ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR Segmento de recta orientado que permi te representar a las magnitudes físicas vectoriales, vectori ales, manifestándose a través de dos características fundamentales: módulo y dirección.
MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES
L : Representa al módulo : Dirección del vector NOMENCLATURA :
SUMA DE VECTORES Consiste en descubrir un vector único denominado resultante que produce los mismos efectos que el conjunto de vectores dados. Existiendo para ello diversos métodos. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Para vectores consecutivos: Tg =
Para vectores concurrentes; el módulo de la resultante (R) de dos vectores se obtiene por el Método del Paralelogramo, así:
Se dibuja el vector resultante Uniendo el punto inicial con el punto final de los vectores consecutivos: O sea: Se obtiene
R=7
OBSERVACIONES: MÉTODO DEL POLÍGONO
FORMAS DE HALLAR COMPONENTES
LOS
MÓDULOS
DE
LAS
OBSERVACIÓN: (TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES)
Vector Opuesto:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01.
Dos Dos vect vectore oress for forman man un ángu ángulo lo de 120 . Uno de ellos tiene 10 unidades de magnitud y form a un ángulo de 90 con el vector suma de ellos. La magnitud del vector vector suma es: A) 5,7 B) 8,6 C) 10,3 D) 17,3 E) 34,6
04. 04.
Calcu Calcular lar el módulo módulo de la resul resulta tante nte::
02.
Dos Dos vecto vectore ress y forman forman entre entre sí, un ángu ángulo lo de 45 y el módulo del vector es . Hallar el módulo del vector para que la resultante de los vectores forme con el vector un ángulo de 15 .
A) D)
05. 05.
u B) u E)
u u
C)
u
Se tiene tiene dos vect vectore oress de 7 y 15 cm que forman forman un ángulo de 53 . Hallar el ángul o formado por la resultante y el vector menor. A) 30 B) 37 C) 53 D) 45 E) 60
A) 1,73 D) 0,41 03.
B) 1,41 E) 2,73
C) 0,73
La resu resultan ltante te de dos vectore vectoress “A” “A” y “B” es es 50 u. Si Si el ángulo que forma la resultante con el vector “B” es 16 y el módulo de “B” es 88/3, determinar el ángulo que forman forman los vectore vectoress y y el módulo módulo de “ ” A) 30 ; 70/3 u D) 37 ; 50/3 u
B) 37 ; 70/3 u C) 53 ; 50/3 u E) 30 ; 50/3 u
06.
Si el módulo módulo de la suma de dos vector vectores es y de igual igual módulo, es el triple de módulo de su diferencia, hallar el ángulo formado por y . A) 30 B) 37 C) 45 D) 60 E) 90
mínima es 3. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen 90 ?
A) 10 D) 15 08.
B) 12 E) 18
C) 14
Calcular el módulo del vector de tal manera que la resultante sea la menor posible | | = 50 A) 37 D) 45
13. A) 30 D) 70 09.
B) 40 E) 50
C) 60
Hallar el valor de la resultante en el siguiente sistema mostrado, si ésta se encuentra en el eje “X”.
14.
A) 50 D) 40
B) 30 E) 37
¿Qué ángulo forma la resultante con el eje positivo de las “x”?
A) 60 D) 53
B) 73 E) 30
B) 6 E)
C) 60
Si la resultante en el eje “X” es 10, hallar
A) 30 D) 53
B) 37 E) 60
C) 45
Hallar el valor de “” para que la resultante del sistema sea cero.
C) 45
A) 15 D) 60
Hallar el módulo de la resultante
A) Cero D)
B) 15 E) 75
C) 70
15.
12.
11.
C) 30
Si R forma un ángulo de 15 con el eje “Y”, hallar
A) 10 D) 30
10.
B) 53 E) 60
C) 7
¿Qué ángulo forma la resultante con el eje “X”, si Tg = 1/4?
B) 30 E) 37
C) 45
TAREA 01.
Hallar la resultante de los vectores mostrados, si A = B = C = 20
A) 50 D) 20 02.
07.
B) E) 2
si : A=5
; 08.
09.
C) 7
C) 8
B) 8 E) 8
C) 6
¿Qué ángulo forma la resultante con el eje de las “x”?
A) 30 D) 53
10.
B) 6 E) 8
Hallar la resultante
A) 10 D) 5
B) 300 C) 200 E) 800
B) 6 E) 10
Determinar el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores
A) Cero D) 6
C) 9
Hallar la resultante
A) 5 D) 8
B) 60 C) 90 E) 150
C) 5
Del gráfico mostrado calcular el módulo del vector “A” para que la resultante sea vertical.
A) 400 D) 600 05.
C) 15
En el sistema mostrado, hallar : B= ;C=4
A) 3 D) 10 04.
B) 4 E) 10
Hallar la resultante
A) 30 D) 120
En el siguiente sistema de vectores hallar el módulo de la resultante, si el lado de cada cuadradito mide “1”.
