LA_ACTIVIDADES_ALG 5°

Álgebra Actividades Quinto grado de Secundaria

Editorial

Álgebra Libro de actividades Quinto grado de Secundaria Colección Intelectum Evolución © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Carol Clapés Hurtado / Roger Urbano Lima Miguel Lancho Santiago Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-12011 ISBN: 978-612-313-082-4 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300694 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Editorial San Marcos, de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, Lima, S.J.L. RUC 10090984344 Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados en Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L. Lima, Perú RUC 10090984344

La Colección Intelectum Evolución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la Colección Intelectum Evolución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas Teoria de exponentes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Polinomios

PRIMERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Productos notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Cocientes notables

18 20

Maratón matemática Factorización

29


Potenciación Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Radicación - Racionalización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Números complejos

32 34 37 39 44 46 49 51


55 57

Maratón matemática Ecuaciones de primer grado - Planteo de ecuaciones

60


Matrices y determinantes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Sistema de ecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Ecuaciones de segundo grado - Planteo de ecuaciones

63 65 68 70 73 75


78 80

Maratón matemática Inecuaciones

83


Funciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

CUARTA UNIDAD

11 13

24 26

MCD y MCM - Fracciones algebraicas

TERCERA UNIDAD

6 8



SEGUNDA UNIDAD

Páginas

Límites Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Derivadas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Sucesiones - Progresiones

86 88 91 93 97 99 102 104


107 109

Maratón matemática

112

Unidad 1

Recuerda Cálculo diferencial

Reflexiona

El cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo en diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación en diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas.

• Si tiene propensión a perder la paciencia, por ejemplo, busque un sustituto para la cólera. Neutralícela con una expresión o afirmación positiva tal como: nadie puede hacerme enfadar si yo no lo permito. No dejaré que nadie más que yo controle mis emociones.

El elemento fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de las series, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes.

• La forma más segura de controlar los defectos es atajarlos tan pronto como aparecen. • Las buenas decisiones son el resultado de la experiencia y la experiencia es el resultado de las pobres decisiones. Todo esto es parte del proceso. Ahora ya sabes el secreto, la clave del éxito es no darte por vencido.

Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Por ejemplo, Euler demostró que en df(x; y) = Pdx + Qdy las derivadas parciales deben satisfacer la condición.

¡Razona...! Distribuye los números 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la figura sin repetir, de manera que la suma de los números ubicados en cada 3 círculos colineales sea 16. Da como respuesta la suma de los números que se ubican en las casillas sombreadas.

A) 16

B) 19

C) 20

D) 24

E) 30

Aplicamos lo aprendido Tema 1: 1

TEORÍA DE EXPONENTES

Efectúa:

2

1 -2 -

R = >2 - d 3 n 5

M = > 1 +d5 n H 25 2

A) 2 D) 10 3

Efectúa:

B) 3 E) 5

-1

H

A) 1 D) 5

C) 6

Halla el resultado final: (a3b2c2)( a4b3c2)(a-6b-4c-4)

60

4

B) 2 E) 0

C) 3

B) 5 E) 25

C) 3

Simplifica: 5 5... 5 5 25 1 4 4 44 2 4 4 44 3 10 radicales

A) a/b D) a2b2 5

Efectúa:

B) ab E) abc

3

6

6

3

P = 3 64 3+ 163 32 + 8

A) 1 D) 4

Intelectum 5.°

A) 10 D) 1

C) 3ab

Simplifica: 3

1 0, 5

2

P = >d 1 n + d 2 n + d 4 n H 3 5 11

B) 2 E) 6

C) 3

A) 2 D) 3

B) 5 E) 6

C) 4

B) 1 C) 3 16 5 E) 1

3

M = 24 8

5

A) 2 D) 4

1

C) 3

1

A) 3 D) 4

B) 2

B) 2 E) 1

3n

2 - 32 2

C)3

3n 5

C) 0

4-n

+ 16 ; n ! z+

A) 0 D) 2

E) 6 10. d 9. e

7. e

B) 1 E) 2n

C) n

Claves

12. e 11. B

110 3

C) 6

14 Simplifica:

1

3 1 3 2-1 2-1 2-1 d n . 25- + d n . 36- + d n . 495 2 7

A) 1

14. e 13. a

D)

+6

8. c

E=

B) 5 E) 9

12 Simplifica: 310 . 39 . 38 … 3-7 . 3-8 . 3–9 . 3–10

-2

B) 1 E) 6

13 Calcula:

3

A) 2 D) 7

C) 3

11 Efectúa: -2

74 74 4 3 7 h

A=

p = 1 + 3 3 3... , calcula: m + n - 2p

B) 1 E) 6

C) x120

10 Calcula el valor aproximado de:

Si: m = 20 + 20 + 20 + ... n = m m m...

A) 0 D) 5

B) x90 E) 60x

5. B

9

A) x60 D) 120x

6. e

A) 2010 D) 9 16

Calcula: P = x1x2x3x4 ... x15

3. b

R => 7 +d4n H 16 3

8

2010

4. b

-2

1. a

Calcula:

2. c

7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

Practiquemos 9. Reduce:

Nivel 1 Comunicación matemática

-2

B=

-1 x b x2 _x3i l

Identifica la alternativa incorrecta: 2

32

1.

_x-1 i

2.

2

2

3 . b_x-1 i l . x15 = 1

4

.

3

3

3

3 3 27

.

4

4

4

4 4 256

3.

x-2 x-3

E) x10

x

GA = 100 000 - 272 000 d 1 n 2

Determina los años que el producto lleva en el mercado, si reporta una ganancia de S/.91 500. A) 1 año

45 + 4 4 5 . 43

A) 3 D) 8

B) 2 años B) 6 E) 2

C) 5

C) 3 años D) 4 años E) 5 años

5. Calcula: n+3 - 7n + 1 C=3 7 7 _7n - 1 i

3

A) 136 D) 436

B) 236 E) 536

11. La población de cierta ciudad es: P = Pokt C) 336

Si la población hace 13 años era de 1500 habitantes y ahora es de 4500. Calcula cuánto será la población en 13 años más. A) 13 500 habitantes

6. Calcula:

B) 13 600 habitantes

-2-1

E = 649 A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

D) 13 400 habitantes

a+1

_a 3 i + a a - a 2a a _ a 2 i + 2 + a -a 3 a

C) 13 700 habitantes E) 13 300 habitantes

7. Si: aa = 3, calcula:

A) 1/3 D) 4

B) 2/3 E) 3/2

Nivel 2 Comunicación matemática C) 9/2

A) xy = -3

10 veces

6 44 7 44 8 3 3 3 3 a-1 P = x .x ...x .x .x x.x...x.x S

B) x + y = 1 C) x > y

(30 + a) veces

A) x4

B) x3

D) x–1

E) x0

Intelectum 5.°

12. Si: x = (-2)-2 + (-1)-1; y = 4 16 es cierto que:

8. Efectúa:

8

D) x9

C) x8

10. Una compañía gana (GA) por la venta de cierto artículo, luego de “x” años de ser lanzado al mercado:

= x3

4. Efectúa:

A=

B) x7

Resolución de problemas

Razonamiento y demostración

S=

A) x6

= 24

-2

-1 x-1 b x-2 _x-3 i l

x-2 x-3

C) x2

D) x2 + y = 0 E) 4xy = -3

20. Si se cumple:

13. Ordena en forma decreciente: 2

2 P = b_53 i l , Q = _53 i

A) RPQ D) PQR

2

2

,R = 5

2

-1 xy = 1 / y x = c 1 m 2 2

23

B) RQP E) QRP

C) PRQ

Razonamiento y demostración 14. Reduce:

>

3

A) 1/2 D) 1/4

B) 8 E) 9/2

21. Reduce:

1 2a + 3 + 2a a

A) 1 B) 1 C) 2 2 3 3 D) 3 2

-2 2

A = _x-2 i

H ; _a ! 0 i

a+2

1+x

Determina el valor de x y

2-2

._x2i

B) x7

D) x11

E) x13

22. La masa de la vitamina C de un cuarto de jugo de limón, luego de su razón de oxidación, está dada por el modelo: t m vc = m 1 1 - RO f p m 1 4

1

A) 5x D) 10x

4

B) 5 E) 2

C) 10

4

1 -1

1 -1

1 -1

-1 -c m -c m -c m A= c 1 m +c 1 m 2 -c 1 m 3 +c 1 m 4 2 2 3 4

A) 16 D) 19

B) 17 E) 20

C) 18

-1

1 x - x , para x = 2. n x2

A) 4 D) 3,80

B) 3,95 E) 3,375

C) 5,25

18. Reduce:

x

A) x D) x4

B) 2 min E) 5 min

C) 3 min

23. En cierta ciudad de 70 000 habitantes se esparce una epidemia de modo que cada hora se triplica la cantidad de personas infectadas. Determina el número de personas infectadas al cabo de 10 horas. A) 59 049 personas

B) 60 049 personas

C) 58 049 personas

D) 57 049 personas

E) 30 049 personas .x

63

. _x 21 i

Nivel 3

10

B) x2 E) x5

Comunicación matemática

C) x3

24. Señala verdadero (V) o falso (F):

19. Reduce:

I. 3x - 2 . 33 - x = 3

(

)

II. _ 2 i . 22 = 32

(

)

III. (3 + 3)24 = 324 + 324

(

)

IV. (3.2)12 = 312.212

(

)

3 2

n n+1 n+2 S = 2 .4 6n +.81 2

A) 81 D) 27

RO: Razón de oxidación por minuto(mg) Si la razón de oxidación de un cuarto de jugo de limón es 9,5 mg; calcula los minutos transcurridos desde su preparación, si se consumió 32,81 mg. A) 1 min D) 4 min

17. Calcula el valor de:

11 2

Donde: t: tiempo (en minutos) m 1 : masa de un cuarto de jugo de limón bm 14 = 50mg l

16. Calcula:

C) x9


2 x + 1 .5 2x + 1 - 2 x .5 2x x ; x ! 0 f p 23 .5 x + 5 x

4 5 2 i3 l F

-1

.x 2

A) x5

E) 1

15. Simplifica:

dx +

C) 4

B) 3 E) 128

C) 9


9

32. Si: 25x + 9x = 2(15x)

¿Cuántas son verdaderas? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0

25. Que expresión corresponde a la posible respuesta. xn

2x + 4x + 8x 2 + 4-x + 8-x

2x

-x

-

-243-625

0, 008

x2 .x4 .x6 ...x2n x . x3 . x5 ...x2n - 1

De estudios realizados se proporciona que el riesgo R (expresado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser expresado según la ecuación exponencial: R = 3 . (7)kx

20 4 a + 2 + 2 2a + 2 D) 25

E) 125

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

-3

3

B) 30,3 E) 34,97

-1 2

+ d 16 n 121

A) 6

-2

+d2n 5

B) 5

m(t) = mo . eyt

e: número neperiano

2-1

H

C) 4

mo: masa inicial

m(t): masa final o masa luego de un tiempo t (años).

D) 3

E) 2

29. Para: xy ! 0 Reduce:

x y xy .yx y y - x x^xyh ^yxh y . ` j x.x...xx y.y...y.y xx .yy x

B) x2

C) xy

mo; m(t): g, kg, mg, lb, onz, etc.

La “vida media” del uranio 238U emite partículas alfa (a) es de 4510 millones de años. Determina el tiempo en que la masa restante será: -

2

xy veces xy veces

A) 1

D) y

E) x2y

1 112,75.106

B) 20 años

C) 30 años

D) 40 años

E) 50 años

Cl aves

2xb b b x 2a l

calcula: x x

B) 1

C) a

D) a2 E) -a

31. Halla ab, si se cumple: a

4 a

=

4 b

1

4 b

A) 1 B) 1 C) 1 2 8 16

10

Intelectum 5.°

de la masa inicial.

A) 10 años

30. Si xa + b = ax-a,

A) 0

C) 20,05

34. El modelo matemático para calcular la masa que queda de un isótopo radiactivo (m(t)) luego de “t” años es: donde:

28. Efectúa:

>d 1 n

Siendo: x: la concentración de alcohol en la sangre. k: constante Se determina que una concentración de 0,0286 de alcohol en la sangre produce un riesgo de sufrir un accidente del 21% . Calcula el valor de “k” del modelamiento proporcionado. A) 38,15 D) 37,12

27. Simplifica: 1 1 1 5 <_ -3 i16 2 - _ -7 i8 3 F A) 0

E) 15

33. Actualmente ya se puede determinar la concentración de alcohol en la sangre de aquellas personas consumidoras.

a+1

C) 1 5

D) 8

5 4

B) 5

C) 5


26. Simplifica:

A) 1

B) 2 5

4,1


M=a

- 7x + 1 + 3-7x + 2 E= 5 7 _5-7x - 1 i

A) 10

5,7

1 4

Determina el valor de:

D) 2

E) 4

Nivel 1 1. 2. 3. 4. E 5. C 6. B 7. C

8. D

14. C

21. C

27. C

9. C

15. C

22. B

28. A

10. E

16. B

23. A

11. A

17. E

Nivel 3

Nivel 2

18. E

12. A

24. C

19. E

25.

13. A

20. D

26. B

29. C 30. C 31. C 32. A 33. E 34. D

Aplicamos lo aprendido Tema 2: 1

polinomios

Del polinomio homogéneo, ordenado, completo y de (2t + 8r) términos respecto a “x”: T(x, y) = x2t + 7yr + x2t + 6yb + ... + x2t - 20ya + b Halla el valor de: K =

r 2r

A) 10 D) 40 3

tb

rr

r

B) 20 E) 50

nn

nn

. Además: B f m m p = mm - n B(x) = m x - m m n n n m m n m m m n + Determina: T = _m - n + 1 id m nd n n m n n m + 3n

A) 1/2 D) 1 5

mm

B) E) 2

_xq - 2 + xq - 3 + 7i _x8 + x 4 + x3 + 1i

_xq + 8 + xq + 7 + 1i

q-8

B) 2 E) 6

6

2

_x q + x q - 1 + x q - 2 + 100 i

determina el valor de “q” para que A(x) sea de grado 50.

A) 1 D) 4

C) 3

C) 0

Si se cumple: (q - A)x2012 + (A - p)2012y = (p - q)(x2012 + y2012), evalúe: pq pA 3A A + 2p p + q q T=f A f p p f p A + p p p q + 2q p Aq

A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

Sabiendo que: q ! 5 A(x) =

4

C) 0

2q

Se establece: Z(2x - 1, 2y - 1) = 6x + 4y + 4 Teniendo en cuenta que: Z(A(x), B(x)) = 8x + 25 Z(A(x), -B(x)) = 4x + 17 Calcula: A (x) B (x) Zd ; n B (x ) A ( x )

A) 16 B) 1 D) -16 E)1/16

C) 30

Dado: m mm

2

7

,

Determina “q” del polinomio: 2q - 6

C) 0

q-3

a

C(x, y) = ba x a + 5ab(x . y)a - b a y Sabiendo que su suma de grados absolutos tiene la forma: (a15 + 1)2

A) 16 D) 19

B) 17 E) 20

C) 18


11

C) 2

A) 1 D) 7

D) 1 4

B) - 1 3 E) 5 3

C) 1 4

A) 2 D) 5

11 Calcula la suma de coeficiente del siguiente polinomio completo. P(x) / c(xa + xb) + a(xb + xc) + b(xa + xc) + abc

A) 15 D) 12

B) 18 E) 16

A) 1; 7 D) 2; 7

B) 3; 2 E) 5; 3

C) 5; 2

-1 b-1 ; abc ! 0 es idénticamente nulo. Calcula: Z = a + -1 c

C) 7

A) 1 D) - 4

7. A

10. A 9. B

12. C 11. B

14. B 13. D

Claves

12 Intelectum 5.°

C) 4

14 Si el polinomio: P(x) = (ab - bc - m2)x4 + (bc - ac - 4mn)x2+ (ac - ab - 4n2)

8. A

B) 6 E) 9

B) - 4 E) - 5

12 Halla m y p para que el polinomio sea de grado 14 y la diferencia de los grados relativos de x e y sea 4. T(x; y) = 4xm + p + 3yp - 2 + 9xm + p + 1yp + 4 - 5xm + p - 1yp + 1

C) 20

13 Si m es el mayor posible, calcula su valor sabiendo que la expresión, es de sexto grado. P(x) = 3 x 2m m - 4 xm

A) 5 D) 8

10 Sabiendo que los polinomios son idénticos: P(x) = (x-1)(ax + b) + c (1+x+x2) Q(x) = 2x2 + 6x + 1, halla: c- a -b

B) 2 E) 1/2

5. E

A) 20

C) 4

C) -3

3. A

Halla la suma de coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo: 3 3 P (x) = _a 2 - b 2 i x a + b - (a - b) x a + b + ab

B) 2 E) 13

1. a

9

B) -1 E) 0

Sea P un polinomio, tal que: P(2 - x) = P(-x)+ x - P(1 - x) Si la suma de coeficientes de P es k y su término independiente es 2k; además: P(2) = 4 - k. Calcula: P(2) / k

6. C

A) 1 D) -2

8

4. D

Si: P(x) = 5x2 + 7x - 12 Calcula: (P(-1))P(1)

2. A

7

Practiquemos 4. Si: R(x) = (2x + 5)2 - 8

Nivel 1

Calcula:


1 - R _- 1 i R _20 i

1. ¿Qué tipo de polinomio es el que se te presenta? P(x, y, z) = aa

b x3 y3

z

-2

+

1 7y 7 z2 -7

y

6

9

- 2

2

2

x18 +

x3 y2 z5 ab

3

-3

- 3-3 x2 y 4 z6

A) 1 D) -2

B) Polinomio racional entero.

calcula: P(1)P(0)

C) Polinomio fraccionario.

A) 20 D) 25

D) Polinomio irracional. E) Polinomio irracional fraccionario. 2. Polinomios Cada uno de los polinomios aparece dos veces. Excepto uno que aparece tres veces, y otro que está solo. ¿Cuáles son e indique a qué tipo de polinomio pertenece?

P(y) = y3 + y2 + y + 1;

A) 1

P(x) = cy5 + 24y5 + 7x4 P(x, y) = 8x4y + 24x2y3 + cy5; P(y) = y3 + 2x2y2 + x2 2 3

2

P(x) = x + 6x + 15x + 4; P(y) = y3 + 2x2y2 + x2 P(x) = cy5 + 24y5 + 7x4 P(x, y) = x3 + 2xy2 + y3, 3

2

P(x) = x + 6x + 15x + 4 3 2

P(x, y) = 8x y + 24x y + cy

4

P(y) = xy2 + x2y2 + xy3; P(x, y) = 8x4y + 24x2y3 + cy5 P(y) = y3 + y2 + y + 1 P(x, y) = x3 + 2x2y + y3; P(x, y) = 8x4y + 24x2y3 + cy5 P(x) = 8x4 + 24y3 + y5; P(x) = a2x2 + b2y2 + cz2

Razonamiento y demostración 3. Dado el polinomio P(x) = P(x - 1) + P(x - 2), además: P(1) = 3; P(2) = 4. Halla P(P(0)) A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

A) 1 D) 4

halla:

P(x) = 8x4 + 24y3 + y5

4

C) 10

6. Si: P(-x) = 3x + 1; halla: P(1) + P(-1)

P(y) = xy2 + x2y2 + xy3 P(x, y) = x3 + 2x2y + y3

P(x) = a x + b y + cz

B) 15 E) 5

B) 2 E) 5

C) 3

B) 11

C) 14

7. Si: f(x - 2) = 2x + 1;

P(x, y) = 8x4y + 24x3y2 + cy4,

2 2

C) -1

5. Si: P(x) = 3x + 2,

A) Polinomio racional fraccionario.

2 2

B) 0 E) 3

C) 5

f _1 i + f _ 2 i f_3 i

D) 16 E) 8 11 7 8. Si: P(3x + 1) = 9x + 8; halla: P(2x + 3) A) 6x

B) 6x + 14

D) 6x + 5

E) 5x + 1

C) x + 14

9. Si: P(x) = 5x - 4, además P(f(x)) = 5x + 1, halla f(3). A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

10. Dado el polinomio: P(x) = (n - 4)xn - 4 + (m + 1)x2n + 1 - x2n - 2 Donde: GA(P) = 7, calcula n. A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

11. Si: P(y) = y2a+3 - ya+1 + y2a+2 Donde: GR(y) = 7, halla a. A) 2 D) 5

B) 3 E) 7

C) 4

12. Calcula el valor de x para que la expresión sea de noveno grado: M_a i = x a .

A) 12 D) 17

x

a2 .

x

a3 ... x a x

B) 16 E) 19

C) 15


13

Resolución de problemas 13. Calcula E = a + b + c en la siguiente identidad:

18x3 - 3x2 - 4x + 1 = a(bx + a)(cx - a)b; a > 0

A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

14. El largo de un rectángulo mide 7x + 2y + 17z. Si su perímetro mide 20x + 8y + 40z. Expresa el ancho del rectángulo como un polinomio P(x, y, z).

III. Se tiene que reemplazar las variables por una constante para el cálculo de la suma de coeficientes. IV. Es una de las partes del término algebraico que preceden al coeficiente. V. Las variables toman el valor de una constante para determinar el término independiente. VI. Un binomio está constituido por cierto número de términos. VII. P(x, y) = 4x7 + 7y2 + 7xy + 3 es un polinomio racional entero: Sí o NO VIII. La primera.


A) P(x, y, z) = 3x + 2y + 3z

17. Sea P(x - 2) = x2 + 3x - 2.

B) P(x, y, z) = 7x - y + 2z C) P(x, y, z) = 20x + 10y + z

Halla: P(0)

D) P(x, y, z) = 10x + y + z

A) 10 D) 6

E) P(x, y, z) = x + y + z

B) 5 E) 2

C) 3

Calcula:

Comunicación matemática 15. Reparte los siguientes polinomios en dos grupos, de modo que en cada grupo al reducir sus términos semejantes; el polinomio que se obtenga sea idéntico al del otro grupo. 3x2 + 3x + 5

8x + 4 2

x + 7x + 4

5x + 3

5x + 6

9x + 4

2

2002 veces

A) 1 D) 4

2x + x + 4

2x + 4x +3

9x + 3

7x+ 8

Q(x) = (x - 1)(x2 + x + 1)

Halla = P _3 - 8 i + Q _3 2 i

2

A) 2 D) -2

¡Te doy una pista! Cada número nos representa siempre la misma letra. 14

2

3

5

4

13

3

6

7

4

1

5

9

2

4

10

6

8

1

8

2

6

7

10

3

12

9

11

3

8

3

2

2

6 1

I

B) 0 E) 1

III IV V VI VII VIII

C) -1

2 x+1 Halla: [F(1) + F(2) + F(3)]-1

20. Sea: F(x) =

A) 1

B) 6 C) 1 13 2

D) 3

E) 1 3

II

I. Es el grado donde se suman los exponentes de las variables de un monomio. II. Grados absolutos de sus términos en un polinomio homogéneo.

Intelectum 5.°

P_...P_P_- 2ii ...i 1 4 4 44 2 4 4 4 43

19. Sean P(x) = (x + 2)(x2 - 2x + 4)

16. Lenguaje Para resolver este logogrifo debes sustituir los números de los recuadros por letras según la teoría de polinomios.

14

C) 7

18. Si: P(x) = x2 - 2

Nivel 2

1

B) 8 E) 4

21. Si: 3f _ x i =

5x + f _ x i 2

halla: f(1) + f(2) + ... + f(10) A) 49 D) 55

B) 53 E) 56

C) 54

22. Si: P(x) = x(x - 2) + 3 y además: P(a + 1) - P(a - 1) = 4 Calcula: P(a) A) 2 D) 7

B) 5 E) 3

C) 4

30. Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:

23. Sea la expresión: P _x 2 i = _- x i

4

7 -3a+7

Z(x) = nn(n + 1)2 xa

Evalúa:

P _π + x 2 i - P _π - x 2 i 2

2P d x n 2

A) 1 D) 7

B) 2 E) 12

D) 184 o -2

E) 5 o - 3

Obtén el valor de: p=f C) 11

B) 2 E) 4


C) 5

32. Busca en esta tabla los binomios necesarios para completar las operaciones con los otros binomios de abajo, de tal manera que sean idénticas con los del segundo miembro.

26. Halla el grado del polinomio:

P(x) = (x3 + 1)(x8 + 1)(x13 + 1)...(x93 + 1) B) 960 E) 864

C) 931

27. En el polinomio: P(x; y) = -3x2n-1yn + 1 + 7x2n + 7yn + 2 Se tiene: GR(x) = 17, calcula: GR(y) + n B) 13 E) 16

C) 3

Nivel 3

P(x) = (xm + 5)(xm + 4)(xm + 3)(xm + 2) B) 6 E) 3

n t pm _ t m i p m .t 1-q

A) 1 D) 5

25. El grado de P(x) es 32. Halla m.

A) 12 D) 15

B) -7 C) -3 o 433

I(y) = (my + n)t(ty + p) + q; q ! 1

B) 10 E) 13

A) 912 D) 893

A) nn + 1

H(y) = 2y3 + 5y2 + 4y + 1

Además: P(f(x)) = 2x + 7 Halla: f(4)

A) 8 D) 4

C) 14

28. En el polinomio:

2x + 8

x+1

3x + 9

3x + 7

9x + 8

0x + 1

4x + 7

x+9

6x + 0

5x + 5

3x + 2

7x + 0

6x + 3

0x + 9

3x + 3

x+8

x+5

+

+

= 11x + 8

x+4

+

+

= 6x + 21

+

+

x = 10x + 9

P(x; y) = 2xa-2y2a - 5xa+1y2a+3

+ 2x + 5 +

= 8x + 14

Se tiene GR(x) = 13

+

5

= 7x + 9

Calcula: a - GR(y) A) -15 D) 17

B) 15 E) 18

C) 16

Resolución de problemas 29. ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio homogéneo de grado 25 respecto a “m”? ab

A(m, n, p) =

A) 90 D) 210

7

7+2a-3

+ (n2 - 1)xa

31. Sean los polinomios idénticos:

C) 5

24. Si: P(x - 1) = x + 2

A) 9 D) 12

7 6 (n-1)(n-3) + a +65

-7xa

m 6 +7 a b n2 p3

m

n

B) 201 E) 130

ab 2c 6 m

a+1 b+1 2 p 3

m

+7 n

ab 3c 6 m

a+2 b+2 2 p 3

C) 110

+ ...

+

+

+ x + 3 = 9x + 10

+

+

7 = 4x + 23

+ 6x + 9 + =11x+ 24 33. Expresa el área total y el volumen de las pirámides regulares mediante un polinomio. x + 7 (Apotema)

2x + 3

x+5 x

x+3 x+3 (A)

x x +1 (B) 2


15

Razonamiento y demostración 34. Sea: P _ x i = a x + bx + c ; c ! 0 x

A) 4x + 4 D) 3x + 1

_ 2a - 1 i + 4b c B) 3 E) 9

C) 5

4

35. Si: P _ x i = 2x 5 - n + nxn - 3 + n 2 es un polinomio, calcula el valor de P(2). A) 16 D) 56

B) 32 E) 36

C) 46

C) 4

C) 900

38. Siendo: P(x) = ax12-bx9 + bx6 - ax3 + 1; a / b ! 0, calcula el valor de: M = P_..._P_P_ 0 iii ...i 1 4 4 44 2 4 4 44 3 B) 1 E) -2

C) 20

S(x; y) = 7xm + nyn + 2xm + 6yn + 4

sabiendo que es homogéneo y además: GR(x) es menor que GR(y) en dos unidades. B) 22 E) 25

C) 23

44. Si se cumple que:

M=

x .

xn - m x . 4 x ...n factores

3

A) 0

B) 3m

D) m + 1

E) m - 1

C) 2m

45. Dado el monomio:

M(x; y) = 4abx2a+3b ya+b

2010 veces "P"

A) 0 D) 2

B) 24 E) 22

halla el grado de:

P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(30) B) 196 E) 1024

A) 19 D) 21

1 + 2 + 3 + ... + n = m, 2 3 4 n+1

37. Sea: P(x) = 2x - 1, calcula:

A) 225 D) 961

P(x) = 2x2a + 6 + xa - 7 + 3x9 - a

A) 21 D) 24

calcula: f(a) B) 3 E) 5

C) 2x

43. Halla el grado absoluto del polinomio:

36. Si: f(x + 1) = x - 2a y f(1) = 4, A) 2 D) 1

B) 2x + 1 E) 7x + 3

42. Sabiendo que "a" ! Z+, calcula el mínimo valor del grado absoluto del siguiente polinomio.

2

A) 2 D) 7

halla: P(x + 1) si P(x) carece de término independiente.

Si: P _ 2 i - P _1 i = - 1 4 Calcula:

41. Si: P(x - 2) = kx - 8,

C) -1

Donde: GA(M) = 25 y GR(y) = 7 Halla su coeficiente. A) 4 D) 16

39. Dado el polinomio: f(x) = x(x - 2) + 1,

B) 48 E) 14

C) 12

2

calcula:

: f (x) fd 12 nD


f (x + 1 ) - f _ x - 1 i

A) 1 B) 1 2 4 D) 7

C) 1 3

E) 1

40. Sea:

B (x, y, z)=f

2

xn yp zm

2

1

2 y

p +f

2 y

2

xp ym zn

1

2 p

2

2 p

p +f

Además:

2

xm yn zp

2

1

2 e

p

2 e

n m yp C(x, y, z) = f x 2 p f 2 p f z 2 p m x y zn

F(z) = 3z + 14

p

F(2F(a)) + F(3F(a) + 1) = 286

B(x, y, z) es un polinomio homogéneo.

Halla: F(a)

Luego se determinará que el grado del monomio C(x, y, z) será:

A) 1 D) 17

16

46. Se muestran las expresiones:

B) 4 E) 12

Intelectum 5.°

C) 13

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

47. Considerando la expresión polinómica homogénea de grado cero: L(x, y, z, w) =

ya

3

2

+

z2

_a x i

zb

3

y2

_z x i 2

+

xc

3

4

+

4

xx yy zz wd

3

(bc) 6 (ac) 6 (ab) 6

y

z

A) 1 D) 7

Considerando: abcd = E A) E

B) E2

D) E4

E) E5

C) E3

11 T (x) = d_7x i + x - 1 nd(7x) 23+ 2x + 8 n # 8 8 8 27

... 27 (parentesis)

A) - 1 ; 27909 21952

B)

1 ; 27900 21900

L(t) = 3ntc

2

+ 2cd + d

- p + 2θtc

A) 125 D) 21

2

+ 2cd

+ mta

2

+ 2cd + d 2

θ

p n l m

B) 120 E) -125

C) 251

1 ; 27909 20952

D) 1 ; 8 3

51. B

C)

C) 5

53. Si: J(t) = L(t); además: c y d son mayores que uno.

Determina el valor de: b

3x - 27 (7x) 71 + 4x + 64 ... 43 d(7x) + nd n 64 125 8 8

B) 3 E) 9

J(t) = (9 - c)t49 + c2 - (3 + d)t43 + d2 - cdt40

48. Determina el término independiente y el grado del producto del siguiente polinomio

Determina el valor de: 2 β N= d + 2 +7α β γ e

Se le pide que calcule el grado de: L(x, y, z) = x

+ (b + g8 - a - d2)y5

4

53. E

2

N(x, y) = (a + b - g - e2)x5 + (b - de)x3y3

52. E

z2

_xy i

52. Del polinomio idénticamente nulo:

49. C

50. A 44. A

43. B

38. B

37. C 33.

28. A 22. E

27. A


16. 11. A 5. D

15. 10. A 4. B

21. D

48. A 42. C 36. D 32.

41. A

26. A

46. A 40. A

31. B

35. D

30. C

19. E

25. A

34. A 24. D

45. B Nivel 3 39. B

Nivel 2 20. B

C) 20

9. D

B) 19 E) 22

3. B

A) 18 D) 21

18. E

51. De un polinomio completo, ordenado y homogéneo en las variables x e y, la adición de sus grados absolutos de todos sus términos es 342. Indica el número de términos del polinomio.

14. A

C) 19

13. B

B) 18 E) 21

8. B

A) 17 D) 20

7. D

H(x) = (2m - 1)x3m - 27 + (2m - 2)x3m - 26 + (2m - 3)x3m - 25 + ...

2.

50. Determina el número de términos del siguiente polinomio completo:

1. B

C) 545

29. D

B) 543 E) 1

23. B

A) 542 D) 0

17. B

Si su grado de homogeneidad es 33 y sus grados relativos con respecto a x e y son iguales.

