Lab3_S&S_Generacion de señales periodicas y aperiodicas_V2

ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES FIEE – UNI

ANALISIS ANALIS IS DE SEÑALES Y SISTEMAS LABORATORIO N° 3

EE610M

Elementos básicos de una representación representación gráfica Base de tiempos La definición de la base de tiempos se hace creando un vector que almacena los valores del tiempo para los que se desea obtener una representación de la función. Por ejemplo, si queremos representar la variación de una función entre -10 s y 10 s, los valores inicial y final del vector correspondiente a la base de tiempos serán precisamente los que acabamos de indicar. Idealmente, querríamos que dicho vector fuera un conjunto infinito en el que estuvieran incluidos todos los valores comprendidos entre -10 s y 10 s. De esa forma obtendríamos una representación absolutamente precisa de la función. Sin embargo, Matlab no permite semejante posibilidad, ya que es una herramienta discreta. En consecuencia, a la hora de definir la base de tiempos hemos de especificar el intervalo entre dos valores consecutivos del tiempo. Así, si en el ejemplo que estamos considerando especificamos un intervalo de 0.01 s, los valores del tiempo contenidos en el vector vector de la base de tiempos son -10s, -9.99 s, -9.98 s,... -0.01 s, 0 s, 0.01 s,... 9.98 s, 9.99 s y 10 s. Teniendo en cuenta cuenta estas consideraciones, la instrucción para definir la base de tiempos es t = valorinicial:intervalo:va valorinicial: intervalo:valorfinal lorfinal

% Define la base de tiempos

% valorinicial: primer valor del tiempo para el que % queremos representar representar la función % intervalo: separación entre dos valores consecutivos % del vector base de tiempos % valorfinal: último valor del tiempo para el que % queremos representar representar la función

La selección del intervalo está condicionada por dos requisitos contrapuestos. Por una parte, cuanto más pequeño sea, más precisa será la representación de la función; en otras palabras, la representación tendrá un aspecto más continuo, mientras que, cuanto más grande sea, la representación se parecerá más a un conjunto de puntos (los valores de la función para los distintos instantes) unidos por líneas. La operación de unir los diferentes puntos de la representación es ejecutada automáticamente por Matlab. Por otro lado, cuanto más pequeño sea el intervalo, más tiempo tardará Matlab en completar la instrucción y mayor espacio de memoria se ocupará en el ordenador. Para intervalos excesivamente pequeños, que den origen a un gran número de valores en la base, la instrucción puede ser rechazada por el programa, ya que éste impone un límite máximo (que depende de la versión concreta de Matlab de la que se trate) al número de elementos que puede contener un vector. Una forma equivalente para definir la base de tiempos consiste en utilizar la instrucción t = linspace(valorinicial, valor final, númeropuntos) % Define la base % de tiempos % valorinicial: primer valor del tiempo para el que queremos representar la función % valorfinal: último valor del tiempo para el que queremos representar la función % númeropuntos: número de valores del tiempo incluidos en la base de tiempos

Obsérvese que ambas formas son completamente equivalentes ya que existe una relación inmediata entre la separación entre dos valores de la base de tiempos y el número de puntos ING. ARMANDO ALBERTO CAJAHUARINGA CAMACO

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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES incluidos en ella. Obviamente, en la instrucción linspace los valores del tiempo están equiespaciados en la base. Antes de continuar conviene precisar que estas formas de definir la base de tiempos se denominan lineales, ya que la variación entre los distintos valores del tiempo incluidos en la base es lineal. Existen otras formas de variar los valores del tiempo (o de otras variables) en la base, pero serán tratadas más adelante. Relacionados con la base de tiempos hay otros aspectos que conviene destacar. El primero de ellos es cómo determinar el número total de valores del tiempo incluidos en la base. Para ello puede usarse la instrucción length(t) % Determina la longitud del vector t % t: vector base de tiempos definido antes de la ejecución de esta instrucción

Para determinar en qué posición de la base se encuentra un determinado valor del tiempo puede usarse la instrucción po = find(t == to) % Determina la posición dentro de la base de tiempos % en la que se encuentra el valor t0 de t

