LA_ACTIVIDADES_TRIGO 5°

Tr i g o n o m e t r í a Actividades Quinto grado de Secundaria

Editorial

TrigonomeTría Libro de acTividades QuinTo grado de secundaria coLección inTeLecTum evoLución ©

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Carol Clapés Hurtado / Roger Urbano Lima Miguel Lancho Santiago Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición 2013 Tiraje: 12 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-12013 ISBN: 978-612-313-084-8 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941 Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941

La coLección inTeLecTum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la coLección inTeLecTum evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas Sistemas de medición angular Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Sector circular

PRIMERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Páginas 6 8 10 12

Razones trigonométricas de ángulos agudos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

15 17

Resolución de triángulos rectángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

20 22

Maratón matemática

25

Ángulos verticales y horizontales Aplicamos lo aprendido Practiquemos

27 29

Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud

SEGUNDA UNIDAD


32 34

Reducción al primer cuadrante Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Circunferencia trigonométrica

37 39


41 43


46

Identidades trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

48 50

Ángulos compuestos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

TERCERA UNIDAD

52 54

Ángulos múltiples Aplicamos lo aprendido Practiquemos

56 58

Transformaciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

60 62

Funciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

64 66


69

Funciones trigonométricas inversas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

71 73

Ecuaciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

CUARTA UNIDAD

76 78

Resolución de triángulos oblicuángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

80 82

Secciones cónicas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

85 87

Límites y derivadas de funciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

92 94


96

Unidad 1

Recuerda Arquímedis de Siracusa (287 a. C.-212 a. C.) Nació y falleció en Siracusa (Sicilia). Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en Geometría. Desarrolló métodos anticipados de cálculo integral 2000 años antes de Newton y Leibniz. Arquímedes era un nativo en Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Dedicó su genio a la Geometría, Mecánica, Física e Ingeniería. Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras, las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Esfera y cilindro. Medida del círculo. Gnoides y esferoides. Espirales. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. Cuadratura de la parábola. El arenario. Cuerpos flotantes. Los lemas. El método.

Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que “El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal”. El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que “El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro”. Como posterior homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo Arquímedes demostró que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro. Es tal vez su trabajo sobre Medida del círculo el más interesante. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de pi(p) asignándole un valor entre 3 10 y 3 10 . 70 71 El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.

Reflexiona • El verdadero heroísmo consiste en ser superior a los males de la vida. • El hombre superior busca en sí mismo todo lo que quiere; el hombre inferior lo busca en los demás. • El hombre superior se cultiva a sí mismo para ganar respeto propio. Si no está contento con esto, se perfecciona para hacer felices a otros y si aún no está contento con eso, continúa perfeccionándose para conferir paz y prosperidad a todo el mundo. • Tener un ideal es tener una razón para vivir. Es también un medio para vivir una vida más amplia y más elevada.

¡Razona...! ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? L; U; M; D; M; T; J; ... Halla: x + y + z A) S D) C

B) O E) D

C) N

Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1

Sistemas de medición angular

Del gráfico, calcula x.

2

18θ°

3x 2x − 10°

30° − 4x

A) 20° D) 40°

3

B) 30° E) 50°

30θg

C) 60°

Calcula x, si se sabe que: 30x + π rad = 3`90° - π radj 2 6

A) 5° D) 6°

5

B) 4° E) 3°

C) 7°

Se sabe que: R + 3 = C2 + S2 C+S C -S

A) 2 rad D) 3 rad

Intelectum 5.°

B) 16 rad E) 8 rad

A) 1 D) 4 4

6

Si C, S y R son los sistemas de medidas para un mismo ángulo, halla la medida del ángulo en radianes.

6

Del gráfico, calcula q.

C) 15 rad

B) 2 E) 5

C) 3

Convierte a radianes: 810 000'' π

A) 4 rad 5

B) 3 rad 2

D) 5 rad 4

E) 3 rad 7

C) 2 rad 3

g

Dos ángulos complementarios miden (3x)° y c 20x m . 3 Halla el valor de x.

A) 15 D) 16

B) 10 E) 18

C) 9

Si se escribe 54g en lugar de 54°, calcula el error cometido en radianes.

B) π rad 180

D) π rad 6

E) π rad 7

C) 2π rad 3

B) 1500g E) 1600g

C) 1200g

Si n es el número de radianes del ángulo 175°, calcula el número de radianes de M° si: M = 1 (36n - 30p) π

A) 35π 36 35π D) 33

C) 5π rad 12

10. C

8. D

9. A

7. A

B) π 36 30π E) 37

C) π 35

Claves

B) 7π rad 13 E) 3π rad 7

14

C) 11π rad 10

Al medir un ángulo se tiene la siguiente relación: a = (179x + 185)° = (1 + x)p rad Calcula el ángulo en el sistema francés.

A) 800g D) 1000g

C) 3°

Calcula el error en radianes al escribir 315° en lugar de 315g.

12. C 11. C

A) 7π rad 9 D) 7π rad 40

B) π rad 9 7π E) rad 3

D) 8p rad

12

C) 3600’’

Se cumple: S = x2 - 3x - 10 C = x2 - 2x - 4 Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo (x ! R+), halla la medida del ángulo en radianes.

A) 3π rad 10

El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas inglés, francés y radial es π . Halla la 6 medida del ángulo en grados sexagesimales.

B) 2° E) 5°

10

B) 1800’’ E) 1542’’

5. B

A) 3π rad 100

A) 1° D) 4°

14. B 13. D

13

A) 1730’’ D) 1620’’

6. B

11

C) 15g

3. E

9

B) 30g E) 8g

4. D

A) 20g D) 15g

Convierte 50m a segundos sexagesimales.

8

1. D

La suma de las medidas de dos ángulos es 7p/20 rad y su diferencia es 30g. Calcula la medida del menor ángulo en el sistema centesimal.

2. B

7

TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

Practiquemos Nivel 1

A) π rad 5 D) π rad

Comunicación matemática 1.

20

Indica la relación correcta:

8.

g

2.

36

A) p rad

A) 1140°

D) π rad 6

C

B -60°

9.

y O

E) 1000°

A

Razonamiento y demostración

B) π rad 3 E) π rad 10

C) π rad 5

Expresa 30,5 en grados, minutos y segundos sexagesimales. A) 27° 40' D) 25° 25'

B) 28° 27' E) 24° 20'

7.

8

α°

x°

β°

A) a° + b°

B) a° - b°

C) 180° + a° - b° D) 180° + b° - a° E) 180g + ag + b°

g

C) 27° 27'

Resolución de problemas

Razonamiento y demostración 14. Sabiendo que: 40° = aag aam aas; calcula: 2a y demuestra que: 40° . aag aam aas

A) 45 B) 30 C) 90 D) 60 E) 8 Si x es la treintava parte de 4° e y es la 10. Sea un ángulo a, cuya suma del n.° de minutos sexagesimales y n.° de minutos treintaiseisava parte de 2g. centesimales de a es igual a 1540, calcula 15. Si S, C y R son los sistemas de medidas 3x + 4 y para un mismo ángulo. a en radianes. Calcula: M = 5x - 4 y C + S + C + S + ... C + S = 3800 R B) π rad C) π rad A) π rad A) 1/7 B) 5/7 C) 5/7 π 18 20 12 D) 3/7 E) 9/7 π π D) rad E) rad n términos 15 10 Halla el error cometido, en radianes, si se 11. Un ángulo mide 130g y su suplemento Calcula 2n° en radianes. escribe 36g en lugar de escribir 36°. mide (8n – 1)° B) π rad C) π rad A) π rad B) 2π C) π A) π Expresa ng en radianes. 18 16 9 10 5 50 π π rad E) rad D) D) π E) 2π A) π rad B) π rad 2 20 3 3 24 16 16. Sean A y B dos nuevos sistemas de C) π rad D) π rad Reduce: πC + πS + 20R ; si S, C y R son 48 50 200R medición angular. Si 160A equivale a la los sistemas de medidas para un mismo π tercera parte de una vuelta y 27B equivale E) rad 25 ángulo. a un ángulo recto. ¿A cuántos grados B equivale 120A? A) 1 B) 2 C) 4 NIVEL 2 D) 6 E) 3 B) 160B C) 27B A) 120B

Comunicación matemática

6.

13. En la figura expresa el suplemento de x en términos de a y b

Calcula la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:

De la figura, analiza y calcula el valor de y.

D) 1080°

5.

C) π rad

S C c - 1 mc + 1 m = 15 9 10 Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo.

C) 1120°

4.

10 E) π rad 9

A) 3° = 3 = 3 rad B) 1° < 1g < 1 rad C) 2 rad > 2° > 2g D) 1 rad < 50° E) 1 rad > 80°

B) 1110°

3.

B) π rad

E) 90B D) 10B Si S, C y R son los sistemas de medidas ángulos a = 786,75' y para un mismo ángulo. Calcula la medida 12. Se tienen los m b = 4217,09 ; al expresarlos en grados, Resolución de problemas de dicho ángulo en radianes, si además: minutos y segundos tenemos: π SCR = 162 17. Se tienen tres ángulos tal que la suma a = a° b' c" y b = xg ym zs del primero con el segundo es 20°; del π π π Indica verdadero (V) o falso (F) según B) C) A) 90 30 180 segundo con el tercero es 40g y del corresponda. π π primero con el tercero es 5p/9 rad. Halla D) E) 8 15 I. a y b son equivalentes. el mayor de dichos ángulos. II. b y z están en razón de 2 a 3. Calcula la medida de un ángulo que g III. c es menor que z. cumple: C2 - S2 = 76. C) 240g A) 42° B) c 140 m 9 Si S y C son los sistemas de medidas para A) VFF B) VFV C) FVV D) 29π rad E) 190° un mismo ángulo. D) VVV E) FVF 90

Intelectum 5.°

18. En un cierto ángulo se cumple que el número de segundos sexagesimales menos tres veces el número de minutos centesimales es igual a 29 400. Calcula la medida del ángulo, en radianes. A) π 20 D) π 30

B) π 5 E) π 15

C) π 10

A) 1W = 2v C) 1v = 2,25W W E) 1 v = 2 1

A) S - 9 = C - 10 9 10 B) S + C = 20R 19 π

B) 1v = 2W D) 1W = 1v

29. Calcula: 20x° + c 3x m π rad + 80xg 5 M= 2xπ rad + ^50gh x + 15x° 9

C) C - R = C - S 200 - π 20 2 D) S = 2CR 81 π

E) SC = 4002R 90 π

A) 1 B) 3 C) 2 19. Los ángulos de un triángulo isósceles D) 4 E) 8 miden 5xg y (4x + 5)°. Halla la medida 24. Se tiene un nuevo sistema de medida del tercer ángulo desigual en el sistema angular V. Si el número de grados en el Resolución de problemas internacional. nuevo sistema y el número de grados sexagesimales están en razón de 7 a 6. 30. Del gráfico, calcula: B) π rad C) π rad A) π rad 3 5 4 Encuentra la expresión incorrecta. E = 75a π 2π 2b 210 D) E) rad rad A) V = R 2 5 π B) C = 20 V am -b' 20. En el triángulo mostrado, halla el valor 21 de x. C) m+1 vuelta = 420V B

D) 36V = 42°

54°

31. Sabiendo que S, C y R son el número de grados sexagesimales, centesimales y radianes de un mismo ángulo, halla: 25. Si S y C representan la medida de un mismo ángulo en el sistema sexagesimal E = 3 6^ 3 - 2 h SCR y centesimal respectivamente, calcula:

28. C

29. C

30. B

31. E

21. D

22. B

Nivel 3 23. E

28. Se idea dos nuevos sistemas de medidas angulares W y V. Sabiendo que la unidad de medida de W (1W) es la quinta parte de la unidad de medida en el sistema sexagesimal; y que 20 grados V (20v) es 10g. Halla la relación entre los sistemas.


7. B

C) 101

14. E

B) 202 E) 200

6. A

A) 103 D) 142

5. B

Si: a > b

Nivel 2 12. E 13. B

ag am g bg bm m = ag bm m c m m am b

4. C

c

15. A

27. A

20. C

23. Sean S, C y R los números que representan la medida del ángulo en el sistema sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Indica la expresión incorrecta.

27. Calcula (a + b), sabiendo que:

3. E


C) 50

26. B

NIVEL 3

B) 30 E) 60

19. D

26. Reduce la siguiente expresión: 22. Si x e y representan los números de 11g + 22g + 33g + ... + 770g M =; E 400 minutos centesimales y sexagesimales 2 rad + 4 rad + 6 rad + ... + 140 rad π respectivamente de un ángulo, además se cumple que x - y = 368. ¿Cuál es la A) 10 B) 11 C) 15 medida del ángulo en radianes? D) 22 E) 7

A) 10 D) 80

π =3 R

2. B

C) π rad 50

C) 6

200 + 3 C

25. C

B) 2π rad 25 E) π rad 16

B) 2 17 E) 3 15

180 + 3 S

18. A

A) π rad 25 D) π rad 30

A) 23 D) 3 14

3

10. C 11. E

C) 20

Además:

1. C

B) 18 E) 32

C - S -2 C+ S

24. D

A) 16 D) 24

C+ S + C- S

17. D

E=

16. C

21. Si: 3π rad = 4a°3b'1c'' . 13 Calcula: J = (a + b)c

9. C

C) 70g

8. C

B) 45g E) 60g

C) -25/3

Nivel 1

A) 30g D) 55g

B) 25/3 E) 1


C

C l a ve s

x

A

A) 5/6 D) -5/6

E) 7V = 360'

9

Aplicamos lo aprendido tema 2: 1

Sector circular

Halla el área de la región sombreada.

2

B

Halla el número de vueltas que dará cada rueda de la bicicleta cuando el ciclista haya dado 20 vueltas en la circunferencia.

A O

4π

3π

π/5 D

C

B) 25 p 2 7 E) p 3

A) 400 y 400 3 C) 500 y 100 3 250 y 150 E) 3

C) 16p

Si se cumple que: 2S2 = 3S1 Calcula: OA OD

4

O

θ

S2

4m

B

A)

B 2m

D

5 2

B)

2 5

C)

3 2 A) 45° D) 36°

E) 2 3 3

D) 2 5

5

A

A S1

B) 300 y 200 5 D) 400 y 400 7

La figura muestra dos engranajes. Si la rueda mayor gira 18°, ¿qué ángulo gira la rueda menor?

C r

r 20r

A) 35 p 2 18 D) p 7 3

3r

Halla el área del sector sombreado.

6

B) 40° E) 37°

C) 38°

Halla el área de la región sombreada.

8 O

O

14

1 rad

6m A

8m

6

A) 45 D) 72

10 Intelectum 5.°

B) 32 E) 27

C) 28

A) 12 m2 D) 17 m2

B) 16 m2 E) 15 m2

C) 14 m2

Halla el número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B. 1 O

4

4

4 45°

A) 15/3 D) 17/4

1 rad

O

D

B) 17/5 E) 19/8

10

R

D

B

x

S2

α

C

B

B) p/7 E) p/15

C) 3p/4

A) 7 D) 9

Del gráfico, ¿cuántas vueltas tiene que dar la polea de radio 1 m para que el bloque se eleve ( 75 + 50 ) m. (Considera: π = 3 + 2 )

A) 2,5 D) 1

B) 3 E) 5

12

c) 4

14

A

C) 8

Una bicicleta recorre 12p m sobre una superficie rectilínea. Calcula la suma del número de vueltas de sus dos ruedas con 0,6 m y 0,8 m de radio.

A) 16 D) 12,5

Del gráfico, el área del círculo es igual a (3 - 2 2 )p m2, calcula el perímetro del sector circular AOB.

B) 12 E) 14,2

C) 17,5

En el gráfico, ¿cuántas vueltas dará la rueda 1 hasta volver a su posición inicial por primera vez? La rueda 2 se mantiene estática y no gira. 3

9

(1)

(2)

B

C) 4 + π m 3

A) 6 D) 7

10. A 9. B

7. E

B) 4 E) 1

C) 2

Claves

B) 2 + π m 3 4 πm + E) 2

8. A

12. C 11. A

A) 4 + π m 7 π D) + 3 m 2

5. B

O

B) 6 E) 10

6. C

14. B 13. E

13

R

A

M

A) p/6 D) p/8 11

C) 6

3. B

O

B) 18 E)15

Una rueda se desplaza sobre un plano horizontal de A hacia B, barriendo 49p/11 rad. Calcula x, si R = 0,5; (p = 22/7).

A

S1

B

A) 13 D) 21

C) 21/8

Del gráfico, AOB es un cuadrante, determina el valor de a, S sabiendo además que: 1 = 1 S2 2

Q

A

4. D

9

C

2 B

3

1. A

A 4

Halla el perímetro de la región sombreada, siendo AOB y COD sectores circulares.

8

2. A

7


11


5.

Del gráfico calcula: J =

A A1

Del gráfico: r

α θ

O

R

O

S2

S1 S4

A2

6.

A3 F

B) 2 E) 5

I. Si S3 = S4, entonces: S1 = S2

2.

B) FFV E) VVV

O

α A

Del sistema de engranajes:

7.

D

D

r

P

E

A) 4 3 m2 C) ( 3 + 4p) m2 E) (4 3 - 2p) m2

I. El número de vueltas de C es igual al número de vueltas de E. II. A y B dan un mismo número de vueltas. C) FFV

8.

Razonamiento y demostración 3.

2 3 30° 6

4.

Calcula

S1

S1 en el gráfico. S2

S2

A) 1 4

B) 4

C) 1 3

D) 1 5

E) 5

12 Intelectum 5.°

B

2m

B) (2 3 - 6) m2 D) (4 3 + 2p) m2

A) 10 D) 11

B) 8 E) 7

C) 9

Nivel 2 Comunicación matemática 11. Indica cuáles de las proposiciones son verdaderas: I. La razón de los radios de dos ruedas unidas por una banda es igual a la razón entre sus números de vueltas. II. Si una rueda de radio r cm gira sin resbalar un ángulo igual a q rad cuando se traslada de un punto a otro, la longitud que recorre es igual a qr cm. III. En 2 poleas unidas por un eje se cumple que la razón de su número de vueltas es igual a 1. A) Solo I D) I y III

Sea un sector circular de radio 5 m y ángulo central 20a, donde un grado a 12. De la figura: (1a) es el triple de un grado en el sistema B francés. Calcula el área de dicho sector circular.

B) II y III E) Solo II

C) Solo III

C

4 cm

Calcula el área de la región sombreada. A) p B) 2p C) 3p D) 4p E) 5p

Q


III. Si B da 2 vueltas, D da 1 vuelta. B) FVF E) FVV

F

R

2m

C

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

A) VVF D) VFV

x

2m

4r

2r

r

A) 3 cm B) 7 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 2 cm

Calcula el área de la región sombreada:

F A r

A 6m

3m

E

A 24 cm A B

C) 45 m

10. Se tienen 2 ruedas unidas por una faja como se muestra en la figura. Si la rueda de mayor radio da (n - 4) vueltas y el de menor radio da n vueltas. Calcula (n + 3).

C) 3

C

A

C) VFV

B) 70 m E) 90 m

A partir del gráfico, calcula x.

II. Si S1 = S2, entonces: R = 3r

III. Si S2 = 4S4, entonces: 4S1 = S2

E

D

3θ 2θ θ

A) 1 D) 4

S3

Indica verdadero o falso:

A) VFF D) VVF

A) 48 m D) 80 m

C


A2 - A1 A3 - A 2

A) 10π m2 3 D) 12π m2 5 9.

B) 15π m2 4 E) 15π m2 2

C) 18π m2 7

A

P

3 cm

D

El cuadrado gira sin resbalar, relaciona la longitud que recorre el punto P de acuerdo Dadas 3 ruedas A, B y C de radios 3 m, 4 m a las condiciones dadas. y 5 m respectivamente; si A y B recorren una distancia igual a 24 m. ¿Qué distancia I. Desde el instante mostrado a) 5π cm recorre C si su número de vueltas es igual hasta que C toca el suelo por 2 a la suma del número de vueltas de A y B? primera vez A II. Si inicia con el lado CB en b) 3π cm 4 el suelo hasta que A toca el B suelo por primera vez 17 π III. Desde el instante mostrado c) 2 cm hasta que la diagonal DB sea C perpendicular a la superficie d) 3π cm 2 por primera vez

A) Id, IIa, IIIb C) Ic, IIb, IIIa E) Id, IIc, IIIb

B) Ia, IId, IIIb D) Ia, IIb, IIId

A) 2,5 D) 3,5

13. En la figura se observa un péndulo en movimiento, si la longitud que recorre su extremo desde el punto A hasta el punto B es 13p cm, calcula la longitud del péndulo si además el triángulo PQR es equilátero. Q

30°

1

5

2 1 B

¿Qué datos son necesarios para calcular el número de vueltas que da la rueda desde A hasta B? A) Los radios R y r. B) El ángulo que gira la rueda de A hasta B. C) El radio R y q. D) La longitud que recorre el centro de la rueda. E) El ángulo que gira la rueda de A hasta B y el radio r. 22. En el gráfico: A

B) 20 cm E) 44 cm

A) 2 13 u D) 4 2 u

C) 22 cm

2 cm

B

B) 5 u E) 8 u

C) 6 u

18. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 8 a 15, ¿cuál es el ángulo que habrá girado un punto cualquiera de la rueda mayor, cuando la rueda menor haya dado 3/8 de vuelta?

14. En el gráfico: 4 cm

B

L1

A

B

A

17. ¿Cuál será la distancia entre los puntos A y B cuando el engranaje de menor radio gira 1,25 vueltas?

A

R

A) 17 cm D) 34 cm

C) 1,75



P 10 cm

B) 3 E) 7

C

A) 120° D) 72°

B) 36° E) 144°

C) 105°

S1

L2

R α

O

S2

θ

Indica qué datos son necesarios para calcular el radio de la semicircunferencia. I. La suma de S1 y S2 es igual a 3p m2.

II. La diferencia entre L1 y L2 es igual a 2π m. 5 III. m + AOB = π rad 6

Calcula el ángulo que gira la rueda A si el número de vueltas de B y C suman 18. 19. Fuera de una cerca cuadrada de 5 m de A) Solo I B) II y III C) I y II lado, en uno de sus lados se ata una cabra D) I y III E) Faltan datos A) 18p rad B) 12p rad C) 24p rad con una cuerda de 3 m a 2 m de una de D) 6p rad E) p rad las esquinas. Si alrededor está cubierto de Razonamiento y demostración hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? 15. Calcula el área de las regiones sombreadas 23. Si r2 = 8 cm2, calcula el área de la región A) 19π m2 B) 51π m2 C) 9p m2 π 4 4 sombreada. B D) 25π m2 E) 12p m2 A C 4 A

D G 22°46° 26° 32° O 2

A) 12p u D) 36p u2

B) 10p u E) 5p u2

5 2

F

E

C) 18p u

2

20. Qué distancia recorre un triciclo si el número de vueltas que dan dos de las ruedas de radio 6 m suman una cantidad que excede en 8 al número de vueltas que da la tercera rueda de radio 9 m. Considera una trayectoria rectilínea para el triciclo. A) 72p m D) 18p m

B) 36p m E) 81p m

C) 63p m

16. Calcula el número de vueltas que da la polea 3 en el instante que el bloque llega Nivel 3 al piso. (Considera π = 22 ) 7 Comunicación matemática 1

3 2 cm

2

O

r A

R

22 cm θ

O'

B 2

A) 5 cm D) 3 cm2

2

B) 9 cm E) 8 cm2

C) 4 cm2

24. Del gráfico, la rueda gira sin resbalar. 5 cm

A

21. De la figura:

r

α

74° 224 cm

Calcula el número de vueltas que da la rueda desde A hasta que choca con la superficie inclinada. (Considera π = 22 ) 7 A) 6 B) 5 C) 11 B) 9 D) 7


13

25. Calcula el perímetro de la región sombreada. (T punto de tangencia).

29. Del gráfico mostrado AOB es un cuarto de circunferencia. Las regiones PAQ y PBR son sectores circulares. Halla el área mínima de las regiones sombreadas si OA = OB = 2 u .

T

A P

R 60°

Q

O

A)

(4π + 3 3 ) R 6

B)

(9π + 4 + 2 3 ) R 6

C)

(4π + 9 + 3 3 ) R 6

D)

(3π + 4 + 2 3 ) R 6

E)

(4π + 8 + 2 3 ) R 6

O

A) π u2 8

26. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Calcula q, si ! L! GF = 5 L AE ; FOG y AOE, son sectores circulares.

P C

E

A) π 3 D) π 8

θ

A

B) π 4 E) π 12

D G

C) π 6

27. En un sector circular de área S, longitud de arco l y radio r se cumple:

C) π u2 2

30. De la figura, el punto P ubicado en la rueda se encuentra a una altura igual al radio de la rueda. Si la rueda gira como se indica 2/3 de vuelta. ¿A qué altura se encuentra el punto P en ese instante?

F B

B

B) π u2 4 E) 3 p u2 2

D) p u2


O

R

A) r - r 3 2 r D) + r 3 2

r

B) 2r 3 3

C) r + r 3

E) r 2 + r

31. Se ata una cabra en la parte exterior de una cerca cuadrada cuyo perímetro es igual a 16 m; si la cabra es atada en una de las esquinas de la cerca. ¿En qué área podrá pastar la cabra si la cuerda usada para atarla tiene 5 m de largo? A) 75 p m2 2 78 D) p m2 2

B) 37p m2

C) 38p m2

E) 77 p m2 4

5l2 + 11S = 3pr2 π Calcula el ángulo del sector circular. A) 3π rad 2

B) 60°

D) 72°

E) π rad 2

C) 50g

C l a ve s

28. Sean dos ruedas conectadas por una faja. Cuando la faja gira se observa que la suma de ángulos que giran las ruedas es 486°. Calcula la diferencia entre el número de vueltas de ambas ruedas si sus radios son 2 u y 7 u. A) 3 D) 2 3

B) 3 2 E) 3 4

14 Intelectum 5.°

C) 27 20

8. B

14. B

Nivel 3

27. D

1. C

9. B

15. E

21. B

28. E

2. E

10. D

16. C

22. D

29. B

Nivel 2

17. A

23. C

30. A

11. C

18. D

24. E

31. E

6. C

12. E

19. A

25. C

7. E

13. C

20. A

26. B

Nivel 1

3. B 4. D 5. E


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

En el gráfico: tana = 6, calcula tanq.