12. D

+ 2abbax2a + 6y9b + 1 + x2a + 5y9b + 2

C l a ves

6. B

2

Q(x, y) = bb x5a + 1y9b - 3a + 6 + abx2a + 4y9b + 3

Nivel 1

49. Determina la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo.

47. C

E) 1; 1

17

Aplicamos lo aprendido TEMA 3: 1

productos notables

n n Si: ` a j + 4 c b m = 725; a, b ! 0 b a

Halla: A = 3

B) ab E) 9

C) 3

B) a8 + b8 E) b8

2 2 Si x = 1,5a + 0,5 b y = 1,5b + 0,5 a a b Además: ab = 32 Calcula el valor de ^x + yh2/3 - ^x - yh2/3

A) 16 D) 8

Si: a = 1 + b, calcula: (a + b)(b2 + a2)(b4 + a4)

A) a8 D) a4 - b4 5

an + 2bn an bn

A) 1 D) a b 3

2

4

6

C) 64

Halla el equivalente de: 4(a - b)(a - c) + (b - c)2 Si: 2a = b + c + d

A) 2d2 B) d2 2 2 D) d E) 2d 3 3

C) a8 - b8

Halla el valor de: x3 - 3x2 + 12x - 16 cuando x + 3 3 = 1 + 3 3 3

B) 32 E) 2

2 C) d 2

Halla M en: M = 3 20 + 392 + 3 20 - 392

A) 1 D) 2

18 Intelectum 5.°

B) 3 3 C) E) 0

3

9

A) 1 D) 4

B) 6 E) 8

C) 20

Si: a2 + b2 = 1, reduce: M = (a4 + b4) - (a6 + b6)

8

Calcula el valor de: S = Si: z-1(x + y) = -1

A) (a + b)2 B) ab D) a3b3 E) -ab

2 2 2 Halla el valor máximo que pueda aceptar: M = a + b + c ab + bc + ac

A) -2 B) -1 D) 2 E) 3

A) 0 D) 2

B) 1 E) -2

Calcula: e

C) -1

x2 + yz y2 + xz z2 + xy oe oe o x2 y2 z2

A) -1 D) 1 xyz

C) -1

B) 1 E) xyz

C) 0

14 El área de un cuadrado de lado a + b es 8 veces el área de un triángulo de base a y altura b. Calcula: â + bh4 - â - bh4 G = 2 2 ^ 4 a 2 + b 2 h - ^ 4a 2 - b 2 h

A) 1 D) -1

B) 2 E) - 1 2

5. D

C) -1

6. D

2 2 x = - b + b - ac / y = - b - b + ac a a 2 Calcula: K = ax2 + 2bx + a ay + 2by - a

C) 1/2

3. c

B) 2 E) 3

10. C

8. E

9. C

7. C

Claves

B) 1 E) ab

- ^4a - 6h^2 - ah - 2^2a - 3h^1 - ah + 2^2 - ahâ - 1h - ^2a - 3h2 - â - 1h2 - â - 2h2

y 12 Si: x + + z = 0; xyz ! 0 y z x

13 Dados: a; b; c; x; y ! R

12. A 11. A

A) 0 D) a

M=

C) 1

11 Si a3 + b3 + c3 = 3 (a + b)(a + c)(b + c) = -1 -2 -2 -2 Halla el valor de: a + b + c 2 â-1 + b-1 + c-1h

A) 1 D) -2

10 Reduce:

4. B

Si: a3 + b3 + c3 = 3abc

C) 1 2

A) 1 B) 2 D) - 1 E) -2 2

C) a2b2

1. C

9

y 6 + z 6 + x 2 ^ x 4 - 9y 2 z 2 h x4 ^3yz - x2h + y3 z3

2. D

7


19

14. A 13. C

Practiquemos 5. Sean {x; y} ! R, tal que cumple: 1 1 + = 4 3x - 2y 2x + 3y 5x + y

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Memoria Memorice el texto durante el tiempo que creas conveniente, luego tápalo y completa las palabras que faltan en el texto más abajo. "Los PRODUCTOS NOTABLES son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, todo esto es posible por la forma en que se presentan los factores". Los

_________________

son

resultados

de

ciertas

_________________ indicadas que se obtienen en forma __________ sin necesidad de aplicar la propiedad ________, todo esto es posible por la forma en que se ___________________ los factores. 2. Dado que a y b > 0 Según el gráfico, qué proposiciones son verdaderas: a b c

a

b

c

I. El área no sombreada es igual a: 2(ab + ac + bc) II. El área del cuadrado de lado “a” más el área del cuadrado de lado “b” es igual a (a + b)2 - 2ab III. (c + b)(c - b) según el gráfico es igual a: (2b + c)c - (b + 2c)b A) Solo I D) I y III

B) Solo II E) Todas

C) Solo III

Razonamiento y demostración 3. Efectúa:

(x - y + z - w)(x + y - z + w) + (y + w)(y + w - 2z) + z2

A) x3 B) -y2 D) x2

C) w2

E) z2

A) 1 D) 4

20

B) 2 E) 5

Intelectum 5.°

x + 2y 2x - y

-1 A) 5 B) c 9 m 7 4 7 5 D) E) 6 3

-1

C) c 7 m 9

6. Siendo a + b = m y ab = n, halla el equivalente de: S = (a + b)4 - (a - b)4 A) 8n(m2 - 2n) C) 4n (2m2 - n) E) n(m2 - 2n)

B) 4n(m2 - 2n) D) 8n(2m2 - n)

7. Efectúa: M = â + b - 3hâ - b + 3h + b2 - 6b + 9 A) a

B) a2

D) a6

E) a8

C) a4

8. Calcula:

P= [ ^8 2 + 1h^8 2 - 1h^4 2 + 1h ^ 2 + 1h ]3

A) 1 D) 27

B) 4 E) 64

C) 8

9. Sean: M = (1 + x)3 + (1 - x)3 - 6x2 + 8 N = (1 + x)3 - (1 - x)3 - 2x3 Halla: MN A) 60x D) 1

B) 60 E) 60x2

C) 8

10. Halla: a + b, si: ab = 3 / a3 + b3 = 28 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

11. Reduce:

G = (a + b + c)3 - (a + b)3 - 3c(a + b + c)(a + b)

A) c3

B) 1

D) 2

E) b3

C) a3

12. Si: y2 = (1 - x)(x + y)

4. Sean a y b, tal que: a2 + b2 = 1 y ab = a + b Calcula el valor de: (ab - 1)

Halla el valor numérico de:

Calcula: E =

2

C) 3

A) 0 D) 3

x 2 + y3 x3 + y 2 B) 1 E) 4

C) 2

Resolución de problemas 13. Si: x4 + x-4 = 34, señala el valor positivo de: P = x - x-1 A) 1 2

B) 4

D) 8

E) 10

C) 2

8

a +b +c

Se obtiene:

A) 1 D) 2

B) 3 E) 0,5

C) 8

NIVEL 2 Comunicación matemática 15. Indica el valor de verdad de las proposiciones: I. En R se verifica: 2

3

También en R siempre se verifica: (3 x - 3 y ) (3 x2 + 3 xy + 3 y2 ) = x - y

II. Existe algún valor de (x; y) ! R que verifica: (x + y)2 - (x - y)2 = 4 III. Para x / y ! R siempre se verifica: (x - y - z - w)2 = (z + w - x + y)2 A) FFF D) FVF

x

- 18 1215 + 1i ^18 1215 + 18 1215 + 1h + 1

C) VFV

17. Si: a - 1 = 3 , calcula: a + 1 2 a a 1 5 A) B) C) 3 2 2 2 7 1 D) E) 2 2

3 2 2 Calcula el valor de: S = a 2+ b a 2+ 3a b3 : ab + 3a b + b

A) -1 D) 3

B) 1 E) 6

A) 3 D) xy

16. Crucigrama. A C

B D

2 2 20. Si: a + b = 6 y a2 + b2 = 30, halla: M = a + b b a A) 63 B) 48 C) 12 D) 70 E) 54

a=

2+ 3 -

b=

3+ 8 -

Halla: a2 + b2

VERTICALES: A. De (4x + y + z)(4x - y - z). El coeficiente de x2 es 225 + 1. De x2 - 2x + 1 se obtiene:

C) 2

xy , halla: xy c 12 + 12 m x y B) 1 C) 7 x+y E) 2

21. Si:

C. Si: x =

3


19. Si: x + y = 3

B) VVV E) FVV

E

6

18. Si a y b ! R - {0} / a + b ! 0 Además: 1 - 1 = 3 - 1 a a+b a+b b

3

(x - y)(x + xy + y ) = x - y ,

-2

3

8

2

2

A. Si b x + 1 l = 144 b x - 1 l el valor de x4 + x-4 es:

^18 1215 2 - 1h^18 1215 4 + 18 1215 2 + 1h _18 1215 6

â + b + ch8 8

HORIZONTALES x

(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac) Calcula: 7

3

B. Sabiendo que: (x - 1)(x + 3) + (x + 7)(x - 5) = 406 Luego: x2 + 2x es: D. Luego de reducir:

14. Sabiendo que a; b; c ! R, donde:

A=

121 ; el valor de: 8 (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) + b3 es:

E. Siendo: a =

A) 14 D) 10

1 2+ 3 1 3+ 8 B) 6 E) 6

C)

2+ 3

22. Reduce: K = (x + 2)(x - 2)(x2 - 2x + 4) (x2 + 2x + 4) + 64 A) x D) x6

B) x2 E) x8

C) x4


21

23. Reduce: P = ^1 + 2 + 3 + 6 h^1 - 2 - 3 + 6 h A) 0 B) 1 D) 3 E) -1 24. Reduce la expresión:

9

C) 2

Indica la proposición verdadera: I. (xy + yz + xz)3 = 2xyz + (x2 + y2 + z2)

^m6 - m3 n3 + n6h^m6 - n6h^m6 + m3 n3 + n6h + n18

B) m2

A) m

C) 2m

II. (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3

E) m3

D) 1

III. xyz =

25. Simplifica:

_ a + b i_ 4 a + 4 b i_ 4 a - 4 b i â + bhâ + a b + b 4

A) a6 + b6

B) a6 - b6

D) a3 - b3

E) a6 - b3

2 2

4h

C) a3 + b3

3

3

3

26. Si: a - b = m y a - b = n, halla "ab". 3

A) m + n

3

B) m + n

3 3 D) m - n E) m - n 3n mn

5

IV. x2 + 2y2 + 3z2 = 3(x - y)2 + 2(x - z)2 + (y - z)2 V. x + y + z = 2xyz + 5(xy + xz + yz)

E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2- 2(a - b)2 - 2(c - d)2

3 C) m + n 3n

Si: ab + cd = m A) 10m D) 2m

B) 8m E) 6m

C) 4m

32. Si x es un número, tal que 10x4 + 10x2 + 4 = 13x2 - 6 2

Halla el valor de: c x + 1 m x

(x + y)(x6 + y6)(x4 + x2y2 + y4) = x3n - y3n Calcula n. B) 4

C) 6

D) 5

E) 2

28. Luego de desarrollar, la expresión:

A) 23 B) 10 C) 7 10 13 10 13 D) E) 1 7 33. Si: x + y = 10

Z = (1662)3 - (283)3 - (1379)3

(x - z)2 + (z + y)2 = 6

Es divisible entre: I) 81

II) 277

III) 283

Calcula: M = xz + xy - yz - z2

A) I D) III

B) I y II E) II

C) II y III

A) 1 D) 5

B) 2 E) 8

C) 4

34. Calcula:

NIVEL 3 Comunicación matemática 29. Memoria Tapa los recuadros de la izquierda, toma el tiempo que consideres oportuno, lee atentamente las palabras del recuadro de la derecha. Por último tápalo y señala en los recuadros de la izquierda las palabras memorizadas. Identidad de Facnier Identidad de Argand Suma de cubos Suma de sextas Diferencia de cuadrados Binomio al cubo Binomio a la quinta Diferencia de cubos Identidad de Cardano Identidad de Cauchy

22

2

31. Simplifica:

27. Si: x - y = 1, además:

A) 3

^ x2 + y2 + z2h


Resolución de problemas 3

30. Se cumple la relación: xyz = xy + xz + yz x+y+z

Cálculo Productos notables Álgebra Ident. de Sterin Ident. Pitagórica Producto cúbico Identidad de Lagrange Identidad de Lerner Binomio al cuadrado Binomio a la sétima

Intelectum 5.°

Binomio al cuadrado Productos Notables Identidad de Argand Diferencia de cuadrados Suma de cubos Binomio al cubo Ident. de Lagrange Ident. de Sterin Ident. de Cauchy Diferencia de cubos

E = 32 1 + 3^22 + 1h^24 + 1h^28 + 1h^216 + 1h

A) 12 D) 16

B) 8 E) 2

C) 4

35. Evalúa: 8

3^22 + 1h^24 + 1h^28 + 1h + 1

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

36. Simplifica: ^ x + a + bh^ x + a + ch - bc -a x+a+b+c A) 1 D) 3x

B) 2x E) 8x

C) x

37. El área de un cuadrado de lado a + b es 8 veces el área de un triángulo de base a y altura b. Calcula: â + bh4 - â - bh4 G= 2 2 ^ 4 a 2 + b 2 h - ^ 4a 2 - b 2 h A) 1

B) 2

C) 1/2

D) -1

E) - 1 2

43. Suponiendo que: M está definida en R; además: a, b, c ! R Reduce hasta el máximo la expresión M. J N 3 3 3 3 2 2 4ab (a2 + b2) b (2a2 - ab + b2) 2K Oe a + b - a - b + 12a b + o 3K 1 a+b O a-b (a - b) 2 a2 - b2 a2 - b2 K a-b - 3 2 2 3 O a + a b + ab + b P M= L b c 2ab (a + b) 2ab (a + b) 1 . 2 2 2a + b + c 2a (b - c) b -c + e o (2ab (a + b)) 2 (2ab (a + b)) 2 +

38. Si: ab-1 + a-1b = 3; halla el valor de: 3

3

2 2 E = e a2 + 1 o + e b 2 + 1 o b a

A) 27 D) 243

B) 81 E) 486

b c 2ab (a + b) 2ab (a + b) 2a (b - c) b2 - c2 1 + e o. (2ab (a + b)) 2 (2ab (a + b)) 2 2a + b + c

A) a - b

B) (a + b)2

D) a + b

E) (a - b)2

C) (a + b)3

C) 189

39. Si 4 + x = -2 x

P(x) = x3 + 77778x - 77777x2 - 155554

Calcula: P(77776) A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

37. A

38. E

39. D

31. b

32. A

33. B 28. C 16.

27. B

11. A

22. D

10. D

21. B

Nivel 2 15. B

26. D 20. E

43. C

36. C 25. B 19. c

42. A

41. C 35. D

30.

24. B 18. b

5. B

42. Dada la función polinomial:

4. B

C) 47

9. A

B) 50 E) 51

3. D

A) 48 D) 64

14. B

mn = 5 . Calcula: R = m 8 + n 8 ` n j `mj 5 m + n2 2

Nivel 1 1.

41. Si:

13. C

A) a + b B) a C) b a-b b a D) 4a E) a - b

8. A

x2 - y2 se obtiene: 4 â 3 - b3 h

7. B

Al reducir la expresión

C l ave s

y = a(a - 1)+ b(b - 1)+ ab, a ! b

2. e

x = a(a + 1)+ b(b + 1)+ ab

40. A

40. Dadas las condiciones:

34. E


23. C

+ 5 E) 1 2

17. B

D) 63

C) 48

12. B

B) 54

6. A

A) 8

Nivel 3 29.

El valor de: (x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) es:

C) 0


23


COCIENTES NOTABLES

Calcula el número de términos del siguiente cociente notable:

x18n - 6 + y14n + 1 xn + yn - 1

A) 17 D) 15 3

5

B) 19 E) 18

B) 38 E) 39

Uno de los términos del cociente notable de xn - ym entre x2 - y es x8y8. Halla: m + n.

A) 45 D) 40 6

x6 - 1 64 x6 ; es: x-1 2 x

24 Intelectum 5.°

4

C) 42

El término independiente del desarrollo:

A) 1 D) 4

A) quinto B) sexto C) séptimo D) octavo E) noveno

C) 16

(5x - 1) 99 + (5x + 1) 99 , origina un CN, en el x cual un término tiene la forma A(25x2 - 1)B, calcula (A + B).

¿Qué lugar ocupa el término independiente en el desarrollo del siguiente CN? 27 -9 P(x) = x 3 - x-1 x -x

Si la división:

A) 40 D) 37

2

B) 50 E) 39

C) 55

Simplifica: 6n - 3 6n - 6 6n - 9 9 6 3 M = x3n - 3 - x3n - 6 + x3n - 9 - ... + x9 - x6 + x3 - 1 x +x -x - ... - x + x - x + 1

B) No existe E) 2

C) 3

A) x5n - 1 D) x2n - 1

B) x4n - 1 E) xn - 1

C) x3n - 1

Halla (p + q), si el t25 del desarrollo de: -y , es x270y288. 2q x -y 3p

B = x20n - x19n + x18n - ... - xn + 1

B) 11 E) 14

C) 12

A) 21 D) 27

B) 2 E) 5

A) x9y20 D) x12y22

C) 3

11 Calcula el coeficiente del tercer término del desarrollo de: x12 - 16 2x 3 + 4

A) 9 D) 1

B) 7 E) 2

B) x8y19 E) x12y23

C) 6

A) 61 D) 64 14 Calcula

B) 62 E) 65 3

72

38

x48 - y72 x 2 + y3

A) 1 D) 4

57

x +y x -y E) 2 x + y3 x 2 - y3

a2n - 1 - b20 an - 5 - b4

B) 2 E) 5

5. b

10. a

8. a

9. b

7. b

C) 3

Claves

12. e 11. e

14. b 13. e

D)

48

C)

C) 63

n si el siguiente cociente:

es notable.

x30 + y30 x34 + y51 B) 2 2 3 x +y x + y3

C) x11y21

12 Calcula (a + b), sabiendo que el término de lugar doce del xa - yb es x2y33. cociente notable 2 x - y3

13 Los siguientes términos consecutivos: ... -x18y27 + x16y30 - ... son del cociente notable:

A)

C) 25

xa - yb 10 Si el número de términos del cociente notable: 3 es x - y5 ocho, ¿cuál es el quinto término?

Sabiendo que uno de los términos del siguiente cociente notable es - x4y10, calcula: b . a xa + yb x + y2

A) 1 D) 4

B) 23 E) 29

6. c

9

A = x20n + x19n + x18n + ... + xn + 1

3. e

A) 10 D) 13

Halla el número de términos del producto: A . B si:

4. e

x

8

86q

1. a

129p

2. c

7


25

Practiquemos 4. La siguiente división genera un CN:

Nivel 1

x-2a - y6 x3 - y-a

Comunicación matemática 1. Subraya solo los que son cocientes notables. 3

A)

15

+7

x y 35 x+ y

3

B)

15

Halla el segundo término. 275n

+7

x y x 1 C) 13n + 35 3 xy x +1

275 165 n D) x 5 + b3 E) x - 1 x -1 x -b

F)

x45 + y30 x3 + y 2

2. Coloca correcto (C) o incorrecto (I) según corresponda. Cociente notable 6

x -1 x-1

C ó I

Desarrollo x5 -x4 +x3- x2 + x - 1

8

-x6+x5-x2+1

a5 + b5 a+b

a4- a3b+a2b2+ ab3 . b4

2

2

B) -xy

C) x3

D) y3 E) -y3 5. La siguiente división genera un CN: ^2x + 1h5 - ^ x + 5h5

x-4

Sea P(x) el término de lugar 3. Calcula la suma de coeficientes de P(x). A) 320 D) 323

B) 321 E) 324

C) 322

6. La siguiente división: xm + yn ;4#k#6 x 2 + y3

x -1 x2 + 1

4 m4 - n 16 m- n 2

Desarrollo correcto

A) xy

3

3 m n mn n m + + + 2 4 8

genera un cociente notable. Halla el tercer término sabiendo que k es el número de términos. A) x2y2 B) -x2y2

C) x4y6

D) -x4y6 E) -x4y3 7. Halla el valor del cuarto término del desarrollo de:

Razonamiento y demostración 3. Demuestra que el valor numérico del término tercero del cociente de: 33

33

x -3 x3 - 33

^ x + yh18 - ^x - yh12 ^ x + yh3 - ^ x - yh2

para x = 2; y =

Demostración: Efectuando los exponentes de las bases en el dividendo: x - 3 x3 - 33 Expresando en forma similar los términos del divisor en el dividendo para dar la forma de un cociente notable:

El número de términos es: El tercer término se expresará como: (33)

-

-1

Cuando x = 3: t=

26

18

6

.3 =

lqqd

Intelectum 5.°

= x1836

B) 24 E) 72

C) 32

8. Si el tercer término del desarrollo del cociente notable: n n 1 ; ^ x + 2h - x E 2 x+1

para x = 2, toma el valor numérico de 1024; calcula n2. A) 25 D) 125

(x 3 ) - ( 3 3) x3 - 33

T3 = (x3)

2.

A) 16 D) 64

Para x = 3 es 324.

;

B) 49 E) 36

C) 16

Resolución de problemas 9. Halla el lugar que ocupa el término de grado absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable: x60 - y30 x 4 - y2 A) 12 D) 15

B) 13 E) 10

C) 14

10. Indica cuántos términos tiene el siguiente desarrollo: 4n

13. Completa los términos que falta en los cocientes desarrollados:

5n

x -y x 4 - y5

sabiendo que el término de quinto lugar tiene como grado absoluto 32. A) 7 D) 10

B) 5 E) 8

C) 11

4 4 a. 81x - 83521n = 27x3 + 3x - 17n 3 6 b. 27m + 5122 n = 9m2 3m + 8n 4 c. x - 81 = x3 x+3 6 6 d. a - b = a-b

NIVEL 2 Comunicación matemática xn ! xn x!a

Escribe los nuevos cocientes notables y su respectivo desarrollo para los valores asignados de sus bases, signos y número de términos respectivamente.

+ ab4 + b5

+ + x6b4

-

+

-

Razonamiento y demostración xm - yn ; además xa + yb

m + n = 18; a + b = 3, y posee 3b términos. Halla el término de lugar 2b.

x = p, a = q3; - ; n = 4 +

A) x2y3 B) -x2y3 C)-x2y6 D) x2y6 E) -x3y2

x = 15 x ; a = 35 y ; - ; n = 5 12. Escribe en algunos casos las bases, los exponentes y/o los signos de los cocientes notables según corresponda. a) x4 + x3 + x2 + x + 1 = x - 1 x - 1 x 1 b) x + x + x +... + x + 1 = 2 x - 1 66

+ a4b +

se sabe que:

x = m 2, a = 1 ; + ; n = 3 +

68

+ 9x -

14. En la división se genera un cociente notable

x = bc; a = z; - ; n = 4 -

70

+ 64n4

12 12 e. x 2 - b2 = x10 x +b

11. Sea la forma general de un cociente notable:

+ 867xn2 +

15. En el cociente notable generado por

x

35

-3 x x -3 x

35

¿Cuántos términos son racionales enteros? A) 5

B) 6

D) 12

E) 25

C) 8

2

16. Si el cuarto término del cociente notable

c) (x + 3)35 - (x + 3)34x + (x + 3)33x2 - ... + (x + 3)x34 - x35

=

(x + 3) (x + 3)

x x

x40y60. Halla (a - 2b). A) 10

B) 20

xa + b - ya + b es xa - b - ya - b C) 30

D) -20 E) -30 d)

n -1

- (x + 2)

x + (x + 2) +x

e) a6 - a4b2 + a2b4 - b6 =

(a2) a2

=

2

n-2

x - ... -(x + 2)x

17. Calcula el número de términos del CN: (x + 2 )

( b 2) b2

x

x4n + 12 - y4n - 3 xn - 8 - yn - 9 A) 8

B) 12

D) 10

E) 25

C) 15


27


22. Calcula el valor del cuarto término del cociente de:

18. Reconoce el quinto término del siguiente cociente notable, si se sabe que el tercero es x36y2.

Si: x =

xm - yn x2 - y

A) x30y6

B) x36y4

D) x32y6

E) x34y2

(x + y) 60 - (x - y) 60 8xy (x2 + y2)

3

A) 425

C) x32y4

B) 525

x75 - y100 x3 - y 4

x16m + 96 - yp , es el triple del número de términos del cociente x8 + yp xm + 2m - yn notable de esta otra división , calcula: m + n + p xm - yn 2

2

B) 32 E) 24

2

C) 8

E) 825

B) x45y36

D) x26y35

E) x12y15

x102 - y68 x3 - y 2 C) x35y26

24. Demuestra que el valor numérico del quinto término en el desarrollo de

25. Calcula a si el cociente es notable: x 2a + 1 - y a + 3 xa - 4 - ya - 5

20. Compara si es mayor (2) o menor (1) los grados absolutos de los términos de lugar "k" indicados: 3 x3 - y3 1. ; 8x - 1 x-y 2x - 1 GA(t2) GA(t2)

A) 1

(x + y) 60 - (x - y) 60 x75 - y100 ; 4 4 (x + y) - (x - y) x3 - y 4 GA(t5) 72

A) 591

GA(t10)

E) 3

B) 191

C) 491

D) 391

E) 291

xnp - yp xn - y

si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t40 de su desarrollo tiene G. A. = 87.

GA(t5)

A) 32


B) 42

21. Simplifica:

80 80 A) x 2 - 1 B) x 2 - 1 x +1 x -1 82

E) x 2 - 1 x -1

C) 52

D) 62

E) 72

Nivel 3

26. d

Cl aves

x156 + x152 + x148 + ... + x4 + 1 x78 + x76 + x74 + ... + x2 + 1 + 2 2 x -1

Intelectum 5.°

D) 9

27. Halla el número de términos en el desarrollo de:

3. x 2 - 1 ; x 4 - 1 x -1 x -1

D) x 2 + 1 x -1

C) 7


36

GA(t27)

B) 5

26. Calcula E = a + b + c; si el término central del desarrollo: xa - yb ; es xcy120 2 5 x -y

2.

28

y

A) x36y45


82

D) 725

(x + 2)10 - (x + 1)10 cuando x = 1 es 7776.

NIVEL 3

C) 625

23. Halla el término idéntico en el desarrollo de los C.N.:

19. Si el número de términos del cociente notable de la división

A) 38 D) 30

3 y = 1- 5 2

5 + 1 2 2

80 C) x 2 + 1 x +1

7. d

13.

8. b

14. b

2.

9. a

15. b

3.

10. e

16. e

5. e

Nivel 2 11.

17. c 18. c

24.

6. c

12.

19. a

25. c

Nivel 1 1.

4. d

20. 21. a 22. c 23. b

27. c

Matemática Evaluamos en a para x = - 1: 22 + 23 + 24 + ... + 230 = b - a; de (b): a = -b 2(2 + 22 + 23 + ... + 229) = 2b

Halla el residuo luego de dividir: (x - 1) 2 + (x2 - 1) 3 + (x3 - 1) 4 + ... + (x29 - 1) 30 x2 - 1 Resolución:

Del teorema fundamental: D(x) = d(x)q(x) + r D(x) = (x2 - 1)q(x) + ax + b D(x) = (x + 1)(x - 1)q(x) + ax + b ...(a) Evaluamos en a para x = 1: 0 = 0 + a + b & a = - b

1. Reduce:

A) 3 D) 1

B) 9 E) 6

33

12

aa

b = 230 - 2

` r(x) = (2 - 230)x + 230 - 2

7. Dada la ecuación: 12x34 - 4x22 - 5x3 + 3 = 0 Sea: S1; S2; S3; ...; Sn: la suma de raíces; la suma del producto binario de raíces; ... así sucesivamente hasta Sn el producto de raíces. Determina: S12 + S31 + S34

C) 27

A) -1 D) -6

2. Del siguiente polinomio determina el valor de a: P(x) = x

b=

... (b)

3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 + 3m + 4 3m - 6 + 3m - 7 + 3m - 8 + 3m - 9

5

2 (229 - 1) 2-1

B) 0 E) 1

C) - 1 6

B) 3 E) 0

C) 2

8. Si:

2x + 2 . 3x + y = 56

+ 1; si su grado es 3.

3 . 2x + 3x + y + 1 = 87 A) D)

3

3 3

B) 3 3 E) 9

C) 3

Calcula: 3x - 2y A) 1 D) -1

3. Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. La suma de dos números irracionales es otro número irracional.

( )

II. En una división en Z, el resto es menor que el divisor. ( )

III. 6x ! Q se cumple (x2)1/2 = x. A) FFF D) VVF

B) FVF E) VVV

( )

C) FFV

4. Factoriza e indica un factor primo de: T5 + T4 + 2T2 - 1

A) T4 + T2 + 1 D) T2 + 1

B) T3 + T + 1 F) T3 - T2 - 1

C) T2 - T - 1

5. Determina el término independiente del siguiente polinomio; si es completo y ordenado. P(x) = a2 + b2 + (a + b)xab + (a2 - b2)xa - b

A) 6 D) 0

B) 4 E) 1

C) 2

+

a(b + 1) + 3(b + 1); a y b ! R . B) 10 E) 15

2

2

Determina: M = a + b2 + c2 - ab - bc - ac

A) 5 D) 8

B) 6 E) 5

C) 4 2

3 y3 10. Si: m = n ; x3 + 3 = 1 x y a b 3 3 Entonces: m3 + n3 es igual a: a b

A) m3 + n3 x y

3 B) m3 + n x +y

3 3 D) a3 + b3 x -y

3 3 E) m3 + n3 x +y

C) a3 + b3 x +y

11. El siguiente polinomio homogéneo: P(x; y) = x3n - 1 + x3n - 2y + ... + xy3n - 2 + y3n - 1

6. Si: a + b = 5; calcula el máximo valor entero que toma: A) 6 D) 20

9. Si: a - b = b - c =

C) 11

es completo y ordenado, además la suma de los grados absolutos de sus términos es 702. Determina el grado de homogeneidad. A) 21 D) 37

B) 36 E) 26

C) 27


29

Unidad 2

Recuerda La teoría de límites

Reflexiona

Uno de los lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de límite. Sobre él se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. Los matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar el análisis infinitesimal, pero lo insatisfactorio de casi todos estos métodos se hizo rápidamente evidente. A finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX era más que evidente la necesidad de formalizar la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último.

• Piensa más allá del día de hoy, y decide qué dirección quieres darle a tu vida, para que cada paso que des, esté siempre en la dirección correcta.

Este proceso de reconstrucción se reveló claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de Agustín-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres libros: Curso de análisis (1821); Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales (1823) y Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría (dos tomos 1826-1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por primera vez, el análisis matemático se construye sucesivamente sobre la teoría de límites. El primero de los libros está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo, se introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo límite es igual a cero. Se expuso también la convergencia de las series, así como sus criterios de convergencia. En el segundo de los libros se expone el cálculo diferencial e integral de funciones de variable real, destacando la aparición de una demostración analítica de existencia de la integral definida de una función continua.

• Los caminos que elijas hoy pueden moldearte para siempre. El que tengamos que tomar tantas decisiones cruciales, siendo tan jóvenes, es algo que nos asusta y al mismo tiempo nos emociona, pero así es la vida. • Es difícil, pero a veces es mejor no tener amigos durante un tiempo, que tener los amigos equivocados.

¡Razona...! ¿Cuántas personas como mínimo hay en 6 filas de 4 personas cada una?

A) 10 D) 16

B) 12 E) 24

C) 14


3

5

FACTORIZACIÓN

Factoriza: P(x; y) = x5 + xy4 + y5 y señala un factor primo.

2

A) x3 + xy2 + y3

B) x3 - x2y - y3

D) x2 + xy - y2

E) x3 + x2y + y3

C) x2+xy+y2

Señala un factor primo de: P(x; y; z) = x3y(zx - y2) + y3z(xy - z2) + z3x(yz - x2)

A) x2 + yz

B) y2 + xz

D) x2 + y2z2

E) z2 - xy

A) x + y + z D) xyz

32 Intelectum 5.°

B) x + 2y E) 2(x + y + z)

A) 3a + b D) a - b 4

C) z2 + xy

Factoriza: (x + y + z)(xy + xz + yz) - xyz y halla la suma de sus factores primos.

B) 3a + 5b E) 3a - b

C) a + b

Factoriza: R(x) = x5 + x4 + 2x2 + 1 e indica el valor numérico de un factor primo para: x = 3.

A) 100 D) 64 6

C) 2x + y + z

Factoriza: P(a; b) = a3 + b3 - ab(a + b) - c2(a + b) e indica la suma de factores primos.

B) 49 E) 105

C) 8

Si un factor primo de: K(m; n) = m3 + 3m2n + 6mn2 + 18n3 tiene la forma: am + bn calcula: a + b

A) 5 B) 2 E) 1 D) 6

C) 2

Factoriza: P(a; b; c) = (a + b + c)(ab + ac + bc)- abc e indica un factor primo.

