las Aporías de Zenón de Elea (II) Lisardo García R.
Zenón de Elea (siglo V a.C.), filósofo presocrático, discípulo de Parménides, adoptó para la Filosofía un nuevo método de conocimiento: la Dialéctica, mediante la postulación de las denominadas aporías o mal llamadas paradojas.
A) LAS APORÍAS DEL MOVIMIENTO Los argumentos contra el movimiento, según nos indica Aristóteles en su Física, y amplían los comentaristas griegos, son cuatro, y constituyen el entramado básico de sus aporías que resumimos a continuación: 1) La dicotomía.dicotomía.- El movimiento es imposible porque un móvil entre dos puntos cualesquiera A y B tendría siempre que cubrir la mitad de la distancia (C) antes de llegar al final. Pero antes de cubrir la mitad de la distancia (C), tendría que cubrir la mitad de la mitad, y así ad infinitum. De este modo para recorrer completamente cualquier distancia tendría que cubrir un número infinito de puntos, lo cual es imposible en un tiempo finito. 2) Aquiles y la tortuga.tortuga.- Aquiles el de los pies ligeros, símbolo de la rapidez, tiene que alcanzar a la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y le otorga diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga una décima de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Tal es la paradoja inmortal. Como en el caso de la dicotomía, Aquiles tendrá que recorrer un número infinito de puntos para alcanzar a la tortuga, lo que resulta imposible. 3) La flecha voladora.voladora.- Las dos aporías anteriores partían del supuesto de que una dimensión espacial no podía reducirse a unidades mínimas, sino que era infinitamente divisible. Ahora bien, el que abordamos ahora sólo tiene sentido partiendo de la premisa de que el tiempo se compone de instantes mínimos indivisibles. El texto que presenta Aristóteles es oscuro en el detalle pero es posible recomponerlo con las exposiciones más completas de los comentaristas griegos. Zenón parece haber argumentado que, si bien una flecha podía dar la impresión de que se alejaba volando, está realmente inmóvil, porque todo lo que ocupa un espacio igual a sí mismo tiene que estar en reposo en ese espacio, y, en cualquier instante dado de su vuelo, una flecha sólo puede ocupar un espacio igual a sí mismo. Consecuentemente, estará inmóvilen cada instante de su vuelo. 4) El estadio.estadio.- En el estadio hay tres filas, en cada una de las cuales hay un número de cuerpos u objetos de igual tamaño, dispuestos inicialmente como sigue: Los cuerpos A no se mueven, están en reposo, y los B y C comienzan a moverse en direcciones opuestas, al mismo tiempo y con igual velocidad, hasta que las tres filas coincidan entre sí:
AAAA BBBB CCCC El B de cabeza ha pasado ahora a dos de los A, mientras que el primer C ha pasado a cuatro cuerpos B. Ahora bien, dice Zenón, los objetos que se mueven con igual velocidad tienen que emplear el mismo tiempo en sobrepasar a un número igual de objetos del mismo tamaño. En consecuencia (dado que los cuatro cuerpos A, B y C son completamente iguales), 4A = 2A. Dicho de otra forma, la mitad de un tiempo dado es igual al doble del mismo, es decir, al todo. La conclusión, como la de los otros argumentos, es una reiteración de la tesis parmenídea de la no existencia o irrealidad del movimiento. B)
LA APORÍA DEL ESPACIO Zenón se desembaraza, asimismo, de la noción de lugar o espacio, además de las de pluralidad y movimiento, a través de la siguiente aporía. Todo lo que existe está en un lugar y ocupa un espacio. En consecuencia, el propio lugar, si existe, estará también en un lugar, y así ad infinitum. Esto es absurdo, luego el espacio no existe. C) LA APORÍA DE LA PERCEPCIÓN SENSI BLE Aunque existen dudas sobre la forma exacta en que Zenón planteó este argumento, su autoría está atestiguada por Aristóteles. Parece ser una ampliación, a otro campo diferente, de su ataque contra los infinitesimales, que sirve aquí al propósito adicional parmenídeo de desacreditar la percepción sensorial. Según él, una cosa, o tiene magnitud, o no la tiene. De un modo semejante, o produce un sonido, o no lo produce. Ante la cuestión que plantea Zenón respecto a si produce algún sonido un solo grano de mijo al caer, su interlocutor responde afirmativamente. Zenón continúa preguntando ¿Y medio grano, produce algún sonido? hasta que al fin la respuesta es negativa. ¿No hay entonces una relación entre medio grano de mijo y un grano? Si es así, y si un grano de mijo produce un sonido, también lo producirá medio, y la milésima parte de un grano. De este modo sostiene la argumentación de Parménides la desconfianza en torno a la percepción de nuestros sentidos. 3.