Según el gráfico, calcula cotq.

θ

θ

α

A) 1/6 D) 1/4

3

2

B) 1/12 E) 1/10

C) 1/5

Del gráfico, calcula: L = tana + cota

37°

A) 3 D) 1,4 4

B) 2,5 E) 2

C) 4

Si los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, calcula la cosecante del menor ángulo agudo.

n

m

α

amn

A) 1/a D) a

5

B) m E) m2

C) a/2

Según el gráfico, calcula: cota - tanb

A) 2/5 D) 1/3 6

B) 3/5 E) 5/2

C) 5/3

En el gráfico, AL = 3LB. Calcula: cosa A α

β

L

α

α

C

A) 1 D) 4

B) 0 E) 2

C) -2

B

A)

2 3

B)

4 7

D)

7 8

E)

7 7

C)


6 7

15

7

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce: K = senA + senC sec C sec A

8

Calcula: cotacotb

C β

20

A) 1 D) ac2 b 9

B) 2 E) a - c b

B) 9 4 61 6

D)

10

51 6

C)

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la ceviana CN (N en AB); tal que AN = 3NB. Si: m+NCB = q y m+CAB = f; calcula: P = cotqcotf

13

B) 3 E) 1 2

12

C) 8

B) 2 E) 5

C) 3

Del gráfico, calcula: tanqtana A

α

N

M

θ

C

A) 2 D) 1 4

C) 4

Del gráfico, calcula: P = cosbcota + tanasecb

B)7 E) 10

Si b es un ángulo agudo, tal que: cosb = 0,6; calcula: K = cscb + cotb

B

A) 2 D) 1 4

B

A) 1 D) 4

13 2

E)

5

A) 1 D) 14

Si: cotq = cos16°sec37°; calcula secq.

A) 6 5

11

C) 1 2

143°

α

A

14

C) 1 2

B) 4 E) 1 8

Calcula: tana

C

D b C

B

ab a2 + b2

A) 1 D) 4 8. D 7. A

C)

10. B 9. D

12. D 11. C

14. C 13. B

Claves

16 Intelectum 5.°

1

B

B) 2 E) 6

5. A

2 2 B) a + b ab 2 2 a E) - b 2ab

6. A

A) a + b ab 2 2 a D) - b ab

3

C) 3

3. D

a

α

D

4. C

β

37°

1. B

A

A

2. E

α


7.


Si tana = 2 , a es agudo, calcula: 3 J = secacsca A) 13 3 D) 13 6

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: α 2 3 θ

A) VVF D) VFV 2.

B) FFV E) FVV

( )

4.

8.

( )

C) VFF

Para a y q agudos, diferentes y complementarios, indica la alternativa correcta:

3 , f es agudo, calcula: 4 J = 13csc2f + 3tan2f

9.

B) 25 E) 31

C) 27

En un triángulo ABC (B = 90°), se traza la mediana AM (M en BC); cumpliéndose que: m+BAM = a; m+ACB = q. Calcula: Q = tanatanq A) 1 D) 1 4

B) 2 E) 1 2

a) 8° y 82° b) 53c y 127c 2 2 c) 37c y 143c 2 2

Si cosf =

A) 23 D) 29

( )

A) tanatan(90° - q) = 1 B) seca = 1 senθ C) sena = cos(90° - q) sec α =1 D) csc (90c - θ)

3.

C) 13 6


6

I. q es la mitad de a. II. senq es igual a 3 . 2 III. a es igual a π rad. 6

B) 13 2 E) 15 3

12. Ordena según corresponda:

20

I. 2 2

II.

2 5

2

2 10

III.

(

)

(

)

(

)

2 2

C) 4 A) cab D) cba

B) bca E) acb

C) abc

10. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la ceviana CN (N en AB); tal que Razonamiento y demostración AN = 3NB. E) Todas Si: m+NCB = q y m+CAB = f; calcula: 13. Si: tan(a + b + y)tan(2y - a - b) = 1, P = cotqcotf entonces el valor de y será: Razonamiento y demostración A) 2 B) 3 C) 4 A) 10° B) 30° C) 60° En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), E) 1 D) 1 D) 20° E) 40° 2 4 reduce: senA senC K= + sec C sec A Nivel 2 14. Si a y b ángulos agudos, tal que: sena = 1/3; cosb = tana; calcula: 1 A) 1 B) 2 C) Comunicación matemática 2 Q = 2 cota + 7 tanb D) ac2 E) a - c b 11. En el triángulo rectángulo ABC: b A) 3 B) 5 C) 6 B En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) D) 7 E) 11 reduce: J = (sec2C – cot2A)(sen2C + sen2A)

A) 1 D) a2 - c2 5.

6.

B) 2 E) c2 - a2

C) 3

Si senq = 1 , q es agudo, calcula: cotq 3 A)

2

B) 2 2

D)

7 2

E)

C) 9 2

17 5

Si cosb = 2 , b es agudo, calcula: senb 5 21 B) 3 C) 3 A) 5 5 5 D) 2 E) 17 5 5

A

53°/2

D

C

15. Del gráfico, calcula: Q = tana + tanq ABCD es un cuadrado.

Indica el valor de verdad: I. AB = 5 DC 2

(

)

II. DC = 2 5 AD

(

)

III. BD = 2 AC 5

(

)

A) FFV D) VVV

B) FVF E) FFF

E

B

C

F α

θ D

A

C) VFV

A) 1 D) 1,5

B) 2 E) 2,5

C) 4


17

20. En un triángulo rectángulo, un cateto mide el triple que el otro cateto. Calcula la cosecante del mayor ángulo agudo del triángulo.

16. Del gráfico, calcula: tana B

A

A) 1 2 D)

α

N

B) 2 2 2

C

C)

2

E) 2 2

D)

B)

10 10

E

C

B) 2 E) 5

B) 0,2 E) 0,5

C) 0,3

23. Del gráfico, calcula: senbcosb

θ

A) 1 2 D) 1 5

C) 3

22. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se cumple: tanA = 4tanC. Calcula: senAsenC A) 0,1 D) 0,4

A

C) 3 10

21. Si b es un ángulo agudo, tal que: cosb = 0,6 Calcula: K = cscb + cotb A) 1 D) 4

17. Calcula tanq si: 2BC = AD B

10 3 E) 3 10 10

A) 10

M

A

45°

D

B) 1 3 E) 2 3

5 P

C) 2 5

3

2β B

A) 5 17 D) 6 17

18. Del gráfico, halla: tanq + cota α

B) 15 34 E) 6 13

C) 12 17

Nivel 3 18


5

24. Marca la alternativa correcta: θ

A) 1 12 D) 4 5

B) 23 12 E) 12 23

C) 5 14

19. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, se cumple: 3 + 4tan c B m = 3cscA. Calcula el valor de: 2 M = senBsecAcosBcscAtanB B) 5 3 E) 8 5

18 Intelectum 5.°

C) 3 7

2 2

C) sen 143° = 3 10 2 10 E) cot30° =


A) 4 3 D) 8 5

A) sec45° =

B) sec 127° = 5 2 10 D) sen82° =

10 3

3 3

25. Se cumple que: 2cos2a + 2tan2q = 2cosa + 2tanq - 1, para a y q ángulos agudos. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. La medida del ángulo a es igual a 45°. II. La cotq es igual a la unidad. III. La relación entre la medida de a y su complemento es de 1 a 2 respectivamente. A) Solo I D) Solo II

B) I y III E) Ninguna

C) II y III

Razonamiento y demostración 26. En un triángulo rectángulo ACB (recto en C), halla: R B V S cot + 1 W 2 Wtan B K= S SS cot A + 1 WW 2 T X A) 2 B) 1 C) 1 2 D) 2 E) 2 2 27. Del gráfico, calcula: tanatanb C M

30. Si: tanf = Calcula: M=

cos φ cot 60c + csc2 φsen2 45c csc2 φ . cot φ sec 45c + sec φ sec 30c tan 30c

A) 12 3 D)

3 12

B

O

B) 1 3 E) 4 9

C) 1 9

28. En el cuadrado ABCD, calcula: tanb

M

Q β

C) 5 4

B) 78 cm E) 75 cm

C) 21 cm

D

20. B

21. B

22. D

12. E

13. B

14. E

4. A

5. B

6. A

7. C

28. B

19. A 11. A

3. A

27. D

33. B

18. B

B

C) 2 2 - 1 2

26. C

17. D

E) 2 2 + 1 7

Nivel 2

2 -1 7

10. C

D)

2 +1

2. B

B)

1. C

2

16. D

A)

15. B

M

9. E

O

N

8. D

θ

C l a ve s

C

Nivel 1

23. B

A

32. A

!

29. Si m AC = mCB , calcula cotq.

25. E

E) 5 11

31. A

D) 4 11

C) 3 11

24. C

B) 2 11

29. C

A) 1 11

!

A) 60 cm D) 51 cm

P

A

B) 5 3 E) 4 3

33. En un triángulo acutángulo ABC, la tangente de A es igual a 2,4 el coseno de C es igual a 0,28. Si el perímetro de ABC es igual a 204 cm, calcula la longitud del mayor de los lados del triángulo.

C N

32. En un triángulo rectángulo la suma de sus lados mayores es 27 y la diferencia de sus lados menores es 3. Calcula la tangente del menor ángulo agudo. A) 3 4 D) 3 5

B

C) 3

30. C

A) 2 3 D) 2 9

13 13


β

H

E)

C) 13 3 24

Nivel 3

A

B) 13 13 24

31. Si: 0° < a < 45° y cot2a = 15 8 α Calcula: E = ( 17 - 4) cot 2 A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

N α

2 (f agudo)


19


Resolución de triángulos rectángulos

Del gráfico, calcula x en función de a y q.

2

En el gráfico, calcula BR. B

a

37°

2

x

4 2

θ θ

A

A) asenqcos2q C) asec2qtan2q E) acscqtan2q

3

B) atanqsec2q D) asecqtan2q

Las bases de un trapecio isósceles son B y b (B 2 b). Si los lados no paralelos forman con la base mayor un ángulo cuya medida es q, halla el área de la región trapecial.

4

C

R

A) 5 2

B) 5 2 3

D) 2 5 4

E) 4 2 5

C) 5 2 4

Del gráfico, calcula: K = cotα + cotθ 1 + cscα θ

2α

C

A

O B

5

A) c B + b m tan θ 2

2 2 B) c B + b m tan θ 4

2 2 C) c B - b m tan θ 4 E) Bb sen θ 2

D) Bb sen θ 2

En el gráfico mostrado, calcula CD en función de q y m.

A) 1 D) 2 6

B L

45°

A

θ

C) 3/4

En el gráfico, calcula AM, si RL = RC y MC = a.

C

m

B) 4 E) 1/2

D

R α

A

B

A) msenq C) m(cosq + senq) E) mcosq

20 Intelectum 5.°

B) m(secq + tanq) D) m(cosq - senq)

A) asec2a C) a(sec2a - 1) E) atan2a

M

α

C

B) acsc2a D) a(sec2a + 1)

7

En un triángulo rectángulo (m+B = 90°) se traza la mediatriz de AC la cual interseca a AC y a AB en los puntos H y D, respectivamente. Si m+CAB = q y HD = L, calcula BC.

Si ABCD es un rectángulo, calcula: P = csca . cscb . secx en función de x y q.

8

B

x

α

A

A) 2Lcosq D) 2Lsenq 9

B) Lcosq E) Lsenq

C) 2Ltanq

θ

β

D

A) senqcscx D) cscqcosx

Según el gráfico, calcula OB, si OA = x y AC = y.

10

C

B) cscxsecq E) cscxcscq

Si ABCD es un cuadrado, calcula:

C) cotxsenq

tan θ 1- tan α

C

B θ

O

θ

A) xcosq - ysenq C) xcscq + ytanq E) xsecq + ysenq

B) xsecq - ytanq D) xcosq + ysenq

A) 5 D) 3

Halla ntanx en términos de a. Si: AD = n AC B

x

12

B) 8 E) 4

Siendo: S1 y S2 áreas, calcula: 4a

E 6a

A

D

A) seca . csca C) senaseca E) sen2a

B) senacosa D) cosa csca

S2

3b

A) 1 D) 4 14

θ

B) 2 E) 5

C) 3

Si AOB es un sector circular, C y D puntos de tangencia. Halla AE en términos de “q” y “r”. A

b

a

5b

C

Del gráfico calcula x. x

S2 S1

θ

D

c

r

A) r(cosq/2 - 1) C) (cotq/2 - 1)cosq E) r(cscq/2 - 1)cosq

5. D

10. C

8. E

9. D

7. A

C

B) r(cotq/2 - 1) D) r(cscq/2 - 1)

Claves

E) bc2 senq a

B

6. A

D) abc senq

O

C) ab senq c

3. C

B) bc senq a

E

4. A

A) ac senq b

θ

1. B

12. C 11. B

14. E 13. C

13

α

S1

C) 2

2. C

11

α

A


21


5.

Según el gráfico, calcula x.


m

Indica verdadero (V) o falso (F), en las siguientes proposiciones: ▪ En el triángulo rectángulo notable de 15° y 75°, si la medida de la hipotenusa es 8 u, entonces la medida de la altura relativa a la hipotenusa es 4 cm. (

)

▪ En un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es menor que la medida de un cateto. (

)

▪ El teorema de Pitágoras solo de puede demostrar ( de 2 formas. ▪ La mediana relativa a la hipotenusa mide 5 m, entonces la hipotenusa mide 10 m. ( 2.

α

)

β

A) msenasenb D) mcosasenb 6.

B) msenacosb E) mtanacotb

m θ

A) mcosq D) mcos3q 7.

x

Halla el área del triángulo mostrado.

A) 14 D) 15 8.

30°

B) 20 E) 16

D α

C 6

A) 20sena D) 30sena

A

1 C

A

B) 24sena E) 28sena

C) 8

En el gráfico, DC = BC, calcula la cota.

7

4.

8

De la figura, calcula el área de la región sombreada. B 1 α

C) mcos2qsenq

B) msenq E) mcosqsen2q

4

3.

C) mcosacosb

Según el gráfico, calcula x.

)

Dibuja un cuadrado ABCD, en la diagonal AC ubica los puntos M y N, tal que, AM = MN = NC. Halla el área de la región triangular MBN, si CD mide 3 2 m:


x

C) 25sena

α

B

A)

3

B)

5

D)

3 /3

E)

2 /2

C)

2


De la figura, halla x.

n

9. n α

A) n(cota + cotb) C) n(tana + tanb + 1) E) n(tana + cotb)

22 Intelectum 5.°

x

β

B) n(cota + cotb + 1) D) n(cota + tanb)

En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide b y el cateto adyacente a este ángulo mide n. ¿Cuánto mide el área del triángulo? 2 A) n tan β 2

B) n2 tan β

D) n2 cot β

2 E) n sec β 2

2 C) n cot β 2

10. Halla el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide q y el cateto adyacente a este ángulo mide a. A) a(senq + cosq + 1) B) a(secq + tanq + 1) C) a(cscq + cotq + 1) D) a(secq + tanq) E) a(cscq + cotq)

14. Del gráfico, calcula CD.

74°

x=5

m

A

49 8°

15°

C) mcos2q

B) mcosqcotq E) msenq

C

50

x

B

15. Halla la longitud del arco AC, en función de m y q.

11. Relaciona según corresponda: x

m

A) msenqtanq D) msen2q


C

θ

θ

A

Nivel 2

D

x=7

x

x = 14°

20

12. Dibuja un trapecio ABCD, donde la medida de la base menor BC mide 5 m. Construye el triángulo rectángulo ABD, recto en B, donde la medida de la hipotenusa AD = 10 m. Halla el área de la región triangular BCD, si m+BAD = 37°.

θ rad

O

A) qmcscq D) 2qmsecq

B) qmcosq E) 2qmcscq

B

C) qmsecq

16. Del gráfico, calcula senq. A)

1 65

B)

2 65

C)

3 65

D)

4 65

E)

5 65

2

1

θ

2

17. Del gráfico, halla x, si ABCD es un cuadrado. A

B

H

n

x

θ

D


A) nsenq D) nscscq

C

B) ncosq E) ncotqcscq

C) ntanqcscq

18. Del gráfico, halla x en términos de m y q.

13. Del gráfico, calcula x.

m

θ

R 2θ

A) Rcotq D) R(tanq + 1)

x

x

B) Rtanq E) R(senq + 1)

C) R(cotq + 1)

A) m(sec2q - 1) D) m(cot2q - 1)

B) m(csc2q - 1) E) m(tan2q + 2)

θ

C) m(tan2q - 1)


23


28. Del gráfico, calcula PB en términos de m, a y q. B

19. Calcula el lado de un cuadrado inscrito en 23. Según el gráfico, calcula senq. un triángulo isósceles cuyo lado desigual A) 1/2 mide a y uno de los ángulos iguales mide q. θ B) 1/3 a C) 4/5 A) a(2cotq + 1) B) 2ctgθ + 1 D) 3/6 2a a E) 1/5 C) D) ctgθ + 1 tgθ + 1 24. De la figura determina BT, en términos de R y a. T

B 2α

3α

Resolución de problemas B) Rcos4asen2a D) Rsen4a

cos θ - sen β 25. De la figura, calcula: E = ; cos β - sen θ AB = CD C

β


B

21. Observa el gráfico y luego completa:

B) 2 E) 3/2

O 4m

A

A

40°

20°

C D

Indica verdadero (V) a falso (F), según corresponda. )

▪ AD = 4cos20°sec40°

(

)

B

▪ CD = 4sec40°sen20°

(

)

3

(

)

▪ STACD = 16sec 40° . cos20°

24 Intelectum 5.°

θ

b

D

27. En la figura mostrada, calcula la cscq.

(

2

R

A) b/(1 + senq) B) bcosq/(1 + senq) C) bsenq/(1 + secq) D) bsenq/(1 + cosq) E) bcosq/(1 + cosq)

▪ AB = 4tan40°

E θ 1 A

5

B) 4(a + b)secq D) 4(a + b)senq

25. C 26. D 27. E 28. B 29. B 30. A

B

C

A) 4(a + b)cscq C) 4(a + b)tanq E) 4(a + b)cosq

C

D

A) 2, 34 B) 3, 24 C) 3, 21 D) 2, 24 E) 2, 21

21. 22. 23. C 24. A

B

22. Sea

C) 1/2

26. Si ABCD es un trapecio isósceles, halla R en función de b y q.

B

48 m

E

D

A) 1 D) 2/5

C 16°

1

Nivel 3

16°

θ

30. En un paralelogramo las distancias del punto de intersección de las diagonales a los lados no paralelos miden a y b. Sabiendo que uno de los ángulos del paralelogramo mide q, determina el perímetro del paralelogramo.

11. 12. 13. C 14. D 15. C 16. D

A

A) m(1 + tanq + cosq) B) m(1 + senq + cosq) C) m(1 + secq + cosq) D) m(1 + secq + tanq) E) m(1 + cscq + cotq)

C B B D C C

E 7mD

A

2

29. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) la hipotenusa es m y el + A = q. Halla el perímetro del triángulo.

Nivel 2

Nivel 3

A) mcosqtan(q - a) B) msenqtan(q - a) C) msenqcot(a - q) D) mcosqcot(a - q) E) msecqtan(q - a)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A) 2Rcos4a C) 2Rsen2a E) 2Rcosasena

C

M m

C

O

R

H

17. C 18. D 19. B 20. D

A) n(1 + senb + cosb) B) n(1 + tanb + cotb) C) n(1 + secb + cscb) D) n(1 + cotb + cscb) E) n(1 + secb + tanb)

A

9. A 10. B

20. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide b y el cateto opuesto a dicho ángulo mide n, ¿cuál es el perímetro del triángulo?

θ

C l a ve s

E) a(3cotq – 1)

α

P

Nivel 1


Matemática Calcula cota + 4 , si: MQ = RP 3

Resolución:

En el gráfico tenemos:

N

N 3k

M

30°

37°

α

Q

R

P

M

30°

α

Q 4k 3 3k

R

4k

37°

P

(3 3 - 4) k 4 + Nos piden: cota + 4 = 3 3k 3 4 3 3 4 4 cota + = - + 3 3 3 3 4 ` cota + = 3 3

1.

Si ABCD es un cuadrado, calcula el valor de ED. B

5.

C

Si ABC es un sector circular con centro en B. Calcula el área del trapecio circular en función de m y n.

37°

A

A) 4 2.

B) 7 2

E

A) m . n 2

E) 5 2 6.

M

C P

m

60° A

4.

C) 1 2

D) 3 5

E)

2 2

Si S = mx - n y C = mx + n son las representaciones de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal. Halla el suplemento de dicho ángulo en radianes. A) d 10 + n n p rad 10 m D) a + n k p rad 10

B) 30°

A) 72p u2 D) 200 p u2 3 7.

B) d 10 - n n p rad C) d 10 + m n p rad 10 10 m n E) a k p rad 10

Se tienen dos ángulos tal que la suma del número de grados sexagesimales del segundo con los minutos sexagesimales del primero, es 1845; y la diferencia entre 60/p veces el número de radianes del primero con la novena parte de grados sexagesimales del segundo, es 5. Calcula la medida del menor ángulo. A) 45°

E) m - n 2

Calcula el área de la región sombreada, si BAC es un sector circular.

Calcula: cosM 3 2

D) m . n 4

C) 4mn

n

N

3.

B) 2m . n

B

p

B)

n C

D) 3 2

C) 3

A

k

D

Del gráfico se cumple: n + m = 2p

A) 4 5

k

B

6

m

C) 60°

D) 15°

E) 75°

9u

B) 100 p u2 3

E) 54p u2

D

C) 450 p u2 2

Sean S y C las medidas de un ángulo en sexagesimales y centesimales respectivamente. Se cumple: 2S - 18 = C + 30 Halla la medida del ángulo en radianes. A) 2p rad 5 7p rad D) 10

8.

37°

B) p rad 3 3p E) rad 5

C) 3p rad 10

Las longitudes de un cateto y la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC son 24 y 25 respectivamente. Calcula la suma de la secante y la tangente del menor ángulo de dicho triángulo. A) 24/25 D) 3/5

B) 3/4 E) 4/5

C) 4/3


25

Unidad 2


Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación a, luego acercándose una distancia igual a la altura del muro, el nuevo ángulo de elevación con el que se observa su parte superior es q. Si tanq = 2, calcula cota.

A) 5 3 D) 2 3 3

B) 3 2 E) 7 4

h cot q tan a C) h cos a 1 - senq h E) cosa + sena

Javier observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 60°; al retroceder 20 m el ángulo de elevación es de 30°. Halla la distancia de separación final que hay entre el árbol y Javier.

A) 10 m D) 20 m

4

h cot α cot α - cot θ h D) 1 - cot θtan α

B) 16 m E) 30 m

C) 15 m

Una torre está al pie de una colina cuya inclinación respecto del plano horizontal es 10°. Desde un punto de la colina a 12 m de la altura respecto del plano horizontal se observa la torre bajo un ángulo de 55°. Halla la altura de la torre. (cot10° = 5,67)

B)

A) 8,04 m D) 80,20 m

Desde un punto en el suelo se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación q; desde la mitad de la distancia, el ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halla tanq.

A) 2

B)

3 2

2 2

E)

5

D)

2

C) 3 5

Desde el pie de un edificio, el ángulo de elevación para observar la parte superior de una torre es q. Subiendo a una altura h del edificio se observa ahora el punto anterior con un ángulo de elevación a. Halla la altura de la torre.

A)

5

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

6

B) 8,03 m E) 82,5 m

C) 80,04 m

Desde un punto en tierra se observa la parte alta de un poste de 12 m de altura con un ángulo de elevación de 53°. Si nos acercamos 4 m, el nuevo ángulo de elevación será q. Calcula secq.

C) 3 A) 2,5 D) 3,5

B) 3,6 E) 3,4

C) 2,6


27

Un alumno sale de su casa con destino al colegio, haciendo el siguiente recorrido: 100 m al norte; 200 2 m al NE; luego 100 m al este y finalmente 150 m al sur, llegando a su destino. ¿A qué distancia de su casa se encuentra el colegio?

B) 150 2 m

D) 200 5 m

E) 200 m

B) 8 m E) 9 m

B) 4(3 - 3 ) m

C) (4 - 3 ) m

D) (4 + 3 ) m

12

14

C) 12 6 m

Desde un punto salen dos autos en direcciones S40°O y E40°S, con velocidades de 15 y 20 km/h, respectivamente. Al cabo de 4 horas, ¿qué distancia separa a los autos?

B) 60 km E) 120 km

C) 80 km

Hay una estatua colocada sobre una columna. Los ángulos de elevación para la ama de la estatua y de la parte superior de la columna, vista desde un punto distante 13 m de la base de la columna son, respectivamente, 44° y 40°. Halla la altura de la estatua. Considera tan44° =0,97 y cot50° = 0,84

B) 10,82 m E) 10,92 m

C) 1,59 m

Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30°, respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.

A) 18 m D) 45 m

E) 4( 3 - 1) m 8. e 7. e

10. d 9. c

12. d 11. b

14. c 13. a

Claves

28 Intelectum 5.°

E) 24 m

A) 1,79 m D) 1,69 m

C) 12 m

Desde la parte superior de un campanario los ángulos de depresión de la parte más alta y baja de un poste de 8 m de altura son 30° y 45°, respectivamente. ¿Cuál es la altura del campanario?