A) Cero D) 8 03.
B) 10 E) 40
06.
B) 45 E) 60
C) 37
Determinar el módulo del vector resultante
A) 1 cm B) cm D) cm E) Cero
C) 2 cm
MRU - MRUV CINEMÁTICA Es parte de la mecánica Estudia el movimiento en sí, sin tomar en cuenta sus causas y la acción de fuerzas extrañas La palabra viene del griego “kinema”, que significa: movimiento
: Desplazamiento
MOVIMIENTO: Un cuerpo está en movimiento cuando: cambia la posición con relación a otros puntos que se consideran fijos, los cuales constituyen el llamado: sistema de referencia. Por ejemplo: En la figura, el auto cambia de posici ón con relación al sistema de referencia del poste. MÓVIL: Cuerpo o partícula que se mueve Gráficamente:
En general: Además ... Tanto el reposo como el movimiento tienen caracteres relativos, de modo que una persona dentro de un ascensor en movimiento esta : i) En reposo, con respecto al ascensor, pero ... ii) En movimiento con respecto a una persona en tierra VECTOR POSICIÓN: Es aquel vector que fija las diferentes posiciones que va tomando un cuerpo; tiene como origen el “Origen de coordenadas” y como extremo final el punto donde se ubica el cuerpo. TRAYECTORIA: Es la línea (recta o curva) que va ocupando en el espacio una partícula en movimiento. DESPLAZAMIENTO ( ) -
Es un vector Representa el cambio de posición de una partícula en movimiento
DISTANCIA RECORRIDA (d) -
Es la longitud o medida de la trayectoria del móvil En general: : Vector posición inicial : Vector posición final
INTERVALO DE TIEMPO: Es el tiempo empleado en realizar un acontecimiento, el cual se representa por la siguiente relación:
Además: Instante : Se define así al intervalo de tiempo pequeño, tan pequeño que tiende a cero 0 t
VELOCIDAD ( ): Magnitud física vectorial cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo. Características: Es tangente a la trayectoria en todos sus puntos Define el sentido del movimiento
MOVIMIENTO ELÍPTICO Unidad en el S.I.: NOTA: Al módulo de la velocidad (
)
se le llama rapidez 2.
Aceleración ( ) . Es una magnitud física vectorial cuyo módulo mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Unidad S.I.:
Por su rapidez a) Uniforme: El módulo de la velocidad permanece constante. b) Variado: El módulo de la velocidad varía con respecto al tiempo.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Además: La aceleración aparece cuando varía la velocidad El sentido del vector aceleración no necesariamente coincide con el sentido del movimiento del cuerpo
Características: La trayectoria es una línea recta La velocidad permanece constante El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales
CLASIFICACIÓN DEL M OVIMIENTO 1.
Por su trayectoria a) Rect ilíneo: Cuando la trayectoria es una línea recta; así por ejemplo: una pelota que rueda por el piso
b)
Curvilíneo : Cuando la trayectoria es una línea curva. Se puede presentar de las siguientes formas conocidas:circular, parabólico y elíptico.
Se cumple:
TIEMPO DE ENCUENTRO (tE )
TIEMPO DE ALCANCE (tA )
MOVIMIENTO CIRCULAR
Condición : V1 > V2
Además: MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Características: La trayectoria es una línea recta Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales La aceleración permanece constante
donde: (+): Movimiento acelerado (-): Movimiento retardado dn : Distancia recorrida en el n-ésimo segundo ¡Recuerda! * En el MRUV acelerado, la velocidad aumenta * En el MRUV retardado, la velocidad disminuye
TIPOS DE MOVIMIENTO
* Si el móvil parte del reposo entonces V i = 0
Movimiento Acelerado
LOS NÚMEROS DE GALILEO: Todo móvil que parte del reposo con aceleración constante tendrá la característica de recorrer en tiempos iguales distancias proporcionales a los números: 1; 3; 5; 7; 9; .... ; (2n1)
Movimiento Retardado (Desacelerado)
ECUACIONES DEL MRUV 1.
2.
3.
4.
PROBLEMAS PROPUESTOS 01.
02.
Un auto sube una cuesta de 100 km con velocidad de 25 km/h y baja la m isma c uesta con una velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto menos se demora el auto en bajar que en subir? A) 1 h B) 1,5 h C) 2 h D) 2,5 h E) 4 h Un automóvil con velocidad constante de 50 km/h va de una ciudad A hasta una ciudad B situada a 150 km
total es de 5 h. ¿Cuál fue la velocidad durante el recorrido de B hasta A? A) 10 km/h B) 25 km/h C) 75 km/h D) 150 km/h E) 80 km/h 03.
Un tren de 120 m de longitud se demora en pasar por un puente de 240 m de largo un tiempo de 6 minutos. La velocidad del tren es en m/s : A) 1,5 B) 1 C) 2,5
04.
