunque por su parte el GNSS requiere al operario situarse en dicho punto, lo cual no siempre es posible. La gran ventaja que mantiene la Estación Total contra los sistemas satelitales son los trabajos bajo techo y subterráneos, además de aquellos donde el operador no puede acceder, como torres eléctricas o riscos, y que con sistemas de medición sin prisma de hasta 3000 m (a la fecha), estos levantamientos se pueden hacer por una persona y desde un solo punto, aunque en este aspecto los Escáneres Láser y la tecnología LIDAR han estado ganado terreno. Por lo tanto, no siempre es posible el uso del GNSS, principalmente cuando no puede recepcionar las señales de los satélites debido a la presencia de edificaciones, bosque tupido, etc. Por lo demás, los sistemas GNSS RTK (Cenemático de Tiempo Real, por sus siglas en inglés) ya igualan e incluso superan la precisión de cualquier estación total, salvando los

errores

acumulables

de

éstas

últimas,

permitiendo

además

levantamientos de puntos distantes incluso a 100 kms sin problema. En el futuro se percibe que la elección entre un equipo GNSS o bien una estación total estará mas dado por la aplicación en si, que por los límites tecnológicos que cada instrumento presente.

50

Figura 2.3.4. Estación Total

-Nomenclatura y funciones de una estación total.

Pantalla. La pantalla utiliza una matriz de puntos LCD con 4 líneas y 20 caracteres por línea. En general, las tres líneas superiores muestran los datos medidos y la última línea muestra la función de cada tecla que varía según el modo de medición. 51

Contraste e iluminación. El contraste e iluminación de la pantalla puede ser ajustado. Ver “MODO SP CIAL” (Modo Menú)”, o en el "Modo de Tecla strella”.

El calentador (Automático). El calentador automático incorporado funciona cuando la temperatura está abajo del 0°C. Esto incide en la velocidad del despliegue a temperaturas bajo 0°C. Para poner ON/OFF el calentador, vea sección “el Calentador ON / OFF”. El tiempo de operación se reduce si el calentador se usa.

Ejemplo.

oo

o

V: V: 90 9010'20" 10'20" HD: HD:120º30’40” 120º30’40”

HD: 120 30'40" DH* 65.432 m DV: 12.345 m

0º R T INGR P1↓ 0º R T INGR P1↓

MED. MODO S/A P1↓

Modo de medida angular

Modo de medida de distancia Ángulo Horizontal: 120º 30' 40" Distancia reducida: 65.432m Diferencia de altura: 12.345m

o

Ángulo V: 90 10' 20" o

Ángulo H: 120 30' 40" Unidades en pies

Unidades en pies y pulgadas

o

o

HD: 120 30'40" DH* 123.45 ft DV: 12.34 ft

HD: 120 30'40" DH* 123.04.6fi DV: 12.03.4fi

M D. MODO S/A P1↓

M D. MODO S/A P1↓

o

Ángulo horizontal : 120 30' 40" Distancia reducida : 123ft 4in 6/8in Diferencia de altura : 12ft 3in 4/8in

Ángulo Horizontal: 120º 30' 40" Distancia reducida: 123.45ft Diferencia de altura: 12.34ft

52

Símbolos de la Pantalla.

Símbolo

Significado

Significado

Símbo lo

V

Ángulo Vertical

*

MED funcionando

HD

Ángulo Horizontal

m

Unidades en etros

ft

Unidades en pies

fi

Unidades en pies y pulgadas

Derecho HI

Ángulo Horizontal Izquierdo

DH

Distancia Reducida

DV

Diferencia de Altura

Bluetooth™ es el sistema de comunicación. (Este símbolo es marca registrada por Bluetooth™ y aparece

DI

Distancia Inclinada

N

Coordenada N

E

Coordenada E

Z

Coordenada Z

en pantalla con la marca de la batería cuando la estación total se comunica por Bluetooth™.)

Teclado de Operación.

53

Teclas

Nombre de

Función

la tecla El Modo de tecla Estrella se usa para presentar o desplegar las siguientes opciones. 1 contraste del Pantalla 2 iluminación de ★

Tecla Estrella

Retículo 3 Luz de fondo 4 Corrección de Compensador 5 Punto Láser Guía (Solo para los modelos con esta opción) 6 Configuración del Modo Audio

Medida de Coordenadas Medida de Distancias ANG

Medida de

Modo de medición de coordenadas Modo de medición de la distancia Modo de medición angular

Ángulos MENU

Tecla de

Alterna los modos menú y normal. Para

Menú

determinar las mediciones en diversas aplicaciones y ajustar en el modo de menú.

ESC

Tecla Escape

� Vuelve al modo de medición o al modo anterior desde el modo actual. � Para pasar directamente al modo de REGISTRO DE DATOS o al modo de REPLANTEO desde el modo de medición normal.

54

� También se puede utilizar para registrar datos durante el modo de medición normal.

Para seleccionar la función de la tecla ESC, ver capítulo 16. MODO DE SELECCIÓN. POWER ENT F1~F4

Encendido

Enciende y apaga (ON/OFF) la batería.

Tecla

Presionar al final de la introducción de

Entrada

valores.

Teclas

Responden al mensaje mostrado.

Especiales. (Teclas de función)

55

Figura 2.3.5. Partes de una Estación Total.

Manilla de transporte

Tornillo de seguridad de la manilla de transporte

Marca central del instrumento

Puntos de guía

Lente objetivo

Telescopio de plomada óptica (Opcional)

Pantalla

Nivel Circular

Tornillo de nivelación

Tornillo de ajuste del nivel circular

Base nivelante

56

Perilla de seguridad de la base nivelante

Figura 2.3.6. Partes de una Estación Total.

Colimador Botón de seguridad de la batería

Perilla de enfoque del telescopio

Sujetador del telescopio

Batería

Pieza ocular del telescopio

Marca central del instrumento

Freno del movimiento vertical Tornillo tangencial vertical

Tornillo tangencial horizontal

Nivel tubular Pantalla

Freno del movimiento horizontal

Conector de batería externa Puerto serial

57

2.4. Métodos de levantamiento.

Para representar gráficamente los terrenos que levantamos es necesario el apoyo de figuras geométricas, puntos, líneas rectas, curvas, coordenadas, etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales abiertas o cerradas, desde las cuales recopilar las mediciones lineales y angulares que nos permitan representar gráficamente la porción de terreno con todos sus detalles.

- Ángulos Interiores.- Consiste en medir todos los ángulos interiores del polígono. Es especialmente adecuado para polígonos cerrados. Tiene la ventaja de permitir que los ángulos se midan por repeticiones o reiteraciones, lo cual no ocurre con los otros métodos. Condición angular: Suma de ángulos interiores = 180º (n-2).

- Deflexiones.- Consiste en medir el ángulo de deflexión en cada vértice. Deflexión es el ángulo que forma en un vértice la prolongación del lado anterior con el lado siguiente. Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polígono; habrá deflexiones derechas e izquierdas. Este sistema es especialmente adecuado para polígonos abiertos como los que se emplean en vías de comunicación. En cada vértice se ve el punto de atrás, se da vuelta de campana y se gira la deflexión para ver el punto adelante. Condición angular: La suma de deflexiones de un polígono cerrado es igual a 360º, considerando signos contrarios para deflexiones derechas e izquierdas. En polígonos abiertos, el control angular solo puede hacerse comprobando las direcciones de los lados, mediante rumbos astronómicos, cada cierto número de lados.

58

- Conservación de Acimuts.- Este método se emplea para cualquier clase de polígonos. Con el aparato en posición directa, se orienta el aparato en el primer vértice (magnéticamente o astronómicamente), para medir con un vernier el azimut del primer lado, después conservando en el vernier esta lectura, se traslada el aparato al punto siguiente, y al ver el de atrás en posición inversa, queda el anteojo sobre la línea cuyo Azimut se tiene marcado. Se vuelve el anteojo en posición directa, y así se logra que el aparato quede en una posición paralela a la que tuvo en el punto de atrás, o sea que el cero queda otra vez orientado al Norte; y dejando ahí fija la graduación (movimiento general apretado), se afloja el tornillo del movimiento particular y puede medirse el Azimut de la siguiente línea, con el vernier. Así se continúa el procedimiento recorriendo ordenadamente los vértices. Trazo y prolongación de alineamientos con teodolito.- Con vuelta de campana, alternando posiciones para vista atrás y adelante con objeto de no hacer acumulativo cualquier error de la línea de colimación que no se haya apreciado al ajustar el aparato.(Ver figura 2.4.1).

Figura 2.4.1. Trazo y prolongación de alineamiento.

C I

D

A

D D

B

I

Revisando en cada estación la marca fijada adelante, con dos vueltas de campana. (Ver figura 2.4.2.).

59


C I

D

I

D

A

D D

D

I

I

B

Cuando hay un obstáculo, puede procederse como se ilustra salvando el obstáculo con líneas normales al alineamiento, o desviándose un ángulo () cualquiera.


90º d 90º 90º d 90º & &

d d 180º-2&

Como determinar la distancia entre dos puntos cuando son estos inaccesibles pero visibles. (A y B).- Se mide una longitud conveniente según lo permita el terreno (CD) y desde sus extremos se miden ángulos a (A) y a (B). (Ver figura 2.4.4.).

60

Figura 2.4.4. Determinar distancia entre dos puntos inaccesibles e invisibles. B

Así se forman dos triángulos cuyos elementos se pueden calcular por Ley de Senos, y después por Ley de Cosenos se calcula AB en el triángulo ACB o en el ADB.

A

B

A

C auxiliar

C

se mid

D C

e

D auxiliar

D

2.5. Agrimensura.

La agrimensura fue considerada antiguamente la rama de la topografía destinada a la delimitación de superficies, la medición de áreas y la rectificación de límites. En la actualidad la comunidad científica internacional reconoce que es una disciplina autónoma, con estatuto propio y lenguaje específico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizándose en la fijación de toda clase de límites. De este modo produce documentos cartográficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas dando publicidad a los límites de la propiedad o gubernamentales. Con el fin de cumplir su objetivo, la agrimensura se nutre de la topografía, geometría, ingeniería, trigonometría, matemáticas, física, derecho, geomorfología, edafología, arquitectura, historia, computación, teledetección.

61

Origen. A lo largo de la evolución de esta disciplina los agrimensores se han servido de diversos instrumentos específicos de su actividad. Entre ellos destacó durante siglos la escuadra de agrimensor, que permitía establecer las dimensiones de diferentes ángulos en varias direcciones. La agrimensura ha sido un elemento esencial en el desarrollo del entorno humano, desde el comienza de la historia registrada (En el 5000 A.C.); es un requisito en la planificación y ejecución de casi toda la forma de la construcción. Sus aplicaciones, actuales, mas conocidas son el transporte, edificación y construcción, comunicaciones, cartografía, y la definición de los límites de la propiedad o gubernamentales Las técnicas de la agrimensura se han aplicado a lo largo de gran parte de nuestra historia escrita. En el antiguo Egipto, cuando el Nilo inundaba sus riberas y las granjas que se encontraban sobre las mismas, se establecieron límites por simple geometría. La casi perfecta cuadratura y orientación nortesur de la Gran Pirámide de Guiza, construida en el 2700 a. C., confirma que los egipcios dominaban la agrimensura. Registro de tierras en Egipto (3000 A. C.). Bajo los romanos los agrimensores se establecieron como una profesión, y crearon las divisiones básicas del imperio, así como el registro de los impuestos de las tierras conquistadas (sobre el año 300). En Inglaterra, el Domesday Book por Guillermo I de Inglaterra (1086) Cubría toda Inglaterra. Figuran nombres de los propietarios de las tierras, superficie, calidad de la tierra, e información específica sobre el contenido de la zona y sus habitantes. No incluía mapas mostrando la exacta localización de las tierras. El catastro de la Europa continental se creó en 1808. Creado por Napoleón Bonaparte, "Un buen catastro será mi mayor logro en mi derecho civil", de Napoleón I. Contenía el número de parcelas de la tierra, su uso, su valor. 100 millones de parcelas de tierra, se triangularon y midieron haciéndose mapas a escala de 1:2500 y 1:1250.

62

Rápida propagación por Europa, pero sobre todo debido a los problemas en los países del Mediterráneo, los Balcanes y Europa oriental ocasionados por los gastos de mantenimiento del catastro y conflictos. Las mediciones a gran escala son un prerrequisito para realizar un mapa. A fines de los 1780s, un equipo de la cartografía de Gran Bretaña, inicialmente bajo el General William Roy comenzó la Principal de la triangulación de Bretaña utilizando el teodolito Ramsden. En España, en el siglo XIX, Javier de Burgos apoyó la creación de las Academias de las Nobles Artes, para expedir títulos de agrimensores.

Técnicas. Históricamente, se midieron distancias de múltiples formas; como unir los puntos con cadenas de una longitud conocida, por ejemplo, la cadena de Gunter o cintas de acero o invar. Con el fin de medir las distancias horizontales, estas cadenas o cintas se tensaban de acuerdo a la temperatura, para reducir el pandeo y la holgura. Los ángulos horizontales se midieron utilizando una brújula, que proporciona una inclinación magnética que se podía medir. Este tipo de instrumento posteriormente se mejoró, con unos discos inscritos con mejor resolución angular, así como el montar telescopios con retículos para ver con más precisión encima del disco (véase teodolito). Además, se añadieron círculos calibrados que permitían medir de ángulos verticales, junto con los vernieres para medir las fracciones de grado. El método más simple para medir alturas es con un altímetro (básicamente un barómetro); utilizando la presión del aire como indicador de alturas. Pero para la agrimensura se necesitaba mejorar la precisión. Con este fin se han desarrollado una multitud de variantes, tales como los niveles exactos. Los niveles son calibrados para dar un plano exacto de diferencias de alturas entre el instrumento y el punto en cuestión que se mide, por lo general, mediante el uso de una barra de medición vertical.

63

A finales de los 1990s se utilizaban como herramientas básicas en la agrimensura sobre el terreno, la cinta métrica para medir las distancias más cortas o diferencias de cotas; y un teodolito fijado en un trípode para medir ángulos (horizontales y verticales), en combinación con la triangulación. Partiendo de un punto de referencia, donde se conoce su ubicación y cota, se miden distancias y los ángulos de otros de los que se quiere conocer su ubicación y cota. Un instrumento más moderno es la estación total, que es un teodolito electrónico con un dispositivo de medición de distancia (EDM). Desde la introducción de las estaciones totales se han ido cambiando los todos dispositivos ópticos y mecánicos por electrónicos, con un ordenador portátil y software. Las modernas estaciones top-of-the-line ya no requieren un reflector o prisma (utilizados para devolver los pulsos de luz al medir distancias) para devolver las mediciones de distancia, son totalmente autómatas, y puede incluso enviar un e-mail con los datos al ordenador de la oficina y conectarse a un sistema global de navegación por satélite, tales como el conocido GPS. Aunque los sistemas GPS han aumentado la velocidad en la toma de datos de la agrimensura, todavía sólo tienen una precisión de unos 20 mm. Además los sistemas GPS no funcionan en zonas con una densa arboleda. Es por esto que las estaciones totales no han eliminado por completo los instrumentos anteriores. La robótica permite a los agrimensores recoger mediciones precisas sin tener que contratar a más trabajadores, mirando a través del telescopio o grabar datos. Una forma más rápida de medir (sin obstáculos) es ir en un helicóptero con localización acústica por láser, combinado con el GPS para determinar la altura del helicóptero. Para aumentar la precisión, se colocan balizas en el suelo (a unos 20 km). Este método alcanza una precisión de unos 5 mm. Con el método de triangulación, lo primero que se tiene que conocer es la distancia horizontal al objeto. Si no se conoce o no se puede medir directamente, se calcula como se explica en el artículo triangulación.

64

Entonces, la altura de un objeto se puede obtener mediante la medición del ángulo entre la horizontal y la línea que une un punto a una distancia conocida y la parte superior del objeto. Para determinar la altura de una montaña, se debe tomar como referencia el nivel del mar, pero aquí las distancias pueden ser demasiado grandes y la montaña puede que no se vea. Así pues, en primer lugar se debe determinar la posición de un punto, entonces vamos hasta ese punto y realizamos una medición relativa, y así sucesivamente hasta que se alcance la cima de montaña. Agrimensura como carrera. Los principios básicos de la agrimensura han cambiado poco a lo largo de los siglos, pero los instrumentos utilizados por los agrimensores han evolucionado enormemente. La ingeniería, en especial la ingeniería civil, depende en gran medida de los agrimensores. Siempre hay caminos, diques, muros de contención, puentes o zonas residenciales por construir, donde los agrimensores están involucrados. Determinan los límites de la propiedad privada y los límites de las distintas divisiones políticas. También ofrecen asesoramiento y datos para los sistemas de información geográfica (SIG), bases de datos informatizadas que contienen información sobre las características y límites del terreno. Los agrimensores deberán poseer un conocimiento

minucioso

de

álgebra,

cálculo

básico,

geometría

y

trigonometría. También deben conocer las leyes que regulan los catastros, la propiedad y los contratos. Además, deben ser capaces de utilizar los delicados instrumentos con exactitud y precisión.

65

2.6. Métodos para el cálculo de superficies.

Métodos analíticos para el cálculo de superficies: -Dobles Distancias Meridianas o Longitudes (D.D.M.). -Dobles Distancias Paralelas o Latitudes (D.D.P.) -Coordenadas.

Para el cálculo de superficies por los métodos antes descritos, se requieren como datos los rumbos calculados y las distancias de los lados de una poligonal cerrada.

Pasos a seguir para el cálculo de superficies: 1.- Cálculo de Latitudes y Longitudes. Con el rumbo y la distancia de cada lado, se calculan las proyecciones al norte-sur (latitudes) y este-oeste (longitudes). Las latitudes son el resultado de multiplicar el coseno del rumbo por la distancia; y las longitudes son el resultado de multiplicar el seno del rumbo por la distancia. (Ver figura 2.6.1.).

Figura 2.6.1. Latitudes y longitudes. N

LATITUD A-B

LONGITUD A-B

B

RUMBO

A

E

W

S

66

2.- Cálculo del error de Latitud y el error de longitud y el error de Cierre. El error de Latitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias de las proyecciones norte-sur. El error de Longitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias de las proyecciones este-oeste. El error de Cierre se obtiene del resultado de la suma del cuadrado de los errores de Latitud y de Longitud. 3.- Balanceo de Latitudes y Longitudes. El balanceo de latitudes y longitudes se hace corrigiendo las Latitudes y las Longitudes y se obtienen por medio de la “Regla de la brújula”, utilizando la fórmula siguiente:

Corrección de Lat. AB=

Corrección de Long. AB=

(Error de Lat. AB) X (Distancia AB) Perímetro (Error de Long. AB) X (Distancia AB) Perímetro

Antes de realizar el balanceo, es conveniente verificar en la sumatoria de latitudes y longitudes, cual resultado es mayor y cual es menor. La corrección de latitud se le suma al lado norte, si de ese lado la sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor; lo mismo se hace para el sur. La corrección de longitud se le suma al lado este, si de ese lado la sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor, lo mismo se hace para el lado oeste. Para comprobar el balanceo de Latitudes y Longitudes, la sumatoria de Latitudes al norte debe ser exactamente igual que la sumatoria de Latitudes al sur y la sumatoria de Longitudes al sur, debe ser exactamente igual que la sumatoria de Longitudes hacia el oeste. 67

4.- Cálculo de las DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS (D.D.M.). Para obtener las D.D.M., primeramente se obtienen las Distancias meridianas y estas últimas se multiplican por dos. Las Distancias Meridianas se obtienen con las Longitudes balanceadas, haciendo un meridiano de referencia que se encuentre en el punto más hacia el oeste del polígono. La distancia meridiana de un lado en particular, es la distancia dirigida desde el meridiano de referencia hasta el punto medio del lado. (Ver figura 2.6.2.). Figura 2.6.2. Distancias meridianas. meridiano de referencia

distancia meridiana punto medio

punto medio

Para obtener la superficie del polígono, se multiplican las D.D.M. por las latitudes, obteniéndose dobles áreas al N(+) y S(-); se restan las del norte con las del sur y se dividen entre dos .

5.- Cálculo de las DOBLES DISTANCIAS PARALELAS (D.D.P.). Para obtener las D.D.P., primeramente se obtienen las Distancias paralelas y estas últimas se multiplican por dos. Las Distancias Paralelas se obtienen con las Latitudes balanceadas, haciendo un paralelo de referencia que se encuentre en el punto más hacia el sur del polígono.

68

La distancia paralela de un lado en particular, es la distancia dirigida desde el paralelo de referencia hasta el punto medio del lado. (Figura 2.6.3.).

Figura 2.6.3. Distancias paralelas.

distancia paralela

punto medio

punto medio paralelo dereferencia

. Para obtener la superficie del polígono, se multiplican las D.D.P. por las longitudes, obteniéndose dobles áreas al E(+) y W(-); se restan las del este con las del oeste y se dividen entre dos .

6.- Cálculo de las COORDENADAS. Se calculan las coordenadas en X y Y de cada punto de la poligonal, sumando las longitudes y las latitudes respectivamente. Se trazan los ejes coordenados X y Y en la poligonal, como lo muestra la figura 2.6.4. Figura 2.6.4. Coordenadas. Y

A

B

E C

X O

D

69

Una vez calculadas las coordenadas, se hacen productos cruzados hacia arriba y hacia abajo. La sumatoria de productos hacia arriba menos la sumatoria de productos hacia abajo, divididos entre dos, da como resultado la superficie del polígono. Ejercicio 2.15 (resuelto). Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el área del siguiente polígono con los métodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.

LATITUDES

LONGITUDES

LADO

DISTANCIA

RUMBO

COSENO

SENO

N(+)

A-B

168.01

NE 41°20'

0.75088

0.66044

126.16

B-C

250.10

SE 63°30'

0.446198

0.8949

111.594 223.823

C-D

246.40

SW 22°40'

0.92276

0.38537

227.369

D-E

216.90

NW 60°02'

0.4995

0.8663

108.341

187.904

E-A

118.30

NW 29°30' 0.870356

0.4924

102.963

58.254

p=

999.71

S(-)

E(+)

W(-)

110.960

94.955

337.459 338.963 334.783 341.113

Lat. A-B=(cos 41°20´)(168.01)

Error de latitud=337.459-338.963

Lat. A-B=126.16

Error de latitud=-1.5037

Long. A-B=(sen41°20´)(168.01)

Error de longitud=334.783-341.113

Long. A-B=110.96

Error de longitud=-6.33

70

CORRECC. DE LATS. LADO

N(+)

A-B

0.25271

CORREC. DE LONG

S(-)

E(+)

W(-)

1.063

B-C

0.3762

C-D

0.37062

LATS. BALANCEAD N(+)

S(-)

126.408

LONGS. BALANCE E(+)

W(-)

112.024

1.584

111.218 225.407 1.560

226.998

93.395

D-E

0.32625

1.373

108.667

186.531

E-A

0.17794

0.749

103.141

57.505

338.216

338.216 337.430 337.430 0

0

Error de cierre² = (E lat.)²+ (E long)²

Corr. De Lat.A-B=[(E. de lat)(dist A-B)]/(Perime)

Error de cierre² = (-1.5037)²+ (-6.3297)²

Corr. De Lat.A-B=[(-1,5037)(168.01)]/(997.71)

Error de cierre=6.50586

Corr. De Lat A-B=0.25271

Precisión=(Error de cierre)/(Perímetro) Precisión=(6.50586)/(999.71)

Corr. De Lon.A-B=[(E. de lon)(dist A-B)]/(Perim)

Precisión=1/0.0065077

Corr. De Lon.A-B=[(-6.3297)(168,01)]/(999.71)

Precisión=1:153.66

Corr. De Lon.A-B=1.063 DOBLES AREAS

LADO

D.D.M.

N(+)

A-B

112.024

14,160.739

B-C

449.455

C-D

581.466

D-E

301.540

E-A

57.505

DOBLES AREAS

S(-)

D.D.P.

E(+)

550.024

61,615.92

49,987.41

565.214

127,403

131,991.7

226.998

21,200.5

32,767.442

108.667

20,270.6

5,931.11

320.475

18,428.8

52,859,28 181,979.1

189,019

W(-)

59900

Area por D.D.M.= [(∑N+)-(∑S-)]/2

Area por D.D.P.= [(∑E+)-(∑W-)]/2

Area por D.D.M.= [(52,859.28)-(181,979.1)]/2

Area por D.D.P.= [(189,019)-(59900)]/2

Area por D.D.M.= 64,559.94

Area por D.DP.= 64,559.51

71

COORDENADAS

PRODUCTOS ↘↗

PUNTOS

X

Y

↘

↗

A

0↘

↗211808

B

112024↘

↗338216

C

337431↘

↗226998

D

244035↘

↗0

0

0

E

57505↘

↗108667

26,518.58

0

A

0

211.808

12,179.96

23,727.6 0

114,124.4

25,429.25 55,395.6

64,127.78 193,247.6 Area por COORDENADAS=(∑↘−∑↗)2 Area por COORDENADAS=(64,127.78-193,247.6)2 Area por COORDENADAS= 64,559.90

Ejercicio 2.16. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el área del siguiente polígono con los métodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.

LADO A-B B-C C-D D-E E-F F-G G-A

72

DISTANCIA RUMBO 115.25 NE 26°10' 177.50 SE 84°10' 148.50 SE 29°11' 274.90 SW 44°30' 152.10 NE 15°50' 98.50 SW 69°20' 138.90 NW 24°10'

Ejercicio 2.17. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el área del siguiente polígono con los métodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.