A) 4(3 + 3 ) m

D) 24 2 m

A) 40 km D) 100 km

Una persona observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuánto debe retroceder para que observe el mismo punto anterior con un ángulo de elevación que sea el complemento del anterior? Considera la altura del árbol 5 3 m y la estatura de la persona 1,73 m. ( 3 = 1, 73)

A) 6 m D) 10 m 13

C) 150 5 m

B) 24 3 m

B) 36 m E) 60 m

5. b

A) 150 m

10

A) 12 3 m

6. c

11

C) 4/7

C) 54 m

3. b

9

B) 3/7 E) 6/7

Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30°, respectivamente. Si la torre mide 16 m, calcula la altura del edificio.

4. c

A) 2/7 D) 5/7

8

1. b

Desde dos puntos ubicados a un mismo lado de una torre, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación de 37° y 45°. Calcula la tangente del ángulo de elevación con que se ve la parte alta de la torre desde el punto medio ubicado entre los dos primeros puntos de observación.

2. e

7

Practiquemos NIVEL 1

Resolución de problemas Comunicación matemática

1.

5.

Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático.

A) 10 m D) 20 m

1. Segunda letra del alfabeto griego. 2. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objetivo se encuentra por encima de la línea horizontal.

6.

3. Línea paralela a la superficie que pasa por el ojo del observador.

7.

1 2

4

C) 12 m

B) 130° E) 160°

C) 140°

Pepe se encuentra al oeste de Daniel, a 40 m. Si ambos divisan a Sonia al N30°E y al N60°O, respectivamente, ¿cuál es la distancia entre Daniel y Sonia? A) 38,6 m D) 42,6 m

3

B) 5 m E) 8 m

Señala la medida del menor ángulo formado por las direcciones O20°S y E40°N. A) 120° D) 150°

4. Línea que une el ojo de un observador con el objeto que se observa. 5. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objetivo se encuentra por debajo de la línea horizontal.

Desde un punto en el suelo ubicado a 10 m de un poste; se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuál es la altura del poste?

B) 36,6 m E) 44,6 m

C) 34,6 m

5

(1815-1864): matemático inglés, que sentó las bases de la lógica Booleana. 2.

8.

Señala la bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N10°O y E20°S. A) E10°N D) E40°N

Dibuja la dirección siguiente: E 1 NE 4 9.

3.

Halla la altura H de la torre.

C) E30°N

Desde 2 puntos ubicados al norte y oeste de un poste, se ve su parte más alta con ángulos de elevación de 30° y 45° respectivamente. Si la distancia entre dichos puntos es 12 m, ¿cuál es la altura del poste? A) 12 m D) 18 m


B) E20°N E) E50°N

B) 24 m E) 9 m

C) 6 m

10. Claudia sale de su casa y recorre 100 m al N37°E; luego 40 m al este y finalmente 30 m al sur, llegando a la casa de Andrea. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Claudia y la de Andrea? A) 50 m

B) 50 2 m

D) 100 2 m

E) 70 5 m

C) 50 5 m

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Representa gráficamente el enunciado. 4.

Halla la altura h del poste.

Un niño observa los ojos y pies de su padre, con ángulos de elevación y depresión a y b, respectivamente.


29

12. Completa el enunciado: es la que une el ojo de un que se observa.

La un

con

Con las siguientes palabras: A) línea recta B) objeto C) línea visual D) observador

17. Una persona colocada a una distancia de 36 m del pie de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12. Calcula la distancia en la misma dirección que debe alejarse para que el nuevo ángulo de elevación tenga por tangente 1/4. A) 40 m D) 46 m

B) 42 m E) 48 m

C) 44 m

18. Los ángulos de depresión para observar la parte superior y el pie de una torre desde la cima de un gran monumento, cuya altura es de 29 m, son de 30° y 60°, respectivamente. Calcula la altura de la torre.

Razonamiento y demostración 13. Halla h. Donde: • El ángulo de elevación del punto A es 37°. • El ángulo de elevación del punto B es 74°.

A) 29/3 m D) 29/5 m

B) 58/3 m E) 58/9 m

C) 29/4 m

19. Desde un acantilado, una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego el barco se aleja 80 m en el mismo plano vertical. Desde esta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Halla la altura del acantilado. A) 100 m D) 240 m A) 30,44 m D) 25,6 m

B) 32,12 m E) 30 m

Donde: • El ángulo de elevación en A es q. • El ángulo de elevación en B es b. • El ángulo de elevación en C es a.

A) 50 m D) 80 m A) 6 B) 2 C) 3 D) 1 E) 5

B) 60 m E) 90 m

Comunicación matemática 21. Relaciona según corresponda, las direcciones de A, da = 45 n : 2 α


O

15. Clementina sale de su casa y recorre 450 m al N37°E y luego 30 m al este llegando a su destino. ¿Cuál es la distancia de separación entre la casa de Clementina y el punto de llegada?

D) 120 2 m

!

B) 0,1

O

D) 0, 2

E) 0,3

!

30 Intelectum 5.°

C) 0,2

E

NE

E

NNE

E

ENE

N

3α A α

S

16. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación q. Si nos acercamos a una distancia igual al doble de la altura del poste, el ángulo de elevación será de 37°. Calcula tanq. A) 0,1

A 3α

S

C) 160 2 m

E) 140 2 m

C) 75 m

NIVEL 3

N

B) 60 61 m

C) 180 m

20. Un avión se encuentra a una altura de 150 m sobre un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión a. Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26°30’. Calcula a qué altura se encuentra el avión en dicha observación.

C) 29,15 m

14. Halla: C = (cota + cotq)tanb

A) 240 m

B) 120 m E) 260 m

O

N 2α A 2α S

22. Representa gráficamente el enunciado. Un caminante hace el siguiente recorrido: parte de su casa caminando 30 m con rumbo N30°E; luego, 10 m hacia el Este; después 15 2 m al sudeste; enseguida 20 m al oeste y finalmente hacia el Sur hasta un punto que se encuentre al Este de su casa.

27. Nicolás decide trotar en un campo deportivo; recorriendo una distancia L al NqE a partir de P, luego otra distancia L al EqS y finalmente una cierta distancia al SqO hasta ubicarse en Q, al este de P. Halla PQ en función de L y q. A) Lsenq D) Lsecq

B) Lcosq E) Ltanq

C) Lcscq

28. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación que tiene en la mano derecha es de 21° y la cuerda mide a metros. El ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24° y la cuerda mide a 2 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre los globos? A) _1 + 2 i m

D) a 5 m

Razonamiento y demostración 23. Halla d, si “P” recorre 10 2 m al NE y luego 5m al sur. N

D

O

E

B) 4 5 m

S N O

Calcula: E = cscx - 15 A) 10

D) 6 5 m

E

E) 5 5 m

S

24. Del siguiente gráfico, halla x en términos de H y q.

A) H(1 + tanq) D) H(1 - tanq)

29. Una persona camina, por un plano inclinado que forma un ángulo x con la horizontal y observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación 2x. Luego de caminar una distancia de 15 veces la altura de la torre, observa nuevamente su parte superior con un ángulo de elevación de 3x.

C) 2 3 m

d

P

A) 7 5 m

Resolución de problemas 25. Desde lo alto de una montaña inclinada un ángulo q respecto a la horizontal, se ve un objeto a una distancia d del pie de la montaña, con un ángulo de depresión a. Halla la altura de la montaña.

d C) tanq - tana

D) d(tanq – tana)

E) dcotatanq 26. Un móvil recorre 240 km al N37°O; luego 100 2 km al SO; finalmente una cierta distancia al sur; hasta ubicarse al oeste de su punto de partida. ¿A qué distancia de dicho punto de partida se encuentra? B) 244 km

C) 276 km D) 220 km E) 224 km

C) 12

D) 15

E) 25

A)

_tanq + 1i_tana + 1i tanq - tana

B)

_senq + 1i_sena + 1i sena - senq

C)

_1 - senqi_1 - senai senq + sena

D)

_cosq + 1i_cosa + 1i cosa - cosq

E)

_tanq + 1i_tana + 1i tanq + tana

d cosa cosq _cosq - cosa i

B)

A) 248 km

B) 20

30. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en lados opuestos de ella. Desde A se divisa un punto de la torre con un ángulo de elevación a; notándose que la distancia de dicho punto observado a lo alto de la torre es igual a la visual trazada para dicha observación; mientras que, desde B, se divisa un punto ubicado 1 m, más abajo que el anterior con un ángulo de elevación q; notándose que la visual trazada es igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto de la torre. Halla la altura de la torre.

B) H(1 + cotq) C) H(1 - cotq) E) H(tanq + cotq)

A) d(cota - cotq)-1

B) _2 + 2 i m C) 2a 5 m E) _ 2 + 5 i a m

C l a ve s Nivel 1

7. c

13. a

20. b

26. b

1.

8. d

14. b

Nivel 3

27. d

2.

9. c

15. b

21.

28. d

3.

10. c

16. e

22.

29. d

4.

Nivel 2

17. e

23. e

30. b

5. a

11.

18. b

24. d

6. e

12.

19. d

25. a


31

Aplicamos lo aprendido RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS de cualquier magnitud

tema 2: 1

Del gráfico, calcula:

2

P = cosb - 5cosa

M = 2cot2q - 7 secq

y

(-24; 7)

2 ; q ! IIC, calcula: 3

Si: senq =

α β

x

(-4; -3)

A) 2 D) 3 3

B) -2 E) -4

A) 8 D) 15

C) 4

Si tanq = 5 y senq 1 0; halla:

4

12

R = 13senq + 5cotq

A) 3 D) 9 5

B) 10 E) 20

Si P(-3; 5) es un punto del lado final del ángulo q en posición normal, calcula: A = ( 34 - 5)(secq + tanq)

B) 5 E) 11

C) 7

Calcula el valor de: R = tanπ + cos 2π + sen2π sen π + cos 3π 2 2

A) -3 D) 1/2 6

B) -4 E) -3/2

32 Intelectum 5.°

B) 1 E) 2

C) 5

De la figura, calcula cosa. y

P(7; 2) α θ

A) 0 D) N. D.

C) 12

C) -1

θ

x

A) -1/7

B) -7/8

D) - 3

E) - 53

7

53

C) - 7 53 53

7

Siendo: 4 sena = 1 + 1 + 1 + 1 4 28 70 130 5 Además cosa 1 0, calcula:

Si: f (x) =

8

sen2x + sen4x - sen6x cos2x + cos4x + tanx - 4 sec4x

Calcula: f a p k 4

H = 2sena + 3cosa

A) 1 D) -2

A) 1 D) 1/2

C) 2

Simplifica:

10

(a + b) sen π + (a - b) 2 cos3 π 2 E= asen 3π + b cos2 π 2 2 2

3

A) 2a D) -4a

C) 4a

Si: sena = - 15 , calcula: 17 B = tana + tanq + tan(a - q)

12

Siendo P(1; - 2 6 ) un punto perteneciente al lado final de un ángulo f en posición normal, calcula: E = senf - 3 6 cosf

A) - 3

B) 3

D) 6

E) - 2 6

y

M

B(6; 4)

α x

θ

θ x

A) -3,5 D) -3,75

B) 3,5 E) 4,5

Del gráfico, calcula: R = cosa(secqtana - 2cscq) y

A) 15 D) 25

C) 3,75

14

θ

y θ

α

C) 30

Si el área de la región triangular ABC mide 10 u2, calcula: T = 3tana - 8tanq B(-2; m)

P(3; 4)

B) -15 E) -30

x

α

A(3; n) x

C(-1; −1)

A) 5 D) 15

B) 9 E) 18

5. b

C) 4

6. c

10. c

8. d

9. e

7. d

C) 11

Claves

B) 3 E) -4

3. c

12. b 11. c

A) 2 D) -3

4. a

14. d 13. b

13

C) - 6

Del gráfico, AB = 4AM. Calcula: E = 34senqcosq A(-10; 12)

y

C) 2

1. c

11

B) -2a E) -4b

B) -2 E) -1/2

2. b

9

B) -1 E) -3


33


6.

2.

sen1134°cos148° < 0 q ! IIC & senqtanq < 0 450° pertenece al IC. 2sen90° + cos180° = 1

( ( ( (

847°

IIC

445°

IIIC

1070°

IC

) ) ) )

x (-3; -2)

A) -5 D) 1 7.

( )

II. sen90°sen60° = 1 2

( )

III. sen130°cos60° 1 0

( )

A) FFV D) VVF

B) FFF E) VFV

B) -3 E) 2

C) -2

Q(a - 3; b - 7)

A) 2 D) 6 8.

x

θ

B) 4 E) 5

c) -3

De la figura mostrada, calcula: S = tanq + cotq P(5a; 3)

C) FVV

y

Q(a; a + 1)

A) 13 5 D) - 5 2

y P(2; 3)

A) 3 7 D) 2 7 5.

B) 2 3 7

9. 3 7

E) 1 7

Calcula secq. P(-2; 5)

θ

x

A) 2 3

D) - 1 2

B) - 11 13 E) - 8 7

C) - 13 6

Sabiendo que a es un ángulo positivo y menor que una vuelta; además: senq cos q 1 0 Señala los signos de: C = sen q cos q ; L = cos 2q - cos q 2 3 5 A) (+), (+) B) (-), (-) C) (+), (-) D) (-), (+) E) No se puede precisar

y

10. Si:

3

7 = 5 7 senθ ; cosq 1 0; calcula:

K = cotqcosq + senq B) - 2 3 E) -2

34 Intelectum 5.°

C) - 3 2

(

)

b N = cos a - sen 2 2

(

)

P = sen2a - sen2b

(

)

C) (+); (+); (+)

θ


C)

M = sena + cosa

D) (-); (-); (-) E) (+); (-); (+)

Calcula: M = senacosa

x

Halla el signo de las siguientes expresiones:

B) (+); (+); (-) x

α


A) (-); (-); (+)


C) -2,32

12. Si a y b son dos ángulos positivos, menores de una vuelta en posición normal, tales que sus lados finales forman un ángulo recto, además: tanb 1 0 / a 2 b.

y

Analiza la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

B) -1,118 E) 1,13

NIVEL 2

Si tanq = 5, calcula: a + b

IVC

I. sen127°cos135° 2 0

A) 1,12 D) 1,24

α

Relaciona:

918° 3.

y

Indica (V) verdadero o falso (F) según corresponda: A) B) C) D)

11. Tomando 5 = 2,236 y sabiendo que cota = -0,5 con a ! IVC, ¿cuál es el valor de csca?

A = 13 (sena - cosa)


De la figura, calcula:

A) 5 6

D) - 6 5

B) 6 5

E) - 7 5

C) - 5 6

13. Halla el signo en cada caso: I. sen240°cos300°

( )

II. tan120°sen150°

( )

III. sen100°cos200°

( )

14. Siendo A, B y C ángulos cuadrantales diferentes, positivos y menores o iguales a 360°, además se cumple: 1 - cosA + cosA - 1 = 1 + senB cscB + 2 = |tanC - 1| Calcula el valor de A + B + C. A=

B=

A) 540° D) 630°

B) 450° E) 360°

C= C) 810°

Razonamiento y demostración 15. Del gráfico mostrado, calcula:

20. Si el área de la región sombreada mide 9 u2, calcula: P = tanqsenq y

T = 5tanq + 34 cosq θ

θ

y

x x A(-3; m) M(3; -5)

A) 1/2 D) 4

B) -4 E) -1/2

C) -2

16. Del gráfico mostrado, calcula tanq.

α

C) - 1 2

17. Calcula el valor de x, a partir de la condición:

B) 2 E) 1/2

C) -2

18. De acuerdo al gráfico, calcula tanb, si G es el baricentro del DABC. y

A(1; 7)

x

A) - 24 25

B) - 7 25

D) - 7

E) - 12 13

C) - 7 13

22. Siendo a un ángulo en posición normal, tal que un punto de su lado final es P(-k; 1 - k), calcula el valor de k, si tana = 4. B) - 1 2 + 1 3 E) 2

A) 2 D) 3 2

C) - 1 3

NIVEL 3 G

β x

B) -7/11 E) -5/12

C) -12/7

Resolución de problemas 19. Si a es un ángulo en posición normal, tal que a = 20°, halla el mayor ángulo coterminal con b menor que 3000°. B) 1080° E) 2500°

Comunicación matemática 23. Si q ! IIIC, es menor que una vuelta y positivo, halla el signo de las siguientes expresiones:

C(-3; -3)

A) 2900° D) 900°

A(25; 0)

P(-7; a)

12

csc 2 45°sen270°sen30° - cos180° + tan 2 60° = 3 x csc 270° + cos 630°

A) -7/12 D) -11/7

O

x

B) - 2 3 E) - 4 5

B(-9; 3)

E) - 3 5 5

θ

A(-2; 0)

A) -1 D) 1

D) - 4 5 5

C) - 5

y 143°

A) - 3 4 D) - 4 3

B) - 4 5

21. A partir del gráfico, calcula sena, si AO = OP. (O: origen de coordenadas)

y

B(a; 3)

A) - 5 5

C) 3640°

H = tanq + sen q 2 I = senqcos q tan q 2 3 J = sec 2q - csc q 3 4 A) (-); (+); (-)

B) (+); (+); (+)

D) (+); (+); (-)

E) (-); (-); (+)

C) (+); (-); (+)


35

24. Analiza la veracidad o falsedad de las 28. De la figura adjunta, calcula cotb. siguientes proposiciones:

32. Del gráfico, el punto P(4; 2) es punto medio de AB, calcula:

y

E = tanq - tanb

I. Si a toma cualquiera de los valores siguientes 30°, 40°, 60°, el cosa será siempre positivo. ( )

25. Determina el signo de las expresiones; si q ! IIIC y a ! IVC. A = senqcos q tan a csc a + cota

B θ

P

β

x

A

B) - 2 3

A) - 3 4 3 D) 2

C) - 2 3 3

E) - 3 3

B) 3 2

A) 1 D) 5 2

C) 1 2

E) 2

Resolución de problemas 29. Dado el cuadrante AOB, donde la cuerda AB = 10 2 , además el punto P es (-8; y). Calcula: H = seng - cosg

B = sec a - sena cot q 2

y

P

18. b

19. a

Nivel 2

12. a

5. c

6. d

24.

32. c

30. e 23. d 17. a 11. b 4. b

C) 3

31. a

29. c Nivel 3 16. c 10. b 3. b

B

25. b

28. c

27. c

22. c

B) 2 E) 5

21. a

E) 2

y

x

15. c

α

14. c

26. e

C) 7 5

30. Del gráfico, calcula la suma de csca y los valores númericos de las abscisas de los puntos A y C, si BC mide 4 cm y m+ABC = 60°

37°

9. b

y

8. c

E = (sena + cosa)

B) 6 5

2.

(-tan45°)

1.

A) 3 5 D) 1 5

26. Del gráfico, calcula:

x

O

A


20. d

γ

13.

E) No se puede precisar

7. b

D) (-); (+)

B

C) (-); (-)

Nivel 1

B) (+); (-)

C l a ve s

A) (+); (+)

A) 1 D) 4

x

β

II. Si 90° 1 b 1 150°, el cosb para cualquier valor de b será siempre negativo. ( ) III. Si 200° 1 q 1 250°, entonces tanq 2 0. ( )

y

30°

α A

27. De acuerdo al gráfico, calcula: L = senacosb y

A) 10 D) 12

y = x2

B) 11 E) 14

C

x

C) 13

31. Del gráfico, calcula cscq, si a = -300°. y = 2x + 3 α β

A) 0, 2 5

B) - 0, 2 5

C) - 0, 3 5

D) 0, 3 5

E) - 0, 5 5

36 Intelectum 5.°

A) 2

y

x α θ

B) 3 30°

C) 5 x D) 5

E) 0


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Calcula: Q = sen250° csc 290° tan 300° sen840° tan 3000° cos 1200°

2

Reduce: E = tan(36 660°)sec(180 330°)

Aprox. _ 3 = 1, 73i

A) 2,409 D) 2,109 3

B) 2,309 E) -2,107

A) - 2 D) 2

C) -2,307

Si: 17x = 180° Calcula: M = csc13x - tan16x csc 4x tan x

4

5

B) 1 E) -2

C) 2

Dado un triángulo ABC, simplifica: 2 cos _ A + Bi - 3sec(A + B + C) E= cos C

A) -1 D) -2

B) 1 E) 5

D)

6

C) 2

C) - 3

B) - 1 2 1+ a

C)

Si: tan20° = a Calcula: a = sen160°cos 250° sen340°sec110°

2 A) - a 2 1+ a

A) 0 D) -1

B) 1 E) 3

1 1- a 2

E)

1 1+ a 2

a2 1+ a 2

Si x + y = 2p, calcula: y A = senx + tan x + seny + tan 2 2

A) senx

B) 2senx

D) -tan x 2

E) 0

C) tan x 2


37

Halla el valor de N en la siguiente expresión: N(1 - tan205°cot258°) = sen335° + cos 282° sen115° sen258°

C) 1 2

12

sen^ A + Bh tan ^B + Ch cos ^C + Ah + + tan A senC cos B

A) 1 D) - 3

B) 3 E) 0

C) -1

Siendo x e y ángulos complementarios, los cuales cumplen: tanx + tany = a ...(I) secx - secy = b ...(II) Halla una relación entre a y b independiente de x e y.

B) a + b = 2 a D) a + b = a

7. d

10. b 9. a

12. e 11. c

14. c 13. c

Claves

38 Intelectum 5.°

C)

n2 1 - n2

Si A y B son ángulos complementarios, además B y C son ángulos suplementarios, calcula: sen (A + B + C) tan A M= + cosB cot C

B) -1 E) -2

C) 0

Si A; B y C son las medidas de los ángulos internos de un triángulo ABC, simplifica: sen (270° - B) tan A S= + cos B cot (90° + A)

A) 1 D) -1 8. c

A) a - b = a C) a - b = 2 a E) a - b = a

B) -n2 2 E) n2 - 1 n +1

A) 1 D) 2 14

C) -1

Si sen20° = n, halla: C = sen200°tan340°cos160°

A) n2 2 D) - n 2 1-n

E) 1

En un triángulo ABC, calcula: J=

13

10

B) - 2 E) 1

B) 2 E) 0

5. b

B) 2 3

A) -3 D) 0

6. e

A) - 3 4 D) 1 3 11

C) -3

C) -2

3. c

9

B) 0 E) 1

Si: f(x) = sen5x + cos 8x , cos 2x + sen6x Calcula: f a p k + f_pi + f d 3p n 2 2

4. a

A) D) -2

8

1. c

Si: f(q) = sen2q + cos 4q , tan8q + csc 6q Calcula: f (- p ) + f ( p ) 4 4

2. a

7


5.

Comunicación matemática Crucigrama

1.

Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. 6.

A) 3

B) - 3

D) - 3 3

E) - 3 2

3 4

D) - 6 4

3. Ángulos cuya suma de medidas es 90°. 4. Cateto opuesto entre cateto adyacente. 5. Ángulos cuya suma de medidas es 180°. 7.

E)

C)

Determina el valor de:

8. Ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.

A) 3

B) - 3

D) - 3 3

E) - 6 3

9. Ángulo geométrico cuya medida es 8. mayor que 90°.

Calcula:

3

3 2

D) - 3 4

4 5 6

9.

sec233°

5/4

sec217°

- 5/3

sec323°

- 5/4

D) - 2 6

A) 1 2

3 2

B) 3 5

3 3

E) - 3 2

Calcula el valor de: tan6173° A) 3 4

D) - 4 3

B) 4 3 E) 1

C) - 3 4

tan3240°

-1

B) - 3 2

T=

sen (- x) + cos (- x) senx - cos x

A) 1

B) -1

D) -2

E) 0

C) 2

14. Simplifica: C)

3 4

E) - 6 4

R=

sen (90° + x) tan (270° - x) + cos (180° - x) cot (- x)

A) 1 D) 2

B) -1 E) -2

C) 0

15. Simplifica:

B) - 2 3 1 E) 3

C) 2 6

U = (cos2135° - 3tan127°)sen2240° A) 16

B) 18

D) 9

E) 8 27

C) 27 8

NIVEL 2 C) - 3 5

0

E=

sen (180° + x) cos (360° - x) sen (270° + x)

A) senx

B) -senx

D) -cosx

E) 1

C) cosx

10. Halla:

Razonamiento y demostración Calcula el valor de: sen2580°

cos5040°

Efectúa:

A) 2 3

Relaciona según corresponda:

D)

C)

D = sen3015°. tan 4290° cos 2730°

9

1

13. Reduce:

N = sen(-240°)cos(-120°) A)

8

sen2430°


7. Cateto opuesto entre hipotenusa.

2

6 4

2 4

6. Segunda letra del alfabeto griego.

1

4.

B) - 3 4

C = (sen330° + cos240°)tan210°

7

3 3

Efectúa: A)

2. Unidad de medida de un ángulo.

3.

C)

C = sen120°cos225°

1. Ángulo en posición normal, cuyo lado final coincide con un semieje.

2.