Se tiene 2 móviles separados por 100 m. Si parten al encuentro con velocidades de 90 km/h y 35 m/s, ¿al cabo de qué tiempo estarán separados por 500 m? A) 20 s B) 10 s C) 30 s D) 40 s E) 5 s
05.
Un móvil que se mueve con MRUV partiendo del reposo alcanza una velocidad de 20 m/s, luego de 5 segundos. ¿Cuál será la distancia recorrida en el quinto segundo de su movimiento? A) 5 m D) 18 m
06.
07.
Un móvil con MRUV recorre 60 m en 4 s. Si en dicho tramo, la velocidad se triplicó, calcular la velocidad al terminar los 60 m A) 45 m/s B) 15 m/s C) 7,5 m/s D) 5 m/s E) 22,5 m/s Un móvil parte del reposo y adquiere un MRUV. Si transcurrido un tiempo “t” posee una velocidad “V” y luego recorre 15 m en 3 s adquiriendo una velocidad de “4V” en dicho instante, hallar “t” A) 0,5 s B) 1 s C) 1,5 s D) 2 s E) 2,5 s
09.
Un automóvil posee una velocidad de 20 m/s. Si desacelera uniformemente y se detiene luego de recorrer 50 m, ¿cuál es el valor de su desaceleración? A) 1 m/s 2 B) 2 m/s 2 C) 3 m/s 2 2 2 D) 4 m/s E) 5 m/s
10.
Un auto parte del reposo y viaja durante 20 s, en ese instante tiene una velocidad de 30 m/s. Hallar qué velocidad tenía a los 8 s de iniciado su recorrido A) 10 m/s B) 9 m/s C) 16 m/s D) 15 m/s E) 12 m/s
12.
13.
Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera uniformemente a razón de 2 m/s 2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de su movimiento? A) 18 m B) 20 m C) 14 m D) 29 m E) 49 m Dos autos están separados 100 m uno delante del otro. Parten del reposo en la misma dirección y en el mismo instante. El primero con una aceleración de 5 m/s 2 y el segundo con una aceleración de 7 m/s2 . ¿Al cabo de cuánto tiempo el segundo alcanza al primero? A) 10 s B) 8 s C) 6 s D) 4 s E) 2 s Un móvil al pasar por un punto “A” posee una velocidad de 10 m/s; luego de 4 s pasa por un punto “B” con una velocidad de 30 m/s. ¿A qué distancia de “A” inició su movimiento del reposo? A) 10 m B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 50 m
Un auto parte del reposo con MRUV. Hallar la distancia que recorre durante 50 s, si al terminar el primer segundo su velocidad fue de 10 m/s A) 10 km B) 12,5 km C) 15 km D) 8 km E) 16 km
TAREA 01.
Dos autos se encuentran frente a frente y separados por 240 m. Si parten simultáneamente al encuentro con velocidades iniciales de 4 m/s y 6 m/s y con aceleraciones de 2 m/s2 y 3 m/s 2 respectivamente, hallar las velocidades de cada auto en el momento del choque en m/s. A) 10 y 20 B) 15 y 30 C) 20 y 30 D) 16 y 24 E) 20 y 40
02.
Un auto viaja con una velocidad de 10 m/s y divisa 13 m delante de él un camión, que viaja a una velocidad constante de 36 km/h en el mismo sentido que el auto. Si el auto para rebasar el camión acelera con a=2m/s2, calcular el tiempo necesario para lograrlo. (Longitud del auto y camión: 3 m y 9 m respectivamente) A) 5 s B) 7 s C) 10 s D) 13 s E) 12 s
03.
Un auto arranca con aceleración constante de 3 m/s2 en ese mismo instante, un camión que lleva una velocidad constante de 9 m/s se encuentra junto al auto y lo pasa, entonces la distancia que recorrió el auto hasta que alcanza al camión es : A) 42 m B) 50 m C) 30 m D) 54 m E) 27 m
04.
Un coche parte del reposo y adquiere un MRUV, recorre en los 2 primeros segundos 40 m. ¿Cuánto recorre en los 2 segundos siguientes? A) 40 m B) 60 m C) 80 m D) 100 m E) 120 m
05.
Dos ciclistas parten simultáneamente del mismo punto, uno parte del reposo, con aceleración constante de 3 m/s 2 y el otro parte con velocidad de 18 m/s sin acelerar, entonces el tiempo transcurrido hasta que vuelven a encontrarse es : A) 10 s B) 6 s C) 4 s D) 12 s E) 8 s
06.
Un móvil con MRUV aumenta su velocidad desde 72 km/h hasta 144 km/h empleando para ello 2 s. ¿Cuál es su aceleración? A) 1 m/s 2 B) 2 m/s 2 C) 3 m/s 2 2 2 D) 4 m/s E) 10 m/s
07.