Esta instrucción debe usarse con precaución. Dependiendo de la base de tiempos y de los redondeos internos del ordenador, puede ocurrir que no haya ningún valor de t que coincida exactamente con , con lo cual esta sentencia no produciría ningún resultado y las que vayan a continuación de ella conducirían a resultados no esperados. Las posiciones en la base de tiempo están numeradas automáticamente, de forma que la posición 1 corresponde al valor inicial y la posición corresponde al valor final. En consecuencia, para determinar el valor del tiempo correspondiente a una determinada posición puede utilizarse la instrucción



ℎ()

t(i) % Determina el valor de t que se encuentra en la posición i en la base de tiempos % i: número indicativo de una determinada posición en la base de tiempos

P1) Escribir un código para generar un pulso rectangular %%%%% FUNCIÓN PULSO RECTANGULAR %%%%%

clear all; t = -4:0.001:4; y = zeros(1,length(t)); A = 1; T = 2;

% % % % %

Elimina variables utilizadas en otras rutinas Base de tiempos Comienza anulando la funcion Amplitud Periodo

% Rango de valores de t para los que la funcion no es nula rango = find ((t >= -T/2) & (t <= T/2)); y(rango) = A; % Valor de la función en el rango de tiempo no nulo plot(t, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva en azul de grosor 2 xlabel('t', 'FontName', 'Times','Fontsize', 14); % Abscisas ylabel('Amplitud','FontName','Times','Fontsize', 14); % Ordenadas grid on; % Malla axis([-3, 3, -A/2, 2*A]); % Área de dibujo title('Pulso rectangular','FontName', 'Times','Fontsize',24) % Titulo clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta rutina

ING. ARMANDO ALBERTO CAJAHUARINGA CAMACO

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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES

P2) Escribir un código para graficar una señal combinada Graficar la señal Función combinada

− ()() 1<<2 () =  1 − + >2

El siguiente ejemplo combina dos funciones en una. A fin de poder utilizar la función combinada sin necesidad de repetirla en otros momentos, el ejemplo consta de dos rutinas. La primera es una función que puede ser invocada desde otras rutinas; su ejecución aislada no produce ningún resultado. La segunda es la presentación de la función combinada. function x = funccomb(t) n = length(t); x = zeros(1, n); i = find(t < 0); x(i) = 0; i = find(t>0 & t<1); x(i) = 1 – exp(-t(i)); % Primera función i= find(t >= 1); x(i) = -exp(-t(i)) + exp(-t(i) + 1): % Segunda función return; %%%%% FUNCION COMBINADA %%%%% clear all; % Elimina variables utilizadas en otras rutinas T1 = 0: % Comienzo de la primera funcion T2 = 1: % Comienzo de la segunda funcion % Base de tiempos tmin = -3; tmax = 3; puntos = 1000; t = linspace(tmin, tmax, puntos); y = funccomb(t); % Llama a la función combinada plot(t, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva en azul de grosor 2 xlabel('t', 'FontName', 'Times', 'Fontsize',14): % Abscisas ylabel('Amplitud','FontName', 'Times','Fontsize',14); % Ordenadas grid on; % Malla axis([(3/4)*tmin, (3/4)*tmax, -(1/3)*max(y),(3/2)*max(y)]); % Área de dibujo title('Función combinada', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 24); % Titulo clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta rutina


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P3) Reflexión, desplazamiento y escalado de una función La rutina que sigue permite realizar diversas operaciones (reflexión, escalados horizontal y vertical, desplazamiento) con una función, así como combinar todas o algunas de estas operaciones. La función elegida como ejemplo es la descrita anteriormente. En este caso, al contrario que en los precedentes, no se han etiquetado los ejes, a fin de que el etiquetado automático realizado por Matlab permita comprobar el efecto de cada operación. Graficar la señal



[−( + )]

T = 1; V = 0.5; H = 2; tt = H*(-(t+T)); y = V*funccomb(tt); % Operación combinada subplot (3, 2, 6); % Recuadro plot (t, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Función en azul de grosor 2 xlabel ('t', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); % Abscisas ylabel ('Combinación', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); % Ordenadas grid on; % Malla axis ([(3/4)*tmin, (3/4)*tmax, -(2/3)*max(y), (3/2)*max(y)]); % Área de dibujo clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta rutina

P4) Funciones periódicas La primera función que vimos en este apartado es periódica (la función coseno). Dicha función, como otras trigonométricas, tiene una definición establecida en la que la periodicidad está implícita. Sin embargo, para otras funciones la periodicidad ha de ser definida explícitaING. ARMANDO ALBERTO CAJAHUARINGA CAMACO