12. Relaciona según corresponda:

Calcula: tan5520°

16. Reduce: sen (p + x) tan a p + x k sen d 3p - x n 2 2 A= p cot (p - x) cos a + x k 2 A) senx

B) cosx

D) -cosx

E) -1

C) -senx

Comunicación matemática 11. Indica verdadero corresponda:

a

falso

según 17. Reduce:

I. sen(a + 65p) = -sena

( )

II. tan(a - 73p) = tana

( )

III. sec(a - 90p) = seca

( )

S=

sen (x - p) tan a x - p k 2 3 p cos d x n 2

A) cotx D) 1

B) -cotx E) -1

C) -senx


39

24. Calcula:

A) 1 D) -1

A) senx + cosx

B) senx - cosx

C) -senx + cosx

D) -senx - cosx

B) 2 E) -2

C) 0

25. Del gráfico, calcula tanb.

tan (123p + x) sen d 135p + x n 2 T= 1533 p - xn cot d 2

A

Razonamiento y demostración 23. Si: x + y = 180°; además: 3tanx + 2tany = cosx + cosy + 2, calcula: V = 2tanx + 3tany A) 1 D) -2

B) 2 E) -1

40 Intelectum 5.°

C) 0

37°

α β

A) 1 4

D) - 1 2

B) - 1 4 73 E) 24

C

C) 73 24

30. b

29. d

28. c

25. b

28. Del gráfico, calcula: tana - tanb cosq =

19. b

tanq =

12.

x

D) - 7 4

C) 7 4

6. d

π/6

B) - 4 7 E) - 2 7

24. d

θ

A) 4 7

18. b

senq =

D

A

11.

y

5. b

θ

22. Observa la gráfica y luego completa.

23. d

N

17. b

)

Nivel 2

)

(

4. b

(

III. tanx = coty

C

22.

II. cosx = seny

M

B

21.

)

C) - 2 3

16. d

(

C

15. a

B) 3 2 E) 4 9

α

9. a

9

10. c

A) 2 3

H

3. d

4

D) - 3 21. Indica verdadero (V) o falso (F) según 2 corresponda, si: x - y = 3π 27. Del gráfico, calcula tanq. 2 I. senx = cosy

2 2

B

A


E)

26. Del gráfico, calcula tana.

C) 1 2

NIVEL 3

D) 2 2

C) 4

2.

D) 1

E) -6

B) 2

27. b

B) - 1 2 E) -2

C) -3

A) 2

1.

csc (- 240°) + sec (-150°) + cos (-120°) cot (-315°) + sen (-135°) - cos (- 225°) A) -1

B) 3

D) - 1 3

20. Calcula el valor de: E=

A) 1 3

cotq; si: q ! IC.

x

β

n=1

26. c

C) tanx

(-6; 2)

3

/ %tan an! p2 + qk/ = 0 ; calcula:

Nivel 3

B) -cosx E) -senx

30. Si:

20. b

A) cosx D) -tanx

E) 0

y

19. Simplifica:

n=1

14. e

E) - 2 2

3

/ %senan p2 + xk + cos (np - x) /

C l a ve s

D) - 3 2

C) - 2 3

P=

13. b

B) 3 2

2 3

A)

L = cos10° + cos20° + cos30° + … + cos180°

8. d

A = ( sen150° cos 225° 2 tan143°

29. Reduce:

7. d

tan 315°

Nivel 1

18. Calcula:


CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Si: q ! p , p C , determina el máximo valor de: 4 3

2

M = cos2q - 4cosq + 3

A) - 3 8 D) - 9 4 3

B) 3 4 4 E) 5

A) < 1 ; 3 F 4 D) 1 ; 2 F 2

C) 5 4

Determina la extensión de: 2 F = 2 - 2 cos 2q - cos 2q cos 2q + 2

Halla el intervalo de a; si: 2 = 5a - 4 + 3 - 3a 3 2 6 + 3sen2x

4

B) < 1 ; 3 F 3 E) < 1 ; 3 2

De la figura, calcula AB en términos de b: β

y

O CT

A) < 2 ; 1 F 3 D) <- 1 ; 2 F 3 3 5

B) <- 2 ; 3 F 3 E) <- 1 ; 3 F 3

Halla PB en términos de g: y P

A

B

C) <- 1 ; 1 F 3 3

B

x

A

A) |cosb| D) cosb 6

C) 1 ; 3 F 3

B) |senb| E) cos2b

C) senb

¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

C

O

D

x

γ CT

cot g (1 - cos g) 2 cot g (1 + cos g) C) 2 tan g (1 + cos g) E) 2 A)

tan g (1 - seng) 2 tan g (1 - cos g) D) 2 B)

A) sen40° D) sen220°

B) sen100° E) sen280°

C) sen160°


41

7

Halla el área de la región sombreada. y

8

De la CT mostrada, calcula el área de la región sombreada. y

α

CT

θ x

O

x

O

CT

2 A) sen a 2 2 cos a D) 2

9

2 B) tan asen a 2 2 tan sena a E) 2

A) 0,5(senq - cosq) C) 0,5(cosq - senq + 1) E) 0,5(senq - cosq - 1)

Si a ! IVC, determina el menor extremo del intervalo donde se encuentra la siguiente expresión: 2 R= (sena + 2) (sena + 4)

A) 1 4 D) 1 15 11

2 C) tan a 2

10

C) 13 15

B) 1 E) 2 3

Si: q ! IIC, halla el máximo valor entero de: F = 3 + tan q - 1 + tan q 2 3

¿Cuál de los siguientes valores es el menor?

A) tan50° D) tan200°

12

B) 0,5(cosq - senq) D) 0,5(senq + cosq)

Si: cosq = B

C

y T

B) tan130° E) tan300°

C) tan140°

3 , calcula AC. 2

A x

O CT

A) 1 D) 0 13

B) 2 E) -2

y θ

A) 1 3

C) -1

De la figura, calcula OP en términos de q.

θ

B) 1 2 E) 2 3 3

D) 1

14

C) 2 - 3 2

Halla el área de la región sombreada. y

CT

θ

P O

x

O

x

CT

6. b 5. e

8. e 7. b

10. e 9. a

12. b 11. a

14. d 13. c

Claves

42 Intelectum 5.°

B) senq cos q 2

C) senqcosq

E) -senqcosq

3. e

A) 1 + senqcosq 2 D) 1 - senqcosq 2

4. a

C) senq versq

1. c

B) versq cos q vers q E) senq

2. b

A) cos q versq D) senq cov q


6.


En la CT:

A) 1

y B

7.

M

θ

B) 2

C) 3

D) 4

α

R

O

Q

A

CT

E) 5

Si: senq = 0,6 calcula AT. y

C P N

Calcula el máximo valor de la expresión: M = 2 - 3tan2x

θ

T

x x

A

CT

Completa la notación de los siguientes segmentos: A) 0,6 D) 1,0

exsecq

QM : QR : CB :

8.

B) 0,8 E) 1,25

C) 0,75

En la CT, halla el área de la región sombreada. y

AB : CT

ON :

θ

OC : 2.

x

Representa en la recta numérica el intervalo en el cual se encuentran las siguientes expresiones: A) senx:

A) 1 senq 2 D) 1/2

B) sec2x; 6 x ! R - {(2n + 1)p/2}; n ! Z

C)

9.

B) 1 cos q 2 E) 1

En la CT mostrada en la figura, calcula el área de la región sombrada. y

1 cos x + 2

θ

O

D)

A) 3 senqcosq 2 D) 5 senqcosq 2

Indica el menor valor. A) cot35° D) cot200°

4.

B) 1 senqcosq 2 E) - 5 senqcosq 2

C) - 3 senqcosq 2

10. Halla el área de la región sombreada. B) cot100° E) cot275°

C) cot300°

y

Halla el signo de: P = tan1cot2tan3 A) (+) D) (+) y (-)

5.

x CT

1 ; 6q ! G0; p/4] tan q


C) 1 tanq 2

x

Si: q ! IVC y senq = a - 2 , ¿cuántos valores enteros puede 5 tomar a? A) 3

α

B) (-) C) (+) o (-) E) No se puede precisar

B) 4

C) 5

D) 7

E) 6

2

2

x +y =1

B) 1 tanacosa 2 D) 1 tana (1 - cosa) E) 1 (1 - sena) 2 2 A) tanacosa

C) 1 (1 + cosa) 2


43

Resolución de problemas 11. Si: a ! p; 3p , además 2 cosa = - 2 y a # x # 4p , calcula el 3 2 valor de 4(A + B) si: A # cos2x - 4cosx - 4 # B A) 6 2 + 14 C) 8 2 - 21 E) 8 2 + 14

B) 6 2 - 14 D) 8 2 + 21

12. ¿Para qué valores de x sería posible la siguiente igualdad: (2senq - 1)(senx - cosx) = (senx + cosx), si además q ! IC? A) 0; p 2

B) p ; p , 3p ; 2p 2 2

C) p; 3p 2

D) 0; p , 3p ; 2p 2 2

Razonamiento y demostración 15. Halla el intervalo de k, si: sena = k - 1 2 A) [-1; 1] C) [-1; 3] E) [-1; 4]

y

x

16. Calcula el mínimo valor de la expresión: 2

E = 3 + 2tan x A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

S: área de la región sombreada T: punto de tangencia 2

T

13. Sean a y b dos ángulos que pertenecen al IIC que cumplen:

S

B) 1/2 E) 2/3

x

C) 2

18. Sabiendo que: p 1 a 1 2p, halla la variación de: Señala la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: M = 3cos a - 1 2 g = sena + cosb

I. g pertenece al IC o IVC.

A) [- 4; 2] C) G- 4; 1H E) [- 4; 1]

II. g pertenece al IIIC. III. g es cuadrantal. A) VFFF D) VFFV

B) VFVF E) FVVF

y

C) FVFV

θ

14. Si: R = cos2x + senx Además: I. senx > cosx II. x ! 2p ; 5p 3 6

B) G- 4; 2H D) G- 4; - 1H

19. Halla PT, en términos de q.

IV. seng ! [0; 1H

CT

T

A) tanq + senq B) cotq + cosq C) tanq - senq A x D) cotq - cosq E) cosq - senq

P

20. Halla el área de la región sombreada en la CT. 1 3 y A) 1 tanq III. senx ! ; 2 2 2 1 cotq B) CT 2 ¿Qué datos son necesarios para hallar el θ C) tanq valor de R? x D) cotq A) I y III B) I y II C) II y III E) 1 D) Solo II E) Solo III

44 Intelectum 5.°

E) 1

A) 1 D) -2

θ

A) 1/4 D) 1

D) 1 cotq 2

C) 1 tanq 2

2 T = 4 - 4 cos a - sen a cos a - cot 53° 2

2

x +y =1

O

B) tanq

22. Siendo a un ángulo que pertenece al cuarto cuadrante, halla la suma de los valores enteros de la siguiente expresión:

M = (2S + q)cotq

y

A) cotq


17. De la figura mostrada, calcula:

NIVEL 2

θ

CT

B) [-1; 2] D) [-2; 3]

E) p ; p 2


21. Halla el área de la región sombreada en la CT.

B) -1 E) 3

C) 2

23. En una CT se ubica un arco positivo a en el segundo cuadrante. Halla el valor del perímetro del triángulo formado al unir el punto de la parte final del arco a; el origen de la circunferencia y el origen de arcos. A) 2 + 2 - 2cosa B) 2 + 2 + 2sena C) 2 - 2 - 2 cosa D) 2 + 2 + 2 tana E) 2 - 2 + 2cosa

NIVEL 3 Comunicación matemática 24. Compara las siguientes cantidades: M: El menor valor entero de x si: x - 2 = senq + cos2q 3 N: El mayor valor entero de k si: k + 3 = cosq + sen2q 2 A) M = N

B) M + N = 0

C) M + N = 1

D) M > N

E) M + N = 2

30. Halla el área de la región sombreada en 34. Del siguiente gráfico, halla el valor del términos de q. área sombreada en términos de b, si T es punto de tangencia. y

II. Si: x1 > x2 & tanx1 < tanx2 6x1; x2 ! IIIC

A) - senq 2 1 C) - cosq 2 1 E) + cos q 2

H = sec2b + cos2b y

CT

29. Calcula el área de la región sombreada. A)

y CT

150° O

B) x

C) D) E)

3 4 2 2 3 2 3 4 2 2

+1 4 +1 4 1 + 3 1 + 2 1 + 2

20. a

21. a

22. b

Nivel 2

13. a

14. d

5. b

6. b

7. c

29. a

34. d 26. a 19. c 12. b 4. a

C) senq

33. e

A) 3 senq B) 1 senq 4 2 1 D) - senq E) - 3 senq 2 4

32. a

B) senqcotq D) cosqcotq

25. c

A) senqtanq C) cosqtanq E) senqcosq

24. b

x2 + y2 = 1

18. d

A x

A x

17. d

θ

P

11. c

CT

10. d

T

y

3. c

B θ

2.

y B

31. d

C) 14

30. b

B) 12 E) 20

Nivel 3

A) 16 D) 18

23. a

x

O

16. c

β

32. Calcula el área de la región sombreada.

28. Halla PT, en términos de q.

cotb 2

15. c

C) G-2; 3H

E)

C) tanb

9. c

B) [-2; 3H E) [0; 1]

cotb 2

tanb 2

31. Si el área de la región sombreada es 2, calcula:

C) [1; 3/2]

27. Si: q ! IIC y cos q = k - 3 5 entonces el intervalo de k es: A) [-2; 8] D) G-2; 8]

D) -

B) -

8. b

E) [3/2; 5/2H

A) 2cotb

1.

D) [1; 3/2H

β

Nivel 1

26. Siendo q un arco del IVC para el cual se tiene que: senq = 2n - 5 , determina la variación 3 de n.

B) 1 - senq 2 D) 1 + senq 2

C l a ve s

C) 3


B) G1; 5/2]

x

O CT

¿Cuántas son falsas?

A) G1; 5/2H

L cot T

θ

IV. Si: x1 < x2 & cotx1 > cotx2 6x1; x2 ! IC B) 2 E) Ninguna

y x

O

III. Si: x1 > x2 & senx1 > senx2 6x1, x2 ! IIIC

A) 1 D) 4

CT

28. d

I. Si: x1 < x2 & cosx1 < cosx2 6x1; x2 ! R

27. c

25. De las siguientes expresiones:

Resolución de problemas 33. Dado el intervalo 0 # a # p/6 obtenga la variación de secf. Si: 4sen2 aa + p k = 1 - secf 3 A) [-4; -1] D) [-2; 3]

B) [1; 4] E) [-3; -2]

C) [2; 3]


45

Matemática ▪ En la siguiente CT calcula el área de la región sombreada. θ

y

Resolución:

Del gráfico, tenemos:

CT

y

θ

CT

|senθ|

x

|cosθ| |cosθ| x A2 A |senθ| 1 |senθ| 1

senq cosq senq cosq + 2 2 AT = |senq||cosq|; q ! IIC & AT = (+senq)(-cosq) ` AT = -senqcosq AT = A1 + A2 =

1.

En la siguiente CT, calcula el área de la región sombreada. y

CT

A) tan θ 4 B) -secq C) tanq D) -tanqsecq E) cot θ 2

x θ

2.

B) 3

C) 3

D)

3 3

Si ABCD es un rectángulo; AE = EB y tanb = 1 . 3 Calcula: tanq A

45°

E) 2 3

A) - 3 5 D) - 1 2 7.

4.

5.

Sea ABCD un paralelogramo. Si BC = 7; CD = 5 y MA = MO,

C) 3 7

B) 22,5 m

Intelectum 5.°

y

M

C) (-); (-)

A

A) - 5 7 D) - 4 7 D) 4 5

E) - 3 5

Una persona observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación 37°; 14 metros más adelante observa la cúspide del árbol con una elevación de 53°. Calcula la altura del árbol. (Talla de la persona = 1,50 m) A) 21,5 m

46

B) 2 5

C) 25,5 m D) 31,5 m E) 28,5 m

8.

C) - 3 4

E) - 3

α

B

P = sen d- 3p + b n 2 A) 3 5

B) - 4 3

calcula: cotq

Si: tan((2k + 1) p + b) = - 3 ; k ! Z 4 2 Calcula:

x

C

D

A = cos(2q - 270°)tan d q n ; B = tan d q + 60° n 2 2 B) (+); (-) E) (+); (+)

B θ

Si q es un ángulo positivo que pertenece al IIIC y es menor a una vuelta. Determina al signo de las siguientes expresiones.

A) (+) o (-); (-) D) (-); (+)

y

E

β

Dos personas y una antena equidistan entre sí, las personas observan la parte más alta de la antena con un mismo ángulo de elevación a. Si la relación entre la altura de la antena y la distancia entre la base de la antena y el punto medio de la distancia entre las personas es 1/3. Calcula cota. A) 1 2

3.

6.

θ

C α

O D

x

N

B) - 2 5 3 E) 2

C) - 2 7

Si: q ! <- 7p ; p 24 24 Calcula la variación de sen a- p - 2q k . 4 A) - 1 ; 1 F 2

B) < 1 ; 1 F 2

D) - 3 ; 1 F 2

E) < 3 ; 1 2

C) - 3 ; 3 F 2 2

Unidad 3


IDENTIDADes TRIGONOMeTRICAs

Simplifica: z = sen4x + cos4x + 2sen2xcos2x

A) sen2x D) 1 3

B) cos2x E) sen2x

C) 0

Simplifica: senφ sec φ E= - tan2 φ + 1 - senφ sec φ + tan φ

A) cot2f

B) tan2f

2

4

C) sec2f

6

3 3 M = sec x csc x - cot x - tan x cot x - tan x 2

2

A) -1

B) 1

D) -2

E) 1 2

48 Intelectum 5.°

C) 2

A) 24 25

B) 7 25

D) 5 12

E) 12 5

C) 3 4

Si: senx + cosx = n; halla: D = secx + cscx

D)

E) sen f

Simplifica:

Si: secx + tanx = 5; halla el valor de tanx.

A) 2n n-1

2

D) csc f 5

2

2n n2 - 1

B) 2n n+1 E)

2n 1 - n2

C)

n n2 - 1

Si: tanx + cotx = 3 2 calcula: C = sec2x + csc2x

A) 9 D) 18

B) 12 E) 36

C) 16

Simplifica: C = senx tan x + cos x cos x cot x + senx

C) cotx

Si: sen2a - cos2a = 1 (a ! IC); 2

10

calcula: tana + cota

E) 2 10 13

A) 0 D) 1/2 12

14

C) 4

tan2 θ 1 + csc2 θ + tan2 θ

B) -1 E) -2

C) 2

Si: senx + cscx = 3; calcula: L = sen2x + csc2x

A) 3 D) 9

C) -1

10. C 9. B

7. B

B) 5 E) 11

C) 7

Claves

B) 2 E) 1

Reduce:

A) 0 D) 1

C) 3

Simplifica: S = (1 + cot2q)cos2q - csc2q

12. A 11. D

A) -2 D) 3

B) -4 E) -1/2

T = sen4 θ -

8. B

14. C 13. C

13

B) 2 E) 5

2 E = c senx + 1 + cos x m - 4 cot2 x 1 + cos x senx

13 2 10

Si la igualdad es una identidad, calcula: M + N csc x - cot x + csc x + cot x = M + 4 cotN x csc x + cot x csc x - cot x

A) 1 D) 4

Reduce:

5. B

D) 3 3 4

C)

E) 4 9

6. D

B) 4 3 3

D) 2 9

C) 1 9

3. C

11

A) 10 3

B) 2 3

4. D

9

B) tanx E) cot2x

A) 1 3

1. D

A) 1 D) tan2x

Si: sen4x + cos4x = 7 ; 9 calcula: C = sen6x + cos6x

8

2. E

7


49

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1.

Completa los cuadros vacíos con la expresión trigonométrica correspondiente 8. para que se cumplan las igualdades: csc x = I. cot + tan x II. secx + tanx =

cos x 1-

1 + csc2 x

=1

III. IV.

9.

. cos2x = 1 - cos2x

V. cotx + 2.

1

1 + cos x

= cscx

a) sen4x - cos4x = sen2x - cos2x b) tanxsenx + cosx = cscx c) cot2xsen2x = 1 - sen2x d) 1 + cos x = sec x - 1 1 - cos x sec x + 1 C) 2


Reduce: x A = sec x + cos 1 + cos2 x A) cosx D) cscx

4.

B) 1 E) secx

C) senx

5.

6.

C) sen2x

A = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2 B) 5 E) 13

C) 8

Reduce: C = senxcotx + cosx A) cosx D) 4cosx

7.

B) 2cosx E) 1

Si: senx - cosx = n; halla: H = senxcosx

50 Intelectum 5.°

D) 2 3

E) 1 3

C) 4 9

B) 1 E) -2

C) 2

D) 7 9

E) 5 9

C) 2 9

xcos2a - ysena = ysen2a

A)

y2 + 2xy x2

B)

x2 + y2 x

D)

x2 - y2 x

E)

y2 + x2 y2

C) 3cosx

C)

x+y x

halla el valor de: (f(senb) + f(cosb)) . (f(tanb) + f(cotb))

B) Solo III D) I y III

16. Reduce: 2 2 2 U = sec x csc 2x - csc x tan x A) sec2x D) csc4x

A) senx D) cos2x

B) csc2x E) tan4x

C) sec4x

B) cosx E) 1

C) sen2x

18. Reduce:

E) sec2bcsc2b

L = (tanxsenx + cosx)(cotxcosx + senx)

13. Si: 2tan2x - 3tanx + 1 = 0; x ! - π; π 4 4

A) 1 D) cotx

Halla el valor de: M = sec6x - 3sec4x + 3secx.

E) 31 32

A) Solo I C) Solo II E) II y III

D = (secxcscx - cotx)cosx

D) 3sec2bcsc2b

D) 17 16

¿qué datos son necesarios para hallar el valor de P? I. tanx = cotx II. tanx + cotx = 2 III. x ! IIIC

17. Reduce:

B) 2sen2bcos2b

B) 33 32

• (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2 = 0


12. Si: f(t) = t 2 + 1;

A) 65 64

• secx - cosx = tan3x cscx - senx

P = sec2x + csc2x

C = sen x + cos x B) 1 3

14. Indica (V) verdadero o (F) falso, según corresponda: senx + cotx = secx • 1 + cos x

15. En la siguiente expresión:

4

A) 1 9


• cosxtanx - senx = 1

10. Si: tanx + cotx = 3; calcula: 4

Nivel 2

• tanx(cscx - senx) = cosx

Si: secx = 1 + senx simplifica: 1 - senx cos3 x

C) 3sen2bcos2b

Reduce: A) 3 D) 9

B) 1 9

A) 2sec2bcsc2b

U = (secxcscx - tanx)senx B) cosx E) 1

A) 2 9


Reduce: A) senx D) cos2x

2 C) 1 - n 2

11. Halla el valor de csca, si se cumple que:

¿Cuántas son verdaderas? B) 0 E) 3

2 B) n + 1 2 n 1 E) 2

Si: senx - cosx = 1 ; calcula: 3 L = senxcosx

A) 0 D) -1

De las siguientes proposiciones:

A) 1 D) 4

2 A) n - 1 2 1 n + D) 2

B) senxcosx E) secxcscx

C) tanx

19. Simplifica: C) 15 16

2 2 2 L = sec x csc 2x - sec x cot x

A) sec2x D) cot2x

B) cos2x E) 1

C) tan2x

C) senxcosx 28. Compara las siguientes expresiones: M (2senx + cosx)2 + (senx - 2cosx)2 N sen2x + csc2x; si: senx + cscx =

29. Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión cuadrática:

C) 4; cos2x

D) 2 + sen2x; 2

E) 5; sen2x


24. Calcula m para que E sea independiente de q. 30. Simplifica: 4 4 6 6 E = m(sen q + cos q) + 2(sen q + cos q) 4 2 M = sec4 x - sec2 x A) -1 B) -3 C) 1 csc x - csc x D) 2 E) -2 A) tan2x B) tan4x 3 E) tan5x D) tan x 25. Si: tanx + cotx = 5 ; calcula:

C) tanx

39. B

37. D

36. A

38. E

31. C

B) -senx E) -cotx

24. B

A) senx D) cotx

C) 2

15. C

A) -1 D) 1/2

8. C

P = [R(4) - R(6)] # R(2) # R(-2)

30. C

(cos x tan x - senx cot x) 2 - 1 2 cos x

E=

23. B

C) tan2x

22. C

B) cos2x E) sec2x

14.

tan2x - sen2x = nsen2x

7. C

33. Halla n, si se cumple que:

34. Reduce la siguiente expresión:

halla el valor de:

B) -2 E) 1

C) cotx

6. B

R(a) = (sena)a + (cosa)a

B) 1 E) 2tanx

29. B

A) tanx D) -1

21. B

A = sec x - tan x - 2 csc x - 2 cot x - 1

35. C

32. Simplifica:

A) sen2x D) cot2x

27. Si la función:

C) 321

Nivel 2

E) b2 + 2bc = ab

B) 322 E) 312

5. E

D) b2 + c2 = 2ab

A) 320 D) 300

28. B

C) a2 + 2ac = b2

C) 6

20. C

B) a2 + b2 = 2ac

B = tan6x + cot6x

13. A

A) a2 - 2ab = b2

B) senbsenq D) cosb + cosq

39. Si: tanx + cotx = 3, halla el valor de:

E = tan2x + cot2x

B) 4 E) 16

A) cosqcosb C) senb + senq E) cosq - cosb

4. B

26. Una ecuación cuadrática de coeficiente principal a; coeficiente lineal b y término independiente c, posee como raíces a senq y cosq; halla la relación entre a; b y c.

C) tan6x

31. Si: tanx - cotx = 2; calcula: A) 2 D) 8


Luego halla la suma de sus factores.

34. B

C) 0,3

(1 - senθsenβ) 2 - (senθ - senβ) 2

Nivel 3

B) 0,2 E) 0,8

N=

19. A

A) 0,1 D) 0,4

B) cosbcosq D) senb + senq

38. Simplifica la siguiente expresión, si (q ! IVC / b ! IIIC):

32. A

M = sen6x + cos6x

A) senbsenq C) cosb + senq E) senb + cosq

12. D

C) -4

B) sen2x; 3

Luego halla la suma de los factores finales.

3. E

B) 3 E) - 10

A) cos2x; 3

^1 - cos θ cos βh2 - (cos θ - cos β) 2

33. C

A) 2 D) 5

N = t4 - t1

M=

27. E

23. Si: senx + cosx = 15 senxcosx / x ! IIIC. calcula: tanx + cotx

Luego halla el primer término e indica el valor de:

18. E

C) 3

37. Simplifica la siguiente expresión si: (q; b ! IC):

11. C

B) 2 E) 6

; 4 + 3sen2x; ...