Un móvil parte del reposo y acelera con 3 m/s2, un tiempo después aplica los frenos y su retardación es de 6 m/s 2 hasta que se detiene. Si su viaje duró 30 s, ¿qué distancia ha recorrido? A) 120 m B) 900 m C) 600 m D) 300 m E) 1 200 m
B) 30 m C) 40 m E) 60 m
08.
11.
15.
B) 10 m C) 16 m E) 20 m
Un automóvil parte del reposo acelerando uniformemente con 4 m/s 2. ¿Qué distancia recorre en los 5 primeros segundos? A) 20 m D) 50 m
el último segundo recorre 6 m. ¿Qué velocidad tenía cuando se encontraba a 24 m del punto donde se detiene? A) 12 m/s B) 16 m/s C) 18 m/s D) 20 m/s E) 24 m/s
08.
Un camino se puede recorrer en 16 horas con cierta velocidad medido en km/h y se puede recorrer en 6 horas menos aumentando su velocidad en 6 km/h. ¿Cuál es la longitud del camino? A) 16 km B) 32 km C) 320 km D) 180 km E) 160 km
09.
Por un punto “A” una partícula pasa con una velocidad de 40 m/s, 50 m más adelante la velocidad de la partícula es de 60 m/s. ¿A qué distancia de “A” partió la partícula desde el reposo? El movimiento es MRUV. A) 10 m B) 15 m C) 25 m D) 30 m E) 40 m
10.
Un móvil debe recorrer 400 km en 12 horas pero a la mitad del camino sufre un desperfecto que lo detiene una hora. ¿Con qué velocidad debe continuar la marcha para llegar una hora antes de la hora señalada? A) 30 km/h B) 40 km/h C) 25 km/h D) 50 km/h E) 33,3 km/h
CAÍDA LIBRE MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL)
(2)
Tiro vertical hacia arriba
Movimiento efectuado a lo largo de una recta vertical, es producido por la acción de la gravedad sobre el móvil. Se observa en este caso que todos los cuerpos, independientemente de forma, tamaño o naturaleza, caen con la misma aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre, y si el desplazamiento vertical es pequeño en comparación con el radio de la Tierra, dicha aceleración permanece constante durante la caída. La aceleración de un cuerpo en caída libre se denomina aceleración de la gravedad y se representa por la letra “g”.
Para el caso de un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba se cumple, a partir de un nivel horizontal por encima del punto de lanzamiento, que:
CASOS POSIBLES (1)
Tiro vertical hacia abajo
01.
Desde un globo en reposo se deja caer un cuerpo. ¿Qué velocidad tendrá y qué altura habr á descendido al cabo de 10 segundos? (g = 9,8 m/s2) A) 98 m/s; 490 m B) 49 m/s; 490 m C) 98 m/s; 980 m D) 49 m/s; 980 m E) 140 m/s; 230 m
02.
Si una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad de 19,6 m/s, alcanzará la máxima altura de: A) 19,0 m B) 9,8 m C) 29,4 m D) 19,6 m E) 39,2 m
03.
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 4 900 cm/s. ¿Cuánto tiempo tardará en volver al suelo?(g = 9,8 m/s2) A) 7 s B) 9 s C) 6 s D) 8 s E) 10 s
PROBLEMAS PROPUESTOS
04.
Un astronauta en la Luna, lanzó verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad inicial de 16 m/s. Si el objeto tardó 10 segundos en alcanzar el punto más alto de su trayectoria, ¿cuánto valdrá la aceleración lunar? A) 1,2 m/s 2 B) 4,9 m/s 2 C) 6,4 m/s 2 2 2 D) 1 6 m/s E) 3 2 m/s
05.
En la figura mostrada, calcule la altura alcanzada por el objeto en la mitad del tiempo de subida. (g = 10 m/s 2)
A) 100 m B) 135 m D) 230 m E) 270 m
C) 180 m
06.
Se deja caer un cuerpo y se observa que luego de transcurrir 6 s se encuentra a 20 m del piso. ¿De qué altura se soltó? (g = 10 m/s 2) A) 180 m B) 160 m C) 220 m D) 140 m E) 200 m
07.
Una pelota se deja caer desde la cornisa de un edificio y tarda 0,2 s en pasar por una ventana de 2,2 m de altura. ¿A qué distancia se encuentra el marco superior de la ventan cto a la cornisa? (g = 10 m/s2)
A) 6 m D) 3 m 08.
09.
10.
11.
B) 4 m C) 2 m E) 5 m
Tres segundos después de lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba, se observa que su velocidad se ha reducido a la cuarta parte. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará? (g=10 m/s2 ) A) 120 m B) 60 m C) 80 m D) 160 m E) 180 m
12.
Un globo desciende con una velocidad constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 60 m sobre la superficie, desde el globo se abandona una piedra. ¿Qué tiempo se demorará la piedra en llegar al suelo? (g = 10 m/s 2) A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
13.