C) 2a - b

Halla la suma de coeficientes de un factor primo de: F(x; y) = 16x12 y3 - 20x8y7 + 4x4 y11

11 Factoriza: F(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2 e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

A) 5 D) 4

A) 8 D) 2

C) -1

C) - 10

12 Factoriza: G(x) = (x2 + 6)2 + 3x(x2 + 6) - 10x2 El factor primo cuadrático es:

A) x2 - 2x + 6 D) x2 + 5x + 5

B) 6 C) 2 E) Hay dos respuestas

13 Factoriza por el método del aspa simple: P(x) = (6x2)2 - 61x2 + 25 F(x; y) = x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4 R(x; y) = x4 + y4 - 4xy(x2 + y2) + 5x2y2 A(a; b) = (a + b)4 - (a - b)4

B) 16 E) 4

B) x2 + 2x + 6 E) x2 - 5x + 6

C) x2 + 3

14 Dados los polinomios: P(x) = x2(x2 + 3)2 - (3x2 + 1)2 Q(x) = x4 + 2x2 - 3 al factorizarlos da como respuesta el factor común cuadrático.

A) x3 + 1 D) x2 + 3

B) x2 - 2 E) x2 + 4

C) x2 - 1

3. E

A) 1 B) 6 D) -2 E) -6

10 Factoriza: R(a) = a8 - 12a4 + 16 Indica el producto de términos independientes de los factores primos.

4. B

6. C 5. E

8. 7. A

Claves

9

B) a - b E) 4a + b

Factoriza por el método de las identidades: F(x) = 9(3x2 - 4)2 - 4(2x2 + 2)2 (en R) R(x) = 8x3 + 27 P(x; y) = x4 + 14x2 + 49 - y2 M(x; y) = x6 - x4y2 - x2y4 + y6

1. C

A) a + b D) 3a + b

8

2. E

7


33

10. B 9. A

12. A 11. E

14. C 13.

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1. ¿Cómo lo dirías? Se olvidaron de escribir las indicaciones de cada proceso. Observa bien las frases de la parte inferior y escribe la letra que corresponda en los espacios circulares en blanco. Factoriza y da como respuesta la suma de los factores primos: T(x; y; z) = x2y4 + x2z4 + y2z4 + x4y2 + x4z2 + y4z2 + 2x2y2z2 Resolución:

2. Memoria Memoriza estas metodologías de factorización durante 1 minuto. A continuación tápalas y responde las preguntas indicadas líneas abajo. A. Método del factor común. B. Método de las identidades. C. Método del aspa simple. D. Método del aspa doble. E. Método del aspa doble especial. F. Método de los divisores binomios. G. Método de los artificios del cálculo. I. El método del aspa doble está representado por la letra:___ II. El número de métodos indicados es: _____ III. Escribe los métodos indicados según:

zy

2 4 4 2 T (x; y; z) = x2 y4 + x2 z4 + y z + x4 y2 + x4 z2 + y z + x2 y2 z2

%

zy

+ x2 y2 z2

%

C: F: A: G:


T(x; y; z) = (x2y4 + x2y2z2) + (x2z4 + x2y2z2) + (y2z4 + y4z2) 4 2

4 2

+ (x y + x z ) T(x; y; z) = x2y2(y2 + z2) + x2z2(z2 + y2) + y2z2(z2 + y2) + x4(y2 + z2)

T(x; y; z) = (y2 + z2)( x2 y2 + x2z2 + y2z2 + x4 )

%

%

T(x; y; z) = (y2 + z2)((x2y2 + x4) + (x2z2 + y2z2))

T(x; y; z) = (y2 + z2)(x2(x2 + y2) + z2(x2 + y2))

2

2

2

2

2

T(x; y, z) = (y + z )(x + y )(x + z ) y2 + z2 + x2 + y2 + x2 + z2 = 2(x2 + y2 + z2) A) Nos piden calcular la suma de sus factores primos: B) Si observas toda la expresión se nota que no hay factor común y si se quiere agrupar notamos que hay un número impar de términos lo que implica que siempre sobrará un término. Usamos un artificio, el de desdoblar 2x2y2z2 en x2y2z2 + x2y2z2 esto facilitará la agrupación, veamos: C) Agrupando tal como se indica: 2

D) Extrayendo el factor común: y + z

E) Agrupando dentro del paréntesis como se indica: F) Extrayendo el factor común x2 + y2 G) Extrayendo factores comunes en cada paréntesis. H) Extrayendo factores comunes de los dos paréntesis.

34 Intelectum 5.°

A) 2x2 - 2x + 8 D) 2x

B) x2 - x E) 2x2 + 2x - 8

C) x2 + x

B) x2 - x + 1 E) x3 - x2 - 1

C) x3 + x2 - 1

4. Factoriza: x5 + x + 1 Indica un factor primo. A) x2 + x + 1 D) x2 - x - 1 5. Factoriza:

R(x) = xn+7 - xn+6 + xn+3 - xn+2 + x - 1 Indica un factor primo.

2

2

3. Factoriza: N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1)+ 3 Da la suma de factores primos.

A) x + 1 D) xn + x + 1

B) xn - 1 E) x - 1

C) xn + 1

6. Indica el número de factores primos cuadráticos de: J(x) = (x4 + x2)(x3 + x) + (x4 + x2) + (x3 + x) +1

A) 4

B) 3

C) 5

D) 1

E) 2

7. Factoriza:

R(x) = x2 - b2 + 2ax + a2

e indica el factor primo de mayor término independiente (a 2 0; b 1 0). A) x + a D) x - a

B) x + b E) x + a - b

C) x + a + b

8. Al factorizar: F(x; y) = x4y - x2y3 - x3y2 + xy4 el número de factores primos binomios es: A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución de problemas 9. Halla la suma de coeficientes de un factor primo de: A(x; y) = M + Nx2 + Py2 + Qy + Rxy + 3x si: M; N; P; Q y R son números consecutivos cuya suma es 15. A) 4 / 5 D) 6 0 3

B) 2 / 3 E) 6 / 3

C) 2 0 3

10. Factoriza: P(x) = x3 + 5x2 - 2x - 24 e indica la suma de los términos independientes de los factores primos. A) 6

B) 10

C) 5

D) - 2

E) 4

16. Factoriza: M(x; y) = 2x2 + 7xy - 15y2 - 6x + 22y - 8 Calcula el producto de coeficientes de los factores primos. A) 120

B) 50

A) 1

B) 2

x5 + x + 1 El enunciado incorrecto es: A) Tiene dos factores primos. B) Tiene un factor de segundo grado. C). Tiene un factor de tercer grado. D) La suma de coeficientes del factor de mayor grado es 2. E) La suma de coeficientes del factor de menor grado es 3.

12. Se establece: a + b + c + d = 31; {a, b, c, d} ! Z+ y se presenta el siguiente polinomio: T(x) = 21x2 + 22x + 5 Es factorizable por aspa simple, tal que:

B) 2a3b3 E) 4a3b3

C) x3 + x2 + 1

D) 5

E) 1

15. Factoriza: x3 + 4x2 - 17x - 60. Indica un factor primo. A) x + 4 D) x + 6

B) x - 3 E) x + 3

A) 5

B) 1

C) 4

D) 3

E) - 2

20. Factoriza: x3 - 4x2 - 7x + 10 Indica la suma de sus factores primos. A) 3x - 2 D) x - 8

B) 3x - 4 E) 2x + 6

C) 2x + 1

3x4 + Mx3 + 13x2 + Px + 10

3x2 ax2

cx 5 dx b

determina los posibles valores de M y P respectivamente:

14. Halla el término independiente de uno de los factores de: (x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6)+ 38 C) 3

19. Calcula la suma de coeficientes del factor primo mónico cuadrático que se obtiene al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 11x2 + 7x + 2

21. En la factorización del polinomio.

13. Factoriza: T(x) = x5 + x + 1 e indica un factor primo.

B) -5

C) 3a3b3



A) 2

E) 5

P(a; b) = (a2 + b2)(a2 + b2 + 6ab)+ 5a2b2

C) -3(x + 1)

B) x2 + 1 E) x3 - x2 + 1

D) 4

NIVEL 3

21x2 + 22x + 5 7x a bx c Indica la diferencia de los factores primos.

A) x3 + 2 D) x2 - x + 1

C) 3


11. Respecto a los factores de la expresión:

B) -2(x + 1) E) -5(x + 1)

E) 60

18. Calcula el producto de los términos de un factor primo de:


A) -(x + 1) D) -4(x + 1)

D) 240

17. Luego de factorizar al polinomio: N(x) = (x - 1)4 + (x - 1)2- 6 se obtiene un factor primo de la forma: (axb + cx + d); d es par. Calcula: a + b + c + d

A) 5a3b3 D) 6a3b3

Nivel 2

C) 80

C) x - 5

A) {2; 5} {7; 5} D) {1; 1} {2; 2}

B) {7; -1} {2; 10} E) {-10; -7} {-3; 5}

C) {5; 7} {9; 12}

22. Relaciona cada polinomio con su expresión factorizada: I. A(p; q; r) = p2q2r2 - r2q3 + q3p - q2p3 - p2r3 + p3r - pqr + r3q II. A(p; q; r) = - r3q2 + q3r2 + p3q2 - p3r2 - q3p2 + r3p2 III. A(p; q; r) = p3r3 + p3q3 + (p3 + q3 + r3)pqr + 2p2q2r2 + q3r3

(p2 + qr)(r2 + pq)(q2 + pr)

(p2 - q)(q2 - r)(r2 - p)

(q - r)(p - q)(p - r)(pq + qr + pr)


35

Razonamiento y demostración 23. Factoriza: E(x) = (x2 - 9x + 20)(x2 + 5x + 6) - 60 e indica un factor primo. A) x + 2 D) x - 3

B) x - 1 E) x + 3

B) x + 1 E) x2 + 7x - 16

C) x2 + 1

B) 0 E) 3a

A) 14 D) 11

B) 6 E) 8

C) 7

32. Luego de factorizar:

E = (2x2 - 9x + 1)2 + 24x(x - 1)(2x - 1)

indica un factor primo.

C) x - 1

A) 3x - 1 D) x - 1

B) 2x + 1 E) x + 23

C) x - 3

33. Factoriza:

25. Factoriza: H(x) = x3 - 7xa2 - 6a3 y da como respuesta la suma de los términos independientes de sus factores primos. A) 3x D) a + a2

E = x6 + 21x4 + 119x2 - 1

e indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos.

24. Factoriza: (x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 5) - 24 e indica un factor primo. A) x - 6 D) x2 + 16

31. Factoriza:

C) x + 2a

E(x; y) = 49x4m + 5x2my4n + y8 e indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos. A) 6 D) 8

B) 10 E) 4

C) 11

26. Factoriza:

B(x) = x5 - 2x4 - 6x3 + 8x2 + 5x - 6

e indica el número de factores primos.

A) y3 + 8y + 9 D) y3 + 5

B) y + 5 C) y2 + 3y + 4 E) y2 + 4

30. Hallar el número de factores primos de: P(y) = y7 + 5y6 + 8y5 + 6y4 + 6y3 + 8y2 + 5y + 1 A) 4 D) 5

B) 2 E) 6

36 Intelectum 5.°

C) 3

18. A 12. D 6. E

26. D

33. C 16. D Nivel 2 17. E 11. D

25. B

Nivel 3 27. B 21. C 28. B 22. 29. C 23. D 30. C 24. B 5. E

29. Luego de factorizar: P(x) = (x + y)(x + y + 2)(x + y + 1)(x + y + 3)- 8 da como respuesta el término independiente de un factor primo cuadrático.

4. A


15. E

C) 3

9. D

B) 2 E) 5

10. C

A) 1 D) 4

14. B

indica el número de factores primos.

13. E

P(a; b) = a4 + b4 + a2b2

8. B

28. Luego de factorizar el polinomio:

7. E

C) 3

Nivel 1 1.

B) 2 E) 5

C l ave s

A) 1 D) 4

20. B

Indica la suma de coeficientes de un factor primo de P(x).

19. D

P(x) = x4 + 2x2 + 9

3. E

27. Sea el polinomio:

32. B

C) 2

2.

B) 3 E) 6

31. A

A) 5 D) 4


MCD y mcm - fracciones algebraicas

Efectúa: 2

2 2

2

E = x 2- 5x + 6 + x +26x - 27 + 2 25 - x + 2x + 1 x-4 x +x-6 x -9 x - 9x + 20

A) 0 D) 2x2 - 1 x -4 3

C) 2

E) 4

Efectúa: 1 - 2 - 2 + x-1 x - 1 x + 1 x2 - 1 ^x + 1h2

A)

x x-1

3 D) ^ x + 1h2 5

B) 3

B)

1

^ x + 1h2

E) 1

C)

4

B) 40 E) 45

A) abc

B) a + b + c

D) ab c

E) 0

2 y x2 + y -x2 xy + y xy + x2 y x

y B) x C) y x E) -1

A) 0 D) 2

C) 50

6

C) ab + bc + ac

Reduce:

-2

^ x + 1h2

Sean los polinomios: P(x) = x4 + mx - 9x2 + n y F(x), cuyo MCD(P; F) = x2 - 5x + 6. Calcula (m + n).

A) 30 D) 55

Efectúa: 1 1 1 + + â - bhâ - ch ^b - ah^b - ch ^c - ah^c - bh

Si el MCD de: P(x) = ax2 + 2x - b y R(x) = ax2 - 4x + b es (x - 1), calcula: M = b + a2 a

A) 3 D) 6

B) 7 E) 5

C) 4


37

El MCM de A(x) y B(x) es x3 - x2 - 4x + 4 y el MCD es x2 + x - 2. Halla el número de factores primos de: A(x) . B(x)

8

Halla A; B y C, si:

D) -1; - 2; - 3

2 10 Efectúa: R = c x + 3 - x mc2x - x m ' c 2x - x m x-1 x+1 x-1

1+ 1 - 1 x2 x x+1 2 1 1 x ^ h + ^ x - 1h x x

A) -5 B) -4 D) -2 E) -1

C) -3

A) x + 2 D) x - 1 12 Simplifica: P = S1 + S SS T

2

E = c 1 + 1 - x mâ + b + xh : e 12 + 12 + 2 - 2x 2 o a b ab ab a b a b

A) 3a - 1 D) 1

C) ab

10. A 9. E

E) x

2 1-x

A) 2 D) 4

7. A

D) 1 x

C)

8. C

B)

V 3a + 2 W' W 2a + 1 1+ 1 + 1 WW a X 1

1

B) a E) 2a + 1

B) - 1 E) 6

5. b

5 1 - x2

A) x + 2

C) 3x + 1

C) 3a

14 Calcula el valor de m + n, si al simplificar la fracción: x2 + ^2m - 5h x - 10m se obtiene: x + 10 E= 2 x+9 x - ^3n + 5h x + 15n

6. C

B) a + b E) a - b

1 3 13 Reduce: M = - 3 + ^x - 1h^x - 2h x2 - 1 ^x + 1h^2 - xh

12. D 11. C

14. A 13. B

Claves

38 Intelectum 5.°

B) x E) 2x + 3 R

11 Reduce:

A) 1 D) 3ab

C) 1; 2 ; 1 3 3

C) 1

3. c

Efectúa:

C) 5

B) 1; - 2 ; - 2 3 E) 1; 2; 1 3

4. E

9

B) 4 E) 5

A) 1; 2 ; - 1 3

1. B

A) 3 D) 4

2 x +x+1 A B C + + = 3 ^ x - 1h2 ^ x - 1h ^ x + 2h x - 3x + 2

2. E

7

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1. Memoria: Memoriza el siguiente concepto durante 53 segundos; luego sin mirarla compara y verifica cuál de las alternativas coincide exactamente con la memorizada. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) de cada uno de los polinomios dados. Para determinar el mcm de varios polinomios se procede como sigue: a) Descomponer cada polinomio en el producto de sus factores primos. b) El mcm es el producto obtenido de los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios. A El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o múltiplo) de cada uno de los polinomios dados. Para determinar el mcm de varios polinomios se procede como sigue: a. Descomponer cada polinomio en el producto de sus factores primos.

calcula: x2 + y2 + z2 C El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o A) 3 B) 5 C) 7 más polinomios es el polinomio de menor D) 9 E) 12 grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) 5. Sabiendo que: de cada uno de los polinomios dados. Para determinar el mcm de varios ▪▪ x3 + y3 + z3 = 4xyz polinomios se procede como sigue: ▪▪ x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) a. Descomponer cada polinomio en el = 2xyz producto de sus factores primos. b. El mcm es el producto obtenido de los factores no comunes elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios. 2. Identifica la alternativa que no es correcta: 3 2 11x + 6 = (x - 1) (x + 3) A) x 3 + 6x + 2 7x + 15x + 3x + 2 7x 2 + x - 1

1 2 cx + m x +1 1 2 cx - m x 4x = 2 . 2 3 1 x +1 cx + m x x -1 2 1 cx - m x B)

m (m + 3p) + 2n (3p - 2n) C) 3p (m + 3p) + 2n (m - 2n)

= m+2 2n + 3p


calcula: ^ x + y + zh6 - 16x2 y2 z2 E= 2 ^ x3 + y3 + z3 h A) 4 D) 12

B) 6 E) 15

C) 9

6. Si: xy + yz + zx = 3xyz = 1; halla: A=

y^1 + x2h z^1+ y2h + ^1- xyh^1- xzh ^1- yzh^1- xyh +

A) 1 D) xyz

B) 2x E) 1/9

x^1+ z2h ^1- zxh^1- yzh C) 3

7. Si se cumple que: a + b + c = a+b+c a+1 b+1 c+1 K

b. El mcm es el producto obtenido de los factores comunes y no comunes simplifica la expresión: 3. Si: a2 + b2 + c2 = 5(ab + bc + ac); elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de calcula: H = ab + a +K + bc +b +K + ac + c +K b+1 c+1 a+1 los polinomios. 49â4 + b4 + c4h - 23â + b + ch4 R= B 49abcâ + b + ch A) 4K B) 2K C) 3K El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o D) 8K E) 6K más polinomios es el polinomio de menor A) a B) ab C) 12 grado y menor coeficiente (prescindiendo b 8. Si al evaluar la fracción: de los signos) del cual es factor (o divisor) D) 4 E) 1 3 2 3 de cada uno de los polinomios dados. F^ x h = x3 + bx 2- abx2 - a Para determinar el mcm de varios x + 3ax - 4a x + b polinomios se procede como sigue: 4. Si: a) Descomponer cada polinomio en el para x = a; se obtiene la forma 0/0. 2 2 2 2 2 2 c a a b b c producto de sus factores primos. Entonces, después de simplificarla, se x= 2 ;y = 2 ;z = 2 obtendrá como verdadero valor: c + a2 a + b2 b + c2 b) El mcm es el producto obtenido de los factores comunes y no comunes y además: B) 1 C) 3 A) 1 elevados a la mayor potencia con la que 4 4 4 4 4 4 2 5 a +b + b +c + a +c =4 entran a formar parte en cada uno de 2 E) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D) â + b h ^b + c h â + c h los polinomios. 3 5


39

9. Encuentra el valor de: a+b + a+b + b+c + b+c +a+c + a+c b+c a+c a+b a+c a+b b+c siendo: a + b + c = 0 A) 1

B) 2

C) 3

D) -2 E) -3

10. Halla el MCD de los polinomios:

14. Lenguaje: Para resolver este logogrifo debes sustituir los números de los recuadros por letras según la teoría de MCD, mcm y fracciones algebraicas. Una pista: Cada número nos representa siempre la misma letra.

P(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3

2

A(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3

7

B(x; y) = x4 - 2x2y2 + y4 A) x + y D) 2(x - y)

2

C) x2 - y2

B) x - y E) 2xy

Resolución de problemas 11. Si: P y Q son dos polinomios factorizables definidos por: P(x) = x3 + 4x2 + ax + b

1

2

2

1

1

2

3

1

9

3

Q(x) = x + cx + d tal que, el MCD(P; Q) = (x - 1)(x + 3), entonces la suma de coeficientes del polinomio [MCM(P; Q)], es: A) 9

B) 8

C) 6

12. La fracción:

D) 4

ax2 + 29x + 12 x (x + 2) 2

B) 103

C) 105

D) 110

I II

3

III IV

1 7

E) 0

V VI VII VIII

se descompone en 3 fracciones parciales. Determina el producto de los numeradores. A) 100

3

E) 120

Nivel 2 Comunicación matemática 13. De las proposiciones: I. P(x) = x2 - x - 6

I. Es aquella fracción algebraica donde el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. II. Está formado por los factores comunes con su menor exponente. Es el máximo común... III. Es aquella fracción algebraica donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. IV. Si: Z(x; y) =

Ax3 + Bxy + Cy5 A1 x3 + B1 xy + C1 y5

es independiente de sus variables; entonces se cumple un ... constante de Z.

2

Q(x) = x - 9

R(x) = x3 + 11x2 + 7x - 147

MCD(P(x); Q(x); R(x)) = x - 3

mcm(P(x); Q(x); R(x)) = (x - 3)(x + 2)(x + 3)(x + 7)2

V. Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas, en donde la expresión que representa al divisor es diferente de...

II. P(x) = x + 3x - 36x - 41x + 105

VI. Se factorizan las expresiones, se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

R(x) = x5 + 2x4 - 34x3 + 3x2 - 33x - 35

VIII. La primera letra.

4

3

2

Q(x) = x4 + x3 - 43x2 + 23x + 210

MCD(P(x); Q(x); R(x)) = (x - 7)(x + 5)

mcm(P(x); Q(x); R(x)) = (x - 7)(x + 5)(x - 3)(x + 2)(x2 + x - 3)

(x2 + x - 1) A) Solo I es correcta B) Solo II es correcta C) I y II son correctas D) Ninguna es correcta E) No se puede afirmar nada

40 Intelectum 5.°

VII. El MCD(x3 + 3x; x3 + 9x2 + 3x + 27) es x2 + 3 ¿SÍ o NO?

15. Memoria Memoriza el texto durante 1 minuto; luego tapa las descripciones y responde con SI o NO las preguntas planteadas: ▪▪ Para dos polinomios E y F, su MCD por su mcm es igual al producto de los polinomios indicados. MCD(E; F) . mcm(E; F) = E . F

▪▪ Para más de dos expresiones algebraicas que son primos entre sí, el MCD es la unidad y el mcm es el producto de ellas. ▪▪ Luego de ser factorizadas las expresiones, el MCD está dado por el producto de sus factores comunes afectados de sus menores exponentes. ▪▪ Luego de ser factorizadas las expresiones, el mcm está dado por el producto de sus factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes. 1. ¿El MCD de un polinomio por el MCD de otro polinomio es igual al producto de los polinomios?

________

2. ¿El MCD (luego de factorizar las expresiones) estará dado por el producto de los factores no comunes elevados a su mayor exponente?

________

3. ¿El mcm(luego de factorizar las expresiones) estará dado por el producto de los factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

________


B) 0 E) 2

B) - 2 E) - 8

4

3

21. Si: xa = a2 - bc yb = b2 - ca

zc = c2 - ab

Halla el equivalente de: F= A) abc D) 1

B) a + b + c C) ab + bc + ac E) a2 + b2 + c2

22. Si:

2^2x2 + 11xh + 13 A + Bx + C = x + 5 x^ x + 5h + 1 ^ x + 5h6 x^ x + 5h + 1 @

B) 64 E) 16

B) 6a2 a A) 2a2 D) ∞ E) -a

2

A) 3x2 + 2x - 1

B) 2x2 - 2x + 3 C) 2x2 - x + 3

D) x2 - x + 1

E) x2 + x + 3

+

1

^z - xh2

+

1

^x - yh2

= 4;

calcula: S = 1 + 1 + 1 ; x ! y; y ! z; x ! z y-z z-x x-y A) 8

B) 16

C) 2

D) 4

E) 6

19. Si se sabe que: a-1 + b-1 + c-1 = 0;

3a2 b2 c2 â + b + châ2 + b2 + c2h a3 b3 + b3 c3 + a3 c3 B) 0 E) abc

C) 0

24. Indica como respuesta la suma entre el numerador y el doble del denominador de una de las fracciones simples de la fracción: x4 - 7x3 - 6x2 - x + 21 x3 - 8x2 + 5x + 14 A) 2x + 1 D) 2x - 3

B) 2x - 1 E) 5x + 1

C) 2x + 21

Nivel 3 Comunicación matemática 25. De las proposiciones, marca solo la alternativa incorrecta. Considerando los polinomios:

simplifica:

A) 1 D) a2 + b2 + c2

C) 27

x3 - a3 , para: x = a, es: x- a

B(x) = 10x3 - 9x2 + 17x - 6

1

a2 x + b2 y + c2 z ax + by + cz

23. El verdadero valor de la expresión:

C) 3

A(x) = 2x - x - 3x + 3x - 9

^y - zh2

C) 3


17. Halla el MCD de los siguientes polinomios:

3

A) 1 D) -1

1 + 1 + 1 a + bc b + ac c + ab

A) 1 D) 4

E=

para: x = 1

A) 1 D) 9

a3 + b3 + c3 = 4

18. Si:

3 2 E = x 3+ 7x 2- 17x + 9 x + 2x - 7x + 4

halla: (A + B)C

16. Si: a + b + c = 1 halla: M=

20. Halla el verdadero valor de:

C) a + b + c

A(x) = x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24 B(x) = 2x3 + 7x2 + 2x - 3 C(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 8x + 6 D(x) = x4 + x3 - 7x2 - x + 6 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

41

Entonces, afirmamos que:

27. Completa en los recuadros en blanco lo que falta para llegar a la solución:

I. El MCD(A(x); B(x); C(x); D(x)) = (x + 1)(x + 3)

De los siguientes polinomios:

II. El mcm(A(x); B(x); C(x); D(x)) = 2

2

(x + 1)(x + 3)(x + 2)(x + 4)(2x - 1)(x + 2)(x - 3x + 2)

A(x) = x4 + 15x3 + 64x2 + mx + n

B(x) = x5 + 8x4 + 5x3 - 9x2 + px + q

III. El término independiente (TI) del mcm(A(x); B(x); C(x); D(x)) = - 96

Su MCD es: (x + 7)(x + 1)

IV. La suma de coeficientes del MCD(A(x); B(x); C(x); D(x)) = 8

Veamos la solución: ▪▪ Cada polinomio puede ser expresado considerando el MCD como:

V. MCD(B(x); D(x)) . mcm(B(x); D(x)) = (x + 1)2(x + 3)(2x - 1)(x2 - 3x + 2) 26. Fracciograma Fíjate bien en las fracciones y luego escribe el nombre de acuerdo a la clasificación de cada una de ellas junto al número que corresponde. V

Determina la suma de los factores primos del mcm de los polinomios.

A(x) = (x + 7)(x + 1)(Pol. 2.° grado) = x4 + 15x3 + 64x2 + mx + n 2.° grado 4 3 2 Para x = -7: 0 = + 15 + 64 +m & m + n = -392 ...(1)

+n

4 3 + 15 + 64 Para x = -1: 0 = m + n = -50 &

+n

+m ...(2)

y n=

De (1) y (2): m =

IV

2

Asimismo:

B(x) = (x + 7)(x + 1)(Pol. 3er grado) = x5 + 8x4 + 5x3 - 9x2 + px + q 2.° grado

III

I

I. Si: F(x; y) =

+8 &

4

3 2 +5 -9 +p +q p + q = 245 ...(3)

Para x = -1: 0 =

5

+8 &

4

3 2 +5 -9 +p +q p + q = 7 ...(4)

A(x) = x4 + 15x3 + 64x2 +

Se cumple: A = B = C A1 B1 C1

3 III. 3x + 2 ; x - 2x + 1 ; 150 x+9 x+9 x+9

x+

1

x + 1 3x + 1 - 6x - 5 5x x ; 2x - 1 x ; x+3 x-7 +3 10 + 1 x-2 x 1- 1 x

2 V. x + 3 ; x 2- 4x - 21 6 x ! R - '7, - 3, 1 1 2x - 1 2x - 15x + 7 2

42 Intelectum 5.°

x+

1 15 64 -7 -1

Ax + Bxy + Cy A1 x + B1 xy + C1 y

3 2 4 II. x - 7x + 1 ; 150x + 1 ; x + 4x - 1 x+2 x2 + x - 3 x2 + 2

IV.

5

y q= De (3) y (4): p = ▪▪ Con los valores (m, n, p y q) determinados: factorizamos los polinomios: II

Para x = - 7: 0 =

A(x) = (x + 7)(x + 1)(

x2 +

B(x) = x5 + 8x4 + 5x3 - 9x2 +

x+

x+

1 8 5 -9 -7 -1 B(x) = (x + 7)(x + 1)(

x3 +

)

x+

)

▪▪ El mcm de A(x) y B(x) estará dado por: 32. Si: ab + bc + ac = 0 calcula: x2 + mcm(A; B) = (x + 7)(x + 1)(

) 33. Conociendo que: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2

E) 4

30. Si: a+b+c=1

a3 + b3 + c3 = 4

halla: M= 1 + 1 + 1 a + bc b + ac c + ab A) 1 D) 4

B) -2 E) -8

31. Si se sabe que: a simplifica: 9

9

-1

C) 3 -1

+c

=0

3 3 3

a + b + c - 3a b c - 3abc a 6 + b 6 + c 6 - 3a 2 b 2 c 2

A) 1 2

B) 0 2

2

D) a + b + c E) abc

B) a = 3

b = -2

b = -2

c = 3

c=4

C) a = 2

D) a = 4

b = -2

b=5

c = 1

c=3

36. B

35. B

37. D 30. B 24. b

29. A

E) a = 2 b = -1 c = 1

Resolución de problemas -1

+b

9

A) a = 1

18. c

C) 1

12. c

B) 2

6. c

A) 1 2 D) xyz

5x2 + 19x - 18 = a + b + c x x+3 x-2 x^x + 3h^x - 2h

7. c

y z x K= + + xz^x + yh xy^y + zh yz^z + xh

35. Halla a, b y c en:

Nivel 1 1. b

halla:

E) a + 2b = c + 2d

Cl aves

x2 + y2 y2 + z2 z2 + x2 + + = xyz x+y y+z z+x

23. b

C) a + d = b + c

17. c

B) a + c = b + d D) a + b + c + d = 0

29. Si:

3

A) a + b = c + d

11. e

C) 8

es un cuadrado perfecto, entonces podemos afirmar que:

5. e

A) 1 B) -8 D) -1 E) -27

Q(x) = x3 + cx2 + (c + d)x + d

34. C

halla: 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z E=c mc mc m y+z x+z x+y

P(x) = x3 + ax2 + (a + b)x + b

28. D

28. Si: (y + z)-1 + (x + z)-1 + (x + y)- 1 = 0

34. Si el MCD de:

22. e


C) a - 2b

16. b

+

A) a + b + c B) a + 2b D) b + c E) c + a

C) 2x + 3

10. c

x

B) 2x - 1 E) 2x + 5

4. b

x2 +

A) 2x + 1 D) 2x - 3

33. A

)

27.

x3 +

` !FP(mcm) =

+

21. b

)x + (7 + 1 +

+

a4 + b4 + c4 a + b3 + c3 + abc 3

15.

+

Simplifica:

9. e

▪▪ Reduciendo términos semejantes: !FP(mcm) = x3 + x2 + (1 + 1

admite simplificación. ¿Cuál es el denominador que se obtiene si se efectúa dicha simplificación?

3. d

x+

mx3 - ^m + 9h x2 + ^m + 16h x - ^m + 7h

32. A

x3 +

)+(

37. La fracción: mx3 - ^m + 7h x2 + ^m + 8h x - ^m + 1h

26.

x+

C) bc

20. e

+

B) ab E) 2ac

14.

x2

!FP(mcm) = (x + 7) + (x + 1) + (

A) ac D) abc

8. c

▪▪ Nos piden la suma de los factores primos del mcm !FP(mcm):

C) 0,3

2. a

)

31. C

x+

Nivel 3 25.

x +

B) 7,2 E) 8,4

19. c

)(

A) 6,5 D) 1,33

âbh3 + ^bch3 - 2âch3 K= 3abcâ + b + ch

Nivel 2 13. a

x+

3

tome el valor de 11.

C) a + b + c

36. A partir de la relación:

a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) = Mabc

determina el valor de M que hace que la fracción: a^b + ch2 + bâ + ch2 + câ + bh2 ; a^b - ch2 + bâ - ch2 + câ - bh2 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

43


pOTENCIACIÓN

¿Para qué valor de n se verifica la igualdad: 5Cn5

=

A) 71 D) 2 3

B) 8 E) 5

En el desarrollo de: c2 x 2-1 +

C) 6

1

4-x

6

m

B) 1 E) 6

n

A) 5 D) 4

44 Intelectum 5.°

B) 6 E) 8

C) 7

6

B) 16 E) 10

C) 22

Halla el valor de n para que el término décimoquinto del 5n + 4

2 2 desarrollo de c a + b m b a

A) 6 D) 4

C) 3

9y 2 m Si en el desarrollo del binomio c5x3 + ; existe un x 4 4 término que contiene a x y , indica el número de términos.

