lecturi grafice

FUNCTII (LECTURI GRAFICE)

Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de multimi numerice; conditii algebrice pentru puncte aflate in cadrane. Drepte in plan de forma x=m, sau y=m, mєR. Functia: definitie, exemple, exemple de corespondente care nu sunt functii, modalitati de a descrie o functie, lecturi grafice. Egalitatea a doua functii, imaginea si preimaginea unei multimi printro functie, graficul unei functii, restrictii ale unei functii. !ompunerea functiilor; exemple pe functii numerice. " Definitie:#rodusul Definitie:#rodusul cartezian dintre $ multimi % si & se noteaza %x& si este %x&= "semnele coordonatelor unui punct punct in fiecare cadran cadranul ' '' ''' '( coordonatele x )   ) y ) )   "dreapta x=m este *erticala iar y=m y=m este orizontala " Moduri Moduri de a defini o functie o functie : + functii definite sintetic adica pentru

se indica pentru fiecare element

elementul acest lucru se poate face cu a-utorul diagramei cu sageti sau cu a-utorul tabelului de *alori sau printrun tablou exemplu

2

Functii numerice /F = , proprietati ale functiilor functiilor numerice numerice introduse introduse prin lecturi grafice: reprezentarea geometrica a graficului, intersectia cu axele de coordonate, rezol*ari grafice de ecuatii si inecuatii de forma f/x=g/x /3, 4, 5,6  : marginire, paritate, imparitate /simetria graficului fata de axa 7y sau origine, simetria graficului fata de drepte de forma forma x = m, m'R m'R sau fata de puncte oarecare din plan, periodicitate, monotonie.

diagrama cu sagati

aceeasi functie cu tabel de *alori x + $  f/x 0 0 1

aceeasi functie printrun tablou $functii definite analitic sunt functiile definite printruna sau mai multe formule exemplu

+ $

f/x=$x)

Imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie : "Def: Fie

,

se numeste imaginea lui %8 prin f si se noteaza f/%8 multimea *alorilor pe

care le ia f/x cand x parcurge %8 noteaza 'mf si se citeste imaginea functiei "Def: : Fie

in cazul in care %8=%

f/% se mai

daca x este un element din % astfel incat y=f/x spunem ca x este o preimagine a lui y

"Def: Fie

.9e numeste imaginea reciproca a unei parti &8 a lui & , notata

submultimea

lui % formata din acele elemente ale caror imagini prin f apartin lui &8 "Def: Fie

,

se numeste restrictia lui f la %8 si se noteaza

functia

prin "#R7#R'E%'E F<!''7R <>ER'!E proprietate interpretarea geometrica functia e marginita daca graficul ei este este marginita daca exista a si b cuprins intre dreptele orizontale y=a si y=b doua numere reale astfel incat % are propritatea ca si

atunci

graficul functiei este simetric fata de 7y

. 9punem ca f e functie para daca f/

x=f/x % are propritatea ca si

atunci

graficul functiei este simetric fata de origine

. 9punem ca f e functie para daca f/

x=f/x spunem ca f e periodica graficul unei functii periodice de periada t e sufient sa fie trasat pe un inter*al de lungime de perioada t daca f/x)t=f/x t ,dupa care se repeta . cea mai mica perioada se numeste periada principala graficul functiei pri*it de la stanga la dreapta spunem ca f e strict crescatoare pe e o curba strict crescatoare % daca atunci graficul functiei pri*it de la stanga la dreapta spunem ca f e monoton e o curba monoton crescatoare crescatoare pe % daca atunci spunem ca f e strict descrescatoare pe graficul functiei pri*it de la stanga la dreapta e o curba strict descrescatoare % daca atunci graficul functiei pri*it de la stanga la dreapta spunem ca f e e o curba monoton descrescatoare monoton descrescatoare pe % daca atunci "compunrea functiilor doua functii f si g se pot compune daca a*em % & ! in acest caz are sens gof:%?! /gof /x=g/f/x exemplu: + f:R?R f/x=x$$x) g:R?R g/x=$x+ /fog/x=f/g/x=g/x $$g/x)= /$x+$$/$x+)