LADO A-B B-C C-D D-E E-F F-G G-H H-I I-A

73

DISTANCIA 108.50 99.20 92.90 93.42 103.40 131.10 80.15 131.90 147.50

RUMBO NE 41°20' SE 76°10' SE 39°22' SE 06°10' SW 31°15' SW 70°20' NW 53°20´ NE 51°00' NW 42°05´

2.7. Problemas de división de superficies.

En distintas ocasiones, se presentan casos de dividir un terreno con determinadas restricciones, como puede ser el caso de distribuir áreas para cuestiones testamentarias o cualquiera que sea la necesidad de dividir un terreno en partes

iguales o desiguales. Cuando el terreno tiene forma

regular, no es tan difícil hacerlo, solo es necesario utilizar los conocimientos de trigonometría y geometría, como del propio ingenio. Como casi siempre los terrenos se presentan en forma irregular y en ocasiones en formas muy raras, se darán ejemplos para dividir superficies en terrenos irregulares. Primero se darán ejemplos, de cómo resolver problemas de datos faltantes en polígonos. Estos problemas se pueden presentar cuando se olvidó, o no fue posible, tomar algún dato de campo. Sin embargo, debe procurarse no omitir datos de campo, pues en estos casos, las soluciones se basan en que el polígono debe cerrarse forzosamente, y si existe algún error, éste no se puede descubrir, y el trabajo queda defectuoso. Con estos casos se pretende principalmente ilustrar la aplicación de cálculos con coordenadas y rumbos.

74

Problemas de datos o medidas faltantes en polígonos cerrados.

- Falta rumbo y longitud de un lado. Como todos los demás datos del polígono, ángulos, longitudes y rumbos son conocidos, se pueden calcular proyecciones y coordenadas de todos los vértices; los datos faltantes del lado PM pueden calcularse simplemente así: B A C 2

2 Long. = Xm - Xp

R= ang tan

+

Ym - Yp

D

M P

Xp - Yp Ym - Xm

F

E

- Faltan longitudes de dos lados consecutivos. En este caso y los siguientes, se pueden resolver calculando la longitud y el rumbo de una línea auxiliar entre los puntos extremos conocidos, formando un triángulo dentro del cual se calculan los elementos faltantes, por ley de los senos o ley de cosenos. Procedimiento: 

Se calcula R y L de la auxiliar MP.



Por diferencias de rumbos se calculan todos los ángulos del triángulo KPM.



Conocido el lado MP y los tres ángulos interiores del triángulo, por ley de senos se calculan las longitudes MK y KP, que faltaban.

75

K R

L= R

? L=

auxiliar R.L.

M

?

P A B

F E C

- Faltan Rumbos de dos lados consecutivos. Este caso puede tener dos soluciones, por lo cual se requiere tener algún indicio para saber cual tomar. Procedimiento: 

Conocidos todos los demás datos del polígono, se calculan coordenadas de M y de P, y con ellas se calculan R y L de la auxiliar MP.



En el triángulo KPM se conocen todos sus lados, con lo cual se calculan sus tres ángulos interiores.



Con los ángulos conocidos, en M y en P, y a partir del rumbo de MP se calculan los rumbos de MK y KP, que faltaban.



Con los ángulos conocidos, en M y en P, y a partir del rumbo MP se calculan los rumbos de MK y KP, que faltaban.

76

K R= =?

? L

L

R

P

auxiliar R. L.

M

A

E K' D

B

- Falta la longitud de un lado y el rumbo del lado consecutivo. Procedimiento: 

Se calcula R y L de la auxiliar MP para formar un triángulo con K.



En el triángulo MKP, por ley de senos se determina el ángulo en K.

 PK ------- =

MP -------

senM 

senK

Conocidos los ángulos en M y en K, por diferencia a 180º se obtiene el ángulo en P.



Con el rumbo de MP y el ángulo en P, se determina el rumbo de PK que faltaba.



Por ley de senos, en el triángulo KPM se calcula la longitud de MK que faltaba.

77

K ? L=

R=

?

L

R

M

auxiliar R. L.

P A

E D

B

Ejemplo: Dividir el terreno en forma de trapecio, por una línea paralela a los lados, base mayor y base menor, en dos partes proporcionales a dos números dados (4 a 2, 3 a 2, que el terreno menor sea de 5 hectáreas, etc.). Ver la figura.

Se desea dividir el área total AT en dos partes A1 y A2, determinadas por la línea EF de longitud x, con una proporción m, n. Se ha llamado a y c a los lados del trapecio y b1 y b2 a la base mayor y a la base menor respectivamente, así como H a la altura del trapecio y h 1, h2 a las alturas parciales de las figuras resultantes de la división del terreno por medio de la línea EF. Para calcular A1 y A2 en los términos expresados antes, se tiene:

78

A1 es a A2 igual que m es a n, es decir, (A1/A2)=(m/n); de aquí: A2=[n(A1)/m] . Si A1+A2=AT, se puede sustituir el valor de A2 y queda: A1+[n(A1)/m]=AT; en donde: A1=[m/(m+n)]AT El valor del área total AT ya se conoce, o bien se determina con alguno de los distintos métodos o con sus elementos geométricos y haciendo uso de la trigonometría: AT=[(b21)-(b22)]/[2(cot α+cot β)]. Para determinar la longitud x del lado EF, se procede de la siguiente manera: A1=[(b21)-(x2)]/[2(cot α+cot β)] sustituyendo valores y simplificando, queda: b21 – x2=[m/(m+n)](b21-b22); de aquí: mb21+nb21-(m+n)x2=mb21-mb22 , despejando la x: -(m+n)x2=mb21-mb22- mb21-nb21-x2=(-mb22-nb21)/(m+n) , finalmente X2=[(-mb22-nb21)/(m+n)]2 Como se ha pasado por D una paralela a CB, se forman los triángulos: ADB´ y EDG semejantes, con los que podremos determinar la distancia DE y AE con el razonamiento siguiente: (DE/EG)=(DA/AB)

como EG=x-b2

También se ha hecho DA=a y AB´=b1-b2; por lo tanto: (DE)/(x-b2)=(a)/(b1-b2); de donde: DE=a(x-b2)/(b1-b2); asimismo: AE=AD-DE AE=a-[ a(x-b2)/a(b1-b2)] AE=a[1-(x-b2)/(b1-b2)]; o bien haciendo la resta: AE=[a(b1-x)/(b1-b2)], Como es natural, primero será necesario determinar el valor de x.

79

Midiendo AE sobre la recta AD desde el vértice A o bien DE desde el vértice D, se encuentra el punto por donde pasa la recta EF que resuelve el problema en su primera parte. Ver ahora como se determinan h 1, h2; en los nuevos trapecios A1 y A2: AB´/EG = H/h2 ó (b1-b2)/(x-b2) = H/h2 Entonces: H2 = [H(x-b2)]/(b1-b2) Como H = h1+h2 ; h1 = H-h2 Así: H1 = [H(b1-x)]/(b1-b2) Ejercicio 2.18. Dividir el terreno de la siguiente figura en dos partes de proporción 3 a 2 (m, n) entre A1 y A2, mediante una línea paralela a las bases mayor y menor del trapecio.

Datos: AD=a=50 m AT=6031.340 m2 b1=150.00 m b2=106.75 H=45.50 Angulo A=66°15´ Angulo B=64°20´

80

Recordar que cotα=tan(90°-α) y cotβ=tan(90°-β).

Utilizando las fórmulas del ejemplo anterior con los valores numéricos respectivos, se tiene: A1=3618.80 m2 A2=24142.54 m2 x=134.38 m DE=31.94 m AE=18.06 m h1=16.43 m h2=29.07 m

81

2.8. Levantamientos con teodolito mecánico, electrónico y estación total.

LEVANTAMIENTOS CON TEODOLITO MECÁNICO Y ELECTRÓNICO: - Método de ángulos Interiores.- Consiste en medir simplemente

todos

los ángulos interiores del polígono. Es especialmente adecuado para polígonos cerrados. Tiene la ventaja de permitir que los ángulos se midan por repeticiones o reiteraciones, lo cual no ocurre con los otros métodos.

PRACTICA No. 6. Levantamiento con teodolito de un polígono cerrado con el método de ángulos interiores. PROCEDIMIENTO: Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Se traza y se mide los lados y ángulos interiores del polígono. Se mide el rumbo o azimut de cualquier lado del polígono. Con ese rumbo o azimut y los ángulos interiores, se calculan los rumbos faltantes. Se verifica que se cumpla la condición de cierre angular para ángulos interiores: 180°(n2) donde n=número de lados o vértices; verificando la tolerancia angular del teodolito: Ta   a n , donde a es la aproximación de la lectura del teodolito '

(Ver figura 2.8.1). Paso 3. Levantamiento de detalles con relación al polígono, dentro o fuera del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ríos, canales, o cualquier objeto que no sea fácil de remover. Paso 4. Con todos los datos obtenidos en el campo, se dibuja el polígono y se calcula la superficie. La superficie puede ser calculada por métodos analíticos que se explicarán más adelante o bien directamente en Autocad.

82


Teodolito

-


-


-


-

Marro de 4 libras.

Figura 2.8.1. Poligonal cerrada. B

A A F

C

C

D

H

H

B

G G

D

F E

F

E

- Método de deflexiones. - Consiste en medir el ángulo de deflexión en cada vértice. Deflexión es el ángulo que forma en un vértice la prolongación del lado anterior con el lado siguiente. Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polígono; habrá deflexiones derechas e izquierdas. Este sistema es especialmente adecuado para polígonos abiertos como los que se emplean en vías de comunicación. En cada vértice se ve el punto de atrás, se da vuelta de campana y se gira la deflexión para ver el punto adelante.

83

PRACTICA No. 7. Levantamiento con teodolito de un polígono cerrado con el método de deflexiones.

PROCEDIMIENTO: Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Se traza y se mide los lados y ángulos de deflexión del polígono. Se mide el rumbo o azimut de cualquier lado del polígono. Con ese rumbo o azimut y las deflexiones izquierdas y derechas, se calculan los rumbos faltantes. Se verifica que se cumpla la condición de cierre angular para deflexiones. Condición angular: La suma de deflexiones de un polígono cerrado es igual a 360º, considerando signos contrarios para deflexiones derechas e izquierdas. En polígonos abiertos, el control angular solo puede hacerse comprobando las direcciones de los lados, mediante rumbos astronómicos, cada cierto número de lados. (Ver figura 2.8.2.). Paso 3. Levantamiento de detalles con relación al polígono, dentro o fuera del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ríos, canales, o cualquier objeto que no sea fácil de remover. Paso 4. Con todos los datos obtenidos en el campo, se dibuja el polígono y se calcula la superficie. La superficie puede ser calculada por métodos analíticos que se explicarán más adelante o bien directamente en Autocad.


Teodolito

-


-


-


-

Marro de 4 libras.

84

Figura 2.8.2. Polígono cerrado con deflexiones. A deflexión derecha B D

D

I C I

D D

D E

H

I

D

F

D

G

- Método conservación de azimut. - Este método se emplea para cualquier clase de polígonos.

PRACTICA No. 8. Levantamiento con teodolito de un polígono cerrado con el método conservación de azimuts.

PROCEDIMIENTO: Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Con el aparato en posición directa, se orienta el aparato en el primer vértice (magnéticamente o astronómicamente), para medir con un vernier el azimut del primer lado, después conservando en el vernier esta lectura, se traslada el aparato al punto siguiente, y al ver el de atrás en posición inversa, queda el anteojo sobre la línea cuyo Azimut se tiene marcado.

85

Se vuelve el anteojo en posición directa, y así se logra que el aparato quede en una posición paralela a la que tuvo en el punto de atrás, o sea que el cero queda otra vez orientado al Norte; y dejando ahí fija la graduación (movimiento general apretado), se afloja el tornillo del movimiento particular y puede medirse el Azimut de la siguiente línea, con el vernier. Así se continúa el procedimiento recorriendo ordenadamente los vértices. Paso 3. Levantamiento de detalles con relación al polígono, dentro o fuera del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ríos, canales, o cualquier objeto que no sea fácil de remover. Paso 4. Con todos los datos obtenidos en el campo, se dibuja el polígono y se calcula la superficie. La superficie puede ser calculada por métodos analíticos que se explicarán más adelante o bien directamente en Autocad.


Teodolito

-


-


-


-

Marro de 4 libras.

86

Levantamientos con estación total.

En toda obra civil, en una vivienda, en un edificio, etc. se realizan trabajos topográficos. Hoy en día se realizan casi exclusivamente con el instrumento electro-óptico llamado estación total. A continuación se desarrollan paso a paso las operaciones que se realizan basadas en una estación total Leica. -Establecimiento del azimut. -Levantamiento. -Replanteo. -Distancia entre puntos. Otras mediciones que se realizan son también: -Cálculo de área. -Estación libre. -Líneas de referencia. -Altura remota.

Establecimiento del azimut. El establecimiento del azimut es una aplicación que se encuentra en casi todos los programas internos de la estación total, y sirven para definir el trabajo y organizar los datos para la ejecución de los levantamientos. -Primeramente se define un sistema de coordenadas tridimensional (ver figura

2.8.3.),

éstas

pueden

ser

asumidas

o

bien

pueden

ser

georreferenciadas, definiendo de ésta manera una dirección para los ejes, la más adecuada es: Norte geográfico = al eje de las Y. La dirección Este = al eje de las X. La altura de cota = al eje Z.

87

Figura 2.8.3. Sistema de coordenadas tridimensional.

-Fijar trabajo, estación, orientación y empezar. (Ver figura 2.8.4.). Figura 2.8.4. Fijar trabajo, estación, orientación y empezar.

-Fijar trabajo: Se define el trabajo especificando el nombre, operador, lugar y fecha de inicio del mismo. Todos los datos de campo que se registrarán posteriormente (mediciones, códigos, puntos fijos, estaciones, etc.) se guardarán en el trabajo definido. (Ver figura 2.8.5.).

88

Figura 2.8.5. Fijar trabajo.

-Fijar estación: Todos los cálculos de coordenadas se refieren siempre a la estación ocupada por el equipo. Para ello el equipo cuenta con la posibilidad de introducir por teclado o leer de la memoria interna, el nombre de la Estación ocupada, las coordenadas y la altura del instrumento. (Ver figura 2.8.6.). Figura 2.8.6. Fijar estación.

89

-Fijar orientación: Se introducen las coordenadas fijas del punto de referencia, de las mismas que se pueden obtener de la memoria interna o introducirlas a mano. (Ver figura 2.8.7.). Figura 2.8.7. Fijar orientación.

-Empezar: Una vez introducidas las coordenadas del punto de referencia, la estación total calcula en forma automática el azimut de partida, por diferencia de coordenadas.

Impuesto el equipo con el azimut de partida, se

empieza a realizar el registro de información mediante la tecla DIST-REC o la tecla ALL. (Ver figura 2.8.8.). Figura 2.8.8. Empezar.

90

Todas las coordenadas registradas de los puntos de levantamiento, son calculadas en base a las coordenadas del punto de estación. Realizándose la conversión interna en el instrumento de las coordenadas polares (ángulo y distancia) que proporciona la estación total, a las rectangulares (XYZ) del plano de referencia. (Ver figura 2.8.9.). Figura 2.8.9. Conversión interna de coordenadas polares a rectangulares.

Levantamiento. El programa levantamiento, es el programa más utilizado de una estación total, permitiendo realizar el registro de una gran cantidad de puntos. -En primer lugar se tiene que realizar el establecimiento del azimut de partida. (Ver figura 2.8.10.). Figura 2.8.10. Establecimiento del azimut de partida.

91

-Realizar la medición y registro de los puntos de interés, desde la primera estación. (Ver figura 2.8.11).

Figura 2.8.11. Medición y registro de los puntos de interés.

92

Enseguida se procede a realizar un cambio de estación, para lo cual se visa y se registra los datos de la nueva estación (Est. 2). (Ver la figura 2.8.12.). Figura 2.8.12. Cambio de estación.

Concluido el registro en la estación 2, se traslada el equipo a la nueva estación y se procede a establecer el nuevo azimut, tomando la estación 2 como nuevo punto de partida, y como referencia la estación 1. (Ver figura 2.8.13.). De la misma manera que en la estación anterior, se realiza el levantamiento de los puntos de interés. Figura 2.8.13. Medición y registro de los puntos de interés (Estación 2).

93

Se pueden realizar los cambios de estación necesarios, hasta concluir con el levantamiento. Replanteo. El programa Replanteo permite replantear en el terreno puntos de coordenadas conocidas, estos valores pueden ser recuperados de la memoria interna o pueden ser introducidos manualmente. -Primero se realiza el establecimiento del azimut de partida. (Ver figura 2.8.14.). Figura 2.8.14. Establecimiento del azimut de partida en el replanteo.

-Luego se introduce las coordenadas tridimensionales del punto a replantear P1). Esto se puede realizar buscando en la memoria interna o bien, haciéndolo manualmente. (Ver figura 2.8.15.). Figura 2.8.15. Introducción de coordenadas tridimensionales del punto a replantear.

94

-Se hace notar que en el instrumento aparece una diferencia de azimut (dHz), entonces se tiene que mover el círculo Hz hasta volver el valor de dHz a 00º00′00". Con esta operaci n realizada, se ajusta la visual hacia el punto a replantear y se guía al mirero a esa visual. (Ver figura 2.8.16.). Figura 2.8.16. Corrección de la diferencia de azimut (dHz).

-Quedando el mirero en la visual directa del punto a replantear, se realiza la medición de la distancia, dando como resultado la diferencia (+-) en metros que se necesita para llegar al punto. Se indica al mirero que se sitúe en dicho punto y nuevamente se procede a realizar la medición de la distancia. (Ver figura 2.8.17.). Figura 2.8.17. Nueva medición de la distancia.

95

-La operación anterior se realiza tantas veces, hasta que los valores de la dHorizontal, dDist Hz y d altura estén en 0 (cero), o cercanos de este valor. (Ver figura 2.8.18.). Figura 2.8.18. Tanteos para localizar las distancias.

-De la misma manera se procede con los demás puntos. Buscando en la memoria o introduciendo por medio del teclado, se obtienen los valores del próximo punto a replantear (P2). (Ver figura 2.8.19.). Figura 2.8.19. Preparación del punto a replantear (P2).

96

-Moviendo el círculo Hz del instrumento hasta que la diferencia del Azimut (dHz) esté en 00º00′00" obteniendo de esa manera, la visual hacia el punto a replantear y guiar el mirero a esa visual. (Ver figura 2.8.20.).

Figura 2.8.20. Replanteo del punto P2.

-Realizar la medición de la distancia. Al hacer esta operación dá como resultado la diferencia (+-) en metros; esto hasta llegar al punto guiando al mirero para que se sitúe en dicho punto. Nuevamente se realiza la medición de la distancia. (Ver figura 2.8.21.).

97

Figura 2.8.21. Medición de la distancia.

-Complementando el paso anterior, verificar que los valores de la dHorizontal, d Dist Hz y d Altura estén en 0 (cero) o cercano a éste valor. (Ver figura 2.8.22.). Figura 2.8.22. Verificación de valores en 0 (cero).

98

Distancia entre puntos. El programa Distancia de enlace sirve para calcular la distancia y el azimut entre dos puntos. Los puntos se pueden medir directamente, importarlos de un archivo de coordenadas o introducirlos a mano. -Primero se establece el azimut de partida. (Ver figura 2.8.23.). Figura 2.8.23. Establecimiento del azimut de partida.

-Medir los puntos P1 y P2. (Ver figura 2.8.24.).

Figura 2.8.24. Medición de puntos.

99

-Al

finalizar

la

secuencia

anterior,

la

Estación

Total

calcula

automáticamente el azimut, la distancia horizontal, la distancia inclinada y la diferencia de altura. Todo esto desde el primer punto P1 al segundo punto P2. (Ver figura 2.8.25).

Figura 2.8.25. Cálculo automático de los valores.

100

2.9. Aplicación de software de dibujo asistido por computadora.

El software más utilizado universalmente en dibujo topográfico es el Autocad.

Autodesk

Autocad

es

un programa de diseño

asistido

por

computadora para dibujo en dos y tres dimensiones. Autocad se enseña en el primer semestre de la carrera de ingeniería civil en la mayoría de las escuelas de nivel superior, como prerrequisito de muchas de las materias que requieren este software, incluyendo topografía. En la carrera de ingeniería civil del Sistema Tecnológico se le denomina a la materia: Dibujo de Ingeniería Civil, contando con una unidad que se llama Dibujo topográfico. Al igual que otros programas de diseño asistido por computadora, Autocad gestiona una base de datos de entidades geométricas (puntos, líneas, arcos, etc) con la que se puede operar a través de una pantalla gráfica en la que se muestran éstas, el llamado editor de dibujo. La interacción del usuario se realiza a través de comandos, de edición o dibujo, desde la línea de órdenes, a la que el programa está fundamentalmente orientado. Las versiones modernas del programa permiten la introducción de éstas mediante una interfaz gráfica de usuario o en inglés GUI, que automatiza el proceso. Como todos los programas y de DAC, procesa imágenes de tipo vectorial, aunque admite incorporar archivos de tipo fotográfico o mapa de bits, donde se dibujan figuras básicas o primitivas (líneas, arcos, rectángulos, textos, etc.), y mediante herramientas de edición se crean gráficos más complejos. El programa permite organizar los objetos por medio de capaso estratos, ordenando el dibujo en partes independientes con diferente color y grafismo. El dibujo de objetos seriados se gestiona mediante el uso de bloques, posibilitando la definición y modificación única de múltiples objetos repetidos.

101

Parte del programa Autocad está orientado a la producción de planos, empleando para ello los recursos tradicionales de grafismo en el dibujo, como color, grosor de líneas y texturas tramadas. Autocad, a partir de la versión 11, utiliza el concepto de espacio modelo y espacio papel para separar las fases de diseño y dibujo en 2D y 3D, de las específicas para obtener planos trazados en papel a su correspondiente escala. La extensión del archivo de Autocad es .dwg, aunque permite exportar en otros formatos (el más conocido es el .dxf). Maneja también los formatos IGES y STEP para manejar compatibilidad con otros softwares de dibujo. El formato.dxf permite compartir dibujos con otras plataformas de dibujo CAD, reservándose Autocad el formato.dwg para sí mismo. El formato.dxf puede editarse con un procesador de texto básico, por lo que se puede decir que es abierto. En cambio, el.dwg sólo podía ser editado con Autocad, si bien desde hace poco tiempo se ha liberado este formato (DWG), con lo que muchos programas CAD distintos del Autocad lo incorporan, y permiten abrir y guardar en esta extensión, con lo cual lo del DXF ha quedado relegado a necesidades específicas. Es en la versión 11, donde aparece el concepto de modelado sólido a partir de operaciones de extrusión, revolución y las booleanas de unión, intersección y sustracción. Este módulo de sólidos se comercializó como un módulo anexo que debía de adquirirse aparte. Este módulo sólido se mantuvo hasta la versión 12, luego de la cual, AutoDesk, adquirió una licencia a la empresa Spatial, para su sistema de sólidos ACIS. El formato.dwg ha sufrido cambios al evolucionar en el tiempo, lo que impide que formatos más nuevos.dwg puedan ser abiertos por versiones antiguas de Autocad u otros CADs que admitan ese formato (cualquiera).

102

La última versión de Autocad hasta la fecha es el Autocad 2012, y tanto él como sus productos derivados (como Autocad Architecture o Autodesk Inventor) usan un nuevo formato no contemplado o trasladado al OpenDWG, y que sólo puede usar el formato hasta la versión 2000. Como crear un plano topográfico en autocad. Figura 2.9.1. Dibujo topográfico realizado en autocad.

Paso 1. Se carga el programa y al iniciar se escoge la plantilla Acadiso.dwt. Se abre el comando "units", donde aparece un cuadro de diálogo. (Ver figura 2.9.2.).

103

Figura 2.9.2. Cuadro de diálogo "units".

Paso 2.

n el tipo de ángulo escoger "surveyor′s units" (unidades

topográficas). (Ver figura 2.9.3.). Figura 2.9.3. Unidades topográficas.

Paso 3. Enseguida se escoge la precisión con la que se prefiera trabajar. Se sugiere que sea con grados, minutos y segundos. (Ver figura 2.9.4.)

104

Figura 2.9.4. Precisión del ángulo.

Paso 4. La inserción de escala se aplica en metros y la dirección hacia el "east". Paso 5. Para comenzar a dibujar un plano topográfico se utiliza el comando "line". No es indispensable comenzar a dibujar con una coordenada específica;

la

georeferenciación

es

algo

que

se

puede

realizar

posteriormente. Una vez aplicado el comando "line", se hace click en un punto de comienzo; inmediatamente autocad solicita el siguiente punto. Para esto se necesita una distancia y un rumbo, el cual se digita de la siguiente manera. (Ver la figura 2.9.5.). Figura 2.9.5. Digitar distancia y rumbo.

105

En donde el símbolo "@" representa la distancia y el símbolo "<" representa el ángulo. Al aplicar "enter" en la pantalla aparecerá la línea dibujada. (Ver la figura 2.9.6.). 2.9.6. Primera línea dibujada.

Paso 6. Se prosigue con el comando "line" hasta concluir con el dibujo. (Ver figura 2.9.7.).

Figura 2.9.7. Dibujo concluido.

106

CAPÍTULO 3.- ALTIMETRÍA.

3.1. Tipos de niveles. NIVELES: Un nivel es un instrumento que nos representa una referencia con respecto a un plano horizontal. Este aparato ayuda a determinar la diferencia de elevación entre dos puntos con la ayuda de un estadal. El nivel mas sencillo es el nivel de manguera, es una manguera trasparente, se le introduce agua y se levantan ambos extremos, por simple equilibrio, el agua estará al mismo nivel en ambos extremos. El nivel de mano es un instrumento también sencillo, la referencia de horizontalidad es una burbuja de vidrio o gota, el clisímetro (ver figura 3.1.1) es una versión mejorada del nivel de mano incorporando un transportador metálico permitiendo hacer mediciones de inclinación y no solo desnivel.

Figura 3.1.1. Clisímetro.