Calcula el término independiente de la expansión de: 22 P(x) = c x7 + 3 1 m x

A) 40 D) 1 4

4 determina x para que el tercer término sea 240.

A) 2 D) 5 5

2

nCn3 - 1 ?

contenga a a con exponente 6.

B) 8 E) 1

C) 7

Halla (n + k), si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk.

A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

7

Halla el término independiente de x en la expansión de: 9 ; x + 4 1 E x

A) 74 D) 84 9

B) 78 E) 88

8

C) 82

B) 30x3 E) 9x3

78 78 E) C14 D) C12

`3 a x + y + 2 . a + b x2 - xy + y2 j 3

12

A) 12 D) 5

B) 2 E) 6

son

C) 3

12 Determina el coeficiente del término en x10 del desarrollo de: (1 + 3x2 + 3x4)7

11 Si el coeficiente del término en el desarrollo de: 3

10 ¿Cuántos términos del desarrollo de ^3 3 + 2 h números naturales?

C) 120x3

2b + a

78 4a - 8 P (x) = c x + 12 m es C78 a , halla el coeficiente de: x x

78 78 A) C15 B) C78 20 C) C16

Determina el tercer término en la expansión de P(x) = (x + 3)n, si se sabe que su cuarto término es 270xa.

A) 90x3 D) 90x4

Si el coeficiente de x45 en el desarrollo de:

que contiene a

4

(x + y ) es igual a 7(12) . Determina el valor de: a - 1 2a + b

A) 807 D) 15 362

C) 11

A) 18 D) 21

B) 19 E) 22

5. a

C) 15

6. c

10. c

8. e

9. a

7. d

C) 20

Claves

B) 5 E) 11

14 Determina el valor de t: (t - 8) ! (t - 9) ! = 5040(t2 - 18t + 80) (t - 8) ! - (t - 9) !

3. a

12. c 11. b

A) 10 D) 12

C) 19 278

4. d

13 Calcula n + 1, si se cumple que en el desarrollo de: n P (a; x) = c1 + 9 x m los términos (n - 1) y n admiten igual 2 coeficiente.

B) 918 E) 1254

1. b

B) 3 E) 6

2. c

A) 1 D) 9


45

14. a 13. a

Practiquemos 10. Si en el desarrollo de (axa + bxb)n, los términos de lugares (a + 3) y (b - 1) equidistan de los extremos; además, la Comunicación matemática 3. Sean n y k enteros positivos que cumplen: suma de todos los coeficientes es 27. n ! + (n + 1) ! + (n + 2) ! Halla la suma de todos los exponentes de 1. Indica verdadero (V) o falso (F), según = k! ^n + 2h ! - ^n + 1h ! - n! la variable x en su desarrollo. corresponda: I. El desarrollo de (a + b)17 tiene 18 A) 20 B) 18 C) 16 Calcula el mayor valor de nk. términos. D) 14 E) 15 II. En el desarrollo de (x + y)10 todos A) 2 B) 27 C) 256 sus términos son negativos. D) 4 E) 16 III. En el desarrollo de (a - b)7 el cuarto Nivel 2 término tiene signo negativo. 4. Efectúa: 4 Comunicación matemática IV. (x + y)20 & t10 = 167 960x11y9 8^ x - 1h9 ^ x + 1h9 ^x2 + x + 1h9 B A) VFFF B) VVFF C) VFVV Halla el número de términos del desarrollo 11. Completa según la teoría. D) VVFV E) FFVF a. Es el resultado que se obtiene de y además el término central. ____________ todos los números 36 52 36 30 B) 30; C18 A) 37; C18 x x 2. Memoriza el siguiente concepto durante ____________ en forma consecutiva 30 segundos, luego sin mirarlo compara 36 56 36 54 C) 37; C18 D) 37; C18 x x desde la ______ hasta el ___________. y verifica cuál de las alternativas coincide 36 50 exactamente con la memorizada. E) 37; C18 x El número combinatorio ^Cm b. Se define como el _____________ de p h es el número de maneras en que se pueden 5. Calcula el valor de (a + n), si se cumple grupos que se pueden ___________ agrupar los “m” elementos tomados de “p” que: con “n” elementos tomados de “k” en “k”, en “p” elementos, donde cada grupo debe Ca4 + 3 = 7Ca4 + 1 / a! = n a - 2 diferenciarse por lo menos de otro, sin donde ___________ debe diferenciarse importar el orden de sus elementos. de otro ______________________. A) 5 B) 19 C) 12 D) 4 E) 16 c. El número de ____________ del A 6. Resuelve: h es El número combinatorio ^Cm desarrollo del binomio (x + a)n es igual p x x x 2 C 2 C C 4= 3- 2 el número de maneras en que se al ___________ del _____________ pueden desagrupar los “m” elementos A) x = 4 0 x = 6 B) x = 4 0 x = 5 aumentado en la _____________. formados de “p” en “p” elementos, C) x = 5 0 x = 7 D) x = 6 0 x = 5 donde cada grupo debe diferenciarse E) x = 3 0 x = 6 d. El _______________ sirve para obtener por lo menos de otro, sin importar el orden de sus elementos. los _____________ del desarrollo de un 7. ¿Cuántos términos del desarrollo de ________ de ______________, donde 12 ^3 3 + 2 h pertenecen al conjunto N? la suma de dos ____________ de una A) 3 B) 4 C) 6 B _________ genera un término para la D) 7 E) 9 El número combinatorio ^Cm p h es el ______________. número de maneras en que se pueden 8 agrupar los “m” elementos tomados 8. En el desarrollo de cax + 1 m el término 12. De las proposiciones, indica verdadero (V) x de “p” en “p” elementos, donde cada o falso (F): G de lugar siete es 252x-4; a 2 0. Halla a. grupo debe igualarse con otro, sin ( ) I. G = 2 2 G importar el orden de sus elementos. 2 A) 1 B) 2 C) 3 Si G: par (G ! Z+) D) 4 E) 5

Nivel 1

C El número combinatorio ^Cm p h es el número de maneras en que se pueden agrupar los “m” elementos tomados de “p” en “p” elementos, donde cada grupo debe diferenciarse por los menos de otro, sin importar el orden de sus elementos.

46 Intelectum 5.°


Resolución de problemas 9. La suma de coeficientes de: âx-b

y-

ba

2a

xy h es 4096

¿Qué lugar ocupa el término en el cual los exponentes de x e y son iguales a 4? A) 2 D) 8

B) 4 E) 7

C) 6

II.

G 2 2 G-1 2 Si G: impar (G ! Z+) G =

(

)

III. G . G - 7 = G ; 6 G ! Z+ (

)

IV. 3!!! = 720!

(

)

V. (((5!)!)!)! ! 5!!!!

(

)

G-1

20. Una habitación tiene 4 portabombillas conectadas a un mismo interruptor. Si de un conjunto de 12 bombillas (5 buenas y 7 defectuosas) se escogen 4 al azar para colocarlas en las portabombillas, entonces el número de maneras en que la habitación puede quedar iluminada es:

Razonamiento y demostración 13. Si n . n! + (n + 1)(n + 1)! + ... + m . m! = 15! - 7! halla m . n; m 2 n. A) 100 D) 103

B) 105 E) 98

C) 102

A) 5 D) 210

14. Sabiendo que al desarrollar: [(a + b)n]2(a - b)2n[a4 + a2b2 + b4]2n

A)

12 C16 8 (ab) B)

4 C) C16 8 (ab)

D)

36 C16 8 (ab) E)

8 C16 8 (ab)

48 C16 8 (ab)

15. Calcula: S = C1n + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn n

A) n . 2 D) n . 2n - 2

B) n . 2 E) n . 2n - 1

C) 175

Nivel 3

obtenemos 17 términos; determina el término central.

n+1

B) 70 E) 460

Comunicación matemática 21. “El desarrollo del binomio de Newton: (1 + x)m _________ se cumple cuando m ! Z-, además, de ser fraccionario. Si consideramos que x es un valor pequeñísimo, se cumple: __________. Se cumple también que el número de términos es ____________. A) No - (1 - x) - dos

n-1

C) 2

B) No (1 - x)m - 1 - variable C) También - (1 + x) - el mismo D) También - (1 + mx) - infinito

16. Resuelve:

E) También - (1 - mx) - el triple

x x x x x ^ x2 + 6h e o+e o+e o+e o = 6 0 1 2 3 B) ' 2 1 C) ' 2 1 5 3

A) {6}

22. Sitúa correctamente los títulos de los enunciados en forma cruzada junto al número que corresponde: II

D) ' 3 1 E) ' 1 1 2 3

I

17. Halla el término independiente del desarrollo de: 4 1 10 c 2x + 4 m 2x

A) 252 D) 520

B) 225 E) 522

IV C) 242

III

18. Determina n, sabiendo que en el desarrollo de (n + y)n se tiene tres términos consecutivos cuyos coeficientes son proporcionales a 1; 3 y 5. A) 5 D) 6

B) 7 E) 14

V

C) 8

Resolución de problemas 19. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se desea elegir un presidente, vicepresidente, tesorero y un secretario. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón, y nadie puede ocupar más de un cargo. Entonces, el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a: A) 2 644 800 D) 3 088 400

B) 2 844 600 C) 2 866 400 E) 3 244 800

I

Nos sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio de exponente natural, donde la suma de dos términos de una fila genera un término para la fila siguiente.

II. Nos permite desarrollar el binomio suma o diferencia elevado a un exponente negativo y/o fraccionario.


47

III. Es el número total de grupos que se puede formar con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento. IV. Es el resultado que se obtiene de multiplicar todos los números en forma consecutiva desde la unidad hasta el número dado: _________ de un número. V. Se utiliza para obtener un término cualquiera del desarrollo en función del lugar que ocupa. 23. EL PERSONAJE MISTERIOSO El nombre de un personaje famoso se encuentra escondido en el siguiente código. Resuelve cada uno de los problemas que se plantean a continuación, y cambia el número que obtuviste por la letra que te indica el código. A

B

C

D

F

G

H

100 17

15

-2 -2/9 0

1

R

S

V

P

Q

11 1/2 2/3 9

E

T

U

I

J

K

L

M

N

O

1/3 91

10

4

19

7

2

3

W

Y

Z

X

Resultado

Letra

Halla a, si: 16 40C18 a = 51C a

A) 5 D) 3

B) 7 E) 11 42

^ x + 3 x-1 h

A) 32 D) 42

B) 40 E) 30

28. El término independiente del desarrollo: 6

2 2 P(x, a) = = a e a2 + 3 o + x e x2 + 3 oG x x a a

es de la forma: Cm n Calcula: m/n. B) 2 E) 5

29. Calcula el término independiente en el desarrollo de: 1 8 cx + 1 + m x B) 1118 E) 1020

A) 1230 D) 1115

B) 1225 E) 1125

83! 40! + 41! n nd 42! 81! + 82!


A) 216 000 D) 10 800

24. Simplifica:

B) 3600 E) 9600

C) 7200

Cl aves

R = Cn3 + 4Cn3 + 1 + Cn3 + 2 C) n4

25. En el binomio (am + bn - 8)p - 19, el término central ocupa el lugar 13 y su parte variable es a48b132. Calcula: m + n + p

48 Intelectum 5.°

C) 1200

31. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la e y seis consonantes incluyendo la s, de manera que empiecen con e y contengan a s?

Calcula:

B) 10 E) 4

C) 1208

(1 - 3x + 5x2 + x4 + x5)5

Indica el número de soluciones 20 en la ecuación: C x2 = C 20 x

A) 66 D) 5

C) 3

30. Indica el coeficiente de x16 en la expansión de:

Calcula n, en: 2n! - (n - 1)(n - 1)! = 6! + 5!

B) n2 E) n3

C) 35


Halla el término independiente de x en: (x2 - 1/x)9

A) n D) n5

C) 12

27. Halla el número de términos irracionales en la expansión de:

A) 1218 D) 1107

Determina “x”, si el tercer y 7 sexto término de: d3x + 2 n 3 suman cero.

M = d

C2x + C2x - 1 + C2x - 2 = 136

A) 1 D) 4

6 -1 21 84 16 21 18

Problemas

26. Calcula x en:

C) 8

7. D

13. E

20. E

26. E

8. C

14. C

27. C

9. B

3. d

15. E

Nivel 3 21. D

10. B

22.

4. d

16. A

29. D

Nivel 2

5. e

17. A

23.

30. D

11.

24. E

6. b

12.

18. B 19. A

31. B

Nivel 1 1. c 2. c

25. A

28. B


Al simplificar:

RADICACIÓN - RACIONALIZACIÓN 2 72 + 50 - 8

2

se obtiene:

A) 1 B) 3 D) 4 E) 9 3

Simplifica: 2 2 T = c 2 + 8 m -c 3 m 2 8 3

A) 15 D) 17 5

1 C) 2 9 9 18 99

Si:

m+2 n =

calcula: m + n

A) 36 D) 45

B) 18 E) 20

B) 25 E) 35

A)

Racionaliza:

5 5

2^ 15 - 7 h 1+ 3 + 5 + 7

A) 3 + 5 + 7 - 1 B) 5 + 7 - 3 - 1 C) 1 + 7 + 3 - 5 D) 3 + 7 - 5 - 1 E) 3 + 5 - 7 - 1

C) 14

6

C) 38

5 B) 3 5 C) 2 5

D) 4 5 E) 4

2 7 + 3 +1 2 2 -1

Efectúa: A = 19 + 1 - 3 - 2 5 5 5 5

Calcula: M = 52 - 2 147 + 28 + 2 75

A) 5 D) 12

B) 9 E) 18

C) 15


49

11 Simplifica: E = e

2+ 3 2 - 3- 8

A) 14 D) 28

B) 25 E) 16

13 Reduce: B =

C) 20 2

2- 3 o 2 - 3+ 8

C) 1

A) 5 B) 5 + 2 C) D) 1 E) 2 5 - 3

B) 5 E) 4

C) 6

12 Calcula: H = 11 + 112 + 16 - 252

A) 5 D) 13

C) 18

5 - 2 ^ 4 + 15 - 2 + 3 h

B) 6 E) 8

C) 7

14 Reduce: J = 5 + 23 . 11 - 23 - 23

5 -2

10. E 9. B

12. A 11. E

14. E 13. D

A) D)

Claves

50 Intelectum 5.°

B) 4 E) 5

A) 7 D) 8

7. A

B) 18 E) 26

2- 5+ 3 12

10 Efectúa: H = 3 + 7 ^ 13 - 7 - 5 - 7 h

x+2 y

8. C

A) 16 D) 24

A) 2 D) 6

C) 4

23 B) 11 C) E) 3 6

5. E

Si: 5 - 2 6 + 3 + 2 2 = Calcula: 3x + 2y

2 + 5- 3+ 2

6. D

B) 3 E) 6

Efectúa: P =

5

3. A

9

8

3 - 29 - 12 5

4. E

A) 1 D) 2

5-

1. B

Reduce la expresión: E =

2. b

7

Practiquemos 6. Racionaliza:

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Transforma a radicales simples cada caso; luego indica lo correcto: 5 + 2

1 2

I.

4+ 7 =

(

)

II.

11 - 120 = 2 3 - 5

(

)

III.

m + 7 + 2 7m = m + 7 + 7

(

)

IV.

49 + 2x2

49 - x4

(

)

2 + 1

(

)

V.

4

49 - x4 = x2 +

28 + 2 192 =

E=

A) 2 3 x B) 4 3 x2 C) 4 3 x 3 3 3 D)

3

x2

E) x

7. Simplifica:

A) D)

1 11 - 2 30

2 + 3 B) 7 - 3 E)

6 + 5 5+ 5

8. Simplifica: Z=

2. Verifica la verdad (V) o falsedad (F) de los enunciados: ( ) Los radicales semejantes se caracterizan por poseer sólo la misma expresión subradical. ( ) La racionalización es un proceso que nos permite transformar el denominador irracional de una fracción, en otro que sea racional. ( ) Los radicales homogéneos son aquellos que además de tener el mismo índice poseen la misma cantidad subradical. ( ) El factor racionalizante es la expresión irracional que multiplicada por el denominador racional lo convierte en una expresión racional.

Razonamiento y demostración 3. Efectúa: 3 + 5- 2

4 + 7- 3

5 + 2- 7

A) 0 B) 1 D) 3 2 E) 6

2 3- 5 C) 2 6

3 - 2 2 + 5 - 2 6 + 7 - 2 12 + 9 - 2 20 + ... 36 términos A) 37 B) D) 6 E)

37 - 1 35 + 1

C) 5

A) 1 D) 1,5

5+ 6 2 B) 2 E) 2,5

7 - 3

32 + 4 63 32 - 4 63

3 B) 5 C) 3 + 2 3 7 2 D) 3 E) 8 + 3 7 2

Resolución de problemas 9. Si la expresión: R = 10 =

10 + 3 + 10 + 7 -

es equivalente a: α. θ + θ.

10 - 3 G 10 - 7

α ; donde: 2

a / q ! N, calcula el valor de: a . q A) 8 D) 12

B) 6 E) 16

C) 20

9 23 7 10. Simplifica: x + 1 + 7x3 x+2+ 7

y como respuesta multiplica el término independiente del

A) 6 D) 1

3

8 +3 7 5 B) 5 E) 3

C) 2

Nivel 2 Comunicación matemática 11. Indica qué condición para cada caso debe cumplir “n”, si se establecen: (FR: factor racionalizante)

5. Obtén el valor de: A = 10 - 4 6 .

C)

A)

numerador por:

4. Efectúa:

4x 33 x

C) 0,5

I. (n x + n y ) FR = x + y FR =

n

xn - 1 - n xn - 2 n y + ... + n yn - 1

+ _____________________________________________ ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

51

17. Calcula:

II. (n x - n y ) FR = x - y FR =

n

+ _____________________________________________

III. (n x + n y ) FR = x - y FR =

n

xn - 1 - n xn - 2 n y + ... - n yn - 1

A) 0 D) 3

n

(x ) - conjugado

B) polinomios -

n

x5m - recíproco

C) monomios -

m

(x ) - recíproco

D) monomios -

m

(x5) n - conjugado

E) monomios -

m

x5 + n - conjugado

T=

A) D)

3 +1

4 4

15. Efectúa: A) 0 D) 2

4

3 C) 2

x-1

x-1 y

y

5C x +

(x + 3)(x + 2)(x + 1) 2

B) 73 E) 76

y

7C x

C) 74

20. Se sabe que el radical doble m + n es descompuesto como la suma de dos radicales simples. Da como respuesta el cuadrado de uno de ellos, sabiendo que: 84m + 21n = 84t2 + 672t - 84 A) t + 7 D) t - 1 2

B) 2t + 1 E) 5t

C) t + 5


2

C) 6

2 2 E = a+ a -1 - a- a -1 a - a2 - 1 a + a2 - 1 2

para: a - a = 6 A) 4 6 B) 2 3 C) 3 2 D) 4 3 E) 2 6

52 Intelectum 5.°

x - 1 C) 2

Nivel 3

1 - 5 5 -2 B) 4 E) 1

16. Calcula:

x - 1 E) y-1

D)

A) 72 D) 75

V-1 W W W W X

5 - 3 6 - 2 + 8 + 2 12

3 B) 2 2 E)

B)

y da como respuesta el denominador racionalizado.

14. Calcula: 2+

A) x - y

(x + 3)(x + 2)(x + 1) 3

A) - 1 - 3 B) - 1 + 3 C) 1 - 3 2 2 2 2 2 2

E=

Donde: x 2 2; y 1 2

19. Si “y” tiene un exceso respecto a “x” de 3 unidades, racionaliza: 1 f=


D) 1 + 3 E) 2 2

x+2 x-1 + x-2 x-1 y+2 y-1 + y-2 y-1


n 5

13. Efectúa: R 1- 3 M= 2 S 1 S 33 S 3 - 1 S 3 T

C) 1

18. Simplifica:

m 5

A) polinomios -

3- 3 2 - 2- 3

B) 2 E) 6

+ _____________________________________________

12. “En la racionalización de denominadores ________, si el denominador es de la forma: ________ el factor racionalizante es m xm - 5n . En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el _______ del denominador”.

3+ 3 2 + 2+ 3

H=

xn - 1 + n xn - 2 n y + ... + n yn - 1

21. Razonamiento: Todos los radicales del mismo tipo tienen una cifra por completar, este número sale del número de radicales que faltan para llegar a 9. Averigua qué relación tiene dicho número con el número 9. + 12

+ 7

7

- 8 7

+ 7 x2

- 8 + 12

- 8 + 12

x2 - 8 7

+ 7 - 8

+ 12

+ 7

+ 7 x2

+ 12

- 8

Encontradas las cifras, transforma los radicales dobles a simples o racionalice según sea el caso e indica las respuestas. A)

3 + 1; 9 x ; 3 - 2 ; 7 - 7; 1 2 x

B) 2 + 3 ; 9 + 7 ; 1 - 2 ; 3 C) 3 - 1; 10 + 2; 9 D)

7 + 2

5

x

23. EL PERSONAJE MISTERIOSO El nombre de un matemático famoso se encuentra escondido en el siguiente código. Resuelve cada ejercicio propuesto y cambia el número que obtuviste por la letra que indica el número.

5

x3 2x

Ejercicio

Resultado

Letra

Indica el denominador obtenido al

x3 ; 2 - 1

racionalizar:

3

1 ; 7 x 2 ; 2 - 1; 3 + 1 2 x

5 5+ 3- 2

Transforma a radicales simples:

9+4 2

E) No tiene solución

Racionaliza:

22. Lee con cuidado los enunciados, luego de entenderlos escribe lo que corresponda a cada número indicado es el esquema. II

III

23 27 + 2 50

Al racionalizar: 5 M= 3+ 5+ 8 se obtiene como denominador: Si: H = 3 + 7 _ 13 - 7 - 5 - 7 i halla: H + 2 Código: A

B

C

D

E

F

G

H

2 2 +1

3 -1

7

-2

3

5- 2

12

10

I V

VI

I

J

K

L

M N O P Q

R

S T

U

3 8 -7 3 - 5 2 -5 18 14 -9 14 57 6 1 5 - 2

V 2 -1

Razonamiento y demostración IV I. Es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es irracional en otra equivalente, pero con denominador racional. II. Son aquellos radicales que tienen igual índice. III. Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical. IV. Es la expresión irracional que multiplicada por el denominador irracional lo convierte en una expresión racional. Es el factor... V. Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada raíz, tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical. VI. Se les llama así a aquellos radicales en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre sí por las operaciones de suma y resta.

24. Racionaliza: R=

1 8 + 18 + 32

e indica el denominador racionalizado. A) 2 D) 9 25. Si: x =

B) 3 E) 18

C) 6

3+ 8 ,

calcula: 2^ 2 h^ 4 h^ 6 h P = 4x x - 1 16x - 1 x - 1 x -1

A) 28 B) 28 C) 5 5 51 28 D) 51 E) 1 28 8


53

26. Proporciona el equivalente de:

=

3

11 2 + 9 3 + 3 20 - 14 2 G 4 97 + 56 3

A)

2 + 3 B) 5 2 - 3

D)

97 + 3

E)

2 3

x+ 1 2

A)

A) 27 D) 103

2

x+1 2

C) 67

3

64 25 + 2 3 5 - 3

el denominador racionalizado que se obtiene es: A) 2 D) 5

B) 4 E) 6

además:

A) 20 D) 21

A(t) + B(t) = 252t2 + 192t + 26 p + q + r + s , {p; q; r; s} ! N B) 30 E) 22

C) 18

33. Se tiene el siguiente radical:

20dx2 + 2c-2 y2 + xy (ab - 9c-2) d

que se descompone en una suma de radicales simples y cuadráticos. Racionaliza la siguiente fracción y luego como respuesta brinda el cuádruple del denominador.

29. Al racionalizar la expresión: K=

A (t) + B (t) = pt + q + rt + s

determina:

x + 22 + 10 x - 3 = 27

B) 12 E) 147

C) 3 q

32. De la siguiente transformación del radical doble:

28. Resuelve: x+1+4 x-3 +

x2 + y2 - mnp

D) 4 E) 5 q q

2x - 1 e indica uno de ellos. 4

2 B) 2 C) 2 4

D)

x2 + y2 + mnp +

A) 1 B) 2 q q

5- 2

x - 1 E) 8

Determina: H=

C) 1

27. Transforma en radicales simples:

La diferencia de las raíces décimosexta de A y B es n. La suma de las raíces octavas de A y B es p y la suma de las raíces cuartas de A y B es q.

C) 3

A) 46 D) 49

7 - 4 abc2 6 (4 abc2 - 1) B) 47 E) 50

C) 48


54 Intelectum 5.°

28. D

29. A 30. C 24. E

23.

22.

6. B

5. A

Nivel 2 17. A 18. C 11. 19. E 12. D

16. A

3. A

15. D 9. C

20. A

10. E

De los enunciados: La suma de las raíces décimosexta de A y B es m.

14. B

31. Sean: A = x2 + y2 + mnp B = x2 + y2 - mnp

13. A

E) m + n + p

8. E

D) 0, 7 ( m + n + p )

7. B

C) 0, 5 ( m + n + p )

1.

m+ n+ p

Nivel 1

B)

C l a ve s

A) m m + n n + p p

4. B

25. B

R = mr + ns + pt

2.

Determine:

Nivel 3 26. C 21. D 27. B

31. B 32. E 33. C

30. Según las condiciones: mr2 = ns2 = pt2 y 1 + 1 + 1 = 4 r s t

Aplicamos lo aprendido tema 5: 1

NÚMEROS COMPLEJOS

Calcula: S = i + 2i2 + 3i3 + ... + 2ki2k Donde: k es par.

A) k(2i + 1) D) k(k + 1)i 3

B) 0 E) ki

2

C) k(1 - i)

Efectúa:

4

i7 + 1 + i A = = 1 - 11 G 1+i 1 - i19

5

2! + 4! + 6! + ... + m! E = i 1! 3! 5! ... n! i + + + +

A) -i D) 0

15 40

A) 1 D) 340

Reduce:

Si: z ! C, resuelve: |z| - z = 3 + i Indica: z-1

A) 2(7 + 12i)-1 B) 6(7 - 24i)-1 -1 C) 7(6 - 4i) D) -3(4 + 3i)-1 E) 7(6 - 28i)-1

1-

1-i 1-i 1-i 11- 1-i 1-1-i 1+i

A) i D) -i

C) 4

6

C) 1

Efectúa: A=

B) 240 E) 0

B) i E) i m-n

B) 1 E) 2i

C) -1

Si b > a; además: (a + bi)2 = 1 - 2 6 i Halla: a b

A) 2 B) 3 C) - 6 6 D) E) 2 2 6


55

Teniendo presente la igualdad de complejos: (1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = x + yi Determina: x+y F(x; y) = x-y

A) 1 B) 2 D) 1 E) 6

1 C) 1 4 5 1 3

Indica el módulo de:

A) 1,7 D) 1,6

B) 1,5 E) 1,8

z=

1

1+i+

1 1-i+ 1 1+i

3 2 D) 7 2 A)

B) 2 2 3 E) 7

2i +

x

12 Calcula: 1 + i = 96i

A) 1 10 D) 1 5

+ ^1 + ih + ^1 - ih501

B) i E) 1

11. A

14. C 13. A

11

1- 29 i

B) i E) 1 + i

C) 1 - i

C) 2π 3

A) p/6 B) p/2 D) -p E) p/4

C) 1 + i

Claves

56 Intelectum 5.°

i

2 - 3i

12. E

A) -i D) 1 + i

10

w = c 1 + 3 im 2 2

9. A

^1 + ih

502

10. E

^1 - ih

-2

14 Indica el argumento del complejo:

501

7. E

H=

-2

A) -i D) 1

E) 0

502

3

C) 2

8. D

13 Calcula:

B) 1

M=

5. D

2i - 2 +

2x

E) 3 2 8

6. D

3x

5 C) 7 4 9

3. E

11 Halla: x

C) 3

B)

4. D

A) D)

C) 1,1

10 Indica el módulo de z, si:

^1 + 3ih^2 + 2ih ^ 3 + 7 ih^1 - ih

Z=

Halla el módulo de: z = 1 + cos74° + isen74° Sabiendo que: 1 + cos2a = 2cos2a

1. C

9

8

2. A

7

Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1. Determina la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda: (

) 4 + 3i = 5ei` 180 j

(

) 3 + 4i = 5ei` 180 j

(

) 10(1 - i) = 10 2 ei`

(

π ) 1 + cos30° + isen30° = 2 ei` 12 j cos ` π j 12

37π 37π

( ) El argumento del número complejo: - 3 - i es 210°.

Razonamiento y demostración 3. Si: a, b, d son las raíces del polinomio complejo: z3 - z2 + z - 1 = 0 Entonces: (a + b + d) es: B) 0 E) -i

D) e

C) 1

Resolución de problemas 10. Determina el número complejo que debe restarse a: (5 + 3i)4 para que el resultado sea un complejo cuyo módulo sea 10 y su argumento 217°. A) -600 + 2i D) -652 + 954i

B) -1 + 954i E) -650 + 10i

C) 2 + 3i

11. Se da el siguiente número complejo: P = (M; N) ! (0; 0), donde se cumple:

B) cos120° + isen120° D) cos120° - isen120°

(|z|(cosa + isena)n = |nz|(cosna + isenna)

3

E) e

e 5

e

C)

5

e3

3

F

27 son tres y tienen módulo 27. F

III. La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución. V

F

13. Según las proposiciones indicadas, verifica su veracidad (V) o falsedad (F) según corresponda: ( ) El opuesto de un número real (parte imaginaria cero) es el propio número real.

7. Calcula el módulo de z. 2 ^cos 30° + isen30°h4 z= = G 2^cos 20° + isen20°h6

E) 4

3

V

E) 1 y 3

A) 1 B) 1 4 2

V II. Las raíces

A) 3 y 9 B) 2 y 9 C) - 3 y 9 10 10 9 10 10 10

D) 2

C) i


6. Halla a y b, en: 3 + 2i + 5 - i + 2i = a + bi 2i 2+ 1 i

D) 1 y - 3

B) 2 E) 0

12. Marca lo que corresponda según la teoría: I. Según la potenciación de los complejos, se establece: B)

e

C) 2

NIVEL 2

5. Halla el módulo de: 2 i z = + e2 - i 3

A) 1 D) -1

A) cos110° + isen110° C) cos110° - isen120° E) cos175° + isen175°

4. Si: 3 4 - 2i = a + bi, a y b ! R Calcula: 4 4 M = b -a 2a - b

A) 1

B) -1 E) i

(P*)2 = P. Expresa “P” en su forma polar, sabiendo que el argumento de P pertenece al segundo cuadrante (IIC).

C) 1

A) -4 B) -2 D) 2 E) 4

A) 1 D) 0

9. Simplifica: 2 3 1999 E = 1 + i + i + i + 2... + i 1+i+i

36π 43 j

2. Indica lo correcto (C) o incorrecto (I) según corresponda: ( ) La representación en forma de un polinomio de primer grado considerando funciones trigonométricas de los ángulos múltiplos en “x” de sen3x es: 1 (3senx + sen3x) 4 ( ) Luego de desarrollar i30 214 obtenemos -1; i = -1 .

A) -1 D) i

8. Calcula: S = w + w2 + w3 + ... + w29 Donde: w =- 1 + 3 i 2 2

( ) La multiplicación de un número complejo por su opuesto es otro número complejo. C) 1

( ) La solución de la ecuación: z6 + 7 = 0 son seis, y todas ellas tienen módulo 7.


57

20. ¿Qué valor debe asumir n (n complejo z, que verifique: |z|2 - 2iz + 2n(1 + i) = 0 ?

Razonamiento y demostración 14. Calcula: 910

V=i

1112

1516

14 + i13

A) 0 D) 3i

1920

NIVEL 3 Comunicación matemática

z + a = z - b , z ! -b; z ! a z+b z-a

21. Busca en la siguiente tabla los números complejos necesarios para completar las operaciones indicadas de tal manera que se cumpla la igualdad.