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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES mente. Es el caso, por ejemplo, del paso del pulso rectangular a un tren de pulsos rectangulares. La siguiente rutina ilustra cómo definir esta función periódica. %%%%% TREN DE PULSOS RECTANGULARES clear all; % Elimina variables utilizadas en otras rutinas A = 1; % Amplitud P = 2; % Duracion del pulso T = 6; % Periodo tmin = -7*P; % Base de tiempos tmax = 7*P; puntos = 10000: t = linspace(tmin, tmax, puntos); y = zeros(1, length(t)) % Anula la funcion n = 0; % Número de periodos para t<0 while n*T > tmin n = n - 1: end tc1 = (n:0)*T; % Instantes centrales de los pulsos m = 1: % Número de periodos para t > 0 while m*T= tc(k) - P/2) & (t <= tc(k) + P/2)); y(rango) = A; k = k + 1; end plot(t, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva en azul de grosor 2 xlabel('t','FontName', 'Times','Fontsize',14); % Abscisas ylabel('Amplitud','FontName','Times','Fontsize', 14); % Ordenadas grid on; % Malla axis([tmin, tmax, -A/3, (3/2*A]); % Area de dibujo title('Tren de pulsos rectangulares','FontName','Times','Fontsize', 24); % Titulo clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta rutina

GENERACION DE SEÑALES PERIODICASY APERIODICAS USANDO FUNCIONES DE MATLAB

P5) Generar una señal diente de sierra con flanco a la derecha, de 5 voltios de amplitud, frecuencia de 1 KHz. t=linspace(0,3e-3,500); y=sawtooth(2*pi*1e3*t);


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES plot(t,y) grid on

La señal varía en ±1 y no cumple con la amplitud.

Primero desplazaremos en uno a la señal anterior para obtener una amplitud de 2, luego, escalaremos para obtener la amplitud requerida. offset=ones(1,length(t)); y1=2.5*(offset+sawtooth(2*pi*1e3*t)); plot(t,y1) grid on

P6) Generar una señal diente de sierra con flanco a la derecha, de 5 voltios de amplitud, y período de 10 segundos.

P7) z=exp(y); plot(t1,z)


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES P8) p=y.*y; plot(t1,p)

P9) Generar una señal diente de sierra con flanco a la derecha, izquierda; y una señal triangular simétrica. y=sawtooth(t,0); subplot(1,3,1) plot(t1,y) subplot(1,3,2) y=sawtooth(t,1); plot(t1,y) subplot(1,3,3) y=sawtooth(t,.4); plot(t1,y)

P10) Para generar 2 segundos de un pulso triangular (respectivamente rectangular) a una tasa de muestra de 10 kHz ( t =1/fs=0.0001) y un ancho de 20 ms, use:

Δ

fs = 10000;


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES t = -1:1/fs:1; x1 = tripuls(t,20e-3); x2 = rectpuls(t,20e-3); subplot(211),plot(t,x1), axis([-0.1 0.1 -0.2 1.2]) xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Amplitud'); title('Pulso Triangular Aperiodico') subplot(212),plot(t,x2), axis([-0.1 0.1 -0.2 1.2]) xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('Amplitud'); title('Pulso Rectangular Aperiodico') % set(gcf,'Color',[1 1 1]),

Formas de ondas periódicas Además de las funciones sin y cos en MATLAB®, las herramientas ofrecen otras funciones que generan señales periódicas tales como diente de sierra y cuadrada. La función sawtooth genera una onda diente de sierra con picos de ±1 con un periodo de 2*pi. Un parámetro opcional width especifica a múltiplo fraccional de 2*pi para el cual ocurre los máximos de la señal. La función square genera una onda cuadrada con un periodo of 2*pi. Un parámetro opcional especifica el duty cycle , el porcentaje del periodo para el cual la señal es positiva.

