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FUNCIÓN Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (A) le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (B).
Definición Se llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le corresponde sólo un elemento y del codominio. f y Esto se expresa: expresa: y = f (x) o x Se observa que: De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha. De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.
[FIEE-UNMSM]
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GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden pueden representar representar los gráficos de las relaciones y funciones funciones en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas. El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del producto cartesiano cartesiano que pertenecen pertenecen a la relación o función generándose generándose así el grafico de la relación o función dada.
En este tipo de gráficos pueden representarse representarse distintas variables en función del tiempo: ti empo: Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante determinado. Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el transcurso del tiempo.
Ejemplos 1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta ) a) (2t 1, t ) / t [FIEE-UNMSM]
b) (3t ² 1, t ) / t Página 35
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GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden pueden representar representar los gráficos de las relaciones y funciones funciones en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas. El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del producto cartesiano cartesiano que pertenecen pertenecen a la relación o función generándose generándose así el grafico de la relación o función dada.
En este tipo de gráficos pueden representarse representarse distintas variables en función del tiempo: ti empo: Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante determinado. Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el transcurso del tiempo.
Ejemplos 1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta ) a) (2t 1, t ) / t [FIEE-UNMSM]
b) (3t ² 1, t ) / t Página 35
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Solución:
a)
x 2t 1 y t ;
t y
x 3t 2 1
b) y t ; t
x 1 2
f ( x) es función
x 3 y 2 1 y
x 1 3
no es función
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION LINEAL f: R R /y = f(x) a x + b ; a 0 Dom( f ) : x R Ran( f ) : y R
FUNCION CUADRATICA
[FIEE-UNMSM]
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f : R R / y f ( x ) ax ² bx c; a
0
Dom( f ) : x R
i) si a > 0
Ran( f ) : y k , ; k
4ac b ² 4a
f tiene un valor minimo y k cuando x h ; h
b 2a
ii) si a < 0
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Ran( f ) : y , k ; k
4ac b² 4a
f tiene un valor Maximo y k cuando x h ; h
b 2a
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA f: R R / y = f(x) x Dom (f): x 0 ; Ran (f) : y 0
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Ejemplo: g ( x) x ; y x
Dom( g ) : x R / y ( x ) R x 0 x 0 Ran( g ) y ( x ) R / x 0 x 0 x 0 x 0 y 0
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Ejemplos 1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta ) a) (2t 1, t ) / t
b) (3t ² 1, t ) / t
Solución:
b)
x 2t 1 y t ;
x 3t
1 b) y t ; t
t y
x 1 2
f ( x) es función
2
x 3 y 2 1 y
x 1 3
no es función
2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a 24 horas).Se pide: a) Estimar T (5) y T (16). b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1). [FIEE-UNMSM]
Página 40
NOLAN JARA J.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1. ¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. T 28 (7,22)
22
(20,22) .
.
16 10
t 3
6
9
12
15
18
21
24
Solución: 16
; si 0 t 6
6t 20 ; si 6 t
T(t)=
7 ; 16 T 22 22 ; si 7 t 20 6t 142; si 20 t 21 ; 16 T 22 16 ; si 21 t 24
a) T(5) = 16º C;
T(16) = 22º C 16
; si 1 t 7
t 8 ; 16 H 22 H (t ) T (t 1) 22 ; si 8 t 21 6t 148; si 21 t 22 ; 16 H 22 16 ; si 22 t 25
b)
6t 26 ; si 7
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
H
28
(8,22)
22
(21,22)
16 (1,16)
(25,16)
10
t 3
6
9
15
12…
15
18
J (t ) T (t ) 1
21
24
; si 0 t 6
6t 21 ; si 6 t 7
c)
21
; 15 J<21
; si 7 t 20
6t 141; si 20 t 21 ; 15
Las temperaturas son un grado más bajas.
[FIEE-UNMSM]
Página 42
NOLAN JARA J.
J 28 (7,21)
22
(20,21)
16 10
(24,15)
(0,15)
t 3
6
9
12…
15
18
21
24
x ² 6 x 8 ; x -4 3) Sea: f ( x) x 3 ; - 3 x 0 Hallar el rango y graficar la función f. x - 1 ; x 10 y f 3
Solución:
f 2
(0, 3) (10,3)
(-4, 0)
f 1
(-3, 0)
x
Ran( f ) : y R
4) Un granjero dispone de 300 metros de valla para cercar dos terrenos de pasto adyacentes (ver figura).
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
x
x
x
y
y
a) Expresar el área total A de los 2 terrenos en función de x. ¿Cuál es el dominio de A? b) Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que dan el área conjunta máxima. Solución: a) 3 x 4 y 100 y
A( x ) 2 xy A( x)
3 2
300 3 x 4
; 0 x 100
(100x x 2 ) A( x )
3
(50)2 ( x 50)2 2
b) A(x) = 3750 -
A
3 2
x 50 ² 3750 Amax 3750u ² ; cuando x = 50 u ; y =
75 2
u.
V=(50,3750)
X (100,0) [FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
5) Un pequeño empresario ha determinado que el costo de fabricar 1000 TERMOSTATOS semanalmente es de 9000 dólares y que 1500 TERMOSTATOS le cuestan 12000 dólares: exprese el costo como función del número de TERMOSTATOS fabricados, suponiendo que es lineal. Trace la grafica. ¿Cuál es la pendiente de la grafica y que representa? ¿Cuál es la intersección con el eje Y y que representa? 6) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) =
100000 100 900e t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900. 7) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A? Dibujar la función A( x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del terreno.