2. C

A) 1 D) 4

; 1; 2;

C) 1/2


26. C

22. Si: tan2x - 3tanx = 2; halla: A = tanx - 2cotx

B) 2 E) -1

25. D

E) 4 3

A) 1 D) 1/4

17. A

3

16. B

C)

36. Si: cot2x = cscx, halla: E = cos4x + cos2x

9. B

D) 2 3

B) 2 6

B) M - N = 0 D) 3M - 2N = 0

B) a2 - b2 = 3 D) a2 + b2 = 4

10. D

6

A) M + N = 7 C) 2M - 3N = 0 E) M - N = 2

7

A) a2 + b2 = 3 C) a2 - b2 = 4 E) a2 + b2 = 8

1.

B) cosx E) 1

21. Si: tanx + cotx = 4; calcula: L = secx + cscx A)

tanx + cotx = a tanx - cotx = b


Nivel 1

A) senx D) secxcscx

35. Elimina x, a partir de:

Nivel 3

C l a ve s

20. Simplifica: R = senx + cos x sec x + csc x


51


Ángulos compuestos

Simplifica: C=

2

sen^ α + βh - senβcos α cos ^ α - βh - senαsenβ

A) tana D) cotb 3

B) tanb E) 1

Halla x (ángulo agudo), si: sen(40° + x) + sen(40° - x) = sen40°

A) 30° D) 40° 5

C) cota

B) 15° E) 60°

4

C) 20°

Del gráfico, calcula: tanf

B) 2 7

D) - 4 7

E) - 6 7

A

A) 2 17

B) 3 17

D) 5 17

E) 6 17

C) 4 17

B) 2 E) 3 + 2

C) 2 + 2 2

B) -16 E) 64

C) 32

Del gráfico, halla: tanq 5

4

6

C) 4 7

Reduce: A = (cosx + cosy)2 + (senx - seny)2, si: x + y = π 4

B

3

52 Intelectum 5.°

A) - 2 7

A) 3 D) 2 + 2 6

2

φ

Siendo: tanx = 5 y tanb = 3 Calcula: tan(x + b)

A) 16 D) -32

β

C

θ

3

α

D

7

9

Si: x + y + z = 180°; además: tanx = 5; tany = 3. Calcula: tanz.

A) 1 7

B) 2 7

D) 4 7

E) 5 7

En un DABC: cot A = cot B = cot C 3 5 6 Calcula: cotC.

8

C) 3 7

3 7 5 7

A) D)

Si: tanb = 2 / b ! IC; calcula: A = sen(45° + β) 3

10

4 7 2 E) 7

C) 1 7

B)

Del gráfico, calcula x. 7 x

30° 2 3

3 26 7 26

A) D)

E)

C)

5 26

Calcula tanq, si ABCD es un rectángulo.

12

B) 4 E) 8

Calcula h, considera m+ABC = 135°.

C

9

B

θ

h

5

A

B) 2 E) 5

A) D)

C) 3

Calcula tan(q - a), si: AB = 1; AE = 3 y EC = 2.

14

A 1

3

2

5

60°

S

1

C

5 -2 7 -2

C)

7 +2

C F

S k

E

A) 1 D) 125

C) 3/41

9. C

D

B) 5 E) 50

C) 25

Claves

B) 5/41 E) 1

A

10. A

12. E 11. A

A) -5/41 D) -3/41

B

7. D

θ

8. E

α

B) E)

7 -1 7 +1

5. C

C

H

Halla: E = k2 + 34k , si ABCD es un rectángulo. 3 B

3 E

3

6. D

A) 1 D) 4

D

3. E

37°

7

4. D

A

14. C 13. D

13

C) 5

1. B

B 1

A) 3 D) 6

2. D

11

8 26 9 26

B)


53

Practiquemos 7.

NIVEL 1

E=


CRUCIgRAMA Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático.

8.

b. Tipo de ángulo formado por la suma a diferencia de dos o más ángulos simples. d. Primera letra del alfabeto griego. e. Cateto opuesto entre hipotenusa. f. Tipo de ángulo mayor que 180° y menor que 90°.

2 cos(45° + x) - cosx

A) 1

B) -senx

D) 2senx

E) 2

9.

C) senx

Si: tana = 1 / tanb = 2 3 5 Calcula: tan(a - b) A) 1 7 D) - 1 17

c. Tipo de ángulo cuya medida es menor que 90°.

B) - 1 7 E) - 1 19

C) 1 17

Si: senx = 3 / senz = 24 5 25 Calcula: E = sen(x + z); x; z son agudos.

a"

A) 127 225 117 D) 125

b" c" d" e" 2.

Simplifica:

B) 125 117 E) 39 25

C) 117 222

10. Si: tan(A - B) = 2 y tanB = 1 3 Calcula tanA. A) 1 7 D) -7

Completa: tan(a + b) =

C) - 1 7

B) 7 E) 1 5

NIVEL 2 tan(a - b) =

Comunicación matemática 11. Completa: sen3x . (


Reduce: J = sen(30° + x) + sen(30° - x)

4.

A) 2senx

B) cosx

D) senx

E)

C) 2cosx

2 2

5.

6.

D)

E)

3 cos x

C)

D) 3 3 - 4 5

E) 3 3 - 4 2

B) 1 5

54 Intelectum 5.°

C) 1 7

sen6x . (

) - cos6x . (

) = sen3x

12. Indica verdadero(V) o falso(F) según corresponda:

Razonamiento y demostración 13. Si: tan x = 3 ; sec y = 13 ; (x e y ! IC) 4 5 Calcula sen(x + y).

C) 4 - 3 3 10

A) 61 65 D) 64 65

B) 62 65

C) 63 65

E) 2

14. Si: tan(x - y) = 2 / tany = 1 3 Calcula cotx.

Calcula tan8°. A) 1 3

) = cos6x

2 cos x

Halla el valor de sen7°. B) 3 3 + 4 10

) - sen4x . (

III. cos(A - B) = cosAcosB - senAsenB

2 2

A) 3 3 - 4 10

cos4x . (

II. sen(A + B) = senA + senB

J = cos(45° + x) + cos(45° - x) B) senx

) = sen4x

I. tan(A + B) = tanA + tanB + tanAtanBtan(A + B)

Reduce: A) cosx

) + cos3x . (

D) 1 9

E) 1 11

A) 7

B) 1 7

C) - 1 7

D) -7

E) 1 5

15. Reduce: E = cos10° -

24. Calcula: E =

3 sen10°

A) 2sen20°

B) 2sen40°

D) cos40°

E) 1

C) 1 3

17. Calcula: E = (sen17° + cos13°)2 + (sen13° + cos17°)2 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E)5

18. Halla el valor agudo de x que verifique: cos4xcosx - sen4xsenx = 1 2 A) 6° B) 12° C) 18° D) 21°

20. Simplifica: M = A) 1 D)

C) 15°

D) 20°

27. Simplifica: E = E) 24°

A) 0

3 3

C)

C) 2

D) -2

sen^x + yh - tan y cos ^x - yh - senxseny

B) tanx

C) cosx

D) senx

tan18° tan54 ° - tan36°

28. Calcula: E =

E) 30°

cos ^30° - xh + cos ^30° + xh sen^30° - xh + sen^30° + xh B) 2

B) 1

E) -3

26. Si: tanx + tany = a / cotx + coty = b, calcula tan(x + y). B) b C) ab A) a b a a+b D) ab E) a b-a a+b

sen4xcosx - senxcos4x = 0,5 B) 10°

3

E) 2 3 3

A) 0

19. Halla un valor agudo de x para que cumpla: A) 5°

C)

25. Si: tana + tanb = 1 / tan(a + b) = 1 ; (a ! IC) 3 Calcula: tan(a - b).

B) 1 3 E) 1 6

3 2

D)

B) 1 2

3 2

D) 2 3

16. Si: tanxtany = 1 / senxseny = 3 5 12 Calcula: cos(x - y). A) 1 2

A)

C) sen40°

3 tan80°(tan50° - tan40°)

A) 1

B) 2

D) - 1 2

E) -2

E) cotx

C) 1 2

29. Del gráfico mostrado, calcula: x x

3

E) 3 3 1

NIVEL 3

37° 4


A) 17 13

21. Indica verdadero o falso según corresponda:

B) 13 17

C) 51 13

30. Del gráfico mostrado, calcula: tanq

I. senAcosB + senBcosA = sen(A + B)

4

II. sen86°cos20° - cos86°sen20° = cos24°

D) 13 51 1

θ

III. cos39°cos28° - cos51°sen28° = sen23°

E) 3

4

22. Relaciona según corresponda, si a es agudo: sen2acosa + senacos2a = sen45°

a = 43

cos5acos3a + sen5asen3a = sen86°

a = 25°

sen4acos20° - cos4asen20° = sen80°

a = 15°

Razonamiento y demostración 23. Calcula: E = tan27° + tan18° + tan27°tan18° A) 1

B) 4

C) 2

D) 1 2

E) 3

A) 1 9

B) 4 3

C) 1

D) 3 4

E) 9

C l a ve s 7. B

13. C

20. C

26. D

1.

8. D

14. B

9. D

Nivel 3

15. A

27. B

2. 3. B

10. B

16. D

21.

28. C

4. C

Nivel 2

17. C

23. A

5. A

11.

18. B

24. D

6. C

12.

19. B

25. E

Nivel 1

22.

29. C 30. E


55


3

ÁNGULOS MÚLTIPLES

Si: tan(45° - x) = 4, calcula tan2x.

A) 4 3

B) - 8 7

D) 5 8

E) 1 4

2

C) - 15 8 A) 0 D) -2

Calcula: E=

Calcula: K = (2 + 2cos35°)(1 - cos35°) + 2sen10°cos10°

4

1 6sen18° cos 36°

3

A) 2 3

B) 1 4

D) 4 3

E) 1 3

C) 1 6

¿A qué es igual? F = sec76° - tan76°

A) cot14° D) cot7°

56 Intelectum 5.°

C) 2

Halla: x

θ

5

B) 1 E) -1

6

B) tan76° E) tan7°

C) csc76°

θ

2 x

A) 5 5

B) 4 5

D)

E) 3 5

5

C) 2 5

Simplifica: cot x - tan x 4 4 E= csc x + cot x

A) -1

B) 2

D) 1 2

E) -2

C) 1

7

Si: 3tanx = 2cosx, calcula: sen3x

Si: 3sen3θ + 7 cos 3θ = 1 senθ cos θ

8

Calcula: cos6q

B) ! 1 2 1 E) 2

A) 1 D) ! 3 2 9

C)

3 2

Calcula tanq.

10 C

A) 1

B) 5 7

D) 13 17

E) - 11 16

C) 9 11

Si: 2sen2q = 3senq / 3π < q < 2p 2 Calcula: 2 (sen θ + 7 cos θ ) 2 2

3

E) 2 3

C) 1 5

Simplifica: M = 2sen2 θ cot θ + tan θ 2 2

12

A) sen2 θ 2

B) cos θ 2

D) tanq

E) senq

12^4 cos2 16° - 3h 5sen21°cos 21°

C) 5

C) - 3 2

E)

C) 0 2 2

Si: sen2θ = 1 3 Calcula:

sec3 θ - csc3 θ 2 2 ^sec θ - csc θh sec θ csc θ

A) 2/3 D) 2/7

10. C

8. E

9. B

7. A

B) 7/3 E) 6/7

C) 7/6

Claves

B) 4 E) 7

B) 1

3

D) 2

14

12. B 11. E

A) 3 D) 6

B) - 2 2 E) - 14

Si: tanqsec2x - tan2xtanx - 1 = 0, calcula: tanq

A)

C) sen2q

Calcula: M=

A) - 2 D) - 4 2

5. E

D) 1 7

2 2

6. B

B)

3. A

A) 1 3

4. C

14. C 13. C

13

D 1 B

1. C

11

θ

2. B

A

θ


57

Practiquemos 8.

Nivel 1 Relaciona según corresponda: csc2q

2 tan θ 1 + tan2 θ

cot2q

cot θ + tan θ 2

A) -tan100° C) tan400° E) 1

cot θ - tan θ 2

2.

Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. 2csc60° = cot30° + tan30° III. 2sen22a = 1 - cos4a


5.

B) sec18° D) csc18°

6- 4+ 3+ 2

B)

6+ 4- 3+ 2

C)

6- 4- 3+ 2

D)

6+ 4+ 3- 2

E)

6+ 4+ 3+ 2

C) 9

A)

1 5

B)

2 5

D)

3 2

E)

5 6

1 3

D) 7 25

E) 5 12

C) 24 25

15. Simplifica: E = 1 - sen20° + sen10° A) cos10°

B) sen10°

C) -cos10°

D) -sen10°

cscq + cotq !

sen θ 2

C) 2 2

1 - cos θ 2

cscq - cotq

12. Índica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

III. cos150° =

1 + cos 300° 2

13. Reduce: sen2α + sen α 1 + cos 2α + cos α A) tana D) csca

B) cota E) cosa

E) 3 5

senθcot ` θ j - 1 2 θ senθtan ` j + cos θ 2 A) cosq

B) tanq

C) cotq

D) sen` θ j 2

E) cos ` θ j 2

18. Halla sen4θ a partir de la expresión: cos θ cos 4θ + sen 4θ = csc θ 5 cos 2θ + sen2θ 2 cos 2θ A) 1 5

B) 2 5

D) 1 3

E) 1 6

C) 4 5



C) tan25°

D) 5 13 17. Reduce:

II. cot10° = csc20° + cot20°

P=

58 Intelectum 5.°

C)

I. tan60° = csc120° - cot120°

Simplifica: 1 - sen 40° 1 + sen 40° A) tan30° B) 1 2 3 D) E) tan40° 4

B) 7 24

E) 0

cot θ 2

Calcula:

E = tan π - cot π 8 8 A) -2 B) 2 D) - 2 2 E) 0

2 2

E) 1 3

tan θ 2

2

B) 5 E) 4

C)


Calcula: M = tan22x - tan2x - 1, si: A) 7 D) 6

7.

D) 1 4

3 3

B)


Calcula: tan7°30’ A)

5 5

Nivel 2

tan x - tanx - 1 = 0

6.

A)

A qué es igual: tan54° + tan36° A) 2sec18° C) 2csc18° E) 2cot72°

4.

Si el coseno de un ángulo agudo es 3 , ¿cuál 5 es el seno de la mitad de dicho ángulo?

A) 24 7

10. Si el coseno de un ángulo agudo es 2 , 16. Sabiendo que tana = 3; calcula: cos4a 3 ¿cuál es el coseno de la mitad de dicho B) 7 C) 12 A) 24 ángulo? 25 13 25

II. 2cot74° = cot37° - tan37°

3.

B) tan100° D) -tan400°

Resolución de problemas 9.

sen2q

14. Sabiendo que senx - cosx = 1 y que 5 0° < x < 45°, determina: tan2x

1 - cos 200° 1 + cos 200°

E=


Calcula:

C) seca

19. Si la tangente de un ángulo agudo es 2, ¿cuál es el seno del doble de dicho ángulo? A) 4 5

B) 2 3

D) 1 3

E) 2 5

C) 1 4

20. Si la tangente de un ángulo agudo es 3, ¿cuál es el coseno del doble de dicho ángulo? A) 1 8

B) - 3 7

C) - 1 6

D) - 2 3

26. Si: cotx – tanx = k, halla: tan4x

E) - 4 5

Nivel 3

A)

4k k2 - 4

B)

2k k2 - 4

D)

2k 4 - k2

E)

2k k2 + 4

21. Relaciona según corresponda: sen3q

4cosqcos(60° - q)cos(60° + q)

cos3q

tanqtan(60° - q)tan(60° + q)

tan3q

4senqsen(60° - q)sen(60° + q)

A) !

a b

B) !

b a

D) !

1 b

E) !

a+b a-b

I. sen30° = 4sen10°sen50°sen70°

A) 1n tan xn - 2 cot x 2 2

B) 1n tan xn - 2 tan2x 2 2

C) 1n cot xn - 2 tan2x 2 2

D) 1n cot xn - 2 cot 2x 2 2


III. tan60° = tan20° tan40° tan80°

29. Si la cotangente de un ángulo agudo es 2, ¿cuál es la tangente del triple de dicho ángulo?

Razonamiento y demostración 23. Calcula el valor de F, si π < q < p y cosq = - 3 . 4 2 θ θ F = 7 sen + cos 2 2

E) 2 2

C)

2

1 + 1 + 1 + cos2 2x - sen2 2x senx sen2x sen 4x sen 4x

A) csc x 2

B) sen x 2

D) tan x 2

E) sec x 2

2

D) 11 2

E) 11 4

C) 11 5

A) - 11 13

B) - 23 27

D) - 7 8

E) - 1 9

C) 21 8

C l a ve s

2

A) a2 - b2 a +b

B) a2 + b2 a -b

D) b

E) a + b

7. C

13. A

20. E

26. A

1.

8. A

14. A

9. A

Nivel 3

15. A

27. B

2. 3. A

10. E

16. B

21.

28. D

4. C

Nivel 2

17. A

23. E

5. B

11.

18. C

24. C

6. A

12.

19. A

25. C

Nivel 1

E = acos2q + bsen2q 2

B) 11 3

C) cot x 2

25. Si: cos θ = sen θ , a qué es igual: a b

2

A) 11 6

30. Si la secante de un ángulo agudo es 3, ¿cuál es el coseno del triple de dicho ángulo?

24. Reduce: M=

1 a

E) 1n cot xn + 2 tan2x 2 2

II. cos45° = 4cos15cos45°cos75°

D) 2

C) !

28. Calcula la suma de los primeros términos de la serie: tan x + 1 tan x + 1 tan x + ... + 1n tan xn 2 2 4 4 2 2

22. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

B) 1

4k 4 - k2

27. Si sena = a - b , calcula: k = tan ` π - α j a+b 4 2


A) 0

C)

C) a

22.

29. D 30. B


59


TransFormaciones trigonométricas

Si: cos A = 1 ; calcula: P = 64 sen 5A sen 3A 4 2 4 4

A) 9 D) 16 3

C) 8

Factoriza: y = 32 - 4 sen x

A) sen2xsen-2x D) cos2xsen-3x 5

B) -9 E) - 8

2

Transforma a producto la siguiente suma: A=3+ 3

A) 2sen10° D) 2 6 cos15° 4

B) 2 6 sen15° E) cos15°

C) 2 6 cos15°

Calcula: N = cos2α + 2cosα + 1 cos 2 α 2

B) sen3xsen-2x E) cos3xcos-3x

C) sen3xsen-3x

A qué es igual: R = 2cos2xcos3x - cosx

A) cos2x D) cos7x

60 Intelectum 5.°

A) 4cosa D) sen4a 6

B) cos3x E) 0

C) cos5x

B) 2sena E) cos4a

C) 4sena

Simplifica: R = sen3xsen7x + cos2xcos8x

A) -sen5xsenx D) cos5xcosx

B) sen5xsenx E) sen10xcosx

C) -cos5xcosx

Simplifica: B = sen5x + sen2x - senx sen2x

C) 2cos3x + 1

Halla el valor de:

A) tan8x D) cot4x 10

F = sen2α + senα , si: sen α = 1 2 2 cos α 2

Calcula el valor de: A = sen1° + sen2° + sen3° + ... + sen180°

A)

sen89, 5 o sen0, 5 o

B)

D)

sen90, 5 o sen0, 5 o

E) sen90,5°

cos 90, 5° cos 0, 5°

12

C)

cos 91, 5° cos 0, 5°

Calcula el máximo valor de: S = sen(x + 30°)cosx

14

Calcula: A + B + C Si: sen8x + sen4x = AsenBxcosCx

A) 4 D) 10

2 2 10. D 9. B

7. C

B) 6 E) 12

C) 8

Claves

12. C 11. D

E)

B) Isósceles D) Escaleno

C) 1 2

B) 1 3 2

En qué tipo de triángulo ABC, se cumple: senAsenB = cosC

A) Equilátero C) Rectángulo E) Acutángulo

8. E

A) 3 4

14. D 13. A

D)

A) sen20° D) csc20°

E) 8

C) sec20°

2 sen40 o sen60 o + sen20 o

5. C

13

K=

C) - 1/2

B) cos40° E) sec40°

Simplifica:

6. D

11

B) 2

C) sen2x

3. C

A) 1 2 D) 4

B) sen3x E) tan4x

4. A

9

B) 2cos3x E) 2cos2x

1. B

A) cos3x D) 2cos3x - 1

Simplifica: P = senx + sen3x + sen5x + sen7x cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x

8

2. C

7


61

Practiquemos C) 4cos4xcos3xcos5x

NIVEL 1

Transforma a suma o diferencia.

2.

=

• 2cos3qcosq

=

• sen3xsen7x

=

• cos2xcos8x

=

• sen3qsen5q

=

7.

1 - sen 2 x - sen 2 y cos^x - yh

D) 5.

B) cos(x – y) D) cos2(x + y)

B) 2 3 3

E)

2 2

C) 1

Reduce: M = sen40° + sen20° cos 10° A) 1 B) 1 2 1 E) 2 D) 2

C) –1

Calcula: S = cos20° + cos100° + cos140° A) 0

B) 1

D) 1 2

E) - 1 2

A) 4sen4xcos3xcos5x B) 4sen4xcos 5x cos 3x 2 2

62 Intelectum 5.°

B) 2

D) 1 4

E) - 1 2

2

C) –1

C) 1 2

2

2

P = cos q + cos 2q + cos 3q + ... C)

Transforma a producto: H = 1 + cos2x + cos4x + cos6x

Transforma a producto: M = sen3x + sen5x + sen8x

A) 1

3

A) 1 ;ck + cos kθ m cos ^θ + kθhE cos θ 2 B) 1 ;ck + senkθ m cos ^θ + kθhE senθ 2 C) 1 ;c k + cos kθ mcos kθ E 2 2 cos θ

E) 1 + cosqk 12. Calcula el valor aproximado de: M = sen74°sen34° - sen52°sen88° B) 2 E) -1/4

c) cos a p k # cos c 2p m 2n + 1 2n + 1 np 3 p # cos c # ... # cos a 2n + 1 m 2n + 1k I. 1/2n II.

2n + 1 /2n

III.

2n + 1

A) Ia-IIb-IIIc C) Ic-IIb-IIIa E) Ib-IIa-IIIc

B) Ia-IIc-IIIb D) Ic-IIa-IIIb

14. De las siguientes transformaciones de suma o diferencia. • senA - senB = 2sen c A + B m cos c A - B m 2

C) -1

2

• cosA + cosB = 2cos c A + B m cos c B - A m 2 2 • cosA - cosB = -2sen c A + B m sen c A - B m 2 2 + + A B A B • senA + senB = 2sen c m cos c m 2 2 ¿Cuántas son verdaderas? A) 3 B) 2 D) 0 E) 4

C) 1

Razonamiento y demostración 15. En un triángulo ABC, transforma a producto. K = senA + senB + senC

D) 1 ;ck + senkθ mcos kθ E 2 senθ

A) -2 D) 1/2

a) sen a p k # sen c 2p m 2n + 1 2n + 1 3 p np # sen c # ... # sen a 2n + 1 m 2n + 1k b) tan a p k # tan c 2p m 2n + 1 2n + 1 np 3 p # tan c # ... # tan a 2n + 1 m 2n + 1k

11. Utilizando la teoría de series trigonométricas. Calcula la suma de los k primeros términos de la siguiente serie:

E) 1 2

A) 4senxsen2xsen3x B) 4cosxcos2xcos3x C) 4cosxcos2xcos4x D) 4senxcos2xcos4x E) 4cosxcos2xsen4x 6.

2


Calcula: L = sen80° + sen 40° cos 80° + cos 40° A) 1

B)

10. Calcula: (sen38° + cos68°)sec8°

Simplifica:

A) cos(x + y) C) 0,5cos(x+y) E) cos2(x – y) 4.