El nivel fijo es la versión sofisticada del nivel de mano, este en lugar de sostenerse con la mano se coloca sobre un tripié, la óptica tiene más aumentos y la gota es mucho más sensible. (Ver figura 3.1.2).

107

Figura 3.1.2. Nivel fijo

Este nivel presenta una problemática, y es que conforme se opera el aparato hay que estar verificando continuamente y sobretodo cuando se gira, que la gota siga centrada, esto se hace con los 4 tornillos niveladores los cuales se mueven en pares, y siempre manteniendo tensión para que el aparato no se mueva. Este problema se resolvió con el nivel basculante, (ver figura 3.1.3) que sigue siendo un nivel fijo, pero que tiene un tornillo para ajustar la gota cada que se hace una medición, simplificando mucho el uso de 4 tornillos nivelantes, uno de los niveles mas precisos es un nivel basculante, pero debe mayormente su precisión justamente a su gota y a una placa plano-paralela. Figura 3.1.3. Nivel basculante.

Un gran adelanto se logró cuando se introdujo el compensador automático, dando lugar al nivel automático, su funcionamiento esta basado en un péndulo que por gravedad, en estado estable este siempre estará en forma vertical, y con la ayuda de un prisma, este nos dará la referencia horizontal que estamos buscando. 108

Este nivel tiene una burbuja circular (ojo de buey) que puede no estar completamente centrada, pero el compensador automático hace justamente eso, compensar, este adelanto resultó tan provechoso, que se incorporó en los teodolitos mas precisos y en las estaciones totales, aun cuando su funcionamiento puede variar, el principio sigue siendo el mismo.(Ver figura 3.1.4.). Por sus ventajas los niveles automáticos son los que mas fácilmente se encuentran en el mercado, dentro de las características que hay que observar al comparar instrumentos es el número de aumentos de la lente que puede ser de 20x hasta 32x, esto representa que tanto aumenta la imagen al ver a través del nivel, si las distancias son cortas (menores a 10 metros) tal vez no resulte algo trascendente, pero al tratar de ver un estadal graduado al milímetro a 100 metros si es importante contar con el nivel con mas aumentos, o si se requiere gran precisión incluso en distancias cortas se recomendaría el de 32 aumentos. Se ve de las especificaciones que el número de aumentos esta ligado con la precisión del equipo, que se expresa en milímetros por kilometro nivelado ida y vuelta, así si por ejemplo un nivel tiene una precisión de ± 1.5 mm/km, significa que en una nivelación de un kilometro ida y vuelta se tiene un error de mas menos un milímetro y medio. En términos generales se podría decir que el rango de un nivel de 20 aumentos es de 50 mts, 22x.-65mts, 24x.-79mts, 26x.-92mts, 28x.-104mts, 30x.-115mts, 32x.-125mts, pero si usamos un nivel de muchos aumentos a distancias cortas tendremos mayor facilidad para tomar las lecturas en el estadal y eventualmente mas precisión, así si por ejemplo se quiere nivelar una maquinaria, en donde las distancias pueden no superar los 10 mts, se recomendaría usar el nivel de 32 aumentos, para tener la máxima precisión posible.

109

Si bien el nivel solo sirve para medir desnivel, últimamente se les ha incorporado una graduación en el giro horizontal, permitiendo hacer mediciones de ángulos con una precisión de medio grado, siendo práctico en obra para medir o trazar ángulos horizontales que no requieren gran precisión. Figura 3.1.4. Nivel automático.

Existe un accesorio llamado placa plano-paralela o micrómetro (ver figura 3.1.5) este accesorio permite realizar mediciones a la décima de milímetro, si bien se puede colocar en cualquier nivel, se recomienda solo para niveles con 32 aumentos, este accesorio es de gran ayuda para trabajos que requieren mucha precisión., En algunos casos es incluso aconsejable usar estadal invar para eliminar error por variación en la temperatura y dilatación de los estadales de aluminio. Figura 3.1.5. Nivel automático con placa plano-paralela o micrómetro.

110

Los niveles láser (ver figura 3.1.6)

fueron y continúan siendo una

novedad creyendo algunas personas que son mas precisos, pero la realidad es otra, existen los que solo proyectan una línea en una pared, su nombre correcto es crossliner (ver figura 3.1.7) se usan principalmente en interiores, ya que en exteriores con la luz del sol resulta difícil ver la línea que proyecta en una pared por ejemplo, línea que por cierto tiene entre 1 y 2 milímetros de ancho, así que su precisión en un kilometro será de 1 centímetro comparando con un nivel óptico, hay también niveles láser que poseen un sensor, este se puede usar en exteriores y a mayores distancias, ya que no depende del ojo humano, si no de un sensor especializado en ver la luz láser, hay equipos de diferentes precios y precisiones, si adquiere un nivel asegurarse que éste sea de calidad y que esté correctamente calibrado, de lo contrario se recomienda mejor un nivel de manguera. Figura 3.1.6 Nivel láser y sensor.

No todo es malo en los niveles láser, una de sus ventajas es que lo puede usar una sola persona: pone el nivel en un punto céntrico y va a medir directamente en los puntos que requiere, también si tiene varios instaladores (de marcos por ejemplo) trabajando al mismo tiempo, cada uno puede tener un sensor y estar usando la misma referencia al mismo tiempo. También son muy prácticos montados en maquinaria de excavación o aplanado, eliminando la necesidad de detener la maquinaria para poner un estadal y hacer la medición, con un nivel láser el operador de la maquina puede saber instantáneamente si esta por arriba o por abajo del nivel deseado.

111

Figura 3.1.7. Crossliner.

Por ultimo están los niveles electrónicos (ver figura 3.1.8.), estos funcionan como los niveles ópticos, y adicionalmente pueden hacer lecturas electrónicamente con estadales con código de barras, esto resulta muy practico, ya que la medición es muy rápida, y se eliminan errores de apreciación o lectura, incluso de dedo, ya que estos tienen memoria para almacenar y procesar los datos, pueden desplegar en pantalla una resolución de décima de milímetro, y medir distancias con una resolución de un centímetro. Si bien un teodolito o una estación total se puede usar como nivel, las mediciones no serán tan precisas, siendo que el nivel es un instrumento especializado, pero si no requiere gran precisión. Se puede utilizar una estación o un teodolito ajustando el ángulo vertical a 90º.

Figura 3.1.8. Nivel electrónico.

112

3.2. Nivelación directa (geométrica o diferencial).

Tiene por objeto determinar las diferencias de alturas entre puntos del terreno. Las alturas de los puntos se toman sobre planos de comparación diversos, siendo el más común de ellos el del nivel medio del mar. A las alturas de los puntos sobre esos planos de comparación se les llama cotas, elevaciones ó alturas, y a veces niveles. NAME, Nivel de aguas máximas extraordinarias. Cota SNMM, Cota sobre el nivel medio del mar. En los sondeos para estudios de Batimetría se emplean cotas bajo el nivel del mar o negativas. Para tener puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los del terreno, se escogen o se construyen puntos fijos, notables, invariables, en lugares convenientes. Estos puntos son los que se llaman BANCOS DE NIVEL. Su cota determina con respecto a otros puntos conocidos, o se les asigna una cualquiera según sea el caso. Los Bancos de Nivel que se construyen, son generalmente de concreto, como pequeñas mojoneras, con una varilla o un saliente que defina el punto, y además permita cuando se usa regla graduada (estadal) para tomar lecturas, que ésta se apoya en un punto único definido y no en una superficie que pueda tener irregularidades que hagan variar la altura. Esto sobre todo es importante en trabajos de nivelación directa donde la aproximación se lleva hasta milímetros, y a veces más, en trabajos de precisión.

NIVELACIÓN DIFERENCIAL.Tiene por objeto determinar las diferencias de nivel entre dos puntos (generalmente bancos de nivel ó de control).

113

Distancia corta.- Cuando hay algún lugar donde se puede colocar el aparato de modo que puedan verse desde él los estadales (ver figura 3.2.3.), colocados en sus respectivos puntos, y si la distancia del aparato a ellos no se excede de la calculada para obtener la aproximación deseada, el desnivel como se vio antes, se obtiene simplemente por la diferencia de lecturas en A y B. (Ver figura 3.2.1.). Figura 3.2.1. Nivelación diferencial corta

estadal

B estadal

A D máximo

D

Distancias largas.- Cuando no se puedan cumplir las condiciones del caso anterior, o sea que los puntos estén muy distantes uno de otro y con obstáculos intermedios, el desnivel se obtiene repitiendo la operación cuantas veces sea necesario, utilizando puntos intermedios, llamados Puntos de Liga (PL). La nivelación se va llevando así por la ruta mejor posible hasta llegar al punto final. (Ver figura 3.2.2.).

114

Figura 3.2.2. Nivelación diferencial larga. sentido de caminamiento estadal estadal

PL3 D máximo

PL1

D

PL2 PL4

BN2

Registro de una nivelación diferencial P.O.

Lectura atrás

Lectura adelante

BN1

0.50

-------

PL1

1.50

0.80

PL2

2.00

2.70

PL3

2.20

0.60

PL4

0.50

2.25

BN2

-------

3.00

∑=6.70

∑=9.35

Desnivel = 6.70 - 9.35 = 2.65 mts. Obsérvese que no es necesario calcular el desnivel en cada tramo.

115

Si la  de atrás   adelante:  se subió al ir de un punto a otro. Si la  de atrás   adelante:  se bajó al ir de un punto a otro.

figura 3.2.3. Tipos de estadales.

Precauciones.

Como los PL ligan una posición del aparato con la

siguiente, deben ser puntos fijos, invariables, cuando menos mientras se cambia el aparato a la siguiente posición para leer atrás el mismo PL; también deben escogerse, si son puntos que existan sobre el terreno, que tengan como los bancos un punto sobresaliente. Si no se encuentran puntos así en la ruta, deberán darse los PL con estacas, clavos, o pijas metálicas, pues de esto depende gran parte el éxito del trabajo.

116

Otra precaución importante es procurar que en cada posición del aparato (“golpe de nivel”) la distancia a que se lee atrás sea igual a la de adelante, para eliminar cualquier error por desviación inapreciable de la línea de colimación, o por curvatura y refracción. Comprobación. Las nivelaciones, como todo trabajo, deben comprobarse. La comprobación de una nivelación es, otra nivelación, y puede hacerse por alguno de estos sistemas: 

Nivelar de ida y vuelta:

-

Por los mismos puntos ó

-

Por otro camino o puntos diferentes (es lo más conveniente en general).



Nivelar por doble o triple punto de liga: De este modo se hace lo mismo que en el caso anterior, pero las dos

nivelaciones se llevan al mismo tiempo, o también tres si se desea. (Ver figura 3.2.4.). Figura 3.2.4. Nivelación con doble o triple punto de liga.

PL2

PL3

PL1 PL2'

PL3'

BN1

BN2 PL1'

PL2"

PL3"

PL1"



Nivelar por doble o triple altura de aparato: Por este procedimiento las nivelaciones que se llevan a cabo quedan

totalmente independientes, pues se van comprobando las diferencias de lecturas entre PLs consecutivos, y no tienen en común la primera y última lecturas, como en el caso anterior. También puede trabajarse con triple altura del aparato. (Ver figura 3.2.5.). 117

Figura 3.2.5. Nivelación con doble o triple altura de aparato.

PL4

PL2 BN1

BN2

PL1 PL3

118

3.3. Nivelación trigonométrica.

Nivelación Trigonométrica. Es la nivelación que se realiza a partir de la medición de ángulos cenitales, de altura o depresión, y de distancias que luego se usarán para la resolución de triángulos rectángulos, donde la incógnita será el cateto opuesto del ángulo a resolver, que en estos casos son el desnivel existente entre el punto estación y un, otro, punto cualquiera. El ejemplo más simple es cuando con un teodolito medimos un ángulo y con un E.D.M. adosado al mismo, la distancia inclinada existente entre la estación y un punto cualquiera. (Ver figura 3.3.1.).

Figura 3.3.1. Medición de un ángulo vertical.

Las nivelaciones trigonométricas pueden hacerse con equipo moderno o convencional con telémetros o mediante equipo de transmisión de ondas. Tipos de Telémetros.  Con base en el punto observado (método de dos punterías; estadia).  Con base en el aparato (telémetro topográfico).

119

Los sistemas de medición con los telémetros se describen más adelante. Son los más comunes y se aplican tanto para medir lados de figuras de control, como para situar puntos de detalles de los levantamientos topográficos. 

Mediante transmisión de ondas: ondas de radio ultracortas

(Telurómetro),

ondas

luminosas

(Geodímetro),

y

ondas

de

radio

electromagnéticas (Electrotape: Distomat). Estos Telémetros son aparatos desarrollados recientemente, basados en medir el tiempo que tarda de llegar un emisor a un receptor, una onda cuya velocidad y longitud se conocen, y de allí se obtiene la distancia entre emisor y receptor. La aproximación de estos aparatos es muy buena (de 1/10000 a 1/500000). En grandes distancias (10 a 50 kilómetros) es donde tienen mayor aplicación y mejor precisión. Como son equipos muy costosos, solo se emplean para trabajos donde se requiere medir un gran número de distancias grandes, y entonces se necesita además equipo auxiliar para que el trabajo sea suficiente, como helicópteros, para trasladar rápidamente el equipo a los puntos siguientes, muy distantes. Permiten efectuar trabajos de control muy extensos, en tiempos cortos. El procedimiento de medición es muy fácil y puede ser aprendido en unas horas de práctica aún por personal sin preparación especial. Después de un breve control del funcionamiento se apunta hacia donde se va a medir, se sintoniza la frecuencia de la onda portadora, se mueve gradualmente el conmutador del programa y finalmente la distancia en cifras queda indicada en la ventana respectiva del aparato. Es conveniente hacer varias medidas para verificar, observando si no hay influencias de posibles reflejos de las ondas, y si el aparato lo permite, cambiando frecuencias de las ondas para aumentar la aproximación.

120

Método dos punterías.

Consiste en determinar la distancia del aparato a una regla graduada o a una mira, midiendo el ángulo que forman dos visuales a puntos de separación conocida. (Ver figura 3.3.2.). Se comprende que para obtener una aproximación razonable en la distancia, el ángulo que se mide debe tener muy buena aproximación. Figura 3.3.2. Medición con el método dos punterías.

ά

base conocida

distancia Este método puede aplicarse en dos formas: -Con tránsito ordinario, dotándolo de tambor micrométrico con el tornillo de movimiento tangencial Vertical, para aumentar su aproximación. Midiendo el ángulo vertical entre dos puntos a separación conocida sobre un estadal, se determina la distancia. Como deben limitarse los ángulos de elevación entre los puntos, a unos 20º para no incurrir en error debido a que las dos visuales no tengan igual inclinación con respecto al estadal vertical, este procedimiento se aplica en zonas planas principalmente. -Con tránsito de gran aproximación angular, para medir ángulos horizontales. Como ejemplo pueden citarse los aparatos marca Wild muy empleados en México. De estos hay varios tipos que, leyendo con micrómetro, dan aproximaciones fuertes, (el tipo T2 tiene aproximación angular de 1", y es muy empleado en estos trabajos).

121

Con estos aparatos se mide el ángulo entre dos visuales a los extremos de la mira Wild, separados 2 metros, y directamente se obtienen las distancias que ya vienen tabuladas. (Ver figura 3.3.3.). La aproximación que se logra es muy buena, por ejemplo: Con error angular = ± 01” En 25 m: error = ± 1.6 mm. 50 m

6.5 mm.

100 m

25.0 mm.

200 m

100.0 mm.

400 m

400.0 mm.

Estos sistemas que permiten medir con buena aproximación, se emplean para medidas rápidas en terrenos accidentados, y para medidas de lados de polígonos de control. La distancia medida es la de la línea que va del aparato a la regla graduada o mira, y la distancia horizontal y el desnivel se puede determinar por separado, trigonométricamente o directamente si es necesario. Figura 3.3.3. Base conocida (estadia invar).

122

Estadia. Este procedimiento está basado en la lectura que se observa sobre una regla graduada, limitada por la separación de los hilos de la retícula de un anteojo. La separación entre hilos generalmente es fija, aunque hay aparatos con hilos movibles. Los aparatos dotados de estos hilos para medir leyendo en un estadal, se les llama estadímetros. En la actualidad, prácticamente todos los tránsitos, y muchos niveles vienen dotados de estos hilos estadimétricos o de estadia, pues es el procedimiento taquimétrico más empleado. La determinación de la distancia entre el aparato y la regla graduada o estadal se hace como se ve en la figura, en la cual aparece el corte de un anteojo lo más elemental posible para sencillez. Muchos aparatos tienen un juego de lentes inversor para que no se vea la imagen de cabeza, lo cual produce algunas variaciones, pero el principio general es el mismo. Algunos aparatos tienen un sistema óptico para disminuir la (c) chica haciéndola que sea despreciable; son aparatos llamados “de punto analático central”. (Ver figura 3.3.4.).

123

Figura 3.3.4. Punto analático central.

Cuando la visual no es horizontal, deberán aplicarse las fórmulas para obtener la distancia horizontal y el desnivel, conociendo la lectura en el estadal (A) y el ángulo de inclinaci n (ά). Nota: El estadal siempre debe colocarse vertical a plomo. En la figura se tiene: A’ = Lectura que se haría en un estadal imaginario inclinado, normal a la línea de colimación. A = Lectura en el estadal real vertical. A’ = A cos ά H = Altura del aparato sobre el terreno.

124

Figura 3.3.5. Terreno inclinado.

Estando el estadal normal a la línea de colimación: D’ = CA’ + C; distancia inclinada. Pero como el estadal siempre se pone a plomo: A’ = A cos ά ; y como D = D’ cos ά, al sustituir valores queda:

D = CA cos² ά + cos ά

Distancia horizontal.

sen ά Ahora: H = D tan ά = D______ ; sustituyendo el valor de (D); cos ά sen ά

sen ά

H = CA cos² ά _____ + c cos ά _____ cos ά

cos ά

H = CA cos ά sen ά + c sen ά Y como: 2 sen ά cos ά = sen 2 ά, Sen 2 ά Sen ά cos ά = ________ 2

125

Se sustituye en la formula y queda: H = ½ CA sen 2 ά + c sen ά

desnivel

Cuando se trabaja con un aparato que tenga c chica o nula, o despreciable, de todas estas fórmulas se eliminan los términos que la contienen. En realidad, cuando esta constante es menor de 10 cm. Puede despreciarse, pues la aproximación con que se trabaja con estadia es como máximo de un decímetro, suponiendo que la incertidumbre en la lectura de la distancia (A), en el estadal, fuera de ± 1 milímetro lo cual es difícil de lograr. Como estas fórmulas se tienen que aplicar para cada punto que se requiera fijar, y en trabajos de configuración se toman cientos de puntos, para facilitar el trabajo se dispone generalmente de tablas de estadia, o Nomogramas, o dispositivos especiales como reglas de cálculo de estadia. Nota: Al leer en el estadal, debe verse con el hilo central la altura (h) del aparato. Esto debe hacerse siempre para medir el ángulo vertical (ά). Para tomar la lectura (A) no afecta una ligera variación en esto, y muchas veces por facilidad se mueve el anteojo con el tornillo tangencial para que uno de los hilos de estadia coincida con la lectura cerrada más próxima y entonces se cuentan a partir de allí los decímetros enteros, y al final se lee la fracción al llegar al otro hilo. Discrepancia entre medidas con cinta y estadia. de 30 ó 40

de 50 ó 70

de 80 ó 100

mts.

mts.

mts.

media

0.17 m

0.24 m.

0.31 m.

mínima

0.13 m.

0.19 m

0.22 m.

máxima

0.20 m.

0.39 m

0.41 m.

Experimentalmente se ha visto que la discrepancia varía entre:

126

0.03 y 0.04

√ D metros

Al aumentar la distancia y la inclinación de la visual se va perdiendo bastante precisión. También afecta la reverberación con sol despejado a horas del mediodía. l “Tratado General de Topografía” de Jordan, da los siguientes datos, correspondientes a trabajos ordinarios de taquimetría, con aparatos ordinarios de c = 100 y estadales graduados en centímetros.

Distancia (D): 10 m Error en %

: 0.15

50 m

100 m

200 m

300 m

0.19

0.23

0.31

0.40

Esta aproximación es suficiente para los trabajos en que se emplea la estadia que son generalmente levantamientos extensos para proyectos, dibujados a escalas grandes, de 1:1000 á 1:5000, o más. La estadia se emplea para levantamientos de polígonos y configuraciones en zonas extensas que requieren rapidez pero no mucha aproximación. Tiene la ventaja este procedimiento, de que permite obtener con una sola lectura, la distancia y el desnivel entre el punto donde está el aparato y el punto donde se toma la lectura en el estadal. En trabajos de configuración pueden abarcarse zonas extensas mayores que son secciones transversales, pero naturalmente con menor aproximación y menos detalles. En levantamientos de polígonos, para las distancias siempre deben tomarse lecturas en cada vértice, hacia atrás y hacia delante. Para tener cada lado comprobado con medidas en 2 sentidos. Los ángulos horizontales del polígono se miden como en cualquier otro sistema de levantamiento, por el método que convenga.

127

3.4. Nivelación de perfil.

Tiene por objeto determinar las cotas de puntos a distancias conocidas sobre un trazo, para obtener el perfil de ese trazo. El trazo sobre el terreno y las distancias entre los puntos, se marcan separadamente de antemano. Por facilidad las distancias entre puntos se toman iguales, según el módulo que convenga. El procedimiento es enteramente semejante al de la nivelación diferencial, y deben seguirse las mismas indicaciones y precauciones. La diferencia estriba en que cada posición del aparato, entre dos puntos de liga, se toman también lecturas en los puntos del trazo establecidos. En estos puntos del trazo, el estadal se coloca en el terreno pues es el dato que se necesita, y las lecturas en ellos no requieren la aproximación ni cuidados que se tienen para cuando se lee en bancos o puntos de liga que son el control de la nivelación. Los puntos de liga (PL) pueden ser puntos del trazo, si reúnen los requisitos para ello.

Figura 3.4.1. Nivelación de perfil vista de planta. 2a. Posición

PL1

13

4 3 2

12

5 6

1

11 7 8

Trazo

BN1

10 9

PLANTA 1a. Posición

128

PL2

3a. Posición

Figura 3.4.2. Nivelación vista en perfil.

(+)

2a.Posición

(-)

(+)

(-)

(-)

(-)

1a. Posición (-)

(-)

(-)

(-)

3 2

(-)

7 9 10 5

1

cota aparato

cota BN1

6

11 PL2

cota punto "o" del terreno

0

(-)

(-)

8 4

PL1

BN1

(-)

(-)

(-)

plano de comparación

ELEVACION

REGISTRO DE NIVELACION DE PERFIL TRABAJO:_____________________________ OBSERVADOR:____________________ LUGAR:__________________ FECHA:_____________ APARATO:_________________

P.O

+

BN1

2.95

COTA APARATO

LECT. (-) B.N. ó P.L.

PUNTOS(-)

52.95

COTAS 50

0

2.668

50.282

1

2.391

50.559

2

1.955

50.995

3

1.447

51.503

4

1.582

51.368

PL1

1.666

54.224

0.392

52.558

5

0.59

53.634

6

0.591

53.633

7

0.912

53.312

8

1.235

52.989

etc.

etc.

PL2

3.699

129

50.525

3.5. Área de las secciones transversales.

Método de Secciones Transversales. Este procedimiento consiste, en términos generales, en trazar uno o más polígonos de apoyo por los lugares convenientes de la zona a levantar, y después se obtienen los perfiles o secciones del terreno, transversales a los lados del polígono, cubriendo el área requerida. Las secciones pueden hacerse con el espaciamiento que convenga, según el grado de aproximación con que se requiera tener el relieve. Entre más cerrado se haga el seccionamiento, menos detalles se escapan, y más fiel resultará la representación del terreno. La secuencia del trabajo de campo será entonces así: -Se traza el polígono de apoyo, marcado a intervalos para poder obtener su perfil. -Se nivela de perfil el polígono para obtener las cotas de todos los puntos. -Se sacan secciones transversales en todos y cada uno de los puntos del polígono. En general las secciones son normales al polígono, pero en ciertos casos se necesitan secciones especiales, en algún punto intermedio, o en cierta dirección, para fijar detalles importantes, o para cubrir vacíos que a veces quedan en los quiebres (vértices). Si en algunas zonas se superponen, servirá esto como comprobación. (Ver figura 3.5.1.).

130

Figura 3.5.1. Trazo visto de planta de secciones transversales.

Las secciones transversales pueden hacerse con nivel fijo cuando el ancho de la zona por configurar es grande, y el terreno plano, sin fuerte pendiente para no tener que hacer cambios de posición del aparato que hacen tardada la operación. El procedimiento que se sigue es semejante a la nivelación de perfil. Lo más frecuente es que las secciones se obtengan con nivel de mano, especialmente cuando el terreno es accidentado, pues el aparato en este caso es el mismo observador y puede trasladarse rápidamente. El punto de partida para obtener cada sección, es el del polígono cuya cota se determinó con la nivelación de perfil. En estos perfiles transversales no se miden distancias para fijar puntos sobre el trazo y determinar después sus cotas, sino que se localizan sobre la línea que va a seguir la sección y a ambos lados del polígono, los puntos de cota cerrada inmediatos, y después se prosigue buscando los siguientes puntos de cota cerrada y midiendo las distancias de uno a otro. Con esto se facilita el trabajo, pues al irse parando el observador sobre cada punto de cota cerrada, para encontrar la siguiente, deberá leer con su nivel en el estadal la misma lectura constantemente, pues debe ir bajando o subiendo desniveles constantes. 131

Además así se obtienen ya las distancias que se tendrán que dibujar después, para fijar los puntos de cota cerrada por donde pasarán las curvas de nivel. El observador, después de medir la altura de su ojo, se parará sobre el punto de cota conocida del polígono, y calculará lo que debe leer en el estadal para que éste quede colocado sobre el punto de cota cerrado inmediato. Entonces ordena que le vayan alejando el estadal según la dirección de la sección, hasta que haga la lectura calculada; mide la lectura que se alejó el estadal, anota, y se traslada al lugar donde quedó el estadal, de cota ya conocida, cerrada, y procede en igual forma a buscar el siguiente punto; pero de aquí en adelante ya serán sus lecturas constantes para localizar las siguientes cotas cerradas. El procedimiento se sigue hasta llegar a la distancia que requiera cubrir a ambos lados del polígono. (Ver figura 3.5.3.). Conviene que el observador quede siempre parado del lado más alto del terreno y el estadal abajo. Entonces, cuando va seccionando en descenso, el estadal va bajando y el observador se queda parado, y cuando haya que ir ascendiendo, el estadal se queda en el punto, y el observador es el que se va alejando hasta el nuevo punto buscado. (Ver figura 3.5.2.). La dirección en que se va a avanzar, normal al lado del polígono, puede simplemente estimarse, parándose en el punto donde va a seccionarse, con los brazos abiertos según la línea del polígono, y al cerrarlos, las dos manos juntas apuntarán a la normal, y entonces se toma una referencia lejana cualquiera, para conservarse alineado hacia ella siempre que se desplace. Cuando la sección no sea normal al lado del polígono, el ángulo que formen se mide con brújula.