Más Problemas desarrollados 1) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta ) a) (2 3t , t ) / t b) (3 2t ², t ) / t Solución:
x 2 3t
c)
b)
y t
;
x 3 2t 2 y t ; t
[FIEE-UNMSM]
t y
2 x 3
f ( x) es función
x 3 2 y 2 y
3 x 2
no es función
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2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a 24 horas).Se pide: a) Estimar T (3) y T (15). b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1). ¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1. ¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. T 32 (5,24)
24
(21,24)
18 10
2
4
6
…
…
20
22
24
t
Solución:
18
T(t)=
; si 0 t 4
6t 6 ; si 4 t 5 24
; 18 T 24
; si 5 t 21
6t 150; si 21 t 22 ; 18 T 24 18
[FIEE-UNMSM]
; si 22 t 24
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NOLAN JARA J.
a) T(3) = 18º C;
T(15) = 24º C
; si 1 t 5
18
6t 12 ; si 5 t
6 ; 18 H 24 H (t ) T (t 1) 24 ; si 6 t 22 156 6t ; si 22 t 23 ; 18 H 24 18 ; si 23 t 25
b)
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
H 32 (6,24)
24 18
(22,24)
(1,18)
(25,16)
10
t 2
4
6
……1
17
…
20
J (t )
T (t )
1
23
24
; si 0 t 4
6t 7 ; si 4 t 5
c)
22
; 17 J<23
; si 5 t 21
6t 149; si 21 t 22 ; 17
Las temperaturas son un grado mas bajas.
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
J 32 (5,23)
24
(21,23)
18
(24,17)
(0,17)
10
t 2
4
6
……1
…
20
22
24
3) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 120 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla. a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A? b. Dibujar la función A( x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del terreno. Solución: x
x 2 y 120 y y
A( x )
1 2
y
(120 x x 2 ) A( x )
A(x) = 1800 -
[FIEE-UNMSM]
1 2
120 x 2
; 0 x 120
1
( x 60)2 3600 2
x 60 ² 1800 Amax 1800u ² ; cuando x = 60 u ; y = 30 u.
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NOLAN JARA J.
A
V=(60,1800)
t (120,0)
4) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta ) a) (2t 1, t ) / t b) (3t ² 1, t ) / t Solución:
x 2t 1 y t ;
x 3t 2 1 y t ; t
t y
x 1 2
f ( x) es función
x 3 y 2 1 y
x 1 3
no es función
5) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a 24 horas).Se pide: [FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
a) Estimar T (5) y T (16). b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1). ¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1. ¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
28 (7,22)
22
(20,22)
16 10
3
6
9
12…
15
18
21
24
Solución: 16
; si 0 t 6
6t 20 ; si 6 t
T (t )
7 ; 16 T 22 22 ; si 7 t 20 6t 142; si 20 t 21 ; 16 T 22 16 ; si 21 t 24
a) T(5) = 16º C;
T(16) = 22º C
16
; si 1 t 7
t 8 ; 16 H 22 H (t ) T (t 1) 22 ; si 8 t 21 6t 148; si 21 t 22 ; 16 H 22 16 ; si 22 t 25
b)
6t 26 ; si 7
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
[FIEE-UNMSM]
Página 50
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H 28 (8,22)
22 16
(21,22)
(1,16)
(25,16)
10
3
6
9
c)
12…
15
18
21
; si 0 t 6
15
6t 21 ; si 6 t 7
J (t ) T (t ) 1
24
; 15 J<21
; si 7 t 20
21
6t 141; si 20 t 21 ; 15
22
(20,21)
16 10
(24,15)
(15,0)
3
6
9
12…
15
18
21
24
6) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla. a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A? b. Dibujar la función A( x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del terreno. Solución: [FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
a) x 2 y 100 y
y
100 x 2
y
; 0 x 100
x
A( x )
1 2
(100 x x 2 ) A( x )
A(x) = 1250 -
1 2
1
( x 50)2 2500 2
x 50 ² 1250 Amax 1250u ² ; cuando x = 50 u ; y = 25 u.
v = (50,1250)
A
X
[FIEE-UNMSM]
Página 52
NOLAN JARA J.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION VALOR ABSOLUTO f: R R / f(x) / x / ; ( y = / x / ) Dom ( f ) : x R ; Ran ( f ) : y 0
FUNCION SIGNO f: R R / y = f(x) sgn(x)
1 ; si x 0 sgn( x ) 0 ; si x 0 1 ; si x 0 Dom( f ) : x R Ran( f ) : y 1, 0,1
[FIEE-UNMSM]
Página 53
NOLAN JARA J.
FUNCION ESCALON UNITARIO f: R R / y = f(x) u(x)
1; si x 0 u ( x) 0; si x 0 Dom( f ) : x R Ran( f ) : y 0,1
[FIEE-UNMSM]
Página 54
NOLAN JARA J.
FUNCION MAXIMO ENTERO f : R R / y f (x ) x
x n n x n 1; n Dom( f ) : x R Ran( f ) : y 1 ; si 1 x 0 y 0; si 0 x 1 1; si 1 x 2
[FIEE-UNMSM]
Página 55
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN POLINOMIAL f: R R / f(x) ao xn + a n-1 xn-1 +.....+ an, a 0 0, n Z+ Dom (f): xR Observación: (1) Sea f(x) x2n xR nZ+ Ran(f): y = x2n = (xn)2 0 xR y 0
[FIEE-UNMSM]
Página 56
NOLAN JARA J.
Observación: (2) Sea g(x) x2n+1 xR nZ+ Ran(f): y = x2n+1 x= (x2n x)R yR . (Si x 0 y 0; si x<0y<0)
FUNCIÓN RACIONAL f : R R / f ( x )
[FIEE-UNMSM]
a0 x n a1x n
1
..... an ; b0 0; b0 x m b1x m1 ....... bm
a0
0
Página 57
NOLAN JARA J.
Dom( f ) : x R / (b0 x m b1x m1 ..... bm) 0
Observación: f ( x)
x 1
; y
1
x
Dom( f ) : x R / x 0 Ran( f ) : x 0....Dom( f )
1
x
0 y 0...Ran( f )
Gráfico: x - - 2
-1
- 1/2
0-
0+ 1/2 1
y + 0 - 1/2
-1
-2
-
2
1
PROBLEMAS 1) Para los triángulos rectángulos de igual perímetro, determinar una expresión para el área que defina una función de una sola variable, así como el máximo subconjunto de variación de esa variable. SOLUCION.