Además a ! b, reduce: a 5 - b 5 - 5a 2 b 2 ^ a - b h 3a 4 b

A) 0 B) 1 8 D) E) - 11 3 3 16. Si:

3

2 17 eiArc tan` 4 j

2 eiArc tan^1 h

3 10 eiArc tan` 3 j

58 eiArc tan` 7 j

1

C) 1 3

3

1

a + bi = m + ni; {a; b; m; n} 1 R

145 eiArc tan` 8 j

eiArc tan^ 0 h

65 eiArc tan` 7 j

82 eiArc tan` 9 j

9

además: i = - 1 Calcula:

4

(m3 - a) (b + n3) m3 n3

F= A) 3i D) -3i

1

0 + 6i

B) 1 E) 3

0 + 7i

C) -3 5 2 eiArc tan^1 h

13 eiArc tan` 2 j

3 5 eiArc tan^ 2 h

9eiArc tan^ 0 h

3 2 eiArc tan^1 h

65 eiArc tan` 8 j

3

17. Calcula n si:

[(1 + i)7 + (1 – i)7]n = 4096 A) 8 D) 2

B) 4 E) 3

C) 1

18. Si: z = - 1 + 3 i 2 2

A) 2e D) -1 +

26 eiArc tan` 5 j +

+

= 8 + 11i

17 eiArc tan` 4 j +

+

= 21 + 6i

1

2pi

B) 2e C) 3 i E)

2e

2πi

2π e3i

19. Determina aquel número n entero positivo múltiplo de cuatro que verifica la igualdad: i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + ... + nin = 64 - 64i B) 128 E) 256

58 Intelectum 5.°

+ +


A) 64 D) 16

1

1

Calcula: z-3 + z3 pi

2 - 2

2 -2 2

D) - 2 - 1 E)

C) 3

15. Sea a, b ! R y z un número complejo tal que cumple:

E=

0), tal que exista un único

A) - 2 + 1 B) - 2 + 1 C) 2

18 + i17

B) 1 E) -3i

#

C) 32

+i

= 9 + 10i

29 eiArc tan` 5 j + 2

= 14 + 8i

+ 5eiArc tan^ 0 h +

= 9 + 7i

+

+ 10 eiArc tan` 3 j = 10 + 9i

+

+ 7eiArc tan^ 0 h

1

+ 3 13 eiArc tan` 3 j + 2

= 23 + 4i = 24 + 11i

22. El manuscrito misterioso. A continuación se tiene un concepto en clave. Descífralo. Ten en cuenta que cada casilla que tiene un número representa a una letra del alfabeto: 1 = A; 2 = B, etc. no considere (Ñ, LL, CH). : z = a + bi

19

14

14

13 5

6

18 5

24. Calcula n si:

8^1 + ihn + 2^-2 + 2ih3n + 3^-4h4n B = -616 . 4 1

1

A) 2 D) 5

1 n2

B) 3 E) 6

C) 4

B) 1/4 E) 3

C) 1

25. Calcula n en: 15 3

16 12 18

5

18

15

1

10 25

21 25

19

20

13

24 12

15 14

15

13

24

5

26

12

;

6 15

13

4

14

14

13

15 14

19

7

18

1

9 15

15

12

18 14

14

= cisq

9

19

1

18

12 15

13

15 12

15 4

19 5

14 3

21

23. Reduce:

A) 0 D) –1

+i

2000

+i

2001

+i

2002

B) i E) 1

C) 10

Resolución de problemas 28. Sea el siguiente polinomio: P(z) = a0 zn + a1 zn - 1 + a2 zn - 2 + ... + an ; a0 ! (0; 0) Donde: {a0; a1; a2; ...; an} 1 C y ak = ik + 1, k $ 0 si se cumple que P(i) = mi; m ! Z+ Halla: P(im + 2) A) -i B) i C) i2 2 4 D) - i E) i - 1

y b dos números imaginarios donde

3 3 y ab es imaginario puro, halla el máximo valor de: 2a - b 2 a b - ab A) 3 B) 0 C) 1 D) -1 E) 4

15 18

Razonamiento y demostración c8î1999

12

B) 9 E) 12

a = Re(a) ; b = Re(b) (a ! b) si se cumple que a + b es real

14

e = cosq + isenq 5

A) 8 D) 11

29. Se tiene a

iq

1

n

9

2 20

C) 2

c 3 + im =i? 2 2

14

15 14

B) 1/2 E) 1/3

27. ¿Cuántos valores de dos cifras adopta n, para que se verifique la igualdad:

19

5 14

13

A) 1 D) 3

13

13

z1 + z2 2 - z1 - z2 2 Re (z . z2) + Re (z1 . z2) 1

18

iq

E=

12 18

19

:e

nn

(1 + i)(1 - i) = -0,25

26. Sean: z1; z2 ! c. Reduce:

z = rcisq.

14

24

5 10

12

14

3

13 16 16

13

5

: z = reiq

15 5

1

12

19

19

19 18

14

18

18

20

A) 6 D) 2 9

15 12

12

19

4

+i

i3 i2 m

2003hi B

C) –i

C l a ve s Nivel 1 1. 2. 3. C 4. B 5. E 6. C

7. A 8. B 9. E 10. D 11. B Nivel 2 12.

13. 14. D 15. D 16. E 17. E 18. B 19. B

20. D Nivel 3 21. 22. 23. B 24. C 25. D

26. C 27. A 28. B 29. D


59

Matemática & (y - 1)(y4 - 2y3 - 25y2 + 26y + 120) -y -20 y2 -y -6 y 2

Indica el número de factores primos de: 5

4

3

2

y - 3y - 23y + 51y + 94y - 120

-26y2 y2 25y2

Resolución:

& (y - 1)(y2 - y - 20)(y2 - y - 6) y -5 y -3 y 4 y 2

PC = ! 1; ! 2; ! 3; ! 4; ... Se anula para 1: 1

1 1

-3 -23 51 94 1 -2 -25 26 -2 -25 26 120

-120 120 0

& (y - 1)(y - 5)(y + 4)(y - 3)(y + 2) ` Posee 5 factores primos.

1. Determina el número de términos en el desarrollo de: si uno de sus términos es x10y2. A) 7 D) 5

B) 8 E) 13

xn - ym x2 - y

7. Determina la gráfica que le corresponde a: |z + i| < (|z| módulo de z). 2

C) 10

A)

2

- 2

Si el MCD de P(x) y M(x) es (x + 2), determina AB. B) 1/3 E) -1/2

C)

C) 1/8

P(x) =

M (x) .N (x) MCM (M; N)

H=

Si: M(x) = x3 + (a + 1)x2 + ax; N(x) = x3 + x2 B) x2 + x E) x + a

7B) E)

5. Encuentra el valor de: (z)

C) x + 1

60

x

-2

2

-1

x

D)

2

-1

x

7+ 5 3 +1

C) 1 +

5

B) 211 î - 3 h 12

E) 2 (1 + i)

Intelectum 5. °

n-1

+ xn - 2 + xn - 3 + ... + xh + x xn - 1

C) x

D) x2

E) x2n - 1

9. Halla el MCD de:

x4 + x3 + x2 - x; 5x3 - 5x2 + 2x - 2 y 2x3 + 2x2 - 2x + 2 A) x + 1 B) 5x2 + 2 C) (x2 - 1)(5x2 + 2) 2 D) x - 1 E) x - 1

A) 5x2

B) 10x2

C) i

D) 5x2 + 1 E) x - 1

B) 2x2 - 2x + 1 E) x2 - 2x - 3

C) x2 - 5x + 1

12. Encuentra el denominador luego de racionalizar: A) 2x

C) 212 ^1 + i 3 h

C) 7x

11. Encuentra el factor primo cuadrático de: x4 - 4x3 + 8x + 3 A) x2 - x + 1 D) x2 -2x-1

8k + 4

B) -1 E) -i

^ x - 1h^ x

5

6. Sea el complejo z = - 3 + i ; indica a qué es igual z12. 2

D) 2

1

10. Encuentra el término racional de: ^ x + 3 x h

21 + 80

Si: z = cis45°; k ! z+ / z ! C

12

2

y

A) xn - 1 B) xn - 1

4. Simplifica:

A) 212 ^1 - i 3 h

B)

8. Simplifica la siguiente expresión:

3. Determina:

A) 1 D) 2i

y

M(x) = Ax2 + 4x - B - 1

A) 5 - 1 D) 10 - 5

x

- 2

P(x) = Ax2 - 3x + B - 1

A) x D) x3 + x

y

y

2. Dados dos polinomios:

A) 2 D) 1/2

2

B) 2y

13. Si el residuo de:

^ x + 1h215 - 2x + 3

determina a - b. A) 1

C) x - y

B) -1

x 2 + 2x + 2 C) -5

x-y x+y - x-y

D) x - 1 E) y - 1 es de la forma ax + b;

D) 3

E) -2

Unidad 3

Recuerda René Descartes En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton - Raphson. Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños, en la noche del 10 de noviembre de 1619. Creó una nueva rama de las Matemáticas, la geometría analítica. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius. Fue el pensador más capaz de su época, pero en el fondo no era realmente un matemático.

Reflexiona • Nadie puede hacerte enfadar a menos que tú lo permitas. ¡Mantén en todo momento la tranquilidad y ello te dará dividendos de paz interior! • Es difícil recordar, en el acaloramiento de una discusión, que hacen falta dos para reñir. A lo mejor te sirve de algo recordar que nadie puede estar en desacuerdo contigo mientras tú estes de acuerdo con él. • Debes tener cuidado, no solo con lo que dices, sino también con lo que escuchas. Esta debería ser razón suficiente para evitar a toda costa los chismes, calumnias y habladurías a lo que, en ocasiones, prestamos atención.

¡Razona...! De acuerdo a la figura que se muestra: a b

c

¿Cuál de las siguientes alternativas es igual, pero en distinta posición? c b a

D)

a c

b

E) c

c

C)

a

b

a

B)

b

c

A)


Ecuaciones de primer grado PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve: 3 3

2 3

x+1 + x-1 = 5 3 x+1 -3 x-1

A) 4 B) 65 D) 3 E) 4 3

A) 6 B) 5 D) 2 E) 3 5

A) - 7 3

21 C) 65 8 63 63 65

Resuelve: (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x - 3)2 + x2 + 6

5 C) 1 6 3 3 2

Resuelve: (x + 4)2 + 5 = (x - 2)2 + 30

A) 13 B) 12 D) 1 E) 6 6

B) 3 E) 4

C) –3

12 C) 1 13 4 1 5

Los capitales de dos individuos son x e y soles. El primero ahorra diariamente a soles, y el segundo, b soles. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el capital del primero sea n veces el del segundo?

ny - x b nx + y D) na + b A)

A) 2 D) 0

B) 1 C) 3 2 4

D) - 2 E) - 5 7 2 4

Resuelve: (x + 3)(x - 1) + (x + 1)2 = (2x + 1)(x - 2)

Resuelve: (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2

ny - x a - nb n^y + xh E) na + b

B)

C)

nx + y a + nb


63

7

Resuelve:

8

x - 15 + x - 10 + x - 6 = 20 2 3 5

A) 10 D) 11 9

B) 21 E) 31

C) 25

Antonio le dijo a Carlos: "Cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tiene Luis, quien tiene dos años; además, nuestras edades están en la relación de 7 a 13". Halla la edad de Antonio.

A) 14 D) 13

En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue:

B) 18 E) 17

C) 15

2 10 Calcula â + b - xh en la ecuación: c x-a + x-b + x-c = 3 b+c a+c a+b

Si a, b, c ! R, tal que: a = b = c

A) 76 D) 74

B) 78 E) 70

A) abc D) ab

C) 72

11 Una liebre perseguida por un galgo se encuentra a 80 saltos delante del galgo, la liebre da 4 saltos mientras que el galgo da 3. Si 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de la liebre. Halla el número de saltos que da la liebre antes de ser alcanzada por el galgo.

A) 1600 D) 1900

B) 1700 E) 2000

B) 1 E) c

C) bc

12 Luego de resolver: x+1 +2 x = 3 x+1 -2 x Indica el valor de:

x-1 + 1

A) 4 D) 2,5

C) 1800

B) 3,5 E) 2

C) 3

14 Halla el valor de x en:

13 Resuelve: a (a - x) b (b + x) =x b a

x-a - x-b = x-c ab ac bc

A)

a2 b2 B) a+b-c a+b-c

c2 b2 D) c+a-b b+c-a abc E) a+b+c C)

3. b

6. b 5. d

8. a 7. e

10. e 9. a

12. a 11. a

14. b 13. b

Claves

64 Intelectum 5.°

4. a

C) a

1. c

B) a - b E) ab

2. e

A) a + b D) b

Practiquemos 7. Resuelve la ecuación en x.

NIVEL 1 Comunicación matemática 1. Responde según corresponda: A) ¿Cómo evitar que se introduzcan soluciones extrañas cuando a ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente? B) ¿Cómo evitar que se pierdan soluciones cuando de ambos miembros de una ecuación se simplifican factores que contengan a la incógnita? C) ¿Cómo evitar que se introduzcan soluciones extrañas cuando a ambos miembros de una ecuación se multiplican por una expresión que contenga a la incógnita? 2. De la siguiente ecuación:

px qx q qx px p + = + ; p!q qb pa p pb qa q Indica la forma del número ab ; para a y b valores naturales x consecutivos. A) par B) impar C) negativo D) fraccionario E) cuadrado perfecto 8. Resuelve la ecuación: x + 1 + a - b + 1 = 1 ; b ! 1. x+a+b x+a-b A) a B) a C) a b b+1 b-1 a 1 a 1 + D) E) a b

5x + 10 + n = 0, verifica la verdad o falsedad:


( ) Su raíz es nula, si n = -10. ( ) Su solución no es única, si n = -10. ( ) Tiene una única solución, si n ! 0. A) VFF D) VVF

B) FVF E) VFV

C) FFF


B) 3 E) 8

C) 4

C) S/.100

A) 2x D) x - 5

B) 2x - 5 E) 2x + 5

C) 2(x - 10)


x+a + x-a = a x+a - x-a B) 3a E) 1-a

2

2 C) a + 1 2

5. Resuelve: x-1 + x-2 + x-3 = x-4 + x-5 2 3 4 5 6 A) -2

B) S/.200 E) S/.250

NIVEL 2

4. Resuelve:

A) 2 2 D) 1 - a 2

A) S/.50 D) S/.150

10. Juancito tendrá x años de edad de aquí a 5 años. ¿Cuál fue el doble de su edad hace 5 años?

3. Resuelve: x-4 + x+2 + x-3 = 1 5 4 2 10 A) 2 D) 6

9. Al comprar un pantalón, una camisa y un par de zapatos he pagado por todo S/.400. Si el pantalón cuesta el triple de lo que cuesta la camisa y los zapatos cuestan S/.50 más que el pantalón, calcula el precio de los zapatos.

B) 2

D) 19 E) 17 37 43

C) 19 57

6. Resuelve: 2x - 1 + 2x + 1 = x - 1 + x + 1 6 4 3 5 A) - 13 B) - 2 C) 2 18 7 7 1 1 D) E) 17 16

11. Relaciona adecuadamente: I. 0x + 0 = 0 II. 10 200x + 0 = 0 III. 0x - 30 001 = 0 a) La ecuación es determinada y la raíz es nula. b) La ecuación es indeterminada. c) La ecuación es incompatible o absurda. A) Ic IIb IIIa D) Ib IIa IIIc

B) Ia IIb IIIc E) Ib IIc IIIa

C) Ia IIc IIIb

12. Determina las soluciones de las ecuaciones: I. x - x = 1 a a+b a+b II. a ` x - a j + b c x - b m = 1 b x a x 2 3 2 2 (a - ab) x III. 2 - ab 3+ a 3b = x 2 a - ab + b a +b ab (a + b) a3 + b3 = a+b x V. (x + a)(x - b) - (x + b)(x - 2a) = b(a - 2) + 3a

IV. (a - b)2 +


65

¿Qué ecuaciones tienen las mismas soluciones? A) I y II D) I y V

B) III y IV E) III y V

C) II y IV

19. Resuelve: x - 4 + 2 5 - x = 8 - x + 20 - 4x A) 6 D) Indeterminada

Razonamiento y demostración 13. Resuelve:

A) 1

B) 5 35

D) 3 35

E) 38 35

C) 6 35

Sabiendo que a ! b. A) 1 B) b C) a + b 2 a a-b E) a + b

B) -1 C) -2 E) 5/4

16. Resuelve: a+x + b+x = x-a + x-b 1 + a + ab 1 + b + ab 1 - a + ab 1 - b + ab C) 1 - ab

17. Resuelve la siguiente ecuación. x - 33 + x = 49 + 33x 49 1089 7623 C) {-7}

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) = n2 donde: n ! z / n $ 2000, el valor de x es: (2n + 1) 2

D) n 2

(n + 1) 2 (n - 1) E) 2 B)

66 Intelectum 5.°

C) 17

NIVEL 3

Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libuna de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándolas el siguiente problema. ¿Cuántas manzanas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y un manzano más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y un manzano más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres manzanos más, si con esto el canasto se vació. Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. La ecuación que representa la situación es:

C)

( )

Donde: M: el número de manzanas que contenía el canasto. II. El canasto contenía 30 manzanas. ( ) III. El primer y tercer pretendiente tienen en total 40 manzanas. ( ) IV. Al segundo pretendiente le corresponde 8 manzanas. ( ) 23. Busque en esta tabla los binarios necesarios para completar las operaciones con los otros binarios de abajo de tal manera que se forme una ecuación y que tenga como solución o raíz las indicadas a su derecha.

18. En la siguiente ecuación:

A)

B) 13 E) 23

M = M + 2 + M + 2 + M + 22 2 4 2

E) ab

B) {7} E) {40}

A) 10 D) 19

22. Analiza la siguiente solución

x+1 - x-1 = 1

A) {33} D) {25}

C) 20


15. Determina el valor de x:

B) 1 + ab

B) 19 E) 22

21. Si al doble de la edad de Juan hace 10 años, le aumento el triple de la edad que tendrá dentro de 15 años, resulta 110 años. ¿Cuál es la edad de Juan?

a2 + x - a2 - x = 4abx + 2a2 - 2b2 b2 - x b2 + x b 4 - x2

A) 1 ab D) ab 1 + ab

20. En un salón de clases hay 20 alumnos y cada uno iba a recibir dos regalos, pero antes de la repartición se perdieron algunos regalos. El profesor mandó inmediatamente que traigan tantos regalos como regalos habían quedado y dos regalos más para reponer lo perdido. ¿Cuántos regalos se perdieron? A) 18 D) 21

14. Resuelve:

A) Incompatible D) Indeterminada

C) 6 / - 6


5px + p + 6px =4 5px + p - 6px

D) a - b a+b

B) -6 E) Incompatible

3n 2

x+5

x-1

4x - 9

2x + 3

5x + 7

2

3x + 6

x-9

5x

4x - 5

10x - 1

5x

3x + 1

6

2x + 3

x+9

x+5+

+

= 16; & x = 1

29. Resuelve:

x+4+

+

= 18; & x = 3

+

+

x

= 51; & x = 7

+ 2x + 5 +

= 81; & x = 10

+ 5

+

= 41; & x = 9

+

+ x + 3 = 12; & x = 1

+

+

7

+ 6x + 9 +

n n

x+a +n x-a = a+1 a-1 x+a -n x-a

A) x =

aân + 1h an + 1

B) x =

C) x =

aân - 1h an - 1

D) x =

E) x =

aân + 1h a-1

= 22; & x = 7 = 54; & x = 3

aân + 1h an - 1 ân + 1h

an - 1

30. Resuelve e indica la menor solución:


x+1 + x+4 = x+2 + x+3 x-1 x-4 x-2 x-3

24. Resuelve:

A) 1,5 D) 0

x2 - 8 = 4

x-

A) Incompatible D) 3

B) 0 E) Indeterminada

C) -3

mx - a + mx - b + mx - c = 3 c+a a+b b+c

C) {a, b, c}

26. Si la siguiente ecuación: mx + (3 - n)x = 5x + 2m – 10 + n, tiene infinitas soluciones. Halla el valor de (m . n) A) 8 D) 11

B) 9 E) 12


A) 2n + 3m 6

Si: m = 1 + 1 + 1 ; a > 0, b > 0, c > 0 ab bc ac B) {a + b + c} E) {2abc}

C) 1,25

31. En una bolsa hay n bolitas, Mónica retira un tercio de ellas, Pedro agrega m y Antonella finalmente, saca la mitad. ¿Cuántas bolitas quedan?

25. Resuelve la ecuación en x.

A) {1} D) {2}

B) 2,5 E) 5

C) 10

C) 3n + 2m 6

B) 2n + 3m

D) (3m + 2n)6 E) 3n + m 3 32. La señora Milagros tiene 36 años y su hija tiene 8 años. ¿Dentro de cuántos años la señora Milagros será exactamente 2 veces mayor que su hija? A) 4 años D) 5 años

B) 10 años E) 15 años

C) 6 años

25. 19. e

11. d

12. c

5. e

6. a

A) 2a D) 5a

â - xhâ + bh

a-b

B) 3a E) 6a

=

2 2 ^ x - ahâ - 6ab + b h

32. c

24. a 18. e

Nivel 2 4. c

a+b

+

31. a

23. 17. e

28. Resuelve: â + xhâ - bh

30. d

22. 16. b 10. c 3. a

29. b

Nivel 3 15. e 9. b 2. e

28. b

21. c 14. c 8. c

E) a + b - c + d

1.

C) a + b - c - d

20. d

B) a + b + c - d

13. d

A) a + b + c + d D) a + b c+d

C l a ve s

Además: {a, b, c} 1 R+

7. b

=4

Nivel 1

-1

+c d + a + b m x-c

26. a

a + b + c -1 b + c + d -1 c + d + a -1 c x-d m +c x-a m +c x-b m

27. a

27. Halla el conjunto solución de la ecuación:

a2 - b2

C) 4a


67


matrices y determinantes 2

Calcula: Traz(AB) 1 si: A = e 4

2 7 o ; B = e 5 1

A) 36 D) 24

3

B) 38 E) 25

A) 95 D) 75

C) 41

Halla la matriz inversa de: J1 K J=K 7 K1 L

0 4 5

J - 1/8 K

C) K 5/26

4

K - 9/104 L J 1 1/9 K E) K 1/7 1/5 K 1 1/2 L

8 1 8

C) 70

3 o 1

Halla: C3 - 2C

N O O O P

1/8 1/26 - 7/104 1/7 1 1/3

J 3/5 5/8 1/104 N O K B) K - 9/104 2 3 O K 29/52 7/5 5/26 O L P J 7/5 1/4 N 4/7 1 N O K O 3 O - 6/13 O D) K 1/2 6/105 O K 29/52 2 - 9/104 - 7/104 O P L P

17 4 17 21 15 27 A) e o B) e o C) e o 18 17 14 17 11 10

N O O O P

4 7 11 10 D) e o E) e o 15 9 13 7

Calcula: (A + B)(A - B) 1 si: A2 - B2 = e 0

B) 80 E) 98

Sea: C = e1 2

7N O 1O 3O P

9 5 2

J 1 K A) K - 3 K 7 L

5

8 o 0

Halla el determinante de: J 4 -5 2 N O K A = K 3 3 1O K -3 4 2O L P

0 0 o ; AB = e 1 1

3 0 2 A) e o B) e -2 -2 -1

6 2 1 o / BA = e -1 2

2 -1 o C) e 2 2

4 4 -3 0 D) e o E) e o -2 1 -2 -1

68 Intelectum 5.°

1 o 0

0 o 3

Halla la matriz adjunta de A. 3 5 A = e o 4 1

1 -5 1 0 A) e o B) e o -4 3 0 3 -1 -2 D) e o 3 4

-4 -5 E) e o 7 0

C) e

0 -3 o 3 4

7

Halla la matriz de cofactores y da como respuesta la suma de su diagonal principal. J1 2 3 N K O B = K 4 5 6 O K7 8 9O L P

8

Halla el determinante: 1 2 a b c 0 3 4 5 6 A = 0 0 5 2 a 0 0 0 3 b 0 0 0 0 a

A) -18 D) -17 9

B) 22 E) 18

C) 36

Sea A = [aij]3 # 3 / |xI- A| = x3 - 6x2 + 3x + 2 Calcula el término lineal del polinomio: P(l) = |lI - A-1|

A) 45 D) 15a

B) 45a E) 15

C) 0

10 Si: a b c d e f =8 g h i Calcula: b a c a d g R = 6 e d f -9 b e h h g i c f i

A) –6 l D) –l

B) 2l E) –3l

C) 3l

11 Siendo: 5 o 2

3 X=e 1

halla: 3A - 12I

B) e

0 15 3 2 o C) e o 9 -6 1 4

5 0 1 0 o E) e o 0 7 0 1

A) 2 . 3n-1 D) 2n

13 Halla el valor de: 1 8 2 4 1 27 3 9 E= 1 125 5 25 1 343 7 49

C) 5 . 2n

14 Si A = (aij)n # n es una matriz definida por: entonces el valor del Det(A) es:

J K a b 0 0 ... ... K 0 a b 0 ... ... K . . . . . . A = K .. .. .. .. .. .. K K 0 0 0 0 ... a KK b 0 0 0 ... 0 L

A) an + bn D) 2an

C) 180

5. a

10. d

8. b

9. C

7. a

N

0O 0O . O . O . O bO O aO P

B) an +(-1)n+1bn E) bn

C) an + bn-1

Claves

B) 160 E) 264

6. b

12. b 11. b

A) 120 D) 240

B) 2 . 3n E) 5 . 3n

3. C

D) e

Calcula la suma de los elementos de Xn.

4. b

12 5 A) e o 3 6

0 o 2

1. c

4 3

12 Dada la matriz:

2. a

A=e

A) 24 B) -24 C) -100 D) -120 E) -150


69

14. b 13. d

Practiquemos NIVEL 1

J1 J -1 3N 2N O O K K A) K 2 1 O B) K 3 1 O K 4 -1 O K 1 -2 O L P L P J -1 3 N J1 N 2 K O K O D) K - 1 0 O E) K 1 - 1 O K 3 2O K2 0O L P L P

Comunicación matemática 1. Sea la matriz A = (aij)3#2 definida de la siguiente forma: i - j; i 1 j i # j; i = j i + j; i 2 j

aij =

2 5. Sea la matriz A = = 1

Determina la traza de (AAt). A) -3 D) 24

B) 0 E) 68

C) 12

A) 3n + 2n D) 5n + 1

A

I

E

N

T

P

J

D

A

D

E

Y

T

F

X

O W U

T

I

N

V

O

L

U

T

I

V

A

A

T

L

P O

T

E

X

H

N

J

K

N

C I

B) 2 # 3n E) 2n

N

I

P

X

S

A

B W E

S M R

E W M X

3; i = j 2; i ! j i + j; i = j B = (bij)4 # 2 / bij = 2i - j; i ! j

A

C

I

R

T

E M

I

S

I

T

N

A

S

D O

Z

S

T

S

Q

Y O

I

T

I

siendo: C = A . B

D

E

E

N

T

I

P

N

R M

R W U T

P W E

I

E

A

T

N

U

J

D

A

U

Y

R

L

V

I

E

M

F

V

T

D

Z

L

R

S

P

H

I

O

Z

K

I

H M

I

Q

E M

Z

D

R

S

N

L

X

N

H

T

S

C

D

K

I

A G

L

N

E

N

U

C

Z W A

N

J

G

T

K

X

O

Z

V

A G R

J

P

B

D

Y

L

R

I

N

V

O

L

N

R

I

Z

A

S

I

M E W T

R Q

I

C

A

I

T

I

E

T

N

E

P M E

D

I

F

U

A

T

O

ANTISIMÉTRICA IDEMPOTENTE TRANSPUESTA NILPOTENTE INVOLUTIVA SIMÉTRICA ADJUNTA IDENTIDAD INVERSA MATRIZ

Razonamiento y demostración 3. Dada la matriz C, calcula: C3 - 6C 2 C=e 1

2 o 0

A) C D) 3I

J1 3 K X+Y =K 2 1 K 4 -1 L

C) n2 + 2n

6. Si: A = (aij)3 # 4 / aij =

Determina: c -c N = 32 11 c22 - c31 A) 4/7 D) 9/7

B) 6/7 E) 10/7

C) 8/7

A) a3 + b3

B) (ab)3

C) (a + b)2

D) a3 - b3

E) (a - b)2

7. Calcula: S=

a2 ab b2 b2 a2 ab ab b2 a2

8. Resuelve:

x2 1 x x 1 x2 1 x 1 = 1 x 1 x 1 1 1 1 x

A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

C) 0

Resolución de problemas B) 2C E) 4I

C) 2I

9. Sean las matrices: 1 A= e 1

1 a oyB= e 3 c

b o d

Tales que:

4. Si:

1 G , entonces la suma de los 2

elementos de la matriz An (n ! n) es:

2. Encuentra las siguientes palabras en el recuadro: D

J 2 K C) K - 1 K 3 L

J 3 -1 N N O K O O; X - Y = K - 4 - 1 O K 2 O 3O L P P

halla: X

70 Intelectum 5.°

1 AB = e 0

0 o 1

Entonces el valor de a + b + c + d es: A) -1 D) 1

B) 0 E) 2

C) -2

1 0 1

N O O O P

J1 5 1 N 14. Halla el valor de: O K 10. Sea la matriz A = K 0 2 7 O K0 0 3O 1 1 1 ... L P 1 2 1 ... Entonces la suma de los elementos de la A = 1 1 3 ... diagonal de A10 es: h 1 1 1 ... 6 A) 40 230 B) 6 C) 60 014 1 1 1 ... 6 D) 60 074 E) 10 A) 92! B) 97! D) 99! E) 102!

1 1 1 h 97 1

Entonces los valores x1; x2; x3; x4 tales que:

1 1 1

e

11. Dada la matriz: A = [aij] de orden 3 # 3, donde:

C) 98!

Halla el producto de las raíces de la ecuación |A| = 0. A) -1

B) 1

D) -9/4

E) 3/2

2

Si además: A + A = O Calcula: |A| . |At + I|

C) 9/4

12. Indica la secuencia correcta después de determinar si las proposiciones relacionadas a matrices son verdaderas (V) o falsas (F):

16. Halla: A-1

B) 2 E) n

C) 0

20. Si:

Si:

J- 1 - 1 - 1 N K O A= K 0 0 0 O, K O 0 1P L 0 calcula: S = A42 + A55

1 2 3 Adj^ Ah = >2 1 1 H 2 4 3 A) 1 B) 1 C) 1 27 9 81 D) 1 E) 1 243 4

III. Si A y B son matrices del mismo orden, ambas simétricas, entonces AB es simétrica.

A) 8 D) 0

D) VFF

E) VVF

Razonamiento y demostración 13. Si X es una matriz que satisface la siguiente ecuación matricial:

=

a 0

0 X= 2 1 0 G G = b 1 -1 5

Determina la suma de los elementos de la matriz X, si: a2 + b2 + 2 = 2(a + b) A) 3 D) 10

B) 5 E) 6

C) 8

B) 28 E) 18

C) 15

a 1 a3 z

A) 1 D) -2

a2 a 1 a3

J0 K C) K 0 K0 L

0 1 0 0 0 -2

J0 K E) K 0 K0 L

0 0 0

J0 1N O K 0 O B) K 0 O K 2P L0

1 0 3

N J0 O K O D) K 0 O K0 P L

0 -1 N O 0 0O O 0 2P 0 -1 N O 0 0 O 0 -2 O P

N O O O P

21. Indica el valor de verdad en las siguientes proposiciones, respecto de A = [aij]n # n C) -3

I. Si A es nilpotente entonces An = 0. II. Si A3 = A entonces A2 = I. III. Si A es idempotente e inversible, entonces Traz(A) = n.

Resolución de problemas 19. Sea la matriz =a b

0 0 0


a3 a2 = - 3375 a 1 B) 2 E) B 0 D

J0 K A) K 0 K L0

NIVEL 3

18. Halla el valor de a en la ecuación: 1 a3 x y

B) 1 ; b2 ; 0; 1 a a a

2

1 0 1 1 -2 -6 Si: A = >- 3 3 9 H ; P = >0 2 4 H 2 0 -3 0 0 -1

C) FVF

A) 1 ; - b2 ; 0; 1 a a a

E) 1 ; 0; b2 ; 1 a a a

II. Si A + B y B son simétricas, entonces A es simétrica.

B) FFV

0 o 1

D) 1 ; 0; - b2 ; 1 a a a

I. Si A2 es simétrica, entonces A es 17. Calcula: Det(P-1AP + 2I) simétrica.

A) FFF

x2 1 o=e x4 0

C) - 1 ; b2 ; 0; - 1 a a a

15. Sea A = [aij]n # n / a23 = 1

A) 1 D) 2n + 1

(i + j)x ; si: i + j 1 4 aij = i + xj ; si: i + j $ 4

0 x1 oe a x3

Son (en ese orden):

1 98

NIVEL 2


a b

0 , donde a ! 0, b ! R. G a

A) VVV D) VFV

B) FVV E) FFF

C) FVF


71

22. Según las características notables de algunas matrices, escribe lo que corresponda de cada uno junto a su número respectivo.