132

Figura 3.5.2. Secciones transversales trazadas y medidas en campo.

Figura 3.5.3. Registro para secciones transversales.

133

Como

el alineamiento en esta forma no queda exactamente

perpendicular, la desviación aumentará conforme se aleja del polígono. Aunado

esto a que las medidas de las distancias son entre puntos

consecutivos, lo que puede acarrear un error acumulativo, la obtención d secciones, para no tener errores fuertes debe limitarse a un alejamiento máximo del polígono de 100 metros. Entonces, como máximo se podrá cubrir por este sistema una faja de 200 m. de ancho. Cuando la zona que se requiere configurar tiene mayor amplitud, será necesario llevar polígonos auxiliares trazados convenientemente, para que con sus respectivas fajas configuradas se cubra toda el área. Una vez comprobados los cierres de los polígonos, se pueden dibujar estos, y enseguida los trazos de las secciones y marcar sobre ellos los puntos y sus cotas. Entonces, uniendo con líneas continuas los puntos de igual cota, se tendrán las curvas de nivel que nos darán la configuración del terreno. Uno de los casos en que tiene más aplicación este procedimiento para configurar, es en los estudios de las vías de comunicación.

Secciones transversales de construcción. Estas son secciones o perfiles del terreno, normales al eje proyectado en planta, que se obtienen cada 20 m. siguiendo el kilometraje, y a veces también se requieren en puntos intermedios especiales. Las secciones se dibujan en papel milimétrico o en autocad, a escala 1:100 horizontal y vertical, y sirven para dibujar en cada una la sección que debe construirse. Estas secciones serán en corte o terraplén según lo indique el perfil en el punto correspondiente, en el cual se mide la diferencia de cotas o espesor de cada una (espesor del corte o espesor del terraplén). La pendiente o talud de las excavaciones y terraplén dependerá de la clase de terreno que se encuentre, pues en cada caso debe dársele la inclinación de reposo natural para evitar derrumbes.

134

Los cortes pueden tener, por ejemplo, desde taludes a plomo hasta 1:1.5 en materiales sueltos, y los terraplanes desde 1:1.5 hasta 1:2. También en estas secciones debe dibujarse el "bombeo" y las cunetas de desagüe cuando se trata de caminos o ferrocarriles. Cuando el terreno tiene inclinación transversal igual o cercana a la inclinación que deba tener el terraplén, resultará éste con un talud que se prolongará hasta donde cambie de pendiente el terreno para sostenerlo, y en casos críticos se construyen muros de mampostería para sostener el terraplén, pero son muy costosos. (Ver figura 3.5.4.). Habrá también secciones en que al mismo tiempo tengan corte y terraplén (sección en "balcón") las cuales se producen cerca, y en los puntos "de paso", que son los lugares donde la subrasante cruza el perfil del terreno al pasar de corte a terraplén ó viceversa. El ancho de la excavación en la base es mayor que la corona para alojar las cunetas. Si se hacen secciones muy cercanas entre sí se puede apreciar y definir mejor el paso, pero solo se requiere esto en casos especiales, poco frecuentes en estos proyectos.

Cálculo de áreas de las secciones. Como las secciones están dibujadas a igual escala horizontal y vertical, si se dispone de planímetro se pueden calcular sus áreas. Otros sistemas prácticos que pueden emplearse son: -Contar materialmente los cuadros del papel milimétrico comprendidos dentro de la sección. Los centímetros cuadrados representarán metros cuadrados, y después se cuentan medios cuadros y cuartos de cuadro con lo cual, agrupándolos se tendrá el área aproximada a cuartos de metro cuadrado que en general es suficiente. -Dividir la superficie verticalmente en fajas del mismo ancho con líneas verticales separadas entre sí una cantidad constante (K). Mientras más cercanas estén estas líneas la aproximación aumentará. La separación puede ser de 3 a 5 mm.

135

Entonces el área de la sección se calcula así: A=K(∑l) K= separación constante entre líneas verticales. ∑ l= suma de las longitudes de las líneas verticales. Prácticamente se puede facilitar todo esto con una tira de papel, en la cual se van marcando sucesivamente las longitudes de las líneas y al acabar se mide toda la longitud acumulada que será (∑ l). -Si las secciones transversales se dibujaron en un software por computadora, la operación se facilita al máximo, solo se aplica el comando área y en unos segundos se tiene el área de la sección.

136

Figura 3.5.4. Secciones transversales de construcción.

137

3.6. Curvas de nivel.

La representación del terreno, con todas sus formas y accidentes, tanto en su posición en un plano horizontal como en sus alturas, se logra simultáneamente mediante las curvas de nivel. Estas curvas se utilizan para representar en planta y elevación al mismo tiempo, la forma o configuración del terreno, que también se le llama relieve. La orilla del agua, en el mar, o un lago, marca la curva de nivel del terreno a esa cota. Si el nivel del agua subiera por ejemplo 5 metros, nos daría al ocupar las formas del terreno, la curva de cota 5 sobre el nivel anterior, y así sucesivamente si sube 10, 15, 20 metros. Para que sea más objetiva la representación del relieve, el espaciamiento de las curvas debe ser constante. Dependiendo del objeto del trabajo, se pueden espaciar las curvas cada metro, o cada medio metro, o cada 5 ó 10 ó 20 m. Por ejemplo, la representación con curvas de nivel de cuerpos sólidos, puede hacerse así. (Ver figura 3.6.1.).

Figura 3.6.1. Representación de curvas de nivel de cuerpos sólidos.

0

1

2

3

4

5 5

4

3 2

1 0

PIRAMIDE

CONO

138

Una ilustración de curvas de nivel del terreno se tiene en la figura siguiente, en la cual se toman dos cerros que son intersectados por cuatro planos horizontales. Cada plano corta secciones de la forma que aparece enseguida abajo. (Ver figura 3.6.2.). Los perímetros de esas secciones son las curvas de nivel a las cotas respectivas. Finalmente, reuniendo en una sola figura todas las curvas, se obtiene el plano de la configuración. (Ver figura 3.6.3).

Figura 3.6.2. Planos horizontales. 137

130

124

130

120

120

110

110

100

100

Planos horizontales a cada 10 m. cortando el terreno

Figura 3.6.3. Secciones cortadas y configuración del terreno.

130

curva 120

120

curva 110

curva 100

Secciones cortadas por los planos

139

124

137 130 120 110 100

120

Configuración del terreno Teniendo las curvas de nivel de una zona, se pueden obtener los perfiles o secciones del terreno según un trazo cualquiera requerido. (Ver figuras 3.6.4., 3.6.5., 3.6.6.). Figura 3.6.4. Curvas de nivel con cortes.

140

Figura 3.6.5. Corte A-A´.

Figura 3.6.6. Corte B-B´

141

Características de las curvas de Nivel. -Toda curva se cierra sobre sí misma, ya sea dentro de la zona considerada, o fuera de ella. -No puede una curva dividirse o ramificarse. -No se pueden fundir dos o más curvas en una sola. Si en algún caso se ven juntas, la realidad es que están superpuestas, una sobre otra, pero cada cual en su nivel. -Sí en algún lugar se cruzan, indicará una cueva o un saliente en volado. -En una zona de pendiente uniforme quedarán las curvas equidistantes. -Si las curvas están muy separadas, será porque hay una pendiente suave, y cuando están muy cercanas la pendiente es fuerte, y si llegan a quedar superpuestas indicará un corte vertical “a pico”. -Una serie de curvas cerradas “concéntricas”, indicará un promontorio una oquedad, según que las cotas vayan creciendo hacia el centro ó decreciendo, respectivamente. En la ilustración siguiente, que en conjunto representa una barranca o cauce de un río, pueden apreciarse los parteaguas y las cañadas o pequeños cauces de agua (llamadas a veces “talweg”).

stas formas se identifican

fácilmente y se pueden marcar sus ejes. Las curvas cruzarán estos ejes normalmente a ellos. (Ver figura 3.6.7.). El eje de la corriente de agua principal o fondo del cauce, tiene una pendiente suave, pues va cortando las curvas a intervalos grandes a los lugares donde cada curva se regresa del otro lado del cauce. Estas líneas de parteaguas y de cauces, son una guía indispensable para entender los relieves y para dibujar las configuraciones. Si suponemos que un lugar cualquiera del cauce se construye un muro de lado a lado para cerrar el paso del agua y regresarla, cuando se llene el “vaso” así formado, la orilla del agua nos marcará la curva de nivel, llamada curva de embalse, que estará a la cota a que llega el muro.

142

Figura 3.6.7. Plano de curvas de nivel.

143

PRACTICA No. 9. Curvas de nivel con cuadrícula.

PROCEDIMIENTO: Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Deslindar y levantar el terreno que se va a configurar. Paso 3. Trazar una cuadrícula en el terreno, procurando abarcar el total de la superficie, y si es posible cuadricular un poco más fuera de él para obtener mayores datos. La cuadrícula puede ser de 5, 10, 15, 20 metros o más, según sea la necesidad de tener mejores detalles. La cuadricula se comienza tomando como referencia un lado del polígono, trazando líneas perpendiculares y paralelas al mismo. (Ver figura 3.6.8). En este caso, se toma AB como lado base.

Figura 3.6.8. Polígono y cuadrícula.

Paso 4. Aplicar una nomenclatura a la cuadrícula, poniendo una señal en cada intersección.

144

Paso 5. Tomando como referencia un banco de nivel, hacer lecturas de cada punto para calcular sus cotas o elevaciones. El registro para estos datos es el mismo utilizado en una nivelación de perfil. Para este paso y el anterior ver la figura 3.6.9. Figura 3.6.9. Detalle del polígono para nomenclatura y lecturas.

Paso 6. Con las lecturas obtenidas en campo, calcular las cotas o elevaciones de cada punto. Las cotas se anotan en cada una de las intersecciones de la cuadrícula. Las curvas de nivel se obtienen interpolando los datos de las cotas y las distancias de punto a punto. (Ver figura 3.6.10.). Figura 3.6.10. Porción de un polígono con cotas y curvas de nivel.

145

Paso 7. Se dibuja el plano del polígono completo. El plano debe contener ángulos interiores, rumbos, coordenadas, distancias, curvas de nivel, detalles, localización, cuadro de referencia, etc. (Ver la figura 3.6.11.).

Figura 3.6.11. Plano completo con curvas de nivel.

146


Nivel fijo.

-

Teodolito.

-

Cinta de 30 metros

-

Estadal.

-


-


-

Marro de 4 libras. -

Ejercicios para aprender a calcular cotas de nivelación de perfil y curvas de de nivel.

Ejercicio 3.1. (Resuelto). Calcular la nivelación de perfil con los datos que se presentan en la siguiente tabla. PUNTO OBSER. BN₁ K0+000 K0+020 K0+040 K0+060 PL₁ K0+080 K0+100 K0+120 PL₂ K0+140 K0+160 K0+180 K0+200 BN₂

LECTURA POS. ALTURA APAR 2.15

LECTURA NEG

PUNTOS NEG 2.86 2.99 3.05 3.50

1.26

3.99 2.33 2.72 3.44

0.96

3.78 3.05 3.10 3.80 3.20 3.96

147

COTAS 100.00

-A la cota 100, sumarle la lectura positiva 2.15 para un resultado de 102.15 que se coloca como altura de aparato. -A la altura del aparato 102.15, se le restan todos los puntos negativos, incluyendo la lectura negativa de 3.99 del punto de liga 1 y se anotan en la columna que corresponde a las cotas ó elevaciones. -Al resultado de restar 102.15 con 3.99, se obtiene 98.16, que será la cota del punto de liga 1. A este dato obtenido se le suma la lectura positiva 1.26 que equivale a la segunda altura de aparato de 99.42. -A la altura de aparato de 99.42 se le restan las siguientes lecturas negativas hacia abajo, hasta la lectura negativa del punto de liga 2. La cota ó elevación del punto de liga 2 será de 95.64. -A 95.64 se le suma la lectura positiva del punto de liga 2 que es 0.96, teniendo como resultado 96.60, siendo ésta la altura del aparato de éste punto. -A la altura del aparato del punto de liga 2, se le restan las lecturas negativas hacia abajo, hasta el banco de nivel 2. La cota ó elevación final será 92.64. -Para comprobar que los resultados de la nivelación sean los correctos, se suman las lecturas positivas y lecturas positivas. El resultado algebraico de ambas, deberá ser igual a la resta algebraica de las cotas del banco de nivel 1 y banco de nivel 2.

148

-Tabla presentando resultados.

PUNTO OBSER. LECTURA POS. BN₁ 2.15 K0+000 K0+020 K0+040 K0+060 PL₁ 1.26 K0+080 K0+100 K0+120 PL₂ 0.96 K0+140 K0+160 K0+180 K0+200 BN₂ ∑+ 4.37

ALTURA APAR 102.15

LECTURA NEG

PUNTOS NEG 2.86 2.99 3.05 3.50

99.42

3.99 2.33 2.72 3.44

96.60

3.78 3.05 3.10 3.80 3.20 ∑─

DESNIVEL= (∑+)─(∑─)= (4.37)─(11.73)=7.36 DESNIVEL= 7.36 metros hacia abajo

149

3.96 11.73

DESNIVEL

COTAS 100.00 99.29 99.16 99.10 98.65 98.16 97.09 96.70 95.98 95.64 93.55 93.50 92.80 93.40 92.64 7.36

Ejercicio 3.2. Calcular y comprobar la nivelación de perfil con los datos que se dan a continuación. PUNTO OBSER. BN₁ K0+000 K0+020 K0+030 K0+040 PL₁ PL₂ K0+045 K0+060 PL₃ K0+080 K0+100 K0+120 K0+140 BN₂


LECTURA NEG

PUNTOS NEG

COTAS 500.00

4.65 4.02 3.99 3.06 1.10 0.99

4.67 3.54 4.34 2.88

1.16

2.80 2.45 3.22 4.32 2.97 2.78

Ejercicio 3.3. Calcular y comprobar la nivelación de perfil con los datos que se dan a continuación. PUNTO OBSER. BN₁ PL₁ K0+000 K0+020 K0+040 PL₂ PL₃ K0+050 K0+060 PL₄ K0+080 K0+100 K0+120 K0+140 PL₅


LECTURA NEG

PUNTOS NEG

5.67 3.98 4.77 2.96 0.54 0.10

6.09 5.60 4.67 3.88

2.33

6.90 4.88 4.10 3.50 2.99 3.15

150

COTAS 1000.00

Ejercicio 3.4. (Resuelto). Calcular las curvas de nivel 91, 92, 93 y 94 de la siguiente cuadrícula. Tomando como ejemplo la figura 3.6.10

-Para calcular la curva 91, se toma como referencia las cotas 90.30, 91.45 y 91.40, sabiendo que la distancia entre cotas es de 5 metros. -Para obtener la distancia horizontal por donde pasará la curva de nivel 91 entre las cotas 90.30 y 91.45, se conoce la diferencia de nivel, restando ambas y el resultado es de 1.15. Entonces la distancia se calcula con una regla de tres, considerando que, para la curva 91faltan 0.70 m a partir de la cota 90.30. 1.15 5.00  ; 0.70 X

X 

0.70 5.00 

X  3.04m distancia horizontal que

;

1.15

existe entre las cota 90.30 y 90.40.

-Se realiza la misma operación para localizar la curva 91 desde la cota 90.30 hacia la cota 91.40. El desnivel entre esas dos cotas será de 1.10. 1.10 5.00  ; 0.70 X

X 

0.70 5.00  1.10


;

existe entre las cotas 90.30 y 91.40.

151

-Para calcular la curva 92, se sabe que pasa por medio de las cotas 91.40 y 92.80, 91.40 y 92.58, 91.45 y 92.58, 91.45 y 92.70. En medio de las cotas 91.40 y 92.80 existe una diferencia de nivel de 1.40. 1.40 5.00  ; 0.60 X

X 

0.60 5.00  1.40


;

existe entre las cotas 91.40 y 92.80. En medio de las cotas 91.40 y 92.58 existe una diferencia de nivel de 1.18. 1.18 5.00  ; 0.60 X

X 

0.60 5.00  1.18


;


En medio de las cotas 91.45 y 92.58 existe una diferencia de nivel de 1.13. 1.13 5  0.55 X

X 

;

0.555.00  1.13


;

existe entre las cotas 91.45 y 92.58. En medio de las cotas 91.45 y 92.70 existe una diferencia de nivel de 1.25. 1.25 5.00  0.55 X

;

X 

0.555.00 

;

1.25

X  2.20m distancia horizontal

que existe entre las cotas 91.45 y 92.70. -Para calcular la curva 93, se sabe que pasa por medio de las cotas 92.80 y 93.67, 92.58 y 93.67, 92.58 y 93.67, 92.70 y 93.67. En medio de las cotas 92.80 y 93.67 existe una diferencia de nivel de 0.87. 0.87 5.00  ; 0.20 X

X 

0.20 5.00  0.87

;


152


En medio de las

cotas 92.70 y 93.67 existe una diferencia de nivel de

0.97. 0.97 5.00  ; 0.30 X

X 

0.30 5.00 


;

0.97

existe entre las cotas 92.70 y 93.67. -Para calcular la curva 94, se sabe que pasa por medio de las cotas 93.67 y 94.69 en los dos lados. En medio de las cotas 93.67 y 94.69 existe una diferencia de nivel de 1.02. 1.02 5.00  0.33 X

;

X 

0.335.00  1.02

;

X  1.62m

distancia horizontal

que existe entre las cotas 93.67 y 94.69. -Ver las curvas de nivel dibujadas en la figura 3.6.10.

Ejercicio 3.5. Calcular las curvas de nivel 101, 102, 103 y 104 de la siguiente cuadrícula.

153

Ejercicio 3.6. Calcular las curvas de nivel 502, 503, 504, 505,506, 507, 508, 509, 510, 511, 512 y 513 de la siguiente cuadrícula. Las distancias de los lados es de 20 mts.

154

3.7. Cálculo de volúmenes de corte y terraplén.

Para calcular los volúmenes de corte y terraplén de las terracerías, se deben conocer las áreas de todas las secciones transversales, anotándose ordenadamente en una tabla. Ya sea en corte o en terraplén, el volumen de material se calcula por tramos entre secciones consecutivas, lo cual puede hacerse por la fórmula del prismoide: V 

d  A1  4 Am  A2  ; en la que "d" es 6

la distancia entre las dos secciones extremas del prisma, "A1" y "A2" las áreas de esas secciones y "Am" el área de una sección cuyas dimensiones son el promedio de las dimensiones de las secciones extremas. Observar que "Am" no es el promedio de "A1" y "A2". Esta fórmula se puede aplicar para cualquier caso que requiera determinación de volúmenes de prismas irregulares, pero en los estudios de vías de comunicación se prefiere aplicar una fórmula más sencilla, aunque menos aproximada, y que en general da valores más grandes para los  A  A2  volúmenes: V   1 d . Esta fórmula facilita mucho los cálculos.  2 

Cuando una de las áreas sea igual a cero, como en el caso de los puntos de paso de corte a terraplén o viceversa, el volumen será de la siguiente sección dividida entre dos y multiplicada por la distancia entre las secciones. Debe tenerse especial cuidado en observar la sección que resulte en los puntos de paso, pues cuando el terreno es inclinado, aunque en el eje no haya movimiento de material, si existe área en corte y en terraplén en ese punto, una se promediará con la de la sección de atrás y la otra con la de adelante.

155

Curva masa.- es una gráfica dibujada en ejes cartesianos, cuyas abscisas representan el cadenamiento de la línea y las ordenadas representan volúmenes de excavación o relleno, según sea la curva ascendente o descendente. Es un método gráfico que permite determinar la distribución económica de los volúmenes excavados, y calcular el costo para llevar a cabo dicha distribución. Cuando el trazo está obligado, este método no es de utilidad. Obligan al trazo, niveles al cruzar poblaciones, estructuras del camino, regiones pantanosas o inundables, pasos por acantilados de pendiente fuerte con terraplenes inestables con necesidad de muros de contención, o cuando por economía se localiza la ruta sobre algún camino antiguo. Cuando no está obligado el proyecto, se pueden compensar rellenos o excavaciones, siendo el único impedimento la calidad de materiales. La curva se dibuja junto con el perfil del proyecto pues el cadenamiento debe ir coincidiendo. El dibujo puede comenzarse donde convenga. Entre estaciones consecutivas subirá si hay corte (signo positivo +) el número de metros cúbicos correspondiente al tramo, o bajará si hay terraplén (signo negativo -). Como es una gráfica acumulativa, siempre al marcar un volumen se hará partiendo del punto anterior a donde se llegó. Entonces la escala horizontal será la misma del perfil, y para la vertical se recomienda 1 cm = 200 m3, pero podrá escogerse otra si los volúmenes acumulativos son fuertes. Además del dibujo, en una tabla se van anotando los volúmenes con su signo, y se van sumando algebraicamente para ir obteniendo las ordenadas de la curva masa. (Ver las figuras 3.7.1 y 3.7.2.)

156

Figura 3.7.1.Curva masa y perfil. (Representando movimientos de materiales) .

Propiedades de la curva masa. Del modo como se construye la curva masa resultan evidentes las siguientes propiedades: -Entre los límites de una excavación, la curva crece de izquierda a derecha y decrece cuando hay terraplén. -En las estaciones donde hay cambio de excavación a relleno (línea de paso) habrá un máximo, y viceversa. -Cualquier línea horizontal que corte a la curva, marcará puntos consecutivos entre los cuales habrá "compensación", es decir, que entre ellos el volumen de corte iguala al terraplén.

157

-La diferencia de ordenadas entre dos puntos representará el volumen de terracería dentro de la distancia comprendida entre esos dos puntos. -Cuando la curva queda encima de la línea horizontal compensadora que se escoge para ejecutar la construcción, los acarreos de material se harán hacia adelante, y cuando la curva quede debajo los acarreos serán hacia atrás. -El área comprendida entre la curva masa y una horizontal cualquiera compensadora, es el producto de un volumen por una distancia y nos representa al volumen por la longitud media de acarreo, lo que se expresa en "m3 por estación", (en este caso el término "estación" no se refiere a un punto, sino al tramo de 20 metros entre estaciones consecutivas cerradas, pues en el lenguaje de vías de comunicación se dice por ejemplo, que entre un punto y otro hay ocho estaciones, o sea 160 metros, con lo cual se facilita la nomenclatura y los cálculos). Figura 3.7.2. Tabla para calcular volúmenes y curva masa. ELEVACIONES

ESPESORES

AREAS

A1 +A2

VOLUMEN

ESTACION

COEF ABTO

VOL ABUN

SUMA ALG. V.A.

DIST/2 T.N.

RAS.

CORTE

TERR.

CORTE

2+680

64.80

66.60

700

66.00

66.80

720

67.80

67.00

0.80

4.5

4.5

734

68.55

67.14

1.41

7.1

11.6

740

68.20

67.20

1.00

5.2

760

66.60

67.40

0.20

1.4

780

65.70

67.60

800

66.81

67.80

820

68.50

68.00

0.90

5.2

5.2

840

69.70

68.20

1.50

8.3

850

70.92

68.30

2.62

860

70.10

68.40

1.70

880

68.15

68.60

0.45

2.4

900

67.00

68.80

1.80

920

68.40

69.00

0.60

940

70.00

69.20

0.80

4.1

4.1

960

70.59

69.40

1.19

5.7

9.8

0.61

1.80

TERR.

CORTE

TERR.

ORDENADA CURVA.M. CORTE

TERR

CORTE

TERR

CORTE

TERR

CORTE +

TERR -

18.2

0.80

10 000

8.9

27.1

10.0

8.9

10.0

45

7.0

12.3 6.6 22.0

10.0

14

28.4

10.0

6.4

10.0

52

13.5

10.0

11.8

20.1

8.7

20.5

1.90

271

9 729

89

35

9 694

54

81

1.2

97

97

9 791

3.0

37

1.2

44

44

9 835

10.0

66

1.2

79

79

1.2

17

1.2

62

135

1.2

162

162

9 587

5.0

100

1.2

120

120

9 707

5.0

103

1.2

124

124

9 831

2.4

10.0

87

1.2

104

80

9 911

6.3

8.7

10.0

87

87

87

9 824

2.8

9.1

10.0

41

91

91

91

9 733

2.8

10.0

98

28

10.0

91

10.0

34

1.4

6.4

980

70.21

69.60

3+000

69.02

69.80

0.78

3.4 3.1

20

67.40

70.00

2.60

11.4

8.7

9.1 3.4

89

271 1.2

22.0

0.99

271

220 284 64

24

3.1

10.0

31

14.5

10.0

145

158

1.2

49

1.2

118

1.2

109

1.2

41

9 914

220

203

9 711

284

284

9 427

64

2

9 425

24

28

31 145

21

9 754

118

9 872

109

9 981

10

9 991 145

9 846

Es evidente que las mejores compensadoras serán las que cortan el mayor número de veces a la curva. Al estudiar un tramo pueden trazarse varias compensadoras, según resulte la curva masa obtenida, y entre una y otra quedarán tramos sin compensación. En estos tramos, si la curva asciende habrá un volumen de excavación excedente que no hay donde emplearlo para rellenar, o sea un "desperdicio", y si la curva desciende indicará que hace falta material para el terraplén, que no se puede obtener de la excavación. En este caso debe traerse material de otro lado, o sea un "préstamo". Los volúmenes de desperdicio o préstamo se miden como lo muestra la figura 3.7.3. En la figura 3.7.4. se observa claramente el comportamiento de la ordenada curva masa. Sube cuando existe un corte y baja en un terraplén. Figura 3.7.3. Volúmenes de préstamo y desperdicio.