P11) Generar 1.5 segundos de una onda diente de sierra (respectivamente cuadrada) a 50 Hz (ancho de 1/50=0.02) con una tasa de muestreo de 10 kHz (incremento, 1/10 KHz=0.1 ms), use: fs = 10000; t = 0:1/fs:1.5; x1 = sawtooth(2*pi*50*t); x2 = square(2*pi*50*t);


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES subplot(211),plot(t,x1), axis([0 0.2 -1.2 1.2]) xlabel('Time (sec)'); ylabel('Amplitude'); title('Sawtooth Periodic Wave') subplot(212),plot(t,x2), axis([0 0.2 -1.2 1.2]) xlabel('Time (sec)'); ylabel('Amplitude'); title('Square Periodic Wave')

Código en Matlab para generar tren de pulsos rectangulares fc=2e9; fs = 20e9; % sample freq D = [2.5 10 17.5]' * 1e-9; % pulse delay times t = 0 : 1/fs : 2500/fs; % signal evaluation time w = 4e-9; % width of each pulse yp = pulstran(t,D,@rectpuls,w);

if we plot this using matlab.. it will generate rectangular pulse train with amplitude varying from 0 to 1.. But how to modify this code so that it has to generate a pulse (amplitude) varying from (-1 to 1); .. Please let me know how to modify.. is there any other method. Respuesta: Únicamente agregue esta línea en el código. yp=2*yp-1; Muhammad Hanif


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES P12)Representación de Otras Señales

En este apartado se pide graficar otras señales sencillas. Vamos a representar todas entre —5 y 10 segundos con incrementos de 0.05. Fijaros que al tratarse de representaciones con las mismas características temporales, podéis usar la misma base de tiempos para todos los casos. A continuación se indican las señales a representar. Para las sinusoides amortiguadas incluir la representación de la envolvente de la curva. a) b) c) d) e) f)

 ( ) =  ( ) , ()= . ()= . ()= . ( 6 5 ) ()= . ( 6 5 )   ()= 

Escalón unitario.

Señal exponencial real. Exponencial real que empieza en t=0. Sinusoide amortiguada. Sinusoide amortiguada que empieza en t=0. Exponencial compleja. Graficar parte real e imaginaria. Graficar magnitud o modulo y fase.

g)

()= (.)

Otro ejemplo de exponencial compleja.

P13)Operaciones Simples con Señales

Ahora vamos a hacer algunas operaciones simples con una señal definida por su gráfica. Vamos a comenzar introduciendo en Matlab la señal dada por este dibujo: En principio, vale cualquier base de tiempos que abarque desde el —2 hasta el 2. Vamos a darle un poco de margen por ambos lados y la hacemos de —3 a 3 con incrementos de 0.05.

()

t = -3:0.05:3;

Hay que calcular la ecuación para la recta que va entre t=-2 y t=0. Esta recta tendrá la ecuación típica: r(t) = mt + b donde: • m es la pendiente. Al tratarse de una recta creciente debe resultar positiva. El valor de m se puede calcular como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal (eje t). En este caso:

 =  .  =  =   

b es el término independiente. Se puede calcular conociendo m y cualquier punto de la recta, por ejemplo r(-2)=0 ó r(0)=1 (con este último obtenemos una ecuación extremadamente simple que resulta b = 1). De hecho, el término independiente de una recta siempre es igual al punto en que corta al eje vertical (cuidado con esta propiedad porque, a veces, no es posible ver el punto de forma tan trivial como en este caso). 

()

Por tanto, entre -2 y 0 (y sólo entre -2 y 0) es igual a la expresión: t/2+1. Por supuesto, es igual a 1 entre 0 y 2 e igual a cero en el resto de intervalos. Veamos como crear el vector de señal.

()


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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES L = length(t); % Averiguar la longitud x = zeros(l,L); % Primero todo ceros pl = find(t==-2); % Busco el -2 p2 = find(t==0); % Busco el 0 p3 = find(t==2); % Busco el 2 % Con el incremento elegido; -2, 0 y 2 estarán % en la base de tiempos x(pl:p2) = t(pl:p2)/2+1; % Parte de recta creciente x(p2:p3) = 1; % Parte constante % x en t=0 lo hemos calculado con dos formulas % dando el mismo resultado

Una vez que tenemos la señal con ella.

() en matlab vamos a realizar algunas operaciones simples

a) Traslación: calcular y representar

1()=(−3).