VI

IV II

I

V III

I. Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que: AB = BA = I (matriz identidad), entonces, definimos B como matriz: II. Si A es una matriz nilpotente, verifica: AP = O ; matriz nula Denominándose a “p” en este caso como: III. Cuando A2 = I ; matriz identidad, entonces “A” se denomina matriz: IV. Cuando A2 = A , entonces “A” se denomina matriz. V. Cuando AT = -A , entonces “A” se denomina matriz: VI. Es aquella matriz que se construye a partir de otra intercambiando sus filas por sus respectivas columnas, conservando todos sus elementos, matriz:

23. Calcula la traza de la siguiente matriz simétrica: x 7 3z + x 20 p fx + 2y y 11 2y + 3z z

24. Sea: A =

B) 5 E) 8 1 1 1 y z p yz zx xy

fx

C) 6

y

x-y 0 0 B =f 0 y-z 0 p 0 0 z-x

Encuentra el valor de:

Det^ Ah Det^Bh

A) xyz D) 1

B) x2 + y2 + z2 E) x + y + z

25. Calcula: 2 1 A = 1 1 1

1 3 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 5 1

1 1 1 1 6

72 Intelectum 5.°

0 Y = >0 3

1 0 0

A) 6 C) 614 E) 612

0 2H 0

B) 611 D) 613

27. Obtener la matriz adjunta y da como respuesta la suma de sus elementos. A) 8 B) 9 1 1 1 C) 10 D)7 M = >3 5 7 H 2 1 4 E) 6 28. Calcula la inversa de la matriz A y da como respuesta la suma de sus elementos. 1 2 3 A = >3 4 5 H 3 5 6

A) 0 C) -2 E) -1

B) 1 D) 3

Resolución de problemas 1 0 1 29. Sea la matriz x = >0 1 0 H 1 0 1 Entonces la matriz x11 es: 10 0 10 100 0 100 1000 0 1000 A) > 0 1 0 H B) > 0 1 0 H C) > 0 1 0 H 10 0 10 100 0 100 1000 0 1000 1024 0 1024 59 049 0 59 049 D) > 0 1 0 H E) > 0 1 0 H 1024 0 1024 59 049 0 159 049 30. Examen de admisión UNI 2006-II (matemática) Sean las matrices: 2 7 -1 8 8 Q = > 1 1 1 H; P = Q101, sabiendo que: Q >- 3 H = l >- 3 H, -1 4 -4 -5 -5


A) 4 D) 7

26. Dada la matriz: Y, calcula la suma de los elementos de Y40.

Donde l es un cierto número real, entonces, el vector u y el número a tales que: P u = a u son: 8 1 0 B) >1 H , - 1 C) > 0 H , 1 A) > 3 H , 0 5 1 0 8 D) >- 3 H , - 1 -5

C l a ve s

C) xy + yz + zx 7. d

13. c

20. B

26. c

1. e

8. d

14. b

Nivel 3

27. a

2.

9. d

15. C

28. a

3. e

10. d

21. d

16. B

22.

4. c

Nivel 2

17. C

23. D

5. b

11. a

18. E

24. D

6. a

12. c

19. D

25. A

Nivel 1

A) 394 B) 350 C) 420 D) 361 E) 90

-8 E) > 3 H , 0 5

29. d 30. e


2

Resuelve: 2x + 3y = 5 x-y=5

A) {(4; -1)} D) {(-4; 1)} 3

Sistema de ecuaciones

B) {(2; 1)} E) {(-2; -1)}

C) {(4; 2)}

Resuelve:

Resuelve el siguiente sistema: x + 2y = 7 x - 2y = 3

A) {(5; -1)} D) {(5; 1)} 4

B) {(5; -2)} E) {(1; 5)}

C) {(-1; 5)}

B) a2 + ab E) a - b

C) a2 - ab

Resuelve:

x = 5 + 3y 7x - 39 = 9y

y x + = a+b a+b a-b

e indica x + y.

x + y = 2a a b

e indica el valor de x.

B) -19 C) 19 3 11 19 D) - E) 3 3

A) 19

5

A) a2 + b D) b - a 6

Resuelve: y x + =3 4 a 4b 5

Halla x en el sistema:

xy yz zx = ab = bc ; = ac ; bx + ay b + c cy + bz c + a az + cx a + b

y = 14 x + 6a 5b 15 Halla y.

A) 2a D) 2b

B) 3a E) 6a

C) 16b

A) a B) b 2a 2 b a D) E) b ab + bc - ac

C) ab


73

7

Resuelve el sistema: Z ]1 + 3 = 5 ]x y+1 4 [ 4 8 11 ]] x + y + 1 = 3 \

8

9

3x + 7y + 2z = 1 2x + 3y + 7z = 1 kx + 2y + 3z = 0

el valor de y sea igual a z.

Indica: xy

A) 6 D) 4

Halla el valor de k para que en el sistema:

B) 12 E) 24

C) 8

A) 3 D) 6

Resuelve el sistema:

B) 4 E) 7

C) -5

10 Resuelve el sistema: xy(x + y) = 4 x2 + y2 = 14, x 2 y Indica un valor de: -x - y

x+y = 6 *y + z + 4 = 6 z+x-8 = 6 Indica el valor de: x - y + z

A) 15

B) 16

D) 17

E) 20

11 Resuelve:

C) 18

A) -4 B) 2 6 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 12 Dado el sistema de ecuaciones, calcula x. 1 +1 = 1 x y 12

x(x + 2y + 3z) = 50 y(x + 2y + 3z) = 10 z(x + 2y + 3z) = 10

1 +1 = 1 y z 20

Da como respuesta la suma de las componentes de una de las soluciones (x0; y0; z0).

A) 6 B) 8 D) -7 E) -8

1 +1 = 1 x z 15

A) 10 D) 15

C) 9

B) 20 E) 1

14 Resuelve: x + y + 2 xy = 36 * x- y =2

13 Dado el sistema de ecuaciones, halla: (2x + 2y) xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468

da el valor de: E =

C) 16

A) 5 /3 B) 5 /2 C) 5 /4 D) 5 /6 E) 5 /5

10. a

4. b 3. c

1. a

5. c

8. c 7. c

9. d

12. b 11. d

14. c 13. e

Claves

74 Intelectum 5.°

6. c

B) 22 E) 24

1 +1 x y

2. d

A) 12 D) 18

C) 5

Practiquemos 5. Resuelve el sistema:

NIVEL 1

5x + 0, 3 = 5 0, 7 y

Comunicación matemática 1. ¿Para qué valores de m el sistema tiene soluciones positivas? 2x + 7y = m 3x + 5y = 13

10x + 9 = 31 7 y e indica el valor de y.

A) 26 1 m 1 91 B) 27 1 m 1 15 C) 9 1 m 1 31 3 5 5 5 D) 29 1 m 1 17 E) 31 1 m 1 41 8 10

ax + y = 0 x + ay = 0

x2 + y2 = 29 x+y=3

x2 + y2 = 29 x+y=3

x2 + y2 = 29 x+y=3

C) 0,154

B) 3 E) 12

C) 15

1 +1 = 5 x y 6

Atrévete a dividir el cuadrado en dos partes iguales, a través de las líneas marcadas como se muestran, de manera que cada una de las partes tenga los mismos sistemas de ecuaciones y en la misma cantidad.

ax + y = 0 x + ay = 0

B) 0,298 E) 0,75

6. Resuelve:

2. Percepción / Espacio

x2 + y2 = 29 x+y=3

A) 0,362 D) 0,64

x + 4y = 12 5x + 3y = 26

7 - 5 = 11 x y 6 e indica xy. A) 2 D) 6 7. Resuelve el sistema:

x + 4y = 12 5x + 3y = 26 x + 4y = 12 x + 4y = 12 5x + 3y = 26 5x + 3y = 26

1 +1 =5 x y 1 +1 =7 y z 1 + 1 = 6 x z

Indica el valor de z. A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 2 3 4 5 6 8. Resuelve:

Razonamiento y demostración 3. Resuelve:

e indica el valor de y. A) 1 B) 9 D) 16 E) 36

3 + 4 =1 x y 21 + 2 = 2 x y

C) 25


Da como respuesta xy. A) 21,8 D) 36

5 x -3 y = 3 25x - 9y = 27

B) 25 E) 67,6

C) 54

4. Resuelve:

9. Los trabajadores A y B pueden terminar un cierto trabajo en 12 días al laborar conjuntamente. Si A trabaja solo durante 20 días, y después B completa el trabajo en seis días más, ¿cuánto tiempo demora A en hacer solo el trabajo? A) 21 días D) 27 días

1 + 1 =a x-y x+y

B) 24 días E) 28 días

C) 26 días

10. Al resolver el sistema siguiente:

1 - 1 =b x-y x+y

y da como respuesta el valor de: x y A) a + b

B) a - b

D) b a

E) 1

3

x + y + 2 - 2x - 3 y - 7 = - 3

2 3 x + y + 2 + 3 2x - 3y - 7 = 14 C) a b

Se obtiene que el valor de (x + y) es: A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

C) 0


75

15. Para qué valores de m el sistema: x+y+z=5 2x + y - z = 3 x-y+z=m

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Dado el sistema, podemos afirmar que: 2x - 3y + 4z = 0 5x + 2y + 3z = 7 19x + 17z = 33 A) Tiene solución única. B) Tiene infinitas soluciones. C) Tiene 2 soluciones. D) Tiene 3 soluciones. E) No tiene solución.

Tiene soluciones no negativas A) -7 # m # 0 D) -3 # m # 5

x+2 x+y+z = m y+2 x+y+z = b z+2 x+y+z = n

C M T L I R A I A

B) m + 16 E) m + 12

C) m - 4

17. Resuelve: x + y + 5 x + 5y = 5 + 25 x + 5y - 5 x + y = 5 5 - 5 Calcula el valor de xy. A) 249 D) 432

B) -750 E) 125

C) -285

3 1 =3 x - y - 1 3x + y + 3 8 Halla x. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

Resolución de problemas 19. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x2 + 5xy - 18y2 = 0

xy + y2 - 12 = 0

A) (-4; 2); (-2, 4) C) (4; 2); (-4, -2) B) x = 2; y = 1 E) x = 2; y = 3

C) x = 1; y = 3

x + y =2 x y =- 1 B) 0

76 Intelectum 5.°

C) 3

B) (-4; -2); (-2; 4) D) (4; 2); (-2; 4)

E) (4; -2); (-4; -2) 20. El conjunto solución del sistema:

14. Señala el número de soluciones que se obtiene al resolver en R el sistema:

A) 6

A) m - 10 D) m - 8

2 3 + = 17 x - y - 1 3x + y + 3 24

13. Al resolver el sistema: Z ]1 + 3 = 5 ]x y+1 4 [ ]] 4 - 7 = 1 x y+1 4 \ se obtiene:

*

Si: m + b + n = 16

18. Resuelve:


C) 0 # m # 9

16. Indica el valor de x al resolver:

12. Descubre la palabra. Pon los grupos de letras en los espacios vacíos para formar palabras en horizontal y una más que la encontrarás al ordenar las letras de las casillas que están en el centro. COMP TIBLE CRA ES DETERM ER LINEA UCIÓN SUSTI CIÓN IGUAL IÓN INDETE MINADO RA NANTE REDUC CES

A) x = 1; y = 2 D) x = 3; y = 2

B) 0 # m # 5 E) 5 # m # 9

D) 2

E) 4

x2 - 2x - y = -1 x2 + y2 = 1

es:

A) {(1; 1), (2; -1), (1; 0)} C) {(1; 0), (-1; -1)} E) {(-1; 1), (1; -1)}

B) {(1; 2), (2; 1), (1; -1)} D) {(1; 0), (0; 1)}


Razonamiento y demostración 23. Sabiendo que:

21. Dado el sistema: 2x + 3y + 4z = 0

xy =6 5 x + 4y

5x + 6y + 7z = 0

xz = 8 3 x + 2z

x2 + y2 + z2 = 24 Acerca de su conjunto solución podemos afirmar que: A) Tiene un elemento B) No tiene elementos C) Tiene dos elementos D) Tiene tres elementos E) Tiene cuatro elementos

3 C) 17 5 4 6 8

Resolución de problemas 29. Sean a, b, d números positivos tales que: a = c y a3 + 16 = c3 d b 3 d b3 + 54

yz =6 3 y + 5z

Calcula: x + y + z A) 48 D) 154

A) 12 B) 5 4 D) E) 7

B) 60 E) 144

C) 36

2 2/3 Determina: 2b 2- d 2 2a - c

a) 2,25 d) 2,55

b) 2,85 e) 2,65

c) 2,45

24. Siendo (x0; y0) la única solución al resolver el sistema: 30. El mínimo valor de z que satisface el sistema de ecuaciones. x 2 + y 2 + 2x # 1 ) x + y = 12 22. Lenguaje x-y+a = 0 x2 + y2 = z Dale sentido a los conceptos ordenándolos. + y Halla el valor de: x En cada enunciado sobra una palabra que 0 0 es: pertenece al concepto siguiente, excepto A) -1 B) -2 C) -3 a) 9 b) 18 c) 36 en el último, que pertenece al primer d) 72 e) 144 D) -4 E) -5 concepto.

23. e

24. a

25. d

17. b

18. c

19. c

Nivel 2

11. e

12.

4. c

5. b

6. d

30. d

22. 16. c 10. b 3. e

29. a

21. c 15. d 9. e 2.

28. c

Nivel 3 14. d

x2y4 + y2 = 333 • cuando el número de ecuaciones es proporcionales número de incógnitas A) 3 B) 2 C) 18 número de incógnitas imposible, absurdo D) 16 E) 6 que número de ecuaciones. Según el mayor el se denomina el y sistema 28. Resuelve el sistema y da como respuesta: incompatible, o independientes. (x + y) • si los conjunto. Se denomina independientes no son coeficientes de misma 2 x + y = 23x - 4 * incógnita ecuaciones una x + 5y = 3 x + 2

8. A

A) 1 B) 6 C) -4 • inconsistente ecuaciones o más en el D) 8 E) -2 cual pueden ser algebraicas no lineales. El de ecuaciones un conjunto es dos de sistema o no algebraicas intervienen en 27. Resuelve el sistema y da un valor de: xy el que matemáticas las xy2 + y = 21

1. a

26. a

indica la suma de valores de y.

20. d

(z + x)(z + y) = 18

13. e

(y + z)(y + x) = 15

7. C

(x + y)(x + z) = 30 C l a ve s

• ningún elemento un elemento expresiones. Resolver solución que puede tener conjunto en determinar el elementos o sistema un consiste

C) 4

Nivel 1

e indica el valor de x. • correspondiente simultánea ecuaciones A) 6 B) 5 numérica verifica incógnitas que. Las D) 7 E) 9 infinitos en forma un sistema de de ecuaciones a las de las una cada 26. Resuelve el sistema: aquella soluciones es

27. e

• ecuaciones. Se ecuaciones de algunos 25. Resuelve: para asignados sistema al lineales x + y + 9z = 83 denomina valores incógnitas sus a más 5x + 12y + 9z = 155 incógnitas o con dos pueden cuales los de verificarse colección x + 2y + 4z = 47


77


Ecuaciones de segundo grado

Resuelve: 3(x2 - 4x + 1) + 7x = 5 + 4x

2

A) 9 ! 105 B) 7 ! 7 6 C) 5 ! 15 D) 9 ! 2 3

A) 2 D) 1 4

E) 9 ! 3 2 3

Resuelve: (2x - 3)2 = (x + 5)2 - 11x - 26

A) {-8; 1} D) {8; -1} 5

B) {-8} E) {-2; - 5 } 3

Determina m, de manera que en la ecuación: 2x2 - x + 4m = 0 las raíces sean recíprocas.

4

C) {2; 5 } 3

Halla k para que la ecuación presente raíces simétricas. k+1 = k-1 3x + 2 x 2 - 2 x

C) 4

Si una de las raíces de: x2 -(m2 - 5)x - 8m + 3 = 0 es -3, indica la otra raíz.

A) 7 D) -17/9 6

B) 1 2 E) 8

B) 6 E) Hay 2 correctas

C) 7/3

Halla a en: a2x2 -(a + 2)x + 1= 0 Sabiendo que sus dos raíces son iguales.

A) 1 B) 3 C) 5 5 2 2 D) 2 E) 4 5 3

78 Intelectum 5.°

A) 2 D) 1/3

B) -2/3 C) -2 E) A y B

Si una raíz es la opuesta de la otra. Halla 2m + 1 en: (m - 1)x2 + (5m + 15)x + 2 = 0

A) -5 D) -3

A) x2 - 7x + 7 = 0 C) x2 - 7x - 12 = 0 E) x2 + 7x - 12 = 0

10

B) {7; 3} E) {8; 2}

B) 11 E) 17

C) 5

Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 y 1 . 2 7

A) 14x2 - 9x -1 = 0 C) 14x2 - 9x + 1= 0 E) 14x2 + 9x + 1 = 0

B) x2 + 7x + 10 = 0 D) x2 - 7x + 12 = 0

B) 14x2 - 1 = 0 D) 14x2 + 9x - 1 = 0

12 Dada la ecuación cuadrática: P(x) = x2 + a2x + a = 0, donde: x1 / x2 son raíces de la ecuación. Halla: x1 + x2 + (x1 . x2)2

11 Resuelve: (x - 3)2 + (x - 4)2 = (x - 2)2

A) {3; 4} D) {7; 1}

A) 7 D) 9

C) -4

Forma la ecuación de raíces: x1 = 3, x2 = 4

En la ecuación: 2x2 -(m - 1)x +(m + 1) = 0 ¿Qué valor positivo debe darse a m para que las raíces difieran en uno?

C) {4; 3}

A) 1 D) 2

B) 0 E) 3

C) -1

14 Calcula el valor de (m - 2n), si la ecuación: 5(m + n + 18)x2 + 4(m - n)x + 3mn = 0; es incompatible.

13 Calcula el valor de m para que la ecuación: 6x2 + (2m + 3)x + m = 0; tenga solo una raíz.

C) 1/2

A) -9 B) -18 D) 18 E) -13

C) 9

3. C

6. e 5. a

10. c

8. b

9. d

7. a

Claves

B) 3/4 E) 5/3

4. e

12. b 11. b

A) 3 D) 3/2

1. a

9

B) 4 E) 5

8

2. b

7


79

14. c 13. d

Practiquemos NIVEL 1

7. Forma una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: - 3 y 5 2 A) x2 + x - 4 = 0 B) 2x2 - 7x - 15 = 0 C) x2 - 3x + 6 = 0 D) x2 - 4 = 0 2 E) x + x + 1 = 0

Comunicación matemática 1. Se tiene la ecuación:

x2 - 14x - y2 + 49 = 0; a ! R

Verifica la verdad o falsedad de las proposiciones: I. Si y < 0, la ecuación no tiene raíces reales. II. Si y = 0; la ecuación tiene una única solución. III. Si y ! 0; la ecuación tiene dos raíces distintas y reales. A) FVV D) VVF

B) VFV E) FFF

El valor de a + b es 1. II. Si:

( )

( )

III. Si 100 y 2 son raíces de la ecuación:

ax2 + bx - 10 = 0

El valor de a + b es 5 - a. B) FVV E) VFV

( )

C) FVF

Razonamiento y demostración 3. Si se tiene que x1 y x2 son raíces de 2x2 - 6x + 8 = 0, halla el valor de: (1 + x2)(1 + x1) + 3 A) 15 D) 12

B) 14 E) 11

C) 13

4. Forma la ecuación cuadrática de raíces x1 / x2, que satisfacen lo siguiente: x x1 - x2 = 6 / 1 = 2 x2 A) x2 - 6x - 2 = 0 C) x2 - 4x - 12 = 0 E) x2 - 18x + 72 = 0

B) x2 + 2x + 6 = 0 D) x2 + 2x - 6 = 0

5. Halla m si las raíces de la ecuación son recíprocas. (2m - 1)x2 + 6x + 9 = 0 A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

6. Calcula la suma de las raíces de: ax + b x + c = 0 A) - b B) -1 a 2 2 D) b -2 ac E) b -22ac a a

80 Intelectum 5.°

C) 1

B) 2

C) 1

D) 3

E) 4

Resolución de problemas 10. Hace 20 años el cuadrado de la edad de Betsabe, era igual, a 81. Determina su edad actual.

x2 + 2 + b = 0

Entonces, el número a + b es -a-1.

E) 7

Dada la ecuación: x2 - 2x = 1. Indica cuántas soluciones reales tiene. A) 0

es una de las raíces de la ecuación:

A) FFV D) VVF

A) -14 B) -7 C) -9 D) -2 9.

I. Si: x1 = -1 y x2 = 3 son raíces de: ax2 - bx + 1 = 0 1 -a 2

2x + 13 = x + 3 + x + 6 La suma de sus soluciones es:

C) FFV

2. Marca (V) verdadero o (F) falso, según corresponda:

1 a2

8. Sea la ecuación:

A) 28 años D) 31 años


C) 30 años

11. La altura de un triángulo es 1 m menos que la longitud de su base. El área es 28 m2. Determina su base y altura. A) Base = 7 m Altura = 8 m

B) Base = 6 m Altura = 9 m

C) Base = 8 m Altura = 7 m

D) Base = 6 m Altura = 5 m

E) Base = 9 m Altura = 8 m

NIVEL 2 Comunicación matemática 12. ¿Qué se puede afirmar acerca de las raíces de la ecuación? ax2 - bx - a = 0 Donde: a; b ! R - {0} A) Son reales y distintas. B) Son reales e iguales. C) Son complejas. D) Son imaginarias puras. E) No se puede afirmar nada. 13. Relaciona adecuadamente: 6x ! R: I. 4x2 - 121 = 0 II. 3x2 + 9 = 0 III. 1001x2 + 0 = 0

a. La ecuación tiene una solución doble. b. La ecuación tiene dos soluciones. c. La ecuación no tiene solución. A) Ia, IIb, IIIc D) Ib, IIc, IIIa

B) Ic, IIa, IIIb E) Ic, IIb, IIIa

C) Ib, IIa, IIIc

14. Verifica la verdad (V) o falsedad (F) del enunciado: La edad actual de Ramón es un cuadrado perfecto. La edad de Florencio es el séxtuplo de la edad de Ramón. Si dentro de 4x2 años la edad de Florencio será el doble de la edad de Ramón, entonces x es: A) La raíz cuadrada de la edad de Ramón. B) La raíz cuadrada de la edad de Florencio. C) La diferencia de las edades de Florencio y Ramón. D) Dos veces la edad de Florencio. E) El quíntuplo de la edad de Ramón.

20. Resuelve y da como respuesta la mayor solución. (3 - x) 3 + (4 + x) 3 =7 (3 - x) 2 + (4 + x) 2 A) 1 B) 2 D) -3 E) -4

21. Halla (m + n), si la ecuación cuadrática tiene raíces simétricas y recíprocas (m; n ! R+). 1024x2 - (mn - 8)x + n10 = 0 A) 4 ( 2 + 1) B) D)

Resolución de problemas 22. La base de un rectángulo es 38 m menos que el quíntuple de su altura, el área es 63 m2. Determina sus dimensiones.

15. Dada la ecuación: 2

(2k + 1)x + 3(k - 1)x + 1 - k = 0 halla k, si la suma de las raíces es 0,75. B) 0,3 E) 0,5

C) 0,8

16. Calcula la mayor solución de la ecuación:

(m - 2)x2 - (2m - 1)x + m - 1 = 0 ; si el discriminante es 25.

A) 3 D) 3/2

B) 1/2 E) 1/3

C) - 3 2

23. Dentro de 4 años, el cuadrado de la edad de Javier será 4 veces la suma de su edad con 8. Determina la edad de Javier. B) 18 años E) 30 años

C) 1 año

La diagonal de un cuadrado es tres multiplicado por la raíz cuarta de doce veces el lado de un triángulo equilátero. La suma de sus áreas es 37 3 m2, determina si son correctas las afirmaciones: A) La ecuación que representa la situación es:

Determina k para que se cumpla:

B) -10 E) -8

x2 3 + 9 12 x2 = 37 3 2 4

B) El lado del cuadrado es 2 m.

1 + 1 =5 x1 x2 8

C) La dimensiones del triángulo equilátero son: base = 2 m y altura = 3 m.

C) 5

25. Analiza la siguiente ecuación: 5x2 + 10x - 24 x2 + 2x + 12 = -24

19. Forma la ecuación cuadrática cuyas raíces sean:

Luego, comprueba si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

7 7! 6 A) x2 - 7 x + 6 = 0

B) x2 + 14x + 7 = 0

C) x2 - 14x +

D) x2 -

E) x2 - 14x + 7 = 0

E) Base = 5 m Altura = 10 m

24. Del enunciado:

18. En la ecuación: x - kx + 16 = 0

7 = 0

D) Base = 7 m Altura = 9 m

C) Base = 6 m Altura = 10 m


2

B) Base = 2 m Altura = 12 m

NIVEL 3

17. Si m y n son raíces de: 3x2 - 2x + 1 = 0, halla: R = m + n n m

A) 10 D) 8

A) Base = 1 m Altura = 2 m

A) 15 años D) 4 años

C) 5/2

A) 3 B) 1 2 3 D) - 1 E) - 2 3 3

2 + 2 C) 2 ( 2 + 1)

2 + 1 E) 3 ( 2 + 1) 2


A) 0,75 D) 1

C) 3

6x +

7 =0

I. La suma de elementos de su conjunto solución es -2. II. La suma de elementos de su conjunto solución es -1. III. El producto de sus raíces es -24. IV. Presenta raíces recíprocas. ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

81

26. Cálculo

31. Resuelve:

A cada variable de la columna de la izquierda se le ha realizado la misma operación aritmética, que ha dado como resultado los números de la columna de la derecha dentro del recuadro. Ten en consideración que una de las dos soluciones para cada variable que están fuera del recuadro. Determina la otra solución para cada variable.

x x x x x

& & & & &

5 6,2 10,6 12,5 15,4

x1 = 2 x1 = 1,2 x1 = 0,6 x1 = 05 x1 = 0,4

Razonamiento y demostración 27. Dada la ecuación: x2 - 2x - 8 = 0

CS = {m; n}; forma una ecuación de segundo grado si el conjunto solución es:

1 1 9 c x + 3n + x + 4m m^2x + 3n + 4mh = 2 Da una solución. A) 5m + 2n D) 8m + 3n

B) 3m + n E) 3n - 8m

32. Las raíces de la ecuación:

x2 + bx + c = 0, son ambas reales y mayores que 1. Sea: S = b + c + 1, entonces, S: A) Puede ser menor que cero. B) Puede ser igual a cero. C) Debe ser mayor que cero. D) Debe ser menor que cero. E) Debe estar entre -1 y 1.

33. Sea la ecuación cuadrática:

ax2 - bx + 4 = 0 Si tiene por conjunto solución: p15 + q2 + 2 p15 + q2 + 2 ; 3 p15 + 1 q2 + 1

CS = ' 1 + 1; 1 + 1 1 m n

)

A) 6x2 - 3x + 1 = 0

Halla el valor de b.

2

B) 2x - 5x + 5 = 0 2

C) 8x + 14x - 5 = 0 D) 8x2 - 14x + 5 = 0

A) p - q

B) p

D) 1

E) 4

E) 8x2 - 14x - 5 = 0

p q

34. El lado de un cuadrado es tres veces mayor que el de otro cuadrado, además, la suma de sus áreas es 833 m2. ¿Cuánto mide los lados de los cuadrados?

2

2

3 4x - x + 1 + (x - 2) = 3 5 e x2 - x + 1 o x2 + x - 1

A) 7 m y 28 m D) 6 m y 20 m

Halla el valor de: A = mn + nm B) 4 E) 16

C) 6

29. Si las raíces de la ecuación: 2 2 (1 - b + a )x2 + a(1 + b)x + b(b - 1) + a = 0 2 2 2 son iguales; entonces, a resulta: b A) 1 D) 4

C)


28. Si m y n son raíces de la ecuación:

A) 2 D) 8

C) 5n - 8m

B) 2 E) 5

35. Cuatro veces el producto de la edad de Amelia disminuido en dos con su edad aumentado en seis, es igual a 36. Determina dicha edad. A) 1 año D) 4 años


C) 3 años

C l a ve s 8. D

15. e

23. d

30. b

1. a

9. b

16. a

Nivel 3

31. e

2. b

10. b

17. e

24.

32. c

3. e

11. c

18. a

25.

33. e

4. E

Nivel 2

19. e

26.

34. a

5. d

12. a

20.

27. D

35. c

6. e

13. d

21. c

28. d

7. b

14.

22. d

29. d

Nivel 1

x2 - (k - 3)x + k2 + k - 16 = 0

Calcula la otra raíz, sabiendo que k 1 0.

82 Intelectum 5.°

C) 3 m y 9 m

C) 3

30. Si 2 es una de las raíces de la ecuación en x:

A) -2 B) -7 D) 7 E) -9

B) 10 m y 15 m E) 31 m y 5 m

C) 5

Matemática Realiza la gráfica de A + B. Si: A = {(x; y) ! R2 / y # x # 4y} Resolución:

Para determinar los elementos de A graficamos y = x; x = 4y y

y=x A

C) 3

D) 0

E) -3

q + pn m-n E) m + n q + pn

C)

q + pn m+n

yx = 25 2x + 1 x-1

A) 5

C) -2

D) 3

E) -1

4. Determina 2a + 3b + c; si a; b y c son las raíces de la ecuación: x3 - bx2 + cx + 2a = 0; abc ! 0

A) 0

A) -1

B) -1

C) 2

B) -2

C) -3

D) 5

E) 1

7. Determina el CS de: 2 - x ^1 - x2h $0 ^ x + 3 + x - 1h^ x - 2h A) R D) G -1; 2]

B) [1; 2H E) [-2; 2]

C) [-2; -1]

log5(4x + 2) - 2 > log5(2 - 8x)

Se obtiene como conjunto solución el intervalo [a; b]. indica 17a - 4b. A) 4

= 125 B) 1

x

8. Al resolver la inecuación logarítmica:

3. Encuentra el valor entero de x que satisfaga el sistema: y

y

2

6. Para qué valor de m el sistema: mx + y = 0 my + z = 8 mz + x = m admite infinitas soluciones.

B)

D) m + n + q

y $ (x - 1)

x

¿Cuántos tiros dio en el blanco? mp + q p-n

Finalmente intersecamos las gráficas:

B

2. En una competencia de tiro al blanco, Luis por cada tiro acertado gana m y pierde n por cada que falle, después de p tiros totalizó q A)

y

y= x 4 x

x 2 - 3x + 2 > 1 x 2 + 3x - 4 B) 4

Para los elementos de B: Graficamos y = (x - 1)2

y # x # 4y

1. Halla el mayor valor entero de x en:

A) 1

B = {(x; y) ! R2 / y $ (x - 1)2}

D) 1

5. Grafica la región definida por:

M = {(x; y) ! R # R / |y| $ x2 / |y| # |x|}

E) 7

B) 3

C) 2

D) 1

E) 0

J N 3 -1 O . Además: 9. Sea la matriz: A = KK 5 2 O L P J y-2 N O K x-1 2 O; determina x + y + w + z At - A2 = K z 1 O KK w - 8 2 O L P A) 12

B) 11

C) 13

D) 15

E) 14

10. Encuentra el intervalo solución: A)

D)

E)

B)

1 -1 0 0 0

C)

A) [1; 2] D) G0; +3H

-2 x -1 0 0

0 0 x -1 0

-1 0 0 x -1

B) G1; 3] E) G-3; 2H

2 0 0 0 x

# 0

C) [-2; 1H

Álgebra - ACTIVIDADES UNIDAD 3

83

Unidad 4

Recuerda Eratóstenes (c. 284 - c. 192 a. C.) Matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero que midió con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Eratóstenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría. Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.

Reflexiona • Aquellos que conocen el éxito en la vida, son los que han aprendido a dejar de lado sus emociones y aprenden de los demás, incluso cuando el mensaje es desagradable.

Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Eratóstenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46 250 km, cifra que excede a la medida real solo en un 16%. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de solo 7’ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

• Las personas de éxito saben que todos sufrimos contratiempos y que eso exige reevaluar nuestra forma de hacer las cosas y aplicar acciones correctivas para triunfar. Saben que la adversidad nunca es permanente. • Ten presente que te convertirás en aquello en lo que pienses constantemente. He ahí el riesgo de permitir que pensamientos equívocos y errados encuentren cabida en tu mente.

¡Razona...! ¿Qué figura sigue?