[FIEE-UNMSM]
Página 58
NOLAN JARA J.
x ²
y
2
y
x
Indicando por A el área y por x y y las longitudes de los catetos de un triángulo cualquiera de la colección de todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, donde p es una constante, se tiene que A de dos variables, A g ( x, y )
1 x. y , es decir, el área A como una función 2
1
x.y Si se tiene en cuenta que el perímetro de 2 estos triángulos es 2 p, se obtiene la relación:
xy
x 2 y 2 2p
2
2
Despejando x y , elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación resultante y simplificando se obtiene:
4p
2
2xy 4px 4py 0
Despejando y, resulta
y
2 p(
x p ) x 2 p
Luego
A g ( x, y ) px [FIEE-UNMSM]
x p x 2 p Página 59
NOLAN JARA J.
y de aquí se obtiene la expresión buscada: A A( x ) px
xp x 2p
Pasemos a determinar el máximo subconjunto de variación de la variable x. Obviamente el menor valor que puede tomar la variable x es el cero y el mayor valor que puede alcanzar es p que corresponde al caso en que y = 0 o la hipotenusa coincide con el otro cateto, y por lo tanto toma los mismos valores que x, resultando entonces 2x 2p , de donde se tiene que x p . Se concluye que x 0, p .
2 7 x 6 ; x 2, x 6 2) Sea: f(x)= 4sgn( x ² 1) x ²,1 x 2 1 x 2 x ², x 1 Rango.
trazar la gráfica de f y determinar el
SOLUCION.
2 7 ; x , 2 2, 6 6, x 6 f ( x) f 2 4 x ² ,1 x 2 f 3 1 x ², 1 x 1 Ran( f ) : y
[FIEE-UNMSM]
,
13 2
27 4
,7
f 1
7,
Página 60
NOLAN JARA J.
(2, 27 / 4)
(2,13 / 2) f 2
f 3
3) Hallar el Dominio de la función f ( x)
1 x 2 x ² 1
Solución:
[FIEE-UNMSM]
Página 61
NOLAN JARA J.
f ( x )
1 x 2
1 D( f ) : x R /1 x 2 0 x 2 1 0 x 2 1 x 2 1 1 x 3 ( x 1 x 1) x 1, 3]...D ( f ) x
2
4) Hallar el rango y graficar la función f(x) = sgn( Solución.
x ² 5 x x² 4
)
Dom(f): x R 2
x( x 5) ( x 2)( x 2)
x( x 5) ( x 2)( x 2)
x( x 5) ( x 2)( x 2)
0 x , 2 0, 2 5,
0 x 0,5
0 x 2, 0 2,5
1 x , 2 0, 2 5, f ( x ) 0 x= 0,5 1 x <-2,0><2,5>
[FIEE-UNMSM]
Página 62
NOLAN JARA J.
5) Hallar el Dominio de la función f ( x)
1 x 2 x ² 1
x² - 1 x³ 1
Y graficar la función g ( x) x²-1 x ³ 1 .
Solución: a) f ( x )
1 x 2
x²-1 x ³ 1
1 D( f ) : x /1 x 2 0 x 2 1 0 x 2 1 x 3 1 0 x
2
x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 3 1 1 x 3 ( x 1 x 1) x 3 x 2 x 1, 3] x ([1, 3 2 [ 2, 3 3 ) x 1, 3 2 [ 2, 3 3 ...D( f )
[FIEE-UNMSM]
Página 63
NOLAN JARA J.
0; x [0, 3 2 [ 2, 3 3 1; x 1, 0 2; x 1 3; x [ 3 2, 1 b) g ( x) 2; x 2, 3 2 3 5; x [ 3, 2] . . . 6) Sea h( x)
4 x x 2 1
,(y
4x
) x2 1
Hallar el dominio y rango de la función h Solución. x R … Dom(h) Ran(h) : y
x
2
x
(
4 x
x 2
) R / x Dom(h )
1
1 y 4 x yx 2 4 x y 0 4 16 4 y 2 2 y
2 4 y2 x y
R 4 y 2 0 y 0 y 4 y 0 2 y 2 y 0
Pero si x 0 f (0) y 0
y 2,2
PRACTICA I)
Hallar el dominio de f, si f es la función definida por :
[FIEE-UNMSM]
Página 64
NOLAN JARA J.
1) f ( x)
2) f ( x)
3) f ( x)
x x ² 16 x x 2 x
x x x
x x 1 x x - 1 1 x
x 2 x 1 2 x x² x 12 sgn( x ² 2)
4) f ( x)
x 3
sgn( x 16) 4
3
5) f ( x) x 16 4
1 x 2
6) f ( x)
x ² 1
x 3
x² 16
x³ 2x 1
2 sgn( x 4 16)
x² - 1 x³ 1
x 2 x² 2 x 3
7) f ( x)
8) f ( x) 4 4 3 x x ² ² II) Hallar el rango de la función: 1) f ( x) 2) f ( x)
1 x ² 2 x ² x ² 4
3) f ( x) 1 1 x 4) h(x) =
4 x
x 2 1
x 5) f ( x, ) x 4
[FIEE-UNMSM]
x ( x 2
4) 0
Página 65
NOLAN JARA J.
6) f ( x)
7) f ( x)
x 4 x 2
x 2
x 2
4 x 4
8) g ( x)
x 2
4
2 x
x
2
9
9) Hallar todos los valores reales de x , si es que existen tales que : x 1 x ² 1 sgn sgn 0 x 2 2 x
2 ; x 2, x 6 7 6 x 10) Sea: f(x)= 4 sgn( x ² 1) x ² ,1 x 2 trazar la gráfica de f y determinar el rango 1 x 2 x ², x 1 de f.