3

D) 1 2

Transforma las siguientes sumas y 8. diferencias a productos. • cos5q + cosq = • sen4x + sen2x = • cos19° - cos9° = • cos3x + cos4x = • sen p + sen p = 9. 9 10 • sen4x + cos8x = • sen6x + cos4x =

H=

Reduce: K = sen50° + cos 50° cos 5° A)


13. De los productos trigonométricos relaciona cada expresión con su respectivo resultado:

E) 4sen4xsen 5x cos 3x 2 2

• sen52°sen88° = • senqcos3q


D) 4cos4xcos 5x cos 3x 2 2


NIVEL 2

A) sen A sen B sen C 2 2 2 A B B) 2sen sen sen C 2 2 2 A B C C) 4cos cos cos 2 2 2 A B D) 8sen sen sen C 2 2 2 A B C E) 4sen sen sen 2 2 2

16. En un triángulo ABC, transforma a 22. Halla el valor de la siguiente expresión: producto: C = cos 2p cos 4p + cos 4p cos 6p 7 7 7 7 F = sen2A + sen2B – sen2C 6p + cos cos 2p A) 4senAsenBcosC 7 7 B) 4cosAcosBsenC A) 1 B) 1/2 C) -2 C) 4senAsenBsenC D) 1/2 E) 1 D) 4cosAcosBcosC E) 2senAsenBcosC

NIVEL 3

cos2A + cos2B + cos2C = 1

Razonamiento y demostración 25. Simplifica:

28. A

29. C 22. D

21. A


7. B

6. B

21. Si: sen2a + cos2(x - a) + sen2(x + a) = 2 27. Simplifica: Halla el valor de sen2x, en términos de a. P = sen7x + sen3x ; 6x = p senx + sen9x A) 1 + 2 cos 2a 2sen2a A) 1 B) –1 C) 1 2 1 sen 2 a + B) D) - 1 E) - 3 cos 2a 2 2 C) 1 + cos 2a 28. Reduce: sen2a M = sen5θ + sen3θ + senθ D) 1 - 2 cos 2a cos 5θ + cos 3θ + cos θ sen2a A) tan3q B) tan5q C) tan2q E) 1 + 2 cos 2a D) tan4q E) tan8q sen2a

27. B

C) cotx

20. D

B) tan2x E) tan4x

Nivel 2 13. D 14. B

A) tanx D) cot2x

5. B

2 cos x T = cos x + cos 7x + senx + sen7x sen5x + sen3x

33. E

26. Simplifica:

26. D

E) tan4x

E) cotxtan(n + 1)x - (n + 1)

25. D

D) cot2x

C) tan2x

19. C

B) cotx

18. E

A) tanx

D) tannxtanx - (n + 1)tanx

12. E


C) tan(n + 1)xcotx - ntanx

R = cos 7x + cos 3x sen7x - sen3x

11. B

B) 2cos(a + b) D) 2sen(a – b)

B) tan(n + 1)xcotx + ntanx

4. C

A) 2sen(a + b) C) sen(a – b) E) 2cos(a – b)

E) 1/2

33. Calcula la suma de los n primeros términos de la siguiente serie: P = tanxtan2x + tan2xtan3x + tan3xtan4x + ... A) tannxtanx - ntanx

3. A

20. Simplifica: cos^a - 3bh - cos^3a - bh A= sen2a + sen2b

C) -1 D) 2

32. B

E) 1 4

B) 0

31. D

3 2

A) 1

24. D

D)

C) 2

Obtusángulo Acutángulo Equilátero Rectángulo Escaleno

23. C

B) 1 3

A) B) C) D) E)

32. Si los ángulos a; b y q están en progresión aritmética de razón 120°. Halla la suma de los cosenos de a; b y q.

17. C

19. Si se cumple x = y + 30°; calcula: sen^x + yh P= sen 2 x - sen 2 y A) 1 2

24. En qué tipo de triángulo ABC se cumple:


16. B

E) 0

C) M = N

C) sen3q

9. A

B) –1

D) - 1 2

B) 2M = N E) M = 3N

B) 2cos3q E) 1

10. A

A) 1

C) 1 2

A) M = 2N D) 3M = N

A) 2sen3q D) cos2q

2.

H = cos20° + cos100° + cos220°

31. Simplifica: (cot2q + tanq)(cos3q + cosq)senq

1.

18. Calcula:

30. Reduce: A = sen2x + sen 4x + sen6x cos 2x + cos 4x + cos 6x A) tanx B) tan2x C) tan3x D) tan4x E) tan5x

30. D

E) –1

E) 4cos4acos2asena

Nivel 3

D) 2 3

3

D) 4sen4asen2acosa

15. C

C)

C) 4sen4acos2acosa

8. A

B) 2

23. Compara las siguientes cantidades: M: El máximo valor de: P = sen(x + 53°)cosx N: El máximo valor de: T = sen(x + 37°)senx

B) 4cos4acos2acosa

Nivel 1

A) 1


A) 4sen4asen2asena

C l a ve s

17. Si: x + y = 30°, calcula: sen^x + 3yh + sen^3x + yh H= sen2x + sen2y

29. Transforma a producto: R = sena + sen3a + sen5a + sen7a

63


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Determina el dominio de la función: g^ x h = senx + 1 cosx - senx

A) R - {(2n - 1) π / n ! Z} 2 C) R - {(4n + 1) π / n ! Z} 8 E) R - {(2n + 1) π / n ! Z} 3 3

B) R - {(4n + 1) π / n ! Z} 4 D) R - {(2n + 3) π / n ! Z} 2

Si f(x) = cosx(cosx - 4) y el Ran(f) = [a; b]; calcula: H = a2 + b2 - ab

A) 18 D) 24 5

2

B) 49 E) 27

4

C) 61

Halla el rango de la siguiente función: H(x) = tanx + cotx

Halla el rango de: F(x) = 3 + (senx)(cosx)

A) [2; 4]

B) [3; 4]

C) [5; 7]

D) ; 5 ; 7 E 2 2

E) ; 3 ; 5 E 2 2

Halla el dominio de la función: F(x) = tan2x + sec2x + 2x

A) R - {(2n + 1) π / n ! Z} 2

B) R - {(3n + 1) π / n ! Z} 2

C) R - {(2n + 3) π / n ! Z} 5

D) R - {(2n + 1) π / n ! Z} 4

E) R - {(3n + 2) π / n ! Z} 8 6

Del gráfico, calcula el área de la región sombreada. y 1

f(x) = senx

1/2

O

A) R - [-2; 2] D) G-2; 2H

64 Intelectum 5.°

B) [-2; 2] E) G-1; 1H

C) R - G-2; 2H

A) π u2 2 π u2 D) 6

x

B) π u2 3 π E) u2 8

C) π u2 4

7

Del gráfico, calcula A = tan2qcot c S m csc θ

Del gráfico, calcula el área de la región sombreada.

8

Si: S es el área de la región sombreada

f(x) = tanx 2

y = cscx

y

O

B) - 2 E) -1

2 3

A) 3 π D) 3p

C) 1

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I.

g(x) = senx

x y = cosx

θ

A) D)

x

O

S

9

y

10

La función y = F(x) = senx + 1, tiene como dominio: R - {np/ n ! Z} ( )

C)

3π 2

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I.

La función y = F(x) = cotx, tiene como dominio: ( ) R - {(2n + 1) π / n ! Z} 2 II. La función y = F(x) = secx, es decreciente en el intervalo ( ) π; 3 π j 3 π ; 2 π 2 2

II. La función y = F(x) = cosx, es creciente en el intervalo G0; pH ( ) III. La función y = F(x) = cosx + 47, es par.

B) 2 3 π E) 4p

( )

III. La función y = F(x) = cscx - 5x, es impar. A) VVF D) FFF

Halla el período de: f(x) = 2(sen3x - 2senx)(cos3x + 2cosx)

A) π 2

B) π 3 π E) 6

D) p

12

C) 2π 3

En la figura, la función es de la forma: f(x) = AcosBx Calcula A y B, respectivamente.

14

y

Halla el período de: g (x) = senx + sen2x + sen3x cos x + cos 2x + cos 3x

A) p

B) π 4

D) π 3

E) 2p

C) π 2

Del gráfico, calcula: M = 5a + 4b; siendo P` π ; 0, 8j un punto de dicha gráfica. 3 (Considera: a > 0) y

f(x)

a π

2

π

x

O

-3

5π

x

y = asenbx

C) 6 y 3

A) 10 D) 8

B) 5 E) 6

5. C

10. E

8. C

9. C

7. E

C) 9

Claves

B) 5 y 3 E) 4 y 2

6. B

12. C 11. B

A) 5 y 2 D) 3 y 2

3. B

O

C) VVF

4. D

3

B) FVF E) FVV

1. B

14. A 13. D

13

A) VFF D) VFV

C) FFV

2. D

11

B) VFV E) FVF

( )


65

Practiquemos 5.

Nivel 1 Comunicación matemática 1.

Completa el siguiente crucigrama y halla el nombre de un matemático en la columna: Conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable y. Cateto opuesto entre cateto adyacente. Primera letra del alfabeto griego. Cateto opuesto entre hipotenusa. Conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable x. Cateto adyacente entre hipotenusa.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

A) [1; 3] D) [2; 3] 6.

B) G1; 3] E) [3; 4]

C) G2; 3H

Si: f(x) = senx; g(x) = cosx Además: f(x) = g(x) Halla los valores de x, si: x ! G0; 2pH A) $ π ; 6 D) $ π ; 3

1"

7.

2"

Halla el rango de la función f definida por: 3 f (x) = 2 + cos x

3"

π . 4 π . 2

B) ' π ; 4 E) $ π ; 4

Dada la función:

5π 1 4 π . 2

C) ' π ; 3π 1 4 4

f(x) = cos2x - 2cosx

Halla el rango de la función.

4"

A) G-1; 3H D) [2; 3H

5"

8.

6"

B) [-1; 3H E) [-1; 3]

C) G2; 3H

Halla la suma de las ordenadas de los puntos P y Q. y

2.

Q

grafica un ciclo de la función: y = 3sen(4x - p) + 2

O

3π 4

y = senx

7π 4

x

P

A) - 2 2 D) 2

B) - 2 E) 2 2

C) 0

Resolución de problemas 9.

A) F(x) = |senx| B) g(x) = cos|x| C) H(x) = sen|x| D) g(x) = cosx - senx E) F(x) = |cosx| - |senx|


Si F(x) = 2senx + 3; halla: Dom(F)kRan(F) A) [0; 5] D) G0; 5H

4.

B) [1; 5] E) G2; 5]

C) G1; 5H

10. El punto c π ; 2n - 1 m pertenece a la gráfica de la función 3 2n + 1 y = cosx. Calcula n.

grafica: G (x) = cos4 x - sen4 x ; x ! 8- π ; π B 2 2 2 2 A)

1 -π

2

y

O

B)

π

2

x

y

D) -π

2

O

-π

4

E)

π

2

1

2

π x

4

8

66 Intelectum 5.°

O

O

π x

2

B) 3/2 E) 4/3

C) 5/2

Nivel 2 Comunicación matemática 11. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

y

x -π

A) 1/2 D) 3/4

y -π

O

1

C)

y

De las funciones que se indican; ¿cuál no es par?

π x

8

I. tan(2x) & T = π 2 II. sec(x/2) & T = 4p

(

)

(

)

III. cot(6x) & T = π 6

(

)

18. La ecuación de la gráfica adjunta es: y = asenbx; además las coordenadas de P son c 10π ; - 6 m 3 Halla a y b, respectivamente.

12. Completa: 3

y

y= y

Período:

1 O −1

π

π

4

3π 4

2

π

y

Amplitud:

x

O

Rango:

Razonamiento y demostración 13. En la figura adjunta, calcula: x1 + x2 + x3 y

y = senx

1 1/2 x1

O

x2

x3

x

14. Si los puntos: ` π ; y1j ; c 3π ; y2 m ; c 4π ; y3 m 3 4 4 pertenecen a la tangentoide en x; y -y calcula: 3 1 y3 + y 2 A) 1 D) 4

B) 2 E) -2

P

y = cosx

2m 2

D) `- π ; 1j 4

B) c- π ; 4

2m 4

E) c- π ; 4

2m 4

C) c- π ; - 2 m 4 2

Resolución de problemas 19. ¿En cuál de los siguientes intervalos la función y = senx es decreciente? A) - π ; π 2 2

B) 5π ; 23π 11 16

D) G-p; 0H

E) 5π ; 7π 2 2

C) 3π ; 2π 2

B) 3/2 E) 4/3

C) 5/2

Nivel 3 Comunicación matemática

A) 2kp

B) (2k + 1)p

D) kπ 2

E) ^4k + 1h π 2

C) ^4k - 1h π 2

17. Halla el dominio de la función. cos x - 1 ; 0 1 x 1 2π 1 2

A) 0; π B , ; 3π ; 2π 2 2 C) ; π ; 2π E , ; 4π ; 5π 3 3 3 3 E) ; π ; 5π E 3 3

I.

La amplitud de y = 5 + 3cosx, es 5.

( )

II.

El período de y = 2senx(cosx) es p.

( )

III. La gráfica de la función y = 2 + senx, se obtiene ( ) trasladando verticalmente 2 unidades hacia arriba la gráfica de y = senx.

senx - 1 , (k ! Z)

F = '^x; yh y =

7; 1 2

C)

21. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

16. Halla el dominio de la función: f(x) = cosx +

E) 3 2 ; 5 2

x

− π/4 −1

A) c- π ; 4

5; 3 5

A) 1/2 D) 3/4

15. Calcula las coordenadas del punto P. y

B) 2 2 ; 2 5

x

25π 4

20. El punto c π ; 2n - 1 m pertenece a la gráfica de la función 6 2n + 1 y = senx. Calcula n.

C) -1

1

A) 2 3 ; 3 7 D)

A) 6p B) 4p C) 5,5p D) 8,5p E) 7p

P

B) 8 π ; π B , ; 3π ; 5π 3 2 2 3 D) 0; π B , ; 5π ; 2π 3 3

22. Relaciona según, corresponda: y = |sen2x|

T= π 3

y = 2senxcosx

T= π 2

y = 1 - 2sen23x

T=p


67

27. En la figura adjunta, la ordenada del baricentro del triángulo FgH es 2 2 . Calcula su abscisa. 3 A) 5π y 12 y = cscx 5π B) G H 6 5π C) 3 4π D) x 3 π O F E) 8π 3

Razonamiento y demostración 23. Del gráfico mostrado, calcula: a - b y

P π; a 6

y = 2sen2x x

Q 7π ; b 8

A) D)

B) 3 - 2 E) -^ 3 + 2 h

3+ 2 2- 3

C) 0

24. Si g(x) = AsenB(x - C), halla A, B y C, respectivamente. y

g(x) = AsenB(x − C)

5 -π 2 -5

π

π

2

2π

3π

28. Si el punto (m; n) se obtiene de la intersección de las funciones y = tanx / y = cotx en π; 3π , calcula: 2 m m E = sec - n csc 3 5

A) 5; 1 ; - π 2 2 B) 6; 3 ; π 4 3 C) π; π ; 1 2 2 4π x 5 D) 5; ; - π 2 3 E) 5; - 1 ; π 2 2

A) 6 D) 2

y 1

B)

29. Calcula el área de la región limitada por las rectas y + 1 = 0, x = 0, x = 2p y la curva cuya ecuación es y = cosx, si x ! [0; 2p].

2π

x

y

D) 2π

O -1

2π

O -1

-1

C) 1

A) 2p u2 D) 4p u2

y 1

O

x

x

B) p u2 E) 1,5p u2

A) 1

1 2π x

C) 3p u2

30. Si (x0; y0) es el punto de intersección de las gráficas de las funciones F(x) = senx / g(x) = cotx en G0; pH, calcula: secx0 - cosx0

y

O -1

C) 0

2 3


25. grafica en [0; 2p], la función: F (x) = sen2x 2 cos x A)

B) E)

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

31. En la figura, calcula el área de la región; Si: f(x) = senx -[1-sen2xcos2x] y 1 y

E)

y

O

π

2π y

1 π/2 π

O

3π/2 2π x

A) π u2 2

-1

B) 2p u2

26. De la figura, calcula el área de la región triangular MNP.

y = cosx

M

O

P N

68 Intelectum 5.°

Nivel 1

2

x

7. E

13. A

20. B

26. C

14. A

Nivel 3

27. A

21.

28. A

B) p u

1.

8. C

C) 2p u2

2.

9. D

15. A

3. B

10. B

16. E

4. A

Nivel 2

5. A

11.

6. B

12.

D) p/4 u2 E) 2,5p u

D) 3π u2 E) 5π u2 2 2

C l a ve s

A) p/2 u2

y

C) p u2

2

22.

29. A

17. D

23. A

30. A

18. B

24. A

31. C

19. E

25. E

Matemática = 2 cos 2x cos x = cot2x = 1 2 2sen2x cos x

▪ Si: cos3x + cos x = 1 sen3x + senx 2 Calcula:

En la expresión:

M = 1 + cos 4x sen4x

2 M = 1 + cos 4x = 2 cos 2x sen4x 2sen2x cos 2x

Resolución:

1.

De la condición tenemos:

M = cos2x = cot2x = 1 2 sen2x

2 cos d 3x + x n cos d 3x - x n 2 2 cos 3x + cos x = sen3x + senx -x + x 3 3 x x 2sen d n n cos d 2 2

` M= 1 2

Si seca = 4, calcula: k = 2sen 3a # sen a 2 2 A) 3 4

C) - 5 4

E) - 3 2

Si tanx = 3, calcula el valor de la siguiente expresión:

7.

3.

4.

5.

B) 3

C) 1

D) 0

E) -2

Simplifica la siguiente expresión: sen6x M= 3 4sen x - 3senx A) -2cos3x

B) 2sen3x

D) - 1 sen3x 2

E) 2senx . cos3x

8.

A) 0; p 2

B) 0; p 4

D) G0; pH

E) 0; p , 3p ; 2p 2 2

B) [0; 1]

D) [1; 2H

E) [0; 3H

9.

A) cos20°

B) sen20°

D) sen50°

E) tan25°

Simplifica:

A) sen15°

B) 1 2

D) tan 45°/2

E) cos20°

C) cos(152)°

Del gráfico: x

θ

a θ θ

f(x) = - cos 2 x - 2senx + 1 ; x ! G0; 2pH

Halla el valor de x.

A) p ; 3p 2 2

B) 0; p , 3p ; 2 2 2

A)

a2 2b - a

B) b2 - a2

C) G0; pH

D) [p; 2pH

D)

1 b2 + a2

E) b2 + a2

E) G0; 2pH - ( 3p 2 2

C) cos10°

3 2

C) G0; 2pH - p 2

Calcula el dominio de la siguiente función.

C) [0; 2]

Simplifica:

P = 2 cos15° -

C) 1 sen3x 2

Calcula el dominio de la siguiente función: sen2x + cos x ; x ! G0; 2pH f(x) = 1 + senx - cos 2 x

A) [1; 3]

A = 3 cos20° - cos50°

D = 13sen3x - 9cos3x A) -1

Halla el rango de la siguiente función: f(x) = 2sen2(3x) + 1

B) 9 8

D) 2 2.

6.

b

C)

1 b+a


69

Unidad 4

Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1

funciones trigonométricas inversas

Determina el dominio de: F(x) = 4arcsen c x + 1 m 2

A) [-p; p] D) - π; π

3

B) [-3; 1] E) 1; π @

C) G-3; 1H

Calcula: E = sen(arctan2)

A) 2 2 2 D) 6 5

2

Calcula: sec(2x - arctan 3 ) =

A) 54°30' D) 55°30'

4

B) 2 5 E) 2 5

C) 2 3

6 2

B) 52°30' E) 51°30'

C) 50°30'

Calcula: N = sen carcsen 3 + arccos 5 m 13 5

A) 1 65

B) 49 65

D) 63 65

E) 49 63

C) 65 63

Halla: E = cos(2arctan3)

A) 1 5

B) 4 5

D) - 1 2

E) - 4 5

C) 1 3

Calcula:

E = sen(2arcsen 3 ) 3

A) 3 5

B) 2 3

D)

E) 2 2

5

C) 2 2 3


71

7

9

11

Indica el dominio de f, si se cumple: f(x) = 4arccos c 7x + 1 m - π 8 5

A) [-1; 1]

B) [-1; 7]

D) ;- 9 ; 1 E 7

E) ;- 1; 9 E 7

8

C) - 9 ; 1 7

Calcula el valor de m, si: arctan ` m j = arcsen 8 17 8

10

A) 15 64

B) 25 64

D) 64 15

E) 64 25

C) - 1 64

Sabiendo que:

12

arctan 3 = m arctan c 3 m 3

Halla x, si: arctan 1 + arctan 1 + arctan 1 = arctanx 8 18 7

A) 1 3

B) 1 2

D) -1

E) 3

C) 1

Calcula x: arcsenx = arctan 3 + 1 arctan c- 5 m 12 4 2

A) 11 26 130

B)

26 75

D) - 26 130

E) - 11 130

C) 3 4

Simplifica: E = arcsen{cos[arctan(cot30°)]}

Calcula: tan 8m` π - arcsecmjB 2

E) 1 3

Halla el rango de g, siendo g definida por: g(x) = 8arccos c 3x + 1 m - π 2 4

B) - π ; π B 4 4

A) ;- π ; 5π E 6 6

D) ;- π ; 31π E 4 4

C) ;- 7π ; 11π E 6 6

E) ;- π ; 33π E 4 4

B) 8- π ; π B 3 3 D) - π ; π 6 6

E) ; - 9π - 2 ; 9π + 2 E 6 6 8. A 7. D

10. A 9. D

12. C 11. B

14. C 13. D

Claves

72 Intelectum 5.°

C) 30°

Halla el rango de f, siendo: f(x) = π + 3arcsenx 3

5. B

C) ;- 31π ; π E 4 4

14

B) 40° E) 80°

6. C

A) 8- π ; π B 4 4

A) 20° D) 50°

3. E

13

C) -3

4. E

D) 0

3

1. B

B)

2. D

A) 3


4.


A) p/6 D) p/4

En el siguiente cuadro completa el dominio y el rango para cada función trigonométrica inversa dada: Función

Dominio

Rango

5.

B) p/2 E) 2p/3

Calcula el valor numérico de:

y = arcsecx

A) 5 12

B) 5 13

y = arccosx

D) 1 8

E) 1 3

y = arccscx 6.

y = arcsenx

y π/2 −1

7.

O 1 x -π/2

• arctanx

8.

π/2

B)

O -π/2

y

x

9.

−1

• arccscx

x

O1

−1

B) -1 E) 0

C) 1

Halla el dominio de f, si: f(x) = arcsenx + arcsen2x A) - 1 ; 1 E 2 2

B) ;- 1 ; 1 E 2 2

D) [-2; 2]

E) G-1; 1H

C) [-1; 1]


x

O1

• arcsecx

10. Determina el dominio de la siguiente función: f(x) = 2arcsen(x + 2) - 4arccos(x2 - 1)

-π/2


C) 5p/4

Si se cumple:

y π/2

D)

B) p/4 E) 7p/4

q = arcsen(x2 + 1) Calcula: cosq

• arcsenx

π

C) p/6

Calcula el valor de: M = arctan 5 + arctan 1 11 6

A) 1/2 D) -1/2

π/2

C)

B) 3p/2 E) 2p/3

A) 3p/4 D) -p/4

y

C) 1 7

Si se cumple: arcsena + arccosb = π 3 Calcula: K = arccosa + arcsenb A) p/3 D) p/2

Relaciona mediante una línea gráfico-función:

A)

C) p/3

M = sen carctan 5 m 12

y = arctanx

2.

Calcula: M = arcsec(2) + arccsc c 2 3 m 3

Siendo: q = arcsen 3 + arccos1 2 Calcula: senq + cosq A)

3 +1

B)

3 -1 2

D)

3 +1 2

E)

3

A) 6- 2 ; 2 @

D) 6- 2 ; 2

B) 6- 1, 2

C) [-1; 1]

E) " 2 ,

11. Calcula el dominio de la siguiente función: f(x) = C) 1

arcsenx arccos c 1 - x m 1+x

A) G-1; 0H D) [0; 1]

B) [-1; 1] E) [0; 1H

C) G-1; 1H


73

17. Calcula el valor numérico de:

NIVEL 2

K = arccos c- 1 m + arcsen c 1 m + arctan ^ 3 h 2 2

Comunicación matemática 12. Respecto a las propiedades de las funciones trigonométricas inversas indica las condiciones de estas. • sen(arcsenx) = x + ______________

A) 4p/3 D) p/3

B) 7p/6 E) 8p/3

C) 5p/6

18. Resuelve la siguiente ecuación:

arctanx + arctan(1 - x) = arctan 4 3 A) 1/5 B) 1/3 D) 2 E) 1/7

• tan(arctanx) = x + ______________ • sec(arcsecx) = x + ______________ • arccot(cotx) = x + ______________

19. Calcula el valor numérico de: Q = arcsen 3 + arcsen 8 - arcsen 77 17 85 5

• arccos(cosx) = x + ______________ • arccsc(cscx) = x + ______________ 13. Indica (V) verdadero o (F) falso según corresponda: • Si: -1 # x # 1 & arccos(-x) = -arccosx ( ) • Si: x ! R & arctan(-x) = -arctanx

( )

• Si: x # -1 0 x $ 1 & arcsec(-x) = p - arcsecx

( )

• Si: x ! R & arcsen(-x) = - arcsenx

( )

• S: x # -1 0 x $ 1 & arccsc(-x) = -arccscx

( )

Razonamiento y demostración 14. Si se cumple:

A) -1 D) 2

B) 0 E) 3

C) 1

20. Halla el rango de: g(x) = 4arctanx - π 2 A) ;- 5π ; π 2 2

B) - 5π ; π 2 2

D) - 3π ; 5π 2 2

E) - 5π ; 3π 2 2

Calcula el valor de x si: arccos ^ 3 xh + arccos x = π 2 A) 1 B) 1/2 C) -1/2 D) -1 E) 3 /2

22. Calcula:

M = arcsen c 3 m + arccos 1 + arctan 3 2

Halla la variación de x.