;

;

A)

B)

D)

E)

;

;...

C)


INECUACIONES

Resuelve: x2 - 5x - 1 < 0

2

Resuelve: (x + 3)2(x - 3)5(2x - 1)2(1 - 2x)9(5 - x) $ 0

A) E 5 - 29 ; 5 + 29 ; 2 2 B) ; - 5 - 29 ; 2

29 E 2

C) ; - 5 - 29 ; + 5 29 E 2 2 D) ; - 5 ; 2

A) [ 1 ; 3] , [5; +3[ , {-3} 2 C) [ 1 ; 3[ , [5; +3[ , {-3} 2 E) ] 1 ; 3[ , ]5; +3[ , {3} 2

29 E 2

E) E - 5 ; 5 + 29 ; 2 3 3

Si: P(x) = x2 - kx + 4 $ 0; 6 x ! R Calcula la suma de valores enteros que toma k.

A) 13 D) 8 5

B) 7 E) 0

4

C) 15

Resuelve: x6 + x5 < x4 + x3

A) G0; 2H B) G0; 1H C) G-1; 0H D) G-1; 1H E) G-1; 2H

86 Intelectum 5.°

B) [ 1 ; 3[ 2 D) [5; +3[

3

Resuelve la inecuación: x3 - 7 < x - 1 Indica el conjunto solución.

A) G1; 2H B) G0; 3H C) G-2; 2H D) G-1; 2H E) G-2; 2H 6

Resuelve: x3 + x2 $ 4x + 4

A) [3; +∞H C) [-2; -1] , [2; +∞H E) [1; 2] , [3; +3H

B) [-3; -1] D) [-2; -1] , [2; 3H

7

Resuelve:

8

2 x 2 + 7x + 8 $ 1 x + 5x + 6

Resuelve: x-4 #

6-x

Señala un intervalo del conjunto solución.

Si x ! ; 1 ; 5 E y sean m el menor valor y M el mayor valor que 4 4 satisface: m # x + 5 # M . x-2 Calcula: m . M

B) 20 E) 15

A) [-2; 2010H D) [-2; 1]

B) [-1; 2H C) [1; 2H E) G-∞; -2H , G1; +∞H

12 Si: x ! [- 1; 2], entonces c x - 1 m d A . x+2

5-x -4

encuentra A y da como respuesta el producto de su máximo y mínimo valor.

A) - 1 B) - 2 2 D) - 7 E) 1 3

B) x ! G3; 5H D) x ! G3; + 3H

C) 4

14 Luego de resolver la inecuación:

13 Resuelve: x 2 - 5x + 4 < 7 - x

2x + 3 > 4x2 - 5x + 1 Da como respuesta el número de soluciones enteras menores que siete.

B) G-3; 1] , [0; +3H D) G-3; 4] , [1; 4H

A) 5 D) 8

B) 6 E) 7 6. C 5. b

10. d

8. a

9. c

7. e

C) 4

Claves

12. a 11. c

A) G-3; 2] , [3; + 3H C) G-3; 3] , [0; 7] E) G-3; 1] , [4; 5H

2 - x - x2 > - 2010

C) 25

5 - x 2 5(3 - x) +

A) x ! [3; 5H C) x ! G3; 5] E) x ! Q

10 Resuelve:

3. e

11 Resuelve: 2(x - 5) +

C) [4; 6]

4. d

A) 24 D) 27

A) [4; 5] B) G4; 5] D) [-4; 6H E) G6; +∞H

1. a

9

B) [-3; -2] C) G-2; -1] E) [-1; +3H

2. a

A) G- 3; 3H D) G- 3; 3]


87

14. e 13. e

Practiquemos 6. Halla los valores que debe tomar n de 13. Si el conjunto solución de la inecuación: manera que el trinomio: 10x2 - 9 $ x4 es [a; b] , [c; d] Comunicación matemática P(x) = -x2 + 4x + 4n Calcula: a - b + c - d; a < d no sea mayor o igual que 5, para cualquier 1. Indica la naturaleza de las raíces de la A) -4 B) -3 C) 3 valor real de x. ecuación: D) -1 E) 2 3x2 + 2(a + b + c)x + a2 + b2 + c2 = 0 A) - 3; 1 B) 〈-∞; 4〉 4 a, b, c ! R / a ! b ! c Resolución de problemas 1 C) D) 〈4; +3〉 ; 3 + A) Imaginarias 4 14. Un número cumple las siguientes B) Reales negativas E) R condiciones: C) Reales positivas Seis veces este número aumentado en 15 7. Al resolver: no es menor que el cuádruple del mismo D) Reales diferentes aumentado en 77; también el triple del 15x2 - 29x - 14 < 0 E) Reales e iguales número disminuido en 22 no es mayor que se obtiene: CS = 〈a; b〉 89. Determina el número de soluciones 1 Halla: a + b + 2. Con respecto al conjunto: 15 que cumplan lo establecido anteriormente. T = {x - 1 / 4x - 3 - 2 - x 2 0 } A) 2 B) 29 C) 31 A) 3 soluciones 15 15 Se puede afirmar que: B) 5 soluciones D) 30 E) 1 A) T = G1; 2] C) 7 soluciones 8. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la B) T + z+ = {1} D) 1 solución inecuación: x2 + 2 < 3? C) T posee dos elementos enteros. x E) 20 soluciones D) T + z+ = {2} A) 4 B) 3 C) 2 15. Estela vende 350 calculadoras HP50G+ D) 1 E) 0 E) T es un conjunto unitario. y le quedan más de la mitad de las que tenía. Luego vende 200 mds y le quedan 9. Halla el conjunto solución de: Razonamiento y demostración menos de 152. Determina la cantidad 2 de calculadoras HP50G+ que tenía 3x - 6x + 8 2 - 4 3. Resuelve: Estela. x2 - 5x + 1 # 0 A) [- 4; 5] B) R C) G-1; 1H A) 701 B) 601 C) 700 D) Q E) [- 2; 3H D) 702 E) 800 A) x ! G-5 - 21 ; -5 + 21 H

NIVEL 1

B) x ! r C) x ! ; 5 - 21 ; 5 + 21 E 2 2 D) x ! Q E) x ! G- 21 ;

21 H

4. Resuelve: x2 - 5x + 6 2 1 , indica un intervalo x 2 - 3x + 2 solución. A) G-3; 1H B) G2; +3H C) G-3; 2H - {1} D) [2; +3H E) G2; +3H - {3} 2

5. Dada la inecuación en x: ax + bx + c # 0 cuyo: CS = [-4; -3]. Calcula a + b + c, si: a, b y c son valores enteros positivos mínimos. A) 15 D) 10

B) 19 E) 20

88 Intelectum 5.°

C) 8

10. Halla la menor solución entera de la NIVEL 2 inecuación: x + 1 >1 x Comunicación matemática A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) - 1 16. Lenguaje Las letras mostradas están desordenadas; 11. Resuelve: ordena las palabras, en cada grupo sobra una letra, anótala en la columna de la 3 3 x +1 2 x+1 derecha. A) R B) G0; 1H C) G- 1; 0H D) G-3; 0H,G1; +3H E) G-3; 1H 12. Si a > b > 1, resuelve: 3

ax + 1 # 0 x x+b 5

Palabras correctas JCNUNCTOO OREMLVAS BSXMDIAISEL SEZUGISLADDDEA

A) G-3; bH B) Q

SEJNOIUCENICA

D) ; - 1 ; + 3 a 1 E) G-3; -bH , ;- ; 0 a

LANSECARIQO

C) G-3; -bH

SELICARNOIARZ ERWTNIOLAVS

Letras sobrantes

22. Resuelve: 17. Sea 1 < 1 < -1; donde a y b son números a b 2x - 3 2 2 - x reales, entonces dadas las proposiciones: I. (a + 1)2 > (b + 1)2

28. Un agricultor quiere levantar una cerca alrededor de un terreno rectangular que está ubicado en la ribera de un río, usando 1000 m de material. ¿Cuál es el área más grande que puede cercar, considerando que no va a poner una cerca a lo largo del río?

A) 5 ; 3 B) 5 ; 2 F 2 3

II. a2 > b3

C) 1; 2 D) 3; 4 A

III. a3 - b3 > 0

E) < 3 ; 2 F 2

Son ciertas: A) I y II C) I y III E) Solo II

B) II y III D) I; II y III

23. Encuentra el mínimo valor que puede adquirir la expresión:

Río

2 y2 + 10 z + 1 25x y z Si: x 2 0; xy 2 0; xyz 2 0

x+

Razonamiento y demostración 18. Dada la desigualdad: 4x2 + 9y2 + 16z2 + 50 # 4(3x + 6y + 10z) Si x; y; z ! R, calcula el valor de: T = xy + z A) 2,25 D) 3,5


B) 2,5 E) 4,5

C) 3,25

19. Determina el conjunto solución de: x - b 1 a ; si 0 1 a 1 b . b x-a A) Ga; bH B) Ga - b; a + bH C) Gb; a + bH D) Ga; a + bH E) G0; bH 20. Determina el intervalo solución de: 2x - 1 2 3x 2 - x + 1 A) G- 3; 0H B) 1 ; 3 2 C) [3; +3H D) G3; +3H E) G3; 5H 21. Resuelve: x - 3 #0 x-2 x+2 A) G- 2; 2H B) G- 3; - 2H , ]2; +3H C) G- 2; 3H

A) 12 D) 2

B) 4 E) 1

C) 13

24. Resuelve:

A) 50 000 m2 C) 67 500 m2 E) 125 000 m2

B) 62 500 m2 D) 100 000 m2

29. Cuando nací mi tío tenía más de 25 años; hace 5 años el doble de mi edad era donde: a < 0 < b mayor que la de él; si tengo menos de 33 años, determina la edad de mi tío. Indica como respuesta el número de elementos del conjunto solución. A) 56 años B) 57 años C) 58 años D) 59 años E) 60 años A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 E) 0

(a2 + b2)x2 - (a + b)x + 1 < 0

NIVEL 3

25. Determina el conjunto solución de: x - b 1 a ; si 0 < a < b. b x-a

Comunicación matemática 30. Sea S la región limitada por las siguientes inecuaciones:

A) Ga; bH B) Gb; a + bH C) Ga; a + bH D) G0; bH E) Ga - b; a + bH

• y - x # 4

26. Si x es un número superior a la unidad, 1 halla la variación de: x+ 1 x-1

Al minimizar f(x; y), sobre S se afirma:

A) 1 ; +3 B) 8; 9 3 C) 0; 1 F D) -3; 1 3 3

E) <- 1 ; 1 F 3 3

27. Luego de resolver la inecuación: (x - 1)2(x + 1)(x - 3)3 < 0 Su conjunto solución es: Ga; bH - {c}

D) G- 3; - 2] , [2; +3H

Detemina el valor de: ab + 2c

E) R - {- 2; 2}

A) 4 D) 1

B) 3 E) -1

• y+ x #6 2 x - y # 0 • 2 • - x - y # -2

A) Si f(x; y) = x + y, entonces se tienen 2 soluciones. B) Si f(x; y) = y - x, entonces c 4 ; 16 m 13 3 es solución. C) Si f(x; y) = x + y, entonces (2; 0) es 2 solución. D) Si f(x; y) = x - y, entonces se tienen 2 infinitas soluciones.

C) 0

E) Si f(x; y) = y - x , entonces (6; 3) es 2 solución. ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 4

89

31. Lenguaje Encuentra palabras que contengan la letra E, de tal manera que encajen en la cuadrícula. E S E S E E L E E E E E

A) 7

S A

S N

O

C) -1

D) 2

A) -3 B) -2 C) -1

E) 3

E) 5

D) 0

E) 1

(x 2 - 2x - 35) (x + 2) (x3 - 1) $0 (x 2 + 2) (x - 1) (x 2 + x + 1)

41. La solución de la inecuación:

3x + 4(3x - 4 - 1) < 3x - 81 es:

A) G1; 81H B) G3; 81H C) G0; 3H D) G1; 4H E) G0; 4H


2

42. Enunciado del segundo examen CEPREUNI 99-I B) G- 3; - 2H , G- 1; 3H D) G1; 7H , G15; 3H

es el conjunto solución de: 2x + 1 2 x + 2 x+1 2-x Calcula el valor de: ab B) - 2

La suma de los hijos de Javier y César es menor que 6, y César tiene más hijos que Eduardo (todos tienen hijos). Si Javier tuviera un hijo menor, tendría aún más hijos que Eduardo. ¿Cuál es el número total de hijos? A) 3

34. Si: G-3; aH , Gb; +3H

A) 2

D) 6

40. Indica las soluciones negativas de la inecuación:

33. Determina el conjunto solución de: 9 - x _x + 1i >0 x+2 A) G1; 5H , G7; 3H C) G- 3; 0H , G1; 3H E) G0; 1H

C) 9

A) [-5; -2] B) [-2; 0H C) G-3; -2] D) G-3; -2H E) G-3; -5]

32. Luego de resolver: x+1 $ x-1 x+1 x-1 Se obtiene que x ! Ga; b] , Gc; +3H. Halla: a + b + c B) 0

B) 8

39. Indica el mayor número entero k que hace que la inecuación 2x2 - 4x - 2k > 1 se cumpla para x ! R.


A) 1

38. Señala el máximo valor de n que verifica: 1 + 1 + 1 + ... + 1 # 5039 5040 3 5 2 n+1

C) 1

D) -1

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

43. Examen de admisión UNI 95-I E) 0

Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón r, luego lo verdadero es: A) 1 < r

35. Luego de resolver la inecuación: x 2 - 6x - x $ 3 x - 10 8-x

D) 0 < r <

B) 5 + 1 E) 2

5 - 1 < r <1 C) 2 5 -1
5 -1
5 +1 2

Indica su conjunto solución. A) [7; 8H , {0} D) Q

B) [-3; 0H E) R+

C) [-3; -2H

36. Dada la inecuación cuadrática en x: mx2 + 2m + 1< 2mx Determina los valores de m, para que el conjunto solución de la inecuación sea: ]- 3; +3[ A) G1; +3H B) G- 3; - 1] C) G- 3; - 1H D) G0; +3H E) G- 3; - 1H , G0; +3H 37. Al resolver: 7m2 - 3x > x2 se obtiene: CS = 〈-7; 4〉; encuentra un valor de m. A) 5

B) 1

90 Intelectum 5.°

C) 3

D) 2

E) 0

C l a ve s 9. b

17. D

27. d

35. a

1. a

10. b

18. c

28. e

11. c

19. d

36. c

2. b

29. c

37. d

3. c

12. e

Nivel 3

38. d

4. a

13. a

39. b

5. e

14. c

30. e

40. a

15. a

31.

6. a

41. e

7. a

Nivel 2

24. e

32. b

25. c

33. b

42. d

8. d

16.

26. c

34. c

43. e

Nivel 1

20. d 21. a 22. b 23. b


3

5

funciones

Dada la función: f = {(1; 5); (1; b - a2); (3; a + 4)} Si: f2(3) = 81 Halla el máximo valor de b.

2

A) 6 D) 36

B) 5 E) 274

C) 174

Sea la función: F(x) = su dominio y rango.

8 - 2x2 obtén la intersección entre

A) [0; 4] D) [0; 8]

B) [0; 2] E) [0; 2 2 ]

A) 3 u2 D) 4 u2

B) 6 u2 E) 3/2 u2

A) 1 D) 4 4

C) [0; +3H

Determina el área de la intersección de: y = |x - 2| - 3 / y = -3 y el eje de las ordenadas.

C) 2 u2

Dada la función: F = {(x; 2x - 1) / x ! R} F^ x + hh - F^ x h Halla: E = + F^ 2 h h

C) 3

F: N " N , {0}; es una función, tal que: F(a + b) = F(a) + F(b) F(1) = 2 Calcula: F(n + 2) - F(n + 4), 6 n ! N.

A) 2 D) -4 6

B) 2 E) 5

B) -2 E) 0

C) 4

Dadas las funciones: f(x) = x - 1 ; x ! [-2; 8] g(x) = x2 + 1 ; x ! [-3; 6] Determina la regla de correspondencia y el domino del f○g.

A) x + 1; G-2; 6H C) x2; [- 7 ; 7 ] E) x2; G- 7 ; 7 H

B) x2; [-2; 6] D) x; G- 7 ;

7H


91

7

Determina la cantidad máxima de artículos electrodomésticos que se debe vender semanalmente en una empresa para maximizar sus ganancias que están en función a la cantidad de productos x que vende en una semana. G(x) = 400x - x2 - 36 000

8

Determina la gráfica de y = |x2 + 6x + 7| y

A)

B) x

x

y

y

A) 100 D) 200 9

B) 150 E) 250

C)

C) 180

Halla la inversa de f(x) = x2 + 4x - 1; x ! G-2; 7H.

x

D)

x

10 Si: f(x) = x2 - 1 / g(x) = x - m determina m; además f○g(4) = g○f(m)

A) f-1(x) = (x + 2)2 - 5 B) f-1(x) = x + 5 - 2 C) f-1(x) = x - 2 D) f-1(x) = (x - 5)2 + 2 E) no existe

A) 16 D) 16/7

11 Dada la función suryectiva: F: ] -4; 5] $ [a - b; b - 2a] / F(x) = 6x + 4 Determina a/b.

y

B) 15 E) 8/7

C) 15/7

12 Resuelve las siguientes ecuaciones e indica la ecuación donde x es mayor. Dato (log2 = 0,3) I. 2x = 8 II. log2x = 4 x

III. 3 = 3 4 IV. log4x = 3 V. x = log464

B) 7/30 E) 10/37

13 Grafica: y = 2|x| + sgn(|x| + 1); sgn (función signo). B)

y

x

A) 3% D) 2,28%

10. d 9. b

-2

x

7. d

12. d 11. d

2

8. c

D)

14. D 13. C

Claves

92 Intelectum 5.°

B) 2% E) 3; 45%

5. c

y

x

6. c

C)

2

x

14 El número de habitantes de un pueblo crece exponencialmente, según P(t) = P0ekt k: tasa relativa de crecimiento t: tiempo en años P0: población inicial Determina la tasa relativa de crecimiento si en 8 años la población aumentó en un 20%.

C) 25%

3. b

2

y

C) III

4. d

y

B) II E) V

1. c

A)

A) I D) IV

C) 9/37

2. e

A) 37/7 D) 7/37

Practiquemos 7. Dado F, una función de proporcionalidad. Determina F(-5), si:

NIVEL 1

F(2) + F(3) = 10

Comunicación matemática 1. De la gráfica: F(x)

A) 5

C) -5

D) 6

E) -10

D) 3

E) -2

8. Dadas las funciones:

y

F = {(-2; 4); (3; -2); (4; 16)} / G = {(6; m); (-2; n), (4; 11); (3; m)} Determina m + n, si: G○F = F - G

2 1

-4

B) 10

x

A) 7

-1

B) 6

C) 5

9. Determina el rango de: DomF(x)

=

RanF(x)

=

(DF + RF)

=

(DF + RF)C

=

DF - RF

=

F(x) = 1 - x 2 + x A) [0; 2] D) G-1; 2] 10. Grafica: f(x) =

B) [-1; 1] E) G-1; 1H

C) [-1; 2]

x +1

A)

B)

C)

D)

2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: A) A una función, toda recta vertical la intercecta en un ( ) punto. B) La función y = 3x es monótona.

( )

C) Sean F(x) = x 2 - 9 / G(x) = & f(x) = G(x) D) Una función inyectiva es continua.

x+3 . x-3 ( ) ( )

E) Una función par es inyectiva.

( )

F) F: G-2; 3] $ [0; 5H / F(x) = -x + 3 es biyectiva.

( )

3. Calcula la suma de elementos del dominio en la siguiente función: F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)} B) 6

C) 8

4. Si: F(x + 1) = F(x) + x; F(2) = 5 F (4 ) calcula: F (0 ) 1 A) B) 2 C) 5 2 3 2

x - 1 + 4 , determina: h (x) (inversa de la función h(x)) -1

B) (x - 4)2 + 4 A) (x - 1)2 + 4 D) 1 - x - 4 E) 1 + x - 4


A) 10

11. Si h(x) =

D) 2

E) 4

D) 1

E) 7 2

5. Sea F una función definida por:

C) (x - 4)2 + 1

12. Determina la gráfica de f*(x) Si la gráfica de f(x) es:

f(x)

A)

B)

C)

D)

F = {(x; F(x)) / F(x) = 6x - x2}; x ! [0; 8] Halla el rango de F(x). A) [-16; 9] D) G-3; +3H

B) G -3; 9] E) [-16; 25H

C) [16; +3H

6. Encuentra el rango de F(x) = 1 (x-1)2 -1; 6 x ! [0; 4]. 3 A) [-1; 2] D) [2; 4]

B) [0; 4] E) [-1; 0]

C) [-1; 4]


93



13. Se tiene una función lineal f(x) = mx + b Si (2; 9) ! f(x) Además f(1) = 7

18. Halla el rango de la función:

x 3 + 2x 2 + 2x + 4 x+2

Determina: bm

A) 16 D) 49

B) 25 E) 4

A) G-3; -6H , G2; +3H B) G-3; -6H , [2; +3H C) G-3; 6] , [2; +3H D) G-3; -2H , [6; +3H E) G-3; -2] , G6; +3H

C) 36

14. Determina el área máxima del rectángulo que se puede inscribir dentro de la figura que forma la ecuación y = - 2x + 10 y los ejes coordenados. A) 25 u2 B) 2 D) 25 u2 E) 8

20 u2 C) 50 u2 3 3 2 10 u 3

3

x

D) g(x) = x3 - 2

B) g(x) = x3 - 8 E) g(x) =

3

C) g(x) =

F^ x h =

x2 - 1 3x - 7 - 8x 2

4x 2 - 1 +

es: x ! [-a; -b] , [b; a]

15. Si g○f(x) = x - 2; f(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8, determina la regla de correspondencia de g(x). A) g(x) = x -

19. Halla a + b, si el dominio de la función:

3

x

x

A) 1 2 D) 2 3

E) 1 6

20. F = $^x; yh d R2 / y = 1 -


6 + x - x2 .

Calcula: D(F) + R(F) A) [-2; 3] D) R

NIVEL 2

C) 3 2

B) 1

B) [-3/2; 2] E) [-2; 6]

C) [-3/2; 1]

21. Determina un punto de intersección de: F(x) = x2 - 2x + 3 G(x) = x/2 + 2

16. Sea la gráfica de f(x): y

A) (3; 2) D) (4; 4)

2 1 -1

x

B) (1/2; 9/4) E) (3; 7/2)

22. Sean las funciones f(x) =

C) (6; 5)

x2 - 2 y

G = {(7; 1); (-2; 3); (2; 6); (4; 7)} Determina: F○G*(6) A. Dibuja la gráfica de f(|x|) y

B. Dibuja la gráfica de: |f(x)| y

2 1 -1

2 1 x

-1

x

A)

32 B)

7 C)

2

D) 3

23. Sean las funciones F = "^x; yh ! R2 /y = 3 - x , 1 G = '^x; yh ! R2 /y = 1. x2 - 9 Determina: Dom(F - G). A) G-3; 3H B) G-3; 9] D) [3; +3H E) G-3; -3H

17. Identifica si la función es par (P) ; impar (I) o ninguna (N) de ellas. f(x) = x 2 6+x f(x) =

x3 - 2

f(x) = x2 - |x|

24. Determina: la función inversa de:

f(x) = - x2 + 3x - 10 ; x d - 3; - 5 @

A) f-1(x) = -3 -

x2 + 5 4

B) f-1(x) = - 2 - x - 49

f(x) = 2x - 2x + 1

C) f-1(x) = - - 3 - x2 + 49 2 4 D) f-1(x) = - 10 - 3x - x2

f(x) = |sen(x)| - cosx

E) No existe

2

94 Intelectum 5.°

E) 14

C) G-3; -9]

31. Completa según corresponda:

25. Determina el dominio de F(x), si: F(x) = 1 log4 c 1 + x m 2 x-1 A) G-1; 1H B) R D) R - [-1; 1] E) R - G-1; 1H

C) [-1; 1]

III. (-3)x no es una función exponencial ya que:

26. Resuelve la siguiente inecuación:

IV. La función logarítmica es la inversa de:

log1/3(2x - 3) $ log1/3(6 - x) A) G-3; 3] B) G3/2; 3] D) R E) G0; 6]

C) 3/2; +3H

27. Resuelve e indica el conjunto solución de x: 4 2 # d1 n 4

A) G-2; 3/2] D) [-3; 4]

B) G3; 6H E) [-4; 4]

C) [-2; 6]

B) 18 000 E) 13 742

C) 12 702

F(32) =

x2 - 16 -1 ; x $ 4

F(x) = x - 2 ; 2 # x < 4 |x| - 3 ; -1 # x < 2 x2 - 2 ; x < - 1 Responde verdadero (V) o falso (F): I. F(3) = F^- 3 h II. F(x) es inyectiva 6x ! [4; +3H

29. Indica el n.° de raíces reales de la ecuación:

III. F(x) es creciente 6x ! [2; 4H

|log2|x|| - 2x = 0

B) 2

.

F(32) = log22

28. El número de habitantes en una población de una región era de 6000 habitantes en el año 1990. Si la tasa relativa de crecimiento es de 3% al año, indica el número de habitantes que tendrá la población en el año 2015.

A) 1

y

32. Dada la función:


A) 12 000 D) 16 500

V. Para que exista una función f-1(x) f(x) tiene que ser: VI. Si F(x) = log2x & F(32) = log2

- x -6 2

x2

I. Una función exponencial es creciente si: II. Si bx es una función exponencial decreciente, entonces ; H b! G

C) 3

D) 4

E) 5

IV. F(x) es decreciente 6x ! [-1; 2H V. F(x) posee inversa 6x # -1

NIVEL 3 Comunicación matemática 30. Completa según la gráfica.

A) VFVVV D) FVFVV

f(x)

B) VFVVF E) FFVVV

C) VVVFV


5

33. Si las funciones F y G son tales que G(F(x)) = x + 2, determina G(x), sabiendo que:

2

F(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8

-3

A) G(x) = x3 + 1 A) La gráfica es decreciente en G

;

H.

x

B) Su ecuación es de la forma y = b + 1, donde el intervalo de
; f(-3) =

D) Grafica F-1(x) y determina su regla de correspondencia. f(x) 5

y=x

C) G(x) =

3

x + 1

E) G(x) =

3

x

B) G(x) =

3

x +2

D) G(x) = x + 2

34. Determina el dominio de la siguiente función: F(x) = 4 25x x -9 A) G-3; -2] , [2; +3H B) Q

2

C)

-3

f-1(x) =

D) G-3; 0] , G3; +3H E) G-3; -5H , G5; +3H ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 4

95

35. Dibuja la gráfica aproximada de: F(x) = |x + 2| + |x - 1| + 2|x| A)

-2

Resolución de problemas 42. La cantidad de sustancia en el instante t es dada por

B)

C(t) = C0e-kt Donde: t: tiempo transcurrido k: cte. C0: cantidad inicial de la sustancia Determina el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad inicial se reduzca a la tercera parte.

1

D)

C)

A) ln 3 B) k -2 D) c k m E) ln 3

- k C) - ln 3 ln 3 k ln k 3

43. Una población de bacterias se duplica cada 30 minutos. Si inicialmente, había 20 000 bacterias, representa como función el crecimiento respecto al tiempo en minutos.

36. Gráfica: y = x2 + 6 - 4|x| A)

B)

C)

D)

A) 2t/30 #104 D) 20 000 # t

B) (2)t # 20 000 E) 20 000 # t2

C) 2t/30 + 1 # 104

37. Sea F: R " M una función suryectiva. Determina M,

C) 14

41. Determina el dominio de f(x): f(x) =

ln c 3x - 1 m x+3

A) R B) R - G3; 4H C) R - [-3; 2] D) G3; 9H E) G-3; 2H

96 Intelectum 5.°

43. c 34. d

41. c

40. c

42. a 33. e

32. c

31.

39. d 30.

38. b

37. d

Nivel 3

36. c

29. c

35. d 8. e

B) 10 E) 10

7. e

A) 13 D) 16

6. a

40. Si el dominio de f(x) = logx - 3(7 - x) es Ga; bH - {c}, indica el valor de a + b + c.

5. a

A) G1; +3H B) G-3; +3H C) G-3; 2H D) G1; 2H E) G-1; 2H

4. c

F(x) = log(x - 1)(6 - x2 - x)

3. e

39. Determina el dominio de:

2.

C) 1

18. b 19. c 20. c 21. b 22. c 23. e 24. c 25. d 26. b 27. d

B) e-1 E) e-2

A) e D) 0

C l a ve s

xlnx = e2x

9. c 10. b 11. c 12. b 13. b 14. b 15. e Nivel 2 16. 17.

38. Determina una solución de:

1.

C) R - G-1; 1H

Nivel 1

A) R B) R - 1 D) [-1; +3H E) G-1; +3H

28. c

si F(x) = |x - 1| - x.


Halla:

2

2 lím 3x + 17x + 4 x " 2 5x2 - 3x + 10

A) 25/12 D) 17/19 3

LiMITES

B) 7/19 E) 8/35

A) 1 B) 2 D) 2 E) 9 9 2 5

A) 4 D) 8

C) 27/15

Calcula: 3 lím x - 27 x " 3 x2 - 9

4

B) 2 C) 4 3 5 5 1 D) E) 4 2

B) 3 E) 5

C) 7

Calcula: 3 lím 5x + 2x + 1 x " + 3 2x 3 + x + 1

B) 2 C) 5 5 2 D) 11 E) 1 2 3

A) 5

C) 1 3

Calcula: (x 2 - x - 6 ) lím x "- 2 x2 - 4

Calcula: lím 3x + 4 x "+3 x - 2

6

Calcula:

3 3e x - x o x- x

2 lím e x - x o x"0 x - x

A) 1

A) 3 D) +3

B) 0 E) 1

C) -1


97

Calcula: lím 1- cos 6x x " 0 sen6x

8

A) –1 D) 2

E

lím e

x"4

x"3

A) 1 2 D) 2

12 Calcula:

4x + x + 3 h

B) 0

A) 3/5 D) -1

2

lím

x"1 5

B) 1/7 E) 7/18

C) 7/8

x -1 x -1

A) 7 B) 5 C) - 7 5 7 5 E) 0 D) - 5 7

C) 1

E) -1

14 Calcula: x lím c x - b m x"3 x + b

x+ x - xj

B) 1 C) 1 3 2 1 1 D) E) 4 8

A) 1

B) e-2 E) 2eb

A) e D) eb 8. E 7. B

10. E 9. D

12. B 11. A

14. C 13. C

Claves

98 Intelectum 5.°

7

5. D

11 Proporciona el valor de: k = lím ^ 4x2 + 3x + 6 -

C) e

6. E

B) e-3/2 E) e-3

1 + 2x - 3 o 1 + 12x - 7

C) e-2b

3. E

A) 2e4 D) e-4

x "+3

C) 3 b3

4. C

lím ;c x - 1 m x+3

13 Calcula: lím ` x +

B) -b E) 6 b5

10 Calcula: x+2

x "3

A) 0 D) b

C) 1

Calcula:

3 3 lím x - b x"b x - b

1. A

9

B) 0 E) 3

Calcula:

2. B

7

Practiquemos 4. Calcula:

NIVEL 1

x"1

1. Identifica si es correcto (C) o incorrecto (I) de acuerdo a la gráfica de f(x) cuyo dominio es R - {4; -3}.

A) 1 B) 4 D) 3 E) 2 5. Halla:

2 4

-3

lím

x "+3

x "- 3

II. El lím +f^ x h es +3. III. El lím -f^ x h es +3.

x"3

IV. El lím f^ x h no existe. x"4

A) 1 B) 3 D) 4 E) 3

V. El lím f^ x h es cero. x "+3

2. Relaciona correctamente las definiciones:

a lím -f^ x h ; no existe límite.