$ f:R?R

/fog/x= f/g/x=

g:R?R g/x=$x0

=

=

=

/gof/x=g/f/x=$f/x0

 f:R?R

g:R?R

/fog/x= f/g/x= = "#roprietatile compunerii: + asociati*itate /fogo@=fo/go@ A f,g,@ trei functii ce se pot compune

=

% & ! D $ nu e comutati*a fogBgof  elementul neutru este functia identica a multimii % notata +%:%?% +%/x=x fo+%=f +&of=f A f:%?&

Functii compunerea functiilor

imaginea multimii A prin functia f Intersectia 636c29g graficului functiei f cu axa Ox :

Intersectia 636c29g graficului functiei f cu axa Oy :

functie para

functie impara Functia de gradul I

, Graficul este o dreapta

Functia este crescatoare pentru

si descrescatoare pentru

Functia de gradul II

, Graficul este o parabola

Daca

parabola are ramurile in sus iar daca

parabola are ramurile in jos

!arful parabolei

Daca

functia este

descrescatoare pe

si

crescatoare pe

Daca

functia este

crescatoare pe

si

descrescatoare pe "xemple:

#$ %alculati

pentru

2$ Aratati ca

este functie para

3$ Aflati !alorile m pentru care

&unem obtinem

conditia

este functie crescatoare



"cuatia

atasata

are

radacinile

,



Folosind

regula

de

semn

'$ Determinati imaginea functiei

,

 Deoarece parabola are ramurile in sus

($ &entru

calculati

26)) Functii * "xercitii

# C$Ce0@ +e considera functia

2 C$Ce0@ +e considera functia

+a se determine multimea !alorilor functiei f 

+a se determine

3 C$Ce0@ +e considera functia

+a se calculee

'

unde m este un numar real nenul +a se determine m stiind ca !aloarea

Fie functia maxima a functiei f este egala cu (

C$Ce0@

(

C$Ce0@

Fie

functiile

si

+a

determine

solutia

reala

a

ecuatiei

6 C$Ce0@ Fie functiile graficelor functiilor f si g 

si

- C$Ce0@ Fie functia

+a se calculee coordonatele punctulului de intersectie al

 +a se determine solutiile reale ale inecuatiei

.

C$Ce0@

+e considera functia egala cu ordonata

9

C$Ce0@ Fie functia nenul m stiind ca !aloarea minima a functiei este egala cu #

#) +e considera functia

+a se determine punctul care apartine graficului functiei f si are abscisa

unde m este un numar real nenul +a se determine numarul real

+a determine solutiile reale ale ecuatiei

## +e considera functia

+a se determine numerele reale a si b stiind ca

pentru

#2 +e considera functia

#3 +e

considera

+a se calculee

functiile

si

+a

determine

solutiile

reale

ecuatiei

#' +a se determine

, stiind ca repreentarea grafica a functiei

este tangenta axei Ox 

ale

#( +e considera functia

+a se calculee

#6 Fie functia

 +a se determine !alorile numarului real m stiind ca

#- +e considera functia

+a se calculee

#. Fie functia

 +a se determine multimea !alorilor functiei f 

#9 +e considera functia

2) +a

se

, pentru

determine

+a se calculee

,

stiind

ca

abscisa

punctului



de

minim

al

graficului

functiei

este egala cu 2

2# +e considera functia

+a se calculee



22 +a se calculee distanta dintre punctele de intersectie ale repreentarii grafice a functei

23 Fie functia axa Ox 

cu axaOx 

 +a se calculee distanta dintre punctele determinate de intersectia graficului functiei f cu