Para este apartado veremos dos soluciones: EJECUTAR LAS DOS Y VER BIEN EN LA DIFERENCIA DE MÉTODOS. Solución 1: Sabemos que la señal es la misma pero todos los puntos se trasladan de tiempo t a tiempo t+3. Esto es: basta con sumar 3 a la base de tiempos. t1 = t + 3; xl = x;

Solución 2: Movemos el vector de valores 3 unidades de tiempo hacia delante (y hacemos crecer la base de tiempos). t_aux = 0.05:0.05:3; % Tres unidades de tiempo % No empieza en cero porque lo vamos a % añadir por la derecha L3 = length(t_aux); % Averiguar cuantos valores son los 3 segundos x_aux = zeros(1,L3); % Ceros para poner por la izquierda xl = [x_aux x]; % Los valores son los mismos % (con ceros por delante) t1 = [t max(t)+t_aux]; % Crear nueva base de tiempos


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2()=(2).

b) Escalado: calcular y representar Sabemos que la señal es la misma pero "comprimida" (a la mitad). Por tanto, el punto situado en t pasará a t/2. Esto es: basta con dividir por 2 la base de tiempos. t2 = t/2; x2 = x;

% Tres unidades de tiempo

Nótese que haciendo esto hemos dividido por dos el "incremento temporal" de la base de tiempos (los tiempos ahora están separados 0.025 segundos). c) Reflexión: calcular y representar

3()=(−).

Ahora se trata de que el punto situado en t pase a -t. La primera idea es cambiar de signo la base de tiempos. Eso es correcto pero no es suficiente porque tanto la base de tiempos como el vector de valores están en orden inverso al que debieran. Eso debemos resolverlo invirtiendo ambos vectores. t3 = -t; % Base de tiempos invertida x3 = x; % Los valores son los mismos final = length(t3); t3 = t3(final:-1:1) ; x3 = x3(final:-1:1); % Invertir

d) Sumar: sumar

()  1() (la señal del apartado a).

Para sumar dos señales no hay más que sumar los valores pero DEBEMOS TENER LA MISMA BASE DE TIEMPO PARA AMBAS SEÑALES. Si conservamos las variables y tenemos mucho hecho (se refiere a las variables del apartado a, solución 2). Viendo que es la misma

1 1 1


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

base de tiempos de pero extendida 3 unidades de tiempo no hace falta más que extender igualmente la base de tiempos de (y añadir el número adecuado de ceros a los valores de ).





Lextra = length(t1)-length(t); % Diferencia de longitudes temporales % (en numero de valores) t = t1; % Extendemos la base de tiempos de x = [x zeros(1,Lextra)]; % Añadimos ceros t4 = t; x4 = x + x1; % Calcular la señal suma (x4)

EJERCICIO Generar la señal las señales:

() de la figura y calcular y representar 1() = ( − 2), 2() =(/3), 3() = (−), 4() = () − 1(). Concepto de Sistema

Ahora vamos a realizar en Matlab un par de sistemas sencillos. Los textos de teoría definen un sistema como cualquier ente capaz de transformar señales. Para afianzar la idea de que un sistema transforma señales vamos a usar el concepto de "función de Matlab" (que ya conocemos de la práctica introductoria) para crear nuestros primeros sistemas. Un sistema lo vamos a definir como una función que podemos crear con el editor de Matlab (o con cualquier otro editor) utilizando una cabecera del tipo: function [y,ty] = Nombre(x,tx) % % Instrucciones que generen "y" y "ty" % (a partir de x y tx). % % Estas instrucciones se graban en "Nombre.m" %

Nótese que hemos querido reforzar la idea de que una señal en Matlab es una base de tiempos y un vector de valores. La función recibe como argumentos los dos vectores de la señal (entrada) y devuelve como resultados los dos vectores de la señal (salida). ) Por ejemplo, para implementar el sistema que eleva al cuadrado ( podemos usar la función:

()


() ()=[()]

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ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS – GENERACION DE SEÑALES function [y,ty] = Cuadrado(x,tx) ty = tx; % La base de tiempos es la misma y = x.^2; % Los valores se elevan al cuadrado

Si se conservan las variables

   del apartado anterior se puede probar esta función:

[y,ty] = Cuadrado(x,t); % Fijaos en la diferencia entre el nombre % de la variable t y el del argumento tx

Obteniendo la siguiente señal (recordar que hemos extendido la base de tiempos hasta t=6):

Ejercicio Crear una función que desplace la señal de entrada unidades de tiempo hacia la derecha (es decir: implementad el sistema: ). Nótese que la función deberá recibir al menos , como parámetro de entrada adicional, con lo que la cabecera será:

()=(−)



function



[y,ty] = Desplazamiento(x,tx,to)

Nota.- Probablemente, también será necesario conocer el incremento temporal que existe entre los valores de la base de tiempos de entrada. Pueden añadirlo como parámetro pero ¿Se puede deducirlo a partir de ?




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