[FIEE-UNMSM]
Página 66
NOLAN JARA J.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2
2
x +y =1
(x,y)=(cost, sent) y
1
(-1,0)=(cos, sen)
y
t
x x
(0,-1) (cos
3 2
, sen
3 2
)
FUNCIÓN SENO: f: R R/ f(x) = senx ; (y = senx) Dom ( f ): x R Ran (f): y -1,1 Sen(-x) = -sen(x) x, x Dom( f ) Sen(x+2)= senx x,( x 2 ) Dom( f ) 2 = Período
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIÓN COSENO: f: R R/ f(x) = cos(x) ; ( y = cos(x)) Dom (f): x R Ran (f): y -1,1 Cos(-x) = Cos(x) Cos(x+2) = Cos(x)
x, x Dom( f ) x, ( x 2 ) Dom( f )
2 = Período
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIÓN TANGENTE: f: R R/ f(x) = tg(x) ; (y = tg(x)= Dom ( f ): x R
2k 1 2
sen( x) cos( x)
)
; k Z
Ran (f): y R tg(x+)= tg(x ) x,( x ) Dom( f )
= Período
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIÓN COTANGENTE: f: R R/ f(x) = cotg(x) ; (y = cotg(x)=
cos( x) sen( x)
)
Dom ( f ): x R k ; k Z Ran (f): y R cotg(x+)= cotg(x ) x,( x ) Dom( f )
= Período
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIÓN SECANTE: f: R R/ f(x) = sec(x) ; (y = sec(x)= Dom ( f ): x R
2k 1 2
1 cos( x)
)
; k Z
Ran (f): y , 1 1,
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIÓN COSECANTE: f: R R/ f(x) = cosec(x) ; (y = cosec(x)=
1 sen( x)
)
Dom ( f ): x R k ; k Z Ran (f): y , 1 1,
[FIEE-UNMSM]
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Las funciones sinusoidales La forma más general de una función sinusoidal es: f ( x) Asen( w( x x0 )) B O también: f ( x) A cos( w( x x0 )) B
En la que aparecen cuatro parámetros: A, w, x0 , B conocidos con los siguientes nombres:
A
es la amplitud.
es la frecuencia, que se denomina pulsación en el caso en que la variable independiente sea el tiempo. w
x0
es el ángulo de fase o desfasamiento.
B
es el valor promedio de f (x).
La amplitud A determina el valor máximo que puede adquirir la función. Puesto que las funciones seno y coseno oscila entre -1 y 1, al multiplicarla por un factor A oscilará entre – A y A tal como indica la figura [FIEE-UNMSM]
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En la que se han representado simultáneamente las funciones: f (x) = sen(x) y f (x) = 3sen(x) El parámetro w está relacionado con el valor P del periodo de la función sinusoidal , puesto que se cumple: P
2
w
w
2
P
La siguiente figura es la representación gráfica simultánea de dos funciones que difieren en el parámetro w : f (x) = sen(x) y f (x) = sen(4x). Se observa perfectamente que la diferencia de periodos entre ellas es: la primera tiene un periodo 2 y el de la segunda es de
2
.
Finalmente, el desfasaje x0 modifica la posición horizontal de la curva: al aumentar su valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Esta propiedad se puede comprobar en la siguiente figura donde se representan simultáneamente las funciones f (x) = sen(x) y f (x) = sen(x + 0.5) [FIEE-UNMSM]
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Obviamente, si el desfasaje fuese negativo la curva quedaría desplazada hacia la derecha. Puesto que las funciones seno y coseno tienen la misma forma, estando desplazadas horizontalmente una con respecto de la otra, tal como indica la siguiente figura, resulta evidente que sólo difieren entre sí en un defasaje.
[FIEE-UNMSM]
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Para obtener la función coseno a partir de la función seno basta con desplazar esta última
2
hacia la izquierda, por lo que se deduce:
Este hecho permite representar cualquier función sinusoidal sea en forma de un seno o bien en forma de un coseno.
Ejemplos. 1) Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre 0.025 y 0.04 metros, determinar: la frecuencia de oscilación, una función que describa el movimiento y la grafica de esta función. Solución. Supongamos que el movimiento se describa por la función: f (t ) A cos( w( t t0 )) B .
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que t 0 = 0. en el enunciado del problema se dice que el periodo es de 1.3 segundos ( P = 1.3 ), entonces la frecuencia es: w
2 P
2 1.3
= 4.83322
Como la función varia de 0.025 a 0.04 metros se tiene que: A + B = 0.04 -A + B = 0.025 Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que: A = 0.0075 ; B = 0.0325 Con estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa: f (t ) 0.0075cos(
[FIEE-UNMSM]
2 t ) 0.0325 0.0075cos(4.8332t ) 0.0325 1.3
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2) Aproximadamente la temperatura en la ciudad del Cuzco varia de forma sinusoidal durante el año. Si la máxima temperatura es de 32 º c el primero de agosto y la mínima es de 27 º c el primero de febrero, determine una función para la temperatura en el Cuzco durante el año y después graficarla.