A) p/3 D) p

D) [0; 1]

B) G-1; 1H E) ;- d ; 0 2c

C) ;0; d E 2c

P = arccos c 4 m + arctan c 3 m 5 5 A) arcsen 7 10

B) arctan 27 11

D) arccos 27 11

E) arctan 1 10

C) arctan 11 27

Calcula: tanq

74 Intelectum 5.°

C) 2p/3


A) ; π ; 11π E 6 6

B) 0; 7π E , ; 11π ; 2π 6 6

C) 0; π B , ; 11π ; 2π 6 6

D) π ; 7π E , ; 11π ; 2π 6 6 6

E) ; 7π ; 11π E 6 6

16. Siendo: q = arctan ` m j - arctan ` m - n j m+n n B) 0 E) -2

B) p/5 E) p/2

23. Calcula el dominio de la siguiente función: K(x) = arcsen(senx - 1 ); x ! G0; 2pH 2

15. Halla el equivalente de:

A) -1 D) 2

C) ;- 5π ; 5π E 2 2

21. Siendo: x 2 0

a = b arcsen 2cx ; 0 < a < π / {c; d} ! R+ d b 2

A) 0; d 2c

C) 1/2

C) 1

24. Calcula la suma del máximo y mínimo valor de: f(x) = arcsen(sen2x - 1) C) 0 A) p B) π 2 E) - p D) - π 2

30. Halla la intersección entre el dominio y rango de la función: f(x) = 2arcsen ` x j + π 2

NIVEL 3 Comunicación matemática 25. De las siguientes proposiciones: • arcsenx + arccosx = π + -1 # x # 1 2 • arctanx + arccotx = p + x ! R

B) [-1; 1]

D) - 1 ; 1 2 2

E) [0; 2]

C) G-1; 1H

31. Si se cumple: arcsen1 + arccosx = arccos0 Calcula: x

• arcsecx + arccscx = π + x # -1 0 x $ 1 2 x+y • arctanx + arctany = arctan c m + xy < 1 1 - xy

A) 1

B) 0

C) -1

D) 1/2

E) -1/2

32. Calcula el valor de:

¿Cuántas son verdaderas? A) 4 D) 0

A) ;- 1 ; 1 E 2 2

B) 3 E) 1

L = 2arcsen(-1) + 1 arccos c- 3 m 2 2

C) 2

26. Relaciona las siguientes expresiones:

M: es el valor de x si: arcsen(-x) + 2arcsenx = π 6

N: es el valor de x si: arccos(-x) + 2arccosx = 7π 6 A) M = sen60° N

B) M = tan30° N

D) M = cot30° N

E) M = 1 N

A) 7π 12

B) π 12

D) - 7π 12

E) - π 12

C) 5π 12

33. Calcula: q = arctan(tan100°) - arccot(cot300°)

C) M = sen30° N

A) 270°

B) -180°

D) 180°

E) -200°

C) 90°

Resolución de problemas Razonamiento y demostración

34. Del siguiente gráfico calcula: Q = A + cosB

27. Halla b de la siguiente relación: mβ p = qarctan c m n

y

p A) m tan c m n q

p B) n tan c m m q

D) mntan(pq)

p E) mntan c m q

5π/2

pq C) tan ` j mn

x

O -π/2

f(x) =

A)

3 2

C)

3

E)

3 6

3 4 D) 3 5 B)

f(x) = Aarccos(Bx)

2

x

π - 3arcsenx + arccos (- x) - arccos x

A) [-1; 0]

B) [0; 1]

D) ; 3 ; 1 E 2

E) ;- 3 ; 0 E 2

Nivel 1 1.

y 4π

x

C) [-1; 1]

Cl aves

29. Del gráfico adjunto, calcula A.B.

-2

1

35. Calcula el dominio de la siguiente función:

y

y = arcsen2x

f(x) = Aarccosx + B

π -1

28. De la figura calcula x1, siendo P` x1; π j 3 P

A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 E) 2 2

4π

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

8. E

15. B

23. B

30. E

9. B

16. C

24. D

31. A

10. A 11. E

17. B

Nivel 3 25. B

32. D

18. C 19. B

26. B

34. C

20. E

27. B

35. A

6. E

Nivel 2 12. 13.

21. B

28. B

7. B

14. A

22. C

29. B

2. 3. D 4. E 5. B

33. E


75


ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resuelve: 2sen2x - 1 = 0; e indica la solución principal.

A) 10° D) 40°

3

C) 15°

Si 90° # q # 180°, calcula q en: sen2q + senq = cos2q

A) 30° D) 120° 5

B) 30° E) 50°

B) 60° E) 150°

76 Intelectum 5.°

B) 45° E) 360°

6

B) 30° E) 150°

C) 60°

Resuelve: senx + cosx = 0 y da como respuesta la menor solución positiva.

A) 135° D) 75°

C) 90°

C) 90°

Resuelve: tanx = 3 si x ! G0°; 180°H

A) 45° D) 120° 4

Calcula la menor solución positiva de la ecuación: sen2x - 2senx - 3 = 0

A) 0° D) 270°

2

B) 345° E) 30°

C) 225°

Halla la segunda menor solución positiva de: (cos2q + 1 )(senq – 1) = 0 2

A) 150° D) 30°

B) 120° E) 90°

C) 60°

Resuelve: 2cos2x - cosx - 1 = 0

B) '2kπ + 2π / k ! Z 1 3 D) ' kπ - π / k ! Z 1 2

Resuelve: senx - cosx + secx = cscx si x ! [0; 2p]

Resuelve: tan

B) 'π, 7π 1 4 E) 'π, 5π 1 4

12

C) 'π, 3π 1 4

β = cscb - senb 2

Si 0 < x < 2p halla el valor de x en la ecuación: cos x - senx = 0 1 + cos 2x 1 - cos 2x

A) π 0 5π 4 4

B) π 0 7π 6 6

D) π 2

E) 3π 2

Si se sabe que: tanx . tanz = 3 tany . tanz = 6 x+y+z=p Evalúa: tan x , si x d 3

A) D) 14

A) 2kp ! arccos c 5 + 1 m ; k ! Z 2 5 - 1 m; k ! Z B) 2kp ! arccos c 2 C) 2kp ! arccos c 5 m ; k ! Z 2 D) 2kp ! arccos c 5 + 1 m ; k ! Z 4 E) 2kp ! arccos ^ 5 h ; k ! Z

6- 2 6+ 2

C) π 0 4π 3 3

...(I) ...(II) ...(III) 0; π 2

B) 2 + 3 E) 3 / 2

C) 2 - 3

Calcula la suma de soluciones de la ecuación: cos6x = c 1 + sen6x m csc2x; si x ! [0; p] sec 2x

A) 3p/2 D) 2p/3

B) 3p/4 E) 5p/6

5. D

A) 'π, 9π 1 4 D) 'π, 11π 1 4

10. A

8. B

9. A

7. B

C) 4p/3

Claves

12. C 11. E

14. A 13. B

13

10

6. E

A) '2kπ ! 2π 1 , "2kπ ,; k ! Z 3 C) $kπ ! π / k ! Z . 3 E) 'k π ! 2π / k ! Z 1 , $ π . 4 3 6 11

C) p

B) { kπ / k ! Z} 2 D) { 7kπ / k ! Z} 2

3. E

9

B) 2p/5 E) 2p

A) { 2kπ / k ! Z} 3 C) { kπ / k ! Z} 3 E) { kπ / k ! Z} 5

4. A

A) 3p/2 D) 7p/2

Dada la ecuación: 2tan2x . senx = 0 Indica su conjunto solución.

8

1. C

Determina la suma de las dos primeras soluciones positivas de: tan `5x - π j = 2 + 3 12 3

2. C

7


77


9.


2.

Relaciona según corresponda: FT

VP

sen

- π; π 2 2

cos

8- 2 ; 2 B

tan

[0; p]

π π

Determina la solución principal al resolver: sen3x = 1 senx A) π B) π C) π D) π 4 8 16 9

E) π 32

10. Resuelve: (tan2x - 1)(senx - 1) = 0 Indica la suma de soluciones en el intervalo de G0; pH. A) 17π 8

B) 19π 4

C) 21π 8

D) 23π 8

E) 5π 4

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Si senkx = a

Si, EG = kp + (-1) ` - π j 6 Completa:

Completa:

k

VP =

k = -1; EG = xG = k = -2; EG = x= k = -3; EG = 12. Relaciona según corresponda:

3.

4.


sen(2x- π ) = - 2 3 2

VP = - π 3

Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: senx = 3 2 A) 90° B) 180° C) 270° D) 300° E) 360°

cos ` x + π j = 3 8 4 2

VP = - π 4

tan(2x- π ) = - 3 4

VP = π 6

Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: senx = - 2 2 A) 90° B) 180°

5.

6.

7.

C) 240°

D) 270°

E) 540°

Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cosx = 1 5 A) 180° B) 210° C) 220° D) 240° E) 360° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cosx = - 2 2 A) 180° B) 210° C) 270° D) 360° E) 450° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: tanx = 1 A) 180°

8.


B) 225°

C) 270°

D) 360°

E) 450°

Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: tanx = - 3 A) 160°

B) 180°

78 Intelectum 5.°

C) 240°

D) 360°

E) 420°

13. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen2xcos2x = 3 4 A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90° 14. Halla x si se cumple: sen7x - senx = 1 cos 4x 2 A) arcsen c 1 m 4 D) 3arcsen c 1 m 4

B) 1 arcsen c 1 m 3 4 1 1 E) arcsen c m 2 4

C) 2arcsen c 1 m 4

15. Si 30° y 45° son valores que toman x e y respectivamente del sistema dado, halla a + b. 2senx + cos2y = a

…(1) …(2)

3 cos x + 2 cos y = b A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

16. Resuelve: senx =

24. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: 2 - cos x; x d π ; π 6 3

A) π 4 D) π 9

cos5x + cosx = cos2x

B) π 3 E) π 6

A) 45°

C) π 5

sen(x + 40°) + sen(50° - x ) = 0, x ! G0°; 180°H B) 75°

C) 85°

D) 115°

E) 95°

18. Indica el número de soluciones que tiene la ecuación: sen4x +cos4x = 3 , x ! G0; 2pH 4 A) 2 B) 8 C) 7 D) 4 E) 6 19. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cos5xcosx - sen5xsenx = 1 2 A) 10°

B) 12°

C) 24°

D) 30°

cosxtanx + 2senx = 1,5 B) 150°

C) 180°

D) 270°

A) π 2

Comunicación matemática 21. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Para el senx: CS(x) = kp + (-1)k VP

B) 9π 2

C) 11π 12

D) 5π 12

E) 7π 2

tan4x - tan2x = 0; x ! G0; pH A) π 2

B) p

C) 3π 4

D) 3π 2

E) π 8

28. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cos 2x + sen2 x = - 3 cos 2x - cos2 x A) 60°

B) 150°

C) 180°

D) 210°

E) 240°

29. Resuelve e indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de x e y en el siguiente sistema de ecuaciones: senx + cosy = 1 …(1) 2 senx - cosy = - 1 …(2) 2 A) 2π 3

II. Para el cosx: CS(x) = 2kp ! VP

B) π 3

C) 4π 3

D) 5π 3

E) 7π 3

30. Resuelve e indica la suma de valores de y en G0; 2 H del sistema dado.

III. Para la tanx: CS(x) = kp + VP 22. Relaciona según corresponda, si a es agudo: sen(2x + 15°) = 2 2

VP = 120°

cos(x + 20°) = - 1 2

VP = -37°

tan(3x - 53°) = - 3 4

VP = 45°

Razonamiento y demostración 23. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen7x - senx = cos4x B) 3π 4 E) 5π 8

E) 75°

27. Resuelve e indica la suma de soluciones, si:

E) 360°

NIVEL 3

A) π 4 D) 7π 8

D) 65°

26. De la siguiente ecuación, calcula la suma de las soluciones en 0; π . 2 16(1 - sen2q)(1 - cos2q) - 1 = 0

E) 60°

20. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: A) 90°

C) 60°

25. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen2(x - 45°) - sen2(x - 15°) = 3 4 A) 180° B) 240° C) 300° D) 310° E) 330°

17. Resuelve la ecuación: A) 105°

B) 55°

C) 13π 72

x + 2y = π 2 sen(x + y) + cosy = 1 3 A) p B) 2p C) 3p

…(1) …(2) D) 0

E) 3π 2

C l a ve s Nivel 1

7. C

13. B

20. C

26. A

1.

8. E

14. B

Nivel 3

27. A

2.

9. A

15. C

21.

28. C

3. B

10. E

16. A

22.

29. C

4. E

Nivel 2

17. E

23. C

30. B

5. E

11.

18. B

24. D

6. D

12.

19. E

25. E


79


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

En un triángulo ABC recto en A, halla: senBsenC, si: 1 + 1 = 10 b2 c2 a2

10 10 D) 1 5 A)

3

5 2

C)

Los lados de un triángulo son tres números impares consecutivos y su mayor ángulo mide 120°. Calcula cuánto mide el lado mayor.

A) 5 D) 11 5

B) 1 10 E) 5 10

2

B) 7 E) 13

D)

a

a2 b + c2 a2 E) ^b - ch2 B)

2

^b + ch2

80 Intelectum 5.°

2

A) 3 D) 16 4

C) 9

C)

a2 c - b2 2

6

B) 17 E) 4

C) 19

En un triángulo ABC se cumple: a.b.c = 32 cm3 y (senA)(senB)(senC) = 1 . Calcula el circunradio de dicho 2 triángulo.

A) 2 cm D) 2 cm

Si a, b y c son los lados de un triángulo rectángulo ABC, recto en A, expresa M en términos de los lados. M = tan 2B cos ^B - Ch

2 A) a 2bc

En un triángulo ABC se conoce: a = 8, b = 7 y c = 5. Se traza una ceviana AD tal que BD = 3. Calcula AD.

B) 3 cm E) 3 cm

C) 1 cm

En un triángulo ABC se cumple: a2 = b2 + c2 - 2 bc 3 Calcula tanA.

A) 1 3 D)

B) 3 2 4

E) 3 2

C) 2 2

2 C) k tan ` α j 2 2

2 D) k cot α 4

2

E) k tan ` α j 4 2 En un triángulo ABC, reduce: N = a cos B + b cos A b cos C + c cos B

En un triángulo ABC sus lados son: a = 33 cm, b = 37 cm, c = 40 cm Calcula la medida del ángulo B.

B) 37° E) 60°

C) 45°

En un triángulo ABC, se cumple: m+A + m+B = 74° y m+A - m+B = 53° Calcula: a + b a-b

14

D

A)

m2 + n2 - 2mn cos θ

B)

m2 + n2 + 2mn cos θ

C)

m2 - n2 - 2mn cos θ

D)

m2 - n2 + 2mn cos θ

E)

m2 - n2 + 2mnsenθ

En un triángulo ABC: A = 30°; B = 135° y a = 2. Calcula: c.

A)

6- 2

B)

D)

6+ 2 4

E)

6- 2 2 3 -1

C) 6 + 2 2

Calcula la m+C en un triángulo ABC, si a = 3b, además: cot c A - B m = 2 2

B) 90° E) 120°

C) 135°

En un triángulo ABC se cumple: (a + b + c)(b + c - a) = bc 4 Calcula: cosA

A) - 5 8 D) - 2 3

C) 1 3

10. A 9. C

B) 3 2 E) 2

180° - θ

A) 45° D) 30°

7. A

12. B 11. E

A) 2 3 D) 3

12

n

B) - 7 8 E) - 1 4

C) - 3 4

Claves

A) 30° D) 53°

14. B 13. B

13

C) c a

8. B

11

B) b c E) c ab

A

m

5. C

A) b a D) c b

10

R

6. C

9

m

C

3. B

2 B) k tan α 2

n

B

4. A

2 A) k cot ` α j 4 2

En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula AC.

8

1. A

Halla el área de una región triangular isósceles, cuya base es k y el ángulo desigual es a.

2. C

7


81


Razonamiento y demostración Comunicación matemática

1.

3.

Para cada caso indica qué teorema es aplicable.

A) - 1 3 D) - 3 4

A) Un lado y los ángulos adyacentes. a

β

4.

α

B) Los tres lados: a

Los lados de un triángulo miden 3; 5 y 7. Calcula el coseno del mayor ángulo. B) - 1 2 5 E) 6

En un triángulo ABC, reduce: N = ab cos C + ac cos B RsenA R: circunradio A) a D) 2a

b

5.

C) - 1 4

B) b E) 2b

C) c 6 , calcula a en el gráfico.

Si: m+B = 60°; m+C = 15° y b = C

c

C) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a

b

a

b

D) Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a

A) D) 6.

β

α

2α

b

A) 7 D) 4 7.

B c

A

a

b

8.

Del gráfico mostrado, calcula d si se tiene que: tan θ =

θ

A) 13 D) 39

161 8

d

6 5

B) E)

C)

21 43

29


CosB = 9.

82 Intelectum 5.°

C) 6

En un triángulo ABC, simplifica: N = b cosB + c cos C cos^B - Ch A) a B) b C) c D) b + c E) b - c

Expresa en los siguientes cuadros el coseno de cada ángulo del triángulo en función de los tres lados.

CosC =

α

x

B) 9 E) 5

C

CosA =

6 +1

6

4

Del siguiente triángulo:

C)

Calcula x en la figura.

θ

2.

B

B) 5 + 2 E) 2

2 3 +1

E) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. a

c

A

β

En un TABC se ubica el punto D en AC tal que AD = 4 y DC = 5. Además m+ABD = m+ACB. Halla el valor de AB. A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 5

14. En un cubo de vértices ABCD-A'B'C'D', en 20. Calcula cosx de la figura. la arista AA' se toma el punto N de modo B que AN = 3NA'. Si q = m + BNC', calcula: x 33 cos θ

10. En un TMNP, MN = p y NP = m. Además m+M = m+P = a 3 Halla el valor de cos2a. m+p 2m p-m E) 2m

A) 0 D)

m-p 2p

m+p 2p

C)

B)

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Conocidos los tres lados de un triángulo. N m

p

M

P

n

p2 + m2 - n2 2mp Indica qué tipo de ángulo es N, si: Sabemos: cosN = 2

2

2

A) p + m > n

A) 13/3 D) 4/5

B) 13/4 E) 13/6

A) 60° y 60° C) 30° y 90° E) 16° y 104°

B) 45° y 75° D) 15° y 105°

A) D)

120°

A

x

3 2

B) 2 E) 5

• c = acosB + bcosA

B

C) 4

2 2 P

15°

A) 8 D) 6


C) 10

R

B) 4 E) 10

C) 2

B 12 A

a2 + b2 + c2 = 10. Calcula el valor de: A) 14 D) 10

R

B) 12 E) 15

C) 1

I. Para todo triángulo ABC, de lados a, b y c respectivamente, se cumple:

x

37°

B) 1/5 E) 2/7

23. Indica (V) verdadero o (F) falso según corresponda.

19. Calcula el radio de la circunferencia.

13. En un triángulo ABC se cumple que:

B) 5 E) 7

C) 3

135°


E = abcosC + accosB + bccosA

C) 1 13

NIVEL 3

Q

tan c B - A m 2 • a - b = a + b tan B + A c m 2 • S = ac senB 2 S: área del TABC. ¿Cuántas son falsas?

A) 1 D) 8

A) 1/7 D) 3

5

18. Calcula x de la figura.

• b = acosC + ccosA

B) 1 2 13 E) 14

C

22. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD (D en AC) tal que AD = 8 y DC = 3. Además m+ABD = b; AB = BC = k y BD = 5. Halla el valor de kcos2b.

17. Calcula x de la figura.

7

• a = bcosB + ccosC

A) 3 4 D) 2 7

60°


C

12. De las siguientes proposiciones respecto a un TABC de lados a; b y c.

60°

21. Expresa la bisectriz interior relativa al lado BC en función de los lados b, c y el ángulo 16. Los lados de un triángulo miden 9; 10 y A de un triángulo ABC. 17 cm. Calcula el valor de la tangente trigonométrica de la mitad del mayor B) 2bc cos A A) bc cos A b-c 2 2 b+c ángulo. D) bc cos A C) 2bc cos A b+c 2 b+c A) 5 B) 4 C) 3 2 bc E) senA D) 2 E) 1 b-c

C) p2 + m2 < n2

B) 3 E) 2

A

15. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo formado por ellos mide 60°. Calcula las medidas de los otros dos ángulos del triángulo.

B) p2 + m2 = n2

A) 1 D) 5

C) 13/5

C

(p - b) (p - c) bc a b c + + Donde: p = 2 sen A = 2

)

II. Para todo triángulo ABC, de lados a, b y c respectivamente, se cumple. p (p - b) bc Donde: p = a + b + c 2

cos A = 2

(

)

III. Para todo triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente, se cumple: S=

C) 20

(

p (p - a) (p - b) (p - c)

Donde: S = área TABC p= a+b+c 2


(

)

83

E) 1 9

3 AD

m cos γ m2 + n2 - 2mn cos γ

9

84 Intelectum 5.°

2 y

C

B) 3 60 2

C) 6 30 2

D) 2 30 2

E) 3 30 2

Nivel 3

29. A

A) 6 60 2

22. A

90 3 cm2 y los senos de los ángulos M; N y O son proporcionales a los números 5; 6 y 7 respectivamente. Determina la longitud del lado opuesto a N.

B z

8 A

34. El área de un triángulo MNO, es

5

14. C

sen2 z senxseny

x

C)

6 2


B

7. A

B) E)

A) 3 D) 4 28. Calcula:

37°

5

28. E

45° A

C) 529 432

27. C

C

B) 900 431 970 E) 135

21. C

2

A) 961 432 D) 197 432

20. E

x

13. B

D

C l a ve s

27. En la figura, calcula x.

30. C

32. En un triángulo ABC, halla: M = c a cos A + b cos B m sec ^B - Ah RsenC 26. Si b = 2 ; c = 3 + 1; m+A = 45°, son valores de dos lados y un ángulo interior R: circunradio del TABC de un triángulo ABC, calcula la longitud del A) 2 B) 4 C) -1 lado a. 1 D) -2 E) 2 B) 2 + 1 C) 2 A) 6 33. En un triángulo ABC, se tiene que: a = 5b D) 3 E) 1 3 y m+C = 120°. Calcula: csc2(A - B).

12. E

C) 25

E)

6. E

C) b2

m2 + n2

5. D

B) 2b E) a2

mnsenγ

34. E

B) 27 E) 26

A) c2 D) a

m + n2 - 2mn cos γ

26. C

A) 29 D) 30

C

mn tan γ 2

4. D

37°

30°

D)

m + n2 + 2mn cos γ

33. A

31. En un triángulo ABC, calcula: bcsen(B + C)(cotB + cotC)

x-2

C)

mncos γ 2

25. C

B

B) 60° 0 120° D) 50° 0 100°

B)

m + n2 - 2mn cos γ

19. D

25. En la figura, calcula la longitud de BC.

C

11.

A) 20° 0 50° C) 70° 0 110° E) 80° 0 120°

20°

3. B


40°

32. A

A

mnsenγ 2

18. B

E) Faltan más datos.

A)

Nivel 2

D

D) Es necesario I, II por separado.

A

x

31. E

C) Es necesario II, pero no I.

A

B

B

24. B

B) Es necesario I, pero no II.

x+3

C

35. A

30. Calcula x, si: BC =

A) Es necesario I y II en conjunto.

7 7

C)

17. C

I. a = 13; b + c = 15 y b - c = 1 II. a + b + c = 28 y c = 7

7 3

10. D

B)

2.

7 4 D) 1 3 A)

23.

Para calcular el valor de: 15cosA + 20cosB + 24cosC es (son) necesario(s).

16. D

C

b

15. C

A

29. En un triángulo ABC se cumple: a2 = b2 + c2 - 3 bc 2 Calcula: senA

35. En el siguiente esquema mostrado, AB representa un pequeño tramo de una carretera. Una persona se encuentra en el punto C, observa AB bajo un ángulo igual a g. Halla la distancia mínima que debe recorrer la persona para llegar a la carretera, si se encuentra a una distancia m y n de los extremos A y B respectivamente.

9. B

a

c

C) 16 9

8. C

B

B) 16 81 E) 81 16

1.

A) 9 16 D) 4 9

Nivel 1

24. Del gráfico:


sECCIONES cónicas

Halla la ecuación ordinaria de una circunferencia, donde los puntos A(3; 2) y B(-1; 6) son extremos de uno de sus diámetros.

A) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 8 C) (y - 1)2 + (x - 4)2 = 4 E) (x - 2)2 + (y - 4)2 = 8 3

2

B) (x - 1)2 + (y - 4)2 = 8 D) (x - 4)2 + (x - 1)2 = 4

Halla la ecuación de la circunferencia de centro (3; 5) y tangente a la recta: y - 1 = 0

Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (6; 4) y pasa por el punto (3; 4).

A) (x - 4)2 + (y - 6)2 = 9 C) (x - 6)2 + (y - 4)2 = 9 E) (x - 4) + (y - 3)2 = 25 4

B) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25 D) (x - 6) + (y - 3)2 = 16

De la figura, calcula TA, si: C : x2 + y2 - 8x - 18y - 24 = 0 y T C O

A) (x - 3)2 + (y - 5)2 = 16 B) (x - 5)2 + (y - 3)2 = 1 C) (x - 1)2 + (y - 5)2 = 9 D) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 16 E) x2 + y2 = 9 5

A

A) 11,3 D) 13

Calcula la ecuación de la elipse, si sus vértices son los puntos (5; 0) y (-5; 0) y sus focos (4; 0) y (-4; 0)

2 y2 A) x + =1 9 25

2 y2 B) x + =1 16 9

2 y2 C) x + =1 25 16

2 y2 D) x + =1 9 16

2 y2 E) x + =1 25 9

53°

6

x

B) 11,25 E) 11

C) 12

El centro de una elipse es el punto (-4; -3) y las longitudes de sus ejes son 34 y 16. Halla el valor de sus vértices si el eje focal es paralelo al eje y.

A) (-4; 14); (-4; -20) C) (-4; 14); (-3; 20) E) (+34; -4); (-20, -3)

B) (-3; 14); (-3; -20) D) (-3; 11), (-4; 17)


85

7

Si uno de los vértices de la elipse es (-1; 6) y un extremo de su eje menor es (3; -2), calcula la ecuación de la elipse.

8

En la figura, L: 5x - 3y + 15 = 0 y F es el foco de la parábola. Halla la ecuación de la parábola. y

9

2

2

A)

_x - 1i _y + 2i + =1 14 8

C)

_x + 1i _y + 2i + =1 16 64

E)

_x - 3i _y - 1i + =1 16 64

2

2

2

2

11

2

B)

_ x - 2i _y + 2i + =1 16 25

D)

_x - 1i _y - 2i + =1 64 16

2

2

A) y2 = 12x D) y2 = 3x 10

B) y2 = 12x D) y2 = 4(x - 4)

12

V

C) y2 =-12x

Halla la distancia del centro de una circunferencia al origen de coordenadas, sabiendo que su ecuación es: x2 + y2 - 8x - 6y = 0

B) 4 E) 1

C) 5

En el gráfico, halla la ecuación de la parábola si el área de la región cuadrada es 16 m2. y

y

O

B) y2 = 10x E) 2y2 = 5x

A) 3 D) 6

En la figura, V es vértice de la parábola, NO = 2 y VO = 4. Halla la ecuación de la parábola si L es el eje focal.