Se deja caer una esfera y al mismo tiempo se lanza hacia abajo otra esfera con una velocidad de 20 m/s. ¿Después de cuánto tiempo la distancia entre ellas es de 18 m? (g = 10 m/s2) A) 0,1 s B) 0,5 s C) 0,7 s D) 0,9 s E) 1 s
14.
Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba. A los 5 segundos de ser lanzado alcanza una altura “h” de manera que al ascender 25 m más sólo le faltará 2 s para alcanzar su altura máxima. Hallar “h” A) 150 m B) 175 m C) 275 m D) 400 m E) 310 m
15.
¿Qué altura máxima alcanza un cuerpo lanzado desde tierra si en el último segundo de ascenso recorre la mitad de la altura máxima?. (g = 10 m/s 2) A) 5 m B) 10 m C) 15 m D) 12 m E) 8 m
Una piedra es abandonada y cae libremente. ¿Qué distancia logra descender en el quinto segundo de su movimiento? A) 50 m B) 15 m C) 25 m D) 35 m E) 45 m Desde lo alto de un edificio se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. 4 segundos más tarde se deja caer otra piedra. ¿Después de cuánto tiempo de haber sido soltada la segunda piedra, am bas se llegan a encontrar? A) 4 s B) 5 s C) 6 s D) 7 s E) 8 s Dos piedritas se encuentran a una altura de 20 m una se deja caer y simultáneamente el otro se lanza hacia abajo con una velocidad de 15 m/s. Calcular la diferencia de tiempo en llegar al piso. (g = 10 m/s 2) A) 0,5 s B) 1 s C) 1,5 s D) 2 s E) 2,2 s
TAREA 01.
Un objeto es soltado en caída libre y recorre 25 m en el último segundo. Hallar de qué altura fue abandonado. (g = 10 m/s2 ) A) 80 m B) 125 m C) 50 m D) 75 m E) 45 m
02.
Un observador situado a 100 m de altura ve pasar un objeto hacia arriba y 8 s después lo ve pasar de regreso. Hallar la velocidad inicial con la cual se lanza el objeto de tierra. g = 10 m/s 2 A) 40 m/s B) 60 m/s C) 70 m/s D) 50 m/s E) 100 m/s
03.
deja caer y se lanza verticalmente hacia abajo 2 cuerpos idénticos. Si un observador situado en una ventana a una distancia de 5 m de la azotea ve pasar una de ellas y después de 0,5 s ve pasar la otra, hallar la velocidad inicial del cuerpo lanzado. (g = 10 m/s 2) A) 6 m/s B) 6,5 m/s C) 7 m/s D) 7,5 m/s E) 8 m/s 07.
Un cuerpo es lanzado de tierra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Hallar después de qué tiempo se encontrará acercándose a l a tierra a una altura de 60 m (g = 10 m/s2) A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 5 s E) 6 s
A) 2 m D) 5 m 08.
04.
05.
Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/s. ¿En cuánto tiempo la piedra estará descendiendo con una velocidad de 30 m/s2 ? (g = 10 m/s2 ) A) 4 s B) 6 s C) 8 s D) 10 s E) 12 s Desde el marco superior de una ventana se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Si luego de 6 segundos impacta en el piso, ¿a qué altura se encuentra el marco superior de la ventana respecto al piso? (g = 10 m/s2) A) 15 m B) 30 m C) 45 m D) 60 m E) 75 m
De una ducha que se encuentra a 9 m de altura caen gotas de agua en intervalos de tiempos iguales. Si la primera gota llega al piso cuando la cuarta comienza a caer, hallar en dicho instante la distancia de la segunda gota respecto a la ducha. (g = 10 m/s 2)
Un globo aerostático se eleva con una velocidad constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra. Hallar el tiempo que tarda la piedra en llegar a tierra. (g=10 m/s2 ) A) 6 s D) 15 s
09.
B) 3 m C) 4 m E) 6 m
B) 9 s C) 12 s E) 18 s
Desde la parte superior de un edificio, se impulsa verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 20 m/s y cuando impacta con el piso lo hace a 40 m/s. ¿Qué altura tiene el edificio? (g=10 m/s2 ) A) 20 m B) 40 m C) 60 m D) 80 m E) 105 m
10.