[FIEE-UNMSM]
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ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Sean f,g: R R
f
x, y R 2 / y f ( x ), x Dom( f )
g
x, y R 2 / y g ( x ), x Dom(g )
1º) f=g Dom(f) = Dom(g) y f(x) = g(x) x Dom( f )
Ejemplo: f ( x)
x 1x 5
g ( x)
x 1 x 5
Solucion: Dom( f ) : x ,1 5, Dom( g ) : x 5,
Dom ( f ) Dom ( g ) f g
2º) f
g x, y R 2 / y f g x f (x ) g (x ); x Domf Domg
3º) f .g
x, y R 2 / y fg (x ) f (x ).g (x ), x Domf Domg
[FIEE-UNMSM]
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4º)
f f (x) x, y R 2 / y ( x) ; x D ( f ) D ( g ) tal que g (x ) 0 g g (x) g f
f Dom( f ) Dom( g ) tal que g(x) 0 g
Dom
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
g
f
A
B
C
R(g)D(f) b=g(a)
a
c = f(b) = f(g(a)) = (fog)(a)
h = f og
Si f,g: R R (fog)(x) = f(g(x)) fog Dom(fog) 0 Dom( f o g ) x R / x D ( f ) g (x ) D ( f )
O tambien Dom( f o g ) x Dom( g ) / g ( x) Dom( f )
[FIEE-UNMSM]
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Generalmente: fog gof
FUNCION INVERSA FUNCION INYECTIVA: Sea f R R/y=f(x) f es inyectiva si y solo si
f ( x1 ) f ( x2 ) x1
x2
x1 , x2 Dom( f )
O también f es inyectiva si y solo si x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 , x2 Dom( f )
[FIEE-UNMSM]
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Geométricamente
Es decir si toda recta horizontal que corta al grafico de una funcion, lo corta en un solo punto entonces la funcion es inyectiva inyectiva
[FIEE-UNMSM]
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Como f(x1) = f(x2) y x1 x2 entonces f no es inyectiva. in yectiva. FUNCION SOBREYECTIVA: Sea f: A B/y = f(x) f es sobreyectiva sobreyecti va si y solo si
Ran ( f ) = B
O también f es f sobreyectiva Si y B xA / f(x) = y
FUNCION BIYECTIVA Sea f: A B/ y = f(x) f es biyectiva bi yectiva f es inyectiva y sobreyectiva Sea f: A B/ y = f(x); x Dom (f) f = (x,y) AxB / x D( f ) [FIEE-UNMSM]
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y si f es inyectiva
la función inversa de f : f - 1 ó f *
Donde f - 1 = (y,x) BxA / xDom( f ) Tal que:
Ran ( f -1) = Dom( f ) Dom ( f -1) = Ran( f )
Una forma práctica para hallar f - 1 consiste en que a partir de la ecuación y = f(x) intercambiar variables obteniéndose obteniéndose la ecuación x = f ( Y ) Luego despejamos Y = f - 1( x ) Observación: Si f y g son dos funciones inyectivas inyectivas se tiene que. (f -1) -1 = f f o f -1 = f -1o f = I (I función identidad) (f o g)-1 = g-1 o f -1 FUNCIÓN EXPONENCIAL f: R R/ f(x) = ax ; ( y = a x ) ; a>0 a1 Dom(f): x R Ran(f): y = a x >0; y > 0
0, Si x 1º) Si 0
[FIEE-UNMSM]
, Si x -
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, Si x 2º) Si a>1; y = a x = 0, Si x -
FUNCIÓN LOGARITMO f: R R/ f(x) = loga x ; ( y = loga x ) ; a>0; a 1 [FIEE-UNMSM]
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Dom(f): x>0 Ran(f): yR
1º) Si 0 < a < 1
2º) Si a >1
[FIEE-UNMSM]
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FUNCION: PAR – IMPAR Y PERIÓDICA: Sea f:R R / y=f(x) 1º) f es par f(-x) = f(x), x, -x Dom(f) El gráfico de f es simétrico al eje y 2º) f es impar f(-x) = -f(x), -x, x Dom(f) El grafico de f es simétrico con respecto al origen. 3º) f es periódica Sii: f(x+p) = f(x) x, x+p Dom(f) P: Período; P>0 Ejercicios: 1. Sea f ( x) ln( x x2 1) Hallar f -1 Si Solución. Dom ( f ): x R f -1 si y solo si f es inyectiva [FIEE-UNMSM]
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f es inyectiva si y solo si: f(x 1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R En efecto: Si f ( x1 ) f ( x2 ) ln( x1 x12 1) ln( x2 x22 1)
x1 x12 1 x2 x22 1 ( x1 x2 ) 2 (
x22 1
x12 1) 2
x12 2 x1 x2 x22 x22 1 x12 1 2 ( x12 1)( x22 1) x12 2 x1 x 2 x 22 0 ( x1 x2 )2 0 x1 x2 0 x1 x2
f es inyectiva f -1 A partir de: y ln( x x 2 1) ; intercambiamos variables x ln(Y Y 2 1) ; Y
f 1 ( x )
e x Y Y 2 1 (ex Y )2 ( Y 2 1) 2 e
2 x
2e Y Y Y 1 Y x
1
f ( x)
2
e x
2
e x 2
e x e x 2
;Y
f 1 ( x)
Senh( x)
2.
Sea
x x 2; x 2... f 1 f ( x ) x x ; x 4... f 2
Hallar f -1 si Solución.
f -1 i) f es inyectiva ii) Ran( f 1 ) Ran( f 2 ) = [FIEE-UNMSM]
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i) f es inyectiva si y solo si f 1 y f 2 inyectiva
f 1 es inyectiva si y solo si f 1 (x1) = f 1(x2) x1 = x2 x > 2 …. D( f 1 ) en efecto si f1 ( x1 ) f2 ( x2 ) x1 x1 2 x2 x2 2 ................
x1 x2 f1 es inyectiva ( ejercicio )
f 2 es inyectiva si y solo si f 2 (x1) = f 2 (x2) x1 = x2 x < - 4 …. D(f 2 ) en efecto si f 2 (x1) = f 2 (x2) ………….
x1 x2 f2 es inyectiva ( ejercicio )
ii)
Ran (f 1): y f 1 ( x) x x 2 , x 2, y 4, R( f1 ) D( f 11)
D( f1 ) R( f 11)
Ran (f 2): y f 2 ( x) x x ; x ,4 y , 6 R( f 2 ) D( f 21)
D( f 2 ) R( f 21 )
Como R ( f 1) R ( f 2 ) = 4, -,-6 = f -1 existe f = f 1 f 2 f -1 = f 1-1 f 2-1 a) ¿ f 1-1? A partir de y f 1 ( x) x x 2 intercambiamos variables
x
[FIEE-UNMSM]
Y
Y, Y = f 1-1(x)
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x Y Y
2 Y 2 x 2 2 xY Y 2
Y 2 (2 x 1)Y x 2 2 0 Y
f11 ( x)
2 x 1 4 x 9 2
2 x 1 4 x 9 2
; x 4,
b) ¿ f 2-1? y x x Intercambiando variables x Y
Y
Y
Y 2 x 1 (2 x 1)2 4 x 2 2
f 21
2 x 1 1 4 x 2
2 x 1 4x 9 2
; x 6
; x 4
f 1 ( x ) =
2 x 1 1 4 x 2
; x 6
3. Sean: 2 x 2 ; si 3 x 2..... f 1 f ( x ) 1 x 2 4; si x 4..... f 2
g ( x)
x2 4
tal que f
h1 g, hallar la funcion h.