2' +e considera functia repreentarea grafica a functiei f 

+a se determine punctul de intersectie al dreptei de ecuatie

2( +a se determine !alorile reale ale lui m, stiind ca !aloarea minima a functiei

cu

cu

este egala



26 +e considera functia

 +a se calculee

2- +a se determine cea mai mica !aloare a functiei

2. +e considera functia


3) +e considera functia

3# +e considera functia









 +a se arate ca


32 +a se determine functia de gradul al doilea

egala cu





,

, al carei grafic are abscisa !arfului




3' +e considera functia







3( +e considera functia




36 +a se demonstree ca parabola functiei fi

este situata deasupra axei Ox , oricare ar



3- +e considera functia



cu



 +a se determine numerele reale m pentru care minimul functiei f este egal





') +e considera functia



 +a se !erifice daca punctul

'# +e considera functia

 +a se reol!e inecuatia

apartine graficului functiei f 



'2 +e considera functia








'' +a se determine coordonatele !arfului parabolei asociate functiei

'( +e considera functia








'- +e considera functia graficului functiei f 

+a se determine numerele reale m pentru care punctul

'. +e considera functia apartine graficului functiei f 

'9 +e considera functiile graficelor functiilor f si g 

+a se determine !alorile numarului real m pentru care punctul

si

+a se determine coordonatele punctului de intersectie al

() +a se determine functia de gradul al II *lea al carei grafic contine punctele

si

(# +a se determine !aloarea maxima a functiei

(2 +a se determine punctele de intersectie ale graficelor functiilor

(3 +a se determine

(' +a se determine functia

(( +e considera functia

apartine

astfel incat graficul functiei

si

sa contina punctul

al carei grafic trece prin punctele

 +a se determine !alorile lui x pentru care

si

(6 +a se determine !alorile reale ale numarului m stiind ca !aloarea minima a functiei cu 2

este egala

(- +a se determine domeniul maxim de definitie D al functiei

(. +a se determine !alorile reale nenule ale lui m pentru care graficul functiei axa Ox 

este tangent la

(9 +a se determine !alorile reale ale numarului m stiind ca !aloarea maxima a functiei egala cu #)

este

6) +a se calculee aria triung/iului determinat de graficul functiei

si axele de coordonate

6# +a se determine punctele de intersectie ale graficului functiei

cu axele de coordonate

62 +a se determine punctele de intersectie ale graficului functiei

cu axele de coordonate

63 +a se determine !alorile reale ale lui m pentru care graficul functiei

6' +e considera functia

este tangent la axa Ox 

unde

6( +e considera functia

 +a se determine a astfel incat minimul functiei f sa fie #

 +a se arate ca !arful parabolei asociate functiei are coordonatele egale

66 Fie functia

+a se calculee

6- +a se determine !aloarea maxima a functiei


69 +a se arate ca,

+a se calculee

parabola asociata functiei

-) +e considera functia

-# +e

considera

este situata deasupra axei Ox 


functiile

definite



prin

+a

se

!erifice

relatia

-2 +e considera functia

 +a se arate ca

-3 Fie functia relatia

, cu

,



 +a se arate ca solutiile

si

ale ecuatiei

!erifica



-' +a se demonstree ca parabola asociata functiei

-( +e considera functia

-6 +a se arate ca !arful parabolei asociate functiei

este tangenta axei Ox 




se afla pe dreapta de ecuatie



-- +e considera functia


-. +e considera functiile



si

-9 +e considera functia

+a reol!e ecuatia

 +a se calculee produsul

.) +e considera functia 2

 +a se determine numarul real m astfel incat minimul functiei sa fie egal cu *

.# +a se determine coordonatele punctelor de intersectie cu axele de coordonate ale graficului functiei

.2 +a se determine functia si



, cu a si b numere reale pentru care



.3 +e considera functia

 +a se demonstree ca

.' +a se determine punctul de intersectie dintre graficul functiei

.( +e considera functiile daca

.6 +e considera functia



si axa Oy 

,

,

unde a si b sunt numere reale +a se arate

atunci f 0g 


.- +e considera functia

.. +a se determine coordonatele !arfului parabolei asociate functiei








ca,

lecturi grafice

Recommend Documents