159

Figura 3.7.4. Curva masa y perfil. (Sube en corte y baja en terraplén).

160

3.8. Nivelación con nivel fijo y estación total.

Las

nivelaciones

de

terrenos

pueden

hacerse

con

aparatos

convencionales, o bien con equipo moderno electrónico. En el caso de equipo convencional se encuentran los niveles de mano y los niveles fijos; en ambos casos es necesario utilizar estadal. En los aparatos electrónicos, como la estación total, se utiliza un receptor de señal llamado prisma. En los diferentes métodos de nivelación, puede utilizarse indistintamente equipo convencional o moderno. Los métodos de nivelación se explican en las secciones 3.2. Nivelación directa, 3.3. Nivelación trigonométrica y 3.4. Nivelación de perfil. A continuación se explica los procedimientos para la realización de algunas prácticas de campo con nivel fijo y estación total.

Nivelación con nivel fijo. PRACTICA No.10. Nivelación diferencial larga.

PROCEDIMIENTO: Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Ubicar la posición de los bancos de nivel para escoger la ruta adecuada. Paso 2. Estacionar el nivel fijo en un punto cualquiera, de tal manera que se pueda leer en el estadal el banco de nivel 1 con lectura hacia atrás y el punto de liga 1 con lectura adelante. Paso 3. Cambiando a una segunda posición el nivel fijo, tomar lectura del PL1 hacia atrás y del PL2 hacia adelante. Paso 4. Cambiando a una tercera posición el nivel fijo, tomar lectura del PL2 hacia atrás y del PL3 hacia adelante. Continuar con éste itinerario. Paso 5. Finalmente tomar lectura hacia atrás del último PL y lectura hacia adelante del BN2.

161

Paso 6. Se suman las lecturas adelante y las lecturas hacia atrás y la diferencia entre ambas, será el desnivel del BN1 al BN2. MATERIAL Y/O EQUIPO: -

Nivel fijo.

-

Estadal.

-


-


-

Marro de 4 libras.

PRACTICA No. 11. Nivelación de perfil.

PROCEDIMIENTO: Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno está en condiciones para aplicar correctamente el método. Paso 2. Determinar el origen y el destino del trazo. Paso 3. Trazar y medir la poligonal abierta, midiendo distancias de 20 en 20 metros, en cambios de pendiente y en puntos de intersección, hasta llegar al punto final. Las distancias pueden ser también de 10 en 10 metros ó de 5 en 5 metros, según sea la necesidad del proyecto. Paso 4. Realizar la nivelación de perfil. En la primera posición del nivel, se comienza leyendo en el estadal una lectura positiva hacia un banco de nivel de cota conocida; a partir de esa lectura todas las demás serán negativas, incluyendo puntos de liga y puntos del trazo de la poligonal. En la segunda posición del nivel, se toma lectura positiva de la última lectura negativa de la posición anterior, que casi siempre es un punto de liga; a partir de ahí todas las lecturas serán negativas. Este procedimiento se realiza hasta terminar con el trazo.

162

Paso 5. Se dibuja el trazo y el perfil. Si el dibujo es a mano, se hace en papel milimétrico; el perfil se dibuja a escalas diferentes horizontal y vertical; estas pueden ser: 1:200 vertical, 1:2000 horizontal; 1:50 vertical, 1:500 horizontal; 1:100 vertical, 1:1000 horizontal.


Nivel fijo.

-

Teodolito.

-

Cinta de 30 metros

-

Estadal.

-


-


-

Marro de 4 libras.

Nivelación con Estación Total.

PRÁCTICA No. 12. Nivelación con Estación Total.

PROCEDIMIENTO. Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se elige el BN1 (Banco de nivel 1) en un lugar que sea firme, seguro y de fácil acceso. Paso 2. Centrar la Estación Total en un vértice de apoyo y verificar que la libreta electrónica se encuentre vacía, para evitar confusiones con los datos de trabajos anteriores. (Ver figura 3.8.1.).

163

Figura 3.8.1. Centrado de la Estación Total.

Paso 3. Establecer coordenadas de arranque. Se introducen las coordenadas a la libreta electrónica de la Estación; estas coordenadas pueden ser obtenidas con GPS (Sistema de Posicionamiento Global) o bien de modo arbitrario. Paso 4. Trazar una línea base. Con los datos ya introducidos en la libreta electrónica, se toma lectura en el prisma hacia un punto. La Estación y el punto leído, formará la línea base. (Ver figura 3.8.2.).

164

Figura 3.8.2. Trazo de la línea base.

Paso 5. Establecida la línea base, se asigna la nomenclatura para continuar con los pasos siguientes. La Estación registra todos los datos automáticamente. Paso 6. Se toman lecturas hacia el prisma que se coloca en cada uno de los puntos de interés para la nivelación. (Ver figura 3.8.3.).

165

Figura 3.8.3. Lectura de puntos para la nivelación.

MATERIAL Y/O EQUIPO: -Estación Total. -Prisma. -Cinta métrica -Clavos de acero. -Estacas de fierro o madera. -Cintilla topográfica fluorescente. -Espray fluorescente -Marro de 4 libras.

166


En la actualidad es ya, más que necesario el uso de software asistido por computadora; ya que facilita en rapidez, exactitud y precisión los trabajos de topografía. El software de dibujo se utiliza en todos los tipos de nivelaciones topográficas, áreas de las secciones transversales, curvas de nivel y cálculo de volúmenes de corte y terraplén. Solo como un ejemplo del alcance que proporcionan éstos software, se muestra a continuación la forma de dibujar curvas de nivel. Antes se le echaba una mirada a la exportación de datos a Excel usando Softdesk, ahora se verá cómo crear curvas de nivel, el proceso en Civil3D se ha simplificado pero suele tener la misma lógica que usando Excel.  Dibujo de puntos de elevación. El levantamiento que se ha realizado en el terreno tiene un eje central donde se ha tomado como línea base cada 50 metros, en estos puntos se han tomado las elevaciones y luego las vistas a la derecha e izquierda dependiendo de la irregularidad del terreno. También se han tomado las elevaciones de los vértices de la poligonal. El dibujo de esto se hace en AutoCAD normal, simple dibujo de líneas, usando círculos y puntos en las intersecciones. (Ver figura 3.9.1.).

167

Figura 3.9.1. Levantamiento topográfico dibujado en autocad.

 Configuración de puntos. - Cargar Softdesk (AEC/softdesk programs), si no se había hecho un proyecto anterior, se elige crear uno nuevo. (Ver figura 3.9.2.). -Elegir "cogo", luego "ok". -Configurar estilo de punto (Points/setup/set points settings). Figura 3.9.2. Cargar el software.

168

-Se configura el punto de inicio, y la opci n “elevations on”, para que se pueda digitar directamente en la línea de comando, en caso de querer agregar descripciones se puede dejar sin marcar “automatic descriptions”, luego se aplica "ok". Asegurarse de dejar inactiva la opci n “automatic elevations” para que estas se sean ingresadas en la línea de comando. (Ver figura 3.9.3.). Figura 3.9.3. Set Point Settings.

 Inserción

de puntos.

Para esto se elige la opción points/set points/manual, luego se inserta cada punto, anotando la elevación en la línea de comandos. En caso de tener puntos en 3 dimensiones o traídos de una estación total se puede dejar la opci n “automatic elevations” inactiva y solo clicarlos con el "snap" activo. Los puntos de la derecha son los 23 vértices de la poligonal, y se llevarán la descripción automática “pol”. (Ver figura 3.9.4.). Figura 3.9.4. Inserción de puntos.

169

A continuación se

ingresan los puntos internos, que tienen una

nomenclatura diferente, para esto se desactiva

“automatic description” y se

ingresa una descripción cada vez que se colocan los puntos. (Ver figura 3.9.5.). Figura 3.9.5. Ingreso de puntos internos.

 Creación

de Contorno

-Seleccionar AEC/softdesk programs/DTM/ok. -Enseguida se crea una superficie para asignar a esta los puntos opción. -Para agregarle los puntos ingresados a la superficie creada se inicia por crear el contorno, para esto seleccionar surface/surface data/standard faults/by point number. -Ingresar en la línea de comando los puntos incluidos en la poligonal de esta forma 1-23, luego para que cierre se repete el 1. -Aplicar "enter", se le da nombre al perímetro y se aplica de nuevo "enter". (Ver la figura 3.9.6.).

170

Figura 3.9.6. Creación de Contorno.

 Triangulación

(Modelo Digital de Terreno o MDT).

-Para hacer esto seleccionar surface/build surface; se elige las opciones faults, contour y points inactivando zero elevations -Se aplica ok, enter, Yes para ver la triangulación y después enter. El dibujo deberá verse como lo muestra la figura 3.9.7. Figura 3.9.7. Triangulación.

171



Creación de Curvas de Nivel.

-Apagar todos los “layers” que no se desea ver en este momento -Configurar las características de las curvas de nivel seleccionando contour/contour properties y activar las opciones que se observan en la figura 3.9.8. Figura 3.9.8. Propiedad de Contornos.

-Crear las curvas con la opción contour/create contour. -Elegir el intervalo de curvas principales y secundarias, usando las principales cada 5 metros y las secundarias cada 1; también se elige el nombre de los "layers". -Finalmentese aplican las funciones "ok", enseguida "enter". Al cambiar los colores a los "layers", el trabajo finalizado quedará como lo muestra la figura 3.9.9.

172

Figura 3.9.9. Polígono con curvas de nivel.

173

CAPÍTULO 4.- TÉCNICAS MODERNAS EN TOPOGRAFÍA.

4.1. GPS, tipos, manejo y usos.

INTRODUCCIÓN.

Para poder obtener con precisión las direcciones de las líneas de los levantamientos, y las posiciones geográficas de los diversos puntos donde se trabaja, es necesario recurrir a las observaciones y cálculos astronómicos, tanto por su precisión, como por el hecho de que producen datos invariables (invariables dentro de los fines prácticos). Para situar puntos sobre la superficie de la tierra y puntos sobre la esfera celeste se utilizan sistemas de coordenadas que tienen como base el plano del Ecuador. En un lugar cualquiera de la tierra, para situar la posición de las estrellas se emplean el azimut y la altura, que llamamos coordenadas locales.

Latitud.- Es el ángulo que forma la vertical de un lugar del plano del ecuador; se mide sobre un plano normal al Ecuador (meridiano del lugar), de 0º a 90º hacia el norte o hacia el sur. Longitud.- Es el ángulo medido sobre el plano del ecuador, a partir del meridiano de origen (meridiano de Greenwich), hasta el meridiano del lugar. Se mide generalmente hacia el oeste de 0 a 24 horas o de 0º a 360º. (1 h = 15º).

174

El plano del Ecuador de la Tierra, al prolongarlo en todos sentidos, se constituye en el plano del Ecuador de la esfera celeste, y el eje polar de la tierra, también al prolongarlo resulta el eje polar de la esfera celeste. Si el plano del meridiano del lugar se prolonga hasta la esfera celeste, pasará por los polos y por el eje polar celeste, y también por el zenit del lugar que es el punto donde la vertical llega a la esfera celeste. Al imaginar la esfera celeste con las estrellas proyectadas sobre ella, la tierra se considera como un punto sin dimensiones, (centro de la esfera).

Declinación.- Es el ángulo de elevación de una visual a una estrella, sobre el plano del Ecuador, y se mide a partir de este plano, de 0º a 90º hacia el norte o hacia el sur, o positiva y negativa respectivamente. Ascensión Recta.- Es el ángulo medido sobre el plano del Ecuador, a partir del Punto Vernal (punto γ o

quinoccio de Primavera), hasta el círculo

horario de la estrella. Se mide hacia el este de 0 a 24 horas 0 de 0º a 360º.

Figura 4.1.1. Plano del ecuador terrestre y celeste. (Latitud, longitud, declinación y ascensión recta).

175

Azimut.- Es el ángulo medido sobre el plano del horizonte del lugar, entre la dirección norte-sur (meridiano del lugar) y la visual a una estrella. Altura.- es el ángulo vertical que forma la visual a una estrella con el plano del horizonte. Figura 4.1.2. Plano del horizonte del lugar. (Azimut y altura).

La relación entre el sistema de coordenadas ecuatorial y el local consiste en que, la latitud de un lugar cualquiera de la superficie terrestre, es igual a la altura del polo sobre el horizonte de ese lugar. (Ver figura 4.1.3.). Figura 4.1.3. Altura del polo sobre el horizonte del lugar.

176

Círculo horario de una estrella.- Es un meridiano de la esfera celeste que pasa por la estrella en cuestión. Todos los Círculos Horarios convergen en los polos celestes y constituyen planos que giran en el eje polar. Angulo Horario de una Estrella.- Es el ángulo medido sobre el plano del ecuador, a partir del meridiano del lugar (prolongado hasta la esfera celeste), hasta el círculo horario de la estrella. Se mide hacia el oeste de 0 a 24 horas ó de 0º a 360º a partir del momento en que la estrella culmina en la rama superior del meridiano del lugar. Entonces cuando la estrella pasa por el meridiano del lugar, se dice que es el momento de la culminación, y origen del ángulo horario de la estrella, para un lugar determinado de la tierra. En este momento coincidirán ambos planos, el del meridiano del lugar y el del círculo horario de la estrella. Después, como la estrella sigue caminando hacia el oeste (W), se va abriendo el ángulo diedro que forman dichos planos, y éste es el ángulo horario. Su arista es el eje polar. Este ángulo es el que fija la posición de una estrella con respecto a un lugar de la tierra, y naturalmente va variando constantemente pues es función del tiempo. Nótese que no es un dato general para fijar una estrella, sino un dato particular para fijarla con respecto a un lugar determinado de la tierra donde necesitamos definir su posición en un momento dado. (Ver figura 4.1.4.).

177

Figura 4.1.4. Ángulo horario y círculo horario de una estrella.

Observaciones astronómicas.

Generalmente las observaciones para determinar la latitud y el azimut se hacen con la estrella polar y los métodos que se describen se refieren a observaciones a la estrella polar, en las cuales no son necesarias las correcciones por paralaje ni por el semidiámetro. Cuando la atmósfera está clara pueden hacerse observaciones de la estrella polar durante el día cerca de las horas de oscuridad, aún cuando la estrella sea invisible a simple vista. Durante las horas de oscuridad, se necesita iluminación artificial para hacer visibles los hilos de la retícula del teodolito. La retícula puede iluminarse sosteniendo una lámpara eléctrica de mano a unos cuantos centímetros del objetivo haciendo que los rayos entren al telescopio diagonalmente.

178

Las medidas del sol no se pueden tomar con tanta precisión como la de una estrella, sin embargo, el sol se puede observar en horas cómodas y con suficiente precisión para la mayor parte de los trabajos topográficos, para determinar la latitud y el azimut. Para observar el sol deberá interponerse un cristal oscuro entre el ojo y el ocular. Algunos tránsitos están equipados con un vidrio ahumado, para ver el sol, que puede colocarse en el ocular. También se pueden hacer las observaciones enfocando la imagen del sol sobre una tarjeta blanca mate sostenida a varios centímetros atrás del ocular del anteojo. Si se observa el sol directamente por el ocular del anteojo, sin helioscopio o vidrio ahumado de protección, se dañará seriamente la vista.

Aditamento solar. Se puede resolver mecánicamente el triángulo astronómico por medio del aditamento solar. Este aparato consta de un pequeño anteojo, círculo vertical y movimientos horizontal y vertical. Para emplearlo se fija por el anteojo de un teodolito; se marcan en el aditamento solar la declinación del sol y en el círculo vertical del tránsito la colatitud (90º - φ) y así se logra que la línea de colimaci n quede según el plano del Ecuador, moviendo solo en sentido horizontal ambos anteojos hasta ver el sol por el anteojo del aditamento, de tal modo que ya sin mover el teodolito se pueda seguir el sol únicamente con el movimiento horizontal del aditamento; consiguiendo esto, el anteojo del teodolito queda en la dirección de la meridiana astronómica.

179

Correcciones que deben aplicarse a las observaciones astronómicas.

Corrección por paralaje. Las coordenadas de los astros que figuran en el Anuario del Observatorio Astronómico Nacional están referidas al centro de la tierra, en tanto que las coordenadas obtenidas por observación directa se miden desde un punto situado sobre la superficie de la tierra y, por consecuencia, deben reducirse al centro de la misma. Se ha supuesto que la esfera celeste es de radio infinito y que el ángulo vertical medido de una estación en la superficie de la tierra es el mismo que si se midiera de una estación en el centro de la tierra. Para las estrellas esta suposición da resultados suficientemente precisos para los trabajos que aquí se describen, pero como la distancia entre el sol y la tierra es relativamente pequeña, en las observaciones solares se aplica una corrección por paralaje a la altura observada para obtener la altura del sol del centro de la tierra.

Se denomina paralaje al ángulo formado en el centro de un astro por dos rectas que unen dicho centro con los extremos del radio terrestre. n la figura siguiente, p es el paralaje; a’ es la altura del sol, medida por un observador en A; y a es la altura del sol, medida en el centro de la tierra. La correcci n por paralaje es igual a la diferencia entre los ángulos a y a’. Como a es siempre mayor que a’, se debe agregar la correcci n por paralaje a la altura observada. La corrección por paralaje es necesaria cuando se observa el sol. La tabla XV del Anuario Astronómico Nacional, contiene las correcciones por paralaje; el argumento de esta tabla es la altura observada del sol. Si no se dispone de la tabla indicada, la corrección por paralaje se puede calcular usando la f rmula: P = 8”.8 cos a Siendo: P = corrección por paralaje A = altura observada del sol.

180

Figura 4.1.5. Ángulo de paralaje.

Corrección por refracción. Refracción es el cambio de dirección que experimenta la luz al pasar de un medio a otro. La refracción debida a la atmósfera terrestre desvía los rayos solares luminosos que nos llegan de los astros y, por consiguiente, la altura de los astros que observamos no es la verdadera. Se denomina refracción astronómica la diferencia entre la altura aparente de un astro y la verdadera. (Ver figura 4.1.6.). La refracción astronómica es tanto mayor cuanto más dista el astro del zenit.

n el horizonte la refracci n puede llegar hasta unos 33’. Cuando un

astro parece estar en el horizonte, se halla en realidad a 33’ sobre él. Nunca se toman observaciones de los astros cuando están cerca del horizonte, debido a la incertidumbre en la corrección por refracción para alturas muy pequeñas.

181

La corrección por refracción se aplica a la distancia zenital o la altura observadas. A la distancia zenital observada se le suma la corrección por refracción y a la altura observada se le resta dicha corrección.

Figura 4.1.6. Corrección por refracción.

ZO = vertical del lugar A. a′= altura aparente del sol. r = refracción astronómica. a = altura verdadera del sol. S′ = posici n aparente del sol. S = posición verdadera del sol.

La magnitud de la corrección por refracción depende de la temperatura y de la presión barométrica de la atmósfera y de la altura de la visual al astro. La corrección por refracción, en minutos de arco, es aproximadamente igual a la cotangente de la altura observada.

182

La corrección por refracción se calcula por medio de la fórmula siguiente: r = ρ.β.τ en la cual: r = corrección por refracción, en segundos de arco. ρ = refracci n media, en segundos de arco. β = factor barométrico. τ = factor termométrico.

En el Anuario del Observatorio Astronómico Nacional se hallan tabulados los valores de ρ.β.τ. La tabla XVI da la refracción media correspondiente a una distancia zenital de 0º a 79º; la tabla XIX da el factor barométrico; el argumento de esta tabla es la lectura del barómetro, en metros. La tabla XX cuyo argumento es la temperatura, en grados centígrados, del aire a la sombra, contiene el factor termométrico. Las correcciones por refracción y paralaje para el sol, usualmente se consideran juntas. La corrección por refracción es varias veces mayor que la corrección por paralaje. En los Anuarios astronómicos generalmente se proporciona una tabla donde aparece la corrección combinada por refracción y paralaje, que es del mismo signo que la refracción. En el caso de que estas correcciones estén en tablas por separado, la corrección por refracción a la altura observada será substractiva y la corrección por paralaje será aditiva.

Corrección por Semidiámetro. Como el diámetro aparente del sol desde la tierra es aproximadamente de 32’, no es posible visar su centro con precisi n con el tránsito ordinario y por eso se acostumbra visar el borde superior o el borde inferior del disco solar, poniéndolo tangente al hilo horizontal medio de la retícula.

183

Si se toma la lectura del círculo vertical colocando el disco solar tangente al hilo medio, como se muestra en la figura de abajo, se tiene la altura del borde superior del sol y para tener la altura que corresponde al centro del sol, será necesario restarle el semidiámetro que es de 16’; y si se observa el borde inferior del sol, habrá que sumar el semidiámetro a la altura tomada (Ver figura 4.1.7.). Figura 4.1.7. Corrección por semidiámetro.

En esta forma se corrigen las lecturas si la observación del sol se hace en la mañana, pero si se realiza en la tarde las correcciones se aplican con signo contrario. l semidiámetro del sol varía aproximadamente 15’ 45”en julio a aproximadamente 16’ 18” en enero.

n cálculos que no requieren mucha

precisi n se puede tomar como 16’. En el Anuario del Observatorio Nacional se dan los valores del semidiámetro aparente del sol para cada día del año.

184

Como en la mayor parte de las observaciones del sol se toma un número igual de visuales a los bordes opuestos del disco solar, el promedio de los ángulos verticales y el promedio de las horas de las observaciones, no es necesaria la corrección por semidiámetro. Corrección por error de índice. Error de índice es el que se comete en un ángulo observado por falta de paralelismo entre la línea de colimación y el eje del nivel del anteojo o por desplazamiento del vernier vertical por falta de ajuste en el instrumento. Si el eje del nivel del anteojo no es paralelo a la línea de colimación y si en el vernier vertical se lee cero cuando la burbuja está centrada, resulta un error en el ángulo vertical. Este error se puede hacer despreciable para los trabajos ordinarios ajustando cuidadosamente el instrumento. El desplazamiento del vernier vertical introduce un error constante que puede eliminarse por un ajuste del instrumento. El error de índice combinado, debido a las dos causas señaladas puede eliminarse por doble observación. Si el instrumento se nivela con todo cuidado, el verdadero ángulo horizontal puede determinarse leyendo una vez con el anteojo en posición directa, y otra, con el anteojo en posición inversa, tomando después el promedio de los dos valores obtenidos. Este método se usa en observaciones astronómicas, sin embargo, no elimina el error que resulte por inclinación del eje vertical y en ese caso tiene que ajustarse el instrumento.

185

SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS). El GPS (Global Positioning System: sistema de posicionamiento global) o NAVSTAR-GPS es un sistema global de navegación por satélite (GNSS) que permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto, una persona o un vehículo con una precisión hasta de centímetros (si se utiliza GPS diferencial), aunque lo habitual son unos pocos metros de precisión. El sistema

fue

desarrollado,

instalado

y

actualmente

operado

por

el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. Figura 4.1.8. Satélite NAVSTAR GPS.

El GPS funciona mediante una red de 24 satélites en órbita sobre el globo, a 20.200 km, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. Cuando se desea determinar la posición, el receptor que se utiliza para ello localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno de ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo que tardan en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante "triangulación" (método de trilateración inversa), la cual se basa en determinar la distancia de cada satélite respecto al punto de medición.

186

Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa respecto a los tres satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenadas reales del punto de medición. También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes atómicos que llevan a bordo cada uno de los satélites. La antigua Unión Soviética construyó un sistema similar llamado GLONASS, ahora gestionado por la Federación Rusa. Actualmente la Unión Europea está desarrollando su propio sistema de posicionamiento por satélite, denominado Galileo. A su vez, la República Popular China está implementando su propio sistema de navegación, el denominado Beidou, que prevén que cuente con entre 12 y 14 satélites entre 2011 y 2015. Para 2020, ya plenamente operativo deberá contar con 30 satélites. De momento (marzo 2011), ya tienen 7 en órbita. HISTORIA DEL GPS. En 1957, la Unión Soviética lanzó al espacio el satélite Sputnik I, que era monitorizado mediante la observación del efecto Doppler de la señal que transmitía. Debido a este hecho, se comenzó a pensar que, de igual modo, la posición de un observador podría ser establecida mediante el estudio de la frecuencia Doppler de una señal transmitida por un satélite cuya órbita estuviera determinada con precisión. La armada estadounidense rápidamente aplicó esta tecnología, para proveer a los sistemas de navegación de sus flotas de observaciones de posiciones actualizadas y precisas. Así surgió el sistema TRANSIT, que quedó operativo en 1964, y hacia 1967 estuvo disponible, además, para uso comercial. Las actualizaciones de posición, en ese entonces, se encontraban disponibles cada 40 minutos y el observador debía permanecer casi estático para poder obtener información adecuada.