[FIEE-UNMSM]
3; si x , 4 0, 2
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NOLAN JARA J.
Solución:
x 2 4; Si x2 4 0 sii x , 2 2, x 4 2 x 2, 2 4 x ²; Si x 4 0 sii 2
x 2 4 3; si x , 4 g 1 g ( x) 4 x 2 3; si x 0, 2 g 2
Como f = h-1 o g , si g -1
fog 1 (h 1og )og 1 h 1o (gog 1 ) h 1oI h 1 ( fog 1 )1 (h 1 ) 1 h ( fog 1 ) 1 gof 1
h gof 1 ......(*)
f -1 f 1 y f 2 son inyectivas y Ran( f 1 ) Ran( f 2 ) = 1º) i) f 1 es inyectiva f 1 (x1) = f 2 (x2) x1 x2x 3, 2 2 ( x1 ) 2
x1
2 ( x2 ) 2
x1
2
x2
2
x1
x2
x2 f 1 es inyectiva
ii) De igual manera f 2 es inyectiva
2º)
R(f 1): y -2,-1
[FIEE-UNMSM]
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R(f 2): y <-, 1- 23 R(f 1) R(f 2) =
De (1º) y (2º): f -1 , f -1= f 1-1 f 2-1
¿ f 1-1? y 2 x 2
x 2 Y 2 Y f 1 ( x) 2 x ; x 2, 1
Y 3, 2
¿ f 2-1? y
1 x 2 4 x 1 Y 2 4 Y f 21 ( x) x 2 2 x 5
x ,1 2 3
Y , 4
2 x ; si x 2, 1 f 11 Ahora f 1 ( x) 2 1 4 ( x 1) ; si x ,1 2 3 f 2
h gof 1 ......(*)
h ( g 1 g 2 ) o ( f 11 f 21 )
h g1of11 g1of 2 1 g 2of1 1 g 2of 2 1
D( g1of11 ) : x D( f11) f 11( x) D( g 1) 2 x 1 2 x 4 [FIEE-UNMSM]
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2 x 1
D( g1of 21 ) : x D( f 21) f 21( x) D( g 1) x 1 2 3 4 ( x 1) 2
, 4
x 1 2 3 4 ( x 1) 2
4
x 1 2 3 4 ( x 1) 2
4
x 1 2 3 4 ( x 1) 2 16 x 1 2 3 ( x 1) 2 12 x 1 2 3 ( x 1 2 3 x 1 2 3 ) x 1 2 3 ( x 1 2 3 x 1 2 3 )
x ,1 2 3
D( g1of 21 ) : x ,1 2 3 ( g1of 21 ) ( f21 ( x)) 2 4 3 x 1 3 x 2
g1 ( f 21 )( x) x 2, x ,12 3
D( g2of11 ) x Df11 f11 ( x) Dg 2 2 x 1 2 x 0, 2
2 x 1 2 x 2
x 2, 1 .....D (g 2of 1 1 )
g 2 ( f11 ( x)) 4 ( f11( x)) 2 3 x 2 3
g 2 ( f 11 )( x) x 2 3;2 x 1
D ( g 2 of 2 1 )
x Df21 f 21 Dg 2 [FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
x 2, x ,12 3 h =g o f -1= x 2 3; x 2, 1
Mas Ejemplos. 1) Sea f ( x) log a x x 2 1 ¿f es impar? Dom ( f ): xR f(-x) = -f(x) -x, x Dom(f)
f ( x) log a x 2
1 x Racionalizando
1 log a x x 2 1 f ( x) f ( -x ) log a x x 2 1
[FIEE-UNMSM]
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2 ) Sea: f ( x) Sen
x
x
Cos
3
3
Dom(f): xR Ran(f): y Sen
y
Sen
x
x
Cos
3
3
Cos 0
x 3
0
x 3
>0 y
x
x
3
3
Sen Cos ; a a ; a>0 2
x x y Sen Cos ; a a 2 3 3 y
Sen
x
2
Cos
3
x
2
x
x
3
3
2 Sen Cos
3
2
2
x x x x y Sen Cos 2 Sen Cos 3 3 3 3
x
y
Sen 2
y
1 Sen
0 Sen
2 x 3
3
Cos 2 2x 3
x 3
x
3
3
.......(*)
1 1 Sen
[FIEE-UNMSM]
x
2Sen Cos
2x 3
2
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NOLAN JARA J.
1 1 Sen
2x 3
2
y 1, 2 (Ran(f)) de (*): f ( x) Sen
x 3
Cos
x
1 Sen
3
2x 3
f(x+P) = f(x) 2 1 Sen ( x P ) 3
2
1 Sen x 3
2x 2 x 2 P Sen 3 3 3
Sen
Sen
2 x
2 2 x 2 P Cos P Cos Sen 3 3 3 3
1
Cos
2 P 3
Sen
2 P
1
3
0
P min
3
0
2 P 3
K P 3
Sen
2x
2 P 3
K
K 2
K Z +
3 2
[FIEE-UNMSM]
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3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1000, es
100000 p(t) = 100 900e t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuánto tarda la población en llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900. SOLUCION. y:Población ; t:tiempo y p (t )
100000 100 900e
p(0) 100 ; si t
[FIEE-UNMSM]
t
=
1000 1 9e t
;t
0 Dom( p )
y 1000 y p (t ) 100,1000 Ran( f )
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NOLAN JARA J.
La función P es inyectiva existe la función inversa de P y p (t )
1000 1 9e
t
1 9e t
1000 y
e t
9 y 1000 y
9 y t ln 1000 y cuando y 900 t ln 81 t 4 ln(3) 4.394449154 años Por ejemplo sea la expresión: x 2n ; x 2n, 2 n 1 , n f ( x) 2n 2 x ; x 2 n 1, 2 n 2 , n a) Verifique que f es una función de R en R . Solución.
Si:
(2n 1) 2n 1 2n 2 (2n 1) 1 n f : R R; D( f ) : x R
x 2n 1 f ( x )
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
b) Encuentre el mayor conjunto A R donde la expresion g(x)=
f ( x) x
define una funcion.