Una persona lanza una bomba con una velocidad vertical de 105 m/s la cual explota. Si después de 5 s de haber sido lanzada la persona escuch a la explosión, ¿a qué altura explotó la bomba si fue lanzada de tierra? (g = 10 m/s 2; la velocidad del sonido es 340 m/s) A) 340 m B) 200 m C) 280 m D) 380 m E) 180 m
ESTÁTICA INTRODUCCIÓN La mecánica clásica se basa en tres leyes fundamentales que expresó por primera vez Sir Isaac Newton en 1686, en sus Philosaphiae Naturalis Principia Matemática (Los Fundamentos Matemáticos de la Ciencia de la Naturaleza). No debe creerse, sin embargo, que la mecánica como ciencia comenzó con Newton. Muchos le habían precedido en estos estudios, siendo quizás el más destacado Galileo Galilei, quien en sus trabajos sobre el movimiento acelerado había establecido una gran parte de los fundamentos utilizados por Newton para la formulación de sus tres leyes. Las leyes de Newton no pueden reducirse matemáticamente de ninguna manera, son generalizaciones de observaciones experimentales del movimiento real de los cuerpos materiales y de cómo las fuerzas aplicadas afectan a esos movimientos. En consecuencia, son leyes naturales que describen el comportamiento del mundo externo. En este capítulo sólo utilizaremos la primera y tercera ley de Newton. La segunda ley se estudiará en Dinámica.
F : Fuerza deformadora K : Constante de rigidez (depende del tipo de material) x : Elongación L : Longitud natural (sin deformar)
CONCEPTO Es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar a los cuerpos que se encuentran en equilibrio.
NATURALEZA DE LAS FUERZAS Todas las interacciones se agrupan en tres tipos de fuerzas :
EQUILIBRIO Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto sólo hay 2 posibilidades: está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante
F = Kx
1.
Equilibrio :
FUERZA GRAVITACIONAL Es la fuerza de atracción entre dos cuerpos debido a sus respectivas masas, esta fuerza es muy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo menos uno de los cuerpos tenga una masa muy grande como la del Sol o de los planetas.
FUERZA Cuando suspendemos un cuerpo, golpeamos un clavo, estiramos o comprimimos un resorte, empujamos un automóvil o limpiamos una ventana de vidrio, decimos que estamos interaccionando; la interacción es pues jalar o empujar los demás cuerpos, entonces :
La fuerza es la medida de la interacción que se manifiesta entre dos cuerpos EL PESO : de los cuerpos es una fuerza gravitacional y se debe a que la masa de la Tierra (M) atrae la masa (m) de los cuerpos.
Cabe recalcar que esta interacción puede ser por contacto o a distancia
W = mg
Su unidad en el S.I. es : .................................... MEDICIÓN ESTÁTICA DE LA FUERZA Consideremos el resorte en espiral de longitud (L) que se muestra en la figura, en el extremo de este resorte apliquemos una fuerza (F) vertical hacia abajo, observaremos un aumento (x) en la longitud directamente proporcional a la fuerza aplicada. Robert Hooke fue el primero que estableció esta relación mediante el invento de un resorte compensador para un r eloj. La ley de Hooke se escribe como :
W : Peso del cuerpo m : Masa del cuerpo g : Aceleración de la gravedad *
2.
El peso es un vector que siempre apunta hacia el centro de la Tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende de la aceleración de la gravedad (g).
FUERZA ELECTROMAGNÉTICA Se descompone en : FUERZA ELÉCTRICA : Es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que ambos poseen cargas eléctricas. FUERZA MAGNÉTICA :
fuerza eléctrica cuando las cargas eléctricas están en movimiento. 3. FUERZAS NUCLEARES Son fuerzas que aparecen cuando la distancia entre los cuerpos es menor que 10-15 m y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango. Estas fuerzas explican porque las partículas dentro del núcleo del átomo se mantienen unidas. Todas las diferentes fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional, electromagnético o nuclear. FUERZAS USUALES USADAS EN ESTÁTICA 1. TENSIÓN (T) EN UNA CUERDA Tomemos una cuerda fija en el punto B y jalada desde el otro extremo A mediante una fuerza F
*
Debido al contacto, las moléculas inferiores del cuerpo se comprimen (acercan).
*
En el contacto aparece una fuerza NORMAL (N) para contrarrestar el acercamiento molecular.
*
Separando imaginariamente el cuerpo de la superficie plana representamos la fuerza normal (N) la cual siempre ingresa al cuerpo en forma perpendicular al contacto. Las fuerzas de tensión (T), compresión (C) normal (N) son moleculares y por tanto de naturaleza electromagnética.
LEYES DE NEWTON 1RA. LEY (LEY DE LA INERCIA) La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que : * * *
Debido a la fuerza F las moléculas de la cuerda se separan Para contrarrestar esta separación molecular aparece una fuerza de restitución, llamada TENSIÓN (T) la cual se opone a la fuerza exterior F. Separando imaginariamente la porción MA de la cuerda observamos que la tensión (T) se opone a la fuerza exterior F, ya que en el punto M las moléculas se separan.