187

Posteriormente, en esa misma década y gracias al desarrollo de los relojes atómicos, se diseñó una constelación de satélites, portando cada uno de ellos uno de estos relojes y estando todos sincronizados con base en una referencia de tiempo determinado. En 1973 se combinaron los programas de la Armada y el de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos (este último consistente en una técnica de transmisión codificada que proveía datos precisos usando una señal modulada con un código de PRN (Pseudo-Random Noise: ruido pseudoaleatorio), en lo que se conoció como Navigation Technology Program (programa de tecnología de navegación), posteriormente renombrado como NAVSTAR GPS. Entre 1978 y 1985 se desarrollaron y lanzaron once satélites prototipo experimentales NAVSTAR, a los que siguieron otras generaciones de satélites, hasta completar la constelación actual, a la que se declaró con «capacidad operacional inicial» en diciembre de 1993 y con «capacidad operacional total» en abril de 1995. En 2009, este país ofreció el servicio normalizado de determinación de la posición para apoyar las necesidades de la OACI, y ésta aceptó el ofrecimiento. CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS Y PRESTACIONES. Figura 4.1.9. Operadora de satélites controlando la constelación NAVSTAR-GPS, en la Base Aérea de Schriever.

188

Figura 4.1.10. Lanzamiento de satélites para la constelación NAVSTARGPS mediante un cohete Delta.

El Sistema Global de Navegación por Satélite lo componen: Sistema de satélites: Está formado por 24 unidades con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie del globo terráqueo. Más concretamente, repartidos en 6 planos orbitales de 4 satélites cada uno. La energía eléctrica que requieren para su funcionamiento la adquieren a partir de dos paneles compuestos de celdas solares adosados a sus costados. Estaciones terrestres: Envían información de control a los satélites para controlar las órbitas y realizar el mantenimiento de toda la constelación. Terminales receptores: Indican la posición en la que están; conocidas también como unidades GPS, son las que podemos adquirir en las tiendas especializadas.

189

Segmento espacial: Satélites en la constelación: 24 (4 × 6 órbitas), altitud: 26580 m., período: 11 h 58 min (12 horas sidéreas), inclinación: 55 grados (respecto al ecuador terrestre), vida útil: 7,5 años. Segmento de control (estaciones terrestres): estación principal: 1, antena de tierra: 4, estación monitora (de seguimiento): 5. Señal RF: Frecuencia portadora: Civil – 1575,42 MHz (L1). Utiliza el Código de Adquisición Aproximativa (C/A), militar – 1227,60 MHz (L2). Utiliza el Código de Precisión (P), cifrado, nivel de potencia de la señal: –160 dBW (en superficie tierra), Polarización: circular dextrógira. Exactitud: Posición: oficialmente indican aproximadamente 15 m (en el 95% del tiempo). En la realidad un GPS portátil monofrecuencia de 12 canales paralelos ofrece una precisión de 2.5 a 3 metros en más del 95% del tiempo. Con el WAAS / EGNOS / MSAS activado, la precisión asciende de 1 a 2 metros. Hora: 1 ns. Cobertura: mundial. Capacidad de usuarios: ilimitada Sistema de coordenadas: Sistema Geodésico Mundial 1984 (WGS84); Centrado en la Tierra, fijo. Integridad: tiempo de notificación de 15 minutos o mayor. No es suficiente para la aviación civil. Disponibilidad: 24 satélites (70%) y 21 satélites (98%). No es suficiente como medio primario de navegación.

190

EVOLUCIÓN DEL SISTEMA GPS.

FIGURA 4.1.11. Estación y receptor GPS profesionales para precisiones centimétricas.

El GPS está evolucionando hacia un sistema más sólido (GPS III), con una mayor disponibilidad y que reduzca la complejidad de las aumentaciones GPS. Algunas de las mejoras previstas comprenden: -Incorporación de una nueva señal en L2 para uso civil. -Adición de una tercera señal civil (L5): 1176,45 MHz. -Protección y disponibilidad de una de las dos nuevas señales para servicios de Seguridad Para la Vida (SOL). -Mejora en la estructura de señales. -Incremento en la potencia de señal (L5 tendrá un nivel de potencia de – 154 dB). -Mejora en la precisión (1 – 5 m). -Aumento en el número de estaciones de monitorización: 12 (el doble) -Permitir mejor interoperabilidad con la frecuencia L1 de Galileo.

191

El programa GPS III persigue el objetivo de garantizar que el GPS satisfará requisitos militares y civiles previstos para los próximos 30 años. Este programa se está desarrollando para utilizar un enfoque en 3 etapas (una de las etapas de transición es el GPS II); muy flexible, permite cambios futuros y reduce riesgos. El desarrollo de satélites GPS II comenzó en 2005, y el primero de ellos estará disponible para su lanzamiento en 2012, con el objetivo de lograr la transición completa de GPS III en 2017. Los desafíos son los siguientes: -Representar los requisitos de usuarios, tanto civiles como militares, en cuanto a GPS. -Limitar los requisitos GPS III dentro de los objetivos operacionales. -Proporcionar flexibilidad que permita cambios futuros para satisfacer requisitos de los usuarios hasta 2030. -Proporcionar solidez para la creciente dependencia en la determinación de posición y de hora precisa como servicio internacional.

El sistema ha evolucionado y de él han derivado nuevos sistemas de posicionamiento IPS-2 se refiere a Inertial Positioning System, sistema de posicionamiento inercial, un sistema de captura de datos, que permite al usuario realizar mediciones a tiempo real y en movimiento, el llamado Mobile Mapping. Este sistema obtiene cartografía móvil 3D basándose en un aparato que recoge un escáner láser, un sensor inercial, sistema GNSS y un odómetro a bordo de un vehículo. Se consiguen grandes precisiones, gracias a las tres tecnologías de posicionamiento: IMU + GNSS + odómetro, que trabajando a la vez dan la opción de medir incluso en zonas donde la señal de satélite no es buena.

192

FUNCIONAMIENTO DEL GPS. FIGURA 4.1.12. Receptor GPS:

-La situación de los satélites puede ser determinada de antemano por el receptor con la información del llamado almanaque (un conjunto de valores con 5 elementos orbitales), parámetros que son transmitidos por los propios satélites. La colección de los almanaques de toda la constelación se completa cada 12-20 minutos y se guarda en el receptor GPS. -La información que es útil al receptor GPS para determinar su posición se llama efemérides. En este caso cada satélite emite sus propias efemérides, en la que se incluye la salud del satélite (si debe o no ser considerado para la toma de la posición), su posición en el espacio, su hora atómica, información doppler, etc. -El receptor GPS utiliza la información enviada por los satélites (hora en la que emitieron las señales, localización de los mismos) y trata de sincronizar su reloj interno con el reloj atómico que poseen los satélites. La sincronización es un proceso de prueba y error que en un receptor portátil ocurre una vez cada segundo. Una vez sincronizado el reloj, puede determinar su distancia hasta los satélites, y usa esa información para calcular su posición en la tierra.

193

-Cada satélite indica que el receptor se encuentra en un punto en la superficie de la esfera, con centro en el propio satélite y de radio la distancia total hasta el receptor. -Obteniendo información de dos satélites se indica que el receptor se encuentra sobre la circunferencia que resulta cuando se intersecan las dos esferas. -Si se adquiere la misma información de un tercer satélite se nota que la nueva esfera sólo corta la circunferencia anterior en dos puntos. Uno de ellos se puede descartar porque ofrece una posición absurda. De esta manera ya tendríamos la posición en 3D. Sin embargo, dado que el reloj que incorporan los receptores GPS no está sincronizado con los relojes atómicos de los satélites GPS, los dos puntos determinados no son precisos. -Teniendo información de un cuarto satélite, eliminamos el inconveniente de la falta de sincronización entre los relojes de los receptores GPS y los relojes de los satélites. Y es en este momento cuando el receptor GPS puede determinar una posición 3D exacta (latitud, longitud y altitud). Al no estar sincronizados los relojes entre el receptor y los satélites, la intersección de las cuatro esferas con centro en estos satélites es un pequeño volumen en vez de ser un punto. La corrección consiste en ajustar la hora del receptor de tal forma que este volumen se transforme en un punto.

Fiabilidad de los datos. Debido al carácter militar del sistema GPS, el Departamento de Defensa de los EE. UU. se reservaba la posibilidad de incluir un cierto grado de error aleatorio, que podía variar de los 15 a los 100 m. La llamada disponibilidad selectiva (S/A) fue eliminada el 2 de mayo de 2000. Aunque actualmente no aplique tal error inducido, la precisión intrínseca del sistema GPS depende del número de satélites visibles en un momento y posición determinados.

194

Con un elevado número de satélites siendo captados (7, 8 o 9 satélites), y si éstos tienen una geometría adecuada (están dispersos), pueden obtenerse precisiones inferiores a 2,5 metros en el 95% del tiempo. Si se activa el sistema DGPS llamado SBAS (WAAS-EGNOS-MSAS), la precisión mejora siendo inferior a un metro en el 97% de los casos. Estos sistemas SBAS no se aplican en Sudamérica, ya que esa zona no cuenta con este tipo de satélites geoestacionarios.

Fuentes de error. Un ejemplo visual de la constelación GPS en conjunción con la rotación de la Tierra. Obsérvese como el número de satélites visibles en un determinado punto de la superficie de la Tierra, en este ejemplo a 45° N, cambia con el tiempo. FIGURA 4.1.13. Constelación GPS en conjunción con la tierra.

La posición calculada por un receptor GPS requiere el instante actual, la posición del satélite y el retraso medido de la señal recibida. La precisión es dependiente en la posición y el retraso de la señal. Al introducir el atraso, el receptor compara una serie de bits (unidad binaria) recibida del satélite con una versión interna. Cuando se comparan los límites de la serie, las electrónicas pueden meter la diferencia a 1% de un tiempo BIT, o aproximadamente 10 nanosegundos por el código C/A. 195

Desde entonces las señales GPS se propagan a la velocidad de luz, que representa un error de 3 metros. Este es el error mínimo posible usando solamente la señal GPS C/A. La precisión de la posición se mejora con una señal P(Y). Al presumir la misma precisión de 1% de tiempo BIT, la señal P(Y) (alta frecuencia) resulta en una precisión de más o menos 30 centímetros. Los errores en las electrónicas son una de las varias razones que perjudican la precisión (ver la tabla 4.1.). Tabla 4.1. Fuente

Efecto

Ionosfera

±5m

Efemérides

± 2,5 m

Reloj satelital

±2m

Distorsión

±1m

multibandas Troposfera

± 0,5 m

Errores

± 1 m o menos

numéricos -Retraso de la señal en la ionosfera y la troposfera. -Señal multirruta, producida por el rebote de la señal en edificios y montañas cercanos. -Errores de orbitales, donde los datos de la órbita del satélite no son completamente precisos. -Número de satélites visibles. -Geometría de los satélites visibles. -Errores locales en el reloj del GPS.

196

DGPS O GPS DIFERENCIAL. Figura 4.1.14. Estación Leica de referencia DGPS.

Figura 4.1.15. Equipo de campo realizando levantamiento de información sísmica usando un receptor GPS Navcom SF-2040G StarFire montado sobre un mástil.

El DGPS (Differential GPS), o GPS diferencial, es un sistema que proporciona a los receptores de GPS correcciones de los datos recibidos de los satélites GPS, con el fin de proporcionar una mayor precisión en la posición calculada. Se concibió fundamentalmente debido la introducción de la disponibilidad selectiva (SA).

197

El fundamento radica en el hecho de que los errores producidos por el sistema GPS afectan por igual (o de forma muy similar) a los receptores situados próximos entre sí. Los errores están fuertemente correlacionados en los receptores próximos. Un receptor GPS fijo en tierra (referencia) que conoce exactamente su posición basándose en otras técnicas, recibe la posición dada por el sistema GPS, y puede calcular los errores producidos por el sistema GPS, comparándola con la suya, conocida de antemano. Este receptor transmite la corrección de errores a los receptores próximos a él, y así estos pueden, a su vez, corregir también los errores producidos por el sistema dentro del área de cobertura de transmisión de señales del equipo GPS de referencia. En suma, la estructura DGPS quedaría de la siguiente manera: -Estación monitorizada (referencia), que conoce su posición con una precisión muy alta. Esta estación está compuesta por: Un receptor GPS, un microprocesador, para calcular los errores del sistema GPS y para generar la estructura del mensaje que se envía a los receptores; un transmisor, para establecer un enlace de datos unidireccional hacia los receptores de los usuarios finales. -Equipo de usuario, compuesto por un receptor DGPS (GPS + receptor del enlace de datos desde la estación monitorizada).

Existen varias formas de obtener las correcciones DGPS. Las más usadas son: Recibidas por radio, a través de algún canal preparado para ello, como el RDS en una emisora de FM. Descargadas de Internet, o con una conexión inalámbrica. Proporcionadas por algún sistema de satélites diseñado para tal efecto. En Estados

Unidos existe

el WAAS,

Japón el MSAS, todos compatibles entre sí.

198

en Europa el EGNOS y

en

En los mensajes que se envían a los receptores próximos se pueden incluir dos tipos de correcciones: Una corrección directamente aplicada a la posición. Esto tiene el inconveniente de que tanto el usuario como la estación monitora deberán emplear los mismos satélites, pues las correcciones se basan en esos mismos satélites. Una corrección aplicada a las pseudodistancias de cada uno de los satélites visibles. En este caso el usuario podrá hacer la corrección con los 4 satélites de mejor relación señal-ruido (S/N). Esta corrección es más flexible. El error producido por la disponibilidad selectiva (SA) varía incluso más rápido que la velocidad de transmisión de los datos. Por ello, junto con el mensaje que se envía de correcciones, también se envía el tiempo de validez de las correcciones y sus tendencias. Por tanto, el receptor deberá hacer algún tipo de interpolación para corregir los errores producidos. Si se deseara incrementar el área de cobertura de correcciones DGPS y, al mismo tiempo, minimizar el número de receptores de referencia fijos, será necesario modelar las variaciones espaciales y temporales de los errores. En tal caso estaríamos hablando del GPS diferencial de área amplia.

Con el DGPS se pueden corregir en parte los errores debidos a: -Disponibilidad selectiva (eliminada a partir del año 2000). -Propagación por la ionosfera - troposfera. -Errores en la posición del satélite (efemérides). -Errores producidos por problemas en el reloj del satélite. Para que las correcciones DGPS sean válidas, el receptor tiene que estar relativamente cerca de alguna estación DGPS; generalmente, a menos de 1000 km. Las precisiones que manejan los receptores diferenciales son centimétricas, por lo que pueden ser utilizados en ingeniería.

199

APLICACIONES CIVILES DEL GPS. Figura 4.1.16. Navegador GPS de pantalla táctil de un vehículo con información sobre la ruta, así como las distancias y tiempos de llegada al punto de destino.

-Navegación

terrestre

(y

peatonal),

marítima

y

aérea.

Bastantes automóviles lo incorporan en la actualidad, siendo de especial utilidad para encontrar direcciones o indicar la situación a la grúa. -Teléfonos móviles -Topografía y geodesia. -Localización agrícola (agricultura de precisión), ganadera y de fauna. -Salvamento y rescate. -Deporte, acampada y ocio. -Para localización de enfermos, discapacitados y menores. -Aplicaciones científicas en trabajos de campo (ver geomática). -Geocaching, actividad deportiva consistente en buscar "tesoros" escondidos por otros usuarios. -Para rastreo y recuperación de vehículos. -Navegación deportiva. -Deportes aéreos: parapente, ala delta, planeadores, etc.

200

-Existe quien dibuja usando tracks o juega utilizando el movimiento como cursor (común en los GPS Garmin). -Sistemas de gestión y seguridad de flotas.

APLICACIONES MILITARES DEL GPS. -Navegación terrestre, aérea y marítima. -Guiado de misiles y proyectiles de diverso tipo. -Búsqueda y rescate. -Reconocimiento y cartografía. -Detección de detonaciones nucleares.

201

4.2. Levantamientos con Sistemas de Posicionamiento Global (GPS).

El objetivo de este tema es poner en práctica los conocimientos adquiridos

a

la

hora

de

ejecutar

un

proyecto

GPS.

Se

darán

recomendaciones generales, que no tienen porqué ser las mejores. Por supuesto, estas recomendaciones no podrán aplicarse directamente sino que dependerá del estado en que se encuentre la infraestructura geodésica del país. En primer lugar, se expondrán de modo general los aspectos generales de cualquier red GPS y seguidamente se detallarán las operaciones llevadas a cabo en tres redes geodésicas de distinta jerarquía. Obviamente esto se centrará en sucesivo en posicionamiento relativo, ya que el absoluto carece de interés para fines geodésicos. A pesar de la gran cantidad de variantes en cuanto a metodología de observación se refiere, los procedimientos pueden ser agrupados en cuatro fases: planeación y preparación, observación de campo, proceso y documentación. La validación y el reconocimiento forman parte de la planeación y de la preparación:

202

Preparación y planificación. Anteriormente a 1994, cuando la constelación NAVSTAR no estaba completa,

en

la

planificación

de

cualquier

observación

GPS,

era

imprescindible realizar un diagrama de visibilidad de satélites en base al almanaque (planeo de misiones). Hoy día, las constelaciones existentes hacen que no nos planteemos ventanas de observación en base a la visibilidad de satélites. El reconocimiento del terreno previo es esencial para tener éxito en las observaciones. Los lugares de observación deberán tener una visibilidad libre de obstáculos y ser accesibles para vehículos. Como regla general, se requiere tener el horizonte lo más despejado posible en todas las direcciones.

Elección del sitio.- El GPS permite criterios de selección distintos de los clásicos, de tal forma que no tienen por qué estar instalados los vértices en elevaciones topográficas o torres con visibilidad mutua, sino allí donde se los necesita: en lugares de fácil acceso con un horizonte que se halle obstruido lo mínimo posible. No son apropiados lugares en la cercanía de edificios altos, redes de alta tensión, torres de telefonía, radio o cualquier elemento que pueda causar interferencia en frecuencias de radio, muros cercanos u otras superficies reflectoras que puedan causar problemas con el efecto multipath. Por otra parte, la transformación de cartografía de un sistema clásico al de GPS hace que los puntos sobre los que normalmente se formen las nuevas redes GPS sean los antiguos, de tal manera que se tenga doble juego de coordenadas. Si se trata de una estación de referencia, las exigencias serán mucho mayores: alimentación eléctrica, comunicación vía internet o telefónica, etc.

203

Monumentación.-

La

monumentación

de

las

estaciones

se

rige

comúnmente a las reglas generales de las autoridades responsables de la cartografía. Considerando el potencial de precisión del GPS, se deberán establecer los monumentos sobre una base estable, en lo posible sobre roca o bloques de hormigón (concreto) con cimientos suficientemente profundos. La marca de la estación deberá tener una definición de al menos 1 mm, como cruz en un remache metálico anticorrosivo, con referencia vertical apropiada. El sistema de centrado de la antena debe ser estable, con garantía en la repetibilidad de centrado de 1 mm, con un sistema de centrado forzado. El sistema más barato, común y sencillo, a la vez que eficaz y universal, es el de rosca 5/8" sobre una base metálica horizontal, todo ello empotrado en el monumento. Se deben evitar señales efímeras, aunque baratas, tales como clavos en el suelo, los cuales se pierden debido a obras, crecimiento de la vegetación, mala referenciación espacial, etc.

Documentación.- Normalmente pueden ser diferentes operadores los que realicen esta primera fase de reconocimiento y elección y la siguiente de observación, con lo que es fundamental realizar un documento claro con referenciación de la señal en cuanto a: -Nombre de la estación. -Código de identificación GPS (4 caracteres). -Coordenadas aproximadas. -Situación: topónimo, descripción. -Situación en municipio, provincia. -Accesibilidad (coche, estado de la carretera, descripción literal, distancias).

204

-Croquis o plano de acceso, con indicación de distancias. Dimensiones del

monumento,

sistema

de

estacionamiento,

centrado

forzado,

características. -Referenciación a detalles externos estables, en caso de clavo en suelo u otra señal de categoría inferior. -Estado del horizonte del lugar y de elementos que puedan causar radio interferencias. Conviene asimismo reflejar en una cartografía básica de escala apropiada la situación de los puntos, con vistas a que conformen una geometría adecuada en cuanto a distribución, líneas base homogéneas en distancia, configuración de la red, estrategia de sesiones o fases de observación.

Selección de la técnica de observación.- Como se ve, hay muchos aspectos que influyen en la elección de una técnica de observación. Normalmente son los requerimientos de precisión, la distancia entre puntos y los costes, conceptos todos ellos relacionados. En la tabla siguiente puede verse una recomendación típica que muestra estos aspectos:

205

Un factor limitante es el receptor: un receptor de una única frecuencia nos limitará la distancia a la que se puede trabajar (y a veces, el método: no se podría hacer estático rápido). Seguramente la disponibilidad de utilizar semi-cinemático, estático rápido o estático convencional para un proyecto que requiere precisión de decímetros dependerá del entorno y del espaciamiento entre puntos. Las medidas semi cinemáticas son las más restrictivas, ya que requieren entornos libres de obstáculos cuando nos movemos de un punto a otro. Sin embargo, serán ideales en el caso de que tengamos que situar un gran número de puntos. El estático rápido está limitado a líneas base cortas, con un nivel centimétrico de precisión y gran rapidez. Es evidente que para redes geodésicas hemos de ir siempre a la observación estática clásica, con grandes logros en precisión, pero menor producción. Un levantamiento topográfico con una gran cantidad de puntos o un trabajo con grandes exigencias de producción se realizarán con RTK.

Selección del tipo de receptor.- El siguiente paso será el tipo de receptor, el cual estará íntimamente ligado al método de observación que hayamos elegido. En cualquier caso, un receptor de doble frecuencia con medida de fase será el ideal para cualquier tipo de trabajo, es decir, lo mejor vale para todo, las grandes marcas de receptores GPS incorporan módulos, firmware y accesorios para convertir un receptor de doble frecuencia en apto para trabajar en estático, RTK, cinemático, estático rápido. La elección del receptor puede ser un proceso complejo debido a la amplia variedad de receptores GPS disponibles en el mercado. En la siguiente tabla se ven los aspectos que se pueden considerar a la hora de realizar la elección. Naturalmente, la finalidad acotará notablemente el rango de variedad.

206

En concreto, los aspectos que más se han de cuidar son: -Observables y frecuencia (simple/doble). -Software

disponible

(descarga,

postproceso,

ajuste,

edición,

comunicación, programación). -Número de canales, tipo de antena. -Costo. -Apoyo técnico. -Posibilidad de diferentes metodologías de trabajo.

Reconocimiento y validación.- El reconocimiento consiste en verificar los puntos de proyecto de campo antes de empezar las observaciones GPS. Hay que tener en cuenta que en el caso de observaciones GPS estáticas de redes geodésicas puede haber muchos operadores implicados en la observación, de tal forma que un imprevisto o aspecto no contemplado por culpa de una falta de reconocimiento previo puede abortar una operación. A continuación se pueden ver los aspectos que hay que verificar antes de validar: Chequeo validez para GPS: Libre obstáculos, libre de radiotransferencias y estacionable con GPS. Verificar punto: Localización del punto, monumentación estable y en buenas condiciones y mecanismo de estacionamiento (centrado forzado, basada, trípode). Identificación de requerimientos logísticos: Vehículo de acceso, tiempo y modo de acceso, equipo especial o procedimientos (en caso de lluvia, nieve.),

y

otros

si

fueran

necesarios

(alimentación

eléctrica,

estacionamiento, comunicación). Toma de decisiones: Elegir estación alternativa si fuese necesario, establecer estación excéntrica si fuese necesario y actualizar descripción y datos del punto según los datos básicos.

207

Diseño de la red.- Las consideraciones principales en el diseño de la red son la configuración geométrica y la redundancia. El tipo de observación condicionará mucho el diseño, dependiendo de la precisión y la técnica GPS de observación. Conviene diseñar esta red previamente en una cartografía de forma general. Siempre que sea posible, conviene cerrar figuras y tener varios puntos de control en GPS estático. Normas generales pueden ser: -Cada estación debe estar directamente conectada con al menos otras dos de la red. -Estaciones adyacentes deben estar directamente conectadas. -Cada sesión debe tener líneas base comunes (al menos una) con otra u otras. -Las distancias en una red han de ser homogéneas. -Cada estación debe ser ocupada por lo menos dos veces bajo condiciones diferentes de configuración satelital. Para proyectos de tamaño medio el uso de 4 a 10 receptores significa un buen compromiso considerando la logística, la producción y la fiabilidad. El decidirse por una buena estrategia de observación considerando limitaciones prácticas y logísticas, se rige muchas veces por la experiencia, teniendo como valiosa ayuda los criterios formales de optimización. Un ejemplo podría ser el de la figura 5.2.1., con 4 receptores (A, B, C y D) para cada sesión, con puntos C1, C2 y C3 de coordenadas conocidas y puntos a observar, de 1 a 7. Dependiendo de la redundancia que se quiera las sesiones 5 y 7 pueden omitirse. Desde luego podría haberse diseñado la observación de muchas formas, pero aquí se puede ver la redundancia y la conexión entre sesiones.

208

Figura 5.2.1.

RECEPTORES

SESIÓN 1 2 3 4 5 6 7

A C1 C2 C2 C2 C3 C1 C1

B 1 3 5 5 5 C2 C2

C 2 2 6 3 3 C3 C3

D 7 7 7 4 4 6 1

Sesión Receptores

En el caso de observaciones cinemáticas o estático rápidas, los diseños se suelen hacer en forma radial: punto central de coordenadas conocidas con observaciones en forma radial al resto de los puntos, sin redundancia y sin comprobación de resultados más que por el análisis estadístico del cálculo. Se puede evitar esto disponiendo de dos receptores fijos en lugar de uno.

Definiendo: -r número de receptores operando simultáneamente. -n número de estaciones. -m número de estaciones con más de una observación en dos sesiones diferentes será: -s número de sesiones. -r(r-1)/2 el número líneas base posibles en una sesión. -(r-1) el número de líneas base independientes en una sesión.

