Partial Solutions for Beginning Logic , E.G.Lemmon E.G.Lemmon [Lemmon:1969] [Lemmon:1969] Michael Pucher April 7, 2005
Contents 1 Propositional Logic
2
2 Predicate Logic
10
1
Chapter 1 Propositional Logic Examples: MT T
1 2 3 1,3 1,2, 1,2,33 1,2 1
P → Q
¬Q → ¬P
(1) P → Q (2) ¬Q (3) P (4) Q (5) Q ∧ ¬Q (6) ¬P (6) ¬Q → ¬P
A A A 1,3 →B 2,4 ∧E 3,5 ¬E 2,6 →E
1.)a.) p18 P → ( P → Q ), P Q 1 2 1,2 1,2
(1) (2) (3) (4)
P → ( P → Q ) P P → Q Q
A A 1,2 2,3
→B →B
1.)b.) p18 Q → ( P → R ), ¬R, Q ¬P 1 2 3 1,3 1,2, 1,2,33
(1) Q → ( P → R ) (2) ¬R (3) Q (4) P → R (5) ¬P
A A A 1,3 →B 2,4 MTT
1.)c.) p18 P → ¬¬Q, P Q 2
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 1,2 1,2
(1) P → ¬¬Q (2) P (3) ¬¬Q (4) Q
1.)d.) p18 1 2 1,2 1,2
P , ¬P ¬Q ¬¬Q → P,
(1) ¬¬Q → P (2) ¬P (3) ¬¬¬Q (4) ¬Q
1.)e.) p18 1 2 2 1,2 1,2
A A 1,2 →B 3 DN
A A 1,2 MTT 3 DN
¬P → ¬Q, Q P
(1) ¬P → ¬Q (2) Q (3) ¬¬Q (4) ¬¬P (5) P
A A 2 DN 1,3 MTT 4 DN
1.)f. ) p18 P → ¬Q Q → ¬P 1 2 2 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5)
P → ¬Q Q ¬¬Q ¬P Q → ¬P
1.)g. ) p18 1 2 1,2 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5)
A A 2 DN 1,3 MTT 2,4 →E
¬P → Q ¬Q → P
A A ¬Q 1,2 MTT ¬¬P P 3 DN ¬Q → P 2,4 →E ¬P → Q
1.)h.) p18
¬P → ¬Q Q → P
3
4
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 2 1,2 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
¬P → ¬Q
Q ¬¬Q ¬¬P
P Q → P
A A 2 DN 1,3 MTT 4 DN 2,5 →E
1.)i.) p18 P → Q, Q → R P → R 1 2 3 1,3 1,2, 1,2,33 1,2
(1) P → Q (2) Q → R (3) P (4) Q (5) R (6) P → R
A A A 1,3 2,4 3,5
→B →B →E
1.) j.) p18 P → ( Q → R ) ( P → Q ) → ( P → R ) 1 2 3 1,3 2,3 1,2, 1,2,33 1,2 1
(1) P → ( Q → R ) (2) (P → Q ) (3) P (4) (Q → R ) (5) Q (6) R (7) P → R (8) (P → Q ) → ( P → R )
A A A 1,3 2,3 4,5 3,6 2,7
→B →B →B →E →E
1.)k.) p18 P → ( Q → ( R → S )) R
→ ( P → ( Q → S ))
1 2 3 1,3 5 1,3,5 1,2, 1,2,3, 3,55 1,2,3 1,2 1
A A A 1,3 A 4,5 2,6 5,7 3,8 2,9
(1) P → ( Q → ( R → S )) (2) R (3) P (4) Q → ( R → S ) (5) Q (6) R → S (7) (7) S (8) Q → S (9) P → ( Q → S ) (10) R → ( P → ( Q → S ))
→B →B →B →E →E →E
1.)l.) p18 P → Q ( Q → R ) → ( P → R )
5
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 3 1,3 1,2, 1,2,33 1,2 1
(1) P → Q (2) Q → R (3) P (4) Q (5) R (6) P → R (7) (Q → R ) → ( P → R )
A A A 1,3 2,4 3,5 2,6
→B →B →E →E
1.)m.) p18 P ( P → Q ) → Q 1 2 1,2 1
(1) (2) (3) (4)
P P → Q Q (P → Q ) → Q
A A 1,2 2,3
→B →E
1.)n.) p18 P ( ¬(Q → R ) → ¬P ) → ( ¬R → ¬Q) 1 2 1 1,2 1,2 6 1,2, 1,2,66 1,2 1
(1) P (2) ¬(Q → R ) → ¬P (3) ¬¬P (4) ¬¬(Q → R ) (5) Q → R (6) ¬R (7) ¬Q (8) ¬R → ¬Q (9) (¬(Q → R ) → ¬P ) → ( ¬R → ¬Q)
1.)a.) p27 P Q → ( P ∧ Q) 1 2 1,2 1
(1) (2) (3) (4)
P Q P ∧ Q Q → ( P ∧ Q)
A A 1,2 ∧E 2,3 →E
1.)b.) p27 P ∧ (Q ∧ R) Q ∧ (P ∧ R)
A A 1 DN 2,3 MTT 4 DN A 5,6 MTT 6,7 →E 2,8 →E
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 1 1 1 1 1 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
P ∧ (Q ∧ R) P Q∧R Q R P ∧ R Q ∧ (P ∧ R)