- LA PERMANENTE ACTUALIDAD DE LA CONTROVERSIA Ya desde Aristóteles se han intentado refutar las aporías de Zenón, en especial las relacionadas con el movimiento y en particular la de Aquiles y la tortuga. Aristóteles critica la aporía de Zenón, advirtiendo que el vocablo «infinito» tiene dos sentidos: ser infinito en divisibilidad no es lo mismo que ser infinito en extensión. Todo continuum es infinitamente divisible, y esto se aplica también al tiempo y al espacio. Es perfectamen- te posible, por ello, recorrer en un tiempo finito un espacio que es infinitamente divisible, aunque no de extensión infinita. En su Física retoma la cuestión y admite que, aunque es suficiente este argumento contra Zenón, no explica los hechos de un modo pleno y satisfactorio. «Si se deja a un lado la distancia y la cuestión de si es posible recorrer un número infinito de distancias en un tiempo finito, y se plantean las mismas cuestiones sobre el tiempo en sí (ya que el tiempo contiene un número infinito de divisiones), esta solución ya no sería la adecuada».
Siguiendo estas refutaciones aristotélicas, asumidas también por Thomas Hobbes, Stuart Mill, en su sistema de lógica, sintetiza ambas indicando que las paradojas de Zenón son sólo un ejemplo de «la falacia de la confusión». En la conclusión del sofisma -dice Mill- Aquiles estará corriendo infinitamente y para siempre; esto quiere decir en cualquier imaginable lapso de tiempo y significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y no encontrarán fin las subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza, pero un ilimitado número de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado. El argumento no prueba otra infinitud de duración que la contenible en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que la duración total sea de cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito. Estas refutaciones de Mill, en palabras de Borges, no son otra cosa que una nueva exposición de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro para establecer el tiempo que necesita, teniendo en cuenta que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga: 10 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10.000... El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente, once y un quinto, o más exactamente aún, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre y su eternidad no será la terminación de doce segundos. Otra refutación relevante fue la planteada en 1.910 por Henry Bergson, en el notorio Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia. En resumen, Bergson plantea que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el acto del movimiento, es decir, el tiempo. Finalmente, para no hacer más extenso el amplio espectro de refutaciones a la aporía Zenoniana (señal por otra parte inequívoca de su actualidad), nos detendremos en la formulada por Russell, según la cual la operación de contar consiste en equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en las casas donde tenían en la puerta una señal roja, es evidenteque tantos se salvaron como señales rojas había, sin que importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad pero hay otras operaciones en que es infinita también. Por ejemplo, la serie natural de los números es infinita, pero podemos demostrar que son tantos los impares como los pares, lo que nos llevaría a indicar que la parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el Universo es la que hay en un metro del Universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar. Por ello, cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles; no quedaría ningún remanente periódico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto, el último en el trayecto de Aquiles y el último en el tiempo de la carrera, son términos que matemáticamente coinciden. Filósofos, matemáticos, literatos e incluso poetas han tenido la tentación de resolver esta eterna maratón que parece ubicarse en la misma esencia de la dicotomía parmenídea de
Nousy Doxa. Así, Paul Valery, tras muchas refutaciones a la aporía, escribe: ¡Zenón, cruel Zenón, Zenón de Elea! Me has traspasado con la flecha alada. Que, cuando vibra volando, no vuela. Me crea el son y la flecha me mata. ¡Oh sol, oh sol! ¡Qué sombra de tortuga Para el alma: si en marcha Aquiles, quieto! La lista de pensadores que se han acercado a las aporías de Zenón es extensa, prueba de su relevancia y actualidad para el pensamiento contemporáneo. Con independencia de los citados cabe mencionar a Tomás de Aquino, Leibnitz, Tannery, Guthrie, Brochard, Noel, Taylor, Ross, Corn-ford y Fränkel entre otros. Que son las aporias
Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea,para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento. Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad deéste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.