Solución:
1 2n ; x [2n, 2n 1]; x 0 f ( x ) g ( x ) x x 2n 2 1; x [2n 1; 2n 2 x 1; x 0,1 2 (n 0) 1; x [1, 2 x 2 1 ; x [2,3 x g ( x) (n 1) 4 1; x [3, 4 x ... .
.
A R0 .
c) Grafique g: AR
[FIEE-UNMSM]
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Solución: y
1 x 0
1
2
3
4
1 d) Pruebe que para todo n la función F: 2n 1, 2n 2 0, 2n 1
Definida por F(x)=g(x), es biyectiva. Encuentre la inversa de F. Solución: F ( x ) g ( x )
2n 2 x
1; x [2n 1, 2n 2
F es biyectiva si y solo si 1º) F es inyectiva (si es inyectiva,demuéstrelo) 2º) F es sobreyectiva
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
2n 1 x
1
2n 2....D( F )
2n 2
1 2n 2
1
x
1 2n 1
2n 2
2n 1 1 ;n 0 1 2n 1 x 1 y F ( x) 0, : R( F ) 2n 1 F es sobreyectiva de (1º) y (2º): F es biyectiva
x 2n 2
1 1 como; R( F ) : y 0,1] 0, ] 0, ] ... 3 5 1 1 Como : 0,1] 0, ] 0, ] ... 3 5
F 1 no existe.
[FIEE-UNMSM]
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS Sabemos que la ecuación de la hipérbola equilátera con eje focal en el eje x y centro en el origen de coordenadas es x2-y2 = 1 ......... (Hipérbola)
(*)
Definamos a: x
y
et
et 2
et
et 2
cosh(t );t R ; x 1 senh(t ); t R ; x R
En (*) 2
2
et et et e y 1 x ² y ² Cosh (t ) Senh ( t ) 2 4 (4) 1 2 2
2
Cosh2 (t ) Senh2 (t ) 1 et 1 2t R x et et 1 t R 2 et
et et y R ; t R 2
et
et 2
et
et 2
cosh t …función coseno hiperbólico de t
senht … función seno hiperbólico de t
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO:
e x e x f : R R / y f ( x ) cosh( x ); cosh( x ) 2
Dom(f): xR Ran(f): y 1
FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO: [FIEE-UNMSM]
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e x e x f : R R / f ( x ) senh(x ); senh(x ) 2 Dom( f ): xR Ran( f ): y R
2. Sea f ( x) ln( x x2 1) Hallar f - 1 Si Solución. Dom ( f ): x R Ran( f ): y R f - 1 si y solo si f es inyectiva f es inyectiva si y solo si: f(x 1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R [FIEE-UNMSM]
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En efecto: Si f ( x1 ) f ( x2 ) ln( x1 x12 1) ln( x2 x22 1)
x1 x12 1 x2 x22 1 ( x1 x2 ) 2 (
x22 1 x12 1) 2
x12 2 x1x2 x22 x22 1 x12 1 2 (x12 1)( x22 1) x12 2 x1 x 2 x 22 0 ( x1 x2 )2 0 x1 x2 0 x1 x2
f es inyectiva f -1 A partir de: y ln( x x2 1) ; intercambiamos variables
-1 x ln(Y Y 2 1) ; Y = f (x)
e x Y Y 2 1 (ex Y ) 2 ( Y 2 1) 2 e
2 x
2e Y Y Y 1 Y x
1
f ( x)
2
e x
2
e x
[FIEE-UNMSM]
2
e x e x 2
;Y
f 1 ( x)
Senh( x) ; si f 1 (x ) g (x )
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Función Tangente Hiperbólica
sen h( x) e2 x 1 f : R R / y f ( x) tg h( x ); tgh( x ) 2 x h x e 1 cos ( ) Dom( f ): x R Ran( f ): y 1,1
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Función Cotangente Hiperbólica
cosh( x) e2 x 1 f : R R / y f ( x) cotg h( x ); cotgh( x ) 2 x senh x ( ) e 1
Dom( f ): x R- 0 Ran( f ): y , 1 1,
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Función Secante Hiperbólica
1 2e x 2 x f : R R / y f ( x) sec h( x ); sech (x ) h x cos ( ) e 1
Dom( f ): x R Ran( f ): y 0,1
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Función Cosecante Hiperbólica
1 2e x 2 x f : R R / y f ( x) cosec h(x ); cosech(x ) senh x ( ) e 1
Dom( f ): x R- 0 Ran( f ): y R- 0
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PRACTICA DE FUNCION REAL DE VARIABLE REAL I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por: 1 x
1) f ( x)
x ² 2
2) f ( x)
x 1 x ² 4
3) f ( x) x 1 x 5) h(x) =
4 x
x 4 1
6) f ( x)
7) f ( x)
x x ² 16 x x 2 x 1 x
x 2 x 1 2 x
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8) f ( x)
2 x² 2 x 3 x
9) f ( x) 4 4 3 x x ² ² IHallar el dominio y rango de f, si f es la función definida por: 1) f (x) =
1 x 1 x
(graficar)
2) f(x)= 2 x x ² (graficar) 3.- f ( x) 4.- f ( x)
2 x
x 2 9 x 4 x 2
x 2
5.- f ( x) 1 1 x 6.- f ( x)
7.- f ( x )
x x x
x
x 1 3 1 x 3
; x 2, 4
x x 8.- f(x)=x 2 4 x ; x 0, 6 2 3 Hallar el Dominio Rango y Graficar la función f, si:
x ², si x 0 1) f(x) = x , si 0 x 1 x , si x 1 x , si x 0 2) f(x) = x , si 0 x 1 1 x² , si x 1
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1 x, si x 1 3) f(x) = x - 1 , si 1 x 2 5 - x² , si x 2 4x
4.
f(x)=
5.
f= x,
6.
7. 8.
x2 1
x x 2
x x 2 1 0
x 2 16 f ( x) x+4 3 4x-25 x-6 1 f(x)= x-1 x 1
; si 0 7
2x-1
f(x)=
9.