A 1 ∧B 1 ∧B 3 ∧B 3 ∧B 2,5 ∧E 4,6 ∧E
1.) P → ( Q → R ), P → Q, P R 1 2 3 2,3 1,3 1,2, 1,2,33
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (6)
P → ( Q → R ) P → Q P Q Q → R R
A A A 2,3 1,3 4,5
→B →B →B
2.) P → Q, Q → R, P R 1 2 3 1,3 1,2, 1,2,33
(1) P → Q (2) (Q → R ) (3) P (4) Q (5) R
A A A 1,3 2,4
→B →B
3.) P → ( Q → R ) ( P ∧ Q) → R 1 2 2 2 1,2 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
P → ( Q → R ) P ∧ Q P Q Q → R R (P ∧ Q) → R
A A 2 ∧B 2 ∧B 1,3 →B 4,5 →B 2,6 →E
4.) (P ∧ Q) → R P → ( Q → R )
6
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 2 2 1,2 1 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(P ∧ Q) → R
A P ∧ Q A P 2 ∧B Q 2 ∧B R 1,2 →B Q → R 3,5 →E P → ( Q → R ) 4,6 →E
5.) P ∧ Q Q ∧ P 1 1 1 1
(1) (2) (3) (4)
P ∧ Q P Q Q ∧ P
A 1 ∧B 1 ∧B 2,3 ∧E
6.) P ∨ Q Q ∨ P 1 2 2 4 4 1
(1) (2) (3) (4) (5) (5)
P ∨ Q P Q ∨ P Q Q ∨ P Q ∨ P
A A 2 ∨E A 4 ∨E 1,2,3,4,5 ∨B
7.) Q → R ( P ∨ Q) → ( P ∨ R) 1 2 3 3 5 1,5 1,5 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Q → R P ∨ Q P P ∨ R Q R P ∨ R P ∨ R (P ∨ Q) → ( P ∨ R)
A A A 3 ∨E A 1,5 →B 6 ∨E 2,3,4,5,7 ∨B 2,8 →E
8.) P ∨ (Q ∨ R) Q ∨ (P ∨ R)
7
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 2 2 5 6 6 8 8 8 5 1
(1) P ∨ (Q ∨ R) (2) P (3) P ∨ R (4) Q ∨ (P ∨ R) (5) Q ∨ R (6) Q (7) Q ∨ (P ∨ R) (8) R (9) P ∨ R (10) Q ∨ (P ∨ R) (11) Q ∨ (P ∨ R) (12) Q ∨ (P ∨ R)
A A 2 ∨E 3 ∨E A A 6 ∨E A 8 ∨E 9 ∨E 5,6, 5,6,7, 7,8, 8,10 10 ∨B 1,2, 1,2,4, 4,5, 5,11 11 ∨B
12.) P → Q ¬P ∨ Q 1 2 3 1,3 1,3 1,2, 1,2,33 1,2 1,2 1,2 1,2 1 1 13.)
(1) P → Q (2) ¬(¬P ∨ Q) (3) ¬Q (4) ¬P (5) ¬P ∨ Q (6) ¬(¬P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) (7) ¬¬Q (8) Q (9) ¬P ∨ Q (10) (¬P ∨ Q) ∧ ¬(¬P ∨ Q) (11) ¬¬(¬P ∨ Q) (12) ¬P ∨ Q ¬P ∨ Q P → Q
A A A 1,3 MTT 4 ∨E 2,5 ∧E 6,3 ¬E 7 DN 8 ∨E 2,9 ∧E 2,10 ¬E 11 DN
8
CHAPTER CHAPTER 1. PROPOSI PROPOSITION TIONAL AL LOGIC LOGIC
1 2 3 4 2,3 2,3 7 4,7 4,7 1,2, 1,2,44 1,2, 1,2,44 1,2 1,2 1
(1) ¬P ∨ Q (2) P (3) ¬P (4) ¬Q (5) ¬P ∧ P (6) ¬(¬P ∨ Q) (7) Q (8) ¬Q ∧ Q (9) ¬(¬P ∨ Q) (10) 10) ¬(¬P ∨ Q) (11) 11) ¬(¬P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) (12) ¬¬Q (13) Q (14) P → Q
A A A A 2,3 ∧E 1,5 ¬E A 4,7 ∧E 1,8 ¬E 1,3,6,7,9 ∨B 1,10 ∧E 4,11 ¬E 12 DN 2,13 →E
14.) P → Q ¬P ∨ Q 1 2 2 2 1,2 1,2 1 15.) 1 2 3 2,3 1,2, 1,2,33 2,3 1,2 1,2 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
P → Q P ∧ ¬Q P ¬Q Q Q ∧ ¬Q ¬(P ∧ ¬Q)
2,13 →E A 2 ∧B 2 ∧B 1,3 →B 4,5 ∧E 2,6 ¬E
¬(P ∧ ¬Q) P → Q
(1) ¬(P ∧ ¬Q) (2) P (3) ¬Q (4) P ∧ ¬Q (5) (P ∧ ¬Q) ∧ ¬(P ∧ ¬Q) (6) ¬(¬P ∨ Q) (7) ¬¬Q (8) Q (9) P → Q
A A A 2,3 ∧E 1,4 ∧E 1,5 ¬E 3,5 ¬E 7 DN 2,8 →E
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Chapter 2 Predicate Logic
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Bibliography [Lemmon:196 [Lemmon:1969] 9] E. G. Lemmon: Beginning Logic , Chapman and Hall
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