2. COMPRESIÓN (C) EN UNA BARRA Tomemos una barra apoyada en el punto B y en el otro extremo A apliquemos una fuerza F que comprime la barra
* *
*
Debido a la fuerza F las moléculas de la barra se acercan Para contrarrestar este acercamiento molecular aparece una fuerza de restitución, llamada COMPRESIÓN (C) la cual se opone a la fuerza exterior F. Separando imaginariamente una porción MA de la barra observamos que la fuerza de compresión (C) se opone a la fuerza exterior F, porque en el punto M las moléculas se acercan
3. FUERZA NORMAL (N)
Todo cuerpo continúa en su estado de REPOSO o de movimiento a velocidad CONSTANTE mientras que sobre el cuerpo no actúe una fuerza resultante EXTERIOR que lo obligue a cambiar de velocidad La tendencia que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante se llama INERCIA. INTERPRETACIONES DE LA LEY DE LA INERCIA Ejemplo 01 :
Cuando tiramos hábilmente el mantel de la mesa observamos que los utensilios (copas, botella, tazón) tienden a permanecer en reposo. Ejemplo 02 : Si un caballo se detiene de golpe, el jinete sale expelido por encima, porque todo cuerpo en movimiento, por inercia, tiende a seguir en movimiento.
Ejemplo 03 : Algunas veces si no disminuim os la velocidad del auto, éste puede salirse de la carretera en la curva ya que por la ley de la inercia el auto trata de conservar su velocidad constante (en línea recta) Ejemplo 03 : Al clavar con un martillo, éste impulsa al clavo, hacia abajo (acción) y el clavo reacciona sobre el martillo deteniéndolo e inclusive hasta hacerlo rebotar.
: Velocidad excesiva 3RA. LEY (LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN) (Tercera ley de Newton) Descubierta por Isaac Newton y publicada en el mismo año que la ley anterior, establece que : Siempre que un objeto ejerce una fuerza (ACCIÓN) sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual (REACCIÓN) y opuesta sobre el primero. La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes. La acción sobre uno de los cuerpos y la r eacción sobre el otro cuerpo, por esto nunca se anulan.
La acción y reacción actúan en cuerpos diferentes. La acción sobre el clavo y la reacción sobre el martillo. 1RA. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “Si un cuerpo se encuentra en equilibrio entonces la fuerza resultante que actúa sobre él es igual a cero”
INTERPRETACIONES DE LA LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN Ejemplo 01 Cuando un patinador empuja el pasamanos (acción ) éste reacciona y la fuerza de reacción ( ) hace que él se aparte.
Ejemplo 02 : En el lanzamiento de un cohete, éste ejerce una gran fuerza de acción sobre los gases, para expulsarlos, y los gases ejercen una fuerza igual y opuesta de reacción sobre el cohete que lo impulsa hacia arriba.
Si sobre un cuerpo en equilibrio (m) actúan 3 fuerzas, éstas deben ser concurrentes, coplanares o paralelas. Ejemplo :
Para plantear la solución a este problema, podemos escoger cualquiera de las 3 formas que indicamos a continuación. 1. Por descomposición rectangular : trazando un sistema de coordenadas rectangulares. Se debe cumplir que :
a.
B.
Primera solución Por descomposición adecuadamente :
rectangular.
2. Mediante el triángulo de fuerzas, ya que si la resultante es cero, los vectores fuerza deben formar un polígono cerrado.
3. Aplicando el Teorema de Lamy
T = 50 N
DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (D.C.L) Consiste en aislar a un cuerpo y graficar sobre él, primero su peso y luego todas las fuerzas externas que actúan sobre él (tensiones, compresiones, reacciones, etc) Ejemplo 1 : En el sistema mostrado hallar la tensión en la cuerda y la reacción normal del plano inclinado liso, si el bloque pesa 100 N, existe equilibrio
D.C.L. del bloque
N = 50
N
Segunda solución : Mediante el triángulo de fuerzas :
T=K T = 50 N N=K N = 50 N
Ubicando
los
ejes
Aplicando el Teorema de Lamy :
Primera solución :
Fx = 0
N1 - N2 Cos53 =0 N1 = N2 Cos53 Fy = 0 N2 Sen53 - 100=0 N2 = 125 N Reemplazando : N1 = 75 N
Segunda solución :
De (1)
, Tercera solución :
T = 50 N
Por el Teorema de Lamy De (2)
,
N = 50
N