209

El número de sesiones que se requiere para una red específica será: s

nm rm

Siendo s el número entero mayor más cercano. Si volvemos a ocupar dos o más estaciones en cada sesión, quedan determinadas algunas líneas base dos veces. Entonces, en la red total: -s(r-1) es el número de líneas base independientes en la red. -(s-1)(m-1) es el número de líneas base independientes determinadas dos veces.

Otros preparativos.- Lo más importante ya está descrito en la fase de preparación: selección del método de observación, tipo de receptor, los procesos de reconocimiento y validación y el diseño de la red. Otros aspectos de la preparación pueden ser: -Determinar la ventana de observación (en el caso de máxima precisión y/o líneas base de gran longitud, observación nocturna. -Decidir el número óptimo de receptores GPS y el personal para el proyecto. -Planear el diseño de la red teniendo en cuenta los requerimientos de control, configuración de la red, tiempo de viaje entre estaciones y condicionantes logísticos. -Establecer una numeración o nomenclatura única y clara para identificar todas las estaciones en el campo con sus respectivas fichas de campo y todos los atributos relacionados. -Medios de transporte entre estaciones. -Capacitación del personal para receptores GPS, métodos de observación y procesamiento de datos (descarga, postproceso, depuración, cálculo y compensación). -Organización de alojamientos para observadores.

210

-Organización de todo el equipo auxiliar y material de reserva para todas las operaciones de campo.

Observaciones de campo. Una vez hechos todos los preparativos adecuadamente, la observación de campo es una tarea más sencilla. Las tareas en el campo son tradicionalmente

divididas

en:

coordinador,

observador

y

calculista.

Dependiendo de la magnitud de la operación, estas tres partes pueden recaer en una misma persona o en varias. Enseguida se pueden ver las responsabilidades de unos y otros.

Coordinador: -Programar las observaciones según el plan. -Verificar problemas con satélites u otros. -Verificar resultados diarios y modificar el plan si es necesario. -Manejar y resolver dificultades logísticas.

Observador:. -Verificar que se tiene todo el equipo. -Cargar baterías. -Verificar tiempo de viaje a los sitios con amplitud suficiente -Estacionar correctamente, nivelar y centrar antena en la marca -Medir altura de antena. -Inicializar receptor. -Verificar grabación de datos. -Llenar formato de la sesión. -Descargar datos y enviarlos junto con el formato al calculista al final del día.

211

Calculista: -Verificar que tiene todos los datos. -Hacer copias de respaldo de los datos. -Organizar todos los datos con sus formatos. -Análisis de calidad previo. -Procesar los datos Ajuste de las sesiones conjuntas (si procede). -Verificar resultados y enviar al coordinador.

Dentro de las responsabilidades del observador, la más importante es el correcto estacionamiento y la toma de la altura de antena. Aunque esto parezca obvio, muchos problemas provienen de un dato erróneo de altura de antena en dos aspectos: por un lado, a qué referencia está hecha la medida (centro de fase, plano de tierra, parte más baja de la antena) y por otro lado, si está medida en vertical o inclinada, aspecto este que todos los programas tienen en cuenta. Normalmente todos los fabricantes indican las distancias claramente en las antenas, estando calibradas las distancias desde la parte de abajo o el plano de tierra al centro de fase en ambas frecuencias. Por ello es necesario rellenar un formato de campo de toda la sesión, indicando esto como aspecto más importante, dejando claro con croquis y anotaciones dónde está medida la altura de antena y cómo. También indicar si ha habido cortes en la observación por fallos en el suministro de energía eléctrica, para concatenación de archivos, identificación de problemas en el cálculo de ambigüedades.

En ese formato se debería anotar: 1. Nombre e identificador de la estación, código, nombre largo, municipio, coordenadas aproximadas. 2. Observador. 3. Tipo de antena y receptor y número de serie. 4. Altura de antena y explicación de cómo y dónde se ha medido.

212

5. Sesión (identificador día juliano + código sesión), con fecha. 6. Intervalo de toma de datos. 7. Máscara de elevación. 8. Tiempo de toma de datos con interrupciones anotadas. 9. Denominación de archivos en el receptor, tamaño y fecha. 10. Satélites seguidos. 11. Problemas experimentados y observaciones.

213

214

Procesamiento e informe final de resultados. Afortunadamente la mayoría de los programas comerciales disponibles en el mercado tienen un procesamiento prácticamente automatizado, los cuales siguen un protocolo común: carga de archivos con las opciones de alturas de antena, tipo de receptor, modo de procesamiento, puntos fijos y coordenadas (aproximadas y fijas), ajuste y análisis final. El último paso del ajuste puede ser hecho con el mismo programa o con otro diferente específico para esta finalidad. En procesamiento estático de redes de precisión ya se ha comentado que es imprescindible la introducción de efemérides precisas. Durante el procesamiento de líneas base, se puede llegar a diferentes tipos de soluciones, siendo la más precisa y fiable aquella en la que se logran fijar ambigüedades en la portadora de fase. La solución final serán las diferencias de coordenadas entre cada estación y la información asociada de la precisión alcanzada, por métodos estadísticos. La finalidad del ajuste es combinar varias sesiones juntas en una solución. Este ajuste de red combina todas las diferencias de coordenadas de todas las sesiones con sus respectivos pesos (matriz varianzas-covarianzas) de una manera óptima. El ajuste inicial debe ser hecho con restricciones mínimas (por ejemplo, un único punto fijo tridimensionalmente) con la finalidad de poder examinar los errores en la red sin la influencia de un control existente o predefinido. El análisis de los resultados de una observación estática puede realizarse de manera previa a esto comparando la redundancia entre líneas base, el tipo de solución alcanzada, los parámetros estadísticos en la resolución de la línea base, y sobre todo, a través de los tests estadísticos en el proceso de ajuste. Por último, una vez validadas las soluciones, debe realizarse un informe final del proyecto, con documentación de las estaciones ocupadas, la metodología usada y los resultados obtenidos.

215

En cuanto a la consideración de puntos fijos, las redes de estaciones de referencia

pueden

ayudar

bastante

o

la

consideración

de

redes

fundamentales nacionales. Los puntos fijos pueden ser usados como puntos fijos reales, con varianza cero o como puntos fiduciarios, con una matriz de dispersión predefinida. El datum de la red dependerá de los puntos de control y no tanto de las observaciones GPS.

216

CAPÍTULO 5.- CURVAS HORIZONTALES Y VERTICALES.

5.1. Generalidades de los tipos de curvas.

Los tipos de curvas son utilizadas en varios trabajos de obras civiles, como son: carreteras, caminos, canales, drenes, líneas de transmisiones, urbanizaciones, etc. Y todo lo que conlleva a realizar alineamientos horizontales y alineamientos verticales. El alineamiento horizontal es la proyección del eje central sobre un plano horizontal. Los elementos que lo integran son: tangentes, curvas circulares y curvas de transición. Las tangentes son los tramos rectos del proyecto y se unen con curvas que también se apeguen lo más posible a la línea "a pelo de tierra" o compensen su trazo a izquierda y derecha aproximadamente. La longitud máxima de una tangente está condicionada por la seguridad, si se está hablando de carreteras, ya que las tangentes muy largas son causa potencial de accidentes; la longitud mínima de tangente entre dos curvas consecutivas está definida por la distancia para dar la ampliación en esas curvas. Las tangentes se pueden cambiar de posición cuando con un nuevo trazo más largo, se eviten curvas o se disminuya por lo menos su curvatura. También puede adoptarse un trazo si reduce la pendiente sin gran aumento de longitud, o cuando se sustituyen algunas curvas innecesarias por una sola que permita buena posición, y que quede ligada a las curvas anterior y posterior por tangentes de transición adecuadas que hagan del proyecto una ruta segura. Los rumbos y longitudes de las tangentes proyectadas se calculan con las coordenadas de los puntos de intersección (P.I.) obtenidas gráficamente en el plano de localización.

217

Cada vez que en el plano la línea definitiva cruce la preliminar, se calculará el kilometraje de ésta que corresponda al punto que cruce así como el

ángulo

de

cruce.

Cuando

aproximadamente, la línea

en

una

longitud

de

un

kilometro

de proyecto no cruce la preliminar, se

determinará gráficamente la distancia que separe ambas líneas escogiendo puntos conocidos, como puntos de intersección (P.I.) y puntos sobre tangente (P.S.T.).Estos puntos se llaman ligas y sirven para que el ingeniero inicie el trazo definitivo en uno de ellos y, en lo sucesivo, vaya comprobando que la línea que proyectó en el plano, va siendo trasladada fielmente al terreno. El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje del proyecto. En el perfil longitudinal de un proyecto la subrasante es la línea de referencia que define el alineamiento vertical, y su posición depende primordialmente de la topografía de la zona. Los elementos que forman el alineamiento vertical, son las tangentes verticales y las curvas parabólicas que ligan dichas tangentes. La sub-rasante es el perfil de las terracerías terminadas del proyecto y la rasante es el perfil de la superficie terminada, y en general es paralela a la sub-rasante y queda sobre ella. La sub-rasante está formada por una serie de líneas rectas con sus respectivas pendientes, y unidas de una pendiente a otra por curvas verticales tangentes a ellas. Las pendientes, siguiendo el sentido del kilometraje, serán ascendentes o descendentes.las primeras se consideran positivas y las segundas se marcan con signo negativo. El proyecto de la sub-rasante se hace sobre el perfil del trazo definitivo, procurando compensar las excavaciones y los rellenos, pero sin sobrepasar las pendientes especificadas para el proyecto. Es indispensable tomar en consideración los puntos de paso obligado, ya que en estos lugares tanto el trazo como las elevaciones son elementos que limitan la posibilidad, de compensar los cortes y terraplenes al proyectar la rasante.

218

Las pendientes se proyectan hasta décimos, por ejemplo: 3.9%, 4.5%, etc., aunque a veces se requieran con 3 ó 4 decimales para lograr mayor exactitud en el cálculo de los desniveles. Las tangentes verticales se caracterizan por su longitud y su pendiente, y están limitadas por dos curvas sucesivas. Su longitud es la distancia comprendida entre el fin de la curva anterior y el principio de la siguiente, y su pendiente es la relación entre el desnivel y la distancia entre dos puntos de la misma. El valor de la pendiente se obtiene tomando gráficamente las elevaciones de los extremos entre dos puntos de la línea de proyecto, y dividiéndola diferencia de dichas elevaciones entre la diferencia de kilometraje de los mismos puntos. Para determinar las cotas de las estaciones de 20 metros en la subrasante, se parte del origen de la primera tangente del alineamiento vertical. La elevación de la estación de partida se obtiene gráficamente del perfil dibujado y, de acuerdo con la pendiente de la primera tangente, se calcula el desnivel por estación que se va sumando algebraicamente a la cota de partida para obtener las elevaciones proyecto, correspondientes a toda la tangente hasta llegar al primer punto de inflexión vertical (PIV). Como las tangentes verticales se proyectan, por comodidad, de tal manera que los PIV queden en estación completa o en media estación, el cálculo de elevaciones se lleva hasta estos puntos; una vez que se llega a ellos, para continuar el cálculo de elevaciones, basta determinar el desnivel por estación para la siguiente tangente y aplicarlo con el signo correspondiente en la forma descrita hasta llegar al otro PIV. Así se prosigue el cálculo hasta encontrar las elevaciones en tangente para todas las estaciones del trazo.

219

5.2. Curvas horizontales simples y compuestas.

CURVAS HORIZONTALES SIMPLES.

Son las que se emplean en las vías de comunicación para cambiar de una dirección a otra, uniendo los tramos rectos, “tangentes”.

stas curvas son

arcos de circunferencia. Como el cadenamiento debe ser continuo, deben marcarse igual que las tangentes, cada 20 m. lo cual se hace mediante cuerdas. En algunos casos se usan cuerdas menores. Están constituidas por un tramo de una sola circunferencia. Los elementos que deben determinarse para finalmente llegar a trazarla en el terreno son los que se muestran en la figura 5.2.1.

Figura 5.2.1. Elementos de la curva horizontal simple.

220

Δ = Deflexi n PI = Punto de intersección PC = Punto de comienzo PT = Punto de término R = Radio ST = Subtangente C = Cuerda g = Grado de la curva: es el ángulo bajo el cual se ve la cuerda unitaria desde el centro de la curva (la cuerda unitaria que normalmente se emplea es de 20 mts.) SC = Subcuerda g’ = Sub-grado CP = Cuerda principal (PC-PT) LC = Longitud de la curva (PC a PT) M = Ordenada media E = Externa

Los datos de que se parte para calcular los demás elementos de la curva son: Deflexi n Δ, cuerda C, radio R. (Δ) se mide directamente con transportador en el proyecto en planta del eje de la vía; aunque después al ir a trazar el proyecto al terreno, habrá que medirla con tránsito para tener su valor real entre las tangentes marcadas, y recalcular los elementos de la curva. (C) es la cuerda que se emplea, según la curva a trazar. Lo más común es que se tome C = 20 m. si el grado (g) no pasa de 10º, ya que para ese valor el Radio se excede 100 m. y el arco es sensiblemente igual a la cuerda. Para curvas con (g) entre 10º y 20º se usan cuerdas de 10 m., y para (g) entre 20º y 40º se usan de 5 m.

221

(R) queda al criterio del proyectista, quien deberá tratar de que el radio sea lo mayor posible para no tener curvas forzadas, pero adaptándose lo mejor que se pueda a la configuración del terreno para

no producir

terracerías muy costosas. En caminos, la velocidad, visibilidad, etc. son factores que limitan el radio a un mínimo adecuado según el caso. Generalmente se toma un mínimo, aun para caminos de segundo orden, de 35 m que corresponde aproximadamente a g = 35º. Ordinariamente se prefiere que los radios pasen de 100 m. En ferrocarriles, donde la fricción de las ruedas aumenta con la curvatura, afectando la fuerza de tracción, lo mínimo que ordinariamente se acepta es R = 200 m que corresponde aproximadamente a g = 6º. En canales, los radios dependen de muchos factores, (velocidad, pendiente, tirante, ancho del canal, etc.) y no hay limitaciones generales. Puede considerarse que como mínimo, el valor de (R) debe ser del doble al triple del ancho del canal. Escogido el radio que convenga, se calcula a que (g) corresponde, y después se adopta como definitivo el (g) cerrado más cercano, y que sea un número par, para facilitar el trazo según se verá después. El radio variará con esto, y debe procurarse que sea en aumento, pero no tiene importancia que quede como una cantidad fraccionaria, pues solo sirve para los cálculos; en el terreno a trazar no se usa el radio. Teniendo estos datos, los elementos restantes de la curva se calculan como se muestra enseguida. C/2  Sen g / 2 ; por lo tanto R

R

C 2 Sen( g / 2)

C g/2

C/2 Entonces la fórmula del Radio queda así: R  Sen( g / 2)

222

R

g

Y para C  20m ; la fórmula queda así: R 

10 Sen( g / 2)

En el triángulo rectángulo (O-PC-PI);

ST  Tan / 2  R

la

fórmula

de

la

sub-tangente

queda

así:

ST  RTan  / 2 

El número de cuerdas enteras =  / g ; al hacer esta división queda un residuo que no debe dividirse ya, pues será el valor del sub-grado (g′). El número de cuerdas =  / g `residuo ; el residuo = g′.

 

SC



SC  2 R Sen g 1 / 2 ; fórmula de la sub-cuerda. g′/2

R

g′

LC   / g 20 m ; fórmula de la longitud de curva para R>100 m.

ó también LC = número de cuerdas enteras + C. Cuando R<100m, puede multiplicarse por el arco de la cuerda de 20 m. para tener un valor más aproximado de la longitud: LC   / g arco  . En la figura de la curva se tiene:

R  E   Sec / 2 ; R

R  E  R Sec  / 2  ;

E  R Sec  / 2   R 

E  RSec  / 2   1 fórmula de la externa.

CP  2R Sen  / 2  fórmula de la cuerda principal. M  R  R Cos  / 2  ; M  R1  Cos  / 2 ;





M  R ( Sen 1 )( / 2) fórmula de la ordenada media.

223

Ya conocida la longitud de la curva, se calculan los cadenamientos para continuarlos por la curva y luego por la siguiente tangente. El cadenamiento del (PI) se conoce gráficamente midiendo en el proyecto, o en el terreno cuando se tiene trazada la línea definitiva. Cadenamiento (PC) = Cadenamiento (PI) – (ST). Cadenamiento (PT) = Cadenamiento (PC) +( LC). CURVAS HORIZONTALES COMPUESTAS.

Una curva compuesta es una curva continua, formada por dos ó más curvas circulares simples del mismo sentido y diferente radio. Los arcos circulares que la forman son tangentes entre sí en su punto de unión que se denomina punto de curva compuesta (PCC), estando dichos arcos del mismo lado de la tangente común. Las curvas AC y AB se trazan en el campo como dos curvas por separado, solo que el PT de la primera coincide con el PC de la segunda (ver figura 5.2.2.). Las curvas compuestas podrían ser útiles en muchos casos porque facilitarían la adaptación de la curva a la topografía del terreno, pero el cambio brusco de radio de una a otra ocasiona incomodidad al conductor y muchas veces son peligrosas, por lo que debe evitarse el uso de estas curvas cuando sea posible. PI = Punto de intersección de las dos tangentes. ∆ = Deflexi n entre las tangentes. STC₁ y STC₂ = Sub-tangentes de la curva circular compuesta. O₁ y O₂ = Centros de las curvas circulares simples que forman la curva compuesta. ∆₁ y ∆₂ = Ángulos centrales de las curvas circulares simples. R₁ y R₂ = Radios de cada una de las curvas simples. PC₁ = Principio de curva compuesta.

224

PCC = Punto de curva compuesta, o sea, donde termina una curva simple y comienza otra. PT₂ = Punto donde termina la curva compuesta. Figura 5.2.2. Curva compuesta.

225

CURVAS HORIZONTALES AMPLIADAS CON ESPIRALES DE TRANSICIÓN.

Se define como curva de transición a la que liga una tangente con una curva circular, teniendo como característica principal que en su longitud se efectúa, de manera continua, el cambio en el valor del radio de curvatura, desde infinito para la tangente hasta el que corresponde para la curva circular. Las curvas de transición se usan para lograr que el paso de un vehículo de un tramo en tangente a otra en curva, se haga en forma gradual, tanto por lo que se refiere al cambio de dirección como a la sobreelevación y ala ampliación necesarias. La ecuación de la curva conocida como clotoide o espiral de Euler, que cumple con la condición de que el producto del radio y la longitud a un punto cualquiera es constante, se expresa: RL = K². Las curvas circulares con espirales de transición constan de una espiral de entrada, una curva circular simple y una espiral de salida. (Fig. 5.2.3.). ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR CON ESPIRALES DETRANSICION .

PI = punto de intersección de las tangentes. TE = punto donde termina la tangente y empieza la espiral. EC = punto donde termina la espiral y empieza la curva circular. CE = punto donde termina la curva circular y empieza la espiral. ET = punto donde termina la espiral y empieza la tangente. PSC = punto sobre la curva circular. PSE = punto sobre la espiral. PSTe = punto sobre la tangente. Δ

= deflexi n de las tangentes.

Δc = ángulo central de la curva circular. θe = deflexi n de la espiral. Ǿc = ángulo de la cuerda larga de la espiral con la STe. STe = subtangente.

226

TL = tangente larga. TC = tangente corta. CLe = cuerda larga de la espiral. Ec = externa. Rc = radio de la curva circular. LC = longitud de la curva circular. Le = longitud de la espiral de entrada o de salida. Xc, Yc = coordenadas del EC o del CE. K, p = coordenadas del PC o del PT.

Figura 5.2.3. Curva con espirales de transición.

227

5.3. Trazo de una curva circular simple.

-Trazo de las curvas circulares simples en el terreno. Pueden trazarse con dos teodolitos al mismo tiempo, con intersecciones, pero no es un procedimiento usual. Con teodolito y cinta el trazo se hace por deflexiones, con estación en el (PC) ó (PT). (Ver figura 5.3.1.).

Figura 5.3.1. Trazo de una curva circular simple.

228

El origen de las deflexiones será la tangente, es decir, la visual al PI. Como estos ángulos de deflexión son la mitad de los ángulos centrales, para ir marcando cada cuerda que es abarcada por (g) desde el centro, las deflexiones irán variando (g/2). Entonces, poniendo en cero el tránsito y viendo PI, las deflexiones que habrá que ir marcando son g/2, g, 1½g, 2g,……. hasta llegar a ver el PT, (previamente marcado con la medida de ST a partir del PI). Para cada deflexión se mide la cuerda desde el punto anterior, y en la intersección estará el nuevo punto de la curva. El trabajo se puede comprobar angularmente y linealmente. Angularmente: Viendo PT, la graduaci n del tránsito debe marcar (Δ/2). Tolerancia = ± 01’. Linealmente: La distancia entre el último punto trazado, y PT, será la (SC) previamente calculada.

Tolerancia = ± 0.10 m.

Para mayor exactitud se recomienda trazar la mitad de la curva desde el PC y la otra mitad desde el PT para encontrarse al centro, con objeto de disminuir errores acumulativos que pudieran arrastrarse al hacer el trazo continuo total. El trazo explicado antes supone que en el PC se inicia la primera cuerda, pero el caso general que se presenta, tratándose de vías de comunicación, es que el PC no caiga en un punto de cadenamiento cerrado, y como éste debe continuarse por el eje de la vía, pasando por la curva, el primer tramo, o sea la primera cuerda que debe marcarse, será lo que le falte al cadenamiento que le toque al PC para llegar a la siguiente estación cerrada. Esto requiere el poder trazar puntos de la curva a una distancia cualquiera del punto de tangencia inicial, PC. La deflexión que corresponda se calcula conociendo la deflexión por metro d curva, la cual se obtiene dividiendo la deflexión para trazar la la longitud de una cuerda, entre la cuerda, o la deflexión para trazar toda la curva entre la longitud de la curva.

229

Δ/2 d = ------

Deflexión por metro.

LC

Hay tablas ya calculadas con los diferentes grados, radios y deflexiones usuales. Al hacer el trazo se lleva un registro con los datos necesarios. En el siguiente ejercicio se explica la forma de trazar una curva en campo.

Ejemplo para calcular los elementos para el trazo de la siguiente curva horizontal circular simple.

Datos:

Δ = 60º 30’ Izq. g = 6º PI = K2 + 226.00

ST = (R)( tan Δ/2) = (191.07)(tan 30º 15’) = 117.04 m. LC =[(20)(Δ)]/g = [ (20)(60.5)]/6 = 201.67 m. PC = PI – ST = (K 2 + 226.00) - 117.04 = K2 + 108.96 PT = PC + LC = (K2 + 108.96) + 201.67 = K2 + 310.63

230

Tabla de registro para trazar la curva. ESTACION PC=K2+108.96

P.V. PT=K2+310.63 300 280 260 240 220 200 180 160 140 2+120

DEFLEXION 30⁰15′ 28⁰39′ 25⁰39′ 22⁰39′ 19⁰39′ 16⁰39′ 13⁰39′ 10⁰39′ 7⁰39′ 4⁰39′ 1⁰39′

DATOS CURVA R=191.97m ST=117.04m LC=201.67m PI=K2+226.00 ∆=60⁰30′ IZQ g=6⁰

R.M.O. NE 12⁰00′

R.A.C. NE 21⁰42′

En el campo se fijará primero el PI y se cadeneará la ST = 117.04 m para fijar el PC., con la mayor precisión tanto en

alineamiento como en

cadenamiento. Se pasará el aparato al PC. Con los ceros del limbo y la alidada coincidiendo, se visa el PI, se fija el movimiento general y se dará la primera deflexi n igual a 1º 39’, para obtener la primera estación 2 + 120. sta deflexi n se calcula: d = 30º 15’/ 201.67 m = 09’ ó también: d = 3º/20m = 09’ entonces 11.04 m x 09’ = 1º 39’ Con la primera deflexi n de 1º 39’, se miden 11.04 m para el segundo punto de la curva se miden 20 m y la deflexi n será 4º 39’, y así sucesivamente hasta llegar a la visual correspondiente a la estación 2 + 300. Ahora, igual que al principio, se requiere calcular la deflexión necesaria para 10.63 m para visar el PT. 10.63 x 9 = 1º 36’

231

Como comprobación, la última deflexión viendo el PT será igual a la mitad del Δ.

l PT no se fija mediante el trazo de la curva sino desde el PI, con la

ST. Cuando por algún obstáculo no se puede ver toda la curva desde PC o PT para trazarla, habrá que hacer estaciones de trazo intermedias sobre la curva. Se traslada el aparato al último punto marcado de la curva. Se ve hacia atrás el punto-estación de trazo anterior. A partir de esa visual se gira el aparato el mismo ángulo que se marcó en la estación anterior para fijar el nuevo punto-estación de trazo. Se da vuelta de campana y con esto queda la línea de colimación tangente a la curva en ese punto. A partir de esa dirección se continúa el trazo en igual forma que en el punto anterior, es decir, con deflexiones variando g/2. En la figura 5.3.2. se puede ver la forma de trazar una curva circular simple con dos ó más estaciones de trazo.

Figura 5.3.2.

232

Ejercicio 5.1. Calcular los elementos para el trazo de la siguiente curva horizontal circular simple.

P.I.=K35+434.50 ∆=45º30′ Izquierda R=350 m.


P.I.=K70+239.50 ∆=70º25′ Derecha g=9º30′


P.I.=K40+123.00 ∆=40º45′ Izquierda R=500.00


P.I.=K100+110.40 ∆=35º30′ Derecha g=20º45′.