Teorema del Sandwich

Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones tales que f(x) # g(x) # h(x) Si: lím f^ x h = L ; lím h^ x h = L

Límites trigonométricos

x"a

x"a

x"a

Los límites de la forma 3 ; 0 ; 13 3 0 son:

x"0

Límites laterales

Límites indeterminados

x+1 lím c 2x + 3 m 2 x 1 + x "+3

A) 3 D) e2

B) 0 E) e

C)1

B) 4 E)e

C) 7

A) 0

B) 1

C) +3

D) -3

E) 2

8. Calcula: lím sen7x x"0 x A) 5 D)1 9. Halla: lím + x2+ 2 x"2 x - 4

10. Calcula: lím

x"4

Razonamiento y demostración 3. Calcula: lím

x"9

3

1 + 2x 1 + 12x

A) 3/5 D) -1

B) 1/7 E) 3/7

C) 7/8

6x - x2 si x < 1 11. Determina si existe lím f (x) , si: f(x) x"1 3 + 5x si x > 1

x-1 +x 8-x

A) 9 B) 11 D) -11 E) -8

2 C) 2 9 3 9 2

7. Calcula:

Si el lím +f^ x h es diferente

tgx lím senx = 1 ; lím = 1; x"0 x x"0 x lím cos x = 1

1 C) 1 5 3 2 7

lím e x + 6 - 3 o x+1 -2

x"4

x"a

C) 1

6. Calcula:

x"4

x"a

1 3 1 2

x 3 + 2x 2 + 3x + 4 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1

A) 1 B) 4 D) 5 E) 3

I. El lím f^ x h es 2.

& lím g (x) = L

x2 + 3 - 2 x-1

lím


C) 10

A) 5 D) No existe

B) 8 E) Faltan datos

C) 7


99

3. Reemplazamos

Resolución de problemas 12. Halla el valor de n para que: lím

x " +3

^x + 3hn ^4x + 7hn - 2 ^3x - 4hn + 1 n

^9x2 + x + 3h ^2x - 5hn - 1

= 8 243

Calcula:

z"

Diferencia de cubos

B) 3 E) 4

C) 6

3 3 3 3 L = lím e 1 + 2 + 32 + 4 3 + ... +4 n o n"3 1 + 2n + 3n + 4n

3 C) 5 4 16 1 4



lím

3

x -2 x -2 2

x"8

A) 1 B) 1 C) 2 3 2 3 3 D) E) 1 2

=

x"3

x lím x " - 1 x2 lím

lím

x"0

=

=4 =1 1 2 m

x- m = x-m

=

senpx x

=P

=

15. Completa los pasos para determinar el siguiente límite. lím

x " 64 3

x -8 x -4

laborioso. 2. Realizamos el cambio de variable: &

MCM (2; 3)

B) h E) 3

lím

x "+3

3

x = x =

100 Intelectum 5.°

C) 2

B) 1/3 E) 3/4

C) 2

2 lím e x 3+ 2ax - 1 o; a ! 0 x-a x " a x - a3

B) 1 C) 1 2a 3a 2 3 D) E) a a

20. Sabemos que: F (x) lím ; E= 2 x " 1 1 - x3 lím ;

A) 4,6 D) 5

B) 4,7 E) 4,8

A) e2 D) 3 23. Calcula: lím

5

x"1 3

C) 4,9

B) e4 E) 0

C) e

B) 5

C) 10

x -1 x -1

E) 3 5


f^ x h

19. Calcula:

x"1

21. Calcula el valor de: lím sen 4x x"0f x +xp 2 3

24. Determina si existe el límite de:

x 3 + 2x 2 + 3 3x 3 - x + 4

A) 1/2 D) -1/4

B) -1 C) 2 3 E) 1/abc

A) 1

A) 5 3 D) 1

18. Calcula:

A) a

1. Estamos en el caso de indeterminación 0 tendríamos que multiplicar por la 0 conjugada 2 veces, lo que se haría

x = z 6.

A) 3h D) 1

F (x) E G (x )

22. Calcula: x lím c x + 2 m x"3 x - 2

16. Calcula:

14. Determina los pasos para hallar los 17. Si f(x) = 3x + 2, calcula: siguientes límites f (h - 2 ) - f ( - 2 ) lím h h"0 lím 3 = = 3 x"4 7 - x lím -"x + 2 ,

=3

=

z"

13. Halla:

A) 1 B) 8 D) 1 E) 16

= lím

lím ;

x"1

D) - 3 2

64444 74444 8 ^ h^ h = ^ h^ h 1 4 4 44 2 4 4 44 3 Diferencia de cuadrados

A) 1 D) 8

x"m

- 23 - 22

-8 = lím - 4 z"

lím

G (x) E =- 3 1 - x2

x2 - 22 ; x23 3 * x-3 ; x 1 3 x2 + 16 - 5

Cuando x se aproxima a 3. 25. Si: lím c ax + bsenbx m = 1 x " 0 bx + asenax donde a ! b; halla la relación que existe entre a y b. A) a - b = 1 C) a - b = 2 E) a = b

B) a + b = 1 D) a + b = 2

NIVEL 3 Comunicación matemática 26. Determina los límites e indica si es verdadero (V) o falso (F). A) b lím

x"1

"3x , + 3 x

B) lím ^cos xh1/senx = 1 x"0

(

)

(

)

x C) lím e - 1 = e x x"0

(

)

3

(

)

27. Completa los pasos y determina el valor de b en cada caso: 2 I. lím c ax + senbx m = 2 x x"0

29. Calcula: x -2 -3 3 x - 25 3 C) 3 3 25 90

3 E) 3 3 125 180

B) 1 E) 4

C) 1/2

35. Sean f(x) y g(x) dos funciones polinomiales, tal que: lím [f(x) + g(x)] = -3 y

x " x0

lím [f(x) - g(x)] = - 1

x " x0

Calcula el valor de: lím ; x " x0

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

f (x ) . g (x ) E 2

36. D

37. D 31. D

25. B

30. B

29. C

24.

35. A

34. D

19. C

A) 0 D) 2

13. D

sen3 x G x (sen x + cos x - 1) 2

6. C

D) 2 E) 4 3 3

lím = x"0

18. B


28. C

E) -1

2

27.

D) 2

C)

17. E

A) 2 B) 1 C) 4 9 9 9

D)

B) 1

12. C

lím c 2 - 2 2 m x " 2 3x - 6 2x - 5x + 2

A) 3 3 B)

A) 0

11. D

28. Calcula:

x " 25

cosx 1 - senx

5. A


3

x" π 2

34. Calcula:

b=

lím

33. Determina lím

4. E

Evaluando:

E) 1

23. E

n3

D) 3e

C) e2

16. C

6

B) ln3

3. D

+

A) e

22. B

n"3

n3

+ n3 n

x 32. Determina: lím 3 - 1 x x"0

15.

b = lím

n

E) e3

10. E

n

D) e2/3

C) e2

2.

Caso 3 3 Dividimos entre n3

B) e3/2

33. C

+n

A) e

26.

n + 3 6 n S

L = lím e x 3 + 2x2 + 1 o x"3 x - x + 1

2x2 + 1 3x + 1

21. E

n

n"3

3

32. B

h

6n 3

E) mn

9. D

b = lím

h^

D) n m

Nivel 3

n"3

n3

h^

B) 0

20. B

b = lím

^12 + 22 + 32 + ... + n2h ^

C) m n

A) 1

14.

n"3

donde:m; n ! Z+; m $ 2; $ 2

C) 1

Nivel 2

h= 2

`b= II. b = lím

x -1 x -1

8. C

h + b^

x"1n

7. E

& a^

j=2

x"0

A) 1 B) 2 3 3 D) 4 E) 2 3

m

1.

h + blím `

x"0

L = lím

31. Calcula:

2 & lím c ax + senbx m = 2 x x x"0

& a lím ^

3 1 m x - x - 2 x 2 - 3x + 2 2

Nivel 1

x"3

lím c

x"2

37. Calcula:

C l a ve s

D) lím

x3 + 1 + x = 3 x+1

30. Calcula:

C) 3

36. Calcula: x x R = lím a - 4 ; a d R+ x x"0

A) 1 B) 2 D) ln ` a j E) ln ` a j 4 8

C) ln ` a j 2


101


DERIVADAs

Si f(x) = 5x2 - 7x + 8 Halla: f'(3)

A) 23 D) 21 3

2

Calcula:

e x"0 4 lím

B) 19 E) 15

1+x -3 1+x o 1+x -5 1+x

A) 3 B) 2 C) 10 4 5 3 5 E) 1 D) 2

C) 17

Calcula:

4

2

Si f(x) = x x + 1 , calcula: f'(8)

lím x - 9 ; por la regla de L' Hospital x-3

x"3

A) 1 D) 6 5

B) 3 E) 7

A) 13 B) 3 C) 11 3 13 3 15 E) 17 D) 3

C) 5

Determina f'(1) si f(x) = (x3 + 6x2 + 3x)4

4

2

A) 2 . 3 . 5 D) 83 . 94

102 Intelectum 5.°

6

B) 9 - 9 E) 93 . 86

6

6

2

3

C) 2 . 3 . 5

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 3 f^ x h = x + 2x2 - 6 en el punto (2; 10/3). 6

A) x2 + y - 10 = 0 C) 10x - y + 15 = 0 E) y - 10x + 50/3 = 0

B) y + 5x - 30 = 0 D) y - 10x + 30 = 0

Si f(x) = 9 cos 5x 5 Halla: f'(x)

B) 5sen5x

C) 9 sen5x D) -9cos5x 5 E) - 9 senx 5

A) 1/(x + 7) D) 5/(x - 7)

Calcula el área máxima del rectángulo que tiene su base inferior en el eje x y con dos vértices en la curva y = 12 - x2

A) 2a2 B) 6a2 a D) 3 E) -a

C) 48

11 Calcula:

12 Halla:

lím e x - x + 2 o x"2 4x + 1 - 3

lím

A) 9 B) 7 C) - 3 8 2 8 2 E) 1 D) 3

B) 5/3 E) 8/5

C) 3/5

14 Calcula: lím ` senπx - cos πx j 1 - tan πx x " 0, 25

D)

2 B) - 2 C) 2 2 2 E) 1 2 + 1

5. C

A)

C) 1 m2

10. B

8. A

9. A

7. A

Claves

B) 1/2 m2 E) 2 m2

x -1 x -1

A) 1/3 D) 5/8

13 Un rectángulo tiene 2 m de perímetro, halla el que tenga la diagonal mínima y da como respuesta su área.

12. D 11. A

A) 1/4 m2 D) 4 m2

8

x"1 5

C) 0

3. D

B) 16 E) 24

C) 7x

1. A

A) 32 D) 12

B) 1/(x - 5) E) 7/(x + 7)

10 Calcula: 3 3 lím x - a x"a x- a

6. E

9

Si f(x) = ln(x + 7) Halla: f'(x)

4. A

A) -9sen5x

8

2. C

7


103

14. B 13. A

Practiquemos 2. Un móvil se mueve de acuerdo a la siguiente ecuación:

NIVEL 1

x = 7t2 + 3t + 4 t: en segundos

Comunicación matemática 1. Completa según corresponda la resolución: A) Demuestra la siguiente derivada empleando la definición. f(x) = 6x3 & f '(x) = 18x2 Demostración: f'(x) = lím

3x " 0

f' = lím

f^ x + 3 xh - f^ x h 3x

6^

f' = lím 6

9x

^

h - 6x 3

9x

Reducimos y organizamos terminos: f' = lím

h + 18^

h + 6^

9x

^ h h h 18^ 6^ f' = lím 18 + lím + lím 3x 3x 3x 3x " 0 3x " 0 3x " 0

Razonamiento y demostración 2

3. Si f(x) = 5x - 7x + 8 Calcula f '(x).

B) Deriva H(x) usando teoremas: I. H^ x h = 4 x & H^ x h = x

H (x) =

` H(x) =

II. H(x) = cos4x & H'(x) = -(

x

A) f'(x) = 10x - 7x2 + 1 C) f'(x) = 10x - 7 E) f'(x) = x2 - 7x

-1

B) f'(x) = 5x - 7 D) f'(x) = 5x2 - 7x + 8

4. Halla la derivada de f(x) = 3 5 x2 .

)(4x)' = -

sen^3xh x ^sen3xh 'x - ^ x h '^sen3xh

C) 6/ (5 x )

A) 6/x B) 6/(5x) D) 6/ 5 x3 E) 6/ (5 5 x3 )

sen4x

5. Si f(x) = 5x8 - 3x2 - 2010

III. H^ x h =

=

3x

-

Calcula: f'(1) A) 42

B) 29

C) 31

D) 34

E) 25

D) 3

E) -1

6. Dada la función: f(x) = tan2x - tanx

IV. H(x) = Insenx

`

III. ¿Cuál es la aceleración del auto? m/s2 a=

+ +

2

\ f'(x) = 18x

H' ^ x h =

I. En t = 0 a qué distancia del origen se encuentra: m Rpta.: II. Transcurridos 2 segundos qué distancia habrá recorrido y cuál será su velocidad en ese instante. m v= m/s x=

h

Aplicando teorema de límites

f'(x) =

2 d 2x = aceleración del móvil dt

h3 - 6x3

18^

Contesta a las siguientes preguntas: Sabiendo que: dx = velocidad del móvil dt

dH^ x h = dx

1

d

dH^ x h = dx

1

$

Halla: f'(0) dx

A) 0 d

dH^ x h = cot ^ x h dx

104 Intelectum 5.°

C) 2

7. Calcula: 4 lím c 1 - 1 - x m 2x x"0

A) 1 B) - 1 C) 1 D) -2 E) -1 2 2 8

V. H(x) = tan(In3x) H'(x) = sec2( ).( )' H'(x) = sec2( ). 1 .3 2^ ` H'^ x h = sec x

dx

B) 1

h

Resolución de problemas 8. Dado y = P(x) = x2 + ax + b, de modo que y = 3 sea un mínimo de P(x) en x = 1, Calcular: a . b A) -2 B) -1

C) 4

D) -4 E) -8

9. Un número y el cuadrado de otro suman 162 determina dichos números, si el producto de ellos es máximo. A) 9 y 138 D) 8 y 83

B) 6 y 111 E) 7 y 98

C) 25 y 122

10. Un terreno tiene la siguiente forma y dimensiones x + y = 100. y

14. Determina la derivada de: f(x) = 3x2senx

A) 3cosx D) 6xcosx

B) 8xsenx C) 6xsenx E) 3x(2senx + xcosx)

15. Si y = Asen3x + Bcos3x, tal que: y'' + 4y' + 3y = 10cos3x

127°

Halla: A - B

x

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

Determina y, si el área debe ser máxima. A) 20 D) 15

B) 80 E) 40


C) 60

16. Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para cercarlo posee un alambre de 200 m de longitud, calcula el radio que debe tener el sector para que el campo sea lo más grande posible.

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Encuentra las ecuaciones de las rectas Lt (recta tangente) y Ln(recta normal) a la curva f(x) = x3 - x - 3 en la abscisa x = 2. LN

C) 2

f(x)

A) 10 m D) 50 m

B) 30 m E) 100 m

C) 40 m

17. Halla la altura h de un cilindro recto que tenga la superficie lateral máxima, inscrito en una esfera de radio R.

LT

A) h = R 3 B) h = R 2 C) h = R 2 D) h = R E) h = 2 R 3 3 2

NIVEL 3

Lt :


Ln :

18. A) Determina x para que el área sea máxima, si el perímetro del

12. Completa el siguiente cuadro: F(x)

4x4+3x

10 5 x

sector circular mide 60 cm. (usa derivadas). 3cos4x

ln3x

e-x

x

dF^ x h dx

Sugerencia:

Área del sector L.R 2

x

d2 F^ x h dx2

B) De la siguiente lámina se cortan 4 cuadrados de manera que formamos una caja. Determina x para que el volumen de la caja sea máxima.

d3 F ^ x h dx3


8 cm

13. Calcula: ax bx lím c e - e m x x"0 A) ab D) b - a

x=

x

C) ab - 1

x=

x

x

& x

B) a - b E) a b

x

x

x 15 cm

x

caja sin tapa de volumen máximo Sugerencia:

a

b c Volumen = abc


105

19. Encuentra los valores que hacen que las funciones adquieran su valor máximo; mínimo. Según el criterio de la segunda derivada. f(x)

f'(x) = 0

f"(x)

¿Es máx. o mín.?

(x + 3)2 + x

2x + 7 = 0 x = -7/2

2

mín.

x1 =

x3 - 3x + 8 x ! G-2; 2H

A) 1000 D) 1250

2

(7 - x) + 7 20. De la siguiente figura

C) 12 m2

y - 7 = -(x + 2)

A

2

• P(-1) = 0; P'(-1) ! 0

4 3

• P(1) = 16; P(0) = 12 Calcula: P(3)

1 LT 1 2 3 4

x

Responde: I. En qué puntos (x0; y0), la parábola presenta un máximo o un mínimo (usa derivadas). Rpta.: II. Por el criterio de la segunda derivada dicho punto es máximo o mínimo: Rpta.: III. Determina la ecuación de la recta tangente en la abscisa x = 1 Lt: IV. Cuál es el área máxima del triángulo A. Áreamáx. =


+ 2x + x

A) 24 26. Si:

B) 27

Calcula: f'(1) B) e2 E) e5

B) m2 - n2

A) 6

D) 1 (n2 - m2) E) 1 (m2 - n2) 2 2

E) 80

B) 8

C) 10

D) 11

E) 9

27. Halla el punto en la parábola y2 = 2x, que esté más próximo al punto (1; 4). A) (3; 3) D) (-1; 3)

B) (1; 5) E) (4; 2)

C) (2; 2)

28. Un arrendador ha adquirido un nuevo edificio con 100 departamentos para rentar y encuentra que entre más unidades x que quiera rentar, menor deberá ser su precio P(x), de acuerdo a la fórmula: P(x) = 180 - 1,2x; 0 # x # 100 ¿cuántas unidades deberá rentar y a qué precio para maximizar sus ingresos? B) 70; 95 E) 10; 20

C) 40; 25

C l a ve s Nivel 1 1. 2. 3. c

C) 2(n2 - m2)

D) 72

Donde: f(x) = ln(x + 1); f (n) (x) enésima derivada. Calcula: x + n

C) e3

22. Calcula: lím c cos mx -2 cos nx m x"0 x

C) 36

(n - 1) ! = 729 f (n)(x)

A) 75; 90 D) 80; 60

106 Intelectum 5.°

C) 1200

• P(2) = P'(2) = 0; P''(2) ! 0

-4 -3 -2 -1

4

B) 225 E) 1300

25. Determina un polinomio P(x) de cuarto grado, que verifique las siguientes condiciones:

y 2

A) n2 - m2

A) 9 3 m2 B) 6 2 m2 E) 4,5 m2 D) 2 6 m2

¿Cuál es la máxima área del rectángulo?

7 - x2 + x

A) e D) e4

23. Encuentra la mayor área posible de un triángulo isósceles cuyo perímetro es 18 m.

24. Un rectángulo con lados horizontales y verticales tiene un vértice en el origen, otro en el eje de las x (rama positiva), uno más en el eje positivo de y, y el último en la recta cuya ecuación es: 2x + y = 100

x2 =

-x2 - 4

x 21. Si f(x) = e 11


4. E 5. D 6. B

7. C

12.

Nivel 3

23. A

8. E

13. B

18.

24. D

9. E

14. E

19.

25. d

10. A

15. B

20.

26. D

Nivel 2

16. D

21. D

27. c

11.

17. B

22. D

28. A


sucesiones - progresiones

Determina el término general de la sucesión: 2; 32; 43; ...

A) n4 D) (n + 1)n + 1 3

C) (n + 1)n

Determina la suma de los 15 primeros términos de an = n + 9.

A) 255 D) 240 5

B) n + 1 E) nn

2

Determina

A) 2 D) 2,5

B) 305 E) 250

B) 3 E) 3,5

A) 43 D) 23 4

C) 24

-1 a5 aproximado; si: an = 5n + n-1 a7 2n + n

B) -43 E) -13

C) 33

Determina el término de lugar 12 de la sucesión: {2; 8; 18; ...}

A) 144 D) 288 6

C) 1

Determina a6. Si a1 = 7 y an = an - 1 - 10

B) 240 E) 244

C) 250

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones, dada la sucesión {an}: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... 2 5 10 17 (

) La sucesión {an} es creciente.

(

) El término a20 es 2,5.

(

) La sucesión converge a cero.

A) FVF D) VFV

B) FFF E) FFV

C) FVV


107

7

9

Marca con un check las sucesiones acotadas y con un aspa las que no lo son. n 2n

2n 1+n

1 - 4n 1 + 2n

^- 1hn

n2 n+1

^n + 1h !

A) 36 D) 38

n!

B) 5 E) 4

A) 1340 D) 1352

C) 7

B) 4 E) 5

B) 40 E) 42

C) 46

10 En una PG de razón entera, la suma de sus tres primeros términos es 21 y su producto 216; determina el t10.

11 Determina la razón de una PG; si el término 20 es 400 y el término 16 es 25.

A) 2 D) 1/4

La suma de los n términos de una PA es: 3n + 3n2. Determina el término 7.

n2

En la siguiente PA: x - 2; x + 5; y; z; ... Determina z - y.

A) 6 D) 1

8

B) 1536 E) 1330

12 Si se interpolan 5 medios geométricos entre 8 y 5832, el quinto término de la progresión total es:

A) 1944 D) 2916

E) 1/2

13 En una progresión geométrica existe un término que es igual a la razón. Halla el lugar que ocupa este término en dicha progresión, si: log r = - 1 y log a = 7

C) 1390

B) 648 E) 1456

C) 729

14 Determina a qué valor converge: 2 an = 7n2 + 3n + 6 2n - 2n + 1

Siendo r y a la razón y el primer término, respectivamente.

6. E 5. C

8. E 7.

10. B 9. C

12. B 11. A

14. B 13. D

Claves

108 Intelectum 5.°

B) 7/2 E) 3/2

C) 4

3. A

A) 7 D) 2

4. D

C) 8

1. C

B) 7 E) 10

2. B

A) 6 D) 9

Practiquemos 5. Entre qué valores varía la sucesión: an = n n+3

NIVEL 1 Comunicación matemática 1. Relaciona cada sucesión con su término general. {1; 4; 9; 16; ...}

1 3n

{0; 1; 2; 3; ...}

n2

A) [ 1 ; 1H B) [0; 2] 4 D) [-2; 1H E) G-1; 1H

C) G2; 3]

6. Determina: 28

1 1 1 ' ; ; ; ... 1 3 6 9

2n + 1 n

1 1 1 '1; ; ; ; ... 1 8 27 64

n-3

5 7 9 '3; ; ; ; ... 1 2 3 4

n-1

2. Encierra la alternativa que corresponda a cada definición. I. En una sucesión {an}; n toma valores ....... y an....... ▪▪ z - R

▪▪ z+ - R

▪▪ N - c

/ k^k + 1h

k=1

A) 46 000 D) 8120

▪▪ 98

▪▪ 101

III. En una sucesión creciente an ....... an + 1 ▪▪ >

▪▪ $

▪▪ <

IV. Una sucesión monótona es....... ▪▪ Creciente

▪▪ Decreciente

▪▪ Oscilante

V. La suma de 1 + 3 + 5 + ....... + 2n - 1 es....... ▪▪ n2

▪▪ n(n+1)

▪▪

n (n + 1) (n + 2) 3


3. Si an = n - 7, determina A) 9 D) 1

a4 .

B) 6 E) 8

3 2 an = n 3+ n + 5 2n + n - 2 A) 1 D) 4

C) 3

{an}: 2; 9 ; 64 ; ... 2 3 12 24 10 A) 25 B) 25 C) 25 20 24 22

D) 24 25

10

E) 24 25

B) 2 E) 1/2

C) 3

8. Dada la siguiente sucesión; determina la suma de los primeros 50 términos. {an}: 3; 8; 18; 33; ... A) 204 300 D) 35 000

B) 104 275 E) 144 320

C) 265 300

Resolución de problemas 9. Halla el primer término y la razón de una PA sabiendo que la suma de los n primeros términos de esta progresión es n(3n + 1). Da como respuesta la diferencia entre la razón y el primer término. A) -3 D) 3

B) 0 E) 4

C) 2

10. Halla el número de términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los términos no varía al aumentar en 1 la razón al mismo tiempo de disminuir en 30 su primer término. A) 61 D) 96

B) 33 E) 14

C) 29


4. Determina el término 24 de la sucesión:

12

C) 45 300

7. Determina a qué valor converge:

II. Si a1 = 10 y an = 2an - 1 + 3, entonces a4 = ... ▪▪ 49

B) 47 000 E) 47 780

11. Responde verdadero (V) o falso (F). I. Si an = 7; {an} es una sucesión constante.

(

)

II. Si an = 7 + (-2)n; {an} es una sucesión monótona.

(

)

III. Si bn = 6n ; {bn} es una sucesión creciente. 4+n

(

)

IV. an = c1 + 1 m converge a e (base de logaritmo n neperiano).

(

)

V. Para que exista una sucesión esta tiene que estar definida con una idea establecida.

(

)

n


109

12. Según el gráfico, responde: (cada radio se reduce 10% del anterior) (4)

20. De la siguiente progresión aritmética determina cuántos términos son múltiplos de 2 y 3, pero no de 5.

▪▪ El área del círculo n.° 10 es:

(3)

(0,9) R

(2)

0,9 R

2; 4; 6; 8; ... ; 220

2

(1)

A) 32

▪▪ La suma de las áreas de todos los círculos es:

R

p3 + 8 p3 + 10 p3 B) C) 10 12 10 p3 + 12 p6 + 2 D) E) 10 10 A)

D) 3

B) 3

C) 5

D) 8

E) 6

Comunicación matemática 23. A) Completa los pasos para resolver:

B) 488

C) 366

16. Dada la sucesión: an =

D) 79

E) 400

2 + an - 1 ; n $ 2 y a1 =

2

Determina a qué valor converge an. B) 1

C) 2

D) 3

E) diverge

17. Calcula el valor límite de: S = 1 + 3 + 7 + 15 + ... 2 8 32 128 E) 2

D) 11

E) 12

19. Determina: E = 11 + 101 + 1001 + 10 001 + ... + 1000...001 1 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3 20 tér min os

21 B) 10 + 260 10

21 31 D) 10 + 170 E) 10 + 250 11 9

110 Intelectum 5.°

n=1

• Operando: n

/ n 6 3 + n2 + n @

n=1

n

/ n3 + / + /

n=1

=`

j+`

j+`

B) S = 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... • Esto es equivalente a:

S = 29 + 38 + 47 + ... + 10 2 2 2 2 C) 10

n

/6n (n2 + n) + n @

=

18. Determina aproximadamente la siguiente suma:

B) 9

• La suma de los n componentes (Sn) de: n(n2 + n) + n Sería equivalente a:

• Por propiedad de sumatorias:

A) 3 B) 4 C) 3 D) 5 2 3 4 2

A) 1011 + 540

2 B) 3a2 C) 4a 3 E) 4a2

E) 4/3

{bn} = {17; 23; 29; 35; ...} Determina a8 - b13.

A) 8

E) 39

NIVEL 3

15. Sea: an = n3 + n2 + 1

A) 0

D) 29

21. En un cuadrado cuyo lado mide a se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro nuevo cuadrado, cuyos puntos medios se unen también para formar un tercer cuadrado y así sucesivamente. Halla el límite de la suma de las áreas de todas las regiones cuadradas así formadas.

A) 2

14. La cota inferior de

A) 350

C) 40

22. Encuentra una progresión aritmética y una progresión geométrica (ambas crecientes), si se sabe que los primeros términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer término, y el onceavo término de la progresión aritmética es igual al quinto término de la progresión geométrica. Da la suma de las razones de ambas progresiones.

13. Sea la sucesión: p3 - 2 p3 p3 + 2 1 {an} = ' ; ; ; ... 3 4 5 Determina a8.

n2 es: n+1 B) 0 C) 1/2

B) 30

A) 2a2 2 D) 5a 3


A) 1


10 C) 11 + 540 9

S = 1 + 1 + 1 + ... 10 100 1000 S=

1 10

+ 1 10

+ 1 10

+ ...

• Es una suma límite de razón q = & S=

1-

=

j

24. Determina en las siguientes sucesiones el término enésimo (tn ): Sucesión

tn

30. Determina si la siguiente sumatoria converge o diverge, si converge señala a qué valor. S=

2; 5 ; 10 ; ... 2 3 A) 1 D) 3/2

x3 ; x2; ...

x;

C) 2


1 ; 1 ; 1 ; ... 3 9 27

31. La suma de un número infinito de términos de una PG decreciente es 2 y la suma de sus cubos es 8 . Halla la razón. 7 511

7 ; ...

A) 1 B) 2 D) 1 E) 4

2 - 1; 3 - 2 ; 2 - 3 ; ...

Razonamiento y demostración 4n 25. A qué valor converge: an = c1 + 6 m n

A) 3

B) 0

D) e24

E) e6

C) e12

x2 ^ y + zh + y2 ^z + xh + z2 ^ x + yh ^ x + y + zh3

A) 2 B) 9 D) 5 E) 4

1 3 1 8

C) 1 6

32. Se tiene 3 números enteros en PG, se agrega 4 al término central y los números se encuentran en PA; a esta última progresión se agrega 32 al término final, y la progresión es nuevamente geométrica. ¿Cuál es la suma de los números originales? A) 20 D) 32

B) 26 E) 40

C) 30

33. La siguiente sucesión:

26. Si x, y, z están en progresión aritmética, calcula: M=

1

2 k = 2 k -1

B) 8 E) Diverge

n + 2; m; 7; 5; 3; ...

49; 7;

n

/

1 n 1 3n 1 9n "an , = 'c1 + m + c1 + m - c1 + m 1 n 3n 9n Converge a:

9 C) 4 2 5 7 8

A) 1 D) 3e

B) 0 E) 2e

C) e

26. A

27. D

28. C

29. B

19. D

20. D

21. A

22. C

11.

12.

13. D

14. C

4. B

5. A

6. D

7. E

B) 7 E) 10

C) 8

33. C 25. D 18. A Nivel 2 3. C

29. Si 4mG; 4nG; 47; 52 es una PA; determina el valor de m + n. A) 6 D) 12

32. B 24. 17. B

23. 16. C 9. C

10. A

D) Diverge

B) Converge a 1 C) Converge a 0 2 E) No se puede determinar

2.

A) Converge a 1

1.

n+2 an = 7 ^n + 1h !

15. B

28. Analiza la convergencia de:

Nivel 3

C) 2

8. B

B) 1/2 E) Diverge

Nivel 1

A) 1 D) 0

30. D

3n + 5.3n 6n - 1 + 8.6n - 1

C l a ve s

an =

31. E

27. Determina a qué valor converge:


111

Matemática Dada la gráfica de f(x):

Resolución: y

-6

y

4 3

f(x) 3

-3

6

g(x) = 3 - f(x - 3) 3

f(x - 3)

x -1

-4

-f(x - 3)

-4

Determina la gráfica de: g(x) = 3 - f(x - 3)

1. Determina el rango de f-1(x), si: f(x) = 2 +

7. Calcula la derivada de f(x) = 3x + 4 . Indica el valor de f'(-1). 5x - 1 A) 13/9 B) -23/13 C) 23/36 D) -23/36 E) 15/17

x-3 x+2

A) R - {3; -2}

B) R - [-3; -2]

D) R - G-2; 3]

E) R - [-2; 3H

2. Si: f(x) = 3x + b; determina el valor de A) -3 D) -1/3

B) 1 E) 2

C) G-3; 2]

f (-1) . f-1 (3) C) 1/3

ln(logx(1 - x)) > 0 B) 1 ; 1 E 2

D) 1 ; 1 2

E) G0; 1H

C) - 1; 1 2

A) 1 D) m am - n n

A) B) 1 E) -3/5

C) 3/5

5. La suma de los dos primeros términos de una progresión aritmética es igual a la suma de las raíces de la ecuación: 1 - 13 - 682 = 0 y el séptimo término es 23. Determina el x x primer término y la razón. B) 3 y 4 E) 3 y 6

C) 5 y 3

6. Calcula el número de términos de una progresión geométrica de razón 2, siendo 189 la suma de ellos, y la suma de sus cuadrados 12 285. A) 8 D) 6

C) 2

B) m n E) n am - n m

C) mnam + n

f(x) = senx + cosx es:

5 lím 1 - 3 x x " 11 x

A) 2 y 5 D) 4 y 7

B) 1 E) 1/4

10. El máximo valor que puede tomar la función:

4. Resuelve:

A) 0 D) 5/3

A) 0 D) 1/2 9. Encuentra el límite: m m lím x n - an x"a x - a

3. Resuelve: A) - 1 ; 1 E 2

8. Encuentra a que valor converge la siguiente sucesión: an: ' 1 ; 7 ; 37 ; 175 ; ... 1 5 25 125 625

B) 7 E) 4

112 Intelectum 5.°

C) 10

2 2

B) 1

C)

2

E) 1

D) 2

2

11. Encuentra la mínima distancia del origen hacia la gráfica y = 3 (sugerencia: use derivadas). x y

A) 3 B) 3 C) 6 D) 5 E) 4

y=3 x O

D mín.

x

12. Determina la medida de la base x del rectángulo de área máxima que se puede inscribir es el cuarto de elipse cuyo centro es O. A) 2 B) 2 2 C) 3 D) 2 3 E) 1 + 3

2

O

1 de elipse 4

x

4

LA_ACTIVIDADES_ALG 5°

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