1 x f(x)= x x
10.
f(x)=x 2
x x 4 x 2 3
11.- f ( x)
1 x ² 2
12.- f ( x)
x ² x ² 4
x 13.- f ( x, ) x 4 14.- f ( x)
; si -6 x - 4
x 2
x ( x 2
4) 0
4 x 4
x
2
4
15.- f ( x ) = ( x ) – 2 (x ² - 9) + ( 1- x ³ ), :función escalón unitario 16.- f ( x ) = u( x 2 4 )-3u(x ³-1) + 2u(5x-x²) ,u: función escalón unitario 17.- f(x)= x x
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18.- f(x)= 9 x² sgn(
x2 x -1
2 x 5 1 x 3
)
2 ; x 2, x 6 7 6 x 19.- f(x) = 4 sgn( x ² 1) x ² ,1 x 2 1 x 2 x ², x 1
7 x 15 20.- f ( x) 2x ; x 1, 0 x 1 1 21.- f ( x) x x II) Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que:
x 2 4 x 8 1.- sgn sgn 0 x 9 5 x 4 x 2 1 x ² 1 sgn 2.- sgn 0 x 2 2 x III) En las siguientes funciones: Hallar su Dominio, Rango, si es periódica hallar su periodo mínimo y luego hacer su gráfico: a.
y = 5 Sen4x
c. -
y = sen 23 x cos 23 x
b.
y = Cos2x
d.
y = sen 2 x
e.- f ( x) 2 x 2x 3 3 g.- f(x)=[/2x/]-2[/x/]
i.- f(x)=sen( x) 4
2
2
3
3
f.- f(x)= sen x cos x h.- f(x)=x-[/x/] k.- f(x) = cos(
2 3
x )
¿ Es periódica la función y senx sen 2x ?. Explicarlo. IV)
Sean las funciones:
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x 1 sgn(3 x ) ; x 0,6 1.- f(x)= 2 ; x 6,10 x
x2 g(x) = x x 2
; x
8,3
; x 3,8 f g ; f g ; g f si . g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
2.- g = { (3,6);(5,9);(7,5);(8,4) } ;
h = { (3,9);(5,2);(8,7) }
Hallar f tal que: f g = h 1
1
x
a 2 x 2
3.- f ( x) x ; g ( x) a 2 x 2 Hallar h tal que: f h = g
x 2 ;x -1,1 3 x 4.- f ( x ) 2 x 1 1 ; x 1,2 2 x 1 g( x) x 1
;x
- 2,-1
; x
0,3
f g ; f g ; g f si . g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
x 6 1 ; x -1,8 x 3 5.- f ( x ) x 2 16 ; x -5,-3 6 x
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1 2 x g ( x ) 1 x
;x
-1,1
;x
1
f g ; f g ; g f si . g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
3 x 1 ; x 1 6.- f (x ) = /x-3/ + /x+1/ y g (x) = 2-x;x 1 Hallar f + g, f-g, f/g, fog si .
1 2 x ; - 3 x -1 x² ; x 0 y g(x)= 7.- f(x) = senx ; 0 x 4 cos x ; x 0 f g ; f g ; g f g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
x² 6 x, si... x 2 8.- f ( x ) = x 2, si... x 2
si .
g(x)=2x-4 ; si x>2
f g ; f g ; g f si . g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
8.- f x, x² / x x 1 0 y g x, 3 - x / 1 x 3. Hallar fog-1 si 9.- f ( x) x² 4 y g = {(-1,-2 2 );(2,-1);(4, 5 );(3,4);(7, 5 )}. Hallar fog 10.- Si f (x) = x4 +2x² + 2 , hallar dos funciones g , para los cuales: (fog)(x)= x4 - 4x²+5 11.- hallar f(x); si: g(x)= 12.- f (x) =
1 x 3
1 sec x
; g(x)
y f(g(x))
senx 1 cosx
2-x
f g ; f g ; g f si . g f
Hallar: f g ; f.g ; ;
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V) Mostrar que el grafico de la función f(x)= log a x x ² 1 , a 1 , es simétrica con respecto al origen de coordenadas. VI) Sea f(x)= 4 x² sgn(
x
) probar que f es una función impar en su dominio x² - 1
VII) Hallar: f(1/x) ; f(f(x)) , si: 1) f(x) =
x x 1
; 2) f(x) =
x x 1
Hallar: FoG ; GoF si existen , indicando su dominio 1) F(x) =
x 3 2
, G(x) = x 1
3) F(x) = x ² 1 , G(x) =
2 x 3
6 x
;
2) F(x) =
;
4) F(x) = lnx , G(x) = x²-9
x ² 9
, G(x) = 3 x
VIII) Probar que las siguientes funciones son inyectivas y hallar su inversa: 1) f(x)=
x 1 2 x 1
; 2) f(x)= x 1 : 3) f(x) =
x 1 x
; 4) f(x) =
e x
e x 2
IX) Hallar la composición de f con la inversa de f para las funciones del problema VIII X) Hallar la composición de la inversa de f con f para las funciones del problema VIII XI) Si f(x) = 2x +lnx , encuentre f -1(2) XII) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) =
100000 100 900e
t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900. XIII) Si: f x, x² / x x 1 0 y g x, 3 - x / 1 x 3. Hallar fog-1 si
XIV) Hallar f -1 si existe:
x ² 6 x 8 ; x -4 1.- f ( x) x 3 ; - 3 x 0 x - 1 ; x 10 [FIEE-UNMSM]
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2.- f(x)=- x² 6 x 7 ; x -7 3.- f(x)=- x² 8x 9 ; x -9
x ² 6 x 8 ; x -4 4.- f ( x) x 3 ; - 3 x 0 x - 1 ; x 10 2 ; x 2, x 6 7 6 x 5.- f(x) = 4 sgn( x ² 1) x ² ,1 x 2 1 x 2 x ², x 1 6.- f(x) = x - x ; x - 4 . 7.- f(x)= x 4 x +5
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