Ejemplo 2 : El sistema mostrado está en equilibrio. Hallar las reacciones normales si el peso de la esfera homogénea es de 100 N y no existe rozamiento
Resolviendo : N1 = 75 N N2 = 125 N
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si el bloque pesa 90 N y las poleas 10 N cada una, hallar el valor de la fuerza que debe ejercer la persona para el equilibrio
A) 1 000 N D) 1 800 N
B) 3 000 N E) 2 500 N
C) 2 000 N
05. Si el bloque A pesa 200 N, determinar el peso de B para mantener el equilibrio. Las poleas pesan 20 N cada uno A) 40 N D) 10 N
B) 30 N E) 80 N
C) 20 N
02. El resorte está comprimido 20 cm. Si la reacción de la superficie sobre la esfera es 200 N, ¿cuál es la masa de la esfera? (g = 10 m/s2; K = 5 000 N/m) A) 50 N D) 70 N
B) 40 N E) 80 N
C) 20 N
06. Si los 3 bloques tienen la misma masa, calcular para el equilibrio (No existe rozamiento)
A) 80 kg D) 120 kg
B) 60 kg E) 100 kg
C) 150 kg
03. En la figura, si el bloque pesa 100 N, hallar la reacción del plano inclinado para el equilibrio
A) 30 D) 53
B) 60 E) 45
C) 37
07. Si la barra de 80 N de peso se encuentra en equilibrio, hallar la lectura del dinamómetro
A) 60 N D) 75 N
B) 80 N E) 90 N
C) 50 N
04. Si el resorte está comprimido 5 cm, hallar la reacción en el plano inclinado liso. (K = 200 N/cm)
A) 60 N D) 80 N
B) 90 N E) 120 N
C) 160 N
08. El resorte de constante K = 10 N/cm sostiene a una esfera de 24 N de peso. Determinar la deformación del resorte
A) 5 cm D) 2 cm
B) 4 cm E) 1 cm
C) 3 cm
09. Si los bloques pesan 80 y 20 N, hallar el valor de la tensión “T” del cable para el equilibrio
A) 50 N D) 25 N
B) 100 N E) 30 N
A) WTg D) WSen/2
B) WSec E) WCtg
C) WCos
13. En la figura mostrada, el sistema se encuentra en equilibrio. Hallar la reacción entre la esfera de peso “W” y el piso (W = 173 N; Q = 200 N; considerar = 1,73)
C) 20 N
10. La figura muestra una esfera de radio “r” y peso 6 N apoyada en una superficie cilíndrica de radio “R”. Hall ar la reacción en el punto “A” (R = 3r)
A) 73 N D) 27 N
B) 100 N E) 146 N
C) 173 N
14. Un bloque de 24 N está en equilibrio tal como se muestra. Las tensiones en los cables A, B, C y D respectivamente son :
A) N D) 2 N
B) 25 N E) 3 N
11. El peso de la esfera es 30 pared lisa
C) 30 N
N. Calcular la reacción de la A) 6 N - 6 N - 12 N - 12 N B) 6 N - 6 N - 12 N - 12 N C) 6 N - 6 N - 12 N - 12 N D) 6 N - 6 N - 12 N - 12 N E) 12 N - 12 N - 24 N - 24 N 15. Si el sistema se encuentra en equilibrio, hallar la lectura de la balanza. Las poleas son de peso despreciable (W = 25 N)
A) 30 N D) 120 N
B) 60 N E) 15 N
C) 90 N
12. Hallar el peso de la esfera si el sistema se encuentra en
A) 5 N D) 20 N
B) 10 N E) 25 N
C) 15 N
TAREA 01. Calcular la fuerza “F” para que exista equilibrio. El cuerpo pesa 40 N
A) 30 N D) 60 N
B) 40 N E) 20 N
C) 25 N
02. Determinar la reacción de la pared sobre la esfera de peso 80 N. No considere rozamiento
A) 40 N D) 80 N
B) 50 N E) 100 N
A) 120 N; 90 N C) 250 N; 300 N E) 50 N; 90 N
B) 100 N; 70 N D) 120 N; 200 N
05. Calcular el ángulo para que el sistema se encuentre en equilibrio
C) 60 N
03. Calcular el valor del ángulo , si el sistema se encuentra en equilibrio
A) 20 D) 50
B) 30 E) 60
C) 40
06. Si el sistema se encuentra en equilibrio, determinar la tensión T. Peso del bloque 40 N
A) 30 D) 53
B) 60 E) 45
C) 37
04. Hallar lo que marca el dinamómetro en los casos mostrados. El bloque pesa 360 N y las poleas no pesan
A) 10 N D) 40 N
B) 20 N E) 50 N
C) 25 N
07. El sistema mostrado se encuentra en reposo. Determine el valor de las tensiones en las cuerdas 1 y 2. Datos: m A= 6 kg; mB = 4 kg; m C= 3 kg; g= 10 m/s 2
10. Del sistema en reposo se pide determinar la tensión en la cuerda horizontal sabiendo que el bloque pesa 50 N
A) 20 N D) 25 N A) 60 N y 50 N C) 60 N y 30 N E) 20 N y 80 N
B) 10 N y 30 N D) 10N y 50 N
08. El sistema se encuentra en reposo. Determine el valor del peso de C. Datos: m A = 15 kg; m B = 30 kg; g = 10 m/s 2
A) 100 N D) 400 N
B) 200 N E) 500 N
C) 300 N
09. Sabiendo que el sistema se encuentra en reposo, determine el peso de B (No hay fricción). Datos: m A =5 kg y g = 10 m/s 2
A) 5 N D) 20 N
B) 10 N E) 25 N
C) 2 N
B) 20 E) 30
N N
C) 25 N