N

x

O

F

Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco tienen por coordenadas (-4; 3) y (-1; 3), respectivamente.

A) (y - 3)2 = 12(x + 4) C) (y - 3)2 = x - 4 E) (y - 3)2 = x + 4

L

x

x

O

L

A) x2 = y C) (x - 1)2 = y E) (x - 1)2 = 2y

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y su centro pertenece a las rectas: L1: 3x - 2y - 24 = 0 L2: 2x + 7y + 9 = 0

14

y (0; 3)

143° x C

O

A) (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25 B) (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 C) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 D) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 E) (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 4. B 3. A

6. A 5. E

8. C 7. C

10. C 9. A

12. B 11. A

14. C 13. A

Claves

86 Intelectum 5.°

Halla la ecuación de la circunferencia, según el gráfico: A

A) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 45 B) (x - 3)2 + y2 = 40 C) (x - 3)2 + (y - 3)2 = 50 D) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 64 E) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 72

B) x2 = 4y D) x2 = (y - 1)

1. B

13

B) (x - 8)2 = 2y D) (x - 2)2 = 8y

2. C

A) (x - 4)2 = 8y C) x2 = 16y E) (x - 4)2 = 6y

Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1.

2.

Tomando en cuenta los gráficos, completa las ecuaciones de las circunferencias mostradas en los recuadros en blanco:

Tomando en cuenta los gráficos, completa las ecuaciones de las elipses mostradas en los recuadros en blanco: A)

y (0; 3)

y

A)

(-4; 0) F1

6 (0; 0)

x

F2 (4; 0)

x

(0; -3)

B)

y (0; 3) F1

y

B)

(-2; 0) 3 (1; 0)

(0; -3)

x

y

C) y

3

2 (0; 3)

3

C)

x

(2; 0)

F2

(0; 0)

F1 4

(0; -1)

F2

x

P(x; y)

x

Razonamiento y demostración 3. D)

y

A) (0; 28), 7 u D) (0; 7), 28 u

(-1; 2) 2

La ecuación de una parábola es x2 + 28y = 0. Halla las coordenadas del foco y la longitud de su lado recto.

x

4.

B) (0; 7), -28 u E) (-7; 0), 28 u

C) (0; -7), 28 u

La ecuación de una circunferencia es:

x2 + y2 - 8x - 6y - 11 = 0. Halla el radio. A) 2 D) 8

B) 4 E) 12

C) 6


87

5.

La ecuación de una parábola es (x + 6)2 = -7(y + 1). Halla las coordenadas del vértice, foco y la longitud del lado recto. A) (-6; -1), (-6; -11/4), -7 u B) (6; 1), (6; -11/4), 7 u

A) (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 C) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 4 E) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 4

C) (-6; -1), (-6; -11/4), 7 u D) (-6; 1), (-6; -11/4), 7 u E) (6; 1), (6; -11/4), 7 u 6.

La ecuación de una parábola es (x - 1) = 2(y + 2). Halla los puntos de intersección de la curva con el eje de abscisas. A) (3; 0) y (-1; 1)

B) (-3; 0) y (-1; 0)

C) (3; 0) y (1; -1)

D) (3; 0) y (1; 0)

Comunicación matemática 12. Tomando en cuenta los siguientes gráficos, completa las ecuaciones de las parábolas mostradas. A)

y LD

Halla el centro de la circunferencia cuya ecuación es:

V(0; 0)

x2 + y2 - 4x + 12y - 20 = 0 A) (6; 2) D) (-2; 6) 8.

9.

B) (2; 6) E) (2; -6)

B) (x + 3)2 + (y - 4)2 = 4 D) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4

NIVEL 2

2

E) (3; 0) y (-1; 0) 7.

11. Se tiene una circunferencia cuyo centro dista 5 u del origen de coordenadas. La circunferencia pasa por el punto (-5; 4) y posee un radio de 2 u. Halla la ecuación de la circunferencia, siendo las coordenadas del centro números enteros.

C) (-2; -6)

p 10

x

F(0; p)

Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son V1(7; -3) y V2(7; 9) y la longitud de su lado recto es 10 u. A)

(x - 7) 2 (y - 3) 2 + =1 30 36

B)

(x + 7) 2 (y + 3) 2 + =1 36 36

C)

(x - 8) 2 (y - 3) 2 + =1 27 16

D)

(x + 7) 2 (y + 3) 2 + =1 32 36

E)

(x - 9) 2 (y - 5) 2 + =1 16 12

B)

y

p1 0

C)

2 y2 =1 A) x 26 62

2 y2 =1 B) x + 55 64

2 y2 =1 D) x 25 16

2 y2 =1 E) x 16 64

10. Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal sobre el eje x. La curva pasa por el punto (2; 3) y el eje mayor es el doble de la distancia entre los focos. A) 4x2 + 3y2 = 12

B) 3x2 + 4y2 = 48

C) 4x2 + 3y2 = 48

D) x2 + y2 = 96

88 Intelectum 5.°

x

p 2 0 F(0; p) V(0; 0)

2 y2 =1 C) x 64 55


V (0; 0)

y

Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son (0; -8) y (0; 8) y sus focos (0; -3) y (0; 3).

E) 2x2 + 3y2 = 16

F(p; 0)

LD

x LD

D)

y

F(0; k + p) P(x; y)

V(h; k)

y=k-p

x LD

13. Tomando en cuenta los siguientes gráficos, completa las ecuaciones generales de las figuras mostradas. A)

17. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos (2; -2), (-1; 4) y (4; 6). A) 6x2 + 6y2 - 32x - 25y - 34 = 0

y

B) 6x2 + 6y2 + 32x + 25y + 34 = 0

C(1; 2)

C) 6x2 + 6y2 - 25x - 32y + 34 = 0

3

D) 6x2 - 6y2 - 32x - 25y - 34 = 0

x

E) 6x2 + 6y2 - 25x - 32y - 34 = 0 18. Halla la ecuación de una circunferencia de radio igual a 7 u, cuyo centro es el punto (5; -1). A) x2 + y2 - 10x + 2y - 23 = 0 B)

B) x2 + y2 + 10x - 2y + 23 = 0

y 2

F1

2

C) x2 + y2 - 10x + 2y + 23 = 0 F2 (5; 0) C(2; 0)

D) x2 + y2 + 10x - 2y - 23 = 0

x

E) x2 + y2 + 10x + 2y + 23 = 0 19. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-2; 3) y además se sabe que esta pasa por el punto (4; 5). A) x2 + y2 - 4x + 6y - 27 = 0 B) x2 + y2 + 4x - 6y - 27 = 0 C) x2 + y2 + 4x - 6y + 27 = 0

C)

y

D) x2 + y2 + 6x - 4y - 27 = 0 E) x2 + y2 + 4x - 6y - 18 = 0

F(2; 1)

20. La ecuación de una elipse es 5x2 + 2y2 - 10x - 12y + 13 = 0.

x

Determina las coordenadas de los focos.

V(2; -2)

A) (1; 3 - 3 ); (1; 3 + 3 ) C) (2; 1 - 3 ); (2; 1 + 3 ) E) (1; 2 - 2 ); (1; 2 + 2 )

Razonamiento y demostración 14. Halla la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es: 3x2 - 16y = 0 A) 3y + 4 = 0 D) 3y + 6 = 0

B) 3y - 4 = 0 E) 3y - 8 = 0

C) 3y - 6 = 0

15. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0; 0) y cuyo foco es (0; 6). 2

A) x = 24y D) x2 = 2y

2

B) x = y E) x2 = -24y

2

C) x = y + 24

B) (1; 3 - 2 ); (1; 3 + 2 ) D) (3; 1 - 2 ); (3; 1 + 2 )

21. Determina la ecuación de la elipse con centro en el punto (-2; -5), eje focal paralelo al eje y, la longitud del eje mayor es 24 u y su excentricidad es 5 . 3 A)

(x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 64 144

B)

(x + 2) 2 (y + 5) 2 + =1 64 144

C)

(x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 16 64

D)

(x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 16 64

22. Halla la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, si el eje focal coincide con el eje x, y además pasa por los puntos ( 6 ; -1) y (2; 2 ).

x + y - 8x + 8y - 9 = 0 con el eje coordenado y.

2 y2 =1 A) x + 8 4

2 y2 =1 B) x + 3 4

A) (0; 1) D) (0; 0)

2 y2 =1 D) x 8 4

2 y2 =1 E) x + 16 25

16. Halla un punto de intersección de la circunferencia 2

2

B) (0; 9) E) (9; -9)

C) (-9; 0)

2 y2 =1 C) x + 7 16


89

26. Compara las siguientes cantidades:

Resolución de problemas 23. Del gráfico mostrado, calcula el área de la región sombreada en términos de a y b, si las ecuaciones de las rectas son y = x / y = -x

M: longitud del lado recto de la siguiente parábola: y2 + 2x - 10y + 27 = 0

N: radio de la siguiente circunferencia: y2 + x2 - 2y + 4x - 11 = 0

y x 2 + y2 =1 a 2 b2

A) M = N D) 2M = N

x y= x

B)

2 2 D) 22a b 2 a +b

2 2 E) 42a b 2 a +b

2a 2 b 2 a2 + b2

27. La ecuación de una parábola es x2 + 9y = 0, y además los puntos A(3; a) y B(b; -4) pertenecen a la parábola. Halla la longitud del segmento AB (B ! IIIC). C)

A) 2 10 u D) 5 2 u

4a 2 b 2 3 a2 + b2

B) 10 u E) 3 10 u

y

2

A) (x - 3) = 4(y - 2)

B) (x - 3) = 2(y - 2)

2

D) (x - 2)2 = 3(y - 2)

(20; 21)

R

x

O

2

E) (x - 2)2 = (y - 3)

A) 40 u D) 30 u

B) 42 u E) 37 u

C) 29 u

29. En la figura, R = 7, OA = 25. Halla la ecuación de la circunferencia.

NIVEL 3

y


A R

25. Completa (V) verdadero o (F) falso, según corresponda, luego marca la alternativa correcta. I. La ecuación general de una parábola de eje focal paralelo al eje x es: y2 + Dx + Ey + F = 0

( )

II. Las elipses son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a por lo menos una de sus generatrices. ( ) x2 + y2 + Cx + Dy = Exy

( )

IV. La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal en el eje y es: 2 x2 + y = 1 2 b a2

( ) B) FVVF E) FFVF

90 Intelectum 5.°

C) VFFV

x

O

A) (x + 24)2 + (y - 7)2 = 72 B) (x + 24)2 + (y + 7)2 = 72 C) (x - 24)2 + (y + 7)2 = 72 D) (x - 24)2 + (y - 7)2 = 72 E) (x - 12)2 + (y - 24)2 = 72

III. La ecuación general de la circunferencia es:

A) VFVF D) VVFV

C) 2 5 u

28. Calcula la longitud del radio de la circunferencia:

24. El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz es y = 1. Calcula la ecuación de la parábola.

C) (x - 3) = (y - 2)

C) 3M = 2N


y = -x

2 2 A) a2 b 2 a +b

B) M = 2N E) M = 3N

30. En la figura, OP = 12 y O es centro. Halla la ecuación de la circunferencia. y

O 30°

P

x

34. La ecuación de una elipse es 7(x - 1)2 + 16(y + 1)2 = 112. Halla la ecuación de la recta tangente que pasa por una de los extremos del lado recto, interseca al eje y en (0; p), p > 0 y su pendiente es positiva.

A) x2 + y2 = 12 B) x2 + y2 = 6 C) x2 + y2 - 12y = 0

A) 2x - 5x - 10 = 0

D) x2 + y2 + 12x = 0 2

B) 5x - 3y - 9 = 0

2

E) x + y - 12x = 0

C) 3x + 4y - 9 = 0

31. De la figura, la ecuación de la circunferencia es C: (x - 4)2 + (y - 2)2 = 4. Si F es el foco, halla la ecuación de la parábola.

D) 2x - 7y - 4 = 0 E) 3x - 4y + 15 = 0


y Eje focal F x 2

2

A) (y - 1) = 16(x - 4)

B) (y - 2) = -16(x - 4)

C) (y - 2) = 16(x - 4)2

D) (y - 4)2 = 4(x - 2)

E) (y - 2)2 = 9(x - 2) 32. La longitud del lado recto de una parábola, cuyo eje focal es paralelo al eje de ordenadas, es 20 u. Las coordenadas del foco son (-3; -2) y su vértice está arriba del foco. Halla la ecuación de la parábola. A) (x - 3)2 = 10(y - 3)

35. Calcula la ecuación de una elipse con un vértice en el origen de coordenadas y eje focal en el eje x. Dicho vértice dista 1 u de un foco y 25 u del otro foco, además la abscisa del centro es un número positivo. A)

(x - 13) 2 y 2 + =1 169 25

B)

(x - 12) 2 y 2 + =1 144 25

C)

(x + 13) 2 y 2 + =1 169 25

D)

y2 (x - 5 ) 2 + =1 25 169

2 (y - 13) 2 =1 E) x + 25 169

36. Calcula la ecuación de la directriz de la parábola: y2 - 4x - 10y + 17 = 0

A) x = 1 D) x = 2

2

B) (x + 3) = - 20(y - 3)

B) x = -3 E) x = - 2

C) x = 3

C) (x + 3)2 = 20(y + 3)

24. A

31. B

30. C

23. D

15. A

14. A

13.

22. A

29. D

36. B 28. C

21. B

20. A

Nivel 2 3. C

12.

35. A 19. B

2.

27. E

34. E 18. A 11. B

1.

26. D

17. A

B) x2 + 9y2 + 9x - 170y + 625 = 0

x

16. A

A) 3x2 + 25y2 + 90x + 150y - 225 = 0

9

9. B

O

10. B

(9; 3) (h; k)

C l a ve s

y

Nivel 1

Nivel 3

33. Una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados es tangente a estos. Si su foco de mayor abscisa es (9; 3), halla la ecuación general de la elipse.

25. C

32. B

E) (x - 3)2 = 10(y + 3)

33. C

D) (x - 3)2 = 20(y - 3)


8. A

7. E

6. E

E) 25x2 - 9y2 - 90x - 150y - 225 = 0

5. C

D) 9x2 - 25y2 - 150x - 90x + 632 = 0

4. C

C) 9x2 + 25y2 - 90x - 150y + 255 = 0

91


LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Calcula:

A) -1 D) 2 3

B) 0 E) -2

C) 1

Calcula:

D) 1 3

92 Intelectum 5.°

Calcula: C = lím

x"0

B) 0 E) 3

C) 1

Calcula: sen _ x - 1i lím x"1 x3 - 1

A) 1

Calcula: lím sen9x x x"0

A) 3 D) 15 4

2 x B = lím sen x " 0 x 2 cos x

A) -1 D) 2 5

2

A = lím sen a π + x k 2 x"0

6

B) 1 2 E) -1

C) 0

B) 9 E) 7

p tan px q tan qx

A) 0

B)

p q

D) 1

E)

q p

Si: f(x) =

C) 5

C)

p2 q2

67x , calcula: lím f_ x i sen2010x x"0

A) 1 30

B) 1 15

D) 1 20

E) 1 10

C) 30

7

Calcula: M = lím

x"0

1 - cos _1 - cos xi x

A) -1 D) 2 9

11

f ' d 127° n 2

B) 0 E) -2

C) 1

Si: f(x) = sen2xsen3x, calcula: f 'a π k 2

A) 2 D) -1

Si: f(x) = sen2x, calcula:

8

B) 1 E) -2

10

C) 0

Calcula: lím tan 4x tan 2x x " π tan 3x - tan x

A) 3 5

B) - 3 5

D) - 4 5

E) 0

Si: f(x) = senx + sen3x + sen5x + sen7x + ... + sen21x, calcula: f '(0)

A) 21 D) 441 12

C) 4 5

B) 0 E) 121

C) 1

Marca lo incorrecto:

A) y = cotx - tanx & y' = -4csc22x B) y = 3senx - 4sen3x & y' = 3cos3x

C) -1

C) 2/p

A) 5 D) 2

B) 1 E) 4

5. D

10. E

8. C

9. A

7. B

C) 3

Claves

B p/2 E) p

6. A

12. E 11. B

A) p + 2 D) p - 2

Calcula: lím tan x - 1 x" π x - π 4 4

3. C

14

lím (1 - x)tan a πx k 2 x"1

4. C

Calcula:

E) y = cos4x - sen4x & y' = 2sen2x

1. C

14. D 13. C

13

B) 1 E) -2

2. B

A) 0 D) 2

C) y = cscx - cotx & y' = 1 sec 2 x 2 2 D) y = cosx(2cos2x -1) & y' = -3sen3x


93


7.


Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

A) -1

lím sen3x = 3 x II. lím sen a x + π k = 1 2 x"0 I.

( )

x"0

8.

( )

III. lím cos(x + p) = -1 Relaciona según corresponda:

9. lím senx + 2

0

x"0

lím cosx - 1

2

x"0

1


4.

Calcula: lím cos x - cos a x"a sen x - sen a 2 2

5.

6.

D) - 4 cos a 2

E) - 2sen a 2

C) 4 cos a 2

B) 6 E) 4,8

C) 4,25

Determina:

cos x - 1 2 lím π π x" x3 3

B) sen3a E) 1

C) cos2a

Si G(x) = 1 - 2sen2xcos2x, calcula: G'(x) A) sen4x

B) -sen4x

D) -cos4x

E) -sen2x

C) - 1 sen4x 4

10. Si f(x) = 1 + senx + cosx, A) 1 D) -2senx

B) 2senx E) -2cosx

C) 2cosx

NIVEL 2

I. f(x) = sen3x

& f'(x) = 3cos3x

( )

II. f(x) = senxcosx

& f'(x) = cos2x

( )

III. f(x) = 1 - 2sen2x

& f'(x) = -2sen2x ( )

f(x) = cosx

f'(x) = sec2x

f(x) = tanx

f'(x) = -senx

f(x) = cotx

f'(x) = -csc2x


A) - 3 2

B) 1 2

D) -1

E)

3 2

C) - 1 2

13. Calcula: + lím cos πx 21 _x - 1i

x"1

2 A) π 2

Efectúa:

A) 1 D) 2

Halla el siguiente límite: lím senx - sena x " a tan x - tan a


Calcula: lím sen4x + lím 4x x x"0 x " 0 senx

x" π 2

E) 2

11. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: B) 4sen a 2

lím

D) 1


A) - 4sen a 2

A) 8 D) 4,5

C) 0

calcula: f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x)

lím senx x"0 x

3.

B) -2

A) cos3a D) sen2a

( )

x"0

2.

Halla el siguiente límite: lím senx sen2x senx x"0

x - 0, 5π cos x

B) π2

2 C) π 4

D) π 2

E) π 4

C) cota

D) seca

E) sena

14. Calcula: lím

B) -1 E) -2

94 Intelectum 5.°

C) 0

x"a

sen 2 x - sen 2 a sen _2x - ai - sena

A) cosa

B) tana

15. Halla: 1 - cos x tan 5x


A)

2 4

B)

2 5

D)

2 8

E)

2 6

16. Si F(x) = 4sen3 a x -

C)

2 10

π k , calcula: F'(x) 4

A) -6cos2xsen a x - π k 4

E) 6cos2xsen a x + π k 4 17. Si

H(x) = -cos x + 2 cos3 x - 1 cos5 x + 1, 3 5 calcula: H'(x) 5

B) -2sen x D) 2senx

x " 0 arcsenx

lím

1

lím

0

lím arcsenx x

π 2

x"0


A) x3cosx C) -x3cosx E) x2cosx

B) x3senx D) -x3senx

A + B, sabiendo que: F'(x) = Acosx + Bcos5x A) 0 D) 12

B) 10 E) -12

C) -10

A)

n _n + 1i_2n + 1i 6

B)

n _n + 1i 2

C)

n _n - 1i_2n - 1i 6

D)

n _n - 1i 2

E)

n _n + 1i_2n - 1i 6

29. El área de la región comprendida por la curva y = senx y el eje x en [0; p] se calcula de la siguiente manera: S = lím > π dsen π + sen 2π + sen 3π + ... + sen n n n n"3 n

23. Calcula:

18. Si: G(x) = x3senx + 3x2cosx - 6cosx - 6xsenx, calcula: G'(x)

lím 1 d 1 - cot x n x senx

Calcula: S

x"0

A) 0

B) 1

D) - 1 2

E) - 1 4

_n - 1i π nH n

C) 1 2

A) 1 D) 4

B) 2 E) 6

C) 3

27. A

28. A

29. B

19. A

20. C

Nivel 3

21.

11.

12.

13. A

14. E

4. A

5. A

6. B

7. A

26. C

18. A Nivel 2

25. A

24. C 17. E 10. A

B) 2sen x D) 2sen26x

C) 16 3

25. Determina: lím cos x cos θ x " θ senx - senθ A) -tanq D) cotq

3. A

2

2.

2 20. Si G(x) = x + cos 4x , determina: G''(x) 2 16

E) 2 3

23. C

E) - 3 4

D) 1 3

22.

D) 16

C) 10

16. A

B) -12

B) 8 3

15. C

A) - 3 2

A) 4 3

9. B

halla el valor de A; sabiendo que J'(x) = Asen4x.

8. A

19. Si J(x) = sen x + cos x + 1,

1.

2 lím sen 4x x " 0 xsen3x

6

Nivel 1

24. Halla: 6

A) 2sen 3x C) 2sen22x E) 2sen24x

x

x " 0 arccosx

C) 2

( ) 28. Si: f(x) = senx + 2sen2x + 3sen3x + … + nsennx, calcula: f'(0)


D) -6sen2xsen a x + π k 4

2

( )

II. lím 9sec πx - 2x C = - 5 2 x"2 x"0

C) -6sen2xsen a x - π k 4

A) 2sen x C) 2sen6x E) sen5x

arcsen d x - 1 n 2 =2 I. lím 3 x"1 arctan _ x i

III. lím < 3senπx -4 sen3πx F tan x = 4π3 ( )

B) -6cos2xsen a x + π k 4

5

21. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

B) -1 E) 0

27. Si F(x) = 16sen5x - 20sen3x, calcula:

C l a ve s

lím

x " 0+

A) 1 D) -2

NIVEL 3

B) -cotq E) 1

C) tanq

26. Si: F(x) = senxsen2xsen3x, calcula: F' a π k 2


95

Matemática Calcula una solución para el siguiente sistema de ecuaciones. ... (I) a + b = 2p 3 seca + secb = 1 ... (II) Si a - b ! G180°; 270°H Resolución:

• De la ecuación (II):

1 + 1 =1 cos a cos b

cosb + cosa = cosacosb 2 # (cosb + cosa) = 2 # (cosacosb) 2 # 2 cos d a + b n cos d a - b n = cos(a + b) + cos(a - b) 2 2

• Por dato (I), sabemos: a + b = 120°

1.

Halla el intervalo de senx, si: x ! p ; 5p 6 6 A) 1 ; 1 3 2 1 D) < ; 1 2

2.

3.

A) G-1; 0] , [1; 2H

B) G-1; 1H

D) G-1; 2]

E) [2; 3]

B) - p ; p 2 2 E) [0; pH

B) x2 + 6x - 12y + 24 = 0 C) x2 + 9x + 12y + 33 = 0 D) x2 - 6x - 12y + 33 = 0 E) x2 - 6x + 12y + 24 = 0 7.

C) G2; 3H

B) x = 9np; n ! Z

D) x = 3np; n ! Z

E) x = 3 np; n ! Z 2

C) G0; pH

C) x = 9 np; n ! Z 2 8.

x - 3y - 6x - 9 = 0 Halla el vértice de la parábola. B) (6; 3)

D) (-3; -6)

E) (3; -6)

Intelectum 5.°

A)

(x - 5) 2 (y - 7) 2 + =1 16 16/7

B)

(x - 5) 2 (y + 7) 2 + =1 16/7 7/16

C)

(x + 4) 2 (y - 5) 2 + =1 25 16

D)

(x - 4) 2 (y - 7) 2 + =1 9 7

E)

(x + 5) 2 (y - 7) 2 + =1 16 16/7

En un triángulo cuyos lados miden 14 m; 16 m; 18 m se traza la mediana relativa al lado que mide 16 m. Determina el coseno del ángulo comprendido entre el lado de 14 m y la mediana.

La ecuación de una parábola es:

A) (3; 6)

Una elipse, cuyo ejes son paralelos a los ejes coordenados, tiene sus dos vértices sobre las rectas x = 1 y x = 9. Su centro está sobre la recta L: y = x + 2 y pasa por el punto P(2; 6). Calcula la ecuación de la elipse.

2

96

A) x2 - 9x - 12y + 30 = 0

C) < 1 ; 1 3

Halla la solución general de la siguiente ecuación: cos a x k = 1 3 A) x = 6np; n ! Z

El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz es y = -1. Calcula la ecuación de la parábola.

Calcula el rango de la siguiente función: y = arccos(tanx); x ! - p ; p 4 4

D) G-p; pH

5.

6.

Calcula el dominio de la siguiente función: y = 5arcsen(2x - 5) + 3p 4

A) [-p; 0H

4.

B) 1 ; 1 A 2 1 E) ; 1 A 3

4 # cos(60°)cos d a - b n = cos(120°) + cos(a - b) 2 a b = - 1 + 2cos2 a - b - 1 1 4 d n cos d n d n 2 2 2 2 2cos d a - b n = 2cos2 d a - b n - 3 2 2 2 a b 2 a-b 4cos d n - 4cos d n-3=0 2 2 a - b - 3 2 cos a - b + 1 = 0 d2 cos d n nd d n n 2 2 La ecuación admite solución para: cos d a - b n = - 1 2 2 a - b = 120° & a - b = 240° 2 Luego, tenemos: a + b = 120° a = 180° & a - b = 240° b = - 60°

C) (-3; 6)

A) 37 42 D) 37 41

B) 41 45 E) 41 47

C) 41 49

LA_ACTIVIDADES_TRIGO 5°

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