233

-Trazo de curvas circulares con espirales de transición en el terreno:

Para el trazo de una curva circular ampliada con dos espirales, se procede de la manera siguiente (Figura 5.3.2.).  Se centra el tránsito en el PI y, sobre ambas tangentes, se mide a partir de este punto la subtangente STe del conjunto de curvas, para localizar el TE y el ET.  En seguida, centrado el aparato en el TE, se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el PI y se fija dicho movimiento; en esta dirección se miden las distancias TL y Xc, para fijar en el terreno los puntos Pie y A, respectivamente.  Luego se centra el aparato A, se toma la línea con el PI y se inscribe en el limbo una deflexi n de 90º 00’, midiéndose sobre esta direcci n la distancia Yc, en cuyo extremo queda localizado el EC. Para comprobar la posición del EC, se centra el aparato en el Pie, se toma línea con el PI, se inscribe en el limbo el ángulo θe y se mide sobre la dirección obtenida la distancia TC; el extremo de esta línea deberá tener la misma posición del EC colocado por el procedimiento anterior. También se puede comprobar la posición del EC como sigue: se centra el aparato en el T , se toma línea con el PI, se inscribe en el limbo el ángulo Ǿc y sobre la dirección resultante se mide la distancia CLe, cuyo extremo debe coincidir con el EC establecido en el terreno  Las operaciones realizadas para localizar el EC, se repiten en el ET para fijar CE.

234

Figura 5.3.2.

 La espiral se traza de manera semejante a la curva circular. Para trazar la espiral de entrada, se centra el aparato en el TE, se toma línea con el PI y se van fijando los punto de la curva utilizando la tabla (Figura5.3.3.) en la que figuran las deflexiones y las cuerdas previamente calculadas.  Para trazar la curva circular, se centra el aparato en el EC o en el CE y con el anteojo en posición inversa, se toma línea con el PIe correspondiente.

235

A continuación se da al anteojo vuelta de campana y queda éste como si se estuviera visando el PI de la curva circular simple, procediéndose a fijar en el terreno los puntos de dicha curva con las deflexiones y cuerdas registradas en la libreta para el trazo de la curva.  Por último, la espiral de salida se traza de manera semejante a la entrada, con el tránsito centrado en el ET, de este punto hacia el CE, con las deflexiones y las cuerdas correspondientes.

A continuación se anota un ejemplo de registro de datos para el trazo de una curva circular ampliada con dos espirales.

ESTACIONES TE 5 + 099.94 TE 5 + 080 TE 5 + 060 TE 5 + 040 TE 5 + 020 ET 5 + 004.69 ET 5 + 000 ET 5 + 980 ET 5 + 960 CE 4 +952.69 CE 4 + 940 CE 4 +920 EC 4 + 904.36 EC 4 + 900 EC 4 + 880 EC 4 + 860 TE 4 + 852.36 TE 4 + 840 TE 4 + 820 TE 4 + 800

CUERDAS

4.69 20.00 20.00 7.31 12.69 20.00 15.64 4.36 20.00 20.00 7.64

DEFLEXIONES

9⁰40′ 7⁰07′ 3⁰07′ 0⁰ 00′

236

0⁰00′ 0⁰02′ 0⁰47′ 2⁰34′ 3⁰28′

3⁰28′ 2⁰55′ 0⁰59′ 0⁰04′ 0⁰00′

DATOS CURVA

PI = 4 + 930.64 ∆ = 40⁰08′ I ∆c = 19⁰20′ G = 8⁰00′ Rc = 143.24 m Ste = 78.58 m LC = 48.33 m Le = 52.00 m Xc = 51.83 m Yc = 3.14m θe = 10⁰24′ TL = 34.73 m Ttc = 17.39 m

Figura 5.3.3.

Ejemplo para calcular los elementos para el trazo de la siguiente curva horizontal circular simple ampliada con dos espirales de transición.

Datos:

Km PI = 25 + 385.66 ∆ = 39⁰4′ D G = 3⁰00′ V= 110 Km/h J = 0.61 (incremento de la aceleración)

Rc 

1145 .92 1145 .92   381 .97 m G 3

V3 110 3 Le    122 .32 m 46.7 JRc 46.7(0.61)381 .97

 0e 

LeG 122.32(3)   9 0.174  9 010 l 26 ll 40 40

e rad 

 0e 57.3



9 0.174  0.16 57.3

237

c    20e  39 0 44 l  2(9 010 l .44)  39 0 44 l  18 0 21l  210 23l   2e   0.16 2   122 .321  Xc  Le1  10  10  

   122 .320.99744  

 e  3 e   0.16 0.16 3    122 .32   122 .320.05324  Yc  Le   42   3 10   3 EC Xc  122 .01m...Yc  6.51m k  Xc  RcSen e  122 .01  381 .97 0.159433 

p  Yc  Rc 1  Cos e   6.51  381 .97 1  0.987209  PC k  6.11m... p  1.62 m

 STe  Rc  p Tan   k  381 .97  1.62  tan 19 0 52 l  61.11 2 STe  383 .590.361337   61.11  199 .72 m

TL  Xc  YcCote  122.01  6.51Cot9 0.174  81.70m TC  YcCsce 

6.51  40.83m Sen9 0.174

CLe  X 2 c  Y 2 c  Ec 

 122.18m

Rc  p 381.97  1.62  Rc   381.97  25.89m Cos / 2 Cos19 0 52 l

L  Le 

c 

122.012  6.512

e 3

 20   122.32  39.733 20   387.21m G 3

C 

9 0.174  30.058  30 03 l 3

(El valor de C se desprecia) Comprobación del cálculo de las coordenadas del EC de la curva. Xc  CLeCosc  122.18Cos30.058  122.01m

EC Yc  CLeSenc  122.18Sen30.058  6.51m

238

Tabla para encontrar los valores de C (en minutos). C=Correcci n cuyo valor depende del valor de θ. θ, en grados

C, en minutos

20⁰

0.4

25⁰

0.8

30⁰

1.4

35⁰

2.2

40⁰

3.4

45⁰

4.8

50⁰

6.6

55⁰

8.8

El valor de C es menor de medio minuto cuando θ=21⁰.

Kilometrajes:

KmPI 25  385 .66   STe199 .72   KmTE 25  185 .94 KmTE 25  185.94   Le122 .32   KmEC 25  308 .26 KmEC 25  308.26   LC142.55  KmCE 25  450.82 KmCE 25  450.82   Le122 .32   KmET 25  573.13 En la fórmula  0 

 0e L2 e

L2

Se hace: K

 0e L2 e



9 0.174

122.32 

2

 0.000613;

 0  K .L2

239

Tabla de deflexiones para el trazo de la curva. C=20m

G=3⁰00′

ESTACIONES TE 25+185.94 TE 25+200 TE 25+220 TE 25+240 TE 25+260 TE 25+280 TE 25+300 EC 25+308.26

CUERDAS 14.06 20 20 20 20 20 8.26

ESTACIONES EC 25+308.26 EC 25+320 EC 25+340 EC 25+360 EC 25+380 EC 25+400 EC 25+420 EC 25+440 CE 25+450.81

LC=

Le =

14.06 197.68 34.06 1160.08 54.06 2922.48 74.06 5484.88 94.06 8847.28 114.06 13009.68 122.32 14962.18

θ⁰=KL²

øc=(θ/3)-C

0⁰.1212 0⁰.7111 1⁰.7915 3⁰.3622 5⁰.4234 7⁰.9749 9⁰.1718

0⁰.0404 0⁰.2370 0⁰.5972 1⁰.1207 1⁰.8078 2⁰.6583 3⁰.0573

122.32m

Le=

ESTACIONES CE 25+450.81 CE 25+460 CE 25+480 CE 25+500 CE 25+520 CE 25+540 CE 25+560 ET 25+573.13

L²

L

CUERDAS

Defl. Parciales

11.74 20 20 20 20 20 20 10.81

0⁰53′ 1⁰30′ 1⁰30′ 1⁰30′ 1⁰30′ 1⁰30′ 1⁰30′ 0⁰49′

Defl. Totales 0⁰00′ 0⁰53′ 2⁰23′ 3⁰53′ 5⁰23′ 6⁰53′ 8⁰23′ 9⁰53′ 10⁰42′=∆c/2

142.55m

CUERDAS 9.19 20 20 20 20 20 13.13

L 122.32 113.13 93.13 73.13 53.13 33.13 13.13

L² 14962.18 12798.39 8673.20 5347.99 2822.80 1097.60 172.40

θ⁰=KL² 9⁰.1718 7⁰.8454 5⁰.3167 3⁰.2783 1⁰.7304 0⁰.6728 0⁰.1057

øc=(θ/3)-C 3⁰.0573 2⁰.6151 1⁰.7722 1⁰.0928 0⁰.5768 0⁰.2243 0⁰.0352

122.32m

D′m = 1.5G = 1.5(3) = 4′5

240

Tabla de deflexiones de la espiral de entrada. ESTACIONES TE 25+185.94 TE 25+200 TE 25+220 TE 25+240 TE 25+260 TE 25+280 TE 25+300 EC 25+308.26

Le=

CUERDAS 14.06 20 20 20 20 20 8.26

DEFLEXIONES 0⁰00′ 0⁰02′ 0⁰14′ 0⁰36′ 1⁰07′ 1⁰48′ 2⁰39′ 3⁰03′

122.32m

Tabla de deflexiones de la curva circular. ESTACIONES EC 25+308.26 EC 25+320 EC 25+340 EC 25+360 EC 25+380 EC 25+400 EC 25+420 EC 25+440 CE 25+450.81

LC=

CUERDAS 11.74 20 20 20 20 20 20 10.81

DEFLEXIONES 0⁰00′ 0⁰53′ 2⁰23′ 3⁰53′ 5⁰23′ 6⁰53′ 8⁰23′ 9⁰53′ 10⁰42′=∆c/2

142.55m

Tabla de deflexiones de la espiral de salida. ESTACIONES CE 25+450.81 CE 25+460 CE 25+480 CE 25+500 CE 25+520 CE 25+540 CE 25+560 ET 25+573.13

Le=

CUERDAS 9.19 20 20 20 20 20 13.13

øc=(θ/3)-C 3⁰03′ 2⁰37′ 1⁰46′ 1⁰06′ 0⁰35′ 0⁰13′ 0⁰02′ 0⁰00′

122.32m

241

Ejercicio 5.5. Calcular los elementos para el trazo de la siguiente curva horizontal circular simple ampliada con dos espirales de transición.

Datos:

Km PI = 54 + 324.93 ∆ = 75⁰22′ D G = 31⁰00′ V= 40 Km/h J = 0.661 (incremento de la aceleración).

Ejercicio 5.6. Calcular los elementos para el trazo de la siguiente curva horizontal circular simple ampliada con dos espirales de transición.

Datos:

Km PI = 1 + 370.56 ∆ = 61⁰15′ D G = 7⁰00′ V= 65 Km/h J = 0.61 (incremento de la aceleración).

242

5.4. Curvas de alineamiento vertical: cresta y columpio.

CURVAS VERTICALES PARABÓLICAS. ALINEAMIENTO VERTICAL.

El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje del camino. En el perfil longitudinal de un camino la subrasante es la línea de referencia que define el alineamiento vertical y su posición depende primordialmente de la topografía de la zona. Los elementos que forman el alineamiento vertical son las tangentes verticales y las curvas parabólicas que ligan dichas tangentes. CURVAS VERTICALES.

La liga de dos tangentes verticales se hace mediante arcos de parábola tanto por la suavidad que se obtiene en la transición como por la facilidad de cálculo. Las curvas verticales contribuyen a la seguridad, apariencia y comodidad del camino y son de tanta importancia en el alineamiento vertical como las curvas circulares en el alineamiento horizontal.

Elementos de las curvas verticales. En la figura 5.5.1. se representan dos tangentes verticales que se interceptan en un punto llamado PIV (punto de inflexión vertical), con pendientes respectivas – p% + p%, que se deberán enlazar por una curva vertical. TV1 = tangente vertical de entrada. TV2 = tangente vertical de salida. p% = pendiente de la tangente de entrada.

243

Figura 5.5.1.

p’% = pendiente de la tangente de salida PIV = punto de inflexión vertical PCV = principio de curva vertical PTV = principio de tangente vertical LCV = longitud de curva vertical d = ordenada del PTV, (distancia vertical del PTV a la tangente de entrada) p = punto de intercepción de la tangente de entrada y la vertical que pasa por el PTV. a’, b’, …e’, f’, = puntos sobre la tangente de entrada a , b , …e , f , = puntos sobre la curva aa’, bb’, …ee’, ff’ = ordenadas de los puntos a, b, … e, f de la curva vertical. Con objeto de que las coordenadas resulten del mismo signo en todos los puntos de la curva vertical, conviene tomar como eje de las abscisas, la tangente a la curva en el PCV, y como eje de las coordenadas, la vertical en el punto de tangencia (ver figura No. 5.5.2.).

244

Así, considerando el sistema de ejes oblicuos OX y OY, la ecuación de la parábola es de la forma: Y = Kx2 ------ (1). Ahora bien, para cada caso la inclinación del eje OX sería diferente, por tanto, es mejor tomar las proyecciones horizontales Xa, Xb, … Xe, Xf de las abscisas y trabajar con distancias horizontales contadas a partir del PCV.

Figura 5.5.2.

Para fijar los puntos a, b, …e, f, de la curva vertical, se calcula primero K substituyendo en la ecuación anterior (1), las coordenadas conocidas del PTV (L, d). D = KL² por lo tanto K= d/L² ---- (2).

245

Valor que aplicado para cualquier punto de la curva, como el b, por ejemplo, dará: bb’ = (d/L²)(Xb)² ---- (3) Ecuaci n de la que se deduce que “las ordenadas de la curva contadas desde la tangente son proporcionales al cuadrado de las abscisas contadas desde el punto de tangencia.” Se puede generalizar estableciendo una fórmula igual a la anterior para el cálculo de curvas verticales: C = (d/N²) n²

por lo tanto K = d/N²

En la cual: c = corrección que hay que aplicar a la cota de una estación dada sobre la tangente para obtener la cota sobre la curva. d = ordenada del PTB. n = número de orden de la estación, contado a partir del PCV. N = número de estaciones de la curva vertical. CONDICIONES PARA PROYECTAR CURVAS VERTICALES.

1a.- Sólo se proyectarán curvas verticales cuando la diferencia algebráica de las pendientes por ligar sea mayor de 0.5 % pues cuando es igual o menor a este valor el cambio es tan pequeño que se pierde durante la construcción. 2a.- La distancia mínima de tangente que deberá proyectarse entre dos curvas verticales será de 20 metros. 3ª.- La longitud de la curva vertical se mide tomando como unidad una estación de 20 metros; por ejemplo, cuando se dice que una curva es de 7 estaciones se sobreentiende que su longitud es de 140 metros. 4ª.- Tanto en caminos como en ferrocarriles conviene que la longitud de la curva sea de un número de estaciones enteras.

246

5ª.- Cuando el PIV se localiza en estación cerrada y la longitud de la curva es de un número par de estaciones, se dará la mitad de ellas a cada lado del PIV. 6ª.- Si el PIV cae en una estación cerrada y la longitud de la curva es de un número impar de estaciones, se agregará una más para hacerlo par y repartirlas en la misma forma indicada en el punto anterior. 7ª.- Cuando el PIV se localiza en media estación y la longitud de la curva es de un número par de estaciones se agregará una más para hacer el número impar , repartiendo media estación a cada lado del PIV, con lo que el PCV y el PTV caen en estación cerrada. LONGITUD MÍNIMA DE CURVA VERTICAL.

1ª.- Por seguridad y comodidad se ha establecido que la variación admisible de pendiente entre dos estaciones consecutivas no debe exceder de 1%, cuando la longitud de la curva medida en estaciones de 20 metros es igual a la diferencia algebraica de pendientes. 2ª.- La longitud de la curva vertical, medida en estaciones de 20 metros, será igual a la diferencia algebraica de pendientes que se enlacen dividida entre la variación máxima admisible de pendiente entre dos estaciones consecutivas. De esta manera, si se designan por p% y – p% las pendientes por ligar, la longitud de la curva vertical será: LCV = [p% - (-p%)]/1%. En realidad existen fórmulas para el cálculo de la longitud de las curvas verticales, en cresta y en columpio, que involucran además de la diferencia algebraica de pendientes, la distancia de visibilidad de parada, la altura del ojo del conductor sobre el pavimento y la altura del objeto observado que obliga a parar. Sin embargo, el procedimiento descrito para determinar la longitud de la curva vertical, satisface las necesidades de los caminos vecinales y proporciona los conocimientos básicos para el estudio y proyecto de estas curvasen el curso de vías terrestres.

247

Ejemplo para el cálculo de una curva vertical parabólica.

Datos: Km PIV = 70+930 Elev. PIV = 95.56 m. p = + 4.6% p′ = -6.0%

SOLUCIÓN:

a). Longitud de curva vertical. LCV = p - p′ = 4.6 – (-6) = 10.6 = 11 Estaciones LCV = 11 Estaciones = 220 m.

N = 11

b). Kilometraje del PCV y del PTV.

Km PCV = [(Km PIV=70+930) - (1/2LCV=-110)]. Km PCV = 70+820.

Km PTV = [(Km PIV=70+930) + (1/2LCV=+110)]. Km PTV = 7+040.

248

c). Elevaciones del PCV, PTV y P. Elevación PCV = [(Elevación PIV=95.56m) – (1/2LCV p =5.06m)] Elevación PCV = 90.50 m. Elevación PTV = [(Elevación PIV=95.56m) – (1/2LCV p′ =6.60m)] Elevación PTV = 88.96 m. Elevación de P = [(Elevación PIV=95.56m) + (1/2LCV p =5.06m)] Elevación P = 100.62 m. d). Cotas de las estaciones sobre la tangente de entrada. Desnivel por estación: hEST = + 4.60m/5 = +0.92 m ESTACIONES PCV 70 + 820 + 840 + 860 + 880 70 + 900 + 920 PIV 70 + 930 + 940 + 960 + 980 71 + 000 +020 P 71 + 040

COTAS 90.50 + 0.92 91.42 + 0.92 92.34 + 0.92 92.36 + 0.92 94.18 + 0.92 95.10 + 0.46 95.56 + 0.46 96.02 + 0.92 96.94 + 0.92 97.86 + 0.92 98.78 + 0.92 99.70 +0.92 100.62

249

e). Constante K. K = [ d/N2 ] = [(cota P – cota PTV)/(N2)] = [(100.62 – 88.96) / (112)] K = 0.09636

f). Correcciones que se aplican a las cotas dadas sobre la tangente para obtener las cotas sobre la curva. Se aplica la fórmula c ꞊ Kn2 ꞊ 0.0936 n2 Siendo n el número de orden de la estación, contada a partir del PCV.

g). Cotas sobre la curva. Estas y las correcciones se determinan fácilmente y se anotan directamente en el registro siguiente: ESTACIONES

n

n2

COTAS/TAN

c꞊kn2

COTAS/CURVA

PCV 70+820

0

0

90.50

0

90.50

+840

1

1

91.42

-0.10

91.32

+860

2

4

92.34

-0.39

91.95

+880

3

9

93.26

-0.87

92.39

70+900

4

16

94.28

-1.54

92.64

+920

5

25

95.10

-2.41

92.69

5.5

30.25

95.56

-2.91

92.65

+940

6

36

96.02

-3.47

92.55

+960

7

49

96.94

-4.72

92.22

+980

8

64

97.86

-6.17

91.69

71+000

9

81

98.78

-7.81

90.97

+020

10

100

99.70

-9.64

90.06

PTV 71+040

11

121

100.62

-11.66

88.96

PIV 70+930

La curva calculada es una cima y por tal motivo las correcciones son negativas. En el caso que la curva sea en columpio, las correcciones son positivas y se sumarán a las cotas dadas sobre la tangente. La cota del último punto debe ser igual a la calculada para el PTV. 250

Otro ejemplo para el cálculo de una curva vertical parabólica.

Datos: Km PIV = 0+720 Elev. PIV = 91.40 m. p = - 6.3% p′ =

0%

SOLUCIÓN:

a). Longitud de curva vertical. LCV = p - p′ = -6.3 - (0) = 6.3 = 7 Estaciones Como el PIV cae en estación entera, se agregará uno más para tener número par de estaciones, por tanto: LCV = 8 Estaciones = 160 m

N=8

b). Kilometraje del PCV y del PTV. Km PCV = [(Km PIV=0+720) - (1/2LCV=-80)] Km PCV = 0+640 Km PTV = [(Km PIV=0+720) + (1/2LCV=+80)] Km PTV = 0+800

251

c). Elevaciones del PCV, PTV y P.

Elevación PCV = [(Elevación PIV=91.40m) + (1/2LCV p =5.04m)] Elevación PCV = 96.44 m

Elevación PTV = Elevación de PIV = 91.40 m Elevación PTV = 91.40 m Elevación de P = [(Elevación PIV=91.40m) - (1/2LCV p =5.04m)] Elevación P = 86.36 m

d). Cotas de las estaciones sobre la tangente de entrada.

Desnivel por estación: hEST = + 1.26 m ESTACIONES

COTAS

PCV 0 + 640

96.44 - 1.26

+ 660

95.18 -1.26

+ 680

93.92 - 1.26

+ 700

92.66 - 1.26

PIV 0 + 720

91.40 - 1.26

+ 740

90.14 - 1.26

+ 760

88.88 - 1.26

+ 780

87.62 - 1.26

P 0 + 800

86.36

252

e). Constante K. K = [ d/N2 ] = [(cota P – cota PTV)/(N2)] = [(86.36 – 91.40) / (82)] K = 0.07875

f). Correcciones que se aplican a las cotas dadas sobre la tangente para obtener las cotas sobre la curva. Se aplica la f rmula c ꞊ Kn2 ꞊ 0.07875n2 Siendo n el número de orden de la estación, contada a partir del PCV.

g). Cotas sobre la curva.

Estas y las correcciones se determinan fácilmente y se anotan directamente en el registro siguiente: ESTACIONES

n

n2

COTAS/TAN

c꞊kn2

PCV 0 + 640

0

0

96.44

+ 660

1

1

95.18

+0.07875

95.26

+ 680

2

4

93.92

+0.315

94.24

+ 700

3

9

92.66

+0.70875

93.37

PIV + 720

4

16

91.40

+1.26

92.66

+ 740

5

25

90.14

+1.96875

92.11

+ 760

6

36

88.88

+2.835

91.72

+ 780

7

49

87.62

+3.85875

91.48

PTV + 800

8

64

86.36

+5.04

91.40

0

COTAS/CURVA 96.44

La curva calculada es un columpio y por tal motivo las correcciones son positivas. La cota del último punto debe ser igual a la calculada para el PTV.

253

Ejercicio 5.7. Calcular la curva vertical parabólica en cresta, con los datos siguientes. Km PIV = 35+830 Elev. PIV = 1001.45 m. p = + 7.2% p′ = - 3.5%

Ejercicio 5.8. Calcular la curva vertical parabólica en columpio, con los datos siguientes. Km PIV = 126+360 Elev. PIV = 502.48 m. p = - 4.9% p′ = + 6.8%

Ejercicio 5.9. Calcular la curva vertical parabólica en cresta, con los datos siguientes. Km PIV = 300+210 Elev. PIV = 205.35 m. p = 0% p′ = - 7.7%

Ejercicio 5.10. Calcular la curva vertical parabólica en columpio, con los datos siguientes. Km PIV = 55+540 Elev. PIV = 99.80 m. p = - 6.4% p′ = 0%

254


La aplicación de software en los alineamientos horizontal y vertical, facilita grandemente el desarrollo de cualquier proyecto urbano, de carreteras o vía de comunicación. Se pueden calcular y dibujar, en forma rápida, curvas horizontales simples, curvas horizontales con transición de entrada y salida, así como curvas verticales parabólicas en cresta y columpio. A continuación se explicará la forma de dibujar una curva horizontal con el software "Autodesk Civil Design", que es compatible con Autocad.

Ejercicio.- Dibujar una curva horizontal con Autoesk CivilDesign.

Procedimiento: -Ejecutar el programa e inmediatamente abrir el archivo que muestra el dibujo del trazo del eje central de un camino, haciendo un zoom para seleccionar cómodamente los puntos de interés. (Ver figura 5.5.1.).

Figura 5.5.1. Trazo preliminar del camino.

255

-Del programa activar y ejecutar lines/curves>curve between two lines. En el dibujo seleccionar la primera tangente, luego seleccionar la segunda tangente. Escribir R y seleccionar radius, introducir 150 como valor del radio; Presionar Enter para terminar el comando. -Introducir Redraw en la línea de comandos; el dibujo deberá parecerse a la figura 5.5.2. Las curvas horizontales pueden ser dibujadas en base a diferentes factores, incluyendo el radio, longitud de la tangente y longitud de la curva.

Figura 5.5.2. Trazo de la primera curva horizontal.

-Avanzar por el alineamiento hasta la próxima intersección entre tangentes. Activar y ejecutar lines/curves>curve between two lines. Seleccionar la primera tangente y luego la próxima. Introducir T para la opción Tangent y escribir 36 para la longitud de la tangente. Presionar enter para terminar el comando. (Ver figura 5.5.3.).

256

Figura 5.5.3. Trazo de la segunda curva horizontal.

-Avanzar a lo largo del alineamiento y repetir el paso anterior para dibujar las curvas restantes.

257

Fuentes de información.

MONTES DE OCA MIGUEL (1982). Topografía. México, D.F., México. Ed. Representaciones y servicios de Ingeniería.

GARCÍA MÁRQUEZ FERNANDO (1984). Topografía Aplicada. México, D.F., México. Editorial Concepto, S.A.

BANISTER A. (2008). Técnicas modernas en topografía. México. Ed. Alfaomega.

Burchard Bill y Pitzer David (2000). Autocad 2000. México. Prentice Hall.

MANUAL TÉCNICO ECO (2010). México. Equipos y Consumibles de Occidente, S.A. de C.V.

TOPCON CORPORATION (1997-2011). México.

SOKKIA CORPORATION (199-2011). México.

LEICA GEOSYSTEMS. Suiza.

258

Libro de Topografia

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